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Potenzschreibweise

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Schwierigkeit: 1 – 5

5527815

Betrachte die Potenz \(4^3\). Nenne Basis und Exponent und erkläre kurz, was die Potenz bedeutet.

Denkanstöße

- Unterscheide die große Zahl unten von der kleinen hochgestellten Zahl. - Welche Zahl wird bei einer Potenz wiederholt als Faktor verwendet? - Welche Angabe beschreibt die Anzahl dieser gleichen Faktoren?

Lösung

1. Die Zahl, die wiederholt mit sich selbst multipliziert wird, ist die Basis. Hier ist die Basis \(4\). 2. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Hier ist der Exponent \(3\). 3. Daher bedeutet \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4\).

Antwort

Basis: \(4\) Exponent: \(3\) Bedeutung: \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4\)

5527825

Schreibe das Produkt \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6\) als Potenz. Nenne anschließend Basis und Exponent.

Denkanstöße

- Suche nach dem Faktor, der immer wieder vorkommt. - Zähle, wie oft dieser Faktor im Produkt steht. - Diese beiden Informationen bestimmen Basis und Exponent.

Lösung

1. In dem Produkt kommt derselbe Faktor \(6\) viermal vor. 2. Deshalb lautet die Potenz \(6^4\). 3. Die Basis ist \(6\), der Exponent ist \(4\).

Antwort

\(6^4\) Basis: \(6\) Exponent: \(4\)

4100375

Berechne den Wert des Terms \(3 \cdot 10^2 - 2 \cdot 10^1 + 3\).

Denkanstöße

- Welche Rechenart hat hier zuerst Vorrang? - Was bedeuten \(10^2\) und \(10^1\) als natürliche Zahlen? - Berechne danach erst die Produkte und zuletzt Addition und Subtraktion.

Lösung

1. Berechne die Potenzen: \(10^2 = 100\) und \(10^1 = 10\). 2. Berechne die Produkte: \(3 \cdot 100 = 300\) und \(2 \cdot 10 = 20\). 3. Danach gilt \(300 - 20 + 3 = 283\).

Antwort

\(283\)

4156485

Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl. \(7 \cdot 10^4\); \(700\); \(7 \cdot 10^6\); \(70\,000\,000\); \(7 \cdot 10^3\)

Denkanstöße

- Schreibe dir alle Zahlen zuerst in der gleichen Schreibweise auf, um sie besser vergleichen zu können. - Achte auf die Anzahl der Stellen oder die Hochzahl bei der Zehnerpotenz. - Je größer der Exponent bei der Basis 10 ist, desto größer ist die Zahl (bei gleichem Vorfaktor).

Lösung

1. Umwandlung aller Zahlen in die Ziffernschreibweise zum besseren Vergleich: \(700 = 7 \cdot 10^2\) \(7 \cdot 10^3 = 7000\) \(7 \cdot 10^4 = 70\,000\) \(7 \cdot 10^6 = 7\,000\,000\) \(70\,000\,000 = 7 \cdot 10^7\) 2. Vergleich der Zahlen anhand ihrer Stellenanzahl bzw. der Exponenten: \(700 < 7000 < 70\,000 < 7\,000\,000 < 70\,000\,000\)

Antwort

\(700 < 7 \cdot 10^3 < 7 \cdot 10^4 < 7 \cdot 10^6 < 70\,000\,000\)

4156495

Schreibe die Zahlen in der gewohnten Ziffernschreibweise (ohne Zehnerpotenzen). Nutze zur besseren Lesbarkeit kleine Abstände als Tausendertrennzeichen. a) \(5 \cdot 10^4\) b) \(23 \cdot 10^6\) c) \(10^8\) d) \(402 \cdot 10^3\)

Denkanstöße

- Was bedeutet eine Zehnerpotenz wie \(10^4\) ausgeschrieben? - Die Hochzahl sagt dir, wie viele Nullen du rechts an den natürlichen Faktor anhängst. - Vergiss nicht, die Tausenderabstände zu setzen, damit man die Zahl leichter lesen kann.

Lösung

1. Ausmultiplizieren der Zehnerpotenzen durch Anhängen der entsprechenden Anzahl an Nullen: a) \(5\) mit 4 Nullen: \(50\,000\) b) \(23\) mit 6 Nullen: \(23\,000\,000\) c) Eine \(1\) mit 8 Nullen: \(100\,000\,000\) d) \(402\) mit 3 Nullen: \(402\,000\)

Antwort

a) \(50\,000\) b) \(23\,000\,000\) c) \(100\,000\,000\) d) \(402\,000\)

4172535

Vergleiche die Werte und setze das passende Zeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) in die Lücke ein. a) \(6 \cdot 10^4\) ___ \(6000\) b) \(200\,000\) ___ \(2 \cdot 10^5\) c) \(9 \cdot 10^2\) ___ \(9 \cdot 10^3\) d) \(40\,000\) ___ \(3 \cdot 10^4\)

Denkanstöße

- Wandle beide Seiten in die gleiche Schreibweise um, bevor du sie vergleichst. - Worauf musst du achten, wenn die Hochzahlen der Zehnerpotenzen unterschiedlich sind? - Überlege dir, welche der Zahlen mehr Stellen hat.

Lösung

1. Teilaufgabe a): \(6 \cdot 10^4 = 60\,000\). Da \(60\,000 > 6000\), ist das Zeichen \(>\). 2. Teilaufgabe b): \(2 \cdot 10^5 = 200\,000\). Da \(200\,000 = 200\,000\), ist das Zeichen \(=\). 3. Teilaufgabe c): \(9 \cdot 10^2 = 900\) und \(9 \cdot 10^3 = 9000\). Da \(900 < 9000\), ist das Zeichen \(<\). 4. Teilaufgabe d): \(3 \cdot 10^4 = 30\,000\). Da \(40\,000 > 30\,000\), ist das Zeichen \(>\).

Antwort

a) \(6 \cdot 10^4 > 6000\) b) \(200\,000 = 2 \cdot 10^5\) c) \(9 \cdot 10^2 < 9 \cdot 10^3\) d) \(40\,000 > 3 \cdot 10^4\)

4172545

Bestimme jeweils zuerst, **welche Art von Zahl gesucht ist**, und löse dann die Aufgabe. a) \(30\,000 = 3 \cdot 10^n\) b) \(x = 5 \cdot 10^4\) c) \(100\,000 = 10^n\) d) \(x = 8 \cdot 10^1\) Gib bei jeder Teilaufgabe zusätzlich an, ob du einen **Exponenten** oder einen **Zahlenwert** bestimmt hast.

Denkanstöße

- Schau zuerst auf die unbekannte Größe: Steht sie oben als Hochzahl oder steht sie für den Wert des ganzen Ausdrucks? - Bei einer Zehnerpotenz zeigt der Exponent, wie viele Faktoren \(10\) miteinander multipliziert werden. - Wenn ein Zahlenwert gesucht ist, bestimme zuerst die Zehnerpotenz und berücksichtige danach den Faktor davor. - Prüfe am Ende, ob deine gefundene Zahl an der Stelle der jeweiligen Unbekannten die Gleichung richtig macht.

Lösung

1. In a) ist der Exponent gesucht. Da \(10^4 = 10\,000\) gilt, ist \(3 \cdot 10^4 = 30\,000\). Also ist \(n = 4\). 2. In b) ist ein Zahlenwert gesucht. Es gilt \(10^4 = 10\,000\), also \(x = 5 \cdot 10\,000 = 50\,000\). 3. In c) ist der Exponent gesucht. Es gilt \(100\,000 = 10^5\), also \(n = 5\). 4. In d) ist ein Zahlenwert gesucht. Es gilt \(10^1 = 10\), also \(x = 8 \cdot 10 = 80\).

Antwort

a) Exponent: \(n = 4\) b) Zahlenwert: \(x = 50\,000\) c) Exponent: \(n = 5\) d) Zahlenwert: \(x = 80\)

4172645

Wandle die folgenden Darstellungen großer Zahlen um. Wähle bei einem Produkt aus einer natürlichen Zahl und einer Zehnerpotenz den Exponenten so groß wie möglich. a) Schreibe \(8 \cdot 10^5\) als Zahlwort. b) Schreibe \(400\,000\,000\) als Produkt aus einer natürlichen Zahl und einer Zehnerpotenz. c) Schreibe die Zahl „sechs Billionen“ in der Standard-Ziffernschreibweise. d) Schreibe \(15 \cdot 10^4\) in der Standard-Ziffernschreibweise.

Denkanstöße

- Wie viele Nullen hat eine Million, eine Milliarde oder eine Billion? - Was gibt der Exponent bei einer Zehnerpotenz über die Anzahl der Nullen an? - Kannst du die Zehnerpotenz zuerst als normale Zahl (wie \(100\), \(1000\) etc.) schreiben?

Lösung

1. Für \(8 \cdot 10^5\) berechnet man \(8 \cdot 100\,000 = 800\,000\). Das entsprechende Zahlwort ist achthunderttausend. 2. Die Zahl \(400\,000\,000\) hat acht Nullen. Sie lässt sich als \(4 \cdot 100\,000\,000\) schreiben, was \(4 \cdot 10^8\) entspricht. 3. Eine Billion hat zwölf Nullen. Sechs Billionen schreibt man daher als \(6\,000\,000\,000\,000\). 4. Der Ausdruck \(15 \cdot 10^4\) bedeutet \(15 \cdot 10\,000\). Das ergibt \(150\,000\).

Antwort

a) achthunderttausend b) \(4 \cdot 10^8\) c) \(6\,000\,000\,000\,000\) d) \(150\,000\)

4172825

Schreibe die folgenden Zahlen als Produkt aus einer natürlichen Zahl und einer Zehnerpotenz (zum Beispiel \(500 = 5 \cdot 10^2\)). Wähle den Exponenten der Zehnerpotenz so groß wie möglich. a) achtzig Milliarden b) fünfhundert Millionen c) zweitausend d) sieben Billionen

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Nullen die Begriffe „Million“, „Milliarde“ und „Billion“ jeweils haben. - Schreibe die Zahl zuerst mit allen Nullen auf, um die Zehnerpotenz leichter zu finden. - Eine Zehnerpotenz wie \(10^3\) steht für eine Eins mit drei Nullen. - Versuche, so viele Nullen wie möglich in die Zehnerpotenz zu „packen“, damit die vordere Zahl möglichst klein wird.

Lösung

1. Bestimmung der Anzahl der Nullen für die Begriffe: Tausend (\(10^3\)), Million (\(10^6\)), Milliarde (\(10^9\)), Billion (\(10^{12}\)). 2. Umwandlung der Teilaufgaben: a) achtzig Milliarden entspricht \(80 \cdot 10^9\). Da \(80 = 8 \cdot 10^1\), ergibt sich \(8 \cdot 10^{10}\). b) fünfhundert Millionen entspricht \(500 \cdot 10^6\). Da \(500 = 5 \cdot 10^2\), ergibt sich \(5 \cdot 10^8\). c) zweitausend entspricht \(2 \cdot 10^3\). d) sieben Billionen entspricht \(7 \cdot 10^{12}\).

Antwort

a) \(8 \cdot 10^{10}\) b) \(5 \cdot 10^8\) c) \(2 \cdot 10^3\) d) \(7 \cdot 10^{12}\)

4180515

Bearbeite die folgenden Aufgaben zu den Zehnerpotenzen: a) Schreibe die Zahlen \(19\,000\,000\) und \(800\,000\,000\,000\) jeweils als Produkt aus einer natürlichen Zahl und der größtmöglichen Zehnerpotenz (z. B. \(500 = 5 \cdot 10^2\)). b) Welchen Wert hat die Summe \(3 \cdot 10^4 + 7 \cdot 10^2\)? Gib das Ergebnis als einfache Zahl an.

Denkanstöße

- Der Exponent einer Zehnerpotenz hängt damit zusammen, wie oft der Faktor \(10\) vorkommt. - Achte bei Teil a) auf die Endnullen der beiden Zahlen. - Berechne bei der Summe zuerst die einzelnen Produkte, bevor du sie addierst.

Lösung

1. Für Teil a): Zählen der Endnullen bei \(19\,000\,000\) ergibt \(6\) Nullen, also \(19 \cdot 10^6\). Bei \(800\,000\,000\,000\) sind es \(11\) Nullen, also \(8 \cdot 10^{11}\). 2. Für Teil b): \(10^4 = 10\,000\) und \(10^2 = 100\). 3. Multiplikation mit den Vorfaktoren: \(3 \cdot 10\,000 = 30\,000\) und \(7 \cdot 100 = 700\). 4. Addition: \(30\,000 + 700 = 30\,700\).

Antwort

a) \(19 \cdot 10^6\) und \(8 \cdot 10^{11}\) b) \(30\,700\)

4197505

Bestimme den Wert der Potenzen. Notiere dabei zuerst die Rechnung als Produkt. a) \(10^5\) b) \(1^{100}\) c) \(13^2\) d) \(2^6\)

Denkanstöße

- Was passiert, wenn man die Zahl 1 beliebig oft mit sich selbst multipliziert? - Gibt es bei Zehnerpotenzen einen Trick, um die Anzahl der Nullen schnell zu bestimmen? - Multipliziere bei längeren Produkten Schritt für Schritt von links nach rechts.

Lösung

1. \(10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100\,000\). 2. \(1^{100} = 1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 1\), da ein Produkt aus Einsen immer \(1\) ist. 3. \(13^2 = 13 \cdot 13 = 169\). 4. \(2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64\).

Antwort

a) \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100\,000\) b) \(1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 1\) c) \(13 \cdot 13 = 169\) d) \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64\)

4198025

Bei einem großen Tischtennis-Turnier wird im K.-o.-System gespielt. Das bedeutet, wer ein Spiel verliert, scheidet sofort aus. Die Anzahl der Teilnehmer halbiert sich also in jeder Runde. a) Wenn \(128\) Spieler teilnehmen, wie viele Runden müssen nacheinander gespielt werden, bis ein einziger Sieger feststeht? Nutze Zweierpotenzen für deine Begründung. b) Wie viele Spieler könnten maximal teilnehmen, wenn das Turnier über genau \(9\) Runden gehen würde?

Denkanstöße

- Was passiert mit der Anzahl der Spieler nach der ersten Runde? - Kannst du eine Liste der Zweierpotenzen aufschreiben (\(2^1, 2^2, 2^3, \dots\))? - Wie oft musst du die Zahl \(2\) mit sich selbst multiplizieren, um auf \(128\) zu kommen? - Überlege dir, wie viele Spieler in der allerletzten Runde (dem Finale) noch dabei sind.

Lösung

1. Da sich die Teilnehmerzahl pro Runde halbiert, entspricht die Anzahl der Spieler der Basis \(2\) hoch der Anzahl der Runden. 2. Für Teilaufgabe a): Es gilt \(2^7 = 128\). Somit sind \(7\) Runden notwendig. 3. Für Teilaufgabe b): Bei \(9\) Runden berechnet man \(2^9\). Da \(2^7 = 128\), ist \(2^8 = 256\) und \(2^9 = 512\). Es können also maximal \(512\) Spieler teilnehmen.

Antwort

a) Es müssen \(7\) Runden gespielt werden, da \(2^7 = 128\) ist. b) Es könnten maximal \(512\) Spieler teilnehmen (\(2^9 = 512\)).

4229275

Natürliche Zahlen lassen sich übersichtlich als Summe von Zehnerpotenzen schreiben. Dabei nutzt man die Stufenwerte des Zehnersystems wie \(10\), \(100\) (geschrieben als \(10^2\)), \(1000\) (\(10^3\)) und so weiter. Beispiel: \(625 = 6 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 5\). Zerlege die folgenden Zahlen nach diesem Muster: a) \(9382\) b) \(50\,417\) c) \(603\,009\)

Denkanstöße

- Überlege, welcher Zehnerpotenz jede Stelle der Zahl entspricht. - Arbeite von der höchsten Stelle nach rechts. - Was passiert in der Zerlegung, wenn an einer Stelle die Ziffer \(0\) steht?

Lösung

1. Zerlegung von \(9382\): \(9000 + 300 + 80 + 2 = 9 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 2\). 2. Zerlegung von \(50\,417\): \(50\,000 + 400 + 10 + 7 = 5 \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 7\). Die Tausenderstelle ist \(0\) und liefert keinen Summanden. 3. Zerlegung von \(603\,009\): \(600\,000 + 3000 + 9 = 6 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^3 + 9\).

Antwort

a) \(9 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 2\) b) \(5 \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 7\) c) \(6 \cdot 10^5 + 3 \cdot 10^3 + 9\)

4229285

Gegeben ist die folgende Summe aus Zehnerpotenzen: \(4 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^3 + 7 \cdot 10 + 5\) a) Welche Zahl im Zehnersystem ergibt sich, wenn du diese Summe ausrechnest? b) Vergleiche dein Ergebnis mit der Zahl \(42\,705\). Welches der Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) muss dazwischen stehen?

Denkanstöße

- Schreibe dir die Werte der einzelnen Zehnerpotenzen zuerst als normale Zahlen auf. - Achte beim Addieren darauf, dass du die Stellenwerte (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner usw.) richtig beachtest. - Wenn eine Potenz wie \(10^4\) oder \(10^2\) in der Summe fehlt, was bedeutet das für diese Stelle in der fertigen Zahl? - Wie kannst du auf einen Blick erkennen, welche von zwei großen Zahlen größer ist?

Lösung

1. Berechnung der einzelnen Summanden: \(4 \cdot 10^5 = 400\,000\), \(2 \cdot 10^3 = 2000\), \(7 \cdot 10 = 70\) und der Einerwert ist \(5\). 2. Addition der Werte: \(400\,000 + 2000 + 70 + 5 = 402\,075\). Beachte, dass die Zehntausender- und Hunderterstelle mit \(0\) besetzt werden müssen. 3. Vergleich der Zahlen: \(402\,075\) hat sechs Stellen, während \(42\,705\) nur fünf Stellen hat. Eine sechsstellige Zahl ist immer größer als eine fünfstellige Zahl. 4. Ergebnis: \(402\,075 > 42\,705\).

Antwort

a) \(402\,075\) b) \(402\,075 > 42\,705\)

4245415

Zehnerpotenzen helfen dabei, große Zahlen übersichtlich darzustellen und die Struktur unseres Dezimalsystems zu verstehen. 1. Schreibe die folgenden Zahlen als Summe von Zehnerpotenzen: a) \(60\,403\) b) \(2\,008\,000\) 2. Welche Zahl entspricht \(5\cdot10^7+2\cdot10^5+9\cdot10^1\) in gewöhnlicher Dezimalschreibweise?

Denkanstöße

- Welchen Stellenwert hat jede von null verschiedene Ziffer? - Der Exponent von \(10^n\) zeigt den zugehörigen Stellenwert. - Die Einerstelle kannst du wie in der übrigen Sammlung als gewöhnliche Zahl notieren. - Setze beim Rückweg in die Dezimalschreibweise an nicht besetzten Stellen Nullen ein.

Lösung

1. a) \(60\,403=6\cdot10^4+4\cdot10^2+3\). Nicht besetzte Stellen werden weggelassen. 2. b) \(2\,008\,000=2\cdot10^6+8\cdot10^3\). 3. \(5\cdot10^7=50\,000\,000\), \(2\cdot10^5=200\,000\) und \(9\cdot10^1=90\). 4. Daher \(50\,000\,000+200\,000+90=50\,200\,090\).

Antwort

1. a) \(6\cdot10^4+4\cdot10^2+3\) b) \(2\cdot10^6+8\cdot10^3\) 2. \(50\,200\,090\)

5527835

Bestimme den fehlenden Exponenten: \(2^{\square} = 32\).

Denkanstöße

- Der Exponent zählt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. - Baue die Potenzen von \(2\) schrittweise auf. - Stoppe, sobald der Wert \(32\) erreicht ist.

Lösung

1. Schreibe die aufeinanderfolgenden Potenzen von \(2\) als Produkte gleicher Faktoren. 2. \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\). 3. Es werden fünf Faktoren \(2\) benötigt. Daher ist der fehlende Exponent \(5\).

Antwort

\(2^5 = 32\), also ist der Exponent \(5\).

5527845

Bestimme die fehlende Basis: \(\square^3 = 125\).

Denkanstöße

- Der Exponent \(3\) bedeutet drei gleiche Faktoren. - Suche eine natürliche Zahl, deren dreifaches Produkt mit sich selbst \(125\) ergibt. - Prüfe deinen Kandidaten durch Ausmultiplizieren.

Lösung

1. Gesucht ist eine natürliche Zahl, die dreimal als gleicher Faktor vorkommt. 2. \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\). 3. Daher ist die fehlende Basis \(5\).

Antwort

\(5^3 = 125\), also ist die Basis \(5\).

5527855

Die Stellenwerttafel zeigt genau einen Chip. Welche Zahl ist dargestellt? Schreibe sie anschließend als Zehnerpotenz.

Denkanstöße

- Lies die Stelle ab, in deren Spalte der Chip liegt. - Überlege, wie viele Nullen die zugehörige Stellenwertzahl hat. - Bei einer Zehnerpotenz entspricht diese Anzahl dem Exponenten.

Lösung

1. Der Chip liegt in der Hunderttausenderstelle. 2. Die dargestellte Zahl ist deshalb \(100\,000\). 3. Als Zehnerpotenz gilt \(100\,000 = 10^5\).

Antwort

\(100\,000 = 10^5\)

4172655

Vergleiche die folgenden Werte und setze das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) in das Kästchen ein. a) \(2 \cdot 10^6 \square 20\,000\,000\) b) \(10^3 \cdot 10^2 \square 10^5\) c) \(500 \cdot 10^3 \square 5 \cdot 10^5\) d) Eine Milliarde \(\square 10^9\)

Denkanstöße

- Schreibe beide Seiten möglichst in derselben Darstellungsform auf. - Eine Zehnerpotenz kannst du als \(1\) mit entsprechend vielen Nullen lesen. - Bei b) kannst du \(10^3\) und \(10^2\) zunächst als \(1000\) und \(100\) ausschreiben und dann multiplizieren.

Lösung

1. \(2 \cdot 10^6 = 2\,000\,000\). Daher gilt \(2\,000\,000 < 20\,000\,000\). 2. \(10^3 \cdot 10^2 = 1000 \cdot 100 = 100\,000\), und \(10^5 = 100\,000\). Daher gilt \(=\). 3. \(500 \cdot 10^3 = 500\,000\), und \(5 \cdot 10^5 = 500\,000\). Daher gilt \(=\). 4. Eine Milliarde ist \(1\,000\,000\,000 = 10^9\). Daher gilt \(=\).

Antwort

a) \(<\) b) \(=\) c) \(=\) d) \(=\)

4172835

Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Angaben. Wähle in der letzten Spalte jeweils den Exponenten so groß wie möglich. <table><tr><th>Zahl als Wort</th><th>Zahl in Ziffernschreibweise</th><th>Mithilfe einer Zehnerpotenz</th></tr><tr><td>neunhunderttausend</td><td>\(900\,000\)</td><td>\(9 \cdot 10^5\)</td></tr><tr><td>vier Millionen</td><td>?</td><td>?</td></tr><tr><td>?</td><td>\(60\,000\,000\,000\)</td><td>?</td></tr><tr><td>drei Milliarden</td><td>?</td><td>?</td></tr></table>

Denkanstöße

- Wie viele Nullen gehören zu einer Million beziehungsweise einer Milliarde? - Suche für die Potenzdarstellung den größten Zehnerpotenzfaktor, den du aus der Zahl herausziehen kannst. - Kontrolliere, ob die Ziffernschreibweise und das Zahlwort dieselbe Größenordnung beschreiben.

Lösung

1. Vier Millionen sind \(4\,000\,000\), also \(4 \cdot 10^6\). 2. \(60\,000\,000\,000\) sind sechzig Milliarden. Mit größtmöglichem Exponenten lautet die Darstellung \(6 \cdot 10^{10}\). 3. Drei Milliarden sind \(3\,000\,000\,000\), also \(3 \cdot 10^9\).

Antwort

<table><tr><th>Zahl als Wort</th><th>Zahl in Ziffernschreibweise</th><th>Mithilfe einer Zehnerpotenz</th></tr><tr><td>neunhunderttausend</td><td>\(900\,000\)</td><td>\(9 \cdot 10^5\)</td></tr><tr><td>vier Millionen</td><td>\(4\,000\,000\)</td><td>\(4 \cdot 10^6\)</td></tr><tr><td>sechzig Milliarden</td><td>\(60\,000\,000\,000\)</td><td>\(6 \cdot 10^{10}\)</td></tr><tr><td>drei Milliarden</td><td>\(3\,000\,000\,000\)</td><td>\(3 \cdot 10^9\)</td></tr></table>

4172845

In wissenschaftlichen Texten werden große Zahlen oft kompakt geschrieben. Wandle die unterstrichenen Angaben in die Form \(a \cdot 10^n\) um (wobei \(a\) eine natürliche Zahl ohne Endnullen ist). a) Die Anzahl der roten Blutkörperchen im Körper eines Erwachsenen beträgt etwa <u>fünfundzwanzig Billionen</u>. b) Die Erdoberfläche ist etwa <u>fünfhundertzehn Millionen</u> Quadratkilometer groß. c) Ein moderner Computerchip kann über <u>vierzig Milliarden</u> Transistoren enthalten.

Denkanstöße

- Konzentriere dich nur auf die unterstrichenen Zahlwörter. - Schreibe dir die Zahl erst einmal „ganz lang“ mit allen Nullen auf. - Zähle dann, wie viele Nullen am Ende stehen, um den Exponenten für die Zehnerpotenz zu bestimmen. - Achte darauf, dass die Zahl vor dem Malzeichen keine Null mehr am Ende hat.

Lösung

1. Schritt: Bestimmung des Zahlenwerts und der Anzahl der Nullen für die Einheiten (Million: \(10^6\), Milliarde: \(10^9\), Billion: \(10^{12}\)). 2. Anwendung auf die Aufgaben: a) \(25\) Billionen = \(25 \cdot 10^{12}\). b) \(510\) Millionen = \(510 \cdot 10^6\). Da \(510 = 51 \cdot 10^1\), ergibt sich \(51 \cdot 10^7\). c) \(40\) Milliarden = \(40 \cdot 10^9\). Da \(40 = 4 \cdot 10^1\), ergibt sich \(4 \cdot 10^{10}\).

Antwort

a) \(25 \cdot 10^{12}\) b) \(51 \cdot 10^7\) c) \(4 \cdot 10^{10}\)

4197515

Berechne das Ergebnis der folgenden Terme. Wandle die Potenzen dabei zuerst in Produkte um. a) \(7 \cdot 10^3\) b) \(4 \cdot 2^5\) c) \(2^3 \cdot 5^2\)

Denkanstöße

- Denke an die Vorrangregel: Potenzen werden vor der Multiplikation berechnet. - Berechne zuerst den Wert der Potenz und multipliziere das Ergebnis dann mit der anderen Zahl. - Bei zwei Potenzen berechnest du am besten beide einzeln und bildest am Ende das Produkt.

Lösung

1. Berechnung von \(7 \cdot 10^3\): Zuerst die Potenz \(10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\). Dann Multiplikation: \(7 \cdot 1000 = 7000\). 2. Berechnung von \(4 \cdot 2^5\): Zuerst die Potenz \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\). Dann Multiplikation: \(4 \cdot 32 = 128\). 3. Berechnung von \(2^3 \cdot 5^2\): Zuerst beide Potenzen berechnen. \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) und \(5^2 = 5 \cdot 5 = 25\). Dann Multiplikation: \(8 \cdot 25 = 200\).

Antwort

a) \(7 \cdot 1000 = 7000\) b) \(4 \cdot 32 = 128\) c) \(8 \cdot 25 = 200\)

4197595

Löse die Aufgaben und finde das Lösungswort. Bilde dazu die Quersumme des Betrages deines Ergebnisses und wähle den entsprechenden Buchstaben aus der Tabelle. a) \(2^6 - 45\) b) \(3^4 - 74\) c) \(5^2 - 10\) d) \(2^3 + 1^5\) e) \(10^2 : 50\) <table> <tr> <td>2 \(\rightarrow\) T</td> <td>6 \(\rightarrow\) O</td> <td>7 \(\rightarrow\) P</td> <td>9 \(\rightarrow\) R</td> <td>10 \(\rightarrow\) S</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Achte auf die Reihenfolge: Potenzen werden vor der Subtraktion oder Addition berechnet. - Überlege genau, wie oft die Basis bei einer Potenz mit sich selbst multipliziert wird. - Wenn das Ergebnis zweistellig ist, addiere beide Ziffern für die Quersumme.

Lösung

1. Berechnung der Ergebnisse: a) \(2^6 - 45 = 64 - 45 = 19\) b) \(3^4 - 74 = 81 - 74 = 7\) c) \(5^2 - 10 = 25 - 10 = 15\) d) \(2^3 + 1^5 = 8 + 1 = 9\) e) \(10^2 : 50 = 100 : 50 = 2\) 2. Bestimmung der Quersummen: a) \(19 \rightarrow 1 + 9 = 10\) b) \(7 \rightarrow 7\) c) \(15 \rightarrow 1 + 5 = 6\) d) \(9 \rightarrow 9\) e) \(2 \rightarrow 2\) 3. Zuordnung der Buchstaben: 10 (S), 7 (P), 6 (O), 9 (R), 2 (T).

Antwort

Das Lösungswort lautet SPORT.

4197865

Vergleiche die Terme, ohne ihren Wert vollständig auszurechnen. Setze das passende Zeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) in das Kästchen ein und begründe kurz deine Entscheidung. a) \(17^2 \square 18^2\) b) \(10^5 \square 10^6\) c) \(5^2 \cdot 2 \square 5 \cdot 2^2\)

Denkanstöße

- Wie verändert sich eine Potenz bei gleichem positiven Exponenten, wenn die Basis größer wird? - Wie verändert sich eine Potenz bei gleicher Basis größer als \(1\), wenn der Exponent wächst? - Kannst du Teil c in eine äquivalente Form bringen, in der gemeinsame Bestandteile beider Seiten leichter vergleichbar werden?

Lösung

1. Bei gleichem Exponenten ist die Potenz mit der größeren positiven Basis größer. Aus \(17 < 18\) folgt \(17^2 < 18^2\). 2. Bei gleicher Basis größer als \(1\) ist die Potenz mit dem größeren Exponenten größer. Aus \(5 < 6\) folgt \(10^5 < 10^6\). 3. Schreibe beide Terme als Produkte: \(5^2 \cdot 2 = 5 \cdot 5 \cdot 2\) und \(5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 2 \cdot 2\). Beide enthalten den positiven Faktor \(5 \cdot 2\). Danach werden nur noch \(5\) und \(2\) verglichen. Da \(5 > 2\) gilt, ist \(5^2 \cdot 2 > 5 \cdot 2^2\).

Antwort

a) \(17^2<18^2\), weil bei gleichem Exponenten \(2\) die größere positive Basis den größeren Wert liefert. b) \(10^5<10^6\), weil bei gleicher Basis \(10>1\) der größere Exponent einen zusätzlichen Faktor \(10\) bedeutet. c) \(5^2\cdot2>5\cdot2^2\), denn nach Ausklammern des gemeinsamen positiven Faktors \(5\cdot2\) werden nur noch \(5\) und \(2\) verglichen.

4197885

Bestimme ohne Taschenrechner, welches Zeichen (\(<\), \(>\) oder \(=\)) die Lücke korrekt füllt. Begründe deine Überlegung. a) \((4 + 4)^2 \square 4^2 + 4^2\) b) \(20^2 \square 40 \cdot 10\) c) \(10^4 - 10^2 \square 10^4 - 10^3\)

Denkanstöße

- Achte bei a) auf die Klammerregeln: Was musst du zuerst berechnen? - Kannst du \(20^2\) als Multiplikation schreiben und mit der rechten Seite vergleichen? - Wenn du von der gleichen Zahl einmal etwas Kleines und einmal etwas Großes abziehst, wo bleibt mehr übrig?

Lösung

1. Bei a) gilt \(4 + 4 = 8\). Damit ist die linke Seite \(8 \cdot 8\). Rechts gilt \(4^2 + 4^2 = 4 \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 4 \cdot 8\). Wegen \(8 \cdot 8 > 4 \cdot 8\) ist die linke Seite größer. 2. Bei b) ist \(20^2 = 20 \cdot 20\). Außerdem gilt \(40 \cdot 10 = 2 \cdot 20 \cdot 10 = 20 \cdot 20\). Daher sind beide Seiten gleich. 3. Bei c) wird auf beiden Seiten von \(10^4\) etwas abgezogen. Links wird \(10^2\), rechts \(10^3\) abgezogen. Da \(10^2 < 10^3\), bleibt links der größere Wert übrig.

Antwort

a) \((4+4)^2>4^2+4^2\), denn links steht \(8\cdot8\), rechts \(4\cdot8\). b) \(20^2=40\cdot10\), denn beide Terme lassen sich als \(20\cdot20\) schreiben. c) \(10^4-10^2>10^4-10^3\), weil rechts von demselben Minuenden die größere Zahl abgezogen wird.

4198035

An einer Anzeigetafel befinden sich Schalter, die jeweils zwei Zustände haben können: „An“ (Leuchten) oder „Aus“ (Dunkel). a) Wie viele verschiedene Muster können mit \(5\) Schaltern insgesamt erzeugt werden? Gib die Rechnung als Potenz und als natürliche Zahl an. b) Berechne, wie viele Muster mit \(10\) Schaltern möglich sind. c) Wie viele Schalter müssen mindestens vorhanden sein, um für jeden der \(365\) Tage eines Jahres ein eigenes, eindeutiges Muster darstellen zu können?

Denkanstöße

- Wie viele Möglichkeiten hast du bei nur einem Schalter? Wie viele sind es bei zwei Schaltern? - Erkennst du eine Regelmäßigkeit, wenn du für jeden weiteren Schalter die Möglichkeiten verdoppelst? - Schau dir die Ergebnisse von \(2^8\) und \(2^9\) genau an, um die Anzahl der Tage abzudecken.

Lösung

1. Jeder Schalter verdoppelt die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten. Bei \(n\) Schaltern ergeben sich \(2^n\) Muster. 2. Für a): \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\). 3. Für b): \(2^{10} = 1024\). 4. Für c): Gesucht ist die kleinste Potenz von \(2\), die mindestens \(365\) ergibt. Es gilt \(2^8 = 256\) (zu wenig) und \(2^9 = 512\) (ausreichend). Es werden also mindestens \(9\) Schalter benötigt.

Antwort

a) \(2^5 = 32\) Muster. b) \(2^{10} = 1024\) Muster. c) Es werden mindestens \(9\) Schalter benötigt.

4223845

1. Schreibe die folgenden Zahlen als Zehnerpotenz (z. B. \(10^n\)): \(100\,000\), \(10\,000\,000\) und eine Milliarde. 2. Bestimme den Wert der Summe \(7 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^2\). 3. Die Entfernung zwischen Erde und Sonne beträgt rund \(150\) Millionen Kilometer. Drücke diese Zahl in der Form \(a \cdot 10^n\) aus, wobei \(a\) eine natürliche Zahl ohne Endnullen ist.

Denkanstöße

- Wie viele Nullen hat eine Million oder eine Milliarde? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullen und dem Exponenten bei Zehnerpotenzen? - Berechne bei der Summe zuerst die Werte der einzelnen Potenzen, bevor du addierst. - Bei der kompakten Schreibweise kannst du die Nullen am Ende der Zahl durch eine Zehnerpotenz ersetzen.

Lösung

1. Bestimmung der Zehnerpotenzen durch Abzählen der Nullen: \(100\,000 = 10^5\); \(10\,000\,000 = 10^7\); eine Milliarde (\(1\,000\,000\,000\)) \(= 10^9\). 2. Berechnung der Summe: \(7 \cdot 10^4 = 70\,000\) und \(3 \cdot 10^2 = 300\). Addition ergibt \(70\,000 + 300 = 70\,300\). 3. \(150\) Millionen sind \(150\,000\,000\). Da der natürliche Faktor keine Endnullen haben soll, schreibt man \(150\,000\,000 = 15 \cdot 10^7\).

Antwort

1. \(10^5\); \(10^7\); \(10^9\). 2. \(70\,300\). 3. \(15 \cdot 10^7\,\text{km}\).

4198045

Jonas möchte eine geheime Zahl zwischen \(1\) und \(100\) erraten. Er darf Fragen stellen, die man nur mit „Ja“ oder „Nein“ beantworten kann (zum Beispiel: „Ist die Zahl kleiner als \(50\)?“). Er nutzt eine Strategie, bei der er den Bereich der möglichen Zahlen mit jeder Frage halbiert. a) Berechne mit Hilfe von Zweierpotenzen, wie viele verschiedene Zahlen man mit \(6\) Fragen maximal voneinander unterscheiden kann. b) Erkläre, warum \(6\) Fragen nicht ausreichen, um jede beliebige Zahl zwischen \(1\) und \(100\) sicher zu finden. c) Bestimme die kleinste Anzahl an Fragen, die Jonas benötigt, um eine Zahl zwischen \(1\) und \(100\) in jedem Fall zu erraten.

Denkanstöße

- Stell dir vor, jede Frage ist wie ein Ast in einem Entscheidungsbaum, der sich immer weiter verzweigt. - Wie viele Möglichkeiten entstehen nach der ersten, zweiten und dritten Frage? - Vergleiche die Anzahl der Möglichkeiten, die du durch die Fragen erhältst, mit der Gesamtzahl der Zahlen von \(1\) bis \(100\). - Welche Zweierpotenz ist die erste, die größer oder gleich \(100\) ist?

Lösung

1. Jede Ja/Nein-Frage halbiert die Möglichkeiten, was mathematisch einer Zweierpotenz entspricht. Mit \(n\) Fragen kann man \(2^n\) Zahlen unterscheiden. 2. Zu a): \(2^6 = 64\). Mit \(6\) Fragen kann man maximal \(64\) verschiedene Zahlen unterscheiden. 3. Zu b): Da \(64 < 100\) ist, gibt es mehr mögliche Zahlen als durch \(6\) Fragen abgedeckte Unterscheidungen. Die Strategie deckt somit nicht alle \(100\) Fälle ab. 4. Zu c): Man sucht \(n\), sodass \(2^n \geq 100\). Da \(2^6 = 64\) und \(2^7 = 128\), ist \(n = 7\) die kleinste Lösung. Jonas benötigt \(7\) Fragen.

Antwort

a) Man kann maximal \(2^6 = 64\) Zahlen unterscheiden. b) Da \(2^6 = 64\) kleiner ist als \(100\), reichen \(6\) Fragen nicht aus, um alle \(100\) Möglichkeiten abzudecken. c) Jonas benötigt mindestens \(7\) Fragen, da \(2^7 = 128\) größer als \(100\) ist.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.