- Vergleiche den Funktionswert in \(P\) mit nahe gelegenen Funktionswerten links und rechts davon. - Beobachte, ob der Graph vor und nach \(P\) zu- oder abnimmt. - Ein lokales Minimum liegt vor, wenn der markierte Funktionswert in seiner Umgebung der kleinste ist.

1. Unmittelbar links von \(P\) nimmt der Graph bis zum markierten Punkt ab. 2. Unmittelbar rechts von \(P\) nimmt der Graph wieder zu. 3. Der Funktionswert in \(P\) ist damit kleiner als die Funktionswerte in der näheren Umgebung. In \(P\) liegt ein lokales Minimum vor.

In \(P\) liegt ein lokales Minimum vor.

- Übersetze zuerst das Vorzeichen von \(f'\) in das Verhalten von \(f\). - Vergleiche das Verhalten links und rechts von \(x=2\). - Entscheidend ist die Richtung des Vorzeichenwechsels von \(f'\).

1. Links von \(x=2\) ist \(f'(x)<0\), also nimmt \(f\) dort ab. 2. Rechts von \(x=2\) ist \(f'(x)>0\), also nimmt \(f\) dort zu. 3. Der Wechsel von abnehmend zu zunehmend bedeutet, dass bei \(x=2\) eine lokale Minimalstelle liegt.

Bei \(x=2\) liegt eine lokale Minimalstelle vor.

- Welche Tangentensteigung hat ein innerer differenzierbarer Extrempunkt? - Welcher \(x\)-Wert erfüllt diese Bedingung für den gegebenen Ableitungsterm?

1. Eine innere Extremstelle kann nur dort liegen, wo \(f'(x)=0\) gilt. 2. Aus \(2x-6=0\) folgt \(x=3\).

Kandidat: \(x=3\)

- Welche der gegebenen Informationen beschreibt den Verlauf links und rechts von \(x=1\)? - Was bedeutet das Vorzeichen von \(h'\) für Steigen oder Fallen?

1. Mit \(h''(1)=0\) lässt sich die Extremstelle nicht mit dem Kriterium der zweiten Ableitung einordnen. 2. Links von \(x=1\) ist \(h'(x)<0\), also fällt \(h\). Rechts davon ist \(h'(x)>0\), also steigt \(h\). 3. Damit wechselt \(h\) von fallend zu steigend. Bei \(x=1\) liegt eine lokale Minimalstelle vor.

Bei \(x=1\) liegt eine lokale Minimalstelle vor. Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel von \(h'\) von negativ zu positiv.

- Was bedeutet \(p'(x)>0\) beziehungsweise \(p'(x)<0\) für den Verlauf von \(p\)? - Vergleiche die Bewegungsrichtung des Graphen vor und nach \(x=-1\).

1. Links von \(-1\) steigt \(p\), rechts davon fällt \(p\). 2. Der Wechsel von steigend zu fallend bedeutet eine lokale Maximalstelle.

Bei \(x=-1\) liegt eine lokale Maximalstelle vor.

- Welche Werte musst du vergleichen, wenn die einzigen inneren lokalen Extremstellen bereits bekannt sind? - Achte auch auf die beiden Randwerte.

1. Für globale Extrema kommen hier die beiden Randwerte und die beiden inneren lokalen Extremwerte infrage. 2. Der kleinste der vier Werte ist \(g(3)=1\). Daher ist das lokale Minimum bei \(x=3\) zugleich das globale Minimum. 3. Der größte Wert ist \(g(5)=6\). Daher liegt das globale Maximum am rechten Rand bei \(x=5\); das lokale Maximum bei \(x=1\) ist nicht global.

a) Das lokale Minimum bei \(x=3\) ist zugleich das globale Minimum. b) Das globale Maximum liegt bei \(x=5\) mit \(g(5)=6\).

- Welches Werkzeug der Differentialrechnung hilft dir, Stellen mit waagerechter Tangente zu finden? - Hast du überprüft, ob alle gefundenen Lösungen innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegen? - Wie stellst du sicher, dass es sich wirklich um Extremstellen und nicht um Terrassenstellen handelt?

1. Ableitung bilden: \(f'(x)=3x^2-3\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x)=0\) lösen: \(3x^2=3\implies x^2=1\implies x_1=-1\), \(x_2=1\). 3. Beide Stellen liegen im Intervall \((-1{,}8;1{,}8)\). 4. Mit \(f''(x)=6x\) gilt \(f''(1)=6>0\) und \(f''(-1)=-6<0\). Damit sind beide stationären Stellen lokale Extremstellen. 5. Es gibt also genau 2 lokale Extremstellen.

2

- Beginne damit, die ersten beiden Ableitungen der Funktion zu bilden. - Suche zuerst nach den Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist. - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung unterscheiden, ob an einer Stelle ein „Berg“ oder ein „Tal“ vorliegt? - Achte beim Lösen der quadratischen Gleichung auf die Vorzeichen.

1. Ableitungsfunktionen berechnen: \(g'(x) = -3x^2 + 9x - 6\) und \(g''(x) = -6x + 9\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen (\(g'(x) = 0\)): \(-3x^2 + 9x - 6 = 0 \iff x^2 - 3x + 2 = 0\). Mithilfe der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-2) = 0\) ergeben sich \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Art der Extrema durch Einsetzen in \(g''(x)\) bestimmen: \(g''(1) = -6 \cdot 1 + 9 = 3 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 1\). \(g''(2) = -6 \cdot 2 + 9 = -3 < 0 \implies\) Lokales Maximum an der Stelle \(x = 2\).

Lokales Minimum bei \(x = 1\); lokales Maximum bei \(x = 2\).

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der Krümmung entscheiden, ob ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorliegt? - Was musst du tun, um die vollständigen Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen zu erhalten? - Achte darauf, alle notwendigen Ableitungen sauber nacheinander zu bilden.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 4x + 3\) und \(f''(x) = 2x - 4\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liefert die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: \(f''(1) = -2 < 0\), daraus folgt ein lokales Maximum bei \(x_1 = 1\); \(f''(3) = 2 > 0\), daraus folgt ein lokales Minimum bei \(x_2 = 3\). 4. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = \frac{16}{3}\) und \(f(3) = 4\). 5. Ergebnisse zusammenfassen: Hochpunkt \(H(1 \mid \frac{16}{3})\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid 4)\).

Extremstellen: \(x_1 = 1\) (Maximum) und \(x_2 = 3\) (Minimum). Lage und Art der Extrempunkte: Hochpunkt \(H(1 \mid \frac{16}{3})\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid 4)\).

- Suche zuerst die Stellen, an denen die Tangente waagerecht verläuft. - Überlege, wie du die zweite Ableitung nutzen kannst, um das Vorliegen eines Hoch- oder Tiefpunkts nachzuweisen. - Wie erhältst du die \(y\)-Werte der gesuchten Punkte? - Überprüfe deine Rechenschritte beim Lösen der quadratischen Gleichung sorgfältig.

1. Ableitungsfunktionen bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 3x - 6\) und \(f''(x) = 6x - 3\). 2. Mögliche Extremstellen durch \(f'(x) = 0\) finden: \(3(x^2 - x - 2) = 0 \implies x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 3. Art der Extremstellen mit \(f''\) bestimmen: \(f''(-1) = -9 < 0 \implies\) Hochpunkt; \(f''(2) = 9 > 0 \implies\) Tiefpunkt. 4. \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) ermitteln: \(f(-1) = 5{,}5\) und \(f(2) = -8\). 5. Koordinaten der Punkte: \(H(-1 \mid 5{,}5)\) und \(T(2 \mid -8)\).

Extremstellen: \(x_1 = -1\) (Maximum) und \(x_2 = 2\) (Minimum). Extrempunkte: Hochpunkt \(H(-1 \mid 5{,}5)\) und Tiefpunkt \(T(2 \mid -8)\).

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Hast du daran gedacht, die y-Koordinaten der Punkte zu berechnen? - Überprüfe deine Vorzeichen beim Einsetzen negativer Werte in die Funktionsgleichung.

1. Erste und zweite Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\) und \(f''(x) = 6x - 6\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(3(x^2 - 2x - 3) = 0\) liefert durch Faktorisierung oder Mitternachtsformel die kritischen Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(3) = 12 > 0\), daraus folgt ein lokales Minimum an der Stelle \(x = 3\). \(f''(-1) = -12 < 0\), daraus folgt ein lokales Maximum an der Stelle \(x = -1\). 4. Funktionswerte ermitteln: \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 10 = -17\) und \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 10 = 15\). 5. Ergebnisse zusammenführen: Hochpunkt \(H(-1 \mid 15)\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid -17)\).

Die Funktion hat einen lokalen Hochpunkt bei \(H(-1 \mid 15)\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(T(3 \mid -17)\).

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einem Hochpunkt gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung überprüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Was gibt der Funktionswert \(h(t)\) an einer bestimmten Stelle \(t\) an?

1. Erste und zweite Ableitung bestimmen: \(h'(t) = -9{,}8t + 12\) und \(h''(t) = -9{,}8\). 2. Nullstelle der ersten Ableitung berechnen (notwendige Bedingung): \(h'(t) = 0 \Rightarrow -9{,}8t + 12 = 0 \Rightarrow t = \frac{12}{9{,}8} \approx 1{,}224\). 3. Art des Extrempunkts prüfen (hinreichende Bedingung): Da \(h''(1{,}224) = -9{,}8 < 0\), liegt an der Stelle \(t \approx 1{,}22\) ein lokales Maximum vor. 4. Funktionswert an der Stelle \(t \approx 1{,}224\) berechnen: \(h(1{,}224) = -4{,}9 \cdot (1{,}224)^2 + 12 \cdot 1{,}224 + 1{,}5 \approx 8{,}847\). Der Ball erreicht nach ca. \(1{,}22\,\text{s}\) seinen höchsten Punkt in einer Höhe von ca. \(8{,}85\,\text{m}\).

Der höchste Punkt wird nach etwa \(1{,}22\,\text{s}\) erreicht. Die maximale Höhe beträgt ca. \(8{,}85\,\text{m}\).

- Wie hängen die Position (Höhe) und die Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Was lässt sich über die Geschwindigkeit eines Objekts sagen, wenn es seinen höchsten Punkt erreicht hat? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Änderungsrate einer Funktion zu finden?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion durch Ableitung der Höhenfunktion: \(v(t) = h'(t) = -10t + 20\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit für \(t = 1\): \(v(1) = -10 \cdot 1 + 20 = 10\). Die Geschwindigkeit beträgt \(10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). 3. Der höchste Punkt wird erreicht, wenn die Momentangeschwindigkeit null ist: \(-10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2\). Der Ball erreicht nach \(2\,\text{s}\) den höchsten Punkt. 4. Berechnung der maximalen Höhe durch Einsetzen von \(t = 2\) in \(h(t)\): \(h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 1{,}2 = -20 + 40 + 1{,}2 = 21{,}2\). Die maximale Höhe beträgt \(21{,}2\,\text{m}\).

a) Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\) beträgt \(10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). b) Der Ball erreicht nach \(2\,\text{s}\) seinen höchsten Punkt in einer Höhe von \(21{,}2\,\text{m}\).

- Was ist die notwendige Bedingung für eine waagerechte Tangente? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung feststellen, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt? - Vergiss nicht, die \(y\)-Werte der Punkte zu berechnen, indem du die Stellen in die ursprüngliche Funktion einsetzt.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 9x + 6\) und \(f''(x) = 6x - 9\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\) lösen: \(3(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: - Für \(x_1 = 1\): \(f''(1) = 6 \cdot 1 - 9 = -3\). Da \(f''(1) < 0\), liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - Für \(x_2 = 2\): \(f''(2) = 6 \cdot 2 - 9 = 3\). Da \(f''(2) > 0\), liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 4. Funktionswerte berechnen: - \(f(1) = 1^3 - 4{,}5 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 2 = 4{,}5\). - \(f(2) = 2^3 - 4{,}5 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 + 2 = 8 - 18 + 12 + 2 = 4\). 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H(1 \mid 4{,}5)\) und Tiefpunkt \(T(2 \mid 4)\).

Die Funktion hat einen Hochpunkt bei \(H(1 \mid 4{,}5)\) und einen Tiefpunkt bei \(T(2 \mid 4)\).

- Was weißt du über die Steigung einer Geraden, die parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? - Welches Verfahren kennst du, um Nullstellen von Ausdrücken wie \(x^3 - 4x\) zu finden? - Wie kannst du sicherstellen, ob eine Stelle mit waagerechter Tangente wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt ist?

1. Da die Tangente an einem Extrempunkt waagerecht verläuft, muss ihre Steigung null sein. Da die erste Ableitung \(f'(x)\) die Tangentensteigung an der Stelle \(x\) angibt, folgt daraus die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\). 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 3. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: \(x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0\). Daraus ergeben sich die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = 3x^2 - 4\): - \(f''(0) = -4 < 0 \implies\) lokales Maximum bei \(x_1 = 0\). Funktionswert: \(f(0) = 3\). Hochpunkt \(H(0 \mid 3)\). - \(f''(2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(x_2 = 2\). Funktionswert: \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). Tiefpunkt \(T_1(2 \mid -1)\). - \(f''(-2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(x_3 = -2\). Funktionswert: \(f(-2) = -1\). Tiefpunkt \(T_2(-2 \mid -1)\).

a) Da die Tangente waagerecht ist, muss die Steigung \(0\) sein, also gilt \(f'(x) = 0\). b) Die Stellen mit waagerechter Tangente sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). c) Die Extrempunkte sind \(H(0 \mid 3)\), \(T_1(2 \mid -1)\) und \(T_2(-2 \mid -1)\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen von \(f'\); sie sind die Kandidaten für Extremstellen. - Untersuche danach das Vorzeichen von \(f'\) in den Intervallen links, zwischen und rechts von diesen Stellen. - Berechne die Funktionswerte erst nach der Klassifikation, um die vollständigen Punktkoordinaten zu erhalten.

1. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgen die stationären Stellen \(x_1=1\) und \(x_2=3\). 3. Für \(x<1\) ist \(f'(x)>0\), für \(1<x<3\) ist \(f'(x)<0\) und für \(x>3\) ist \(f'(x)>0\). 4. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle vor. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher liegt dort eine lokale Minimalstelle vor. 5. Es gilt \(f(1)=6\) und \(f(3)=2\). Somit sind die Extrempunkte \(H(1|6)\) und \(T(3|2)\).

\(H(1|6)\) und \(T(3|2)\)

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt zu unterscheiden? - Denk daran, am Ende die y-Koordinaten der Punkte mit der ursprünglichen Funktion zu bestimmen. - Welche Form des Ableitungsterms macht seine Nullstellen leichter erkennbar?

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x\) und \(f''(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: \(\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0\) liefert die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Hinreichendes Kriterium prüfen: - \(f''(0) = -2 < 0 \Rightarrow\) lokales Maximum (Hochpunkt). - \(f''(2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 2 = 4 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum (Tiefpunkt). - \(f''(-2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 2 = 4 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum (Tiefpunkt). 4. Funktionswerte berechnen: \(f(0) = 3\), \(f(2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 4 + 3 = 1\) und \(f(-2) = 1\). Die lokalen Extrempunkte sind \(H(0 \mid 3)\), \(T_1(2 \mid 1)\) und \(T_2(-2 \mid 1)\).

Die Funktion besitzt einen Hochpunkt bei \(H(0 \mid 3)\) sowie zwei Tiefpunkte bei \(T_1(2 \mid 1)\) und \(T_2(-2 \mid 1)\).

- Was sagt die Steigung an einem Gipfel oder in einem Tal über den Wert der ersten Ableitung aus? - Wenn die Kurve an einer Stelle nach unten geöffnet ist, welche Art von Extrempunkt liegt dann vor? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in die Funktionsgleichung besonders auf die Vorzeichenregeln bei Potenzen.

1. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = 6x^2 + 6x - 12\) und \(f''(x) = 12x + 6\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(6(x^2 + x - 2) = 0\) führt über die pq-Formel oder Faktorisierung \((x+2)(x-1) = 0\) zu \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). 3. Zweite Ableitung an den Stellen auswerten: - \(f''(-2) = 12 \cdot (-2) + 6 = -18 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt. - \(f''(1) = 12 \cdot 1 + 6 = 18 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt. 4. \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) ermitteln: - \(f(-2) = 2(-8) + 3(4) - 12(-2) + 4 = -16 + 12 + 24 + 4 = 24\). - \(f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 4 = 2 + 3 - 12 + 4 = -3\). Ergebnisse: \(H(-2 \mid 24)\) und \(T(1 \mid -3)\).

Die Funktion hat einen lokalen Hochpunkt bei \(H(-2 \mid 24)\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(T(1 \mid -3)\).

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung oder eines Vorzeichenwechselkriteriums entscheiden, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt? - Kannst du beim Lösen der Gleichung \(f'(x) = 0\) einen Faktor ausklammern?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 2\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(0) = 2 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 0\). - \(f''(1) = 3 - 6 + 2 = -1 < 0 \implies\) Lokales Maximum an der Stelle \(x = 1\). - \(f''(2) = 12 - 12 + 2 = 2 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 2\).

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei \(x = 0\), ein lokales Maximum bei \(x = 1\) und ein weiteres lokales Minimum bei \(x = 2\).

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Extremstellen zusammen? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, ob ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt? - Vergiss nicht, am Ende die \(y\)-Werte zu berechnen, um die vollständigen Punkte anzugeben.

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung: \(f'(x) = x^2 - x - 2\) und \(f''(x) = 2x - 1\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\)): Die Gleichung \(x^2 - x - 2 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel die Lösungen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 3. Klassifizierung mithilfe der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung): - Für \(x_1 = -1\): \(f''(-1) = 2 \cdot (-1) - 1 = -3 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. - Für \(x_2 = 2\): \(f''(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum vor. 4. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: - \(f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) + 4 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + 4 = \frac{31}{6} = 5\frac{1}{6}\). - \(f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) + 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 + 4 = \frac{2}{3}\). 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H\left(-1 \mid \frac{31}{6}\right)\) und Tiefpunkt \(T\left(2 \mid \frac{2}{3}\right)\).

Hochpunkt \(H\left(-1 \mid \frac{31}{6}\right)\) (oder ca. \(H(-1 \mid 5{,}17)\)), Tiefpunkt \(T\left(2 \mid \frac{2}{3}\right)\) (oder ca. \(T(2 \mid 0{,}67)\)).

- Welche Bedingung muss für die Ableitungsfunktion \(f'\) an einer Extremstelle der Funktion \(f\) erfüllt sein? - Schau dir die Punkte an, an denen der Graph der Ableitung die x-Achse schneidet. Was bedeuten diese Punkte für die Steigung der ursprünglichen Funktion? - Wie verhält sich die Steigung der Funktion \(f\) kurz vor und kurz nach einer potenziellen Extremstelle? Überlege, was ein Vorzeichenwechsel der Ableitung bedeutet. - Wenn eine Funktion erst fällt und dann steigt, welche Art von Extrempunkt liegt dann vor? Wie sieht das aus, wenn sie erst steigt und dann fällt?

1. Notwendige Bedingung: Lokale Extremstellen einer differenzierbaren Funktion \(f\) können nur an den Stellen vorliegen, an denen die Ableitung gleich null ist, also \(f'(x) = 0\). Aus dem Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) lassen sich die Nullstellen direkt ablesen: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 4\). 2. Hinreichende Bedingung (Vorzeichenwechselkriterium): Bei \(x_1 = -3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; somit hat \(f\) dort ein lokales Minimum. Bei \(x_2 = 1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; somit hat \(f\) dort ein lokales Maximum. Bei \(x_3 = 4\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; somit hat \(f\) dort ein lokales Minimum.

Die Funktion \(f\) besitzt bei \(x = -3\) ein lokales Minimum, bei \(x = 1\) ein lokales Maximum und bei \(x = 4\) ein lokales Minimum.

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? - Wie unterscheidest du mit der zweiten Ableitung Hoch- und Tiefpunkt? - Wie erhältst du nach den Extremstellen die zugehörigen Funktionswerte?

1. Es gilt \(f'(x)=-3x^2+3\) und \(f''(x)=-6x\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x^2=1\), also \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Wegen \(f''(1)=-6<0\) liegt bei \(x=1\) ein Hochpunkt vor; wegen \(f''(-1)=6>0\) liegt bei \(x=-1\) ein Tiefpunkt vor. 4. Es ist \(f(1)=3\) und \(f(-1)=-1\). Damit lauten die Extrempunkte \(H(1\mid3)\) und \(T(-1\mid-1)\).

Hochpunkt \(H(1 \mid 3)\) und Tiefpunkt \(T(-1 \mid -1)\).

- Faktorisiere \(f'\), um alle stationären Stellen zu finden. - Entscheide die Punktart jeweils mit \(f''\). - Setze die gefundenen x-Werte anschließend in \(f\) ein.

1. \(f'(x)=12x^3+12x^2-24x=12x(x+2)(x-1)\). Daher sind \(x=-2,0,1\) die stationären Stellen. 2. \(f''(x)=36x^2+24x-24\). Es gilt \(f''(-2)=72>0\), \(f''(0)=-24<0\) und \(f''(1)=36>0\). 3. Also liegen bei \(x=-2\) und \(x=1\) lokale Tiefpunkte und bei \(x=0\) ein lokaler Hochpunkt vor. 4. Die Funktionswerte sind \(f(-2)=-22\), \(f(0)=10\) und \(f(1)=5\).

Tiefpunkte \(T_1(-2|-22)\) und \(T_2(1|5)\); Hochpunkt \(H(0|10)\).

- Suche im Graphen von \(f'\) zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente an \(f\). - Prüfe anschließend im Graphen von \(f''\) das Vorzeichen an jeder gefundenen Stelle. - Welche Extremart entspricht einem positiven beziehungsweise negativen Wert von \(f''\) an einer stationären Stelle?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x_1=-2\), \(x_2=0\) und \(x_3=2\). 2. An diesen Stellen wird das Vorzeichen von \(f''\) abgelesen. 3. Bei \(x=-2\) gilt \(f''(-2)>0\). Daher liegt dort eine lokale Minimalstelle vor. 4. Bei \(x=0\) gilt \(f''(0)<0\). Daher liegt dort eine lokale Maximalstelle vor. 5. Bei \(x=2\) gilt \(f''(2)>0\). Daher liegt dort eine lokale Minimalstelle vor.

Lokale Minimalstellen: \(x=-2\) und \(x=2\) Lokale Maximalstelle: \(x=0\)

- Welche Gleichung liefert die stationären Stellen? - Wie entscheidet das Vorzeichen von \(f''\) über Hoch- oder Tiefpunkt? - Welche Symmetrie kannst du zur Kontrolle der beiden Hochpunkte nutzen?

1. Es gilt \(f'(x)=-4x^3+4x\) und \(f''(x)=-12x^2+4\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(-4x(x^2-1)=0\), also \(x=-1,0,1\). 3. Wegen \(f''(0)=4>0\) liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum vor. Wegen \(f''(\pm1)=-8<0\) liegen bei \(x=\pm1\) lokale Maxima vor. 4. Es ist \(f(0)=1\) und \(f(\pm1)=2\). Damit erhält man \(T(0\mid1)\), \(H_1(-1\mid2)\) und \(H_2(1\mid2)\).

Hochpunkte \(H_1(-1 \mid 2)\) und \(H_2(1 \mid 2)\); Tiefpunkt \(T(0 \mid 1)\).

- Welche Information liefern die Nullstellen des Graphen von \(f'\)? - Nutze den Graphen von \(f''\), um die Kandidaten anschließend zu klassifizieren. - Achte darauf, erste und zweite Ableitung in deiner Begründung nicht zu vertauschen.

1. Der Graph von \(f'\) hat Nullstellen bei \(x=1\) und \(x=3\). Dort liegen die Kandidaten für lokale Extremstellen von \(f\). 2. Bei \(x=1\) gilt laut Graph \(f''(1)<0\); daher liegt eine lokale Hochstelle vor. Bei \(x=3\) gilt \(f''(3)>0\); daher liegt eine lokale Tiefstelle vor.

Lokale Hochstelle bei \(x=1\), da \(f'(1)=0\) und \(f''(1)<0\). Lokale Tiefstelle bei \(x=3\), da \(f'(3)=0\) und \(f''(3)>0\).

- Suche zuerst nach dem größten und kleinsten Funktionswert im gesamten Intervall. - Untersuche anschließend die inneren Extremstellen jeweils nur in ihrer unmittelbaren Umgebung. - Ein innerer Extrempunkt kann gleichzeitig lokal und global sein.

1. An den Randstellen \(x=-3\) und \(x=3\) erreicht die Funktion den größten Funktionswert \(6{,}25\) im betrachteten Intervall. Dort liegen globale Maxima vor. 2. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) ist \(f(x)=0\), der kleinste Funktionswert im gesamten Intervall. Dort liegen globale Minima vor. 3. Die Stellen \(x=-2\) und \(x=2\) liegen im Inneren des Intervalls und sind zugleich lokale Minimalstellen. 4. Bei \(x=0\) liegt ein lokales Maximum vor, da \(f(0)=4\) größer als die Funktionswerte in der unmittelbaren Umgebung, aber kleiner als der globale Maximalwert \(6{,}25\) ist.

Globale Maxima: \(x=-3\) und \(x=3\) Globale und zugleich lokale Minima: \(x=-2\) und \(x=2\) Lokales Maximum: \(x=0\)

- Schau dir an, wo die Kurve nach rechts oben geht und wo sie nach rechts unten geht. - Die Hoch- und Tiefpunkte sind die Stellen, an denen die Kurve ihre Richtung ändert. - Lies die Werte für Zeit und Wasserstand am Gitter ab. - Für die niedrigste Stelle musst du auch die Randwerte berücksichtigen.

1. Der Wasserstand steigt in den Intervallen \([0;3]\), \([6;9]\) und \([12;13]\). Er fällt in den Intervallen \([3;6]\) und \([9;12]\). 2. Lokale Hochpunkte liegen bei \(t=3\,\text{h}\) mit \(h=5\,\text{m}\) und bei \(t=9\,\text{h}\) mit \(h=4\,\text{m}\). 3. Lokale Tiefpunkte liegen bei \(t=6\,\text{h}\) mit \(h=0{,}5\,\text{m}\) und bei \(t=12\,\text{h}\) mit \(h=1\,\text{m}\). 4. Vergleicht man diese Werte mit den Randwerten \(h(0)=2\,\text{m}\) und \(h(13)=1{,}5\,\text{m}\), ist der kleinste Wert \(0{,}5\,\text{m}\) bei \(t=6\,\text{h}\).

a) Der Wasserstand steigt in den Intervallen \([0;3]\), \([6;9]\) und \([12;13]\). Er fällt in den Intervallen \([3;6]\) und \([9;12]\). b) Hochpunkte: \(H_1(3\,\text{h}\mid5\,\text{m})\) und \(H_2(9\,\text{h}\mid4\,\text{m})\). Tiefpunkte: \(T_1(6\,\text{h}\mid0{,}5\,\text{m})\) und \(T_2(12\,\text{h}\mid1\,\text{m})\). c) Am niedrigsten ist der Wasserstand nach \(6\,\text{h}\). Er beträgt dann \(0{,}5\,\text{m}\).

- Erinnere dich an die Definition eines lokalen Maximums: Der Funktionswert an dieser Stelle muss größer oder gleich allen Werten in der direkten Nachbarschaft sein. - Schau dir an, ob der Graph in der Nähe von \(x_0\) steigt oder fällt. - Achte bei Unstetigkeitsstellen (Sprüngen oder Löchern) genau darauf, wo der Funktionswert \(f(x_0)\) im Vergleich zu den naheliegenden Werten liegt.

Eine Stelle \(x_0\) ist eine lokale Maximalstelle, wenn die Funktionswerte in einer kleinen Umgebung von \(x_0\) nicht größer als \(f(x_0)\) sind. 1. Graph a): Hier liegt ein lokales Minimum vor, da der Graph eine nach oben geöffnete Parabel mit dem tiefsten Punkt bei \(x_0\) zeigt. 2. Graph b): Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt liegt bei \(x_0\), also ist \(f(x_0)\) der größte Wert in der Umgebung. Dies ist eine lokale Maximalstelle. 3. Graph c): Die Funktion ist streng monoton zunehmend. Es gibt kein lokales Extremum bei \(x_0\). 4. Graph d): Es liegt eine Sprungstelle vor. Der isolierte Punkt bei \(x_0\) liegt tiefer als die Grenzwerte von links und rechts. Somit ist \(x_0\) eine lokale Minimalstelle, keine Maximalstelle. Ergebnis: Graph b).

Graph b)

- Vergleiche bei jedem Graphen den Funktionswert an \(x_0\) mit den Funktionswerten an nahe gelegenen Stellen. - Ein lokales Minimum muss in einer genügend kleinen Umgebung den kleinsten Funktionswert besitzen. - Beobachte jeweils das Verhalten des Graphen unmittelbar links und rechts von \(x_0\).

1. Graph a): Die Gerade nimmt streng monoton ab. Bei \(x_0\) liegt kein lokales Extremum vor. 2. Graph b): Die Parabel ist nach unten geöffnet; bei \(x_0\) liegt ein lokales Maximum vor. 3. Graph c): Bei \(x_0\) liegt der Punkt auf einem streng zunehmenden Ast der Parabel. Daher liegt dort kein lokales Extremum vor. 4. Graph d): Der Graph ist bei \(x_0\) V-förmig und besitzt dort den kleinsten Funktionswert in einer Umgebung. Daher ist \(x_0\) eine lokale Minimalstelle. 5. Somit ist Graph d) richtig.

Graph d)

- Welche Vorzeichenänderung der Ableitung kennzeichnet eine lokale Extremstelle? - Unterscheide zwischen einem Schneiden und einem bloßen Berühren der \(x\)-Achse. - Prüfe jeden der drei Ableitungsgraphen getrennt.

1. Eine lokale Extremstelle kann nur an einer Nullstelle der Ableitung liegen; für ein Extremum muss die Ableitung dort das Vorzeichen wechseln. 2. Der Graph von \(f'\) berührt bei \(x=1\) die \(x\)-Achse, bleibt aber nichtnegativ. Daher besitzt \(f\) dort keine lokale Extremstelle. 3. Der Graph von \(g'\) schneidet bei \(x=1\) die \(x\)-Achse von Minus nach Plus; \(g\) besitzt dort eine lokale Minimalstelle. 4. Der Graph von \(h'\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) und \(x=2\) jeweils mit Vorzeichenwechsel; \(h\) besitzt dort lokale Extremstellen. 5. Damit besitzt im dargestellten Bereich nur \(f\) keine lokalen Extremstellen.

Im dargestellten Bereich besitzt nur die Funktion \(f\) keine lokalen Extremstellen.

- Suche nach den „Gipfeln“ und „Tälern“ des Graphen. - Eine Extremstelle ist der \(x\)-Wert, an dem ein solcher Punkt erreicht wird. - Überlege, in welchen Bereichen der Graph steigt oder fällt. - Ein Maximum liegt vor, wenn der Graph vor dem Punkt steigt und danach fällt.

1. Lokale Maxima liegen an den Stellen vor, an denen der Graph von einem steigenden in einen fallenden Verlauf übergeht. Aus dem Graphen liest man die Stellen \(x = -4\) und \(x = 3\) ab. 2. Lokale Minima liegen an den Stellen vor, an denen der Graph von einem fallenden in einen steigenden Verlauf übergeht. Diese befinden sich bei \(x = -1\) und \(x = 5\). 3. Somit sind \(x = -4\) und \(x = 3\) Maximalstellen sowie \(x = -1\) und \(x = 5\) Minimalstellen.

Maximalstellen bei \(x = -4\) und \(x = 3\); Minimalstellen bei \(x = -1\) und \(x = 5\).

- Überlege dir, welche Bedingung für die Ableitung an einer Extremstelle der Originalfunktion gelten muss. - Reicht es aus, wenn die Ableitung nur Null ist, oder muss noch etwas anderes passieren? - Schau dir den Graphen genau an: Wo schneidet oder berührt er die \(x\)-Achse?

1. Lokale Extremstellen der Funktion \(f\) befinden sich an den Stellen, an denen die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. 2. Aus dem Graphen von \(f'\) lassen sich drei Nullstellen ablesen: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 4\). 3. An allen drei Stellen wechselt der Graph der Ableitung die Seite der \(x\)-Achse, es findet also jeweils ein Vorzeichenwechsel statt. 4. Somit hat die Funktion \(f\) im gezeigten Bereich insgesamt 3 lokale Extremstellen.

Die Funktion \(f\) hat im dargestellten Bereich 3 lokale Extremstellen, da die Ableitungsfunktion \(f'\) an den Stellen \(x = -3\), \(x = 1\) und \(x = 4\) jeweils eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.

- Ein lokales Minimum bedeutet, dass die Funktion erst fällt und dann steigt. Was sagt das über das Vorzeichen der Ableitung aus? - Unterscheide zwischen Stellen, an denen der Graph die Achse schneidet, und Stellen, an denen er sie nur berührt. - Achte auf die Richtung des Wechsels: von Minus nach Plus oder von Plus nach Minus?

1. Ein lokales Minimum von \(f\) liegt an einer Nullstelle von \(f'\) vor, wenn \(f'\) dort von negativ zu positiv wechselt. 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\), \(x = 1\) und \(x = 3\). 3. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Minimum. 4. Bei \(x = 1\) findet kein Vorzeichenwechsel statt; dort liegt deshalb kein lokales Minimum vor. 5. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; dort liegt ein lokales Maximum und kein Minimum vor. 6. Somit ist \(x = -2\) die einzige lokale Minimalstelle.

Die Funktion \(f\) besitzt bei \(x = -2\) ein lokales Minimum, weil \(f'\) dort von Minus nach Plus wechselt.

- Wo müsste der Graph der Ableitung liegen, damit eine Extremstelle möglich wäre? - Gibt es im Bild einen Punkt, an dem die Ableitung den Wert null hat?

1. Eine notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle an einer Stelle \(x_0\) ist \(f'(x_0) = 0\). 2. Der Graph von \(f'\) verläuft im gesamten dargestellten Bereich oberhalb der \(x\)-Achse. 3. Die Ableitung besitzt daher keine Nullstelle im dargestellten Bereich. 4. Somit kann die Funktion \(f\) dort keine lokale Extremstelle besitzen.

Nein. Da \(f'\) im dargestellten Bereich überall positiv ist und keine Nullstelle besitzt, hat \(f\) dort keine lokale Extremstelle.

- Welche Angaben brauchst du, um aus einer stationären Stelle einen vollständigen Extrempunkt zu machen? - Welche Rolle spielen erste und zweite Ableitung bei der Bestimmung der Stelle und ihrer Art? - Welche Koordinate fehlt noch, wenn die Extremstelle bereits feststeht?

1. \(f'(x)=2x-4\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x=2\). 2. Es gilt \(f''(x)=2>0\). Daher liegt bei \(x=2\) ein lokales Minimum. 3. \(f(2)=4-8+1=-3\).

Tiefpunkt \(T(2\mid-3)\)

- Prüfe genau, welche Randpunkte zum Intervall gehören. - Ein globaler Extremwert muss von der Funktion tatsächlich angenommen werden.

1. Für \(x>0\) ist \(h(x)>0\). Die Werte können für \(x\to0^+\) beliebig nahe an \(0\) kommen, aber \(x=0\) gehört nicht zum Intervall. Daher gibt es kein globales Minimum. 2. Der größte erlaubte Wert von \(x\) ist \(2\). Dort gilt \(h(2)=4\). Somit wird das globale Maximum \(4\) bei \(x=2\) angenommen.

Kein globales Minimum: Die Funktionswerte nähern sich für \(x\to0^+\) zwar \(0\), aber \(0\) wird auf \((0;2]\) nicht angenommen. Globales Maximum: \(4\) bei \(x=2\), denn für \(0<x\le2\) gilt \(x^2\le4\).

- Welchen Punkt auf einer Kurve suchen wir, wenn nach einem „Maximum“ gefragt ist? - Welche Bedingung muss für die Änderung der Höhe gelten, wenn der höchste Punkt erreicht ist? - Hast du nach dem Finden des optimalen Zeitpunkts auch die eigentliche Höhe ausgerechnet?

1. Ableitungsfunktion für die Steigung der Höhe bestimmen: \(h'(t) = -0{,}3t^2 + 0{,}4t + 1{,}5\). 2. Nullstellen der Ableitung berechnen (\(h'(t) = 0\)): Anwendung der Mitternachtsformel ergibt \(t_1 = 3\) und \(t_2 = -\frac{5}{3}\) (nicht relevant, da \(t \ge 0\)). 3. Überprüfung mit zweiter Ableitung (\(h''(t) = -0{,}6t + 0{,}4\)): \(h''(3) = -1{,}4 < 0\), also liegt ein Maximum bei \(t = 3\) vor. 4. Maximalen Höhenwert berechnen: \(h(3) = -0{,}1(3^3) + 0{,}2(3^2) + 1{,}5(3) = -2{,}7 + 1{,}8 + 4{,}5 = 3{,}6\,\text{km}\).

\(3{,}6\,\text{km}\)

- Bestimme zunächst alle inneren stationären Stellen aus \(f'(x)=0\). - Klassifiziere diese Stellen mit der zweiten Ableitung. - Für globale Extrema auf einem abgeschlossenen Intervall musst du zusätzlich beide Randwerte vergleichen.

1. \(f'(x)=x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1)\). Die inneren stationären Stellen sind \(x=-2,0,1\). 2. \(f''(x)=3x^2+2x-2\). Es gilt \(f''(-2)=6>0\), \(f''(0)=-2<0\) und \(f''(1)=3>0\). Daher liegen lokale Minimalstellen bei \(x=-2\) und \(x=1\) sowie eine lokale Maximalstelle bei \(x=0\) vor. 3. Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f(-2)=\frac13\), \(f(0)=3\) und \(f(1)=\frac{31}{12}\). 4. Für die globalen Extrema werden zusätzlich die Randwerte verglichen: \(f(-3)=\frac{21}{4}\) und \(f(2{,}5)=f(\frac52)=\frac{2251}{192}\). 5. Damit ist \(T(-2|\frac13)\) der globale Tiefpunkt auf \(I\); das globale Maximum liegt am rechten Rand bei \(P_{\max}(2{,}5|\frac{2251}{192})\).

Innere lokale Extrema: Tiefpunkte \(T_1(-2|\frac13)\) und \(T_2(1|\frac{31}{12})\); Hochpunkt \(H(0|3)\). Global auf \([-3;2{,}5]\): Minimum \(\frac13\) bei \(x=-2\); Maximum \(\frac{2251}{192}\) bei \(x=2{,}5\).

- Was ist der erste Schritt, um Stellen mit waagerechter Tangente zu finden? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Stelle ein lokales Maximum oder Minimum ist? - Warum ist es bei einem fest vorgegebenen Intervall wichtig, die Funktionswerte an den Intervallgrenzen zu berechnen? - Ein globales Extremum ist der absolut höchste oder niedrigste Wert im gesamten betrachteten Bereich.

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung: \(\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\). Dies ergibt \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). Beide Werte liegen im Intervall \([-2; 4]\). 3. Art der lokalen Extrema mit \(g''(x) = x - 1\) prüfen: - \(g''(-1) = -2 < 0 \Rightarrow\) lokales Maximum bei \(x = -1\). Funktionswert: \(g(-1) = \frac{17}{6} \approx 2{,}83\). - \(g''(3) = 2 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum bei \(x = 3\). Funktionswert: \(g(3) = -2{,}5\). 4. Randwerte berechnen: - Linker Rand: \(g(-2) = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\). - Rechter Rand: \(g(4) = -\frac{4}{3} \approx -1{,}33\). 5. Ergebnis: Lokales Maximum bei \(x = -1\), lokales Minimum bei \(x = 3\). Das globale Maximum liegt bei \(x = -1\) (\(y \approx 2{,}83\)), das globale Minimum bei \(x = 3\) (\(y = -2{,}5\)).

Im Intervall \([-2; 4]\) besitzt die Funktion \(g\) ein lokales (und globales) Maximum bei \(x = -1\) mit \(g(-1) = \frac{17}{6} \approx 2{,}83\) sowie ein lokales (und globales) Minimum bei \(x = 3\) mit \(g(3) = -2{,}5\). Die Randwerte sind \(g(-2) = \frac{5}{3}\) und \(g(4) = -\frac{4}{3}\).

- Welche Bedingung erfüllt \(f'\) an einer Stelle mit waagerechter Tangente? - Wie kann \(f''\) eine stationäre Stelle als lokale Maximal- oder Minimalstelle klassifizieren? - Da keine Funktionswerte von \(f\) gegeben sind, bestimmst du Stellen und Arten, nicht Punktkoordinaten.

1. Waagerechte Tangenten liegen bei den Nullstellen von \(f'\). Aus \(-x^2+4x-3=0\) folgen \(x=1\) und \(x=3\). 2. Die Ableitung von \(f'\) ist \(f''(x)=-2x+4\). 3. Es gilt \(f''(1)=2>0\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=1\) eine lokale Minimalstelle. 4. Es gilt \(f''(3)=-2<0\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=3\) eine lokale Maximalstelle. 5. Ein Terrassenpunkt liegt an keiner der beiden Stellen vor.

Waagerechte Tangenten bei \(x=1\) und \(x=3\). Lokale Minimalstelle bei \(x=1\); lokale Maximalstelle bei \(x=3\); kein Terrassenpunkt.

- Weil der Graph oberhalb der \(x\)-Achse liegt, kannst du den Abstand als Funktionswert auffassen. - Bestimme alle stationären Stellen über \(f'(x)=0\) und klassifiziere sie. - Vergleiche die Minimalwerte und nutze zusätzlich das Globalverhalten der quartischen Funktion.

1. Da \(f(x)>0\) gilt, entspricht der senkrechte Abstand zur \(x\)-Achse dem Funktionswert. Gesucht ist also das globale Minimum von \(f\). 2. \(f'(x)=12x^3-24x^2-12x+24=12(x+1)(x-1)(x-2)\). Stationäre Stellen: \(x=-1,1,2\). 3. \(f''(x)=36x^2-48x-12\). Damit gilt \(f''(-1)=72>0\), \(f''(1)=-24<0\), \(f''(2)=36>0\). Also sind \(x=-1\) und \(x=2\) lokale Minimalstellen. 4. Die Funktionswerte sind \(f(-1)=1\), \(f(1)=33\), \(f(2)=28\). Wegen \(f(x)\to\infty\) für \(|x|\to\infty\) ist der kleinere der beiden lokalen Minimalwerte zugleich global. 5. Der gesuchte Punkt ist \(P(-1\mid1)\).

\(P(-1\mid1)\)

- Bilde zuerst die Summenfunktion. - Für globale Extrema auf einem abgeschlossenen Intervall musst du innere stationäre Stellen und Randpunkte vergleichen. - Klassifiziere die inneren Stellen zunächst, bevor du die Funktionswerte vergleichst.

1. \(s(x)=2x^3-9x^2+12x+5\). 2. \(s'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)\). Die inneren stationären Stellen sind \(x=1\) und \(x=2\). 3. \(s''(x)=12x-18\). Daher ist \(x=1\) eine lokale Maximalstelle und \(x=2\) eine lokale Minimalstelle. 4. Wertevergleich auf dem abgeschlossenen Intervall: \(s(0)=5\), \(s(1)=10\), \(s(2)=9\), \(s(3)=14\). 5. Globales Minimum: \(s(0)=5\) am linken Rand. Globales Maximum: \(s(3)=14\) am rechten Rand. Die inneren Extremstellen sind nicht global.

Innere Extremstellen: lokale Maximalstelle bei \(x=1\) mit \(s(1)=10\), lokale Minimalstelle bei \(x=2\) mit \(s(2)=9\). Global auf \([0;3]\): Minimum \(5\) bei \(x=0\), Maximum \(14\) bei \(x=3\).

- Achte beim Bilden der Differenzfunktion besonders auf das Minuszeichen vor der gesamten Funktion \(g(x)\). - Welche Stellen musst du untersuchen, um die absolut größten und kleinsten Werte in einem abgeschlossenen Intervall zu finden? - Prüfe nach der Berechnung der Nullstellen der Ableitung, welche davon tatsächlich im vorgegebenen Bereich liegen. - Vergleiche am Ende alle gefundenen Funktionswerte (von den Rändern und aus dem Inneren), um das globale Maximum und Minimum zu bestimmen.

1. Aufstellen der Differenzfunktion: \(d(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4) - (-x^2 + x + 1) = \frac{1}{3}x^3 - x + 3\). 2. Ableitung bilden: \(d'(x) = x^2 - 1\). 3. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(x^2 - 1 = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = -1\). Da nur \(x = 1\) im Intervall \([0; 3]\) liegt, wird nur dieser Wert als inneres Extremum geprüft. 4. Funktionswert an der inneren Stelle: \(d(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - 1 + 3 = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2{,}33\). 5. Randwerte berechnen: \(d(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - 0 + 3 = 3\). \(d(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3 + 3 = 9\). 6. Vergleich der Werte: Der globale Minimalwert ist \(2\frac{1}{3}\) (bei \(x = 1\)), der globale Maximalwert ist \(9\) (bei \(x = 3\)). 7. Klassifizierung: \(x = 1\) ist eine innere Extremstelle (globales Minimum). \(x = 3\) ist eine Randextremstelle (globales Maximum). Der Randwert \(d(0)=3\) ist zwar ein lokales Maximum am Rand, aber nicht das globale Maximum des Intervalls.

Das globale Minimum der Differenzfunktion liegt bei \(x = 1\) mit dem Wert \(d(1) = 2\frac{1}{3}\). Es handelt sich um ein inneres Extremum. Das globale Maximum liegt bei \(x = 3\) mit dem Wert \(d(3) = 9\). Es handelt sich um ein Randextremum.

- Welche Bedeutung hat die erste Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion in der Physik? - Was passiert mit der Geschwindigkeit des Pfeils genau in dem Moment, in dem er umkehrt? - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Steigen oder Fallen des Graphen zusammen? - Überlege dir, ab welchem Startzeitpunkt die Bewegung beginnt.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(h'(t) = -9{,}81t + 45\). 2. Notwendige Bedingung für ein Extremum (\(h'(t) = 0\)) anwenden: \(-9{,}81t + 45 = 0 \Rightarrow t = \frac{45}{9{,}81} \approx 4{,}587\). Der Pfeil erreicht nach etwa \(4{,}59\,\text{s}\) seine maximale Höhe. 3. Maximale Höhe berechnen: \(h(4{,}587) = -4{,}905 \cdot (4{,}587)^2 + 45 \cdot 4{,}587 \approx 103{,}21\). Die maximale Höhe beträgt ca. \(103{,}21\,\text{m}\). 4. Monotonie untersuchen: Der Pfeil steigt, solange die Steigung der Höhenfunktion positiv ist (\(h'(t) > 0\)). Dies ist für \(0 \le t < 4{,}587\) der Fall. Da \(h''(t) = -9{,}81 < 0\) ist, handelt es sich beim berechneten Zeitpunkt tatsächlich um ein Maximum, nach dem die Höhe wieder abnimmt.

a) Der Pfeil erreicht nach ca. \(4{,}59\,\text{s}\) seine maximale Höhe. b) Die maximale Höhe beträgt ca. \(103{,}21\,\text{m}\). c) Der Pfeil steigt im Intervall \([0; 4{,}59)\) (in Sekunden), da dort \(h'(t) > 0\) gilt.

- Überlege dir zuerst, wie die Funktion für den Gewinn aus den gegebenen Funktionen für Erlös und Kosten gebildet wird. - Was bedeutet ein negativer Wert für die Gewinnfunktion im Sachzusammenhang? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, indem du ein geeignetes Kriterium (z. B. die zweite Ableitung) nutzt. - Achte darauf, ob das berechnete Ergebnis innerhalb des vorgegebenen Definitionsbereichs liegt.

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = 25x - (x^3 - 6x^2 + 10x + 50) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\). 2. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 2\): \(G(2) = -(2)^3 + 6 \cdot (2)^2 + 15 \cdot 2 - 50 = -8 + 24 + 30 - 50 = -4\). Da \(G(2) = -4 < 0\), entsteht ein Verlust von \(4000\,\text{€}\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung der Gewinnfunktion: \(G'(x) = -3x^2 + 12x + 15\). 4. Nullstellen der ersten Ableitung finden: \(-3x^2 + 12x + 15 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 5 = 0\). Mithilfe der p-q-Formel ergeben sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Da nur \(x \in [0; 7]\) relevant ist, wird \(x = 5\) untersucht. 5. Prüfung der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -6x + 12\). Einsetzen von \(x = 5\) ergibt \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 12 = -18\). Da \(G''(5) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 5\) ein lokales Maximum vor. 6. Vergleich mit den Randwerten: \(G(0) = -50\) und \(G(7) = -(7)^3 + 6 \cdot (7)^2 + 15 \cdot 7 - 50 = -343 + 294 + 105 - 50 = 6\). Da \(G(5) = 50\) größer als die Randwerte ist, liegt das absolute Maximum bei \(x = 5\).

a) Der Gewinn bei \(x = 2\) beträgt \(G(2) = -4\). Ein negativer Wert bedeutet einen Verlust (hier \(4000\,\text{€}\)). b) Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(5\,\text{Tonnen}\) erzielt.

- Wie hängen Erlös, Kosten und Gewinn zusammen? Erstelle daraus eine Funktionsgleichung. - Achte auf die Einheiten: Was bedeutet \(x=1\) im Kontext der Aufgabe? - Um eine Stelle mit dem größten Wert zu finden, helfen dir die Ableitungen der Funktion. - Denk daran, dass ein Extremum im Inneren eines Intervalls mit den Werten an den Rändern des Intervalls verglichen werden muss.

1. Bildung der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 25x - (x^3 - 9x^2 + 40x + 10) = -x^3 + 9x^2 - 15x - 10\). 2. Berechnung für \(100\,\text{Stück}\) (\(x = 1\)): \(G(1) = -1^3 + 9 \cdot 1^2 - 15 \cdot 1 - 10 = -1 + 9 - 15 - 10 = -17\). Dies entspricht einem Verlust von \(17\,000\,\text{€}\). 3. Ableitungen bilden: \(G'(x) = -3x^2 + 18x - 15\) und \(G''(x) = -6x + 18\). 4. Notwendige Bedingung \(G'(x) = 0\): \(-3x^2 + 18x - 15 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 5 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(G''(1) = -6 \cdot 1 + 18 = 12 > 0\) (Minimum); \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 18 = -12 < 0\) (Maximum). 6. Maximalgewinn berechnen: \(G(5) = -5^3 + 9 \cdot 5^2 - 15 \cdot 5 - 10 = -125 + 225 - 75 - 10 = 15\). 7. Randwertprüfung: \(G(0) = -10\), \(G(8) = -8^3 + 9 \cdot 8^2 - 15 \cdot 8 - 10 = -512 + 576 - 120 - 10 = -66\). Das absolute Maximum liegt bei \(x = 5\) mit \(G(5) = 15\).

a) Bei einer Menge von \(100\,\text{Stück}\) (\(x=1\)) macht das Unternehmen einen Verlust von \(17\,000\,\text{€}\). b) Der maximale Gewinn wird bei einer Menge von \(500\,\text{Stück}\) (\(x=5\)) erzielt und beträgt \(15\,000\,\text{€}\).

- Welche Bedingung muss für eine lokale Extremstelle erfüllt sein? - Was sagt ein überall positives Vorzeichen von \(K'\) über die Monotonie von \(K\) aus? - Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten. - Vergleiche für ein globales Maximum auf einem abgeschlossenen Intervall auch die Randwerte.

1. Es gilt \(K'(x)=x^2-8x+20\). 2. Die Diskriminante von \(x^2-8x+20=0\) ist \(D=64-80=-16<0\). Daher besitzt \(K'\) keine reellen Nullstellen. Wegen \(K'(0)=20>0\) gilt \(K'(x)>0\) für alle \(x\), also ist \(K\) streng monoton zunehmend und besitzt keine lokalen Extremstellen. Wirtschaftlich passt dies dazu, dass die Gesamtkosten mit wachsender Produktionsmenge zunehmen. 3. Der Erlös ist \(E(x)=40x\). Damit lautet die Gewinnfunktion \(G(x)=E(x)-K(x)=-\frac{1}{3}x^3+4x^2+20x-50\). 4. Es gilt \(G'(x)=-x^2+8x+20\). Aus \(G'(x)=0\) folgen \(x=10\) und \(x=-2\); im Definitionsbereich ist nur \(x=10\) relevant. 5. Mit \(G''(x)=-2x+8\) gilt \(G''(10)=-12<0\). Zusätzlich sind \(G(0)=-50\) und \(G(15)=25\), also liegt bei \(x=10\) das globale Maximum auf \([0;15]\). 6. Es ist \(G(10)=216\frac{2}{3}\approx216{,}67\) Tausend Euro.

a) \(K'(x)=x^2-8x+20>0\) für alle \(x\); daher ist \(K\) streng monoton zunehmend und hat keine lokalen Extremstellen. b) \(G(x)=-\frac{1}{3}x^3+4x^2+20x-50\). Das globale Gewinnmaximum liegt bei \(x=10\), also bei \(1000\) Stück, und beträgt \(216\frac{2}{3}\) Tausend Euro, also etwa \(216\,666{,}67\,\text{€}\).

- Wie hängen Monotonie und das Vorzeichen der ersten Ableitung zusammen? - Was sagt die Diskriminante über mögliche Nullstellen von \(K'\) aus? - Achte bei der Erlösfunktion auf die Einheit Tausend Euro. - Vergleiche für das globale Gewinnmaximum auch die Randwerte des Produktionsintervalls.

1. Es gilt \(K'(x)=\frac{1}{10}x^2-x+4\). 2. Die Diskriminante dieser quadratischen Funktion ist \(D=1-1{,}6=-0{,}6<0\). Da der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(K'(x)>0\) für alle \(x\). Somit ist \(K\) streng monoton zunehmend. 3. Der Erlös ist \(E(x)=6{,}4x\) in Tausend Euro. Daher lautet die Gewinnfunktion \(G(x)=-\frac{1}{30}x^3+0{,}5x^2+2{,}4x-20\). 4. Es gilt \(G'(x)=-0{,}1x^2+x+2{,}4\). Aus \(G'(x)=0\) folgen \(x=12\) und \(x=-2\); relevant ist \(x=12\). 5. Mit \(G''(x)=-0{,}2x+1\) gilt \(G''(12)=-1{,}4<0\). Außerdem sind \(G(0)=-20\) und \(G(20)\approx-38{,}67\), also ist \(G(12)\) das globale Maximum auf \([0;20]\). 6. Es ist \(G(12)=23{,}2\) Tausend Euro.

a) \(K'(x)=0{,}1x^2-x+4>0\) für alle \(x\); daher ist \(K\) streng monoton zunehmend. b) Das globale Gewinnmaximum liegt bei \(x=12\,\text{t}\) und beträgt \(23{,}2\) Tausend Euro, also \(23\,200\,\text{€}\).

- Wie erhältst du aus der Ortsfunktion Geschwindigkeit und Beschleunigung? - Welche notwendige Bedingung gilt für ein Minimum der Geschwindigkeitsfunktion? - Wie kannst du anschließend prüfen, dass der gefundene Zeitpunkt wirklich ein Minimum liefert?

1. Die Geschwindigkeit ist \(v(t)=s'(t)=0{,}6t^2-3t+4\). Daher ist \(v(5)=4\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). 2. Die Beschleunigung ist \(a(t)=v'(t)=1{,}2t-3\). Aus \(a(t)=0\) folgt \(t=2{,}5\,\text{s}\). 3. Da \(v''(t)=1{,}2>0\) gilt, liegt bei \(t=2{,}5\,\text{s}\) tatsächlich ein Minimum der Geschwindigkeit vor. 4. Zu diesem Zeitpunkt ist \(a(2{,}5)=0\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\).

a) \(v(5)=4\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). b) Die Geschwindigkeit ist bei \(t=2{,}5\,\text{s}\) minimal; dort gilt \(a=0\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\).

- Wie lässt sich die Summe der beiden Zahlen als Gleichung schreiben? - Versuche, das zu maximierende Produkt als Funktion einer einzigen Variable darzustellen. - Welche Werte kann die erste Zahl sinnvollerweise annehmen, wenn beide Zahlen nichtnegativ sein müssen? - Nutze die Differentialrechnung, um die Stelle mit dem größten Funktionswert zu finden.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die erste Zahl und \(y\) für die zweite Zahl (\(x, y \geq 0\)). 2. Nebenbedingung nutzen: Aus \(x + y = 15\) folgt \(y = 15 - x\). 3. Zielfunktion formulieren: Das Produkt \(P\) soll maximal werden, also \(P(x) = x^2 \cdot (15 - x) = 15x^2 - x^3\). 4. Definitionsbereich bestimmen: Da \(x\) und \(y\) nichtnegativ sind, liegt \(x\) im Intervall \([0; 15]\). 5. Ableitungen berechnen: \(P'(x) = 30x - 3x^2\) und \(P''(x) = 30 - 6x\). 6. Extremstellen suchen: \(P'(x) = 0 \implies 3x(10 - x) = 0\). Mögliche Stellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 10\). 7. Art des Extremums und Randwerte prüfen: \(P''(10) = 30 - 60 = -30 < 0\), somit liegt bei \(x = 10\) ein lokales Maximum vor. Die Randwerte ergeben \(P(0) = 0\) und \(P(15) = 0\), während \(P(10) = 10^2 \cdot 5 = 500\) ist. Das globale Maximum liegt also bei \(x = 10\). 8. Ergebnis vervollständigen: Die zweite Zahl ist \(y = 15 - 10 = 5\).

Die erste Zahl ist \(10\) und die zweite Zahl ist \(5\).

- Welche Stellen liefern waagerechte Tangenten? - Wie klassifizierst du eine stationäre Stelle, wenn die zweite Ableitung dort null ist? - Welche zusätzliche Ableitung kann einen Wendepunkt bestätigen?

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)\), \(f''(x)=3x^2-6x\) und \(f'''(x)=6x-6\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=3\). 3. Bei \(x=3\) gilt \(f''(3)=9>0\) und \(f(3)=-4{,}75\). Daher liegt der Tiefpunkt \(T(3\mid-4{,}75)\) vor. 4. Bei \(x=0\) gilt \(f'(0)=0\), \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=-6\neq0\). Damit liegt dort ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also der Terrassenpunkt \(T_0(0\mid2)\), vor.

Lokales Extremum: \(T(3\mid-4{,}75)\). Bei \(x=0\) liegt der Terrassenpunkt \(T_0(0\mid2)\) vor.

- Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion dritten Grades maximal haben? - Überlege, wie du die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen kannst. Hilft Ausklammern? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Ableitung und der Anzahl der Extrempunkte.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 8x^3 - 12x^2 - 18x\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (\(f'(x) = 0\)): Ausklammern von \(2x\) ergibt \(2x(4x^2 - 6x - 9) = 0\). Die erste Nullstelle ist \(x_1 = 0\). 3. Untersuchung des quadratischen Terms \(4x^2 - 6x - 9 = 0\): Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel. Die Diskriminante \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 36 + 144 = 180\). Da \(D > 0\), existieren zwei weitere, voneinander verschiedene reelle Nullstellen \(x_2\) und \(x_3\). 4. Da \(f'(x)\) eine Polynomfunktion dritten Grades mit drei einfachen (verschiedenen) Nullstellen ist, findet an jeder dieser Stellen ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) statt. Somit liegen genau drei Extremstellen vor.

Die erste Ableitung \(f'(x) = 8x^3 - 12x^2 - 18x\) hat die drei verschiedenen Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{4}\) und \(x_3 = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{4}\). Da es sich um eine ganzrationale Funktion handelt und die Ableitung an diesen drei Stellen jeweils das Vorzeichen wechselt (einfache Nullstellen), besitzt \(f\) genau drei Extrempunkte.

- Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktion. - Welche Gleichung musst du lösen, um mögliche Extremstellen zu finden? - Kannst du die resultierende Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Wie kannst du sicherstellen, dass an den gefundenen Stellen tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt?

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^3 - 5x^2 + 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen \(g'(x) = 0\) anwenden: \(x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6) = 0\). Daraus folgt \(x_1 = 0\) oder \(x^2 - 5x + 6 = 0\). 3. Nullstellen des quadratischen Terms bestimmen: \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). Dies ergibt \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(g''(x) = 3x^2 - 10x + 6\): \(g''(0) = 6 > 0\) (lokales Minimum), \(g''(2) = 3 \cdot 4 - 20 + 6 = -2 < 0\) (lokales Maximum), \(g''(3) = 3 \cdot 9 - 30 + 6 = 3 > 0\) (lokales Minimum). Da an allen drei Stellen die hinreichende Bedingung für Extrema (\(g'(x)=0\) und \(g''(x) \neq 0\)) erfüllt ist, gibt es genau drei Extremstellen.

Die Ableitung \(g'(x) = x(x-2)(x-3)\) besitzt die drei einfachen Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). Da die zweite Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist (\(g''(0)=6\), \(g''(2)=-2\), \(g''(3)=3\)), liegen drei lokale Extremstellen vor.

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du zeigen, dass ein Term wie \(x^2 + x + 1\) niemals null wird? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von der gefundenen Nullstelle. - Vergiss nicht, am Ende den Funktionswert zu berechnen, um den Punkt anzugeben.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 + 4x^2 + 4x\). 2. Ausklammern ergibt \(f'(x) = 4x(x^2 + x + 1)\). 3. Untersuchung der Nullstellen von \(f'\): Der Faktor \(x^2 + x + 1\) hat keine reellen Nullstellen, da die Diskriminante \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\) negativ ist. Somit ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f'\). 4. Da \(f'(x)\) an der Stelle \(x = 0\) das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt (da \(x^2+x+1\) stets positiv ist), liegt dort ein lokales Minimum vor. Da dies die einzige Nullstelle mit Vorzeichenwechsel ist, existiert genau ein Extrempunkt. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(0) = 0^4 + \frac{4}{3} \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 7 = 7\). Der Extrempunkt liegt bei \(T(0 \mid 7)\).

Der Graph hat genau einen Extrempunkt bei \(T(0 \mid 7)\).

- Welche Bedingung müssen innere differenzierbare Extremstellen erfüllen? - Wie entscheidet das Vorzeichen von \(f'\) direkt links und rechts einer stationären Stelle über die Extremart? - Kannst du den Ableitungsterm so schreiben, dass sich sein Vorzeichen in den entstehenden Intervallen gut untersuchen lässt?

1. Es gilt \(f'(x)=2x^3-8x=2x(x-2)(x+2)\). Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Für \(x<-2\) ist \(f'(x)<0\), für \(-2<x<0\) ist \(f'(x)>0\), für \(0<x<2\) ist \(f'(x)<0\) und für \(x>2\) ist \(f'(x)>0\). 3. Daher liegt bei \(x=-2\) ein lokales Minimum, bei \(x=0\) ein lokales Maximum und bei \(x=2\) ein lokales Minimum vor. 4. Es gilt \(f(-2)=-2\), \(f(0)=6\) und \(f(2)=-2\).

Tiefpunkte \(T_1(-2\mid-2)\) und \(T_2(2\mid-2)\); Hochpunkt \(H(0\mid6)\).

- Skizziere dir Verläufe von Graphen, die mehrfach steigen und fallen. Kann ein lokales „Tal“ weiter oben liegen als ein entfernter lokaler „Berg“? - Was passiert am linken Rand eines Intervalls, wenn eine Funktion streng monoton fällt? - Welche Voraussetzungen benötigt der Satz vom Maximum und Minimum?

1. Wahr. Da die Funktion streng monoton fällt, gilt für alle \(x > a\), dass \(f(a) > f(x)\). Somit ist der linke Randwert der größte Wert im Intervall. 2. Wahr. Dies ist bei Funktionen möglich, die mehrere lokale Extrema auf unterschiedlichen Niveaus besitzen. Ein lokaler Hochpunkt muss nur gegenüber seiner unmittelbaren Umgebung höher liegen; sein Funktionswert kann daher kleiner sein als der eines entfernten lokalen Tiefpunkts. 3. Wahr. Dies entspricht dem Satz vom Maximum und Minimum (Weierstraß): Eine stetige Funktion nimmt auf einem kompakten Intervall ihren maximalen und ihren minimalen Funktionswert an.

(1) Wahr. (2) Wahr. (3) Wahr (Satz vom Maximum und Minimum).

- Was muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du anhand der Ableitungsfunktion feststellen, ob an einer Nullstelle tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Untersuche die Faktoren der Funktionsausdrücke – was verraten sie dir über die Nullstellen? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von einer Nullstelle verhält.

1. Die Nullstellen der Ableitungen werden bestimmt: Für \(f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Da es sich um einfache Nullstellen handelt, findet jeweils ein Vorzeichenwechsel (VZW) statt, sodass bei \(x=1\) und \(x=3\) Extremstellen vorliegen. Für \(g'(x) = -2(x-1)(x-3)\) ergeben sich dieselben Nullstellen mit VZW, also dieselben Extremstellen. 2. Die Ableitung \(h'(x) = (x-2)(x-1)(x-3)\) besitzt die Nullstellen \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). Da alle Faktoren einfache Nullstellen sind, findet an jeder dieser Stellen ein VZW statt. Somit hat \(h\) ebenfalls Extremstellen bei \(x=1\) und \(x=3\). 3. Die zusätzliche Extremstelle von \(h\) liegt bei \(x = 2\). Die Art wird durch das VZW-Kriterium bestimmt: Für \(x < 2\) (z. B. \(x=1{,}5\)) ist \(h'(1{,}5) = (-0{,}5) \cdot (0{,}5) \cdot (-1{,}5) = 0{,}375 > 0\). Für \(x > 2\) (z. B. \(x=2{,}5\)) ist \(h'(2{,}5) = (0{,}5) \cdot (1{,}5) \cdot (-0{,}5) = -0{,}375 < 0\). Da ein VZW von Plus nach Minus vorliegt, hat \(h\) bei \(x = 2\) ein lokales Maximum.

1. Beide Funktionen \(f\) und \(g\) haben Extremstellen bei \(x = 1\) und \(x = 3\). 2. Die Funktion \(h\) hat an den Stellen \(x = 1\) und \(x = 3\) ebenfalls einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel in der Ableitung. 3. Die zusätzliche Extremstelle von \(h\) liegt bei \(x = 2\). Es handelt sich um ein lokales Maximum.

- Welche Funktion beschreibt die Grenzkosten und soll hier minimiert werden? - Welche Ableitung hilft dir, mögliche Extremstellen dieser Funktion zu finden? - Was musst du zusätzlich prüfen, damit aus einem lokalen Minimum ein globales Minimum auf \(x\ge0\) wird?

1. \(K'(x)=x^3-\frac{15}{2}x^2+12x+40\). Gesucht ist das globale Minimum dieser kubischen Funktion auf \(x\ge0\). 2. Die Ableitung der Grenzkosten ist \(K''(x)=3x^2-15x+12=3(x-1)(x-4)\). Stationäre Stellen von \(K'\): \(x=1\) und \(x=4\). 3. Mit \(K'''(x)=6x-15\) gilt \(K'''(1)=-9<0\) und \(K'''(4)=9>0\). Also besitzt \(K'\) bei \(x=4\) ein lokales Minimum. 4. Für \(x\ge0\) ist \(K''\) zunächst positiv, dann auf \((1,4)\) negativ und ab \(4\) wieder positiv. Außerdem wächst \(K'(x)\to\infty\). Vergleich mit dem Rand: \(K'(0)=40\), \(K'(4)=32\). Damit ist das Minimum bei \(x=4\) global.

Die Grenzkosten sind bei \(x=4\) Mengeneinheiten global minimal. Der minimale Grenzkostenwert beträgt \(K'(4)=32\,\frac{\text{€}}{\text{Mengeneinheit}}\).

- Überlege dir, wie der Graph verlaufen muss, wenn er von einem tiefen Punkt zu einem anderen tiefen Punkt führt. - Betrachte das Grenzverhalten (Globalverhalten) von Funktionen mit geradem Grad. - Was wissen wir über die Anzahl der Nullstellen der Ableitungsfunktion bei Funktionen vierten Grades?

1. Aussage a) ist wahr. Seien \(x_1 < x_2\) zwei lokale Minimalstellen. Auf dem abgeschlossenen Intervall \([x_1; x_2]\) nimmt die stetige Funktion \(f\) ein Maximum an. Dieses Maximum wird im Inneren des Intervalls angenommen; falls auf einem Teilintervall ein konstanter Maximalwert vorliegt, sind dessen innere Punkte ebenfalls lokale Maximalstellen. Somit liegt zwischen den beiden lokalen Minimalstellen mindestens eine lokale Maximalstelle. 2. Aussage b) ist wahr. Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) verläuft für \(x \to \pm \infty\) entweder beidseitig gegen \(+\infty\) (für \(a > 0\)) oder beidseitig gegen \(-\infty\) (für \(a < 0\)). Folglich muss die Funktion aufgrund ihrer Stetigkeit ein globales Minimum (bzw. Maximum) besitzen. An dieser Stelle ist die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) erfüllt und es liegt ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor, also eine Extremstelle.

a) Wahr. Zwischen zwei lokalen Minima muss der Graph steigen und wieder fallen, was ein lokales Maximum erzwingt. b) Wahr. Funktionen mit geradem Grad besitzen immer ein globales Extremum (Minimum oder Maximum) und damit mindestens eine Extremstelle.

- Bei Funktionen höheren Grades hilft oft das Faktorisieren der Ableitung, um Nullstellen zu finden. - Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst, nachdem du eine Nullstelle gefunden hast? - Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen der \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion. - Ein Vorzeichenwechselkriterium wäre eine Alternative zur zweiten Ableitung.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x - 4\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): Durch Raten einer Nullstelle (\(x=2\)) oder Ausklammern (\(x^2(x-3) - 4(x-3) = 0\)) erhält man \((x^2 - 4)(x - 3) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 4 = 12 + 12 - 4 = 20 > 0 \implies\) Tiefpunkt. - \(f''(2) = 3(2)^2 - 6(2) - 4 = 12 - 12 - 4 = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt. - \(f''(3) = 3(3)^2 - 6(3) - 4 = 27 - 18 - 4 = 5 > 0 \implies\) Tiefpunkt. 4. Funktionswerte berechnen: - \(f(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - (-2)^3 - 2(-2)^2 + 12(-2) = 4 + 8 - 8 - 24 = -20\). - \(f(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - 2^3 - 2(2)^2 + 12(2) = 4 - 8 - 8 + 24 = 12\). - \(f(3) = \frac{1}{4}(3)^4 - 3^3 - 2(3)^2 + 12(3) = 20{,}25 - 27 - 18 + 36 = 11{,}25\). 5. Ergebnis: Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -20)\) und \(T_2(3 \mid 11{,}25)\), Hochpunkt \(H(2 \mid 12)\).

Tiefpunkte: \(T_1(-2 \mid -20)\) und \(T_2(3 \mid 11{,}25)\) (oder \(T_2(3 \mid \frac{45}{4})\)) Hochpunkt: \(H(2 \mid 12)\)

- Was ist die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunkts? - Wie kannst du die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle der Ableitung und dem Vorliegen eines Extremums? - Was sagt das Vorzeichen der Diskriminante über die Nullstellen eines quadratischen Terms aus?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^4 - 2x^3 + \frac{3}{2}x^2\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'(x)\): Ausklammern ergibt \(x^2 \cdot (x^2 - 2x + 1{,}5) = 0\). 3. Untersuchung der Faktoren: Der erste Faktor \(x^2\) liefert die doppelte Nullstelle \(x_1 = 0\). Der zweite Faktor \(x^2 - 2x + 1{,}5 = 0\) besitzt keine reellen Lösungen, da die Diskriminante \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1{,}5 = -2\) kleiner als null ist. 4. Überprüfung auf Vorzeichenwechsel: Es gilt \(f'(x) = x^2 \cdot ((x-1)^2 + 0{,}5) \ge 0\) für alle \(x\). Daher findet bei \(x=0\) kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) statt. 5. Da \(x=0\) die einzige stationäre Stelle ist und dort kein Vorzeichenwechsel von \(f'\) vorliegt, besitzt \(f\) keine lokalen Extrempunkte.

Die erste Ableitung \(f'(x) = x^2(x^2 - 2x + 1{,}5)\) hat lediglich bei \(x = 0\) eine Nullstelle. Da es sich um eine doppelte Nullstelle handelt (quadratischer Faktor), findet dort kein Vorzeichenwechsel statt. Der quadratische Term \(x^2 - 2x + 1{,}5\) hat keine reellen Nullstellen (\(D = -2\)). Somit besitzt \(f\) keinen Extrempunkt.

- Wie entsteht die Gewinnfunktion aus Erlös und Kosten? - Welche stationären Stellen liegen im zulässigen Bereich \(x\ge0\)? - Wie zeigt dir der Vorzeichenwechsel von \(G'\), dass ein globales Maximum vorliegt?

1. Der Erlös ist \(E(x)=600x\). Daher gilt \(G(x)=E(x)-K(x)=-0{,}05x^3+6x^2+135x-4700\). 2. Es gilt \(G'(x)=-0{,}15x^2+12x+135=-0{,}15(x-90)(x+10)\). Auf dem zulässigen Bereich \(x\ge0\) ist nur \(x=90\) stationär. 3. Für \(0\le x<90\) gilt \(G'(x)>0\), für \(x>90\) gilt \(G'(x)<0\). Damit nimmt \(G\) bis \(x=90\) zu und danach ab; \(x=90\) liefert also das globale Gewinnmaximum auf \([0;\infty)\). 4. Es ist \(G(90)=19\,600\,\text{€}\). 5. Für \(x=10\) gilt \(G(10)=-2800\,\text{€}\). Es entsteht ein Verlust von \(2800\,\text{€}\).

a) \(G(x)=-0{,}05x^3+6x^2+135x-4700\) b) Bei \(90\,\text{kg}\); maximaler Gewinn \(19\,600\,\text{€}\). c) Verlust von \(2800\,\text{€}\).

- Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen dem zurückgelegten Weg und der Geschwindigkeit? - Die Ableitung einer Funktion gibt die momentane Änderungsrate an. - Wenn du das Maximum einer Größe suchst, musst du deren Ableitung untersuchen. - Achte auf die Einheiten und die Umrechnung von \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\) in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\).

1. Bestimmung der Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit. \( v(t) = s'(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}8t \). 2. Berechnung für \( t = 4 \): \( v(4) = -0{,}15 \cdot 4^2 + 1{,}8 \cdot 4 = -2{,}4 + 7{,}2 = 4{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \). 3. Zeitpunkt der maximalen Geschwindigkeit: Die Beschleunigung (Ableitung der Geschwindigkeit) muss Null sein. \( v'(t) = a(t) = s''(t) = -0{,}3t + 1{,}8 \). Nullsetzen: \( -0{,}3t + 1{,}8 = 0 \implies 0{,}3t = 1{,}8 \implies t = 6\,\text{s} \). Da \( v''(t) = -0{,}3 < 0 \), liegt ein Maximum vor. 4. Berechnung der maximalen Geschwindigkeit: \( v(6) = -0{,}15 \cdot 6^2 + 1{,}8 \cdot 6 = -5{,}4 + 10{,}8 = 5{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \). 5. Umrechnung in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\): \( 5{,}4 \cdot 3{,}6 = 19{,}44\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \).

a) \( v(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}8t \); nach \( 4\,\text{s} \) beträgt die Geschwindigkeit \( 4{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \). b) Die maximale Geschwindigkeit wird zum Zeitpunkt \( t = 6\,\text{s} \) erreicht. c) Die maximale Geschwindigkeit beträgt \( 5{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \), was \( 19{,}44\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \) entspricht.

- Welche Stellen kommen als Extremstellen infrage? - Was sagt der Vorzeichenwechsel von \(f'\) über die Art einer stationären Stelle aus? - Wie kannst du bei \(f''(3)=0\) prüfen, ob dort ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente vorliegt? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen von \(f'\) und der Monotonie?

1. Es gilt \(f'(x)=2x^3-12x^2+18x=2x(x-3)^2\) und \(f''(x)=6x^2-24x+18\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=3\). 3. Wegen \(f''(0)=18>0\) liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum vor. Bei \(x=3\) gilt \(f''(3)=0\), und \(f'\) wechselt dort wegen des Faktors \((x-3)^2\) nicht das Vorzeichen; daher liegt kein Extremum vor. 4. Mit \(f'''(x)=12x-24\) gilt \(f'''(3)=12\neq0\). Also ist \(x=3\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt. 5. Es ist \(f(0)=0\), also \(T(0\mid0)\). Außerdem ist \(f(3)=13{,}5\), also liegt der Terrassenpunkt \(P(3\mid13{,}5)\) vor. 6. Da \(f'(x)<0\) für \(x<0\) und \(f'(x)>0\) für \(x>0\) mit der isolierten Nullstelle \(f'(3)=0\) gilt, ist \(f\) auf \(( -\infty;0]\) streng monoton abnehmend.

a) Der einzige lokale Extrempunkt ist \(T(0\mid0)\). Bei \(x=3\) liegt der Terrassenpunkt \(P(3\mid13{,}5)\) vor. b) \(f\) ist auf \(( -\infty;0]\) streng monoton abnehmend.

- Schau dir bei jedem vermuteten Extrempunkt die Kurve links und rechts der Stelle an. - Welche Bedingung erfüllt die erste Ableitung an einer lokalen Extremstelle? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, Hoch- und Tiefpunkt zu unterscheiden? - Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der Ableitung?

1. Zuordnung durch Ablesen: Kärtchen A und B gehören zum blauen Graphen von \(f\), Kärtchen C zum grünen Graphen von \(g\). Durch den erweiterten dargestellten Bereich ist auch links von \(x=-2\) die Umgebung des Hochpunkts von \(f\) sichtbar. 2. Es gilt \(f'(x)=0{,}75x^2-3\) und \(f''(x)=1{,}5x\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x=\pm2\). Wegen \(f''(-2)=-3<0\) liegt bei \(x=-2\) ein Hochpunkt und wegen \(f''(2)=3>0\) bei \(x=2\) ein Tiefpunkt vor. Mit \(f(-2)=6\) und \(f(2)=-2\) erhält man \(H(-2\mid6)\) und \(T(2\mid-2)\). 3. Für \(g(x)=(x-1)^2+1\) ist \(g'(x)=2(x-1)\). Damit gilt \(g'(1)=0\), also besitzt der Graph bei \(x_0=1\) eine waagerechte Tangente.

1. Kärtchen A und B gehören zu \(f\); Kärtchen C gehört zu \(g\). 2. Die Extrempunkte von \(f\) sind \(H(-2 \mid 6)\) und \(T(2 \mid -2)\). 3. Es gilt \(g'(1)=0\); daher besitzt der Graph von \(g\) bei \(x_0=1\) eine waagerechte Tangente.

- Erinnere dich daran, welche Ableitungen du benötigst, um Extremstellen einer Funktion zu bestimmen. - Welche Gleichung musst du lösen, um die x-Koordinaten der potenziellen Extremstellen zu finden? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt zu unterscheiden? - Wenn du die x-Koordinaten der Extremstellen berechnet hast, wie findest du dann die dazugehörigen y-Werte? - Vergleiche die Lage und die y-Werte der berechneten Extrempunkte mit den markanten Punkten in den drei Graphen.

Die erste Ableitung der Funktion \(f(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\) lautet \(f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2\), die zweite Ableitung ist \(f''(x) = x\). Die notwendige Bedingung für Extremstellen \(f'(x) = 0\) liefert: \(\frac{1}{2}x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). Die Überprüfung mit der hinreichenden Bedingung und die Berechnung der Funktionswerte ergibt: - Für \(x_1 = -2\): \(f''(-2) = -2 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \(H\left(-2 \;\middle|\; \frac{8}{3}\right)\) (bzw. \(\approx 2{,}67\)). - Für \(x_2 = 2\): \(f''(2) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \(T\left(2 \;\middle|\; -\frac{8}{3}\right)\) (bzw. \(\approx -2{,}67\)). Ein Vergleich mit den Abbildungen zeigt: - Graph A besitzt eine Hochstelle bei \(x = 2\) und eine Tiefstelle bei \(x = 4\). - Graph B besitzt eine Hochstelle bei \(x = -4\) und eine Tiefstelle bei \(x = -2\). - Graph C besitzt eine Hochstelle bei \(x = -2\) und eine Tiefstelle bei \(x = 2\). Somit gehört Graph C zur Funktion \(f\).

1. Die Extrempunkte sind \(H\left(-2 \;\middle|\; \frac{8}{3}\right)\) und \(T\left(2 \;\middle|\; -\frac{8}{3}\right)\). 2. Graph C gehört zur Funktion \(f\), da seine Extremstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\) liegen.

- Wie lässt sich der vertikale Abstand der beiden Höhenfunktionen ausdrücken? - Welche Werkzeuge der Differentialrechnung helfen dir, ein Maximum der Abstandsfunktion zu bestimmen? - Vergleiche für das globale Maximum im Zeitintervall auch die Randwerte.

1. Es gilt \(d(t)=g(t)-f(t)=-t^3+9t^2-15t+10\). 2. Die Ableitungen sind \(d'(t)=-3t^2+18t-15\) und \(d''(t)=-6t+18\). 3. Aus \(d'(t)=0\) folgt \((t-1)(t-5)=0\), also \(t=1\) und \(t=5\). 4. Wegen \(d''(5)=-12<0\) liegt bei \(t=5\) ein lokales Maximum; bei \(t=1\) wegen \(d''(1)=12>0\) ein lokales Minimum. 5. Es ist \(d(5)=35\). Außerdem gilt \(d(0)=10\) und \(d(7)=3\). Daher ist \(d(5)=35\) das globale Maximum auf \([0;7]\).

a) \(d(t)=-t^3+9t^2-15t+10\). b) Der maximale Abstand wird nach \(5\,\text{min}\) erreicht und beträgt \(35\,\text{m}\).

- Lies zuerst nur die inneren Hoch- und Tiefpunkte aus dem Graphen ab. - Prüfe für „global“ zusätzlich alle Funktionswerte im gesamten Intervall, insbesondere die Randwerte. - Beachte, dass ein Punkt gleichzeitig ein lokales und ein globales Extremum sein kann.

1. Aus dem Graphen liest man die Tiefpunkte \(T_1(-3|-2)\) und \(T_2(1|-2)\) sowie den Hochpunkt \(H(-1|2)\) ab. 2. Die beiden Tiefpunkte liegen im Inneren des Intervalls und sind jeweils in ihrer Umgebung lokale Minima. 3. Zugleich ist \(-2\) der kleinste Funktionswert im gesamten Intervall. Daher sind \(T_1\) und \(T_2\) zusätzlich globale Minima. 4. Der Punkt \(H(-1|2)\) ist in seiner Umgebung ein lokales Maximum. Er ist aber kein globales Maximum, weil an den Intervallgrenzen \(f(-4)=f(2)=4{,}25>2\) gilt.

a) \(T_1(-3|-2)\), \(H(-1|2)\), \(T_2(1|-2)\) b) \(T_1\) und \(T_2\) sind lokale und zugleich globale Minima. \(H\) ist ein lokales, aber kein globales Maximum.

- Für die Blattspitzen suchst du gemeinsame Punkte der beiden Randfunktionen. - Welche Funktion beschreibt den vertikalen Abstand zwischen oberem und unterem Blattrand? - Bestimme anschließend das Maximum dieser Abstandsfunktion mit den Methoden der Extremwertuntersuchung.

1. Für die Blattspitzen setzt man \(f(x)=g(x)\): \(-0{,}25x^2+1{,}5x=0{,}1x^2-0{,}6x\). Daraus folgt \(x(0{,}35x-2{,}1)=0\), also \(x=0\) oder \(x=6\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(6|0)\). 2. Die vertikale Breite wird durch \(h(x)=f(x)-g(x)=-0{,}35x^2+2{,}1x\) beschrieben. Es gilt \(h'(x)=-0{,}7x+2{,}1\), also \(h'(x)=0\) genau bei \(x=3\). 3. Wegen \(h''(x)=-0{,}7<0\) liegt dort ein Maximum vor. Mit \(h(3)=3{,}15\) beträgt die maximale Breite \(3{,}15\,\text{cm}\) und wird bei \(x=3\,\text{cm}\) erreicht.

a) \(S_1(0|0)\) und \(S_2(6|0)\) b) Maximale Breite \(3{,}15\,\text{cm}\) bei \(x=3\,\text{cm}\)

- Lies zuerst die lokalen Hoch- und Tiefpunkte im Inneren des dargestellten Bereichs ab. - In welchen Abschnitten werden die Funktionswerte mit wachsendem \(x\) stets kleiner? - Vergleiche für globale Extrema auch die Randwerte mit den lokalen Extremwerten.

1. Aus dem Graphen liest man näherungsweise einen lokalen Hochpunkt bei \(H(0|1)\) und zwei lokale Tiefpunkte bei \(T_1(-2|-0{,}6)\) und \(T_2(2|-0{,}6)\) ab. 2. Der Graph nimmt auf \([-3;-2]\) und \([0;2]\) streng monoton ab. 3. Die größten Funktionswerte im dargestellten Intervall liegen an den Randpunkten \(x=-3\) und \(x=3\) und betragen ungefähr \(1{,}9\). Die kleinsten Werte liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\) und betragen ungefähr \(-0{,}6\).

a) \(H\approx(0|1)\), \(T_1\approx(-2|-0{,}6)\), \(T_2\approx(2|-0{,}6)\) b) Streng monoton abnehmend auf \([-3;-2]\) und \([0;2]\) c) Globales Maximum \(\approx1{,}9\) bei \(x=\pm3\); globales Minimum \(\approx-0{,}6\) bei \(x=\pm2\)

- Erinnere dich an die allgemeine Definition eines lokalen Extremums: Muss eine Funktion an dieser Stelle glatt verlaufen? - Was passiert mit den Funktionswerten links und rechts von \(x_1\)? - Betrachte den Bereich um \(x_2\): Verändern sich die Werte dort überhaupt? - Schau dir an, welche Bedingungen für ein lokales Maximum oder Minimum erfüllt sein müssen.

1. Definition einer lokalen Extremstelle: Ein Punkt \(x_0\) ist eine lokale Extremstelle, wenn es eine Umgebung um \(x_0\) gibt, in der alle Funktionswerte entweder kleiner oder gleich (Maximum) bzw. größer oder gleich (Minimum) als der Funktionswert \(f(x_0)\) sind. 2. Untersuchung an der Stelle \(x_1 = -2\): Der Funktionswert \(f(-2) = 4\) ist der höchste Punkt in einer kleinen Umgebung. Da alle benachbarten Werte kleiner sind, liegt hier ein lokales Maximum vor. Dass die Funktion dort einen „Knick“ hat (nicht differenzierbar ist), spielt für die Existenz eines Extremums keine Rolle. 3. Untersuchung an der Stelle \(x_2 = 1{,}5\): Die Funktion ist im Intervall \([0; 3]\) konstant mit \(f(x) = 1\). In einer Umgebung von \(1{,}5\) gilt daher sowohl \(f(x) \le f(1{,}5)\) als auch \(f(x) \ge f(1{,}5)\). Nach der mathematischen Definition ist somit jeder Punkt in einem konstanten Abschnitt sowohl eine lokale Minimalstelle als auch eine lokale Maximalstelle.

An der Stelle \(x_1 = -2\) liegt ein lokales Maximum vor, da der Funktionswert dort in einer Umgebung am größten ist. An der Stelle \(x_2 = 1{,}5\) liegt sowohl ein lokales Maximum als auch ein lokales Minimum vor, da die Funktion in diesem Bereich konstant verläuft und somit die Bedingungen für beide Extremumstypen erfüllt sind.

- Überlege dir, was der Funktionswert von \(f'\) über die Steigung von \(f\) aussagt. - Wo muss der Graph von \(f'\) liegen, damit die Funktion \(f\) steigt oder fällt? - Was passiert mit der Funktion \(f\) an einer Stelle, an der \(f'\) die x-Achse kreuzt? - Achte darauf, in welche Richtung der Graph von \(f'\) die x-Achse an den Nullstellen schneidet.

1. Lokale Extremstellen einer Funktion \(f\) treten dort auf, wo die Ableitung \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. 2. Bei \(x = -5\) wechselt \(f'\) vom Negativen ins Positive. Da die Steigung von \(f\) von negativ auf positiv wechselt, liegt hier ein lokales Minimum vor. 3. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) vom Positiven ins Negative. Da die Steigung von \(f\) von positiv auf negativ wechselt, liegt hier ein lokales Maximum vor. 4. Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) vom Negativen ins Positive. Somit liegt bei \(x = 4\) ein weiteres lokales Minimum vor.

Lokales Minimum bei \(x = -5\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)); lokales Maximum bei \(x = 0\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(+\) nach \(-\)); lokales Minimum bei \(x = 4\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)).

- Welche Bedingungen müssen für eine Extremstelle erfüllt sein? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, zwischen Hoch- und Tiefpunkten zu unterscheiden? - Achte auf die Lage der Extrempunkte in den Koordinatensystemen, um den richtigen Graphen zu identifizieren.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) und \(f''(x) = 2x - 2\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen (\(f'(x) = 0\)): \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Mit der pq-Formel ergeben sich die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: - \(f''(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4 > 0 \implies\) lokale Minimalstelle bei \(x = 3\). Funktionswert: \(f(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - 9 = -9\). - \(f''(-1) = 2 \cdot (-1) - 2 = -4 < 0 \implies\) lokale Maximalstelle bei \(x = -1\). Funktionswert: \(f(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1) - 1 + 3 = 1\frac{2}{3} \approx 1{,}67\). 4. Abgleich mit den Graphen: Graph A zeigt einen Hochpunkt im II. Quadranten (\(x \approx -1\)) und einen Tiefpunkt im IV. Quadranten (\(x = 3\)). Somit gehört Graph A zur Funktion \(f\).

Die Extremstellen liegen bei \(x = -1\) (Hochpunkt) und \(x = 3\) (Tiefpunkt). Graph A gehört zur Funktion \(f\).

- Bilde zuerst die Entnahmefunktion \(E=f-x\). - Für das globale Maximum auf einem abgeschlossenen Intervall musst du stationäre Stellen und Randwerte berücksichtigen. - \(f(x)=x\) bedeutet, dass aktueller und erwarteter Folgebestand übereinstimmen.

1. \(E(x)=-0{,}01x^3+0{,}12x^2\). 2. \(E'(x)=-0{,}03x^2+0{,}24x=-0{,}03x(x-8)\). Im Inneren liegt die relevante stationäre Stelle bei \(x=8\). 3. \(E''(x)=-0{,}06x+0{,}24\), also \(E''(8)=-0{,}24<0\). Zusätzlich \(E(0)=E(12)=0\); daher ist das Maximum bei \(x=8\) global. 4. \(E(8)=2{,}56\) Hundert Tiere = \(256\) Tiere. 5. \(f(x)=x\) ist gleichbedeutend mit \(E(x)=0\). Der positive Schnittpunkt liegt bei \(x=12\): Bei einem Bestand von 1200 Tieren sagt das Modell denselben Bestand für das Folgejahr voraus.

a) \(x=8\) (800 Tiere). b) Maximal \(256\) Tiere. c) \(x=12\) ist ein positiver Gleichgewichtsbestand des Modells.

- Lokale Extremstellen von \(f\) können an Nullstellen von \(f'\) liegen. - Prüfe an jeder Nullstelle, ob \(f'\) das Vorzeichen wechselt. - Ein Wechsel von negativ zu positiv bedeutet ein lokales Minimum; ohne Vorzeichenwechsel liegt kein Extremum vor.

1. Der Graph von \(f'\) hat Nullstellen bei \(x=-2\) und \(x=1\). 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher geht \(f\) von fallend zu steigend über und besitzt bei \(x=-2\) ein lokales Minimum. 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht. Daher besitzt \(f\) dort keine lokale Extremstelle. Der Graph von \(f'\) hat an dieser Stelle zwar ein lokales Minimum, was zusätzlich auf einen Terrassenpunkt von \(f\) hinweist; für die gestellte Extremwertfrage ist entscheidend, dass kein Vorzeichenwechsel vorliegt.

Die einzige lokale Extremstelle liegt bei \(x=-2\); dort besitzt \(f\) ein lokales Minimum, weil \(f'\) von negativ zu positiv wechselt. Bei \(x=1\) liegt wegen des fehlenden Vorzeichenwechsels keine Extremstelle vor.

- Wo ist der Abstand zur \(x\)-Achse am kleinsten, wenn alle Funktionswerte negativ sind? - Untersuche alle stationären Stellen und klassifiziere sie vollständig. - Welche Rolle spielt das Globalverhalten für die Frage nach dem kleinsten Abstand?

1. Es gilt \(f'(x)=-x^3+3x^2=-x^2(x-3)\). Damit sind \(x=0\) und \(x=3\) stationäre Stellen. 2. Weiter ist \(f''(x)=-3x^2+6x\). Wegen \(f''(3)=-9<0\) liegt bei \(x=3\) ein lokales Maximum vor. 3. Bei \(x=0\) gilt \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\). Mit \(f'''(x)=-6x+6\) folgt \(f'''(0)=6\neq0\); daher liegt dort ein Terrassenpunkt und kein Extremum vor. 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\). Somit ist das lokale Maximum bei \(x=3\) zugleich das globale Maximum. 5. Da alle Funktionswerte negativ sind, ist der Abstand zur \(x\)-Achse dort am kleinsten, wo \(f\) seinen größten Wert annimmt. 6. Es ist \(f(3)=-\frac{1}{4}\cdot81+27-10=-3{,}25\). Gesucht ist also \(P(3\mid-3{,}25)\).

\(P(3\mid-3{,}25)\)

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines lokalen Extrempunkts erfüllt sein? - Kannst du einen Faktor aus der Ableitungsfunktion ausklammern, um den Grad der Gleichung zu reduzieren? - Wenn du eine Gleichung der Form \(x^4 + ax^2 + b = 0\) erhältst, welches Verfahren hilft dir hier weiter? - Denke daran, alle gefundenen Stellen mit der zweiten Ableitung auf ihre Art (Maximum oder Minimum) zu untersuchen.

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^5 - 6x^3 + 8x\). 2. Notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\): \(x(x^4 - 6x^2 + 8) = 0\). 3. Erste Lösung: \(x_1 = 0\). 4. Biquadratische Gleichung lösen: \(x^4 - 6x^2 + 8 = 0\). Substitution \(z = x^2\) ergibt \(z^2 - 6z + 8 = 0\). 5. Lösungen für \(z\) via \(p-q\)-Formel: \(z_2 = 4\) und \(z_3 = 2\). 6. Resubstitution ergibt weitere Stellen: \(x_{2,3} = \pm 2\) und \(x_{4,5} = \pm \sqrt{2}\). 7. Zweite Ableitung bilden: \(g''(x) = 5x^4 - 18x^2 + 8\). 8. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g''(0) = 8 > 0 \Rightarrow\) Minimum bei \(x = 0\). \(g''(\pm 2) = 5 \cdot 16 - 18 \cdot 4 + 8 = 16 > 0 \Rightarrow\) Minima bei \(x = \pm 2\). \(g''(\pm \sqrt{2}) = 5 \cdot 4 - 18 \cdot 2 + 8 = -8 < 0 \Rightarrow\) Maxima bei \(x = \pm \sqrt{2}\).

Lokale Minima befinden sich bei \(x = 0\), \(x = 2\) und \(x = -2\). Lokale Maxima befinden sich bei \(x = \sqrt{2}\) und \(x = -\sqrt{2}\).

- Welche Gleichung liefert die stationären Stellen? - Welche Stellen kannst du direkt mit \(g''\) klassifizieren? - Wie überprüfst du bei \(g''(0)=0\), ob dort tatsächlich ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente vorliegt?

1. Es gilt \(g'(x)=-\frac{1}{4}x^4+x^2=x^2\left(1-\frac{1}{4}x^2\right)\). Daher sind die stationären Stellen \(x=0\) und \(x=\pm2\). 2. Die zweite Ableitung ist \(g''(x)=-x^3+2x\). Wegen \(g''(2)=-4<0\) liegt \(H\left(2\mid\frac{16}{15}\right)\) vor; wegen \(g''(-2)=4>0\) liegt \(T\left(-2\mid-\frac{16}{15}\right)\) vor. 3. Bei \(x=0\) gilt \(g'(0)=0\) und \(g''(0)=0\). Weiter ist \(g'''(x)=-3x^2+2\), also \(g'''(0)=2\neq0\). Damit liegt dort ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also der Terrassenpunkt \(T_0(0\mid0)\), vor.

a) \(g'(x)=-\frac{1}{4}x^4+x^2\); stationäre Stellen \(x=-2,0,2\). b) \(H\left(2\mid\frac{16}{15}\right)\), \(T\left(-2\mid-\frac{16}{15}\right)\), Terrassenpunkt \(T_0(0\mid0)\).

- Welche Vielfachheiten haben die Nullstellen von \(f'\)? - Was bedeutet eine gerade beziehungsweise ungerade Vielfachheit für den Vorzeichenwechsel von \(f'\)? - Wie kannst du bei der stationären Nicht-Extremstelle prüfen, ob tatsächlich ein Terrassenpunkt vorliegt?

1. Es gilt \(f'(x)=x^5-2x^4+x^3=x^3(x-1)^2\). Damit sind \(x=0\) und \(x=1\) stationäre Stellen. 2. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) wegen des Faktors \(x^3\) von negativ zu positiv. Daher liegt dort ein lokales Minimum. Mit \(f(0)=1\) ergibt sich \(T(0\mid1)\). 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) wegen des geraden Faktors \((x-1)^2\) nicht das Vorzeichen; dort liegt also kein Extremum vor. 4. Es gilt \(f''(1)=0\) und \(f'''(1)=2\neq0\). Damit ist \(x=1\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt.

Der einzige lokale Extrempunkt ist \(T(0\mid1)\). Bei \(x=1\) liegt ein Terrassenpunkt vor.