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- Welche Eigenschaft hat die Steigung des Graphen an einer Extremstelle? - Wie berechnet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Setze die Information über die Stelle in die Ableitung ein und löse die entstehende Gleichung nach dem Parameter auf. - Überprüfe am Ende, ob die Bedingung für eine Extremstelle wirklich erfüllt ist.

1. Erste Ableitung der Funktionenschar bilden: \(f_k'(x) = 2x^3 - 2kx\). 2. Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle \(x = 2\) lautet \(f_k'(2) = 0\). 3. Den Wert \(x = 2\) in die Ableitungsfunktion einsetzen: \(2 \cdot 2^3 - 2k \cdot 2 = 16 - 4k\). 4. Die Gleichung \(16 - 4k = 0\) nach \(k\) auflösen: \(4k = 16 \implies k = 4\). 5. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung \(f_4''(x) = 6x^2 - 8\): \(f_4''(2) = 6 \cdot 4 - 8 = 16 \neq 0\). Somit liegt bei \(x = 2\) tatsächlich eine Extremstelle (ein lokales Minimum) vor.

\(k = 4\)

- Vergleiche zuerst nur die horizontale Lage der drei Tiefpunkte. - Welcher der vorgegebenen Parameterwerte passt jeweils zu dieser \(x\)-Koordinate? - Formuliere anschließend den beobachteten Zusammenhang allgemein mit \(a\).

1. Der Tiefpunkt von Graph A liegt bei \(x=-2\), der von Graph B bei \(x=0\) und der von Graph C bei \(x=2\). 2. Daher gehört Graph A zu \(a=-2\), Graph B zu \(a=0\) und Graph C zu \(a=2\). 3. In allen drei Fällen stimmt die \(x\)-Koordinate des Tiefpunkts mit dem Parameterwert überein. Für diese Schar liegt die Extremstelle also bei \(x=a\).

a) A: \(a=-2\); B: \(a=0\); C: \(a=2\). b) Die \(x\)-Koordinate des Tiefpunkts ist jeweils \(x=a\).

- Prüfe zuerst, ob die Lage der stationären Stelle überhaupt vom Parameter \(a\) abhängt. - Welche Punktbedingung muss zusätzlich für \(T(2\mid-1)\) erfüllt sein? - Wie entscheidet die zweite Ableitung darüber, ob die stationäre Stelle ein Tiefpunkt ist?

1. Es gilt \(h_a'(x)=2x-4\). Daher ist \(h_a'(2)=0\) für jeden Parameterwert \(a\); die Lage der stationären Stelle hängt hier nicht von \(a\) ab. 2. Für den geforderten Punkt muss zusätzlich \(h_a(2)=-1\) gelten. Damit ist \(4-8+a=-1\), also \(a=3\). 3. Die zweite Ableitung lautet \(h_a''(x)=2>0\). Somit liegt bei \(x=2\) für \(a=3\) tatsächlich der Tiefpunkt \(T(2\mid-1)\) vor.

\(a=3\); für \(h_3\) liegt der Tiefpunkt bei \(T(2\mid-1)\).

- Welche notwendigen Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einem Terrassenpunkt erfüllt sein? - Wie hängen die Nullstellen der Ableitungsfunktion mit der Anzahl der Extrempunkte zusammen? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung, um die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f_t'(x) = x^2 + 2tx + 9\) und \(f_t''(x) = 2x + 2t\). 2. Bedingung für einen Terrassenpunkt: \(f_t'(x) = 0\) und \(f_t''(x) = 0\). Aus \(f_t''(x) = 2x + 2t = 0\) folgt \(x = -t\). 3. Einsetzen in die erste Ableitung: \(f_t'(-t) = (-t)^2 + 2t(-t) + 9 = -t^2 + 9 = 0\). Dies liefert für \(t > 0\) den Wert \(t = 3\). 4. Koordinaten berechnen: Für \(t = 3\) liegt die Stelle bei \(x = -3\). Der Funktionswert ist \(f_3(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + 3(-3)^2 + 9(-3) = -9 + 27 - 27 = -9\). Der Terrassenpunkt lautet \((-3 \mid -9)\). 5. Existenz von zwei Extrempunkten: Die Ableitungsfunktion \(f_t'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel. Zwei lokale Extrempunkte existieren genau dann, wenn \(f_t'(x) = 0\) zwei verschiedene reelle Lösungen besitzt, also wenn die Diskriminante \(D = (2t)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4t^2 - 36\) positiv ist. 6. \(4t^2 - 36 > 0 \iff t^2 > 9 \iff |t| > 3\). Die Funktion besitzt für \(t < -3\) oder \(t > 3\) zwei lokale Extrempunkte.

a) \(t = 3\); Terrassenpunkt \((-3 \mid -9)\) b) Für \(|t| > 3\) (bzw. \(t < -3\) oder \(t > 3\))

- Mit welcher Bedingung lassen sich mögliche Stellen für Extrempunkte berechnen? - Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt von einem bestimmten Ausdruck unter der Wurzel ab. - Überlege dir, wie der Graph der Ableitungsfunktion aussehen muss, damit ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Punkt, an dem die Steigung null ist, aber kein Extremum vorliegt. Wann tritt dieser Fall bei der Untersuchung der Ableitungsnullstellen auf?

1. Ableitung bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 2kx + 3k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f_k'(x) = 0\) untersuchen: \(3x^2 - 2kx + 3k = 0\). 3. Diskriminante der quadratischen Gleichung aufstellen: \(D = (-2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3k = 4k^2 - 36k\). 4. Analyse der Diskriminante: \(D = 4k(k - 9)\). Die Nullstellen der Diskriminante sind \(k = 0\) und \(k = 9\). 5. Fall \(D > 0\): Für \(k < 0\) oder \(k > 9\) hat die Ableitung zwei einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, somit existieren zwei lokale Extrempunkte. 6. Fall \(D = 0\): Für \(k = 0\) oder \(k = 9\) hat die Ableitung eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, es liegt jeweils ein Sattelpunkt und somit kein Extrempunkt vor. 7. Fall \(D < 0\): Für \(0 < k < 9\) hat die Ableitung keine Nullstellen, es existieren keine Extrempunkte. 8. Ergebnis: Zwei Extrempunkte für \(k \in (-\infty; 0) \cup (9; \infty)\); keine Extrempunkte für \(k \in [0; 9]\); Sattelpunkte für \(k = 0\) und \(k = 9\).

Zwei lokale Extrempunkte für \(k < 0\) oder \(k > 9\). Keine lokalen Extrempunkte für \(0 \le k \le 9\). Ein Sattelpunkt liegt für \(k = 0\) oder \(k = 9\) vor.

- Wie lautet die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei differenzierbaren Funktionen? - Wie kannst du eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, wenn eine andere Variable als fester Wert vorgegeben ist? - Welches Vorzeichen muss die zweite Ableitung an einer Stelle haben, damit dort ein Maximum vorliegt? - Wie berechnet man den Funktionswert zu einer gegebenen Stelle?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_k'(x) = 2kx - 6\). 2. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(2kx - 6 = 0 \Rightarrow x_E = \frac{3}{k}\). 3. Bestimmung von \(k\) für \(x_E = -1\): \(\frac{3}{k} = -1 \Rightarrow k = -3\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f_k''(x) = 2k\): Für \(k = -3\) gilt \(f_{-3}''(x) = -6\). Da \(-6 < 0\), liegt an der Stelle \(x = -1\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f_{-3}(-1) = -3 \cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) - 1 = -3 + 6 - 1 = 2\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(-1 \mid 2)\).

a) \(f_k'(x) = 2kx - 6\); \(x_E = \frac{3}{k}\) b) \(k = -3\) c) \(H(-1 \mid 2)\)

- Welche zwei Informationen liefert dir ein bekannter Extrempunkt über die Funktion und ihre Ableitung? - Kannst du aus den Bedingungen zwei separate Gleichungen für die Unbekannten aufstellen? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, die Art eines Extrempunktes zu bestimmen?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 2ax + b\). 2. Bedingung für Extremstelle bei \(x = 1\): \(f'(1) = 0 \Rightarrow 2a \cdot 1 + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 0\). 3. Bedingung für den Punkt \((1 \mid 2)\): \(f(1) = 2 \Rightarrow a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 3 = 2 \Rightarrow a + b = -1\). 4. Lösen des Gleichungssystems: Aus \(b = -2a\) folgt durch Einsetzen in die zweite Gleichung \(a - 2a = -1\), also \(a = 1\). Damit ergibt sich \(b = -2\). 5. Art des Extremums prüfen: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 2a\). Mit \(a = 1\) ist \(f''(1) = 2\). Da \(2 > 0\), handelt es sich um ein lokales Minimum, also einen Tiefpunkt.

a) \(f'(x) = 2ax + b\) b) \(a = 1\), \(b = -2\) c) Es handelt sich um einen Tiefpunkt, da \(f''(1) = 2 > 0\).

- Was weißt du über die erste Ableitung an einer Stelle mit waagrechter Tangente? - Stelle die Ableitung der Funktionenschar allgemein in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Wenn du eine Gleichung mit dem Parameter im Nenner erhältst, wie kannst du diese in eine einfachere Form bringen? - Gibt es möglicherweise mehr als einen Wert für den Parameter, der die Bedingung erfüllt?

1. Die Ableitungsfunktion der Schar bestimmen: \(g_a'(x) = \frac{3}{a}x^2 + 12x + 9a\). 2. Die Bedingung für eine waagrechte Tangente an der Stelle \(x = -3\) ist \(g_a'(-3) = 0\). 3. Den Wert \(x = -3\) in die Ableitung einsetzen: \(\frac{3}{a} \cdot (-3)^2 + 12 \cdot (-3) + 9a = \frac{27}{a} - 36 + 9a\). 4. Die Gleichung \(\frac{27}{a} - 36 + 9a = 0\) nach \(a\) auflösen. Multiplikation mit \(a\) liefert die quadratische Gleichung \(9a^2 - 36a + 27 = 0\). 5. Durch Division mit 9 vereinfachen: \(a^2 - 4a + 3 = 0\). 6. Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen oder durch Faktorisieren \((a-1)(a-3) = 0\) die Werte \(a_1 = 1\) und \(a_2 = 3\) bestimmen.

\(a_1 = 1\) und \(a_2 = 3\)

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Kannst du einen Term ausklammern, um die Nullstellen einfacher zu finden? - Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit ihren Hoch- und Tiefpunkten zusammen? - Überlege dir, wie das Vorzeichen des Parameters die Krümmung an den Stellen mit waagerechter Tangente beeinflusst.

1. Punktprobe für \(P(2 \mid 4)\): \(f_k(2) = 4 \implies k \cdot 2^2 - 2^3 = 4 \implies 4k - 8 = 4 \implies 4k = 12 \implies k = 3\). 2. Nullstellen berechnen: \(kx^2 - x^3 = 0 \implies x^2(k - x) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = k\). 3. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 2kx - 3x^2\) und \(f_k''(x) = 2k - 6x\). 4. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_k'(x) = x(2k - 3x) = 0 \implies x_1 = 0\) oder \(x_2 = \frac{2}{3}k\). 5. Art der Extrema prüfen: \(f_k''(0) = 2k\) und \(f_k''(\frac{2}{3}k) = 2k - 6(\frac{2}{3}k) = -2k\). 6. Fallunterscheidung für \(k > 0\): \(f_k''(0) > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\); \(f_k''(\frac{2}{3}k) < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt \(H(\frac{2}{3}k \mid \frac{4}{27}k^3)\). 7. Fallunterscheidung für \(k < 0\): \(f_k''(0) < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\); \(f_k''(\frac{2}{3}k) > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt \(T(\frac{2}{3}k \mid \frac{4}{27}k^3)\).

a) \(k = 3\) b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) c) Für \(k > 0\): \(T(0 \mid 0)\) und \(H(\frac{2}{3}k \mid \frac{4}{27}k^3)\); für \(k < 0\): \(H(0 \mid 0)\) und \(T(\frac{2}{3}k \mid \frac{4}{27}k^3)\).

- Was muss für die Funktionswerte und die Ableitungen an einer Stelle gelten, damit dort ein Extrempunkt vorliegt? - Nutze das Ausklammern von \(x^2\), um die Nullstellen zu bestimmen. - Untersuche die erste Ableitung auf weitere Nullstellen, um den zweiten Extrempunkt zu finden. - Stelle die \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts als Term in Abhängigkeit von \(t\) dar und setze diesen gleich \(-4\).

1. Nachweis Ursprung: \(g_t(0) = 0^3 - 3t \cdot 0^2 = 0\). Damit verlaufen alle Graphen durch \((0 \mid 0)\). 2. Nachweis Extremum im Ursprung: \(g_t'(x) = 3x^2 - 6tx\), also \(g_t'(0) = 0\). Die zweite Ableitung ist \(g_t''(x) = 6x - 6t\). Für \(t > 0\) ist \(g_t''(0) = -6t < 0\). Somit liegt bei \(x = 0\) immer ein lokaler Hochpunkt vor. 3. Nullstellen: \(x^3 - 3tx^2 = 0 \implies x^2(x - 3t) = 0 \implies x_1 = 0\), \(x_2 = 3t\). 4. Weiterer Extrempunkt: \(g_t'(x) = 3x(x - 2t) = 0 \implies x = 2t\) (da \(x=0\) bereits bekannt ist). 5. Art des Extrempunktes: \(g_t''(2t) = 6(2t) - 6t = 6t\). Da \(t > 0\), ist \(g_t''(2t) > 0\), also liegt ein lokaler Tiefpunkt vor. 6. \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts: \(g_t(2t) = (2t)^3 - 3t(2t)^2 = 8t^3 - 12t^3 = -4t^3\). 7. Bedingung \(y = -4\): \(-4t^3 = -4 \implies t^3 = 1 \implies t = 1\).

a) \(g_t(0) = 0\), \(g_t'(0) = 0\) und \(g_t''(0) = -6t < 0\) für \(t > 0\); daher liegt der Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\) vor. b) \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3t\) c) \(t = 1\)

- Welche Faktoren erkennst du beim Bestimmen der Nullstellen? - Wie erhältst du die Extrempunkte der Schar in Abhängigkeit vom Parameter? - Wie kannst du den Parameter zwischen der \(x\)- und der \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts eliminieren? - Welche Ungleichung beschreibt die geforderte Höhe des Hochpunkts?

1. Aus \(f_t(x)=x\left(\frac{1}{3}x^2-t^2\right)=0\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm t\sqrt{3}\). 2. Es gilt \(f_t'(x)=x^2-t^2\). Damit liegen die stationären Stellen bei \(x=\pm t\). 3. Mit \(f_t''(x)=2x\) folgt \(f_t''(t)=2t>0\) und \(f_t''(-t)=-2t<0\). Also liegen \(T\left(t\mid-\frac{2}{3}t^3\right)\) und \(H\left(-t\mid\frac{2}{3}t^3\right)\) vor. 4. Für die Tiefpunkte gilt \(x=t\). Durch Eliminieren des Parameters erhält man \(y=-\frac{2}{3}x^3\) für \(x>0\). 5. Aus \(\frac{2}{3}t^3>18\) folgt \(t^3>27\) und damit \(t>3\).

a) \(x=0\) und \(x=\pm t\sqrt{3}\) b) \(H\left(-t \mid \frac{2}{3}t^3\right)\) und \(T\left(t \mid -\frac{2}{3}t^3\right)\) c) \(y=-\frac{2}{3}x^3\) für \(x>0\) d) \(t>3\)

- Welche stationäre Stelle hängt tatsächlich vom Parameter ab? - Welche \(y\)-Koordinate gehört zu dieser Stelle? - Wie kannst du den Parameter mit der \(x\)-Koordinate ausdrücken und anschließend eliminieren? - Welche Einschränkung folgt aus \(k\neq0\)?

1. Es gilt \(f_k'(x)=x^2-2kx=x(x-2k)\). Die stationären Stellen sind daher \(x=0\) und \(x=2k\). 2. Gesucht ist die parameterabhängige Stelle \(x=2k\). Ihr Funktionswert ist \(f_k(2k)=-\frac{4}{3}k^3+4\). 3. Aus \(x=2k\) folgt \(k=\frac{x}{2}\). Einsetzen ergibt \(y=-\frac{4}{3}\left(\frac{x}{2}\right)^3+4=-\frac{1}{6}x^3+4\). 4. Wegen \(k\neq0\) gehört \(x=0\) nicht zu dieser Ortskurve.

\(y=-\frac{1}{6}x^3+4\) für \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

- Welche Nullstellen besitzt die erste Ableitung in Abhängigkeit von \(a\)? - Für welchen Parameterwert fallen die beiden stationären Stellen zusammen? - Wie kannst du bei der zusammengefallenen stationären Stelle prüfen, ob tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt? - Wie lässt sich der Funktionsterm nach dem Parameter \(a\) ordnen, um gemeinsame Punkte aller Graphen zu finden?

1. Es gilt \(f_a'(x)=3x^2-6ax+12a-12=3(x-2)(x-(2a-2))\). Die stationären Stellen sind daher \(x_1=2\) und \(x_2=2a-2\). 2. Für \(a\neq2\) sind beide Nullstellen von \(f_a'\) einfach und damit Extremstellen. Für \(a=2\) fallen sie bei \(x=2\) zusammen; dann ist \(f_2'(x)=3(x-2)^2\) und \(f_2'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen, also liegt kein Extremum vor. 3. Zur Einordnung der besonderen Stelle gilt \(f_a''(x)=6x-6a\). Für \(a=2\) ist \(f_2''(2)=0\), und mit \(f_a'''(x)=6\) folgt \(f_2'''(2)=6\neq0\). Damit ist \(x=2\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also eine Sattelstelle. 4. Um gemeinsame Punkte zu bestimmen, wird nach dem Parameter geordnet: \(f_a(x)=x^3-12x+10+a(-3x^2+12x)\). Der Koeffizient von \(a\) muss verschwinden, also \(-3x(x-4)=0\). Daraus folgen \(x=0\) und \(x=4\). 5. Einsetzen ergibt \(P_1(0\mid10)\) und \(P_2(4\mid26)\).

a) Für \(a\neq2\) liegen die Extremstellen bei \(x_1=2\) und \(x_2=2a-2\). Für \(a=2\) fallen die stationären Stellen bei \(x=2\) zusammen und bilden kein Extremum. b) Für \(a=2\) liegt bei \(x=2\) ein Sattelpunkt vor. c) Die gemeinsamen Punkte sind \(P_1(0 \mid 10)\) und \(P_2(4 \mid 26)\).

- Wie bestimmst du den Tiefpunkt der Parabel in Abhängigkeit vom Parameter? - Wie kannst du den Parameter zwischen den Koordinaten des Tiefpunkts eliminieren? - Welche Information liefert die Diskriminante über die Anzahl der Nullstellen? - Für welchen \(x\)-Wert verschwindet der gesamte Parameteranteil des Funktionsterms?

1. Es gilt \(f_a'(x)=2x-2a\). Daraus folgt die Extremstelle \(x=a\). Wegen \(f_a''(x)=2>0\) liegt ein Tiefpunkt vor. Mit \(f_a(a)=-a^2+3a\) erhält man \(T_a(a\mid-a^2+3a)\). 2. Da für die Tiefpunkte \(x=a\) gilt, ergibt sich durch Eliminieren des Parameters die Ortskurve \(y=-x^2+3x\). 3. Die Diskriminante der Gleichung \(x^2-2ax+3a=0\) ist \(D=4a(a-3)\). Daher gibt es zwei Nullstellen für \(a<0\) oder \(a>3\), eine Nullstelle für \(a=0\) oder \(a=3\) und keine Nullstelle für \(0<a<3\). 4. Es ist \(f_a(x)=x^2+a(3-2x)\). Für \(x=1{,}5\) verschwindet der Parameterterm, und es gilt für alle \(a\): \(f_a(1{,}5)=2{,}25\). Also ist \(P(1{,}5\mid2{,}25)\) gemeinsamer Punkt aller Graphen.

a) \(T_a(a \mid -a^2+3a)\) b) \(y=-x^2+3x\) c) Zwei Nullstellen für \(a<0\) oder \(a>3\); eine Nullstelle für \(a=0\) oder \(a=3\); keine Nullstelle für \(0<a<3\). d) \(P(1{,}5 \mid 2{,}25)\)

- Wie erhältst du den Hochpunkt der Parabel in Abhängigkeit vom Parameter? - Wie kannst du den Parameter aus den Koordinaten des Hochpunkts eliminieren? - Welche Bedingung erfüllt der Scheitelpunkt, wenn die Parabel die \(x\)-Achse berührt? - Für welchen \(x\)-Wert verschwindet der Parameteranteil des Funktionsterms?

1. Es gilt \(h_t'(x)=-2x+t\). Daraus folgt \(x=\frac{t}{2}\). Wegen \(h_t''(x)=-2<0\) liegt ein Hochpunkt vor. Mit \(h_t\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{t^2}{4}-2t+4\) erhält man \(H_t\left(\frac{t}{2}\mid\frac{t^2}{4}-2t+4\right)\). 2. Aus \(x=\frac{t}{2}\) folgt \(t=2x\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate liefert \(y=x^2-4x+4=(x-2)^2\). 3. Für eine Berührung mit der \(x\)-Achse muss der Hochpunkt auf der \(x\)-Achse liegen. Aus \(\frac{t^2}{4}-2t+4=0\) folgt \((t-4)^2=0\), also \(t=4\). 4. Es ist \(h_t(x)=-x^2+4+t(x-2)\). Für \(x=2\) verschwindet der Parameterterm und \(h_t(2)=0\). Daher verlaufen alle Graphen durch \(P(2\mid0)\).

a) \(H_t\left(\frac{t}{2} \mid \frac{t^2}{4}-2t+4\right)\) b) \(y=(x-2)^2\) c) \(t=4\) d) Gemeinsamer Punkt \(P(2 \mid 0)\)

- Wie bestimmst du den Scheitelpunkt jeder Parabel mithilfe der Ableitung? - Welche Koordinaten des Scheitelpunkts hängen vom Parameter ab? - Wie kannst du den Parameter aus den beiden Koordinatengleichungen eliminieren? - Welche Einschränkung folgt aus \(k>0\)?

1. Es gilt \(f_k'(x)=-\frac{4}{k}x+8\). Aus \(f_k'(x)=0\) folgt \(x=2k\). 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(f_k(2k)=8k+1\). Somit gilt für die Scheitelpunkte \(x=2k\) und \(y=8k+1\). 3. Aus \(x=2k\) folgt \(k=\frac{x}{2}\). Einsetzen liefert \(y=4x+1\). 4. Wegen \(k>0\) gilt für die Ortskurve \(x>0\).

\(y=4x+1\) für \(x>0\)

- Berechne zuerst die Ableitung der Funktion. Der Parameter \(a\) wird dabei wie eine Zahl behandelt. - Überlege dir, welche Form der Graph der Ableitungsfunktion für verschiedene Werte von \(a\) annimmt (z. B. Gerade oder Parabel). - Wann liegt eine Parabel vollständig oberhalb oder auf der x-Achse? - Was passiert mit dem Term \(3ax^2\), wenn \(a\) negativ ist und \(x\) immer größer wird?

1. Ableitung der Funktionenschar in Abhängigkeit von \(a\) bilden: \(f_a'(x) = 3ax^2 + 3\). 2. Bedingung für streng monotones Wachstum auf \(\mathbb{R}\) aufstellen: Es muss \(f_a'(x) \ge 0\) für alle \(x\) gelten, wobei \(f_a'(x) = 0\) nur an isolierten Stellen auftreten darf. 3. Fallunterscheidung für \(a\): - Fall \(a > 0\): Der Term \(3ax^2\) ist für alle \(x\) größer oder gleich Null. Damit ist \(3ax^2 + 3 \ge 3\). Die Ableitung ist also überall positiv. - Fall \(a = 0\): Es ergibt sich \(f_0'(x) = 3\). Die Ableitung ist eine konstante positive Funktion. - Fall \(a < 0\): Die Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 3ax^2 + 3\) beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Für sehr große Werte von \(x\) (positiv oder negativ) wird der Term \(3ax^2\) so stark negativ, dass die gesamte Ableitung negativ wird. Damit ist die Funktion in diesen Bereichen streng monoton fallend. 4. Ergebnis kombinieren: Die Bedingung ist für alle \(a \ge 0\) erfüllt.

Die Funktion \(f_a\) ist genau dann auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend, wenn \(a \ge 0\) gilt. Für \(a \ge 0\) ist die Ableitung \(f_a'(x) = 3ax^2 + 3\) stets mindestens \(3\) (und damit positiv), während sie für \(a < 0\) für ausreichend große \(x\)-Werte negativ wird.

- Wie findet man die Bereiche, in denen eine Funktion fällt? - Skizziere im Kopf den Verlauf einer nach oben geöffneten Parabel und ihrer Nullstellen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten auf der x-Achse? - Was passiert mit dem Abstand, wenn du die Werte der Endpunkte mit demselben Faktor multiplizierst?

1. Erste Ableitung bestimmen: \(f_a'(x) = x^2 - a^2\). 2. Nullstellen der Ableitung finden: \(x^2 - a^2 = 0 \Rightarrow x_{1} = -a\) und \(x_{2} = a\). 3. Monotonie bestimmen: Da \(f_a'(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, gilt \(f_a'(x) \leq 0\) für \(x \in [-a; a]\). In diesem Intervall ist die Funktion streng monoton fallend. 4. Länge des Intervalls berechnen: \(L = a - (-a) = 2a\). 5. Parameteränderung untersuchen: Wird \(a\) durch \(3a\) ersetzt, ergibt sich die neue Länge \(L_{neu} = 3a - (-3a) = 6a\). 6. Vergleich: Da \(6a = 3 \cdot (2a)\), verdreifacht sich die Länge des Intervalls ebenfalls.

a) Das Intervall ist \([-a; a]\). b) Die Länge des Intervalls beträgt \(2a\). Bei einer Verdreifachung des Parameters \(a\) verdreifacht sich auch die Länge des Intervalls auf \(6a\).

- Wie hängt die Anzahl der Extremstellen mit den Nullstellen von \(f_k'\) zusammen? - Welche Bedingung an die Diskriminante liefert zwei verschiedene reelle Lösungen? - Wie klassifizierst du die stationären Stellen für den konkreten Parameterwert \(k=5\)? - Vergiss bei Teil b) die Funktionswerte der Extrempunkte nicht.

1. Es gilt \(f_k'(x)=x^2-kx+4\). 2. Für zwei verschiedene Extremstellen muss die quadratische Gleichung \(x^2-kx+4=0\) zwei verschiedene reelle Lösungen besitzen. Ihre Diskriminante ist \(D=k^2-16\). 3. Aus \(D>0\) folgt \(k^2>16\), also \(k<-4\) oder \(k>4\). 4. Für \(k=5\) gilt \(f_5'(x)=x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\). Die stationären Stellen sind \(x=1\) und \(x=4\). 5. Mit \(f_5''(x)=2x-5\) gilt \(f_5''(1)=-3<0\) und \(f_5''(4)=3>0\). Außerdem ist \(f_5(1)=\frac{11}{6}\) und \(f_5(4)=-\frac{8}{3}\). Somit liegen \(H\left(1\mid\frac{11}{6}\right)\) und \(T\left(4\mid-\frac{8}{3}\right)\) vor.

a) Genau zwei lokale Extrempunkte gibt es für \(k<-4\) oder \(k>4\). b) Für \(k=5\): \(H\left(1 \mid \frac{11}{6}\right)\) und \(T\left(4 \mid -\frac{8}{3}\right)\).

- Wann kann der Nenner \(x^2+t\) für reelle \(x\) null werden? - Welche Gleichung prüft Punktsymmetrie zum Ursprung? - Welche Ableitungsregel brauchst du für \(f_t\), und wo kann das Vorzeichen von \(f_t'\) wechseln? - Wie drückst du die Höhe des Hochpunkts in Abhängigkeit von \(t\) aus?

1. Für \(D_t=\mathbb{R}\) darf \(x^2+t\) keine reelle Nullstelle besitzen. Das gilt genau für \(t>0\). 2. Es ist \(f_t(-x)=\frac{-tx}{x^2+t}=-f_t(x)\). Daher sind alle Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Mit der Quotientenregel erhält man \(f_t'(x)=\frac{t(t-x^2)}{(x^2+t)^2}\). Für \(t>0\) ist der Nenner positiv, und der Zähler wechselt bei \(x=\pm\sqrt{t}\) jeweils das Vorzeichen. Daher besitzt jeder Graph genau zwei lokale Extrempunkte. 4. Der Hochpunkt im ersten Quadranten liegt bei \(x=\sqrt{t}\). Dort gilt \(f_t(\sqrt{t})=\frac{\sqrt{t}}{2}\). Aus \(\frac{\sqrt{t}}{2}=1\) folgt \(t=4\).

a) \(t>0\) b) \(f_t(-x)=-f_t(x)\) c) Extremstellen bei \(x=\pm\sqrt{t}\) d) \(t=4\)

- Welche Stelle ist aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen? - Welche Ableitungsregel brauchst du für den gebrochen-rationalen Funktionsterm? - Was sagt die Diskriminante über die Anzahl der Nullstellen des Zählers von \(f_a'\) aus? - Welche der gefundenen Stellen liegen tatsächlich im Definitionsbereich und führen zu einem Vorzeichenwechsel von \(f_a'\)?

1. Der Definitionsbereich ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). 2. Mit der Quotientenregel erhält man \(f_a'(x)=\frac{x^2-2x-a}{(x-1)^2}\). 3. Für Extremstellen muss \(x^2-2x-a=0\) gelten. Die Diskriminante ist \(\Delta=4+4a=4(1+a)\). 4. Für \(a<-1\) ist \(\Delta<0\), also gibt es keine stationären Stellen. Für \(a=-1\) liegt die einzige Nullstelle bei \(x=1\), die nicht zum Definitionsbereich gehört. Auch dann gibt es keine Extremstelle. 5. Für \(a>-1\) liegen die beiden einfachen Nullstellen \(x=1\pm\sqrt{1+a}\) im Definitionsbereich. Der Zähler von \(f_a'\) wechselt an beiden Stellen das Vorzeichen, also besitzt \(f_a\) genau zwei Extremstellen.

Für \(a\le-1\) besitzt \(f_a\) keine Extremstellen; für \(a>-1\) besitzt \(f_a\) genau zwei Extremstellen.

- Welche Rolle spielt die Diskriminante der quadratischen Ableitungsfunktion? - Für welchen Parameterwert besitzt \(g_a'\) nur eine doppelte Nullstelle? - Was sagt der fehlende Vorzeichenwechsel von \(g_a'\) über einen Extrempunkt aus? - Wie kannst du zusätzlich prüfen, ob die stationäre Nicht-Extremstelle tatsächlich eine Wendestelle ist?

1. Es gilt \(g_a'(x)=3x^2-6ax+6a-3\). 2. Die Diskriminante der Gleichung \(g_a'(x)=0\) ist \(D=(-6a)^2-12(6a-3)=36(a-1)^2\). 3. Damit gibt es nur dann keine zwei verschiedenen stationären Stellen, wenn \(D=0\). Dies liefert \(a=1\). 4. Für \(a=1\) ist \(g_1'(x)=3(x-1)^2\). Die Ableitung wechselt bei \(x=1\) nicht das Vorzeichen, also liegt dort kein Extremum vor. 5. Weiter gilt \(g_1''(x)=6x-6\), also \(g_1''(1)=0\), und \(g_1'''(x)=6\), also \(g_1'''(1)=6\neq0\). Somit ist \(x=1\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also eine Sattelstelle.

Für \(a=1\) besitzt \(g_a\) keinen Extrempunkt. Bei \(x=1\) liegt dann ein Sattelpunkt vor.

- Wie findet man die Bereiche, in denen eine Funktion steigt, mithilfe der Ableitung? - Untersuche die Nullstellen der Ableitungsfunktion. - Überlege dir den Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion, um die Vorzeichen in den Zwischenbereichen zu bestimmen. - Vergiss nicht, dass der Parameter \(a\) in deinen Intervallgrenzen vorkommen wird.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(g_a'(x) = 2ax - x^3\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: Durch Ausklammern erhält man \(x(2a - x^2) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = -\sqrt{2a}\) und \(x_3 = \sqrt{2a}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(g_a'(x)\): Da \(g_a'\) eine kubische Funktion mit negativem Leitkoeffizienten ist, ist sie positiv für \(x < -\sqrt{2a}\) und für \(0 < x < \sqrt{2a}\). 4. Die Funktion \(g_a\) ist somit in den Intervallen \((-\infty; -\sqrt{2a}]\) und \([0; \sqrt{2a}]\) streng monoton steigend.

\(x \in (-\infty; -\sqrt{2a}]\) und \(x \in [0; \sqrt{2a}]\)

- Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Bestimme zunächst die Nullstellen der Ableitung in Abhängigkeit von \(a\). - Überlege dir, wie sich die Lage der Nullstellen zueinander verändert, wenn \(a\) positiv, negativ oder null ist. - Eine Skizze des Graphen der Ableitungsfunktion (eine Parabel) kann helfen, die Vorzeichenbereiche zu finden.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f_a'(x) = 3x^2 - 2ax = x(3x - 2a)\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{2}{3}a\). 3. Fallunterscheidung für \(a\): - Fall \(a = 0\): \(f_0'(x) = 3x^2 \ge 0\) für alle \(x\). Die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) monoton steigend. - Fall \(a > 0\): Es gilt \(0 < \frac{2}{3}a\). Die Parabel der Ableitung ist nach oben geöffnet. \(f_a'(x) \ge 0\) für \(x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{2}{3}a; \infty)\) und \(f_a'(x) \le 0\) für \(x \in [0; \frac{2}{3}a]\). Somit ist \(f_a\) monoton steigend auf \((-\infty; 0]\) und \([\frac{2}{3}a; \infty)\) sowie monoton fallend auf \([0; \frac{2}{3}a]\). - Fall \(a < 0\): Es gilt \(\frac{2}{3}a < 0\). \(f_a'(x) \ge 0\) für \(x \in (-\infty; \frac{2}{3}a] \cup [0; \infty)\) und \(f_a'(x) \le 0\) für \(x \in [\frac{2}{3}a; 0]\). Somit ist \(f_a\) monoton steigend auf \((-\infty; \frac{2}{3}a]\) und \([0; \infty)\) sowie monoton fallend auf \([\frac{2}{3}a; 0]\).

Für \(a = 0\): Monoton steigend auf \(\mathbb{R}\). Für \(a > 0\): Monoton steigend auf \((-\infty; 0]\) und \([\frac{2}{3}a; \infty)\); monoton fallend auf \([0; \frac{2}{3}a]\). Für \(a < 0\): Monoton steigend auf \((-\infty; \frac{2}{3}a]\) und \([0; \infty)\); monoton fallend auf \([\frac{2}{3}a; 0]\).

- Welche Informationen liefern die Punkte \(P\) und \(Q\) für die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel? - Wie hängen die Öffnungsrichtung einer Parabel und die Lage ihres Scheitelpunkts mit den Parametern der Gleichung zusammen? - Mit welchem Werkzeug aus der Differenzialrechnung bestimmt man die Stelle, an der eine Funktion ihren höchsten Wert annimmt?

1. Ansatz für die Parabel: \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Aus \(P(0 \mid 1{,}5)\) folgt direkt \(c = 1{,}5\). 2. Einsetzen von \(Q(30 \mid 0)\): \(a \cdot 30^2 + b \cdot 30 + 1{,}5 = 0 \implies 900a + 30b + 1{,}5 = 0\). 3. Umstellen nach \(b\): \(30b = -900a - 1{,}5 \implies b = -30a - 0{,}05\). Einsetzen in den Ansatz ergibt \(f_a(x) = ax^2 - (30a + 0{,}05)x + 1{,}5\). 4. Für eine nach unten geöffnete Parabel muss \(a < 0\) gelten. Damit der Scheitelpunkt rechts von der Düse liegt, muss \(b = -(30a + 0{,}05) > 0\) sein. Daher gilt \(30a + 0{,}05 < 0\), also \(a < -\frac{1}{600}\). 5. Es ist \(f'_a(x) = 2ax - (30a + 0{,}05)\). Nullsetzen liefert \(x = \frac{30a + 0{,}05}{2a} = 15 + \frac{0{,}025}{a}\).

a) Die Gleichung folgt durch Einsetzen der Punkte \(P(0 \mid 1{,}5)\) und \(Q(30 \mid 0)\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\). b) \(a < -\frac{1}{600}\). Der Grenzwert \(-\frac{1}{600}\) beträgt näherungsweise \(-0{,}00167\). c) Die maximale Höhe wird bei der waagerechten Entfernung \(x = 15 + \frac{0{,}025}{a}\) erreicht; der Zahlenwert von \(x\) ist in Metern angegeben.

- Wie nutzt du die erste und zweite Ableitung, um Extremstellen und deren Art zu bestimmen? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über das Steigungsverhalten des Graphen aus? - Beachte bei der Bestimmung von \(t\) die Definitionsmenge des Parameters.

1. Ableitungen bilden: \(f'_t(x) = x^2 - t^2\) und \(f''_t(x) = 2x\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f'_t(x) = 0 \implies x^2 = t^2 \implies x_1 = t, x_2 = -t\). 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''_t(t) = 2t > 0\) (da \(t > 0\)), also liegt bei \(x = t\) ein lokales Minimum vor. \(f''_t(-t) = -2t < 0\), also liegt bei \(x = -t\) ein lokales Maximum vor. 4. Monotonie: \(f'_t(x) = (x-t)(x+t)\). Die Parabel \(f'_t\) ist nach oben geöffnet mit Nullstellen bei \(\pm t\). Somit ist \(f'_t(x) \ge 0\) für \(x \in (-\infty; -t]\) und \(x \in [t; \infty)\) (monoton steigend) und \(f'_t(x) \le 0\) für \(x \in [-t; t]\) (monoton fallend). 5. Bestimmung von \(t\): Die Extremstellen sind \(x = \pm t\). Soll ein Extremum bei \(x = 4\) liegen, muss \(t = 4\) oder \(-t = 4\) gelten. Da \(t > 0\) vorausgesetzt ist, folgt \(t = 4\).

a) Lokales Maximum bei \(x = -t\), lokales Minimum bei \(x = t\). b) Monoton steigend für \(x \le -t\) und \(x \ge t\); monoton fallend für \(-t \le x \le t\). c) \(t = 4\).

- Welche Eigenschaft müssen die Exponenten einer ganzrationalen Funktion haben, damit Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vorliegt? - Wie nutzt du die erste und zweite Ableitung, um Tiefpunkte zu finden? - Achte darauf, dass \(a\) als Parameter wie eine Zahl behandelt wird. - Welche Einschränkungen für den Parameter \(a\) werden in der Aufgabenstellung genannt?

1. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse wird durch \(g_a(-x) = g_a(x)\) nachgewiesen: \((-x)^4 - 2a(-x)^2 = x^4 - 2ax^2\). Die Bedingung ist für alle \(a\) erfüllt. 2. Zur Berechnung der Extrempunkte wird die erste Ableitung \(g_a'(x) = 4x^3 - 4ax\) gebildet und gleich null gesetzt: \(4x(x^2 - a) = 0\). Die kritischen Stellen sind \(x_0 = 0\) sowie \(x_{1,2} = \pm\sqrt{a}\) (da \(a > 0\)). 3. Die zweite Ableitung \(g_a''(x) = 12x^2 - 4a\) dient zur Artbestimmung. Für \(x = \pm\sqrt{a}\) ergibt sich \(g_a''(\pm\sqrt{a}) = 12a - 4a = 8a\). Da \(a > 0\), ist \(8a > 0\), es liegen also Tiefpunkte vor. 4. Die \(y\)-Koordinaten der Tiefpunkte berechnen sich zu \(g_a(\pm\sqrt{a}) = (\pm\sqrt{a})^4 - 2a(\pm\sqrt{a})^2 = a^2 - 2a^2 = -a^2\). Die Tiefpunkte sind \(T_1(\sqrt{a} \mid -a^2)\) und \(T_2(-\sqrt{a} \mid -a^2)\). 5. Um \(a\) zu bestimmen, wird die \(y\)-Koordinate gleich \(-25\) gesetzt: \(-a^2 = -25 \implies a^2 = 25\). Da \(a > 0\) vorausgesetzt ist, folgt \(a = 5\).

a) Wegen \(g_a(-x) = (-x)^4 - 2a(-x)^2 = x^4 - 2ax^2 = g_a(x)\) sind die Graphen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Die Tiefpunkte liegen bei \(T_1(\sqrt{a} \mid -a^2)\) und \(T_2(-\sqrt{a} \mid -a^2)\). c) Der gesuchte Wert ist \(a = 5\).

- Wie kannst du zeigen, dass ein Punkt für alle Werte eines Parameters gleich bleibt? - Welche Ableitung benötigst du, um Bedingungen für Extremstellen aufzustellen? - Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit der Anzahl der Extrempunkte zusammen? - Erinnerst du dich, wie man die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung mithilfe der Diskriminante bestimmt?

1. Zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte wird der Ansatz \(f_a(x) = f_b(x)\) für \(a \neq b\) gewählt: \(x^3 + ax^2 - (a+1)x = x^3 + bx^2 - (b+1)x\). Dies vereinfacht sich zu \((a-b)x^2 - (a-b)x = 0\), woraus \((a-b)(x^2-x) = 0\) folgt. Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). Die zugehörigen Funktionswerte sind \(f_a(0) = 0\) und \(f_a(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 - (a+1) \cdot 1 = 0\). Die gemeinsamen Punkte sind somit \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(1 \mid 0)\). 2. Für eine Extremstelle an der Stelle \(x = -1\) muss die notwendige Bedingung \(f_a'(-1) = 0\) erfüllt sein. Mit \(f_a'(x) = 3x^2 + 2ax - (a+1)\) ergibt sich \(f_a'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) - a - 1 = 2 - 3a\). Aus \(2 - 3a = 0\) folgt \(a = \frac{2}{3}\). Die hinreichende Bedingung \(f_{\frac{2}{3}}''(-1) = 6(-1) + 2 \cdot \frac{2}{3} = -6 + \frac{4}{3} \neq 0\) ist erfüllt. 3. Die Anzahl der Extremstellen hängt von den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 3x^2 + 2ax - (a+1)\) ab. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(3x^2 + 2ax - (a+1) = 0\) lautet \(D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(a+1)) = 4a^2 + 12a + 12 = 4(a^2 + 3a + 3)\). Da die Diskriminante der inneren Parabel \(a^2 + 3a + 3\) den Wert \(3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -3 < 0\) hat und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(a^2 + 3a + 3 > 0\) für alle \(a\). Somit ist \(D\) immer positiv, was bedeutet, dass \(f_a'\) stets zwei verschiedene reelle Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. Folglich hat jeder Graph genau zwei Extrempunkte.

a) Gemeinsame Punkte: \(P_1(0 \mid 0)\) und \(P_2(1 \mid 0)\). b) Der Parameterwert ist \(a = \frac{2}{3}\). c) Die Diskriminante der Ableitungsfunktion \(f_a'(x) = 0\) ist \(D = 4a^2 + 12a + 12\). Da \(D > 0\) für alle \(a \in \mathbb{R}\) gilt, existieren stets zwei Extremstellen mit Vorzeichenwechsel in \(f_a'\).

- Welche Bedingung an den Nenner legt die Polstelle fest? - Welche Ableitungsregel brauchst du, nachdem der Nenner bestimmt ist? - Welche weiteren Nullstellen besitzt die erste Ableitung, und wie ändert sich dort ihr Vorzeichen? - Wie kannst du den Funktionsterm in eine lineare Funktion plus Restterm zerlegen?

1. Für eine Polstelle bei \(x=1\) muss \(1+b=0\) gelten. Daher ist \(b=-1\) und \(f(x)=\frac{x^2+a}{x-1}\). 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f'(x)=\frac{x^2-2x-a}{(x-1)^2}\). Aus \(f'(3)=0\) ergibt sich \(a=3\). 3. Dann gilt \(f'(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\). Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt \(T(3\mid6)\) vor. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt \(H(-1\mid-2)\) vor. 4. Die senkrechte Asymptote ist \(x=1\). Durch Polynomdivision erhält man \(f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}\); daher ist \(y=x+1\) die schräge Asymptote.

a) \(a=3\), \(b=-1\); Tiefpunkt \(T(3 \mid 6)\) b) Hochpunkt \(H(-1 \mid -2)\); Asymptoten \(x=1\) und \(y=x+1\)

- Welche beiden Bedingungen liefert ein vorgegebener Tiefpunkt mit festen Koordinaten? - Welche Ableitungsregel brauchst du für die Funktionenschar? - Wie kannst du die beiden Parameter aus den entstehenden Gleichungen bestimmen? - Wie überprüfst du anschließend die Art des stationären Punktes?

1. Aus \(f_{a,b}(-2)=-1\) folgt \(-2a+b=-5\), also \(b=2a-5\). 2. Mit der Quotientenregel erhält man \(f_{a,b}'(x)=\frac{-ax^2-2bx+a}{(x^2+1)^2}\). Aus \(f_{a,b}'(-2)=0\) folgt \(-3a+4b=0\). 3. Einsetzen von \(b=2a-5\) liefert \(a=4\) und damit \(b=3\). 4. Für diese Parameter gilt \(f''(-2)=0{,}4>0\). Somit ist \(T(-2\mid-1)\) tatsächlich ein Tiefpunkt.

\(a=4\) und \(b=3\); wegen \(f''(-2)=0{,}4>0\) liegt tatsächlich ein Tiefpunkt vor.

- Kannst du die Koordinaten des lokalen Hochpunkts und des lokalen Tiefpunkts aus dem Graphen ablesen? - Welche mathematische Bedingung muss die erste Ableitung einer Funktion an einer lokalen Extremstelle erfüllen? - Wie kannst du die Stelle eines der Extrempunkte nutzen, um eine Gleichung für den Parameter \(a\) aufzustellen? - Unter welcher Bedingung hat eine quadratische Gleichung wie \(f_a'(x) = 0\) keine zwei unterschiedlichen reellen Lösungen? - Denke an die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(f_a'(x) = 0\).

1. Ableitung bestimmen: Zuerst berechnen wir die erste Ableitung der Funktionenschar: \(f_a'(x) = 0{,}75x^2 - 1{,}5ax + 2a\). 2. Teilaufgabe a): - Aus der Abbildung lässt sich ablesen, dass der abgebildete Graph bei \(x = 2\) ein lokales Maximum (bei \((2 \mid 5)\)) und bei \(x = 4\) ein lokales Minimum (bei \((4 \mid 4)\)) besitzt. - An einer Extremstelle muss die erste Ableitung null sein. Wir setzen daher \(x = 2\) in die Ableitungsfunktion ein und setzen diese gleich null: \(f_a'(2) = 0{,}75 \cdot 2^2 - 1{,}5a \cdot 2 + 2a = 0\) \(3 - 3a + 2a = 0 \implies 3 - a = 0 \implies a = 3\). - Zur Überprüfung mit der zweiten Extremstelle \(x = 4\): \(f_a'(4) = 0{,}75 \cdot 16 - 1{,}5a \cdot 4 + 2a = 0\) \(12 - 4a = 0 \implies a = 3\). - Der abgebildete Graph gehört also zum Parameterwert \(a = 3\). 3. Teilaufgabe b): - Die Funktion \(f_a\) besitzt genau dann keinen lokalen Extrempunkt, wenn die erste Ableitung \(f_a'(x) = 0\) keine Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. Da \(f_a'\) eine quadratische Funktion ist, ist dies der Fall, wenn die Gleichung \(f_a'(x) = 0\) keine reellen Lösungen oder genau eine reelle Lösung hat. - Wir setzen die Ableitung gleich null: \(0{,}75x^2 - 1{,}5ax + 2a = 0\). Multiplikation mit \(\frac{4}{3}\) liefert die Normalform: \(x^2 - 2ax + \frac{8}{3}a = 0\). - Die Diskriminante \(D\) dieser Gleichung lautet: \(D = \left(\frac{-2a}{2}\right)^2 - \frac{8}{3}a = a^2 - \frac{8}{3}a\). - Damit keine Extrempunkte existieren, muss \(D \le 0\) gelten: \(a^2 - \frac{8}{3}a \le 0 \implies a\left(a - \frac{8}{3}\right) \le 0\). - Das Produkt ist kleiner oder gleich null, wenn der Faktor \(a\) und der Faktor \(\left(a - \frac{8}{3}\right)\) unterschiedliche Vorzeichen haben oder einer davon null ist. Dies ist für \(0 \le a \le \frac{8}{3}\), also \(a \in \left[0; \frac{8}{3}\right]\), der Fall.

a) \(a = 3\) b) \(a \in \left[0; \frac{8}{3}\right]\)

- Überlege dir, wie sich der Parameter \(k > 0\) auf das Verhalten der Funktionswerte für sehr große positive und sehr kleine negative \(x\)-Werte auswirkt. - Bestimme die erste Ableitung der Funktion und berechne die Steigung an einer speziellen Stelle, wie zum Beispiel im Ursprung bei \(x = 0\). Welcher Graph passt dazu? - Welche mathematische Bedingung muss die Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? Setze den gegebenen Wert für \(x\) in die Ableitungsfunktion ein.

1. Analyse der Abbildungen für Teilaufgabe a): - Verhalten für \(x \to \pm\infty\): Da \(k > 0\), gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty\). Der Graph verläuft somit vom dritten in den ersten Quadranten. Dies ist nur in Abbildung 1 der Fall; Abbildung 2 zeigt das entgegengesetzte Verhalten. - Steigung im Ursprung: Die erste Ableitung lautet \(f_k'(x) = 3kx^2 - 3\). Für \(x = 0\) ergibt sich \(f_k'(0) = -3\). Da die Steigung negativ ist, muss der Graph im Ursprung fallen. Dies trifft ebenfalls nur auf Abbildung 1 zu. Abbildung 1 zeigt somit den Graphen von \(f_k\). 2. Berechnung des Parameters für Teilaufgabe b): - Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei \(x = 2\) ist \(f_k'(2) = 0\). - Einsetzen von \(x = 2\) in \(f_k'(x) = 3kx^2 - 3\) ergibt: \(3k \cdot 2^2 - 3 = 0\). - Lösen der Gleichung nach \(k\): \(12k - 3 = 0 \Leftrightarrow 12k = 3 \Leftrightarrow k = 0{,}25\). - Überprüfung der hinreichenden Bedingung: Da \(f_{0{,}25}''(2) = 6 \cdot 0{,}25 \cdot 2 = 3 > 0\), liegt an dieser Stelle ein lokales Minimum vor.

a) Abbildung 1 stellt den Graphen von \(f_k\) dar. Wegen \(k > 0\) gilt \(\lim_{x \to \infty} f_k(x) = \infty\), und wegen \(f_k'(0) = -3 < 0\) muss der Graph im Ursprung fallen; beides trifft nur auf Abbildung 1 zu. b) \(k = 0{,}25\)

- Überlege zuerst, was der \(y\)-Achsenabschnitt \(P(0 \mid 3)\) über den Wert von \(c\) aussagt. - Nutze den zweiten Punkt \(Q\), um eine Beziehung zwischen \(a\) und \(b\) aufzustellen. - Für Teilaufgabe b) setzt du die Koordinaten von \(R\) einfach in deine Funktionsgleichung ein. - Die Symmetrieachse einer Parabel liegt immer in der Mitte zwischen zwei Punkten mit derselben Höhe. - Betrachte den Scheitelwert in Abhängigkeit von \(a\), wenn \(a\) immer größer wird.

1. Da alle Funktionen durch \(P(0 \mid 3)\) verlaufen, muss \(c = 3\) gelten. Aus dem Punkt \(Q(4 \mid 3)\) folgt die Gleichung \(3 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 3\), was zu \(16a + 4b = 0\) bzw. \(b = -4a\) führt. Der Funktionsterm lautet somit \(f_a(x) = ax^2 - 4ax + 3\). 2. Einsetzen von \(R(2 \mid 5)\) in den Term: \(5 = a \cdot 2^2 - 4a \cdot 2 + 3 \Rightarrow 2 = 4a - 8a \Rightarrow 2 = -4a\). Daraus ergibt sich \(a = -0{,}5\). 3. Die Symmetrieachse liegt genau mittig zwischen den \(x\)-Koordinaten der Punkte mit gleichem \(y\)-Wert, also bei \(x = \frac{0+4}{2} = 2\). Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten \(S(2 \mid f_a(2))\) mit \(f_a(2) = a \cdot 2^2 - 4a \cdot 2 + 3 = -4a + 3\). Wenn \(a \to \infty\), strebt die \(y\)-Koordinate \(y_S = -4a + 3\) gegen \(-\infty\).

a) \(f_a(x) = ax^2 - 4ax + 3\) b) \(a = -0{,}5\) c) Symmetrieachse: \(x = 2\). Wenn \(a\) gegen unendlich strebt, sinkt der Scheitelpunkt immer weiter nach unten (\(y_S \to -\infty\)).

- Wie hängt die vertikale Lage der Parabel \(f_a'\) vom Parameter \(a\) ab? - Vergleiche bei den drei Graphen insbesondere die Nullstellen der Ableitungsfunktion. - Für Teil b) entscheidet das Vorzeichen von \(f_1'\) über Steigen und Fallen von \(f_1\). - Achte an den Nullstellen darauf, in welcher Richtung das Vorzeichen von \(f_1'\) wechselt.

1. Es gilt \(f_a'(x)=3x^2-3a\). Für \(a=-1\) liegt die Parabel vollständig oberhalb der \(x\)-Achse; das ist Graph A. Für \(a=0\) berührt die Parabel die \(x\)-Achse bei \(x=0\); das ist Graph B. Für \(a=1\) schneidet sie die \(x\)-Achse bei \(x=\pm1\); das ist Graph C. 2. Für \(a=1\) gilt \(f_1'(x)>0\) für \(x<-1\) und \(x>1\), während \(f_1'(x)<0\) für \(-1<x<1\). 3. Daher ist \(f_1\) auf \(( -\infty;-1]\) und \([1;\infty)\) streng monoton steigend und auf \([-1;1]\) streng monoton fallend. Bei \(x=-1\) liegt eine Hochstelle und bei \(x=1\) eine Tiefstelle vor.

a) A: \(a=-1\); B: \(a=0\); C: \(a=1\). b) \(f_1\) ist auf \(( -\infty;-1]\) und \([1;\infty)\) streng monoton steigend und auf \([-1;1]\) streng monoton fallend. Bei \(x=-1\) liegt eine Hochstelle, bei \(x=1\) eine Tiefstelle.

- Was bedeutet eine waagerechte Tangente für die erste Ableitung? - Wann besitzt eine quadratische Funktion zwei, eine oder keine reelle Nullstelle? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung einen Krümmungswechsel nachweisen? - Für welche Werte von \(c\) ist die erste Ableitung überall nichtnegativ?

1. Die erste Ableitung lautet \(g_c'(x)=3x^2-6x+c\). Stellen mit waagerechter Tangente sind die Nullstellen von \(g_c'\). 2. Für genau zwei verschiedene waagerechte Tangenten muss die quadratische Gleichung \(3x^2-6x+c=0\) zwei verschiedene reelle Lösungen besitzen. Ihre Diskriminante ist \(D=36-12c\). Daher gilt \(D>0 \iff c<3\). 3. Genau eine waagerechte Tangente liegt bei \(D=0\), also bei \(c=3\), vor. Dann ist \(g_3'(x)=3(x-1)^2\), sodass \(g_3'(1)=0\). Die zweite Ableitung ist \(g_3''(x)=6x-6\). Sie wechselt bei \(x=1\) von negativ zu positiv. Somit ändert sich dort die Krümmung, und wegen der waagerechten Tangente liegt ein Terrassenpunkt vor. 4. Für strenge Monotonie muss \(g_c'(x)\) für alle \(x\) nichtnegativ sein. Da die Parabel \(g_c'\) nach oben geöffnet ist, gilt dies genau für \(D\le 0\), also \(c\ge 3\). Für \(c>3\) ist \(g_c'(x)>0\) überall. Für \(c=3\) gilt \(g_3'(x)=3(x-1)^2\), und \(g_3(x)=(x-1)^3+1\) ist ebenfalls streng monoton steigend. 5. Daher ist \(g_c\) genau für \(c\ge 3\) auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend.

a) \(c<3\) b) Bei \(c=3\) gilt \(g_3'(1)=0\), und \(g_3''(x)=6x-6\) wechselt bei \(x=1\) das Vorzeichen. Daher liegt dort ein stationärer Wendepunkt (Terrassenpunkt) vor. c) \(c\ge 3\)

- Nutze die erste Ableitung, um das Minimum zu bestimmen. - Wann liegt der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel oberhalb, auf oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Was passiert mit dem Parameter \(k\), wenn du die Koordinaten des Punktes \(Q\) einsetzt?

1. Bestimmung der Extremstelle: \(g_k'(x) = 2x - k = 0 \Rightarrow x = \frac{k}{2}\). 2. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(g_k\left(\frac{k}{2}\right) = \left(\frac{k}{2}\right)^2 - k \cdot \frac{k}{2} + 2k - 3 = \frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{2} + 2k - 3 = -\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3\). Der Tiefpunkt liegt bei \(T\left(\frac{k}{2} \mid -\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3\right)\). 3. Analyse der Nullstellen über die Diskriminante \(D\) oder die Lage des Tiefpunktes: \(g_k\) hat keine Nullstellen, wenn \(-\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3 > 0\). Die Nullstellen des Terms in \(k\) sind \(k_1 = 2\) und \(k_2 = 6\). - Keine Nullstellen für \(2 < k < 6\). - Genau eine Nullstelle für \(k = 2\) oder \(k = 6\). - Zwei Nullstellen für \(k < 2\) oder \(k > 6\). 4. Nachweis des gemeinsamen Punktes: Einsetzen von \(x = 2\) in \(g_k(x)\): \(g_k(2) = 2^2 - k \cdot 2 + 2k - 3 = 4 - 2k + 2k - 3 = 1\). Da das Ergebnis \(1\) unabhängig von \(k\) ist, liegt \(Q(2 \mid 1)\) auf jedem Graphen von \(g_k\).

a) \(T\left(\frac{k}{2} \mid -\frac{1}{4}k^2 + 2k - 3\right)\) b) Zwei Nullstellen für \(k \in (-\infty; 2) \cup (6; \infty)\); eine Nullstelle für \(k \in \{2; 6\}\); keine Nullstelle für \(k \in (2; 6)\). c) Nachweis durch Einsetzen: \(g_k(2) = 1\) für alle \(k\).

- Was passiert mit dem Grad der Funktion, wenn der Parameter vor der höchsten Potenz null wird? - Untersuche die Ableitung der Funktion. Welchen Typ von Gleichung musst du lösen, um die kritischen Stellen zu finden? - Erinnere dich daran, dass die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion über die Diskriminante bestimmt werden kann. - Überlege für jeden Fall, ob an den gefundenen Stellen tatsächlich ein Extremum (mit Vorzeichenwechsel der Steigung) vorliegt.

1. Fallunterscheidung nach dem Grad der Funktion: 2. Fall \(a = 0\): Die Funktion \(g_0(x) = 3x^2 + 3x\) ist eine Parabel. Die Ableitung \(g_0'(x) = 6x + 3\) hat genau eine Nullstelle bei \(x = -0{,}5\) mit Vorzeichenwechsel. Es gibt genau eine lokale Extremstelle. 3. Fall \(a \neq 0\): Die Funktion ist ein Polynom 3. Grades. Ableitung: \(g_a'(x) = 3ax^2 + 6x + 3\). 4. Notwendige Bedingung \(g_a'(x) = 0\) führt auf \(3ax^2 + 6x + 3 = 0\). 5. Diskriminante berechnen: \(D = 6^2 - 4 \cdot 3a \cdot 3 = 36 - 36a = 36(1 - a)\). 6. \(D > 0 \iff a < 1\): Unter Berücksichtigung von \(a \neq 0\) gibt es zwei verschiedene Nullstellen der Ableitung mit Vorzeichenwechsel, also zwei lokale Extremstellen. 7. \(D = 0 \iff a = 1\): Es gibt eine doppelte Nullstelle der Ableitung bei \(x = -1\). Da \(g_1'(x) = 3(x+1)^2 \ge 0\), findet kein Vorzeichenwechsel statt (Sattelpunkt). Keine Extremstelle. 8. \(D < 0 \iff a > 1\): Die Ableitung hat keine Nullstellen. Keine Extremstelle. 9. Zusammenfassung: Für \(a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)\) gibt es zwei Extremstellen, für \(a = 0\) eine Extremstelle und für \(a \ge 1\) keine Extremstelle.

Genau zwei lokale Extremstellen für \(a < 1\) mit \(a \neq 0\). Genau eine lokale Extremstelle für \(a = 0\). Keine lokalen Extremstellen für \(a \ge 1\).

- Welche Faktorisierungen machen die Nullstellen beider Funktionsterme sichtbar? - Welche stationäre Stelle von \(q_a\) liefert den Tiefpunkt? - Wie kannst du den Parameter zwischen der \(x\)- und der \(y\)-Koordinate des Tiefpunkts eliminieren? - Beachte beim Lösen der Ungleichung, dass \(a>0\) gilt.

1. Es ist \(p_a(x)=x(x-2a)\), also sind die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2a\). Außerdem gilt \(q_a(x)=x^2\left(\frac{x}{a}-2\right)\), sodass dieselben Nullstellen auftreten. 2. Mit \(q_a'(x)=\frac{3}{a}x^2-4x=x\left(\frac{3}{a}x-4\right)\) erhält man die stationären Stellen \(x=0\) und \(x=\frac{4}{3}a\). 3. Es gilt \(q_a''(x)=\frac{6}{a}x-4\). Damit ist \(q_a''\left(\frac{4}{3}a\right)=4>0\), also liegt der Tiefpunkt bei \(T\left(\frac{4}{3}a\mid-\frac{32}{27}a^2\right)\). 4. Aus \(x=\frac{4}{3}a\) folgt \(a=\frac{3}{4}x\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt die Ortskurve \(y=-\frac{2}{3}x^2\) für \(x>0\). 5. Die Bedingung \(-\frac{32}{27}a^2<-32\) ist äquivalent zu \(a^2>27\). Wegen \(a>0\) folgt \(a>3\sqrt{3}\).

a) Beide Scharen besitzen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2a\). b) \(T\left(\frac{4}{3}a \mid -\frac{32}{27}a^2\right)\) c) \(y=-\frac{2}{3}x^2\) für \(x>0\) d) \(a>3\sqrt{3}\)

- Welche beiden Extremstellen hängen vom Parameter ab? - Welche Funktionswerte gehören zu diesen Stellen? - Wie kannst du den Parameter in beiden Fällen durch \(x\) ersetzen? - Welche Einschränkung folgt aus \(a\neq0\)?

1. Es gilt \(g_a'(x)=3x^2-3a^2\) und \(g_a''(x)=6x\). Aus \(g_a'(x)=0\) folgt \(x=\pm a\). Wegen \(a\neq0\) ist \(g_a''(\pm a)\neq0\), also liegen dort lokale Extrema vor. 2. Für \(x=a\) ist \(y=-2a^3+2\). Für \(x=-a\) ist \(y=2a^3+2\). 3. Im ersten Fall gilt \(a=x\), im zweiten \(a=-x\). Beide Fälle führen zu derselben Ortskurve \(y=-2x^3+2\). 4. Wegen \(a\neq0\) ist \(x=0\) ausgeschlossen.

\(y=-2x^3+2\) für \(x\neq0\)

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und dem Monotonieverhalten? - Was muss für eine nach oben geöffnete Parabel gelten, damit sie keine Werte unterhalb der x-Achse annimmt? - Erinnere dich an die Diskriminante einer quadratischen Gleichung. - Wann hat eine quadratische Gleichung keine oder genau eine Lösung?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 2kx + 3\). 2. Bedingung für strenge Monotonie: Eine differenzierbare Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend, wenn \(f'(x) \geq 0\) gilt und die Nullstellen von \(f'\) isoliert sind. 3. Da der Graph von \(f'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist die Bedingung \(f'(x) \geq 0\) genau dann erfüllt, wenn die Diskriminante \(D\) der quadratischen Gleichung \(3x^2 + 2kx + 3 = 0\) kleiner oder gleich Null ist. 4. Diskriminante berechnen: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4k^2 - 36\). 5. Ungleichung lösen: \(4k^2 - 36 \leq 0 \Rightarrow k^2 \leq 9\). 6. Ergebnis: Die Bedingung ist für \(-3 \leq k \leq 3\) erfüllt. In den Grenzfällen \(k = \pm 3\) hat die Ableitung nur eine doppelte Nullstelle (Sattelpunkt), was die strenge Monotonie nicht verletzt.

Die Funktion ist für \(k \in [-3; 3]\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton wachsend.

- Welche Ableitungsregel brauchst du für den Quotienten? - Welches Vorzeichen hat der Nenner der Ableitung auf dem Definitionsbereich? - Welche Koeffizienten bestimmen den Grenzwert einer linearen gebrochen-rationalen Funktion im Unendlichen? - Was bedeutet ein endlicher Grenzwert für das asymptotische Verhalten?

1. Mit der Quotientenregel folgt \(g_a'(x)=\frac{a(x+2)-(ax+4)}{(x+2)^2}=\frac{2a-4}{(x+2)^2}\). 2. Für \(x\neq-2\) ist der Nenner positiv. Daher ist \(g_a'(x)<0\) genau dann, wenn \(2a-4<0\), also \(a<2\). Für \(a=2\) ist die Funktion konstant. 3. Für linearen Zähler und Nenner gilt \(\lim_{x\to\infty}g_a(x)=a\). 4. Bei \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) mit \(c\neq0\) ist der Grenzwert für \(x\to\pm\infty\) gleich \(\frac{a}{c}\). Daher besitzt eine solche Funktion eine waagerechte Asymptote und keine unendlichen Grenzwerte im Unendlichen.

1. \(g_a'(x)=\frac{2a-4}{(x+2)^2}\) 2. \(a<2\) 3. \(\lim_{x\to\infty}g_a(x)=a\) 4. Nein; bei linearem Zähler und Nenner liegt ein endlicher Grenzwert \(\frac{a}{c}\) vor.

- Bestimme die Ableitungsfunktion und klammere \(x\) aus. - Wann hat die Gleichung \(x^2 - k = 0\) keine, eine oder zwei Lösungen? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen den Nullstellen. - Was passiert mit dem Term \((x^2 - k)\), wenn \(k\) negativ ist?

1. Erste Ableitung bilden: \(g_k'(x) = x^3 - kx = x(x^2 - k)\). 2. Nullstellen von \(g_k'\) bestimmen: \(x = 0\) ist immer eine Nullstelle. Weitere Nullstellen existieren nur, wenn \(x^2 = k\), also für \(k > 0\) bei \(x = \pm \sqrt{k}\). 3. Fallunterscheidung: - Fall \(k \le 0\): Der Ausdruck \((x^2 - k)\) ist stets \(\ge 0\). Das Vorzeichen von \(g_k'(x)\) entspricht dem Vorzeichen von \(x\). Für \(x \le 0\) ist \(g_k'(x) \le 0\) (monoton fallend), für \(x \ge 0\) ist \(g_k'(x) \ge 0\) (monoton steigend). - Fall \(k > 0\): Die Ableitung hat drei Nullstellen bei \(-\sqrt{k}, 0, \sqrt{k}\). Durch Betrachtung des Graphen von \(g_k'\) (ungerade Funktion 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten) ergeben sich die Vorzeichen: negativ auf \((-\infty; -\sqrt{k}]\), positiv auf \([-\sqrt{k}; 0]\), negativ auf \([0; \sqrt{k}]\) und positiv auf \([\sqrt{k}; \infty)\). 4. Zusammenfassung: Für \(k \le 0\) ist die Funktion monoton fallend auf \((-\infty; 0]\) und monoton steigend auf \([0; \infty)\). Für \(k > 0\) ist sie monoton fallend auf \((-\infty; -\sqrt{k}]\) und \([0; \sqrt{k}]\), sowie monoton steigend auf \([-\sqrt{k}; 0]\) und \([\sqrt{k}; \infty)\).

Für \(k \le 0\): Monoton fallend auf \((-\infty; 0]\), monoton steigend auf \([0; \infty)\). Für \(k > 0\): Monoton fallend auf \((-\infty; -\sqrt{k}]\) und \([0; \sqrt{k}]\); monoton steigend auf \([-\sqrt{k}; 0]\) und \([\sqrt{k}; \infty)\).

- Untersuche die zweite Ableitung der Funktion, um die Wendestelle zu finden. - Was sagt das Vorzeichen der dritten Ableitung über die Art des Krümmungswechsels aus? - Wann hat eine quadratische Gleichung keine oder nur eine einzige Lösung? Nutze die Diskriminante. - Überlege dir, wie sich der Graph der Kosten verhalten würde, wenn es ein Maximum gäbe – wäre das sinnvoll?

1. Es werden die ersten drei Ableitungen gebildet: \(K'(x) = 0{,}3x^2 - 3x + c\), \(K''(x) = 0{,}6x - 3\) und \(K'''(x) = 0{,}6\). Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle \(K''(x) = 0\) führt auf \(0{,}6x - 3 = 0\), woraus \(x = 5\) folgt. Da \(K'''(5) = 0{,}6 > 0\) ist, liegt unabhängig von \(c\) eine Wendestelle vor. Da die zweite Ableitung für \(x < 5\) negativ und für \(x > 5\) positiv ist, findet ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linkskrümmung statt. 2. Lokale Extremstellen liegen vor, wenn \(K'(x) = 0\) einen Vorzeichenwechsel aufweist. Keine Extremstellen existieren, wenn die quadratische Gleichung \(0{,}3x^2 - 3x + c = 0\) höchstens eine Lösung hat (Sattelpunkt bei einer Lösung). Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 0{,}3 \cdot c = 9 - 1{,}2c \le 0\) ist. Auflösen nach \(c\) ergibt \(1{,}2c \ge 9\), also \(c \ge 7{,}5\). 3. Ökonomisch bedeutet das Fehlen von Extremstellen bei einer monoton steigenden Kostenfunktion, dass die Gesamtkosten mit zunehmender Produktionsmenge \(x\) immer weiter ansteigen. Es gibt keinen Bereich, in dem eine Erhöhung der Produktion zu sinkenden Gesamtkosten führen würde, was für Kostenverläufe in der Produktionstheorie konsistent ist.

a) Die Wendestelle liegt bei \(x = 5\). Da \(K'''(5) = 0{,}6 > 0\), liegt ein Krümmungswechsel von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt vor. b) Die Funktion besitzt für \(c \ge 7{,}5\) keine lokalen Extremstellen. c) Ökonomisch bedeutet dies, dass die Gesamtkosten mit steigender Produktionsmenge niemals abnehmen, was einem realistischen Kostenverlauf entspricht.

- Welche Koordinaten hat der Extrempunkt in Abhängigkeit vom Parameter? - Wie kannst du den Parameter zwischen \(x\)- und \(y\)-Koordinate eliminieren? - Welches Vorzeichen von \(a\) liefert bei der Parabel ein Maximum? - Was passiert mit dem Relationszeichen, wenn du eine Ungleichung mit einem negativen Parameter multiplizierst?

1. Aus \(f_a'(x)=2ax-4=0\) folgt \(x=\frac{2}{a}\). Der zugehörige Funktionswert ist \(y=a-\frac{4}{a}\). 2. Aus \(x=\frac{2}{a}\) folgt \(a=\frac{2}{x}\). Einsetzen ergibt \(y=\frac{2}{x}-2x\); wegen \(a\neq0\) gilt \(x\neq0\). 3. Es ist \(f_a''(x)=2a\). Daher liegt genau für \(a<0\) ein Maximum vor. 4. Zusätzlich soll \(a-\frac{4}{a}<0\) gelten. Unter \(a<0\) kehrt sich beim Multiplizieren mit \(a\) das Relationszeichen um, sodass \(a^2-4>0\) folgt. Zusammen mit \(a<0\) ergibt sich \(a<-2\).

a) \(y=\frac{2}{x}-2x\) für \(x\neq0\) b) \(a<-2\)

- Wie lautet die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes? - Denke daran, dass der Parameter wie eine Zahl behandelt wird, sein Vorzeichen aber das Ergebnis der zweiten Ableitung beeinflussen kann. - Was passiert mit den beiden potenziellen Extremstellen, wenn der Parameter Null ist? - Zur Bestimmung der \(y\)-Koordinaten musst du die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen.

1. Ableitungen bilden: \(f_k'(x) = 3x^2 - 12kx + 9k^2\) und \(f_k''(x) = 6x - 12k\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(f_k'(x) = 0 \implies 3(x^2 - 4kx + 3k^2) = 0 \implies (x-k)(x-3k) = 0\). Die kritischen Stellen sind \(x_1 = k\) und \(x_2 = 3k\). 3. Untersuchung der Extrema: - Für \(k > 0\): \(f_k''(k) = -6k < 0 \implies H(k \mid 4k^3)\); \(f_k''(3k) = 6k > 0 \implies T(3k \mid 0)\). - Für \(k < 0\): \(f_k''(k) = -6k > 0 \implies T(k \mid 4k^3)\); \(f_k''(3k) = 6k < 0 \implies H(3k \mid 0)\). - Für \(k = 0\): \(f_0(x) = x^3\) hat bei \(x = 0\) einen Sattelpunkt \(S(0 \mid 0)\), keine lokalen Extrema. 4. Wendepunkt bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \implies 6x - 12k = 0 \implies x = 2k\). Da \(f_k'''(x) = 6 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f_k(2k) = (2k)^3 - 6k(2k)^2 + 9k^2(2k) = 2k^3\). Koordinaten: \(W(2k \mid 2k^3)\).

Für \(k > 0\): Hochpunkt \(H(k \mid 4k^3)\), Tiefpunkt \(T(3k \mid 0)\). Für \(k < 0\): Tiefpunkt \(T(k \mid 4k^3)\), Hochpunkt \(H(3k \mid 0)\). Für \(k = 0\): Kein lokales Extremum (Sattelpunkt bei \((0 \mid 0)\)). Wendepunkt allgemein: \(W(2k \mid 2k^3)\).

- Berechne zuerst die ersten drei Ableitungen der Funktion. - Achte beim Lösen der Gleichung für die Extremstellen darauf, alle Lösungen in Abhängigkeit von \(a\) zu finden. - Wann fallen zwei potenzielle Extremstellen zu einer einzigen Stelle zusammen? - Überprüfe mit der zweiten Ableitung, wie der Parameter \(a\) die Krümmung an den Stellen beeinflusst.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_a'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 3ax\), \(g_a''(x) = 3x - 3a\), \(g_a'''(x) = 3\). 2. Extremstellen berechnen: \(g_a'(x) = 0 \implies \frac{3}{2}x(x - 2a) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 2a\). 3. Art der Extrema (\(a \neq 0\)): - \(g_a''(0) = -3a\). Für \(a > 0\) ist \(-3a < 0\) (Hochpunkt), für \(a < 0\) ist \(-3a > 0\) (Tiefpunkt). - \(g_a''(2a) = 3a\). Für \(a > 0\) ist \(3a > 0\) (Tiefpunkt), für \(a < 0\) ist \(3a < 0\) (Hochpunkt). 4. Koordinaten der Punkte: \(P_1(0 \mid 2)\), \(P_2(2a \mid 2 - 2a^3)\). 5. Sonderfall \(a = 0\): Hier ist \(x_1 = x_2 = 0\). Da \(g_0''(0) = 0\) und \(g_0'''(0) = 3 \neq 0\), liegt ein Sattelpunkt bei \(S(0 \mid 2)\) vor. 6. Wendepunkt: \(g_a''(x) = 0 \implies x = a\). Funktionswert: \(g_a(a) = \frac{1}{2}a^3 - \frac{3}{2}a^3 + 2 = 2 - a^3\). Wendepunkt \(W(a \mid 2 - a^3)\).

Für \(a > 0\): Hochpunkt \(H(0 \mid 2)\) und Tiefpunkt \(T(2a \mid 2 - 2a^3)\). Für \(a < 0\): Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\) und Hochpunkt \(H(2a \mid 2 - 2a^3)\). Der Punkt auf der \(y\)-Achse \((0 \mid 2)\) ist somit für \(a > 0\) ein Hochpunkt. Für \(a = 0\) liegt ein Sattelpunkt bei \((0 \mid 2)\) vor; es gibt keinen lokalen Extrempunkt. Wendepunkt: \(W(a \mid 2 - a^3)\).

- Welche Symmetriebedingung kannst du direkt am Funktionsterm prüfen? - Welche Ableitungsregel brauchst du für den gebrochen-rationalen Term? - Wie beeinflusst das Vorzeichen von \(k\) die Art der beiden Extrempunkte? - Wie helfen Extremwerte und Grenzverhalten bei der Wertemenge?

1. Es gilt \(f_k(-x)=-f_k(x)\). Daher ist jeder Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f_k'(x)=\frac{k(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\). Die stationären Stellen sind \(x=\pm2\). Es gilt \(f_k(-2)=-\frac{k}{4}\) und \(f_k(2)=\frac{k}{4}\). Für \(k>0\) ist der linke Punkt ein Tiefpunkt und der rechte ein Hochpunkt; für \(k<0\) vertauschen sich die Rollen. 3. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f_k(x)\to0\). 4. Die Extremwerte begrenzen die Funktionswerte, daher ist \(W_{f_k}=\left[-\frac{|k|}{4};\frac{|k|}{4}\right]\).

1. Punktsymmetrisch zum Ursprung 2. Extrempunkte bei \(\left(-2\mid-\frac{k}{4}\right)\) und \(\left(2\mid\frac{k}{4}\right)\), deren Art vom Vorzeichen von \(k\) abhängt 3. \(\lim_{x\to\pm\infty}f_k(x)=0\) 4. \(W_{f_k}=\left[-\frac{|k|}{4};\frac{|k|}{4}\right]\)

- Welche Symmetrie erkennst du am Auftreten nur gerader Potenzen von \(x\)? - Welche Ableitungsregel brauchst du für den gebrochen-rationalen Term? - Welche besondere Rolle spielt der Parameterwert \(k=-4\)? - Wie entscheidet das Vorzeichen von \(h_k''(0)\) über die Art des isolierten Extrempunkts?

1. Wegen \(h_k(-x)=h_k(x)\) sind alle Graphen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Mit der Quotientenregel folgt \(h_k'(x)=\frac{-2x(k+4)}{(x^2-4)^2}\). 3. Für \(k=-4\) gilt \(h_{-4}(x)=1\) auf dem Definitionsbereich; daher gibt es keine isolierten Extrempunkte. 4. Für \(k\neq-4\) ist \(x=0\) die einzige stationäre Stelle. Es gilt \(h_k(0)=-\frac{k}{4}\) und \(h_k''(0)=-\frac{k+4}{8}\). 5. Für \(k>-4\) liegt daher ein Hochpunkt \(H\left(0\mid-\frac{k}{4}\right)\) vor; für \(k<-4\) ein Tiefpunkt \(T\left(0\mid-\frac{k}{4}\right)\).

a) Für alle \(k\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) Für \(k>-4\): \(H\left(0 \mid -\frac{k}{4}\right)\); für \(k<-4\): \(T\left(0 \mid -\frac{k}{4}\right)\); für \(k=-4\): keine isolierten Extrempunkte.

- Welche Ableitungsregel brauchst du für die Funktionenschar? - Wann wird der Zähler der Ableitung von einer quadratischen zu einer linearen Funktion? - Was sagt die Diskriminante über die Zahl der Nullstellen des Ableitungszählers aus? - Warum führen zwei einfache Nullstellen des Ableitungszählers hier tatsächlich zu zwei Extremstellen?

1. Mit der Quotientenregel folgt \(g_{a,b}'(x)=\frac{-ax^2+2(1-b)x+a}{(x^2+1)^2}\). 2. Für \(a=0\) wird der Zähler der Ableitung zu \(2(1-b)x\). Ist \(b\neq1\), gibt es genau eine einfache Nullstelle bei \(x=0\), also genau ein lokales Extremum. 3. Für \(a\neq0\) ist der Zähler quadratisch. Die Diskriminante lautet \(D=4(1-b)^2+4a^2\). 4. Wegen \(a\neq0\) gilt \(D>0\) für jedes \(b\). Daher besitzt der Zähler zwei verschiedene reelle Nullstellen. Da der Nenner der Ableitung stets positiv ist, wechselt \(g_{a,b}'\) an beiden Stellen das Vorzeichen; es existieren genau zwei Extremstellen.

a) Ja. Für \(a=0\) und \(b\neq1\) besitzt \(g_{a,b}\) genau ein lokales Extremum bei \(x=0\). b) Für \(a\neq0\) ist \(D=4(1-b)^2+4a^2>0\); daher besitzt \(g_{a,b}\) stets genau zwei Extremstellen.