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- Was bedeutet die Hochzahl \(2\) genau? - Schreibe die Potenz als Produkt gleicher Faktoren. - Vergleiche diese Bedeutung mit Lennarts Rechnung.

1. Die Hochzahl \(2\) bedeutet nicht Multiplikation mit \(2\), sondern zwei gleiche Faktoren. 2. Richtig ist \(18^2 = 18 \cdot 18 = 324\).

Richtig ist \(18^2 = 18 \cdot 18 = 324\).

- Haben Division und Multiplikation unterschiedliche Vorränge oder sind sie gleichrangig? - Was macht man, wenn in einer Aufgabe nur „Punktrechnungen“ vorkommen? - Stell dir vor, es wären nur Plus und Minus in der Aufgabe – wie würdest du dann vorgehen?

1. In dem Term \(80 : 4 \cdot 2\) kommen nur Punktrechnungen (Division und Multiplikation) vor. 2. Diese Rechenarten sind gleichrangig. 3. Wenn Rechenarten gleichrangig sind und keine Klammern gesetzt sind, muss von links nach rechts gerechnet werden. 4. Schritt 1: \(80 : 4 = 20\). 5. Schritt 2: \(20 \cdot 2 = 40\). 6. Lena hat recht. Jans Vorgehensweise entspräche dem Term \(80 : (4 \cdot 2)\), der hier nicht vorliegt.

Lena hat recht. Bei gleichrangigen Rechenarten (hier beides Punktrechnungen) ohne Klammern wird von links nach rechts gerechnet. Das richtige Ergebnis ist \(40\).

- Überlege, welche Rechenoperationen Vorrang haben. - Gibt es eine Regel für Aufgaben, in denen nur Plus und Minus vorkommen? - Schau dir die Reihenfolge genau an, in der Max gerechnet hat.

1. Teilaufgabe a): Max hat zuerst addiert (\(12 + 3 = 15\)) und dann multipliziert (\(15 \cdot 5 = 75\)). Er hat die Regel „Punkt vor Strich“ missachtet. Zuerst muss die Multiplikation erfolgen: \(3 \cdot 5 = 15\). Danach wird addiert: \(12 + 15 = 27\). Das richtige Ergebnis ist \(27\). 2. Teilaufgabe b): Max hat zuerst die Summe von \(50\) und \(10\) gebildet (\(60\)) und diese von \(100\) abgezogen (\(100 - 60 = 40\)). Bei Strichrechnungen gleicher Rangordnung muss jedoch von links nach rechts gerechnet werden. Zuerst wird subtrahiert: \(100 - 50 = 50\). Danach wird addiert: \(50 + 10 = 60\). Das richtige Ergebnis ist \(60\).

a) Fehler: „Punkt vor Strich“ nicht beachtet. Richtig: \(12 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27\). b) Fehler: Nicht von links nach rechts gerechnet. Richtig: \(100 - 50 + 10 = 50 + 10 = 60\).

- Prüfe jede Tabellenzeile unabhängig. - Berechne nur so lange, bis du den abweichenden Eintrag gefunden hast. - Korrigiere anschließend genau diesen Wert.

1. Die ersten drei Einträge stimmen: \(9^2 = 81\), \(14^2 = 196\), \(19^2 = 361\). 2. Es gilt \(23^2 = 529\), nicht \(549\).

Falsch ist die letzte Zeile. Richtig lautet sie \(23^2 = 529\).

- Schreibe die Quadratzahl zunächst als Produkt. - Welche Division ist die passende Umkehraufgabe zu diesem Produkt? - Vergleiche diesen Divisor mit Bens Divisor.

1. Aus \(12^2 = 144\) folgt \(12 \cdot 12 = 144\). 2. Eine passende Umkehraufgabe ist daher \(144 : 12 = 12\). 3. Dagegen gilt \(144 : 2 = 72\). Ben verwendet den falschen Divisor.

Der richtige Zusammenhang ist \(144 : 12 = 12\); \(144 : 2 = 72\).

- Prüfe die schriftliche Rechnung von rechts nach links, beginnend bei den Einern. - Achte nach jeder Stelle darauf, ob ein Übertrag entsteht. - Suche ausdrücklich die erste Stelle, an der das dargestellte Ergebnis nicht mehr zur Rechnung passt.

1. Bei den Einern ist \(8 + 6 = 14\). Die Einerziffer \(4\) stimmt; dabei entsteht ein Übertrag von \(1\) Zehner. 2. Bei den Zehnern muss deshalb \(7 + 5 + 1 = 13\) gerechnet werden. Im dargestellten Ergebnis steht dort \(2\); hier liegt der erste Fehler. 3. Bei den Hundertern ergibt sich mit dem nächsten Übertrag \(4 + 3 + 1 = 8\). 4. Das richtige Ergebnis ist \(834\).

Erster Fehler: Zehnerstelle; der Übertrag wurde nicht richtig berücksichtigt. Richtig: \(478 + 356 = 834\)

- Prüfe die Rechnung stellenweise von den Einern aus. - Verfolge genau, welche Stellen sich beim Entbündeln verändern. - Suche die erste Stelle, an der die notierte Ziffer nicht mehr zur veränderten Stellenzahl passt.

1. Für die Einer wird über die Zehnerstelle entbündelt: \(12 - 8 = 4\). Die Einerziffer \(4\) stimmt. 2. Nach dem Entbündeln stehen bei den Zehnern \(9\) Zehner zur Verfügung. Deshalb gilt \(9 - 7 = 2\). Im dargestellten Ergebnis steht \(3\); hier liegt der erste Fehler. 3. Bei den Hundertern gilt danach \(5 - 2 = 3\). 4. Das richtige Ergebnis ist \(324\).

Erster Fehler: Zehnerstelle; das vorherige Entbündeln wurde dort nicht richtig berücksichtigt. Richtig: \(602 - 278 = 324\)

- Zerlege den zweiten Faktor nach Stellenwerten. - Prüfe, wofür die Ziffer \(3\) in der Zahl \(36\) steht. - Vergleiche die Größenordnung beider Teilprodukte mit den zugehörigen Faktoren.

1. Das erste Teilprodukt ist richtig: \(243 \cdot 6 = 1458\). 2. Beim zweiten Teilprodukt wurde der Stellenwert der \(3\) in \(36\) nicht berücksichtigt. Es muss mit \(30\), nicht mit \(3\), multipliziert werden: \(243 \cdot 30 = 7290\). 3. Addiere die richtigen Teilprodukte: \(1458 + 7290 = 8748\).

Fehler: Beim zweiten Teilprodukt wurde der Zehnerstellenwert nicht berücksichtigt. Richtig: \(243 \cdot 36 = 8748\)

- Prüfe die notierten Schritte der Reihe nach und kontrolliere jedes verwendete Vielfache von \(24\). - Vergleiche nach jedem Teil-Schritt den Rest mit dem Divisor. - Mit der Multiplikation kannst du den korrigierten Gesamtquotienten am Ende genau prüfen.

1. Zeile 1 ist richtig: \(86 - 72 = 14\). 2. Zeile 2 ist ebenfalls richtig: Nach dem Herunterholen der \(4\) entsteht \(144\). 3. Die erste falsche Zeile ist Zeile 3. In \(144\) passt \(24\) sechsmal, denn \(6 \cdot 24 = 144\). Der Rest ist dann \(0\). Der notierte Rest \(24\) zeigt außerdem, dass noch ein weiterer Divisor hineinpasst. 4. Der richtige Quotient ist daher \(36\). 5. Probe: \(36 \cdot 24 = 864\).

Erste falsche Zeile: 3) Fehler: \(144 : 24\) wurde im zweiten Quotientenschritt zu klein angesetzt. Richtig: \(864 : 24 = 36\), Rest \(0\) Probe: \(36 \cdot 24 = 864\)

- Rechne jede Aufgabe für dich neu aus, ohne auf das vorgegebene Ergebnis zu schauen. - Achte bei der Multiplikation besonders auf die letzte Ziffer des Produkts. - Nutze die Umkehroperation (Probe), um deine Ergebnisse zu kontrollieren.

1. Überprüfung von \(252 : 7\): Die Rechnung ergibt \(36\). Somit ist \(34\) falsch. 2. Überprüfung von \(16 \cdot 16\): Die Rechnung ergibt \(256\). Das Ergebnis ist richtig. 3. Überprüfung von \(336 : 8\): Die Rechnung ergibt \(42\). Das Ergebnis ist richtig. 4. Überprüfung von \(22 \cdot 14\): Die Rechnung ergibt \(308\). Somit ist \(298\) falsch.

a) falsch; richtig ist \(36\) b) richtig c) richtig d) falsch; richtig ist \(308\)

- Darf man beim Abziehen Zahlen zusammenfassen? Wenn ja, wie? - Überprüfe bei jedem Kind, ob die Rechenregel „von links nach rechts“ beachtet wurde oder ein erlaubter Trick angewendet wurde. - Was passiert mit dem Gesamtwert, wenn man statt zwei Zahlen nur deren Unterschied abzieht?

1. Prüfung von Leos Weg: Er rechnet konsequent von links nach rechts. Das Ergebnis \(500\) ist korrekt. 2. Prüfung von Mias Weg: Sie addiert alle abzuziehenden Zahlen (Subtrahenden) und subtrahiert die Gesamtsumme vom Minuenden. Dies ist ein geschickter und mathematisch richtiger Rechenvorteil. Das Ergebnis \(500\) ist korrekt. 3. Prüfung von Noahs Weg: Er rechnet den ersten Teil korrekt (\(750\)), bildet dann aber die Differenz der beiden letzten Zahlen (\(150 - 100 = 50\)) und zieht diese ab. Das ist falsch, da beide Zahlen abgezogen werden müssten. Er hätte \(750 - 150 - 100\) rechnen müssen.

Leo und Mia haben richtig gerechnet. Mia hat einen geschickten Rechenvorteil genutzt, indem sie alle abzuziehenden Zahlen zuerst addiert hat. Noah hat falsch gerechnet. Er hat die letzten beiden Zahlen fälschlicherweise voneinander abgezogen, bevor er sie vom Rest subtrahiert hat.

- Welche Rechenregel gilt, wenn Punktrechnungen (Multiplikation, Division) und Strichrechnungen (Addition, Subtraktion) in einem Term vorkommen? - In welcher Reihenfolge rechnet man, wenn nur Strichrechnungen übrig sind? - Überlege, wie man Klammern setzen müsste, um die Ergebnisse von Lukas und Paul zu erhalten.

1. Lukas hat von links nach rechts gerechnet, ohne die Punkt-vor-Strich-Regel zu beachten: \((100 - 10) \cdot 5 + 5 = 90 \cdot 5 + 5 = 455\). 2. Mia hat die Punkt-vor-Strich-Regel korrekt angewendet und danach von links nach rechts gerechnet: \(100 - (10 \cdot 5) + 5 = 100 - 50 + 5 = 55\). 3. Paul hat die Addition \(5 + 5\) vorgezogen und anschließend multipliziert: \(100 - 10 \cdot (5 + 5) = 100 - 10 \cdot 10 = 0\). 4. Mia hat den gegebenen Term korrekt berechnet. Lukas und Paul haben die Rechenreihenfolge verändert.

Lukas hat stur von links nach rechts gerechnet. Mia hat die Punkt-vor-Strich-Regel beachtet. Paul hat zuerst die Addition am Ende und dann die Multiplikation berechnet. Mia hat das richtige Ergebnis (\(55\)).

- Welcher Teil der Aufgabe muss auf jeden Fall zuerst berechnet werden? - Was passiert nach dem Auflösen der Klammer? Welche Regel greift dann? - Versuche Mias Rechenweg nachzuvollziehen, um zu sehen, an welcher Stelle sie falsch abgebogen ist.

1. Analyse von Mias Rechenweg: Mia berechnet zuerst die Klammer (\(15 + 5 = 20\)), fasst anschließend aber \(4 - 2\) zusammen und multipliziert schließlich (\(20 \cdot 2 = 40\)). 2. Fehleridentifikation: Mia hat die Subtraktion vor der Multiplikation durchgeführt. Nach der Klammerregel gilt jedoch „Punkt vor Strich“. 3. Korrekte Rechnung: Zuerst wird der Klammerinhalt berechnet: \(15 + 5 = 20\). Der Term lautet dann \(20 \cdot 4 - 2\). Nun muss die Multiplikation vor der Subtraktion erfolgen: \(20 \cdot 4 = 80\). Zuletzt wird subtrahiert: \(80 - 2 = 78\).

Mia hat die Subtraktion (\(4 - 2\)) vor der Multiplikation durchgeführt. Richtig ist: \((15 + 5) \cdot 4 - 2 = 20 \cdot 4 - 2 = 80 - 2 = 78\).

- Welche Regel gilt für mehrere gleichrangige Strichrechnungen ohne Klammern? - Vergleiche den gegebenen Rechenweg mit einer Rechnung von links nach rechts. - Prüfe, welche Klammer Jakubs Rechenweg unausgesprochen voraussetzen würde.

1. Gleichrangige Additionen und Subtraktionen ohne Klammern werden von links nach rechts ausgeführt. 2. Daher gilt zuerst \(100 - 40 = 60\). 3. Anschließend ist \(60 - 10 = 50\). 4. Jakub hat die beiden Subtraktionen so behandelt, als stünde eine nicht vorhandene Klammer um \(40 - 10\). Seine Behauptung ist falsch.

Die Behauptung ist falsch. Das korrekte Ergebnis ist \(50\): \(100 - 40 = 60\) und \(60 - 10 = 50\).

- Was bewirkt eine Klammer in einem Rechenterm? - Wenn du eine Summe in einer Klammer mit einer Zahl multiplizierst, was muss dann mit jedem Summanden passieren? - Versuche einmal, zuerst das Innere der Klammer auszurechnen. - Kennst du ein Gesetz, mit dem man die Klammer „verteilen“ kann?

1. Identifikation des Fehlers: Beim Auflösen der Klammer wurde die Multiplikation nur auf die erste Zahl (\(12\)) angewendet. Die zweite Zahl in der Klammer (\(9\)) wurde nicht mit \(4\) multipliziert. 2. Rechenweg 1 (Klammer zuerst): Zuerst wird der Inhalt der Klammer addiert: \(12 + 9 = 21\). Dann wird multipliziert: \(21 \cdot 4 = 84\). 3. Rechenweg 2 (Distributivgesetz): Jeder Summand in der Klammer wird mit dem Faktor außerhalb multipliziert: \(12 \cdot 4 + 9 \cdot 4\). Das ergibt \(48 + 36 = 84\).

Der Faktor \(4\) wurde nicht mit beiden Summanden in der Klammer multipliziert. Klammer zuerst: \((12 + 9) \cdot 4 = 21 \cdot 4 = 84\). Mit Distributivgesetz: \((12 + 9) \cdot 4 = 12 \cdot 4 + 9 \cdot 4 = 48 + 36 = 84\).

- Prüfe zuerst eingetragene Teilwerte, deren Eingaben vollständig bekannt sind. - Verfolge danach nur Schritte, die von einem bereits geprüften Teilwert abhängen. - Sobald du den ersten Fehler gefunden hast, rechne mit dem korrigierten Wert weiter.

1. Die eingetragene Summe \(15+18=33\) ist korrekt. 2. Der nächste abhängige Schritt ist falsch: Eingetragen ist \(4\cdot33=122\), richtig ist \(4\cdot33=132\). Hier liegt der erste Fehler. 3. Mit dem korrigierten Teilwert ergibt die anschließende Subtraktion \(250-132=118\).

a) Der erste Fehler liegt bei der Multiplikation: \(4\cdot33\) wurde fälschlich als \(122\) berechnet; richtig ist \(132\). b) Der richtige Endwert ist \(118\).

- Vergleiche die Reihenfolge der Rechenschritte im Rechenbaum mit der Reihenfolge in Laras Term. - Welche Rechenoperationen werden im Rechenbaum zuerst ausgeführt, und welche als Letztes? - Erinnere dich an die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“. Wie sorgt man in einem Term dafür, dass eine Strichrechnung vor einer Punktrechnung gerechnet wird?

1. Lara hat beim Übertragen des Rechenbaums die Klammern vergessen. Ohne Klammern gilt die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“, wodurch die Division zuerst ausgeführt würde. 2. Der korrekte Term lautet: \((48 - 12) : (12 - 10)\). 3. Berechnung des korrekten Terms: - Linke Subtraktion: \(48 - 12 = 36\) - Rechte Subtraktion: \(12 - 10 = 2\) - Division (Endergebnis): \(36 : 2 = 18\) 4. Berechnung von Laras Term: \(48 - 12 : 12 - 10 = 48 - (12 : 12) - 10 = 48 - 1 - 10 = 37\).

a) Lara hat die Klammern vergessen. Ohne Klammern würde man wegen der Regel „Punkt- vor Strichrechnung“ zuerst dividieren statt zuerst zu subtrahieren. b) Der korrekte Term lautet: \((48 - 12) : (12 - 10)\). c) Der korrekte Wert des Terms lautet \(18\). Bei Laras Term ergibt sich stattdessen der Wert \(37\).

- Rechne zunächst jeden Teilzweig nach, dessen Ausgangszahlen vollständig bekannt sind. - Vergleiche die selbst berechneten Teilwerte mit den eingetragenen Kästchenwerten. - Wenn du den ersten Fehler gefunden hast, verwende den korrigierten Wert in den davon abhängigen Rechenschritten.

1. Für einen Teilzweig gilt \(60\cdot5=300\). Der eingetragene Wert \(300\) ist korrekt. 2. Für den anderen Teilzweig gilt \(480:6=80\). Eingetragen ist jedoch \(70\). Der erste Fehler liegt also bei der Division. 3. Mit dem korrigierten Teilwert ergibt die abschließende Subtraktion \(300-80=220\).

a) Der Fehler liegt bei der Division \(480:6\). b) Das korrekte Endergebnis ist \(220\).

- Überlege, ob das Wechselgeld mehr oder weniger werden muss, wenn man zusätzliche Dinge kauft. - Prüfe die Rechenzeichen in den Verknüpfungspunkten des Baums. - Rechne den Baum Schritt für Schritt von oben nach unten durch.

1. Analyse des Rechenbaums: Lina berechnet zuerst das Restgeld nach dem Kauf der Schlamperrolle (\(20 - 12{,}50 = 7{,}50\)). Danach addiert sie jedoch den Preis der Hefte (\(5 \cdot 0{,}80 = 4{,}00\)) dazu, anstatt ihn abzuziehen. 2. Wert des Rechenbaums: \(7{,}50 + 4{,}00 = 11{,}50\,\text{€}\). 3. Richtiges Wechselgeld: Von den \(20\,\text{€}\) müssen beide Beträge abgezogen werden: \(20 - 12{,}50 - 4{,}00 = 3{,}50\,\text{€}\).

a) Lina hat den Preis für die Hefte zum restlichen Geld addiert, anstatt ihn abzuziehen. b) Der Rechenbaum liefert das Ergebnis \(11{,}50\,\text{€}\). c) Tatsächlich erhält sie \(3{,}50\,\text{€}\) Wechselgeld.

- Berechne zuerst unabhängig den richtigen Quadratwert. - Vergleiche danach richtigen und falschen Wert durch Subtraktion. - Achte darauf, in welche Richtung die Abweichung geht.

1. \(32^2 = 32 \cdot 32 = 1024\). 2. Die Abweichung beträgt \(1024 - 924 = 100\). 3. Der eingetragene Wert ist also um \(100\) zu klein.

Richtig ist \(1024\); der falsche Wert ist um \(100\) zu klein.

- Frage bei jedem Rückwärtsschritt, welche Operation den vorherigen Rechenschritt wirklich aufhebt. - Suche den ersten Schritt, an dem Miras neue Zahl nicht zum Rückgängigmachen der ursprünglichen Operation passt. - Prüfe deinen korrigierten Wert am Ende im ursprünglichen Term.

1. Miras erster Fehler liegt beim Rückgängigmachen von \(+20\): Die Umkehroperation zum Addieren von \(20\) ist das Subtrahieren von \(20\), nicht erneutes Addieren. 2. Richtig ist zunächst \(70-20=50\). 3. Danach wird die Multiplikation mit \(5\) rückgängig gemacht: \(50:5=10\). Also ist \(x=10\). 4. Die Probe ergibt \(5\cdot10+20=50+20=70\). Die Lösung stimmt.

a) \(+20\) wurde mit der falschen Operation rückgängig gemacht; nötig ist \(-20\). b) \(x=10\) c) Probe: \(5\cdot10+20=70\)

- In welcher Richtung rechnet man, wenn mehrere Divisionszeichen hintereinander stehen? - Darf man eine Division einfach aufteilen, wenn eine Summe als Divisor steht? - Was passiert, wenn du zuerst den Inhalt der Klammer ausrechnest?

1. In Teilaufgabe a) wurde von rechts nach links gerechnet (\(20 : 5 = 4\)). Bei einer Kette von Divisionen muss jedoch von links nach rechts gerechnet werden: \(200 : 20 = 10\) und dann \(10 : 5 = 2\). 2. In Teilaufgabe b) wurde die Division fälschlicherweise auf die Summe im Divisor verteilt. Das Distributivgesetz ist in dieser Form nicht anwendbar. Zuerst muss der Klammerausdruck berechnet werden: \(100 : (10 + 10) = 100 : 20 = 5\).

a) Fehler: Von rechts nach links gerechnet; richtiges Ergebnis: \(2\). b) Fehler: Die Division wurde unzulässig auf die Summe im Divisor verteilt; richtiges Ergebnis: \(5\).

- Betrachte jeden Stoffrest zunächst getrennt. - Wie viele vollständige \(20\,\text{cm}\)-Stücke passen jeweils hinein? - Prüfe anschließend, ob die beiden Reststücke in der beschriebenen Situation tatsächlich zu einem einzigen Band werden dürfen.

1. Für die Maßzahlen des \(50\,\text{cm}\)-Stücks gilt \(50 : 20 = 2\) Rest \(10\). Es entstehen also \(2\) vollständige Bänder und ein Rest von \(10\,\text{cm}\). 2. Für die Maßzahlen des \(75\,\text{cm}\)-Stücks gilt \(75 : 20 = 3\) Rest \(15\). Es entstehen also \(3\) vollständige Bänder und ein Rest von \(15\,\text{cm}\). 3. Insgesamt erhält Aylin \(2 + 3 = 5\) vollständige Bänder. 4. Beim vorherigen Addieren der Längen werden die beiden getrennten Reststücke rechnerisch zusammengelegt. Das ist hier unzulässig, weil die Reste ausdrücklich nicht verbunden werden dürfen. Deshalb können \(10\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) kein weiteres durchgehendes \(20\,\text{cm}\)-Band bilden.

Aylin erhält \(5\) vollständige Bänder. Ihre Rechnung verbindet zwei getrennte Reststücke rechnerisch, obwohl das Verbinden in der Aufgabe ausdrücklich ausgeschlossen ist.

- Prüfe die beschriebenen Schritte in derselben Reihenfolge, in der sie ausgeführt wurden. - Frage nach jedem Entbündeln, welche benachbarte Stelle dadurch verändert wird. - Ein Überschlag prüft die Größenordnung; die Umkehroperation liefert anschließend eine genaue Probe.

1. Die Einerzeile ist richtig: Nach dem Entbündeln gilt \(14 - 6 = 8\). Dadurch sinkt die Zehnerstelle aber von \(8\) auf \(7\). 2. Die erste falsche Zeile ist deshalb Zeile 2. Richtig ist bei den Zehnern \(7 - 7 = 0\). 3. Danach gilt bei den Hundertern nach dem Entbündeln \(12 - 9 = 3\) und bei den Tausendern \(5 - 2 = 3\). Das richtige Ergebnis ist \(3308\). 4. Überschlag: \(6300 - 3000 \approx 3300\); die Größenordnung passt. 5. Genaue Probe: \(3308 + 2976 = 6284\).

Erste falsche Zeile: 2) Fehler: Das Entbündeln bei den Einern verändert die Zehnerstelle von \(8\) auf \(7\). Richtig: \(6284 - 2976 = 3308\) Überschlag: \(6300 - 3000 \approx 3300\) Probe: \(3308 + 2976 = 6284\)