- Was bedeutet der Ausdruck \(f'(x_0)\) geometrisch? - Übertrage die angegebene Tangentensteigung direkt auf den Ableitungswert.

1. Der Ableitungswert an einer Stelle ist die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an dieser Stelle. 2. Daher gilt \(f'(3)=-2\). 3. Die Ableitungsfunktion \(f'\) ordnet jedem x-Wert, an dem \(f\) differenzierbar ist, die zugehörige Tangentensteigung von \(f\) zu.

\(f'(3)=-2\). Die Funktion \(f'\) ordnet einer Stelle \(x\) die Tangentensteigung des Graphen von \(f\) an dieser Stelle zu.

- Bestimme zuerst den Funktionswert an der Stelle \(2\). - Überlege, wie du den Funktionswert an der Stelle \(2+h\) notierst. - Prüfe, welche Einschränkung sich aus dem Nenner ergibt.

1. Es ist \(f(2)=5\) und \(f(2+h)=(2+h)^2+1\). 2. Damit lautet der Differenzenquotient \(\frac{(2+h)^2+1-5}{h}\). 3. Im Differenzenquotienten muss \(h\neq0\) gelten, weil durch \(h\) geteilt wird.

\(\frac{(2+h)^2+1-5}{h}\) mit \(h\neq0\).

- Vereinfache zunächst den Zähler. - Prüfe danach, ob alle Terme im Zähler einen gemeinsamen Faktor haben. - Kürzen ist nur möglich, wenn derselbe Faktor den gesamten Zähler und den Nenner betrifft.

1. Ausmultiplizieren ergibt \((x+h)^2-x^2=x^2+2xh+h^2-x^2=2xh+h^2\). 2. Im Zähler kann \(h\) ausgeklammert werden: \(2xh+h^2=h(2x+h)\). 3. Für \(h\neq0\) darf gekürzt werden. Damit ergibt sich \(2x+h\).

\(2x+h\)

- Erinnere dich an die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. - Nutze die binomischen Formeln, um den Term \(f(x+h)\) zu entwickeln. - Achte darauf, dass im Zähler alle Terme ohne \(h\) wegfallen müssen, damit du \(h\) kürzen kannst. - Überlege dir, welche Bedeutung der Wert der Ableitung an einer Stelle für die Steigung hat.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{1{,}5(x+h)^2 - 1{,}5x^2}{h}\) 2. Anwendung der ersten binomischen Formel und Vereinfachung des Zählers: \(\frac{1{,}5(x^2 + 2xh + h^2) - 1{,}5x^2}{h} = \frac{3xh + 1{,}5h^2}{h}\) 3. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(3x + 1{,}5h\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(f'(x) = 3x\) 5. Ansetzen der Gleichung \(f'(x_0) = 9\): \(3x_0 = 9\) 6. Auflösen nach \(x_0\): \(x_0 = 3\)

Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = 3x\). Die gesuchte Stelle ist \(x_0 = 3\).

- Überlege dir, wie der Differenzenquotient für eine beliebige Stelle \(x\) definiert ist. - Setze den Ausdruck \((x+h)\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und achte auf die binomische Formel. - Welche Terme im Zähler fallen weg, wenn du \(f(x)\) subtrahierst? - Was bleibt vom Term übrig, wenn du den gesamten Bruch durch \(h\) teilst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für eine beliebige Stelle \(x\): \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(5 - 2(x+h)^2) - (5 - 2x^2)}{h}\) 2. Vereinfachen des Zählers durch Anwendung der ersten binomischen Formel und Auflösen der Klammern: \(\frac{5 - 2(x^2 + 2xh + h^2) - 5 + 2x^2}{h} = \frac{-4xh - 2h^2}{h}\) 3. Kürzen des Ausdrucks durch \(h\): \(-4x - 2h\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\), um den Differentialquotienten zu erhalten: \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (-4x - 2h) = -4x\)

\(f'(x) = -4x\)

- Ersetze jedes Vorkommen von \(x\) im Funktionsterm durch den Ausdruck \((x+h)\). - Multipliziere alle Klammern im Zähler vollständig aus und fasse gleiche Terme zusammen. - Kannst du \(h\) im Zähler ausklammern, um den Nenner zu eliminieren? - Was passiert mit den verbleibenden Termen, wenn \(h\) immer kleiner wird und schließlich gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 + 6(x+h) - (x^2 + 6x)}{h}\) 2. Umformen und Zusammenfassen der Terme im Zähler: \(\frac{x^2 + 2xh + h^2 + 6x + 6h - x^2 - 6x}{h} = \frac{2xh + h^2 + 6h}{h}\) 3. Kürzen des Faktors \(h\) aus dem gesamten Bruch: \(2x + h + 6\) 4. Bestimmung des Grenzwerts des Terms für \(h \to 0\): \(f'(x) = 2x + 6\)

\(f'(x) = 2x + 6\)

- Welche Gleichung beschreibt die Bedingung „Steigung 3“? - Setze die Ableitungsfunktion gleich \(3\). - Löse anschließend die quadratische Gleichung.

1. Gesucht sind die Stellen mit \(f'(x)=3\). 2. Daher gilt \(x^2-2x-5=3\), also \(x^2-2x-8=0\). 3. Es gilt \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\). 4. Somit erhält man \(x=4\) oder \(x=-2\).

\(x=-2\) und \(x=4\)

- Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten. - Setze den Term \(a+h\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Versuche den Zähler so weit zu vereinfachen, dass du \(h\) ausklammern und anschließend kürzen kannst. - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für \(f(x) = x^2 - 3x\): \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - 3(a+h) - (a^2 - 3a)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(\frac{a^2 + 2ah + h^2 - 3a - 3h - a^2 + 3a}{h}\) 3. Zusammenfassen und Vereinfachen des Zählers: \(\frac{2ah + h^2 - 3h}{h}\) 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(2a + h - 3\) 5. Bestimmen des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (2a + h - 3) = 2a - 3\) Die Ableitung an der Stelle \(a\) ist \(f'(a) = 2a - 3\).

\(f'(a) = 2a - 3\)

- Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle \(x_0\) und welchen an der Stelle \(x_0 + h\)? - Was passiert im Zähler des Differenzenquotienten, wenn die Funktionswerte identisch sind? - Wie sieht der Graph einer Funktion aus, deren Funktionswerte sich nie ändern? - Was sagt die Ableitung über die Steigung einer Geraden aus?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\). Da \(f(x) = -8\) für alle \(x\) gilt, folgt \(\frac{-8 - (-8)}{h} = \frac{0}{h} = 0\) für \(h \neq 0\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ergibt \(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} 0 = 0\). 2. Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse. Da diese Gerade überall die Steigung \(0\) besitzt (Steigungswinkel \(0^\circ\)), muss die Ableitung, welche die lokale Steigung repräsentiert, überall den Wert \(0\) annehmen.

1. \(f'(x_0) = 0\) 2. Da der Graph eine Parallele zur \(x\)-Achse ist, ist die Steigung überall gleich null.

- Welcher Funktionstyp hat an jeder Stelle die gleiche Steigung? - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Überlege, was die Ableitung an einer Stelle \(x\) über das Wachstum der Funktion aussagt. - Welchen Wert der Funktionsgleichung kannst du direkt aus einem Punkt auf der \(y\)-Achse ablesen?

1. Da die Ableitungsfunktion \(f'\) konstant ist, muss \(f\) eine lineare Funktion der Form \(f(x) = mx + b\) sein. Die Ableitung entspricht der Steigung \(m\). Diese wird über das Steigungsdreieck der Punkte \(P\) und \(Q\) berechnet: \(c = m = \frac{9 - 1{,}5}{5 - 0} = \frac{7{,}5}{5} = 1{,}5\). 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(0\). Aus \(P(0|1{,}5)\) folgt \(b = 1{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 1{,}5x + 1{,}5\). 3. Bei einer linearen Funktion gibt die Steigung (und damit der Wert der Ableitungsfunktion) an, um wie viel sich der Funktionswert ändert, wenn \(x\) um \(1\) erhöht wird. Da \(f'(x) = 1{,}5\), nehmen die Funktionswerte pro Einheit um \(1{,}5\) zu.

1. \(c = 1{,}5\) 2. \(f(x) = 1{,}5x + 1{,}5\) 3. Die Funktionswerte nehmen jeweils um \(1{,}5\) zu.

- Setze \(f'(x)\) jeweils gleich der vorgegebenen Steigung. - Löse die entstehende lineare Gleichung nach \(x\) auf.

1. Für Steigung \(0\): \(2x-3=0\), also \(x=1{,}5\). 2. Für Steigung \(1\): \(2x-3=1\), also \(x=2\). 3. Für Steigung \(-1\): \(2x-3=-1\), also \(x=1\). 4. Für Steigung \(\frac12\): \(2x-3=\frac12\), also \(x=1{,}75\). 5. Für Steigung \(-\frac12\): \(2x-3=-\frac12\), also \(x=1{,}25\).

\(m=0:\ x=1{,}5\) \(m=1:\ x=2\) \(m=-1:\ x=1\) \(m=\frac12:\ x=1{,}75\) \(m=-\frac12:\ x=1{,}25\)

- Setze die jeweilige Ableitungsfunktion gleich der geforderten Steigung. - Bei einer Gleichung mit \(x^2\) können zwei reelle Lösungen auftreten.

1. Für a) gilt \(x-3=2\). Daher ist \(x=5\). 2. Für b) gilt \(3x^2-3=9\). Daraus folgt \(x^2=4\). 3. Somit ist in b) \(x=-2\) oder \(x=2\).

a) \(x=5\) b) \(x=-2\) und \(x=2\)

- Lies jede Tangentensteigung an zwei geeigneten Punkten der jeweiligen Geraden ab. - Ein Ableitungswert liefert einen Punkt \((x\mid f'(x))\) des Ableitungsgraphen. - Welche Gerade verläuft durch die drei so erhaltenen Punkte?

1. Die Tangente bei \(x=-2\) hat die Steigung \(-2\), die Tangente bei \(x=0\) die Steigung \(0\) und die Tangente bei \(x=2\) die Steigung \(2\). 2. Damit liegen die Punkte \((-2\mid-2)\), \((0\mid0)\) und \((2\mid2)\) auf dem Graphen von \(f'\). 3. Diese drei Punkte liegen auf der Geraden durch den Ursprung mit Steigung \(1\). Daher lautet die Ableitungsfunktion \(f'(x)=x\).

a) \(f'(-2)=-2\), \(f'(0)=0\), \(f'(2)=2\). b) \(f'(x)=x\).

- Setze zuerst \(x+h\) in den gegebenen Funktionsterm ein. - Vereinfache den Differenzenquotienten, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Vergleiche das Ergebnis mit der geometrischen Eigenschaft einer Geraden: Ändert sich ihre Steigung entlang des Graphen?

1. Es ist \(f(x+h)=3(x+h)-2=3x+3h-2\). 2. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{3x+3h-2-(3x-2)}{h}=\frac{3h}{h}=3\) für \(h\ne0\). 3. Der Grenzwert für \(h\to0\) ist daher \(3\), also gilt \(f'(x)=3\) für alle \(x\). 4. Der Graph von \(f\) ist eine Gerade mit überall derselben Steigung \(3\); deshalb ist die Ableitungsfunktion konstant.

\(f'(x)=3\). Die Ableitung ist konstant, weil die Gerade \(f\) an jeder Stelle dieselbe Steigung besitzt.

- Vergleiche \(f(x+h)\) und \(f(x)\) termweise im Zähler. - Entscheidend ist, was nach dem Subtrahieren in der Differenz übrig bleibt. - Erst nach dem Kürzen des Faktors \(h\) solltest du den Grenzübergang betrachten.

1. Es ist \(f(x+h)=(x+h)^2+4=x^2+2xh+h^2+4\). 2. Damit wird der Differenzenquotient \(\frac{x^2+2xh+h^2+4-(x^2+4)}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h\). 3. Für \(h\to0\) folgt \(f'(x)=2x\). Der konstante Summand \(4\) hebt sich in der Differenz \(f(x+h)-f(x)\) vollständig auf. 4. Neles Vorschlag \(2x+4\) ist daher falsch.

Neles Behauptung ist falsch. Mit der Definition erhält man \(f'(x)=2x\). Der konstante Summand \(4\) verschwindet bereits in \(f(x+h)-f(x)\).

- Stelle zuerst \(g(x+h)\) sorgfältig auf. - Vereinfache den Differenzenquotienten vollständig, bevor du den Grenzwert bildest. - Erst nach dem Kürzen lässt du \(h\) gegen \(0\) gehen. - Überlege zuletzt, was eine Funktion von \(x\) von einem einzelnen Ableitungswert unterscheidet.

1. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-3(x+h)-(x^2-3x)}{h}\). 2. Der Zähler vereinfacht sich zu \(2xh+h^2-3h=h(2x+h-3)\). Für \(h\neq0\) ergibt sich \(2x+h-3\). 3. Für \(h\to0\) folgt \(g'(x)=2x-3\). 4. Einsetzen von \(x=4\) ergibt \(g'(4)=5\). 5. \(g'(x)\) ist die Ableitungsfunktion; \(g'(4)\) ist ein einzelner Ableitungswert und damit die Tangentensteigung bei \(x=4\).

\(g'(x)=2x-3\) und \(g'(4)=5\). \(g'(x)\) ist die Ableitungsfunktion, \(g'(4)\) ein einzelner Ableitungswert.

- Welche besonderen Punkte eines Funktionsgraphen geben dir sofort Auskunft über die Nullstellen seiner Ableitung? - Schau dir an, an welchen Stellen der gegebene Graph waagerechte Tangenten hat. - Was bedeutet es für das Vorzeichen der Ableitung, wenn eine Funktion steigt oder fällt? - Verfolge den Graphen von links nach rechts und vergleiche Steigung und Vorzeichen der infrage kommenden Graphen.

1. Identifikation der Extremstellen der Funktion \(F\) (orangefarbener Graph): Der Graph von \(F\) besitzt insgesamt fünf lokale Extremstellen (drei lokale Minima und zwei lokale Maxima). 2. Notwendige Bedingung für die Ableitung: An den lokalen Extremstellen von \(F\) muss die Ableitung \(F'\) Nullstellen besitzen (\(F'(x) = 0\)). Dies trifft nur auf die Graphen A (blau) und D (lila) zu. 3. Analyse des Monotonieverhaltens: - Links vom ersten lokalen Minimum ist \(F\) streng monoton fallend, folglich muss dort \(F'(x) < 0\) gelten. - Für sehr große \(x\)-Werte (ganz rechts) ist \(F\) streng monoton steigend, folglich muss dort \(F'(x) > 0\) gelten. 4. Überprüfung der verbleibenden Graphen: Graph D verläuft im linken Bereich unterhalb der \(x\)-Achse (\(y < 0\)) und strebt ganz rechts gegen \(+\infty\) (\(y > 0\)), während Graph A genau das umgekehrte Vorzeichenverhalten zeigt. 5. Schlussfolgerung: Graph D entspricht der Ableitungsfunktion von \(F\).

D

- Wie hängen die Steigungen paralleler Geraden zusammen? - Achte beim Subtrahieren von \(f(x)\) im Zähler besonders auf die Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Kannst du den Zähler so umformen, dass du \(h\) im Nenner eliminieren kannst? - Was passiert mit den Termen, die nach dem Kürzen noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{4(x+h) - (x+h)^2 - (4x - x^2)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(\frac{4x + 4h - (x^2 + 2xh + h^2) - 4x + x^2}{h}\) 3. Zusammenfassen und Vereinfachen des Zählers: \(\frac{4h - 2xh - h^2}{h}\) 4. Kürzen durch \(h\) und Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (4 - 2x - h) = 4 - 2x\) 5. Bestimmung der Zielsteigung: Da die Tangente parallel zu \(y = -2x + 5\) sein soll, muss \(f'(x_0) = -2\) gelten. 6. Lösen der Gleichung: \(4 - 2x_0 = -2 \implies -2x_0 = -6 \implies x_0 = 3\)

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 4 - 2x\). Die Tangente verläuft an der Stelle \(x_0 = 3\) parallel zur gegebenen Geraden.

- Vergleiche bei a) die Tangenten an zwei Stellen, die spiegelbildlich zur \(y\)-Achse liegen. - Kann ein Graph vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegen und trotzdem an manchen Stellen fallen? - Was ändert sich an einer Tangente, wenn der ganze Graph nur senkrecht verschoben wird? - Unterscheide bei d) sorgfältig zwischen der Höhe eines Graphenpunkts und der Steigung der Tangente.

1. Aussage a) ist wahr. Bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse besitzen die Tangenten an den spiegelbildlichen Stellen \(x\) und \(-x\) entgegengesetzte Steigungen. Daher gilt \(f'(-x)=-f'(x)\). 2. Aussage b) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=(x-1)^2+1\), denn \(f(x)>0\) für alle \(x\). Am Punkt \(x_0=0\) liefert der Differentialquotient \(\frac{f(h)-f(0)}{h}=h-2\), also \(f'(0)=-2<0\). 3. Aussage c) ist wahr. Eine Verschiebung des gesamten Graphen nach oben verändert an keiner Stelle die Tangentenrichtung und damit auch keine Tangentensteigung. Deshalb bleibt \(f'\) unverändert. 4. Aussage d) ist falsch. Für die Gerade \(f(x)=2x+1\) gilt beispielsweise \(f(0)=1\), während ihre Tangentensteigung an jeder Stelle \(2\) beträgt.

a) Wahr. b) Falsch; Gegenbeispiel: \(f(x)=(x-1)^2+1\) mit \(f'(0)=-2\). c) Wahr; eine reine Verschiebung nach oben verändert keine Tangentensteigung. d) Falsch; bei \(f(x)=2x+1\) gilt \(f(0)=1\), aber \(f'(0)=2\).

- Für eine vorgegebene Steigung setzt du die Ableitungsfunktion gleich diesem Wert. - Für gleiche Steigungen setzt du \(f'(x)=g'(x)\). - Prüfe bei c), welche Lösung du schon aus a) kennst.

1. Für a) gilt \(f'(x)=6\). Also \(2x-4=6\) und damit \(x=5\). 2. Für b) ist \(g'(5)=25-20+1=6\). Beide Graphen haben bei \(x=5\) dieselbe Steigung. 3. Für c) setzt man die Ableitungsfunktionen gleich: \(2x-4=x^2-4x+1\). 4. Daraus folgt \(x^2-6x+5=0=(x-1)(x-5)\). Neben \(x=5\) erhält man \(x=1\).

a) \(x=5\) b) Ja. Bei \(x=5\) haben beide Graphen die Steigung \(6\). c) Die weitere Stelle ist \(x=1\).

- Welche Steigung hat eine waagrechte Tangente? - Setze für b) die beiden Ableitungsfunktionen gleich. - Für die Punkte in a) brauchst du nach den x-Werten noch die zugehörigen Funktionswerte.

1. Eine waagrechte Tangente hat die Steigung \(0\). Daher gilt \(3x^2-12x+9=0\). 2. Nach Division durch \(3\) erhält man \(x^2-4x+3=0=(x-1)(x-3)\). Also \(x=1\) oder \(x=3\). 3. Es gilt \(h(1)=6\) und \(h(3)=2\). Damit sind die Punkte \(P_1(1\mid6)\) und \(P_2(3\mid2)\). 4. Für gleiche Steigungen gilt \(h'(x)=k'(x)\): \(3x^2-12x+9=-3x+3\). 5. Daraus folgt \(3x^2-9x+6=0\), also \(x^2-3x+2=0=(x-1)(x-2)\). Somit gilt \(x=1\) oder \(x=2\).

a) \(P_1(1\mid6)\) und \(P_2(3\mid2)\) b) \(x=1\) und \(x=2\)

- Stelle für jede Funktion zunächst den Differenzenquotienten \(\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\) auf. - Welche Terme bleiben nach dem Teilen durch \(h\) übrig, wenn \(h\) gegen 0 geht? - Welche geometrischen Größen beschreiben \(x^2\) und \(x^3\)? - Welche dünnen Flächen- beziehungsweise Volumenteile entstehen bei einer sehr kleinen Vergrößerung von \(x\)?

1. Für \(A\) gilt \(\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h\). Für \(h\to0\) folgt \(A'(x)=2x\). 2. Für \(V\) gilt \(\frac{V(x+h)-V(x)}{h}=\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=3x^2+3xh+h^2\). Für \(h\to0\) folgt \(V'(x)=3x^2\). 3. \(A(x)\) ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge \(x\). Bei einer kleinen Verlängerung um \(h\) liefert der Term \(2xh\) den führenden Flächenzuwachs; deshalb beschreibt \(A'(x)=2x\) die momentane Flächenänderung pro Längenänderung. 4. \(V(x)\) ist das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge \(x\). Bei einer kleinen Verlängerung um \(h\) liefern die drei dünnen Seitenschichten zusammen den führenden Zuwachs \(3x^2h\); deshalb beschreibt \(V'(x)=3x^2\) die momentane Volumenänderung pro Längenänderung.

1. \(A'(x)=2x\) und \(V'(x)=3x^2\) 2. \(A'\) beschreibt die momentane Änderung des Quadratflächeninhalts bezüglich der Seitenlänge; \(V'\) die momentane Änderung des Würfelvolumens bezüglich der Kantenlänge.

- Erinnere dich an die Definition der momentanen Änderungsrate als Grenzwert. - Wie lässt sich ein Ausdruck der Form \((a+b)^3\) ausmultiplizieren? - Überlege, wie du den Bruch so vereinfachen kannst, dass \(h\) im Nenner verschwindet. - Was passiert mit den Termen, die noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h}\) 2. Ausmultiplizieren des Zählers mit der binomischen Formel: \(\frac{x_0^3 + 3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3 - x_0^3}{h}\) 3. Vereinfachen des Zählers durch Subtraktion von \(x_0^3\): \(\frac{3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3}{h}\) 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(3x_0^2 + 3x_0h + h^2\) 5. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (3x_0^2 + 3x_0h + h^2) = 3x_0^2\)

Durch Anwendung des Differenzenquotienten \(\lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h}\) und anschließendes Kürzen von \(h\) ergibt sich nach der Grenzwertbetrachtung \(f'(x_0) = 3x_0^2\).

- Wie kannst du die beiden Brüche im Zähler auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Versuche, den resultierenden Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Achte darauf, dass \(h\) im Nenner des Differenzenquotienten weggekürzt werden muss. - Was bleibt übrig, wenn du im vereinfachten Term \(h = 0\) einsetzt?

1. Ansatz des Differenzenquotienten: \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{3}{a+h} - \frac{3}{a}}{h}\) 2. Umformung des Zählers durch Hauptnennerbildung: \(\frac{3}{a+h} - \frac{3}{a} = \frac{3a - 3(a+h)}{a(a+h)} = \frac{3a - 3a - 3h}{a(a+h)} = \frac{-3h}{a(a+h)}\) 3. Vereinfachung des gesamten Doppelbruchs: \(\frac{-3h}{a(a+h) \cdot h} = \frac{-3}{a(a+h)}\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-3}{a(a+h)} = -\frac{3}{a^2}\)

\(f'(a) = -\frac{3}{a^2}\)

- Setze \(x+h\) in \(f\) ein und bilde \(f(x+h)-f(x)\). - Vereinfache den Differenzenquotienten vollständig, bevor du den Grenzwert bildest. - Welche Werte kann \(x^2\) annehmen?

1. Es ist \(f(x+h)-f(x)=3x^2h+3xh^2+h^3+3h\). Für \(h\neq0\) folgt \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^2+3xh+h^2+3\). Für \(h\to0\) erhält man \(f'(x)=3x^2+3\). 2. Wegen \(x^2\ge0\) gilt \(f'(x)\ge3\). Daher kommen alle Steigungen \(m<3\) nicht vor. 3. Der Graph hat überall positive Steigung. Er steigt überall; eine waagrechte oder fallende Tangente gibt es nicht. Die kleinste Tangentensteigung ist \(3\) bei \(x=0\).

1. \(f'(x)=3x^2+3\) 2. Alle \(m<3\) kommen nicht vor. 3. Der Graph steigt überall; die kleinste Tangentensteigung ist \(3\) bei \(x=0\).

- Wenn die Änderungsrate überall gleich ist, welche Form muss der Graph dann haben? - Wie hängen die Steigung einer Geraden und ihre Ableitungsfunktion zusammen? - Welche Information liefert der Punkt \((4\mid2)\) für den noch unbekannten Achsenabschnitt? - Was passiert mit allen Tangentensteigungen, wenn ein Graph nur nach oben verschoben wird?

1. Da die Ableitung überall konstant ist, handelt es sich um eine lineare Funktion. Da der Wert negativ ist, ist der Graph eine fallende Gerade. 2. Mit \(h(x)=-0{,}5x+n\) und \(h(4)=2\) gilt \(2=-0{,}5\cdot4+n=-2+n\). Somit ist \(n=4\) und \(h(x)=-0{,}5x+4\). 3. Die Graphen von \(g\) und \(h\) unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung um \(10\) Einheiten nach oben. Eine solche Verschiebung verändert keine Steigung. Daher gilt an jeder Stelle \(g'(x)=h'(x)=-0{,}5\).

1. Lineare Funktion; der Graph ist eine fallende Gerade. 2. \(h(x)=-0{,}5x+4\) 3. \(g'(x)=h'(x)=-0{,}5\). Die vertikale Verschiebung verändert keine Steigung.

- Setze die Ableitungsfunktion gleich \(2\). - Welche Werte kann \(x^2\) für reelle \(x\) annehmen?

1. Eine Tangente mit Steigung \(2\) würde eine Lösung der Gleichung \(f'(x)=2\) erfordern. 2. Es gilt \(3x^2+3=2\), also \(x^2=-\frac13\). 3. Für reelle \(x\) ist \(x^2\ge0\). Die Gleichung hat daher keine reelle Lösung. 4. Gleichwertig gilt \(f'(x)=3x^2+3\ge3\). Die Steigung \(2\) kann nicht vorkommen.

Es gibt keine solche Stelle, weil \(f'(x)\ge3\) für alle reellen \(x\) gilt.

- Stelle zunächst \(\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}\) auf. - Welche Terme bleiben nach dem Teilen durch \(\Delta r\) und dem Grenzübergang übrig? - Setze für den Vergleich die feste Höhe in die Mantelflächenformel ein. - Welche dünne geometrische Schicht entsteht bei einer sehr kleinen Radiusvergrößerung?

1. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}=\frac{10\pi(r+\Delta r)^2-10\pi r^2}{\Delta r}\). 2. Für \(\Delta r\ne0\) vereinfacht er sich zu \(20\pi r+10\pi\Delta r\). Im Grenzübergang \(\Delta r\to0\) folgt \(V'(r)=20\pi r\). 3. Für \(h=10\,\text{cm}\) ist \(M(r)=2\pi r\cdot10=20\pi r\). Daher gilt \(V'(r)=M(r)\). 4. Bei einer kleinen Radiusvergrößerung entsteht näherungsweise eine dünne Mantelschicht. Der zusätzliche Volumenterm höherer Ordnung wird im Verhältnis zur Radiusänderung im Grenzübergang vernachlässigbar.

a) \(V'(r)=20\pi r\) b) Für \(h=10\,\text{cm}\) gilt \(V'(r)=M(r)\). c) Eine sehr kleine Radiusvergrößerung erzeugt im führenden Anteil eine dünne Mantelschicht; deren Volumen pro Radiusänderung nähert sich der Mantelfläche.

- Was genau ist mit der Sekantensteigung gemeint, wenn die Punkte auf dem Graphen immer näher zusammenrücken? - Wie kannst du die beiden Brüche im Zähler so kombinieren, dass nur noch ein Bruch im Zähler steht? - Gibt es eine Möglichkeit, den Term im Zähler so zu faktorisieren, dass sich der Nenner kürzen lässt? - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(x\) gegen \(a\) strebt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für \(x \to a\): \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2}}{x - a}\). 2. Zusammenfassen der Brüche im Zähler durch den Hauptnenner \(x^2 a^2\): \(\frac{a^2 - x^2}{x^2 a^2 (x - a)}\). 3. Anwendung der Identität im Zähler: \(\frac{-(x^2 - a^2)}{x^2 a^2 (x - a)} = \frac{-(x - a)(x + a)}{x^2 a^2 (x - a)}\). 4. Kürzen des Faktors \((x - a)\): \(\frac{-(x + a)}{x^2 a^2}\). 5. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to a\): \(\lim_{x \to a} \frac{-(x + a)}{x^2 a^2} = \frac{-(a + a)}{a^2 \cdot a^2} = \frac{-2a}{a^4} = -\frac{2}{a^3}\).

\(f'(a) = -\frac{2}{a^3}\)

- Die für den Funktionsterm benötigten Werte stehen nur in der Abbildung: Lies zuerst Nullstellen und markierten Punkt ab. - Zwei Nullstellen legen die faktorisierte Form bis auf einen Faktor fest. - Der markierte Punkt bestimmt den noch fehlenden Faktor. - Für c) setzt du den gefundenen Term gleich der vorgegebenen lokalen Änderungsrate.

1. Aus der Abbildung liest man die Nullstellen \(t=1\) und \(t=5\) sowie \(P(3|2)\) ab. Daher hat \(V'\) die Form \(V'(t)=a(t-1)(t-5)\). 2. Mit \(P(3|2)\) gilt \(2=a(3-1)(3-5)=-4a\), also \(a=-0{,}5\). Damit ist \(V'(t)=-0{,}5(t-1)(t-5)\). 3. \(V'(3)=2\,\text{L/min}\) bedeutet: Nach \(3\,\text{min}\) nimmt das Wasservolumen momentan mit \(2\,\text{L}\) pro Minute zu. 4. Für \(V'(t)=1{,}5\) gilt \(-0{,}5(t-1)(t-5)=1{,}5\). Daraus folgt \(t^2-6t+8=0\), also \(t=2\) oder \(t=4\).

a) Abgelesen: Nullstellen \(1\) und \(5\), Punkt \(P(3|2)\); \(V'(t)=-0{,}5(t-1)(t-5)\) b) Bei \(t=3\,\text{min}\) nimmt das Volumen momentan mit \(2\,\text{L/min}\) zu. c) Bei \(t=2\,\text{min}\) und \(t=4\,\text{min}\).

- Vereinfache zunächst den Differenzenquotienten für einen inneren Zeitpunkt \(t\). - Welche Funktion der Zeit erhältst du nach dem Grenzübergang \(h\to0\)? - Für b) setzt du diese Änderungsratenfunktion gleich dem vorgegebenen Wert. - In c) geht es am rechten Rand um die Annäherung von links, nicht um eine zweiseitige Ableitung außerhalb des angegebenen Modellbereichs.

1. Für \(h\ne0\) ist \(\frac{T(t+h)-T(t)}{h}=0{,}4t+0{,}2h-8\). 2. Für innere Zeitpunkte des Modellintervalls folgt durch \(h\to0\) die Änderungsratenfunktion \(T'(t)=0{,}4t-8\). 3. Damit ist \(T'(5)=-6\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und \(T'(10)=-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 4. Aus \(0{,}4t-8=-2\) folgt \(t=15\,\text{min}\). 5. Für \(0<t<20\) gilt \(T'(t)<0\), also sinkt die Temperatur. Für \(t\to20^-\) nähert sich \(T'(t)\) dem Wert \(0\). Der Graph flacht beim Annähern an den rechten Rand des Modellintervalls ab.

a) \(T'(5)=-6\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und \(T'(10)=-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) b) \(t=15\,\text{min}\) c) Im Inneren des Modellintervalls ist die Änderungsrate negativ, daher kühlt die Substanz ab. Für \(t\to20^-\) nähert sich die Tangentensteigung \(0\); der Temperaturgraph flacht zum rechten Rand hin ab.