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- Welches Werkzeug der Differenzialrechnung hilft dir, Steigungen von Null zu finden? - Hast du überprüft, ob alle gefundenen Lösungen innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegen? - Wie stellst du sicher, dass es sich wirklich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt und nicht um Sattelpunkte?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 3\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: \(3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1\). 3. Überprüfen, ob die Stellen im Intervall \((-1{,}8; 1{,}8)\) liegen: Beide Stellen liegen im Intervall. 4. Hinreichende Bedingung (\(f''(x) = 6x\)): \(f''(1) = 6 > 0\) (Minimum), \(f''(-1) = -6 < 0\) (Maximum). 5. Resultat: 2 lokale Extremstellen.

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- Was bedeutet es für die Steigung einer Tangente, wenn sie parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle zu berechnen? - Wie gehst du vor, wenn du nach Punkten (also \(x\)- und \(y\)-Werten) und nicht nur nach Stellen gefragt bist?

1. Ableitung der Funktion \(f\) bilden: \(f'(x) = 6x^2 + 6x - 12\). 2. Bedingung für eine waagerechte Tangente (Steigung null) ansetzen: \(f'(x) = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(6x^2 + 6x - 12 = 0\) (bzw. \(x^2 + x - 2 = 0\)) ergibt die \(x\)-Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -2\). 4. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion: \(f(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 4 = -3\). \(f(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - 12 \cdot (-2) + 4 = -16 + 12 + 24 + 4 = 24\). 5. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(1 \mid -3)\) und \(P_2(-2 \mid 24)\).

Die Punkte mit waagerechter Tangente sind \(P_1(1 \mid -3)\) und \(P_2(-2 \mid 24)\).

- Beginne damit, die ersten beiden Ableitungen der Funktion zu bilden. - Suche zuerst nach den Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist. - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung unterscheiden, ob an einer Stelle ein „Berg“ oder ein „Tal“ vorliegt? - Achte beim Lösen der quadratischen Gleichung auf die Vorzeichen.

1. Ableitungsfunktionen berechnen: \(g'(x) = -3x^2 + 9x - 6\) und \(g''(x) = -6x + 9\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen (\(g'(x) = 0\)): \(-3x^2 + 9x - 6 = 0 \iff x^2 - 3x + 2 = 0\). Mithilfe der p-q-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-2) = 0\) ergeben sich \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Art der Extrema durch Einsetzen in \(g''(x)\) bestimmen: \(g''(1) = -6 \cdot 1 + 9 = 3 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 1\). \(g''(2) = -6 \cdot 2 + 9 = -3 < 0 \implies\) Lokales Maximum an der Stelle \(x = 2\).

Lokales Minimum bei \(x = 1\); lokales Maximum bei \(x = 2\).

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der Krümmung entscheiden, ob ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorliegt? - Was musst du tun, um die vollständigen Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen zu erhalten? - Achte darauf, alle notwendigen Ableitungen sauber nacheinander zu bilden.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 4x + 3\) und \(f''(x) = 2x - 4\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liefert die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: \(f''(1) = -2 < 0\), daraus folgt ein lokales Maximum bei \(x_1 = 1\); \(f''(3) = 2 > 0\), daraus folgt ein lokales Minimum bei \(x_2 = 3\). 4. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = \frac{16}{3}\) und \(f(3) = 4\). 5. Ergebnisse zusammenfassen: Hochpunkt \(H(1 \mid \frac{16}{3})\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid 4)\).

Extremstellen: \(x_1 = 1\) (Maximum) und \(x_2 = 3\) (Minimum). Lage und Art der Extrempunkte: Hochpunkt \(H(1 \mid \frac{16}{3})\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid 4)\).

- Suche zuerst die Stellen, an denen die Tangente waagerecht verläuft. - Überlege, wie du die zweite Ableitung nutzen kannst, um das Vorliegen eines Hoch- oder Tiefpunkts nachzuweisen. - Wie erhältst du die \(y\)-Werte der gesuchten Punkte? - Überprüfe deine Rechenschritte beim Lösen der quadratischen Gleichung sorgfältig.

1. Ableitungsfunktionen bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 3x - 6\) und \(f''(x) = 6x - 3\). 2. Mögliche Extremstellen durch \(f'(x) = 0\) finden: \(3(x^2 - x - 2) = 0 \implies x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 3. Art der Extremstellen mit \(f''\) bestimmen: \(f''(-1) = -9 < 0 \implies\) Hochpunkt; \(f''(2) = 9 > 0 \implies\) Tiefpunkt. 4. \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) ermitteln: \(f(-1) = 5{,}5\) und \(f(2) = -8\). 5. Koordinaten der Punkte: \(H(-1 \mid 5{,}5)\) und \(T(2 \mid -8)\).

Extremstellen: \(x_1 = -1\) (Maximum) und \(x_2 = 2\) (Minimum). Extrempunkte: Hochpunkt \(H(-1 \mid 5{,}5)\) und Tiefpunkt \(T(2 \mid -8)\).

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Hast du daran gedacht, die y-Koordinaten der Punkte zu berechnen? - Überprüfe deine Vorzeichen beim Einsetzen negativer Werte in die Funktionsgleichung.

1. Erste und zweite Ableitung bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\) und \(f''(x) = 6x - 6\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(3(x^2 - 2x - 3) = 0\) liefert durch Faktorisierung oder Mitternachtsformel die kritischen Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(3) = 12 > 0\), daraus folgt ein lokales Minimum an der Stelle \(x = 3\). \(f''(-1) = -12 < 0\), daraus folgt ein lokales Maximum an der Stelle \(x = -1\). 4. Funktionswerte ermitteln: \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 10 = -17\) und \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 10 = 15\). 5. Ergebnisse zusammenführen: Hochpunkt \(H(-1 \mid 15)\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid -17)\).

Die Funktion hat einen lokalen Hochpunkt bei \(H(-1 \mid 15)\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(T(3 \mid -17)\).

- Welche Bedingung muss für die Steigung an einem Hochpunkt gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung überprüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Was gibt der Funktionswert \(h(t)\) an einer bestimmten Stelle \(t\) an?

1. Erste und zweite Ableitung bestimmen: \(h'(t) = -9{,}8t + 12\) und \(h''(t) = -9{,}8\). 2. Nullstelle der ersten Ableitung berechnen (notwendige Bedingung): \(h'(t) = 0 \Rightarrow -9{,}8t + 12 = 0 \Rightarrow t = \frac{12}{9{,}8} \approx 1{,}224\). 3. Art des Extrempunkts prüfen (hinreichende Bedingung): Da \(h''(1{,}224) = -9{,}8 < 0\), liegt an der Stelle \(t \approx 1{,}22\) ein lokales Maximum vor. 4. Funktionswert an der Stelle \(t \approx 1{,}224\) berechnen: \(h(1{,}224) = -4{,}9 \cdot (1{,}224)^2 + 12 \cdot 1{,}224 + 1{,}5 \approx 8{,}847\). Der Ball erreicht nach ca. \(1{,}22\,\text{s}\) seinen höchsten Punkt in einer Höhe von ca. \(8{,}85\,\text{m}\).

Der höchste Punkt wird nach etwa \(1{,}22\,\text{s}\) erreicht. Die maximale Höhe beträgt ca. \(8{,}85\,\text{m}\).

- Wie hängen die Position (Höhe) und die Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Was lässt sich über die Geschwindigkeit eines Objekts sagen, wenn es seinen höchsten Punkt erreicht hat? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Änderungsrate einer Funktion zu finden?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion durch Ableitung der Höhenfunktion: \(v(t) = h'(t) = -10t + 20\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit für \(t = 1\): \(v(1) = -10 \cdot 1 + 20 = 10\). Die Geschwindigkeit beträgt \(10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). 3. Der höchste Punkt wird erreicht, wenn die Momentangeschwindigkeit null ist: \(-10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2\). Der Ball erreicht nach \(2\,\text{s}\) den höchsten Punkt. 4. Berechnung der maximalen Höhe durch Einsetzen von \(t = 2\) in \(h(t)\): \(h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 1{,}2 = -20 + 40 + 1{,}2 = 21{,}2\). Die maximale Höhe beträgt \(21{,}2\,\text{m}\).

a) Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 1\,\text{s}\) beträgt \(10\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). b) Der Ball erreicht nach \(2\,\text{s}\) seinen höchsten Punkt in einer Höhe von \(21{,}2\,\text{m}\).

- Was ist die notwendige Bedingung für eine waagerechte Tangente? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung feststellen, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt? - Vergiss nicht, die \(y\)-Werte der Punkte zu berechnen, indem du die Stellen in die ursprüngliche Funktion einsetzt.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 9x + 6\) und \(f''(x) = 6x - 9\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\) lösen: \(3(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: - Für \(x_1 = 1\): \(f''(1) = 6 \cdot 1 - 9 = -3\). Da \(f''(1) < 0\), liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - Für \(x_2 = 2\): \(f''(2) = 6 \cdot 2 - 9 = 3\). Da \(f''(2) > 0\), liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 4. Funktionswerte berechnen: - \(f(1) = 1^3 - 4{,}5 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 2 = 4{,}5\). - \(f(2) = 2^3 - 4{,}5 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 + 2 = 8 - 18 + 12 + 2 = 4\). 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H(1 \mid 4{,}5)\) und Tiefpunkt \(T(2 \mid 4)\).

Die Funktion hat einen Hochpunkt bei \(H(1 \mid 4{,}5)\) und einen Tiefpunkt bei \(T(2 \mid 4)\).

- Erinnere dich an die Bedingung für eine waagerechte Tangente. - Wie kannst du eine quadratische Gleichung lösen, um die Kandidaten für die Extremstellen zu finden? - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein, um die Höhe der Punkte zu bestimmen. - Ein Punkt mit einem höheren \(y\)-Wert ist bei zwei benachbarten Extremstellen oft der Hochpunkt – prüfe dies durch das allgemeine Steigungsverhalten der Funktion.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\). 2. Notwendiges Kriterium \(f'(x) = 0\) lösen: \(3(x^2 - 4x + 3) = 0\). Mit der pq-Formel oder Faktorisierung \((x-1)(x-3) = 0\) ergeben sich die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 2 = 6\) und \(f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 2 = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\). 4. Analyse: Da \(f(1) > f(3)\) und die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(+\infty\) sowie für \(x \to -\infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss bei \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt und bei \(x = 3\) ein lokaler Tiefpunkt liegen. 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H(1 \mid 6)\) und Tiefpunkt \(T(3 \mid 2)\).

Die Extrempunkte der Funktion sind \(H(1 \mid 6)\) und \(T(3 \mid 2)\).

- Was sagt die erste Ableitung über die Steigung einer Kurve aus? - An welchem Punkt einer Flugbahn ist die Steigung genau null? - Wie berechnet man den passenden Funktionswert, wenn die Stelle \(x\) bekannt ist? - Erinnere dich an die Bedeutung der Tangentensteigung im höchsten Punkt.

1. Berechnung der ersten Ableitung der Funktion \(h(x)\): \(h'(x) = -0{,}1x + 0{,}8\). 2. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(-0{,}1x + 0{,}8 = 0 \implies x = 8\). Die horizontale Entfernung zum höchsten Punkt beträgt \(8\,\text{m}\). 3. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(h''(x) = -0{,}1\). Da \(h''(8) < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x = 8\): \(h(8) = -0{,}05 \cdot 8^2 + 0{,}8 \cdot 8 + 1{,}5 = -3{,}2 + 6{,}4 + 1{,}5 = 4{,}7\). Die maximale Höhe beträgt \(4{,}7\,\text{m}\). 5. Interpretation von \(h'(x) = 0\): An dieser Stelle ist die Steigung der Tangente an den Graphen null. Das bedeutet, dass die Höhe der Flugbahn beim Übergang über diese Stelle vom Steigen zum Fallen wechselt; es ist der Scheitelpunkt der Parabel.

a) Der Ball erreicht nach einer horizontalen Entfernung von \(8\,\text{m}\) seinen höchsten Punkt. b) Die maximale Höhe des Balls beträgt \(4{,}7\,\text{m}\). c) Die Bedingung \(h'(x) = 0\) kennzeichnet die Stelle mit waagerechter Tangente, also den höchsten Punkt (Scheitelpunkt) der Flugbahn, an dem die vertikale Steigung null ist.

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt zu unterscheiden? - Denk daran, am Ende die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu berechnen, indem du die Stellen in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzt. - Kannst du beim Lösen der Gleichung \(f'(x) = 0\) einen Faktor ausklammern?

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x\) und \(f''(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) lösen: \(\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0\) liefert die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Hinreichendes Kriterium prüfen: - \(f''(0) = -2 < 0 \Rightarrow\) relatives Maximum (Hochpunkt). - \(f''(2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 2 = 4 > 0 \Rightarrow\) relatives Minimum (Tiefpunkt). - \(f''(-2) = \frac{3}{2} \cdot 4 - 2 = 4 > 0 \Rightarrow\) relatives Minimum (Tiefpunkt). 4. Funktionswerte berechnen: \(f(0) = 3\), \(f(2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 4 + 3 = 1\) und \(f(-2) = 1\). Die lokalen Extrempunkte sind \(H(0 \mid 3)\), \(T_1(2 \mid 1)\) und \(T_2(-2 \mid 1)\).

Die Funktion besitzt einen Hochpunkt bei \(H(0 \mid 3)\) sowie zwei Tiefpunkte bei \(T_1(2 \mid 1)\) und \(T_2(-2 \mid 1)\).

- Was sagt die Steigung an einem Gipfel oder in einem Tal über den Wert der ersten Ableitung aus? - Wenn die Kurve an einer Stelle nach unten geöffnet ist, welche Art von Extrempunkt liegt dann vor? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in die Funktionsgleichung besonders auf die Vorzeichenregeln bei Potenzen.

1. Ableitungen bestimmen: \(f'(x) = 6x^2 + 6x - 12\) und \(f''(x) = 12x + 6\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(6(x^2 + x - 2) = 0\) führt über die pq-Formel oder Faktorisierung \((x+2)(x-1) = 0\) zu \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). 3. Zweite Ableitung an den Stellen auswerten: - \(f''(-2) = 12 \cdot (-2) + 6 = -18 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt. - \(f''(1) = 12 \cdot 1 + 6 = 18 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt. 4. \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) ermitteln: - \(f(-2) = 2(-8) + 3(4) - 12(-2) + 4 = -16 + 12 + 24 + 4 = 24\). - \(f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 4 = 2 + 3 - 12 + 4 = -3\). Ergebnisse: \(H(-2 \mid 24)\) und \(T(1 \mid -3)\).

Die Funktion hat einen relativen Hochpunkt bei \(H(-2 \mid 24)\) und einen relativen Tiefpunkt bei \(T(1 \mid -3)\).

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? - Wie unterscheidest du mit der zweiten Ableitung Hoch- und Tiefpunkt? - Wie erhältst du nach den Extremstellen die zugehörigen Funktionswerte?

1. Es gilt \(f'(x)=-3x^2+3\) und \(f''(x)=-6x\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x^2=1\), also \(x=-1\) und \(x=1\). 3. Wegen \(f''(1)=-6<0\) liegt bei \(x=1\) ein Hochpunkt vor; wegen \(f''(-1)=6>0\) liegt bei \(x=-1\) ein Tiefpunkt vor. 4. Es ist \(f(1)=3\) und \(f(-1)=-1\). Damit lauten die Extrempunkte \(H(1\mid3)\) und \(T(-1\mid-1)\).

Hochpunkt \(H(1 \mid 3)\) und Tiefpunkt \(T(-1 \mid -1)\).

- Welchen Punkt auf einer Kurve suchen wir, wenn nach einem „Maximum“ gefragt ist? - Welche Bedingung muss für die Änderung der Höhe gelten, wenn der höchste Punkt erreicht ist? - Hast du nach dem Finden des optimalen Zeitpunkts auch die eigentliche Höhe ausgerechnet?

1. Ableitungsfunktion für die Steigung der Höhe bestimmen: \(h'(t) = -0{,}3t^2 + 0{,}4t + 1{,}5\). 2. Nullstellen der Ableitung berechnen (\(h'(t) = 0\)): Anwendung der Mitternachtsformel ergibt \(t_1 = 3\) und \(t_2 = -\frac{5}{3}\) (nicht relevant, da \(t \ge 0\)). 3. Überprüfung mit zweiter Ableitung (\(h''(t) = -0{,}6t + 0{,}4\)): \(h''(3) = -1{,}4 < 0\), also liegt ein Maximum bei \(t = 3\) vor. 4. Maximalen Höhenwert berechnen: \(h(3) = -0{,}1(3^3) + 0{,}2(3^2) + 1{,}5(3) = -2{,}7 + 1{,}8 + 4{,}5 = 3{,}6\,\text{km}\).

\(3{,}6\,\text{km}\)

- Wie hängen die Position und die Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Welche Eigenschaft hat die Geschwindigkeit an dem Punkt, an dem die Rakete umkehrt? - Was bedeutet „auf dem Boden aufschlagen“ für den Wert der Höhenfunktion? - Überlege dir, ob eine negative Geschwindigkeit beim Aufprall physikalisch sinnvoll ist.

1. Die momentane Geschwindigkeit ist die erste Ableitung der Höhenfunktion: \(v(t) = h'(t) = -10t + 30\). 2. Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit Null: \(-10t + 30 = 0 \implies t = 3\,\text{s}\). Die maximale Höhe beträgt \(h(3) = -5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 + 0{,}5 = -45 + 90 + 0{,}5 = 45{,}5\,\text{m}\). 3. Die Rakete schlägt auf dem Boden auf, wenn \(h(t) = 0\). Die Lösung der quadratischen Gleichung \(-5t^2 + 30t + 0{,}5 = 0\) ergibt (für \(t > 0\)) \(t \approx 6{,}017\,\text{s}\). Die Aufprallgeschwindigkeit berechnet sich durch Einsetzen in \(v(t)\): \(v(6{,}017) = -10 \cdot 6{,}017 + 30 \approx -30{,}17\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(v(t) = -10t + 30\) b) Zeitpunkt: \(3\,\text{s}\); maximale Höhe: \(45{,}5\,\text{m}\) c) Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt ca. \(30{,}17\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (nach unten gerichtet).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung und der Steigung des Graphen. - Wenn ein Term in einer Gleichung in jedem Glied vorkommt, kannst du ihn ausklammern, um die Gleichung einfacher zu lösen. - Überlege, wie viele Stellen eine Funktion vierten Grades maximal mit dieser Eigenschaft haben könnte.

1. Erste Ableitung von \(g\) bestimmen: \(g'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Die Bedingung für eine waagerechte Tangente ist \(g'(x) = 0\). 3. Lösen der Gleichung \(x^3 - 3x^2 + 2x = 0\). 4. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 - 3x + 2) = 0\). 5. Nullstellen bestimmen: Die erste Lösung ist \(x_1 = 0\). 6. Die weiteren Lösungen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x + 2 = 0\) liefern \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\).

Die Stellen mit waagerechter Tangente liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\).

- Überlege zuerst, an welchen Stellen im Inneren des Intervalls die Steigung null sein muss. - Vergiss nicht, auch die Ränder des Intervalls zu prüfen, da dort die absoluten Höchst- oder Tiefwerte liegen können. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? - Vergleiche am Ende alle gefundenen Funktionswerte, um die globalen Extrema zu bestimmen.

1. Berechnung der Ableitungen: \(f'(x) = x^3 - 4x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 4\). 2. Notwendige Bedingung für lokale Extrema (\(f'(x) = 0\)): \(x(x^2 - 4) = 0\) liefert die kritischen Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). Alle Stellen liegen im Intervall \(I\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(0) = -4 < 0 \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt \(H(0 \mid 3)\). - \(f''(2) = 8 > 0 \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt \(T_1(2 \mid -1)\). - \(f''(-2) = 8 > 0 \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt \(T_2(-2 \mid -1)\). 4. Untersuchung der Randwerte: \(f(-3) = 5{,}25\) und \(f(2{,}5) = 0{,}265625\). 5. Vergleich aller Funktionswerte (\(-1; 0{,}265625; 3; 5{,}25\)): - Globales Maximum bei \(x = -3\) mit \(f(-3) = 5{,}25\). - Globales Minimum bei \(x = -2\) und \(x = 2\) mit \(f(-2) = f(2) = -1\).

Lokale Extrema: \(H(0 \mid 3)\) (lokaler Hochpunkt), \(T_1(2 \mid -1)\) und \(T_2(-2 \mid -1)\) (lokale Tiefpunkte). Globale Extrema: Globales Maximum am linken Intervallrand bei \(P_{\max}(-3 \mid 5{,}25)\); globale Minima bei \(T_2(-2 \mid -1)\) und \(T_1(2 \mid -1)\).

- Was ist der erste Schritt, um Stellen mit waagerechter Tangente zu finden? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Stelle ein lokales Maximum oder Minimum ist? - Warum ist es bei einem fest vorgegebenen Intervall wichtig, die Funktionswerte an den Intervallgrenzen zu berechnen? - Ein globales Extremum ist der absolut höchste oder niedrigste Wert im gesamten betrachteten Bereich.

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung: \(\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0\). Dies ergibt \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). Beide Werte liegen im Intervall \([-2; 4]\). 3. Art der lokalen Extrema mit \(g''(x) = x - 1\) prüfen: - \(g''(-1) = -2 < 0 \Rightarrow\) lokales Maximum bei \(x = -1\). Funktionswert: \(g(-1) = \frac{17}{6} \approx 2{,}83\). - \(g''(3) = 2 > 0 \Rightarrow\) lokales Minimum bei \(x = 3\). Funktionswert: \(g(3) = -2{,}5\). 4. Randwerte berechnen: - Linker Rand: \(g(-2) = \frac{5}{3} \approx 1{,}67\). - Rechter Rand: \(g(4) = -\frac{4}{3} \approx -1{,}33\). 5. Ergebnis: Lokales Maximum bei \(x = -1\), lokales Minimum bei \(x = 3\). Das globale Maximum liegt bei \(x = -1\) (\(y \approx 2{,}83\)), das globale Minimum bei \(x = 3\) (\(y = -2{,}5\)).

Im Intervall \([-2; 4]\) besitzt die Funktion \(g\) ein lokales (und globales) Maximum bei \(x = -1\) mit \(g(-1) = \frac{17}{6} \approx 2{,}83\) sowie ein lokales (und globales) Minimum bei \(x = 3\) mit \(g(3) = -2{,}5\). Die Randwerte sind \(g(-2) = \frac{5}{3}\) und \(g(4) = -\frac{4}{3}\).

- Was bedeutet „Abstand zur \(x\)-Achse“ mathematisch für einen Punkt auf dem Graphen? - Wenn der Graph die \(x\)-Achse nicht schneidet, ist die Funktion entweder immer positiv oder immer negativ. - Wie hängen Extremstellen einer Funktion mit dem minimalen Abstand zur \(x\)-Achse zusammen? - Vergiss nicht, am Ende die vollständigen Koordinaten \((x \mid y)\) anzugeben.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 4x^3 - 4x\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(4x(x^2 - 1) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 3. Art der Extremstellen prüfen: \(f''(x) = 12x^2 - 4\). Es gilt \(f''(0) = -4 < 0\) (lokales Maximum), \(f''(1) = 8 > 0\) (lokales Minimum) und \(f''(-1) = 8 > 0\) (lokales Minimum). 4. Da der Graph die \(x\)-Achse nicht schneidet und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\) gilt, wird der kleinste Abstand an den globalen Minima erreicht. 5. Funktionswerte berechnen: \(f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 5 = 4\) und \(f(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 5 = 4\). 6. Die Koordinaten der gesuchten Punkte angeben.

\(P_1(-1 \mid 4)\) und \(P_2(1 \mid 4)\)

- Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn du die beiden Einzelterme addierst? - Erinnere dich daran, dass Extremstellen im Inneren eines Intervalls dort liegen können, wo die Ableitung null ist. - Vergiss nicht, die Funktionswerte an den Grenzen des Definitionsbereichs zu prüfen. - Ein Extremum ist ein „inneres Extremum“, wenn die Stelle zwischen den Intervallgrenzen liegt, und ein „Randextremum“, wenn sie genau auf einer Grenze liegt.

1. Bildung der Summenfunktion: \(s(x) = (x^2 - 4x + 6) + (-0{,}5x^2 + x + 2) = 0{,}5x^2 - 3x + 8\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(s'(x) = x - 3\). 3. Suche nach stationären Stellen im Inneren des Intervalls: \(s'(x) = 0 \implies x = 3\). Da \(3 \in (0; 6)\) liegt, ist dies ein potenzielles inneres Extremum. 4. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 3\): \(s(3) = 0{,}5 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 8 = 4{,}5 - 9 + 8 = 3{,}5\). 5. Untersuchung der Randwerte des Intervalls \([0; 6]\): \(s(0) = 0{,}5 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 8 = 8\). \(s(6) = 0{,}5 \cdot 6^2 - 3 \cdot 6 + 8 = 18 - 18 + 8 = 8\). 6. Vergleich der Werte: Der kleinste Wert ist \(3{,}5\) bei \(x = 3\), der größte Wert ist \(8\) bei \(x = 0\) und \(x = 6\). 7. Klassifizierung: Bei \(x = 3\) liegt ein inneres Extremum vor (globales Minimum). Bei \(x = 0\) und \(x = 6\) liegen Randextrema vor (globale Maxima).

Das globale Minimum der Summenfunktion liegt bei \(x = 3\) mit dem Wert \(s(3) = 3{,}5\). Da die Stelle \(x = 3\) innerhalb des Intervalls \((0; 6)\) liegt, handelt es sich um ein inneres Extremum. Das globale Maximum wird an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 6\) mit dem Wert \(s(0) = s(6) = 8\) erreicht. Da diese Stellen die Grenzen des Intervalls bilden, handelt es sich um Randextrema.

- Achte beim Bilden der Differenzfunktion besonders auf das Minuszeichen vor der gesamten Funktion \(g(x)\). - Welche Stellen musst du untersuchen, um die absolut größten und kleinsten Werte in einem abgeschlossenen Intervall zu finden? - Prüfe nach der Berechnung der Nullstellen der Ableitung, welche davon tatsächlich im vorgegebenen Bereich liegen. - Vergleiche am Ende alle gefundenen Funktionswerte (von den Rändern und aus dem Inneren), um das globale Maximum und Minimum zu bestimmen.

1. Aufstellen der Differenzfunktion: \(d(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4) - (-x^2 + x + 1) = \frac{1}{3}x^3 - x + 3\). 2. Ableitung bilden: \(d'(x) = x^2 - 1\). 3. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(x^2 - 1 = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = -1\). Da nur \(x = 1\) im Intervall \([0; 3]\) liegt, wird nur dieser Wert als inneres Extremum geprüft. 4. Funktionswert an der inneren Stelle: \(d(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - 1 + 3 = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2{,}33\). 5. Randwerte berechnen: \(d(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - 0 + 3 = 3\). \(d(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3 + 3 = 9\). 6. Vergleich der Werte: Der globale Minimalwert ist \(2\frac{1}{3}\) (bei \(x = 1\)), der globale Maximalwert ist \(9\) (bei \(x = 3\)). 7. Klassifizierung: \(x = 1\) ist eine innere Extremstelle (globales Minimum). \(x = 3\) ist eine Randextremstelle (globales Maximum). Der Randwert \(d(0)=3\) ist zwar ein lokales Maximum am Rand, aber nicht das globale Maximum des Intervalls.

Das globale Minimum der Differenzfunktion liegt bei \(x = 1\) mit dem Wert \(d(1) = 2\frac{1}{3}\). Es handelt sich um ein inneres Extremum. Das globale Maximum liegt bei \(x = 3\) mit dem Wert \(d(3) = 9\). Es handelt sich um ein Randextremum.

- Welche Bedeutung hat die erste Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion in der Physik? - Was passiert mit der Geschwindigkeit des Pfeils genau in dem Moment, in dem er umkehrt? - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Steigen oder Fallen des Graphen zusammen? - Überlege dir, ab welchem Startzeitpunkt die Bewegung beginnt.

1. Ableitungsfunktion bilden: \(h'(t) = -9{,}81t + 45\). 2. Notwendige Bedingung für ein Extremum (\(h'(t) = 0\)) anwenden: \(-9{,}81t + 45 = 0 \Rightarrow t = \frac{45}{9{,}81} \approx 4{,}587\). Der Pfeil erreicht nach etwa \(4{,}59\,\text{s}\) seine maximale Höhe. 3. Maximale Höhe berechnen: \(h(4{,}587) = -4{,}905 \cdot (4{,}587)^2 + 45 \cdot 4{,}587 \approx 103{,}21\). Die maximale Höhe beträgt ca. \(103{,}21\,\text{m}\). 4. Monotonie untersuchen: Der Pfeil steigt, solange die Steigung der Höhenfunktion positiv ist (\(h'(t) > 0\)). Dies ist für \(0 \le t < 4{,}587\) der Fall. Da \(h''(t) = -9{,}81 < 0\) ist, handelt es sich beim berechneten Zeitpunkt tatsächlich um ein Maximum, nach dem die Höhe wieder abnimmt.

a) Der Pfeil erreicht nach ca. \(4{,}59\,\text{s}\) seine maximale Höhe. b) Die maximale Höhe beträgt ca. \(103{,}21\,\text{m}\). c) Der Pfeil steigt im Intervall \([0; 4{,}59)\) (in Sekunden), da dort \(h'(t) > 0\) gilt.

- Überlege dir zuerst, wie die Funktion für den Gewinn aus den gegebenen Funktionen für Erlös und Kosten gebildet wird. - Was bedeutet ein negativer Wert für die Gewinnfunktion im Sachzusammenhang? - Erinnere dich an die notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, indem du ein geeignetes Kriterium (z. B. die zweite Ableitung) nutzt. - Achte darauf, ob das berechnete Ergebnis innerhalb des vorgegebenen Definitionsbereichs liegt.

1. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = 25x - (x^3 - 6x^2 + 10x + 50) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50\). 2. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 2\): \(G(2) = -(2)^3 + 6 \cdot (2)^2 + 15 \cdot 2 - 50 = -8 + 24 + 30 - 50 = -4\). Da \(G(2) = -4 < 0\), entsteht ein Verlust von \(4000\,\text{€}\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung der Gewinnfunktion: \(G'(x) = -3x^2 + 12x + 15\). 4. Nullstellen der ersten Ableitung finden: \(-3x^2 + 12x + 15 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 5 = 0\). Mithilfe der p-q-Formel ergeben sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Da nur \(x \in [0; 7]\) relevant ist, wird \(x = 5\) untersucht. 5. Prüfung der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -6x + 12\). Einsetzen von \(x = 5\) ergibt \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 12 = -18\). Da \(G''(5) < 0\), liegt an der Stelle \(x = 5\) ein lokales Maximum vor. 6. Vergleich mit den Randwerten: \(G(0) = -50\) und \(G(7) = -(7)^3 + 6 \cdot (7)^2 + 15 \cdot 7 - 50 = -343 + 294 + 105 - 50 = 6\). Da \(G(5) = 50\) größer als die Randwerte ist, liegt das absolute Maximum bei \(x = 5\).

a) Der Gewinn bei \(x = 2\) beträgt \(G(2) = -4\). Ein negativer Wert bedeutet einen Verlust (hier \(4000\,\text{€}\)). b) Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(5\,\text{Tonnen}\) erzielt.

- Wie hängen Erlös, Kosten und Gewinn zusammen? Erstelle daraus eine Funktionsgleichung. - Achte auf die Einheiten: Was bedeutet \(x=1\) im Kontext der Aufgabe? - Um eine Stelle mit dem größten Wert zu finden, helfen dir die Ableitungen der Funktion. - Denk daran, dass ein Extremum im Inneren eines Intervalls mit den Werten an den Rändern des Intervalls verglichen werden muss.

1. Bildung der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 25x - (x^3 - 9x^2 + 40x + 10) = -x^3 + 9x^2 - 15x - 10\). 2. Berechnung für \(100\,\text{Stück}\) (\(x = 1\)): \(G(1) = -1^3 + 9 \cdot 1^2 - 15 \cdot 1 - 10 = -1 + 9 - 15 - 10 = -17\). Dies entspricht einem Verlust von \(17\,000\,\text{€}\). 3. Ableitungen bilden: \(G'(x) = -3x^2 + 18x - 15\) und \(G''(x) = -6x + 18\). 4. Notwendige Bedingung \(G'(x) = 0\): \(-3x^2 + 18x - 15 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 5 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(G''(1) = -6 \cdot 1 + 18 = 12 > 0\) (Minimum); \(G''(5) = -6 \cdot 5 + 18 = -12 < 0\) (Maximum). 6. Maximalgewinn berechnen: \(G(5) = -5^3 + 9 \cdot 5^2 - 15 \cdot 5 - 10 = -125 + 225 - 75 - 10 = 15\). 7. Randwertprüfung: \(G(0) = -10\), \(G(8) = -8^3 + 9 \cdot 8^2 - 15 \cdot 8 - 10 = -512 + 576 - 120 - 10 = -66\). Das absolute Maximum liegt bei \(x = 5\) mit \(G(5) = 15\).

a) Bei einer Menge von \(100\,\text{Stück}\) (\(x=1\)) macht das Unternehmen einen Verlust von \(17\,000\,\text{€}\). b) Der maximale Gewinn wird bei einer Menge von \(500\,\text{Stück}\) (\(x=5\)) erzielt und beträgt \(15\,000\,\text{€}\).

- Überlege dir, welche Bedingung für die erste Ableitung erfüllt sein muss, damit eine Funktion Extremstellen hat. - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über die Steigung der Kosten aus? - Der Gewinn berechnet sich aus dem Erlös minus den Kosten. - Achte beim Aufstellen der Erlösfunktion darauf, dass die Einheiten (hier Tausend Euro) konsistent bleiben. - Wie findest du mithilfe der Ableitungen den höchsten Punkt einer Kurve?

1. Berechnung der ersten Ableitung der Kostenfunktion: \(K'(x) = x^2 - 8x + 20\). 2. Untersuchung auf Nullstellen von \(K'(x)\): Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 8x + 20 = 0\) ist \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16\). Da \(D < 0\), hat \(K'(x)\) keine reellen Nullstellen und \(K(x)\) somit keine lokalen Extremstellen. Da \(K'(0) = 20 > 0\), ist die Funktion streng monoton steigend. Wirtschaftlich ist dies sinnvoll, da mit steigender Produktionsmenge in der Regel auch die Gesamtkosten steigen. 3. Aufstellen der Erlösfunktion: Da ein Paket (100 Stück) \(40\,000\,\text{€}\) (entspricht \(40\) in Tausend Euro) kostet, gilt \(E(x) = 40x\). 4. Aufstellen der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 40x - (\frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 20x + 50) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + 20x - 50\). 5. Bestimmung des Maximums von \(G(x)\): \(G'(x) = -x^2 + 8x + 20\). Nullstellen von \(G'(x)\): \(-x^2 + 8x + 20 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 8x - 20 = 0 \Rightarrow x_1 = 10\) und \(x_2 = -2\). Da \(x \ge 0\), ist nur \(x = 10\) relevant. 6. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(G''(x) = -2x + 8\); \(G''(10) = -20 + 8 = -12 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. Für das globale Maximum im Intervall werden zusätzlich die Randwerte verglichen: \(G(0)=-50\) und \(G(15)=25\). Daher ist \(G(10)\) das globale Maximum. 7. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(10) = -\frac{1}{3} \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 20 \cdot 10 - 50 = -\frac{1000}{3} + 400 + 200 - 50 = 216\frac{2}{3} \approx 216{,}67\).

a) Nachweis über \(K'(x) = x^2 - 8x + 20\), welche keine reellen Nullstellen hat (\(D = -16\)). Wirtschaftlich sinnvoll, da die Kosten bei Mehrproduktion stets steigen. b) Die Gewinnfunktion lautet \(G(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + 20x - 50\). Der maximale Gewinn wird bei einer Produktionsmenge von \(x = 10\) (entspricht \(1000\) Stück) erzielt und beträgt \(216\frac{2}{3}\) Tausend Euro (ca. \(216\,666{,}67\,\text{€}\)).

- Wie hängen die Monotonie einer Funktion und das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung zusammen? - Untersuche die Diskriminante der Ableitungsfunktion, um zu prüfen, ob es Punkte mit der Steigung Null gibt. - Achte beim Erlös darauf, den Preis pro Tonne in der gleichen Einheit wie die Kostenfunktion (\(1000\,\text{€}\)) anzugeben. - Um den Gewinn zu maximieren, musst du die Stelle finden, an der die Differenz zwischen Erlös und Kosten am größten ist.

1. Erste Ableitung der Kostenfunktion bestimmen: \(K'(x) = \frac{1}{10}x^2 - x + 4\). 2. Untersuchung des Vorzeichens von \(K'(x)\): Die Nullstellen von \(0{,}1x^2 - x + 4 = 0\) werden mit der Mitternachtsformel gesucht. Die Diskriminante ist \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 0{,}1 \cdot 4 = 1 - 1{,}6 = -0{,}6\). Da \(D < 0\) und der Leitkoeffizient \(0{,}1 > 0\) ist, gilt \(K'(x) > 0\) für alle \(x\). Somit ist \(K(x)\) streng monoton steigend. 3. Erlösfunktion aufstellen: Da \(1\) Tonne \(6{,}4\) Tausend Euro einbringt, ist \(E(x) = 6{,}4x\). 4. Gewinnfunktion bilden: \(G(x) = E(x) - K(x) = 6{,}4x - (\frac{1}{30}x^3 - 0{,}5x^2 + 4x + 20) = -\frac{1}{30}x^3 + 0{,}5x^2 + 2{,}4x - 20\). 5. Extremstelle von \(G(x)\) berechnen: \(G'(x) = -0{,}1x^2 + x + 2{,}4\). Nullstellen: \(-0{,}1x^2 + x + 2{,}4 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 10x - 24 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 12\) und \(x_2 = -2\). 6. Relevant ist \(x = 12\). Überprüfung der Art des Extremums: \(G''(x) = -0{,}2x + 1\); \(G''(12) = -2{,}4 + 1 = -1{,}4 < 0\). Es handelt sich um ein lokales Maximum. Für das globale Maximum im Intervall werden zusätzlich die Randwerte verglichen: \(G(0)=-20\) und \(G(20)\approx -38{,}67\). Daher ist \(G(12)\) das globale Maximum. 7. Maximalen Gewinn berechnen: \(G(12) = -\frac{1}{30} \cdot 12^3 + 0{,}5 \cdot 12^2 + 2{,}4 \cdot 12 - 20 = -57{,}6 + 72 + 28{,}8 - 20 = 23{,}2\).

a) Da \(K'(x) = 0{,}1x^2 - x + 4\) keine reellen Nullstellen hat (\(D = -0{,}6\)) und stets positiv ist, steigt \(K\) streng monoton. b) Der maximale Gewinn wird bei \(x = 12\), also bei einer Produktionsmenge von \(12\,\text{t}\), erreicht. Die Höhe des Gewinns beträgt \(23{,}2\) Tausend Euro (entspricht \(23\,200\,\text{€}\)).

- Wie erhältst du aus der Ortsfunktion Geschwindigkeit und Beschleunigung? - Welche notwendige Bedingung gilt für ein Minimum der Geschwindigkeitsfunktion? - Wie kannst du anschließend prüfen, dass der gefundene Zeitpunkt wirklich ein Minimum liefert?

1. Die Geschwindigkeit ist \(v(t)=s'(t)=0{,}6t^2-3t+4\). Daher ist \(v(5)=4\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). 2. Die Beschleunigung ist \(a(t)=v'(t)=1{,}2t-3\). Aus \(a(t)=0\) folgt \(t=2{,}5\,\text{s}\). 3. Da \(v''(t)=1{,}2>0\) gilt, liegt bei \(t=2{,}5\,\text{s}\) tatsächlich ein Minimum der Geschwindigkeit vor. 4. Zu diesem Zeitpunkt ist \(a(2{,}5)=0\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\).

a) \(v(5)=4\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\). b) Die Geschwindigkeit ist bei \(t=2{,}5\,\text{s}\) minimal; dort gilt \(a=0\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\).

- Wann ist die Geschwindigkeit eines Objekts gleich Null? - Wie kannst du die Beschleunigung aus der Geschwindigkeitsfunktion herleiten? - Was sagt ein negatives Vorzeichen bei der Beschleunigung über die Änderung der Geschwindigkeit aus? - Stell dir den Graphen der Geschwindigkeitsfunktion vor – was passiert an den Nullstellen mit Vorzeichenwechsel?

1. Bildung der Geschwindigkeitsfunktion: \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 18t + 24\). 2. Stillstand bedeutet \(v(t) = 0\). Lösen der quadratischen Gleichung \(3t^2 - 18t + 24 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 6t + 8 = 0\). 3. Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisierung ergibt \((t-2)(t-4) = 0\), also \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 4\,\text{s}\). 4. Bildung der Beschleunigungsfunktion: \(a(t) = v'(t) = 6t - 18\). 5. Berechnung der Beschleunigungswerte: \(a(2) = 6 \cdot 2 - 18 = -6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\) und \(a(4) = 6 \cdot 4 - 18 = 6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\). 6. Interpretation: Bei \(t = 2\) ist die Beschleunigung negativ, das Objekt kehrt von einer positiven in eine negative Bewegungsrichtung um. Bei \(t = 4\) ist die Beschleunigung positiv, das Objekt kehrt von einer negativen in eine positive Bewegungsrichtung um.

a) Das Objekt steht bei \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 4\,\text{s}\) momentan still. b) Die Beschleunigung beträgt \(a(2) = -6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\) und \(a(4) = 6\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\). c) Bei \(t = 2\,\text{s}\) findet ein Wechsel von positiver zu negativer Geschwindigkeit statt (Bremsvorgang/Umkehr), bei \(t = 4\,\text{s}\) ein Wechsel von negativer zu positiver Geschwindigkeit.

- Wie kannst du die Produktbedingung nutzen, um eine Zahl durch die andere auszudrücken? - Welche Funktion beschreibt die zu minimierende Summe dann in nur einer Variablen? - Wie überprüfst du, dass der gefundene stationäre Wert tatsächlich das globale Minimum liefert?

1. Sei \(x>0\) die erste und \(y>0\) die zweite Zahl. Aus \(xy=36\) folgt \(y=\frac{36}{x}\). 2. Die Zielfunktion lautet \(S(x)=x+9\cdot\frac{36}{x}=x+\frac{324}{x}\) für \(x>0\). 3. Es gilt \(S'(x)=1-\frac{324}{x^2}\). Aus \(S'(x)=0\) folgt \(x^2=324\), also wegen \(x>0\) die Lösung \(x=18\). 4. Mit \(S''(x)=\frac{648}{x^3}>0\) für \(x>0\) liegt dort ein Minimum vor. Außerdem gilt \(S(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\), also ist das Minimum global. 5. Aus \(y=\frac{36}{18}\) folgt \(y=2\).

Die Zahlen sind \(18\) und \(2\).

- Wie lässt sich die Summe der beiden Zahlen als Gleichung schreiben? - Versuche, das zu maximierende Produkt als Funktion einer einzigen Variable darzustellen. - Welche Werte kann die erste Zahl sinnvollerweise annehmen, wenn beide Zahlen nichtnegativ sein müssen? - Nutze die Differentialrechnung, um die Stelle mit dem größten Funktionswert zu finden.

1. Variablen festlegen: \(x\) für die erste Zahl und \(y\) für die zweite Zahl (\(x, y \geq 0\)). 2. Nebenbedingung nutzen: Aus \(x + y = 15\) folgt \(y = 15 - x\). 3. Zielfunktion formulieren: Das Produkt \(P\) soll maximal werden, also \(P(x) = x^2 \cdot (15 - x) = 15x^2 - x^3\). 4. Definitionsbereich bestimmen: Da \(x\) und \(y\) nichtnegativ sind, liegt \(x\) im Intervall \([0; 15]\). 5. Ableitungen berechnen: \(P'(x) = 30x - 3x^2\) und \(P''(x) = 30 - 6x\). 6. Extremstellen suchen: \(P'(x) = 0 \implies 3x(10 - x) = 0\). Mögliche Stellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 10\). 7. Art des Extremums und Randwerte prüfen: \(P''(10) = 30 - 60 = -30 < 0\), somit liegt bei \(x = 10\) ein lokales Maximum vor. Die Randwerte ergeben \(P(0) = 0\) und \(P(15) = 0\), während \(P(10) = 10^2 \cdot 5 = 500\) ist. Das globale Maximum liegt also bei \(x = 10\). 8. Ergebnis vervollständigen: Die zweite Zahl ist \(y = 15 - 10 = 5\).

Die erste Zahl ist \(10\) und die zweite Zahl ist \(5\).

- Welche Stellen liefern waagerechte Tangenten? - Wie klassifizierst du eine stationäre Stelle, wenn die zweite Ableitung dort null ist? - Welche zusätzliche Ableitung kann einen Wendepunkt bestätigen?

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)\), \(f''(x)=3x^2-6x\) und \(f'''(x)=6x-6\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=3\). 3. Bei \(x=3\) gilt \(f''(3)=9>0\) und \(f(3)=-4{,}75\). Daher liegt der Tiefpunkt \(T(3\mid-4{,}75)\) vor. 4. Bei \(x=0\) gilt \(f'(0)=0\), \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=-6\neq0\). Damit liegt dort ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ein Sattelpunkt \(S(0\mid2)\), vor.

Lokales Extremum: \(T(3 \mid -4{,}75)\). Bei \(x=0\) liegt der Sattelpunkt \(S(0 \mid 2)\) vor.

- Prüfe zunächst die Ableitung aus der Quotientenregel. - Ist Sarahs Umformung des Funktionsterms äquivalent? - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(u^2=1\) besitzen? - Liegen alle gefundenen Werte im Definitionsbereich?

1. Jonas wendet die Quotientenregel korrekt an. Die Ableitung \(f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\) ist richtig. Aus dem Zähler folgen \(x=0\) und \(x=2\); beide liegen im Definitionsbereich. 2. Sarahs Umformung und ihre Ableitung sind ebenfalls korrekt. Beim Lösen von \((x-1)^2=1\) fehlt jedoch die Lösung \(x-1=-1\), also \(x=0\). 3. Jonas' Ergebnis ist vollständig. Sarahs Rechenweg ist korrekt, ihr Ergebnis aber unvollständig.

Jonas hat vollständig korrekt gerechnet. Sarah übersieht beim Lösen von \((x-1)^2=1\) die zweite Lösung \(x=0\). Die möglichen Extremstellen sind \(x=0\) und \(x=2\).

- Welche Bedingung beschreibt eine waagerechte Tangente? - Unterscheide die Nullstellen von \(g\) von den Nullstellen von \(g'\). - Welche Ableitungsregel passt zur Struktur des gegebenen Funktionsterms?

1. Mit der Quotientenregel gilt \(g'(x)=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-4)2x}{(x^2+1)^2}\). 2. Der Zähler vereinfacht sich zu \(10x\), also \(g'(x)=\frac{10x}{(x^2+1)^2}\). 3. Eine waagerechte Tangente erfordert \(g'(x)=0\). Da der Nenner stets positiv ist, folgt \(10x=0\), also \(x=0\). 4. Die Behauptung ist falsch: \(x=\pm2\) sind Nullstellen von \(g\), nicht von \(g'\). Nur bei \(x=0\) liegt eine waagerechte Tangente vor.

Die Behauptung ist falsch. Die einzige Stelle mit waagerechter Tangente ist \(x=0\).

- Welche Ableitungsregel benötigst du für den Bruchterm? - Wann ist ein Bruchterm gleich null? - Wie kannst du die beiden stationären Stellen klassifizieren?

1. Mit der Quotientenregel gilt \(f'(x)=\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+10)}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x^2+2x-8=0\), also \(x=2\) oder \(x=-4\). 3. Es ist \(f(2)=6\) und \(f(-4)=-6\). 4. Mit \(f''(x)=\frac{18}{(x+1)^3}\) gilt \(f''(2)>0\) und \(f''(-4)<0\). Daher liegen \(T(2\mid6)\) und \(H(-4\mid-6)\) vor.

Tiefpunkt \(T(2 \mid 6)\), Hochpunkt \(H(-4 \mid -6)\).

- Was weißt du über die Steigung einer Geraden, die parallel zur \(x\)-Achse liegt? - Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? - Welches Verfahren kennst du, um Nullstellen von Ausdrücken wie \(x^3 - 4x\) zu finden? - Wie kannst du sicherstellen, ob eine Stelle mit waagerechter Tangente wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt ist?

1. Da die Tangente an einem Extrempunkt waagerecht verläuft, muss ihre Steigung null sein. Da die erste Ableitung \(f'(x)\) die Tangentensteigung an der Stelle \(x\) angibt, folgt daraus die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\). 2. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 3. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: \(x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0\). Daraus ergeben sich die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = 3x^2 - 4\): - \(f''(0) = -4 < 0 \implies\) lokales Maximum bei \(x_1 = 0\). Funktionswert: \(f(0) = 3\). Hochpunkt \(H(0 \mid 3)\). - \(f''(2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(x_2 = 2\). Funktionswert: \(f(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). Tiefpunkt \(T_1(2 \mid -1)\). - \(f''(-2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 > 0 \implies\) lokales Minimum bei \(x_3 = -2\). Funktionswert: \(f(-2) = -1\). Tiefpunkt \(T_2(-2 \mid -1)\).

a) Da die Tangente waagerecht ist, muss die Steigung \(0\) sein, also gilt \(f'(x) = 0\). b) Die Stellen mit waagerechter Tangente sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). c) Die Extrempunkte sind \(H(0 \mid 3)\), \(T_1(2 \mid -1)\) und \(T_2(-2 \mid -1)\).

- Welche Bedingung muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion dritten Grades maximal haben? - Überlege, wie du die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen kannst. Hilft Ausklammern? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Vorzeichenwechsel der Ableitung und der Anzahl der Extrempunkte.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 8x^3 - 12x^2 - 18x\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (\(f'(x) = 0\)): Ausklammern von \(2x\) ergibt \(2x(4x^2 - 6x - 9) = 0\). Die erste Nullstelle ist \(x_1 = 0\). 3. Untersuchung des quadratischen Terms \(4x^2 - 6x - 9 = 0\): Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel oder Mitternachtsformel. Die Diskriminante \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 36 + 144 = 180\). Da \(D > 0\), existieren zwei weitere, voneinander verschiedene reelle Nullstellen \(x_2\) und \(x_3\). 4. Da \(f'(x)\) eine Polynomfunktion dritten Grades mit drei einfachen (verschiedenen) Nullstellen ist, findet an jeder dieser Stellen ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) statt. Somit liegen genau drei Extremstellen vor.

Die erste Ableitung \(f'(x) = 8x^3 - 12x^2 - 18x\) hat die drei verschiedenen Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{4}\) und \(x_3 = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{4}\). Da es sich um eine ganzrationale Funktion handelt und die Ableitung an diesen drei Stellen jeweils das Vorzeichen wechselt (einfache Nullstellen), besitzt \(f\) genau drei Extrempunkte.

- Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktion. - Welche Gleichung musst du lösen, um mögliche Extremstellen zu finden? - Kannst du die resultierende Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Wie kannst du sicherstellen, dass an den gefundenen Stellen tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt?

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^3 - 5x^2 + 6x\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen \(g'(x) = 0\) anwenden: \(x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6) = 0\). Daraus folgt \(x_1 = 0\) oder \(x^2 - 5x + 6 = 0\). 3. Nullstellen des quadratischen Terms bestimmen: \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). Dies ergibt \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(g''(x) = 3x^2 - 10x + 6\): \(g''(0) = 6 > 0\) (lokales Minimum), \(g''(2) = 3 \cdot 4 - 20 + 6 = -2 < 0\) (lokales Maximum), \(g''(3) = 3 \cdot 9 - 30 + 6 = 3 > 0\) (lokales Minimum). Da an allen drei Stellen die hinreichende Bedingung für Extrema (\(g'(x)=0\) und \(g''(x) \neq 0\)) erfüllt ist, gibt es genau drei Extremstellen.

Die Ableitung \(g'(x) = x(x-2)(x-3)\) besitzt die drei einfachen Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). Da die zweite Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist (\(g''(0)=6\), \(g''(2)=-2\), \(g''(3)=3\)), liegen drei lokale Extremstellen vor.

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du zeigen, dass ein Term wie \(x^2 + x + 1\) niemals null wird? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von der gefundenen Nullstelle. - Vergiss nicht, am Ende den Funktionswert zu berechnen, um den Punkt anzugeben.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 + 4x^2 + 4x\). 2. Ausklammern ergibt \(f'(x) = 4x(x^2 + x + 1)\). 3. Untersuchung der Nullstellen von \(f'\): Der Faktor \(x^2 + x + 1\) hat keine reellen Nullstellen, da die Diskriminante \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\) negativ ist. Somit ist \(x = 0\) die einzige Nullstelle von \(f'\). 4. Da \(f'(x)\) an der Stelle \(x = 0\) das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt (da \(x^2+x+1\) stets positiv ist), liegt dort ein lokales Minimum vor. Da dies die einzige Nullstelle mit Vorzeichenwechsel ist, existiert genau ein Extrempunkt. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(0) = 0^4 + \frac{4}{3} \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 7 = 7\). Der Extrempunkt liegt bei \(T(0 \mid 7)\).

Der Graph hat genau einen Extrempunkt bei \(T(0 \mid 7)\).

- Was muss für die Steigung an einem Hoch- oder Tiefpunkt gelten? - Wie findet man die Nullstellen einer Funktion dritten Grades, wenn man \(x\) ausklammern kann? - Überlege dir, ob der Graph nach oben oder nach unten geöffnet ist, indem du sehr große Werte für \(x\) einsetzt. - Vergleiche die \(y\)-Werte der gefundenen Stellen untereinander – welcher Punkt liegt höher, welcher tiefer?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 2x^3 - 8x\). 2. Notwendiges Kriterium \(f'(x) = 0\) anwenden: \(2x(x^2 - 4) = 0\) liefert die potenziellen Extremstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Funktionswerte an diesen Stellen berechnen: \(f(0) = 6\), \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 6 = -2\) und \(f(-2) = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 6 = -2\). 4. Klassifizierung: Da der Koeffizient von \(x^4\) positiv ist, strebt die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\). Da \(f(2)\) und \(f(-2)\) kleiner sind als \(f(0)\), müssen bei \(x = \pm 2\) Tiefpunkte und bei \(x = 0\) ein Hochpunkt vorliegen. 5. Extrempunkte angeben: \(H(0 \mid 6)\), \(T_1(2 \mid -2)\) und \(T_2(-2 \mid -2)\).

Die Extrempunkte sind \(H(0 \mid 6)\), \(T_1(2 \mid -2)\) und \(T_2(-2 \mid -2)\).

- Welche Ableitungen benötigst du für die Extrempunktbestimmung? - Wie eliminierst du die Variable aus dem Nenner beim Lösen von \(f'(x)=0\)? - Wie klassifizierst du die gefundene stationäre Stelle?

1. Es gilt \(f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}\) und \(f''(x)=2+\frac{32}{x^3}\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(2x=\frac{16}{x^2}\), also \(x^3=8\) und damit \(x=2\). 3. Es ist \(f''(2)=6>0\); daher liegt dort ein lokales Minimum vor. 4. Mit \(f(2)=12\) ergibt sich der Tiefpunkt \(T(2\mid12)\).

\(T(2 \mid 12)\)

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung oder eines Vorzeichenwechselkriteriums entscheiden, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt? - Kannst du beim Lösen der Gleichung \(f'(x) = 0\) einen Faktor ausklammern?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 2\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(0) = 2 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 0\). - \(f''(1) = 3 - 6 + 2 = -1 < 0 \implies\) Lokales Maximum an der Stelle \(x = 1\). - \(f''(2) = 12 - 12 + 2 = 2 > 0 \implies\) Lokales Minimum an der Stelle \(x = 2\).

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei \(x = 0\), ein lokales Maximum bei \(x = 1\) und ein weiteres lokales Minimum bei \(x = 2\).

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihre Extremstellen zusammen? - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung prüfen, ob ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt vorliegt? - Vergiss nicht, am Ende die \(y\)-Werte zu berechnen, um die vollständigen Punkte anzugeben.

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung: \(f'(x) = x^2 - x - 2\) und \(f''(x) = 2x - 1\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\)): Die Gleichung \(x^2 - x - 2 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel die Lösungen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 3. Klassifizierung mithilfe der zweiten Ableitung (hinreichende Bedingung): - Für \(x_1 = -1\): \(f''(-1) = 2 \cdot (-1) - 1 = -3 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum vor. - Für \(x_2 = 2\): \(f''(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0\). Es liegt ein lokales Minimum vor. 4. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: - \(f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) + 4 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + 4 = \frac{31}{6} = 5\frac{1}{6}\). - \(f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) + 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 + 4 = \frac{2}{3}\). 5. Ergebnis: Hochpunkt \(H\left(-1 \mid \frac{31}{6}\right)\) und Tiefpunkt \(T\left(2 \mid \frac{2}{3}\right)\).

Hochpunkt \(H\left(-1 \mid \frac{31}{6}\right)\) (oder ca. \(H(-1 \mid 5{,}17)\)), Tiefpunkt \(T\left(2 \mid \frac{2}{3}\right)\) (oder ca. \(T(2 \mid 0{,}67)\)).

- Bei Funktionen höheren Grades hilft oft das Faktorisieren der Ableitung, um Nullstellen zu finden. - Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst, nachdem du eine Nullstelle gefunden hast? - Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen der \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion. - Ein Vorzeichenwechselkriterium wäre eine Alternative zur zweiten Ableitung.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x - 4\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): Durch Raten einer Nullstelle (\(x=2\)) oder Ausklammern (\(x^2(x-3) - 4(x-3) = 0\)) erhält man \((x^2 - 4)(x - 3) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: - \(f''(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 4 = 12 + 12 - 4 = 20 > 0 \implies\) Tiefpunkt. - \(f''(2) = 3(2)^2 - 6(2) - 4 = 12 - 12 - 4 = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt. - \(f''(3) = 3(3)^2 - 6(3) - 4 = 27 - 18 - 4 = 5 > 0 \implies\) Tiefpunkt. 4. Funktionswerte berechnen: - \(f(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - (-2)^3 - 2(-2)^2 + 12(-2) = 4 + 8 - 8 - 24 = -20\). - \(f(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - 2^3 - 2(2)^2 + 12(2) = 4 - 8 - 8 + 24 = 12\). - \(f(3) = \frac{1}{4}(3)^4 - 3^3 - 2(3)^2 + 12(3) = 20{,}25 - 27 - 18 + 36 = 11{,}25\). 5. Ergebnis: Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -20)\) und \(T_2(3 \mid 11{,}25)\), Hochpunkt \(H(2 \mid 12)\).

Tiefpunkte: \(T_1(-2 \mid -20)\) und \(T_2(3 \mid 11{,}25)\) (oder \(T_2(3 \mid \frac{45}{4})\)) Hochpunkt: \(H(2 \mid 12)\)

- Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen dem zurückgelegten Weg und der Geschwindigkeit? - Die Ableitung einer Funktion gibt die momentane Änderungsrate an. - Wenn du das Maximum einer Größe suchst, musst du deren Ableitung untersuchen. - Achte auf die Einheiten und die Umrechnung von \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\) in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\).

1. Bestimmung der Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit. \( v(t) = s'(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}8t \). 2. Berechnung für \( t = 4 \): \( v(4) = -0{,}15 \cdot 4^2 + 1{,}8 \cdot 4 = -2{,}4 + 7{,}2 = 4{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \). 3. Zeitpunkt der maximalen Geschwindigkeit: Die Beschleunigung (Ableitung der Geschwindigkeit) muss Null sein. \( v'(t) = a(t) = s''(t) = -0{,}3t + 1{,}8 \). Nullsetzen: \( -0{,}3t + 1{,}8 = 0 \implies 0{,}3t = 1{,}8 \implies t = 6\,\text{s} \). Da \( v''(t) = -0{,}3 < 0 \), liegt ein Maximum vor. 4. Berechnung der maximalen Geschwindigkeit: \( v(6) = -0{,}15 \cdot 6^2 + 1{,}8 \cdot 6 = -5{,}4 + 10{,}8 = 5{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \). 5. Umrechnung in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\): \( 5{,}4 \cdot 3{,}6 = 19{,}44\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \).

a) \( v(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}8t \); nach \( 4\,\text{s} \) beträgt die Geschwindigkeit \( 4{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \). b) Die maximale Geschwindigkeit wird zum Zeitpunkt \( t = 6\,\text{s} \) erreicht. c) Die maximale Geschwindigkeit beträgt \( 5{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \), was \( 19{,}44\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \) entspricht.

- Welche Stellen kommen als Extremstellen überhaupt infrage? - Was sagt das Vorzeichen von \(f'\) auf beiden Seiten einer stationären Stelle über einen möglichen Extrempunkt aus? - Wie kannst du bei \(f''(3)=0\) zusätzlich prüfen, ob dort tatsächlich ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente vorliegt? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen von \(f'\) und dem Monotonieverhalten?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 2x^3 - 12x^2 + 18x\) und \(f''(x) = 6x^2 - 24x + 18\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\): \(2x(x^2 - 6x + 9) = 0 \Leftrightarrow 2x(x-3)^2 = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 3. Art der Extremstellen prüfen: \(f''(0) = 18 > 0\), also liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum vor. Bei \(x=3\) gilt \(f''(3)=0\). Da \(f'(x)\) dort wegen des Faktors \((x-3)^2\) das Vorzeichen nicht wechselt, liegt kein Extremum vor. 4. Zur Einordnung der stationären Nicht-Extremstelle gilt \(f'''(x)=12x-24\) und damit \(f'''(3)=12\neq0\). Also ist \(x=3\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also eine Sattelstelle. 5. Koordinaten berechnen: \(f(0)=0\), also \(T(0\mid0)\). Außerdem ist \(f(3)=13{,}5\), also \(S(3\mid13{,}5)\). 6. Monotonieverhalten: Da \(f'(x)<0\) für \(x<0\) und \(f'(x)>0\) für \(x>0\) mit der isolierten Nullstelle \(f'(3)=0\), ist \(f\) auf \(( -\infty;0]\) streng monoton fallend.

a) Der Graph besitzt genau einen lokalen Extrempunkt: den Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\). Bei \(x=3\) liegt der Sattelpunkt \(S(3 \mid 13{,}5)\) vor. b) Die Funktion ist im Intervall \(( -\infty;0]\) streng monoton fallend.

- Kannst du die Funktion in zwei Faktoren zerlegen, die jeweils nur von einer Variablen abhängen? - Überlege dir, wie du das Maximum einer Funktion mit einer Variablen bestimmst. - Was muss für die Faktoren gelten, damit ihr Produkt maximal wird? - Prüfe auch die Ränder der Intervalle.

1. Da die Variablen \(T_1\) und \(T_2\) in getrennten Faktoren auftreten und beide Faktoren auf den angegebenen Intervallen nichtnegativ sind, wird das Maximum von \(A(T_1, T_2)\) durch die Maxima der Einzelfunktionen \(f(T_1) = 3T_1^2 - T_1^3\) und \(g(T_2) = 12T_2 - T_2^2\) bestimmt. 2. Untersuchung von \(f(T_1)\) auf \([0; 3]\): Die Ableitung \(f'(T_1) = 6T_1 - 3T_1^2 = 3T_1(2 - T_1)\) liefert die stationären Stellen \(T_1 = 0\) und \(T_1 = 2\). Die zweite Ableitung \(f''(2) = 6 - 6 \cdot 2 = -6 < 0\) bestätigt ein lokales Maximum an der Stelle \(T_1 = 2\). Da \(f(0) = 0\) und \(f(3) = 0\), nimmt \(f\) bei \(T_1 = 2\) sein globales Maximum an. 3. Untersuchung von \(g(T_2)\) auf \([0; 12]\): Die Ableitung \(g'(T_2) = 12 - 2T_2\) liefert die stationäre Stelle \(T_2 = 6\). Die zweite Ableitung \(g''(6) = -2 < 0\) bestätigt ein lokales Maximum. Da \(g(0) = 0\) und \(g(12) = 0\), nimmt \(g\) bei \(T_2 = 6\) sein globales Maximum an. 4. Die Ausbeute \(A\) erreicht somit ihr Maximum für \(T_1 = 2\) und \(T_2 = 6\).

\(T_1 = 2\) und \(T_2 = 6\)

- Schau dir bei jedem vermuteten Extrempunkt die Kurve links und rechts der Stelle an. - Welche Bedingung erfüllt die erste Ableitung an einer lokalen Extremstelle? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, Hoch- und Tiefpunkt zu unterscheiden? - Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der Ableitung?

1. Zuordnung durch Ablesen: Kärtchen A und B gehören zum blauen Graphen von \(f\), Kärtchen C zum grünen Graphen von \(g\). Durch den erweiterten dargestellten Bereich ist auch links von \(x=-2\) die Umgebung des Hochpunkts von \(f\) sichtbar. 2. Es gilt \(f'(x)=0{,}75x^2-3\) und \(f''(x)=1{,}5x\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x=\pm2\). Wegen \(f''(-2)=-3<0\) liegt bei \(x=-2\) ein Hochpunkt und wegen \(f''(2)=3>0\) bei \(x=2\) ein Tiefpunkt vor. Mit \(f(-2)=6\) und \(f(2)=-2\) erhält man \(H(-2\mid6)\) und \(T(2\mid-2)\). 3. Für \(g(x)=(x-1)^2+1\) ist \(g'(x)=2(x-1)\). Damit gilt \(g'(1)=0\), also besitzt der Graph bei \(x_0=1\) eine waagerechte Tangente.

1. Kärtchen A und B gehören zu \(f\); Kärtchen C gehört zu \(g\). 2. Die Extrempunkte von \(f\) sind \(H(-2 \mid 6)\) und \(T(2 \mid -2)\). 3. Es gilt \(g'(1)=0\); daher besitzt der Graph von \(g\) bei \(x_0=1\) eine waagerechte Tangente.

- Erinnere dich daran, welche Ableitungen du benötigst, um Extremstellen einer Funktion zu bestimmen. - Welche Gleichung musst du lösen, um die x-Koordinaten der potenziellen Extremstellen zu finden? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt zu unterscheiden? - Wenn du die x-Koordinaten der Extremstellen berechnet hast, wie findest du dann die dazugehörigen y-Werte? - Vergleiche die Lage und die y-Werte der berechneten Extrempunkte mit den markanten Punkten in den drei Graphen.

Die erste Ableitung der Funktion \(f(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\) lautet \(f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2\), die zweite Ableitung ist \(f''(x) = x\). Die notwendige Bedingung für Extremstellen \(f'(x) = 0\) liefert: \(\frac{1}{2}x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). Die Überprüfung mit der hinreichenden Bedingung und die Berechnung der Funktionswerte ergibt: - Für \(x_1 = -2\): \(f''(-2) = -2 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \(H\left(-2 \;\middle|\; \frac{8}{3}\right)\) (bzw. \(\approx 2{,}67\)). - Für \(x_2 = 2\): \(f''(2) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \(T\left(2 \;\middle|\; -\frac{8}{3}\right)\) (bzw. \(\approx -2{,}67\)). Ein Vergleich mit den Abbildungen zeigt: - Graph A besitzt einen Hochpunkt bei \(x = 2\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 4\). - Graph B besitzt einen Hochpunkt bei \(x = -4\) und einen Tiefpunkt bei \(x = -2\). - Graph C besitzt einen Hochpunkt bei \(x = -2\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 2\). Somit gehört Graph C zur Funktion \(f\).

1. Die Extrempunkte sind \(H\left(-2 \;\middle|\; \frac{8}{3}\right)\) und \(T\left(2 \;\middle|\; -\frac{8}{3}\right)\). 2. Graph C gehört zur Funktion \(f\), da seine Extremstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\) liegen.

- Wie lässt sich der Abstand zwischen zwei Funktionen mathematisch ausdrücken, wenn die eine über der anderen verläuft? - Denke daran, die beiden gegebenen Funktionsterme voneinander zu subtrahieren und den Term so weit wie möglich zu vereinfachen. - Mit welchem Werkzeug aus der Differenzialrechnung kannst du Hochpunkte (Maxima) einer Funktion bestimmen? - Welche Ableitungen benötigst du, um mögliche Extremstellen zu finden und deren Art (Maximum oder Minimum) zu überprüfen? - Vergiss nicht zu prüfen, ob der berechnete Hochpunkt im relevanten Zeitraum liegt und vergleiche den Wert gegebenenfalls mit den Randwerten.

1. Aufstellen der Differenzfunktion: \(d(t) = g(t) - f(t) = -t^3 + 9t^2 - 5t + 60 - (10t + 50) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 10\) 2. Erste Ableitung der Differenzfunktion bilden: \(d'(t) = -3t^2 + 18t - 15\) 3. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(-3t^2 + 18t - 15 = 0 \implies t^2 - 6t + 5 = 0 \implies (t-1)(t-5) = 0\) Dies liefert die kritischen Stellen \(t_1 = 1\) und \(t_2 = 5\). 4. Zweite Ableitung bilden und die Art der Extremstellen prüfen: \(d''(t) = -6t + 18\) Für \(t = 5\) gilt: \(d''(5) = -6 \cdot 5 + 18 = -12 < 0 \implies\) Lokales Maximum. Für \(t = 1\) gilt: \(d''(1) = -6 \cdot 1 + 18 = 12 > 0 \implies\) Lokales Minimum. 5. Maximalen Abstand berechnen: \(d(5) = -5^3 + 9 \cdot 5^2 - 15 \cdot 5 + 10 = -125 + 225 - 75 + 10 = 35\) 6. Randwerte vergleichen: \(d(0) = 10\) und \(d(7) = 3\). Da \(35 > 10\) und \(35 > 3\) ist, liegt das globale Maximum im Intervall \([0; 7]\) bei \(t = 5\) mit einem maximalen Abstand von \(35\,\text{m}\).

a) \(d(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 10\) b) Der maximale Abstand wird nach \(t = 5\,\text{Minuten}\) erreicht und beträgt \(35\,\text{Meter}\).

- Lies die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte direkt vom Graphen ab. Achte dabei auf die Gitterlinien. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen lokalen und globalen Extrema: Ein globales Extremum ist der absolut höchste bzw. tiefste Punkt der Funktion im gesamten betrachteten Intervall. - Ein lokales Extremum ist lediglich in einer kleinen Umgebung der höchste oder tiefste Punkt. - Vergiss nicht, die Werte an den Intervallgrenzen (\(x = -4\) und \(x = 2\)) zu prüfen, wenn du bestimmst, ob ein Extremum global ist.

1. Ablesen der Koordinaten der Extrempunkte aus dem Graphen: - Tiefpunkte bei \(T_1(-3 \mid -2)\) und \(T_2(1 \mid -2)\) - Hochpunkt bei \(H(-1 \mid 2)\) 2. Klassifizierung der Extrema auf dem Intervall \([-4; 2]\): - Da der minimale Funktionswert auf dem Intervall \([-4; 2]\) den Wert \(-2\) hat, sind \(T_1(-3 \mid -2)\) und \(T_2(1 \mid -2)\) globale Minima. - Der Hochpunkt \(H(-1 \mid 2)\) ist ein lokales Maximum. Es ist kein globales Maximum auf dem Intervall \([-4; 2]\), da an den Intervallgrenzen \(x = -4\) und \(x = 2\) der Funktionswert \(y = 4{,}25\) erreicht wird, welcher größer als \(2\) ist.

a) Tiefpunkte: \(T_1(-3 \mid -2)\) und \(T_2(1 \mid -2)\); Hochpunkt: \(H(-1 \mid 2)\). b) Im Intervall \([-4; 2]\) sind \(T_1\) und \(T_2\) globale Minima (da \(-2\) der absolut kleinste Funktionswert im Intervall ist). \(H\) ist ein lokales, aber kein globales Maximum (da an den Intervallgrenzen größere Funktionswerte vorliegen, nämlich \(4{,}25\)).

- Welche Ableitungsregel brauchst du für den gebrochen-rationalen Funktionsterm? - Welche Bedingung erfüllt die Konzentration am Maximum? - Welche der beiden Lösungen in Teil b liegt zeitlich nach dem Maximum? - Welche Bedeutung hat ein Minimum von \(C'\) für die Abnahme der Konzentration?

1. Mit der Quotientenregel erhält man \(C'(t)=\frac{10-10t^2}{(t^2+1)^2}\). 2. Aus \(C'(t)=0\) folgt \(t=1\), da \(t\ge0\). Mit \(C''(t)=\frac{20t(t^2-3)}{(t^2+1)^3}\) gilt \(C''(1)=-5<0\), also liegt ein Maximum vor. Es ist \(C(1)=5\,\text{mg/L}\). 3. Für Teil b gilt \(\frac{10t}{t^2+1}=4\). Daraus folgt \(2t^2-5t+2=0\) mit den Lösungen \(t=0{,}5\) und \(t=2\). Gesucht ist der Zeitpunkt nach dem Maximum, also \(t=2\,\text{h}\). 4. Bei \(t=\sqrt{3}\) wechselt die Krümmung und \(C'\) besitzt dort sein Minimum. Damit nimmt die Konzentration zu diesem Zeitpunkt am schnellsten ab.

a) Das Maximum liegt bei \(t=1\,\text{h}\) mit \(C(1)=5\,\text{mg/L}\). b) Nach \(2\,\text{h}\) beträgt die Konzentration wieder \(4\,\text{mg/L}\). c) Bei \(t=\sqrt{3}\,\text{h}\approx1{,}73\,\text{h}\) nimmt die Wirkstoffkonzentration am schnellsten ab.

- Welche Gleichung liefert die möglichen Extremstellen? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung die Art der stationären Stellen bestimmen? - Welche Funktionswerte gehören zu den gefundenen Extremstellen?

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-4x\) und \(f''(x)=3x^2-4\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x(x^2-4)=0\), also \(x=-2,0,2\). 3. Wegen \(f''(0)=-4<0\) liegt bei \(x=0\) ein Hochpunkt vor. Wegen \(f''(\pm2)=8>0\) liegen bei \(x=\pm2\) Tiefpunkte vor. 4. Es ist \(f(0)=3\) und \(f(\pm2)=-1\). Damit erhält man \(H(0\mid3)\), \(T_1(-2\mid-1)\) und \(T_2(2\mid-1)\).

Hochpunkt \(H(0 \mid 3)\); Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -1)\) und \(T_2(2 \mid -1)\).

- Welche Gleichung liefert die stationären Stellen? - Wie entscheidet das Vorzeichen von \(f''\) über Hoch- oder Tiefpunkt? - Welche Symmetrie kannst du zur Kontrolle der beiden Hochpunkte nutzen?

1. Es gilt \(f'(x)=-4x^3+4x\) und \(f''(x)=-12x^2+4\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(-4x(x^2-1)=0\), also \(x=-1,0,1\). 3. Wegen \(f''(0)=4>0\) liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum vor. Wegen \(f''(\pm1)=-8<0\) liegen bei \(x=\pm1\) lokale Maxima vor. 4. Es ist \(f(0)=1\) und \(f(\pm1)=2\). Damit erhält man \(T(0\mid1)\), \(H_1(-1\mid2)\) und \(H_2(1\mid2)\).

Hochpunkte \(H_1(-1 \mid 2)\) und \(H_2(1 \mid 2)\); Tiefpunkt \(T(0 \mid 1)\).

- Welche Bedingungen müssen für eine Extremstelle erfüllt sein? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, zwischen Hoch- und Tiefpunkten zu unterscheiden? - Achte auf die Lage der Extrempunkte in den Koordinatensystemen, um den richtigen Graphen zu identifizieren.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) und \(f''(x) = 2x - 2\). 2. Notwendige Bedingung für Extremstellen (\(f'(x) = 0\)): \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Mit der pq-Formel ergeben sich die Stellen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). 3. Hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen: - \(f''(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \(x = 3\). Funktionswert: \(f(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - 9 = -9\). - \(f''(-1) = 2 \cdot (-1) - 2 = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \(x = -1\). Funktionswert: \(f(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1) - 1 + 3 = 1\frac{2}{3} \approx 1{,}67\). 4. Abgleich mit den Graphen: Graph A zeigt einen Hochpunkt im II. Quadranten (\(x \approx -1\)) und einen Tiefpunkt im IV. Quadranten (\(x = 3\)). Somit gehört Graph A zur Funktion \(f\).

Die Extremstellen liegen bei \(x = -1\) (Hochpunkt) und \(x = 3\) (Tiefpunkt). Graph A gehört zur Funktion \(f\).

- Suche zuerst nach den höchsten Gipfeln und tiefsten Tälern im Graphen. - Ein Extremum ist „global“ oder „absolut“, wenn es der allerhöchste oder allertiefste Wert im gesamten gezeigten Bereich ist. - Ein relatives Extremum ist ein Punkt, der nur im Vergleich zu seiner direkten Umgebung am höchsten oder tiefsten liegt. - Denke daran, dass auch die Endpunkte des gezeichneten Intervalls Extremstellen sein können.

1. Analyse der Randwerte: An den Stellen \(x = -3\) und \(x = 3\) erreicht die Funktion ihren höchsten Wert von \(6{,}25\). Da kein Funktionswert im gesamten Intervall größer ist, liegen hier absolute (globale) Maxima vor. 2. Untersuchung der Tiefpunkte im Inneren: Bei \(x = -2\) und \(x = 2\) erreicht die Funktion den kleinsten Wert \(0\). Da kein Funktionswert im gesamten Intervall kleiner ist, handelt es sich um absolute (globale) Minima. Da sie im Inneren liegen, sind sie zugleich relative (lokale) Minima. 3. Untersuchung des Hochpunkts im Inneren: Bei \(x = 0\) liegt ein Hochpunkt vor. Der Funktionswert \(f(0) = 4\) ist größer als in der direkten Umgebung, aber kleiner als an den Rändern. Es handelt sich somit um ein relatives (lokales) Maximum.

Globale Maxima bei \(x = -3\) und \(x = 3\). Globale und zugleich lokale Minima bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Lokales Maximum bei \(x = 0\).

- Wie kannst du den vertikalen Abstand zwischen dem Folgebestand und dem aktuellen Bestand als eigene Funktion ausdrücken? - Welche Bedingung erfüllt die Ableitung am Maximum der Entnahmefunktion? - Achte bei der Interpretation auf die Einheit „Hundert Tiere“. - Was bedeutet \(f(x)=x\) für aktuellen und erwarteten Bestand?

1. Es gilt \(E(x)=f(x)-x=-0{,}12x^2+1{,}44x\). 2. Mit \(E'(x)=-0{,}24x+1{,}44\) folgt aus \(E'(x)=0\) die Stelle \(x=6\). 3. Wegen \(E''(x)=-0{,}24<0\) besitzt die nach unten geöffnete Parabel dort ihr globales Maximum. Der optimale Bestand beträgt also \(6\) Hundert beziehungsweise \(600\) Tiere. 4. Es ist \(E(6)=-0{,}12\cdot6^2+1{,}44\cdot6=4{,}32\). Das entspricht \(432\) Tieren pro Jahr. 5. Im positiven Schnittpunkt von \(f\) und \(g(x)=x\) gilt \(f(x)=x\). Für \(x=12\) entspricht der erwartete Bestand im Folgejahr dem aktuellen Bestand; ohne Entnahme bleibt die Population bei \(1200\) Tieren stabil.

a) Der optimale Bestand liegt bei \(x=6\), also bei \(600\) Tieren. b) Die maximale jährliche Entnahme beträgt \(4{,}32\) Hundert Tiere, also \(432\) Tiere. c) Der positive Schnittpunkt bei \(x=12\) beschreibt einen stabilen Bestand von \(1200\) Tieren ohne Entnahme.

- Wo ist der Abstand zur \(x\)-Achse am kleinsten, wenn alle Funktionswerte negativ sind? - Untersuche alle stationären Stellen und klassifiziere sie vollständig. - Welche Rolle spielt das Globalverhalten für die Frage nach dem kleinsten Abstand?

1. Es gilt \(f'(x)=-x^3+3x^2=-x^2(x-3)\). Damit sind \(x=0\) und \(x=3\) stationäre Stellen. 2. Weiter ist \(f''(x)=-3x^2+6x\). Wegen \(f''(3)=-9<0\) liegt bei \(x=3\) ein lokales Maximum vor. 3. Bei \(x=0\) gilt \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\). Mit \(f'''(x)=-6x+6\) folgt \(f'''(0)=6\neq0\); daher liegt dort ein Sattelpunkt und kein Extremum vor. 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\). Somit ist das lokale Maximum bei \(x=3\) zugleich das globale Maximum. 5. Da alle Funktionswerte negativ sind, ist der Abstand zur \(x\)-Achse dort am kleinsten, wo \(f\) seinen größten Wert annimmt. 6. Es ist \(f(3)=-\frac{1}{4}\cdot81+27-10=-3{,}25\). Gesucht ist also \(P(3\mid-3{,}25)\).

\(P(3 \mid -3{,}25)\)

- Ein Gleichgewichtsbestand liegt vor, wenn sich der Bestand von einem Jahr zum nächsten nicht ändert. - Formuliere den natürlichen Zuwachs als Funktion des Bestands. - Bestimme das Maximum dieser quadratischen Funktion. - Vergleiche die feste Entnahme mit dem maximal möglichen natürlichen Zuwachs.

1. In einem Gleichgewicht gilt \(B_{n+1}=B_n\). Daher muss die Entnahme dem natürlichen Zuwachs entsprechen: \(A = Z(B) = 0{,}12B\left(1-\frac{B}{12500}\right)\). 2. Die Ableitung der Zuwachsfunktion lautet \(Z'(B) = 0{,}12 - \frac{0{,}24}{12500}B\). Aus \(Z'(B)=0\) folgt \(B=6250\). Da \(Z\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt dort das Maximum. 3. Der maximale Zuwachs beträgt \(Z(6250) = 0{,}12 \cdot 6250 \cdot \left(1-\frac{6250}{12500}\right) = 375\). Damit ist \(A_{\max}=375\). Bei \(A>375\) existiert kein positiver Gleichgewichtsbestand mehr.

Die maximale feste Entnahmemenge beträgt \(A_{\max}=375\) Bäume pro Jahr. Bei \(A=375\) liegt der zugehörige Gleichgewichtsbestand bei \(6250\) Bäumen.

- Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines lokalen Extrempunkts erfüllt sein? - Kannst du einen Faktor aus der Ableitungsfunktion ausklammern, um den Grad der Gleichung zu reduzieren? - Wenn du eine Gleichung der Form \(x^4 + ax^2 + b = 0\) erhältst, welches Verfahren hilft dir hier weiter? - Denke daran, alle gefundenen Stellen mit der zweiten Ableitung auf ihre Art (Maximum oder Minimum) zu untersuchen.

1. Erste Ableitung bilden: \(g'(x) = x^5 - 6x^3 + 8x\). 2. Notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\): \(x(x^4 - 6x^2 + 8) = 0\). 3. Erste Lösung: \(x_1 = 0\). 4. Biquadratische Gleichung lösen: \(x^4 - 6x^2 + 8 = 0\). Substitution \(z = x^2\) ergibt \(z^2 - 6z + 8 = 0\). 5. Lösungen für \(z\) via \(p-q\)-Formel: \(z_2 = 4\) und \(z_3 = 2\). 6. Resubstitution ergibt weitere Stellen: \(x_{2,3} = \pm 2\) und \(x_{4,5} = \pm \sqrt{2}\). 7. Zweite Ableitung bilden: \(g''(x) = 5x^4 - 18x^2 + 8\). 8. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g''(0) = 8 > 0 \Rightarrow\) Minimum bei \(x = 0\). \(g''(\pm 2) = 5 \cdot 16 - 18 \cdot 4 + 8 = 16 > 0 \Rightarrow\) Minima bei \(x = \pm 2\). \(g''(\pm \sqrt{2}) = 5 \cdot 4 - 18 \cdot 2 + 8 = -8 < 0 \Rightarrow\) Maxima bei \(x = \pm \sqrt{2}\).

Lokale Minima befinden sich bei \(x = 0\), \(x = 2\) und \(x = -2\). Lokale Maxima befinden sich bei \(x = \sqrt{2}\) und \(x = -\sqrt{2}\).

- Welche Gleichung liefert die stationären Stellen? - Welche Stellen kannst du direkt mit \(g''\) klassifizieren? - Wie überprüfst du bei \(g''(0)=0\), ob dort tatsächlich ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente vorliegt?

1. Es gilt \(g'(x)=-\frac{1}{4}x^4+x^2=x^2\left(1-\frac{1}{4}x^2\right)\). Daher sind die stationären Stellen \(x=0\) und \(x=\pm2\). 2. Die zweite Ableitung ist \(g''(x)=-x^3+2x\). Wegen \(g''(2)=-4<0\) liegt \(H\left(2\mid\frac{16}{15}\right)\) vor; wegen \(g''(-2)=4>0\) liegt \(T\left(-2\mid-\frac{16}{15}\right)\) vor. 3. Bei \(x=0\) gilt \(g'(0)=0\) und \(g''(0)=0\). Weiter ist \(g'''(x)=-3x^2+2\), also \(g'''(0)=2\neq0\). Damit liegt dort ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also der Sattelpunkt \(S(0\mid0)\), vor.

a) \(g'(x)=-\frac{1}{4}x^4+x^2\); stationäre Stellen \(x=-2,0,2\). b) \(H\left(2 \mid \frac{16}{15}\right)\), \(T\left(-2 \mid -\frac{16}{15}\right)\), Sattelpunkt \(S(0 \mid 0)\).

- Wie lautet die Ableitung des Bruchterms beziehungsweise der entsprechenden negativen Potenz? - Welche Gleichung liefert mögliche Extremstellen? - Warum kann im Bereich \(x<0\) keine Nullstelle von \(f'\) auftreten? - Wie kannst du im Bereich \(x>0\) die Einzigartigkeit begründen?

1. Es gilt \(f'(x)=\frac{2}{3}x-\frac{18}{x^2}\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(\frac{2}{3}x=\frac{18}{x^2}\), also \(x^3=27\) und damit \(x=3\). 3. Für \(x<0\) sind beide Summanden von \(f'(x)\) negativ, daher gibt es dort keine Nullstelle von \(f'\). 4. Für \(x>0\) gilt \(f''(x)=\frac{2}{3}+\frac{36}{x^3}>0\). Daher ist \(f'\) dort streng steigend und kann höchstens eine Nullstelle besitzen. 5. Wegen \(f''(3)>0\) liegt bei \(x=3\) ein lokales Minimum vor. Somit ist dies die einzige Extremstelle.

Die einzige Extremstelle ist \(x=3\); dort liegt ein lokales Minimum vor.

- Welche notwendige Bedingung muss an einem Tiefpunkt erfüllt sein? - Welche zweite Ableitung erhältst du für den Bruchterm? - Was bedeutet ein positiver Wert von \(f''\) an einer stationären Stelle?

1. Es gilt \(f'(x)=1-\frac{8}{x^3}\). 2. Bei \(x=2\) ist \(f'(2)=1-\frac{8}{8}=0\). 3. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x)=\frac{24}{x^4}\). Damit ist \(f''(2)=1{,}5>0\). 4. Aus \(f'(2)=0\) und \(f''(2)>0\) folgt, dass bei \(x=2\) ein lokaler Tiefpunkt vorliegt.

Bei \(x=2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, da \(f'(2)=0\) und \(f''(2)=1{,}5>0\) gilt.

- Welche Vielfachheiten haben die Nullstellen von \(f'\)? - Was bedeutet eine gerade beziehungsweise ungerade Vielfachheit für den Vorzeichenwechsel von \(f'\)? - Wie kannst du bei der stationären Nicht-Extremstelle prüfen, ob tatsächlich ein Sattelpunkt vorliegt?

1. Es gilt \(f'(x)=x^5-2x^4+x^3=x^3(x-1)^2\). Damit sind \(x=0\) und \(x=1\) stationäre Stellen. 2. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) wegen des Faktors \(x^3\) von negativ zu positiv. Daher liegt dort ein lokales Minimum. Mit \(f(0)=1\) ergibt sich \(T(0\mid1)\). 3. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) wegen des geraden Faktors \((x-1)^2\) nicht das Vorzeichen; dort liegt also kein Extremum vor. 4. Es gilt \(f''(1)=0\) und \(f'''(1)=2\neq0\). Damit ist \(x=1\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also ein Sattelpunkt.

Der einzige lokale Extrempunkt ist \(T(0 \mid 1)\). Bei \(x=1\) liegt ein Sattelpunkt vor.

- Notiere alle Bedingungen, die aus den Koordinaten und den Eigenschaften der Extrempunkte folgen. - Verwende für Extremstellen die erste Ableitung und überprüfe die Art der Extrempunkte anschließend mit der zweiten Ableitung. - Wenn mehr Bedingungen als Unbekannte vorliegen, bestimme zuerst die Funktion aus einem unabhängigen Teilsystem und prüfe danach die verbleibende Bedingung. - Ein Widerspruch bei der letzten Bedingung zeigt, dass keine Funktion mit allen geforderten Eigenschaften existiert.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Aus den Punkt- und Extremstellenbedingungen folgen: \(f(0) = 4 \Rightarrow d = 4\) \(f'(0) = 0 \Rightarrow c = 0\) \(f(2) = 0 \Rightarrow 8a + 4b = -4 \Rightarrow 2a + b = -1\) \(f'(2) = 0 \Rightarrow 12a + 4b = 0 \Rightarrow 3a + b = 0\) 3. Aus \(3a + b = 0\) folgt \(b = -3a\). Einsetzen in \(2a + b = -1\) ergibt \(a = 1\) und damit \(b = -3\). Somit erhält man \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\). 4. Die Art der Extrempunkte stimmt: \(f''(x) = 6x - 6\), also \(f''(0) = -6 < 0\) und \(f''(2) = 6 > 0\). Daher liegt bei \(x=0\) ein Hochpunkt und bei \(x=2\) ein Tiefpunkt vor. 5. Für die Zusatzbedingung gilt jedoch \(f(1) = 1 - 3 + 4 = 2\). Da \(2 \neq 3\), verläuft diese Funktion nicht durch \(P(1 \mid 3)\). Die Bedingungen sind daher insgesamt unvereinbar.

Es existiert keine solche Funktion, da die Extrempunktbedingungen eindeutig zu \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) führen, für diese Funktion aber \(f(1) = 2 \neq 3\) gilt.