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- Eine gebrochen-rationale Funktion ist dort nicht definiert, wo ihr Nenner null wird. - Setze den Nenner gleich null.

1. Der Nenner wird für \(x=3\) null. Deshalb ist genau dieser Wert ausgeschlossen.

\(x=3\)

- Achte auf die Vielfachheit des Nennerfaktors an der Polstelle. - Überlege, was eine gerade Potenz mit dem Vorzeichen eines Faktors macht.

1. Der Nennerfaktor \((x+4)\) tritt mit der geraden Vielfachheit \(2\) auf. Daher liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

Nein. Die Polstelle bei \(x=-4\) hat keinen Vorzeichenwechsel.

- Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass man durch Null teilen müsste? - Wie findet man die Nullstellen eines quadratischen Terms am einfachsten, wenn kein konstantes Glied vorhanden ist? - Wann genau wird eine Definitionslücke zu einer senkrechten Asymptote? - Prüfe, ob der Zähler an den kritischen Stellen ebenfalls null wird.

1. Bestimmung der Definitionslücken: Der Nenner \(x^2 + 2x = x(x + 2)\) besitzt die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -2\). Daher ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}\). 2. Prüfung auf Polstellen: Der Zähler \(2x - 1\) ist für \(x = 0\) gleich \(-1\) und für \(x = -2\) gleich \(-5\). Da der Zähler an den Nullstellen des Nenners ungleich null ist, handelt es sich bei beiden Stellen um Polstellen. 3. Bestimmung der Asymptoten: Jede Polstelle einer gebrochen-rationalen Funktion entspricht einer senkrechten Asymptote. Die Gleichungen lauten somit \(x = -2\) und \(x = 0\).

\(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}\) Senkrechte Asymptoten: \(x = -2\) und \(x = 0\).

- Untersuche, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. - Behalte beim Kürzen die Definitionsmenge des ursprünglichen Terms im Blick. - Welche Vielfachheit hat der Nennerfaktor, der nach dem Kürzen übrig bleibt?

1. Der Zähler lässt sich als \(2x+4=2(x+2)\) schreiben. Damit gilt für \(x\neq -2\): \(g(x)=\frac{2(x+2)}{(x+2)^2}=\frac{2}{x+2}\). 2. Aus dem ursprünglichen Nenner folgt die Definitionslücke \(x=-2\). 3. Nach dem Kürzen bleibt der Faktor \((x+2)\) einmal im Nenner erhalten. Deshalb ist \(x=-2\) eine Polstelle. 4. Die verbleibende Nennernullstelle hat die ungerade Vielfachheit \(1\). Daher wechselt der Graph an der Polstelle das Vorzeichen.

Der gekürzte Term lautet für \(x\neq -2\): \(g(x)=\frac{2}{x+2}\). Die einzige Definitionslücke \(x=-2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Bestimme zuerst die Nullstellen des jeweiligen Nenners. - Prüfe an jeder Nennernullstelle, ob der Zähler dort ungleich null ist. - Achte darauf, ob der zugehörige Nennerfaktor mit gerader oder ungerader Vielfachheit vorkommt.

a) Der Nenner hat bei \(x=1\) eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\). Der Zähler ist dort ungleich null. Daher liegt bei \(x=1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. b) Es gilt \(x^2-4x=x(x-4)\). Die Nennernullstellen \(x=0\) und \(x=4\) sind jeweils einfach, während der Zähler konstant \(5\) ist. Daher liegen bei \(x=0\) und \(x=4\) Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor. c) Der Nenner hat bei \(x=-3\) eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\). Für den Zähler gilt \(-3-2=-5\neq0\). Daher liegt bei \(x=-3\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

a) \(x=1\): Polstelle ohne Vorzeichenwechsel b) \(x=0\) und \(x=4\): Polstellen mit Vorzeichenwechsel c) \(x=-3\): Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

- Welche bekannte Produktstruktur kann dir helfen, den Zähler vollständig zu faktorisieren? - Vergleiche die Anzahl der Faktoren \((x-3)\) vor und nach dem Kürzen. - Die Definitionsmenge stammt aus dem ursprünglichen Term, nicht aus dem gekürzten Ausdruck allein.

1. Es gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Damit folgt für \(x\neq3\): \(k(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}=\frac{x+3}{x-3}\). Die Behauptung ist also richtig. 2. Von den zwei Faktoren \((x-3)\) im Nenner wird genau einer mit dem Faktor \((x-3)\) im Zähler gekürzt. 3. Im ursprünglichen Term ist der Nenner bei \(x=3\) null. Dieser Wert bleibt deshalb aus der Definitionsmenge ausgeschlossen. 4. Nach dem Kürzen bleibt \((x-3)\) mit der ungeraden Vielfachheit \(1\) im Nenner. Daher liegt bei \(x=3\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

a) Genau ein Faktor \((x-3)\) wird gekürzt. b) \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Nenner dort null ist. c) Bei \(x=3\) liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

- Entscheide bei jedem Polynom zuerst, welche bekannte Faktorisierungsstruktur vorliegt. - Trenne die Frage nach der Faktorform von der Frage nach der Definitionsmenge. - Bestimme die ausgeschlossenen Werte immer aus dem ursprünglichen Nenner, bevor du kürzt.

a) Für \(f\) gilt \(2x-4=2(x-2)\) und \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). Für \(g\) gilt \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) und \(x^2+2x+1=(x+1)^2\). b) Bei \(f\) wird im Zähler \(2\) ausgeklammert; der Nenner ist ein binomisches Quadrat. Bei \(g\) ist der Zähler eine Differenz von Quadraten; der Nenner ist ebenfalls ein binomisches Quadrat. c) Bei \(f\) lässt sich ein Faktor \((x-2)\) kürzen. Der ursprüngliche Nenner wird bei \(x=2\) null, also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Bei \(g\) lässt sich ein Faktor \((x+1)\) kürzen. Der ursprüngliche Nenner wird bei \(x=-1\) null, also ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

a) \(f(x)=\frac{2(x-2)}{(x-2)^2}\), \(g(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}\) b) \(f\): Ausklammern + binomische Formel; \(g\): Differenz von Quadraten + binomische Formel c) \(f\): kürzbarer Faktor \((x-2)\), \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); \(g\): kürzbarer Faktor \((x+1)\), \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

- Was passiert, wenn du die Zahl direkt in den Zähler und den Nenner einsetzt? - Kannst du den Zähler oder den Nenner mithilfe binomischer Formeln oder durch Ausklammern in Faktoren zerlegen? - Wenn sich ein Faktor im Nenner komplett wegkürzen lässt, was bedeutet das für die Art der Lücke? - Bleibt nach dem Kürzen im Nenner immer noch ein Ausdruck stehen, der gegen null geht?

1. Untersuchung von Teilaufgabe a): Einsetzen von \(x_0 = 3\) in den Zähler ergibt \(3^2 - 9 = 0\) und in den Nenner \(2 \cdot 3 - 6 = 0\). Es liegt der Fall \(\frac{0}{0}\) vor. 2. Faktorisieren des Terms: \(f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{2(x-3)}\). Für \(x \neq 3\) lässt sich der Faktor \((x-3)\) kürzen, woraus \(f(x) = \frac{x+3}{2}\) folgt. 3. Grenzwertberechnung für a): \(\lim_{x \to 3} \frac{x+3}{2} = \frac{3+3}{2} = 3\). Da der Grenzwert existiert und endlich ist, handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke. 4. Untersuchung von Teilaufgabe b): Einsetzen von \(x_0 = 1\) ergibt im Zähler \(1 - 1 = 0\) und im Nenner \(1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 0\). Es liegt der Fall \(\frac{0}{0}\) vor. 5. Faktorisieren des Terms: \(g(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2}\). Für \(x \neq 1\) folgt durch Kürzen \(g(x) = \frac{1}{x-1}\). 6. Grenzwertberechnung für b): Da der Term \(\frac{1}{x-1}\) für \(x \to 1\) gegen \(\pm \infty\) strebt (Vorzeichenwechsel bei \(x=1\)), existiert kein endlicher Grenzwert. Es handelt sich um eine Polstelle.

a) Der Grenzwert ist \(3\); es handelt sich um eine hebbare Definitionslücke. b) Der Grenzwert existiert nicht (Streben gegen \(\pm \infty\)); es handelt sich um eine Polstelle.

- Versuche zuerst, den Zähler und den Nenner in Faktoren zu zerlegen. - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen null geht, der Zähler aber eine feste Zahl ungleich null ist? - Überlege, ob sich das Vorzeichen des Nenners ändert, wenn man sich der Stelle von links oder von rechts nähert.

1. Faktorisierung von Zähler und Nenner: \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\) und \(x^2-2x+1 = (x-1)^2\). 2. Vereinfachung des Funktionsterms durch Kürzen von \((x-1)\): \(f(x) = \frac{x+1}{x-1}\) für \(x \neq 1\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to 1\): Der Zähler strebt gegen \(1+1=2\), während der Nenner gegen \(0\) strebt. 4. Da der Nenner nach dem Kürzen eine Nullstelle ungerader Ordnung behält (einfache Nullstelle), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 5. Bestimmung der einseitigen Grenzwerte: \(\lim_{x \to 1^+} \frac{x+1}{x-1} = +\infty\) und \(\lim_{x \to 1^-} \frac{x+1}{x-1} = -\infty\). 6. Ergebnis: Es liegt eine Polstelle und somit eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x=1\) vor.

Der zweiseitige Grenzwert \(\lim_{x \to 1} f(x)\) existiert nicht, da \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\) gilt. Da der Nenner an der Stelle \(x=1\) eine Nullstelle besitzt, die nicht vollständig durch Kürzen mit dem Zähler entfernt werden kann, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel und die senkrechte Asymptote \(x=1\) vor.

- Was passiert, wenn du die Definitionslücke direkt in den Funktionsterm einsetzt? - Kannst du den Zähler und den Nenner in Faktoren zerlegen? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den man kürzen kann? - Was sagt die Existenz eines endlichen Grenzwerts über die Art der Definitionslücke aus?

1. Einsetzen von \(x = 3\) in Zähler und Nenner ergibt den unbestimmten Ausdruck \(\frac{0}{0}\). 2. Faktorisieren des Zählers mittels der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). 3. Faktorisieren des Nenners durch Ausklammern: \(2x^2 - 6x = 2x(x - 3)\). 4. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x - 3)\) für \(x \neq 3\): \(f(x) = \frac{x + 3}{2x}\). 5. Berechnung des Grenzwerts durch Einsetzen von \(x = 3\) in den gekürzten Term: \(\lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{2x} = \frac{3 + 3}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1\). 6. Da der Grenzwert existiert und ein endlicher Wert ist, handelt es sich bei \(x = 3\) um eine hebbare Definitionslücke.

Der Grenzwert ist \(1\). Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor, da der Grenzwert an dieser Stelle existiert und endlich ist.

- Du kannst die Potenzregel für negative Exponenten nutzen, um die Ableitungen schneller zu berechnen. - Vergleiche die Exponenten im Nenner der Ableitungen mit der Anzahl der Ableitungsschritte. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ordnung einer Polstelle (gerade vs. ungerade) und dem grafischen Verlauf (mit oder ohne Vorzeichenwechsel).

1. Es ist \(f(x) = (x-1)^{-1}\). Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = -1 \cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = (-1) \cdot (-2) \cdot (x-1)^{-3} = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Für \(f\) ist die Ordnung 1. Für \(f'\) ist die Ordnung 2. Für \(f''\) ist die Ordnung 3. Allgemein lässt sich vermuten, dass die \(m\)-te Ableitung \(f^{(m)}\) einer Funktion mit einer Polstelle \(n\)-ter Ordnung eine Polstelle der Ordnung \(n+m\) besitzt. Hier ist \(n=1\), also hat \(f^{(m)}\) die Ordnung \(1+m\). 3. Die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\) hat an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle der Ordnung 3. Da die Ordnung 3 eine ungerade Zahl ist, liegt an der senkrechten Asymptote \(x = 1\) ein Vorzeichenwechsel vor. Für \(x \to 1^+\) gilt \(f''(x) \to +\infty\), für \(x \to 1^-\) gilt \(f''(x) \to -\infty\).

1. \(f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Ordnungen: \(f: 1\), \(f': 2\), \(f'': 3\). Vermutung: Die \(m\)-te Ableitung hat die Ordnung \(n+m\) (hier \(1+m\)). 3. Senkrechte Asymptote bei \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel, da die Polstelle von \(f''\) die ungerade Ordnung 3 hat.

- Vergleiche das Vorzeichen der jeweiligen Nenner direkt links und rechts von \(x=5\). - Überlege, welchen Unterschied ein einfacher und ein quadrierter Nennerfaktor macht. - Ein Vorzeichenwechsel liegt nur vor, wenn die Funktionswerte auf den beiden Seiten unterschiedliche Vorzeichen haben.

1. Für \(f_1\) ist \(x-5\) links von \(5\) negativ und rechts von \(5\) positiv. Daher gilt \(\lim_{x\to5^-}f_1(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to5^+}f_1(x)=+\infty\). Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. 2. Für \(f_2\) ist \((x-5)^2\) auf beiden Seiten von \(5\) positiv. Daher gilt \(\lim_{x\to5^-}f_2(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to5^+}f_2(x)=+\infty\). Es liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

\(f_1\): links \(-\infty\), rechts \(+\infty\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel. \(f_2\): links \(+\infty\), rechts \(+\infty\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Bestimme zuerst das Vorzeichen von \(x+1\), wenn \(x\) etwas kleiner als \(-1\) ist. - Vergleiche danach den einfachen Nennerfaktor mit seinem Quadrat. - Berücksichtige zuletzt das Vorzeichen des konstanten Zählers.

1. Für \(x\to-1^-\) ist \(x+1\) negativ. Daher ist bei \(g_1\) auch der Nenner negativ. Der Quotient aus dem negativen Zähler und dem negativen Nenner ist positiv, also \(\lim_{x\to-1^-}g_1(x)=+\infty\). 2. Bei \(g_2\) ist \((x+1)^2\) positiv. Mit dem negativen Zähler bleibt der Quotient negativ, also \(\lim_{x\to-1^-}g_2(x)=-\infty\).

\(\lim_{x\to-1^-}g_1(x)=+\infty\) \(\lim_{x\to-1^-}g_2(x)=-\infty\)

- Suche die Nullstelle des Nenners und prüfe den Zähler an derselben Stelle. - Welche Vielfachheit besitzt der Nennerfaktor? - Überlege, ob ein Quadrat links und rechts seiner Nullstelle unterschiedliche Vorzeichen annehmen kann.

1. Der Nenner wird bei \(x=3\) null. Der Zähler hat dort den Wert \(8\) und ist daher ungleich null. Somit liegt bei \(x=3\) eine Polstelle vor. 2. Der Nennerfaktor \((x-3)\) besitzt die gerade Vielfachheit \(2\). Deshalb hat der Nenner auf beiden Seiten der Polstelle dasselbe Vorzeichen. 3. Folglich liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

Bei \(x=3\) liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

- Faktorisiere den Nenner als Differenz zweier Quadrate. - Prüfe, ob der Zähler an einer Nennernullstelle ebenfalls null werden kann. - Welche Vielfachheit besitzen die beiden linearen Nennerfaktoren?

1. Es gilt \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Damit sind \(x=1\) und \(x=-1\) die Nennernullstellen. 2. Der Zähler ist konstant \(1\), also liegen an beiden Stellen Polstellen vor. 3. Beide Nennerfaktoren treten mit der ungeraden Vielfachheit \(1\) auf. Deshalb wechselt der Graph an beiden Polstellen das Vorzeichen.

Polstellen: \(x=-1\) und \(x=1\). An beiden liegt ein Vorzeichenwechsel vor.

- Ordne jeder gesuchten Eigenschaft zunächst die passende Stelle im Funktionsterm zu. - Vergleiche für die waagerechte Asymptote die führenden Terme von Zähler und Nenner. - Kontrolliere deine algebraischen Ergebnisse anschließend an den sichtbaren Graphmerkmalen.

a) Der Nenner wird bei \(x=1\) null. Daher ist \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). b) Der Zähler hat bei \(x=1\) den Wert \(2\neq0\). Somit liegt bei \(x=1\) eine einfache Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. c) Für die Nullstelle muss \(2x=0\) gelten, also \(x=0\). Zähler und Nenner haben denselben Grad; das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist \(2:1\). Daher ist \(y=2\) die waagerechte Asymptote. d) Im Graphen erkennt man die Polstelle an der Annäherung an die senkrechte Gerade \(x=1\), die Nullstelle am Schnitt mit der \(x\)-Achse und die waagerechte Asymptote an der Annäherung an \(y=2\) für große Beträge von \(x\). Der Wechsel von \(-\infty\) zu \(+\infty\) zeigt den Vorzeichenwechsel an der Polstelle.

\(D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); Polstelle \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel; Nullstelle \(x=0\); waagerechte Asymptote \(y=2\).

- Untersuche das Verhalten links und rechts von \(x=2\) getrennt. - Einseitige Grenzwerte dürfen auch \(\pm\infty\) sein. - Für einen zweiseitigen Grenzwert müssen beide einseitigen Grenzwerte übereinstimmen.

1. Für \(x\to2^-\) fallen die Funktionswerte unbegrenzt; der linksseitige Grenzwert ist \(-\infty\). 2. Für \(x\to2^+\) steigen die Funktionswerte unbegrenzt; der rechtsseitige Grenzwert ist \(+\infty\). 3. Ein zweiseitiger Grenzwert existiert nur, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte übereinstimmen. Das gilt auch bei einem uneigentlichen Grenzwert: Beide Seiten müssten gegen dasselbe \(+\infty\) oder dasselbe \(-\infty\) streben. Hier haben die einseitigen Grenzwerte verschiedene Vorzeichen. Daher existiert \(\lim_{x\to2}g(x)\) nicht.

Der Grenzwert an der Stelle \(x_0 = 2\) existiert nicht. Die Funktion weist dort eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel auf, wobei die Funktionswerte gegen \(-\infty\) (von links) bzw. \(+\infty\) (von rechts) streben.

- Suche bei jedem Graphen die \(x\)-Stelle, an der die Funktionswerte betragsmäßig sehr groß werden. - Vergleiche die Vorzeichen der Funktionswerte unmittelbar links und rechts dieser Stelle. - Überlege, wie eine gerade oder ungerade Vielfachheit des Nennerfaktors das Vorzeichenverhalten beeinflusst.

a) Graph A hat die Definitionslücke \(x=1\). Graph B hat die Definitionslücke \(x=-2\). b) Bei Graph A liegen die beiden Äste auf verschiedenen Seiten der \(x\)-Achse. Deshalb liegt bei \(x=1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Bei Graph B sind die Funktionswerte auf beiden Seiten der Polstelle positiv. Deshalb liegt bei \(x=-2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. c) Graph A gehört zu \(r_1(x)=\frac{1}{x-1}\), weil der Nennerfaktor \((x-1)\) einfach vorkommt. Graph B gehört zu \(r_2(x)=\frac{1}{(x+2)^2}\), weil der Nennerfaktor \((x+2)\) die gerade Vielfachheit \(2\) besitzt.

Graph A: Definitionslücke und Polstelle bei \(x=1\), mit Vorzeichenwechsel; Term \(r_1(x)=\frac{1}{x-1}\). Graph B: Definitionslücke und Polstelle bei \(x=-2\), ohne Vorzeichenwechsel; Term \(r_2(x)=\frac{1}{(x+2)^2}\).

- Vergleiche, wie der Graph in der Nähe der beiden fehlenden \(x\)-Werte aussieht. - Ein offener Punkt und ein unbegrenztes Anwachsen des Graphen stehen für unterschiedliche Arten von Definitionslücken. - Lies für das einseitige Verhalten die beiden Äste unmittelbar links und rechts der Polstelle getrennt ab.

1. Bei \(x=2\) zeigt der Graph einen offenen Punkt mit endlichem Funktionswert in der Umgebung. Dort liegt eine hebbare Definitionslücke vor. 2. Bei \(x=3\) wächst der Betrag der Funktionswerte auf beiden Seiten ohne Schranke. Dort liegt eine Polstelle vor. 3. Beide Stellen sind aus der Definitionsmenge ausgeschlossen. Daher ist \(D_u=\mathbb{R}\setminus\{2;3\}\). 4. Links von \(x=3\) fällt der Graph ohne Schranke, rechts davon steigt er ohne Schranke. Somit gilt \(\lim_{x\to3^-}u(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to3^+}u(x)=+\infty\).

a) \(x=2\): hebbare Definitionslücke; \(x=3\): Polstelle b) \(D_u=\mathbb{R}\setminus\{2;3\}\) c) \(\lim_{x\to3^-}u(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to3^+}u(x)=+\infty\)

- Überlege dir zuerst, ob man für \(x = 1\) überhaupt einen Funktionswert berechnen kann. - Was ist die Grundvoraussetzung dafür, dass eine Funktion an einer bestimmten Stelle stetig sein kann? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem Grenzwert einer Funktion an einer Stelle und dem tatsächlichen Funktionswert an dieser Stelle. - Wie sieht der Graph an einer Stelle aus, die man aus dem Term „herauskürzen“ kann? Musst du den Stift absetzen?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Der Nenner \(x - 1\) darf nicht Null sein, daher ist die Funktion an der Stelle \(x = 1\) nicht definiert (\(1 \notin D_f\)). 2. Bedingung für Stetigkeit: Eine Funktion ist an einer Stelle \(x_0\) nur dann stetig, wenn sie dort definiert ist und der Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmt. 3. Schlussfolgerung: Da \(f(1)\) nicht existiert, ist die Funktion an dieser Stelle unstetig, auch wenn der Graph dort lediglich eine hebbare Definitionslücke (ein „Loch“) und keine vertikale Asymptote aufweist. Die Aussage ist somit falsch.

Die Aussage ist falsch. Damit eine Funktion an einer Stelle stetig ist, muss sie dort definiert sein. Da der Nenner für \(x = 1\) Null wird, ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert und somit unstetig.

- Wo genau treten bei gebrochenrationalen Funktionen Probleme mit der Stetigkeit auf? - Kannst du einen Wert für \(c\) finden, bei dem der Nenner niemals Null wird? - Wenn eine Funktion keine Definitionslücken besitzt und eine „normale“ gebrochenrationale Struktur hat, was bedeutet das für ihre Stetigkeit? - Probiere doch mal konkrete Werte wie \(c = -1\), \(c = 0\) und \(c = 1\) aus.

1. Analyse der Definitionslücken: Eine gebrochenrationale Funktion ist überall dort stetig, wo sie definiert ist. Unstetigkeitsstellen treten bei den Nullstellen des Nenners auf. 2. Untersuchung des Nenners: Der Nenner ist \(x^2 + c\). Die Gleichung \(x^2 + c = 0\) hat keine reellen Lösungen, wenn \(c > 0\) ist (da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\)). 3. Beispiel wählen: Für \(c = 1\) ist \(x^2 + 1 > 0\) für alle \(x\). Die Funktion \(g_1(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) hat somit keine Definitionslücken. 4. Schlussfolgerung: Da die Funktion für \(c > 0\) auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert und als gebrochenrationale Funktion in ihrem Definitionsbereich stetig ist, ist die Aussage wahr.

Die Aussage ist wahr. Für alle \(c > 0\) (zum Beispiel \(c = 1\)) besitzt der Nenner \(x^2 + c\) keine reellen Nullstellen. Die Funktion ist dann auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert und somit überall stetig.

- Warum darf man für \(x\) nicht jede beliebige Zahl in den Nenner einsetzen? - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen, indem du den Zähler faktorisierst und kürzt? - Was passiert mit dem Graphen an einer Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist, der Grenzwert aber existiert? - Wie müsste man den „fehlenden Punkt“ definieren, damit die Linie des Graphen nicht unterbrochen wird?

1. Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden, also \(x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Untersuchung der Definitionslücke: Der Zähler lässt sich faktorisieren: \(x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)\). 3. Vereinfachung des Terms: Für \(x \neq 3\) gilt \(g(x) = \frac{(x - 3)(x - 1)}{x - 3} = x - 1\). 4. Grenzwertbetrachtung: Der Grenzwert für \(x \to 3\) ist \(\lim_{x \to 3} (x - 1) = 3 - 1 = 2\). 5. Stetige Fortsetzbarkeit: Da der Grenzwert existiert und endlich ist, ist die Funktion an der Stelle \(x = 3\) stetig fortsetzbar. Der zu definierende Funktionswert ist \(g(3) = 2\).

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\) b) Die Funktionswerte nähern sich dem Wert \(2\) an. c) Ja, die Funktion ist stetig fortsetzbar mit \(g(3) = 2\).

- Faktorisierung von Zähler und Nenner hilft oft beim Vereinfachen. - Was passiert, wenn eine Zahl sowohl den Zähler als auch den Nenner zu Null macht? - Wie oft kommt der Faktor, der die Definitionslücke verursacht, im Nenner vor?

1. Nullstellen des Nenners bestimmen: Durch Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - x - 6 = 0\) (z. B. mit der Mitternachtsformel) erhält man \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 2. Nullstellen des Zählers prüfen: \(2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3\). 3. Klassifizierung der Lücken: Da \(x = 3\) sowohl Zähler- als auch Nennernullstelle ist, wird die Funktion gekürzt: \(f(x) = \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+2)} = \frac{2}{x+2}\) für \(x \neq 3\). Somit ist \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke. 4. Polstelle identifizieren: Die verbleibende Nennernullstelle \(x = -2\) ist eine Polstelle. Da der Faktor \((x+2)\) im Nenner der gekürzten Funktion mit der Potenz 1 vorkommt (ungerade Vielfachheit), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Definitionslücken bei \(x = 3\) und \(x = -2\). \(x = 3\) ist eine hebbare Definitionslücke. \(x = -2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Überprüfe, ob man den Funktionsterm kürzen kann, bevor du die Art der Polstelle bestimmst. - Wie beeinflusst eine Nullstelle im Zähler, die gleichzeitig im Nenner vorkommt, die Art der Definitionslücke? - Erinnere dich daran, welche Rolle die (gekürzte) Vielfachheit einer Nennernullstelle für den Vorzeichenwechsel spielt.

1. Bestimmung der Nullstellen von Zähler und Nenner: Der Zähler \(x-2\) hat die Nullstelle \(x=2\) (Ordnung 1). Der Nenner \(x^2-4x+4 = (x-2)^2\) hat die Nullstelle \(x=2\) (Ordnung 2). 2. Vereinfachung des Funktionsterms: Durch Kürzen des Faktors \((x-2)\) ergibt sich für \(x \neq 2\) der vereinfachte Term \(f(x) = \frac{1}{x-2}\). 3. Analyse der Polstelle: Da die verbleibende Nullstelle im Nenner nun die Ordnung 1 (ungerade) besitzt, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 4. Bewertung: Laras Aussage ist falsch, da sie die Nullstelle im Zähler nicht berücksichtigt hat, welche die Ordnung der Polstelle reduziert.

Laras Aussage ist falsch. Zwar hat der Nenner an der Stelle \(x=2\) eine zweifache Nullstelle, jedoch besitzt auch der Zähler an dieser Stelle eine einfache Nullstelle. Nach dem Kürzen des Terms zu \(f(x) = \frac{1}{x-2}\) (für \(x \neq 2\)) erkennt man, dass die Polstelle effektiv die Ordnung 1 hat. Da 1 eine ungerade Zahl ist, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

- Überlege zuerst, für welche Werte der Nenner der Funktion null wird. - Wenn eine Definitionslücke vorliegt, prüfe, ob du den Funktionsterm durch Kürzen vereinfachen kannst. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt? - Setze Werte ein, die sehr nah an der Polstelle liegen (linksseitig und rechtsseitig), um das Vorzeichen des Grenzwerts zu bestimmen.

1. Nennernullstellen bestimmen: \(x^2 - 9 = 0 \implies x_1 = -3, x_2 = 3\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). 2. Art der Lücken prüfen: Faktorisieren des Terms ergibt \(f(x) = \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)}\). 3. Für \(x = 3\) ist der Faktor \((x-3)\) in Zähler und Nenner enthalten. Der Grenzwert \(\lim_{x \to 3} \frac{x}{x+3} = \frac{3}{6} = 0{,}5\) existiert, daher ist \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke. 4. Für \(x = -3\) ist nur der Nenner null (\(x+3 = 0\)), der Zähler ist \(-3\). Es handelt sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (ungerade Ordnung). 5. Die senkrechte Asymptote lautet \(x = -3\). 6. Verhalten an der Polstelle: Für \(x \to -3^-\) gilt \(x < 0\) und \(x+3 \to 0^-\), daher ist \(\lim_{x \to -3^-} f(x) = +\infty\). Für \(x \to -3^+\) gilt \(x < 0\) und \(x+3 \to 0^+\), daher ist \(\lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\); \(x = 3\) ist eine hebbare Definitionslücke, \(x = -3\) ist eine Polstelle. b) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\). c) \(\lim_{x \to -3^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty\).

- Kannst du den Nenner mithilfe einer binomischen Formel umschreiben? - Achte beim Kürzen genau auf das Vorzeichen im Zähler. - Wenn nach dem vollständigen Kürzen noch eine Nullstelle im Nenner übrig bleibt, handelt es sich um eine Polstelle. - Überlege dir das Vorzeichen des Terms \(x-5\), wenn \(x\) etwas kleiner oder etwas größer als \(5\) ist.

1. Nennernullstellen: \(x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 = 0 \implies x = 5\). Die Definitionsmenge ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). 2. Untersuchung der Lücke: Der Zähler \(5 - x = -(x-5)\) hat bei \(x = 5\) ebenfalls eine Nullstelle. Kürzen ergibt \(h(x) = \frac{-(x-5)}{(x-5)^2} = -\frac{1}{x-5}\) für \(x \neq 5\). Da nach dem Kürzen weiterhin eine Nullstelle im Nenner verbleibt, ist \(x = 5\) eine Polstelle (1. Ordnung). 3. Verhalten für \(x \to 5^-\): Der Nenner \((x-5)\) ist negativ, also ist \(-\frac{1}{\text{negativ}}\) positiv. \(\lim_{x \to 5^-} h(x) = +\infty\). 4. Verhalten für \(x \to 5^+\): Der Nenner \((x-5)\) ist positiv, also ist \(-\frac{1}{\text{positiv}}\) negativ. \(\lim_{x \to 5^+} h(x) = -\infty\).

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). b) Durch Kürzen erhält man \(h(x) = -\frac{1}{x-5}\). Da der Nenner an der Stelle \(5\) weiterhin null ist, liegt eine Polstelle vor. c) \(\lim_{x \to 5^-} h(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to 5^+} h(x) = -\infty\).

- Überlege zuerst, für welche Werte der Nenner der Funktion null wird. - Prüfe, ob der Zähler an diesen Stellen ebenfalls null wird. Falls ja, kannst du den Funktionsterm eventuell kürzen. - Die Art einer Polstelle erkennst du an der Vielfachheit der verbleibenden Nullstelle im Nenner nach dem Kürzen. - Was bedeutet es für die Existenz von Polstellen, wenn der Nenner niemals null wird?

1. Untersuchung von \(f\): Der Nenner \(x^2 - 16\) hat die Nullstellen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Da der Zähler \(3x - 12 = 3(x-4)\) an der Stelle \(x_1 = 4\) ebenfalls null wird, ist \(x_1 = 4\) eine hebbare Definitionslücke. Kürzen ergibt \(\frac{3}{x+4}\). Die verbleibende Nennernullstelle \(x_2 = -4\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 2. Untersuchung von \(g\): Der Nenner \(x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\) hat die doppelte Nullstelle \(x = -2\). Der Zähler \(x + 2\) hat dort eine einfache Nullstelle. Nach dem Kürzen bleibt \(g(x) = \frac{1}{x+2}\). Somit ist \(x = -2\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 3. Untersuchung von \(h\): Der Nenner \(x^2 + 1\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Nullstellen. Daher hat die Funktion \(h\) keine Definitionslücken und somit auch keine Polstellen.

a) Polstelle bei \(x = -4\) mit Vorzeichenwechsel; hebbare Lücke bei \(x = 4\). b) Polstelle bei \(x = -2\) mit Vorzeichenwechsel. c) Keine Polstellen vorhanden.

- Wann wird der Nenner eines Bruchs null? - Überlege dir, welchen Einfluss das Vorzeichen von \(k\) auf die Gleichung \(x^2 = 2k\) hat. - Erinnere dich daran, dass senkrechte Asymptoten an den Stellen auftreten, an denen der Nenner eine Nullstelle hat (und der Zähler nicht). - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^2 = c\) in Abhängigkeit von \(c\) haben?

1. Fallunterscheidung für die Definitionsmenge: - Für \(k < 0\) ist \(-2k > 0\). Da \(x^2 \geq 0\), ist der Nenner \(x^2 - 2k\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positiv und hat keine Nullstellen. Somit gilt \(D_{f_k} = \mathbb{R}\). - Für \(k = 0\) lautet der Nenner \(x^2\). Die einzige Nullstelle ist \(x = 0\). Somit gilt \(D_{f_0} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). - Für \(k > 0\) hat der Nenner \(x^2 - 2k\) zwei Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{2k}\). Somit gilt \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2k}; \sqrt{2k}\}\). 2. Senkrechte Asymptoten für \(k = 8\): Einsetzen von \(k = 8\) ergibt \(f_8(x) = \frac{6}{x^2 - 16}\). Die Nullstellen des Nenners sind \(x^2 = 16\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Da der Zähler dort ungleich Null ist, liegen Polstellen vor. Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten lauten \(x = 4\) und \(x = -4\). 3. Anzahl der Polstellen: - \(k < 0\): 0 Polstellen (keine Definitionslücken). - \(k = 0\): 1 Polstelle (bei \(x = 0\)). - \(k > 0\): 2 Polstellen (bei \(x = \sqrt{2k}\) und \(x = -\sqrt{2k}\)).

a) \(D_{f_k} = \mathbb{R}\) für \(k < 0\); \(D_{f_0} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) für \(k = 0\); \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2k}; \sqrt{2k}\}\) für \(k > 0\). b) \(x = 4\) und \(x = -4\). c) 0 Polstellen für \(k < 0\); 1 Polstelle für \(k = 0\); 2 Polstellen für \(k > 0\).

- Wann ist ein Bruch mathematisch nicht definiert? - Betrachte für die Annäherung an eine Definitionslücke Werte, die ganz nah an der Zahl liegen (z. B. \(3{,}9\) oder \(4{,}1\)). Welches Vorzeichen hat der Nenner dann? - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \(x\) extrem große Werte annimmt?

1. Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht Null werden. \(x^2 - 16 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4\). Somit ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\). 2. Verhalten an den Polstellen: Für \(x \to 4^-\) ist \(x^2 < 16\), also \(x^2 - 16 \to 0^-\). Der Bruch \(\frac{9}{x^2 - 16} \to -\infty\), also \(g(x) = 1 - (-\infty) \to +\infty\). Für \(x \to 4^+\) ist \(x^2 > 16\), also \(x^2 - 16 \to 0^+\). Der Bruch \(\frac{9}{x^2 - 16} \to +\infty\), also \(g(x) = 1 - \infty \to -\infty\). Aufgrund der Achsensymmetrie (\(g(-x) = g(x)\)) gilt: \(\lim_{x \to -4^+} g(x) = \lim_{x \to 4^-} g(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^-} g(x) = \lim_{x \to 4^+} g(x) = -\infty\). 3. Waagerechte Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) strebt \(x^2 - 16 \to \infty\), also \(\frac{9}{x^2 - 16} \to 0\). Es folgt \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 1 - 0 = 1\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 1\).

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\). b) \(\lim_{x \to -4^-} g(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to -4^+} g(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 4^-} g(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to 4^+} g(x) = -\infty\). c) Waagerechte Asymptote: \(y = 1\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen des Nenners, um die Definitionsmenge festzulegen. - Prüfe, ob die Nullstellen des Nenners auch Nullstellen des Zählers sind. - Wenn ein Faktor im Nenner durch Kürzen komplett verschwindet, was bedeutet das für die Art der Definitionslücke? - Die Gleichung einer senkrechten Asymptote entspricht immer dem \(x\)-Wert der Polstelle.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) wird für \(x = 3\) und \(x = -3\) null. Somit ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). 2. Zähler faktorisieren: \(x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)\). 3. Art der Lücken prüfen: An der Stelle \(x = 3\) ist sowohl der Zähler als auch der Nenner null. Kürzen ergibt \(h(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 1}{x + 3}\). Da der Faktor \((x - 3)\) vollständig aus dem Nenner verschwindet, ist \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke und keine Polstelle. 4. Polstelle identifizieren: An der Stelle \(x = -3\) bleibt nach dem Kürzen ein Faktor im Nenner stehen. Da die Vielfachheit 1 (ungerade) ist, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die senkrechte Asymptote lautet \(x = -3\).

\(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). Polstelle bei \(x = -3\) mit Vorzeichenwechsel. Senkrechte Asymptote: \(x = -3\). (Hinweis: \(x = 3\) ist eine hebbare Lücke).

- Zerlege zuerst jeden Zähler und Nenner vollständig in Faktoren. - Notiere die ausgeschlossenen Werte aus dem ursprünglichen Nenner, bevor du kürzt. - Vergleiche für jede Definitionslücke, ob der zugehörige Nennerfaktor vollständig verschwindet oder erhalten bleibt.

a) Es gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) und \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). Die ursprünglichen Definitionslücken sind \(x=3\) und \(x=-1\). Für \(x\neq3\) lässt sich zu \(\frac{x+3}{x+1}\) kürzen. Daher ist \(x=3\) hebbar; bei \(x=-1\) bleibt ein Nennerfaktor erhalten, also liegt dort eine Polstelle vor. b) Es gilt \(x^2-4x=x(x-4)\) und \(x^2-2x=x(x-2)\). Die ursprünglichen Definitionslücken sind \(x=0\) und \(x=2\). Für \(x\neq0\) lässt sich zu \(\frac{x-4}{x-2}\) kürzen. Daher ist \(x=0\) hebbar; bei \(x=2\) liegt eine Polstelle vor.

a) \(x=3\) ist hebbar; \(x=-1\) ist eine Polstelle. b) \(x=0\) ist hebbar; \(x=2\) ist eine Polstelle.

- Wie gehst du vor, um die Definitionsmenge einer gebrochen-rationalen Funktion zu bestimmen? - Erinnere dich an die binomischen Formeln oder den Satz von Vieta, um Terme zu faktorisieren. - Was passiert, wenn eine Nullstelle im Nenner öfter vorkommt als im Zähler? - Wann genau lässt sich eine Definitionslücke durch Kürzen beheben?

1. Für \(h(x)\): Der Nenner \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\) wird bei \(x = 2\) null. Daher ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Der Zähler faktorisiert zu \(x(x-2)\). Für \(x\neq2\) ergibt sich der gekürzte Term \(h(x) = \frac{x}{x-2}\). Da ein Faktor \((x-2)\) im Nenner verbleibt, ist \(x = 2\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 2. Für \(k(x)\): Der Nenner \(x^2 + 3x = x(x+3)\) wird bei \(x = 0\) und \(x = -3\) null. Daher ist \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-3; 0\}\). Der Zähler faktorisiert zu \((x+3)(x-2)\). Für \(x\neq-3,0\) ergibt sich \(k(x) = \frac{x-2}{x}\). Der vollständig gekürzte Faktor \((x+3)\) macht \(x=-3\) zu einer hebbaren Lücke; bei \(x=0\) bleibt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); \(x = 2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. b) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-3; 0\}\); \(x = -3\) ist eine hebbare Lücke, \(x = 0\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Setze gedanklich eine Zahl ein, die ganz nah an der kritischen Stelle liegt, aber noch auf der erlaubten Seite (z. B. \(0{,}99\) statt \(1\)). - Welches Vorzeichen hat der Zähler und welches Vorzeichen hat der Nenner in der Nähe der Stelle? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner fast Null wird, der Zähler aber eine feste Zahl bleibt?

1. Für Teilaufgabe a): Wenn \(x\) sich von links dem Wert \(1\) nähert (\(x < 1\)), nähert sich der Zähler \(x + 2\) dem Wert \(3\). Der Nenner \(x - 1\) nähert sich \(0\), bleibt aber negativ (z. B. \(0{,}9 - 1 = -0{,}1\)). Ein positiver Zähler geteilt durch einen gegen null strebenden negativen Nenner führt zu \(-\infty\). 2. Für Teilaufgabe b): Wenn \(x\) sich von rechts dem Wert \(-2\) nähert (\(x > -2\)), ist der Zähler konstant \(3\). Der Nenner \(x + 2\) nähert sich \(0\), bleibt dabei jedoch positiv (z. B. \(-1{,}9 + 2 = 0{,}1\)). Ein positiver Zähler geteilt durch einen gegen null strebenden positiven Nenner führt zu \(+\infty\).

a) \(\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \frac{x + 2}{x - 1} = -\infty\) b) \(\lim_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} \frac{3}{x + 2} = \infty\)

- Was passiert, wenn du den Wert direkt einsetzt und \( \frac{0}{0} \) erhältst? - Kannst du den Zähler so umformen, dass ein Faktor des Nenners darin vorkommt? - Erinnere dich an binomische Formeln oder Möglichkeiten, quadratische Terme in Faktoren zu zerlegen. - Nach dem Kürzen des problematischen Faktors kannst du den Grenzwert durch Einsetzen bestimmen.

1. Der direkte Versuch \(x = 4\) einzusetzen führt auf den unbestimmten Ausdruck \( \frac{0}{0} \). Faktorisieren des Zählers mittels der dritten binomischen Formel: \( x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \). Ausklammern im Nenner: \( 2x - 8 = 2(x-4) \). Kürzen des Faktors \( (x-4) \) ergibt den vereinfachten Term \( \frac{x+4}{2} \). Einsetzen von \(x = 4\): \( \frac{4+4}{2} = 4 \). 2. Der direkte Versuch \(x = -1\) einzusetzen führt auf \( \frac{0}{0} \). Faktorisieren des Zählers (z. B. mit dem Satz von Vieta): \( x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3) \). Kürzen des Faktors \( (x+1) \) ergibt den vereinfachten Term \( x+3 \). Einsetzen von \(x = -1\): \( -1 + 3 = 2 \).

1) 4 2) 2

- Welche Eigenschaft muss der Zähler an einer Stelle haben, damit man eine Definitionslücke dort „beheben“ kann? - Setze die Definitionslücke des Nenners in den Zähler ein und überlege, welches Ergebnis notwendig ist. - Wenn du den Parameter gefunden hast, versuche den Bruch zu kürzen, um den Grenzwert zu finden.

1. Bedingung für eine hebbare Definitionslücke: Damit die Lücke bei der Nennernullstelle \(x = 4\) hebbar ist, muss \(x = 4\) auch eine Nullstelle des Zählers sein. 2. Aufstellen der Gleichung für den Zähler: \(2 \cdot 4^2 - k \cdot 4 = 0\). 3. Berechnung von \(k\): \(32 - 4k = 0 \Rightarrow 4k = 32 \Rightarrow k = 8\). 4. Einsetzen von \(k = 8\) in die Funktion: \(g(x) = \frac{2x^2 - 8x}{x - 4}\). 5. Faktorisieren des Zählers: \(g(x) = \frac{2x(x - 4)}{x - 4}\). 6. Kürzen des Faktors \((x - 4)\) für \(x \neq 4\): \(g(x) = 2x\). 7. Grenzwert bestimmen: \(\lim_{x \to 4} 2x = 2 \cdot 4 = 8\).

Der Parameter muss \(k = 8\) sein. Der Grenzwert an der Stelle \(x = 4\) beträgt dann \(8\).

- Faktorisiere Zähler und Nenner und achte darauf, welche ausgeschlossenen Werte aus dem ursprünglichen Term stammen. - Für einen endlichen Grenzwert darf nach dem Kürzen kein Nennerfaktor an der betrachteten Stelle übrig bleiben. - Prüfe bei der Polstelle das Vorzeichen des gekürzten Terms getrennt links und rechts der kritischen Stelle.

a) Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1;2\}\). b) Mit \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) gilt für \(x\neq1\): \(f(x)=\frac{x+1}{x-2}\). Deshalb ist \(\lim_{x\to1}f(x)=\frac{2}{-1}=-2\). Für \(x\to2^-\) ist der Zähler positiv und der Nenner negativ und nähert sich \(0\); daher gilt \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\). Für \(x\to2^+\) sind Zähler und Nenner positiv; daher gilt \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\). c) Bei \(x=1\) existiert ein endlicher Grenzwert, also ist die Lücke hebbar. Bei \(x=2\) divergieren die einseitigen Grenzwerte mit entgegengesetzten Vorzeichen; dort liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1;2\}\) b) \(\lim_{x\to1}f(x)=-2\), \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\) c) \(x=1\) ist hebbar; \(x=2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Welche Bedingung muss der Nenner erfüllen, damit \(x=2\) überhaupt eine Definitionslücke ist? - Prüfe nach der Parameterbestimmung, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. - Für den Grenzwert kannst du den gekürzten Term verwenden, musst aber die ursprüngliche Definitionslücke im Blick behalten.

1. Damit \(x=2\) eine Definitionslücke ist, muss der Nenner dort null werden: \(2^2+2a-6=0\). Daraus folgt \(2a-2=0\) und damit \(a=1\). 2. Für \(a=1\) gilt \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\). Außerdem ist \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). 3. Für \(x\neq2\) lässt sich kürzen: \(g(x)=\frac{x+2}{x+3}\). Der Faktor \((x-2)\) verschwindet vollständig aus dem Nenner, also ist die Lücke bei \(x=2\) hebbar. 4. Es folgt \(\lim_{x\to2}g(x)=\frac{2+2}{2+3}=\frac45=0{,}8\).

\(a=1\) und \(\lim_{x\to2}g(x)=\frac45=0{,}8\).

- Versuche zuerst, den Wert direkt in den Funktionsterm einzusetzen. Was passiert im Zähler und Nenner? - Wenn sowohl Zähler als auch Nenner null werden, hilft es oft, den Term zu faktorisieren und zu kürzen. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein Grenzwert an einer Definitionslücke existiert, und was, wenn er gegen Unendlich strebt?

1. Für \(x \to 0\) kann der Wert direkt eingesetzt werden, da der Nenner nicht null wird: \(f(0) = \frac{0^2 - 2 \cdot 0 - 8}{0^2 - 16} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(0{,}5\). 2. Für \(x \to 4\) ergibt sich der unbestimmte Ausdruck \(\frac{0}{0}\). Durch Faktorisieren von Zähler und Nenner erhält man \(f(x) = \frac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+4)}\). Für \(x \neq 4\) lässt sich der Term zu \(\frac{x+2}{x+4}\) kürzen. Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to 4} \frac{x+2}{x+4} = \frac{4+2}{4+4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\). An der Stelle \(x = 4\) liegt eine hebbare Definitionslücke (Loch im Graphen). 3. Für \(x \to -4\) strebt der Zähler des gekürzten Terms \(\frac{x+2}{x+4}\) gegen \(-2\), während der Nenner gegen \(0\) strebt. Es gilt \(\lim_{x \to -4^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^+} f(x) = -\infty\). Daher existiert der zweiseitige Grenzwert nicht. An der Stelle \(x = -4\) liegt eine Polstelle mit der senkrechten Asymptote \(x = -4\) vor.

1. \(\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}\) 2. \(\lim_{x \to 4} f(x) = \frac{3}{4}\) 3. \(\lim_{x \to -4^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^+} f(x) = -\infty\); deshalb existiert \(\lim_{x \to -4} f(x)\) nicht. Bei \(x = -4\) liegt eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vor.

- Zerlege beide quadratischen Terme in Linearfaktoren, bevor du die Lücken beurteilst. - Unterscheide zwischen einem Faktor, der sich vollständig kürzt, und einem Faktor, der im Nenner erhalten bleibt. - Für das Vorzeichen eines unendlichen Grenzwerts genügt es, Zähler und Nenner links und rechts der Polstelle zu betrachten.

a) Es gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) und \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). Daher liegen die Definitionslücken bei \(x=3\) und \(x=-2\). Für \(x\neq3\) gilt \(g(x)=\frac{x+3}{x+2}\). b) Für \(x\to3\) folgt \(\lim_{x\to3}g(x)=\frac{6}{5}\). Für \(x\to-2^-\) ist der Zähler positiv und der Nenner negativ mit Betrag gegen \(0\), daher gilt \(g(x)\to-\infty\). Für \(x\to-2^+\) gilt entsprechend \(g(x)\to+\infty\). c) Bei \(x=3\) ist die Lücke hebbar. Bei \(x=-2\) liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor; die senkrechte Asymptote ist \(x=-2\).

a) Definitionslücken: \(x=3\) und \(x=-2\) b) \(\lim_{x\to3}g(x)=\frac65\), \(\lim_{x\to-2^-}g(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to-2^+}g(x)=+\infty\) c) \(x=3\) ist hebbar; \(x=-2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel und senkrechter Asymptote \(x=-2\).

- Wann lässt sich ein Faktor in einem Bruch kürzen? - Was muss für den Zähler gelten, damit eine Definitionslücke des Nenners eventuell hebbar ist? - Überlege, wie der Graph einer Funktion aussieht, deren Term sich zu einer linearen Form vereinfachen lässt.

1. Bedingung für eine hebbare Lücke an der Stelle \(x = 5\) prüfen: Der Zähler \(x^2 - kx - 10\) muss für \(x = 5\) den Wert Null annehmen. 2. Einsetzen von \(x = 5\) in den Zähler: \(5^2 - 5k - 10 = 0 \Rightarrow 25 - 5k - 10 = 0 \Rightarrow 15 - 5k = 0\). Daraus folgt \(k = 3\). 3. Faktorisierung des Zählers für \(k = 3\): Das Polynom \(x^2 - 3x - 10\) hat die Nullstellen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\). Somit gilt \(x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)\). 4. Vereinfachung des Funktionsterms: \(f(x) = \frac{(x - 5)(x + 2)}{x - 5} = x + 2\) für \(x \neq 5\). 5. Grenzwertberechnung: \(\lim_{x \to 5} (x + 2) = 5 + 2 = 7\). 6. Geometrische Form: Da der gekürzte Term \(x + 2\) eine lineare Funktion darstellt, ist der Graph eine Gerade mit einem „Loch“ (der hebbaren Lücke) an der Stelle \((5 \mid 7)\).

a) \(k = 3\) b) \(\lim_{x \to 5} f(x) = 7\) c) Der Graph ist die Gerade \(y = x + 2\) mit einem Loch im Punkt \((5 \mid 7)\).

- Was passiert, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner an derselben Stelle null werden? - Unterscheide zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken. - Prüfe nach der Berechnung der Zählernullstellen immer, ob diese Werte tatsächlich zur Definitionsmenge gehören. - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner faktorisierst?

1. Definitionsmenge: Aus \(x^2 - 4 = 0\) folgen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). 2. Polstellen und Lücken: Es gilt \(\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+1}{x+2}\) für \(x\neq-2,2\). Bei \(x=2\) liegt deshalb eine hebbare Definitionslücke vor. Bei \(x=-2\) bleibt der Nenner null, während der Zähler des ursprünglichen Terms ungleich null ist; daher liegt dort eine Polstelle vor. 3. Nullstellen: Der Zähler hat die Nullstellen \(x=2\) und \(x=-1\). Da \(2 \notin D_f\), ist nur \(x=-1\) eine Nullstelle der Funktion.

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); Polstelle bei \(x = -2\); Nullstelle bei \(x = -1\).

- Wie bestimmt man die Ordnung einer Polstelle bei einer gebrochen-rationalen Funktion? - Nutze beim Ableiten die Quotientenregel und achte darauf, gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner vorzeitig zu kürzen. - Was muss für den Zählerwert an der Polstelle gelten, damit die Ordnung eindeutig durch den Exponenten im Nenner bestimmt ist? - Überlege dir beim allgemeinen Beweis, wie man einen Term im Zähler ausklammert, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Die Polstelle liegt bei der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 2\). Da der Faktor \((x-2)\) im Nenner mit dem Exponenten 3 vorkommt und der Zähler für \(x=2\) den Wert \(2^2 + 1 = 5 \neq 0\) annimmt, handelt es sich um eine Polstelle 3. Ordnung. 2. Unter Verwendung der Quotientenregel (oder der Produktregel mit Kettenregel) ergibt sich für die Ableitung: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x-2)^3 - (x^2+1) \cdot 3(x-2)^2}{(x-2)^6}\). Durch Ausklammern und Kürzen von \((x-2)^2\) folgt: \(f'(x) = \frac{2x(x-2) - 3(x^2+1)}{(x-2)^4} = \frac{2x^2 - 4x - 3x^2 - 3}{(x-2)^4} = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x-2)^4}\). Der Zähler von \(f'\) hat an der Stelle \(x=2\) den Wert \(-(2)^2 - 4(2) - 3 = -15 \neq 0\). Damit ist \(x = 2\) eine Polstelle der Ordnung 4. 3. Für \(g(x) = \frac{u(x)}{(x-a)^n}\) liefert die Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{u'(x) \cdot (x-a)^n - u(x) \cdot n(x-a)^{n-1}}{(x-a)^{2n}}\). Kürzen durch \((x-a)^{n-1}\) ergibt: \(g'(x) = \frac{u'(x)(x-a) - nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\). Setzt man \(x = a\) in den neuen Zählerterm \(z(x) = u'(x)(x-a) - nu(x)\) ein, erhält man \(z(a) = u'(a) \cdot 0 - n \cdot u(a) = -n \cdot u(a)\). Da nach Voraussetzung \(u(a) \neq 0\) und \(n \geq 1\) gilt, ist \(z(a) \neq 0\). Somit liegt eine Polstelle der Ordnung \(n+1\) vor.

1. Polstelle \(x = 2\) mit der Ordnung 3. 2. \(f'(x) = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x-2)^4}\); Einsetzen von \(x=2\) in den Zähler ergibt \(-15 \neq 0\), Der Nennerfaktor \((x-2)^4\) hat den Exponenten 4, also liegt eine Polstelle 4. Ordnung vor. 3. \(g'(x) = \frac{u'(x)(x-a) - nu(x)}{(x-a)^{n+1}}\); der Zählerwert an der Stelle \(a\) ist \(-nu(a) \neq 0\).

- Vereinfache den Funktionsterm, bevor du die Ordnung der Polstelle beurteilst. - Bestimme \(f'\) anschließend aus dem gekürzten Quotienten. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f'\) auf beiden Seiten von \(x=-3\).

1. Für \(x\neq-3\) lässt sich \(f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{x-3}{x+3}\) vereinfachen. Deshalb bleibt bei \(x=-3\) eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Laras Aussage ist falsch. 2. Mit der Quotientenregel für \(\frac{x-3}{x+3}\) erhält man \(f'(x)=\frac{(x+3)-(x-3)}{(x+3)^2}=\frac{6}{(x+3)^2}\). 3. \(f'\) besitzt bei \(x=-3\) eine Polstelle 2. Ordnung und ist auf beiden Seiten positiv. Daher ist \(f\) auf beiden Ästen streng steigend; Toms Aussage ist korrekt.

Lara liegt falsch: Nach dem Kürzen bleibt für \(f\) eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Tom liegt richtig: \(f'(x)=\frac{6}{(x+3)^2}>0\) auf beiden Seiten der Polstelle, daher ändert sich die Monotonierichtung nicht.

- Welche Information über den Nenner liefert eine senkrechte Asymptote? - Welche Information über den Zähler liefert eine Nullstelle des Graphen? - Nutze die waagerechte Asymptote, um das Verhältnis der führenden Koeffizienten zu kontrollieren. - Ein weiterer gut ablesbarer Punkt kann deinen gefundenen Term prüfen.

a) Für \(f\) sind die Asymptoten \(x=1\) und \(y=1\); die Nullstelle ist \(x=-2\). Für \(g\) sind die Asymptoten \(x=-2\) und \(y=1\); die Nullstelle ist \(x=1\). b) Bei einem Term \(\frac{x+b}{x+c}\) liefert die Nullstelle den Zählerfaktor und die senkrechte Asymptote den Nennerfaktor. Daher passen \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) und \(g(x)=\frac{x-1}{x+2}\). Beide haben wegen gleicher Leitkoeffizienten die waagerechte Asymptote \(y=1\). c) Es gilt \(f(0)=\frac{2}{-1}=-2\) und \(g(0)=\frac{-1}{2}=-0{,}5\). Diese Werte stimmen mit den Achsenschnittpunkten der Abbildung überein.

\(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\), mit Asymptoten \(x=1\), \(y=1\) und Nullstelle \(x=-2\). \(g(x)=\frac{x-1}{x+2}\), mit Asymptoten \(x=-2\), \(y=1\) und Nullstelle \(x=1\).

- Schau dir an, an welchem \(x\)-Wert der Graph der Funktion „ins Unendliche“ verschwindet. - Überprüfe, ob der Graph auf beiden Seiten der Polstelle in dieselbe Richtung (beide nach oben oder beide nach unten) oder in entgegengesetzte Richtungen verläuft. - Suche nach der waagrechten Linie, an die sich der Graph für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte immer mehr anschmiegt.

1. Für den Graphen von \(f\): - Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = -4\), also ist dort die Polstelle. - Da der Graph links der Polstelle gegen \(-\infty\) und rechts gegen \(+\infty\) strebt, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW). - Der Graph nähert sich für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte der Geraden \(y = -3\). Die waagrechte Asymptote ist also \(y = -3\). 2. Für den Graphen von \(g\): - Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = 3\), also ist dort die Polstelle. - Da der Graph auf beiden Seiten der Polstelle gegen \(+\infty\) strebt, handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (ohne VZW). - Der Graph nähert sich für \(|x| \to \infty\) der Geraden \(y = 1\). Die waagrechte Asymptote ist also \(y = 1\).

Funktion \(f\): Polstelle bei \(x = -4\) mit VZW; waagrechte Asymptote \(y = -3\). Funktion \(g\): Polstelle bei \(x = 3\) ohne VZW; waagrechte Asymptote \(y = 1\).

- Setze den gegebenen Wert für \(a\) in den Funktionsterm ein und untersuche die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner. - Wann hebt ein Faktor im Zähler einen Faktor im Nenner teilweise auf? - Wie beeinflusst die Hochzahl am Klammerausdruck im Nenner (nach dem Kürzen), ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet?

1. Für \(a = 0\) lautet die Funktion \(p_0(x) = \frac{x}{(x-3)^2}\). Die Definitionslücke liegt bei \(x = 3\). Da der Zähler an dieser Stelle den Wert \(3\) annimmt und somit ungleich null ist, handelt es sich um eine Polstelle. Da die Vielfachheit der Nennernullstelle gerade ist (Quadrat), liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (VZW) vor. 2. Eine Änderung der Art der Polstelle tritt ein, wenn der Zählerfaktor \((x - a)\) die Vielfachheit der Nennernullstelle reduziert. Dies ist der Fall, wenn \(a = 3\). Dann gilt \(p_3(x) = \frac{x-3}{(x-3)^2} = \frac{1}{x-3}\). Die Polstelle an der Stelle \(x = 3\) hat nun eine ungerade Vielfachheit (1. Ordnung), wodurch sie zu einer Polstelle mit VZW wird.

1. Polstelle bei \(x = 3\) ohne VZW. 2. Für \(a = 3\) ändert sich die Art; die Polstelle bei \(x = 3\) ist dann eine Polstelle mit VZW.

- Wann hat eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen? - Was ist der Unterschied zwischen einer Polstelle und einer hebbaren Definitionslücke? - Prüfe, was passiert, wenn eine Nullstelle des Nenners gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist. - Vergiss nicht den Spezialfall, in dem der Nenner nur eine einzige Nullstelle hat.

1. Begründung für \(a < 0\): Senkrechte Asymptoten treten an Polstellen auf, welche Definitionslücken (Nullstellen des Nenners) voraussetzen. Für \(a < 0\) ist der Ausdruck \(-a\) positiv. Die Gleichung \(x^2 - a = 0 \iff x^2 = a\) hat für negative \(a\) keine reelle Lösung, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind. Der Nenner hat also keine Nullstellen, weshalb keine Polstellen existieren. 2. Untersuchung für genau eine Polstelle (\(a \geq 0\)): - Fall \(a = 0\): \(g_0(x) = \frac{x-3}{x^2}\). Der Nenner hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\). Da der Zähler an dieser Stelle \(-3 \neq 0\) ist, liegt eine Polstelle vor. Ergebnis: \(a = 0\). - Fall \(a > 0\): Der Nenner \(x^2 - a\) hat zwei Nullstellen bei \(x = \sqrt{a}\) und \(x = -\sqrt{a}\). Damit genau eine Polstelle vorliegt, muss die andere Nullstelle eine hebbare Definitionslücke sein. Dies ist der Fall, wenn sie auch eine Nullstelle des Zählers \(x-3\) ist. - Bedingung Zählernullstelle: \(x - 3 = 0 \implies x = 3\). - Eine der Nennernullstellen muss also \(3\) sein: \(\sqrt{a} = 3 \implies a = 9\) oder \(-\sqrt{a} = 3\) (keine Lösung für \(a > 0\)). - Überprüfung für \(a = 9\): \(g_9(x) = \frac{x-3}{x^2 - 9} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3}\). Es gibt eine hebbare Lücke bei \(x = 3\) und eine Polstelle bei \(x = -3\). 3. Gesamtergebnis: Die Funktion hat genau eine Polstelle für \(a = 0\) und \(a = 9\).

a) Für \(a < 0\) hat die Gleichung \(x^2 - a = 0\) keine reellen Lösungen, da \(x^2 = a\) für negative \(a\) unlösbar ist. Ohne Nennernullstellen gibt es keine Polstellen und somit keine senkrechten Asymptoten. b) \(a = 0\) (Polstelle bei \(x = 0\)) und \(a = 9\) (Polstelle bei \(x = -3\), hebbare Lücke bei \(x = 3\)).

- Faktorisiere zuerst den vorgegebenen Nenner. - Eine hebbare Lücke erfordert einen gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner. - Eine vorgegebene Nullstelle liefert einen weiteren Zählerfaktor. - Nutze, dass der gesuchte Zähler normiert und quadratisch ist.

Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3).\) Damit \(x=1\) hebbar ist, muss der Zähler ebenfalls den Faktor \((x-1)\) besitzen. Die gewünschte Nullstelle \(x=-2\) liefert zusätzlich den Faktor \((x+2)\). Da der Zähler normiert quadratisch sein soll, ist er damit eindeutig: \((x-1)(x+2)=x^2+x-2.\) Also gilt \(b=1\) und \(c=-2\). Der ursprüngliche Term lautet \(f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-3)}\) mit \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1;3\}\). Für \(x\neq1,3\) gilt nach dem Kürzen \(f(x)=\frac{x+2}{x-3}.\) Bei \(x=3\) ist der verbleibende Zähler \(5\neq0\); dort bleibt also eine Polstelle.

\(b=1,\;c=-2\). Für \(x\in D_f=\mathbb{R}\setminus\{1;3\}\) gilt \(f(x)=\frac{x+2}{x-3}.\) \(x=1\) ist hebbar, \(x=-2\) ist eine Nullstelle und \(x=3\) bleibt eine Polstelle.

- Erinnere dich an die Regel: Eine Polstelle hat genau dann einen Vorzeichenwechsel, wenn ihre Ordnung ungerade ist. - Wie verändert sich die Ordnung einer Polstelle beim Ableiten einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten? - Teste die Aussagen an einfachen Beispielen wie \(f(x) = \frac{1}{x}\) oder \(f(x) = \frac{1}{x^2}\).

1. Zusammenhang der Polstellenordnungen: Sei \(x_0\) eine Polstelle \(k\)-ter Ordnung von \(f\). Dann verhält sich die Funktion lokal wie \(\frac{1}{(x-x_0)^k}\). Die Ableitung verhält sich lokal wie \(\frac{-k}{(x-x_0)^{k+1}}\), besitzt dort also eine Polstelle der Ordnung \(k+1\). 2. Analyse von Sarahs Aussage: Ein Vorzeichenwechsel (VZW) bei \(f\) bedeutet, dass \(k\) ungerade ist. Dann ist \(k+1\) gerade. Eine Polstelle gerader Ordnung hat keinen VZW. Sarahs Aussage ist somit korrekt. 3. Analyse von Leos Aussage: Ein fehlender VZW bei \(f'\) bedeutet, dass die Ordnung \(k+1\) gerade ist. Daraus folgt, dass die Ordnung \(k\) der ursprünglichen Funktion \(f\) ungerade sein muss. Eine ungerade Ordnung \(k\) bedeutet jedoch, dass die Funktion \(f\) an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel besitzt. Leos Aussage ist somit falsch.

Sarahs Aussage ist korrekt, da eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel eine ungerade Ordnung \(k\) hat, woraus eine gerade Ordnung \(k+1\) für die Ableitung folgt (kein VZW). Leos Aussage ist falsch, da ein fehlender Vorzeichenwechsel in der Ableitung (gerade Ordnung \(k+1\)) bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion eine ungerade Ordnung \(k\) und damit einen Vorzeichenwechsel haben muss.