- Prüfe für jedes Ereignis, ob passende Kugeln in der Urne vorkommen. - „Sicher“ bedeutet, dass kein anderes Ergebnis möglich ist. - „Unmöglich“ bedeutet, dass kein passendes Ergebnis in der Urne vorkommt.

1. Rote Kugeln sind vorhanden, aber auch blaue. Deshalb ist „rote Kugel“ möglich, aber nicht sicher. 2. Es gibt keine grüne Kugel. Deshalb ist „grüne Kugel“ unmöglich. 3. Alle Kugeln sind rot oder blau. Deshalb ist „rot oder blau“ sicher.

a) möglich b) unmöglich c) sicher

- Zähle die S-Felder und die K-Felder getrennt. - Bei gleich großen Feldern kannst du die beiden Anzahlen direkt vergleichen.

1. Auf dem Glücksrad sind \(4\) Felder mit S und \(2\) Felder mit K markiert. 2. Weil alle Felder gleich groß sind, ist Stern mit mehr Feldern wahrscheinlicher als Kreis.

Stern ist wahrscheinlicher als Kreis.

- Liste für jedes Ereignis die Würfelseiten auf, die zur Beschreibung passen. - Beim normalen Würfel sind alle sechs Seiten gleich wahrscheinlich. - Vergleiche danach, bei wie vielen Seiten jeweils gewonnen wird.

1. Für Ereignis A führen die Ergebnisse \(2, 4, 6\) zum Gewinn. 2. Für Ereignis B führt nur das Ergebnis \(6\) zum Gewinn. 3. Da beim fairen Würfel alle sechs Seiten gleich wahrscheinlich sind und A mehr Gewinnseiten hat, ist die Gewinnchance bei A größer.

A hat die größere Gewinnchance. Für A gewinnen \(2, 4, 6\); für B gewinnt nur \(6\).

- Vergleiche zuerst, wie groß der Goldanteil in den beiden Säckchen ist. - Vergleiche damit die \(4\) goldenen Ziehungen von \(10\). - Überlege zum Schluss, ob ein zufälliges Ergebnis das Säckchen sicher verraten kann.

1. Im Stern-Säckchen ist \(1\) von \(10\) Murmeln golden. Im Mond-Säckchen sind \(5\) von \(10\) Murmeln golden. 2. Bei den \(10\) Ziehungen kam \(4\)-mal Gold. Das passt deutlich besser zum Goldanteil des Mond-Säckchens. 3. Sicher weiß man es trotzdem nicht, weil auch beim Stern-Säckchen zufällig vier goldene Ziehungen möglich wären.

Das Mond-Säckchen passt besser. Dort sind \(5\) von \(10\) Murmeln golden; beobachtet wurden \(4\) goldene Ziehungen von \(10\). Sicher bestimmen lässt sich das Säckchen dadurch nicht.

- Schau zuerst, welche Farbe in jeder Dose häufiger ist. - Vergleiche damit, welche Farbe Lina und Emil häufiger gezogen haben. - „Passt besser“ bedeutet bei einem Zufallsversuch nicht „muss so gewesen sein“.

1. In der blauen Dose gibt es deutlich mehr blaue als weiße Knöpfe. Ergebnisse mit mehr Blau passen daher besser zu dieser Dose. 2. In der weißen Dose gibt es deutlich mehr weiße als blaue Knöpfe. Ergebnisse mit mehr Weiß passen besser zu ihr. 3. Emil zog häufiger Blau und passt deshalb besser zur blauen Dose. Lina zog häufiger Weiß und passt besser zur weißen Dose. 4. Sicher ist die Zuordnung bei nur \(4\) zufälligen Ziehungen trotzdem nicht.

Am besten passt: Emil zur blauen Dose und Lina zur weißen Dose. Sicher ist diese Zuordnung nicht.

- Vergleiche nicht nur die roten Kugeln, sondern die gesamte Zusammensetzung beider Urnen. - Prüfe, ob sich von Urne A zu Urne B nur eine Farbe oder beide Farben im gleichen Maß verändert haben. - Überlege, ob eine gleichmäßige Vergrößerung der ganzen Zusammensetzung den günstigen Anteil verändert.

1. Urne A enthält \(2\) rote und \(3\) blaue Kugeln. 2. Urne B enthält \(4\) rote und \(6\) blaue Kugeln. 3. In Urne B wurde damit sowohl die Zahl der roten als auch die Zahl der blauen Kugeln gegenüber Urne A genau verdoppelt. 4. Der Anteil der roten Kugeln hat sich dadurch nicht verändert. Beide haben dieselbe Gewinnchance; Jonas hat unrecht.

Nein. Urne B enthält von jeder Farbe genau doppelt so viele Kugeln wie Urne A. Die Zusammensetzung ist daher im gleichen Verhältnis vergrößert und die Gewinnchance ist gleich.

- Vergleiche, wie groß der rote Anteil am ganzen Rad jeweils ist. - Überlege, ob eine gemeinsame feinere Einteilung der beiden Räder den Vergleich erleichtern kann. - Deine Begründung soll sich auf die Größe des roten Anteils beziehen, nicht nur auf die Anzahl roter Felder.

1. Bei Glücksrad a) ist \(1\) von \(4\) gleich großen Feldern rot. Teilt man jedes Feld gedanklich noch einmal in zwei Teile, entspricht das \(2\) roten von \(8\) gleich großen Teilen. 2. Bei Glücksrad b) sind \(3\) von \(8\) gleich großen Feldern rot. 3. \(3\) rote Teile von \(8\) sind mehr als \(2\) von \(8\). Deshalb ist die Gewinnchance bei b) größer.

Bei Glücksrad b) ist die Gewinnchance größer. Bei einer Einteilung in acht gleich große Teile entsprechen bei a) \(2\) Teile dem roten Bereich, bei b) sind \(3\) Teile rot.

- Vergleiche in jeder Urne den Anteil der gelben Kugeln an allen Kugeln. - Überlege, ob du die beiden Zusammensetzungen auf eine gut vergleichbare Form bringen kannst. - Begründe deine Entscheidung mit den Anteilen und nicht nur mit der absoluten Zahl gelber Kugeln.

1. In Urne 1 liegen \(3\) gelbe und \(9\) blaue Kugeln. Man kann sie als drei gleiche Gruppen mit je \(1\) gelben und \(3\) blauen Kugeln sehen. 2. In Urne 2 liegen zu \(3\) blauen Kugeln \(2\) gelbe Kugeln. 3. Bei derselben Zahl blauer Kugeln gibt es in Urne 2 mehr gelbe Gewinnkugeln. Deshalb ist dort die Gewinnchance größer.

In Urne 2 ist die Gewinnchance größer: Zu \(3\) blauen Kugeln liegen dort \(2\) gelbe Gewinnkugeln, in der entsprechenden Gruppe von Urne 1 nur \(1\).

- Zähle die Kugeln jeder Farbe. - Überlege, wie die Anzahl einer Farbe mit ihrer Gewinnchance zusammenhängt, wenn jede Kugel gleich wahrscheinlich gezogen wird. - Frage dich bei b), welche Bedingung für Rot und Grün gelten muss, damit beide Farben dieselbe Chance haben.

1. Im Topf liegen \(3\) rote, \(4\) blaue und \(5\) grüne Kugeln. 2. Grün kommt am häufigsten vor und hat deshalb die größte Gewinnchance. 3. Damit Rot und Grün gleich wahrscheinlich sind, müssen beide Farben gleich oft im selben Topf vorkommen. Rot muss von \(3\) auf \(5\) Kugeln steigen. 4. Es müssen also \(2\) rote Kugeln dazukommen.

a) Grün. b) Es müssen \(2\) rote Kugeln dazukommen.

- Vergleiche direkt die Größen der Felder. - Bei unterschiedlich großen Feldern reicht es nicht, nur die Felder zu zählen. - Prüfe R mit B und danach B mit G.

1. Ein größeres Feld wird vom Zeiger häufiger getroffen als ein kleineres Feld. 2. Das R-Feld ist doppelt so groß wie das B-Feld. Deshalb ist R wahrscheinlicher als B. 3. B und G sind gleich groß. Deshalb sind B und G gleich wahrscheinlich.

R ist wahrscheinlicher als B. B und G sind gleich wahrscheinlich. Entscheidend ist die Größe der Felder.

- Zähle die beiden Buchstabenarten in der Ausgangsurne getrennt. - Überlege, welche Zusammensetzung bei gleichartigen Kugeln zu gleichen Gewinnchancen führt. - Beachte, dass du die vorhandenen Kugeln nicht entfernen darfst und genau zwei neue hinzukommen.

1. In der Urne liegen zunächst \(2\) G-Kugeln und \(4\) N-Kugeln. 2. Für gleiche Gewinnchancen müssen bei gleichartigen Kugeln gleich viele G- und N-Kugeln vorhanden sein. 3. Da genau zwei Kugeln ergänzt werden dürfen, müssen beide den Buchstaben G tragen. Danach liegen \(4\) G-Kugeln und \(4\) N-Kugeln in der Urne.

Füge zwei G-Kugeln hinzu. Danach enthält die Urne \(4\) G-Kugeln und \(4\) N-Kugeln; G und N sind dann gleich wahrscheinlich.

- Zähle zuerst die gleich großen Felder im Bild. - Suche zwei Anzahlen, die zusammen alle Felder ergeben und bei denen die eine doppelt so groß ist wie die andere. - Prüfe zusätzlich, ob beide Buchstaben mindestens einmal vorkommen.

1. Im Bild sind \(6\) gleich große Felder zu sehen. Bei gleich großen Feldern hängt die Gewinnchance von der Anzahl der A- und B-Felder ab. 2. A soll doppelt so viele Felder erhalten wie B, und zusammen müssen die beiden Anzahlen \(6\) ergeben. 3. Mit \(4\) A-Feldern und \(2\) B-Feldern gilt \(4 = 2 \cdot 2\); außerdem bleibt B möglich.

Beschrifte \(4\) Felder mit A und \(2\) Felder mit B. Dann ist A genau doppelt so wahrscheinlich wie B, und B bleibt möglich.

- Vergleiche, wie viele Seiten vor und nach der Änderung eine \(1\) zeigen. - Insgesamt bleiben es sechs Würfelseiten. - Gleiche Bedingungen bedeuten nicht, dass zwei Gruppen von \(30\) Würfen genau gleich aussehen müssen.

1. Vor der Änderung zeigt eine Würfelseite die \(1\). Danach zeigen zwei Seiten die \(1\), während es weiterhin sechs gleich wahrscheinliche Seiten gibt. 2. Deshalb wird die Chance auf eine \(1\) größer. 3. Trotzdem können zwei Gruppen von je \(30\) Würfen unterschiedlich ausfallen. Beide Kinder müssen nicht gleich viele Einsen würfeln.

a) Die Chance wird größer, weil danach zwei statt einer Würfelseite die \(1\) zeigen. b) Nein. Auch bei denselben Chancen können \(30\) Würfe unterschiedlich ausfallen.

- Vergleiche bei der Münze die beiden Seiten. - Zähle beim Glücksrad die gleich großen K- und Z-Felder. - Prüfe danach, ob K bei einem der beiden Spiele häufiger vertreten ist als Z.

1. Bei der fairen Münze gibt es eine K-Seite und eine Z-Seite. Beide sind gleich wahrscheinlich. 2. Beim Glücksrad gibt es zwei gleich große K-Felder und zwei gleich große Z-Felder. Auch dort sind beide Ergebnisse gleich wahrscheinlich. 3. Lea und Milo haben deshalb sowohl bei der Münze als auch beim Glücksrad gleich große Gewinnchancen.

a) Ja. b) Ja. c) Nein. Die Münze hat je eine gleich wahrscheinliche K- und Z-Seite; das Glücksrad hat je zwei gleich große K- und Z-Felder.

- Notiere jeden Wurf sofort bei der passenden Augenzahl. - Prüfe nach dem letzten Wurf, ob die sechs Häufigkeiten zusammen \(12\) ergeben. - Vergleiche für Teil c) die Häufigkeiten und achte auf mögliche Gleichstände. - Unterscheide zwischen der Chance vor dem Experiment und den Häufigkeiten, die du tatsächlich beobachtest.

1. Jeder der \(12\) Würfe wird genau einer der sechs Augenzahlen zugeordnet und in der Strichliste erfasst. 2. Die sechs Häufigkeiten müssen zusammen \(12\) ergeben. 3. Für Teil c) werden die sechs beobachteten Häufigkeiten verglichen; Gleichstände sind möglich. 4. Bei einem fairen Würfel sind die sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich. In nur \(12\) Würfen müssen ihre beobachteten Häufigkeiten trotzdem nicht gleich sein.

a) Individuelle Lösung. Die Strichliste muss genau \(12\) Würfe auf die sechs Ergebnisse \(1\) bis \(6\) verteilen. b) Die sechs Häufigkeiten müssen zusammen \(12\) ergeben. c) Individuelle Lösung entsprechend den beobachteten Häufigkeiten; Gleichstände sind möglich. d) Nein. Gleiche Chancen bedeuten nicht, dass in einer kurzen Versuchsreihe alle Ergebnisse genau gleich häufig auftreten.

- Notiere jeden Wurf sofort. - Prüfe deine beiden Häufigkeiten mit der Gesamtzahl \(20\). - Für das Säulendiagramm verwendest du dieselben beiden Häufigkeiten. - „Gleich wahrscheinlich“ bedeutet nicht „bei \(20\) Würfen genau gleich oft“.

1. Jeder der \(20\) Würfe wird als Kopf oder Zahl in der Strichliste notiert. 2. Sind die Häufigkeiten \(k\) für Kopf und \(z\) für Zahl, muss \(k + z = 20\) gelten. 3. Die beiden Säulenhöhen sind genau \(k\) und \(z\). 4. Gleiche Chancen bedeuten nicht, dass Kopf und Zahl bei nur \(20\) Würfen genau gleich oft auftreten müssen. Ein neuer Versuch kann anders ausfallen.

a) Individuelle Lösung; die Strichliste muss genau \(20\) Würfe enthalten. b) Die beiden Häufigkeiten müssen zusammen \(20\) ergeben. c) Die Säulenhöhen sind die beiden beobachteten Häufigkeiten. d) Nein. Kopf und Zahl sind gleich wahrscheinlich, müssen aber bei \(20\) Würfen nicht genau je \(10\)-mal auftreten.

- Vergleiche in jeder Urne die roten und blauen Kugeln. - Überlege, zu welcher Urne \(16\) rote Ziehungen besser passen. - Ein Zufallsergebnis kann besser zu einer Urne passen, ohne die andere sicher auszuschließen.

1. In Urne a) liegen \(4\) rote und \(1\) blaue Kugel. Rot ist dort deutlich wahrscheinlicher als Blau. 2. In Urne b) liegen \(1\) rote und \(4\) blaue Kugeln. Dort ist Blau deutlich wahrscheinlicher. 3. \(16\) rote und \(4\) blaue Ziehungen passen deshalb viel besser zu Urne a). 4. Sicher weiß man es trotzdem nicht. Auch mit Urne b) wäre dieses Ergebnis zufällig möglich.

Urne a) passt besser, weil dort Rot häufiger vorkommt als Blau. Sicher bestimmen lässt sich die benutzte Urne aus den \(20\) Ziehungen trotzdem nicht.

- Zähle, wie viele gleich große Felder A und wie viele B zeigen. - Plane eine Tabelle, in der jede einzelne Drehung erfasst werden kann. - Eine Kontrolle betrifft die Gesamtzahl der Drehungen; sie sagt nicht voraus, dass beide Ergebnisse gleich oft auftreten müssen.

1. Auf dem Glücksrad kommen nur A und B vor. Das sind die beiden möglichen Ergebnisse. 2. Zwei von vier gleich großen Feldern zeigen A und zwei zeigen B. Deshalb sind A und B gleich wahrscheinlich. 3. Eine passende Tabelle hat die Spalten „Ergebnis“, „Strichliste“ und „Häufigkeit“. 4. Nach dem Experiment müssen die beiden Häufigkeiten zusammen \(20\) ergeben. Gleich wahrscheinlich bedeutet aber nicht, dass bei nur \(20\) Drehungen zwingend beide Ergebnisse genau \(10\)-mal auftreten.

a) A und B. b) A und B sind gleich wahrscheinlich. c) „Ergebnis“, „Strichliste“, „Häufigkeit“. d) Die beiden Häufigkeiten müssen zusammen \(20\) ergeben. Nein, A und B müssen nicht genau gleich oft auftreten.

- Vergleiche bei Mia den roten Teil jedes ganzen Rades. - Bei Ben hilft es, günstige Felder und Gesamtzahl der gleich großen Felder gemeinsam zu betrachten. - Entscheidend ist der Anteil der günstigen Fläche, nicht nur die Zahl günstiger Felder.

1. Bei Rad A ist genau die Hälfte der gleich großen Felder rot. Bei Rad B ist weniger als die Hälfte rot. Deshalb ist Mias Gewinnchance bei Rad A größer. 2. Für Ben werden die gelben Felder verglichen. Auf beiden Rädern gibt es gleich viele gelbe Felder, Rad B hat aber insgesamt weniger gleich große Felder. Deshalb nimmt Gelb auf Rad B einen größeren Anteil ein und Bens Gewinnchance ist dort größer.

a) Mia sollte Rad A wählen, weil dort ein größerer Anteil des Rades rot ist. b) Ben sollte Rad B wählen, weil die gleich vielen gelben Felder dort auf weniger Gesamtfelder verteilt sind.

- Vergleiche bei jedem Rad den roten Teil mit dem ganzen Rad. - Prüfe, ob bei einem Rad genau die Hälfte der gleich großen Felder rot ist. - Gleiche Anzahlen günstiger Felder bedeuten bei verschiedenen Gesamtzahlen nicht automatisch gleiche Chancen.

1. Auf Rad A sind \(3\) von \(6\) gleich großen Feldern rot. Damit ist genau die Hälfte des Rades rot. 2. Auf Rad B sind ebenfalls \(3\) Felder rot, insgesamt gibt es dort aber \(8\) gleich große Felder. Für die Hälfte müssten \(4\) Felder rot sein. 3. Jonas betrachtet nur die Zahl der roten Felder und übersieht die unterschiedliche Gesamtzahl der Felder. 4. Deshalb ist die Gewinnchance bei Rad A größer.

a) Jonas hat unrecht, weil gleiche Anzahlen roter Felder bei unterschiedlich vielen Gesamtfeldern nicht dieselbe Gewinnchance bedeuten. b) Rad A hat die größere Gewinnchance, weil dort genau die Hälfte des Rades rot ist; bei Rad B ist es weniger als die Hälfte.

- Vergleiche in beiden Gläsern den Anteil der blauen Kugeln an allen Kugeln. - Überlege, wie sich die beiden Zusammensetzungen auf eine gut vergleichbare Form bringen lassen. - Für ein sicheres Ziehergebnis darf die andere Farbe keine mögliche Ziehung mehr sein.

1. Glas 1 enthält \(1\) blaue und \(3\) rote Kugeln. Verdoppelt gedacht wären das \(2\) blaue und \(6\) rote Kugeln, also \(8\) Kugeln. 2. Glas 2 enthält ebenfalls \(8\) Kugeln, davon sind \(3\) blau. Deshalb ist die Gewinnchance in Glas 2 größer. 3. In Glas 1 ist Blau erst sicher, wenn keine rote Kugel mehr darin liegt. Es müssen also alle \(3\) roten Kugeln herausgenommen werden.

a) In Glas 2 ist die Gewinnchance größer. b) Es müssen alle \(3\) roten Kugeln herausgenommen werden.

- Bestimme für beide Änderungen getrennt die neue Anzahl von G- und N-Kugeln. - Vergleiche danach in jeder veränderten Urne Gewinnkugeln und Nieten. - Beurteile bei deiner Entscheidung nicht nur die Zahl der G-Kugeln, sondern auch, wie viele N-Kugeln daneben verbleiben.

1. Anfangs liegen \(2\) G-Kugeln und \(6\) N-Kugeln in der Urne. 2. Nach Änderung A liegen \(4\) G-Kugeln und \(4\) N-Kugeln in der Urne. Gewinn und Niete sind damit gleich häufig. 3. Nach Änderung B liegen \(4\) G-Kugeln und \(6\) N-Kugeln in der Urne. Nieten sind weiterhin häufiger als Gewinnkugeln. 4. Deshalb verbessert Änderung A die Gewinnchance stärker.

Änderung A verbessert die Gewinnchance stärker. Danach gibt es gleich viele G- wie N-Kugeln; nach Änderung B gibt es weiterhin mehr N- als G-Kugeln.

- Bei gleich großen Feldern kannst du die günstigen Felder für Samira und Kian vergleichen. - Überlege für die Änderung, wie die beiden Anzahlen aussehen müssten, damit keiner bevorzugt wird. - Prüfe nach deiner Änderung die Gewinnchancen von Samira und Kian erneut unter derselben Regel.

1. Im gezeigten Rad tragen drei gleich große Felder S und ein Feld K. Deshalb hat Samira mehr günstige Felder als Kian; das Spiel ist nicht fair. 2. Wird eines der drei S-Felder zu K geändert, gibt es anschließend zwei S-Felder und zwei K-Felder. 3. Weil alle Felder gleich groß sind, haben Samira und Kian dann gleich große Gewinnchancen. Das Spiel ist fair.

a) Nein. Samira hat bei den gleich großen Feldern mehr Gewinnmöglichkeiten als Kian. b) Ja. Ändere eines der S-Felder in K. Dann gibt es jeweils \(2\) gleich große S- und K-Felder, also gleiche Gewinnchancen.

- Vergleiche zuerst nur die Felder der beiden Räder. - Schau danach auf die Ergebnisse der jeweils \(12\) Drehungen. - Eine größere Chance bedeutet nicht, dass bei jeder kurzen Reihe genau dasselbe Muster auftreten muss.

1. Bei a) tragen zwei der vier gleich großen Felder S und zwei K. Beide Ergebnisse sind dort gleich wahrscheinlich. 2. Bei b) tragen drei Felder S und nur eines K. S ist dort also wahrscheinlicher als bei a). 3. Beobachtet wurden bei b) \(9\) S und bei a) \(7\) S. Das passt zur größeren S-Chance bei b). 4. Trotzdem muss bei neuen \(12\) Drehungen nicht jedes Mal b) mehr S liefern. Zufällige Ergebnisse können unterschiedlich ausfallen.

a) Bei a) sind S und K gleich wahrscheinlich. Bei b) ist S wahrscheinlicher. b) Ja. Beobachtet wurden bei b) \(9\) S, bei a) \(7\) S. c) Nein. Die größere Chance legt kein bestimmtes Ergebnis für jede Gruppe von \(12\) Drehungen fest.

- Überlege zuerst, wie groß die gesamten A- und B-Anteile bei einem fairen Spiel sein müssten. - Untersuche die möglichen Vertauschungen eines A-Feldes mit einem B-Feld systematisch. - Kontrolliere nach jeder Vertauschung die gesamten Feldgrößen von A und B und begründe auch, warum die übrigen Möglichkeiten nicht passen.

1. Die Feldgrößen ergeben zusammen \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\). Damit A und B gleich wahrscheinlich sind, müssen auf beide Buchstaben jeweils insgesamt \(5\) Größenteile entfallen. 2. Vertauscht man A1 mit B3, gehören zu A danach die Größen \(2\) und \(3\): \(2 + 3 = 5\). Zu B gehören \(1 + 4 = 5\). 3. Vertauscht man A2 mit B4, gehören zu A danach \(1\) und \(4\): ebenfalls \(5\). Zu B gehören \(2 + 3 = 5\). 4. Die beiden anderen möglichen A-B-Vertauschungen ergeben für A \(6\) beziehungsweise \(4\) Größenteile. Dann sind A und B nicht gleich wahrscheinlich. 5. Deshalb funktionieren nur A1 ↔ B3 und A2 ↔ B4.

Es gibt zwei Lösungen: - A1 mit B3 vertauschen: A hat danach \(2 + 3 = 5\), B hat \(1 + 4 = 5\). - A2 mit B4 vertauschen: A hat danach \(1 + 4 = 5\), B hat \(2 + 3 = 5\). Die beiden anderen Vertauschungen ergeben keine gleich großen Anteile für A und B.