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Drei der Aufgaben haben dasselbe Ergebnis, bei einer erhältst du ein anderes Ergebnis. Bei welcher Aufgabe? a) \(7 \cdot 80 =\) b) \(32 \cdot 20 =\) c) \(8 \cdot 70 =\) d) \(56 \cdot 10 =\)

Berechne die Ergebnisreihen im Kopf. Was fällt dir auf, wenn der Dividend jeweils verzehnfacht wird? a) \(24 : 3\), \(240 : 3\), \(2400 : 3\) b) \(24 : 4\), \(240 : 4\), \(2400 : 4\) c) \(24 : 6\), \(240 : 6\), \(2400 : 6\)

Berechne die folgenden Aufgabenpaare. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? Beschreibe die Regel, die du entdeckst. a) \(16 \cdot 4\) und \(16 \cdot 40\) b) \(35 \cdot 3\) und \(35 \cdot 30\) c) \(125 \cdot 6\) und \(125 \cdot 60\)

Eine vierstellige ANNA-Zahl besteht aus zwei verschiedenen Ziffern: außen steht dieselbe Ziffer, innen die andere. Die Partnerzahl entsteht, wenn die beiden Ziffern ihre Rollen tauschen. Welche Zahl ist die ANNA-Partnerzahl zu \(2772\)? A: \(7227\) B: \(2727\) C: \(7272\)

Berechne die Ergebnisse der zusammengehörigen Aufgabenfolgen. a) \(3 \cdot 7 = \dots\) b) \(30 \cdot 7 = \dots\) c) \(3 \cdot 70 = \dots\) d) \(210 : 3 = \dots\) e) \(210 : 30 = \dots\) f) \(210 : 7 = \dots\) g) \(210 : 70 = \dots\)

Ergänze die fehlenden Quotienten in der Tabelle. Nutze dein Wissen über Zusammenhänge beim Teilen. <table> <tr><th>\(:\)</th><th>\(2\)</th><th>\(4\)</th><th>\(8\)</th></tr> <tr><td>\(400\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr> <tr><td>\(4000\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr> <tr><td>\(40\,000\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td><td>\(\square\)</td></tr> </table>

Setze die Aufgabenfolgen logisch fort. a) \(63 : 9 = 7\), \(630 : 9 = 70\), \(6300 : 9 = \dots\), \(63\,000 : 9 = \dots\) b) \(63 : 7 = 9\), \(630 : 7 = 90\), \(6300 : 7 = \dots\), \(63\,000 : 7 = \dots\) c) \(630 : 10 = 63\), \(6300 : 10 = 630\), \(63\,000 : 10 = \dots\), \(630\,000 : 10 = \dots\)

Vergleiche die Ergebnisse der Malaufgaben, ohne sie schriftlich auszurechnen. Setze das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. a) \(40 \cdot 60\;\square\;50 \cdot 50\) b) \(8 \cdot 700\;\square\;90 \cdot 60\) c) \(300 \cdot 30\;\square\;3 \cdot 3000\)

Finde die Aufgabenpaare, die das gleiche Ergebnis haben. Ordne sie einander zu. 1. \(6 \cdot 70\) 2. \(30 \cdot 9\) 3. \(4 \cdot 900\) 4. \(42 \cdot 10\) 5. \(270 \cdot 1\) 6. \(60 \cdot 60\)

In jeder der drei Gruppen gibt es genau zwei Aufgaben, die das gleiche Ergebnis haben. Finde diese Aufgabenpaare. Gruppe 1: \(9 \cdot 30\); \(4 \cdot 70\); \(3 \cdot 90\) Gruppe 2: \(5 \cdot 80\); \(4 \cdot 100\); \(6 \cdot 70\) Gruppe 3: \(7 \cdot 20\); \(2 \cdot 80\); \(2 \cdot 70\)

Berechne die Ergebnisse der folgenden Divisionsaufgaben. Jeweils zwei Aufgaben haben das gleiche Ergebnis. Ordne die Aufgaben zu Paaren. \(180 : 3\), \(420 : 7\), \(360 : 60\), \(480 : 80\), \(210 : 30\), \(49 : 7\)

In diesem „Schönen Päckchen“ haben fast alle Aufgaben das gleiche Ergebnis. Welche Aufgabe passt nicht zu den anderen? \(20 \cdot 90\) \(30 \cdot 60\) \(45 \cdot 40\) \(18 \cdot 100\) \(50 \cdot 35\)

Betrachte das folgende „Schöne Päckchen“. Setze das Muster um zwei weitere Aufgaben fort und berechne alle Ergebnisse. Beschreibe anschließend, wie sich die Ergebnisse verändern. \(4 \cdot 70 = \dots\) \(8 \cdot 70 = \dots\) \(12 \cdot 70 = \dots\) \(16 \cdot 70 = \dots\)

Berechne die Ergebnisse. Nutze die ersten drei Aufgaben als Hilfe für die weiteren Rechnungen. a) \(800 : 8 = \square\) b) \(80 : 8 = \square\) c) \(16 : 8 = \square\) d) \(880 : 8 = \square\) e) \(896 : 8 = \square\) f) \(816 : 8 = \square\) Gib bei d), e) und f) zusätzlich an, aus welchen Ergebnissen von a), b) und c) du den Quotienten zusammensetzt.

Rechne die Aufgaben jeder Teilaufgabe aus. Was bemerkst du beim Vergleich der Ergebnisse innerhalb einer Zeile? a) \(240 : 4\), \(120 : 4\), \(60 : 4\) b) \(600 : 6\), \(300 : 6\), \(150 : 6\) c) \(800 : 8\), \(400 : 8\), \(200 : 8\)

Welche Zahl wurde jeweils von \(1\,000\,000\) abgezogen? Bestimme die fehlenden Subtrahenden. a) \(1\,000\,000-\square=999\,999\) b) \(1\,000\,000-\square=999\,900\) c) \(1\,000\,000-\square=990\,000\) d) \(1\,000\,000-\square=0\) Welche Regel erkennst du in den vier fehlenden Subtrahenden?

Berechne die Ergebnisse der beiden Aufgabenreihen. a) \(18 : 3 = \dots\) \(180 : 3 = \dots\) \(1800 : 3 = \dots\) \(18\,000 : 3 = \dots\) \(180\,000 : 3 = \dots\) b) \(18 : 2 = \dots\) \(180 : 2 = \dots\) \(1800 : 2 = \dots\) \(18\,000 : 2 = \dots\) \(180\,000 : 2 = \dots\)

Rechne die Aufgabenpaare aus. Nutze die „kleine Aufgabe“ aus dem Einmaleins als Hilfe, um das Ergebnis der großen Aufgabe zu finden. a) \(45\,000 : 5\) und \(45\,000 : 9\) b) \(54\,000 : 6\) und \(54\,000 : 9\) c) \(56\,000 : 7\) und \(56\,000 : 8\)

Berechne die Ergebnisse der Divisionen und vergleiche sie miteinander. a) \(20\,000 : 4\) und \(20\,000 : 5\) b) \(36\,000 : 6\) und \(36\,000 : 4\)

Nutze den Zusammenhang der Rechnungen, um die fehlenden Zahlen zu finden. a) \(2000 : 2 = \square\) und \(18 : 2 = \square\). Wie heißt das Ergebnis von \(2018 : 2\)? Notiere auch, welche beiden Teilquotienten du dafür addierst. b) \(9000 : 9 = 1000\) und \(630 : 9 = 70\). Welche Division wurde hier zusammengesetzt? Berechne: \(\square : 9 = 1070\) und notiere, aus welchen beiden Teildividenden der gesuchte Dividend entsteht. c) \(500 : 5 = 100\) und \(45 : 5 = 9\). Berechne das Ergebnis von \(545 : 5\) und notiere die beiden verwendeten Teilquotienten.

Berechne die Ergebnisse der Aufgabenreihe. Überlege dir dabei, wie dir das Ergebnis der ersten Aufgabe bei den weiteren Rechnungen helfen kann. a) \(3500 : 7 = \square\) b) \(3556 : 7 = \square\) c) \(3486 : 7 = \square\) Notiere bei b) und c), um welchen Vielfachen von \(7\) sich der Dividend gegenüber \(3500\) ändert und wie sich dadurch der Quotient gegenüber \(500\) verändert.

Berechne die folgenden Produkte und beschreibe, was dir bei den Ergebnissen auffällt: 1. \(125 \cdot 8\) 2. \(125 \cdot 18\) 3. \(125 \cdot 28\) 4. \(125 \cdot 38\) 5. \(125 \cdot 48\)

Rechne die Aufgaben aus und vergleiche die Ergebnisse. Was fällt dir bei den Zahlen auf? - \(12 \cdot 9\) - \(112 \cdot 9\) - \(1112 \cdot 9\) - \(11\,112 \cdot 9\)

Berechne die Ergebnisse dieser Malaufgaben. Was fällt dir an den Produkten auf? \(77 \cdot 13\) \(77 \cdot 26\) \(77 \cdot 39\) \(77 \cdot 52\) \(77 \cdot 65\)

Berechne zuerst \(840:4\) schriftlich. Leite anschließend die Ergebnisse von \(841:4\) und \(843:4\) aus diesem Anker ab, ohne beide Divisionen erneut vollständig schriftlich auszuführen. Notiere jeweils, wie sich der zusätzliche Betrag gegenüber \(840\) im Rest zeigt.

Berechne die folgenden Aufgaben und achte besonders auf die Reste. Was fällt dir auf, wenn sich der Dividend um 1 erhöht? a) \(210 : 3\), \(211 : 3\), \(212 : 3\) b) \(210 : 4\), \(211 : 4\), \(212 : 4\) c) \(210 : 5\), \(211 : 5\), \(212 : 5\)

Das Ergebnis der Aufgabe \(12 \cdot 40\) ist \(480\). Finde drei andere Malaufgaben, die ebenfalls das Ergebnis \(480\) haben. Nutze dabei die Strategie, die Faktoren so zu verändern, dass das Produkt gleich bleibt.

Berechne die Ergebnisse der beiden Aufgabenpaare und vergleiche sie. Paar 1: \(12 \cdot 10 + 13 \cdot 11 = \square\) \(12 \cdot 11 + 13 \cdot 10 = \square\) Paar 2: \(20 \cdot 30 + 21 \cdot 31 = \square\) \(20 \cdot 31 + 21 \cdot 30 = \square\) Was fällt dir beim Vergleich der Ergebnisse innerhalb eines Paares auf?

Berechne die folgenden Summen schriftlich untereinander: 1. \(111\,111 + 222\,222\) 2. \(222\,222 + 222\,222\) 3. \(333\,333 + 222\,222\) 4. \(444\,444 + 222\,222\) Welches Muster erkennst du in den Ergebnissen?

Berechne die folgenden Aufgaben untereinander durch schriftliche Subtraktion. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? Beschreibe die Veränderung. a) \(856\,472 - 321\,054\) b) \(756\,472 - 321\,054\) c) \(656\,472 - 321\,054\)

Multipliziere die Zahl \(505\) nacheinander mit den Zahlen \(3\), \(5\), \(7\) und \(9\). 1. Berechne die vier Ergebnisse. 2. Was fällt dir bei den Ziffern der Ergebniszahlen auf? Beschreibe das Muster.

Multipliziere die Zahl \(198\) nacheinander mit \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\). a) Berechne die vier Ergebnisse. b) Was fällt dir bei der Zehnerziffer aller Ergebnisse auf? c) Addiere die Hunderterziffer und die Einerziffer jedes Ergebnisses. Was stellst du fest?

Nutze das Ergebnis der Startrechnung \(14 \cdot 5 = 70\), um die folgenden Aufgaben im Kopf zu lösen. Erkläre bei jeder Aufgabe kurz deinen Denkweg. a) \(14 \cdot 50\) b) \(140 \cdot 5\) c) \(140 \cdot 50\) d) \(14 \cdot 500\)

Ein Set mit Wasserfarben kostet in einem Schreibwarengeschäft \(14\,\text{€}\). a) Wie viel kosten 6 Sets? b) Wie viel kosten 20 Sets? c) Berechne den Preis für 26 Sets. Erkläre, wie du dabei die Ergebnisse aus a) und b) nutzen kannst.

Berechne das Ergebnis der ersten Aufgabe schriftlich. Bestimme dann die Ergebnisse der weiteren Aufgaben, indem du dein Wissen über das Rechnen mit Zehnerzahlen nutzt. a) \(64 \cdot 8\) b) \(640 \cdot 8\) c) \(64 \cdot 800\) d) \(6400 \cdot 80\)

Nutze Zusammenhänge zwischen Aufgaben, um die Ergebnisse zu finden. a) Berechne zuerst das Ergebnis von \(14 \cdot 30\). b) Bestimme nun \(14 \cdot 60\). Erkläre, wie du das Ergebnis mithilfe der ersten Aufgabe finden kannst, ohne alles neu zu rechnen. c) Wie groß ist das Produkt von \(28 \cdot 30\)? Nutze auch hier dein Wissen aus der ersten Teilaufgabe. d) Berechne das Ergebnis von \(140 \cdot 30\).

Berechne die Produkte. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf, wenn du die Aufgaben nacheinander betrachtest? a) \(4 \cdot 25\) b) \(8 \cdot 25\) c) \(12 \cdot 25\) d) \(16 \cdot 25\)

Lina möchte die Aufgabe \(63 \cdot 14\) lösen. Sie überlegt: „Ich rechne zuerst \(63 \cdot 10\) und dann noch \(63 \cdot 4\) dazu.“ 1. Berechne die beiden Teilergebnisse, die Lina geplant hat. 2. Addiere die Teilergebnisse, um das Endergebnis für \(63 \cdot 14\) zu erhalten. 3. Wie würde sich das Gesamtergebnis ändern, wenn Lina stattdessen \(63 \cdot 15\) berechnen müsste? Erkläre, wie man das neue Ergebnis findet, ohne die ganze Aufgabe von vorne zu rechnen.

Für ein Bastelprojekt liegen \(75\) große Perlen bereit. Dazu kommen \(3\) Tütchen mit jeweils \(25\) kleinen Perlen. Welcher der drei Rechenbäume passt zur Frage „Wie viele Perlen sind es insgesamt?“ Nenne den Buchstaben des passenden Rechenbaums und berechne das Ergebnis.

Eine vierstellige ANNA-Zahl besteht aus zwei verschiedenen Ziffern: außen steht dieselbe Ziffer, innen die andere. Die Partnerzahl entsteht, wenn die beiden Ziffern ihre Rollen tauschen. Verwende die Ziffern \(3\) und \(8\). a) Bilde die beiden ANNA-Partnerzahlen. b) Berechne ihre positive Differenz. c) Erkläre, woran du erkennst, dass beide Zahlen wirklich Partnerzahlen sind.

Fülle die Lücken in den folgenden Aufgabenfolgen aus. Nutze die Ergebnisse der ersten beiden Zeilen, um das Ergebnis der dritten Zeile zu finden. a) \(10 \cdot 15 = \square\) \(3 \cdot 15 = \square\) \(13 \cdot 15 = \square\) b) \(10 \cdot 17 = \square\) \(7 \cdot 17 = \square\) \(17 \cdot 17 = \square\) Schreibe zu jeder dritten Zeile außerdem die Additionsgleichung auf, mit der du sie aus den ersten beiden Ergebnissen zusammensetzt.

Dir sind folgende Ergebnisse bekannt: \(10 \cdot 9 = 90\) \(5 \cdot 9 = 45\) \(2 \cdot 9 = 18\) Nutze ausschließlich diese drei Ergebnisse und die Grundrechenarten (Addition oder Subtraktion), um die folgenden Aufgaben zu lösen. Notiere deinen Rechenweg. a) \(17 \cdot 9\) b) \(7 \cdot 9\) c) \(13 \cdot 9\)

Vervollständige die Lücken, sodass die vier Aufgaben eine zusammengehörige Aufgabenfamilie bilden. a) \(8 \cdot 4 = \dots\) b) \(80 \cdot \dots = 320\) c) \(\dots : 8 = 40\) d) \(320 : 40 = \dots\)

Wähle zwei direkt aufeinanderfolgende Ziffern zwischen \(1\) und \(9\) aus (zum Beispiel \(3\) und \(4\)). a) Bilde aus diesen Ziffern die beiden möglichen ANNA-Zahlen (zum Beispiel \(3443\) und \(4334\)). b) Subtrahiere die kleinere von der größeren Zahl. c) Wähle zwei andere Ziffern, die ebenfalls direkt aufeinanderfolgen, und rechne genauso. Was stellst du fest? Notiere beide von dir verwendeten Ziffernpaare, die vier gebildeten ANNA-Zahlen und die beiden Subtraktionen.

Untersuche dreistellige Zahlen und ihre Umkehrzahlen. a) Wähle eine dreistellige Zahl, die nicht auf \(0\) endet und bei der die erste Ziffer genau um \(3\) größer ist als die letzte Ziffer (zum Beispiel \(653\)). b) Bilde die Umkehrzahl und subtrahiere sie von deiner gewählten Zahl. c) Führe diese Rechnung für zwei weitere Zahlen durch, die die gleiche Bedingung erfüllen. Was fällt dir auf? Notiere alle drei von dir gewählten Zahlen, ihre Umkehrzahlen und die drei Subtraktionen.

Berechne die Aufgaben mit Rest. Achte darauf, dass in diesem Päckchen immer zwei Aufgaben exakt das gleiche Ergebnis aus Quotient und Rest haben. \(26 : 4\), \(44 : 7\), \(310 : 50\), \(490 : 80\), \(19 : 3\), \(55 : 9\)

Untersuche die Faktoren in diesem Päckchen. Eine Rechnung passt nicht in die logische Reihe. Welche ist es? 1. \(10 \cdot 100 = 1000\) 2. \(20 \cdot 90 = 1800\) 3. \(30 \cdot 80 = 2400\) 4. \(40 \cdot 70 = 2800\) 5. \(50 \cdot 50 = 2500\)

Untersuche dieses Zahlenmuster. Setze die Reihe um drei Aufgaben fort. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? \(10 \cdot 90 = \square\) \(20 \cdot 80 = \square\) \(30 \cdot 70 = \square\) \(40 \cdot 60 = \square\)

Setze das „Schöne Päckchen“ fort. Finde die nächsten zwei Aufgaben und rechne sie aus. \(900 : 9\) \(720 : 8\) \(560 : 7\) \(420 : 6\) \(300 : 5\)

Setze das Muster fort. Bestimme die nächste Aufgabe dieses Päckchens. \(216 : 40 = 5\,\text{Rest}\,16\) \(175 : 40 = 4\,\text{Rest}\,15\) \(134 : 40 = 3\,\text{Rest}\,14\) \(93 : 40 = 2\,\text{Rest}\,13\) \(52 : 40 = 1\,\text{Rest}\,12\)

Entdecke die Regel in diesem „Schönen Päckchen“ und ergänze die nächsten zwei Aufgaben. \(50 : 5 = 10\) \(110 : 10 = 11\) \(180 : 15 = 12\) \(260 : 20 = 13\) \(350 : 25 = 14\)

Vergleiche jeweils die linke und rechte Rechnung, ohne beide Ergebnisse vollständig schriftlich auszurechnen. Beschreibe bei jeder Teilaufgabe zuerst, wie sich die Zahlen von links nach rechts verändern, und begründe damit das Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\). a) \(18 \cdot 40 \;\square\; 9 \cdot 80\) b) \(560 : 8 \;\square\; 280 : 4\) c) \(24 \cdot 30 \;\square\; 12 \cdot 30\) d) \(630 : 9 \;\square\; 630 : 3\)

Eine Rechenmaschine führt immer dieselben zwei Schritte aus: Zuerst multipliziert sie eine Startzahl mit \(4\), danach teilt sie das Ergebnis durch \(2\). a) Starte mit \(50\). Berechne das Zwischenergebnis und das Endergebnis. b) Formuliere eine einzige Rechenregel, die jede Startzahl direkt in das Endergebnis überführt. Begründe, warum sie immer dieselbe Wirkung wie die beiden Schritte hat. c) Nutze nur deine Ein-Schritt-Regel und bestimme die Endergebnisse für die Startzahlen \(80\), \(120\) und \(375\).

Berechne die Ergebnisse und vergleiche sie. Wie hängen die Dividenden mit dem Divisor zusammen? a) \(560 : 7\), \(567 : 7\), \(553 : 7\) b) \(420 : 6\), \(426 : 6\), \(414 : 6\) c) \(320 : 4\), \(328 : 4\), \(312 : 4\)

Untersuche die Zusammenhänge zwischen den Aufgaben und rechne sie aus. Was fällt dir an den Ergebnissen auf? a) \(640 : 8\), \(320 : 4\), \(160 : 2\) b) \(420 : 6\), \(210 : 3\), \(70 : 1\) c) \(240 : 6\), \(120 : 3\), \(40 : 1\)

Vergleiche die Ergebnisse und setze \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. a) \(6 \cdot 40\;\square\;3 \cdot 80\) b) \(450 : 9\;\square\;350 : 7\) c) \(7 \cdot 90\;\square\;8 \cdot 80\) d) \(240 : 6\;\square\;320 : 8\) Beschreibe danach die Gesetzmäßigkeiten hinter den Gleichheiten in a), b) und d). Erkläre auch, warum c) diese Gesetzmäßigkeit nicht erfüllt.

Vergleiche die Aufgaben, ohne sie vollständig auszurechnen. Setze das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein und begründe jedes Zeichen mit der Beziehung zwischen Minuend und Subtrahend beziehungsweise mit der Größenordnung der Ergebnisse. a) \(10\,000 - 10\) \(\square\) \(10\,000 - 100\) b) \(100\,000 - 1000\) \(\square\) \(1\,000\,000 - 1000\) c) \(100\,000 - 100\) \(\square\) \(10\,000 - 10\) d) \(1000 - 1\) \(\square\) \(10\,000 - 10\)

Berechne die Ergebnisse im Kopf. Achte darauf, wie sich die Ziffern an den verschiedenen Stellen verändern. a) \(400\,000 - 1 = \dots\) b) \(400\,000 - 10 = \dots\) c) \(400\,000 - 100 = \dots\) d) \(400\,000 - 1000 = \dots\) e) \(400\,000 - 10\,000 = \dots\) f) \(400\,000 - 100\,000 = \dots\)

Vervollständige die Tabelle, indem du von der Zahl in der linken Spalte jeweils die Zahl in der Kopfzeile subtrahierst. <table> <tr> <th>Zahl</th> <th>\( - 1\)</th> <th>\( - 100\)</th> <th>\( - 10\,000\)</th> </tr> <tr> <td>\(325\,400\)</td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(800\,000\)</td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> </table>

Welche Stufenzahl (Einer, Zehner, Hunderter, ...) wurde hier jeweils von \(700\,000\) subtrahiert? Ergänze die Lücken. a) \(700\,000 - \dots = 699\,999\) b) \(700\,000 - \dots = 699\,900\) c) \(700\,000 - \dots = 690\,000\) d) \(700\,000 - \dots = 600\,000\) e) \(700\,000 - \dots = 699\,000\)

Rechne und setze das Päckchen um zwei Zeilen fort. \(12\,121 + 21\,212\) \(23\,232 + 21\,212\) \(34\,343 + 21\,212\) Betrachte die Ziffern in den Ergebnissen. Was ist das Besondere?

Untersuche dieses Päckchen. Setze es um eine Zeile fort, ohne vorher zu rechnen. \(12\,345 + 87\,654\) \(23\,456 + 76\,543\) \(34\,567 + 65\,432\) Rechne nun alle vier Aufgaben aus. Was bemerkst du beim Ergebnis? Erkläre, warum das so ist.

Schönes Päckchen. Rechne und setze das Muster um zwei Aufgaben fort. \(4321 - 2889\) \(5432 - 2889\) \(6543 - 2889\) \(7654 - 2889\) Vergleiche die erste Zahl jeder Aufgabe mit ihrem Ergebnis. Was fällt dir bei der Anordnung der Ziffern auf?

Untersuche das folgende Päckchen. Rechne die Aufgaben aus und setze das Muster um eine Zeile fort. \(12\,345 + 23\,456\) \(23\,456 + 34\,567\) \(34\,567 + 45\,678\) Um wie viel wächst das Ergebnis von Aufgabe zu Aufgabe?

Zu jeder Startzahl werden nacheinander zuerst \(8372\) und danach \(1628\) addiert. a) Führe beide Schritte für die Startzahl \(15\,450\) aus. b) Bestimme daraus die gesamte Veränderung, die diese beiden Additionen zusammen bei jeder Startzahl bewirken, und begründe deine Regel. c) Nutze nur diese Gesamtveränderung, um die Endergebnisse für \(27\,891\) und \(54\,005\) zu bestimmen. Rechne die beiden Einzelschritte dort nicht erneut aus.

Ein Computerprogramm addiert bei jeder Eingabe zuerst \(23\,145\) und danach \(26\,855\). a) Ersetze beide Programmschritte durch genau einen gleichwertigen Rechenschritt und begründe die Gleichwertigkeit. b) Nach beiden Schritten zeigt das Programm \(84\,500\) an. Welche Zahl wurde eingegeben? Nutze deine Ein-Schritt-Regel. c) Welche Ausgabe erhält man für die Eingabe \(49\,999\)? Nutze wieder nur die Ein-Schritt-Regel.

Ergänze die fehlenden Zahlen in den Gleichungen. \(42 : 6 = \dots\) \(\dots : 6 = 70\) \(4200 : \dots = 700\) \(42\,000 : 6 = \dots\) \(\dots : 6 = 70\,000\)

Vervollständige die Rechenpäckchen. Achte auf die Veränderungen innerhalb der Päckchen. a) \(48\,000 : 2 = \dots\) \(48\,000 : 4 = \dots\) \(48\,000 : 6 = \dots\) \(48\,000 : 8 = \dots\) b) \(12\,000 : 3 = \dots\) \(24\,000 : 3 = \dots\) \(36\,000 : 3 = \dots\) \(48\,000 : 3 = \dots\)

Finde vier verschiedene Divisionsaufgaben, bei denen das Ergebnis genau \(12\,000\) ist. Der Teiler muss jeweils eine einstellige Zahl zwischen \(2\) und \(9\) sein.

Vergleiche die beiden Aufgabenpaare. Entscheide vor dem Rechnen für jedes Paar, ob Kopfrechnen, halbschriftliches Rechnen oder schriftliches Rechnen am passendsten ist. Begründe deine Wahl mit der Zahlenstruktur oder dem Rechenaufwand und setze anschließend \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. a) \(27\,000 : 3 \quad \square \quad 24\,000 : 3\) b) \(6835 : 5 \quad \square \quad 9576 : 7\)

Rechne die Aufgaben aus und vergleiche die Ergebnisse mit dem ersten Produkt \(40 \cdot 40\). Was stellst du fest? 1. \(40 \cdot 40\) 2. \(41 \cdot 39\) 3. \(42 \cdot 38\) 4. \(43 \cdot 37\) 5. \(44 \cdot 36\)

Berechne die folgenden Produkte und beobachte das Muster in den Ergebnissen. - \(6 \cdot 12\) - \(66 \cdot 12\) - \(666 \cdot 12\) - \(6666 \cdot 12\)

Nutze geschickte Wege für die folgenden Aufgaben: a) Berechne \(24 \cdot 2\) und \(24 \cdot 20\). b) Erkläre, wie du diese beiden Ergebnisse nutzen kannst, um \(24 \cdot 22\) zu bestimmen. c) Berechne nun \(24 \cdot 44\). Wie hängt dieses Ergebnis mit deinem Ergebnis aus Teil b) zusammen?

Finde die „schönen Ergebnisse“ dieser Aufgabenreihe. Setze das Muster für die letzten beiden Rechnungen fort. \(15\,873 \cdot 7\) \(15\,873 \cdot 14\) \(15\,873 \cdot 21\) \(\square \cdot \square\) \(\square \cdot \square\)

Untersuche die folgende Musterreihe und berechne alle Ergebnisse. \(9 \cdot 9\) \(99 \cdot 9\) \(999 \cdot 9\) \(9999 \cdot 9\) \(99\,999 \cdot 9\)

Setze die Aufgabenfolge um eine Aufgabe fort und berechne alle Ergebnisse. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? \(1112 : 8\) \(2224 : 8\) \(3336 : 8\) ...

Rechne schriftlich und vergleiche die Ergebnisse. Was fällt dir auf? a) \(2436 : 4\) b) \(2836 : 4\) c) \(3236 : 4\) d) \(3636 : 4\)

Löse die Aufgaben schriftlich. Mache für die letzte Aufgabe die Probe. a) \(5184 : 2\) b) \(5184 : 4\) c) \(5184 : 8\) Vergleiche die Ergebnisse von a), b) und c). Welchen Zusammenhang erkennst du?

Gegeben sind drei Längenangaben: 1) \(105{,}30\,\text{m}\) 2) \(210{,}60\,\text{m}\) 3) \(315{,}90\,\text{m}\) Wandle jede Länge in Zentimeter um und dividiere jeden Zentimeterwert schriftlich durch \(9\). Notiere bei jeder der drei Divisionen den ersten Teildividenden, der nach dem ersten Herunterholen einer Ziffer entsteht. Vergleiche anschließend die drei Quotienten.

Vergleiche die beiden folgenden Rechenwege für eine beliebige dreistellige Zahl: Weg A: Multipliziere die Zahl nacheinander mit \(5\), dann mit \(2\) und dann mit \(9\). Weg B: Multipliziere die Zahl direkt mit \(90\). Probiere beide Wege mit der Zahl \(145\) aus. Was stellst du fest? Erkläre, warum das Ergebnis bei beiden Wegen für jede beliebige Zahl gleich sein muss.

Gegeben ist die Divisionsaufgabe \(360 : 12 = 30\). Finde drei weitere Divisionsaufgaben, die ebenfalls das Ergebnis \(30\) haben. Nutze dabei die Regel zur Konstanz des Quotienten.

Untersuche die Malaufgabe \(28 \cdot 15\). Welche der folgenden Rechnungen haben das gleiche Ergebnis wie \(28 \cdot 15\)? a) \(14 \cdot 30\) b) \(56 \cdot 30\) c) \(7 \cdot 60\) d) \(140 \cdot 3\) Begründe deine Entscheidung, ohne alle Aufgaben komplett schriftlich auszurechnen.

Setze das Muster fort, indem du die Lücke füllst. Berechne anschließend alle Ergebnisse. a) \(9 \cdot 14 + 10 \cdot 15 = \square\) \(9 \cdot 15 + 10 \cdot 14 = \square\) b) \(\square \cdot 20 + 26 \cdot 21 = \square\) \(25 \cdot 21 + 26 \cdot 20 = \square\)

Untersuche, ob das Muster auch bei größeren Zahlen funktioniert. Rechne schriftlich. Aufgabe A: \(45 \cdot 72 + 46 \cdot 73\) Aufgabe B: \(45 \cdot 73 + 46 \cdot 72\) 1. Berechne die Ergebnisse für A und B. 2. Bestimme den Unterschied zwischen den beiden Gesamtergebnissen.

Wir nennen vierstellige Zahlen wie \(3712\) „TILL-Zahlen“. Dabei bilden sowohl die ersten beiden als auch die letzten beiden Ziffern jeweils eine zweistellige Zahl; der zweite Zweierblock beginnt also nicht mit \(0\). Vertauscht man die beiden Zweierblöcke, erhält man die Partnerzahl. Bei \(3712\) ist die Partnerzahl \(1237\). a) Berechne die Summe aus \(3712\) und ihrer Partnerzahl \(1237\) schriftlich. b) Berechne nun \((37 + 12) \cdot 101\). Was fällt dir beim Vergleich der Ergebnisse auf? c) Wähle eine eigene TILL-Zahl aus und prüfe, ob die Summen-Regel auch dort funktioniert.

Für TILL-Zahlen gibt es auch eine Regel für die Subtraktion. Beispiel für die Zahl \(7521\): Schriftliche Subtraktion: \(7521 - 2175 = 5346\) Rechentrick: \((75 - 21) \cdot 99 = 54 \cdot 99 = 5346\) a) Nimm die TILL-Zahl \(8634\) und bestimme ihre Partnerzahl. b) Berechne die Differenz aus der Zahl und ihrer Partnerzahl mit der schriftlichen Subtraktion. c) Überprüfe dein Ergebnis mit dem Rechentrick: Subtrahiere die kleinere zweistellige Hälfte von der größeren und multipliziere die Differenz mit \(99\).

Löse diese Additionsaufgaben schriftlich: a) \(123\,456 + 876\,543\) b) \(223\,456 + 776\,543\) c) \(323\,456 + 676\,543\) d) \(423\,456 + 576\,543\) Was stellst du bei den Summen fest? Vergleiche dazu, wie sich die beiden Summanden von Aufgabe zu Aufgabe verändern.

Setze die Aufgabenfolge logisch fort und berechne alle Summen schriftlich. 1. \(210\,000 + 320\,000 = \square\) 2. \(220\,000 + 330\,000 = \square\) 3. \(230\,000 + 340\,000 = \square\) 4. \(\square + \square = \square\) 5. \(\square + \square = \square\)

In diesem Aufgabenpäckchen gibt es eine Regel für die Minuenden. Setze das Muster um zwei weitere Aufgaben fort und berechne alle fünf Ergebnisse schriftlich. 1. \(987\,987 - 444\,444 = \square\) 2. \(876\,876 - 444\,444 = \square\) 3. \(765\,765 - 444\,444 = \square\) 4. \(\square - 444\,444 = \square\) 5. \(\square - 444\,444 = \square\)

Untersuche, wie sich Veränderungen an den Zahlen auf das Ergebnis auswirken. a) Berechne das Ergebnis schriftlich: \(555\,555 - 123\,456\). b) Erstelle eine neue Aufgabe: Verringere den Minuenden der ersten Aufgabe um \(1111\) und vergrößere den Subtrahenden gleichzeitig um \(1111\). Wie lautet die neue Aufgabe? c) Berechne das Ergebnis der neuen Aufgabe schriftlich. Um wie viel ist dieses Ergebnis kleiner als das erste?

Vier der folgenden Aufgaben haben das gleiche Ergebnis. Welche Aufgabe passt nicht dazu? A: \(12\,000 \cdot 15\) B: \(18\,000 \cdot 10\) C: \(9000 \cdot 20\) D: \(7500 \cdot 24\) E: \(14\,500 \cdot 12\)

Vierstellige Zahlen wie \(4554\), \(1221\) oder \(7007\) nennen wir ANNA-Zahlen. Bei ihnen sind die erste und letzte Ziffer gleich, ebenso die beiden mittleren Ziffern. a) Wähle zwei verschiedene Ziffern zwischen \(1\) und \(9\) und bilde daraus die zwei möglichen ANNA-Zahlen. b) Subtrahiere die kleinere von der größeren Zahl. c) Wiederhole dies mit zwei weiteren Ziffernpaaren. d) Berechne für jedes deiner drei Ergebnisse die Quersumme. Was stellst du fest?

Eine ANNA-Zahl hat die Form \(abba\): Die erste und letzte Ziffer sind gleich, ebenso die beiden mittleren. Aus zwei verschiedenen Ziffern entstehen zwei Partnerzahlen, zum Beispiel \(2112\) und \(1221\). Bei Ziffern mit Abstand \(1\) beträgt die positive Differenz der beiden Partnerzahlen \(891\). Wird der Ziffernabstand um \(1\) größer, wächst auch diese Differenz jeweils um \(891\). Der Unterschied zwischen zwei gesuchten ANNA-Partnerzahlen beträgt genau \(2673\). Welche Ziffern wurden verwendet? Finde drei verschiedene Ziffernpaare.

Wir untersuchen nun die Summe zweier ANNA-Zahlen, die aus denselben zwei Ziffern bestehen (zum Beispiel \(1441 + 4114\)). a) Berechne die Summen für die Ziffernpaare (2, 5) und (3, 4). Was fällt dir an den Ergebnissen auf? b) Welche zwei verschiedenen Ziffern zwischen \(1\) und \(9\) musst du wählen, damit die Summe genau \(8888\) ergibt? Finde alle drei Möglichkeiten.

Forscherin Noura Haddad untersucht die Zahl \(606\). Sie multipliziert sie mit verschiedenen einstelligen Zahlen und erhält diese Ergebnisse: \(1212\), \(1818\), \(2424\), \(3030\). 1. Mit welchen Zahlen wurde \(606\) jeweils multipliziert? 2. Welches Ergebnis erwartest du bei \(606 \cdot 7\)? Nutze das Muster für deine Vorhersage und prüfe sie anschließend.

Multipliziere die Zahl \(495\) nacheinander mit \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\). a) Berechne die vier Produkte. b) Bestimme für jedes Ergebnis die Quersumme. Was fällt dir auf? c) Betrachte die vierstelligen Ergebnisse (ab \(495 \cdot 3\)). Addiere jeweils die erste und die dritte Ziffer sowie die zweite und die vierte Ziffer. Was bemerkst du?

In einer Hundertertafel stehen die Zahlen von \(1\) bis \(100\) in zehn Zeilen. 1. Berechne die Summe der kleinsten Zahl \(1\) und der größten Zahl \(100\). 2. Berechne die Summe der zweitkleinsten Zahl \(2\) und der zweitgrößten Zahl \(99\). 3. Berechne die Summe der drittkleinsten Zahl \(3\) und der drittgrößten Zahl \(98\). 4. Was stellst du bei den Ergebnissen fest? Wie viele solcher Zahlenpaare lassen sich mit den Zahlen von \(1\) bis \(100\) insgesamt bilden? 5. Nutze deine Entdeckung, um die Gesamtsumme aller Zahlen von \(1\) bis \(100\) zu berechnen.

In der Hundertertafel stehen die Zahlen in zehn Spalten untereinander. 1. Berechne die Summe der ersten Spalte \(1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91\). 2. Berechne die Summe der zweiten Spalte \(2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92\). 3. Vergleiche die beiden Spaltensummen. Wie viel größer ist die zweite Summe? Erkläre, warum das so ist. 4. Bestimme die Summe der zehnten Spalte \(10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100\), ohne alle Zahlen einzeln zu addieren. 5. Addiere alle zehn Spaltensummen, um die Gesamtsumme der Hundertertafel zu erhalten.

Vierstellige Zahlen mit dem Muster \(abab\) nennt man NANA-Zahlen (zum Beispiel \(2525\)). a) Wähle die Ziffern \(3\) und \(7\). Bilde aus ihnen die beiden NANA-Zahlen \(3737\) und \(7373\). Subtrahiere die kleinere von der größeren Zahl. b) Wähle nun zwei andere Ziffern, die ebenfalls den Unterschied \(4\) haben (zum Beispiel \(1\) und \(5\)). Berechne auch hier den Unterschied der beiden zugehörigen NANA-Zahlen. Was fällt dir auf? c) Bestimme den Unterschied der NANA-Zahlen für die Ziffern \(2\) und \(3\). Wie oft passt dieses Ergebnis in dein Ergebnis aus Aufgabenteil a)?

Wir untersuchen, was passiert, wenn man zwei NANA-Zahlen mit vertauschten Ziffern addiert. a) Wähle \(a=2\) und \(b=5\). Bilde die Zahlen \(2525\) und \(5252\) und addiere sie schriftlich. b) Addiere die NANA-Zahlen für die Ziffern \(a=1\) und \(b=8\). c) Mina Okafor behauptet: „Wenn die Summe der beiden Ziffern \(10\) ist, beträgt die Summe der beiden NANA-Partnerzahlen immer \(11\,110\).“ Überprüfe die Behauptung mit den Ziffernpaaren \(3\) und \(7\) sowie \(4\) und \(6\).

ANNA-Zahlen sind vierstellige Zahlen, die vorwärts und rückwärts gelesen gleich sind. Die zehn ANNA-Zahlen, die mit \(1\) beginnen und enden, reichen von \(1001\) über \(1111\), \(1221\), ... bis \(1991\). Bestimme ihre Gesamtsumme, ohne alle zehn Zahlen einzeln zu addieren. Bilde stattdessen Paare von außen nach innen und erkläre, welches Muster die Paar-Summen haben und warum daraus die Gesamtsumme folgt.

Stell dir vor, du addierst alle Fünferzahlen von \(5\) bis \(100\): \(5 + 10 + 15 + \dots + 95 + 100\). Es sind insgesamt genau \(20\) Zahlen in dieser Folge. Berechne die Gesamtsumme auf eine geschickte Weise und beschreibe kurz deinen Rechenweg.

Gegeben sind die beiden Multiplikationsaufgaben: (1) \(412 \cdot 16\) (2) \(206 \cdot 32\) a) Berechne beide Ergebnisse mit dem schriftlichen Rechenverfahren. b) Vergleiche die Ergebnisse. Was stellst du fest? c) Schau dir die Faktoren der beiden Aufgaben genau an. Kannst du erklären, warum die Ergebnisse in einem besonderen Zusammenhang stehen?

Gegeben ist die Zahl \(25\) als erster Faktor. Der zweite Faktor ist \(12\). a) Berechne das Produkt der beiden Zahlen. b) Wie verändert sich das Produkt, wenn du den ersten Faktor verdoppelst und den zweiten Faktor gleichzeitig halbierst? c) Was passiert mit dem ursprünglichen Produkt aus Aufgabe a), wenn du beide Faktoren verdoppelst?

Berechne die Ergebnisse dieser drei Aufgaben: a) \(240 \cdot 13\) b) \(24 \cdot 130\) c) \(240 \cdot 130\)

Untersuche die Produktpaare. Entscheide zuerst, bei welchen Teilaufgaben die Gleichheit allein aus der Regel „einen Faktor halbieren und den anderen verdoppeln“ folgt. Begründe diese Fälle ohne die Produkte vollständig auszurechnen. Vergleiche bei den übrigen Fällen die Produkte mit \(<\) oder \(>\). a) \(16 \cdot 25\) und \(8 \cdot 50\) b) \(20 \cdot 25\) und \(12 \cdot 40\) c) \(32 \cdot 25\) und \(16 \cdot 60\) d) \(44 \cdot 25\) und \(22 \cdot 50\)

Vergleiche die Ergebnisse. Entscheide für jedes Aufgabenpaar vor dem Rechnen, ob du im Kopf, halbschriftlich oder schriftlich vorgehen würdest. Begründe deine Verfahrenswahl kurz und setze dann das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) ein. a) \(1450 + 550 \quad \square \quad 3000 - 1050\) b) \(6700 - 2300 \quad \square \quad 3100 + 1300\) c) \(82\,407 - 13\,958 \quad \square \quad 54\,286 + 14\,173\)

a) Berechne das Ergebnis von \(1344 : 6\) schriftlich. b) Bestimme das Ergebnis von \(2688 : 6\), ohne erneut den kompletten Rechenweg der schriftlichen Division durchzuführen. Erkläre kurz, wie du das Ergebnis mithilfe von Teilaufgabe a) finden kannst.

\(120\) Namensschilder werden gleichmäßig auf \(3\) Tische verteilt. An einem ausgewählten Tisch werden zusätzlich \(8\) Päckchen mit je \(5\) Aufklebern ausgelegt. Welcher Rechenbaum beschreibt die Gesamtzahl aus Namensschildern und Aufklebern an diesem Tisch? Nenne den Buchstaben und berechne.

Eine Gärtnerei hat \(912\) Setzlinge. \(456\) davon werden in ein Beet gepflanzt. Für ein zweites Beet bestellt die Gärtnerei doppelt so viele Setzlinge, wie danach noch vorhanden sind. Welcher Rechenbaum beschreibt die Zahl der neu bestellten Setzlinge? Nenne den Buchstaben und berechne.

Untersuche die ANNA-Partnerzahlen \(2552\) und \(5225\) sowie \(3663\) und \(6336\). a) Addiere jeweils die beiden Partnerzahlen. b) Erkläre mit den Stellenwertspalten, warum in beiden Fällen jede Ergebnisziffer gleich ist. c) Formuliere, was bei ANNA-Partnerzahlen passiert, wenn die beiden verwendeten Ziffern zusammen weniger als \(10\) ergeben.

In beiden Rechendreiecken ist jede Außenzahl die Summe der beiden angrenzenden Eckzahlen. a) Berechne in Dreieck 1 und Dreieck 2 alle Außenzahlen. b) Vergleiche Dreieck 1 und Dreieck 2. Wie verändern sich die Außenzahlen, wenn jede Eckzahl um \(10\) erhöht wird? Formuliere die Regel.

Eine vierstellige ANNA-Zahl besteht aus zwei verschiedenen Ziffern; die Partnerzahl vertauscht Außen- und Innenziffer. Untersuche die Partnerpaare \(1661\) und \(6116\) sowie \(4884\) und \(8448\). a) Berechne jeweils die Summe der Partnerzahlen. b) Beim ersten Paar entsteht eine vierstellige Zahl mit vier gleichen Ziffern, beim zweiten nicht. Erkläre den Unterschied mithilfe der Ziffernsummen und der Überträge. c) Formuliere eine Regel dafür, wann die Summe zweier ANNA-Partnerzahlen aus vier gleichen Ziffern besteht.

Finde heraus, welche der folgenden Aufgaben das gleiche Ergebnis haben. Überlege zuerst ohne zu rechnen und begründe deine Vermutung. Überprüfe danach deine Ergebnisse durch schriftliche Division. a) \(744\,\text{€} : 6\) b) \(372\,\text{€} : 3\) c) \(744\,\text{€} : 3\) d) \(248\,\text{€} : 2\)

Dies ist ein „schönes Päckchen“. Rechne zuerst die Aufgaben aus und setze das Muster dann um zwei Zeilen fort. \(10\,203 + 19\,998\) \(20\,304 + 19\,998\) \(30\,405 + 19\,998\) Vergleiche bei jeder Aufgabe die erste Zahl mit dem Ergebnis. Was fällt dir auf?

Denke dir eine dreistellige Zahl aus. Multipliziere sie nacheinander mit \(2\), dann mit \(2\) und zum Schluss mit \(25\). Untersuche das Ergebnis bei mindestens drei verschiedenen Zahlen. Welche Regel kannst du für das Endergebnis formulieren? Erkläre, warum diese Regel immer gilt.

Eine TILL-Zahl besteht aus zwei zweistelligen Hälften. Ihre Partnerzahl entsteht, indem man die beiden Hälften vertauscht. Für eine TILL-Zahl mit den Hälften \(A\) und \(B\) gilt für Zahl plus Partnerzahl die Summen-Regel \((A+B) \cdot 101\). Lina Novak hat eine TILL-Zahl und ihre Partnerzahl addiert und \(9191\) erhalten. Die erste Hälfte der gesuchten TILL-Zahl ist \(50\). Wie lautet die vollständige TILL-Zahl? Nutze die Summen-Regel und prüfe deine Lösung durch Addition mit der Partnerzahl.

Betrachte die Multiplikationsaufgaben für die Zahl \(808\). In dieser Aufgabe bedeutet das Muster \(XYXY\): Ein zweistelliger Block \(XY\), dessen erste Ziffer nicht \(0\) ist, steht zweimal direkt hintereinander. Führende Nullen werden nicht ergänzt. 1. Berechne \(808 \cdot 2\), \(808 \cdot 4\) und \(808 \cdot 6\). 2. Bei \(808 \cdot 1\) erhältst du \(808\). Erkläre, warum dieses Ergebnis nach der angegebenen Definition nicht dem Muster \(XYXY\) entspricht. 3. Wie müsste das Ergebnis von \(808 \cdot 12\) aussehen, wenn man nur das Muster der Ziffernwiederholung betrachtet? Überprüfe durch Rechnung, ob das Muster hier noch stimmt.

<table><tbody> <tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr> <tr><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>16</td><td>17</td><td>18</td><td>19</td><td>20</td></tr> <tr><td>21</td><td>22</td><td>23</td><td>24</td><td>25</td><td>26</td><td>27</td><td>28</td><td>29</td><td>30</td></tr> <tr><td>31</td><td>32</td><td>33</td><td>34</td><td>35</td><td>36</td><td>37</td><td>38</td><td>39</td><td>40</td></tr> <tr><td>41</td><td>42</td><td>43</td><td>44</td><td>45</td><td>46</td><td>47</td><td>48</td><td>49</td><td>50</td></tr> <tr><td>51</td><td>52</td><td>53</td><td>54</td><td>55</td><td>56</td><td>57</td><td>58</td><td>59</td><td>60</td></tr> <tr><td>61</td><td>62</td><td>63</td><td>64</td><td>65</td><td>66</td><td>67</td><td>68</td><td>69</td><td>70</td></tr> <tr><td>71</td><td>72</td><td>73</td><td>74</td><td>75</td><td>76</td><td>77</td><td>78</td><td>79</td><td>80</td></tr> <tr><td>81</td><td>82</td><td>83</td><td>84</td><td>85</td><td>86</td><td>87</td><td>88</td><td>89</td><td>90</td></tr> <tr><td>91</td><td>92</td><td>93</td><td>94</td><td>95</td><td>96</td><td>97</td><td>98</td><td>99</td><td>100</td></tr> </tbody></table> Wähle ein beliebiges \(3 \times 3\)-Quadrat aus der Hundertertafel aus. 1. Addiere alle \(9\) Zahlen deines gewählten Quadrats. 2. Suche die Zahl genau in der Mitte und multipliziere sie mit \(9\). 3. Vergleiche beide Ergebnisse. Was fällt dir auf? 4. Überprüfe deine Entdeckung an einem anderen \(3 \times 3\)-Quadrat. 5. Erkläre, warum das Muster immer funktioniert.

Vierstellige Zahlen mit dem Muster \(abab\) heißen NANA-Zahlen. Aus denselben zwei Ziffern entstehen zwei Partnerzahlen, zum Beispiel \(2121\) und \(1212\). Für dieses Beispiel mit Ziffernabstand \(1\) gilt \(2121 - 1212 = 909\). a) Bilde die beiden NANA-Zahlen aus \(6\) und \(1\), subtrahiere die kleinere von der größeren und vergleiche das Ergebnis mit \(909\). Welcher Zusammenhang zeigt sich zum Ziffernabstand? b) Finde alle Ziffernpaare zwischen \(1\) und \(9\), bei denen die positive Differenz der zugehörigen NANA-Zahlen genau \(1818\) beträgt. Schreibe jeweils die größere Ziffer zuerst. c) Wie groß ist der kleinstmögliche positive Unterschied zweier NANA-Partnerzahlen?

Zwei vierstellige ANNA-Partnerzahlen bestehen aus denselben zwei verschiedenen Ziffern aus \(1\) bis \(9\). Ihre Summe ist \(9999\), ihre positive Differenz ist \(4455\). Welche beiden Ziffern wurden verwendet und wie lauten die beiden ANNA-Zahlen? Begründe systematisch.

Untersuche die beiden ANNA-Paare \(2552\) und \(5225\) sowie \(3663\) und \(6336\). a) Berechne bei jedem Paar die Summe und die positive Differenz. b) Vom ersten zum zweiten Paar wurden beide verwendeten Ziffern jeweils um \(1\) erhöht. Was bleibt gleich und was verändert sich? c) Erkläre die Beobachtung mit den Stellenwerten der vier Ziffern.

In beiden Rechendreiecken ist jede Außenzahl die Summe der beiden angrenzenden Eckzahlen. a) Bestimme in Dreieck 1 und Dreieck 2 die drei fehlenden Eckzahlen. b) Vergleiche die beiden Lösungen. Wie verändern sich die Eckzahlen, wenn jede Außensumme um \(20\) erhöht wird? Begründe die Regel.