- Betrachte zuerst den rechten und den linken Rand des Graphen getrennt. - Was geschieht mit \(x^3\) für sehr große positive beziehungsweise negative \(x\)-Werte? - Wie verändert der negative Faktor \(-0{,}2\) das Vorzeichen?

1. Für \(x\to+\infty\) gilt \(x^3\to+\infty\). Wegen des negativen Faktors \(-0{,}2\) werden die Funktionswerte beliebig stark negativ. Daher gilt \(f(x)\to-\infty\). 2. Für \(x\to-\infty\) gilt \(x^3\to-\infty\). Durch die Multiplikation mit \(-0{,}2\) werden die Funktionswerte beliebig groß positiv. Daher gilt \(f(x)\to+\infty\).

Für \(x\to+\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\).

- Betrachte nur das Verhalten für sehr große positive \(x\)-Werte. - Was geschieht dann mit dem Anteil \(\frac{1}{x}\)? - Welcher Summand bleibt schließlich als Grenzwert bestimmend?

1. Für immer größere positive \(x\)-Werte wird \(\frac{1}{x}\) immer kleiner und nähert sich \(0\). 2. Deshalb nähert sich \(f(x)=4+\frac{1}{x}\) dem Wert \(4\).

Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to4\).

- Suche nach einer Zahl, der die Funktionswerte immer näher kommen. - Vergleiche die Abstände der drei Werte von dieser vermuteten Zahl. - Entscheidend ist nicht, ob der Wert schon erreicht wird, sondern ob sich der Abstand verkleinert.

1. Die Funktionswerte \(2{,}1\), \(2{,}01\) und \(2{,}001\) liegen jeweils oberhalb von \(2\). 2. Der Abstand zu \(2\) wird mit wachsendem \(x\) immer kleiner: \(0{,}1\), \(0{,}01\), \(0{,}001\). 3. Daher macht die Tabelle den Grenzwert \(2\) plausibel.

\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=2\)

- Überlege bei jedem Term, welcher Bestandteil für große positive \(x\) den Verlauf bestimmt. - Was bedeutet die dauerhafte Periodizität der Sinusfunktion für die Existenz eines Grenzwerts? - Kannst du den Term C als Konstante plus einen Kehrwertterm schreiben? - Wie verhält sich eine bekannte Exponentialfunktion mit Basis größer als \(1\) für wachsende \(x\)?

1. Bei \(f(x)=10-x^2\) dominiert für große positive \(x\) der Term \(-x^2\). Daher gilt \(f(x)\to-\infty\). Das ist Beschreibung (3). 2. \(g(x)=2\sin(x)+1\) schwankt dauerhaft zwischen \(-1\) und \(3\). Es existiert weder ein endlicher noch ein uneigentlicher Grenzwert. Das ist Beschreibung (4). 3. Es gilt \(h(x)=5+\frac{2}{x}\). Da \(\frac{2}{x}\to 0\), folgt \(h(x)\to 5\). Das ist Beschreibung (1). 4. Die Exponentialfunktion \(k(x)=2^x\) wächst für \(x\to\infty\) unbegrenzt. Daher gilt \(k(x)\to+\infty\). Das ist Beschreibung (2).

A: (3), B: (4), C: (1), D: (2)

- Welcher Term entscheidet bei einer ganzrationalen Funktion über das Verhalten für große Beträge von \(x\)? - Was geschieht mit einer geraden Potenz für sehr große negative \(x\)-Werte? - Welche Wirkung hat das Vorzeichen des Leitkoeffizienten auf beide Graphenenden?

1. Das Globalverhalten wird durch das Leitglied \(-0{,}5x^4\) bestimmt. 2. Für \(x\to+\infty\) gilt \(x^4\to+\infty\). Wegen des negativen Leitkoeffizienten folgt \(g(x)\to-\infty\). 3. Für \(x\to-\infty\) gilt wegen des geraden Exponenten ebenfalls \(x^4\to+\infty\). Daher folgt auch hier \(g(x)\to-\infty\). 4. Die Funktion konvergiert in keiner der beiden Richtungen gegen eine reelle Zahl, sondern ist jeweils bestimmt divergent gegen \(-\infty\).

\(\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\). In beiden Richtungen liegt bestimmte Divergenz vor.

- Untersuche jeden Funktionsterm getrennt für sehr große positive und sehr große negative \(x\)-Werte. - Kannst du den Bruch in b) so umformen, dass der konstante Anteil sichtbar wird? - Vergleiche das Verhalten von Exponentialfunktionen mit einer Basis größer als \(1\) und mit einer Basis zwischen \(0\) und \(1\).

1. Für \(f\) gilt \(\frac{4}{x^2}\to0\) sowohl für \(x\to+\infty\) als auch für \(x\to-\infty\). Daher ist der Grenzwert jeweils \(5\). 2. Es ist \(g(x)=3+\frac{2}{4^x}\). Für \(x\to+\infty\) gilt \(4^x\to+\infty\) und damit \(\frac{2}{4^x}\to0\), also \(g(x)\to3\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(4^x\to0^+\), daher \(\frac{2}{4^x}\to+\infty\) und somit \(g(x)\to+\infty\). 3. Für \(h\) gilt \(0{,}5^x\to0\) für \(x\to+\infty\), also \(h(x)\to-2\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(0{,}5^x\to+\infty\), daher \(h(x)\to+\infty\).

a) \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=5\); \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=5\) b) \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=3\); \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty\) c) \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=-2\); \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=+\infty\)

- Welche bekannten Grundfunktionen nähern sich für große positive oder negative \(x\) der \(0\) an? - Bei Teil 3): Welcher Potenzterm bestimmt für große positive \(x\) das Vorzeichen und die Größenordnung? - Prüfe bei Teil 4), ob sich der Term vor der Grenzwertbetrachtung vereinfachen lässt. - Unterscheide einen endlichen Grenzwert von einem unbegrenzten Wachstum oder Fallen.

1. Für \(x\to\infty\) gilt \(\frac{2}{x}\to 0\). Daher ist \(3+\frac{2}{x}\to 3\). 2. Die Exponentialfunktion \(2^x\) nähert sich für \(x\to-\infty\) der \(0\) an. Daher ist der Grenzwert \(0\). 3. Es gilt \(x^2-x^3=x^3\left(\frac{1}{x}-1\right)\). Für große positive \(x\) ist der Faktor in der Klammer negativ und nähert sich \(-1\), während \(x^3\) unbegrenzt wächst. Daher strebt der Ausdruck gegen \(-\infty\). 4. Der Term vereinfacht sich zu \(x+\frac{1}{x}-x=\frac{1}{x}\). Daher ist der Grenzwert \(0\).

1) \(3\) 2) \(0\) 3) \(-\infty\) 4) \(0\)

- Welcher Term entscheidet bei einer ganzrationalen Funktion über das Globalverhalten? - Welche Rolle spielen die Parität des Grades und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten? - Vereinfache d) nur so weit, dass der Leitterm eindeutig sichtbar wird.

1. Bei \(f\) ist der Leitterm \(-4x^3\). Wegen des ungeraden Grades und des negativen Leitkoeffizienten gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\). 2. Bei \(g\) ist der Leitterm \(\frac{1}{4}x^4\). Wegen des geraden Grades und des positiven Leitkoeffizienten gilt in beiden Richtungen \(g(x)\to+\infty\). 3. Bei \(h\) ist der Leitterm \(-x^5\). Daher gilt \(h(x)\to-\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(h(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\). 4. Es ist \(k(x)=-x^4-x^2+2\), also ist der Leitterm \(-x^4\). Daher gilt in beiden Richtungen \(k(x)\to-\infty\).

a) \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\); \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\) b) \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\); \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty\) c) \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=-\infty\); \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=+\infty\) d) \(\lim_{x\to+\infty}k(x)=-\infty\); \(\lim_{x\to-\infty}k(x)=-\infty\)

- Vergleiche den sichtbaren Bereich mit der Bedeutung von \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\). - Kannst du den Funktionsterm als Konstante plus oder minus einen Bruch schreiben, der für große \(|x|\) klein wird? - Welche Höhe ergibt sich aus dem rechnerischen Grenzwert für die Asymptote?

1. Im sichtbaren Bereich nähert sich der Graph auf beiden Seiten ungefähr der Höhe \(2\). Ein endlicher Ausschnitt zeigt aber nur begrenzte \(x\)-Werte und beweist deshalb kein Verhalten für beliebig große \(|x|\). 2. Es gilt \(f(x)=2-\frac{5}{x^2+1}\). Für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) gilt \(\frac{5}{x^2+1}\to0\). 3. Daher gilt in beiden Richtungen \(f(x)\to2\). 4. Die waagerechte Asymptote lautet \(y=2\).

a) Der Ausschnitt legt den Wert \(2\) nahe, beweist den Grenzwert aber nicht, weil er nur endliche \(x\)-Werte zeigt. b) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\) und \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=2\). c) \(y=2\).

- Betrachte getrennt, wohin der rechte und der linke Graphenast verlaufen. - Welche Richtung entspricht \(+\infty\), welche \(-\infty\)? - Was verrät der Verlauf des rechten Graphenastes über das Vorzeichen des Leitkoeffizienten?

1. Am rechten Rand verläuft der Graph nach unten. Daher gilt \(x\to+\infty\Rightarrow f(x)\to-\infty\). 2. Am linken Rand verläuft der Graph nach oben. Daher gilt \(x\to-\infty\Rightarrow f(x)\to+\infty\). 3. Die entgegengesetzten Richtungen zeigen zusätzlich einen ungeraden Grad an. Weil der rechte Ast nach unten verläuft, ist der Leitkoeffizient negativ, also \(a_n<0\).

\(x\to+\infty\Rightarrow f(x)\to-\infty\), \(x\to-\infty\Rightarrow f(x)\to+\infty\), und \(a_n<0\).

- Verfolge den Graphen gedanklich weit nach rechts und weit nach links. - Formuliere beide beobachteten Richtungen in Grenzwertschreibweise. - Wie hängt bei geradem Grad die gemeinsame Richtung beider Graphenenden mit dem Vorzeichen des Leitkoeffizienten zusammen?

1. Für \(x\to+\infty\) steigen die Funktionswerte unbegrenzt an, also gilt \(f(x)\to+\infty\). 2. Für \(x\to-\infty\) steigen die Funktionswerte ebenfalls unbegrenzt an, also gilt \(f(x)\to+\infty\). 3. Bei geradem Grad verlaufen beide Graphenenden gleichgerichtet. Da beide nach oben verlaufen, ist der Leitkoeffizient positiv.

\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\), und der Leitkoeffizient ist positiv.

- Welche \(x\)-Werte sind im Bild zu sehen? - Was bedeutet dagegen die Schreibweise \(x\to\infty\)? - Kann ein Graph außerhalb des sichtbaren Bereichs seinen bisherigen Verlauf ändern?

1. Im sichtbaren Intervall fällt der Graph und kommt der \(x\)-Achse näher. 2. Der Ausschnitt endet bei \(x=15\). Er zeigt daher nicht, was für beliebig große \(x\)-Werte passiert. 3. Ein Graph kann nach dem sichtbaren Bereich wieder steigen oder sich einem anderen Wert nähern. Ein endlicher Ausschnitt reicht deshalb nicht als Beweis für einen Grenzwert im Unendlichen. 4. Die Aussage von Lukas ist damit nicht sicher begründet.

Nein. Ein endlicher Graphenausschnitt zeigt nicht, wie sich die Funktion für beliebig große \(x\)-Werte verhält. Der Graph könnte außerhalb des sichtbaren Bereichs anders weiterlaufen.

- Was passiert mit einem Bruch, wenn die Zahl im Nenner immer größer wird? - Betrachte die einzelnen Bestandteile der Funktionsgleichung getrennt voneinander. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Grenzwert einer Funktion und ihrer waagerechten Asymptote.

1. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} \left(0{,}5 + \frac{4}{x+2}\right)\). 2. Da der Nenner \(x+2\) für \(x \to \infty\) gegen unendlich strebt, geht der Bruch \(\frac{4}{x+2}\) gegen \(0\). 3. Es ergibt sich: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0{,}5 + 0 = 0{,}5\). 4. Vergleich mit der Behauptung: Marie liegt falsch, da der Grenzwert \(0{,}5\) und nicht \(0\) ist. 5. Bestimmung der Asymptote: Eine waagerechte Asymptote liegt auf der Höhe des Grenzwerts. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}5\).

a) Marie hat unrecht, denn \(\lim_{x \to \infty} \left(0{,}5 + \frac{4}{x+2}\right) = 0{,}5\). b) Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}5\).

- Zähle die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt, und vergleiche sie mit den Nullstellen in den Formeln. - Überprüfe, ob der Graph für sehr große positive und negative x-Werte nach oben oder nach unten verläuft. - Achte darauf, ob der Graph an einer Nullstelle die Achse nur berührt (Extrempunkt auf der Achse) oder sie überquert.

1. Bestimmung der Nullstellen aus dem Graphen: Der Graph schneidet die x-Achse an den Stellen \(x = -3\), \(x = -1\), \(x = 1\) und \(x = 3\). Es handelt sich jeweils um einfache Nullstellen (Schnittpunkte). 2. Untersuchung des Globalverhaltens: Für \(x \to \pm \infty\) streben die Funktionswerte gegen \(+\infty\). Dies erfordert einen positiven Leitkoeffizienten. 3. Prüfung der Terme: - Term (1) hat die korrekten Nullstellen und einen positiven Leitkoeffizienten (\(0{,}1\)). Er ist somit korrekt. - Term (2) hat zwar die richtigen Nullstellen, aber einen negativen Leitkoeffizienten (\(-0{,}1\)). Dies würde bedeuten, dass der Graph für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) verläuft. - Term (3) hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = -3\) (Berührpunkt) und keine Nullstelle bei \(x = -1\). Dies widerspricht dem Verlauf des Graphen.

Term (1) ist korrekt. Term (2) ist falsch, da das Globalverhalten nicht zum Graphen passt (negativer Leitkoeffizient). Term (3) ist falsch, da die Nullstellen und deren Vielfachheiten nicht mit dem Graphen übereinstimmen.

- Bestimme zuerst \(f(0)\). - Was passiert mit \(2^x\), wenn \(x\) immer kleiner wird? - Vergleiche diese beiden Merkmale mit den vier Graphen.

1. Es ist \(f(0)=3-2^0=2\). Der gesuchte Graph schneidet die \(y\)-Achse also bei \(2\). Das trifft auf a) und d) zu. 2. Für \(x\to-\infty\) gilt \(2^x\to0\). Daher gilt \(f(x)\to3\). Die waagerechte Asymptote ist auf dieser Seite \(y=3\). 3. Graph a) nähert sich für negative \(x\)-Werte der Höhe \(3\); Graph d) tut dies für positive \(x\)-Werte. Daher passt nur a).

Graph a). Es gilt \(f(0)=2\), und für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to3\). Nur Graph a) besitzt beide Merkmale.

- Vergleiche bei beiden Graphen die Höhe der Ausschläge nach rechts. - Welche Schranke kennst du für \(|\sin(x)|\)? - Was geschieht mit \(\frac{1}{0{,}2x+1}\), wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Die Sinusfunktion \(f(x)=\sin(x)\) schwingt dauerhaft zwischen \(-1\) und \(1\). Ihre Ausschläge werden nicht kleiner, daher nähert sie sich keinem einzelnen Wert und besitzt für \(x\to\infty\) keinen Grenzwert. 2. Für \(g\) gilt \(|\sin(x)|\le1\). Deshalb ist der Abstand von \(g(x)\) zu \(0\) höchstens \(\frac{1}{0{,}2x+1}\). Dieser Wert wird für große \(x\) immer kleiner. 3. Daher nähert sich \(g(x)\) dem Wert \(0\); es gilt \(g(x)\to0\).

Die Funktion \(g\) besitzt den Grenzwert \(0\). Die Funktion \(f\) besitzt keinen Grenzwert, weil ihre Schwingung mit gleichbleibender Amplitude fortbesteht.

- Der Graph liegt hier immer oberhalb des Grenzwerts \(2\). Welcher Rand des Streifens ist daher entscheidend? - Übersetze die Bedingung „im Streifen“ in eine Ungleichung für \(f(x)\). - Achte darauf, dass die Randlinien bei einem offenen Streifen nicht dazugehören.

1. Der Graph liegt wegen \(\frac{2}{x}>0\) oberhalb von \(2\). Für den Streifen muss daher \(f(x)<2{,}5\) gelten. 2. Aus \(2+\frac{2}{x}<2{,}5\) folgt \(\frac{2}{x}<0{,}5\). 3. Für \(x>0\) ist dies äquivalent zu \(x>4\). 4. Bei \(x=4\) liegt der Graph genau auf dem Rand \(y=2{,}5\), der nicht zum offenen Streifen gehört. Für alle \(x>4\) liegt der Graph innerhalb des Streifens.

Für alle \(x>4\) liegt der Graph vollständig im Grenzwertstreifen \(1{,}5<y<2{,}5\).

- Betrachte zuerst nur den Bruchterm für sehr große positive und negative \(x\)-Werte. - Welche Rolle spielt der konstante Summand \(4\), wenn der Bruchterm immer kleiner wird? - Eine waagrechte Asymptote entspricht hier genau dem endlichen Grenzwert.

1. Für \(x\to\pm\infty\) wird der Betrag von \(x+1\) beliebig groß. Daher nähert sich \(-\frac{3}{x+1}\) dem Wert \(0\). 2. Somit nähert sich \(f(x)=-\frac{3}{x+1}+4\) auf beiden Seiten dem Wert \(4\). 3. Die waagrechte Asymptote lautet daher \(y=4\).

\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=4\) \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=4\) Waagrechte Asymptote: \(y=4\)

- Bestimme zuerst die Gleichung der waagerechten Asymptote. - Überlege dir, wie weit ein Funktionswert höchstens von der Asymptote entfernt sein darf, wenn der gesamte Streifen eine Breite von \( 0{,}2 \) hat. - Berechne für die gegebenen \( x \)-Werte jeweils den Betrag der Differenz zwischen dem Funktionswert und dem Wert der Asymptote. - Vergleiche diesen Abstand mit der halben Streifenbreite.

1. Die waagerechte Asymptote der Funktion \( f \) für \( x \to \infty \) ist \( y = 2 \). Ein Streifen der Breite \( 0{,}2 \) mit dieser Asymptote als Symmetrieachse umfasst alle Funktionswerte im Intervall \( ]2 - 0{,}1; 2 + 0{,}1[ \). Der Abstand eines Punktes auf dem Graphen zur Asymptote muss also kleiner als \( 0{,}1 \) sein, damit er innerhalb des Streifens liegt. 2. Für \( x = 15 \) gilt: \( |f(15) - 2| = \left| 2 + \frac{4}{15 - 5} - 2 \right| = \left| \frac{4}{10} \right| = 0{,}4 \). Da \( 0{,}4 > 0{,}1 \), liegt der Graph an der Stelle \( x = 15 \) außerhalb des Streifens. 3. Für \( x = 55 \) gilt: \( |f(55) - 2| = \left| 2 + \frac{4}{55 - 5} - 2 \right| = \left| \frac{4}{50} \right| = 0{,}08 \). Da \( 0{,}08 < 0{,}1 \), liegt der Graph an der Stelle \( x = 55 \) innerhalb des Streifens.

An der Stelle \( x = 15 \) liegt der Graph außerhalb des Streifens (Abstand \( 0{,}4 > 0{,}1 \)). An der Stelle \( x = 55 \) liegt der Graph innerhalb des Streifens (Abstand \( 0{,}08 < 0{,}1 \)).

- Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \( x \) sehr groß wird? Das hilft dir, die Asymptote zu finden. - Ein Streifen mit einer bestimmten Breite erstreckt sich von der Mittellinie aus gleich weit nach oben und unten. - Stelle eine Ungleichung für den Abstand zwischen Funktionswert und Asymptote auf. - Löse die Ungleichung nach \( x \) auf, um den Bereich zu bestimmen, in dem der Graph im Streifen verläuft.

1. Die waagerechte Asymptote liegt bei \( y = 5 \). Da die Streifenbreite \( 0{,}5 \) beträgt, liegt ein Punkt innerhalb des Streifens, wenn sein vertikaler Abstand zur Asymptote kleiner als \( 0{,}25 \) ist, also \( |g(x) - 5| < 0{,}25 \). 2. Untersuchung für \( x = 10 \): \( |g(10) - 5| = \left| \frac{10}{2 \cdot 10 + 1} \right| = \frac{10}{21} \approx 0{,}476 \). Da \( 0{,}476 > 0{,}25 \), liegt der Punkt außerhalb. 3. Untersuchung für \( x > 19{,}5 \): Der Abstand zur Asymptote ist \( d(x) = \frac{10}{2x + 1} \). Die Bedingung \( \frac{10}{2x + 1} < 0{,}25 \) führt auf \( 10 < 0{,}25(2x + 1) \), woraus \( 40 < 2x + 1 \) und somit \( 39 < 2x \) bzw. \( x > 19{,}5 \) folgt. Damit liegen alle Punkte mit \( x > 19{,}5 \) innerhalb des Streifens.

1. Da der Abstand \( |g(10) - 5| = \frac{10}{21} \approx 0{,}476 \) größer als die halbe Streifenbreite \( 0{,}25 \) ist, liegt der Punkt außerhalb. 2. Die Bedingung \( \frac{10}{2x + 1} < 0{,}25 \) ist für alle \( x > 19{,}5 \) erfüllt, sodass diese Punkte innerhalb des Streifens liegen.

- Was passiert mit dem Term \(3^{-x}\), wenn \(x\) immer größer wird? - Wie groß ist bei einer Streifenbreite von \(0{,}5\) der erlaubte Abstand von der Mittellinie? - Vergleiche die beiden Funktionswerte mit den offenen Randlinien des Streifens.

1. Für \(x\to+\infty\) gilt \(3^{-x}\to0\). Daher ist \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=4\), und die waagrechte Asymptote lautet \(y=4\). 2. Die halbe Streifenbreite beträgt \(0{,}25\). Der offene Streifen wird daher durch \(3{,}75<y<4{,}25\) beschrieben. 3. Es gilt \(f(3)=\frac{10}{27}+4\approx4{,}37\). Damit liegt der Graph bei \(x=3\) außerhalb des Streifens. 4. Es gilt \(f(4)=\frac{10}{81}+4\approx4{,}12\). Damit liegt der Graph bei \(x=4\) innerhalb des Streifens.

Die waagrechte Asymptote ist \(y=4\). Bei \(x=3\) liegt der Graph außerhalb des Streifens, denn \(f(3)\approx4{,}37\). Bei \(x=4\) liegt der Graph innerhalb des Streifens, denn \(f(4)\approx4{,}12\).

- Bestimme zuerst, gegen welchen Wert die Funktion für sehr große \( x \) strebt. - Wie groß ist die maximale Abweichung von der Symmetrieachse nach oben oder unten, wenn die Gesamtbreite des Streifens bekannt ist? - Berechne den Abstand der \( y \)-Koordinaten der Punkte \( P \) und \( Q \) von der waagrechten Asymptote. - Vergleiche diesen Abstand mit der halben Breite des Streifens.

1. Grenzwertbestimmung: Da \( 2^{2-x} = 2^2 \cdot 2^{-x} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^x \), gilt \( \lim_{x \to \infty} 2^{2-x} = 0 \). Der Grenzwert von \( g(x) \) ist somit \( 5 \). Die Asymptote ist \( y = 5 \). 2. Streifenbedingung: Der Streifen hat die Breite \( 0{,}1 \). Ein Punkt liegt im Streifen, wenn sein Abstand zur Asymptote kleiner als \( 0{,}05 \) ist, also \( |g(x) - 5| < 0{,}05 \). 3. Untersuchung von \( P \): \( g(6) = 5 - 2^{2-6} = 5 - 2^{-4} = 5 - 0{,}0625 = 4{,}9375 \). Der Abstand ist \( |4{,}9375 - 5| = 0{,}0625 \). Da \( 0{,}0625 > 0{,}05 \), liegt \( P \) außerhalb. 4. Untersuchung von \( Q \): \( g(8) = 5 - 2^{2-8} = 5 - 2^{-6} = 5 - 0{,}015625 = 4{,}984375 \). Der Abstand ist \( |4{,}984375 - 5| = 0{,}015625 \). Da \( 0{,}015625 < 0{,}05 \), liegt \( Q \) innerhalb.

Der Grenzwert ist \( 5 \). Für \( P(6 \mid 4{,}9375) \) ist der Abstand zur Asymptote \( 0{,}0625 > 0{,}05 \) (außerhalb). Für \( Q(8 \mid 4{,}984375) \) ist der Abstand zur Asymptote \( 0{,}015625 < 0{,}05 \) (innerhalb).

- Welche bekannte periodische Grundfunktion schwankt dauerhaft in einem festen Intervall, und wie kannst du dieses Intervall verschieben? - Welche einfache ganzrationale Funktion wächst für große positive \(x\) stärker als eine Gerade? - Für Teil c) kannst du eine bekannte Funktion, die gegen \(+\infty\) wächst, an der \(x\)-Achse spiegeln. - Kontrolliere am Ende, dass du tatsächlich drei verschiedene Funktionstypen verwendet hast.

1. Für a) eignet sich eine trigonometrische Funktion. Ein Beispiel ist \(f(x)=\sin(x)+3\); ihre Werte liegen genau zwischen \(2\) und \(4\). 2. Für b) kann eine ganzrationale Funktion höheren Grades gewählt werden, zum Beispiel \(g(x)=x^2\). Für \(x\to\infty\) gilt \(g(x)\to+\infty\), und das Wachstum ist stärker als bei jeder linearen Funktion. 3. Für c) kann als dritter Funktionstyp eine Exponentialfunktion gewählt werden. Zum Beispiel gilt für \(h(x)=-2^x\): \(h(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\).

a) Zum Beispiel \(f(x)=\sin(x)+3\). b) Zum Beispiel \(g(x)=x^2\). c) Zum Beispiel \(h(x)=-2^x\).

- Welchen Wert nimmt die Funktion für extrem große oder extrem kleine x-Werte an? - Wenn der Streifen eine Gesamtbreite hat, wie weit darf der Funktionswert dann maximal von der Asymptote nach oben oder unten abweichen? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, die den Abstand zwischen dem Funktionswert und dem Asymptotenwert beschreibt? - Beachte beim Lösen der Ungleichung, ob der Nenner positiv oder negativ ist.

1. Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem Grenzwert für \( x \to \pm\infty \). Da \( \frac{5}{x-3} \to 0 \), lautet die Gleichung \( y = 1 \). 2. Ein Streifen der Breite \( 0{,}2 \) um \( y = 1 \) umfasst den Bereich \( 1 - 0{,}1 < y < 1 + 0{,}1 \). Die Bedingung lautet also \( |f(x) - 1| < 0{,}1 \). 3. Einsetzen der Funktionsgleichung: \( |\frac{5}{x-3}| < 0{,}1 \). 4. Für \( x > 3 \) (rechter Ast) gilt: \( \frac{5}{x-3} < 0{,}1 \). Umformen ergibt \( 5 < 0{,}1 \cdot (x-3) \), also \( 50 < x - 3 \), woraus \( x > 53 \) folgt. Somit ist \( x_0 = 53 \). 5. Für \( x < 3 \) (linker Ast) gilt: \( \frac{5}{x-3} > -0{,}1 \). Da \( x-3 \) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen beim Multiplizieren: \( 5 < -0{,}1 \cdot (x-3) \), also \( -50 > x - 3 \), woraus \( x < -47 \) folgt. Somit ist \( x_1 = -47 \).

a) \( y = 1 \) b) \( x_0 = 53 \) (oder jeder größere Wert) c) \( x_1 = -47 \) (oder jeder kleinere Wert)

- Welche vertikale Verschiebung sorgt dafür, dass eine Funktion sich für große positive \(x\) dem Wert \(-2\) nähert? - Welche bekannte Kehrwertfunktion nähert sich für beide Richtungen dem Wert \(0\)? - Welche Exponentialfunktion mit Basis \(2\) nähert sich für \(x\to\infty\) dem Wert \(0\)? - Setze jeden deiner Terme gleich \(0\) und prüfe, ob sich die Gleichung mit bekannten Potenzen lösen lässt.

1. Eine mögliche Wahl ist \(f(x)=\frac{1}{x}-2\). Da \(\frac{1}{x}\to 0\) für \(x\to\infty\), gilt \(f(x)\to-2\). Auch für \(x\to-\infty\) gilt \(\frac{1}{x}\to 0\), also \(f(x)\to-2\). 2. Die Nullstelle von \(f\) folgt aus \(\frac{1}{x}-2=0\). Damit ist \(\frac{1}{x}=2\) und somit \(x=\frac{1}{2}\). 3. Eine mögliche Exponentialfunktion ist \(g(x)=2^{-x}-2\). Für \(x\to\infty\) gilt \(2^{-x}\to 0\), also \(g(x)\to-2\). Für \(x\to-\infty\) wächst \(2^{-x}\) unbegrenzt, daher gilt \(g(x)\to+\infty\). 4. Die Nullstelle von \(g\) folgt aus \(2^{-x}-2=0\). Wegen \(2=2^1\) gilt \(-x=1\), also \(x=-1\).

Eine mögliche Wahl ist \(f(x)=\frac{1}{x}-2\) mit \(f(x)\to-2\) für \(x\to-\infty\) und Nullstelle \(x=\frac{1}{2}\), sowie \(g(x)=2^{-x}-2\) mit \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\) und Nullstelle \(x=-1\).

- Suche zunächst nach besonders einfachen ganzrationalen Funktionen, deren beide Graphenenden nach oben verlaufen. - Wie kannst du bei gleicher Grundform durch eine Verschiebung die Anzahl der Nullstellen verändern? - Welche Kombination aus Gradparität und Vorzeichen des Leitkoeffizienten sorgt allgemein dafür, dass beide Graphenenden nach oben verlaufen?

1. Zu a) eignet sich zum Beispiel \(f(x)=x^2+1\). Es gilt \(f(x)\ge1\), also besitzt die Funktion keine Nullstelle, und für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\). 2. Zu b) eignet sich zum Beispiel \(g(x)=x^2-4\). Die Nullstellen sind \(x=-2\) und \(x=2\), und für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g(x)\to+\infty\). 3. Allgemein muss der Grad \(n\) gerade und der Leitkoeffizient \(a_n\) positiv sein. Dann bestimmt der führende Term \(a_nx^n\) auf beiden Seiten das Verhalten \(+\infty\).

a) Zum Beispiel \(f(x)=x^2+1\). b) Zum Beispiel \(g(x)=x^2-4\). c) \(n\) muss gerade und \(a_n>0\) sein.

- Überlege dir, ob jede untere Schranke einer Funktion gleichzeitig ihr tiefster Punkt oder ihr Grenzwert sein muss. - Kannst du eine Funktion finden, die zwar immer über der 2 bleibt und fällt, aber schon viel früher „anhält“ oder sich einem anderen Wert annähert? - Probiere, den Graphen einer solchen Funktion im Kopf zu skizzieren. - Unterscheide zwischen der Eigenschaft, beschränkt zu sein, und dem tatsächlichen Grenzwertverhalten.

1. Die Aussage wird als falsch identifiziert. 2. Es wird begründet, dass eine untere Schranke (hier \(y = 2\)) nicht zwangsläufig dem Grenzwert der Funktion entsprechen muss. Eine Funktion kann gegen einen größeren Wert als die Schranke konvergieren. 3. Als Gegenbeispiel dient eine Funktion wie \(f(x) = 3 + \frac{1}{x}\). Für alle \(x > 0\) gilt \(f(x) > 2\) und die Funktion ist streng monoton fallend, da der Term \(\frac{1}{x}\) abnimmt. 4. Der Grenzwert dieser Beispielfunktion ist jedoch \(\lim_{x \to \infty} (3 + \frac{1}{x}) = 3\), was ungleich 2 ist. Damit ist die allgemeine Behauptung widerlegt.

Die Aussage ist falsch. Eine Funktion kann streng monoton fallend und durch \(y = 2\) nach unten beschränkt sein, ohne dass 2 der Grenzwert sein muss. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = 3 + \frac{1}{x}\). Diese Funktion ist für \(x > 0\) streng monoton fallend und es gilt stets \(f(x) > 3 > 2\). Ihr Grenzwert für \(x \to \infty\) ist jedoch 3 und nicht 2.

- Kannst du den Bruch so umformen, dass eine Konstante und ein Kehrwertterm sichtbar werden? - Welches Vorzeichen hat der Kehrwertterm für \(x>0\)? - Unterscheide sorgfältig zwischen „eine obere Schranke sein“ und „der Wert sein, dem sich die Funktion annähert“.

1. Durch Umformen erhält man \(f(x)=4-\frac{5}{x+1}\). Für \(x\to\infty\) wird der Kehrwertterm \(\frac{5}{x+1}\) beliebig klein. Daher gilt \(L=4\). 2. Für \(x>0\) gilt \(x+1>0\) und damit \(\frac{5}{x+1}>0\). Also ist \(f(x)=4-\frac{5}{x+1}<4<5\). Somit sind alle Funktionswerte kleiner als \(5\). 3. Die Zahl \(5\) ist zwar eine obere Schranke, aber der tatsächliche Grenzwert ist \(4\). Aus „nach oben beschränkt“ folgt nicht, dass die angegebene Schranke selbst der Grenzwert sein muss.

1. \(\lim_{x\to\infty}f(x)=4\). 2. Für \(x>0\) gilt \(f(x)=4-\frac{5}{x+1}<4<5\). 3. Die Behauptung ist falsch: \(5\) ist nur eine obere Schranke; der Grenzwert ist \(4\).

- Welche Stelle ist wegen des Nenners aus der Definitionsmenge ausgeschlossen? - Welche Nullstellen besitzt die Sinusfunktion, und welche davon liegt hier nicht in der Definitionsmenge? - Wie groß kann \(|\sin(x)|\) höchstens werden? Nutze diese Information, um \(|f(x)|\) nach oben abzuschätzen. - Welche Bedingung an diese obere Schranke garantiert eine Abweichung von weniger als \(0{,}01\)?

1. Wegen des Nenners gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. Da \(\frac{5}{x}\neq0\) in der Definitionsmenge gilt, entstehen die Nullstellen durch \(\sin(x)=0\). Somit ist \(x_k=k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\). 3. Wegen \(|\sin(x)|\leq1\) gilt \(|f(x)|\leq\frac{5}{|x|}\). Für große positive \(x\) kann \(\frac{5}{x}\) beliebig klein gemacht werden. Daher gilt \(f(x)\to0\). 4. Für \(x>0\) genügt \(\frac{5}{x}<0{,}01\), also \(x>500\). Wählt man \(x_0=501\), dann gilt für jedes \(x\geq501\) die Abschätzung \(|f(x)|<0{,}01\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). b) \(x_k=k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\). c) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\), denn \(|f(x)|\leq\frac{5}{x}\) für \(x>0\) und \(\frac{5}{x}\to0\). d) Zum Beispiel \(x_0=501\). Für jedes \(x\geq501\) gilt \(|f(x)|<0{,}01\).

- Prüfe zuerst, für welchen Wert der Nenner null wird. - Welche Schranken gelten für \(\cos(x)\), und was folgt daraus für den Bruchterm? - Überlege, was mit \(\frac{\cos(x)}{x^2}\) passiert, wenn \(|x|\) sehr groß wird. - Für Teil d) reicht es, eine passende obere Schranke für \(|g(x)-L|\) zu finden.

1. Der Nenner \(x^2\) wird für \(x=0\) null. Daher ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. Für \(x\geq1\) gilt \(\left|\frac{\cos(x)}{x^2}\right|\leq\frac{1}{x^2}\leq1\). Also ist \(g(x)\geq2-1=1>0\). Damit besitzt \(g\) in \([1;\infty[\) keine Nullstelle. 3. Der Kosinus ist beschränkt und \(x^2\) wächst für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) unbegrenzt. Deshalb gilt in beiden Richtungen \(\frac{\cos(x)}{x^2}\to0\). Somit ist \(L=2\). 4. Gesucht ist \(|g(x)-2|<0{,}0025\). Wegen \(|g(x)-2|\leq\frac{1}{x^2}\) genügt \(\frac{1}{x^2}<0{,}0025\). Das ist für \(x>20\) erfüllt. Ein möglicher Wert ist daher \(x_0=20\).

a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). b) Für \(x\geq1\) gilt \(g(x)\geq1>0\); dort gibt es keine Nullstellen. c) \(L=2\) für \(x\to\infty\) und für \(x\to-\infty\). d) Zum Beispiel \(x_0=20\), denn für \(x>20\) gilt \(|g(x)-2|\leq\frac{1}{x^2}<0{,}0025\).

- Überlege dir, wie sich der Funktionswert verhält, wenn die Basis der Potenz zwischen 0 und 1 liegt. - Was passiert mit dem Term \(b^x\), wenn \(x\) immer größer wird? - Ein Streifen, der symmetrisch zu einer Achse liegt, erstreckt sich nach oben und unten jeweils um die halbe Breite. - Um eine Ungleichung der Form \(a^x < b\) nach \(x\) aufzulösen, ist der Logarithmus ein hilfreiches Werkzeug. Achte dabei auf das Relationszeichen beim Dividieren durch negative Werte.

1. Monotonie: Wegen der Basis \(0{,}8 < 1\) ist die Exponentialfunktion \(x \mapsto 0{,}8^x\) streng monoton fallend. Da der Vorfaktor \(10 > 0\) ist, ist auch \(f\) streng monoton fallend. 2. Asymptote: Für \(x \to \infty\) gilt \(0{,}8^x \to 0\), daraus folgt \(f(x) \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Schwellenwert \(x_1\): Der Streifen der Breite \(0{,}1\) um \(y=0\) entspricht dem Bereich \(-0{,}05 < f(x) < 0{,}05\). Da \(f(x) > 0\), ist \(10 \cdot 0{,}8^x < 0{,}05\) zu lösen. \(0{,}8^x < 0{,}005 \implies x\ln(0{,}8) < \ln(0{,}005) \implies x > \frac{\ln(0{,}005)}{\ln(0{,}8)}\). Daher ist der kleinstmögliche Schwellenwert \(x_1=\frac{\ln(0{,}005)}{\ln(0{,}8)}\approx23{,}744\). 4. Schmalerer Streifen: Breite \(0{,}01\) bedeutet \(f(x) < 0{,}005\). \(10 \cdot 0{,}8^x < 0{,}005 \implies 0{,}8^x < 0{,}0005 \implies x > \frac{\ln(0{,}0005)}{\ln(0{,}8)}\approx34{,}063\). 5. Vergleich: \(2x_1\approx47{,}488\). Da \(47{,}488>34{,}063\), verläuft der Graph für \(x>2x_1\) tatsächlich innerhalb des schmaleren Streifens.

a) \(f\) ist streng monoton fallend; waagerechte Asymptote \(y = 0\). b) \(x_1=\frac{\ln(0{,}005)}{\ln(0{,}8)}\approx23{,}744\). c) Ja. Für den schmaleren Streifen genügt \(x>\frac{\ln(0{,}0005)}{\ln(0{,}8)}\approx34{,}063\), während \(2x_1\approx47{,}488\) gilt.

- Kannst du den Bruch so umschreiben, dass \(x\) im ersten Teil gekürzt werden kann? - Welche Werte kann der Kosinus maximal und minimal annehmen? - Was passiert mit einem Bruch, dessen Zähler immer zwischen festen Werten schwankt, während der Nenner immer größer wird?

1. Zerlegung des Funktionsterms: Der Bruch kann in zwei Summanden aufgeteilt werden: \(g(x) = \frac{3x}{x} + \frac{\cos(x^2)}{x} = 3 + \frac{\cos(x^2)}{x}\). 2. Analyse des zweiten Summanden für \(x \to \infty\): Die Kosinusfunktion ist beschränkt, es gilt \(-1 \leq \cos(x^2) \leq 1\). 3. Anwendung des Grenzwertverhaltens: Da der Zähler \(\cos(x^2)\) beschränkt bleibt und der Nenner \(x\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\cos(x^2)}{x} = 0\). 4. Berechnung des Gesamtgrenzwerts: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} (3 + \frac{\cos(x^2)}{x}) = 3 + 0 = 3\).

Für \(x \to \infty\) strebt die Funktion gegen den Grenzwert \(3\), also \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 3\).

- Vergleiche für die Symmetrie die Terme \(g(-x)\) und \(g(x)\). - Für den höchsten Punkt kannst du zunächst untersuchen, wann der Exponent \(-x^2+1\) am größten ist. - Betrachte für das Grenzverhalten zuerst, was mit dem Exponenten für sehr große positive und negative \(x\)-Werte geschieht.

1. Es gilt \(g(-x)=2^{-(-x)^2+1}=2^{-x^2+1}=g(x)\). Daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Da die Basis \(2>1\) ist, wird \(g(x)\) genau dann maximal, wenn der Exponent \(-x^2+1\) maximal ist. Das ist bei \(x=0\) der Fall. Mit \(g(0)=2\) ist der höchste Punkt \(H(0\mid2)\). 3. Für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) gilt \(-x^2+1\to-\infty\). Daher gilt in beiden Richtungen \(g(x)\to0\). 4. Somit ist die \(x\)-Achse, also \(y=0\), eine waagerechte Asymptote des Graphen für \(x\to\pm\infty\).

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(H(0\mid2)\) c) Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g(x)\to0\); die \(x\)-Achse ist eine waagerechte Asymptote.

- Vergleiche zunächst nur die Richtungen der beiden Graphenenden. - Welches Vorzeichen muss der führende Term für sehr große positive \(x\)-Werte haben? - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse wird durch \(f(0)\) bestimmt. - Was bewirkt ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm für alle Funktionswerte?

1. Da die beiden Graphenenden in entgegengesetzte Richtungen verlaufen, muss der Grad \(n\) ungerade sein. 2. Für \(x\to+\infty\) soll \(f(x)\to-\infty\) gelten. Deshalb muss der Leitkoeffizient negativ sein, also \(a_n<0\). 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt \(5\) verlangt \(f(0)=5\). Eine mögliche Funktion ist daher \(f(x)=-x^3+5\). 4. Bei \(g(x)=-f(x)\) werden alle Funktionswerte an der \(x\)-Achse gespiegelt. Daher gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\).

a) \(n\) muss ungerade sein. b) \(a_n<0\). c) Zum Beispiel \(f(x)=-x^3+5\). d) \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).

- Welche Exponentenstruktur lässt auf Achsen- oder Punktsymmetrie schließen? - Welcher Term bestimmt bei großen Beträgen von \(x\) das Globalverhalten? - Berücksichtige dabei sowohl die Parität des höchsten Exponenten als auch das Vorzeichen seines Koeffizienten.

1. Bei \(f\) kommen nur gerade Exponenten vor, daher gilt \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der Leitterm \(-x^4\) liefert in beiden Richtungen den Grenzwert \(-\infty\). 2. Bei \(g\) kommen nur ungerade Exponenten vor, daher gilt \(g(-x)=-g(x)\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Leitterm \(0{,}5x^5\) liefert \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 3. Bei \(h\) kommen gerade und ungerade Exponenten vor; weder \(h(-x)=h(x)\) noch \(h(-x)=-h(x)\) gilt. Der Leitterm \(-x^3\) liefert \(h(x)\to-\infty\) für \(x\to+\infty\) und \(h(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\).

a) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty\). b) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\), \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\). c) Keine der beiden Symmetrien; \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=+\infty\).

- Welcher Summand einer ganzrationalen Funktion entscheidet über das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte? - Prüfe das Vorzeichen dieses Leitterms für große positive \(x\). - Kann ein endliches Sichtfenster sicher zeigen, was für beliebig große \(x\)-Werte geschieht?

1. Für das Globalverhalten ist der Leitterm \(-0{,}01x^4\) entscheidend. Für \(x\to+\infty\) gilt \(x^4\to+\infty\), also \(-0{,}01x^4\to-\infty\). Damit ist \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\); Emmas Aussage ist falsch. 2. Durch \(f(x)=-0{,}01(x^2-25)^2+8{,}25\) erkennt man, dass im dargestellten Fenster bei \(x=-5\) und \(x=5\) Hochpunkte liegen. Das Sichtfenster endet genau dort. Für \(|x|>5\) fällt der Graph wieder, was in der Abbildung nicht sichtbar ist.

Emmas Aussage ist falsch. Es gilt \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\). Der Graphenausschnitt endet bei Hochpunkten und zeigt deshalb das anschließende Fallen des Graphen nicht.

- Vergleiche \(h(x)\) direkt mit \(g(x)\), indem du die Differenz der beiden Terme bildest. - Für das Globalverhalten musst du den Sinus nicht genau kennen; seine Werte bleiben immer in einem festen Intervall. - Begrenze \(h(x)\) nach oben und unten durch zwei lineare Terme. - Überlege für c), was mit den Funktionswerten einer stetigen Funktion passiert, wenn sich derselbe Graphabschnitt immer wiederholt.

1. Für jedes \(x\) gilt \(h(x)-g(x)=\sin(x)\). Daher schwankt der Graph von \(h\) um die Gerade \(g\), und der vertikale Abstand beträgt höchstens \(1\). 2. Aus \(-1\le\sin(x)\le1\) folgt \(0{,}5x-1\le h(x)\le0{,}5x+1\). Beide Randterme wachsen für \(x\to+\infty\) unbegrenzt. Daher gilt \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\). Für \(x\to-\infty\) gehen beide Randterme gegen \(-\infty\), also gilt \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\). 3. Eine stetige periodische Funktion wiederholt auf jedem Periodenintervall dieselben Funktionswerte und ist deshalb beschränkt. Da \(h\) nach oben und unten unbeschränkt ist, kann \(h\) nicht periodisch sein.

a) \(h\) schwankt im vertikalen Abstand von höchstens \(1\) um die Gerade \(g(x)=0{,}5x\). b) \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\). c) \(h\) ist nicht periodisch, weil ihr Globalverhalten unbeschränkt ist.

- Welcher Teil des Funktionsterms hat bei sehr großen Werten für \(x\) den größten Einfluss? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Überlege, wie sich eine Potenzfunktion mit positivem Koeffizienten und geradem Exponenten im Unendlichen verhält. - Kann man das Verhalten einer Funktion für alle Zeiten allein durch das Betrachten eines kleinen Ausschnitts des Graphen sicher bestimmen?

1. Analyse des Funktionsterms: Die Funktion besteht aus einer Konstanten (8), einer rationalen Komponente (\(-\frac{40}{x^2 + 5}\)) und einer Potenzfunktion (\(0{,}00001x^4\)). 2. Untersuchung des Grenzwerts der rationalen Komponente: Für \(x \to \infty\) strebt der Nenner \(x^2 + 5\) gegen Unendlich, sodass der Bruch \(\frac{40}{x^2 + 5}\) gegen \(0\) strebt. 3. Untersuchung der Potenzfunktion: Da der Exponent \(4\) positiv ist und der Koeffizient \(0{,}00001 > 0\) ist, strebt der Term \(0{,}00001x^4\) für \(x \to \infty\) gegen \(+\infty\). 4. Gesamtergebnis: Da die Potenzfunktion mit der höchsten Ordnung das langfristige Verhalten dominiert, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\). 5. Beurteilung: Leons Aussage ist falsch. Die optische Annäherung an den Wert 8 im gewählten Ausschnitt ist irreführend, da der Einfluss des \(x^4\)-Terms bei diesen Werten noch sehr klein ist, langfristig aber jede Schranke übersteigt.

Leons Aussage ist falsch. Zwar nähert sich der Term \(8 - \frac{40}{x^2 + 5}\) für größer werdende \(x\) dem Wert \(8\) an, da der Bruch gegen \(0\) strebt. Jedoch dominiert für sehr große \(x\) der Term \(0{,}00001x^4\), welcher gegen \(+\infty\) strebt. Somit gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\). Der scheinbare Grenzwert im Graph ist lediglich eine Folge des gewählten Sichtfensters, in dem der Einfluss der vierten Potenz noch nicht deutlich erkennbar ist.

- Welche \(x\)-Werte zeigt das Bild tatsächlich, und welche Werte sind mit \(x\to\infty\) gemeint? - Untersuche in b) die beiden Summanden getrennt. - Kannst du den Bruch so umformen, dass sein Verhalten für große \(x\) leichter zu erkennen ist? - Vergleiche danach, welcher Summand für sehr große \(x\) das Gesamtverhalten bestimmt.

1. Am rechten Rand fällt der Graph. Der Ausschnitt endet aber bei \(x=15\). Damit ist nicht gezeigt, was für beliebig große \(x\) passiert. 2. Der Bruch lässt sich als \(\frac{4x^2+50}{x^2+10}=4+\frac{10}{x^2+10}\) schreiben. Für \(x\to\infty\) gilt \(\frac{10}{x^2+10}\to0\), also nähert sich der Bruch dem Wert \(4\). 3. Gleichzeitig gilt \(-0{,}00005x^4\to-\infty\). Dieser Term bestimmt schließlich das Gesamtverhalten. 4. Daher gilt \(\lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty\). Das sichtbare Fallen passt dazu, beweist es aber nicht allein.

a) Am rechten Rand fällt der Graph. Der endliche Ausschnitt legt den Grenzwert für \(x\to\infty\) nicht fest. b) \(\lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty\).

- Was passiert mit \(k(x)\), wenn \(|x|\) sehr groß wird? Achte auf den Term mit der höchsten Potenz. - Vergleiche die Arten der höchsten und tiefsten Punkte von \(k\) und \(G_f\). - Prüfe zusätzlich das Verhalten bei \(x=0\).

1. Der Leitkoeffizient von \(k\) ist negativ und der Grad \(4\) ist gerade. Daher gilt \(k(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). Bei \(G_f\) verlaufen beide Enden dagegen nach oben. 2. Es gilt \(k(x)=2-(x^2-1)^2\). Daher besitzt \(k\) bei \(x=\pm1\) absolute Hochpunkte mit dem Wert \(2\). \(G_f\) besitzt dagegen absolute Tiefpunkte. 3. Es ist \(k(0)=1\) und zum Beispiel \(k(0{,}5)=1{,}4375>1\). Somit liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum. \(G_f\) hat dort einen lokalen Hochpunkt mit dem Wert \(-1\).

Drei mögliche Gründe: 1. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(k(x)\to-\infty\), während die Enden von \(G_f\) nach oben verlaufen. 2. \(k\) besitzt absolute Hochpunkte, \(G_f\) dagegen absolute Tiefpunkte. 3. Bei \(x=0\) hat \(k\) einen lokalen Tiefpunkt mit \(k(0)=1\); \(G_f\) hat dort einen lokalen Hochpunkt mit dem Wert \(-1\).

- Um welchen festen \(y\)-Wert schwingt der Graph im rechten Bereich? - Wie groß kann \(|\sin(x)|\) höchstens sein? - Nutze diese Schranke, um den Abstand von \(f(x)\) zum vermuteten Grenzwert abzuschätzen. - Was geschieht mit dieser Abstandsschranke, wenn \(x\) wächst?

1. Im Graphen erkennt man eine Oszillation um \(y=2\), deren Ausschläge mit wachsendem \(x\) immer kleiner werden. 2. Wegen \(|\sin(x)|\le 1\) gilt \(\left|\frac{8\sin(x)}{x}\right|\le\frac{8}{x}\) für \(x>0\). 3. Der Wert \(\frac{8}{x}\) kann für genügend große \(x\) beliebig klein gemacht werden. Damit liegt \(\frac{8\sin(x)}{x}\) schließlich in jedem noch so schmalen Streifen um \(0\). 4. Folglich nähert sich \(f(x)=2+\frac{8\sin(x)}{x}\) dem Wert \(2\). Es gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\), und die waagerechte Asymptote lautet \(y=2\).

\(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=2\). Entscheidend ist \(\left|\frac{8\sin(x)}{x}\right|\le\frac{8}{x}\), wobei die rechte Seite für große \(x\) beliebig klein wird.

- Wie groß ist der maximale Abstand von der Mittellinie bei einer Streifenbreite von \(0{,}01\)? - Formuliere die Bedingung „innerhalb des offenen Streifens“ als Ungleichung für den Abstand von \(g_a(x)\) zur Asymptote. - Untersuche anschließend, wie der gefundene Schwellenwert von \(a\) abhängt.

1. Die halbe Streifenbreite beträgt \(0{,}005\). Der offene Streifen wird daher durch \(1{,}995<y<2{,}005\) beschrieben. 2. Für \(x>0\) liegt \(g_a(x)\) oberhalb der Asymptote. Deshalb genügt die Bedingung \(g_a(x)-2<0{,}005\). 3. Damit gilt \(\frac{a}{x}<0{,}005\). 4. Da \(a>0\) und \(x>0\) sind, folgt \(x>\frac{a}{0{,}005}=200a\). 5. Somit kann \(x_{\text{start}}=200a\) gewählt werden. Der Wert ist direkt proportional zu \(a\): Wird \(a\) mit einem Faktor vervielfacht, vervielfacht sich auch \(x_{\text{start}}\) mit diesem Faktor.

\(x_{\text{start}}=200a\). Der Eintrittswert ist direkt proportional zu \(a\).

- Erinnere dich daran, gegen welchen Wert \(2^x\) strebt, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. - Der Abstand zwischen einem Funktionswert und der Asymptote \(y=c\) wird durch den Betrag \(|f(x) - c|\) beschrieben. - Nutze Logarithmengesetze, um die Unbekannte im Exponenten zu isolieren. - Überlege bei Teilaufgabe c), ob du die Rechnung für \(x_0\) mit dem neuen Wert einfach wiederholen kannst, um den Unterschied zu sehen.

1. Grenzwert: Für \(x \to -\infty\) gilt \(2^x \to 0\), also \(g(x) \to 4 - 3 \cdot 0 = 4\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 4\). 2. Bedingung für den Streifen: Der Abstand zur Asymptote muss kleiner als die halbe Breite sein: \(|g(x) - 4| < 0{,}01\). \(|4 - 3 \cdot 2^x - 4| < 0{,}01 \implies |-3 \cdot 2^x| < 0{,}01 \implies 3 \cdot 2^x < 0{,}01\). 3. Berechnung von \(x_0\): \(2^x < \frac{0{,}01}{3} \approx 0{,}00333\). \(x < \frac{\ln(0{,}01/3)}{\ln(2)} \approx -8{,}23\). Also \(x_0 \approx -8{,}23\). 4. Reduzierte Breite: \(w_{\text{neu}} = 0{,}005 \implies\) halbe Breite ist \(0{,}0025\). \(3 \cdot 2^x < 0{,}0025 \implies 2^x < \frac{0{,}0025}{3}\). \(x_{\text{neu}} < \frac{\ln(0{,}0025/3)}{\ln(2)} \approx -10{,}23\). 5. Differenz: \(x_{\text{neu}} - x_0 = -10{,}23 - (-8{,}23) = -2\). Der Schwellenwert verringert sich um \(2\).

a) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 4\); waagerechte Asymptote \(y = 4\). b) \(x_0 = \frac{\ln(0{,}01/3)}{\ln(2)} \approx -8{,}23\). c) Der Wert \(x_0\) verringert sich um genau \(2\) (da \(\log_2(1/4) = -2\)).

- Stelle dir für verschiedene Werte von \(k\) die waagrechte Gerade \(y=k\) vor und zähle ihre Schnittpunkte mit dem Graphen. - Untersuche die Grenzfälle an den beiden markanten Höhen \(-2\), \(0\) und \(2\) besonders sorgfältig. - Berücksichtige, dass sich der rechte Ast der Höhe \(0\) nur annähert und sie dort nicht erneut erreicht.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-3\) und \(x=0\). Daher besitzt \(g\) zwei Nullstellen. 2. Der tiefste dargestellte und zugleich globale Minimalwert ist \(-2\). Für \(-2<k\le0\) schneidet die Gerade \(y=k\) den Graphen zweimal. Auch für \(k=2\) gibt es genau zwei verschiedene Schnittpunkte: einen auf dem linken Ast und den Punkt \((2|2)\). 3. Für \(0<k<2\) gibt es drei Schnittpunkte: einen auf dem linken Ast, einen im mittleren Abschnitt und einen auf dem rechten Ast. 4. Für \(k<-2\) liegt die Gerade \(y=k\) vollständig unterhalb des Graphen, daher gibt es keine Lösung. Bei \(k=-2\) gibt es genau eine Lösung.

a) Zwei Nullstellen. b) \(k\in]-2;0]\cup\{2\}\). c) \(k\in]0;2[\). d) \(k<-2\).