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- Was bedeutet der Ausdruck \(f'(x_0)\) geometrisch? - Übertrage die angegebene Tangentensteigung direkt auf den Ableitungswert.

1. Der Ableitungswert an einer Stelle ist die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an dieser Stelle. 2. Daher gilt \(f'(3)=-2\). 3. Die Ableitungsfunktion \(f'\) ordnet jedem x-Wert, an dem \(f\) differenzierbar ist, die zugehörige Tangentensteigung von \(f\) zu.

\(f'(3)=-2\). Die Funktion \(f'\) ordnet einer Stelle \(x\) die Tangentensteigung des Graphen von \(f\) an dieser Stelle zu.

- Erinnere dich an die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten. - Nutze die binomischen Formeln, um den Term \(f(x+h)\) zu entwickeln. - Achte darauf, dass im Zähler alle Terme ohne \(h\) wegfallen müssen, damit du \(h\) kürzen kannst. - Überlege dir, welche Bedeutung der Wert der Ableitung an einer Stelle für die Steigung hat.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{1{,}5(x+h)^2 - 1{,}5x^2}{h}\) 2. Anwendung der ersten binomischen Formel und Vereinfachung des Zählers: \(\frac{1{,}5(x^2 + 2xh + h^2) - 1{,}5x^2}{h} = \frac{3xh + 1{,}5h^2}{h}\) 3. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(3x + 1{,}5h\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(f'(x) = 3x\) 5. Ansetzen der Gleichung \(f'(x_0) = 9\): \(3x_0 = 9\) 6. Auflösen nach \(x_0\): \(x_0 = 3\)

Die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = 3x\). Die gesuchte Stelle ist \(x_0 = 3\).

- Überlege dir, wie der Differenzenquotient für eine beliebige Stelle \(x\) definiert ist. - Setze den Ausdruck \((x+h)\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und achte auf die binomische Formel. - Welche Terme im Zähler fallen weg, wenn du \(f(x)\) subtrahierst? - Was bleibt vom Term übrig, wenn du den gesamten Bruch durch \(h\) teilst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für eine beliebige Stelle \(x\): \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(5 - 2(x+h)^2) - (5 - 2x^2)}{h}\) 2. Vereinfachen des Zählers durch Anwendung der ersten binomischen Formel und Auflösen der Klammern: \(\frac{5 - 2(x^2 + 2xh + h^2) - 5 + 2x^2}{h} = \frac{-4xh - 2h^2}{h}\) 3. Kürzen des Ausdrucks durch \(h\): \(-4x - 2h\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\), um den Differentialquotienten zu erhalten: \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (-4x - 2h) = -4x\)

\(f'(x) = -4x\)

- Du kannst die Potenzregel für negative Exponenten nutzen, um die Ableitungen schneller zu berechnen. - Vergleiche die Exponenten im Nenner der Ableitungen mit der Anzahl der Ableitungsschritte. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ordnung einer Polstelle (gerade vs. ungerade) und dem grafischen Verlauf (mit oder ohne Vorzeichenwechsel).

1. Es ist \(f(x) = (x-1)^{-1}\). Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = -1 \cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = (-1) \cdot (-2) \cdot (x-1)^{-3} = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Für \(f\) ist die Ordnung 1. Für \(f'\) ist die Ordnung 2. Für \(f''\) ist die Ordnung 3. Allgemein lässt sich vermuten, dass die \(m\)-te Ableitung \(f^{(m)}\) einer Funktion mit einer Polstelle \(n\)-ter Ordnung eine Polstelle der Ordnung \(n+m\) besitzt. Hier ist \(n=1\), also hat \(f^{(m)}\) die Ordnung \(1+m\). 3. Die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\) hat an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle der Ordnung 3. Da die Ordnung 3 eine ungerade Zahl ist, liegt an der senkrechten Asymptote \(x = 1\) ein Vorzeichenwechsel vor. Für \(x \to 1^+\) gilt \(f''(x) \to +\infty\), für \(x \to 1^-\) gilt \(f''(x) \to -\infty\).

1. \(f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Ordnungen: \(f: 1\), \(f': 2\), \(f'': 3\). Vermutung: Die \(m\)-te Ableitung hat die Ordnung \(n+m\) (hier \(1+m\)). 3. Senkrechte Asymptote bei \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel, da die Polstelle von \(f''\) die ungerade Ordnung 3 hat.

- Erinnere dich an die Definition der momentanen Änderungsrate als Grenzwert. - Wie lässt sich ein Ausdruck der Form \((a+b)^3\) ausmultiplizieren? - Überlege, wie du den Bruch so vereinfachen kannst, dass \(h\) im Nenner verschwindet. - Was passiert mit den Termen, die noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = \frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h}\) 2. Ausmultiplizieren des Zählers mit der binomischen Formel: \(\frac{x_0^3 + 3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3 - x_0^3}{h}\) 3. Vereinfachen des Zählers durch Subtraktion von \(x_0^3\): \(\frac{3x_0^2h + 3x_0h^2 + h^3}{h}\) 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(3x_0^2 + 3x_0h + h^2\) 5. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (3x_0^2 + 3x_0h + h^2) = 3x_0^2\)

Durch Anwendung des Differenzenquotienten \(\lim_{h \to 0} \frac{(x_0+h)^3 - x_0^3}{h}\) und anschließendes Kürzen von \(h\) ergibt sich nach der Grenzwertbetrachtung \(f'(x_0) = 3x_0^2\).

- Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten. - Setze den Term \(a+h\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Versuche den Zähler so weit zu vereinfachen, dass du \(h\) ausklammern und anschließend kürzen kannst. - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für \(f(x) = x^2 - 3x\): \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{(a+h)^2 - 3(a+h) - (a^2 - 3a)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(\frac{a^2 + 2ah + h^2 - 3a - 3h - a^2 + 3a}{h}\) 3. Zusammenfassen und Vereinfachen des Zählers: \(\frac{2ah + h^2 - 3h}{h}\) 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(2a + h - 3\) 5. Bestimmen des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (2a + h - 3) = 2a - 3\) Die Ableitung an der Stelle \(a\) ist \(f'(a) = 2a - 3\).

\(f'(a) = 2a - 3\)

- Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten. - Wie lässt sich der Term im Zähler vereinfachen, damit man das \(h\) im Nenner kürzen kann? - Was passiert mit den Termen, die noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht? - Nutze die binomischen Formeln für das Quadrat der Summe.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{2(a+h)^2 - 5(a+h) - (2a^2 - 5a)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen des Zählers: \(2(a^2 + 2ah + h^2) - 5a - 5h - 2a^2 + 5a = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5h - 2a^2 = 4ah + 2h^2 - 5h\) 3. Kürzen durch \(h\): \(\frac{h(4a + 2h - 5)}{h} = 4a + 2h - 5\) 4. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(a) = \lim_{h \to 0} (4a + 2h - 5) = 4a - 5\)

\(f'(a) = 4a - 5\)

- Welcher Funktionstyp hat an jeder Stelle die gleiche Steigung? - Wie berechnet man die Steigung einer Geraden, wenn zwei Punkte bekannt sind? - Überlege, was die Ableitung an einer Stelle \(x\) über das Wachstum der Funktion aussagt. - Welchen Wert der Funktionsgleichung kannst du direkt aus einem Punkt auf der \(y\)-Achse ablesen?

1. Da die Ableitungsfunktion \(f'\) konstant ist, muss \(f\) eine lineare Funktion der Form \(f(x) = mx + b\) sein. Die Ableitung entspricht der Steigung \(m\). Diese wird über das Steigungsdreieck der Punkte \(P\) und \(Q\) berechnet: \(c = m = \frac{9 - 1{,}5}{5 - 0} = \frac{7{,}5}{5} = 1{,}5\). 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(0\). Aus \(P(0|1{,}5)\) folgt \(b = 1{,}5\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 1{,}5x + 1{,}5\). 3. Bei einer linearen Funktion gibt die Steigung (und damit der Wert der Ableitungsfunktion) an, um wie viel sich der Funktionswert ändert, wenn \(x\) um \(1\) erhöht wird. Da \(f'(x) = 1{,}5\), nehmen die Funktionswerte pro Einheit um \(1{,}5\) zu.

1. \(c = 1{,}5\) 2. \(f(x) = 1{,}5x + 1{,}5\) 3. Die Funktionswerte nehmen jeweils um \(1{,}5\) zu.

- Bestimme zuerst beide Ableitungsfunktionen rechnerisch. - Vergleiche Funktionstyp, Achsenschnittpunkte und Nullstellen mit den vier Kandidaten. - Nutze die Symmetrie des kubischen Ableitungsgraphen als zusätzliche Kontrolle.

1. Es gilt \(f'(x)=2x-3\) und \(g'(x)=x^3-2x\). 2. \(f'\) ist eine Gerade mit Steigung \(2\), y-Achsenabschnitt \(-3\) und Nullstelle bei \(x=1{,}5\). Das ist Graph (1). 3. \(g'\) ist eine punktsymmetrische kubische Funktion mit Nullstellen bei \(x=-\sqrt2\), \(x=0\) und \(x=\sqrt2\). Das ist Graph (2).

\(f'(x)=2x-3\) gehört zu Graph (1). \(g'(x)=x^3-2x\) gehört zu Graph (2).

- Lies jede Tangentensteigung an zwei geeigneten Punkten der jeweiligen Geraden ab. - Ein Ableitungswert liefert einen Punkt \((x\mid f'(x))\) des Ableitungsgraphen. - Welche Gerade verläuft durch die drei so erhaltenen Punkte?

1. Die Tangente bei \(x=-2\) hat die Steigung \(-2\), die Tangente bei \(x=0\) die Steigung \(0\) und die Tangente bei \(x=2\) die Steigung \(2\). 2. Damit liegen die Punkte \((-2\mid-2)\), \((0\mid0)\) und \((2\mid2)\) auf dem Graphen von \(f'\). 3. Diese drei Punkte liegen auf der Geraden durch den Ursprung mit Steigung \(1\). Daher lautet die Ableitungsfunktion \(f'(x)=x\).

a) \(f'(-2)=-2\), \(f'(0)=0\), \(f'(2)=2\). b) \(f'(x)=x\).

- Schau dir die Hoch- und Tiefpunkte des ursprünglichen Graphen an. Was muss dort für die Ableitung gelten? - Wenn eine Funktion steigt, welchen Wertbereich nimmt dann ihre Ableitung an? - Kannst du anhand der Anzahl der "Bögen" auf den Grad der jeweiligen Funktionen schließen?

1. Identifikation der lila Kurve als Graph \(F\). 2. Lokalisierung der Extremstellen von \(F\). 3. An diesen Stellen muss die Ableitungsfunktion \(F'\) Nullstellen haben. 4. Überprüfung des blauen Graphen \(D\): Er hat genau an diesen \(x\)-Werten seine Nullstellen. 5. Konsistenzprüfung des Steigungsverhaltens: Wo \(F\) steigt, ist \(D\) positiv; wo \(F\) fällt, ist \(D\) negativ. Dies bestätigt Graph \(D\) als Ableitung.

D

- Wie hängen die Steigungen paralleler Geraden zusammen? - Achte beim Subtrahieren von \(f(x)\) im Zähler besonders auf die Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Kannst du den Zähler so umformen, dass du \(h\) im Nenner eliminieren kannst? - Was passiert mit den Termen, die nach dem Kürzen noch ein \(h\) enthalten, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{4(x+h) - (x+h)^2 - (4x - x^2)}{h}\) 2. Ausmultiplizieren der Klammern im Zähler: \(\frac{4x + 4h - (x^2 + 2xh + h^2) - 4x + x^2}{h}\) 3. Zusammenfassen und Vereinfachen des Zählers: \(\frac{4h - 2xh - h^2}{h}\) 4. Kürzen durch \(h\) und Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (4 - 2x - h) = 4 - 2x\) 5. Bestimmung der Zielsteigung: Da die Tangente parallel zu \(y = -2x + 5\) sein soll, muss \(f'(x_0) = -2\) gelten. 6. Lösen der Gleichung: \(4 - 2x_0 = -2 \implies -2x_0 = -6 \implies x_0 = 3\)

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 4 - 2x\). Die Tangente verläuft an der Stelle \(x_0 = 3\) parallel zur gegebenen Geraden.

- Ersetze jedes Vorkommen von \(x\) im Funktionsterm durch den Ausdruck \((x+h)\). - Multipliziere alle Klammern im Zähler vollständig aus und fasse gleiche Terme zusammen. - Kannst du \(h\) im Zähler ausklammern, um den Nenner zu eliminieren? - Was passiert mit den verbleibenden Termen, wenn \(h\) immer kleiner wird und schließlich gegen Null geht?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 + 6(x+h) - (x^2 + 6x)}{h}\) 2. Umformen und Zusammenfassen der Terme im Zähler: \(\frac{x^2 + 2xh + h^2 + 6x + 6h - x^2 - 6x}{h} = \frac{2xh + h^2 + 6h}{h}\) 3. Kürzen des Faktors \(h\) aus dem gesamten Bruch: \(2x + h + 6\) 4. Bestimmung des Grenzwerts des Terms für \(h \to 0\): \(f'(x) = 2x + 6\)

\(f'(x) = 2x + 6\)

- Erinnere dich daran, welche Bedingung für \(f(-x)\) gelten muss, damit Achsensymmetrie oder Punktsymmetrie vorliegt. - Was passiert mit den Exponenten einer Potenzfunktion \(x^n\), wenn man sie ableitet? - Betrachte die Vorzeichen der Terme, nachdem du \(-x\) für \(x\) eingesetzt hast.

1. Überprüfung der Symmetrie von \(f\): Es gilt \(f(-x) = -(-x)^4 + 4(-x)^2 - 2 = -x^4 + 4x^2 - 2 = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) erfüllt ist, ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Ableitung: Unter Verwendung der Potenz- und Summenregel ergibt sich \(f'(x) = -4x^3 + 8x\). 3. Überprüfung der Symmetrie von \(f'\): Es gilt \(f'(-x) = -4(-x)^3 + 8(-x) = -4(-x^3) - 8x = 4x^3 - 8x = -( -4x^3 + 8x ) = -f'(x)\). Da \(f'(-x) = -f'(x)\) erfüllt ist, ist der Graph von \(f'\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. Zusammenhang: Die Ableitungsfunktion einer achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies liegt daran, dass beim Ableiten die geraden Exponenten zu ungeraden Exponenten werden und die Konstante (Exponent 0) wegfällt.

a) Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\). b) Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = -4x^3 + 8x\). Ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(f'(-x) = -f'(x)\). c) Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, dann ist ihre Ableitungsfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Überlege dir, welche Exponenten bei Punktsymmetrie zum Ursprung erlaubt sind und welche nicht. - Wähle für das Beispiel einfache Koeffizienten, um die Ableitung leicht berechnen zu können. - Untersuche, wie sich die Parität (gerade/ungerade) einer Zahl \(k\) ändert, wenn man \(k-1\) betrachtet.

1. Eigenschaft der Exponenten: Bei einer zum Ursprung punktsymmetrischen ganzrationalen Funktion treten nur ungerade Exponenten auf. Ein Beispiel für den Grad 3 wäre \(g(x) = x^3 + 2x\). 2. Ableitung und Symmetrie des Beispiels: Für \(g(x) = x^3 + 2x\) ist \(g'(x) = 3x^2 + 2\). Da nur gerade Exponenten (2 und 0) vorkommen, gilt \(g'(-x) = 3(-x)^2 + 2 = 3x^2 + 2 = g'(x)\). Der Graph von \(g'\) ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Allgemeine Begründung: Eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion \(g\) besteht nur aus Termen der Form \(a_kx^k\) mit ungeradem \(k\). Beim Ableiten wird daraus \(ka_kx^{k-1}\). Da \(k\) ungerade ist, ist der neue Exponent \(k-1\) gerade. Eine ganzrationale Funktion mit nur geraden Exponenten ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

a) Die Exponenten müssen alle ungerade sein. Beispiel: \(g(x) = x^3 + 2x\). b) \(g'(x) = 3x^2 + 2\). Der Graph von \(g'\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. c) Da \(g\) nur ungerade Exponenten hat, haben alle Terme von \(g'\) nach der Potenzregel \(nx^{n-1}\) nur noch gerade Exponenten. Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Überlege dir bei jeder Aussage, welche Ableitungsregeln für Summen, Potenzen und konstante Faktoren du bereits kennst. - Was bedeutet die Ableitung geometrisch für den Verlauf des Graphen? - Probiere bei formalen Aussagen einfache Beispiele wie \(f(x) = x^2\) aus, um die Behauptung zu prüfen. - Denke an den Unterschied zwischen der Steigung an einem Punkt und dem Funktionswert an diesem Punkt.

1. Aussage a) ist wahr. Nach der Potenzregel wird beim Ableiten eines Terms \(ax^n\) der Exponent um 1 verringert (\(nax^{n-1}\)). Der höchste Exponent \(n\) der Funktion bestimmt den Grad \(n-1\) der Ableitung. 2. Aussage b) ist wahr. Wenn \(g'(x) = h'(x)\) für alle \(x\) gilt, ist die Differenzfunktion \(d(x) = g(x) - h(x)\) konstant, da ihre Ableitung \(d'(x) = 0\) ist. Somit gilt \(g(x) = h(x) + c\). 3. Aussage c) ist falsch. Man darf die Ableitungen der Faktoren nicht einfach multiplizieren. In diesem Fall kann man zuerst ausmultiplizieren: \(p(x) = (x^2 + 1) \cdot x^3 = x^5 + x^3\). Damit ergibt sich \(p'(x) = 5x^4 + 3x^2\). Das Produkt der einzelnen Ableitungen wäre \(2x \cdot 3x^2 = 6x^3\) und führt nicht zum richtigen Ergebnis. 4. Aussage d) ist wahr. An einem lokalen Extrempunkt (Tiefpunkt) verläuft die Tangente waagerecht, was bedeutet, dass die Steigung und damit der Wert der Ableitungsfunktion \(f'(x_0) = 0\) ist.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Stelle dir den Graphen bildlich vor: Wenn eine Kurve oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, muss sie dann auch zwangsläufig steigen? - Was passiert mit der Steigung einer Kurve, wenn man sie starr im Koordinatensystem nach oben oder unten schiebt? - Erinnere dich an die Definition der Ableitung als lokale Steigung. - Nutze Symmetrieeigenschaften: Wie verhält sich die Steigung einer Parabel links und rechts von der \(y\)-Achse?

1. Aussage a) ist wahr. Bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse gilt \(f(-x) = f(x)\). Die Steigung an der Stelle \(x\) ist dann genau der negative Wert der Steigung an der Stelle \(-x\), also \(f'(-x) = -f'(x)\), was Punktsymmetrie zum Ursprung entspricht. 2. Aussage b) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = (x-1)^2 + 1\). Für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt \(f(x) > 0\), aber die Ableitung \(f'(x) = 2x - 2\) nimmt zum Beispiel bei \(x = 0\) den negativen Wert \(f'(0) = -2\) an. 3. Aussage c) ist wahr. Eine Verschiebung nach oben entspricht \(g(x) = f(x) + 5\). Da die Ableitung einer Konstanten null ist, gilt nach der Summenregel \(g'(x) = f'(x) + 0 = f'(x)\). 4. Aussage d) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^2\) an der Stelle \(x_0 = 3\). Der Funktionswert ist \(f(3) = 9\), aber die Steigung (Ableitung) ist \(f'(3) = 2 \cdot 3 = 6\). Funktionswert und Steigung sind im Allgemeinen verschiedene Größen.

a) Wahr b) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = (x-1)^2 + 1\)) c) Wahr d) Falsch (Gegenbeispiel: \(f(x) = x^2\) bei \(x=3\))

- Betrachte für die Symmetrie die Exponenten der Potenzfunktionen und wie sie sich beim Ableiten verändern. - Überlege dir bei der Gleichheit von Funktionen, ob die Steigung allein die Position eines Graphen im Koordinatensystem festlegt. - Suche nach einfachen Beispielen wie Geraden oder Parabeln, um die Aussagen zu prüfen. - Was bedeutet eine Nullstelle geometrisch und was bedeutet eine Nullstelle der Ableitung?

1. Eine zum Ursprung punktsymmetrische ganzrationale Funktion \(f\) enthält nur ungerade Exponenten. Durch die erste Ableitung \(f'\) verringern sich diese Exponenten um \(1\), wodurch sie alle gerade werden (der Graph von \(f'\) ist achsensymmetrisch). Die zweite Ableitung \(f''\) verringert die Exponenten erneut um \(1\), sodass sie wieder alle ungerade sind. Somit ist der Graph von \(f''\) ebenfalls punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Aussage ist wahr. 2. Wenn \(f'(x) = g'(x)\) gilt, unterscheiden sich die Funktionen nur um eine additive Konstante \(c\) (Verschiebung in \(y\)-Richtung), also \(f(x) = g(x) + c\). Sind sie nicht verschoben (\(c=0\)), sind sie identisch, andernfalls nicht. Beispiel: \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = x^2 + 1\) haben beide die Ableitung \(2x\), sind aber verschieden. Die Aussage ist falsch. 3. Eine Nullstelle von \(f\) bedeutet \(f(x_0) = 0\). Dies impliziert keine Bedingung für die Steigung \(f'(x_0)\). Beispiel: \(f(x) = x\) hat bei \(x_0 = 0\) eine Nullstelle, aber die Ableitung ist \(f'(x) = 1\), also \(f'(0) = 1 \neq 0\). Die Aussage ist falsch.

a) wahr b) falsch c) falsch

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Ableitung von \(x^n\). - Unterscheide sorgfältig zwischen dem Funktionswert \(f(x_0)\) und der Tangentensteigung \(f'(x_0)\). - Welche Exponenten treten bei achsensymmetrischen ganzrationalen Funktionen auf, und was passiert mit ihnen beim Ableiten? - Was muss für die Ableitung an einer Stelle gelten, damit dort eine waagerechte Tangente vorliegt?

1. Eine ganzrationale Funktion \(n\)-ten Grades hat die Form \(f(x) = a_n x^n + \dots + a_0\) mit \(a_n \neq 0\). Nach der Potenzregel lautet der höchste Term der Ableitung \(n a_n x^{n-1}\). Da \(n \geq 1\) und \(a_n \neq 0\), ist der Koeffizient \(n a_n \neq 0\), und der Grad ist exakt \(n-1\). Die Aussage ist wahr. 2. Aus \(f'(x_0)=0\) folgt nur, dass die Tangente an dieser Stelle waagerecht ist. Über den Funktionswert folgt daraus nichts. Zum Beispiel gilt für \(f(x)=x^2+1\) an der Stelle \(x_0=0\): \(f'(0)=0\), aber \(f(0)=1\). Die Aussage ist falsch. 3. Eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion besitzt nur gerade Exponenten. Ihre Ableitungsfunktion besitzt folglich nur ungerade Exponenten. Setzt man \(x = 0\) ein, ergibt jeder Term den Wert null. Damit ist \(f'(0) = 0\), was einer waagerechten Tangente entspricht. Die Aussage ist wahr.

a) wahr b) falsch c) wahr

- Kannst du den Funktionsterm zuerst vereinfachen, indem du die Klammern auflöst? - Überlege dir, welche Variable die Ableitungsvariable ist und welche als konstante Zahl (Parameter) behandelt wird. - Erinnere dich an die grundlegenden Ableitungsregeln für Summen und Potenzen. - Wie gehst du vor, wenn du den Wert der Steigung an einer ganz bestimmten Stelle berechnen möchtest?

1. Ausmultiplizieren des Funktionsterms mithilfe der binomischen Formel: \(f(x) = x^2 + 4kx + 4k^2 - k^2x\). 2. Zusammenfassen der linearen Glieder: \(f(x) = x^2 + (4k - k^2)x + 4k^2\). 3. Bilden der Ableitungsfunktion unter Anwendung der Potenz-, Summen- und Faktorregel: \(f'(x) = 2x + 4k - k^2\). 4. Einsetzen von \(x = 0\) in die Ableitungsfunktion: \(f'(0) = 2 \cdot 0 + 4k - k^2 = 4k - k^2\).

\(f'(x) = 2x + 4k - k^2\) \(f'(0) = 4k - k^2\)

- Es ist oft hilfreich, Produkte erst auszumultiplizieren, bevor man mit dem Ableiten beginnt. - Achte beim Zusammenfassen darauf, nur Terme mit derselben Potenz der Variablen zu kombinieren. - Was passiert mit Termen, die kein \(t\) enthalten, wenn du nach \(t\) ableitest? - Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn er als Vorfaktor vor einer Potenz von \(t\) steht?

1. Auflösen der Klammer durch Multiplikation mit \(t\): \(g(t) = at^3 - 2t^2 + a^2t - \frac{1}{2}at^3\). 2. Zusammenfassen der Terme mit \(t^3\): \(g(t) = \frac{1}{2}at^3 - 2t^2 + a^2t\). 3. Ableiten nach der Variablen \(t\) unter Beachtung des Parameters \(a\): \(g'(t) = \frac{3}{2}at^2 - 4t + a^2\). 4. Bestimmung des Wertes an der Stelle \(0\): \(g'(0) = \frac{3}{2}a(0)^2 - 4(0) + a^2 = a^2\).

\(g'(t) = \frac{3}{2}at^2 - 4t + a^2\) \(g'(0) = a^2\)

- Wie gehst du vor, um die Ableitung eines Bruchs zu berechnen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie beeinflusst der Exponent im Nenner das Verhalten des Graphen in der Nähe einer Definitionslücke? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner und dem Vorzeichenwechsel.

1. Berechnung der Ableitungen: Mithilfe der Quotientenregel oder durch Umschreiben zu \(f(x) = 5 + \frac{17}{x - 3}\) ergibt sich die erste Ableitung \(f'(x) = -17 \cdot (x - 3)^{-2} = \frac{-17}{(x - 3)^2}\). Die zweite Ableitung lautet somit \(f''(x) = -17 \cdot (-2) \cdot (x - 3)^{-3} = \frac{34}{(x - 3)^3}\). 2. Untersuchung der Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{34}{(x - 3)^3} = 0\). Da der Grenzwert Null ist, nähert sich der Graph \(G_{f''}\) der Geraden \(y = 0\) (der \(x\)-Achse) beliebig an. 3. Bestimmung der Polstelle: Die Polstelle von \(f''\) liegt an der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 3\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner von \(f''(x)\) ungerade ist (Grad 3), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

a) \(f''(x) = \frac{34}{(x - 3)^3}\) b) Wegen \(\lim_{x \to \pm \infty} f''(x) = 0\) ist die \(x\)-Achse waagrechte Asymptote. c) Polstelle bei \(x = 3\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Kannst du die Funktion umschreiben, um die Kettenregel einfacher anzuwenden? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn der Funktionswert für extrem große \(x\)-Werte gegen Null geht? - Schau dir die Potenz im Nenner der zweiten Ableitung genau an – ist sie gerade oder ungerade? - Was sagt dir die Art der Polstelle über den Verlauf des Graphen links und rechts der Lücke?

1. Bestimmung der zweiten Ableitung: Die Funktion kann als \(g(x) = (x + 2)^{-2}\) geschrieben werden. Die erste Ableitung ist \(g'(x) = -2 \cdot (x + 2)^{-3} = \frac{-2}{(x + 2)^3}\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(g''(x) = -2 \cdot (-3) \cdot (x + 2)^{-4} = \frac{6}{(x + 2)^4}\). 2. Grenzwertbetrachtung: Es gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\). Da der Funktionswert für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte gegen Null strebt, ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. 3. Analyse der Polstelle: Die Definitionslücke und damit die Polstelle von \(g''\) liegt bei \(x = -2\). Da der Nenner \((x + 2)^4\) einen geraden Exponenten besitzt, ändern die Funktionswerte an dieser Stelle ihr Vorzeichen nicht. Es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

a) \(g''(x) = \frac{6}{(x + 2)^4}\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g''(x) = 0\), daher ist die \(x\)-Achse Asymptote. c) Polstelle bei \(x = -2\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Wie bestimmt man die Ordnung einer Polstelle bei einer gebrochen-rationalen Funktion? - Nutze beim Ableiten die Quotientenregel und achte darauf, gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner vorzeitig zu kürzen. - Was muss für den Zählerwert an der Polstelle gelten, damit die Ordnung eindeutig durch den Exponenten im Nenner bestimmt ist? - Überlege dir beim allgemeinen Beweis, wie man einen Term im Zähler ausklammert, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Die Polstelle liegt bei der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 2\). Da der Faktor \((x-2)\) im Nenner mit dem Exponenten 3 vorkommt und der Zähler für \(x=2\) den Wert \(2^2 + 1 = 5 \neq 0\) annimmt, handelt es sich um eine Polstelle 3. Ordnung. 2. Unter Verwendung der Quotientenregel (oder der Produktregel mit Kettenregel) ergibt sich für die Ableitung: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x-2)^3 - (x^2+1) \cdot 3(x-2)^2}{(x-2)^6}\). Durch Ausklammern und Kürzen von \((x-2)^2\) folgt: \(f'(x) = \frac{2x(x-2) - 3(x^2+1)}{(x-2)^4} = \frac{2x^2 - 4x - 3x^2 - 3}{(x-2)^4} = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x-2)^4}\). Der Zähler von \(f'\) hat an der Stelle \(x=2\) den Wert \(-(2)^2 - 4(2) - 3 = -15 \neq 0\). Damit ist \(x = 2\) eine Polstelle der Ordnung 4. 3. Für \(g(x) = \frac{u(x)}{(x-a)^n}\) liefert die Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{u'(x) \cdot (x-a)^n - u(x) \cdot n(x-a)^{n-1}}{(x-a)^{2n}}\). Kürzen durch \((x-a)^{n-1}\) ergibt: \(g'(x) = \frac{u'(x)(x-a) - nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\). Setzt man \(x = a\) in den neuen Zählerterm \(z(x) = u'(x)(x-a) - nu(x)\) ein, erhält man \(z(a) = u'(a) \cdot 0 - n \cdot u(a) = -n \cdot u(a)\). Da nach Voraussetzung \(u(a) \neq 0\) und \(n \geq 1\) gilt, ist \(z(a) \neq 0\). Somit liegt eine Polstelle der Ordnung \(n+1\) vor.

1. Polstelle \(x = 2\) mit der Ordnung 3. 2. \(f'(x) = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x-2)^4}\); Einsetzen von \(x=2\) in den Zähler ergibt \(-15 \neq 0\), Der Nennerfaktor \((x-2)^4\) hat den Exponenten 4, also liegt eine Polstelle 4. Ordnung vor. 3. \(g'(x) = \frac{u'(x)(x-a) - nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\); der Zählerwert an der Stelle \(a\) ist \(-nu(a) \neq 0\).

- Wie kannst du die beiden Brüche im Zähler auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Versuche, den resultierenden Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du den Grenzwert betrachtest. - Achte darauf, dass \(h\) im Nenner des Differenzenquotienten weggekürzt werden muss. - Was bleibt übrig, wenn du im vereinfachten Term \(h = 0\) einsetzt?

1. Ansatz des Differenzenquotienten: \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{3}{a+h} - \frac{3}{a}}{h}\) 2. Umformung des Zählers durch Hauptnennerbildung: \(\frac{3}{a+h} - \frac{3}{a} = \frac{3a - 3(a+h)}{a(a+h)} = \frac{3a - 3a - 3h}{a(a+h)} = \frac{-3h}{a(a+h)}\) 3. Vereinfachung des gesamten Doppelbruchs: \(\frac{-3h}{a(a+h) \cdot h} = \frac{-3}{a(a+h)}\) 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-3}{a(a+h)} = -\frac{3}{a^2}\)

\(f'(a) = -\frac{3}{a^2}\)

- Wenn die Änderungsrate überall gleich ist, welche Form muss der Graph dann haben? - Wie hängen die Steigung einer Geraden und ihre Ableitungsfunktion zusammen? - Was passiert mit der Steigung einer Kurve oder Geraden, wenn man sie im Koordinatensystem nur nach oben oder unten verschiebt? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für konstante Summanden.

1. Da die Ableitung überall konstant ist, handelt es sich um eine lineare Funktion. Da der Wert negativ ist (\(-0{,}5\)), ist der Graph eine fallende Gerade. 2. Ansatz \(h(x) = mx + n\) mit \(m = -0{,}5\). Einsetzen des Punktes \((4|2)\): \(2 = -0{,}5 \cdot 4 + n \implies 2 = -2 + n \implies n = 4\). Die Gleichung lautet \(h(x) = -0{,}5x + 4\). 3. Die Ableitungsfunktionen sind identisch: \(g'(x) = h'(x) = -0{,}5\). Geometrisch bedeutet die Addition von \(10\), dass der Graph von \(h\) um \(10\) Einheiten nach oben verschoben wird. Eine vertikale Verschiebung ändert die Steigung der Tangenten (bzw. der Geraden) an keiner Stelle.

1. Lineare Funktion; der Graph ist eine fallende Gerade. 2. \(h(x) = -0{,}5x + 4\) 3. \(g'(x) = h'(x) = -0{,}5\). Eine vertikale Verschiebung des Graphen lässt die Steigung an jeder Stelle unverändert.

- Was genau ist mit der Sekantensteigung gemeint, wenn die Punkte auf dem Graphen immer näher zusammenrücken? - Wie kannst du die beiden Brüche im Zähler so kombinieren, dass nur noch ein Bruch im Zähler steht? - Gibt es eine Möglichkeit, den Term im Zähler so zu faktorisieren, dass sich der Nenner kürzen lässt? - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(x\) gegen \(a\) strebt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für \(x \to a\): \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2}}{x - a}\). 2. Zusammenfassen der Brüche im Zähler durch den Hauptnenner \(x^2 a^2\): \(\frac{a^2 - x^2}{x^2 a^2 (x - a)}\). 3. Anwendung der Identität im Zähler: \(\frac{-(x^2 - a^2)}{x^2 a^2 (x - a)} = \frac{-(x - a)(x + a)}{x^2 a^2 (x - a)}\). 4. Kürzen des Faktors \((x - a)\): \(\frac{-(x + a)}{x^2 a^2}\). 5. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to a\): \(\lim_{x \to a} \frac{-(x + a)}{x^2 a^2} = \frac{-(a + a)}{a^2 \cdot a^2} = \frac{-2a}{a^4} = -\frac{2}{a^3}\).

\(f'(a) = -\frac{2}{a^3}\)

- Bestimme zuerst rechnerisch die Ableitungsfunktionen \(f'(x)\) und \(g'(x)\). - Welche charakteristischen Eigenschaften haben die Graphen (z. B. Symmetrie, Grad der Funktion, Achsenschnittpunkte oder Extrempunkte)? - Überlege, welcher Graph zu einer linearen Funktion (Gerade) und welche zu quadratischen Funktionen (Parabeln) gehören. - Wie hängen die Extrempunkte einer Funktion mit den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion zusammen?

1. Berechnung der Ableitungsfunktionen: Durch Anwendung der Ableitungsregeln erhält man: \(f'(x) = x\) \(g'(x) = -0{,}6x^2 + 1{,}5\) 2. Zuordnung von \(f\) und \(f'\): - Graph (3) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid -2)\). Dies entspricht der quadratischen Funktion \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion \(f'(x) = x\) ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung \(1\). Dies entspricht genau Graph (1). 3. Zuordnung von \(g\) und \(g'\): - Graph (2) stellt eine punktsymmetrische Kurve dritten Grades dar, die für große \(x\)-Werte gegen \(-\infty\) strebt. Dies entspricht der Funktion \(g(x) = -0{,}2x^3 + 1{,}5x\). - Die zugehörige Ableitungsfunktion \(g'(x) = -0{,}6x^2 + 1{,}5\) beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid 1{,}5)\). Dies entspricht Graph (4).

Graph (1) gehört zu \(f'\); Graph (2) gehört zu \(g\); Graph (3) gehört zu \(f\); Graph (4) gehört zu \(g'\).

- Setze den Ausdruck \((x+h)\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Nutze die erste binomische Formel, um den Term \((x+h)^2\) auszumultiplizieren. - Achte darauf, dass sich im Zähler alle Terme ohne \(h\) gegenseitig aufheben müssen. - Nachdem du \(h\) ausgeklammert und gekürzt hast, kannst du den Grenzwert für \(h \to 0\) bilden.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(0{,}5(x+h)^2 + 2) - (0{,}5x^2 + 2)}{h}\) 2. Vereinfachen des Zählers: \(\frac{0{,}5(x^2 + 2xh + h^2) + 2 - 0{,}5x^2 - 2}{h} = \frac{0{,}5x^2 + xh + 0{,}5h^2 - 0{,}5x^2}{h} = \frac{xh + 0{,}5h^2}{h}\) 3. Kürzen durch \(h\) für \(h \neq 0\): \(\frac{h(x + 0{,}5h)}{h} = x + 0{,}5h\) 4. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (x + 0{,}5h) = x\) Ergebnis: Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = x\).

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = x\).

- Setze den gesamten Term \((x+h)\) in Klammern überall dort ein, wo in der Originalfunktion ein \(x\) steht. - Vergiss beim Subtrahieren von \(f(x)\) nicht die Klammern um den gesamten Funktionsterm, damit sich die Vorzeichen richtig ändern. - Das Ziel ist es, den Bruch so zu vereinfachen, dass du das \(h\) im Nenner kürzen kannst.

1. Einsetzen in den Differenzenquotienten: \(\frac{((x+h)^2 - 3(x+h)) - (x^2 - 3x)}{h}\) 2. Terme ausmultiplizieren: \(\frac{x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h - x^2 + 3x}{h}\) 3. Zähler zusammenfassen: \(\frac{2xh + h^2 - 3h}{h}\) 4. \(h\) ausklammern und kürzen: \(\frac{h(2x + h - 3)}{h} = 2x + h - 3\) 5. Grenzübergang \(h \to 0\): \(f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 3) = 2x - 3\) Ergebnis: \(f'(x) = 2x - 3\).

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 2x - 3\).

- Berechne zunächst die Ableitungen \(f'(x)\) und \(g'(x)\). - Achte auf den Grad der resultierenden Funktionen: Die Ableitung einer Funktion 3. Grades ist quadratisch, die einer Funktion 4. Grades kubisch. - Nutze die Symmetrieeigenschaften: Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch, solche mit ungeraden Exponenten punktsymmetrisch. - Bestimme die Nullstellen der Ableitungen und vergleiche sie mit den Schnittpunkten auf der \(x\)-Achse in den Abbildungen.

1. Bestimmung der Ableitungen: Durch Anwendung der Potenzregel erhält man: \(f'(x) = x^2 - 1\) \(g'(x) = x^3 - 4x\) 2. Analyse von \(f'\): Die Funktion \(f'(x) = x^2 - 1\) ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete, achsensymmetrische Parabel mit dem Scheitelpunkt \((0 \mid -1)\). Die Nullstellen liegen bei \(x = 1\) und \(x = -1\). Diese Merkmale finden sich in Graph A. 3. Analyse von \(g'\): Die Funktion \(g'(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4)\) ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung und besitzt drei Nullstellen: bei \(x = 0\), \(x = 2\) und \(x = -2\). Diese Eigenschaften werden durch Graph B korrekt dargestellt.

Die Ableitungsfunktion \(f'\) wird durch Graph A dargestellt, die Ableitungsfunktion \(g'\) durch Graph B.

- Überlege dir, welche Steigung der Graph an den Hoch- und Tiefpunkten hat. Was bedeutet das für den Wert der Ableitung an diesen Stellen? - Wo ist die Steigung des Graphen besonders groß oder besonders klein? - Achte auf die Krümmung: Wo ändert der Graph seine Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung? - Erinnere dich an die Potenzregel beim Ableiten von Polynomen.

1. Ableitungsregeln anwenden: \(f'(x) = 0{,}2 \cdot 3x^2 - 2{,}4 = 0{,}6x^2 - 2{,}4\). 2. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 0{,}6 \cdot 2x = 1{,}2x\). 3. Nullstellen von \(f'\) bestimmen: \(0{,}6x^2 - 2{,}4 = 0 \Rightarrow 0{,}6x^2 = 2{,}4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2; x_2 = 2\). Diese entsprechen den Stellen der lokalen Extrema von \(f\). 4. Schnittpunkt von \(G_{f''}\) mit der \(y\)-Achse: \(f''(0) = 1{,}2 \cdot 0 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 0)\); die zugehörige Stelle \(x = 0\) ist die Wendestelle von \(f\).

a) \(G_{f'}\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt \((0 \mid -2{,}4)\) und Nullstellen bei \(x = \pm 2\); \(G_{f''}\) ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(1{,}2\). b) \(f'(x) = 0{,}6x^2 - 2{,}4\) und \(f''(x) = 1{,}2x\). c) Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\); der Schnittpunkt von \(G_{f''}\) mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid 0)\).

- Leite die Schar zunächst so ab, dass die Parameter \(a\) und \(b\) erhalten bleiben. - Die beiden vorgegebenen Ableitungswerte liefern zwei Bedingungen für dieselben Parameter. - Löse die beiden Bedingungen gemeinsam und setze die gefundenen Werte anschließend in die Ableitungsfunktion ein.

1. Es gilt \(f'_{a,b}(x)=3ax^2+2bx-4\). 2. Aus \(f'_{a,b}(1)=5\) folgt \(3a+2b-4=5\), also \(3a+2b=9\). 3. Aus \(f'_{a,b}(-1)=1\) folgt \(3a-2b-4=1\), also \(3a-2b=5\). 4. Addieren der beiden Gleichungen ergibt \(6a=14\), also \(a=\frac{7}{3}\). Danach folgt aus \(3a+2b=9\) die Gleichung \(7+2b=9\), also \(b=1\). 5. Damit lautet die Ableitungsfunktion \(f'_{a,b}(x)=7x^2+2x-4\).

\(a=\frac{7}{3}\), \(b=1\) und \(f'_{a,b}(x)=7x^2+2x-4\).

- Prüfe jeden Summanden unabhängig von den anderen. - Achte besonders darauf, was beim Ableiten eines linearen Terms geschieht. - Vergleiche bei Potenzen jeweils sowohl den neuen Exponenten als auch den Vorfaktor.

1. Termweises Ableiten ergibt \((3x^4)'=12x^3\), \((-2x^2)'=-4x\), \((5x)'=5\) und \((-7)'=0\). 2. Damit ist A mit \(f'(x)=12x^3-4x+5\) korrekt. 3. In B wurde beim Term \(-2x^2\) zwar der Exponent vermindert, der Faktor \(x\) aber vollständig weggelassen; richtig ist dort \(-4x\), nicht \(-4\). 4. In C wurde \(5x\) nicht korrekt abgeleitet: Die Ableitung des linearen Terms ist die Konstante \(5\), nicht \(5x\).

A ist korrekt: \(f'(x)=12x^3-4x+5\). B ist falsch, weil \((-2x^2)'=-4x\) gilt. C ist falsch, weil \((5x)'=5\) gilt.

- Erinnere dich an die Regel: Eine Polstelle hat genau dann einen Vorzeichenwechsel, wenn ihre Ordnung ungerade ist. - Wie verändert sich die Ordnung einer Polstelle beim Ableiten einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten? - Teste die Aussagen an einfachen Beispielen wie \(f(x) = \frac{1}{x}\) oder \(f(x) = \frac{1}{x^2}\).

1. Zusammenhang der Polstellenordnungen: Sei \(x_0\) eine Polstelle \(k\)-ter Ordnung von \(f\). Dann verhält sich die Funktion lokal wie \(\frac{1}{(x-x_0)^k}\). Die Ableitung verhält sich lokal wie \(\frac{-k}{(x-x_0)^{k+1}}\), besitzt dort also eine Polstelle der Ordnung \(k+1\). 2. Analyse von Sarahs Aussage: Ein Vorzeichenwechsel (VZW) bei \(f\) bedeutet, dass \(k\) ungerade ist. Dann ist \(k+1\) gerade. Eine Polstelle gerader Ordnung hat keinen VZW. Sarahs Aussage ist somit korrekt. 3. Analyse von Leos Aussage: Ein fehlender VZW bei \(f'\) bedeutet, dass die Ordnung \(k+1\) gerade ist. Daraus folgt, dass die Ordnung \(k\) der ursprünglichen Funktion \(f\) ungerade sein muss. Eine ungerade Ordnung \(k\) bedeutet jedoch, dass die Funktion \(f\) an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel besitzt. Leos Aussage ist somit falsch.

Sarahs Aussage ist korrekt, da eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel eine ungerade Ordnung \(k\) hat, woraus eine gerade Ordnung \(k+1\) für die Ableitung folgt (kein VZW). Leos Aussage ist falsch, da ein fehlender Vorzeichenwechsel in der Ableitung (gerade Ordnung \(k+1\)) bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion eine ungerade Ordnung \(k\) und damit einen Vorzeichenwechsel haben muss.

- Wie sieht der Differenzenquotient für diese Funktion aus? - Wie kannst du den Doppelbruch vereinfachen? - Schau dir den Zähler genau an – wie hilft dir der mathematische Hinweis dabei, den störenden Faktor \((x-a)\) im Nenner loszuwerden? - Wenn du gekürzt hast, kannst du für jedes \(x\) einfach \(a\) einsetzen.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{\frac{1}{x^4} - \frac{1}{a^4}}{x - a}\). 2. Erweitern auf den Hauptnenner \(x^4 a^4\): \(\frac{a^4 - x^4}{x^4 a^4 (x - a)}\). 3. Faktorisieren des Zählers mit dem Hinweis: \(\frac{-(x^4 - a^4)}{x^4 a^4 (x - a)} = \frac{-(x - a)(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)}{x^4 a^4 (x - a)}\). 4. Kürzen von \((x - a)\): \(\frac{-(x^3 + x^2a + xa^2 + a^3)}{x^4 a^4}\). 5. Grenzwertbildung \(x \to a\): Im Zähler ergibt sich \(-(a^3 + a^3 + a^3 + a^3) = -4a^3\). Im Nenner ergibt sich \(a^4 \cdot a^4 = a^8\). 6. Endergebnis: \(\frac{-4a^3}{a^8} = -\frac{4}{a^5}\).

\(f'(a) = -\frac{4}{a^5}\)