- Vergleiche einen Terrassenpunkt mit einem Hoch- oder Tiefpunkt: Ändert der Graph dort seine Bewegungsrichtung? - Welche Information über die Tangentensteigung steckt im Wert von \(f'\)?

1. Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Daher gilt \(f'(-1)=0\). 2. Da kein lokales Extremum vorliegt, nimmt \(f\) vor und nach dem Punkt in dieselbe Richtung weiter zu oder ab. Somit wechselt \(f'\) dort nicht das Vorzeichen. 3. Aussage c) ist richtig.

c) \(f'(-1)=0\) und \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen.

- Gesucht ist eine Bedingung, die bei jedem differenzierbaren lokalen Extremum erfüllt sein muss. - Denke an die Tangentensteigung an einer glatten Hoch- oder Tiefstelle. - Eine notwendige Bedingung muss auch dann gelten, wenn der Funktionswert des Extremums nicht null ist.

1. Für ein lokales Extremum an einer inneren Stelle ist bei Differenzierbarkeit eine waagerechte Tangente notwendig. 2. Deshalb muss \(f'(x_0)=0\) gelten. 3. Die Aussagen B und C sind keine notwendigen Bedingungen für jedes lokale Extremum.

A: \(f'(x_0)=0\)

- Ein Gegenbeispiel muss die Voraussetzung erfüllen, aber die behauptete Folgerung verletzen. - Vergleiche in beiden Abbildungen die Funktionswerte unmittelbar links und rechts von \(x=0\). - Frage dich, ob der markierte Punkt wirklich höher oder tiefer als alle nahe gelegenen Punkte ist.

1. In Abbildung a) besitzt der Graph bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Diese Abbildung ist daher kein Gegenbeispiel. 2. In Abbildung b) verläuft der Graph durch den Ursprung weiter von links unten nach rechts oben. Bei \(x=0\) liegt trotz waagerechter Tangente kein lokales Extremum vor. 3. Damit ist Abbildung b) das gesuchte Gegenbeispiel.

Abbildung b). Dort gilt \(f'(0)=0\), aber bei \(x=0\) liegt kein lokales Extremum vor.

- „Notwendig“ bedeutet: Ohne diese Bedingung kann der beschriebene Fall nicht eintreten. - „Hinreichend“ bedeutet: Die Bedingung reicht aus, um den beschriebenen Fall zu sichern.

1. Aussage A beschreibt eine notwendige Bedingung: Ein inneres lokales Minimum einer differenzierbaren Funktion muss \(f'(x_0)=0\) erfüllen. 2. Aussage B beschreibt eine hinreichende Bedingung: Die beiden Angaben reichen aus, um ein lokales Minimum zu bestätigen.

A: notwendige Bedingung B: hinreichende Bedingung

- Welche Aussage beschreibt den Fall, von dem du ausgehst? - Welche Aussage soll daraus folgen?

1. Bei einer notwendigen Bedingung steht der zu untersuchende Fall im Wenn-Teil. 2. Daher lautet die Aussage: Wenn \(f\) an der inneren Stelle \(x_0\) differenzierbar ist und dort ein lokales Extremum besitzt, dann gilt \(f'(x_0)=0\).

Wenn \(f\) an der inneren Stelle \(x_0\) differenzierbar ist und dort ein lokales Extremum besitzt, dann gilt \(f'(x_0)=0\).

- Welche beiden Angaben brauchst du für das Kriterium mit der zweiten Ableitung? - Vergleiche das Vorzeichen von \(g''(2)\) mit den beiden möglichen Extremarten.

1. Die stationäre Bedingung \(g'(2)=0\) ist erfüllt. 2. Weil \(g''(2)=-3<0\) gilt, ist der Graph dort nach rechts gekrümmt. 3. Damit liegt bei \(x=2\) eine lokale Maximalstelle vor.

Bei \(x=2\) liegt eine lokale Maximalstelle vor.

- Welche zusätzliche Information brauchst du, um einen Krümmungswechsel sicher festzustellen? - Welche Information links und rechts von \(x=1\) könnte das zeigen?

1. Aus \(h''(1)=0\) folgt nur, dass \(x=1\) ein Kandidat für eine Wendestelle ist. 2. Für einen Wendepunkt muss zusätzlich ein Krümmungswechsel vorliegen.

Nein. \(x=1\) ist nur ein Kandidat; ein Krümmungswechsel muss noch geprüft werden.

- Vergleiche, wie der Graph direkt links und rechts vom markierten Punkt aussieht. - Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, damit \(f'(x_0)\) überhaupt einen Sinn hat?

1. In a) ist der Graph am markierten Tiefpunkt glatt. Die Funktion ist dort differenzierbar; deshalb gilt am inneren lokalen Minimum \(f'(x_0)=0\). 2. In b) hat der Graph am markierten Tiefpunkt eine Ecke. Dort ist die Funktion nicht differenzierbar; deshalb darf die Bedingung \(f'(x_0)=0\) nicht angewendet werden.

a) Ja; der Tiefpunkt liegt an einer inneren differenzierbaren Stelle. b) Nein; am Tiefpunkt ist die Funktion wegen der Ecke nicht differenzierbar.

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle immer gelten? - Berechne die Werte der Ableitungen an der konkret genannten Stelle. - Überlege, ob eine Krümmung allein (zweite Ableitung ungleich Null) ausreicht, um einen „Gipfel“ oder ein „Tal“ zu erzeugen. - Was sagt die erste Ableitung über die Steigung des Graphen aus?

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung: \(f'(x) = 2x + 6\) und \(f''(x) = 2\). 2. Überprüfung der Bedingung an der Stelle \(x_0 = 0\): Es gilt \(f''(0) = 2\). Somit ist die Bedingung \(f''(0) \neq 0\) erfüllt. 3. Überprüfung der notwendigen Bedingung für Extremstellen: \(f'(0) = 2 \cdot 0 + 6 = 6\). Da \(f'(0) \neq 0\) ist, liegt an der Stelle \(x_0 = 0\) kein Extremum vor. 4. Schlussfolgerung: Die Bedingung \(f''(x_0) \neq 0\) ist nicht hinreichend, da die notwendige Bedingung \(f'(x_0) = 0\) (waagerechte Tangente) zusätzlich erfüllt sein muss.

Die Behauptung ist falsch. Für \(f(x) = x^2 + 6x\) gilt zwar \(f''(0) = 2 \neq 0\), aber da \(f'(0) = 6 \neq 0\) ist, hat der Graph an dieser Stelle keine waagerechte Tangente und somit keine Extremstelle. Die notwendige Bedingung \(f'(x_0) = 0\) ist nicht erfüllt.

- Bei einer notwendigen Bedingung frage: Was muss gelten, sobald die betrachtete Eigenschaft vorliegt? - Formuliere in a) zuerst klar, welche Eigenschaft Voraussetzung und welche Folgerung ist. - Achte in b) darauf, dass die Aussage über \(f'\) die vorausgesetzte Differenzierbarkeit auf \(I\) benutzt.

1. „B ist notwendig für A“ bedeutet: Wenn A gilt, dann gilt B. Daher lautet a): Wenn \(f\) bei \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist \(f\) dort stetig. 2. Zu b): Dass \(f'(x)\ge0\) für alle \(x\in I\) gilt, ist notwendig dafür, dass die auf \(I\) differenzierbare Funktion \(f\) dort streng monoton zunimmt.

a) Wenn \(f\) bei \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist \(f\) dort stetig. b) Die Bedingung \(f'(x)\ge0\) für alle \(x\in I\) ist notwendig dafür, dass die differenzierbare Funktion \(f\) auf \(I\) streng monoton zunimmt.

- Welche Gleichung liefert die notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle bei einer differenzierbaren Funktion? - Faktorisiere die Ableitungen, bevor du die Nullstellen bestimmst. - Gefragt sind nur Kandidaten nach der notwendigen Bedingung, noch nicht die Extremumarten.

1. Für a) gilt \(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). Die notwendige Bedingung \(f'(x)=0\) ist bei \(x=-1\) und \(x=3\) erfüllt. 2. Für b) gilt \(g'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)\). Aus \(g'(x)=0\) folgt \(x=-2\) oder \(x=2\).

a) \(x=-1\) und \(x=3\) b) \(x=-2\) und \(x=2\)

- Welche notwendige Bedingung muss an einer lokalen Extremstelle einer differenzierbaren Funktion erfüllt sein? - Untersuche das Vorzeichen der gesamten Ableitungsfunktion, ohne eine Gleichung unnötig kompliziert zu lösen. - Welche Eigenschaft hat \(x^2\) für alle reellen \(x\)?

1. Ableiten ergibt \(f'(x)=3x^2+4\). 2. Für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt \(3x^2\ge0\), also \(f'(x)\ge4>0\). 3. Die notwendige Bedingung \(f'(x)=0\) ist daher an keiner Stelle erfüllt. Somit besitzt \(f\) keine lokalen Extremstellen.

\(f'(x)=3x^2+4>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\). Daher besitzt \(f\) keine lokalen Extremstellen.

- Bei einer notwendigen Bedingung steht die Eigenschaft, für die etwas notwendig ist, im Wenn-Teil. - Prüfe bei a), ob die Ableitung überhaupt definiert sein muss, bevor du \(f'(x_0)=0\) formulierst. - Formuliere jede Aussage als klare Implikation ohne ihre logische Richtung umzudrehen.

1. „A ist notwendig für B“ bedeutet: Wenn B gilt, dann muss auch A gelten. 2. Für a) folgt: Wenn eine an \(x_0\) differenzierbare Funktion \(f\) dort ein lokales Extremum besitzt, dann gilt \(f'(x_0)=0\). 3. Für b) folgt: Wenn der Graph einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion \(f\) an \(x_0\) einen Wendepunkt besitzt, dann gilt \(f''(x_0)=0\). 4. Für c) folgt direkt: Wenn \(f\) an \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist \(f\) dort stetig.

a) Wenn eine an \(x_0\) differenzierbare Funktion \(f\) dort ein lokales Extremum besitzt, dann gilt \(f'(x_0)=0\). b) Wenn der Graph einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion \(f\) an \(x_0\) einen Wendepunkt besitzt, dann gilt \(f''(x_0)=0\). c) Wenn eine Funktion \(f\) an \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist sie dort stetig.

- Welche logische Richtung gehört zu „hinreichend“? - Welche logische Richtung gehört zu „notwendig“? - Formuliere jeweils Voraussetzung und Folgerung ausdrücklich als „Wenn …, dann …“.

1. „\(A\) ist hinreichend für \(B\)“ bedeutet: Wenn \(A\) gilt, dann gilt \(B\). „\(A\) ist notwendig für \(B\)“ bedeutet: Wenn \(B\) gilt, dann gilt \(A\). 2. Zu a): Wenn \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)>0\) gilt, dann hat \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Minimum. 3. Zu b): Wenn für eine differenzierbare Funktion \(f'(x)>0\) für alle \(x\in I\) gilt, dann ist \(f\) auf \(I\) streng monoton zunehmend. 4. Zu c): Wenn eine Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist sie dort stetig.

a) Wenn \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)>0\) gilt, dann hat \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Minimum. b) Wenn \(f'(x)>0\) für alle \(x\in I\) gilt, dann ist \(f\) auf \(I\) streng monoton zunehmend. c) Wenn \(f\) an \(x_0\) differenzierbar ist, dann ist \(f\) dort stetig.

- Überlege dir, welche der Teilaussagen die Voraussetzung ist und welche die zwangsläufige Folge daraus. - Erinnere dich an die logische Struktur: Wenn aus einer Eigenschaft \(A\) immer die Eigenschaft \(B\) folgt, dann ist \(B\) eine notwendige Bedingung für \(A\). - Gibt es einen Zustand, der auf jeden Fall erfüllt sein muss, damit etwas anderes überhaupt möglich ist?

1. Teilaufgabe a): Die Bedingung \(f'(x_0) = 0\) ist eine notwendige Bedingung für die Existenz eines lokalen Extremums an der Stelle \(x_0\). 2. Teilaufgabe b): Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist es eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunkts, dass die zweite Ableitung an der Stelle \(x_0\) den Wert null annimmt (\(f''(x_0) = 0\)). 3. Teilaufgabe c): Die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle \(x_0\) ist eine notwendige Bedingung für ihre Differenzierbarkeit an dieser Stelle.

a) \(f'(x_0) = 0\) ist eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum an der Stelle \(x_0\). b) Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist \(f''(x_0) = 0\) eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt an der Stelle \(x_0\). c) Die Stetigkeit an der Stelle \(x_0\) ist eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit an dieser Stelle.

- „Hinreichend“ bedeutet: Sind die Bedingungen erfüllt, ist die behauptete Eigenschaft garantiert. - Suche für b) nach einer Funktion mit waagerechter Tangente, aber ohne lokale Extremstelle. - Unterscheide dabei eine notwendige Bedingung von einer Bedingung, die allein schon ausreicht.

1. Die Bedingungen \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)<0\) sind hinreichend für ein lokales Maximum bei \(x_0\). 2. Die Bedingung \(f'(x_0)=0\) allein ist nicht hinreichend, weil eine waagerechte Tangente auch ohne lokales Extremum auftreten kann. 3. Zum Beispiel gilt für \(f(x)=x^3\) bei \(x_0=0\): \(f'(0)=0\), aber der Graph besitzt dort keinen Hoch- oder Tiefpunkt, sondern einen Terrassenpunkt.

a) \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)<0\) sind hinreichend für ein lokales Maximum bei \(x_0\). b) Nicht hinreichend; Gegenbeispiel \(f(x)=x^3\) bei \(x_0=0\).

- Welche mathematische Bedingung muss für die Ableitung \(f'\) an einer Stelle gelten, damit dort ein Extremum vorliegen kann? - Wo schneidet der Graph von \(f'\) die x-Achse? - Was bedeutet es für den Verlauf der Originalfunktion \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) negativ ist, und was, wenn sie positiv ist? - Achte darauf, wie der Graph der Ableitung an den Nullstellen die x-Achse überquert (von unten nach oben oder von oben nach unten).

1. Identifikation der notwendigen Bedingung: Für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion \(f\) gilt \(f'(x) = 0\). Dies entspricht den Nullstellen des abgebildeten Graphen von \(f'\). 2. Ablesen der Stellen: Aus dem Graphen von \(f'\) ergeben sich die Nullstellen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\). 3. Anwendung des Vorzeichenwechselkriteriums: - Bei \(x_1 = 2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von minus (unterhalb der x-Achse) nach plus (oberhalb der x-Achse). Da \(f'(x) < 0\) für \(x < 2\) und \(f'(x) > 0\) für \(2 < x < 6\), liegt bei \(x_1 = 2\) ein lokales Minimum von \(f\) vor. - Bei \(x_2 = 6\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von plus (oberhalb der x-Achse) nach minus (unterhalb der x-Achse). Da \(f'(x) > 0\) für \(2 < x < 6\) und \(f'(x) < 0\) für \(x > 6\), liegt bei \(x_2 = 6\) ein lokales Maximum von \(f\) vor.

a) Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) ist an den Stellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 6\) erfüllt, da dort die Nullstellen von \(f'\) liegen. b) Bei \(x = 2\) liegt ein lokales Minimum vor (Vorzeichenwechsel von minus nach plus). Bei \(x = 6\) liegt ein lokales Maximum vor (Vorzeichenwechsel von plus nach minus).

- Eine Nullstelle der Ableitung allein reicht nicht aus, um eine Extremstelle zu sichern. - Vergleiche das Vorzeichen von \(g'\) unmittelbar links und rechts der beiden Stellen. - Entscheidend ist, ob ein Wechsel von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus auftritt.

1. Eine Nullstelle von \(g'\) führt nur dann zu einer lokalen Extremstelle, wenn das Vorzeichen der Ableitung wechselt. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(g\) dort ein lokales Maximum. 3. Bei \(x=4\) gilt zwar \(g'(4)=0\), aber \(g'\) bleibt links und rechts dieser Stelle negativ. Daher liegt bei \(x=4\) keine Extremstelle vor.

Bei \(x=-2\) liegt ein lokales Maximum vor. Bei \(x=4\) liegt keine Extremstelle vor.

- Eine Nullstelle von \(f'\) liefert zunächst nur einen Kandidaten für eine Extremstelle. - Suche nach einer einfachen ganzrationalen Funktion mit waagerechter Tangente, die trotzdem weiter in dieselbe Richtung verläuft. - Prüfe beim Gegenbeispiel das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der betrachteten Stelle.

1. Die Aussage ist falsch. 2. Die Bedingung \(f'(x_0)=0\) ist für eine lokale Extremstelle einer differenzierbaren Funktion im Inneren des Definitionsbereichs notwendig, aber nicht hinreichend. 3. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=x^3\). Dann gilt \(f'(x)=3x^2\) und damit \(f'(0)=0\). 4. Für \(x\neq0\) ist \(f'(x)>0\). Die Funktion steigt also links und rechts von \(0\) weiter an; bei \(x=0\) liegt deshalb kein lokales Extremum vor.

Die Aussage ist falsch. Zum Beispiel gilt für \(f(x)=x^3\) zwar \(f'(0)=0\), aber \(f'(x)>0\) für \(x\neq0\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=0\) kein lokales Extremum.

- An allen drei Stellen ist \(f'(x)=0\) bereits gegeben. - Bestimme das Vorzeichen von \(f''\) an jeder Stelle. - Ein positives \(f''\) klassifiziert eine stationäre Stelle als lokale Minimalstelle, ein negatives als lokale Maximalstelle.

1. Bei \(x_1=-2\sqrt{3}\) gilt \(f''(x_1)=8>0\). Zusammen mit \(f'(x_1)=0\) liegt eine lokale Minimalstelle vor. 2. Bei \(x_2=0\) gilt \(f''(0)=-4<0\). Zusammen mit \(f'(0)=0\) liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Bei \(x_3=2\sqrt{3}\) gilt \(f''(x_3)=8>0\). Daher liegt dort eine lokale Minimalstelle vor.

Lokale Minimalstellen bei \(x=-2\sqrt{3}\) und \(x=2\sqrt{3}\); lokale Maximalstelle bei \(x=0\).

- Die waagerechten Tangenten liefern bereits die stationären Stellen von \(f\). - Lies für jede dieser Stellen im dargestellten Graphen ab, ob \(f''\) positiv oder negativ ist. - Ordne \(\pm\sqrt{17}\) auf der \(x\)-Achse relativ zu den sichtbaren Vorzeichenwechseln des Graphen ein.

1. Aus der Abbildung liest man ab: \(f''(x)<0\) für \(x<-3\) und für \(0<x<3\); \(f''(x)>0\) für \(-3<x<0\) und für \(x>3\). 2. Da \(\sqrt{17}>3\) gilt, liegt \(-\sqrt{17}\) links von \(-3\). Somit ist \(f''(-\sqrt{17})<0\), also liegt dort ein lokales Maximum vor. 3. Bei \(x=-1\) ist der Graph von \(f''\) oberhalb der \(x\)-Achse. Daher liegt dort ein lokales Minimum vor. 4. Bei \(x=1\) ist der Graph von \(f''\) unterhalb der \(x\)-Achse. Daher liegt dort ein lokales Maximum vor. 5. Da \(\sqrt{17}>3\) gilt, ist \(f''(\sqrt{17})>0\). Daher liegt dort ein lokales Minimum vor.

Lokale Maxima: \(x=-\sqrt{17}\) und \(x=1\) Lokale Minima: \(x=-1\) und \(x=\sqrt{17}\)

- Unterscheide genau zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen. - Welche Aussage liefert der Satz über die Ableitung an einer inneren lokalen Extremstelle? - Suche für c) und d) nach einem einfachen Gegenbeispiel mit waagerechter Tangente ohne Richtungswechsel. - Strenge Monotonie wird über die Reihenfolge von Funktionswerten definiert, nicht durch die Forderung \(f'>0\) an jeder einzelnen Stelle.

1. Aussage a) ist wahr. Eine überall positive Ableitung auf dem Intervall ist ein hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie. 2. Aussage b) ist wahr. Für eine differenzierbare Funktion gilt an einer lokalen inneren Extremstelle notwendig \(f'(x_0)=0\). 3. Aussage c) ist falsch. Bei \(f(x)=x^3\) gilt \(f'(0)=0\), aber \(x=0\) ist keine Extremstelle; der Graph besitzt dort einen Terrassenpunkt. 4. Aussage d) ist falsch. Die Funktion \(f(x)=x^3\) ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend, obwohl \(f'(0)=0\) gilt.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Falsch

- Was bedeutet „notwendig“ und was bedeutet „hinreichend“? - Suche eine Funktion mit \(f''(x_0)=0\), bei der die Krümmungsrichtung nicht wechselt. - Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Welche Eigenschaft fehlt beim Gegenbeispiel?

1. Bei stetiger zweiter Ableitung setzt ein Krümmungswechsel voraus, dass \(f''\) an der Übergangsstelle den Wert null annimmt. Daher ist \(f''(x_0)=0\) notwendig. 2. Die Bedingung ist nicht hinreichend. Für \(f(x)=x^4\) gilt \(f''(x)=12x^2\) und damit \(f''(0)=0\). Links und rechts von \(0\) ist \(f''\) jedoch positiv; es findet kein Krümmungswechsel statt. Bei \(x=0\) liegt ein lokales Minimum vor. 3. Auch die beiden Bedingungen aus b) sind nicht hinreichend. Beim selben Gegenbeispiel gilt zusätzlich \(f'(0)=0\), dennoch liegt kein Wendepunkt und somit kein Terrassenpunkt vor.

a) Notwendig, aber nicht hinreichend; Gegenbeispiel \(f(x)=x^4\) bei \(x_0=0\). b) Nein. Auch \(f'(0)=f''(0)=0\) bei \(f(x)=x^4\) ergibt keinen Terrassenpunkt.

- Unterscheide zwischen einem Funktionswert, einer Wachstumsrate und einem Extremum der Wachstumsrate. - Welche Ableitung spielt jeweils die Rolle der „Funktion“, deren lokales Maximum betrachtet wird? - Achte darauf, dass hier hinreichende Bedingungskombinationen gesucht sind, nicht alle logisch notwendigen Bedingungen.

1. Für (1) beschreibt \(h(12)=80\) die angegebene Höhe direkt. Daher genügt Kärtchen A. 2. Ein lokales Maximum der Wachstumsrate \(h'\) ist durch \(h''(6)=0\) und \(h'''(6)<0\) hinreichend gesichert. Da ausdrücklich eine positive Wachstumsrate gefordert ist, kommt \(h'(6)>0\) hinzu. Daher passen B, F und G. 3. Für den lokalen Hochpunkt mit der vorgegebenen Höhe liefern \(h(25)=160\), \(h'(25)=0\) und \(h''(25)<0\) zusammen eine hinreichende Beschreibung. Daher passen C, D und E.

(1): A (2): B, F, G (3): C, D, E

- Welche Funktion beschreibt die Vertikalgeschwindigkeit der Drohne? - Übersetze „lokal am schnellsten sinken“ in ein lokales Minimum dieser Geschwindigkeitsfunktion. - Gesucht sind hinreichende Bedingungskombinationen; sie müssen die jeweilige Situation sicherstellen, aber nicht logisch notwendig sein.

1. „Lokal am schnellsten sinken“ bedeutet, dass die Vertikalgeschwindigkeit \(H'\) dort ein lokales Minimum besitzt und negativ ist. Die Kombination \(H''(10)=0\), \(H'''(10)>0\) und \(H'(10)<0\) ist dafür hinreichend. Somit passen D, E und F. 2. Für einen lokalen Hochpunkt der Flughöhe mit dem vorgegebenen Wert ist die Kombination \(H(30)=120\), \(H'(30)=0\) und \(H''(30)<0\) hinreichend. Somit passen A, B und C.

(1): D, E, F (2): A, B, C

- Welche einfache Funktionsart hat immer einen Tiefpunkt? Wie kannst du diese so verschieben, dass der Tiefstelle bei \(x = 5\) liegt? - Was passiert mit der zweiten Ableitung an der Extremstelle, wenn du höhere gerade Potenzen wie \(x^4\) verwendest? - Wenn die zweite Ableitung null ist, welches andere Kriterium kennst du, um die Art eines Punktes mit waagerechter Tangente zu bestimmen? - Überlege dir, wie sich die Steigung kurz vor und kurz nach einem Tiefpunkt verhalten muss.

1. Für Teilaufgabe a) eignet sich eine Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \(x = 5\). Ein möglicher Term ist \(f(x) = (x-5)^2\). Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 2(x-5)\) und \(f''(x) = 2\). Es gilt \(f'(5) = 0\) und \(f''(5) = 2 > 0\), womit die hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum erfüllt ist. 2. Für Teilaufgabe b) kann eine Funktion vierter Ordnung gewählt werden, zum Beispiel \(f(x) = (x-5)^4\). Die Ableitungen sind \(f'(x) = 4(x-5)^3\) und \(f''(x) = 12(x-5)^2\). Hier gilt \(f'(5) = 0\) und \(f''(5) = 0\), weshalb die zweite Ableitung keine Aussage liefert. 3. Zum Nachweis des Minimums wird das Vorzeichenwechselkriterium der ersten Ableitung genutzt: Für \(x < 5\) ist der Faktor \((x-5)^3\) negativ, also \(f'(x) < 0\). Für \(x > 5\) ist \((x-5)^3\) positiv, also \(f'(x) > 0\). Der Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) an der Stelle \(x = 5\) bestätigt das lokale Minimum.

a) z. B. \(f(x) = (x-5)^2\) b) z. B. \(f(x) = (x-5)^4\). Der Nachweis erfolgt über den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung \(f'(x) = 4(x-5)^3\) von Minus nach Plus an der Stelle \(x = 5\).

- Berechne für jede Funktion \(f'\) und \(f''\) an der Stelle \(x=1\). - Wenn \(f''(x_0)=0\) ist, entscheidet dieses Kriterium nicht über ein Extremum. - Untersuche dann das Vorzeichen der ersten Ableitung links und rechts von \(x=1\). - Falls kein Extremum vorliegt: Wechselt die zweite Ableitung dort ihr Vorzeichen?

1. Es gilt \(f'(x)=2(x-1)\) und \(f''(x)=2\). Daher ist \(f''(1)=2>0\), also besitzt \(f\) bei \(x=1\) ein lokales Minimum. 2. Für \(g\) gilt \(g'(x)=3(x-1)^2\) und \(g''(x)=6(x-1)\). Damit ist \(g''(1)=0\), sodass das Kriterium mit der zweiten Ableitung keine Extremumsklassifikation liefert. Da \(g'\) links und rechts von \(1\) positiv bleibt, liegt kein Extremum vor. Zugleich wechselt \(g''\) bei \(x=1\) von negativ zu positiv; daher ist \(x=1\) eine Wendestelle. Wegen \(g'(1)=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor. 3. Für \(h\) gilt \(h'(x)=4(x-1)^3\) und \(h''(x)=12(x-1)^2\). Auch hier ist \(h''(1)=0\). Die erste Ableitung wechselt jedoch bei \(x=1\) von negativ zu positiv, also besitzt \(h\) dort ein lokales Minimum.

a) Bei \(f\) liegt bei \(x=1\) ein lokales Minimum vor. b) Bei \(g\) liegt ein Terrassenpunkt vor; bei \(h\) ein lokales Minimum.

- Denke an eine einfache ganzrationale Funktion mit waagerechter Tangente, aber ohne Extremstelle. - Wie kannst du einen solchen Graphen so verschieben, dass die besondere Stelle bei \((-3|2)\) liegt? - Überprüfe anschließend Funktionswert und erste Ableitung an \(x=-3\). - Wie verhält sich das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts dieser Stelle?

1. Ein geeignetes Beispiel erhält man durch Verschieben der Funktion \(x^3\): \(f(x)=(x+3)^3+2\). 2. Es gilt \(f(-3)=2\), also verläuft der Graph durch \(P(-3|2)\). 3. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=3(x+3)^2\). Damit gilt \(f'(-3)=0\), also besitzt der Graph dort eine waagerechte Tangente. 4. Da \(f'(x)\ge0\) auf beiden Seiten von \(x=-3\) gilt und kein Vorzeichenwechsel auftritt, liegt dort keine lokale Extremstelle vor. Bei diesem Beispiel ist \(P\) ein Terrassenpunkt.

Zum Beispiel \(f(x)=(x+3)^3+2\).

- Unterscheide bei a) zwischen einer notwendigen und einer hinreichenden Bedingung. - Welche Eigenschaft muss eine stetige zweite Ableitung bei einem Krümmungswechsel besitzen? - Ordne die Vorzeichen von \(f''\) den beiden Krümmungsrichtungen zu. - Welche Aussage liefert das Kriterium mit \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)\neq0\)?

1. Aussage a) ist falsch. Bei \(f(x)=x^3\) gilt \(f'(0)=0\), aber bei \(x=0\) liegt kein Extremum, sondern ein Terrassenpunkt vor. 2. Aussage b) ist wahr. Bei stetiger zweiter Ableitung setzt ein Krümmungswechsel eine Nullstelle von \(f''\) voraus. 3. Aussage c) ist falsch. Aus \(f''(x_0)<0\) folgt Rechtskrümmung; Linkskrümmung entspricht \(f''(x_0)>0\). 4. Aussage d) ist wahr. Zusammen mit \(f'(x_0)=0\) klassifiziert \(f''(x_0)>0\) die Stelle als lokale Minimalstelle und \(f''(x_0)<0\) als lokale Maximalstelle.

a) Falsch b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Welche Information liefert dir \(g'\) über Steigen und Fallen von \(g\)? - Was musst du links und rechts einer stationären Stelle vergleichen, um ein lokales Extremum zu bestätigen oder auszuschließen? - Wenn kein Extremum vorliegt: Welche weitere Eigenschaft entscheidet, ob die stationäre Stelle ein Terrassenpunkt ist?

1. Es gilt \(g'(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\). Die einzige stationäre Stelle ist \(x=-1\). 2. Da \(g'(x)\ge0\) für alle \(x\) gilt und links sowie rechts von \(-1\) positiv ist, wechselt \(g'\) dort nicht das Vorzeichen. Somit liegt keine lokale Extremstelle vor. 3. Die zweite Ableitung ist \(g''(x)=2x+2\). Sie wechselt bei \(x=-1\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(g\) dort eine Wendestelle. 4. Weil zusätzlich \(g'(-1)=0\) gilt, ist diese Wendestelle ein Terrassenpunkt.

Keine lokalen Extremstellen. Bei \(x=-1\) liegt ein Terrassenpunkt vor.

- Welche Exponenten kommen bei einer geraden ganzrationalen Funktion vor? - Welche Symmetrie besitzt die Ableitung einer geraden Funktion? - Was bedeutet diese Symmetrie für die Vorzeichen von \(f'(x)\) und \(f'(-x)\) nahe dem Ursprung?

1. Bei einer zur \(y\)-Achse symmetrischen ganzrationalen Funktion treten nur gerade Exponenten auf. Beim Ableiten entstehen daher nur ungerade Potenzen von \(x\), sodass jeder Term von \(f'\) bei \(x=0\) den Wert null hat. Somit gilt \(f'(0)=0\). 2. Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade, also gilt \(f'(-x)=-f'(x)\). 3. Da \(f\) nicht konstant ist, ist \(f'\) nicht die Nullfunktion. In einer hinreichend kleinen Umgebung von \(0\) wird das Vorzeichen von \(f'\) durch den niedrigsten nichtverschwindenden ungeraden Potenzterm bestimmt. Daher besitzt \(f'\) links und rechts von \(0\) entgegengesetzte Vorzeichen. 4. Somit wechselt \(f\) bei \(x=0\) seine Monotonierichtung und besitzt dort eine lokale Extremstelle. Ein Terrassenpunkt ist daher ausgeschlossen.

a) \(f'(0)=0\). b) Wegen der Punktsymmetrie von \(f'\) wechselt \(f'\) bei \(x=0\) das Vorzeichen; daher liegt dort eine Extremstelle und kein Terrassenpunkt vor.

- Prüfe zuerst nur die notwendige Bedingung \(f'(0)=0\). - Vergleiche danach das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts von \(0\). - Für einen Terrassenpunkt brauchst du zusätzlich einen nachgewiesenen Krümmungswechsel.

1. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=5x^4+6x^2\). Daher gilt \(f'(0)=0\); die notwendige Bedingung ist erfüllt. 2. Für alle \(x\neq0\) gilt \(f'(x)>0\). Deshalb wechselt \(f'\) bei \(x=0\) nicht das Vorzeichen und es liegt kein lokales Extremum vor. 3. Die zweite Ableitung ist \(f''(x)=20x^3+12x=4x(5x^2+3)\). Da \(5x^2+3>0\) gilt, wechselt \(f''\) bei \(x=0\) von negativ zu positiv. Somit liegt dort eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt, vor.

a) \(f'(0)=0\). b) Kein lokales Extremum; bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.

- Faktorisiere \(g'\), um ihr Vorzeichen in einer kleinen Umgebung von \(0\) zu untersuchen. - Kein Vorzeichenwechsel von \(g'\) schließt eine lokale Extremstelle aus. - Prüfe anschließend, ob \(g''\) bei derselben Stelle das Vorzeichen wechselt.

1. Es gilt \(g'(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)\), also \(g'(0)=0\). 2. In einer Umgebung von \(0\) ist \(2x-3<0\), während \(2x^2>0\) für \(x\neq0\) gilt. Daher ist \(g'(x)\) links und rechts von \(0\) negativ. Es gibt keinen Vorzeichenwechsel und somit keine lokale Extremstelle. 3. Die zweite Ableitung ist \(g''(x)=12x^2-12x=12x(x-1)\). Für kleine negative \(x\) ist \(g''(x)>0\), für kleine positive \(x\) ist \(g''(x)<0\). Die Krümmung wechselt also bei \(x=0\). 4. Zusammen mit \(g'(0)=0\) folgt, dass bei \(x=0\) ein Terrassenpunkt vorliegt.

Bei \(x=0\) liegt keine lokale Extremstelle, sondern ein Terrassenpunkt vor.

- Was bedeutet es anschaulich, wenn ein Punkt ein „Gipfel“ (Maximum) oder ein „Tal“ (Minimum) ist? - Vergleiche den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) mit Werten, die ganz nah links und ganz nah rechts davon liegen. - Kann ein Punkt eine Extremstelle sein, wenn es in seiner unmittelbaren Nähe sowohl größere als auch kleinere Werte gibt? - Untersuche die beiden Teilfunktionen separat für Werte nahe Null.

1. Funktionswert an der Stelle bestimmen: Es gilt \(f(0) = 0^2 + 1 = 1\). 2. Umgebung rechts von \(0\) betrachten: Für alle \(x > 0\) gilt \(f(x) = x^2 + 1\). Da \(x^2 > 0\) für \(x \neq 0\), ist \(f(x) > 1\) für alle \(x > 0\). In jeder Rechtsumgebung von \(0\) gibt es also Werte, die größer als \(f(0)\) sind. 3. Umgebung links von \(0\) betrachten: Für alle \(x < 0\) gilt \(f(x) = x\). Da \(x < 0\), ist \(f(x) < 0\) und damit insbesondere \(f(x) < 1\). In jeder Linksumgebung von \(0\) gibt es also Werte, die kleiner als \(f(0)\) sind. 4. Schlussfolgerung: Da in jeder noch so kleinen Umgebung um \(x = 0\) sowohl Funktionswerte existieren, die größer als \(f(0)\) sind, als auch Funktionswerte, die kleiner als \(f(0)\) sind, kann \(f(0)\) weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum sein. Somit liegt bei \(x = 0\) keine Extremstelle vor.

An der Stelle \(x = 0\) ist \(f(0) = 1\). Für \(x > 0\) sind die Funktionswerte stets größer als \(1\) (\(x^2 + 1 > 1\)), während sie für \(x < 0\) stets kleiner als \(1\) sind (da \(x < 0\)). Da in jeder Umgebung von \(x = 0\) sowohl größere als auch kleinere Werte als \(f(0)\) vorkommen, liegt laut Definition kein lokales Extremum vor.

- Prüfe bei jeder Aussage zuerst, ob sie eine notwendige oder eine hinreichende Bedingung behauptet. - Suche für falsche Aussagen nach möglichst einfachen ganzrationalen Gegenbeispielen. - Beachte bei globalen Extrema, ob der betreffende Punkt tatsächlich zum offenen Intervall gehört. - Nutze bei der strengen Monotonie die Definition über die Reihenfolge von Funktionswerten, nicht eine vermeintliche Bedingung \(f'>0\) an jeder Stelle.

1. Aussage (1) ist wahr. Bei strenger Monotonie gilt für \(x_1<x_2\) stets \(f(x_1)<f(x_2)\). Daher kann kein innerer Punkt ein lokales Maximum oder Minimum sein; auf \(\mathbb{R}\) gibt es auch kein globales Extremum. 2. Aussage (2) ist falsch. Bei \(f(x)=x^3\) gilt \(f'(0)=0\), aber \(x=0\) ist keine Extremstelle. Der Graph besitzt dort einen Terrassenpunkt. 3. Aussage (3) ist falsch. Die Funktion \(f(x)=-x^2\) besitzt auf \((-1;1)\) bei \(x=0\) ein globales Maximum. 4. Aussage (4) ist wahr. Liegt bei einer im inneren Punkt \(x_0\) differenzierbaren Funktion ein lokales Extremum vor, so gilt notwendig \(f'(x_0)=0\).

(1) Wahr (2) Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=x^3\) bei \(x=0\) (3) Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=-x^2\) auf \((-1;1)\) (4) Wahr

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Tangente waagerecht verläuft? - Wie verhält sich die Steigung kurz vor und kurz nach einem Tiefpunkt? - Überlege dir den Unterschied: Muss etwas gelten (notwendig) oder reicht es aus, wenn es gilt (hinreichend)? - Betrachte das Ergebnis der zweiten Ableitung im Vergleich zur tatsächlichen Art des Punktes.

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 4(x - 5)^3\). Die Bedingung für eine waagerechte Tangente \(f'(x) = 0\) führt auf \(x_0 = 5\). 2. Vorzeichenwechsel prüfen: Für \(x < 5\) (z. B. \(x = 4\)) gilt \(f'(4) = 4 \cdot (-1)^3 = -4 < 0\). Für \(x > 5\) (z. B. \(x = 6\)) gilt \(f'(6) = 4 \cdot 1^3 = 4 > 0\). Da ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus vorliegt, ist \(x_0 = 5\) eine lokale Minimalstelle. 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 12(x - 5)^2\). Einsetzen von \(x_0 = 5\) ergibt \(f''(5) = 12 \cdot (5 - 5)^2 = 0\). 4. Da an der Stelle \(x_0 = 5\) ein Minimum vorliegt, aber \(f''(5) = 0\) gilt, ist die Bedingung \(f''(x_0) \neq 0\) nicht notwendig. Ein Extrempunkt kann also auch dann existieren, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle Null ist.

a) \(f'(x) = 4(x - 5)^3\); \(x_0 = 5\) b) \(f'(4) = -4 < 0\) und \(f'(6) = 4 > 0\); Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) bestätigt ein Minimum. c) \(f''(5) = 0\) d) Nein, die Bedingung ist nicht notwendig, da trotz \(f''(x_0) = 0\) ein Extrempunkt vorliegt.

- Unterscheide notwendige und hinreichende Bedingungen. - Prüfe die ersten beiden Aussagen an einfachen Potenzfunktionen mit besonders flachem Verlauf im Ursprung. - Übersetze bei Aussage 3 einen Vorzeichenwechsel von \(f'\) in einen Wechsel der Monotonierichtung von \(f\).

1. Aussage 1 ist falsch. Für \(f(x)=x^3\) gilt \(f'(0)=0\), aber bei \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt und kein lokales Extremum vor. 2. Aussage 2 ist falsch. Für \(f(x)=x^4\) liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum vor, obwohl \(f''(0)=0\) gilt. 3. Aussage 3 ist wahr. Wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, liegt eine lokale Maximalstelle vor; wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, liegt eine lokale Minimalstelle vor.

1. Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=x^3\) 2. Falsch; Gegenbeispiel \(f(x)=x^4\) 3. Wahr

- Wie ist ein Wendepunkt über das Krümmungsverhalten des Graphen definiert? - Überlege dir, ob aus der Erfüllung einer Bedingung (Prämisse) zwingend die Schlussfolgerung (Wendepunkt) folgt. - Untersuche das Vorzeichen der zweiten Ableitung von \(f(x) = x^4\) links und rechts der Stelle \(x = 0\). - Was muss mathematisch passieren, damit ein Wert von positiv nach negativ wechseln kann?

1. Die Wenn-dann-Form lautet: „Wenn für eine Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) die Bedingungen \(f''(x_0) = 0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\) erfüllt sind, dann besitzt der Graph von \(f\) an dieser Stelle einen Wendepunkt.“ Da die Erfüllung dieser Bedingungen die Existenz des Wendepunkts garantiert, handelt es sich um eine hinreichende Bedingung. 2. Die Ableitungen von \(f(x) = x^4\) lauten \(f'(x) = 4x^3\) und \(f''(x) = 12x^2\). An der Stelle \(x_0 = 0\) gilt \(f''(0) = 0\). Da der Graph dort jedoch einen Tiefpunkt besitzt und die Krümmung links und rechts der Nullstelle positiv bleibt (\(f''(x) > 0\) für \(x \neq 0\)), findet kein Krümmungswechsel statt. Somit ist \(f''(x_0) = 0\) nicht hinreichend. 3. Ein Wendepunkt ist definiert als eine Stelle mit Vorzeichenwechsel des Krümmungsverhaltens. Da die zweite Ableitung die Krümmung repräsentiert und hier stetig ist, muss sie an der Stelle des Übergangs den Wert null annehmen. Somit ist \(f''(x_0) = 0\) eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts.

a) Wenn \(f''(x_0) = 0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\), dann liegt ein Wendepunkt vor. b) Nicht hinreichend, da \(f(x) = x^4\) bei \(x=0\) die Bedingung \(f''(0)=0\) erfüllt, aber einen Tiefpunkt (keinen Wendepunkt) hat. c) Notwendig, da ein Vorzeichenwechsel der stetigen zweiten Ableitung eine Nullstelle voraussetzt.

- Waagerechte Tangenten liegen an Nullstellen von \(k'\). - Vergleiche das Vorzeichen von \(k'\) links und rechts jeder Nullstelle. - Wenn kein Extremum vorliegt, prüfe zusätzlich, ob \(k''\) dort das Vorzeichen wechselt.

1. Aus \(k'(x)=0\) folgen \(x=4\) und \(x=-1\). 2. Bei \(x=4\) wechselt \(k'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(k\) dort eine lokale Minimalstelle. 3. Bei \(x=-1\) bleibt \(k'\) auf beiden Seiten negativ, weil die Nullstelle durch den quadratischen Faktor \((x+1)^2\) gerade Vielfachheit besitzt. Somit liegt dort keine Extremstelle vor. 4. Es gilt \(k''(x)=3x^2-4x-7=(3x-7)(x+1)\). Bei \(x=-1\) wechselt \(k''\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt, vor.

1. Waagerechte Tangenten bei \(x=-1\) und \(x=4\). 2. Lokale Minimalstelle bei \(x=4\). 3. Terrassenpunkt bei \(x=-1\).

- Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über die Steigung der ursprünglichen Funktion aus? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen einer Potenz verhält, wenn die Basis negativ ist und der Exponent gerade oder ungerade ist. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Vorzeichenwechsel der Ableitung und der Art des Extrempunktes. - Ein Punkt mit waagerechter Tangente, an dem kein Vorzeichenwechsel der Ableitung stattfindet, hat einen speziellen Namen.

1. Nullstelle bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies (x + 3)^5 = 0 \implies x = -3\). 2. Vorzeichenuntersuchung: Da der Exponent \(5\) ungerade ist, wechselt \((x+3)^5\) an der Stelle \(x = -3\) das Vorzeichen. Für \(x < -3\) ist \(f'(x) < 0\), für \(x > -3\) ist \(f'(x) > 0\). 3. Klassifizierung: Ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus bedeutet einen Übergang von fallender zu steigender Monotonie. Somit liegt bei \(x = -3\) ein lokales Minimum vor. 4. Abhängigkeit von \(k\): Ist \(k\) ungerade, wechselt \(g'(x)=(x+3)^k\) von Minus nach Plus; \(g\) besitzt bei \(x=-3\) ein lokales Minimum. Ist \(k\) gerade, gilt \(g'(x) \ge 0\) auf beiden Seiten, sodass kein Extremum vorliegt. Zusätzlich ist \(g''(x)=k(x+3)^{k-1}\). Für gerades \(k\) ist \(k-1\) ungerade, daher wechselt \(g''\) bei \(x=-3\) von Minus nach Plus. Somit liegt ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt, vor.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = -3\). Für \(x < -3\) ist \(f'(x) < 0\), für \(x > -3\) ist \(f'(x) > 0\). b) Es liegt ein lokales Minimum vor. c) Für ungerades \(k\) liegt ein lokales Minimum vor. Für gerades \(k\) liegt kein Extremum, sondern wegen des Vorzeichenwechsels von \(g''\) ein Terrassenpunkt vor.

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung \(f'\) an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du diese Bedingung im Graphen von \(f'\) erkennen? - Welches Kriterium mit der zweiten Ableitung \(f''\) hilft dir zu entscheiden, ob eine Hochstelle oder eine Tiefstelle vorliegt? - Wie liest du den Wert der zweiten Ableitung an den potenziellen Extremstellen aus dem Graphen von \(f''\) ab?

1. Notwendige Bedingung für Extremstellen: Eine lokale Extremstelle kann nur dort vorliegen, wo die erste Ableitung gleich null ist, also \(f'(x) = 0\). Aus dem orangefarbenen Graphen von \(f'\) lassen sich die Nullstellen an den Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse ablesen: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 2. Hinreichende Bedingung für Extremstellen: Wir überprüfen das Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''\) an diesen Stellen mithilfe des blauen Graphen. Für \(x_1 = -1\) liest man \(f''(-1) = -4\) ab. Da \(f''(-1) < 0\) ist, liegt bei \(x = -1\) eine lokale Maximalstelle (Hochstelle) vor. Für \(x_2 = 3\) liest man \(f''(3) = 4\) ab. Da \(f''(3) > 0\) ist, liegt bei \(x = 3\) eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor.

Bei \(x = -1\) liegt eine lokale Maximalstelle (Hochstelle) und bei \(x = 3\) eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor.

- Welche besondere Eigenschaft hat die Steigung einer Kurve und damit die erste Ableitung an einer Extremstelle? - Wie kannst du die Nullstellen der ersten Ableitung im Graphen erkennen? - Welche Information liefert das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extremums? - Schau dir die Werte der zweiten Ableitung an den zuvor gefundenen Stellen an. Sind sie positiv oder negativ?

1. Notwendige Bedingung für Extremstellen: Eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum ist, dass die erste Ableitungsfunktion gleich null ist, also \(f'(x) = 0\). Die Nullstellen von \(f'\) lassen sich aus dem orangefarbenen Graphen an den Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse ablesen: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). Diese drei Stellen sind die Kandidaten für lokale Extremstellen. 2. Hinreichende Bedingung für Extremstellen: Wir prüfen das Vorzeichen der zweiten Ableitung \(f''\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\). Für \(x_1 = -3\) gilt \(f''(-3) = 6 > 0\), also liegt dort ein lokales Minimum vor. Für \(x_2 = 1\) gilt \(f''(1) = -2 < 0\), also liegt dort ein lokales Maximum vor. Für \(x_3 = 3\) gilt \(f''(3) = 3 > 0\), also liegt dort ein lokales Minimum vor.

a) Die potenziellen Extremstellen von \(f\) liegen bei \(x = -3\), \(x = 1\) und \(x = 3\). b) Bei \(x = -3\) liegt ein lokales Minimum, bei \(x = 1\) ein lokales Maximum und bei \(x = 3\) ein lokales Minimum vor.

- Wie lautet die Definition für ein lokales Minimum und ein lokales Maximum? - Muss eine Funktion an einer Stelle differenzierbar sein, damit dort ein lokales Extremum vorliegt? - Betrachte die Funktionswerte direkt links und rechts der drei Punkte. - Reicht \(f'(x_0)=0\) allein aus, um ein lokales Extremum zu sichern?

1. Bei \(x_1=-2\) besitzt der Graph einen Knick; \(f\) ist dort nicht differenzierbar. Trotzdem gilt in einer kleinen Umgebung \(f(x)\ge f(-2)=0{,}1\). Daher liegt ein lokales Minimum vor. Differenzierbarkeit ist also keine notwendige Voraussetzung für ein lokales Extremum. 2. Bei \(x_2=0\) verläuft der Graph glatt und hat einen Hochpunkt. Es gilt \(f'(0)=0\), und die Steigung wechselt von positiv zu negativ. Daher liegt ein lokales Maximum vor. 3. Bei \(x_3=2\) ist die Tangente waagerecht, also \(f'(2)=0\). Der Graph fällt aber links und rechts der Stelle weiter. Daher liegt dort kein lokales Extremum vor, sondern ein Terrassenpunkt. Das zeigt: \(f'(x_0)=0\) ist notwendig, aber allein nicht hinreichend für ein lokales Extremum an einer inneren differenzierbaren Stelle.

Bei \(x_1=-2\) liegt trotz der Nichtdifferenzierbarkeit ein lokales Minimum vor. Bei \(x_2=0\) liegt ein lokales Maximum vor. Bei \(x_3=2\) liegt keine Extremstelle, sondern ein Terrassenpunkt vor.

- Überlege, wie Nullstellen von \(f''\) mit Extremstellen von \(f'\) zusammenhängen. - Für Extremstellen von \(f\) suchst du zuerst Nullstellen von \(f'\). - Das Vorzeichen von \(f''\) an einer solchen Stelle hilft dir bei der Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkt.

1. Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, muss der Graph von \(f''\) an den Extremstellen des Graphen von \(f'\) eine Nullstelle haben. Der Graph \(g\) hat bei \(x=1\) einen Tiefpunkt, und der Graph \(h\) hat dort eine Nullstelle. Zudem passen die Vorzeichen von \(h\) dazu, ob \(g\) fällt oder steigt. Daher gehört \(g\) zu \(f'\) und \(h\) zu \(f''\). 2. Die Nullstellen von \(g\) liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Bei \(x=-1\) gilt \(h(-1)<0\), daher hat \(f\) dort einen Hochpunkt. Bei \(x=3\) gilt \(h(3)>0\), daher hat \(f\) dort einen Tiefpunkt.

a) \(g\) gehört zu \(f'\), und \(h\) gehört zu \(f''\). b) Bei \(x=-1\) hat \(f\) einen Hochpunkt und bei \(x=3\) einen Tiefpunkt.

- Wo hat \(f'\) den Wert null? - Die zweite Ableitung entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\). - Prüfe an jeder Nullstelle von \(f'\), ob das Vorzeichen wechselt. - Für einen Terrassenpunkt reicht „kein Vorzeichenwechsel“ nicht aus; prüfe zusätzlich, ob \(f'\) dort seine Monotonierichtung wechselt.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Dort besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. 2. Bei \(x=2\) besitzt \(f'\) ein lokales Maximum mit waagerechter Tangente. Daher ist die Steigung von \(f'\) dort null, also \(f''(2)=0\). Das genannte Kriterium ist dort nicht anwendbar. 3. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 4. Bei \(x=2\) bleibt \(f'\) auf beiden Seiten negativ, also liegt kein Extremum vor. Gleichzeitig nimmt \(f'\) links von \(2\) zu und rechts davon ab; damit wechselt \(f\) seine Krümmungsrichtung. Wegen \(f'(2)=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.

a) \(x=-2\) und \(x=2\). b) Bei \(x=2\) gilt \(f''(2)=0\); das Kriterium ist dort nicht anwendbar. c) Lokale Maximalstelle bei \(x=-2\); Terrassenpunkt bei \(x=2\).

- Muss eine Funktion an einer lokalen Extremstelle zwingend differenzierbar sein? - Wie verhalten sich die Funktionswerte direkt neben der Spitze bei \(x_1\)? - Betrachte die Öffnungsrichtung und den Scheitelpunkt des Parabelstücks bei \(x_2\).

1. Untersuchung bei \(x_1 = -1\): Der Graph zeigt an dieser Stelle eine Spitze in V-Form. Für alle \(x\) in einer Umgebung von \(-1\) gilt \(f(x) \ge f(-1) = 0\). Da der Funktionswert dort der kleinste in der Umgebung ist, liegt eine lokale Minimalstelle vor. Die Funktion ist dort zwar nicht differenzierbar, ein Extremum ist jedoch über die Funktionswerte definiert. 2. Untersuchung bei \(x_2 = 3\): Der Graph verläuft hier glatt. Da es sich um den Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel handelt, ist die Steigung \(f'(3) = 0\), und die Funktion wechselt von steigend zu fallend. Somit liegt bei \(x_2 = 3\) ein lokales Maximum vor.

a) Bei \(x_1 = -1\) liegt trotz fehlender Differenzierbarkeit eine lokale Minimalstelle vor, weil \(f(-1)\) in einer Umgebung der kleinste Funktionswert ist. b) Bei \(x_2 = 3\) liegt ein lokales Maximum vor.

- Welcher der beiden Graphen kann die Ableitung des anderen sein? - Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\). - Das Vorzeichen von \(f''\) an einer stationären Stelle klassifiziert sie als lokale Maximal- oder Minimalstelle.

1. Der Graph \(g_1\) ist kubisch und \(g_2\) quadratisch. Zudem liegen die Nullstellen von \(g_2\) an den lokalen Extremstellen von \(g_1\). Daher gilt \(g_1=f'\) und \(g_2=f''\). 2. Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\), also bei \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). 3. Bei \(x=-3\) und \(x=3\) gilt \(f''>0\), also liegen dort lokale Minimalstellen vor. Bei \(x=0\) gilt \(f''<0\), also liegt dort eine lokale Maximalstelle vor.

a) \(g_1=f'\), \(g_2=f''\). b) Waagerechte Tangenten bei \(x=-3\), \(x=0\), \(x=3\); lokale Minimalstellen bei \(x=-3\) und \(x=3\), lokale Maximalstelle bei \(x=0\).

- Überlege dir, was es grafisch bedeutet, wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist. Wie müsste der Übergang dort aussehen? - Vergleiche die Steigung kurz vor der Stelle \(x_e\) mit der Steigung kurz nach \(x_e\). - Erinnere dich an die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. - Gilt das Kriterium \(f'(x) = 0\) für jede Art von Extrempunkt oder gibt es Voraussetzungen an die Funktion selbst?

1. Der Graph der Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x_e = 2\) eine sogenannte „Knickstelle“. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion links von dieser Stelle (hier \(+1\)) einen anderen Wert hat als unmittelbar rechts davon (hier \(-1\)). Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar; die Ableitung \(f'(2)\) existiert somit nicht. 2. Das notwendige Kriterium \(f'(x) = 0\) setzt voraus, dass die Funktion an der betrachteten Stelle differenzierbar ist. Da dies bei \(x_e = 2\) nicht der Fall ist, kann die Gleichung \(f'(x) = 0\) für diese Stelle gar nicht erst aufgestellt werden. Das Maximum lässt sich also nicht über die Nullstelle der Ableitung finden.

Die Funktion ist bei \(x_e = 2\) nicht differenzierbar, da der Graph dort einen Knick hat (die linksseitige Steigung unterscheidet sich von der rechtsseitigen). Da die Ableitung \(f'(2)\) nicht existiert, kann das notwendige Kriterium \(f'(x) = 0\), welches Differenzierbarkeit voraussetzt, nicht angewendet werden.

- Unterscheide zwischen lokalen Extremstellen im Inneren eines Bereichs und Extremstellen, die an den Grenzen des Definitionsbereichs liegen. - Schau dir den Verlauf des Graphen direkt an der Stelle \(x_e\) an. Würde die Funktion dort waagerecht verlaufen, wenn man den Definitionsbereich erweitern würde? - Überlege dir, welche Punkte ein Intervall wie \([0; 5]\) hat, die keine „inneren“ Punkte sind.

1. Aus dem Graphen liest man ab, dass das globale Maximum am rechten Rand des Definitionsbereichs bei \(x_e=5\) liegt. Der zugehörige Funktionswert ist \(g(5)=4\). 2. Der Graph steigt bis zum rechten Rand weiter an; seine Tangente ist dort nicht waagerecht. Daher ist \(g'(5)>0\) und insbesondere \(g'(5)\ne 0\). Das Maximum entsteht hier, weil der Definitionsbereich bei \(x=5\) endet. 3. Für eine differenzierbare Funktion ist \(g'(x_0)=0\) eine notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle, wenn \(x_0\) ein innerer Punkt des Definitionsbereichs ist.

1. Das globale Maximum liegt bei \(x_e=5\) mit \(g(5)=4\). 2. \(x_e=5\) ist ein Randpunkt. Der Graph steigt dort noch, also ist die Tangente nicht waagerecht und \(g'(5)\ne 0\). 3. Die Bedingung \(g'(x_0)=0\) ist für eine lokale Extremstelle notwendig, wenn \(x_0\) im Inneren des Definitionsbereichs liegt und \(g\) dort differenzierbar ist.

- Überlege dir, was ein Tiefpunkt im Graphen der Ableitungsfunktion für den Wert der zweiten Ableitung an dieser Stelle bedeutet. - Erinnere dich an die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung als Steigung der ersten Ableitung. - Schau dir den Verlauf des Graphen von \(f'\) genau an: Ändern sich die Werte von positiv nach negativ oder umgekehrt, wenn man über die Nullstelle geht? - Was passiert mit der Steigung der ursprünglichen Funktion \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) zwar null wird, aber ihr Vorzeichen nicht ändert?

1. Da der Graph von \(f'\) bei \(x_e=2\) einen Tiefpunkt besitzt, hat er dort eine waagerechte Tangente. Somit gilt \(f''(2)=0\). Das Kriterium \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)\ne 0\) ist daher nicht anwendbar. 2. Der Graph von \(f'\) berührt bei \(x=2\) die \(x\)-Achse und bleibt auf beiden Seiten positiv. Deshalb besitzt \(f\) dort kein lokales Extremum. 3. Zusätzlich fällt \(f'\) links von \(x=2\) und steigt rechts davon. Damit wechselt \(f''\) von negativ zu positiv, also ändert \(f\) bei \(x=2\) ihre Krümmung. Zusammen mit \(f'(2)=0\) folgt: \(f\) besitzt dort einen Terrassenpunkt.

a) Das Kriterium ist nicht anwendbar, weil \(f''(2)=0\) gilt. b) Bei \(x=2\) liegt kein Extremum vor, da \(f'\) keinen Vorzeichenwechsel besitzt. Da \(f'\) dort außerdem von fallend zu steigend wechselt, ändert \(f\) ihre Krümmung; somit liegt ein Terrassenpunkt vor.

- Was bedeutet ein Knick im Graphen von \(f'\) für die Ableitbarkeit von \(f'\)? - Vergleiche die Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der Nullstelle. - Welcher Wechsel der Monotonierichtung von \(f\) gehört zu einer lokalen Maximalstelle?

1. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x_e=2\) einen Knick. Daher ist \(f'\) dort nicht differenzierbar und \(f''(2)\) existiert nicht. Das Kriterium mit der zweiten Ableitung kann deshalb nicht verwendet werden. 2. Links von \(x=2\) gilt \(f'(x)>0\), rechts davon \(f'(x)<0\). Damit wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. 3. Folglich nimmt \(f\) zunächst zu und danach ab. Bei \(x_e=2\) besitzt \(f\) eine lokale Maximalstelle.

a) \(f''(2)\) existiert nicht, weil \(G_{f'}\) bei \(x=2\) einen Knick besitzt. b) Lokale Maximalstelle bei \(x=2\).

- Faktorisiere \(f'\), um die Stellen mit waagerechter Tangente zu finden. - Wenn \(f''\) an einer solchen Stelle gleich \(0\) ist, reicht der zweite-Ableitungs-Test nicht aus. - Prüfe dann sowohl das Vorzeichen von \(f'\) als auch, ob tatsächlich ein Krümmungswechsel vorliegt.

1. Faktorisieren liefert \(f'(x)=x(x-3)^2\). Daher liegen waagerechte Tangenten bei \(x=0\) und \(x=3\). 2. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x)=3x^2-12x+9\). Für \(x=0\) gilt \(f''(0)=9>0\), also liegt dort ein lokaler Tiefpunkt vor. 3. Für \(x=3\) gilt \(f''(3)=0\); der zweite-Ableitungs-Test ist dort nicht entscheidend. Außerdem ist \(f'(x)=x(x-3)^2\) in einer Umgebung von \(3\) auf beiden Seiten positiv, also liegt kein Extremum vor. 4. Die dritte Ableitung ist \(f'''(x)=6x-12\), damit gilt \(f'''(3)=6\neq0\). Also wechselt \(f''\) bei \(x=3\) das Vorzeichen. Zusammen mit \(f'(3)=0\) ist dies ein Terrassenpunkt.

Waagerechte Tangenten liegen bei \(x=0\) und \(x=3\). Bei \(x=0\) liegt ein Tiefpunkt vor. Bei \(x=3\) liegt ein Terrassenpunkt vor, weil \(f'(3)=0\), kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) vorliegt und \(f'''(3)=6\neq0\) den Krümmungswechsel sichert.

- Übersetze jede Aussage zuerst in eine Aussage über Monotonie oder Vorzeichen einer Ableitungsfunktion. - Welche beiden Eigenschaften charakterisieren einen Terrassenpunkt? - Prüfe bei c), ob die genannte Bedingung allein überhaupt sicherstellt, dass \(f''\) null ist. - Welche lokale Änderung von \(f''\) folgt aus einer negativen Steigung von \(f''\) an einer Nullstelle?

1. Aussage a) ist wahr. Der angegebene Vorzeichenwechsel von \(f''\) bedeutet einen Krümmungswechsel von \(f\), also liegt eine Wendestelle vor. 2. Aussage b) ist wahr. Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also gilt \(f'(x_0)=0\). Weil die Krümmung wechselt, ändert \(f'\) dort seine Monotonierichtung und besitzt eine lokale Extremstelle. 3. Aussage c) ist falsch. Allein \(f'''(x_0)\neq0\) reicht nicht; zusätzlich muss \(f''(x_0)=0\) gelten. Zum Beispiel ist bei \(f(x)=x^3+x^2\) zwar \(f'''(0)=6\neq0\), aber \(f''(0)=2\), also liegt bei \(x=0\) keine Wendestelle vor. 4. Aussage d) ist wahr. Aus \(f''(x_0)=0\) und \(f'''(x_0)<0\) folgt lokal ein Vorzeichenwechsel von \(f''\) von positiv zu negativ, also von Links- zu Rechtskrümmung. Zusammen mit \(f'(x_0)=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Nutze die faktorisierte erste Ableitung, um alle stationären Stellen vollständig zu erfassen. - Klassifiziere jede stationäre Stelle mit einem geeigneten Kriterium. - Vergleiche anschließend Lage und Funktionswerte der beiden sehr nahen stationären Stellen mit dem Maßstab der Abbildung.

1. Aus \(f'(x)=2(x^2-4)(10x-21)=0\) folgen die stationären Stellen \(x=-2\), \(x=2\) und \(x=2{,}1\). 2. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x)=60x^2-84x-80\). 3. Es gilt \(f''(-2)=328>0\), also liegt \(T_1(-2|-304)\) vor. 4. Es gilt \(f''(2)=-8<0\), also liegt \(H(2|144)\) vor. 5. Es gilt \(f''(2{,}1)=8{,}2>0\), also liegt \(T_2(2{,}1|143{,}9865)\) vor. 6. Da dies alle Nullstellen von \(f'\) sind und an keiner davon \(f''=0\) gilt, besitzt die Funktion keinen Terrassenpunkt. 7. Die beiden Extremstellen \(x=2\) und \(x=2{,}1\) liegen nur \(0{,}1\) auseinander; ihre Funktionswerte unterscheiden sich nur um \(0{,}0135\). Im dargestellten Maßstab erscheint dieser kleine Ausschlag nahezu waagerecht.

a) \(T_1(-2|-304)\), \(H(2|144)\), \(T_2(2{,}1|143{,}9865)\); kein Terrassenpunkt. b) Die beiden nahe beieinanderliegenden Extremstellen bei \(x=2\) und \(x=2{,}1\) unterscheiden sich in der Höhe nur um \(0{,}0135\), was im Maßstab kaum sichtbar ist.

- Prüfe zuerst die beiden in a) genannten Bedingungen direkt. - Diese Bedingungen allein entscheiden die Punktart noch nicht. - Untersuche in b) konsequent entweder das Vorzeichen von \(g'\) links und rechts von \(2\) oder die höheren Ableitungen.

1. Es gilt \(g'(x)=0{,}4x^3-2{,}4x^2+4{,}8x-3{,}2\), \(g''(x)=1{,}2x^2-4{,}8x+4{,}8\), \(g^{(3)}(x)=2{,}4x-4{,}8\) und \(g^{(4)}(x)=2{,}4\). 2. Bei \(x=2\) gilt \(g'(2)=0\) und \(g''(2)=0\). 3. Es ist \(g'(x)=0{,}4(x-2)^3\). Daher gilt für \(x<2\) die Ungleichung \(g'(x)<0\) und für \(x>2\) gilt \(g'(x)>0\). Die erste Ableitung wechselt von negativ zu positiv; somit liegt eine lokale Minimalstelle vor. 4. Alternativ gilt \(g^{(3)}(2)=0\) und \(g^{(4)}(2)=2{,}4>0\), was ebenfalls eine lokale Minimalstelle bestätigt. 5. Miras Vermutung ist falsch: Bei \(x=2\) liegt kein Terrassenpunkt vor.

a) \(g'(2)=0\) und \(g''(2)=0\). b) Kein Terrassenpunkt; bei \(x=2\) liegt eine lokale Minimalstelle vor.