- Was bedeutet die Hochzahl \(2\) genau? - Schreibe die Potenz als Produkt gleicher Faktoren. - Vergleiche diese Bedeutung mit Lennarts Rechnung.

1. Die Hochzahl \(2\) bedeutet nicht Multiplikation mit \(2\), sondern zwei gleiche Faktoren. 2. Richtig ist \(18^2 = 18 \cdot 18 = 324\).

Richtig ist \(18^2 = 18 \cdot 18 = 324\).

- Prüfe die Rechnung von oben nach unten. - Kontrolliere zuerst nur den ersten Rechenschritt. - Wenn du den ersten Fehler gefunden hast, verwende das korrigierte Ergebnis für den nächsten Schritt.

1. Der erste Schritt ist falsch, denn \(46+28=74\). 2. Ab dort weitergerechnet gilt \(74+10=84\).

Der erste Fehler steht in Schritt 1. Richtig ist \(46+28=74\), danach \(74+10=84\).

- Welche Rechenarten kommen im ursprünglichen Term vor? - Prüfe, ob im ersten Schritt die richtige Rechenart zuerst ausgeführt wurde. - Rechne nach der Korrektur den restlichen Term weiter.

1. Der erste Schritt ist falsch, weil die Multiplikation vor der Addition gerechnet werden muss. 2. Zuerst gilt \(3\cdot4=12\). 3. Danach gilt \(5+12=17\).

Der erste Fehler steht in Schritt 1. Richtig ist zuerst \(3\cdot4=12\), danach \(5+12=17\).

- Bei welchen Grundrechenarten darf man die Reihenfolge der Zahlen vertauschen? - Welche Rollen haben \(18\) und \(7\) in der Subtraktion? - Berechne anschließend nur die ursprüngliche Subtraktion.

1. Das Kommutativgesetz gilt bei Addition und Multiplikation, aber nicht bei Subtraktion. 2. Deshalb darf man Minuend und Subtrahend nicht einfach vertauschen. 3. Richtig ist \(18-7=11\).

Das Kommutativgesetz gilt hier nicht. Richtig ist \(18-7=11\).

- Rechne jede Aufgabe neu aus, ohne dich am vorgegebenen Ergebnis zu orientieren. - Achte bei der Multiplikation besonders auf die letzte Ziffer des Produkts. - Nutze bei Bedarf die Umkehroperation als Probe.

1. a) \(252:7=36\). Das angegebene Ergebnis \(34\) ist falsch. 2. b) \(16\cdot16=256\). Das Ergebnis ist richtig. 3. c) \(336:8=42\). Das Ergebnis ist richtig. 4. d) \(22\cdot14=308\). Das angegebene Ergebnis \(298\) ist falsch.

a) falsch; richtig ist \(36\) b) richtig c) richtig d) falsch; richtig ist \(308\)

- Haben Division und Multiplikation denselben Rang? - Welche Regel gilt bei gleichrangigen Rechenarten ohne Klammern? - Welche Klammer müsste stehen, damit Jans Rechnung passt?

1. Division und Multiplikation sind gleichrangig. 2. Ohne Klammern rechnest du deshalb von links nach rechts: \(80:4=20\), dann \(20\cdot2=40\). 3. Lena hat recht. Jans Weg würde zur Aufgabe \(80:(4\cdot2)\) passen.

Lena hat recht. Bei gleichrangigen Punktrechnungen ohne Klammern wird von links nach rechts gerechnet. Das Ergebnis ist \(40\).

- Welche Rechenarten haben Vorrang? - Welche Regel gilt, wenn nur Plus und Minus vorkommen? - Vergleiche Max' Reihenfolge mit der richtigen Reihenfolge.

1. a) Max hat zuerst addiert. Richtig ist wegen „Punkt vor Strich“: \(3\cdot5=15\), danach \(12+15=27\). 2. b) Max hat \(50+10\) zuerst zusammengefasst. Plus und Minus sind gleichrangig, daher wird von links nach rechts gerechnet: \(100-50=50\), danach \(50+10=60\).

a) Fehler: „Punkt vor Strich“ nicht beachtet. Richtig: \(12 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27\). b) Fehler: Nicht von links nach rechts gerechnet. Richtig: \(100 - 50 + 10 = 50 + 10 = 60\).

- Berechne zuerst den richtigen Quadratwert. - Vergleiche danach richtigen und falschen Wert durch Subtraktion. - Achte darauf, ob der falsche Wert zu groß oder zu klein ist.

1. \(18^2=18\cdot18=324\). 2. Die Abweichung beträgt \(324-224=100\). 3. Der eingetragene Wert ist also um \(100\) zu klein.

Richtig ist \(18^2=324\). Der falsche Wert ist um \(100\) zu klein.

- Prüfe jede Tabellenzeile unabhängig. - Berechne nur so lange, bis du den abweichenden Eintrag gefunden hast. - Korrigiere anschließend genau diesen Wert.

1. Die ersten drei Einträge stimmen: \(9^2=81\), \(14^2=196\), \(19^2=361\). 2. Es gilt \(18^2=324\), nicht \(334\).

Falsch ist die letzte Zeile. Richtig lautet sie \(18^2=324\).

- Schreibe die Quadratzahl zunächst als Produkt. - Welche Division ist die passende Umkehraufgabe zu diesem Produkt? - Vergleiche diesen Divisor mit Bens Divisor.

1. Aus \(12^2 = 144\) folgt \(12 \cdot 12 = 144\). 2. Eine passende Umkehraufgabe ist daher \(144 : 12 = 12\). 3. Dagegen gilt \(144 : 2 = 72\). Ben verwendet den falschen Divisor.

Der richtige Zusammenhang ist \(144 : 12 = 12\); \(144 : 2 = 72\).

- Prüfe die schriftliche Rechnung von rechts nach links, beginnend bei den Einern. - Achte nach jeder Stelle darauf, ob ein Übertrag entsteht. - Suche ausdrücklich die erste Stelle, an der das dargestellte Ergebnis nicht mehr zur Rechnung passt.

1. Bei den Einern ist \(8 + 6 = 14\). Die Einerziffer \(4\) stimmt; dabei entsteht ein Übertrag von \(1\) Zehner. 2. Bei den Zehnern muss deshalb \(7 + 5 + 1 = 13\) gerechnet werden. Im dargestellten Ergebnis steht dort \(2\); hier liegt der erste Fehler. 3. Bei den Hundertern ergibt sich mit dem nächsten Übertrag \(4 + 3 + 1 = 8\). 4. Das richtige Ergebnis ist \(834\).

Erster Fehler: Zehnerstelle; der Übertrag wurde nicht richtig berücksichtigt. Richtig: \(478 + 356 = 834\)

- Prüfe die Rechnung stellenweise von den Einern aus. - Verfolge genau, welche Stellen sich beim Entbündeln verändern. - Suche die erste Stelle, an der die notierte Ziffer nicht mehr zur veränderten Stellenzahl passt.

1. Für die Einer wird über die Zehnerstelle entbündelt: \(12 - 8 = 4\). Die Einerziffer \(4\) stimmt. 2. Nach dem Entbündeln stehen bei den Zehnern \(9\) Zehner zur Verfügung. Deshalb gilt \(9 - 7 = 2\). Im dargestellten Ergebnis steht \(3\); hier liegt der erste Fehler. 3. Bei den Hundertern gilt danach \(5 - 2 = 3\). 4. Das richtige Ergebnis ist \(324\).

Erster Fehler: Zehnerstelle; das vorherige Entbündeln wurde dort nicht richtig berücksichtigt. Richtig: \(602 - 278 = 324\)

- Zerlege den zweiten Faktor nach Stellenwerten. - Prüfe, wofür die Ziffer \(3\) in der Zahl \(36\) steht. - Vergleiche die Größenordnung beider Teilprodukte mit den zugehörigen Faktoren.

1. Das erste Teilprodukt ist richtig: \(243 \cdot 6 = 1458\). 2. Beim zweiten Teilprodukt wurde der Stellenwert der \(3\) in \(36\) nicht berücksichtigt. Es muss mit \(30\), nicht mit \(3\), multipliziert werden: \(243 \cdot 30 = 7290\). 3. Addiere die richtigen Teilprodukte: \(1458 + 7290 = 8748\).

Fehler: Beim zweiten Teilprodukt wurde der Zehnerstellenwert nicht berücksichtigt. Richtig: \(243 \cdot 36 = 8748\)

- Prüfe jeden Rechenweg einzeln. - Darfst du mehrere Zahlen, die alle abgezogen werden, zuerst addieren? - Vergleiche Noahs letzten Schritt mit \(750-150-100\).

1. Leo rechnet von links nach rechts und erhält richtig \(500\). 2. Mia fasst alle Zahlen zusammen, die abgezogen werden: \(250+150+100=500\). Danach rechnet sie \(1000-500=500\). Auch ihr Weg ist richtig. 3. Noah zieht bei den letzten beiden Zahlen nur den Unterschied \(150-100=50\) ab. Das ist falsch, denn beide Zahlen müssen abgezogen werden. Richtig wäre \(750-150-100=500\).

Leo und Mia haben richtig gerechnet. Noah hat falsch gerechnet: Er hat die letzten beiden Zahlen voneinander abgezogen, statt beide vom bisherigen Ergebnis abzuziehen.

- Welche Rechenregel gilt, wenn Multiplikation und Addition oder Subtraktion in einem Term vorkommen? - Wenn nur noch Plus und Minus übrig sind, in welcher Reihenfolge rechnest du? - Welche zusätzlichen Klammern würden zu Lukas' oder Pauls Ergebnis führen?

1. Lukas hat zuerst \(100-10\) gerechnet und danach mit \(5\) multipliziert: \((100-10)\cdot5+5=455\). Dabei hat er „Punkt vor Strich“ nicht beachtet. 2. Mia rechnet zuerst \(10\cdot5=50\) und danach von links nach rechts: \(100-50+5=55\). Das ist richtig. 3. Paul hat zuerst \(5+5\) zusammengefasst: \(100-10\cdot(5+5)=0\). Damit verändert er den gegebenen Term.

Lukas hat die Punkt-vor-Strich-Regel nicht beachtet. Mia hat korrekt gerechnet und erhält \(55\). Paul hat die Rechenreihenfolge verändert und erhält deshalb \(0\).

- Berechne zuerst die Klammer. - Welche Rechenregel gilt danach für Multiplikation und Subtraktion? - An welcher Stelle weicht Mias Rechenweg davon ab?

1. Mia berechnet die Klammer richtig: \(15+5=20\). 2. Danach fasst sie aber \(4-2\) zusammen. Das ist falsch, weil die Multiplikation vor der Subtraktion gerechnet werden muss. 3. Richtig ist: \(20\cdot4-2=80-2=78\).

Mia hat die Subtraktion \(4-2\) vor der Multiplikation durchgeführt. Richtig ist: \((15 + 5) \cdot 4 - 2 = 20 \cdot 4 - 2 = 80 - 2 = 78\).

- Welche Regel gilt für gleichrangige Plus- und Minusrechnungen ohne Klammern? - Rechne den Term einmal von links nach rechts. - Welche zusätzliche Klammer würde zu Jakubs Rechenweg passen?

1. Mehrere Additionen und Subtraktionen ohne Klammern werden von links nach rechts gerechnet. 2. Deshalb gilt \(100-40=60\) und danach \(60-10=50\). 3. Jakubs Rechenweg würde eine Klammer um \(40-10\) voraussetzen. Diese Klammer steht aber nicht da.

Jakubs Behauptung ist falsch. Bei gleichrangigen Plus- und Minusrechnungen ohne Klammern wird von links nach rechts gerechnet. Daher gilt \(100-40=60\) und danach \(60-10=50\).

- Was muss beim Multiplizieren einer Summe mit jedem Summanden passieren? - Rechne den Term einmal, indem du zuerst die Klammer ausrechnest. - Rechne ihn danach noch einmal mit dem Distributivgesetz.

1. Der Faktor \(4\) wurde nur mit \(12\), nicht aber mit \(9\) multipliziert. 2. Klammer zuerst: \((12+9)\cdot4=21\cdot4=84\). 3. Mit dem Distributivgesetz: \(12\cdot4+9\cdot4=48+36=84\).

Der Faktor \(4\) wurde nicht mit beiden Summanden in der Klammer multipliziert. Klammer zuerst: \((12 + 9) \cdot 4 = 21 \cdot 4 = 84\). Mit Distributivgesetz: \((12 + 9) \cdot 4 = 12 \cdot 4 + 9 \cdot 4 = 48 + 36 = 84\).

- Prüfe zuerst die Rechnungen, bei denen beide Zahlen bekannt sind. - Sobald du den ersten Fehler findest, rechne mit dem richtigen Wert weiter. - Kontrolliere am Ende den neuen Endwert.

1. \(15+18=33\) ist richtig. 2. Danach steht im Baum \(4\cdot33=122\). Richtig ist \(4\cdot33=132\). Hier liegt der erste Fehler. 3. Mit dem richtigen Wert folgt \(250-132=118\).

a) Der erste Fehler liegt bei der Multiplikation: \(4\cdot33\) wurde fälschlich als \(122\) berechnet; richtig ist \(132\). b) Der richtige Endwert ist \(118\).

- Welche beiden Rechnungen werden im Rechenbaum zuerst ausgeführt? - Wo brauchst du Klammern, damit genau diese Reihenfolge erhalten bleibt? - Berechne danach sowohl den richtigen Term als auch Laras Term.

1. Lara hat die Klammern vergessen. Im Rechenbaum werden zuerst \(48-12\) und \(12-10\) berechnet. 2. Der passende Term lautet \((48-12):(12-10)\). 3. Richtig ist \(36:2=18\). 4. Laras Term ergibt wegen „Punkt vor Strich“ \(48-12:12-10=48-1-10=37\).

a) Lara hat die Klammern vergessen. b) Der korrekte Term lautet \((48 - 12) : (12 - 10)\). c) Der korrekte Wert ist \(18\). Laras Term ergibt \(37\).

- Rechne beide Zweige mit den gegebenen Ausgangszahlen nach. - Vergleiche deine Ergebnisse mit den eingetragenen Kästchenwerten. - Rechne nach dem ersten Fehler mit dem korrigierten Wert weiter.

1. \(60\cdot5=300\) ist richtig. 2. Im anderen Zweig steht \(480:6=70\). Richtig ist \(480:6=80\). Der erste Fehler liegt also bei der Division. 3. Mit dem richtigen Wert ergibt sich \(300-80=220\).

a) Der Fehler liegt bei der Division \(480:6\). b) Das korrekte Endergebnis ist \(220\).

- Prüfe die Zeilen von oben nach unten. - Frage dich bei der ersten falschen Zeile: Ist die Rechenmethode falsch oder wurde nur eine Rechnung falsch ausgeführt? - Prüfe den korrigierten Quotienten am Ende durch Multiplikation.

1. Zeile 1 ist richtig: \(86-72=14\). 2. Zeile 2 ist ebenfalls richtig: Nach dem Herunterholen der \(4\) entsteht \(144\). 3. Die erste falsche Zeile ist Zeile 3. Das Verfahren ist richtig, aber \(144:24\) wurde falsch berechnet. Es ist also ein Rechenfehler. 4. Richtig ist \(144:24=6\), denn \(6\cdot24=144\). Der Rest ist \(0\). 5. Der richtige Quotient ist \(36\). 6. Probe: \(36\cdot24=864\).

Erste falsche Zeile: 3) Fehlerart: Rechenfehler Richtig: \(864:24=36\), Rest \(0\) Probe: \(36\cdot24=864\)

- Frage bei jedem Rückwärtsschritt, welche Operation den vorherigen Rechenschritt wirklich aufhebt. - Suche den ersten Schritt, an dem Miras neue Zahl nicht zum Rückgängigmachen der ursprünglichen Operation passt. - Prüfe deinen korrigierten Wert am Ende im ursprünglichen Term.

1. Miras erster Fehler liegt beim Rückgängigmachen von \(+20\): Die Umkehroperation zum Addieren von \(20\) ist das Subtrahieren von \(20\), nicht erneutes Addieren. 2. Richtig ist zunächst \(70-20=50\). 3. Danach wird die Multiplikation mit \(5\) rückgängig gemacht: \(50:5=10\). Also ist \(x=10\). 4. Die Probe ergibt \(5\cdot10+20=50+20=70\). Die Lösung stimmt.

a) \(+20\) wurde mit der falschen Operation rückgängig gemacht; nötig ist \(-20\). b) \(x=10\) c) Probe: \(5\cdot10+20=70\)

- In welcher Richtung rechnest du bei mehreren Divisionen ohne Klammern? - Was muss bei b) wegen der Klammer zuerst berechnet werden? - Prüfe danach den vollständigen Term neu.

1. a) Hier wurde zuerst \(20:5\) gerechnet. Bei mehreren Divisionen ohne Klammern rechnest du aber von links nach rechts: \(200:20=10\), danach \(10:5=2\). 2. b) Die Division wurde fälschlich auf die Summe im Divisor verteilt. Richtig ist zuerst die Klammer: \(100:(10+10)=100:20=5\).

a) Fehler: von rechts nach links gerechnet; richtiges Ergebnis: \(2\). b) Fehler: Die Division wurde fälschlich auf die Summe im Divisor verteilt; richtiges Ergebnis: \(5\).

- Betrachte jeden Stoffrest zunächst getrennt. - Wie viele vollständige \(20\,\text{cm}\)-Stücke passen jeweils hinein? - Dürfen die beiden übrig gebliebenen Reststücke laut Aufgabe verbunden werden?

1. Aus dem \(50\,\text{cm}\)-Stück entstehen \(50:20=2\) vollständige Bänder, Rest \(10\,\text{cm}\). 2. Aus dem \(75\,\text{cm}\)-Stück entstehen \(75:20=3\) vollständige Bänder, Rest \(15\,\text{cm}\). 3. Insgesamt sind \(2+3=5\) vollständige Bänder möglich. 4. Aylins Rechnung behandelt beide Stoffreste wie ein einziges langes Stück. Die beiden Reste von \(10\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) dürfen aber nicht verbunden werden.

Aylin erhält \(5\) vollständige Bänder. Ihr Fehler ist, dass sie zwei getrennte Stoffreste rechnerisch zu einem Stück zusammenfasst.

- Prüfe die beschriebenen Schritte in derselben Reihenfolge, in der sie ausgeführt wurden. - Frage nach jedem Entbündeln, welche benachbarte Stelle dadurch verändert wird. - Ein Überschlag prüft die Größenordnung; die Umkehroperation liefert anschließend eine genaue Probe.

1. Die Einerzeile ist richtig: Nach dem Entbündeln gilt \(14 - 6 = 8\). Dadurch sinkt die Zehnerstelle aber von \(8\) auf \(7\). 2. Die erste falsche Zeile ist deshalb Zeile 2. Richtig ist bei den Zehnern \(7 - 7 = 0\). 3. Danach gilt bei den Hundertern nach dem Entbündeln \(12 - 9 = 3\) und bei den Tausendern \(5 - 2 = 3\). Das richtige Ergebnis ist \(3308\). 4. Überschlag: \(6300 - 3000 \approx 3300\); die Größenordnung passt. 5. Genaue Probe: \(3308 + 2976 = 6284\).

Erste falsche Zeile: 2) Fehler: Das Entbündeln bei den Einern verändert die Zehnerstelle von \(8\) auf \(7\). Richtig: \(6284 - 2976 = 3308\) Überschlag: \(6300 - 3000 \approx 3300\) Probe: \(3308 + 2976 = 6284\)