- Vergleiche nur die vier dargestellten Messpunkte miteinander. - Eine Verbindung zwischen den Punkten ist nicht gegeben und darf nicht angenommen werden. - Gesucht ist der Messpunkt mit dem größten Zielfunktionswert.

Der höchste der vier Messpunkte gehört zur Einstellung \(x=2\). Damit ist \(x=2\) unter den getesteten Einstellungen optimal.

\(x=2\)

- Suche den tiefsten Punkt des dargestellten Graphen. - Vergleiche seine Lage mit den beiden Randstellen des Intervalls. - Entscheide erst danach, ob es sich um eine Randstelle oder eine innere Stelle handelt.

Der tiefste Punkt des Graphen liegt bei \(x=2\). Diese Stelle liegt im Inneren des Intervalls \([0;5]\).

Das globale Minimum liegt im Inneren des Bereichs bei \(x=2\).

- Suche im Diagramm nach der größten dargestellten Höhe. - Prüfe, ob diese Höhe nur an einem Punkt oder über einen ganzen Abschnitt erreicht wird. - Lies die zugehörigen \(x\)-Werte an der horizontalen Achse ab.

1. Im Diagramm liegt der höchste waagerechte Abschnitt bei \(Z=8\). 2. Dieser Abschnitt reicht von \(x=3\) bis \(x=5\). Daher sind alle Einstellungen in diesem Intervall optimal.

Alle \(x\) mit \(3\le x\le5\) sind optimal. Der maximale Zielfunktionswert ist \(8\).

- Suche im Graphen zunächst den höchsten dargestellten Punkt. - Für Teil b) hilft eine gedachte waagrechte Linie auf der Höhe \(16\). - Achte darauf, dass das vorgegebene Intervall beide Randstellen einschließt.

a) Der Hochpunkt des dargestellten Graphen liegt bei \(x=3\) und \(A=18\). b) Die waagrechte Höhe \(A=16\) wird bei \(x=2\) und \(x=4\) erreicht. Dazwischen liegt der Graph mindestens auf dieser Höhe. Daher gilt \(A(x)\ge16\) für \(2\le x\le4\). c) An den Randstellen \(x=0\) und \(x=6\) liegt der Graph deutlich unter dem Hochpunkt. Daher ist der Hochpunkt im Inneren das globale Maximum auf dem dargestellten Intervall.

a) Maximum bei \(x=3\) mit \(A_{\max}=18\) b) \(2\le x\le4\) c) Beide Randwerte sind kleiner als \(18\); das Maximum liegt daher im Inneren.

- Achte auf die Bedeutung des offenen Kreises am rechten Rand. - Ein Maximum muss als Funktionswert an einer zulässigen Stelle tatsächlich angenommen werden. - Vergleiche „beliebig nahe herankommen“ mit „erreichen“.

1. Der Graph steigt auf dem gesamten zulässigen Bereich an. Für \(x\), die immer näher an \(4\) liegen, werden die Werte von \(Z(x)\) immer näher an \(10\). 2. Der Punkt \((4\mid10)\) ist jedoch offen, also wird der Wert \(10\) nicht angenommen. 3. Damit besitzt \(Z\) kein Maximum. Die kleinste obere Schranke der Werte ist \(10\).

Es gibt kein Maximum. Die Zielfunktionswerte können beliebig nahe an \(10\) herankommen, erreichen \(10\) aber nicht; die obere Schranke ist \(10\).

- Unterscheide am Sprung zwischen offenem und ausgefülltem Punkt. - Welche Höhe wird bei \(x=3\) tatsächlich angenommen? - Vergleiche anschließend diesen Wert mit den höchsten Werten auf beiden Ästen.

1. Auf dem linken Ast steigen die Funktionswerte bis in die Nähe des offenen Punktes \((3\mid7)\), dieser Punkt selbst gehört aber nicht zum Graphen. 2. Bei \(x=3\) gehört stattdessen der ausgefüllte Punkt \((3\mid9)\) zur Funktion. 3. Der rechte Ast fällt von dort bis \((6\mid4)\). Daher ist \(Z(3)=9\) der größte tatsächlich angenommene Funktionswert.

Optimal ist \(x=3\); der maximale Zielfunktionswert beträgt \(9\). Der offene Punkt \((3\mid7)\) stellt keinen Funktionswert dar.

- Beachte ausdrücklich die vorgegebene Ablesegenauigkeit. - Welche Werte würdest du für beide Einstellungen auf ganze Einheiten angeben? - Unterscheide zwischen einem sichtbaren Eindruck und einer Entscheidung, die durch die Skala wirklich abgesichert ist.

1. Bei \(x=4\) und \(x=5\) liegen die dargestellten Funktionswerte beide ungefähr bei \(10\). 2. Der mögliche Unterschied ist kleiner als die vorgegebene Ablesegenauigkeit von einer Einheit. 3. Deshalb lässt sich aus dieser Darstellung nicht zuverlässig entscheiden, welche der beiden Einstellungen tatsächlich den größeren Wert besitzt. Dafür wären genauere Daten oder eine feinere Darstellung nötig.

Nein. Beide Werte sind aus der Abbildung nur als ungefähr \(10\) ablesbar; bei der vorgegebenen Genauigkeit ist ihr Unterschied nicht zuverlässig entscheidbar.

- Betrachte für die Entscheidung den gesamten zulässigen Bereich und nicht nur die Umgebung des Hochpunkts. - Welche weiteren Kandidaten für große Funktionswerte zeigt der Graph? - Prüfe in Teil c) nur die Stellen, die nach der neuen Einschränkung noch zulässig sind.

1. Der Graph besitzt bei \(x=2\) einen lokalen Hochpunkt, erreicht am rechten Rand \(x=6\) aber einen höheren Funktionswert. Auf \([0;6]\) liegt das globale Maximum daher bei \(x=6\). 2. Ein lokaler Hochpunkt muss auf einem abgeschlossenen Intervall nicht den größten Funktionswert besitzen. Für ein globales Maximum sind auch Randwerte und weitere Extremstellen zu berücksichtigen. 3. Auf dem eingeschränkten Intervall \([0;4]\) ist der Randwert bei \(x=4\) kleiner als der lokale Hochpunkt bei \(x=2\). Daher ist nun \(x=2\) die globale Maximalstelle.

a) Auf \([0;6]\) ist \(x=6\) global optimal. b) Lars verwechselt ein lokales mit dem globalen Maximum und berücksichtigt die Randwerte nicht. c) Auf \([0;4]\) ist \(x=2\) global optimal.

- Markiere zunächst alle im Inneren sichtbaren Hochpunkte. - Welche weiteren Kandidaten gehören bei einem abgeschlossenen zulässigen Intervall zur Prüfung? - Vergleiche die Höhen aller Kandidaten, nicht nur die lokalen Maxima.

1. Im Inneren sind Hochpunkte bei \(x=2\) mit \(Z=9\) und bei \(x=6\) mit \(Z=8\) zu erkennen. 2. Zu einer globalen Entscheidung auf einem abgeschlossenen Intervall müssen auch die Randwerte betrachtet werden. 3. Links gilt \(Z(0)=7\), rechts \(Z(8)=10\). Der größte aller Kandidaten ist daher \(Z(8)=10\).

Das globale Maximum ist \(Z(8)=10\). Der rechte Randwert ist größer als beide inneren Hochpunkte; deshalb müssen bei der globalen Optimierung auch Randwerte geprüft werden.

- Lies zuerst das Optimum auf dem ursprünglich vollständigen Bereich ab. - Welche Teile des Graphen bleiben nach der neuen Bedingung überhaupt zulässig? - Suche das globale Maximum anschließend nur noch innerhalb dieses Teilintervalls.

1. Ohne Zusatzbedingung liegt der größte dargestellte Nutzen bei \(x=2\) mit \(N(2)=10\). 2. Dieser Wert ist nach der neuen Vorgabe nicht mehr zulässig. Im zulässigen Teil \(4\le x\le9\) liegt der höchste Punkt bei \(x=7\) mit \(N(7)=8\). 3. Die Einschränkung verschiebt das Optimum daher von \(x=2\) auf \(x=7\) und senkt den maximal erreichbaren Nutzen von \(10\) auf \(8\).

Ohne Zusatzbedingung: \(x=2\) mit \(N=10\). Mit \(4\le x\le9\): \(x=7\) mit \(N=8\).

- Suche zunächst den höchsten Punkt und ordne ihn zwischen benachbarten Gitterlinien ein. - Welche Genauigkeit kann eine Zeichnung mit endlicher Skalierung sinnvoll liefern? - Überlege, welche zusätzliche Information für einen exakten mathematischen Nachweis nötig wäre.

1. Der höchste Punkt des Graphen liegt zwischen \(x=3\) und \(x=4\), etwa bei \(x\approx3{,}7\). 2. Seine Höhe liegt etwas über \(9\), also bei ungefähr \(Z\approx9{,}2\). 3. Das Diagramm liefert nur eine grafische Darstellung mit endlicher Skalierung. Ohne Funktionsgleichung oder exakte Koordinaten des Hochpunkts kann die optimale \(x\)-Koordinate daher nur näherungsweise abgelesen, aber nicht exakt hergeleitet werden.

Aus der Abbildung ist etwa \(x\approx3{,}7\) mit \(Z\approx9{,}2\) vertretbar. Ein exakter Optimalwert ist allein aus der skalierten Zeichnung nicht beweisbar.

- Betrachte, wie der zulässige Graphenteil wächst, wenn \(s\) von links nach rechts verschoben wird. - An welchen Stellen wird ein bisheriges Maximum erstmals von einem neu zugelassenen Funktionswert erreicht oder übertroffen? - Bestimme bei Bedarf die Geradengleichungen der beiden linearen Graphenteile. - Beachte am rechten Ende den Unterschied zwischen Annäherung und tatsächlicher Annahme eines Werts.

1. Für \(0\le s\le2\) ist nur der ansteigende linke Teil bis \(x=s\) relevant. Die Gerade durch \((0|2)\) und \((2|5)\) hat die Gleichung \(F(x)=2+\frac32x\). Daher gilt \(M(s)=2+\frac32s\) mit Maximalstelle \(x=s\). 2. Für \(2<s\le5\) bleibt der Wert \(5\) bei \(x=2\) mindestens so groß wie alle neu zugelassenen Werte. Also ist \(M(s)=5\) mit Maximalstelle \(x=2\). Bei \(s=5\) ist zusätzlich \(x=5\) eine Maximalstelle. 3. Für \(5<s\le6\) liegt der jeweils größte zulässige Wert auf dem rechten Ast bei \(x=s\). Dort gilt \(F(s)=s\), also \(M(s)=s\). 4. Für \(6<s<8\) ist der rechte Ast die Gerade durch \((6|6)\) und \((8|7)\), also \(F(x)=\frac12x+3\). Damit ist \(M(s)=\frac12s+3\) mit Maximalstelle \(x=s\). 5. Für \(s=8\) nähern sich die Funktionswerte auf dem rechten Ast dem Wert \(7\), der Punkt \((8|7)\) ist jedoch offen. Daher existiert kein absolutes Maximum; das Supremum ist \(7\).

Für \(0\le s\le2\): \(M(s)=2+\frac32s\), Maximalstelle \(x=s\). Für \(2<s\le5\): \(M(s)=5\), z. B. Maximalstelle \(x=2\). Für \(5<s\le6\): \(M(s)=s\), Maximalstelle \(x=s\). Für \(6<s<8\): \(M(s)=\frac12s+3\), Maximalstelle \(x=s\). Für \(s=8\): kein absolutes Maximum; \(\sup F=7\).