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- Lies zuerst die Koordinaten des markierten Punktes \(P\) aus der Abbildung ab. - Welche der angebotenen Geraden haben die angegebene Steigung \(2\)? - Prüfe anschließend, welche dieser Geraden durch den abgelesenen Punkt verläuft.

Aus der Abbildung liest man \(P(1\mid1)\) ab. Die Tangente muss durch diesen Punkt verlaufen und die gegebene Steigung \(2\) besitzen. Dies erfüllt nur die Gerade \(y=2x-1\).

A) \(y=2x-1\)

- Welche geometrische Beziehung besteht zwischen Tangente und Normale? - Welche Beziehung gilt deshalb zwischen ihren Steigungen? - Gesucht ist nur die Steigung der Normalen, nicht ihre vollständige Geradengleichung.

Tangente und Normale stehen senkrecht aufeinander. Daher gilt \(m_T\cdot m_N=-1\). Mit \(m_T=4\) folgt \(m_N=-\frac14\).

\(m_N=-\frac14\)

- Welche der beiden Steigungen ist bereits ausdrücklich als Tangentensteigung gegeben? - Welche geometrische Beziehung besteht zwischen Tangente und Normale? - Prüfe die beiden Steigungen mit der Bedingung für senkrechte Geraden.

1. Die Tangente hat nach Angabe die Steigung \(m_T=-\frac{1}{2}\). Daher ist die Gerade mit der Steigung \(-\frac{1}{2}\) die Tangente. 2. Tangente und Normale stehen senkrecht aufeinander. Für ihre Steigungen gilt deshalb \(m_Tm_N=-1\). 3. Mit \(m_T=-\frac{1}{2}\) folgt \(m_N=2\). Daher ist die Gerade mit der Steigung \(2\) die Normale.

Die Gerade mit der Steigung \(-\frac{1}{2}\) ist die Tangente, die Gerade mit der Steigung \(2\) ist die Normale. Es gilt \(\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot2=-1\).

- Welche der beiden Geraden legt sich in \(P\) an den Funktionsgraphen an? - Wenn du die Tangente erkannt hast: Welche der beiden Geraden bleibt dann als Normale übrig?

1. Die Tangente muss in \(P\) dieselbe lokale Richtung wie der Funktionsgraph besitzen. Das trifft auf die ansteigende Gerade \(g\) zu. 2. Damit ist \(g\) die Tangente. 3. Da laut Aufgabenstellung die andere eingezeichnete Gerade die Normale ist, ist \(h\) die Normale.

Die Gerade \(h\) ist die Normale. Die Gerade \(g\) besitzt in \(P\) dieselbe lokale Richtung wie der Funktionsgraph und ist daher die Tangente; somit ist \(h\) die Normale.

- Überlege zuerst, wie du den y-Wert des Punktes auf dem Graphen berechnen kannst. - Welche Ableitungsregel ist für diesen Funktionstyp besonders geeignet? - Was gibt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Wie hängen die Steigungen von zwei Geraden zusammen, die senkrecht aufeinander stehen? - Nutze die Punkt-Steigungs-Form für die Geradengleichungen.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 0\): \(f(0) = (2 - 0) \cdot e^0 = 2 \cdot 1 = 2\). Der Berührpunkt ist \(P(0 | 2)\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung mittels Produktregel: \(f'(x) = -1 \cdot e^x + (2 - x) \cdot e^x = (1 - x)e^x\). 3. Berechnung der Tangentensteigung: \(m_t = f'(0) = (1 - 0)e^0 = 1\). 4. Aufstellen der Tangentengleichung: \(t(x) = 1 \cdot (x - 0) + 2 = x + 2\). 5. Bestimmung der Normalensteigung über die Bedingung \(m_n = -\frac{1}{m_t}\): \(m_n = -1\). 6. Aufstellen der Normalengleichung: \(n(x) = -1 \cdot (x - 0) + 2 = -x + 2\).

Tangente: \(t(x) = x + 2\) Normale: \(n(x) = -x + 2\)

- Überlege, welchen kleinsten Wert eine nach oben geöffnete Parabel annimmt. - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, das Steigungsverhalten zu beschreiben? - Welche Steigung hat die Gerade \(y = 2x\)? - An welcher Stelle \(x\) hat die Funktion \(f_k\) genau diese Steigung? - Wie berechnest du die \(y\)-Koordinate eines Punktes auf dem Graphen?

1. Da \(f_k\) eine ganzrationale Funktion ist, gilt \(D = \mathbb{R}\). Da der Scheitelpunkt bei \(S(0|k)\) liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist (\(\frac{1}{k} > 0\)), ist die Wertemenge \(W = [k; \infty[\). 2. Die Ableitung ist \(f_k'(x) = \frac{2}{k}x\). Für \(x < 0\) ist \(f_k'(x) < 0\), daher ist die Funktion für \(x \leq 0\) streng monoton fallend. Für \(x > 0\) ist \(f_k'(x) > 0\), daher ist die Funktion für \(x \geq 0\) streng monoton steigend. 3. Die Steigung der Tangente \(y = 2x\) ist \(m = 2\). Aus dem Ansatz \(f_k'(x) = 2\) folgt \(\frac{2}{k}x = 2\), woraus sich die \(x\)-Koordinate des Berührpunktes \(x_B = k\) ergibt. 4. Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert \(f_k(k) = \frac{1}{k} \cdot k^2 + k = k + k = 2k\). Der Berührpunkt ist somit \(B_k(k | 2k)\). Zur Verifizierung: Der Punkt liegt auch auf der Geraden \(y = 2x\), da \(2 \cdot k = 2k\) gilt.

a) \(D = \mathbb{R}\); \(W = [k; \infty[\) b) Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; 0]\) und streng monoton steigend für \(x \in [0; \infty[\). c) \(B_k(k | 2k)\)

- Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? Was bedeutet das für ihre Steigungen? - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Versuche, die Geradengleichung zuerst in die Form \(y = mx + b\) zu bringen. - Welche Ableitungsregel eignet sich am besten für einen Bruch?

1. Bestimmung der Steigung der Geraden \(g\): Die Gleichung \(6x + y = 4\) wird nach \(y\) umgeformt zu \(y = -6x + 4\). Die Steigung beträgt somit \(m = -6\). 2. Berechnung der Ableitung \(f'(x)\) mithilfe der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{4 \cdot (x - 1) - (4x + 2) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{4x - 4 - 4x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-6}{(x - 1)^2}\). 3. Gleichsetzen der Ableitung mit der Steigung der Geraden: \(\frac{-6}{(x - 1)^2} = -6\) führt auf \((x - 1)^2 = 1\). 4. Lösen der Gleichung: \(x - 1 = -1 \implies x_1 = 0\) \(x - 1 = 1 \implies x_2 = 2\). Die Tangente ist an den Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) parallel zur Geraden \(g\).

Die Tangente ist an den Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) parallel zur Geraden \(g\).

- Wie hängen die Ableitung an einem Punkt und die Steigung der dortigen Tangente zusammen? - Wann verlaufen zwei Geraden parallel zueinander? - Welche Angaben brauchst du außer der Steigung, um die Tangentengleichung aufzustellen? - Prüfe, ob dein Tangententerm tatsächlich durch den Berührpunkt verläuft.

a) Die Ableitung ist \(f'(x)=-\frac{8}{x^2}\). An der Stelle \(x=2\) gilt \(f'(2)=-2\). Die Gerade \(g\) hat ebenfalls die Steigung \(-2\). Daher verlaufen die Tangente \(t\) und \(g\) parallel. b) Es ist \(f(2)=4\), also \(P(2\mid4)\). Mit der Steigung \(-2\) ergibt sich \(y=-2(x-2)+4=-2x+8\).

a) Es gilt \(f'(2)=-2=m_g\); daher sind \(t\) und \(g\) parallel. b) \(t: y=-2x+8\)

- Bestimme zuerst den Punkt des Graphen, durch den die Normale verlaufen muss. - Welche Information über die Tangentensteigung liefert die erste Ableitung? - Wie erhältst du aus einer von null verschiedenen Tangentensteigung die Steigung der senkrechten Geraden?

1. Der Berührpunkt ist \(P(2\mid\ln2)\). 2. Es gilt \(f'(x)=\frac{1}{x}\), also hat die Tangente in \(P\) die Steigung \(m_T=f'(2)=\frac{1}{2}\). 3. Für die Normalensteigung gilt \(m_N=-\frac{1}{m_T}=-2\). 4. Mit der Punkt-Steigungs-Form folgt \(n(x)=-2(x-2)+\ln2\).

\(n(x)=-2(x-2)+\ln2\)

- Berechne die Tangentensteigung an der angegebenen Stelle. - Wie sieht eine Gerade aus, die senkrecht auf einer waagerechten Geraden steht? - Prüfe, was in der Kehrwertformel passiert, wenn die Tangentensteigung null ist.

1. Es ist \(f(1)=1-3=-2\), also liegt der Punkt \(P(1\mid-2)\) auf dem Graphen. 2. Mit \(f'(x)=3x^2-3\) ergibt sich \(m_T=f'(1)=0\). Die Tangente ist daher waagerecht. 3. Eine Gerade, die senkrecht auf einer waagerechten Geraden steht, ist vertikal. Die Normale hat deshalb die Gleichung \(x=1\). 4. Die Formel \(m_N=-\frac{1}{m_T}\) würde eine Division durch \(0\) verlangen. Eine vertikale Gerade besitzt keine endliche Steigung und lässt sich nicht in der Form \(y=mx+b\) schreiben.

Die Normale ist die vertikale Gerade \(x=1\). Die Formel \(m_N=-\frac{1}{m_T}\) ist hier nicht anwendbar, weil \(m_T=0\) gilt und die Normale keine endliche Steigung besitzt.

- Wie gehst du vor, um Punkte zu finden, die auf beiden Graphen liegen? - Erinnere dich an die Substitution, um Gleichungen mit \(e^x\) und \(e^{-x}\) zu lösen. - Was muss für die Funktionswerte und die Ableitungswerte an einer Stelle gelten, damit sich zwei Graphen dort berühren? - Parallele Geraden haben eine ganz bestimmte Eigenschaft bezüglich ihrer Steigung.

1. Berechnung des Schnittpunkts: Ansatz \(f(x) = g(x) \Rightarrow e^x = 2 - e^{-x}\). Multiplikation mit \(e^x\) führt auf \(e^{2x} - 2e^x + 1 = 0\). Mit der Substitution \(u = e^x\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(u^2 - 2u + 1 = 0\), deren einzige Lösung \(u = 1\) ist. Rücksubstitution liefert \(e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). Der Funktionswert ist \(f(0) = e^0 = 1\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S(0 \mid 1)\). 2. Vergleich der Steigungen: Die Ableitungen sind \(f'(x) = e^x\) und \(g'(x) = e^{-x}\). An der Stelle \(x = 0\) gilt \(f'(0) = e^0 = 1\) und \(g'(0) = e^{-0} = 1\). Daher besitzen beide Graphen in \(S\) die gemeinsame Tangente \(t(x)=x+1\). 3. Lage zur gemeinsamen Tangente: Für \(f\) gilt \(f(x)-t(x)=e^x-x-1\geq0\), für \(g\) gilt \(g(x)-t(x)=1-x-e^{-x}\leq0\); Gleichheit gilt jeweils nur für \(x=0\). Somit liegt \(G_f\) oberhalb und \(G_g\) unterhalb der gemeinsamen Tangente. Außerdem ist \(f(x)-g(x)=e^x+e^{-x}-2\geq0\) mit Gleichheit nur für \(x=0\). Die Graphen berühren sich daher in \(S\), ohne einander zu schneiden. 4. Parallele Tangenten: Der Ansatz \(f'(x) = g'(x)\) führt auf \(e^x = e^{-x}\). Durch Multiplikation mit \(e^x\) folgt \(e^{2x} = 1\), was nur für \(x = 0\) erfüllt ist. Es gibt somit keine weiteren Stellen mit parallelen Tangenten.

a) \(S(0 \mid 1)\) b) \(f'(0)=g'(0)=1\). Beide Graphen haben in \(S\) die gemeinsame Tangente \(t(x)=x+1\). Dabei liegt \(G_f\) oberhalb und \(G_g\) unterhalb dieser Tangente; die Graphen berühren sich in \(S\), ohne einander zu schneiden. c) Nein, \(x=0\) ist die einzige Stelle, an der die Tangenten parallel sind.

- Welche Informationen kannst du aus der Tatsache ableiten, dass ein Wendepunkt im Ursprung liegt? - Eine Tangente berührt den Graphen. Was bedeutet das für den Funktionswert und die Steigung an der Berührstelle? - Nutze die Symmetrieeigenschaften, die aus der Lage des Wendepunkts folgen, um die Anzahl der Unbekannten im Ansatz zu reduzieren. - Stelle ein lineares Gleichungssystem für die verbleibenden Koeffizienten auf.

1. Ansatz für eine Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Da der Wendepunkt im Ursprung liegt, gilt \(f(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgen direkt \(d = 0\) und \(b = 0\). Der reduzierte Ansatz lautet \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Die Tangente an der Stelle \(x = 2\) hat die Gleichung \(y = -3x + 10\). Daraus ergeben sich zwei Bedingungen: Der Funktionswert an der Stelle 2 muss mit dem Wert der Tangente übereinstimmen, also \(f(2) = -3 \cdot 2 + 10 = 4\). Zudem entspricht die Ableitung an dieser Stelle der Steigung der Tangente, also \(f'(2) = -3\). 4. Aufstellen des Gleichungssystems: \(f(2) = a \cdot 2^3 + c \cdot 2 = 8a + 2c = 4\) \(f'(x) = 3ax^2 + c \implies f'(2) = 3a \cdot 2^2 + c = 12a + c = -3\) 5. Lösen des Systems: Aus der zweiten Gleichung folgt \(c = -3 - 12a\). Einsetzen in die erste Gleichung: \(8a + 2(-3 - 12a) = 4 \implies 8a - 6 - 24a = 4 \implies -16a = 10 \implies a = -0{,}625\). 6. Berechnung von \(c\): \(c = -3 - 12 \cdot (-0{,}625) = -3 + 7{,}5 = 4{,}5\). 7. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -0{,}625x^3 + 4{,}5x\).

\(f(x) = -0{,}625x^3 + 4{,}5x\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Der Parameter \(k\) wird in der Rechnung wie eine normale Zahl behandelt. - Welche Bedingungen muss die Tangente erfüllen, damit sie durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Überlege zuerst, wie der Berührpunkt und die Steigung an der Stelle \(x=1\) vom Parameter \(k\) abhängen.

1. Bestimmung des Berührpunktes auf dem Graphen für \(x = 1\): \(f_k(1) = 1^4 - k \cdot 1^2 + 4 = 5 - k\). Der Punkt ist \(B(1|5-k)\). 2. Berechnung der Ableitung an der Stelle \(x = 1\): \(f_k'(x) = 4x^3 - 2kx \implies f_k'(1) = 4 - 2k\). Dies ist die Steigung \(m\) der Tangente. 3. Aufstellen der Tangentengleichung \(t_k(x) = m \cdot (x - x_0) + y_0\): \(t_k(x) = (4 - 2k)(x - 1) + 5 - k\). 4. Einsetzen des Punktes \(Q(0|1)\) in die Tangentengleichung, da die Tangente durch diesen Punkt verlaufen soll: \(1 = (4 - 2k)(0 - 1) + 5 - k\) 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(1 = -(4 - 2k) + 5 - k\) \(1 = -4 + 2k + 5 - k\) \(1 = 1 + k \implies k = 0\). 6. Für \(k = 0\) verläuft die Tangente an der Stelle \(x = 1\) durch den Punkt \(Q(0|1)\).

\(k = 0\)

- Wie hängen die Steigung des Graphen und die erste Ableitung der Funktion zusammen? - Beachte bei der Suche nach möglichen Steigungswerten den Definitionsbereich der Funktion. - Eine Tangente durch den Ursprung erfüllt die Bedingung \(y = m \cdot x\). Setze den allgemeinen Punkt der Tangentengleichung in diese Form ein. - Erinnere dich an die Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, insbesondere für welche Werte er definiert ist.

1. Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 3 + \frac{2}{x}\). 2. Bedingung für Steigung \(5\): \(3 + \frac{2}{x} = 5 \Rightarrow \frac{2}{x} = 2 \Rightarrow x = 1\). Funktionswert: \(f(1) = 3 \cdot 1 + 2 \ln(1) = 3\). Punkt: \(P(1|3)\). 3. Untersuchung für Steigung \(2\): \(3 + \frac{2}{x} = 2 \Rightarrow \frac{2}{x} = -1\). Da \(x > 0\) im Definitionsbereich gilt, ist \(\frac{2}{x}\) stets positiv. Die Gleichung hat keine Lösung, somit gibt es keinen solchen Punkt. 4. Tangente durch den Ursprung: Ansatz für die Tangente an der Stelle \(u\) ist \(y = f'(u)(x - u) + f(u)\). Da sie durch \((0|0)\) verläuft, gilt \(0 = (3 + \frac{2}{u})(-u) + 3u + 2\ln(u)\). 5. Vereinfachung: \(0 = -3u - 2 + 3u + 2\ln(u) \Rightarrow 0 = -2 + 2\ln(u) \Rightarrow \ln(u) = 1 \Rightarrow u = e\). 6. Tangentengleichung: \(f'(e) = 3 + \frac{2}{e}\). Da die Gerade durch den Ursprung geht, lautet die Gleichung \(y = (3 + \frac{2}{e}) \cdot x\).

a) \(P(1|3)\) b) Nein, da die Gleichung \(3 + \frac{2}{x} = 2\) auf \(x = -2\) führt, was nicht im Definitionsbereich \(D = \{x \in \mathbb{R} | x > 0\}\) liegt. c) \(y = (3 + \frac{2}{e})x\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einem beliebigen Punkt \(x_0\)? - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Gerade durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Kannst du in der entstandenen Gleichung einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Überlege, warum der Faktor mit der Exponentialfunktion niemals null werden kann.

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f_k'(x) = \frac{1}{k} \cdot e^x\). 2. Allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(x_0\) aufstellen: \(y = f_k'(x_0) \cdot (x - x_0) + f_k(x_0)\). 3. Koordinaten des Punktes \(P(k | 0)\) in die Tangentengleichung einsetzen: \(0 = \frac{1}{k} \cdot e^{x_0} \cdot (k - x_0) + \frac{1}{k} \cdot e^{x_0}\). 4. Die Gleichung nach \(x_0\) auflösen: Ausklammern führt zu \(0 = \frac{1}{k} \cdot e^{x_0} \cdot (k - x_0 + 1)\). Da \(\frac{1}{k} \cdot e^{x_0} \neq 0\), folgt \(k - x_0 + 1 = 0\), also \(x_0 = k + 1\). 5. Tangentengleichung bestimmen: Einsetzen von \(x_0\) ergibt \(y = \frac{1}{k} \cdot e^{k+1} \cdot (x - (k+1)) + \frac{1}{k} \cdot e^{k+1}\), was zu \(y = \frac{e^{k+1}}{k} \cdot (x - k)\) vereinfacht wird.

Die Berührstelle ist \(x_0 = k + 1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = \frac{e^{k+1}}{k} \cdot (x - k)\).

- Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der Punkt \(P\) auf dem Graphen der Funktion liegt? - Die Tangente berührt den Graphen im Punkt \(P(2 | 0)\). Was bedeutet das für den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse? - Wie kannst du aus dem Flächeninhalt des Dreiecks und dem Schnittpunkt auf der \(x\)-Achse den Schnittpunkt auf der \(y\)-Achse bestimmen? - Nutze die beiden Achsenschnittpunkte, um die Steigung der Tangente zu berechnen, und vergleiche diese mit der Ableitung an der Stelle \(x = 2\).

1. Da \(P(2 | 0)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(f_{a, b}(2) = 0\), woraus die Gleichung \(4a + 2b + 5 = 0\) bzw. \(4a + 2b = -5\) folgt. 2. Da der Punkt \(P(2 | 0)\) auf der \(x\)-Achse liegt, ist die Nullstelle der Tangente \(x_0 = 2\). 3. Für den Flächeninhalt im I. Quadranten gilt \(A = \frac{1}{2} \cdot x_0 \cdot y_0 = 6\). Einsetzen von \(x_0 = 2\) ergibt den \(y\)-Achsenabschnitt \(y_0 = 6\). 4. Die Steigung \(m\) der Tangente durch die Achsenschnittpunkte \((2 | 0)\) und \((0 | 6)\) beträgt \(m = \frac{0 - 6}{2 - 0} = -3\). 5. Mit \(f_{a, b}'(x) = 2ax + b\) folgt an der Stelle \(x = 2\) die Bedingung \(f_{a, b}'(2) = 4a + b = -3\). 6. Das Lösen des Gleichungssystems \(4a + 2b = -5\) und \(4a + b = -3\) ergibt durch Subtraktion \(b = -2\) und durch Einsetzen \(a = -0{,}25\).

\(a = -0{,}25\) und \(b = -2\)

- Was sagt der Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle über die Tangente an diesem Punkt aus? - Welche Ableitungsregeln musst du kombinieren, um ein Produkt aus zwei Funktionen abzuleiten, von denen eine verkettet ist? - Denke beim Ableiten von \(\tan(c - x)\) an die innere Ableitung der Klammer. - Ist es notwendig, die Ableitung für alle \(x\) vollständig zu vereinfachen, oder reicht es, den Zielwert einzusetzen?

1. Ableitung der Funktion \(f\) unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \tan(c - x) + \tan(x) \cdot \frac{1}{\cos^2(c - x)} \cdot (-1)\). 2. Vereinfachung der Ableitung zu: \(f'(x) = \frac{\tan(c - x)}{\cos^2(x)} - \frac{\tan(x)}{\cos^2(c - x)}\). 3. Einsetzen der Stelle \(x = \frac{c}{2}\) in den Ableitungsterm: \(f'\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{\tan(c - \frac{c}{2})}{\cos^2(\frac{c}{2})} - \frac{\tan(\frac{c}{2})}{\cos^2(c - \frac{c}{2})}\). 4. Auswertung der Terme: Da \(c - \frac{c}{2} = \frac{c}{2}\) gilt, folgt \(f'\left(\frac{c}{2}\right) = \frac{\tan(\frac{c}{2})}{\cos^2(\frac{c}{2})} - \frac{\tan(\frac{c}{2})}{\cos^2(\frac{c}{2})} = 0\). 5. Ergebnis: Da die erste Ableitung an der Stelle \(x = \frac{c}{2}\) null ist, liegt dort eine waagerechte Tangente vor.

Der Nachweis erfolgt über die erste Ableitung \(f'(x) = \frac{\tan(c - x)}{\cos^2(x)} - \frac{\tan(x)}{\cos^2(c - x)}\). Durch Einsetzen von \(x = \frac{c}{2}\) ergibt sich \(f'\left(\frac{c}{2}\right) = 0\), was die Existenz einer waagerechten Tangente bestätigt.

- Was benötigst du alles, um eine Geradengleichung aufzustellen? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten der e-Funktion. - Wie findet man die Nullstelle einer linearen Funktion? - Welche Maße des Dreiecks lassen sich direkt aus den Achsenschnittpunkten ablesen?

1. Funktionswert berechnen: \(f(4) = 4 \cdot e^{-0{,}25 \cdot 4} = 4 \cdot e^{-1} = \frac{4}{e}\). Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 4 \cdot (-0{,}25) \cdot e^{-0{,}25x} = -e^{-0{,}25x}\). Steigung an der Stelle \(x_0 = 4\) berechnen: \(f'(4) = -e^{-0{,}25 \cdot 4} = -e^{-1} = -\frac{1}{e}\). Tangentengleichung aufstellen: \(y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) \implies y = -\frac{1}{e} \cdot (x - 4) + \frac{4}{e} = -\frac{1}{e}x + \frac{4}{e} + \frac{4}{e} = -\frac{1}{e}x + \frac{8}{e}\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(x = 0\) einsetzen ergibt \(S_y(0 | \frac{8}{e})\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(0 = -\frac{1}{e}x + \frac{8}{e} \implies \frac{1}{e}x = \frac{8}{e} \implies x = 8\). Somit \(S_x(8 | 0)\). 3. Das Dreieck hat die Kathetenlängen \(a = 8\) (Abstand des Schnittpunkts auf der \(x\)-Achse zum Ursprung) und \(b = \frac{8}{e}\) (Abstand des Schnittpunkts auf der \(y\)-Achse zum Ursprung). Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{e} = \frac{32}{e} \approx 11{,}77\).

1. Tangentengleichung: \(t: y = -\frac{1}{e}x + \frac{8}{e}\) 2. Schnittpunkte: \(S_x(8 | 0)\) und \(S_y(0 | \frac{8}{e})\) 3. Flächeninhalt: \(A = \frac{32}{e} \approx 11{,}77\,\text{FE}\)

- Arbeite im ersten Teil allgemein mit den Variablen \(x_0\) und \(k\). - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Tangentengleichung so ausklammern, dass der Term \(e^{kx_0}\) als Faktor vor einer Klammer steht? - Nutze das Ergebnis aus dem ersten Aufgabenteil als Formel für die restlichen Fragen. - Was ist der \(x\)-Wert des Koordinatenursprungs?

1. Ableitung bilden: \(f_k'(x) = ke^{kx}\). Tangentengleichung an \(x_0\): \(y = k e^{kx_0}(x - x_0) + e^{kx_0}\). Schnittpunkt mit \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = e^{kx_0} \cdot [k(x - x_0) + 1]\). Da \(e^{kx_0} > 0\), muss \(k(x - x_0) + 1 = 0\) gelten. Umformen ergibt \(k(x - x_0) = -1 \implies x - x_0 = -\frac{1}{k} \implies x_s = x_0 - \frac{1}{k}\). 2. Gegeben sind \(x_0 = 3\) und \(x_s = 1\). Einsetzen in die Formel: \(1 = 3 - \frac{1}{k} \implies -2 = -\frac{1}{k} \implies 2 = \frac{1}{k} \implies k = 0{,}5\). 3. Die Tangente geht durch den Ursprung, wenn \(x_s = 0\). Mit \(k = 0{,}5\) gilt: \(0 = x_0 - \frac{1}{0{,}5} \implies 0 = x_0 - 2 \implies x_0 = 2\).

1. Nachweis durch Nullsetzen der Tangente: \(x_s = x_0 - \frac{1}{k}\). 2. \(k = 0{,}5\) 3. \(x_0 = 2\)

- Überlege dir zuerst, welchen \(x\)-Wert du in die Tangentengleichung einsetzen musst, um den gesuchten Logarithmuswert zu erhalten. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Lage der Tangente im Vergleich zum Graphen aus? - Skizziere dir grob den Verlauf einer rechtsgekrümmten Funktion und ihrer Tangente.

1. Funktionswert und Ableitung an der Stelle \(x_0 = 0\): \(f(0) = \ln(1) = 0\). Die Ableitung ist \(f'(x) = \frac{1}{x+1}\), also \(f'(0) = \frac{1}{0+1} = 1\). 2. Tangentengleichung aufstellen: \(t(x) = f'(0) \cdot (x - 0) + f(0) = 1 \cdot x + 0\), also \(t(x) = x\). Dies liefert die Näherung \(\ln(x+1) \approx x\) für \(x\) nahe \(0\). 3. Berechnung der Näherungswerte: - Für \(\ln(1{,}1)\) ist \(x = 0{,}1\), also \(\ln(1{,}1) \approx 0{,}1\). - Für \(\ln(1{,}02)\) ist \(x = 0{,}02\), also \(\ln(1{,}02) \approx 0{,}02\). - Für \(\ln(0{,}95)\) ist \(x = -0{,}05\), also \(\ln(0{,}95) \approx -0{,}05\). 4. Krümmungsverhalten und Fehlerabschätzung: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}\). Da \(f''(x) < 0\) für alle \(x > -1\), ist der Graph von \(f\) rechtsgekrümmt (konkav). Die Tangente liegt somit oberhalb des Graphen. Folglich sind alle berechneten Näherungswerte größer als die tatsächlichen Funktionswerte.

a) \(t(x) = x\) b) \(\ln(1{,}1) \approx 0{,}1\); \(\ln(1{,}02) \approx 0{,}02\); \(\ln(0{,}95) \approx -0{,}05\) c) Wegen \(f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt. Die Tangente liegt oberhalb des Graphen, daher sind die Näherungswerte größer als die exakten Werte.

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an der Stelle \(x_0\). - Wie hängen die Krümmung eines Graphen und die Lage der Tangente zusammen? - Setze die \(x\)-Werte direkt in deine gefundene Geradengleichung ein.

1. Punkt und Steigung bestimmen: \(g(4) = \sqrt{4} = 2\). Die Ableitung ist \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), woraus folgt \(g'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Tangentengleichung \(L(x)\) aufstellen: \(L(x) = g'(4)(x - 4) + g(4) = 0{,}25(x - 4) + 2 = 0{,}25x + 1\). 3. Näherungswerte berechnen: - \(L(4{,}1) = 0{,}25 \cdot 0{,}1 + 2 = 0{,}025 + 2 = 2{,}025\) - \(L(4{,}04) = 0{,}25 \cdot 0{,}04 + 2 = 0{,}01 + 2 = 2{,}01\) - \(L(3{,}9) = 0{,}25 \cdot (-0{,}1) + 2 = -0{,}025 + 2 = 1{,}975\) 4. Begründung der Überschätzung: Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}}\). Für \(x > 0\) ist \(g''(x) < 0\). Der Graph ist somit rechtsgekrümmt (konkav), weshalb die Tangente (außer im Berührpunkt) überall oberhalb des Graphen verläuft. Die Werte der Tangente sind daher größer als die der Wurzelfunktion.

a) \(L(x) = 0{,}25x + 1\) b) \(\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}025\); \(\sqrt{4{,}04} \approx 2{,}01\); \(\sqrt{3{,}9} \approx 1{,}975\) c) Da \(g''(x) = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}} < 0\) für \(x > 0\) gilt, ist der Graph rechtsgekrümmt. Die Tangente liegt über dem Graphen, was zu einer Überschätzung führt.

- Bestimme zuerst die allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(x_0\). - Wie berechnet man die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten \(A(x_1|y_1)\) und \(B(x_2|y_2)\). - Vergleiche am Ende die Koordinaten des Mittelpunkts mit den Koordinaten von \(P\).

1. Die Ableitung von \(f(x) = 4x^{-1}\) ist \(f'(x) = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}\). 2. Die Tangentengleichung im Punkt \(P(x_0 \mid \frac{4}{x_0})\) lautet: \(y = -\frac{4}{x_0^2}(x - x_0) + \frac{4}{x_0}\). Vereinfacht ergibt dies \(y = -\frac{4}{x_0^2}x + \frac{8}{x_0}\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(y = \frac{8}{x_0}\), also \(S_y(0 \mid \frac{8}{x_0})\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = -\frac{4}{x_0^2}x + \frac{8}{x_0} \implies \frac{4}{x_0^2}x = \frac{8}{x_0} \implies x = 2x_0\), also \(S_x(2x_0 \mid 0)\). 5. Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{S_x S_y}\) berechnet sich durch \(M\left(\frac{x_{S_x} + x_{S_y}}{2} \mid \frac{y_{S_x} + y_{S_y}}{2}\right)\). Einsetzen ergibt \(M\left(\frac{2x_0 + 0}{2} \mid \frac{0 + \frac{8}{x_0}}{2}\right) = M(x_0 \mid \frac{4}{x_0})\). Dies entspricht exakt den Koordinaten des Berührpunktes \(P\).

Die Tangente an der Stelle \(x_0\) hat die Gleichung \(y = -\frac{4}{x_0^2}x + \frac{8}{x_0}\). Die Achsenschnittpunkte sind \(S_x(2x_0 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid \frac{8}{x_0})\). Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{S_x S_y}\) ist \(M\left(\frac{2x_0+0}{2} \mid \frac{0+\frac{8}{x_0}}{2}\right) = (x_0 \mid \frac{4}{x_0})\), was identisch mit dem Berührpunkt \(P\) ist.

- Erinnere dich daran, dass parallele Geraden die gleiche Steigung besitzen. - Welche Regel benötigst du, um eine verkettete Funktion mit dem natürlichen Logarithmus abzuleiten? - Nach dem Gleichsetzen der Ableitung mit der Steigung erhältst du eine quadratische Gleichung. Wie löst du diese? - Verwende die Punkt-Steigungs-Form für die finale Tangentengleichung.

1. Umformen der Geradengleichung \(4x - 5y + 10 = 0\) zu \(y = 0{,}8x + 2\) ergibt die Steigung \(m = 0{,}8\). 2. Ableitung von \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) mit der Kettenregel: \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). 3. Bedingung für Parallelität: \(\frac{2x}{x^2 + 1} = 0{,}8 \implies 0{,}8x^2 - 2x + 0{,}8 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung liefert \(x_1 = 0{,}5\) und \(x_2 = 2\). 5. Bestimmung der \(y\)-Koordinaten: \(f(0{,}5) = \ln(1{,}25)\) und \(f(2) = \ln(5)\). Die Punkte sind \(P_1(0{,}5 \mid \ln(1{,}25))\) und \(P_2(2 \mid \ln(5))\). 6. Aufstellen der Tangentengleichungen: \(t_1: y = 0{,}8x - 0{,}4 + \ln(1{,}25)\) und \(t_2: y = 0{,}8x - 1{,}6 + \ln(5)\).

Punkte: \(P_1(0{,}5 \mid \ln(1{,}25))\) und \(P_2(2 \mid \ln(5))\) Tangentengleichungen: \(y = 0{,}8x - 0{,}4 + \ln(1{,}25)\) und \(y = 0{,}8x - 1{,}6 + \ln(5)\)

- Überlege dir, wie die allgemeine Tangentengleichung an einer Stelle \(u\) aussieht. - Nutze die Koordinaten des gegebenen Punktes \(P\), um die Unbekannte \(u\) zu bestimmen. - Skizziere die Situation grob, um die Integrationsgrenzen und die Lage der Funktionen zueinander zu erkennen. - Achte beim Integrieren auf die richtige Stammfunktion der Exponentialfunktion.

1. Bestimmung des Berührpunktes \(B(u|f(u))\): Die Tangentengleichung lautet allgemein \(y = f'(u) \cdot (x - u) + f(u)\). Mit \(f'(x) = e^{0{,}5x}\) und dem Punkt \(P(2|0)\) ergibt sich die Bedingung \(0 = e^{0{,}5u} \cdot (2 - u) + 2 \cdot e^{0{,}5u}\). 2. Lösen der Gleichung: \(e^{0{,}5u} \cdot (2 - u + 2) = 0 \implies 4 - u = 0 \implies u = 4\). Der Berührpunkt ist \(B(4|2e^2)\). 3. Tangentengleichung: \(t(x) = f'(4) \cdot (x - 4) + f(4) = e^2 \cdot (x - 4) + 2e^2 = e^2 x - 2e^2\). 4. Flächenberechnung: Die Fläche liegt im Intervall \([0; 4]\) zwischen \(f(x)\) und \(t(x)\). Da \(f(x) \geq t(x)\) in diesem Bereich, gilt \(A = \int_{0}^{4} (2e^{0{,}5x} - (e^2 x - 2e^2)) \, dx\). 5. Integration: \(A = [4e^{0{,}5x} - \frac{1}{2}e^2 x^2 + 2e^2 x]_{0}^{4} = (4e^2 - 8e^2 + 8e^2) - (4e^0 - 0 + 0) = 4e^2 - 4\). Der Flächeninhalt beträgt \(4e^2 - 4 \approx 25{,}56\,\text{FE}\).

a) Berührpunkt \(B(4|2e^2)\), Tangentengleichung \(t: y = e^2 x - 2e^2\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(4e^2 - 4 \approx 25{,}56\,\text{FE}\).

- Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Welche zwei Bedingungen müssen an einer Berührstelle für die Funktionen \(p\) und \(f\) erfüllt sein? - Stelle zuerst den allgemeinen Term einer Parabel auf und bestimme so viele Parameter wie möglich aus der Berührung im Ursprung. - Wie kannst du den verbleibenden Parameter mithilfe des Punktes \(A\) berechnen? - Überprüfe am Ende, ob deine gefundene Funktion tatsächlich vom Grad 2 ist.

1. Ermittlung der Eigenschaften von \(f\) im Ursprung \(O(0|0)\): \(f(0) = \ln(1) = 0\) und \(f'(x) = \frac{1}{x+1}\), woraus die Steigung \(f'(0) = 1\) resultiert. 2. Anwendung der Berührbedingungen auf den allgemeinen Ansatz \(p(x) = ax^2 + bx + c\): Da der Graph durch den Ursprung geht, ist \(p(0) = 0\), also \(c = 0\). Wegen der gleichen Steigung gilt \(p'(0) = f'(0) = 1\), woraus mit \(p'(x) = 2ax + b\) direkt \(b = 1\) folgt. 3. Einsetzen des Punktes \(A(2|4)\) in den vorläufigen Funktionsterm \(p(x) = ax^2 + x\): \(p(2) = a \cdot 2^2 + 2 = 4\). 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(4a + 2 = 4 \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = 0{,}5\). 5. Aufstellen der fertigen Funktionsgleichung: \(p(x) = 0{,}5x^2 + x\).

\(p(x) = 0{,}5x^2 + x\)

- Überlege dir zuerst, wie die allgemeine Gleichung einer Tangente an einer unbekannten Stelle \(u\) aussieht. - Welche Bedingungen muss die Tangente erfüllen, damit sie durch einen bestimmten Punkt außerhalb des Graphen geht? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in deine Tangentengleichung ein, um die Berührstelle zu finden. - Denk daran, dass die Exponentialfunktion niemals den Wert Null annimmt.

1. Die allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(u\) lautet \(y = f'(u)(x-u) + f(u)\). 2. Mit \(f'(x) = 2e^{2x}\) ergibt sich \(y = 2e^{2u}(x-u) + e^{2u}\). 3. Da die Tangente durch \(P(1|0)\) verläuft, setzt man \(x=1\) und \(y=0\) ein: \(0 = 2e^{2u}(1-u) + e^{2u}\). 4. Ausklammern führt zu \(e^{2u} \cdot (2 - 2u + 1) = 0\), also \(e^{2u} \cdot (3 - 2u) = 0\). 5. Da \(e^{2u} > 0\) für alle \(u\), folgt \(3 - 2u = 0\) und somit \(u = 1{,}5\). 6. Die Steigung an der Stelle \(u = 1{,}5\) ist \(f'(1{,}5) = 2e^3\). 7. Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form mit \(P(1|0)\) ergibt die Tangentengleichung \(y = 2e^3 \cdot (x - 1) = 2e^3x - 2e^3\).

\(y = 2e^3x - 2e^3\)

- Wie sieht die Funktionsgleichung einer Geraden aus, die durch den Ursprung verläuft? - Ein Punkt auf dem Graphen ist genau dann ein Berührpunkt einer Ursprungstangente, wenn die Steigung der Geraden vom Ursprung zu diesem Punkt gleich der Ableitung an dieser Stelle ist. - Verwende die Kettenregel, um die Funktion abzuleiten. - Wie viele Lösungen besitzt die Gleichung, die du für die Berührstelle aufstellst?

1. Die Ableitung der Funktion ist \(f'(x) = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}\). 2. Eine Tangente durch den Ursprung hat die Form \(y = mx\), wobei die Steigung \(m = f'(u) = \frac{2}{u}\) an der Berührstelle \(u\) sein muss. 3. Da der Berührpunkt \((u|f(u))\) auf der Tangente liegt, gilt \(f(u) = \frac{2}{u} \cdot u = 2\). 4. Die Gleichung \(\ln(u^2) = 2\) führt zu \(u^2 = e^2\), woraus die zwei Berührstellen \(u_1 = e\) und \(u_2 = -e\) folgen. Dies zeigt die Existenz von genau zwei Tangenten. 5. Die Steigungen sind \(f'(e) = \frac{2}{e}\) und \(f'(-e) = -\frac{2}{e}\). 6. Die Tangentengleichungen lauten somit \(y = \frac{2}{e}x\) und \(y = -\frac{2}{e}x\).

a) Die Bedingung für die Berührstelle \(u\) lautet \(\ln(u^2) = 2\). Diese hat genau die zwei Lösungen \(u = e\) und \(u = -e\). b) \(y = \frac{2}{e}x\) und \(y = -\frac{2}{e}x\)

- Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Gerade einen Graphen berührt? - Welche Bedingungen müssen an der Berührstelle für die Funktionswerte und die Steigungen gelten? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch die Berührstelle \(x_0\) als Unbekannte vorkommt? - Denke an die Quotientenregel beim Ableiten.

1. Bedingungen für den Berührpunkt an der Stelle \(x_0\): Es muss gelten \(f(x_0) = g(x_0)\) und \(f'(x_0) = g'(x_0)\). 2. Ableitungen bestimmen: \(g'(x) = k\) und \(f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}\). 3. Aus \(f'(x_0) = k\) folgt durch Einsetzen in die erste Bedingung: \(f'(x_0) \cdot x_0 = f(x_0)\). 4. Gleichung aufstellen: \(\frac{e^{x_0}(x_0-1)}{x_0^2} \cdot x_0 = \frac{e^{x_0}}{x_0}\). 5. Gleichung lösen: Durch Multiplikation mit \(x_0\) und Division durch \(e^{x_0}\) (da \(e^{x_0} \neq 0\)) erhält man \(x_0 - 1 = 1\), also \(x_0 = 2\). 6. Steigung berechnen: \(k = f'(2) = \frac{e^2(2-1)}{2^2} = \frac{e^2}{4}\). 7. Berührpunkt berechnen: \(y_0 = f(2) = \frac{e^2}{2}\). Der Berührpunkt ist \(B(2 \mid 0{,}5e^2)\).

Die Steigung beträgt \(k = \frac{e^2}{4}\). Der Berührpunkt liegt bei \(B(2 \mid \frac{e^2}{2})\).

- Welche allgemeine Form hat eine Tangente, die durch den Koordinatenursprung verläuft? - Wie hängen der Funktionswert und der Wert der Ableitung an einer Stelle zusammen, wenn dort eine Tangente vom Ursprung aus anliegt? - Erinnere dich an die Bedingung für die Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 4x + 1\). 2. Ansatz für eine Tangente durch den Ursprung: Da die Tangente durch \((0|0)\) verläuft, muss ihre Gleichung die Form \(y = f'(x_0) \cdot x\) haben. Am Berührpunkt \(x_0\) muss zudem gelten: \(f(x_0) = f'(x_0) \cdot x_0\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{1}{2}x_0^3 - 2x_0^2 + x_0 = x_0 \cdot (\frac{3}{2}x_0^2 - 4x_0 + 1)\). 4. Vereinfachen: \(\frac{1}{2}x_0^3 - 2x_0^2 + x_0 = \frac{3}{2}x_0^3 - 4x_0^2 + x_0 \Rightarrow x_0^3 - 2x_0^2 = 0\). 5. Ausklammern: \(x_0^2(x_0 - 2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_0 = 0\) (Berührpunkt im Ursprung) und \(x_0 = 2\). Da \(B \neq O\), ist \(x_0 = 2\). 6. Koordinaten von \(B\): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 2 = -2\). Somit ist \(B(2|-2)\). 7. Tangentengleichung: Die Steigung ist \(m_t = f'(2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 1 = -1\). Die Gleichung lautet \(t: y = -x\). 8. Orthogonalitätsnachweis: Die Steigung der Tangente im Ursprung ist \(m_0 = f'(0) = 1\). Da \(m_t \cdot m_0 = -1 \cdot 1 = -1\) gilt, schneiden sich die Tangenten orthogonal.

a) Die Tangentengleichung lautet \(t: y = -x\). Der Berührpunkt ist \(B(2|-2)\). b) Die Steigung der Tangente \(t\) ist \(m_1 = -1\). Die Steigung der Tangente im Ursprung ist \(m_2 = f'(0) = 1\). Wegen \(m_1 \cdot m_2 = -1\) sind die Tangenten orthogonal.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Wie bestimmt man die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen? - Welche Rolle spielt die Vielfachheit einer Nullstelle beim Lösen der Schnittgleichung, wenn es sich um einen Berührpunkt handelt? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen mithilfe der Integralrechnung?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). 2. Steigung im Punkt \(B(0|0)\) berechnen: \(m = f'(0) = -3\). Da der Punkt im Ursprung liegt, lautet die Tangentengleichung \(t(x) = -3x\). 3. Schnittpunkt \(Q\) berechnen: Ansatz \(f(x) = t(x)\) führt zu \(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x = -3x\). Dies vereinfacht sich zu \(\frac{1}{3}x^3 - x^2 = 0\), also \(x^2(\frac{1}{3}x - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (Berührpunkt) und \(x_2 = 3\). Einsetzen in \(t(x)\) ergibt \(Q(3|-9)\). 4. Flächeninhalt berechnen: Da \(t(x) \geq f(x)\) im Intervall \([0; 3]\) gilt (Testwert \(x=1\): \(t(1)=-3 > f(1) \approx -3{,}67\)), berechnet man das Integral \(\int_{0}^{3} (t(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{3} (x^2 - \frac{1}{3}x^3) \, dx\). 5. Stammfunktion bilden und auswerten: \([\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{12}x^4]_{0}^{3} = (9 - \frac{81}{12}) - 0 = 9 - 6{,}75 = 2{,}25\). Der Flächeninhalt beträgt \(2{,}25\,\text{FE}\).

a) \(t(x) = -3x\) b) \(Q(3|-9)\) c) \(A = 2{,}25\,\text{FE}\)

- Welche Werte kann die Kosinusfunktion in dem angegebenen Intervall annehmen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Wie findet man die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen? - Das Dreieck ist rechtwinklig, da es von den Koordinatenachsen begrenzt wird.

1. Da \(\cos(x)\) für \(x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) Werte zwischen \(0\) und \(1\) annimmt, ist die Wertemenge \(W = [0; k]\). 2. Der Funktionswert ist \(h_k(\frac{\pi}{4}) = \frac{k\sqrt{2}}{2}\). Die Ableitung ist \(h_k'(x) = -k \sin(x)\), also \(h_k'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{k\sqrt{2}}{2}\). Die Tangentengleichung lautet \(t_k(x) = -\frac{k\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{k\sqrt{2}}{2} = -\frac{k\sqrt{2}}{2}x + \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4})\). 3. Die Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen sind \(S_y(0 | \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4}))\) und \(S_x(1 + \frac{\pi}{4} | 0)\). Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, ist der Flächeninhalt \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4}) = \frac{k\sqrt{2}}{4}(1 + \frac{\pi}{4})^2\). 4. Gleichsetzen \(\frac{k\sqrt{2}}{4}(1 + \frac{\pi}{4})^2 = 10\) ergibt \(k = \frac{40}{\sqrt{2}(1 + \frac{\pi}{4})^2} = \frac{20\sqrt{2}}{(1 + \frac{\pi}{4})^2} \approx 8{,}87\).

1. \(W = [0; k]\) 2. \(t_k(x) = -\frac{k\sqrt{2}}{2}x + \frac{k\sqrt{2}}{2}(1 + \frac{\pi}{4})\) 3. \(A(k) = \frac{k\sqrt{2}}{4}(1 + \frac{\pi}{4})^2\) 4. \(k = \frac{20\sqrt{2}}{(1 + \frac{\pi}{4})^2} \approx 8{,}87\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für die Gleichung einer Tangente an einen Graphen an einer Stelle \(a\)? - Welche Ableitungsregel benötigst du für die natürliche Logarithmusfunktion? - Wie bestimmt man den Schnittpunkt einer Geraden mit der \(y\)-Achse? - Vergleiche die beiden \(y\)-Koordinaten zunächst symbolisch, bevor du einen Zahlenwert erwartest. - Woran erkennst du an einem Term, dass das Ergebnis unabhängig von \(a\) ist?

a) Die Ableitung von \(f(x) = \ln(x)\) ist \(f'(x) = \frac{1}{x}\). Die Steigung der Tangente im Punkt \(P(a \mid \ln(a))\) ist daher \(f'(a)=\frac{1}{a}\). Mit der Punkt-Steigungs-Form folgt \(y-\ln(a)=\frac{1}{a}(x-a)\), also \(t: y=\frac{1}{a}x-1+\ln(a)\). b) Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird \(x=0\) eingesetzt. Damit ist \(y_S=\ln(a)-1\) und somit \(S(0\mid\ln(a)-1)\). c) Der vertikale Abstand beträgt \(d=y_P-y_S=\ln(a)-(\ln(a)-1)=1\). Der Wert enthält den Parameter \(a\) nicht mehr und ist deshalb für alle \(a>0\) konstant.

a) \(t: y = \frac{1}{a}x - 1 + \ln(a)\) b) \(S(0 \mid \ln(a) - 1)\) c) Der vertikale Abstand ist für alle \(a>0\) konstant und beträgt \(1\).

- Wie lautet die Ableitung von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten? - Setze die allgemeine Tangentenformel zusammen und versuche, sie so weit wie möglich zu vereinfachen. - Wenn eine Gerade durch einen Punkt auf der \(y\)-Achse verläuft, entspricht dessen \(y\)-Koordinate dem \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den gefundenen Wert von \(a\) in die Tangentengleichung einsetzt.

1. Ableitungsfunktion von \(g(x) = 2x^{-1}\) bestimmen: \(g'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\). 2. Allgemeine Tangentengleichung im Punkt \(Q_a\) aufstellen: \(y = g'(a) \cdot (x - a) + g(a) = -\frac{2}{a^2} \cdot (x - a) + \frac{2}{a}\). 3. Term vereinfachen: \(y = -\frac{2}{a^2}x + \frac{2}{a} + \frac{2}{a} = -\frac{2}{a^2}x + \frac{4}{a}\). 4. Bedingung für \(P(0 \mid 4)\) einsetzen: \(4 = -\frac{2}{a^2} \cdot 0 + \frac{4}{a} \Rightarrow 4 = \frac{4}{a}\). 5. Nach \(a\) auflösen: \(a = 1\).

a) \(t_a: y = -\frac{2}{a^2}x + \frac{4}{a}\) b) \(a = 1\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einen Graphen an einer Stelle \(a\)? - Welche Bedingung muss für die \(y\)-Koordinate eines Punktes auf der \(x\)-Achse gelten? - Vereinfache die Gleichung für den Achsenschnittpunkt symbolisch, bevor du einen konkreten Wert für \(a\) einsetzt. - Vergleiche anschließend nur die beiden \(x\)-Koordinaten von \(P\) und \(Q\).

a) Die Ableitung ist \(f'(x) = 0{,}5e^{0{,}5x}\). Damit lautet die Tangente an der Stelle \(x=a\): \(t: y=0{,}5e^{0{,}5a}(x-a)+e^{0{,}5a}\). b) Für \(Q(x_Q\mid0)\) gilt \(0=0{,}5e^{0{,}5a}(x_Q-a)+e^{0{,}5a}\). Da \(e^{0{,}5a}\neq0\), folgt \(0=0{,}5(x_Q-a)+1\) und damit \(x_Q=a-2\). c) Der horizontale Abstand ist \(d=|a-x_Q|=|a-(a-2)|=2\). Der Parameter \(a\) fällt weg; die Subtangente ist daher für jede Wahl von \(a\) konstant.

a) \(t: y = 0{,}5e^{0{,}5a}(x-a)+e^{0{,}5a}\) b) \(x_Q=a-2\) c) Die Subtangente hat für alle \(a\) den konstanten Wert \(2\).

- Bestimme zunächst den Punktwert \(k(2)\). - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Berührstelle. - Welche trigonometrische Beziehung verbindet die Steigung einer Geraden mit ihrem Neigungswinkel?

1. Es gilt \(k(2)=\frac{2\cdot2^2}{2^2+2}=\frac{4}{3}\). Der Berührpunkt ist \(P(2\mid\frac43)\). 2. Die Ableitung lautet \(k'(x)=\frac{8x}{(x^2+2)^2}\). Damit ist \(m=k'(2)=\frac{4}{9}\). 3. Die Tangente ist \(y=\frac49(x-2)+\frac43=\frac49x+\frac49\). 4. Aus \(\tan(\alpha)=\frac49\) folgt \(\alpha=\arctan(\frac49)\approx23{,}96^\circ\).

Die Tangente lautet \(y=\frac49x+\frac49\). Ihr Winkel mit der positiven \(x\)-Achse beträgt \(\alpha\approx23{,}96^\circ\).

- Verwende die Nullstellenform der Parabel, um einen ersten Funktionsterm mit einem unbekannten Parameter aufzustellen. - Bestimme die Steigung der Tangenten mithilfe der Ableitungsfunktion an den Stellen der Nullstellen. - Stelle die Gleichung für eine der beiden Tangenten auf. - Nutze den im Text genannten Schnittpunkt der Tangenten, um den fehlenden Parameter der Parabel zu berechnen.

1. Da die Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 4\) liegen, kann die Funktion in der Nullstellenform \(f(x) = ax(x - 4) = ax^2 - 4ax\) angesetzt werden. 2. Die Ableitung der Funktion lautet \(f'(x) = 2ax - 4a\). 3. Die Steigung der Tangente im Ursprung (\(x = 0\)) ist \(f'(0) = -4a\). Da die Tangente durch den Punkt \((0 \mid 0)\) verläuft, lautet ihre Gleichung \(y = -4ax\). 4. Der Schnittpunkt \(S(2 \mid -6)\) liegt auf dieser Tangente. Durch Einsetzen der Koordinaten erhält man: \(-6 = -4a \cdot 2\), woraus \(-6 = -8a\) folgt. 5. Damit ergibt sich der Parameter \(a = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 6. Der gesuchte Funktionsterm lautet somit \(f(x) = 0{,}75(x^2 - 4x) = 0{,}75x^2 - 3x\).

\(f(x) = 0{,}75x^2 - 3x\)

- Beschreibe einen zunächst unbekannten Berührpunkt auf der Parabel mit einem Parameter. - Prüfe den Fall einer waagerechten Tangente gesondert, bevor du mit einer Kehrwertformel für die Normalensteigung arbeitest. - Welche Steigung hat die Normale in allen übrigen Berührpunkten? - Nutze anschließend die Bedingung, dass die Normale durch den festen Punkt \(Q\) verlaufen muss. - Prüfe, ob die entstehende Bedingung mehrere weitere Berührpunkte liefert.

1. Ein möglicher Berührpunkt ist \(P(a\mid a^2)\). Zuerst ist der Sonderfall \(a=0\) zu prüfen: Dort ist die Tangente waagerecht, also die Normale die Gerade \(x=0\). Sie verläuft durch \(Q(0\mid3)\), daher ist \(P_0(0\mid0)\) eine Lösung. 2. Für \(a\ne0\) hat die Tangente die Steigung \(m_T=2a\) und die Normale die Steigung \(m_N=-\frac{1}{2a}\). 3. Die Normale durch \(P\) hat die Form \(y-a^2=-\frac{1}{2a}(x-a)\). Da \(Q(0\mid3)\) auf ihr liegen soll, gilt \(3-a^2=\frac{1}{2}\). 4. Damit ist \(a^2=\frac{5}{2}\), also \(a=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\). Die beiden weiteren Punkte sind \(P_1\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\mid\frac{5}{2}\right)\) und \(P_2\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}\mid\frac{5}{2}\right)\). 5. Für \(P_1\) ist die Normalensteigung \(-\frac{1}{\sqrt{10}}\), für \(P_2\) ist sie \(\frac{1}{\sqrt{10}}\). Da beide Normalen durch \(Q\) verlaufen, lauten ihre Gleichungen \(n_1(x)=3-\frac{x}{\sqrt{10}}\) und \(n_2(x)=3+\frac{x}{\sqrt{10}}\).

\(P_0(0\mid0)\) mit der vertikalen Normalen \(x=0\) \(P_1\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\mid\frac{5}{2}\right)\) mit \(n_1(x)=3-\frac{x}{\sqrt{10}}\) \(P_2\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}\mid\frac{5}{2}\right)\) mit \(n_2(x)=3+\frac{x}{\sqrt{10}}\)

- Behandle den Parameter \(k\) beim Ableiten und Rechnen wie eine konstante Zahl. - Nutze die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Für den Flächeninhalt eines Dreiecks mit einer Seite auf der x-Achse benötigst du die Länge dieser Seite und die y-Koordinate des gegenüberliegenden Eckpunkts. - Achte darauf, dass Längen und Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen.

1. Bestimmung der positiven Nullstelle: \(x^3 - kx = 0 \iff x(x^2 - k) = 0\). Die Lösungen sind \(x = 0\) und \(x = \pm\sqrt{k}\). Somit ist \(x_P = \sqrt{k}\). 2. Ableitungsfunktion: \(f_k'(x) = 3x^2 - k\). 3. Tangente \(t_0\) im Ursprung: Die Steigung ist \(f_k'(0) = -k\). Da der Punkt \((0|0)\) auf der Tangente liegt, lautet die Gleichung \(t_0: y = -kx\). 4. Tangente \(t_P\) im Punkt \((\sqrt{k}|0)\): Die Steigung ist \(f_k'(\sqrt{k}) = 3(\sqrt{k})^2 - k = 2k\). Die Punkt-Steigungs-Form ergibt \(y = 2k(x - \sqrt{k})\). 5. Schnittpunkt \(S\) der Tangenten: Gleichsetzen \(-kx = 2k(x - \sqrt{k}) \implies -kx = 2kx - 2k\sqrt{k} \implies 3kx = 2k\sqrt{k}\). Da \(k > 0\), folgt \(x_S = \frac{2}{3}\sqrt{k}\). Einsetzen in \(t_0\) ergibt \(y_S = -\frac{2}{3}k\sqrt{k}\). 6. Berechnung des Flächeninhalts: Die Grundseite auf der x-Achse liegt zwischen \(0\) und \(\sqrt{k}\), also \(g = \sqrt{k}\). Die Höhe ist \(h = |y_S| = \frac{2}{3}k\sqrt{k}\). Somit gilt \(A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{k} \cdot \frac{2}{3}k\sqrt{k} = \frac{1}{3}k \cdot (\sqrt{k})^2 = \frac{1}{3}k^2\).

a) \(x_P = \sqrt{k}\) b) \(t_0: y = -kx\); \(t_P: y = 2k(x - \sqrt{k})\) c) Nachweis durch Schnittpunkt \(S(\frac{2}{3}\sqrt{k}|-\frac{2}{3}k\sqrt{k})\) und \(A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{k} \cdot \frac{2}{3}k\sqrt{k} = \frac{1}{3}k^2\).

- Was ist die Steigung einer Kurve im Ursprung? - Für eine Tangente von einem externen Punkt aus hilft der allgemeine Ansatz für die Tangentengleichung an einer Stelle \(u\). - Denke beim Lösen der Gleichung daran, dass die \(e\)-Funktion niemals Null wird. - Wie hängen das Krümmungsverhalten und das Vorzeichen der zweiten Ableitung zusammen?

1. Tangente in \(x = 0\): Funktionswert \(g(0) = 0\), Ableitung \(g'(x) = (1 - x)e^{-x}\), also \(g'(0) = 1\). Die Tangentengleichung lautet \(y = 1 \cdot x + 0\), also \(y = x\). 2. Tangente von \(A(4 | 0)\): Ansatz für die Tangente im Berührpunkt \(B(u | g(u))\) ist \(y = g'(u)(x - u) + g(u)\). Einsetzen von \(A(4 | 0)\) führt zu \(0 = (1 - u)e^{-u}(4 - u) + u e^{-u}\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(e^{-u}((1 - u)(4 - u) + u) = 0 \Rightarrow u^2 - 4u + 4 = 0 \Rightarrow (u - 2)^2 = 0\). Daraus folgt \(u = 2\). 4. Berührpunkt und Tangente: \(B(2 | 2e^{-2})\), Steigung \(g'(2) = -e^{-2}\). Die Gleichung ist \(y = -e^{-2}(x - 2) + 2e^{-2}\), vereinfacht \(y = -e^{-2}x + 4e^{-2}\). 5. Krümmung: Zweite Ableitung \(g''(x) = (x - 2)e^{-x}\). Für \(x < 2\) ist \(g''(x) < 0\), also liegt eine Rechtskurve vor. Für \(x > 2\) ist \(g''(x) > 0\), also liegt eine Linkskurve vor.

a) \(y = x\) b) Berührpunkt \(B(2 | 2e^{-2})\), Tangentengleichung \(y = -e^{-2}x + 4e^{-2}\). c) Rechtskurve für \(x < 2\), Linkskurve für \(x > 2\), da \(g''(x) < 0\) für \(x < 2\) und \(g''(x) > 0\) für \(x > 2\).

- Untersuche das Grenzverhalten für \(x\to\pm\infty\). - Bestimme die Wendestellen allgemein in Abhängigkeit von \(k\) und setze diese in den Funktionsterm ein. - Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um den Schnittpunkt der Tangenten auf der \(y\)-Achse und die Nullstellen auf der \(x\)-Achse effizient zu bestimmen. - Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich aus der halben Grundseite mal Höhe. Setze den resultierenden Term mit dem Zielwert gleich.

1. Asymptote: Da \(k > 0\) ist, gilt für \(x \to \pm \infty\), dass der Exponent \(-kx^2 \to -\infty\). Somit gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} e^{-kx^2} = 0\). Die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) ist waagrechte Asymptote. 2. Wendepunkte: Ableitungen: \(g_k'(x) = -2kx \cdot e^{-kx^2}\) und \(g_k''(x) = (4k^2x^2 - 2k) \cdot e^{-kx^2}\). \(g_k''(x) = 0 \implies 4k^2x^2 = 2k \implies x^2 = \frac{1}{2k} \implies x_W = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}\). Einsetzen in \(g_k\): \(y_W = e^{-k \cdot \frac{1}{2k}} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}\). Dies ist unabhängig von \(k\). 3. Dreiecksfläche: Wendetangente bei \(x_W = \frac{1}{\sqrt{2k}}\) mit Steigung \(m = g_k'(x_W) = -2k \cdot \frac{1}{\sqrt{2k}} \cdot e^{-1/2} = -\frac{\sqrt{2k}}{\sqrt{e}}\). Nullstelle der Tangente: \(0 = m(x - x_W) + y_W \implies x_0 = x_W - \frac{y_W}{m} = \frac{1}{\sqrt{2k}} - \frac{1/\sqrt{e}}{-\sqrt{2k}/\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{2k}} + \frac{1}{\sqrt{2k}} = \frac{2}{\sqrt{2k}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}}\). Grundseite \(g = 2x_0 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{k}}\). Höhe (Schnittpunkt auf \(y\)-Achse): \(h = -m \cdot x_W + y_W = \frac{\sqrt{2k}}{\sqrt{e}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2k}} + \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{2}{\sqrt{e}}\). 4. Fläche berechnen: \(A(k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{k}} \cdot \frac{2}{\sqrt{e}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ke}}\). Gleichsetzen mit \(2\): \(2 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ke}} \implies \sqrt{ke} = \sqrt{2} \implies ke = 2 \implies k = \frac{2}{e}\). 5. Der Faktor \(4k^2x^2-2k\) wechselt an beiden Nullstellen sein Vorzeichen; damit sind beide Stellen tatsächlich Wendestellen.

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} g_k(x) = 0\). b) \(y_W = e^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{e}}\). c) \(k = \frac{2}{e}\).

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades auf. - Welche Informationen über den Funktionswert und die Ableitung kannst du aus der Bedingung „berührt an der Stelle \(x=0\)“ gewinnen? - Was sagt dir eine waagerechte Tangente über die Ableitung an dieser Stelle? - Nutze alle gegebenen Bedingungen, um ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten aufzustellen.

1. Ansatz: \(p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) und Ableitung \(p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\). 2. Berühren bei \(x=0\) bedeutet \(p(0) = f(0)\) und \(p'(0) = f'(0)\). 3. Funktionswert: \(f(0) = 4 \cdot e^0 = 4\), also \(d = 4\). 4. Steigung: \(f'(x) = -2e^{-0{,}5x}\), also \(f'(0) = -2\). Hieraus folgt \(c = -2\). 5. Waagerechte Tangente bei \(x = -1\): \(p'(-1) = 3a - 2b - 2 = 0\), also \(3a - 2b = 2\). 6. Punkt \(Q(1|2)\): \(p(1) = a + b - 2 + 4 = 2\), woraus \(a + b = 0\) bzw. \(b = -a\) folgt. 7. Gleichungssystem lösen: \(3a - 2(-a) = 2 \implies 5a = 2 \implies a = 0{,}4\). Damit ist \(b = -0{,}4\). 8. Zusammensetzen des Funktionsterms: \(p(x) = 0{,}4x^3 - 0{,}4x^2 - 2x + 4\).

\(p(x) = 0{,}4x^3 - 0{,}4x^2 - 2x + 4\)

- Stelle zuerst die Tangente an der Stelle \(a\) auf und bestimme ihre Achsenschnittpunkte. - Beachte im Bereich \(0<a<e\) die Vorzeichen der beiden Achsenabschnitte. - Untersuche das Vorzeichen von \(A'(a)\) auf beiden Seiten der kritischen Stelle. - Da das Intervall offen ist, musst du für ein absolutes Maximum auch die Grenzwerte an beiden Intervallrändern prüfen.

1. Die Ableitung von \(g(x)=2\ln(x)\) ist \(g'(x)=\frac{2}{x}\). Die Tangente an der Stelle \(a>0\) lautet daher \(t(x)=\frac{2}{a}(x-a)+2\ln(a)=\frac{2}{a}x-2+2\ln(a)\). 2. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse gilt \(R(0,2\ln(a)-2)\). Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=\frac{2}{a}x-2+2\ln(a)\), also \(S(a(1-\ln(a)),0)\). 3. Im Bereich \(0<a<e\) gilt \(x_S>0\) und \(y_R<0\). Der Flächeninhalt des Rechtecks ist daher \(A(a)=|x_Sy_R|=2a(1-\ln(a))^2\). 4. Die Ableitung ist \(A'(a)=2(1-\ln(a))(-1-\ln(a))\). Im offenen Intervall \((0,e)\) liegt nur die kritische Stelle \(a=e^{-1}=\frac1e\). 5. Für \(0<a<\frac1e\) ist \(A'(a)>0\), und für \(\frac1e<a<e\) ist \(A'(a)<0\). Außerdem gilt \(\lim_{a\to0^+}A(a)=0\) und \(\lim_{a\to e^-}A(a)=0\). Damit besitzt \(A\) bei \(a=\frac1e\) das absolute Maximum auf \((0,e)\). 6. Der maximale Flächeninhalt ist \(A\left(\frac1e\right)=\frac{8}{e}\approx2{,}943\).

a) \(S(a(1-\ln(a)),0)\) und \(R(0,2\ln(a)-2)\) b) \(A(a)=2a(1-\ln(a))^2\) c) Das absolute Maximum beträgt \(\frac8e\approx2{,}943\) Flächeneinheiten und wird bei \(a=\frac1e\) erreicht.

- Überlege dir zuerst, wie lange das Flugzeug für die Strecke \(s\) in der Luft ist und wie viel Höhe es dabei verliert. - Wie viel Zeit muss es im Aufwind verbringen, um genau diese Höhe wieder zu gewinnen? - Berücksichtige bei der Optimierung, welche Geschwindigkeiten im Sachzusammenhang zulässig sind. - Prüfe neben einer lokalen Minimalstelle auch das Verhalten der Zeitfunktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs. - Was bedeutet es geometrisch für eine Gerade, durch einen bestimmten Punkt zu verlaufen?

a) Die Gleitzeit beträgt \(t_{\text{G}} = \frac{s}{c}\) Stunden, also \(3600 \cdot \frac{s}{c}\) Sekunden. Der Höhenverlust ist \(h = g(c) \cdot \frac{3600 \cdot s}{c}\). Die Zeit zum Steigen ist \(t_{\text{St}} = \frac{h}{v_{\text{St}}} = \frac{g(c) \cdot 3600 \cdot s}{c \cdot v_{\text{St}}}\). Damit gilt \(T(c) = \frac{3600 \cdot s}{c} \left(1 + \frac{g(c)}{v_{\text{St}}}\right)\). b) Für den Sachzusammenhang gilt \(c>0\). Es genügt, \(f(c) = \frac{v_{\text{St}} + g(c)}{c}\) zu minimieren. Einsetzen ergibt \(f(c) = 0{,}0005 c - 0{,}08 + \frac{7{,}2}{c}\). Mit \(f'(c) = 0{,}0005 - \frac{7{,}2}{c^2}\) folgt aus \(f'(c)=0\) die Gleichung \(c^2=14\,400\), also \(c=120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Die Überprüfung der zweiten Ableitung \(f''(120) = \frac{14{,}4}{120^3} > 0\) bestätigt das Minimum. Da \(f(c)\to\infty\) für \(c\to0^+\) und für \(c\to\infty\) gilt, ist dieses Minimum auf \(c>0\) global. c) Für \(c=120\) gilt \(g(120)=1{,}6\) und \(g'(120)=0{,}04\). Die Tangente lautet \(y = 0{,}04(c-120)+1{,}6 = 0{,}04c-3{,}2\). Für \(c=0\) ergibt sich \(y=-3{,}2=-v_{\text{St}}\). Damit verläuft die Tangente durch \(P(0|-v_{\text{St}})\).

a) \(T(c) = \frac{3600s}{c} \left(1 + \frac{g(c)}{v_{\text{St}}}\right)\). b) Die optimale Geschwindigkeit beträgt \(c = 120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\); sie liefert das globale Minimum für \(c>0\). c) Die Tangente an \(g\) im Punkt \((120 | 1{,}6)\) hat die Gleichung \(y = 0{,}04c - 3{,}2\) und verläuft durch \((0|-3{,}2)\).

- Stelle eine Funktion für das Quadrat des Abstands eines Punktes auf der Kurve zum Ursprung auf. - Prüfe nicht nur die kritische Stelle, sondern auch, wie sich der Abstand für sehr kleine und sehr große positive \(x\)-Werte verhält. - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte? - Welche Bedingung erfüllen die Steigungen zweier senkrechter Geraden?

1. Für das Abstandsquadrat gilt \(g(x) = x^2 + \left(\frac{9}{x}\right)^2 = x^2 + 81x^{-2}\) mit \(x>0\). Die Ableitung ist \(g'(x) = 2x - 162x^{-3}\). Aus \(g'(x)=0\) folgt \(x^4=81\), also \(x=3\). Mit \(g''(x)=2+486x^{-4}\) und \(g''(3)=8>0\) liegt dort ein Minimum. Da \(g(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\) gilt, ist es das globale Minimum auf \(x>0\). Damit ist \(P(3|3)\). 2. Die Steigung der Strecke \(OP\) ist \(m_1=\frac{3}{3}=1\). Für die Tangente gilt \(f'(x)=-9x^{-2}\), also \(f'(3)=-1\). Wegen \(m_1\cdot f'(3)=1\cdot(-1)=-1\) stehen die Strecke \(OP\) und die Tangente senkrecht aufeinander.

1. Der Punkt mit minimalem Abstand ist \(P(3|3)\); das Minimum ist auf \(x>0\) global. 2. Die Steigungen sind \(1\) und \(-1\). Ihr Produkt ist \(-1\), also sind \(OP\) und die Tangente orthogonal.

- Überlege dir zuerst, wie man Nullstellen und Extrema einer Funktion mit \(e\)-Termen berechnet. - Was ist die geometrische Bedeutung des Integrals in einem bestimmten Quadranten? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer beliebigen Stelle \(u\)? - Wann besitzt eine quadratische Gleichung genau zwei verschiedene Lösungen?

1. Nullstelle: \(f(x) = 0 \implies x-2 = 0 \implies x = 2\). 2. Ableitung: \(f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2) \cdot e^x = (x-1)e^x\). Extremstelle bei \(f'(x) = 0 \implies x = 1\). Da \(f''(1) = e^1 > 0\), liegt ein Tiefpunkt bei \(T(1|-e)\) vor. 3. Flächeninhalt: Die Grenzen sind \(x=0\) (y-Achse) und \(x=2\) (Nullstelle). Das Integral lautet \(\int_{0}^{2} (x-2)e^x \, dx\). Mit partieller Integration oder der Stammfunktion \(F(x) = (x-3)e^x\) ergibt sich \([(x-3)e^x]_0^2 = -e^2 - (-3) = 3 - e^2\). Der Flächeninhalt beträgt \(A = |3 - e^2| = e^2 - 3 \approx 4{,}39\). 4. Tangentengleichung an der Stelle \(u\): \(t(x) = f'(u)(x-u) + f(u) = (u-1)e^u(x-u) + (u-2)e^u\). Da \(P(k|0)\) auf der Tangente liegt, gilt \(0 = (u-1)e^u(k-u) + (u-2)e^u\). Teilen durch \(e^u \neq 0\) führt auf \(0 = (u-1)(k-u) + u-2 = ku - u^2 - k + u + u - 2 = -u^2 + (k+2)u - (k+2)\). Umformen ergibt \(u^2 - (k+2)u + (k+2) = 0\). 5. Anzahl der Tangenten: Die quadratische Gleichung für \(u\) hat genau zwei Lösungen, wenn die Diskriminante \(D = (k+2)^2 - 4(k+2) = (k+2)(k-2) = k^2 - 4\) positiv ist. Dies ist für \(k > 2\) oder \(k < -2\) der Fall.

a) Nullstelle bei \(x=2\); Tiefpunkt bei \(T(1|-e)\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 3 \approx 4{,}39\) Flächeneinheiten. c) Nachweis durch Einsetzen von \(P(k|0)\) in die allgemeine Tangentengleichung \(y = f'(u)(x-u) + f(u)\). d) Genau zwei Tangenten existieren für \(k < -2\) oder \(k > 2\).

- Überlege zuerst, in welchem Bereich der Graph im 3. Quadranten verläuft, indem du die Nullstellen suchst. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(a\). - Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Funktionswert der Tangentengleichung bei \(x=0\). - Um ein Maximum zu finden, musst du die Ableitung der Funktion bilden, die den \(y\)-Achsenabschnitt beschreibt. - Denke daran, auch das Verhalten an den Rändern oder die Art des Extremums zu prüfen.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen: Die Nullstellen von \(f(x) = (x(x+2))e^x\) liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 0\). Da der Graph für \(x \in (-2; 0)\) unterhalb der \(x\)-Achse im 3. Quadranten verläuft, ist der Flächeninhalt \(A = \left| \int_{-2}^{0} f(x) \, dx \right|\). 2. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = x^2 e^x\). Damit ergibt sich \(A = |[x^2 e^x]_{-2}^0| = |0 - 4e^{-2}| = 4e^{-2} \approx 0{,}541\). 3. Aufstellen der Tangentengleichung: Mit \(f'(x) = (x^2 + 4x + 2)e^x\) lautet die Tangente \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\), also \(y = (a^2 + 4a + 2)e^a \cdot (x-a) + (a^2 + 2a)e^a\). 4. Bestimmung des \(y\)-Achsenabschnitts \(n(a)\): Durch Einsetzen von \(x=0\) erhält man \(n(a) = -a(a^2 + 4a + 2)e^a + (a^2 + 2a)e^a = (-a^3 - 3a^2)e^a\). 5. Optimierung von \(n(a)\): Die Ableitung \(n'(a) = (-a^3 - 6a^2 - 6a)e^a = -a(a^2 + 6a + 6)e^a\) hat die Nullstellen \(a_1 = 0\), \(a_2 = -3 + \sqrt{3}\) und \(a_3 = -3 - \sqrt{3}\). 6. Vergleich der Funktionswerte: Da \(n(-3-\sqrt{3}) \approx 0{,}34\) positiv ist und \(n(0) = 0\) sowie \(n(-3+\sqrt{3}) < 0\) gelten, liegt das globale Maximum bei \(a = -3 - \sqrt{3}\). 7. Außerdem gilt \(n(a)\to0\) für \(a\to-\infty\) und \(n(a)\to-\infty\) für \(a\to\infty\). Damit ist das gefundene Maximum global.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(4e^{-2} \approx 0{,}541\). b) Die Tangentengleichung lautet \(y = (a^2 + 4a + 2)e^a \cdot x + (-a^3 - 3a^2)e^a\). Der \(y\)-Achsenabschnitt wird für \(a = -3 - \sqrt{3}\) maximal.

- Für eine unbegrenzte Fläche musst du ein uneigentliches Integral berechnen. - Wie verhält sich \(e^{-x}\) multipliziert mit einer Potenz von \(x\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Stelle die allgemeine Tangentengleichung auf und bestimme daraus den Term für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. - Suche das Maximum dieser neu entstandenen Funktion in Abhängigkeit von \(a\).

1. Berechnung des Flächeninhalts: Die Fläche im 1. Quadranten entspricht dem Integral \(\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx\). Eine Stammfunktion ist \(F(x) = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x}\). Der Grenzwert für \(x \to \infty\) ist \(0\). Somit gilt \(A = 0 - F(0) = 0 - (-2) = 2\). 2. Tangentengleichung: Mit \(f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}\) ergibt sich die Tangente an der Stelle \(a\) zu \(y = (2a - a^2)e^{-a} \cdot (x-a) + a^2 e^{-a}\). 3. \(y\)-Achsenabschnitt \(n(a)\): Vereinfachen von \(n(a) = -a(2a - a^2)e^{-a} + a^2 e^{-a}\) führt zu \(n(a) = (a^3 - a^2)e^{-a}\). 4. Extremwertbestimmung: Die Ableitung \(n'(a) = (3a^2 - 2a)e^{-a} - (a^3 - a^2)e^{-a} = (-a^3 + 4a^2 - 2a)e^{-a} = -a(a^2 - 4a + 2)e^{-a}\) hat Nullstellen bei \(a_1 = 0\) und \(a_{2,3} = 2 \pm \sqrt{2}\). 5. Maximum finden: Da \(n(2+\sqrt{2}) \approx 0{,}93\) der größte Funktionswert unter den Kandidaten ist und \(n(a) \to 0\) für \(a \to \infty\) sowie \(n(a) \to -\infty\) für \(a \to -\infty\) gilt, liegt das globale Maximum bei \(a = 2 + \sqrt{2}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(2\). b) Die Tangentengleichung ist \(y = (2a - a^2)e^{-a} \cdot x + (a^3 - a^2)e^{-a}\). Der \(y\)-Achsenabschnitt ist für \(a = 2 + \sqrt{2}\) am größten.

- Erinnere dich daran, wie man die Ableitung einer Funktion bildet, die aus einem Produkt zweier Terme besteht. - Wie hängen die Extrema einer Funktion mit ihrer ersten und zweiten Ableitung zusammen? - Stelle die allgemeine Gleichung einer Tangente an einem beliebigen Punkt \(u\) auf und setze die Koordinaten des gegebenen Punktes \(P\) ein. - Was bedeutet es mathematisch, dass eine Funktion \(F\) eine Stammfunktion einer Funktion \(f\) ist? Welchen Rechenschritt musst du durchführen, um dies zu überprüfen?

1. Um das lokale Minimum zu bestimmen, wird die erste Ableitung von \(f(x) = x \cdot \ln(x)\) berechnet: \(f'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\) Nullsetzen der ersten Ableitung liefert: \(\ln(x) + 1 = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}\) Wegen \(f''(x) = \frac{1}{x} > 0\) für alle \(x > 0\) liegt an dieser Stelle ein lokales Minimum vor. Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot \ln\left(\frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{e}\). Das lokale Minimum hat somit die Koordinaten \(\left(\frac{1}{e} \;\middle|\; -\frac{1}{e}\right)\). 2. Die allgemeine Gleichung der Tangente an einer Stelle \(u\) lautet: \(t(x) = f'(u)(x - u) + f(u) = (\ln(u) + 1)(x - u) + u \cdot \ln(u) = (\ln(u) + 1)x - u\) Da die Tangente durch den Punkt \(P(0 \mid -1)\) verlaufen soll, setzen wir diese Koordinaten ein: \(-1 = (\ln(u) + 1) \cdot 0 - u \implies -1 = -u \implies u = 1\) Einsetzen von \(u = 1\) in die Tangentengleichung ergibt: \(y = (\ln(1) + 1)x - 1 \implies y = x - 1\) 3. Um zu zeigen, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, leiten wir \(F\) mithilfe der Produktregel ab: \(F'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2 \cdot \ln(x) - \frac{1}{4}x^2\right) = \left(x \cdot \ln(x) + \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{2}x = x \cdot \ln(x) + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x = x \cdot \ln(x) = f(x)\) Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

a) Das lokale Minimum hat die Koordinaten \(\left(\frac{1}{e} \;\middle|\; -\frac{1}{e}\right)\). b) Die Gleichung der Tangente lautet \(y = x - 1\). c) Die Ableitung von \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 \cdot \ln(x) - \frac{1}{4}x^2\) ergibt \(F'(x) = x \cdot \ln(x) = f(x)\). Damit ist gezeigt, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen mit der Funktionsgleichung zusammen? - Welche mathematische Formel hilft dir, den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene zu berechnen? - Überlege dir, warum das Minimum des quadratischen Abstands an derselben Stelle liegt wie das Minimum des eigentlichen Abstands. - Wie bestimmst du die Extremstellen einer Funktion mithilfe der Differentialrechnung? - Welche Bedingung muss für die Steigungen zweier Geraden gelten, damit diese senkrecht aufeinander stehen?

1. Aufstellen der Abstandsformel: Der Abstand \(d(x)\) eines Punktes \(Q(x \mid 0{,}5x^2)\) zum Punkt \(P(6 \mid 0)\) berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras zu \(d(x) = \sqrt{(x - 6)^2 + (0{,}5x^2 - 0)^2}\). Das Quadrat des Abstands ist somit \(d^2(x) = (x - 6)^2 + 0{,}25x^4 = 0{,}25x^4 + x^2 - 12x + 36\). 2. Bestimmung des Minimums: Gesucht ist das Minimum von \(g(x) = d^2(x) = 0{,}25x^4 + x^2 - 12x + 36\). Die erste Ableitung lautet \(g'(x) = x^3 + 2x - 12\). Die Nullstellenbedingung \(g'(x) = 0\) liefert durch Ausprobieren die ganzzahlige Nullstelle \(x = 2\). Polynomdivision ergibt \((x^3 + 2x - 12) : (x - 2) = x^2 + 2x + 6\), was keine weiteren reellen Nullstellen besitzt. Wegen \(g''(x) = 3x^2 + 2\) und \(g''(2) = 14 > 0\) liegt bei \(x = 2\) ein globales Minimum vor. Der optimale Anschlusspunkt ist \(Q_E(2 \mid 2)\). 3. Überprüfung der Rechtwinkligkeit: Die Steigung der Tangente an \(f\) im Punkt \(Q_E(2 \mid 2)\) ist \(f'(2) = 2\). Die Steigung der Verbindungsgeraden \(PQ_E\) ist \(m = \frac{2 - 0}{2 - 6} = -0{,}5\). Das Produkt der Steigungen ist \(f'(2) \cdot m = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\). Damit verläuft die Verbindungsstraße im Anschlusspunkt senkrecht zur Umgehungsstraße.

a) Der Abstand beträgt \(d(x) = \sqrt{(x-6)^2 + (0{,}5x^2)^2}\). Das Quadrat dieses Abstands liefert nach dem Ausmultiplizieren die Formel \(d^2(x) = 0{,}25x^4 + x^2 - 12x + 36\). b) Der optimale Anschlusspunkt hat die Koordinaten \(Q_E(2 \mid 2)\). c) Die Steigung der Tangente im Punkt \(Q_E\) ist \(f'(2) = 2\). Die Steigung der Verbindungsstrecke \(PQ_E\) ist \(m = -0{,}5\). Da das Produkt der Steigungen \(2 \cdot (-0{,}5) = -1\) ist, verläuft die Verbindungsstraße senkrecht zur Umgehungsstraße im Anschlusspunkt.

- Stell dir vor, du verschiebst die Gerade \(g\) parallel in Richtung der Parabel. Welchen Punkt berührt sie zuerst? - Die Steigung der Parabel erhältst du über die erste Ableitung. - Für den Abstand eines Punktes von einer Geraden gibt es eine spezielle Formel (Hesse-Normalform). - Alternativ kannst du die vertikale Differenz \(h(x) = f(x) - g(x)\) minimieren, um die Stelle zu finden, aber für den echten Abstand ist das Lot entscheidend.

1. Geometrische Begründung: Beim minimalen Abstand steht die kürzeste Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden und auf der Tangente an die Parabel. Daher sind Tangente und Gerade parallel. 2. Berechnung der Stelle mit paralleler Tangente: \(f(x) = 0{,}25x^2 + 2 \Rightarrow f'(x) = 0{,}5x\). Die Steigung von \(g\) ist \(m_g = 0{,}5\). Gleichsetzen: \(0{,}5x = 0{,}5 \Rightarrow x = 1\). 3. Koordinaten von \(P\): \(f(1) = 0{,}25 \cdot 1^2 + 2 = 2{,}25\). Somit ist \(P(1 \mid 2{,}25)\). 4. Berechnung des Abstands: Verwende die Punkt-Gerade-Abstandsformel für \(P(1 \mid 2{,}25)\) und \(0{,}5x - y - 1 = 0\): \(d = \frac{|0{,}5 \cdot 1 - 2{,}25 - 1|}{\sqrt{0{,}5^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2{,}75|}{\sqrt{1{,}25}} = \frac{2{,}75}{\sqrt{1{,}25}} \approx 2{,}46\).

a) Beim minimalen Abstand steht die Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden und auf der Tangente an die Parabel. Daher sind Tangente und Gerade parallel. b) Der Punkt ist \(P(1 \mid 2{,}25)\). Der minimale Abstand beträgt \(d = \frac{2{,}75}{\sqrt{1{,}25}} \approx 2{,}46\) Längeneinheiten.

- Welche geometrische Bedingung muss eine kürzeste Verbindung zu einer glatten Kurve im Berührpunkt erfüllen? - Wenn eine Gerade zu beiden Graphen normal ist, welche Beziehung besteht dann zwischen den beiden Tangenten? - Beschreibe die beiden Endpunkte zunächst mit unabhängigen Parametern und nutze die Tangentensteigungen, um diese Parameter zu verknüpfen. - Nachdem nur noch ein Parameter übrig ist, vergleiche die Steigung der Verbindungsgeraden mit der zugehörigen Normalensteigung. - Prüfe für die numerische Lösung auch, warum keine zweite kürzere Kandidatenstrecke übersehen wird.

1. Bei einer kürzesten Verbindungsstrecke darf eine kleine Verschiebung eines Endpunkts entlang seines Graphen die Strecke nicht verkürzen. Daher steht die Verbindungsstrecke in beiden Endpunkten senkrecht auf den jeweiligen Tangenten; sie ist also eine gemeinsame Normale. 2. Schreibe die Endpunkte als \(P(a\mid a^2)\) auf dem Graphen von \(f\) und \(Q(b\mid-(b-2)^2-4)\) auf dem Graphen von \(g\). Weil dieselbe Verbindungsgerade auf beiden Tangenten senkrecht steht, müssen die Tangenten parallel sein. Aus \(f'(a)=2a\) und \(g'(b)=-2(b-2)\) folgt \(b=2-a\). 3. Für \(a=0\) wäre die Normale an \(f\) vertikal; mit \(b=2\) ist die Verbindungsgerade von \(P(0\mid0)\) nach \(Q(2\mid-4)\) jedoch nicht vertikal. Für \(a=1\) ist \(b=1\); dann ist die Verbindungsgerade vertikal, während die gemeinsame Normalensteigung \(-\frac{1}{2}\) wäre. Beide ausgeschlossenen Fälle sind daher keine gemeinsame Normale. 4. Für \(a\ne0,1\) ist \(Q(2-a\mid-a^2-4)\). Die Steigung von \(PQ\) ist \(-\frac{a^2+2}{1-a}\) und muss zugleich \(-\frac{1}{2a}\) sein. Daraus folgt \(2a^3+5a-1=0\). 5. Die Funktion \(h(a)=2a^3+5a-1\) ist wegen \(h'(a)=6a^2+5>0\) streng monoton und besitzt daher höchstens eine Nullstelle. Da \(h(0)=-1\) und \(h(1)=6\) gilt, existiert genau eine. Numerisch ergibt sich \(a\approx0{,}197\), also \(b=2-a\approx1{,}803\). 6. Damit sind \(P\approx(0{,}197\mid0{,}039)\) und \(Q\approx(1{,}803\mid-4{,}039)\). Die Entfernung beträgt \(d\approx4{,}382\) Längeneinheiten. 7. Für die quadratische Entfernung \(D(a,b)=(a-b)^2+\left(a^2+(b-2)^2+4\right)^2\) gilt \(D(a,b)\to\infty\), wenn \(|a|+|b|\to\infty\). Daher existiert ein globales Minimum. Jeder Minimierer muss die gemeinsame-Normalen-Bedingung erfüllen; da genau ein solcher Kandidat existiert, ist die gefundene Strecke global kürzest.

a) Die kürzeste Verbindungsstrecke ist in beiden Endpunkten eine Normale, weil jede tangentiale Komponente eine lokale Verkürzung zuließe. b) \(P\approx(0{,}197\mid0{,}039)\), \(Q\approx(1{,}803\mid-4{,}039)\), \(d\approx4{,}382\).