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- Beginne wie beim schriftlichen Abziehen ganz rechts. - Vergleiche nur die beiden Ziffern der ersten Spalte, ohne die restliche Rechnung auszuführen.

1. Man beginnt bei den Einern. 2. Dort steht oben \(0\) und unten \(5\). \(0 - 5\) ist ohne Entbündeln nicht möglich. 3. Deshalb muss bereits in der Einerstelle zum ersten Mal entbündelt werden.

In der Einerstelle, weil dort \(0 - 5\) gerechnet werden müsste.

- Vergleiche die beiden Ziffern jeder Stelle, bevor du rechnest. - Beginne rechts bei den Einern. - Eine Entbündelung ist nur nötig, wenn die obere verfügbare Ziffer in einer Spalte zu klein ist.

1. Einer: \(4-1=3\). 2. Zehner: \(6-2=4\). 3. Hunderter: \(7-3=4\). 4. Damit gilt \(764-321=443\). In keiner Spalte ist die obere Ziffer kleiner als die untere; eine Entbündelung ist nicht nötig.

\(443\); keine Entbündelung.

- Starte bei der Einerstelle. - Prüfe, ob die obere Einerziffer zum Abziehen ausreicht. - Verfolge nach einer Entbündelung, wie sich die nächste Stelle verändert.

1. Einer: \(2<8\), daher wird ein Zehner entbündelt. Es gilt \(12-8=4\). 2. Zehner: Nach dem Entbündeln gilt \(2-1=1\). 3. Hunderter: \(5-2=3\). 4. Ergebnis: \(532-218=314\). Die einzige Entbündelung erfolgt an der Einerstelle.

\(314\); Entbündelung an der Einerstelle.

- Vergleiche die Ziffern stellenweise von rechts nach links. - Entscheide nur, ob eine obere Ziffer für die Subtraktion ausreicht. - Du brauchst die vollständige Differenz für diese Entscheidung nicht.

1. Einer: \(4\) ist mindestens so groß wie \(2\). 2. Zehner: \(7\) ist mindestens so groß wie \(5\). 3. Hunderter: \(8\) ist mindestens so groß wie \(3\). 4. Deshalb ist in keiner Spalte eine Entbündelung nötig.

Nein. In jeder Stelle ist die obere Ziffer mindestens so groß wie die untere.

- Prüfe zuerst die Einerstelle. - Gehe dann eine Stelle nach links und vergleiche dort die Ziffern. - Nach dem Entbündeln verändert sich die Hunderterstelle um eins.

1. Einer: \(4-2=2\). 2. Zehner: \(6<8\), daher wird ein Hunderter entbündelt. Es gilt \(16-8=8\). 3. Hunderter: Aus \(7\) ist \(6\) geworden; \(6-3=3\). 4. Ergebnis: \(764-382=382\). Entbündelt wird nur an der Zehnerstelle.

\(382\); Entbündelung an der Zehnerstelle.

- Schau dir die Zahlen, die vorne stehen (die Minuenden), genau an. Was verändert sich von Aufgabe zu Aufgabe? - Vergleiche die Ziffern an den verschiedenen Stellenwerten (Einer, Zehner, Hunderter, ...). - Wenn du die erste Aufgabe gelöst hast, kannst du das Ergebnis der zweiten vielleicht schon vermuten?

1. Berechnung der ersten Aufgabe: \(856\,472 - 321\,054 = 535\,418\). 2. Berechnung der zweiten Aufgabe: \(756\,472 - 321\,054 = 435\,418\). 3. Berechnung der dritten Aufgabe: \(656\,472 - 321\,054 = 335\,418\). 4. Analyse: Der Minuend verringert sich jeweils um genau \(100\,000\), während der Subtrahend gleich bleibt. Folglich verringert sich auch die Differenz in jedem Schritt um \(100\,000\).

a) \(535\,418\) b) \(435\,418\) c) \(335\,418\) Das Ergebnis verringert sich immer um \(100\,000\), weil der Minuend um \(100\,000\) kleiner wird.

- Beginne bei der schriftlichen Subtraktion immer ganz rechts bei den Einern. - Achte bei Aufgabe b) besonders auf die Entbündelungen, wenn die obere Ziffer kleiner ist als die untere. - Schreibe die Zahlen genau untereinander, damit du die Stellenwerte nicht vertauschst.

1. Berechnung von \(8492 - 5170\): Subtraktion der Stellenwerte von rechts nach links. Einer: \(2 - 0 = 2\). Zehner: \(9 - 7 = 2\). Hunderter: \(4 - 1 = 3\). Tausender: \(8 - 5 = 3\). Das Ergebnis ist \(3322\). 2. Berechnung von \(6305 - 2418\): Zuerst wird ein Hunderter in zehn Zehner und anschließend ein Zehner in zehn Einer entbündelt. Einer: \(15 - 8 = 7\). Zehner: \(9 - 1 = 8\). Für die Hunderter wird ein Tausender entbündelt: \(12 - 4 = 8\). Tausender: \(5 - 2 = 3\). Das Ergebnis ist \(3887\). 3. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(8492 - 5170\): keine Stelle; \(6305 - 2418\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender.

a) \(3322\) b) \(3887\) Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(8492 - 5170\): keine Stelle; \(6305 - 2418\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender.

- Arbeite im Abziehverfahren von rechts nach links. - Prüfe vor jeder Subtraktion, ob die obere Ziffer für diese Stelle ausreicht. - Wenn du entbündelst, muss sich die unmittelbar höhere Stelle entsprechend verändern.

1. Einer: \(2 - 7\) ist nicht möglich. Ein Zehner wird entbündelt, sodass \(12 - 7 = 5\) gerechnet werden kann. 2. Zehner: Nach dem Entbündeln bleiben \(4\) Zehner; \(4 - 2 = 2\). 3. Hunderter: \(4 - 1 = 3\). 4. Tausender: \(8 - 3 = 5\). 5. Zehntausender: \(6 - 2 = 4\). Damit gilt \(68\,452 - 23\,127 = 45\,325\).

Das Ergebnis ist \(45\,325\). Entbündelt werden muss an der Einerstelle aus einem Zehner.

- Beginne bei den Einern und vergleiche in jeder Spalte obere und untere Ziffer. - Entbündeln ist nur nötig, wenn die obere Ziffer einer Spalte kleiner als die untere ist.

1. Einer: \(3 - 0 = 3\). 2. Zehner: \(4 - 1 = 3\). 3. Hunderter: \(5 - 2 = 3\). 4. Tausender: \(6 - 1 = 5\). 5. Zehntausender: \(7 - 2 = 5\). 6. Hunderttausender: \(8 - 3 = 5\). 7. Damit ist \(876\,543 - 321\,210 = 555\,333\). In jeder Spalte ist die obere Ziffer mindestens so groß wie die untere; deshalb ist kein Entbündeln nötig.

\(876\,543 - 321\,210 = 555\,333\). Es ist kein Entbündeln nötig.

- Prüfe zuerst nur die Einerstelle. - Wenn du dort entbündelst, verändert sich die Zehnerziffer des Minuenden. - Prüfe danach, ob die veränderte Zehnerziffer für die nächste Subtraktion noch ausreicht.

1. Einer: \(2 - 8\) ist nicht möglich. Ein Zehner wird entbündelt; aus \(2\) Einern werden \(12\) Einer und die Zehnerziffer \(7\) wird zu \(6\). Dann gilt \(12 - 8 = 4\). 2. Zehner: \(6 - 3 = 3\). 3. Hunderter: \(5 - 4 = 1\). 4. Tausender: \(4 - 2 = 2\). 5. Zehntausender: \(6 - 1 = 5\). 6. Damit ist \(64\,572 - 12\,438 = 52\,134\). Nur bei den Einern musste entbündelt werden.

\(64\,572 - 12\,438 = 52\,134\). Entbündelt wird nur für die Einerstelle.

- Eine Null bedeutet nicht automatisch, dass du dort entbündeln musst. - Prüfe jede Stelle mit der tatsächlich darunterstehenden Ziffer. - Achte darauf, welche Stelle sich verändert, wenn du einen Tausender entbündelst.

1. Einer: \(5-3=2\). 2. Zehner: \(0-0=0\). 3. Hunderter: \(2<6\), daher wird ein Tausender entbündelt: \(12-6=6\). 4. Tausender: Nach dem Entbündeln bleibt \(0\). 5. Es ergibt sich \(1205-603=602\). Nur an der Hunderterstelle musste entbündelt werden.

\(602\); genau eine Entbündelung an der Hunderterstelle.

- Arbeite zunächst von rechts bis zu der Stelle, an der die obere Zahl an einer Stelle zu klein ist. - Überlege, aus welcher nächsthöheren Stelle du eine Einheit entbündelst. - Beschreibe die veränderten Mengen an beiden betroffenen Stellenwerten, nicht nur einzelne Ziffern.

1. Einer: \(2-1=1\). 2. Zehner: \(3-1=2\). 3. Hunderter: \(4<6\). Ein Tausender wird entbündelt. Dadurch werden aus \(4\) Hundertern \(14\) Hunderter, während bei den Tausendern statt \(5\) nur noch \(4\) Tausender bleiben. 4. \(14-6=8\) und \(4-2=2\). 5. Ergebnis: \(5432-2611=2821\).

\(2821\). Bei den Hundertern stehen nach dem Entbündeln \(14\) Hunderter statt \(4\); bei den Tausendern bleiben \(4\) Tausender statt \(5\).

- Vergleiche zuerst nur die Einerziffern der beiden Aufgaben. - Prüfe danach, ob sich eine Entbündelung auf die nächste Stelle auswirkt. - Suche den kleinsten Unterschied zwischen den beiden Aufgaben, der das Verfahren verändert.

1. a) \(685-243=442\). In jeder Spalte reicht die obere Ziffer aus. 2. b) \(685-247=438\). An der Einerstelle gilt \(5<7\); dort wird ein Zehner entbündelt. Danach sind keine weiteren Entbündelungen nötig. 3. Die Änderung des Subtrahenden von \(243\) auf \(247\) erzeugt genau die zusätzliche Entbündelung an der Einerstelle.

a) \(442\); keine Entbündelung. b) \(438\); eine Entbündelung an der Einerstelle.

- Beginne bei den Einern, auch wenn das Sternchen in einer anderen Spalte steht. - Berücksichtige die Veränderung der Zehnerstelle nach einer Entbündelung. - Nutze dann die Ergebnisziffer der Zehnerspalte.

1. Einer: \(3<8\), daher wird ein Zehner entbündelt. Es gilt \(13-8=5\). 2. Zehner: Nach dem Entbündeln gilt \(5-4=1\). Das Sternchen steht daher für \(1\). 3. Hunderter: \(7-2=5\). 4. Vollständig gilt \(763-248=515\). Die einzige Entbündelung erfolgt an der Einerstelle.

Das Sternchen ist \(1\). Vollständig: \(763-248=515\); Entbündelung an der Einerstelle.

- Beginne beim schriftlichen Abziehen an der Einerstelle. - Vergleiche dort zuerst die beiden Ziffern, bevor du rechnest. - Prüfe anschließend, ob an einer weiteren Stelle noch entbündelt werden muss.

1. Schreibe \(4632-1215\) stellenrichtig untereinander. 2. An der Einerstelle gilt \(2<5\); deshalb wird aus einem Zehner entbündelt. Weitere Entbündelungen sind nicht nötig. 3. Mit dem Abziehverfahren ergibt sich \(4632-1215=3417\).

Es bleiben \(3417\) Lesezeichen. Entbündelt wird an der Einerstelle.

- Schreibe die Zahlen stellengerecht untereinander, sodass Einer unter Einern und Zehner unter Zehnern stehen. - Vergiss nicht zu entbündeln, wenn die untere Ziffer größer ist als die obere. - Achte besonders auf die Stellen mit der Ziffer 0 beim Entbündeln.

1. Berechnung von a): Subtraktion der Stellen von rechts nach links mit Entbündelungen ergibt \(92\,405 - 34\,186 = 58\,219\). 2. Berechnung von b): Subtraktion der Stellen von rechts nach links mit mehrfachen Entbündelungen über Nullen hinweg ergibt \(105\,000 - 12\,345 = 92\,655\). 3. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(92\,405 - 34\,186\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender; \(105\,000 - 12\,345\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender.

a) \(58\,219\) b) \(92\,655\) Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(92\,405 - 34\,186\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender; \(105\,000 - 12\,345\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender.

- Führe zuerst beide Subtraktionen einzeln durch. - Vergleiche die beiden Ergebnisse Stelle für Stelle, beginnend bei der größten Stelle. - Um den Unterschied zu finden, subtrahiere das kleinere Ergebnis vom größeren.

1. Schriftliche Subtraktion für Ausdruck 1: \(76\,543 - 28\,190 = 48\,353\). 2. Schriftliche Subtraktion für Ausdruck 2: \(82\,100 - 33\,750 = 48\,350\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(48\,353\) ist größer als \(48\,350\). 4. Berechnung des Unterschieds: \(48\,353 - 48\,350 = 3\). 5. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(76\,543 - 28\,190\): Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender; \(82\,100 - 33\,750\): Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

Ausdruck 1 hat mit \(48\,353\) das größere Ergebnis. Der Unterschied beträgt \(3\). Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(76\,543 - 28\,190\): Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender; \(82\,100 - 33\,750\): Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

- Löse die Aufgabe in zwei getrennten Schritten. - Das Ergebnis der ersten Rechnung ist der Startwert (Minuend) für die zweite Rechnung. - Achte auf die korrekte Platzierung der Ziffern bei der sechsstelligen Zahl.

1. Erste schriftliche Subtraktion: \(120\,450 - 34\,567 = 85\,883\). 2. Zweite schriftliche Subtraktion unter Verwendung des ersten Ergebnisses: \(85\,883 - 18\,902 = 66\,981\). 3. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(120\,450 - 34\,567\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender; \(85\,883 - 18\,902\): Hunderter, Tausender, Zehntausender.

Das Endergebnis lautet \(66\,981\). Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(120\,450 - 34\,567\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender; \(85\,883 - 18\,902\): Hunderter, Tausender, Zehntausender.

- Vergleiche die ersten drei Minuenden miteinander. - Setze zuerst nur diese Zahlenfolge fort. - Berechne danach die beiden neuen Differenzen und prüfe, ob auch die Ergebnisfolge zur Regel passt.

1. Die Minuenden werden jeweils um \(111\,111\) kleiner. 2. Daher lauten die nächsten Minuenden \(654\,654\) und \(543\,543\). 3. Die fünf Differenzen sind \(543\,543\), \(432\,432\), \(321\,321\), \(210\,210\) und \(99\,099\).

1. \(543\,543\) 2. \(432\,432\) 3. \(321\,321\) 4. \(654\,654 - 444\,444 = 210\,210\) 5. \(543\,543 - 444\,444 = 99\,099\)

- Gehe Schritt für Schritt vor: Erst die normale Subtraktion, dann die Zahlen verändern. - „Verringern“ bedeutet Minusrechnen, „vergrößern“ bedeutet Plusrechnen. - Überlege, wie beide Änderungen gemeinsam den Unterschied der Ergebnisse beeinflussen.

1. Berechnung Teil a: \(555\,555 - 123\,456 = 432\,099\). 2. Bestimmung der neuen Zahlen für Teil b: Neuer Minuend: \(555\,555 - 1111 = 554\,444\). Neuer Subtrahend: \(123\,456 + 1111 = 124\,567\). Die neue Aufgabe lautet \(554\,444 - 124\,567\). 3. Berechnung Teil c: \(554\,444 - 124\,567 = 429\,877\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(432\,099 - 429\,877 = 2222\). Das neue Ergebnis ist um \(2222\) kleiner.

a) \(432\,099\) b) \(554\,444 - 124\,567\) c) Das neue Ergebnis ist \(429\,877\). Es ist um \(2222\) kleiner als das erste Ergebnis.

- Rechne zuerst beide Aufgaben einzeln aus. - Beim Subtrahieren von einer Zahl mit vielen Nullen musst du besonders sorgfältig beim Entbündeln vorgehen. - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse miteinander: Welche Zahl ist größer?

1. Berechnung von Rechnung A (\(9000 - 4567\)): Bei der Subtraktion muss über mehrere Stellen hinweg entbündelt werden. Einer: \(10 - 7 = 3\). Zehner: \(9 - 6 = 3\). Hunderter: \(9 - 5 = 4\). Tausender: \(8 - 4 = 4\). Das Ergebnis ist \(4433\). 2. Berechnung von Rechnung B (\(8000 - 3456\)): Einer: \(10 - 6 = 4\). Zehner: \(9 - 5 = 4\). Hunderter: \(9 - 4 = 5\). Tausender: \(7 - 3 = 4\). Das Ergebnis ist \(4544\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(4544 > 4433\), hat Rechnung B das größere Ergebnis. 4. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(9000 - 4567\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender; \(8000 - 3456\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender.

Rechnung B hat das größere Ergebnis (\(4544 > 4433\)). Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(9000 - 4567\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender; \(8000 - 3456\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender.

- Kannst du die Zahlen stellengerecht untereinander schreiben? - Denk an die notwendigen Entbündelungen, wenn die obere Ziffer kleiner ist als die untere. - Wie gehst du vor, wenn an einer Stelle eine Null steht? - Rechne von rechts nach links, beginnend bei den Einern.

1. Da an der Einerstelle \(3 < 5\) gilt, wird zunächst ein Hunderter in zehn Zehner und anschließend ein Zehner in zehn Einer entbündelt. Einerstelle: \(13 - 5 = 8\). 2. Zehnerstelle: \(9 - 1 = 8\). 3. Da an der Hunderterstelle \(4 < 7\) gilt, wird ein Tausender entbündelt: \(14 - 7 = 7\). 4. Da an der Tausenderstelle \(1 < 6\) gilt, wird ein Zehntausender entbündelt: \(11 - 6 = 5\). 5. Zehntausenderstelle: \(7 - 4 = 3\). Das Endergebnis lautet \(35\,788\). 6. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(82\,503 - 46\,715\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

\(35\,788\) Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(82\,503 - 46\,715\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

- Rechne zuerst alle drei Subtraktionen schriftlich aus. - Vergleiche dann, wie weit jedes Ergebnis von der Zielzahl entfernt ist. - Achte besonders auf die Entbündelungen bei den vielen Nullen in Aufgabe B.

1. Aufgabe A: \(450\,023 - 187\,654 = 262\,369\). 2. Aufgabe B: \(600\,000 - 337\,631 = 262\,369\). 3. Aufgabe C: \(512\,340 - 249\,973 = 262\,367\). 4. Die Abstände zu \(260\,000\) sind bei A und B jeweils \(2369\), bei C \(2367\). 5. Damit liegt Ergebnis C am nächsten an \(260\,000\). 6. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(450\,023 - 187\,654\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender; \(600\,000 - 337\,631\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender; \(512\,340 - 249\,973\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender.

Aufgabe A: \(262\,369\) Aufgabe B: \(262\,369\) Aufgabe C: \(262\,367\) Das Ergebnis von Aufgabe C liegt am nächsten an \(260\,000\). Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(450\,023 - 187\,654\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender; \(600\,000 - 337\,631\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender; \(512\,340 - 249\,973\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender.

- Hast du bei jeder Aufgabe sorgfältig auf die Entbündelungen geachtet? - Schreibe die Zahlen genau untereinander, damit du dich nicht in den Stellen vertauschst. - Was passiert, wenn du von einer Null abziehen musst? - Vergleiche deine Endergebnisse am Ende ganz genau Ziffer für Ziffer.

1. Berechnung der ersten Differenz: \(512\,403 - 234\,567 = 277\,836\). 2. Berechnung der zweiten Differenz: \(800\,000 - 522\,164 = 277\,836\). 3. Berechnung der dritten Differenz: \(401\,020 - 123\,184 = 277\,836\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Alle drei Rechnungen ergeben denselben Wert. 5. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(512\,403 - 234\,567\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender; \(800\,000 - 522\,164\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender; \(401\,020 - 123\,184\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender.

Alle drei Ergebnisse sind gleich. Sie lauten jeweils \(277\,836\). Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(512\,403 - 234\,567\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender; \(800\,000 - 522\,164\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender; \(401\,020 - 123\,184\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender.

- Bei \(1000\) musst du für die Einer über mehrere Nullstellen hinweg entbündeln. - Verfolge dabei, wie aus dem Tausender Hunderter, Zehner und schließlich Einer werden. - Prüfe deine vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Für die Einerstelle muss über die Nullen hinweg entbündelt werden. Dadurch stehen bei den Einern \(10\) Einer zur Verfügung: \(10 - * = 7\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). 2. Nach dem Entbündeln stehen bei den Zehnern \(9\) Zehner zur Verfügung. Es gilt \(9 - 4 = 5\). 3. Bei den Hundertern gilt \(9 - * = 6\), also ist die zweite fehlende Ziffer \(3\). 4. Die Rechnung lautet \(1000 - 343 = 657\).

Die fehlenden Ziffern sind \(3\) und \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(1000 - 343 = 657\).

- Betrachte zuerst nur die Addition der beiden Subtrahenden. - Welche gleiche Ziffer muss in der Zehnerspalte zweimal vorkommen, damit dort \(6\) entsteht? - Prüfe anschließend, ob die Summe der beiden Subtrahenden beim Abziehen von \(999\) wirklich \(631\) ergibt.

1. Zuerst werden die beiden Subtrahenden addiert. Aus der Zehnerspalte der ersten Rechnung folgt \(* + * = 6\). Da beide Sternchen dieselbe Ziffer bedeuten, ist die gesuchte Ziffer \(3\). Damit gilt \(133 + 235 = 368\). 2. Anschließend wird die Summe der Subtrahenden vom Minuenden abgezogen: \(999 - 368 = 631\). 3. Damit lautet die ursprüngliche Rechnung \(999 - 133 - 235 = 631\).

Die gesuchte Ziffer ist \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(999 - 133 - 235 = 631\).

- Prüfe in jeder Spalte zuerst, ob die obere Ziffer groß genug zum Abziehen ist. - Wenn du entbündelst, vermindert sich die nächsthöhere Stelle um \(1\). - Kontrolliere die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(2 - 7\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(12 - 7 = 5\); dadurch wird die Zehnerziffer des Minuenden von \(4\) auf \(3\) vermindert. 2. Zehnerstelle: \(3 - * = 2\), also ist die fehlende Ziffer \(1\). 3. Hunderterstelle: Die obere Ziffer muss nach dem Entbündeln \(13\) ergeben, denn \(13 - 5 = 8\). Daher war die fehlende Hunderterziffer \(3\); die Tausenderziffer des Minuenden wird von \(8\) auf \(7\) vermindert. 4. Tausenderstelle: \(7 - * = 4\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(8342 - 3517 = 4825\).

\(8342 - 3517 = 4825\). Eine passende Entbündelungsbegründung muss eine der vier fehlenden Ziffern aus der veränderten oberen Stelle herleiten.

- Arbeite beim Abziehverfahren von den Einern nach links und notiere jede Stelle, die durch Entbündeln um \(1\) kleiner wird. - Wenn oben nach einem Entbündeln eine \(0\) steht, kann in der nächsten Spalte erneut Entbündeln nötig sein. - Prüfe am Ende die vollständige Subtraktion mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(2 - 5\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(12 - 5 = 7\). Damit ist die fehlende Einerziffer des Subtrahenden \(5\); die Zehnerziffer des Minuenden wird von \(1\) auf \(0\) vermindert. 2. Zehnerstelle: \(0 - 5\) ist nicht möglich. Aus der Hunderterstelle wird entbündelt, sodass \(10 - 5 = 5\). Damit ist die fehlende Zehnerziffer im Ergebnis \(5\); die Hunderterziffer des Minuenden wird von \(4\) auf \(3\) vermindert. 3. Hunderterstelle: \(3 - *\) reicht für die Ergebnisziffer \(6\) nicht aus. Nach dem Entbündeln aus der Tausenderstelle gilt \(13 - * = 6\), also ist die fehlende Ziffer des Subtrahenden \(7\). 4. Tausenderstelle: Nach dem Entbündeln gilt \(6 - 3 = 3\). Damit ist die fehlende Tausenderziffer im Ergebnis \(3\). 5. Die vollständige Rechnung lautet \(7412 - 3755 = 3657\).

\(7412 - 3755 = 3657\)

- Verändere beim Entbündeln immer auch die Stelle, aus der das Bündel stammt. - Prüfe nach jeder Spalte erneut, welche Ziffer oben nun tatsächlich zur Verfügung steht. - Nenne am Ende die Stellenwerte, an denen du entbündelt hast.

1. Einer: \(4 < 9\); nach dem Entbündeln aus den Zehnern gilt \(14 - 9 = 5\). 2. Zehner: Nach der Abgabe stehen \(6\) Zehner zur Verfügung; \(6 - 5 = 1\). 3. Hunderter: \(0 < 8\); ein Tausender wird entbündelt, sodass \(10 - 8 = 2\) gerechnet werden kann. 4. Tausender: Nach der vorherigen Abgabe steht dort \(0\); da \(0 < 2\), wird aus den Zehntausendern entbündelt und \(10 - 2 = 8\) gerechnet. 5. Zehntausender: \(7 - 3 = 4\). Damit ist \(81\,074 - 32\,859 = 48\,215\).

\(48\,215\). Entbündeln ist an der Einer-, Hunderter- und Tausenderstelle nötig.

- Gehe bei jeder Rechnung von rechts nach links durch die Stellen des Abziehverfahrens. - Beachte, dass Entbündeln die Ziffer der nächsthöheren Stelle verändert. - Wenn eine gesuchte Ziffer im Subtrahenden steht, kannst du aus oberer Ziffer und Ergebnisziffer bestimmen, was abgezogen worden sein muss.

1. In a) ergibt die Einerstelle \(2 - 4\) nach dem Entbündeln \(12 - 4 = 8\). Die Zehnerstelle des Minuenden wird dadurch von \(8\) auf \(7\). Aus \(7 - 3 = 4\), \(5 - * = 3\) und \(4 - 1 = 3\) folgt die fehlende Ziffer \(2\). Die vollständige Rechnung ist \(4582 - 1234 = 3348\). 2. In b) wird der fehlende Subtrahend durch die Spalten des Abziehverfahrens bestimmt. Die vollständige Rechnung lautet \(12\,043 - 2567 = 9476\); damit ist die fehlende Tausenderziffer \(2\). 3. In c) ist die Einerstelle bereits vollständig: \(5 - 0 = 5\). Das Sternchen steht an der Zehnerstelle. Dort gilt \(* - 1 = 4\), also ist die fehlende Zehnerziffer des Minuenden \(5\). Die vollständige Rechnung lautet \(87\,655 - 23\,410 = 64\,245\).

a) \(4582 - 1234 = 3348\); fehlende Ziffer: \(2\) b) \(12\,043 - 2567 = 9476\); fehlende Ziffer: \(2\) c) \(87\,655 - 23\,410 = 64\,245\); fehlende Ziffer: \(5\)

- Gehe von rechts nach links und notiere nach jedem Entbündeln die neue obere Ziffer. - Wenn die obere Ziffer kleiner als die untere ist, musst du aus der nächsthöheren Stelle entbündeln. - Kontrolliere die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(* - 7\) ist nicht direkt möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(13 - 7 = 6\), also ist die fehlende Einerziffer des Minuenden \(3\); die Zehnerziffer wird von \(2\) auf \(1\) vermindert. 2. Zehnerstelle: \(1 - *\) ist für die Ergebnisziffer \(5\) zu klein. Nach dem Entbündeln aus der Hunderterstelle gilt \(11 - * = 5\), also ist die fehlende Zehnerziffer des Subtrahenden \(6\). 3. Hunderterstelle: Die obere Ziffer ist nach dem Entbündeln \(0\). Für \(0 - 6\) wird aus der Tausenderstelle entbündelt: \(10 - 6 = 4\). Damit war die fehlende ursprüngliche Hunderterziffer des Minuenden \(1\). 4. Tausenderstelle: Die \(5\) wurde auf \(4\) vermindert. Es gilt \(4 - * = 2\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(2\). 5. Die vollständige Rechnung lautet \(5123 - 2667 = 2456\).

\(5123 - 2667 = 2456\)

- Beginne bei den Einern; dort lässt sich eine fehlende Ziffer direkt bestimmen. - Verfolge danach jede Entbündelung und notiere, welche obere Ziffer dadurch kleiner wird. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(* - 3 = 2\), also ist die fehlende Einerziffer des Minuenden \(5\). 2. Zehnerstelle: \(1 - *\) reicht für die Ergebnisziffer \(9\) nicht aus. Nach dem Entbündeln gilt \(11 - * = 9\), also ist die fehlende Zehnerziffer des Subtrahenden \(2\); die Hunderterziffer des Minuenden wird von \(1\) auf \(0\) vermindert. 3. Hunderterstelle: \(0 - 2\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln aus der Tausenderstelle gilt \(10 - 2 = 8\). Damit war die fehlende ursprüngliche Hunderterziffer des Minuenden \(1\). 4. Tausenderstelle: Die \(6\) wurde auf \(5\) vermindert. Es gilt \(5 - * = 3\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(2\). 5. Die vollständige Rechnung lautet \(6115 - 2223 = 3892\).

\(6115 - 2223 = 3892\)

- Beginne bei den Einern. - Nach jedem Entbündeln verändert sich auch die nächsthöhere Stelle. - Nenne am Ende die Stellenwerte, an denen ein Bündel aufgelöst wurde.

1. Einer: \(5 < 7\); nach Entbündeln gilt \(15 - 7 = 8\). 2. Zehner: Nach der Abgabe bleibt \(1\) Zehner; da \(1 < 4\), wird ein Hunderter entbündelt und \(11 - 4 = 7\) gerechnet. 3. Hunderter: Danach stehen \(5\) Hunderter zur Verfügung; da \(5 < 8\), wird ein Tausender entbündelt und \(15 - 8 = 7\) gerechnet. 4. Tausender: \(6 - 3 = 3\). Ergebnis: \(3778\).

\(7625 - 3847 = 3778\). Entbündeln ist bei Einern, Zehnern und Hundertern nötig.

- Die Einerziffer \(1\) reicht nicht für die Subtraktion von \(8\). - Suche links die nächste Stelle mit einem vorhandenen Bündel. - Führe die Entbündelung Schritt für Schritt durch, statt Stellen zu überspringen.

1. Für die Einer muss aus der Tausenderstelle über Hunderter und Zehner bis zu den Einern entbündelt werden. 2. Danach stehen \(4\) Tausender, \(9\) Hunderter, \(9\) Zehner und \(11\) Einer zur Verfügung. 3. Von rechts nach links: \(11-8=3\), \(9-9=0\), \(9-1=8\), \(4-2=2\). 4. Ergebnis: \(2803\).

\(5001-2198=2803\). Die Entbündelungskette läuft von den Tausendern über Hunderter und Zehner zu den Einern.

- Verfolge die Entbündelung von der Tausenderstelle bis zu den Einern durch beide Nullstellen hindurch. - Nach dem Weitergeben bleiben in den mittleren Stellen jeweils \(9\) Einheiten des betreffenden Stellenwerts zurück. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Für die Einerstelle muss über die beiden Nullstellen hinweg aus der Tausenderstelle entbündelt werden. Die \(9\) wird dadurch zu \(8\), die Hunderterstelle wird nach dem Weitergeben zu \(9\), die Zehnerstelle ebenfalls zu \(9\), und bei den Einern stehen \(10\) Einer zur Verfügung. 2. Einerstelle: \(10 - 4 = 6\). 3. Zehnerstelle: \(9 - 3 = 6\). Damit ist die fehlende Ergebnisziffer \(6\). 4. Hunderterstelle: \(9 - 2 = 7\). Die fehlende ursprüngliche Hunderterziffer des Minuenden ist \(0\). 5. Tausenderstelle: \(8 - 1 = 7\). Die vollständige Rechnung lautet \(9000 - 1234 = 7766\).

\(9000 - 1234 = 7766\)

- Richte den vierstelligen Subtrahenden rechtsbündig aus. - Führe das Entbündeln im Abziehverfahren von rechts nach links aus. - Die Probe besteht aus Differenz plus Subtrahend.

1. Die Zahlen werden rechtsbündig ausgerichtet: \(54\,231-07\,796\). 2. Einer: \(1<6\); nach Entbündeln gilt \(11-6=5\). Zehner: Danach stehen \(2\) Zehner zur Verfügung; nach Entbündeln aus den Hundertern gilt \(12-9=3\). 3. Hunderter: Danach steht \(1\) Hunderter zur Verfügung; nach Entbündeln aus den Tausendern gilt \(11-7=4\). Tausender: Danach stehen \(3\) Tausender zur Verfügung; nach Entbündeln aus den Zehntausendern gilt \(13-7=6\). Zehntausender: \(4-0=4\). 4. Damit gilt \(54\,231-7796=46\,435\). Probe: \(46\,435+7796=54\,231\). 5. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(54\,231 - 7796\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

\(46\,435\). Probe: \(46\,435+7796=54\,231\). Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(54\,231 - 7796\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

- Verfolge die Entbündelung von der Zehntausenderstelle bis zu den Einern durch alle vier Nullstellen. - Nach dem Weitergeben bleiben in den mittleren Stellen jeweils \(9\) Einheiten des betreffenden Stellenwerts zurück. - Nutze die bekannten Ergebnisziffern, um die fehlenden Ziffern im Subtrahenden zu bestimmen.

1. Für die Einerstelle muss über alle Nullstellen hinweg aus der Zehntausenderstelle entbündelt werden. Die führende Ziffer ist daher \(8\); sie wird beim Entbündeln zu \(7\). 2. Einerstelle: \(10 - 5 = 5\). 3. Zehnerstelle: Nach der Entbündelung stehen \(9\) Zehner zur Verfügung. Es gilt \(9 - * = 6\), also ist die fehlende Zehnerziffer des Subtrahenden \(3\). 4. Hunderterstelle: \(9 - 3 = 6\). Damit ist die fehlende Hunderterziffer im Ergebnis \(6\). 5. Tausenderstelle: \(9 - * = 2\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(7\). 6. Zehntausenderstelle: Nach dem Entbündeln gilt \(7 - 1 = 6\). Die vollständige Rechnung lautet \(80\,000 - 17\,335 = 62\,665\).

\(80\,000 - 17\,335 = 62\,665\)

- Führe zuerst die schriftliche Subtraktion aus. - Nutze danach gerundete Hunderterwerte für eine Größenordnungskontrolle. - Vergleiche die Differenz mit \(10\,000\).

1. Einer: \(5<6\); nach Entbündeln gilt \(15-6=9\). 2. Zehner: Danach stehen \(3\) Zehner zur Verfügung; nach Entbündeln aus den Hundertern gilt \(13-4=9\). 3. Hunderter: Danach stehen \(2\) Hunderter zur Verfügung; nach Entbündeln aus den Tausendern gilt \(12-4=8\). Tausender: \(1<2\); nach Entbündeln aus den Zehntausendern gilt \(11-2=9\). Das Ergebnis ist \(9899\). 4. Ein Überschlag mit \(12\,300-2400\approx9900\) erklärt die Lage knapp unter \(10\,000\). 5. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(12\,345 - 2446\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

\(9899\). Der Überschlag um \(9900\) erklärt die Lage knapp unter \(10\,000\). Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(12\,345 - 2446\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

- Eine Null kann nicht direkt einen kleineren Stellenwert abgeben; suche die nächste höhere Stelle mit einem verfügbaren Bündel. - Entbündele immer nur in die unmittelbar nächste kleinere Stelle. - Notiere nach jedem Entbündelungsschritt, wie viele Bündel an der betroffenen Stelle verbleiben.

1. Für die Einer von \(60\,004 - 27\,856\) muss über mehrere Stellen entbündelt werden. Ein Zehntausender wird zu \(10\) Tausendern; daraus wird ein Tausender zu \(10\) Hundertern, daraus ein Hunderter zu \(10\) Zehnern und daraus ein Zehner zu \(10\) Einern. 2. Danach stehen \(5\) Zehntausender, \(9\) Tausender, \(9\) Hunderter, \(9\) Zehner und \(14\) Einer zur Verfügung. 3. Einer: \(14 - 6 = 8\). 4. Zehner: \(9 - 5 = 4\). Hunderter: \(9 - 8 = 1\). Tausender: \(9 - 7 = 2\). Zehntausender: \(5 - 2 = 3\). 5. Das Ergebnis ist \(32\,148\).

\(60\,004 - 27\,856 = 32\,148\). Das Entbündeln läuft vom Zehntausender schrittweise über Tausender, Hunderter und Zehner bis zu den Einern.

- Nach jedem Entbündeln musst du die veränderte Ziffer der nächsten Stelle weiterverwenden. - Ein späteres Entbündeln kann erneut nötig werden, auch wenn die dazwischenliegende Stelle ohne Entbündeln funktioniert. - Nenne am Ende jede Stelle, an der du tatsächlich entbündelt hast.

1. Einer: \(1 - 8\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(11 - 8 = 3\); die Zehnerziffer \(4\) wird zu \(3\). 2. Zehner: \(3 - 5\) ist nicht möglich. Nach erneutem Entbündeln gilt \(13 - 5 = 8\); die Hunderterziffer \(6\) wird zu \(5\). 3. Hunderter: \(5 - 3 = 2\). 4. Tausender: \(5 - 7\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(15 - 7 = 8\); die Zehntausenderziffer \(8\) wird zu \(7\). 5. Zehntausender: \(7 - 2 = 5\). 6. Damit ist \(85\,641 - 27\,358 = 58\,283\).

\(85\,641 - 27\,358 = 58\,283\). Entbündeln ist an der Einer-, Zehner- und Tausenderstelle nötig.

- Beginne bei den Einern und frage, von welcher höheren Stelle überhaupt entbündelt werden kann. - Wenn zwischen dieser Stelle und den Einern Nullen liegen, muss die Entbündelung schrittweise durch alle Zwischenstellen weitergegeben werden. - Notiere vor dem Abziehen die dadurch veränderten Ziffern der oberen Zahl.

1. Für die Einerstelle muss durch alle fünf Nullen hindurch entbündelt werden. Aus \(600\,000\) werden für die Stellenrechnung \(5\) Hunderttausender, \(9\) Zehntausender, \(9\) Tausender, \(9\) Hunderter, \(9\) Zehner und \(10\) Einer. 2. Einer: \(10 - 6 = 4\). 3. Zehner: \(9 - 5 = 4\). 4. Hunderter: \(9 - 4 = 5\). 5. Tausender: \(9 - 8 = 1\). 6. Zehntausender: \(9 - 7 = 2\). 7. Hunderttausender: \(5 - 2 = 3\). 8. Damit ist \(600\,000 - 278\,456 = 321\,544\). 9. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(600\,000 - 278\,456\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender.

\(600\,000 - 278\,456 = 321\,544\). Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(600\,000 - 278\,456\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender.

- Behandle die beiden schriftlichen Subtraktionen zunächst unabhängig voneinander. - Verfolge bei jeder Aufgabe die veränderten Ziffern nach dem Entbündeln. - Vergleiche erst die fertigen Differenzen und bestimme danach ihren Abstand.

1. Bei \(92\,405 - 37\,218\) wird zunächst über die Null in der Zehnerstelle entbündelt. Die Spalten ergeben von rechts nach links die Ziffern \(7, 8, 1, 5, 5\). Damit ist die erste Differenz \(55\,187\). 2. Bei \(81\,630 - 24\,975\) sind mehrere Entbündelungen nötig. Die Spalten ergeben von rechts nach links die Ziffern \(5, 5, 6, 6, 5\). Damit ist die zweite Differenz \(56\,655\). 3. \(56\,655 - 55\,187 = 1468\). Die zweite Differenz ist also um \(1468\) größer. 4. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(92\,405 - 37\,218\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender; \(81\,630 - 24\,975\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

a) \(92\,405 - 37\,218 = 55\,187\) b) \(81\,630 - 24\,975 = 56\,655\) Die zweite Differenz ist um \(1468\) größer. Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(92\,405 - 37\,218\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender; \(81\,630 - 24\,975\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

- Verfolge beim Abziehverfahren besonders die Null in der Zehnerstelle. - Für die Probe addierst du Differenz und Subtrahend. - Die Probe ist gelungen, wenn du wieder die ursprüngliche obere Zahl erhältst.

1. Einer: \(4 - 7\) erfordert Entbündeln. Nach der Entbündelung gilt \(14 - 7 = 7\); wegen der Null in der Zehnerstelle muss zuvor aus der Hunderterstelle weiterentbündelt werden. 2. Danach gilt bei den Zehnern \(9 - 5 = 4\), bei den Hundertern \(1 - 9\) nach erneutem Entbündeln \(11 - 9 = 2\), bei den Tausendern nach Entbündeln \(12 - 8 = 4\) und bei den Zehntausendern \(6 - 1 = 5\). 3. Damit ist \(73\,204 - 18\,957 = 54\,247\). 4. Probe: \(54\,247 + 18\,957 = 73\,204\). Die Addition führt zum Minuenden zurück. 5. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(73\,204 - 18\,957\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

\(73\,204 - 18\,957 = 54\,247\). Probe: \(54\,247 + 18\,957 = 73\,204\). Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(73\,204 - 18\,957\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

- Beginne bei den Einern und prüfe, ob dort direkt entbündelt werden kann. - Wenn die benachbarte Stelle \(0\) ist, musst du nach links weitergehen, bis eine Stelle etwas abgeben kann. - Verfolge anschließend sorgfältig, wie sich jede durchlaufene Stelle verändert.

1. Bei den Einern ist \(4 < 6\). Die Zehnerstelle ist \(0\), ebenso die Hunderter- und Tausenderstelle. Deshalb muss von der Zehntausenderstelle aus schrittweise entbündelt werden. 2. Aus \(5\) Zehntausendern werden \(4\) Zehntausender und \(10\) Tausender. Ein Tausender wird weiter entbündelt, danach ein Hunderter und schließlich ein Zehner. So stehen für die Einer \(14\) Einer zur Verfügung; die dazwischenliegenden Stellen werden jeweils entsprechend vermindert. 3. Die stellenweise Subtraktion ergibt \(50\,004 - 18\,726 = 31\,278\).

Es bleiben \(31\,278\) Eintrittsbänder. Mehrere Stellen werden verändert, weil die benötigte Entbündelung erst von der Zehntausenderstelle über die drei Nullstellen bis zu den Einern weitergegeben werden muss.

- Beginne bei den Einern und notiere jedes Mal, wenn du eine Einheit der nächsthöheren Stelle in zehn Einheiten der aktuellen Stelle zerlegst. - Eine \(0\) kann nicht unmittelbar ein Bündel an die nächste kleinere Stelle abgeben. - Vergleiche am Ende die Zahl der tatsächlich ausgeführten Entbündelungen, nicht nur die Zahl der Spalten mit einer kleinen oberen Ziffer.

1. a) \(68\,241-27\,583=40\,658\). Es wird dreimal entbündelt: ein Zehner zu Einern, ein Hunderter zu Zehnern und ein Tausender zu Hundertern. 2. b) \(85\,025-45\,378=39\,647\). Zuerst wird ein Zehner zu Einern entbündelt. Für die Zehner muss wegen der \(0\) an der Hunderterstelle zusätzlich ein Tausender in Hunderter und anschließend ein Hunderter in Zehner entbündelt werden. Später muss außerdem ein Zehntausender in Tausender entbündelt werden. 3. Damit sind in b) vier Entbündelungen nötig, in a) drei. Die zusätzliche Entbündelung in b) entsteht insbesondere dadurch, dass die Hunderterstelle des Minuenden \(0\) ist und nicht unmittelbar ein Hunderterbündel an die Zehnerstelle abgeben kann.

a) \(40\,658\); drei Entbündelungen. b) \(39\,647\); vier Entbündelungen. In b) sind mehr Entbündelungen nötig, weil die \(0\) an der Hunderterstelle einen zusätzlichen Zwischenschritt beim Entbündeln erzwingt.

- Arbeite beim Abziehverfahren von rechts nach links und entbündele, wenn die obere Ziffer für die Subtraktion nicht ausreicht. - Wenn über eine Null hinweg entbündelt werden muss, verändert sich mehr als eine Stelle des Minuenden. - Prüfe jede gefundene Ziffer in der vollständigen Spalte, bevor du zur nächsten Stelle gehst. - Am Ende kannst du mit der Umkehraufgabe aus Differenz plus Subtrahend kontrollieren.

1. In a) muss bei den Einern entbündelt werden: \(13 - 7 = 6\). Die Zehnerziffer des Minuenden wird dadurch von \(8\) zu \(7\). 2. In der Zehnerspalte gilt \(7 - 1 = 6\). In der Hunderterspalte muss \(4 - * = 0\) gelten, also ist die fehlende Ziffer \(4\). 3. In der Tausenderspalte gilt \(* - 1 = 8\), also ist die fehlende Ziffer \(9\). In der Zehntausenderspalte gilt \(4 - * = 1\), also ist die fehlende Ziffer \(3\). Damit lautet a) \(49\,483 - 31\,417 = 18\,066\). 4. In b) muss für die Einerstelle über die Null in der Zehnerstelle entbündelt werden. Aus einem Hunderter werden zehn Zehner; einer dieser Zehner wird zu zehn Einern. Dadurch gilt bei den Einern \(16 - 7 = 9\) und bei den Zehnern \(9 - 8 = 1\). 5. Die Hunderterziffer des Minuenden ist nach dem Entbündeln \(6\). Daher gilt \(6 - * = 4\), also ist die fehlende Ziffer \(2\). 6. In der Tausenderspalte gilt \(* - 4 = 3\), also ist die fehlende Ziffer \(7\). In der Zehntausenderspalte gilt \(8 - * = 7\), also ist die fehlende Ziffer \(1\). Damit lautet b) \(87\,706 - 14\,287 = 73\,419\).

a) \(49\,483 - 31\,417 = 18\,066\) b) \(87\,706 - 14\,287 = 73\,419\)

- Beginne bei den Einern und berücksichtige, dass ein Entbündeln die nächsthöhere Stelle verändert. - Behandle die fehlende Zehnerziffer zunächst als unbekannt und frage, ob die sichtbare Ergebnisziffer ohne ein weiteres Entbündeln überhaupt möglich wäre. - Prüfe jede gefundene Ziffer anschließend in der vollständigen Subtraktion.

1. Einerstelle: Die obere Einerziffer ist \(2\). Es muss entbündelt werden, sodass \(12-\square=3\). Die fehlende Einerziffer des Subtrahenden ist daher \(9\). 2. Sei \(t\) die fehlende Zehnerziffer des Minuenden. Durch das Entbündeln für die Einerstelle bleiben dort zunächst \(t-1\) Zehner. Ohne weiteres Entbündeln könnte nach dem Abziehen von \(1\) keine Ergebnisziffer \(9\) entstehen. Deshalb muss aus der Hunderterstelle entbündelt werden; wegen der dortigen \(0\) geschieht dies über die Tausenderstelle. Danach stehen in der Zehnerspalte \(t-1+10\) Zehner zur Verfügung. Aus \((t-1+10)-1=9\) folgt \(t=1\). 3. Nach dem Entbündeln zur Zehnerstelle bleiben \(9\) Hunderter. Es gilt \(9-8=1\), daher ist die fehlende Hunderterziffer im Ergebnis \(1\). 4. Die Tausenderziffer des Minuenden wurde beim Entbündeln von \(5\) auf \(4\) vermindert. Für \(4-\square=7\) muss aus der Zehntausenderstelle entbündelt werden; damit gilt \(14-\square=7\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(7\). 5. In der Zehntausenderstelle bleiben \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(45\,012-7819=37\,193\).

\(45\,012-7819=37\,193\).

- Verfolge jede Entbündelung genau; in dieser Aufgabe zieht sich die Kette durch fast alle Stellen. - Notiere nach jeder Spalte, welche Ziffer der nächsthöheren Stelle für die nächste Rechnung übrig bleibt. - Nutze die bekannten Ergebnisziffern, um die drei Sternchen nacheinander zu bestimmen. - Prüfe deine vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(1 - 8\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(11 - 8 = 3\); die Zehnerstelle des Minuenden wird zu \(0\). 2. Zehnerstelle: Nach dem ersten Entbündeln steht oben \(0\). Es muss aus der Hunderterstelle entbündelt werden: \(10 - 5 = 5\). 3. Hunderterstelle: Die gesuchte ursprüngliche Hunderterziffer des Minuenden wurde durch das vorige Entbündeln um \(1\) vermindert. Damit die Ergebnisziffer \(6\) entsteht, muss nach erneutem Entbündeln \(12 - 6 = 6\) gelten. Die ursprüngliche Hunderterziffer ist daher \(3\). 4. Tausenderstelle: Nach dem Entbündeln steht oben \(2\). Es gilt \(12 - * = 7\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(5\). 5. Zehntausenderstelle: Nach dem vorigen Entbündeln steht oben \(3\). Es gilt \(13 - 5 = 8\), also wird auch hier entbündelt. 6. Hunderttausenderstelle: Danach gilt \(6 - 2 = 4\). Die vollständige Rechnung lautet \(743\,311 - 255\,658 = 487\,653\).

\(743\,311 - 255\,658 = 487\,653\)

- Arbeite beim Abziehverfahren von rechts nach links und notiere nach jedem Entbündeln die veränderte obere Ziffer. - In dieser Aufgabe wirkt jede Entbündelung auf die nächste Spalte; verfolge diese Veränderungen nacheinander. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(3 - 6\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(13 - 6 = 7\); die Zehnerziffer des Minuenden wird von \(1\) auf \(0\) vermindert. 2. Zehnerstelle: \(0 - 4\) ist nicht möglich. Aus der Hunderterstelle wird entbündelt: \(10 - 4 = 6\). Damit ist die fehlende ursprüngliche Zehnerziffer des Minuenden \(1\). 3. Hunderterstelle: Nach dem vorigen Schritt steht oben \(1\). Für \(1 - 3\) wird aus der Tausenderstelle entbündelt: \(11 - 3 = 8\). 4. Tausenderstelle: Nach dem Entbündeln steht oben \(0\). Deshalb wird aus der Zehntausenderstelle entbündelt. Es gilt \(10 - * = 3\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(7\). 5. Zehntausenderstelle: Die \(5\) wurde auf \(4\) vermindert. Es gilt \(4 - 2 = 2\). Die vollständige Rechnung lautet \(51\,213 - 27\,346 = 23\,867\).

\(51\,213 - 27\,346 = 23\,867\). Die Erklärung muss die Entbündelung von den Einern über Zehner und Hunderter bis zur Tausenderstelle nachvollziehbar verfolgen.

- Beginne rechts und verfolge genau, welche obere Ziffer durch Entbündeln um \(1\) kleiner wird. - Eine fehlende Ziffer im Subtrahenden kannst du aus der veränderten oberen Ziffer und der Ergebnisziffer bestimmen. - Kontrolliere am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(7 - 5 = 2\). 2. Zehnerstelle: \(0 - 8\) ist nicht möglich. Aus der Hunderterstelle wird entbündelt, sodass \(10 - 8 = 2\); die Hunderterziffer des Minuenden wird von \(3\) auf \(2\) vermindert. 3. Hunderterstelle: \(2 - *\) reicht für die Ergebnisziffer \(7\) nicht aus. Nach dem Entbündeln aus der Tausenderstelle gilt \(12 - * = 7\), also ist die fehlende Hunderterziffer des Subtrahenden \(5\). 4. Tausenderstelle: Die obere Ziffer ist nach dem Entbündeln \(7\). Daher gilt \(7 - 5 = 2\), sodass die ursprüngliche fehlende Tausenderziffer des Minuenden \(8\) war. 5. Zehntausenderstelle: \(4 - 2 = 2\). Die vollständige Rechnung lautet \(48\,307 - 25\,585 = 22\,722\).

\(48\,307 - 25\,585 = 22\,722\)

- Die Entbündelungskette läuft hier durch mehrere benachbarte Stellen; notiere nach jeder Spalte den neuen oberen Wert. - Nutze die bekannte Ergebnisziffer jeder Spalte, um die fehlende Ziffer eindeutig zu bestimmen. - Prüfe deine vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(5 - 6\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(15 - 6 = 9\); damit ist die fehlende Ergebnisziffer \(9\) und die Zehnerziffer des Minuenden wird von \(4\) auf \(3\) vermindert. 2. Zehnerstelle: \(3 - 6\) ist nicht möglich. Nach dem Entbündeln gilt \(13 - 6 = 7\). Damit war die fehlende ursprüngliche Zehnerziffer des Minuenden \(4\); die Hunderterziffer wird von \(3\) auf \(2\) vermindert. 3. Hunderterstelle: \(2 - *\) ist für die Ergebnisziffer \(4\) zu klein. Nach dem Entbündeln gilt \(12 - * = 4\), also ist die fehlende Hunderterziffer des Subtrahenden \(8\). 4. Tausenderstelle: Nach dem vorigen Entbündeln steht oben \(1\). Deshalb gilt nach erneutem Entbündeln \(11 - 5 = 6\). 5. Zehntausenderstelle: Die \(9\) wurde auf \(8\) vermindert. Es gilt \(8 - 4 = 4\). Die vollständige Rechnung lautet \(92\,345 - 45\,866 = 46\,479\).

\(92\,345 - 45\,866 = 46\,479\)

- Wenn zwischen der benötigten Stelle und der nächsten von Null verschiedenen Stelle Nullen liegen, musst du die Entbündelungskette durch alle diese Stellen verfolgen. - Markiere, welche Werte nach dem Entbündeln bei Hundertern und Zehnern tatsächlich übrig bleiben. - Prüfe die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Für die Einerstelle muss über die beiden Nullstellen hinweg aus der Tausenderstelle entbündelt werden. Die Tausenderziffer \(9\) wird zu \(8\), die Hunderterstelle wird zunächst zu \(10\), gibt einen Hunderter an die Zehnerstelle weiter und wird dadurch zu \(9\); die Zehnerstelle wird zu \(10\), gibt einen Zehner an die Einerstelle weiter und wird dadurch zu \(9\). 2. Einerstelle: \(12 - 7 = 5\). Damit ist die fehlende Einerziffer des Minuenden \(2\). 3. Zehnerstelle: \(9 - * = 5\), also ist die fehlende Zehnerziffer des Subtrahenden \(4\). 4. Hunderterstelle: \(9 - 4 = 5\). Damit ist die fehlende ursprüngliche Hunderterziffer des Minuenden \(0\). 5. Tausenderstelle: Nach der Entbündelung steht oben \(8\). Es gilt \(8 - * = 5\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(3\). Die vollständige Rechnung lautet \(9002 - 3447 = 5555\).

\(9002 - 3447 = 5555\)

- An der Zehnerstelle musst du über eine Null in der Hunderterstelle hinweg entbündeln. - Notiere nach dieser Entbündelung, welche Werte bei Hundertern und Tausendern tatsächlich übrig bleiben. - Kontrolliere die vervollständigte Rechnung am Ende mit der Umkehraufgabe.

1. Einerstelle: \(5 - 4 = 1\). Damit ist die fehlende Einerziffer im Ergebnis \(1\). 2. Zehnerstelle: Die obere Zehnerziffer ist \(1\), also reicht sie für \(1 - 7\) nicht aus. Weil in der Hunderterstelle eine \(0\) steht, wird aus der Tausenderstelle entbündelt: Die \(2\) wird zu \(1\), die Hunderterstelle zu \(10\), gibt einen Hunderter an die Zehnerstelle weiter und wird zu \(9\). Dadurch gilt \(11 - 7 = 4\). Die fehlende ursprüngliche Zehnerziffer des Minuenden ist \(1\). 3. Hunderterstelle: \(9 - 3 = 6\). 4. Tausenderstelle: Nach dem vorigen Entbündeln steht oben \(1\). Für die Ergebnisziffer \(3\) muss erneut aus der Zehntausenderstelle entbündelt werden: \(11 - * = 3\), also ist die fehlende Tausenderziffer des Subtrahenden \(8\). 5. Zehntausenderstelle: Die \(4\) wurde auf \(3\) vermindert. Es gilt \(3 - 1 = 2\). Die vollständige Rechnung lautet \(42\,015 - 18\,374 = 23\,641\).

\(42\,015 - 18\,374 = 23\,641\)

- Führe a) vollständig schriftlich aus und notiere die Entbündelung sauber. - Vergleiche für b) nur den alten und den neuen Subtrahenden. - Bei gleichem Minuenden wirkt eine Vergrößerung des Subtrahenden entgegengesetzt auf die Differenz.

1. a) Einer: \(1<9\); nach Entbündeln gilt \(11-9=2\). Zehner: Nach der Abgabe steht \(1\) Zehner zur Verfügung; nach Entbündeln aus den Hundertern gilt \(11-8=3\). 2. Hunderter: Danach steht \(1\) Hunderter zur Verfügung; nach Entbündeln aus den Tausendern gilt \(11-8=3\). Tausender: Danach gilt \(7<8\); nach Entbündeln aus den Zehntausendern gilt \(17-8=9\). Zehntausender: \(6-3=3\). Damit ist \(78\,221-38\,889=39\,332\). 3. Der neue Subtrahend ist um \(110\) größer. Bei unverändertem Minuenden muss die Differenz daher um \(110\) kleiner werden. 4. Vorhersage: \(39\,332-110=39\,222\). 5. Die schriftliche Probe \(78\,221-38\,999=39\,222\) bestätigt die Vorhersage. 6. Beim Abziehverfahren werden durch die nötigen Entbündelungen folgende Stellenwerte verändert: \(78\,221 - 38\,889\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender; \(78\,221 - 38\,999\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.

a) \(39\,332\) b) Die Differenz wird um \(110\) kleiner und beträgt \(39\,222\). Beim Entbündeln veränderte Stellenwerte: \(78\,221 - 38\,889\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender; \(78\,221 - 38\,999\): Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender.