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Mathe-Arbeitsblätter Klasse 11

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Statistische Aussagen, Korrelation und Kausalität

Lernziele

  • Unterscheidet Zusammenhang und Kausalität.
  • Benennt mögliche Drittvariablen.
  • Beurteilt Größe, Zusammensetzung und Auswahl einer Stichprobe.
  • Erkennt verzerrte Erhebungsfragen.
  • Formuliert sachgerechte Erhebungsfragen.
  • Begründet geeignete Stichprobenverfahren.
  • Erkennt verzerrte Vergleiche von Bezugsgruppen.
  • Begrenzt Aussagen auf die verfügbaren Daten.

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

55674111
In einer anonymen Befragung zeigt sich: Jugendliche, die mehr Bildschirmzeit angeben, berichten im Mittel weniger Schlaf. Eine Schülerzeitung fasst das Ergebnis mit der Überschrift „Mehr Bildschirmzeit führt zu weniger Schlaf“ zusammen. Beurteile die Überschrift in ein bis zwei Sätzen. Formuliere dabei, was die erhobenen Daten tatsächlich zeigen und welche zusätzliche Behauptung durch die Befragung allein nicht belegt ist.

Denkanstöße

- Welche Beziehung zwischen den beiden gemessenen Größen wurde tatsächlich beobachtet? - Welcher Ausdruck in der Überschrift behauptet mehr als nur einen statistischen Zusammenhang? - Prüfe, ob bei der Befragung eine Ursache gezielt verändert wurde.

Lösung

1. Die Befragung zeigt einen statistischen Zusammenhang zwischen angegebener Bildschirmzeit und angegebener Schlafdauer. 2. Die Formulierung „führt zu“ behauptet dagegen eine Ursache-Wirkungs-Beziehung. 3. Aus einer solchen beobachtenden Befragung allein folgt diese Kausalaussage nicht.

Antwort

Die Daten zeigen einen statistischen Zusammenhang zwischen Bildschirmzeit und Schlafdauer. Dass mehr Bildschirmzeit weniger Schlaf verursacht, ist durch die Befragung allein nicht belegt.
55674211
Für eine schulweite Befragung werden \(200\) Schülerinnen und Schüler zufällig ausgewählt. Sie erhalten die Frage: „Findest du nicht auch, dass die neue, deutlich bessere Pausenregel beibehalten werden sollte?“ Nenne den zentralen methodischen Mangel dieser Frage und erläutere kurz, warum er die Antworten beeinflussen kann.

Denkanstöße

- Prüfe getrennt die Auswahl der Befragten und die Formulierung der Frage. - Enthält die Frage bereits eine Wertung oder eine erwartete Antwort? - Überlege, ob dieselbe Person bei neutraler Formulierung möglicherweise anders antworten würde.

Lösung

1. Die Auswahl der Befragten ist hier nicht das Problem, da sie zufällig erfolgt. 2. Die Formulierung „Findest du nicht auch“ und die Wertung „deutlich bessere“ legen eine zustimmende Antwort nahe. 3. Die Frage ist daher suggestiv formuliert und kann die gemessene Zustimmung erhöhen.

Antwort

Die Frage ist suggestiv formuliert. Sie legt Zustimmung nahe und kann dadurch die Antworten systematisch beeinflussen.
55821811
An einem freiwilligen Robotik-Wettbewerb nehmen \(60\) Schülerinnen und Schüler teil. \(48\) von ihnen sagen, dass sie gern programmieren. Eine Meldung lautet: „\(80\,\%\) aller Schülerinnen und Schüler der Schule programmieren gern.“ Erkläre kurz, was die Daten tatsächlich aussagen und warum die Meldung zu weit geht.

Denkanstöße

- Wer wurde tatsächlich betrachtet? - Ist diese Gruppe zufällig aus der ganzen Schule ausgewählt worden?

Lösung

In der befragten Gruppe gilt \(\frac{48}{60}=0{,}8=80\,\%.\) Die Daten beziehen sich aber nur auf die freiwillig Teilnehmenden am Robotik-Wettbewerb. Diese Gruppe kann sich von der gesamten Schülerschaft unterscheiden. Sicher ist daher nur: \(80\,\%\) der betrachteten Wettbewerbsteilnehmenden geben an, gern zu programmieren.

Antwort

Die \(80\,\%\) gelten nur für die betrachteten Robotik-Teilnehmenden. Daraus folgt nicht, dass derselbe Anteil für die gesamte Schule gilt.
42211111
Daten aus mehreren Gymnasien zeigen: Schülerinnen und Schüler, die ein Musikinstrument spielen, haben im Durchschnitt bessere Mathematiknoten als andere. In einer Schulkonferenz wird deshalb gefordert: „Alle müssen verpflichtend ein Instrument lernen, damit die Mathematikleistungen steigen.“ Nimm zu dieser Forderung Stellung. Unterscheide Korrelation und Kausalität und nenne eine mögliche Drittvariable, die den beobachteten Zusammenhang erklären könnte.

Denkanstöße

- Welche Aussage machen die Daten tatsächlich über das gemeinsame Auftreten der Merkmale? - Welche zusätzliche Behauptung steckt in der vorgeschlagenen Maßnahme? - Suche nach einem dritten Faktor, der beide Merkmale beeinflussen könnte.

Lösung

1. Die Daten zeigen eine Korrelation: Instrumentalspiel und bessere Mathematiknoten treten statistisch gemeinsam auf. 2. Daraus folgt nicht, dass das Instrumentalspiel die bessere Mathematikleistung verursacht. Die Forderung setzt eine Ursache-Wirkungs-Beziehung voraus, die durch die Beobachtung allein nicht belegt ist. 3. Eine mögliche Drittvariable ist die Unterstützung zu Hause. Wer zu Hause stärker unterstützt wird, hat möglicherweise eher Zugang zu Musikunterricht und zugleich bessere Lernbedingungen. 4. Die geforderte Maßnahme lässt sich daher mit diesen Daten allein nicht als wirksam begründen.

Antwort

Die Forderung verwechselt Korrelation mit Kausalität. Eine mögliche Drittvariable ist die Unterstützung zu Hause, die sowohl den Zugang zu Musikunterricht als auch die Lernbedingungen beeinflussen kann.
55350811
Eine Schule möchte prüfen, ob ein zusätzliches Online-Training die Ergebnisse in einem Vokabeltest verbessert. Zwei Untersuchungspläne stehen zur Wahl: Plan A: Die Jugendlichen entscheiden selbst, ob sie das Online-Training nutzen. Danach werden die Testergebnisse der Nutzenden und Nichtnutzenden verglichen. Plan B: Die teilnehmenden Jugendlichen werden zufällig auf zwei Gruppen verteilt. Nur eine Gruppe erhält das Online-Training; anschließend schreiben beide Gruppen denselben Test unter denselben Bedingungen. Welcher Plan liefert die bessere Grundlage für die Aussage „Das Online-Training verursacht bessere Testergebnisse“? Begründe deine Entscheidung.

Denkanstöße

- Wodurch unterscheiden sich die Gruppen bereits vor Beginn der beiden Untersuchungen? - Überlege, ob Motivation oder Vorkenntnisse gleichzeitig die Gruppenzugehörigkeit und das Testergebnis beeinflussen könnten. - Welche Rolle spielt die zufällige Zuteilung für eine kausale Schlussfolgerung?

Lösung

1. Plan B liefert die bessere Grundlage für eine kausale Aussage. 2. Durch die zufällige Zuteilung wird verhindert, dass sich die Gruppen systematisch schon vor dem Training unterscheiden, etwa in Motivation oder Vorkenntnissen. 3. Bei Plan A können solche Unterschiede sowohl die Entscheidung für das Training als auch das Testergebnis beeinflussen. Ein beobachteter Unterschied wäre daher nicht eindeutig dem Training zuzuordnen.

Antwort

Plan B. Die zufällige Zuteilung reduziert systematische Unterschiede zwischen den Gruppen; dadurch lässt sich ein späterer Unterschied eher auf das Online-Training zurückführen. Plan A ist nur eine Beobachtungsstudie mit möglichen Störfaktoren.
55350911
In einer Befragung unter Jugendlichen tritt starke Tagesmüdigkeit bei Personen mit sehr später Smartphone-Nutzung häufiger auf als bei Personen ohne sehr späte Nutzung. Eine Person behauptet: „Die späte Smartphone-Nutzung verursacht die Müdigkeit.“ Eine andere entgegnet: „Vielleicht nutzen müde Jugendliche ihr Smartphone gerade deshalb länger, weil sie nicht einschlafen können.“ Erkläre, warum die beobachtete statistische Beziehung allein nicht zwischen diesen beiden Erklärungsrichtungen entscheidet. Nenne außerdem einen möglichen dritten Einflussfaktor.

Denkanstöße

- Welche zwei unterschiedlichen Wirkungsrichtungen sind denkbar? - Kann dieselbe Beobachtung zu beiden Erklärungen passen? - Welche weitere Größe könnte Schlaf und Smartphone-Nutzung zugleich beeinflussen?

Lösung

1. Die Befragung zeigt eine statistische Beziehung zwischen später Smartphone-Nutzung und Tagesmüdigkeit. 2. Daraus folgt nicht, welche Richtung eine mögliche Ursache-Wirkungs-Beziehung hat: Späte Nutzung könnte Müdigkeit begünstigen, oder Schlafprobleme könnten zu längerer nächtlicher Nutzung und zu Müdigkeit führen. 3. Zusätzlich kann ein dritter Faktor beide Merkmale beeinflussen, zum Beispiel hoher schulischer Stress.

Antwort

Die statistische Beziehung legt die Kausalrichtung nicht fest. Sowohl „späte Nutzung → Müdigkeit“ als auch eine umgekehrte oder gemeinsame Ursache sind mit den Daten vereinbar. Ein möglicher dritter Faktor ist zum Beispiel schulischer Stress.
55821911
Eine Schule möchte \(100\) Schülerinnen und Schüler zu einer neuen Pausenregel befragen. Die fünf Jahrgangsstufen sind unterschiedlich groß. Die Stichprobe soll die Größen der Jahrgangsstufen ungefähr widerspiegeln. Beschreibe ein geeignetes Stichprobenverfahren. Erkläre außerdem, warum es ungünstig wäre, nur die ersten \(100\) Personen zu befragen, die am Montag die Mensa betreten.

Denkanstöße

- Wie viele Plätze sollte eine größere Jahrgangsstufe im Vergleich zu einer kleineren bekommen? - Wie kannst du innerhalb jeder Jahrgangsstufe auswählen, ohne bestimmte Personen gezielt zu bevorzugen? - Wer würde bei einer Auswahl nur in der Mensa gar nicht oder seltener vorkommen?

Lösung

Ein geeignetes Verfahren verteilt die \(100\) Plätze ungefähr im Verhältnis zur Größe der fünf Jahrgangsstufen. Innerhalb jeder Jahrgangsstufe werden die Schülerinnen und Schüler zufällig ausgewählt. Die ersten \(100\) Mensabesucher bilden nur eine besondere Teilgruppe. Schülerinnen und Schüler, die nicht oder später in die Mensa gehen, hätten dabei keine gleiche Auswahlchance.

Antwort

Zum Beispiel: die \(100\) Plätze ungefähr im Verhältnis zur Größe der Jahrgangsstufen verteilen und innerhalb jeder Jahrgangsstufe zufällig auswählen. Nur die ersten \(100\) Mensabesucher zu befragen wäre verzerrt, weil nicht alle Schülerinnen und Schüler eine vergleichbare Auswahlchance hätten.
55822011
Eine Stadt möchte herausfinden, wie zufrieden Fahrgäste mit dem Busverkehr sind. Bisher wird ein Umfragelink nur in einer Online-Gruppe zum Nahverkehr geteilt. Dort sind nur Personen, die der Gruppe selbst beigetreten sind. Nenne zwei Gründe, warum diese Stichprobe verzerrt sein kann. Schlage anschließend eine bessere Erhebung vor, die Fahrgäste verschiedener Linien und Tageszeiten erreicht.

Denkanstöße

- Wer sieht den Link überhaupt, und wer entscheidet selbst über die Teilnahme? - Welche Fahrgäste könnten dadurch kaum vorkommen? - Wie könntest du vor Ort auswählen, wer gefragt wird, ohne nur auf Freiwillige zu warten?

Lösung

Die Online-Gruppe erreicht nur Personen, die diese Gruppe nutzen. Außerdem entscheiden die erreichten Personen selbst, ob sie an der Umfrage teilnehmen; besonders interessierte oder besonders zufriedene bzw. unzufriedene Personen können dadurch häufiger vertreten sein. Besser wäre zum Beispiel, zufällig ausgewählte Fahrgäste auf mehreren Linien und zu verschiedenen Tageszeiten anzusprechen und die Auswahl nicht von der Online-Gruppe abhängig zu machen.

Antwort

Die Online-Gruppe erreicht nicht alle Fahrgäste, und die freiwillige Teilnahme kann die Auswahl zusätzlich verzerren. Besser ist eine Befragung auf mehreren Linien und zu verschiedenen Tageszeiten, bei der Fahrgäste vor Ort nach einer festen Regel ausgewählt werden.
55822111
In einer Schülerumfrage steht die Frage: „Findest du nicht auch, dass die viel zu kurzen Pausen endlich verlängert werden sollten?“ a) Erkläre, was an der Frage problematisch ist. b) Formuliere eine neutralere Frage mit ausgewogenen Antwortmöglichkeiten.

Denkanstöße

- Welche Wörter bewerten die Pausen schon vor der Antwort? - Könnten Personen, die kürzere, gleich lange oder längere Pausen wollen, deine neue Frage jeweils natürlich beantworten?

Lösung

a) Die Formulierungen „Findest du nicht auch“, „viel zu kurz“ und „endlich“ legen eine bestimmte Antwort nahe. Die Frage ist suggestiv. b) Zum Beispiel: „Wie sollte die Länge der Pausen verändert werden?“ Antwortmöglichkeiten: „verkürzen“, „unverändert lassen“, „verlängern“.

Antwort

a) Die Frage ist suggestiv und lenkt zur Zustimmung. b) Zum Beispiel: „Wie sollte die Länge der Pausen verändert werden?“ – „verkürzen“, „unverändert lassen“, „verlängern“.
55822211
In einer Schach-AG erhalten \(12\) von \(40\) Teilnehmenden bei einem Wettbewerb eine Auszeichnung. In einer Robotik-AG erhalten \(20\) von \(100\) Teilnehmenden eine Auszeichnung. Jemand sagt: „In der Robotik-AG ist der Anteil der Ausgezeichneten größer, denn dort gab es \(20\) Auszeichnungen und in der Schach-AG nur \(12\).“ Prüfe diese Aussage durch einen fairen Vergleich der beiden Bezugsgruppen.

Denkanstöße

- Welche Größe unterscheidet sich außer der Zahl der Auszeichnungen noch zwischen den beiden AGs? - Wie kannst du beide Gruppen auf dieselbe Bezugsbasis bringen?

Lösung

Für einen fairen Vergleich müssen die Anteile innerhalb der beiden Gruppen berechnet werden. Schach-AG: \(\frac{12}{40}=0{,}30=30\,\%.\) Robotik-AG: \(\frac{20}{100}=0{,}20=20\,\%.\) Die absolute Zahl der Auszeichnungen ist in der Robotik-AG größer, weil diese Gruppe auch deutlich größer ist. Bezogen auf die jeweilige Gruppe ist der Anteil in der Schach-AG höher.

Antwort

Die Aussage ist falsch. Bezogen auf die jeweilige Gruppe sind es in der Schach-AG \(30\,\%\), in der Robotik-AG \(20\,\%\).
55822311
Eine Schule befragt \(120\) Schülerinnen und Schüler, die die Lernberatung genutzt haben. \(84\) von ihnen sind mit der Beratung zufrieden. Danach veröffentlicht die Schule den Satz: „\(70\,\%\) aller Schülerinnen und Schüler sind mit unserer Schule zufrieden.“ Erkläre, warum diese Aussage nicht zu den Daten passt. Formuliere eine Aussage, die zu den Daten passt.

Denkanstöße

- Vergleiche die Gruppe in der Befragung mit der Gruppe, über die der veröffentlichte Satz spricht. - Vergleiche auch, worüber gefragt wurde und worüber der veröffentlichte Satz etwas behauptet. - Formuliere den Satz so, dass er genau bei dieser Gruppe und diesem Thema bleibt.

Lösung

Zwar gilt \(\frac{84}{120}=0{,}70=70\,\%\). Befragt wurden aber nur Schülerinnen und Schüler, die die Lernberatung genutzt hatten. Außerdem wurde nach der Zufriedenheit mit der Beratung gefragt, nicht nach der Zufriedenheit mit der gesamten Schule. Eine passende Aussage ist daher: „\(70\,\%\) der \(120\) befragten Schülerinnen und Schüler waren mit der Lernberatung zufrieden.“

Antwort

Die Befragung sagt nur etwas über die befragten Schülerinnen und Schüler und nur über ihre Zufriedenheit mit der Lernberatung. Passend wäre: „\(70\,\%\) der \(120\) befragten Schülerinnen und Schüler waren mit der Lernberatung zufrieden.“
55822411
Bei einem Schulfest helfen \(40\) Schülerinnen und Schüler mit (\(H\)). Von ihnen kommen \(30\) mit dem Fahrrad (\(F\)). Insgesamt kommen \(150\) Schülerinnen und Schüler mit dem Fahrrad. Ein Bericht behauptet: „\(75\,\%\) der Fahrradfahrenden helfen beim Schulfest“, weil \(30\) von \(40\) Helfenden mit dem Fahrrad kommen. Erkläre den Bezugsgruppenfehler und bestimme den tatsächlichen Anteil der Helfenden unter den Fahrradfahrenden.

Denkanstöße

- Welche Gruppe ist in der Aussage „unter den Fahrradfahrenden“ bereits festgelegt? - Welche Wahrscheinlichkeit beschreibt die Rechnung \(30/40\) tatsächlich? - Vergleiche die beiden Bedingungsrichtungen in Worten.

Lösung

Die Rechnung \(\frac{30}{40}=0{,}75\) bezieht sich auf die Helfenden als Bezugsgruppe. Sie beschreibt also \(P_H(F)\): den Fahrradanteil unter den Helfenden. Gefragt ist dagegen der Helferanteil unter den Fahrradfahrenden, also \(P_F(H)\). Dafür sind die \(150\) Fahrradfahrenden die Bezugsgruppe: \(P_F(H)=\frac{30}{150}=0{,}20.\) Damit helfen \(20\,\%\) der Fahrradfahrenden beim Schulfest.

Antwort

Die Rechnung \(\frac{30}{40}=75\,\%\) verwendet die Helfenden als Bezugsgruppe und beschreibt \(P_H(F)\). Gesucht ist \(P_F(H)=\frac{30}{150}=20\,\%\).
42210111
Bei \(500\) Familien wurde erfasst, ob die Eltern regelmäßig Sport treiben (\(E\)) und ob ihre Kinder regelmäßig Sport treiben (\(K\)). <table><tr><th></th><th>\(K\)</th><th>\(\bar{K}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(E\)</th><td>\(120\)</td><td>\(80\)</td><td>\(200\)</td></tr><tr><th>\(\bar{E}\)</th><td>\(60\)</td><td>\(240\)</td><td>\(300\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(180\)</td><td>\(320\)</td><td>\(500\)</td></tr></table> a) Untersuche mithilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten, ob \(E\) und \(K\) stochastisch unabhängig sind. b) Erläutere, warum eine gefundene statistische Abhängigkeit nicht beweist, dass das Sportverhalten der Eltern die alleinige Ursache für das Sportverhalten der Kinder ist. Nenne mindestens eine plausible Drittvariable.

Denkanstöße

- Vergleiche den Kinder-Sportanteil in den beiden Elterngruppen. - Überlege für b), welche gemeinsamen Bedingungen Eltern und Kinder zugleich beeinflussen könnten.

Lösung

1. Innerhalb der Familien mit regelmäßig sporttreibenden Eltern gilt \(P_E(K)=\frac{120}{200}=0{,}6\). 2. Ohne regelmäßig sporttreibende Eltern gilt \(P_{\bar{E}}(K)=\frac{60}{300}=0{,}2\). 3. Da sich die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden, sind \(E\) und \(K\) in den erhobenen Daten stochastisch abhängig. 4. Diese Abhängigkeit zeigt nur einen statistischen Zusammenhang. Gemeinsame Faktoren können beide Merkmale beeinflussen, etwa der Zugang zu Sportangeboten, Freizeitmöglichkeiten oder familiäre Gesundheitsgewohnheiten.

Antwort

a) Abhängig, weil \(P_E(K)=0{,}6\neq0{,}2=P_{\bar{E}}(K)\). b) Die Abhängigkeit beweist keine Kausalität. Eine plausible Drittvariable ist zum Beispiel der gemeinsame Zugang zu Sportangeboten.
42210211
Bei \(800\) Lernenden wurde erfasst, ob sie eine Vokabel-App nutzen (\(A\)) und ob sie eine Sprachprüfung bestehen (\(B\)): <table><tr><th></th><th>\(B\)</th><th>\(\bar{B}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(A\)</th><td>\(240\)</td><td>\(80\)</td><td>\(320\)</td></tr><tr><th>\(\bar{A}\)</th><td>\(120\)</td><td>\(360\)</td><td>\(480\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(360\)</td><td>\(440\)</td><td>\(800\)</td></tr></table> a) Prüfe mit der Produktbedingung, ob \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind. b) Beurteile die Aussage „Die App führt dazu, dass man die Prüfung besteht.“ Unterscheide Korrelation und Kausalität und nenne eine plausible Drittvariable.

Denkanstöße

- Bestimme Rand- und Schnittwahrscheinlichkeit aus der Tabelle. - Suche für b) nach einer Eigenschaft, die App-Nutzung und Prüfungserfolg beeinflussen könnte.

Lösung

1. Es gilt \(P(A)=\frac{320}{800}=0{,}4\), \(P(B)=\frac{360}{800}=0{,}45\) und \(P(A\cap B)=\frac{240}{800}=0{,}3\). 2. Bei Unabhängigkeit müsste \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) gelten. Das Produkt ist \(0{,}4\cdot0{,}45=0{,}18\) und damit nicht gleich \(0{,}3\). Die Merkmale sind abhängig. 3. Die Daten zeigen eine statistische Beziehung, beweisen aber nicht, dass die App selbst die höhere Bestehensquote verursacht. 4. Zum Beispiel könnte die Lernmotivation beide Merkmale beeinflussen: Stark motivierte Personen nutzen möglicherweise häufiger die App und bereiten sich zugleich intensiver auf die Prüfung vor.

Antwort

a) Stochastisch abhängig, weil \(P(A\cap B)=0{,}3\neq0{,}18=P(A)\cdot P(B)\). b) Die Kausalaussage ist durch diese Daten nicht belegt. Eine plausible Drittvariable ist zum Beispiel die Lernmotivation.
42210911
Bei \(200\) Jugendlichen wurde erfasst, ob sie regelmäßig frühstücken (\(F\)) und ob ihre Konzentration in der ersten Unterrichtsstunde hoch ist (\(K\)): <table><tr><th></th><th>\(K\)</th><th>\(\bar{K}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(F\)</th><td>\(72\)</td><td>\(48\)</td><td>\(120\)</td></tr><tr><th>\(\bar{F}\)</th><td>\(18\)</td><td>\(62\)</td><td>\(80\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(90\)</td><td>\(110\)</td><td>\(200\)</td></tr></table> a) Weise rechnerisch nach, dass \(F\) und \(K\) stochastisch abhängig sind. b) Berechne \(P(F\cap K)\) und \(P_F(K)\). Beschreibe den statistischen Zusammenhang und nenne eine plausible Drittvariable. Stelle klar, was die Daten über Kausalität nicht zeigen.

Denkanstöße

- Berechne zuerst Rand- und Schnittwahrscheinlichkeit. - Unterscheide \(P(F\cap K)\) von der Wahrscheinlichkeit innerhalb der Frühstücksgruppe. - Überlege, welche weiteren Gewohnheiten beide Merkmale beeinflussen könnten.

Lösung

1. Es gilt \(P(F)=\frac{120}{200}=0{,}6\), \(P(K)=\frac{90}{200}=0{,}45\) und \(P(F\cap K)=\frac{72}{200}=0{,}36\). 2. Das Produkt \(P(F)\cdot P(K)=0{,}6\cdot0{,}45=0{,}27\) ist nicht gleich \(0{,}36\). Daher sind \(F\) und \(K\) abhängig. 3. Weiter gilt \(P_F(K)=\frac{72}{120}=0{,}6\). Die Konzentrationsquote ist in der Frühstücksgruppe höher als insgesamt. 4. Die Daten zeigen einen statistischen Zusammenhang, aber keine Ursache-Wirkungs-Beziehung. Als Drittvariable kommen zum Beispiel Schlafdauer oder allgemeine Gesundheitsgewohnheiten infrage.

Antwort

a) Abhängig, weil \(P(F\cap K)=0{,}36\neq0{,}27=P(F)\cdot P(K)\). b) \(P(F\cap K)=0{,}36\); \(P_F(K)=0{,}6\). Es besteht ein positiver statistischer Zusammenhang. Eine plausible Drittvariable ist zum Beispiel die Schlafdauer; Kausalität ist nicht nachgewiesen.
42213511
In einer Befragung zum Thema „Gesundheit und Bewegung“ treiben \(40\,\%\) der Befragten regelmäßig Sport (Ereignis \(S\)). Insgesamt sind \(55\,\%\) mit ihrer körperlichen Fitness zufrieden (Ereignis \(F\)). \(35\,\%\) treiben regelmäßig Sport und sind mit ihrer Fitness zufrieden. a) Bestimme \(P(F)\) und \(P_S(F)\). b) Prüfe \(S\) und \(F\) auf stochastische Unabhängigkeit. c) Interpretiere den Zusammenhang zwischen \(S\) und \(F\) im Hinblick auf eine mögliche Kausalität.

Denkanstöße

- Unterscheide die gesamte Gruppe von der Sportgruppe. - Welche Gleichheit zwischen bedingter und unbedingter Wahrscheinlichkeit gilt bei Unabhängigkeit? - Welche anderen Erklärungen sind für den Zusammenhang möglich?

Lösung

1. Gegeben sind \(P(S)=0{,}40\), \(P(F)=0{,}55\) und \(P(S\cap F)=0{,}35\). 2. Es gilt \(P_S(F)=\frac{0{,}35}{0{,}40}=0{,}875\). 3. Bei Unabhängigkeit müsste \(P_S(F)=P(F)\) gelten. Da \(0{,}875\neq0{,}55\), sind \(S\) und \(F\) stochastisch abhängig. 4. Die Daten zeigen einen positiven statistischen Zusammenhang, aber keine Ursache-Wirkungs-Beziehung. Auch eine umgekehrte Wirkungsrichtung oder Drittvariablen wie ein allgemeines Gesundheitsbewusstsein sind möglich.

Antwort

a) \(P(F)=0{,}55\); \(P_S(F)=0{,}875\) b) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P_S(F)\neq P(F)\). c) Es besteht ein positiver statistischer Zusammenhang. Eine kausale Wirkung des Sporttreibens ist durch die Befragungsdaten allein nicht belegt.
42213611
Auf einer Online-Lernplattform haben \(60\,\%\) der Lernenden die optionalen Übungsmaterialien vollständig bearbeitet (Ereignis \(M\)). \(10\,\%\) aller Lernenden haben die Materialien nicht vollständig bearbeitet und die Abschlussprüfung dennoch bestanden (Ereignis \(B\)). Insgesamt haben \(65\,\%\) die Prüfung bestanden. a) Berechne \(P_M(B)\). b) Untersuche, ob das Bestehen der Prüfung stochastisch unabhängig von der Bearbeitung der Materialien ist. c) Erläutere, warum man aus dem Ergebnis nicht zwingend schließen kann, dass die Materialien die alleinige Ursache für das Bestehen sind.

Denkanstöße

- Welche beiden disjunkten Teile ergeben zusammen \(B\)? - Für \(P_M(B)\) ist \(M\) die Bezugsgruppe. - Suche für c) nach einem Merkmal, das Materialnutzung und Prüfungserfolg beeinflussen könnte.

Lösung

1. Gegeben sind \(P(M)=0{,}60\), \(P(\bar{M}\cap B)=0{,}10\) und \(P(B)=0{,}65\). 2. Daher ist \(P(M\cap B)=0{,}65-0{,}10=0{,}55\). 3. Es folgt \(P_M(B)=\frac{0{,}55}{0{,}60}=\frac{11}{12}\). 4. Bei Unabhängigkeit müsste \(P(M\cap B)=P(M)\cdot P(B)\) gelten. Das Produkt ist \(0{,}60\cdot0{,}65=0{,}39\) und damit nicht gleich \(0{,}55\). Die Ereignisse sind abhängig. 5. Der Unterschied zeigt einen statistischen Zusammenhang, aber keine eindeutige Ursache. Zum Beispiel könnte Lernmotivation sowohl die Nutzung der Materialien als auch den Prüfungserfolg beeinflussen.

Antwort

a) \(P_M(B)=\frac{11}{12}\) b) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(M\cap B)=0{,}55\neq0{,}39=P(M)\cdot P(B)\). c) Die Daten belegen keine alleinige kausale Wirkung der Materialien; eine Drittvariable wie Lernmotivation kann beide Merkmale beeinflussen.
43758311
Bei einer freiwilligen Onlineumfrage zum Vorschlag „Freitags beginnt der Unterricht eine Stunde später“ nehmen Befürwortende und Nicht-Befürwortende mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten teil. Bestimme den Anteil der Befürwortenden unter den Teilnehmenden und erkläre, warum dieser Anteil die Meinung der gesamten Schülerschaft verzerrt wiedergibt.
Abbildung zur Aufgabe 437583

Denkanstöße

- Welche beiden Meinungsgruppen nehmen mit unterschiedlichen Raten teil? - Welche Bezugsgruppe entsteht dadurch unter den Teilnehmenden? - Wie kann sich ihre Zusammensetzung von der Ausgangsgruppe unterscheiden?

Lösung

1. Der Anteil „unterstützt und nimmt teil“ beträgt \(0{,}4\cdot0{,}8=0{,}32\). 2. Der Anteil „unterstützt nicht und nimmt teil“ beträgt \(0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18\). 3. Insgesamt nehmen \(0{,}32+0{,}18=0{,}50\) der Schülerschaft teil. 4. Unter den Teilnehmenden beträgt der Unterstützeranteil \(0{,}32:0{,}50=0{,}64\), also \(64\,\%\). 5. Die beiden Meinungsgruppen haben unterschiedliche Teilnahmequoten. Dadurch ist ihre Zusammensetzung unter den Teilnehmenden anders als in der gesamten Schülerschaft.

Antwort

Unter den Teilnehmenden unterstützen \(64\,\%\) den Vorschlag. Die freiwillige Teilnahme verzerrt die Zusammensetzung, weil die beiden Meinungsgruppen mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten teilnehmen.
55351011
Eine Schülervertretung möchte den Anteil der Schülerinnen und Schüler schätzen, die einen späteren Unterrichtsbeginn befürworten. Befragung A: In einer freiwilligen Online-Umfrage antworten \(15\) Personen aus den Jahrgangsstufen 11 und 12; \(12\) davon stimmen zu. Befragung B: Aus allen Jahrgangsstufen werden insgesamt \(240\) Personen zufällig so ausgewählt, dass die Jahrgangsstufen entsprechend ihrer Größe vertreten sind; \(144\) davon stimmen zu. a) Bestimme für beide Befragungen den Zustimmungsanteil. b) Die Schülervertretung möchte mit dem größeren der beiden Prozentwerte werben. Erkläre, warum das methodisch nicht überzeugend ist. c) Welche Befragung liefert die bessere Grundlage für eine Aussage über die gesamte Schule? Begründe mit Stichprobengröße und Zusammensetzung.

Denkanstöße

- Trenne zunächst die reine Prozentrechnung von der Frage, wie die Stichprobe zustande kam. - Vergleiche nicht nur die Anzahl der Befragten, sondern auch, welche Teile der Schule überhaupt vertreten sind. - Ein hoher Prozentwert sagt für sich allein nichts darüber aus, wie gut die Stichprobe die Grundgesamtheit abbildet.

Lösung

1. In Befragung A beträgt der Zustimmungsanteil \(\frac{12}{15}=0{,}80=80\,\%\). 2. In Befragung B beträgt er \(\frac{144}{240}=0{,}60=60\,\%\). 3. Der größere Prozentwert aus A ist nicht automatisch die bessere Schätzung: Die Stichprobe ist sehr klein, freiwillig und enthält nur zwei Jahrgangsstufen. 4. Befragung B ist für die gesamte Schule aussagekräftiger, weil sie deutlich größer ist und die Jahrgangsstufen durch die zufällige, größenangepasste Auswahl breiter abbildet.

Antwort

a) Befragung A: \(80\,\%\); Befragung B: \(60\,\%\). b) Der größere Wert aus A stammt aus einer sehr kleinen, freiwilligen und einseitig zusammengesetzten Stichprobe. c) Befragung B ist die bessere Grundlage, weil die Stichprobe größer und die Zusammensetzung für die gesamte Schule geeigneter ist.
55351111
Eine Schule möchte die Akzeptanz einer neuen Lern-App untersuchen. Dafür wird in einem Kanal, den vor allem regelmäßige Nutzerinnen und Nutzer der App lesen, folgende freiwillige Frage veröffentlicht: „Findest du nicht auch, dass unsere praktische neue Lern-App den Schulalltag deutlich verbessert?“ \(78\,\%\) der Antwortenden wählen „Ja“. a) Nenne zwei verschiedene methodische Gründe, warum aus den \(78\,\%\) nicht geschlossen werden kann, dass ungefähr \(78\,\%\) aller Schülerinnen und Schüler die App positiv bewerten. b) Formuliere eine neutralere Frage und beschreibe eine geeignetere Auswahl der Befragten.

Denkanstöße

- Untersuche getrennt die Formulierung der Frage und den Weg, über den Personen zur Befragung gelangen. - Welche Wörter in der Frage könnten eine gewünschte Antwort nahelegen? - Welche Schülerinnen und Schüler haben überhaupt eine realistische Chance, die Frage zu sehen und zu beantworten?

Lösung

1. Die Frage ist suggestiv formuliert: Wörter wie „praktische“ und „deutlich verbessert“ lenken in Richtung einer positiven Antwort. 2. Außerdem erreicht die freiwillige Befragung vor allem Personen, die den App-Kanal lesen. Diese Gruppe ist nicht automatisch repräsentativ für alle Schülerinnen und Schüler; zusätzlich kann freiwillige Teilnahme die Zusammensetzung weiter verzerren. 3. Eine neutralere Frage wäre zum Beispiel: „Wie bewertest du die Lern-App insgesamt?“ mit ausgewogenen Antwortmöglichkeiten von sehr negativ bis sehr positiv. 4. Für die Auswahl sollte eine zufällige Stichprobe aus der gesamten Schülerschaft verwendet werden, gegebenenfalls mit angemessener Vertretung der Jahrgangsstufen.

Antwort

a) Die Frage ist suggestiv, und die Befragten stammen aus einer einseitig erreichten freiwilligen Gruppe von App-Kanal-Lesenden. b) Zum Beispiel: „Wie bewertest du die Lern-App insgesamt?“ mit ausgewogenen Antwortmöglichkeiten; befragt werden sollte eine zufällige Stichprobe aus der gesamten Schülerschaft.
42213011
Die IT-Hilfeteams Isar und Elbe werden verglichen. Eine Anfrage betrifft entweder Hardware (\(H\)) oder Software (\(S\)) und gilt als gelöst (\(L\)), wenn das Problem behoben wurde. <table><tr><td>Team</td><td>Typ</td><td>Anfragen gesamt</td><td>Anfragen gelöst</td></tr><tr><td>Isar</td><td>Hardware (\(H\))</td><td>\(200\)</td><td>\(40\)</td></tr><tr><td>Isar</td><td>Software (\(S\))</td><td>\(800\)</td><td>\(720\)</td></tr><tr><td>Elbe</td><td>Hardware (\(H\))</td><td>\(800\)</td><td>\(200\)</td></tr><tr><td>Elbe</td><td>Software (\(S\))</td><td>\(200\)</td><td>\(190\)</td></tr></table> a) Berechne für jedes Team die Lösungsquote bei Hardware- und bei Software-Anfragen. b) Insgesamt wurden bei Isar angeblich \(76\,\%\) und bei Elbe nur \(39\,\%\) der Anfragen gelöst. Überprüfe beide Angaben. c) Jemand folgert aus den Gesamtraten: „Isar arbeitet eindeutig besser.“ Beurteile die Aussage anhand der Teilgruppen und erkläre, wie die Zusammensetzung der Anfragen den Vergleich verzerrt.

Denkanstöße

- Vergleiche die Teams zuerst innerhalb derselben Anfrageart. - Welche Anfrageart hat in beiden Teams die niedrigere Lösungsquote? - Prüfe, wie stark diese Anfrageart in den beiden Teams vertreten ist.

Lösung

1. In Team Isar beträgt die Lösungsquote bei Hardware \(\frac{40}{200}=20\,\%\) und bei Software \(\frac{720}{800}=90\,\%\). 2. In Team Elbe beträgt die Lösungsquote bei Hardware \(\frac{200}{800}=25\,\%\) und bei Software \(\frac{190}{200}=95\,\%\). 3. Insgesamt gilt für Isar: \(\frac{40+720}{200+800}=\frac{760}{1000}=76\,\%\). Für Elbe gilt: \(\frac{200+190}{800+200}=\frac{390}{1000}=39\,\%\). 4. In beiden Teilgruppen hat Elbe die höhere Lösungsquote. Die schlechtere Gesamtrate entsteht, weil Elbe überwiegend Hardware-Anfragen bearbeitet und diese in beiden Teams seltener gelöst werden als Software-Anfragen. Die Gesamtrate allein ist daher für den Leistungsvergleich irreführend.

Antwort

a) Isar: Hardware \(20\,\%\), Software \(90\,\%\); Elbe: Hardware \(25\,\%\), Software \(95\,\%\). b) Isar: \(76\,\%\); Elbe: \(39\,\%\). c) Die Gesamtraten allein rechtfertigen die Aussage nicht: Elbe hat in beiden Anfragearten die höhere Lösungsquote. Die unterschiedlichen Anteile von Hardware- und Software-Anfragen kehren die Gesamtreihenfolge um.
43758911
Bei Freibadbesuchen sei \(E\) das Ereignis „Eine Person kauft Eis“ und \(B\) das Ereignis „Eine Person bekommt Sonnenbrand“. Innerhalb jeder Wetterlage werden \(E\) und \(B\) als stochastisch unabhängig angenommen. Bestimme \(P_E(B)\) und gib den Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet an. Erkläre außerdem, warum ein beobachteter Zusammenhang zwischen Eiskauf und Sonnenbrand nicht belegt, dass der Eiskauf den Sonnenbrand verursacht.
Abbildung zur Aufgabe 437589

Denkanstöße

- Welche vollständigen Pfade erfüllen gleichzeitig \(E\) und \(B\)? - Welche Bezugsgruppe brauchst du für \(P_E(B)\)? - Welche Größe im Baum wirkt schon vorher auf beide Merkmale ein?

Lösung

1. Für \(E\cap B\) gibt es zwei Wetterpfade: \(P(E\cap B)=0{,}6\cdot0{,}8\cdot0{,}5+0{,}4\cdot0{,}2\cdot0{,}05=0{,}244.\) 2. Für einen Eiskauf gilt \(P(E)=0{,}6\cdot0{,}8+0{,}4\cdot0{,}2=0{,}56.\) 3. Somit ist \(P_E(B)=\frac{0{,}244}{0{,}56}\approx0{,}4357,\) also etwa \(43{,}6\,\%\). 4. Die Wetterlage beeinflusst sowohl die Wahrscheinlichkeit eines Eiskaufs als auch die eines Sonnenbrands. Sie kann deshalb den beobachteten Zusammenhang erklären, obwohl \(E\) und \(B\) innerhalb jeder Wetterlage unabhängig sind.

Antwort

\(P_E(B)\approx43{,}6\,\%\). Die Wetterlage ist eine gemeinsame Einflussgröße; der Zusammenhang belegt daher keine Verursachung des Sonnenbrands durch den Eiskauf.
55351211
Bei einer Studie zu einem freiwilligen Prüfungsvorbereitungskurs werden Lernende nach ihrer bisherigen Leistung in zwei Gruppen eingeteilt. Die Tabelle zeigt, wie viele den Kurs besuchen (\(K\)) und wie viele die anschließende Prüfung bestehen (\(B\)). <table><tr><th>Ausgangsgruppe</th><th>Kursstatus</th><th>Personen</th><th>davon bestanden</th></tr><tr><td>hohe bisherige Leistung</td><td>\(K\)</td><td>\(20\)</td><td>\(18\)</td></tr><tr><td>hohe bisherige Leistung</td><td>\(\bar{K}\)</td><td>\(80\)</td><td>\(64\)</td></tr><tr><td>niedrige bisherige Leistung</td><td>\(K\)</td><td>\(40\)</td><td>\(24\)</td></tr><tr><td>niedrige bisherige Leistung</td><td>\(\bar{K}\)</td><td>\(40\)</td><td>\(18\)</td></tr></table> a) Bestimme innerhalb jeder Ausgangsgruppe die Bestehensquote mit und ohne Kurs. b) Bestimme die Bestehensquote insgesamt für die Kursteilnehmenden und für die Nichtteilnehmenden. Runde nur den nicht abbrechenden Prozentwert auf eine Dezimalstelle. c) Beurteile die Aussage „Der Kurs verursacht die höhere Bestehenswahrscheinlichkeit.“ Gehe dabei sowohl auf die Teilgruppen als auch auf die freiwillige Kursteilnahme ein. d) Beschreibe eine Untersuchung, mit der man besser prüfen könnte, ob der Kurs die Bestehensquote beeinflusst. Berücksichtige dabei weiterhin die beiden Leistungsgruppen.

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst Personen mit ähnlicher bisheriger Leistung. - Achte beim Gesamtvergleich darauf, ob Kurs- und Nichtkursgruppe unterschiedlich zusammengesetzt sind. - Welche Unterschiede zwischen freiwillig Teilnehmenden und Nichtteilnehmenden könnten das Ergebnis ebenfalls erklären? - Wie könnte die Zuteilung zum Kurs fairer organisiert werden, damit solche Unterschiede weniger Einfluss haben?

Lösung

1. In der Gruppe mit hoher bisheriger Leistung bestehen mit Kurs \(\frac{18}{20}=90\,\%\), ohne Kurs \(\frac{64}{80}=80\,\%\). 2. In der Gruppe mit niedriger bisheriger Leistung bestehen mit Kurs \(\frac{24}{40}=60\,\%\), ohne Kurs \(\frac{18}{40}=45\,\%\). 3. Insgesamt bestehen mit Kurs \(42\) von \(60\) Personen, also \(70\,\%\). Ohne Kurs bestehen \(82\) von \(120\) Personen, also \(\frac{41}{60}\approx68{,}3\,\%\). 4. In beiden Ausgangsgruppen ist die Bestehensquote der Kursteilnehmenden höher. Trotzdem beweisen die Daten keine Verursachung, weil die Teilnahme freiwillig ist. Teilnehmende können sich zum Beispiel in Motivation oder Lernzeit von Nichtteilnehmenden unterscheiden. 5. Eine bessere Untersuchung teilt Lernende innerhalb jeder Leistungsgruppe zufällig einer Kurs- und einer Vergleichsgruppe zu. Anschließend werden die Bestehensquoten innerhalb der Leistungsgruppen verglichen.

Antwort

a) Hohe bisherige Leistung: mit Kurs \(90\,\%\), ohne Kurs \(80\,\%\). Niedrige bisherige Leistung: mit Kurs \(60\,\%\), ohne Kurs \(45\,\%\). b) Mit Kurs \(70\,\%\); ohne Kurs \(\frac{41}{60}\approx68{,}3\,\%\). c) Die Daten zeigen in beiden Ausgangsgruppen einen positiven Zusammenhang, beweisen wegen der freiwilligen Teilnahme aber keine kausale Wirkung. d) Geeignet ist eine zufällige Zuteilung zu Kurs und Vergleichsgruppe innerhalb jeder Leistungsgruppe mit anschließendem Vergleich der Bestehensquoten.

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