- Welche Koordinate hat an einer Nullstelle den Wert \(0\)? - Wo nimmt der Graph diesen Wert an?

1. Nullstellen liegen dort, wo der Graph die \(x\)-Achse schneidet. 2. Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\).

\(x=-2\) und \(x=2\)

- Wo muss der Graph liegen, wenn der Funktionswert \(0\) ist? - Vergleiche die Lage der drei Markierungen zur \(x\)-Achse.

1. Eine Nullstelle liegt dort, wo der Graph die \(x\)-Achse schneidet. 2. Von den drei markierten Stellen liegt C mit seinem Funktionswert am nächsten an \(0\). 3. Die \(x\)-Koordinate von C ist \(1{,}5\). Daher ist \(x\approx1{,}5\) von den drei markierten Möglichkeiten die beste erste Näherung.

C; \(x\approx1{,}5\). C liegt von den drei markierten Stellen am nächsten an der \(x\)-Achse.

- Wo berührt die Tangente den Funktionsgraphen? - Welcher Schnittpunkt der Tangente liefert im Newton-Verfahren den nächsten Wert? - Vergleiche anschließend die rechnerische Näherung mit deiner Ablesung.

1. Die Tangente berührt den Graphen bei \(x_0=4\). 2. Ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt ungefähr bei \(x_1\approx3{,}1\). 3. Es gilt \(f'(x)=x\), \(f(4)=3{,}5\) und \(f'(4)=4\). 4. Daher ist \(x_1=4-\frac{3{,}5}{4}=3{,}125\), was die grafische Schätzung bestätigt.

a) \(x_0=4\); grafisch \(x_1\approx3{,}1\) b) \(x_1=3{,}125\)

- Verfolge die Tangente \(t\) bis zu ihrem Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. - Welche Steigung besitzt diese Tangente rechnerisch? - Nutze für die exakte Berechnung Funktionswert und Ableitungswert bei \(x_0=2{,}5\).

1. Die eingezeichnete Tangente schneidet die \(x\)-Achse etwas rechts von \(2\), ungefähr bei \(x_1\approx2{,}05\). 2. Es gilt \(f(2{,}5)=6{,}625\) und \(f'(x)=3x^2-4\), also \(f'(2{,}5)=14{,}75\). 3. Damit ist \(x_1=2{,}5-\frac{6{,}625}{14{,}75}=\frac{121}{59}\approx2{,}0508\). 4. Der rechnerische Wert stimmt mit der grafischen Schätzung überein.

a) \(x_1\approx2{,}05\) b) \(x_1=\frac{121}{59}\)

- Welcher Schnittpunkt der Tangente \(t\) mit der horizontalen Achse ist für Teil a entscheidend? - Welche Steigung hat die Tangente an der Stelle \(x_0=-3\)? - Vergleiche die rechnerisch erhaltene Zahl mit dem in der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt.

1. Aus der Abbildung lässt sich für den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse ungefähr \(x_1 \approx -2{,}5\) ablesen. 2. Es gilt \(f(-3) = -2{,}75\) und \(f'(x) = 0{,}75x^2 - 1\), also \(f'(-3) = 5{,}75\). 3. Mit der Newton-Formel folgt \(x_1 = -3 - \frac{-2{,}75}{5{,}75} = -3 + \frac{11}{23} = -\frac{58}{23} \approx -2{,}52\). 4. Dieser Wert ist genau die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts der Tangente im Punkt \((-3\mid f(-3))\) mit der \(x\)-Achse. Deshalb entspricht er geometrisch dem ersten Newton-Schritt.

a) \(x_1\approx-2{,}5\) b) \(x_1=-\frac{58}{23}\); der Wert ist die \(x\)-Koordinate des Tangentenschnittpunkts mit der \(x\)-Achse.

- Welche einfachere Linie benutzt das Newton-Verfahren in der Nähe des aktuellen Näherungswerts? - Welche \(y\)-Koordinate hat jeder Punkt auf der \(x\)-Achse? - Forme die Tangentengleichung zuerst allgemein um und setze die Zahlen erst danach ein. - Prüfe das Rechenergebnis am eingezeichneten Tangentenschnittpunkt.

1. Das Newton-Verfahren ersetzt den Funktionsgraphen in der Nähe von \(x_0\) durch seine Tangente. Die Nullstelle dieser Tangente dient als neue Näherung für die Nullstelle von \(f\). 2. Für den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse gilt \(0=f(x_0)+f'(x_0)(x_1-x_0)\). 3. Daraus folgt \(f'(x_0)(x_1-x_0)=-f(x_0)\). Für \(f'(x_0)\neq0\) erhält man \(x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\). 4. Für \(f(x)=x^2-2\) gilt \(f(2)=2\) und \(f'(2)=4\). 5. Daher ist \(x_1=2-\frac{2}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5\). Das stimmt mit dem Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse überein.

a) Die Tangente nähert den Graphen bei \(x_0\) an; ihre Nullstelle wird als neue Näherung für die Nullstelle von \(f\) benutzt. b) \(x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\) c) \(x_1=\frac{3}{2}=1{,}5\); der Wert stimmt mit dem Tangentenschnittpunkt überein.

- Nutze zwei gut ablesbare Punkte der vorgeschlagenen Geraden, um ihre Steigung zu bestimmen. - Welche Eigenschaft müsste \(q\) im Punkt P haben, wenn \(q\) dort wirklich die Tangente wäre? - Wie erhältst du aus der richtigen Tangente den nächsten Näherungswert?

1. Die vorgeschlagene Gerade \(q\) verläuft durch \((1{,}5\mid0)\) und \(P(2\mid2)\). Daher hat sie die Steigung \(m_q=\frac{2-0}{2-1{,}5}=4\). 2. Es gilt \(f'(x)=3x^2-2\), also \(f'(2)=10\). Da \(4\neq10\) ist, kann \(q\) nicht die Tangente an den Graphen von \(f\) in \(P\) sein. 3. Mit \(f(2)=2\) und \(f'(2)=10\) lautet die richtige Tangente \(t(x)=2+10(x-2)=10x-18\). 4. Ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse erfüllt \(10x-18=0\). Somit ist der nächste Näherungswert \(x_1=1{,}8\).

a) \(m_q=4\), aber \(f'(2)=10\); daher ist \(q\) keine Tangente in \(P\). b) \(t(x)=10x-18\) c) \(x_1=1{,}8\)

- Welche drei x-Koordinaten bilden in den beiden Teilbildern die Folge der Newton-Schritte? - Ordne Berührpunkte und Tangentenschnittpunkte zeitlich: Was gehört zum ersten, was zum zweiten Schritt? - Für die rechnerische Kontrolle brauchst du bei jedem Schritt den Funktions- und Ableitungswert am aktuellen Näherungswert. - Welche Rolle spielt das Ergebnis eines Iterationsschritts beim darauffolgenden Schritt?

1. Aus dem markierten Berührpunkt im ersten Teilbild liest man \(x_0=2\) ab. Die erste Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1=1{,}5\). Im zweiten Teilbild liegt der Schnittpunkt bei ungefähr \(x_2\approx1{,}42\). 2. Es gilt \(f'(x)=2x\). Mit \(x_0=2\) folgt \(x_1=2-\frac{2}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5\). 3. Für den zweiten Schritt ist \(f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{4}\) und \(f'\left(\frac{3}{2}\right)=3\). Daher ist \(x_2=\frac{3}{2}-\frac{1/4}{3}=\frac{17}{12}\approx1{,}4167\). 4. Eine Iteration verwendet den jeweils neu erhaltenen Näherungswert als Startwert des nächsten Schritts. Deshalb wird die zweite Tangente am Punkt mit der \(x\)-Koordinate \(x_1\) angelegt.

a) \(x_0=2\), \(x_1=1{,}5\), graphisch \(x_2\approx1{,}42\) b) \(x_1=\frac{3}{2}\), \(x_2=\frac{17}{12}\) c) Das Ergebnis \(x_1\) des ersten Newton-Schritts ist der Startwert des zweiten Schritts.

- Ein brauchbarer erster Newton-Schritt sollte den neuen \(x\)-Wert in die Nähe der gesuchten Nullstelle bringen. - Welche Werte am gewählten Startpunkt brauchst du für einen Newton-Schritt? - Liegt dein berechneter Wert ungefähr bei der graphischen Schätzung?

1. Die Tangente \(t_A\) schneidet die \(x\)-Achse ungefähr bei \(x\approx0{,}2\) und führt damit in Richtung der kleinen positiven Nullstelle. Die Tangente \(t_B\) schneidet die \(x\)-Achse bei etwa \(x\approx2{,}2\) und führt zur gesuchten größten positiven Nullstelle. Daher ist B besser geeignet. 2. Zu B gehört \(x_0=2{,}5\). Es gilt \(f(2{,}5)=4{,}125\) und \(f'(2{,}5)=13{,}75\). 3. Damit ist \(x_1=2{,}5-\frac{4{,}125}{13{,}75}=2{,}2\). 4. Aus dem Graphen liest man die größte positive Nullstelle auf eine Dezimalstelle ungefähr bei \(x\approx2{,}1\) ab. Der Näherungswert \(2{,}2\) liegt bereits nahe daran.

a) \(t_A\): etwa \(0{,}2\); \(t_B\): etwa \(2{,}2\). B eignet sich besser, weil sein Tangentenschnittpunkt zur größten positiven Nullstelle führt. b) \(x_0=2{,}5\), \(x_1=2{,}2\) c) Graphisch \(x\approx2{,}1\); \(x_1=2{,}2\) liegt nahe bei dieser Schätzung.

- Welche Rolle spielt der Achsenschnittpunkt der Tangente im Newton-Verfahren? - Welcher Wert aus Teil a) wird im nächsten Schritt zum neuen Eingabewert? - Welche beiden Funktionsgrößen brauchst du für den nächsten Näherungswert?

1. Die Tangente an der Stelle \(x_0=3\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Daher ist \(x_1=2\). 2. Es gilt \(f(2)=\frac{2}{3}\). 3. Die Ableitung lautet \(f'(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{3}{2}\), also \(f'(2)=\frac{5}{6}\). 4. Mit der Newton-Formel folgt \(x_2=2-\frac{2/3}{5/6}=2-\frac{4}{5}=1{,}2\).

a) \(x_1=2\); der \(x\)-Achsen-Schnittpunkt der Tangente liefert die erste Näherung. b) \(f(2)=\frac{2}{3}\), \(f'(2)=\frac{5}{6}\) c) \(x_2=1{,}2\)

- Berechne für jeden Newton-Schritt den Funktionswert und die Ableitung am aktuellen Startwert. - Vergleiche in Teil b den Startwert und den neuen Wert mit der im Graphen sichtbaren positiven Nullstelle. - Welche geometrische Bedeutung hat der \(x\)-Achsen-Schnittpunkt einer Newton-Tangente? - Vergleiche in Teil c die berechnete Tangentensteigung mit der Lage ihres \(x\)-Achsen-Schnittpunkts.

1. Die Ableitung lautet \(g'(x)=1{,}5x^2-2\). 2. Für \(x_0=2\) gilt \(g(2)=1\) und \(g'(2)=4\). Damit ist \(x_1=2-\frac{1}{4}=1{,}75\). 3. Für \(x_0=0\) gilt \(g(0)=1\) und \(g'(0)=-2\). Damit ist \(x_1=0-\frac{1}{-2}=0{,}5\). Die zugehörige positive Nullstelle liegt im Graphen bei etwa \(x=0{,}54\), sodass \(0{,}5\) näher an ihr liegt als der Startwert \(0\). 4. Für \(x_0=1{,}2\) gilt \(g'(1{,}2)=1{,}5\cdot1{,}2^2-2=0{,}16\). Die eingezeichnete Tangente hat daher nur eine kleine positive Steigung und schneidet die \(x\)-Achse im Graphen bei etwa \(x=4{,}6\). 5. Nahe einer Extremstelle ist \(|g'(x_0)|\) klein. Die Tangente verläuft dann fast waagerecht, sodass ihr \(x\)-Achsen-Schnittpunkt weit vom Berührpunkt entfernt liegen kann. Genau dieser Schnittpunkt ist der nächste Näherungswert; deshalb können große Sprünge entstehen.

a) \(x_1=1{,}75\) b) \(x_1=0{,}5\); im Graphen liegt dieser Wert näher an der zugehörigen positiven Nullstelle als \(x_0=0\). c) Der Tangentenschnittpunkt liegt graphisch bei etwa \(x=4{,}6\), und \(g'(1{,}2)=0{,}16\). Die kleine Tangentensteigung führt zu einem weit entfernten \(x\)-Achsen-Schnittpunkt und damit zu einem großen Newton-Schritt.

- Suche im Bild die Stelle, an der beide Graphen denselben Funktionswert haben. - Welchen Wert muss die Differenz zweier gleicher Funktionswerte besitzen? - Stelle die Differenzfunktion vollständig auf, bevor du Newton anwendest. - Verwende im zweiten Schritt den ungerundeten ersten Näherungswert.

1. Aus der Abbildung lässt sich die positive Schnittstelle ungefähr bei \(x\approx1{,}7\) ablesen. 2. Die Differenzfunktion lautet \(h(x)=x^2-1-(0{,}5x+1)=x^2-0{,}5x-2\). An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)\), also \(h(x)=0\). 3. Es ist \(h'(x)=2x-0{,}5\). Für \(x_0=1{,}5\) gilt \(h(1{,}5)=-0{,}5\) und \(h'(1{,}5)=2{,}5\), daher \(x_1=1{,}7\). 4. Weiter gilt \(h(1{,}7)=0{,}04\) und \(h'(1{,}7)=2{,}9\). Somit ist \(x_2=1{,}7-\frac{0{,}04}{2{,}9}\approx1{,}6862\). 5. Gerundet erhält man \(x_1=1{,}700\) und \(x_2\approx1{,}686\).

a) \(x\approx1{,}7\) b) \(h(x)=x^2-0{,}5x-2\); Schnittpunkte erfüllen genau \(h(x)=0\). c) \(x_1=1{,}700\); \(x_2\approx1{,}686\)