Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Eigenschaften haben alle Punkte, die auf der \(x_2\)-Achse liegen? - Wie hängen die Koordinaten eines Punktes mit der Parameterform der Geraden zusammen? - Betrachte die einzelnen Zeilen der Vektorgleichung als separate Gleichungen. - Welche Unbekannte kannst du zuerst bestimmen?

1. Bedingung für einen Punkt auf der \(x_2\)-Achse: Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) müssen null sein (\(x_1 = 0\) und \(x_3 = 0\)). 2. Aufstellen der Gleichungen aus den Zeilen der Geradengleichung: I: \(a + 2\lambda = 0\) II: \(4 - 2\lambda = 0\) 3. Lösen der Gleichung II nach \(\lambda\): \(2\lambda = 4 \implies \lambda = 2\). 4. Einsetzen von \(\lambda = 2\) in Gleichung I: \(a + 2 \cdot 2 = 0 \implies a = -4\). 5. Berechnung der \(x_2\)-Koordinate des Schnittpunktes: \(x_2 = 1 + 1 \cdot 2 = 3\). 6. Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid 3 \mid 0)\).

a) Die Gleichungen lauten \(a + 2\lambda = 0\) und \(4 - 2\lambda = 0\). b) Der Parameterwert ist \(a = -4\). Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(S(0 \mid 3 \mid 0)\).

- Beginne mit den Koordinaten, die vollständig bekannt sind, um die Parameter zu bestimmen. - Wie kannst du die berechneten Parameter nutzen, um die fehlende Koordinate zu finden? - Achte beim Rechnen mit Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Aufstellen der Gleichungen für die bekannten Koordinaten \(x_2\) und \(x_3\): II: \(1 + 2\lambda + 4\mu = 11 \Rightarrow 2\lambda + 4\mu = 10\) und III: \(3 + 2\lambda + \mu = 11 \Rightarrow 2\lambda + \mu = 8\). 2. Lösen des Teilsystems: Subtraktion von III von II ergibt \(3\mu = 2\), also \(\mu = \frac{2}{3}\). Einsetzen in III ergibt \(2\lambda + \frac{2}{3} = 8 \Rightarrow 2\lambda = \frac{22}{3} \Rightarrow \lambda = \frac{11}{3}\). 3. Berechnung der fehlenden Koordinate \(k\) mittels der Gleichung für \(x_1\): \(k = 2 + 1 \cdot \lambda - 3\mu\). Einsetzen der Parameterwerte: \(k = 2 + \frac{11}{3} - 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 + \frac{11}{3} - 2 = \frac{11}{3}\).

Damit der Punkt \(R\) in der Ebene \(F\) liegt, müssen die Parameter \(\lambda = \frac{11}{3}\) und \(\mu = \frac{2}{3}\) sein. Der gesuchte Wert für die Koordinate ist \(k = \frac{11}{3}\) (bzw. \(k \approx 3{,}67\)).

- Was sagen die Normalenvektoren über die gegenseitige Lage von zwei Ebenen aus? - Sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander? Was folgt daraus für die Lage? - Wann stellt eine Gleichung dieselbe Punktmenge dar wie eine andere? - Wenn die Normalenvektoren parallel sind, welche zwei Fälle musst du dann noch unterscheiden?

1. Vergleich der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Feststellung der Kollinearität: Da \(\vec{n}_1 = -3 \cdot \vec{n}_2\), sind die Normalenvektoren parallel, womit die Ebenen entweder parallel oder identisch sind. 3. Untersuchung auf Identität für Teilaufgabe a): Division der Gleichung von \(E_1\) durch \(3\) ergibt \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 4\). Multiplikation der Gleichung von \(E_2\) mit \(-1\) ergibt \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = -k\). Die Ebenen sind identisch, wenn \(4 = -k\), also \(k = -4\). 4. Analyse für Teilaufgabe b): Für \(k = 0\) lauten die vereinfachten Gleichungen \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 4\) und \(x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0\). Da die Normalenvektoren parallel sind, aber die rechten Seiten der (normierten) Gleichungen verschieden sind, besitzen die Ebenen keine gemeinsamen Punkte. Sie sind somit echt parallel.

a) Die Ebenen sind identisch für \(k = -4\). b) Für \(k = 0\) sind die Ebenen echt parallel (parallel und nicht identisch), da ihre Normalenvektoren kollinear sind, sie aber keinen gemeinsamen Punkt besitzen (die Gleichungen führen auf einen Widerspruch \(4 = 0\)).

- Setze die Ausdrücke für die Koordinaten aus der Parameterform in die Koordinatengleichung ein, genau wie bei einer Schnittpunktberechnung. - Was bedeutet es für die Lagebeziehung, wenn die Parameter in deiner Rechnung plötzlich wegfallen? - Überlege, welche Rolle die Zahl auf der rechten Seite der Koordinatengleichung für die Lage im Raum spielt. - Wann hat ein lineares Gleichungssystem keine Lösung und wann unendlich viele?

1. Einsetzen der Parameterdarstellung von \(E_2\) (\(x_1 = 1 + \lambda + \mu\), \(x_2 = 2 - 2\mu\), \(x_3 = 1 + \lambda\)) in die Koordinatengleichung von \(E_1\): \(2 \cdot (1 + \lambda + \mu) + (2 - 2\mu) - 2 \cdot (1 + \lambda) = d\). 2. Vereinfachen der linken Seite: \(2 + 2\lambda + 2\mu + 2 - 2\mu - 2 - 2\lambda = d\). 3. Zusammenfassen der Terme: Die Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) heben sich vollständig auf (\(2\lambda - 2\lambda = 0\) und \(2\mu - 2\mu = 0\)). Es bleibt die Bedingung: \(2 = d\). 4. Interpretation des Ergebnisses: Ist \(d = 2\), so ist die Gleichung für beliebige Werte von \(\lambda\) und \(\mu\) erfüllt. Jeder Punkt von \(E_2\) liegt also in \(E_1\), die Ebenen sind identisch. 5. Ist \(d \neq 2\), so ergibt sich ein Widerspruch (z. B. \(2 = 5\)), was bedeutet, dass kein Punkt von \(E_2\) in \(E_1\) liegt. Da die Richtungsvektoren von \(E_2\) senkrecht auf dem Normalenvektor von \(E_1\) stehen, verlaufen die Ebenen echt parallel.

Für \(d = 2\) sind die Ebenen identisch. Für \(d \neq 2\) sind die Ebenen echt parallel.

- Wie prüft man die Parallelität zweier Ebenen mithilfe ihrer Normalenvektoren? - Wie setzt man einen Punkt in eine Ebenengleichung ein? - Überlege, wie viele gemeinsame Punkte zwei verschiedene parallele Ebenen haben können. - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn eine Gleichung ein Vielfaches der anderen ist?

1. Vergleich der Normalenvektoren: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_{F_t} = \begin{pmatrix} 10 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_{F_t} = 2 \cdot \vec{n}_E\). Da die Normalenvektoren kollinear sind, sind die Ebenen für alle \(t\) parallel (oder identisch). 2. Punktprobe mit \(P(1|1|1)\) in \(F_t\): \(10 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = t \Rightarrow 10 - 4 + 2 = 8\). Somit ist \(t = 8\). 3. Für \(t = 8\) lautet die Gleichung \(F_8: 10x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 8\). Dividiert man diese Gleichung durch \(2\), erhält man \(5x_1 - 2x_2 + x_3 = 4\), was exakt der Gleichung von \(E\) entspricht. Die Ebenen \(F_8\) und \(E\) sind somit identisch. Alternativ: Da \(P(1|1|1)\) auch in \(E\) liegt (\(5-2+1=4\)) und die Ebenen parallel sind, müssen sie identisch sein.

1. Nachweis über Kollinearität der Normalenvektoren: \(\vec{n}_{F_t} = 2 \cdot \vec{n}_E\). 2. \(t = 8\) 3. Die Ebenen \(F_8\) und \(E\) sind identisch, da die Koordinatengleichung von \(F_8\) durch Multiplikation der Gleichung von \(E\) mit dem Faktor \(2\) entsteht (bzw. da sie parallel sind und einen gemeinsamen Punkt \(P\) besitzen).

- Untersuche zuerst, wann der Richtungsvektor überhaupt ein zulässiger Richtungsvektor einer Geraden ist. - Kannst du den Richtungsvektor so faktorisieren, dass eine feste Richtung sichtbar wird? - Welche zusätzliche Information neben parallelen Richtungen entscheidet hier, ob die Geraden nur parallel oder sogar identisch sind?

1. Der Richtungsvektor lässt sich als \(\begin{pmatrix}k-1\\2k-2\\0\end{pmatrix}=(k-1)\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) schreiben. 2. Für \(k=1\) wird der Richtungsvektor zum Nullvektor. Dann beschreibt die Gleichung nur den einzelnen Punkt \((1|2|0)\) und keine Gerade. 3. Für \(k\neq1\) ist der Richtungsvektor ein von null verschiedenes Vielfaches von \(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\). Da zudem alle Schargeraden denselben Stützpunkt besitzen, beschreiben sie dieselbe Gerade.

Für \(k=1\) liegt keine Gerade vor. Für alle \(k\neq1\) sind die Geraden \(g_k\) identisch.

- Was muss für die Ortsvektoren gelten, wenn sich zwei Geraden in einem Punkt treffen? - Versuche, ein Gleichungssystem für die Parameter der Geraden aufzustellen. - Welche Gleichungen enthalten die wenigsten Unbekannten? Beginne mit diesen. - Wie kannst du überprüfen, ob dein berechneter Parameter \(b\) tatsächlich zu einem Schnittpunkt führt?

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen \(g\) und \(h_b\), um den Schnittpunkt zu finden: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ b \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: I: \(2 + r = 4\) II: \(3 = b + s\) III: \(1 + 2r = 3 + s\) 3. Aus Gleichung I folgt direkt \(r = 2\). 4. Einsetzen von \(r = 2\) in Gleichung III: \(1 + 2 \cdot 2 = 3 + s \implies 5 = 3 + s \implies s = 2\). 5. Einsetzen von \(s = 2\) in Gleichung II zur Bestimmung von \(b\): \(3 = b + 2 \implies b = 1\). 6. Berechnung des Schnittpunktes durch Einsetzen von \(r = 2\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 3 + 0 \\ 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Für \(b = 1\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(4 \mid 3 \mid 5)\).

- Wann sind zwei Vektoren Vielfache voneinander? - Was sagt das Skalarprodukt zweier Richtungsvektoren über deren Winkel aus? - Unterscheide zwischen den Bedingungen für die Richtung der Geraden und ihrer Lage im Raum.

1. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Es muss also gelten: \(\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Komponente folgt \(2 = -4k\), also \(k = -0{,}5\). Einsetzen in die erste Komponente ergibt \(a = -0{,}5 \cdot 6 = -3\). Die Überprüfung der dritten Komponente (\(-3 = -0{,}5 \cdot 6\)) bestätigt die lineare Abhängigkeit für \(a = -3\). 2. Die Richtungsvektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Es muss gelten: \(\begin{pmatrix} a \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 0\). Dies führt zur Gleichung \(a \cdot 1 + 2 \cdot 4 + (-3) \cdot 2 = 0\). Vereinfacht ergibt sich \(a + 8 - 6 = 0\), woraus \(a = -2\) folgt.

1. \(a = -3\) 2. \(a = -2\)

- Welche Koordinate muss in der \(x_2x_3\)-Ebene immer den Wert Null haben? - Wie viele Koordinaten eines Punktes müssen Null sein, damit er auf einer Koordinatenachse liegt? - Nutze die Ergebnisse aus dem ersten Aufgabenteil, um die Bedingungen für den zweiten Teil schneller zu prüfen.

1. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(x_2x_3\)-Ebene wird die \(x_1\)-Koordinate der Geradengleichung gleich Null gesetzt: \(6 + 3\lambda = 0\). Dies liefert den Parameterwert \(\lambda = -2\). 2. Einsetzen von \(\lambda = -2\) in die übrigen Koordinatengleichungen: \(x_2 = k - 2 \cdot (-2) = k + 4\) und \(x_3 = k - 2 + (-2) = k - 4\). Der Schnittpunkt ist \(S_k(0 | k + 4 | k - 4)\). 3. Für einen Schnittpunkt mit der \(x_2\)-Achse müssen sowohl die \(x_1\)- als auch die \(x_3\)-Koordinate Null sein. Aus \(x_1 = 0\) folgt wie oben \(\lambda = -2\). 4. Bedingung \(x_3 = 0\) mit \(\lambda = -2\): \(k - 4 = 0 \implies k = 4\). 5. Berechnung der verbleibenden Koordinate \(x_2\) für \(k = 4\): \(x_2 = 4 + 4 = 8\). Der Schnittpunkt ist \(P(0 | 8 | 0)\).

a) \(S_k(0 | k + 4 | k - 4)\) b) \(k = 4\); Schnittpunkt \(P(0 | 8 | 0)\)

- Was bedeutet es für die Komponenten eines Richtungsvektors, wenn eine Gerade parallel zu einer Koordinatenebene verläuft? - Welche Koordinaten hat der Ursprung im dreidimensionalen Raum? - Überlege dir, welchen Wert der Parameter \(\mu\) annehmen muss, damit die \(x_3\)-Koordinate verschwindet.

1. Schnittpunkt mit der \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)): Aus \(1 - \mu = 0\) folgt \(\mu = 1\). Einsetzen in die anderen Koordinaten ergibt \(x_1 = 4 + 1 \cdot (c - 2) = c + 2\) und \(x_2 = c + 1 \cdot 2 = c + 2\). Der Punkt ist \(S_c(c + 2 | c + 2 | 0)\). 2. Nachweis Ursprung für \(c = -2\): Ein Punkt auf der Geraden ist der Ursprung, wenn alle drei Koordinaten Null werden können. Aus \(x_3 = 1 - \mu = 0\) folgt \(\mu = 1\). Für \(c = -2\) ergibt sich \(x_1 = 4 + 1 \cdot (-2 - 2) = 0\) und \(x_2 = -2 + 1 \cdot 2 = 0\). Da alle Koordinaten Null sind, verläuft \(h_{-2}\) durch \((0|0|0)\). 3. Parallelität zur \(x_2x_3\)-Ebene: Eine Gerade ist parallel zu dieser Ebene, wenn ihr Richtungsvektor keine Komponente in \(x_1\)-Richtung hat (Skalarprodukt mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist Null). Daraus folgt \(c - 2 = 0\), also \(c = 2\). Da der Stützpunkt \((4|2|1)\) nicht in der Ebene \(x_1 = 0\) liegt, ist die Gerade echt parallel.

a) \(S_c(c + 2 | c + 2 | 0)\) b) Für \(c = -2\) und \(\mu = 1\) ergibt sich der Punkt \((0 | 0 | 0)\). c) \(c = 2\), da in diesem Fall die \(x_1\)-Komponente des Richtungsvektors Null ist.

- Wann liefert eine Punktprobe ein eindeutiges Ergebnis für einen Parameter? - Stell dir eine Gerade im Raum vor. Wie viele Ebenen kannst du um diese Gerade „drehen“? - Welche zwei Vektoren eignen sich am besten als Richtungsvektoren für die Ebene? - Achte darauf, dass die gewählten Spannvektoren nicht kollinear (parallel) sind.

1. Bestimmung von \(k\): Setze den Ortsvektor von \(P\) mit \(g_k\) gleich. Aus der \(x\)-Komponente: \(10 = 4 + 2s \Rightarrow s = 3\). Aus der \(z\)-Komponente: \(-1 = 2 - s \Rightarrow s = 3\). Einsetzen von \(s=3\) in die \(y\)-Komponente: \(5 = k + 3 \Rightarrow k = 2\). Für \(k=2\) liegt \(P\) auf \(g_2\). 2. Geometrische Begründung: Wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, gibt es unendlich viele Ebenen (ein sogenanntes Ebenenbüschel), die diese Gerade und damit auch den Punkt enthalten. Eine eindeutige Ebene erfordert einen Punkt außerhalb der Geraden. 3. Parameterform für \(k=0\): Die Gerade ist \(g_0: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Punkt \(P(10|5|-1)\) liegt für \(k=0\) nicht auf der Geraden (da \(k=2\) die Bedingung für Inzidenz war). Als Stützvektor der Ebene dient \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). Als Spannvektoren dienen der Richtungsvektor der Geraden \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und der Verbindungsvektor vom Stützpunkt zu \(P\): \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 10-4 \\ 5-0 \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\). Da die Spannvektoren keine Vielfachen voneinander sind, bilden sie eine Ebene.

a) \(k = 2\) b) Wenn \(P\) auf \(g_k\) liegt, gibt es unendlich viele Ebenen, die beide enthalten. c) \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder eine dazu äquivalente Form).

- Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade in einer Ebene liegt? - Wie verhalten sich die Richtungsvektoren zueinander? - Was muss für den Stützpunkt der Geraden im Bezug auf die Ebene gelten? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter der Ebene zu bestimmen?

1. Überprüfung der Richtungsvektoren: Der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) lässt sich als Linearkombination der Spannvektoren der Ebene darstellen (\(1 \cdot \vec{v}_1 + 1 \cdot \vec{v}_2\)). Somit verläuft die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr. 2. Punktprobe mit dem Stützpunkt der Geraden: \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 3. Aufstellen des Gleichungssystems: I: \(3 = 1 + 2r\), II: \(2 = 1 + s\), III: \(a = 1 + r - s\). 4. Aus I folgt \(r = 1\), aus II folgt \(s = 1\). 5. Einsetzen in III: \(a = 1 + 1 - 1 = 1\). Damit die Gerade in der Ebene liegt, muss \(a = 1\) gelten.

\(a = 1\)

- Wie stehen der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist? - Mit welchem Rechenverfahren kannst du die Orthogonalität zweier Vektoren prüfen? - Welche Informationen liefert dir die Koordinatengleichung der Ebene direkt über ihre Lage im Raum?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\) aus der Koordinatengleichung: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ a \\ 3 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Normalenvektor der Ebene stehen. 3. Berechnung über das Skalarprodukt: \(\vec{u}_g \cdot \vec{n}_E = 0 \implies 2 \cdot 2 + a \cdot (-4) + 3 \cdot 2 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(4 - 4a + 6 = 0 \implies 10 - 4a = 0 \implies 4a = 10 \implies a = 2{,}5\). 5. Punktprobe zur Unterscheidung (optional): Einsetzen des Stützpunktes \((4|1|2)\) in die Ebenengleichung ergibt \(2 \cdot 4 - 4 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 8 \neq 5\), somit liegt die Gerade für \(a = 2{,}5\) echt parallel zur Ebene.

\(a = 2{,}5\)

- Wie stehen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft? - Was passiert, wenn du den Stützvektor der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt? - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Untersuchung der Lagebeziehung? - Gibt es einen speziellen Wert für \(k\), bei dem sich das Verhalten der Geraden grundlegend ändert?

1. Untersuchung der Parallelität über das Skalarprodukt von Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ k \end{pmatrix}\): \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 1 \cdot k = k - 1\). 2. Bedingung für Parallelität (\(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\)): Dies ist für \(k = 1\) erfüllt. In diesem Fall ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr. 3. Punktprobe für \(k = 1\): Einsetzen des Stützpunktes \(P(2|1|6)\) in die Ebene \(E\): \(3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 6 = 6 - 2 + 6 = 10\). Da \(10 = 10\) eine wahre Aussage ist, liegt der Stützpunkt in der Ebene. 4. Schlussfolgerung für \(k = 1\): Die Gerade \(g_1\) liegt vollständig in der Ebene \(E\). 5. Untersuchung für \(k \neq 1\): Da \(\vec{n} \cdot \vec{u} \neq 0\), ist der Richtungsvektor nicht orthogonal zum Normalenvektor. Folglich schneidet die Gerade \(g_k\) die Ebene \(E\) in genau einem Punkt.

Für \(k = 1\) liegt die Gerade \(g_1\) in der Ebene \(E\). Für alle \(k \neq 1\) schneidet die Gerade \(g_k\) die Ebene \(E\) in genau einem Punkt.

- Wann verläuft eine Gerade parallel zu einer Ebene? Betrachte dazu den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. - Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, muss jeder ihrer Punkte – also auch der Stützpunkt – die Ebenengleichung erfüllen. - Welche Rolle spielt das Skalarprodukt bei der Untersuchung der Orthogonalität von Vektoren?

1. Bestimmung des Richtungsvektors \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) der Geraden und des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) der Ebene. 2. Bedingung für Parallelität: Das Skalarprodukt von Richtungs- und Normalenvektor muss null sein: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot a + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = a + 4 = 0\). Daraus folgt \(a = -4\). 3. Bedingung für das Liegen in der Ebene: Der Stützpunkt \(P(1|2|1)\) der Geraden muss die Ebenengleichung erfüllen. Einsetzen von \(P\) und \(a = -4\) in \(E\): \(-4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = b\). 4. Berechnung von \(b\): \(-4 + 2 + 2 = 0\), also \(b = 0\).

\(a = -4\) und \(b = 0\)

- Wann verläuft eine Gerade parallel zu einer Ebene? Betrachte dazu den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden. - Welches Skalarprodukt hilft dir hier weiter? - Wenn du die Parallelität festgestellt hast, wie kannst du prüfen, ob die gesamte Gerade in der Ebene liegt oder einen Abstand zu ihr hat? - Genügt es, einen einzigen Punkt der Geraden zu prüfen?

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 3 \end{pmatrix}\) muss orthogonal zum Normalenvektor stehen. Das Skalarprodukt muss null sein: \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot a + (-2) \cdot 3 = 0\). 3. Berechnung von \(a\): \(3 + a - 6 = 0 \Rightarrow a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3\). 4. Überprüfung der Punktlage: Testen, ob der Stützpunkt \(P(2|6|1)\) der Geraden in der Ebene \(E\) liegt: \(3 \cdot 2 + 6 - 2 \cdot 1 = 6 + 6 - 2 = 10\). 5. Da die Gleichung \(10 = 10\) eine wahre Aussage ist, liegt der Stützpunkt in der Ebene. Für \(a=3\) verläuft die Gerade nicht nur parallel, sondern liegt vollständig in der Ebene \(E\).

Für \(a = 3\) verläuft die Gerade parallel zur Ebene. Da der Stützpunkt der Geraden in der Ebene liegt, ist die Gerade \(g_3\) in der Ebene \(E\) enthalten.

- Überlege dir, wie der Richtungsvektor der Geraden zum Normalenvektor der Ebene stehen muss, wenn die Gerade parallel zur Ebene liegt. - Wie hängen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden zusammen, wenn die Gerade senkrecht auf der Ebene steht? - Nutze das Skalarprodukt für den Nachweis von Orthogonalität zwischen Vektoren. - Prüfe bei der Untersuchung auf Parallelität von Vektoren (Linearität), ob ein gemeinsamer Streckungsfaktor für alle Komponenten existiert.

1. Normalenvektor der Ebene \(E\) bestimmen: \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität (\(g_a \parallel E\)): Das Skalarprodukt aus Richtungsvektor \(\vec{v}\) und Normalenvektor \(\vec{n}_E\) muss null sein: \(\begin{pmatrix} a \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 4a - 8 + 2 = 4a - 6 = 0\). 3. Gleichung lösen: \(4a = 6 \Rightarrow a = 1{,}5\). 4. Bedingung für Orthogonalität (\(g_a \perp E\)): Der Richtungsvektor \(\vec{v}\) muss ein Vielfaches des Normalenvektors \(\vec{n}_E\) sein: \(\begin{pmatrix} a \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Komponentenweise Prüfung: Aus der dritten Komponente folgt \(2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2\). Aus der zweiten Komponente folgt \(4 = k \cdot (-2) = 2 \cdot (-2) = -4\). Dies ist ein Widerspruch (\(4 \neq -4\)). 6. Ergebnis: Für \(a = 1{,}5\) ist die Gerade parallel zur Ebene; es existiert kein \(a\), für das die Gerade senkrecht zur Ebene steht.

Die Gerade \(g_a\) ist parallel zur Ebene \(E\) für \(a = 1{,}5\). Es gibt keinen Wert für \(a\), sodass die Gerade senkrecht auf der Ebene steht.

- Woran erkennst du im Koordinatensystem, in welche Richtung eine Ebene „zeigt“? - Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, was bedeutet das für die Lage des Stützpunkts der Geraden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Normalenvektor einer Ebene und der Ausrichtung einer senkrechten Geraden. - Verwende ein Gleichungssystem, um die Kollinearität von zwei Vektoren zu prüfen.

1. Normalenvektor der Ebene \(F\): \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Parallelität (\(h_k \parallel F\)): \(\vec{v} \cdot \vec{n}_F = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 + 2k + 8 = 2k + 10 = 0\). 3. Lösung für Teil a): \(2k = -10 \Rightarrow k = -5\). 4. Prüfung der Punktprobe für \(h_{-5}\) in \(F\): Stützpunkt \(P(2|1|4)\) in \(F\) einsetzen: \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 4 = 2 + 2 - 8 = -4\). Da \(-4 \neq 10\), liegt die Gerade nicht in der Ebene (sie ist echt parallel). 5. Orthogonalität (\(h_k \perp F\)): \(\vec{v} = m\vec{n}_F \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ -4 \end{pmatrix} = m\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 6. Lösung für Teil b): Aus der ersten Komponente folgt \(2 = m \cdot 1 \Rightarrow m = 2\). Einsetzen in die dritte Komponente: \(-4 = 2 \cdot (-2) = -4\) (wahr). Einsetzen in die zweite Komponente: \(k = 2 \cdot m = 2 \cdot 2 = 4\).

a) Für \(k = -5\) ist die Gerade \(h_k\) parallel zur Ebene \(F\). Sie liegt nicht in der Ebene. b) Für \(k = 4\) ist die Gerade \(h_k\) senkrecht zur Ebene \(F\).

- Wann steht der Richtungsvektor einer Geraden senkrecht auf einer Ebene? Betrachte dazu den Normalenvektor der Ebene. - Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Gerade eine Teilmenge einer Ebene ist? - Überprüfe zuerst, ob der Stützpunkt der Geraden überhaupt in der Ebene liegt. - Wie hängen die Richtungen von Gerade und Ebene zusammen, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft?

1. Für einen senkrechten Schnitt muss der Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} k \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) der Geraden ein Vielfaches des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) der Ebene sein: \(\begin{pmatrix} k \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Aus der zweiten Komponente folgt \(2 = c \cdot 1\), also \(c = 2\). Einsetzen in die erste Komponente ergibt \(k = 2 \cdot 2 = 4\). Die dritte Komponente ist mit \(-2 = 2 \cdot (-1)\) konsistent. Für \(k = 4\) schneiden sich \(g_k\) und \(E\) senkrecht. 3. Damit eine Gerade in einer Ebene liegt, muss erstens der Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor stehen: \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \implies 2k + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) = 2k + 4 = 0\). Dies ist für \(k = -2\) erfüllt. 4. Zweitens muss der Stützpunkt \(P(1|0|4)\) der Geraden in der Ebene liegen. Einsetzen in die Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + 0 - 4 - 6 = -8 \neq 0\). Da der Stützpunkt für kein \(k\) in der Ebene liegt, kann keine Gerade der Schar in \(E\) liegen.

a) \(k = 4\) b) Es gibt keinen solchen Wert für \(k\), da der Stützpunkt \(P(1|0|4)\) der Geradenschar nicht in der Ebene \(E\) liegt (\(-8 \neq 0\)).

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn sie alle den gleichen Wert haben? Wie kannst du das mathematisch ausdrücken? - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Was passiert mit der Gleichung, wenn du eine Bedingung für die Koordinaten einsetzt und die Variable am Ende wegfällt? - Welche mathematische Aussage deutet darauf hin, dass es keine Lösung für ein Problem gibt?

1. Für einen Punkt mit drei identischen Koordinaten gilt der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\). 2. Einsetzen des Ansatzes in die Ebenengleichung von \(E\): \(5a - 2a - a = 8\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(2a = 8\), woraus \(a = 4\) folgt. Der gesuchte Punkt ist \(P(4|4|4)\). 4. Für die Ebenenschar \(F_k\) führt der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\) zur Gleichung \(k \cdot a + (2-k) \cdot a - 2a = 12\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der linken Seite: \(ka + 2a - ka - 2a = 12\). 6. Dies führt unabhängig vom Wert von \(a\) und \(k\) auf die falsche Aussage \(0 = 12\), was bedeutet, dass kein solcher Punkt existiert.

a) \(P(4|4|4)\) b) Der Ansatz \(x_1 = x_2 = x_3 = a\) führt für alle \(k\) auf den Widerspruch \(0 = 12\).

- Welche Information über die Orientierung von \(E_k\) kannst du direkt aus ihrer Koordinatengleichung ablesen? - Welche Beziehung müssen die Normalen zweier paralleler beziehungsweise senkrechter Ebenen erfüllen? - Welche Bedingung verbindet den Richtungsvektor einer Geraden mit dem Normalenvektor einer zu ihr parallelen Ebene? - Woran erkennst du zusätzlich, ob eine zur Ebene parallele Gerade in der Ebene liegt oder echt parallel zu ihr ist?

1. Ein Normalenvektor von \(E_k\) ist \(\vec{n}_k=\begin{pmatrix}k\\1\\1\end{pmatrix}\), ein Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}\). Für Parallelität müssen die Normalen proportional sein. Aus den letzten beiden Komponenten folgt der Faktor \(-1\), also \(k=-1\). Dann lautet \(E_{-1}\) nach Multiplikation mit \(-1\): \(x_1-x_2-x_3=1\). Wegen der unterschiedlichen rechten Seiten sind \(E_{-1}\) und \(F\) nicht identisch, also echt parallel. 2. Ein Normalenvektor von \(G\) ist \(\vec{n}_G=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\). Senkrechte Ebenen haben orthogonale Normalenvektoren. Daher gilt \(\vec{n}_k\cdot\vec{n}_G=k+1-2=k-1=0\), also \(k=1\). 3. Der Richtungsvektor von \(g\) ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\). Für eine zur Ebene parallele Gerade muss \(\vec{u}\cdot\vec{n}_k=0\) gelten. Damit ist \(k-2=0\), also \(k=2\). Der Ursprung liegt nicht in \(E_2: 2x_1+x_2+x_3=2\); deshalb liegt \(g\) nicht in der Ebene, sondern ist echt parallel zu ihr.

a) \(k=-1\) b) \(k=1\) c) \(k=2\)

- Wann sind zwei Vektoren Vielfache voneinander? Betrachte die Komponenten, die keine Variablen enthalten. - Wenn du den Parameter \(k\) gefunden hast, wie unterscheidest du dann zwischen „parallel“ und „identisch“? - Reicht es aus, nur eine Komponente bei der Punktprobe zu prüfen?

1. Bedingung für Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ k \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -9 \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}\) müssen kollinear sein. Es muss gelten \(\vec{v} = m\vec{u}\). Vergleich der \(x\)-Komponenten: \(-9 = m \cdot 3 \Rightarrow m = -3\). Vergleich der \(z\)-Komponenten zur Kontrolle: \(6 = -3 \cdot (-2) = 6\) (erfüllt). Berechnung von \(k\): \(12 = -3k \Rightarrow k = -4\). Für \(k = -4\) sind die Geraden parallel oder identisch. 2. Punktprobe für Identität: Prüfe, ob der Stützpunkt \(A(1|2|0)\) von \(g_{-4}\) auf \(h\) liegt: \(1 = 4 - 9s \Rightarrow -3 = -9s \Rightarrow s = \frac{1}{3}\). Einsetzen in die \(y\)-Komponente: \(-1 + 12 \cdot \frac{1}{3} = -1 + 4 = 3\). Da die \(y\)-Koordinate des Stützpunkts \(A\) jedoch \(2\) ist (\(3 \neq 2\)), liegt der Punkt nicht auf \(h\). Somit sind die Geraden für \(k = -4\) echt parallel.

a) \(k = -4\) b) Für \(k = -4\) sind die Geraden echt parallel.

- Wann sind zwei Geraden identisch und was bedeutet das für ihre Richtungs- und Stützvektoren? - Kannst du einen Zusammenhang zwischen den beiden Richtungsvektoren erkennen? - Was passiert, wenn du versuchst, den Stützpunkt der einen Geraden in die Gleichung der anderen Geraden einzusetzen? - Überlege dir, welche Lagebeziehungen zwischen Geraden im Raum möglich sind, wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

1. Damit die Geraden identisch sind, müssen ihre Richtungsvektoren kollinear sein und der Stützpunkt von \(h_{a,b}\) muss auf \(g\) liegen. Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) sind kollinear, da \((-2) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). Für die Punktprobe des Stützpunkts gilt: \(\begin{pmatrix} a \\ 10 \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Zeile folgt \(10 = 1 + 3\lambda \Rightarrow \lambda = 3\). Einsetzen in die erste Zeile ergibt \(a = 2 + 3 = 5\). Einsetzen in die dritte Zeile ergibt \(b = -3 - 2 \cdot 3 = -9\). 2. Ein einzelner Schnittpunkt ist nur möglich, wenn die Richtungsvektoren linear unabhängig sind. Da hier die Richtungsvektoren für alle \(a, b\) linear abhängig (kollinear) sind, können die Geraden nur identisch oder echt parallel sein. In keinem dieser Fälle existiert genau ein Schnittpunkt.

1. \(a = 5\) und \(b = -9\) 2. Da die Richtungsvektoren kollinear sind (\(\vec{v}_h = -2 \cdot \vec{v}_g\)), sind die Geraden für alle \(a, b\) entweder parallel oder identisch. Ein einzelner Schnittpunkt setzt jedoch linear unabhängige Richtungsvektoren voraus.

- Was muss für die Ortsvektoren gelten, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Du hast drei Koordinatengleichungen, aber zunächst nur zwei Unbekannte in den Parametern der Geraden. Welche Gleichungen eignen sich am besten zum Starten? - Wie kannst du überprüfen, ob dein berechneter Parameter \(a\) tatsächlich zu einem Schnittpunkt führt? - Denke daran, dass der Schnittpunkt auf beiden Geraden liegen muss.

1. Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das lineare Gleichungssystem: I: \(3 + r = 1 + 3s\) II: \(1 - 2r = 7 + as\) III: \(4 + 2r = -2 - 2s\) 2. Aus I folgt \(r = 3s - 2\). Einsetzen in III ergibt \(4 + 2(3s - 2) = -2 - 2s\), woraus \(4 + 6s - 4 = -2 - 2s\) folgt. Dies vereinfacht sich zu \(8s = -2\), also \(s = -0{,}25\). 3. Einsetzen von \(s = -0{,}25\) in I ergibt \(r = 3 \cdot (-0{,}25) - 2 = -2{,}75\). 4. Einsetzen von \(r\) und \(s\) in II: \(1 - 2(-2{,}75) = 7 + a(-0{,}25) \Rightarrow 6{,}5 = 7 - 0{,}25a \Rightarrow -0{,}5 = -0{,}25a \Rightarrow a = 2\). 5. Berechnung des Schnittpunkts mit \(r = -2{,}75\) in \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - 2{,}75\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}25 \\ 6{,}5 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\).

a) \(a = 2\) b) \(S(0{,}25 \mid 6{,}5 \mid -1{,}5)\)

- Was muss für die Richtungsvektoren gelten, damit ein Schnittpunkt überhaupt möglich ist? - Wie kannst du die Parameter der Geraden berechnen, wenn du zunächst die Gleichung ignorierst, in der der unbekannte Parameter \(a\) vorkommt? - Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn du die gefundenen Werte für die Geradenparameter in die verbliebene Gleichung einsetzt? - Wie erhältst du aus den berechneten Parametern die Punktkoordinaten?

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems durch Gleichsetzen der Geradengleichungen: \(4 + 2r = a + s\), \(2 - r = 1 + 2s\) und \(1 + 3r = 5 - s\). 2. Verwendung der zweiten und dritten Gleichung zur Bestimmung der Parameter \(r\) und \(s\): Aus \(r = 1 - 2s\) und Einsetzen in die dritte Gleichung folgt \(1 + 3(1 - 2s) = 5 - s\), woraus sich \(s = -0{,}2\) und \(r = 1{,}4\) ergeben. 3. Einsetzen von \(r = 1{,}4\) und \(s = -0{,}2\) in die erste Gleichung, um \(a\) zu berechnen: \(4 + 2 \cdot 1{,}4 = a - 0{,}2 \Rightarrow 6{,}8 = a - 0{,}2 \Rightarrow a = 7\). 4. Berechnung des Schnittpunkts \(S\) durch Einsetzen von \(r = 1{,}4\) in die Gleichung von \(g\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 1{,}4 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6{,}8 \\ 0{,}6 \\ 5{,}2 \end{pmatrix}\).

Für \(a = 7\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(6{,}8 | 0{,}6 | 5{,}2)\).

- Überprüfe zunächst, ob die Geraden parallel sein können, indem du die Richtungsvektoren vergleichst. - Stelle ein Gleichungssystem auf, indem du die \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Koordinaten der Geraden gleichsetzt. - Nutze zwei der Gleichungen, um die Parameter der Geraden zu bestimmen, und setze diese in die dritte Gleichung ein, um die Bedingung für \(a\) zu finden. - Welche Lagebeziehung bleibt übrig, wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind und kein Schnittpunkt existiert?

1. Da die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander sind, können die Geraden nur schneidend oder windschief sein. 2. Gleichsetzen der Komponenten: (I) \(2 + \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -1\) (III) \(3 + 2\lambda = 2 + \mu \Rightarrow 3 + 2 \cdot (-1) = 2 + \mu \Rightarrow 1 = 2 + \mu \Rightarrow \mu = -1\) 3. Einsetzen von \(\lambda = -1\) und \(\mu = -1\) in (II): \(1 - (-1) = a + (-1) \Rightarrow 2 = a - 1 \Rightarrow a = 3\). 4. Für \(a = 3\) existiert ein Schnittpunkt. Einsetzen von \(\lambda = -1\) in \(g\) ergibt \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - 1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Für \(a \neq 3\) besitzt das System keine Lösung, daher sind die Geraden windschief.

Für \(a = 3\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(1|2|1)\). Für alle \(a \neq 3\) sind die Geraden windschief.

- Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Was bedeutet es für die Lage von zwei Geraden im Raum, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind? - Überlege dir, welche verschiedenen Lagebeziehungen zwei Geraden haben können und in welchen dieser Fälle sie eine Ebene festlegen. - Können zwei parallele Geraden windschief sein?

1. Zunächst werden die Richtungsvektoren der Geraden aufgestellt: \(\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{CD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ k-2 \end{pmatrix}\). Damit die Geraden parallel sind, müssen die Richtungsvektoren kollinear sein. Da die ersten beiden Komponenten bereits identisch sind, muss auch die dritte Komponente übereinstimmen: \(k - 2 = -1\), woraus \(k = 1\) folgt. 2. Wenn zwei Geraden parallel zueinander verlaufen, spannen sie stets eine eindeutige Ebene auf (sofern sie nicht identisch sind). Da alle vier Punkte auf diesen beiden parallelen Geraden liegen (\(A, B\) auf \(g\) und \(C, D\) auf \(h\)), liegen sie folglich in der durch die Geraden definierten Ebene. Ein Test auf Identität (Punktprobe von \(C\) auf \(g\)) zeigt \(0 = 1 + 2r \Rightarrow r = -0{,}5\) und \(4 = 1 + r \Rightarrow r = 3\), was einen Widerspruch ergibt; die Geraden sind also echt parallel und liegen somit in einer Ebene.

1. Die Geraden sind für \(k = 1\) parallel. 2. Da die Geraden \(g\) und \(h\) für \(k = 1\) parallel (und nicht identisch) sind, liegen sie in einer gemeinsamen Ebene. Da die Punkte \(A, B, C\) und \(D\) auf diesen Geraden liegen, sind sie komplanar.

- Was muss gelten, damit \(S\) in der Ebene liegt, die durch \(P, Q\) und \(R\) definiert wird? - Welche Form der Ebenengleichung eignet sich am besten, um eine fehlende Koordinate zu berechnen? - Wie berechnet man einen Vektor, der senkrecht auf zwei anderen Vektoren steht? - Was passiert mit der Variablen \(k\), wenn sie in eine Gleichung eingesetzt wird, in der eine Koordinate (hier \(x_2\)) gar nicht vorkommt?

1. Bestimmung der Normalenform oder Koordinatenform der Ebene durch \(P\), \(Q\) und \(R\): Spannvektoren: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 8 - (-2) \\ -(-4 - (-4)) \\ 1 - (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\). Vereinfachter Normalenvektor: \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Koordinatengleichung: \(2x_1 + x_3 = d\). Einsetzen von \(P(2|1|0)\) zur Bestimmung von \(d\): \(2 \cdot 2 + 0 = 4\). Die Ebene lautet \(E: 2x_1 + x_3 = 4\). 2. Einsetzen der Koordinaten von \(S(k|k|2)\) in die Ebenengleichung: \(2k + 2 = 4\) 3. Auflösen nach \(k\): \(2k = 2 \Rightarrow k = 1\).

Der Punkt \(S\) liegt für \(k = 1\) in der gemeinsamen Ebene mit \(P\), \(Q\) und \(R\).

- Welche Information über die Lage der Ebene liefert der Normalenvektor in der Koordinatenform? - Wann sind zwei Vektoren parallel (kollinear)? - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob ein Punkt einer Ebene in Parameterform auch in einer Ebene in Koordinatenform liegt? - Was unterscheidet identische Ebenen von echt parallelen Ebenen in Bezug auf ihre Gleichungen?

1. Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \( E_2 \) ergibt \( \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} \). 2. Ablesen des Normalenvektors von \( E_1 \): \( \vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ a \end{pmatrix} \). 3. Bedingung für Parallelität: \( \vec{n}_1 \) muss ein Vielfaches von \( \vec{n}_2 \) sein. Durch Vergleich der ersten beiden Komponenten ergibt sich der Faktor \( k = 1 \). Damit muss \( a = -3 \) gelten. 4. Identitätsprüfung für \( a = -3 \): Einsetzen des Stützpunktes \( P(1|0|1) \) von \( E_2 \) in die Gleichung von \( E_1 \): \( 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = 2 - 3 = -1 \). 5. Da \( -1 \neq 8 \), liegt der Punkt nicht in \( E_1 \). 6. Ergebnis: Für \( a = -3 \) sind die Ebenen echt parallel.

Für \( a = -3 \) sind die Ebenen parallel. Da der Stützpunkt von \( E_2 \) die Gleichung von \( E_1 \) nicht erfüllt, sind sie echt parallel.

- Welche Bedingung muss für die Vektoren gelten, damit eine Gerade parallel zu einer Ebene ist? - Hängt die Ausrichtung der Geraden in diesem Fall vom Parameter \(a\) ab? - Wie gehst du vor, um zu prüfen, ob eine ganze Gerade in einer Ebene liegt? - Wie stellst du eine Gerade auf, die durch den Koordinatenursprung geht?

1. Teilaufgabe a): Der Normalenvektor der Ebene ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Richtungsvektor der Geradenschar ist \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 = 0\) ist für alle \(a\) gleich null, woraus Parallelität oder Enthaltensein folgt. 2. Teilaufgabe b): Damit \(g_a \subset E\) gilt, muss der Stützpunkt \(P(a|2|1)\) die Ebenengleichung erfüllen: \(a + 2 + 2 \cdot 1 = 6 \Rightarrow a + 4 = 6 \Rightarrow a = 2\). 3. Teilaufgabe c): Die Gerade \(h\) hat die Gleichung \(\vec{x} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Einsetzen der Komponenten \(x_1=s, x_2=s, x_3=s\) in \(E\): \(s + s + 2s = 6 \Rightarrow 4s = 6 \Rightarrow s = 1{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

a) Da \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\), ist jede Gerade der Schar parallel zu \(E\) oder liegt in \(E\). b) Für \(a = 2\) liegt die Gerade \(g_a\) in der Ebene \(E\). c) Der Schnittpunkt ist \(S(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

- Wie stehen der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueinander, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft? - Wie kannst du prüfen, ob ein einzelner Punkt der Geraden die Ebenengleichung erfüllt? - Um einen Schnittpunkt zu finden, kannst du die Koordinaten der Geraden in die Koordinatenform der Ebene einsetzen.

1. Bestimmung des Normalenvektors der Ebene \(E\): \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität: Das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden \(\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}\) muss null sein: \(2a + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = 2a - 2 = 0\). Daraus folgt \(a = 1\). 3. Überprüfung der Lage für \(a = 1\): Punktprobe mit dem Stützpunkt \(P(1|1|1)\) der Geraden in der Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 2\). Da \(2 \neq 5\), liegt der Punkt nicht in der Ebene, die Gerade ist also echt parallel. 4. Schnittpunktberechnung für \(a = 0\): Einsetzen der allgemeinen Geradenpunkte \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1 + 2t\), \(x_3 = 1 + 4t\) in die Ebenengleichung: \(2 \cdot 1 + (1 + 2t) - (1 + 4t) = 5\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(2 + 1 + 2t - 1 - 4t = 5 \Rightarrow 2 - 2t = 5 \Rightarrow -2t = 3 \Rightarrow t = -1{,}5\). 6. Einsetzen von \(t = -1{,}5\) in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt \(S(1 | -2 | -5)\).

a) \(a = 1\) b) Die Gerade ist echt parallel, da der Stützpunkt \(P(1|1|1)\) nicht in der Ebene liegt (\(2 \neq 5\)). c) Der Schnittpunkt ist \(S(1 | -2 | -5)\).

- Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen. - Vergleiche die Koeffizienten von \(x_1\) und \(x_2\), um den Proportionalitätsfaktor zwischen den Ebenen zu finden. - Was muss für die rechte Seite der Gleichung gelten, damit jeder Punkt der einen Ebene auch auf der anderen liegt?

1. Parallelität bestimmen: Damit die Ebenen parallel sind, müssen die Normalenvektoren \(\vec{n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ t \end{pmatrix}\) kollinear sein. Der Vergleich der ersten beiden Komponenten ergibt den Streckungsfaktor \(k = 3\) (da \(9 = 3 \cdot 3\) und \(6 = 3 \cdot 2\)). Daraus folgt für die dritte Komponente: \(t = 3 \cdot (-4) = -12\). 2. Identität bestimmen: Damit die Ebenen identisch sind, muss die gesamte Gleichung von \(F\) das 3-fache der Gleichung von \(E\) sein. Für die rechte Seite bedeutet das: \(s = 3 \cdot 6 = 18\). 3. Fallprüfung für \(t = -12, s = 10\): Für \(t = -12\) sind die Normalenvektoren kollinear (Parallelität ist gegeben). Da jedoch \(s = 10 \neq 18\) gilt, ist das Verhältnis der rechten Seiten nicht gleich dem Verhältnis der Normalenvektoren. Folglich sind die Ebenen echt parallel.

a) \(t = -12\) b) \(s = 18\) c) Für \(t = -12\) und \(s = 10\) sind die Ebenen echt parallel, da die Normalenvektoren zwar Vielfache voneinander sind (\(\vec{n}_F = 3\vec{n}_E\)), die Konstante \(s = 10\) aber nicht das Dreifache der Konstanten von \(E\) (\(3 \cdot 6 = 18\)) ist.

- Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Wie hängen die Koeffizienten einer Ebenengleichung mit ihrem Normalenvektor zusammen? - Überlege dir, was passieren muss, damit zwei Gleichungen dieselbe Ebene beschreiben. - Was unterscheidet zwei echt parallele Ebenen von zwei identischen Ebenen in ihrer Koordinatenform? - Wenn zwei Ebenen im Raum nicht parallel sind, wie liegen sie dann zueinander?

1. Aufstellen der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} a \\ 6 \\ b \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Parallelität oder Identität ist die Kollinearität der Normalenvektoren: \(\vec{n}_2 = k \cdot \vec{n}_1\). 3. Berechnung des Skalierungsfaktors \(k\) über die \(x_2\)-Koordinate: \(6 = k \cdot (-4) \Rightarrow k = -1{,}5\). 4. Berechnung der fehlenden Koeffizienten für die Parallelität: \(a = -1{,}5 \cdot 6 = -9\) und \(b = -1{,}5 \cdot 2 = -3\). 5. Untersuchung der Konstanten für Identität (a): \(c = k \cdot 12 = -1{,}5 \cdot 12 = -18\). Die Ebenen sind identisch für \(a = -9, b = -3, c = -18\). 6. Untersuchung für echte Parallelität (b): Die Normalenvektoren müssen kollinear sein, aber die Konstante darf nicht proportional sein. Dies gilt für \(a = -9, b = -3\) und \(c \neq -18\). 7. Untersuchung für den Schnitt (c): Die Normalenvektoren dürfen nicht kollinear sein. Dies ist der Fall, wenn \(a \neq -9\) oder \(b \neq -3\). Der Wert von \(c\) spielt hierbei keine Rolle.

a) \(a = -9\), \(b = -3\), \(c = -18\) b) \(a = -9\), \(b = -3\), \(c \neq -18\) c) \(a \neq -9\) oder \(b \neq -3\) (mit beliebigem \(c \in \mathbb{R}\))

- Was bedeutet Parallelität zwischen Gerade und Ebene für das Verhältnis von Richtungs- und Normalenvektor? - Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Wenn eine Gerade senkrecht auf einer Ebene steht, welche Beziehung haben dann der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene zueinander? - Überprüfe bei Teilaufgabe b), ob alle Komponenten des Richtungsvektors ein Vielfaches des Normalenvektors sein können.

1. Teilaufgabe a): Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn ihr Richtungsvektor \(\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) orthogonal zum Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\) der Ebene ist. 2. Bedingung für Orthogonalität: \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow a \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = 0\). 3. Lösen der Gleichung: \(2a + 4 - 6 = 0 \Rightarrow 2a - 2 = 0 \Rightarrow a = 1\). 4. Teilaufgabe b): Damit die Gerade orthogonal zur Ebene steht, muss der Richtungsvektor \(\vec{u}\) kollinear zum Normalenvektor \(\vec{n}\) sein, d. h. \(\vec{u} = k\vec{n}\). 5. Aufstellen des Gleichungssystems: \(a = 2k\), \(1 = 4k\), \(2 = -3k\). 6. Aus der zweiten Gleichung folgt \(k = 0{,}25\). Aus der dritten Gleichung folgt \(k = -\frac{2}{3}\). 7. Da \(0{,}25 \neq -\frac{2}{3}\), gibt es kein \(k\) und somit kein \(a\), das die Bedingung erfüllt.

a) Für \(a = 1\) verläuft die Gerade parallel zur Ebene. b) Eine orthogonale Lage erfordert Kollinearität von Richtungs- und Normalenvektor (\(\vec{u} = k\vec{n}\)). Das resultierende Gleichungssystem (\(1 = 4k\) und \(2 = -3k\)) führt zu einem Widerspruch, weshalb kein solches \(a\) existiert.

- Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt in einer Ebene liegt? - Wenn eine Gleichung für alle Werte eines Parameters gelten soll, was bedeutet das für die Terme, die mit dem Parameter multipliziert werden? - Der Normalenvektor einer Ebene, die auf zwei anderen Ebenen senkrecht steht, lässt sich über das Kreuzprodukt finden. - Um zu zeigen, dass eine bestimmte Ebene Teil einer Schar ist, kannst du die Normalenvektoren vergleichen oder versuchen, den Parameter \(t\) direkt zu berechnen.

1. Orthogonalität: \(\vec{n}_F \cdot \vec{n}_t = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ t-1 \\ -t \end{pmatrix} = 1 + t - 1 - t = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, sind alle \(\mathbb{F}_t\) orthogonal zu \(\mathbb{F}\). Der Ursprung \(O(0|0|0)\) erfüllt \(0 + (t-1) \cdot 0 - t \cdot 0 = 0\) für alle \(t\). 2. Gemeinsame Schnittmenge: Sortieren nach \(t\): \(x_1 - x_2 + t \cdot (x_2 - x_3) = 0\). Alle Ebenen schneiden sich in der Geraden \(s\), definiert durch \(x_1 - x_2 = 0\) und \(x_2 - x_3 = 0\), also \(x_1 = x_2 = x_3\). Dies ergibt \(s: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung von \(\mathbb{E}^*\): Der Normalenvektor \(\vec{n}^*\) muss orthogonal zu \(\vec{n}_F = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) sein. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(O \in \mathbb{E}^*\), lautet die Gleichung \(\mathbb{E}^*: x_1 - x_2 = 0\). 4. Zugehörigkeit zur Schar: Vergleich der Normalenvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ t-1 \\ -t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Dies liefert \(t-1 = -1 \Rightarrow t=0\) und \(-t=0 \Rightarrow t=0\). Für \(t=0\) ergibt die Schargleichung \(x_1 - x_2 = 0\), was exakt \(\mathbb{E}^*\) entspricht.

a) Alle Ebenen schneiden sich in der Geraden \(s: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). b) \(\mathbb{E}^*: x_1 - x_2 = 0\) c) Die Ebene gehört zur Schar für den Parameterwert \(t = 0\).

- Wie kannst du die Punktkoordinaten einer Ebene in Parameterform in die Koordinatengleichung einer anderen Ebene einsetzen? - Erinnere dich an die Formel für den Winkel zwischen zwei Normalenvektoren. - Wie berechnet man einen Normalenvektor, wenn zwei Spannvektoren einer Ebene bekannt sind? - Überlege, was das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor einer Geraden und dem Normalenvektor einer Ebene über deren gegenseitige Lage aussagt. - Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene ist, wie findest du heraus, ob sie in der Ebene liegt oder einen Abstand zu ihr hat?

1. Zur Bestimmung der Schnittgeraden \(g\) wird die Parameterform von \(E_2\) in die Koordinatengleichung von \(E_1\) eingesetzt: \((1+r) + (-r+s) = 2 \Rightarrow 1+s = 2 \Rightarrow s = 1\). Einsetzen von \(s=1\) in \(E_2\) liefert \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Der Normalenvektor von \(E_1\) ist \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor von \(E_2\): \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Der Schnittwinkel berechnet sich über \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|-3-2+0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{28}} \approx 0{,}9449\). Dies ergibt \(\alpha \approx 19{,}11^\circ\). 4. Für die Lage von \(g\) zu \(H_a\) wird das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor von \(g\) und dem Normalenvektor \(\vec{n}_{H_a} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1-a \end{pmatrix}\) berechnet: \(\vec{v}_g \cdot \vec{n}_{H_a} = 1 \cdot a - 1 \cdot 1 + 1 \cdot (1-a) = a - 1 + 1 - a = 0\). Da das Skalarprodukt für alle \(a\) Null ist, verläuft \(g\) stets parallel zu \(H_a\) oder liegt in \(H_a\). 5. Prüfung eines Punktes von \(g\), z. B. \(P(1|1|3)\), in \(H_a\): \(a \cdot 1 + 1 + (1-a) \cdot 3 = a + 1 + 3 - 3a = 4 - 2a\). Die Bedingung \(4 - 2a = 4\) ist nur für \(a = 0\) erfüllt. 6. Ergebnis: Für \(a = 0\) liegt die Gerade \(g\) in der Ebene \(H_0\). Für \(a \neq 0\) ist die Gerade \(g\) echt parallel zur Ebene \(H_a\).

a) Schnittgerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\); Schnittwinkel \(\alpha \approx 19{,}11^\circ\). b) Für \(a = 0\) liegt die Gerade \(g\) in der Ebene \(H_0\) (\(g \subset H_0\)). Für alle \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) ist die Gerade \(g\) echt parallel zur Ebene \(H_a\) (\(g \parallel H_a\)).

- Behandle den Parameter \(k\) zunächst wie eine Unbekannte in einer der Gleichungen. - Nutze die Gleichungen, in denen \(k\) nicht vorkommt, um die Werte für \(r\) und \(s\) zu berechnen. - Wie muss \(k\) gewählt werden, damit die verbleibende Gleichung keine Widersprüche erzeugt?

1. Aufstellen des Gleichungssystems durch Gleichsetzen \(\vec{g}(r) = \vec{h}_k(s)\): (I) \(2 + r = 4 + 2s \Rightarrow r - 2s = 2\) (II) \(1 + r = 3 + s \Rightarrow r - s = 2\) (III) \(2r = k\) 2. Subtraktion von (I) von (II) liefert: \((r - s) - (r - 2s) = 2 - 2 \Rightarrow s = 0\). 3. Einsetzen von \(s = 0\) in (II) ergibt \(r = 2\). 4. Bestimmung von \(k\) mithilfe von Gleichung (III): \(k = 2 \cdot r = 2 \cdot 2 = 4\). 5. Berechnung des Schnittpunkts \(S\) mit \(r = 2\): \(\vec{x}_S = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).

Für \(k = 4\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(4|3|4)\).

- Untersuche zuerst, ob die Geraden jemals parallel sein können. - Bestimme die Parameter der Geraden mithilfe der Zeilen, die keinen Parameter \(a\) enthalten. - Welche Bedingung muss für \(a\) gelten, damit die verbleibende Gleichung ebenfalls erfüllt ist? - Was passiert geometrisch, wenn das System für ein bestimmtes \(a\) keine Lösung hat?

Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}^\top\) und \(\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}^\top\) sind nicht kollinear, da die \(z\)-Komponente des zweiten Vektors null ist, die des ersten jedoch nicht. Die Geraden sind also für alle \(a\) entweder schneidend oder windschief. Das Gleichungssystem aus dem Gleichsetzen lautet: 1) \(1 + \lambda = a + 3\mu\) 2) \(4 - 2\lambda = 2 + 2\mu\) 3) \(3 + 2\lambda = 1\) Aus 3) folgt \(2\lambda = -2\), also \(\lambda = -1\). Einsetzen in 2) ergibt \(4 - 2(-1) = 2 + 2\mu\), woraus \(6 = 2 + 2\mu\) und somit \(\mu = 2\) folgt. Damit sich die Geraden schneiden, muss 1) erfüllt sein: \(1 + (-1) = a + 3(2)\), was zu \(0 = a + 6\), also \(a = -6\) führt. Für \(a = -6\) liegt ein Schnittpunkt vor, der durch Einsetzen von \(\lambda = -1\) in \(g\) berechnet wird: \(S(0|6|1)\). Für alle \(a \neq -6\) ist das System unlösbar, die Geraden sind dann windschief.

Für \(a = -6\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(0|6|1)\). Für \(a \neq -6\) sind die Geraden windschief.

- Beginne damit, die Geradengleichungen komponentenweise gleichzusetzen. - Welche der drei Gleichungen enthalten zunächst nur die Parameter \(r\) und \(s\)? - Nutze die Gleichungen, die unabhängig von \(a\) sind, um die Werte für die Parameter zu finden. - Setze die gefundenen Parameter in die verbleibende Gleichung ein, um die Bedingung für \(a\) zu erfüllen.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Gleichsetzen der Geradengleichungen: \(4 + r = 1 + 2s\) (I) \(a + 2r = 1 + s\) (II) \(3 + r = 2\) (III) 2. Bestimmung von \(r\) aus (III): \(r = 2 - 3 = -1\). 3. Bestimmung von \(s\) durch Einsetzen von \(r = -1\) in (I): \(4 - 1 = 1 + 2s \Rightarrow 3 = 1 + 2s \Rightarrow 2 = 2s \Rightarrow s = 1\). 4. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen von \(r = -1\) und \(s = 1\) in (II): \(a + 2(-1) = 1 + 1 \Rightarrow a - 2 = 2 \Rightarrow a = 4\). 5. Berechnung des Schnittpunktes für \(a = 4\): Einsetzen von \(s = 1\) in \(h\) ergibt \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Die Geraden schneiden sich für \(a = 4\). Der Schnittpunkt lautet \(S(3 | 2 | 2)\).

- Nutze die Gleichungen der \(x\)- und \(z\)-Koordinaten, um die Parameter der Geraden zu bestimmen, da diese unabhängig von \(a\) sind. - Überprüfe dein Ergebnis für \(a\), indem du die berechneten Parameter in die Gleichung für die \(y\)-Koordinate einsetzt. - Wie hängen die Richtungsvektoren mit der Eigenschaft „parallel“ zusammen? Hängt diese Eigenschaft vom Stützvektor (und damit von \(a\)) ab? - Erinnere dich an die vier möglichen Lagebeziehungen von Geraden im Raum und schließe nacheinander aus.

1. Teilaufgabe a): Gleichsetzen der Geradengleichungen liefert das LGS: (I) \(4+\lambda = 2+3\mu\), (II) \(2\lambda = a+2\mu\), (III) \(3-\lambda = 1+\mu\). Aus (I) \(\lambda-3\mu = -2\) und (III) \(\lambda+\mu = 2\) folgt durch Subtraktion \(-4\mu = -4 \Rightarrow \mu = 1\). Einsetzen in (III) ergibt \(\lambda = 1\). Einsetzen von \(\lambda, \mu\) in (II) ergibt \(2(1) = a + 2(1) \Rightarrow a = 0\). Der Schnittpunkt für \(a=0\) ergibt sich durch Einsetzen von \(\lambda=1\) in \(g\): \(S(5|2|2)\). 2. Teilaufgabe b): Die Richtungsvektoren \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind nicht kollinear, da kein Faktor \(k\) existiert mit \(k \cdot 1 = 3\) und \(k \cdot 2 = 2\) (wäre \(k=3\) und \(k=1\)). Die Parallelität ist somit für alle \(a\) ausgeschlossen. 3. Teilaufgabe c): Da die Richtungsvektoren nie parallel sind und ein Schnittpunkt nur für \(a=0\) existiert, müssen die Geraden für alle anderen Werte von \(a\) windschief sein.

a) Für \(a = 0\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(5|2|2)\). b) Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear (keine Vielfachen voneinander). c) Für \(a \neq 0\) sind die Geraden windschief, da sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt besitzen.

- Beginne damit, die Richtungsvektoren auf Kollinearität zu prüfen. Von welchem Wert für \(k\) hängt das ab? - Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, musst du prüfen, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. - Wenn die Richtungsvektoren nicht parallel sind, gibt es zwei Möglichkeiten: Schnittpunkt oder windschief. - Was sagt die \(z\)-Koordinate der Gleichungssysteme über mögliche Schnittpunkte aus?

1. Prüfung auf Parallelität der Richtungsvektoren: \(\begin{pmatrix} k+1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = c \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Komponente folgt \(c = 1\). Damit muss \(k+1 = 2\) gelten, also \(k = 1\). 2. Fall \(k = 1\): Die Richtungsvektoren sind identisch. Prüfung auf Identität durch Punktprobe: Ist der Stützvektor \((3|1|1)^T\) von \(f_1\) auf \(g\)? \(\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Aus der zweiten Zeile folgt \(r = 1\). Dies erfüllt auch die erste (\(1 + 2 \cdot 1 = 3\)) und dritte Zeile (\(1 = 1\)). Also sind die Geraden für \(k = 1\) identisch. 3. Fall \(k \neq 1\): Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Gleichsetzen der Geraden: \(1 + 2r = 3 + s(k+1)\), \(r = 1 + s\) und \(1 = k\). Da \(k \neq 1\) vorausgesetzt ist, widerspricht die dritte Zeile dem Gleichungssystem. Es gibt keinen Schnittpunkt. Da die Richtungsvektoren nicht parallel sind und kein Schnittpunkt existiert, sind die Geraden windschief.

Für \(k = 1\) sind die Geraden identisch. Für \(k \neq 1\) sind die Geraden windschief.

- Was bedeutet es rechnerisch für das Gleichungssystem, wenn sich zwei Geraden schneiden? - Beginne mit den Gleichungen, die den Parameter \(a\) nicht enthalten, um die Werte für \(\lambda\) und \(\mu\) zu finden. - Welche Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es, wenn zwei Geraden nicht parallel sind?

1. Überprüfung auf Parallelität: Die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen voneinander. Die Geraden sind also für kein \(a\) parallel oder identisch. 2. Schnittbedingung aufstellen: Gleichsetzen der Komponenten liefert: (I) \(2 + \lambda = 2\mu\) (II) \(-1 + 2\lambda = a + \mu\) (III) \(3 = 1 + 2\mu\) 3. Parameter berechnen: Aus (III) folgt \(2\mu = 2\), also \(\mu = 1\). Einsetzen in (I) ergibt \(2 + \lambda = 2\), also \(\lambda = 0\). 4. Parameter \(a\) bestimmen: Einsetzen von \(\lambda = 0\) und \(\mu = 1\) in (II) ergibt \(-1 + 2(0) = a + 1 \implies -1 = a + 1 \implies a = -2\). 5. Schlussfolgerung für \(a \neq -2\): Da die Richtungsvektoren nicht parallel sind und für \(a \neq -2\) kein Schnittpunkt existiert, müssen die Geraden windschief sein.

Für \(a = -2\) schneiden sich die Geraden im Punkt \(S(2|-1|3)\). Für \(a \neq -2\) sind die Geraden windschief.

- Wann genau bilden ein Punkt und eine Gerade keine Ebene? Überlege, wie sie zueinander liegen könnten. - Für die Parameterform kannst du den Richtungsvektor der Geraden direkt übernehmen. Welchen zweiten Vektor benötigst du? - Wie hängen der Normalenvektor und das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren zusammen? - Was ist der Unterschied zwischen der Normalenform und der Parameterform?

1. Bedingung für keine eindeutige Ebene: Eine Ebene ist nur dann eindeutig definiert, wenn der Punkt nicht auf der Geraden liegt. Punktprobe \(S_k \in g\): \(4 = 2\lambda \implies \lambda = 2\). Einsetzen in die dritte Komponente: \(4 = 2 + 2\) (wahr). Einsetzen in die zweite Komponente: \(k = 4 - 2 \cdot 2 = 0\). Für \(k = 0\) liegt der Punkt auf der Geraden. 2. Parameterform für \(k=2\): Stützvektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\), Richtungsvektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \vec{OS_2} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Normalenvektor berechnen: Das Kreuzprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Vereinfacht (durch \(-2\)) ergibt sich \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Normalengleichung: \(\left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) (entspricht \(x_1 - 2x_3 = -4\)).

a) Für \(k = 0\) wird keine eindeutige Ebene definiert, da der Punkt \(S_0\) auf der Geraden \(g\) liegt. b) Parameterform: \(E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\); Normalengleichung: \(E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 0\) (oder eine dazu äquivalente Form).

- Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren denselben zweidimensionalen Unterraum aufspannen. - Stelle ein Gleichungssystem auf, um zu prüfen, wann die Richtungsvektoren der einen Ebene durch die der anderen ausgedrückt werden können. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die Ebenen eventuell sogar alle Punkte gemeinsam haben. - Was muss gelten, damit eine Ebene in einer anderen enthalten ist?

1. Bedingung für Parallelität: Die Richtungsvektoren von \(F\) müssen als Linearkombination der Richtungsvektoren von \(E\) darstellbar sein. 2. Erster Richtungsvektor von \(F\): \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{pmatrix} + m \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Aus der ersten Komponente folgt \(k = 2\). Die dritte Komponente ergibt \(5 = 2 \cdot 2 + m \implies m = 1\). Die zweite Komponente liefert \(3 = 2a + 1 \implies a = 1\). 3. Zweiter Richtungsvektor von \(F\): \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} = k' \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + m' \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (unter Verwendung von \(a=1\)). Die erste Komponente ergibt \(k' = 1\). Die zweite ergibt \(0 = 1 + m' \implies m' = -1\). Die dritte ergibt \(b = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \implies b = 1\). 4. Somit sind die Ebenen für \(a = 1\) und \(b = 1\) parallel. 5. Identitätsprüfung (Punktprobe): Prüfe, ob \(P_F(2|0|3)\) in \(E\) liegt: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 6. Erste Zeile: \(1 + r = 2 \implies r = 1\). Zweite Zeile: \(1 + 1 + s = 0 \implies s = -2\). Dritte Zeile: \(1 + 2(1) + (-2) = 1\). Da \(1 \neq 3\), liegt der Punkt nicht in \(E\). 7. Ergebnis: Für \(a = 1, b = 1\) sind die Ebenen echt parallel.

Die Ebenen sind für \(a = 1\) und \(b = 1\) zueinander parallel. Für diese Werte sind sie echt parallel.

- Schau dir die Koeffizienten der Variablen in den drei Gleichungen genau an. Fällt dir ein Zusammenhang zwischen den ersten beiden und der dritten Gleichung auf? - Was bedeutet es für die Lösbarkeit eines Systems, wenn eine Gleichung eine Kombination der anderen ist, das Ergebnis auf der rechten Seite aber nicht dazu passt? - Erinnere dich an die verschiedenen Möglichkeiten, wie drei Ebenen im Raum liegen können, wenn ihre Normalenvektoren in einer Ebene liegen (komplanar sind). - Wie viele gemeinsame Punkte können drei Ebenen haben, wenn das Gleichungssystem keine Lösung liefert?

1. Prüfung der Normalenvektoren: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Es fällt auf, dass \(\vec{n}_1 + \vec{n}_2 = \vec{n}_3\) gilt. Die Normalenvektoren sind somit linear abhängig, aber keine zwei Vektoren sind kollinear (die Ebenen sind also nicht parallel). 2. Anwendung des Additionsverfahrens auf die Gleichungen: Addiert man die Gleichungen von \(E_1\) und \(E_2\), erhält man \((1+2)x_1 + (-1+3)x_2 + (2-1)x_3 = 3+1\), also \(3x_1 + 2x_2 + x_3 = 4\). 3. Fallunterscheidung für \(k\): - Fall \(k = 4\): Die Gleichung von \(E_3\) ist identisch mit der Summe der Gleichungen von \(E_1\) und \(E_2\). Das Gleichungssystem hat den Rang 2 und somit unendlich viele Lösungen. Geometrisch bedeutet dies, dass sich alle drei Ebenen in einer gemeinsamen Schnittgeraden schneiden (Ebenenbüschel). - Fall \(k \neq 4\): Die linke Seite der Gleichung von \(E_3\) entspricht der Summe von \(E_1\) und \(E_2\), aber die rechte Seite unterscheidet sich (\(k \neq 4\)). Das Gleichungssystem ist widersprüchlich und besitzt keine Lösung. Geometrisch liegen drei Schnittgeraden vor, die alle parallel zueinander verlaufen (Prismenfall).

Für \(k = 4\) besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen; die drei Ebenen schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden (Ebenenbüschel). Für \(k \neq 4\) besitzt das Gleichungssystem keine Lösung; die Ebenen schneiden sich paarweise in drei echt parallelen Geraden (Prismenfall).

- Wie hängen die Normalenvektoren zweier Ebenen mit dem Richtungsvektor ihrer Schnittgeraden zusammen? - Nutze das Vektorprodukt, um einen allgemeinen Ausdruck für die Richtung der Schnittgeraden in Abhängigkeit von \( k \) zu finden. - Wann sind zwei Vektoren parallel zueinander? - Vergleiche die Komponenten der Vektoren, um eine Gleichung für \( k \) aufzustellen.

1. Aufstellen der Normalenvektoren: \( \vec{n}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{n}_{F,k} = \begin{pmatrix} k \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \). 2. Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt als allgemeinen Richtungsvektor der Schnittgeraden \( \vec{v}_k = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot k - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - 2 \cdot k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ k - 2 \\ -1 - 2k \end{pmatrix} \). 3. Abgleich mit dem gegebenen Richtungsvektor \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \). Da die erste Komponente bereits übereinstimmt, muss gelten: \( k - 2 = -1 \) und \( -1 - 2k = -3 \). 4. Lösen der Gleichung \( k - 2 = -1 \) ergibt \( k = 1 \). 5. Überprüfung mit der dritten Komponente: \( -1 - 2 \cdot 1 = -3 \). Die Bedingung ist erfüllt.

Der gesuchte Wert ist \( k = 1 \).

- Wann besitzt ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung, und wann hängen die Lösungen von einem Parameter ab? - Wie verhalten sich die Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix, wenn es unendlich viele Lösungen gibt? - Was bedeutet es geometrisch für die Lage von drei Ebenen, wenn das System keine gemeinsame Lösung hat, aber keine der Ebenen parallel zu einer anderen ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Determinante der Koeffizientenmatrix und der Lösbarkeit.

1. Aufstellen der Koeffizientenmatrix \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & k \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) und Berechnung der Determinante: \(\det(A) = 1 \cdot (1-2k) - 1 \cdot (2-k) + 1 \cdot (4-1) = -k + 2\). Die Lösung ist nicht eindeutig für \(\det(A) = 0\), also \(k = 2\). 2. Einsetzen von \(k=2\) in das Gleichungssystem und Anwendung des Gauß-Verfahrens: I: \(x_1 + x_2 + x_3 = 4\) II: \(2x_1 + x_2 + 2x_3 = 6 \implies \text{II} - 2\cdot\text{I}: -x_2 = -2 \implies x_2 = 2\) III: \(x_1 + 2x_2 + x_3 = m \implies \text{III} - \text{I}: x_2 = m - 4\) Damit eine gemeinsame Schnittgerade (unendlich viele Lösungen) existiert, muss \(m-4 = 2\) gelten, also \(m = 6\). 3. Berechnung der Schnittgeraden für \(k=2, m=6\): Aus \(x_2 = 2\) folgt in I: \(x_1 + 2 + x_3 = 4 \implies x_1 = 2 - x_3\). Mit \(x_3 = t\) ergibt sich \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 4. Fall \(k=2, m \neq 6\): Das System ist widersprüchlich (keine Lösung). Da keine zwei Normalenvektoren parallel sind (die Ebenen sind nicht paarweise parallel), bilden die drei Ebenen eine Prismenstellung. Die drei Schnittgeraden der Ebenenpaare verlaufen parallel zueinander.

a) \(k = 2\) b) Für \(m = 6\) gibt es eine Schnittgerade \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). c) Die Ebenen bilden ein Prisma (kein gemeinsamer Schnittpunkt, aber paarweise Schnittgeraden, die parallel zueinander verlaufen).

- Wann sind zwei Ebenengleichungen ein Vielfaches voneinander? Was bedeutet das für die Ebenen? - Nutze das Gauß-Verfahren oder die Determinante, um die Lösbarkeit des Systems zu prüfen. - Überlege, was mit dem System passiert, wenn zwei der drei Gleichungen im Grunde dieselbe Ebene beschreiben. - Wovon hängt der Winkel zwischen zwei Ebenen ab? Kommt der Parameter \(b\) in den Gleichungen von \(F_1\) oder \(F_2\) vor?

1. Vergleich der Normalenvektoren von \(E_b\) und \(F_1\): \(\vec{n}_b = \begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_{F1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Parallelität liegt vor, wenn \(\vec{n}_{F1} = 2\vec{n}_b\), also \(2 = 2b \implies b = 1\). Da auch die rechte Seite der Gleichung \(F_1\) das Doppelte der rechten Seite von \(E_b\) ist (\(6 = 2 \cdot 3\)), sind die Ebenen für \(b=1\) identisch. 2. Untersuchung der Lösbarkeit des Systems: I: \(x_1 + bx_2 + 2x_3 = 3\) II: \(2x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 6 \iff x_1 + x_2 + 2x_3 = 3\) III: \(x_1 - x_2 + x_3 = 0\) Das System hat keine eindeutige Lösung, wenn die Normalenvektoren linear abhängig sind. Da \(F_1\) (bzw. die reduzierte Form) und \(F_2\) nicht parallel sind, ist die Determinante der Matrix aus I, II (reduziert) und III entscheidend: \(\det \begin{pmatrix} 1 & b & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (1+2) - b \cdot (1-2) + 2 \cdot (-1-1) = 3 + b - 4 = b - 1\). 3. Fallunterscheidung: - Wenn \(b \neq 1\): Die drei Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt. - Wenn \(b = 1\): \(E_1\) und \(F_1\) sind identisch. Die Lagebeziehung reduziert sich auf den Schnitt von zwei Ebenen (\(E_1=F_1\) und \(F_2\)), was eine Schnittgerade ergibt. 4. Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen wird ausschließlich durch das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren bestimmt. Da die Normalenvektoren von \(F_1\) und \(F_2\) konstant sind (\(\vec{n}_{F1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{n}_{F2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)), ist ihr Winkel \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_{F1} \cdot \vec{n}_{F2}|}{|\vec{n}_{F1}| \cdot |\vec{n}_{F2}|}\) unabhängig von \(b\).

a) Für \(b = 1\) ist \(E_1\) parallel zu \(F_1\). Tatsächlich sind die Ebenen identisch (\(E_1 = F_1\)). b) Für \(b \neq 1\) schneiden sich die drei Ebenen in einem Punkt. Für \(b = 1\) sind \(E_1\) und \(F_1\) identisch und schneiden \(F_2\) in einer Geraden. c) Da die Normalenvektoren von \(F_1\) und \(F_2\) keinen Parameter \(b\) enthalten, ist ihr Skalarprodukt und damit ihr Schnittwinkel konstant.

- Welche Koordinate liefert beim Gleichsetzen der beiden Geraden sofort einen der Geradenparameter? - Für Windschiefe musst du sowohl Parallelität ausschließen als auch zeigen, dass kein Schnittpunkt existiert. - Welche Gemeinsamkeit besitzen alle Geraden \(h_k\), unabhängig von \(k\)? - Kannst du den Richtungsvektor von \(h_k\) aus zwei festen Vektoren zusammensetzen?

1. Aus der dritten Koordinate beim Gleichsetzen von \(g\) und \(h_k\) folgt \(4 = 2 + 2s\), also \(s=1\). 2. Die erste Koordinate liefert dann \(-1+r=1+2\), also \(r=4\). Aus der zweiten Koordinate folgt \(5-4=k\), also \(k=1\). Damit ist \(S(3|1|4)\). 3. Für \(k=0\) sind die Richtungsvektoren \((1,-1,0)^T\) und \((2,0,2)^T\) nicht kollinear. Beim Gleichsetzen ergibt die zweite Koordinate \(r=5\); dann folgt aus der ersten Koordinate \(s=1{,}5\), während die dritte Koordinate \(4=5\) verlangen würde. Die Geraden sind daher windschief. 4. Alle \(h_k\) besitzen den Stützpunkt \(A(1|0|2)\), und \(\begin{pmatrix}2\\k\\2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\). Somit liegen alle Geraden in der Ebene durch \(A\) mit den Spannvektoren \((1,0,1)^T\) und \((0,1,0)^T\). 5. Ein Normalenvektor ist \((-1,0,1)^T\). Mit \(A\) ergibt sich \(-x_1+x_3=1\), also äquivalent \(E: x_1-x_3+1=0\).

a) \(k=1\), \(S(3|1|4)\) b) \(g\) und \(h_0\) sind windschief. c) \(E: x_1-x_3+1=0\)

- Wann sind zwei Vektoren linear abhängig? Betrachte die Komponenten einzeln. - Überlege, welcher Teil der Ebenengleichung vom Parameter \(k\) unabhängig ist. - Wie berechnet man den Normalenvektor einer Ebene aus ihrer Parameterform? - Zwei Ebenen sind genau dann orthogonal, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen. - Setze die Koordinaten des Punktes für \(x_1, x_2, x_3\) in die Ebenengleichung ein und löse das entstandene Gleichungssystem.

1. Überprüfung der linearen Unabhängigkeit der Richtungsvektoren: Da der zweite Richtungsvektor in der zweiten Komponente eine \(1\) und der erste dort eine \(0\) hat, können sie für kein \(k\) kollinear sein. Somit ist \(E_k\) stets eine Ebene. 2. Bestimmung der gemeinsamen Geraden: Die Ebenengleichung lässt sich schreiben als \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu k\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Damit ein Punkt für alle \(k\) enthalten ist, muss der Koeffizient des variablen Teils verschwinden, also \(\mu = 0\). Die gemeinsame Gerade ist somit \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Orthogonalität: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ergibt den Normalenvektor von \(E_k\): \(\vec{n}_k = \begin{pmatrix} -1 \\ k \\ 2 \end{pmatrix}\). Für \(k = -1\) ergibt sich \(\vec{n}_{-1} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Bedingung für Orthogonalität: \(\vec{n}_k \cdot \vec{n}_{-1} = 0 \Rightarrow (-1) \cdot (-1) + k \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 1 - k + 4 = 5 - k = 0\). Daraus folgt \(k = 5\). 4. Punktprobe für \(A(5|2|3)\): Einsetzen in die Ebenengleichung führt auf das System \(5 = 1 + 2\lambda + \mu k\), \(2 = 1 + \mu\) und \(3 = 1 + \lambda\). Aus der dritten Gleichung folgt \(\lambda = 2\), aus der zweiten \(\mu = 1\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(5 = 1 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot k \Rightarrow 5 = 5 + k \Rightarrow k = 0\). Der Punkt liegt auf \(E_0\).

a) Die Richtungsvektoren sind für alle \(k \in \mathbb{R}\) linear unabhängig. b) \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) \(k = 5\) d) Ja, der Punkt \(A\) liegt auf der Ebene \(E_0\).

- Der Richtungsvektor einer Schnittgeraden steht senkrecht auf den Normalenvektoren beider Ebenen. - Welchen Punkt haben alle Ebenen der Schar gemeinsam? - Verwende die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Normalenvektoren. - Lies den Normalenvektor der Ebene \(H\) direkt aus der Koordinatengleichung ab. - Zwei Ebenen sind identisch, wenn sie dieselbe Punktmenge beschreiben. Prüfe zuerst, ob der Stützpunkt der einen Ebene in der anderen liegt.

1. Schnittgerade: Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \(F_0\) ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \(F_1\) ergibt \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren ergibt als Richtungsvektor der Schnittgeraden \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da beide Ebenen den Stützpunkt \((2|0|4)\) enthalten, lautet die Gerade \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Schnittwinkel: \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_0 \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{n}_0| \cdot |\vec{n}_1|} = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}\). Daraus folgt \(\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right) \approx 35{,}26^\circ\). 3. Orthogonalität zu \(H\): Das Kreuzprodukt der Spannvektoren von \(F_a\) ergibt den Normalenvektor \(\vec{n}_a = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ a \end{pmatrix}\). Normalenvektor von \(H\) ist \(\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Bedingung \(\vec{n}_a \cdot \vec{n}_H = 1 + 1 + 2a = 2 + 2a = 0 \Rightarrow a = -1\). 4. Prüfung von \(E^*\): Der Stützpunkt von \(E^*\) ist \(P(2|2|4)\). Prüfung, ob \(P\) in einer Ebene \(F_a\) liegt: \(2 = 2 + r \Rightarrow r = 0\); \(4 = 4 + s \Rightarrow s = 0\); mittlere Koordinate \(2 = 0 + 0 \cdot a = 0\), was ein Widerspruch ist. Da der Stützpunkt von \(E^*\) in keiner Ebene der Schar liegt, gehört \(E^*\) nicht zur Schar.

a) \(h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(\alpha \approx 35{,}26^\circ\) c) \(a = -1\) d) Nein, die Ebene \(E^*\) gehört nicht zur Schar \(F_a\).

- Welche gemeinsame Information über \(g\) und \(h\) ist bereits an ihren Parametergleichungen ablesbar? - Wie erhältst du aus den beiden Richtungsvektoren einen Normalenvektor der Ebene, die beide Geraden enthält? - Vergleiche den Normalenvektor von \(E\) mit dem von \(E_k\), ohne zunächst einen bestimmten Wert für \(k\) einzusetzen. - Sortiere die Schargleichung nach den Termen mit und ohne \(k\). Was muss für einen Punkt gelten, der auf jeder Ebene der Schar liegt?

1. Beide Geraden besitzen den Stützpunkt \(S(1|1|2)\); sie schneiden sich dort. Das Kreuzprodukt ihrer Richtungsvektoren ist \(\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}\), sodass \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\) als Normalenvektor verwendet werden kann. Mit \(S\) folgt \(E: x_1-2x_2+x_3=1\). 2. Ein Normalenvektor von \(E_k\) ist \(\vec{n}_k=\begin{pmatrix}2\\1+k\\2k\end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{n}_k\cdot\vec{n}_E=2-2(1+k)+2k=0\). Somit ist jede Ebene \(E_k\) orthogonal zu \(E\). 3. Die Schargleichung lässt sich als \(2x_1+x_2-3+k(x_2+2x_3-3)=0\) schreiben. Punkte, die für jedes \(k\) auf \(E_k\) liegen, erfüllen daher \(2x_1+x_2=3\) und \(x_2+2x_3=3\). 4. Setze \(x_3=\lambda\). Dann ist \(x_2=3-2\lambda\) und \(x_1=\lambda\). Damit ist \(l: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\).

a) \(S(1|1|2)\); \(E: x_1-2x_2+x_3=1\) b) Für alle \(k\in\mathbb{R}\) gilt \(E_k\perp E\); \(l: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\)

- Wann besitzt ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung? Denke an die Determinante oder das Gauß-Verfahren. - Was bedeutet eine Zeile der Form „0 = Zahl“ im Gauß-Verfahren für die Lösbarkeit? - Wie lässt sich die Lösung eines \(3 \times 3\)-Systems als Schnittgebilde von Ebenen im Raum vorstellen? - Welche Möglichkeiten der Lagebeziehung gibt es für drei Ebenen, wenn kein gemeinsamer Punkt existiert?

1. Determinante oder Gauß-Verfahren: Das System hat genau eine Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. \(\det(A) = 1 \cdot (8 - k^2) - 1 \cdot (4 - k) + 1 \cdot (k - 2) = 8 - k^2 - 4 + k + k - 2 = -k^2 + 2k + 2\). Nullstellen von \(-k^2 + 2k + 2 = 0\): \(k_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (-1) \cdot 2}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} = 1 \mp \sqrt{3}\). Genau eine Lösung für \(k \in \mathbb{R} \setminus \{1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}\}\). 2. Fall \(k = 2\): Einsetzen in das System: (I) \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) (II) \(x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 3\) (III) \(x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 2\) Subtraktion (II)-(I) ergibt \(x_2 + x_3 = 1\). Subtraktion (III)-(II) ergibt \(2x_3 = -1 \Rightarrow x_3 = -0{,}5\). Daraus folgt \(x_2 = 1{,}5\) und \(x_1 = 2 - 1{,}5 - (-0{,}5) = 1\). Lösung: \((1|1{,}5|-0{,}5)\). Geometrisch: Die drei Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt. 3. Unlösbarkeit: Prüfung der kritischen Werte \(k = 1 \pm \sqrt{3}\). Alternativ über das Gauß-Tableau: 1 1 1 | 2 0 1 k-1 | 1 0 k-1 3 | k-2 Dritte Zeile minus \((k-1)\) mal zweite Zeile: \(0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + (3 - (k-1)^2)x_3 = (k-2) - (k-1)\). Links: \(3 - (k^2 - 2k + 1) = -k^2 + 2k + 2\). Rechts: \(k - 2 - k + 1 = -1\). Für \(k = 1 \pm \sqrt{3}\) wird die linke Seite \(0\), während die rechte Seite \(-1\) bleibt. In beiden Fällen ist das System unlösbar.

a) \(k \in \mathbb{R} \setminus \{1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}\}\). b) Für \(k=2\) gibt es die eindeutige Lösung \((1|1{,}5|-0{,}5)\); die drei Ebenen schneiden sich in diesem Punkt. c) Für \(k = 1-\sqrt{3}\) und \(k = 1+\sqrt{3}\).

- Nutze das Gauß-Verfahren, um das System in Stufenform zu bringen. - Achte besonders auf den Koeffizienten vor der letzten Variable in der letzten Zeile. - Wann hat ein Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen? - Was bedeutet eine eindeutige Lösung für die Lage von drei Ebenen im Raum? - Wenn ein System unendlich viele Lösungen in Form einer Geradengleichung hat, wie liegen die Ebenen dann zueinander?

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & -1 & 2 & | & 1 \\ 3 & -1 & k & | & 4 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung des Gauß-Verfahrens: \(II - I \Rightarrow -2x_2 + x_3 = -1\) \(III - 3 \cdot I \Rightarrow -4x_2 + (k-3)x_3 = -2\) \(III' - 2 \cdot II' \Rightarrow (k-5)x_3 = 0\). 3. Fallunterscheidung: Fall 1: \(k \neq 5\). Die letzte Gleichung ergibt \((k-5)x_3 = 0\), woraus \(x_3 = 0\) folgt. Rückwärtseinsetzen liefert \(-2x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = 0{,}5\) und \(x_1 + 0{,}5 + 0 = 2 \Rightarrow x_1 = 1{,}5\). Es gibt genau eine Lösung: \(L = \{(1{,}5|0{,}5|0)\}\). Geometrisch bedeutet dies, dass sich die drei Ebenen in genau einem Punkt schneiden. Fall 2: \(k = 5\). Die letzte Zeile wird zu \(0 = 0\). Es gibt unendlich viele Lösungen. Mit \(x_3 = \lambda\) folgt aus \(II'\): \(-2x_2 + \lambda = -1 \Rightarrow x_2 = 0{,}5 + 0{,}5\lambda\). Einsetzen in \(I\): \(x_1 + (0{,}5 + 0{,}5\lambda) + \lambda = 2 \Rightarrow x_1 = 1{,}5 - 1{,}5\lambda\). Lösungsmenge \(L = \{ (1{,}5 - 1{,}5\lambda|0{,}5 + 0{,}5\lambda|\lambda) \mid \lambda \in \mathbb{R} \}\). Geometrisch schneiden sich die drei Ebenen in einer gemeinsamen Geraden.

a) Für \(k \neq 5\) ist das System eindeutig lösbar. Für \(k = 5\) besitzt es unendlich viele Lösungen. b) Für \(k \neq 5\): \(L = \{(1{,}5|0{,}5|0)\}\). Für \(k = 5\): \(L = \{ \vec{x} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \mid \lambda \in \mathbb{R} \}\). c) Für \(k \neq 5\) schneiden sich die drei Ebenen in einem gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt). Für \(k = 5\) schneiden sie sich in einer gemeinsamen Geraden (Schnittgerade).

- Woran erkennst du am Normalenvektor, dass eine Ebene orthogonal zu einer anderen ist? - Welche Koordinaten müssen im Normalenvektor Null sein, damit eine Ebene parallel zu einer Koordinatenebene ist? - Nutze das Einsetzungs- oder Additionsverfahren, um das Gleichungssystem schrittweise zu lösen. - Achte beim Lösen des Gleichungssystems auf Divisionen durch Ausdrücke, die Null werden könnten. Das führt oft zu einer Fallunterscheidung.

1. Orthogonalität: Die Normalenvektoren \(\vec{n}_a = \begin{pmatrix} a+1 \\ 1-a \\ a \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_H = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) müssen orthogonal sein. Skalarprodukt: \(2 \cdot (a+1) - 2 \cdot (1-a) + 1 \cdot a = 2a + 2 - 2 + 2a + a = 5a = 0\). Daraus folgt \(a = 0\). Es gibt also genau eine solche Ebene \(E_0: x_1 + x_2 = 2\). 2. Parallelität zur \(x_1x_2\)-Ebene: Der Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene ist \(\vec{n}_{12} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Damit \(E_a\) parallel dazu ist, muss \(\vec{n}_a\) ein Vielfaches von \(\vec{n}_{12}\) sein. Das bedeutet \(a+1 = 0\) und \(1-a = 0\). Aus der ersten Gleichung folgt \(a = -1\), aus der zweiten \(a = 1\). Da beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, gibt es kein solches \(a\). 3. LGS lösen: Aus \(I\) folgt \(x_2 = 2 - x_1\). Einsetzen in \(II\): \(x_1 - (2 - x_1) + x_3 = 0 \Rightarrow 2x_1 + x_3 = 2 \Rightarrow x_3 = 2 - 2x_1\). Einsetzen in \(III\): \(2x_1 + t \cdot (2 - 2x_1) = 4 \Rightarrow 2x_1 + 2t - 2 \cdot t \cdot x_1 = 4 \Rightarrow (2 - 2t)x_1 = 4 - 2t\). Fall 1: \(2 - 2t \neq 0 \Rightarrow t \neq 1\). Eindeutige Lösung: \(x_1 = \frac{4-2t}{2-2t} = \frac{2-t}{1-t}\). Dann \(x_3 = 2 - 2\frac{2-t}{1-t} = \frac{2-2t-4+2t}{1-t} = \frac{-2}{1-t} = \frac{2}{t-1}\) und \(x_2 = 2 - \frac{2-t}{1-t} = \frac{2-2t-2+t}{1-t} = \frac{-t}{1-t} = \frac{t}{t-1}\). Geometrisch: Die drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt. Fall 2: \(t = 1\). Die Gleichung \(0 = 2\) ist ein Widerspruch. Keine Lösung. Geometrisch: Die Schnittgeraden der Ebenenpaare sind parallel (Prismenfall).

a) \(a = 0\). b) Nein, da die Bedingungen \(a = -1\) und \(a = 1\) nicht gleichzeitig erfüllt werden können. c) Für \(t \neq 1\): Genau ein Schnittpunkt \(S\left(\frac{2-t}{1-t} | \frac{t}{t-1} | \frac{2}{t-1}\right)\). Für \(t = 1\): Keine Lösung, die Ebenen befinden sich im Prismenfall (kein gemeinsamer Punkt).

- Um zu zeigen, dass sich zwei Geraden schneiden, kannst du ihre Terme gleichsetzen und das resultierende Gleichungssystem lösen. - Eine Ebene, die zwei sich schneidende Geraden enthält, hat einen Normalenvektor, der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Geraden steht. - Überlege dir, für welchen speziellen Wert des Parameters die Schargleichung mit deiner gefundenen Ebenengleichung identisch wird. - Um die gemeinsame Schnittgerade einer Schar zu finden, kannst du die Gleichung nach dem Parameter sortieren und die Ausdrücke mit und ohne Parameter getrennt Null setzen. - Wenn eine Ebene senkrecht auf einer ganzen Schar von Ebenen stehen soll, muss ihr Normalenvektor senkrecht auf den Normalenvektoren zweier beliebiger (nicht paralleler) Ebenen der Schar stehen.

1. Schnittpunktbestimmung: Gleichsetzen der Geradengleichungen führt auf das System \(1+2\lambda = -1+4\mu\), \(2+\lambda = 1+\mu\) und \(-\lambda = 1-2\mu\). Die Lösung ergibt \(\mu = 0\) und \(\lambda = -1\). Der Schnittpunkt ist \(S(-1|1|1)\). 2. Ebene \(E\): Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Mit dem Punkt \(S\) folgt die Koordinatengleichung \(-x_1 - 2x_3 = -1\) bzw. \(x_1 + 2x_3 = 1\). 3. Ebenenschar: Für \(t=0\) ergibt sich in der Schargleichung \(1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 2x_3 = 1+0\), also \(x_1 + 2x_3 = 1\). Somit ist \(E = E_0\). 4. Gemeinsame Gerade \(s\): Die Schargleichung lässt sich umformen zu \(x_1 + 2x_3 - 1 + t(x_1 + x_2 - 1) = 0\). Alle Punkte der Geraden müssen beide Teilgleichungen \(x_1 + 2x_3 = 1\) und \(x_1 + x_2 = 1\) erfüllen. Wählt man \(x_1 = 1-2k\), folgt \(x_3 = k\) und \(x_2 = 2k\). Eine Parameterform ist \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 5. Orthogonale Ebene \(E^*\): Damit \(E^*\) orthogonal zu allen \(E_t\) ist, muss ihr Normalenvektor \(\vec{n}^*\) orthogonal zu allen Normalenvektoren \(\vec{n}_t = \begin{pmatrix} 1+t \\ t \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) sein. Dies ist erfüllt, wenn \(\vec{n}^*\) parallel zum Richtungsvektor der Schnittgeraden \(s\) ist. Mit \(\vec{n}^* = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und dem Punkt \(P(2|1|5)\) ergibt sich \(-2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 = 3\). Die Gleichung lautet \(-2x_1 + 2x_2 + x_3 = 3\).

a) Der Schnittpunkt ist \(S(-1|1|1)\). Die Ebene ist \(E: x_1 + 2x_3 = 1\). b) Für \(t=0\) gilt \(E_0 = E\). Die gemeinsame Gerade ist \(s: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). c) \(E^*: -2x_1 + 2x_2 + x_3 = 3\) (oder äquivalent).

- Setze für \(a\) den Wert 0 ein, um die spezielle Ebene der Schar zu erhalten. - Um zu prüfen, ob eine Gerade in einer Ebene liegt, kannst du die allgemeine Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen. - Sortiere die Schargleichung so, dass alle Terme mit \(a\) in einer Klammer stehen und alle Terme ohne \(a\) außerhalb. - Die Punkte, die unabhängig von \(a\) in der Ebene liegen, müssen beide Teile der sortierten Gleichung gleichzeitig erfüllen (Schnittgerade). - Erinnere dich an die Struktur einer Ebenenbüschel-Gleichung: Eine Ebene wird durch die Gleichung des „Teils mit dem Parameter“ repräsentiert, kann aber selbst nicht durch Einsetzen eines reellen Wertes für den Parameter erreicht werden.

1. Ebene \(F_0\): Einsetzen von \(a=0\) in die Schargleichung liefert \(x_1 - x_2 + x_3 = 1\), also \(F_0: x_1 - x_2 + x_3 = 1\). 2. Lage von \(g\): Einsetzen von \(g\) in \(F_0\): \((1+\lambda) - (0+\lambda) + 0 = 1 \Rightarrow 1 = 1\). Da die Gleichung für alle \(\lambda\) erfüllt ist, liegt \(g\) in \(F_0\). 3. Gemeinsame Gerade \(l\): Umformen der Schargleichung nach \(a\): \(x_1 - x_2 + x_3 - 1 + a \cdot (x_1 + 2x_2 - x_3 - 3) = 0\). Die Gerade \(l\) ergibt sich aus dem Schnitt der Ebenen \(x_1 - x_2 + x_3 = 1\) und \(x_1 + 2x_2 - x_3 = 3\). Addition der Gleichungen eliminiert \(x_3\): \(2x_1 + x_2 = 4 \Rightarrow x_2 = 4 - 2x_1\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(x_1 - (4-2x_1) + x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 5 - 3x_1\). Mit \(x_1 = t\) folgt \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 4. Ebene \(\tilde{E}\): Die Schar hat die Form \(P_1 + a \cdot P_2 = 0\). Alle Ebenen der Schar entstehen durch Kombination dieser zwei Grundebenen, außer der Ebene \(P_2 = 0\), die formal dem Fall \(a \to \infty\) entspricht. Somit ist \(\tilde{E}: x_1 + 2x_2 - x_3 = 3\).

a) \(F_0: x_1 - x_2 + x_3 = 1\). Die Prüfung durch Einsetzen bestätigt \(1=1\). b) \(l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\) (oder äquivalent). c) \(\tilde{E}: x_1 + 2x_2 - x_3 = 3\).

- Wie kannst du mit dem Richtungsvektor von \(g\) und einem Normalenvektor von \(E\) zunächst die Orientierung prüfen? Was musst du zusätzlich am Stützpunkt kontrollieren? - Welcher Wert von \(s\) lässt den Richtungsvektor der Schar mit dem von \(g\) übereinstimmen? - Setze einen allgemeinen Punkt von \(g_s\) in die Ebenengleichung ein und untersuche, wann sich der Geradenparameter eindeutig bestimmen lässt. - Kannst du den von \(s\) abhängigen Anteil der Koordinaten von \(Q_s\) durch einen neuen Parameter ersetzen? - Zerlege den Richtungsvektor von \(g_s\) in zwei feste Vektoren. Welche gemeinsame Ebene aller Geraden wird dadurch sichtbar?

1. Ein Normalenvektor von \(E\) ist \(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\). Für den Richtungsvektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) von \(g\) gilt \(\vec{n}_E\cdot\vec{v}=2-2=0\). Der Stützpunkt \(A(0|0|3)\) erfüllt die Ebenengleichung nicht, denn die linke Seite hat dort den Wert \(6\). Daher ist \(g\) echt parallel zu \(E\). 2. Für \(s=0\) wird der Richtungsvektor von \(g_s\) zu \(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\). Somit ist \(g=g_0\). 3. Einsetzen eines allgemeinen Punktes von \(g_s\) in \(E\) ergibt \(\lambda(2+s)-2\lambda(1-2s)+2(3+2s\lambda)=9\), also \(9s\lambda=3\). Genau für \(s\neq0\) existiert damit ein eindeutiger Schnittparameter \(\lambda=\frac{1}{3s}\). 4. Für \(s\neq0\) ist \(Q_s=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3s}\\-\frac{2}{3}+\frac{1}{3s}\\\frac{11}{3}\end{pmatrix}\). Mit \(\mu=\frac{1}{3s}\) erhält man \(m: \vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\frac{11}{3}\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\). Somit liegen alle \(Q_s\) auf \(m\). 5. Jeder Richtungsvektor der Schar hat die Form \(\begin{pmatrix}2+s\\1-2s\\2s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\). Daher liegen alle \(g_s\) in der durch \(A(0|0|3)\) und diese beiden Richtungsvektoren bestimmten Ebene \(F\). 6. Ein Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n}_F=\begin{pmatrix}2\\-4\\-5\end{pmatrix}\), also \(F: 2x_1-4x_2-5x_3=-15\). Es gilt \(\vec{n}_E\cdot\vec{n}_F=2+8-10=0\), also \(F\perp E\). Außerdem erfüllt der Stützpunkt von \(m\) beide Ebenengleichungen, und der Richtungsvektor von \(m\) liegt in beiden Ebenen. Somit ist \(m\) ihre Schnittgerade.

a) \(g\parallel E\), wobei \(g\) nicht in \(E\) liegt. b) \(g=g_0\) c) Genau für \(s\neq0\); \(Q_s=\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3s}\middle|-\frac{2}{3}+\frac{1}{3s}\middle|\frac{11}{3}\right)\) d) \(m: \vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\frac{11}{3}\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) e) \(F: 2x_1-4x_2-5x_3=-15\) und \(F\perp E\); die Schnittgerade von \(E\) und \(F\) ist \(m\).