Kostenlose Arbeitsblätter

- Welcher Term dominiert das Verhalten der Funktion für sehr große \(x\)-Werte? - Wie verhalten sich Terme mit \(x\) im Nenner, wenn \(x\) sehr groß wird? - Versuche, Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz zu teilen.

1. Den Term mit der höchsten Potenz im Nenner (\(x^2\)) ausklammern oder durch ihn dividieren: \(\frac{1 + \frac{4}{x}}{2 + \frac{3}{x^2}}\). 2. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): Die Terme \(\frac{4}{x}\) und \(\frac{3}{x^2}\) streben gegen \(0\). 3. Resultat: \(\frac{1 + 0}{2 + 0} = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Betrachte zuerst den rechten Rand des Graphen und das Vorzeichen des führenden Terms. - Was geschieht mit \(x^3\), wenn \(x\) sehr groß positiv bzw. sehr groß negativ wird? - Wie verändert der negative Faktor \(-0{,}2\) das Vorzeichen?

1. Für \(x\to\infty\) wächst \(x^3\) ohne Grenze. Wegen des negativen Faktors \(-0{,}2\) werden die Funktionswerte immer kleiner. Daher gilt \(f(x)\to-\infty\). 2. Für \(x\to-\infty\) wird \(x^3\) beliebig stark negativ. Durch die Multiplikation mit \(-0{,}2\) werden die Funktionswerte beliebig groß positiv. Daher gilt \(f(x)\to\infty\).

Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\).

- Betrachte nur das Verhalten für sehr große positive \(x\)-Werte. - Was geschieht dann mit dem Anteil \(\frac{1}{x}\)? - Welcher Summand bleibt schließlich als Grenzwert bestimmend?

1. Für immer größere positive \(x\)-Werte wird \(\frac{1}{x}\) immer kleiner und nähert sich \(0\). 2. Deshalb nähert sich \(f(x)=4+\frac{1}{x}\) dem Wert \(4\).

Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to4\).

- Multipliziere den Zähler aus, damit du die höchsten Potenzen vergleichen kannst. - Teile Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von \(x\). - Überlege, welche Bruchterme für \(x \to \infty\) verschwinden.

1. Zuerst multiplizieren wir den Zähler aus, um die Koeffizienten der Potenzen von \(x\) besser bestimmen zu können: \((2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4\). 2. Die Funktion lautet nun: \( f(x) = \frac{2x^2 + 7x - 4}{5x^2 - 3x} \). 3. Wir dividieren Zähler und Nenner durch die höchste Potenz \(x^2\): \( \frac{2 + \frac{7}{x} - \frac{4}{x^2}}{5 - \frac{3}{x}} \). 4. Im Unendlichen (\(x \to \infty\)) werden die Brüche mit \(x\) im Nenner zu \(0\): \( \frac{2 + 0 - 0}{5 - 0} = \frac{2}{5} \). 5. Das Ergebnis als Dezimalzahl ausgedrückt ist \(0{,}4\).

\(0{,}4\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Grad des Zählers und dem Grad des Nenners bei rationalen Funktionen. - Betrachte, welcher Teil des Bruches für sehr große \( x \)-Werte „stärker“ ist. - Wie lautet die mathematische Gleichung für eine Gerade, die genau auf der \( x \)-Achse liegt?

1. Identifikation der Grade von Zähler- und Nennerpolynom: Der Zähler ist konstant (Grad 0), das Nennerpolynom ist vom Grad 3. 2. Untersuchung des Nenners: Für \( x \to \pm\infty \) dominiert das Glied mit der höchsten Potenz (\( x^3 \)), wodurch der Betrag des Nenners \( |x^3 + 5x| \) über alle Grenzen wächst (Streben gegen \( \infty \) bzw. \( -\infty \)). 3. Da der Zähler konstant bei \( 10 \) bleibt und der Nenner betragsmäßig unendlich groß wird, streben die Funktionswerte gegen \( 0 \). 4. Schlussfolgerung für die Asymptote: Da der Grenzwert \( 0 \) ist, liegt eine waagerechte Asymptote auf der \( x \)-Achse vor.

Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \( y = 0 \).

- Überlege bei jedem Term, welcher Bestandteil für große positive \(x\) den Verlauf bestimmt. - Was bedeutet die dauerhafte Periodizität der Sinusfunktion für die Existenz eines Grenzwerts? - Kannst du den Term C als Konstante plus einen Kehrwertterm schreiben? - Wie verhält sich eine bekannte Exponentialfunktion mit Basis größer als \(1\) für wachsende \(x\)?

1. Bei \(f(x)=10-x^2\) dominiert für große positive \(x\) der Term \(-x^2\). Daher gilt \(f(x)\to-\infty\). Das ist Beschreibung (3). 2. \(g(x)=2\sin(x)+1\) schwankt dauerhaft zwischen \(-1\) und \(3\). Es existiert weder ein endlicher noch ein uneigentlicher Grenzwert. Das ist Beschreibung (4). 3. Es gilt \(h(x)=5+\frac{2}{x}\). Da \(\frac{2}{x}\to 0\), folgt \(h(x)\to 5\). Das ist Beschreibung (1). 4. Die Exponentialfunktion \(k(x)=2^x\) wächst für \(x\to\infty\) unbegrenzt. Daher gilt \(k(x)\to+\infty\). Das ist Beschreibung (2).

A: (3), B: (4), C: (1), D: (2)

- Denk an den einfachsten Typ einer ganzrationalen Funktion, die für sehr große und sehr kleine \(x\) in die gleiche Richtung strebt. - Wie wirkt sich eine Verschiebung in \(y\)-Richtung auf die Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse aus? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie mit einer geraden oder ungeraden Zahl potenziert? - Welche Rolle spielt die Zahl vor der höchsten Potenz für die Richtung des Graphen?

1. Zu a): Eine Parabel, die nach oben geöffnet ist und deren Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse liegt, erfüllt die Bedingung, z. B. \(f(x) = x^2 + 1\). Da \(x^2 \ge 0\), ist \(f(x) \ge 1\) für alle \(x\), somit gibt es keine Nullstellen. 2. Zu b): Eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse besitzt zwei Nullstellen, z. B. \(g(x) = x^2 - 4\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 3. Zu c): Damit eine ganzrationale Funktion für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\) strebt, muss der Grad \(n\) der höchsten Potenz gerade sein (damit das Vorzeichen von \(x\) für negative Werte positiv wird) und der Leitkoeffizient \(a_n\) muss positiv sein (\(a_n > 0\)).

a) Beispiel: \(f(x) = x^2 + 1\) b) Beispiel: \(g(x) = x^2 - 4\) c) Der Grad \(n\) muss eine gerade natürliche Zahl sein (\(n \in \{2, 4, 6, \dots\}\)) und der Leitkoeffizient \(a_n\) muss positiv sein (\(a_n > 0\)).

- Welcher Teil des Funktionsterms ist entscheidend für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte? - Was passiert mit einer geraden Potenz, wenn man eine negative Zahl einsetzt? - Erinnerst du dich an den Unterschied zwischen einem Grenzwert als feste Zahl und dem Streben gegen Unendlich? - Wie beeinflusst das Vorzeichen vor der höchsten Potenz die Richtung des Graphen?

1. Bestimmung des Terms mit der höchsten Potenz: Das Globalverhalten von \(g(x)\) wird durch das Leitglied \(-0{,}5x^4\) bestimmt. 2. Untersuchung für \(x \to \infty\): Da \(x^4\) für sehr große positive Werte gegen \(\infty\) strebt, führt der negative Koeffizient \(-0{,}5\) dazu, dass der gesamte Term gegen \(-\infty\) strebt. Ergebnis: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty\). 3. Untersuchung für \(x \to -\infty\): Da der Exponent \(4\) gerade ist, strebt \(x^4\) auch für sehr kleine negative Werte gegen \(\infty\). Der negative Koeffizient bewirkt auch hier ein Streben gegen \(-\infty\). Ergebnis: \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\). 4. Fachbegriff: Da die Funktionswerte ohne untere Schranke fallen, liegt keine Konvergenz gegen eine reelle Zahl vor. Die Funktion ist für \(x \to \pm\infty\) bestimmt divergent gegen \(-\infty\).

Die Funktion \(g\) ist für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) bestimmt divergent gegen \(-\infty\).

- Was passiert mit dem Bruch, wenn du die höchste Potenz von \(x\) im Zähler und Nenner ausklammerst und kürzt? - Vergleiche den Grad des Zählerpolynoms mit dem Grad des Nennerpolynoms. - Welche Terme werden vernachlässigbar klein, wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Für \(f(x)\) wird im Zähler und Nenner die höchste Potenz \(x^2\) ausgeklammert: \(f(x) = \frac{x^2 \cdot (6 + \frac{4}{x})}{x^2 \cdot (3 - \frac{1}{x^2})} = \frac{6 + \frac{4}{x}}{3 - \frac{1}{x^2}}\). Da \(\frac{4}{x} \to 0\) und \(\frac{1}{x^2} \to 0\) für \(x \to \pm \infty\), ergibt sich der Grenzwert \(\frac{6}{3} = 2\). 2. Für \(g(x)\) betrachtet man das Wachstum von Zähler und Nenner. Der Zähler ist konstant \(10\), während der Nenner \(x^2 + 5\) für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt. Ein konstanter Wert dividiert durch eine über alle Grenzen wachsende Zahl ergibt den Grenzwert \(0\).

a) \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\)

- Überlege dir, was mit den einzelnen Teilen des Funktionsterms passiert, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird. - Kannst du einen Bruch so umschreiben, dass \(x\) nur noch an einer Stelle vorkommt? - Erinnere dich an den Verlauf von Exponentialfunktionen mit Basen größer oder kleiner als 1. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt?

1. Untersuchung von \(f(x)\): Für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) strebt der Term \(\frac{4}{x^2}\) gegen \(0\). Daraus folgt \(\lim_{x \to \pm\infty} (5 - \frac{4}{x^2}) = 5\). 2. Untersuchung von \(g(x)\): Durch Aufteilen des Bruchs ergibt sich \(g(x) = 3 + \frac{2}{4^x}\). Für \(x \to \infty\) strebt \(4^x\) gegen \(\infty\), also \(\frac{2}{4^x}\) gegen \(0\). Der Grenzwert ist \(3\). Für \(x \to -\infty\) strebt \(4^x\) gegen \(0^+\), wodurch \(\frac{2}{4^x}\) gegen \(\infty\) strebt. Der Grenzwert ist \(\infty\). 3. Untersuchung von \(h(x)\): Da die Basis \(0{,}5\) kleiner als \(1\) ist, strebt \(0{,}5^x\) für \(x \to \infty\) gegen \(0\). Somit gilt \(\lim_{x \to \infty} h(x) = -2\). Für \(x \to -\infty\) wächst \(0{,}5^x\) über alle Grenzen, sodass \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = \infty\) gilt.

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 5\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 5\) b) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 3\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\) c) \(\lim_{x \to \infty} h(x) = -2\); \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = \infty\)

- Vergleiche die Koeffizienten der höchsten Potenzen im Zähler und Nenner. - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass \(x\) nur noch im Nenner von Teilbrüchen vorkommt? - Überlege, was ein Grenzwert im Unendlichen über den Verlauf des Graphen aussagt.

1. Ausklammern der höchsten Potenz \(x\) im Zähler und Nenner: \(f(x) = \frac{x \cdot (8 + \frac{12}{x})}{x \cdot (4 - \frac{5}{x})}\) 2. Kürzen der Variable \(x\): \(f(x) = \frac{8 + \frac{12}{x}}{4 - \frac{5}{x}}\) 3. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \infty\): Da \(\lim_{x \to \infty} \frac{12}{x} = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} = 0\), folgt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{8 + 0}{4 - 0} = 2\) 4. Geometrische Bedeutung: Der Graph der Funktion nähert sich für sehr große \(x\)-Werte der waagerechten Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\) an.

Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\). Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph von \(f\) eine waagerechte Asymptote bei \(y = 2\) besitzt.

- Welche bekannten Grundfunktionen nähern sich für große positive oder negative \(x\) der \(0\) an? - Bei Teil 3): Welcher Potenzterm bestimmt für große positive \(x\) das Vorzeichen und die Größenordnung? - Prüfe bei Teil 4), ob sich der Term vor der Grenzwertbetrachtung vereinfachen lässt. - Unterscheide einen endlichen Grenzwert von einem unbegrenzten Wachstum oder Fallen.

1. Für \(x\to\infty\) gilt \(\frac{2}{x}\to 0\). Daher ist \(3+\frac{2}{x}\to 3\). 2. Die Exponentialfunktion \(2^x\) nähert sich für \(x\to-\infty\) der \(0\) an. Daher ist der Grenzwert \(0\). 3. Es gilt \(x^2-x^3=x^3\left(\frac{1}{x}-1\right)\). Für große positive \(x\) ist der Faktor in der Klammer negativ und nähert sich \(-1\), während \(x^3\) unbegrenzt wächst. Daher strebt der Ausdruck gegen \(-\infty\). 4. Der Term vereinfacht sich zu \(x+\frac{1}{x}-x=\frac{1}{x}\). Daher ist der Grenzwert \(0\).

1) \(3\) 2) \(0\) 3) \(-\infty\) 4) \(0\)

- Wie verhalten sich die einzelnen Potenzen von \(x\), wenn \(x\) sehr groß wird? - Welcher Teil des Bruchs wächst „schneller“, wenn der Grad im Nenner höher ist als im Zähler? - Ein nützlicher Trick ist das Ausklammern oder Dividieren durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \(x\).

1. Untersuchung von \(g(x)\): Der Zählergrad (2) ist gleich dem Nennergrad (2). Man dividiert Zähler und Nenner durch die höchste Potenz \(x^2\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{4-0+0}{2+0} = 2\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2\). 2. Untersuchung von \(h(x)\): Der Zählergrad (1) ist kleiner als der Nennergrad (2). Division durch \(x^2\) ergibt: \(\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} - \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}} = \frac{0-0}{2+0} = 0\). Die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)). 3. Begründung: Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, bestimmen die Koeffizienten der höchsten Potenzen den Grenzwert. Ist der Nennergrad größer, dominiert der Nenner für sehr große \(x\), und der Grenzwert ist stets \(0\).

\(\lim_{x \to \infty} g(x) = 2\) und \(\lim_{x \to \infty} h(x) = 0\). Der Unterschied liegt darin, dass bei \(g(x)\) Zähler- und Nennergrad gleich sind, während bei \(h(x)\) der Nennergrad überwiegt.

- Welcher Teil des Funktionsterms ist entscheidend für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Überlege dir, wie sich eine Potenz mit geradem oder ungeradem Exponenten verhält, wenn du eine negative Zahl einsetzt. - Achte auf das Vorzeichen vor der höchsten Potenz. - Musst du bei Teilaufgabe d) den Term erst vereinfachen, um die höchste Potenz zu finden?

Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion wird durch das Glied mit der höchsten Potenz (Leitterm) bestimmt. 1. Bei \(f(x) = -4x^3 + 12x - 5\) ist der Leitterm \(-4x^3\). Da der Grad \(n=3\) ungerade und der Leitkoeffizient \(a_3 = -4\) negativ ist, gilt: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\). 2. Bei \(g(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 10x\) ist der Leitterm \(\frac{1}{4}x^4\). Da \(n=4\) gerade und \(a_4 = \frac{1}{4}\) positiv ist, gilt: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\). 3. Bei \(h(x) = 500x^2 - x^5\) ist der Leitterm \(-x^5\). Da \(n=5\) ungerade und \(a_5 = -1\) negativ ist, gilt: \(\lim_{x \to \infty} h(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = \infty\). 4. Durch Ausmultiplizieren von \(k(x) = -(x^4 + x^2 - 2) = -x^4 - x^2 + 2\) ergibt sich der Leitterm \(-x^4\). Da \(n=4\) gerade und \(a_4 = -1\) negativ ist, gilt: \(\lim_{x \to \infty} k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) b) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\) c) \(\lim_{x \to \infty} h(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = \infty\) d) \(\lim_{x \to \infty} k(x) = -\infty\); \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\)

- Schau dir den Verlauf des Graphen am linken und rechten Rand des Koordinatensystems an. - Welchem festen \(y\)-Wert nähert sich die Kurve an, wenn die \(x\)-Werte immer größer oder immer kleiner werden? - Eine waagerechte Asymptote ist eine horizontale Gerade, an die sich der Funktionsgraph im Unendlichen anschmiegt. Wie lautet die Gleichung einer solchen horizontalen Geraden?

1. Bestimmung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): Wenn man dem Graphen weit nach rechts folgt (für immer größere positive \(x\)-Werte), nähert sich die Kurve dem Funktionswert \(2\) an. Es gilt also: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\) 2. Bestimmung des Grenzwerts für \(x \to -\infty\): Wenn man dem Graphen weit nach links folgt (für immer kleinere negative \(x\)-Werte), nähert sich die Kurve ebenfalls dem Funktionswert \(2\) an. Es gilt also: \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2\) 3. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Da sich der Graph für \(x \to \pm\infty\) der Höhe \(2\) annähert, lautet die Gleichung der waagerechten Asymptote: \(y = 2\)

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2\) b) \(y = 2\)

- Schau dir an, in welche Quadranten der Graph „verschwindet“, wenn du dich weit vom Ursprung entfernst. - Überlege dir, ob die Funktionswerte immer größer oder immer kleiner (negativer) werden, wenn \(x\) wächst. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Verlauf an den Rändern und dem Vorzeichen der höchsten Potenz von \(x\).

1. Ablesen des Verhaltens für \(x \to \infty\): Der Graph verläuft am rechten Rand nach unten, also gilt \(f(x) \to -\infty\). 2. Ablesen des Verhaltens für \(x \to -\infty\): Der Graph verläuft am linken Rand nach oben, also gilt \(f(x) \to \infty\). 3. Da die Grenzwerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) entgegengesetzte Vorzeichen haben, muss der Grad der Funktion ungerade sein. 4. Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, muss der Leitkoeffizient \(a_n\) negativ sein (\(a_n < 0\)).

Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), und der Leitkoeffizient \(a_n\) ist negativ.

- Verfolge den Graphen mit dem Finger weit nach rechts und weit nach links. Geht es „bergauf“ oder „bergab“? - Der Leitkoeffizient bestimmt bei geradem Grad, ob die Parabel (oder parabelähnliche Form) nach oben oder unten geöffnet ist.

1. Analyse des rechten Randes: Für \(x \to \infty\) steigen die Funktionswerte unbegrenzt an, also \(f(x) \to \infty\). 2. Analyse des linken Randes: Für \(x \to -\infty\) steigen die Funktionswerte ebenfalls unbegrenzt an, also \(f(x) \to \infty\). 3. Leitkoeffizient: Da die Funktion für sehr große positive \(x\)-Werte gegen \(+\infty\) strebt, muss der Leitkoeffizient positiv sein (\(a_n > 0\)).

Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), und der Leitkoeffizient ist positiv.

- Was passiert mit einem Bruch, wenn die Zahl im Nenner immer größer wird? - Betrachte die einzelnen Bestandteile der Funktionsgleichung getrennt voneinander. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Grenzwert einer Funktion und ihrer waagerechten Asymptote.

1. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} \left(0{,}5 + \frac{4}{x+2}\right)\). 2. Da der Nenner \(x+2\) für \(x \to \infty\) gegen unendlich strebt, geht der Bruch \(\frac{4}{x+2}\) gegen \(0\). 3. Es ergibt sich: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0{,}5 + 0 = 0{,}5\). 4. Vergleich mit der Behauptung: Marie liegt falsch, da der Grenzwert \(0{,}5\) und nicht \(0\) ist. 5. Bestimmung der Asymptote: Eine waagerechte Asymptote liegt auf der Höhe des Grenzwerts. Die Gleichung lautet \(y = 0{,}5\).

a) Marie hat unrecht, denn \(\lim_{x \to \infty} \left(0{,}5 + \frac{4}{x+2}\right) = 0{,}5\). b) Die waagerechte Asymptote hat die Gleichung \(y = 0{,}5\).

- Zähle die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt, und vergleiche sie mit den Nullstellen in den Formeln. - Überprüfe, ob der Graph für sehr große positive und negative x-Werte nach oben oder nach unten verläuft. - Achte darauf, ob der Graph an einer Nullstelle die Achse nur berührt (Extrempunkt auf der Achse) oder sie überquert.

1. Bestimmung der Nullstellen aus dem Graphen: Der Graph schneidet die x-Achse an den Stellen \(x = -3\), \(x = -1\), \(x = 1\) und \(x = 3\). Es handelt sich jeweils um einfache Nullstellen (Schnittpunkte). 2. Untersuchung des Globalverhaltens: Für \(x \to \pm \infty\) streben die Funktionswerte gegen \(+\infty\). Dies erfordert einen positiven Leitkoeffizienten. 3. Prüfung der Terme: - Term (1) hat die korrekten Nullstellen und einen positiven Leitkoeffizienten (\(0{,}1\)). Er ist somit korrekt. - Term (2) hat zwar die richtigen Nullstellen, aber einen negativen Leitkoeffizienten (\(-0{,}1\)). Dies würde bedeuten, dass der Graph für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) verläuft. - Term (3) hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = -3\) (Berührpunkt) und keine Nullstelle bei \(x = -1\). Dies widerspricht dem Verlauf des Graphen.

Term (1) ist korrekt. Term (2) ist falsch, da das Globalverhalten nicht zum Graphen passt (negativer Leitkoeffizient). Term (3) ist falsch, da die Nullstellen und deren Vielfachheiten nicht mit dem Graphen übereinstimmen.

- Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? Achte auf das Vorzeichen vor der höchsten Potenz. - Schau dir die Öffnung des Graphen an: Geht er „nach oben“ oder „nach unten“? - Vergleiche die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen mit den Eigenschaften der Funktion. - Wo schneidet die Funktion die \(y\)-Achse?

1. Globalverhalten: Der Leitkoeffizient von \(k\) ist negativ. Da der Grad \(4\) gerade ist, gilt \(k(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). Der dargestellte Graph verläuft dagegen an beiden Rändern nach oben. 2. Art der absoluten Extrema: Die Funktion lässt sich als \(k(x)=2-(x^2-1)^2\) schreiben. Daher besitzt sie bei \(x=\pm1\) absolute Maxima mit dem Wert \(2\). Der dargestellte Graph besitzt dagegen absolute Minima und ist nach oben geöffnet. 3. Verhalten bei \(x=0\): Es ist \(k(0)=1\), während zum Beispiel \(k(0{,}5)=1{,}4375>1\) gilt. Somit liegt bei \(x=0\) ein lokales Minimum. Der dargestellte Graph hat dort einen lokalen Hochpunkt und den \(y\)-Achsenabschnitt \(-1\).

Der Graph passt nicht zu \(k\), weil: 1. Für \(x \to \pm\infty\) gilt \(k(x) \to -\infty\), der dargestellte Graph strebt jedoch gegen \(+\infty\). 2. Die Funktion \(k\) besitzt absolute Hochpunkte, während der dargestellte Graph absolute Tiefpunkte besitzt. 3. Bei \(x=0\) hat \(k\) einen lokalen Tiefpunkt mit \(k(0)=1\); der dargestellte Graph hat dort einen lokalen Hochpunkt mit dem Wert \(-1\).

- Vergleiche bei beiden Graphen die Höhe der Ausschläge nach rechts. - Welche Schranke kennst du für \(|\sin(x)|\)? - Was geschieht mit \(\frac{1}{0{,}2x+1}\), wenn \(x\) sehr groß wird?

1. Die Sinusfunktion \(f(x)=\sin(x)\) schwingt dauerhaft zwischen \(-1\) und \(1\). Ihre Ausschläge werden nicht kleiner, daher nähert sie sich keinem einzelnen Wert und besitzt für \(x\to\infty\) keinen Grenzwert. 2. Für \(g\) gilt \(|\sin(x)|\le1\). Deshalb ist der Abstand von \(g(x)\) zu \(0\) höchstens \(\frac{1}{0{,}2x+1}\). Dieser Wert wird für große \(x\) immer kleiner. 3. Daher nähert sich \(g(x)\) dem Wert \(0\); es gilt \(g(x)\to0\).

Die Funktion \(g\) besitzt den Grenzwert \(0\). Die Funktion \(f\) besitzt keinen Grenzwert, weil ihre Schwingung mit gleichbleibender Amplitude fortbesteht.

- Der Graph liegt hier immer oberhalb des Grenzwerts \(2\). Welcher Rand des Streifens ist daher entscheidend? - Übersetze die Bedingung „im Streifen“ in eine Ungleichung für \(f(x)\). - Achte darauf, dass die Randlinien bei einem offenen Streifen nicht dazugehören.

1. Der Graph liegt wegen \(\frac{2}{x}>0\) oberhalb von \(2\). Für den Streifen muss daher \(f(x)<2{,}5\) gelten. 2. Aus \(2+\frac{2}{x}<2{,}5\) folgt \(\frac{2}{x}<0{,}5\). 3. Für \(x>0\) ist dies äquivalent zu \(x>4\). 4. Bei \(x=4\) liegt der Graph genau auf dem Rand \(y=2{,}5\), der nicht zum offenen Streifen gehört. Für alle \(x>4\) liegt der Graph innerhalb des Streifens.

Für alle \(x>4\) liegt der Graph vollständig im Grenzwertstreifen \(1{,}5<y<2{,}5\).

- Bestimme zuerst die Gleichung der waagerechten Asymptote. - Überlege dir, wie weit ein Funktionswert höchstens von der Asymptote entfernt sein darf, wenn der gesamte Streifen eine Breite von \( 0{,}2 \) hat. - Berechne für die gegebenen \( x \)-Werte jeweils den Betrag der Differenz zwischen dem Funktionswert und dem Wert der Asymptote. - Vergleiche diesen Abstand mit der halben Streifenbreite.

1. Die waagerechte Asymptote der Funktion \( f \) für \( x \to \infty \) ist \( y = 2 \). Ein Streifen der Breite \( 0{,}2 \) mit dieser Asymptote als Symmetrieachse umfasst alle Funktionswerte im Intervall \( ]2 - 0{,}1; 2 + 0{,}1[ \). Der Abstand eines Punktes auf dem Graphen zur Asymptote muss also kleiner als \( 0{,}1 \) sein, damit er innerhalb des Streifens liegt. 2. Für \( x = 15 \) gilt: \( |f(15) - 2| = \left| 2 + \frac{4}{15 - 5} - 2 \right| = \left| \frac{4}{10} \right| = 0{,}4 \). Da \( 0{,}4 > 0{,}1 \), liegt der Graph an der Stelle \( x = 15 \) außerhalb des Streifens. 3. Für \( x = 55 \) gilt: \( |f(55) - 2| = \left| 2 + \frac{4}{55 - 5} - 2 \right| = \left| \frac{4}{50} \right| = 0{,}08 \). Da \( 0{,}08 < 0{,}1 \), liegt der Graph an der Stelle \( x = 55 \) innerhalb des Streifens.

An der Stelle \( x = 15 \) liegt der Graph außerhalb des Streifens (Abstand \( 0{,}4 > 0{,}1 \)). An der Stelle \( x = 55 \) liegt der Graph innerhalb des Streifens (Abstand \( 0{,}08 < 0{,}1 \)).

- Überlege, welcher \( x \)-Wert den Nenner null werden lässt und was mit den Funktionswerten passiert, wenn \( x \) sehr groß oder sehr klein wird. - Wie weit darf ein Funktionswert maximal von der Mittellinie entfernt sein, wenn die Gesamtbreite des Streifens bekannt ist? - Berechne die Funktionswerte an den gegebenen Stellen und vergleiche sie mit dem Bereich, den der Streifen abdeckt.

1. Bestimmung der Asymptoten: Die Polstelle liegt bei \( x = 1 \), also ist die senkrechte Asymptote \( x = 1 \). Für \( x \to \pm \infty \) nähert sich der Funktionsterm dem Wert \( 1{,}5 \), somit ist die waagerechte Asymptote \( y = 1{,}5 \). 2. Definition des Streifens: Die Mittellinie ist \( y = 1{,}5 \). Bei einer Breite von \( 0{,}8 \) erstreckt sich der Streifen im Bereich \( ]1{,}5 - 0{,}4; 1{,}5 + 0{,}4[ \), also \( ]1{,}1; 1{,}9[ \). Ein Punkt liegt im Streifen, wenn der Abstand \( |f(x) - 1{,}5| < 0{,}4 \) ist. 3. Prüfung für \( x = 3 \): \( f(3) = 1{,}5 - \frac{2}{3 - 1} = 1{,}5 - 1 = 0{,}5 \). Da \( |0{,}5 - 1{,}5| = 1 > 0{,}4 \), liegt der Punkt außerhalb des Streifens. 4. Prüfung für \( x = 7 \): \( f(7) = 1{,}5 - \frac{2}{7 - 1} = 1{,}5 - \frac{2}{6} = 1{,}5 - \frac{1}{3} \approx 1{,}17 \). Da \( |1{,}17 - 1{,}5| = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 < 0{,}4 \), liegt der Punkt innerhalb des Streifens.

a) Senkrechte Asymptote: \( x = 1 \); waagerechte Asymptote: \( y = 1{,}5 \) b) An der Stelle \( x = 3 \) liegt der Graph außerhalb des Streifens (\( f(3) = 0{,}5 \)). An der Stelle \( x = 7 \) liegt der Graph innerhalb des Streifens (\( f(7) \approx 1{,}17 \)).

- Was passiert mit dem Term \( 3^{-x} \), wenn \( x \) immer größer wird? - Wie weit darf ein Punkt maximal von der Asymptote entfernt sein, um noch im Streifen zu liegen? - Berechne die Funktionswerte an den angegebenen Stellen und vergleiche ihren Abstand zur Asymptote mit der halben Streifenbreite. - Ein Punkt liegt innerhalb, wenn sein \( y \)-Wert zwischen den beiden Grenzen des Streifens liegt.

1. Bestimmung des Grenzwerts: Für \( x \to \infty \) geht der Term \( 3^{-x} \) gegen \( 0 \), woraus der Grenzwert \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 4 \) folgt. Die waagrechte Asymptote lautet \( y = 4 \). 2. Bestimmung der Streifengrenzen: Die Breite beträgt \( 0{,}5 \), die Mittellinie ist \( y = 4 \). Somit liegt der Streifen im Bereich \( [4 - 0{,}25; 4 + 0{,}25] \), also zwischen \( 3{,}75 \) und \( 4{,}25 \). 3. Funktionswert an der Stelle \( x = 3 \): \( f(3) = 10 \cdot 3^{-3} + 4 = \frac{10}{27} + 4 \approx 4{,}37 \). Da \( 4{,}37 > 4{,}25 \), liegt der Punkt außerhalb des Streifens. 4. Funktionswert an der Stelle \( x = 4 \): \( f(4) = 10 \cdot 3^{-4} + 4 = \frac{10}{81} + 4 \approx 4{,}12 \). Da \( 3{,}75 < 4{,}12 < 4{,}25 \), liegt der Punkt innerhalb des Streifens.

Die waagrechte Asymptote ist \( y = 4 \). An der Stelle \( x = 3 \) liegt der Graph außerhalb des Streifens (\( f(3) \approx 4{,}37 \)). An der Stelle \( x = 4 \) liegt der Graph innerhalb des Streifens (\( f(4) \approx 4{,}12 \)).

- Bestimme zuerst, gegen welchen Wert die Funktion für sehr große \( x \) strebt. - Wie groß ist die maximale Abweichung von der Symmetrieachse nach oben oder unten, wenn die Gesamtbreite des Streifens bekannt ist? - Berechne den Abstand der \( y \)-Koordinaten der Punkte \( P \) und \( Q \) von der waagrechten Asymptote. - Vergleiche diesen Abstand mit der halben Breite des Streifens.

1. Grenzwertbestimmung: Da \( 2^{2-x} = 2^2 \cdot 2^{-x} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^x \), gilt \( \lim_{x \to \infty} 2^{2-x} = 0 \). Der Grenzwert von \( g(x) \) ist somit \( 5 \). Die Asymptote ist \( y = 5 \). 2. Streifenbedingung: Der Streifen hat die Breite \( 0{,}1 \). Ein Punkt liegt im Streifen, wenn sein Abstand zur Asymptote kleiner als \( 0{,}05 \) ist, also \( |g(x) - 5| < 0{,}05 \). 3. Untersuchung von \( P \): \( g(6) = 5 - 2^{2-6} = 5 - 2^{-4} = 5 - 0{,}0625 = 4{,}9375 \). Der Abstand ist \( |4{,}9375 - 5| = 0{,}0625 \). Da \( 0{,}0625 > 0{,}05 \), liegt \( P \) außerhalb. 4. Untersuchung von \( Q \): \( g(8) = 5 - 2^{2-8} = 5 - 2^{-6} = 5 - 0{,}015625 = 4{,}984375 \). Der Abstand ist \( |4{,}984375 - 5| = 0{,}015625 \). Da \( 0{,}015625 < 0{,}05 \), liegt \( Q \) innerhalb.

Der Grenzwert ist \( 5 \). Für \( P(6 \mid 4{,}9375) \) ist der Abstand zur Asymptote \( 0{,}0625 > 0{,}05 \) (außerhalb). Für \( Q(8 \mid 4{,}984375) \) ist der Abstand zur Asymptote \( 0{,}015625 < 0{,}05 \) (innerhalb).

- Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn der Nenner viel schneller wächst als der Zähler? - Versuche, den Zähler und den Nenner durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz von \( x \) zu dividieren. - Welche Summanden im Zähler und Nenner werden vernachlässigbar klein, wenn \( x \) extrem groß wird?

1. Ausklammern der höchsten Potenz des Nenners (\( x^2 \)) in Zähler und Nenner: \( f(x) = \frac{x^2 \cdot (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2 \cdot (2 - \frac{3}{x^2})} \). 2. Kürzen des Faktors \( x^2 \): \( f(x) = \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}} \). 3. Anwendung der Grenzwertsätze für \( x \to \pm\infty \): Die Terme \( \frac{4}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \) und \( \frac{3}{x^2} \) streben gegen \( 0 \). 4. Der Zähler strebt somit gegen \( 0 + 0 = 0 \), während der Nenner gegen \( 2 - 0 = 2 \) strebt. 5. Berechnung des Gesamtgrenzwerts: \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{0}{2} = 0 \).

\( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \) und \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \)

- Welche bekannte periodische Grundfunktion schwankt dauerhaft in einem festen Intervall, und wie kannst du dieses Intervall verschieben? - Welche einfache ganzrationale Funktion wächst für große positive \(x\) stärker als eine Gerade? - Für Teil c) kannst du eine bekannte Funktion, die gegen \(+\infty\) wächst, an der \(x\)-Achse spiegeln. - Kontrolliere am Ende, dass du tatsächlich drei verschiedene Funktionstypen verwendet hast.

1. Für a) eignet sich eine trigonometrische Funktion. Ein Beispiel ist \(f(x)=\sin(x)+3\); ihre Werte liegen genau zwischen \(2\) und \(4\). 2. Für b) kann eine ganzrationale Funktion höheren Grades gewählt werden, zum Beispiel \(g(x)=x^2\). Für \(x\to\infty\) gilt \(g(x)\to+\infty\), und das Wachstum ist stärker als bei jeder linearen Funktion. 3. Für c) kann als dritter Funktionstyp eine Exponentialfunktion gewählt werden. Zum Beispiel gilt für \(h(x)=-2^x\): \(h(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\).

a) Zum Beispiel \(f(x)=\sin(x)+3\). b) Zum Beispiel \(g(x)=x^2\). c) Zum Beispiel \(h(x)=-2^x\).

- Welchen Wert nimmt die Funktion für extrem große oder extrem kleine x-Werte an? - Wenn der Streifen eine Gesamtbreite hat, wie weit darf der Funktionswert dann maximal von der Asymptote nach oben oder unten abweichen? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, die den Abstand zwischen dem Funktionswert und dem Asymptotenwert beschreibt? - Beachte beim Lösen der Ungleichung, ob der Nenner positiv oder negativ ist.

1. Die waagerechte Asymptote ergibt sich aus dem Grenzwert für \( x \to \pm\infty \). Da \( \frac{5}{x-3} \to 0 \), lautet die Gleichung \( y = 1 \). 2. Ein Streifen der Breite \( 0{,}2 \) um \( y = 1 \) umfasst den Bereich \( 1 - 0{,}1 < y < 1 + 0{,}1 \). Die Bedingung lautet also \( |f(x) - 1| < 0{,}1 \). 3. Einsetzen der Funktionsgleichung: \( |\frac{5}{x-3}| < 0{,}1 \). 4. Für \( x > 3 \) (rechter Ast) gilt: \( \frac{5}{x-3} < 0{,}1 \). Umformen ergibt \( 5 < 0{,}1 \cdot (x-3) \), also \( 50 < x - 3 \), woraus \( x > 53 \) folgt. Somit ist \( x_0 = 53 \). 5. Für \( x < 3 \) (linker Ast) gilt: \( \frac{5}{x-3} > -0{,}1 \). Da \( x-3 \) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen beim Multiplizieren: \( 5 < -0{,}1 \cdot (x-3) \), also \( -50 > x - 3 \), woraus \( x < -47 \) folgt. Somit ist \( x_1 = -47 \).

a) \( y = 1 \) b) \( x_0 = 53 \) (oder jeder größere Wert) c) \( x_1 = -47 \) (oder jeder kleinere Wert)

- Welche vertikale Verschiebung sorgt dafür, dass eine Funktion sich für große positive \(x\) dem Wert \(-2\) nähert? - Welche bekannte Kehrwertfunktion nähert sich für beide Richtungen dem Wert \(0\)? - Welche Exponentialfunktion mit Basis \(2\) nähert sich für \(x\to\infty\) dem Wert \(0\)? - Setze jeden deiner Terme gleich \(0\) und prüfe, ob sich die Gleichung mit bekannten Potenzen lösen lässt.

1. Eine mögliche Wahl ist \(f(x)=\frac{1}{x}-2\). Da \(\frac{1}{x}\to 0\) für \(x\to\infty\), gilt \(f(x)\to-2\). Auch für \(x\to-\infty\) gilt \(\frac{1}{x}\to 0\), also \(f(x)\to-2\). 2. Die Nullstelle von \(f\) folgt aus \(\frac{1}{x}-2=0\). Damit ist \(\frac{1}{x}=2\) und somit \(x=\frac{1}{2}\). 3. Eine mögliche Exponentialfunktion ist \(g(x)=2^{-x}-2\). Für \(x\to\infty\) gilt \(2^{-x}\to 0\), also \(g(x)\to-2\). Für \(x\to-\infty\) wächst \(2^{-x}\) unbegrenzt, daher gilt \(g(x)\to+\infty\). 4. Die Nullstelle von \(g\) folgt aus \(2^{-x}-2=0\). Wegen \(2=2^1\) gilt \(-x=1\), also \(x=-1\).

Eine mögliche Wahl ist \(f(x)=\frac{1}{x}-2\) mit \(f(x)\to-2\) für \(x\to-\infty\) und Nullstelle \(x=\frac{1}{2}\), sowie \(g(x)=2^{-x}-2\) mit \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\) und Nullstelle \(x=-1\).

- Überlege dir, ob jede untere Schranke einer Funktion gleichzeitig ihr tiefster Punkt oder ihr Grenzwert sein muss. - Kannst du eine Funktion finden, die zwar immer über der 2 bleibt und fällt, aber schon viel früher „anhält“ oder sich einem anderen Wert annähert? - Probiere, den Graphen einer solchen Funktion im Kopf zu skizzieren. - Unterscheide zwischen der Eigenschaft, beschränkt zu sein, und dem tatsächlichen Grenzwertverhalten.

1. Die Aussage wird als falsch identifiziert. 2. Es wird begründet, dass eine untere Schranke (hier \(y = 2\)) nicht zwangsläufig dem Grenzwert der Funktion entsprechen muss. Eine Funktion kann gegen einen größeren Wert als die Schranke konvergieren. 3. Als Gegenbeispiel dient eine Funktion wie \(f(x) = 3 + \frac{1}{x}\). Für alle \(x > 0\) gilt \(f(x) > 2\) und die Funktion ist streng monoton fallend, da der Term \(\frac{1}{x}\) abnimmt. 4. Der Grenzwert dieser Beispielfunktion ist jedoch \(\lim_{x \to \infty} (3 + \frac{1}{x}) = 3\), was ungleich 2 ist. Damit ist die allgemeine Behauptung widerlegt.

Die Aussage ist falsch. Eine Funktion kann streng monoton fallend und durch \(y = 2\) nach unten beschränkt sein, ohne dass 2 der Grenzwert sein muss. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = 3 + \frac{1}{x}\). Diese Funktion ist für \(x > 0\) streng monoton fallend und es gilt stets \(f(x) > 3 > 2\). Ihr Grenzwert für \(x \to \infty\) ist jedoch 3 und nicht 2.

- Welche Asymptoten entstehen bei einer verschobenen und gestreckten Kehrwertfunktion? - Wie verändert eine positive Streckung die Monotonierichtung der Grundfunktion \(\frac{1}{x}\)? - Ein Streifen der Breite \(0{,}4\) um eine Mittellinie reicht jeweils um die halbe Breite nach oben und unten. - Formuliere den Abstand des Funktionswerts von der waagerechten Asymptote mit einem Betrag.

1. Aus \(f(x)=\frac{10}{x-8}-2\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=8\) und die waagerechte Asymptote \(y=-2\) ab. 2. Die Grundfunktion \(x\mapsto\frac{1}{x}\) ist auf jedem ihrer beiden Äste streng fallend. Die positive Streckung mit dem Faktor \(10\) und die Verschiebungen ändern diese Monotonierichtung nicht. Daher ist \(f\) auf \(]-\infty;8[\) und \(]8;\infty[\) jeweils streng fallend. 3. Der Streifen der Breite \(0{,}4\) reicht jeweils \(0{,}2\) über und unter \(y=-2\). Somit ist \(|f(x)+2|<0{,}2\) gefordert. 4. Es gilt \(\left|\frac{10}{x-8}\right|<0{,}2\), also \(|x-8|>50\). 5. Rechts von \(8\) folgt \(x>58\). Daher ist \(x_0=58\). 6. Links von \(8\) folgt \(x<-42\). Daher ist \(x_1=-42\).

a) Asymptoten: \(x=8\) und \(y=-2\). Die Funktion ist auf \(]-\infty;8[\) und \(]8;\infty[\) jeweils streng fallend. b) (1) \(x_0=58\). (2) \(x_1=-42\).

- Welche Stelle ist wegen des Nenners aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen? - Welche Nullstellen besitzt die Sinusfunktion, und welche davon ist hier nicht zulässig? - Wie groß kann \(|\sin(x)|\) höchstens werden? Nutze diese Information, um \(|f(x)|\) nach oben abzuschätzen. - Welche Bedingung an diese obere Schranke garantiert eine Abweichung von weniger als \(0{,}01\)?

1. Wegen des Nenners gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. Da \(\frac{5}{x}\neq 0\) im Definitionsbereich gilt, entstehen die Nullstellen durch \(\sin(x)=0\). Somit ist \(x_k=k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\). 3. Wegen \(|\sin(x)|\le 1\) gilt \(|f(x)|\le\frac{5}{|x|}\). Für große positive \(x\) kann \(\frac{5}{x}\) beliebig klein gemacht werden. Daher liegen auch die Werte von \(f\) schließlich in jedem noch so schmalen Streifen um \(0\), also gilt \(f(x)\to 0\). 4. Für \(x>0\) genügt die Bedingung \(\frac{5}{x}<0{,}01\). Daraus folgt \(x>500\). Daher kann \(x_0=500\) gewählt werden.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). b) \(x_k=k\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\). c) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\). d) Zum Beispiel \(x_0=500\).

- Erinnere dich an die Definitionslücken bei gebrochenrationalen Anteilen. - Nutze die Tatsache, dass der Kosinus nur Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annehmen kann, um den kleinstmöglichen Wert von \(g(x)\) abzuschätzen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner betragsmäßig immer größer wird, während der Zähler beschränkt bleibt? - Verwende eine Ungleichung, um den komplizierten Ausdruck im Zähler durch eine einfache Zahl zu ersetzen, die den maximalen Ausschlag angibt.

1. Definitionsmenge: Der Nenner \(x^2\) wird für \(x = 0\) null, daher ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Nullstellenfreiheit: Für \(x \geq 1\) gilt \(\left| \frac{\cos(x)}{x^2} \right| \leq \frac{1}{x^2} \leq 1\). Damit ist \(g(x) = 2 + \frac{\cos(x)}{x^2} \geq 2 - 1 = 1 > 0\). Da die Funktionswerte stets größer als null sind, gibt es keine Nullstellen in diesem Bereich. 3. Grenzwert: Da \(\frac{\cos(x)}{x^2} \to 0\) für \(x \to -\infty\) (wegen der Beschränkheit des Kosinus und dem Wachstum des Nenners), gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 2 + 0 = 2\). Also \(L = 2\). 4. Abweichung: Es soll gelten \(|g(x) - 2| < 0{,}0025\). Dies entspricht \(\left| \frac{\cos(x)}{x^2} \right| < 0{,}0025\). Mit der Abschätzung \(\left| \frac{\cos(x)}{x^2} \right| \leq \frac{1}{x^2}\) lösen wir \(\frac{1}{x^2} < 0{,}0025\). Dies ergibt \(x^2 > \frac{1}{0{,}0025} = 400\), also \(x > 20\). Ein möglicher Wert ist \(x_0 = 20\).

a) \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) Nachweis über \(g(x) \geq 1 > 0\) für \(x \geq 1\). c) \(L = 2\) d) Zum Beispiel \(x_0 = 20\) (jeder Wert \(x_0 \geq 20\) ist korrekt).

- Überlege dir, wie sich der Funktionswert verhält, wenn die Basis der Potenz zwischen 0 und 1 liegt. - Was passiert mit dem Term \(b^x\), wenn \(x\) immer größer wird? - Ein Streifen, der symmetrisch zu einer Achse liegt, erstreckt sich nach oben und unten jeweils um die halbe Breite. - Um eine Ungleichung der Form \(a^x < b\) nach \(x\) aufzulösen, ist der Logarithmus ein hilfreiches Werkzeug. Achte dabei auf das Relationszeichen beim Dividieren durch negative Werte.

1. Monotonie: Wegen der Basis \(0{,}8 < 1\) ist die Exponentialfunktion \(x \mapsto 0{,}8^x\) streng monoton fallend. Da der Vorfaktor \(10 > 0\) ist, ist auch \(f\) streng monoton fallend. 2. Asymptote: Für \(x \to \infty\) gilt \(0{,}8^x \to 0\), daraus folgt \(f(x) \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Schwellenwert \(x_1\): Der Streifen der Breite \(0{,}1\) um \(y=0\) entspricht dem Bereich \(-0{,}05 < f(x) < 0{,}05\). Da \(f(x) > 0\), ist \(10 \cdot 0{,}8^x < 0{,}05\) zu lösen. \(0{,}8^x < 0{,}005 \implies x\ln(0{,}8) < \ln(0{,}005) \implies x > \frac{\ln(0{,}005)}{\ln(0{,}8)} \approx 23{,}74\). Somit ist \(x_1 \approx 23{,}74\). 4. Schmalerer Streifen: Breite \(0{,}01\) bedeutet \(f(x) < 0{,}005\). \(10 \cdot 0{,}8^x < 0{,}005 \implies 0{,}8^x < 0{,}0005 \implies x > \frac{\ln(0{,}0005)}{\ln(0{,}8)} \approx 34{,}06\). 5. Vergleich: \(2x_1 \approx 47{,}48\). Da \(47{,}48 > 34{,}06\), verläuft der Graph für \(x > 2x_1\) tatsächlich innerhalb des schmaleren Streifens.

a) \(f\) ist streng monoton fallend; waagerechte Asymptote \(y = 0\). b) \(x_1 = \frac{\ln(0{,}005)}{\ln(0{,}8)} \approx 23{,}74\). c) Ja, da für den schmaleren Streifen \(x > 34{,}06\) gelten muss und \(2 \cdot 23{,}74 = 47{,}48\) diesen Wert übersteigt.

- Kannst du den Bruch so umschreiben, dass \(x\) im ersten Teil gekürzt werden kann? - Welche Werte kann der Kosinus maximal und minimal annehmen? - Was passiert mit einem Bruch, dessen Zähler immer zwischen festen Werten schwankt, während der Nenner immer größer wird?

1. Zerlegung des Funktionsterms: Der Bruch kann in zwei Summanden aufgeteilt werden: \(g(x) = \frac{3x}{x} + \frac{\cos(x^2)}{x} = 3 + \frac{\cos(x^2)}{x}\). 2. Analyse des zweiten Summanden für \(x \to \infty\): Die Kosinusfunktion ist beschränkt, es gilt \(-1 \leq \cos(x^2) \leq 1\). 3. Anwendung des Grenzwertverhaltens: Da der Zähler \(\cos(x^2)\) beschränkt bleibt und der Nenner \(x\) gegen \(\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{\cos(x^2)}{x} = 0\). 4. Berechnung des Gesamtgrenzwerts: \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} (3 + \frac{\cos(x^2)}{x}) = 3 + 0 = 3\).

Für \(x \to \infty\) strebt die Funktion gegen den Grenzwert \(3\), also \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 3\).

- Welche Rolle spielen die Koeffizienten der höchsten Potenzen, wenn Zähler und Nenner denselben Grad haben? - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass \(x\) nur noch im Nenner kleinerer Brüche vorkommt? - Vergleiche die Koeffizienten der höchsten Potenzen in Zähler und Nenner. - Wann spricht man in der Mathematik von Konvergenz?

1. Analyse der Zähler- und Nennergrade: Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind vom Grad 1. 2. Umformung durch Ausklammern oder Division durch die höchste Potenz von \(x\): \(k(x) = \frac{x \cdot (10 + \frac{5}{x})}{x \cdot (2 - \frac{4}{x})} = \frac{10 + \frac{5}{x}}{2 - \frac{4}{x}}\). 3. Grenzwertbetrachtung für \(x \to \pm\infty\): Die Terme \(\frac{5}{x}\) und \(\frac{4}{x}\) streben gegen \(0\). 4. Berechnung des Grenzwerts: Es bleibt \(\frac{10}{2} = 5\). 5. Fachbegriff: Da die Funktionswerte sich einer festen reellen Zahl annähern, liegt Konvergenz vor. Die Funktion konvergiert für \(x \to \pm\infty\) gegen den Grenzwert \(5\).

Die Funktion \(k\) konvergiert sowohl für \(x \to \infty\) als auch für \(x \to -\infty\) gegen den Grenzwert \(5\).

- Setze gedanklich eine Zahl ein, die ganz nah an der kritischen Stelle liegt, aber noch auf der erlaubten Seite (z. B. \(0{,}99\) statt \(1\)). - Welches Vorzeichen hat der Zähler und welches Vorzeichen hat der Nenner in der Nähe der Stelle? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner fast Null wird, der Zähler aber eine feste Zahl bleibt?

1. Für Teilaufgabe a): Wenn \(x\) sich von links dem Wert \(1\) nähert (\(x < 1\)), nähert sich der Zähler \(x + 2\) dem Wert \(3\). Der Nenner \(x - 1\) nähert sich \(0\), bleibt aber negativ (z. B. \(0{,}9 - 1 = -0{,}1\)). Ein positiver Zähler geteilt durch einen gegen null strebenden negativen Nenner führt zu \(-\infty\). 2. Für Teilaufgabe b): Wenn \(x\) sich von rechts dem Wert \(-2\) nähert (\(x > -2\)), ist der Zähler konstant \(3\). Der Nenner \(x + 2\) nähert sich \(0\), bleibt dabei jedoch positiv (z. B. \(-1{,}9 + 2 = 0{,}1\)). Ein positiver Zähler geteilt durch einen gegen null strebenden positiven Nenner führt zu \(+\infty\).

a) \(\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \frac{x + 2}{x - 1} = -\infty\) b) \(\lim_{\substack{x \to -2 \\ x > -2}} \frac{3}{x + 2} = \infty\)

- Vergleiche für die Symmetrie die Terme \(g(-x)\) und \(g(x)\). - Für den höchsten Punkt kannst du zunächst untersuchen, wann der Exponent \(-x^2+1\) am größten ist. - Betrachte für das Grenzverhalten zuerst, was mit dem Exponenten für sehr große positive und negative \(x\)-Werte geschieht.

1. Es gilt \(g(-x)=2^{-(-x)^2+1}=2^{-x^2+1}=g(x)\). Daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Da die Basis \(2>1\) ist, wird \(g(x)\) genau dann maximal, wenn der Exponent \(-x^2+1\) maximal ist. Das ist bei \(x=0\) der Fall. Mit \(g(0)=2\) ist der höchste Punkt \(H(0\mid2)\). 3. Für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) gilt \(-x^2+1\to-\infty\). Daher gilt in beiden Richtungen \(g(x)\to0\). 4. Somit ist die \(x\)-Achse, also \(y=0\), eine waagerechte Asymptote des Graphen für \(x\to\pm\infty\).

a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. b) \(H(0\mid2)\) c) Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g(x)\to0\); die \(x\)-Achse ist eine waagerechte Asymptote.

- Was passiert, wenn du den Wert direkt einsetzt und \( \frac{0}{0} \) erhältst? - Kannst du den Zähler so umformen, dass ein Faktor des Nenners darin vorkommt? - Erinnere dich an binomische Formeln oder Möglichkeiten, quadratische Terme in Faktoren zu zerlegen. - Nach dem Kürzen des problematischen Faktors kannst du den Grenzwert durch Einsetzen bestimmen.

1. Der direkte Versuch \(x = 4\) einzusetzen führt auf den unbestimmten Ausdruck \( \frac{0}{0} \). Faktorisieren des Zählers mittels der dritten binomischen Formel: \( x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \). Ausklammern im Nenner: \( 2x - 8 = 2(x-4) \). Kürzen des Faktors \( (x-4) \) ergibt den vereinfachten Term \( \frac{x+4}{2} \). Einsetzen von \(x = 4\): \( \frac{4+4}{2} = 4 \). 2. Der direkte Versuch \(x = -1\) einzusetzen führt auf \( \frac{0}{0} \). Faktorisieren des Zählers (z. B. mit dem Satz von Vieta): \( x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3) \). Kürzen des Faktors \( (x+1) \) ergibt den vereinfachten Term \( x+3 \). Einsetzen von \(x = -1\): \( -1 + 3 = 2 \).

1) 4 2) 2

- Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Zähler gegen eine feste Zahl strebt, der Nenner aber fast Null wird? - Betrachte für die Annäherung an die Definitionslücke Werte, die ganz kurz vor oder ganz kurz nach der Lücke liegen. - Welche Information liefert der Grenzwert im Unendlichen für die Lage der Asymptoten? - Was passiert mit den Termen im Zähler und Nenner, wenn du durch die höchste Potenz von \(x\) dividierst?

1. Grenzwert für \(x \to \infty\): Ausklammern von \(x\) im Zähler und Nenner ergibt \(\frac{x(2 + 4/x)}{x(1 - 1/x)} = \frac{2 + 4/x}{1 - 1/x}\). Da \(4/x\) und \(1/x\) gegen \(0\) streben, ist der Grenzwert \(\frac{2}{1} = 2\). 2. Rechtsseitiger Grenzwert (\(x \to 1^+\)): Für \(x > 1\) ist der Nenner \(x - 1\) positiv und nähert sich \(0\) an. Der Zähler \(2x + 4\) nähert sich \(6\) an. Somit gilt \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty\). 3. Linksseitiger Grenzwert (\(x \to 1^-\)): Für \(x < 1\) ist der Nenner \(x - 1\) negativ und nähert sich \(0\) an. Der Zähler nähert sich \(6\) an. Somit gilt \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\). 4. Asymptoten: Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2\), die senkrechte Asymptote (Polstelle) bei \(x = 1\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 2\) b) \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\) c) Waagerechte Asymptote: \(y = 2\); senkrechte Asymptote: \(x = 1\)

- Wie bestimmt man den Grenzwert einer rationalen Funktion, wenn Zähler und Nenner den gleichen Grad haben? - Welchen Einfluss hat der Koeffizient vor der höchsten Potenz auf das Verhalten im Unendlichen? - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Grenzwert mit dem Zielwert gleichsetzt.

1. Bestimmung des Grenzwerts in Abhängigkeit von \(a\): Ausklammern von \(x^2\) führt zu \(g(x) = \frac{x^2 \cdot (a + \frac{5}{x})}{x^2 \cdot (3 - \frac{2}{x^2})} = \frac{a + \frac{5}{x}}{3 - \frac{2}{x^2}}\) 2. Für \(x \to \infty\) verschwinden die Terme \(\frac{5}{x}\) und \(\frac{2}{x^2}\), sodass \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{a}{3}\) 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Bedingung: \(\frac{a}{3} = 4\) 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(a = 4 \cdot 3 = 12\)

Der Parameter muss den Wert \(a = 12\) annehmen.

- Wie hängen der Grenzwert im Unendlichen und die waagerechte Asymptote zusammen? - Kannst du die Funktionsgleichung so umformen, dass sie einfacher aussieht? - Was bedeutet es für den Grenzwert, wenn eine Variable wie \(a\) im Zähler steht? - Gibt es einen Unterschied zwischen den Funktionen \(g\) und \(h\), wenn man ihre Definitionsbereiche vernachlässigt?

1. Um den Grenzwert für \(x \to \infty\) zu bestimmen, wird \(x\) im Zähler und Nenner ausgeklammert: \(f_a(x) = \frac{x(a + \frac{6}{x})}{x(2 - \frac{4}{x})} = \frac{a + \frac{6}{x}}{2 - \frac{4}{x}}\). Für \(x \to \infty\) streben die Terme \(\frac{6}{x}\) und \(\frac{4}{x}\) gegen 0. Es bleibt \(L = \frac{a}{2}\). 2. Eine waagerechte Asymptote bei \(y = 5\) bedeutet \(\lim_{x \to \infty} f_a(x) = 5\). Aus \(\frac{a}{2} = 5\) folgt durch Multiplikation mit 2 der Wert \(a = 10\). 3. Die Funktion \(g(x)\) lässt sich für \(x \neq 0\) vereinfachen: \(g(x) = \frac{x(2x + 3)}{x} = 2x + 3\). Damit ist \(g(x) = h(x)\) für alle \(x \in D_g\). Für \(x \to \infty\) streben beide Funktionen gegen \(+\infty\), da der lineare Term \(2x\) dominiert.

a) \(L = \frac{a}{2}\) b) \(a = 10\) c) Beide Funktionen streben gegen \(\infty\). Da \(g(x) = 2x + 3\) für \(x \neq 0\), verhalten sie sich identisch.

- Versuche zuerst, den Wert direkt in den Funktionsterm einzusetzen. Was passiert im Zähler und Nenner? - Wenn sowohl Zähler als auch Nenner null werden, hilft es oft, den Term zu faktorisieren und zu kürzen. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein Grenzwert an einer Definitionslücke existiert, und was, wenn er gegen Unendlich strebt?

1. Für \(x \to 0\) kann der Wert direkt eingesetzt werden, da der Nenner nicht null wird: \(f(0) = \frac{0^2 - 2 \cdot 0 - 8}{0^2 - 16} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(0{,}5\). 2. Für \(x \to 4\) ergibt sich der unbestimmte Ausdruck \(\frac{0}{0}\). Durch Faktorisieren von Zähler und Nenner erhält man \(f(x) = \frac{(x-4)(x+2)}{(x-4)(x+4)}\). Für \(x \neq 4\) lässt sich der Term zu \(\frac{x+2}{x+4}\) kürzen. Der Grenzwert ist \(\lim_{x \to 4} \frac{x+2}{x+4} = \frac{4+2}{4+4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\). An der Stelle \(x = 4\) liegt eine hebbare Definitionslücke (Loch im Graphen). 3. Für \(x \to -4\) strebt der Zähler des gekürzten Terms \(\frac{x+2}{x+4}\) gegen \(-2\), während der Nenner gegen \(0\) strebt. Es gilt \(\lim_{x \to -4^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^+} f(x) = -\infty\). Daher existiert der zweiseitige Grenzwert nicht. An der Stelle \(x = -4\) liegt eine Polstelle mit der senkrechten Asymptote \(x = -4\) vor.

1. \(\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}\) 2. \(\lim_{x \to 4} f(x) = \frac{3}{4}\) 3. \(\lim_{x \to -4^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -4^+} f(x) = -\infty\); deshalb existiert \(\lim_{x \to -4} f(x)\) nicht. Bei \(x = -4\) liegt eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vor.

- Wann verhalten sich die Ränder einer Funktion unterschiedlich, wann gleich? - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Ergebnisses, wenn man eine sehr große positive Zahl in eine ungerade Potenz einsetzt und dann mit dem Leitkoeffizienten multipliziert? - Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem Wert \(f(0)\). - Wie wirkt sich ein Minuszeichen vor dem gesamten Funktionsterm auf die Grenzwerte aus?

1. Da die Grenzwerte für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\) unterschiedlich sind (\(-\infty\) und \(\infty\)), muss der Grad \(n\) ungerade sein. Bei geraden Graden wäre das Verhalten in beide Richtungen identisch. 2. Da die Funktionswerte für \(x \to \infty\) negativ werden (\(-\infty\)), muss der Leitkoeffizient \(a_n\) negativ sein (\(a_n < 0\)). 3. Eine Funktion dritten Grades hat die Form \(f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\). Mit \(n=3\) (ungerade), \(a_3 < 0\) (z. B. \(-1\)) und dem y-Achsenabschnitt \(a_0 = 5\) ergibt sich beispielsweise \(f(x) = -x^3 + 5\). 4. Die Spiegelung an der \(x\)-Achse kehrt alle Vorzeichen der Funktionswerte um. Somit gilt für \(g\): \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\). Der Leitkoeffizient von \(g\) ist positiv, während der Grad ungerade bleibt.

a) \(n\) muss ungerade sein, da die Grenzwerte an den Rändern verschieden sind. b) Der Leitkoeffizient \(a_n\) muss negativ sein (\(a_n < 0\)). c) Beispiel: \(f(x) = -x^3 + 5\) (jede Funktion der Form \(a_3 x^3 + \dots + 5\) mit \(a_3 < 0\) ist korrekt). d) Das Verhalten kehrt sich um: \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\).

- Worauf musst du bei den Exponenten der Variable \(x\) achten, um direkt eine Aussage über die Symmetrie treffen zu können? - Welcher Teil des Funktionsterms ist entscheidend für das Verhalten der Funktionswerte, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Wie verhalten sich Potenzen mit geraden Exponenten im Vergleich zu Potenzen mit ungeraden Exponenten bei negativen \(x\)-Werten? - Was bedeutet es für den Grenzwert, wenn vor der höchsten Potenz ein negatives Vorzeichen steht?

1. Für \(f(x) = -x^4 + 10x^2 - 5\): Da nur geradzahlige Exponenten (\(4, 2, 0\)) vorkommen, gilt \(f(-x) = f(x)\), womit der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist. Da der Koeffizient der höchsten Potenz negativ ist (\(-1\)) und der Grad gerade ist, gilt \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 2. Für \(g(x) = 0{,}5x^5 - 2x^3 + x\): Da nur ungeradzahlige Exponenten (\(5, 3, 1\)) vorkommen, gilt \(g(-x) = -g(x)\), womit der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Der Leitterm \(0{,}5x^5\) bestimmt das Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Für \(h(x) = -x^3 + x^2 - 1\): Es treten sowohl ungerade (\(3\)) als auch gerade (\(2, 0\)) Exponenten auf, daher liegt keine Symmetrie zur \(y\)-Achse oder zum Ursprung vor. Der Leitterm \(-x^3\) bestimmt das Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(h(x) \to -\infty\) und für \(x \to -\infty\) gilt \(h(x) \to \infty\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\). b) Punktsymmetrie zum Ursprung; \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). c) Keine Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse; \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) und \(h(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\).

- Welcher Summand einer ganzrationalen Funktion bestimmt das Verhalten für sehr große \(x\)-Werte? Ist es der mit der höchsten oder einer kleineren Potenz? - Was passiert mit dem Wert des Terms \(-0{,}01x^4\), wenn du extrem große Zahlen für \(x\) einsetzt (z. B. \(x = 100\) oder \(x = 1000\))? Welches Vorzeichen hat das Ergebnis? - Berechne doch einmal den Funktionswert an der Stelle \(x = 10\). Passt dieser Wert zu Emmas Vermutung? - Überlege, ob sich das Verhalten des Graphen außerhalb des sichtbaren Bereichs von \([-5; 5]\) ändern könnte. Wo könnten die Hochpunkte der Funktion liegen?

1. Bestimmung des tatsächlichen Grenzwerts: Für das globale Verhalten einer ganzrationalen Funktion für \(x \to \infty\) ist der Summand mit der höchsten Potenz ausschlaggebend. Hier ist das der Term \(-0{,}01x^4\). Da \(x^4\) für sehr große Werte von \(x\) positiv und beliebig groß wird, führt der negative Koeffizient dazu, dass die Funktion gegen \(-\infty\) strebt: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\). Emmas Aussage ist somit falsch. 2. Erklärung des irreführenden Graphenausschnitts: Der abgebildete Graph zeigt nur das Intervall \([-5; 5]\). Durch die Umformung \(f(x) = -0{,}01(x^2 - 25)^2 + 8{,}25\) erkennt man, dass die lokalen Hochpunkte bei \(x = -5\) und \(x = 5\) liegen. Der dargestellte Ausschnitt endet daher genau an diesen Hochpunkten. Für \(x > 5\) fällt der Graph wieder; ebenso fallen die Funktionswerte für \(x < -5\), wenn \(|x|\) weiter wächst. Dieses Verhalten ist im gewählten Sichtfenster nicht sichtbar.

Emmas Aussage ist falsch. Es gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\). Der Graphenausschnitt ist irreführend, weil er bei den lokalen Hochpunkten \(x = -5\) und \(x = 5\) endet. Außerhalb des dargestellten Intervalls fällt der Graph wieder und strebt für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\).

- Vergleiche \(h(x)\) direkt mit \(g(x)\), indem du die Differenz der beiden Terme bildest. - Für das Globalverhalten musst du den Sinus nicht genau kennen; seine Werte bleiben immer in einem festen Intervall. - Begrenze \(h(x)\) nach oben und unten durch zwei lineare Terme. - Überlege für c), was mit den Funktionswerten einer stetigen Funktion passiert, wenn sich derselbe Graphabschnitt immer wiederholt.

1. Für jedes \(x\) gilt \(h(x)-g(x)=\sin(x)\). Daher schwankt der Graph von \(h\) um die Gerade \(g\), und der vertikale Abstand beträgt höchstens \(1\). 2. Aus \(-1\le\sin(x)\le1\) folgt \(0{,}5x-1\le h(x)\le0{,}5x+1\). Beide Randterme wachsen für \(x\to+\infty\) unbegrenzt. Daher gilt \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\). Für \(x\to-\infty\) gehen beide Randterme gegen \(-\infty\), also gilt \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\). 3. Eine stetige periodische Funktion wiederholt auf jedem Periodenintervall dieselben Funktionswerte und ist deshalb beschränkt. Da \(h\) nach oben und unten unbeschränkt ist, kann \(h\) nicht periodisch sein.

a) \(h\) schwankt im vertikalen Abstand von höchstens \(1\) um die Gerade \(g(x)=0{,}5x\). b) \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\). c) \(h\) ist nicht periodisch, weil ihr Globalverhalten unbeschränkt ist.

- Welcher Teil des Funktionsterms hat bei sehr großen Werten für \(x\) den größten Einfluss? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Überlege, wie sich eine Potenzfunktion mit positivem Koeffizienten und geradem Exponenten im Unendlichen verhält. - Kann man das Verhalten einer Funktion für alle Zeiten allein durch das Betrachten eines kleinen Ausschnitts des Graphen sicher bestimmen?

1. Analyse des Funktionsterms: Die Funktion besteht aus einer Konstanten (8), einer rationalen Komponente (\(-\frac{40}{x^2 + 5}\)) und einer Potenzfunktion (\(0{,}00001x^4\)). 2. Untersuchung des Grenzwerts der rationalen Komponente: Für \(x \to \infty\) strebt der Nenner \(x^2 + 5\) gegen Unendlich, sodass der Bruch \(\frac{40}{x^2 + 5}\) gegen \(0\) strebt. 3. Untersuchung der Potenzfunktion: Da der Exponent \(4\) positiv ist und der Koeffizient \(0{,}00001 > 0\) ist, strebt der Term \(0{,}00001x^4\) für \(x \to \infty\) gegen \(+\infty\). 4. Gesamtergebnis: Da die Potenzfunktion mit der höchsten Ordnung das langfristige Verhalten dominiert, gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\). 5. Beurteilung: Leons Aussage ist falsch. Die optische Annäherung an den Wert 8 im gewählten Ausschnitt ist irreführend, da der Einfluss des \(x^4\)-Terms bei diesen Werten noch sehr klein ist, langfristig aber jede Schranke übersteigt.

Leons Aussage ist falsch. Zwar nähert sich der Term \(8 - \frac{40}{x^2 + 5}\) für größer werdende \(x\) dem Wert \(8\) an, da der Bruch gegen \(0\) strebt. Jedoch dominiert für sehr große \(x\) der Term \(0{,}00001x^4\), welcher gegen \(+\infty\) strebt. Somit gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty\). Der scheinbare Grenzwert im Graph ist lediglich eine Folge des gewählten Sichtfensters, in dem der Einfluss der vierten Potenz noch nicht deutlich erkennbar ist.

- Überlege dir, ob eine Kurve, die sich nach unten bewegt, zwangsläufig bei null landen muss. - Was könnte mit dem Graphen rechts außerhalb des Bildrandes passieren? - Kannst du dir eine Funktionsgleichung vorstellen, die erst fällt und später wieder ansteigt? - Denke an den Unterschied zwischen einer Vermutung aufgrund einer Skizze und einem mathematischen Beweis.

1. Analyse des sichtbaren Bereichs: Der Graph fällt im Intervall \([0; 15]\) kontinuierlich ab und nähert sich der x-Achse. 2. Erkenntnistheoretische Einschränkung: Ein endlicher Ausschnitt eines Funktionsgraphen lässt niemals eine sichere Aussage über das globale Verhalten (den Grenzwert) im Unendlichen zu. 3. Gegenbeispiel: Eine Funktion wie beispielsweise \(f(x) = \frac{10}{x+1} + 0{,}02x\) zeigt in diesem Bereich einen fallenden Verlauf, strebt aber für \(x \to \infty\) aufgrund des linearen Terms gegen \(+\infty\). Ebenso könnte sich der Graph einer waagerechten Asymptote oberhalb der x-Achse nähern. 4. Fazit: Die Schlussfolgerung ist nicht zulässig, da der weitere Verlauf außerhalb des Sichtfensters unbekannt ist.

Die Schlussfolgerung von Lukas ist nicht zulässig. Allein aus einem endlichen Ausschnitt eines Graphen kann man den Grenzwert für \(x \to \infty\) nicht mit Sicherheit bestimmen. Auch wenn der Graph im sichtbaren Bereich fällt, könnte er außerhalb des Fensters wieder ansteigen (wie z. B. bei einer weit geöffneten Parabel) oder sich einer waagerechten Asymptote \(y = c\) mit \(c \neq 0\) nähern.

- Was passiert mit dem Bruchterm, wenn \( x \) sehr groß wird? Das hilft dir, die Asymptote zu finden. - Ein Streifen mit einer bestimmten Breite erstreckt sich von der Mittellinie aus gleich weit nach oben und unten. - Stelle eine Ungleichung für den Abstand zwischen Funktionswert und Asymptote auf. - Löse die Ungleichung nach \( x \) auf, um den Bereich zu bestimmen, in dem der Graph im Streifen verläuft.

1. Die waagerechte Asymptote liegt bei \( y = 5 \). Da die Streifenbreite \( 0{,}5 \) beträgt, liegt ein Punkt innerhalb des Streifens, wenn sein vertikaler Abstand zur Asymptote kleiner als \( 0{,}25 \) ist, also \( |g(x) - 5| < 0{,}25 \). 2. Untersuchung für \( x = 10 \): \( |g(10) - 5| = \left| \frac{10}{2 \cdot 10 + 1} \right| = \frac{10}{21} \approx 0{,}476 \). Da \( 0{,}476 > 0{,}25 \), liegt der Punkt außerhalb. 3. Untersuchung für \( x > 19{,}5 \): Der Abstand zur Asymptote ist \( d(x) = \frac{10}{2x + 1} \). Die Bedingung \( \frac{10}{2x + 1} < 0{,}25 \) führt auf \( 10 < 0{,}25(2x + 1) \), woraus \( 40 < 2x + 1 \) und somit \( 39 < 2x \) bzw. \( x > 19{,}5 \) folgt. Damit liegen alle Punkte mit \( x > 19{,}5 \) innerhalb des Streifens.

1. Da der Abstand \( |g(10) - 5| = \frac{10}{21} \approx 0{,}476 \) größer als die halbe Streifenbreite \( 0{,}25 \) ist, liegt der Punkt außerhalb. 2. Die Bedingung \( \frac{10}{2x + 1} < 0{,}25 \) ist für alle \( x > 19{,}5 \) erfüllt, sodass diese Punkte innerhalb des Streifens liegen.

- Die waagerechte Asymptote gibt den Wert an, dem sich die Funktion für sehr große \( x \) annähert. - Der Abstand zwischen zwei Werten lässt sich mathematisch durch den Betrag ihrer Differenz ausdrücken. - Berücksichtige beim Lösen der Ungleichung das Vorzeichen des Nenners für den betrachteten Bereich \( x > -2 \).

1. Asymptoten: Die Nullstelle des Nenners \( 0{,}5x + 1 = 0 \) führt zur senkrechten Asymptote \( x = -2 \). Der Grenzwert für \( x \to \pm \infty \) ist \( -2 \), daher ist die waagerechte Asymptote \( y = -2 \). 2. Ansatz für die Abweichung: Gesucht ist \( x > -2 \), sodass \( |g(x) - (-2)| < 0{,}1 \). Einsetzen ergibt \( |\frac{3}{0{,}5x + 1} - 2 + 2| < 0{,}1 \), also \( |\frac{3}{0{,}5x + 1}| < 0{,}1 \). 3. Da \( x > -2 \), ist der Nenner \( 0{,}5x + 1 > 0 \). Die Betragsstriche können weggelassen werden: \( \frac{3}{0{,}5x + 1} < 0{,}1 \). 4. Umformen der Ungleichung: \( 3 < 0{,}1 \cdot (0{,}5x + 1) \Rightarrow 3 < 0{,}05x + 0{,}1 \Rightarrow 2{,}9 < 0{,}05x \). 5. Division durch \( 0{,}05 \): \( x > 58 \).

a) Senkrechte Asymptote: \( x = -2 \); waagerechte Asymptote: \( y = -2 \) b) Die Funktionswerte weichen für \( x > 58 \) um weniger als \( 0{,}1 \) von der waagerechten Asymptote ab.

- Wie groß ist der maximale Abstand zur Asymptote, wenn die Streifenbreite \( 0{,}01 \) beträgt? - Stelle eine allgemeine Ungleichung mit dem Parameter \( a \) auf. - Isoliere die Variable \( x \) in deiner Ungleichung. - Was passiert mit dem Wert für \( x \), wenn du für \( a \) eine größere Zahl einsetzt?

1. Der Streifen der Breite \( 0{,}01 \) um \( y = 2 \) entspricht dem Intervall \( [1{,}995; 2{,}005] \). Die Abweichung von der Asymptote darf also maximal \( 0{,}005 \) betragen. 2. Bedingung für \( x > 0 \): \( g_a(x) - 2 < 0{,}005 \). 3. Einsetzen: \( \frac{a}{x} < 0{,}005 \). 4. Umformen nach \( x \) (da \( x, a > 0 \)): \( x > \frac{a}{0{,}005} \), was \( x > 200a \) entspricht. 5. Die Stelle \( x_{\text{start}} \) ist somit direkt proportional zu \( a \) mit \( x_{\text{start}} = 200a \). 6. Begründung: Ein größerer Wert von \( a \) bewirkt eine Streckung des Graphen in y-Richtung. Dadurch werden die Funktionswerte „langsamer“ klein genug, um in den schmalen Streifen um die Asymptote einzutreten. Je größer \( a \), desto weiter rechts liegt der Eintrittspunkt in den Streifen.

Es gilt \( x_{\text{start}} = 200a \). Die Stelle \( x_{\text{start}} \) ist direkt proportional zum Parameter \( a \). Je größer \( a \) gewählt wird, desto größer muss \( x \) sein, damit der Graph in den Streifen eintritt, da der Zähler die Abweichung von der Asymptote vergrößert.

- Kannst du den Bruch so umformen, dass eine Konstante und ein Kehrwertterm sichtbar werden? - Welches Vorzeichen hat der Kehrwertterm für \(x>0\)? - Unterscheide sorgfältig zwischen „eine obere Schranke sein“ und „der Wert sein, dem sich die Funktion annähert“.

1. Durch Umformen erhält man \(f(x)=4-\frac{5}{x+1}\). Für \(x\to\infty\) wird der Kehrwertterm \(\frac{5}{x+1}\) beliebig klein. Daher gilt \(L=4\). 2. Für \(x>0\) gilt \(x+1>0\) und damit \(\frac{5}{x+1}>0\). Also ist \(f(x)=4-\frac{5}{x+1}<4<5\). Somit sind alle Funktionswerte kleiner als \(5\). 3. Die Zahl \(5\) ist zwar eine obere Schranke, aber der tatsächliche Grenzwert ist \(4\). Aus „nach oben beschränkt“ folgt nicht, dass die angegebene Schranke selbst der Grenzwert sein muss.

1. \(\lim_{x\to\infty}f(x)=4\). 2. Für \(x>0\) gilt \(f(x)=4-\frac{5}{x+1}<4<5\). 3. Die Behauptung ist falsch: \(5\) ist nur eine obere Schranke; der Grenzwert ist \(4\).

- Erinnere dich daran, gegen welchen Wert \(2^x\) strebt, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. - Der Abstand zwischen einem Funktionswert und der Asymptote \(y=c\) wird durch den Betrag \(|f(x) - c|\) beschrieben. - Nutze Logarithmengesetze, um die Unbekannte im Exponenten zu isolieren. - Überlege bei Teilaufgabe c), ob du die Rechnung für \(x_0\) mit dem neuen Wert einfach wiederholen kannst, um den Unterschied zu sehen.

1. Grenzwert: Für \(x \to -\infty\) gilt \(2^x \to 0\), also \(g(x) \to 4 - 3 \cdot 0 = 4\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 4\). 2. Bedingung für den Streifen: Der Abstand zur Asymptote muss kleiner als die halbe Breite sein: \(|g(x) - 4| < 0{,}01\). \(|4 - 3 \cdot 2^x - 4| < 0{,}01 \implies |-3 \cdot 2^x| < 0{,}01 \implies 3 \cdot 2^x < 0{,}01\). 3. Berechnung von \(x_0\): \(2^x < \frac{0{,}01}{3} \approx 0{,}00333\). \(x < \frac{\ln(0{,}01/3)}{\ln(2)} \approx -8{,}23\). Also \(x_0 \approx -8{,}23\). 4. Reduzierte Breite: \(w_{\text{neu}} = 0{,}005 \implies\) halbe Breite ist \(0{,}0025\). \(3 \cdot 2^x < 0{,}0025 \implies 2^x < \frac{0{,}0025}{3}\). \(x_{\text{neu}} < \frac{\ln(0{,}0025/3)}{\ln(2)} \approx -10{,}23\). 5. Differenz: \(x_{\text{neu}} - x_0 = -10{,}23 - (-8{,}23) = -2\). Der Schwellenwert verringert sich um \(2\).

a) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = 4\); waagerechte Asymptote \(y = 4\). b) \(x_0 = \frac{\ln(0{,}01/3)}{\ln(2)} \approx -8{,}23\). c) Der Wert \(x_0\) verringert sich um genau \(2\) (da \(\log_2(1/4) = -2\)).

- Trenne bei Teil b) die beiden Summanden und untersuche sie unabhängig voneinander. - Kannst du den Bruch so umformen, dass eine Konstante plus ein Term sichtbar wird, dessen Nenner immer größer wird? - Welcher Summand kann für große positive \(x\) betragsmäßig unbegrenzt wachsen? - Vergleiche anschließend deine Rechnung mit der Vermutung aus dem begrenzten Graphenausschnitt.

1. Im dargestellten Bereich fällt der Graph rechts von seinem hohen Anfangswert und scheint sich der \(x\)-Achse anzunähern. Aus dem Bild allein könnte man daher einen endlichen Grenzwert nahe \(0\) vermuten. 2. Der erste Summand lässt sich umformen zu \(\frac{4x^2+50}{x^2+10}=4+\frac{10}{x^2+10}\). Für \(x\to\infty\) wird \(\frac{10}{x^2+10}\) beliebig klein, also nähert sich dieser Summand dem Wert \(4\). 3. Der Term \(-0{,}00005x^4\) fällt für \(x\to\infty\) unbegrenzt gegen \(-\infty\). 4. Der negative Term vierten Grades bestimmt schließlich das Gesamtverhalten. Daher gilt \(\lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty\). 5. Die Abbildung zeigt nur einen begrenzten Ausschnitt und kann deshalb das spätere starke Fallen des Graphen nicht vollständig sichtbar machen.

a) Aus dem dargestellten Ausschnitt könnte man einen endlichen Grenzwert nahe \(0\) vermuten. b) Es gilt \(\frac{4x^2+50}{x^2+10}=4+\frac{10}{x^2+10}\to 4\), während \(-0{,}00005x^4\to-\infty\). Daher ist \(\lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty\). Der dargestellte Ausschnitt ist für das globale Verhalten irreführend.

- Um welchen festen \(y\)-Wert schwingt der Graph im rechten Bereich? - Wie groß kann \(|\sin(x)|\) höchstens sein? - Nutze diese Schranke, um den Abstand von \(f(x)\) zum vermuteten Grenzwert abzuschätzen. - Was geschieht mit dieser Abstandsschranke, wenn \(x\) wächst?

1. Im Graphen erkennt man eine Oszillation um \(y=2\), deren Ausschläge mit wachsendem \(x\) immer kleiner werden. 2. Wegen \(|\sin(x)|\le 1\) gilt \(\left|\frac{8\sin(x)}{x}\right|\le\frac{8}{x}\) für \(x>0\). 3. Der Wert \(\frac{8}{x}\) kann für genügend große \(x\) beliebig klein gemacht werden. Damit liegt \(\frac{8\sin(x)}{x}\) schließlich in jedem noch so schmalen Streifen um \(0\). 4. Folglich nähert sich \(f(x)=2+\frac{8\sin(x)}{x}\) dem Wert \(2\). Es gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\), und die waagerechte Asymptote lautet \(y=2\).

\(\lim_{x\to\infty}f(x)=2\). Die waagerechte Asymptote ist \(y=2\). Entscheidend ist \(\left|\frac{8\sin(x)}{x}\right|\le\frac{8}{x}\), wobei die rechte Seite für große \(x\) beliebig klein wird.

- Für den dargestellten rechten Ast gilt: Er nähert sich für \(x \to \infty\) der Geraden \(y = 0\), ohne sie dort zu erreichen. - Stelle dir waagerechte Linien für verschiedene Werte von \(k\) vor und zähle die Schnittpunkte. - Überlege dir genau, was an den Extrempunkten (Hochpunkt, Tiefpunkt) und an der Asymptote mit der Anzahl der Lösungen passiert. - Beachte das Verhalten der Funktion für sehr kleine (negative) und sehr große (positive) x-Werte.

1. Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Der Graph schneidet die Achse bei \(x = -3\) und \(x = 0\). Es gibt also 2 Nullstellen. 2. Genau zwei Lösungen gibt es in zwei Bereichen: - Wenn \(k\) zwischen dem globalen Minimum und der x-Achse liegt (einschließlich der x-Achse selbst, da der rechte Ast den Wert \(0\) nicht erreicht). Also für \(-2 < k \le 0\). - Genau am lokalen Maximum bei \(k = 2\) (ein Berührpunkt bei \(x = 2\) und ein Schnittpunkt mit dem linken Ast). 3. Drei Lösungen gibt es, wenn die Gerade \(y = k\) den „Hügel“ auf der rechten Seite zweimal schneidet und zusätzlich den ansteigenden Ast auf der linken Seite. Dies ist im Bereich zwischen der x-Achse und dem lokalen Hochpunkt der Fall: \(0 < k < 2\). 4. Keine Lösung gibt es unterhalb des globalen Minimums, also für \(k < -2\). (Bei \(k = -2\) gibt es genau eine Lösung).

a) Die Funktion hat 2 Nullstellen. b) Für \(k \in (-2; 0] \cup \{2\}\). c) Für \(k \in (0; 2)\). d) Für \(k < -2\).