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- Welche Koordinate ist für alle Punkte der Ebene \(E\) fest vorgegeben? - Wie verändert sich diese Koordinate, wenn du auf der Geraden den Parameter \(t\) variierst?

1. Der Stützpunkt von \(g\) hat die dritte Koordinate \(2\). 2. Die dritte Komponente des Richtungsvektors ist \(0\). Daher bleibt für jeden Punkt von \(g\) die Koordinate \(x_3=2\). 3. Somit liegt die gesamte Gerade \(g\) in der Ebene \(E\).

\(g\) liegt in \(E\).

- Wie kannst du eine Gerade beschreiben, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Was passiert mathematisch, wenn du die Koordinaten der Geradenpunkte in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche Bedeutung haben die verschiedenen möglichen Ergebnisse für die Anzahl der Lösungen (keine, eine, unendlich viele) für die Lage der Geraden zur Ebene?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: Mit dem Stützvektor \(\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Geradenpunkte \((1+r|1+2r|1-r)\) in die Ebenengleichung: \((1+r) - (1+2r) + 2(1-r) = -4\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(1 + r - 1 - 2r + 2 - 2r = -4\), woraus \(-3r + 2 = -4\) folgt. 4. Lösen nach \(r\): \(-3r = -6 \Rightarrow r = 2\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\) durch Einsetzen von \(r=2\) in \(g\): \(\vec{OS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\). Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt \(S(3|5|-1)\).

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(3|5|-1)\).

- Welche Vektoren bestimmen die Ausrichtung der Ebene und welcher Vektor die der Geraden? - Wie kannst du mit Hilfe des Skalarprodukts feststellen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen? - Was musst du über die Spannvektoren der Ebene wissen, damit sie eine Ebene und keine Gerade aufspannen?

1. Identifikation der Richtungs- und Spannvektoren: Richtungsvektor der Geraden \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\), Spannvektoren der Ebene \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelität: Da \(\vec{u}\) kein Vielfaches von \(\vec{v}\) ist, sind die Spannvektoren nicht parallel und definieren eindeutig eine Ebene. 3. Berechnung des Skalarprodukts \(\vec{w} \cdot \vec{u} = 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0\). 4. Berechnung des Skalarprodukts \(\vec{w} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 0\). 5. Da der Richtungsvektor der Geraden auf beiden Spannvektoren senkrecht steht, ist die Gerade \(g\) orthogonal zur Ebene \(E\).

Die Gerade \(g\) steht orthogonal zur Ebene \(E\), da ihr Richtungsvektor \(\vec{w}\) sowohl zum Spannvektor \(\vec{u}\) als auch zum Spannvektor \(\vec{v}\) orthogonal ist (\(\vec{w} \cdot \vec{u} = 0\) und \(\vec{w} \cdot \vec{v} = 0\)) und die Spannvektoren nicht parallel zueinander sind.

- Was muss für den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene gelten, damit sie parallel sind? - Wie kannst du überprüfen, ob ein Punkt einer Geraden auch in einer Ebene liegt? - Was bedeutet es für die Anzahl der Schnittpunkte, wenn die Parallelitätsbedingung erfüllt ist, der Stützpunkt der Geraden aber nicht in der Ebene liegt?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\) aus der Koordinatenform: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelität durch das Skalarprodukt von Richtungsvektor \(\vec{v}\) der Geraden und Normalenvektor \(\vec{n}\): \(\vec{v} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 2 + 4 - 6 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, steht der Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalenvektor, woraus \(g \parallel E\) folgt. 3. Prüfung, ob der Stützpunkt \(P(4|1|1)\) der Geraden in der Ebene liegt: Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt \(4 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 4\). Da \(4 \neq 8\) ist, liegt der Punkt nicht in der Ebene. 4. Schlussfolgerung: Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft, aber ihr Stützpunkt nicht in der Ebene liegt, ist die Gerade echt parallel zur Ebene und besitzt keine gemeinsamen Punkte.

Die Gerade \(g\) ist parallel zur Ebene \(E\), da das Skalarprodukt aus Richtungs- und Normalenvektor null ergibt. Da der Stützpunkt \(P(4|1|1)\) die Ebenengleichung nicht erfüllt (\(4 \neq 8\)), verlaufen Gerade und Ebene echt parallel. Sie haben somit keinen gemeinsamen Punkt.

- Was bedeutet eine Null in einer Komponente des Richtungsvektors für die Ausrichtung der Geraden? - Wie ist die \(x_1x_3\)-Ebene im Koordinatensystem durch eine Gleichung definiert? - Wenn zwei verschiedene Spurpunkte identisch sind, was sagt das über die Position des Punktes im Koordinatensystem aus?

1. Analyse der Geraden für Teilaufgabe a): Die \(x_2\)-Komponente des Richtungsvektors ist \(0\), was bedeutet, dass die Gerade parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene verläuft (oder in ihr liegt). Da die \(x_2\)-Koordinate des Stützpunktes \(3\) ist, gilt für alle Punkte der Geraden \(x_2 = 3\). Da die \(x_1x_3\)-Ebene durch \(x_2 = 0\) definiert ist, gibt es keinen gemeinsamen Punkt. 2. Berechnung der Spurpunkte für Teilaufgabe b): Für die \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): \(-2 + k = 0 \Rightarrow k = 2\). Dies ergibt den Punkt \(S_{12}(0|3|0)\). Für die \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)): \(6 - 3k = 0 \Rightarrow k = 2\). Dies ergibt den Punkt \(S_{23}(0|3|0)\). 3. Interpretation: Beide Spurpunkte fallen in einem Punkt zusammen. Da zwei Koordinaten (\(x_1\) und \(x_3\)) Null sind, liegt dieser Punkt auf der \(x_2\)-Achse.

a) Da die \(x_2\)-Koordinate der Geraden konstant \(3\) ist, kann sie die Ebene \(x_2 = 0\) nicht schneiden. b) Die beiden Spurpunkte \(S_{12}\) und \(S_{23}\) fallen im Punkt \(S(0|3|0)\) zusammen. Dieser liegt auf der \(x_2\)-Achse.

- Was bedeutet es für die Komponenten eines Richtungsvektors, wenn eine Gerade parallel zu einer Koordinatenebene verläuft? - Welche Koordinaten hat der Ursprung im dreidimensionalen Raum? - Überlege dir, welchen Wert der Parameter \(\mu\) annehmen muss, damit die \(x_3\)-Koordinate verschwindet.

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus \(1 - \mu = 0\) folgt \(\mu = 1\). Einsetzen in die anderen Koordinaten ergibt \(x_1 = 4 + 1 \cdot (c - 2) = c + 2\) und \(x_2 = c + 1 \cdot 2 = c + 2\). Der Punkt ist \(S_c(c + 2 | c + 2 | 0)\). 2. Nachweis Ursprung für \(c = -2\): Ein Punkt auf der Geraden ist der Ursprung, wenn alle drei Koordinaten Null werden können. Aus \(x_3 = 1 - \mu = 0\) folgt \(\mu = 1\). Für \(c = -2\) ergibt sich \(x_1 = 4 + 1 \cdot (-2 - 2) = 0\) und \(x_2 = -2 + 1 \cdot 2 = 0\). Da alle Koordinaten Null sind, verläuft \(h_{-2}\) durch \((0|0|0)\). 3. Parallelität zur \(x_2x_3\)-Ebene: Eine Gerade ist parallel zu dieser Ebene, wenn ihr Richtungsvektor keine Komponente in \(x_1\)-Richtung hat (Skalarprodukt mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist Null). Daraus folgt \(c - 2 = 0\), also \(c = 2\). Da der Stützpunkt \((4|2|1)\) nicht in der Ebene \(x_1 = 0\) liegt, ist die Gerade echt parallel.

a) \(S_c(c + 2 | c + 2 | 0)\) b) Für \(c = -2\) und \(\mu = 1\) ergibt sich der Punkt \((0 | 0 | 0)\). c) \(c = 2\), da in diesem Fall die \(x_1\)-Komponente des Richtungsvektors Null ist.

- Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade in einer Ebene liegt? - Wie verhalten sich die Richtungsvektoren zueinander? - Was muss für den Stützpunkt der Geraden im Bezug auf die Ebene gelten? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter der Ebene zu bestimmen?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren: Der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) lässt sich als Linearkombination der Spannvektoren der Ebene darstellen (\(1 \cdot \vec{v}_1 + 1 \cdot \vec{v}_2\)). Somit verläuft die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr. 2. Punktprobe mit dem Stützpunkt der Geraden: \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(3 = 1 + 2r\), II: \(2 = 1 + s\), III: \(a = 1 + r - s\). 4. Aus I folgt \(r = 1\), aus II folgt \(s = 1\). 5. Einsetzen in III: \(a = 1 + 1 - 1 = 1\). Damit die Gerade in der Ebene liegt, muss \(a = 1\) gelten.

\(a = 1\)

- Wie stehen der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist? - Mit welchem Rechenverfahren kannst du die Orthogonalität zweier Vektoren prüfen? - Welche Informationen liefert dir die Koordinatengleichung der Ebene direkt über ihre Lage im Raum?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\) aus der Koordinatengleichung: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ a \\ 3 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Normalenvektor der Ebene stehen. 3. Berechnung über das Skalarprodukt: \(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_E = 0 \implies 2 \cdot 2 + a \cdot (-4) + 3 \cdot 2 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(4 - 4a + 6 = 0 \implies 10 - 4a = 0 \implies 4a = 10 \implies a = 2{,}5\). 5. Punktprobe zur Unterscheidung (optional): Einsetzen des Stützpunktes \((4|1|2)\) in die Ebenengleichung ergibt \(2 \cdot 4 - 4 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 8 \neq 5\), somit liegt die Gerade für \(a = 2{,}5\) echt parallel zur Ebene.

\(a = 2{,}5\)

- Wie kannst du eine Gerade beschreiben, wenn zwei Punkte auf ihr bekannt sind? - Was passiert mathematisch, wenn du die Ausdrücke für die Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche Bedeutung haben die möglichen Ergebnistypen der Gleichung (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) für die Lagebeziehung? - Wenn du einen Wert für den Parameter gefunden hast, wie kommst du damit zum gesuchten Punkt?

1. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Koordinaten der Geraden \(x_1 = 1 + 2r\), \(x_2 = 4 - 2r\) und \(x_3 = 2 + 2r\) in die Ebenengleichung: \(2 \cdot (1 + 2r) + 3 \cdot (4 - 2r) - (2 + 2r) = 12\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(2 + 4r + 12 - 6r - 2 - 2r = 12 \Rightarrow 12 - 4r = 12\). 4. Lösen nach \(r\): \(-4r = 0 \Rightarrow r = 0\). 5. Da die Gleichung genau eine Lösung für \(r\) besitzt, schneidet die Gerade die Ebene. 6. Einsetzen von \(r = 0\) in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt \(S(1|4|2)\).

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(1|4|2)\).

- Stelle zuerst eine Gleichung für die Gerade auf. - Überlege dir, wie der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden zueinander stehen müssten, wenn Parallelität vorliegt. - Was bedeutet es für die Lösbarkeit der kombinierten Gleichung, wenn die Gerade die Ebene schneidet? - Wie unterscheidet sich das rechnerische Ergebnis bei „echter Parallelität“ von dem Fall, dass die Gerade „in der Ebene liegt“?

1. Aufstellen der Geradengleichung: \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen der Geradenpunkte \(x_1 = 2 + 4t\), \(x_2 = 1 + 2t\) und \(x_3 = 5 - 4t\) in die Ebene \(F\): \((2 + 4t) + (1 + 2t) + (5 - 4t) = 5\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(8 + 2t = 5\). 4. Lösen nach \(t\): \(2t = -3 \Rightarrow t = -1{,}5\). 5. Da die lineare Gleichung genau eine Lösung für \(t\) besitzt, ist die Gerade nicht parallel zur Ebene, sondern schneidet diese. 6. Berechnung des Schnittpunkts durch Einsetzen von \(t = -1{,}5\) in \(h\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} - 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 11 \end{pmatrix}\).

Die Gerade \(h\) ist nicht parallel zur Ebene \(F\), sondern schneidet sie im Punkt \(S(-4|-2|11)\).

- Kannst du die Ebene in einer Form darstellen, die das Einsetzen der Geraden erleichtert? - Was bedeutet es für die gegenseitige Lage, wenn die resultierende Gleichung für den Parameter genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat? - Wie findest du den Richtungsvektor einer Geraden, wenn zwei Punkte gegeben sind? - Welche Information liefert dir das Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte in die Ebenengleichung?

1. Aufstellen der Ebenengleichung in Koordinatenform: Aus den Achsenabschnitten \(A\), \(B\) und \(C\) folgt direkt die Gleichung \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\). 2. Aufstellen der Geradengleichung in Parameterform: Mit dem Stützvektor \(\vec{p} = \vec{OP}\) und dem Richtungsvektor \(\vec{u} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung der gegenseitigen Lage durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: \((1 + 2t) + (1 + 2t) + (1 + 2t) = 6\). 4. Lösen der Gleichung nach \(t\): \(3 + 6t = 6 \Rightarrow 6t = 3 \Rightarrow t = 0{,}5\). Da die Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt, schneidet die Gerade die Ebene. 5. Berechnung des Schnittpunktes \(S\): Einsetzen von \(t = 0{,}5\) in die Geradengleichung liefert \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \(S(2|2|2)\).

Die Gerade \(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(2|2|2)\).

- Überlege dir, wie der Stützvektor und der Richtungsvektor einer Geraden beschaffen sein müssen, damit die Gerade in der Ebene liegt. - Was ändert sich an der Lagebeziehung, wenn du den Richtungsvektor beibehältst, aber den Stützpunkt so wählst, dass er nicht in der Ebene liegt? - Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, die in Parameterform gegeben ist?

1. Für die Gerade \(g\) in der Ebene \(E\) wird der Stützvektor der Ebene \(\vec{p}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und einer ihrer Spannvektoren, z. B. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), gewählt: \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Da der Stützpunkt in \(E\) liegt und der Richtungsvektor ein Spannvektor von \(E\) ist, liegt \(g\) in \(E\). 2. Für die Gerade \(h\) wird ein Richtungsvektor gewählt, der eine Linearkombination der Spannvektoren von \(E\) ist, z. B. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Als Stützpunkt wird ein Punkt außerhalb von \(E\) gewählt, z. B. der Ursprung \(Q(0|0|0)\). 3. Nachweis \(Q \notin E\): Das Gleichungssystem \(0 = 4 + 2\lambda\), \(0 = 1 + \lambda + 3\mu\) und \(0 = 0 - \lambda + 2\mu\) führt aus der ersten Gleichung zu \(\lambda = -2\). Eingesetzt in die zweite folgt \(0 = 1 - 2 + 3\mu \Rightarrow \mu = \frac{1}{3}\). Die Prüfung in der dritten Gleichung ergibt \(0 = -(-2) + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\), was ein Widerspruch ist. Somit ist \(Q \notin E\). 4. Die Gerade \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist damit echt parallel zu \(E\).

Mögliche Lösungen: a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) b) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Punkt \(Q(0|0|0)\) liegt nicht in \(E\), da das entsprechende Lineargleichungssystem keine Lösung besitzt (\(2 + \frac{2}{3} \neq 0\)).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Normalenvektor einer Ebene und den Richtungsvektoren von Geraden, die parallel zur Ebene verlaufen? - Wie findest du schnell einen Punkt, der in einer Ebene liegt, wenn die Koordinatengleichung bekannt ist? - Was muss für einen Punkt gelten, damit er nicht in der Ebene liegt?

1. Ein Vektor \(\vec{v}\) ist parallel zu \(E\), wenn er orthogonal zum Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) ist. Bedingung: \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 1 \cdot v_1 + 2v_2 - 2v_3 = 0\). Eine Lösung ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Für eine Gerade \(k\) in \(E\) wird ein Punkt \(P\) benötigt, der die Ebenengleichung erfüllt. Mit \(x_2=0, x_3=0\) folgt \(x_1=6\), also \(P(6|0|0)\). Die Gerade ist \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Für eine Gerade \(m\), die echt parallel zu \(E\) ist, wird ein Punkt \(S\) benötigt, der die Gleichung nicht erfüllt. Mit \(S(0|0|0)\) ergibt sich \(0 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0 \neq 6\). Die Gerade ist \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (da \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0\)). b) Mögliche Geraden: \(k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (liegt in \(E\)) \(m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (echt parallel zu \(E\))

- Überlege dir, in welche Richtung ein Normalenvektor im Vergleich zur Ebene zeigt. - Was bedeutet ein Skalarprodukt von Null für die geometrische Ausrichtung zweier Vektoren? - Wie viele Schnittpunkte können eine Gerade und eine Ebene theoretisch haben? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade nicht nur parallel zu einer Ebene verläuft, sondern in ihr liegt?

1. Wahr. Da der Normalenvektor \(\vec{n}\) definitionsgemäß senkrecht auf der Ebene steht, führt ein zum Normalenvektor paralleler Richtungsvektor \(\vec{v}\) dazu, dass auch die Gerade senkrecht zur Ebene verläuft. 2. Falsch. Die Bedingung \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\) bedeutet, dass der Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor ist. Daraus folgt, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft oder in ihr liegt. In beiden Fällen ist ein einzelner Schnittpunkt ausgeschlossen (entweder kein Schnittpunkt oder unendlich viele). 3. Wahr. Die Darstellbarkeit des Richtungsvektors als Linearkombination der Spannvektoren stellt sicher, dass die Gerade parallel zur Ebene ist oder in ihr liegt. Die zusätzliche Bedingung, dass ein Punkt der Geraden in der Ebene liegt (Punktprobe), schließt die echte Parallelität aus, sodass die Gerade in der Ebene liegen muss.

1. Wahr (Richtungsvektor zeigt in Lotrichtung). 2. Falsch (Gerade ist parallel zur Ebene oder liegt in ihr; kein einzelner Schnittpunkt möglich). 3. Wahr (Parallelität durch Vektoren und gemeinsamer Punkt durch Punktprobe gegeben).

- Was sagt das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor und dem Normalenvektor über die Neigung der Geraden zur Ebene aus? - Wann ist ein Punkt Teil einer Ebene, wenn man die Normalengleichung betrachtet? - Was unterscheidet „echt parallel“ von „in der Ebene liegend“?

a) Ein einzelner Schnittpunkt existiert genau dann, wenn die Gerade nicht parallel zur Ebene verläuft. Parallelität liegt vor, wenn der Richtungsvektor \(\vec{u}\) senkrecht auf dem Normalenvektor \(\vec{n}\) steht, also \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\). Folglich tritt ein Schnittpunkt genau dann ein, wenn \(\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0\) gilt. b) Der Ausdruck \((\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n}\) entspricht der linken Seite der Normalenform der Ebene für einen Punkt \(P\). Wäre der Wert gleich \(0\), würde der Punkt \(P\) in der Ebene liegen. Da die Gerade jedoch echt parallel zur Ebene verläuft, besitzt sie keine gemeinsamen Punkte mit der Ebene. Somit muss für jeden Punkt \(P\) der Geraden gelten: \((\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} \neq 0\).

a) Genau ein Schnittpunkt existiert für \(\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0\), da die Gerade dann nicht parallel zur Ebene ist. b) Es muss \((\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n} \neq 0\) gelten, da kein Punkt der echt parallelen Geraden die Ebenengleichung erfüllt.

- Wie muss der Richtungsvektor einer Geraden im Verhältnis zum Normalenvektor der Ebene stehen, damit sie senkrecht auf der Ebene steht? - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor null ergibt? - Hängt die Lage des Stützpunktes der Geraden bezüglich der Ebene \(F\) vom Parameter \(a\) ab? - Untersuche, ob die Punktprobe für den Stützpunkt in der Ebene \(F\) erfolgreich sein kann.

1. Der Normalenvektor der Ebene \(F\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor aller Geraden der Schar ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Für einen senkrechten Schnitt müsste \(\vec{v} = c \cdot \vec{n}\) gelten. Dies führt auf das System \(1 = c\), \(-1 = c\) und \(2 = 0\). Da dies offensichtlich widersprüchlich ist, ist kein Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor, und somit schneidet keine Gerade die Ebene senkrecht. 3. Eine Gerade liegt in der Ebene, wenn ihr Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor steht (\(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\)) und ihr Stützpunkt in der Ebene liegt. 4. Prüfung der Orthogonalität: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0\). Alle Geraden der Schar verlaufen somit parallel zur Ebene \(F\). 5. Prüfung des Stützpunktes \(P(3|1|a)\): Einsetzen in \(F\) ergibt \(3 + 1 = 4\). Da \(4 \neq 10\) gilt, liegt der Stützpunkt für keinen Wert von \(a\) in der Ebene. Folglich liegt keine Gerade in \(F\).

a) Nachweis über die lineare Unabhängigkeit von Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) Alle Geraden sind parallel zu \(F\) (da \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\)), aber der Stützpunkt \(P(3|1|a)\) erfüllt die Ebenengleichung \(x_1 + x_2 = 10\) für keinen Wert von \(a\), da \(3 + 1 = 4 \neq 10\).

- Wie hängen der Normalenvektor einer Ebene und der Richtungsvektor einer dazu orthogonalen Geraden zusammen? - Was muss für das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor der Ebene gelten, damit diese parallel zueinander sind? - Wie kannst du prüfen, ob ein Punkt einer Geraden in einer gegebenen Ebene liegt? - Reicht es für die Parallelität aus, nur die Richtungen zu betrachten, oder musst du auch die Lage eines Punktes prüfen?

1. Aus der Koordinatenform von \(E\) wird der Normalenvektor \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}\) abgelesen. Für eine orthogonale Gerade \(g\) dient dieser als Richtungsvektor. Mit dem Stützpunkt \(P(4|6|1)\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Eine zu \(E\) parallele Gerade \(h\) benötigt einen Richtungsvektor \(\vec{v}\), der orthogonal zu \(\vec{n}_E\) ist (\(\vec{v} \cdot \vec{n}_E = 0\)). Ein möglicher Vektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), da \(1 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 8 = 0\). Mit dem Ursprung als Stützpunkt folgt \(h: \vec{x} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da der Ursprung nicht in \(E\) liegt (\(4 \cdot 0 - 0 + 8 \cdot 0 = 0 \neq 18\)), ist \(h\) echt parallel. 3. Zur Untersuchung von \(k\) wird das Skalarprodukt aus Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_E\) berechnet: \(2 \cdot 4 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 8 = 0\). Somit ist \(k\) parallel zu \(E\). Die Punktprobe mit \(A(1|2|2)\) in \(E\) ergibt \(4 \cdot 1 - 2 + 8 \cdot 2 = 18\). Da der Punkt in der Ebene liegt, verläuft die Gerade \(k\) innerhalb der Ebene \(E\).

a) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix}\) (oder Vielfache des Richtungsvektors) b) \(h: \vec{x} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) (Beispiel; jeder Richtungsvektor \(\vec{v}\) mit \(\vec{v} \cdot \vec{n}_E = 0\) ist zulässig) c) Die Gerade \(k\) liegt in der Ebene \(E\).

- Nutze den Normalenvektor der Ebene direkt als Richtungsvektor für eine senkrechte Gerade. - Um einen Schnittpunkt zu finden, kannst du die allgemeine Form eines Geradenpunktes in die Ebenengleichung einsetzen. - Überlege dir, welche Bedingungen für die Vektoren erfüllt sein müssen, damit eine Gerade parallel oder orthogonal zu einer Ebene ist. - Das Skalarprodukt hilft dir bei der Prüfung auf Parallelität (Winkel zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor).

1. Der Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Da \(g\) senkrecht auf \(F\) steht, ist \(\vec{n}_F\) der Richtungsvektor von \(g\). Mit dem Ursprung \(O(0|0|0)\) folgt \(g: \vec{x} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Zur Bestimmung des Schnittpunkts \(S\) wird \(g\) in \(F\) eingesetzt: \(1 \cdot (t) + 2 \cdot (2t) - 2 \cdot (-2t) = 12\). Dies vereinfacht sich zu \(t + 4t + 4t = 12\), also \(9t = 12\) bzw. \(t = \frac{4}{3}\). Einsetzen in \(g\) ergibt \(\vec{OS} = \frac{4}{3}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ \frac{8}{3} \\ -\frac{8}{3} \end{pmatrix}\). Der Schnittpunkt ist \(S(\frac{4}{3} | \frac{8}{3} | -\frac{8}{3})\). 3. Für die Parallelität müsste das Skalarprodukt aus Richtungsvektor \(\vec{v}_l = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_F\) null sein: \(1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 1 \neq 0\). Daher ist \(l\) nicht parallel zu \(F\). Für eine orthogonale Lage müsste \(\vec{v}_l\) ein Vielfaches von \(\vec{n}_F\) sein. Da die Komponentenverhältnisse \(1:1 \neq 1:2\) nicht übereinstimmen, ist \(l\) auch nicht orthogonal zu \(F\).

a) \(g: \vec{x} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) b) \(S(\frac{4}{3} | \frac{8}{3} | -\frac{8}{3})\) c) Nicht parallel, da das Skalarprodukt \(\vec{v}_l \cdot \vec{n}_F = 1 \neq 0\) ist. Nicht orthogonal, da \(\vec{v}_l\) kein Vielfaches von \(\vec{n}_F\) ist.

- Wie sieht der Richtungsvektor einer Geraden aus, auf der alle Punkte die Form \((a|a|a)\) haben? - Wann sind eine Gerade und eine Ebene parallel zueinander? - Was muss für die rechte Seite einer Ebenengleichung gelten, damit sie nicht durch den Ursprung verläuft? - Wie viele Lösungen hat eine lineare Gleichung wie \(3a = d\) für eine Unbekannte \(a\)?

1. Die Gerade \(g\) lässt sich durch die Gleichung \(\vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) beschreiben. Eine Ebene \(n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = c\) enthält keinen Punkt von \(g\), wenn ihr Normalenvektor orthogonal zum Richtungsvektor von \(g\) ist (\(n_1 + n_2 + n_3 = 0\)) und die Ebene nicht den Ursprung enthält (\(c \neq 0\)). 2. Beispiel für \(H\): \(x_1 - x_2 = 1\). Einsetzen von \(x_1=x_2=x_3=a\) ergibt \(a - a = 1 \Rightarrow 0 = 1\) (Widerspruch), somit existiert kein Schnittpunkt. 3. Für die Ebene \(E_d\) führt der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\) auf die Gleichung \(a + a + a = d\). 4. Zusammenfassen ergibt \(3a = d\), was für jedes \(d\) die eindeutige Lösung \(a = \frac{d}{3}\) besitzt. 5. Der gesuchte Punkt ist somit \(P\left(\frac{d}{3} \middle| \frac{d}{3} \middle| \frac{d}{3}\right)\).

a) Mögliche Ebene: \(H: x_1 - x_2 = 1\). Begründung: Der Ansatz \(x_1=x_2=x_3=a\) führt auf den Widerspruch \(0=1\). b) Der Punkt ist \(P\left(\frac{d}{3} \middle| \frac{d}{3} \middle| \frac{d}{3}\right)\). Da die Gleichung \(3a = d\) für jedes \(d\) genau eine Lösung für \(a\) hat, gibt es genau einen solchen Punkt.

- Wie kannst du die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer Geraden mithilfe des Parameters ausdrücken? - Was bedeutet es für die Lösbarkeit einer Gleichung, wenn eine Gerade die Ebene schneidet, parallel zu ihr verläuft oder in ihr liegt? - Wie gehst du vor, wenn du prüfen möchtest, ob ein Punkt eine bestimmte Gleichung erfüllt?

1. Einsetzen der Geradengleichung \( g \) in die Ebenengleichung \( E \): \( (1 + 2r) + 2 \cdot (1 - r) - (-1) = 1 + 2r + 2 - 2r + 1 = 4 \). 2. Da die Gleichung \( 4 = 4 \) eine wahre Aussage für alle \( r \in \mathbb{R} \) ist, liegt die Gerade \( g \) vollständig in der Ebene \( E \). 3. Einsetzen der Geradengleichung \( h \) in die Ebenengleichung \( E \): \( (3 + s) + 2(1 + s) - (2 + s) = 3 + s + 2 + 2s - 2 - s = 3 + 2s \). 4. Lösen der Gleichung \( 3 + 2s = 4 \): \( 2s = 1 \implies s = 0{,}5 \). 5. Einsetzen von \( s = 0{,}5 \) in die Geradengleichung \( h \): \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 0{,}5\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ 1{,}5 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} \). 6. Der Schnittpunkt ist \( S(3{,}5 | 1{,}5 | 2{,}5) \).

a) Die Gerade \( g \) liegt in der Ebene \( E \). b) Der Schnittpunkt ist \( S(3{,}5 | 1{,}5 | 2{,}5) \).

- Wann ist ein Vektor von zwei anderen Vektoren linear abhängig? - Welche Eigenschaft müssen die Richtungsvektoren einer Geraden und einer Ebene haben, damit Parallelität vorliegt? - Wie kannst du feststellen, ob ein einzelner Punkt einer Geraden auch Teil einer Ebene ist?

1. Prüfung der linearen Abhängigkeit der Richtungsvektoren: Der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) muss als Linearkombination der Spannvektoren der Ebene \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) darstellbar sein. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(a \cdot 2 + b \cdot 1 = 3\); \(a \cdot 1 + b \cdot 0 = 1\); \(a \cdot 0 + b \cdot 1 = 1\). 3. Lösung des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(a = 1\), aus der dritten \(b = 1\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3\). Da die Lösung \(a=1, b=1\) alle Gleichungen erfüllt, ist \(g\) parallel zu \(E\). 4. Prüfung, ob der Stützpunkt \(P(2|2|3)\) der Geraden in der Ebene liegt: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Daraus folgt: \(2 = 2 + \lambda \Rightarrow \lambda = 0\) und \(3 = 1 + \mu \Rightarrow \mu = 2\). Einsetzen in die erste Koordinatengleichung: \(1 + 2 \cdot 0 + 2 = 3\). Da \(3 \neq 2\), liegt der Punkt nicht in der Ebene. 6. Die Gerade \(g\) ist somit echt parallel zur Ebene \(E\).

a) Der Richtungsvektor der Geraden lässt sich als Summe der beiden Spannvektoren der Ebene darstellen (\( \vec{v}_g = 1 \cdot \vec{u} + 1 \cdot \vec{v} \)), womit die Parallelität gezeigt ist. b) Die Gerade \( g \) ist echt parallel zur Ebene \( E \), da ihr Stützpunkt nicht in der Ebene liegt.

- Wie kannst du den Normalenvektor einer Ebene aus ihrer Koordinatengleichung ablesen? - Was sagt das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor der Ebene über deren Lage aus? - Wie prüfst du, ob ein Punkt einer Geraden auch in der Ebene liegt? - Was musst du tun, wenn die Gerade die Ebene schneidet, um den genauen Punkt zu finden?

1. Untersuchung von \(g\): Skalarprodukt aus Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\) und Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) berechnen: \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 0\). Die Gerade ist parallel zur Ebene oder liegt in ihr. 2. Punktprobe für \(g\): Stützpunkt \(P(1|2|6)\) in \(E\) einsetzen: \(2 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 3 \cdot 6 = 2 - 8 + 18 = 12\). Da \(12 = 12\) eine wahre Aussage ist, liegt die Gerade \(g\) in der Ebene \(E\). 3. Untersuchung von \(h\): Skalarprodukt \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + (-4) \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 1 \neq 0\). Die Gerade schneidet die Ebene in genau einem Punkt. 4. Schnittpunktberechnung für \(h\): Geradengleichung in \(E\) einsetzen: \(2 \cdot (5+s) - 4 \cdot (1+s) + 3 \cdot (2+s) = 12 \Rightarrow 10+2s-4-4s+6+3s = 12 \Rightarrow s+12=12 \Rightarrow s=0\). Einsetzen von \(s=0\) in \(h\) ergibt den Schnittpunkt \(S(5|1|2)\).

Die Gerade \(g\) liegt in der Ebene \(E\) (\(g \subset E\)). Die Gerade \(h\) schneidet die Ebene \(E\) im Punkt \(S(5|1|2)\).

- Überlege zuerst, wie du die einzelnen Komponenten \(x_1, x_2, x_3\) der Geraden mithilfe des Parameters ausdrücken kannst. - Setze diese Ausdrücke in die Ebene ein, um zu prüfen, ob es eine Lösung für den Parameter gibt. - Was würde es bedeuten, wenn die Gleichung für den Parameter am Ende eine falsche Aussage (wie \(0 = 5\)) oder eine allgemeingültige Aussage (wie \(5 = 5\)) ergeben würde? - Achte beim Rechnen mit Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte \(x_1 = t\), \(x_2 = 4 - t\) und \(x_3 = -2 + 3t\) in die Koordinatengleichung der Ebene: \(2 \cdot t + 2 \cdot (4 - t) - (-2 + 3t) = 5\). 2. Auflösen der Klammern und Zusammenfassen: \(2t + 8 - 2t + 2 - 3t = 5 \Rightarrow 10 - 3t = 5\). 3. Isolieren des Parameters \(t\): \(-3t = -5 \Rightarrow t = \frac{5}{3}\). 4. Da genau ein Wert für \(t\) existiert, schneidet die Gerade die Ebene. 5. Einsetzen von \(t = \frac{5}{3}\) in die Geradengleichung zur Bestimmung des Ortsvektors des Schnittpunkts: \(x_1 = \frac{5}{3}\) \(x_2 = 4 - \frac{5}{3} = \frac{12}{3} - \frac{5}{3} = \frac{7}{3}\) \(x_3 = -2 + 3 \cdot \frac{5}{3} = -2 + 5 = 3\) Der Schnittpunkt ist \(S\left(\frac{5}{3} \mid \frac{7}{3} \mid 3\right)\).

Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt \(S\left(\frac{5}{3} \mid \frac{7}{3} \mid 3\right)\).

- Wenn beide Objekte in Parameterform gegeben sind, kannst du sie gleichsetzen, um gemeinsame Punkte zu finden. - Wie viele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem bei der Untersuchung von Gerade und Ebene haben und was bedeutet das für die Lage? - Überlege, ob es einfacher ist, eine der Formen (z. B. die Ebene) zuerst in die Koordinatenform umzuwandeln.

1. Gleichsetzen der Parameterdarstellungen von Gerade und Ebene führt auf ein lineares Gleichungssystem: I: \(4 + r = 1 + 2s\) II: \(1 + 2r = -1 + s + t\) III: \(3 - r = 2 - t\) 2. Umstellen der Gleichungen: I: \(r - 2s = -3\) II: \(2r - s - t = -2\) III: \(-r + t = -1\) 3. Lösen des Systems: Aus III folgt \(t = r - 1\). Einsetzen in II ergibt \(2r - s - (r - 1) = -2 \Rightarrow r - s = -3 \Rightarrow s = r + 3\). Einsetzen in I ergibt \(r - 2(r + 3) = -3 \Rightarrow -r - 6 = -3 \Rightarrow r = -3\). 4. Bestimmung der weiteren Parameter: \(s = 0\) und \(t = -4\). 5. Da das LGS eine eindeutige Lösung besitzt, schneiden sich die Gerade und die Ebene. 6. Einsetzen von \(r = -3\) in die Geradengleichung \(h\): \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix}\).

Die Gerade \(h\) und die Ebene \(F\) schneiden sich im Punkt \(S(1 | -5 | 6)\).

- Wie findet man einen Normalenvektor, wenn eine Ebene durch drei Punkte gegeben ist? - Erinnere dich an die Bedingung für Parallelität zwischen einer Geraden und einer Ebene unter Verwendung des Normalenvektors. - Wenn du weißt, dass die Gerade parallel zur Ebene ist, was musst du dann über den Stützpunkt prüfen? - Fällt dir beim Stützpunkt der Geraden und den gegebenen Punkten der Ebene etwas auf?

1. Aufstellen der Spannvektoren der Ebene \(E\): \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{w} = \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Normalenvektors \(\vec{n}\): Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -7 \end{pmatrix}\). 3. Prüfung auf Parallelität: Skalarprodukt von Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}\) berechnen: \(3 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) + 3 \cdot (-7) = 6 + 15 - 21 = 0\). Somit gilt \(g \parallel E\). 4. Prüfung auf gemeinsamen Punkt: Der Stützpunkt der Geraden ist \(P(2|4|1)\). Dies entspricht exakt dem Punkt \(B\), welcher zur Definition der Ebene genutzt wurde. Alternativ ergibt die Koordinatenform der Ebene \(2x_1 - 3x_2 - 7x_3 = -15\) bei Punktprobe mit \(P\): \(2 \cdot 2 - 3 \cdot 4 - 7 \cdot 1 = 4 - 12 - 7 = -15\). 5. Da die Parallelitätsbedingung erfüllt ist und der Stützpunkt in der Ebene liegt, liegt die gesamte Gerade in der Ebene.

Die Gerade \(g\) liegt in der Ebene \(E\). Der Nachweis der Parallelität erfolgt über das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und des Normalenvektors der Ebene (\(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\)). Da der Stützpunkt \(P(2|4|1)\) der Geraden identisch mit dem Ebenenpunkt \(B\) ist, liegt die Gerade in der Ebene und hat somit unendlich viele gemeinsame Punkte mit ihr.

- Überlege dir, was mit einer Gleichung passiert, wenn du sie als Linearkombination anderer Gleichungen schreibst. - Wenn ein Punkt auf der Schnittgeraden von zwei Ebenen liegt, muss er beide Gleichungen erfüllen. Was passiert, wenn du diesen Punkt in eine Kombination dieser Gleichungen einsetzt? - Was bewirkt die Änderung der Zahl auf der rechten Seite einer Ebenengleichung für die Lage der Ebene im Raum? - Wenn zwei Ebenen eine Gerade gemeinsam haben, die dritte Ebene aber parallel zu dieser Geraden verschoben ist, wie viele gemeinsame Punkte haben dann alle drei zusammen?

1. Analyse der Konstruktion: Seien \(L_1(\vec{x}) = d_1\) und \(L_2(\vec{x}) = d_2\) die Gleichungen von \(E_1\) und \(E_2\). Die Schnittgerade \(s\) enthält alle Punkte \(\vec{x}\), die beide Gleichungen simultan erfüllen. 2. Untersuchung der Hilfsebene: Eine Ebene \(E^*\) mit der Gleichung \(2 \cdot L_1(\vec{x}) - L_2(\vec{x}) = 2d_1 - d_2\) würde die Gerade \(s\) enthalten, da für alle Punkte auf \(s\) gilt: \(2 \cdot d_1 - d_2 = 2d_1 - d_2\). 3. Einfluss der Konstanten: Die Ebene \(E_3\) hat die Gleichung \(2 \cdot L_1(\vec{x}) - L_2(\vec{x}) = 2d_1 - d_2 + 5\). Da der Normalenvektor \(\vec{n}_3 = 2\vec{n}_1 - \vec{n}_2\) identisch mit dem von \(E^*\) ist, verläuft \(E_3\) parallel zu \(E^*\). Da die rechte Seite um \(5\) verschoben ist, liegt \(E_3\) echt parallel zu \(E^*\) und enthält somit die Gerade \(s\) nicht. 4. Schlussfolgerung für das LGS: Da kein Punkt der Geraden \(s\) (die alle gemeinsamen Punkte von \(E_1\) und \(E_2\) darstellt) in \(E_3\) liegt, gibt es keinen Punkt, der in allen drei Ebenen gleichzeitig liegt. Das lineare Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

Die Schnittgerade \(s\) verläuft parallel zur Ebene \(E_3\) und liegt nicht in \(E_3\). Daher besitzt das zugehörige lineare Gleichungssystem keine Lösung (Lösungsmenge \(L = \emptyset\)).