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- Schau dir die Endziffern der Zahlen an. Welche Zahlen ergeben zusammen eine glatte Zehner- oder Hunderterzahl? - Du darfst die Reihenfolge der Zahlen beim Addieren beliebig vertauschen. - Versuche zuerst Paare zu bilden, die sich leicht im Kopf zusammenrechnen lassen.

1. Anwendung des Vertauschungsgesetzes (Kommutativgesetz) und des Verbindungsgesetzes (Assoziativgesetz), um passende Paare zu bilden: \((64 + 36) + (19 + 81)\). 2. Berechnung der ersten Teilsumme: \(64 + 36 = 100\). 3. Berechnung der zweiten Teilsumme: \(19 + 81 = 100\). 4. Addition der Teilsummen: \(100 + 100 = 200\).

\((64+36)+(19+81)=100+100=200\)

- Schau dir die Endziffern der Zahlen an. Welche Zahlen ergänzen sich besonders gut zu einer Zehner- oder Hunderterzahl? - Musst du die Klammern genau so lassen, wie sie dastehen, oder darfst du bei der Addition die Reihenfolge der Rechenschritte ändern? - Erinnerst du dich an den Namen des Gesetzes, das erlaubt, Klammern bei reinen Additionsaufgaben anders zu setzen?

1. Anwendung des Assoziativgesetzes (Verbindungsgesetz), um die Klammern anders zu setzen: \((357 + 143) + 89\) 2. Berechnung der Teilsumme in der Klammer, die eine glatte Zahl ergibt: \(357 + 143 = 500\) 3. Addition des verbleibenden Summanden: \(500 + 89 = 589\)

Umformung: \(357+(143+89)=(357+143)+89=500+89=589\) Rechengesetz: Assoziativgesetz der Addition

- Welche Rechenart macht eine Addition wieder rückgängig? - Schau dir die Zahlen in der Aufgabe genau an – fällt dir eine Besonderheit auf? - Was passiert, wenn du eine Zahl erst dazuzählst und dann genau die gleiche Menge wieder wegnimmst?

1. Identifikation der Struktur: In dem Term wird zuerst die Zahl \(123\) addiert und anschließend dieselbe Zahl wieder subtrahiert. 2. Anwendung der Umkehroperation: Da Addition und Subtraktion Umkehroperationen sind, heben sich diese beiden Rechenschritte gegenseitig auf. 3. Ergebnisbestimmung: Das Endergebnis entspricht der ursprünglichen Zahl vor der ersten Rechenoperation, also \(456\).

Das Ergebnis ist \(456\). Man kann es ohne Rechnung angeben, weil die Subtraktion von \(123\) die vorherige Addition von \(123\) genau rückgängig macht (Umkehroperationen).

- Überlege dir, wie du eine Zahl so aufteilen kannst, dass du mit der Zahl 5 multiplizieren kannst. - Das kleine Einmaleins mit der 5 ist oft einfacher zu rechnen. - Vergiss nicht, den Rest der zerlegten Zahl ebenfalls mit dem anderen Faktor zu multiplizieren.

1. Für \(6 \cdot 7\): Zerlegung in \((5 + 1) \cdot 7 = 5 \cdot 7 + 1 \cdot 7 = 35 + 7 = 42\). 2. Für \(7 \cdot 8\): Zerlegung in \((5 + 2) \cdot 8 = 5 \cdot 8 + 2 \cdot 8 = 40 + 16 = 56\). 3. Für \(8 \cdot 9\): Zerlegung in \((5 + 3) \cdot 9 = 5 \cdot 9 + 3 \cdot 9 = 45 + 27 = 72\).

a) \((5+1)\cdot7=5\cdot7+1\cdot7=42\) b) \((5+2)\cdot8=5\cdot8+2\cdot8=56\) c) \((5+3)\cdot9=5\cdot9+3\cdot9=72\)

- Überlege, aus wie vielen Hundertern, Zehnern und Einern die Zahl besteht. - Das Verteilungsgesetz erlaubt es dir, jeden Teil einzeln zu multiplizieren. - Achte beim Zusammenrechnen der Ergebnisse auf die richtigen Stellenwerte.

1. Zerlegung der Zahl \(423\) in ihre Stellenwerte: \(400 + 20 + 3\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Summanden mit \(6\): \(400 \cdot 6 + 20 \cdot 6 + 3 \cdot 6\). 3. Berechnung der einzelnen Teilprodukte: \(2400 + 120 + 18\). 4. Addition der Teilprodukte zum Endergebnis: \(2538\).

\(423 \cdot 6 = (400 + 20 + 3) \cdot 6 = 400 \cdot 6 + 20 \cdot 6 + 3 \cdot 6 = 2400 + 120 + 18 = 2538\)

- Schau dir die letzten Stellen der Zahlen an. Welche Ziffern ergänzen sich zu 10 oder 100? - Die Reihenfolge der Zahlen in einer Additionsaufgabe darf vertauscht werden. - Gibt es eine Zahl, die fast eine „runde“ Zahl ist?

1. Suche nach Zahlenpaaren, die sich zu einer Zehner-, Hunderter- oder Tausenderzahl ergänzen. 2. Teilaufgabe a): \(367 + 633 = 1000\). Danach \(1000 + 149 = 1149\). 3. Teilaufgabe b): \(2450 + 550 = 3000\). Danach \(3000 + 871 = 3871\). 4. Teilaufgabe c): \(125 + 875 = 1000\). Danach \(1000 + 789 = 1789\). 5. Teilaufgabe d): \(444 + 556 = 1000\). Danach \(1000 + 99 = 1099\).

a) Zuerst \(367+633=1000\); Ergebnis \(1149\) b) Zuerst \(2450+550=3000\); Ergebnis \(3871\) c) Zuerst \(125+875=1000\); Ergebnis \(1789\) d) Zuerst \(444+556=1000\); Ergebnis \(1099\)

- Schau dir die Einerstellen der Zahlen genau an. Welche Paare ergänzen sich zu einer Zehnerzahl? - Darf man bei einer reinen Plus-Rechnung die Reihenfolge der Zahlen ändern? - Kannst du Klammern so setzen oder weglassen, dass „schöne“ Zwischenergebnisse entstehen?

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Kommutativgesetzes zum Vertauschen der Summanden: \(245 + 355 + 178\). Zusammenfassen der ersten beiden Zahlen ergibt \(600\). Addition der restlichen Zahl: \(600 + 178 = 778\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Assoziativgesetzes zum Umklammern: \((64 + 136) + 482\). Die Summe in der Klammer ergibt \(200\). Addition der restlichen Zahl: \(200 + 482 = 682\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes: \((712 + 288) + 599\). Die Klammer ergibt \(1000\). Addition der restlichen Zahl: \(1000 + 599 = 1599\).

a) \(245+178+355=(245+355)+178=778\); Kommutativ- und Assoziativgesetz b) \(64+(136+482)=(64+136)+482=682\); Assoziativgesetz c) \((712+599)+288=(712+288)+599=1599\); Kommutativ- und Assoziativgesetz

- Gibt es zwei Zahlen, deren Produkt eine Stufenzahl (10, 100, 1000...) ergibt? - Spielt die Reihenfolge bei einer Malrechnung eine Rolle für das Ergebnis? - Was ist einfacher: Erst mal 17 zu rechnen oder erst die beiden anderen Zahlen zu multiplizieren?

1. Identifikation vorteilhafter Faktoren: Das Produkt \(4 \cdot 25\) ergibt die glatte Zahl \(100\). 2. Umstellen der Faktoren mithilfe des Kommutativgesetzes: \(4 \cdot 25 \cdot 17\). 3. Zusammenfassen der Faktoren mithilfe des Assoziativgesetzes: \((4 \cdot 25) \cdot 17\). 4. Berechnung des ersten Produkts: \(100 \cdot 17\). 5. Bestimmung des Endergebnisses: \(1700\).

\(4 \cdot 17 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700\)

- Welche Zahl wird in Zehner und Einer zerlegt? - Welche beiden Teilprodukte entstehen dadurch? - Was musst du am Ende mit den beiden Teilprodukten tun?

1. Zerlege \(12\) in \(10 + 2\): \(15 \cdot (10 + 2)\). 2. Wende das Distributivgesetz an: \(15 \cdot 10 + 15 \cdot 2\). 3. Berechne die Teilprodukte: \(15 \cdot 10 = 150\) und \(15 \cdot 2 = 30\). 4. Addiere die Teilbeträge: \(150 + 30 = 180\). 5. Insgesamt sind es \(180\,\text{€}\).

Marco rechnet \(15 \cdot 12 = 15 \cdot 10 + 15 \cdot 2 = 150 + 30 = 180\). Er muss \(180\,\text{€}\) bezahlen.

- Gibt es Zahlen, die zusammen genau \(100\) oder eine andere Hunderterzahl ergeben? - Manchmal hilft es, Zahlen mit den Endungen \(...5\) oder passende Einerstellen wie \(8\) und \(2\) zu kombinieren. - Vergiss am Ende nicht die Zahlen, die kein direktes „Gegenstück“ für eine glatte Summe haben.

1. Gruppieren der Summanden zu vorteilhaften Teilsummen: \((235 + 165) + (88 + 12) + 50\). 2. Berechnung der Summe des ersten Paares: \(235 + 165 = 400\). 3. Berechnung der Summe des zweiten Paares: \(88 + 12 = 100\). 4. Zusammenfassen aller Zwischenergebnisse: \(400 + 100 + 50 = 550\).

Zum Beispiel \((235+165)+(88+12)+50=400+100+50=550\)

- Suche nach Zahlen, die sich zu einem vollen Tausender ergänzen lassen. - Achte besonders auf die Hunderter- und Zehnerstellen der Zahlen. - Kannst du die Aufgabe in zwei einfachere Teilrechnungen zerlegen?

1. Identifikation der Summanden, die sich zu vollen Tausendern ergänzen: \((1250 + 750)\) und \((4300 + 1700)\). 2. Berechnung der ersten Klammer: \(1250 + 750 = 2000\). 3. Berechnung der zweiten Klammer: \(4300 + 1700 = 6000\). 4. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(2000 + 6000 = 8000\).

\((1250+750)+(4300+1700)=2000+6000=8000\)

- Was passiert, wenn du die erste und die letzte Zahl addierst? - Überlege, ob dieses Ergebnis auch bei anderen Paaren (z. B. zweite und vorletzte Zahl) auftritt. - Wie oft kannst du solche Paare in der Zahlenreihe von \(1\) bis \(80\) finden? - Welche Rechenoperation hilft dir, wenn du viele gleiche Summanden addieren musst?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes (Vertauschungsgesetz) zum Umordnen und des Assoziativgesetzes (Verbindungsgesetz) zum Bilden von Klammern. 2. Bestimmung der Anzahl der Paare durch Division der Gesamtzahl der Summanden durch \(2\): \(80 : 2 = 40\) Paare. 3. Berechnung der Summe eines Paares: \(1 + 80 = 81\). 4. Berechnung des Gesamtergebnisses durch Multiplikation der Paaranzahl mit der Paarsumme: \(40 \cdot 81 = 3240\).

1. Kommutativgesetz und Assoziativgesetz 2. \(40\) Paare 3. \(81\) 4. \(3240\)

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn du beide Zahlen um den gleichen Betrag erhöhst? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Plusaufgabe, wenn du beide Zahlen erhöhst? - Untersuche jede Klammer einzeln, bevor du das Gesamtergebnis betrachtest.

1. Berechnung des ursprünglichen Werts: \((560 - 140) + (320 + 180) = 420 + 500 = 920\). 2. Analyse der Änderungen in den Klammern: In der ersten Klammer \((560 - 140)\) werden Minuend und Subtrahend um \(15\) erhöht. Da die Differenz gleich bleibt, wenn beide Zahlen um denselben Betrag wachsen, ändert sich der Wert der ersten Klammer nicht (\(420\)). 3. In der zweiten Klammer \((320 + 180)\) werden beide Summanden um \(15\) erhöht. Die Summe vergrößert sich also um \(15 + 15 = 30\) auf \(530\). 4. Gesamte Änderung: Da die unveränderte erste Klammer und die um \(30\) vergrößerte zweite Klammer addiert werden, steigt der Gesamtwert um \(30\).

Ausgangswert: \(920\). In \(560-140\) heben sich die beiden Erhöhungen um \(15\) auf; die Differenz bleibt gleich. In \(320+180\) erhöhen zwei zusätzliche \(15\) die Summe um \(30\). Daher wächst der gesamte Termwert um \(30\).

- Schau dir die Einerstellen der Zahlen genau an. Welche Zahlen ergeben zusammen eine glatte Zehner- oder Hunderterzahl? - Du darfst die Reihenfolge der Zahlen bei einer reinen Plusrechnung beliebig verändern. - Klammern können dir helfen, Teilrechnungen übersichtlicher zu machen.

1. Anwendung des Kommutativgesetzes (Vertauschungsgesetz), um Summanden zu gruppieren, die sich zu glatten Hunderter- oder Tausenderzahlen ergänzen: \(425 + 575\) und \(187 + 313\). 2. Anwendung des Assoziativgesetzes (Verbindungsgesetz), um die Teilsummen zu berechnen: \((425 + 575) + (187 + 313) + 450\). 3. Berechnung der Teilsummen: \(1000 + 500 + 450\). 4. Addition der Ergebnisse: \(1500 + 450 = 1950\).

Umformung: \(425+187+575+313+450=(425+575)+(187+313)+450=1000+500+450=1950\) Verwendet werden Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition.

- Kannst du die Terme vereinfachen, indem du dir ansiehst, welche Operationen nacheinander ausgeführt werden? - Musst du die \(77\) überhaupt in deine Rechnung einbeziehen, um den Wert der Terme zu erkennen? - Vergleiche die „Startzahlen“ der beiden Terme, nachdem du die gegensätzlichen Rechenschritte weggelassen hast.

1. Vereinfachung von Term \(A\): Multiplikation und Division mit \(77\) heben sich als Umkehroperationen auf. Der Wert des Terms ist somit \(333\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): Addition und Subtraktion von \(77\) heben sich ebenfalls auf. Der Wert des Terms ist somit \(330\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(333 > 330\), liefert Term \(A\) das größere Ergebnis.

Term \(A\) ist größer. Begründung: In beiden Termen heben sich die Rechenschritte mit der Zahl \(77\) gegenseitig auf. Term \(A\) ergibt somit \(333\) und Term \(B\) ergibt \(330\). Da \(333 > 330\), ist Term \(A\) größer.

- Kannst du die Zahlen in einer anderen Reihenfolge multiplizieren, um auf eine 10, 100 oder 1000 zu kommen? - Gibt es bei der Additionsaufgabe eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Überlege, ob du Klammern setzen kannst, um zwei Faktoren zuerst zusammenzufassen.

1. Durch Umstellen der Faktoren (Kommutativ- und Assoziativgesetz) werden Teilprodukte gebildet, die Zehner- oder Hunderterpotenzen ergeben: a) \((25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700\) b) \((125 \cdot 8) \cdot 11 = 1000 \cdot 11 = 11\,000\) c) \((5 \cdot 20) \cdot 42 = 100 \cdot 42 = 4200\) 2. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern): d) \(63 \cdot (8 + 2) = 63 \cdot 10 = 630\)

a) \((25\cdot4)\cdot17=1700\) b) \((125\cdot8)\cdot11=11\,000\) c) \((5\cdot20)\cdot42=4200\) d) \(63\cdot(8+2)=630\)

- Gibt es zwei Zahlen, deren Produkt eine besonders einfache Zahl (wie 100 oder 200) ergibt? - Spielt die Reihenfolge, in der du die drei Zahlen malnimmst, eine Rolle für das Ergebnis? - Wie viele Plätze gibt es auf einem Deck? Multipliziere diesen Wert dann mit der Anzahl der Decks.

1. Aufstellen des Produkts für alle Faktoren: \(8 \cdot 14 \cdot 25\). 2. Anwendung des Vertauschungsgesetzes für vorteilhaftes Rechnen: \(8 \cdot 25 \cdot 14\). 3. Berechnung des Zwischenprodukts: \(8 \cdot 25 = 200\). 4. Berechnung des Endergebnisses: \(200 \cdot 14 = 2800\).

\(8\cdot14\cdot25=(8\cdot25)\cdot14=200\cdot14=2800\) Das Parkhaus hat \(2800\) Parkplätze.

- Kannst du die größere Zahl in Zehner und Einer aufteilen? - Wie hilft es dir, erst die Zehner und dann die Einer einzeln zu multiplizieren? - Was musst du am Ende mit den beiden Teilergebnissen machen?

1. Zerlegung von \(42\) in \(40 + 2\): \(40 \cdot 6 + 2 \cdot 6 = 240 + 12 = 252\). 2. Zerlegung von \(83\) in \(80 + 3\): \(80 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 320 + 12 = 332\).

a) \((40+2)\cdot6=40\cdot6+2\cdot6=252\) b) \((80+3)\cdot4=80\cdot4+3\cdot4=332\)

- Liegt die Zahl sehr nah an einer glatten Zehnerzahl? - Wäre es einfacher, erst mit der Zehnerzahl zu rechnen und dann etwas abzuziehen? - Überlege, wie viel bis zum nächsten Zehner fehlt.

1. Ergänzung von \(59\) auf \(60 - 1\): \(60 \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 180 - 3 = 177\). 2. Ergänzung von \(38\) auf \(40 - 2\): \(40 \cdot 7 - 2 \cdot 7 = 280 - 14 = 266\).

a) \((60-1)\cdot3=60\cdot3-1\cdot3=177\) b) \((40-2)\cdot7=40\cdot7-2\cdot7=266\)

- Fällt dir in beiden Produkten eine Zahl auf, die in beiden vorkommt? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du diese gemeinsame Zahl zuerst beiseite lässt und die anderen beiden Zahlen addierst? - Welches Rechengesetz erlaubt es, einen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer zu ziehen?

1. Aufstellen des Terms: \((47 \cdot 19) + (47 \cdot 81)\) 2. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(47\)): \(47 \cdot (19 + 81)\) 3. Berechnung der Summe in der Klammer: \(19 + 81 = 100\) 4. Multiplikation des Faktors mit der Summe: \(47 \cdot 100 = 4700\)

\((47 \cdot 19) + (47 \cdot 81) = 47 \cdot (19 + 81) = 47 \cdot 100 = 4700\)

- Prüfe zuerst, ob der Klammerwert eine besonders einfache Zahl wie \(10\), \(20\) oder \(100\) ergibt. - Wenn der Klammerwert selbst ein unhandliches Produkt erzeugt, kann das Verteilen günstiger sein. - Begründe deine Wahl mit dem ersten Rechenschritt, nicht nur mit dem Endergebnis.

1. Bei a) ist die Klammer besonders günstig: \(15+5=20\), also \(20\cdot24=480\). 2. Bei b) ist ebenfalls die Klammer besonders günstig: \(18-8=10\), also \(73\cdot10=730\). 3. Bei c) würde die Klammer zunächst \(99\cdot37\) ergeben. Vorteilhafter ist das Distributivgesetz: \((100-1)\cdot37=100\cdot37-1\cdot37=3700-37=3663\). 4. Damit hängt die sinnvolle Strategie von der konkreten Zahlenstruktur ab; nicht in jeder Teilaufgabe ist derselbe Weg am kürzesten.

a) Klammer zuerst: \(20\cdot24=480\) b) Klammer zuerst: \(73\cdot10=730\) c) Distributivgesetz: \(100\cdot37-1\cdot37=3663\)

- Fällt dir in den Aufgaben eine Zahl auf, die in beiden Produkten vorkommt? - Was passiert, wenn du diese gemeinsame Zahl „vor die Klammer“ ziehst? - Addiere oder subtrahiere zuerst die anderen Zahlen, bevor du multiplizierst.

1. Teilaufgabe a): Der gemeinsame Faktor \(8\) wird ausgeklammert: \((14 + 6) \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160\). 2. Teilaufgabe b): Der gemeinsame Faktor \(12\) wird ausgeklammert: \((37 - 27) \cdot 12 = 10 \cdot 12 = 120\). 3. Teilaufgabe c): Der gemeinsame Faktor \(5\) wird ausgeklammert: \(5 \cdot (43 + 57) = 5 \cdot 100 = 500\).

a) \((14+6)\cdot8=160\) b) \((37-27)\cdot12=120\) c) \(5\cdot(43+57)=500\)

- Rechne beide Aufgaben nacheinander aus. - Vergleiche die Ergebnisse: Sind sie genau gleich? - Überlege, was passiert, wenn du eine kleine Zahl durch eine größere Zahl teilst.

1. \(24 : 6 = 4\). 2. Beim vertauschten Term \(6 : 24\) ist \(24\) kein Teiler von \(6\); der Term hat daher keinen natürlichen Quotienten. 3. Beim Vertauschen ändern sich die Werte beziehungsweise die Lösbarkeit in \(\mathbb{N}\). Das Kommutativgesetz gilt für die Division nicht.

Lukas hat nicht recht. Es gilt \(24 : 6 = 4\), während \(6 : 24\) keinen natürlichen Quotienten hat. Die Division ist nicht kommutativ.

- Schau dir an, welche Zahl in den Rechnungen auf der linken Seite doppelt vorkommt. - Überlege, wie man eine Zahl, die in einer Summe oder Differenz bei beiden Malrechnungen dabei ist, vor oder hinter eine Klammer schreiben kann. - Vergleiche die linke Seite der Gleichung genau mit der rechten Seite – oft stehen die Zahlen schon fast da.

1. In Teilaufgabe a) wird die Zahl \(14\) ausgeklammert, da sie in beiden Produkten als Faktor vorkommt. Somit ist \(\square = 14\). 2. In Teilaufgabe b) wird der gemeinsame Faktor \(5\) nach hinten ausgeklammert. Somit ist \(\triangle = 5\). 3. In Teilaufgabe c) wird das Distributivgesetz angewendet: \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\). Durch Vergleich der Terme ergibt sich \(a = 20\), \(b = 12\) und \(c = 9\). Also ist \(\triangle = 20\) und \(\square = 9\). 4. In Teilaufgabe d) wird der Faktor \(15\) beibehalten. Der Ausdruck in der Klammer \((11 - 4)\) zeigt, dass von der \(11\) die \(4\) abgezogen wird. Somit ist \(\square = 4\).

a) \(\square = 14\) b) \(\triangle = 5\) c) \(\triangle = 20\); \(\square = 9\) d) \(\square = 4\)

- Fällt dir eine Zahl auf, die in beiden Klammern vorkommt? - Kannst du die Reihenfolge der Faktoren in einem Produkt ändern? - Gibt es eine Möglichkeit, die Rechnung zu vereinfachen, indem du eine Zahl „ausklammerst“?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes, um den gemeinsamen Faktor \(38\) in beiden Summanden an die gleiche Stelle zu bringen: \(38 \cdot 63 + 38 \cdot 37\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern des gemeinsamen Faktors: \(38 \cdot (63 + 37)\). 3. Berechnung der Klammer: \(63 + 37 = 100\). 4. Endberechnung: \(38 \cdot 100 = 3800\).

\(38\cdot63+37\cdot38=38\cdot63+38\cdot37=38\cdot(63+37)=38\cdot100=3800\) Zuerst Kommutativgesetz, dann Distributivgesetz.

- Fällt dir eine Zahl auf, die in jedem Teil der Summe vorkommt? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du diese Zahl vor eine Klammer schreibst? - Rechne zuerst aus, was in der Klammer steht, bevor du multiplizierst.

1. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(17\)): \(17 \cdot (8 - 3 + 5)\). 2. Berechnung des Klammerausdrucks: \(8 - 3 + 5 = 10\). 3. Finale Multiplikation: \(17 \cdot 10 = 170\).

\(17\cdot(8-3+5)=17\cdot10=170\)

- Überlege, was sich in der Rechnung verändert hat: Wurden Zahlen vertauscht? - Wurden Klammern anders gesetzt, um die Reihenfolge der Rechnung zu ändern? - Wurde eine Zahl mit einer Summe oder Differenz „verteilt“?

1. In Aufgabenteil a) wurden die Summanden \(57\) und \(72\) vertauscht, was dem Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) der Addition entspricht. 2. In Aufgabenteil b) wurden sowohl die Faktoren vertauscht als auch die Klammern anders gesetzt, um \(4 \cdot 25\) bevorzugt zu rechnen. Dies nutzt das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) der Multiplikation. 3. In Aufgabenteil c) wurde der gemeinsame Faktor \(9\) ausgeklammert, was die Anwendung des Distributivgesetzes (Verteilungsgesetz) darstellt.

a) Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) b) Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) c) Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

- Überlege dir, wie viele Bälle eine einzelne Mannschaft bekommt. - Wie würdest du rechnen, wenn du erst alle Fußbälle und dann alle Basketbälle zählen würdest? - Schau dir an, wie die Zahlen im Term angeordnet sind. Erinnert dich das an das „Verteilen“ einer Zahl?

1. Aufstellen des ersten Terms durch Addition der Bälle pro Mannschaft und anschließende Multiplikation: \(8 \cdot (5 + 3) = 8 \cdot 8 = 64\). 2. Aufstellen des zweiten Terms durch getrennte Berechnung der Ballarten: \(8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 = 40 + 24 = 64\). 3. Vergleich der Strukturen zeigt, dass ein Faktor auf die Summanden in der Klammer verteilt wurde, was dem Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) entspricht.

a) \(8 \cdot (5 + 3)\) und \(8 \cdot 5 + 8 \cdot 3\) (oder umgekehrt) b) Distributivgesetz

- Rechne zuerst die linke Seite und dann die rechte Seite getrennt aus. - Achte genau darauf, ob ein Malzeichen oder ein Pluszeichen in der Aufgabe steht. - Vergleiche die beiden Ergebnisse am Ende miteinander.

1. Berechnung beider Seiten für a): \(0 \cdot 6 = 0\) und \(0 + 6 = 6\). Da \(0 < 6\), ist das Zeichen \(<\). 2. Berechnung für b): \(4 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2\) und \(2 \cdot 0 + 4 = 0 + 4 = 4\). Da \(2 < 4\), ist das Zeichen \(<\). 3. Berechnung für c): \(0 \cdot 8 + 8 = 0 + 8 = 8\) und \(8 \cdot 1 + 0 = 8 + 0 = 8\). Da \(8 = 8\), ist das Zeichen \(=\). 4. Berechnung für d): \(15 \cdot 0 = 0\) und \(0 \cdot 25 = 0\). Da \(0 = 0\), ist das Zeichen \(=\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(=\) d) \(=\)

- Die Zahl 9 liegt sehr nah an der 10. Wie kannst du das nutzen? - Die Zahl 11 ist genau 1 mehr als 10. - Rechne zuerst mit 10 und korrigiere dann das Ergebnis um den fehlenden oder überschüssigen Teil.

1. Für \(9 \cdot 7\): Nutze \(10 \cdot 7 - 1 \cdot 7 = 70 - 7 = 63\). 2. Für \(11 \cdot 6\): Nutze \(10 \cdot 6 + 1 \cdot 6 = 60 + 6 = 66\). 3. Für \(9 \cdot 12\): Nutze \(10 \cdot 12 - 1 \cdot 12 = 120 - 12 = 108\).

a) \((10-1)\cdot7=10\cdot7-1\cdot7=63\) b) \((10+1)\cdot6=10\cdot6+1\cdot6=66\) c) \((10-1)\cdot12=10\cdot12-1\cdot12=108\)

- Schau dir an, wie die erste Zahl in Zehner und Einer aufgeteilt wurde. - Achte auf das Rechenzeichen: Wird etwas addiert oder subtrahiert? - Multipliziere jeden Teil einzeln und verrechne dann die Zwischenergebnisse.

1. Aufgabe a: \(14 \cdot 6 = 10 \cdot 6 + 4 \cdot 6 = 60 + 24 = 84\). 2. Aufgabe b: \(18 \cdot 4 = 20 \cdot 4 - 2 \cdot 4 = 80 - 8 = 72\). 3. Aufgabe c: \(23 \cdot 3 = 20 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 60 + 9 = 69\).

a) \(10 \cdot 6 + 4 \cdot 6 = 60 + 24 = 84\) b) \(20 \cdot 4 - 2 \cdot 4 = 80 - 8 = 72\) c) \(20 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 60 + 9 = 69\)

- Welche Rechnung musst du aufstellen, um die Gesamtzahl der Plätze zu finden? - Wie kannst du die Zahl \(14\) aufteilen, um die Multiplikation zu vereinfachen? - Vergiss nicht, am Ende die beiden Teilergebnisse zusammenzuzählen.

1. Aufstellen des Produkts: \(17 \cdot 14\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Zerlegen der \(14\) in \(10 + 4\): \(17 \cdot (10 + 4)\). 3. Einzelberechnung der Teilprodukte: \(17 \cdot 10 = 170\) und \(17 \cdot 4 = 68\). 4. Addition der Ergebnisse: \(170 + 68 = 238\).

\(17\cdot14=17\cdot(10+4)=17\cdot10+17\cdot4=238\) Es gibt \(238\) Plätze.

- Kannst du die Zahl 14 als Summe schreiben? - Kannst du die Zahl 14 als Produkt von zwei kleineren Zahlen schreiben? - Gibt es eine Kombination von Zahlen, die besonders einfach zu multiplizieren ist, wie zum Beispiel 2 und 5?

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(14 \cdot 5 = (10 + 4) \cdot 5 = 10 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 50 + 20 = 70\). 2. Anwendung des Assoziativgesetzes: \(14 \cdot 5 = (7 \cdot 2) \cdot 5 = 7 \cdot (2 \cdot 5) = 7 \cdot 10 = 70\). 3. Beide Wege führen zum selben Ergebnis \(70\). Eine mögliche Einschätzung ist, dass der zweite Weg durch die Bildung der Stufenzahl \(10\) einfacher ist.

1. \(10 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 70\) 2. \(7 \cdot (2 \cdot 5) = 70\) 3. Individuelle Antwort (z. B. Weg 2 ist einfacher, da \(7 \cdot 10\) direkt im Kopf geht).

- Fällt dir etwas auf, wenn du die beiden Zahlen betrachtest, die mit 18 multipliziert werden? - Könntest du die Rechnung vereinfachen, indem du einen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer ziehst? - Wandle Gramm in Milligramm um, um die Werte in der Klammer leichter addieren zu können.

1. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern): \( (125\,\text{mg} + 0{,}875\,\text{g}) \cdot 18 \). 2. Umrechnung für die Addition in der Klammer: \( 0{,}875\,\text{g} = 875\,\text{mg} \). 3. Berechnung der Klammer: \( 125\,\text{mg} + 875\,\text{mg} = 1000\,\text{mg} = 1\,\text{g} \). 4. Finale Multiplikation: \( 1\,\text{g} \cdot 18 = 18\,\text{g} \).

\( 18\,\text{g} \)

- Erinnere dich an die Regel „Punkt vor Strich“. - Was musst du zuerst rechnen, wenn eine Aufgabe Malzeichen und Plus- oder Minuszeichen enthält? - Gibt es eine Aufgabe, bei der man das Ergebnis sofort sieht, ohne die Klammer auszurechnen?

1. Anwendung der Regel „Punkt vor Strich“ (Multiplikation vor Addition/Subtraktion). 2. Schrittweise Berechnung: a) \(0 \cdot 13 = 0\), dann \(0 + 7 = 7\). b) \(0 \cdot 4 = 0\), dann \(25 - 0 = 25\). c) \(6 \cdot 0 = 0\) und \(8 \cdot 1 = 8\), dann \(0 + 8 = 8\). d) \(1 \cdot 9 = 9\) und \(9 \cdot 0 = 0\), dann \(9 - 0 = 9\). e) Klammer zuerst berechnen: \(15 + 25 = 40\), dann \(0 \cdot 40 = 0\). Alternativ direkt erkennen, dass das Produkt mit dem Faktor \(0\) immer \(0\) ist.

a) \(7\) b) \(25\) c) \(8\) d) \(9\) e) \(0\)

- Überlege dir, welche Rechenoperationen (Plus, Minus, Mal, Geteilt) in den Beschreibungen vorkommen. - Erinnere dich an die Namen der Rechengesetze: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz. - Was bedeuten die Begriffe „Summand“, „Faktor“ und „Summe“?

1. Übersetzung der Vertauschbarkeit bei der Multiplikation in die Formel des Kommutativgesetzes: \(a \cdot b = b \cdot a\). 2. Darstellung der beliebigen Gruppierung bei der Addition durch das Assoziativgesetz: \((a + b) + c = a + (b + c)\). 3. Formulierung der Verteilung einer Multiplikation über eine Addition als Distributivgesetz: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\).

a) \(a \cdot b = b \cdot a\) b) \((a + b) + c = a + (b + c)\) c) \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)

- Überlege, ob sich das Ergebnis ändert, wenn du die Reihenfolge der Zahlen vertauschst. - Gilt jede Regel für alle vier Grundrechenarten gleich? - Wie heißen die Gesetze, bei denen es um das Vertauschen von Zahlen oder das Setzen von Klammern geht?

1. Überprüfung von a): \(14 + 89 = 103\) und \(89 + 14 = 103\). Die Aussage ist wahr. Es handelt sich um das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) der Addition. 2. Überprüfung von b): \(25 \cdot (4 \cdot 13) = 25 \cdot 52 = 1300\) und \((25 \cdot 4) \cdot 13 = 100 \cdot 13 = 1300\). Die Aussage ist wahr. Es handelt sich um das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) der Multiplikation. 3. Überprüfung von c): \(100 - 30 = 70\). Da \(30 - 100\) im Bereich der natürlichen Zahlen kein Ergebnis hat (bzw. ein negatives Ergebnis liefert), ist die Aussage falsch. Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion.

a) wahr (Kommutativgesetz) b) wahr (Assoziativgesetz) c) falsch

- Wie kannst du eine Zahl wie 105 in zwei Teile zerlegen, mit denen man leicht multiplizieren kann? - Erinnere dich daran, wie man eine Zahl mit einer Summe in einer Klammer multipliziert. - Kannst du die Regel \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) auf das Beispiel anwenden?

1. Bestimmung der Lücke in a): Das Distributivgesetz besagt \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\). Mit \(a = 6\), \(b = 20\) und \(c = 7\) ergibt sich \(6 \cdot 20 + 6 \cdot 7\). Die gesuchte Zahl ist \(7\). 2. Anwendung auf b): Zerlegung der Zahl \(105\) in eine Summe aus einfachen Zahlen, also \(100 + 5\). 3. Berechnung: \(8 \cdot (100 + 5) = 8 \cdot 100 + 8 \cdot 5 = 800 + 40 = 840\).

a) Die Lücke ist \(7\). b) \(8 \cdot 105 = 8 \cdot (100 + 5) = 8 \cdot 100 + 8 \cdot 5 = 800 + 40 = 840\).

- Wie hängen die Zahlen \(197\), \(200\) und \(3\) zusammen? - Erinnerst du dich an die Namen der Rechengesetze (Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz)? - Kannst du die \(305\) in zwei Zahlen zerlegen, mit denen man besonders leicht multiplizieren kann?

1. Bestimmung des Rechengesetzes: Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) der Multiplikation bezüglich der Subtraktion bzw. Addition. 2. Berechnung für b): \(200 \cdot 3 = 600\) und \(3 \cdot 3 = 9\). Die Differenz ist \(600 - 9 = 591\). 3. Berechnung für c): Zerlegung von \(305\) in \(300 + 5\). 4. Anwendung des Distributivgesetzes: \(305 \cdot 6 = (300 + 5) \cdot 6 = 300 \cdot 6 + 5 \cdot 6\). 5. Ergebnis: \(1800 + 30 = 1830\).

a) Distributivgesetz (Verteilungsgesetz). b) \(197 \cdot 3 = 600 - 9 = 591\). c) \(305 \cdot 6 = (300 + 5) \cdot 6 = 1800 + 30 = 1830\).

- Kannst du eine der Zahlen in eine Summe oder Differenz zerlegen, mit der man leichter rechnen kann? - Gibt es Faktoren wie 4 oder 25, die zusammen eine „schöne“ Zahl wie 100 ergeben? - Hilft es dir, erst mit einer runden Zahl (wie 20 oder 100) zu rechnen und dann etwas abzuziehen oder dazuzutun?

1. Berechnung von \(12 \cdot 15\): Zerlegung von \(15\) in \(10 + 5\). Rechnung: \(12 \cdot 10 + 12 \cdot 5 = 120 + 60 = 180\). 2. Berechnung von \(25 \cdot 36\): Zerlegung von \(36\) in \(4 \cdot 9\). Rechnung: \(25 \cdot 4 \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900\). 3. Berechnung von \(19 \cdot 8\): Nutzung der Nachbarzahl \(20\). Rechnung: \((20 - 1) \cdot 8 = 160 - 8 = 152\). 4. Berechnung von \(102 \cdot 7\): Zerlegung von \(102\) in \(100 + 2\). Rechnung: \(100 \cdot 7 + 2 \cdot 7 = 700 + 14 = 714\).

a) \(12\cdot(10+5)=120+60=180\) — Distributivgesetz b) \(25\cdot(4\cdot9)=(25\cdot4)\cdot9=900\) — Assoziativgesetz c) \((20-1)\cdot8=160-8=152\) — Distributivgesetz d) \((100+2)\cdot7=700+14=714\) — Distributivgesetz

- Zähle die Spalten der beiden getrennt dargestellten Teilfelder. - Die Anzahl der Reihen bleibt in beiden Teilfeldern gleich. - Verbinde die beiden Teilprodukte anschließend wieder durch Addition.

1. Teilfeld a) hat \(7\) Reihen und \(10\) Spalten; Teilfeld b) hat \(7\) Reihen und \(2\) Spalten. Die Spaltenzahl \(12\) ist also in \(10 + 2\) zerlegt. 2. Daher gilt \(7 \cdot 12 = 7 \cdot (10 + 2)\). 3. Mit dem Distributivgesetz folgt \(7 \cdot 10 + 7 \cdot 2 = 70 + 14 = 84\).

\(7 \cdot 12 = 7 \cdot (10 + 2) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 2 = 84\)

- Zähle bei jedem Teilfeld Zeilen und Spalten getrennt. - Überlege, welche Seitenlänge beim Zusammensetzen gleich bleibt und welche sich addiert. - Vergleiche „erst zusammenfassen, dann multiplizieren“ mit „beide Teilfelder einzeln berechnen“.

1. Teilfeld A hat \(7\) Zeilen und \(10\) Spalten, Teilfeld B hat \(7\) Zeilen und \(3\) Spalten. 2. Zusammen sind es \(10+3=13\) Spalten bei weiterhin \(7\) Zeilen. Daher beschreibt \(7\cdot(10+3)\) das ganze Rechteck. 3. Die getrennten Teilfelder werden durch \(7\cdot10+7\cdot3\) beschrieben. 4. Beide Terme sind nach dem Distributivgesetz gleichwertig und ergeben \(91\).

a) A: \(7\times10\), B: \(7\times3\) b) \(7\cdot(10+3)=7\cdot10+7\cdot3=91\) c) Distributivgesetz

- Überlege dir, wie viele Zeilen es gibt und wie viel sie zusammen ergeben. - Was passiert mit der Gesamtsumme, wenn man die Zahlen erst zeilenweise und dann spaltenweise addiert? Ändert sich der Wert? - Stell dir vor, du hast alle Zahlen im Gitter auf einem Haufen. Macht es einen Unterschied für die Gesamtsumme, wie du sie vorher sortiert hast?

1. Berechnung der Gesamtsumme über die Zeilen: Da es drei Zeilen mit einer Summe von jeweils \(15\) gibt, beträgt die Summe aller Zahlen im Gitter \(3 \cdot 15 = 45\). 2. Bestimmung der Summe der Spaltensummen: Da jede Zahl im Gitter genau einmal in einer Zeile und genau einmal in einer Spalte steht, muss die Summe der Spaltensummen identisch mit der Summe der Zeilensummen sein. 3. Ergebnis für b): Die Summe der Spaltensummen ist ebenfalls \(45\).

a) Die Gesamtsumme ist \(45\). b) Die Summe der Spaltensummen ist ebenfalls \(45\), da die Gesamtsumme aller Zahlen im Gitter immer gleich bleibt, egal ob man sie zeilenweise oder spaltenweise addiert.

- Welche Summanden kannst du bei einer Addition zu einer besonders runden Zahl zusammenfassen? - Welche Rechengesetze erlauben dir bei einer Addition das Umordnen und neue Klammern? - Überlege bei zwei aufeinanderfolgenden Subtraktionen, welcher Gesamtbetrag insgesamt abgezogen wird.

1. a) Mit Vertauschungs- und Verbindungsgesetz der Addition: \((438+162)+275=600+275=875\). 2. b) Zwei nacheinander ausgeführte Subtraktionen entsprechen dem Abziehen der Summe der beiden Subtrahenden: \(5600-(1200+400)=5600-1600=4000\). Das ist keine Anwendung eines Vertauschungs- oder Verbindungsgesetzes der Subtraktion. 3. c) Mit Vertauschungs- und Verbindungsgesetz der Addition: \((125+875)+999=1000+999=1999\). 4. d) Wieder werden die beiden nacheinander abzuziehenden Zahlen zusammengefasst: \(10\,000-(2500+3500)=10\,000-6000=4000\).

a) \(438+275+162=(438+162)+275=600+275=875\); Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition b) \(5600-1200-400=5600-(1200+400)=4000\); mehrere nacheinander abgezogene Zahlen werden gemeinsam als Summe abgezogen c) \(125+999+875=(125+875)+999=1000+999=1999\); Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition d) \(10\,000-2500-3500=10\,000-(2500+3500)=4000\); mehrere nacheinander abgezogene Zahlen werden gemeinsam als Summe abgezogen

- Welche Zahlen lassen sich besonders leicht zusammenrechnen? - Gibt es bei der Multiplikation Paare, die eine Stufenzahl (10, 100, 1000...) ergeben? - Du darfst Zahlen in einer Summe oder einem Produkt beliebig vertauschen.

1. Teilaufgabe a): Gruppieren der Summanden zu glatten Hundertern: \((389 + 111) + (250 + 750)\). Dies ergibt \(500 + 1000 = 1500\). 2. Teilaufgabe b): Vertauschen der Summanden (Kommutativgesetz): \(123 + 77 + 456\). Zusammenfassen der ersten beiden Zahlen ergibt \((123 + 77) + 456 = 200 + 456 = 656\). 3. Teilaufgabe c): Vertauschen der Faktoren beim Multiplizieren: \(5 \cdot 20 \cdot 17\). Zuerst \(5 \cdot 20 = 100\) berechnen, dann \(100 \cdot 17 = 1700\).

a) \((389+111)+(250+750)=1500\) b) \((123+77)+456=656\) c) \((5\cdot20)\cdot17=1700\)

- Suche nach Partner-Zahlen, die zusammen genau 100 ergeben. - Wie viele solcher Paare kannst du in der Liste finden? - Wenn du alle Paare gefunden hast, musst du nur noch die Zwischenergebnisse addieren.

1. Identifikation von Paaren, die glatte Hunderter ergeben: \(13 + 87 = 100\), \(26 + 74 = 100\) und \(39 + 61 = 100\). 2. Anwendung des Kommutativgesetzes zum Umstellen der Rechnung: \((13 + 87) + (26 + 74) + (39 + 61)\). 3. Berechnung der Teilsummen: \(100 + 100 + 100\). 4. Endergebnis: \(300\).

\((13+87)+(26+74)+(39+61)=100+100+100=300\)

- Schreibe die ersten und die letzten Glieder der Summe auf. - Welche Summe entsteht, wenn du jeweils die äußersten beiden Zahlen paarst? - Wie viele Paare erhältst du aus \(40\) Summanden? - Wie kannst du gleiche Paarsummen anschließend zusammenfassen?

1. Die Gesamtzahl wird durch \(1 + 2 + 3 + \dots + 40\) beschrieben. 2. Bilde Paare von außen: \(1 + 40 = 41\), \(2 + 39 = 41\) und so weiter. Aus \(40\) Summanden entstehen \(40 : 2 = 20\) Paare. 3. Jedes der \(20\) Paare hat die Summe \(41\). Deshalb gilt \(20 \cdot 41 = 820\). 4. Insgesamt sind es \(820\) Äpfel.

1. \(1 + 2 + 3 + \dots + 40\) 2. \(820\) Äpfel 3. Es entstehen \(20\) Paare mit der Summe \(41\), daher \(20 \cdot 41 = 820\).

- Wie viele Zahlen stehen in der Liste, wenn du nur die geraden Zahlen betrachtest? - Versuche auch hier, die kleinste und die größte Zahl zu addieren. - Ist die Summe beim nächsten Paar (z. B. 4 und 58) identisch? - Wie oft passt diese Paarsumme in deine gesamte Rechnung?

1. Ermittlung der Anzahl der Summanden: Da nur jede zweite Zahl von 1 bis 60 vorkommt, sind es \(60 : 2 = 30\) Zahlen. 2. Bildung der Paare: \(2 + 60 = 62\), \(4 + 58 = 62\) usw. 3. Bestimmung der Paaranzahl: \(30 : 2 = 15\) Paare. 4. Berechnung des Gesamtergebnisses: \(15 \cdot 62 = 930\).

1. 30 Zahlen 2. 15 Paare mit der Summe 62 3. 930

- Suche nach Zahlenpaaren, die eine runde Zahl ergeben. - Achte darauf, welcher Wert tatsächlich abgezogen wird. - Eine Subtraktion darf nicht einfach wie eine Addition vertauscht werden.

1. Fasse die beiden Additionen so zusammen, dass einfache Teilergebnisse entstehen: \(864 + 257 - 364 + 43 = (864 - 364) + (257 + 43)\). 2. Berechne \(864 - 364 = 500\). 3. Berechne \(257 + 43 = 300\). 4. Addiere die Teilergebnisse: \(500 + 300 = 800\). 5. Dabei wurde die Subtraktion nicht vertauscht; \(364\) bleibt der abzuziehende Wert.

Zum Beispiel \((864-364)+(257+43)=500+300=800\)

- Fällt dir eine Zahl auf, die in beiden Multiplikationen vorkommt? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du diese gemeinsame Zahl „vor die Klammer“ ziehst? - Was ergibt die Summe der beiden anderen Zahlen? Ist das eine besonders einfache Zahl zum Weiterrechnen?

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors: In beiden Produkten kommt der Faktor \(14\) vor. 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern: \(14 \cdot (63 + 37)\). 3. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(63 + 37 = 100\). 4. Multiplikation des Faktors mit der Klammersumme: \(14 \cdot 100 = 1400\).

\(14 \cdot 63 + 14 \cdot 37 = 14 \cdot (63 + 37) = 14 \cdot 100 = 1400\)

- Fällt dir bei der Anzahl der beiden Zahlen etwas Besonderes auf? - Wenn zwei Produkte den gleichen Faktor haben, kannst du die anderen beiden Zahlen zuerst addieren. - Gibt es eine Zahl, die in der 5er-Reihe besonders einfach zu rechnen ist, wenn du die Summanden kombinierst?

1. Identifikation der Anzahlen: Die \(18\) kommt 5-mal vor, die \(12\) kommt ebenfalls 5-mal vor. 2. Darstellung als Summe von Produkten: \(5 \cdot 18 + 5 \cdot 12\). 3. Anwendung eines Rechenvorteils (Distributivgesetz): Da beide Faktoren gleich sind, kann man rechnen \(5 \cdot (18 + 12)\). 4. Berechnung der Klammer: \(18 + 12 = 30\). 5. Finales Ergebnis: \(5 \cdot 30 = 150\). Alternativ durch Einzelberechnung: \(90 + 60 = 150\).

\(5 \cdot 18 + 5 \cdot 12 = 150\)

- Welche Faktoren kannst du so umordnen und verbinden, dass \(100\) entsteht? - Nutze bei Zehner- und Hunderterfaktoren ihr Stellenwertmuster. - Prüfe bei einer Division, ob Dividend und Divisor durch denselben Faktor geteilt werden können.

1. a) \((4\cdot25)\cdot19=100\cdot19=1900\). 2. b) \(8\cdot6=48\); mit den Stellenwerten der Faktoren folgt \(80\cdot600=48\,000\). 3. c) Dividend und Divisor werden beide durch \(10\) geteilt: \(54\,000:90=5400:9=600\). Der Quotient bleibt beim gemeinsamen Teilen unverändert. 4. d) \((2\cdot50)\cdot37=100\cdot37=3700\).

a) \((4\cdot25)\cdot19=100\cdot19=1900\) b) \(8\cdot6=48\), daher \(80\cdot600=48\,000\) c) \(54\,000:90=5400:9=600\) d) \((2\cdot50)\cdot37=100\cdot37=3700\)

- Prüfe, ob eine Klammer vorhanden ist oder ein gemeinsamer Faktor in zwei Produkten vorkommt. - Beim Ausmultiplizieren wird der äußere Faktor mit jedem Glied in der Klammer multipliziert. - Beim Ausklammern suchst du einen Faktor, der in beiden Produkten vorkommt. - Überlege jeweils, welche Schreibweise die Rechnung übersichtlicher macht.

1. Teilaufgabe a): Ausmultiplizieren: \(8 \cdot (100 + 4) = 8 \cdot 100 + 8 \cdot 4 = 800 + 32 = 832\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern: \(17 \cdot 12 + 17 \cdot 8 = 17 \cdot (12 + 8) = 17 \cdot 20 = 340\). 3. Teilaufgabe c): Ausmultiplizieren: \((50 - 2) \cdot 6 = 50 \cdot 6 - 2 \cdot 6 = 300 - 12 = 288\). 4. Teilaufgabe d): Ausklammern: \(44 \cdot 15 - 34 \cdot 15 = (44 - 34) \cdot 15 = 10 \cdot 15 = 150\).

a) \(8\cdot(100+4)=8\cdot100+8\cdot4=832\) — Ausmultiplizieren b) \(17\cdot12+17\cdot8=17\cdot(12+8)=340\) — Ausklammern c) \((50-2)\cdot6=50\cdot6-2\cdot6=288\) — Ausmultiplizieren d) \(44\cdot15-34\cdot15=(44-34)\cdot15=150\) — Ausklammern

- Vergleiche die Schwierigkeit der Division nach dem Ausrechnen der Klammer mit den beiden Teildivisionen. - Achte darauf, dass beim Auflösen der Klammer beide Teile durch denselben Divisor geteilt werden. - Für die Begründung zählt ein nachvollziehbarer Vergleich deiner Rechenwege, nicht eine fest vorgegebene Vorliebe.

1. Teilaufgabe a), Art 1: \((400 + 56) : 8 = 456 : 8 = 57\). 2. Teilaufgabe a), Art 2: \(400 : 8 + 56 : 8 = 50 + 7 = 57\). 3. Teilaufgabe b), Art 1: \((600 - 42) : 6 = 558 : 6 = 93\). 4. Teilaufgabe b), Art 2: \(600 : 6 - 42 : 6 = 100 - 7 = 93\). 5. Eine mögliche Begründung für Art 2: Die Teildivisionen sind hier einfache Kopfrechnungen. Eine andere begründete persönliche Einschätzung ist ebenfalls zulässig.

a) Art 1: \((400+56):8=456:8=57\) Art 2: \(400:8+56:8=50+7=57\) b) Art 1: \((600-42):6=558:6=93\) Art 2: \(600:6-42:6=100-7=93\) Eine begründete Einschätzung, welche Art einfacher ist, ist individuell; sie muss sich auf die beiden notierten Rechenwege beziehen.

- Gibt es in der Summe eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Kannst du eine der Zahlen in eine Summe oder Differenz zerlegen, die eine 10, 100 oder 1000 enthält? - Was passiert, wenn du eine Zahl wie 99 als (100 - 1) schreibst?

1. Teilaufgabe a: Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(13\): \(13 \cdot (57 + 43) = 13 \cdot 100 = 1300\). 2. Teilaufgabe b: Zerlegen der \(99\) in \((100 - 1)\): \(100 \cdot 14 - 1 \cdot 14 = 1400 - 14 = 1386\). 3. Teilaufgabe c: Zerlegen der \(11\) in \((10 + 1)\): \(62 \cdot 10 + 62 \cdot 1 = 620 + 62 = 682\).

a) \(13\cdot(57+43)=1300\) b) \((100-1)\cdot14=100\cdot14-1\cdot14=1386\) c) \(62\cdot(10+1)=62\cdot10+62\cdot1=682\)

- Kannst du die große Zahl in zwei kleinere Zahlen zerlegen, die beide leicht durch den Teiler teilbar sind? - Wenn zwei Geteilt-Aufgaben denselben Teiler haben, darfst du die vorderen Zahlen zuerst verrechnen? - Hilft es dir, die Klammer zuerst auszurechnen oder ist es einfacher, jede Zahl in der Klammer einzeln zu teilen?

1. Teilaufgabe a: Zerlegen des Dividenden in \(200\) und \(45\): \(200 : 5 + 45 : 5 = 40 + 9 = 49\). 2. Teilaufgabe b: Einzeln dividieren: \(144 : 12 - 36 : 12 = 12 - 3 = 9\). 3. Teilaufgabe c: Zusammenfassen der Dividenden, da der Divisor gleich ist: \((132 + 88) : 11 = 220 : 11 = 20\).

a) \(245:5=200:5+45:5=49\) b) \((144-36):12=144:12-36:12=9\) c) \(132:11+88:11=(132+88):11=20\)

- Gibt es Paare von Zahlen, deren Produkt eine besonders einfache Zahl wie 10, 100 oder 1000 ergibt? - Darfst du bei einer reinen Malrechnung die Reihenfolge der Zahlen vertauschen? - Welche Zahlen lassen sich im Kopf leichter multiplizieren?

1. Aufstellen des Terms: \((125 \cdot 9) \cdot (8 \cdot 3)\) 2. Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes zur Gruppierung vorteilhafter Faktoren: \((125 \cdot 8) \cdot (9 \cdot 3)\) 3. Berechnung der Teilprodukte: \(1000 \cdot 27\) 4. Multiplikation zum Endergebnis: \(27\,000\)

\((125 \cdot 9) \cdot (8 \cdot 3) = (125 \cdot 8) \cdot (9 \cdot 3) = 1000 \cdot 27 = 27\,000\)

- Achte genau darauf, welche Zahl von welcher abgezogen werden soll. - Beide Zahlen werden durch dieselbe Zahl geteilt. Kannst du die beiden Quotienten zusammenfassen? - Ist es einfacher, erst die Differenz der großen Zahlen zu bilden und dann einmal zu teilen?

1. Aufstellen des Terms: \((1024 : 8) - (224 : 8)\) 2. Anwendung des Distributivgesetzes für die Division: \((1024 - 224) : 8\) 3. Berechnung der Differenz in der Klammer: \(1024 - 224 = 800\) 4. Division des Ergebnisses durch den gemeinsamen Teiler: \(800 : 8 = 100\)

\((1024 : 8) - (224 : 8) = (1024 - 224) : 8 = 800 : 8 = 100\)

- Das Distributivgesetz gilt nicht nur für die Multiplikation, sondern auch, wenn man eine Klammer durch eine Zahl teilt. - Wenn auf einer Seite ein Ergebnis wie \(12 \cdot 20\) steht, überlege, wie die Summe in der Klammer auf der anderen Seite zu dieser \(20\) werden kann. - Achte darauf, ob ein Malzeichen oder ein Geteiltzeichen vor dem Platzhalter steht.

1. In a) wird der Faktor \(4\) ausgeklammert. Der erste Summand in der Klammer ist \(36\), der zweite muss \(14\) sein. Also \(\square = 14\) und \(\triangle = 4\). 2. In b) wird rechts die Differenz \(25 \cdot 7 - 15 \cdot 7\) berechnet. Das entspricht \((25 - 15) \cdot 7\). Somit ist \(\triangle = 25\). 3. In c) wird das Distributivgesetz für die Division angewendet: \((a - b) : c = a : c - b : c\). Hier ist \(a = 80\), \(b = 16\) und \(c = 8\). Somit ist \(\square = 8\). 4. In d) muss die Summe in der Klammer \(\square + 8\) den Wert \(20\) ergeben, damit die Gleichung \(12 \cdot (\square + 8) = 12 \cdot 20\) stimmt. Daraus folgt \(\square = 20 - 8 = 12\).

a) \(\square = 14\); \(\triangle = 4\) b) \(\triangle = 25\) c) \(\square = 8\) d) \(\square = 12\)

- Wie oft ist die Zahl \(17\) insgesamt vorhanden? - Hilft es dir, wenn du die einzelne \(17\) als \(1 \cdot 17\) betrachtest? - Welches Gesetz erlaubt es dir, eine Summe von Produkten in ein Produkt mit einer Klammer umzuwandeln?

1. Den zweiten Summanden als Produkt mit dem Faktor \(1\) umschreiben: \(99 \cdot 17 + 1 \cdot 17\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(17\): \((99 + 1) \cdot 17\). 3. Berechnung der Klammer: \(99 + 1 = 100\). 4. Endberechnung: \(100 \cdot 17 = 1700\).

\(99\cdot17+1\cdot17=(99+1)\cdot17=1700\)

- Schau dir die drei Teile der Rechnung an. Welcher Faktor kommt überall vor? - Kannst du den letzten Teil der Rechnung (\(5 \cdot 4 \cdot 12\)) erst vereinfachen, bevor du ausklammerst? - Was passiert, wenn du alle Faktoren, die mit der \(12\) multipliziert werden, in einer Klammer zusammenfasst?

1. Zunächst wird das Teilprodukt am Ende berechnet: \(5 \cdot 4 = 20\). Der Ausdruck lautet nun: \(36 \cdot 12 + 14 \cdot 12 - 20 \cdot 12\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(12\): \((36 + 14 - 20) \cdot 12\). 3. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(36 + 14 = 50\); \(50 - 20 = 30\). 4. Endgültige Multiplikation: \(30 \cdot 12 = 360\).

\(36\cdot12+14\cdot12-5\cdot4\cdot12=36\cdot12+14\cdot12-20\cdot12=(36+14-20)\cdot12=30\cdot12=360\) Das entscheidende Rechengesetz ist das Distributivgesetz beim Ausklammern von \(12\); zuvor wird lediglich das Teilprodukt \(5\cdot4=20\) berechnet.

- Rechne die Schritte für die Zahl 6 nacheinander durch und schaue, ob am Ende wirklich das Doppelte von 6 herauskommt. - Gibt es eine einzelne Zahl, mit der man die Startzahl multiplizieren könnte, um direkt zum Endergebnis des Rechentricks zu kommen? - Was ergibt \(25 \cdot 8\)? Hilft dir dieses Ergebnis weiter, wenn du danach durch 100 teilst?

1. Berechnung für Teil a): \(6 \cdot 25 = 150\). Danach \(150 \cdot 8 = 1200\). Schließlich \(1200 : 100 = 12\). Das Endergebnis ist 12. Die Hälfte von 12 ist 6, also stimmt die Behauptung. 2. Analyse des Tricks für Teil b): Die Multiplikationen \(25 \cdot 8\) ergeben zusammen \(200\). 3. Kombination mit der Division: Die gesamte Kette entspricht einer Multiplikation mit 200 und anschließender Division durch 100, was einer Multiplikation mit \(200 : 100 = 2\) entspricht. Da das Endergebnis immer das Doppelte der Startzahl ist, erhält man die Startzahl zurück, indem man das Ergebnis halbiert.

a) Das Endergebnis für die Startzahl 6 ist 12. Da die Hälfte von 12 wieder 6 ist, stimmt die Behauptung. b) Die Rechenschritte bedeuten insgesamt eine Multiplikation mit \(25 \cdot 8 = 200\) und eine Division durch 100. Da \(200 : 100 = 2\) ist, wird die gedachte Zahl insgesamt nur verdoppelt. Um sie wiederzufinden, muss man das Ergebnis also halbieren.

- Rechne die Beispiele Schritt für Schritt von links nach rechts oder beachte die Klammern. - Kommt bei beiden Varianten das gleiche Ergebnis heraus? - Überlege, ob man beim Abziehen oder Teilen die Reihenfolge der Zahlen einfach vertauschen darf.

1. Berechnung für a): \(50 - 20 = 30\). Die Rechnung \(20 - 50\) ist im Bereich der natürlichen Zahlen nicht ausführbar (Ergebnis wäre \(-30\)). Das Kommutativgesetz gilt für die Subtraktion also nicht. 2. Berechnung für b): \((80 : 8) : 2 = 10 : 2 = 5\). Dagegen ist \(80 : (8 : 2) = 80 : 4 = 20\). Da \(5 \neq 20\), gilt das Assoziativgesetz für die Division nicht. 3. Das Kommutativgesetz gilt immer für die Addition und die Multiplikation natürlicher Zahlen.

a) Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion: \(50 - 20 = 30\), aber \(20 - 50\) hat in \(\mathbb{N}\) kein Ergebnis. b) Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Division: \((80 : 8) : 2 = 5\), aber \(80 : (8 : 2) = 20\). c) Die Addition oder die Multiplikation.

- Was verändert sich im ersten Gleichheitsschritt an der Reihenfolge der Summanden? - Was bewirkt die Klammer, obwohl nur Pluszeichen vorkommen? - Welche Rechengesetze beschreiben Vertauschen und Verbinden bei der Addition?

1. Im ersten Schritt \(15 + 38 + 85 = 15 + 85 + 38\) wurden die Summanden \(38\) und \(85\) vertauscht. Das ist das Kommutativgesetz. 2. Im zweiten Schritt \(15 + 85 + 38 = (15 + 85) + 38\) wurden die ersten beiden Summanden verbunden, damit sie zuerst addiert werden. Das ist das Assoziativgesetz.

Kommutativgesetz beim Vertauschen der Summanden und Assoziativgesetz beim Verbinden der Summanden.

- Welche Zahl wird in Lukas' Rechenweg zerlegt, welche in Maries? - Schreibe die zerlegte Zahl jeweils als Summe. - Welches Rechengesetz verbindet ein Produkt mit einer Summe von zwei Teilprodukten?

1. Lukas zerlegt \(16\) in \(10+6\): \(13\cdot10+13\cdot6=130+78=208\). 2. Marie zerlegt \(13\) in \(10+3\): \(10\cdot16+3\cdot16=160+48=208\). 3. In beiden Fällen wird ein Faktor als Summe zerlegt und der andere Faktor mit beiden Summanden multipliziert. Das ist das Distributivgesetz: \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\).

a) Lukas: \(208\); Marie: \(208\). b) Beide zerlegen einen Faktor in eine Summe und verteilen die Multiplikation auf beide Summanden. Verwendet wird das Distributivgesetz.

- Wie wird ein Produkt verändert, wenn ein Faktor als Summe geschrieben wird? - Wie kann man drei Faktoren in einem Produkt unterschiedlich verbinden? - Vergleiche bei beiden Strategien, welche Rechenoperation strukturell verändert wird.

1. Strategie A: \(25 \cdot (10 + 2) = 25 \cdot 10 + 25 \cdot 2 = 250 + 50 = 300\). 2. Strategie B: \(25 \cdot (4 \cdot 3) = (25 \cdot 4) \cdot 3 = 100 \cdot 3 = 300\). 3. Strategie A nutzt das Distributivgesetz. Strategie B nutzt das Assoziativgesetz.

a) Strategie A: \(25\cdot(10+2)=25\cdot10+25\cdot2=300\) Strategie B: \(25\cdot(4\cdot3)=(25\cdot4)\cdot3=300\) b) Strategie A nutzt das Distributivgesetz; Strategie B das Assoziativgesetz.

- Führe die Rechnungen Schritt für Schritt aus und achte besonders auf die Reste. - Was passiert mit den Resten der Einzelrechnungen, wenn man die Zahlen vorher addiert? - Schau dir an, ob die Summe der Reste groß genug ist, um noch einmal durch den Teiler geteilt zu werden.

1. Berechnung des Gesamtergebnisses: \(25 + 11 = 36\). Die Division \(36 : 6\) ergibt exakt den Quotienten \(6\). 2. Einzelberechnung: \(25 : 6 = 4\,\text{Rest}\,1\) und \(11 : 6 = 1\,\text{Rest}\,5\). Die Summe der ganzzahligen Quotienten ist \(4 + 1 = 5\). 3. Vergleich: Der ganzzahlige Quotient der Gesamtrechnung (\(6\)) ist größer als die Summe der einzelnen ganzzahligen Quotienten (\(5\)). Das liegt daran, dass die Reste \(1\) und \(5\) zusammen genau einen weiteren Divisor (\(6\)) ergeben. Das getrennte Addieren der ganzzahligen Quotienten ist bei Divisionen mit Rest daher nicht uneingeschränkt möglich.

Die Ergebnisse sind unterschiedlich: \((25 + 11) : 6 = 6\), aber die Summe der einzelnen ganzzahligen Quotienten ist \(4 + 1 = 5\). Bei Divisionen mit Rest dürfen die ganzzahligen Quotienten nicht immer getrennt berechnet und anschließend addiert werden.

- Kannst du eine der Zahlen so in eine Summe zerlegen, dass eine Zahl mit vielen Nullen entsteht? - Welches Rechengesetz hilft dir, eine Klammer der Form \((a + b) \cdot c\) aufzulösen? - Versuche, die Multiplikation in zwei einfachere Rechnungen aufzuteilen.

1. Zerlegung des ersten Faktors: \(2001 = 2000 + 1\) 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \((2000 + 1) \cdot 432 = 2000 \cdot 432 + 1 \cdot 432\) 3. Teilberechnungen: \(864\,000 + 432\) 4. Endergebnis: \(864\,432\)

\(2001\cdot432=(2000+1)\cdot432=2000\cdot432+1\cdot432=864\,432\)

- Gibt es Paare von Zahlen, die beim Subtrahieren ein sehr einfaches Ergebnis wie \(100\) oder \(50\) liefern? - Versuche, die Zahlen so zu gruppieren, dass du möglichst wenig im Kopf behalten musst.

1. Die Zahlen werden so zusammengefasst, dass einfache Differenzen entstehen: \((154 - 54) + (78 - 28)\). 2. Erstes Teilergebnis: \(154 - 54 = 100\). 3. Zweites Teilergebnis: \(78 - 28 = 50\). 4. Addition der Teilergebnisse: \(100 + 50 = 150\).

Geeignete Umformung: \((154-54)+(78-28)=100+50\) Ergebnis: \(150\)

- Schau dir genau an, was sich von einem Schritt zum nächsten verändert hat. - Hat sich nur die Reihenfolge der Zahlen geändert oder wurden Klammern gesetzt? - Wie heißen die Gesetze, die das Vertauschen und das Verbinden von Zahlen erlauben?

1. Identifikation des ersten Schritts: Die Faktoren \(9\) und \(4\) wurden vertauscht, was dem Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) entspricht: \(a \cdot b = b \cdot a\). 2. Identifikation des zweiten Schritts: Die Faktoren \(25\) und \(4\) wurden durch (gedankliche) Klammersetzung zuerst berechnet, was dem Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) entspricht: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\). 3. Berechnung der Teilergebnisse: \(25 \cdot 4 = 100\) und \(100 \cdot 9 = 900\).

1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): \(a \cdot b = b \cdot a\) 2. Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz): \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

- Suche in a) und b) nach einem Faktor, dessen Division besonders einfach ist. - Vergleiche in c) die Wirkung von „durch \(100\)“ und anschließend „mal \(2\)“ mit „durch \(50\)“. - Prüfe außerdem, warum die Voraussetzung zur Teilbarkeit durch \(100\) für natürliche Zwischenergebnisse hilfreich ist.

1. \(3100 : 25 = (31 \cdot 100) : 25 = 31 \cdot (100 : 25) = 31 \cdot 4 = 124\). 2. \(6000 : 125 = (6 \cdot 1000) : 125 = 6 \cdot (1000 : 125) = 6 \cdot 8 = 48\). 3. Für \(1300 : 50\) gilt nach Pauls Methode: \(1300 : 100 = 13\) und \(13 \cdot 2 = 26\). Direkt ist ebenfalls \(1300 : 50 = 26\). 4. Unter der genannten Voraussetzung bleibt auch der Zwischenschritt der Division durch \(100\) eine natürliche Zahl; die Methode ist dann im hier betrachteten Zahlenbereich zulässig.

a) \(3100:25=(31\cdot100):25=31\cdot(100:25)=31\cdot4=124\) b) \(6000:125=(6\cdot1000):125=6\cdot(1000:125)=6\cdot8=48\) c) \(1300:100=13\), danach \(13\cdot2=26\); direkt gilt ebenfalls \(1300:50=26\). Pauls Aussage ist unter der genannten Voraussetzung richtig.

- Schau dir an, welche Zahlen in der Klammer Sinn ergeben, um die Division im Kopf zu lösen. - Überlege bei Teil c, wie die Faktoren der ersten Zahl (\(15\) und \(100\)) zu den Faktoren der zweiten Zahl (\(3\) und \(25\)) passen könnten.

1. Vervollständigung für \(1600 : 25\): \(100 : 25 = 4\). Dann \(16 \cdot 4 = 64\). 2. Vervollständigung für \(4000 : 125\): Die fehlende Zahl in der Klammer ist \(1000\). Es gilt \(1000 : 125 = 8\). Dann \(4 \cdot 8 = 32\). 3. Vervollständigung für \(1500 : 75\): \(15 : 3 = 5\) und \(100 : 25 = 4\). Dann \(5 \cdot 4 = 20\).

a) \(16 \cdot (100 : 25) = 16 \cdot 4 = 64\) b) \(4 \cdot (1000 : 125) = 4 \cdot 8 = 32\) c) \(5 \cdot 4 = 20\)

- Lies zuerst die Maße beider gezeigten Kästchenfelder direkt aus der Abbildung ab. - Vergleiche dann die Breiten; die gemeinsame Zeilenzahl bleibt beim Ergänzen unverändert. - Beschreibe das ganze Feld einmal über seine Gesamtbreite und einmal als Summe der beiden Teilfelder.

1. Abbildung A zeigt \(6\) Zeilen und \(14\) Spalten. Abbildung B zeigt \(6\) Zeilen und \(10\) Spalten. 2. Beide Felder haben gleich viele Zeilen. In der Breite fehlen \(14-10=4\) Spalten. 3. Das Ergänzungsfeld hat daher \(6\) Zeilen und \(4\) Spalten. 4. Die Zerlegung lautet \(6\cdot14=6\cdot(10+4)=6\cdot10+6\cdot4\). Das ist das Distributivgesetz.

a) A: \(6\times14\), B: \(6\times10\) b) Ergänzungsfeld: \(6\times4\) c) \(6\cdot14=6\cdot(10+4)=6\cdot10+6\cdot4\)

- Berechne den Term von innen nach außen. - Achte bei Minuszeichen vor Klammern besonders darauf, wie sich eine Änderung der Zahlen im Inneren auf das Gesamtergebnis auswirkt. - Was passiert, wenn bei einer Subtraktion sowohl die vordere als auch die hintere Zahl um denselben Betrag größer werden?

1. Schrittweise Berechnung des Originalwerts: Innerste Klammer \((150 - 50) = 100\). Eckige Klammer \([750 - 100] = 650\). Gesamtwert \(2500 - 650 = 1850\). 2. Analyse der Erhöhung um \(d = 10\) für jede Zahl: In der innersten Klammer \((150 - 50)\) heben sich die Änderungen auf (\(160 - 60 = 100\)), der Wert bleibt gleich. 3. In der eckigen Klammer \([750 - 100]\) wird der Minuend um \(10\) größer, während der Subtrahend (die innerste Klammer) gleich bleibt. Der Wert der eckigen Klammer steigt also um \(10\) auf \(660\). 4. Für den gesamten Term gilt: Der Minuend \(2500\) wird um \(10\) größer (\(2510\)) und der Subtrahend (die eckige Klammer) wird ebenfalls um \(10\) größer (\(660\)). 5. Da Minuend und Subtrahend des Hauptterms um denselben Betrag (\(10\)) wachsen, bleibt die Gesamtdifferenz unverändert: \(2510 - 660 = 1850\).

Ausgangswert: \(1850\). Die innerste Differenz bleibt beim Erhöhen beider Zahlen um \(10\) unverändert. Dadurch steigt der Wert der eckigen Klammer um \(10\). Gleichzeitig steigt auch der äußere Minuend um \(10\). Da Minuend und Subtrahend des Hauptterms gleich stark wachsen, bleibt der Gesamtwert \(1850\).

- Welche beiden addierten Zahlen ergeben zusammen eine besonders einfache Zahl? - Welcher Wert wird im ersten Teil tatsächlich abgezogen? - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob sich zwei gleiche Werte voneinander abziehen lassen.

1. Fasse zuerst \(45\) und \(55\) zusammen, während \(17\) weiterhin abgezogen wird: \(45 - 17 + 55 = 45 + 55 - 17 = 100 - 17 = 83\). 2. Setze den restlichen Term fort: \(83 - 83 + 12\). 3. Berechne \(83 - 83 = 0\). 4. Damit ergibt sich \(0 + 12 = 12\).

Zum Beispiel \(45-17+55=45+55-17=83\), danach \(83-83+12=12\)

- Rechne erst einmal beide Wege aus und vergleiche den Aufwand. - Wann fällt dir das Teilen besonders leicht? Wenn die Zahlen „gut passen“? - Denk an das Beispiel zurück – war das Auflösen hier wirklich schwerer?

1. Art 1: \((1100 - 55) : 11 = 1045 : 11\) Berechnung: \(1045 : 11 = 95\) 2. Art 2: \(1100 : 11 - 55 : 11 = 100 - 5 = 95\) 3. Beurteilung der Aussage: Die Aussage ist falsch. In diesem Beispiel ist das Auflösen der Klammer (Art 2) deutlich einfacher, da \(1100\) und \(55\) einfache Vielfache von \(11\) sind. Die Division \(1045 : 11\) hingegen erfordert meist eine schriftliche Rechnung oder mehr Denkarbeit.

Das Ergebnis ist \(95\). Die Aussage ist falsch. Das Auflösen der Klammer ist hier wesentlich geschickter, da \(1100 : 11 = 100\) und \(55 : 11 = 5\) sehr einfache Rechnungen sind, während \(1045 : 11\) schwieriger ist.

- Was passiert, wenn ein gemeinsamer Faktor in mehr als zwei Gliedern vorkommt? - Achte darauf, dass die Reihenfolge in einem Produkt (\(15 \cdot 7\) statt \(7 \cdot 15\)) die Anwendung des Gesetzes nicht ändert. - Denke bei Aufgaben wie \(d)\) und \(f)\) an den „unsichtbaren“ Faktor \(1\) beim letzten Glied. - Versuche, die Zahlen in der Klammer zuerst zu addieren oder zu subtrahieren.

1. Ausklammern der \(12\): \(12 \cdot (17 + 11 + 2) = 12 \cdot 30 = 360\). 2. Ausklammern der \(18\): \(18 \cdot (24 + 16) = 18 \cdot 40 = 720\). 3. Ausklammern der \(15\) (Kommutativgesetz beachten): \(15 \cdot (27 - 7) = 15 \cdot 20 = 300\). 4. Ausklammern der \(13\) mit dem Faktor \(1\) am Ende: \(13 \cdot (29 - 18 - 1) = 13 \cdot 10 = 130\). 5. Zusammenfassen der drei Summanden: \(19 \cdot (14 + 23 + 13) = 19 \cdot 50 = 950\). 6. Ausklammern der \(22\) mit dem Faktor \(1\) am Ende: \(22 \cdot (35 - 14 - 1) = 22 \cdot 20 = 440\).

a) \(12\cdot(17+11+2)=360\) b) \(18\cdot(24+16)=720\) c) \(15\cdot(27-7)=300\) d) \(13\cdot(29-18-1)=130\) e) \(19\cdot(14+23+13)=950\) f) \(22\cdot(35-14-1)=440\)

- Erinnere dich an die Fachbegriffe Dividend und Divisor. - Wann kommt bei einer Division immer das Ergebnis \(1\) heraus? - Überlege dir ein Beispiel, bei dem zwei unterschiedliche Zahlen geteilt werden, und vertausche sie dann. - Gibt es einen Spezialfall, in dem das Ergebnis beim Vertauschen doch gleich bleibt?

1. Feststellung der Bedingung: Der Wert eines Quotienten bleibt nur dann gleich, wenn Dividend und Divisor denselben Wert besitzen (\(a = b\)). 2. Begründung: Wenn \(a = b\), ist das Ergebnis immer \(1\), egal in welcher Reihenfolge man sie schreibt (\(a : a = 1\)). 3. Falls \(a \neq b\), ist einer der beiden Quotienten größer als \(1\) und der andere kleiner als \(1\) (oder in den natürlichen Zahlen nicht definiert), weshalb sie nicht gleich sein können. 4. Beispiele: \(5 : 5 = 5 : 5 = 1\) und \(12 : 12 = 12 : 12 = 1\).

Der Wert ändert sich nur dann nicht, wenn Dividend und Divisor gleich groß sind (\(a = b\)). In diesem Fall ist das Ergebnis immer \(1\). Beispiele sind \(7 : 7 = 1\) und \(100 : 100 = 1\).

- Führe die Rechnungen für alle drei Beispielzahlen sorgfältig Schritt für Schritt aus. - Vergleiche deine Endergebnisse mit den Zahlen, mit denen du angefangen hast. Was fällt dir auf? - Schau dir den Schritt „Dividiere durch 3“ genau an. Auf welche Teile der vorherigen Rechnung wirkt sich diese Division aus? - Kannst du die Schritte „Verdreifachen“ und „Dividieren durch 3“ sowie „15 addieren“ und „5 subtrahieren“ in eine Beziehung setzen?

1. Testrechnung für 4: \((4 \cdot 3 + 15) : 3 - 5 = (12 + 15) : 3 - 5 = 27 : 3 - 5 = 9 - 5 = 4\). 2. Testrechnung für 10: \((10 \cdot 3 + 15) : 3 - 5 = (30 + 15) : 3 - 5 = 45 : 3 - 5 = 15 - 5 = 10\). 3. Testrechnung für 25: \((25 \cdot 3 + 15) : 3 - 5 = (75 + 15) : 3 - 5 = 90 : 3 - 5 = 30 - 5 = 25\). 4. Beobachtung: Das Endergebnis entspricht immer der Startzahl. 5. Erklärung: Die Division durch 3 bezieht sich auf die gesamte Summe (\(3 \cdot \text{Zahl} + 15\)). Sie macht die Verdreifachung rückgängig (ergibt die Zahl) und teilt auch die 15 durch 3 (ergibt 5). Man erhält also (\(\text{Zahl} + 5\)). Durch das abschließende Abziehen der 5 bleibt nur die ursprüngliche Zahl übrig.

Man erhält immer wieder die Zahl, mit der man angefangen hat. Das liegt daran, dass durch die Division durch 3 sowohl die Verdreifachung der Startzahl als auch die Addition der 15 (da \(15 : 3 = 5\)) anteilig rückgängig gemacht werden. Aus \(3 \cdot \text{Zahl} + 15\) wird durch das Teilen durch 3 die Rechnung \(\text{Zahl} + 5\). Zieht man dann 5 ab, bleibt die Startzahl übrig.

- Welche Zahl ergibt zusammen mit 125 multipliziert genau 1000? - Wie könntest du die 16 aufteilen, um diese besondere Zahl zu erhalten? - Kannst du 16 in Zehner und Einer zerlegen?

1. Assoziativgesetz: Zerlegung der \(16\) in \(8 \cdot 2\). Rechnung: \(125 \cdot (8 \cdot 2) = (125 \cdot 8) \cdot 2 = 1000 \cdot 2 = 2000\). 2. Distributivgesetz: Zerlegung der \(16\) in \(10 + 6\). Rechnung: \(125 \cdot (10 + 6) = 125 \cdot 10 + 125 \cdot 6 = 1250 + 750 = 2000\). 3. Ergebnis: In beiden Fällen ist das Produkt \(2000\).

Ja, beide Gesetze sind anwendbar. Assoziativgesetz: \(125 \cdot 8 \cdot 2 = 2000\). Distributivgesetz: \(125 \cdot 10 + 125 \cdot 6 = 2000\).

- Betrachte jeden Stoffrest zunächst getrennt. - Wie viele vollständige \(20\,\text{cm}\)-Stücke passen jeweils hinein? - Prüfe anschließend, ob die beiden Reststücke in der beschriebenen Situation tatsächlich zu einem einzigen Band werden dürfen.

1. Für die Maßzahlen des \(50\,\text{cm}\)-Stücks gilt \(50 : 20 = 2\) Rest \(10\). Es entstehen also \(2\) vollständige Bänder und ein Rest von \(10\,\text{cm}\). 2. Für die Maßzahlen des \(75\,\text{cm}\)-Stücks gilt \(75 : 20 = 3\) Rest \(15\). Es entstehen also \(3\) vollständige Bänder und ein Rest von \(15\,\text{cm}\). 3. Insgesamt erhält Aylin \(2 + 3 = 5\) vollständige Bänder. 4. Beim vorherigen Addieren der Längen werden die beiden getrennten Reststücke rechnerisch zusammengelegt. Das ist hier unzulässig, weil die Reste ausdrücklich nicht verbunden werden dürfen. Deshalb können \(10\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) kein weiteres durchgehendes \(20\,\text{cm}\)-Band bilden.

Aylin erhält \(5\) vollständige Bänder. Ihre Rechnung verbindet zwei getrennte Reststücke rechnerisch, obwohl das Verbinden in der Aufgabe ausdrücklich ausgeschlossen ist.

- Berechne für jedes Beispiel den Wert der linken Seite und den Wert der rechten Seite getrennt. - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Achte darauf, an welcher Stelle der Rechnung die Klammer steht (vorne oder hinten). - Wann darf man bei der Division die Glieder einzeln teilen?

1. Überprüfung Beispiel A: Linke Seite \((80 + 40) : 10 = 120 : 10 = 12\). Rechte Seite \(80 : 10 + 40 : 10 = 8 + 4 = 12\). Beispiel A ist korrekt. 2. Überprüfung Beispiel B: Linke Seite \(120 : (4 + 2) = 120 : 6 = 20\). Rechte Seite \(120 : 4 + 120 : 2 = 30 + 60 = 90\). Da \(20 \neq 90\), ist Beispiel B falsch. 3. Paul hat nicht recht. Das Distributivgesetz gilt bei der Division nur, wenn die Summe oder Differenz im Dividenden steht (vorne). Wenn die Summe im Divisor steht (hinten in der Klammer), darf man sie nicht einzeln dividieren.

Paul hat nicht recht. In Beispiel A sind beide Seiten gleich (\(12 = 12\)), aber in Beispiel B ergibt die linke Seite \(20\) und die rechte Seite \(90\). Das Distributivgesetz gilt bei der Division nur, wenn die Klammer vorne steht (im Dividenden).