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- Welchen Funktionswert hat \(f\) bei \(x=0\) in Abhängigkeit von \(c\)? - Welche Koordinate des Startpunkts kannst du direkt aus der Zeichnung ablesen?

1. Für \(x=0\) gilt \(f(0)=c\). Daher lässt sich \(c\) am Schnittpunkt des Graphen mit der \(y\)-Achse ablesen. 2. Der Graph beginnt bei \((0\mid3)\). Somit ist \(c=3\). 3. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=\sqrt{x}+3\).

\(c=3\), also \(f(x)=\sqrt{x}+3\)

- Vergleiche die Lage eines markanten Punktes (z. B. den tiefsten Punkt) bei beiden Graphen. - Wie viele Einheiten musst du den blauen Graphen nach rechts oder links bewegen, damit er auf dem roten Graphen liegt? - Erinnere dich daran, wie sich eine Änderung des Arguments \(x\) auf die Lage des Graphen auswirkt.

1. Identifikation markanter Punkte: Der Scheitelpunkt des blauen Graphen \(G_f\) liegt bei \((-2 \mid -2)\). Der Scheitelpunkt des roten Graphen \(G_g\) liegt bei \((3 \mid -2)\). 2. Bestimmung der Verschiebung: Um von \(-2\) auf \(3\) zu kommen, muss der Graph um \(5\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) verschoben werden. Die \(y\)-Koordinaten bleiben gleich. 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: Eine Verschiebung um \(c\) Einheiten nach rechts wird durch den Übergang \(x \mapsto x-c\) im Argument der Funktion beschrieben. Da \(c = 5\), folgt: \(g(x) = f(x - 5)\).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Verschiebung um \(5\) Einheiten nach rechts hervor; es gilt \(g(x) = f(x - 5)\).

- Vergleiche bei entsprechenden Punkten die \(x\)-Koordinaten. - Vergleiche anschließend die Vorzeichen der \(y\)-Koordinaten. - Welche Koordinate bleibt bei der gesuchten Spiegelung unverändert?

1. Zu jedem Punkt \((x|y)\) von \(f\) liegt auf \(g\) der Punkt \((x|-y)\). 2. Die \(x\)-Koordinaten bleiben also gleich, während die \(y\)-Koordinaten ihr Vorzeichen wechseln. Das ist eine Spiegelung an der \(x\)-Achse.

Spiegelung an der \(x\)-Achse

- Prüfe, ob der Faktor innerhalb oder außerhalb von \(f\) steht. - Ein Faktor außerhalb von \(f\) verändert direkt die Funktionswerte. - Wie verändert sich der Abstand eines Punktes von der \(x\)-Achse?

1. Der Faktor \(\frac{1}{2}\) steht außerhalb von \(f\) und multipliziert alle Funktionswerte. 2. Alle \(y\)-Werte werden halbiert. Das ist eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\).

b) Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\)

- Wie verändert sich eine Funktionsgleichung, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt? - Achtung beim Verschieben in \(x\)-Richtung: Muss man addieren oder subtrahieren, um nach rechts zu rücken? - In welcher Reihenfolge werden die Transformationen angewendet und wie wirkt sich das auf die Klammersetzung aus?

1. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 3: \(y = 3x^2\). 2. Verschiebung um 1 nach oben (\(y\)-Richtung): \(y = 3x^2 + 1\). 3. Verschiebung um 2 nach rechts (\(x\)-Richtung): \(x\) durch \((x-2)\) ersetzen: \(y = 3(x-2)^2 + 1\).

b) \(y = 3(x-2)^2 + 1\)

- Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn ein Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird? - Wie wird eine Streckung in \(y\)-Richtung im Funktionsterm dargestellt? - Welches Potenzgesetz hilft dir dabei, eine Summe im Exponenten in ein Produkt umzuwandeln? - Was musst du zeigen, damit zwei Funktionen als identisch gelten?

1. Durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links entsteht \(g(x)=f(x+2)=3^{x+2}\). 2. Durch die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(9\) entsteht \(h(x)=9 \cdot f(x)=9 \cdot 3^x\). 3. Mit dem Potenzgesetz gilt \(g(x)=3^{x+2}=3^x \cdot 3^2=9 \cdot 3^x\). 4. Damit gilt für alle \(x\): \(g(x)=9 \cdot 3^x=h(x)\). Die Funktionen sind identisch.

Durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links ergibt sich \(g(x)=3^{x+2}=3^2 \cdot 3^x=9 \cdot 3^x\). Die Streckung in \(y\)-Richtung liefert ebenfalls \(h(x)=9 \cdot 3^x\). Daher sind \(g\) und \(h\) identisch.

- Überlege dir, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn ein Punkt an der waagerechten Achse gespiegelt wird. - Was passiert mit dem Argument der Funktion, wenn der Graph an der senkrechten Achse gespiegelt wird? - Achte beim Einsetzen von \(-x\) darauf, Klammern zu setzen, besonders bei Potenzen. - Kannst du die Terme nach der Spiegelung noch weiter vereinfachen?

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse durch Anwendung von \(g(x) = -f(x)\): Für a) ergibt sich \(g(x) = -(x^2 - 4x) = -x^2 + 4x\). Für b) ergibt sich \(g(x) = -(\sqrt{x} + 1) = -\sqrt{x} - 1\). 2. Spiegelung an der \(y\)-Achse durch Anwendung von \(h(x) = f(-x)\): Für a) ergibt sich \(h(x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x\). Für b) ergibt sich \(h(x) = \sqrt{-x} + 1\).

a) \(g(x) = -x^2 + 4x\); \(h(x) = x^2 + 4x\) b) \(g(x) = -\sqrt{x} - 1\); \(h(x) = \sqrt{-x} + 1\)

- Welche Auswirkung hat ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf den Graphen? - Erinnere dich an die allgemeine Form \(aq(x-c) + d\). Wofür stehen die einzelnen Parameter? - Wird der Graph bei einem Faktor zwischen 0 und 1 eher flacher oder steiler? - In welche Richtung verschiebt sich der Graph, wenn im Exponenten \(x+2\) steht?

1. Verschiebung des Graphen der Grundfunktion \(q(x) = 2^x\) um 2 Einheiten nach links (in negative \(x\)-Richtung) durch die Ersetzung von \(x\) durch \(x+2\). 2. Stauchung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 3. Spiegelung des Graphen an der \(x\)-Achse aufgrund des negativen Vorzeichens vor dem Funktionswert. 4. Verschiebung des Graphen um 3 Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung).

Der Graph von \(h\) entsteht aus dem Graphen von \(q(x) = 2^x\) durch Verschiebung um 2 Einheiten nach links, Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Spiegelung an der \(x\)-Achse und anschließende Verschiebung um 3 Einheiten nach unten.

- Überlege dir, auf welchen Teil des Funktionsterms sich die zweite Transformation jeweils bezieht: nur auf den ursprünglichen Teil oder auf den bereits veränderten Term? - Was passiert mathematisch mit einem Term, wenn man ihn als Ganzes staucht? - Setze zur Kontrolle einen beliebigen Wert für \(x\) (außer \(0\)) in beide Endergebnisse ein.

1. Bestimmung von \(g(x)\) für Reihenfolge A: Die Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) führt zu \(0{,}5f(x)\). Die anschließende Verschiebung um \(2\) nach oben ergibt \(g(x) = 0{,}5\frac{1}{x} + 2 = \frac{0{,}5}{x} + 2\). 2. Bestimmung von \(h(x)\) für Reihenfolge B: Die Verschiebung um \(2\) nach oben führt zu \(f(x) + 2\). Die anschließende Stauchung des gesamten Terms in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) ergibt \(h(x) = 0{,}5\left(\frac{1}{x} + 2\right) = \frac{0{,}5}{x} + 1\). 3. Vergleich der Terme: Ein Vergleich zeigt, dass \(g(x) = \frac{0{,}5}{x} + 2\) und \(h(x) = \frac{0{,}5}{x} + 1\) für alle \(x \neq 0\) verschieden sind, da sich die konstanten Glieder (\(2\) gegenüber \(1\)) unterscheiden. Die Graphen sind somit nicht identisch.

\(g(x) = \frac{0{,}5}{x} + 2\) und \(h(x) = \frac{0{,}5}{x} + 1\). Da \(g(x) \neq h(x)\) (der konstante Anteil unterscheidet sich), sind die Graphen nicht identisch.

- Verfolge den Punkt \((0|0)\) durch dieselben Transformationen wie den gesamten Graphen. - Ein Ausdruck der Form \(f(x-c)\) verschiebt den Graphen in \(x\)-Richtung. - Überlege bei einem Faktor vor dem Funktionsterm, was mit der \(y\)-Koordinate \(0\) geschieht. - Ein Summand außerhalb des Funktionsterms verändert die \(y\)-Koordinate des Bezugspunkts.

1. Für \(g(x)=(x+4)^3-2\) wird der Graph um \(4\) Einheiten nach links und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. Der Bezugspunkt wird zu \(T_g(-4|-2)\). 2. Für \(h(x)=3(x-5)^3+6\) wird der Graph um \(5\) Einheiten nach rechts und um \(6\) Einheiten nach oben verschoben. Die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) lässt die \(y\)-Koordinate des zunächst bei \(0\) liegenden Bezugspunkts unverändert. Damit gilt \(T_h(5|6)\). 3. Für \(k(x)=-x^3+4\) wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt und anschließend um \(4\) Einheiten nach oben verschoben. Der Bezugspunkt wird zu \(T_k(0|4)\).

a) \(T_g(-4|-2)\) b) \(T_h(5|6)\) c) \(T_k(0|4)\)

- Welcher Parameter in der allgemeinen Form \(a\cos(x - c) + d\) ist für die Streckung verantwortlich? - Wie verändert sich das Argument der Funktion bei einer horizontalen Verschiebung? - Was bedeutet eine Verschiebung in negative \(y\)-Richtung für das Vorzeichen der Konstante am Ende des Terms? - Überlege, wie die Amplitude definiert ist – sie beschreibt den maximalen Ausschlag aus der Ruhelage.

1. Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(a\) wird durch Multiplikation des Funktionsterms mit \(a\) erreicht. Mit \(a = 3{,}5\) ergibt sich \(3{,}5\cos(x)\). 2. Eine Verschiebung um \(c\) in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) wird durch Ersetzen von \(x\) durch \((x - c)\) im Argument der Funktion umgesetzt. Mit \(c = \frac{\pi}{4}\) folgt \(3{,}5\cos(x - \frac{\pi}{4})\). 3. Eine Verschiebung um \(d\) in \(y\)-Richtung erfolgt durch Addition von \(d\) zum gesamten Term. Mit \(d = -2\) ergibt sich der finale Funktionsterm \(h(x) = 3{,}5\cos(x - \frac{\pi}{4}) - 2\). 4. Die Amplitude entspricht dem Betrag des Streckfaktors in \(y\)-Richtung: \(|3{,}5| = 3{,}5\).

Funktionsterm: \(h(x) = 3{,}5\cos(x - \frac{\pi}{4}) - 2\) Amplitude: \(3{,}5\)

- Überlege dir, ob die Transformation die Position des Graphen horizontal oder vertikal verändert. - Beeinflusst die Änderung den Eingabewert \(x\) oder den Ausgabewert \(f(x)\)? - Was passiert mit der Orientierung des Graphen, wenn die Funktion mit einer negativen Zahl multipliziert wird? - Stelle dir vor, wie sich ein einzelner Punkt auf dem Graphen durch die jeweilige Rechenoperation bewegt.

1. Für \(g(x) = f(x) - 8\) wird der Graph um 8 Einheiten nach unten verschoben. Der \(x\)-Wert bleibt gleich, der \(y\)-Wert verringert sich: \(6 - 8 = -2\). Da nur eine vertikale Verschiebung vorliegt, bleibt die Art des Extrempunktes erhalten. Ergebnis: Hochpunkt bei \((2 | -2)\). 2. Für \(h(x) = f(x + 3)\) wird der Graph um 3 Einheiten nach links verschoben. Der \(y\)-Wert bleibt gleich, der \(x\)-Wert verringert sich: \(2 - 3 = -1\). Die Art des Extrempunktes ändert sich nicht. Ergebnis: Hochpunkt bei \((-1 | 6)\). 3. Für \(k(x) = -2f(x)\) wird der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor 2 in \(y\)-Richtung gestreckt. Der \(x\)-Wert bleibt gleich, der \(y\)-Wert wird zu \(6 \cdot (-2) = -12\). Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse wird aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt. Ergebnis: Tiefpunkt bei \((2 | -12)\).

a) Hochpunkt bei \((2 | -2)\) b) Hochpunkt bei \((-1 | 6)\) c) Tiefpunkt bei \((2 | -12)\)

- Welche Änderung entsteht durch den Faktor vor der Potenz? - Welche Wirkung hat eine Veränderung innerhalb der Klammer am Argument \(x\)? - Welche Transformation erkennst du am Summanden außerhalb der Potenz?

1. Der Faktor \(-0{,}5\) bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 2. Durch \(x-2\) wird der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. 3. Durch \(+3\) wird der Graph um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 4. Der Graph ist dadurch nach unten geöffnet und verläuft flacher als der Graph von \(f\).

Spiegelung an der \(x\)-Achse, Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(3\) Einheiten nach oben; der Graph ist nach unten geöffnet und flacher als \(f\).

- Vergleiche die Struktur der beiden Funktionsgleichungen. Fällt dir auf, dass \(f(x)\) als Baustein in \(g(x)\) vorkommt? - Welche Auswirkung hat ein Faktor vor dem gesamten Funktionsterm auf den Graphen? - Was passiert mit dem Graphen, wenn am Ende des Funktionsterms eine Zahl addiert wird? - Achte besonders auf das Vorzeichen des Faktors.

1. Der Graph von \(f\) wird zunächst an der \(x\)-Achse gespiegelt und in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) gestreckt. Dies entspricht dem Übergang zu \(-3f(x)\). 2. Anschließend wird der so entstandene Graph um \(4\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben) verschoben. Zusammengefasst ergibt sich die Funktionsgleichung \(g(x) = -3f(x) + 4\).

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse, eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) und eine anschließende Verschiebung um \(4\) Einheiten nach oben.

- Setze für den Schnitt mit der \(y\)-Achse \(x=0\) und für den Schnitt mit der \(x\)-Achse den Funktionswert \(0\). - Betrachte für die Asymptote, was mit dem reinen Potenzterm für sehr negative \(x\) geschieht. - Lies die horizontale und vertikale Verschiebung direkt aus dem Funktionsterm im Vergleich zu \(2^x\) ab.

1. Für die \(y\)-Achse gilt \(f(0)=2^{-2}-4=0{,}25-4=-3{,}75\). Damit ist \(S_y(0\mid-3{,}75)\). 2. Für die \(x\)-Achse gilt \(2^{x-2}-4=0\), also \(2^{x-2}=4=2^2\). Daher ist \(x=4\) und \(N(4\mid0)\). 3. Für \(x\to-\infty\) nähert sich \(2^{x-2}\) dem Wert \(0\). Damit nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(-4\) von oben; die Asymptote ist \(y=-4\). 4. Aus \(2^x\) entsteht der Graph durch eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(4\) Einheiten nach unten.

a) \(S_y(0\mid-3{,}75)\) und \(N(4\mid0)\). b) Asymptote \(y=-4\); für \(x\to-\infty\) nähert sich der Graph ihr von oben. c) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(4\) Einheiten nach unten.

- Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man einen Graphen an einer Achse spiegelt? - Welche Auswirkungen hat eine Verschiebung in \(y\)-Richtung auf die Formel? - Überlege, welche Werte man in einen Logarithmus einsetzen darf. - Wo „verschwindet“ der Graph einer Logarithmusfunktion im Unendlichen?

1. Spiegelung an der \(y\)-Achse: Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) führt zu \(y = \log_2(-x)\). 2. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben: Addition von \(3\) zum Funktionsterm ergibt \(g(x) = \log_2(-x) + 3\). 3. Definitionsbereich: Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, also \(-x > 0 \Rightarrow x < 0\). Somit ist \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\}\). 4. Vertikale Asymptote: Die Nullstelle des Arguments \(-x = 0\) liegt bei \(x = 0\). Da sich die Funktionswerte für \(x \to 0^-\) dem Wert \(-\infty\) annähern, ist die vertikale Asymptote die \(y\)-Achse mit der Gleichung \(x = 0\).

a) \(g(x) = \log_2(-x) + 3\) b) \(D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\}\); vertikale Asymptote: \(x = 0\)

- Überlege, welcher Term in einer transformierten Exponentialfunktion die waagerechte Asymptote festlegt. - Nutze den gegebenen Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, indem du \(x=0\) einsetzt. - Es genügt, einen Funktionsterm anzugeben, der beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt.

1. Ein Term der Form \(g(x)=ae^x+c\) hat die waagerechte Asymptote \(y=c\). Daher muss \(c=-2\) gelten. 2. Für den Punkt \(P(0|3)\) gilt \(g(0)=3\). Damit folgt \(ae^0-2=3\), also \(a-2=3\) und somit \(a=5\). 3. Ein möglicher Funktionsterm ist daher \(g(x)=5e^x-2\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x)=5e^x-2\).

- Überlege, wie sich der Preis für eine einzelne Einheit verändert, wenn der Staat einen Teil davon übernimmt. - Was passiert mit einem Funktionswert \(f(x)\), wenn man eine feste Zahl davon abzieht? - Welchen Funktionswert beschreibt der \(y\)-Achsenabschnitt, und welche wirtschaftlichen Aussagen sind ohne weitere Annahmen nicht möglich? - Erinnere dich an die allgemeine Form der vertikalen Verschiebung \(g(x) = f(x) + c\).

1. Aufstellen der neuen Funktionsgleichung: Da die Subvention den geforderten Preis pro Einheit um einen festen Betrag reduziert, wird dieser von der ursprünglichen Funktion subtrahiert: \(p_{sub}(x) = p_A(x) - 5 = 1{,}5x + 20 - 5 = 1{,}5x + 15\). 2. Erläuterung der Transformation: Da für jeden beliebigen Wert von \(x\) der zugehörige Funktionswert um die Konstante \(5\) verringert wird (\(f(x) - c\)), verschieben sich alle Punkte des Graphen vertikal nach unten. Dies entspricht einer Verschiebung in negative \(y\)-Richtung. 3. Berechnung des Schnittpunkts mit der Preisachse: Setze \(x = 0\) in die neue Funktion ein: \(p_{sub}(0) = 15\). Der Schnittpunkt liegt bei \((0 | 15)\). 4. Interpretation: Im linearen Modell ist \(p_{sub}(0) = 15\,\text{€}\) der Preisachsenabschnitt, also der Preis, den das Modell der Menge \(x=0\) zuordnet. Ohne zusätzliche wirtschaftliche Annahmen lässt sich daraus weder ein Mindestangebotspreis noch eine Produktionsschwelle ableiten.

a) \(p_{sub}(x) = 1{,}5x + 15\) b) Die Subvention verringert jeden Funktionswert \(p_A(x)\) um den konstanten Betrag \(5\). Mathematisch entspricht die Operation \(f(x) - c\) einer Verschiebung des Graphen entlang der \(y\)-Achse nach unten. c) Der Schnittpunkt liegt bei \((0 | 15)\). Der Wert \(15\,\text{€}\) ist der modellierte Preis bei \(x=0\); eine tatsächliche Mindestpreis- oder Produktionsschwelle folgt daraus nicht.

- Vergleiche den markierten Bezugspunkt \((2|1)\) mit dem entsprechenden Punkt \((0|0)\) der Grundfunktion. - Prüfe zusätzlich, ob beide Graphen links und rechts dieses Bezugspunkts in derselben Richtung verlaufen. - Übertrage die erkannten Verschiebungen und die mögliche Spiegelung auf den Funktionsterm \(x^3\).

1. Der charakteristische Bezugspunkt des Graphen von \(f(x)=x^3\) liegt bei \((0|0)\). Beim transformierten Graphen liegt der entsprechende Punkt \(S\) bei \((2|1)\). Daher wurde der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben verschoben. 2. Im Vergleich zu \(f\) ist die Verlaufsrichtung vertauscht: Der Graph von \(g\) ist zusätzlich an der \(x\)-Achse gespiegelt. 3. Spiegelung, Verschiebung nach rechts und Verschiebung nach oben ergeben \(g(x)=-(x-2)^3+1\).

a) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben. b) \(g(x)=-(x-2)^3+1\)

- Kannst du die Position des Scheitelpunkts (tiefster oder höchster Punkt) für jede Parabel im Koordinatensystem ablesen? - Überlege, wie sich eine Verschiebung der Normalparabel nach rechts oder links in der Funktionsgleichung auswirkt. - Überlege, wie sich eine Verschiebung nach oben oder unten in der Funktionsgleichung äußert. - Was ändert sich an der Gleichung, wenn die Parabel nach unten geöffnet (also an der \(x\)-Achse gespiegelt) ist? - Nutze die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion: \(y = a \cdot (x - d)^2 + e\). Welche Werte haben \(a\), \(d\) und \(e\) für die jeweiligen Graphen?

1. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(g(x)\): Der Scheitelpunkt der grünen Parabel \(G_g\) wird aus dem Koordinatensystem abgelesen. Er liegt bei \(S_g(2 \mid -3)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist und die gleiche Form wie die Normalparabel besitzt, lautet die Scheitelpunktform: \(g(x) = (x - 2)^2 - 3\) Ausmultipliziert ergibt sich die allgemeine Form: \(g(x) = x^2 - 4x + 1\) 2. Bestimmung der Funktionsgleichung von \(h(x)\): Der Scheitelpunkt der violetten Parabel \(G_h\) liegt bei \(S_h(-3 \mid 4)\). Da diese Parabel nach unten geöffnet ist, aber ansonsten die Form der Normalparabel hat, liegt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor (Streckungsfaktor \(-1\)). Die Scheitelpunktform lautet: \(h(x) = -(x + 3)^2 + 4\) Ausmultipliziert ergibt sich die allgemeine Form: \(h(x) = -x^2 - 6x - 5\)

Die Funktionsgleichungen lauten: \(g(x) = (x - 2)^2 - 3\) (oder \(g(x) = x^2 - 4x + 1\)) \(h(x) = -(x + 3)^2 + 4\) (oder \(h(x) = -x^2 - 6x - 5\))

- Welche Gerade darf der Graph wegen seiner Polstelle nicht schneiden? - Welche Gerade beschreibt das langfristige Höhenniveau des verschobenen Graphen? - Wie spiegeln sich horizontale und vertikale Verschiebungen in einem Funktionsterm wider?

1. Aus der Zeichnung ist die senkrechte Asymptote \(x=-1\) ablesbar. Die waagerechte Asymptote ist \(y=-3\). 2. Die senkrechte Asymptote zeigt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach links; die waagerechte Asymptote zeigt eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten. 3. Damit lautet der Funktionsterm \(g(x)=\frac{1}{(x+1)^2}-3\). 4. Als Kontrolle gilt beispielsweise \(g(0)=\frac{1}{1^2}-3=-2\), passend zum gezeichneten Graphen.

Senkrechte Asymptote: \(x=-1\) Funktionsterm: \(g(x)=\frac{1}{(x+1)^2}-3\)

- Vergleiche die Lage des Minimums von \(x^4\) mit dem Minimum des gezeichneten Graphen. - Welche Änderung im Funktionsterm beschreibt eine Verschiebung in \(x\)-Richtung? - Welche Änderung beschreibt eine Verschiebung in \(y\)-Richtung?

1. Das Minimum des gezeichneten Graphen liegt bei \(S(1\mid1)\). 2. Der Graph von \(g(x)=x^4\) hat sein Minimum bei \((0\mid0)\). Die Verschiebung des Minimums um \(1\) nach rechts und \(1\) nach oben führt zu \(f(x)=(x-1)^4+1\). 3. Damit wurde der Graph von \(g\) um \(1\) Einheit nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben verschoben.

\(f(x)=(x-1)^4+1\); Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(1\) Einheit nach oben.

- Welche Information liefert der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse über \(c\)? - Welche noch unbekannte Größe lässt sich anschließend mit dem markierten Punkt bestimmen? - Vergleiche den Betrag des gefundenen Faktors mit \(1\), um die Veränderung der Form zu beschreiben.

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \((0\mid-2)\). Aus \(h(0)=c\) folgt \(c=-2\). 2. Der markierte Punkt \(P(1\mid-1{,}5)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen liefert \(-1{,}5=a\cdot1^3-2\), also \(a=0{,}5\). 3. Somit gilt \(h(x)=0{,}5x^3-2\). Gegenüber \(f\) wird der Graph in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und anschließend um \(2\) Einheiten nach unten verschoben.

\(a=0{,}5\), \(c=-2\), also \(h(x)=0{,}5x^3-2\); Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten.

- Wo befindet sich die Lücke im Definitionsbereich? Diese senkrechte „Grenze“ verrät dir die Verschiebung entlang der x-Achse. - Betrachte das Verhalten für sehr große oder sehr kleine x-Werte. Gegen welchen y-Wert strebt der Graph? - Wie musst du die Funktionsgleichung anpassen, damit die Polstelle an die richtige Stelle wandert?

1. Die senkrechte Asymptote (Polstelle) von \(f\) ist \(x = 0\). Bei \(g\) liegt sie bei \(x = -2\). Das ist eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links. 2. Die waagerechte Asymptote von \(f\) ist \(y = 0\). Bei \(g\) liegt sie bei \(y = -1\). Das ist eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten. 3. Einsetzen in die allgemeine Form \(g(x) = \frac{1}{(x - d)^2} + e\) ergibt mit \(d = -2\) und \(e = -1\): \(g(x) = \frac{1}{(x + 2)^2} - 1\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und um \(1\) Einheit nach unten. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \frac{1}{(x + 2)^2} - 1\).

- Welche Information über horizontale und vertikale Verschiebung liefert der Startpunkt einer Wurzelfunktion? - Welcher Parameter bleibt nach dem Ablesen des Startpunkts noch unbekannt? - Wie kann der zweite markierte Punkt diesen Parameter festlegen?

1. Aus der Abbildung liest man den Startpunkt \(S(1\mid2)\) ab. Daher sind \(x_0=1\) und \(y_0=2\), also \(f(x)=a\sqrt{x-1}+2\). 2. Der markierte Punkt ist \(P(5\mid4)\). Einsetzen ergibt \(4=a\sqrt{5-1}+2=2a+2\). 3. Daraus folgt \(a=1\). 4. Somit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=\sqrt{x-1}+2\).

\(f(x)=\sqrt{x-1}+2\)

- Welcher charakteristische Punkt von \(x^4\) lässt sich nach einer Verschiebung besonders gut verfolgen? - Vergleiche dessen neue Koordinaten mit \((0\mid0)\). - Achte beim Einsetzen von \(x_0\) auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer.

1. Aus der Grafik ist der Tiefpunkt \(S(-2\mid-1)\) ablesbar. 2. Gegenüber dem Tiefpunkt \((0\mid0)\) von \(x^4\) bedeutet dies eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten. 3. Damit ist \(x_0=-2\) und \(y_0=-1\). Es folgt \(g(x)=(x+2)^4-1\). 4. Zur Kontrolle gilt beispielsweise \(g(-1)=0\), passend zur Zeichnung.

\(g(x)=(x+2)^4-1\); Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten.

- Welcher charakteristische Punkt von \(x^3\) lässt sich nach einer Verschiebung gut verfolgen? - Welche horizontalen und vertikalen Abstände hat dieser Punkt vom Ursprung? - Wie erscheinen diese Verschiebungen in der Form \((x-x_0)^3+y_0\)?

1. Der charakteristische Terrassenpunkt des gezeichneten Graphen liegt bei \(P(1\mid2)\). 2. Gegenüber dem Terrassenpunkt \((0\mid0)\) von \(x^3\) ist der Graph um \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben verschoben. 3. Daher gilt \(x_0=1\) und \(y_0=2\), also \(h(x)=(x-1)^3+2\). 4. Zur Kontrolle gilt \(h(0)=1\), passend zum Graphen.

\(h(x)=(x-1)^3+2\); Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben.

- Welche beiden Verschiebungen sind in der vorgegebenen Form bereits durch das Symmetriezentrum festgelegt? - Es bleibt nur der Faktor \(a\) unbekannt. - Nutze die gegebene Nullstelle als Punkt \((3\mid0)\).

1. Aus dem angegebenen Symmetriezentrum und der verlangten Transformationsform folgt \(f(x)=a(x-1)^3+2\). 2. Die Nullstelle bei \(x=3\) liefert \(0=a(3-1)^3+2=8a+2\). 3. Daher ist \(a=-\frac{1}{4}=-0{,}25\). 4. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=-0{,}25(x-1)^3+2\).

\(f(x)=-0{,}25(x-1)^3+2\)

- Suche bei jedem kubischen Graphen denselben charakteristischen Mittelpunkt der S-Form. - Vergleiche dessen \(x\)- und \(y\)-Koordinate mit \((0|0)\) beim Grundgraphen. - Eine horizontale Verschiebung steht im Argument der Funktion, eine vertikale Verschiebung außerhalb.

1. Der charakteristische Mittelpunkt des Graphen von \(f(x)=x^3\) liegt bei \((0|0)\). Beim Graphen von \(g\) liegt der entsprechende Punkt bei \((2|1)\). Der Graph wurde also um \(2\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben verschoben. Daher gilt \(g(x)=(x-2)^3+1\). 2. Beim Graphen von \(h\) liegt der entsprechende Punkt bei \((-3|-1)\). Der Graph wurde also um \(3\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten verschoben. Daher gilt \(h(x)=(x+3)^3-1\).

\(g(x)=(x-2)^3+1\) \(h(x)=(x+3)^3-1\)

- Schau dir markante Punkte wie Nullstellen oder Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) an. Wie haben sich deren Koordinaten verändert? - Überlege, ob die Änderung die x-Werte (Verschiebung links/rechts, Streckung) oder die y-Werte (Verschiebung oben/unten, Spiegelung an der x-Achse) betrifft. - Wenn sich die gesamte Form des Graphen nach oben oder unten bewegt hat, wurde ein Wert zum Funktionsterm addiert oder subtrahiert. - Eine Spiegelung an der x-Achse erkennst du daran, dass aus „Bergen“ „Täler“ werden und umgekehrt.

1. Abbildung a): Der rote Graph ist gegenüber dem blauen Graphen um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Dies entspricht der Transformation \(x \mapsto x - 2\) im Argument der Funktion. Somit gehört dieser Graph zu \(g(x) = f(x - 2)\). 2. Abbildung b): Der rote Graph ist gegenüber dem blauen Graphen um \(1{,}5\) Einheiten parallel zur y-Achse nach oben verschoben. Dies entspricht der Addition einer Konstanten zum Funktionswert. Somit gehört dieser Graph zu \(h(x) = f(x) + 1{,}5\). 3. Abbildung c): Der rote Graph ist durch Spiegelung des blauen Graphen an der x-Achse entstanden. Jeder Funktionswert hat das entgegengesetzte Vorzeichen erhalten. Somit gehört dieser Graph zu \(k(x) = -f(x)\).

a) \(g(x) = f(x - 2)\); Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts. b) \(h(x) = f(x) + 1{,}5\); Verschiebung um \(1{,}5\) Einheiten nach oben. c) \(k(x) = -f(x)\); Spiegelung an der x-Achse.

- Überlege dir, wie sich die Funktionswerte ändern, wenn du das Ergebnis der gesamten Funktion mit einer Zahl multiplizierst. - Was passiert mit dem Argument \(x\), wenn du direkt in der Klammer eine Zahl addierst oder subtrahierst? - Ein konstanter Wert am Ende des Terms verschiebt alle Punkte des Graphen um denselben Betrag in die gleiche Richtung. - Achte auf markante Punkte wie Hochpunkte oder Nullstellen, um die Verschiebungen nachzuvollziehen.

1. Der Parameter \(a\) bewirkt eine Streckung oder Stauchung des Graphen in \(y\)-Richtung. Ist \(|a| > 1\), wird der Graph gestreckt; ist \(0 < |a| < 1\), wird er gestaucht. Ein negatives Vorzeichen bei \(a\) bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Im Beispiel ist \(a = -1\), was einer reinen Spiegelung entspricht. 2. Der Parameter \(c\) bewirkt eine Verschiebung in \(x\)-Richtung. Ein positiver Wert (\(c > 0\)) verschiebt den Graphen nach links, ein negativer Wert (\(c < 0\)) nach rechts. Im Beispiel ist \(c = -2\), der Graph ist also um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. 3. Der Parameter \(d\) bewirkt eine Verschiebung in \(y\)-Richtung. Bei \(d > 0\) erfolgt die Verschiebung nach oben, bei \(d < 0\) nach unten. Im Beispiel ist \(d = 1\).

Der Parameter \(a\) streckt oder staucht den Graphen in \(y\)-Richtung (bei \(a < 0\) zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse). Der Parameter \(c\) verschiebt den Graphen horizontal (nach links für \(c > 0\), nach rechts für \(c < 0\)). Der Parameter \(d\) verschiebt den Graphen vertikal (nach oben für \(d > 0\), nach unten für \(d < 0\)).

- Suche dir markante Punkte auf dem Graphen von \(f\), wie zum Beispiel Hoch- oder Tiefpunkte. - Finde die entsprechenden Punkte auf dem Graphen von \(g\). - Überlege, wie weit die Punkte in waagerechter und senkrechter Richtung verschoben wurden. - Erinnere dich daran, wie sich eine Verschiebung nach links oder rechts im Funktionsterm (innerhalb oder außerhalb der Klammer) auswirkt.

1. Identifikation markanter Punkte auf \(G_f\): Der Graph von \(f\) verläuft durch den Ursprung \((0\mid0)\) und hat ein lokales Maximum bei \((-2\mid4)\) sowie ein lokales Minimum bei \((2\mid-4)\). 2. Vergleich mit \(G_g\): Der Graph von \(g\) hat ein lokales Maximum bei \((-4\mid5)\), verläuft durch \((-2\mid1)\) und hat ein lokales Minimum bei \((0\mid-3)\). 3. Bestimmung der Verschiebung: Jeder Punkt \((x\mid y)\) von \(G_f\) wurde um 2 Einheiten nach links und um 1 Einheit nach oben verschoben, um auf einen Punkt von \(G_g\) zu gelangen. Dies entspricht der Transformation \(g(x) = f(x + 2) + 1\). 4. Aufstellen des Funktionsterms: Einsetzen von \((x+2)\) in den Term von \(f\) und Addition von 1 ergibt \(g(x) = \frac{1}{4}(x+2)^3 - 3(x+2) + 1\).

\(g(x) = \frac{1}{4}(x+2)^3 - 3(x+2) + 1\)

- Schaue dir an, wohin die Nullstellen des blauen Graphen gewandert sind. - Wenn ein Graph nach links verschoben wird, wird das Argument \(x\) in der Funktionsvorschrift angepasst. Überlege, ob du einen Wert addieren oder subtrahieren musst.

1. Analyse der Nullstellen: Die Funktion \(f\) hat Nullstellen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). Die Funktion \(g\) hat entsprechende Nullstellen bei \(x = -6\), \(x = -4\) und \(x = -2\). 2. Berechnung der Differenz: Jede Nullstelle wurde um \(4\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung verschoben (\(-2 - 4 = -6\); \(0 - 4 = -4\); \(2 - 4 = -2\)). 3. Bestimmung der Transformation: Eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \(x + 4\). 4. Ergebnis: \(g(x) = f(x + 4)\).

Der Graph von \(g\) ist gegenüber dem Graphen von \(f\) um \(4\) Einheiten nach links verschoben; der Funktionsterm lautet \(g(x) = f(x + 4)\).

- Vergleiche die Positionen markanter Punkte (wie Hoch-, Tief- oder Scheitelpunkte) beider Graphen. - Überlege, ob der Graph nur verschoben oder auch gespiegelt oder gestreckt wurde. - Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt?

1. Analyse der markanten Punkte: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \((0 \mid -2)\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \((3 \mid -1)\). 2. Bestimmung der Verschiebung: Um von \((0 \mid -2)\) nach \((3 \mid -1)\) zu gelangen, muss der Graph um 3 Einheiten nach rechts und um 1 Einheit nach oben verschoben werden. 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: Eine Verschiebung um \(c\) nach rechts wird durch \(f(x - c)\) ausgedrückt, eine Verschiebung um \(d\) nach oben durch Addition von \(d\). 4. Ergebnis: \(g(x) = f(x - 3) + 1\).

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und um 1 Einheit nach oben; die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = f(x - 3) + 1\).

- Achte darauf, ob die Kurvenverläufe „umgedreht“ wirken. - Prüfe, ob die \(y\)-Werte von \(g\) genau die entgegengesetzten Vorzeichen der \(y\)-Werte von \(f\) haben. - Erinnere dich daran, welche Operation im Funktionsterm einer Spiegelung an der waagerechten Achse entspricht.

1. Beobachtung der Graphenform: Die Graphen von \(f\) und \(g\) haben dieselbe Form, sind aber an der \(x\)-Achse gespiegelt. 2. Überprüfung der Funktionswerte: An der Stelle \(x=1\) gilt \(f(1) = -1\) und \(g(1) = 1\). An der Stelle \(x=-1\) gilt \(f(-1) = 1\) und \(g(-1) = -1\). Allgemein gilt für jeden Punkt \((x \mid y)\) auf \(G_f\), dass der Punkt \((x \mid -y)\) auf \(G_g\) liegt. 3. Mathematische Beschreibung: Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht einer Multiplikation des gesamten Funktionsterms mit \(-1\). 4. Ergebnis: \(g(x) = -f(x)\).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hervor; es gilt \(g(x) = -f(x)\).

- Welcher Graph zeigt ein periodisches Muster? - Suche bei der Exponentialfunktion einen einfachen Punkt, der sich durch die horizontale Verschiebung eindeutig zuordnen lässt. - Wo beginnt der Graph einer verschobenen Wurzelfunktion?

1. Graph 1 gehört zu \(p(x)=2\cos(x)\). Die Kosinusfunktion ist in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt; insbesondere gilt \(p(0)=2\). 2. Graph 2 gehört zu \(q(x)=2^{x-1}\). Der Graph der Grundfunktion \(2^x\) ist um \(1\) Einheit nach rechts verschoben und verläuft deshalb durch \((1|1)\). 3. Graph 3 gehört zu \(r(x)=\sqrt{x}-2\). Der Graph der Wurzelfunktion ist um \(2\) Einheiten nach unten verschoben; er beginnt bei \((0|-2)\) und hat bei \(x=4\) eine Nullstelle.

Graph 1: \(p\) Graph 2: \(q\) Graph 3: \(r\)

- Berechne für jede Funktion den Wert an der Stelle \(x = 0\), um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu bestimmen. - Vergleiche die waagerechten Asymptoten der drei Funktionen. - Prüfe zusätzlich, ob der jeweilige Graph steigt oder fällt.

1. Für A gilt \(f(0) = 2\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 0\). Das entspricht Graph c). 2. Für B gilt \(g(0) = -1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = -2\). Das entspricht Graph a). 3. Für C gilt \(h(0) = 1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 2\). Wegen des Minuszeichens vor dem Potenzterm ist der Graph steigend. Das entspricht Graph b). 4. Damit lautet die Zuordnung A–c), B–a), C–b).

A gehört zu Graph c), B zu Graph a), C zu Graph b).

- Wie wirkt sich eine Stauchung in \(y\)-Richtung mathematisch auf den gesamten Funktionsterm aus? - Was passiert mit dem Term, wenn der Graph entlang der \(y\)-Achse verschoben wird? - Welche Teile des Funktionsterms bestimmen die Lage der waagerechten und senkrechten Asymptoten? - Überlege, ob eine Stauchung oder Verschiebung in \(y\)-Richtung die Position einer senkrechten Geraden verändern kann.

1. Anwendung der Stauchung mit Faktor \(k = 0{,}5\) auf \(f(x)\): \(h(x) = 0{,}5f(x) = 0{,}5\left( \frac{6}{x-4} + 2 \right) = \frac{3}{x-4} + 1\). 2. Anwendung der vertikalen Verschiebung um \(d = 3\): \(g(x) = h(x) + 3 = \frac{3}{x-4} + 1 + 3 = \frac{3}{x-4} + 4\). Dies entspricht der Zielvorgabe. 3. Bestimmung der Asymptoten von \(f\): Vertikale Asymptote bei \(x = 4\) (Nullstelle des Nenners), horizontale Asymptote bei \(y = 2\) (Grenzwert für \(x \to \pm \infty\)). 4. Bestimmung der Asymptoten von \(g\): Vertikale Asymptote bei \(x = 4\), horizontale Asymptote bei \(y = 4\). 5. Beschreibung der Transformation der Asymptoten: Die vertikale Asymptote bleibt unverändert, da keine Transformation in \(x\)-Richtung stattfindet. Die horizontale Asymptote \(y = 2\) wird mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht (\(2 \cdot 0{,}5 = 1\)) und anschließend um \(3\) nach oben verschoben (\(1 + 3 = 4\)), woraus \(y = 4\) resultiert.

Die rechnerische Herleitung ergibt \(0{,}5f(x) + 3 = \frac{3}{x-4} + 4 = g(x)\). Asymptoten von \(f\): \(x = 4\) und \(y = 2\). Asymptoten von \(g\): \(x = 4\) und \(y = 4\). Die vertikale Asymptote bleibt gleich (\(x = 4\)). Die horizontale Asymptote von \(g\) ergibt sich durch \(y_g = 0{,}5y_f + 3 = 0{,}5 \cdot 2 + 3 = 4\).

- Wie wirkt sich eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse auf das Argument in der Klammer aus? - Welcher Teil des Funktionsterms \(a\cos(b(x-c)) + d\) bestimmt die Amplitude und welcher die Periode? - Erinnere dich an die Periodizität der Kosinusfunktion. Wann nimmt die Funktion dieselben Werte wieder an?

1. Aufstellen des Funktionsterms: Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\) entspricht der Multiplikation des Funktionsterms mit \(2\). Eine Verschiebung um \(\pi\) nach rechts entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \((x - \pi)\). Daraus folgt \(g(x) = 2\cos(x - \pi)\). 2. Bestimmung von Amplitude und Periode: Die Amplitude entspricht dem Betrag des Streckungsfaktors in \(y\)-Richtung, also \(A = 2\). Da in \(x\)-Richtung keine Streckung vorliegt (Faktor \(1\)), bleibt die Periodenlänge der Kosinusfunktion erhalten: \(T = 2\pi\). 3. Bestimmung der Parameter \(d\): Aus dem Term in Teilaufgabe a) ergibt sich unmittelbar \(d_1 = -\pi\). Aufgrund der Periodizität der Kosinusfunktion mit \(2\pi\) gilt \(\cos(x - \pi) = \cos(x - \pi + 2\pi) = \cos(x + \pi)\). Somit ist ein möglicher positiver Wert \(d_2 = \pi\).

a) \(g(x) = 2\cos(x - \pi)\) b) Amplitude: \(2\); Periodenlänge: \(2\pi\) c) Mögliche Werte sind \(d = \pi\) und \(d = -\pi\).

- Nutze die quadratische Ergänzung, um die Scheitelpunktform zu erhalten. - Überlege, wie die Parameter in der Scheitelpunktform \(a(x - x_S)^2 + y_S\) mit der allgemeinen Form \(af(b(x + c)) + d\) zusammenhängen. - Achte beim Beschreiben der Transformationen besonders auf das Vorzeichen von \(a\) (Spiegelung).

1. Umformung durch quadratische Ergänzung: \(g(x) = -0{,}5(x^2 - 4x) + 1\) \(g(x) = -0{,}5((x - 2)^2 - 4) + 1\) \(g(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 2 + 1\) \(g(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 3\) 2. Vergleich mit der Form \(af(b(x + c)) + d\): Da \(f(x) = x^2\), ist \(g(x) = -0{,}5f(1(x - 2)) + 3\). Hierbei ist \(a = -0{,}5\), \(b = 1\), \(c = -2\) und \(d = 3\). 3. Beschreibung der Transformationen: - Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (wegen \(c = -2\)). - Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse (wegen \(a = -0{,}5\)). - Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben (wegen \(d = 3\)).

Darstellung: \(g(x) = -0{,}5f(x - 2) + 3\) Transformationen: Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse bei gleichzeitiger Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben.

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn man ein Minuszeichen vor den gesamten Funktionsterm setzt? - Wie verändert sich der Term, wenn man jedes \(x\) durch \((-x)\) ersetzt? Achte dabei besonders auf die Potenzen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften von Graphen im Koordinatensystem. - Überlege, was passiert, wenn man einen Punkt erst an der einen und dann an der anderen Achse spiegelt.

1. Berechnung von \(g(x)\): Durch Einsetzen von \(f(x)\) in \(g(x) = -f(x)\) ergibt sich \(g(x) = -(x^3 - 2x^2) = -x^3 + 2x^2\). 2. Berechnung von \(h(x)\): Durch Einsetzen von \(-x\) in \(g(x)\) erhält man \(h(x) = -(-x)^3 + 2(-x)^2 = -(-x^3) + 2x^2 = x^3 + 2x^2\). 3. Geometrische Transformationen: Der Übergang von \(f\) zu \(g\) entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. Der Übergang von \(g\) zu \(h\) entspricht einer Spiegelung an der \(y\)-Achse. 4. Direkter Zusammenhang: Die Hintereinanderausführung einer Spiegelung an der \(x\)-Achse und einer Spiegelung an der \(y\)-Achse entspricht einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung \((0|0)\). Somit geht der Graph von \(h\) durch Punktspiegelung am Ursprung aus dem Graphen von \(f\) hervor.

a) \(g(x) = -x^3 + 2x^2\) und \(h(x) = x^3 + 2x^2\). b) \(f \to g\): Spiegelung an der \(x\)-Achse; \(g \to h\): Spiegelung an der \(y\)-Achse. Der Graph von \(h\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Punktspiegelung am Ursprung hervor.

- Wie wirkt sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des gesamten Funktionsterms aus? - Wenn ein Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird, an welcher Stelle im Funktionsterm musst du die Änderung vornehmen? - Achte darauf, die Transformationen in der angegebenen Reihenfolge durchzuführen. - Überlege dir, wie sich der Scheitelpunkt der Parabel durch die einzelnen Schritte verändert.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Der Term \(f(x)\) wird mit \(-1\) multipliziert. Es ergibt sich \(f_1(x) = -(\frac{1}{2}(x-2)^2 - 4) = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 4\). 2. Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links: In \(f_1(x)\) wird \(x\) durch \((x+2)\) ersetzt. Dies führt zu \(g(x) = -\frac{1}{2}(x+2-2)^2 + 4 = -\frac{1}{2}x^2 + 4\). 3. Die resultierende Funktion hat bereits die gewünschte Form \(g(x) = ax^2 + c\) mit \(a = -0{,}5\) und \(c = 4\).

Die Scheitelpunktform nach der Spiegelung und Verschiebung lautet \(g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4\). Dies entspricht bereits der Form \(g(x) = ax^2 + c\) mit \(a = -\frac{1}{2}\) und \(c = 4\).

- Kannst du den Ausdruck in der Klammer so umformen, dass der Faktor vor dem \(x\) ausgeklammert ist? - Welche Zahl im Funktionsterm bewirkt eine Veränderung der Amplitude oder eine Streckung in \(y\)-Richtung? - Wie unterscheidet sich eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse von einer Verschiebung entlang der \(y\)-Achse im Funktionsterm? - Was passiert mit dem Graphen, wenn man das \(x\) durch \(3x\) ersetzt?

1. Umformung des Funktionsterms durch Ausklammern des Faktors 3 im Argument der Sinusfunktion ergibt \(f(x) = 2\sin(3(x - \frac{\pi}{3})) + 1\). 2. Stauchung des Graphen der Sinusfunktion in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) zur Änderung der Periode. 3. Verschiebung des resultierenden Graphen um \(\frac{\pi}{3}\) Einheiten nach rechts in positive \(x\)-Richtung. 4. Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2 zur Anpassung der Amplitude. 5. Verschiebung des gesamten Graphen um 1 Einheit nach oben in positive \(y\)-Richtung. Alternativ kann die Verschiebung um \(\pi\) vor der Stauchung mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) erfolgen.

Der Graph von \(f\) geht aus dem Graphen von \(g(x) = \sin(x)\) hervor, indem dieser zunächst mit dem Faktor \(\frac{1}{3}\) in \(x\)-Richtung gestaucht und um \(\frac{\pi}{3}\) nach rechts verschoben wird. Anschließend erfolgt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 2 sowie eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben.

- Denke daran, dass bei einer Verschiebung in \(x\)-Richtung jedes \(x\) im aktuellen Term durch \((x - c)\) ersetzt wird. - Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse wird jedes \(x\) im aktuellen Term durch \((-x)\) ersetzt. - Achte besonders auf die Klammersetzung, wenn du die zweite Transformation anwendest. - Was sagen die Definitionsbereiche über die Lage der Graphen aus?

1. Berechnung von \(p(x)\) (Spiegelung, dann Verschiebung): Die Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\), also \(f_1(x) = \sqrt{-x}\). Die anschließende Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts ersetzt \(x\) durch \((x-3)\). Somit gilt \(p(x) = \sqrt{-(x-3)} = \sqrt{-x+3}\). 2. Berechnung von \(q(x)\) (Verschiebung, dann Spiegelung): Die Verschiebung um \(3\) nach rechts ersetzt \(x\) durch \((x-3)\), also \(f_2(x) = \sqrt{x-3}\). Die anschließende Spiegelung an der \(y\)-Achse ersetzt \(x\) durch \(-x\). Somit gilt \(q(x) = \sqrt{-x-3}\). 3. Vergleich: \(p(x) = \sqrt{3-x}\) hat den Definitionsbereich \(D_p = \{x \in \mathbb{R} | x \le 3\}\), während \(q(x) = \sqrt{-x-3}\) den Definitionsbereich \(D_q = \{x \in \mathbb{R} | x \le -3\}\) besitzt. Da die Definitionsbereiche (und die Terme unter der Wurzel) unterschiedlich sind, gilt \(p(x) \neq q(x)\).

\(p(x) = \sqrt{-x+3}\) (bzw. \(\sqrt{-(x-3)}\)) und \(q(x) = \sqrt{-x-3}\). Die Funktionen sind verschieden, da die Argumente unter der Wurzel (\(-x+3\) vs. \(-x-3\)) für dieselben \(x\)-Werte unterschiedliche Ergebnisse liefern und die Definitionsbereiche nicht übereinstimmen.

- Untersuche den Nenner des Bruchs in \(g(x)\). Erinnert er dich an eine binomische Formel? - Versuche, den Term von \(g(x)\) so umzuformen, dass der Grundterm \(f(x)\) deutlich erkennbar wird. - Welche Parameter in der Form \(af(x - c) + d\) bewirken welche Veränderungen am Graphen? - Achte besonders auf das Vorzeichen vor dem Bruch und die Konstante am Ende des Terms.

1. Den Funktionsterm von \(g\) umschreiben: Da \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\), gilt \(g(x) = -4\frac{1}{(x-2)^2} + 1\). 2. Vergleich mit der allgemeinen Form \(g(x) = af(x - c) + d\): Hier ist \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), also \(g(x) = -4f(x - 2) + 1\). 3. Identifikation der Transformationen: - Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). - Spiegelung an der \(x\)-Achse (wegen des negativen Vorzeichens bei \(-4\)). - Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (in positive \(x\)-Richtung). - Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben (in positive \(y\)-Richtung).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\), eine Spiegelung an der \(x\)-Achse, eine Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung und eine Verschiebung um \(1\) Einheit in positive \(y\)-Richtung hervor.

- Überlege dir, wie sich eine Verschiebung oder Stauchung mathematisch auf den gesamten Funktionsterm auswirkt. - Achte besonders darauf, ob eine Transformation nur auf das \(x^2\) oder auf den gesamten bereits transformierten Term wirkt. - Schreibe dir die Funktionsgleichung nach jedem einzelnen Schritt der Beschreibung auf. - Macht es einen Unterschied, ob man erst multipliziert und dann addiert/subtrahiert oder umgekehrt?

1. Anwendung von Linas Beschreibung: Zuerst wird die Funktion \(f(x) = x^2\) mit dem Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung gestaucht, was zu \(f_1(x) = 0{,}5x^2\) führt. 2. Anschließend erfolgt die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten: \(g_L(x) = f_1(x) - 3 = 0{,}5x^2 - 3\). Dies entspricht der Funktion \(g(x)\). 3. Anwendung von Felix' Beschreibung: Zuerst wird der Graph um \(3\) Einheiten nach unten verschoben, was zu \(f_2(x) = x^2 - 3\) führt. 4. Die anschließende Stauchung mit Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung muss auf die gesamte bisherige Funktion angewendet werden: \(g_F(x) = 0{,}5(x^2 - 3) = 0{,}5x^2 - 1{,}5\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Linas Vorgehensweise führt korrekt zu \(g(x)\), während Felix' Vorgehensweise zu einer anderen Funktion führt.

Nur Linas Vorgehensweise führt zur Funktionsgleichung \(g(x) = 0{,}5x^2 - 3\). Felix erhält durch seine Reihenfolge die Funktion \(g_F(x) = 0{,}5x^2 - 1{,}5\), da sich die Stauchung bei ihm auch auf den Wert der Verschiebung auswirkt.

- Überlege dir, wie sich eine Streckung in \(x\)-Richtung formal im Funktionsterm ausdrückt. - Wie verändert eine Verschiebung entlang der \(y\)-Achse den Funktionsterm? - Betrachte die Definitionslücke und den konstanten Summanden, um die Asymptoten zu finden. - Welche Transformation beeinflusst welche Asymptote (waagrecht oder senkrecht)?

1. Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(3\): Ersetzen von \(x\) durch \(\frac{x}{3}\) in der Funktionsgleichung von \(f\). 2. Berechnung des Terms: \(f\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{2}{\frac{x}{3} + 4} - 3 = \frac{2}{\frac{x + 12}{3}} - 3 = \frac{6}{x + 12} - 3\). 3. Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(4\): Addition von \(4\) zum gesamten Funktionsterm. 4. Endergebnis: \(g(x) = \frac{6}{x + 12} - 3 + 4 = \frac{6}{x + 12} + 1\). Dies entspricht der Zielvorgabe. 5. Auswirkungen auf die Asymptoten: Die senkrechte Asymptote von \(f\) bei \(x = -4\) wird durch die Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) auf \(x = -12\) verschoben. Die waagrechte Asymptote von \(f\) bei \(y = -3\) wird durch die Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(4\) Einheiten nach oben auf \(y = 1\) verschoben.

Die Transformation erfolgt durch \(g(x) = f\left(\frac{x}{3}\right) + 4\). Die Rechnung ergibt \(\frac{2}{\frac{x}{3} + 4} - 3 + 4 = \frac{6}{x + 12} + 1\). Die senkrechte Asymptote verschiebt sich von \(x = -4\) zu \(x = -12\) (Streckung), die waagrechte von \(y = -3\) zu \(y = 1\) (Verschiebung).

- Achte darauf, dass bei einer Streckung in \(y\)-Richtung der gesamte Funktionsterm (inklusive der Konstanten) multipliziert werden muss. - Erinnere dich daran, ob eine Verschiebung nach links durch Addition oder Subtraktion im Nenner dargestellt wird. - Was passiert mit der waagrechten Asymptote, wenn die gesamte Funktion gestreckt wird? - Was passiert mit der senkrechten Asymptote bei einer horizontalen Verschiebung?

1. Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\): Multiplikation des gesamten Funktionsterms \(h(x)\) mit \(4\). 2. Zwischenergebnis: \(4\left(\frac{1}{x-2} + 5\right) = \frac{4}{x-2} + 20\). 3. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links: Ersetzen von \(x\) durch \(x + 3\). 4. Resultierende Funktion: \(k(x) = \frac{4}{(x+3)-2} + 20 = \frac{4}{x+1} + 20\). 5. Analyse der Asymptoten: Die ursprüngliche senkrechte Asymptote \(x = 2\) wird durch die Linksverschiebung um \(3\) Einheiten zu \(x = -1\). Die ursprüngliche waagrechte Asymptote \(y = 5\) wird durch die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) auf \(y = 20\) transformiert.

Die neue Funktionsgleichung lautet \(k(x) = \frac{4}{x+1} + 20\). Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = -1\) (Verschiebung von \(x = 2\) um \(3\) nach links), die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 20\) (Streckung von \(y = 5\) mit Faktor \(4\)).

- Überlege dir Schritt für Schritt, wie sich der Funktionsterm verändert, wenn eine Operation nach der anderen angewendet wird. - Achte besonders darauf, worauf sich die Streckung bezieht, wenn sie als zweiter Schritt erfolgt. - Was bedeutet es mathematisch für die Differenz zweier Funktionen, wenn der Abstand konstant sein soll? - Wie berechnet man den vertikalen Abstand zwischen zwei Graphen an einer Stelle \(x\)?

1. Aufstellen des Funktionsterms für \(g\): Zuerst erfolgt die Streckung mit Faktor \(3\), also \(3f(x)\), dann die Verschiebung um \(2\) nach unten. Es ergibt sich \(g(x) = 3\sqrt{x} - 2\). 2. Aufstellen des Funktionsterms für \(h\): Zuerst erfolgt die Verschiebung um \(2\) nach unten, also \(f(x) - 2\), dann die Streckung des gesamten Ausdrucks mit Faktor \(3\). Es ergibt sich \(h(x) = 3(\sqrt{x} - 2) = 3\sqrt{x} - 6\). 3. Berechnung der Differenz der Funktionswerte: \(g(x) - h(x) = (3\sqrt{x} - 2) - (3\sqrt{x} - 6) = 3\sqrt{x} - 2 - 3\sqrt{x} + 6 = 4\). 4. Da die Differenz \(g(x) - h(x) = 4\) unabhängig von \(x\) ist, ist der vertikale Abstand zwischen den Graphen konstant. Der Abstand beträgt \(4\) Einheiten.

Der vertikale Abstand ist konstant \(4\), da \(g(x) = 3\sqrt{x} - 2\) und \(h(x) = 3\sqrt{x} - 6\) gilt und somit die Differenz \(g(x) - h(x) = 4\) für alle \(x\) im Definitionsbereich ergibt.

- Erinnere dich daran, wie sich eine Spiegelung an der \(x\)-Achse auf das Vorzeichen des gesamten Funktionsterms auswirkt. - Verfolge die Wanderung des Scheitelpunkts bei jeder einzelnen Transformation. - Was passiert mit einer Verschiebung, wenn danach der gesamte Graph gespiegelt wird? - Reicht es aus, einen markanten Punkt (wie den Scheitelpunkt) zu vergleichen, um zu zeigen, dass zwei Funktionen unterschiedlich sind?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts von \(f\): Da \(f(x) = x^2 - 1\), liegt der Scheitelpunkt bei \(S_f(0|-1)\). 2. Transformation zu \(g\) (Sequenz A): Die Spiegelung an der \(x\)-Achse bildet \(f(x)\) auf \(-f(x) = -(x^2 - 1) = -x^2 + 1\) ab. Die anschließende Verschiebung um \(4\) nach oben ergibt \(g(x) = -x^2 + 1 + 4 = -x^2 + 5\). Der Scheitelpunkt von \(g\) ist \(S_g(0|5)\). 3. Transformation zu \(h\) (Sequenz B): Die Verschiebung um \(4\) nach oben bildet \(f(x)\) auf \(f(x) + 4 = (x^2 - 1) + 4 = x^2 + 3\) ab. Die anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt \(h(x) = -(x^2 + 3) = -x^2 - 3\). Der Scheitelpunkt von \(h\) ist \(S_h(0|-3)\). 4. Vergleich: Da die Scheitelpunkte \(S_g(0|5)\) und \(S_h(0|-3)\) verschieden sind, sind auch die Funktionen \(g\) und \(h\) unterschiedlich.

Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(0|5)\), der Scheitelpunkt von \(h\) liegt bei \(S_h(0|-3)\). Da die Scheitelpunkte unterschiedlich sind, gilt \(g \neq h\).

- Welche Asymptoten hat die ursprüngliche Funktion \(f\)? - Vergleiche die Lage der alten Asymptoten mit den neuen Asymptoten von \(g\). - Wie verändert sich ein Funktionsterm, wenn man den Graphen entlang der Achsen verschiebt? - Überlege dir, welchen Wert du für \(x\) einsetzen musst, damit der Nenner bei der neuen Asymptote null wird.

1. Bestimmung der Asymptoten der Ausgangsfunktion \(f\): Die Definitionslücke liegt bei \(x = -3\) (senkrechte Asymptote), der konstante Term ist \(0\), woraus die waagrechte Asymptote \(y = 0\) folgt. 2. Vergleich der Asymptoten zur Ermittlung der Verschiebung: In \(x\)-Richtung verschiebt sich die Asymptote von \(-3\) nach \(1\), was einer Verschiebung um \(+4\) Einheiten (nach rechts) entspricht. In \(y\)-Richtung verschiebt sich die Asymptote von \(0\) nach \(-4\), was einer Verschiebung um \(-4\) Einheiten (nach unten) entspricht. 3. Aufstellen des Funktionsterms \(g(x)\): Durch Einsetzen der Verschiebungen in die Transformationsvorschrift \(g(x) = f(x - d) + e\) ergibt sich \(g(x) = \frac{5}{(x-4)+3} - 4 = \frac{5}{x-1} - 4\).

Verschiebung: \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (nach rechts) und \(4\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten). Funktionsterm: \(g(x) = \frac{5}{x-1} - 4\)

- Stelle für beide Szenarien einen allgemeinen Funktionsterm auf. - Beachte, dass eine Spiegelung an der \(x\)-Achse mathematisch einer Multiplikation des gesamten aktuellen Terms mit \(-1\) entspricht. - Wann sind zwei Terme für alle \(x\) identisch? - Was passiert, wenn du die beiden resultierenden Ausdrücke gleichsetzt?

1. Aufstellen der Terme für beide Reihenfolgen: Bei Reihenfolge A (Spiegelung, dann Verschiebung) lautet der Term \(g(x) = -f(x) + c\). Bei Reihenfolge B (Verschiebung, dann Spiegelung) wird der gesamte verschobene Term gespiegelt, also \(h(x) = -(f(x) + c) = -f(x) - c\). 2. Gleichsetzen der Terme zur Bestimmung der Unabhängigkeit: \(-f(x) + c = -f(x) - c\). 3. Lösen der Gleichung nach \(c\): Durch Addition von \(f(x)\) auf beiden Seiten erhält man \(c = -c\). Dies führt zu \(2c = 0\) und somit \(c = 0\). 4. Schlussfolgerung: Nur wenn die Verschiebung \(0\) beträgt (also faktisch keine Verschiebung stattfindet), ist die Reihenfolge irrelevant, da die Spiegelung den Wert \(0\) nicht verändert.

Die Reihenfolge ist nur für \(c = 0\) irrelevant. In diesem Fall findet keine Verschiebung statt, und beide Reihenfolgen führen zum identischen Ergebnis \(-f(x)\).

- Welche Auswirkungen haben Faktoren vor dem Funktionsterm oder Ersetzungen von \(x\) durch \((x+c)\) auf den Graphen? - Überlege dir, wie sich eine vertikale Streckung auf die Symmetrieachse auswirkt. - Was passiert mit einer vertikalen Symmetrieachse, wenn der gesamte Graph horizontal verschoben wird? - Vergleiche die Lage der Extrempunkte oder spezieller Werte, um die Verschiebung zu identifizieren.

1. Der Graph \(G_g\) entsteht aus \(G_f\) durch zwei Transformationsschritte: Zuerst wird der Graph \(G_f\) mit dem Faktor \(3\) in \(y\)-Richtung gestreckt, was zur Funktionsgleichung \(f_1(x) = 3 \cdot \frac{6}{x^2 + 3} = \frac{18}{x^2 + 3}\) führt. Anschließend wird dieser Graph um \(2\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links) verschoben, indem \(x\) durch \((x + 2)\) ersetzt wird, woraus sich \(g(x) = \frac{18}{(x + 2)^2 + 3}\) ergibt. 2. Da der ursprüngliche Graph \(G_f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 0\) ist, bleibt diese Symmetrieeigenschaft bei einer Streckung in \(y\)-Richtung (entlang der Symmetrieachse) erhalten. Die anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links überträgt die Symmetrieachse von \(x = 0\) auf die Gerade \(x = 0 - 2 = -2\). Somit ist \(G_g\) achsensymmetrisch zu \(x = -2\).

1. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) und anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links. 2. Die Symmetrieachse \(x = 0\) von \(G_f\) wird durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links auf die Gerade \(x = -2\) abgebildet; die Streckung in \(y\)-Richtung verändert die Lage der vertikalen Symmetrieachse nicht.

- Gehe die Transformationen Schritt für Schritt von „innen“ (beim \(x\)) nach „außen“ durch. - Was passiert mit der Öffnungsrichtung einer Parabel oder Potenzfunktion, wenn man den gesamten Term mit einer negativen Zahl multipliziert? - Überlege, wie sich die Koordinaten des Ursprungspunkts \((0|0)\) durch die Additionen und Subtraktionen im Term verändern.

1. Identifikation der Transformationen: Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts (\(x \to x-3\)), Spiegelung an der \(x\)-Achse (negatives Vorzeichen), vertikale Streckung mit dem Faktor \(2\) und Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben (Summand \(+5\)). 2. Berechnung der Koordinaten: Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts setzt die \(x\)-Koordinate auf \(3\). Die Spiegelung und Streckung lassen die \(y\)-Koordinate zunächst bei \(0\), die anschließende Verschiebung um \(5\) nach oben führt zur \(y\)-Koordinate \(5\). Der transformierte Extrempunkt liegt bei \(H(3|5)\). 3. Bestimmung der Art des Extrempunktes: Da der ursprüngliche Graph von \(f(x) = x^4\) nach oben geöffnet ist (Tiefpunkt), bewirkt die Spiegelung an der \(x\)-Achse (Faktor \(-2\)), dass der Graph von \(g\) nach unten geöffnet ist. Somit wird aus dem Tiefpunkt ein Hochpunkt.

1. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(5\) Einheiten nach oben. 2. \(H(3|5)\) 3. Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse (negativer Streckfaktor) kehrt sich die Öffnungsrichtung des Graphen um; aus einem Tiefpunkt wird ein Hochpunkt.

- Welche der drei Veränderungen verschieben Punkte nur nach oben oder unten, und welche verändert ihre \(x\)-Koordinate? - Bei einer positiven Streckung in \(y\)-Richtung bleiben die Stellen mit waagrechter Tangente an derselben horizontalen Position. - Vergleiche bei c) die Lage eines markanten Punkts des Graphen vor und nach der Ersetzung von \(x\) durch \(x+4\).

1. Bei \(g(x)=f(x)-12\) wird der Graph von \(f\) nur um \(12\) nach unten verschoben. Die \(x\)-Koordinaten aller lokalen Extrema bleiben deshalb unverändert. Zusätzlich gilt \(g'(x)=f'(x)\). 2. Bei \(h(x)=5f(x)\) wird der Graph in \(y\)-Richtung mit dem positiven Faktor \(5\) gestreckt. Die \(x\)-Koordinaten der lokalen Extrema und ihre Art bleiben unverändert. Zusätzlich gilt \(h'(x)=5f'(x)\), also haben \(h'\) und \(f'\) dieselben Nullstellen und Vorzeichenwechsel. 3. Bei \(k(x)=f(x+4)\) wird der Graph von \(f\) um \(4\) nach links verschoben. Liegt bei \(f\) eine Extremstelle bei \(x_E\), so liegt die entsprechende Extremstelle von \(k\) bei \(x_E-4\). Im Allgemeinen sind die Extremstellen daher nicht identisch.

a) Ja. Die Verschiebung in \(y\)-Richtung verändert die Extremstellen nicht. b) Ja. Die positive Streckung in \(y\)-Richtung verändert die Extremstellen und ihre Art nicht. c) Nein, im Allgemeinen nicht. Die Extremstellen werden um \(4\) nach links verschoben: Aus \(x_E\) wird \(x_E-4\).

- Vergleiche die gegebene Funktionsgleichung mit der allgemeinen Form \(g(x) = a\sin(x - c) + d\). - Achte besonders auf das Vorzeichen im Argument der Funktion bei der horizontalen Verschiebung. - Wie hängen die Amplitude und die vertikale Verschiebung mit dem höchsten und tiefsten Punkt des Graphen zusammen? - Was gibt der Wertebereich einer Funktion an?

1. Der Faktor \(1{,}5\) vor dem Sinus bewirkt eine Streckung des Graphen in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\). 2. Der Wert \(+2\) im Argument der Sinusfunktion entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links). 3. Die Konstante \(-3\) am Ende des Terms bewirkt eine Verschiebung des Graphen um \(3\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten). 4. Die Amplitude der Funktion ist der Betrag des Vorfaktors: \(|1{,}5| = 1{,}5\). 5. Der Wertebereich ergibt sich aus der vertikalen Verschiebung und der Amplitude. Die Funktionswerte der reinen Sinusfunktion liegen im Intervall \([-1; 1]\). Nach der Streckung liegen sie in \([-1{,}5; 1{,}5]\). Die Verschiebung um \(3\) nach unten führt zum Wertebereich \(W = [-1{,}5 - 3; 1{,}5 - 3] = [-4{,}5; -1{,}5]\).

Transformationen: Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(1{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links) und Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten). Amplitude: \(1{,}5\) Wertebereich: \(W = [-4{,}5; -1{,}5]\)

- Vergleiche zuerst, an welcher Stelle die beiden Funktionsterme dieselbe Grundform \(x^3\) besitzen könnten. - Trenne Veränderungen am Argument von Veränderungen der Funktionswerte. - Prüfe deine Abfolge, indem du den Funktionsterm nach jeder Transformation notierst.

1. Verschiebe den Graphen von \(f\) um \(2\) Einheiten nach rechts. Dadurch entsteht \(f_1(x)=f(x-2)=0{,}25x^3\). 2. Strecke anschließend in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). Dann gilt \(f_2(x)=4f_1(x)=x^3\). 3. Verschiebe den Graphen zuletzt um \(5\) Einheiten nach unten. Damit erhält man \(g(x)=x^3-5\).

Eine mögliche Abfolge ist: \(2\) Einheiten nach rechts verschieben, in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) strecken und anschließend \(5\) Einheiten nach unten verschieben.

- Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man den Graphen an der \(x\)-Achse spiegelt? - Wie verändert sich die Variable \(x\), wenn der Graph entlang der \(x\)-Achse verschoben wird? - Welche Rechenoperation führt zu einer Verschiebung oder Streckung in \(y\)-Richtung? - Achte darauf, den gesamten Funktionsterm zu klammern, wenn du eine Transformation auf die gesamte Funktion anwendest.

1. Spiegelung an der \(x\)-Achse entspricht der Multiplikation des Funktionsterms mit \(-1\): \(-f(x) = -(x^3 - 3x) = -x^3 + 3x\). 2. Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung entspricht der Addition von \(2\): \(g(x) = -x^3 + 3x + 2\). 3. Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung bedeutet Ersetzung von \(x\) durch \((x-4)\): \(f(x-4) = (x-4)^3 - 3(x-4)\). 4. Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) bedeutet Multiplikation des gesamten Terms mit \(0{,}5\): \(h(x) = 0{,}5((x-4)^3 - 3(x-4))\).

a) \(g(x) = -x^3 + 3x + 2\) b) \(h(x) = 0{,}5((x-4)^3 - 3(x-4))\) oder \(h(x) = 0{,}5(x-4)^3 - 1{,}5(x-4)\)

- Untersuche, ob die Variable \(x\) im Funktionsterm direkt durch einen Ausdruck wie \((x+d)\) ersetzt wurde. - Prüfe, ob du den Funktionsterm so umformen kannst, dass der ursprüngliche Term \(p(x)\) als Baustein erkennbar wird. - Überlege, welche Auswirkungen Vorzeichenänderungen und Faktoren vor dem gesamten Funktionsterm auf das Aussehen des Graphen haben. - Was bedeutet eine Konstante, die am Ende des Funktionsterms addiert oder subtrahiert wird?

1. Vergleich von \(q(x)\) mit \(p(x)\): In \(p(x)\) wurde jedes \(x\) durch \((x+3)\) ersetzt, also gilt \(q(x) = p(x+3)\). Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(x\)-Richtung (nach links). 2. Untersuchung von \(r(x)\): Ausklammern von \(-2\) aus den ersten beiden Gliedern ergibt \(r(x) = -2(x^4 - 5x^2) - 3\). 3. Identifikation als \(r(x) = -2p(x) - 3\). 4. Die Transformationen für \(r\) sind: Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), eine Spiegelung an der \(x\)-Achse (zusammengefasst als Streckung mit Faktor \(-2\)) und eine Verschiebung um \(3\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (nach unten).

a) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links (in negative \(x\)-Richtung). b) Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung).

- Unterscheide zwischen einer Änderung außerhalb des Potenzterms und einer Änderung im Argument des Potenzterms. - Bestimme die Nullstelle von \(g\), indem du den Potenzterm isolierst. - Überlege für c), ob eine reine Verschiebung nach links oder rechts neue \(y\)-Werte erzeugt.

1. Die Subtraktion von \(9\) verschiebt den Graphen von \(f\) um \(9\) Einheiten nach unten. Daher hat \(g\) die waagerechte Asymptote \(y=-9\). 2. Für die Nullstelle gilt \(3^x-9=0\), also \(3^x=9=3^2\). Daher ist \(x=2\) und der Schnittpunkt lautet \(N(2\mid0)\). 3. Der Term \(x+1\) im Exponenten verschiebt den Graphen von \(f\) um eine Einheit nach links. 4. Eine horizontale Verschiebung ändert die Wertemenge nicht. Für \(f\) und \(h\) gilt daher \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}\).

a) Asymptote \(y=-9\); Schnittpunkt \(N(2\mid0)\). b) Verschiebung um eine Einheit nach links. c) Die Wertemenge bleibt \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y>0\}\).

- Welche Werte darf man in einen Logarithmus einsetzen? - Erinnere dich an die Definition des Logarithmus: \(y = \log_a(x)\) ist die Zahl, mit der man \(a\) potenzieren muss, um \(x\) zu erhalten. - Wie verändert sich das Vorzeichen eines Funktionswerts, wenn man den gesamten Term mit \(-1\) multipliziert? - Überlege dir den Verlauf des Graphen für eine Basis größer als 1. Wo liegt die Nullstelle?

1. Definitionsbereich: Da das Argument eines Logarithmus positiv sein muss, gilt für beide Funktionen \(D = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\). 2. Berechnung der Funktionswerte: Für \(f(x) = \log_2(x)\): \(f(0{,}25) = -2\); \(f(1) = 0\); \(f(2) = 1\); \(f(4) = 2\). Für \(g(x) = \log_{0{,}5}(x)\): \(g(0{,}25) = 2\); \(g(1) = 0\); \(g(2) = -1\); \(g(4) = -2\). 3. Nachweis der Spiegelung: Mit der gegebenen Identität folgt \(g(x) = \log_{0{,}5}(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x) = -\log_2(x) = -f(x)\). Ein negativer Vorfaktor der gesamten Funktionsgleichung entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. 4. Vorzeichen von \(f(0{,}75)\): Da die Basis \(2 > 1\) ist, ist die Funktion \(f\) streng monoton steigend. Wegen \(f(1) = 0\) und \(0{,}75 < 1\) muss \(f(0{,}75) < 0\) gelten. Der Wert ist also negativ.

a) \(D = \mathbb{R}^+\) bzw. \(x > 0\). b) \(f\): \(-2; 0; 1; 2\). \(g\): \(2; 0; -1; -2\). c) Wegen \(g(x) = -f(x)\) liegt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor. d) Negativ, da \(f\) wegen der Basis \(2 > 1\) streng monoton steigt und \(0{,}75\) kleiner als die Nullstelle \(1\) ist.

- Klammere im Exponenten den Faktor vor \(x\) aus, bevor du die horizontale Verschiebung abliest. - Ein Faktor direkt beim Argument wirkt horizontal mit dem Kehrwert als geometrischem Skalierungsfaktor. - Veränderungen außerhalb der Exponentialfunktion wirken direkt auf die \(y\)-Werte.

1. Die Ersetzung von \(x\) durch \(0{,}5x\) entspricht einer Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}5}=2\). 2. Durch Ausklammern erhält man \(0{,}5x-2=0{,}5(x-4)\). Die Ersetzung von \(x\) durch \(x-4\) entspricht einer Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts. 3. Die Multiplikation mit \(4\) entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). 4. Die Subtraktion von \(1\) verschiebt den Graphen um \(1\) Einheit nach unten. 5. Eine mögliche Reihenfolge ist daher: horizontale Streckung mit Faktor \(2\), Verschiebung um \(4\) nach rechts, vertikale Streckung mit Faktor \(4\), Verschiebung um \(1\) nach unten.

Eine mögliche Abfolge ist: Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) und Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn man die gesamte Funktion mit einer Zahl multipliziert? - Überlege dir, welche Auswirkung ein negatives Vorzeichen vor dem Streckungsfaktor auf den Graphen hat. - Untersuche die Differenzen der Funktionswerte, um den Typ der Funktion (linear, quadratisch, ...) zu bestimmen. - Wie verändert ein Faktor vor dem gesamten Funktionsterm die einzelnen Glieder des Terms?

1. Berechnung der Funktionswerte für \(g(x) = 2{,}5f(x)\): \(g(-2) = 2{,}5 \cdot (-4) = -10\); \(g(-1) = 2{,}5 \cdot 2 = 5\); \(g(0) = 2{,}5 \cdot 4 = 10\); \(g(1) = 2{,}5 \cdot 2 = 5\); \(g(2) = 2{,}5 \cdot (-4) = -10\); \(g(3) = 2{,}5 \cdot (-14) = -35\). 2. Berechnung der Funktionswerte für \(h(x) = -0{,}5f(x)\): \(h(-2) = -0{,}5 \cdot (-4) = 2\); \(h(-1) = -0{,}5 \cdot 2 = -1\); \(h(0) = -0{,}5 \cdot 4 = -2\); \(h(1) = -0{,}5 \cdot 2 = -1\); \(h(2) = -0{,}5 \cdot (-4) = 2\); \(h(3) = -0{,}5 \cdot (-14) = 7\). 3. Geometrische Interpretation: Der Graph von \(g\) entsteht durch Streckung von \(f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2{,}5\). Der Graph von \(h\) entsteht durch Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse. 4. Bestimmung des Funktionsterms: Da die zweiten Differenzen der \(y\)-Werte konstant \(-4\) sind, handelt es sich um eine quadratische Funktion der Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Mit \(f(0) = 4\) folgt \(c = 4\). Wegen \(f(-1) = f(1)\) gilt \(b = 0\). Mit \(f(1) = 2\) folgt \(a + 4 = 2\), also \(a = -2\). Somit \(f(x) = -2x^2 + 4\). 5. Transformation der Terme: \(g(x) = 2{,}5 \cdot (-2x^2 + 4) = -5x^2 + 10\) und \(h(x) = -0{,}5 \cdot (-2x^2 + 4) = x^2 - 2\).

a) Wertetabelle \(g(x)\): \((-2|-10), (-1|5), (0|10), (1|5), (2|-10), (3|-35)\). Wertetabelle \(h(x)\): \((-2|2), (-1|-1), (0|-2), (1|-1), (2|2), (3|7)\). b) \(g\) entsteht durch Streckung in \(y\)-Richtung (Faktor \(2{,}5\)). \(h\) entsteht durch Stauchung in \(y\)-Richtung (Faktor \(0{,}5\)) und Spiegelung an der \(x\)-Achse. c) \(f(x) = -2x^2 + 4\); \(g(x) = -5x^2 + 10\); \(h(x) = x^2 - 2\).

- Wie hängen Logarithmen mit verschiedenen Basen mathematisch zusammen? - Erinnere dich an die Formel \( \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)} \). Welche Basis bietet sich hier als Vergleichsbasis an? - Welche Zahl im Nenner der Basiswechselformel entspricht dem Kehrwert des Streckungsfaktors?

1. Aufstellen der Beziehung zwischen den Funktionen basierend auf der geometrischen Abbildung: \( g(x) = k \cdot f(x) \), also \( \log_5(x) = k \cdot \lg(x) \). 2. Anwendung der Basiswechselformel auf \( \log_5(x) \), um zur Basis \( 10 \) (Zehnerlogarithmus) zu gelangen: \( \log_5(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(5)} \). 3. Vergleich der beiden Ausdrücke für \( g(x) \): \( k \cdot \lg(x) = \frac{1}{\lg(5)} \cdot \lg(x) \). 4. Identifikation des Streckungsfaktors: \( k = \frac{1}{\lg(5)} \). 5. Numerische Berechnung: \( \lg(5) \approx 0{,}69897 \), daraus folgt \( k = \frac{1}{0{,}69897} \approx 1{,}43067 \). 6. Rundung auf zwei Dezimalstellen ergibt \( k \approx 1{,}43 \).

Der Streckungsfaktor beträgt \( k = \frac{1}{\lg(5)} \approx 1{,}43 \).

- Wie wirkt sich eine Erhöhung der Startposition auf alle anderen Punkte der Flugbahn aus? - Ändert sich die horizontale Position des höchsten Punktes, wenn man die gesamte Fontäne einfach nur anhebt? - Welche Variable in der Funktionsgleichung ist für die vertikale Lage verantwortlich? - Denke an die Wirkung von \(f(x) + c\) auf die Koordinaten eines Punktes \((x | y)\).

1. Bestimmung der neuen Funktionsgleichung: Die Erhöhung des Standorts um \(0{,}8\,\text{m}\) bedeutet, dass zu jedem Höhenwert der ursprünglichen Funktion die Konstante \(0{,}8\) addiert wird: \(h_{neu}(d) = h(d) + 0{,}8 = -0{,}5d^2 + 2d + 1 + 0{,}8 = -0{,}5d^2 + 2d + 1{,}8\). 2. Beschreibung der Transformation: Da die Änderung in der Form \(g(x) = f(x) + c\) mit \(c = 0{,}8\) vorliegt, handelt es sich um eine Verschiebung des Graphen um \(0{,}8\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung. 3. Bestimmung des neuen Scheitelpunkts: Bei einer rein vertikalen Verschiebung ändert sich die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts nicht, während die \(y\)-Koordinate um den Wert der Verschiebung angepasst wird. 4. Berechnung: \(S_{neu}(2 | 3 + 0{,}8) = S_{neu}(2 | 3{,}8)\).

a) \(h_{neu}(d) = -0{,}5d^2 + 2d + 1{,}8\) b) Es handelt sich um eine Verschiebung des Graphen um \(0{,}8\) Einheiten nach oben (in positive \(y\)-Richtung). c) \(S_{neu}(2 | 3{,}8)\). Da es sich um eine rein vertikale Verschiebung handelt, bleibt die \(d\)-Koordinate (horizontale Lage) des Maximums unverändert, während die \(h\)-Koordinate (Höhe) um den Wert des Podests (\(0{,}8\,\text{m}\)) zunimmt.

- Überlege bei jeder Reihenfolge, welcher gesamte Term von der Streckung betroffen ist. - Achte darauf, ob die Verschiebung vor oder nach der Streckung ausgeführt wird. - Nutze das Verhalten von \(e^x\) für sehr kleine \(x\)-Werte, um die waagerechte Asymptote zu bestimmen.

1. Bei (1) entsteht zuerst \(f(x)+3\). Die anschließende Streckung des gesamten Ausdrucks mit dem Faktor \(2\) liefert \(g_1(x)=2(e^x+3)=2e^x+6\). Für sehr kleine \(x\)-Werte nähert sich der Graph der Geraden \(y=6\). Außerdem gilt \(g_1(0)=2e^0+6=8\), also liegt der \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0|8)\). 2. Bei (2) entsteht zuerst \(2f(x)=2e^x\). Die anschließende Verschiebung nach oben liefert \(g_2(x)=2e^x+3\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=3\). Außerdem gilt \(g_2(0)=2e^0+3=5\), also liegt der \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0|5)\).

(1) \(g_1(x)=2e^x+6\); Asymptote \(y=6\); \(y\)-Achsenabschnitt \((0|8)\) (2) \(g_2(x)=2e^x+3\); Asymptote \(y=3\); \(y\)-Achsenabschnitt \((0|5)\)

- Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse multipliziert den bis dahin entstandenen Funktionsterm mit \(-1\). - Achte darauf, ob die Verschiebung vor oder nach der Spiegelung ausgeführt wird. - Welche Exponentialschreibweise löst eine Gleichung der Form \(\ln(x)=c\) nach \(x\) auf?

1. Für \(g\) bewirkt die Spiegelung an der \(x\)-Achse zunächst \(-\ln(x)\). Die anschließende Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben ergibt \(g(x)=-\ln(x)+2\). Aus \(-\ln(x)+2=0\) folgt \(\ln(x)=2\) und damit \(x=e^2\). 2. Für \(h\) wird zuerst \(2\) addiert: \(\ln(x)+2\). Die anschließende Spiegelung betrifft den gesamten Term, also \(h(x)=-(\ln(x)+2)=-\ln(x)-2\). Aus \(-\ln(x)-2=0\) folgt \(\ln(x)=-2\) und damit \(x=e^{-2}=\frac{1}{e^2}\).

\(g(x)=-\ln(x)+2\) mit Nullstelle \(x=e^2\) \(h(x)=-\ln(x)-2\) mit Nullstelle \(x=e^{-2}=\frac{1}{e^2}\)

- Lies zuerst die waagerechte Gerade ab, der sich der Graph annähert. - Vergleiche die Monotonie und Lage des Graphen mit dem Grundgraphen \(2^x\). - Prüfe einen gefundenen Term an markanten Punkten wie \(x=0\) und \(x=1\).

1. Die gestrichelte waagerechte Linie liegt bei \(y=3\). Daher ist \(y=3\) die waagerechte Asymptote. 2. Im Vergleich zu \(2^x\) ist der Graph zunächst an der \(x\)-Achse gespiegelt. Dadurch entsteht \(-2^x\). 3. Anschließend wird dieser Graph um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. Somit gilt \(g(x)=3-2^x\). 4. Zur Kontrolle ist \(g(0)=2\), \(g(1)=1\) und \(g(2)=-1\); diese Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein.

a) \(y=3\). b) \(g(x)=3-2^x\). Spiegelung an der \(x\)-Achse, danach Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben.

- Vergleiche bei der kubischen Funktion den markanten Bezugspunkt im Ursprung mit dem entsprechenden Punkt des farbigen Graphen. - Bei der Wurzelfunktion ist der Anfangspunkt besonders hilfreich, um die Verschiebungen abzulesen. - Wenn nach den Verschiebungen noch ein Streckfaktor fehlt, nutze einen weiteren gut ablesbaren Punkt des Graphen.

1. In a) liegt der markante Bezugspunkt der Grundfunktion \(f(x)=x^3\) bei \((0|0)\). Beim transformierten Graphen liegt der entsprechende Punkt bei \((2|1)\). Daher wurde der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben verschoben. Somit gilt \(g(x)=(x-2)^3+1\). 2. In b) liegt der Anfangspunkt der Wurzelfunktion bei \((0|0)\), beim transformierten Graphen bei \((-1|-3)\). Daher wurde der Graph um \(1\) Einheit nach links und um \(3\) Einheiten nach unten verschoben. Ein Ansatz ist \(g(x)=a\sqrt{x+1}-3\). 3. Der ablesbare Punkt \((0|-1)\) liefert \(-1=a\sqrt{1}-3\), also \(a=2\). Damit ist \(g(x)=2\sqrt{x+1}-3\).

a) Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben; \(g(x)=(x-2)^3+1\). b) Verschiebung um \(1\) Einheit nach links und um \(3\) Einheiten nach unten sowie Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\); \(g(x)=2\sqrt{x+1}-3\).

- Schaue dir zuerst die charakteristischen Punkte des Graphen an. Wo liegt bei der Parabel der Scheitelpunkt und wo liegen bei der Hyperbel die Asymptoten? - Vergleiche die Lage dieser Punkte mit denen der jeweiligen Grundfunktionen \(f(x) = x^2\) und \(f(x) = \frac{1}{x}\). Wie wurden sie verschoben? - Um herauszufinden, ob der Graph zusätzlich gestreckt, gestaucht oder gespiegelt wurde, kannst du einen gut ablesbaren Punkt des Graphen in deinen Funktionsansatz einsetzen. - Überlege dir, wie sich eine Verschiebung in \(x\)- und \(y\)-Richtung mathematisch im Funktionsterm äußert.

1. Für Aufgabenteil a): - Scheitelpunkt ablesen: Der Scheitelpunkt des Graphen liegt bei \((3 \mid 4)\). Im Vergleich zur Grundfunktion \(f(x) = x^2\) mit Scheitelpunkt bei \((0 \mid 0)\) ist der Graph um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(4\) Einheiten nach oben verschoben. Dies ergibt den Ansatz \(g(x) = a(x-3)^2 + 4\). - Streckfaktor bestimmen: Einsetzen eines gut ablesbaren Punktes wie \((1 \mid 2)\) liefert \(2 = a \cdot (1-3)^2 + 4 \implies 2 = 4a + 4 \implies a = -0{,}5\). Der Graph ist somit an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht. - Ergebnis: \(g(x) = -0{,}5(x-3)^2 + 4\). 2. Für Aufgabenteil b): - Asymptoten ablesen: Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = -2\), die horizontale Asymptote bei \(y = -1\). Dies zeigt eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und um \(1\) Einheit nach unten. Dies ergibt den Ansatz \(h(x) = \frac{a}{x+2} - 1\). - Streckfaktor bestimmen: Einsetzen eines gut ablesbaren Punktes wie \((0 \mid 0)\) liefert \(0 = \frac{a}{0+2} - 1 \implies 1 = \frac{a}{2} \implies a = 2\). Der Graph ist somit in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt. - Ergebnis: \(h(x) = \frac{2}{x+2} - 1\).

a) Der Graph wird um \(3\) Einheiten nach rechts und \(4\) Einheiten nach oben verschoben, an der \(x\)-Achse gespiegelt und in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht; \(g(x) = -0{,}5(x-3)^2 + 4\). b) Der Graph wird um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten verschoben und in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt; \(h(x) = \frac{2}{x+2} - 1\).

- Wähle einen einfachen \(x\)-Wert und berechne dort die Werte von Summen- und Differenzfunktion. - Vergleiche die beiden berechneten Werte mit dem roten und dem orangefarbenen Graphen. - Stelle \(g(x)-f(x)\) so um, dass der Zusammenhang mit \(f(x)-g(x)\) sichtbar wird.

1. Für \(x=1\) gilt \(u(1)=1^2+1=2\) und \(v(1)=1^2-1=0\). 2. Der rote Graph \(p\) verläuft bei \(x=1\) durch \((1|2)\). Daher gehört \(p\) zu \(u(x)=f(x)+g(x)\). Der orange Graph \(q\) verläuft bei \(x=1\) durch \((1|0)\) und gehört zu \(v(x)=f(x)-g(x)\). 3. Es gilt \(w(x)=g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))=-v(x)\). Der Graph von \(w\) entsteht daher durch Spiegelung des Graphen von \(v\) an der \(x\)-Achse.

a) \(p\) gehört zu \(u(x)=f(x)+g(x)\), \(q\) zu \(v(x)=f(x)-g(x)\). b) Der Graph von \(w\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(v\) an der \(x\)-Achse.

- Welche charakteristische Stelle des Graphen von \(x^3\) lässt sich nach einer Verschiebung weiterhin gut erkennen? - Welche Parameter der Form \(a(x-d)^3+e\) kannst du aus dieser Stelle ablesen? - Wie kann ein weiterer ablesbarer Punkt helfen, den noch unbekannten Parameter zu bestimmen?

1. Der Sattelpunkt von \(g\) liegt bei \((2\mid1)\). Daher hat \(g\) zunächst die Form \(g(x)=a(x-2)^3+1\). 2. Der ablesbare Punkt \(P(3\mid2)\) liefert \(2=a(3-2)^3+1\), also \(a=1\). Damit gilt \(g(x)=(x-2)^3+1\). 3. Der Sattelpunkt von \(h\) liegt bei \((-1\mid3)\). Daher hat \(h\) zunächst die Form \(h(x)=a(x+1)^3+3\). 4. Der ablesbare Punkt \(Q(1\mid-1)\) liefert \(-1=a(1+1)^3+3\), also \(a=-0{,}5\). Damit gilt \(h(x)=-0{,}5(x+1)^3+3\).

\(g(x)=(x-2)^3+1\) und \(h(x)=-0{,}5(x+1)^3+3\)

- Überlege dir zuerst, wo die Hoch- und Tiefpunkte der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) liegen. - Wie wirkt sich ein Summand außerhalb des Funktionsterms (wie bei \(f(x) - 2\)) auf den Graphen aus? Wird er horizontal oder vertikal verschoben? - Wie wirkt sich eine Änderung direkt beim \(x\) in den Klammern (wie bei \(f(x + 2)\) oder \(f(x - 2)\)) auf den Graphen aus? In welche Richtung erfolgt die Verschiebung? - Nutze die Koordinaten der Extrempunkte, um die Graphen eindeutig zu identifizieren.

Um die Graphen zuzuordnen, betrachten wir die markanten Punkte der Ausgangsfunktion \(f(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + 1\): 1. **Ausgangsfunktion \(f(x)\)**: - Der Hochpunkt von \(f\) liegt bei \((-1 \mid 2)\), der Tiefpunkt bei \((1 \mid 0)\) und der \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0 \mid 1)\). - Dies entspricht genau dem **Graphen B**. 2. **Verschiebung nach unten: \(g(x) = f(x) - 2\)**: - Der Graph von \(g\) entsteht, indem der Graph von \(f\) um \(2\) Einheiten nach unten verschoben wird. - Der Hochpunkt verschiebt sich von \((-1 \mid 2)\) zu \((-1 \mid 0)\). - Der Tiefpunkt verschiebt sich von \((1 \mid 0)\) zu \((1 \mid -2)\). - Dies entspricht genau dem **Graphen C**. 3. **Verschiebung nach links: \(h(x) = f(x + 2)\)**: - Der Graph von \(h\) entsteht, indem der Graph von \(f\) um \(2\) Einheiten nach links verschoben wird. - Der Hochpunkt verschiebt sich von \((-1 \mid 2)\) zu \((-3 \mid 2)\). - Der Tiefpunkt verschiebt sich von \((1 \mid 0)\) zu \((-1 \mid 0)\). - Dies entspricht genau dem **Graphen D**. 4. **Verschiebung nach rechts: \(k(x) = f(x - 2)\)**: - Der Graph von \(k\) entsteht, indem der Graph von \(f\) um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben wird. - Der Hochpunkt verschiebt sich von \((-1 \mid 2)\) zu \((1 \mid 2)\). - Der Tiefpunkt verschiebt sich von \((1 \mid 0)\) zu \((3 \mid 0)\). - Dies entspricht genau dem **Graphen A**.

\(f\) gehört zu Graph B, \(g\) zu Graph C, \(h\) zu Graph D und \(k\) zu Graph A.

- Überlege dir zuerst, wie sich Veränderungen im Argument der Funktion (also „innen“ bei \(x\)) auf den Graphen auswirken. - Wie wirken sich Faktoren und Summanden außerhalb der Funktion (also „außen“) auf die y-Werte aus? - Denke an die Reihenfolge der Transformationen: Welche Operationen werden zuerst durchgeführt? - Um die neue Definitionsmenge zu bestimmen, kannst du eine Ungleichung für das Argument der Funktion aufstellen. - Bestimme die minimale und maximale y-Koordinate des ursprünglichen Graphen, um die neue Wertemenge zu berechnen.

1. **Transformationen beschreiben:** Der Funktionsterm \(g(x) = 1{,}5f(x - 1) + 1\) setzt sich aus drei Transformationen des Graphen von \(f\) zusammen: - Die Subtraktion von \(1\) im Argument, also \(x - 1\), verschiebt den Graphen um \(1\) Einheit nach rechts in x-Richtung. - Der Faktor \(1{,}5\) multipliziert die Funktionswerte, was einer Streckung des Graphen in y-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\) entspricht. - Die Addition von \(1\) am Ende verschiebt den Graphen um \(1\) Einheit nach oben in y-Richtung. 2. **Definitionsmenge \(D_g\) bestimmen:** Die Funktion \(f(u)\) ist für \(u \in [-3; 3]\) definiert. Für \(g(x)\) muss also das Argument \(x - 1\) im Intervall \([-3; 3]\) liegen: \(-3 \le x - 1 \le 3 \implies -2 \le x \le 4\) Daraus folgt: \(D_g = [-2; 4]\). 3. **Wertemenge \(W_g\) bestimmen:** Aus dem Graphen von \(f\) lesen wir die Wertemenge \(W_f = [-2; 2]\) ab. Die Funktionswerte von \(g\) ergeben sich durch die Transformation der y-Werte: \(y_g = 1{,}5y_f + 1\). - Für den minimalen y-Wert \(y_f = -2\) erhalten wir: \(1{,}5 \cdot (-2) + 1 = -2\). - Für den maximalen y-Wert \(y_f = 2\) erhalten wir: \(1{,}5 \cdot 2 + 1 = 4\). Daraus folgt: \(W_g = [-2; 4]\).

a) Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\), eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben. b) \(D_g = [-2; 4]\) und \(W_g = [-2; 4]\)

- Wie drückt man eine Verschiebung nach links im Funktionsterm aus? - Wie drückt man eine Streckung in \(y\)-Richtung im Funktionsterm aus? - Welches Potenzgesetz hilft dir, eine Summe im Exponenten in ein Produkt aufzuteilen? - Welche Koordinaten eines Punktes verändern sich bei einer horizontalen Verschiebung und welche bei einer vertikalen Streckung? Wende diese Regeln auf den Punkt \(P(0 \mid 1)\) an.

1. Aufstellen der Funktionsterme für beide Transformationen: - Lukas beschreibt eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links, was durch den Funktionsterm \(g(x) = f(x + 2) = 2^{x+2}\) dargestellt wird. - Mia beschreibt eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\), was durch den Funktionsterm \(g(x) = 4f(x) = 4 \cdot 2^x\) dargestellt wird. 2. Nachweis der Gleichheit durch Termumformung: - Unter Verwendung des Potenzgesetzes \(a^{r+s} = a^r \cdot a^s\) lässt sich Lukas' Term umformen zu: \(2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 2^x \cdot 4 = 4 \cdot 2^x\) - Da beide Umformungen zum selben Funktionsterm führen, beschreiben beide Aussagen dieselbe Funktion. 3. Geometrische Bestätigung an den Punkten: - Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liegt auf dem Graphen von \(f\), da \(f(0) = 2^0 = 1\). - Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links (Lukas) verändert nur die \(x\)-Koordinate: \(x \to x - 2\). Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) wird auf \(Q(0 - 2 \mid 1) = Q(-2 \mid 1)\) abgebildet. Da \(g(-2) = 2^{-2+2} = 2^0 = 1\), liegt dieser Punkt auf dem Graphen von \(g\). - Eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) (Mia) verändert nur die \(y\)-Koordinate: \(y \to 4y\). Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) wird auf \(R(0 \mid 4 \cdot 1) = R(0 \mid 4)\) abgebildet. Da \(g(0) = 2^{0+2} = 2^2 = 4\), liegt auch dieser Punkt auf dem Graphen von \(g\).

a) Es gilt \(g(x) = 2^{x+2} = 2^2 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x\); beide Behauptungen beschreiben daher dieselbe Funktion. b) Die Verschiebung nach links bildet \(P(0 \mid 1)\) auf \(Q(-2 \mid 1)\) ab, die Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) bildet \(P(0 \mid 1)\) auf \(R(0 \mid 4)\) ab.

- Welche Auswirkung hat die Veränderung im Argument der Funktion, also \(x \to x+d\), auf den Graphen? - Was bewirkt ein negatives Vorzeichen vor dem gesamten Funktionsterm? - Wie beeinflusst eine additive Konstante am Ende des Terms die Lage des Graphen im Koordinatensystem? - Achte darauf, in welcher Reihenfolge Spiegelungen und Verschiebungen in y-Richtung durchgeführt werden müssen. - Überlege dir, wie sich diese geometrischen Veränderungen direkt auf die Grenzen der Definitions- und Wertemenge auswirken.

1. Analyse der Transformationen von \(g(x) = -f(x+1) + 2\): - Das Argument \(x+1\) bewirkt eine Verschiebung des Graphen um \(1\) Einheit nach links. - Das Minuszeichen vor dem Funktionsterm, also \(-f(\dots)\), bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse. - Der Summand \(+2\) am Ende bewirkt eine Verschiebung des gespiegelten Graphen um \(2\) Einheiten nach oben. 2. Bestimmung der Definitionsmenge \(D_g\): - Da der Graph um \(1\) Einheit nach links verschoben wird, verschiebt sich das Intervall der Definitionsmenge ebenfalls um \(1\) nach links: \(D_g = [-3 - 1; 3 - 1] = [-4; 2]\). 3. Bestimmung der Wertemenge \(W_g\): - Der ursprüngliche Graph hat den tiefsten Punkt bei \(y = -2\) und den höchsten Punkt bei \(y = 2\), also ist \(W_f = [-2; 2]\). - Nach Spiegelung an der x-Achse bleibt der Wertebereich bei \([-2; 2]\) (der tiefste Punkt wird zum höchsten und umgekehrt). - Nach der Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben verschiebt sich der Wertebereich auf: \(W_g = [-2 + 2; 2 + 2] = [0; 4]\).

a) Der Graph wird um \(1\) Einheit nach links verschoben, an der \(x\)-Achse gespiegelt und anschließend um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. b) \(D_g = [-4; 2]\) und \(W_g = [0; 4]\).

- Vergleiche die Positionen der markanten Punkte (wie Hoch- und Tiefpunkte) des Ausgangsgraphen mit denen der transformierten Graphen. - Überlege, wie sich eine Verschiebung nach rechts oder links auf den Funktionsterm auswirkt. Welcher Parameter ist dafür zuständig? - Wie verändert sich der Graph, wenn er nach oben oder unten verschoben wird? Welcher Parameter beschreibt diese Änderung? - Achte darauf, ob der Graph gespiegelt wurde. Was passiert mit den Hoch- und Tiefpunkten bei einer Spiegelung an der x-Achse? - Prüfe, ob sich der Abstand zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt in y-Richtung verändert hat. Was sagt das über eine Streckung oder Stauchung aus?

1. Analyse des Ausgangsgraphen \(G_f\): - Der Hochpunkt liegt bei \(H(0 \mid 2)\), der Tiefpunkt bei \(T(2 \mid 0)\). - Der vertikale Abstand zwischen Hoch- und Tiefpunkt beträgt \(2\). 2. Bestimmung der Parameter für \(g_1\): - Der Hochpunkt liegt bei \(H_1(2 \mid 1)\) und der Tiefpunkt bei \(T_1(4 \mid -1)\). - Da der vertikale Abstand zwischen den Extrempunkten weiterhin \(1 - (-1) = 2\) beträgt, liegt keine vertikale Streckung oder Spiegelung vor. Es gilt somit \(a = 1\). - Die x-Koordinate des Hochpunkts hat sich von \(0\) auf \(2\) verschoben (Verschiebung um \(2\) nach rechts). Daraus folgt \(c = 2\). - Die y-Koordinate des Hochpunkts hat sich von \(2\) auf \(1\) verschoben (Verschiebung um \(1\) nach unten). Daraus folgt \(d = -1\). - Ergebnis für \(g_1\): \(a = 1\), \(c = 2\), \(d = -1\). 3. Bestimmung der Parameter für \(g_2\): - Der Graph hat einen Tiefpunkt bei \(T_2(-1 \mid 0)\) und einen Hochpunkt bei \(H_2(1 \mid 2)\). - Da aus dem Hochpunkt ein Tiefpunkt und aus dem Tiefpunkt ein Hochpunkt geworden ist, wurde der Graph an der x-Achse gespiegelt. Da der vertikale Abstand weiterhin \(2\) beträgt, ist der Streckfaktor \(a = -1\). - Der ursprüngliche Hochpunkt bei \(x = 0\) entspricht nun dem Tiefpunkt bei \(x = -1\) (Verschiebung um \(1\) nach links). Daraus folgt \(c = -1\). - Ohne vertikale Verschiebung läge der Tiefpunkt nach der Spiegelung bei \(y = -2\). Da er bei \(y = 0\) liegt, wurde der Graph um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. Daraus folgt \(d = 2\). - Ergebnis für \(g_2\): \(a = -1\), \(c = -1\), \(d = 2\).

Für \(g_1\) gilt \(a = 1\), \(c = 2\) und \(d = -1\). Für \(g_2\) gilt \(a = -1\), \(c = -1\) und \(d = 2\).

- Betrachte markante Punkte des ursprünglichen Graphen (wie Hoch- und Tiefpunkte) und vergleiche sie mit den entsprechenden Punkten des transformierten Graphen. - Überlege, ob der Graph verschoben, gespiegelt oder gestreckt wurde. Was passiert mit den Koordinaten der Punkte bei den jeweiligen Veränderungen? - Eine Veränderung in der Klammer, also direkt beim Argument \(x\), bewirkt eine Transformation in horizontaler Richtung (x-Richtung). - Eine Veränderung außerhalb der Klammer, also am gesamten Funktionswert, bewirkt eine Transformation in vertikaler Richtung (y-Richtung). - Gehe schrittweise vor und schließe unpassende Funktionsgleichungen systematisch aus.

1. **Abbildung 1**: - Der blaue Graph \(G_f\) hat seinen Hochpunkt bei \((-1 \mid 2)\) und seinen Tiefpunkt bei \((1 \mid -2)\). - Der rote Graph \(G_p\) hat seinen Hochpunkt bei \((0 \mid 0)\) und seinen Tiefpunkt bei \((2 \mid -4)\). - Jeder Punkt des blauen Graphen wurde um \(1\) Einheit nach rechts und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. - Eine Verschiebung um \(1\) nach rechts entspricht der Ersetzung von \(x\) durch \(x-1\), und eine Verschiebung um \(2\) nach unten entspricht der Subtraktion von \(2\). - Dies liefert die Funktionsgleichung: \(p_2(x) = f(x - 1) - 2\). 2. **Abbildung 2**: - Der blaue Graph \(G_f\) hat seinen Hochpunkt bei \((-1 \mid 2)\) und seinen Tiefpunkt bei \((1 \mid -2)\). - Der rote Graph \(G_p\) hat seinen Tiefpunkt bei \((-1 \mid -1)\) und seinen Hochpunkt bei \((1 \mid 3)\). - Der Verlauf des Graphen ist an der x-Achse gespiegelt (aus einem Hochpunkt wird ein Tiefpunkt und umgekehrt), was zu \(-f(x)\) führt. Die Extrempunkte lägen dann bei \((-1 \mid -2)\) und \((1 \mid 2)\). - Um auf die tatsächlichen Extrempunkte \((-1 \mid -1)\) und \((1 \mid 3)\) zu kommen, muss der gespiegelte Graph noch um \(1\) Einheit nach oben verschoben werden. - Dies liefert die Funktionsgleichung: \(p_4(x) = -f(x) + 1\). 3. **Abbildung 3**: - Der blaue Graph \(G_f\) hat seinen Hochpunkt bei \((-1 \mid 2)\) und seinen Tiefpunkt bei \((1 \mid -2)\). - Der rote Graph \(G_p\) hat seinen Hochpunkt bei \((-1 \mid 4)\) und seinen Tiefpunkt bei \((1 \mid -4)\). - Die x-Koordinaten der Extrempunkte sind unverändert, während sich die y-Koordinaten verdoppelt haben (\(2 \to 4\) und \(-2 \to -4\)). - Dies entspricht einer vertikalen Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(2\). - Dies liefert die Funktionsgleichung: \(p_1(x) = 2f(x)\).

Abbildung 1 gehört zu \(p_2(x) = f(x - 1) - 2\), Abbildung 2 zu \(p_4(x) = -f(x) + 1\) und Abbildung 3 zu \(p_1(x) = 2f(x)\).

- Unterscheide Veränderungen außerhalb von \(f\) von Veränderungen im Argument von \(f\). - Bei Teil a) ändern sich nur die \(y\)-Koordinaten der markierten Punkte. - Bei Teil b) wirkt der Faktor im Argument umgekehrt auf die \(x\)-Koordinaten. - Übertrage dieselbe horizontale Änderung auch auf die Grenzen des Definitionsbereichs.

1. Bei \(g(x)=-0{,}5f(x)+1\) bleibt die \(x\)-Koordinate unverändert. Daher gilt \(D_g=[-2;4]\). Für die \(y\)-Koordinate gilt \(y\mapsto-0{,}5y+1\). 2. Damit erhält man \(A_g(-2|2)\), \(B_g(0|0)\), \(C_g(2|0)\) und \(D_g(4|2)\). 3. Bei \(h(x)=f(0{,}5x)-1\) wird der Graph in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) gestreckt. Daher gilt \(D_h=[-4;8]\). Zusätzlich werden alle Funktionswerte um \(1\) vermindert. 4. Damit erhält man \(A_h(-4|-3)\), \(B_h(0|1)\), \(C_h(4|1)\) und \(D_h(8|-3)\).

a) \(D_g=[-2;4]\); \(A_g(-2|2)\), \(B_g(0|0)\), \(C_g(2|0)\), \(D_g(4|2)\) b) \(D_h=[-4;8]\); \(A_h(-4|-3)\), \(B_h(0|1)\), \(C_h(4|1)\), \(D_h(8|-3)\)

- Vergleiche zuerst Hoch- und Tiefpunkte der beiden Graphen. - Prüfe, ob sich die Art der Extrempunkte vertauscht hat; das kann auf eine Spiegelung hinweisen. - Bestimme anschließend die horizontale und vertikale Verschiebung anhand entsprechender markanter Punkte.

1. Der Graph von \(f\) hat einen Hochpunkt bei \((-1|1)\) und einen Tiefpunkt bei \((1|-1)\). Beim Graphen von \(g\) liegen die entsprechenden Extrempunkte bei \((1|0)\) und \((3|2)\), wobei Hoch- und Tiefpunkt vertauscht sind. 2. Die Vertauschung der Extrempunktarten zeigt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. Danach liegen die Extrempunkte bei \((-1|-1)\) und \((1|1)\). 3. Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts führt zu \((1|-1)\) und \((3|1)\). Eine weitere Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben ergibt die Punkte des roten Graphen. 4. Daher gilt \(g(x)=-f(x-2)+1\).

a) Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben. b) \(g(x)=-f(x-2)+1\)

- Vergleiche die Hoch- und Tiefpunkte des ursprünglichen und des roten Graphen. - Wenn Hoch- und Tiefpunkt ihre Art tauschen, prüfe eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. - Vergleiche für eine mögliche horizontale Streckung oder Stauchung den Abstand der Extremstellen. - Bestimme danach noch nötige Verschiebungen aus den Koordinaten der Extrempunkte.

1. In a) werden Hoch- und Tiefpunkt vertauscht; daher liegt zunächst eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor. Die gespiegelten Extrempunkte werden anschließend um \(1\) Einheit nach links und um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. Somit gilt \(g_1(x)=-f(x+1)+2=-x^3-3x^2+4\). 2. In b) ist der Abstand der Extremstellen gegenüber \(f\) halbiert. Das entspricht einer horizontalen Stauchung durch \(f(2x)\). Die entstehenden Extremwerte sind gegenüber dem roten Graphen noch um \(1\) zu hoch, daher folgt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten. 3. Somit gilt \(g_2(x)=f(2x)-1=8x^3-6x-1\).

a) \(g_1(x)=-f(x+1)+2=-x^3-3x^2+4\) b) \(g_2(x)=f(2x)-1=8x^3-6x-1\)

- Überlege zuerst, wie sich die Verschiebung nach rechts auf die \(x\)-Koordinate der Unstetigkeitsstelle auswirkt. - Welchen Einfluss hat die anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse auf die \(x\)-Koordinate und die \(y\)-Werte des Graphen? - Lies die einseitigen Grenzwerte der ursprünglichen Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 1\) sorgfältig ab. Achte dabei auf den ausgefüllten und den leeren Kreis. - Multipliziere die abgelesenen \(y\)-Werte mit \(-1\), um die Auswirkung der Spiegelung an der \(x\)-Achse zu berücksichtigen.

1. **Bestimmung der Unstetigkeitsstelle \(x_0\)**: Die ursprüngliche Funktion \(f\) hat ihre Unstetigkeitsstelle bei \(x = 1\). Durch die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts verschiebt sich diese Stelle um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung: \(x_0 = 1 + 2 = 3\) Die anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse ändert die \(x\)-Koordinate dieser Stelle nicht. Die Unstetigkeitsstelle von \(h\) liegt somit bei \(x_0 = 3\). 2. **Bestimmung der einseitigen Grenzwerte und des Funktionswerts**: - **Linksseitiger Grenzwert**: Der linksseitige Grenzwert von \(f\) bei \(x = 1\) ist \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0\). Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse (Multiplikation der Funktionswerte mit \(-1\)) ergibt sich für \(h\): \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = -0 = 0\) - **Rechtsseitiger Grenzwert**: Der rechtsseitige Grenzwert von \(f\) bei \(x = 1\) ist \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1\). Durch die Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt sich: \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = -1\) - **Funktionswert**: Der Funktionswert von \(f\) bei \(x = 1\) ist durch den ausgefüllten Kreis gegeben: \(f(1) = 1\). Nach der Verschiebung und Spiegelung ist der Funktionswert von \(h\): \(h(3) = -f(1) = -1\)

a) Die Unstetigkeitsstelle von \(h\) liegt bei \(x_0 = 3\). b) \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = 0\), \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = -1\) und \(h(3) = -1\).

- Betrachte zuerst markante Punkte auf beiden Graphen, wie zum Beispiel die Hochpunkte oder die Tiefpunkte. - Überlege, um wie viele Einheiten diese Punkte entlang der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse verschoben wurden. - Wenn sich die Ausrichtung des Graphen geändert hat, liegt eine Spiegelung vor. Welche Achse wurde als Spiegelachse genutzt? - Denke daran, dass eine Verschiebung in \(x\)-Richtung das Argument \(x\) verändert, während eine Verschiebung in \(y\)-Richtung als konstanter Wert außerhalb des Funktionsterms addiert oder subtrahiert wird.

1. **Teilaufgabe a)**: - Wir vergleichen markante Punkte (z. B. die Hoch- und Tiefpunkte) der beiden Graphen. - Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \((-1 \mid 1)\) und einen Tiefpunkt bei \((1 \mid 0)\). - Der Graph von \(g\) besitzt einen Hochpunkt bei \((-4 \mid -1)\) und einen Tiefpunkt bei \((-2 \mid -2)\). - Der Unterschied in den \(x\)-Koordinaten beträgt \(-4 - (-1) = -3\), was einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links entspricht. - Der Unterschied in den \(y\)-Koordinaten beträgt \(-1 - 1 = -2\), was einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten entspricht. - Somit lautet die Beschreibung: Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links (in negative \(x\)-Richtung) und um \(2\) Einheiten nach unten (in negative \(y\)-Richtung). - Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = f(x+3) - 2\). 2. **Teilaufgabe b)**: - Wir vergleichen wieder die Hoch- und Tiefpunkte. - Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \((-1 \mid 1)\) und einen Tiefpunkt bei \((1 \mid 0)\). - Der Graph von \(g\) besitzt einen Tiefpunkt bei \((-1 \mid 0)\) und einen Hochpunkt bei \((1 \mid 1)\). - Die \(x\)-Koordinaten der Extrema sind unverändert, aber die Art der Extrema ist vertauscht (der Hochpunkt wird zum Tiefpunkt und umgekehrt). Dies deutet auf eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hin. - Bei einer reinen Spiegelung an der \(x\)-Achse (\(-f(x)\)) würde der Hochpunkt \((-1 \mid 1)\) auf den Tiefpunkt \((-1 \mid -1)\) abgebildet, und der Tiefpunkt \((1 \mid 0)\) bliebe bei \((1 \mid 0)\). - Um den tatsächlichen Graphen von \(g\) zu erhalten, muss dieser gespiegelte Graph um \(1\) Einheit nach oben verschoben werden. - Alternativer Weg: Erst eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten (\(f(x) - 1\)) und anschließende Spiegelung an der \(x\)-Achse (\(-(f(x) - 1) = -f(x) + 1\)). - Somit lautet die Beschreibung: Spiegelung an der \(x\)-Achse und anschließende Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben. - Der Funktionsterm lautet: \(g(x) = -f(x) + 1\).

a) Der Graph wird um \(3\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach unten verschoben; \(g(x) = f(x+3) - 2\). b) Der Graph wird an der \(x\)-Achse gespiegelt und um \(1\) Einheit nach oben verschoben; \(g(x) = -f(x) + 1\).

- Vergleiche Hochpunkt, Tiefpunkt und den mittleren markanten Punkt der beiden Graphen. - Prüfe sowohl eine Spiegelung an der \(y\)-Achse als auch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse als möglichen ersten Schritt. - Bestimme danach die Verschiebung, die die entsprechenden markanten Punkte zur Deckung bringt.

1. Beim Graphen von \(f\) liegen ein Hochpunkt bei \((0|2)\), ein Tiefpunkt bei \((2|0)\) und ein mittlerer markanter Punkt bei \((1|1)\). Beim Graphen von \(g\) liegen die entsprechenden Punkte bei \((0|3)\), \((-2|1)\) und \((-1|2)\). 2. Erster Weg: Spiegelung an der \(y\)-Achse bildet die drei Punkte auf \((0|2)\), \((-2|0)\) und \((-1|1)\) ab. Die anschließende Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben liefert den roten Graphen. Daher gilt \(g(x)=f(-x)+1\). 3. Zweiter Weg: Spiegelung an der \(x\)-Achse bildet die drei Punkte auf \((0|-2)\), \((2|0)\) und \((1|-1)\) ab. Eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(3\) Einheiten nach oben liefert den roten Graphen. Daher gilt \(g(x)=-f(x+2)+3\). 4. Beide Terme beschreiben denselben roten Graphen.

Ein möglicher Weg ist Spiegelung an der \(y\)-Achse und Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben: \(g(x)=f(-x)+1\). Ein zweiter Weg ist Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach oben: \(g(x)=-f(x+2)+3\).

- Lies zuerst die senkrechte und die waagerechte Asymptote ab; sie bestimmen zwei der drei Parameter direkt. - Nutze anschließend einen gut ablesbaren Punkt des Graphen für den verbleibenden Parameter. - Vergleiche den gefundenen Term mit \(\frac{1}{x^2}\), um die Transformationen zu beschreiben. - Setze für die Nullstellen den Funktionsterm gleich \(0\).

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\). Daher gilt \(d=2\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y=-1\), also ist \(c=-1\). 2. Der Graph enthält den Punkt \((0|0)\). Einsetzen ergibt \(0=\frac{a}{(0-2)^2}-1\), also \(\frac{a}{4}=1\) und damit \(a=4\). Somit lautet der Term \(f(x)=\frac{4}{(x-2)^2}-1\). 3. Ausgehend von \(g(x)=\frac{1}{x^2}\) wird der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben, in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) gestreckt und um \(1\) Einheit nach unten verschoben. 4. Für die Nullstellen gilt \(\frac{4}{(x-2)^2}-1=0\). Daraus folgt \((x-2)^2=4\), also \(x=0\) oder \(x=4\).

a) \(a=4\), \(c=-1\), \(d=2\); also \(f(x)=\frac{4}{(x-2)^2}-1\) b) \(2\) Einheiten nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\), \(1\) Einheit nach unten c) \(x_1=0\), \(x_2=4\)

- Prüfe zuerst, welcher Graph als einziger fällt. - Vergleiche dann charakteristische Punkte wie \((0|1)\) und die Lage der waagerechten Asymptote. - Veränderungen im Exponenten verschieben oder spiegeln den Graphen horizontal; ein Summand außerhalb verschiebt ihn vertikal.

1. \(h(x)=2^{-x}\) ist die Spiegelung von \(2^x\) an der \(y\)-Achse und daher der einzige fallende Graph. Das ist Graph \(p\). 2. \(g(x)=2^{x-3}\) ist um \(3\) Einheiten nach rechts verschoben. Der Punkt \((0|1)\) wird zu \((3|1)\). Das ist Graph \(q\). 3. \(k(x)=2^x+2\) ist um \(2\) Einheiten nach oben verschoben, hat also die waagerechte Asymptote \(y=2\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \((0|3)\). Das ist Graph \(t\). 4. Graph \(r\) ist die unveränderte Grundfunktion \(2^x\). Graph \(s\) ist um \(2\) Einheiten nach links verschoben und hat daher den Term \(2^{x+2}\), gleichwertig \(4\cdot2^x\).

a) \(h\to p\), \(g\to q\), \(k\to t\) b) \(r(x)=2^x\); \(s(x)=2^{x+2}=4\cdot2^x\)

- Vergleiche zuerst die waagerechten Asymptoten der drei Graphen. - Nutze bei \(g\) zusätzlich den charakteristischen Punkt \((0|1)\) der Grundfunktion. - Prüfe bei \(h\), welche Spiegelung einen steigenden in einen fallenden Graphen verwandelt.

1. Der Graph von \(g\) hat die waagerechte Asymptote \(y=-2\). Gegenüber \(f\) ist er daher um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. Der Punkt \((0|1)\) der Grundfunktion erscheint bei \((1|-1)\), also kommt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts hinzu. Damit gilt \(g(x)=e^{x-1}-2\). 2. Der Graph von \(h\) fällt statt zu steigen. Daher ist \(f\) an der \(x\)-Achse gespiegelt. Seine waagerechte Asymptote liegt bei \(y=3\), also ist der gespiegelte Graph zusätzlich um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. Damit gilt \(h(x)=-e^x+3\).

\(g(x)=e^{x-1}-2\): \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach unten. \(h(x)=-e^x+3\): Spiegelung an der \(x\)-Achse und \(3\) Einheiten nach oben.

- Bestimme zunächst, welcher waagerechten Geraden sich der Graph annähert. - Eine Spiegelung an der \(x\)-Achse ändert das Vorzeichen des gesamten Potenzterms. - Kontrolliere den gefundenen Term am Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

1. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y=3\). Gegenüber der Grundfunktion wurde daher um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 2. Die vorgegebene Spiegelung an der \(x\)-Achse führt zunächst auf \(-\left(\frac{1}{2}\right)^x\). 3. Zusammen ergibt sich \(g(x)=-\left(\frac{1}{2}\right)^x+3\). 4. Zur Kontrolle ist \(g(0)=2\) und \(g(-2)=-1\); beide Punkte stimmen mit dem Graphen überein.

\(g(x)=-\left(\frac{1}{2}\right)^x+3\).

- Lies zuerst die markierte waagerechte Asymptote ab; sie bestimmt den additiven Parameter. - Nutze anschließend einen gut ablesbaren Punkt des Graphen, etwa den \(y\)-Achsenabschnitt. - Prüfe deinen Term an einem zweiten sichtbaren Punkt.

1. Die im Diagramm markierte waagerechte Asymptote ist \(y=-6\). Daher gilt \(d=-6\). 2. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(P(0\mid-3)\). Einsetzen in \(h(x)=a\cdot2^x-6\) ergibt \(a-6=-3\), also \(a=3\). 3. Damit ist \(h(x)=3\cdot2^x-6\). Zur Kontrolle gilt \(h(1)=0\), passend zur sichtbaren Nullstelle.

\(h(x)=3\cdot2^x-6\).

- Die markierte Asymptote verrät den additiven Parameter \(d\). - Setze danach den \(y\)-Achsenabschnitt in den Ansatz ein. - Kontrolliere Vorzeichen und Parameter mit einem zweiten Punkt des Graphen.

1. Die im Diagramm markierte waagerechte Asymptote ist \(y=8\). Daher gilt \(d=8\). 2. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \((0\mid6)\). Einsetzen liefert \(a+8=6\), also \(a=-2\). 3. Damit ist \(k(x)=-2\left(\frac{1}{2}\right)^x+8\). Zur Kontrolle ergibt \(k(-2)=0\), passend zur sichtbaren Nullstelle.

\(a=-2\), \(d=8\), also \(k(x)=-2\left(\frac{1}{2}\right)^x+8\).

- Schau dir an, wo die Graphen die \(x\)-Achse schneiden (Nullstellen). - Überprüfe den Funktionswert an der Stelle \(x = 2\) oder \(x = 4\). - Achte darauf, ob ein Graph gegenüber der Grundform verschoben, gespiegelt oder gestreckt ist. - Erinnere dich daran, wie sich eine Addition innerhalb des Logarithmus (\(x+c\)) auf die Lage des Graphen auswirkt.

Um die Graphen zuzuordnen, betrachten wir die Nullstellen und Funktionswerte an bestimmten Stellen: 1. Der Graph \(f\) (blau) verläuft durch \((1 \mid 0)\), \((2 \mid 1)\) und \((4 \mid 2)\). Dies entspricht der Basisfunktion \(y = \log_{2}(x)\) (Term 1). 2. Der Graph \(g\) (grün) verläuft durch \((1 \mid 0)\), \((2 \mid 2)\) und \((4 \mid 4)\). Da die \(y\)-Werte gegenüber \(f\) verdoppelt sind, gehört er zu \(y = 2 \cdot \log_{2}(x)\) (Term 2). 3. Der Graph \(h\) (orange) hat seine Nullstelle bei \(x = -2\), da \(\log_{2}(-2 + 3) = \log_{2}(1) = 0\). Er ist um 3 Einheiten nach links verschoben. Dies passt zu \(y = \log_{2}(x + 3)\) (Term 3). 4. Der Graph \(k\) (rot) verläuft durch \((1 \mid 0)\), \((2 \mid -1)\) und \((4 \mid -2)\). Die \(y\)-Werte sind im Vergleich zu \(f\) an der \(x\)-Achse gespiegelt. Das entspricht \(y = -\log_{2}(x)\) (Term 4).

Die Zuordnung lautet: \(f \rightarrow 1.\, y = \log_{2}(x)\), \(g \rightarrow 2.\, y = 2 \cdot \log_{2}(x)\), \(h \rightarrow 3.\, y = \log_{2}(x + 3)\), \(k \rightarrow 4.\, y = -\log_{2}(x)\); Term 5, \(y = \log_{2}(x) - 3\), bleibt übrig.

- Suche einen markanten Punkt auf dem Graphen, den du leicht verfolgen kannst. - Erinnere dich daran, dass eine Verschiebung entlang der x-Achse das Argument der Funktion direkt verändert. - Wie verändert sich der Funktionswert, wenn der gesamte Graph nach oben oder unten wandert?

1. Die „Spitze“ des Graphen von \(f\) liegt im Ursprung \((0|0)\). Die Spitze von \(g\) liegt bei \((-3|1)\). 2. Die Verschiebung in x-Richtung beträgt \(3\) Einheiten nach links (\(x \to x + 3\)). 3. Die Verschiebung in y-Richtung beträgt \(1\) Einheit nach oben (\(+ 1\) am Ende des Terms). 4. Der Funktionsterm lautet somit \(g(x) = |x + 3| + 1\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung von \(f\) um \(3\) Einheiten nach links und um \(1\) Einheit nach oben. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = |x + 3| + 1\).

- Wo liegt der markante „Startpunkt“ der Wurzelfunktion normalerweise? - Vergleiche die Lage dieses Punktes im Bild mit dem Ursprung. - Überprüfe an einem weiteren Punkt (zum Beispiel \(x = -1\) oder \(x = 2\)), ob der Graph zusätzlich gestreckt wurde.

1. Der Definitionsbereich der Grundfunktion \(f\) beginnt bei \(x = 0\). Der Graph von \(g\) beginnt bei \(x = -2\). Das entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links. 2. Der Startpunkt von \(g\) liegt auf der Höhe \(y = -2\). Das entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach unten. 3. Es liegt keine Streckung oder Spiegelung vor, da die Form (\(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{4}=2\) relativ zum Startpunkt) erhalten bleibt. 4. Der Funktionsterm ist \(g(x) = \sqrt{x + 2} - 2\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung von \(f\) um \(2\) Einheiten nach links und um \(2\) Einheiten nach unten. Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = \sqrt{x + 2} - 2\).

- Suche am Graphen von \(f\) zuerst Stellen mit waagerechter Tangente. Was muss dort für den Ableitungsgraphen gelten? - In welchen Intervallen steigt bzw. fällt \(f\)? Welche Vorzeichen muss \(f'\) dort haben? - Welche Transformation bewirkt eine Addition außerhalb des Funktionsterms? - Wie wirkt sich \(f(x-c)\) auf die Lage des Graphen aus?

1. Graph II gehört zu \(f\): Er verläuft durch den Ursprung und besitzt die für den gegebenen kubischen Term passenden lokalen Extrempunkte bei \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Am Hochpunkt von Graph II bei \(x=-1\) und am Tiefpunkt bei \(x=1\) sind die Tangenten waagerecht. Der Ableitungsgraph muss daher bei \(x=-1\) und \(x=1\) Nullstellen haben. 3. Graph II steigt für \(x<-1\) und für \(x>1\); dort muss \(f'\) positiv sein. Zwischen \(-1\) und \(1\) fällt Graph II; dort muss \(f'\) negativ sein. Genau dieses Vorzeichenmuster zeigt Graph I. Deshalb ist Graph I der Ableitungsgraph. 4. \(g(x)=f(x)+2\) verschiebt Graph II um \(2\) Einheiten nach oben. Das ist Graph IV. 5. \(h(x)=f(x-2)\) verschiebt Graph II um \(2\) Einheiten nach rechts. Das ist Graph III.

Graph I: \(f'\) Graph II: \(f\) Graph III: \(h(x)=f(x-2)\) Graph IV: \(g(x)=f(x)+2\)

- Lies an der gestrichelten Tangente ein geeignetes Steigungsdreieck ab. - Überlege geometrisch, was eine reine Verschiebung nach oben oder unten mit der Neigung eines Graphen macht. - Bei einer horizontalen Verschiebung wandert eine Stelle mit einer bestimmten Graphenform zusammen mit dem Graphen.

1. Die Steigung der eingezeichneten Tangente erhält man aus dem Steigungsdreieck. Bei \(\Delta x=1\) steigt die Tangente um \(\Delta y=1\). Daher ist die momentane Steigung \(f'(3)=\frac{1}{1}=1\). 2. Der Graph von \(g\) ist nur vertikal verschoben. Dadurch ändern sich die Tangentenrichtungen an gleichen \(x\)-Stellen nicht. Deshalb gilt \(g'(3)=f'(3)=1\). 3. Der Graph von \(h\) ist um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Damit wandert auch die Stelle mit derselben Tangentensteigung um \(2\) Einheiten nach rechts: von \(x=3\) zu \(x=5\). Die zweite gestrichelte Tangente bestätigt dies.

1. \(f'(3)=1\) 2. Eine vertikale Verschiebung ändert die Tangentensteigung an derselben \(x\)-Stelle nicht; daher gilt \(g'(3)=1\). 3. Bei \(x=5\).

- Vergleiche die Lage der waagerechten Asymptoten beider Graphen, um die Verschiebung in \(y\)-Richtung zu finden. - Suche dir einen markanten Punkt auf dem blauen Graphen (z. B. den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse) und finde den entsprechenden Punkt auf dem roten Graphen. - Überlege dir, wie sich eine Verschiebung nach rechts oder links im Argument der Funktion (also direkt beim \(x\)) auswirkt. - Wie ändert sich der Funktionswert insgesamt, wenn der Graph nach oben oder unten verschoben wird?

1. Der Graph \(G_f\) hat die waagerechte Asymptote \(y = 0\). Der Graph \(G_g\) hat die waagerechte Asymptote \(y = 1\). Somit liegt eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben vor (\(d = 1\)). Der Punkt \((0 \mid 4)\) auf \(G_f\) wird auf den Punkt \((2 \mid 5)\) auf \(G_g\) abgebildet (da \(g(2) = 4 \cdot 0{,}5^{2-2} + 1 = 5\)). Dies entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts (\(c = 2\)). 2. In Abhängigkeit von \(f(x)\) lautet der Term: \(g(x) = f(x - 2) + 1\). 3. Einsetzen von \(x-2\) in \(f(x)\) und Addition von \(1\) ergibt: \(g(x) = 4 \cdot 0{,}5^{x-2} + 1\).

1. Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. 2. \(g(x) = f(x - 2) + 1\) 3. \(g(x) = 4 \cdot 0{,}5^{x-2} + 1\)

- Vergleiche die waagerechten Asymptoten beider Graphen. - Der Punkt \((0|1)\) ist ein charakteristischer Punkt der natürlichen Exponentialfunktion. Wo liegt der entsprechende Punkt beim verschobenen Graphen? - Wie wird eine Verschiebung nach links im Argument der Funktion geschrieben?

1. Die Asymptote von \(G_f\) ist \(y=0\), die von \(G_g\) ist \(y=-2\). Der Graph wurde also um \(2\) Einheiten nach unten verschoben. Der Punkt \((0|1)\) auf \(G_f\) wird auf den Punkt \((-3|-1)\) auf \(G_g\) abgebildet. Dies entspricht einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links. 2. Mit der Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach unten ergibt sich \(g(x)=f(x+3)-2=e^{x+3}-2\). 3. Es gilt \(g(0)=e^3-2\approx18{,}09\).

1. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach unten. 2. \(g(x)=e^{x+3}-2\) 3. \(g(0)=e^3-2\approx18{,}09\)

- Überlege dir zuerst, wie sich eine Streckung in \(y\)-Richtung und eine Streckung in \(x\)-Richtung formal in der Funktionsgleichung ausdrücken lassen. - Suche einen markanten Punkt auf dem roten Graphen, um seine Funktionsgleichung zu bestimmen. - Kannst du den Term der Funktion \(g(x)\) so umformen, dass er einmal die Form \(af(x)\) und einmal die Form \(f(bx)\) hat? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Beträge: Gilt vielleicht \(|a \cdot b| = |a| \cdot |b|\)?

1. Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass der rote Graph durch den Punkt \((2\mid1)\) verläuft. Da \(g(x)\) eine gestreckte Betragsfunktion ist, gilt \(g(x) = a|x|\). Einsetzen des Punktes ergibt \(1 = a \cdot |2|\), also \(a = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 0{,}5|x|\). 2. Tims Sichtweise entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung: \(g(x) = kf(x)\). Mit \(k = 0{,}5\) folgt \(g(x) = 0{,}5|x|\). Dies ist eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). Saras Sichtweise entspricht einer Streckung in \(x\)-Richtung: \(g(x) = f(cx) = |cx|\). Wegen der Rechenregeln für Beträge gilt \(|cx| = |c||x|\). Mit \(c = 0{,}5\) (oder \(c = -0{,}5\)) erhält man \(g(x) = |0{,}5 \cdot x| = 0{,}5 \cdot |x|\). Dies entspricht einer Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}5} = 2\).

1. Die Funktionsgleichung von \(g\) ist \(g(x) = 0{,}5|x|\). 2. Tim hat mit einer Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) recht, denn \(g(x) = 0{,}5f(x)\); Sara hat mit einer Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) recht, denn \(g(x) = f(0{,}5x) = |0{,}5x|\).

- Überlege dir zuerst, welche Auswirkungen die Zahlen in den Funktionstermen auf die Verschiebung, Spiegelung oder Streckung des Graphen haben. - Wie ändert sich die Definitionsmenge, wenn man das Argument \(x\) innerhalb der Klammer verändert? - Was passiert mit den \(y\)-Werten (der Wertemenge), wenn man den gesamten Funktionswert mit einer Zahl multipliziert oder eine Zahl addiert? - Es hilft oft, sich ein paar markante Punkte des ursprünglichen Graphen zu nehmen und deren neue Koordinaten zu berechnen.

1. Analyse der Ausgangsfunktion \(f\): Aus dem Graphen liest man die Definitionsmenge \(D_f = [-4; 4]\) und die Wertemenge \(W_f = [-1; 1]\) ab. Markante Punkte sind \((-4; -1)\), \((-2; 1)\), \((2; 1)\) und \((4; -1)\). 2. Transformation von \(g\): Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach oben. - Definitionsmenge: \(x + 2 \in [-4; 4] \implies D_g = [-6; 2]\) - Wertemenge: \(y \in [-1; 1] \implies y + 2 \in [1; 3]\), also \(W_g = [1; 3]\). 3. Transformation von \(h\): Der Graph von \(h\) entsteht durch eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine anschließende vertikale Streckung mit dem Faktor \(2\). - Definitionsmenge: \(D_h = D_f = [-4; 4]\) - Wertemenge: \(y \in [-1; 1] \implies -2y \in [-2; 2]\), also \(W_h = [-2; 2]\).

a) \(D_g = [-6; 2]\), \(W_g = [1; 3]\). Der Graph ist um \(2\) Einheiten nach links und \(2\) Einheiten nach oben verschoben. b) \(D_h = [-4; 4]\), \(W_h = [-2; 2]\). Der Graph ist an der \(x\)-Achse gespiegelt und vertikal mit dem Faktor \(2\) gestreckt.

- Unterscheide Veränderungen im Argument von \(f\) von Veränderungen des gesamten Funktionswerts. - Wie verändert \(f(2x)\) die \(x\)-Koordinaten eines bekannten Punktes? - Übertrage die Eckpunkte einzeln und lies anschließend Definitions- und Wertemenge aus den neuen Koordinaten ab.

1. Der Ausgangsgraph hat die Eckpunkte \((-2|0)\), \((0|2)\), \((2|0)\), \((4|2)\) und \((6|0)\). Daher sind \(D_f=[-2;6]\) und \(W_f=[0;2]\). 2. Für \(k(x)=f(2x)-1\) werden die \(x\)-Koordinaten halbiert und die \(y\)-Koordinaten um \(1\) vermindert. Die Eckpunkte werden zu \((-1|-1)\), \((0|1)\), \((1|-1)\), \((2|1)\) und \((3|-1)\). Somit gilt \(D_k=[-1;3]\) und \(W_k=[-1;1]\). 3. Für \(p(x)=0{,}5f(x-1)+1\) wird der Graph um \(1\) Einheit nach rechts verschoben, in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und um \(1\) Einheit nach oben verschoben. Die Eckpunkte werden zu \((-1|1)\), \((1|2)\), \((3|1)\), \((5|2)\) und \((7|1)\). Somit gilt \(D_p=[-1;7]\) und \(W_p=[1;2]\).

a) \(D_k=[-1;3]\), \(W_k=[-1;1]\); Eckpunkte: \((-1|-1)\), \((0|1)\), \((1|-1)\), \((2|1)\), \((3|-1)\). b) \(D_p=[-1;7]\), \(W_p=[1;2]\); Eckpunkte: \((-1|1)\), \((1|2)\), \((3|1)\), \((5|2)\), \((7|1)\).

- Wo liegt die waagerechte Asymptote bei den verschobenen Graphen? Das verrät dir die Verschiebung in \(y\)-Richtung. - Verfolge den Punkt \((0 \mid 1)\) des Basisgraphen \(f\). Wo befindet sich dieser Referenzpunkt bei den anderen Graphen?

1. Der Graph von \(g\) ist gegenüber \(f\) um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(1\) Einheit nach oben verschoben. Der Punkt \((0 \mid 1)\) von \(f\) wandert zum Punkt \((3 \mid 2)\) bei \(g\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). Somit gilt \(g(x) = 2^{x-3} + 1\). 2. Der Graph von \(h\) ist gegenüber \(f\) nur vertikal verschoben. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = -3\). Der Punkt \((0 \mid 1)\) von \(f\) wandert zu \((0 \mid -2)\). Somit gilt \(h(x) = 2^x - 3\).

\(g(x) = 2^{x-3} + 1\), \(h(x) = 2^x - 3\)

- Überlege dir zuerst, wie sich die einzelnen Rechenoperationen (Minuszeichen, Additionen außerhalb oder innerhalb der Klammer) grafisch auswirken. - Es hilft oft, markante Punkte (Ecken) des ursprünglichen Graphen einzeln zu transformieren. - Achte darauf, ob eine Änderung die \(x\)-Werte (horizontal) oder die \(y\)-Werte (vertikal) beeinflusst.

1. Analyse der Funktion \(f\): Der Graph verläuft durch die Eckpunkte \((-3\mid-1)\), \((-1\mid2)\), \((2\mid0)\) und \((4\mid1)\). 2. Transformation zu \(g(x) = -f(x) + 1\): Der Graph wird an der \(x\)-Achse gespiegelt und anschließend um \(1\) Einheit nach oben verschoben. Die neuen Eckpunkte sind \((-3\mid2)\), \((-1\mid-1)\), \((2\mid1)\) und \((4\mid0)\). 3. Transformation zu \(h(x) = f(x + 2)\): Der Graph wird um \(2\) Einheiten nach links verschoben. Die neuen Eckpunkte sind \((-5\mid-1)\), \((-3\mid2)\), \((0\mid0)\) und \((2\mid1)\).

a) Der Graph von \(g\) entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse und Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben; Eckpunkte: \((-3\mid2)\), \((-1\mid-1)\), \((2\mid1)\), \((4\mid0)\). b) Der Graph von \(h\) entsteht durch Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links; Eckpunkte: \((-5\mid-1)\), \((-3\mid2)\), \((0\mid0)\), \((2\mid1)\).

- Vergleiche zuerst die Scheitelpunkte der drei Parabeln. - Eine reine Verschiebung erhält die Form des Graphen; eine vertikale Skalierung verändert Abstände zur \(x\)-Achse. - Prüfe deine Zuordnung an einem weiteren einfachen Punkt des Ausgangsgraphen.

1. Der Scheitelpunkt der ursprünglichen Funktion \(f\) liegt bei \(S(0|-1)\). 2. Beim roten Graphen \(u\) liegt der Scheitelpunkt bei \((1|1)\). Das entspricht einer Verschiebung um \(1\) Einheit nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. Daher beschreibt \(p(x)=f(x-1)+2\) den Graphen \(u\). 3. Beim roten Graphen \(v\) liegt der Scheitelpunkt bei \((0|-3)\). Die \(x\)-Koordinate bleibt unverändert. Zusätzlich liegt bei \(x=1\) der Punkt \((1|-1)\) auf \(v\). Da \(f(1)=0\), liefert \(q(1)=2f(1)-1=-1\). Somit beschreibt \(q(x)=2f(x)-1\) den Graphen \(v\).

Graph \(u\) gehört zu \(p(x)=f(x-1)+2\). Graph \(v\) gehört zu \(q(x)=2f(x)-1\).

- Vergleiche die Lage der Maxima der beiden Kurven. - Schau dir an, wie weit die Kurven in die Breite gehen. Wenn eine Kurve bei gleichen Funktionswerten weiter von ihrer Mitte entfernt ist, wurde sie gestreckt. - Erinnere dich daran, dass Operationen direkt am \(x\) oft „entgegengesetzt“ wirken (Multiplikation mit \(2\) macht den Graphen schmaler).

1. Der Parameter \(c\) bewirkt eine horizontale Verschiebung des Graphen. Da das Maximum von \(x = 0\) nach \(x = 2\) gewandert ist, wurde der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Dies entspricht \(c = -2\). 2. Der Parameter \(b\) bewirkt eine Streckung oder Stauchung in \(x\)-Richtung. Ein Wert \(b > 1\) staucht den Graphen in \(x\)-Richtung (er wird „schmaler“), während \(0 < b < 1\) ihn streckt (er wird „breiter“). 3. Im Vergleich der Graphen sieht man, dass der rote Graph breiter ist als der blaue. Die ursprüngliche „Breite“ (z. B. Abstand der Punkte mit \(y = 2\)) hat sich verdoppelt. Somit muss der Graph gestreckt worden sein, was bedeutet, dass \(0 < b < 1\) gilt (konkret ist \(b = 0{,}5\)).

Der Parameter \(c\) verschiebt den Graphen horizontal (hier um \(2\) nach rechts, also \(c = -2\)). Der Parameter \(b\) streckt oder staucht den Graphen in \(x\)-Richtung. Da der rote Graph breiter ist als der blaue, wurde er gestreckt, weshalb \(0 < b < 1\) gelten muss (hier \(b = 0{,}5\)).

- Suche dir einen „besonderen“ Punkt auf dem blauen Graphen, den du leicht wiedererkennen kannst. - Bestimme, wie viele Einheiten du diesen Punkt nach rechts/links und oben/unten bewegen musst, um beim roten Graphen zu landen. - Achte auf das Vorzeichen in der Klammer: Eine Verschiebung nach rechts bedeutet ein Minuszeichen vor der Zahl in der Klammer.

1. Wähle einen markanten Punkt auf dem blauen Graphen \(G_f\), zum Beispiel den lokalen Hochpunkt \(H_f(-1\mid4)\) oder den lokalen Tiefpunkt \(T_f(1\mid0)\). 2. Suche den entsprechenden Punkt auf dem roten Graphen \(G_g\). Der neue Hochpunkt liegt bei \(H_g(1\mid5)\), der neue Tiefpunkt bei \(T_g(3\mid1)\). 3. Berechne die Verschiebung: Von \(x = -1\) zu \(x = 1\) sind es \(+2\) Einheiten in \(x\)-Richtung. Von \(y = 4\) zu \(y = 5\) ist es \(+1\) Einheit in \(y\)-Richtung. 4. Bestimmung der Parameter: Eine Verschiebung um \(2\) nach rechts bedeutet \(x \to x - 2\), also ist \(c = -2\). Eine Verschiebung um \(1\) nach oben bedeutet \(d = 1\).

Die Parameter sind \(c = -2\) und \(d = 1\).

- Wo liegen die Nullstellen beim blauen Graphen und wo beim roten? Wie weit ist das „Muster“ verschoben? - Wenn der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt aussieht, muss \(a\) negativ sein. - Setze einen bekannten \(x\)-Wert in deine Formel ein, um \(a\) zu prüfen.

1. Untersuche die Lage der Nullstellen. Die Funktion \(f\) hat eine einfache Nullstelle bei \(x = 0\) und eine doppelte Nullstelle bei \(x = 2\). Der rote Graph \(g\) hat eine einfache Nullstelle bei \(x = -1\) und eine doppelte bei \(x = 1\). 2. Der gesamte Graph wurde also um \(1\) Einheit nach links verschoben. Das entspricht einer Ersetzung von \(x\) durch \(x + 1\), woraus \(c = 1\) folgt. 3. Um den Streckfaktor \(a\) zu finden, vergleiche die \(y\)-Werte. Bei \(f\) liegt zwischen den Nullstellen (bei \(x = 1\)) der Wert \(f(1) = 1 \cdot (1-2)^2 = 1\). 4. Der entsprechende Punkt auf dem roten Graphen liegt bei \(x = 0\) (da er um \(1\) nach links verschoben wurde). Dort ist der Wert \(g(0) = -1\). 5. Da \(g(0) = a \cdot f(0 + 1) = a \cdot f(1) = a \cdot 1 = -1\), ergibt sich \(a = -1\). Der Graph wurde also an der \(x\)-Achse gespiegelt.

Die Parameter sind \(a = -1\) und \(c = 1\).

- Vergleiche die Lage des lokalen Maximums auf der \(y\)-Achse mit dem entsprechenden Extrempunkt auf dem roten Graphen. - Achte darauf, ob der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wurde. - Prüfe, ob die \(y\)-Werte gestreckt oder gestaucht wurden, indem du die Abstände der Extrempunkte zur Mittellinie vergleichst. - Wie verändert sich der Term, wenn ein Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wird?

1. Analyse von \(G_f\): Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse mit einem lokalen Maximum bei \((0\mid4)\). Die Nullstellen liegen bei \(\pm 1\) und \(\pm 2\). 2. Analyse von \(G_g\): Der Graph \(G_g\) besitzt bei \((1\mid-2)\) einen lokalen Tiefpunkt. Die Nullstellen liegen bei \(-1\), \(0\), \(2\) und \(3\). 3. Bestimmung der Transformationen: - Verschiebung: Das ursprüngliche Maximum bei \(x = 0\) wurde auf \(x = 1\) verschoben (Verschiebung um \(1\) nach rechts). - Spiegelung und Stauchung: Der Funktionswert am entsprechenden Extrempunkt änderte sich von \(4\) zu \(-2\). Dies entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse kombiniert mit einer Stauchung um den Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung (\(4 \cdot (-0{,}5) = -2\)). 4. Aufstellen des Terms: Die Transformation lautet \(g(x) = -0{,}5f(x-1)\). Eingesetzt ergibt dies \(g(x) = -0{,}5((x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 4)\).

\(g(x) = -0{,}5((x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 4)\)

- Bestimme zuerst die Amplitude (die maximale Auslenkung von der Mitte) beider Graphen. - Wo liegt die „Mittellinie“, um die die Graphen schwingen? Das verrät dir die Verschiebung nach oben oder unten. - Vergleiche die Position eines Wellenbergs von \(f\) mit dem entsprechenden Wellenberg von \(g\), um die Verschiebung nach rechts oder links zu finden.

1. Eigenschaften von \(f\): Die Funktion \(f\) hat eine Amplitude von \(1\) und eine Periode von \(T = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4\). Ein lokales Maximum liegt bei \((1 \mid 1)\). 2. Eigenschaften von \(g\): Der Graph von \(g\) hat eine Amplitude von \(2\) (Abstand vom mittleren Wert zum Maximum). Die Mittellinie liegt bei \(y=1\). Ein lokales Maximum liegt bei \((2 \mid 3)\). 3. Bestimmung der Transformationen: - Streckung in \(y\)-Richtung: Die Amplitude verdoppelte sich von \(1\) auf \(2\). - Verschiebung in \(x\)-Richtung: Das Maximum wurde von \(x=1\) nach \(x=2\) verschoben (Verschiebung um 1 nach rechts). - Verschiebung in \(y\)-Richtung: Die Mittellinie wurde von \(y=0\) auf \(y=1\) verschoben (Verschiebung um 1 nach oben). 4. Funktionsterm: \(g(x) = 2f(x-1) + 1 = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right) + 1\).

\(g(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right) + 1\)

- Wo liegen die Asymptoten (die Linien, an die sich der Graph annähert) beim roten Graphen? - Die Verschiebung der Asymptoten gibt dir direkt die Werte für die Verschiebung in \(x\)- und \(y\)-Richtung an. - Wähle einen Punkt auf dem roten Graphen, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um zu prüfen, ob der Graph auch gestreckt wurde.

1. Beim Grundgraphen \(f(x)=\frac1x\) liegen die Asymptoten bei \(x=0\) und \(y=0\). 2. Beim Graphen von \(g\) liegen sie bei \(x=2\) und \(y=1\). Daher hat \(g\) die Form \(g(x)=\frac{a}{x-2}+1\). 3. Eine reine Verschiebung würde den Punkt \((1\mid1)\) auf \((3\mid2)\) abbilden. Der dargestellte Graph verläuft jedoch durch \((3\mid3)\). 4. Einsetzen von \((3\mid3)\): \(3=\frac{a}{3-2}+1\), also \(a=2\). 5. Damit lautet der Funktionsterm \(g(x)=\frac{2}{x-2}+1\).

\(g(x) = \frac{2}{x-2} + 1\)

- Ist der rote Graph „flacher“ oder „steiler“ als der blaue? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn ein Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt wird? - Vergleiche die \(y\)-Werte beider Graphen an der Stelle \(x = 0\).

1. Analyse der Orientierung: Der blaue Graph ist nach oben geöffnet, der rote nach unten. Dies bedeutet eine Spiegelung an der \(x\)-Achse, was einem Faktor \(-1\) vor der Funktion entspricht. 2. Vergleich der Form (Streckung/Stauchung): Der blaue Graph verläuft durch die Punkte \((2 \mid 0)\) und \((0 \mid -4)\). Der rote Graph verläuft durch \((2 \mid 0)\) und \((0 \mid 2)\). 3. Berechnung des Faktors: Während \(f(0) = -4\) ist, gilt \(g(0) = 2\). Der Wert wurde also mit \(-0{,}5\) multipliziert (\(-4 \cdot (-0{,}5) = 2\)). 4. Prüfung an weiteren Stellen: Bei \(x=2\) ist \(f(2)=0\) und \(g(2)=0\), was konsistent ist (\(0 \cdot (-0{,}5) = 0\)). 5. Ergebnis: Der Graph wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(0{,}5\) in \(y\)-Richtung gestaucht. Es gilt \(g(x) = -0{,}5f(x)\).

Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Spiegelung des Graphen von \(f\) an der \(x\)-Achse und eine gleichzeitige Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\); der Funktionsterm ist \(g(x) = -0{,}5f(x)\).

- Wo liegt der „Startpunkt“ des blauen Graphen und wo der des roten? - Wie hat sich die Richtung der Kurve verändert? Was bedeutet das für das Vorzeichen der Funktion? - Überlege, wie Verschiebung und Spiegelung im Funktionsterm dargestellt werden.

1. Analyse des blauen Graphen \(G_f\): Er beginnt im Punkt \((-4 \mid 0)\) und verläuft oberhalb der \(x\)-Achse steigend. 2. Analyse des roten Graphen \(G_g\): Er beginnt im Punkt \((-2 \mid 0)\) und verläuft unterhalb der \(x\)-Achse fallend. 3. Bestimmung der Verschiebung: Würde man \(G_f\) nur spiegeln, läge der Startpunkt weiterhin bei \(x = -4\). Da der Startpunkt von \(g\) bei \(x = -2\) liegt, wird der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. 4. Bestimmung der Spiegelung: Der Graph von \(f\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse, der von \(g\) unterhalb. Dies entspricht einer Spiegelung an der \(x\)-Achse. 5. Aufstellen des Terms: Die Verschiebung um \(2\) Einheiten nach rechts ergibt \(f(x - 2)\). Die Spiegelung an der \(x\)-Achse ergibt \(-f(x - 2)\). 6. Ergebnis: \(g(x) = -f(x - 2)\).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) hervor, indem dieser um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben und anschließend an der \(x\)-Achse gespiegelt wird; der Funktionsterm lautet \(g(x) = -f(x - 2)\).

- Überlege dir, wie sich die Definitionsmenge ändert, wenn das Argument der Funktion von \(x\) zu \(x + 2\) wird. - Wie beeinflussen der Faktor vor der Funktion und die Konstante dahinter die \(y\)-Werte der ursprünglichen Punkte? - Es hilft oft, sich eine kleine Tabelle mit den Koordinaten der Knickpunkte von \(f\) zu erstellen und diese schrittweise zu transformieren. - Denke daran: Eine Addition im Argument verschiebt den Graphen entlang der \(x\)-Achse, während Operationen außerhalb der Funktion die \(y\)-Werte verändern.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs von \(g\): Da \(f\) für Eingabewerte zwischen \(-3\) und \(3\) definiert ist, muss für das Argument von \(g\) gelten: \( -3 \le x + 2 \le 3 \). Durch Subtraktion von \(2\) auf allen Seiten ergibt sich \( -5 \le x \le 1 \). Also ist \(D_g = [-5; 1]\). 2. Bestimmung des Wertebereichs von \(g\): Aus dem Graphen von \(f\) liest man den Wertebereich \(W_f = [-2; 2]\) ab. Die Transformation \(0{,}5f(...) - 1\) verändert die \(y\)-Werte. Für die Extremwerte gilt: \(0{,}5 \cdot (-2) - 1 = -2\) und \(0{,}5 \cdot 2 - 1 = 0\). Somit ist \(W_g = [-2; 0]\). 3. Berechnung markanter Punkte für den Graphen von \(g\): - \(f(-3) = -2 \implies g(-5) = 0{,}5 \cdot (-2) - 1 = -2\) - \(f(-1) = 2 \implies g(-3) = 0{,}5 \cdot 2 - 1 = 0\) - \(f(1) = 2 \implies g(-1) = 0{,}5 \cdot 2 - 1 = 0\) - \(f(3) = 0 \implies g(1) = 0{,}5 \cdot 0 - 1 = -1\) 4. Der Graph von \(g\) verläuft somit durch die Punkte \((-5 \mid -2)\), \((-3 \mid 0)\), \((-1 \mid 0)\) und \((1 \mid -1)\).

a) Der Graph von \(g\) entsteht durch eine Verschiebung von \(f\) um \(2\) Einheiten nach links, eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und eine anschließende Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten. Er verbindet geradlinig die Punkte \((-5 \mid -2)\), \((-3 \mid 0)\), \((-1 \mid 0)\) und \((1 \mid -1)\). b) Der Definitionsbereich ist \(D_g = [-5; 1]\) und der Wertebereich ist \(W_g = [-2; 0]\).

- Was passiert mit den \(x\)-Werten, wenn im Inneren der Funktion mit \(0{,}5\) multipliziert wird? Werden sie auf der Achse gestreckt oder gestaucht? - Ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm klappt den Graphen um eine Achse. Welche ist das? - Gehe punktweise vor: Nimm dir die markanten Punkte (Anfang, Ende, Knicke) des Graphen von \(h\) und berechne ihre neuen Koordinaten. - Überprüfe am Ende, ob der neue Definitionsbereich zu den berechneten Eckpunkten passt.

1. Bestimmung des Definitionsbereichs von \(k\): Für das Argument von \(h\) muss gelten: \(-1 \le 0{,}5x \le 4\). Durch Multiplikation mit \(2\) erhält man \(-2 \le x \le 8\). Der Definitionsbereich ist somit \(D_k = [-2; 8]\). 2. Analyse der Transformationen: - Der Faktor \(0{,}5\) im Argument bewirkt eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\). - Das Minuszeichen vor der Funktion bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse. - Die Konstante \(+ 2\) bewirkt eine Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung. 3. Berechnung der Bildpunkte der markanten Stellen von \(h\): - Punkt \((-1 \mid 1)\) von \(h\): \(0{,}5x = -1 \implies x = -2\). Neuer \(y\)-Wert: \(-1 + 2 = 1\). Punkt auf \(k\): \((-2 \mid 1)\). - Punkt \((1 \mid -1)\) von \(h\): \(0{,}5x = 1 \implies x = 2\). Neuer \(y\)-Wert: \(-(-1) + 2 = 3\). Punkt auf \(k\): \((2 \mid 3)\). - Punkt \((4 \mid 2)\) von \(h\): \(0{,}5x = 4 \implies x = 8\). Neuer \(y\)-Wert: \(-2 + 2 = 0\). Punkt auf \(k\): \((8 \mid 0)\). 4. Der Graph von \(k\) verbindet die Punkte \((-2 \mid 1)\), \((2 \mid 3)\) und \((8 \mid 0)\).

a) Der Graph von \(k\) verbindet geradlinig die Punkte \((-2 \mid 1)\), \((2 \mid 3)\) und \((8 \mid 0)\). b) Der Definitionsbereich ist \(D_k = [-2; 8]\). Die Transformationen sind eine Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(2\), eine Spiegelung an der \(x\)-Achse und eine Verschiebung um \(2\) Einheiten nach oben.

- Schau dir an, wie oft sich das Muster der Funktion in einem bestimmten Bereich wiederholt. - Hat sich der Abstand zwischen zwei benachbarten Hochpunkten verändert? - Überlege, ob die Änderung die Eingabewerte (\(x\)-Richtung) oder die Ausgabewerte (\(y\)-Richtung) betrifft.

1. Analyse der Periode: Der Graph von \(f\) (blau) hat eine Periode von \(2\pi \approx 6{,}28\). Der Graph von \(g\) (rot) hat eine Periode von \(\pi \approx 3{,}14\). 2. Bestimmung der Streckung/Stauchung: Da die Periode von \(g\) halb so groß ist wie die von \(f\), wurde der Graph in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) gestaucht. 3. Mathematische Darstellung: Eine horizontale Stauchung um den Faktor \(\frac{1}{k}\) wird durch das Ersetzen von \(x\) durch \(kx\) erreicht. Hier ist \(k = 2\). 4. Ergebnis: \(g(x) = f(2x)\).

Der Graph von \(g\) entsteht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\); die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = f(2x)\).

- Vergleiche die \(y\)-Werte beider Graphen an derselben \(x\)-Stelle. - Bleiben die Nullstellen der Funktion gleich? Wenn ja, deutet das auf eine Streckung oder Stauchung in \(y\)-Richtung hin. - Welchen Faktor musst du verwenden, um von einem Punkt auf \(G_f\) zum entsprechenden Punkt auf \(G_g\) zu kommen?

1. Analyse der \(y\)-Werte: Der höchste Punkt von \(f\) liegt bei \((0 \mid 2)\). Der höchste Punkt von \(g\) liegt bei \((0 \mid 1)\). 2. Bestimmung der Streckung/Stauchung: Da der \(y\)-Wert halbiert wurde, handelt es sich um eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\). 3. Überprüfung weiterer Punkte: An der Stelle \(x=1\) ist \(f(1) = 1\) und \(g(1) = 0{,}5\). Auch hier ist der Wert halbiert. 4. Mathematische Darstellung: Eine vertikale Stauchung um den Faktor \(a\) wird durch Multiplikation des Funktionsterms mit \(a\) erreicht. 5. Ergebnis: \(g(x) = 0{,}5f(x)\).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) hervor; die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = 0{,}5f(x)\).

- Achte auf die Lage der Graphen bezüglich der senkrechten Achse. - Sind die Graphen an einer Achse gespiegelt? Wenn ja, an welcher? - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn man \(x\) durch \(-x\) ersetzt?

1. Analyse der Symmetrie: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \((2 \mid -1)\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \((-2 \mid -1)\). 2. Beobachtung der Spiegelung: Die Graphen scheinen spiegelbildlich zur \(y\)-Achse zu liegen. Für jeden Punkt \((x \mid y)\) auf \(G_f\) findet sich ein Punkt \((-x \mid y)\) auf \(G_g\). Zum Beispiel: \(f(0) = 3\) und \(g(0) = 3\). \(f(3) = 0\) und \(g(-3) = 0\). 3. Mathematische Darstellung: Eine Spiegelung an der \(y\)-Achse wird erreicht, indem man das Argument \(x\) durch \(-x\) ersetzt. 4. Ergebnis: \(g(x) = f(-x)\).

Der Graph von \(g\) geht aus dem Graphen von \(f\) durch eine Spiegelung an der \(y\)-Achse hervor; die Funktionsgleichung lautet \(g(x) = f(-x)\).

- Überlege dir zuerst, was eine Spiegelung an der \(y\)-Achse für die \(x\)-Werte bedeutet. - Wo befindet sich die auffällige Lücke im ursprünglichen Graphen? - Prüfe, ob die Graphenteile an der neuen Stelle ohne Lücke oder Sprung ineinander übergehen. - Nutze die Grenzwerte von links und von rechts, um die Höhe des Graphen kurz vor und kurz nach dem Sprung zu beschreiben.

1. Bestimmung der Unstetigkeitsstelle von \(f\): Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass \(f\) bei \(x_f = 1\) einen Sprung von \(y = 0\) auf \(y = 2\) macht. 2. Bestimmung der Unstetigkeitsstelle von \(g\): Die Transformation \(g(x) = f(-x)\) entspricht einer Spiegelung an der \(y\)-Achse. Die Sprungstelle verschiebt sich daher von \(x = 1\) zu \(x_g = -1\). 3. Grenzwertbetrachtung für \(g\) an \(x_g = -1\): - Der rechtsseitige Grenzwert von \(g\) entspricht dem linksseitigen Grenzwert von \(f\) bei \(x = 1\): \(\lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{t \to 1^-} f(t) = 0\). - Der linksseitige Grenzwert von \(g\) entspricht dem rechtsseitigen Grenzwert von \(f\) bei \(x = 1\): \(\lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{t \to 1^+} f(t) = 2\). - Der Funktionswert ist \(g(-1) = f(1) = 0\). Da der linksseitige Grenzwert (\(2\)) nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert (\(0\)) übereinstimmt, ist die Funktion \(g\) an der Stelle \(x_g = -1\) unstetig.

a) Die Funktion \(f\) hat einen Sprung bei \(x_f = 1\). b) Die Funktion \(g\) ist bei \(x_g = -1\) unstetig. c) Es gilt \(\lim_{x \to -1^-} g(x) = 2\) und \(\lim_{x \to -1^+} g(x) = 0\); daher ist \(g\) bei \(x_g = -1\) unstetig.

- Verschiebe zuerst die Stelle des sichtbaren Sprungs genauso wie den gesamten Graphen. - Ein ausgefüllter Punkt zeigt den tatsächlichen Funktionswert an der Sprungstelle. - Betrachte für die beiden Annäherungswerte getrennt, welcher Graphast links und welcher rechts an die Sprungstelle heranführt.

1. Der Term \(x-3\) verschiebt den Graphen um \(3\) Einheiten nach rechts. Das \(+1\) verschiebt ihn um \(1\) Einheit nach oben. 2. Der Graph von \(f\) hat bei \(x=1\) einen Sprung. Nach der Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts liegt der Sprung bei \(x_k=4\). 3. Am ursprünglichen Sprung gilt \(f(1)=-5\). Nach der Verschiebung nach oben ist daher \(k(4)=-4\). 4. Von links nähert sich der Graph von \(f\) bei \(x=1\) dem Wert \(-5\); nach der Verschiebung nach oben nähert sich der Graph von \(k\) von links dem Wert \(-4\). 5. Von rechts nähert sich der Graph von \(f\) bei \(x=1\) dem Wert \(-1\); nach der Verschiebung nach oben nähert sich der Graph von \(k\) von rechts dem Wert \(0\).

a) Verschiebung um \(3\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. b) \(x_k=4\) c) \(k(4)=-4\); von links nähert sich der Graph dem Wert \(-4\), von rechts dem Wert \(0\).

- Vergleiche die Positionen markanter Punkte, wie zum Beispiel Maxima oder Minima, in beiden Koordinatensystemen. - Achte darauf, ob sich der Abstand zwischen charakteristischen Punkten in \(x\)- oder \(y\)-Richtung verändert hat. - Überlege, ob der Graph an einer der Achsen gespiegelt wurde, bevor er verschoben wurde. - Prüfe, ob die Funktionswerte in bestimmten Bereichen konstant sind und wie sich diese Konstanten verändert haben.

1. Teilaufgabe a): Der Vergleich markanter Punkte (z. B. das Maximum von \(G_f\) bei \((0 \mid 4)\) und das von \(G_g\) bei \((-4 \mid 3)\)) zeigt eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten. Daraus ergibt sich der Funktionsterm \(g(x) = f(x + 4) - 1\). 2. Teilaufgabe b): Der Graph \(G_h\) hat sein Maximum an derselben \(x\)-Stelle wie \(G_f\), aber bei \(y = 3\) statt \(y = 4\). Zudem liegen die waagerechten Abschnitte bei \(y = 1\) statt \(y = 0\). Dies entspricht einer Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) (da der Abstand vom Maximum zum waagerechten Teil von \(4\) auf \(2\) halbiert wurde) und einer anschließenden Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben. Der Funktionsterm lautet \(h(x) = 0{,}5f(x) + 1\).

a) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten; \(g(x) = f(x + 4) - 1\) b) Stauchung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\) und Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben; \(h(x) = 0{,}5f(x) + 1\)

- Überlege, welche Änderungen am Funktionsterm eine Verschiebung oder Streckung bewirken. - Wann ist ein Bruchterm bei konstantem Zähler maximal? - Erinnere dich an die formale Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich einer beliebigen senkrechten Achse.

1. Durch Vergleich der Funktionsterme erkennt man den Zusammenhang \(f(x) = 3h(x-8)\). Somit entsteht \(G_f\) aus \(G_h\) durch eine Verschiebung um 8 Einheiten in positive \(x\)-Richtung und eine anschließende Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor 3. 2. Der Nenner \((x-8)^2 + 3\) nimmt seinen minimalen Wert bei \(x = 8\) an. Damit ergibt sich der maximale Funktionswert zu \(f(8) = \frac{12}{0 + 3} = 4\). Der Hochpunkt liegt also bei \(H(8\mid4)\). 3. Zum Nachweis der Achsensymmetrie bezüglich \(x = 8\) wird geprüft, ob \(f(8-z) = f(8+z)\) gilt: \(f(8-z) = \frac{12}{((8-z)-8)^2 + 3} = \frac{12}{(-z)^2 + 3} = \frac{12}{z^2 + 3}\) \(f(8+z) = \frac{12}{((8+z)-8)^2 + 3} = \frac{12}{z^2 + 3}\) Da beide Ausdrücke identisch sind, ist der Graph achsensymmetrisch zu \(x = 8\).

1. Verschiebung um 8 Einheiten nach rechts und Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 3. 2. \(H(8\mid4)\). 3. Der Nachweis erfolgt über die Gleichung \(f(8-z) = f(8+z)\), die für alle \(z \in \mathbb{R}\) den Wert \(\frac{12}{z^2+3}\) liefert.

- Vergleiche die Funktionsterme Schritt für Schritt: Was hat sich im Zähler und was im Argument \(x\) verändert? - Erinnere dich daran, welche Symmetrie die Grundfunktion \(h(x)\) besitzt und wie sich diese bei einer Verschiebung mitbewegt. - Überlege zuerst, wie groß der Funktionswert sein muss, wenn er nur noch ein Viertel des Maximums beträgt. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass es zwei Lösungen für \(x\) gibt. Welche passt zur Fragestellung „am Nachmittag“? - Den Dezimalteil der Stunden kannst du durch Multiplikation mit 60 in Minuten umrechnen.

1. Transformation von \(h(x) = \frac{4}{x^2+2}\) zu \(f(x) = \frac{24}{(x-14)^2+2}\): - Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(6\), da \(\frac{24}{4} = 6\). - Verschiebung um \(14\) Einheiten nach rechts. 2. Symmetrie: Der Graph von \(h\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(h(-x) = h(x)\). Durch die Verschiebung um \(14\) Einheiten nach rechts ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 14\). 3. Höchstwert: Der Nenner ist für \(x = 14\) minimal. Dort gilt \(f(14) = \frac{24}{2} = 12\,\text{kW}\). 4. Gesuchter Wert: \(25\,\%\) von \(12\,\text{kW}\) sind \(3\,\text{kW}\). 5. Gleichung lösen: \(3 = \frac{24}{(x-14)^2 + 2} \Rightarrow (x-14)^2 + 2 = 8 \Rightarrow (x-14)^2 = 6\). 6. Lösungen: \(x_1 = 14 - \sqrt{6} \approx 11{,}55\) und \(x_2 = 14 + \sqrt{6} \approx 16{,}45\). 7. Für den Nachmittag ist \(x_2 \approx 16{,}449\) relevant. Der Dezimalanteil entspricht \(0{,}449 \cdot 60\,\text{min} \approx 27\,\text{min}\). Der Schwellenwert wird somit um 16:27 Uhr erreicht.

a) Der Graph \(G_f\) entsteht aus \(G_h\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(6\) und eine Verschiebung um \(14\) Einheiten nach rechts. Daher ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x=14\). b) Um 16:27 Uhr beträgt die Leistung \(3\,\text{kW}\); anschließend liegt sie unter \(3\,\text{kW}\).

- Wo befinden sich die Asymptoten (die Linien, denen sich der Graph annähert) der ursprünglichen Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\)? - Wie verändern sich die Positionen dieser Asymptoten bei den Graphen von \(g\) und \(h\)? - In welchen Quadranten liegen die Kurven normalerweise? Wenn sie getauscht wurden, was bedeutet das für das Vorzeichen? - Suche dir einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf dem Graphen, um einen Streckfaktor zu bestimmen.

1. Analyse von \(g\): Die vertikale Asymptote (Definitionslücke) hat sich von \(x = 0\) nach \(x = -2\) verschoben (Verschiebung um \(2\) nach links). Die horizontale Asymptote hat sich von \(y = 0\) nach \(y = 1\) verschoben (Verschiebung um \(1\) nach oben). Der Funktionsterm ist \(g(x) = \frac{1}{x+2} + 1\). 2. Analyse von \(h\): Die Asymptoten liegen weiterhin bei \(x = 0\) und \(y = 0\). Da der Graph jedoch im zweiten und vierten Quadranten verläuft, liegt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse vor. Der Punkt \((1 \mid -2)\) liegt auf dem Graphen, was auf eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) hindeutet. Der Funktionsterm ist \(h(x) = -\frac{2}{x}\).

\(g\) ist um \(2\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach oben verschoben: \(g(x) = \frac{1}{x+2} + 1\). \(h\) ist an der \(x\)-Achse gespiegelt und mit dem Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung gestreckt: \(h(x) = -\frac{2}{x}\).

- Vergleiche zuerst die Funktionswerte bei \(x=0\). - Achte darauf, welchem \(y\)-Wert sich jeder Graph für sehr kleine \(x\)-Werte nähert. - Prüfe, ob zwei der angegebenen Terme mit einem Potenzgesetz in dieselbe Form gebracht werden können.

1. Graph 1 verläuft durch \((0|2)\) und hat bei \(x=1\) den Wert \(2e\approx5{,}44\). Daher gehört er zu \(y=2e^x\). 2. Graph 2 verläuft ebenfalls durch \((0|2)\), nähert sich für sehr kleine \(x\)-Werte aber der Geraden \(y=1\). Daher gehört er zu \(y=e^x+1\). 3. Graph 3 schneidet die \(y\)-Achse bei \(e\approx2{,}72\) und verläuft durch \((-1|1)\). Daher passt \(y=e^{x+1}\). Wegen \(e^{x+1}=e\cdot e^x\) beschreibt auch \(y=e\cdot e^x\) denselben Graphen. 4. Graph 4 hat den \(y\)-Achsenabschnitt \((0|-1)\) und die waagerechte Asymptote \(y=-2\). Daher gehört er zu \(y=e^x-2\).

Graph 1: \(y=2e^x\) Graph 2: \(y=e^x+1\) Graph 3: \(y=e^{x+1}\) und \(y=e\cdot e^x\) Graph 4: \(y=e^x-2\)

- Überlege zuerst, an welcher Stelle der Graph die \(y\)-Achse schneiden muss. - Was passiert mit dem Term \(2^x\), wenn \(x\) immer kleiner wird (z. B. \(-10\), \(-100\), ...)? - Bestimme die waagerechte Asymptote der Funktion. Auf welcher Seite des Koordinatensystems nähert sich der Graph dieser Linie an? - Prüfe durch Einsetzen eines weiteren Punktes, zum Beispiel \(x = 1\), welcher Graph korrekt ist.

1. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts: Setze \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ein: \(f(0) = 3 - 2^0 = 3 - 1 = 2\). Der Graph muss also die \(y\)-Achse bei \(2\) schneiden. Dies trifft auf die Graphen a) und d) zu. 2. Untersuchung des Grenzverhaltens für \(x \to -\infty\): Für sehr kleine \(x\)-Werte nähert sich \(2^x\) dem Wert \(0\) an. Somit nähert sich \(f(x) = 3 - 2^x\) dem Wert \(3 - 0 = 3\) an. Die Gerade \(y = 3\) ist also die waagerechte Asymptote für \(x \to -\infty\). 3. Vergleich mit den Abbildungen: Graph a) nähert sich für negative \(x\)-Werte der Geraden \(y = 3\) an, während Graph d) dies für positive \(x\)-Werte tut. 4. Ergebnis: Nur Graph a) erfüllt beide Bedingungen.

Graph a) ist die richtige Darstellung.

- Der Startpunkt einer Wurzelfunktion \(y = a\sqrt{x+b}+c\) liegt bei \((-b \mid c)\). Wo liegt dieser Punkt im Koordinatensystem? - Wenn eine Kurve nach unten verläuft, was sagt das über den Faktor vor dem Funktionsterm aus? - Prüfe die Vorzeichen der Koordinaten des markanten Anfangspunkts der Kurve.

1. Identifikation des Startpunkts: Der Graph beginnt im zweiten Quadranten bei dem Punkt \((-2 \mid 3)\). 2. Bestimmung von \(b\): Das Argument der Wurzel ist Null am Startpunkt. Also \(-2 + b = 0 \Rightarrow b = 2\). Damit ist \(b > 0\). 3. Bestimmung von \(c\): Der Funktionswert am Startpunkt ist \(g(-2) = a \cdot 0 + c = 3\). Damit ist \(c = 3\), also \(c > 0\). 4. Bestimmung von \(a\): Da der Graph vom Startpunkt aus nach unten fällt, werden die Funktionswerte kleiner als \(c\). Dies ist nur möglich, wenn der Faktor vor der Wurzel negativ ist. Somit ist \(a < 0\). 5. Ergebnis: Die passende Kombination ist \(a < 0, b > 0, c > 0\) (Option 2).

2) \(a < 0, b > 0, c > 0\)

- Stelle eine Gleichung der Form \(g(x) = kf(x) + d\) auf. - Vergleiche die einzelnen Bestandteile der Funktionsterme (den Bruch und die Konstante), um die Unbekannten zu finden. - Was müsste passieren, damit sich die Polstelle einer Funktion verschiebt? - Ändern Operationen, die „außen“ an der Funktion durchgeführt werden (wie \(kf(x) + d\)), die Eingabewerte \(x\)?

1. Ansatz für die Transformation: \(g(x) = kf(x) + d = k\left( \frac{-1}{x+2} + 5 \right) + d = \frac{-k}{x+2} + 5k + d\). 2. Koeffizientenvergleich mit \(g(x) = \frac{-4}{x+2} + 12\): Aus dem Zähler des Bruchteils folgt \(-k = -4\), also \(k = 4\). 3. Berechnung der Verschiebung \(d\): Aus dem konstanten Glied folgt \(5k + d = 12\). Einsetzen von \(k = 4\) ergibt \(5 \cdot 4 + d = 12 \Rightarrow 20 + d = 12 \Rightarrow d = -8\). 4. Begründung der Asymptote: Die vertikale Asymptote liegt bei der Definitionslücke des Nenners (\(x = -2\)). Da die Transformationen (Streckung und Verschiebung) ausschließlich in \(y\)-Richtung wirken, verändern sie nur die Funktionswerte, nicht aber die \(x\)-Werte der Definitionsmenge oder die Lage vertikaler Linien.

Die Parameter sind \(k = 4\) und \(d = -8\). Die vertikale Asymptote bleibt bei \(x = -2\) unverändert, da Streckungen und Verschiebungen in \(y\)-Richtung die Definitionslücke der Funktion nicht beeinflussen.

- Wenn ein Graph in \(x\)-Richtung „gestreckt“ wird, wie verändert das die Zahl vor dem \(x\)? - Überlege, welche Werte die Sinusfunktion maximal und minimal annehmen kann, und addiere die Verschiebung. - Wie hängen Sinus und Kosinus zusammen? Gibt es eine Verschiebung, die eine Kurve in die andere überführt?

1. Transformation und Wertebereich: Eine Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(k=3\) bedeutet, dass \(x\) durch \(\frac{1}{3}x\) ersetzt wird. Die Verschiebung um \(2\) nach oben addiert \(2\) zum Funktionsterm. Es ergibt sich \(q(x) = \sin\left(\frac{1}{3}x\right) + 2\). Da der Sinus Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annimmt, liegt der Wertebereich von \(q\) zwischen \(-1+2=1\) und \(1+2=3\), also \(W = [1; 3]\). 2. Periodenlänge: Die Periode \(T\) berechnet sich aus dem Faktor \(b = \frac{1}{3}\) vor dem \(x\) durch \(T = \frac{2\pi}{b}\). Hier: \(T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi\). 3. Bestimmung von \(c\): Es gilt die Identität \(\sin(\alpha) = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2})\). Setzt man \(\alpha = \frac{1}{3}x\), erhält man \(\sin\left(\frac{1}{3}x\right) = \cos\left(\frac{1}{3}x - \frac{\pi}{2}\right)\). Ein Vergleich mit dem vorgegebenen Term ergibt \(c = \frac{\pi}{2}\). Dieser Wert liegt im geforderten Intervall \([0; 2\pi]\).

a) \(q(x) = \sin\left(\frac{1}{3}x\right) + 2\); Wertebereich \(W = [1; 3]\) b) Periodenlänge \(T = 6\pi\) c) \(c = \frac{\pi}{2}\)

- Versuche im Nenner die Zahl vor dem \(x\) auszuklammern, um die Form \(b(x+c)\) zu identifizieren. - Der Zähler des Bruchs kann als Streckfaktor \(a\) vor die Funktion geschrieben werden. - Denke daran, dass ein Faktor \(b\) innerhalb der Funktion eine Streckung oder Stauchung in \(x\)-Richtung bewirkt.

1. Ausklammern im Nenner, um die Struktur \(b(x+c)\) zu erhalten: \(g(x) = \frac{3}{2(x + 2)} - 1\) 2. Umformung in die Form \(af(b(x+c)) + d\): \(g(x) = 3\frac{1}{2(x + 2)} - 1 = 3f(2(x + 2)) - 1\) Hierbei ist \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 2\) und \(d = -1\). (Alternativ ist auch \(g(x) = 1{,}5f(x + 2) - 1\) möglich, was zu einer anderen Beschreibung der Streckung führt). 3. Beschreibung der Transformationen (basierend auf \(b=2\)): - Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) (wegen \(b = 2\)). - Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links (wegen \(c = 2\)). - Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\) (wegen \(a = 3\)). - Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten (wegen \(d = -1\)).

Darstellung: \(g(x) = 3f(2(x + 2)) - 1\) Transformationen: Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\), Verschiebung um \(2\) Einheiten nach links, Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(3\), Verschiebung um \(1\) Einheit nach unten.

- Vergleiche den Term in der Klammer der Funktion \(h\) mit der allgemeinen Form einer verschobenen Spiegelung. - Was muss für den Mittelpunkt zwischen einem Punkt und seinem Spiegelbild gelten, wenn an einer Achse gespiegelt wird? - Nutze die Formel für den Mittelpunkt zweier Werte auf der Zahlengeraden. - Welchen konstanten Wert müsste dieser Mittelpunkt annehmen, damit die Spiegelung an der Geraden \(x=a\) erfolgt?

1. Vergleich der Funktionsterme: In \(f(x)\) wurde \(x\) durch den Ausdruck \((6-x)\) ersetzt. Gemäß der Form \(x \mapsto 2a - x\) gilt \(2a = 6\), woraus \(a = 3\) folgt. Die Spiegelachse ist also \(x = 3\). 2. Geometrische Begründung: Sei \(x\) ein beliebiger Punkt und \(x' = 2a - x\) sein Bildpunkt. Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke zwischen \(x\) und \(x'\) auf der \(x\)-Achse berechnet sich durch das arithmetische Mittel: \(M = \frac{x + x'}{2} = \frac{x + (2a - x)}{2} = \frac{2a}{2} = a\). 3. Da der Mittelpunkt für jedes \(x\) genau auf der Geraden \(x = a\) liegt und der Abstand \(|x - a|\) gleich dem Abstand \(|x' - a|\) ist, handelt es sich um eine Achsenspiegelung an \(x = a\).

Der Wert ist \(a = 3\). Die Begründung erfolgt über den Mittelpunkt der \(x\)-Werte: \(\frac{x + (2a - x)}{2} = a\). Da der Mittelpunkt zwischen jedem Punkt und seinem Bildpunkt stets auf der Geraden \(x = a\) liegt, ist dies die Spiegelachse.

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung, wenn ein Graph um \(c\) in \(x\)-Richtung und um \(d\) in \(y\)-Richtung verschoben wird? - Setze den Term von \(f(x)\) in diesen allgemeinen Ansatz ein. - Verwende die binomischen Formeln (oder das pascalsche Dreieck), um den verschobenen Term auszumultiplizieren. - Vergleiche die Koeffizienten vor den \(x^2\)- und \(x\)-Gliedern sowie die konstanten Zahlen, um die Unbekannten zu berechnen.

1. Ansatz für die Transformation: Eine Verschiebung um \(c\) in \(x\)-Richtung und \(d\) in \(y\)-Richtung entspricht der Formel \(g(x) = f(x - c) + d\). 2. Einsetzen von \(f(x)\): \(g(x) = (x - c)^3 - 3(x - c) + d\). 3. Ausmultiplizieren des Terms: \(g(x) = (x^3 - 3cx^2 + 3c^2x - c^3) - 3x + 3c + d = x^3 - 3cx^2 + (3c^2 - 3)x + (-c^3 + 3c + d)\). 4. Koeffizientenvergleich mit \(g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 15\): - Quadrate: \(-3c = -9 \Rightarrow c = 3\). - Lineares Glied (Probe): \(3(3)^2 - 3 = 27 - 3 = 24\) (korrekt). - Konstantes Glied: \(-c^3 + 3c + d = -15 \Rightarrow -(3)^3 + 3(3) + d = -15 \Rightarrow -27 + 9 + d = -15 \Rightarrow -18 + d = -15 \Rightarrow d = 3\).

\(c = 3\) und \(d = 3\).

- Wende die Transformationen nacheinander auf den Funktionsterm an und vereinfache das Endergebnis. - Beachte, dass eine Stauchung in \(y\)-Richtung nach einer \(y\)-Verschiebung auch den Wert dieser Verschiebung mitskaliert. - Überlege, ob die Verschiebung in \(x\)-Richtung die anderen Transformationen in \(y\)-Richtung beeinflusst.

1. Überprüfung Kette 1: \(x^2 \xrightarrow{\text{links } 3} (x+3)^2 \xrightarrow{\text{unten } 8} (x+3)^2 - 8 \xrightarrow{\text{Stauchung } 0{,}5} 0{,}5((x+3)^2 - 8) = 0{,}5(x+3)^2 - 4\). Diese Kette ist korrekt. 2. Überprüfung Kette 2: \(x^2 \xrightarrow{\text{links } 3} (x+3)^2 \xrightarrow{\text{Stauchung } 0{,}5} 0{,}5(x+3)^2 \xrightarrow{\text{unten } 8} 0{,}5(x+3)^2 - 8\). Diese Kette ist falsch, da der konstante Term \(-8\) statt \(-4\) lautet. 3. Überprüfung Kette 3: \(x^2 \xrightarrow{\text{Stauchung } 0{,}5} 0{,}5x^2 \xrightarrow{\text{links } 3} 0{,}5(x+3)^2 \xrightarrow{\text{unten } 4} 0{,}5(x+3)^2 - 4\). Diese Kette ist ebenfalls korrekt.

Die Ketten 1 und 3 sind korrekt. Kette 2 ist falsch, da sie zur Funktionsgleichung \(y = 0{,}5(x+3)^2 - 8\) führt.

- Denk daran, dass eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) bedeutet, dass \(x\) durch \(2x\) ersetzt wird. - Wenn du eine Verschiebung nach einer Stauchung ausführst, musst du das \(x\) in der bereits veränderten Form durch \((x - d)\) ersetzen. - Klammern sind besonders wichtig, wenn eine Verschiebung auf ein bereits skaliertes \(x\) trifft. - Probiere aus, was passiert, wenn du \(h(x)\) zuerst umformst, indem du den Faktor \(2\) unter der Wurzel ausklammerst.

1. Analyse von Weg A: Eine Verschiebung um \(8\) nach rechts ersetzt \(x\) durch \((x-8)\), woraus \(f_1(x) = \sqrt{x-8}\) folgt. Eine anschließende Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\) bedeutet, dass \(x\) im Term durch \(\frac{1}{0{,}5}x = 2x\) ersetzt wird. Es ergibt sich \(h_A(x) = \sqrt{2x - 8}\). 2. Analyse von Weg B: Eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(0{,}5\) führt zunächst zu \(f_2(x) = \sqrt{2x}\). Eine anschließende Verschiebung um \(8\) nach rechts ersetzt jedes \(x\) im aktuellen Term durch \((x-8)\). Es ergibt sich \(h_B(x) = \sqrt{2(x-8)} = \sqrt{2x - 16}\). 3. Vergleich: Weg A führt exakt zur Funktionsgleichung \(h(x) = \sqrt{2x - 8}\), während Weg B ein anderes Ergebnis liefert.

Nur Weg A führt zum Ziel. Bei Weg A ergibt sich \(h_A(x) = \sqrt{2x - 8}\). Weg B führt hingegen zu \(h_B(x) = \sqrt{2(x-8)} = \sqrt{2x - 16}\).

- Wie verändert sich die Symmetrieachse, wenn der gesamte Graph nach links oder rechts verschoben wird? - Denke daran, dass eine Multiplikation innerhalb des Arguments (bei \(x\)) die Breite des Graphen beeinflusst. - Wann ist ein Produkt aus einer Zahl \(c\) und einem Funktionswert \(f(x)\) gleich Null? - Überlege, ob eine Multiplikation der Funktionswerte mit einem Faktor \(c \neq 0\) Punkte auf der \(x\)-Achse bewegt.

1. Die Funktion \(p(x) = f(x - 2)\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(f\) um 2 Einheiten nach rechts. Die Symmetrieachse verschiebt sich ebenfalls von \(x = 0\) zu \(x = 2\). Die Nullstellen verschieben sich entsprechend: \(-4 + 2 = -2\) und \(4 + 2 = 6\). 2. Die Funktion \(q(x) = f(0{,}5x)\) bewirkt eine Streckung des Graphen in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}5} = 2\). Die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bleibt erhalten, da \(q(-x) = f(0{,}5 \cdot (-x)) = f(-0{,}5x) = f(0{,}5x) = q(x)\). Die Nullstellen verdoppeln ihren Abstand zum Ursprung: \(-4 \cdot 2 = -8\) und \(4 \cdot 2 = 8\). 3. Eine Multiplikation aller Funktionswerte mit einem Faktor \(c \neq 0\) wird durch \(g(x) = c \cdot f(x)\) beschrieben. Die Nullstellen von \(g\) sind die Lösungen von \(c \cdot f(x) = 0\). Da \(c \neq 0\) vorausgesetzt ist, ist diese Gleichung äquivalent zu \(f(x) = 0\). Folglich bleiben die Nullstellen in ihrer Lage unverändert.

a) Achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 2\); Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 6\). b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; Nullstellen bei \(x = -8\) und \(x = 8\). c) Die Lage der Nullstellen bleibt unverändert, da \(c \cdot f(x) = 0\) für \(c \neq 0\) genau dann gilt, wenn \(f(x) = 0\) gilt.

- Nutze einen bekannten Punkt aus der Tabelle und den Funktionsterm von \(p\), um den unbekannten Faktor zu berechnen. - Erinnere dich daran, wie das Vorzeichen und der Betrag eines Faktors vor einer Funktion deren Aussehen verändern. - Wie findet man die Stellen, an denen ein Produkt null wird? - Überlege dir grafisch: Wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt, welchen \(y\)-Wert hat er dann? Was passiert mit diesem Wert bei einer Multiplikation?

1. Berechnung von \(p(-1)\) zur Bestimmung von \(k\): \(p(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - (-1)^2 = \frac{1}{4} - 1 = -0{,}75\). 2. Aufstellen der Gleichung für \(k\): \(q(-1) = k \cdot p(-1) \Rightarrow 1{,}5 = k \cdot (-0{,}75)\). Daraus folgt \(k = \frac{1{,}5}{-0{,}75} = -2\). 3. Geometrische Beschreibung: Der Graph von \(q\) geht aus \(p\) durch eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und eine Spiegelung an der \(x\)-Achse hervor. 4. Nullstellen von \(p\): \(\frac{1}{4}x^4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(\frac{1}{4}x^2 - 1) = 0\). Dies liefert \(x_1 = 0\) (doppelt) sowie \(\frac{1}{4}x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 2\). Die Nullstellen sind \(x=-2\), \(x=0\) (doppelt) und \(x=2\). 5. Vergleich und Eigenschaft: Die Nullstellen von \(q\) sind identisch mit denen von \(p\), da \(k \cdot p(x) = 0\) genau dann erfüllt ist, wenn \(p(x) = 0\) (für \(k \neq 0\)). Eine Streckung in \(y\)-Richtung ändert die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse nicht.

a) \(k=-2\) b) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(2\) und Spiegelung an der \(x\)-Achse. c) Die Nullstellen von \(p\) und \(q\) sind \(x=-2\), \(x=0\) (doppelt) und \(x=2\). Bei \(g(x)=k\cdot f(x)\) mit \(k\ne0\) bleiben die Nullstellen einschließlich ihrer Vielfachheiten unverändert.

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass der Koeffizient vor dem \(x\) innerhalb der Potenz ausgeklammert wird? - Erinnere dich daran, wie ein Faktor vor dem \(x\) (innerhalb des Funktionsarguments) den Graphen horizontal beeinflusst. - Welche Zahl muss für \(x\) eingesetzt werden, damit der Ausdruck in der Klammer Null ergibt? Dies hilft dir, die Verschiebung zu finden.

1. \(h\) ist eine ganzrationale Funktion, da der Term \((0{,}2x - 4)^3\) ein Produkt aus drei linearen Faktoren (Polynome ersten Grades) ist. Das Ergebnis der Multiplikation ist ein Polynom dritten Grades. 2. Um die horizontalen Transformationen direkt abzulesen, wird \(0{,}2\) in der Klammer ausgeklammert: \(h(x) = (0{,}2(x - 20))^3\). 3. Erste Transformation: Streckung des Graphen von \(f(x) = x^3\) in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{0{,}2} = 5\). 4. Zweite Transformation: Verschiebung des resultierenden Graphen um \(20\) Einheiten nach rechts (in positive \(x\)-Richtung). 5. Alternativer Weg: Zuerst Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts, gefolgt von einer Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(5\).

Ja, \(h\) ist eine ganzrationale Funktion (Grad 3). Mögliche Transformationsfolge: 1. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(5\). 2. Verschiebung um \(20\) Einheiten nach rechts.

- Achte auf die Öffnungsrichtung des Graphen im Vergleich zum Original. - Wo kreuzen sich die Asymptoten des neuen Graphen? - Wähle einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf dem roten Graphen, um zu prüfen, ob der Graph gestreckt oder gestaucht wurde.

1. Spiegelung und Streckung: Die Kurve öffnet sich nach unten, also ist sie an der \(x\)-Achse gespiegelt. Ein Punkt auf \(g\) ist \((1 \mid 1)\). Der Abstand zur waagerechten Asymptote (\(y=3\)) beträgt dort 2 Einheiten bei einem horizontalen Abstand von 1 zur Polstelle (\(x=2\)). Da \(f(1)=1\), muss hier ein Streckfaktor von 2 vorliegen. 2. Asymptoten/Verschiebung: Die senkrechte Asymptote ist bei \(x = 2\), die waagerechte bei \(y = 3\). Das entspricht Verschiebungen um 2 nach rechts und 3 nach oben. 3. Term zusammensetzen: \(g(x) = -\frac{2}{(x - 2)^2} + 3\).

Der Graph \(g\) entsteht durch Spiegelung an der \(x\)-Achse, Streckung mit dem Faktor 2 in \(y\)-Richtung, Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = -\frac{2}{(x - 2)^2} + 3\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Streckung in \(y\)-Richtung? - Nutze einen Punkt des roten Graphen, um \(a\) in \(h(x)=ax^3\) zu bestimmen. - Schreibe den Faktor vor \(x^3\) als dritte Potenz innerhalb der Klammer. - Bei \(f(cx)\) ist der horizontale Skalierungsfaktor \(\frac1{|c|}\).

1. Der rote Graph verläuft durch \((1\mid8)\). Für \(h(x)=ax^3\) folgt \(8=a\cdot1^3\), also \(h(x)=8x^3\). 2. Als vertikale Skalierung gilt \(h(x)=8f(x)\). Dies ist eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(8\). 3. Außerdem ist \(h(x)=f(2x)=(2x)^3=8x^3\). Das Ersetzen von \(x\) durch \(2x\) bewirkt eine Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac12\).

Die Funktionsgleichung lautet \(h(x)=8x^3\); dies entspricht einer Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(8\), also \(h(x)=8f(x)\), und zugleich einer Stauchung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\), also \(h(x)=f(2x)\).