- Eine gebrochen-rationale Funktion ist dort nicht definiert, wo ihr Nenner null wird. - Setze den Nenner gleich null.

1. Der Nenner wird für \(x=3\) null. Deshalb ist genau dieser Wert ausgeschlossen.

\(x=3\)

- Achte auf die Vielfachheit des Nennerfaktors an der Polstelle. - Überlege, was eine gerade Potenz mit dem Vorzeichen eines Faktors macht.

1. Der Nennerfaktor \((x+4)\) tritt mit der geraden Vielfachheit \(2\) auf. Daher liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

Nein. Die Polstelle bei \(x=-4\) hat keinen Vorzeichenwechsel.

- Lies zuerst die \(x\)-Koordinate der gestrichelten senkrechten Geraden ab. - Beobachte getrennt, wohin der linke und der rechte Ast nahe dieser Geraden verlaufen. - Vergleiche anschließend die Vorzeichen der Funktionswerte links und rechts der Polstelle.

1. Die gestrichelte senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\). Daher ist \(x=2\) die Polstelle. 2. Beide Äste steigen beim Annähern an \(x=2\) nach oben. Deshalb gilt \(\lim_{x\to 2^-}f(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\). 3. Auf beiden Seiten der Polstelle sind die Funktionswerte positiv. Daher tritt kein Vorzeichenwechsel auf.

a) \(x=2\) b) \(\lim_{x\to 2^-}f(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\) c) Kein Vorzeichenwechsel.

- Untersuche das Vorzeichen von \(x-3\) einmal für Werte knapp kleiner und einmal für Werte knapp größer als \(3\). - Überlege, was mit dem Betrag von \(\frac{1}{x-3}\) passiert, wenn der Nenner gegen \(0\) geht. - Verbinde das Vorzeichen des Nenners mit dem Vorzeichen des unendlich großen Funktionswerts.

1. Für \(x<3\) ist \(x-3<0\). Beim Annähern an \(3\) von links wird der Nenner negativ und betragsmäßig sehr klein. Daher gilt \(\lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty\). 2. Für \(x>3\) ist \(x-3>0\). Beim Annähern an \(3\) von rechts wird der Nenner positiv und betragsmäßig sehr klein. Daher gilt \(\lim_{x\to 3^+}f(x)=+\infty\).

\(\lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to 3^+}f(x)=+\infty\)

- Welche Bedingung muss der Nenner erfüllen, damit die Definitionsmenge ganz \(\mathbb{R}\) ist? - Untersuche, wann die Gleichung \(x^2+c=0\) reelle Lösungen besitzt. - Vergleiche dafür die Fälle \(c>0\), \(c=0\) und \(c<0\).

1. Damit \(D_{g_c}=\mathbb{R}\) gilt, darf der Nenner \(x^2+c\) keine reelle Nullstelle besitzen. 2. Die Gleichung \(x^2+c=0\) ist gleichbedeutend mit \(x^2=-c\). 3. Für \(c>0\) ist \(-c<0\). Da \(x^2\ge0\) für alle reellen \(x\) gilt, gibt es dann keine reelle Lösung. 4. Für \(c=0\) ist \(x=0\) eine Nennernullstelle; für \(c<0\) sind \(x=\pm\sqrt{-c}\) Nennernullstellen. Daher gilt genau für \(c>0\): \(D_{g_c}=\mathbb{R}\).

\(c>0\)

- Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass man durch Null teilen müsste? - Wie findet man die Nullstellen eines quadratischen Terms am einfachsten, wenn kein konstantes Glied vorhanden ist? - Wann genau wird eine Definitionslücke zu einer senkrechten Asymptote? - Prüfe, ob der Zähler an den kritischen Stellen ebenfalls null wird.

1. Bestimmung der Definitionslücken: Der Nenner \(x^2 + 2x = x(x + 2)\) besitzt die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -2\). Daher ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}\). 2. Prüfung auf Polstellen: Der Zähler \(2x - 1\) ist für \(x = 0\) gleich \(-1\) und für \(x = -2\) gleich \(-5\). Da der Zähler an den Nullstellen des Nenners ungleich null ist, handelt es sich bei beiden Stellen um Polstellen. 3. Bestimmung der Asymptoten: Jede Polstelle einer gebrochen-rationalen Funktion entspricht einer senkrechten Asymptote. Die Gleichungen lauten somit \(x = -2\) und \(x = 0\).

\(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}\) Senkrechte Asymptoten: \(x = -2\) und \(x = 0\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen des jeweiligen Nenners. - Prüfe an jeder Nennernullstelle, ob der Zähler dort ungleich null ist. - Achte darauf, ob der zugehörige Nennerfaktor mit gerader oder ungerader Vielfachheit vorkommt.

1. Bei \(f\) hat der Nenner bei \(x=1\) eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\). Der Zähler ist dort ungleich null. Daher liegt bei \(x=1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. 2. Bei \(g\) gilt \(x^2-4x=x(x-4)\). Die Nennernullstellen \(x=0\) und \(x=4\) sind jeweils einfach, während der Zähler konstant \(5\) ist. Daher liegen bei \(x=0\) und \(x=4\) Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor. 3. Bei \(h\) hat der Nenner bei \(x=-3\) eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\). Für den Zähler gilt \(-3-2=-5\neq0\). Daher liegt bei \(x=-3\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

a) \(x=1\): Polstelle ohne Vorzeichenwechsel b) \(x=0\) und \(x=4\): Polstellen mit Vorzeichenwechsel c) \(x=-3\): Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

- Achte jeweils darauf, von welcher Seite sich \(x\) der kritischen Stelle nähert. - Bestimme das Vorzeichen von Zähler und Nenner unmittelbar auf dieser Seite. - Überlege, was mit einem Bruch geschieht, wenn der Nenner mit festem Vorzeichen gegen \(0\) strebt.

1. Für \(x\to1^-\) nähert sich der Zähler \(x+2\) dem positiven Wert \(3\), während \(x-1\) negativ bleibt und gegen \(0\) strebt. Daher gilt \(\frac{x+2}{x-1}\to-\infty\). 2. Für \(x\to-2^+\) bleibt der Zähler positiv, während \(x+2\) positiv ist und gegen \(0\) strebt. Daher gilt \(\frac{3}{x+2}\to+\infty\).

a) \(\lim_{x\to1^-}\frac{x+2}{x-1}=-\infty\) b) \(\lim_{x\to-2^+}\frac{3}{x+2}=+\infty\)

- Vergleiche das Vorzeichen der jeweiligen Nenner direkt links und rechts von \(x=5\). - Überlege, welchen Unterschied ein einfacher und ein quadrierter Nennerfaktor macht. - Ein Vorzeichenwechsel liegt nur vor, wenn die Funktionswerte auf den beiden Seiten unterschiedliche Vorzeichen haben.

1. Für \(f_1\) ist \(x-5\) links von \(5\) negativ und rechts von \(5\) positiv. Daher gilt \(\lim_{x\to5^-}f_1(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to5^+}f_1(x)=+\infty\). Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. 2. Für \(f_2\) ist \((x-5)^2\) auf beiden Seiten von \(5\) positiv. Daher gilt \(\lim_{x\to5^-}f_2(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to5^+}f_2(x)=+\infty\). Es liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

\(f_1\): links \(-\infty\), rechts \(+\infty\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel. \(f_2\): links \(+\infty\), rechts \(+\infty\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Bestimme zuerst das Vorzeichen von \(x+1\), wenn \(x\) etwas kleiner als \(-1\) ist. - Vergleiche danach den einfachen Nennerfaktor mit seinem Quadrat. - Berücksichtige zuletzt das Vorzeichen des konstanten Zählers.

1. Für \(x\to-1^-\) ist \(x+1\) negativ. Daher ist bei \(g_1\) auch der Nenner negativ. Der Quotient aus dem negativen Zähler und dem negativen Nenner ist positiv, also \(\lim_{x\to-1^-}g_1(x)=+\infty\). 2. Bei \(g_2\) ist \((x+1)^2\) positiv. Mit dem negativen Zähler bleibt der Quotient negativ, also \(\lim_{x\to-1^-}g_2(x)=-\infty\).

\(\lim_{x\to-1^-}g_1(x)=+\infty\) \(\lim_{x\to-1^-}g_2(x)=-\infty\)

- Suche die Nullstelle des Nenners und prüfe den Zähler an derselben Stelle. - Welche Vielfachheit besitzt der Nennerfaktor? - Überlege, ob ein Quadrat links und rechts seiner Nullstelle unterschiedliche Vorzeichen annehmen kann.

1. Der Nenner wird bei \(x=3\) null. Der Zähler hat dort den Wert \(8\) und ist daher ungleich null. Somit liegt bei \(x=3\) eine Polstelle vor. 2. Der Nennerfaktor \((x-3)\) besitzt die gerade Vielfachheit \(2\). Deshalb hat der Nenner auf beiden Seiten der Polstelle dasselbe Vorzeichen. 3. Folglich liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

Bei \(x=3\) liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

- Faktorisiere den Nenner als Differenz zweier Quadrate. - Prüfe, ob der Zähler an einer Nennernullstelle ebenfalls null werden kann. - Welche Vielfachheit besitzen die beiden linearen Nennerfaktoren?

1. Es gilt \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Damit sind \(x=1\) und \(x=-1\) die Nennernullstellen. 2. Der Zähler ist konstant \(1\), also liegen an beiden Stellen Polstellen vor. 3. Beide Nennerfaktoren treten mit der ungeraden Vielfachheit \(1\) auf. Deshalb wechselt der Graph an beiden Polstellen das Vorzeichen.

Polstellen: \(x=-1\) und \(x=1\). An beiden liegt ein Vorzeichenwechsel vor.

- Untersuche das Verhalten links und rechts von \(x=2\) getrennt. - Vergleiche die beiden einseitigen Grenzwerte. - Überlege, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein zweiseitiger Grenzwert existiert.

1. Für \(x\to2^-\) fallen die Funktionswerte unbegrenzt; der linksseitige Grenzwert ist \(-\infty\). 2. Für \(x\to2^+\) steigen die Funktionswerte unbegrenzt; der rechtsseitige Grenzwert ist \(+\infty\). 3. Ein zweiseitiger Grenzwert existiert nur, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte übereinstimmen. Hier haben sie verschiedene Vorzeichen. Daher existiert \(\lim_{x\to2}g(x)\) nicht.

Der Grenzwert an der Stelle \(x_0=2\) existiert nicht. Es gilt \(\lim_{x\to2^-}g(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to2^+}g(x)=+\infty\); bei \(x=2\) liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

- Suche bei jedem Graphen die \(x\)-Stelle, an der die Funktionswerte betragsmäßig sehr groß werden. - Vergleiche die Vorzeichen der Funktionswerte unmittelbar links und rechts dieser Stelle. - Überlege, wie eine gerade oder ungerade Vielfachheit des Nennerfaktors das Vorzeichenverhalten beeinflusst.

1. Graph A hat die Definitionslücke \(x=1\). Graph B hat die Definitionslücke \(x=-2\). 2. Bei Graph A liegen die beiden Äste auf verschiedenen Seiten der \(x\)-Achse. Deshalb liegt bei \(x=1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Bei Graph B sind die Funktionswerte auf beiden Seiten der Polstelle positiv. Deshalb liegt bei \(x=-2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. 3. Graph A gehört zu \(r_1(x)=\frac{1}{x-1}\), weil der Nennerfaktor \((x-1)\) einfach vorkommt. Graph B gehört zu \(r_2(x)=\frac{1}{(x+2)^2}\), weil der Nennerfaktor \((x+2)\) die gerade Vielfachheit \(2\) besitzt.

a) Graph A: \(x=1\); Graph B: \(x=-2\) b) Graph A: Polstelle mit Vorzeichenwechsel; Graph B: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel c) Graph A gehört zu \(r_1(x)=\frac{1}{x-1}\), weil die Funktionswerte links und rechts der Polstelle verschiedene Vorzeichen haben. Graph B gehört zu \(r_2(x)=\frac{1}{(x+2)^2}\), weil die Funktionswerte auf beiden Seiten der Polstelle positiv sind.

- Für Teil a) prüfe zuerst, wann der Nenner null wird. - Welche Art von Zahlen kann die Anzahl hergestellter Bauteile beschreiben? - Kann man Durchschnittskosten pro Bauteil angeben, wenn kein Bauteil hergestellt wurde?

1. Der Nenner wird bei \(x=0\) null, während der Zähler dort den Wert \(600\) hat. Daher ist die maximale Definitionsmenge \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), und bei \(x=0\) liegt eine Polstelle vor. 2. \(x\) zählt hergestellte Bauteile. Sinnvoll sind deshalb nur positive ganze Zahlen \(1,2,3,\ldots\). Bei \(x=0\) gibt es kein Bauteil, auf das Durchschnittskosten bezogen werden könnten.

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); Polstelle bei \(x=0\) b) Im Sachzusammenhang sind \(x=1,2,3,\ldots\) sinnvoll, weil \(x\) die Anzahl hergestellter Bauteile zählt. \(x=0\) ist nicht sinnvoll, weil dann keine Durchschnittskosten pro Bauteil gebildet werden können.

- Vergleiche die Vielfachheiten gleicher Faktoren in Zähler und Nenner. - Die Nullstellen des ursprünglichen Nenners bleiben ausgeschlossen. - Für den Vorzeichenwechsel ist die Vielfachheit des verbleibenden Nennerfaktors wichtig.

1. Ein Faktor \(x-1\) kann gekürzt werden. Für erlaubte Werte gilt \(h(x)=\frac{(x-1)(x+4)}{(x+2)^2}\). 2. Aus dem ursprünglichen Nenner bleiben \(x=1\) und \(x=-2\) ausgeschlossen. 3. Bei \(x=1\) ist der gekürzte Term endlich. Dort liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Bei \(x=-2\) bleibt der Nennerfaktor quadratisch. Deshalb liegt dort eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

a) \(h(x)=\frac{(x-1)(x+4)}{(x+2)^2}\) für \(x\neq1,-2\) b) \(x=1\) und \(x=-2\) c) Hebbare Definitionslücke bei \(x=1\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x=-2\)

- Wann wird der Nenner eines Bruchs null? - Überlege dir, welchen Einfluss das Vorzeichen von \(k\) auf die Gleichung \(x^2 = 2k\) hat. - Erinnere dich daran, dass senkrechte Asymptoten an den Stellen auftreten, an denen der Nenner eine Nullstelle hat (und der Zähler nicht). - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^2 = c\) in Abhängigkeit von \(c\) haben?

1. Fallunterscheidung für die Definitionsmenge: - Für \(k < 0\) ist \(-2k > 0\). Da \(x^2 \geq 0\), ist der Nenner \(x^2 - 2k\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positiv und hat keine Nullstellen. Somit gilt \(D_{f_k} = \mathbb{R}\). - Für \(k = 0\) lautet der Nenner \(x^2\). Die einzige Nullstelle ist \(x = 0\). Somit gilt \(D_{f_0} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). - Für \(k > 0\) hat der Nenner \(x^2 - 2k\) zwei Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{2k}\). Somit gilt \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2k}; \sqrt{2k}\}\). 2. Senkrechte Asymptoten für \(k = 8\): Einsetzen von \(k = 8\) ergibt \(f_8(x) = \frac{6}{x^2 - 16}\). Die Nullstellen des Nenners sind \(x^2 = 16\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Da der Zähler dort ungleich Null ist, liegen Polstellen vor. Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten lauten \(x = 4\) und \(x = -4\). 3. Anzahl der Polstellen: - \(k < 0\): 0 Polstellen (keine Definitionslücken). - \(k = 0\): 1 Polstelle (bei \(x = 0\)). - \(k > 0\): 2 Polstellen (bei \(x = \sqrt{2k}\) und \(x = -\sqrt{2k}\)).

a) \(D_{f_k} = \mathbb{R}\) für \(k < 0\); \(D_{f_0} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) für \(k = 0\); \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2k}; \sqrt{2k}\}\) für \(k > 0\). b) \(x = 4\) und \(x = -4\). c) 0 Polstellen für \(k < 0\); 1 Polstelle für \(k = 0\); 2 Polstellen für \(k > 0\).

- Bestimme zuerst die Nullstellen des Nenners. - Untersuche für jede Seite einer Polstelle das Vorzeichen von \(x^2-16\). - Für die waagrechte Asymptote ist entscheidend, was mit dem Bruchterm für große Beträge von \(x\) geschieht.

1. Der Nenner darf nicht null werden. Aus \(x^2-16=0\) folgt \(x=\pm4\). Somit ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-4;4\}\). 2. Für \(x\to4^-\) gilt \(x^2-16\to0^-\). Daher ist \(\frac{9}{x^2-16}\to-\infty\) und somit \(g(x)\to+\infty\). 3. Für \(x\to4^+\) gilt \(x^2-16\to0^+\). Daher ist \(\frac{9}{x^2-16}\to+\infty\) und somit \(g(x)\to-\infty\). 4. Wegen \(g(-x)=g(x)\) gilt entsprechend \(\lim_{x\to-4^-}g(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to-4^+}g(x)=+\infty\). 5. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{9}{x^2-16}\to0\). Daher ist \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=1\), also lautet die waagrechte Asymptote \(y=1\).

a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-4;4\}\) b) \(\lim_{x\to-4^-}g(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to-4^+}g(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to4^-}g(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to4^+}g(x)=-\infty\) c) Waagrechte Asymptote: \(y=1\)

- Prüfe zuerst, wann die beiden Nennernullstellen zusammenfallen. - Notiere die ursprünglichen Ausschlüsse, bevor du kürzt. - Setze im Sonderfall \(a=-1\) in die Faktoren ein und prüfe, welche Vielfachheit bei \(x=-1\) im Nenner bleibt.

1. Für \(a\neq-1\) hat der ursprüngliche Nenner die zwei verschiedenen Nullstellen \(x=a\) und \(x=-1\). Nach dem Kürzen von \(x-a\) gilt für erlaubte Werte \(f_a(x)=\frac1{x+1}\). 2. Deshalb ist für \(a\neq-1\) die Stelle \(x=a\) hebbar, während bei \(x=-1\) eine Polstelle bleibt. 3. Für \(a=-1\) fallen beide Nennernullstellen zusammen. Dann lautet der ursprüngliche Term \(\frac{x+1}{(x+1)^2}\). Nach dem Kürzen bleibt \(\frac1{x+1}\), und \(x=-1\) bleibt eine Polstelle.

Für \(a\neq-1\): hebbare Definitionslücke bei \(x=a\), Polstelle bei \(x=-1\). Für \(a=-1\): nur die Definitionslücke \(x=-1\); dort liegt eine Polstelle vor.