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- Die Zielfunktion ist hier bereits durch die angegebenen Gewinnwerte repräsentiert. - Vergleiche nur die vier zulässigen Produktionsmengen miteinander. - Gesucht ist der größte Gewinn, nicht die größte Produktionsmenge.

Unter den vier zulässigen Kandidaten ist \(8\,\text{GE}\) der größte Gewinn. Dieser gehört zu \(x=20\,\text{ME}\). Daher ist \(20\,\text{ME}\) unter den getesteten Produktionsmengen optimal.

\(x=20\,\text{ME}\) mit einem Gewinn von \(8\,\text{GE}\).

- Suche den höchsten Punkt der Gewinnkurve. - Lies zuerst seine waagrechte Koordinate als Produktionsmenge ab. - Die senkrechte Koordinate dieses Punktes ist der maximale Gewinn.

Der höchste Punkt der dargestellten Gewinnkurve liegt bei \(x=6\). Dort beträgt der Gewinn \(18\,\text{GE}\). Somit wird der Gewinn im dargestellten zulässigen Bereich bei \(6\,\text{ME}\) maximal.

Maximaler Gewinn: \(18\,\text{GE}\) bei \(x=6\,\text{ME}\).

- Wenn eine Funktion ansteigt, was sagt das über das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung aus? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen die Steigung null ist. - Untersuche die Bereiche zwischen diesen Stellen, um herauszufinden, wo die Funktion steigt oder fällt. - Ein Maximum liegt vor, wenn die Kurve von einer Steigung in ein Gefälle übergeht.

1. Bestimmung der ersten Ableitung zur Untersuchung der Monotonie: \(G'(x) = -3x^2 + 18x - 15\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(-3(x^2 - 6x + 5) = 0\). Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 3. Monotonieintervalle bestimmen: Da der Graph von \(G'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(G'(x) > 0\) für \(1 < x < 5\). In diesem Intervall ist die Gewinnfunktion streng monoton steigend. 4. Lokale Extrema klassifizieren: Die zweite Ableitung ist \(G''(x) = -6x + 18\). 5. Prüfung der Stellen: \(G''(1) = 12 > 0\) (lokales Minimum), \(G''(5) = -12 < 0\) (lokales Maximum). 6. Ergebnis: Der Gewinn steigt im Bereich \(1 < x < 5\) an. Das lokale Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) und hat den Wert \(G(5) = 5\).

a) Der Gewinn steigt im Intervall \((1; 5)\) bzw. für \(1 < x < 5\) an. b) Ein lokales Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) vor; der maximale Funktionswert beträgt \(G(5) = 5\).

- Wie hängt der Gesamterlös mathematisch mit der verkauften Menge und dem Preis zusammen? - Welche Absatzmengen sind im Modell zulässig, wenn Menge und Preis nicht negativ sein dürfen? - Untersuche die Erlösfunktion auf diesem zulässigen Intervall. - Berechne nach der optimalen Menge auch den zugehörigen Preis.

1. Der Erlös ist das Produkt aus Menge und Preis: \(E(x)=x(360-1{,}5x)=360x-1{,}5x^2\). Im Modell gelten \(x\ge0\) und \(p(x)\ge0\), also \(0\le x\le240\). 2. Es ist \(E'(x)=360-3x\). Aus \(E'(x)=0\) folgt \(x=120\). Mit \(E''(x)=-3<0\) liegt ein Maximum vor. Da \(E(0)=E(240)=0\), ist dies das absolute Maximum auf dem zulässigen Intervall. 3. Es gilt \(E(120)=21\,600\,\text{€}\) und \(p(120)=180\,\text{€}\).

1. \(E(x)=360x-1{,}5x^2\) für \(0\le x\le240\) 2. Die optimale Absatzmenge beträgt \(120\) Stück. 3. Der maximale Erlös beträgt \(21\,600\,\text{€}\) bei einem Stückpreis von \(180\,\text{€}\).

- Wie berechnet man den Erlös aus Preis und Menge? - Welche Absatzmengen sind zulässig, wenn der Preis nicht negativ werden darf? - Stelle die Gewinnfunktion auf und untersuche ihre Form. - Berechne nach der optimalen Menge auch Preis und Gewinn.

1. Der Erlös ist \(E(x)=x\cdot p(x)=-0{,}4x^2+84x\). Damit gilt \(G(x)=E(x)-K(x)=-0{,}4x^2+72x-400\). 2. Ökonomisch gelten \(x\ge0\) und \(p(x)\ge0\), also \(0\le x\le210\). 3. Es ist \(G'(x)=-0{,}8x+72\). Aus \(G'(x)=0\) folgt \(x=90\). Wegen \(G''(x)=-0{,}8<0\) ist \(G\) eine nach unten geöffnete Parabel; daher ist dies das globale Maximum auf dem zulässigen Intervall. 4. Der zugehörige Preis ist \(p(90)=48\,\text{GE/ME}\), der Gewinn \(G(90)=2840\,\text{GE}\).

Der maximale Gewinn wird bei \(x=90\,\text{ME}\) erzielt. Der Preis beträgt dann \(48\,\text{GE/ME}\), der maximale Gewinn \(2840\,\text{GE}\).

- Drücke sowohl den Beitrag als auch die Mitgliederzahl durch dieselbe Beitragsänderung aus. - Welche Werte dieser Änderung sind im Modell überhaupt zulässig, wenn weder Beitrag noch Mitgliederzahl negativ sein dürfen? - Stelle den Umsatz als Produkt aus Preis und Mitgliederzahl auf. - Prüfe, ob der gefundene Extremwert auch im gesamten zulässigen Bereich der größte Umsatz ist.

1. Sei \(x\) die Beitragsänderung in Euro. Dann gilt \(p(x)=45+x\) und \(n(x)=800-10x\). Im Modell müssen Beitrag und Mitgliederzahl nicht negativ sein, also \(-45\le x\le80\). 2. Die Umsatzfunktion lautet \(U(x)=(45+x)(800-10x)=-10x^2+350x+36\,000\). 3. Mit \(U'(x)=-20x+350\) folgt aus \(U'(x)=0\) die Stelle \(x=17{,}5\). Wegen \(U''(x)=-20<0\) liegt ein lokales Maximum vor. 4. Da \(U\) eine nach unten geöffnete Parabel auf dem abgeschlossenen zulässigen Intervall ist und \(U(-45)=U(80)=0\) gilt, ist der Wert bei \(x=17{,}5\) das absolute Maximum. 5. Der optimale Beitrag beträgt \(62{,}50\,\text{€}\), die Mitgliederzahl \(625\) und der maximale Monatsumsatz \(39\,062{,}50\,\text{€}\).

Der maximale Umsatz wird bei einem monatlichen Beitrag von \(62{,}50\,\text{€}\) erreicht. Das Studio hat dann \(625\) Mitglieder und erzielt \(39\,062{,}50\,\text{€}\) Umsatz pro Monat.

- Wie berechnet man den Gewinn aus Erlös und Kosten? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, ob es sich um ein Maximum handelt? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Unternehmen Verlust macht? - Kannst du die Nullstellen der Gewinnfunktion näherungsweise bestimmen oder berechnen?

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x)\). Mit \(E(x) = 500x\) ergibt sich \(G(x) = 500x - (x^3 - 30x^2 + 500x + 1000) = -x^3 + 30x^2 - 1000\). 2. Bestimmung des Gewinnmaximums: Ableitung bilden \(G'(x) = -3x^2 + 60x\). Nullstellen der Ableitung: \(-3x(x - 20) = 0\), daraus folgen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 20\). 3. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -6x + 60\). Da \(G''(20) = -120 + 60 = -60 < 0\), liegt bei \(x = 20\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(20) = -(20)^3 + 30 \cdot (20)^2 - 1000 = -8000 + 12\,000 - 1000 = 3000\,\text{€}\). 5. Bestimmung der Verlustbereiche: Lösen der Gleichung \(G(x) = 0\), also \(-x^3 + 30x^2 - 1000 = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x \approx 6{,}53\) und \(x \approx 28{,}79\) (sowie eine negative Lösung). Im kontinuierlichen Modell liegt ein Verlust (\(G(x) < 0\)) für \(0 \le x < 6{,}53\) und für \(x > 28{,}79\) vor. Da \(x\) eine Stückzahl ist, bedeutet dies für ganzzahlige Produktionsmengen: Verlust bei \(x = 0, 1, \ldots, 6\) und bei \(x \ge 29\). 6. Für \(x\geq0\) gilt \(G'(x)>0\) auf \(]0;20[\) und \(G'(x)<0\) für \(x>20\). Damit ist das Gewinnmaximum bei \(x=20\) global.

a) \(G(x) = -x^3 + 30x^2 - 1000\) b) Das Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(20\) Stück; der Gewinn beträgt dort \(3000\,\text{€}\). c) Im kontinuierlichen Modell entsteht ein Verlust für \(0 \le x < 6{,}53\) und für \(x > 28{,}79\). Für ganzzahlige Stückzahlen gilt: Verlust bei \(0\) bis \(6\) Stück und ab \(29\) Stück.

- Überlege zuerst, wie man den Erlös aus dem Preis und der Menge berechnet. - Der Gewinn ist die Differenz zwischen dem, was man einnimmt, und dem, was die Herstellung kostet. - Um eine Stelle mit maximalem Wert zu finden, hilft die erste Ableitung der Funktion. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel). - Achte darauf, dass Produktionsmengen in der Realität nicht negativ sein können.

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x)\). Mit \(E(x) = 40x\) ergibt sich \(G(x) = 40x - (x^3 - 6x^2 + 25x + 50) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\). 2. Bestimmung der Ableitungen: \(G'(x) = -3x^2 + 12x + 15\) und \(G''(x) = -6x + 12\). 3. Notwendige Bedingung für Extrema: \(G'(x) = 0 \Rightarrow -3(x^2 - 4x - 5) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Da die Produktionsmenge nicht negativ sein kann, ist nur \(x = 5\) relevant. 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 12 = -18\). Da \(G''(5) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 5\) ein lokales Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(5) = -(5)^3 + 6 \cdot (5)^2 + 15 \cdot 5 - 50 = -125 + 150 + 75 - 50 = 50\). 6. Für \(x\geq0\) gilt \(G'(x)>0\) auf \([0;5[\) und \(G'(x)<0\) für \(x>5\). Daher ist das Gewinnmaximum bei \(x=5\) global.

a) \(G(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\) b) Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(x = 5\,\text{ME}\) erreicht. c) Der maximale Gewinn beträgt \(50\,\text{GE}\).

- Wie berechnest du den Durchschnittswert der Kosten, wenn du die Gesamtkosten kennst? - Erinnere dich an das notwendige Kriterium für Extremstellen einer Funktion. - Kannst du die Gleichung durch Multiplikation mit \(x^2\) so umformen, dass kein Bruch mehr vorkommt? - Denk daran, dein Ergebnis mit der zweiten Ableitung auf ein Minimum zu prüfen.

1. Aufstellen der Stückkostenfunktion: \(k(x) = \frac{K(x)}{x} = x^2 - 12x + 60 + \frac{256}{x}\). 2. Ableiten der Stückkostenfunktion: \(k'(x) = 2x - 12 - \frac{256}{x^2}\). 3. Bestimmen der Nullstellen von \(k'(x)\): \(2x - 12 - \frac{256}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 - 12x^2 - 256 = 0 \Leftrightarrow x^3 - 6x^2 - 128 = 0\). Durch Probieren oder systematisches Lösen ergibt sich \(x = 8\) als einzige reelle Lösung. 4. Überprüfen der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(k''(x) = 2 + \frac{512}{x^3}\). Es gilt \(k''(8) = 2 + \frac{512}{512} = 3 > 0\), somit liegt bei \(x = 8\) ein lokales Minimum vor. 5. Berechnen des minimalen Stückkostenwerts: \(k(8) = 8^2 - 12 \cdot 8 + 60 + \frac{256}{8} = 64 - 96 + 60 + 32 = 60\). 6. Für alle \(x>0\) gilt \(k''(x)>0\). Zudem ist \(k(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\); das Minimum ist daher global.

Die Stückkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 8\,\text{ME}\) minimal. Die minimalen Stückkosten betragen \(60\,\text{€}\,\text{ME}^{-1}\).

- Wie berechnet man den Gewinn aus Erlös und Kosten? - Was bedeutet es mathematisch für die Gewinnfunktion, wenn ein Unternehmen „mit Gewinn“ arbeitet? - Wie findest du die Stellen, an denen eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Art eines Extrempunktes zu bestimmen?

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 52x - (x^3 - 15x^2 + 100x + 10) = -x^3 + 15x^2 - 48x - 10\). 2. Berechnung der Nullstellen von \(G(x)\): Durch den Hinweis \(x_1 = 5\) und Polynomdivision ergibt sich \((x-5)(-x^2 + 10x + 2) = 0\). Die weiteren Nullstellen liegen bei \(x = 5 \pm \sqrt{27}\), also \(x_2 \approx -0{,}20\) (ökonomisch nicht relevant) und \(x_3 \approx 10{,}20\). 3. Bestimmung der Gewinnzone: Da der Graph der Gewinnfunktion zwischen den positiven Nullstellen oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, liegt die Gewinnzone im Intervall \((5; 10{,}20)\). 4. Ermittlung des Gewinnmaximums: Die erste Ableitung \(G'(x) = -3x^2 + 30x - 48\) gleich Null setzen liefert \(x^2 - 10x + 16 = 0\), woraus die Extremstellen \(x = 2\) (Minimum) und \(x = 8\) (Maximum) folgen. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: Einsetzen von \(x = 8\) in \(G(x)\) ergibt \(G(8) = -8^3 + 15 \cdot 8^2 - 48 \cdot 8 - 10 = 54\). Das Gewinnmaximum liegt bei \(8\,\text{ME}\) mit einem Gewinn von \(54\,\text{GE}\). 6. Auf \(x\geq0\) fällt \(G\) zunächst bis \(x=2\), steigt bis \(x=8\) und fällt danach gegen \(-\infty\). Da \(G(8)>G(0)\), liegt bei \(x=8\) das globale Gewinnmaximum.

a) \(G(x) = -x^3 + 15x^2 - 48x - 10\); Gewinnzone: \((5; 10{,}20)\) (in ME). b) Das Gewinnmaximum liegt bei \(x = 8\,\text{ME}\) und beträgt \(54\,\text{GE}\).

- Was versteht man unter Grenzkosten in der Mathematik? - Wie hängen die Grenzkosten mit der Steigung der Kostenkurve zusammen? - Der Gewinn ist der Teil des Erlöses, der nach Abzug aller Kosten übrig bleibt. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extremstellen einer Funktion.

1. Zur Bestimmung des Grenzkostenminimums wird die erste Ableitung der Kostenfunktion \(K'(x) = 0{,}03x^2 - 6x + 400\) gebildet. 2. Die Minimalstelle der Grenzkostenfunktion wird über die Bedingung \(K''(x) = 0\) gefunden: \(0{,}06x - 6 = 0 \Rightarrow x = 100\). Mit \(K'''(100) = 0{,}06 > 0\) liegt ein lokales Minimum bei \(x = 100\,\text{ME}\) vor. 3. Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = E(x) - K(x) = -0{,}01x^3 + 3x^2 + 63x - 5000\). 4. Zur Gewinnmaximierung wird \(G'(x) = -0{,}03x^2 + 6x + 63 = 0\) gesetzt. Die quadratische Gleichung \(x^2 - 200x - 2100 = 0\) führt zu den Lösungen \(x_1 = 210\) und \(x_2 = -10\). 5. Da nur \(x > 0\) ökonomisch sinnvoll ist und \(G''(210) = -0{,}06 \cdot 210 + 6 = -6{,}6 < 0\) gilt, liegt das Gewinnmaximum bei \(x = 210\,\text{ME}\). 6. Die Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel; ihr Scheitel bei \(x=100\) ist daher das globale Minimum. Für \(x\geq0\) gilt außerdem \(G'(x)>0\) bis \(x=210\) und \(G'(x)<0\) danach, sodass das Gewinnmaximum bei \(x=210\) global ist.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(100\,\text{ME}\) minimal. b) Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = -0{,}01x^3 + 3x^2 + 63x - 5000\). Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(210\,\text{ME}\) erreicht.

- Der Erlös ist das Produkt aus Absatzmenge und Preis. - Welcher Faktor der Ableitung kann niemals null werden? - Untersuche das Vorzeichen der Erlösänderung vor und nach dem kritischen Wert. - Prüfe auch das Verhalten für sehr große Absatzmengen.

1. Für \(x\ge0\) gilt \(E(x)=x\cdot p(x)=300xe^{-0{,}005x}\). 2. Die Ableitung ist \(E'(x)=300e^{-0{,}005x}(1-0{,}005x)\). Da der Exponentialfaktor positiv ist, folgt aus \(E'(x)=0\) die Stelle \(x=200\). 3. Mit \(E''(200)=-1{,}5e^{-1}<0\) liegt dort ein lokales Maximum. Außerdem ist \(E'(x)>0\) für \(0\le x<200\), \(E'(x)<0\) für \(x>200\), \(E(0)=0\) und \(E(x)\to0\) für \(x\to\infty\). Somit ist das Maximum global. 4. Es gilt \(p(200)=300e^{-1}\approx110{,}36\,\text{GE/ME}\) und \(E(200)=60\,000e^{-1}\approx22\,072{,}77\,\text{GE}\).

Der Erlös ist bei \(x=200\,\text{ME}\) maximal. Der maximale Erlös beträgt etwa \(22\,072{,}77\,\text{GE}\), der Preis etwa \(110{,}36\,\text{GE/ME}\).

- Wie berechnet man den Erlös aus dem Preis und der Menge? - Überlege dir, wie der Gewinn mit dem Erlös und den Kosten zusammenhängt. - Welche mathematische Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion an einer Stelle einen Hochpunkt hat? - Denk daran, dass negative Produktionsmengen in der Realität nicht sinnvoll sind.

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = p \cdot x = 125x\) 2. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 125x - (\frac{1}{3}x^3 - 5x^2 + 50x + 100) = -\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 + 75x - 100\) 3. Bestimmung der ersten Ableitung der Gewinnfunktion: \(G'(x) = -x^2 + 10x + 75\) 4. Setzen der ersten Ableitung gleich Null zur Bestimmung der Extremstellen: \(-x^2 + 10x + 75 = 0\). Mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren ergibt sich \(x_1 = 15\) und \(x_2 = -5\). Da die Produktionsmenge positiv sein muss, ist \(x = 15\) der relevante Kandidat. 5. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -2x + 10\). Einsetzen von \(x = 15\) ergibt \(G''(15) = -20\). Da \(G''(15) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 15\) ein lokales Maximum vor. 6. Für \(x \ge 0\) gilt \(G'(x) > 0\) auf \([0;15[\) und \(G'(x) < 0\) für \(x > 15\). Daher ist \(x = 15\) nicht nur ein lokales, sondern das globale Maximum im ökonomisch relevanten Bereich.

Der Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(15\,\text{ME}\) maximal.

- Beachte, dass der Preis von der Absatzmenge abhängt. - Welche Mengen sind zulässig, solange der modellierte Preis nicht negativ ist? - Stelle zuerst die vollständige Gewinnfunktion auf. - Prüfe, ob der gefundene Kandidat im gesamten zulässigen Bereich das Maximum liefert.

1. Der Erlös ist \(E(x)=x(300-10x)=300x-10x^2\). Damit gilt \(G(x)=E(x)-K(x)=-x^3+5x^2+200x-500\). 2. Ökonomisch gelten \(x\ge0\) und \(p(x)\ge0\), also \(0\le x\le30\). 3. Es ist \(G'(x)=-3x^2+10x+200\). Aus \(G'(x)=0\) folgen \(x=10\) und \(x=-\frac{20}{3}\); nur \(x=10\) ist zulässig. Mit \(G''(10)=-50<0\) liegt ein lokales Maximum vor. 4. Auf \([0;30]\) ist \(G'(x)>0\) bis \(x=10\) und danach negativ. Daher ist das Maximum bei \(x=10\) global. Es gilt \(G(10)=1000\,\text{€}\).

Der Gewinn ist bei \(x=10\) Stück maximal und beträgt \(1000{,}00\,\text{€}\).

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion grafisch an? - Wenn du das Minimum einer Funktion (hier der Grenzkosten) suchst, welche Ableitung musst du dann gleich Null setzen? - Erinnere dich an die Definition des Wendepunkts einer Funktion. - Wie interpretierst du die Steigung der Kostenkurve im Hinblick auf den Kostenanstieg?

1. Bildung der Grenzkostenfunktion: \(K'(x) = 0{,}03x^2 - 1{,}8x + 40\). 2. Bestimmung des Minimums von \(K'(x)\): Die notwendige Bedingung \(K''(x) = 0\) führt zu \(0{,}06x - 1{,}8 = 0\), woraus \(x = 30\,\text{ME}\) folgt. 3. Überprüfung der hinreichenden Bedingung: \(K'''(x) = 0{,}06 > 0\), somit liegt bei \(x = 30\) ein lokales Minimum vor. 4. Berechnung der minimalen Grenzkosten: \(K'(30) = 0{,}03 \cdot 30^2 - 1{,}8 \cdot 30 + 40 = 27 - 54 + 40 = 13\,\text{GE/ME}\). 5. Ökonomischer und geometrischer Zusammenhang: Das Minimum der Grenzkosten entspricht dem Wendepunkt der Kostenfunktion \(K\). An dieser Stelle geht die Kostenkurve von einer Rechtskrümmung (degressiver Kostenverlauf) in eine Linkskrümmung (progressiver Kostenverlauf) über; hier steigen die Kosten am langsamsten an.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 30\,\text{ME}\) am geringsten. b) Die minimalen Grenzkosten betragen \(13\,\text{GE/ME}\). c) Das Minimum der Grenzkosten markiert die Stelle des geringsten Kostenanstiegs, was geometrisch dem Wendepunkt der Gesamtkostenfunktion \(K\) entspricht.

- Wie bildest du die Durchschnittskosten aus den Gesamtkosten? - Beachte für das Betriebsoptimum den Definitionsbereich \(x>0\). - Prüfe nicht nur eine lokale Minimalstelle, sondern auch das Verhalten der Durchschnittskosten an den Rändern des Definitionsbereichs. - Vergleiche anschließend Grenzkosten und Durchschnittskosten an derselben Produktionsmenge.

a) Es gilt \(k(x)=\frac{x^3-6x^2+50x+32}{x}=x^2-6x+50+\frac{32}{x}\) für \(x>0\). b) Die Ableitung lautet \(k'(x)=2x-6-\frac{32}{x^2}\). Aus \(k'(x)=0\) folgt \(x^3-3x^2-16=0\); die positive Lösung ist \(x_0=4\). Mit \(k''(x)=2+\frac{64}{x^3}>0\) für alle \(x>0\) sowie \(k(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\) ist dies das globale Minimum. c) Es gilt \(k(4)=50\). Für die Grenzkostenfunktion \(K'(x)=3x^2-12x+50\) ergibt sich ebenfalls \(K'(4)=50\). Damit gilt am Betriebsoptimum \(K'(4)=k(4)\).

a) \(k(x)=x^2-6x+50+\frac{32}{x}\) b) Das Betriebsoptimum liegt bei \(x_0=4\,\text{ME}\). c) Es gilt \(K'(4)=k(4)=50\).

- Betrachte für a) die Grenzkostenfunktion selbst als zu optimierende Funktion. - Wie werden Durchschnittskosten aus Gesamtkosten und Produktionsmenge gebildet? - Welche Randverhalten sind für ein globales Minimum der Durchschnittskosten relevant? - Wie erhältst du die Gewinnfunktion aus Erlös und Kosten? - Beachte bei allen drei Teilaufgaben den ökonomischen Bereich \(x\ge0\) beziehungsweise \(x>0\).

a) Die Grenzkostenfunktion ist \(K'(x)=3x^2-18x+30\). Aus \(K''(x)=6x-18=0\) folgt \(x=3\). Wegen \(K'''(3)=6>0\) liegt dort ein Minimum; da \(K'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist es global. b) Die Durchschnittskosten sind \(\bar K(x)=x^2-9x+30+\frac{25}{x}\) für \(x>0\). Mit \(\bar K'(x)=2x-9-\frac{25}{x^2}\) führt \(\bar K'(x)=0\) auf \(2x^3-9x^2-25=0\); die positive Lösung ist \(x=5\). Da \(\bar K''(x)=2+\frac{50}{x^3}>0\) für \(x>0\) und \(\bar K(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) sowie \(x\to\infty\), ist dies das globale Minimum. c) Es gilt \(G(x)=51x-K(x)=-x^3+9x^2+21x-25\). Aus \(G'(x)=-3x^2+18x+21=0\) folgen \(x=7\) und \(x=-1\); nur \(x=7\) ist zulässig. Für \(x\ge0\) ist \(G'(x)>0\) bis \(x=7\) und danach negativ. Somit ist \(x=7\) die global gewinnmaximale Produktionsmenge.

a) Die Grenzkosten sind bei \(3\,\text{ME}\) minimal. b) Das Betriebsoptimum liegt bei \(5\,\text{ME}\). c) Die gewinnmaximale Produktionsmenge beträgt \(7\,\text{ME}\).

- Welche Funktion beschreibt die Grenzkosten? - Wie setzt sich die Gewinnfunktion aus Erlös und Kosten zusammen? - Welche Produktionsmengen sind ökonomisch sinnvoll? - Prüfe beim Gewinnmaximum das Vorzeichen der Gewinnänderung vor und nach dem Kandidaten.

a) Die Grenzkostenfunktion ist \(K'(x)=x^2-20x+150\). Aus \(K''(x)=2x-20=0\) folgt \(x=10\). Wegen \(K'''(10)=2>0\) und der nach oben geöffneten Parabelform von \(K'\) liegt dort das globale Grenzkostenminimum. b) Die Erlösfunktion ist \(E(x)=450x\), also \(G(x)=-\frac13x^3+10x^2+300x-1000\). Aus \(G'(x)=-x^2+20x+300=0\) folgen \(x=30\) und \(x=-10\). Für \(x\ge0\) ist \(G'(x)>0\) bis \(x=30\) und danach negativ; daher ist das Gewinnmaximum bei \(x=30\) global. c) Es gilt \(G(30)=-\frac13(30)^3+10(30)^2+300(30)-1000=8000\,\text{GE}\).

a) Die Grenzkosten sind bei \(x=10\,\text{ME}\) am geringsten. b) Der maximale Gewinn wird bei \(x=30\,\text{ME}\) erreicht. c) Der maximale Gewinn beträgt \(8000\,\text{GE}\).

- Wie berechnet man die Fahrzeit aus Strecke und Geschwindigkeit? - Welche Geschwindigkeiten sind im Modell zulässig? - Prüfe nach der lokalen Extremwertbestimmung auch das Verhalten der Gesamtkosten für sehr kleine und sehr große positive Geschwindigkeiten. - Wie lautet die Tangentengleichung an einer gegebenen Stelle?

a) Für \(v>0\) beträgt die Fahrzeit \(t=\frac{400}{v}\) Stunden. Damit ist \(C(v)=\frac{400}{v}(K(v)+L)=\frac{400}{v}(0{,}01v^2+100)=4v+\frac{40000}{v}\). b) Die Ableitung ist \(C'(v)=4-\frac{40000}{v^2}\). Aus \(C'(v)=0\) folgt \(v^2=10000\), also \(v=100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Mit \(C''(100)=\frac{80000}{100^3}>0\) liegt ein Minimum vor. Da \(C(v)\to\infty\) für \(v\to0^+\) und für \(v\to\infty\), ist es das globale Minimum auf \(v>0\). c) Es gilt \(K(100)=115\) und \(K'(100)=2\). Die Tangente ist daher \(y=2(v-100)+115=2v-85\). Für \(v=0\) ergibt sich \(y=-85=-L\); die Tangente verläuft also durch \(P(0|-L)\).

a) \(C(v)=4v+\frac{40000}{v}\) für \(v>0\) b) Die global kostenminimale Geschwindigkeit beträgt \(100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). c) Die Tangente bei \(v=100\) lautet \(y=2v-85\) und verläuft durch \(P(0|-85)\).

- Nutze die feste Volumenbedingung, um die Höhe durch den Radius auszudrücken. - Welche Flächen der Dose werden mit welchem Quadratmeter- beziehungsweise Quadratzentimeterpreis gewichtet? - Führe die im Text verlangte Prüfung mit der zweiten Ableitung durch. - Wie verhält sich die Kostenfunktion für sehr kleine beziehungsweise sehr große positive Radien?

1. Aus \(\pi r^2h=27\pi\) folgt für \(r>0\) die Höhe \(h=\frac{27}{r^2}\). 2. Die Kostenfunktion lautet \(K(r,h)=2\pi r^2+4\pi rh\). Nach Einsetzen der Nebenbedingung ergibt sich \(K(r)=2\pi r^2+\frac{108\pi}{r}\). 3. Es gilt \(K'(r)=4\pi r-\frac{108\pi}{r^2}\). Aus \(K'(r)=0\) folgt \(r^3=27\), also \(r=3\,\text{cm}\). Damit ist \(h=3\,\text{cm}\). 4. Die zweite Ableitung ist \(K''(r)=4\pi+\frac{216\pi}{r^3}\), also \(K''(3)=12\pi>0\). Zudem gilt \(K(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und für \(r\to\infty\). Somit ist das gefundene Minimum global.

Die Materialkosten sind bei \(r=3\,\text{cm}\) und \(h=3\,\text{cm}\) minimal.

- Was bedeutet der \(y\)-Achsenabschnitt der Kostenfunktion wirtschaftlich? - Wo im Graphen stimmen Erlös und Kosten überein? - Stelle für c) die Gewinnfunktion als Differenz von Erlös und Kosten auf. - Berücksichtige bei der globalen Prüfung den vorgegebenen Bereich \([0;10]\). - Achte beim Endergebnis auf die Umrechnung von GE in Euro.

a) Aus dem Graphen liest man \(K(0)=10\,\text{GE}\), also Fixkosten von \(1000\,\text{€}\), ab. Bei \(8\,\text{ME}\) liegt der Graph bei etwa \(48\,\text{GE}\); rechnerisch ist \(K(8)=48{,}4\,\text{GE}=4840\,\text{€}\). b) Die Schnittpunkte von Kosten- und Erlösgraph liegen grafisch bei etwa \(x=2{,}6\,\text{ME}\) und \(x=9{,}4\,\text{ME}\). Dies sind Gewinnschwelle und Gewinngrenze. c) Die Gewinnfunktion ist \(G(x)=E(x)-K(x)=-0{,}2x^3+2x^2-10\) auf \([0;10]\). Es gilt \(G'(x)=-0{,}6x^2+4x\), also sind \(x=0\) und \(x=\frac{20}{3}\) die kritischen Stellen. Auf \((0;\frac{20}{3})\) ist \(G'(x)>0\), danach bis \(10\) negativ. Damit ist \(x_{\text{opt}}=\frac{20}{3}\approx6{,}67\,\text{ME}\) die globale Maximalstelle. Der Gewinn beträgt \(G(\frac{20}{3})=\frac{530}{27}\,\text{GE}\approx19{,}63\,\text{GE}\approx1963\,\text{€}\).

a) Fixkosten: \(1000\,\text{€}\); Kosten bei \(8\,\text{ME}\): grafisch etwa \(4800\,\text{€}\), rechnerisch \(4840\,\text{€}\). b) Gewinnschwelle: etwa \(2{,}6\,\text{ME}\); Gewinngrenze: etwa \(9{,}4\,\text{ME}\). c) Der maximale Gewinn von etwa \(1963\,\text{€}\) wird bei \(x\approx6{,}67\,\text{ME}\) erreicht.

- Überlege zuerst, wie die Funktion der Grenzkosten aus der Gesamtkostenfunktion hervorgeht. - Das Minimum einer Funktion findest du dort, wo ihre Ableitung Null ist und ein Vorzeichenwechsel vorliegt. - Erinnere dich daran, dass die Durchschnittskosten die Kosten pro produzierter Einheit angeben. - Um eine Gleichung dritten Grades wie in b) zu lösen, kannst du Werte testen oder ein Näherungsverfahren nutzen.

1. Grenzkostenfunktion bilden: \(K'(x) = 0{,}003x^2 - 0{,}12x + 5\). 2. Minimum der Grenzkosten durch Nullsetzen der zweiten Ableitung bestimmen: \(K''(x) = 0{,}006x - 0{,}12 = 0 \Rightarrow x = 20\). Da \(K'''(x) = 0{,}006 > 0\), liegt ein Minimum vor. Die Grenzkosten sind bei \(x = 20\,\text{ME}\) minimal. 3. Durchschnittskostenfunktion aufstellen: \(V(x) = 0{,}001x^2 - 0{,}06x + 5 + \frac{100}{x}\). 4. Ableitung der Durchschnittskosten bilden: \(V'(x) = 0{,}002x - 0{,}06 - \frac{100}{x^2}\). 5. Minimum der Durchschnittskosten durch \(V'(x) = 0\) bestimmen: \(0{,}002x^3 - 0{,}06x^2 - 100 = 0\). Durch systematisches Probieren oder Lösen ergibt sich \(x = 50\). 6. Grenzkosten an der Stelle \(x = 50\) berechnen: \(K'(50) = 0{,}003 \cdot 50^2 - 0{,}12 \cdot 50 + 5 = 7{,}5 - 6 + 5 = 6{,}5\). 7. Durchschnittskosten an der Stelle \(x = 50\) berechnen: \(V(50) = 0{,}001 \cdot 50^2 - 0{,}06 \cdot 50 + 5 + \frac{100}{50} = 2{,}5 - 3 + 5 + 2 = 6{,}5\). Somit gilt \(K'(50) = V(50)\). 8. Für \(x>0\) gilt \(V''(x)=0{,}002+\frac{200}{x^3}>0\). Zusammen mit \(V(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\) folgt, dass das Minimum bei \(x=50\) global ist.

a) Die Grenzkosten sind bei \(x = 20\,\text{ME}\) minimal. b) Die Durchschnittskosten sind bei \(x = 50\,\text{ME}\) minimal (Betriebsoptimum). c) An der Stelle \(x = 50\) gilt \(K'(50) = V(50) = 6{,}5\,\text{GE}\,\text{ME}^{-1}\).

- Behandle in den ersten beiden Teilaufgaben jeweils eine Variable als festen Parameter. - Welche Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) folgt, wenn beide notwendigen Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind? - Für die globale Begründung kann das Produkt \(p=xy\) als neue Größe helfen. - Wie klein kann \(x+y\) bei festem positiven Produkt \(xy\) werden? - Untersuche anschließend nur noch eine Funktion der Variablen \(p\).

1. Für festes \(x>0\) gilt \(f_x(y)=6xy+\frac{64}{x}+\frac{64}{y}\). Die notwendige Bedingung lautet \(f_x'(y)=6x-\frac{64}{y^2}=0\), also \(y^2=\frac{32}{3x}\). 2. Analog ist \(f_y'(x)=6y-\frac{64}{x^2}=0\), also \(x^2=\frac{32}{3y}\). 3. Aus den beiden Bedingungen folgt \(x=y\). Damit ist \(x^3=\frac{32}{3}\), also \(x=y=\sqrt[3]{\frac{32}{3}}\approx2{,}20\,\text{dm}\). Aus \(xyh=16\) folgt \(h=\frac{16}{xy}\approx3{,}30\,\text{dm}\). Für die globale Begründung setze \(p=xy>0\). Wegen \(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\sqrt p\) gilt \(\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{p}\ge\frac{2}{\sqrt p}\), mit Gleichheit genau für \(x=y\). Daher ist \(K(x,y)\ge F(p)=6p+\frac{128}{\sqrt p}\). Es gilt \(F'(p)=6-64p^{-3/2}\); die einzige kritische Stelle erfüllt \(p^{3/2}=\frac{32}{3}\). Außerdem gilt \(F(p)\to\infty\) für \(p\to0^+\) und für \(p\to\infty\). Somit ist der gefundene symmetrische Punkt das globale Kostenminimum.

1. \(y^2=\frac{32}{3x}\) 2. \(x^2=\frac{32}{3y}\) 3. Optimal sind \(x=y=\sqrt[3]{\frac{32}{3}}\approx2{,}20\,\text{dm}\) und \(h\approx3{,}30\,\text{dm}\). Diese Maße liefern das globale Kostenminimum.

- Zerlege die Fensterfläche in Rechteck und Halbkreis und nutze \(r=\frac b2\). - Welche Teile gehören tatsächlich zum äußeren Rahmen, und welche davon haben unterschiedliche Meterpreise? - Welche Bedingung an \(r\) stellt sicher, dass die Rechteckhöhe positiv bleibt? - Prüfe nach der Extremwertbestimmung, ob die Kostenfunktion im zulässigen Bereich nur ein Minimum besitzen kann.

1. Mit \(r=\frac b2\) gilt für die Fläche \(2rh+\frac12\pi r^2=2{,}50\). Daher ist \(h=\frac{1{,}25}{r}-\frac{\pi}{4}r\). Für einen nicht entarteten rechteckigen Teil gilt \(0<r<\sqrt{\frac5\pi}\). 2. Die geraden Rahmenstücke haben zusammen die Länge \(2h+2r\), der Halbkreisbogen die Länge \(\pi r\). Somit ist \(K(r)=12(2h+2r)+18\pi r=\frac{30}{r}+(24+12\pi)r\). 3. Es gilt \(K'(r)=-\frac{30}{r^2}+24+12\pi\). Aus \(K'(r)=0\) folgt \(r^2=\frac{30}{24+12\pi}\), also \(r\approx0{,}6973\,\text{m}\). 4. Wegen \(K''(r)=\frac{60}{r^3}>0\) für alle \(r>0\) ist \(K\) streng konvex. Die kritische Stelle liegt im zulässigen Bereich und liefert daher das globale Kostenminimum. 5. Damit ist \(b=2r\approx1{,}39\,\text{m}\) und \(h=\frac{1{,}25}{r}-\frac{\pi}{4}r\approx1{,}24\,\text{m}\).

Die Kosten werden für eine Breite von etwa \(1{,}39\,\text{m}\) und eine Rechteckhöhe von etwa \(1{,}24\,\text{m}\) minimal.

- Setze das Gesamtvolumen aus Zylinder und Halbkugel zusammen. - Welche Flächen werden mit dem einfachen und welche mit dem doppelten Kostenfaktor gewichtet? - Prüfe, welche Werte von \(r\) überhaupt zu einer positiven Zylinderhöhe führen. - Nach der Extremwertbestimmung: Wie kannst du sicherstellen, dass das Ergebnis global minimal ist?

1. Das Volumen ist \(V=\pi r^2h+\frac23\pi r^3\). Daher gilt \(h=\frac{V}{\pi r^2}-\frac23r\). Physikalisch müssen \(r>0\) und \(h>0\) gelten. 2. Mit dem Kostenfaktor \(k\) für Mantel und Deckel sowie \(2k\) für den halbkugelförmigen Boden ist \(K(r,h)=k(2\pi rh+5\pi r^2)\). Für die Extremstelle kann der positive Faktor \(k\) weggelassen werden. 3. Nach Einsetzen der Volumenbedingung erhält man \(f(r)=\frac{2V}{r}+\frac{11}{3}\pi r^2\). Es gilt \(f'(r)=-\frac{2V}{r^2}+\frac{22}{3}\pi r\). Aus \(f'(r)=0\) folgt \(V=\frac{11}{3}\pi r^3\). 4. Einsetzen in die Höhenformel ergibt \(h=\frac{11}{3}r-\frac23r=3r\). Diese Höhe ist positiv und damit physikalisch zulässig. 5. Wegen \(f''(r)=\frac{4V}{r^3}+\frac{22}{3}\pi>0\) für \(r>0\) ist \(f\) streng konvex. Zusammen mit \(f(r)\to\infty\) für \(r\to0^+\) und \(r\to\infty\) folgt, dass das gefundene Verhältnis das globale Kostenminimum liefert.

Die Materialkosten sind minimal für \(h=3r\), also für \(h{:}r=3{:}1\).