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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Überschlag und exakte Rechnung

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5518944
Für die Rechnung \(198 + 303\) soll nur ein schneller Überschlag gemacht werden. Welche Rechnung passt am besten? a) \(200 + 300\) b) \(100 + 300\) c) \(200 + 400\)

Denkanstöße

- Runde jede Zahl auf einen nahen Hunderter. - Wähle die Rechnung, die die Ausgangszahlen nur wenig verändert.

Lösung

\(198\) liegt nahe bei \(200\) und \(303\) nahe bei \(300\). Daher passt \(200 + 300\) am besten.

Antwort

a) \(200 + 300\)
5518954
Eine Rechnung ergibt exakt \(503\). Paul sagt: „Für eine schnelle Kontrolle hätte mir auch etwa \(500\) gereicht.“ Ist \(500\) hier ein exaktes Ergebnis oder ein Überschlag?

Denkanstöße

- Vergleiche die Wörter „exakt“ und „etwa“. - Frage dich, ob \(500\) denselben Genauigkeitsanspruch hat wie \(503\).

Lösung

Das Wort „etwa“ zeigt, dass \(500\) nur ein angenäherter Wert ist. Das exakte Ergebnis ist \(503\).

Antwort

\(500\) ist hier ein Überschlag, kein exaktes Ergebnis.
5529424
Du willst nur schnell prüfen, ob \(4{,}10\,\text{€} + 3{,}90\,\text{€}\) weniger als \(10\,\text{€}\) sind. Reicht ein Überschlag oder brauchst du dafür eine exakte Rechnung?

Denkanstöße

- Überlege, ob du den genauen Gesamtbetrag kennen musst oder nur eine schnelle Entscheidung treffen willst. - Runde die beiden Preise auf einfache Eurobeträge.

Lösung

1. Für die schnelle Entscheidung genügt ein Überschlag. 2. Die beiden Beträge liegen ungefähr bei \(4\,\text{€}\) und \(4\,\text{€}\), also zusammen bei etwa \(8\,\text{€}\). 3. Das liegt deutlich unter \(10\,\text{€}\).

Antwort

Ein Überschlag reicht.
4168564
Für eine Modellrechnung wird angenommen: Jeder von \(5\) Pfirsichen hat eine Masse von \(148\,\text{g}\) und kostet \(49\,\text{ct}\). a) Überschlage die Gesamtmasse der \(5\) Pfirsiche. Rechne dafür mit \(150\,\text{g}\) je Pfirsich. b) Berechne die Gesamtmasse genau. Um wie viele Gramm weicht dein Überschlag aus a) vom genauen Ergebnis ab? c) Überschlage den Gesamtpreis mit \(50\,\text{ct}\) je Pfirsich und berechne ihn danach genau. Gib beide Preise in Euro an.

Denkanstöße

- Nutze für den Überschlag in a) den vorgegebenen Näherungswert statt der genauen Einzelmasse. - Vergleiche in b) ausdrücklich dein geschätztes Ergebnis mit der genauen Rechnung. - Beim Preis kannst du zuerst in Cent rechnen und das Ergebnis anschließend in Euro schreiben.

Lösung

1. Für den Überschlag wird \(148\,\text{g}\) auf \(150\,\text{g}\) gerundet. Damit ergibt sich \(5\cdot150\,\text{g}=750\,\text{g}\). 2. Genau beträgt die Gesamtmasse \(5\cdot148\,\text{g}=740\,\text{g}\). Der Überschlag liegt um \(10\,\text{g}\) darüber. 3. Für den Preisüberschlag wird \(49\,\text{ct}\) auf \(50\,\text{ct}\) gerundet: \(5\cdot50\,\text{ct}=250\,\text{ct}=2{,}50\,\text{€}\). Genau kosten die Pfirsiche \(5\cdot49\,\text{ct}=245\,\text{ct}=2{,}45\,\text{€}\).

Antwort

a) Ungefähr \(750\,\text{g}\) b) Genau \(740\,\text{g}\); der Überschlag weicht um \(10\,\text{g}\) ab. c) Überschlag: \(2{,}50\,\text{€}\); genau: \(2{,}45\,\text{€}\)
5518794
Entscheide in jeder Situation, ob ein Überschlag ausreicht oder ob ein exaktes Ergebnis nötig ist. Begründe jeweils kurz. a) Vor der Rechnung \(47 \cdot 19\) möchtest du nur prüfen, ob das Ergebnis eher in der Größenordnung \(100\), \(1000\) oder \(10\,000\) liegt. b) An der Kasse kostet ein Einkauf \(37\,\text{€}\). Du bezahlst mit \(50\,\text{€}\) und musst den Rückgabebetrag bestimmen. c) Ein Fahrzeug darf höchstens \(1200\,\text{kg}\) laden. Die gemessene Ladung beträgt \(1195\,\text{kg}\). Es soll entschieden werden, ob die Grenze eingehalten wird.

Denkanstöße

- Frage dich zuerst, ob nur eine Größenordnung oder ein genauer Wert gebraucht wird. - Bei Geldrückgabe und festen Grenzwerten kann eine kleine Abweichung entscheidend sein. - Ein Überschlag ist besonders nützlich, wenn du nur die ungefähre Größenordnung prüfen möchtest.

Lösung

a) Ein Überschlag reicht. Zum Beispiel zeigt \(50 \cdot 20 = 1000\), dass die Größenordnung ungefähr \(1000\) ist. b) Ein exaktes Ergebnis ist nötig, weil der Rückgabebetrag genau stimmen muss: \(50\,\text{€} - 37\,\text{€} = 13\,\text{€}\). c) Ein exakter Vergleich ist nötig, weil die Ladung sehr nahe an der Grenze liegt. \(1195\,\text{kg} < 1200\,\text{kg}\), also wird die Grenze eingehalten.

Antwort

a) Überschlag reicht. b) Exakte Rechnung nötig. c) Exakter Vergleich nötig.
4168584
Der Spielwarenladen Nordstern verschickt \(4\) identische Pakete. Zusammen wiegen die Pakete \(7980\,\text{g}\). Der Versand kostet insgesamt \(11{,}60\,\text{€}\). a) Wie viel Gramm wiegt ein Paket ungefähr? b) Wie viel Cent kostet der Versand für ein Paket?

Denkanstöße

- Auf welche Tausenderzahl kannst du \(7980\) runden, um leichter durch 4 zu teilen? - Vergiss nicht, den Euro-Betrag in Cent umzurechnen. - Zerlege den Centbetrag in gut durch 4 teilbare Teile.

Lösung

1. Das Gesamtgewicht von \(7980\,\text{g}\) liegt sehr nah an \(8000\,\text{g}\). Die Division \(8000\,\text{g} : 4 = 2000\,\text{g}\) (oder \(2\,\text{kg}\)) ergibt das ungefähre Gewicht eines Pakets. 2. Der Gesamtpreis von \(11{,}60\,\text{€}\) entspricht \(1160\,\text{ct}\). Die Division \(1160\,\text{ct} : 4\) wird durchgeführt (\(1000 : 4 = 250\); \(160 : 4 = 40\)), was zu \(290\,\text{ct}\) pro Paket führt.

Antwort

a) Ein Paket wiegt ungefähr \(2000\,\text{g}\) (oder \(2\,\text{kg}\)). b) Der Versand für ein Paket kostet \(290\,\text{ct}\) (oder \(2{,}90\,\text{€}\)).
4168594
An einem Marktstand kauft Familie Müller verschiedene Obst- und Gemüsesorten ein. Berechne die fehlenden Gesamtpreise für jede Sorte sowie den Endbetrag. Prüfe dein Ergebnis am Ende mit einem Überschlag. <table> <tr> <th>Menge</th> <th>Sorte</th> <th>Preis pro kg</th> <th>Gesamtpreis</th> </tr> <tr> <td>\(3\,\text{kg}\)</td> <td>Äpfel</td> <td>\(1{,}95\,\text{€}\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(2\,\text{kg}\)</td> <td>Birnen</td> <td>\(2{,}49\,\text{€}\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(5\,\text{kg}\)</td> <td>Kartoffeln</td> <td>\(0{,}75\,\text{€}\)</td> <td></td> </tr> <tr> <td></td> <td><strong>Gesamt</strong></td> <td></td> <td></td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Multipliziere zuerst die Menge mit dem Preis für ein Kilogramm. - Addiere danach alle Einzelsummen, um den Gesamtbetrag zu erhalten. - Runde die Preise für den Überschlag auf einfache Beträge wie \(2{,}00\,\text{€}\) oder \(0{,}80\,\text{€}\).

Lösung

1. Berechnung der Gesamtpreise der einzelnen Sorten: Äpfel: \(3 \cdot 1{,}95\,\text{€} = 5{,}85\,\text{€}\) Birnen: \(2 \cdot 2{,}49\,\text{€} = 4{,}98\,\text{€}\) Kartoffeln: \(5 \cdot 0{,}75\,\text{€} = 3{,}75\,\text{€}\) 2. Berechnung der Gesamtsumme: \(5{,}85\,\text{€} + 4{,}98\,\text{€} + 3{,}75\,\text{€} = 14{,}58\,\text{€}\) 3. Überschlag zur Kontrolle: \(3 \cdot 2\,\text{€} + 2 \cdot 2{,}50\,\text{€} + 5 \cdot 0{,}80\,\text{€} = 6\,\text{€} + 5\,\text{€} + 4\,\text{€} = 15\,\text{€}\). Das Ergebnis \(14{,}58\,\text{€}\) ist plausibel.

Antwort

Die Gesamtpreise sind \(5{,}85\,\text{€}\) für Äpfel, \(4{,}98\,\text{€}\) für Birnen und \(3{,}75\,\text{€}\) für Kartoffeln. Der Endbetrag beträgt \(14{,}58\,\text{€}\). Ein Überschlag ergibt ungefähr \(15\,\text{€}\); damit ist der exakte Endbetrag plausibel.
4169614
Eine Gruppe von \(6\) Kindern kauft ein Abschiedsgeschenk für ihre Lehrerin Frau Novak. Das Geschenk kostet insgesamt \(112{,}50\,\text{€}\). Wie viel Euro muss jedes Kind bezahlen, wenn die Kosten gleichmäßig aufgeteilt werden? Schätze das Ergebnis zuerst mit einem Überschlag.

Denkanstöße

- Überlege dir eine Zahl in der Nähe des Gesamtpreises, die sich leicht durch 6 teilen lässt. - Es kann helfen, den Euro-Betrag zuerst komplett in Cent umzurechnen. - Denke am Ende daran, das Ergebnis wieder mit einem Komma als Euro-Betrag zu schreiben.

Lösung

1. Ein möglicher Überschlag ist \(120\,\text{€}:6=20\,\text{€}\). 2. Für die genaue Rechnung gilt \(112{,}50\,\text{€}=11\,250\,\text{ct}\). 3. \(11\,250\,\text{ct}:6=1875\,\text{ct}\). 4. \(1875\,\text{ct}=18{,}75\,\text{€}\).

Antwort

Ein möglicher Überschlag ergibt \(20\,\text{€}\) pro Kind. Genau muss jedes Kind \(18{,}75\,\text{€}\) bezahlen.
4171624
Ein Grundschulkind nimmt täglich aus verschiedenen Quellen folgende Flüssigkeitsmengen auf: <table> <tr><td>Mineralwasser</td><td>\(820\,\text{ml}\)</td></tr> <tr><td>Saftschorle</td><td>\(210\,\text{ml}\)</td></tr> <tr><td>Früchtetee</td><td>\(190\,\text{ml}\)</td></tr> <tr><td>Milch</td><td>\(240\,\text{ml}\)</td></tr> <tr><td>Suppe</td><td>\(180\,\text{ml}\)</td></tr> </table> a) Überschlage die täglich aufgenommene Gesamtmenge in Millilitern. b) Wie viele Liter und Milliliter Flüssigkeit nimmt das Kind ungefähr in einer Woche (\(7\) Tage) auf? Nutze deinen Überschlag aus a). c) Schätze die Flüssigkeitsaufnahme für einen Monat (\(30\) Tage) in Litern.

Denkanstöße

- Runde die Einzelmengen so, dass du sie leicht addieren kannst. - Nutze für die Woche den Tagesüberschlag mehrfach. - Denke daran, dass \(1000\,\text{ml}=1\,\text{l}\) gilt. - Für den Monat sind in dieser Aufgabe \(30\) Tage vorgegeben.

Lösung

1. Gerundet ergibt sich täglich \(800\,\text{ml}+200\,\text{ml}+200\,\text{ml}+200\,\text{ml}+200\,\text{ml}=1600\,\text{ml}\). 2. Für eine Woche: \(1600\,\text{ml}\cdot7=11\,200\,\text{ml}=11\,\text{l}\ 200\,\text{ml}\). 3. Für \(30\) Tage: \(1600\,\text{ml}\cdot30=48\,000\,\text{ml}=48\,\text{l}\).

Antwort

a) ungefähr \(1600\,\text{ml}\) b) ungefähr \(11\,\text{l}\ 200\,\text{ml}\) c) ungefähr \(48\,\text{l}\)
4171634
In einem Haushalt fallen täglich verschiedene Mengen an Abfall an: <table> <tr><td>Bioabfall</td><td>\(1250\,\text{g}\)</td></tr> <tr><td>Altpapier</td><td>\(810\,\text{g}\)</td></tr> <tr><td>Wertstoffe (Gelbe Tonne)</td><td>\(590\,\text{g}\)</td></tr> <tr><td>Restmüll</td><td>\(450\,\text{g}\)</td></tr> </table> a) Überschlage das tägliche Gesamtgewicht des Abfalls. b) Berechne das genaue Gesamtgewicht pro Tag in Gramm. c) Wie viele Kilogramm Müll sind das ungefähr in einer Woche (\(7\) Tage)? Nutze das genaue Ergebnis aus b) für die Rechnung.

Denkanstöße

- Beim Überschlagen hilft es, die Zahlen auf die nächsten Hunderter zu runden. - Für die genaue Summe kannst du die Angaben nach ihren Stellenwerten ordnen oder passende Teilsummen bilden. - Weißt du noch, wie viele Gramm ein Kilogramm ergeben?

Lösung

1. Überschlag durch Runden: \(1300\,\text{g} + 800\,\text{g} + 600\,\text{g} + 500\,\text{g} = 3200\,\text{g}\). 2. Genaue Addition der Werte: \(1250\,\text{g} + 810\,\text{g} + 590\,\text{g} + 450\,\text{g} = 3100\,\text{g}\). 3. Wöchentliche Menge berechnen: \(3100\,\text{g} \cdot 7 = 21\,700\,\text{g}\). 4. Umrechnung in Kilogramm: \(21\,700\,\text{g} = 21\,\text{kg}\) und \(700\,\text{g}\), also ungefähr \(22\,\text{kg}\).

Antwort

a) Der tägliche Abfall wiegt überschlagen ca. \(3200\,\text{g}\). b) Das genaue Gewicht beträgt \(3100\,\text{g}\). c) In einer Woche fallen \(21\,700\,\text{g}\) an, das sind ungefähr \(22\,\text{kg}\).
4374234
63 Kartons enthalten jeweils 18 Hefte. Eine Rechnung ergibt 1134 Hefte. Prüfe das Ergebnis zunächst mit einem Überschlag und danach exakt.

Denkanstöße

- Runde die Faktoren auf gut rechenbare Zehner, um das Ergebnis zunächst abzuschätzen. - Für die genaue Rechnung kannst du einen Faktor in einen gut rechenbaren Zehner und die passende Differenz zerlegen. - Vergleiche anschließend dein exaktes Ergebnis mit dem Überschlag: Liegen beide in derselben Größenordnung?

Lösung

Überschlag: \(63\approx60\) und \(18\approx20\), also etwa \(60\cdot20=1200\). 1134 liegt plausibel nahe daran. Exakt: \(63\cdot18=63\cdot(20-2)=1260-126=1134\).

Antwort

Überschlag: \(60\cdot20=1200\), daher ist 1134 plausibel. Exakt: \(63\cdot18=1260-126=1134\).
5518774
Für eine Schulaktion werden \(48\) Kartons mit jeweils \(24\) Bleistiften bestellt. Finn rechnet und erhält \(11\,520\) Bleistifte. Prüfe zuerst mit einem Überschlag, ob Finns Ergebnis plausibel sein kann. Rechne danach exakt und erkläre den Fehler in der Größenordnung.

Denkanstöße

- Runde beide Faktoren auf gut rechenbare Zahlen. - Vergleiche nur die Größenordnung des Überschlags mit Finns Ergebnis, bevor du exakt rechnest. - Prüfe anschließend die Stellenzahl deines exakten Produkts.

Lösung

1. Überschlag: \(48 \approx 50\) und \(24 \approx 25\). Damit ergibt sich ungefähr \(50 \cdot 25 = 1250\). Ein Ergebnis über \(11\,000\) ist deshalb viel zu groß. 2. Exakte Rechnung: \(48 \cdot 24 = 1152\). 3. Finns Ergebnis enthält gegenüber dem richtigen Ergebnis eine zusätzliche Zehnerstelle. Der Überschlag zeigt bereits, dass diese Größenordnung nicht stimmen kann.

Antwort

Finns Ergebnis ist nicht plausibel. Der Überschlag liegt bei ungefähr \(1250\), exakt sind es \(1152\) Bleistifte.
5518804
Für drei Klassen werden \(398\), \(607\) und \(191\) Arbeitsblätter kopiert. a) Überschlage die Gesamtzahl, indem du auf Hunderter rundest. b) Berechne die Gesamtzahl exakt. c) Um wie viele Blätter unterscheidet sich dein Überschlag vom exakten Ergebnis?

Denkanstöße

- Runde jede der drei Zahlen auf den nächsten gut passenden Hunderter. - Rechne danach mit den ursprünglichen Zahlen. - Die Abweichung ist der Abstand zwischen Überschlag und exaktem Ergebnis.

Lösung

1. Überschlag: \(398 \approx 400\), \(607 \approx 600\), \(191 \approx 200\). Also \(400 + 600 + 200 = 1200\). 2. Exakt: \(398 + 607 + 191 = 1196\). 3. Abweichung: \(1200 - 1196 = 4\).

Antwort

a) Überschlag: etwa \(1200\) Arbeitsblätter. b) Exakt: \(1196\) Arbeitsblätter. c) Der Überschlag liegt um \(4\) Blätter über dem exakten Ergebnis.
5518814
In einem Lager stehen \(198\) Kartons mit jeweils \(47\) Heften. Zwei Kinder schätzen die Gesamtzahl unterschiedlich: - Lea rundet beide Faktoren: \(200 \cdot 50\). - Ben rundet nur die Kartonzahl: \(200 \cdot 47\). a) Berechne beide Überschläge. b) Berechne die tatsächliche Heftzahl exakt. c) Bestimme für jeden Überschlag die Abweichung vom exakten Ergebnis. Welche Schätzstrategie ist hier genauer? Begründe.

Denkanstöße

- Berechne die beiden angegebenen Überschläge zunächst unabhängig voneinander. - Für die Genauigkeit zählt der Abstand zum exakten Ergebnis. - Vergleiche auch, wie stark die ursprünglichen Faktoren bei den beiden Strategien verändert wurden.

Lösung

1. Leas Überschlag: \(200 \cdot 50 = 10\,000\). 2. Bens Überschlag: \(200 \cdot 47 = 9400\). 3. Exakte Rechnung: \(198 \cdot 47 = 9306\). 4. Abweichung Lea: \(10\,000 - 9306 = 694\). 5. Abweichung Ben: \(9400 - 9306 = 94\). 6. Bens Strategie ist genauer, weil nur ein Faktor leicht verändert wird und die Abweichung mit \(94\) deutlich kleiner ist als \(694\).

Antwort

a) Lea: \(10\,000\); Ben: \(9400\). b) Exakt sind es \(9306\) Hefte. c) Leas Abweichung beträgt \(694\), Bens \(94\). Bens Überschlag ist genauer.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

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