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- Prüfe für jedes Ereignis, ob passende Kugeln in der Urne vorkommen. - „Sicher“ bedeutet, dass kein anderes Ergebnis möglich ist; „unmöglich“ bedeutet, dass kein passendes Ergebnis vorhanden ist. - Die Buchstaben auf den Kugeln liefern dieselbe Information wie ihre Farben.

1. Rote Kugeln sind vorhanden, aber auch blaue. Deshalb ist „rote Kugel“ möglich, aber nicht sicher. 2. Es gibt keine grüne Kugel. Deshalb ist „grüne Kugel“ unmöglich. 3. Alle Kugeln sind mit R oder B gekennzeichnet. Deshalb ist „rot oder blau“ sicher.

a) möglich b) unmöglich c) sicher

- Zähle die S-Felder und die K-Felder getrennt. - Bei gleich großen Feldern kannst du die beiden Anzahlen direkt vergleichen.

1. Auf dem Glücksrad sind \(4\) Felder mit S und \(2\) Felder mit K markiert. 2. Weil alle Felder gleich groß sind, ist Stern mit mehr Feldern wahrscheinlicher als Kreis.

Stern ist wahrscheinlicher als Kreis.

- Liste für jedes Ereignis die Würfelseiten auf, die zur Beschreibung passen. - Beim normalen Würfel sind alle sechs Seiten gleich wahrscheinlich. - Vergleiche danach, bei wie vielen Seiten jeweils gewonnen wird.

1. Für Ereignis A führen die Ergebnisse \(2, 4, 6\) zum Gewinn. 2. Für Ereignis B führt nur das Ergebnis \(6\) zum Gewinn. 3. Da beim fairen Würfel alle sechs Seiten gleich wahrscheinlich sind und A mehr Gewinnseiten hat, ist die Gewinnchance bei A größer.

A hat die größere Gewinnchance. Für A gewinnen \(2, 4, 6\); für B gewinnt nur \(6\).

- Überlege dir, in welchem Säckchen die Chance auf eine goldene Murmel größer ist. - Schau dir an, wie oft Gold im Vergleich zur Gesamtzahl der Ziehungen vorkommt. - Vergleiche den Anteil im Versuch mit den Anteilen in den Säckchen.

1. Bestimmung der Anteile: In Säckchen A ist \(1\) von \(10\) Murmeln goldfarben. In Säckchen B sind \(5\) von \(10\) Murmeln goldfarben. 2. Analyse des Ziehungsergebnisses: Das Kind hat bei \(10\) Versuchen \(4\)-mal Gold gezogen. Das liegt nahe bei \(5\) von \(10\). 3. Vergleich: Das Ergebnis passt deutlich besser zu Säckchen B als zu Säckchen A.

Das Kind hat wahrscheinlich aus Säckchen B gezogen. Dort sind \(5\) von \(10\) Murmeln goldfarben. Das Ergebnis \(4\) von \(10\) liegt nahe daran. In Säckchen A ist dagegen nur \(1\) von \(10\) Murmeln goldfarben.

- In welcher Dose sind mehr blaue Knöpfe? - In welcher Versuchsreihe wurde öfter Blau gezogen? - Passt ein Ergebnis mit viel Weiß eher zu einer Dose mit vielen oder wenigen weißen Knöpfen?

1. Analyse von Dose 1: Hier sind deutlich mehr blaue Knöpfe (\(30\)) als weiße Knöpfe (\(10\)). Man zieht also wahrscheinlich öfter Blau. 2. Analyse von Dose 2: Hier sind deutlich mehr weiße Knöpfe (\(30\)) als blaue Knöpfe (\(10\)). Man zieht also wahrscheinlich öfter Weiß. 3. Zuordnung: In Versuch B wurde öfter Blau gezogen (\(3\) zu \(1\)), das passt zu Dose 1. In Versuch A wurde öfter Weiß gezogen (\(3\) zu \(1\)), das passt zu Dose 2.

Wahrscheinlich gehört Dose 1 zu Versuch B, weil Dose 1 mehr blaue Knöpfe enthält und in Versuch B häufiger Blau gezogen wurde. Wahrscheinlich gehört Dose 2 zu Versuch A, weil Dose 2 mehr weiße Knöpfe enthält und in Versuch A häufiger Weiß gezogen wurde.

- Vergleiche nicht nur die roten Kugeln, sondern beide Farben in den zwei Urnen. - Prüfe, ob sich von Urne A zu Urne B nur eine Farbe oder die gesamte Zusammensetzung im gleichen Maß verändert hat. - Überlege, ob eine gleichmäßige Vergrößerung der ganzen Zusammensetzung den günstigen Anteil verändert.

1. Urne A enthält \(2\) R-Kugeln und \(3\) B-Kugeln. 2. Urne B enthält \(4\) R-Kugeln und \(6\) B-Kugeln. 3. In Urne B wurde damit sowohl die Zahl der roten als auch die Zahl der blauen Kugeln gegenüber Urne A genau verdoppelt. 4. Das Verhältnis der Farben zueinander hat sich dadurch nicht verändert. Beide haben dieselbe Gewinnchance; Jonas hat unrecht.

Nein. Urne B enthält von jeder Farbe genau doppelt so viele Kugeln wie Urne A. Die Zusammensetzung ist daher im gleichen Verhältnis vergrößert und die Gewinnchance ist gleich.

- Vergleiche den roten Teil jedes ganzen Rades. - Du kannst dir vorstellen, die vier gleich großen Felder von a) jeweils noch einmal zu halbieren. - Vergleiche danach die roten Flächenteile bei gleich feiner Einteilung.

1. Bei Glücksrad a) ist \(1\) von \(4\) gleich großen Feldern rot. 2. Teilt man gedanklich jedes Feld von a) noch einmal in zwei gleich große Teile, wären \(2\) von \(8\) gleich großen Teilen rot. 3. Bei Glücksrad b) sind \(3\) von \(8\) gleich großen Feldern rot. 4. Damit ist der rote Teil bei b) größer als bei a), also ist dort die Gewinnchance größer.

Glücksrad b) ist günstiger. Bei gleicher Einteilung in acht Teile entspräche der rote Bereich von a) zwei Teilen, bei b) sind drei Teile rot.

- Vergleiche gelbe und blaue Kugeln nicht getrennt, sondern als Zusammensetzung der jeweiligen Urne. - Kannst du die größere Urne in mehrere gleich zusammengesetzte Gruppen zerlegen? - Vergleiche danach, wie viele Gewinnkugeln jeweils zu derselben Anzahl blauer Kugeln gehören.

1. In Urne 1 liegen \(3\) G-Kugeln und \(9\) B-Kugeln. 2. Diese Zusammensetzung lässt sich als drei gleiche Gruppen mit jeweils \(1\) G-Kugel und \(3\) B-Kugeln betrachten. 3. In Urne 2 liegen zu \(3\) B-Kugeln bereits \(2\) G-Kugeln. 4. Bezogen auf dieselbe Zahl blauer Kugeln enthält Urne 2 also mehr Gewinnkugeln. Dort ist die Gewinnchance größer.

In Urne 2 ist die Gewinnchance größer: Zu \(3\) blauen Kugeln liegen dort \(2\) gelbe Gewinnkugeln, in der entsprechenden Zusammensetzung von Urne 1 nur \(1\).

- Zähle die Kugeln mit R, B und G getrennt. - Im selben Topf bedeutet eine größere Anzahl einer Farbe auch einen größeren Anteil. - Für gleich große Chancen von Rot und Grün müssen die beiden Anzahlen nach der Änderung übereinstimmen.

1. Aus dem Bild werden \(3\) R-Kugeln, \(4\) B-Kugeln und \(5\) G-Kugeln gezählt. 2. Grün hat mit \(5\) Kugeln den größten Anteil und damit die größte Gewinnchance. 3. Für gleich große Chancen von Rot und Grün müssen beide Farben gleich viele Kugeln haben, weil sie im selben Topf liegen. 4. Rot muss von \(3\) auf \(5\) Kugeln erhöht werden; es müssen also \(2\) rote Kugeln dazukommen.

a) Grün hat die größte Gewinnchance. b) Es müssen \(2\) rote Kugeln dazukommen.

- Vergleiche die Flächen beziehungsweise Winkel der beschrifteten Felder. - Bei unterschiedlich großen Feldern reicht es nicht, nur die Zahl der Felder zu zählen. - Prüfe die beiden verlangten Vergleiche getrennt.

1. Beim Glücksrad entspricht ein größeres Feld einer größeren Gewinnchance. 2. Das R-Feld ist doppelt so groß wie das B-Feld. Deshalb ist R wahrscheinlicher als B. 3. Die Felder B und G sind gleich groß. Deshalb sind B und G gleich wahrscheinlich.

R ist wahrscheinlicher als B. B und G sind gleich wahrscheinlich. Entscheidend sind die Größen der Felder, nicht nur ihre Anzahl.

- Zähle die beiden Buchstabenarten in der Ausgangsurne getrennt. - Überlege, welche Zusammensetzung bei gleichartigen Kugeln zu gleichen Gewinnchancen führt. - Beachte, dass du die vorhandenen Kugeln nicht entfernen darfst und genau zwei neue hinzukommen.

1. In der Urne liegen zunächst \(2\) G-Kugeln und \(4\) N-Kugeln. 2. Für gleiche Gewinnchancen müssen bei gleichartigen Kugeln gleich viele G- und N-Kugeln vorhanden sein. 3. Da genau zwei Kugeln ergänzt werden dürfen, müssen beide den Buchstaben G tragen. Danach liegen \(4\) G-Kugeln und \(4\) N-Kugeln in der Urne.

Füge zwei G-Kugeln hinzu. Danach enthält die Urne \(4\) G-Kugeln und \(4\) N-Kugeln; G und N sind dann gleich wahrscheinlich.

- Bei gleich großen Feldern kannst du die Gewinnchancen über die Zahl der beschrifteten Felder vergleichen. - Suche zwei Anzahlen, die zusammen alle Felder ergeben und bei denen die eine doppelt so groß ist wie die andere. - Prüfe zusätzlich, ob beide Buchstaben mindestens einmal vorkommen.

1. Weil alle \(6\) Felder gleich groß sind, hängt die Gewinnchance von der Zahl der A- und B-Felder ab. 2. A soll doppelt so viele günstige Felder haben wie B. Gleichzeitig müssen alle \(6\) Felder verwendet werden. 3. Mit \(4\) A-Feldern und \(2\) B-Feldern sind beide Bedingungen erfüllt: \(4 = 2 \cdot 2\), und B bleibt möglich.

Beschrifte \(4\) Felder mit A und \(2\) Felder mit B. Dann ist A genau doppelt so wahrscheinlich wie B, und B bleibt möglich.

- Vergleiche vor und nach der Änderung, wie viele Würfelseiten das gewünschte Ergebnis zeigen. - Die Zahl der Würfelseiten insgesamt verändert sich nicht. - Unterscheide zwischen einer größeren Gewinnchance und einer festen Garantie für eine einzelne Versuchsreihe.

1. Vor der Änderung gibt es eine Seite mit der \(1\). Danach gibt es zwei Seiten mit der \(1\), während die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Seiten gleich bleibt. 2. Deshalb wird die Chance auf eine \(1\) größer. 3. Auch bei gleichen Bedingungen sind einzelne Würfelergebnisse zufällig. Zwei Serien mit je \(30\) Würfen müssen daher nicht genau gleich viele Einsen enthalten.

a) Die Chance wird größer, weil nach der Änderung zwei gleich wahrscheinliche Würfelseiten eine \(1\) zeigen statt nur einer. b) Nein. Bei Zufallsexperimenten können gleich lange Versuchsreihen unterschiedliche Häufigkeiten liefern.

- Vergleiche bei jedem Zufallsgerät nur gleich wahrscheinliche Seiten oder gleich große Felder. - Zähle getrennt, wie viele Möglichkeiten zu K und wie viele zu Z führen. - Prüfe anschließend, ob sich das Verhältnis von Gewinnmöglichkeiten beim Wechsel des Zufallsgeräts verändert.

1. Bei der fairen Münze gibt es eine K-Seite und eine Z-Seite; beide Seiten sind gleich wahrscheinlich. 2. Beim Glücksrad gibt es zwei K-Felder und zwei Z-Felder gleicher Größe; deshalb sind auch dort beide Ergebnisse gleich wahrscheinlich. 3. Lea und Milo haben bei beiden Zufallsgeräten gleich große Gewinnchancen. Keines der beiden Geräte verschafft Lea einen Vorteil.

a) Ja. b) Ja. c) Nein. Die Münze hat je eine gleich wahrscheinliche K- und Z-Seite; das Glücksrad hat je zwei gleich große K- und Z-Felder. In beiden Fällen sind die Gewinnchancen gleich groß.

- Vergleiche bei Mia den roten Teil jedes ganzen Rades. - Bei Ben hilft es, günstige Felder und Gesamtzahl der gleich großen Felder gemeinsam zu betrachten. - Entscheidend ist der Anteil der günstigen Fläche, nicht nur die Zahl günstiger Felder.

1. Bei Rad A ist genau die Hälfte der gleich großen Felder mit R gekennzeichnet. Bei Rad B sind weniger als die Hälfte der Felder mit R gekennzeichnet. Deshalb ist Mias Gewinnchance bei Rad A größer. 2. Für Ben werden die G-Felder verglichen. Auf beiden Rädern gibt es gleich viele G-Felder, Rad B hat aber insgesamt weniger gleich große Felder. Deshalb nimmt Gelb auf Rad B einen größeren Teil des Rades ein und Bens Gewinnchance ist dort größer.

a) Mia sollte Rad A wählen, weil dort ein größerer Teil des Rades rot ist. b) Ben sollte Rad B wählen, weil die gleich vielen gelben Felder dort auf weniger Gesamtfelder verteilt sind.

- Vergleiche bei jedem Rad den roten Teil mit dem ganzen Rad. - Prüfe, ob bei einem Rad genau die Hälfte der gleich großen Felder rot ist. - Gleiche Anzahlen günstiger Felder bedeuten bei verschiedenen Gesamtzahlen nicht automatisch gleiche Chancen.

1. Auf Rad A sind \(3\) von \(6\) gleich großen Feldern rot. Damit ist genau die Hälfte des Rades rot. 2. Auf Rad B sind ebenfalls \(3\) Felder rot, insgesamt gibt es dort aber \(8\) gleich große Felder. Für die Hälfte müssten \(4\) Felder rot sein. 3. Jonas betrachtet nur die Zahl der roten Felder und übersieht die unterschiedliche Gesamtzahl der Felder. 4. Deshalb ist die Gewinnchance bei Rad A größer.

a) Jonas hat unrecht, weil gleiche Anzahlen roter Felder bei unterschiedlich vielen Gesamtfeldern nicht dieselbe Gewinnchance bedeuten. b) Rad A hat die größere Gewinnchance, weil dort genau die Hälfte des Rades rot ist; bei Rad B ist es weniger als die Hälfte.

- Vergleiche die Zusammensetzungen der beiden Gläser; eine gleichmäßige Vergrößerung einer Zusammensetzung ändert die Chance nicht. - Es kann helfen, beide Gläser gedanklich auf dieselbe Gesamtzahl von Kugeln zu beziehen. - Für ein sicheres Ereignis darf kein anderes Ziehergebnis mehr möglich sein.

1. Glas 1 enthält \(1\) B-Kugel und \(3\) R-Kugeln. 2. Verdoppelt man diese Zusammensetzung gedanklich, erhält man \(2\) B-Kugeln und \(6\) R-Kugeln, also \(8\) Kugeln insgesamt. 3. Glas 2 enthält ebenfalls \(8\) Kugeln, aber \(3\) davon sind mit B gekennzeichnet. Deshalb ist die Gewinnchance in Glas 2 größer. 4. Sicher blau kann man aus Glas 1 erst ziehen, wenn dort keine R-Kugel mehr liegt. Deshalb müssen alle \(3\) roten Kugeln entfernt werden.

a) In Glas 2 ist die Gewinnchance größer. b) Es müssen alle \(3\) roten Kugeln herausgenommen werden.

- Bestimme für beide Änderungen getrennt die neue Anzahl von G- und N-Kugeln. - Vergleiche danach in jeder veränderten Urne Gewinnkugeln und Nieten. - Beurteile bei deiner Entscheidung nicht nur die Zahl der G-Kugeln, sondern auch, wie viele N-Kugeln daneben verbleiben.

1. Anfangs liegen \(2\) G-Kugeln und \(6\) N-Kugeln in der Urne. 2. Nach Änderung A liegen \(4\) G-Kugeln und \(4\) N-Kugeln in der Urne. Gewinn und Niete sind damit gleich häufig. 3. Nach Änderung B liegen \(4\) G-Kugeln und \(6\) N-Kugeln in der Urne. Nieten sind weiterhin häufiger als Gewinnkugeln. 4. Deshalb verbessert Änderung A die Gewinnchance stärker.

Änderung A verbessert die Gewinnchance stärker. Danach gibt es gleich viele G- wie N-Kugeln; nach Änderung B gibt es weiterhin mehr N- als G-Kugeln.

- Bei gleich großen Feldern kannst du die günstigen Felder für Samira und Kian vergleichen. - Überlege für die Änderung, wie die beiden Anzahlen aussehen müssten, damit keiner bevorzugt wird. - Prüfe nach deiner Änderung die Gewinnchancen von Samira und Kian erneut unter derselben Regel.

1. Im gezeigten Rad tragen drei gleich große Felder S und ein Feld K. Deshalb hat Samira mehr günstige Felder als Kian; das Spiel ist nicht fair. 2. Wird eines der drei S-Felder zu K geändert, gibt es anschließend zwei S-Felder und zwei K-Felder. 3. Weil alle Felder gleich groß sind, haben Samira und Kian dann gleich große Gewinnchancen. Das Spiel ist fair.

a) Nein. Samira hat bei den gleich großen Feldern mehr Gewinnmöglichkeiten als Kian. b) Ja. Ändere eines der S-Felder in K. Dann gibt es jeweils \(2\) gleich große S- und K-Felder, also gleiche Gewinnchancen.

- Vergleiche zuerst nur die Zusammensetzung der beiden Räder, noch ohne die Versuchsergebnisse zu betrachten. - Prüfe danach, ob die beobachtete Richtung der Veränderung zu deiner Vorhersage passt. - Unterscheide bei c) zwischen einer größeren Chance und einem Ergebnis, das bei jeder kurzen Versuchsreihe zwingend eintreten müsste.

1. Bei a) tragen zwei der vier gleich großen Felder S und zwei K. S und K sind dort gleich wahrscheinlich. 2. Bei b) tragen drei Felder S und nur eines K. Durch die Änderung ist S bei b) wahrscheinlicher als bei a). 3. In den beobachteten Reihen erscheint S bei b) \(9\)-mal und bei a) \(7\)-mal. Das passt zur Vorhersage einer größeren S-Chance bei b). 4. Die beiden kurzen Reihen beweisen aber nicht, dass dieses Verhältnis in jeder neuen Serie von \(12\) Drehungen auftreten muss. Zufällige Ergebnisse können von Serie zu Serie schwanken.

a) Bei a) sind S und K gleich wahrscheinlich. Bei b) ist S wahrscheinlicher, weil dort drei von vier gleich großen Feldern S tragen. b) Ja. In der beobachteten Reihe kommt S bei b) mit \(9\) Treffern häufiger vor als bei a) mit \(7\); das passt zur Vorhersage. c) Nein. Kurze Zufallsversuche können schwanken. Die veränderte Feldaufteilung ändert die Chance, erzwingt aber kein bestimmtes Ergebnis in jeder Serie von \(12\) Drehungen.

- Überlege zuerst, welche gesamte Feldgröße A und B bei einem fairen Spiel jeweils besitzen müssten. - Es gibt nur wenige Möglichkeiten, genau ein A-Feld mit genau einem B-Feld zu vertauschen. Untersuche sie systematisch. - Nach jeder Vertauschung zählt die Summe der Feldgrößen, die nun A beziehungsweise B tragen. - Eine vollständige Begründung muss auch erklären, warum die nicht genannten Vertauschungen scheitern.

1. Für gleiche Gewinnchancen müssen die gesamten Feldgrößen von A und B gleich sein. Die vier relativen Größen ergeben zusammen \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\), also muss nach der Vertauschung jede Buchstabengruppe die Gesamtgröße \(5\) haben. 2. Vertauscht man A1 mit B3, gehören danach die Größen \(2\) und \(3\) zu A. Das ergibt \(2 + 3 = 5\); B erhält \(1 + 4 = 5\). Diese Vertauschung funktioniert. 3. Vertauscht man A2 mit B4, gehören danach \(1\) und \(4\) zu A. Das ergibt ebenfalls \(5\); B erhält \(2 + 3 = 5\). Auch diese Vertauschung funktioniert. 4. Die beiden anderen möglichen A-B-Vertauschungen liefern A-Größen \(2 + 4 = 6\) beziehungsweise \(1 + 3 = 4\). Sie sind nicht fair. 5. Damit sind A1 ↔ B3 und A2 ↔ B4 die einzigen möglichen Vertauschungen.

Es gibt genau zwei Lösungen: - A1 mit B3 vertauschen: Danach hat A die Größen \(2 + 3 = 5\) und B die Größen \(1 + 4 = 5\). - A2 mit B4 vertauschen: Danach hat A die Größen \(1 + 4 = 5\) und B die Größen \(2 + 3 = 5\). Die beiden übrigen A-B-Vertauschungen ergeben keine gleich großen Gesamtfelder für A und B.