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- Suche zuerst die kleine Aufgabe in den großen Zahlen. - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn du an die erste Zahl eine Null anhängst? - Vergleiche die Aufgaben innerhalb einer Reihe.

1. Berechnung der Grundaufgaben: \(24 : 3 = 8\), \(24 : 4 = 6\) und \(24 : 6 = 4\). 2. Anwendung der Regel für Zehnerzahlen: Wenn der Dividend verzehnfacht wird und der Divisor gleich bleibt, verzehnfacht sich auch der Quotient. 3. Ergebnisse für a): \(8\), \(80\), \(800\). 4. Ergebnisse für b): \(6\), \(60\), \(600\). 5. Ergebnisse für c): \(4\), \(40\), \(400\).

a) \(8\), \(80\), \(800\) b) \(6\), \(60\), \(600\) c) \(4\), \(40\), \(400\) Auffälligkeit: Wenn der Dividend verzehnfacht wird (\(\cdot 10\)), verzehnfacht sich auch das Ergebnis.

- Suche im Dividenden nach einer bekannten Geteiltaufgabe. - Beschreibe die Stellenwertveränderung, statt nur Nullen zu streichen. - Prüfe, ob wirklich jede Aufgabe dieselbe Art von Rechenweg nahelegt.

1. a) Aus \(36 : 4 = 9\) folgt durch die Stellenwertstruktur \(360 : 4 = 90\). Kopfrechnen ist besonders geeignet. 2. b) Aus \(42 : 6 = 7\) folgt \(420 : 6 = 70\). Kopfrechnen ist besonders geeignet. 3. c) Aus \(72 : 9 = 8\) folgt \(720 : 9 = 80\). Kopfrechnen ist besonders geeignet. 4. d) Bei \(4836 : 6\) müssen mehrere unregelmäßige Stellen nacheinander verarbeitet werden. Schriftliches Dividieren ist dafür übersichtlicher; das Ergebnis muss in dieser Aufgabe nicht berechnet werden.

a) \(90\); Kopfrechnen ist besonders geeignet. b) \(70\); Kopfrechnen ist besonders geeignet. c) \(80\); Kopfrechnen ist besonders geeignet. d) Kopfrechnen ist nicht besonders geeignet; schriftliches Dividieren ist eine passende Wahl.

- Suche nicht nach der größten oder kleinsten Zahl, sondern nach einer auffälligen Beziehung zwischen den Zahlen. - Überlege, bei welcher Aufgabe du das Ergebnis erkennen kannst, ohne Ziffer für Ziffer zu rechnen.

1. Bei A liegen die beiden Zahlen direkt nebeneinander. Die Differenz kann ohne schriftliches Verfahren sofort bestimmt werden. 2. B und C haben keine vergleichbar unmittelbare Struktur; dort ist ein schriftliches oder sorgfältig halbschriftliches Verfahren naheliegender. 3. Daher ist A die eindeutig günstigste Kopfrechenaufgabe.

A. Die Zahlen \(500\,000\) und \(499\,999\) unterscheiden sich nur um \(1\).

- Vergleiche, wie viele Teilrechnungen du bei beiden Wegen benötigst. - Welche der vorkommenden Multiplikationen kannst du besonders sicher im Kopf lösen? - Eine gute Begründung bezieht sich auf die Struktur der Zahlen und nicht nur auf persönliche Vorlieben.

1. Weg 1: \(10 \cdot 6 = 60\) und \(8 \cdot 6 = 48\). Damit ist \(60 + 48 = 108\). 2. Weg 2: \(20 \cdot 6 = 120\). Da \(18\) um \(2\) kleiner als \(20\) ist, wird \(2 \cdot 6 = 12\) abgezogen: \(120 - 12 = 108\). 3. Beide Wege sind korrekt. Bei Weg 2 sind die Teilrechnungen mit \(20\) besonders rund; Weg 1 kann ebenso übersichtlich sein, wenn die Zerlegung in Zehner und Einer vertraut ist. Eine persönliche Wahl ist zulässig, wenn sie nachvollziehbar begründet wird.

Weg 1: \(10 \cdot 6 + 8 \cdot 6 = 108\). Weg 2: \(20 \cdot 6 - 2 \cdot 6 = 108\). Beide Wege sind korrekt; die bevorzugte Methode darf unterschiedlich sein, muss aber kurz begründet werden.

- Überlege zuerst, welche kleine Einmaleins-Aufgabe in den Zahlen steckt. - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn eine Zahl im Produkt eine Null am Ende hat? - Was passiert mit dem Quotienten, wenn du Dividend und Divisor gleichzeitig durch \(10\) teilst? - Nutze die Umkehraufgabe, um dein Ergebnis zu prüfen.

1. Berechnung der Grundaufgabe: \(3 \cdot 7 = 21\). 2. Multiplikation mit Zehnerzahlen: Durch das Zehnfache eines Faktors verzehnfacht sich das Ergebnis, also \(30 \cdot 7 = 210\) und \(3 \cdot 70 = 210\). 3. Division durch Einerzahlen: \(210 : 3 = 70\) und \(210 : 7 = 30\) (Ableitung aus dem Einmaleins: \(21 : 3 = 7\) und \(21 : 7 = 3\)). 4. Division durch Zehnerzahlen: Dividend und Divisor werden jeweils durch \(10\) geteilt. Daher gilt \(210 : 30 = 21 : 3 = 7\) und \(210 : 70 = 21 : 7 = 3\).

a) \(21\) b) \(210\) c) \(210\) d) \(70\) e) \(7\) f) \(30\) g) \(3\)

- Berechne zuerst die Zeile mit \(400\). - Vergleiche anschließend die Dividenden in derselben Spalte untereinander. - Wie verändert sich bei gleichem Divisor der Quotient, wenn der Dividend verzehnfacht wird?

1. Für \(400\) gilt \(400 : 2 = 200\), \(400 : 4 = 100\) und \(400 : 8 = 50\). 2. Wird der Dividend verzehnfacht, wird bei gleichem Divisor auch der Quotient verzehnfacht. Daher lauten die Werte für \(4000\): \(2000\), \(1000\), \(500\). 3. Für \(40\,000\) ergeben sich entsprechend \(20\,000\), \(10\,000\), \(5000\).

Zeile \(400\): \(200\), \(100\), \(50\) Zeile \(4000\): \(2000\), \(1000\), \(500\) Zeile \(40\,000\): \(20\,000\), \(10\,000\), \(5000\)

- Schau dir an, wie sich die Zahlen vor dem Gleichheitszeichen verändern. - Wie viele Nullen kommen in jedem Schritt beim Ergebnis dazu? - Kannst du die Grundaufgabe aus dem kleinen Einmaleins entdecken?

1. Analyse der Muster: In jeder Teilaufgabe wird der Dividend mit \(10\) multipliziert, während der Divisor konstant bleibt. Folglich muss auch der Quotient jeweils mit \(10\) multipliziert werden. 2. Fortführung a): \(6300 : 9 = 700\) und \(63\,000 : 9 = 7000\). 3. Fortführung b): \(6300 : 7 = 900\) und \(63\,000 : 7 = 9000\). 4. Fortführung c): \(63\,000 : 10 = 6300\) und \(630\,000 : 10 = 63\,000\).

a) \(700\), \(7000\) b) \(900\), \(9000\) c) \(6300\), \(63\,000\)

- Suche nach Zahlen, die nahe an einem vollen Hunderter liegen oder sich gut zu einem Hunderter ergänzen. - Überlege vor dem Rechnen, welche kleine Veränderung die Aufgabe übersichtlicher machen könnte. - Notiere nur so viele Zwischenschritte, wie du brauchst, um deinen gewählten Weg nachvollziehbar zu machen.

1. Für a) ist eine Hilfsaufgabe möglich: \(400 + 256 = 656\), danach \(656 - 2 = 654\). 2. Für b) kann man zum nächsten Hunderter ergänzen: \(420 + 80 = 500\), danach \(500 + 200 = 700\). 3. Für c) kann man nach Stellenwerten zerlegen: \(543 + 200 + 10 + 5 = 758\). 4. Für d) kann man passend ergänzen: \(275 + 25 = 300\), danach \(300 + 100 = 400\). Andere korrekte und vorteilhafte Rechenwege sind möglich.

a) \(654\); z. B. mit einer Hilfsaufgabe. b) \(700\); z. B. durch Ergänzen zum Hunderter. c) \(758\); z. B. durch Zerlegen. d) \(400\); z. B. durch passendes Ergänzen. Ein anderer korrekter Rechenweg ist ebenfalls zulässig, wenn er notiert wird.

- Runde Zahlen oder Zahlen nahe an runden Zahlen sprechen oft für einen kurzen Kopf- oder halbschriftlichen Weg. - Bei mehreren unübersichtlichen Stellen kann das schriftliche Verfahren Sicherheit geben. - Begründe deine Wahl mit Eigenschaften der Zahlen und nicht nur damit, dass dir ein Verfahren persönlich lieber ist.

1. Für a) ist Kopfrechnen sehr günstig, weil sich \(1200\) und \(800\) direkt zu \(2000\) ergänzen. 2. Für b) ist schriftliche Addition eine übersichtliche Wahl: \(5678 + 3456 = 9134\). Ein sicherer halbschriftlicher Weg kann ebenfalls begründet werden. 3. Für c) ist Kopfrechnen mit der Hilfsaufgabe \(1000 \cdot 3 - 3\) günstig: \(999 \cdot 3 = 2997\). 4. Für d) ist halbschriftliches Rechnen durch Zerlegen gut geeignet: \(200 \cdot 8 + 40 \cdot 8 + 6 \cdot 8 = 1968\). Wer die Aufgabe sicher im Kopf löst, kann auch das begründen. Die Zuordnung ist nicht in jedem Fall eindeutig; entscheidend sind ein passender Rechenweg und eine nachvollziehbare Begründung.

a) \(2000\); z. B. Kopfrechnen. b) \(9134\); z. B. schriftlich. c) \(2997\); z. B. Kopfrechnen mit Hilfsaufgabe. d) \(1968\); z. B. halbschriftlich durch Zerlegen. Andere effiziente Zuordnungen sind möglich, wenn sie korrekt begründet werden.

- Welche bekannte kleine Divisionsaufgabe steckt in \(6800 : 4\)? - Vergleiche, wie viele Rechenschritte und wie viel Schreibarbeit die drei Wege brauchen. - Eine gute Begründung nennt eine Eigenschaft der Zahlen oder den Rechenaufwand, nicht nur „leicht“ oder „schwer“.

1. Alle drei vorgeschlagenen Verfahren können zu demselben Ergebnis führen: \(6800 : 4 = 1700\). 2. Lenis Kopfrechenweg nutzt direkt die Grundaufgabe \(68 : 4 = 17\) und den Stellenwert. Er benötigt hier besonders wenig Schreib- und Rechenaufwand. 3. Noas halbschriftlicher Weg ist ebenfalls korrekt, weil zweimaliges Halbieren einer Division durch \(4\) entspricht. 4. Auch die schriftliche Division ist möglich, für die runde Zahl \(6800\) aber deutlich aufwendiger als nötig. 5. Eine begründete Wahl muss sich auf die Zahlenstruktur oder den tatsächlichen Rechenaufwand beziehen. Für diese Zahlen ist Kopfrechnen besonders zweckmäßig; auch der halbschriftliche Weg ist nachvollziehbar.

a) schriftliche Division: möglich, aber hier unnötig aufwendig b) Kopfrechnen: möglich und besonders günstig c) halbschriftliches Rechnen: möglich Ergebnis: \(1700\) Eine passende Wahl ist Kopfrechnen, weil sich \(6800 : 4\) direkt auf \(68 : 4\) zurückführen lässt. Eine andere Wahl gilt, wenn sie mit Zahlenstruktur oder Rechenaufwand nachvollziehbar begründet wird.

- Nutze zuerst die passenden Grundaufgaben aus dem kleinen Einmaleins. - Berücksichtige danach die Stellenwerte beziehungsweise die Nullen der Faktoren. - Bei gleicher Grundaufgabe kann die Stellenwertstruktur den Vergleich bereits entscheiden.

1. a) \(40 \cdot 60 = 2400\) und \(50 \cdot 50 = 2500\). Daher gilt \(2400 < 2500\). 2. b) \(8 \cdot 700 = 5600\) und \(90 \cdot 60 = 5400\). Daher gilt \(5600 > 5400\). 3. c) \(300 \cdot 30 = 9000\) und \(3 \cdot 3000 = 9000\). Daher gilt Gleichheit.

a) \(<\) b) \(>\) c) \(=\)

- Gibt es einen Trick, wie man mit Zahlen wie \(298\) einfacher rechnen kann? Vielleicht hilft es, zuerst \(300\) zu nehmen. - Wenn nach dem „Unterschied“ gefragt wird, ist immer eine Minusaufgabe gemeint. - Was musst du beim Rechnen beachten, damit du dich nicht bei der Null an der Zehnerstelle vertust?

1. Berechnung der Gesamtmenge (Addition): \(505\,\text{ml} + 298\,\text{ml} = 803\,\text{ml}\). 2. Berechnung des Unterschieds (Subtraktion): \(505\,\text{ml} - 298\,\text{ml} = 207\,\text{ml}\).

a) Zusammen sind es \(803\,\text{ml}\). b) Der Unterschied beträgt \(207\,\text{ml}\).

- Nutze bekannte Einmaleinsaufgaben als Ausgangspunkt. - Überlege, wie sich ein Produkt verändert, wenn ein Faktor zehnmal oder hundertmal so groß ist. - Suche danach nach gleichen Ergebnissen.

1. Es gilt \(6 \cdot 70 = 420\), \(30 \cdot 9 = 270\), \(4 \cdot 900 = 3600\), \(42 \cdot 10 = 420\), \(270 \cdot 1 = 270\) und \(60 \cdot 60 = 3600\). 2. Damit gehören 1 und 4, 2 und 5 sowie 3 und 6 zusammen. 3. Bei Faktoren mit Zehnern oder Hundertern hilft die Stellenwertbeziehung: Wird ein Faktor verzehnfacht oder verhundertfacht, wird auch das Produkt entsprechend skaliert.

1. gehört zu 4: \(420\) 2. gehört zu 5: \(270\) 3. gehört zu 6: \(3600\)

- Bestimme zuerst das gemeinsame Produkt auf der vollständig gegebenen Seite. - Frage dann, durch welchen bekannten Faktor dieses Produkt geteilt werden muss. - Wähle anschließend eine deiner vollständigen Multiplikationsgleichungen und formuliere die passende Umkehraufgabe.

1. a) Das gemeinsame Produkt ist \(240\). Daher gilt \(240 : 4 = 60\). 2. b) Das gemeinsame Produkt ist \(300\). Daher gilt \(300 : 30 = 10\). 3. c) Das gemeinsame Produkt ist \(360\). Daher gilt \(360 : 6 = 60\). 4. Eine passende Umkehraufgabe zu a) ist \(240 : 60 = 4\). Sie bestätigt, dass \(60\) ein Faktor beziehungsweise Teiler von \(240\) ist.

a) \(60\) b) \(10\) c) \(60\) Probe: \(240 : 60 = 4\).

- Rechne für jede Gruppe alle drei Aufgaben einzeln aus. - Welche zwei Ergebnisse in einer Zeile sind identisch? - Achte besonders auf die Zehnerstellen beim Multiplizieren.

1. Gruppe 1: \(9 \cdot 30 = 270\); \(4 \cdot 70 = 280\); \(3 \cdot 90 = 270\). Das Paar ist \(9 \cdot 30\) und \(3 \cdot 90\). 2. Gruppe 2: \(5 \cdot 80 = 400\); \(4 \cdot 100 = 400\); \(6 \cdot 70 = 420\). Das Paar ist \(5 \cdot 80\) und \(4 \cdot 100\). 3. Gruppe 3: \(7 \cdot 20 = 140\); \(2 \cdot 80 = 160\); \(2 \cdot 70 = 140\). Das Paar ist \(7 \cdot 20\) und \(2 \cdot 70\).

Gruppe 1: \(9 \cdot 30\) und \(3 \cdot 90\) (Ergebnis \(270\)) Gruppe 2: \(5 \cdot 80\) und \(4 \cdot 100\) (Ergebnis \(400\)) Gruppe 3: \(7 \cdot 20\) und \(2 \cdot 70\) (Ergebnis \(140\))

- Für einen Überschlag darfst du \(48\) durch eine nahe, leichter zu rechnende Zahl ersetzen. - Rechne die genaue Aufgabe erst nach deiner Schätzung. - Vergleiche anschließend nicht nur die beiden Zahlen, sondern frage dich, ob ihre Abweichung zur gewählten Rundung passt.

1. Ein möglicher Überschlag ist \(6 \cdot 50 = 300\). 2. Genau gilt \(6 \cdot 48 = 6 \cdot 40 + 6 \cdot 8 = 240 + 48 = 288\). 3. \(288\) liegt nahe bei \(300\). Das genaue Ergebnis passt daher zum Überschlag. Andere sinnvolle Überschläge sind möglich, wenn sie als Plausibilitätskontrolle verwendet werden.

Überschlag: z. B. \(300\). Genaues Ergebnis: \(288\) Flaschen. Das genaue Ergebnis ist plausibel, weil es nahe beim Überschlag liegt.

- Überlege, ob du \(135\) so zerlegen kannst, dass alle Teilprodukte leicht zu berechnen sind. - Vergleiche den Aufwand dieses Weges mit einer schriftlichen Multiplikation. - Deine Begründung sollte erklären, warum dein Verfahren zu den Zahlen \(135\) und \(7\) passt.

1. Ein günstiger halbschriftlicher Weg ist die Zerlegung \(135 = 100 + 30 + 5\). 2. Dann gilt \(7 \cdot 100 = 700\), \(7 \cdot 30 = 210\) und \(7 \cdot 5 = 35\). 3. Damit ist \(700 + 210 + 35 = 945\). Auch ein korrekt ausgeführtes schriftliches Verfahren oder sicheres Kopfrechnen ist zulässig, wenn die Wahl nachvollziehbar begründet wird.

Es sind \(945\) Murmeln. Ein möglicher geeigneter Weg ist halbschriftliches Rechnen durch Zerlegen; andere korrekte und begründete Verfahrenswahlen sind möglich.

- Vergleiche, welche Zwischenschritte beim Malkreuz und beim schriftlichen Verfahren entstehen. - Beim Malkreuz kannst du beide Faktoren in Zehner und Einer zerlegen. - Wähle den Weg, bei dem du die Zwischenergebnisse für diese Zahlen am übersichtlichsten ordnen kannst.

1. Ein möglicher halbschriftlicher Weg ist ein Malkreuz mit \(12 = 10 + 2\) und \(24 = 20 + 4\). 2. Die Teilprodukte sind \(10 \cdot 20 = 200\), \(10 \cdot 4 = 40\), \(2 \cdot 20 = 40\) und \(2 \cdot 4 = 8\). 3. Die Summe ist \(200 + 40 + 40 + 8 = 288\). Eine korrekt ausgeführte schriftliche Multiplikation führt ebenfalls zu \(288\) und ist ebenfalls zulässig.

Insgesamt gibt es \(288\) Sitzplätze. Als Verfahren sind ein korrekt ausgeführtes Malkreuz oder die schriftliche Multiplikation möglich; die Wahl muss kurz begründet werden.

- Schreibe eine Divisionsaufgabe als passende Multiplikationsaufgabe um, wenn dir das hilft. - Frage bei jeder Lücke, welche Zahl mit der bekannten Zahl das gegebene Produkt bildet. - Für die Probe nimmst du eine vollständige Aufgabe und wechselst zur Umkehraufgabe.

1. a) \(8\), denn \(80 \cdot 8 = 640\). Also sind \(80\) und \(8\) Faktoren von \(640\). 2. b) \(7\), denn \(60 \cdot 7 = 420\). Also sind \(60\) und \(7\) Teiler von \(420\). 3. c) \(80\), denn \(80 \cdot 9 = 720\). Also sind \(80\) und \(9\) Faktoren von \(720\). 4. d) \(90\), denn \(90 \cdot 4 = 360\). Also sind \(90\) und \(4\) Teiler von \(360\). 5. Zwei passende Umkehraufgaben sind zum Beispiel \(640 : 80 = 8\) und \(7 \cdot 60 = 420\).

a) \(8\); \(80\) und \(8\) sind Faktoren von \(640\). b) \(7\); \(60\) und \(7\) sind Teiler von \(420\). c) \(80\); \(80\) und \(9\) sind Faktoren von \(720\). d) \(90\); \(90\) und \(4\) sind Teiler von \(360\). Proben: \(640 : 80 = 8\) und \(7 \cdot 60 = 420\).

- Wähle für den Überschlag eine nahe Zahl, mit der du leicht multiplizieren kannst. - Rechne das genaue Produkt erst nach deiner Schätzung. - Vergleiche nicht nur die Größe der beiden Ergebnisse, sondern auch die Richtung der Rundung.

1. Für a) ist zum Beispiel \(20 \cdot 7 = 140\) ein sinnvoller Überschlag. Genau gilt \(18 \cdot 7 = 126\). Das genaue Ergebnis liegt erwartungsgemäß etwas unter \(140\). 2. Für b) sind zum Beispiel \(25 \cdot 4 = 100\) oder \(30 \cdot 4 = 120\) sinnvolle Überschläge. Genau gilt \(26 \cdot 4 = 104\); \(104\) passt zu beiden Schätzungen. 3. Für c) ist \(50 \cdot 3 = 150\) ein sinnvoller Überschlag. Genau gilt \(49 \cdot 3 = 147\), also liegt das Ergebnis knapp unter \(150\).

a) Genau: \(126\); z. B. Überschlag \(140\), passend. b) Genau: \(104\); z. B. Überschlag \(100\) oder \(120\), passend. c) Genau: \(147\); z. B. Überschlag \(150\), passend.

- Runde einen oder beide Faktoren so, dass die Überschlagsrechnung leicht wird. - Berechne danach die genaue Anzahl unabhängig von deiner Schätzung. - Frage dich zum Schluss, ob die Abweichung zwischen Schätzung und genauem Ergebnis zur gewählten Rundung passt.

1. Ein möglicher Überschlag ist \(10 \cdot 20 = 200\). Auch \(9 \cdot 20 = 180\) oder \(10 \cdot 23 = 230\) sind als begründete Schätzungen möglich. 2. Genau gilt \(9 \cdot 23 = 9 \cdot 20 + 9 \cdot 3 = 180 + 27 = 207\). 3. \(207\) liegt nahe bei \(200\); die genaue Anzahl ist daher mit dem Überschlag vereinbar.

Genau sind es \(207\) Plätze. Ein möglicher Überschlag ist \(200\) Plätze; andere sinnvolle Schätzungen sind möglich. Das genaue Ergebnis muss nachvollziehbar mit der Schätzung verglichen werden.

- Prüfe zuerst, ob eine bekannte Einmaleins- oder Geteiltaufgabe fast unverändert genutzt werden kann. - Bei mehreren unregelmäßigen Stellen kann ein schriftliches Verfahren übersichtlicher sein. - Deine Entscheidung soll sich auf die Struktur der Zahlen beziehen, nicht nur auf ihre Größe.

1. a) \(7 \cdot 60 = 420\). Kopfrechnen ist besonders geeignet, weil die Grundaufgabe \(7 \cdot 6 = 42\) direkt genutzt werden kann. 2. b) \(480 : 8 = 60\). Kopfrechnen ist besonders geeignet, weil \(48 : 8 = 6\) eine bekannte Grundaufgabe ist. 3. c) \(327 \cdot 24 = 7848\). Hier ist Kopfrechnen nicht besonders geeignet; die zwei Multiplikatorstellen und mehrere Teilprodukte lassen sich schriftlich übersichtlicher ordnen. 4. d) \(4836 : 6 = 806\). Hier ist das schriftliche Dividieren eine übersichtliche Wahl, weil mehrere Stellen nacheinander verarbeitet werden und im Quotienten eine Null entsteht.

a) \(420\); Kopfrechnen ist besonders geeignet. b) \(60\); Kopfrechnen ist besonders geeignet. c) \(7848\); Kopfrechnen ist nicht besonders geeignet, schriftliches Multiplizieren ist übersichtlich. d) \(806\); Kopfrechnen ist nicht besonders geeignet, schriftliches Dividieren ist übersichtlich.

- Schau dir an, wie die großen Zahlen aus den kleineren Zahlen der ersten drei Aufgaben zusammengesetzt sind. - Wenn du weißt, wie oft die \(8\) in die Einzelteile passt, kannst du diese Ergebnisse einfach addieren. - Welche Teile der ersten drei Aufgaben stecken zum Beispiel in der Zahl \(896\)?

1. Berechnung der Grundaufgaben: \(800 : 8 = 100\), \(80 : 8 = 10\), \(16 : 8 = 2\). 2. Zusammensetzung für d): \(880\) besteht aus \(800 + 80\), also \(100 + 10 = 110\). 3. Zusammensetzung für e): \(896\) besteht aus \(800 + 80 + 16\), also \(100 + 10 + 2 = 112\). 4. Zusammensetzung für f): \(816\) besteht aus \(800 + 16\), also \(100 + 2 = 102\). 5. Zusammensetzungen: d) \(100+10=110\), e) \(100+10+2=112\), f) \(100+2=102\).

a) \(100\) b) \(10\) c) \(2\) d) \(110\) e) \(112\) f) \(102\) Zusammensetzung: d) \(100+10\); e) \(100+10+2\); f) \(100+2\).

- Schau bei a) darauf, aus welchen Teil-Dividenden die ursprüngliche Zahl zusammengesetzt ist. - Überlege vor b), ob sich \(777\) in leicht durch \(7\) teilbare Teile zerlegen lässt. - Vergleiche die Zahl der nötigen Zwischenschritte bei halbschriftlicher und schriftlicher Division.

1. In a) ist der Dividend \(500 + 45 = 545\). Damit gilt \(545 : 5 = 109\). 2. Für b) ist zum Beispiel die halbschriftliche Zerlegung \(777 = 700 + 70 + 7\) günstig. Daraus folgt \(700 : 7 = 100\), \(70 : 7 = 10\) und \(7 : 7 = 1\), also \(777 : 7 = 111\). 3. Auch die schriftliche Division ist zulässig. Eine Begründung ist akzeptabel, wenn sie eine konkrete Eigenschaft der Zahlen oder des Rechenwegs nennt, etwa die restlose Teilbarkeit der gewählten Teilzahlen oder die Übersichtlichkeit der schriftlichen Stellenfolge.

a) \(545 : 5 = 109\) b) \(777 : 7 = 111\); ein korrekt notierter halbschriftlicher oder schriftlicher Rechenweg ist möglich. c) Die Begründung muss konkret erklären, warum der gewählte Weg zu \(777 : 7\) passt, zum Beispiel durch gut teilbare Teilzahlen oder durch die übersichtliche schriftliche Stellenfolge.

- Überlege bei a), welche Rechenart zu mehreren gleich großen Gruppen passt. - Überlege bei b), welche Rechenart zu gleichmäßigem Verteilen passt. - Prüfe deine Ergebnisse mit passenden Einmaleinsaufgaben.

1. Für a) wird die Anzahl in fünf gleich großen Netzen zusammengefasst: \(5 \cdot 30 = 150\). 2. Für b) werden \(120\) Bälle gleichmäßig auf drei Kisten verteilt: \(120 : 3 = 40\).

a) \(150\) Tennisbälle. b) \(40\) Tischtennisbälle pro Kiste.

- Prüfe, ob sich \(456\) in Teile zerlegen lässt, die durch \(4\) leicht teilbar sind. - Vergleiche diesen halbschriftlichen Weg mit dem geordneten Ablauf der schriftlichen Division. - Begründe deine Wahl mit den Zahlen oder den nötigen Zwischenschritten.

1. Ein möglicher halbschriftlicher Weg ist die Zerlegung \(456 = 400 + 56\). 2. \(400 : 4 = 100\) und \(56 : 4 = 14\). 3. Damit ist \(456 : 4 = 100 + 14 = 114\). Eine korrekt ausgeführte schriftliche Division ist ebenfalls zulässig. Die Begründung ist tragfähig, wenn sie eine konkrete Zahlstruktur oder die Übersichtlichkeit der Zwischenschritte nennt.

\(456 : 4 = 114\). Halbschriftliches Zerlegen oder schriftliche Division sind möglich. Akzeptiert wird die Wahl, wenn der Rechenweg korrekt ist und die Begründung sich konkret auf die Zerlegbarkeit von \(456\) oder auf die geordnete schriftliche Stellenfolge bezieht.

- Prüfe zuerst, ob eine bekannte Grundaufgabe direkt genutzt werden kann. - Bei unregelmäßigen mehrstelligen Zahlen kann ein schriftliches Verfahren die Zwischenschritte ordnen. - Vergleiche die Ergebnisse erst nach der passenden Verfahrenswahl.

1. A: \(560 : 7 = 80\). Kopfrechnen ist über \(56 : 7 = 8\) gut möglich. 2. B: \(9 \cdot 9 = 81\). Das ist eine bekannte Einmaleinsaufgabe und eignet sich für Kopfrechnen. 3. C: \(4836 : 6 = 806\). Die schriftliche Division ordnet die mehreren Stellen und die Null im Quotienten übersichtlich. 4. D: \(327 \cdot 24 = 7848\). Für den zweistelligen Multiplikator ist die schriftliche Multiplikation eine übersichtliche Wahl. 5. Das kleinste Ergebnis ist \(80\), also Aufgabe A.

A: \(80\); Kopfrechnen. B: \(81\); Kopfrechnen. C: \(806\); z. B. schriftliche Division. D: \(7848\); z. B. schriftliche Multiplikation. Das kleinste Ergebnis gehört zu A.

- Suche bei den Multiplikationen danach, welche zwei Faktoren dasselbe Produkt ergeben. - Forme jede Division als passende Multiplikation um, ohne neue Zahlen zu erfinden. - Vergleiche anschließend die Rollen von Faktor, Produkt, Divisor und Dividend.

1. A: \(90 \cdot 4 = 360\). Damit sind \(90\) und \(4\) Faktoren von \(360\). 2. C: \(60 \cdot 6 = 360\). Damit sind \(60\) und \(6\) Faktoren von \(360\). 3. E: \(12 \cdot 30 = 360\). Damit sind \(12\) und \(30\) Faktoren von \(360\). 4. B: \(420 : 7 = 60\) gehört zu \(7 \cdot 60 = 420\). Daher ist \(7\) ein Teiler von \(420\). 5. D: \(480 : 8 = 60\) gehört zu \(8 \cdot 60 = 480\). Daher ist \(8\) ein Teiler von \(480\). 6. F: \(360 : 6 = 60\) gehört zu \(6 \cdot 60 = 360\). Daher ist \(6\) ein Teiler von \(360\). 7. Multiplikation nennt die Faktoren eines Produkts; die zugehörige Division zeigt dieselbe Beziehung ausgehend vom Produkt.

a) A: \(90\) und \(4\); C: \(60\) und \(6\); E: \(12\) und \(30\) sind jeweils Faktoren von \(360\). b) B: \(7 \cdot 60 = 420\), also ist \(7\) ein Teiler von \(420\). D: \(8 \cdot 60 = 480\), also ist \(8\) ein Teiler von \(480\). F: \(6 \cdot 60 = 360\), also ist \(6\) ein Teiler von \(360\). c) Zum Beispiel: \(60 \cdot 6 = 360\) und \(360 : 6 = 60\) beschreiben dieselbe Faktor-Teiler-Beziehung.

- Lies jede Tabellenzeile als zusammengehörige Multiplikations- und Divisionsbeziehung. - Wenn Dividend und ein Faktor bekannt sind, findest du den anderen Faktor durch Division. - Prüfe jede Zeile mit Divisor mal Quotient.

1. a) \(4 \cdot 90 = 360\), also ist der Dividend \(360\). 2. b) Aus \(480 : 6 = 80\) folgt, dass der Divisor \(80\) ist. 3. c) \(6300 : 7 = 900\), also ist der Quotient \(900\). 4. In jeder Zeile bilden Divisor und Quotient ein Faktorenpaar des Dividenden.

a) \(360\) b) \(80\) c) \(900\) In jeder Zeile sind Divisor und Quotient Faktoren des Dividenden.

- Suche nach Zahlen nahe an einem vollen Hunderter oder nach bekannten Verdopplungen. - Prüfe, ob eine Zerlegung übersichtlicher ist als das schriftliche Verfahren. - Entscheide vor dem Rechnen, welcher Weg zu den jeweiligen Zahlen passt.

1. Für a) ist Kopfrechnen mit einer Hilfsaufgabe günstig: \(400 + 257 - 1 = 656\). 2. Für b) ist halbschriftliches Zerlegen möglich: \(400 + 300 + 30 + 50 + 2 + 6 = 788\). Auch eine korrekte schriftliche Addition ist zulässig. 3. Für c) kann man im Kopf zuerst \(125 + 125 = 250\) rechnen und danach \(250 + 125 = 375\). Andere effiziente Verfahrenswahlen sind möglich, wenn sie nachvollziehbar begründet werden.

a) \(656\); z. B. Kopfrechnen mit Hilfsaufgabe. b) \(788\); z. B. halbschriftlich oder schriftlich. c) \(375\); z. B. Kopfrechnen über Verdoppeln. Andere passende Verfahren sind möglich, wenn sie kurz notiert werden.

- Betrachte beide Zahlen als Tausenderwerte. - Prüfe, ob sich die beiden Tausenderwerte zu einer besonders runden Zahl ergänzen. - Begründe, warum dein gewähltes Verfahren bei dieser Zahlenstruktur übersichtlich ist.

1. Die beiden Zahlen ergänzen sich günstig: \(375\,000 + 425\,000 = 800\,000\). 2. Kopfrechnen oder ein kurzer halbschriftlicher Weg ist besonders übersichtlich, weil \(375 + 425 = 800\) Tausender ergibt. Eine andere korrekt begründete Verfahrenswahl ist ebenfalls möglich.

Zusammen sind es \(800\,000\) Besuche. Ein möglicher geeigneter Weg ist Kopfrechnen über \(375 + 425 = 800\) Tausender; andere begründete Verfahren sind möglich.

- Welche Aufgaben haben eine Struktur, die du ohne langes Aufschreiben nutzen kannst? - Bei welchen Zahlen könnte Ergänzen günstiger sein als schrittweises Abziehen? - Wo würde beim Abziehen mehrfaches Entbündeln nötig?

1. Bei a) ist Kopfrechnen oder halbschriftliches Rechnen günstig: \(1000 - 400 - 50 = 550\). 2. Bei b) ist Kopfrechnen oder halbschriftliches Rechnen günstig, weil kein Entbündeln nötig ist: \(876 - 321 = 555\). 3. Bei c) ist Ergänzen im Kopf besonders günstig: Von \(498\) bis \(502\) fehlen \(4\). 4. Bei d) ist das schriftliche Abziehverfahren zweckmäßig. Durch Entbündeln ergibt sich \(734 - 456 = 278\). 5. Andere nachvollziehbar begründete Verfahrenswahlen sind möglich, wenn sie zur jeweiligen Aufgabe passen.

a) z. B. Kopf/halbschriftlich; \(550\) b) z. B. Kopf/halbschriftlich; \(555\) c) z. B. Kopf durch Ergänzen; \(4\) d) z. B. schriftlich; \(278\)

- Nutze jeweils die Umkehroperation zum Ergänzen auf eine Million. - Vergleiche danach nur die vier gefundenen Subtrahenden miteinander. - Wie verändert sich die Stellenzahl, wenn du von einem Wert zum nächsten gehst?

1. a) \(1\,000\,000-999\,999=1\). 2. b) \(1\,000\,000-999\,900=100\). 3. c) \(1\,000\,000-990\,000=10\,000\). 4. d) \(1\,000\,000-0=1\,000\,000\). 5. Die fehlenden Subtrahenden lauten \(1,100,10\,000,1\,000\,000\); jeder Wert ist das Hundertfache des vorherigen.

a) \(1\) b) \(100\) c) \(10\,000\) d) \(1\,000\,000\) Regel: Jeder fehlende Subtrahend ist \(100\)-mal so groß wie der vorherige.

- Prüfe bei jeder Aufgabe, ob beide Zahlen in einer gemeinsamen großen Stellenwerteinheit besonders einfach werden. - Wenn viele unregelmäßige Stellen beteiligt sind, kann das schriftliche Verfahren übersichtlicher sein. - Begründe die Wahl mit der Zahlstruktur, nicht nur mit der Größe der Zahlen.

1. Bei a) ist halbschriftliches Rechnen günstig. Beide Zahlen sind Vielfache von \(1000\): \(640 - 270 = 370\). Daher ist \(640\,000 - 270\,000 = 370\,000\). 2. Bei b) ist die schriftliche Subtraktion übersichtlich, weil mehrere unregelmäßige Stellen und Entbündelungen geordnet verarbeitet werden müssen. Es ergibt sich \(910\,432 - 275\,689 = 634\,743\).

a) \(370\,000\); z. B. halbschriftlich mit Tausenderzahlen. b) \(634\,743\); z. B. schriftliche Subtraktion.

- Kannst du die Zahl als eine einfache Anzahl von Tausendern betrachten? - Prüfe, ob alle Stellen gleich leicht zu halbieren sind. - Wenn mehrere unregelmäßige Stellen nacheinander bearbeitet werden müssen, kann ein schriftlicher Weg übersichtlicher sein.

1. a) \(340\,000 : 2 = 170\,000\). Kopf- oder halbschriftliches Rechnen ist günstig, weil mit \(340\) Tausendern gerechnet werden kann. 2. b) \(560\,000 : 2 = 280\,000\). Auch hier ist die Tausenderstruktur günstig. 3. c) \(190\,000 : 2 = 95\,000\). Kopf- oder halbschriftliches Rechnen ist möglich. 4. d) \(72\,438 : 2 = 36\,219\). Wegen der unregelmäßigen Stellen ist schriftliches Dividieren eine übersichtliche Wahl.

a) \(170\,000\); z. B. Kopf/halbschriftlich. b) \(280\,000\); z. B. Kopf/halbschriftlich. c) \(95\,000\); z. B. Kopf/halbschriftlich. d) \(36\,219\); z. B. schriftlich. Die Begründung muss sich auf eine konkrete Zahlstruktur oder auf die Übersichtlichkeit der Zwischenschritte beziehen.

- Welche Zahl lässt sich wegen ihrer vielen Nullen besonders leicht verdoppeln? - Bei welcher Zahl könnte Zerlegen in Stellenwerte helfen? - Wo bietet das schriftliche Verfahren mehr Übersicht als eine längere Kopfrechnung?

1. a) Kopfrechnen ist günstig: \(450\,000 \cdot 2 = 900\,000\). 2. b) Halbschriftlich kann man zerlegen: \(105\,050 = 105\,000 + 50\). Daher ist \(105\,050 \cdot 2 = 210\,100\). 3. c) Schriftliche Addition oder schriftliche Multiplikation ist übersichtlich: \(321\,684 \cdot 2 = 643\,368\). 4. d) Kopf- oder halbschriftliches Rechnen mit Ausgleich ist günstig: \(250\,000 \cdot 2 - 200 = 499\,800\). 5. Andere passende und nachvollziehbar begründete Verfahrenswahlen sind ebenfalls möglich.

a) z. B. Kopf; \(900\,000\) b) z. B. halbschriftlich; \(210\,100\) c) z. B. schriftlich; \(643\,368\) d) z. B. Kopf/halbschriftlich; \(499\,800\)

- Vergleiche die Zahl der Teilrechnungen bei einer Stellenwertzerlegung mit den Schritten der schriftlichen Multiplikation. - Bei \(304\) gibt es keine Zehneranteile. - Wähle das Verfahren, das die gegebene Zahlenstruktur am besten nutzt.

1. Halbschriftlich kann \(364\) in \(300 + 60 + 4\) zerlegt werden. Die Teilprodukte sind \(2100\), \(420\) und \(28\); zusammen ergibt das \(2548\). 2. Schriftliche Multiplikation ist ebenfalls korrekt. 3. Für \(7 \cdot 304\) ist die Zerlegung \(300 + 4\) besonders kurz: \(2100 + 28 = 2128\). 4. Eine begründete Wahl zwischen halbschriftlichem und schriftlichem Vorgehen ist zulässig; bei \(304\) ist die halbschriftliche Zerlegung besonders übersichtlich.

\(7 \cdot 364 = 2548\) \(7 \cdot 304 = 2128\) Dazu jeweils eine nachvollziehbare Verfahrenswahl und kurze Begründung.

- Vergleiche jeweils zwei aufeinanderfolgende Dividenden. - Was passiert mit dem Quotienten, wenn der Dividend zehnmal so groß wird und der Divisor gleich bleibt? - Nutze die kleine Ausgangsaufgabe, um die Stellenwertbeziehung zu begründen.

1. Für a) gilt zunächst \(18 : 3 = 6\). 2. Von Zeile zu Zeile wird der Dividend verzehnfacht, während der Divisor gleich bleibt. Deshalb wird auch der Quotient jeweils verzehnfacht: \(6, 60, 600, 6000, 60\,000\). 3. Für b) gilt zunächst \(18 : 2 = 9\). 4. Mit derselben Stellenwertbeziehung entstehen \(9, 90, 900, 9000, 90\,000\).

a) \(6; 60; 600; 6000; 60\,000\) b) \(9; 90; 900; 9000; 90\,000\)

- Prüfe, ob sich der Dividend in d) genau aus den drei vorherigen Dividenden zusammensetzt. - Vergleiche, wie viele neue Rechenschritte beide Verfahren benötigen. - Nutze vorhandene Zwischenergebnisse nur dann, wenn sie wirklich zur Zerlegung passen.

1. a) \(1000\), b) \(300\), c) \(7\). 2. Halbschriftlich kann \(5228\) als \(4000 + 1200 + 28\) genutzt werden. Dann ergibt sich \(1000 + 300 + 7 = 1307\). 3. Schriftliche Division liefert ebenfalls \(1307\). Die halbschriftliche Variante ist hier besonders effizient, weil alle benötigten Teilquotienten bereits bekannt sind.

a) \(1000\) b) \(300\) c) \(7\) d) \(1307\), mit notiertem halbschriftlichem oder schriftlichem Rechenweg und kurzer Begründung.

- Suche zu jeder großen Division die passende Grundaufgabe aus dem Einmaleins. - Vergleiche den großen Dividend mit dem Dividend der Grundaufgabe: Um welchen Faktor ist er größer? - Bei unverändertem Divisor verändert sich der Quotient um denselben Faktor.

1. a) Aus \(45 : 5 = 9\) folgt durch Vertausendfachen des Dividenden bei gleichem Divisor \(45\,000 : 5 = 9000\). Ebenso folgt aus \(45 : 9 = 5\) die Aufgabe \(45\,000 : 9 = 5000\). 2. b) Aus \(54 : 6 = 9\) und \(54 : 9 = 6\) folgen \(54\,000 : 6 = 9000\) und \(54\,000 : 9 = 6000\). 3. c) Aus \(56 : 7 = 8\) und \(56 : 8 = 7\) folgen \(56\,000 : 7 = 8000\) und \(56\,000 : 8 = 7000\).

a) \(9000\) und \(5000\) b) \(9000\) und \(6000\) c) \(8000\) und \(7000\)

- Nutze passende Grundaufgaben aus dem Einmaleins. - Vergleiche, um welchen Faktor der Dividend gegenüber der Grundaufgabe vergrößert wurde. - Überlege zusätzlich: Wie verändert sich bei gleichem Dividend der Quotient, wenn der Divisor größer wird?

1. Aus \(20 : 4 = 5\) folgt durch Vertausendfachen des Dividenden \(20\,000 : 4 = 5000\). 2. Aus \(20 : 5 = 4\) folgt entsprechend \(20\,000 : 5 = 4000\). Daher gilt \(5000 > 4000\). 3. Aus \(36 : 6 = 6\) folgt \(36\,000 : 6 = 6000\). 4. Aus \(36 : 4 = 9\) folgt \(36\,000 : 4 = 9000\). Daher gilt \(6000 < 9000\).

a) \(5000 > 4000\) b) \(6000 < 9000\)

- Schau dir an, wie die großen Zahlen in kleinere, leichtere Zahlen zerlegt wurden. - Wenn du zwei Teile einer Zahl einzeln teilst, kannst du die Ergebnisse am Ende zusammenzählen. - Wie hängen die ersten beiden Rechnungen in jeder Teilaufgabe mit der dritten Rechnung zusammen?

1. Berechnung der Teilquotienten für a): \(2000 : 2 = 1000\) und \(18 : 2 = 9\). Addition der Ergebnisse liefert \(1000 + 9 = 1009\). 2. Bestimmung des Dividenden für b): Die Summe der Teil-Dividenden \(9000 + 630 = 9630\) ergibt den gesuchten Dividenden. Die vollständige Rechnung lautet \(9630 : 9 = 1070\). 3. Berechnung für c): Addition der Teil-Ergebnisse \(100 + 9 = 109\).

a) \(1000\), \(9\); Teilquotienten \(1000 + 9\); \(2018 : 2 = 1009\) b) Teildividenden \(9000 + 630 = 9630\); \(9630 : 9 = 1070\) c) Teilquotienten \(100 + 9\); \(545 : 5 = 109\)

- Welche Zahl lässt sich besonders leicht durch 6 teilen? - Wie viel mehr oder weniger als die „einfache“ Zahl sind die anderen Dividenden? - Wenn der Dividend um 6 größer wird, wie verändert sich dann das Ergebnis?

1. Die einfachste Aufgabe ist \(1800 : 6\), da \(18 : 6 = 3\) ist. Das Ergebnis lautet \(300\). 2. Für die Aufgabe \(1842 : 6\) wird der Dividend um \(42\) erhöht. Da \(42 : 6 = 7\) ist, addiert man \(7\) zum ersten Ergebnis: \(300 + 7 = 307\). 3. Für die Aufgabe \(1794 : 6\) wird der Dividend um \(6\) verringert. Da \(6 : 6 = 1\) ist, subtrahiert man \(1\) vom ersten Ergebnis: \(300 - 1 = 299\). 4. Methodennachweis: Für a) gilt \(1842-1800=42\) und \(42:6=7\), also \(+7\). Für c) gilt \(1794-1800=-6\) und \(6:6=1\), also \(-1\).

a) \(307\) b) \(300\) c) \(299\) Bezug auf den Anker \(300\): a) \(+7\) wegen \(+42\) im Dividenden; c) \(-1\) wegen \(-6\) im Dividenden.

- Löse zuerst die Aufgabe mit der glatten Hunderterzahl. - Schau dir an, um welchen Betrag sich die großen Zahlen unterscheiden. - Kannst du diesen Unterschied leicht durch 7 teilen?

1. Berechnung der Basisaufgabe: \(3500 : 7 = 500\). 2. Vergleich von \(3556\) mit \(3500\): Der Unterschied beträgt \(+56\). Da \(56 : 7 = 8\) ist, erhöht sich das Ergebnis um \(8\): \(500 + 8 = 508\). 3. Vergleich von \(3486\) mit \(3500\): Der Unterschied beträgt \(-14\). Da \(14 : 7 = 2\) ist, verringert sich das Ergebnis um \(2\): \(500 - 2 = 498\). 4. Bezug auf den Anker: b) \(+56=+8\cdot7\), daher Quotient \(+8\); c) \(-14=-2\cdot7\), daher Quotient \(-2\).

a) \(500\) b) \(508\) c) \(498\) Ankerbezug: b) \(+56=+8\cdot7\Rightarrow +8\) im Quotienten; c) \(-14=-2\cdot7\Rightarrow -2\) im Quotienten.

- Gibt es Summanden, die sich fast oder genau zu einer glatten Zahl ergänzen? - Bei welcher Aufgabe entstehen mehrere Überträge? - Prüfe, ob du bei einer Aufgabe Stelle für Stelle direkt addieren kannst.

1. a) Kopfrechnen ist günstig, weil sich die Summanden glatt zu \(20\,000\) ergänzen. 2. b) Kopfrechnen mit Ausgleich ist günstig: \(6105 + 2000 - 5 = 8100\). 3. c) Schriftliche Addition ist wegen mehrerer Überträge übersichtlich. Das Ergebnis ist \(84\,203\). 4. d) Kopfrechnen ist möglich, weil stellenweise kein Übertrag entsteht: \(23\,456 + 65\,432 = 88\,888\). 5. Andere passende und nachvollziehbar begründete Verfahrenswahlen sind möglich.

a) z. B. Kopf; \(20\,000\) b) z. B. Kopf; \(8100\) c) z. B. schriftlich; \(84\,203\) d) z. B. Kopf; \(88\,888\)

- Suche zuerst nach Faktoren, die nahe bei einer runden Zahl liegen. - Prüfe, ob diese Idee wirklich bei jeder Aufgabe einen kurzen Weg ergibt. - Bei einem unregelmäßigen zweistelligen Multiplikator kann ein schriftlicher Weg übersichtlicher sein.

1. a) Kopf- oder halbschriftlich über \(26 \cdot 10 + 26 = 286\). 2. b) Vorteilhaft über \(45 \cdot 10 - 45 = 405\). 3. c) \(312 \cdot 47 = 14\,664\). Wegen des zweistelligen unregelmäßigen Multiplikators ist die schriftliche Multiplikation eine übersichtliche Wahl.

a) \(286\); z. B. Kopf/halbschriftlich über die Nähe zu \(10\). b) \(405\); z. B. Kopf/halbschriftlich über \(10 - 1\). c) \(14\,664\); z. B. schriftlich.

- Welche Zahl lässt sich leicht in zwei durch den Divisor teilbare Teile zerlegen? - Wo entstehen beim Teilen mehrere aufeinanderfolgende Schritte mit Rest? - Vergleiche den Rechenaufwand, bevor du dich für eine Kategorie entscheidest.

1. Bei a) ist halbschriftliches Rechnen besonders günstig: \(840 = 800 + 40\), also \(840 : 4 = 200 + 10 = 210\). Kopfrechnen ist ebenfalls vertretbar. 2. Bei b) ist die schriftliche Division übersichtlich. Die Quotientenziffern ergeben nacheinander \(1\), \(3\) und \(6\); damit ist \(952 : 7 = 136\).

a) z. B. halbschriftlich; \(210\) b) z. B. schriftlich; \(136\)

- Welche Zahl liegt sehr nahe an \(100\)? - Kannst du einen Faktor in zwei einfache Teile zerlegen? - Bei b) sind sowohl ein halbschriftlicher als auch ein schriftlicher Weg vertretbar; vergleiche den Aufwand.

1. Bei a) ist Kopfrechnen mit Ausgleich besonders günstig: \(100 \cdot 7 - 7 = 700 - 7 = 693\). 2. Bei b) ist halbschriftliches Rechnen möglich: \(30 \cdot 24 = 720\) und \(8 \cdot 24 = 192\); zusammen ergibt das \(912\). Auch die schriftliche Multiplikation ist eine passende Wahl.

a) z. B. Kopf mit Ausgleich; \(693\) b) z. B. halbschriftlich oder schriftlich; \(912\)

- Suche nach einem Faktor, der in beiden Produkten derselben Aufgabe vorkommt. - Vergleiche den Aufwand von zwei einzelnen Produkten mit einer zuerst gebildeten Summe. - Eine runde Zwischensumme kann einen Rechenweg besonders günstig machen.

1. a) Vorteilhaft ist \((13 + 7) \cdot 6 = 20 \cdot 6 = 120\). 2. b) Vorteilhaft ist \((24 + 6) \cdot 5 = 30 \cdot 5 = 150\). 3. c) Vorteilhaft ist \((18 + 12) \cdot 3 = 30 \cdot 3 = 90\). 4. Das Zusammenfassen ist hier besonders effizient, weil jeweils eine runde Zehnerzahl entsteht; getrenntes Berechnen bleibt mathematisch korrekt.

a) \(120\) b) \(150\) c) \(90\) Mindestens eine kurze Begründung der gewählten Rechenstrategie.

- Rechne beide Wege einmal komplett durch. - Welche Zahlen lassen sich leichter im Kopf multiplizieren? - Schau dir an, wie die Klammer die Aufgabe verändert.

1. Berechnung Weg A: Die Teilprodukte \(128\) und \(32\) werden addiert, was \(160\) ergibt. 2. Berechnung Weg B: Zuerst wird die Summe in der Klammer gebildet \(16 + 4 = 20\). Danach wird \(20 \cdot 8 = 160\) gerechnet. 3. Vergleich: Weg B ist einfacher, da das Rechnen mit einer glatten Zehnerzahl \(20\) im Kopf schneller zum Ergebnis führt.

Beide Ergebnisse sind \(160\). Weg B ist einfacher, da man durch das Zusammenfassen mit der Zehnerzahl \(20\) leichter rechnen kann.

- Welche Rechnung beschreibt den Preis einer einzelnen Kiste? - Was ändert sich, wenn du die Anzahl der Seile zuerst zusammenfasst? - Vergleiche die Zahl der Rechenschritte in beiden Ausdrücken.

1. Beim getrennten Berechnen lautet der Ausdruck \(14 \cdot 4 + 16 \cdot 4\). 2. Beim Zusammenfassen lautet der Ausdruck \((14 + 16) \cdot 4\). 3. Es ist \(14 + 16 = 30\) und \(30 \cdot 4 = 120\). Der Gesamtpreis beträgt \(120\,\text{€}\). 4. Der zweite Weg ist kürzer, weil nach der Addition nur eine Multiplikation nötig ist; beim ersten Weg werden zwei Produkte berechnet und anschließend addiert.

a) \(14 \cdot 4 + 16 \cdot 4\) b) \((14 + 16) \cdot 4\) c) \(120\,\text{€}\) d) Weg b) ist kürzer, weil nur eine Multiplikation nötig ist.

- Was erhältst du, wenn du zuerst die Gesamtzahl aller Bücher bestimmst? - Welche Bedeutung hat \(160\,\text{€} : 4\)? - Vergleiche, welcher Zwischenwert dir leichter verständlich macht, wie du zum Preis eines Buches kommst.

1. Erster Weg: Es sind insgesamt \(4 \cdot 5 = 20\) Bücher. Daher kostet ein Buch \(160\,\text{€} : 20 = 8\,\text{€}\). 2. Zweiter Weg: Ein Karton kostet \(160\,\text{€} : 4 = 40\,\text{€}\). Ein Buch kostet dann \(40\,\text{€} : 5 = 8\,\text{€}\). 3. Beide Wege sind korrekt. Eine mögliche Begründung für den ersten Weg ist, dass die Gesamtzahl der Bücher direkt zur gesuchten Einheit „ein Buch“ führt; für den zweiten Weg kann die Bedeutung des Zwischenwerts „Preis pro Karton“ besonders anschaulich sein.

Ein Buch kostet \(8\,\text{€}\). Beide Rechenwege sind korrekt; die begründete Wahl des übersichtlicheren Weges kann unterschiedlich ausfallen.

- Prüfe, ob eine kleine Einmaleins-Aufgabe zusammen mit Stellenwertdenken ausreicht. - Vergleiche das mit dem Aufwand bei einem unregelmäßigen zweistelligen Multiplikator. - Begründe die Verfahrenswahl mit einer konkreten Eigenschaft der Zahlen.

1. a) \(400 \cdot 8 = 3200\). Kopfrechnen ist über \(4 \cdot 8 = 32\) und Stellenwerte besonders kurz. 2. b) \(500 \cdot 6 = 3000\). Kopfrechnen ist über \(5 \cdot 6 = 30\) günstig. 3. c) \(3000 \cdot 7 = 21\,000\). Auch hier genügt eine Grundaufgabe mit Stellenwertdenken. 4. d) \(864 \cdot 27 = 23\,328\). Für den unregelmäßigen zweistelligen Multiplikator ist die schriftliche Multiplikation übersichtlich.

a) \(3200\); Kopfrechnen. b) \(3000\); Kopfrechnen. c) \(21\,000\); Kopfrechnen. d) \(23\,328\); z. B. schriftliche Multiplikation.

- Nutze bei einer fehlenden Faktorzahl die Umkehraufgabe. - Prüfe, ob eine bekannte Grundaufgabe zusammen mit Stellenwertdenken ausreicht. - Wenn mehrere unregelmäßige Stellen verarbeitet werden müssen, kann ein schriftliches Verfahren übersichtlicher sein.

1. a) \(4800 : 6 = 800\), also fehlt \(800\). Kopf- oder halbschriftliches Rechnen ist günstig. 2. b) \(1500 : 300 = 5\), also fehlt \(5\). Kopfrechnen ist günstig. 3. c) \(40 \cdot 50 = 2000\). Kopfrechnen mit Stellenwertdenken ist günstig. 4. d) \(6048 : 7 = 864\), also fehlt \(864\). Wegen der mehreren unregelmäßigen Stellen ist die schriftliche Division eine übersichtliche Wahl.

a) \(800\); z. B. Kopf/halbschriftlich b) \(5\); z. B. Kopfrechnen c) \(2000\); z. B. Kopfrechnen d) \(864\); z. B. schriftliche Division

- Gibt es eine Aufgabe, deren Summanden sich besonders günstig ergänzen? - Wo entstehen mehrere Entbündelungen? - Vergleiche für jede Aufgabe den Schreibaufwand mit einem möglichen mentalen oder halbschriftlichen Weg.

1. a) Halbschriftliche oder schriftliche Addition ist geeignet. Es gilt \(567 + 284 = 851\). 2. b) Das schriftliche Abziehverfahren ist wegen der Entbündelungen übersichtlich. Es gilt \(4321 - 567 = 3754\). 3. c) Kopf- oder halbschriftliches Rechnen ist günstig, weil sich die Zahlen zu einer glatten Summe ergänzen: \(2908 + 5192 = 8100\). 4. d) Das schriftliche Abziehverfahren ist wegen der Nullen im Minuenden übersichtlich. Es gilt \(7003 - 2456 = 4547\). 5. Andere passende und nachvollziehbar begründete Verfahrenswahlen sind möglich.

a) z. B. halbschriftlich/schriftlich; \(851\) b) z. B. schriftlich; \(3754\) c) z. B. Kopf/halbschriftlich; \(8100\) d) z. B. schriftlich; \(4547\)

- Welche Zahl gehört zu der Menge, die mehrfach gleich groß vorkommt? - Entscheide, welche Operation zuerst die drei Tütchen zusammenfasst. - Prüfe danach, wie die bereits vorhandenen Perlen mit diesem Teilergebnis verbunden werden müssen.

1. Die \(3\) gleich großen Tütchen werden durch \(25 \cdot 3\) beschrieben. 2. Zu diesen Perlen kommen die bereits vorhandenen \(75\) Perlen hinzu. Deshalb passt Rechenbaum a). 3. \(25 \cdot 3 = 75\). 4. \(75 + 75 = 150\).

Rechenbaum a) passt. Insgesamt sind es \(150\) Perlen.

- Vergleiche die Teilaufgaben, die bei beiden Zerlegungen entstehen. - Welche der vorkommenden Multiplikationen kannst du besonders sicher im Kopf lösen? - Begründe die Gleichheit der Ergebnisse über die Zerlegung von \(12\), nicht nur über das ausgerechnete Ergebnis.

1. Weg A: \(6 \cdot 10 + 6 \cdot 2 = 60 + 12 = 72\). 2. Weg B: \(6 \cdot 6 + 6 \cdot 6 = 36 + 36 = 72\). 3. Weg A ist zum Beispiel günstig, weil \(6 \cdot 10\) besonders einfach ist. Weg B ist ebenfalls vertretbar, wenn die Wahl mit den zwei gleichen Teilprodukten begründet wird. 4. Beide Wege zerlegen denselben zweiten Faktor \(12\) in Summanden; deshalb bleibt das Gesamtprodukt gleich.

a) A: \(72\); B: \(72\). b) Beide Wege sind zulässig. Die Begründung muss eine konkrete Recheneigenschaft nennen, etwa die einfache Zehneraufgabe bei A oder die zwei gleichen Teilprodukte bei B. c) Beide Wege zerlegen \(12\) nur unterschiedlich und erfassen deshalb weiterhin \(6 \cdot 12\).

- Überlege zuerst, welcher der beiden angebotenen Wege für dich hier weniger Zwischenschritte braucht. - Beim halbschriftlichen Weg kannst du den zweiten Faktor in zwei gut rechenbare Teile zerlegen. - Für die Begründung reicht es nicht, nur das gleiche Ergebnis zu nennen; erkläre die Beziehung zwischen den beiden Rechenwegen.

1. Halbschriftlich wird \(17\) in \(10 + 7\) zerlegt: \(48 \cdot 10 = 480\) und \(48 \cdot 7 = 336\); zusammen sind das \(816\). 2. Schriftlich ergibt \(48 \cdot 17\) ebenfalls \(816\). 3. Beide Wege sind gleichwertig, weil \(17 = 10 + 7\) gilt und beide dieselben \(48\) Päckchen mit insgesamt \(17\) Karten je Päckchen erfassen. 4. Für c) sind beide Entscheidungen zulässig. Eine tragfähige Begründung nennt einen konkreten Vorteil, etwa die leicht rechenbaren Teilfaktoren beim halbschriftlichen Weg oder die geordnete Stellenstruktur beim schriftlichen Weg.

a) \(816\) Sammelkarten; ein korrekt ausgeführter halbschriftlicher oder schriftlicher Rechenweg ist möglich. b) Beide Wege sind gleichwertig, weil \(17 = 10 + 7\) gilt. c) Beide Wege sind zulässig. Die Begründung muss einen konkreten rechnerischen oder darstellerischen Vorteil des gewählten Weges nennen.

- Schau zuerst auf die Struktur der Zahlen, bevor du zu rechnen beginnst. - Runde Zahlen oder leicht zerlegbare Zahlen sprechen oft für einen kürzeren Weg. - Bei einer unübersichtlichen Stellenwertrechnung kann ein schriftliches Verfahren Sicherheit geben.

1. \(399 + 601 = 1000\). Wegen der Ergänzung zu einer runden Zahl ist Kopfrechnen besonders günstig. 2. \(2456 + 3789 = 6245\). Die schriftliche Addition ist hier eine übersichtliche und sichere Wahl; ein gut erklärter halbschriftlicher Weg ist ebenfalls möglich. 3. \(672 : 6 = 112\). Die Division lässt sich gut halbschriftlich oder im Kopf aus bekannten Teilaufgaben zusammensetzen; schriftliche Division ist ebenfalls korrekt, aber nicht nötig. 4. Entscheidend ist nicht nur das Ergebnis, sondern eine zur Zahlenstruktur passende Begründung.

a) \(1000\); besonders passend ist Kopfrechnen. b) \(6245\); besonders passend ist schriftliche Addition, ein begründeter halbschriftlicher Weg ist ebenfalls möglich. c) \(112\); besonders passend ist Kopf- oder halbschriftliches Rechnen.

- Vergleiche \(999\) mit einer nahegelegenen runden Zahl. - Beide Rechenwege müssen zum selben Ergebnis führen. - Für c) geht es um Übersichtlichkeit und Anzahl der nötigen Schritte, nicht darum, einen korrekten Weg als falsch zu erklären.

1. Ein geschickter Weg ist die Ausgleichsrechnung: \(999 + 468 = 1000 + 467 = 1467\). 2. Die schriftliche Addition von \(999\) und \(468\) ergibt ebenfalls \(1467\). 3. Der Ausgleichsweg nutzt aus, dass \(999\) nur um \(1\) von \(1000\) entfernt ist und benötigt deshalb besonders wenig Rechenschritte. Die schriftliche Rechnung bleibt eine korrekte Alternative.

a) \(1467\) b) \(1467\) c) Ein besonders effizienter Weg ist das Ausgleichen über \(1000\); eine begründete persönliche Wahl zwischen beiden korrekten Wegen ist zulässig.

- Suche bei der ersten Aufgabe nach einer kleineren bekannten Division mit denselben wesentlichen Ziffern. - Überlege bei der zweiten Aufgabe, wie viele Stellen nacheinander verarbeitet werden müssen. - Begründe die Verfahrenswahl aus den Zahlen und nicht nur aus ihrer Größe.

1. \(3600 : 9 = 400\). Die Aufgabe lässt sich aus \(36 : 9\) und der Stellenwertstruktur direkt im Kopf ableiten. 2. \(7384 : 8 = 923\). Hier ist die schriftliche Division eine übersichtliche Wahl, weil mehrere aufeinanderfolgende Teildivisionen nötig sind. 3. Die erste Division besitzt eine besonders einfache runde Struktur; die zweite verlangt eine längere Stellenwertfolge. Daher sind unterschiedliche Verfahren sinnvoll.

a) \(3600 : 9 = 400\), besonders passend im Kopf; \(7384 : 8 = 923\), besonders passend schriftlich. b) Entscheidend sind unter anderem Rundheit, Zerlegbarkeit und die Zahl der nötigen Teilrechnungen.

- Überlege, ob du für die Entscheidung wirklich den genauen Bestand kennen musst. - Suche eine nahe, einfachere Packungsgröße, die sicher kleiner als die tatsächliche ist. - Wenn schon dieser kleinere Vergleich die Box vollständig füllt, was folgt dann für den tatsächlichen Bestand?

1. Für die Entscheidung ist der genaue Gesamtbestand nicht nötig. Jede Packung enthält mehr als \(100\) Perlen. 2. Schon mit der kleineren Vergleichszahl gilt \(19 \cdot 100 = 1900\). 3. Der tatsächliche Bestand aus \(19\) Packungen zu je \(102\) Perlen ist deshalb größer als \(1900\). Die Box reicht sicher nicht.

Nein. Ein einfacher Vergleich reicht: Weil \(102 > 100\), ist \(19 \cdot 102 > 19 \cdot 100 = 1900\). Die Box ist zu klein.

- Vergleiche zuerst das Überschlagsergebnis mit der Kapazitätsgrenze. - Wenn Überschlag und Grenze zusammenfallen, kann eine kleine Rundungsabweichung die Entscheidung verändern. - Nutze dann ein exaktes Verfahren für die Differenz und vergleiche erst danach mit der Boxgröße.

1. Der Überschlag liegt genau an der Kapazitätsgrenze der Box. Deshalb kann er nicht sicher entscheiden, ob der tatsächliche Restbestand höchstens \(8700\) beträgt. 2. Es muss exakt gerechnet werden. Mit dem schriftlichen Abziehverfahren ergibt sich \(12\,480 - 3765 = 8715\). 3. Da \(8715 > 8700\), passen nicht alle Karten in die Box. Es sind \(8715 - 8700 = 15\) Karten zu viel.

Der Überschlag reicht nicht. Exakt gilt \(12\,480 - 3765 = 8715\). Die Box ist um \(15\) Karten zu klein.

- Suche zuerst nach einer Aufgabe, bei der du ohne Zwischenschritte eine glatte Summe erkennst. - Bei welcher Aufgabe hilft eine Zerlegung eines Summanden in wenige Stellenwertteile? - Die verbleibende Aufgabe sollte einen guten Grund für eine schriftliche Stellenrechnung bieten.

1. Bei a) ergänzen sich die beiden Summanden unmittelbar zu \(100\,000\). Kopfrechnen ist daher besonders günstig: \(48\,000 + 52\,000 = 100\,000\). 2. Bei b) lässt sich der zweite Summand übersichtlich zerlegen: \(63\,500 + 8000 + 750 = 72\,250\). Das passt zum halbschriftlichen Rechnen. 3. Bei c) sind beide Summanden unregelmäßig und es treten mehrere Überträge auf. Schriftliches Rechnen ist daher zweckmäßig: \(47\,586 + 26\,749 = 74\,335\).

a) Kopfrechnen; \(100\,000\). Begründung: Die Summanden ergänzen sich direkt zu einer glatten Zahl. b) halbschriftliches Rechnen; \(72\,250\). Begründung: \(8750\) lässt sich in gut handhabbare Stellenwertteile zerlegen. c) schriftliches Rechnen; \(74\,335\). Begründung: Zwei unregelmäßige mehrstellige Summanden mit mehreren Überträgen machen das schriftliche Verfahren übersichtlich.

- Prüfe, ob bei einer Aufgabe die beiden Zahlen sehr nahe beieinanderliegen. - Suche eine Aufgabe, deren Subtrahend sich in wenige einfache Stellenwertteile zerlegen lässt. - Achte bei der verbleibenden Aufgabe darauf, ob mehrere Stellen beim schriftlichen Rechnen entbündelt werden müssten.

1. Bei a) ist Ergänzen im Kopf besonders kurz: Von \(79\,600\) bis \(80\,000\) fehlen \(400\). 2. Bei b) ist halbschriftliches Zerlegen übersichtlich: \(72\,500 - 13\,000 - 200 = 59\,300\). 3. Bei c) sind beide Zahlen unregelmäßig und mehrere Entbündelungen nötig. Schriftlich ergibt sich \(54\,372 - 28\,649 = 25\,723\).

a) Kopfrechnen durch Ergänzen; \(400\). b) halbschriftliches Rechnen; \(59\,300\). c) schriftliches Rechnen; \(25\,723\). Entscheidend sind die genannten Strukturgründe, nicht nur die Verfahrensnamen.

- Suche zuerst nach glatten Hundertern oder Tausendern und nach Zahlen, die nahe an solchen Zahlen liegen. - Frage dich bei jeder Aufgabe, ob ein kurzer Kopf- oder halbschriftlicher Weg übersichtlicher ist als das schriftliche Verfahren. - Begründe nicht nur mit „leicht“ oder „schwer“, sondern mit einer Eigenschaft der Zahlen.

1. Für a) ist Kopfrechnen besonders übersichtlich: \(6300 + 2700 = 9000\). 2. Für b) ist die schriftliche Subtraktion eine gut nachvollziehbare Wahl: \(9254 - 3876 = 5378\). Auch ein korrekt ausgeführter halbschriftlicher Weg ist zulässig. 3. Für c) ist Kopfrechnen mit einer Hilfsaufgabe günstig: \(4560 + 2000 - 1 = 6559\). 4. Für d) sind Kopfrechnen oder halbschriftliches Rechnen günstig, zum Beispiel \(7000 - 1000 - 250 = 5750\). Entscheidend ist jeweils, dass Verfahren und Begründung zu den Zahlen passen.

a) \(9000\); z. B. Kopfrechnen. b) \(5378\); z. B. schriftlich. c) \(6559\); z. B. Kopfrechnen mit einer Hilfsaufgabe. d) \(5750\); z. B. Kopfrechnen oder halbschriftlich. Andere effiziente und korrekt begründete Verfahrenswahlen sind möglich.

- Schau dir an, wie die erste Zahl in der dritten Zeile aus den ersten beiden Zeilen zusammengesetzt ist. - Kannst du die Teilergebnisse einfach addieren? - Rechne bei \(7 \cdot 17\) am besten Schritt für Schritt: zuerst \(7 \cdot 10\), dann \(7 \cdot 7\).

1. Teilaufgabe a): \(10 \cdot 15 = 150\). Danach \(3 \cdot 15 = 45\). Durch Addition der Teilergebnisse erhält man \(150 + 45 = 195\). 2. Teilaufgabe b): \(10 \cdot 17 = 170\). Danach \(7 \cdot 17 = 119\) (berechnet über \(7 \cdot 10 = 70\) und \(7 \cdot 7 = 49\)). Durch Addition der Teilergebnisse erhält man \(170 + 119 = 289\). 3. Die geforderten Zusammensetzungen sind a) \(150+45=195\) und b) \(170+119=289\).

a) \(10 \cdot 15 = 150\), \(3 \cdot 15 = 45\), \(13 \cdot 15 = 195\) b) \(10 \cdot 17 = 170\), \(7 \cdot 17 = 119\), \(17 \cdot 17 = 289\) Zusammensetzung: a) \(150+45=195\); b) \(170+119=289\).

- Wie kannst du die Zahlen 10, 5 und 2 kombinieren, um auf 17, 7 oder 13 zu kommen? - Du darfst die Ergebnisse der Hilfsaufgaben addieren oder voneinander abziehen. - Gibt es für die 13 vielleicht einen Weg, bei dem du erst etwas addierst und dann wieder etwas wegnimmst?

1. Für \(17 \cdot 9\): Kombination der Faktoren \(10, 5\) und \(2\). Rechnung: \((10 + 5 + 2) \cdot 9 = 90 + 45 + 18 = 153\). 2. Für \(7 \cdot 9\): Kombination der Faktoren \(5\) und \(2\). Rechnung: \((5 + 2) \cdot 9 = 45 + 18 = 63\). 3. Für \(13 \cdot 9\): Kombination durch Addition und Subtraktion. Rechnung: \((10 + 5 - 2) \cdot 9 = 90 + 45 - 18 = 117\).

a) \(17 \cdot 9 = 90 + 45 + 18 = 153\) b) \(7 \cdot 9 = 45 + 18 = 63\) c) \(13 \cdot 9 = 90 + 45 - 18 = 117\)

- Eine Aufgabenfamilie nutzt immer dieselben Grundzahlen (hier 8, 4 und 32) in verschiedenen Formen mit Zehnern. - Nutze die erste Aufgabe als Basis für alle weiteren. - Verwende die Umkehraufgabe (Multiplikation statt Division), um Lücken zu finden. - Achte darauf, dass die Platzhalter so gefüllt werden, dass alle vier Rechnungen mathematisch korrekt sind.

1. Berechnung der Grundaufgabe: \(8 \cdot 4 = 32\). 2. Bestimmung des fehlenden Faktors in b): Da \(8 \cdot 4 = 32\) ist, muss \(80 \cdot 4 = 320\) sein. Die Lücke ist \(4\). 3. Bestimmung des Dividenden in c): Die Umkehraufgabe ist \(40 \cdot 8 = 320\). Die Lücke ist \(320\). 4. Berechnung des Quotienten in d): Da \(320 : 4 = 80\) und \(8 \cdot 40 = 320\) ist, ergibt \(320 : 40 = 8\).

a) \(32\) b) \(4\) c) \(320\) d) \(8\)

- Prüfe, ob der Subtrahend nahe an einem vollen Hunderter liegt. - Liegen die beiden Zahlen nah beieinander, kann Ergänzen besonders übersichtlich sein. - Entscheide zuerst über deinen Weg und rechne danach; so kannst du anschließend beurteilen, ob deine Wahl günstig war.

1. Für a) ist schrittweises Abziehen möglich: \(800 - 70 - 2 = 728\). 2. Für b) ist eine Hilfsaufgabe günstig: \(534 - 200 + 1 = 335\). 3. Für c) ist Ergänzen übersichtlich: Von \(395\) bis \(400\) fehlen \(5\), von \(400\) bis \(412\) weitere \(12\); insgesamt sind es \(17\). 4. Für d) kann man zerlegen: \(967 - 400 - 50 - 2 = 515\). Andere korrekte und nachvollziehbare Wege sind möglich.

a) \(728\); z. B. schrittweise abziehen. b) \(335\); z. B. mit der Hilfsaufgabe \(-200+1\). c) \(17\); z. B. durch Ergänzen. d) \(515\); z. B. durch Zerlegen. Andere korrekte Rechenwege sind möglich, wenn sie kurz notiert werden.

- Überlege, was bei einer schriftlichen Minusaufgabe mit mehreren Nullen im Minuenden passiert. - Wie weit liegen die beiden Zahlen auf dem Zahlenstrahl auseinander? - Suche für c) nach Zahlen, bei denen kein kurzer Ergänzungs- oder Rundungsweg auffällt.

1. Analyse: Das schriftliche Verfahren ist aufwendig, da bei \(5001 - 4998\) über mehrere Stellen hinweg entbündelt werden muss. 2. Kopfrechnen: Die Zahlen liegen sehr nah beieinander. Man kann den Unterschied durch Ergänzen bestimmen: Von \(4998\) bis \(5000\) sind es \(2\), plus \(1\) bis \(5001\). Das Ergebnis ist \(3\). 3. Für c) ist jedes korrekt berechnete Beispiel zulässig, bei dem die Zahlen nicht durch eine kurze Ergänzungs-, Rundungs- oder Zerlegungsstrategie besonders günstig sind und bei dem die schriftliche Stellenrechnung einen übersichtlichen Weg bietet. Beispiel: \(8342 - 3567 = 4775\).

a) Wegen der Nullen im Minuenden sind mehrere Entbündelungen über benachbarte Stellen nötig. b) Durch Ergänzen: Von \(4998\) bis \(5001\) fehlen \(3\), also ist das Ergebnis \(3\). c) Individuelle Lösung. Akzeptiert wird eine korrekt berechnete Minusaufgabe bis \(10\,000\), bei der die Begründung eine konkrete Zahlstruktur nennt, die das schriftliche Verfahren übersichtlicher macht. Beispiel: \(8342 - 3567 = 4775\).

- Schau dir die Cent-Beträge an: Ergänzen sie sich zu vollen Euro-Beträgen? - Bei welchem Bon musst du dir viele kleine Stellenwerte gleichzeitig merken? - Kannst du beim ersten Bon Paare bilden, die einfach zu addieren sind?

1. Bon A (Kopf): Die Beträge lassen sich gut zu glatten Summen zusammenfassen. \(12{,}00\,\text{€} + 8{,}00\,\text{€} = 20{,}00\,\text{€}\) und \(5{,}50\,\text{€} + 4{,}50\,\text{€} = 10{,}00\,\text{€}\). Gesamtsumme: \(20{,}00\,\text{€} + 10{,}00\,\text{€} = 30{,}00\,\text{€}\). 2. Bon B (Schriftlich): Die krummen Cent-Beträge machen das Kopfrechnen fehleranfällig. Schriftliche Addition: \(13{,}47\,\text{€} + 22{,}89\,\text{€} + 5{,}12\,\text{€} + 17{,}04\,\text{€} = 58{,}52\,\text{€}\). 3. Ergebnisse: Bon A ergibt \(30{,}00\,\text{€}\), Bon B ergibt \(58{,}52\,\text{€}\).

Bon A (Kopf): \(30{,}00\,\text{€}\); Bon B (Schriftlich): \(58{,}52\,\text{€}\)

- Welche Aufgabe lässt sich unmittelbar auf eine Einmaleinsaufgabe mit Stellenwertänderung zurückführen? - Bei welcher Aufgabe hilft eine Zerlegung des mehrstelligen Faktors in Hunderter, Zehner und Einer? - Welche Aufgabe erzeugt beim Zerlegen mehrere Teilprodukte mit einem zweistelligen Multiplikator?

1. Bei a) genügt die Grundaufgabe \(8 \cdot 4\) mit Stellenwertdenken: \(8 \cdot 400 = 3200\). Das eignet sich zum Kopfrechnen. 2. Bei b) ist eine Zerlegung übersichtlich: \(6 \cdot 200 + 6 \cdot 40 + 6 \cdot 5 = 1200 + 240 + 30 = 1470\). Das ist ein passender halbschriftlicher Weg. 3. Bei c) ist ein zweistelliger unregelmäßiger Multiplikator gegeben. Schriftlich erhält man \(238 \cdot 47 = 11\,186\).

a) Kopfrechnen; \(3200\). b) halbschriftliches Rechnen; \(1470\). c) schriftliches Rechnen; \(11\,186\). Die Begründungen müssen sich auf Grundaufgabe/Stellenwert, sinnvolle Zerlegung beziehungsweise den unregelmäßigen zweistelligen Multiplikator beziehen.

- Suche zuerst die Aufgabe, die nur eine bekannte Einmaleinsaufgabe und Stellenwertdenken benötigt. - Prüfe, welcher Dividend in wenige durch den Divisor teilbare Summanden zerlegt werden kann. - Bei welcher Aufgabe ist ein geordnetes Ziffer-für-Ziffer-Verfahren am übersichtlichsten?

1. Bei a) führt die Grundaufgabe \(48 : 6 = 8\) mit Stellenwertdenken direkt zu \(4800 : 6 = 800\). Kopfrechnen ist besonders günstig. 2. Bei b) lässt sich der Dividend in gut teilbare Teile zerlegen: \(936 = 600 + 336\). Damit ist \(936 : 6 = 100 + 56 = 156\). Das ist ein übersichtlicher halbschriftlicher Weg. 3. Bei c) ist keine ähnlich kurze Zerlegung vorgegeben. Die schriftliche Division ergibt \(7384 : 8 = 923\).

a) Kopfrechnen; \(800\). b) halbschriftliches Rechnen; \(156\). c) schriftliches Rechnen; \(923\). Die Begründungen müssen die Grundaufgabe mit Stellenwert, die günstige Zerlegung beziehungsweise den fehlenden kurzen Zerlegungsweg erkennen lassen.

- Die beiden Längen stehen zunächst nicht in derselben Form. - Wandle die gemischte Kilometer-Meter-Angabe vollständig in Meter um. - Addiere danach für die Summe und ziehe für die positive Differenz die kleinere Länge von der größeren ab.

1. Zuerst wird \(1\,\text{km}\,175\,\text{m}\) in Meter umgewandelt: \(1175\,\text{m}\). 2. Die Summe ist \(642\,\text{m}+1175\,\text{m}=1817\,\text{m}\). 3. Die positive Differenz ist \(1175\,\text{m}-642\,\text{m}=533\,\text{m}\).

Summe: \(1817\,\text{m}\) Differenz: \(533\,\text{m}\)

- Bringe beide Massen zuerst in dieselbe Einheit. - Nach der Addition soll die Summe wieder als Kilogramm-und-Gramm-Angabe erscheinen. - Für die positive Differenz ziehst du die kleinere Masse von der größeren ab.

1. \(1\,\text{kg}\,457\,\text{g}=1457\,\text{g}\). 2. Die Summe beträgt \(823\,\text{g}+1457\,\text{g}=2280\,\text{g}=2\,\text{kg}\,280\,\text{g}\). 3. Die positive Differenz beträgt \(1457\,\text{g}-823\,\text{g}=634\,\text{g}\).

Summe: \(2\,\text{kg}\,280\,\text{g}\) Differenz: \(634\,\text{g}\)

- Bei welcher Aufgabe liegt ein Faktor nur um \(1\) neben einer besonders günstigen Zahl? - Wo lässt sich ein mehrstelliger Faktor in wenige Stellenwertteile zerlegen? - Welche Aufgabe hat zwei unregelmäßige Faktoren und erzeugt mehrere Teilprodukte?

1. Bei a) liegt \(39\) nahe bei \(40\). Mit Ausgleich gilt \(40 \cdot 25 - 25 = 1000 - 25 = 975\). 2. Bei b) ist Zerlegen passend: \(6 \cdot 200 + 6 \cdot 40 + 6 \cdot 8 = 1200 + 240 + 48 = 1488\). 3. Bei c) ist die schriftliche Multiplikation mit dem zweistelligen unregelmäßigen Multiplikator zweckmäßig. Es gilt \(327 \cdot 46 = 15\,042\).

a) Kopfrechnen mit Ausgleich; \(975\). b) halbschriftliches Zerlegen; \(1488\). c) schriftliche Multiplikation; \(15\,042\).

- Prüfe bei jedem Schritt, ob eine Grundaufgabe oder eine glatte Zahl den Rechenweg stark verkürzt. - Suche den Schritt, bei dem mehrere Teilprodukte entstehen würden. - Die Begründung für die Verfahrenswahl ist ebenso wichtig wie die Endzahl.

1. Schritt 1 lässt sich über die Grundaufgabe im Kopf rechnen: \(36\,000 : 9 = 4000\). 2. Schritt 2 ist mit der runden Differenz ebenfalls übersichtlich: \(4000 - 750 = 3250\). 3. Schritt 3 enthält einen zweistelligen Multiplikator und mehrere Teilprodukte. Hier ist die schriftliche Multiplikation zweckmäßig: \(3250 \cdot 27 = 87\,750\).

Schriftlich sollte Schritt 3 gerechnet werden, weil \(3250 \cdot 27\) einen unregelmäßigen zweistelligen Multiplikator und mehrere Teilprodukte hat. Die Endzahl ist \(87\,750\).

- Vergleiche zuerst die Faktoren beziehungsweise Dividend und Divisor, nicht die fertigen Ergebnisse. - Frage bei jeder Veränderung: Wurde nur eine Zahl verändert oder wurden zwei Zahlen passend gegeneinander verändert? - Nutze die Wirkung von Halbieren, Verdoppeln oder Verdreifachen auf Produkt und Quotient.

1. Bei a) wird der erste Faktor halbiert und der zweite verdoppelt. Das Produkt bleibt gleich, also gilt \(18 \cdot 40 = 9 \cdot 80\). 2. Bei b) werden Dividend und Divisor beide halbiert. Der Quotient bleibt gleich, also gilt \(560 : 8 = 280 : 4\). 3. Bei c) wird nur der erste Faktor halbiert, der zweite bleibt gleich. Das rechte Produkt ist deshalb halb so groß wie das linke, also gilt \(24 \cdot 30 > 12 \cdot 30\). 4. Bei d) bleibt der Dividend gleich, während der Divisor auf ein Drittel sinkt. Der rechte Quotient wird dadurch dreimal so groß, also gilt \(630 : 9 < 630 : 3\).

a) \(=\); einen Faktor halbieren und den anderen verdoppeln lässt das Produkt unverändert. b) \(=\); Dividend und Divisor im gleichen Verhältnis zu verändern lässt den Quotienten unverändert. c) \(>\); nur ein Faktor wird halbiert, daher halbiert sich das Produkt. d) \(<\); bei gleichem Dividend führt der dreimal kleinere Divisor zum dreimal größeren Quotienten.

- Runde auf Faktoren, mit denen du schnell multiplizieren kannst, ohne sie unnötig stark zu verändern. - Achte darauf, ob du auf- oder abrundest; das hilft beim Vergleich mit dem genauen Ergebnis. - Ein guter Überschlag soll vor allem die richtige Größenordnung und eine brauchbare Nähe liefern.

1. a) Ein passender Überschlag ist \(5 \cdot 200 = 1000\). Genau gilt \(5 \cdot 198 = 990\); das genaue Ergebnis liegt knapp darunter. 2. b) Ein passender Überschlag ist \(50 \cdot 20 = 1000\). Genau gilt \(48 \cdot 19 = 912\); die Größenordnung passt zum Überschlag. 3. c) Ein passender Überschlag ist \(200 \cdot 7 = 1400\). Genau gilt \(203 \cdot 7 = 1421\); das Ergebnis liegt wie erwartet etwas darüber.

a) Genau \(990\); z. B. Überschlag \(1000\). b) Genau \(912\); z. B. Überschlag \(1000\). c) Genau \(1421\); z. B. Überschlag \(1400\). Andere nahe, begründete Überschläge sind möglich.

- Vergleiche bei a) Start- und Endzahl. - Überlege, welche Gesamtwirkung „mal \(4\), dann durch \(2\)“ auf eine beliebige Zahl hat. - Prüfe deine Regel an einer der neuen Startzahlen, bevor du sie auf alle anwendest.

1. Bei Startzahl \(50\) gilt zunächst \(50 \cdot 4 = 200\) und anschließend \(200 : 2 = 100\). 2. Multiplizieren mit \(4\) und anschließendes Teilen durch \(2\) hat insgesamt dieselbe Wirkung wie Multiplizieren mit \(2\), denn \(4 : 2 = 2\). 3. Mit der Ein-Schritt-Regel erhält man \(80 \cdot 2 = 160\), \(120 \cdot 2 = 240\) und \(375 \cdot 2 = 750\).

a) Zwischenergebnis: \(200\); Endergebnis: \(100\). b) Direkte Regel: Multipliziere die Startzahl mit \(2\). Begründung: \(4 : 2 = 2\), daher hat „mal \(4\), dann durch \(2\)“ insgesamt die Wirkung „mal \(2\)“. c) \(160\), \(240\), \(750\).

- Vergleiche nicht nur die Ergebnisse, sondern auch die Veränderungen der Zahlen auf beiden Seiten. - Prüfe bei der Multiplikation, ob eine Veränderung eines Faktors durch die Gegenveränderung des anderen ausgeglichen wird. - Prüfe bei der Division, ob Dividend und Divisor im gleichen Verhältnis verändert wurden.

1. a) \(6 \cdot 40 = 240\) und \(3 \cdot 80 = 240\), also \(=\). 2. b) \(450 : 9 = 50\) und \(350 : 7 = 50\), also \(=\). 3. c) \(7 \cdot 90 = 630\) und \(8 \cdot 80 = 640\), also \(<\). 4. d) \(240 : 6 = 40\) und \(320 : 8 = 40\), also \(=\). 5. Bei a) bleibt das Produkt gleich, weil ein Faktor halbiert und der andere verdoppelt wird. Bei b) und d) werden Dividend und Divisor jeweils mit demselben Faktor verändert; deshalb bleibt der Quotient gleich. In c) werden die Faktoren nicht ausgleichend verändert, daher ändern sich die Produkte.

a) \(=\) b) \(=\) c) \(<\) d) \(=\) Gesetzmäßigkeiten: Ausgleichende Faktoränderung kann ein Produkt erhalten; gleiches Skalieren von Dividend und Divisor erhält den Quotienten. c) erfüllt keine dieser beiden Bedingungen.

- Schau vor dem Rechnen auf die Zahlenstruktur: Runde Zahlen und bekannte Einmaleins-Beziehungen eignen sich oft für Kopfrechnen. - Bei unübersichtlichen mehrstelligen Additionen oder Subtraktionen kann ein schriftliches Verfahren sinnvoller sein. - Die Wahl des Verfahrens und der anschließende Vergleich sind zwei getrennte Entscheidungen; begründe beides.

1. a) Kopfrechnen ist besonders passend, weil beide Seiten aus runden Zahlen bestehen. \(300\,000 + 40\,000 = 340\,000\) und \(350\,000 - 5000 = 345\,000\), also gilt \(<\). 2. b) Eine schriftliche Addition ist eine gut nachvollziehbare Wahl, weil beide Summanden viele von null verschiedene Stellen besitzen. \(327\,486 + 148\,729 = 476\,215\), also gilt \(476\,215 < 480\,000\). 3. c) Kopfrechnen ist besonders passend, weil die bekannte Division \(72 : 8 = 9\) auf die großen Stellenwerte übertragen werden kann. \(720\,000 : 8 = 90\,000\), also gilt \(=\). 4. d) Eine schriftliche Subtraktion ist eine gut nachvollziehbare Wahl, weil beim Subtrahieren über mehrere Stellen entbündelt werden muss. \(604\,317 - 278\,948 = 325\,369\), also gilt \(325\,369 > 325\,000\).

a) Zum Beispiel Kopfrechnen, weil beide Seiten aus runden Zahlen bestehen; \(340\,000 < 345\,000\). b) Zum Beispiel schriftlich, weil beide Summanden viele von null verschiedene Stellen besitzen; \(327\,486 + 148\,729 = 476\,215 < 480\,000\). c) Zum Beispiel Kopfrechnen, weil sich \(72 : 8 = 9\) auf die großen Stellenwerte übertragen lässt; \(720\,000 : 8 = 90\,000\). d) Zum Beispiel schriftlich, weil bei der Subtraktion über mehrere Stellen entbündelt werden muss; \(604\,317 - 278\,948 = 325\,369 > 325\,000\). Andere Verfahren sind nur dann gleichwertig, wenn ihre Zweckmäßigkeit anhand der konkreten Zahlenstruktur nachvollziehbar begründet wird.

- Prüfe zuerst, ob eine sichere Grundaufgabe die Division direkt zugänglich macht. - Bei einer gut zerlegbaren Zahl kann halbschriftliches Rechnen übersichtlich sein. - Wähle das schriftliche Verfahren, wenn es dir hilft, mehrere Quotientenschritte geordnet und sicher festzuhalten.

1. Für a) ist Kopfrechnen günstig: Aus \(56 : 7 = 8\) folgt \(560 : 7 = 80\). 2. Für b) ist halbschriftliches Zerlegen übersichtlich: \(800 : 4 + 40 : 4 + 4 : 4 = 200 + 10 + 1 = 211\). Auch sicheres Kopfrechnen ist zulässig. 3. Für c) ist die schriftliche Division eine übersichtliche Wahl: \(13 : 6 = 2\) Rest \(1\), danach \(14 : 6 = 2\) Rest \(2\), danach \(24 : 6 = 4\). Ergebnis: \(224\). Andere korrekte und effizient begründete Verfahrenswahlen sind möglich.

a) \(80\); z. B. Kopfrechnen. b) \(211\); z. B. halbschriftlich oder Kopfrechnen. c) \(224\); z. B. schriftlich. Andere passende Verfahren sind möglich, wenn sie korrekt begründet werden.

- Beurteile nicht nur, ob ein Verfahren möglich ist, sondern ob es zur Zahlenstruktur passt und nachvollziehbar bleibt. - Suche nach runden Abständen und übertragbaren Einmaleins-Beziehungen, bevor du ein schriftliches Verfahren wählst. - Bei vielen unregelmäßigen Stellen kann ein schriftliches Verfahren übersichtlicher sein als Kopfrechnen.

1. a) Schriftliches Rechnen ist unnötig aufwendig. Kopfrechnen über den Abstand zu \(500\,000\) ist passend: \(500\,000 - 499\,800 = 200\). 2. b) Bei den unübersichtlichen sechsstelligen Summanden ist die schriftliche Addition eine sichere und nachvollziehbare Wahl. Es gilt \(386\,742 + 275\,689 = 662\,431\). 3. c) Die Division lässt sich mit der bekannten Beziehung \(72 : 8 = 9\) gut im Kopf lösen: \(720\,000 : 8 = 90\,000\). Ein schriftliches Verfahren wäre hier unnötig aufwendig. 4. d) Halbschriftliches Rechnen ist angemessen. Zum Beispiel gilt \(48 \cdot 25 = 48 \cdot 100 : 4 = 1200\).

a) eher nicht angemessen; zum Beispiel Kopfrechnen; \(200\) b) eher nicht angemessen; zum Beispiel schriftlich; \(662\,431\) c) eher nicht angemessen; zum Beispiel Kopfrechnen; \(90\,000\) d) angemessen; halbschriftlich; \(1200\)

- Eine fehlende Zahl kann manchmal durch Ergänzen, manchmal durch eine Umkehraufgabe bestimmt werden. - Prüfe, bei welcher Umkehraufgabe mehrere unregelmäßige Stellen auftreten. - Suche außerdem eine Aufgabe, bei der eine Zerlegung in runde Teile besonders kurz ist.

1. Bei a) ist Ergänzen zu einer Million im Kopf günstig: Es fehlen \(360\,000\). 2. Bei b) führt die Umkehraufgabe zu \(500\,000 - 215\,738\). Wegen der unregelmäßigen Stellen und mehrerer Entbündelungen ist schriftliches Rechnen zweckmäßig. Es fehlen \(284\,262\). 3. Bei c) ist halbschriftliches Zerlegen übersichtlich: \(138\,000 + 40\,000 + 7500 = 185\,500\).

a) Kopfrechnen durch Ergänzen; \(360\,000\). b) schriftliches Rechnen mit der Umkehraufgabe; \(284\,262\). c) halbschriftliches Rechnen; \(185\,500\).

- Schau dir die Zahlen genau an: Liegt eine Zahl sehr nah an einem vollen Hunderter? - Gibt es bei einer Aufgabe viele Stellen, an denen du entbündeln musst? - Überlege, ob du bei einer Aufgabe einfach ergänzen kannst, anstatt abzuziehen.

1. Identifikation der Rechenwege: Aufgabe A eignet sich für das Kopfrechnen, da die Zahl \(395\) nah an der runden Zahl \(400\) liegt. Man rechnet \(700 - 400 + 5 = 305\). Aufgabe B erfordert mehrere Entbündelungen (\(2 - 8\) und \(4 - 7\)), weshalb hier das schriftliche Verfahren sicherer ist. 2. Berechnung A: \(700 - 395 = 305\). 3. Berechnung B: Schriftliche Subtraktion von \(642 - 278\). Einer: \(12 - 8 = 4\). Zehner: \(13 - 7 = 6\). Hunderter: \(5 - 2 = 3\). Ergebnis: \(364\).

Aufgabe A ist einfacher im Kopf zu rechnen, da man leicht von \(400\) aus korrigieren kann oder durch Ergänzen zum Ziel kommt. Ergebnisse: A: \(305\) B: \(364\)

- Wie weit liegen die beiden Zahlen bei der ersten Aufgabe auseinander? - Ist ein schriftliches Verfahren mit mehreren Entbündelungen über die Null hinweg (wie bei \(901\)) wirklich einfacher als kurzes Nachdenken? - Denke an den Unterschied zwischen „Abziehen“ und „Unterschied bestimmen“.

1. Analyse der Aussage: Lukas hat nicht recht. Bei Zahlen, die sehr nah beieinander liegen, ist das Ergänzen im Kopf viel schneller. Man fragt sich: „Wie viel fehlt von \(897\) bis \(901\)?“ 2. Berechnung \(901 - 897\): \(897 + 3 = 900\), plus \(1\) ergibt \(901\). Das Ergebnis ist \(4\). 3. Schriftliche Berechnung \(823 - 356\): Einer: \(13 - 6 = 7\). Zehner: \(11 - 5 = 6\). Hunderter: \(7 - 3 = 4\). Ergebnis: \(467\).

Lukas hat nicht recht, da man bei eng beieinander liegenden Zahlen durch Ergänzen viel schneller im Kopf zum Ergebnis kommt. Ergebnisse: \(901 - 897 = 4\) \(823 - 356 = 467\)

- Welche Aufgabe kannst du fast direkt aus der glatten Zahl heraus bestimmen? - Bei welcher Aufgabe lässt sich der Subtrahend sinnvoll in einfache Teile zerlegen? - Wo wäre das schriftliche Abziehverfahren wegen mehrerer Stellen besonders übersichtlich?

1. Bei a) ist Kopfrechnen günstig, weil nur \(5\) von einer glatten Zahl abgezogen werden: \(20\,000 - 5 = 19\,995\). 2. Bei b) ist halbschriftliches Rechnen günstig: \(20\,000 - 100 = 19\,900\), danach \(19\,900 - 50 = 19\,850\). 3. Bei c) ist das schriftliche Abziehverfahren zweckmäßig. Durch Entbündeln ergibt sich \(20\,000 - 7432 = 12\,568\). 4. Andere nachvollziehbar begründete Verfahrenswahlen sind möglich, wenn sie zur jeweiligen Aufgabe passen.

a) z. B. Kopf; \(19\,995\) b) z. B. halbschriftlich; \(19\,850\) c) z. B. schriftlich; \(12\,568\)

- Denke die Gleichungen auch als Abstand zwischen zwei Zahlen. - Vergleiche die Größe des Abstandes in a) und b), bevor du ein Verfahren wählst. - Eine Umkehraufgabe kann den fehlenden Subtrahenden direkt liefern.

1. a) Der fehlende Subtrahend ist \(470\,000\), weil \(820\,000 - 350\,000 = 470\,000\). 2. b) Der fehlende Subtrahend ist \(7000\), weil der Abstand zwischen \(698\,000\) und \(705\,000\) nur \(7000\) beträgt. 3. Bei b) ist Ergänzen beziehungsweise Kopfrechnen besonders effizient; bei a) bietet sich ein halbschriftlicher Weg an. Andere korrekt begründete Verfahren sind möglich.

a) \(470\,000\) b) \(7000\) Eine passende Verfahrenswahl mit kurzer Begründung; bei b) ist Ergänzen im Kopf besonders naheliegend.

- Überlege zuerst: Wird von der gleichen Zahl mehr oder weniger abgezogen? - Schau dir die Größe der Ausgangszahlen an. Eine Million ist viel größer als einhunderttausend. - Kannst du die Anzahl der Stellen im Ergebnis abschätzen?

1. Vergleich a): Da von der gleichen Zahl \(10\,000\) einmal weniger \(10\) und einmal mehr \(100\) abgezogen wird, ist das erste Ergebnis größer: \(9990 > 9900\). 2. Vergleich b): Da von einer kleineren Zahl \(100\,000\) und einer größeren Zahl \(1\,000\,000\) der gleiche Betrag abgezogen wird, ist das zweite Ergebnis größer: \(99\,000 < 999\,000\). 3. Vergleich c): Berechnung ergibt \(99\,900\) und \(9990\). Da \(99\,900\) fünfstellig und \(9990\) vierstellig ist, gilt \(99\,900 > 9990\). 4. Vergleich d): Berechnung ergibt \(999\) und \(9990\). Da \(999\) dreistellig und \(9990\) vierstellig ist, gilt \(999 < 9990\).

a) \(>\); bei gleichem Minuenden führt der kleinere Subtrahend zur größeren Differenz. b) \(<\); bei gleichem Subtrahenden führt der größere Minuend zur größeren Differenz. c) \(>\); links bleibt eine fünfstellige Zahl knapp unter \(100\,000\), rechts eine vierstellige Zahl knapp unter \(10\,000\). d) \(<\); links liegt das Ergebnis knapp unter \(1000\), rechts knapp unter \(10\,000\).

- Überlege dir, an welcher Stelle (Einer, Zehner, Hunderter...) sich die Zahl ändert. - Was passiert mit den Nachbarstellen, wenn du von einer Null etwas abziehst? - Stell dir die Zahl in einer Stellenwerttafel vor.

1. Subtraktion von \(1\) (Einerstelle): Da an der Einerstelle eine \(0\) steht, muss über alle Stellen hinweg entbündelt werden. Ergebnis: \(399\,999\). 2. Subtraktion von \(10\) (Zehnerstelle): Entbündelung ab der Zehnerstelle. Ergebnis: \(399\,990\). 3. Subtraktion von \(100\) (Hunderterstelle): Entbündelung ab der Hunderterstelle. Ergebnis: \(399\,900\). 4. Subtraktion von \(1000\) (Tausenderstelle): Entbündelung ab der Tausenderstelle. Ergebnis: \(399\,000\). 5. Subtraktion von \(10\,000\) (Zehntausenderstelle): Entbündelung ab der Zehntausenderstelle. Ergebnis: \(390\,000\). 6. Subtraktion von \(100\,000\) (Hunderttausenderstelle): Verringerung der Ziffer an der Hunderttausenderstelle um \(1\). Ergebnis: \(300\,000\).

a) \(399\,999\) b) \(399\,990\) c) \(399\,900\) d) \(399\,000\) e) \(390\,000\) f) \(300\,000\)

- Gehe Spalte für Spalte vor und schaue genau, welchen Stellenwert du abziehen musst. - Musst du bei der Zahl \(325\,400\) immer entbündeln? - Bei der Zahl \(800\,000\) ändern sich oft viele Ziffern gleichzeitig. Warum ist das so?

1. Zeile \(325\,400\): - \(325\,400 - 1\): Entbündeln ab der Hunderterstelle, da Zehner und Einer null sind. Ergebnis: \(325\,399\). - \(325\,400 - 100\): Verringerung der Hunderterstelle um \(1\). Ergebnis: \(325\,300\). - \(325\,400 - 10\,000\): Verringerung der Zehntausenderstelle um \(1\). Ergebnis: \(315\,400\). 2. Zeile \(800\,000\): - \(800\,000 - 1\): Entbündeln über alle Stellen hinweg. Ergebnis: \(799\,999\). - \(800\,000 - 100\): Entbündeln ab der Hunderterstelle. Ergebnis: \(799\,900\). - \(800\,000 - 10\,000\): Entbündeln ab der Zehntausenderstelle. Ergebnis: \(790\,000\).

<table> <tr> <th>Zahl</th> <th>\( - 1\)</th> <th>\( - 100\)</th> <th>\( - 10\,000\)</th> </tr> <tr> <td>\(325\,400\)</td> <td>\(325\,399\)</td> <td>\(325\,300\)</td> <td>\(315\,400\)</td> </tr> <tr> <td>\(800\,000\)</td> <td>\(799\,999\)</td> <td>\(799\,900\)</td> <td>\(790\,000\)</td> </tr> </table>

- Schau dir an, ab welcher Stelle sich die Ziffern von \(700\,000\) unterscheiden. - Du kannst auch die Umkehraufgabe (Addition) nutzen: Was musst du zum Ergebnis dazurechnen, um wieder auf \(700\,000\) zu kommen? - Alle gesuchten Zahlen sind Stufenzahlen wie \(1\), \(10\), \(100\) und so weiter.

1. Vergleich von \(700\,000\) und \(699\,999\): Die Differenz beträgt \(1\). 2. Vergleich von \(700\,000\) und \(699\,900\): Die Differenz beträgt \(100\). 3. Vergleich von \(700\,000\) und \(690\,000\): Die Differenz beträgt \(10\,000\). 4. Vergleich von \(700\,000\) und \(600\,000\): Die Differenz beträgt \(100\,000\). 5. Vergleich von \(700\,000\) und \(699\,000\): Die Differenz beträgt \(1000\).

a) \(1\) b) \(100\) c) \(10\,000\) d) \(100\,000\) e) \(1000\)

- Ordne zunächst nur die gegebenen Ausgangszahlen. - Überlege, was mit zwei verschieden großen positiven Zahlen passiert, wenn beide durch dieselbe positive Zahl geteilt werden. - Nutze diese Beziehung für die Reihenfolge der Halbierungsaufgaben und rechne erst danach die beiden Randwerte aus.

1. Die Ausgangszahlen geordnet lauten \(320\,000 < 580\,000 < 740\,000 < 960\,000\). 2. Alle vier positiven Zahlen werden durch denselben positiven Divisor \(2\) geteilt. Dadurch bleibt ihre Größenreihenfolge erhalten. 3. Daher gilt schon vor dem Ausrechnen \(320\,000 : 2 < 580\,000 : 2 < 740\,000 : 2 < 960\,000 : 2\). 4. Zur Kontrolle sind die Randwerte \(320\,000 : 2 = 160\,000\) und \(960\,000 : 2 = 480\,000\).

a) \(320\,000 < 580\,000 < 740\,000 < 960\,000\) b) Das Halbieren aller Zahlen mit demselben positiven Divisor erhält die Reihenfolge. c) \(320\,000 : 2 < 580\,000 : 2 < 740\,000 : 2 < 960\,000 : 2\); kleinste Hälfte: \(160\,000\), größte Hälfte: \(480\,000\)

- Überlege, welche Zahlen du direkt verdoppeln oder halbieren kannst. - Bei einer weniger unmittelbaren Hälfte kann eine Zerlegung in runde Teilzahlen helfen. - Prüfe, ob eine Zeile mehrere unregelmäßige Stellen enthält und deshalb schriftlich übersichtlicher ist.

1. Zu \(280\,000\): Doppeltes \(560\,000\), Hälfte \(140\,000\). Kopf- oder halbschriftliches Rechnen ist günstig. 2. Zu \(450\,000\): Doppeltes \(900\,000\), Hälfte \(225\,000\). Eine Zerlegung kann die Hälfte übersichtlich machen. 3. Zu \(284\,736\): Doppeltes \(569\,472\), Hälfte \(142\,368\). Für beide Rechnungen ist ein schriftlicher Weg gut geeignet, weil mehrere unregelmäßige Stellen verarbeitet werden.

\(280\,000 \rightarrow 560\,000\) und \(140\,000\); z. B. Kopf/halbschriftlich. \(450\,000 \rightarrow 900\,000\) und \(225\,000\); z. B. halbschriftlich. \(284\,736 \rightarrow 569\,472\) und \(142\,368\); z. B. schriftlich.

- Prüfe zuerst, welche der gegebenen Teilprodukte in der jeweiligen Aufgabe vorkommen. - Wenn die bekannten Teilprodukte nicht passen, überlege, ob ein geordnetes schriftliches Verfahren übersichtlicher ist. - Begründe deine Wahl mit der Aufgabenstruktur.

1. a) \(4000 + 160 = 4160\). Die gegebenen Teilprodukte machen den halbschriftlichen Weg besonders kurz. 2. b) \(160 + 72 = 232\). Auch hier können die gegebenen Teilprodukte direkt genutzt werden. 3. c) \(4000 + 160 + 72 = 4232\). Der halbschriftliche Weg verwendet alle drei bekannten Teilprodukte. 4. d) \(347 \cdot 26 = 9022\). Hier helfen die gegebenen Teilprodukte nicht; die schriftliche Multiplikation ordnet die beiden Multiplikatorstellen übersichtlich.

a) \(4160\); z. B. halbschriftlich. b) \(232\); z. B. halbschriftlich. c) \(4232\); z. B. halbschriftlich. d) \(9022\); z. B. schriftlich. Mindestens eine Verfahrenswahl ist mit der konkreten Aufgabenstruktur zu begründen.

- Beginne mit der bekannten Grundaufgabe \(42 : 6\). - Vergleiche, um welchen Faktor Dividend und Quotient von Zeile zu Zeile größer werden. - Nutze die Umkehraufgabe mit Multiplikation, wenn der Dividend fehlt.

1. Die Grundaufgabe lautet \(42 : 6 = 7\). 2. Für den Quotienten \(70\) muss auch der Dividend gegenüber \(42\) verzehnfacht sein: \(420 : 6 = 70\). 3. In \(4200 : \square = 700\) bleibt dieselbe Beziehung erhalten; der Divisor ist \(6\). 4. Wird \(42\) auf \(42\,000\) vertausendfacht, wird bei gleichem Divisor auch \(7\) auf \(7000\) vertausendfacht. 5. Entsprechend gehört zum Quotienten \(70\,000\) der Dividend \(420\,000\).

\(42 : 6 = 7\) \(420 : 6 = 70\) \(4200 : 6 = 700\) \(42\,000 : 6 = 7000\) \(420\,000 : 6 = 70\,000\)

- Prüfe zuerst, ob ein Aufgabenpaar direkt auf kleine Grundaufgaben und Nullen zurückgeführt werden kann. - Bei sehr nahen Ergebnissen brauchst du eine Methode, die die Quotienten sicher und genau liefert. - Begründe deine Verfahrenswahl mit einer Zahleneigenschaft oder dem Rechenaufwand, nicht nur mit „leicht“ oder „schwer“.

1. a) Beide Quotienten lassen sich unmittelbar aus den Grundaufgaben \(27 : 3\) und \(24 : 3\) mit Stellenwertdenken bestimmen. Kopfrechnen ist daher besonders passend. Es gilt \(9000 > 8000\). 2. b) Die beiden vierstelligen Dividenden sind nicht durch eine kurze Rundzahlregel vergleichbar und die Quotienten liegen sehr nah beieinander. Die schriftliche Division ist deshalb eine übersichtliche Wahl. 3. Es gilt \(6835 : 5 = 1367\) und \(9576 : 7 = 1368\). Daher gilt in b) \(<\). 4. Andere Verfahrenswahlen sind nur dann gleichwertig, wenn sie mit einer konkreten Eigenschaft der Zahlen oder einem tatsächlich kürzeren Rechenweg begründet werden.

a) \(>\); besonders passend: Kopfrechnen, weil die Grundaufgaben mit Stellenwertdenken genügen. b) \(<\); besonders passend: schriftliche Division; \(1367 < 1368\).

- Suche nach einer Zerlegung, bei der die Teile ohne Rest durch den Divisor teilbar sind. - Prüfe, ob eine solche kurze Zerlegung bei jeder Aufgabe wirklich auffällt. - Bei einer Null im Quotienten kann die geordnete schriftliche Stellenfolge hilfreich sein.

1. a) Die Zerlegung \(4200 + 12\) ist günstig: \(4212 : 6 = 700 + 2 = 702\). 2. b) Die Zerlegung \(6400 + 56\) ist günstig: \(6456 : 8 = 800 + 7 = 807\). 3. c) \(5621 : 7 = 803\). Hier ist die schriftliche Division besonders übersichtlich, weil mehrere Stellen nacheinander verarbeitet werden und im Quotienten eine Null entsteht.

a) \(702\); z. B. halbschriftlich. b) \(807\); z. B. halbschriftlich. c) \(803\); z. B. schriftlich. Eine Verfahrenswahl ist mit einer konkreten Eigenschaft des Dividenden oder der nötigen Zwischenschritte zu begründen.

- Welche der vorgeschlagenen Teilzahlen erkennst du sofort als Vielfache von \(6\)? - Bei welcher Zerlegung kannst du beide Teilquotienten direkt bestimmen? - Suche bei c) nach zwei Teilzahlen, die beide ohne Rest durch \(5\) teilbar sind.

1. Die Zerlegung \(3600 + 18\) ist günstiger, weil beide Teilzahlen unmittelbar als Vielfache von \(6\) erkennbar sind. 2. Es gilt \(3600 : 6 = 600\) und \(18 : 6 = 3\). Daher ist \(3618 : 6 = 603\). 3. Für c) ist die Zerlegung \(4500 + 40\) günstig. Es gilt \(4500 : 5 = 900\) und \(40 : 5 = 8\). Daher ist \(4540 : 5 = 908\).

a) \(3600 + 18\), weil beide Teilzahlen leicht durch \(6\) teilbar sind. b) \(603\) c) \(908\)

- Ergänze bei a) zuerst den Teil, der zu \(2832\) noch fehlt. - Zähle bei beiden Zerlegungen, wie viele Teildivisionen tatsächlich nötig sind. - Vergleiche diesen Aufwand mit der geordneten schriftlichen Division.

1. a) \(2832 = 2800 + 32\). Daher gilt \(2832 : 4 = 700 + 8 = 708\). 2. b) \(43\,785 = 40\,000 + 3500 + 250 + 35\). Daher gilt \(43\,785 : 5 = 8000 + 700 + 50 + 7 = 8757\). 3. Bei a) ist die halbschriftliche Zerlegung sehr kurz. Bei b) sind dafür vier Teildivisionen nötig; die schriftliche Division kann deshalb übersichtlicher sein. Eine andere Wahl ist zulässig, wenn sie mit dem tatsächlichen Aufwand begründet wird.

a) \(2832 : 4 = (2800 : 4) + (32 : 4) = 700 + 8 = 708\); halbschriftlich ist besonders kurz. b) \(43\,785 : 5 = (40\,000 : 5) + (3500 : 5) + (250 : 5) + (35 : 5) = 8000 + 700 + 50 + 7 = 8757\); schriftliche Division ist eine gut begründbare Wahl.

- Welche Zahlen liegen so nah beieinander, dass Ergänzen besonders günstig ist? - Wo kannst du mit glatten Tausendern arbeiten? - Bei welcher Aufgabe machen mehrere Entbündelungen das schriftliche Abziehverfahren übersichtlicher?

1. a) Ergänzen im Kopf ist besonders günstig: Von \(19\,996\) bis \(20\,003\) fehlen \(7\). 2. b) Kopf- oder halbschriftliches Rechnen ist günstig: \(10\,000 - 2500 = 7500\). 3. c) Das schriftliche Abziehverfahren ist wegen mehrerer Entbündelungen übersichtlich. Das Ergebnis ist \(17\,377\). 4. d) Kopf- oder halbschriftliches Rechnen ist gut möglich, weil keine Entbündelung nötig ist: \(87\,654 - 23\,412 = 64\,242\). 5. Andere passende und nachvollziehbar begründete Verfahrenswahlen sind ebenfalls möglich.

a) z. B. Kopf durch Ergänzen; \(7\) b) z. B. Kopf/halbschriftlich; \(7500\) c) z. B. schriftlich; \(17\,377\) d) z. B. Kopf/halbschriftlich; \(64\,242\)

- Stell dir vor, du stehst bei der kleineren Zahl auf einem Zahlenstrahl. Wie weit musst du springen, um zur nächsten glatten Tausenderzahl zu kommen? - Wie viele Nullen hat die größere Zahl? Was passiert beim schriftlichen Abziehen, wenn oben eine Null steht?

1. Begründung: Beim schriftlichen Verfahren müsste über mehrere Nullen hinweg entbündelt werden, was fehleranfällig ist. Da die Zahlen nah beieinander liegen, ist Ergänzen effizienter. 2. Berechnung \(34\,005 - 29\,998\): Von \(29\,998\) sind es \(2\) bis \(30\,000\), plus \(4005\) ergibt \(4007\). 3. Berechnung \(82\,003 - 79\,995\): Von \(79\,995\) sind es \(5\) bis \(80\,000\), plus \(2003\) ergibt \(2008\).

a) Das schriftliche Verfahren ist wegen der vielen Nullen und der nötigen Entbündelungen kompliziert und fehleranfällig. Da die Zahlen nah beieinander liegen, ist Ergänzen schneller. b) \(34\,005 - 29\,998 = 4007\) und \(82\,003 - 79\,995 = 2008\).

- Welche Aufgabe lässt sich unmittelbar auf eine bekannte Einmaleinsaufgabe zurückführen? - Wo hilft eine Zerlegung in glatte Teilprodukte? - Bei welcher Aufgabe bringt das schriftliche Verfahren wegen beider unregelmäßigen Faktoren besonders viel Übersicht?

1. a) Kopfrechnen ist günstig: Aus \(6 \cdot 7 = 42\) folgt \(6 \cdot 7000 = 42\,000\). 2. b) Halbschriftlich ist eine Zerlegung günstig: \(6 \cdot 7000 = 42\,000\) und \(6 \cdot 50 = 300\), also \(42\,300\). 3. c) Halbschriftlich kann man \(16\) in \(10 + 6\) zerlegen: \(70\,000 + 42\,000 = 112\,000\). 4. d) Schriftliche Multiplikation ist wegen der unregelmäßigen Faktoren übersichtlich. Das Ergebnis ist \(112\,928\). 5. Andere passende und nachvollziehbar begründete Verfahrenswahlen sind möglich.

a) z. B. Kopf; \(42\,000\) b) z. B. halbschriftlich; \(42\,300\) c) z. B. halbschriftlich; \(112\,000\) d) z. B. schriftlich; \(112\,928\)

- Welche Aufgabe lässt sich direkt aus einer kleinen Einmaleinsaufgabe ableiten? - Wo kannst du den Dividenden in gut teilbare Teile zerlegen? - Bei welcher Zahlfolge ist das schriftliche Verfahren besonders hilfreich, weil eine Null im Quotienten entstehen kann?

1. a) Kopfrechnen ist günstig: Aus \(45 : 9 = 5\) folgt \(45\,000 : 9 = 5000\). 2. b) Halbschriftlich ist die Zerlegung \(45\,000 + 99\) günstig: \(5000 + 11 = 5011\). 3. c) Schriftliche Division ist übersichtlich. Die aufeinanderfolgenden Quotientenziffern ergeben \(9036\). 4. d) Halbschriftlich kann man \(4832\) in \(4800 + 32\) zerlegen: \(4800 : 8 = 600\) und \(32 : 8 = 4\), also \(604\). 5. Andere passende und nachvollziehbar begründete Verfahrenswahlen sind möglich.

a) z. B. Kopf; \(5000\) b) z. B. halbschriftlich; \(5011\) c) z. B. schriftlich; \(9036\) d) z. B. halbschriftlich; \(604\)

- Welche Faktoren oder Dividenden sind so glatt, dass du eine bekannte Grundaufgabe nutzen kannst? - Bei welcher Aufgabe lässt sich eine Zahl in besonders einfache Teile zerlegen? - Vergleiche bei den unregelmäßigen Zahlen den Aufwand von halbschriftlichem und schriftlichem Rechnen.

1. \(500 \cdot 800\) eignet sich für Kopfrechnen: \(5 \cdot 8 = 40\), daher ist das Ergebnis \(400\,000\). 2. \(12 \cdot 7895\) lässt sich zum Beispiel halbschriftlich über \(10 \cdot 7895 + 2 \cdot 7895\) berechnen. Es ergibt sich \(78\,950 + 15\,790 = 94\,740\). Schriftliche Multiplikation ist ebenfalls eine passende Wahl. 3. \(24\,000 : 4\) eignet sich für Kopfrechnen: Aus \(24 : 4 = 6\) folgt \(6000\). 4. \(25\,648 : 4\) lässt sich halbschriftlich durch Zerlegen oder schriftlich lösen. Das Ergebnis ist \(6412\).

Paar 1: \(500 \cdot 800 = 400\,000\), z. B. Kopf; \(12 \cdot 7895 = 94\,740\), z. B. halbschriftlich oder schriftlich. Paar 2: \(24\,000 : 4 = 6000\), z. B. Kopf; \(25\,648 : 4 = 6412\), z. B. halbschriftlich oder schriftlich.

- Prüfe zuerst, ob die Rechenoperation allein schon eine Entscheidung erlaubt, ohne das genaue Ergebnis zu bestimmen. - Achte darauf, ob runde Zahlen, bekannte Grundaufgaben oder die Nähe zu einer runden Zahl ein geschicktes Kopf- oder halbschriftliches Verfahren ermöglichen. - Bei unübersichtlichen mehrstelligen Zahlen kann ein schriftliches Verfahren die sicherste Wahl sein; begründe deine Entscheidung mit der konkreten Zahlenstruktur.

1. a) Das genaue Ergebnis muss nicht ausgerechnet werden: Multiplikation mit \(1\) verändert eine Zahl nicht. Daher gilt \(=\). 2. b) Kopfrechnen ist besonders passend, weil \(36 : 4 = 9\) auf die großen Stellenwerte übertragen werden kann. Das Ergebnis ist \(90\,000\). 3. c) Halbschriftliches Rechnen mit Ausgleich ist besonders passend: Statt \(199\,999\) kann zunächst \(200\,000\) subtrahiert und anschließend \(1\) ausgeglichen werden. Das Ergebnis ist \(500\,001\). 4. d) Eine schriftliche Addition ist eine gut nachvollziehbare Wahl, weil beide Summanden mehrere von null verschiedene Stellen besitzen und mehrere Überträge auftreten. Das Ergebnis ist \(482\,581\).

a) Ohne genaue Rechnung: Multiplikation mit \(1\) verändert die Zahl nicht; \(=\). b) Zum Beispiel Kopfrechnen, weil sich \(36 : 4\) auf die großen Stellenwerte übertragen lässt; \(90\,000\). c) Zum Beispiel halbschriftlich mit Ausgleich, weil \(199\,999\) nahe bei \(200\,000\) liegt; \(500\,001\). d) Zum Beispiel schriftlich, weil beide Summanden mehrere von null verschiedene Stellen besitzen und mehrere Überträge auftreten; \(482\,581\). Andere Verfahren sind nur dann gleichwertig, wenn ihre Zweckmäßigkeit anhand der konkreten Zahlenstruktur nachvollziehbar begründet wird.

- Welche Zahl liegt bei a) nahe an einer besonders einfachen Hunderterzahl? - Wie kannst du den Dividenden bei b) in zwei durch \(8\) teilbare Teile zerlegen? - Welche Faktoren bei c) lassen sich zuerst zu einem besonders einfachen Produkt verbinden?

1. a) Kopfrechnen mit Ausgleich ist günstig: \(14 \cdot 200 - 14 = 2800 - 14 = 2786\). 2. b) Halbschriftliches Zerlegen ist günstig: \(7256 = 7200 + 56\). Daher ist \(7256 : 8 = 900 + 7 = 907\). 3. c) Kopfrechnen oder halbschriftliches Rechnen ist günstig. Zum Beispiel gilt \(25 \cdot 44 = 25 \cdot 4 \cdot 11 = 100 \cdot 11 = 1100\). 4. Andere passende und nachvollziehbar begründete Rechenwege sind möglich.

a) z. B. Kopf mit Ausgleich; \(2786\) b) z. B. halbschriftlich durch Zerlegen; \(907\) c) z. B. Kopf/halbschriftlich; \(1100\)

- Beim ersten Weg kannst du die Gesamtkosten beider Klassen getrennt bestimmen. - Beim zweiten Weg kannst du zuerst nur den Preisunterschied für ein Kind betrachten. - Zähle anschließend, wie viele Rechenoperationen jeder Weg benötigt.

1. Erster Weg: \(22 \cdot 6\,\text{€} = 132\,\text{€}\) und \(22 \cdot 4\,\text{€} = 88\,\text{€}\). Danach ist \(132\,\text{€} - 88\,\text{€} = 44\,\text{€}\). 2. Zweiter Weg: Der Preisunterschied pro Kind ist \(6\,\text{€} - 4\,\text{€} = 2\,\text{€}\). Für \(22\) Kinder ergibt sich \(22 \cdot 2\,\text{€} = 44\,\text{€}\). 3. Der zweite Weg benötigt zwei Rechenoperationen statt drei und ist deshalb hier kürzer.

Beide Wege ergeben \(44\,\text{€}\). Der Weg über den Preisunterschied pro Kind benötigt weniger einzelne Rechenoperationen.

- Überlege dir, ob es bei der Addition wichtig ist, mit welcher Zahl du beginnst. - Kannst du die Zahlen so gruppieren, dass die Rechnung für dich einfacher wird? - Rechne erst einmal das Gesamtergebnis aus, bevor du dir über die Wege der Kinder Gedanken machst. - Wie heißt das Gesetz, das besagt, dass man Zahlen beim Plusrechnen vertauschen darf?

1. Berechnung der Gesamtsumme: \(456\,123 + 23\,456 + 102\,345 + 304\,567 = 886\,491\). 2. Überprüfung von Lisas Weg: \(456\,123 + 304\,567 = 760\,690\) (größte) und \(23\,456 + 102\,345 = 125\,801\) (kleinste). 3. Zusammenführung der Teilergebnisse: \(760\,690 + 125\,801 = 886\,491\). 4. Begründung: Ja, beide erhalten das gleiche Ergebnis, da bei der Addition die Reihenfolge und die Gruppierung der Summanden verändert werden dürfen (Vertauschungsgesetz und Verbindungsgesetz beziehungsweise Kommutativgesetz und Assoziativgesetz).

Das Ergebnis ist \(886\,491\). Ja, beide Kinder erhalten das gleiche Ergebnis, da bei der Addition die Reihenfolge und die Gruppierung der Summanden das Ergebnis nicht verändern.

- Kannst du die Plätze einer Erwachsenen- und einer Kinderreihe zuerst zusammenfassen? - Alternativ kannst du beide Platzgruppen getrennt berechnen und danach addieren. - Vergleiche für c), wie viele Additionen und Multiplikationen beide Wege brauchen.

1. Erster Weg für a): Pro Erwachsenen- und Kinderreihe zusammen sind es \(15 + 25 = 40\) Plätze. Daher gibt es \(12 \cdot 40 = 480\) Plätze. 2. Zweiter Weg für a): Es gibt \(12 \cdot 15 = 180\) Erwachsenenplätze und \(12 \cdot 25 = 300\) Kinderplätze. Zusammen sind das \(180 + 300 = 480\) Plätze. 3. Für b) werden die \(180\) Erwachsenenplätze mit \(8\,\text{€}\) multipliziert: \(180 \cdot 8\,\text{€} = 1440\,\text{€}\). 4. Der erste Weg aus a) ist kürzer: Er benötigt eine Addition und eine Multiplikation, der zweite zwei Multiplikationen und eine Addition.

a) \(480\) Sitzplätze b) \(1440\,\text{€}\) c) Der erste Weg ist kürzer, weil er nur zwei statt drei Rechenoperationen benötigt.

- Welche Division ist mit einem schriftlichen Verfahren besonders übersichtlich? - Kannst du den Faktor \(145\) in einfache Stellenwertteile zerlegen? - Vergleiche die beiden Zwischenergebnisse, bevor du den Unterschied berechnest.

1. Für a) ist zum Beispiel die schriftliche Division geeignet: \(5712 : 6 = 952\). 2. Für b) ist halbschriftliches Rechnen günstig: \(145 \cdot 4 = 100 \cdot 4 + 40 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 580\). 3. Für c) kann man halbschriftlich oder schriftlich subtrahieren: \(952 - 580 = 372\). 4. Andere passende und nachvollziehbar begründete Verfahrenswahlen sind möglich.

a) z. B. schriftlich; \(952\) b) z. B. halbschriftlich; \(580\) c) z. B. halbschriftlich/schriftlich; \(372\)

- Rechne bei der ersten Aufgabe Schritt für Schritt von links nach rechts. - Was bedeutet die Klammer in der zweiten Aufgabe? Was musst du zuerst berechnen? - Vergleiche die beiden Endergebnisse direkt miteinander. - Überlege dir eine Situation beim Einkaufen: Macht es einen Unterschied, ob du zwei Sachen nacheinander bezahlst oder beide zusammen?

1. Erster Schritt: \(100{,}00\,\text{€} - 25{,}50\,\text{€} = 74{,}50\,\text{€}\) 2. Zweiter Schritt: \(74{,}50\,\text{€} - 14{,}75\,\text{€} = 59{,}75\,\text{€}\) 3. Vergleichsrechnung: Die Summe der Abzüge ist \(25{,}50\,\text{€} + 14{,}75\,\text{€} = 40{,}25\,\text{€}\). Die Subtraktion \(100{,}00\,\text{€} - 40{,}25\,\text{€}\) ergibt ebenfalls \(59{,}75\,\text{€}\). 4. Feststellung: Beide Ergebnisse sind gleich. Begründung: Es macht keinen Unterschied, ob man Beträge einzeln nacheinander abzieht oder erst ihre Summe bildet und diese dann auf einmal abzieht.

1. Das Endergebnis ist \(59{,}75\,\text{€}\). 2. Das Ergebnis ist bei beiden Rechnungen gleich (\(59{,}75\,\text{€}\)), weil die Gesamtsumme, die abgezogen wird, in beiden Fällen dieselbe ist.

- Schau dir die Hunderter- und Zehnerstellen der Zahlen genau an. Welche Zahlen „passen“ gut zusammen, um einen vollen Tausender oder Zehntausender zu bilden? - Bei Teilaufgabe a) kannst du alle vier Zahlen in einem Rutsch untereinanderschreiben und addieren. - Vergleiche die Ergebnisse beider Wege – sie müssen gleich sein.

1. Schriftliche Addition aller Summanden: \(12\,600 + 34\,550 + 17\,400 + 25\,450 = 90\,000\). 2. Strategisches Addieren von Paaren: - Paar 1: \(12\,600 + 17\,400 = 30\,000\). - Paar 2: \(34\,550 + 25\,450 = 60\,000\). 3. Zusammenführen der Zwischensummen: \(30\,000 + 60\,000 = 90\,000\).

Das Ergebnis lautet \(90\,000\). Die vorteilhaften Paare sind \(12\,600 + 17\,400 = 30\,000\) und \(34\,550 + 25\,450 = 60\,000\).

- Kannst du zuerst alle bestellten Hefte zusammenzählen? - Beim zweiten Weg kannst du die Kosten jeder Klasse getrennt bestimmen. - Vergleiche danach nur die Anzahl der Multiplikationen in beiden Wegen.

1. Erster Weg: Insgesamt werden \(28 + 32 + 30 = 90\) Hefte bestellt. Die Kosten sind \(90 \cdot 85\,\text{Cent} = 7650\,\text{Cent} = 76{,}50\,\text{€}\). 2. Zweiter Weg: Für Klasse 4a sind es \(28 \cdot 85\,\text{Cent} = 2380\,\text{Cent}\), für 4b \(32 \cdot 85\,\text{Cent} = 2720\,\text{Cent}\) und für 4c \(30 \cdot 85\,\text{Cent} = 2550\,\text{Cent}\). Zusammen sind das \(7650\,\text{Cent} = 76{,}50\,\text{€}\). 3. Der erste Weg benötigt nur eine Multiplikation, der zweite drei. Deshalb ist der erste Weg hier kürzer.

Die Hefte kosten insgesamt \(76{,}50\,\text{€}\). Der Weg über die Gesamtzahl der Hefte benötigt weniger Multiplikationen.

- Vergleiche \(50\) mit \(100\). - Prüfe, ob diese Beziehung bei jeder Aufgabe überhaupt vorkommt. - Bei einem unregelmäßigen zweistelligen Multiplikator kann ein schriftlicher Weg übersichtlicher sein.

1. Für a) bis d) gilt \(n \cdot 50 = (n \cdot 100) : 2\). Damit ergeben sich \(800\), \(1900\), \(2700\) und \(3600\). 2. Bei diesen vier Aufgaben sind Kopf- oder halbschriftliche Verfahren wegen der einfachen Beziehung zu \(100\) besonders effizient. 3. e) \(318 \cdot 47 = 14\,946\). Für den unregelmäßigen zweistelligen Multiplikator ist die schriftliche Multiplikation übersichtlich.

a) \(800\); z. B. Kopf/halbschriftlich. b) \(1900\); z. B. Kopf/halbschriftlich. c) \(2700\); z. B. Kopf/halbschriftlich. d) \(3600\); z. B. Kopf/halbschriftlich. e) \(14\,946\); z. B. schriftlich.

- Prüfe bei jedem zweiten Faktor, wie nah er an einer runden Zahl liegt. - Ein Ausgleich ist nur dann vorteilhaft, wenn die leichtere Nachbaraufgabe wirklich kurz ist. - Vergleiche diesen Aufwand mit den geordneten Schritten der schriftlichen Multiplikation.

1. a) Vorteilhaft ist \(63 \cdot 10 - 63 = 567\). 2. b) Vorteilhaft ist \(24 \cdot 20 - 24 = 456\). 3. c) Vorteilhaft ist \(15 \cdot 50 - 15 = 735\). 4. d) \(327 \cdot 46 = 15\,042\). Hier ist die schriftliche Multiplikation übersichtlich; der Faktor \(46\) liegt nicht nur eine Einheit unter einer besonders günstigen runden Zahl.

a) \(567\); z. B. Kopf/halbschriftlich. b) \(456\); z. B. Kopf/halbschriftlich. c) \(735\); z. B. Kopf/halbschriftlich. d) \(15\,042\); z. B. schriftlich.

- Vergleiche den zweiten Faktor jeweils mit einer nahen runden Zahl. - Frage dich, wie groß und wie aufwendig die anschließende Korrektur wäre. - Wenn dadurch kein kurzer Weg entsteht, kann die schriftliche Multiplikation übersichtlicher sein.

1. a) Mit Ausgleich: \(45 \cdot 20 - 45 = 855\). 2. b) Mit Ausgleich: \(32 \cdot 10 - 32 = 288\). 3. c) \(284 \cdot 37 = 10\,508\). Hier ist die schriftliche Multiplikation übersichtlicher, weil \(37\) nicht unmittelbar an einer runden Zahl liegt, die nur eine sehr kleine Korrektur verlangt.

a) \(855\); Ausgleichsweg ist günstig. b) \(288\); Ausgleichsweg ist günstig. c) \(10\,508\); z. B. schriftliche Multiplikation.

- Suche zuerst nach runden Zahlen, Ergänzungen oder einfachen Zerlegungen. - Bei sehr nahen Ergebnissen entscheidet die Genauigkeit des gewählten Verfahrens darüber, ob der Vergleich sicher ist. - Eine gute Begründung erklärt, warum der gewählte Weg für genau diese Zahlen günstig ist.

1. a) Kopfrechnen ist besonders günstig, weil links zu \(2000\) ergänzt und rechts mit runden Tausendern gerechnet werden kann. Es gilt \(2000 > 1950\). 2. b) Kopf- oder halbschriftliches Rechnen ist kurz: Beide Seiten ergeben \(4400\), also gilt \(=\). 3. c) Wegen der unregelmäßigen fünfstelligen Zahlen und der sehr nahen Ergebnisse sind schriftliche Addition und schriftliche Subtraktion eine sichere Wahl. Es gilt \(82\,407 - 13\,958 = 68\,449\) und \(54\,286 + 14\,173 = 68\,459\). Daher gilt \(<\). 4. Eine andere Verfahrenswahl ist zulässig, wenn sie mit der konkreten Zahlenstruktur und einem nachvollziehbaren Rechenaufwand begründet wird.

a) \(>\); z. B. Kopfrechnen b) \(=\); z. B. Kopf- oder halbschriftliches Rechnen c) \(<\); z. B. schriftliches Rechnen, denn \(68\,449 < 68\,459\) Jede Verfahrenswahl braucht eine konkrete Begründung mit Zahlenstruktur oder Rechenaufwand.

- Welche Aufgaben verändern nur wenige Stellen einer glatten Million? - Wo kannst du direkt bis zu einer glatten Zahl ergänzen? - Prüfe, ob eine Aufgabe mehrere unregelmäßige Stellen enthält und deshalb schriftlich übersichtlicher ist.

1. a) Kopfrechnen über Stellenwerte ist günstig: \(1\,000\,000 - 10 = 999\,990\). 2. b) Ergänzen im Kopf ist günstig: Von \(999\,901\) bis \(1\,000\,000\) fehlen \(99\). 3. c) Kopf- oder halbschriftliches Rechnen ist günstig: \(1\,000\,000 - 500 = 999\,500\). 4. d) Die schriftliche Subtraktion ist übersichtlich, weil mehrere unregelmäßige Stellen und Entbündelungen vorkommen. Es ergibt sich \(653\,837\).

a) \(999\,990\); z. B. Kopf. b) \(1\,000\,000\); z. B. Kopf durch Ergänzen. c) \(999\,500\); z. B. Kopf/halbschriftlich. d) \(653\,837\); z. B. schriftlich.

- Welche Menge wird auf mehrere Tische verteilt? - Welche Menge entsteht aus gleich großen Päckchen? - Erst wenn beide Teilmengen für denselben Tisch bestimmt sind, werden sie zusammengeführt.

1. Die Namensschilder an einem Tisch werden mit \(120 : 3\) bestimmt. 2. Die zusätzlichen Aufkleber werden mit \(8 \cdot 5\) bestimmt. 3. Beide Mengen liegen am selben ausgewählten Tisch und werden addiert. Daher passt Rechenbaum b). 4. \(120 : 3 = 40\), \(8 \cdot 5 = 40\), also \(40 + 40 = 80\).

Rechenbaum b) passt. Am ausgewählten Tisch liegen insgesamt \(80\) Namensschilder und Aufkleber.

- Welche Rechnung beschreibt zuerst den Bestand nach dem Bepflanzen des ersten Beets? - Auf welche Menge bezieht sich „doppelt so viele“? - Wähle nur einen Rechenbaum, der diese Reihenfolge der beiden Rechenschritte abbildet.

1. Zuerst muss bestimmt werden, wie viele Setzlinge nach dem ersten Beet übrig sind: \(912 - 456\). 2. Von diesem Rest wird die doppelte Menge bestellt. Deshalb passt Rechenbaum c). 3. \(912 - 456 = 456\). 4. \(456 \cdot 2 = 912\).

Rechenbaum c) passt. Die Gärtnerei bestellt \(912\) Setzlinge.

- Prüfe, ob eine Aufgabe durch runde oder bekannte Faktoren besonders einfach wird. - Bei der zweiten Aufgabe spielen mehrere Stellenwerte des Multiplikators eine Rolle. - Vergleiche nicht nur die Zahlengröße, sondern auch die Rechenstruktur.

1. \(25 \cdot 40 = 1000\). Die runden und gut bekannten Faktoren machen Kopf- oder halbschriftliches Rechnen besonders günstig. 2. \(326 \cdot 47\) ist mit der schriftlichen Multiplikation übersichtlich: \(326 \cdot 7 = 2282\) und \(326 \cdot 40 = 13\,040\); zusammen ergibt das \(15\,322\). 3. Die Wahl des Verfahrens hängt von der Zahlenstruktur ab. Zwei Multiplikationsaufgaben können deshalb unterschiedliche besonders geeignete Verfahren haben.

a) \(25 \cdot 40 = 1000\), günstig im Kopf oder halbschriftlich; \(326 \cdot 47 = 15\,322\), günstig schriftlich. b) Das Rechenzeichen allein entscheidet nicht über das Verfahren; die Struktur der Zahlen ist ebenfalls wichtig.

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn man beide Zahlen um den gleichen Betrag verändert? - Was passiert bei einer Plusaufgabe, wenn man von einer Zahl etwas wegnimmt und es der anderen dazu gibt? - Schau dir an, wie sich die Zahlen von der linken zur rechten Aufgabe verändern.

1. Paar a: Bei \(463 - 298\) werden beide Zahlen um \(2\) erhöht, um die leichtere Aufgabe \(465 - 300\) zu erhalten (Konstanz des Unterschieds). Ergebnis für beide: \(165\). 2. Paar b: Bei \(237 + 199\) wird \(1\) von der ersten Zahl zur zweiten verschoben (\(236 + 200\)), um einen glatten Hunderter zu erhalten (Konstanz der Summe). Ergebnis für beide: \(436\). 3. Paar c: Bei \(751 - 349\) ergibt sich \(751 - 350 + 1 = 401 + 1 = 402\). Bei \(749 - 351\) ergibt sich \(749 - 350 - 1 = 399 - 1 = 398\). Der Unterschied zwischen den Ergebnissen ist \(4\).

a) \(165\) und \(165\) b) \(436\) und \(436\) c) \(402\) und \(398\)