- Was bleibt übrig, wenn du einen festen Wert für \(a\) einsetzt? - Welche Größe kann danach noch verschiedene Werte annehmen?

1. Die Variable ist \(x\); der Parameter ist \(a\). 2. Für \(a=0\) erhält man \(f_0(x)=x^2\). Für \(a=2\) erhält man \(f_2(x)=x^2+2x\). 3. Ein fester Parameterwert wählt ein bestimmtes Mitglied der Funktionenschar aus; innerhalb dieses Funktionsterms bleibt \(x\) die Variable.

a) Variable: \(x\); Parameter: \(a\) b) \(f_0(x)=x^2\), \(f_2(x)=x^2+2x\) c) Der Parameter wählt ein bestimmtes Mitglied der Funktionenschar aus.

- Was muss für die Ableitung an einer stationären Stelle gelten? - Wie kannst du diese Bedingung nutzen, wenn die gesuchte Stelle schon bekannt ist?

1. An einer stationären Stelle gilt \(g_k'(2)=0\). 2. Damit ist \(4+k=0\), also \(k=-4\).

\(k=-4\)

- Welche Steigung hat \(p_k\)? - Vergleiche die drei Fälle \(k<0\), \(k=0\) und \(k>0\).

1. Es gilt \(p_k'(x)=k\). 2. Strenges Steigen auf ganz \(\mathbb{R}\) liegt genau dann vor, wenn \(k>0\).

\(k>0\)

- Wie lautet die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei differenzierbaren Funktionen? - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, wenn eine andere Variable als fester Wert vorgegeben ist? - Welches Vorzeichen muss die zweite Ableitung an einer Stelle haben, damit dort ein Maximum vorliegt? - Wie berechnet man den Funktionswert zu einer gegebenen Stelle?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2kx - 6\). 2. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(2kx - 6 = 0 \Rightarrow x_E = \frac{3}{k}\). 3. Bestimmung von \(k\) für \(x_E = -1\): \(\frac{3}{k} = -1 \Rightarrow k = -3\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f_k''(x) = 2k\): Für \(k = -3\) gilt \(f_{-3}''(x) = -6\). Da \(-6 < 0\), liegt an der Stelle \(x = -1\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f_{-3}(-1) = -3 \cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) - 1 = -3 + 6 - 1 = 2\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(-1 \mid 2)\).

a) \(f_k'(x) = 2kx - 6\); \(x_E = \frac{3}{k}\) b) \(k = -3\) c) \(H(-1 \mid 2)\)

- Welche Eigenschaft hat die Steigung des Graphen an einer Extremstelle? - Wie berechnet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Setze die Information über die Stelle in die Ableitung ein und löse die entstehende Gleichung nach dem Parameter auf. - Überprüfe am Ende, ob die Bedingung für eine Extremstelle wirklich erfüllt ist.

1. Erste Ableitung der Funktionenschar bilden: \(f_k'(x) = 2x^3 - 2kx\). 2. Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle \(x = 2\) lautet \(f_k'(2) = 0\). 3. Den Wert \(x = 2\) in die Ableitungsfunktion einsetzen: \(2 \cdot 2^3 - 2k \cdot 2 = 16 - 4k\). 4. Die Gleichung \(16 - 4k = 0\) nach \(k\) auflösen: \(4k = 16 \implies k = 4\). 5. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung \(f_4''(x) = 6x^2 - 8\): \(f_4''(2) = 6 \cdot 4 - 8 = 16 \neq 0\). Somit liegt bei \(x = 2\) tatsächlich eine Extremstelle (ein lokales Minimum) vor.

\(k = 4\)

- Berechne \(f_a'\) und untersuche dessen Vorzeichen für verschiedene Vorzeichen von \(a\). - Was gilt für \(3ax^2+3\), wenn \(a\ge0\)? - Was geschieht für \(a<0\), wenn \(|x|\) sehr groß wird?

1. Es gilt \(f_a'(x)=3ax^2+3\). 2. Für \(a>0\) gilt \(f_a'(x)\ge3>0\) für alle \(x\). Daher ist \(f_a\) auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend. 3. Für \(a=0\) gilt \(f_0'(x)=3>0\), also ist auch \(f_0\) streng monoton zunehmend. 4. Für \(a<0\) wird \(3ax^2+3\) für hinreichend große \(|x|\) negativ. Dann ist \(f_a\) nicht auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend. 5. Somit gilt genau \(a\ge0\).

\(f_a\) ist genau für \(a\ge0\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend.

- Bestimme zunächst die Nullstellen von \(f_a'\). - In welchem Bereich ist die nach oben geöffnete Parabel \(f_a'\) negativ? - Wie berechnest du die Länge des Intervalls aus seinen Endpunkten?

1. Es gilt \(f_a'(x)=x^2-a^2\). 2. Die Nullstellen von \(f_a'\) sind \(x=-a\) und \(x=a\). 3. Für \(-a<x<a\) gilt \(f_a'(x)<0\); an den Randstellen ist \(f_a'(x)=0\). Daher ist \(f_a\) auf \([-a;a]\) streng monoton abnehmend. 4. Die Intervalllänge ist \(L=a-(-a)=2a\). 5. Nach der Ersetzung \(a\) durch \(3a\) ist die Länge \(L_{neu}=6a=3L\). Sie verdreifacht sich.

a) \([-a;a]\). b) Die Länge beträgt \(2a\); nach einer Verdreifachung von \(a\) beträgt sie \(6a\) und ist damit dreimal so groß.

- Wie hängt die vertikale Lage der Parabel \(f_a'\) vom Parameter \(a\) ab? - Vergleiche insbesondere die Nullstellen der drei Ableitungsgraphen. - Für Teil b) entscheidet das Vorzeichen von \(f_1'\) über die Monotonie von \(f_1\). - Achte an den Nullstellen darauf, in welche Richtung das Vorzeichen wechselt.

1. Es gilt \(f_a'(x)=3x^2-3a\). Für \(a=-1\) liegt die Parabel vollständig oberhalb der \(x\)-Achse; das ist Graph A. Für \(a=0\) berührt die Parabel die \(x\)-Achse bei \(x=0\); das ist Graph B. Für \(a=1\) schneidet sie die \(x\)-Achse bei \(x=\pm1\); das ist Graph C. 2. Für \(a=1\) gilt \(f_1'(x)>0\) für \(x<-1\) und \(x>1\), während \(f_1'(x)<0\) für \(-1<x<1\). 3. Daher ist \(f_1\) auf \(( -\infty;-1]\) und \([1;\infty)\) streng monoton zunehmend und auf \([-1;1]\) streng monoton abnehmend. Bei \(x=-1\) liegt eine lokale Maximalstelle, bei \(x=1\) eine lokale Minimalstelle vor.

a) A: \(a=-1\); B: \(a=0\); C: \(a=1\). b) \(f_1\) ist auf \(( -\infty;-1]\) und \([1;\infty)\) streng monoton zunehmend und auf \([-1;1]\) streng monoton abnehmend. Bei \(x=-1\) liegt eine lokale Maximalstelle, bei \(x=1\) eine lokale Minimalstelle.

- Eine Nullstelle von \(f_a'\) liegt immer bei \(x=0\); wo liegt die andere? - Die zweite Nullstelle ist direkt der Parameterwert \(a\). - Für die Extremumart brauchst du den Vorzeichenwechsel von \(f_a'\) an jeder Nullstelle.

1. Neben \(x=0\) liegt die zweite Nullstelle von \(f_a'(x)=x(x-a)\) immer bei \(x=a\). Daher kann der Parameter direkt an der zweiten Nullstelle des Ableitungsgraphen erkannt werden. 2. Abbildung a) hat die Nullstellen \(-2\) und \(0\): \(a=-2\). Das Vorzeichen wechselt bei \(-2\) von positiv zu negativ und bei \(0\) von negativ zu positiv. Also: Maximalstelle bei \(x=-2\), Minimalstelle bei \(x=0\). 3. Abbildung b) hat die Nullstellen \(0\) und \(1\): \(a=1\). Also: Maximalstelle bei \(x=0\), Minimalstelle bei \(x=1\). 4. Abbildung c) hat die Nullstellen \(0\) und \(3\): \(a=3\). Also: Maximalstelle bei \(x=0\), Minimalstelle bei \(x=3\).

a) \(a=-2\): Maximalstelle \(x=-2\), Minimalstelle \(x=0\). b) \(a=1\): Maximalstelle \(x=0\), Minimalstelle \(x=1\). c) \(a=3\): Maximalstelle \(x=0\), Minimalstelle \(x=3\).

- Welche notwendige Bedingung erfüllt die erste Ableitung an einer differenzierbaren Extremstelle? - Behandle \(k\) beim Ableiten nach \(x\) wie eine Konstante. - Prüfe die Extremumart anschließend mit der zweiten Ableitung.

1. Es gilt \(f_k'(x)=3x^2+2kx+1\). 2. Für eine Extremstelle bei \(x=1\) muss \(f_k'(1)=0\) gelten. Also \(4+2k=0\) und damit \(k=-2\). 3. Es gilt \(f_k''(x)=6x+2k\), also \(f_{-2}''(1)=2>0\). Daher liegt bei \(x=1\) tatsächlich ein lokales Minimum vor.

\(k=-2\)

- Welche Termform macht sichtbar, wie der Parameter den Ableitungsgraphen verschiebt? - Welche drei Fälle entstehen, wenn eine Parabel die x-Achse zweimal schneidet, einmal berührt oder gar nicht erreicht? - Im Berührfall reicht „kein Vorzeichenwechsel“ nicht für die Bezeichnung Terrassenpunkt; welche zusätzliche Eigenschaft musst du prüfen?

1. Es gilt \(h_b'(x)=3x^2-6x+b=3(x-1)^2+b-3\). Der Parameter verschiebt den Ableitungsgraphen vertikal. 2. Für \(b=2\) schneidet \(h_2'\) die \(x\)-Achse zweimal. Da die Ableitung außerhalb der beiden Nullstellen positiv und dazwischen negativ ist, besitzt \(h_2\) zuerst eine lokale Maximalstelle und danach eine lokale Minimalstelle. 3. Für \(b=3\) gilt \(h_3'(x)=3(x-1)^2\). Die einzige stationäre Stelle ist \(x=1\); das Vorzeichen von \(h_3'\) wechselt nicht. Außerdem gilt \(h_3''(1)=0\) und \(h_3'''(x)=6\neq0\). Daher liegt bei \(x=1\) ein Terrassenpunkt vor. 4. Für \(b=4\) ist \(h_4'(x)=3(x-1)^2+1>0\). Es gibt keine stationäre Stelle. 5. Beim Erhöhen von \(b\) nähern sich die beiden Extremstellen einander an, verschmelzen bei \(b=3\) zum Terrassenpunkt und verschwinden für \(b>3\).

\(b=2\): zwei stationäre Stellen, zuerst lokale Maximalstelle, dann lokale Minimalstelle. \(b=3\): ein Terrassenpunkt bei \(x=1\). \(b=4\): keine stationäre Stelle. Bei \(b=3\) verschmelzen die beiden Extremstellen zum Terrassenpunkt.

- Die Anzahl stationärer Stellen hängt hier von der Anzahl reeller Nullstellen von \(f_k'\) ab. - Welcher Ausdruck entscheidet bei einer quadratischen Gleichung darüber, ob sie zwei, eine oder keine reelle Lösung besitzt? - Prüfe im Grenzfall mit einer doppelten Nullstelle, ob die stationäre Stelle ein Extremum oder eine Wendestelle mit waagerechter Tangente ist.

1. Stationäre Stellen von \(f_k\) entsprechen den reellen Nullstellen der quadratischen Gleichung \(x^2+kx+4=0\). 2. Ihre Diskriminante ist \(D=k^2-16\). 3. Für \(D>0\), also \(|k|>4\), gibt es zwei verschiedene Nullstellen und damit zwei stationäre Stellen. 4. Für \(D=0\), also \(k=4\) oder \(k=-4\), gibt es genau eine doppelte Nullstelle und damit eine stationäre Stelle. 5. Für \(D<0\), also \(|k|<4\), gibt es keine stationäre Stelle. 6. In den Grenzfällen ist die einzige Nullstelle von \(f_k'\) doppelt. Es gilt dort zusätzlich \(f_k''=0\) und wegen \(f_k'''=2\neq0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.

Zwei stationäre Stellen: \(|k|>4\) Eine stationäre Stelle: \(k=4\) oder \(k=-4\); jeweils ein Terrassenpunkt Keine stationäre Stelle: \(|k|<4\)

- Welche Bedingung muss bei \(x=1\) zunächst erfüllt sein? - Welche Information gibt dir die zweite Ableitung über die Art der stationären Stelle?

1. Es gilt \(h_a'(x)=2x+a\). Aus \(h_a'(1)=0\) folgt \(2+a=0\), also \(a=-2\). 2. Die zweite Ableitung ist \(h_a''(x)=2>0\). Daher liegt bei \(x=1\) tatsächlich ein lokales Minimum.

\(a=-2\). Es gilt \(h_a''(1)=2>0\); daher liegt bei \(x=1\) tatsächlich ein lokales Minimum.

- Stationäre Stellen von \(q_a\) entsprechen Nullstellen des dargestellten Ableitungsgraphen. - Vergleiche, ob der Graph die \(x\)-Achse schneidet, berührt oder gar nicht erreicht. - Welche zusätzliche Eigenschaft brauchst du im Berührfall, um die besondere Punktart von \(q_a\) zu bestimmen?

1. Es gilt \(q_a'(x)=x^2-a\). 2. Für \(a=-1\) liegt der Ableitungsgraph vollständig oberhalb der \(x\)-Achse. Es gibt keine stationäre Stelle. 3. Für \(a=0\) berührt der Ableitungsgraph die \(x\)-Achse bei \(x=0\), ohne das Vorzeichen zu wechseln. Bei \(q_0(x)=\frac{1}{3}x^3\) ist dies ein Terrassenpunkt. 4. Für \(a=1\) schneidet der Ableitungsgraph die \(x\)-Achse zweimal. Es gibt zwei stationäre Stellen.

a) keine stationäre Stelle b) eine stationäre Stelle bei \(x=0\); Terrassenpunkt c) zwei stationäre Stellen

- Welche Werte von \(x\) machen den Ableitungsterm null? - Wann sind die beiden gefundenen Stellen gleich? - Wie verhält sich \(r_0\) links und rechts von \(x=0\)?

1. Es gilt \(r_k'(x)=3x^2+2kx=x(3x+2k)\). 2. Damit liegen stationäre Stellen bei \(x=0\) und \(x=-\frac{2k}{3}\). 3. Für \(k\neq0\) sind diese Stellen verschieden. Für \(k=0\) fallen sie bei \(x=0\) zusammen. 4. Dann ist \(r_0(x)=x^3\). Die Funktion steigt links und rechts von \(0\) weiter; zugleich wechselt dort die Krümmung. Daher liegt ein Terrassenpunkt vor.

a) Stationäre Stellen: \(x=0\) und \(x=-\frac{2k}{3}\) b) Für \(k=0\) fallen beide bei \(x=0\) zusammen; dort liegt ein Terrassenpunkt.

- Welche Bedingungen müssen an einem Terrassenpunkt für die ersten beiden Ableitungen erfüllt sein? - Prüfe nach dem Finden des Kandidaten zusätzlich, ob tatsächlich ein Krümmungswechsel vorliegt. - Für die Anzahl der Extremstellen kannst du untersuchen, wann die quadratische Ableitungsfunktion zwei verschiedene reelle Nullstellen besitzt.

1. Es gilt \(f_t'(x)=x^2+2tx+9\) und \(f_t''(x)=2x+2t\). 2. Für einen Terrassenpunkt müssen insbesondere \(f_t'(x)=0\) und \(f_t''(x)=0\) gelten. Aus \(f_t''(x)=0\) folgt \(x=-t\). 3. Einsetzen in \(f_t'\) ergibt \(f_t'(-t)=-t^2+9=0\). Wegen \(t>0\) folgt \(t=3\). 4. Für \(t=3\) liegt die stationäre Stelle bei \(x=-3\). Es gilt \(f_3''(x)=2x+6\); diese zweite Ableitung wechselt bei \(x=-3\) von negativ zu positiv. Damit liegt dort tatsächlich ein Terrassenpunkt vor. 5. Der Funktionswert ist \(f_3(-3)=-9\). Somit lautet der Terrassenpunkt \((-3|-9)\). 6. Zwei lokale Extrempunkte existieren genau dann, wenn die quadratische Ableitung \(f_t'\) zwei verschiedene reelle Nullstellen besitzt. Ihre Diskriminante ist \(D=(2t)^2-4\cdot1\cdot9=4t^2-36\). 7. Aus \(D>0\) folgt \(|t|>3\). Daher besitzt \(f_t\) genau für \(t<-3\) oder \(t>3\) zwei lokale Extrempunkte.

a) \(t=3\); Terrassenpunkt \((-3|-9)\) b) Zwei lokale Extrempunkte für \(|t|>3\), also \(t<-3\) oder \(t>3\)

- Die Anzahl möglicher Extremstellen hängt von der Anzahl reeller Nullstellen von \(f_k'\) ab. - Untersuche dazu die Diskriminante der quadratischen Ableitungsfunktion. - In den Grenzfällen mit einer doppelten Nullstelle reicht das Ausbleiben eines Extremums noch nicht für einen Terrassenpunkt; prüfe zusätzlich die Krümmung.

1. Es gilt \(f_k'(x)=3x^2-2kx+3k\). 2. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(f_k'(x)=0\) ist \(D=(-2k)^2-4\cdot3\cdot3k=4k(k-9)\). 3. Für \(D>0\), also \(k<0\) oder \(k>9\), besitzt \(f_k'\) zwei verschiedene Nullstellen. Als nach oben geöffnete Parabel wechselt \(f_k'\) an beiden Nullstellen das Vorzeichen; daher besitzt \(f_k\) zwei lokale Extrempunkte. 4. Für \(0<k<9\) gilt \(D<0\). Dann besitzt \(f_k'\) keine Nullstelle und \(f_k\) keine lokalen Extrempunkte. 5. Für \(k=0\) gilt \(f_0(x)=x^3\). Die einzige stationäre Stelle ist \(x=0\). Mit \(f_0''(x)=6x\) liegt dort ein Krümmungswechsel vor; somit ist \((0|0)\) ein Terrassenpunkt. 6. Für \(k=9\) gilt \(f_9'(x)=3(x-3)^2\). Die einzige stationäre Stelle ist \(x=3\). Mit \(f_9''(x)=6x-18\) wechselt die Krümmung bei \(x=3\); daher liegt dort ebenfalls ein Terrassenpunkt vor. 7. Somit besitzt \(f_k\) für \(k<0\) oder \(k>9\) zwei lokale Extrempunkte und für \(0\leq k\leq9\) keine lokalen Extrempunkte; Terrassenpunkte treten bei \(k=0\) und \(k=9\) auf.

Zwei lokale Extrempunkte: \(k<0\) oder \(k>9\) Keine lokalen Extrempunkte: \(0\leq k\leq9\) Terrassenpunkt: \(k=0\) oder \(k=9\)

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Kannst du einen Term ausklammern, um die Nullstellen einfacher zu finden? - Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit ihren Hoch- und Tiefpunkten zusammen? - Überlege dir, wie das Vorzeichen des Parameters die Krümmung an den Stellen mit waagerechter Tangente beeinflusst.

1. Punktprobe für \(P(2 \mid 4)\): \(f_k(2) = 4 \implies k \cdot 2^2 - 2^3 = 4 \implies 4k - 8 = 4 \implies 4k = 12 \implies k = 3\). 2. Nullstellen berechnen: \(kx^2 - x^3 = 0 \implies x^2(k - x) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = k\). 3. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 2kx - 3x^2\) und \(f_k''(x) = 2k - 6x\). 4. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_k'(x) = x(2k - 3x) = 0 \implies x_1 = 0\) oder \(x_2 = \frac{2}{3}k\). 5. Art der Extrema prüfen: \(f_k''(0) = 2k\) und \(f_k''(\frac{2}{3}k) = 2k - 6(\frac{2}{3}k) = -2k\). 6. Fallunterscheidung für \(k > 0\): \(f_k''(0) > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\); \(f_k''(\frac{2}{3}k) < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt \(H(\frac{2}{3}k \mid \frac{4}{27}k^3)\). 7. Fallunterscheidung für \(k < 0\): \(f_k''(0) < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\); \(f_k''(\frac{2}{3}k) > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt \(T(\frac{2}{3}k \mid \frac{4}{27}k^3)\).

a) \(k = 3\) b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) c) Für \(k > 0\): \(T(0 \mid 0)\) und \(H(\frac{2}{3}k \mid \frac{4}{27}k^3)\); für \(k < 0\): \(H(0 \mid 0)\) und \(T(\frac{2}{3}k \mid \frac{4}{27}k^3)\).

- Was muss für die Funktionswerte und die Ableitungen an einer Stelle gelten, damit dort ein Extrempunkt vorliegt? - Nutze das Ausklammern von \(x^2\), um die Nullstellen zu bestimmen. - Untersuche die erste Ableitung auf weitere Nullstellen, um den zweiten Extrempunkt zu finden. - Stelle die \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts als Term in Abhängigkeit von \(t\) dar und setze diesen gleich \(-4\).

1. Nachweis Ursprung: \(g_t(0) = 0^3 - 3t \cdot 0^2 = 0\). Damit verlaufen alle Graphen durch \((0 \mid 0)\). 2. Nachweis Extremum im Ursprung: \(g_t'(x) = 3x^2 - 6tx\), also \(g_t'(0) = 0\). Die zweite Ableitung ist \(g_t''(x) = 6x - 6t\). Für \(t > 0\) ist \(g_t''(0) = -6t < 0\). Somit liegt bei \(x = 0\) immer ein lokaler Hochpunkt vor. 3. Nullstellen: \(x^3 - 3tx^2 = 0 \implies x^2(x - 3t) = 0 \implies x_1 = 0\), \(x_2 = 3t\). 4. Weiterer Extrempunkt: \(g_t'(x) = 3x(x - 2t) = 0 \implies x = 2t\) (da \(x=0\) bereits bekannt ist). 5. Art des Extrempunktes: \(g_t''(2t) = 6(2t) - 6t = 6t\). Da \(t > 0\), ist \(g_t''(2t) > 0\), also liegt ein lokaler Tiefpunkt vor. 6. \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts: \(g_t(2t) = (2t)^3 - 3t(2t)^2 = 8t^3 - 12t^3 = -4t^3\). 7. Bedingung \(y = -4\): \(-4t^3 = -4 \implies t^3 = 1 \implies t = 1\).

a) \(g_t(0) = 0\), \(g_t'(0) = 0\) und \(g_t''(0) = -6t < 0\) für \(t > 0\); daher liegt der Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\) vor. b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3t\) c) \(t = 1\)

- Faktorisiere den Funktionsterm für die Nullstellen. - Wie hängen die stationären Stellen von \(k\) ab? - Nutze \(k>0\), wenn du die Vorzeichen von \(f_k''\) an den stationären Stellen beurteilst. - Welche Bedingung bestätigt den Wendepunkt im Ursprung?

1. Aus \(f_k(x)=x(x^2-3k^2)\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt3k\). Der Ursprung \((0\mid0)\) ist zugleich Schnittpunkt mit beiden Koordinatenachsen. Weitere Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \((\sqrt3k\mid0)\) und \((-\sqrt3k\mid0)\). 2. Es gilt \(f_k'(x)=3x^2-3k^2\). Die stationären Stellen liegen bei \(x=\pm k\). Mit \(f_k''(x)=6x\) folgt wegen \(k>0\): \(H(-k\mid2k^3)\) und \(T(k\mid-2k^3)\). 3. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x=0\). Wegen \(f_k'''(x)=6\neq0\) liegt dort der Wendepunkt \(W(0\mid0)\).

Achsenschnittpunkte: \((0\mid0)\), \((\sqrt3k\mid0)\), \((-\sqrt3k\mid0)\) Extrempunkte: \(H(-k\mid2k^3)\), \(T(k\mid-2k^3)\) Wendepunkt: \(W(0\mid0)\)

- Faktorisiere den Funktionsterm für die Achsenschnittpunkte. - Wie hängen die stationären Stellen vom Parameter \(a\) ab? - Nutze \(a>0\), wenn du die Extremstellen klassifizierst. - Welche Ableitung bestätigt die beiden Wendestellen?

1. Aus \(g_a(x)=\frac{1}{4}x^2(x^2-4a^2)\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm2a\). Der Ursprung \((0\mid0)\) ist zugleich Schnittpunkt mit beiden Koordinatenachsen; weitere Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \((2a\mid0)\) und \((-2a\mid0)\). 2. Es gilt \(g_a'(x)=x^3-2a^2x\) und \(g_a''(x)=3x^2-2a^2\). Die stationären Stellen sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt2a\). Wegen \(a>0\) folgt \(H(0\mid0)\) sowie \(T_{1,2}(\pm\sqrt2a\mid-a^4)\). 3. Aus \(g_a''(x)=0\) folgen \(x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}a\). Da \(g_a'''(x)=6x\) dort jeweils ungleich null ist, liegen die Wendepunkte \(W_{1,2}(\pm\sqrt{\frac{2}{3}}a\mid-\frac{5}{9}a^4)\) vor.

Achsenschnittpunkte: \((0\mid0)\), \((2a\mid0)\), \((-2a\mid0)\) Extrempunkte: \(H(0\mid0)\), \(T_{1,2}(\pm\sqrt2a\mid-a^4)\) Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm\sqrt{\frac{2}{3}}a\mid-\frac{5}{9}a^4)\)

- Welche Nullstellen besitzt die erste Ableitung in Abhängigkeit von \(a\)? - Für welchen Parameterwert fallen die beiden stationären Stellen zusammen? - Wie kannst du bei der zusammengefallenen stationären Stelle prüfen, ob tatsächlich eine Wendestelle vorliegt? - Wie lässt sich der Funktionsterm nach \(a\) ordnen, um gemeinsame Punkte aller Graphen zu finden?

1. Es gilt \(f_a'(x)=3x^2-6ax+12a-12=3(x-2)(x-(2a-2))\). Die stationären Stellen sind \(x_1=2\) und \(x_2=2a-2\). 2. Für \(a\neq2\) sind beide Nullstellen von \(f_a'\) einfach und damit Extremstellen. Für \(a=2\) fallen sie bei \(x=2\) zusammen; dann ist \(f_2'(x)=3(x-2)^2\) und \(f_2'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen, also liegt kein Extremum vor. 3. Es gilt \(f_a''(x)=6x-6a\). Für \(a=2\) ist \(f_2''(2)=0\), und mit \(f_a'''(x)=6\) folgt \(f_2'''(2)=6\neq0\). Damit ist \(x=2\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt. 4. Nach dem Parameter geordnet ist \(f_a(x)=x^3-12x+10+a(-3x^2+12x)\). Für einen gemeinsamen Punkt muss der Koeffizient von \(a\) verschwinden: \(-3x(x-4)=0\). Daher sind \(x=0\) und \(x=4\) die gemeinsamen Abszissen. 5. Einsetzen ergibt \(P_1(0\mid10)\) und \(P_2(4\mid26)\).

a) Für \(a\neq2\) liegen die Extremstellen bei \(x_1=2\) und \(x_2=2a-2\). Für \(a=2\) fallen die stationären Stellen bei \(x=2\) zusammen und bilden kein Extremum. b) Für \(a=2\) liegt bei \(x=2\) ein Terrassenpunkt vor. c) Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(0\mid10)\) und \(P_2(4\mid26)\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen von \(f'\) und strenger Monotonie? - Wann nimmt eine nach oben geöffnete quadratische Funktion keine negativen Werte an? - Welche Rolle spielt die Diskriminante dabei?

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2+2kx+3\). 2. Für strenge Zunahme auf ganz \(\mathbb{R}\) darf \(f'\) keine negativen Werte annehmen; isolierte Nullstellen sind möglich. 3. Da \(f'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, gilt \(f'(x)\ge0\) für alle \(x\) genau dann, wenn ihre Diskriminante höchstens null ist. 4. Es ist \(D=(2k)^2-4\cdot3\cdot3=4k^2-36\). Aus \(D\le0\) folgt \(k^2\le9\), also \(-3\le k\le3\). 5. Für \(-3<k<3\) gilt sogar \(f'(x)>0\) überall. In den Grenzfällen \(k=\pm3\) besitzt \(f'\) eine doppelte, isolierte Nullstelle; \(f\) bleibt dennoch streng monoton zunehmend und besitzt dort einen Terrassenpunkt.

\(k\in[-3;3]\).

- Wie hängt die Anzahl der Extremstellen mit den Nullstellen von \(f_k'\) zusammen? - Welche Bedingung an die Diskriminante liefert zwei verschiedene reelle Lösungen? - Wie klassifizierst du die stationären Stellen für den konkreten Parameterwert \(k=5\)? - Vergiss bei Teil b) die Funktionswerte der Extrempunkte nicht.

1. Es gilt \(f_k'(x)=x^2-kx+4\). 2. Für zwei verschiedene Extremstellen muss die quadratische Gleichung \(x^2-kx+4=0\) zwei verschiedene reelle Lösungen besitzen. Ihre Diskriminante ist \(D=k^2-16\). 3. Aus \(D>0\) folgt \(k^2>16\), also \(k<-4\) oder \(k>4\). 4. Für \(k=5\) gilt \(f_5'(x)=x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\). Die stationären Stellen sind \(x=1\) und \(x=4\). 5. Mit \(f_5''(x)=2x-5\) gilt \(f_5''(1)=-3<0\) und \(f_5''(4)=3>0\). Außerdem ist \(f_5(1)=\frac{11}{6}\) und \(f_5(4)=-\frac{8}{3}\). Somit liegen \(H\left(1\mid\frac{11}{6}\right)\) und \(T\left(4\mid-\frac{8}{3}\right)\) vor.

a) Genau zwei lokale Extrempunkte gibt es für \(k<-4\) oder \(k>4\). b) Für \(k=5\): \(H\left(1 \mid \frac{11}{6}\right)\) und \(T\left(4 \mid -\frac{8}{3}\right)\).

- Welche Rolle spielt die Diskriminante der quadratischen Ableitungsfunktion? - Für welchen Parameterwert besitzt \(g_a'\) nur eine doppelte Nullstelle? - Was sagt der fehlende Vorzeichenwechsel von \(g_a'\) über einen Extrempunkt aus? - Wie kannst du prüfen, ob die stationäre Nicht-Extremstelle eine Wendestelle ist?

1. Es gilt \(g_a'(x)=3x^2-6ax+6a-3\). 2. Die Diskriminante von \(g_a'(x)=0\) ist \(D=(-6a)^2-12(6a-3)=36(a-1)^2\). 3. Genau für \(a=1\) gibt es nicht zwei verschiedene stationäre Stellen, denn dann ist \(D=0\). 4. Für \(a=1\) gilt \(g_1'(x)=3(x-1)^2\). Die Ableitung wechselt bei \(x=1\) nicht das Vorzeichen, also liegt dort kein Extremum vor. 5. Weiter ist \(g_1''(x)=6x-6\), also \(g_1''(1)=0\), und \(g_1'''(x)=6\neq0\). Damit ist \(x=1\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also ein Terrassenpunkt.

Für \(a=1\) besitzt \(g_a\) keinen Extrempunkt. Bei \(x=1\) liegt ein Terrassenpunkt vor.

- Bestimme die Nullstellen von \(g_a'\). - Untersuche das Vorzeichen von \(g_a'\) in den dadurch entstehenden Intervallen. - In welchen Bereichen ist die Ableitung positiv?

1. Es gilt \(g_a'(x)=2ax-x^3=x(2a-x^2)\). 2. Die Nullstellen von \(g_a'\) sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{2a}\). 3. Wegen des negativen Leitkoeffizienten der kubischen Ableitungsfunktion gilt \(g_a'(x)>0\) für \(x<-\sqrt{2a}\) und für \(0<x<\sqrt{2a}\). 4. Daher ist \(g_a\) auf \(( -\infty;-\sqrt{2a}]\) und auf \([0;\sqrt{2a}]\) streng monoton zunehmend.

\(( -\infty;-\sqrt{2a}]\) und \([0;\sqrt{2a}]\).

- Bestimme die Nullstellen von \(f_a'\) in Abhängigkeit von \(a\). - Wie ändert sich ihre Reihenfolge für positive und negative Werte von \(a\)? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung zwischen den Nullstellen. - Beachte im Fall \(a=0\), dass eine isolierte Nullstelle von \(f'\) strenge Monotonie nicht ausschließt.

1. Es gilt \(f_a'(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)\). Die Nullstellen sind \(x=0\) und \(x=\frac{2}{3}a\). 2. Für \(a=0\) ist \(f_0(x)=x^3\). Obwohl \(f_0'(0)=0\) gilt, ist \(f_0\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend. 3. Für \(a>0\) gilt \(0<\frac{2}{3}a\). Die Ableitung ist positiv für \(x<0\) und \(x>\frac{2}{3}a\), negativ für \(0<x<\frac{2}{3}a\). Daher ist \(f_a\) auf \(( -\infty;0]\) und \([\frac{2}{3}a;\infty)\) streng monoton zunehmend und auf \([0;\frac{2}{3}a]\) streng monoton abnehmend. 4. Für \(a<0\) gilt \(\frac{2}{3}a<0\). Die Ableitung ist positiv für \(x<\frac{2}{3}a\) und \(x>0\), negativ für \(\frac{2}{3}a<x<0\). Daher ist \(f_a\) auf \(( -\infty;\frac{2}{3}a]\) und \([0;\infty)\) streng monoton zunehmend und auf \([\frac{2}{3}a;0]\) streng monoton abnehmend.

Für \(a=0\): streng monoton zunehmend auf \(\mathbb{R}\). Für \(a>0\): streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;0]\) und \([\frac{2}{3}a;\infty)\), streng monoton abnehmend auf \([0;\frac{2}{3}a]\). Für \(a<0\): streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;\frac{2}{3}a]\) und \([0;\infty)\), streng monoton abnehmend auf \([\frac{2}{3}a;0]\).

- Klammere in \(g_k'\) den Faktor \(x\) aus. - Wann besitzt \(x^2-k=0\) zusätzliche reelle Lösungen? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung in den entstehenden Intervallen.

1. Es gilt \(g_k'(x)=x^3-kx=x(x^2-k)\). 2. Die Ableitung besitzt immer die Nullstelle \(x=0\). Für \(k>0\) kommen zusätzlich \(x=\pm\sqrt{k}\) hinzu. 3. Für \(k\le0\) ist \(x^2-k>0\) für \(x\neq0\). Damit ist \(g_k'(x)<0\) für \(x<0\) und \(g_k'(x)>0\) für \(x>0\). Also ist \(g_k\) auf \(( -\infty;0]\) streng monoton abnehmend und auf \([0;\infty)\) streng monoton zunehmend. 4. Für \(k>0\) gilt \(g_k'(x)<0\) auf \(( -\infty;-\sqrt{k})\) und \((0;\sqrt{k})\), sowie \(g_k'(x)>0\) auf \((-\sqrt{k};0)\) und \((\sqrt{k};\infty)\). Daher ist \(g_k\) auf \(( -\infty;-\sqrt{k}]\) und \([0;\sqrt{k}]\) streng monoton abnehmend sowie auf \([-\sqrt{k};0]\) und \([\sqrt{k};\infty)\) streng monoton zunehmend.

Für \(k\le0\): streng monoton abnehmend auf \(( -\infty;0]\), streng monoton zunehmend auf \([0;\infty)\). Für \(k>0\): streng monoton abnehmend auf \(( -\infty;-\sqrt{k}]\) und \([0;\sqrt{k}]\); streng monoton zunehmend auf \([-\sqrt{k};0]\) und \([\sqrt{k};\infty)\).

- Bestimme die Nullstellen von \(f_t'\) und klassifiziere sie mit \(f_t''\). - Was sagt das Vorzeichen von \(f_t'\) über die Monotonie aus? - Beachte bei Teil c) die Bedingung \(t>0\).

1. Es gilt \(f_t'(x)=x^2-t^2\) und \(f_t''(x)=2x\). 2. Aus \(f_t'(x)=0\) folgen \(x=-t\) und \(x=t\). 3. Wegen \(f_t''(-t)=-2t<0\) liegt bei \(x=-t\) ein lokales Maximum; wegen \(f_t''(t)=2t>0\) liegt bei \(x=t\) ein lokales Minimum. 4. Es gilt \(f_t'(x)>0\) für \(x<-t\) und \(x>t\), sowie \(f_t'(x)<0\) für \(-t<x<t\). Daher ist \(f_t\) auf \(( -\infty;-t]\) und \([t;\infty)\) streng monoton zunehmend und auf \([-t;t]\) streng monoton abnehmend. 5. Soll bei \(x=4\) eine Extremstelle liegen, muss \(4=t\) oder \(4=-t\) gelten. Wegen \(t>0\) folgt \(t=4\).

a) Lokales Maximum bei \(x=-t\), lokales Minimum bei \(x=t\). b) Streng monoton zunehmend auf \(( -\infty;-t]\) und \([t;\infty)\); streng monoton abnehmend auf \([-t;t]\). c) \(t=4\).

- Prüfe für die Symmetrie \(g_a(-x)\). - Behandle \(a\) beim Ableiten wie eine Konstante. - Für \(a>0\) hat \(g_a'\) zwei reelle Nullstellen; klassifiziere sie mit \(g_a''\).

1. \(g_a(-x)=-x^3+3ax=-g_a(x)\); daher ist jeder Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. \(g_a'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)\). Für \(a>0\) liegen stationäre Stellen bei \(x=\pm\sqrt a\). 3. \(g_a''(x)=6x\). Bei \(x=-\sqrt a\) ist die zweite Ableitung negativ: Hochpunkt \(H(-\sqrt a\mid2a^{3/2})\). Bei \(x=\sqrt a\) ist sie positiv: Tiefpunkt \(T(\sqrt a\mid-2a^{3/2})\). 4. Für \(y_T=-2\) gilt \(-2a^{3/2}=-2\), also \(a^{3/2}=1\) und damit \(a=1\).

b) \(H(-\sqrt a\mid2a^{3/2})\), \(T(\sqrt a\mid-2a^{3/2})\) für \(a>0\). c) \(a=1\).

- Wie kannst du zeigen, dass ein Punkt für alle Werte eines Parameters gleich bleibt? - Welche Ableitung benötigst du, um Bedingungen für Extremstellen aufzustellen? - Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit der Anzahl der Extrempunkte zusammen? - Erinnerst du dich, wie man die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung mithilfe der Diskriminante bestimmt?

1. Zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte wird der Ansatz \(f_a(x) = f_b(x)\) für \(a \neq b\) gewählt: \(x^3 + ax^2 - (a+1)x = x^3 + bx^2 - (b+1)x\). Dies vereinfacht sich zu \((a-b)x^2 - (a-b)x = 0\), woraus \((a-b)(x^2-x) = 0\) folgt. Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f_a(0) = 0\) und \(f_a(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 - (a+1) \cdot 1 = 0\). Die gemeinsamen Punkte sind somit \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(1 \mid 0)\). 2. Für eine Extremstelle an der Stelle \(x = -1\) muss die notwendige Bedingung \(f_a'(-1) = 0\) erfüllt sein. Mit \(f_a'(x) = 3x^2 + 2ax - (a+1)\) ergibt sich \(f_a'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) - a - 1 = 2 - 3a\). Aus \(2 - 3a = 0\) folgt \(a = \frac{2}{3}\). Die hinreichende Bedingung \(f_{\frac{2}{3}}''(-1) = 6(-1) + 2 \cdot \frac{2}{3} = -6 + \frac{4}{3} \neq 0\) ist erfüllt. 3. Die Anzahl der Extremstellen hängt von den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 3x^2 + 2ax - (a+1)\) ab. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(3x^2 + 2ax - (a+1) = 0\) lautet \(D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(a+1)) = 4a^2 + 12a + 12 = 4(a^2 + 3a + 3)\). Da die Diskriminante der inneren Parabel \(a^2 + 3a + 3\) den Wert \(3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -3 < 0\) hat und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(a^2 + 3a + 3 > 0\) für alle \(a\). Somit ist \(D\) immer positiv, was bedeutet, dass \(f_a'\) stets zwei verschiedene reelle Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. Folglich hat jeder Graph genau zwei Extrempunkte.

a) Gemeinsame Punkte: \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(1 \mid 0)\). b) Der Parameterwert ist \(a = \frac{2}{3}\). c) Die Diskriminante der Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 0\) ist \(D = 4a^2 + 12a + 12\). Da \(D > 0\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt, existieren stets zwei Extremstellen mit Vorzeichenwechsel in \(f_a'\).

- Welche Fälle für die Anzahl der Nullstellen von \(g_k'\) musst du in Abhängigkeit von \(k\) unterscheiden? - Woran erkennst du, ob eine stationäre Stelle tatsächlich eine Extremstelle ist? - Welche Ableitung beschreibt einen möglichen Krümmungswechsel des Graphen? - Welche Bedingung muss die zweite Koordinate von \(W_k\) in Teil c) erfüllen?

1. Es gilt \(g_k'(x)=x^2-2kx+6\). Extremstellen können nur an Nullstellen von \(g_k'\) auftreten. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2-2kx+6=0\) ist \(D=4k^2-24\). Für \(D<0\) gibt es keine stationären Stellen; für \(D=0\) gibt es eine doppelte Nullstelle von \(g_k'\), an der kein Vorzeichenwechsel von \(g_k'\) und damit kein Extremum vorliegt. Somit besitzt der Graph für \(-\sqrt{6}\le k\le\sqrt{6}\) keine Extrempunkte. In den Randfällen \(|k|=\sqrt{6}\) liegt stattdessen ein Terrassenpunkt vor. 2. Es gilt \(g_k''(x)=2x-2k\). Aus \(g_k''(x)=0\) folgt \(x=k\). Da \(g_k'''(x)=2\ne0\) ist, liegt dort stets eine Wendestelle vor. Mit \(g_k(k)=-\frac{2}{3}k^3+6k\) ergibt sich \(W_k\left(k\mid-\frac{2}{3}k^3+6k\right)\). 3. Für einen Wendepunkt auf der \(x\)-Achse muss \(-\frac{2}{3}k^3+6k=0\) gelten. Daraus folgt \(k\left(-\frac{2}{3}k^2+6\right)=0\), also \(k\in\{-3;0;3\}\).

a) Für \(-\sqrt{6}\le k\le\sqrt{6}\) besitzt der Graph keine Extrempunkte. b) \(W_k\left(k\mid-\frac{2}{3}k^3+6k\right)\) c) \(k\in\{-3;0;3\}\)

- Kannst du die Koordinaten des lokalen Hochpunkts und des lokalen Tiefpunkts aus dem Graphen ablesen? - Welche mathematische Bedingung muss die erste Ableitung einer Funktion an einer lokalen Extremstelle erfüllen? - Wie kannst du die Stelle eines der Extrempunkte nutzen, um eine Gleichung für den Parameter \(a\) aufzustellen? - Unter welcher Bedingung hat eine quadratische Gleichung wie \(f_a'(x) = 0\) keine zwei unterschiedlichen reellen Lösungen? - Denke an die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(f_a'(x) = 0\).

1. Ableitung bestimmen: Zuerst berechnen wir die erste Ableitung der Funktionenschar: \(f_a'(x) = 0{,}75x^2 - 1{,}5ax + 2a\). 2. Teilaufgabe a): - Aus der Abbildung lässt sich ablesen, dass der abgebildete Graph bei \(x = 2\) ein lokales Maximum (bei \((2 \mid 5)\)) und bei \(x = 4\) ein lokales Minimum (bei \((4 \mid 4)\)) besitzt. - An einer Extremstelle muss die erste Ableitung null sein. Wir setzen daher \(x = 2\) in die Ableitungsfunktion ein und setzen diese gleich null: \(f_a'(2) = 0{,}75 \cdot 2^2 - 1{,}5a \cdot 2 + 2a = 0\) \(3 - 3a + 2a = 0 \implies 3 - a = 0 \implies a = 3\). - Zur Überprüfung mit der zweiten Extremstelle \(x = 4\): \(f_a'(4) = 0{,}75 \cdot 16 - 1{,}5a \cdot 4 + 2a = 0\) \(12 - 4a = 0 \implies a = 3\). - Der abgebildete Graph gehört also zum Parameterwert \(a = 3\). 3. Teilaufgabe b): - Die Funktion \(f_a\) besitzt genau dann keinen lokalen Extrempunkt, wenn die erste Ableitung \(f_a'(x) = 0\) keine Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. Da \(f_a'\) eine quadratische Funktion ist, ist dies der Fall, wenn die Gleichung \(f_a'(x) = 0\) keine reellen Lösungen oder genau eine reelle Lösung hat. - Wir setzen die Ableitung gleich null: \(0{,}75x^2 - 1{,}5ax + 2a = 0\). Multiplikation mit \(\frac{4}{3}\) liefert die Normalform: \(x^2 - 2ax + \frac{8}{3}a = 0\). - Die Diskriminante \(D\) dieser Gleichung lautet: \(D = \left(\frac{-2a}{2}\right)^2 - \frac{8}{3}a = a^2 - \frac{8}{3}a\). - Damit keine Extrempunkte existieren, muss \(D \le 0\) gelten: \(a^2 - \frac{8}{3}a \le 0 \implies a\left(a - \frac{8}{3}\right) \le 0\). - Das Produkt ist kleiner oder gleich null, wenn der Faktor \(a\) und der Faktor \(\left(a - \frac{8}{3}\right)\) unterschiedliche Vorzeichen haben oder einer davon null ist. Dies ist für \(0 \le a \le \frac{8}{3}\), also \(a \in \left[0; \frac{8}{3}\right]\), der Fall.

a) \(a = 3\) b) \(a \in \left[0; \frac{8}{3}\right]\)

- Überlege dir, wie sich der Parameter \(k > 0\) auf das Verhalten der Funktionswerte für sehr große positive und sehr kleine negative \(x\)-Werte auswirkt. - Bestimme die erste Ableitung der Funktion und berechne die Steigung an einer speziellen Stelle, wie zum Beispiel im Ursprung bei \(x = 0\). Welcher Graph passt dazu? - Welche mathematische Bedingung muss die Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? Setze den gegebenen Wert für \(x\) in die Ableitungsfunktion ein.

1. Analyse der Abbildungen für Teilaufgabe a): - Verhalten für \(x \to \pm\infty\): Da \(k > 0\), gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\). Der Graph verläuft somit vom dritten in den ersten Quadranten. Dies ist nur in Abbildung 1 der Fall; Abbildung 2 zeigt das entgegengesetzte Verhalten. - Steigung im Ursprung: Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = 3kx^2 - 3\). Für \(x = 0\) ergibt sich \(f_k'(0) = -3\). Da die Steigung negativ ist, muss der Graph im Ursprung fallen. Dies trifft ebenfalls nur auf Abbildung 1 zu. Abbildung 1 zeigt somit den Graphen von \(f_k\). 2. Berechnung des Parameters für Teilaufgabe b): - Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei \(x = 2\) ist \(f_k'(2) = 0\). - Einsetzen von \(x = 2\) in \(f_k'(x) = 3kx^2 - 3\) ergibt: \(3k \cdot 2^2 - 3 = 0\). - Lösen der Gleichung nach \(k\): \(12k - 3 = 0 \Leftrightarrow 12k = 3 \Leftrightarrow k = 0{,}25\). - Überprüfung der hinreichenden Bedingung: Da \(f_{0{,}25}''(2) = 6 \cdot 0{,}25 \cdot 2 = 3 > 0\), liegt an dieser Stelle ein lokales Minimum vor.

a) Abbildung 1 stellt den Graphen von \(f_k\) dar. Wegen \(k > 0\) gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = \infty\), und wegen \(f_k'(0) = -3 < 0\) muss der Graph im Ursprung fallen; beides trifft nur auf Abbildung 1 zu. b) \(k = 0{,}25\)

- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für die erste Ableitung? - Wann besitzt eine quadratische Funktion zwei, eine oder keine reelle Nullstelle? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung einen Krümmungswechsel nachweisen? - Für welche Werte von \(c\) ist die erste Ableitung überall nichtnegativ?

1. Die erste Ableitung lautet \(g_c'(x)=3x^2-6x+c\). Stellen mit waagerechter Tangente sind die Nullstellen von \(g_c'\). 2. Für genau zwei verschiedene waagerechte Tangenten muss die quadratische Gleichung \(3x^2-6x+c=0\) zwei verschiedene reelle Lösungen besitzen. Ihre Diskriminante ist \(D=36-12c\). Daher gilt \(D>0 \iff c<3\). 3. Genau eine waagerechte Tangente liegt bei \(D=0\), also bei \(c=3\), vor. Dann ist \(g_3'(x)=3(x-1)^2\), sodass \(g_3'(1)=0\). Die zweite Ableitung ist \(g_3''(x)=6x-6\). Sie wechselt bei \(x=1\) von negativ zu positiv. Somit ändert sich dort die Krümmung, und wegen der waagerechten Tangente liegt ein Terrassenpunkt vor. 4. Für strenge Monotonie muss \(g_c'(x)\) für alle \(x\) nichtnegativ sein. Da die Parabel \(g_c'\) nach oben geöffnet ist, gilt dies genau für \(D\le 0\), also \(c\ge 3\). Für \(c>3\) ist \(g_c'(x)>0\) überall. Für \(c=3\) gilt \(g_3'(x)=3(x-1)^2\), und \(g_3(x)=(x-1)^3+1\) ist ebenfalls streng monoton zunehmend. 5. Daher ist \(g_c\) genau für \(c\ge 3\) auf \(\mathbb{R}\) streng monoton zunehmend.

a) \(c<3\) b) Bei \(c=3\) gilt \(g_3'(1)=0\), und \(g_3''(x)=6x-6\) wechselt bei \(x=1\) das Vorzeichen. Daher liegt dort ein stationärer Wendepunkt (Terrassenpunkt) vor. c) \(c\ge 3\)

- Unterscheide zuerst den Sonderfall, in dem der Koeffizient vor \(x^3\) verschwindet. - Für \(a\neq0\) entscheidet die Diskriminante der quadratischen Ableitungsfunktion über die Anzahl stationärer Stellen. - Im Grenzfall mit einer doppelten Nullstelle von \(g_a'\) prüfst du zusätzlich, ob ein Krümmungswechsel vorliegt.

1. Für \(a=0\) ist \(g_0(x)=3x^2+3x\) eine quadratische Funktion. Es gilt \(g_0'(x)=6x+3\), also besitzt \(g_0\) genau eine stationäre Stelle bei \(x=-0{,}5\). Wegen des Vorzeichenwechsels von negativ zu positiv liegt dort genau eine lokale Minimalstelle vor. 2. Für \(a\neq0\) ist \(g_a\) kubisch und \(g_a'(x)=3ax^2+6x+3\). 3. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(g_a'(x)=0\) ist \(D=36-36a=36(1-a)\). 4. Für \(a<1\) und \(a\neq0\) gilt \(D>0\). Dann besitzt \(g_a'\) zwei verschiedene Nullstellen. Da die Nullstellen einfach sind, wechselt \(g_a'\) an beiden das Vorzeichen; es gibt zwei lokale Extremstellen. 5. Für \(a=1\) gilt \(g_1'(x)=3(x+1)^2\). Die einzige stationäre Stelle liegt bei \(x=-1\), ohne Vorzeichenwechsel von \(g_1'\). Außerdem ist \(g_1''(x)=6x+6\), sodass bei \(x=-1\) ein Krümmungswechsel stattfindet. Somit liegt dort ein Terrassenpunkt, aber keine Extremstelle vor. 6. Für \(a>1\) gilt \(D<0\). Dann besitzt \(g_a'\) keine Nullstelle und \(g_a\) keine lokale Extremstelle. 7. Zusammengefasst gibt es für \(a<1\) mit \(a\neq0\) zwei lokale Extremstellen, für \(a=0\) genau eine und für \(a\geq1\) keine.

Zwei lokale Extremstellen: \(a<1\) mit \(a\neq0\) Eine lokale Extremstelle: \(a=0\) Keine lokale Extremstelle: \(a\geq1\) Für \(a=1\) liegt bei \(x=-1\) ein Terrassenpunkt vor.

- Welche Ableitung entscheidet über die Krümmung des Kostengraphen? - Wie hängt die Anzahl der Nullstellen von \(K'\) vom Parameter \(c\) ab? - Was musst du im Grenzfall mit nur einer stationären Stelle zusätzlich prüfen? - Was bedeutet das Vorzeichen von \(K'\) für den Verlauf der Gesamtkosten?

1. Es gilt \(K'(x)=0{,}3x^2-3x+c\), \(K''(x)=0{,}6x-3\) und \(K'''(x)=0{,}6\). Aus \(K''(x)=0\) folgt \(x=5\). Weil \(K''\) dort von negativ zu positiv wechselt, liegt unabhängig von \(c\) eine Wendestelle mit Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung vor. 2. Die Diskriminante von \(K'(x)=0\) ist \(D=9-1{,}2c\). Für \(D<0\) besitzt \(K'\) keine Nullstelle; für \(D=0\) nur eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Daher besitzt \(K\) genau für \(c\ge7{,}5\) keine inneren lokalen Extremstellen. Im Grenzfall \(c=7{,}5\) liegt bei \(x=5\) ein Terrassenpunkt vor. 3. Für \(c\ge7{,}5\) gilt \(K'(x)\ge0\) für \(x\ge0\); die mögliche Nullstelle im Grenzfall ändert daran die Monotonierichtung nicht. Die Gesamtkosten sind daher auf \([0;\infty)\) streng monoton steigend: Eine höhere Produktionsmenge führt im Modell nicht zu sinkenden Gesamtkosten.

a) Wendestelle bei \(x=5\) mit Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung. b) Für \(c\ge7{,}5\) besitzt \(K\) keine inneren lokalen Extremstellen; bei \(c=7{,}5\) liegt bei \(x=5\) ein Terrassenpunkt vor. c) Für \(c\ge7{,}5\) steigen die Gesamtkosten mit wachsender Produktionsmenge streng an.

- Welche Nullstellen besitzt \(f_k'\)? - Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(k\) die Werte von \(f_k''\) an diesen Stellen? - Was geschieht mit den beiden Extremstellen im Fall \(k=0\)? - Welche Bedingung und welche zusätzliche Prüfung brauchst du für den Wendepunkt?

1. Es gilt \(f_k'(x)=3x^2-12kx+9k^2=3(x-k)(x-3k)\) und \(f_k''(x)=6x-12k\). 2. Für \(k>0\) gilt \(f_k''(k)=-6k<0\) und \(f_k''(3k)=6k>0\). Daher sind \(H(k\mid4k^3)\) und \(T(3k\mid0)\) die Extrempunkte. 3. Für \(k<0\) kehren sich die Vorzeichen um: \(T(k\mid4k^3)\) und \(H(3k\mid0)\). 4. Für \(k=0\) ist \(f_0(x)=x^3\). Es gibt keine lokalen Extrema; bei \((0\mid0)\) liegt ein Terrassenpunkt vor. 5. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x=2k\). Da \(f_k'''(x)=6\neq0\), liegt dort ein Wendepunkt. Mit \(f_k(2k)=2k^3\) ist \(W(2k\mid2k^3)\).

Für \(k>0\): \(H(k\mid4k^3)\), \(T(3k\mid0)\). Für \(k<0\): \(T(k\mid4k^3)\), \(H(3k\mid0)\). Für \(k=0\): keine lokalen Extrema; Terrassenpunkt bei \((0\mid0)\). Wendepunkt: \(W(2k\mid2k^3)\).

- Welche Ableitungen brauchst du, um lokale Extrempunkte und Wendepunkte der Schar zu untersuchen? - Wie hängen die stationären Stellen vom Parameter \(a\) ab? - Wann fallen zwei potenzielle Extremstellen zu einer einzigen Stelle zusammen? - Welche Information der zweiten Ableitung unterscheidet Hoch- und Tiefpunkte?

1. Ableitungen bestimmen: \(g_a'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 3ax\), \(g_a''(x) = 3x - 3a\), \(g_a'''(x) = 3\). 2. Extremstellen berechnen: \(g_a'(x) = 0 \implies \frac{3}{2}x(x - 2a) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 2a\). 3. Art der Extrema (\(a \neq 0\)): - \(g_a''(0) = -3a\). Für \(a > 0\) ist \(-3a < 0\) (Hochpunkt), für \(a < 0\) ist \(-3a > 0\) (Tiefpunkt). - \(g_a''(2a) = 3a\). Für \(a > 0\) ist \(3a > 0\) (Tiefpunkt), für \(a < 0\) ist \(3a < 0\) (Hochpunkt). 4. Koordinaten der Punkte: \(P_1(0 \mid 2)\), \(P_2(2a \mid 2 - 2a^3)\). 5. Sonderfall \(a = 0\): Hier ist \(x_1 = x_2 = 0\). Da \(g_0''(0) = 0\) und \(g_0'''(0) = 3 \neq 0\), liegt ein Terrassenpunkt bei \(S(0 \mid 2)\) vor. 6. Wendepunkt: \(g_a''(x) = 0 \implies x = a\). Funktionswert: \(g_a(a) = \frac{1}{2}a^3 - \frac{3}{2}a^3 + 2 = 2 - a^3\). Wendepunkt \(W(a \mid 2 - a^3)\).

Für \(a > 0\): Hochpunkt \(H(0 \mid 2)\) und Tiefpunkt \(T(2a \mid 2 - 2a^3)\). Für \(a < 0\): Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\) und Hochpunkt \(H(2a \mid 2 - 2a^3)\). Der Punkt auf der \(y\)-Achse \((0 \mid 2)\) ist somit für \(a > 0\) ein Hochpunkt. Für \(a = 0\) liegt ein Terrassenpunkt bei \((0 \mid 2)\) vor; es gibt keinen lokalen Extrempunkt. Wendepunkt: \(W(a \mid 2 - a^3)\).