- Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf des Funktionsgraphen aus? - In welchen Bereichen steigt der Graph von links nach rechts? - Bestimme die Stellen, an denen der Graph seine Richtung von fallend zu steigend oder umgekehrt ändert.

Die Ableitungsfunktion \(g'\) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von \(g\) an. Ein positiver Wert von \(g'(x)\) bedeutet, dass \(g\) an dieser Stelle streng monoton steigt. 1. Für \(-4 < x < -2\) fällt der Graph, also ist \(g'(x) < 0\). 2. Bei \(x = -2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, also gilt \(g'(-2) = 0\). 3. Für \(-2 < x < 0\) steigt der Graph, also ist \(g'(x) > 0\). 4. Bei \(x = 0\) liegt ein lokaler Hochpunkt vor, also gilt \(g'(0) = 0\). 5. Für \(0 < x < 2\) fällt der Graph, also ist \(g'(x) < 0\). 6. Bei \(x = 2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, also gilt \(g'(2) = 0\). 7. Für \(2 < x < 4\) steigt der Graph, also ist \(g'(x) > 0\). Somit gilt im dargestellten Bereich \(g'(x) > 0\) für \(x \in (-2; 0)\) und \(x \in (2; 4)\).

Im dargestellten Bereich nimmt \(g'\) für \(x \in (-2; 0)\) und \(x \in (2; 4)\) positive Werte an, weil \(g\) dort streng monoton steigt.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Kurve und ihrer Ableitung. - Wie sieht die Tangente an einem Punkt aus, wenn die Ableitung dort null ist? - Welche besonderen Punkte eines Graphen haben eine waagerechte Tangente?

1. Geometrische Bedeutung der Ableitung: Der Wert \(f'(x)\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an der Stelle \(x\). 2. Bedingung für eine horizontale Tangente: Die Ableitung ist genau dann null, wenn die Tangente waagerecht verläuft. Dies ist an lokalen Extrempunkten der Fall. 3. Auswertung der Punkte: - Punkt \(A\) ist ein lokaler Tiefpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_A) = 0\). - Punkt \(B\) ist ein lokaler Hochpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_B) = 0\). - Punkt \(C\) liegt in einem fallenden Bereich, also \(f'(x_C) < 0\). - Punkt \(D\) ist ein lokaler Tiefpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_D) = 0\). 4. Ergebnis: An den Punkten \(A, B\) und \(D\) gilt \(f'(x) = 0\).

An den Punkten \(A, B\) und \(D\) ist die Ableitung \(f'(x) = 0\), da der Graph dort lokale Extrempunkte (Tief- bzw. Hochpunkte) besitzt und die Tangenten somit waagerecht verlaufen.

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Was weißt du über die Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt? - Überlege, ob der Graph bei \(x = 0\) steigt oder fällt.

1. Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \(x = -2\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 2\). 2. An Extremstellen verläuft die Tangente waagerecht. Somit gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 3. Im Bereich um \(x = 0\) ist der Graph streng monoton fallend. Folglich ist die Ableitung dort negativ, also \(f'(0) < 0\).

a) Die Ableitungsfunktion nimmt bei \(x = -2\) und \(x = 2\) den Wert \(0\) an, da der Graph dort Extrempunkte mit waagerechter Tangente hat. b) \(f'(0) < 0\), da der Graph bei \(x = 0\) fällt.

- Der y-Wert des dargestellten Graphen ist direkt ein Ableitungswert von \(f\). - Was bedeutet ein negativer Ableitungswert für die lokale Steigung des ursprünglichen Graphen?

1. Am Graphen liest man \(g(0)=-1\) ab. Da \(g=f'\) gilt, ist \(f'(0)=-1\). 2. Der Ableitungswert ist negativ. Daher fällt der Graph von \(f\) an der Stelle \(x=0\).

\(f'(0)=-1\). Der Graph von \(f\) fällt bei \(x=0\).

- Lies den Ableitungswert an der jeweils genannten Stelle ab. - Das Vorzeichen von \(f'\) beschreibt die lokale Richtung von \(f\). - Eine waagerechte Tangente entspricht einem bestimmten Ableitungswert.

1. Bei \(x=0\) ist \(f'(0)=-1<0\). Daher fällt \(f\) dort. 2. Bei \(x=2\) ist \(f'(2)=1>0\). Daher steigt \(f\) dort. 3. Eine waagerechte Tangente liegt dort vor, wo \(f'(x)=0\). Der dargestellte Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1\).

a) \(f\) fällt bei \(x=0\). b) \(f\) steigt bei \(x=2\). c) Bei \(x=1\).

- Trenne Funktionswerte von lokalen Steigungen. - Suche zuerst die waagerechten Tangenten. - Prüfe dann, wo der Graph steigt oder fällt. - Welche Eigenschaften des Ableitungsgraphen sind damit festgelegt und welche nicht?

1. A ist falsch. Bei \(x=0\) fällt der Graph, also ist \(f'(0)<0\). Der Funktionswert sagt nichts über die Tangentensteigung aus. 2. B ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) sind die Tangenten waagerecht. 3. C ist wahr. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt der Graph, daher ist \(f'(x)<0\). 4. D ist falsch. Aus dem Graphen lassen sich Nullstellen und Vorzeichen von \(f'\) erschließen, aber ohne zusätzliche Information nicht die exakte Kurvenform von \(f'\).

A) Falsch — bei \(x=0\) fällt \(f\), also ist \(f'(0)<0\). B) Wahr — bei \(x=-2\) und \(x=2\) sind die Tangenten waagerecht. C) Wahr — im Intervall \((-2;2)\) fällt \(f\). D) Falsch — Nullstellen und Vorzeichen legen die exakte Form von \(f'\) nicht fest.

- Überlege zuerst, welcher Graph Funktionswerte und welcher Steigungen liefert. - Die Steigung von \(f\) an einer Stelle ist der zugehörige Funktionswert von \(f'\). - Bei c) suchst du einen \(x\)-Wert zu dem Funktionswert \(1\). - Bei d) suchst du Stellen, an denen die Ableitungsfunktion den Wert \(3\) hat.

1. Am Graphen von \(f\) liest man bei \(x = 2\) den Wert \(f(2) = -1\) ab. 2. Die Steigung bei \(x = -1\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion. Am Graphen von \(f'\) liest man \(f'(-1) = -1{,}5\) ab. 3. Der Graph von \(f\) schneidet bei \((0 \mid 1)\) die \(y\)-Achse. Daher ist \(a = 0\) eine mögliche Stelle mit \(f(a) = 1\). 4. Die Steigung \(3\) liegt an den Stellen vor, an denen \(f'(b) = 3\) gilt. Am Ableitungsgraphen liest man \(b_1 = -2\) und \(b_2 = 2\) ab.

a) \(f(2) = -1\). b) Die Steigung beträgt \(-1{,}5\). c) Eine mögliche Stelle ist \(a = 0\). d) \(b_1 = -2\) und \(b_2 = 2\).

- Suche im Graphen von \(f\) zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Werte muss \(f'\) an diesen Stellen haben? - Prüfe anschließend, wo der Graph von \(f\) fällt und welches Vorzeichen \(f'\) dort haben muss.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Deshalb muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\) gelten. Damit scheiden c und d aus. 2. Zwischen \(x=-1\) und \(x=3\) fällt der Graph von \(f\). Daher muss \(f'(x)<0\) für \(-1<x<3\) gelten. 3. Nur Kandidat a liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse. Daher stellt a die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Kandidat a stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- Beide Kandidaten haben dieselbe Grundform; die Form allein entscheidet die Zuordnung nicht. - Bestimme zuerst die \(x\)-Koordinate der waagerechten Tangente jedes Funktionsgraphen. - Prüfe danach, auf welcher Seite dieser Stelle die Funktion steigt und auf welcher sie fällt.

1. \(f\) besitzt bei \(x=1\) eine waagerechte Tangente, fällt links davon und steigt rechts davon. Kandidat \(q\) hat bei \(x=1\) eine Nullstelle und wechselt dort von negativen zu positiven Werten. Daher gilt \(f'=q\). 2. \(g\) besitzt bei \(x=-2\) eine waagerechte Tangente, steigt links davon und fällt rechts davon. Kandidat \(p\) hat bei \(x=-2\) eine Nullstelle und wechselt dort von positiven zu negativen Werten. Daher gilt \(g'=p\).

a) \(f\rightarrow q\), \(g\rightarrow p\) b) Die Nullstellen und Vorzeichenwechsel der Kandidaten stimmen jeweils mit waagerechter Tangente und Steig-/Fallwechsel des zugehörigen Funktionsgraphen überein.

- Erinnere dich daran, welche Bedeutung die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle für die Tangente des Graphen hat. - Wo kannst du den Wert der Ableitungsfunktion direkt aus der Zeichnung ablesen? - Was bedeutet es grafisch, wenn der Funktionswert einer Funktion mit dem Wert ihrer Ableitung übereinstimmt? - Suche nach den Punkten, an denen sich die beiden Graphen schneiden.

1. **Teilaufgabe a):** Die Steigung der Tangente an den Graphen \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion an dieser Stelle, also \(f'(0)\). Aus dem Graphen \(G_{f'}\) (oder durch Einsetzen in \(f'(x)\)) liest man für \(x = 0\) den Wert \(-1\) ab. Die richtige Antwort ist somit \(-1\). 2. **Teilaufgabe b):** Die Übereinstimmung von Funktionswert und Ableitungswert bedeutet \(f(x) = f'(x)\). Dies entspricht den Schnittpunkten der beiden Graphen \(G_f\) und \(G_{f'}\). In der Abbildung sind zwei Schnittpunkte erkennbar: - Der erste Schnittpunkt liegt bei \((1 \mid 0)\), also an der Stelle \(x = 1\). - Der zweite Schnittpunkt liegt bei \((3 \mid 2)\), also an der Stelle \(x = 3\). Die gesuchten Stellen sind somit \(x = 1\) und \(x = 3\).

a) \(-1\) b) \(x = 1\) und \(x = 3\)

- Suche zuerst die Stellen, an denen \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. - Welche Kandidatengraphen haben dort den Wert \(0\)? - Prüfe danach, welches Vorzeichen die Ableitung in einem Bereich haben muss, in dem der Graph von \(f\) fällt.

1. Bei \(x\approx-0{,}15\) und \(x\approx2{,}15\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'\) an diesen beiden Stellen Nullstellen besitzen. Das trifft auf \(g\) und \(h\) zu; \(k\) scheidet aus. 2. Zwischen diesen beiden Stellen fällt der Graph von \(f\). Deshalb muss die Ableitung dort negativ sein. 3. Der Graph \(g\) liegt in diesem Bereich unterhalb der \(x\)-Achse, der Graph \(h\) oberhalb. 4. Daher stellt \(g\) die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Der Graph \(g\) stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- Eine waagerechte Tangente entspricht dem Ableitungswert \(0\). - Schätze \(f'(2)\) über die lokale Steilheit des Graphen. - Entscheide links und rechts des Ursprungs getrennt, ob der Graph steigt oder fällt.

1. (A) ist wahr. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. 2. (B) ist wahr. Bei \(x=2\) kann eine Tangentensteigung von ungefähr \(-1\) abgeschätzt werden. 3. (C) ist wahr. Rechts vom Ursprung fällt der dargestellte Graph. 4. (D) ist falsch. Links vom Ursprung steigt der dargestellte Graph, also ist \(f'(x)>0\).

(A) Wahr — bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. (B) Wahr — bei \(x=2\) ist die lokale Steigung ungefähr \(-1\). (C) Wahr — für \(x>0\) fällt \(f\) im dargestellten Bereich. (D) Falsch — für \(x<0\) steigt \(f\) im dargestellten Bereich.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Nutze Steigen und Fallen für das Vorzeichen von \(g'\). - Prüfe die beiden in (D) genannten Stellen direkt am dargestellten Graphen.

1. (A) ist wahr. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) sind die Tangenten waagerecht. 2. (B) ist wahr. Zwischen diesen Stellen fällt \(g\). 3. (C) ist falsch. Bei \(x=0\) fällt \(g\), also ist \(g'(0)<0\). 4. (D) ist wahr. Bei \(x=-1{,}5\) und \(x=1{,}5\) steigt der dargestellte Graph.

(A) Wahr (B) Wahr (C) Falsch (D) Wahr

- Welche Eigenschaft muss die Ableitungsfunktion an einer Stelle haben, an der die ursprüngliche Funktion einen Hoch- oder Tiefpunkt besitzt? - Betrachte den Scheitelpunkt der blauen Kurve. Welchen Wert müsste die grüne Kurve an dieser x-Stelle haben, wenn sie die Ableitung wäre? - Vergleiche den x-Wert des Extrempunkts von \(f\) mit dem x-Wert der Nullstelle von \(g\).

1. Identifikation der Extremstellen von \(f\): Der Graph der Funktion \(f\) (Parabel) hat seinen tiefsten Punkt (Tiefpunkt) an der Stelle \(x = 0\). 2. Zusammenhang zur Ableitungsfunktion: Wenn \(g\) die Ableitungsfunktion von \(f\) wäre (\(g = f'\)), müsste \(g\) an jeder Extremstelle von \(f\) eine Nullstelle besitzen. Es müsste also gelten: \(g(0) = 0\). 3. Überprüfung am Graphen von \(g\): Der Graph der Funktion \(g\) schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 1\), es gilt also \(g(0) = 1\). 4. Schlussfolgerung: Da \(g(0) \neq 0\) ist, kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein.

Die Funktion \(f\) hat bei \(x = 0\) eine Extremstelle (Tiefpunkt). Wäre \(g\) die Ableitungsfunktion von \(f\), müsste \(g\) an dieser Stelle eine Nullstelle haben (\(g(0) = 0\)). Aus dem Graphen ist jedoch ersichtlich, dass \(g(0) = 1\) gilt. Daher kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein.

- Beschreibe zunächst, ob der Graph von \(g\) rechts von der y-Achse steigt oder fällt. - Welches Vorzeichen müsste die Ableitung von \(g\) dort besitzen? - Vergleiche dieses Vorzeichen mit den Werten des Graphen von \(f\).

1. Für \(x>0\) fällt der Graph von \(g\). 2. Wäre \(f=g'\), müsste deshalb für \(x>0\) gelten \(f(x)<0\). 3. Der Graph von \(f\) liegt in diesem Bereich jedoch oberhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f(x)>0\). 4. Daher kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein.

Für \(x>0\) fällt \(g\), daher müsste eine Ableitung \(g'\) dort negativ sein. Der dargestellte Graph von \(f\) ist dort positiv. Somit gilt \(f\ne g'\).

- Vergleiche Nullstellen eines Graphen mit waagerechten Tangenten des anderen. - Prüfe zusätzlich das Vorzeichen in steigenden und fallenden Abschnitten. - Lies nach der Zuordnung den Funktionswert an \(p\) und den Ableitungswert an \(q\) ab.

1. Der Graph von \(q\) hat Nullstellen bei \(x=-1\) und \(x=3\). An diesen Stellen besitzt \(p\) waagerechte Tangenten. Das Vorzeichen von \(q\) stimmt außerdem mit Steigen und Fallen von \(p\) überein. Daher ist \(q=p'\). 2. Aus dem Graphen liest man \(p(1)=1\). 3. Weil \(q=p'\), ist \(p'(1)=q(1)=-2\).

a) \(q=p'\) b) \(p(1)=1\), \(p'(1)=-2\)

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts von \(0\), ob der Graph steigt oder fällt. - Überlege für die Symmetrieaussage, wie sich Tangentensteigungen bei Spiegelung an der y-Achse verhalten.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. 2. (2) ist wahr. Links vom Ursprung steigt der dargestellte Graph. 3. (3) ist falsch. Im dargestellten Intervall ist nur bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente sichtbar. 4. (4) ist wahr. Bei \(x=1\) fällt \(g\). 5. (5) ist wahr. Wegen der Achsensymmetrie von \(g\) haben die Tangenten an \(x\) und \(-x\) entgegengesetzte Steigungen gleichen Betrags.

(1) Wahr — bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. (2) Wahr — links vom Ursprung steigt \(g\) im dargestellten Bereich. (3) Falsch — im dargestellten Intervall ist nur \(x=0\) eine Nullstelle von \(g'\). (4) Wahr — bei \(x=1\) fällt \(g\). (5) Wahr — aus der Achsensymmetrie von \(g\) folgt Punktsymmetrie der lokalen Steigungen.

- Welche Beziehung besteht zwischen einer Extremstelle von \(f\) und einem Wert von \(f'\)? - Lies für b) Funktionswert und Ableitungswert an derselben Stelle aus den beiden Graphen ab. - Wie stellst du aus Berührpunkt und Tangentensteigung die Geradengleichung auf?

1. Graph \(a\) gehört zu \(f\), Graph \(b\) zu \(f'\). Graph \(a\) hat bei \(x=0\) einen Tiefpunkt; Graph \(b\) hat dort die Nullstelle, die zu \(f'(0)=0\) passt. 2. Bei \(x=2\) liest man am Graphen \(a\) den Punkt \(P(2|0)\) und am Graphen \(b\) den Wert \(f'(2)=1\) ab. 3. Die Tangente durch \(P\) mit Steigung \(1\) lautet \(y=x-2\).

a) \(a\) ist \(f\), \(b\) ist \(f'\). b) \(y=x-2\)

- Vergleiche eine waagerechte Tangente des einen Graphen mit einer Nullstelle des anderen. - Prüfe zusätzlich, ob das Vorzeichen des Kandidaten zur lokalen Steigung des anderen Graphen passt. - Nutze die Graphenbezeichnungen \(p\) und \(q\), nicht ihre Farben.

1. Der Graph \(p\) besitzt bei \(x=0\) ein lokales Maximum. Der Graph \(q\) hat an derselben Stelle eine Nullstelle. Das passt zu \(q=f'\). 2. Für \(x>0\) fällt \(p\). In diesem Bereich ist \(q<0\). Auch das passt zur Ableitungsbeziehung. 3. Daher ist \(p\) der Graph von \(f\) und \(q\) der Graph von \(f'\).

\(p=f\) und \(q=f'\). Bei \(x=0\) hat \(p\) eine waagerechte Tangente und \(q\) eine Nullstelle; für \(x>0\) fällt \(p\) und \(q\) ist negativ.

- Suche bei jedem Funktionsgraphen zunächst Stellen mit waagerechter Tangente. - Vergleiche danach das Steig- und Fallverhalten mit den Vorzeichen der möglichen Ableitungsgraphen. - Bei Graph C ist besonders wichtig, dass die Steigung auf beiden Seiten des Ursprungs dasselbe Vorzeichen hat.

1. Graph A ist eine nach oben geöffnete Parabel mit waagerechter Tangente im Ursprung. Links davon fällt A, rechts davon steigt A. Die Ableitung muss deshalb eine steigende Gerade durch den Ursprung sein. A gehört zu (3). 2. Graph B ist eine nach unten geöffnete Parabel mit waagerechter Tangente bei \(x=0\). Links davon steigt B, rechts davon fällt B. Die Ableitung muss deshalb eine fallende Gerade durch den Ursprung sein. B gehört zu (2). 3. Graph C steigt auf beiden Seiten des Ursprungs und hat dort eine waagerechte Tangente. Die Ableitung ist daher auf beiden Seiten positiv und bei \(x=0\) null. Das trifft auf die nach oben geöffnete Parabel (1) zu.

A \(\rightarrow\) (3), B \(\rightarrow\) (2), C \(\rightarrow\) (1).

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente mit den Nullstellen der Kandidaten. - Wo \(f_1\) fällt, muss seine Ableitung negativ sein. - Nutze die Form des zweiten Funktionsgraphen als zusätzliche Kontrolle für die verbleibende Zuordnung.

1. Zu \(f_1\) gehört \(g_1\), zu \(f_2\) gehört \(g_2\). 2. Der Graph von \(f_1\) besitzt bei \(x=-2\) und \(x=2\) waagerechte Tangenten. Genau dort hat \(g_1\) Nullstellen. Zwischen diesen Stellen fällt \(f_1\), und \(g_1\) ist dort negativ. Außerhalb steigt \(f_1\), und \(g_1\) ist positiv. 3. Der Graph von \(f_1\) fällt auf \([-2;2]\).

1. \(f_1\rightarrow g_1\); \(f_2\rightarrow g_2\). 2. Die Nullstellen und Vorzeichen von \(g_1\) passen zu den waagerechten Tangenten sowie zum Steig- und Fallverhalten von \(f_1\). 3. \([-2;2]\).

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente mit Nullstellen des anderen Graphen. - Prüfe das Vorzeichen des möglichen Ableitungsgraphen dort, wo der andere steigt oder fällt. - Beide Merkmale zusammen machen die Zuordnung eindeutig.

1. Der Graph \(k\) besitzt bei \(x=-1\) und \(x=3\) waagerechte Tangenten. Der Graph \(m\) hat genau an diesen Stellen Nullstellen. 2. Zwischen \(x=-1\) und \(x=3\) fällt \(k\), während \(m\) dort negative Werte besitzt. Außerhalb steigt \(k\), während \(m\) positive Werte annimmt. 3. Daher ist \(k\) der Graph von \(f\) und \(m\) der Graph von \(f'\).

\(k=f\) und \(m=f'\).

- Suche zuerst die Stelle mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts davon, ob \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche die daraus folgenden Vorzeichen mit den beiden Kandidaten.

1. Der Graph von \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einer waagerechten Tangente bei \(x=0\). Daher muss \(f'(0)=0\) gelten. Beide Kandidaten erfüllen diese Bedingung. 2. Für \(x<0\) fällt der Graph von \(f\), deshalb muss \(f'(x)<0\) sein. Für \(x>0\) steigt der Graph von \(f\), deshalb muss \(f'(x)>0\) sein. 3. Nur Graph 1 zeigt diese Vorzeichenverteilung. Daher ist Graph 1 die Ableitungsfunktion.

Graph 1 ist die Ableitungsfunktion \(f'\).

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente im Graphen von \(g\). - Prüfe, ob der Graph zwischen diesen Stellen steigt oder fällt. - Welcher Kandidat hat in diesem Bereich das passende Vorzeichen?

1. Der Graph von \(g\) besitzt ungefähr bei \(x\approx-1{,}73\) und \(x\approx1{,}73\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(g'\) an diesen Stellen Nullstellen besitzen. Beide Kandidaten erfüllen dies. 2. Zwischen diesen beiden Stellen fällt der Graph von \(g\). Deshalb muss \(g'(x)<0\) gelten. 3. Graph 3 liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse, Graph 4 dagegen oberhalb. 4. Somit stellt Graph 3 die Ableitungsfunktion \(g'\) dar.

Graph 3 ist die Ableitungsfunktion \(g'\).

- Suche im Temperaturgraphen zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Kandidaten haben an denselben Zeitpunkten den Wert \(0\)? - Prüfe anschließend das Vorzeichen der Änderungsrate in einem Zeitraum, in dem die Temperatur fällt.

1. Bei \(t=3\) und \(t=7\) besitzt der Temperaturgraph waagerechte Tangenten. Die Änderungsrate muss daher bei \(t=3\) und \(t=7\) den Wert \(0\) haben. 2. Kandidat d hat nur eine Nullstelle, Kandidat c die Nullstellen an anderen Stellen. Es bleiben a und b. 3. Zwischen \(t=3\) und \(t=7\) fällt die Temperatur. Die Änderungsrate muss dort negativ sein. 4. Nur Kandidat a liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(t\)-Achse. Daher ist a der gesuchte Graph.

Kandidat a stellt die momentane Änderungsrate der Temperatur dar.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Extrema einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitung. - Wie hängen Monotonie (Steigen/Fallen) und das Vorzeichen der Ableitung zusammen? - Betrachte die Tangentenrichtung an den jeweiligen Stellen, um die Steigungen zu vergleichen.

1. Stellen mit \(g'(x) = 0\): Die Ableitung ist an den Stellen null, an denen der Graph von \(g\) eine waagerechte Tangente hat. Dies ist bei den lokalen Extrema der Fall. Aus dem Graphen liest man das lokale Maximum bei \(x = 0\) und das lokale Minimum bei \(x = 2\) ab. Also gilt \(g'(0) = 0\) und \(g'(2) = 0\). 2. Vorzeichen im Intervall \((0; 2)\): In diesem Bereich fällt der Graph von \(g\) (monoton fallend). Eine fallende Funktion hat eine negative Ableitung, daher ist \(g'(x) < 0\) für alle \(x \in (0; 2)\). 3. Vergleich von \(g'(-1)\) und \(g'(1)\): Bei \(x = -1\) steigt der Graph von \(g\), die Steigung \(g'(-1)\) ist also positiv. Bei \(x = 1\) fällt der Graph von \(g\), die Steigung \(g'(1)\) ist also negativ. Da jeder positive Wert größer als jeder negative Wert ist, gilt \(g'(-1) > g'(1)\).

a) \(g'(x) = 0\) für \(x = 0\) und \(x = 2\). b) \(g'(x) < 0\) für \(0 < x < 2\), da \(g\) dort fällt. c) \(g'(-1) > g'(1)\), da die Steigung bei \(x = -1\) positiv und bei \(x = 1\) negativ ist.

- Übersetze waagerechte Tangenten in Nullstellen von \(h'\). - Nutze Steigen und Fallen für das Vorzeichen von \(h'\). - Beziehe die Anzahl der Nullstellen ausdrücklich nur auf den dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=-2\) ist die Tangente waagerecht. 2. (2) ist falsch. Bei \(x=0\) fällt \(h\), also ist \(h'(0)<0\). 3. (3) ist wahr. Im gesamten Intervall \([-1;1]\) fällt der Graph. 4. (4) ist wahr. Im dargestellten Bereich sind genau zwei waagerechte Tangenten sichtbar, bei \(x=-2\) und \(x=2\).

(1) Wahr — waagerechte Tangente bei \(x=-2\). (2) Falsch — bei \(x=0\) fällt \(h\). (3) Wahr — auf \([-1;1]\) fällt \(h\). (4) Wahr — im dargestellten Bereich sind zwei waagerechte Tangenten sichtbar.

- Überlege dir, welche Bedeutung die Hoch- und Tiefpunkte eines Funktionsgraphen für den Graphen der Ableitung haben. - Achte auf die Bereiche, in denen der Graph der Funktion steigt oder fällt. Was lässt sich daraus für das Vorzeichen der Ableitung schließen? - Betrachte die Nullstellen der Ableitungsfunktion. Welchen besonderen Stellen im Funktionsgraphen entsprechen sie? - Überprüfe, ob eine positive Steigung der Funktion einem positiven Funktionswert der Ableitung entspricht.

1. Analyse von Funktion \(f\): Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \(x = 0\) und zwei Tiefpunkte bei \(x \approx \pm 2{,}2\). Die zugehörige Ableitungsfunktion muss daher an diesen Stellen Nullstellen aufweisen. 2. Vergleich mit den Ableitungsgraphen: Graph \(h_2\) hat Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}2\). Da \(f\) für \(x < -2{,}2\) fallend ist, muss die Ableitung dort negativ sein, was auf \(h_2\) zutrifft. Somit gilt: \(f \rightarrow h_2\). 3. Analyse von Funktion \(g\): Der Graph von \(g\) besitzt einen Tiefpunkt bei \(x = 0\) und zwei Hochpunkte bei \(x \approx \pm 2{,}8\). Die Ableitung muss also bei \(x = 0\) und \(x \approx \pm 2{,}8\) Nullstellen haben. 4. Vergleich mit den Ableitungsgraphen: Graph \(h_1\) besitzt genau diese Nullstellen. Da \(g\) im Intervall \(-2{,}8 < x < 0\) steigend ist, muss die Ableitung dort positiv sein. Dies ist bei \(h_1\) der Fall. Somit gilt: \(g \rightarrow h_1\).

\(f \rightarrow h_2\), \(g \rightarrow h_1\).

- Suche im Graphen von \(k\) die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Kandidaten besitzen an beiden Stellen eine Nullstelle? - Prüfe danach das Vorzeichen im Bereich zwischen diesen Stellen.

1. Bei \(x=0\) und \(x=2\) besitzt der Graph von \(k\) waagerechte Tangenten. Deshalb muss \(k'\) an beiden Stellen Nullstellen besitzen. Graph d scheidet aus, weil er nur eine Nullstelle hat. 2. Die Graphen b und c besitzen die passenden Nullstellen. 3. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) fällt der Graph von \(k\). Daher muss \(k'(x)<0\) gelten. 4. Nur Graph b liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse. Daher stellt b die Ableitungsfunktion \(k'\) dar.

Graph b stellt die Ableitungsfunktion \(k'\) dar.

- Welcher der beiden Graphen liefert direkt die Tangentensteigung von \(f\)? - Lies für Teil a die y-Werte dieses Graphen an den beiden vorgegebenen x-Stellen ab. - Für Teil b suchst du eine Stelle, an der beide dargestellten Graphen denselben y-Wert haben.

1. Die Tangentensteigung von \(f\) an einer Stelle \(x\) entspricht dem Wert des Ableitungsgraphen \(g\) an dieser Stelle. 2. Aus dem Graphen von \(g\) liest man \(g(1)=0{,}5\) und \(g(4)=0{,}25\) ab. Daher betragen die Tangentensteigungen \(0{,}5\) beziehungsweise \(0{,}25\). 3. Die Bedingung \(f(x)=f'(x)\) bedeutet hier \(f(x)=g(x)\). Der Schnittpunkt der beiden dargestellten Graphen liegt bei \(x=0{,}5\).

a) Bei \(x=1\): \(0{,}5\); bei \(x=4\): \(0{,}25\). b) \(x=0{,}5\).

- Suche eine waagerechte Tangente und vergleiche ihre Stelle mit einer Nullstelle des anderen Graphen. - Kontrolliere die Zuordnung über die Vorzeichen des möglichen Ableitungsgraphen in steigenden und fallenden Bereichen. - Die Steigung von \(g\) liest du als Funktionswert von \(g'\) ab. - Für gleiche Werte von \(g\) und \(g'\) suchst du einen Schnittpunkt der beiden Graphen.

1. Graph \(k\) hat bei \(x=0\) einen Tiefpunkt mit waagerechter Tangente. Graph \(m\) hat dort eine Nullstelle. Für \(x<0\) fällt \(k\) und \(m\) ist negativ; für \(x>0\) steigt \(k\) und \(m\) ist positiv. Daher ist \(k\) der Graph von \(g\) und \(m\) der Graph von \(g'\). 2. Die Steigung von \(g\) bei \(x=3\) ist der Wert von \(g'\) dort. Am Graphen \(m\) liest man \(g'(3)=1{,}5\) ab. 3. Gleiche Werte liegen an einem Schnittpunkt der Graphen vor. Für \(x>0\) schneiden sich \(k\) und \(m\) bei \(x=2\); dort gilt \(g(2)=g'(2)=1\).

a) \(k\) gehört zu \(g\), \(m\) zu \(g'\). Bei \(x=0\) hat \(k\) eine waagerechte Tangente und \(m\) eine Nullstelle; außerdem passen die Vorzeichen von \(m\) zum Steig- und Fallverhalten von \(k\). b) \(1{,}5\). c) \(x=2\).

- Der dargestellte y-Wert ist bereits eine momentane Änderungsrate des Volumens. - Eine momentane Volumenänderung von null entspricht einer Nullstelle des dargestellten Graphen. - Das Vorzeichen von \(V'\) entscheidet, ob \(V\) zunimmt oder abnimmt.

1. Aus dem Graphen liest man \(r(2)=3\,\text{L/min}\) ab. Zu diesem Zeitpunkt nimmt das gespeicherte Wasservolumen momentan mit \(3\,\text{L}\) pro Minute zu. 2. Das Volumen ändert sich momentan nicht, wenn \(V'(t)=r(t)=0\) gilt. Der Graph schneidet die t-Achse bei \(t=8\,\text{min}\). 3. Für \(0\le t<8\) ist \(r(t)>0\), also nimmt \(V\) zu. Für \(8<t\le10\) ist \(r(t)<0\), also nimmt \(V\) ab.

a) \(r(2)=3\,\text{L/min}\); das Volumen nimmt in diesem Moment mit \(3\,\text{L}\) pro Minute zu. b) Bei \(t=8\,\text{min}\). c) Zunahme für \(0\le t<8\); Abnahme für \(8<t\le10\).

- Lies aus dem Ableitungsgraphen ab, welche Steigung \(f\) überall hat. - Welche Art von Funktionsgraph besitzt überall dieselbe Steigung? - Nutze den gegebenen Funktionswert, um die vertikale Lage festzulegen.

1. Aus dem Ableitungsgraphen liest man die konstante Steigung \(2\) ab. 2. Daher ist ein möglicher Graph von \(f\) eine Gerade mit Steigung \(2\). 3. Wegen \(f(0)=-1\) ist der y-Achsenabschnitt \(-1\). Somit ist \(f(x)=2x-1\). 4. Ohne den Wert \(f(0)=-1\) wäre die vertikale Lage nicht festgelegt. Alle Geraden \(f(x)=2x+c\) hätten denselben Ableitungsgraphen.

\(f(x)=2x-1\). Ohne \(f(0)=-1\) wäre die vertikale Lage nicht festgelegt.

- Lies die Steigung von \(f\) links und rechts von \(x=0\) getrennt aus dem Ableitungsgraphen ab. - Beide Geradenstücke müssen zum gegebenen Funktionswert \(f(0)=1\) passen. - Vergleiche zum Schluss die beiden Steigungen an der Übergangsstelle.

1. Links von \(x=0\) liest man die konstante Steigung \(2\) ab. Mit \(f(0)=1\) folgt \(f(x)=2x+1\) für \(x\le0\). 2. Rechts von \(x=0\) liest man die konstante Steigung \(-1\) ab. Mit \(f(0)=1\) folgt \(f(x)=-x+1\) für \(x\ge0\). 3. Beide Geradenstücke treffen sich bei \((0\mid1)\), besitzen dort aber verschiedene Steigungen. Der mögliche Graph von \(f\) hat bei \(x=0\) eine Knickstelle.

Für \(x\le0\): \(f(x)=2x+1\). Für \(x\ge0\): \(f(x)=-x+1\). Bei \(x=0\) hat der mögliche Graph eine Knickstelle.

- Nutze für Teil b) das Vorzeichen der Änderungsrate. - Bestimme für Teil c) zuerst, wie stark sich die Wassermenge in den ersten zwei Minuten ändert. - Verfolge danach die Wassermenge Abschnitt für Abschnitt bis \(t=6\).

1. Aus dem Graphen liest man die Änderungsraten \(2\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\), \(0\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\) und \(-1\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\) ab. 2. Daher nimmt \(V\) von \(t=0\) bis \(t=2\) zu, bleibt von \(t=2\) bis \(t=4\) gleich und nimmt von \(t=4\) bis \(t=6\) ab. 3. In den ersten zwei Minuten kommen \(2\cdot2=4\,\text{L}\) hinzu. Somit ist \(V(2)=9\,\text{L}\). Dieser Wert bleibt bis \(t=4\) erhalten und ist damit der größte Wert. 4. In den letzten zwei Minuten nimmt die Wassermenge um \(1\cdot2=2\,\text{L}\) ab. Daher ist \(V(6)=7\,\text{L}\).

a) \(2\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\), \(0\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\), \(-1\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\) b) Zunahme von \(0\) bis \(2\) min, konstant von \(2\) bis \(4\) min, Abnahme von \(4\) bis \(6\) min. c) Der größte Wert ist \(9\,\text{L}\) und wird von \(t=2\) bis \(t=4\) erreicht. Außerdem ist \(V(6)=7\,\text{L}\).

- Entscheide in Teil a) anhand des Vorzeichens der Ableitung, ob \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche für Teil b) den Ableitungsgraphen mit der angegebenen Ableitung von \(x^2\). - Überlege, welche Rolle eine additive Konstante für die Ableitung und für den Wert \(f(0)\) spielt.

1. Für \(x<0\) ist die Ableitung negativ, daher fällt \(f\). Für \(x>0\) ist sie positiv, daher steigt \(f\). 2. Bei \(x=0\) ist die Ableitung \(0\) und wechselt von negativ zu positiv. Daher hat \(f\) dort eine waagerechte Tangente und ein lokales Minimum. 3. Da die Ableitung von \(x^2\) gleich \(2x\) ist, hat jede Funktion \(x^2+c\) den dargestellten Ableitungsgraphen. 4. Aus \(f(0)=1\) folgt \(c=1\). Eine mögliche Funktion ist daher \(f(x)=x^2+1\).

a) \(f\) fällt für \(-2\le x<0\) und steigt für \(0<x\le2\). Bei \(x=0\) hat \(f\) eine waagerechte Tangente und ein lokales Minimum. b) Eine mögliche Funktion ist \(f(x)=x^2+1\), denn ihre Ableitung ist \(2x\) und \(f(0)=1\).

- Suche zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente im linken Graphen. - Welche Werte muss die Ableitung an diesen Stellen besitzen? - Prüfe danach, wo der Funktionsgraph steigt oder fällt und welches Vorzeichen \(f'\) dort haben muss. - Vergleiche diese Bedingungen mit den drei Kandidaten.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(1)=0\) gelten. Kandidat c scheidet damit aus. 2. Für \(x<-1\) und \(x>1\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Zwischen \(-1\) und \(1\) fällt der Graph, also ist \(f'(x)<0\). 3. Nur Kandidat a besitzt genau dieses Nullstellen- und Vorzeichenverhalten. Daher ist a der Graph von \(f'\).

Kandidat a.

- Welche besonderen Punkte eines Funktionsgraphen hängen mit den Nullstellen der Ableitungsfunktion zusammen? - Betrachte, in welchen Bereichen der blaue Graph steigt oder fällt. - Welches Vorzeichen muss die Ableitung in diesen Bereichen haben? - Prüfe, ob Nullstellen und Vorzeichen des grünen Graphen dazu passen.

1. Der blaue Graph \(f\) besitzt bei \(x\approx-1{,}73\) und \(x\approx1{,}73\) waagerechte Tangenten. Der grüne Graph \(g\) hat genau dort seine Nullstellen. 2. Außerhalb dieser beiden Stellen steigt \(f\), dazwischen fällt \(f\). Entsprechend ist \(g\) außerhalb positiv und dazwischen negativ. 3. Damit beschreibt \(g\) die lokalen Steigungen von \(f\). Also gilt \(g=f'\).

Der Graph \(f\) (blau) stellt die Funktion dar und der Graph \(g\) (grün) ihre Ableitungsfunktion, also \(g=f'\).

- Prüfe zuerst, ob der Graph steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Für Aussage (3) reicht das Vorzeichen nicht: Vergleiche auch die Stärke der negativen Steigungen links und rechts von \(x=0\). - Formuliere zu jeder Entscheidung eine kurze Begründung aus der lokalen Steigung.

1. (1) ist wahr: Auf \([-1;1]\) fällt \(f\), also sind die lokalen Steigungen negativ. 2. (2) ist wahr: Bei \(x=-2\) ist die Tangente waagerecht. 3. (3) ist falsch: Um \(x=0\) wird die fallende Steigung zunächst stärker negativ und danach wieder weniger negativ. Daher hat \(f'\) dort einen lokalen Tiefpunkt. 4. (4) ist falsch: Bei \(x=3\) steigt \(f\), also ist \(f'(3)>0\).

(1) Wahr — \(f\) fällt auf \([-1;1]\). (2) Wahr — bei \(x=-2\) ist die Tangente waagerecht. (3) Falsch — die lokalen Steigungen sind um \(x=0\) am stärksten negativ; \(f'\) hat dort einen Tiefpunkt. (4) Falsch — bei \(x=3\) steigt \(f\).

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente in einem Graphen mit Nullstellen des anderen Graphen. - Prüfe zusätzlich, welches Vorzeichen der zweite Graph dort hat, wo der erste steigt oder fällt. - Lies die gefragten Funktions- und Ableitungswerte erst ab, nachdem du die beiden Graphen zugeordnet hast.

1. Der Graph \(k_1\) besitzt bei \(x=1\) und \(x=3\) waagerechte Tangenten. Der Graph \(k_2\) hat an genau diesen Stellen Nullstellen. 2. Zwischen \(x=1\) und \(x=3\) fällt \(k_1\), während \(k_2\) dort negative Werte hat. Außerhalb dieses Bereichs steigt \(k_1\), während \(k_2\) positive Werte hat. Daher ist \(k_1\) der Graph von \(f\) und \(k_2\) der Graph von \(f'\). 3. Am Graphen von \(k_1\) liest man \(f(2)=2\) und \(f(3)=1\) ab. 4. Am Graphen von \(k_2\) liest man \(f'(2)=-1{,}5\) und \(f'(1)=0\) ab.

a) \(k_1\) ist der Graph von \(f\), und \(k_2\) ist der Graph von \(f'\). b) \(f(2)=2\), \(f'(2)=-1{,}5\), \(f(3)=1\) und \(f'(1)=0\).

- Die drei Kandidaten haben dieselbe grobe Form; reine Formerkennung reicht daher nicht. - Übertrage jede waagerechte Tangente des Funktionsgraphen auf eine Nullstelle des passenden Ableitungsgraphen. - Prüfe zusätzlich mindestens ein Intervall: Steigt die Funktion, muss der Kandidat dort positiv sein; fällt sie, muss er negativ sein.

1. Graph \(A\) besitzt bei \(x=-1\) und \(x=1\) waagerechte Tangenten. Außerhalb dieses Intervalls steigt \(A\), dazwischen fällt er. Nur Kandidat (3) hat Nullstellen bei \(-1\) und \(1\), ist dazwischen negativ und außerhalb positiv. Daher gilt \(A\rightarrow(3)\). 2. Graph \(B\) besitzt bei \(x=-2\) und \(x=2\) waagerechte Tangenten. Zwischen diesen Stellen steigt \(B\), außerhalb fällt er. Kandidat (2) hat genau diese Nullstellen und das passende Vorzeichenmuster. Daher gilt \(B\rightarrow(2)\). 3. Graph \(C\) steigt im gesamten dargestellten Bereich und besitzt keine waagerechte Tangente. Kandidat (1) ist überall positiv und hat keine Nullstelle. Daher gilt \(C\rightarrow(1)\).

\(A\rightarrow(3)\), \(B\rightarrow(2)\), \(C\rightarrow(1)\)

- Bestimme die Tangentensteigung aus zwei gut ablesbaren Punkten der Geraden \(t\). - Suche im Graphen von \(f\) nach Stellen mit waagerechter Tangente. - Vergleiche außerdem, wo \(f\) steigt oder fällt, mit dem Vorzeichen der drei Kandidatengraphen.

1. Die Tangente \(t\) verläuft durch \(P(2\mid2)\) und zum Beispiel durch \((4\mid0)\). Daher ist ihre Steigung \(m=\frac{0-2}{4-2}=-1\). Somit gilt \(f'(2)=-1\). 2. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x\approx0{,}85\) und \(x\approx3{,}15\) waagerechte Tangenten. Dort muss \(f'\) Nullstellen haben. 3. Nur \(g_1\) besitzt Nullstellen an diesen beiden Stellen. Außerdem liegt \(g_1\) dort oberhalb der \(x\)-Achse, wo \(f\) steigt, und unterhalb der \(x\)-Achse, wo \(f\) fällt. 4. Damit ist \(g_1\) der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\).

a) \(f'(2)=-1\). b) \(g_1\) ist der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\).

- Nullstellen von \(f'\) findest du an waagerechten Tangenten von \(f\). - Das Vorzeichen von \(f'\) folgt daraus, ob \(f\) steigt oder fällt. - Beziehe Aussagen nur auf den tatsächlich dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten; weitere sind im dargestellten Bereich nicht zu sehen. 2. (2) ist falsch. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt \(f\), daher ist \(f'(x)<0\) im Inneren. 3. (3) ist wahr. Bei \(x=0\) fällt \(f\). 4. (4) ist wahr. Links von \(x=-2\) steigt der dargestellte Graph, daher sind dort die lokalen Steigungen positiv.

(1) Wahr — im dargestellten Bereich liegen waagerechte Tangenten bei \(x=-2\) und \(x=2\). (2) Falsch — zwischen \(-2\) und \(2\) fällt \(f\). (3) Wahr — bei \(x=0\) fällt \(f\). (4) Wahr — links von \(x=-2\) steigt \(f\) im dargestellten Bereich.

- Beginne mit den Stellen, an denen der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. - Vergleiche anschließend, wo \(f\) steigt oder fällt, mit dem Vorzeichen der angebotenen Funktionsterme. - Wenn noch mehrere Möglichkeiten übrig sind, vergleiche ihre Steigungen an einer gut ablesbaren Stelle mit der Steilheit des Graphen.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\) gelten. Option D scheidet aus, weil sie andere Nullstellen besitzt. 2. Für \(x<-1\) und \(x>3\) steigt der Graph von \(f\). Dort muss \(f'\) positiv sein. Deshalb scheidet Option B aus. 3. Übrig bleiben A und C. In der Umgebung von \(x=1\) fällt der Graph mit einer Steigung von ungefähr \(-2\). Option A liefert \(f'(1)=-2\), Option C dagegen \(f'(1)=-4\), was deutlich zu steil ist. 4. Damit passt Option A zum dargestellten Graphen.

A: \(f'(x)=0{,}5x^2-x-1{,}5\).

- Entscheide bei jeder Stelle, ob \(f\) steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Verknüpfe diese Beobachtung mit dem Vorzeichen beziehungsweise Wert von \(f'\). - Unterscheide besonders sorgfältig zwischen \(f(x)\) und \(f'(x)\).

1. (1) ist wahr. Auf \((0;4)\) steigt \(f\), also gilt \(f'(x)>0\). 2. (2) ist falsch. Bei \(x=2\) steigt der Graph deutlich; die Tangente ist nicht waagerecht. 3. (3) ist wahr. Bei \(x=1\) steigt \(f\). 4. (4) ist falsch. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht, also \(f'(0)=0\). Der Wert \(-2\) ist der Funktionswert \(f(0)\).

(1) Wahr — \(f\) steigt auf \((0;4)\). (2) Falsch — bei \(x=2\) steigt \(f\). (3) Wahr — bei \(x=1\) ist die lokale Steigung positiv. (4) Falsch — bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht; \(-2\) ist \(f(0)\), nicht \(f'(0)\).

- Suche zuerst die waagerechten Tangenten. - Prüfe Vorzeichen von \(f'\) über Steigen und Fallen von \(f\). - Vergleiche für die Symmetrieaussage die lokalen Steigungen bei \(x\) und \(-x\). - Beziehe Aussagen nur auf den dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Waagerechte Tangenten liegen bei \(x=-2,0,2\). 2. (2) ist wahr. Rechts von \(x=2\) fällt der dargestellte Graph. 3. (3) ist wahr, weil \(f'(0)=0\). 4. (4) ist falsch. An gegenüberliegenden Stellen haben die Steigungen entgegengesetzte Vorzeichen. 5. (5) ist wahr. Bei \(x=1\) steigt \(f\).

(1) Wahr (2) Wahr (3) Wahr (4) Falsch (5) Wahr

- Überlege bei jeder Teilfrage, welcher Funktionswert von \(f'\) zur gesuchten Tangentensteigung gehört. - Für die größte Steigung suchst du den größten y-Wert des Ableitungsgraphen. - Parallele Geraden besitzen dieselbe Steigung. - Für die Scheitelpunktform kannst du Scheitelpunkt und einen weiteren gut ablesbaren Punkt verwenden.

1. Waagerechte Tangenten von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\). Aus dem Graphen liest man \(x=0\) und \(x=4\) ab. 2. Die größte Steigung von \(f\) ist der größte Funktionswert von \(f'\). Der Scheitelpunkt des Ableitungsgraphen ist \((2\mid2)\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=2\) die größte Steigung \(2\). 3. Eine zu \(g\) parallele Tangente muss die Steigung \(1{,}5\) haben. Aus \(f'(x)=1{,}5\) liest man \(x=1\) und \(x=3\) ab. 4. Aus dem Scheitelpunkt folgen \(d=2\) und \(c=2\). Mit dem Punkt \((0\mid0)\) gilt \(0=a(0-2)^2+2\), also \(a=-0{,}5\).

a) \(x=0\) und \(x=4\). b) Bei \(x=2\) mit der Steigung \(2\). c) \(x=1\) und \(x=3\). d) \(a=-0{,}5\), \(d=2\), \(c=2\).

- Vergleiche zunächst das einseitige Verhalten beider Terme an \(x=1\). - Welches Vorzeichen besitzt \(f'(x)\) auf beiden Seiten der Polstelle? - Welche Grenzwerte haben die beiden Restterme für große \(|x|\)?

1. Bei \(f\) liegt bei \(x=1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor: Für \(x\to1^-\) gilt \(f(x)\to-\infty\), für \(x\to1^+\) gilt \(f(x)\to+\infty\). Das passt zu Abbildung 1. 2. Für \(f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^2}\) gilt auf beiden Seiten der Polstelle \(f'(x)\to-\infty\). Außerdem ist \(f'(x)<0\) für alle \(x\neq1\). Das passt zu Abbildung 2. 3. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Daher ist \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-1\), also lautet die waagrechte Asymptote \(y=-1\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac{2}{(x-1)^2}\to0\). Daher lautet die waagrechte Asymptote von \(f'\) \(y=0\).

a) Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\). b) Für \(f\): \(y=-1\); für \(f'\): \(y=0\)

- Funktionswerte liest du am Graphen von \(g\), Steigungen am Graphen von \(g'\). - Waagerechte Tangenten entsprechen Nullstellen von \(g'\). - Bei f) suchst du im Ableitungsgraphen den Funktionswert \(1{,}5\).

1. Aus Abbildung 1 liest man \(g(2)=-1\). 2. Die Steigung bei \(x=2\) ist \(g'(2)=0\). 3. Aus Abbildung 2 liest man \(g'(1)=-1{,}5\). 4. Bei \(x=0\) gilt \(g(0)=1\). 5. Die Nullstellen von \(g'\) liegen bei \(x=-2,0,2\); dort hat \(g\) waagerechte Tangenten. 6. Aus \(g'(-1)=1{,}5\) folgt als passende Stelle \(x=-1\).

a) \(g(2)=-1\) b) \(0\) c) \(g'(1)=-1{,}5\) d) \(x=0\) e) \(x=-2,0,2\) f) \(x=-1\)

- Nutze waagerechte Tangenten für Nullstellen von \(f'\). - Prüfe das Vorzeichen über Steigen und Fallen von \(f\). - Verwende für (4) die im Text angegebene Punktsymmetrie.

1. (1) ist wahr. Bei \(x=0\) steigt \(f\). 2. (2) ist wahr. Im gezeigten Bereich liegen zwei waagerechte Tangenten ungefähr bei \(x=-1{,}4\) und \(x=1{,}4\). 3. (3) ist wahr. Auf \([1{,}5;3]\) fällt \(f\). 4. (4) ist wahr. Wegen der angegebenen Punktsymmetrie haben die Tangenten an den symmetrischen Stellen \(x=2\) und \(x=-2\) dieselbe Steigung. 5. (5) ist falsch. Ein Durchgang durch den Ursprung würde \(f'(0)=0\) bedeuten; bei \(x=0\) steigt \(f\).

(1) Wahr — bei \(x=0\) steigt \(f\). (2) Wahr — im gezeigten Bereich sind zwei waagerechte Tangenten sichtbar. (3) Wahr — auf \([1{,}5;3]\) fällt \(f\). (4) Wahr — die Punktsymmetrie liefert gleiche Tangentensteigungen an \(x\) und \(-x\). (5) Falsch — \(f'(0)>0\), also liegt \((0\mid0)\) nicht auf dem Graphen von \(f'\).

- Vergleiche die Extremstellen eines Graphen mit den Nullstellen des anderen. - Welche zwei Werte brauchst du bei \(x=0\) für die Tangente? - Nutze die Graphbezeichnungen \(a\) und \(b\), nicht ihre Farben.

1. Graph \(a\) stellt \(f\) dar, Graph \(b\) die Ableitungsfunktion \(f'\). Die Nullstellen von \(b\) liegen bei den Extremstellen von \(a\). 2. Bei \(x=0\) verläuft \(f\) durch den Ursprung, also ist der Berührpunkt \(P(0|0)\). Am Graphen \(b\) liest man \(f'(0)=2\) ab. 3. Die Tangente lautet daher \(y=2x\).

a) \(a\) ist \(f\), \(b\) ist \(f'\). b) \(y=2x\)

- Welche besondere Eigenschaft hat die Ableitung an einer Stelle, an der die Originalfunktion einen Hoch- oder Tiefpunkt hat? - Betrachte die Steigung der Geraden \(g\). Wie müsste der Graph einer Funktion aussehen, die diese Steigung beschreibt? - Vergleiche die Nullstellen der einen Funktion mit den waagerechten Tangenten der anderen Funktion.

1. Überprüfung, ob \(g = f'\) gilt: Der Graph von \(f\) (Parabel) hat seinen Tiefpunkt (Extremstelle) bei \(x = 2\). Eine Ableitungsfunktion müsste dort eine Nullstelle haben. Da der Graph von \(g\) an der Stelle \(x = 2\) den Funktionswert \(g(2) = 0{,}5 \neq 0\) besitzt, kann \(g\) nicht die Ableitungsfunktion von \(f\) sein. 2. Überprüfung, ob \(f = g'\) gilt: Der Graph von \(g\) ist eine Gerade mit einer konstanten, negativen Steigung (hier \(m = -0{,}5\)). Die Ableitungsfunktion einer linearen Funktion ist immer eine konstante Funktion. Da der Graph von \(f\) eine Parabel und somit keine Parallele zur x-Achse ist, kann \(f\) nicht die Ableitungsfunktion von \(g\) sein.

\(g\) ist nicht die Ableitungsfunktion von \(f\), da \(f\) bei \(x = 2\) ein Minimum hat, \(g\) dort aber keine Nullstelle besitzt (\(g(2) = 0{,}5\)). \(f\) ist nicht die Ableitungsfunktion von \(g\), da \(g\) eine Gerade mit konstanter negativer Steigung ist, die Ableitungsfunktion also eine konstante negative Funktion sein müsste, während \(f\) eine Parabel ist.

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente eines Graphen mit Nullstellen des anderen. - Prüfe für beide möglichen Richtungen, ob das Vorzeichen des möglichen Ableitungsgraphen zum Steigen oder Fallen des anderen Graphen passt. - Für die Kontrolle bei \(x=0\) brauchst du eine lokale Steigung und den Funktionswert des anderen Graphen an derselben Stelle.

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=-2\) einen Hochpunkt und bei \(x=2\) einen Tiefpunkt. Dort sind die Tangenten waagerecht. Der Graph von \(g\) hat genau bei \(x=-2\) und \(x=2\) Nullstellen. 2. Zwischen \(x=-2\) und \(x=2\) fällt \(f\), und \(g\) ist dort negativ. Außerhalb steigt \(f\), und \(g\) ist dort positiv. Damit passen Nullstellen und Vorzeichen zu \(g=f'\). 3. Umgekehrt kann \(f\) nicht die Ableitung von \(g\) sein: Links von \(x=0\) fällt \(g\), also müsste eine Ableitung von \(g\) dort negativ sein. Der Graph von \(f\) liegt beispielsweise bei \(x=-1\) oberhalb der \(x\)-Achse und hat dort einen positiven Funktionswert. 4. Bei \(x=0\) beträgt die Steigung des Graphen von \(f\) näherungsweise \(-1{,}2\). Am Graphen von \(g\) liest man \(g(0)=-1{,}2\) ab. Die Werte stimmen überein.

a) \(g=f'\). Die Nullstellen von \(g\) bei \(x=-2\) und \(x=2\) passen zu den waagerechten Tangenten von \(f\); außerdem stimmen die Vorzeichen von \(g\) mit dem Steig- und Fallverhalten von \(f\) überein. Umgekehrt kann \(f\) nicht die Ableitung von \(g\) sein, weil \(g\) links von \(x=0\) fällt, \(f\) dort aber nicht durchgehend negativ ist. b) Bei \(x=0\) ist die Steigung von \(f\) näherungsweise \(-1{,}2\); zugleich gilt \(g(0)=-1{,}2\).

- Prüfe für jede Aussage, ob der Graph von \(f\) an den betreffenden Stellen steigt, fällt oder eine waagerechte Tangente besitzt. - Eine waagerechte Tangente liefert den Ableitungswert \(0\). - Vergleiche bei Aussage (3) nur die Vorzeichen der beiden Steigungen.

1. Aussage (1) ist falsch. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt der Graph von \(f\), daher gilt dort \(f'(x)<0\). 2. Aussage (2) ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph waagerechte Tangenten. Daher gilt \(f'(-2)=f'(2)=0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Bei \(x=0\) fällt der Graph, während er bei \(x=4\) steigt. Somit ist \(f'(0)<0<f'(4)\). 4. Aussage (4) ist wahr. Links von \(x=-2\) steigt der Graph von \(f\), deshalb gilt dort \(f'(x)>0\).

Wahr sind (2), (3) und (4). Aussage (1) ist falsch.

- Prüfe zuerst, wo der dargestellte Graph steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Vergleiche für (3) zwei negative Steigungen nach ihrer Steilheit. - Beziehe Aussagen nur auf den dargestellten Bereich.

1. (1) ist wahr. Im dargestellten Bereich fällt \(f\) für \(x<-1\) und \(x>1\); bei \(x=\pm1\) sind die Tangenten waagerecht. 2. (2) ist falsch. Bei \(x=0\) steigt \(f\), also ist \(f'(0)>0\). 3. (3) ist wahr. Bei \(x=2\) fällt der Graph steiler als bei \(x=3\); daher ist die negativere Steigung bei \(x=2\) kleiner. 4. (4) ist wahr. Bei \(x=1\) ist die Tangente waagerecht.

Richtig sind (1), (3) und (4). Aussage (2) ist falsch.

- Erinnere dich an die physikalische Bedeutung der Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit. - Wo im Graphen der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung Null? - Schau dir den Bereich von \(t = 2\) bis \(t = 6\) an. Wird das Fahrzeug dort schneller oder langsamer? Was bedeutet das für das Vorzeichen der Beschleunigung? - Vergleiche den Wert der Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 0\) mit der Steigung des Geschwindigkeitsgraphen an dieser Stelle.

1. Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung: Die Beschleunigung \(a(t)\) entspricht der Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\). 2. Analyse der Extremstellen von \(v\): Die Geschwindigkeit \(v\) erreicht bei \(t = 2\) und \(t = 10\) ein Maximum und bei \(t = 6\) ein Minimum. An diesen Stellen ist die Steigung der Tangente gleich Null, weshalb die Beschleunigung \(a\) dort Nullstellen besitzen muss. 3. Überprüfung der Graphen auf Nullstellen: Graph (c) hat Nullstellen bei \(t = 0\), \(t = 4\), \(t = 8\) und \(t = 12\), was nicht zu den Extremstellen von \(v\) passt. Die Graphen (a) und (b) haben passende Nullstellen bei \(t = 2\), \(t = 6\) und \(t = 10\). 4. Analyse der Steigung (Vorzeichen von \(a\)): Zu Beginn (\(t = 0\)) steigt der Graph von \(v\) an, die Steigung ist also positiv. Folglich muss \(a(0) > 0\) gelten. Graph (a) startet bei einem positiven Wert (\(a(0) \approx 1{,}57\)), während Graph (b) bei einem negativen Wert startet. 5. Ergebnis: Nur Graph (a) erfüllt alle Bedingungen und stellt somit die Beschleunigung dar.

Graph (a) stellt die Beschleunigung dar. Begründung: Die Geschwindigkeit \(v\) hat Extremstellen bei \(t = 2\), \(t = 6\) und \(t = 10\). An diesen Stellen muss die Beschleunigung Nullstellen haben, was auf (a) und (b) zutrifft. Da \(v\) zu Beginn (\(t = 0\)) ansteigt, muss die Beschleunigung dort positiv sein. Dies ist nur bei Graph (a) der Fall.

- Bestimme zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe, welche angebotenen Terme dort Nullstellen besitzen. - Entscheide anschließend anhand eines Bereichs, in dem der Graph steigt, welches Vorzeichen die Ableitung haben muss.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Die gesuchte Ableitung muss dort Nullstellen besitzen. 2. A und B haben die passenden Nullstellen. C hat nur eine Nullstelle, D andere Nullstellen. 3. Zwischen \(-1\) und \(3\) steigt der Graph von \(f\). Daher muss \(f'\) dort positiv sein. 4. Für A gilt \(f'(0)=0{,}9>0\), für B dagegen \(f'(0)=-0{,}9<0\). Daher ist A der passende Term.

A) \(f'(x)=-0{,}3x^2+0{,}6x+0{,}9\).

- Überlege dir, was der Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle über den Verlauf des Funktionsgraphen aussagt. - Welche besonderen Punkte des Graphen von \(f\) führen zu Nullstellen in der Ableitungsfunktion? - Achte auf die Monotonie: Wo steigt der Graph und wo fällt er? - Eine positive Ableitung bedeutet, dass der Graph der ursprünglichen Funktion steigt.

1. Wahr: Der Graph von \(f\) steigt an der Stelle \(x = -1\), somit ist die Ableitung dort positiv: \(f'(-1) > 0\). 2. Wahr: An der Stelle \(x = 0\) liegt ein lokales Maximum vor. Die Tangente ist dort waagerecht, also gilt \(f'(0) = 0\). 3. Falsch: Bei \(x = 0\) gilt \(f'(0) = 0\); für \(0 < x \le 1{,}5\) fällt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x) < 0\). Der Graph von \(f'\) liegt daher nicht im gesamten Intervall \([0; 1{,}5]\) oberhalb der \(x\)-Achse. 4. Wahr: Bei \(x \approx 1{,}73\) befindet sich ein lokaler Tiefpunkt von \(f\). Dort ist die Steigung null, also hat \(f'\) dort eine Nullstelle. 5. Falsch: An der Stelle \(x = 2\) steigt der Graph von \(f\), die Steigung ist also positiv (\(f'(2) > 0\)). 6. Wahr: Der Graph von \(f\) besitzt drei Punkte mit waagerechter Tangente (zwei lokale Tiefpunkte und ein lokales Maximum). Jede dieser Stellen entspricht einer Nullstelle der Ableitungsfunktion \(f'\).

(1) Wahr; (2) Wahr; (3) Falsch; (4) Wahr; (5) Falsch; (6) Wahr

- Zähle die Stellen mit waagerechter Tangente im Graphen von \(g\). Wie viele Nullstellen muss \(g'\) also haben? - Prüfe das Vorzeichen der Steigung: Wo geht es bergauf, wo bergab? - Vergleiche die Lage der Extrema von \(g\) exakt mit den Schnittpunkten der Kandidaten mit der \(x\)-Achse.

1. Analyse von \(g\): Der Graph der Funktion vierten Grades hat drei Extremstellen: zwei Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie einen Hochpunkt bei \(x = 0\). 2. Anforderungen an \(g'\): Die Ableitungsfunktion muss an den Stellen \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) Nullstellen besitzen. 3. Ausschlussverfahren: - Graph (A) hat nur zwei Nullstellen (bei ca. \(\pm 1{,}4\)), passt also nicht. - Graph (C) hat zwar drei Nullstellen, aber sie liegen bei anderen Werten (ca. \(-1{,}7\), \(0\) und \(1{,}7\)) und der Verlauf (erst positiv, dann negativ) widerspricht dem Monotonieverhalten von \(g\) (zuerst fallend, also \(g' < 0\)). - Graph (B) hat Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Für \(x < -2\) fällt \(g\), dort ist der Graph von (B) im negativen Bereich. Zwischen \(-2\) und \(0\) steigt \(g\), dort ist (B) positiv. Dies setzt sich konsistent fort. 4. Ergebnis: Graph (B) ist die Ableitungsfunktion \(g'\).

Der richtige Graph ist (B); (A) hat zu wenige Nullstellen, und (C) hat die Nullstellen an den falschen Stellen sowie das falsche Vorzeichenverhalten.

- Überlege dir, welche Eigenschaft die Ableitungsfunktion an einer Extremstelle der Originalfunktion haben muss. - Wie unterscheiden sich die Vorzeichenwechsel der Ableitung bei einem Maximum und einem Minimum? - Achte auf die Vorzeichenwechsel der Graphen an den markanten Stellen. - Was bedeutet es für den Graphen von \(f'\), wenn \(f\) in einem Bereich steigt oder fällt?

1. Zusammenhang von Extremstellen und Ableitung: An den Stellen \(x = -2\) und \(x = 2\) muss die Ableitungsfunktion \(f'\) Nullstellen besitzen. Da es sich um ein lokales Minimum beziehungsweise Maximum handelt, muss zudem ein Vorzeichenwechsel vorliegen. 2. Bei einem lokalen Minimum bei \(x = -2\) wechselt die Steigung von negativ nach positiv; bei einem lokalen Maximum bei \(x = 2\) wechselt sie von positiv nach negativ. 3. Graph C hat nur eine Nullstelle bei \(x = 0\) und scheidet daher aus. Graph B hat zwar Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\), zeigt dort aber die umgekehrten Vorzeichenwechsel. Graph A zeigt bei \(x = -2\) den Wechsel von Minus nach Plus und bei \(x = 2\) den Wechsel von Plus nach Minus. 4. Daher stellt Graph A die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Graph A stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar, weil er bei \(x = -2\) von Minus nach Plus und bei \(x = 2\) von Plus nach Minus wechselt; Graph B zeigt die umgekehrten Wechsel, und Graph C hat nur eine Nullstelle.

- Vergleiche Stellen mit waagerechter Tangente mit den Nullstellen der Kandidaten. - Prüfe links und rechts jeder solchen Stelle, ob die Kandidaten das zum Steigen oder Fallen passende Vorzeichen haben. - Nutze die Kombination aus Nullstellen und Vorzeichen, um Kandidaten auszuschließen.

1. Der Graph von \(f\) hat bei \(x=2\) eine waagerechte Tangente. Daher muss \(f'\) bei \(x=2\) eine Nullstelle haben. Links davon fällt \(f\), rechts davon steigt \(f\); die Ableitung muss also von negativen zu positiven Werten wechseln. Das erfüllt nur Graph (1). 2. Der Graph von \(g\) hat bei \(x\approx-1{,}2\) einen Hochpunkt und bei \(x\approx3{,}2\) einen Tiefpunkt. Die Ableitung muss dort Nullstellen haben. Zwischen diesen Stellen fällt \(g\), außerhalb steigt \(g\). Graph (2) besitzt die passenden Nullstellen und Vorzeichen.

Der Graph (1) gehört zur Ableitungsfunktion \(f'\) und der Graph (2) gehört zur Ableitungsfunktion \(g'\).

- Lies zuerst die Schnittpunkte des Ableitungsgraphen mit der x-Achse ab und vergleiche die Vorzeichen auf beiden Seiten. - Übersetze den gegebenen Steigungswinkel in den gesuchten Wert von \(f'\). - Die beiden Nullstellen liefern eine geeignete faktorisierten Form der Parabel; der markierte Punkt bestimmt den noch fehlenden Faktor.

1. Die Nullstellen des dargestellten Graphen liegen bei \(x=1\) und \(x=5\). Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, bei \(x=5\) von positiv zu negativ. 2. Ein Steigungswinkel von \(45^\circ\) entspricht der Steigung \(m=\tan(45^\circ)=1\). Aus dem Graphen liest man \(f'(x)=1\) bei \(x=2\) und \(x=4\) ab. 3. Wegen der Nullstellen gilt \(f'(x)=a(x-1)(x-5)\). Mit \(P(2\mid1)\) folgt \(1=a(2-1)(2-5)=-3a\), also \(a=-\frac{1}{3}\). 4. Damit ist \(f'(x)=-\frac{1}{3}(x-1)(x-5)=-\frac{1}{3}x^2+2x-\frac{5}{3}\). Somit sind \(a=-\frac{1}{3}\), \(b=2\) und \(c=-\frac{5}{3}\).

a) Nullstellen: \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv; \(x=5\) mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. b) Bei \(x=2\) und \(x=4\). c) \(a=-\frac{1}{3}\), \(b=2\), \(c=-\frac{5}{3}\).

- Wo ist die Steigung der Glockenkurve null? Dort hat \(f'\) eine Nullstelle. - Suche die Bereiche, in denen die Kurve am steilsten steigt beziehungsweise fällt. - Nutze die Symmetrie des Graphen von \(f\).

1. Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat ein Maximum bei \(x = 0\). Daher gilt \(f'(0) = 0\). Für \(x < 0\) steigt \(f\), also ist \(f'(x) > 0\); für \(x > 0\) fällt \(f\), also ist \(f'(x) < 0\). 2. Die Extremstellen von \(f'\) liegen an den Stellen, an denen der Graph von \(f\) am steilsten ist. Dies sind die Wendestellen von \(f\). Im Graphen liegen diese bei etwa \(x \approx -1\) (Maximum von \(f'\)) und \(x \approx 1\) (Minimum von \(f'\)).

1. Der Graph von \(f'\) nähert sich links der \(x\)-Achse von oben, hat bei \(x \approx -1\) ein Maximum, schneidet bei \(x = 0\) die Achse, hat bei \(x \approx 1\) ein Minimum und nähert sich rechts der Achse von unten. 2. Die Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x \approx -1\) und \(x \approx 1\); dies sind die Wendestellen von \(f\).

- Lies zuerst nur das Vorzeichen von \(f'\) zwischen seinen Nullstellen. - Achte an jeder Nullstelle darauf, in welche Richtung das Vorzeichen wechselt. - Für die Steilheit an einer bestimmten Stelle brauchst du den dortigen Funktionswert von \(f'\).

1. Im dargestellten Bereich ist \(f'\) für \(-3<x<-1\) positiv, für \(-1<x<1\) negativ und für \(1<x<3\) positiv. Daher steigt \(f\), fällt dann und steigt anschließend wieder. 2. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) gilt \(f'(x)=0\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ: \(f\) steigt davor und fällt danach. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv: \(f\) fällt davor und steigt danach. 3. Aus dem Graphen liest man \(f'(-2)=3\), \(f'(0)=-1\) und \(f'(2)=3\). Somit steigt \(f\) bei \(x=\pm2\) gleich steil, während es bei \(x=0\) mit der Steigung \(-1\) fällt.

a) Im dargestellten Bereich steigt \(f\) für \(-3<x<-1\), fällt für \(-1<x<1\) und steigt für \(1<x<3\). b) Waagerechte Tangenten bei \(x=-1\) und \(x=1\); bei \(x=-1\) wechselt der Graph von steigend zu fallend, bei \(x=1\) von fallend zu steigend. c) \(f'(-2)=3\), \(f'(0)=-1\), \(f'(2)=3\); bei \(x=-2\) und \(x=2\) ist die lokale Steilheit gleich groß.

- Achte nicht nur auf das Vorzeichen von \(f'\), sondern darauf, wie sich \(f'\) selbst verändert. - Werte von \(f'\) beschreiben Tangentensteigungen von \(f\). - Suche die Stelle, an der sich die Richtung der Änderung dieser Steigungen umkehrt.

1. Auf \([-2,1]\) steigt der Graph von \(f'\); auf \([1,4]\) fällt er. 2. Damit werden die Tangentensteigungen von \(f\) bis \(x=1\) größer und danach kleiner. 3. Bei \(x=1\) ändert sich also die Art, wie sich die Tangentensteigungen verändern. Daher besitzt \(f\) dort einen Krümmungswechsel.

a) \(f'\) nimmt auf \([-2,1]\) zu und auf \([1,4]\) ab. b) Die Tangentensteigungen von \(f\) werden bis \(x=1\) größer und danach kleiner. c) Bei \(x=1\), weil \(f'\) dort von zunehmend zu abnehmend wechselt und sich damit die Änderung der Tangentensteigungen umkehrt.

- Vergleiche zuerst die Nullstelle von \(f'\) mit den Stellen waagerechter Tangenten der drei Kandidaten. - Prüfe anschließend die Richtung des Steigens und Fallens links und rechts davon. - Frage dich, was passiert, wenn man einen ganzen Funktionsgraphen nur senkrecht verschiebt: Ändern sich dadurch seine Tangentensteigungen?

1. Der Graph von \(f'\) hat bei \(x=0\) eine Nullstelle, ist links negativ und rechts positiv. Ein zugehöriger Graph von \(f\) muss daher bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente besitzen, links fallen und rechts steigen. Das erfüllen sowohl \(p\) als auch \(q\). 2. Die Graphen \(p\) und \(q\) haben überall dieselben Tangentensteigungen und unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung nach oben oder unten. Der Graph \(r\) hat seine waagerechte Tangente nicht bei \(x=0\) und passt deshalb nicht. 3. Aus \(f'\) allein folgt nicht die vertikale Lage von \(f\), also insbesondere kein einzelner Funktionswert von \(f\). 4. Mit der Zusatzinformation \(f(0)=4\) bleibt nur Graph \(p\), denn er geht bei \(x=0\) durch die Höhe \(4\).

a) \(p\) und \(q\) sind möglich; \(r\) nicht. b) \(f'\) legt die Tangentensteigungen, aber nicht die vertikale Lage beziehungsweise einen absoluten Funktionswert von \(f\) fest. c) Mit \(f(0)=4\) ist \(p\) der passende Graph.