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- Welche Rolle spielt der Ortsvektor des gegebenen Punktes in der Parameterform der Ebene? - Wo erscheinen die beiden gegebenen Richtungsvektoren in dieser Darstellung?

1. Der Ortsvektor von \(P\) wird als Stützvektor verwendet. 2. Die beiden gegebenen linear unabhängigen Richtungsvektoren liefern die beiden unabhängigen Richtungen der Ebene. 3. Damit ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\), \(r,s\in\mathbb{R}\).

\(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\), \(r,s\in\mathbb{R}\)

- Wie viele voneinander unabhängige Richtungen besitzt jede Menge? - Was kann ein einzelner laufender Parameter geometrisch erzeugen? - Was ermöglichen zwei nicht kollineare Richtungsvektoren?

1. In \(M_1\) verändert genau ein laufender Parameter den Punkt in genau einer festen Richtung. Daher beschreibt \(M_1\) eine Gerade. 2. In \(M_2\) gibt es zwei Richtungsvektoren. Sie sind nicht kollinear und damit linear unabhängig. 3. Zwei unabhängige Richtungen durch denselben Stützpunkt erzeugen eine Ebene. Daher beschreibt \(M_2\) eine Ebene.

\(M_1\) ist eine Gerade; \(M_2\) ist eine Ebene.

- Überlege dir, wie man prüft, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. - Kannst du aus den Koordinaten des Punktes ein Gleichungssystem für die Parameter der Ebene aufstellen? - Schau dir die Koordinaten einzeln an. Gibt es eine Zeile, in der nur eine Unbekannte vorkommt? - Wenn du die Parameter der Ebene gefunden hast, wie kannst du damit die fehlende Koordinate berechnen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Gleichsetzen des Ortsvektors von \(P\) mit der Ebenengleichung: I: \(4 = 1 + r + 2s\) II: \(3 = 2 + s\) III: \(a = 3 + 2r - s\) 2. Aus Gleichung II folgt direkt \(s = 1\). 3. Einsetzen von \(s = 1\) in Gleichung I: \(4 = 1 + r + 2 \cdot 1 \Rightarrow 4 = 3 + r \Rightarrow r = 1\). 4. Einsetzen der gefundenen Parameter \(r = 1\) und \(s = 1\) in Gleichung III zur Bestimmung von \(a\): \(a = 3 + 2 \cdot 1 - 1 = 4\).

\(a = 4\)

- Was passiert mit der Ebenengleichung, wenn du konkrete Zahlen für die Parameter einsetzt? - Erinnere dich an die Regeln für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. - Addiere die resultierenden Vektoren komponentenweise. - Die Koordinaten eines Punktes entsprechen den Komponenten seines Ortsvektors.

1. Einsetzen der Parameter \(r = 2\) und \(s = -1\) in die Ebenengleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2+0 \\ -2+6-1 \\ 4-4-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(P_1(3|3|-5)\). 2. Einsetzen der Parameter \(r = -3\) und \(s = 0{,}5\) in die Ebenengleichung: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + (-3) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3+0 \\ -2-9+0{,}5 \\ 4+6+2{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -10{,}5 \\ 12{,}5 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(P_2(-2|-10{,}5|12{,}5)\).

a) \(P_1(3|3|-5)\) b) \(P_2(-2|-10{,}5|12{,}5)\)

- Wie stellst du eine Ebenengleichung auf, wenn ein Punkt und zwei Richtungsvektoren gegeben sind? - Der Ortsvektor des gegebenen Punktes dient als Stützvektor. - Setze die gegebenen Zahlenwerte für die Parameter in deine Gleichung ein. - Achte beim Zusammenrechnen besonders auf die Vorzeichen.

1. Aufstellen der Parameterform der Ebene: \(\vec{x} = \vec{OA} + k \cdot \vec{u} + m \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + m \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung für Teil a) mit \(k = 4\) und \(m = -2\): \(\vec{p}_a = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4+2 \\ 0+4-4 \\ 3+4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung für Teil b) mit \(k = 1{,}5\) und \(m = 1{,}5\): \(\vec{p}_b = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1{,}5-1{,}5 \\ 0+1{,}5+3 \\ 3+1{,}5+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4{,}5 \\ 4{,}5 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4{,}5 \\ 4{,}5 \end{pmatrix}\)

- Beginne mit den Koordinaten, die vollständig bekannt sind, um die Parameter zu bestimmen. - Wie kannst du die berechneten Parameter nutzen, um die fehlende Koordinate zu finden? - Achte beim Rechnen mit Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Aufstellen der Gleichungen für die bekannten Koordinaten \(x_2\) und \(x_3\): II: \(1 + 2\lambda + 4\mu = 11 \Rightarrow 2\lambda + 4\mu = 10\) und III: \(3 + 2\lambda + \mu = 11 \Rightarrow 2\lambda + \mu = 8\). 2. Lösen des Teilsystems: Subtraktion von III von II ergibt \(3\mu = 2\), also \(\mu = \frac{2}{3}\). Einsetzen in III ergibt \(2\lambda + \frac{2}{3} = 8 \Rightarrow 2\lambda = \frac{22}{3} \Rightarrow \lambda = \frac{11}{3}\). 3. Berechnung der fehlenden Koordinate \(k\) mittels der Gleichung für \(x_1\): \(k = 2 + 1 \cdot \lambda - 3\mu\). Einsetzen der Parameterwerte: \(k = 2 + \frac{11}{3} - 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 + \frac{11}{3} - 2 = \frac{11}{3}\).

Damit der Punkt \(R\) in der Ebene \(F\) liegt, müssen die Parameter \(\lambda = \frac{11}{3}\) und \(\mu = \frac{2}{3}\) sein. Der gesuchte Wert für die Koordinate ist \(k = \frac{11}{3}\) (bzw. \(k \approx 3{,}67\)).

- Vergleiche die beiden Richtungsvektoren miteinander, bevor du die beiden Parameter untersuchst. - Welche geometrische Dimension kann eine Punktmenge haben, wenn effektiv nur eine unabhängige Richtung vorkommt? - Kannst du beide Parameterterme zu einem einzigen Vielfachen desselben Richtungsvektors zusammenfassen?

1. Für die beiden Richtungsvektoren gilt \(\begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\). 2. Die Richtungsvektoren sind daher linear abhängig und bestimmen nicht zwei unabhängige Richtungen einer Ebene. 3. Die Punktmenge lässt sich als \(\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+(r+2s)\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) schreiben. Da \(r+2s\) jeden reellen Wert annehmen kann, ist \(M\) eine Gerade.

\(M\) ist keine Ebene, sondern die Gerade \(\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\).

- Woran erkennst du bei zwei Vektoren, ob einer ein skalares Vielfaches des anderen ist? - Warum braucht eine Ebene zwei voneinander unabhängige Richtungen? - Welche drei Bestandteile gehören nach dieser Prüfung in die Parameterform der Ebene?

1. Die Vektoren sind nicht proportional: Aus den ersten beiden Komponenten würde für \(\vec{v}=c\vec{u}\) der Faktor \(c=2\) folgen, die dritte Komponente müsste dann aber \(2\) statt \(3\) sein. 2. Daher sind \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) linear unabhängig und können als Richtungsvektoren einer Ebene verwendet werden. 3. Mit \(P\) als Stützpunkt ergibt sich \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}\), \(r,s\in\mathbb{R}\).

Die Vektoren sind linear unabhängig. Daher gilt zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}\), \(r,s\in\mathbb{R}\).

- Welche Bedingung muss ein zweiter Richtungsvektor erfüllen? - Welche Vorschläge sind einfache Vielfache von \(\vec{u}\)? - Wie setzt du den gewählten Vektor zusammen mit dem Punkt \(P\) in eine Parameterform ein?

1. A ist \(2\vec{u}\) und C ist \(-3\vec{u}\). Beide sind daher kollinear zu \(\vec{u}\) und liefern keine zweite unabhängige Richtung. 2. B ist kein skalares Vielfaches von \(\vec{u}\). Somit sind \(\vec{u}\) und B linear unabhängig. 3. Eine mögliche Parameterform ist \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).

B; zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).

- Welche beiden Bewegungsrichtungen werden im Bild durch \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) festgelegt? - Lies aus der markierten Fläche ab, wie weit man in jeder dieser beiden Richtungen vom Punkt \(P\) aus laufen darf. - Sind die Randlinien Teil des markierten Bereichs?

1. Aus dem Bild ist erkennbar, dass der markierte Bereich von \(P\) aus jeweils genau eine volle Strecke in Richtung \(\vec{u}\) und eine volle Strecke in Richtung \(\vec{v}\) umfasst. 2. Daher läuft \(r\) von \(0\) bis \(1\) und unabhängig davon \(s\) von \(0\) bis \(1\). 3. Da der Rand mitmarkiert ist, gelten die nicht-strengen Bedingungen \(0\le r\le1\) und \(0\le s\le1\).

\(0\le r\le1\) und \(0\le s\le1\)

- Stelle für jede Koordinate \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) eine Gleichung auf. - Du hast nun drei Gleichungen und drei Unbekannte (\(a\), \(\lambda\) und \(\mu\)). - Versuche, die Parameter der Ebene (\(\lambda\) und \(\mu\)) durch den Parameter \(a\) auszudrücken. - Setze diese Ausdrücke in die verbleibende Gleichung ein, um eine Gleichung zu erhalten, die nur noch \(a\) enthält.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems (LGS) für die Punktprobe: I: \(a + 1 = 1 + \lambda\) II: \(a = 2 - \lambda + 2\mu\) III: \(9 = 1 + 2\lambda + \mu\) 2. Aus Gleichung I folgt \(\lambda = a\). 3. Substitution von \(\lambda = a\) in Gleichung II: \(a = 2 - a + 2\mu \Rightarrow 2a - 2 = 2\mu \Rightarrow \mu = a - 1\). 4. Einsetzen von \(\lambda = a\) und \(\mu = a - 1\) in Gleichung III: \(9 = 1 + 2a + (a - 1)\) \(9 = 3a \Rightarrow a = 3\). 5. Für \(a = 3\) ergeben sich die Parameter \(\lambda = 3\) und \(\mu = 2\), womit der Punkt \(P(4 \mid 3 \mid 9)\) in der Ebene liegt.

\(a = 3\)

- Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Ein Punkt auf einer Koordinatenachse hat eine besondere Eigenschaft bezüglich seiner Koordinaten. Welche ist das für die \(x_2\)-Achse? - Wenn zwei Koordinaten eines Punktes identisch sind (wie bei \(p\)), wie kannst du das im Gleichungssystem nutzen? - Kannst du aus zwei Gleichungen die Parameter bestimmen und das Ergebnis in der dritten Gleichung testen?

1. Punktprobe für \(A\): Aufstellen des linearen Gleichungssystems (LGS) \(3 + \lambda + 2\mu = 6\), \(1 + 2\lambda - \mu = 2\) und \(-2 + \lambda + 3\mu = 2\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(\lambda = 1\) und \(\mu = 1\). Die Überprüfung in der dritten Gleichung ergibt \(-2 + 1 + 3 = 2\) (wahr), also liegt \(A\) in \(E\). 2. Punktprobe für \(B\): LGS \(3 + \lambda + 2\mu = 1\), \(1 + 2\lambda - \mu = 2\) und \(-2 + \lambda + 3\mu = 3\). Die ersten beiden Gleichungen liefern \(\lambda = 0\) und \(\mu = -1\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(-2 + 0 - 3 = -5 \neq 3\) (falsch), also liegt \(B\) nicht in \(E\). 3. Bestimmung von \(p\): Das LGS \(p = 3 + \lambda + 2\mu\), \(4 = 1 + 2\lambda - \mu\) und \(p = -2 + \lambda + 3\mu\) führt durch Gleichsetzen der Ausdrücke für \(p\) auf \(3 + \lambda + 2\mu = -2 + \lambda + 3\mu\), woraus \(\mu = 5\) folgt. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt \(2\lambda - 5 = 3 \implies \lambda = 4\). Damit ist \(p = 3 + 4 + 10 = 17\). 4. Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse: Ansatz \(S(0|y|0)\). Das LGS \(3 + \lambda + 2\mu = 0\) und \(-2 + \lambda + 3\mu = 0\) liefert durch Subtraktion \(\mu - 5 = 0 \implies \mu = 5\) und daraus \(\lambda = -13\). Die \(x_2\)-Koordinate ist \(y = 1 + 2 \cdot (-13) - 5 = -30\). Der Schnittpunkt ist \(S(0|-30|0)\).

a) \(A \in E\), \(B \notin E\). b) \(p = 17\). c) \(S(0|-30|0)\).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der ersten Winkelhalbierenden einer Koordinatenebene liegt? - Setze die Punktkoordinaten mit der Ebenengleichung gleich und löse das entstehende System Schritt für Schritt. - Wenn eine Koordinate Null ist, vereinfacht das die Suche nach den Parametern erheblich. - Überlege dir, in welcher Ebene ein Punkt liegt, dessen erste Koordinate \(0\) ist.

1. Bestimmung von \(q\): Aufstellen des LGS \(q = 2 + r\), \(q = r + 2s\) und \(5 = 1 + 2r - s\). Gleichsetzen der ersten beiden Gleichungen ergibt \(2 + r = r + 2s \implies s = 1\). Einsetzen in die dritte Gleichung liefert \(1 + 2r - 1 = 5 \implies 2r = 5 \implies r = 2{,}5\). Damit ist \(q = 2 + 2{,}5 = 4{,}5\). 2. Bestimmung von \(k\): LGS \(k = 2 + r\), \(k = r + 2s\) und \(k = 1 + 2r - s\). Aus den ersten beiden folgt wieder \(s = 1\). Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt \(k = 1 + 2r - 1 = 2r\). Gleichsetzen mit der ersten Gleichung liefert \(2r = 2 + r \implies r = 2\). Somit ist \(k = 4\). 3. Bestimmung von \(t\): LGS \(0 = 2 + r \implies r = -2\). Die weiteren Gleichungen sind \(t = r + 2s\) und \(t = 1 + 2r - s\). Einsetzen von \(r\) ergibt \(t = -2 + 2s\) und \(t = 1 - 4 - s = -3 - s\). Gleichsetzen liefert \(-2 + 2s = -3 - s \implies 3s = -1 \implies s = -\frac{1}{3}\). Damit ist \(t = -2 + 2 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{8}{3}\). 4. Lage von \(T\): Der Punkt \(T(0|-\frac{8}{3}|-\frac{8}{3})\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene (da \(x_1 = 0\)) und dort auf der ersten Winkelhalbierenden (da \(x_2 = x_3\)).

a) \(q = 4{,}5\). b) \(k = 4\). c) \(t = -\frac{8}{3}\). Der Punkt \(T\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene auf der ersten Winkelhalbierenden.

- Welche Punktmenge entsteht, wenn beide Parameter unabhängig voneinander zwischen \(0\) und \(1\) variieren? - Welche Eigenschaft der beiden Richtungsvektoren entscheidet hier, ob das Parallelogramm ein Rechteck ist? - Welche zusätzliche Einschränkung verhindert beim Dreieck, dass beide Richtungen gleichzeitig „zu weit“ durchlaufen werden? - Was erhältst du, wenn du für Teil c) die beiden vorgegebenen Parameterwerte direkt in die Parameterform einsetzt?

1. Die Richtungsvektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\). 2. Wenn \(\lambda\) und \(\mu\) unabhängig voneinander das Intervall \([0;1]\) durchlaufen, entsteht das von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) aufgespannte Parallelogramm. Wegen \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\) ist es ein Rechteck. 3. Der Flächeninhalt beträgt \(|\vec{AB}|\cdot|\vec{AC}|=4\cdot3=12\,\text{FE}\). 4. Für das Dreieck \(ABC\) müssen \(\lambda\ge0\), \(\mu\ge0\) und \(\lambda+\mu\le1\) gelten. 5. Für \(\lambda=1\) und \(\mu=1\) ist \(\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{AB}+\vec{AC}=\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}\). Also ist \(D(5|4|2)\).

a) Die Figur ist ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(12\,\text{FE}\). b) \(\lambda\ge0\), \(\mu\ge0\) und \(\lambda+\mu\le1\) c) \(D(5|4|2)\)

- Untersuche die Eigenschaften der beiden Richtungsvektoren (Länge und Winkel). - Welchen Einfluss haben die Grenzen der Parameter auf die Ausdehnung der Figur? - Wo liegt das Zentrum, wenn die Parameter von einem negativen zu einem betragsgleichen positiven Wert laufen? - Wie groß ist der Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten möglichen Wert eines Parameters?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\): Das Skalarprodukt ist \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 0\), sie sind also orthogonal. 2. Vergleich der Längen: \(|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}\) und \(|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5}\). Da die Vektoren orthogonal und gleich lang sind und die Parameter \(r, s\) symmetrische Intervalle gleicher Länge \([ -1; 1 ]\) durchlaufen, ist die Figur ein Quadrat. 3. Der Mittelpunkt ergibt sich für das Zentrum der Parameterbereiche, also \(r = 0\) und \(s = 0\). Somit ist der Mittelpunkt der Stützvektor \(Z(0|0|5)\). 4. Die Seitenlänge des Quadrats entspricht dem Zweifachen der Vektorlänge (da der Parameter von \(-1\) bis \(1\) geht, also eine Spanne von \(2\) hat): \(a = 2\sqrt{5}\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A = a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20\,\text{FE}\).

a) Die Richtungsvektoren sind orthogonal (\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)) und gleich lang (\(\sqrt{5}\)). Da beide Parameterintervalle die Länge \(2\) besitzen, sind alle Seiten gleich lang. b) Der Mittelpunkt ist \(Z(0|0|5)\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(20\,\text{FE}\).

- Wie kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um zu prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Was muss für die Parameter gelten, damit ein Punkt tatsächlich Teil der Ebene ist? - Wenn eine Koordinate eines Punktes unbekannt ist, welche Zeilen der Ebenengleichung helfen dir, die Parameter zuerst zu bestimmen? - Überlege, wie viele Gleichungen du benötigst, um die beiden Parameter \(r\) und \(s\) eindeutig zu berechnen.

1. Prüfung von \(P(4|0|3)\): Aufstellen des Gleichungssystems \(1+r+2s=4\), \(r-s=0\) und \(2+r=3\). Aus der dritten Gleichung folgt \(r=1\). Einsetzen in die zweite ergibt \(s=1\). Die erste Gleichung liefert \(1+1+2 \cdot 1=4\), was eine wahre Aussage ist. \(P\) liegt in \(E\). 2. Prüfung von \(Q(5|1|5)\): Gleichungssystem \(1+r+2s=5\), \(r-s=1\) und \(2+r=5\). Aus der dritten Gleichung folgt \(r=3\). Einsetzen in die zweite ergibt \(3-s=1 \Rightarrow s=2\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(1+3+2 \cdot 2=8 \neq 5\). \(Q\) liegt nicht in \(E\). 3. Punkt \(D(2|y|4)\): Aus der \(x_3\)-Koordinate folgt \(2+r=4 \Rightarrow r=2\). Aus der \(x_1\)-Koordinate folgt \(1+2+2s=2 \Rightarrow 2s=-1 \Rightarrow s=-0{,}5\). Berechnung von \(y\): \(y=r-s=2-(-0{,}5)=2{,}5\). 4. Punkt \(F(x|3|6)\): Aus der \(x_3\)-Koordinate folgt \(2+r=6 \Rightarrow r=4\). Aus der \(x_2\)-Koordinate folgt \(4-s=3 \Rightarrow s=1\). Berechnung von \(x\): \(x=1+4+2 \cdot 1=7\).

a) \(P\) liegt in \(E\); \(Q\) liegt nicht in \(E\). b) \(y = 2{,}5\) und \(x = 7\).

- Welche drei Koordinatengleichungen entstehen bei einer Punktprobe in der Parameterform? - Kannst du zunächst zwei dieser Gleichungen nach \(r\) und \(s\) lösen? - Warum musst du die gefundenen Parameter anschließend noch in der dritten Koordinatengleichung prüfen?

1. Für \(P\) erhält man aus der Punktprobe die Gleichungen \(2r+s=3\), \(-r+3s=2\) und \(4r-2s=2\). Die ersten beiden Gleichungen liefern \(r=1\) und \(s=1\). Diese Werte erfüllen auch die dritte Gleichung. Also liegt \(P\) in \(E\). 2. Für \(Q\) erhält man \(2r+s=-1\), \(-r+3s=1\) und \(4r-2s=3\). Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(r=-\frac{4}{7}\) und \(s=\frac{1}{7}\). Damit ist \(4r-2s=-\frac{18}{7}\neq3\). Es gibt also keine gemeinsamen Parameterwerte für alle drei Koordinaten, und \(Q\) liegt nicht in \(E\).

a) \(P\) liegt in \(E\) für \(r=1\) und \(s=1\). b) \(Q\) liegt nicht in \(E\).

- Was geschieht geometrisch, wenn einer der beiden Parameter festgehalten wird? - Welche Randkombinationen der beiden Parameter liefern bei Teil 2 die Eckpunkte? - Wie begrenzt die Bedingung \(r+s\le1\) den Bereich im Parameterpaar \((r,s)\)? - Was bleibt von der Parameterform übrig, wenn du in Teil 4 \(s\) durch \(r\) ersetzt?

1. Bei festem \(r=2\) und beschränktem \(s\) entsteht eine Strecke in Richtung des zweiten Richtungsvektors. 2. Beide Parameter variieren unabhängig in \([0;1]\). Dadurch entsteht ein Parallelogramm. Seine Eckpunkte erhält man für die vier Randkombinationen: \((r,s)=(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\). Das ergibt \((3|0|-2)\), \((5|1|0)\), \((2|2|-2)\) und \((4|3|0)\). 3. Die Bedingungen \(r\ge0\), \(s\ge0\) und \(r+s\le1\) beschreiben das Dreieck mit den Parameterpunkten \((0,0)\), \((1,0)\) und \((0,1)\). 4. Aus \(r=s\) folgt \(\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}+r\left(\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\right)\). Damit bleibt nur ein freier Parameter; die Punktmenge ist eine Gerade.

1. Strecke 2. Parallelogramm mit Eckpunkten \((3|0|-2)\), \((5|1|0)\), \((2|2|-2)\), \((4|3|0)\) 3. Dreieck 4. Gerade

- Welche geometrische Wirkung hat es, einen Parameter festzuhalten und den anderen frei variieren zu lassen? - Welche Parameterwerte gehören zu den vier angegebenen Eckpunkten des Parallelogramms? - Welche Einschränkung der Koeffizientensumme ist typisch für das Dreieck zwischen \(\vec{a}\), \(\vec{a}+\vec{u}\) und \(\vec{a}+\vec{v}\)? - Wann entsteht ein Streifen statt einer begrenzten Fläche?

1. Bei (A) laufen die beiden Richtungen unabhängig bis zu den Faktoren \(2\) beziehungsweise \(3\). Daher gehört (A) zu Bedingung 2. 2. Bei (B) muss der Anteil von \(\vec{u}\) fest und von null verschieden sein, während der Anteil von \(\vec{v}\) frei bleibt. Daher gehört (B) zu Bedingung 3. 3. Bei (C) werden genau die nichtnegativen Kombinationen erfasst, deren Koeffizientensumme höchstens \(1\) ist. Daher gehört (C) zu Bedingung 1. 4. Bei (D) ist der Anteil von \(\vec{u}\) auf ein Intervall beschränkt, während \(\mu\) beliebig ist. Daher gehört (D) zu Bedingung 4.

(A) – 2; (B) – 3; (C) – 1; (D) – 4

- Welche beiden Verbindungsvektoren vom Stützpunkt \(P\) aus beschreiben die Ebene? - Welche geometrischen Punkte erhältst du für die Parameterpaare \((0|0)\), \((1|0)\) und \((0|1)\)? - Überlege, wie sich ein Punkt zwischen diesen drei Eckpunkten als Mischung der beiden Richtungen von \(P\) aus beschreiben lässt.

1. Es gilt \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}-8\\0\\4\end{pmatrix}\). Damit ist eine Parameterform \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-8\\0\\4\end{pmatrix}\). 2. Für \(S\) ergibt die zweite Koordinate \(8r=2\), also \(r=0{,}25\). Aus der dritten Koordinate folgt \(4s=2\), also \(s=0{,}5\). Die erste Koordinate bestätigt diese Werte: \(8-8\cdot0{,}25-8\cdot0{,}5=2\). 3. In dieser Darstellung entsprechen \(P\), \(Q\) und \(R\) den Parameterpaaren \((0|0)\), \((1|0)\) und \((0|1)\). Für Punkte im Inneren des Dreiecks müssen beide Anteile positiv sein und zusammen kleiner als \(1\) bleiben. Hier gilt \(0{,}25>0\), \(0{,}5>0\) und \(0{,}25+0{,}5=0{,}75<1\). Daher liegt \(S\) im Inneren des Dreiecks \(PQR\).

a) \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-8\\0\\4\end{pmatrix}\) b) \(r=0{,}25\), \(s=0{,}5\) c) \(S\) liegt im Inneren des Dreiecks \(PQR\).

- Welche Freiheit sollen die beiden Richtungsvektoren in einer Ebenendarstellung jeweils haben? - Was passiert algebraisch, wenn in beiden Richtungen derselbe Parameter verwendet wird? - Vergleiche die Zahl der tatsächlich frei wählbaren Parameter mit der geometrischen Dimension der beschriebenen Punktmenge.

1. In Junas Gleichung werden beide Richtungsvektoren mit demselben Parameter verändert. Dadurch kann man die beiden Parameterterme zusammenfassen. 2. Es gilt \(r\vec{u}+r\vec{v}=r(\vec{u}+\vec{v})=r\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}\). Junas Gleichung beschreibt daher nur eine Gerade durch \(P\). 3. Für eine Ebene müssen die beiden unabhängigen Richtungen unabhängig voneinander variiert werden. Eine korrekte Gleichung ist \(E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}\), \(r,s\in\mathbb{R}\).

Junas Gleichung beschreibt die Gerade \(\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}\). Für die Ebene braucht man zwei unabhängig veränderliche Parameter, zum Beispiel \(E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}\), \(r,s\in\mathbb{R}\).