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- Welcher Term dominiert das Verhalten der Funktion für sehr große \(x\)-Werte? - Wie verhalten sich Terme mit \(x\) im Nenner, wenn \(x\) sehr groß wird? - Versuche, Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz zu teilen.

1. Den Term mit der höchsten Potenz im Nenner (\(x^2\)) ausklammern oder durch ihn dividieren: \(\frac{1 + \frac{4}{x}}{2 + \frac{3}{x^2}}\). 2. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): Die Terme \(\frac{4}{x}\) und \(\frac{3}{x^2}\) streben gegen \(0\). 3. Resultat: \(\frac{1 + 0}{2 + 0} = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Vergleiche die Grade von Zähler und Nenner. - Bei gleichem Grad sind die führenden Koeffizienten entscheidend.

1. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Das Verhältnis ihrer führenden Koeffizienten ist \(2:1=2\). Daher lautet die waagrechte Asymptote \(y=2\).

\(y=2\)

- Betrachte den linearen Teil und den verbleibenden Bruchterm getrennt. - Welcher Teil bleibt übrig, wenn der Bruchterm für große \(|x|\) gegen \(0\) geht?

1. Für große Beträge von \(x\) nähert sich der Restterm \(\frac{4}{x+1}\) dem Wert \(0\). Daher ist die direkt ablesbare schräge Asymptote \(y=3x-2\).

\(y=3x-2\)

- Welche Gerade wird durch die Stelle bestimmt, an der der Nenner des Restterms null wird? - Welcher Teil des Funktionsterms bleibt übrig, wenn der Bruchterm für große \(|x|\) gegen \(0\) geht? - Vergleiche danach nur noch mit den angebotenen Gleichungen.

1. Der Bruchterm \(\frac{3}{x-2}\) ist bei \(x=2\) nicht definiert und sein Zähler ist ungleich null. Daher ist \(x=2\) eine senkrechte Asymptote. 2. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(\frac{3}{x-2}\to0\). Somit nähert sich \(f(x)\) der Geraden \(y=x+1\); dies ist die schräge Asymptote. 3. Die Gerade \(x=1\) ist keine Asymptote.

c) \(x=1\)

- Multipliziere den Zähler aus, damit du die höchsten Potenzen vergleichen kannst. - Teile Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von \(x\). - Überlege, welche Bruchterme für \(x \to \infty\) verschwinden.

1. Zuerst multiplizieren wir den Zähler aus, um die Koeffizienten der Potenzen von \(x\) besser bestimmen zu können: \((2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4\). 2. Die Funktion lautet nun: \( f(x) = \frac{2x^2 + 7x - 4}{5x^2 - 3x} \). 3. Wir dividieren Zähler und Nenner durch die höchste Potenz \(x^2\): \( \frac{2 + \frac{7}{x} - \frac{4}{x^2}}{5 - \frac{3}{x}} \). 4. Im Unendlichen (\(x \to \infty\)) werden die Brüche mit \(x\) im Nenner zu \(0\): \( \frac{2 + 0 - 0}{5 - 0} = \frac{2}{5} \). 5. Das Ergebnis als Dezimalzahl ausgedrückt ist \(0{,}4\).

\(0{,}4\)

- Vergleiche bei Zähler und Nenner die Terme mit der höchsten Potenz von \(x\). - Welche Information liefert die waagrechte Asymptote über das Verhältnis der führenden Koeffizienten? - Wann ist ein Bruch gleich null, sofern sein Nenner nicht null ist?

1. Zähler und Nenner haben denselben Grad. Deshalb entspricht der Wert der waagrechten Asymptote dem Verhältnis der führenden Koeffizienten. Hier ist dieses Verhältnis \(a:1=a\). 2. Aus der waagrechten Asymptote \(y=5\) folgt daher \(a=5\). 3. Damit lautet die Funktion \(h(x)=\frac{5x-15}{x+3}\). 4. Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse muss der Zähler null sein: \(5x-15=0 \implies x=3\). 5. Für \(x=3\) ist der Nenner \(3+3=6\neq0\). Somit ist der Schnittpunkt \(N(3\mid0)\).

\(a=5\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(3\mid0)\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Grad des Zählers und dem Grad des Nenners bei rationalen Funktionen. - Betrachte, welcher Teil des Bruches für sehr große \( x \)-Werte „stärker“ ist. - Wie lautet die mathematische Gleichung für eine Gerade, die genau auf der \( x \)-Achse liegt?

1. Identifikation der Grade von Zähler- und Nennerpolynom: Der Zähler ist konstant (Grad 0), das Nennerpolynom ist vom Grad 3. 2. Untersuchung des Nenners: Für \( x \to \pm\infty \) dominiert das Glied mit der höchsten Potenz (\( x^3 \)), wodurch der Betrag des Nenners \( |x^3 + 5x| \) über alle Grenzen wächst (Streben gegen \( \infty \) bzw. \( -\infty \)). 3. Da der Zähler konstant bei \( 10 \) bleibt und der Nenner betragsmäßig unendlich groß wird, streben die Funktionswerte gegen \( 0 \). 4. Schlussfolgerung für die Asymptote: Da der Grenzwert \( 0 \) ist, liegt eine waagerechte Asymptote auf der \( x \)-Achse vor.

Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \( y = 0 \).

- Untersuche zuerst, wann der Nenner des Bruchterms null wird. - Welche Größe nimmt der Bruchterm für sehr große positive oder negative \(x\)-Werte näherungsweise an? - Welcher lineare Teil des Funktionsterms bleibt dann übrig?

1. Der Nenner des Bruchterms wird bei \(x=-2\) null, während der Zähler \(-3\) ungleich null ist. Daher ist \(x=-2\) eine senkrechte Asymptote. 2. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(-\frac{3}{x+2}\to0\). Somit wird der Abstand zwischen \(h(x)\) und \(2x+1\) beliebig klein. 3. Daher ist \(y=2x+1\) die schräge Asymptote.

Senkrechte Asymptote: \(x=-2\) Schräge Asymptote: \(y=2x+1\)

- Teile jedes Glied in Zähler und Nenner durch dieselbe höchste Potenz von \(x\). - Achte darauf, dass diese Umformung wegen der Division durch \(x^2\) nur für \(x\neq0\) gilt. - Für den Grenzwert im Unendlichen ist diese zusätzliche Einschränkung unschädlich; betrachte anschließend die Terme mit \(1/x\) und \(1/x^2\).

a) Für \(x\neq0\) gilt \(f(x)=\frac{10-\frac5x+\frac1{x^2}}{2+\frac3{x^2}}\). Diese Darstellung ist für die Grenzwertbetrachtung zulässig; sie ersetzt nicht die ursprüngliche Definitionsmenge, denn der ursprüngliche Term ist auch bei \(x=0\) definiert. b) Für \(x\to\infty\) gehen \(\frac1x\) und \(\frac1{x^2}\) gegen \(0\). Daher gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{10}{2}=5\). Die waagerechte Asymptote lautet \(y=5\).

a) Für \(x\neq0\): \(\frac{10-\frac5x+\frac1{x^2}}{2+\frac3{x^2}}\); diese Form dient nur der Grenzwertbetrachtung. b) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=5\); waagerechte Asymptote \(y=5\).

- Verwende die höchste vorkommende Potenz \(x^2\) als gemeinsamen Divisor. - Untersuche anschließend, welche Bruchterme für \(x\to-\infty\) gegen \(0\) gehen. - Der verbleibende Quotient der führenden Koeffizienten bestimmt den Grenzwert.

a) Für \(x\neq0\) gilt \(g(x)=\frac{\frac4{x^2}-2}{0{,}5+\frac1x-\frac1{x^2}}\). Die Umformung dient nur der Grenzwertbetrachtung. b) Für \(x\to-\infty\) gehen \(\frac1x\) und \(\frac1{x^2}\) gegen \(0\). Somit gilt \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=\frac{-2}{0{,}5}=-4\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=-4\).

a) Für \(x\neq0\): \(g(x)=\frac{\frac4{x^2}-2}{0{,}5+\frac1x-\frac1{x^2}}\) b) \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=-4\); waagerechte Asymptote \(y=-4\).

- Vergleiche, wie schnell Zähler und Nenner für große Beträge von \(x\) wachsen. - Prüfe, ob der einzelne Koeffizient \(3\) tatsächlich den Grenzwert des gesamten Quotienten festlegen kann. - Unterscheide den hier vorliegenden Gradvergleich von dem Fall gleich hoher Grade.

1. Bestimmung der Grade von Zähler- und Nennerpolynom: Der Zählergrad ist \(1\), der Nennergrad ist \(2\). 2. Vergleich der Grade: Da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, gilt für den Grenzwert im Unendlichen: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x + 12}{x^2 - 16} = 0\). 3. Ermittlung der Asymptotengleichung: Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 4. Bewertung der Aussage: Der erste Teil der Aussage (Existenz einer waagrechten Asymptote) ist korrekt, die Begründung für den Wert und das Ergebnis \(y = 3\) sind jedoch falsch.

Die Aussage ist falsch. Zwar existiert eine waagrechte Asymptote, da der Zählergrad \(1\) kleiner als der Nennergrad \(2\) ist, jedoch streben die Funktionswerte für \(x \to \infty\) gegen \(0\). Die korrekte Gleichung der waagrechten Asymptote lautet daher \(y = 0\).

- Vergleiche den gegebenen Funktionsterm mit der vermuteten Geraden und achte darauf, welcher Anteil sich für große \(|x|\) verändert. - Überlege, welche Bedingung der Abstand zwischen Graph und Gerade langfristig erfüllen müsste. - Prüfe das Verhalten des verbleibenden Terms für große positive und negative \(x\)-Werte.

1. Der Unterschied zwischen Funktionswert und Geradenwert ist \(f(x)-(2x+3)=-\frac{3}{x+1}\). 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(-\frac{3}{x+1}\to0\). 3. Damit wird der vertikale Abstand des Graphen von der Geraden \(y=2x+3\) beliebig klein. Die Vermutung ist richtig; \(y=2x+3\) ist die schräge Asymptote.

Die Vermutung stimmt. Die schräge Asymptote ist \(y=2x+3\), weil \(f(x)-(2x+3)=-\frac{3}{x+1}\to0\) für \(x\to\pm\infty\).

- Welcher Teil des Funktionsterms wird vernachlässigbar klein, wenn \(x\) sehr große Werte annimmt? - Wie verhält sich eine Gerade mit positiver Steigung für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Überlege dir, ob der Bruchteil für sehr große \(x\) positiv oder negativ ist, um die Lage zum Graphen zu bestimmen.

1. Identifikation des ganzrationalen Anteils: Da der Term \(\frac{2}{x+4}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen null strebt, ist der lineare Anteil die Gleichung der schrägen Asymptote: \(y = 3x + 1\). 2. Verhalten im Unendlichen: Da die Steigung der Asymptote \(m = 3\) positiv ist, folgt der Graph dem Verlauf der Geraden. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to +\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\). 3. Optionale Präzisierung der Lage: Für \(x \to \infty\) ist \(\frac{2}{x+4} > 0\), daher gilt \(f(x) < 3x + 1\) (Annäherung von unten). Für \(x \to -\infty\) ist \(\frac{2}{x+4} < 0\), daher gilt \(f(x) > 3x + 1\) (Annäherung von oben).

Die Gleichung der schrägen Asymptote lautet \(y = 3x + 1\). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to +\infty\), wobei sich der Graph der Asymptote von unten nähert. Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), wobei sich der Graph der Asymptote von oben nähert.

- Überlege, welche Potenz von \(x\) im Nenner am stärksten dominiert. - Was passiert mit Termen wie \(\frac{1}{x}\) oder \(\frac{1}{x^2}\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Vergleiche den Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners. - Du kannst den Funktionsterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \(x\) dividierst.

1. Für \(f(x)\): Ausklammern von \(x\) im Zähler und Nenner führt auf \(\frac{x \cdot (6 - \frac{15}{x})}{x \cdot (\frac{3}{x} - 2)}\). Für \(x \neq 0\) kann \(x\) gekürzt werden; der anschließende Grenzübergang \(x \to \pm \infty\) ergibt \(\frac{6}{-2} = -3\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = -3\). 2. Für \(g(x)\): Ausklammern von \(x^2\) im Nenner (bzw. Division durch die höchste Nennerpotenz) führt für \(x \neq 0\) auf \(\frac{\frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}}\). Da der Zähler gegen \(0\) und der Nenner gegen \(1\) strebt, ist der Grenzwert \(0\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 0\). 3. Für \(h(x)\): Division durch \(x^2\) ergibt für \(x \neq 0\) \(\frac{1{,}2 - \frac{4}{x}}{0{,}4 + \frac{1}{x^2}}\). Der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) ist \(\frac{1{,}2}{0{,}4} = 3\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 3\).

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = -3\); waagrechte Asymptote \(y = -3\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\) c) \(\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = 3\); waagrechte Asymptote \(y = 3\)

- Eine vorgegebene Gerade ist eine asymptotische Kandidatin, wenn der Unterschied zur Funktion gegen \(0\) geht. - Bringe Funktion und Gerade auf einen gemeinsamen Nenner. - Polynomdivision ist hier nicht nötig.

Es gilt \(k(x)-s(x) =\frac{2x^2-5x+3}{x-2}-(2x-1) =\frac{2x^2-5x+3-(2x-1)(x-2)}{x-2}.\) Da \((2x-1)(x-2)=2x^2-5x+2\), folgt \(k(x)-s(x)=\frac{1}{x-2}.\) Für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) gilt \(\frac1{x-2}\to0\). Der vertikale Abstand zwischen Graph und Gerade geht also gegen \(0\). Damit ist \(s(x)=2x-1\) tatsächlich die schräge Asymptote.

Ja. Es gilt \(k(x)-(2x-1)=\frac1{x-2}\to0\) für \(x\to\pm\infty\). Daher ist \(y=2x-1\) die schräge Asymptote.

- Welcher Termteil verschwindet für große \(|x|\)? - Der Restterm ist zugleich der vertikale Abstand zur Geraden. - Prüfe deshalb nur noch das Vorzeichen dieses Restterms für große positive \(x\).

1. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{2}{x-3}\to0\). Daher ist \(y=x-1\) die schräge Asymptote. 2. Für hinreichend große positive \(x\) ist \(x-3>0\), also \(\frac{2}{x-3}>0\). Damit gilt \(f(x)>x-1\). Der Graph verläuft für \(x\to\infty\) oberhalb der Asymptote.

1. Schräge Asymptote: \(y=x-1\) 2. Für \(x\to\infty\) verläuft der Graph oberhalb der Asymptote.

- Wann ist ein Bruch gleich null? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Welchen Wert muss die Funktion an der Stelle eines Schnittpunkts mit der Asymptote annehmen?

1. Ansatz für die Nullstellen: Der Zähler des Funktionsterms muss null werden: \(x^2 - 6x = 0\). 2. Ausklammern liefert \(x \cdot (x - 6) = 0\), woraus die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\) folgen. 3. Bestimmung der waagrechten Asymptote: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ergibt sich der Grenzwert für \(x \to \pm \infty\) aus dem Quotienten der Koeffizienten der jeweils höchsten \(x\)-Potenz: \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet somit \(y = 0{,}5\). 4. Ansatz für den Schnittpunkt mit der Asymptote: \(f(x) = 0{,}5\). 5. Gleichung lösen: \(\frac{x^2 - 6x}{2x^2 + 12} = 0{,}5 \Leftrightarrow x^2 - 6x = x^2 + 6 \Leftrightarrow -6x = 6 \Leftrightarrow x = -1\).

a) Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 6\); waagrechte Asymptote: \(y = 0{,}5\) b) \(x = -1\)

- Bei einem einteiligen Nenner kannst du die Summanden des Zählers gliedweise teilen. - Alternativ kannst du prüfen, ob der Unterschied zur vorgegebenen Geraden gegen \(0\) geht. - Entscheidend ist nicht nur die Steigung, sondern auch der konstante Term der Asymptote.

A) Durch gliedweises Teilen folgt \(f(x)=0{,}5x+3+\frac5x.\) Da \(\frac5x\to0\), besitzt \(f\) die schräge Asymptote \(y=0{,}5x+3\). B) Prüft man den Unterschied zur vorgegebenen Geraden, so erhält man \(g(x)-(0{,}5x+3) =\frac{-0{,}5x+2}{x+1}\to-0{,}5.\) Der Abstand geht also nicht gegen \(0\); die vorgegebene Gerade ist keine Asymptote von \(g\). C) Gliedweises Teilen ergibt \(h(x)=0{,}5x+2+\frac{2{,}5}{x}.\) Die schräge Asymptote lautet daher \(y=0{,}5x+2\). Somit ist nur A richtig.

A) \(f(x)=\frac{0{,}5x^2+3x+5}{x}\)

- Die Definitionslücke steckt nur im Nenner des Restterms. - Für die schräge Asymptote untersuche, was mit dem Restterm für große \(|x|\) geschieht. - Beim Funktionswert kannst du direkt in die gegebene Darstellung einsetzen.

a) Der Nenner des Bruchterms wird bei \(x=2\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). b) Weil der Zähler des Bruchterms \(-2\) ungleich null ist, liegt bei \(x=2\) eine Polstelle und damit die senkrechte Asymptote \(x=2\) vor. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(-\frac{2}{x-2}\to0\); deshalb ist \(y=x-1\) die schräge Asymptote. c) \(f(4)=4-1-\frac{2}{2}=3-1=2\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) b) Senkrechte Asymptote \(x=2\); schräge Asymptote \(y=x-1\) c) \(f(4)=2\)

- Was passiert mit dem Bruch, wenn du die höchste Potenz von \(x\) im Zähler und Nenner ausklammerst und kürzt? - Vergleiche den Grad des Zählerpolynoms mit dem Grad des Nennerpolynoms. - Welche Terme werden vernachlässigbar klein, wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Für \(f(x)\) wird im Zähler und Nenner die höchste Potenz \(x^2\) ausgeklammert: \(f(x) = \frac{x^2 \cdot (6 + \frac{4}{x})}{x^2 \cdot (3 - \frac{1}{x^2})} = \frac{6 + \frac{4}{x}}{3 - \frac{1}{x^2}}\). Da \(\frac{4}{x} \to 0\) und \(\frac{1}{x^2} \to 0\) für \(x \to \pm \infty\), ergibt sich der Grenzwert \(\frac{6}{3} = 2\). 2. Für \(g(x)\) betrachtet man das Wachstum von Zähler und Nenner. Der Zähler ist konstant \(10\), während der Nenner \(x^2 + 5\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt. Ein konstanter Wert dividiert durch eine über alle Grenzen wachsende Zahl ergibt den Grenzwert \(0\).

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\)

- Vergleiche die Koeffizienten der höchsten Potenzen im Zähler und Nenner. - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass \(x\) nur noch im Nenner von Teilbrüchen vorkommt? - Überlege, was ein Grenzwert im Unendlichen über den Verlauf des Graphen aussagt.

1. Ausklammern der höchsten Potenz \(x\) im Zähler und Nenner: \(f(x) = \frac{x \cdot (8 + \frac{12}{x})}{x \cdot (4 - \frac{5}{x})}\) 2. Kürzen der Variable \(x\): \(f(x) = \frac{8 + \frac{12}{x}}{4 - \frac{5}{x}}\) 3. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): Da \(\lim_{x \to \infty} \frac{12}{x} = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} = 0\), folgt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{8 + 0}{4 - 0} = 2\) 4. Geometrische Bedeutung: Der Graph der Funktion nähert sich für sehr große \(x\)-Werte der waagerechten Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\) an.

Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\). Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph von \(f\) eine waagerechte Asymptote bei \(y = 2\) besitzt.

- Wie verhalten sich die einzelnen Potenzen von \(x\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Welcher Teil des Bruchs wächst „schneller“, wenn der Grad im Nenner höher ist als im Zähler? - Ein nützlicher Trick ist das Ausklammern oder Dividieren durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \(x\).

1. Untersuchung von \(g(x)\): Der Zählergrad (2) ist gleich dem Nennergrad (2). Man dividiert Zähler und Nenner durch die höchste Potenz \(x^2\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{4-0+0}{2+0} = 2\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2\). 2. Untersuchung von \(h(x)\): Der Zählergrad (1) ist kleiner als der Nennergrad (2). Division durch \(x^2\) ergibt: \(\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} - \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{0-0}{2+0} = 0\). Die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)). 3. Begründung: Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, bestimmen die Koeffizienten der höchsten Potenzen den Grenzwert. Ist der Nennergrad größer, dominiert der Nenner für sehr große \(x\), und der Grenzwert ist stets \(0\).

\(\lim_{x \to \infty} g(x) = 2\) und \(\lim_{x \to \infty} h(x) = 0\). Der Unterschied liegt darin, dass bei \(g(x)\) Zähler- und Nennergrad gleich sind, während bei \(h(x)\) der Nennergrad überwiegt.

- Teile \(x^2\), \(2x\) und \(-3\) einzeln durch \(x\). - Der Restterm beschreibt den vertikalen Unterschied zur linearen Komponente. - Sein Vorzeichen entscheidet über die Seite der Annäherung.

a) Durch gliedweises Teilen erhält man \(f(x)=x+2-\frac3x.\) b) Da \(-\frac3x\to0\) für \(x\to\pm\infty\), lautet die schräge Asymptote \(y=x+2\). c) Für \(x\to+\infty\) ist \(-\frac3x<0\); der Graph liegt unterhalb der Asymptote. Für \(x\to-\infty\) ist \(-\frac3x>0\); der Graph liegt oberhalb der Asymptote. d) Ein Schnittpunkt würde \(-\frac3x=0\) erfordern. Das ist unmöglich. Der Graph schneidet seine schräge Asymptote nicht.

a) \(f(x)=x+2-\frac3x\) b) \(y=x+2\) c) Für \(x\to+\infty\) von unten, für \(x\to-\infty\) von oben d) Kein Schnittpunkt.

- Woran erkennst du im Funktionsterm die Stellen, an denen der Graph gegen Unendlich strebt? - Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt? - Kannst du den Nenner in Faktoren zerlegen, um die Nullstellen leichter zu finden? - Welchen Einfluss hat eine Konstante, die zum Bruch addiert wird, auf das Verhalten im Unendlichen?

1. Für Teilaufgabe a): Die Polstelle liegt bei der Nullstelle des Nenners des Bruchs, also bei \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\). Für \(x \to \pm \infty\) strebt der Bruch gegen \(0\), woraus die waagerechte Asymptote \(y = 2\) folgt. 2. Für Teilaufgabe b): Der Nenner wird faktorisiert zu \(x(x + 1)\). Die Polstellen liegen somit bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -1\). Da der Grad des Zählers (1) kleiner ist als der Grad des Nenners (2), ist die \(x\)-Achse die waagerechte Asymptote, also \(y = 0\).

a) Polstelle: \(x = 4\); waagerechte Asymptote: \(y = 2\) b) Polstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -1\); waagerechte Asymptote: \(y = 0\)

- Prüfe eine Kandidatengerade über den Unterschied \(f(x)-g(x)\). - Bringe den Unterschied jeweils auf den Nenner \(x-2\). - Nur ein Grenzwert von \(0\) kennzeichnet die asymptotische Gerade.

Für \(g_1\) gilt \(f(x)-g_1(x) =\frac{3x^2-5x+2-(3x+1)(x-2)}{x-2} =\frac4{x-2}\to0.\) Damit ist \(g_1\) eine asymptotische Gerade. Für \(g_2\) gilt \(f(x)-g_2(x) =\frac{3x^2-5x+2-3x(x-2)}{x-2} =\frac{x+2}{x-2}\to1.\) Der Abstand zu \(g_2\) geht nicht gegen \(0\). Daher ist \(g_2\) keine schräge Asymptote. Somit lautet die schräge Asymptote \(y=3x+1\).

Die schräge Asymptote ist \(g_1(x)=3x+1\). Für \(g_1\) geht der Unterschied gegen \(0\), für \(g_2\) gegen \(1\).

- Was passiert mit dem Teil \(\frac{2}{x}\), wenn \(x\) immer größer wird? - An welcher Stelle darfst du für \(x\) keinen Wert einsetzen? - Die Asymptote beschreibt das Verhalten der Funktion in der Nähe von Definitionslücken oder im Unendlichen.

1. Senkrechte Asymptote: Die Funktion ist an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert, da der Nenner des Bruchteils \(\frac{2}{x}\) dort null wird. Für \(x \to 0\) strebt der Funktionswert gegen \(\pm\infty\). Die senkrechte Asymptote lautet also \(x = 0\) (die \(y\)-Achse). 2. Schräge Asymptote: Für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte (\(x \to \pm\infty\)) geht der Term \(\frac{2}{x}\) gegen Null. Der Funktionswert nähert sich somit immer mehr dem linearen Anteil \(0{,}5x\) an. Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}5x\).

Die senkrechte Asymptote ist die Gerade \(x = 0\). Die schräge Asymptote ist die Gerade \(y = 0{,}5x\).

- Schau dir im Graphen an, welchen Linien sich die Kurve im Unendlichen oder an den Lücken annähert. - Für die senkrechte Asymptote musst du die Definitionslücke untersuchen. - Für die waagrechte Asymptote kannst du das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte betrachten. - Wo schneidet der Graph die vertikale Achse? Welcher \(x\)-Wert gehört zu diesem Punkt?

1. Aus der Abbildung lässt sich eine senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) und eine waagrechte Asymptote bei \(y = 3\) ablesen. 2. Für die senkrechte Asymptote wird der Nenner bei \(x=-2\) null, während der Zähler dort \(-12\neq0\) ist. Daher liegt die senkrechte Asymptote \(x=-2\) vor. Da Zähler und Nenner denselben Grad haben, ist der Quotient der Leitkoeffizienten \(3\); die waagrechte Asymptote lautet \(y=3\). 3. Es gilt \(g(0)=\frac{-6}{2}=-3\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0\mid-3)\).

1. Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 3\) 2. Nennernullstelle bei \(x = -2\); \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 3\) 3. \(S_y(0 \mid -3)\)

- Wo im Funktionsterm findet man Informationen über das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte? - Was muss man für \(x\) einsetzen, um den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse zu finden? - Ein Bruch ist genau dann Null, wenn ein ganz bestimmter Teil des Bruches Null ergibt. Welcher ist das?

1. Senkrechte Asymptote: Nullstelle des Nenners bestimmen: \(2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\). Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = -2\). 2. Waagrechte Asymptote: Betrachtung des Verhaltens für sehr große \(x\)-Werte. Das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten \(x\)-Potenzen ist \(\frac{3}{2} = 1{,}5\). Die Gleichung der waagrechten Asymptote lautet \(y = 1{,}5\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechne \(h(0) = \frac{3 \cdot 0 - 12}{2 \cdot 0 + 4} = \frac{-12}{4} = -3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -3)\). 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null wird. \(3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Da \(4\) in der Definitionsmenge enthalten ist, liegt der Schnittpunkt bei \(N(4 | 0)\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = -2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1{,}5\). b) \(S_y(0 | -3)\). c) Ja, der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(N(4 | 0)\).

- Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Versuche, den Zähler und den Nenner durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \( x \) zu dividieren. - Welche Summanden im Zähler und Nenner werden vernachlässigbar klein, wenn \( x \) extrem groß wird?

1. Ausklammern der höchsten Potenz des Nenners (\( x^2 \)) in Zähler und Nenner: \( f(x) = \frac{x^2 \cdot (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2 \cdot (2 - \frac{3}{x^2})} \). 2. Kürzen des Faktors \( x^2 \): \( f(x) = \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}} \). 3. Anwendung der Grenzwertsätze für \( x \to \pm\infty \): Die Terme \( \frac{4}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \) und \( \frac{3}{x^2} \) streben gegen \( 0 \). 4. Der Zähler strebt somit gegen \( 0 + 0 = 0 \), während der Nenner gegen \( 2 - 0 = 2 \) strebt. 5. Berechnung des Gesamtgrenzwerts: \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{0}{2} = 0 \).

\( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \) und \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \)

- Vergleiche bei a) und c) die Grade und führenden Koeffizienten. - Bei b) ist die lineare Asymptote bereits als eigener Termteil sichtbar. - Unterscheide bei einer schrägen Asymptote zwischen „Abstand zur Geraden geht gegen null“ und dem Vorzeichen des unbeschränkten Funktionswerts.

a) Zähler und Nenner haben Grad \(2\). Daher gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{10}{2}=5\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=5\). b) Der Restterm \(-\frac{2}{x+1}\) geht für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\). Deshalb ist \(y=x+1\) die schräge Asymptote. Außerdem gilt \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). c) Zähler und Nenner haben Grad \(1\). Daher gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\frac{-4}{2}=-2\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=-2\).

a) \(f(x)\to5\) für \(x\to\pm\infty\); waagerechte Asymptote \(y=5\). b) \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\); schräge Asymptote \(y=x+1\). c) \(h(x)\to-2\) für \(x\to\pm\infty\); waagerechte Asymptote \(y=-2\).

- Welchen Einfluss hat der Parameter auf den Grad des Zählerpolynoms? - Wie berechnet man den Grenzwert einer rationalen Funktion, wenn Zähler und Nenner denselben Grad haben? - Was bedeutet es für den Grenzwert, wenn der Grad des Nenners echt größer ist als der des Zählers?

1. Für \(a \neq 0\) sind Zähler- und Nennergrad gleich (\(2\)). Das Verhalten im Unendlichen wird durch das Verhältnis der Leitkoeffizienten bestimmt: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax^2 + 6x}{3x^2 - 12} = \frac{a}{3}\). 2. Um Konvergenz gegen \(4\) zu erreichen, muss gelten: \(\frac{a}{3} = 4\). Daraus folgt durch Multiplikation mit \(3\): \(a = 12\). 3. Für \(a = 0\) lautet die Funktionsgleichung \(f_0(x) = \frac{6x}{3x^2 - 12}\). Hier ist der Nennergrad (\(2\)) größer als der Zählergrad (\(1\)). 4. Daraus folgt, dass die Funktion für \(x \to \pm\infty\) gegen \(0\) konvergiert: \(\lim_{x \to \pm\infty} f_0(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die x-Achse mit der Gleichung \(y = 0\).

a) \(a = 12\); Begründung über den Koeffizientenvergleich der höchsten Potenzen \(\frac{a}{3} = 4\). b) Für \(a = 0\) konvergiert die Funktion gegen \(0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\).

- Untersuche zuerst den Definitionsbereich der Funktion. - Prüfe, ob du den Funktionsterm kürzen kannst, bevor du die Asymptoten bestimmst. - Unterscheidet sich das Verhalten der Funktion an den verschiedenen Definitionslücken? - Was passiert mit dem Bruch, wenn \(x\) immer größer oder immer kleiner wird?

1. Bestimmung der Definitionslücken: Der Nenner \(x^2 - 4\) wird null für \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 2. Untersuchung der Lücken: Durch Faktorisieren von Zähler und Nenner ergibt sich \(g(x) = \frac{3(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}\). Für \(x \neq 2\) lässt sich der Term zu \(g(x) = \frac{3}{x + 2}\) kürzen. 3. An der Stelle \(x = 2\) liegt eine hebbare Definitionslücke vor, da der Faktor \((x - 2)\) gekürzt werden kann; hier existiert keine Asymptote. An der Stelle \(x = -2\) bleibt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, woraus die senkrechte Asymptote \(x = -2\) folgt. 4. Waagrechte Asymptote: Da der Grad des Zählers (1) kleiner ist als der Grad des Nenners (2), gilt für den Grenzwert \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\).

Senkrechte Asymptote: \(x = -2\) Waagrechte Asymptote: \(y = 0\)

- Prüfe jede Aussage nur mit der Eigenschaft, die sie tatsächlich betrifft. - Bei \(g\) ist die mögliche schräge Asymptote bereits als linearer Termteil sichtbar. - Für die Anzahl der Asymptoten musst du senkrechte und waagerechte beziehungsweise schräge Asymptoten getrennt prüfen.

a) Bei \(h\) ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad. Daher gilt \(h(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\). Aussage a) ist wahr. b) Für \(|x|\to\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Deshalb nähert sich \(g\) der Geraden \(y=x+1\). Aussage b) ist wahr. c) \(f\) hat die senkrechte Asymptote \(x=-3\) und die waagerechte Asymptote \(y=-2\), also zwei Asymptoten. \(h\) besitzt keine senkrechte Asymptote und nur \(y=0\) als waagerechte Asymptote. Aussage c) ist falsch. d) Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to-2\), \(g(x)\to+\infty\) und \(h(x)\to0\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr b) Wahr c) Falsch; \(f\) hat zwei Asymptoten, \(h\) eine. d) Falsch; \(f(x)\to-2\), \(g(x)\to+\infty\), \(h(x)\to0\).

- Wie lässt sich der Funktionsterm vereinfachen, wenn du jedes Element des Zählers durch \(x\) dividierst? - Erinnerst du dich, wie man prüft, ob zwei Funktionsgraphen gemeinsame Punkte haben? - Kann ein Bruch der Form \(\frac{k}{x}\) mit \(k \neq 0\) jemals null werden?

1. Umformung durch Division: \(g(x) = \frac{-x^2}{x} + \frac{6x}{x} + \frac{4}{x} = -x + 6 + \frac{4}{x}\). 2. Bestimmung der Asymptote: Der lineare Anteil liefert die schräge Asymptote \(a\) mit \(a(x) = -x + 6\). 3. Untersuchung auf Schnittpunkte: Ansatz \(g(x) = a(x)\) führt zu \(-x + 6 + \frac{4}{x} = -x + 6\). 4. Vereinfachung der Gleichung: \(\frac{4}{x} = 0\). Diese Gleichung besitzt keine Lösung, da ein Bruch mit konstantem Zähler ungleich null niemals den Wert null annimmt. 5. Ergebnis: Es gibt keine Schnittpunkte zwischen dem Graphen und seiner schrägen Asymptote.

a) \(g(x) = -x + 6 + \frac{4}{x}\); Asymptote \(a(x) = -x + 6\) b) Es gibt keine Schnittpunkte, da die Gleichung \(\frac{4}{x} = 0\) nicht lösbar ist.

- Eine Gerade ist asymptotisch passend, wenn der Unterschied zwischen Funktion und Gerade gegen \(0\) geht. - Vereinfache den Unterschied für beide vorgegebenen Geraden getrennt. - Vergleiche nicht nur die Steigung, sondern auch, ob ein konstanter Abstand übrig bleibt.

1. Für die Gerade \(y=-2x\) gilt \(g(x)+2x=\frac{-2x^2+3+2x(x+1)}{x+1}=\frac{2x+3}{x+1}=2+\frac{1}{x+1}\). Daher ist \(\lim_{x\to\infty}(g(x)+2x)=2\neq0\). Die Gerade \(y=-2x\) ist also keine Asymptote. 2. Für die Gerade \(y=-2x+2\) gilt \(g(x)-(-2x+2)=\frac{1}{x+1}\). Dieser Abstand geht für \(x\to\infty\) gegen \(0\). Daher ist \(y=-2x+2\) die schräge Asymptote. 3. Der Vergleich der führenden Koeffizienten liefert hier nur die Steigung \(-2\), aber nicht den konstanten Achsenabschnitt der Asymptote.

Die Behauptung ist falsch. Die schräge Asymptote lautet \(y=-2x+2\). Der Vergleich der führenden Koeffizienten bestimmt nur die Steigung, nicht den konstanten Term.

- Setze die gegebenen Werte für die Variable in die Funktionsgleichung ein. - Um herauszufinden, ab wann ein Wert unterschritten wird, kannst du eine Ungleichung aufstellen und nach der Unbekannten auflösen. - Überlege bei der Anzahl von Objekten, ob das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss. - Schau dir für den Grenzwert im Unendlichen die Koeffizienten vor der höchsten Potenz von \(x\) im Zähler und Nenner an. - Was bedeutet es für den Graphen und die reale Situation, wenn sich die Werte einem festen Betrag annähern?

1. \(B(20) = \frac{6000}{17} \approx 352{,}94\,\text{€}\), \(B(100) = \frac{20400}{65} \approx 313{,}85\,\text{€}\) und \(B(500) = \frac{92400}{305} \approx 302{,}95\,\text{€}\). Die Kosten pro Server sinken mit steigender Serveranzahl. 2. Aus \(B(x) < 320\) folgt \(180x + 2400 < 320(0{,}6x + 5)\), also \(800 < 12x\) und damit \(x > 66{,}\overline{6}\). Da \(x\) eine natürliche Zahl ist, sinken die Kosten ab \(67\) Servern unter \(320\,\text{€}\). 3. Wegen der gleichen Grade von Zähler und Nenner gilt \(\lim_{x \to \infty} B(x) = \frac{180}{0{,}6} = 300\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=300\). Im Modell nähern sich die durchschnittlichen Kosten pro Server bei sehr großen Serverzahlen \(300\,\text{€}\) an; für den angegebenen Bereich liegen sie darüber.

a) \(B(20) \approx 352{,}94\,\text{€}\); \(B(100) \approx 313{,}85\,\text{€}\); \(B(500) \approx 302{,}95\,\text{€}\). Die Kosten pro Server nehmen bei steigender Serveranzahl ab. b) Ab \(67\) Servern. c) \(\lim_{x\to\infty}B(x)=300\); waagrechte Asymptote \(y=300\). Die Kosten pro Server nähern sich im Modell \(300\,\text{€}\) an.

- Achte genau auf die Einheiten im Text, bevor du Werte in die Gleichung einsetzt oder Ergebnisse interpretierst. - Wie berechnet man den Wert zu Beginn eines Zeitraums? - Um einen Zeitpunkt für einen bestimmten Bestand zu finden, musst du die Funktionsgleichung mit dem Zielwert gleichsetzen. - Erinnere dich an die Regel für Grenzwerte bei gebrochen-rationalen Funktionen, wenn der Zähler- und Nennergrad identisch sind. - Was sagt eine waagrechte Schranke über das langfristige Wachstum in einem begrenzten Lebensraum aus?

1. Anfangsbestand: \(N(0) = \frac{120 \cdot 0 + 50}{2 \cdot 0 + 5} = \frac{50}{5} = 10\). Da die Einheit „in Hundertern“ ist, entspricht dies \(10 \cdot 100 = 1000\) Tieren. 2. Zeitpunkt für \(5500\) Tiere: Da \(5500\) Tiere \(55\) Hundertern entsprechen, wird \(N(t) = 55\) gesetzt. \(\frac{120t + 50}{2t + 5} = 55 \implies 120t + 50 = 55(2t + 5) \implies 120t + 50 = 110t + 275 \implies 10t = 225 \implies t = 22{,}5\). Nach \(22{,}5\) Jahren sind es \(5500\) Tiere. 3. Grenzwert und Asymptote: \(\lim_{t \to \infty} \frac{120t + 50}{2t + 5} = \frac{120}{2} = 60\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = 60\). Dies bedeutet, dass die Population langfristig gegen \(6000\) Tiere strebt, was der maximalen Kapazität des Reservats entspricht.

a) Der Anfangsbestand beträgt \(1000\) Tiere (\(N(0) = 10\)). b) Nach \(22{,}5\) Jahren. c) Die waagrechte Asymptote ist \(y = 60\). Langfristig nähert sich die Population der Kapazitätsgrenze von \(6000\) Tieren an.

- Wie berechnet man den Durchschnittswert, wenn man die Gesamtkosten und die Anzahl kennt? - Überlege dir, welche Werte für die Anzahl der produzierten Gegenstände mathematisch und praktisch möglich sind. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Welche Ungleichung beschreibt in Teil c) die Formulierung „weniger als“ und wie wirkt sich der Sachbereich auf die kleinste zulässige Stückzahl aus?

1. Die Gesamtkosten sind \(K(x) = 3{,}5x + 1200\). 2. Damit ist \(k(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{3{,}5x + 1200}{x} = 3{,}5 + \frac{1200}{x}\). 3. Im Sachzusammenhang gilt \(D_k = \mathbb{N} \setminus \{0\}\). 4. Es ist \(\lim_{x \to \infty} k(x) = 3{,}5\). Die waagrechte Asymptote lautet \(y = 3{,}5\). Bei sehr hohen Produktionsmengen nähern sich die Durchschnittskosten den variablen Stückkosten von \(3{,}50\,\text{€}\) an, weil die Fixkosten pro Stück immer kleiner werden. 5. Aus \(k(x) < 4\) folgt \(3{,}5 + \frac{1200}{x} < 4\), also \(\frac{1200}{x} < 0{,}5\) und für \(x>0\) damit \(x > 2400\). Ab \(2401\) Hüllen liegen die Durchschnittskosten unter \(4{,}00\,\text{€}\).

a) \(k(x) = \frac{3{,}5x + 1200}{x}\) mit \(D_k = \mathbb{N} \setminus \{0\}\) b) Waagrechte Asymptote \(y = 3{,}5\). Die Durchschnittskosten nähern sich für sehr große Produktionsmengen \(3{,}50\,\text{€}\) pro Stück an. c) Ab \(2401\) Hüllen.

- Der Bruchterm beschreibt direkt den Unterschied zwischen Funktion und der sichtbaren linearen Komponente. - Prüfe, ob dieser Unterschied jemals \(0\) werden kann. - Sein Vorzeichen entscheidet zugleich, auf welcher Seite der Geraden der Graph liegt.

1. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(\frac{7}{x-4}\to0\). Daher ist \(a(x)=x\) die schräge Asymptote. 2. Ein Schnittpunkt müsste \(x+\frac{7}{x-4}=x\) erfüllen. Das wäre gleichbedeutend mit \(\frac{7}{x-4}=0\), was unmöglich ist. Es gibt daher keinen Schnittpunkt. 3. Für \(x>4\) ist \(\frac{7}{x-4}>0\), also liegt \(G_h\) oberhalb von \(a\). Für \(x<4\) ist der Restterm negativ, also liegt \(G_h\) unterhalb von \(a\).

Schräge Asymptote: \(a(x)=x\). Es gibt keinen Schnittpunkt mit \(G_h\). Für \(x>4\) liegt der Graph oberhalb, für \(x<4\) unterhalb der Asymptote.

- Überlege dir, was passiert, wenn \(x\) sehr große oder sehr kleine Werte annimmt. Welcher Teil des Bruchs dominiert dann? - Vergleiche die höchsten Grade im Zähler und im Nenner. - Wenn der Grad im Nenner größer ist, gegen welchen Wert strebt der gesamte Bruch? - Wenn die Grade gleich sind, schau dir die Zahlen direkt vor den höchsten \(x\)-Potenzen an.

1. Bestimmung der Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\) durch Vergleich der Grade von Zähler- und Nennerpolynom: - Bei \(f_2(x)\) und \(f_4(x)\) ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners (\(0 < 2\) bzw. \(1 < 2\)). Daraus folgt \(\lim_{x \to \pm \infty} f_2(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \pm \infty} f_4(x) = 0\). Somit ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. - Bei \(f_1(x)\), \(f_3(x)\) und \(f_5(x)\) sind die Grade von Zähler und Nenner gleich. Der Grenzwert ergibt sich aus dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten \(x\)-Potenzen. 2. Berechnung der Grenzwerte für den Fall gleicher Grade: - \(f_1(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x-1}{x+2} = \frac{3}{1} = 3\) - \(f_3(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6x^2+5}{2x^2-x} = \frac{6}{2} = 3\) - \(f_5(x)\): \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-9x+1}{-3x+2} = \frac{-9}{-3} = 3\) 3. Zuordnung: Die Funktionen \(f_2\) und \(f_4\) haben die \(x\)-Achse als Asymptote; die Funktionen \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) haben die Gerade \(y = 3\) als Asymptote.

Waagrechte Asymptote \(y = 0\) (\(x\)-Achse): \(f_2\) und \(f_4\). Waagrechte Asymptote \(y = 3\): \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\).

- Suche bei jeder Funktion nach einer Darstellung „linearer Term plus Restterm“. - Bei Brüchen mit einem einteiligen Nenner kannst du die Summanden des Zählers gliedweise teilen. - Entscheidend ist, ob der verbleibende Restterm für große \(|x|\) gegen \(0\) geht.

1. Bei \(g_1\) geht der Restterm \(\frac{5}{x+3}\) für \(|x|\to\infty\) gegen \(0\). Daher ist die schräge Asymptote \(y=x-2\). 2. Für \(g_2\) gilt durch gliedweises Teilen \(g_2(x)=x-2+\frac1x\). Der Restterm geht gegen \(0\); die Asymptote ist \(y=x-2\). 3. Für \(g_3\) gilt \(g_3(x)=x-2+\frac{3}{2x}\). Auch dieser Restterm geht gegen \(0\); die Asymptote ist \(y=x-2\). 4. Bei \(g_4\) ist der lineare Teil \(x-2\) bereits sichtbar und \(\frac{5}{x+2}\to0\). Daher besitzt auch \(g_4\) die schräge Asymptote \(y=x-2\).

Alle vier Funktionen besitzen die schräge Asymptote \(y=x-2\).

- Was darf man für \(x\) nicht einsetzen, damit man nicht durch null teilt? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Nenner immer größer wird? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Was passiert mathematisch, wenn man die Funktionsgleichung und die Asymptotengleichung gleichsetzt?

1. Die Definitionsmenge \(D_f\) ergibt sich aus der Bedingung, dass der Nenner nicht null sein darf: \(x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). Die senkrechte Asymptote liegt an der Polstelle \(x = -3\) und hat die Gleichung \(x = -3\). 2. Für \(x \to \infty\) geht der Term \(\frac{4}{x+3}\) gegen \(0\). Da der lineare Teil \(\frac{1}{2}x - 1\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\). Analog gilt für \(x \to -\infty\), dass \(f(x) \to -\infty\). Der Graph nähert sich der Geraden mit der Gleichung \(y = \frac{1}{2}x - 1\) an, welche die schräge Asymptote darstellt. 3. Zur Bestimmung der Schnittpunkte setzt man den Funktionsterm mit der Asymptotengleichung gleich: \(\frac{1}{2}x - 1 - \frac{4}{x+3} = \frac{1}{2}x - 1\). Dies vereinfacht sich zu \(-\frac{4}{x+3} = 0\). Da ein Bruch nur dann null ist, wenn sein Zähler null ist, und hier \( -4 \neq 0\) gilt, gibt es keine Lösung. Der Graph schneidet seine schräge Asymptote somit nicht.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\); senkrechte Asymptote: \(x = -3\) b) \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\); schräge Asymptote: \(y = \frac{1}{2}x - 1\) c) Es gibt keinen Schnittpunkt, da die Gleichung \(-\frac{4}{x+3} = 0\) keine Lösung besitzt.

- Welche Rolle spielen die Koeffizienten der höchsten Potenzen, wenn Zähler und Nenner denselben Grad haben? - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass \(x\) nur noch im Nenner kleinerer Brüche vorkommt? - Vergleiche die Koeffizienten der höchsten Potenzen in Zähler und Nenner. - Wann spricht man in der Mathematik von Konvergenz?

1. Analyse der Zähler- und Nennergrade: Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind vom Grad 1. 2. Umformung durch Ausklammern oder Division durch die höchste Potenz von \(x\): \(k(x) = \frac{x \cdot (10 + \frac{5}{x})}{x \cdot (2 - \frac{4}{x})} = \frac{10 + \frac{5}{x}}{2 - \frac{4}{x}}\). 3. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \pm\infty\): Die Terme \(\frac{5}{x}\) und \(\frac{4}{x}\) streben gegen \(0\). 4. Berechnung des Grenzwerts: Es bleibt \(\frac{10}{2} = 5\). 5. Fachbegriff: Da die Funktionswerte sich einer festen reellen Zahl annähern, liegt Konvergenz vor. Die Funktion konvergiert für \(x \to \pm\infty\) gegen den Grenzwert \(5\).

Die Funktion \(k\) konvergiert sowohl für \(x \to \infty\) als auch für \(x \to -\infty\) gegen den Grenzwert \(5\).

- Wie bestimmt man den Grenzwert einer rationalen Funktion, wenn Zähler und Nenner den gleichen Grad haben? - Welchen Einfluss hat der Koeffizient vor der höchsten Potenz auf das Verhalten im Unendlichen? - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Grenzwert mit dem Zielwert gleichsetzt.

1. Bestimmung des Grenzwerts in Abhängigkeit von \(a\): Ausklammern von \(x^2\) führt zu \(g(x) = \frac{x^2 \cdot (a + \frac{5}{x})}{x^2 \cdot (3 - \frac{2}{x^2})} = \frac{a + \frac{5}{x}}{3 - \frac{2}{x^2}}\) 2. Für \(x \to \infty\) verschwinden die Terme \(\frac{5}{x}\) und \(\frac{2}{x^2}\), sodass \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{a}{3}\) 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Bedingung: \(\frac{a}{3} = 4\) 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(a = 4 \cdot 3 = 12\)

Der Parameter muss den Wert \(a = 12\) annehmen.

- Kannst du den Bruch in mehrere Brüche aufteilen, die alle denselben Nenner \(x\) haben? - Welcher Teil des Terms bestimmt das Verhalten für sehr große \(x\), und welcher Teil wird vernachlässigbar klein? - Vergleiche den Funktionswert \(g(x)\) direkt mit dem Wert des linearen Teils \(2x + 3\). Ist die Differenz positiv oder negativ?

1. Durch gliedweise Division des Zählers durch den Nenner erhält man \(g(x) = \frac{2x^2}{x} + \frac{3x}{x} - \frac{4}{x} = 2x + 3 - \frac{4}{x}\). 2. Für \(x \to \infty\) nähert sich der Term \(-\frac{4}{x}\) von unten der Null an. Da der lineare Teil \(2x+3\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(g(x) \to +\infty\). Für \(x \to -\infty\) nähert sich \(-\frac{4}{x}\) von oben der Null an und der lineare Teil strebt gegen \(-\infty\), also gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Die Asymptote ist die Gerade \(y = 2x + 3\). Für \(x \to \infty\) ist der Restterm \(-\frac{4}{x}\) negativ. Da \(g(x) = (2x + 3) - \frac{4}{x}\), sind die Funktionswerte kleiner als die Werte der Asymptote. Somit verläuft der Graph für \(x \to \infty\) unterhalb der Asymptote.

1. \(g(x) = 2x + 3 - \frac{4}{x}\) 2. Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to +\infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Der Graph verläuft unterhalb der Asymptote \(y = 2x + 3\), da der Restterm \(-\frac{4}{x}\) für positive \(x\) negativ ist.

- Bei a) sind lineare Komponente und Restterm bereits getrennt. - Bei b) kannst du den Zähler des Bruchterms als Vielfaches von \(x-2\) plus Rest schreiben. - Die Polstelle kommt vom Nenner des Restterms; die schräge Asymptote vom linearen Anteil, sobald der Rest gegen \(0\) geht.

a) Der Restterm hat bei \(x=-1\) eine Polstelle. Da \(\frac{4}{x+1}\to0\) für \(|x|\to\infty\), ist \(y=x-1\) die schräge Asymptote. b) Die Polstelle liegt bei \(x=2\). Für \(x\neq2\) gilt \(\frac{2x}{x-2}=2+\frac{4}{x-2}\). Somit ist \(g_2(x)=\frac13x-2-\frac{4}{x-2}\). Der Restterm geht für \(|x|\to\infty\) gegen \(0\), also lautet die schräge Asymptote \(y=\frac13x-2\).

a) Polstelle \(x=-1\); schräge Asymptote \(y=x-1\) b) Polstelle \(x=2\); schräge Asymptote \(y=\frac13x-2\)

- Der Bruchterm ist direkt die Differenz zwischen Funktion und Asymptote. - Übersetze „um weniger als \(0{,}4\)“ in eine Betragsungleichung. - Löse die resultierende Bedingung für den Betrag des Nenners.

1. Für \(|x|\to\infty\) gilt \(\frac{8}{x+2}\to0\). Daher ist \(a(x)=3x-5\) die schräge Asymptote. 2. Die Abweichung ist \(|f(x)-a(x)|=\left|\frac{8}{x+2}\right|\). Gesucht ist \(\left|\frac{8}{x+2}\right|<0{,}4\). Das ist äquivalent zu \(|x+2|>20\). 3. Daraus folgen \(x+2>20\) oder \(x+2<-20\), also \(x>18\) oder \(x<-22\).

1. \(a(x)=3x-5\) 2. \(x<-22\) oder \(x>18\)

- Wie verhält sich der Funktionswert, wenn \(x\) gegen Unendlich strebt? - Stelle einen Ausdruck für den Unterschied zwischen dem Funktionswert und dem Asymptotenwert auf. - Vereinfache den Differenzterm durch Bilden eines Hauptnenners, bevor du die Ungleichung löst. - Wann ist ein Bruch betragsmäßig sehr klein? Was muss dann für den Nenner gelten?

1. Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist, ergibt sich die waagerechte Asymptote durch den Quotienten der Leitkoeffizienten: \(y = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 2. Bestimmung der Differenz: \(|f(x) - 0{,}5| = |\frac{x^2 + 4}{2x^2 - 8} - \frac{x^2 - 4}{2x^2 - 8}| = |\frac{8}{2x^2 - 8}| = |\frac{4}{x^2 - 4}|\). 3. Lösen der Ungleichung \(|\frac{4}{x^2 - 4}| < 0{,}01\): Dies entspricht \(|x^2 - 4| > 400\). 4. Fallunterscheidung: Fall 1: \(x^2 - 4 > 400 \implies x^2 > 404 \implies |x| > \sqrt{404} \approx 20{,}10\). Fall 2: \(x^2 - 4 < -400 \implies x^2 < -396\), was keine reelle Lösung besitzt. Die Bedingung ist für \(x < -\sqrt{404}\) oder \(x > \sqrt{404}\) erfüllt.

1. Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}5\). 2. Der Abstand ist kleiner als \(0{,}01\) für \(x < -\sqrt{404}\) oder \(x > \sqrt{404}\). Mit \(\sqrt{404} \approx 20{,}0998\) lauten die Schranken näherungsweise \(x < -20{,}10\) oder \(x > 20{,}10\).

- Bestimme zunächst die y-Werte der oberen und unteren Begrenzungslinie des Streifens. - Setze die gegebenen x-Werte in den Funktionsterm ein und berechne die zugehörigen Funktionswerte. - Vergleiche die berechneten Werte mit dem Bereich, den der Streifen abdeckt.

1. Der Streifen der Breite \(0{,}2\) um \(y=2\) reicht von \(1{,}9\) bis \(2{,}1\). 2. Für \(x=-8\) gilt \(g(-8)=\frac{-17}{-9}=\frac{17}{9}\approx1{,}889\). Da \(1{,}889<1{,}9\), liegt der Punkt außerhalb des Streifens. 3. Für \(x=-10\) gilt \(g(-10)=\frac{-21}{-11}=\frac{21}{11}\approx1{,}909\). Es gilt \(1{,}9<1{,}909<2{,}1\). Daher liegt der Punkt innerhalb des Streifens.

a) \(g(-8)=\frac{17}{9}\approx1{,}889<1{,}9\); der Punkt liegt außerhalb. b) \(g(-10)=\frac{21}{11}\approx1{,}909\) und \(1{,}9<1{,}909<2{,}1\); der Punkt liegt innerhalb.

- Vergleiche die höchste Potenz im Zähler mit der höchsten Potenz im Nenner, um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. - Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse? Was muss man für \(x\) einsetzen? - Erinnere dich, dass ein Bruch genau dann null ist, wenn sein Zähler null ist. - Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner, um sie nach \(x\) aufzulösen.

1. Globales Verhalten: Da Zähler- und Nennergrad gleich sind (\(2\)), wird der Grenzwert durch das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen bestimmt: \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - 4}{x^2 + 1} = \frac{2}{1} = 2\). Die waagrechte Asymptote ist \(y = 2\). 2. Schnittpunkte mit den Achsen: \(y\)-Achse: \(g(0) = \frac{2 \cdot 0^2 - 4}{0^2 + 1} = -4 \Rightarrow S_y(0 \mid -4)\). \(x\)-Achse: \(g(x) = 0 \iff 2x^2 - 4 = 0 \iff x^2 = 2 \iff x = \pm \sqrt{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(N_1(-\sqrt{2} \mid 0)\) und \(N_2(\sqrt{2} \mid 0)\). 3. Berechnung der Stellen für \(y = 1{,}4\): \(\frac{2x^2 - 4}{x^2 + 1} = 1{,}4 \iff 2x^2 - 4 = 1{,}4(x^2 + 1) \iff 2x^2 - 4 = 1{,}4x^2 + 1{,}4 \iff 0{,}6x^2 = 5{,}4 \iff x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\).

a) Es gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = 2\). Der Graph nähert sich der waagrechten Geraden \(y = 2\) an. b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(-\sqrt{2} \mid 0) \approx (-1{,}41 \mid 0)\) und \(N_2(\sqrt{2} \mid 0) \approx (1{,}41 \mid 0)\). c) Die gesuchten Stellen sind \(x = -3\) und \(x = 3\).

- Vergleiche für a) das Verhalten von Zähler und Nenner bei sehr großen Beträgen von \(x\). - Untersuche für b), an welchen Stellen die jeweiligen Funktionsterme wegen ihres Nenners kritisch werden, und prüfe den Zähler dort mit. - Arbeite für c) von der gewünschten Lage der senkrechten Asymptote rückwärts und formuliere eine passende Bedingung an den neuen Nenner.

1. Waagrechte Asymptoten: Für \(g_1(x)\) ist das Verhältnis der führenden Koeffizienten \(\frac{4}{2} = 2\), also \(y = 2\). Für \(g_2(x)\) ist das Verhältnis \(\frac{2}{1} = 2\), also \(y = 2\). Feststellung: Beide Funktionen haben dieselbe waagrechte Asymptote. 2. Senkrechte Asymptoten: Nenner von \(g_1\) nullsetzen: \(2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3\). Nenner von \(g_2\) nullsetzen: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). Da \(-3 \neq 3\), ist Miras Aussage falsch. Die Lage der senkrechten Asymptote hängt von den Nullstellen des Nenners ab, nicht nur von der Art der Terme. 3. Anpassung des Nenners: Die senkrechte Asymptote von \(g_2\) liegt bei \(x = 3\). Damit \(g_1\) dort ebenfalls eine Asymptote hat, muss der Nenner von \(g_1\) bei \(x = 3\) den Wert null annehmen. Ein möglicher neuer Nenner für \(g_1\) wäre \((x - 3)\) oder ein Vielfaches davon, z. B. \(2x - 6\).

a) Beide waagrechten Asymptoten lauten \(y = 2\). Sie sind identisch. b) Die Aussage ist falsch. Die senkrechte Asymptote von \(g_1\) liegt bei \(x = -3\), die von \(g_2\) bei \(x = 3\). c) Ein möglicher neuer Nenner ist \(x-3\); auch ein von null verschiedenes Vielfaches wie \(2x-6\) ist möglich.