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- Lies aus jeder Koordinatenform einen Normalenvektor ab. - Welche Beziehung zwischen den Normalenvektoren würde für parallele Ebenen gelten?

1. Normalenvektoren sind \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\). 2. Die beiden Normalenvektoren sind nicht proportional. 3. Daher sind die Ebenen nicht parallel und schneiden sich in einer Geraden.

Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden.

- Welche Kante gehört zum Rand beider markierter Flächen? - Welche zwei der acht beschrifteten Eckpunkte sind die Endpunkte dieser gemeinsamen Kante? - Welche Schnittmenge haben zwei verschiedene Ebenen, die eine gemeinsame Gerade enthalten?

1. Im Schrägbild erkennt man, dass die markierten Ebenen \(E\) und \(F\) zwei verschiedene Quaderflächen sind. 2. Die gemeinsame Randkante beider markierten Flächen ist die Kante \(AD\). Daher liegen die Punkte \(A\) und \(D\) in beiden Ebenen. 3. Zwei verschiedene Ebenen mit einer gemeinsamen Geraden schneiden sich genau in dieser Geraden. Somit ist \(E\cap F=AD\).

Die Ebenen \(E\) und \(F\) schneiden sich. Ihre Schnittgerade ist die Gerade durch \(A\) und \(D\).

- Wie lauten die drei Koordinaten eines allgemeinen Punktes von \(F\)? - Was ergibt sich, wenn du diese Koordinaten in die Koordinatenform von \(E\) einsetzt? - Welche Lagebeziehung zweier Ebenen entspricht einem Widerspruch, der von allen Parametern unabhängig ist?

1. Ein allgemeiner Punkt von \(F\) hat die Koordinaten \(x_1=1+2\lambda+\mu\), \(x_2=2+\mu\), \(x_3=1+\lambda+\mu\). 2. Einsetzen in die Koordinatenform von \(E\) ergibt \((1+2\lambda+\mu)+(2+\mu)-2(1+\lambda+\mu)=2\). 3. Die linke Seite vereinfacht sich zu \(1\). Es entstünde also \(1=2\), unabhängig von \(\lambda\) und \(\mu\). 4. Somit haben \(E\) und \(F\) keinen gemeinsamen Punkt. Zwei verschiedene Ebenen ohne gemeinsamen Punkt sind im Raum echt parallel.

\(E\) und \(F\) sind echt parallel; es gibt keine Schnittgerade.

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor zwischen den drei Koeffizienten zweier Ebenen? - Gilt derselbe Faktor auch für die rechte Seite? - Welche zwei Lagefälle kommen bei kollinearen Normalenvektoren in Frage?

1. Für \(E_1\) und \(E_2\) gilt \(4x_1-6x_2+2x_3=10=-2(-2x_1+3x_2-x_3+5)\). Genauer: Multipliziert man die gesamte Gleichung von \(E_2\) mit \(-2\), erhält man genau \(E_1\). Die Ebenen sind identisch. 2. Die Normalenvektoren von \(E_2\) und \(E_3\) sind skalare Vielfache: \(\begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\). Die rechten Seiten stehen jedoch nicht im selben Verhältnis, denn \(-5\neq-7\). Daher sind \(E_2\) und \(E_3\) echt parallel. 3. Sind die Koeffizienten von \(x_1,x_2,x_3\) proportional, besitzen die Ebenen kollineare Normalenvektoren. Ist auch die rechte Seite mit demselben Faktor proportional, sind die Ebenen identisch; andernfalls sind sie echt parallel.

a) \(E_1\) und \(E_2\) sind identisch. b) \(E_2\) und \(E_3\) sind echt parallel. c) Proportionale Normalenkoeffizienten bedeuten Parallelität; identisch sind die Ebenen genau dann, wenn auch die rechte Seite denselben Proportionalitätsfaktor besitzt.

- Mit welchem Faktor wird aus der gesamten Gleichung von \(F\) die Gleichung von \(E\)? - Welche Teile einer Koordinatenform bestimmen die Normalenrichtung und welcher Teil die Lage entlang dieser Richtung? - Welchen Wert muss die rechte Seite haben, wenn der Ursprung auf der Ebene liegen soll?

1. Multipliziert man die gesamte Gleichung von \(F\) mit \(-2\), erhält man \(3x_1+4x_3=12\). Daher sind \(E\) und \(F\) identisch. 2. Eine zu \(E\) parallele Ebene mit demselben Normalenvektor hat die Form \(3x_1+4x_3=d\). Für den Ursprung gilt \(d=0\). Somit ist \(G:3x_1+4x_3=0\). 3. Allgemein beschreibt \(3x_1+4x_3=d\) mit \(d\in\mathbb{R}\) alle Ebenen mit diesem Normalenvektor; für \(d=12\) erhält man \(E\), für alle anderen Werte eine echt parallele Ebene.

a) \(E\) und \(F\) sind identisch. b) \(G:3x_1+4x_3=0\) c) \(3x_1+4x_3=d\) mit \(d\in\mathbb{R}\)

- Welche dritte Komponente besitzt jede Linearkombination der beiden Richtungsvektoren von \(E\)? - Kann der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) von \(F\) eine solche Linearkombination sein? - Welche Lagebeziehung haben zwei Ebenen im Raum, wenn ihre Richtungen nicht übereinstimmen?

1. Jede Linearkombination der beiden Richtungsvektoren von \(E\) hat die dritte Komponente \(0\). 2. Der Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) von \(F\) besitzt dagegen die dritte Komponente \(1\) und kann deshalb keine Linearkombination der beiden Richtungsvektoren von \(E\) sein. 3. Die Ebenen besitzen daher nicht dieselben Richtungen und sind nicht parallel. Zwei nicht parallele Ebenen im Raum schneiden sich in einer Geraden.

\(E\) und \(F\) schneiden sich in einer Geraden.

- Welche Normalenrichtung kannst du aus der Koordinatenform von \(E\) direkt ablesen? - Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren von \(F\) einen Normalenvektor? - Welche Lage zweier Ebenen folgt, wenn ihre Normalenvektoren nicht kollinear sind?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Für \(F\) liefert das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren den Normalenvektor \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\). 3. Die beiden Normalenvektoren sind keine skalaren Vielfachen voneinander. Daher sind die Ebenen nicht parallel und schneiden sich in einer Geraden.

\(E\) und \(F\) schneiden sich in einer Geraden.

- Wie findet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Richtungsvektoren steht? - Was bedeutet es für die Gleichung einer Ebene, wenn sie parallel zu einer der Koordinatenebenen ist? - Wann stehen zwei Ebenen senkrecht aufeinander? Betrachte dazu ihre Normalenvektoren. - Welche Punkte und Vektoren sind bekannt, wenn eine Ebene eine Koordinatenachse enthält?

1. Umwandlung von \(F\) in Koordinatenform: Der Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) zu \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Koordinatenform lautet \(1 \cdot x_1 = 1 \cdot 3\), also \(x_1 = 3\). 2. Lage von \(F\): Die Ebene verläuft parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand \(3\). 3. Untersuchung der Ebene \(G\): Da \(G\) die \(x_1\)-Achse enthält, liegt der Ursprung \(O(0|0|0)\) in der Ebene und der Vektor \(\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) in der Ebene. Mit dem Punkt \(P(0|1|1)\) ergibt sich ein zweiter Richtungsvektor \(\vec{v}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist ein Normalenvektor von \(G\): \(\vec{n}_G = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Nachweis der Orthogonalität: Das Skalarprodukt der Normalenvektoren ist \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_G = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\). Somit stehen die Ebenen senkrecht aufeinander. 5. Normalenform von \(G\): Da der Ursprung in \(G\) liegt, lautet eine Form \(\vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\).

a) \(F: x_1 = 3\) b) Die Ebene \(F\) ist parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene. c) Nachweis über Skalarprodukt der Normalenvektoren \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_G = 0\); Normalenform z. B. \(G: \vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0\)

- Welche Schnittmengen können zunächst bei zwei Ebenen entstehen? - Was kann passieren, wenn du diese Schnittmenge zusätzlich mit einer dritten Ebene schneidest? - Kann eine lineare Schnittmenge aus genau zwei voneinander getrennten Punkten bestehen? - Suche für Teil c) eine Anordnung, in der jedes Ebenenpaar eine Gerade gemeinsam hat, diese Geraden aber keinen gemeinsamen Punkt erzwingen.

1. Der Schnitt zweier Ebenen ist leer, eine Gerade oder bei identischen Ebenen eine Ebene. Schneidet man dieses Ergebnis mit der dritten Ebene, kann als gemeinsame Lösungsmenge nur die leere Menge, ein einzelner Punkt, eine Gerade oder eine Ebene entstehen. Zwei isolierte Punkte sind daher nicht möglich. 2. Als Lösungsmenge kommen somit die leere Menge, genau ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene infrage. 3. Eine mögliche Anordnung ohne gemeinsamen Punkt besteht aus drei Ebenen, die sich paarweise schneiden, wobei die drei paarweisen Schnittgeraden echt parallel zueinander sind. Dann schneidet zwar jedes Ebenenpaar einander, aber kein Punkt liegt in allen drei Ebenen zugleich.

a) Zwei isolierte Lösungen sind unmöglich, weil der gemeinsame Schnitt dreier Ebenen nur leer, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene sein kann. b) Leere Menge, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene. c) Zum Beispiel drei paarweise schneidende Ebenen, deren drei paarweise Schnittgeraden echt parallel zueinander sind; dann gibt es keinen gemeinsamen Punkt aller drei Ebenen.

- Prüfe, ob sich eine der drei Gleichungen aus den beiden anderen gewinnen lässt. - Wie viele freie Variablen bleiben, wenn nur zwei unabhängige Bedingungen vorliegen? - Wie kannst du die Lösungsmenge mit einem freien Parameter beschreiben? - Woran erkennst du über die Normalenvektoren, dass keine zwei Ebenen identisch sind?

1. Addition von (I) und (II) ergibt \(2x_1+3x_3=4\). Das ist genau Gleichung (III), also liefert (III) keine zusätzliche Bedingung. 2. Das System hat daher einen freien Parameter und unendlich viele Lösungen. Setze \(x_3=t\). 3. Aus (III) folgt \(x_1=2-1{,}5t\). Einsetzen in (I) ergibt \(x_2=1+0{,}5t\). 4. Die Lösungsmenge ist die Gerade \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1{,}5\\0{,}5\\1\end{pmatrix}\). 5. Die Normalenvektoren \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}\) sind paarweise keine skalaren Vielfachen. Daher sind die Ebenen nicht identisch; alle drei schneiden sich in derselben Geraden \(g\).

Die Lösungsmenge ist \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1{,}5\\0{,}5\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb{R}\). Geometrisch schneiden sich die drei verschiedenen Ebenen in dieser gemeinsamen Geraden.

- Lassen sich die beiden Richtungsvektoren einer Ebene als Linearkombinationen der Richtungsvektoren der anderen darstellen? - Welche zwei Lagefälle bleiben übrig, wenn beide Ebenen dieselben Richtungen besitzen? - Wie kann ein Stützpunkt der einen Ebene diese beiden Fälle unterscheiden?

1. Die beiden Richtungsvektoren von \(F\) lassen sich als Linearkombinationen der Richtungsvektoren von \(E\) schreiben: \(\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\). 2. Damit besitzen beide Ebenen dieselben Richtungen und sind parallel oder identisch. 3. Prüfe den Stützpunkt \(Q(0|-1|1)\) von \(F\) in \(E\). Aus der zweiten Koordinate folgt \(s=-2\), aus der dritten \(r=-1\). Die erste Koordinate ergäbe dann \(3-1-4=-2\neq0\). Also ist \(Q\notin E\). 4. Daher sind \(E\) und \(F\) echt parallel.

\(E\) und \(F\) sind echt parallel.

- Wie hängen die Normalenvektoren zweier Ebenen zusammen, wenn diese parallel sind? - Wie berechnet man einen Normalenvektor, wenn die Ebene in Parameterform gegeben ist? - Wenn du weißt, dass die Ebenen parallel sind, wie kannst du herausfinden, ob sie identisch sind? - Könntest du eine Ebene in die Koordinatenform umwandeln, um die Punktprobe zu vereinfachen?

1. Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren von \( E_1 \) ergibt \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} \). 2. Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren von \( E_2 \) ergibt \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ -2 \end{pmatrix} \). 3. Vergleich der Normalenvektoren: Da \( \vec{n}_2 = -2\vec{n}_1 \), sind die Normalenvektoren kollinear und die Ebenen somit parallel. 4. Punktprobe: Überprüfung, ob der Stützpunkt \( P(0|0|0) \) von \( E_2 \) in \( E_1 \) liegt. Einsetzen in die Koordinatenform von \( E_1 \): \( -4x_1 - 5x_2 + x_3 = d \). Mit dem Stützpunkt von \( E_1 \) ergibt sich \( d = -4 \cdot (-1) - 5 \cdot 0 + 1 = 5 \). Einsetzen von \( P \) ergibt \( -4 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 0 = 0 \). Da \( 0 \neq 5 \), liegt der Punkt nicht in der Ebene. 5. Ergebnis: Die Ebenen sind echt parallel.

Die Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) sind echt parallel.

- Welche Beziehung haben die Normalenvektoren paralleler Ebenen? - Wie unterscheidest du Identität von echter Parallelität, wenn die Normalenvektoren kollinear sind? - Wie bestimmt der Punkt \(P\) die rechte Seite der Koordinatenform von \(E_3\)? - Welche Größe darf sich bei einer Familie paralleler Ebenen ändern, wenn derselbe Normalenvektor beibehalten wird?

1. Ein Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}\), ein Normalenvektor von \(E_2\) ist \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}-10\\2\\-4\end{pmatrix}=-2\vec{n}_1\). Die Ebenen sind daher parallel oder identisch. 2. Multipliziert man die gesamte Gleichung von \(E_1\) mit \(-2\), erhält man rechts \(-20\), nicht \(5\). Daher sind \(E_1\) und \(E_2\) echt parallel. 3. Für \(E_3\) verwende den Normalenvektor \(\vec{n}_1\): \(5x_1-x_2+2x_3=d\). Einsetzen von \(P\) ergibt \(d=10+3+2=15\). Also ist \(E_3:5x_1-x_2+2x_3=15\). 4. Mit diesem fest gewählten Normalenvektor beschreibt \(5x_1-x_2+2x_3=d\) für \(d\in\mathbb{R}\) alle zu \(E_1\) parallelen oder identischen Ebenen.

a) \(E_1\) und \(E_2\) sind echt parallel. b) \(E_3:5x_1-x_2+2x_3=15\) c) \(5x_1-x_2+2x_3=d\) mit \(d\in\mathbb{R}\)

- Welche gemeinsamen Parameter müssen den Stützpunkt von \(E_2\) in der Parameterform von \(E_1\) erzeugen? - Wie kannst du jeden Richtungsvektor von \(E_2\) als Linearkombination der beiden Richtungsvektoren von \(E_1\) schreiben? - Welche Folgerung ergibt sich aus gemeinsamem Punkt und übereinstimmenden Ebenenrichtungen?

1. Für den Stützpunkt \(Q(2|3|0)\) von \(E_2\) gilt \(\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\). Daraus folgt \(r=1\), \(s=1\), und die dritte Koordinate ist ebenfalls erfüllt. Also liegt \(Q\) in \(E_1\). 2. Es gilt \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\). 3. Außerdem gilt \(\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\). 4. Der Stützpunkt von \(E_2\) liegt damit in \(E_1\), und beide linear unabhängigen Richtungsvektoren von \(E_2\) sind Richtungen von \(E_1\). Daher sind die Ebenen identisch.

\(E_1\) und \(E_2\) sind identisch.

- Wie erhältst du aus zwei Richtungsvektoren einer Parameterform einen Normalenvektor? - Welche Beziehung müssen die Normalenvektoren paralleler Ebenen besitzen? - Welche Punktprobe entscheidet anschließend zwischen echter Parallelität und Identität?

1. Für \(E_1\) ist ein Normalenvektor \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}3\\-6\\-1\end{pmatrix}\), für \(E_2\) zum Beispiel \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}-3\\6\\1\end{pmatrix}=-\vec{n}_1\). Die Ebenen sind daher parallel oder identisch. 2. Aus \(E_1\) folgt die Koordinatenform \(3x_1-6x_2-x_3=-8\), denn der Stützpunkt \((0|1|2)\) liefert \(-8\). 3. Der Stützpunkt \((0|0|8)\) von \(E_2\) erfüllt \(3\cdot0-6\cdot0-8=-8\). Somit haben die parallelen Ebenen einen gemeinsamen Punkt und sind identisch.

Ja. \(E_1\) und \(E_2\) sind identisch.

- Welchen Normalenvektor erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren von \(E_1\)? - Welche Normalenrichtung besitzt \(E_2\) aufgrund seiner Koordinatenform? - Welcher Punkt von \(E_1\) eignet sich für eine direkte Punktprobe in \(E_2\)?

1. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}-3\\-1\\2\end{pmatrix}\). 2. Aus der Koordinatenform von \(E_2\) liest man denselben Normalenvektor ab. Die Ebenen sind daher parallel oder identisch. 3. Der Stützpunkt \(P(4|1|-2)\) von \(E_1\) erfüllt die Koordinatenform von \(E_2\), denn \(-3\cdot4-1+2(-2)=-17\). 4. Somit besitzen die parallelen Ebenen einen gemeinsamen Punkt und sind identisch.

\(E_1\) und \(E_2\) sind identisch.

- Welche zwei Richtungsvektoren erhältst du aus den drei Punkten von \(E\)? - Wie kannst du daraus einen Normalenvektor von \(E\) bestimmen? - Welche Beziehung der Normalenvektoren zeigt zunächst Parallelität? - Welche Punktprobe entscheidet anschließend, ob die Ebenen identisch sind?

1. Zwei Richtungsvektoren von \(E\) sind \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}\). 2. Ihr Kreuzprodukt ist \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}4\\2\\5\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}2\\1\\2{,}5\end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_E=2\vec{n}_F\), also sind die Ebenen parallel oder identisch. 4. Der Punkt \(A\) erfüllt \(F\), denn \(2\cdot1+0+2{,}5\cdot2=7\). Damit besitzen die parallelen Ebenen einen gemeinsamen Punkt und sind identisch.

Ja. \(E\) und \(F\) sind identisch.

- Welche zwei Koordinaten setzt du für einen Spurpunkt auf einer Koordinatenachse null? - Welche zwei Verbindungsvektoren der Spurpunkte können als Richtungsvektoren der Parameterform dienen? - Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren von \(F\) einen Normalenvektor? - Was musst du zusätzlich zu kollinearen Normalenvektoren prüfen, um identische von echt parallelen Ebenen zu unterscheiden?

1. Durch Nullsetzen von jeweils zwei Koordinaten erhält man \(S_1(12|0|0)\), \(S_2(0|-6|0)\) und \(S_3(0|0|6)\). 2. Mit \(S_3\) als Stützpunkt sind zwei Richtungsvektoren \(\overrightarrow{S_3S_1}=\begin{pmatrix}12\\0\\-6\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{S_3S_2}=\begin{pmatrix}0\\-6\\-6\end{pmatrix}\). Damit ist zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}12\\0\\-6\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-6\\-6\end{pmatrix}\). 3. Für \(F\) ist ein Normalenvektor das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\). Mit dem Stützpunkt \((1|1|1)\) folgt \(F:x_1-2x_2+2x_3=1\). 4. \(E\) und \(F\) besitzen kollineare Normalenvektoren, aber die Koordinatenformen sind keine Vielfachen derselben Gleichung. Daher sind die Ebenen echt parallel.

a) \(S_1(12|0|0)\), \(S_2(0|-6|0)\), \(S_3(0|0|6)\) b) Zum Beispiel \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}12\\0\\-6\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-6\\-6\end{pmatrix}\) c) \(F:x_1-2x_2+2x_3=1\); \(E\) und \(F\) sind echt parallel.

- Was folgt aus proportionalen Normalenvektoren sicher, und welche zwei Fälle bleiben danach noch möglich? - Vergleiche nicht nur die Koeffizienten links, sondern auch die rechte Seite bei derselben Skalierung. - Welche zusätzliche Prüfung unterscheidet identische von echt parallelen Ebenen?

1. Die Normalenvektoren \(\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix}\) sind tatsächlich proportional. Damit sind die Ebenen entweder identisch oder echt parallel. 2. Für identische Ebenen müsste beim Verdoppeln der ersten Gleichung auch die rechte Seite von \(4\) auf \(8\) verdoppelt werden. Die zweite Ebene hat jedoch die rechte Seite \(10\). 3. Daher sind die Ebenen nicht identisch, sondern echt parallel. 4. Nikas Fehler besteht darin, aus parallelen Normalen unmittelbar auf Identität zu schließen, ohne die Lage der Ebenen selbst zu prüfen.

Nikas Schluss ist falsch. Die Ebenen sind echt parallel, nicht identisch. Proportionale Normalen zeigen nur gleiche Orientierung; zusätzlich muss geprüft werden, ob beide Gleichungen dieselbe Punktmenge beschreiben.

- Welche zwei Richtungsvektoren kannst du für eine Ebene durch drei Punkte beziehungsweise zwei parallele Geraden bestimmen? - Wie erhältst du daraus jeweils einen Normalenvektor und anschließend eine Koordinatenform? - Welche Skalarproduktbedingung zeigt Orthogonalität zweier Ebenen? - Welche Richtung muss ein Normalenvektor von \(E_3\) relativ zu beiden gegebenen Normalenvektoren besitzen?

1. Für \(E_1\) sind \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}\) Richtungsvektoren. Ein Normalenvektor ist zum Beispiel \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\). Mit \(A\) folgt \(E_1:x_1+x_2+2x_3=10\). 2. Für \(E_2\) kann neben der gemeinsamen Geradenrichtung \(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) der Verbindungsvektor der beiden Stützpunkte \(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) verwendet werden. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\). Mit \((1|1|1)\) folgt \(E_2:x_1+x_2-x_3=1\). 3. Es gilt \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=1+1-2=0\). Daher stehen \(E_1\) und \(E_2\) orthogonal aufeinander. 4. Ein Normalenvektor von \(E_3\) muss zu \(\vec{n}_1\) und \(\vec{n}_2\) orthogonal sein. Das Kreuzprodukt liefert zum Beispiel \(\vec{n}_3=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\). 5. Mit \(P(5|0|0)\) erhält man die Normalenform \(E_3:\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=0\).

a) \(E_1:x_1+x_2+2x_3=10\); \(E_2:x_1+x_2-x_3=1\) b) \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=0\), also \(E_1\perp E_2\). c) \(E_3:\left(\vec{x}-\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=0\)

- Wann sind zwei Ebenen identisch, wann parallel und wann schneiden sie sich? - Welche Rolle spielen die Koeffizienten vor den Variablen im Vergleich zum Ergebnis hinter dem Gleichheitszeichen? - Wie viele freie Parameter hat die Lösung eines Systems mit zwei Gleichungen und drei Variablen im Normalfall? - Für Teilaufgabe c): Wie prüfst du, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?

1. Für Teilaufgabe a) muss \(E_2\) ein Vielfaches von \(E_1\) sein, sodass beide Gleichungen dieselbe Ebene beschreiben. Sei \(E_2: 4x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 12\). Die Lösungsmenge entspricht \(E_1\). Setze \(x_2 = s\) und \(x_3 = t\). Dann ist \(2x_1 = 6 + s - 3t\), also \(x_1 = 3 + 0{,}5s - 1{,}5t\). \(L = \left\{ \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mid s, t \in \mathbb{R} \right\}\). 2. Für Teilaufgabe b) müssen die Ebenen parallel, aber nicht identisch sein. Die Koeffizienten der linken Seite müssen proportional sein, die rechte Seite darf nicht im selben Verhältnis stehen. Beispiel: \(E_2: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 10\). 3. Für Teilaufgabe c) muss \(E_2\) den Punkt \(P(3 | 0 | 0)\) enthalten und darf nicht parallel zu \(E_1\) sein. Einsetzen von \(P\) in \(E_1\): \(2 \cdot 3 - 0 + 3 \cdot 0 = 6\). Wähle zum Beispiel \(E_2: x_2 = 0\). Der Punkt \(P\) liegt auch auf \(E_2\). Die Normalenvektoren \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen, daher schneiden sich die Ebenen in einer Geraden durch \(P\).

Mögliche Lösungen: a) \(E_2: 4x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 12\); \(L = \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mid s, t \in \mathbb{R} \right\}\) b) \(E_2: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 10\) c) \(E_2: x_2 = 0\)

- Welche zwei voneinander unabhängigen Richtungen muss die gesuchte Ebene enthalten? - Wie kannst du aus der Geraden \(g\) und dem zusätzlichen Punkt \(P\) einen zweiten Richtungsvektor gewinnen? - Was muss beim gemeinsamen Lösen der beiden Ebenengleichungen als freie Richtung übrig bleiben? - Wann beschreiben zwei Koordinatenformen trotz verschiedener Koeffizienten dieselbe Ebene?

1. Die Ebene \(F\) muss die Gerade \(g\) enthalten. Damit ist \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) ein Richtungsvektor von \(F\). 2. Außerdem soll \(P\in F\) gelten. Vom Ursprung auf \(g\) zum Punkt \(P\) erhält man den zweiten Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\). 3. Ein Normalenvektor zu beiden Richtungsvektoren ist \(\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\). Da \(F\) durch den Ursprung verläuft, ist eine Koordinatenform \(-x_2+x_3=0\), äquivalent also \(x_2-x_3=0\). 4. Zusammen mit \(E:x_3=0\) folgt \(x_2=0\). Frei bleibt nur \(x_1\), also ist die gemeinsame Punktmenge genau \(g\). 5. Die Gleichung \(2x_2-2x_3=0\) ist das Zweifache der gefundenen Koordinatenform und beschreibt daher dieselbe Ebene \(F\).

Eine passende Ebene ist \(F:x_2-x_3=0\). Mit \(E:x_3=0\) folgt \(x_2=0\), also \(E\cap F=g\). \(2x_2-2x_3=0\) beschreibt keine andere Ebene, sondern dieselbe Ebene \(F\).