- Welche der Kurven sind Geraden und welche ist eine Parabel? - Achte bei der übrigen Kurve darauf, wie sich ihre Steigung nach rechts verändert. - Vergleiche bei b) nur Merkmale, die du direkt an beiden Geraden erkennst.

1. \(g\) und \(h\) sind Geraden. Beide gehören zu den linearen Funktionen. 2. \(j\) ist eine Parabel und gehört zu den quadratischen Funktionen. 3. \(f\) ist gekrümmt und wächst nach rechts immer schneller. Der Graph gehört zu einer Exponentialfunktion. 4. \(g\) und \(h\) haben gemeinsam, dass ihre Graphen Geraden sind. \(g\) fällt, während \(h\) steigt.

a) \(f\): Exponentialfunktion, gekrümmt und nach rechts immer steiler. \(g\): lineare Funktion, fallende Gerade. \(h\): lineare Funktion, steigende Gerade. \(j\): quadratische Funktion, Parabel. b) Gemeinsamkeit: \(g\) und \(h\) sind Geraden. Unterschied: \(g\) fällt, \(h\) steigt.

- Achte darauf, an welcher Stelle die Variable \(x\) im Term vorkommt. - Vergleiche die Terme mit den bekannten Grundformen der Funktionsfamilien. - Welche spezielle bekannte Funktion steht in e), statt sie nur einer sehr allgemeinen Obergruppe zuzuordnen?

1. \(f(x)=3x-2\) hat die Form \(mx+b\) und ist eine lineare Funktion. 2. \(g(x)=-0{,}5x^2+4\) ist eine quadratische Funktion. 3. \(h(x)=x^5\) ist eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten. 4. Bei \(k(x)=2^x\) steht die Variable im Exponenten; die Funktion ist eine Exponentialfunktion. 5. \(m(x)=\sin(x)\) ist eine Sinusfunktion.

a) lineare Funktion b) quadratische Funktion c) Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten d) Exponentialfunktion e) Sinusfunktion

- Vergleiche aufeinanderfolgende Funktionswerte in der Tabelle. - Ändern sich die Werte um einen festen Betrag oder um einen festen Faktor? - Entscheide anschließend zwischen linear, quadratisch und exponentiell.

1. Bei jeder Erhöhung von \(x\) um \(1\) wird der Funktionswert mit demselben Faktor \(2\) multipliziert. 2. Eine solche konstante Vervielfachung bei gleichen Schritten in \(x\) kennzeichnet hier die Exponentialfunktion.

Exponentialfunktion

- Welche Funktionsfamilie ist dadurch gekennzeichnet, dass sich Funktionswerte bei gleichen Schritten immer mit demselben Faktor ändern? - Passt die Eigenschaft \(f(0)=1\) zu deiner Vermutung? - Prüfe auch, ob die beschriebene Annäherung an die \(x\)-Achse zu dieser Familie gehört.

1. Die Verdopplung des Funktionswerts bei jedem Schritt \(x\mapsto x+1\) ist charakteristisch für exponentielles Wachstum mit Basis \(2\). 2. Die weiteren Eigenschaften passen dazu: \(2^0=1\), alle Werte von \(2^x\) sind positiv und für \(x\to-\infty\) nähern sie sich \(0\). 3. Daher gehört \(f\) zur Familie der Exponentialfunktionen.

Exponentialfunktion

- Beurteile jeden Graphen, ohne die noch nicht verwendeten Namen zur Hilfe zu nehmen. - Suche pro Graph nach einem Merkmal, das direkt sichtbar ist und zu einer bekannten Familie gehört. - Bei getrennten Ästen oder einer Annäherung an eine Achse kann das Verhalten nahe einer Asymptote entscheidend sein.

1. Graph a) ist eine Gerade; damit gehört er zu den linearen Funktionen. 2. Graph b) ist eine Parabel mit einem Tiefpunkt; damit gehört er zu den quadratischen Funktionen. 3. Graph c) besitzt zwei getrennte Hyperbeläste und nähert sich beiden Koordinatenachsen; damit gehört er zur Kehrwertfunktion. 4. Graph d) bleibt positiv, steigt zunehmend stark und nähert sich links der \(x\)-Achse; damit gehört er zu den Exponentialfunktionen.

a) lineare Funktion — sichtbares Merkmal: Gerade b) quadratische Funktion — sichtbares Merkmal: Parabel c) Kehrwertfunktion — sichtbares Merkmal: zwei Hyperbeläste mit den Koordinatenachsen als Asymptoten d) Exponentialfunktion — sichtbares Merkmal: positive, zunehmend steile Kurve mit Annäherung an die \(x\)-Achse

- Wie viele Ergebnisse darf eine einzelne Eingabe bei einer Funktion haben? - Prüfe bei a) getrennt positive und negative Werte von \(x\). - Welche typischen Formen von Funktionstermen erkennst du bei b) bis d)?

1. Bei a) ist die Zuordnung keine Funktion. Für \(x>0\) gibt es zwei mögliche Werte, zum Beispiel zu \(x=4\) die Werte \(y=2\) und \(y=-2\). Für \(x<0\) gibt es außerdem keinen reellen Wert \(y\). Damit wird nicht jedem \(x\in\mathbb{R}\) genau ein reeller Wert zugeordnet. 2. Bei b) erhält jedes \(x\) genau einen Wert. Es ist eine lineare Funktion. 3. Bei c) erhält jedes \(x\) genau einen Wert. Es ist eine Sinusfunktion. 4. Bei d) erhält jedes \(x\) genau einen Wert. Es ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades.

a) Keine Funktion: Für \(x>0\) gibt es zwei mögliche \(y\)-Werte; für \(x<0\) gibt es keinen reellen \(y\)-Wert. b) Funktion; lineare Funktion. Der Term liefert zu jedem \(x\) genau einen Wert. c) Funktion; Sinusfunktion. Der Term liefert zu jedem \(x\) genau einen Wert. d) Funktion; ganzrationale Funktion vierten Grades. Der Term liefert zu jedem \(x\) genau einen Wert.

- Was sagt der Parameter \(k\) in der Scheitelpunktform über die vertikale Position der Parabel aus? - Wenn eine Parabel nach oben offen ist, wo muss dann ihr tiefster Punkt liegen, damit sie die \(x\)-Achse nicht schneidet? - Skizziere dir grob die Möglichkeiten für eine nach unten geöffnete Parabel. Wo muss der „Hügel“ liegen, damit er die \(x\)-Achse zweimal kreuzt?

1. Analyse von \(h(x)\): Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S(5|k)\). Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. 2. Bedingung für keine Nullstellen: Eine nach oben geöffnete Parabel hat keine Nullstellen, wenn ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Dies ist der Fall für \(k > 0\). 3. Konstruktion für Teil b): Eine nach unten geöffnete Parabel (\(a < 0\)) hat genau zwei Nullstellen, wenn ihr Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S > 0\)). 4. Beispielwahl: \(a = -1\), Scheitelpunkt \(S(0|1)\). Dies führt zur Gleichung \(p(x) = -x^2 + 1\).

a) Für \(k > 0\) hat die Funktion keine Nullstellen. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt ihr tiefster Punkt (der Scheitelpunkt) bei \(k\). Ist \(k > 0\), verläuft die gesamte Parabel oberhalb der \(x\)-Achse. b) Ein mögliches Beispiel ist \(p(x) = -x^2 + 1\). (Allgemein: \(p(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\) mit \(a < 0\) und \(y_S > 0\)).

- Worauf musst du bei den Exponenten der Variablen achten? - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass er wie eine Summe von Potenztermen aussieht? - Spielt es eine Rolle, ob die Zahlen vor dem \( x \) (die Koeffizienten) Wurzeln oder Brüche sind? - Was bedeutet es für die Variable, wenn sie im Nenner eines Bruchs oder unter einer Wurzel steht?

1. Überprüfung der Definition einer ganzrationalen Funktion: Die Exponenten der Variablen \(x\) müssen nichtnegative ganze Zahlen sein, und die Koeffizienten müssen reelle Zahlen sein. 2. \( f_1(x) \): Division durch eine Konstante ist zulässig. Umformung ergibt \( f_1(x) = \frac{1}{5}x^5 - 2 \). (Ganzrational) 3. \( f_2(x) \): Der Exponent \( \frac{1}{2} \) ist keine natürliche Zahl. (Nicht ganzrational) 4. \( f_3(x) \): Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \( f_3(x) = 4x^2 + 12x + 9 \). (Ganzrational) 5. \( f_4(x) \): Der Term \( \frac{3}{x} = 3x^{-1} \) enthält einen negativen Exponenten. (Nicht ganzrational) 6. \( f_5(x) \): Der Koeffizient \( \sqrt{7} \) ist eine reelle Zahl, der Exponent 3 ist eine natürliche Zahl. (Ganzrational)

a) Ja; \( f_1(x) = \frac{1}{5}x^5 - 2 \) b) Nein c) Ja; \( f_3(x) = 4x^2 + 12x + 9 \) d) Nein e) Ja; \( f_5(x) = \sqrt{7}x^3 \)

- Der Grad einer Funktion entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten der Variablen. - Der Leitkoeffizient ist die Zahl, die vor der Potenz mit dem höchsten Exponenten steht. - Achte darauf, Terme zuerst vollständig auszumultiplizieren und zu ordnen. - Unterscheide genau zwischen Potenzfunktionen (Basis ist die Variable) und Exponentialfunktionen (Exponent ist die Variable).

1. Identifikation ganzrationaler Funktionen anhand der Exponentenstruktur: a) \( g_1(x) \): Alle Exponenten sind nichtnegative ganze Zahlen. Grad \( n = 3 \), Leitkoeffizient \( a_3 = 0{,}2 \). b) \( g_2(x) \): Variable im Nenner führt auf eine gebrochenrationale Funktion. (Nicht ganzrational) c) \( g_3(x) \): Ausmultiplizieren ergibt \( 2x^2 - x^3 - 2 + x = -x^3 + 2x^2 + x - 2 \). Grad \( n = 3 \), Leitkoeffizient \( a_3 = -1 \). d) \( g_4(x) \): Enthält einen Exponentialterm \( 3^x \). (Nicht ganzrational) e) \( g_5(x) \): Umformung zu \( \frac{1}{8}x^4 - \pi x \). Grad \( n = 4 \), Leitkoeffizient \( a_4 = \frac{1}{8} = 0{,}125 \).

a) Ganzrational; Grad 3; Leitkoeffizient \( 0{,}2 \) b) Nicht ganzrational c) Ganzrational; Grad 3; Leitkoeffizient \( -1 \) d) Nicht ganzrational e) Ganzrational; Grad 4; Leitkoeffizient \( \frac{1}{8} \) (oder \( 0{,}125 \))

- Vergleiche die Grundformen der drei Graphen. - Für \(f(x)=g(x)\) brauchst du die \(x\)-Koordinaten ihrer Schnittpunkte. - Prüfe bei c) direkt, für welchen Wert der Nenner des Terms von \(h\) null wird.

1. \(G_f\) ist eine Gerade und gehört zu einer linearen Funktion. \(G_g\) ist eine nach unten geöffnete Parabel und gehört zu einer quadratischen Funktion. \(G_h\) hat zwei Äste und gehört zur Potenzfunktion mit negativem Exponenten \(h(x)=2x^{-1}\). 2. Die Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_g\) liefern näherungsweise \(x_1\approx-2\) und \(x_2\approx1{,}5\). 3. Beim Term \(h(x)=\frac{2}{x}\) darf der Nenner nicht null sein. Daher gilt \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Die Funktionen \(f\) und \(g\) sind für alle reellen \(x\) definiert.

a) \(f\): lineare Funktion; \(g\): quadratische Funktion; \(h\): Potenzfunktion mit negativem Exponenten. b) \(x_1\approx-2\) und \(x_2\approx1{,}5\). c) \(h\) besitzt nicht die Definitionsmenge \(\mathbb{R}\); ausgeschlossen ist \(x=0\), weil dort der Nenner null wäre.

- Prüfe bei jeder Situation zuerst, ob der Wert steigt, fällt oder sich wiederholt. - Welche Situation passt zu einer konstanten Änderung pro Zeiteinheit? - Welche Kurve zeigt Wachstum, das sich später einer oberen Grenze nähert? - Welche Kurve fällt immer weiter, ohne die \(x\)-Achse im gezeigten Modell zu erreichen?

1. Zu a) passt Graph (1), weil er sich regelmäßig auf und ab bewegt. 2. Zu b) passt Graph (2), weil der Wert mit konstanter Rate linear abnimmt. 3. Zu c) passt Graph (3). Der Verlauf steigt zunächst langsam, dann schneller und später wieder langsamer; er nähert sich dabei einer oberen Sättigung. 4. Zu d) passt Graph (4), weil der Wert anfangs stark fällt und sich danach immer langsamer der \(x\)-Achse nähert.

a) Graph (1): periodischer Verlauf. b) Graph (2): lineare Abnahme mit konstanter Rate. c) Graph (3): S-förmiges Wachstum mit Sättigung. d) Graph (4): abnehmender Zerfallsverlauf mit Annäherung an \(0\).

- Überlege dir, ob die Größe gleichmäßig (immer gleich viel pro Zeit), immer langsamer oder abwechselnd steigt und fällt. - Welcher Graph zeigt einen Vorgang, der sich ständig wiederholt? - Welcher Graph passt zu einer Größe, die nach einer Weile einen festen Endwert erreicht?

1. Zuordnung: (1) \(\rightarrow\) A. Da der Regen gleichmäßig fällt und das Fass zylindrisch ist, steigt der Wasserstand proportional zur Zeit an, was einem linearen Graphen entspricht. 2. Zuordnung: (2) \(\rightarrow\) B. Das Kind wächst anfangs schnell, dann langsamer, bis das Wachstum schließlich fast ganz aufhört. Dies zeigt der degressiv steigende Graph. 3. Zuordnung: (3) \(\rightarrow\) C. Die Schwingung ist ein periodischer Vorgang, bei dem sich die Höhe regelmäßig wiederholt, was durch den wellenförmigen Graphen dargestellt wird.

(1) – A; (2) – B; (3) – C.

- Erinnere dich an die Grundformen von Funktionsgraphen, etwa Parabeln und Potenzfunktionen. - Wie beeinflusst das Vorzeichen vor der höchsten Potenz die Öffnung beziehungsweise den Verlauf des Graphen? - Suche für Teil c) eine Funktion, deren Graph über die gesamte Definitionsmenge steigt oder fällt.

1. Zu a): Eine nach oben geöffnete Parabel hat genau ein lokales Minimum im Scheitelpunkt. Ein mögliches Beispiel ist \(h(x)=x^2\). 2. Zu b): Eine Funktion vierten Grades der Form \(h(x)=-ax^4\) mit \(a>0\) besitzt im Ursprung genau ein lokales Maximum. Ein mögliches Beispiel ist \(h(x)=-x^4\). 3. Zu c): Eine streng monoton steigende Funktion besitzt keine lokalen Extremstellen. Ein mögliches Beispiel ist \(h(x)=x^3\).

a) Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x)=x^2\). b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x)=-x^4\). c) Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x)=x^3\).

- Welche Form haben die Graphen der verschiedenen Funktionstypen (Parabel, Wellenlinie, Kurve mit Asymptote)? - Kannst du markante Punkte wie den Scheitelpunkt oder den Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen? - Achte auf das Verhalten der Graphen für sehr große x-Werte. Gibt es eine Sättigung oder ein unbegrenztes Wachstum? - Untersuche die Periodizität. Welcher Graph wiederholt sein Muster?

1. Graph \(f\) (orange) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt liegt bei \((1 \mid -3)\), was der Scheitelpunktform von \(t_1(x)\) entspricht. 2. Graph \(g\) (blau) zeigt einen periodischen Verlauf. Die Amplitude ist \(2\), und der Graph verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\). Dies passt zur Sinusfunktion \(t_2(x)\). 3. Graph \(h\) (lila) nähert sich für große x-Werte der Geraden \(y = 3\) an. Dies ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion \(t_3(x)\), da \(0{,}5^x\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\) strebt.

Graph \(f\) gehört zu \(t_1(x) = (x - 1)^2 - 3\), Graph \(g\) zu \(t_2(x) = 2 \sin(0{,}5x)\) und Graph \(h\) zu \(t_3(x) = 3 - 0{,}5^x\).

- Vergleiche zuerst die Funktionswerte links von der \(y\)-Achse. - Welcher bekannte Graph verläuft durch den Ursprung? - Welche der beiden Funktionsfamilien hat bei \(x=0\) den Funktionswert \(1\)?

1. Graph \(u\) nimmt für negative \(x\)-Werte auch negative Funktionswerte an und verläuft durch den Ursprung. Das passt zu \(x^3\). 2. Graph \(v\) bleibt überall oberhalb der \(x\)-Achse und verläuft durch \((0|1)\). Das passt zu \(2^x\). 3. Damit gehört \(u\) zu \(x^3\) und \(v\) zu \(2^x\).

\(u(x)=x^3\), \(v(x)=2^x\). Als Begründung eignen sich zum Beispiel der Ursprung und die negativen Funktionswerte von \(x^3\) sowie die stets positiven Funktionswerte und der Punkt \((0|1)\) bei \(2^x\).

- Prüfe die vier Arten von Information getrennt: Asymptote, Nullstelle, \(y\)-Achsenabschnitt und Monotonie. - Vergleiche den Term mit \(2^x\), bevor du Werte einsetzt. - Für einen falschen Plan genügt genau ein nachgewiesener Widerspruch.

1. Gegenüber \(2^x\) ist der Graph um \(1\) nach rechts und \(1\) nach unten verschoben. Daher ist die waagrechte Asymptote \(y=-1\). Damit scheidet B aus. 2. Weil die Basis \(2>1\) ist, bleibt die Funktion streng steigend. Damit scheidet C aus. 3. Es gilt \(f(1)=0\) und \(f(0)=2^{-1}-1=-0{,}5\). Damit scheidet D aus. 4. Plan A enthält genau die richtige Asymptote, die beiden richtigen Punkte und die richtige Monotonie.

Plan A ist vollständig konsistent. B ist wegen der falschen Asymptote \(y=1\) falsch. C ist wegen „fallend“ falsch. D ist wegen des falschen Punkts \((0|0{,}5)\) falsch; richtig ist \((0|-0{,}5)\).

- Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Exponenten. - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen des Funktionswerts ändert, wenn du negative Werte für \(x\) einsetzt. - Stell dir den Verlauf typischer Graphen wie \(x^2\) oder \(x^3\) vor und überlege, wie der Faktor \(0{,}4\) diesen beeinflusst. - Welche Funktionswerte können bei geraden bzw. ungeraden Exponenten überhaupt erreicht werden?

1. Fall \(n\) ist eine gerade Zahl: Da \(f(-x) = 0{,}4(-x)^n = 0{,}4x^n = f(x)\), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Die Funktion ist für \(x \le 0\) streng monoton fallend und für \(x \ge 0\) streng monoton wachsend. Die Wertemenge umfasst alle nichtnegativen reellen Zahlen: \(W = [0; \infty[\). 2. Fall \(n\) ist eine ungerade Zahl: Da \(f(-x) = 0{,}4(-x)^n = -0{,}4x^n = -f(x)\), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion ist auf der gesamten Definitionsmenge \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend. Die Wertemenge ist die Menge der reellen Zahlen: \(W = \mathbb{R}\).

Für gerade \(n\): Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; streng monoton fallend für \(x \le 0\), streng monoton wachsend für \(x \ge 0\); \(W = [0; \infty[\). Für ungerade \(n\): Punktsymmetrie zum Ursprung; auf \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend; \(W = \mathbb{R}\).

- Wann behält eine Funktion über den gesamten Bereich dieselbe Monotonie bei? Denke an die Graphen von \(x^2\) und \(x^3\). - Welchen Einfluss hat ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Richtung des Graphen? - Was passiert geometrisch mit einem Graphen, wenn man den Funktionswert mit \(-1\) multipliziert? - Erinnere dich an die Definitionen für Achsen- und Punktsymmetrie und prüfe, ob das Vorzeichen von \(a\) dort eine Rolle spielt.

1. Analyse der Monotonie für Teilaufgabe a): Eine Potenzfunktion \(x^n\) ist für ungerade \(n\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend. Damit \(ax^n\) streng monoton fallend wird, muss der Vorfaktor \(a\) negativ sein (\(a < 0\)). Für gerade \(n\) wechselt das Monotonieverhalten im Ursprung, sodass die Funktion nicht auf der gesamten Definitionsmenge monoton fallend sein kann. Ergebnis: \(n\) muss ungerade und \(a < 0\) sein. 2. Analyse der Symmetrie für Teilaufgabe b): Die Symmetrie einer Potenzfunktion \(ax^n\) hängt ausschließlich davon ab, ob \(n\) gerade oder ungerade ist. Ersetzt man \(a\) durch \(-a\), ändern sich lediglich die Vorzeichen aller Funktionswerte (Spiegelung an der \(x\)-Achse). Ist \(n\) gerade, bleibt die Bedingung \(p(-x)=p(x)\) erhalten. Ist \(n\) ungerade, bleibt die Bedingung \(p(-x)=-p(x)\) erhalten. Die Symmetrieart bleibt also identisch.

a) \(n\) muss eine ungerade Zahl sein und \(a < 0\). b) Der Symmetrietyp ändert sich nicht. Ein Wechsel von \(a\) zu \(-a\) entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse, wodurch die bestehende Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (bei geradem \(n\)) bzw. Punktsymmetrie zum Ursprung (bei ungeradem \(n\)) erhalten bleibt.

- Schreibe die negativen Potenzen zunächst als Brüche. - Für die Quadranten hilft es, positive und negative x-Werte getrennt zu betrachten. - Ein einzelner Funktionswert reicht nicht für eine Aussage über das Verhalten beim Annähern an \(0\); vergleiche deshalb die beiden Funktionen für allgemeines positives \(x\). - Ein Schnittpunkt erfüllt beide Funktionsgleichungen gleichzeitig.

1. Für beide Funktionen gilt \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Der Graph von \(f(x)=\frac{1}{x}\) liegt im I. und III. Quadranten, der Graph von \(g(x)=\frac{1}{x^2}\) im I. und II. Quadranten. 2. Es ist \(f(0{,}1)=10\) und \(g(0{,}1)=100\). 3. Für \(x>0\) gilt \(\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x^{-2}}{x^{-1}}=\frac{1}{x}\). Für \(x\to0^+\) wächst dieser Quotient gegen \(+\infty\). Damit wird \(g(x)\) im Verhältnis zu \(f(x)\) beliebig groß und wächst nahe \(0\) stärker an. 4. Für \(x\to+\infty\) gilt bei beiden Funktionen \(f(x)\to0\) und \(g(x)\to0\). Beide Graphen nähern sich der Geraden \(y=0\). 5. Aus \(x^{-1}=x^{-2}\) folgt für \(x\neq0\) nach Multiplikation mit \(x^2\) die Gleichung \(x=1\). Der Schnittpunkt im ersten Quadranten ist \(S(1|1)\).

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); \(f\): I. und III. Quadrant; \(g\): I. und II. Quadrant. b) \(f(0{,}1)=10\), \(g(0{,}1)=100\); außerdem gilt \(\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{1}{x}\to+\infty\) für \(x\to0^+\). Daher wächst \(g\) dort stärker an. c) Beide Funktionswerte nähern sich \(0\); waagerechte Asymptote: \(y=0\). d) \(S(1|1)\)

- Welche Formel hilft dir, die Nullstellen einer quadratischen Gleichung direkt zu berechnen? - Wie hängen die Nullstellen einer Parabel mit der \(x\)-Koordinate ihres Scheitelpunkts zusammen? - Überlege dir, wo der Scheitelpunkt im Koordinatensystem liegt. In welche Richtung muss die Parabel geöffnet sein, damit sie die \(x\)-Achse nie berührt oder schneidet? - Die Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) ist hier besonders hilfreich.

1. Nullstellenberechnung: Ansatz \(2x^2 + 12x + 14 = 0\). Division durch \(2\) ergibt \(x^2 + 6x + 7 = 0\). 2. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{3^2 - 7} = -3 \pm \sqrt{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -3 + \sqrt{2}\) und \(x_2 = -3 - \sqrt{2}\). 3. Scheitelpunktbestimmung: Die \(x\)-Koordinate liegt mittig zwischen den Nullstellen bei \(x_S = -3\). Einsetzen in \(f(x)\) ergibt \(y_S = 2(-3)^2 + 12(-3) + 14 = 18 - 36 + 14 = -4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-3|-4)\). 4. Konstruktion von \(g\): Da der Scheitelpunkt \(S(-3|-4)\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt (\(y_S < 0\)), darf die Parabel keine Punkte oberhalb des Scheitelpunkts besitzen, um keine Nullstellen zu haben. Sie muss also nach unten geöffnet sein. 5. Mögliche Gleichung: \(g(x) = -(x + 3)^2 - 4\) (oder jeder andere negative Streckfaktor \(a < 0\)).

a) \(x_1 = -3 + \sqrt{2}\) und \(x_2 = -3 - \sqrt{2}\) b) Scheitelpunkt: \(S(-3|-4)\). Eine mögliche Funktionsgleichung ist \(g(x) = -(x + 3)^2 - 4\). Da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist (\(a = -1\)), erreicht sie die \(x\)-Achse nie.

- Untersuche, wie sich das Verhältnis der Funktionswerte zum Verhältnis der \(x\)-Werte verhält. - Überlege, welcher Funktionstyp vorliegt, wenn die Funktionswerte schneller wachsen als die \(x\)-Werte. - Versuche, zuerst den Exponenten zu bestimmen, indem du zwei Gleichungen durcheinander dividierst. - Wie kannst du den Vorfaktor berechnen, wenn du den Exponenten bereits kennst?

1. Ansatz der Funktionsgleichung: \(g(x) = ax^n\). 2. Bestimmung des Exponenten \(n\) durch Division zweier Funktionswerte: \(\frac{g(3)}{g(2)} = \frac{22{,}5}{10} = 2{,}25\). Entsprechend dem Ansatz gilt \(\frac{a \cdot 3^n}{a \cdot 2^n} = \left(\frac{3}{2}\right)^n = 1{,}5^n\). 3. Lösen der Gleichung \(1{,}5^n = 2{,}25\): Da \(1{,}5^2 = 2{,}25\), folgt \(n = 2\). 4. Berechnung des Parameters \(a\) durch Einsetzen eines Punktes, z. B. \((2\mid10)\): \(10 = a \cdot 2^2 \implies 10 = 4a \implies a = 2{,}5\). 5. Überprüfung mit dem dritten Wert: \(g(5) = 2{,}5 \cdot 5^2 = 2{,}5 \cdot 25 = 62{,}5\). Das Ergebnis stimmt mit der Tabelle überein.

\(g(x) = 2{,}5x^2\)

- Welche typische Graphenform gehört zu einem Term ersten Grades, und welche zu einem Sinusterm? - Lies die charakteristischen Parameter zunächst direkt aus den beiden gegebenen Termen ab. - Unterscheide die Eigenschaften „periodisch“ und „beschränkt“; sie bedeuten nicht dasselbe. - Nutze in d) die bekannte Periode von \(h\) und beobachte getrennt, was mit dem linearen Anteil passiert.

1. \(g\) ist eine lineare Funktion; ihr Graph ist eine Gerade. \(h\) ist eine Sinusfunktion; ihr Graph schwingt periodisch. 2. Bei \(g(x)=0{,}5x+1\) ist die Steigung \(m=0{,}5\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(1\). 3. Bei \(h(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) ist die Amplitude \(A=2\). Aus \(T=\frac{2\pi}{\pi/2}=4\) folgt die Periode \(T=4\). Die Wertemenge ist \([-2;2]\). 4. \(h\) ist periodisch und beschränkt. \(g\) ist wegen der von null verschiedenen Steigung nicht periodisch und auf \(\mathbb R\) weder nach oben noch nach unten beschränkt. 5. Mit \(h(x+4)=h(x)\) gilt \(f(x+4)=0{,}5(x+4)+1+h(x+4)=f(x)+2\). Daher ist \(f(x+4)-f(x)=2\) und insbesondere nicht \(0\); die Periode \(4\) von \(h\) ist also keine Periode von \(f\). 6. Der lineare Anteil \(g\) erzeugt den langfristigen Anstieg, die Sinusfunktion \(h\) die wiederkehrende Schwingung um diesen Trend.

a) \(g\): lineare Funktion; \(h\): Sinusfunktion. b) \(g\): \(m=0{,}5\), \(y\)-Achsenabschnitt \(1\); \(h\): \(A=2\), \(T=4\), Wertemenge \([-2;2]\). c) \(h\) ist periodisch und beschränkt; \(g\) ist weder periodisch noch beschränkt. d) \(f(x+4)-f(x)=2\); daher ist \(4\) keine Periode von \(f\). \(g\) bestimmt den langfristigen Anstieg, \(h\) die wiederkehrende Schwingung.

- Warum ist ein markierter Punkt mit \(x=1\) besonders hilfreich für den Vorfaktor? - Welche Gleichung für \(n\) erhältst du anschließend aus dem zweiten Punkt? - Kannst du den dabei entstehenden Bruch als Potenz zur Basis \(2\) schreiben?

1. Aus dem Koordinatensystem liest man \(P(1\mid2)\) und \(Q(2\mid1)\) ab. 2. Mit \(P\) gilt \(2=a\cdot1^n\), also \(a=2\). 3. Mit \(Q\) folgt \(1=2\cdot2^n\), also \(2^n=\frac{1}{2}=2^{-1}\). 4. Daher ist \(n=-1\) und somit \(f(x)=2x^{-1}=\frac{2}{x}\).

\(f(x)=2x^{-1}=\frac{2}{x}\)

- Suche bei jedem Profil zuerst eine kleine Kandidatengruppe, aber entscheide erst nach Prüfung aller Eigenschaften. - Bei a) und b) reicht die Symmetrie allein nicht; vergleiche zusätzlich den Wert bei \(0\) und das Globalverhalten. - Bei c) haben zwei Exponentialterme denselben Wert bei \(0\); entscheidend sind Richtung der Monotonie und die Seite des Grenzwerts. - Bei d) haben beide Kehrwertterme dieselbe Symmetrie und denselben Grenzwert; prüfe zusätzlich das Vorzeichen für negative \(x\).

1. \(f_1\) und \(f_2\) sind beide gerade. Bei \(f_1\) gilt \(f_1(0)=-1\) und wegen des positiven führenden Terms \(f_1(x)\to+\infty\) auf beiden Seiten. Daher gehört \(f_1\) zu a). 2. Für \(f_2\) gilt \(f_2(0)=1\) und wegen des negativen führenden Terms \(f_2(x)\to-\infty\) auf beiden Seiten. Daher gehört \(f_2\) zu b). 3. \(f_3(0)=f_4(0)=0\). Nur \(f_4(x)=2^{-x}-1\) ist streng fallend und nähert sich für \(x\to+\infty\) dem Wert \(-1\). Daher gehört \(f_4\) zu c). \(f_3\) ist dagegen streng steigend und nähert sich \(-1\) für \(x\to-\infty\). 4. \(f_5\) und \(f_6\) sind beide punktsymmetrisch zum Ursprung und nähern sich für \(x\to\pm\infty\) dem Wert \(0\). Für \(x<0\) ist jedoch nur \(f_6=-1/x\) positiv. Daher gehört \(f_6\) zu d), während \(f_5\) dort negativ ist.

a) \(f_1(x)=x^4-1\): gerade Funktion, \(f_1(0)=-1\), und wegen des positiven führenden Terms gilt auf beiden Seiten \(f_1(x)\to+\infty\). b) \(f_2(x)=-x^4+1\): gerade Funktion, \(f_2(0)=1\), und wegen des negativen führenden Terms gilt auf beiden Seiten \(f_2(x)\to-\infty\). c) \(f_4(x)=2^{-x}-1\): \(f_4(0)=0\), streng fallend, und \(f_4(x)\to-1\) für \(x\to+\infty\). d) \(f_6(x)=-\frac{1}{x}\): punktsymmetrisch zum Ursprung, für \(x<0\) positiv, und \(f_6(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\). Unbenutzt: \(f_3\) ist im Gegensatz zu Profil c) steigend und erreicht den Grenzwert \(-1\) auf der anderen Seite; \(f_5\) ist für \(x<0\) negativ und passt deshalb nicht zu d).