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- Unterscheide zwischen einer Aussage über die reale Situation und einer Aussage, die allein aus dem Funktionsterm folgt. - Welche Aussagen könnten in der Realität falsch werden, obwohl die Rechnung mit der Formel weiterhin möglich wäre? - Ein mathematischer Identitätswert ist keine Annahme über das Verhalten eines realen Systems.

Die Aussagen A und B sind Modellannahmen über die reale Entwicklung. Aussage C ist eine direkte mathematische Folge des angegebenen Funktionsterms und beschreibt den Startwert. Aussage D ist eine mathematische Eigenschaft der Exponentialfunktion und keine Annahme über die reale Situation.

A und B.

- Welche Werte sind für eine reale Anzahl überhaupt möglich? - Betrachte besonders den späteren Verlauf des Graphen. - Suche eine Eigenschaft, die einen direkten Widerspruch zum Sachkontext erzeugt.

Eine reale Geräteanzahl kann nicht negativ sein. Sobald das Modell negative Werte vorhersagt, ist seine unveränderte Fortsetzung sachlich nicht mehr sinnvoll.

A) Der Modellwert wird später negativ.

- Die gestrichelten senkrechten Linien zeigen, für welche Preise tatsächlich Anpassungsdaten vorlagen. - Setze für Teil a) den angegebenen Preis direkt in die Modellfunktion ein. - Eine reale Anzahl nachgefragter Karten kann nicht negativ sein. - Prüfe bei Extrapolationen immer, ob der neue Eingabewert noch im beobachteten Bereich liegt.

a) Aus der Abbildung liest man den Anpassungsbereich \(5\le p\le20\) ab. Für \(p=25\) gilt \(N(25)=180-8\cdot25=-20\). Eine negative Anzahl nachgefragter Karten ist sachlich unmöglich; der Modellwert kann nicht als reale Nachfrage interpretiert werden. b) Aus \(180-8p=0\) folgt \(p=22{,}5\). Das lineare Modell erreicht also bereits bei \(22{,}50\,\text{€}\) die Nachfrage \(0\). c) Sowohl \(22{,}5\,\text{€}\) als auch \(25\,\text{€}\) liegen außerhalb des beobachteten Preisbereichs. Die lineare Fortsetzung erzeugt dort schließlich unmögliche negative Werte. Deshalb ist die Formel außerhalb des Anpassungsbereichs nicht ohne zusätzliche Daten oder ein anderes Modell verlässlich.

a) Anpassungsbereich: \(5\,\text{€}\le p\le20\,\text{€}\); \(N(25)=-20\), also kein sinnvoller realer Nachfragewert. b) Das Modell sagt bei \(p=22{,}50\,\text{€}\) erstmals Nachfrage \(0\) voraus. c) Außerhalb des beobachteten Bereichs führt die lineare Extrapolation zu sachlich unmöglichen negativen Nachfragewerten.

- Eine zusätzliche Messung ist dann besonders nützlich, wenn die konkurrierenden Modelle dort deutlich verschiedene Werte erwarten. - Vergleiche die Abstände der beiden Vorhersagen an allen angebotenen Zeitpunkten. - Entscheide nicht danach, welcher Zeitpunkt am spätesten ist, sondern danach, wo die Messung die Modelle am besten unterscheiden kann.

1. Eine zusätzliche Messung ist besonders informativ, wenn die beiden Modelle dort möglichst unterschiedliche Vorhersagen liefern. 2. Bei \(t=2\) unterscheiden sich die Vorhersagen um \(1\,\text{°C}\), bei \(t=5\) um \(4\,\text{°C}\) und bei \(t=10\) um \(12\,\text{°C}\). 3. Daher ist die Messung bei \(t=10\,\text{h}\) unter den angebotenen Zeitpunkten am geeignetsten. Ein beobachteter Wert kann dort deutlich stärker zugunsten eines der beiden Modelle sprechen als an den früheren Zeitpunkten.

Die Messung sollte bei \(t=10\,\text{h}\) erfolgen. Dort unterscheiden sich die Modellvorhersagen mit \(12\,\text{°C}\) am stärksten, sodass die Messung die größte Trennschärfe zwischen den beiden Modellen besitzt.

- Welche Einheiten entstehen, wenn man eine Größe nach der Zeit ableitet? - Überlege dir, was es bedeutet, wenn doppelt so viele Bakterien auch doppelt so viel Nachwuchs produzieren. - Was passiert mit der Steigung einer Kurve an einem Wendepunkt? - Kann etwas in einem abgeschlossenen Raum (wie einer Petrischale) ewig gleichmäßig weiterwachsen?

1. Einheiten und Bedeutung: \(m'(t)\) wird in \(\text{g}/\text{h}\) gemessen und stellt die momentane Zuwachsrate der Masse dar. \(m''(t)\) wird in \(\text{g}/\text{h}^2\) gemessen und gibt an, wie sich die Zuwachsrate über die Zeit verändert. 2. Biologische Annahme: Die Gleichung \(m'(t) = km(t)\) besagt, dass die Änderung der Masse proportional zur vorhandenen Masse ist. Dies entspricht der Annahme, dass jedes Bakterium mit einer konstanten Rate zur Vermehrung beiträgt (ungehindertes exponentielles Wachstum). 3. Bedeutung von \(m''(t) = 0\): Beim beschriebenen logistischen Verlauf markiert dieser Zeitpunkt wegen des Vorzeichenwechsels den Wendepunkt des Graphen. Hier ist die Wachstumsgeschwindigkeit \(m'(t)\) maximal. Danach beginnt das Wachstum sich zu verlangsamen. 4. Modellgrenzen: Exponentielles Wachstum setzt unbegrenzte Ressourcen voraus. In der Realität führen begrenzter Platz, Nährstoffmangel oder die Anreicherung von Stoffwechselprodukten dazu, dass das Wachstum abnimmt und stagniert.

a) \(m'(t)\) in \(\text{g}/\text{h}\) (Wachstumsrate); \(m''(t)\) in \(\text{g}/\text{h}^2\) (Änderung der Wachstumsrate). b) Die vorhandene Bakterienmasse wächst proportional zu ihrer aktuellen Größe; dies entspricht einer konstanten individuellen Teilungsrate. c) Es ist der Zeitpunkt des schnellsten Wachstums (Übergang von Beschleunigung zu Verlangsamung). d) Ressourcen wie Platz und Nahrung sind in der Realität begrenzt, was das Wachstum irgendwann stoppt.

- Nutze den eingezeichneten Kontrollpunkt als Information, die beim Aufstellen der beiden Modelle noch nicht verwendet wurde. - Vergleiche Modelle über die Größe ihrer Abweichung vom selben Messwert. - Zwei Modelle können in wenigen Punkten übereinstimmen und sich außerhalb dieses Bereichs trotzdem stark unterscheiden. - Welche zusätzliche Information wäre nötig, um eine langfristige Modellwahl besser zu begründen?

a) Aus der Abbildung liest man für den Kontrollwert \(N(3)=225\) ab. Das lineare Modell liefert \(L(3)=220\), also eine Abweichung von \(5\). Das exponentielle Modell liefert \(E(3)=274{,}4\), also eine Abweichung von \(49{,}4\). Für diesen Kontrollwert passt \(L\) deutlich besser. b) Es gilt \(L(6)=340\) und \(E(6)=100\cdot1{,}4^6\approx752{,}95\). Die Vorhersagen unterscheiden sich stark, obwohl beide Modelle dieselben beiden Anfangswerte treffen. Eine langfristige Entscheidung benötigt deshalb zusätzliche Daten und eine sachliche Begründung für die angenommene Wachstumsform. c) Zwei Datenpunkte können verschiedene Funktionstypen gleichzeitig erfüllen. Erst zusätzliche Kontrollwerte und Kenntnisse über den Prozess erlauben eine belastbarere Modellwahl.

a) Der Kontrollwert ist \(225\). \(L(3)=220\) weicht um \(5\) ab, \(E(3)=274{,}4\) um \(49{,}4\); das lineare Modell passt hier besser. b) \(L(6)=340\), \(E(6)\approx752{,}95\). Die starke Divergenz zeigt die Unsicherheit langfristiger Extrapolation. c) Zwei Anfangswerte reichen nicht aus, um zwischen unterschiedlichen Modelltypen zuverlässig zu entscheiden.

- Für eine feste positive Belastung hängt der Modellwert monoton vom Parameter \(a\) ab. - Welche Randwerte des Parameterintervalls liefern die kleinste und die größte Durchbiegung? - Welche Belastung gehört jeweils dazu, wenn die technische Grenze gerade erreicht wird? - Eine Entscheidung ist nicht robust, wenn zulässige Parameter zu Ergebnissen auf verschiedenen Seiten der technischen Grenze führen.

1. Für festes \(F>0\) wächst \(D_a(F)\) mit \(a\). Daher gilt \(D_{0{,}018}(20)=0{,}018\cdot400=7{,}2\,\text{mm}\) und \(D_{0{,}022}(20)=0{,}022\cdot400=8{,}8\,\text{mm}\). Der mögliche Bereich ist \([7{,}2;8{,}8]\,\text{mm}\). 2. Aus \(aF^2=10\) folgt \(F=\sqrt{\frac{10}{a}}\). Für \(a=0{,}022\) ergibt sich \(F\approx21{,}32\,\text{kN}\), für \(a=0{,}018\) \(F\approx23{,}57\,\text{kN}\). Je nach zulässigem Parameter wird die Grenze somit zwischen etwa \(21{,}32\) und \(23{,}57\,\text{kN}\) erreicht. 3. Bei \(F=22\) liegt die modellierte Durchbiegung zwischen \(0{,}018\cdot22^2=8{,}712\,\text{mm}\) und \(0{,}022\cdot22^2=10{,}648\,\text{mm}\). Zulässige Parameter führen also sowohl zu Werten unter als auch über \(10\,\text{mm}\). Die Aussage ist nicht robust.

a) Bei \(20\,\text{kN}\) liegt die modellierte Durchbiegung zwischen \(7{,}2\) und \(8{,}8\,\text{mm}\). b) Die Grenze von \(10\,\text{mm}\) wird je nach \(a\) bei etwa \(21{,}32\) bis \(23{,}57\,\text{kN}\) erreicht. c) Nein. Bei \(22\,\text{kN}\) reicht der mögliche Modellbereich von \(8{,}712\) bis \(10{,}648\,\text{mm}\) und überquert damit die technische Grenze.

- Welche Einheit entsteht, wenn eine Temperatur nach der Zeit abgeleitet wird? - Unterscheide eine momentane Änderungsrate von der Änderung über ein Zeitintervall. - Wie lässt sich die Temperaturänderung zwischen zwei Zeitpunkten direkt aus dem Modell bestimmen? - Vergleiche in Teil c) die momentane Modellrate mit der vorgegebenen technischen Grenze.

1. Es gilt \(T'(t)=0{,}4+0{,}12t\). Damit ist \(T'(5)=1{,}0\,^\circ\text{C}/\text{h}\). Der Wert beschreibt die momentane Temperaturänderungsrate zum Zeitpunkt \(t=5\). 2. Es ist \(T(5)=21{,}5\,^\circ\text{C}\) und \(T(6)=22{,}56\,^\circ\text{C}\). Die Modelländerung über diese Stunde beträgt daher \(T(6)-T(5)=1{,}06\,^\circ\text{C}\), nicht genau \(1\,^\circ\text{C}\). Eine momentane Rate am Intervallanfang ist nicht automatisch gleich der Änderung über ein ganzes Intervall. 3. Die Bedingung \(T'(t)>0{,}8\,^\circ\text{C}/\text{h}\) führt auf \(0{,}4+0{,}12t>0{,}8\) und damit auf \(t>\frac{10}{3}\,\text{h}\). 4. Für diese Zeitpunkte verlangt das Modell eine höhere momentane Änderungsrate als die Anlage laut Vorgabe leisten kann. Das Modell ist dort mit der technischen Randbedingung nicht vereinbar.

a) \(T'(5)=1{,}0\,^\circ\text{C}/\text{h}\); dies ist die momentane Temperaturänderungsrate bei \(t=5\). b) \(T(6)-T(5)=1{,}06\,^\circ\text{C}\); die Aussage ist daher falsch. c) Für \(t>\frac{10}{3}\,\text{h}\) überschreitet die Modellrate die technische Maximalrate. Ab diesem Bereich verletzt das Modell die angegebene technische Randbedingung.

- Nutze für den beobachteten Wert den Messpunkt und für den Modellwert die Gerade beziehungsweise die Formel. - Berechne die gerichtete Differenz immer in derselben Reihenfolge: Messwert minus Modellwert. - Vergleiche nicht nur die Größe, sondern auch die Richtung der Fehler. - Überlege, welche Eigenschaft eine lineare Funktion als zeitlich konstant voraussetzt.

a) Aus der Abbildung liest man bei \(t=6\) den Messwert \(56\,\text{kWh}\) ab. Das Modell liefert \(M(6)=80-36=44\,\text{kWh}\). Die Abweichung beträgt also \(56-44=12\,\text{kWh}\). b) Bei \(t=2\) beträgt die Abweichung \(69-68=1\,\text{kWh}\), bei \(t=4\) beträgt sie \(61-56=5\,\text{kWh}\), bei \(t=6\) bereits \(12\,\text{kWh}\). Die Fehler wachsen systematisch in dieselbe Richtung. Das spricht gegen eine über den gesamten Zeitraum konstante lineare Entladerate. c) Eine mögliche Erklärung ist, dass die Entladerate nicht konstant bleibt, etwa weil sich der Betriebszustand des Systems ändert. Das lineare Modell setzt dagegen eine konstante Änderung pro Stunde voraus.

a) Messwert \(56\,\text{kWh}\), Modellwert \(44\,\text{kWh}\), Abweichung \(12\,\text{kWh}\). b) Die Abweichungen wachsen von \(1\) über \(5\) auf \(12\,\text{kWh}\); die lineare Modellgüte nimmt im späteren Verlauf deutlich ab. c) Zum Beispiel kann die Annahme einer konstanten Entladerate verletzt sein.

- Betrachte zuerst das zeitliche Muster der vorhandenen Abweichungen und nicht nur ihren größten Einzelwert. - Welche neuen Messzeitpunkte liegen dort, wo die vermutete Schwäche des Modells überhaupt geprüft werden kann? - Ein systematischer Modellfehler zeigt sich eher durch ein fortgesetztes Muster als durch einen einzelnen abweichenden Messwert. - Formuliere, welche Richtung und Entwicklung der neuen Abweichungen zu dem bisherigen Verdacht passen würden.

1. Die bisherigen Abweichungen liegen anfangs nahe bei null und wechseln dort das Vorzeichen. Bei \(t=4\) und \(t=5\) werden sie dagegen deutlich positiv und größer. 2. Um zu prüfen, ob dieses späte Muster fortgesetzt wird, sind Messungen nach dem bisherigen Datenbereich am informativsten. Deshalb sollten \(t=6\) und \(t=7\) gewählt werden. 3. Der Verdacht auf einen systematischen Modellfehler würde verstärkt, wenn auch die neuen Abweichungen deutlich positiv sind und ihre Beträge weiter zunehmen. Dann wäre das späte Auseinanderlaufen kein einzelner Ausreißer, sondern ein fortgesetztes Residuenmuster.

Geeignet sind die Messzeitpunkte \(t=6\) und \(t=7\). Deutlich positive und weiter wachsende Abweichungen würden den Verdacht auf ein systematisches Versagen des Modells im späteren Verlauf verstärken.

- Für Aufgabenteil a) hilft dir die notwendige Bedingung für Extremstellen weiter. - Schau dir für b) im Graphen an, in welchem Bereich die Kurve oberhalb der eingezeichneten Schwelle liegt. - Überlege dir für c), was mit der Konzentration nach mehreren Tagen laut Formel passiert und ob das biologisch sinnvoll ist. - Denke bei der Kritik am Modell auch an den Startzeitpunkt \(t=0\) und an Faktoren, die das Modell nicht enthält.

a) Zur Bestimmung des Maximums gilt \(c'(t)=\frac{48-12t^2}{(t^2+4)^2}\). Aus \(c'(t)=0\) folgt \(t^2=4\), also für \(t>0\) der Zeitpunkt \(t=2\,\text{h}\). Die maximale Konzentration ist \(c(2)=3\,\text{mg}/\text{L}\). b) Die Wirksamkeitsgrenzen erfüllen \(12t=1{,}5(t^2+4)\). Daraus folgt \(t^2-8t+4=0\) und damit \(t=4\pm2\sqrt3\). Näherungsweise ist das Medikament im Intervall \([0{,}54;7{,}46]\) wirksam; die Wirkungsdauer beträgt etwa \(6{,}93\,\text{h}\). c) Für \(t\to\infty\) strebt \(c(t)\) gegen \(0\). Das Modell beschreibt Aufnahme und Abbau durch eine glatte idealisierte Kurve und berücksichtigt beispielsweise individuelle Stoffwechselraten, Körpergewicht und komplexe Ausscheidungsprozesse nicht. Für jedes endliche \(t>0\) bleibt der Modellwert positiv, obwohl die reale Konzentration unter eine Nachweisgrenze fallen kann.

a) Die maximale Konzentration wird nach \(2\,\text{h}\) erreicht und beträgt \(3\,\text{mg}/\text{L}\). b) Das Medikament ist etwa von \(t\approx0{,}54\) bis \(t\approx7{,}46\) Stunden wirksam, also ungefähr \(6{,}93\,\text{h}\). c) Das Modell nähert sich langfristig der Konzentration \(0\) an, bildet individuelle Unterschiede sowie reale Aufnahme- und Abbauprozesse aber nur idealisiert ab.

- Prüfe die Schwellenbedingung zunächst für jedes Modell getrennt. - Löse anschließend für jedes Modell die Ungleichung \(C_i(t)\le2\). - Für eine Entscheidung, die unter beiden Modellen gelten soll, ist der spätere der beiden Schwellenzeitpunkte maßgeblich. - Vergleiche den gefundenen Zeitpunkt zusätzlich mit dem angegebenen Modellierungszeitraum.

a) Es gilt \(C_1(6)=8-0{,}8\cdot6=3{,}2\,\text{mg}/\text{L}\); nach Modell 1 wäre die Freigabe also noch nicht zulässig. Für Modell 2 gilt \(C_2(6)=\frac{8}{4}=2\,\text{mg}/\text{L}\); nach Modell 2 wäre die Bedingung gerade erfüllt. b) Für Modell 1 gilt \(8-0{,}8t\le2\), also \(t\ge7{,}5\). Für Modell 2 gilt \(\frac{8}{1+0{,}5t}\le2\), also \(t\ge6\). Beide Bedingungen gelten daher erstmals gemeinsam ab \(t=7{,}5\) Stunden. Dieser Zeitpunkt liegt innerhalb des angegebenen Modellierungszeitraums. c) Die Entscheidung \(t\ge7{,}5\) bleibt gültig, solange beide Modelle als plausibel gelten. Sie hängt nicht davon ab, welches Modell man bevorzugt. Eine frühere Freigabe wäre erst dann modellgestützt vertretbar, wenn zusätzliche Messdaten oder Prozesskenntnisse eines der Modelle ausreichend ausschließen oder deutlich besser bestätigen.

a) Bei \(t=6\) erlaubt \(C_2\) die Freigabe, \(C_1\) noch nicht. b) Nach beiden Modellen ist die Bedingung ab \(t=7{,}5\,\text{h}\) erfüllt. c) Die gemeinsame Bedingung ist robust gegenüber der aktuellen Modellwahl; eine frühere Entscheidung braucht zusätzliche Evidenz zugunsten eines Modells.