Kostenlose Arbeitsblätter

- Vergleiche Punkte des Graphen bei entgegengesetzten \(x\)-Werten. - Prüfe, ob sich die linke und rechte Graphenhälfte an der \(y\)-Achse spiegeln.

1. Die linke und die rechte Hälfte des Graphen sind Spiegelbilder an der \(y\)-Achse. Der Graph ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Welche \(x\)-Koordinate haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse? - Setze diesen Wert in den Funktionsterm ein.

1. Auf der \(y\)-Achse gilt \(x=0\). Damit ist \(h(0)=\frac{2}{1}=2\), also liegt der Schnittpunkt bei \((0\mid2)\).

\((0\mid2)\)

- Prüfe, ob der Nenner für irgendein reelles \(x\) den Wert Null annehmen kann. - Erinnere dich an die Bedingungen für Achsen- oder Punktsymmetrie. - Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse findest du durch Nullsetzen des Zählers. - Wie verhält sich der Bruch, wenn \(x\) sehr groß wird? Dividiere Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz.

1. Da \(x^2 + 2 \geq 2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), wird der Nenner nie Null. Somit ist \(D_k = \mathbb{R}\). Wegen \(k(-x) = \frac{2(-x)^2 - 18}{(-x)^2 + 2} = k(x)\) liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(k(0) = \frac{2 \cdot 0^2 - 18}{0^2 + 2} = -9\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -9)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(2x^2 - 18 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(-3 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 3. Für den Grenzwert im Unendlichen betrachten wir das Verhältnis der Leitkoeffizienten: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 2} = 2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 2\). 4. Berechnung der Werte: \(k(1) = \frac{2 \cdot 1^2 - 18}{1^2 + 2} = \frac{-16}{3} = -5\frac{1}{3}\). \(k(4) = \frac{2 \cdot 4^2 - 18}{4^2 + 2} = \frac{32 - 18}{16 + 2} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}\).

a) \(D_k = \mathbb{R}\); Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. b) \(S_y(0 \mid -9)\), \(N_1(-3 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} k(x) = 2\). d) \(k(1) = -\frac{16}{3}\); \(k(4) = \frac{7}{9}\).

- Überlege, was passiert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. Ändert sich der Term? - Setze die gegebenen Zahlen einfach für die Variable im Funktionsterm ein. - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Wann genau ist ein Bruch gleich Null? Schau dir den Zähler an.

1. Symmetrieuntersuchung durch Einsetzen von \(-x\): \(f(-x) = \frac{12}{(-x)^2 + 3} = \frac{12}{x^2 + 3} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Funktionswerte: \(f(-3) = \frac{12}{(-3)^2 + 3} = \frac{12}{12} = 1\); \(f(0) = \frac{12}{0 + 3} = 4\); \(f(3) = \frac{12}{3^2 + 3} = \frac{12}{12} = 1\). 3. Grenzwertbetrachtung: Da der Grad des Nennerpolynoms (\(2\)) größer ist als der Grad des Zählerpolynoms (\(0\)), gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0\). Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0\). 4. Ein Bruch wird nur dann Null, wenn der Zähler Null wird. Da der Zähler hier die Konstante \(12\) ist (\(12 \neq 0\)), hat die Funktion keine Nullstellen.

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\). b) \(f(-3) = 1\), \(f(0) = 4\), \(f(3) = 1\). c) Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(f(x) \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 0\). d) Da der Zähler \(12\) konstant und ungleich Null ist, kann der Funktionswert niemals Null werden.

- Überlege dir, welches Vorzeichen Quadrate reeller Zahlen immer haben. - Was passiert mit einem Bruch, wenn im Zähler und Nenner derselbe Parameter als Faktor steht? - Erinnere dich an die Regel für Grenzwerte bei rationalen Funktionen, wenn der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist.

1. Für \(t>0\) ist \(x^2+2t>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\). Daher gilt \(D_{g_t}=\mathbb{R}\). 2. Auch \(2x^2+t>0\) für alle reellen \(x\). Deshalb besitzt \(g_t\) keine Nullstellen. 3. Es ist \(g_t(0)=\frac{t}{2t}=\frac12=0{,}5\). Somit verläuft jeder Graph durch \(S(0\mid0{,}5)\). 4. Durch Division von Zähler und Nenner durch \(x^2\) erhält man \(g_t(x)=\frac{2+t/x^2}{1+2t/x^2}\). Für \(x\to\pm\infty\) gehen die Bruchterme gegen \(0\), also gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}g_t(x)=2\). Dieser Grenzwert ist unabhängig von \(t\), weil das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(2:1\) parameterfrei ist.

a) \(D_{g_t}=\mathbb{R}\); keine Nullstellen b) \(g_t(0)=0{,}5\), also gemeinsamer Punkt \(S(0\mid0{,}5)\) c) \(\lim_{x\to\pm\infty}g_t(x)=2\); der Grenzwert ist wegen des parameterunabhängigen Leitkoeffizientenverhältnisses \(2:1\) für alle \(t\) gleich.

- Welche Werte kann eine quadratische Funktion annehmen, wenn ihr Scheitelpunkt bekannt ist? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Wie verändert sich der Wert eines Bruchs, wenn man den kleinstmöglichen Wert für den Nenner einsetzt? - Was passiert mit dem Graphen von \(g\), wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Der Graph von \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(0 \mid 2)\). Da \(2\) der kleinste Funktionswert ist und die Parabel nach oben unbegrenzt ist, gilt \(W_f = [2; \infty[\). Für \(g(x) = \frac{1}{0{,}5x^2 + 2}\) ist der größte Funktionswert \(g(0) = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Da der Nenner stets positiv ist und für \(x \to \pm \infty\) gegen unendlich strebt, nähert sich \(g(x)\) der Null an, erreicht sie aber nie. Somit gilt \(W_g = ]0; 0{,}5]\). 2. Es gilt \(f(-x) = 0{,}5(-x)^2 + 2 = 0{,}5x^2 + 2 = f(x)\). Damit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Da \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) ist, gilt auch \(g(-x) = \frac{1}{f(-x)} = \frac{1}{f(x)} = g(x)\). Somit ist auch \(G_g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. \(f\) besitzt ein globales Minimum an der Stelle \(x=0\) mit \(f(0)=2\). Da der Nenner von \(g\) an dieser Stelle minimal ist, besitzt \(g\) dort ein globales Maximum mit \(g(0)=0{,}5\). Die Extremstellen liegen also bei beiden Funktionen an der gleichen x-Position (\(x=0\)), aber die Art des Extrempunktes kehrt sich um.

1. \(W_f = [2; \infty[\); \(W_g = ]0; 0{,}5]\). 2. Beide Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x)=f(x)\) und somit auch \(g(-x)=g(x)\). 3. \(G_f\) hat einen Tiefpunkt bei \(T(0 \mid 2)\); \(G_g\) hat einen Hochpunkt bei \(H(0 \mid 0{,}5)\). Die Extremstelle ist identisch, die Art ist entgegengesetzt.

- Welchen mathematischen Ansatz wählt man, um gemeinsame Punkte von zwei Funktionen zu finden? - Wie lässt sich eine Gleichung mit einem Bruch vereinfachen? - Wenn du die x-Werte gefunden hast, wie erhältst du dann die vollständigen Koordinaten der Punkte? - Überprüfe, ob deine gefundenen x-Werte im Definitionsbereich der Funktionen liegen.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{10}{x-3} = x\) 2. Multiplikation mit dem Nenner \((x-3)\) führt auf die Gleichung \(10 = x^2 - 3x\) (Bedingung \(x \neq 3\)) 3. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(x^2 - 3x - 10 = 0\) 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{1,2} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 10} = 1{,}5 \pm 3{,}5\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\) 5. Bestimmung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = g(5) = 5\) und \(y_2 = g(-2) = -2\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(5 \mid 5)\) und \(S_2(-2 \mid -2)\)

Die Schnittpunkte der Graphen sind \(S_1(5 \mid 5)\) und \(S_2(-2 \mid -2)\).

- Kannst du den Parameter im Nenner ausklammern? - Erinnere dich an die Regeln für das Verhalten im Unendlichen bei rationalen Funktionen. - Wie hängen die Nullstellen des Nenners mit den senkrechten Asymptoten zusammen?

1. Aus \(kx^2-4k=k(x^2-4)\) und \(k\neq0\) folgen die ausgeschlossenen Werte \(x=\pm2\). Somit ist \(D_{g_k}=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\) für alle \(k\). 2. Aus \(2x+6=0\) folgt \(x=-3\). Da \(-3\in D_{g_k}\), ist dies die Nullstelle aller Scharfunktionen. 3. Bei \(x=\pm2\) ist der Zähler ungleich null, also liegen dort senkrechte Asymptoten \(x=-2\) und \(x=2\) vor. 4. Da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}g_k(x)=0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=0\). Alle Asymptoten sind unabhängig von \(k\).

a) \(D_{g_k}=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\) b) Nullstelle \(x=-3\) c) Senkrechte Asymptoten \(x=-2\) und \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=0\). Alle sind unabhängig von \(k\).

- Welche Linien beschreibt der Graph in der Nähe einer Definitionslücke beziehungsweise für große \(|x|\)? - Welche Koordinate muss für einen Achsenschnittpunkt jeweils null sein? - Für den Grenzwert kann es helfen, Zähler und Nenner durch \(x\) zu teilen.

1. Aus der Abbildung liest man die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. 2. Aus \(2x-6=0\) folgt die Nullstelle \(x=3\), also \(N(3\mid0)\). Es ist \(f(0)=3\), also \(S_y(0\mid3)\). 3. Es gilt \(f(x)=\frac{2-6/x}{1-2/x}\). Für \(x\to\infty\) gehen \(6/x\) und \(2/x\) gegen \(0\), somit \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=2\); waagrechte Asymptote: \(y=2\) b) \(N(3\mid0)\), \(S_y(0\mid3)\) c) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\)

- Die vertikale Asymptote findest du dort, wo der Funktionswert nicht definiert ist. - Für die horizontale Asymptote schau dir den Grenzwert für \(x \to \pm\infty\) an. - Die Nullstelle ist der Punkt, an dem der Zähler des Funktionsterms null wird. - Setze \(x = 0\) in die Funktionsterme ein, um den \(y\)-Achsenabschnitt rechnerisch zu prüfen.

1. Asymptoten bestimmen: - Vertikale Asymptote (Polstelle): \(x = 1\). - Horizontale Asymptote (Verhalten im Unendlichen): \(y = 2\). 2. Achsenschnittpunkte ablesen: - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\). - Nullstelle (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse): \(x = -2\), also \(N(-2 \mid 0)\). 3. Funktionsvorschrift prüfen: - Zu I): \(f(1)\) nicht definiert (passt). \(f(x) = \frac{2(x-1)+6}{x-1} = 2 + \frac{6}{x-1}\), horizontale Asymptote \(y=2\) (passt). Nullstelle: \(2x+4=0 \Rightarrow x=-2\) (passt). \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = \frac{4}{-1} = -4\) (passt). - Ergebnis: Vorschrift I) ist korrekt.

a) Vertikale Asymptote: \(x = 1\); horizontale Asymptote: \(y = 2\). b) \(y\)-Achsenabschnitt: \(S_y(0 \mid -4)\); Nullstelle: \(x = -2\). c) Die richtige Funktionsvorschrift ist I) \(f(x) = \frac{2x + 4}{x - 1}\).

- Der Schnittpunkt mit der vertikalen Achse entspricht dem Funktionswert bei \(t=0\). - Was passiert mit dem Bruch, wenn die Zeit \(t\) immer größer wird? Betrachte die Koeffizienten der höchsten Potenzen von \(t\). - Überlege dir, welche Temperatur ein Gegenstand nach sehr langer Zeit in einem Zimmer annimmt.

a) Um die Graphen zuzuordnen, berechnet man die Funktionswerte an der Stelle \(t = 0\): Für \(g(t)\): \(g(0) = \frac{20 \cdot 0 + 180}{0 + 2} = \frac{180}{2} = 90\). Für \(h(t)\): \(h(0) = \frac{10 \cdot 0 + 160}{0 + 2} = \frac{160}{2} = 80\). Da der Graph \(k\) (blau) bei \(90\,^\circ\text{C}\) startet und der Graph \(m\) (rot) bei \(80\,^\circ\text{C}\), gehört Graph \(k\) zu Funktion \(g\) und Graph \(m\) zu Funktion \(h\). b) Das Langzeitverhalten wird durch den Grenzwert für \(t \to \infty\) bestimmt: Für \(g(t)\): \(\lim_{t \to \infty} \frac{20t + 180}{t + 2} = 20\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 20\). Für \(h(t)\): \(\lim_{t \to \infty} \frac{10t + 160}{t + 2} = 10\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 10\). Im Sachkontext stellt die waagrechte Asymptote die Umgebungstemperatur dar, an die sich die Flüssigkeit langfristig angleicht. Die Flüssigkeit \(g\) kühlt in einem Raum mit \(20\,^\circ\text{C}\) ab, die Flüssigkeit \(h\) in einem Raum mit \(10\,^\circ\text{C}\).

a) Graph \(k\) (blau) gehört zu \(g(t)\), da \(g(0)=90\). Graph \(m\) (rot) gehört zu \(h(t)\), da \(h(0)=80\). b) Die waagrechte Asymptote von \(g\) liegt bei \(T=20\,^\circ\text{C}\), die von \(h\) bei \(T=10\,^\circ\text{C}\). Diese Werte entsprechen den jeweiligen Umgebungstemperaturen der beiden Räume.

- Ordne jeder gesuchten Eigenschaft zunächst die passende Stelle im Funktionsterm zu. - Vergleiche für die waagerechte Asymptote die führenden Terme von Zähler und Nenner. - Kontrolliere deine algebraischen Ergebnisse anschließend an den sichtbaren Graphmerkmalen.

a) Der Nenner wird bei \(x=1\) null. Daher ist \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). b) Der Zähler hat bei \(x=1\) den Wert \(2\neq0\). Somit liegt bei \(x=1\) eine einfache Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. c) Für die Nullstelle muss \(2x=0\) gelten, also \(x=0\). Zähler und Nenner haben denselben Grad; das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist \(2:1\). Daher ist \(y=2\) die waagerechte Asymptote. d) Im Graphen erkennt man die Polstelle an der Annäherung an die senkrechte Gerade \(x=1\), die Nullstelle am Schnitt mit der \(x\)-Achse und die waagerechte Asymptote an der Annäherung an \(y=2\) für große Beträge von \(x\). Der Wechsel von \(-\infty\) zu \(+\infty\) zeigt den Vorzeichenwechsel an der Polstelle.

\(D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); Polstelle \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel; Nullstelle \(x=0\); waagerechte Asymptote \(y=2\).

- Senkrechte Asymptoten erkennst du am unbegrenzten Verhalten des Graphen nahe einer bestimmten \(x\)-Stelle. - Ein einzelner offener Kreis kennzeichnet eine punktförmige hebbare Definitionslücke. - Lies die \(x\)-Koordinaten der markierten Stellen sorgfältig an der Achse ab.

1. In Abbildung a) nähert sich der Graph bei \(x=2\) einer senkrechten Asymptote; bei \(x=1\) ist genau ein Punkt offen markiert. Daher gehört \(f\) zu Eigenschaft 2. 2. In Abbildung b) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=-2\) und die offene Punktlücke bei \(x=-1\). Daher gehört \(g\) zu Eigenschaft 1. 3. In Abbildung c) liegt die senkrechte Asymptote bei \(x=0\); bei \(x=2\) ist genau ein Punkt offen markiert. Daher gehört \(h\) zu Eigenschaft 3.

\(f\) in a) gehört zu Eigenschaft 2. \(g\) in b) gehört zu Eigenschaft 1. \(h\) in c) gehört zu Eigenschaft 3.

- Welche Eigenschaften kannst du direkt aus der verschobenen Kehrwertform ablesen? - Für die Lage relativ zur waagrechten Asymptote genügt es, das Vorzeichen der Differenz \(f(x)-1\) zu untersuchen. - Ordne Nullstelle, Achsenschnittpunkt, Zusatzpunkt und Asymptoten zuerst im Koordinatensystem ein, bevor du die Äste zeichnest.

1. Der Nenner darf nicht \(0\) werden. Deshalb ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) und \(x=1\) die senkrechte Asymptote. 2. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Daher ist \(y=1\) die waagrechte Asymptote. 3. Für die Nullstelle gilt \(1+\frac{2}{x-1}=0\). Daraus folgt \(x=-1\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \((0\mid-1)\), denn \(f(0)=-1\). Außerdem ist \(f(3)=2\). 5. Es gilt \(f(x)-1=\frac{2}{x-1}\). Für \(x<1\) ist dieser Ausdruck negativ, also liegt der linke Ast unterhalb von \(y=1\). Für \(x>1\) ist er positiv, also liegt der rechte Ast oberhalb von \(y=1\). Diese Daten bestimmen die charakteristische Skizze.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); Nullstelle \(x=-1\); \(S_y(0\mid-1)\); Asymptoten \(x=1\) und \(y=1\) b) Für \(x<1\) liegt \(G_f\) unterhalb von \(y=1\), für \(x>1\) oberhalb von \(y=1\). c) \(f(3)=2\)

- Überlege, welcher \( x \)-Wert den Nenner null werden lässt und was mit den Funktionswerten passiert, wenn \( x \) sehr groß oder sehr klein wird. - Wie weit darf ein Funktionswert maximal von der Mittellinie entfernt sein, wenn die Gesamtbreite des Streifens bekannt ist? - Berechne die Funktionswerte an den gegebenen Stellen und vergleiche sie mit dem Bereich, den der Streifen abdeckt.

1. Bestimmung der Asymptoten: Die Polstelle liegt bei \( x = 1 \), also ist die senkrechte Asymptote \( x = 1 \). Für \( x \to \pm \infty \) nähert sich der Funktionsterm dem Wert \( 1{,}5 \), somit ist die waagerechte Asymptote \( y = 1{,}5 \). 2. Definition des Streifens: Die Mittellinie ist \( y = 1{,}5 \). Bei einer Breite von \( 0{,}8 \) erstreckt sich der Streifen im Bereich \( ]1{,}5 - 0{,}4; 1{,}5 + 0{,}4[ \), also \( ]1{,}1; 1{,}9[ \). Ein Punkt liegt im Streifen, wenn der Abstand \( |f(x) - 1{,}5| < 0{,}4 \) ist. 3. Prüfung für \( x = 3 \): \( f(3) = 1{,}5 - \frac{2}{3 - 1} = 1{,}5 - 1 = 0{,}5 \). Da \( |0{,}5 - 1{,}5| = 1 > 0{,}4 \), liegt der Punkt außerhalb des Streifens. 4. Prüfung für \( x = 7 \): \( f(7) = 1{,}5 - \frac{2}{7 - 1} = 1{,}5 - \frac{2}{6} = 1{,}5 - \frac{1}{3} \approx 1{,}17 \). Da \( |1{,}17 - 1{,}5| = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 < 0{,}4 \), liegt der Punkt innerhalb des Streifens.

a) Senkrechte Asymptote: \( x = 1 \); waagerechte Asymptote: \( y = 1{,}5 \) b) An der Stelle \( x = 3 \) liegt der Graph außerhalb des Streifens (\( f(3) = 0{,}5 \)). An der Stelle \( x = 7 \) liegt der Graph innerhalb des Streifens (\( f(7) \approx 1{,}17 \)).

- Welche Asymptoten entstehen bei einer verschobenen und gestreckten Kehrwertfunktion? - Wie verändert eine positive Streckung die Monotonierichtung der Grundfunktion \(\frac{1}{x}\)? - Ein Streifen der Breite \(0{,}4\) um eine Mittellinie reicht jeweils um die halbe Breite nach oben und unten. - Formuliere den Abstand des Funktionswerts von der waagerechten Asymptote mit einem Betrag.

1. Aus \(f(x)=\frac{10}{x-8}-2\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=8\) und die waagerechte Asymptote \(y=-2\) ab. 2. Die Grundfunktion \(x\mapsto\frac{1}{x}\) ist auf jedem ihrer beiden Äste streng fallend. Die positive Streckung mit dem Faktor \(10\) und die Verschiebungen ändern diese Monotonierichtung nicht. Daher ist \(f\) auf \(]-\infty;8[\) und \(]8;\infty[\) jeweils streng fallend. 3. Der Streifen der Breite \(0{,}4\) reicht jeweils \(0{,}2\) über und unter \(y=-2\). Somit ist \(|f(x)+2|<0{,}2\) gefordert. 4. Es gilt \(\left|\frac{10}{x-8}\right|<0{,}2\), also \(|x-8|>50\). 5. Rechts von \(8\) folgt \(x>58\). Daher ist \(x_0=58\). 6. Links von \(8\) folgt \(x<-42\). Daher ist \(x_1=-42\).

a) Asymptoten: \(x=8\) und \(y=-2\). Die Funktion ist auf \(]-\infty;8[\) und \(]8;\infty[\) jeweils streng fallend. b) (1) \(x_0=58\). (2) \(x_1=-42\).

- Welche Rolle spielt die Konstante am Ende des Funktionsterms für die Lage des Graphen? - Wie gehst du vor, um eine Gleichung zu lösen, bei der die Unbekannte im Nenner steht? - Kannst du den Term so umformen, dass der Koeffizient vor dem \(x\) im Nenner verschwindet? - Überlege, welche Werte für \(x\) nicht eingesetzt werden dürfen.

1. Definitionsmenge bestimmen: \(2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4\). Die senkrechte Asymptote (Polstelle) liegt bei \(x = 4\). 2. Waagrechte Asymptote: Für \(x \to \pm\infty\) geht der Bruch \(\frac{5}{2x - 8}\) gegen \(0\). Es bleibt der konstante Term \(-1{,}5\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = -1{,}5\). 3. Nullstelle berechnen: \(\frac{5}{2x - 8} - 1{,}5 = 0 \Rightarrow \frac{5}{2x - 8} = 1{,}5\). Multiplikation mit dem Nenner ergibt \(5 = 1{,}5(2x - 8) \Rightarrow 5 = 3x - 12 \Rightarrow 17 = 3x \Rightarrow x = \frac{17}{3}\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 5\frac{2}{3}\). 4. Transformation: Der Term kann umgeformt werden zu \(h(x) = \frac{2{,}5}{x - 4} - 1{,}5\). Dies entspricht einer Verschiebung der Hyperbel \(y = \frac{2{,}5}{x}\) um \(4\) Einheiten nach rechts und \(1{,}5\) Einheiten nach unten.

Asymptoten: \(x = 4\) und \(y = -1{,}5\) Nullstelle: \(x = \frac{17}{3}\) (bzw. \(x \approx 5{,}67\)) Transformation: Verschiebung um \(4\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung und um \(1{,}5\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung.

- Bestimme zuerst die ausgeschlossene Nennernullstelle und die beiden Achsenschnittpunkte getrennt. - Um die vorgegebene Zerlegung zu prüfen, bringe ihre beiden Summanden auf einen gemeinsamen Nenner. - Für die Asymptote ist nur noch zu klären, was mit dem Restterm für große \(|x|\) geschieht.

1. Der Nenner wird bei \(x=-1\) null, also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Es gilt \(f(0)=4\), daher ist \(S_y(0\mid4)\). Aus \((x-2)^2=0\) folgt die Nullstelle \(x=2\), also \(N(2\mid0)\). 2. Es gilt \(x-5+\frac{9}{x+1}=\frac{(x-5)(x+1)+9}{x+1}=\frac{x^2-4x+4}{x+1}=\frac{(x-2)^2}{x+1}\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{9}{x+1}\to0\). Daher ist \(y=x-5\) die schräge Asymptote.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\); \(S_y(0\mid4)\), \(N(2\mid0)\) b) Schräge Asymptote: \(y=x-5\)

- Wann kann ein Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion niemals null werden? - Überprüfe, ob sich der Funktionsterm ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Wie findet man die Stellen, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Was passiert mit den einzelnen Summanden im Zähler und Nenner, wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Da der Nenner \(0{,}5x^2 + 2\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) mindestens \(2\) ist, besitzt er keine Nullstellen. Somit ist \(D_f = \mathbb{R}\), und es gibt keine senkrechten Asymptoten. 2. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Es ist \(f(0)=-8\), also \(S_y(0\mid-8)\). Aus \(4x^2-16=0\) folgen \(x=\pm2\), also \(N_1(-2\mid0)\) und \(N_2(2\mid0)\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)=\frac{4-16/x^2}{0{,}5+2/x^2}\to8\). Daher lautet die waagrechte Asymptote \(y=8\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\); keine senkrechten Asymptoten. b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da \(f(-x)=f(x)\). c) \(S_y(0 \mid -8)\), \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\) d) Waagrechte Asymptote \(y = 8\)

- Wann ist der Nenner eines Bruches null? Diese Stellen müssen ausgeschlossen werden. - Überprüfe, ob im Funktionsterm nur gerade oder nur ungerade Exponenten vorkommen. - Was müsste für den Zähler gelten, damit ein Bruch den Wert null annimmt? - Betrachte für das Verhalten im Unendlichen die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner. - Untersuche für die Polstellen das Vorzeichen des Nenners kurz oberhalb und unterhalb der kritischen Werte.

1. Aus \(0{,}25x^2-4=0\) folgen \(x=\pm4\). Somit ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-4;4\}\). 2. Da nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(f(-x)=f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Eine Nullstelle würde \(x^2+1=0\) erfordern. Diese Gleichung besitzt keine reelle Lösung, also hat \(f\) keine Nullstellen. 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to4\). Außerdem ist \(\lim_{x\to4^+}f(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to4^-}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to-4^-}f(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to-4^+}f(x)=-\infty\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\) b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse c) Keine Nullstellen, da \(x^2+1>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\). d) \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=4\); \(\lim_{x\to4^-}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to4^+}f(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to-4^-}f(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to-4^+}f(x)=-\infty\).

- Wann wird ein Bruch gleich null? - Schau dir die Nenner der Funktionen genau an. Was darf man für \(x\) nicht einsetzen? - Wie verändert sich ein Funktionswert, wenn die gesamte Gleichung mit einer Zahl multipliziert wird? - Vergleiche die Zähler der Funktionen, um die Nullstellen zu finden.

1. Der gemeinsame Nenner wird für \(x=\pm2\) null. Somit gilt \(D_f=D_g=D_h=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). Die senkrechten Asymptoten sind \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Es ist \(f(3)=0{,}6\), \(g(3)=2{,}4\), \(h(3)=2\) sowie \(f(0)=0\), \(g(0)=0\) und \(h(0)=-0{,}25\). 3. Da \(g(x)=4f(x)\), entsteht \(G_g\) durch eine Streckung von \(G_f\) in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\). 4. \(f\) und \(g\) haben jeweils die Nullstelle \(x=0\). Für \(h\) müsste \(x^2+1=0\) gelten; daher hat \(h\) keine reelle Nullstelle.

a) \(D_f=D_g=D_h=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\); senkrechte Asymptoten: \(x=-2\) und \(x=2\) b) \(f(3)=0{,}6\), \(g(3)=2{,}4\), \(h(3)=2\); \(f(0)=0\), \(g(0)=0\), \(h(0)=-0{,}25\) c) Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) d) Nullstelle von \(f\) und \(g\) bei \(x=0\); \(h\) hat keine Nullstellen.

- Was passiert mit dem Vorzeichen von \(x\), wenn du es quadrierst? - Betrachte die Grade von Zähler- und Nennerpolynom für das Verhalten im Unendlichen. - Welche Auswirkung hat ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem?

1. Symmetrie: Da in allen Funktionstermen \(x\) nur in geraden Potenzen (\(x^2\) und \(x^0\)) vorkommt, gilt \(p(-x) = p(x)\), \(q(-x) = q(x)\) und \(r(-x) = r(x)\). Die Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Waagerechte Asymptoten: Bei \(p(x)\) und \(q(x)\) ist der Grad des Zählers (0) kleiner als der Grad des Nenners (2), daraus folgt für \(x \to \pm \infty\), dass \(y = 0\) die waagerechte Asymptote ist. Bei \(r(x)\) ist der Grad des Zählers gleich dem des Nenners; der Grenzwert ergibt sich aus dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\frac{2}{1} = 2\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 2\). 3. Zusammenhang \(p\) und \(q\): Es gilt \(q(x) = -p(x)\). Der Graph von \(q\) geht somit durch Spiegelung an der \(x\)-Achse aus dem Graphen von \(p\) hervor.

a) Alle drei Graphen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Waagerechte Asymptoten: \(p\) und \(q\): \(y = 0\); \(r\): \(y = 2\). c) Der Graph von \(q\) ist das Ergebnis einer Spiegelung des Graphen von \(p\) an der \(x\)-Achse.

- Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse musst du einen bestimmten Wert für \(x\) einsetzen. Welcher ist das? - Betrachte den Nenner \(x^2 + 2\). Welches ist der kleinste Wert, den dieser Nenner annehmen kann? Was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs? - Überlege, was mit dem gesamten Bruch passiert, wenn \(x\) immer weiter wächst.

1. Nachweis der Symmetrie: \(g(-x) = \frac{-10}{(-x)^2 + 2} = \frac{-10}{x^2 + 2} = g(x)\). Die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse ist erfüllt. 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse (\(x=0\)): \(g(0) = \frac{-10}{0+2} = -5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -5)\). Funktionswert an der Stelle \(2\): \(g(2) = \frac{-10}{2^2+2} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \approx -1{,}67\). 3. Da \(x^2 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist der Nenner \(x^2 + 2 \ge 2\). Der kleinste Nennerwert ist \(2\) bei \(x=0\), was zum kleinsten Funktionswert \(\frac{-10}{2} = -5\) führt. Da der Zähler negativ und der Nenner stets positiv ist, gilt \(g(x) < 0\). Wenn \(x^2\) wächst, nähert sich der Bruch der \(0\). Somit gilt \(-5 \le g(x) < 0\). 4. Grenzwert für \(x \to \infty\): Da der Nennergrad höher als der Zählergrad ist, gilt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\).

a) \(g(-x) = \frac{-10}{(-x)^2 + 2} = \frac{-10}{x^2 + 2} = g(x)\), also liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid -5)\). Der Funktionswert ist \(g(2) = -\frac{5}{3} \approx -1{,}67\). c) Da der Nenner \(x^2 + 2 \ge 2\) ist, ist der maximale Betrag des Bruchs \(\frac{10}{2} = 5\). Da der Zähler negativ ist, ist \(-5\) das Minimum. Da der Nenner stets positiv ist, bleibt \(g(x)\) immer negativ und nähert sich für große \(x\) der Null an. d) Für \(x \to \infty\) strebt \(g(x)\) gegen \(0\).

- Wie verhält sich der Funktionsterm, wenn du \( x \) durch \( -x \) ersetzt? - Was passiert mit dem Nenner an den Stellen, die nicht in der Definitionsmenge liegen? - Untersuche die Vielfachheit der Nullstellen im Nenner, um die Art der Polstelle zu bestimmen. - Welchen Einfluss haben die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner auf den Grenzwert für sehr große \( x \)-Werte?

1. Symmetrie: Prüfung von \( f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 2{,}25} = \frac{-x}{x^2 - 2{,}25} = -f(x) \). Ergebnis: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Funktionswerte: \( f(0) = \frac{0}{0 - 2{,}25} = 0 \); \( f(1) = \frac{1}{1^2 - 2{,}25} = \frac{1}{-1{,}25} = -0{,}8 \). 3. Definitionsmenge: Nullstellen des Nenners \( x^2 - 2{,}25 = 0 \) führen zu \( x_1 = -1{,}5 \) und \( x_2 = 1{,}5 \). Somit ist \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1{,}5; 1{,}5\} \). 4. Polstellen: Da \( x = -1{,}5 \) und \( x = 1{,}5 \) einfache Nullstellen des Nenners (und keine Nullstellen des Zählers) sind, handelt es sich um Polstellen mit Vorzeichenwechsel. 5. Grenzverhalten: Da der Grad des Zählerpolynoms (1) kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms (2), gilt \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \( f(0) = 0 \), \( f(1) = -0{,}8 \). b) \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1{,}5; 1{,}5\} \); Polstellen bei \( x = -1{,}5 \) und \( x = 1{,}5 \), beide mit Vorzeichenwechsel. c) \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \).

- Überprüfe die Bedingung \( g(-x) = g(x) \) für Achsensymmetrie. - Welche Werte darfst du für \( x \) nicht einsetzen, damit der Nenner nicht null wird? - Senkrechte Asymptoten treten an den Polstellen der Funktion auf. - Vergleiche die Koeffizienten der höchsten Potenzen von \( x \), um die waagrechte Asymptote zu finden. - Wann wird ein Bruch gleich null?

1. Symmetrienachweis: \( g(-x) = \frac{2(-x)^2 - 2}{9 - (-x)^2} = \frac{2x^2 - 2}{9 - x^2} = g(x) \). Da \( g(-x) = g(x) \), ist der Graph achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse. 2. Definitionsmenge: Nennernullstellen \( 9 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \). Also \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \). 3. Senkrechte Asymptoten: Die Polstellen liegen bei den Definitionslücken \( x = -3 \) und \( x = 3 \). Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten lauten \( x = -3 \) und \( x = 3 \). 4. Waagrechte Asymptote: Untersuchung des Grenzwerts für \( x \to \pm \infty \). Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, betrachtet man die Koeffizienten der höchsten Potenzen: \( \frac{2}{-1} = -2 \). Die waagrechte Asymptote hat die Gleichung \( y = -2 \). 5. Nullstellen: Zähler \( 2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). Da diese Werte in \( D_g \) liegen, sind die Nullstellen \( x_1 = -1 \) und \( x_2 = 1 \).

a) \( g(-x) = g(x) \), daher achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse. b) \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \); senkrechte Asymptoten: \( x = -3 \) und \( x = 3 \). c) Waagrechte Asymptote: \( y = -2 \). d) Nullstellen: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 1 \).

- Überlege, für welchen Wert der Nenner des Bruchs null wird. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie verhält sich die gesamte Funktion, wenn ein Teil verschwindend klein wird? - Wo auf dem Koordinatensystem liegen alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse sind? Welchen Wert hat dort die x-Koordinate?

1. Der Nenner darf nicht null werden: \(x - 2 = 0 \implies x = 2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Da der Zähler an dieser Stelle ungleich null ist (\(6 \neq 0\)), liegt eine Polstelle vor. Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung \(x = 2\). 2. Für \(|x| \to \infty\) strebt der echte gebrochen-rationale Anteil \(\frac{6}{x - 2}\) gegen \(0\). Daher nähert sich der Graph der Geraden mit der Gleichung \(y = 1{,}5x - 3\) an. Dies ist die schräge Asymptote. 3. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to +\infty\), da der lineare Term \(1{,}5x - 3\) gegen unendlich strebt. Analog gilt für \(x \to -\infty\), dass \(f(x) \to -\infty\). 4. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = 1{,}5 \cdot 0 - 3 + \frac{6}{0 - 2} = -3 - 3 = -6\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -6)\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); senkrechte Asymptote: \(x = 2\) b) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\); schräge Asymptote: \(y = 1{,}5x - 3\) c) \(S_y(0 \mid -6)\)

- Nutze für jede Teilaufgabe die Darstellung, in der die gesuchte Eigenschaft am deutlichsten sichtbar wird. - In der zweiten Darstellung ist der Restterm der Abstand zur linearen Komponente. - Für Nullstellen muss der Zähler der Bruchdarstellung null sein, während der Nenner ungleich null bleibt.

a) Der Nenner \(x-3\) wird bei \(x=3\) null. Daher ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}\). b) In der zweiten Darstellung geht der Restterm \(-\frac{2}{x-3}\) für \(|x|\to\infty\) gegen \(0\). Daher ist \(y=x-2\) die schräge Asymptote. c) Der Zähler faktorisiert zu \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\). Die Nullstellenkandidaten sind \(x=1\) und \(x=4\); beide liegen in \(D_g\). Somit sind beide Nullstellen der Funktion.

a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}\) b) Schräge Asymptote: \(y=x-2\) c) Nullstellen: \(x=1\) und \(x=4\)

- Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Welchen Wert muss die Funktion an einer Nullstelle annehmen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Betrag des Nenners immer größer wird? - Wie berechnet man den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\)?

1. Nachweis der Symmetrie: \(f(-x) = \frac{4}{(-x)^2 - 25} + 0{,}2 = \frac{4}{x^2 - 25} + 0{,}2 = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Berechnung der Nullstellen: \(0 = \frac{4}{x^2 - 25} + 0{,}2 \Leftrightarrow -0{,}2 = \frac{4}{x^2 - 25} \Leftrightarrow -0{,}2(x^2 - 25) = 4 \Leftrightarrow -0{,}2x^2 + 5 = 4 \Leftrightarrow -0{,}2x^2 = -1 \Leftrightarrow x^2 = 5\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_{1,2} = \pm \sqrt{5}\). 3. Punktprobe für \(P\): \(f(0) = \frac{4}{0^2 - 25} + 0{,}2 = -\frac{4}{25} + 0{,}2 = -0{,}16 + 0{,}2 = 0{,}04\). Somit liegt \(P(0 \mid 0{,}04)\) auf dem Graphen. 4. Grenzwerte: Für \(x \to \pm \infty\) geht der Nenner \(x^2 - 25\) gegen \(+\infty\), wodurch der Bruch \(\frac{4}{x^2 - 25}\) gegen \(0\) strebt. Es gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 + 0{,}2 = 0{,}2\). Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}2\).

a) \(f(-x) = f(x)\), also liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. b) Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{5}\); Punktprobe: \(f(0) = 0{,}04\). c) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0{,}2\); waagerechte Asymptote: \(y = 0{,}2\).

- Wann ist der Nenner eines Bruches Null? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Welche Bedingung muss für den Zähler gelten, damit eine Nullstelle vorliegt? - Vergleiche \(f(-x)\) mit \(f(x)\). Was stellst du fest?

1. Definitionsmenge und senkrechte Asymptoten: Die Nullstellen des Nenners \((2x - 4)(2x + 4) = 0\) liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). Da der Zähler an diesen Stellen ungleich Null ist, liegen senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen \(x = 2\) und \(x = -2\) vor. 2. Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist (beide Grad 2), ergibt sich die waagrechte Asymptote durch den Quotienten der Leitkoeffizienten. Mit \((2x - 4)(2x + 4) = 4x^2 - 16\) folgt \(y = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 3. Nullstellen: Der Ansatz \(3x^2 + 9 = 0\) führt auf \(x^2 = -3\). Da diese Gleichung im Reellen keine Lösung besitzt, hat \(f\) keine Nullstellen. 4. Symmetrie und y-Schnittpunkt: Da \(f(-x) = \frac{3(-x)^2 + 9}{4(-x)^2 - 16} = \frac{3x^2 + 9}{4x^2 - 16} = f(x)\) gilt, ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0) = \frac{9}{-16} = -0{,}5625\), also \(S_y(0 \mid -0{,}5625)\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = 2\) und \(x = -2\) b) waagrechte Asymptote: \(y = 0{,}75\) c) \(3x^2 + 9 = 0\) hat keine reelle Lösung, da \(x^2 = -3\) nicht möglich ist. d) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(S_y(0 \mid -0{,}5625)\)

- Wann ist ein Nenner gleich Null? - Erinnere dich an die Bedingungen für Achsen- und Punktsymmetrie. - Was passiert mit den Summanden des Funktionsterms, wenn \(x\) sehr groß wird? - Wie prüft man, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt?

1. Die Definitionsmenge ergibt sich aus der Nullstelle des Nenners: \(3x = 0 \implies x = 0\), also \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Zur Symmetrie: \(f_k(-x) = \frac{k(-x)^2 - 9}{3(-x)} = \frac{kx^2 - 9}{-3x} = -f_k(x)\). Der Graph ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Da \(x = 0\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist (einfache Nullstelle im Nenner, Zählerwert \(-9 \neq 0\)), lautet die senkrechte Asymptote \(x = 0\). 4. Durch Polynomdivision oder Zerlegen des Bruchs erhält man \(f_k(x) = \frac{k}{3}x - \frac{3}{x}\). Für \(x \to \pm\infty\) geht \(\frac{3}{x} \to 0\), daher ist die schräge Asymptote \(y = \frac{k}{3}x\). 5. Punktprobe mit \(P(3 \mid 2)\): \(2 = \frac{k \cdot 3^2 - 9}{3 \cdot 3} = \frac{9k - 9}{9} = k - 1\). Daraus folgt \(k = 3\).

a) \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. b) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); schräge Asymptote: \(y = \frac{k}{3}x\). c) \(k = 3\).

- Welche besondere Bedeutung hat die Gerade \(y = 3\) für den Graphen der Funktion? - Was passiert rechnerisch, wenn du versuchst, den Schnittpunkt zu berechnen? - Skizziere grob den Verlauf an den Polstellen und im Unendlichen. - Gibt es einen Bereich von Funktionswerten, der nie erreicht wird?

1. Nachweis der Schnittpunktfreiheit: Die Gerade \(y = 3\) entspricht der waagerechten Asymptote von \(g\). Der Ansatz \(g(x) = 3\) führt auf \(\frac{3x^2}{x^2 - 1} = 3\). Durch Multiplikation mit \(x^2 - 1\) erhält man \(3x^2 = 3(x^2 - 1)\), also \(3x^2 = 3x^2 - 3\). Dies liefert den Widerspruch \(0 = -3\), womit kein Schnittpunkt existiert. 2. Bestimmung der Wertemenge: - Außerhalb der Definitionslücken \(x = \pm 1\): Für \(|x| > 1\) ist der Nenner positiv. Da \(3x^2 > 3(x^2 - 1)\), gilt \(g(x) > 3\). Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(3\) strebt und an den Polstellen gegen \(+\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]3; \infty[\) in \(W_g\). - Zwischen den Polstellen: Für \(-1 < x < 1\) ist der Nenner \(x^2 - 1\) negativ und der Zähler \(3x^2 \ge 0\). Es gilt \(g(x) \le 0\). Das Maximum liegt bei \(g(0) = 0\). Da die Funktion an den Polstellen gegen \(-\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]-\infty; 0]\) in \(W_g\). 3. Gesamte Wertemenge: \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\) bzw. \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\).

a) Die Gleichung \(g(x) = 3\) hat keine Lösung (\(0 = -3\)). b) \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\) (oder \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\)).

- Nutze für Definitionsmenge und Nullstellen die Bruchdarstellung. - Für das Endverhalten ist die zweite Darstellung geeigneter, weil der Restterm dort getrennt sichtbar ist. - Unterscheide zwischen der Lage der Asymptote und der Richtung, in die der lineare Term für große positive beziehungsweise negative \(x\) läuft.

1. Der Nenner schließt \(x=-k\) aus, also ist \(D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{-k\}\). Aus \(x^2-4k^2=(x-2k)(x+2k)\) folgen die Nullstellen \(x=2k\) und \(x=-2k\). Wegen \(k\neq0\) ist keine davon gleich \(-k\). 2. Es gilt \(f_k(0)=\frac{-4k^2}{k}=-4k\). Damit liegt \(P(0\mid-4k)\) auf jedem Graphen. 3. Der Restterm \(-\frac{3k^2}{x+k}\) geht für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\). Daher nähert sich der Graph der Geraden \(y=x-k\). Deren Achsenabschnitt \(-k\) hängt vom Parameter ab; die Steigung \(1\) und damit die Richtungen \(f_k(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) sowie \(f_k(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) sind unabhängig von \(k\).

a) \(D_{f_k}=\mathbb{R}\setminus\{-k\}\); Nullstellen \(x=2k\) und \(x=-2k\) b) \(f_k(0)=-4k\), also \(P(0\mid-4k)\) c) Schräge Asymptote \(y=x-k\): Ihr Achsenabschnitt \(-k\) ist parameterabhängig, ihre Steigung \(1\) und die Endrichtungen sind parameterunabhängig. Es gilt \(f_k(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(f_k(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\).

- Für die waagerechte Asymptote kannst du die führenden Terme von Zähler und Nenner vergleichen. - Bei Nullstellen muss nur der Zähler null werden, der Nenner aber ungleich null bleiben. - Setze für Teil c) den vorgegebenen \(x\)-Wert in Zähler und Nenner ein und prüfe beide Bedingungen getrennt.

a) Zähler und Nenner haben jeweils Grad \(2\). Das Verhältnis der führenden Koeffizienten ist \(k:1\). Daher lautet die waagerechte Asymptote \(y=k\). b) Nullstellen erfordern \(kx^2-18=0\). Für \(k=0\) ist das unmöglich. Für \(k<0\) würde \(x^2=\frac{18}{k}<0\) gelten, ebenfalls unmöglich über \(\mathbb{R}\). Also gibt es für \(k\leq0\) keine Nullstellen. c) Für einen Schnitt bei \(x=1\) muss der Zähler dort null sein: \(k-18=0\). Somit ist \(k=18\). Der Nenner ist bei \(x=1\) gleich \((1-3)(1+2)=-6\neq0\), also ist \(x=1\) tatsächlich eine Nullstelle.

a) \(y=k\) b) Für \(k\leq0\) keine Nullstellen. c) \(k=18\)

- Was passiert mit dem Parameter \(a\), wenn du den Grenzwert für \(x\) gegen Unendlich betrachtest? - Wann hat eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = c\) zwei verschiedene reelle Lösungen? - Denke daran, dass Nullstellen des Nenners bei einer gekürzten Funktion immer zu senkrechten Asymptoten führen. - Welche Werte darf \(a\) nicht annehmen, damit sich keine Faktoren im Bruch wegkürzen lassen?

1. Waagerechte Asymptote: Da Zähler- und Nennerpolynom den gleichen Grad (2) haben, ergibt sich die Asymptote aus dem Quotienten der Leitkoeffizienten: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + a}{x^2 - 16} = \frac{2}{1} = 2\). Die Gleichung \(y = 2\) ist unabhängig von \(a\). 2. Nullstellen von \(g_a\): Der Zähler muss null werden: \(2x^2 + a = 0 \Leftrightarrow x^2 = -\frac{a}{2}\). Diese Gleichung hat genau zwei Lösungen, wenn \(-\frac{a}{2} > 0\), also \(a < 0\). 3. Bedingung für „vollständig gekürzt“: Die Nullstellen des Nenners sind \(x = 4\) und \(x = -4\). Diese dürfen keine Nullstellen des Zählers sein: \(2 \cdot (\pm 4)^2 + a \neq 0 \Rightarrow 32 + a \neq 0 \Rightarrow a \neq -32\). Somit muss \(a < 0\) und \(a \neq -32\) gelten. 4. Senkrechte Asymptoten für \(a = 0\): Die Funktion lautet \(g_0(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 16}\). Die Nullstellen des Nenners liegen bei \(x = 4\) und \(x = -4\). Da der Zähler an diesen Stellen nicht null ist (\(2 \cdot 4^2 = 32 \neq 0\)), liegen dort Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor. Die Gleichungen der senkrechten Asymptoten sind \(x = 4\) und \(x = -4\).

a) \(y = 2\) b) \(a < 0\) und \(a \neq -32\) c) \(x = 4\) und \(x = -4\)

- Was passiert mit der Gleichung, wenn auf beiden Seiten derselbe konstante Wert addiert wird? - Wie kannst du eine Gleichung mit Brüchen so umformen, dass die Nenner verschwinden? - Achte darauf, dass die gefundenen Lösungen auch in der Definitionsmenge beider Funktionen liegen. - Wie findest du den passenden Funktionswert, wenn du die Stelle \(x\) bereits kennst?

1. Gleichsetzen liefert \(\frac{1}{x-2}+2=2-\frac{1}{x^2}\). 2. Nach Subtraktion von \(2\) gilt \(\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{x^2}\). Der gemeinsame zulässige Bereich ist \(D_f\cap D_g=\mathbb{R}\setminus\{0;2\}\). 3. Für zulässige \(x\) folgt \(x^2=-(x-2)\), also \(x^2+x-2=0\). 4. Die Lösungen sind \(x_1=1\) und \(x_2=-2\); beide liegen in \(D_f\cap D_g\). 5. Es ist \(f(1)=1\) und \(f(-2)=1{,}75\). Daher sind die Schnittpunkte \(S_1(1\mid1)\) und \(S_2(-2\mid1{,}75)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(1 \mid 1)\) und \(S_2(-2 \mid 1{,}75)\).

- Worauf musst du achten, wenn der Nenner einer Funktion null wird? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn die x-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - Welchen Ansatz wählst du immer, um gemeinsame Punkte von zwei Funktionsgraphen zu finden? - Denk daran, dass bei der Berechnung der Schnittpunkte die Definitionsmengen beachtet werden müssen.

1. Bestimmung der Asymptoten von \(f\): Da der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist, ist die x-Achse die waagrechte Asymptote mit \(y = 0\). Die Nullstelle des Nenners \(x - 3 = 0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x = 3\). 2. Bestimmung der Asymptoten von \(g\): Da der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist, ist die waagrechte Asymptote ebenfalls \(y = 0\). Die doppelte Nullstelle des Nenners \((x - 1)^2 = 0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x = 1\). 3. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen der Funktionsterme führt auf \(\frac{4}{x-3} = \frac{-4}{(x-1)^2}\). Division durch 4 und Multiplikation mit den Nennern ergibt \((x-1)^2 = -(x-3)\), was zu \(x^2 - 2x + 1 = -x + 3\) bzw. \(x^2 - x - 2 = 0\) vereinfacht wird. 4. Lösen der quadratischen Gleichung liefert \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). 5. Einsetzen der x-Werte in \(f(x)\): \(f(2) = \frac{4}{2-3} = -4\) und \(f(-1) = \frac{4}{-1-3} = -1\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid -4)\) und \(S_2(-1 \mid -1)\).

a) \(G_f\): \(x = 3\) (senkrecht), \(y = 0\) (waagrecht); \(G_g\): \(x = 1\) (senkrecht), \(y = 0\) (waagrecht) b) \(S_1(2 \mid -4)\) und \(S_2(-1 \mid -1)\)

- Wie gehst du vor, um die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen zu finden? - Achte darauf, die Gleichungen so umzuformen, dass sie keinen Nenner mehr enthalten. - Welche Rolle spielt die Definitionsmenge der Funktionen beim Lösen der Gleichungen? - Kannst du aus dem Ergebnis der vereinfachten Gleichung direkt auf die Anzahl der Lösungen schließen?

1. Teilaufgabe a: Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt \(\frac{x^2-2x+3}{x-2} = 2x-1\). Multiplikation mit dem Nenner \((x-2)\) führt auf \(x^2-2x+3 = (2x-1)(x-2) = 2x^2-5x+2\). Durch Umformen erhält man die quadratische Gleichung \(x^2-3x-1=0\). Die Diskriminante ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 13\). Da \(D > 0\) und die Definitionslücke \(x=2\) keine Lösung der Gleichung ist (\(2^2-3 \cdot 2 - 1 = -3 \neq 0\)), existieren genau zwei Schnittpunkte. 2. Teilaufgabe b: Gleichsetzen ergibt \(\frac{2}{x-1} + 1 = \frac{x+3}{x+1}\). Zusammenfassen der linken Seite führt auf \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{x+3}{x+1}\). Durch Überkreuzmultiplikation erhält man \((x+1)^2 = (x+3)(x-1)\), was ausmultipliziert \(x^2+2x+1 = x^2+2x-3\) ergibt. Dies führt auf den Widerspruch \(1 = -3\), woraus folgt, dass es keine Schnittpunkte gibt.

a) 2 Schnittpunkte b) 0 Schnittpunkte

- Wie gehst du vor, um die gemeinsamen Punkte zweier Graphen rechnerisch zu ermitteln? - Was musst du bei einer Gleichung mit einem Nenner im ersten Schritt tun, um diesen zu eliminieren? - Erinnere dich an Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen, sobald du die Gleichung vereinfacht hast. - Überprüfe am Ende, ob alle berechneten \(x\)-Werte auch im Definitionsbereich der Funktionen liegen.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2} = 3x - 9\) 2. Bestimmung der Definitionsmenge: \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) 3. Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner \((x - 2)\): \(x^2 - 4x + 3 = (3x - 9)(x - 2)\) 4. Ausmultiplizieren der rechten Seite und Zusammenfassen zur quadratischen Normalform: \(2x^2 - 11x + 15 = 0\) 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der Mitternachtsformel): \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 2{,}5\) 6. Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Funktionsgleichungen zur Bestimmung der \(y\)-Koordinaten: \(g(3) = 0\) und \(g(2{,}5) = -1{,}5\) 7. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(3 \mid 0)\) und \(S_2(2{,}5 \mid -1{,}5)\)

Die Schnittpunkte sind \(S_1(3 \mid 0)\) und \(S_2(2{,}5 \mid -1{,}5)\).

- Bestimme zuerst, welche \(x\)-Werte aufgrund von Nullstellen im Nenner ausgeschlossen werden müssen. - Suche nach einem gemeinsamen Nenner, um die Brüche aufzulösen. - Achte beim Auflösen der Klammern auf das Minuszeichen vor dem Term \((x^2 - 1)\). - Prüfe kritisch, ob jede rechnerisch gefundene Lösung tatsächlich ein Punkt auf beiden Graphen sein kann.

1. Gleichsetzen liefert \(\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-1\). 2. Der gemeinsame zulässige Bereich ist \(D_f\cap D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). 3. Multiplikation mit \((x-1)(x+1)\) ergibt \(2=(x+1)-(x^2-1)\). 4. Nach Umformen folgt \(x^2-x=0\), also \(x(x-1)=0\). Die Kandidaten sind \(x=0\) und \(x=1\). 5. Wegen \(1\notin D_f\cap D_g\) bleibt nur \(x=0\). Es ist \(g(0)=-2\). 6. Damit lautet der einzige Schnittpunkt \(S(0\mid-2)\).

Der einzige Schnittpunkt ist \(S(0 \mid -2)\).

- Nutze für jede Eigenschaft die Darstellung, in der sie direkt sichtbar oder leichter berechenbar ist. - Ein Schnittpunkt mit der schrägen Asymptote würde bedeuten, dass der Restterm null wird. - Für die \(x\)-Achse musst du den Zähler der Bruchdarstellung null setzen und anschließend die Definitionsmenge prüfen.

a) Der Nenner wird bei \(x=2\) null und der Zähler hat dort den Wert \(1\neq0\). Daher ist \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) und \(x=2\) die senkrechte Asymptote. b) Für \(|x|\to\infty\) geht \(\frac{1}{x-2}\) gegen \(0\). Deshalb ist \(y=2x+1\) die schräge Asymptote. c) Ein Schnittpunkt müsste \(\frac{1}{x-2}=0\) erfüllen. Das ist unmöglich, also gibt es keinen Schnittpunkt mit der schrägen Asymptote. d) Nullstellen erfüllen \(2x^2-3x-1=0\). Daraus folgt \(x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}\). Beide Werte liegen in der Definitionsmenge.

a) \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); senkrechte Asymptote \(x=2\) b) Schräge Asymptote \(y=2x+1\) c) Kein Schnittpunkt mit der schrägen Asymptote d) \(N_1\left(\frac{3-\sqrt{17}}{4}\mid0\right)\), \(N_2\left(\frac{3+\sqrt{17}}{4}\mid0\right)\)

- Wie findet man die Definitionslücken bei einem Bruch? - Welches Verhalten zeigt die Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Wie kann man einen Term mit einer Differenz auf einen gemeinsamen Nenner bringen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn man \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Wann ist ein Bruch mit negativem Zähler insgesamt positiv?

1. Bestimmung der Definitionslücken und Asymptoten: Der Nenner \(x^2 - 1 = 0\) liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Da der Zähler dort nicht null ist, sind \(x = 1\) und \(x = -1\) senkrechte Asymptoten. \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) die waagrechte Asymptote \(y = 1\). 2. Nachweis der Termäquivalenz: \(1 - \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} - \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1 - 3}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}\). 3. Symmetrieuntersuchung: Da im Funktionsterm nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen, gilt \(k(-x) = \frac{(-x)^2 - 4}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = k(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 4. Lage zur Asymptote: Gesucht ist \(k(x) > 1\). Mit der Form aus b) folgt \(1 - \frac{3}{x^2 - 1} > 1 \iff -\frac{3}{x^2 - 1} > 0 \iff \frac{3}{x^2 - 1} < 0\). Dies ist erfüllt, wenn der Nenner negativ ist: \(x^2 - 1 < 0 \iff x^2 < 1 \iff -1 < x < 1\). Der Graph verläuft im Intervall \(]-1; 1[\) oberhalb der Asymptote.

a) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); senkrechte Asymptoten: \(x = -1, x = 1\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\) b) Nachweis durch Hauptnennerbildung: \(\frac{x^2-1-3}{x^2-1} = \frac{x^2-4}{x^2-1}\) c) \(G_k\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(k(-x) = k(x)\). d) Für \(x \in ]-1; 1[\) verläuft der Graph oberhalb der waagrechten Asymptote.

- Wie kannst du den Zähler so umschreiben, dass ein Vielfaches des Nenners darin vorkommt? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht oder wenn \(x\) sehr große Werte annimmt? - Wann wird ein Bruch gleich Null? - Welche Form zeigt die Verschiebung der Hyperbel in \(y\)-Richtung direkt an?

1. Umformung durch Polynomdivision oder Zerlegung des Zählers: \(\frac{2x+7}{x+3} = \frac{2(x+3)+1}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} + \frac{1}{x+3} = 2 + \frac{1}{x+3}\). Damit ist \(a=1\), \(c=2\) und \(x_0 = -3\). 2. Bestimmung der Asymptoten: Die senkrechte Asymptote liegt an der Definitionslücke bei \(x = -3\). Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem Verhalten für \(x \to \pm \infty\) zu \(y = 2\). 3. Bestimmung der Nullstelle: Ansatz \(2x+7 = 0\) führt zu \(x = -3{,}5\). 4. Analyse der Darstellungen: In der Form \(f(x) = \frac{2x+7}{x+3}\) lässt sich die Nullstelle direkt durch Nullsetzen des Zählers (\(2x+7=0\)) finden. In der Form \(f(x) = 2 + \frac{1}{x+3}\) lässt sich die waagerechte Asymptote \(y=2\) direkt als Summand ablesen, da der Bruchterm für große \(x\) gegen Null strebt.

a) \(f(x) = 2 + \frac{1}{x+3}\) b) Waagerechte Asymptote: \(y = 2\); senkrechte Asymptote: \(x = -3\); Nullstelle: \(x = -3{,}5\) c) Die Nullstelle ist direkt aus der Zähler-Nenner-Form \(\frac{2x+7}{x+3}\) ablesbar. Die waagerechte Asymptote ist direkt aus der Summenform \(2 + \frac{1}{x+3}\) als konstanter Wert ablesbar.

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für zwei Brüche? - Welche mathematische Bedingung muss für die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse gelten? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn die x-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - An welchen Stellen im Definitionsbereich könnte der Graph senkrechte Linien als Schranken haben? - Welchen Wert musst du für \(x\) einsetzen, um einen Punkt auf der \(y\)-Achse zu finden?

1. Bringen der Brüche auf den Hauptnenner \((x-2)(x+2)\): \(f(x) = \frac{1 \cdot (x+2) - 1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-x+2}{x^2-4} = \frac{4}{x^2-4}\). 2. Überprüfung der Bedingung \(f(-x) = f(x)\): \(f(-x) = \frac{4}{(-x)^2 - 4} = \frac{4}{x^2 - 4} = f(x)\). Da die Bedingung erfüllt ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 3. Senkrechte Asymptoten an den Nullstellen des Nenners (da diese keine Nullstellen des Zählers sind): \(x = 2\) und \(x = -2\). Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers (0) kleiner als der Grad des Nenners (2) ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet somit \(y = 0\). 4. Berechnung des Funktionswerts an der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = \frac{4}{0^2 - 4} = -1\). Der Schnittpunkt hat die Koordinaten \(S_y(0 \mid -1)\).

1. Nachweis durch Hauptnennerbildung: \(f(x) = \frac{x+2-(x-2)}{x^2-4} = \frac{4}{x^2-4}\). 2. Nachweis über \(f(-x) = f(x)\). 3. Senkrechte Asymptoten: \(x = -2\) und \(x = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 0\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 \mid -1)\).

- Erinnere dich an das Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen. - Wie lässt sich ein quadratischer Ausdruck im Nenner durch quadratische Ergänzung umformen? - Wann genau wird ein Bruch gleich Null? Schau dir dazu den Zähler an. - Was sagen die Definitionslücken über das Verhalten des Graphen aus? - Untersuche das Verhalten der Funktion für \(x\)-Werte, deren Betrag gegen unendlich strebt.

1. Subtraktion der Brüche durch Erweitern auf den gemeinsamen Nenner \(x(x+4)\): \(g(x) = \frac{x+4 - x}{x(x+4)} = \frac{4}{x^2 + 4x}\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel im Nenner: \((x+2)^2 - 4 = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x\). Einsetzen ergibt die Identität der Terme. 3. Ein Bruch ist genau dann Null, wenn der Zähler Null ist. Da der Zähler hier die Konstante \(4\) ist (\(4 \neq 0\)), besitzt die Gleichung \(g(x) = 0\) keine Lösung. Somit gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. 4. Die senkrechten Asymptoten liegen an den Definitionslücken (Polstellen ohne Hebung): \(x = 0\) und \(x = -4\). Da der Grad des Nennerpolynoms höher ist als der des Zählerpolynoms, ist die \(x\)-Achse die waagerechte Asymptote: \(y = 0\).

1. Nachweis durch Differenzbildung: \(g(x) = \frac{x+4-x}{x(x+4)} = \frac{4}{x^2+4x}\). 2. Nachweis durch Ausmultiplizieren: \((x+2)^2-4 = x^2+4x+4-4 = x^2+4x\). 3. Kein Schnittpunkt, da der Zähler \(4\) nie Null wird. 4. Senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = -4\); waagerechte Asymptote: \(y = 0\).

- Überlege, für welchen Wert der Nenner der Funktion Null wird. - Betrachte das Verhalten der Funktionswerte für sehr große und sehr kleine x-Werte. - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der y-Achse und wie findet man die Stellen, an denen der Funktionswert Null ist? - Wenn du zu einer Funktion einen linearen Term addierst, wie verändert das das langfristige Verhalten des Graphen? - Nutze die Zerlegung des Bruchs, um die schräge Asymptote direkt abzulesen.

1. Definitionsmenge: Der Nenner wird für \(x = -1\) Null, also \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\). 2. Senkrechte Asymptote: Da \(x = -1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist, lautet die Gleichung \(x = -1\). 3. Waagrechte Asymptote: Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ergibt sich aus dem Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-2x+6}{x+1} = -2\). Die Gleichung ist \(y = -2\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{6}{1} = 6 \implies S_y(0 \mid 6)\). 5. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(6 - 2x = 0 \implies x = 3 \implies N(3 \mid 0)\). 6. Asymptoten von \(h\): Durch Zerlegung von \(f(x)\) mittels Polynomdivision oder Termumformung erhält man \(f(x) = -2 + \frac{8}{x+1}\). Somit ist \(h(x) = x - 2 + \frac{8}{x+1}\). 7. Die senkrechte Asymptote bleibt bei \(x = -1\). Die schräge Asymptote ergibt sich aus dem linearen Teil der Summe zu \(y = x - 2\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\); senkrechte Asymptote: \(x = -1\); waagrechte Asymptote: \(y = -2\) b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 6)\); Nullstelle: \(N(3 \mid 0)\) c) Senkrechte Asymptote: \(x = -1\); schräge Asymptote: \(y = x - 2\)

- Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Denke an die Umrechnung von Dezimalstunden in Minuten: Ein Viertel einer Stunde sind wie viele Minuten? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen Null geht? - Was bedeutet es physikalisch für das Vorankommen, wenn der Wind stärker ist als der eigene Antrieb?

1. Zur Termumformung wird der Hauptnenner \((x+40)(x-40) = x^2 - 1600\) gebildet. Erweitern der Brüche liefert \(\frac{600(x-40) + 600(x+40)}{x^2 - 1600}\). Vereinfachen des Zählers ergibt \(600x - 24\,000 + 600x + 24\,000 = 1200x\). Somit gilt \(T(x) = \frac{1200x}{x^2 - 1600}\). 2. Für \(x = 160\) ergibt sich \(T(160) = \frac{1200 \cdot 160}{160^2 - 1600} = \frac{192000}{24000} = 8\). Die Flugzeit beträgt \(8\,\text{h}\,0\,\text{min}\). 3. Für \(x = 200\) ergibt sich \(T(200) = \frac{1200 \cdot 200}{200^2 - 1600} = \frac{240000}{38400} = 6{,}25\). Da \(0{,}25 \cdot 60 = 15\), beträgt die Flugzeit \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). 4. Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle des Nenners im betrachteten Bereich, also bei \(x = 40\). Da der Grad des Zählers (1) kleiner ist als der Grad des Nenners (2), ist die waagrechte Asymptote die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 5. Im Sachzusammenhang bedeutet \(x < 40\), dass die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs geringer ist als die Windgeschwindigkeit. Das Flugzeug könnte nicht gegen den Wind anfliegen (die Geschwindigkeit über Grund \(x - 40\) wäre negativ), wodurch der Zielort nie erreicht würde. Mathematisch würde dies zu einer negativen Zeitdauer für einen Teil der Strecke führen.

a) Nachweis durch Erweitern auf den Hauptnenner \(x^2 - 1600\). b) Bei \(160\,\text{km/h}\): \(8\,\text{h}\,0\,\text{min}\); bei \(200\,\text{km/h}\): \(6\,\text{h}\,15\,\text{min}\). c) Senkrechte Asymptote: \(x = 40\); waagrechte Asymptote: \(y = 0\). d) Das Flugzeug ist langsamer als der Gegenwind (\(x - 40 < 0\)) und kann die Strecke nicht bewältigen.

- Wie lautet die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bezüglich des Funktionsterms? - Was passiert mit dem Bruch, wenn \(x\) immer größer wird? Welcher Teil des Terms dominiert dann? - Wie kannst du eine Gleichung mit einem Bruch auflösen, um nach \(x\) freizustellen? - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung \(x^2 = a\) zwei Lösungen haben kann.

1. Zur Überprüfung der Achsensymmetrie wird \(f(-x)\) berechnet: \(f(-x) = \frac{2(-x)^2}{(-x)^2 + 1} = \frac{2x^2}{x^2 + 1} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Für den Grenzwert betrachten wir den Funktionsterm für große \(x\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2\). Die waagrechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 2\). 3. Zur Lösung der Gleichung \(f(x) = 1{,}8\) setzen wir an: \(\frac{2x^2}{x^2 + 1} = 1{,}8\). Multiplikation mit dem Nenner liefert \(2x^2 = 1{,}8(x^2 + 1) = 1{,}8x^2 + 1{,}8\). Umformen nach \(x^2\) ergibt \(0{,}2x^2 = 1{,}8\), also \(x^2 = 9\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\).

1. Nachweis über \(f(-x) = f(x)\). 2. \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 2\). 3. \(x_1 = 3\); \(x_2 = -3\).

- Nutze für Definitionsmenge und Nullstellen zunächst die Bruchdarstellung. - Prüfe die vorgegebene zweite Darstellung, indem du ihre Summanden auf einen gemeinsamen Nenner bringst. - In der zweiten Darstellung ist der Restterm zugleich für die schräge Asymptote besonders hilfreich. - Für Symmetrie genügt der Vergleich von \(f(-x)\) mit \(f(x)\) und \(-f(x)\).

a) Der Nenner schließt \(x=1\) aus, also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Aus \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) folgen die Nullstellen \(x=2\) und \(x=-2\). Außerdem ist \(f(0)=4\), also liegt der \(y\)-Achsenabschnitt bei \((0\mid4)\). b) Es gilt \(x+1-\frac{3}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)-3}{x-1}=\frac{x^2-4}{x-1}\). Damit ist die Darstellung bestätigt. c) Bei \(x=1\) liegt eine einfache Polstelle und damit eine senkrechte Asymptote \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel vor. Der Restterm \(-\frac{3}{x-1}\) geht für \(|x|\to\infty\) gegen \(0\); die schräge Asymptote ist \(y=x+1\). d) Es gilt \(f(-x)=\frac{x^2-4}{-x-1}\). Dieser Ausdruck ist weder gleich \(f(x)\) noch gleich \(-f(x)\). Daher besteht weder \(y\)-Achsen- noch Ursprungssymmetrie.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); \((-2\mid0)\), \((2\mid0)\), \((0\mid4)\) b) \(f(x)=x+1-\frac{3}{x-1}\) für \(x\neq1\) c) Senkrechte Asymptote \(x=1\); schräge Asymptote \(y=x+1\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel d) Keine Symmetrie zum Ursprung und keine Symmetrie zur \(y\)-Achse

- Kann ein Ausdruck der Form \(x^2 + \text{positive Zahl}\) jemals null werden? - Du kannst den Bruch in zwei Teile zerlegen, um die Gleichung der schrägen Asymptote direkt abzulesen. - Erinnere dich an die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = -f(x)\). - Setze für die Grenzwerte am Pol sehr kleine positive und negative Zahlen für \(x\) ein, um das Vorzeichen der Unendlichkeit zu bestimmen.

1. Definitionsmenge und Nullstellen: Da der Nenner \(2x\) für \(x = 0\) null wird, ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Nullstellen existieren nur, wenn der Zähler \(x^2 + 3 = 0\) wird. Da \(x^2 + 3 \geq 3\) für alle reellen \(x\) gilt, gibt es keine Nullstellen. 2. Asymptoten: Eine senkrechte Asymptote liegt bei der Polstelle \(x = 0\). Durch Aufspalten des Bruchs erhält man \(g(x) = \frac{x^2}{2x} + \frac{3}{2x} = \frac{1}{2}x + \frac{1{,}5}{x}\). Die schräge Asymptote ist somit \(y = 0{,}5x\). 3. Symmetrie: Es gilt \(g(-x) = \frac{(-x)^2 + 3}{2(-x)} = \frac{x^2 + 3}{-2x} = -\frac{x^2 + 3}{2x} = -g(x)\). Somit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. Verhalten am Pol: Für \(x \to 0^+\) strebt der Zähler gegen \(3\) und der Nenner gegen \(0\) mit positiven Werten, also \(g(x) \to +\infty\). Für \(x \to 0^-\) strebt der Nenner gegen \(0\) mit negativen Werten, also \(g(x) \to -\infty\). Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); keine Nullstellen, da \(x^2 + 3 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). b) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); schräge Asymptote: \(y = 0{,}5x\). c) Der Graph \(G_g\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(g(-x) = -g(x)\). d) \(\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to 0^-} g(x) = -\infty\).

- Versuche den Zähler so umzuschreiben, dass er ein Vielfaches des Nenners enthält. - Welche Werte kann der Ausdruck \(x^2 + 2\) im Nenner annehmen? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn sein Nenner immer größer wird, aber der Zähler konstant bleibt? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr große positive oder negative Werte annimmt?

1. Forme den Funktionsterm so um, dass \(x\) nur noch an einer Stelle vorkommt: \(g(x) = \frac{x^2 + 2 - 6}{x^2 + 2} = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\). 2. Bestimme den Wertebereich des Nenners: Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(x^2 + 2 \geq 2\). Der Nenner nimmt also alle Werte im Intervall \([2; \infty[\) an. 3. Bestimme den Wertebereich des Bruchs \(\frac{6}{x^2 + 2}\): Wenn der Nenner von \(2\) bis unendlich läuft, nimmt der Quotient alle Werte im Intervall \(]0; 3]\) an (da \(\frac{6}{2} = 3\) und \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^2+2} = 0\)). 4. Bestimme den Wertebereich der gesamten Funktion: Subtrahiere diese Werte von \(1\). Es ergibt sich \(1 - 3 \leq g(x) < 1 - 0\), also \(-2 \leq g(x) < 1\). Damit ist \(W_g = [-2; 1[\).

Durch die Umformung \(g(x) = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\) lässt sich zeigen, dass der Subtrahend \(\frac{6}{x^2 + 2}\) Werte im Intervall \(]0; 3]\) annimmt. Daraus ergibt sich für die Funktionswerte das Intervall \(W_g = [1 - 3; 1 - 0[ = [-2; 1[\).

- Wie kannst du die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion nutzen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Wenn ein Nenner an einer Stelle seinen kleinsten positiven Wert erreicht, was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs? - Überlege dir, wie sich das Steigungsverhalten von \(f\) auf das von \(\frac{1}{f}\) überträgt.

1. Die Funktion \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Durch quadratische Ergänzung ergibt sich \(f(x) = (x-3)^2 + 2\). Der Scheitelpunkt und somit das lokale Minimum liegt bei \(T(3 \mid 2)\). Da \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) ist, liegt die Extremstelle von \(g\) ebenfalls bei \(x=3\). Da \(f\) dort ihren kleinsten positiven Wert annimmt, nimmt der Kehrwert \(g\) dort seinen größten Wert an. Es liegt ein Hochpunkt bei \(H(3 \mid 0{,}5)\) vor. 2. Für \(x \to \pm \infty\) wachsen die Funktionswerte von \(f(x)\) gegen \(+\infty\). Da \(g(x)\) der Kehrwert von \(f(x)\) ist, streben die Funktionswerte von \(g(x)\) gegen \(0\). Die x-Achse ist somit eine waagerechte Asymptote für \(G_g\). 3. Wenn \(f(x) > 0\) ist, führt ein lokales Minimum von \(f\) an einer Stelle \(x_0\) dazu, dass der Nenner von \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) dort minimal ist. Ein minimaler Nenner bewirkt bei konstantem Zähler den maximalen Funktionswert für \(g\). Umgekehrt wird ein lokales Maximum von \(f\) zu einem lokalen Minimum von \(g\).

1. \(f\): Tiefpunkt \(T(3 \mid 2)\); \(g\): Hochpunkt \(H(3 \mid 0{,}5)\). 2. Für \(x \to \pm \infty\): \(f(x) \to +\infty\) und \(g(x) \to 0\). 3. Ein lokales Minimum von \(f\) entspricht einem lokalen Maximum von \(g\) (und umgekehrt), da der Kehrwert einer minimalen positiven Zahl maximal ist.

- Überlege, für welchen Wert der Nenner eines Bruchs null wird. - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) gegen sehr große oder sehr kleine Werte strebt? - Versuche im Zähler den Ausdruck des Nenners künstlich zu erzeugen, um den Bruch aufzuspalten. - Erinnere dich daran, wie Parameter in der Form \(af(x-c)+d\) den Graphen beeinflussen.

1. Der Nenner wird bei \(x=-1\) null, daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). 2. Aus \(x-2=0\) folgt die Nullstelle \(x=2\). 3. Die senkrechte Asymptote ist \(x=-1\). Wegen gleicher Grade von Zähler und Nenner ist die waagrechte Asymptote \(y=1\). 4. Es gilt \(f(x)=\frac{x+1-3}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}\). Damit sind \(a=1\) und \(b=-3\). 5. Ausgehend von \(y=\frac1x\) wird in \(y\)-Richtung mit Faktor \(3\) gestreckt, an der \(x\)-Achse gespiegelt, um \(1\) nach links und um \(1\) nach oben verschoben.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\); Nullstelle \(x=2\); senkrechte Asymptote \(x=-1\); waagrechte Asymptote \(y=1\) b) \(f(x)=1-\frac{3}{x+1}\) mit \(a=1\) und \(b=-3\) c) Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(3\), Spiegelung an der \(x\)-Achse, Verschiebung um \(1\) nach links und um \(1\) nach oben.

- Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Zähler gegen eine feste Zahl strebt, der Nenner aber fast Null wird? - Betrachte für die Annäherung an die Definitionslücke Werte, die ganz kurz vor oder ganz kurz nach der Lücke liegen. - Welche Information liefert der Grenzwert im Unendlichen für die Lage der Asymptoten? - Was passiert mit den Termen im Zähler und Nenner, wenn du durch die höchste Potenz von \(x\) dividierst?

1. Grenzwert für \(x \to \infty\): Ausklammern von \(x\) im Zähler und Nenner ergibt \(\frac{x(2 + 4/x)}{x(1 - 1/x)} = \frac{2 + 4/x}{1 - 1/x}\). Da \(4/x\) und \(1/x\) gegen \(0\) streben, ist der Grenzwert \(\frac{2}{1} = 2\). 2. Rechtsseitiger Grenzwert (\(x \to 1^+\)): Für \(x > 1\) ist der Nenner \(x - 1\) positiv und nähert sich \(0\) an. Der Zähler \(2x + 4\) nähert sich \(6\) an. Somit gilt \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty\). 3. Linksseitiger Grenzwert (\(x \to 1^-\)): Für \(x < 1\) ist der Nenner \(x - 1\) negativ und nähert sich \(0\) an. Der Zähler nähert sich \(6\) an. Somit gilt \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\). 4. Asymptoten: Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2\), die senkrechte Asymptote (Polstelle) bei \(x = 1\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\) b) \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\) c) Waagerechte Asymptote: \(y = 2\); senkrechte Asymptote: \(x = 1\)

- Wie hängen der Grenzwert im Unendlichen und die waagerechte Asymptote zusammen? - Kannst du die Funktionsgleichung so umformen, dass sie einfacher aussieht? - Was bedeutet es für den Grenzwert, wenn eine Variable wie \(a\) im Zähler steht? - Gibt es einen Unterschied zwischen den Funktionen \(g\) und \(h\), wenn man ihre Definitionsbereiche vernachlässigt?

1. Um den Grenzwert für \(x \to \infty\) zu bestimmen, wird \(x\) im Zähler und Nenner ausgeklammert: \(f_a(x) = \frac{x(a + \frac{6}{x})}{x(2 - \frac{4}{x})} = \frac{a + \frac{6}{x}}{2 - \frac{4}{x}}\). Für \(x \to \infty\) streben die Terme \(\frac{6}{x}\) und \(\frac{4}{x}\) gegen 0. Es bleibt \(L = \frac{a}{2}\). 2. Eine waagerechte Asymptote bei \(y = 5\) bedeutet \(\lim_{x \to \infty} f_a(x) = 5\). Aus \(\frac{a}{2} = 5\) folgt durch Multiplikation mit 2 der Wert \(a = 10\). 3. Die Funktion \(g(x)\) lässt sich für \(x \neq 0\) vereinfachen: \(g(x) = \frac{x(2x + 3)}{x} = 2x + 3\). Damit ist \(g(x) = h(x)\) für alle \(x \in D_g\). Für \(x \to \infty\) streben beide Funktionen gegen \(+\infty\), da der lineare Term \(2x\) dominiert.

a) \(L = \frac{a}{2}\) b) \(a = 10\) c) Beide Funktionen streben gegen \(\infty\). Da \(g(x) = 2x + 3\) für \(x \neq 0\), verhalten sie sich identisch.

- Kannst du den Zähler der gebrochen-rationalen Funktion faktorisieren? - Welche Werte für \(x\) führen dazu, dass der Nenner Null wird? - Erstelle eine Vorzeichentabelle oder teste Werte aus den verschiedenen Intervallen, die durch die Null- und Polstellen entstehen. - Achte darauf, ob die Randpunkte der Intervalle (Nullstellen und Polstellen) zur Lösungsmenge gehören dürfen.

1. Faktorisierung des Zählers: \(x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)\) mit den Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). 2. Bestimmung der Definitionslücke (Polstelle) durch den Nenner: \(x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 1\). 3. Einteilung der reellen Achse in Testintervalle durch die kritischen Punkte \(-2\), \(1\) und \(4\). 4. Vorzeichenprüfung der Intervalle: Im Intervall \(]-\infty; -2[\) ist der Term negativ, in \(]-2; 1[\) positiv, in \(]1; 4[\) negativ und in \(]4; \infty[\) positiv; bei \(x=-2\) und \(x=4\) ist der Term gleich \(0\), während \(x=1\) ausgeschlossen ist. 5. Da die Ungleichung \(\ge 0\) fordert, werden die Intervalle mit positivem Vorzeichen inklusive der Nullstellen des Zählers gewählt: \(L = [-2; 1[ \cup [4; \infty[\).

\(L = [-2; 1[ \cup [4; \infty[\)

- Was fällt dir an der Struktur des Zählers auf, wenn du ihn faktorisierst? Kann dieser Ausdruck jemals negativ werden? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Bruch kleiner oder gleich Null ist? - Untersuche separat, wann der Zähler Null wird und wann der Nenner ein negatives Vorzeichen hat. - Vergiss nicht, die Werte auszuschließen, für die der Nenner Null wird.

1. Analyse des Zählers: \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\). Der Zähler ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets \(\ge 0\) und hat bei \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle. 2. Faktorisierung des Nenners: \(x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\). Der Nenner hat einfache Nullstellen (Polstellen) bei \(x = -2\) und \(x = 3\). 3. Bestimmung des Definitionsbereichs: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\). 4. Untersuchung des Vorzeichens: Da der Zähler niemals negativ ist, kann der gesamte Bruch nur dann \(\le 0\) sein, wenn entweder der Zähler gleich \(0\) ist (\(x=2\)) oder der Nenner negativ ist (\((x-3)(x+2) < 0\)). 5. Der Nenner ist zwischen seinen Nullstellen negativ, also für \(x \in ]-2; 3[\). Da die Nullstelle des Zählers \(x=2\) in diesem Intervall liegt, ist die Ungleichung für alle \(x\) in diesem Bereich erfüllt. 6. Ergebnis: \(L = ]-2; 3[\).

\(L = ]-2; 3[\)

- Wann kann ein Nenner eines Bruches null werden? - Überlege dir, ob die Summe aus einer Quadratzahl und einer positiven Zahl jemals null sein kann. - Wie kannst du die Gleichung umformen, um den Bruch aufzulösen? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob deine berechneten Werte im Definitionsbereich liegen.

1. Da \(x^2+1\ge1\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, gibt es keine Definitionslücken. Somit ist \(D_f=\mathbb{R}\). 2. Da keine Definitionslücken existieren, besitzt \(f\) keine Polstellen. 3. Aus \(f(x)=0\) folgt \(\frac{x^2-5}{x^2+1}=-1\). Damit gilt \(x^2-5=-x^2-1\), also \(2x^2=4\) und \(x^2=2\). 4. Die Nullstellen sind \(x_1=\sqrt2\) und \(x_2=-\sqrt2\).

\(D_f=\mathbb{R}\); keine Polstellen; Nullstellen bei \(x_1=\sqrt2\) und \(x_2=-\sqrt2\).

- Was passiert, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner an derselben Stelle null werden? - Unterscheide zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken. - Prüfe nach der Berechnung der Zählernullstellen immer, ob diese Werte tatsächlich zur Definitionsmenge gehören. - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner faktorisierst?

1. Definitionsmenge: Aus \(x^2 - 4 = 0\) folgen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). 2. Polstellen und Lücken: Es gilt \(\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+1}{x+2}\) für \(x\neq-2,2\). Bei \(x=2\) liegt deshalb eine hebbare Definitionslücke vor. Bei \(x=-2\) bleibt der Nenner null, während der Zähler des ursprünglichen Terms ungleich null ist; daher liegt dort eine Polstelle vor. 3. Nullstellen: Der Zähler hat die Nullstellen \(x=2\) und \(x=-1\). Da \(2 \notin D_f\), ist nur \(x=-1\) eine Nullstelle der Funktion.

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); Polstelle bei \(x = -2\); Nullstelle bei \(x = -1\).

- Wie gehst du vor, um die Ableitung eines Bruchs zu berechnen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie beeinflusst der Exponent im Nenner das Verhalten des Graphen in der Nähe einer Definitionslücke? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner und dem Vorzeichenwechsel.

1. Berechnung der Ableitungen: Mithilfe der Quotientenregel oder durch Umschreiben zu \(f(x) = 5 + \frac{17}{x - 3}\) ergibt sich die erste Ableitung \(f'(x) = -17 \cdot (x - 3)^{-2} = \frac{-17}{(x - 3)^2}\). Die zweite Ableitung lautet somit \(f''(x) = -17 \cdot (-2) \cdot (x - 3)^{-3} = \frac{34}{(x - 3)^3}\). 2. Untersuchung der Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{34}{(x - 3)^3} = 0\). Da der Grenzwert Null ist, nähert sich der Graph \(G_{f''}\) der Geraden \(y = 0\) (der \(x\)-Achse) beliebig an. 3. Bestimmung der Polstelle: Die Polstelle von \(f''\) liegt an der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 3\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner von \(f''(x)\) ungerade ist (Grad 3), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

a) \(f''(x) = \frac{34}{(x - 3)^3}\) b) Wegen \(\lim_{x \to \pm \infty} f''(x) = 0\) ist die \(x\)-Achse waagrechte Asymptote. c) Polstelle bei \(x = 3\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Kannst du die Funktion umschreiben, um die Kettenregel einfacher anzuwenden? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn der Funktionswert für extrem große \(x\)-Werte gegen Null geht? - Schau dir die Potenz im Nenner der zweiten Ableitung genau an – ist sie gerade oder ungerade? - Was sagt dir die Art der Polstelle über den Verlauf des Graphen links und rechts der Lücke?

1. Bestimmung der zweiten Ableitung: Die Funktion kann als \(g(x) = (x + 2)^{-2}\) geschrieben werden. Die erste Ableitung ist \(g'(x) = -2 \cdot (x + 2)^{-3} = \frac{-2}{(x + 2)^3}\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(g''(x) = -2 \cdot (-3) \cdot (x + 2)^{-4} = \frac{6}{(x + 2)^4}\). 2. Grenzwertbetrachtung: Es gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\). Da der Funktionswert für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte gegen Null strebt, ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. 3. Analyse der Polstelle: Die Definitionslücke und damit die Polstelle von \(g''\) liegt bei \(x = -2\). Da der Nenner \((x + 2)^4\) einen geraden Exponenten besitzt, ändern die Funktionswerte an dieser Stelle ihr Vorzeichen nicht. Es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

a) \(g''(x) = \frac{6}{(x + 2)^4}\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g''(x) = 0\), daher ist die \(x\)-Achse Asymptote. c) Polstelle bei \(x = -2\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Prüfe zuerst Nennernullstellen und mögliche Zählernullstellen. - Eine Zerlegung in einen linearen Anteil und einen Restbruch macht die Asymptoten sichtbar. - Für die Krümmung ist das Vorzeichen der gegebenen zweiten Ableitung entscheidend. - Eine Polstelle kann kein Wendepunkt sein, weil dort kein Graphenpunkt existiert.

1. Der Nenner darf nicht null sein. Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Der Zähler \(x^2-4x+7\) hat die Diskriminante \(16-28=-12<0\); es gibt keine reellen Nullstellen. 3. Es gilt \((x-2)^2+3=x^2-4x+7\). Damit folgt \(f(x)=x-2+\frac{3}{x-2}\). 4. Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\), die schräge Asymptote ist \(y=x-2\). 5. Für \(x<2\) gilt \(f''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt. Für \(x>2\) gilt \(f''(x)>0\), also ist er linksgekrümmt. 6. \(f''\) besitzt keine Nullstelle, und \(x=2\) gehört nicht zum Definitionsbereich. Daher besitzt \(G_f\) keinen Wendepunkt.

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); keine Nullstellen. b) Asymptoten: \(x=2\) und \(y=x-2\). c) Rechtsgekrümmt für \(x<2\), linksgekrümmt für \(x>2\); keine Wendepunkte.

- Bestimme zuerst Definitionsbereich und Ableitung. - Der quadrierte Nenner der Ableitung beeinflusst ihr Vorzeichen im Definitionsbereich nicht. - Unterscheide zwischen einer Nullstelle von \(f'\) und einer Stelle, an der \(f\) gar nicht definiert ist.

1. Es gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\). 3. Da der Nenner im Definitionsbereich positiv ist, bestimmt der Zähler das Vorzeichen. Somit ist \(f'>0\) für \(x<1\) und \(x>3\), während \(f'<0\) für \(1<x<2\) und \(2<x<3\) gilt. 4. Daher ist \(f\) auf \(( -\infty;1)\) und \((3;\infty)\) streng steigend sowie auf \((1;2)\) und \((2;3)\) streng fallend. Bei \(x=1\) und \(x=3\) ändert sich die Monotonie; an der Polstelle \(x=2\) bleibt sie auf beiden Seiten fallend.

Monotoniewechsel bei \(x=1\) und \(x=3\); kein Monotoniewechsel an der Polstelle \(x=2\). Steigend auf \(( -\infty;1)\) und \((3;\infty)\), fallend auf \((1;2)\) und \((2;3)\).

- Prüfe den Nenner auf mögliche Nullstellen und teste anschließend \(f(-x)\). - Bei gleich hohen Graden von Zähler und Nenner bestimmt das Verhältnis der führenden Koeffizienten den Grenzwert. - Nutze für die Ableitungen die in Grade 12 verfügbaren Quotienten- und Kettenregeln. - Vorzeichenwechsel der Ableitungen entscheiden über Extrem- und Wendestellen.

1. Da \(x^2+2>0\) für alle reellen \(x\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). Aus \(8-2x^2=0\) folgen die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to-2\). 3. Die Quotientenregel liefert \(f'(x)=\frac{-24x}{(x^2+2)^2}\). Damit steigt \(f\) für \(x<0\) und fällt für \(x>0\). Es liegt der Hochpunkt \(H(0\mid4)\) vor. 4. Es gilt \(f''(x)=\frac{72x^2-48}{(x^2+2)^3}\). Aus \(72x^2-48=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}=\pm\frac{\sqrt6}{3}\). Dort ist \(f(x)=2{,}5\), und der Zähler von \(f''\) wechselt jeweils das Vorzeichen. 5. Die Wendepunkte sind daher \(W_1(-\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5)\) und \(W_2(\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5)\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\); Nullstellen: \(x=-2\), \(x=2\). b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-2\). c) Hochpunkt \(H(0\mid4)\). d) Wendepunkte \(W_{1,2}(\pm\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5)\).

- Bestimme zuerst die Vorzeichen von \(x^2-1\) in den drei Definitionsintervallen. - Für den inneren Ast ist die Form \(1+\frac{3}{1-x^2}\) besonders hilfreich. - Frage dich, welchen kleinsten beziehungsweise größten Wert der positive Restbruch in den jeweiligen Bereichen annehmen kann.

1. Der Nenner wird bei \(x=-1\) und \(x=1\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). 2. Für \(|x|>1\) ist \(x^2-1>0\). Damit gilt \(f(x)=1-\frac{3}{x^2-1}<1\). Für \(x\to\pm1\) von außen fällt \(f(x)\) gegen \(-\infty\), und für \(|x|\to\infty\) nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(1\) von unten. Die äußeren Äste liefern daher alle Werte aus \(]-\infty;1[\). 3. Für \(|x|<1\) gilt \(1-x^2\in]0;1]\) und damit \(f(x)=1+\frac{3}{1-x^2}\). Weil \(\frac{3}{1-x^2}\geq3\), ist \(f(x)\geq4\); Gleichheit gilt bei \(x=0\). Für \(x\to\pm1\) von innen wächst \(f(x)\) gegen \(+\infty\). Der innere Ast liefert daher \([4;\infty[\). 4. Insgesamt ist \(W_f=]-\infty;1[\cup[4;\infty[\).

\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\) \(W_f=]-\infty;1[\cup[4;\infty[\)

- Überlege dir, welche Bedingung ein \(x\)-Wert erfüllen muss, um nicht in der Definitionsmenge zu sein. - Wann ist eine Nullstelle des Zählers tatsächlich eine Nullstelle der gesamten Funktion? - Was passiert mit einer Definitionslücke, wenn der zugehörige Faktor auch im Zähler vorkommt?

1. Nennernullstellen bestimmen: \(x^2-x-6 = (x-3)(x+2)\). Daher ist \(D_{f_a} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\). 2. Der Zähler wird für \(x=a\) null. Für \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-2;3\}\) ist \(x=a\) eine Nullstelle. Für \(a=-2\) oder \(a=3\) gibt es keine Nullstelle, weil der jeweilige Wert nicht in \(D_{f_a}\) liegt. 3. Im Allgemeinen liegen bei \(x=-2\) und \(x=3\) Polstellen vor. Genau eine senkrechte Asymptote bleibt, wenn sich einer der Nennerfaktoren mit dem Zähler kürzt. Für \(a=3\) wird \((x-3)\) gekürzt und nur \(x=-2\) bleibt als Polstelle. Für \(a=-2\) wird \((x+2)\) gekürzt und nur \(x=3\) bleibt als Polstelle.

a) \(D_{f_a} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\) b) Für \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\) ist \(x = a\) die Nullstelle; für \(a = -2\) oder \(a = 3\) gibt es keine Nullstelle. c) Für \(a = 3\) oder \(a = -2\), da dann jeweils eine Definitionslücke hebbar ist und nur eine senkrechte Asymptote verbleibt.

- Beginne mit Definitionsbereich und Nennernullstellen. - Bei der Quotientenregel entscheidet nach dem Vereinfachen vor allem das Vorzeichen des Zählers. - Für die Tangente brauchst du Funktionswert und Ableitungswert bei \(x=0\).

1. Aus \(x^2-9=0\) folgen die senkrechten Asymptoten \(x=-3\) und \(x=3\). Wegen des höheren Nennergrades gilt \(f(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\); also ist \(y=0\) waagrechte Asymptote. 2. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=-\frac{5(x^2+9)}{(x^2-9)^2}<0\) im gesamten Definitionsbereich. Daher ist \(f\) auf jedem der drei Definitionsintervalle streng fallend. 3. Es gilt \(f(0)=0\) und \(f'(0)=-\frac{5}{9}\). Die Tangente lautet \(y=-\frac{5}{9}x\).

a) Senkrechte Asymptoten: \(x=-3\), \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=0\). b) \(f'(x)=-\frac{5(x^2+9)}{(x^2-9)^2}\); streng fallend auf allen drei Definitionsintervallen. c) \(y=-\frac{5}{9}x\)

- Wann kann der Nenner \(x^2+t\) für reelle \(x\) null werden? - Welche Gleichung prüft Punktsymmetrie zum Ursprung? - Welche Ableitungsregel brauchst du für \(f_t\), und wo kann das Vorzeichen von \(f_t'\) wechseln? - Wie drückst du die Höhe des Hochpunkts in Abhängigkeit von \(t\) aus?

1. Für \(D_t=\mathbb{R}\) darf \(x^2+t\) keine reelle Nullstelle besitzen. Das gilt genau für \(t>0\). 2. Es ist \(f_t(-x)=\frac{-tx}{x^2+t}=-f_t(x)\). Daher sind alle Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Mit der Quotientenregel erhält man \(f_t'(x)=\frac{t(t-x^2)}{(x^2+t)^2}\). Für \(t>0\) ist der Nenner positiv, und der Zähler wechselt bei \(x=\pm\sqrt{t}\) jeweils das Vorzeichen. Daher besitzt jeder Graph genau zwei lokale Extrempunkte. 4. Der Hochpunkt im ersten Quadranten liegt bei \(x=\sqrt{t}\). Dort gilt \(f_t(\sqrt{t})=\frac{\sqrt{t}}{2}\). Aus \(\frac{\sqrt{t}}{2}=1\) folgt \(t=4\).

a) \(t>0\) b) \(f_t(-x)=-f_t(x)\) c) Extremstellen bei \(x=\pm\sqrt{t}\) d) \(t=4\)

- Vergleiche für die Symmetrie die Funktionswerte bei \(x\) und \(-x\). - Für \(m>0\) hat der Nenner \(x^2+m\) einen eindeutig kleinsten Wert. - Setze bei der Punktbedingung die gegebenen Koordinaten direkt in den Funktionsterm ein. - Für senkrechte Asymptoten sind die reellen Nullstellen des Nenners entscheidend.

a) Es gilt \(g_{k,m}(-x)=\frac{k}{(-x)^2+m}=g_{k,m}(x)\). Daher ist jeder Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Für \(m>0\) gilt \(x^2+m\geq m\), wobei Gleichheit nur bei \(x=0\) eintritt. Damit nimmt \(\frac{k}{x^2+m}\) bei \(x=0\) seinen einzigen Extremwert an: für \(k>0\) ein Maximum, für \(k<0\) ein Minimum. Der Extrempunkt ist \(E\left(0\mid\frac{k}{m}\right)\). c) Aus \(\frac{1}{1+m}=0{,}25=\frac14\) folgt \(1+m=4\) und damit \(m=3\). d) Senkrechte Asymptoten liegen bei den reellen Nullstellen des Nenners. Aus \(x^2+m=0\) folgt für \(m<0\): \(x=\pm\sqrt{-m}\).

a) \(g_{k,m}(-x)=g_{k,m}(x)\) b) \(E\left(0\mid\frac{k}{m}\right)\) c) \(m=3\) d) \(x=-\sqrt{-m}\) und \(x=\sqrt{-m}\)

- Schreibe den Zähler zunächst als Quadrat und nutze, dass der Nenner immer positiv ist. - Suche getrennt nach einer unteren und einer oberen Schranke für die Funktionswerte. - Prüfe für eine vermutete obere Schranke eine äquivalente Ungleichung ohne Bruch. - Kontrolliere, ob die Randwerte tatsächlich angenommen werden.

1. Wegen \(x^2+3>0\) gilt \(D_f=\mathbb{R}\). 2. Der Zähler ist \((x-3)^2\geq0\). Deshalb gilt \(f(x)\geq0\); bei \(x=3\) wird der Wert \(0\) angenommen. 3. Für die obere Schranke wird \(f(x)\leq4\) geprüft. Da der Nenner positiv ist, ist dies äquivalent zu \((x-3)^2\leq4(x^2+3)\). Nach dem Umformen ergibt sich \(0\leq3(x+1)^2\), also gilt die Ungleichung für alle \(x\). Bei \(x=-1\) wird Gleichheit erreicht, also ist \(4\) der größte Funktionswert. 4. Die Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) stetig und nimmt daher zwischen den erreichten Randwerten \(0\) und \(4\) alle Zwischenwerte an. Somit ist \(W_f=[0;4]\).

\(W_f=[0;4]\)

- Versuche, den Funktionsterm als Konstante plus einen einfachen Bruch zu schreiben. - Welche kleinsten und größten Werte kann der Nenner \(x^2+1\) annehmen? - Unterscheide zwischen einem Wert, der tatsächlich erreicht wird, und einem Grenzwert, dem sich der Graph nur annähert.

1. Es gilt \(h(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\). 2. Für alle reellen \(x\) ist \(x^2+1\geq1\). Deshalb gilt \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq3\). 3. Somit ist \(1<h(x)\leq4\). Der Wert \(4\) wird bei \(x=0\) angenommen. 4. Der Wert \(1\) wird nie angenommen, weil der Restbruch stets positiv ist. Für \(x\to\pm\infty\) gilt jedoch \(\frac{3}{x^2+1}\to0\), also nähert sich \(h(x)\) dem Wert \(1\). 5. Daher ist \(W_h=]1;4]\).

\(W_h=]1;4]\)

- Formuliere den Differentialquotienten zunächst an einer noch unbekannten Berührstelle \(x_0\). - Vereinfache den Differenzenquotienten so, dass du den Grenzübergang \(h\to0\) ausführen kannst. - Stelle anschließend die Tangente an der Stelle \(x_0\) auf. - Die Bedingung „durch den Ursprung“ liefert eine Gleichung für \(x_0\). - Prüfe am Ende, ob die gefundene Berührstelle im Definitionsbereich liegt.

1. Es gilt \(f_k(x)=1+\frac{k}{x}\). Für eine beliebige Berührstelle \(x_0\neq0\) wird die lokale Steigung mit dem Differentialquotienten bestimmt. 2. Der Differenzenquotient ist \(\frac{f_k(x_0+h)-f_k(x_0)}{h}=\frac{\frac{k}{x_0+h}-\frac{k}{x_0}}{h}=-\frac{k}{x_0(x_0+h)}\). Für \(h\to0\) folgt \(f_k'(x_0)=-\frac{k}{x_0^2}\). 3. Die Tangente im Berührpunkt mit der Stelle \(x_0\) hat damit die Gleichung \(y=-\frac{k}{x_0^2}(x-x_0)+1+\frac{k}{x_0}\). 4. Weil die Tangente durch den Ursprung verläuft, gilt \(0=-\frac{k}{x_0^2}(0-x_0)+1+\frac{k}{x_0}=1+\frac{2k}{x_0}\). 5. Daraus folgt \(x_0=-2k\). Wegen \(k>0\) ist \(x_0\neq0\) und liegt damit im Definitionsbereich. 6. Der zugehörige Funktionswert ist \(f_k(-2k)=\frac{1}{2}\). Somit ist \(B\left(-2k\mid\frac{1}{2}\right)\).

\(B\left(-2k\mid\frac12\right)\)

- Bestimme mögliche Wendestellen über die zweite Ableitung und prüfe anschließend ein hinreichendes Kriterium. - Für einen Sattelpunkt brauchst du zusätzlich eine waagerechte Tangente. - Beachte den Definitionsbereich der gebrochen-rationalen Funktion.

1. Es gilt \(f'(x)=x+\frac{4}{x^2}\), \(f''(x)=1-\frac{8}{x^3}\) und \(f'''(x)=\frac{24}{x^4}\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x^3=8\), also \(x=2\). 3. Es ist \(f'''(2)=\frac{24}{16}=1{,}5\neq0\). Daher liegt bei \(x=2\) tatsächlich eine Wendestelle vor. 4. Mit \(f(2)=0\) erhält man den Wendepunkt \(W(2\mid0)\). 5. Da \(f'(2)=3\neq0\), ist die Tangente im Wendepunkt nicht waagerecht. Somit liegt kein Sattelpunkt vor.

Wendepunkt: \(W(2\mid0)\) Kein Sattelpunkt.

- Beginne mit Eigenschaften, die sich direkt aus dem Funktionsterm ablesen lassen. - Für Extrempunkte untersuchst du Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für Wendepunkte untersuchst du entsprechend \(f''\). - Nutze die Punktsymmetrie zur Kontrolle paarweise auftretender Punkte.

1. Da \(x^2+4>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). 2. Es gilt \(f(-x)=-f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Die einzige Nullstelle und zugleich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \((0\mid0)\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to0\); die waagerechte Asymptote ist \(y=0\). 5. Die Ableitungen lauten \(f'(x)=\frac{4(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\) und \(f''(x)=\frac{8x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}\). 6. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-2\) und \(x=2\). Das Vorzeichen wechselt bei \(-2\) von negativ zu positiv und bei \(2\) von positiv zu negativ. Daher liegen \(T(-2\mid-1)\) und \(H(2\mid1)\) vor. 7. Aus \(f''(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=\pm2\sqrt3\). An allen drei Stellen wechselt \(f''\) das Vorzeichen. Die Wendepunkte sind \(W_1(0\mid0)\), \(W_2(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{2})\) und \(W_3(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{2})\).

\(D_f=\mathbb{R}\); punktsymmetrisch zum Ursprung; Achsenschnittpunkt \((0\mid0)\); waagerechte Asymptote \(y=0\); \(T(-2\mid-1)\), \(H(2\mid1)\); Wendepunkte \(W_1(0\mid0)\), \(W_2(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{2})\), \(W_3(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{2})\).

- Vergleiche in a) die Funktion direkt mit der angegebenen Geraden. - Überlege in b), was Punktsymmetrie zum Ursprung mit den Funktionswerten bei \(x\) und \(-x\) macht. - Prüfe in c) getrennt, wie sich Zähler und Nenner beim Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) verändern.

a) Wahr. Es gilt \(f(x)-(mx+n)=\frac{c}{x-a}\). Dieser Restterm strebt für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\). Daher nähert sich der Graph der Geraden \(y=mx+n\). b) Falsch. Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet \(f(-x)=-f(x)\). Endliche Grenzwerte für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) müssen deshalb entgegengesetzt sein. Derselbe Grenzwert auf beiden Seiten ist nur bei \(0\) möglich. c) Wahr. Der Zähler ist gerade und der Nenner ungerade: \(p(-x)=p(x)\) und \(q(-x)=-q(x)\). Somit gilt \(\frac{p(-x)}{q(-x)}=-\frac{p(x)}{q(x)}\).

a) Wahr b) Falsch c) Wahr

- Wie findest du die Definitionslücke und das Verhalten der Funktionswerte für sehr große \(x\)? - Welche Koordinaten hat der Punkt, in dem sich die beiden Geraden aus Aufgabenteil a) schneiden? - Erinnere dich an die Bedingung für Punktsymmetrie bezüglich eines beliebigen Punktes \(S(x_0\mid y_0)\).

1. Bei \(x=1\) wird der Nenner null. Wegen \(a\neq3\) ist der Zähler dort ungleich null. Daher ist \(x=1\) die senkrechte Asymptote. 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f_a(x)\to a\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y=a\). 3. Der Schnittpunkt der Asymptoten ist \(S(1\mid a)\). 4. Für \(h\neq0\) gilt \(f_a(1+h)=a+\frac{a-3}{h}\) und \(f_a(1-h)=a-\frac{a-3}{h}\). 5. Damit ist \(f_a(1+h)+f_a(1-h)=2a\). Dies ist die Punktsymmetriebedingung zum Punkt \(S(1\mid a)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=1\); waagrechte Asymptote: \(y=a\) b) \(S(1\mid a)\) ist das Symmetriezentrum, denn \(f_a(1+h)+f_a(1-h)=2a\) für alle zulässigen \(h\).

- Entscheidend für die Asymptote ist, welcher Teil des Terms für große \(|x|\) übrig bleibt. - Der Bruchterm nähert sich für große positive und negative \(x\) dem Wert \(0\). - Für die Punktbedingung setzt du die Koordinaten von \(Q\) in den Funktionsterm ein.

a) Eine waagerechte Asymptote entsteht genau dann, wenn der lineare Anteil verschwindet. Daher ist \(k=0\). Weil \(\frac{9}{x-3}\to0\) für \(x\to\pm\infty\), lautet die waagerechte Asymptote \(y=6\). b) Für \(k=1\) gilt \(f_1(x)=x+6+\frac{9}{x-3}\). Der Restterm strebt gegen \(0\), also ist \(y=x+6\) die schräge Asymptote. c) Aus \(f_k(4)=4k+6+9=11\) folgt \(4k=-4\) und damit \(k=-1\).

a) \(k=0\), waagerechte Asymptote \(y=6\) b) \(y=x+6\) c) \(k=-1\)

- Welche Bedingung an den Nenner legt die Polstelle fest? - Welche Ableitungsregel brauchst du, nachdem der Nenner bestimmt ist? - Welche weiteren Nullstellen besitzt die erste Ableitung, und wie ändert sich dort ihr Vorzeichen? - Wie kannst du den Funktionsterm in eine lineare Funktion plus Restterm zerlegen?

1. Für eine Polstelle bei \(x=1\) muss \(1+b=0\) gelten. Daher ist \(b=-1\) und \(f(x)=\frac{x^2+a}{x-1}\). 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f'(x)=\frac{x^2-2x-a}{(x-1)^2}\). Aus \(f'(3)=0\) ergibt sich \(a=3\). 3. Dann gilt \(f'(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\). Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt \(T(3\mid6)\) vor. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt \(H(-1\mid-2)\) vor. 4. Die senkrechte Asymptote ist \(x=1\). Durch Polynomdivision erhält man \(f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}\); daher ist \(y=x+1\) die schräge Asymptote.

a) \(a=3\), \(b=-1\); Tiefpunkt \(T(3 \mid 6)\) b) Hochpunkt \(H(-1 \mid -2)\); Asymptoten \(x=1\) und \(y=x+1\)

- Die Punktbedingung und die Tangentenbedingung liefern zwei unabhängige Beziehungen für die Parameter. - Eine waagerechte Tangente bedeutet, dass die erste Ableitung an der betreffenden Stelle den Wert \(0\) hat. - Nach dem Bestimmen der Parameter hilft eine Darstellung als Gerade plus Restterm bei der Asymptote. - Für das Verhalten an der Polstelle genügt eine Vorzeichenanalyse unmittelbar links und rechts davon.

a) Aus \(f(4)=8\) folgt \(\frac{16a+4b}{2}=8\), also \(4a+b=4\). Die erste Ableitung ist \(f'(x)=\frac{ax^2-4ax-2b}{(x-2)^2}\). Eine waagerechte Tangente bei \(x=0\) bedeutet \(f'(0)=0\), also \(b=0\). Damit folgt aus \(4a+b=4\) der Wert \(a=1\). b) Für diese Parameter ist \(f(x)=\frac{x^2}{x-2}=x+2+\frac4{x-2}\). Weil der Restterm für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\) strebt, ist \(y=x+2\) die schräge Asymptote. An \(x=2\) ist der Zähler positiv. Der Nenner ist links von \(2\) negativ und rechts davon positiv. Deshalb gilt \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\).

a) \(a=1\), \(b=0\) b) Schräge Asymptote \(y=x+2\); \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\)

- Behandle die Nullstellen des Zählers getrennt von den Nullstellen des Nenners. - Bei \(x^2=a\) hängt die Anzahl reeller Lösungen vom Vorzeichen von \(a\) ab. - Prüfe an den beiden Nennernullstellen, ob der Zähler für die zulässigen Parameterwerte ebenfalls null werden kann. - Die Vielfachheit einer nicht gekürzten Nennernullstelle entscheidet über den Vorzeichenwechsel an der Polstelle.

1. Nullstellen entstehen durch \(a-x^2=0\), also durch \(x^2=a\). Für \(a<0\) gibt es keine reellen Nullstellen. Für \(a=0\) liegt bei \(x=0\) eine doppelte Nullstelle vor. Für \(a>0\) und \(a\neq9\) liegen die beiden Nullstellen bei \(x=-\sqrt a\) und \(x=\sqrt a\); sie gehören zum Definitionsbereich, weil \(a=9\) ausgeschlossen ist. 2. Der Nenner ist \((x-3)(x+3)\) und wird bei \(x=-3\) und \(x=3\) jeweils einfach null. An beiden Stellen hat der Zähler den Wert \(a-9\), der wegen \(a\neq9\) nicht null ist. 3. Daher liegen für jeden zulässigen Parameterwert bei \(x=-3\) und \(x=3\) einfache Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor.

Für \(a<0\): keine Nullstellen. Für \(a=0\): doppelte Nullstelle \(x=0\). Für \(a>0\) und \(a\neq9\): Nullstellen \(x=\pm\sqrt a\). Bei \(x=-3\) und \(x=3\) liegen stets Polstellen mit Vorzeichenwechsel vor.

- Betrachte die Stellen, an denen die Graphen ins Unendliche streben. Welche Definitionslücken haben die Funktionsterme? - Achte darauf, ob der Graph an einer Definitionslücke sein Vorzeichen wechselt oder auf derselben Seite bleibt. - Untersuche das Verhalten für sehr große positive und negative \(x\)-Werte. - Bestimme markante Achsenschnittpunkte, um deine Zuordnung zu überprüfen.

1. Graph a besitzt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x=1\), die waagrechte Asymptote \(y=1\), die Nullstelle \(x=-2\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \((0\mid-2)\). Das passt zu \(f_1\). 2. Graph b besitzt die Polstelle \(x=-2\), die waagrechte Asymptote \(y=-1\) und verläuft durch den Ursprung. Das passt zu \(f_2\). 3. Graph c besitzt bei \(x=1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, liegt vollständig oberhalb der \(x\)-Achse und hat die waagrechte Asymptote \(y=0\). Das passt zu \(f_3\). 4. \(f_4\) hat eine Polstelle bei \(x=-1\) und eine Nullstelle bei \(x=2\); keiner der abgebildeten Graphen zeigt diese Kombination.

Graph a gehört zu \(f_1(x)=\frac{x+2}{x-1}\); Graph b zu \(f_2(x)=-\frac{x}{x+2}\); Graph c zu \(f_3(x)=\frac{1}{(x-1)^2}\). \(f_4\) hat keinen zugehörigen Graphen.

- Wie kannst du die Polstellen rechnerisch ermitteln und wie zeigen sie sich im Graphen? - Welche Rolle spielen die Nullstellen des Zählers für den Verlauf des Funktionsgraphen? - Wie verhalten sich die Funktionswerte für sehr große positive und negative \(x\)-Werte? - Welche \(x\)-Werte müssen aus der Definitionsmenge und welche \(y\)-Werte aus der Wertemenge ausgeschlossen werden?

1. Für \(f\) liegt die Nullstelle bei \(x=-2\) und die Polstelle bei \(x=1\); dies entspricht Graph a. Für \(g\) liegt die Nullstelle bei \(x=3\) und die Polstelle bei \(x=-2\); dies entspricht Graph b. 2. Für \(f\) sind die senkrechte Asymptote \(x=1\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\). Für \(g\) sind es \(x=-2\) und \(y=1\). 3. Es gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\), \(W_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\), \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\) und \(W_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

a) Graph a gehört zu \(f\), Graph b zu \(g\). b) \(f\): \(x=1\), \(y=2\); \(g\): \(x=-2\), \(y=1\) c) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\), \(W_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\), \(W_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\)

- Welche Werte darf \(x\) im Nenner nicht annehmen? - Was passiert mit dem Funktionswert in der Nähe einer echten Definitionslücke? - Wie verhält sich der Term für \(x\to\pm\infty\)? - Welche zusätzlichen markanten Werte können zwei verbliebene Kandidaten unterscheiden?

1. Aus \(x^2-1=0\) folgen \(x=\pm1\). Damit ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\), und die senkrechten Asymptoten sind \(x=-1\) und \(x=1\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to1\); die waagrechte Asymptote ist \(y=1\). 2. Aus \(1-\frac4{x^2-1}=0\) folgt \(x^2=5\). Die Nullstellen sind \(x=\pm\sqrt5\approx\pm2{,}24\). 3. Kandidat c scheidet wegen der senkrechten Asymptoten bei \(x=\pm2\) aus; d wegen der waagrechten Asymptote \(y=-1\). Für \(f\) gilt außerdem \(f(0)=5\). Dies stimmt mit Kandidat a überein, während b bei \((0\mid-3)\) liegt. Daher ist a der Graph \(G_f\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\); senkrechte Asymptoten \(x=-1\), \(x=1\); waagrechte Asymptote \(y=1\) b) \(x_1=-\sqrt5\approx-2{,}24\), \(x_2=\sqrt5\approx2{,}24\) c) Kandidat a ist \(G_f\).

- Betrachte das Verhalten der Graphen an den Stellen, an denen sie steil nach oben oder unten weglaufen, um die senkrechten Asymptoten zu finden. - Schau dir an, welchem konstanten Wert sich die Graphen für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte annähern, um die waagrechten Asymptoten zu bestimmen. - Ein Vorzeichenwechsel an einer Polstelle bedeutet, dass der Graph auf einer Seite nach \(+\infty\) und auf der anderen Seite nach \(-\infty\) verläuft. - Nutze markante Punkte wie den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x = 0\), um zwischen ähnlichen Funktionstermen zu entscheiden. - Überlege, wie sich das Vorzeichen des Bruchs im Funktionsterm auf das Verhalten nahe der Polstelle (nach oben oder nach unten geöffnet) auswirkt.

1. Bestimmung der Asymptoten: - Für Graph A (\(f\)) schmiegt sich der Graph der vertikalen Linie bei \(x = 1\) an. Für sehr große positive und negative \(x\)-Werte nähert sich der Graph der horizontalen Linie \(y = 1\). Die Asymptoten lauten also \(x = 1\) (senkrecht) und \(y = 1\) (waagrecht). - Für Graph B (\(g\)) schmiegt sich der Graph der vertikalen Linie bei \(x = -2\) an. Für sehr große positive und negative \(x\)-Werte nähert sich der Graph der horizontalen Linie \(y = 2\). Die Asymptoten lauten also \(x = -2\) (senkrecht) und \(y = 2\) (waagrecht). 2. Bestimmung der Polstellen: - Graph A hat eine Definitionslücke bei \(x = 1\). Da der Graph links der Stelle gegen \(-\infty\) und rechts davon gegen \(+\infty\) verläuft, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. - Graph B hat eine Definitionslücke bei \(x = -2\). Da der Graph auf beiden Seiten der Stelle gegen \(-\infty\) verläuft, liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. 3. Zuordnung der Funktionsterme: - Graph A gehört zu \(t_1(x) = \frac{x+1}{x-1}\). Da die Polstelle bei \(x = 1\) liegt, kommen nur \(t_1\) und \(t_2\) infrage. Der Schnittpunkt von Graph A mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid -1)\). Einsetzen von \(x = 0\) liefert \(t_1(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1\), während \(t_2(0) = \frac{1}{0-1} + 1 = 0\) ist. - Graph B gehört zu \(t_3(x) = -\frac{1}{(x+2)^2} + 2\). Da die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\) liegt, kommen nur \(t_3\) und \(t_4\) infrage. Da der Graph für \(x \to -2\) nach unten (gegen \(-\infty\)) verläuft, muss der Koeffizient vor dem quadratischen Glied negativ sein, was auf \(t_3\) zutrifft.

a) Graph A: senkrechte Asymptote \(x = 1\), waagrechte Asymptote \(y = 1\). Graph B: senkrechte Asymptote \(x = -2\), waagrechte Asymptote \(y = 2\). b) Graph A: Definitionslücke bei \(x = 1\), Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Graph B: Definitionslücke bei \(x = -2\), Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. c) Graph A gehört zu \(t_1(x)\) (da \(t_1(0) = -1\) dem \(y\)-Achsenabschnitt von Graph A entspricht). Graph B gehört zu \(t_3(x)\) (da der negative Vorfaktor bewirkt, dass der Graph an der Polstelle \(x = -2\) nach unten verläuft).

- Kannst du die senkrechten und waagerechten Linien erkennen, denen sich der blaue Graph nähert? - Wie lässt sich ein gegebener Punkt auf dem Graphen nutzen, um einen unbekannten Parameter in einer Funktionsgleichung zu bestimmen? - Welche mathematische Operation führt man durch, um die gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) zweier Funktionsgraphen zu finden? - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Funktion keine Nullstellen besitzt, und wie hängt das mit dem Nenner eines Bruchs zusammen?

1. Asymptoten ablesen: Aus der Grafik lässt sich die senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) und die waagerechte Asymptote bei \(y = 1\) ablesen. Somit ist \(d = 2\) und \(e = 1\). 2. Funktionsterm bestimmen: Einsetzen von \(d = 2\) und \(e = 1\) in den Ansatz liefert \(f(x) = \frac{a}{x-2} + 1\). Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid 3)\) ergibt: \(3 = \frac{a}{1-2} + 1 \implies 3 = -a + 1 \implies a = -2\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = \frac{-2}{x-2} + 1\). 3. Schnittpunkte berechnen: Gleichsetzen der Terme: \(\frac{-2}{x-2} + 1 = -x + 2\). Subtraktion von \(1\) auf beiden Seiten liefert \(\frac{-2}{x-2} = -x + 1\). Multiplikation mit \((x-2)\) (für \(x \neq 2\)) ergibt \(-2 = -x^2 + 3x - 2 \implies -x^2 + 3x = 0 \implies x(-x + 3) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Einsetzen in \(g(x)\) liefert die y-Koordinaten: \(y_1 = g(0) = 2 \implies S_1(0 \mid 2)\) \(y_2 = g(3) = -1 \implies S_2(3 \mid -1)\). 4. Begründung für die Nullstellenfreiheit: Rechnerischer Weg: \(h(x) = f(x) - 1 = \frac{-2}{x-2}\). Da ein Bruch mit einem konstanten Zähler ungleich Null (\(-2\)) niemals den Wert Null annehmen kann, hat \(h\) keine Nullstellen. Geometrischer Weg: Da die waagerechte Asymptote von \(G_f\) bei \(y = 1\) liegt und der Graph diese Gerade nie schneidet, nimmt \(f(x)\) niemals den Wert \(1\) an. Folglich kann \(f(x) - 1\) niemals null sein.

a) Senkrechte Asymptote bei \(x = 2\), waagerechte Asymptote bei \(y = 1\). b) \(f(x) = \frac{-2}{x-2} + 1\). c) Schnittpunkte: \(S_1(0 \mid 2)\) und \(S_2(3 \mid -1)\). d) Rechnerisch gilt \(h(x) = \frac{-2}{x-2}\). Da der Zähler ungleich Null ist, hat die Funktion keine Nullstellen (alternativ: geometrische Argumentation über die waagerechte Asymptote bei \(y=1\)).

- Welche Beziehung kennzeichnet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Welche Terme bestimmen den Grenzwert bei gleichen Graden von Zähler und Nenner? - Setze für Teil c) die Funktion gleich dem vorgegebenen Wert und löse die entstehende Gleichung. - Achte beim Lösen einer quadratischen Gleichung auf beide reellen Lösungen.

1. Es gilt \(g(-x)=g(x)\), also ist \(G_g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Durch Division von Zähler und Nenner durch \(x^2\) erhält man \(\lim_{x\to\infty}g(x)=3\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y=3\). 3. Aus \(\frac{3x^2-12}{x^2+4}=2{,}4\) folgt \(0{,}6x^2=21{,}6\), also \(x^2=36\). Daher \(x=\pm6\).

a) \(g(-x)=g(x)\); Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse b) \(\lim_{x\to\infty}g(x)=3\); waagrechte Asymptote \(y=3\) c) \(x=-6\) und \(x=6\)

- Faktorisiere Zähler und Nenner vollständig und notiere die ursprünglichen Ausschlussstellen, bevor du kürzt. - Unterscheide zwischen einem verbleibenden Nennerfaktor und einem vollständig gekürzten Faktor. - Für eine hebbare Lücke kannst du den Grenzwert mit dem gekürzten Term bestimmen. - Nutze für die Graphenzuordnung mehrere Merkmale gleichzeitig: Asymptoten, Nullstellen und die offene Markierung der Lücke.

a) Für \(f\) gilt \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), also \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). Außerdem ist \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). Nach dem Kürzen für \(x\neq2\) bleibt \(\frac{x+1}{x+2}\). Deshalb ist \(x=-2\) eine senkrechte Asymptote; wegen gleicher Leitkoeffizienten ist \(y=1\) waagrechte Asymptote. Für \(g\) gilt \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\), also \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1;2\}\). Der Zähler ist \(2x(x-2)\). Nach dem Kürzen für \(x\neq2\) bleibt \(\frac{2x}{x+1}\). Deshalb ist \(x=-1\) senkrechte und \(y=2\) waagrechte Asymptote. b) Bei \(f\) ist \(x=2\) hebbar. Der zugehörige Grenzwert ist \(\frac{2+1}{2+2}=\frac34\), also liegt die Lücke bei \(L_f(2\mid\frac34)\). Bei \(g\) ist \(x=2\) ebenfalls hebbar. Der zugehörige Grenzwert ist \(\frac{2\cdot2}{2+1}=\frac43\), also liegt die Lücke bei \(L_g(2\mid\frac43)\). c) Graph A gehört zu \(f\): senkrechte Asymptote \(x=-2\), waagrechte Asymptote \(y=1\), Nullstelle \(x=-1\) und offene Markierung bei \(L_f\). Graph B gehört zu \(g\): senkrechte Asymptote \(x=-1\), waagrechte Asymptote \(y=2\), Nullstelle \(x=0\) und offene Markierung bei \(L_g\).

a) \(f\): \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\), Asymptoten \(x=-2\) und \(y=1\). \(g\): \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1;2\}\), Asymptoten \(x=-1\) und \(y=2\). b) \(L_f(2\mid\frac34)\), \(L_g(2\mid\frac43)\). c) Graph A gehört zu \(f\), Graph B zu \(g\).

- Welche Eigenschaften des Graphen geben Aufschluss über den Nenner? - Wie hängt die waagrechte Asymptote mit dem Parameter \(a\) zusammen? - Wie kannst du einen markierten Punkt nutzen, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen? - Wann ist ein Bruch gleich null?

1. Aus dem Graphen liest man senkrechte Asymptoten bei \(x=-1\) und \(x=1\). Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=2\). 2. Aus \(x=\pm1\) folgt \(c=1\), aus \(y=2\) folgt \(a=2\). Die markierten Punkte sind \(A(0\mid8)\) und \(B(2\mid0)\). Aus \(A\) folgt \(8=\frac{b}{-1}\), also \(b=-8\). Damit ist \(f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-1}\). Der Punkt \(B\) bestätigt den Term. 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(S_y(0\mid8)\). Aus \(2x^2-8=0\) folgen \(x=\pm2\). Daher sind die \(x\)-Achsenabschnitte \((2\mid0)\) und \((-2\mid0)\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\); senkrechte Asymptoten \(x=-1\), \(x=1\); waagrechte Asymptote \(y=2\) b) \(A(0\mid8)\), \(B(2\mid0)\); \(a=2\), \(b=-8\), \(c=1\); \(f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-1}\) c) \(S_y(0\mid8)\), \((2\mid0)\), \((-2\mid0)\)

- Für welche Werte wird der Nenner der Kehrwertfunktion null? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn sein Nenner betragsmäßig sehr groß wird? - Welches Vorzeichen hat \(g(x)\) rechts von \(x=2\)? - Wie überträgt sich die Symmetrie von \(g\) rechnerisch auf \(1/g\)?

1. Aussage 1 ist wahr. Die Nullstellen von \(g\) liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\); dort ist \(f=1/g\) nicht definiert. Somit ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). 2. Aussage 2 ist wahr. Für \(|x|\to\infty\) wächst \(g(x)\) unbegrenzt, daher gilt \(1/g(x)\to0\). 3. Aussage 3 ist falsch. Rechts von \(x=2\) ist \(g(x)>0\) und nähert sich \(0\). Daher gilt \(f(x)\to+\infty\). 4. Aussage 4 ist wahr. Der Graph von \(g\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, also \(g(-x)=g(x)\). Damit gilt für alle \(x\in D_f\): \(f(-x)=1/g(-x)=1/g(x)=f(x)\).

Aussagen 1, 2 und 4 sind wahr. Aussage 3 ist falsch; richtig ist \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to2\) von rechts.

- Vergleiche zunächst das einseitige Verhalten beider Terme an \(x=1\). - Achte darauf, ob an der Polstelle ein Vorzeichenwechsel auftritt. - Für eine waagerechte Asymptote untersuchst du den Grenzwert für große positive und negative \(x\)-Werte.

1. Bei \(f\) liegt bei \(x=1\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor: Für \(x\to1^-\) gilt \(f(x)\to-\infty\), für \(x\to1^+\) gilt \(f(x)\to+\infty\). Das passt zu Abbildung 1. 2. Für \(f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^2}\) gilt auf beiden Seiten der Polstelle \(f'(x)\to-\infty\). Außerdem ist \(f'(x)<0\) für alle \(x\ne1\). Das passt zu Abbildung 2. 3. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Daher ist \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-1\), also lautet die waagerechte Asymptote \(y=-1\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac{2}{(x-1)^2}\to0\). Daher lautet die waagerechte Asymptote von \(f'\) \(y=0\).

a) Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\). b) Für \(f\): \(y=-1\). Für \(f'\): \(y=0\).

- Bestimme zuerst die Definitionslücken der Funktionen, indem du prüfst, für welche \(x\)-Werte der Nenner Null wird. Wie viele senkrechte Asymptoten (Polstellen) hat der jeweilige Graph? - Untersuche das Verhalten für sehr große positive und negative \(x\)-Werte (\(x \to \pm\infty\)). Welche waagerechte Asymptote lässt sich daraus für den Graphen ableiten? - Berechne den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, indem du \(x = 0\) in die Funktionsterme einsetzt. - Achte auf Symmetrien: Welche der Funktionen enthält nur gerade Potenzen von \(x\) und ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse?

1. Untersuchung von \(h(x) = \frac{2}{x^2 + 1}\): Der Nenner \(x^2 + 1\) ist für alle reellen Zahlen ungleich Null. Daher besitzt die Funktion \(h\) keine Definitionslücken und der Graph hat keine vertikalen Asymptoten. Dies trifft ausschließlich auf Graph 1 zu. Für \(x \to \pm\infty\) nähert sich der Graph der \(x\)-Achse (\(y = 0\)). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(h(0) = 2\). Somit gehört \(h\) zu Graph 1. 2. Untersuchung von \(f(x) = \frac{2x - 4}{x - 1}\): Die Definitionslücke liegt bei \(x = 1\) (Nullstelle des Nenners). Da der Zähler an dieser Stelle ungleich Null ist (\(2 \cdot 1 - 4 = -2\)), handelt es sich um eine Polstelle (vertikale Asymptote bei \(x = 1\)). Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(f(x) \to 2\) (waagerechte Asymptote bei \(y = 2\)). Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). Diese Eigenschaften passen exakt zu Graph 2. Somit gehört \(f\) zu Graph 2. 3. Untersuchung von \(g(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}\): Die Definitionslücken liegen bei \(x = 1\) und \(x = -1\) (Nullstellen des Nenners). Da der Zähler dort ungleich Null ist, liegen zwei vertikale Asymptoten bei \(x = -1\) und \(x = 1\) vor. Der Graph verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(g(-x) = g(x)\). Dies entspricht genau Graph 3. Somit gehört \(g\) zu Graph 3.

\(f(x) = \frac{2x - 4}{x - 1}\) gehört zu Graph 2; \(g(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}\) gehört zu Graph 3; \(h(x) = \frac{2}{x^2 + 1}\) gehört zu Graph 1.

- Prüfe zuerst, bei welchen der drei Terme überhaupt reelle Nullstellen möglich sind. - Vergleiche bei den beiden Differenzen die Vorzeichen für einen einfachen positiven \(x\)-Wert. - Für große positive \(x\) wird \(\frac{2}{x}\) klein. Welcher Term bestimmt dann hauptsächlich den Verlauf? - Welche Beziehung besteht zwischen \(f(x)-g(x)\) und \(g(x)-f(x)\)?

1. Für \(s(x) = x + \frac{2}{x}\) führt die Nullstellengleichung nach Multiplikation mit \(x\neq 0\) auf \(x^2+2=0\). Es gibt also keine reelle Nullstelle. Das passt zu Graph a). 2. Für \(d_1(x) = x - \frac{2}{x}\) gilt bei einer Nullstelle \(x^2=2\), also \(x=\pm\sqrt{2}\). Für große positive \(x\) ist \(\frac{2}{x}\) klein, daher verhält sich \(d_1(x)\) ähnlich wie \(x\) und liegt unterhalb von \(y=x\). Das passt zu Graph b). 3. Für \(d_2(x) = \frac{2}{x} - x\) liegen die Nullstellen ebenfalls bei \(x=\pm\sqrt{2}\). Außerdem gilt \(d_2(x)=-d_1(x)\), sodass sein Graph die Spiegelung des Graphen von \(d_1\) an der \(x\)-Achse ist. Das passt zu Graph c).

Graph a) gehört zu \(s(x) = f(x) + g(x)\), Graph b) zu \(d_1(x) = f(x) - g(x)\) und Graph c) zu \(d_2(x) = g(x) - f(x)\).

- Bei welchen \(x\)-Werten werden die Nenner null? - Wo liegen die Nullstellen der Zähler? - Welchen Wert nähern sich die Funktionen für große \(|x|\) an? - Welche Symmetrie ist bei einem Term mit nur geraden Potenzen zu erwarten?

1. Graph a gehört zu \(f\): Polstelle \(x=-1\), Nullstelle \(x=1\), waagrechte Asymptote \(y=2\). Graph b gehört zu \(g\): Polstellen \(x=\pm2\), Nullstellen \(x=\pm1\), waagrechte Asymptote \(y=1\) und Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to2\). Daher besitzt Graph a die waagrechte Asymptote \(y=2\).

1. \(f\mapsto\) Graph a; \(g\mapsto\) Graph b. 2. \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\).

- Welche der beiden Funktionen kann überhaupt eine Polstelle besitzen? - Welchen größten Wert zeigt der Graph von \(h\), und welchem Wert nähert er sich für große \(|x|\)? - Wann ist eine gebrochen-rationale Funktion gleich null? - Welche Symmetrie passt zu einem Term, der nur \(x^2\) enthält?

1. Graph a gehört zu \(h\), da \(x^2+1\) nie null wird und der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist. Graph b gehört zu \(k\), das bei \(x=2\) eine Polstelle besitzt. 2. Es gilt \(D_h=\mathbb{R}\). Der größte Wert ist \(h(0)=3\); für \(|x|\to\infty\) nähert sich \(h(x)\) dem nicht erreichten Wert \(-1\). Daher ist \(W_h=\{y\in\mathbb{R}\mid -1<y\le3\}\). 3. Aus \(x-1=0\) folgt \(x=1\); dieser Wert ist zulässig und damit die Nullstelle von \(k\).

1. \(h\mapsto\) Graph a; \(k\mapsto\) Graph b 2. \(D_h=\mathbb{R}\); \(W_h=\{y\in\mathbb{R}\mid -1<y\le3\}\) 3. Nullstelle von \(k\): \(x=1\)

- Wie hängen Nennernullstellen und senkrechte Asymptoten zusammen? - Welche Gleichung beschreibt einen möglichen Schnittpunkt mit der waagrechten Asymptote? - Welche \(y\)-Werte zeigt der mittlere Ast, und welche zeigen die beiden äußeren Äste?

1. Aus \(x^2-9=0\) folgen die senkrechten Asymptoten \(x=-3\) und \(x=3\). Wegen gleicher Grade ist die waagrechte Asymptote \(y=3\). 2. Die Gleichung \(\frac{3x^2}{x^2-9}=3\) führt auf \(0=-27\). Daher gibt es keinen Schnittpunkt mit \(y=3\). 3. Der mittlere Ast nimmt alle Werte \(y\le0\) an; die äußeren Äste alle Werte \(y>3\). Damit ist \(W_g=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le0\text{ oder }y>3\}=\mathbb{R}\setminus]0;3]\).

a) Senkrechte Asymptoten: \(x=-3\), \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=3\) b) Kein Schnittpunkt mit \(y=3\) c) \(W_g=\mathbb{R}\setminus]0;3]\)

- Vergleiche für die waagrechte Asymptote die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner. - Der abgelesene Schnittpunkt liefert eine Gleichung für den Parameter. - Für die Nullstellenbedingung in c) musst du zusätzlich prüfen, dass der Nenner an der betreffenden Stelle nicht null ist.

a) Zähler und Nenner haben denselben Grad und denselben Leitkoeffizienten. Daher ist \(y=1\) die waagrechte Asymptote. Aus der Abbildung liest man den Schnittpunkt \(S(4\mid1)\) ab. b) Einsetzen von \(S\) ergibt \(\frac{16+4k}{12}=1\). Daraus folgt \(16+4k=12\), also \(k=-1\). c) Für eine Nullstelle bei \(x=-1\) muss der Zähler null sein. Es gilt \((-1)^2+k(-1)=1-k\). Daher ist \(1-k=0\) und somit \(k=1\). Der Nenner hat bei \(x=-1\) den Wert \(-3\) und ist dort nicht null.

a) Waagrechte Asymptote \(y=1\); Schnittpunkt \(S(4\mid1)\) b) \(k=-1\) c) \(k=1\)

- Schau dir zuerst an, gegen welchen Wert die Funktionswerte für sehr große oder sehr kleine \(x\) streben. Das verrät dir die waagrechte Asymptote. - Wo schneiden die Graphen die \(x\)-Achse? Setze die Zähler der Funktionsterme gleich null, um die Nullstellen zu finden. - Überprüfe, ob ein Graph bei der Annäherung an die senkrechte Asymptote von oben oder von unten kommt. - Ein einzelner Punkt, wie zum Beispiel der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x=0\), kann helfen, eine Vermutung zu bestätigen.

1. Alle drei Funktionen haben eine Polstelle (senkrechte Asymptote) bei \(x = 3\), da dort der Nenner null wird. 2. Die waagrechten Asymptoten ergeben sich aus dem Verhalten für \(x \to \pm \infty\). Für \(f_1\) und \(f_3\) ist dies \(y = 1\), für \(f_2\) ist es \(y = 2\). Graph \(g\) nähert sich für große \(x\)-Werte der Geraden \(y = 2\) an, daher gehört er zu \(f_2(x)\). Die Nullstelle von \(f_2\) liegt bei \(x = 1\) (\(2x - 2 = 0\)), was zum Graphen \(g\) passt. 3. Die Graphen \(f\) und \(h\) haben beide die waagrechte Asymptote \(y = 1\). 4. Die Nullstelle von \(f_1\) liegt bei \(x = 2\) (\(x - 2 = 0\)). Dies entspricht dem Graphen \(f\). Zudem verläuft \(f\) für \(x > 3\) oberhalb der Asymptote \(y = 1\). 5. Die Nullstelle von \(f_3\) liegt bei \(x = 4\) (\(x - 4 = 0\)). Dies entspricht dem Graphen \(h\). Hier nähert sich der Graph für \(x > 3\) von unten an die Asymptote \(y = 1\) an. Ergebnis: Graph \(f\) gehört zu \(f_1\), Graph \(g\) zu \(f_2\) und Graph \(h\) zu \(f_3\).

Graph \(f\) gehört zu \(f_1(x) = \frac{x - 2}{x - 3}\); Graph \(g\) gehört zu \(f_2(x) = \frac{2x - 2}{x - 3}\); Graph \(h\) gehört zu \(f_3(x) = \frac{x - 4}{x - 3}\).

- Eine Gleichung \(f(x)=i(x)\) beschreibt die \(x\)-Koordinate eines Schnittpunkts der beiden Graphen. - Formuliere für \(A\) und \(B\) dieselbe Schnittpunktidee mit \(f\) und \(g\). - Eine Differenzfunktion ist genau dann null, wenn ihre beiden Ausgangsfunktionen denselben Funktionswert besitzen.

a) Aus der Abbildung liest man für den Schnittpunkt von \(f\) und \(i\) im Bereich \(x>0\) den Wert \(x=2\) ab. b) Es gilt \(f(x)=\frac4x\) und \(g(x)=x\). Für Schnittpunkte muss \(\frac4x=x\) gelten. Wegen \(x\neq0\) ist dies äquivalent zu \(x^2=4\). Daher sind die gesuchten \(x\)-Koordinaten \(x=-2\) und \(x=2\). c) Die Differenzfunktion lautet \(k(x)=\frac4x-x\) mit \(x\neq0\). Ihre Nullstellen erfüllen \(f(x)-g(x)=0\), also genau \(f(x)=g(x)\). Daher sind die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\) genau die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte \(A\) und \(B\).

a) \(x=2\) b) \(\frac4x=x\), also \(x=-2\) und \(x=2\) c) \(k(x)=\frac4x-x\); seine Nullstellen sind \(x=-2\) und \(x=2\) und entsprechen den \(x\)-Koordinaten von \(A\) und \(B\).

- Schau dir an, an welchem \(x\)-Wert der Graph der Funktion „ins Unendliche“ verschwindet. - Überprüfe, ob der Graph auf beiden Seiten der Polstelle in dieselbe Richtung (beide nach oben oder beide nach unten) oder in entgegengesetzte Richtungen verläuft. - Suche nach der waagrechten Linie, an die sich der Graph für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte immer mehr anschmiegt.

1. Für den Graphen von \(f\): - Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = -4\), also ist dort die Polstelle. - Da der Graph links der Polstelle gegen \(-\infty\) und rechts gegen \(+\infty\) strebt, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW). - Der Graph nähert sich für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte der Geraden \(y = -3\). Die waagrechte Asymptote ist also \(y = -3\). 2. Für den Graphen von \(g\): - Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = 3\), also ist dort die Polstelle. - Da der Graph auf beiden Seiten der Polstelle gegen \(+\infty\) strebt, handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (ohne VZW). - Der Graph nähert sich für \(|x| \to \infty\) der Geraden \(y = 1\). Die waagrechte Asymptote ist also \(y = 1\).

Funktion \(f\): Polstelle bei \(x = -4\) mit VZW; waagrechte Asymptote \(y = -3\). Funktion \(g\): Polstelle bei \(x = 3\) ohne VZW; waagrechte Asymptote \(y = 1\).

- Nutze für die Parabel den Ansatz \(y = a(x - x_s)^2 + y_s\). - Achte beim Ablesen der Schnittpunkte auf die Gitterlinien. - Wie prüft man allgemein, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt? - Ein Schnittpunkt ist ein Punkt, der die Bedingungen beider Funktionsgleichungen gleichzeitig erfüllt.

1. Bestimmung von \(g(x)\): Der Ansatz in Scheitelpunktform lautet \(g(x) = a(x - 2)^2 + 3\). Einsetzen von \(A(0 \mid -1)\) ergibt \(-1 = a(0 - 2)^2 + 3 = 4a + 3\). Daraus folgt \(4a = -4\), also \(a = -1\). Die Gleichung lautet \(g(x) = -(x - 2)^2 + 3\). 2. Ablesen der Schnittpunkte: Aus der Grafik lassen sich drei Schnittpunkte erkennen: \(S_1(0 \mid -1)\), \(S_2(2 \mid 3)\) und \(S_3(3 \mid 2)\). 3. Rechnerische Überprüfung von \(Q(3 \mid 2)\): - Für \(f\): \(f(3) = \frac{2}{3 - 1} + 1 = \frac{2}{2} + 1 = 1 + 1 = 2\). Der Punkt liegt auf \(G_f\). - Für \(g\): \(g(3) = -(3 - 2)^2 + 3 = -(1)^2 + 3 = -1 + 3 = 2\). Der Punkt liegt auf \(G_g\). Da beide Funktionswerte für \(x = 3\) den Wert \(2\) ergeben, ist \(Q(3 \mid 2)\) ein Schnittpunkt.

a) \(g(x) = -(x - 2)^2 + 3\) b) Die Schnittpunkte sind \((0 \mid -1)\), \((2 \mid 3)\) und \((3 \mid 2)\). c) \(f(3) = 2\) und \(g(3) = 2\). Da beide Funktionswerte gleich sind, ist \(Q(3 \mid 2)\) ein Schnittpunkt.

- Für welche \(x\)-Werte wird der Nenner null? - Was ergibt sich, wenn du im Funktionsterm \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Welches Verhältnis bestimmt bei gleichen Graden die waagrechte Asymptote? - Wann ist ein Bruch gleich null?

1. Der Nenner wird für \(x=\pm3\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}\). Es gilt \(f(-x)=f(x)\), also ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Die senkrechten Asymptoten sind \(x=-3\) und \(x=3\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to2\); die waagrechte Asymptote ist \(y=2\). 3. Es gilt \(f(0)=0\), und \(2x^2=0\) liefert ebenfalls \(x=0\). Beide Achsenschnittpunkte fallen im Ursprung \(O(0\mid0)\) zusammen.

1. \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}\); Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse 2. Senkrechte Asymptoten: \(x=-3\), \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=2\) 3. \(O(0\mid0)\)

- Faktorisiere die Differenz zweier Quadrate im Zähler von \(f\). - Notiere die ursprüngliche Definitionslücke, bevor du einen gemeinsamen Faktor kürzt. - Vergleiche bei \(x=3\), ob nach der Faktorbetrachtung ein Nennerfaktor übrig bleibt. - Für die Höhe des Lochs kannst du den gekürzten Term verwenden.

a) Für \(f\) gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Für \(x\neq3\) kann daher zu \(f(x)=x+3\) gekürzt werden. Die ursprüngliche Definitionslücke bei \(x=3\) bleibt jedoch bestehen und ist hebbar. Deshalb gehört \(f\) zur Geraden mit offen markiertem Punkt in Abbildung 2. Für \(g\) ist der Zähler bei \(x=3\) gleich \(4\) und damit nicht null. Die Stelle \(x=3\) ist eine Polstelle mit senkrechter Asymptote. Deshalb gehört \(g\) zu Abbildung 1. b) Der gekürzte Term von \(f\) ist \(x+3\). Für \(x=3\) ergibt er den Grenzwert \(6\). Das Loch liegt bei \(L(3\mid6)\).

a) Abbildung 1 gehört zu \(g\), Abbildung 2 zu \(f\). b) \(L(3\mid6)\)

- Vergleiche die Lage des Maximums der beiden Funktionen. - Was passiert mit dem Wert des Bruchs, wenn die Variable \(x\) extrem große positive oder negative Werte annimmt? - Denke an die allgemeine Symmetriebedingung für Graphen, die horizontal verschoben wurden.

1. Es gilt \(f(x) = 2g(x-5) + 1\). Der Graph entsteht somit durch eine Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts, eine Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2 und eine Verschiebung um 1 Einheit nach oben. 2. Für \(x \to \pm \infty\) geht der Nenner \(1 + (x-5)^2\) gegen unendlich, wodurch der Bruchterm \(\frac{2}{1+(x-5)^2}\) gegen 0 strebt. Es gilt also \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 + 0 = 1\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 1\). 3. Aufgrund der Verschiebung in \(x\)-Richtung liegt die Symmetrieachse bei \(x = 5\). Der rechnerische Nachweis erfolgt über \(f(5-h) = 1 + \frac{2}{1+(-h)^2} = 1 + \frac{2}{1+h^2}\) und \(f(5+h) = 1 + \frac{2}{1+h^2}\). Da \(f(5-h) = f(5+h)\) für alle \(h \in \mathbb{R}\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zu \(x = 5\).

1. Verschiebung um 5 nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor 2, Verschiebung um 1 nach oben. 2. \(y = 1\). 3. Achsensymmetrie zu \(x = 5\).

- Vergleiche die höchste Potenz im Zähler mit der höchsten Potenz im Nenner, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? Was muss man für \(x\) einsetzen? - Erinnere dich, dass ein Bruch genau dann null ist, wenn sein Zähler null ist. - Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner, um sie nach \(x\) aufzulösen.

1. Globales Verhalten: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind (\(2\)), wird der Grenzwert durch das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen bestimmt: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 4}{x^2 + 1} = \frac{2}{1} = 2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 2\). 2. Schnittpunkte mit den Achsen: \(y\)-Achse: \(g(0) = \frac{2 \cdot 0^2 - 4}{0^2 + 1} = -4 \Rightarrow S_y(0 \mid -4)\). \(x\)-Achse: \(g(x) = 0 \iff 2x^2 - 4 = 0 \iff x^2 = 2 \iff x = \pm \sqrt{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(N_1(-\sqrt{2} \mid 0)\) und \(N_2(\sqrt{2} \mid 0)\). 3. Berechnung der Stellen für \(y = 1{,}4\): \(\frac{2x^2 - 4}{x^2 + 1} = 1{,}4 \iff 2x^2 - 4 = 1{,}4(x^2 + 1) \iff 2x^2 - 4 = 1{,}4x^2 + 1{,}4 \iff 0{,}6x^2 = 5{,}4 \iff x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\).

a) Es gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 2\). Der Graph nähert sich der waagrechten Geraden \(y = 2\) an. b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(-\sqrt{2} \mid 0) \approx (-1{,}41 \mid 0)\) und \(N_2(\sqrt{2} \mid 0) \approx (1{,}41 \mid 0)\). c) Die gesuchten Stellen sind \(x = -3\) und \(x = 3\).

- Bei welchem \(x\)-Wert wächst der Graph ohne Schranke? - Welchem \(y\)-Wert nähert sich der Graph für große \(|x|\)? - Welcher einfache Ansatz enthält beide Asymptoten bereits? - Wie kannst du einen markierten Punkt nutzen, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen?

1. Der Graph besitzt bei \(x=2\) eine Polstelle. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\), und die senkrechte Asymptote ist \(x=2\). 2. Für \(x\to\pm\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y=2\), ohne diesen Wert zu erreichen. Daher ist die waagrechte Asymptote \(y=2\) und \(W_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 3. Ein passender Ansatz ist \(f(x)=2+\frac{a}{x-2}\). Mit \(A(0\mid1{,}5)\) folgt \(1{,}5=2-\frac{a}{2}\), also \(a=1\). 4. Damit ist \(f(x)=2+\frac{1}{x-2}=\frac{2x-3}{x-2}\). Der Punkt \(B(1{,}5\mid0)\) bestätigt den Term.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); \(W_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) b) Senkrechte Asymptote \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\) c) Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{2x-3}{x-2}\).

- Bei welchen \(x\)-Werten wächst der Graph ohne Schranke? - Welchem \(y\)-Wert nähert sich der Graph für große \(|x|\)? - Wie kannst du die Achsensymmetrie im Aufbau eines einfachen Terms berücksichtigen? - Welcher bekannte Punkt bestimmt den noch fehlenden Parameter?

1. Der Graph besitzt senkrechte Asymptoten bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie die waagrechte Asymptote \(y=2\). Daher ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). 2. Wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse und der Pole bei \(\pm2\) ist \(g(x)=\frac{2x^2+b}{x^2-4}\) ein einfacher Ansatz. Das Verhältnis der Leitkoeffizienten erzeugt die waagrechte Asymptote \(y=2\). 3. Mit \(S_y(0\mid-0{,}5)\) gilt \(-0{,}5=\frac{b}{-4}\), also \(b=2\). 4. Ein möglicher Funktionsterm lautet \(g(x)=\frac{2x^2+2}{x^2-4}\).

a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\); senkrechte Asymptoten \(x=-2\), \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\) b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x)=\frac{2x^2+2}{x^2-4}\).

- Setze den Funktionsterm gleich einer Variablen \(y\) und löse die entstehende Gleichung nach \(x\) auf. - Bei welchem Wert von \(y\) scheitert dieses Auflösen? - Prüfe zusätzlich, ob der berechnete \(x\)-Wert jemals die ausgeschlossene Definitionsstelle \(-4\) sein kann. - Was ergibt die ursprüngliche Gleichung direkt für den besonderen Wert, bei dem das Auflösen scheitert?

1. Setze \(y=\frac{3x}{x+4}\) und untersuche, für welche Werte von \(y\) die Gleichung nach \(x\) lösbar ist. 2. Aus \(y(x+4)=3x\) folgt \(yx+4y=3x\) und damit \(x(y-3)=-4y\). 3. Für \(y\neq 3\) erhält man \(x=\frac{-4y}{y-3}\). 4. Dieser Wert ist für jedes \(y\neq 3\) reell und niemals \(-4\): Die Annahme \(-4=\frac{-4y}{y-3}\) würde auf \(12=0\) führen. 5. Für \(y=3\) ergibt die ursprüngliche Gleichung \(3(x+4)=3x\), also den Widerspruch \(12=0\). Daher wird \(3\) nicht angenommen, jeder andere reelle Wert dagegen schon. 6. Somit gilt \(W_h=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

Aus \(y=\frac{3x}{x+4}\) folgt für \(y\neq 3\) der zulässige Wert \(x=\frac{-4y}{y-3}\). Für \(y=3\) entsteht ein Widerspruch. Daher ist \(W_h=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

- Die beiden Asymptoten legen die Verschiebung des Grundgraphen \(\frac1x\) fest. - Ein markierter Punkt bestimmt anschließend den noch fehlenden Streckungsfaktor. - Vergleiche für die Monotonie den erhaltenen Graphen mit dem bekannten Grundgraphen der Kehrwertfunktion. - Verschiebungen ändern die Richtung der Monotonie innerhalb der entsprechenden Definitionsintervalle nicht.

a) Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\), also ist \(b=2\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=1\), also ist \(c=1\). Der Punkt \(P(3\mid2)\) liefert \(2=\frac{a}{3-2}+1\), daher ist \(a=1\). Somit gilt \(f(x)=\frac{1}{x-2}+1\). b) Die maximale Definitionsmenge ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Die senkrechte Asymptote lautet \(x=2\), die waagrechte Asymptote \(y=1\). c) Der Grundgraph von \(r(x)=\frac1x\) ist auf \(]-\infty;0[\) und auf \(]0;\infty[\) jeweils streng monoton fallend. Die Verschiebung um \(2\) nach rechts und \(1\) nach oben ändert dieses Monotonieverhalten nicht. Daher ist \(f\) auf \(]-\infty;2[\) und auf \(]2;\infty[\) jeweils streng monoton fallend.

a) \(f(x)=\frac{1}{x-2}+1\) b) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); Asymptoten \(x=2\) und \(y=1\) c) Streng monoton fallend auf \(]-\infty;2[\) und \(]2;\infty[\)

- Untersuche, wie sich der Funktionswert ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Schau dir die Stellen an, an denen die Kurve ihre Richtung ändert, um die Extrempunkte zu finden. - Überlege dir, was mit dem Wert des Bruchs passiert, wenn \(x\) immer größer wird. Vergleiche dazu die Stärke des Wachstums von Zähler und Nenner.

1. Symmetrieprüfung: \(g(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{-3x}{x^2 + 1} = -g(x)\). Da \(g(-x) = -g(x)\) gilt, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Ablesen der Extrempunkte: Der Graph hat einen Hochpunkt bei \(H(1 \mid 1{,}5)\) und einen Tiefpunkt bei \(T(-1 \mid -1{,}5)\). 3. Grenzwertbetrachtung: Da der Grad des Nenners (2) größer ist als der Grad des Zählers (1), nähert sich der Funktionswert für sehr große \(x\)-Werte der Null an: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x^2 + 1} = 0\). 4. Asymptote bestimmen: Die waagrechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 0\).

a) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(g(-x) = -g(x)\) gilt. b) Die Extrempunkte liegen bei \(H(1 \mid 1{,}5)\) und \(T(-1 \mid -1{,}5)\). c) Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\), da der Nenner für \(x \to \infty\) stärker wächst als der Zähler.

- Bestimme zuerst die Polstellen, indem du die Nullstellen der Nenner suchst. - Überprüfe das Verhalten für sehr große Beträge von \(x\), um die waagerechten oder schrägen Asymptoten zu finden. - Setze \(x = 0\) ein, um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu bestimmen. - Schau dir an, ob der Graph an einer Polstelle das Vorzeichen wechselt oder nicht.

1. Graph \(a\) gehört zu \(g_1\): Er besitzt eine Polstelle bei \(x = 0\) (die \(y\)-Achse ist vertikale Asymptote) und nähert sich für große Beträge von \(x\) der schrägen Asymptote \(y = x\) an. Die Nullstellen liegen bei \(x = \pm 1\). 2. Graph \(b\) gehört zu \(g_2\): Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, hat keine Polstellen und besitzt ein Maximum bei \((0 \mid 2)\). Für große Beträge von \(x\) nähert er sich der \(x\)-Achse (\(y = 0\)) an. 3. Graph \(c\) gehört zu \(g_3\): Es gibt eine Polstelle bei \(x = -2\) und eine Nullstelle bei \(x = 2\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 1\). 4. Graph \(d\) gehört zu \(g_4\): Der Graph verläuft vollständig oberhalb der \(x\)-Achse und besitzt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 1\).

Die Zuordnung lautet: \(g_1 \to a\), \(g_2 \to b\), \(g_3 \to c\), \(g_4 \to d\).

- Überlege dir, ob es Werte für \(x\) gibt, bei denen der Nenner null werden könnte. - Welchen Einfluss hat das Quadrat im Nenner auf die Funktionswerte bei sehr großen positiven oder negativen \(x\)-Werten? - Wo erreicht der Nenner seinen kleinsten Wert und was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs? - Teste, was passiert, wenn du \(x\) durch \(-x\) in der Formel ersetzt.

1. Definitionsmenge: Der Nenner \(x^2 + 2\) ist für alle reellen Zahlen mindestens \(2\), da \(x^2 \ge 0\) gilt. Somit wird der Nenner nie null, und es gilt \(D_h = \mathbb{R}\). 2. Wertemenge: Der Nenner hat sein Minimum bei \(x = 0\) mit dem Wert \(2\). Dies führt zum maximalen Funktionswert \(h(0) = \frac{6}{0^2 + 2} = 3\). Da der Zähler konstant positiv ist und der Nenner für \(x \to \pm\infty\) gegen unendlich wächst, nähert sich der Graph der x-Achse von oben an, erreicht die Null aber nie. Somit ist \(W_h = (0; 3]\). 3. Symmetrie: Es gilt \(h(-x) = \frac{6}{(-x)^2 + 2} = \frac{6}{x^2 + 2} = h(x)\). Da die Bedingung für eine gerade Funktion erfüllt ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor.

a) \(D_h = \mathbb{R}\) und \(W_h = (0; 3]\) b) Da \(h(-x) = h(x)\) gilt, ist die Funktion gerade und somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Prüfe zuerst, welche Werte der ursprüngliche Nenner ausschließt, bevor du den Term vereinfachst. - Nach dem Faktorisieren zeigt sich, ob ein ausgeschlossener Wert durch Kürzen zu einer hebbaren Lücke wird oder als Polstelle bestehen bleibt. - Eine geeignete umgeformte Darstellung kann gleichzeitig die waagrechte Asymptote und die Lage der Äste relativ zu ihr sichtbar machen. - Behalte beim Skizzieren auch einen gekürzten ausgeschlossenen Wert als fehlenden Punkt im Blick.

1. Es gilt \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) und \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). Daher ist \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1;2\}\). 2. Für \(x\neq-1,2\) vereinfacht sich der Term zu \(h(x)=\frac{x-1}{x-2}=1+\frac{1}{x-2}\). Bei \(x=-1\) wurde ein gemeinsamer Faktor gekürzt; dort liegt eine hebbare Definitionslücke. Der zugehörige fehlende Punkt ist \((-1\mid\frac{2}{3})\). 3. Bei \(x=2\) bleibt der Nenner des gekürzten Terms \(0\), während der Zähler dort nicht \(0\) ist. Deshalb liegt bei \(x=2\) eine Polstelle und die senkrechte Asymptote \(x=2\) vor. 4. Die Nullstelle ist \(x=1\). Außerdem gilt \(h(0)=\frac{1}{2}\), also ist \(S_y(0\mid\frac{1}{2})\). Aus der Form \(1+\frac{1}{x-2}\) folgt die waagrechte Asymptote \(y=1\). 5. Es gilt \(h(x)-1=\frac{1}{x-2}\). Für \(x<2\) ist die Differenz negativ, für \(x>2\) positiv. Der linke Ast liegt daher unterhalb, der rechte Ast oberhalb von \(y=1\); die hebbare Lücke bei \(x=-1\) bleibt dabei ausgespart.

a) \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1;2\}\); hebbare Definitionslücke bei \(x=-1\) mit fehlendem Punkt \((-1\mid\frac{2}{3})\); Polstelle bei \(x=2\) b) Nullstelle \(x=1\); \(S_y(0\mid\frac{1}{2})\); Asymptoten \(x=2\) und \(y=1\) c) Für \(x<2\) liegt \(G_h\) unterhalb von \(y=1\), für \(x>2\) oberhalb von \(y=1\).

- Die waagerechte Asymptote gibt den Wert an, dem sich die Funktion für sehr große \( x \) annähert. - Der Abstand zwischen zwei Werten lässt sich mathematisch durch den Betrag ihrer Differenz ausdrücken. - Berücksichtige beim Lösen der Ungleichung das Vorzeichen des Nenners für den betrachteten Bereich \( x > -2 \).

1. Asymptoten: Die Nullstelle des Nenners \( 0{,}5x + 1 = 0 \) führt zur senkrechten Asymptote \( x = -2 \). Der Grenzwert für \( x \to \pm \infty \) ist \( -2 \), daher ist die waagerechte Asymptote \( y = -2 \). 2. Ansatz für die Abweichung: Gesucht ist \( x > -2 \), sodass \( |g(x) - (-2)| < 0{,}1 \). Einsetzen ergibt \( |\frac{3}{0{,}5x + 1} - 2 + 2| < 0{,}1 \), also \( |\frac{3}{0{,}5x + 1}| < 0{,}1 \). 3. Da \( x > -2 \), ist der Nenner \( 0{,}5x + 1 > 0 \). Die Betragsstriche können weggelassen werden: \( \frac{3}{0{,}5x + 1} < 0{,}1 \). 4. Umformen der Ungleichung: \( 3 < 0{,}1 \cdot (0{,}5x + 1) \Rightarrow 3 < 0{,}05x + 0{,}1 \Rightarrow 2{,}9 < 0{,}05x \). 5. Division durch \( 0{,}05 \): \( x > 58 \).

a) Senkrechte Asymptote: \( x = -2 \); waagerechte Asymptote: \( y = -2 \) b) Die Funktionswerte weichen für \( x > 58 \) um weniger als \( 0{,}1 \) von der waagerechten Asymptote ab.

- Wann führt eine Definitionslücke zu einer senkrechten Asymptote? - Wie kann man einen Bruch aufspalten, um das Verhalten im Unendlichen besser zu sehen? - Vergleiche die Bestandteile der allgemeinen Asymptotengleichung mit der vorgegebenen Geraden. - Was passiert mit dem Bruch, wenn die höchste Potenz im Zähler und Nenner gleich ist?

1. Der Nenner wird bei \(x = 0\) null. Der Zähler hat dort den Wert \(4\neq0\). Daher liegt für alle Parameter eine Polstelle und damit die senkrechte Asymptote \(x=0\) vor. 2. Es gilt \(g_{a,b}(x)=\frac{a}{2}x+\frac{b}{2}+\frac{2}{x}\). Der lineare Anteil ist daher die schräge Asymptote \(y=\frac{a}{2}x+\frac{b}{2}\). 3. Aus \(\frac{a}{2}=1{,}5\) und \(\frac{b}{2}=2\) folgen \(a=3\) und \(b=4\). 4. Für \(a=0\) ist \(g_{0,b}(x)=\frac{b}{2}+\frac{2}{x}\). Damit gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}g_{0,b}(x)=\frac{b}{2}\), also lautet die waagrechte Asymptote \(y=\frac{b}{2}\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x=0\) b) \(a = 3\) und \(b = 4\) c) Waagrechte Asymptote: \(y = \frac{b}{2}\), da \(\lim_{x \to \pm\infty} g_{0,b}(x)=\frac{b}{2}\)

- Wie hängen die Nullstellen des Nenners mit den senkrechten Asymptoten zusammen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Kannst du beim Gleichsetzen der Terme einen gemeinsamen Faktor im Zähler entdecken? - Denke bei Gleichungen daran, dass ein Produkt null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

1. Asymptoten von \(h\): Senkrechte Asymptote bei der Nullstelle des Nenners \(x = 1\); waagrechte Asymptote durch Betrachtung des Grenzwerts für \(x \to \pm\infty\): \(y = 1\). 2. Asymptoten von \(k\): Senkrechte Asymptote bei \(x = -2\); waagrechte Asymptote durch Koeffizientenvergleich der höchsten Potenzen: \(y = \frac{2}{1} = 2\). 3. Schnittpunkte durch Gleichsetzen: \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{2x+2}{x+2}\). 4. Ausklammern im Zähler von \(k(x)\): \(\frac{x+1}{x-1} = \frac{2(x+1)}{x+2}\). 5. Fallunterscheidung: Fall 1: \(x+1 = 0 \implies x_1 = -1\). Einsetzen ergibt \(h(-1) = 0\), also \(S_1(-1 \mid 0)\). Fall 2: \(x+1 \neq 0\). Kürzen durch \((x+1)\) führt zu \(\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+2}\). 6. Lösen der linearen Gleichung: \(x+2 = 2(x-1) \implies x+2 = 2x-2 \implies x_2 = 4\). 7. Berechnung des \(y\)-Werts: \(h(4) = \frac{4+1}{4-1} = \frac{5}{3}\). 8. Die gemeinsamen Punkte sind \(S_1(-1 \mid 0)\) und \(S_2(4 \mid \frac{5}{3})\).

a) \(h\): senkrechte Asymptote \(x=1\), waagrechte Asymptote \(y=1\); \(k\): senkrechte Asymptote \(x=-2\), waagrechte Asymptote \(y=2\). b) Die gemeinsamen Punkte sind \(S_1(-1 \mid 0)\) und \(S_2(4 \mid \frac{5}{3})\).

- Setze die Funktionsterme gleich und versuche, eine quadratische Gleichung in \(x\) zu erhalten. - Überlege, welches Werkzeug dir hilft, die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen. - Vergiss nicht, dass der Wert des Parameters die Anzahl der Lösungen beeinflussen kann. - Gibt es einen speziellen Wert für \(x\), der nicht als Lösung infrage kommt? Prüfe, ob dieser für bestimmte \(a\) auftreten würde.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{2a}{x+1} = x-2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \((x+1)\) ergibt \(2a = (x-2)(x+1) = x^2-x-2\). 3. Umformen zur quadratischen Gleichung \(x^2-x-2-2a = 0\). 4. Bestimmung der Diskriminante: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2-2a) = 1 + 8 + 8a = 9 + 8a\). 5. Untersuchung der Diskriminante: \(D < 0 \iff a < -1{,}125\) (keine Lösung), \(D = 0 \iff a = -1{,}125\) (eine Lösung), \(D > 0 \iff a > -1{,}125\) (zwei Lösungen). 6. Prüfung der Definitionslücke \(x = -1\): Einsetzen in die quadratische Gleichung ergibt \((-1)^2 - (-1) - 2 - 2a = 0 \iff -2a = 0 \iff a = 0\). Für \(a = 0\) entfällt somit eine Lösung, da sie nicht im Definitionsbereich liegt. 7. Ergebnis: Für \(a < -1{,}125\) gibt es 0 Schnittpunkte; für \(a = -1{,}125\) oder \(a = 0\) gibt es 1 Schnittpunkt; für \(a > -1{,}125\) mit \(a \neq 0\) gibt es 2 Schnittpunkte.

Für \(a < -1{,}125\): 0 Schnittpunkte Für \(a = -1{,}125\) oder \(a = 0\): 1 Schnittpunkt Für \(a > -1{,}125\) und \(a \neq 0\): 2 Schnittpunkte

- Zeichne dir eine Skizze des Banners mit der bedruckten Fläche und den Rändern auf. - Wie hängen die Seitenlängen der bedruckten Fläche zusammen, wenn ihr Produkt feststeht? - Denke daran, dass die Gesamtmaße des Banners die Maße der bedruckten Fläche plus die Ränder auf beiden Seiten sind. - Für die schräge Asymptote ist es hilfreich, den Funktionsterm in der Form \(ax + b + \frac{c}{x}\) zu betrachten.

1. Gesamthöhe: Die bedruckte Fläche ist \(xy = 18\), also ist die Höhe des bedruckten Teils \(y = \frac{18}{x}\). Für \(x > 0\) ist die Gesamthöhe inklusive Ränder \(H(x) = \frac{18}{x} + 2 \cdot 1 = \frac{18}{x} + 2\). 2. Gesamtfläche: Die Gesamtbreite ist \(B(x) = x + 2 \cdot 0{,}5 = x + 1\). Der Flächeninhalt ist \(A(x) = (x + 1)(\frac{18}{x} + 2) = 18 + 2x + \frac{18}{x} + 2 = 2x + 20 + \frac{18}{x}\). Gleichnamig machen ergibt \(A(x) = \frac{2x^2 + 20x + 18}{x}\) für \(x > 0\). 3. Asymptoten: Im sachlich relevanten Bereich \(x > 0\) liegt am Rand des Definitionsbereichs die senkrechte Asymptote \(x = 0\). Da \(A(x) = 2x + 20 + \frac{18}{x}\), ist \(y = 2x + 20\) die Gleichung der schrägen Asymptote. 4. Gleichung lösen: \(45 = \frac{2x^2 + 20x + 18}{x} \implies 45x = 2x^2 + 20x + 18 \implies 2x^2 - 25x + 18 = 0\). Anwendung der Mitternachtsformel: \(x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2} = \frac{25 \pm \sqrt{481}}{4}\). Dies ergibt \(x_1 \approx 11{,}73\) und \(x_2 \approx 0{,}77\). Beide Lösungen erfüllen \(x > 0\).

a) \(H(x) = \frac{18}{x} + 2\) für \(x > 0\) b) Nachweis durch Multiplikation von Gesamtbreite \((x+1)\) und Gesamthöhe \((\frac{18}{x}+2)\); \(A(x) = \frac{2x^2 + 20x + 18}{x}\) für \(x > 0\). c) Senkrechte Asymptote: \(x = 0\); schräge Asymptote: \(y = 2x + 20\). d) Die Breiten der bedruckten Fläche betragen etwa \(0{,}77\,\text{m}\) oder \(11{,}73\,\text{m}\).

- Wann haben zwei Funktionsgraphen einen gemeinsamen Punkt? - Achte auf den Definitionsbereich der gebrochen-rationalen Funktion. - Welche Bedingung muss für die Diskriminante einer quadratischen Gleichung gelten, damit sie genau eine Lösung hat? - Könnte es sein, dass eine rechnerische Lösung der Gleichung gar nicht im Definitionsbereich der Funktion liegt?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x + k}{x - 2} = x - 4\) mit der Definitionsbedingung \(x \neq 2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner liefert die quadratische Gleichung: \(x + k = (x - 4)(x - 2) \Leftrightarrow x + k = x^2 - 6x + 8 \Leftrightarrow x^2 - 7x + 8 - k = 0\). 3. Fall 1: Die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung (Diskriminante \(D = 0\)). Es gilt \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - k) = 49 - 32 + 4k = 17 + 4k\). \(17 + 4k = 0 \Rightarrow k = -4{,}25\). Die Lösung \(x = 3{,}5\) liegt im Definitionsbereich. 4. Fall 2: Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wovon eine der ausgeschlossene Wert \(x = 2\) ist. Einsetzen von \(x = 2\) in \(x^2 - 7x + 8 - k = 0\): \(4 - 14 + 8 - k = 0 \Rightarrow k = -2\). Für \(k = -2\) ergibt sich \(x^2 - 7x + 10 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 2\) (nicht im Definitionsbereich) und \(x_2 = 5\). Es existiert somit genau ein Schnittpunkt bei \(x = 5\). 5. Die gesuchten Werte sind \(k = -4{,}25\) und \(k = -2\).

Die Graphen haben für \(k = -4{,}25\) und \(k = -2\) genau einen Schnittpunkt.

- Überlege dir, welcher Wert für \(x\) im Nenner nicht erlaubt ist. - Wie hängen die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen mit den Funktionstermen zusammen? - Was bedeutet es für eine quadratische Gleichung, wenn sie genau eine Lösung besitzen soll? - Denke daran, dass Lösungen außerhalb des Definitionsbereichs keine Schnittpunkte liefern.

1. Es gilt \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Die Nullstelle von \(g\) liegt bei \(x=1\). Für \(f_k\) ergibt \(2x+k=0\) den Kandidaten \(x=-\frac{k}{2}\). Für \(k=-2\) ist dieser Wert ausgeschlossen; dann hat \(f_k\) keine Nullstelle. Für \(k\neq-2\) ist \(x=-\frac{k}{2}\) die Nullstelle. 2. Für \(k=6\) führt \(f_6(x)=g(x)\) auf \(\frac{2x+6}{x-1}=x-1\) und damit auf \(x^2-4x-5=0\). Es folgen \(x_1=5\) und \(x_2=-1\). Mit \(g(5)=4\) und \(g(-1)=-2\) erhält man \(S_1(5\mid4)\) und \(S_2(-1\mid-2)\). 3. Die Gleichung \(f_k(x)=g(x)\) ist äquivalent zu \(d_k(x)=f_k(x)-g(x)=0\). Daher sind die zulässigen \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte genau die Nullstellen von \(d_k\). 4. Die Schnittpunktgleichung lautet \(x^2-4x+1-k=0\). Genau ein gemeinsamer Punkt entsteht entweder bei einer doppelten reellen Lösung oder wenn eine von zwei Lösungen die ausgeschlossene Stelle \(x=1\) ist. Für die doppelte Lösung gilt \(16-4(1-k)=0\), also \(k=-3\); die Lösung \(x=2\) ist zulässig. Für eine Lösung \(x=1\) folgt \(1-4+1-k=0\), also \(k=-2\). Dann sind die Lösungen \(x=1\) und \(x=3\), wobei nur \(x=3\) zulässig ist. Damit gilt \(k=-3\) oder \(k=-2\).

a) \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); Nullstelle von \(g\): \(x = 1\); Nullstelle von \(f_k\): \(x = -\frac{k}{2}\) für \(k \neq -2\), keine für \(k = -2\). b) \(S_1(5 \mid 4)\), \(S_2(-1 \mid -2)\) c) Die zulässigen \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte sind die Nullstellen der Differenzfunktion \(d_k\). d) \(k = -3\) oder \(k = -2\)

- Setze die Funktionsterme gleich, um eine Gleichung für mögliche Schnittpunkte zu erhalten. - Welche verschiedenen Gründe kann es geben, dass diese Schnittpunktgleichung keine zulässige reelle Lösung liefert? - Achte darauf, ob gefundene \(x\)-Werte im Definitionsbereich der Funktion \(h_a\) liegen.

1. Es gilt \(D_{h_a} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Für \(a=-6\) wird der Zähler bei \(x=2\) null; da \(2\in D_{h_a}\), ist \(x=2\) die Nullstelle. 2. Für \(a=-5\) liefert \(h_{-5}(x)=l(x)\) die Gleichung \(\frac{3x-5}{x-1}=x-1\), also \(x^2-5x+6=0\). Daraus folgen \(x_1=2\) und \(x_2=3\). Mit \(l(2)=1\) und \(l(3)=2\) erhält man \(S_1(2\mid1)\) und \(S_2(3\mid2)\). 3. Allgemein führt die Schnittpunktbedingung auf \(x^2-5x+1-a=0\). Keine reellen Lösungen liegen vor, wenn \(21+4a<0\), also \(a<-5{,}25\). Zusätzlich ist zu prüfen, ob nur ausgeschlossene Lösungen entstehen. Die ausgeschlossene Stelle \(x=1\) ist für \(a=-3\) Lösung; dann ist jedoch \(x=4\) eine zweite, zulässige Lösung. Daher bleibt genau die Bedingung \(a<-5{,}25\).

a) \(D_{h_a} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); Nullstelle für \(a = -6\): \(x = 2\) b) \(S_1(2 \mid 1)\), \(S_2(3 \mid 2)\) c) Für \(a < -5{,}25\) haben die Graphen keinen gemeinsamen Punkt.

- Was muss für ein beliebiges \(y\) gelten, damit es Element der Wertemenge ist? - Kannst du die Funktionsgleichung so umstellen, dass eine quadratische Gleichung in \(x\) entsteht? - Überlege, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung mindestens eine reelle Lösung besitzt. - Vergiss nicht zu prüfen, ob der Fall \(y = 0\) eine Sonderrolle spielt.

1. Setze \(y = f(x)\) und multipliziere mit dem Nenner: \(y(x^2 - 4) = 3x\). 2. Forme die Gleichung in eine quadratische Form bezüglich \(x\) um: \(yx^2 - 3x - 4y = 0\). 3. Betrachte den Fall \(y = 0\): Die Gleichung vereinfacht sich zu \(-3x = 0\), woraus \(x = 0\) folgt. Da \(0 \in D_f\), ist \(0 \in W_f\). 4. Betrachte den Fall \(y \neq 0\): Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot y \cdot (-4y) = 9 + 16y^2\). 5. Da \(16y^2 \geq 0\) für alle reellen Zahlen \(y\) gilt, ist \(D \geq 9 > 0\). Somit existiert für jedes \(y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) mindestens eine reelle Lösung für \(x\). 6. Eine Überprüfung zeigt, dass die Lösungen \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9+16y^2}}{2y}\) niemals die Definitionslücken \(\pm 2\) erreichen (Eingesetzt in die Gleichung ergibt \(x = \pm 2\) stets den Widerspruch \(\pm 6 = 0\)). Folglich ist jeder Wert \(y \in \mathbb{R}\) ein Funktionswert.

Durch das Aufstellen der Gleichung \(y = f(x)\) und die Untersuchung der Diskriminante \(D = 9 + 16y^2\) der resultierenden quadratischen Gleichung in \(x\) zeigt sich, dass für jedes reelle \(y\) ein Urbild \(x\) existiert. Da die Definitionslücken von \(f\) dabei nicht als Lösungen auftreten, ist die Wertemenge \(W_f = \mathbb{R}\).

- Was passiert, wenn du die Gleichung nach dem Gleichsetzen mit dem Nenner multiplizierst? - Wie verhält sich ein Polynom dritten Grades bezüglich seiner Nullstellen? - Kannst du mithilfe der Ableitung des entstandenen Polynoms etwas über dessen Monotonie aussagen? - Warum ist es wichtig, den Wert der Definitionslücke in die entstandene Gleichung einzusetzen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x+2}{x-1} = x^2 + 2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \(x-1\): \(x+2 = (x^2+2)(x-1) = x^3 - x^2 + 2x - 2\). 3. Zusammenfassen zu einer kubischen Gleichung: \(x^3 - x^2 + x - 4 = 0\). 4. Untersuchung der Funktion \(k(x) = x^3 - x^2 + x - 4\) auf Nullstellen: Die Ableitung \(k'(x) = 3x^2 - 2x + 1\) hat die Diskriminante \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = -8 < 0\). 5. Da \(k'(x) > 0\) für alle \(x\) gilt, ist die Funktion \(k\) streng monoton steigend. 6. Aufgrund der Grenzwerte \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\) besitzt \(k\) genau eine reelle Nullstelle. 7. Prüfung der Definitionslücke: Da \(k(1) = 1 - 1 + 1 - 4 = -3 \neq 0\), liegt die Nullstelle nicht bei \(x=1\). 8. Es existiert somit genau ein Schnittpunkt und damit genau ein gemeinsamer Punkt.

Die Graphen \(G_h\) und \(G_p\) haben genau einen gemeinsamen Punkt.

- Was passiert mit der Funktionsgleichung, wenn man das Argument \(x\) durch \((x - x_0)\) ersetzt? - Vergleiche die schrägen Asymptoten der beiden Funktionen. Geben sie dir einen Hinweis auf eine vertikale Verschiebung? - Setze die transformierte Funktion \(f(x - x_0) + y_0\) mit \(g(x)\) gleich und löse nach den Unbekannten auf.

1. Analyse von \(f(x)\): Der Definitionsbereich ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 0\). Da der Term \(\frac{4}{x}\) für \(x \to \pm\infty\) gegen \(0\) strebt, ist die schräge Asymptote \(y = x\). 2. Prüfung der horizontalen Verschiebung: Eine Verschiebung von \(f\) um \(2\) Einheiten nach rechts entspricht der Funktion \(h(x) = f(x-2) = (x-2) + \frac{4}{x-2} = x - 2 + \frac{4}{x-2}\). 3. Vergleich mit \(g(x)\): Es gilt \(g(x) = x + \frac{4}{x-2}\). Der Vergleich zeigt \(g(x) - h(x) = (x + \frac{4}{x-2}) - (x - 2 + \frac{4}{x-2}) = 2\). Die Behauptung ist also falsch, da zusätzlich eine vertikale Verschiebung vorliegt. 4. Bestimmung des Verschiebungsvektors: Da \(g(x) = h(x) + 2 = f(x-2) + 2\), wurde der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts (\(x_0 = 2\)) und um \(2\) Einheiten nach oben (\(y_0 = 2\)) verschoben. Der Vektor lautet \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\); senkrechte Asymptote \(x = 0\); schräge Asymptote \(y = x\). b) Die Behauptung ist falsch. Der korrekte Verschiebungsvektor ist \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

- Es ist oft hilfreich, alle Terme auf eine Seite zu bringen, sodass auf der anderen Seite eine Null steht. - Warum darf man eine Ungleichung nicht einfach mit einem Term multiplizieren, der das Argument \(x\) enthält? - Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert? Wie vermeidet man dieses Problem durch geschicktes Umformen? - Überlege dir, was die Ungleichung \(f(x) \ge g(x)\) grafisch für die Position der beiden Funktionsgraphen bedeutet.

1. Umformung der Ungleichung: \(\frac{3}{x-2} - x \ge 0\). 2. Bringen auf einen gemeinsamen Nenner: \(\frac{3 - x(x-2)}{x-2} \ge 0 \implies \frac{3 - x^2 + 2x}{x-2} \ge 0 \implies \frac{-(x^2 - 2x - 3)}{x-2} \ge 0\). 3. Bestimmung der kritischen Punkte: Zähler-Nullstellen von \(-x^2 + 2x + 3 = 0\) ergeben \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). Die Definitionslücke des Nenners ist \(x = 2\). 4. Vorzeichenuntersuchung der rationalen Funktion \(T(x) = \frac{-(x-3)(x+1)}{x-2}\): - Für \(x \le -1\) ist \(T(x) \ge 0\). - Für \(-1 < x < 2\) ist \(T(x) < 0\). - Für \(2 < x \le 3\) ist \(T(x) \ge 0\). - Für \(x > 3\) ist \(T(x) < 0\). 5. Lösungsmenge: \(L = ]-\infty; -1] \cup ]2; 3]\). 6. Geometrische Interpretation: In den ermittelten Intervallen liegt der Graph der Funktion \(f(x) = \frac{3}{x-2}\) oberhalb des Graphen der Geraden \(g(x) = x\) oder schneidet diesen (an den Stellen \(x = -1\) und \(x = 3\)).

a) Die Lösungsmenge ist \(L = ]-\infty; -1] \cup ]2; 3]\). b) Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph von \(f(x) = \frac{3}{x-2}\) für \(x \in ]-\infty; -1] \cup ]2; 3]\) nicht unterhalb der Geraden \(g(x) = x\) verläuft. Die Schnittpunkte der Graphen liegen bei \(x = -1\) und \(x = 3\).

- Prüfe zunächst die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\) und das Grenzverhalten des Quotienten. - Für Extrempunkte brauchst du die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(h'\). - Für Wendepunkte untersuchst du entsprechend \(h''\). - Die Quotientenregel ist hier der zentrale Ableitungsweg.

1. Es gilt \(h(-x)=-h(x)\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Außerdem gilt \(h(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\), also ist \(y=0\) eine waagrechte Asymptote. 2. Die Quotientenregel liefert \(h'(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}\). Die Nullstellen sind \(x=\pm\sqrt3\). Der Vorzeichenwechsel ergibt den Tiefpunkt \(T(-\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{6})\) und den Hochpunkt \(H(\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{6})\). 3. Es gilt \(h''(x)=\frac{2x^3-18x}{(x^2+3)^3}=\frac{2x(x^2-9)}{(x^2+3)^3}\). Die Nullstellen sind \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). Der Zähler wechselt an jeder dieser einfachen Nullstellen das Vorzeichen. 4. Damit liegen die Wendepunkte bei \(W_1(-3\mid-0{,}25)\), \(W_2(0\mid0)\) und \(W_3(3\mid0{,}25)\).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; waagrechte Asymptote \(y=0\). b) Tiefpunkt \(T(-\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{6})\); Hochpunkt \(H(\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{6})\). c) Wendepunkte \(W_1(-3\mid-0{,}25)\), \(W_2(0\mid0)\), \(W_3(3\mid0{,}25)\).

- Prüfe für die Symmetrie die Beziehung zwischen \(g(-x)\) und \(g(x)\). - Nach der Quotientenregel sind Zähler und Nenner von \(g'\) so aufgebaut, dass ihr Vorzeichen direkt erkennbar ist. - Für den Wertebereich im mittleren Ast sind die einseitigen Grenzwerte an beiden Polstellen entscheidend.

1. Es gilt \(g(-x)=-g(x)\); daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Wegen des höheren Nennergrades gilt \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\). 2. Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{2x^2+2}{(1-x^2)^2}>0\) für alle \(x\in D_g\). Somit steigt \(g\) auf jedem Definitionsintervall streng. 3. Im Ursprung ist \(g'(0)=2\). Außerdem gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-1^+\) und \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to1^-\). Da \(g\) auf \((-1;1)\) stetig und streng steigend ist, nimmt sie dort jeden reellen Wert genau einmal an.

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\). b) \(g'(x)=\frac{2x^2+2}{(1-x^2)^2}>0\); streng steigend auf jedem Definitionsintervall. c) Tangentensteigung \(2\); im Intervall \((-1;1)\) ist der Wertebereich \(\mathbb{R}\).

- Kannst du den Nenner der Funktion so umformen, dass die Symmetrie deutlicher wird? - Erinnere dich an die Methode der quadratischen Ergänzung. - Wenn du rechnerisch vorgehst, vergleiche die Funktionswerte an den Stellen \(1+h\) und \(1-h\). - Multipliziere die Klammern im Nenner sorgfältig aus und fasse alle Zahlen zusammen.

1. Anwendung des Kriteriums für Achsensymmetrie \(f(1+h) = f(1-h)\). 2. Berechnung des Terms für \(f(1+h)\): \(\frac{8}{(1+h)^2 - 2(1+h) + 5} = \frac{8}{1 + 2h + h^2 - 2 - 2h + 5} = \frac{8}{h^2 + 4}\). 3. Berechnung des Terms für \(f(1-h)\): \(\frac{8}{(1-h)^2 - 2(1-h) + 5} = \frac{8}{1 - 2h + h^2 - 2 + 2h + 5} = \frac{8}{h^2 + 4}\). 4. Vergleich der Ausdrücke: Da \(f(1+h)\) und \(f(1-h)\) für alle \(h\) denselben Wert \(\frac{8}{h^2+4}\) ergeben, ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\). Alternativer Weg: Durch quadratische Ergänzung im Nenner erhält man \(f(x) = \frac{8}{(x-1)^2 + 4}\), woran die Symmetrie zur Stelle \(x=1\) direkt ablesbar ist.

Die Symmetrie wird durch \(f(1+h) = f(1-h)\) nachgewiesen. Beide eingesetzten Werte führen nach Vereinfachung des Nenners auf den identischen Term \(\frac{8}{h^2 + 4}\). Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\).

- Prüfe Definitionsbereich, Symmetrie und Asymptote zunächst direkt am Funktionsterm. - Vergleiche die Nullstellen der Funktion mit den Nullstellen der zweiten Ableitung. - Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bestätigt eine Wendestelle. - Für den Extrempunkt ist der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung entscheidend.

1. Da \(x^2+3>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Aus \(x^2-1=0\) folgen die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\). Wegen gleicher Zähler- und Nennergrade ist \(y=1\) eine waagerechte Asymptote. 3. Es gilt \(f'(x)=\frac{8x}{(x^2+3)^2}\) und \(f''(x)=\frac{24(1-x^2)}{(x^2+3)^3}\). Die zweite Ableitung wird bei \(x=-1\) und \(x=1\) null und wechselt dort jeweils das Vorzeichen. Daher sind \(W_1(-1\mid0)\) und \(W_2(1\mid0)\) Wendepunkte. 4. Die erste Ableitung wird nur bei \(x=0\) null und wechselt dort von negativ zu positiv. Daher liegt der Tiefpunkt \(T(0\mid-\frac13)\) vor.

1. \(D_f=\mathbb{R}\), achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse 2. Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\); waagerechte Asymptote \(y=1\) 3. \(W_1(-1\mid0)\) und \(W_2(1\mid0)\) 4. \(T(0\mid-\frac13)\)

- Welche Symmetriebedingung kannst du direkt am Funktionsterm prüfen? - Welche Ableitungsregel brauchst du für den gebrochen-rationalen Term? - Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(k\) die Art der beiden Extrempunkte? - Wie helfen Extremwerte und Grenzverhalten bei der Wertemenge?

1. Es gilt \(f_k(-x)=-f_k(x)\). Daher ist jeder Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f_k'(x)=\frac{k(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\). Die stationären Stellen sind \(x=\pm2\). Es gilt \(f_k(-2)=-\frac{k}{4}\) und \(f_k(2)=\frac{k}{4}\). Für \(k>0\) ist der linke Punkt ein Tiefpunkt und der rechte ein Hochpunkt; für \(k<0\) vertauschen sich die Rollen. 3. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f_k(x)\to0\). 4. Die Extremwerte begrenzen die Funktionswerte, daher ist \(W_{f_k}=\left[-\frac{|k|}{4};\frac{|k|}{4}\right]\).

1. Punktsymmetrisch zum Ursprung 2. Extrempunkte bei \(\left(-2\mid-\frac{k}{4}\right)\) und \(\left(2\mid\frac{k}{4}\right)\), deren Art vom Vorzeichen von \(k\) abhängt 3. \(\lim_{x\to\pm\infty}f_k(x)=0\) 4. \(W_{f_k}=\left[-\frac{|k|}{4};\frac{|k|}{4}\right]\)

- Wo befindet sich der höchste Punkt des Graphen? Das ist oft ein guter Hinweis auf eine Symmetrieachse. - Setze für \(x_0\) den Wert ein, den du an der x-Achse als Zentrum der Symmetrie identifiziert hast. - Beim Vereinfachen der Nenner hilft es, die Klammern mit der zweiten bzw. ersten binomischen Formel aufzulösen.

1. Ablesen der Symmetrieachse: Aus dem Graphen ist erkennbar, dass der Hochpunkt bei \(x = 3\) liegt und der Graph dort gespiegelt erscheint. Die Vermutung lautet \(x_0 = 3\). 2. Aufstellen der Symmetriebedingung: \(h(3 - a) = h(3 + a)\). 3. Berechnung der linken Seite: \(h(3 - a) = \frac{2}{(3 - a)^2 - 6(3 - a) + 10} = \frac{2}{9 - 6a + a^2 - 18 + 6a + 10} = \frac{2}{a^2 + 1}\) 4. Berechnung der rechten Seite: \(h(3 + a) = \frac{2}{(3 + a)^2 - 6(3 + a) + 10} = \frac{2}{9 + 6a + a^2 - 18 - 6a + 10} = \frac{2}{a^2 + 1}\) 5. Vergleich: Da beide Seiten gleich sind, ist die Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 3\) bewiesen.

a) Die Symmetrieachse hat die Gleichung \(x = 3\). b) Durch Einsetzen von \(3 - a\) und \(3 + a\) in den Funktionsterm erhält man in beiden Fällen den vereinfachten Ausdruck \(\frac{2}{a^2 + 1}\). Damit ist die Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 3\) nachgewiesen.

- Bestimme zuerst die im Bild erkennbaren senkrechten und waagrechten beziehungsweise schrägen Asymptoten. - Wie kann ein Restterm aussehen, der an einer senkrechten Asymptote unbeschränkt wird, für große \(|x|\) aber gegen null geht? - Welchen markierten Punkt kannst du jeweils einsetzen, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen?

1. Für \(f\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=-3\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. Daher ist \(f(x)=2+\frac{k}{x+3}\) ein passender Ansatz. Mit dem markierten Punkt \((-2\mid3)\) folgt \(3=2+k\), also \(k=1\). Somit ist \(f(x)=2+\frac{1}{x+3}=\frac{2x+7}{x+3}\). 2. Für \(g\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=4\) und die schräge Asymptote durch \((0\mid1)\) und \((2\mid0)\) ab. Deren Steigung ist \(-0{,}5\), also lautet sie \(y=-0{,}5x+1\). Ein passender Ansatz ist \(g(x)=-0{,}5x+1+\frac{c}{x-4}\). Mit dem markierten Punkt \((5\mid-2)\) folgt \(-2=-1{,}5+c\), also \(c=-0{,}5\). Damit ist \(g(x)=-0{,}5x+1-\frac{0{,}5}{x-4}\).

\(f(x)=2+\frac{1}{x+3}\), äquivalent \(f(x)=\frac{2x+7}{x+3}\) \(g(x)=-0{,}5x+1-\frac{0{,}5}{x-4}\), äquivalent \(g(x)=\frac{-0{,}5x^2+3x-4{,}5}{x-4}\)

- Prüfe zuerst, welchen kleinsten Wert der Zähler annehmen kann und ob dieser Funktionswert tatsächlich erreicht wird. - Schreibe den Funktionsterm so um, dass eine Konstante minus ein positiver Bruch entsteht. - Um zu zeigen, dass kein Wert zwischen den Grenzen fehlt, setze \(k(x)=y\) und löse nach \(x^2\) auf. - Für welche Werte von \(y\) ist der dabei entstehende Ausdruck nichtnegativ?

1. Da \(x^2\ge 0\) und \(x^2+1>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gelten, ist \(k(x)\ge 0\). Für \(x=0\) gilt \(k(0)=0\), also wird der Wert \(0\) angenommen. 2. Durch Umformen erhält man \(k(x)=2-\frac{2}{x^2+1}\). Da \(\frac{2}{x^2+1}>0\) gilt, ist stets \(k(x)<2\). Für große Beträge von \(x\) kann der Bruch beliebig klein werden, sodass die Funktionswerte beliebig nahe an \(2\) herankommen. 3. Sei nun \(y\in[0;2[\). Aus \(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(y(x^2+1)=2x^2\) und damit \(x^2=\frac{y}{2-y}\). 4. Wegen \(0\le y<2\) ist \(\frac{y}{2-y}\ge 0\). Daher existiert mindestens ein reelles \(x\) mit \(x^2=\frac{y}{2-y}\), also wird jeder Wert aus \([0;2[\) angenommen. 5. Somit gilt genau \(W_k=[0;2[\).

Es gilt \(0\le k(x)<2\). Umgekehrt besitzt jedes \(y\in[0;2[\) ein Urbild, denn aus \(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(x^2=\frac{y}{2-y}\ge 0\). Daher ist \(W_k=[0;2[\).