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- Der y-Wert des dargestellten Graphen ist direkt ein Ableitungswert von \(f\). - Was bedeutet ein negativer Ableitungswert für die lokale Steigung des ursprünglichen Graphen?

1. Am Graphen liest man \(g(0)=-1\) ab. Da \(g=f'\) gilt, ist \(f'(0)=-1\). 2. Der Ableitungswert ist negativ. Daher fällt der Graph von \(f\) an der Stelle \(x=0\).

\(f'(0)=-1\). Der Graph von \(f\) fällt bei \(x=0\).

- Überlege zuerst, welcher Graph Funktionswerte und welcher Steigungen liefert. - Die Steigung von \(f\) an einer Stelle ist der zugehörige Funktionswert von \(f'\). - Bei c) suchst du einen \(x\)-Wert zu dem Funktionswert \(1\). - Bei d) suchst du Stellen, an denen die Ableitungsfunktion den Wert \(3\) hat.

1. Am Graphen von \(f\) liest man bei \(x = 2\) den Wert \(f(2) = -1\) ab. 2. Die Steigung bei \(x = -1\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion. Am Graphen von \(f'\) liest man \(f'(-1) = -1{,}5\) ab. 3. Der Graph von \(f\) schneidet bei \((0 \mid 1)\) die \(y\)-Achse. Daher ist \(a = 0\) eine mögliche Stelle mit \(f(a) = 1\). 4. Die Steigung \(3\) liegt an den Stellen vor, an denen \(f'(b) = 3\) gilt. Am Ableitungsgraphen liest man \(b_1 = -2\) und \(b_2 = 2\) ab.

a) \(f(2) = -1\). b) Die Steigung beträgt \(-1{,}5\). c) Eine mögliche Stelle ist \(a = 0\). d) \(b_1 = -2\) und \(b_2 = 2\).

- Waagerechte Tangenten liegen an Nullstellen der Ableitung. - Die Richtung des Vorzeichenwechsels entscheidet zwischen Hoch- und Tiefpunkt. - Das Vorzeichen der Ableitung bestimmt, ob \(f\) steigt oder fällt.

1. Eine waagerechte Tangente liegt an den Nullstellen der Ableitung vor. Aus dem Graphen liest man \(x = -3\), \(x = 0\) und \(x = 3\) ab. 2. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher wechselt \(f\) von Steigen zu Fallen und besitzt dort einen lokalen Hochpunkt. 3. Im Intervall \([0; 3]\) gilt \(f'(x) \le 0\), im Inneren sogar \(f'(x) < 0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend.

a) Waagerechte Tangenten liegen bei \(x = -3\), \(x = 0\) und \(x = 3\) vor. b) Bei \(x = 0\) hat \(f\) einen Hochpunkt, da \(f'\) von Plus nach Minus wechselt. c) Auf \([0; 3]\) ist \(f\) streng monoton fallend, da \(f'(x) \le 0\) und im Inneren negativ ist.

- An Stellen mit waagerechter Tangente hat die Ableitung den Wert \(0\). - Vergleiche die Vorzeichen der beiden Kandidaten dort, wo \(f_1\) steigt oder fällt. - Für die Monotonieintervalle von \(f_1\) benötigst du die Nullstellen und Vorzeichen der zugeordneten Ableitung.

1. Der Graph von \(f_1\) besitzt bei \(x\approx-1{,}83\) und \(x\approx1{,}83\) waagerechte Tangenten. Daher muss die zugehörige Ableitung dort Nullstellen haben. 2. Zwischen diesen Stellen fällt \(f_1\). Die zugehörige Ableitung muss dort negativ sein. Dies trifft auf \(g\) zu, während \(h\) dort positiv ist. Folglich gehört \(g\) zu \(f_1\) und \(h\) zu \(f_2\). 3. Im dargestellten Bereich ist \(f_1\) auf \([-3{,}5;-1{,}83]\) und \([1{,}83;3{,}5]\) streng monoton wachsend und auf \([-1{,}83;1{,}83]\) streng monoton fallend.

a) \(f_1\rightarrow g\) und \(f_2\rightarrow h\). b) \(f_1\) ist auf \([-3{,}5;-1{,}83]\) und \([1{,}83;3{,}5]\) streng monoton wachsend sowie auf \([-1{,}83;1{,}83]\) streng monoton fallend.

- Vergleiche zunächst Stellen mit waagerechter Tangente mit den Nullstellen der Kandidaten. - Prüfe anschließend, ob die Vorzeichen der Kandidaten zu den steigenden und fallenden Abschnitten passen. - Nutze beide Kriterien, um die Zuordnung eindeutig zu machen.

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=-1\) und \(x=3\) waagerechte Tangenten. Der Graph \(p\) hat genau dort Nullstellen. Zwischen diesen Stellen fällt \(f\), und \(p\) ist dort negativ; außerhalb steigt \(f\), und \(p\) ist positiv. Daher gehört \(p\) zu \(f\). 2. Der Graph von \(g\) besitzt bei \(x=2\) eine waagerechte Tangente. Der Graph \(q\) hat dort seine Nullstelle. Für \(x<2\) steigt \(g\), und \(q\) ist positiv; für \(x>2\) fällt \(g\), und \(q\) ist negativ. Daher gehört \(q\) zu \(g\).

a) \(f\rightarrow p\) und \(g\rightarrow q\). b) Die Nullstellen und Vorzeichen der zugeordneten Ableitungsgraphen passen zu den waagerechten Tangenten sowie zum Steig- und Fallverhalten von \(f\) und \(g\).

- Erinnere dich daran, welche Bedeutung die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle für die Tangente des Graphen hat. - Wo kannst du den Wert der Ableitungsfunktion direkt aus der Zeichnung ablesen? - Was bedeutet es grafisch, wenn der Funktionswert einer Funktion mit dem Wert ihrer Ableitung übereinstimmt? - Suche nach den Punkten, an denen sich die beiden Graphen schneiden.

1. **Teilaufgabe a):** Die Steigung der Tangente an den Graphen \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle, also \(f'(0)\). Aus dem Graphen \(G_{f'}\) (oder durch Einsetzen in \(f'(x)\)) liest man für \(x = 0\) den Wert \(-1\) ab. Die richtige Antwort ist somit \(-1\). 2. **Teilaufgabe b):** Die Übereinstimmung von Funktionswert und Ableitungswert bedeutet \(f(x) = f'(x)\). Dies entspricht den Schnittpunkten der beiden Graphen \(G_f\) und \(G_{f'}\). In der Abbildung sind zwei Schnittpunkte erkennbar: - Der erste Schnittpunkt liegt bei \((1 \mid 0)\), also an der Stelle \(x = 1\). - Der zweite Schnittpunkt liegt bei \((3 \mid 2)\), also an der Stelle \(x = 3\). Die gesuchten Stellen sind somit \(x = 1\) und \(x = 3\).

a) \(-1\) b) \(x = 1\) und \(x = 3\)

- Welche Eigenschaft muss die Ableitungsfunktion an einer Stelle haben, an der die ursprüngliche Funktion einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt? - Betrachte den Scheitelpunkt der blauen Kurve. Welchen Wert müsste die grüne Kurve an dieser x-Stelle haben, wenn sie die Ableitung wäre? - Vergleiche den x-Wert des Extrempunkts von \(f\) mit dem x-Wert der Nullstelle von \(g\).

1. Identifikation der Extremstellen von \(f\): Der Graph der Funktion \(f\) (Parabel) hat seinen tiefsten Punkt (Tiefpunkt) an der Stelle \(x = 0\). 2. Zusammenhang zur Ableitungsfunktion: Wenn \(g\) die Ableitungsfunktion von \(f\) wäre (\(g = f'\)), müsste \(g\) an jeder Extremstelle von \(f\) eine Nullstelle besitzen. Es müsste also gelten: \(g(0) = 0\). 3. Überprüfung am Graphen von \(g\): Der Graph der Funktion \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 1\), es gilt also \(g(0) = 1\). 4. Schlussfolgerung: Da \(g(0) \neq 0\) ist, kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein.

Die Funktion \(f\) hat bei \(x = 0\) eine Extremstelle (Tiefpunkt). Wäre \(g\) die Ableitungsfunktion von \(f\), müsste \(g\) an dieser Stelle eine Nullstelle haben (\(g(0) = 0\)). Aus dem Graphen ist jedoch ersichtlich, dass \(g(0) = 1\) gilt. Daher kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein.

- Beschreibe zunächst, ob der Graph von \(g\) rechts von der y-Achse steigt oder fällt. - Welches Vorzeichen müsste die Ableitung von \(g\) dort besitzen? - Vergleiche dieses Vorzeichen mit den Werten des Graphen von \(f\).

1. Für \(x>0\) fällt der Graph von \(g\). 2. Wäre \(f=g'\), müsste deshalb für \(x>0\) gelten \(f(x)<0\). 3. Der Graph von \(f\) liegt in diesem Bereich jedoch oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f(x)>0\). 4. Daher kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein.

Für \(x>0\) fällt \(g\), daher müsste eine Ableitung \(g'\) dort negativ sein. Der dargestellte Graph von \(f\) ist dort positiv. Somit gilt \(f\ne g'\).

- Überlege dir, welche Steigung ein Graph an einem Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit dem Verlauf der ursprünglichen Funktion zusammen? - Wenn du einen Wert wie \(f'(x)\) bestimmen sollst, musst du im Graphen der Ableitungsfunktion nachsehen.

1. Identifikation: Der Graph von \(q\) hat Nullstellen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). An genau diesen Stellen besitzt der Graph von \(p\) einen lokalen Hochpunkt bzw. einen lokalen Tiefpunkt (waagerechte Tangenten). Da die Ableitung an Extremstellen den Wert Null annehmen muss, ist \(q\) die Ableitungsfunktion von \(p\), also \(q = p'\). 2. Ablesen der Werte: - Für \(p(2)\) sucht man die Stelle \(x = 2\) auf der horizontalen Achse und liest den zugehörigen \(y\)-Wert des blauen Graphen ab: \(p(2) \approx -0{,}4\). - Da \(q = p'\) gilt, entspricht \(p'(2)\) dem Funktionswert von \(q\) an der Stelle \(x = 2\). Man liest am grünen Graphen ab: \(p'(2) = q(2) \approx -1{,}8\).

a) \(q\) ist die Ableitungsfunktion von \(p\), da die Nullstellen von \(q\) bei \(x = -1\) und \(x = 3\) mit den Extremstellen von \(p\) übereinstimmen. b) Aus der Abbildung liest man ab: \(p(2) \approx -0{,}4\) und \(p'(2) = q(2) \approx -1{,}8\).

- Wo liegen die Hoch- oder Tiefpunkte der einen Funktion? Schau nach, was die andere Funktion an diesen Stellen macht. - Achte darauf, in welchen Bereichen eine Kurve steigt oder fällt. Welches Vorzeichen müssen die Werte der Ableitungsfunktion dort haben? - Überlege dir, welchen Grad die Funktionen jeweils haben könnten (z. B. Parabel vs. Gerade).

1. Analyse der Extrema: Der blaue Graph hat bei \(x = 0\) ein lokales Maximum. An dieser Stelle hat der grüne Graph eine Nullstelle. Dies passt zur notwendigen Bedingung für Extrema (\(f'(x) = 0\)). 2. Analyse des Monotonieverhaltens: Für \(x > 0\) fällt der blaue Graph (negative Steigung). In diesem Bereich verläuft der grüne Graph unterhalb der \(x\)-Achse (negative Werte). Auch dies bestätigt den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung. 3. Ergebnis: Der blaue Graph gehört zu \(f\) und der grüne Graph zu \(f'\).

Der blaue Graph stellt die Funktion \(f\) dar, der grüne Graph die Ableitung \(f'\). Begründung: Das Maximum von \(f\) bei \(x = 0\) entspricht der Nullstelle von \(f'\). Zudem ist \(f\) für \(x > 0\) streng monoton fallend, was zu den negativen Werten von \(f'\) in diesem Bereich passt.

- Suche bei jedem Funktionsgraphen zunächst Stellen mit waagerechter Tangente. - Vergleiche danach das Steig- und Fallverhalten mit den Vorzeichen der möglichen Ableitungsgraphen. - Bei Graph C ist besonders wichtig, dass die Steigung auf beiden Seiten des Ursprungs dasselbe Vorzeichen hat.

1. Graph A ist eine nach oben geöffnete Parabel mit waagerechter Tangente im Ursprung. Links davon fällt A, rechts davon steigt A. Die Ableitung muss deshalb eine steigende Gerade durch den Ursprung sein. A gehört zu (3). 2. Graph B ist eine nach unten geöffnete Parabel mit waagerechter Tangente bei \(x=0\). Links davon steigt B, rechts davon fällt B. Die Ableitung muss deshalb eine fallende Gerade durch den Ursprung sein. B gehört zu (2). 3. Graph C steigt auf beiden Seiten des Ursprungs und hat dort eine waagerechte Tangente. Die Ableitung ist daher auf beiden Seiten positiv und bei \(x=0\) null. Das trifft auf die nach oben geöffnete Parabel (1) zu.

A \(\rightarrow\) (3), B \(\rightarrow\) (2), C \(\rightarrow\) (1).

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente mit den Nullstellen der Kandidaten. - Wo \(f_1\) fällt, muss seine Ableitung negativ sein. - Nutze die Form des zweiten Funktionsgraphen als zusätzliche Kontrolle für die verbleibende Zuordnung.

1. Zu \(f_1\) gehört \(g_1\), zu \(f_2\) gehört \(g_2\). 2. Der Graph von \(f_1\) besitzt bei \(x=-2\) und \(x=2\) waagerechte Tangenten. Genau dort hat \(g_1\) Nullstellen. Zwischen diesen Stellen fällt \(f_1\), und \(g_1\) ist dort negativ. Außerhalb steigt \(f_1\), und \(g_1\) ist positiv. 3. Der Graph von \(f_1\) fällt auf \([-2;2]\).

1. \(f_1\rightarrow g_1\); \(f_2\rightarrow g_2\). 2. Die Nullstellen und Vorzeichen von \(g_1\) passen zu den waagerechten Tangenten sowie zum Steig- und Fallverhalten von \(f_1\). 3. \([-2;2]\).

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente mit Nullstellen des anderen Graphen. - Prüfe das Vorzeichen des möglichen Ableitungsgraphen dort, wo der andere steigt oder fällt. - Beide Merkmale zusammen machen die Zuordnung eindeutig.

1. Der Graph \(k\) besitzt bei \(x=-1\) und \(x=3\) waagerechte Tangenten. Der Graph \(m\) hat genau an diesen Stellen Nullstellen. 2. Zwischen \(x=-1\) und \(x=3\) fällt \(k\), während \(m\) dort negative Werte besitzt. Außerhalb steigt \(k\), während \(m\) positive Werte annimmt. 3. Daher ist \(k\) der Graph von \(f\) und \(m\) der Graph von \(f'\).

\(k=f\) und \(m=f'\).

- Bestimme zuerst beide Ableitungsfunktionen rechnerisch. - Vergleiche Funktionstyp, Achsenschnittpunkte und Nullstellen mit den vier Kandidaten. - Nutze die Symmetrie des kubischen Ableitungsgraphen als zusätzliche Kontrolle.

1. Es gilt \(f'(x)=2x-3\) und \(g'(x)=x^3-2x\). 2. \(f'\) ist eine Gerade mit Steigung \(2\), y-Achsenabschnitt \(-3\) und Nullstelle bei \(x=1{,}5\). Das ist Graph (1). 3. \(g'\) ist eine punktsymmetrische kubische Funktion mit Nullstellen bei \(x=-\sqrt2\), \(x=0\) und \(x=\sqrt2\). Das ist Graph (2).

\(f'(x)=2x-3\) gehört zu Graph (1). \(g'(x)=x^3-2x\) gehört zu Graph (2).

- Stellen mit waagerechter Tangente müssen Nullstellen der Ableitung sein. - Wo ein Funktionsgraph fällt, muss seine Ableitung negativ sein. - Nutze beide Merkmale, um die Zuordnung zu prüfen.

1. Graph (1) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit waagerechter Tangente bei \(x=2\). Ableitungsgraph B hat dort eine Nullstelle und wechselt von positiven zu negativen Werten. Daher gehört (1) zu B. 2. Graph (2) ist kubisch und besitzt bei \(x=-2\) und \(x=2\) waagerechte Tangenten. Ableitungsgraph A hat dort Nullstellen und ist dazwischen negativ, passend zum fallenden Abschnitt von (2). Daher gehört (2) zu A.

a) (1) gehört zu B; (2) gehört zu A. b) Die Nullstellen und Vorzeichen der Ableitungsgraphen passen zu den waagerechten Tangenten sowie zum Steig- und Fallverhalten der Funktionsgraphen.

- Vergleiche zunächst den Grad, den eine Ableitung von \(f\) haben muss, mit der Form des dargestellten Graphen. - Überlege, wie sich die Symmetrie einer geraden Funktion beim Ableiten verändert. - Suche eine einzelne x-Stelle, an der sich der berechnete Ableitungswert und der dargestellte Funktionswert direkt vergleichen lassen.

1. Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x)=4x^3-4x\). 2. Grad: Die Ableitung einer Funktion 4. Grades ist eine Funktion 3. Grades. Der dargestellte Graph von \(g\) ist dagegen eine Parabel, also vom Grad 2. 3. Symmetrie: \(f\) ist gerade. Daher ist \(f'\) ungerade und ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Graph von \(g\) ist dagegen achsensymmetrisch zur y-Achse. 4. Funktionswert: Es gilt \(f'(0)=0\), während der dargestellte Graph \(g(0)=-2\) zeigt. Schon dieser unterschiedliche Wert schließt \(g=f'\) aus.

Der Graph von \(g\) kann nicht der Graph von \(f'\) sein, weil 1. \(f'\) vom Grad 3 sein muss, \(g\) aber vom Grad 2 ist, 2. \(f'\) als Ableitung der geraden Funktion \(f\) ungerade sein muss, \(g\) aber gerade ist, 3. \(f'(0)=0\) gilt, der Graph von \(g\) dort aber den Wert \(-2\) hat.

- Überlege dir, was eine Nullstelle der Ableitungsfunktion für den Verlauf der ursprünglichen Funktion bedeutet. - Wie hängen die Krümmung und die Extremstellen der Ableitungsfunktion mit den Wendepunkten zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Monotonie der Funktion. - Schau dir genau an, in welchem Bereich der Graph der Ableitung über oder unter der \(x\)-Achse liegt.

1. Extremstellen von \(f\) finden: Die Extremstellen von \(f\) entsprechen den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\) ab. 2. Art der Extrema bestimmen: Bei \(x = -4\) wechselt \(f'\) von negativen zu positiven Werten, was auf ein lokales Minimum (Tiefpunkt) von \(f\) hinweist. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von positiven zu negativen Werten, was ein lokales Maximum (Hochpunkt) bedeutet. 3. Wendestelle von \(f\) bestimmen: Die Wendestellen von \(f\) entsprechen den Extremstellen von \(f'\). Der Graph von \(f'\) (eine nach unten geöffnete Parabel) hat seinen Scheitelpunkt bei \(x = -1\). Somit liegt bei \(x = -1\) eine Wendestelle von \(f\) vor. 4. Vergleich der Funktionswerte: Im Intervall \([-1; 0]\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) > 0\). Damit ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton steigend. Da \(0 > -1\) ist, folgt daraus \(f(0) > f(-1)\).

a) Lokales Minimum bei \(x = -4\); lokales Maximum bei \(x = 2\). b) Die Wendestelle von \(f\) liegt bei \(x = -1\). c) Da \(f'(x)\) im Intervall \([-1; 0]\) positiv ist, steigt die Funktion \(f\) dort streng monoton an. Daher muss der Funktionswert an der Stelle \(0\) größer sein als an der Stelle \(-1\).

- Überlege dir, welche Bedeutung die Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen für den Graphen der Ableitung haben. - Achte auf die Bereiche, in denen der Graph der Funktion steigt oder fällt. Was lässt sich daraus für das Vorzeichen der Ableitung schließen? - Betrachte die Nullstellen der Ableitungsfunktion. Welchen besonderen Stellen im Funktionsgraphen entsprechen sie? - Überprüfe, ob eine positive Steigung der Funktion einem positiven Funktionswert der Ableitung entspricht.

1. Analyse von Funktion \(f\): Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \(x = 0\) und zwei Tiefpunkte bei \(x \approx \pm 2{,}2\). Die zugehörige Ableitungsfunktion muss daher an diesen Stellen Nullstellen aufweisen. 2. Vergleich mit den Ableitungsgraphen: Graph \(h_2\) hat Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}2\). Da \(f\) für \(x < -2{,}2\) fallend ist, muss die Ableitung dort negativ sein, was auf \(h_2\) zutrifft. Somit gilt: \(f \rightarrow h_2\). 3. Analyse von Funktion \(g\): Der Graph von \(g\) besitzt einen Tiefpunkt bei \(x = 0\) und zwei Hochpunkte bei \(x \approx \pm 2{,}8\). Die Ableitung muss also bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}8\) Nullstellen haben. 4. Vergleich mit den Ableitungsgraphen: Graph \(h_1\) besitzt genau diese Nullstellen. Da \(g\) im Intervall \(-2{,}8 < x < 0\) steigend ist, muss die Ableitung dort positiv sein. Dies ist bei \(h_1\) der Fall. Somit gilt: \(g \rightarrow h_1\).

\(f \rightarrow h_2\), \(g \rightarrow h_1\).

- Welcher der beiden Graphen liefert direkt die Tangentensteigung von \(f\)? - Lies für Teil a die y-Werte dieses Graphen an den beiden vorgegebenen x-Stellen ab. - Für Teil b suchst du eine Stelle, an der beide dargestellten Graphen denselben y-Wert haben.

1. Die Tangentensteigung von \(f\) an einer Stelle \(x\) entspricht dem Wert des Ableitungsgraphen \(g\) an dieser Stelle. 2. Aus dem Graphen von \(g\) liest man \(g(1)=0{,}5\) und \(g(4)=0{,}25\) ab. Daher betragen die Tangentensteigungen \(0{,}5\) beziehungsweise \(0{,}25\). 3. Die Bedingung \(f(x)=f'(x)\) bedeutet hier \(f(x)=g(x)\). Der Schnittpunkt der beiden dargestellten Graphen liegt bei \(x=0{,}5\).

a) Bei \(x=1\): \(0{,}5\); bei \(x=4\): \(0{,}25\). b) \(x=0{,}5\).

- Überlege dir, welchen Grad die Ableitungsfunktion einer quadratischen Funktion hat. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Extrempunkten der Originalfunktion zusammen? - Wo kannst du den Wert der Steigung direkt ablesen? - Suche nach einem Punkt, an dem sich die Graphen schneiden.

1. Identifikation: Der Graph \(k\) gehört zur Funktion \(g\) (Parabel) und der Graph \(m\) zur Ableitungsfunktion \(g'\) (Gerade). Begründung: Die Ableitungsfunktion einer quadratischen Funktion ist linear. Alternativ: Da \(g\) bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt mit waagerechter Tangente hat, muss \(g'\) dort eine Nullstelle besitzen, was auf Graph \(m\) zutrifft. 2. Steigung bei \(x = 3\): Die Steigung von \(g\) entspricht dem y-Wert von \(g'\) an dieser Stelle. Am Graphen \(m\) liest man bei \(x = 3\) den Wert \(y = 1{,}5\) ab. 3. Gleiche Werte: Der Schnittpunkt der Graphen \(k\) und \(m\) für \(x > 0\) liegt bei \(x = 2\). Dort gilt \(g(2) = 1\) und \(g'(2) = 1\).

a) Der Graph \(k\) gehört zu \(g\) und der Graph \(m\) zu \(g'\). Begründung: \(g\) ist eine quadratische Funktion, deren Ableitung eine Gerade sein muss. b) Die Steigung an der Stelle \(x = 3\) beträgt \(1{,}5\). c) Die Stelle ist \(x = 2\).

- Der dargestellte y-Wert ist bereits eine momentane Änderungsrate des Volumens. - Eine momentane Volumenänderung von null entspricht einer Nullstelle des dargestellten Graphen. - Das Vorzeichen von \(V'\) entscheidet, ob \(V\) zunimmt oder abnimmt.

1. Aus dem Graphen liest man \(r(2)=3\,\text{L/min}\) ab. Zu diesem Zeitpunkt nimmt das gespeicherte Wasservolumen momentan mit \(3\,\text{L}\) pro Minute zu. 2. Das Volumen ändert sich momentan nicht, wenn \(V'(t)=r(t)=0\) gilt. Der Graph schneidet die t-Achse bei \(t=8\,\text{min}\). 3. Für \(0\le t<8\) ist \(r(t)>0\), also nimmt \(V\) zu. Für \(8<t\le10\) ist \(r(t)<0\), also nimmt \(V\) ab.

a) \(r(2)=3\,\text{L/min}\); das Volumen nimmt in diesem Moment mit \(3\,\text{L}\) pro Minute zu. b) Bei \(t=8\,\text{min}\). c) Zunahme für \(0\le t<8\); Abnahme für \(8<t\le10\).

- Welche besonderen Punkte eines Funktionsgraphen (z. B. Hoch- und Tiefpunkte) hängen mit den Nullstellen der Ableitungsfunktion zusammen? - Betrachte die Steigung des Graphen von \(f\): In welchen Bereichen steigt der Graph, in welchen fällt er? - Welches Vorzeichen muss die Ableitung in den Bereichen haben, in denen die ursprüngliche Funktion steigt oder fällt? - Überprüfe beide Richtungen: Könnte \(g\) die Ableitung von \(f\) sein, oder umgekehrt \(f\) die Ableitung von \(g\)?

Um herauszufinden, welcher Graph die Funktion und welcher die Ableitungsfunktion darstellt, betrachten wir die charakteristischen Eigenschaften der beiden Graphen: 1. **Zusammenhang zwischen Extrema und Nullstellen**: Die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) einer differenzierbaren Funktion entsprechen den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion. - Der blaue Graph \(f\) besitzt zwei lokale Extrempunkte: einen Hochpunkt bei ca. \(x \approx -1{,}73\) und einen Tiefpunkt bei ca. \(x \approx 1{,}73\). - Der grüne Graph \(g\) besitzt genau an diesen Stellen seine Nullstellen, d. h. er schneidet dort die x-Achse (\(g(-1{,}73) = 0\) und \(g(1{,}73) = 0\)). 2. **Zusammenhang zwischen Monotonie und Vorzeichen**: - Für \(x < -1{,}73\) steigt der Graph von \(f\) (positive Steigung). In diesem Bereich verläuft der Graph von \(g\) oberhalb der x-Achse (positive Werte). - Für \(-1{,}73 < x < 1{,}73\) fällt der Graph von \(f\) (negative Steigung). In diesem Bereich verläuft der Graph von \(g\) unterhalb der x-Achse (negative Werte). - Für \(x > 1{,}73\) steigt der Graph von \(f\) wieder (positive Steigung). In diesem Bereich ist der Graph von \(g\) wieder positiv. 3. **Ausschluss der Gegenrichtung**: Würde \(f\) die Ableitung von \(g\) darstellen, müsste \(f\) an der Stelle des Tiefpunkts von \(g\) (bei \(x = 0\)) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus haben. Zwar ist \(f(0) = 0\), aber der Vorzeichenwechsel von \(f\) bei \(x = 0\) verläuft von plus nach minus (der Graph geht von oben nach unten durch den Ursprung), was zu einem Hochpunkt führen müsste, nicht zu einem Tiefpunkt. Zudem passen die übrigen Extremstellen nicht zusammen. Somit stellt der Graph \(f\) die Funktion und der Graph \(g\) ihre Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Der Graph \(f\) (blau) stellt die Funktion dar und der Graph \(g\) (grün) stellt ihre Ableitungsfunktion dar, also \(g = f'\).

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente in einem Graphen mit Nullstellen des anderen Graphen. - Prüfe zusätzlich, welches Vorzeichen der zweite Graph dort hat, wo der erste steigt oder fällt. - Lies die gefragten Funktions- und Ableitungswerte erst ab, nachdem du die beiden Graphen zugeordnet hast.

1. Der Graph \(k_1\) besitzt bei \(x=1\) und \(x=3\) waagerechte Tangenten. Der Graph \(k_2\) hat an genau diesen Stellen Nullstellen. 2. Zwischen \(x=1\) und \(x=3\) fällt \(k_1\), während \(k_2\) dort negative Werte hat. Außerhalb dieses Bereichs steigt \(k_1\), während \(k_2\) positive Werte hat. Daher ist \(k_1\) der Graph von \(f\) und \(k_2\) der Graph von \(f'\). 3. Am Graphen von \(k_1\) liest man \(f(2)=2\) und \(f(3)=1\) ab. 4. Am Graphen von \(k_2\) liest man \(f'(2)=-1{,}5\) und \(f'(1)=0\) ab.

a) \(k_1\) ist der Graph von \(f\), und \(k_2\) ist der Graph von \(f'\). b) \(f(2)=2\), \(f'(2)=-1{,}5\), \(f(3)=1\) und \(f'(1)=0\).

- Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt, ob \(f\) steigt oder fällt. - Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel entsprechen Extremstellen von \(f\). - Die Richtung des Vorzeichenwechsels entscheidet zwischen Hoch- und Tiefpunkt. - Vergleiche Funktionswerte mithilfe der Monotonie.

1. Der Graph von \(f'\) hat einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\), \(x = 1\) und \(x = 3\). Somit hat \(f\) genau drei Extrempunkte. Aussage a) ist wahr. 2. Im Intervall \([1; 3]\) gilt \(f'(x) \le 0\), wobei die Ableitung nur an den Randpunkten null ist. Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage b) ist wahr. 3. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort ein Hochpunkt und kein Tiefpunkt vor. Aussage c) ist falsch. 4. Da \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton fällt, gilt \(f(2) > f(3)\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch; bei \(x = 1\) liegt ein Hochpunkt vor. d) Falsch; es gilt \(f(2) > f(3)\).

- Überlege, wie Nullstellen von \(f''\) mit Extremstellen von \(f'\) zusammenhängen. - Für Extremstellen von \(f\) suchst du zuerst Nullstellen von \(f'\). - Das Vorzeichen von \(f''\) an einer solchen Stelle hilft dir bei der Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkt.

1. Da \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, muss der Graph von \(f''\) an den Extremstellen des Graphen von \(f'\) eine Nullstelle haben. Der Graph \(g\) hat bei \(x=1\) einen Tiefpunkt, und der Graph \(h\) hat dort eine Nullstelle. Zudem passen die Vorzeichen von \(h\) dazu, ob \(g\) fällt oder steigt. Daher gehört \(g\) zu \(f'\) und \(h\) zu \(f''\). 2. Die Nullstellen von \(g\) liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Bei \(x=-1\) gilt \(h(-1)<0\), daher hat \(f\) dort einen Hochpunkt. Bei \(x=3\) gilt \(h(3)>0\), daher hat \(f\) dort einen Tiefpunkt.

a) \(g\) gehört zu \(f'\), und \(h\) gehört zu \(f''\). b) Bei \(x=-1\) hat \(f\) einen Hochpunkt und bei \(x=3\) einen Tiefpunkt.

- Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel entsprechen Extremstellen von \(f\). - Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt das Monotonieverhalten von \(f\). - Extremstellen von \(f'\) entsprechen Wendestellen von \(f\).

1. Der Graph von \(f'\) hat im angegebenen Intervall Nullstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 3\). Daher hat \(f\) dort genau drei Extremstellen. Aussage a) ist wahr. 2. Im Intervall \([0{,}5; 2{,}5]\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage b) ist wahr. 3. Wendepunkte von \(f\) entsprechen Extremstellen von \(f'\). Bei \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle, aber keine Extremstelle. Daher hat \(f\) dort keinen Wendepunkt. Aussage c) ist falsch.

a) Wahr, da \(f'\) drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. b) Wahr, da \(f'(x) < 0\) im gesamten Intervall \([0{,}5; 2{,}5]\) gilt. c) Falsch, da \(f'\) bei \(x = 0\) keine Extremstelle hat.

- Das Vorzeichen der Ableitung bestimmt das Monotonieverhalten von \(f\). - Achte an Nullstellen von \(f'\) auf die Richtung des Vorzeichenwechsels. - Ein Sattelpunkt erfordert eine waagerechte Tangente ohne Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.

1. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher hat \(f\) dort einen Tiefpunkt. Aussage a) ist wahr. 2. Im Intervall \((1; 3)\) gilt \(f'(x) < 0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage b) ist wahr. 3. Im Intervall \([0; 1]\) ist \(f'\) positiv, daher steigt \(f\) und es gilt \(f(0) < f(1)\). Aussage c) ist falsch. 4. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt ein Hochpunkt und kein Sattelpunkt vor. Aussage d) ist falsch.

a) Wahr, da \(f'\) bei \(x = -2\) von Minus nach Plus wechselt. b) Wahr, da \(f'(x) < 0\) für \(1 < x < 3\). c) Falsch; es gilt \(f(0) < f(1)\). d) Falsch; bei \(x = 1\) liegt ein Hochpunkt vor.

- Überlege dir zuerst, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung \(f'\) mit den Extremstellen der Funktion \(f\) zusammen? Welcher Vorzeichenwechsel deutet auf ein Maximum, welcher auf ein Minimum hin? - Welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\) entspricht den Wendestellen der Funktion \(f\)? Denke an die zweite Ableitung \(f''\).

1. Monotonieverhalten (Teilaufgabe a): Die Funktion \(f\) ist streng monoton steigend auf Intervallen, in deren Innerem \(f'(x) > 0\) gilt. Dem Graphen entnimmt man \(f'(x) > 0\) für \(-4 < x < -1\) und \(3 < x < 4\). Somit ist \(f\) auf \([-4; -1]\) und \([3; 4]\) streng monoton steigend. Entsprechend gilt \(f'(x) < 0\) für \(-5 < x < -4\) und \(-1 < x < 3\), sodass \(f\) auf \([-5; -4]\) und \([-1; 3]\) streng monoton fallend ist. 2. Extremstellen (Teilaufgabe b): Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -4\), \(x = -1\) und \(x = 3\). Bei \(x = -4\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; daher liegt dort eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor. Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; daher liegt dort eine lokale Maximalstelle (Hochstelle) vor. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; daher liegt dort eine lokale Minimalstelle (Tiefstelle) vor. 3. Wendestellen (Teilaufgabe c): Wendestellen von \(f\) entsprechen lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\), sofern deren Steigung dort das Vorzeichen wechselt. Der Graph von \(f'\) besitzt im gegebenen Intervall genau zwei lokale Extrempunkte, einen Hochpunkt bei \(x \approx -2{,}7\) und einen Tiefpunkt bei \(x \approx 1{,}4\). Somit besitzt \(f\) im Intervall genau zwei Wendestellen.

a) Streng monoton steigend für \(x \in [-4; -1]\) und \(x \in [3; 4]\); streng monoton fallend für \(x \in [-5; -4]\) und \(x \in [-1; 3]\). b) Drei Extremstellen: lokale Minimalstellen bei \(x = -4\) und \(x = 3\), eine lokale Maximalstelle bei \(x = -1\). c) Zwei Wendestellen.

- Nullstellen der Ableitung entsprechen Extremstellen der Originalfunktion. - Das Vorzeichen der Ableitung zeigt, wo die Originalfunktion steigt oder fällt. - Ein Extrempunkt der Ableitung entspricht einer Wendestelle der Originalfunktion.

1. Der rote Graph \(G_1\) gehört zur Funktion \(f\), der blaue Graph \(G_2\) zur Ableitungsfunktion \(f'\). An den Extremstellen von \(G_1\) bei \(x = -2\) und \(x = 2\) hat \(G_2\) Nullstellen. Im Intervall \([-2; 2]\) fällt \(G_1\), und \(G_2\) verläuft dort unterhalb der \(x\)-Achse. 2. Aus dem Graphen liest man den Hochpunkt \(H(-2 \mid 3)\), den Tiefpunkt \(T(2 \mid -1)\) und den Wendepunkt \(W(0 \mid 1)\) ab. 3. \(f\) ist im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton fallend.

a) \(G_1\) (rot) gehört zu \(f\), und \(G_2\) (blau) gehört zu \(f'\). b) \(H(-2 \mid 3)\), \(T(2 \mid -1)\), \(W(0 \mid 1)\). c) \(f\) ist auf \([-2; 2]\) streng monoton fallend.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Ausgangsfunktion \(f\). - Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Ableitung mit Vorzeichenwechsel für den Graphen von \(f\)? - Wie hängen die Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit den Wendestellen der Ausgangsfunktion \(f\) zusammen? - Betrachte den Tiefpunkt des Graphen von \(f'\) — was bedeutet dieser Punkt für die Steigung von \(f\)?

1. **Monotonie von \(f\):** Das Monotonieverhalten von \(f\) entscheidet sich am Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\): - Für \(x \in [-4; -2[\) und \(x \in ]2; 4]\) ist \(f'(x) > 0\), weshalb die Funktion \(f\) in diesen Bereichen streng monoton steigend ist. - Für \(x \in ]-2; 2[\) ist \(f'(x) < 0\), weshalb die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fallend ist. 2. **Lokale Extremstellen von \(f\):** Lokale Extremstellen liegen an den Stellen vor, an denen \(f'(x) = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel stattfindet: - Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\). Daher hat \(f\) dort eine lokale Maximalstelle (Hochpunkt). - Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\). Daher hat \(f\) dort eine lokale Minimalstelle (Tiefpunkt). 3. **Wendestelle von \(f\):** Eine Wendestelle der Ausgangsfunktion \(f\) entspricht einer lokalen Extremstelle der Ableitungsfunktion \(f'\). Da die Ableitung \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) einen lokalen Tiefpunkt besitzt (Steigung von \(f'\) ist dort null mit Vorzeichenwechsel), liegt bei \(x = 0\) eine Wendestelle von \(f\) vor.

a) Streng monoton steigend für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [2; 4]\); streng monoton fallend für \(x \in [-2; 2]\). b) Lokale Maximalstelle (Hochpunkt) bei \(x = -2\); lokale Minimalstelle (Tiefpunkt) bei \(x = 2\). c) Eine Wendestelle von \(f\) liegt an den Extremstellen von \(f'\) vor. Da \(f'\) bei \(x = 0\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) hat, besitzt \(f\) dort eine Wendestelle.

- Wie hängen das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und das Monotonieverhalten der Originalfunktion \(f\) zusammen? - Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) für den Verlauf von \(f\)? Woran erkennst du, ob es sich um ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum handelt? - Überlege, wie die Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit den Wendestellen der Originalfunktion \(f\) zusammenhängen. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Steigungsverhalten von \(f'\) (also der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f'\)) und der Krümmung des Graphen von \(f\)?

1. **Monotonieverhalten von \(f\):** - Für \(x \in [-5; -4]\) und \(x \in [-1; 4]\) ist \(f\) streng monoton steigend. - Für \(x \in [-4; -1]\) und \(x \in [4; 5]\) ist \(f\) streng monoton fallend. Dies folgt aus dem Vorzeichen von \(f'\); im Inneren der jeweiligen Intervalle ist \(f'\) positiv bzw. negativ. 2. **Lokale Extremstellen von \(f\):** - Bei \(x = -4\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ: lokale Maximalstelle. - Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv: lokale Minimalstelle. - Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ: lokale Maximalstelle. 3. **Wendestellen und Krümmungsverhalten von \(f\):** Die Wendestellen von \(f\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(f'\). Aus dem Graphen liest man näherungsweise \(x \approx -2{,}67\) und \(x = 2\) ab. - Linksgekrümmt ist der Graph von \(f\) für \(x \in (-2{,}67; 2)\), weil \(f'\) dort steigt. - Rechtsgekrümmt ist der Graph von \(f\) für \(x \in [-5; -2{,}67)\) und \(x \in (2; 5]\), weil \(f'\) dort fällt.

a) Streng monoton steigend auf \([-5; -4]\) und \([-1; 4]\); streng monoton fallend auf \([-4; -1]\) und \([4; 5]\). b) Lokale Maximalstellen bei \(x = -4\) und \(x = 4\); lokale Minimalstelle bei \(x = -1\). c) Wendestellen bei \(x \approx -2{,}67\) und \(x = 2\). Linksgekrümmt für \(x \in (-2{,}67; 2)\); rechtsgekrümmt für \(x \in [-5; -2{,}67)\) und \(x \in (2; 5]\).

- Überlege zuerst, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung \(f'\) und deren Vorzeichenwechsel mit den lokalen Extremstellen von \(f\) zusammen? - Erinnere dich daran, dass ein Vorzeichenwechsel der Ableitung von negativ zu positiv eine Tiefstelle und ein Wechsel von positiv zu negativ eine Hochstelle anzeigt. - Überlege, welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\), beispielsweise ein Hoch- oder Tiefpunkt, einer Wendestelle der Originalfunktion \(f\) entspricht.

1. Monotonieverhalten: Im Inneren des Intervalls \([-3; 1]\) gilt \(f'(x) > 0\). Daher ist \(f\) im dargestellten Bereich auf \([-3; 1]\) streng monoton steigend. Im Inneren der Intervalle \([-5; -3]\) und \([1; 3]\) gilt \(f'(x) < 0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. 2. Lokale Extremstellen: Bei \(x = -3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Minimalstelle. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. 3. Wendestelle: Der Graph von \(f'\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit einem lokalen Maximum bei \(x = -1\). Links davon steigt \(f'\), rechts davon fällt \(f'\). Somit wechselt \(f''\) bei \(x = -1\) von positiv zu negativ, und \(f\) besitzt dort eine Wendestelle.

a) Im dargestellten Bereich streng monoton steigend auf \([-3; 1]\); streng monoton fallend auf \([-5; -3]\) und \([1; 3]\). b) Lokale Minimalstelle bei \(x = -3\); lokale Maximalstelle bei \(x = 1\). c) Wendestelle bei \(x = -1\), weil \(f'\) dort von steigend zu fallend wechselt.

- Kannst du beschreiben, wie das Steigungsverhalten einer Funktion mit dem Vorzeichen ihrer Ableitung zusammenhängt? - Betrachte die Stellen, an denen die eine Funktion Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkte) hat. Welche Werte müsste die Ableitungsfunktion an diesen Stellen annehmen? - Wo verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse und was bedeutet das für die Steigung der Originalfunktion? - Welcher Punkt auf dem Graphen der Ableitungsfunktion gibt dir die Steigung an der Stelle \(x = 0\)?

1. Zuordnung der Graphen: Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\), Abbildung 2 den Graphen von \(f'\). - Für \(x<-1\) steigt der Graph in Abbildung 1. Dazu passt, dass der Graph in Abbildung 2 dort oberhalb der \(x\)-Achse liegt. - Für \(-1<x<3\) fällt der Graph in Abbildung 1. Der Graph in Abbildung 2 liegt dort unterhalb der \(x\)-Achse. - Für \(x>3\) steigt der Graph in Abbildung 1 wieder, während der Graph in Abbildung 2 positiv ist. - Die Extremstellen bei \(x=-1\) und \(x=3\) in Abbildung 1 stimmen mit den Nullstellen in Abbildung 2 überein. 2. Die Funktion \(f\) ist auf \([-1;3]\) streng monoton fallend. Im Inneren dieses Intervalls ist \(f'(x)<0\); an den Randstellen gilt \(f'(x)=0\). 3. Die Tangentensteigung bei \(x=0\) ist \(f'(0)\). Aus Abbildung 2 liest man \(f'(0)=-0{,}75\) ab.

a) Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\). b) \(f\) ist auf \([-1;3]\) streng monoton fallend. Für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\), an den Randstellen gilt \(f'(x)=0\). c) Die Tangentensteigung bei \(x=0\) beträgt \(-0{,}75\).

- Suche zuerst nach Stellen mit waagerechter Tangente und vergleiche sie mit Nullstellen der Kandidaten. - Wo der Funktionsgraph steigt, muss die Ableitung positiv sein; wo er fällt, muss sie negativ sein. - Prüfe bei jedem Paar beide Merkmale, nicht nur die Form des Graphen.

1. Graph A ist eine nach oben geöffnete Parabel mit waagerechter Tangente bei \(x=1\). Links davon fällt er, rechts davon steigt er. Die Ableitung muss daher bei \(x=1\) eine Nullstelle haben und von negativen zu positiven Werten wechseln. Das trifft auf (2) zu. 2. Graph B besitzt bei \(x=-2\) und \(x=2\) waagerechte Tangenten. Dazwischen fällt der Graph, außerhalb steigt er. Die Ableitung muss daher bei \(x=-2\) und \(x=2\) Nullstellen haben, dazwischen negativ und außerhalb positiv sein. Das trifft auf (3) zu. 3. Graph C steigt für \(x<0\), besitzt bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente und fällt für \(x>0\). Die Ableitung muss daher links von \(0\) positiv, bei \(0\) null und rechts von \(0\) negativ sein. Das trifft auf (1) zu.

Graph A gehört zu Ableitung (2); Graph B gehört zu Ableitung (3); Graph C gehört zu Ableitung (1).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\). - Welche Bedingung muss an einer Stelle \(x\) erfüllt sein, damit dort ein Extrempunkt des Graphen von \(f\) vorliegt? - Wie lässt sich ein Hochpunkt von einem Tiefpunkt anhand des Verlaufs der Ableitung \(f'\) unterscheiden? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Wendepunkten von \(f\) und den Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\)?

1. Aussage (1) ist falsch. An der Stelle \(x = -2\) hat die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Dies ist das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt der Funktion \(f\), nicht für einen Tiefpunkt. 2. Aussage (2) ist wahr. Im offenen Intervall \((1; 3)\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) > 0\). Daher ist die Funktion \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton steigend. 3. Aussage (3) ist wahr. An der Stelle \(x = 1\) liegt eine Nullstelle von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus vor. Dies ist das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt von \(f\). 4. Aussage (4) ist wahr. Die Wendestellen einer Funktion \(f\) entsprechen den Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion \(f'\). Der abgebildete Graph von \(f'\) besitzt im Intervall \([-3; 4]\) genau zwei Extremstellen: einen Tiefpunkt bei \(x \approx -0{,}8\) und einen Hochpunkt bei \(x \approx 2{,}1\). Folglich hat der Graph von \(f\) in diesem Intervall genau zwei Wendestellen.

(1) Falsch (2) Wahr (3) Wahr (4) Wahr

- Bestimme zuerst rechnerisch die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) der gegebenen Funktion \(f(x)\). - Welchen Grad hat die Ableitungsfunktion und wie müsste ihr Graph im Vergleich zum abgebildeten Graphen im Unendlichen verlaufen? - Überlege, in welchen Bereichen die Funktion \(f(x)\) steigt oder fällt. Welche Vorzeichen müsste die Ableitungsfunktion \(f'\) in diesen Bereichen haben? - Betrachte die Nullstellen des abgebildeten Graphen. Welche Arten von Extrempunkten (Hoch- oder Tiefpunkt) würden zu den jeweiligen Vorzeichenwechseln gehören?

Um zu zeigen, dass der abgebildete Graph \(g\) nicht die Ableitungsfunktion \(f'\) darstellen kann, wird zunächst die tatsächliche Ableitungsfunktion berechnet: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) Es lassen sich folgende drei Widersprüche aufzeigen: 1. **Globalverhalten:** Da der Leitkoeffizient von \(f'\) positiv ist, handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel mit \(\lim_{x \to \pm\infty} f'(x) = \infty\). Der abgebildete Graph \(g\) verläuft jedoch für \(x \to \pm\infty\) nach \(-\infty\) (nach unten geöffnete Parabel). 2. **Monotonieverhalten:** Im Intervall \((-1; 3)\) ist \(f'(x) < 0\), was bedeutet, dass die Funktion \(f\) dort streng monoton fällt. Der Graph \(g\) verläuft in diesem Intervall jedoch oberhalb der \(x\)-Achse, nimmt also nur positive Werte an. 3. **Art der Extremstellen:** Bei \(x = -1\) hat \(f\) einen lokalen Hochpunkt, da die Steigung von positiv (für \(x < -1\)) zu negativ (für \(x > -1\)) wechselt. Somit müsste \(f'\) bei \(x = -1\) einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus haben. Der Graph \(g\) wechselt an dieser Stelle jedoch sein Vorzeichen von minus nach plus.

1. **Globalverhalten:** Die Ableitung \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar (\(f'(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\)), während der abgebildete Graph nach unten geöffnet ist. 2. **Monotonie:** Im Intervall \((-1; 3)\) ist \(f'(x) < 0\) (die Funktion \(f\) fällt), aber der abgebildete Graph ist dort positiv. 3. **Extremstellen:** An der Stelle \(x = -1\) liegt ein Hochpunkt von \(f\) vor, weshalb die Ableitung einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus haben müsste. Der Graph zeigt jedoch einen Wechsel von minus nach plus (was einem Tiefpunkt entspräche).

- Übersetze die Bedingung \(f'(x)=0\) mithilfe der gegebenen Beziehung in eine Aussage über den Graphen von \(g\). - Für die Art einer Extremstelle ist der Vorzeichenwechsel von \(f'\) entscheidend. - Für die Wendestelle untersuchst du, wie sich \(g\) in der Umgebung seines Scheitelpunkts verändert.

1. Extremstellen von \(f\) können dort liegen, wo \(f'(x)=0\). Wegen \(f'(x)=g(x)-1\) entspricht dies der Bedingung \(g(x)=1\). Aus dem Graphen liest man \(x=-2\) und \(x=2\) ab. 2. Für \(x<-2\) gilt \(g(x)<1\), also \(f'(x)<0\). Für \(-2<x<2\) gilt \(g(x)>1\), also \(f'(x)>0\). Deshalb hat \(f\) bei \(x=-2\) ein lokales Minimum. 3. Für \(x>2\) gilt wieder \(g(x)<1\), also \(f'(x)<0\). Deshalb hat \(f\) bei \(x=2\) ein lokales Maximum. 4. Aus \(f'(x)=g(x)-1\) folgt \(f''(x)=g'(x)\). Der Graph von \(g\) hat bei \(x=0\) ein lokales Maximum; dort wechselt \(g'\) von positiv zu negativ. Somit wechselt \(f''\) bei \(x=0\) das Vorzeichen, also besitzt \(f\) dort eine Wendestelle.

a) Lokales Minimum bei \(x=-2\); lokales Maximum bei \(x=2\). b) Wendestelle bei \(x=0\).

- Überlege bei jeder Teilfrage, welcher Funktionswert von \(f'\) zur gesuchten Tangentensteigung gehört. - Für die größte Steigung suchst du den größten y-Wert des Ableitungsgraphen. - Parallele Geraden besitzen dieselbe Steigung. - Für die Scheitelpunktform kannst du Scheitelpunkt und einen weiteren gut ablesbaren Punkt verwenden.

1. Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\). Aus dem Graphen liest man \(x=0\) und \(x=4\) ab. 2. Die größte Steigung von \(f\) ist der größte Funktionswert von \(f'\). Der Scheitelpunkt des Ableitungsgraphen ist \((2\mid2)\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=2\) die größte Steigung \(2\). 3. Eine zu \(g\) parallele Tangente muss die Steigung \(1{,}5\) haben. Aus \(f'(x)=1{,}5\) liest man \(x=1\) und \(x=3\) ab. 4. Aus dem Scheitelpunkt folgen \(d=2\) und \(c=2\). Mit dem Punkt \((0\mid0)\) gilt \(0=a(0-2)^2+2\), also \(a=-0{,}5\).

a) \(x=0\) und \(x=4\). b) Bei \(x=2\) mit der Steigung \(2\). c) \(x=1\) und \(x=3\). d) \(a=-0{,}5\), \(d=2\), \(c=2\).

- Vergleiche zunächst das einseitige Verhalten beider Terme an \(x=1\). - Achte darauf, ob an der Polstelle ein Vorzeichenwechsel auftritt. - Für eine waagerechte Asymptote untersuchst du den Grenzwert für große positive und negative \(x\)-Werte.

1. Bei \(f\) liegt bei \(x=1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor: Für \(x\to1^-\) gilt \(f(x)\to-\infty\), für \(x\to1^+\) gilt \(f(x)\to+\infty\). Das passt zu Abbildung 1. 2. Für \(f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^2}\) gilt auf beiden Seiten der Polstelle \(f'(x)\to-\infty\). Außerdem ist \(f'(x)<0\) für alle \(x\ne1\). Das passt zu Abbildung 2. 3. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Daher ist \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-1\), also lautet die waagerechte Asymptote \(y=-1\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac{2}{(x-1)^2}\to0\). Daher lautet die waagerechte Asymptote von \(f'\) \(y=0\).

a) Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\). b) Für \(f\): \(y=-1\). Für \(f'\): \(y=0\).

- Überlege dir zuerst, welche Zusammenhänge zwischen den besonderen Punkten eines Graphen (z. B. Hoch- und Tiefpunkte) und den Eigenschaften seiner Ableitungsfunktion (z. B. Nullstellen) bestehen. - Wie hängen das Steigungsverhalten einer Funktion (steigend oder fallend) und das Vorzeichen ihrer Ableitung (positiv oder negativ) zusammen? - Betrachte die Grade der Funktionen: Wenn eine Funktion ein Polynom vom Grad \(n\) ist, welchen Grad haben dann ihre Ableitung und ihre Stammfunktion? - Suche nach einem Graphen, der Hoch- oder Tiefpunkte besitzt, und prüfe, welcher der anderen Graphen an genau diesen Stellen die x-Achse schneidet.

1. Analyse der Zusammenhänge zwischen den Graphen: - Ein Extrempunkt eines Graphen entspricht einer Nullstelle seiner Ableitungsfunktion. - Ein fallender Bereich eines Graphen entspricht negativen Werten der Ableitungsfunktion. - Ein steigender Bereich eines Graphen entspricht positiven Werten der Ableitungsfunktion. 2. Zuordnung von Graph B und Graph C: - Graph B (eine Funktion 3. Grades) hat lokale Extrema bei \(x = 2\) (Maximum) und \(x = 6\) (Minimum). - Graph C (eine Parabel) hat genau bei \(x = 2\) und \(x = 6\) seine Nullstellen. - Im Intervall \(]2; 6[\) fällt Graph B, während Graph C negativ ist. Für \(x < 2\) und \(x > 6\) steigt Graph B, während Graph C positiv ist. - Daraus folgt: Graph C ist die Ableitung von Graph B. Somit ist Graph B die Stammfunktion \(F\) und Graph C die Funktion \(f\). 3. Zuordnung von Graph A und Graph C: - Graph C hat einen Tiefpunkt bei \(x = 4\). - Graph A (eine Gerade) hat bei \(x = 4\) eine Nullstelle. - Für \(x < 4\) fällt Graph C, während Graph A negative Werte annimmt. Für \(x > 4\) steigt Graph C, während Graph A positive Werte annimmt. - Daraus folgt: Graph A ist die Ableitung von Graph C. Da Graph C als \(f\) identifiziert wurde, ist Graph A die Ableitungsfunktion \(f'\). 4. Ergebnis: - Graph A \(\rightarrow f'\) - Graph B \(\rightarrow F\) - Graph C \(\rightarrow f\)

Graph A gehört zu \(f'\); Graph B gehört zu \(F\); Graph C gehört zu \(f\).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der ursprünglichen Funktion \(f\)? - Woran erkennt man im Graphen der Ableitung, dass die ursprüngliche Funktion einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hat? Achte auf den Vorzeichenwechsel. - Überlege dir, wie eine Wendestelle von \(f\) mit den Eigenschaften der Ableitungsfunktion \(f'\) zusammenhängt. Was muss an einer Wendestelle für die Steigung der Tangente gelten? - Betrachte den Scheitelpunkt der Parabel im Graphen. Welche Bedeutung hat dieser besondere Punkt für die ursprüngliche Funktion?

1. Im Inneren der Intervalle \([-4; -1]\) und \([3; 6]\) ist \(f'(x) < 0\); daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Im Inneren des Intervalls \([-1; 3]\) ist \(f'(x) > 0\); daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. 2. Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Der Graph von \(f'\) hat bei \(x = 1\) ein lokales Maximum. Damit wechselt dort die Monotonierichtung von \(f'\), also die Krümmung von \(f\). Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = 1\) eine Wendestelle.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-1; 3]\) streng monoton steigend und auf \([-4; -1]\) sowie \([3; 6]\) streng monoton fallend. b) Lokale Minimalstelle bei \(x = -1\); lokale Maximalstelle bei \(x = 3\). c) Wendestelle bei \(x = 1\).

- Bestimme zuerst rechnerisch die Ableitungsfunktionen \(f'(x)\) und \(g'(x)\). - Welche charakteristischen Eigenschaften haben die Graphen (z. B. Symmetrie, Grad der Funktion, Achsenschnittpunkte oder Extrempunkte)? - Überlege, welcher Graph zu einer linearen Funktion (Gerade) und welche zu quadratischen Funktionen (Parabeln) gehören. - Wie hängen die Extrempunkte einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion zusammen?

1. Berechnung der Ableitungsfunktionen: Durch Anwendung der Ableitungsregeln erhält man: \(f'(x) = x\) \(g'(x) = -0{,}6x^2 + 1{,}5\) 2. Zuordnung von \(f\) und \(f'\): - Graph (3) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid -2)\). Dies entspricht der quadratischen Funktion \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion \(f'(x) = x\) ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung \(1\). Dies entspricht genau Graph (1). 3. Zuordnung von \(g\) und \(g'\): - Graph (2) stellt eine punktsymmetrische Kurve dritten Grades dar, die für große \(x\)-Werte gegen \(-\infty\) strebt. Dies entspricht der Funktion \(g(x) = -0{,}2x^3 + 1{,}5x\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion \(g'(x) = -0{,}6x^2 + 1{,}5\) beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid 1{,}5)\). Dies entspricht Graph (4).

Graph (1) gehört zu \(f'\); Graph (2) gehört zu \(g\); Graph (3) gehört zu \(f\); Graph (4) gehört zu \(g'\).

- Wie hängen die charakteristischen Punkte einer Funktion (wie Hoch- und Tiefpunkte) mit den Eigenschaften ihrer Ableitungsfunktion zusammen? - An welchen Stellen muss die Ableitungsfunktion den Wert Null annehmen? - Betrachte die Bereiche, in denen ein Graph steigt oder fällt. Welches Vorzeichen muss die zugehörige Ableitung in diesen Bereichen haben? - Wende diese Überlegungen zuerst auf zwei der Graphen an und prüfe danach, ob der verbleibende Graph als weitere Ableitung dazu passt.

1. **Zusammenhang zwischen Extrempunkten und Nullstellen:** Ein lokaler Extrempunkt einer differenzierbaren Funktion entspricht einer Nullstelle ihrer Ableitungsfunktion mit Vorzeichenwechsel. 2. **Analyse von Graph \(A\) (rot) und Graph \(B\) (blau):** Der rote Graph \(A\) besitzt zwei lokale Extrempunkte (einen Hochpunkt bei \(x = -2\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 2\)). Der blaue Graph \(B\) hat genau an diesen Stellen Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. Zudem ist der Graph \(A\) für \(x < -2\) streng monoton steigend (Ableitung positiv, also Graph \(B > 0\)), für \(-2 < x < 2\) streng monoton fallend (Ableitung negativ, also Graph \(B < 0\)) und für \(x > 2\) wieder streng monoton steigend (Ableitung positiv, also Graph \(B > 0\)). Dies zeigt, dass Graph \(B\) die Ableitung von Graph \(A\) ist. 3. **Analyse von Graph \(B\) (blau) und Graph \(C\) (grün):** Der blaue Graph \(B\) hat einen lokalen Tiefpunkt bei \(x = 0\). Der grüne Graph \(C\) hat genau bei \(x = 0\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Da Graph \(B\) für \(x < 0\) monoton fallend (Ableitung negativ, also Graph \(C < 0\)) und für \(x > 0\) monoton steigend (Ableitung positiv, also Graph \(C > 0\)) ist, ist Graph \(C\) die Ableitung von Graph \(B\). 4. **Schlussfolgerung:** Graph \(A\) ist die Ausgangsfunktion, Graph \(B\) ist die erste Ableitung und Graph \(C\) ist die zweite Ableitung.

Graph \(A\) ist die Ausgangsfunktion, Graph \(B\) ist die erste Ableitung und Graph \(C\) ist die zweite Ableitung.

- Erinnere dich: Funktionswerte liest du am Graphen von \(g\) ab, Steigungen am Graphen von \(g'\). - Die Ableitung \(g'(x)\) gibt dir direkt die Steigung der Tangente an. - Wenn nach einer „Stelle“ gefragt wird, gibst du die Koordinate auf der horizontalen Achse an. - Überprüfe bei Teilaufgabe e), wo der Graph der Ableitung die \(x\)-Achse berührt oder schneidet.

1. In Abbildung 1 liegt bei \(x = 2\) der Punkt \((2 \mid -0{,}6)\). Daher ist \(g(2) = -0{,}6\). 2. Die Steigung bei \(x = 2\) entspricht \(g'(2)\). Aus Abbildung 2 liest man \(g'(2) = 0\) ab. 3. Aus Abbildung 2 folgt \(g'(1) = -1{,}2\). 4. Der Graph von \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\); daher ist \(x = 0\) eine Lösung von \(g(x) = 1\). 5. Waagerechte Tangenten liegen bei den Nullstellen von \(g'\): \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 6. Aus Abbildung 2 liest man \(g'(-1) = 1{,}2\) ab. Daher ist \(x = -1\) eine passende Stelle.

a) \(g(2) = -0{,}6\) b) \(0\) c) \(-1{,}2\) d) \(x = 0\) e) \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\) f) \(x = -1\)

- Vergleiche das Steig- und Fallverhalten eines Graphen mit dem Vorzeichen des anderen. - Die Steigung von \(r\) liest du als Funktionswert von \(r'\) ab. - Für \(r''(1)\) brauchst du die Steigung des Graphen von \(r'\).

1. Der Graph \(p\) steigt für \(x<3\) und fällt für \(x>3\). Der Graph \(q\) ist entsprechend für \(x<3\) positiv und für \(x>3\) negativ. Daher ist \(p=r\) und \(q=s=r'\). 2. Die Steigung von \(r\) bei \(x=1\) ist \(r'(1)=s(1)=q(1)=0{,}8\). 3. Der Wert \(r''(1)\) ist die Steigung des Graphen von \(r'=s\). Der Graph \(q\) ist eine Gerade; aus den Punkten \((0\mid1{,}2)\) und \((3\mid0)\) erhält man die Steigung \(\frac{0-1{,}2}{3-0}=-0{,}4\). Somit gilt \(r''(1)=-0{,}4\).

a) \(p=r\), \(q=s=r'\). b) \(r'(1)=0{,}8\). c) \(r''(1)=-0{,}4\).

- Überlege dir, was der Funktionswert von \(f'\) über die Steigung von \(f\) aussagt. - Wo muss der Graph von \(f'\) liegen, damit die Funktion \(f\) steigt oder fällt? - Was passiert mit der Funktion \(f\) an einer Stelle, an der \(f'\) die x-Achse kreuzt? - Achte darauf, in welche Richtung der Graph von \(f'\) die x-Achse an den Nullstellen schneidet.

1. Lokale Extremstellen einer Funktion \(f\) treten dort auf, wo die Ableitung \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. 2. Bei \(x = -5\) wechselt \(f'\) vom Negativen ins Positive. Da die Steigung von \(f\) von negativ auf positiv wechselt, liegt hier ein lokales Minimum vor. 3. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) vom Positiven ins Negative. Da die Steigung von \(f\) von positiv auf negativ wechselt, liegt hier ein lokales Maximum vor. 4. Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) vom Negativen ins Positive. Somit liegt bei \(x = 4\) ein weiteres lokales Minimum vor.

Lokales Minimum bei \(x = -5\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)); lokales Maximum bei \(x = 0\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(+\) nach \(-\)); lokales Minimum bei \(x = 4\) (Vorzeichenwechsel von \(f'\) von \(-\) nach \(+\)).

- Eine Nullstelle der Ableitung allein reicht nicht aus, um eine Extremstelle zu sichern. - Vergleiche das Vorzeichen von \(g'\) unmittelbar links und rechts der beiden Stellen. - Entscheidend ist, ob ein Wechsel von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus auftritt.

1. Eine Nullstelle von \(g'\) führt nur dann zu einer lokalen Extremstelle, wenn das Vorzeichen der Ableitung wechselt. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(g\) dort ein lokales Maximum. 3. Bei \(x=4\) gilt zwar \(g'(4)=0\), aber \(g'\) bleibt links und rechts dieser Stelle negativ. Daher liegt bei \(x=4\) keine Extremstelle vor.

Bei \(x=-2\) liegt ein lokales Maximum vor. Bei \(x=4\) liegt keine Extremstelle vor.

- Überlege dir den Zusammenhang zwischen den Funktionswerten der Ableitung \(f'\) und dem Steigungsverhalten der Originalfunktion \(f\). - Wo muss der Graph der Ableitung die \(x\)-Achse schneiden, damit die Originalfunktion ein Extremum hat? - Wie erkennst du an der Ableitung, ob ein Berg (Hochpunkt) oder ein Tal (Tiefpunkt) vorliegt? - Was bedeutet „Steigung“ in Bezug auf die Ableitungsfunktion?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Aus dem Graphen von \(f'\) liest man die Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\) ab. Bei \(x = -2\) wechselt das Vorzeichen von \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt ein lokaler Tiefpunkt vor. Bei \(x = 4\) wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, also liegt ein lokaler Hochpunkt vor. 2. Eine Funktion steigt streng monoton, wenn ihre Ableitung positiv ist. Der Graph von \(f'\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \((-2; 4)\). Somit ist \(f\) auf \([-2; 4]\) streng monoton steigend. 3. Die Steigung von \(f\) entspricht den Funktionswerten von \(f'\). Die größte Steigung liegt also am Hochpunkt des Graphen von \(f'\) vor. Dieser befindet sich im Scheitelpunkt der Parabel bei \(x = 1\). Der zugehörige Funktionswert (die maximale Steigung) beträgt \(f'(1) = 4{,}5\).

a) Lokaler Tiefpunkt bei \(x = -2\); lokaler Hochpunkt bei \(x = 4\). b) Das Intervall ist \([-2; 4]\). c) Die größte Steigung liegt an der Stelle \(x = 1\) vor und beträgt \(4{,}5\).

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung \(f'\) über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion \(f\) aussagt. - Wie hängen die Nullstellen von \(f'\) mit den Extremstellen von \(f\) zusammen? Achte dabei besonders auf den Vorzeichenwechsel. - Welche Eigenschaft des Graphen von \(f'\) gibt dir Auskunft über die Wendestellen von \(f\)? - Erinnere dich daran, dass die zweite Ableitung \(f''\) die Ableitung von \(f'\) ist, also die Steigung des Graphen von \(f'\) beschreibt.

1. An der Stelle \(x = -3\) hat die Ableitungsfunktion \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Dies bedeutet, dass die Steigung von \(f\) von negativ auf positiv wechselt, was charakteristisch für ein lokales Minimum ist. Die Aussage ist wahr. 2. Im Intervall \((1; 4)\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) < 0\). Folglich ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fallend. Die Aussage ist falsch. 3. Wendestellen der Funktion \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen ihrer Ableitungsfunktion \(f'\). Da der Graph von \(f'\) im gezeigten Bereich einen Hochpunkt (ca. bei \(x \approx -1{,}4\)) und einen Tiefpunkt (ca. bei \(x \approx 2{,}7\)) besitzt, hat \(f\) dort genau zwei Wendestellen. Die Aussage ist wahr. 4. Der Wert \(f''(1)\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f'\) an der Stelle \(x = 1\). Da der Graph von \(f'\) an dieser Stelle fällt, ist die Steigung negativ, also \(f''(1) < 0\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Wahr

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Ableitung und den Extrempunkten der ursprünglichen Funktion besteht. - Achte beim Bestimmen der Art des Extrempunktes darauf, ob die Ableitung von oben nach unten oder von unten nach oben durch die \(x\)-Achse geht. - Wo ist die Steigung der Funktion negativ? Was bedeutet das für das Monotonieverhalten? - Erinnere dich daran, dass die Steigung in einem Wendepunkt extremal ist. Was muss also im Graphen der Ableitung an diesen Stellen zu sehen sein?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 5\) ab. 2. Art der Extremstellen: - Bei \(x = -3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, daher liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. - Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, daher liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - Bei \(x = 5\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, daher liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 3. Monotonie: Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend, wenn \(f'(x) \le 0\) gilt. Dies ist in den Intervallen \([-4; -3]\) und \([1; 5]\) der Fall. 4. Wendestellen: Die Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Der Graph von \(f'\) hat zwei Extrempunkte (einen Hochpunkt bei \(x \approx -1{,}3\) und einen Tiefpunkt bei \(x \approx 3{,}3\)). Somit besitzt \(f\) im betrachteten Bereich genau zwei Wendestellen.

a) Lokale Minimalstellen bei \(x = -3\) und \(x = 5\) (Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)); lokale Maximalstelle bei \(x = 1\) (Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)). b) Die Funktion \(f\) fällt streng monoton in den Intervallen \([-4; -3]\) und \([1; 5]\). c) Es gibt 2 Wendestellen, da der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) im gezeigten Bereich zwei lokale Extremstellen besitzt.

- Was sagt ein Hochpunkt im Graphen der Ableitung über die Krümmung oder die Steigungsänderung der Originalfunktion aus? - Wenn die Ableitung in einem Bereich positiv ist, was weißt du dann über das Wachstum der Funktion? - Wo genau liest man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ab, wenn man den Graphen der Ableitung gegeben hat?

1. Wendestelle bei \(x = 3\): Eine Wendestelle von \(f\) liegt dort vor, wo die Steigung der Funktion \(f\) (also \(f'\)) ein lokales Extremum hat. Da der Graph von \(f'\) bei \(x = 3\) einen Hochpunkt besitzt, hat \(f\) dort eine Wendestelle. 2. Vergleich von \(f(1)\) und \(f(3)\): Im Intervall \((1; 5)\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der x-Achse (\(f'(x) > 0\)). Das bedeutet, dass die Funktion \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton steigt. Da \(3 > 1\) ist, muss folglich \(f(3) > f(1)\) gelten. 3. Tangentensteigung bei \(x = 0\): Die Steigung der Tangente an \(f\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion \(f'(0)\). Aus dem Graphen lässt sich an der Stelle \(x = 0\) der Funktionswert \(y = -2{,}5\) ablesen. Die Steigung beträgt also \(-2{,}5\).

a) \(f\) hat bei \(x = 3\) eine Wendestelle, da \(f'\) dort eine lokale Extremstelle (einen Hochpunkt) besitzt. b) Es gilt \(f(3) > f(1)\), da \(f'\) im Intervall \((1; 3)\) positiv ist und die Funktion \(f\) dort somit streng monoton steigt. c) Die Tangentensteigung an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(f'(0) = -2{,}5\).

- Prüfe, welcher Graph die Ableitung des anderen sein kann. - Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an Nullstellen von \(f'\). - Das Vorzeichen von \(f''\) an einer solchen Stelle hilft bei der Klassifikation.

1. Der Graph \(g_1\) ist kubisch, \(g_2\) quadratisch. Außerdem liegen die Nullstellen von \(g_2\) an den Extremstellen von \(g_1\). Daher gilt \(g_1=f'\) und \(g_2=f''\). 2. Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\): \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). 3. Bei \(x=-3\) und \(x=3\) gilt \(f''(x)>0\), also liegen dort Tiefpunkte vor. Bei \(x=0\) gilt \(f''(0)<0\), also liegt dort ein Hochpunkt vor.

a) \(g_1=f'\), \(g_2=f''\). b) Waagerechte Tangenten bei \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\); Tiefpunkte bei \(x=-3\) und \(x=3\), Hochpunkt bei \(x=0\).

- Prüfe anhand von Form und Extremstellen, welcher Graph die Ableitung des anderen ist. - Linksgekrümmt bedeutet hier \(f''(x)>0\). - Bestimme dazu den Bereich, in dem der Graph von \(f''\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Der Graph \(g_1\) ist kubisch und \(g_2\) quadratisch. Die Nullstellen von \(g_2\) liegen an den Extremstellen von \(g_1\). Daher gilt \(g_1=f'\) und \(g_2=f''\). 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x)>0\). Die Nullstellen von \(g_2\) liegen bei \(x=\pm\sqrt3\approx\pm1{,}73\). Zwischen ihnen liegt \(g_2\) oberhalb der \(x\)-Achse. 3. Daher ist \(f\) für \(x\in(-\sqrt3;\sqrt3)\) linksgekrümmt.

a) \(g_1=f'\), \(g_2=f''\). b) \(x\in(-\sqrt3;\sqrt3)\), näherungsweise \((-1{,}73;1{,}73)\).

- Bestimme zuerst die Eigenschaften der Basisfunktion \(f\), wie zum Beispiel den Scheitelpunkt oder die Nullstellen. - Überlege dir, wie sich der Graph verändert, wenn man eine Zahl zum Funktionswert addiert oder zum Argument \(x\). - Erinnere dich daran, welchen Funktionstyp die Ableitung einer quadratischen Funktion hat. - Nutze markante Punkte wie den tiefsten Punkt (Scheitelpunkt), um die Verschiebungen zu verfolgen.

1. Identifikation der Basisfunktion \(f(x) = x^2 - 2x\): Dies ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=2\) sowie dem Scheitelpunkt bei \((1 \mid -1)\). Dies entspricht Graph II. 2. Identifikation der Ableitungsfunktion \(f'(x)\): Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist linear. \(f'(x) = 2x - 2\). Dies ist eine Gerade mit der Steigung 2 und dem y-Achsenabschnitt \(-2\). Dies entspricht Graph IV. 3. Identifikation der vertikalen Verschiebung \(g(x) = f(x) + 3\): Der Graph von \(f\) wird um 3 Einheiten nach oben verschoben. Der neue Scheitelpunkt liegt bei \((1 \mid -1 + 3) = (1 \mid 2)\). Dies entspricht Graph I. 4. Identifikation der horizontalen Verschiebung \(h(x) = f(x + 2)\): Der Graph von \(f\) wird um 2 Einheiten nach links verschoben. Der neue Scheitelpunkt liegt bei \((1 - 2 \mid -1) = (-1 \mid -1)\). Dies entspricht Graph III.

Graph I: \(g(x) = f(x) + 3\); Graph II: \(f(x)\); Graph III: \(h(x) = f(x + 2)\); Graph IV: \(f'(x)\).

- Für a) prüfst du den Vorzeichenwechsel von \(f'\) an \(x=0\). - Für b) betrachtest du das Vorzeichen von \(f'\) im Intervall. - Für c) liest du das Vorzeichen von \(f''(1)\) aus der Steigung des Graphen von \(f'\) ab.

1. Bei \(x=0\) hat \(f'\) eine Nullstelle und wechselt von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Aussage a) ist wahr. 2. Im Inneren von \([0;2]\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage b) ist wahr. 3. Der Wert \(f''(1)\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\) bei \(x=1\). Dort fällt der Graph von \(f'\), also ist die Steigung negativ. Aussage c) ist wahr.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr; \(f''(1)<0\).

- Für a) untersuchst du den Vorzeichenwechsel von \(f'\) bei \(x=0\). - Für b) ist das Vorzeichen von \(f'\) im Intervall entscheidend. - Für c) betrachtest du, ob \(f'\) bei \(x=2\) von Fallen zu Steigen wechselt.

1. Bei \(x=0\) hat \(f'\) eine Nullstelle und wechselt von Plus nach Minus. Daher besitzt \(f\) dort einen lokalen Hochpunkt. Aussage a) ist wahr. 2. Im Inneren von \([0;4]\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage b) ist wahr. 3. Bei \(x=2\) hat \(f'\) einen lokalen Tiefpunkt. Links davon fällt \(f'\), rechts davon steigt \(f'\); damit wechselt \(f''\) dort das Vorzeichen. Also besitzt \(f\) bei \(x=2\) eine Wendestelle. Aussage c) ist wahr.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr.

- Zähle die Stellen, an denen der Graph der Ableitung die \(x\)-Achse kreuzt. - Überlege dir, bei welchem Vorzeichenwechsel von \(f'\) die Funktion von Sinken auf Steigen umschaltet. - Wo ändert die Ableitung ihre Steigungsrichtung? Diese Stellen sind wichtig für die Krümmung.

1. Extremstellen von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Diese liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\); daher besitzt \(f\) drei Extremstellen. 2. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt ein lokales Maximum vor. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt ein lokales Minimum vor. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt ein lokales Maximum vor. 3. Wendepunkte von \(f\) liegen an den Extremstellen von \(f'\). Der Graph von \(f'\) besitzt zwei Extremstellen, ungefähr bei \(x \approx -1{,}15\) und \(x \approx 1{,}15\). Daher besitzt \(f\) zwei Wendepunkte.

1. \(f\) besitzt drei Extremstellen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. Das lokale Minimum liegt bei \(x = 0\); bei \(x = -2\) und \(x = 2\) liegen lokale Maxima. 3. Der Graph von \(f\) besitzt zwei Wendepunkte.

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion aussagt. - Wie erkennst du an der Ableitung, ob ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt vorliegt? - Achte besonders auf die Stellen, an denen der Graph der Ableitung die x-Achse schneidet oder berührt. - Was bedeutet eine Nullstelle der Ableitung für die Steigung der Tangente im Funktionsgraphen?

1. Analyse des Graphen von \(f'\): Die Funktion \(f\) ist dort streng monoton steigend, wo \(f'(x) > 0\), und streng monoton fallend, wo \(f'(x) < 0\). Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel (VZW) kennzeichnen lokale Extrema von \(f\). 2. Aussage a): Falsch. Im Intervall \((-2; 0)\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der x-Achse (\(f'(x) > 0\)), daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. 3. Aussage b): Richtig. An der Stelle \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Das bedeutet, \(f\) wechselt von Steigen zu Fallen, was einen Hochpunkt definiert. 4. Aussage c): Falsch. Bei \(x = 3\) hat \(f'\) einen VZW von Minus nach Plus. Dies entspricht einem Tiefpunkt von \(f\). Ein Sattelpunkt läge nur vor, wenn \(f'(3) = 0\) ohne VZW wäre. 5. Aussage d): Richtig. Eine Nullstelle der Ableitungsfunktion (\(f'(x_0) = 0\)) bedeutet geometrisch immer, dass die Tangente an den Graphen von \(f\) an dieser Stelle die Steigung Null hat, also waagerecht verläuft.

a) Falsch, da \(f'(x) > 0\) für \(x \in (-2; 0)\). b) Richtig, da \(f'(0) = 0\) mit VZW von \(+\) nach \(-\). c) Falsch, da \(f'(3) = 0\) mit VZW von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt). d) Richtig, da \(f'(3) = 0\) die Bedingung für eine waagerechte Tangente ist.

- Suche bei jedem Funktionsgraphen zunächst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Vergleiche diese Stellen mit den Nullstellen der drei Ableitungsgraphen. - Prüfe danach, ob die Vorzeichen des Kandidaten zum Steig- und Fallverhalten passen.

1. Graph A ist eine Parabel mit waagerechter Tangente bei \(x=2\). Links davon fällt A, rechts davon steigt A. Ableitungsgraph (1) hat dort eine Nullstelle und wechselt von negativen zu positiven Werten. Daher gehört A zu (1). 2. Graph B ist eine Funktion vierten Grades mit waagerechten Tangenten bei \(x=-\sqrt2\), \(x=0\) und \(x=\sqrt2\). Ableitungsgraph (2) hat genau dort Nullstellen, und seine Vorzeichen passen zum Steig- und Fallverhalten von B. Daher gehört B zu (2). 3. Graph C besitzt bei \(x=-1\) und \(x=1\) waagerechte Tangenten. Zwischen diesen Stellen steigt C, außerhalb fällt C. Ableitungsgraph (3) ist zwischen \(-1\) und \(1\) positiv und außerhalb negativ. Daher gehört C zu (3).

A \(\rightarrow\) (1), B \(\rightarrow\) (2), C \(\rightarrow\) (3).

- Vergleiche die Stellen mit waagerechter Tangente mit den Nullstellen der Kandidaten. - Prüfe anschließend die Vorzeichen der möglichen Ableitungsgraphen. - Die Form des Ableitungsgraphen kann zusätzlich helfen, wenn der Funktionstyp erkennbar ist.

1. Graph (1) ist eine Funktion vierten Grades mit waagerechten Tangenten bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Graph B besitzt dort seine Nullstellen und die passenden Vorzeichen. Daher gehört (1) zu B. 2. Graph (2) ist eine kubische Funktion mit waagerechten Tangenten bei \(x=-1\) und \(x=1\). Graph C besitzt dort Nullstellen; außerhalb ist C positiv und dazwischen negativ, passend zum Verlauf von (2). Daher gehört (2) zu C. 3. Graph (3) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit waagerechter Tangente bei \(x=0\). Die Ableitung muss eine fallende Gerade durch den Ursprung sein. Daher gehört (3) zu A.

(1) \(\rightarrow\) B, (2) \(\rightarrow\) C, (3) \(\rightarrow\) A.

- Nutze bei der Geraden, dass ihre Steigung überall gleich ist. - Bei den nichtlinearen Graphen vergleichst du Stellen mit waagerechter Tangente mit Nullstellen der Kandidaten. - Symmetrie und Vorzeichen liefern zusätzliche Kontrollen für die Zuordnung.

1. Graph (1) ist eine fallende Gerade. Ihre Ableitung ist eine konstante negative Funktion. Das passt zu Graph A. 2. Graph (2) ist eine gerade Funktion vierten Grades mit waagerechten Tangenten bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Die Ableitung muss dort Nullstellen haben und punktsymmetrisch sein. Das passt zu Graph C. 3. Graph (3) ist eine kubische Funktion mit waagerechten Tangenten bei \(x=-1\) und \(x=1\). Die Ableitung ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen an diesen Stellen. Das passt zu Graph B.

(1) \(\rightarrow\) A, (2) \(\rightarrow\) C, (3) \(\rightarrow\) B.

- Überlege dir, wie der Grad einer Funktion und ihrer Ableitung zusammenhängen. - Welchen besonderen Wert muss die Ableitung an den Stellen haben, an denen die Ausgangsfunktion einen Berg oder ein Tal hat? - Achte auf das Vorzeichen der Ableitung: Was bedeutet es für die Steigung der Funktion, wenn der Graph der Ableitung oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft? - Wo findet man im Graphen der Ableitung den Hinweis auf die stärkste Steigung oder das stärkste Gefälle der Ausgangsfunktion?

1. Der blaue Graph ist kubisch, der rote eine Parabel. Da beim Ableiten der Grad um \(1\) sinkt und die Nullstellen des roten Graphen mit den Extremstellen des blauen übereinstimmen, gehört Blau zu \(f\) und Rot zu \(f'\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -1\) und \(x = 2\). Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt ein Hochpunkt vor. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt ein Tiefpunkt vor. 3. Der Scheitelpunkt von \(f'\) liegt bei \(x = 0{,}5\). Am blauen Graphen liest man dort \(f(0{,}5) \approx 0{,}35\) ab. Der Wendepunkt liegt näherungsweise bei \(W(0{,}5 \mid 0{,}35)\).

a) Blau gehört zu \(f\), Rot zu \(f'\). b) Hochpunkt bei \(x = -1\); Tiefpunkt bei \(x = 2\). c) \(W(0{,}5 \mid 0{,}35)\) näherungsweise.

- Für Extremstellen untersuchst du Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für die Krümmung betrachtest du, ob der Graph von \(f'\) steigt oder fällt. - Wendestellen von \(f\) hängen mit lokalen Extremstellen von \(f'\) zusammen.

1. Die Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel liegen bei \(x=-\sqrt3\approx-1{,}73\), \(x=0\) und \(x=\sqrt3\approx1{,}73\). Bei \(-\sqrt3\) und \(\sqrt3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegen lokale Minima vor. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt ein lokales Maximum vor. 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wo \(f'\) steigt. Das ist auf \([-2{,}5;-1)\) und \((1;2{,}5]\) der Fall. 3. Wendestellen von \(f\) liegen dort, wo \(f'\) lokale Extremstellen besitzt. Diese liegen bei \(x=-1\) und \(x=1\).

1. Lokale Minima bei \(x=\pm\sqrt3\approx\pm1{,}73\); lokales Maximum bei \(x=0\). 2. Linksgekrümmt auf \([-2{,}5;-1)\) und \((1;2{,}5]\). 3. Wendestellen bei \(x=-1\) und \(x=1\).

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung über die Steigung der ursprünglichen Funktion aussagt. - Wo schneidet der Graph der Ableitung die x-Achse? Das sind die Kandidaten für Extremstellen. - Schau dir an, wie sich die Werte der Ableitung kurz vor und kurz nach einer Nullstelle verändern. Geht der Graph von oben nach unten durch die Achse oder umgekehrt? - Erinnere dich daran, dass „wachsend“ bedeutet, dass die Steigung positiv ist.

1. Im dargestellten Bereich ist \(f'(x) > 0\) für \(-4 \le x < -2\) und für \(1 < x < 3\). Daher ist \(f\) auf \([-4; -2]\) und \([1; 3]\) streng monoton wachsend. 2. Es gilt \(f'(x) < 0\) für \(-2 < x < 1\) und für \(3 < x \le 5\). Daher ist \(f\) auf \([-2; 1]\) und \([3; 5]\) streng monoton fallend. 3. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus: lokales Maximum. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus: lokales Minimum. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus: lokales Maximum.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-4; -2]\) und \([1; 3]\) streng monoton wachsend sowie auf \([-2; 1]\) und \([3; 5]\) streng monoton fallend. b) Lokale Maxima bei \(x = -2\) und \(x = 3\); lokales Minimum bei \(x = 1\).

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente mit Nullstellen der Kandidaten. - Prüfe zusätzlich die Vorzeichen der Kandidaten in steigenden und fallenden Abschnitten. - Symmetrie und Funktionstyp können als Kontrolle dienen.

1. \(f\) ist eine Parabel mit waagerechter Tangente bei \(x=0\). Der zugehörige Ableitungsgraph muss dort eine Nullstelle haben und eine steigende Gerade sein. Daher gehört \(f\) zu \(r\). 2. \(g\) ist eine kubische Funktion mit waagerechten Tangenten bei \(x=-2\) und \(x=2\). Der Ableitungsgraph \(p\) hat genau dort Nullstellen und die passenden Vorzeichen. Daher gehört \(g\) zu \(p\). 3. \(h\) ist eine gerade Funktion vierten Grades mit waagerechten Tangenten bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Der punktsymmetrische kubische Graph \(q\) besitzt genau dort Nullstellen und die passenden Vorzeichen. Daher gehört \(h\) zu \(q\).

\(f\rightarrow r\), \(g\rightarrow p\), \(h\rightarrow q\).

- Für a) betrachtest du das Vorzeichen von \(f'\). - Für b) prüfst du die Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von \(f'\). - Für c) untersuchst du, ob \(f'\) links und rechts von \(x=2\) fällt oder steigt.

1. Im dargestellten Bereich gilt \(f'(x)>0\) für \(-1\le x<1\) und \(3<x\le5\). Somit ist \(f\) auf \([-1;1]\) und \([3;5]\) streng monoton steigend. 2. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also hat \(f\) dort ein lokales Maximum. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also hat \(f\) dort ein lokales Minimum. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x=2\) ein lokales Minimum. Links davon fällt \(f'\), rechts davon steigt \(f'\). Damit wechselt \(f''\) von negativ zu positiv. Der Graph von \(f\) wechselt dort von Rechts- zu Linkskrümmung und besitzt bei \(x=2\) einen Wendepunkt.

a) \([-1;1]\) und \([3;5]\). b) Lokales Maximum bei \(x=1\); lokales Minimum bei \(x=3\). c) Bei \(x=2\) liegt ein Wendepunkt mit Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung vor.

- Welche besondere Eigenschaft hat die Ableitung an einer Stelle, an der die Originalfunktion einen Hoch- oder Tiefpunkt hat? - Betrachte die Steigung der Geraden \(g\). Wie müsste der Graph einer Funktion aussehen, die diese Steigung beschreibt? - Vergleiche die Nullstellen der einen Funktion mit den waagerechten Tangenten der anderen Funktion.

1. Überprüfung, ob \(g = f'\) gilt: Der Graph von \(f\) (Parabel) hat seinen Tiefpunkt (Extremstelle) bei \(x = 2\). Eine Ableitungsfunktion müsste dort eine Nullstelle haben. Da der Graph von \(g\) an der Stelle \(x = 2\) den Funktionswert \(g(2) = 0{,}5 \neq 0\) besitzt, kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein. 2. Überprüfung, ob \(f = g'\) gilt: Der Graph von \(g\) ist eine Gerade mit einer konstanten, negativen Steigung (hier \(m = -0{,}5\)). Die Ableitungsfunktion einer linearen Funktion ist immer eine konstante Funktion. Da der Graph von \(f\) eine Parabel und somit keine Parallele zur x-Achse ist, kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein.

\(g\) ist nicht die Ableitungsfunktion von \(f\), da \(f\) bei \(x = 2\) ein Minimum hat, \(g\) dort aber keine Nullstelle besitzt (\(g(2) = 0{,}5\)). \(f\) ist nicht die Ableitungsfunktion von \(g\), da \(g\) eine Gerade mit konstanter negativer Steigung ist, die Ableitungsfunktion also eine konstante negative Funktion sein müsste, während \(f\) eine Parabel ist.

- Betrachte die Stellen, an denen einer der Graphen einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. Welchen Wert muss der andere Graph dort haben, wenn er die Ableitung ist? - Überlege dir, wie sich das Steigen oder Fallen einer Funktion im Vorzeichen ihrer Ableitungsfunktion widerspiegelt. - Schätze die Steigung bei \(x = 0\) anhand der lokalen Kurvenrichtung und vergleiche sie mit dem Wert des anderen Graphen. - Beachte den Verlauf für große \(x\)-Werte: Wie ändert sich der Grad einer Funktion beim Ableiten?

1. Zusammenhang zwischen Extremstellen und Nullstellen: Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = -2\) einen Hochpunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Da die Tangente in Extrempunkten waagerecht verläuft, muss die Ableitungsfunktion dort den Wert null annehmen. Der Graph von \(g\) besitzt genau an diesen Stellen Nullstellen, was \(g = f'\) bestätigt. Umgekehrt kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein: \(g\) ist quadratisch, daher wäre \(g'\) linear; der Graph von \(f\) ist jedoch kubisch. 2. Zusammenhang zwischen Monotonie und Vorzeichen: Im Intervall \((-2; 2)\) ist der Graph von \(f\) streng monoton fallend. Die Ableitungsfunktion muss dort negative Werte annehmen. Tatsächlich verläuft der Graph von \(g\) in diesem Intervall unterhalb der \(x\)-Achse. Für \(x < -2\) und \(x > 2\) steigt \(f\), und \(g\) ist positiv. 3. Überprüfung an der Stelle \(x = 0\): An der Stelle \(x = 0\) zeigt der Graph von \(f\) eine negative Steigung von näherungsweise \(-1{,}2\). Der Funktionswert der Ableitungsfunktion \(g\) an dieser Stelle beträgt ebenfalls \(g(0) = -1{,}2\).

a) \(g\) ist die Ableitungsfunktion von \(f\) (\(g = f'\)), da die Nullstellen von \(g\) bei \(x = -2\) und \(x = 2\) mit den Extremstellen von \(f\) übereinstimmen. Zudem ist \(g\) negativ, wo \(f\) fällt, und positiv, wo \(f\) steigt. b) Bei \(x = 0\) gilt \(g(0) = -1{,}2\). Dies entspricht näherungsweise der Steigung des Graphen von \(f\) an dieser Stelle.

- Berechne zunächst die Ableitungen \(f'(x)\) und \(g'(x)\). - Achte auf den Grad der resultierenden Funktionen: Die Ableitung einer Funktion 3. Grades ist quadratisch, die einer Funktion 4. Grades kubisch. - Nutze die Symmetrieeigenschaften: Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch, solche mit ungeraden Exponenten punktsymmetrisch. - Bestimme die Nullstellen der Ableitungen und vergleiche sie mit den Schnittpunkten auf der \(x\)-Achse in den Abbildungen.

1. Bestimmung der Ableitungen: Durch Anwendung der Potenzregel erhält man: \(f'(x) = x^2 - 1\) \(g'(x) = x^3 - 4x\) 2. Analyse von \(f'\): Die Funktion \(f'(x) = x^2 - 1\) ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete, achsensymmetrische Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid -1)\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 1\) und \(x = -1\). Diese Merkmale finden sich in Graph A. 3. Analyse von \(g'\): Die Funktion \(g'(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4)\) ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung und besitzt drei Nullstellen: bei \(x = 0\), \(x = 2\) und \(x = -2\). Diese Eigenschaften werden durch Graph B korrekt dargestellt.

Die Ableitungsfunktion \(f'\) wird durch Graph A dargestellt, die Ableitungsfunktion \(g'\) durch Graph B.

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung \(f'\) über die Monotonie der Funktion \(f\) aussagt. - Wie hängen die Nullstellen von \(f'\) mit den Extremstellen von \(f\) zusammen? Achte dabei auf den Vorzeichenwechsel. - Die Krümmung von \(f\) lässt sich am Monotonieverhalten von \(f'\) ablesen. Wann ist eine Funktion links- oder rechtsgekrümmt? - Wo findet man die Wendestellen einer Funktion im Graphen ihrer Ableitung?

1. **Wahr**: Im Intervall \([-3; 0]\) verläuft der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse (\(f'(x) \ge 0\)). Daher ist die Ausgangsfunktion \(f\) dort streng monoton steigend. 2. **Falsch**: An der Stelle \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Dies entspricht einer lokalen Maximalstelle von \(f\), keiner Minimalstelle. 3. **Falsch**: Ein Graph ist rechtsgekrümmt, wenn die Ableitung \(f'\) streng monoton fallend ist. Der Graph von \(f'\) fällt zwar ab \(x = 0\), erreicht aber bei ca. \(x \approx 2{,}4\) einen Tiefpunkt und steigt danach wieder an. Somit ist \(f\) nicht im gesamten Intervall \([1; 3]\) rechtsgekrümmt. 4. **Wahr**: Wendestellen von \(f\) liegen an den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Da \(G_{f'}\) im gezeigten Bereich genau einen Hochpunkt (bei \(x \approx -1{,}7\)) und einen Tiefpunkt (bei \(x \approx 2{,}4\)) besitzt, hat \(f\) genau zwei Wendestellen.

1. Wahr 2. Falsch 3. Falsch 4. Wahr

- Für die Extremstellen prüfst du die Vorzeichenwechsel von \(f'\) an seinen Nullstellen. - Linksgekrümmt ist \(f\) dort, wo \(f'\) steigt. - Achte darauf, wo der Ableitungsgraph seine Steig- beziehungsweise Fallrichtung wechselt.

1. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv, daher liegt dort ein Tiefpunkt. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ, daher liegt dort ein Hochpunkt. 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wo \(f'\) steigt. Im dargestellten Bereich steigt \(f'\) für \(-0{,}5\le x<2\). Daher ist \(f\) dort linksgekrümmt. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von Steigen zu Fallen, also wechselt \(f''\) das Vorzeichen; dort liegt die Wendestelle.

a) Tiefpunkt bei \(x=1\); Hochpunkt bei \(x=3\). b) Linksgekrümmt auf \([-0{,}5;2)\); Wendestelle bei \(x=2\).

- Nutze für a) und b) Vorzeichen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für c) betrachtest du, ob der Graph von \(f'\) steigt oder fällt. - Für d) reicht das Monotonieverhalten zwischen \(x=-2\) und \(x=0\).

1. Im Inneren von \([-2;2]\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Maximum und kein Minimum. Aussage b) ist falsch. 3. Für \(0<x<4\) fällt der Graph von \(f'\), also gilt \(f''(x)<0\). Daher ist der Graph von \(f\) dort rechtsgekrümmt. Aussage c) ist wahr. 4. Da \(f\) auf \([-2;2]\) streng steigt, gilt \(f(0)>f(-2)=0\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr. b) Falsch. c) Wahr. d) Falsch.

- Wo die Ableitung \(f'(x)\) die \(x\)-Achse schneidet, hat die ursprüngliche Funktion \(f\) eine waagerechte Tangente. - Ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) bedeutet, dass die Funktion von Steigen auf Fallen oder umgekehrt wechselt. - Was passiert mit der Funktion \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) zwar null wird, aber danach dasselbe Vorzeichen behält wie davor? - Achte genau darauf, ob der gezeigte Graph die Funktion selbst oder ihre Ableitung darstellt.

1. Bestimmung der Extremstellen von \(f\): - Lokale Extremstellen liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. - Bei \(x = -3\) wechselt \(f'\) vom negativen in den positiven Bereich. Dies entspricht einem Übergang von fallendem zu steigendem Graphen von \(f\), also liegt ein Tiefpunkt vor. - Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) vom positiven in den negativen Bereich. Dies entspricht einem Übergang von steigendem zu fallendem Graphen von \(f\), also liegt ein Hochpunkt vor. 2. Bestimmung des Terrassenpunkts von \(f\): - Ein Terrassenpunkt liegt vor, wenn \(f'(x) = 0\) gilt, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Bei \(x = 4\) hat \(f'\) eine Nullstelle, bleibt aber sowohl links als auch rechts davon im negativen Bereich (\(f'(x) < 0\)). Daher hat der Graph von \(f\) an dieser Stelle eine waagerechte Tangente, fällt aber weiter. Es liegt ein Terrassenpunkt vor.

a) Bei \(x = -3\) liegt ein Tiefpunkt vor; bei \(x = 1\) liegt ein Hochpunkt vor. b) Bei \(x = 4\) liegt ein Terrassenpunkt vor, da \(f'(4) = 0\) gilt, aber kein Vorzeichenwechsel stattfindet.

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Steigungsverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Was passiert mit dem Graphen von \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) die x-Achse schneidet? - Achte auf die Richtung des Vorzeichenwechsels an den Nullstellen der Ableitung.

1. Die Funktion \(f\) ist dort streng monoton fallend, wo \(f'(x)<0\) gilt. Im dargestellten Bereich ist dies für \(-4<x<-2\) und \(1<x<3\) der Fall. Daher ist \(f\) auf \([-4;-2]\) und \([1;3]\) streng monoton fallend. 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=3\). 3. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; dort liegt ein lokales Minimum. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; dort liegt ein lokales Maximum. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; dort liegt ein lokales Minimum.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-4;-2]\) und \([1;3]\) streng monoton fallend. b) Lokale Minima liegen bei \(x=-2\) und \(x=3\); ein lokales Maximum liegt bei \(x=1\).

- Eine Nullstelle der ersten Ableitung allein entscheidet noch nicht, ob eine Extremstelle vorliegt. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f'\) unmittelbar links und rechts der betrachteten Nullstellen. - Für einen Terrassenpunkt ist zusätzlich wichtig, wie sich die Steigung von \(f'\) an der betreffenden Stelle verhält.

1. Bei \(x=2\) gilt \(f'(2)=0\), aber \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen. Daher besitzt \(f\) bei \(x=2\) keine Extremstelle. 2. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Deshalb hat \(f\) dort ein lokales Maximum. 3. Bei \(x=2\) hat \(f'\) ein lokales Maximum mit dem Wert \(0\). Damit gilt \(f'(2)=0\) ohne Vorzeichenwechsel; zugleich wechselt die Steigung von \(f'\) dort ihr Vorzeichen. Daher besitzt \(f\) bei \(x=2\) einen Sattelpunkt (Terrassenpunkt).

a) Nein; bei \(x=2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht. b) Lokales Maximum bei \(x=-1\). c) Sattelpunkt bei \(x=2\), weil \(f'(2)=0\) ohne Vorzeichenwechsel gilt und \(f'\) dort ein lokales Maximum besitzt.

- Überlege, welche Information die y-Werte des dargestellten Ableitungsgraphen über die ursprüngliche Funktion liefern. - Untersuche an den Nullstellen von \(f'\), ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Für die Krümmung von \(f\) ist entscheidend, ob der Graph von \(f'\) steigt oder fällt. - Eine Tangentensteigung von \(f\) lässt sich direkt als Funktionswert von \(f'\) ablesen.

1. Für \(-2<x<1\) gilt \(f'(x)<0\), und an den Randstellen ist \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([-2;1]\) streng monoton fallend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort ein lokaler Hochpunkt, kein Tiefpunkt. Aussage b) ist falsch. 3. Für \(0<x<3\) steigt der dargestellte Graph von \(f'\). Somit gilt \(f''(x)>0\), und der Graph von \(f\) ist dort linksgekrümmt. Aussage c) ist wahr. 4. Die Tangentensteigung bei \(x=-1\) ist \(f'(-1)\). Aus dem Graphen liest man \(f'(-1)=-1\) ab. Aussage d) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch; bei \(x=-2\) liegt ein Hochpunkt. c) Wahr. d) Wahr.

- Überlege dir, wie das Vorzeichen der ersten Ableitung mit dem Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion zusammenhängt. - Wie erkennst du an einem Ableitungsgraphen, ob die ursprüngliche Funktion an einer Stelle steigt oder fällt? - Was sagt die Steigung der ersten Ableitung (also die zweite Ableitung) über die Krümmung des Funktionsgraphen aus? - Denke an den Zusammenhang zwischen Extremstellen der Ableitung und besonderen Stellen der ursprünglichen Funktion.

1. Monotonie von \(f\): Da der Graph der Ableitung \(f'\) im Intervall \([1; 3]\) auf oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft (\(f'(x) \le 0\)), ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage (a) ist wahr. 2. Art der Extremstelle bei \(x=1\): Der Graph von \(f'\) wechselt bei \(x=1\) das Vorzeichen von Plus nach Minus. Dies entspricht einem lokalen Maximum der Funktion \(f\). Aussage (b) ist falsch. 3. Krümmungsverhalten von \(f\): Das Krümmungsverhalten wird durch die Steigung von \(f'\) bestimmt. Da \(f'\) bei \(x \approx -0{,}8\) ein lokales Maximum hat, wechselt die Steigung dort von positiv zu negativ, was einem Wechsel von Links- zu Rechtskrümmung entspricht. Somit ist \(f\) nicht im gesamten Intervall \([-1; 1]\) linksgekrümmt. Aussage (c) ist falsch. 4. Anzahl der Wendestellen: Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Im abgebildeten Bereich besitzt der Graph von \(f'\) genau zwei Extremstellen (ein lokales Maximum bei \(x \approx -0{,}8\) und ein lokales Minimum bei \(x \approx 2{,}1\)). Aussage (d) ist wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Falsch d) Wahr

- Vergleiche den Grad der gesuchten Ableitungsfunktion mit der Form des dargestellten Graphen. - Untersuche die Nullstelle bei \(x=0\) genauer: Entscheidend ist nicht nur, dass der Wert null ist, sondern auch das Vorzeichen links und rechts davon. - Prüfe, welches Vorzeichen \(f'(x)\) für negative x-Werte haben muss.

1. Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)\). 2. Grad: Die Ableitung einer Funktion 4. Grades ist eine Funktion 3. Grades. Der Graph von \(g\) ist dagegen eine Parabel, also vom Grad 2. 3. Nullstelle und Vorzeichen: \(f'\) hat bei \(x=0\) wegen des Faktors \(x^2\) eine doppelte Nullstelle und wechselt dort nicht das Vorzeichen. Der Graph von \(g\) wechselt bei \(x=0\) dagegen das Vorzeichen. 4. Negative x-Werte: Für \(x<0\) gilt \(4x^2>0\) und \(x-3<0\), also \(f'(x)<0\). Der Graph von \(g\) nimmt für negative x-Werte dagegen positive Werte an.

Der Graph von \(g\) kann nicht der Graph von \(f'\) sein, weil 1. \(f'\) vom Grad 3 sein muss, \(g\) aber vom Grad 2 ist, 2. \(f'\) bei \(x=0\) eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat, \(g\) dort aber das Vorzeichen wechselt, 3. \(f'(x)<0\) für alle \(x<0\) gilt, während \(g\) dort auch positive Werte hat.

- Achte darauf, dass hier nicht die Funktion selbst, sondern ihre Ableitung dargestellt ist. - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über das Steigungsverhalten der Originalfunktion aus? - Wo findet man im Graphen der Ableitung die Information über die Steilstelle der Originalfunktion? - Wie erkennst du an einem Ableitungsgraphen, ob ein Extrempunkt ein Maximum oder ein Minimum ist?

1. Eine Funktion \(g\) nimmt dort streng monoton ab, wo ihre Ableitung \(g'\) negativ ist. Aus dem Graphen von \(g'\) liest man ab, dass \(g'(x) < 0\) für \(x \in (-2; 2)\) gilt. Die Funktion \(g\) nimmt also im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton ab. 2. Lokale Extremstellen liegen an den Nullstellen von \(g'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Bei \(x = -2\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ, daher liegt dort ein lokales Maximum von \(g\). Bei \(x = 2\) wechselt \(g'\) von negativ zu positiv, was auf ein lokales Minimum von \(g\) hindeutet. 3. Die stärkste negative Steigung entspricht dem globalen Minimum der Ableitungsfunktion im betrachteten Bereich. Der Scheitelpunkt der Parabel \(g'\) liegt bei \(x = 0\) mit dem Wert \(g'(0) = -4\). Somit ist die stärkste negative Steigung von \(g\) an der Stelle \(x = 0\) und beträgt \(-4\).

1. Im Intervall \([-2; 2]\). 2. Lokales Maximum bei \(x = -2\); lokales Minimum bei \(x = 2\). 3. An der Stelle \(x = 0\) ist die Steigung mit \(-4\) am stärksten negativ.

- Überlege dir, an welchen Stellen die ursprüngliche Funktion eine waagerechte Tangente hat. Was bedeutet das für den Wert der Ableitungsfunktion? - Achte auf die Bereiche, in denen die Funktion steigt oder fällt. Welches Vorzeichen hat dort die Ableitung? - Wenn die ursprüngliche Funktion eine Parabel (Grad 2) ist, welchen Grad hat dann ihre Ableitung? - Schau dir den Kurvenverlauf genau an: Wo ist die Steigung am steilsten? Dort muss die Ableitungsfunktion einen Extremwert haben.

1. Analyse von \(f\): Der Graph von \(f\) stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar, deren Scheitelpunkt bei \(x = 2\) liegt. An dieser Stelle ist die Steigung der Tangente gleich \(0\), weshalb die Ableitungsfunktion \(f'\) bei \(x = 2\) eine Nullstelle besitzen muss. Da der Graph für \(x < 2\) fällt (negative Steigung) und für \(x > 2\) steigt (positive Steigung), kommt nur der lineare Graph (1) infrage. Somit gilt: \(f \rightarrow (1)\). 2. Analyse von \(g\): Der Graph von \(g\) weist bei \(x \approx -1{,}2\) einen Hochpunkt und bei \(x \approx 3{,}2\) einen Tiefpunkt auf. Die Ableitungsfunktion \(g'\) muss folglich an diesen Stellen Nullstellen haben. Da \(g\) zwischen diesen Werten fällt, muss \(g'\) dort negative Werte annehmen. Dies entspricht dem Verlauf der Parabel (2). Somit gilt: \(g \rightarrow (2)\).

Der Graph (1) gehört zur Ableitungsfunktion \(f'\) und der Graph (2) gehört zur Ableitungsfunktion \(g'\).

- Erinnere dich an die physikalischen Zusammenhänge: Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges, und die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit. - Suche nach Stellen, an denen ein Graph einen Berg oder ein Tal (Extrempunkt) hat. Was passiert an dieser Stelle beim Graphen der Ableitungsfunktion? - Überprüfe, ob ein Graph über einen Bereich steigt oder fällt. Welches Vorzeichen muss der Graph der Ableitungsfunktion in diesem Bereich haben? - Wenn eine Funktion eine Parabel (Grad 2) ist, welche Form hat dann ihre Ableitung?

1. Zusammenhang zwischen Position \(s\), Geschwindigkeit \(v\) und Beschleunigung \(a\): Es gilt \(s'(t) = v(t)\) und \(v'(t) = a(t)\). 2. Analyse von Graph \(h\) (blau) und \(g\) (grün): Graph \(h\) besitzt ein lokales Maximum bei \(t = 2\) und ein lokales Minimum bei \(t = 6\). An genau diesen Stellen hat Graph \(g\) seine Nullstellen. Da die Nullstellen der Ableitung den Extremstellen der Funktion entsprechen, ist \(g\) die Ableitung von \(h\). Somit ist \(h\) die Position \(s(t)\) und \(g\) die Geschwindigkeit \(v(t)\). 3. Analyse von Graph \(g\) (grün) und \(f\) (rot): Graph \(g\) hat ein lokales Minimum bei \(t = 4\). An dieser Stelle hat der lineare Graph \(f\) seine Nullstelle. Da die Nullstelle der Ableitung der Extremstelle der Funktion entspricht, ist \(f\) die Ableitung von \(g\). Somit ist \(f\) die Beschleunigung \(a(t)\). 4. Ergebnis: \(h = s(t)\), \(g = v(t)\), \(f = a(t)\).

Der Graph \(h\) (blau) stellt die Position \(s(t)\) dar, der Graph \(g\) (grün) die Geschwindigkeit \(v(t)\) und der Graph \(f\) (rot) die Beschleunigung \(a(t)\). Die Extremstellen von \(h\) bei \(t = 2\) und \(t = 6\) stimmen mit den Nullstellen von \(g\) überein, und die Extremstelle von \(g\) bei \(t = 4\) stimmt mit der Nullstelle von \(f\) überein.

- Für Extremstellen von \(f\) sind Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\) entscheidend. - Für Wendestellen von \(f\) untersuche, wo der Graph von \(f'\) seine Steigungsrichtung wechselt. - Der Wert von \(f''\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\).

1. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Maximum. Aussage (1) ist wahr. 2. Für \(0<x<3\) gilt \(f'(x)<0\), an den Randstellen gilt \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([0;3]\) streng monoton fallend. Aussage (2) ist wahr. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x=-\sqrt{3}\) und \(x=\sqrt{3}\) lokale Extremstellen. An beiden Stellen wechselt die Steigung von \(f'\) ihr Vorzeichen. Daher besitzt \(f\) im dargestellten Bereich zwei Wendestellen. Aussage (3) ist wahr. 4. \(f''(2)\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\) bei \(x=2\). Dort steigt der Graph, also gilt \(f''(2)>0\). Aussage (4) ist wahr. 5. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Minimum, keinen Hochpunkt. Aussage (5) ist falsch.

(1) wahr (2) wahr (3) wahr (4) wahr (5) falsch

- Lies zuerst die Schnittpunkte des Ableitungsgraphen mit der x-Achse ab und vergleiche die Vorzeichen auf beiden Seiten. - Übersetze den gegebenen Steigungswinkel in den gesuchten Wert von \(f'\). - Die beiden Nullstellen liefern eine geeignete faktorisierten Form der Parabel; der markierte Punkt bestimmt den noch fehlenden Faktor.

1. Die Nullstellen des dargestellten Graphen liegen bei \(x=1\) und \(x=5\). Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, bei \(x=5\) von positiv zu negativ. 2. Ein Steigungswinkel von \(45^\circ\) entspricht der Steigung \(m=\tan(45^\circ)=1\). Aus dem Graphen liest man \(f'(x)=1\) bei \(x=2\) und \(x=4\) ab. 3. Wegen der Nullstellen gilt \(f'(x)=a(x-1)(x-5)\). Mit \(P(2\mid1)\) folgt \(1=a(2-1)(2-5)=-3a\), also \(a=-\frac{1}{3}\). 4. Damit ist \(f'(x)=-\frac{1}{3}(x-1)(x-5)=-\frac{1}{3}x^2+2x-\frac{5}{3}\). Somit sind \(a=-\frac{1}{3}\), \(b=2\) und \(c=-\frac{5}{3}\).

a) Nullstellen: \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv; \(x=5\) mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. b) Bei \(x=2\) und \(x=4\). c) \(a=-\frac{1}{3}\), \(b=2\), \(c=-\frac{5}{3}\).

- Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Ableitungsfunktion für die ursprüngliche Funktion? - Wie hängen die Intervalle, in denen die Ableitung positiv oder negativ ist, mit dem Steigen und Fallen der Funktion zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Extremstellen der Ableitung und den Wendestellen der Funktion. - Ein Vorzeichenwechsel der Ableitung gibt dir Auskunft über die Art des Extrempunktes.

1. Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) sind die potenziellen Extremstellen von \(f\). Im Graphen sind Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) erkennbar. Bei \(x_1 = -1\) findet ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus statt, also liegt dort ein lokales Maximum vor. Bei \(x_2 = 3\) wechselt das Vorzeichen von Minus nach Plus, folglich liegt dort ein lokales Minimum vor. 2. Der Graph von \(f\) steigt bis \(x = -1\), fällt dann bis \(x = 3\) und steigt danach wieder an. Der Punkt \((0\mid1)\) liegt auf dem Graphen. 3. Eine Wendestelle von \(f\) liegt dort vor, wo die Ableitungsfunktion \(f'\) ein lokales Extremum besitzt. Der Graph von \(f'\) hat seinen Tiefpunkt bei \(x = 1\). Daher hat \(f\) an der Stelle \(x = 1\) eine Wendestelle.

1. Lokales Maximum bei \(x = -1\), lokales Minimum bei \(x = 3\). 2. Qualitativer Verlauf: steigend für \(x < -1\), fallend für \(-1 < x < 3\), steigend für \(x > 3\); der Graph verläuft durch \((0\mid1)\). 3. Wendestelle bei \(x = 1\), da die Ableitungsfunktion dort einen Tiefpunkt hat.

- Prüfe zuerst, ob die Nullstelle von \(g\) zu einer waagerechten Tangente von \(f\) passt. - Das Vorzeichen von \(f''\) entspricht dem Vorzeichen der Steigung von \(g=f'\). - Für den qualitativen Graphen von \(f''\) sind besonders die Stellen wichtig, an denen \(g\) waagerechte Tangenten hat. - Nutze Symmetrie und das Verhalten für große Beträge von \(x\) zur Kontrolle.

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente und dort ein lokales Maximum. Der Graph von \(g\) hat bei \(x=0\) eine Nullstelle und wechselt von positiv zu negativ. Außerdem stimmen die Vorzeichen von \(g\) mit dem Steigen und Fallen von \(f\) überein. Daher gilt \(g=f'\). 2. Rechtskrümmung von \(f\) liegt dort vor, wo \(f''(x)<0\). Da \(f''=g'\), ist dies genau dort der Fall, wo \(g\) fällt. Der Graph von \(g\) fällt für \(-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}\), also näherungsweise für \(-0{,}58<x<0{,}58\). 3. Es gilt \(f''(x)=\frac{4(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}\). Daher liegen die Nullstellen bei \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\). Im dargestellten Bereich besitzt \(f''\) lokale Maxima bei \(x=-1\) und \(x=1\) mit dem Wert \(1\) sowie ein lokales Minimum bei \(x=0\) mit dem Wert \(-4\). Für größere Beträge von \(x\) nähert sich der Graph der x-Achse von oben.

a) \(g=f'\). b) Rechtskrümmung für \(x\in\left(-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\), näherungsweise \((-0{,}58;0{,}58)\). c) Nullstellen von \(f''\) bei \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\); lokale Maxima \((-1\mid1)\) und \((1\mid1)\); lokales Minimum \((0\mid-4)\).