Kostenlose Arbeitsblätter

- Ein Punkt auf dem Graphen erfüllt die Funktionsgleichung. - Setze die beiden Koordinaten von \(P\) für \(x\) und \(f(x)\) ein.

1. Einsetzen von \(P(2\mid3)\) liefert \(3=\frac{a}{2}\). Daher ist \(a=6\).

\(a=6\)

- Die senkrechte Asymptote liegt dort, wo der Nenner null wird. - Vergleiche die Nullstelle von \(x-c\) mit der angegebenen Asymptote.

1. Der Nenner wird bei \(x=c\) null. Da die senkrechte Asymptote bei \(x=4\) liegt, gilt \(c=4\).

\(c=4\)

- Welcher Teil der Funktionsgleichung bestimmt das Verhalten der Funktion für extrem große oder kleine \(x\)-Werte? - Was passiert mit dem Nenner an der Stelle, an der eine senkrechte Asymptote vorliegt? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um eine unbekannte Variable in einer Gleichung zu finden?

1. Aus der waagrechten Asymptote \(y = 4\) folgt direkt der Parameter \(y_0 = 4\), da dies der Grenzwert für \(|x| \to \infty\) ist. 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke \(x = -1\). Aus der Bedingung \(x - x_0 = 0\) für \(x = -1\) ergibt sich \(-1 - x_0 = 0\), also \(x_0 = -1\). 3. Durch Einsetzen der bekannten Parameter in den Funktionsterm erhält man die Form \(f(x) = \frac{a}{x + 1} + 4\). 4. Die Punktprobe mit \(P(1 \mid 5)\) liefert die Gleichung \(5 = \frac{a}{1 + 1} + 4\). 5. Subtraktion von \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(1 = \frac{a}{2}\), woraus \(a = 2\) folgt.

\(x_0 = -1\); \(y_0 = 4\); \(a = 2\); Funktionsterm: \(f(x) = \frac{2}{x + 1} + 4\)

- Die vorgegebene Nullstelle legt einen Linearfaktor im Zähler nahe. - Für die Polstelle ist ein Nennerfaktor mit Nullstelle \(x=-3\) erforderlich. - Vergleiche das Verhalten von \(\frac1x\) und \(\frac1{x^2}\) an ihrer Polstelle, um den Vorzeichenwechsel zu beurteilen.

1. Die Nullstelle bei \(x=5\) wird durch den Faktor \((x-5)\) im Zähler erzeugt. 2. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x=-3\) lässt sich im Rahmen einfacher gebrochen-rationaler Funktionen durch den doppelten Nennerfaktor \((x+3)^2\) erzeugen. 3. Ein möglicher Funktionsterm ist daher \(f(x)=\frac{x-5}{(x+3)^2}\). Der Zähler ist bei \(x=-3\) ungleich null, sodass die Polstelle erhalten bleibt.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{x-5}{(x+3)^2}\).

- Was muss im Nenner stehen, damit die Funktion bei \(x = 4\) nicht definiert ist? - Wie unterscheidet sich der Exponent eines Faktors im Nenner bei einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel von einer ohne Vorzeichenwechsel? - Welche Bedingung müssen die Grade von Zähler- und Nennerpolynom erfüllen, damit eine waagrechte Asymptote ungleich Null existiert? - Wie hängen die Koeffizienten der höchsten Potenzen mit dem Wert der waagrechten Asymptote zusammen?

1. Bestimmung des Nenners: Da die Definitionsmenge \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{4\}\) ist und an der Stelle \(x = 4\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegen soll, muss der Nenner den Faktor \((x - 4)\) in einer ungeraden Potenz enthalten. Wir wählen den einfachsten Fall: \((x - 4)^1\). 2. Bestimmung des Zählers für die Asymptote: Eine waagrechte Asymptote \(y = -2\) erfordert, dass der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist und das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(-2\) beträgt. 3. Aufstellen des Terms: Ein möglicher Zähler ist \(-2x\). Damit ergibt sich die Funktion \(f(x) = \frac{-2x}{x - 4}\). 4. Überprüfung der Polstelle: Da der Zähler an der Stelle \(x = 4\) den Wert \(-8 \neq 0\) annimmt, liegt tatsächlich eine Polstelle vor. Da die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner ungerade ist, besitzt die Polstelle einen Vorzeichenwechsel.

\(f(x) = \frac{-2x}{x - 4}\) (oder auch \(f(x) = -2 + \frac{1}{x - 4}\))

- Überlege dir, wie der Funktionsterm aufgebaut sein muss, damit er sich für sehr große \(x\)-Werte einer Geraden annähert. - Welcher Teil des Funktionsterms sorgt dafür, dass an einer bestimmten Stelle eine senkrechte Asymptote entsteht? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um eine unbekannte Konstante im Term zu berechnen?

1. Da die schräge Asymptote \(y = 2x - 4\) und die senkrechte Asymptote \(x = 3\) bekannt sind, wird der Ansatz \(f(x) = 2x - 4 + \frac{a}{x - 3}\) gewählt. 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(4 \mid 6)\) in den Ansatz: \(6 = 2 \cdot 4 - 4 + \frac{a}{4 - 3}\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(6 = 4 + a\). 4. Bestimmung des Parameters \(a\): \(a = 2\). 5. Einsetzen von \(a\) in den Ansatz ergibt den Funktionsterm: \(f(x) = 2x - 4 + \frac{2}{x - 3}\).

\(f(x) = 2x - 4 + \frac{2}{x - 3}\) (oder in der Form \(f(x) = \frac{2x^2 - 10x + 14}{x - 3}\))

- Welche Information liefert dir die senkrechte Asymptote für den Nenner des Funktionsterms? - Was bedeutet eine waagerechte Asymptote für das Verhältnis der Grade von Zähler- und Nennerpolynom? - Wie kannst du den gegebenen Punkt auf der \(y\)-Achse nutzen, um einen noch unbekannten Parameter zu berechnen? - Überlege dir zuerst einen allgemeinen Ansatz für den Funktionsterm.

1. Ansatz für eine einfache gebrochen-rationale Funktion mit senkrechter Asymptote bei \(x = 3\): \(f(x) = \frac{ax + b}{x - 3}\). 2. Bestimmung von \(a\) über die waagerechte Asymptote: Da der Grad von Zähler und Nenner gleich sein muss und der Grenzwert für \(x \to \infty\) den Wert \(-1\) hat, folgt \(\frac{a}{1} = -1\), also \(a = -1\). 3. Bestimmung von \(b\) über den \(y\)-Achsenabschnitt: Einsetzen von \(x = 0\) und \(f(0) = 2\) in den Term \(f(x) = \frac{-x + b}{x - 3}\) ergibt \(\frac{b}{-3} = 2\). 4. Auflösen nach \(b\): \(b = 2 \cdot (-3) = -6\). 5. Aufstellen des Funktionsterms: \(f(x) = \frac{-x - 6}{x - 3}\).

\(f(x) = \frac{-x - 6}{x - 3}\) (oder ein wertgleicher Term)

- Bestimme zuerst die Positionen der beiden Asymptoten (die gestrichelten Linien) im Koordinatensystem. - Überlege, wie die Verschiebung einer Standardhyperbel in \(x\)- und \(y\)-Richtung mit den Parametern \(d\) und \(e\) zusammenhängt. - Welche Rolle spielt der Nenner eines Bruchs bei der senkrechten Asymptote? - Wenn du die Asymptoten bestimmt hast, kannst du die Koordinaten des markierten Punktes in die Gleichung einsetzen, um den verbleibenden Parameter zu berechnen.

1. Aus der Abbildung lässt sich die senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) ablesen. Da der Nenner der Funktion an dieser Stelle null wird, gilt \(x - d = 0 \implies -2 - d = 0\), woraus \(d = -2\) folgt. 2. Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 3\). Für große Beträge von \(x\) nähert sich der Bruchterm der Null, sodass sich der Funktionswert dem Wert \(e\) nähert. Somit ist \(e = 3\). 3. Mit \(d = -2\) und \(e = 3\) lautet der vorläufige Funktionsterm: \(f(x) = \frac{a}{x + 2} + 3\) 4. Um \(a\) zu bestimmen, wird die Punktprobe mit \(P(2 \mid 2)\) durchgeführt: \(2 = \frac{a}{2 + 2} + 3 \implies 2 = \frac{a}{4} + 3 \implies -1 = \frac{a}{4} \implies a = -4\) 5. Der vollständige Funktionsterm lautet somit \(f(x) = -\frac{4}{x + 2} + 3\) (oder gleichwertig \(f(x) = 3 - \frac{4}{x + 2}\)).

a) \(d = -2\) und \(e = 3\). b) \(f(x) = -\frac{4}{x + 2} + 3\) (bzw. \(f(x) = 3 - \frac{4}{x + 2}\)).

- Die vertikale Asymptote findest du dort, wo der Funktionswert nicht definiert ist. - Für die horizontale Asymptote schau dir den Grenzwert für \(x \to \pm\infty\) an. - Die Nullstelle ist der Punkt, an dem der Zähler des Funktionsterms null wird. - Setze \(x = 0\) in die Funktionsterme ein, um den \(y\)-Achsenabschnitt rechnerisch zu prüfen.

1. Asymptoten bestimmen: - Vertikale Asymptote (Polstelle): \(x = 1\). - Horizontale Asymptote (Verhalten im Unendlichen): \(y = 2\). 2. Achsenschnittpunkte ablesen: - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\). - Nullstelle (Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse): \(x = -2\), also \(N(-2 \mid 0)\). 3. Funktionsvorschrift prüfen: - Zu I): \(f(1)\) nicht definiert (passt). \(f(x) = \frac{2(x-1)+6}{x-1} = 2 + \frac{6}{x-1}\), horizontale Asymptote \(y=2\) (passt). Nullstelle: \(2x+4=0 \Rightarrow x=-2\) (passt). \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = \frac{4}{-1} = -4\) (passt). - Ergebnis: Vorschrift I) ist korrekt.

a) Vertikale Asymptote: \(x = 1\); horizontale Asymptote: \(y = 2\). b) \(y\)-Achsenabschnitt: \(S_y(0 \mid -4)\); Nullstelle: \(x = -2\). c) Die richtige Funktionsvorschrift ist I) \(f(x) = \frac{2x + 4}{x - 1}\).

- Beobachte, welchem Wert sich die Funktion für große Beträge von \(x\) nähert. - Suche einen Punkt auf dem Graphen mit ganzzahligen Koordinaten. - Setze die Koordinaten dieses Punktes in die Funktionsgleichung ein, um \(a\) zu berechnen.

1. Für große Beträge von \(x\) nähert sich der Graph der Geraden \(y = 2\). Somit ist die waagerechte Asymptote \(y = 2\), woraus \(c = 2\) folgt. 2. Ein gut ablesbarer Punkt ist \(P(1 \mid 3)\). Einsetzen in \(f(x) = \frac{a}{x^2} + 2\) ergibt \(3 = \frac{a}{1^2} + 2 \Rightarrow a = 1\). 3. Die Parameter sind \(a = 1\) und \(c = 2\).

\(a = 1\) und \(c = 2\)

- Die senkrechte Asymptote entspricht der Polstelle, also dem \(x\)-Wert, für den der Nenner null wird. - Die waagrechte Asymptote zeigt dir den Wert an, dem sich die Funktion für sehr große \(x\)-Werte annähert. - Wähle einen Punkt auf dem Graphen, dessen Koordinaten du exakt ablesen kannst, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Achte beim Ablesen auf die Skalierung der Achsen.

1. Bestimmung der Asymptoten: Aus dem Graphen liest man die senkrechte Asymptote bei \(x = 2\) ab (Definitionslücke), woraus \(x_0 = 2\) folgt. Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y = 1\), also ist \(c = 1\). Der Ansatz lautet somit \(g(x) = \frac{a}{x - 2} + 1\). 2. Berechnung von \(a\): Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \((-2 \mid 0)\) und die \(y\)-Achse bei \((0 \mid -1)\). Einsetzen von \((0 \mid -1)\) ergibt: \(-1 = \frac{a}{0 - 2} + 1 \Rightarrow -2 = \frac{a}{-2} \Rightarrow a = 4\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = \frac{4}{x - 2} + 1\). 3. Funktionswert berechnen: Für \(x = 6\) gilt \(g(6) = \frac{4}{6 - 2} + 1 = \frac{4}{4} + 1 = 1 + 1 = 2\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2 \Rightarrow x_0 = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1 \Rightarrow c = 1\). b) Mit dem Punkt \((0 \mid -1)\) ergibt sich \(a = 4\). Die Gleichung lautet \(g(x) = \frac{4}{x - 2} + 1\). c) Der Funktionswert an der Stelle \(x = 6\) ist \(g(6) = 2\).

- Die Asymptoten teilen das Koordinatensystem in Bereiche auf, in denen sich die Hyperbeläste befinden. - Der Parameter \(b\) verschiebt die Polstelle entlang der \(x\)-Achse. - Der Parameter \(c\) gibt an, um wie viel der Graph in \(y\)-Richtung verschoben wurde. - Wähle einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um \(a\) zu berechnen.

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 1\), daher ist \(b = 1\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y = 2\), daher ist \(c = 2\). 2. Ein gut ablesbarer Punkt ist der Ursprung \((0 \mid 0)\). Einsetzen in \(f(x) = \frac{a}{x - 1} + 2\) ergibt \(0 = \frac{a}{0 - 1} + 2\), also \(0 = -a + 2\), woraus \(a = 2\) folgt. Der Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2}{x - 1} + 2\). 3. Eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten subtrahiert \(3\) vom gesamten Funktionsterm. Die waagerechte Asymptote verschiebt sich ebenfalls um \(3\) Einheiten nach unten: \(y = 2 - 3 = -1\).

a) \(b = 1\), \(c = 2\). b) \(a = 2\). c) \(y = -1\).

- Welche Information über den Leitkoeffizienten im Zähler liefert die waagrechte Asymptote? - Lies anschließend die Koordinaten des markierten Punktes möglichst genau am Gitternetz ab. - Setze diesen Punkt in den Funktionsterm ein und prüfe am Ende beide graphischen Bedingungen.

1. Aus der Abbildung liest man die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. Zähler und Nenner haben denselben Grad, daher ist der Grenzwert für \(|x|\to\infty\) das Verhältnis der Leitkoeffizienten. Somit gilt \(a=2\). 2. Der markierte Punkt ist \(P(2\mid4)\). Daher gilt \(f(2)=4\), also \(\frac{4a+b}{3}=4\). 3. Mit \(a=2\) erhält man \(\frac{8+b}{3}=4\). Daraus folgt \(b=4\).

\(a=2\) und \(b=4\)

- Prüfe jede vorgegebene Eigenschaft getrennt; ein Term kann einige Bedingungen erfüllen und trotzdem insgesamt falsch sein. - Welche Parameter der gegebenen Form bestimmen die beiden Asymptoten unabhängig von \(a\)? - Nutze die Punktbedingung erst nach dieser Prüfung, um den noch freien Parameter zu bestimmen.

1. Der vorgeschlagene Term \(\frac{4}{x-2}+3\) besitzt tatsächlich die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=3\). 2. Für den vorgegebenen Punkt ergibt sich jedoch \(f(4)=\frac{4}{2}+3=5\). Damit liegt \(P(4\mid4)\) nicht auf dem vorgeschlagenen Graphen. 3. Für den richtigen Parameter muss \(4=\frac{a}{4-2}+3\) gelten. Daraus folgt \(1=\frac{a}{2}\) und somit \(a=2\). 4. Der korrigierte Funktionsterm lautet \(f(x)=\frac{2}{x-2}+3\). Er besitzt beide geforderten Asymptoten und erfüllt \(f(4)=4\).

Aikos Term erfüllt die beiden Asymptotenbedingungen, aber nicht die Punktbedingung, denn er liefert \(f(4)=5\). Richtig ist \(a=2\) und damit \(f(x)=\frac{2}{x-2}+3\).

- Welche Form muss ein Funktionsterm haben, damit er achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Was bedeutet eine waagrechte Asymptote für das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen \(x\)-Werten? - Wie hängen die Grade von Zähler und Nenner bei einer waagrechten Asymptote zusammen? - Wie nutzt man die Koordinaten eines Punktes, um Parameter in einem Funktionsterm zu bestimmen?

1. Ein einfacher Ansatz für eine zur \(y\)-Achse achsensymmetrische rationale Funktion verwendet im Zähler und Nenner nur gerade Potenzen von \(x\): \(f(x) = \frac{ax^2 + b}{x^2 + c}\). 2. Damit die Gerade \(y = 3\) eine waagrechte Asymptote ist, muss der Grenzwert für \(x \to \infty\) den Wert \(3\) ergeben. Dies wird erreicht, wenn das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen \(3\) ist, also \(a = 3\) bei einem Nennerkoeffizienten von \(1\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(y = 1\) bedeutet \(f(0) = 1\). Einsetzen in den Ansatz mit \(a = 3\) ergibt \(\frac{3 \cdot 0^2 + b}{0^2 + c} = \frac{b}{c} = 1\), woraus \(b = c\) folgt. Wählt man beispielsweise \(b = c = 1\), erhält man den Term \(f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x^2 + 1}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{3x^2 + 1}{x^2 + 1}\).

- Welche Rolle spielt der Nenner bei der Festlegung des Definitionsbereichs? - Wie muss der Zähler aussehen, damit eine bestimmte Zahl eine Nullstelle ist? - Muss man aufpassen, dass sich Zähler- und Nennernullstellen nicht gegenseitig beeinflussen? - Gibt es nur eine richtige Lösung oder sind verschiedene Funktionsterme denkbar?

1. Festlegung des Nenners: Damit die Definitionsmenge \(\mathbb{R} \setminus \{3; 5\}\) ist, muss das Nennerpolynom \(q(x)\) genau an den Stellen \(3\) und \(5\) Nullstellen haben. Ein möglicher Nenner ist \(q(x) = (x - 3)(x - 5)\). 2. Festlegung des Zählers: Damit die Funktion an der Stelle \(x = -2\) eine Nullstelle hat, muss das Zählerpolynom \(p(x)\) dort eine Nullstelle besitzen. Ein möglicher Zähler ist \(p(x) = x + 2\). 3. Überprüfung der Bedingungen: Da \(-2\) nicht in der Menge der Definitionslücken \(\{3; 5\}\) enthalten ist, bleibt \(x = -2\) eine gültige Nullstelle der Funktion. 4. Aufstellen des Terms: Ein möglicher Funktionsterm ist somit \(g(x) = \frac{x + 2}{(x - 3)(x - 5)}\) bzw. \(g(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 8x + 15}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x) = \frac{x + 2}{(x - 3)(x - 5)}\). Begründung: Der Nenner wird bei \(x=3\) und \(x=5\) null, was diese Werte aus der Definitionsmenge ausschließt. Der Zähler wird bei \(x=-2\) null, und da dieser Wert im Definitionsbereich liegt, ist er eine Nullstelle der Funktion.

- Überlege, wie sich Faktoren im Nenner auf die Definitionsmenge auswirken. - Was muss für die Faktoren im Zähler und Nenner gelten, damit eine Definitionslücke „hebbar“ ist? - Wie hängen die Grade von Zähler- und Nennerpolynom mit dem Verhalten im Unendlichen zusammen? - Denke an den Unterschied zwischen Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel.

1. Eine hebbare Definitionslücke bei \(x = 1\) erfordert den Faktor \((x - 1)\) sowohl im Zähler als auch im Nenner. 2. Eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\) erfordert eine ungerade Vielfachheit der Nullstelle im Nenner, zum Beispiel den Faktor \((x + 2)\). 3. Eine waagerechte Asymptote bei \(y = 2\) setzt voraus, dass Zähler- und Nennerpolynom denselben Grad haben und das Verhältnis ihrer Leitkoeffizienten \(2\) beträgt. 4. Mit dem Nenner \(q(x) = (x - 1)(x + 2)\) ergibt sich ein Zähler der Form \(p(x) = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x - a)\). Um den Grad anzugleichen und eine zusätzliche Nullstelle festzulegen, wählen wir \(a = 0\). 5. Dies führt zur Beispielfunktion \(f(x) = \frac{2x(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2x(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}\) oder in ausmultiplizierter Form \(f(x) = \frac{2x^2 - 2x}{x^2 + x - 2}\).

- Wenn eine Funktion keine Definitionslücken hat, was bedeutet das für die Nullstellen des Nenners? - Erinnere dich daran, welche Form ein quadratischer Term haben muss, damit er für alle reellen Zahlen ungleich Null ist. - Wie wird eine doppelte Nullstelle im Funktionsterm dargestellt? - Nutze den Punkt auf der \(y\)-Achse, um den Streckfaktor oder fehlende Parameter zu bestimmen.

1. Eine doppelte Nullstelle bei \(x = -1\) bedeutet, dass das Zählerpolynom den Faktor \((x + 1)^2\) enthält: \(p(x) = a \cdot (x + 1)^2\). 2. Damit keine Definitionslücken existieren, darf das Nennerpolynom \(q(x)\) vom Grad 2 keine reellen Nullstellen besitzen. Ein einfacher Ansatz ist \(q(x) = x^2 + c\) mit \(c > 0\). 3. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(P(0 \mid 2)\) liefert die Bedingung \(f(0) = 2\). 4. Einsetzen in den Ansatz: \(f(0) = \frac{a \cdot (0 + 1)^2}{0^2 + c} = \frac{a}{c} = 2\). Daraus folgt \(a = 2c\). 5. Wählt man beispielsweise \(c = 1\), so ergibt sich \(a = 2\). Damit lautet der Funktionsterm \(f(x) = \frac{2(x + 1)^2}{x^2 + 1}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2(x + 1)^2}{x^2 + 1}\).

- Überlege dir, welcher Teil des Bruchs (Zähler oder Nenner) für die Nullstellen verantwortlich ist. - Welche Auswirkung haben die Definitionslücken auf den Nennerterm? - Wie unterscheidet sich eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel von einer ohne Vorzeichenwechsel im Funktionsterm? - Wenn eine Funktion keine Nullstellen hat, was bedeutet das für den Zähler?

1. Eine Nullstelle bei \(x = 4\) wird durch den Linearfaktor \((x - 4)\) im Zähler realisiert. Die senkrechte Asymptote bei \(x = -1\) erfordert den Faktor \((x + 1)\) im Nenner. Ein möglicher Term ist \(f(x) = \frac{x - 4}{x + 1}\). 2. Die Definitionslücken bei \(x = 2\) und \(x = -2\) bedeuten, dass der Nenner die Faktoren \((x - 2)\) und \((x + 2)\) enthalten muss. Mit der Nullstelle \(x = 0\) (Faktor \(x\) im Zähler) ergibt sich \(f(x) = \frac{x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x}{x^2 - 4}\). 3. Damit keine Nullstellen existieren, kann der Zähler als konstante Zahl ungleich Null gewählt werden, zum Beispiel \(1\). Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 5\) wird durch eine gerade Potenz des Faktors \((x - 5)\) im Nenner erreicht. Ein möglicher Term ist \(f(x) = \frac{1}{(x - 5)^2}\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = \frac{x - 4}{x + 1}\) b) \(f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}\) c) \(f(x) = \frac{1}{(x - 5)^2}\)

- Wie hängen der Grad des Zählers und des Nenners mit dem Verhalten im Unendlichen (waagrechte Asymptote) zusammen? - Wenn ein Punkt auf dem Graphen gegeben ist, kannst du diesen nutzen, um einen unbekannten Streckungsfaktor im Funktionsterm zu bestimmen. - Was ist der Unterschied in der Vielfachheit der Nullstelle bei einem Schnittpunkt gegenüber einem Berührpunkt? - Erinnere dich, welche Gleichung die \(y\)-Achse im Koordinatensystem hat.

1. Die Nullstellen bei \(x = \pm 3\) erfordern im Zähler das Produkt \((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9\). Für eine waagrechte Asymptote bei \(y = 2\) müssen Zähler und Nenner den gleichen Grad haben und das Verhältnis der Leitkoeffizienten muss 2 sein. Mit einem Nenner ohne reelle Nullstellen wie \(x^2 + 1\) ergibt sich \(g(x) = \frac{2(x^2 - 9)}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 1}\). 2. Keine Nullstellen bedeutet ein konstanter Zähler \(c\). Die Definitionslücke bei \(x = 1\) erfordert den Nennerfaktor \((x - 1)\). Aus der Punktprobe mit \(P(0 \mid 4)\) folgt \(4 = \frac{c}{0 - 1}\), also \(c = -4\). Der Term lautet \(g(x) = \frac{-4}{x - 1}\). 3. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(x = 2\) entspricht einer doppelten Nullstelle, also dem Faktor \((x - 2)^2\) im Zähler. Die \(y\)-Achse als senkrechte Asymptote entspricht der Polstelle \(x = 0\). Ein möglicher Term ist \(g(x) = \frac{(x - 2)^2}{x}\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(g(x) = \frac{2x^2 - 18}{x^2 + 1}\) (oder auch \(g(x) = \frac{2x^2 - 18}{x^2}\)) b) \(g(x) = \frac{-4}{x - 1}\) c) \(g(x) = \frac{(x - 2)^2}{x}\)

- Was muss für die Grade von Zähler und Nenner gelten, damit die Funktion gegen Unendlich divergiert? - Wie hängen die Polstellen einer Funktion mit ihrem Funktionsterm zusammen? - Versuche, die Funktion zuerst als Summe aus einem linearen Teil und einem echten Bruchterm aufzuschreiben. - Wie kannst du sicherstellen, dass die Polstelle nicht durch eine Nullstelle im Zähler aufgehoben wird?

1. Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(-\infty\) divergiert, muss der Grad des Zählerpolynoms größer sein als der des Nennerpolynoms. Ein einfacher Ansatz ist eine Differenz der Grade von 1 mit einem negativen Leitkoeffizienten, was zu einer schrägen Asymptote führt. 2. Die senkrechte Asymptote bei \(x = 5\) lässt sich durch den Nennerterm \((x - 5)\) realisieren. 3. Ein möglicher Ansatz in Summenform ist \(f(x) = -x + \frac{1}{x - 5}\). Hierbei divergiert der Term \(-x\) gegen \(-\infty\) und der Bruchterm gegen \(0\). 4. Umformung in die Form \(\frac{p(x)}{q(x)}\): \(f(x) = \frac{-x(x - 5) + 1}{x - 5} = \frac{-x^2 + 5x + 1}{x - 5}\). 5. Überprüfung: Der Nenner hat bei \(x = 5\) eine Nullstelle, der Zähler hingegen nicht (\(-5^2 + 5 \cdot 5 + 1 = 1 \neq 0\)), womit die senkrechte Asymptote bestätigt ist.

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = \frac{-x^2 + 5x + 1}{x - 5}\).

- Welche Information über den Nenner erhältst du aus den senkrechten Asymptoten? - Was bedeutet eine waagrechte Asymptote für das Verhältnis der Grade von Zähler- und Nennerpolynom? - Wie nutzt du den Punkt \((0 \mid 0)\), um eine Unbekannte im Zähler zu bestimmen? - Achte darauf, dass die Polstellen tatsächlich „echte“ Pole sind und keine hebbaren Definitionslücken.

1. Da \(x = -1\) und \(x = 2\) senkrechte Asymptoten sind, muss der Nenner \(q(x)\) die Faktoren \((x + 1)\) und \((x - 2)\) enthalten. Ein möglicher Nenner ist \(q(x) = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\). 2. Für eine waagrechte Asymptote bei \(y = 1{,}5\) müssen Zähler und Nenner den gleichen Grad besitzen. Das Verhältnis der Leitkoeffizienten muss \(1{,}5\) ergeben. Der Zähler hat also die Form \(p(x) = 1{,}5x^2 + bx + c\). 3. Da der Graph durch den Koordinatenursprung \((0 \mid 0)\) verläuft, muss \(f(0) = 0\) gelten. Daraus folgt \(p(0) = 0\), also \(c = 0\). 4. Mit der Wahl \(b = 0\) ergibt sich der Zähler \(p(x) = 1{,}5x^2\). 5. Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = \frac{1{,}5x^2}{x^2 - x - 2}\). 6. Eine Überprüfung zeigt, dass die Zählernullstelle \(x = 0\) nicht mit den Nennernullstellen identisch ist, sodass die senkrechten Asymptoten erhalten bleiben.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{1{,}5x^2}{x^2 - x - 2}\).

- Überlege dir, welcher Teil des Bruchs (Zähler oder Nenner) für die Nullstellen verantwortlich ist. - Wie muss die Potenz eines Faktors im Nenner beschaffen sein, damit an dieser Stelle kein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Untersuche das Vorzeichen des Zählers in der Nähe der Polstelle, um den Grenzwert zu bestimmen.

1. Aus der Nullstelle \(x = 3\) folgt, dass der Zähler den Faktor \((x - 3)\) enthalten muss. Wir setzen den Zähler als \(p(x) = x - 3\). 2. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = -1\) erfordert eine gerade Potenz des Faktors \((x + 1)\) im Nenner. Wir wählen \(q(x) = (x + 1)^2\). 3. Die vorläufige Funktion \(f(x) = \frac{x - 3}{(x + 1)^2}\) wird auf das Grenzverhalten an der Polstelle geprüft: Für \(x \to -1\) strebt der Nenner gegen \(0^+\) (da er quadriert wird). Der Zähler strebt gegen \(-1 - 3 = -4\). 4. Der Grenzwert ergibt sich somit zu \(\frac{-4}{0^+} = -\infty\). Die Bedingung ist erfüllt.

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{x - 3}{(x + 1)^2}\).

- Die beiden vorgegebenen Nullstellen bestimmen zwei Linearfaktoren im Zähler. - Überlege, welche Vielfachheit der Nennernullstelle einen Pol ohne Vorzeichenwechsel erzeugt. - Für einen von null verschiedenen waagrechten Grenzwert sollten Zähler und Nenner denselben Grad haben. - Der Grenzwert legt anschließend das Verhältnis der Leitkoeffizienten fest.

1. Die Nullstellen \(-5\) und \(3\) liefern im Zähler die Faktoren \((x+5)\) und \((x-3)\). 2. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x=0\) wird durch den doppelten Nennerfaktor \(x^2\) erzeugt. Der Zähler ist bei \(x=0\) gleich \(-15\) und damit nicht null. 3. Zähler und Nenner haben nun beide Grad \(2\). Damit der Grenzwert im Unendlichen \(4\) beträgt, wird der Zähler mit \(4\) multipliziert. 4. Ein möglicher Term ist \(f(x)=\frac{4(x+5)(x-3)}{x^2}\). Das Verhältnis der Leitkoeffizienten ist \(4:1\), also gilt auf beiden Seiten \(f(x)\to4\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{4(x+5)(x-3)}{x^2}\).

- Wie muss die Potenz im Nenner beschaffen sein, damit an einer Polstelle kein Vorzeichenwechsel auftritt? - Wie kannst du eine waagrechte Asymptote \(y = c\) direkt in einen Funktionsterm der Form \(f(x) = c + \dots\) einbauen? - Hast du eine Idee, wie du die Information über den Punkt \(P(2 \mid 2)\) nutzen kannst, um einen noch unbekannten Parameter im Term zu berechnen? - Überprüfe am Ende, ob deine Funktion für \(x = 0\) tatsächlich eine Polstelle hat (Zähler darf dort nicht null sein).

1. Festlegung des Nenners: Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei \(x = 0\) erfordert einen Faktor \(x^n\) im Nenner, wobei \(n\) eine gerade natürliche Zahl sein muss. Wir wählen \(x^2\). 2. Ansatz für die waagrechte Asymptote: Damit \(y = 1\) die waagrechte Asymptote ist, wählen wir den Ansatz \(h(x) = 1 + \frac{a}{x^2}\). Dies stellt sicher, dass der Grenzwert für \(x \to \infty\) den Wert \(1\) ergibt und der Nennergrad gleich dem Zählergrad ist. 3. Bestimmung des Parameters \(a\): Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 \mid 2)\) in die Gleichung: \(2 = 1 + \frac{a}{2^2}\). Daraus folgt \(1 = \frac{a}{4}\), also \(a = 4\). 4. Aufstellen des fertigen Terms: Durch Einsetzen von \(a = 4\) in den Ansatz erhält man \(h(x) = 1 + \frac{4}{x^2}\). Dies kann zu \(h(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2}\) zusammengefasst werden.

\(h(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2}\)

- Überlege dir zuerst, welche Informationen dir etwas über den Nenner verraten. - Wie unterscheiden sich Polstellen und hebbare Definitionslücken im Funktionsterm? - Was muss für die Grade von Zähler- und Nennerpolynom gelten, damit eine waagerechte Asymptote ungleich Null existiert? - Nutze den gegebenen Punkt, um einen noch unbekannten Parameter im Zähler zu berechnen.

1. Aus der senkrechten Asymptote bei \(x = 4\) folgt der Linearfaktor \((x - 4)\) im Nenner. 2. Die hebbare Definitionslücke bei \(x = 1\) erfordert den Faktor \((x - 1)\) sowohl im Zähler als auch im Nenner. 3. Wegen der waagerechten Asymptote \(y = 2\) müssen Zähler- und Nennergrad übereinstimmen. Mit dem bisherigen Nenner \((x - 4)(x - 1)\) muss der Zähler die Form \(2 \cdot (x - x_0)(x - 1)\) haben. 4. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 1)\) in den Ansatz \(h(x) = \frac{2(x - x_0)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)}\) zur Bestimmung von \(x_0\): \(1 = \frac{2(0 - x_0)(0 - 1)}{(0 - 4)(0 - 1)} = \frac{2x_0}{4} = 0{,}5x_0 \implies x_0 = 2\). 5. Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x) = \frac{2(x - 2)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)}\).

\(h(x) = \frac{2(x - 2)(x - 1)}{(x - 4)(x - 1)}\) (oder eine äquivalente Form)

- Wie kannst du durch eine geeignete Wahl gerader Potenzen die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse sicherstellen? - Ein Berührpunkt auf der \(x\)-Achse ist eine besondere Form einer Nullstelle. Was bedeutet das für deren Vielfachheit? - Wie hängen die senkrechten Asymptoten mit den Nullstellen des Nenners zusammen? - Erinnere dich an die Regel für waagerechte Asymptoten bei gebrochen-rationalen Funktionen.

1. Für einen einfachen achsensymmetrischen Ansatz wählen wir einen geraden Funktionsterm, also einen Term, in dem nur gerade Potenzen von \(x\) vorkommen. 2. Die senkrechten Asymptoten bei \(x = \pm 3\) führen auf den Nenner \((x - 3)(x + 3) = x^2 - 9\). 3. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse im Ursprung bedeutet eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit bei \(x = 0\), also den Zählerfaktor \(x^2\). 4. Die waagerechte Asymptote \(y = -1\) legt fest, dass das Verhältnis der Leitkoeffizienten von Zähler und Nenner \(-1\) sein muss. Da der Nenner mit \(x^2\) beginnt, muss der Zähler mit \(-x^2\) beginnen. 5. Durch Zusammenführen der Bedingungen ergibt sich der Term \(h(x) = \frac{-x^2}{x^2 - 9}\).

\(h(x) = \frac{-x^2}{x^2 - 9}\) (oder eine äquivalente Form)

- Welche Koordinaten des Symmetriezentrums entsprechen der senkrechten und der waagerechten Asymptote? - Wie kannst du einen Punkt nutzen, um eine unbekannte Konstante in einer Gleichung zu berechnen? - Um zwei Terme zu addieren, von denen einer ein Bruch ist, musst du sie auf denselben Nenner bringen. - Wie berechnet man allgemein die Schnittpunkte mit den Achsen?

1. Bestimmung der Parameter aus dem Symmetriezentrum: Da das Symmetriezentrum bei \(Z(4 \mid 3)\) liegt, sind die Asymptoten \(x=4\) und \(y=3\). Daraus folgt \(x_0 = 4\) und \(c = 3\). Der Ansatz lautet \(h(x) = \frac{k}{x-4} + 3\). 2. Bestimmung von \(k\) mit Punkt \(P(2 \mid 5{,}5)\): \(5{,}5 = \frac{k}{2-4} + 3 \Rightarrow 2{,}5 = \frac{k}{-2} \Rightarrow k = -5\). Somit ist \(h(x) = \frac{-5}{x-4} + 3\). 3. Umformung in einen Bruch: \(h(x) = \frac{-5 + 3(x-4)}{x-4} = \frac{3x-17}{x-4}\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0) = \frac{3 \cdot 0 - 17}{0 - 4} = \frac{-17}{-4} = 4{,}25\). Punkt \(S_y(0 \mid 4{,}25)\). 5. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle): \(3x-17 = 0 \Rightarrow x = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}\). Punkt \(N(5\frac{2}{3} \mid 0)\).

a) \(h(x) = \frac{-5}{x-4} + 3\) b) \(h(x) = \frac{3x-17}{x-4}\) c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 4{,}25)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(N(\frac{17}{3} \mid 0)\), wobei \(x \approx 5{,}67\).

- Welcher Parameter in der gegebenen Form beeinflusst direkt die Lage der Definitionslücke? - Was passiert mit dem Bruchterm, wenn x gegen Unendlich strebt? Welcher Parameter bleibt übrig? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein, um den letzten unbekannten Parameter zu finden. - Setze den gesamten Funktionsterm gleich Null und löse nach x auf. - Kombiniere die Funktion k mit dem zusätzlichen linearen Term, um die neue Asymptotengleichung zu identifizieren.

1. Parameter \(b\): Die senkrechte Asymptote liegt bei der Definitionslücke des Nenners, also \(b = 2\). 2. Parameter \(c\): Die waagrechte Asymptote entspricht dem konstanten Summanden für \(x \to \pm \infty\), also \(c = 3\). 3. Parameter \(a\): Einsetzen von \(P(3 \mid 5)\) in \(5 = \frac{a}{3-2} + 3\) führt zu \(5 = a + 3\), woraus \(a = 2\) folgt. Die Funktion lautet \(k(x) = \frac{2}{x-2} + 3\). 4. Nullstelle: Ansatz \(k(x) = 0 \implies \frac{2}{x-2} = -3 \implies 2 = -3(x-2) \implies 2 = -3x + 6 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}\). 5. Asymptoten von \(m\): Es gilt \(m(x) = -3x + 3 + \frac{2}{x-2}\). 6. Die senkrechte Asymptote von \(m\) liegt weiterhin bei \(x = 2\). 7. Die schräge Asymptote von \(m\) wird durch den linearen Anteil \(y = -3x + 3\) beschrieben, da der Restterm \(\frac{2}{x-2}\) für \(x \to \pm \infty\) gegen Null geht.

a) \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = 3\) b) Nullstelle bei \(x = \frac{4}{3}\) c) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); schräge Asymptote: \(y = -3x + 3\)

- Wie kannst du die Lage der Asymptoten im Graphen erkennen? - Welche Parameter in \(d+\frac{a}{x-x_0}\) hängen direkt mit den beiden Asymptoten zusammen? - Wie kannst du den verbleibenden Parameter mithilfe eines Punktes auf dem Graphen bestimmen? - Wähle für die Rechnung einen möglichst gut ablesbaren Punkt.

1. Für \(G_f\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=-1\) und die waagrechte Asymptote \(y=1\) ab. 2. Damit hat \(f\) die Form \(f(x)=1+\frac{a}{x+1}\). Der ablesbare Punkt \(P(2\mid0)\) liefert \(0=1+\frac{a}{3}\), also \(a=-3\). Somit ist \(f(x)=1-\frac{3}{x+1}\). 3. Für \(G_g\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=2\) und die waagrechte Asymptote \(y=-2\) ab. 4. Damit hat \(g\) die Form \(g(x)=-2+\frac{b}{x-2}\). Der ablesbare Punkt \(T(4\mid0)\) liefert \(0=-2+\frac{b}{2}\), also \(b=4\). Somit ist \(g(x)=-2+\frac{4}{x-2}\).

a) \(f\): \(x=-1\), \(y=1\); \(g\): \(x=2\), \(y=-2\) b) \(f(x)=1-\frac{3}{x+1}\); \(g(x)=-2+\frac{4}{x-2}\)

- Welche Informationen liefern die gestrichelten Linien und der Achsenschnittpunkt? - Wie hängen die Asymptoten mit den Parametern \(a\) und \(c\) zusammen? - Welchen Funktionswert hat \(f\) an einer Nullstelle? - Setze für Teil c) den bestimmten Term gleich dem vorgegebenen \(y\)-Wert.

1. Aus der Abbildung: senkrechte Asymptote \(x=2\), waagrechte Asymptote \(y=3\), Nullstelle \(x=-1\). 2. Damit sind \(a=3\) und \(c=2\). Aus \(f(-1)=0\) folgt \(3+\frac{b}{-3}=0\), also \(b=9\). Somit ist \(f(x)=3+\frac{9}{x-2}\). 3. Aus \(3+\frac{9}{x-2}=1\) folgt \(\frac{9}{x-2}=-2\), also \(x=-2{,}5\).

a) Waagrechte Asymptote \(y=3\); senkrechte Asymptote \(x=2\); Nullstelle \(x=-1\) b) \(f(x)=3+\frac{9}{x-2}\) c) \(x=-2{,}5\)

- Lies zuerst die senkrechte und die waagerechte Asymptote ab; sie bestimmen zwei der drei Parameter direkt. - Nutze anschließend einen gut ablesbaren Punkt des Graphen für den verbleibenden Parameter. - Vergleiche den gefundenen Term mit \(\frac{1}{x^2}\), um die Transformationen zu beschreiben. - Setze für die Nullstellen den Funktionsterm gleich \(0\).

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\). Daher gilt \(d=2\). Die waagerechte Asymptote liegt bei \(y=-1\), also ist \(c=-1\). 2. Der Graph enthält den Punkt \((0|0)\). Einsetzen ergibt \(0=\frac{a}{(0-2)^2}-1\), also \(\frac{a}{4}=1\) und damit \(a=4\). Somit lautet der Term \(f(x)=\frac{4}{(x-2)^2}-1\). 3. Ausgehend von \(g(x)=\frac{1}{x^2}\) wird der Graph um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben, in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(4\) gestreckt und um \(1\) Einheit nach unten verschoben. 4. Für die Nullstellen gilt \(\frac{4}{(x-2)^2}-1=0\). Daraus folgt \((x-2)^2=4\), also \(x=0\) oder \(x=4\).

a) \(a=4\), \(c=-1\), \(d=2\); also \(f(x)=\frac{4}{(x-2)^2}-1\) b) \(2\) Einheiten nach rechts, Streckung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(4\), \(1\) Einheit nach unten c) \(x_1=0\), \(x_2=4\)

- Welche Information über den Nenner liefert eine senkrechte Asymptote? - Welche Information über den Zähler liefert eine Nullstelle des Graphen? - Nutze die waagerechte Asymptote, um das Verhältnis der führenden Koeffizienten zu kontrollieren. - Ein weiterer gut ablesbarer Punkt kann deinen gefundenen Term prüfen.

a) Für \(f\) sind die Asymptoten \(x=1\) und \(y=1\); die Nullstelle ist \(x=-2\). Für \(g\) sind die Asymptoten \(x=-2\) und \(y=1\); die Nullstelle ist \(x=1\). b) Bei einem Term \(\frac{x+b}{x+c}\) liefert die Nullstelle den Zählerfaktor und die senkrechte Asymptote den Nennerfaktor. Daher passen \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) und \(g(x)=\frac{x-1}{x+2}\). Beide haben wegen gleicher Leitkoeffizienten die waagerechte Asymptote \(y=1\). c) Es gilt \(f(0)=\frac{2}{-1}=-2\) und \(g(0)=\frac{-1}{2}=-0{,}5\). Diese Werte stimmen mit den Achsenschnittpunkten der Abbildung überein.

\(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\), mit Asymptoten \(x=1\), \(y=1\) und Nullstelle \(x=-2\). \(g(x)=\frac{x-1}{x+2}\), mit Asymptoten \(x=-2\), \(y=1\) und Nullstelle \(x=1\).

- Welche Eigenschaften des Graphen geben Aufschluss über den Nenner? - Wie hängt die waagrechte Asymptote mit dem Parameter \(a\) zusammen? - Wie kannst du einen markierten Punkt nutzen, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen? - Wann ist ein Bruch gleich null?

1. Aus dem Graphen liest man senkrechte Asymptoten bei \(x=-1\) und \(x=1\). Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Die waagrechte Asymptote ist \(y=2\). 2. Aus \(x=\pm1\) folgt \(c=1\), aus \(y=2\) folgt \(a=2\). Die markierten Punkte sind \(A(0\mid8)\) und \(B(2\mid0)\). Aus \(A\) folgt \(8=\frac{b}{-1}\), also \(b=-8\). Damit ist \(f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-1}\). Der Punkt \(B\) bestätigt den Term. 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(S_y(0\mid8)\). Aus \(2x^2-8=0\) folgen \(x=\pm2\). Daher sind die \(x\)-Achsenabschnitte \((2\mid0)\) und \((-2\mid0)\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\); senkrechte Asymptoten \(x=-1\), \(x=1\); waagrechte Asymptote \(y=2\) b) \(A(0\mid8)\), \(B(2\mid0)\); \(a=2\), \(b=-8\), \(c=1\); \(f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-1}\) c) \(S_y(0\mid8)\), \((2\mid0)\), \((-2\mid0)\)

- Betrachte das Verhalten des Graphen an den Rändern des Koordinatensystems und an der Lücke, um die Asymptoten zu finden. - Wie hängen die Asymptoten einer gebrochen-rationalen Funktion mit den Parametern in ihrer Summenform zusammen? - Welchen Einfluss hat die Polstelle auf den Nenner des Bruchs? - Wie kannst du einen bekannten Punkt des Graphen nutzen, um eine unbekannte Variable in der Funktionsgleichung zu bestimmen? - Um einen Term mit einem Bruch und einer ganzen Zahl zusammenzufassen, hilft es, die Summanden auf denselben Nenner zu bringen.

1. Ablesen der Asymptoten aus der Grafik: Senkrechte Asymptote bei \(x = 2\), waagrechte Asymptote bei \(y = 1\). 2. Bestimmen der Parameter \(d\) und \(c\): Polstelle bei \(x = 2 \implies d = 2\). Grenzwert für \(x \to \pm\infty\) ist \(1 \implies c = 1\). Somit gilt \(f(x) = \frac{a}{x - 2} + 1\). 3. Berechnen des Parameters \(a\): Einsetzen von \(P(3 \mid 3)\) ergibt \(3 = \frac{a}{3 - 2} + 1 \implies 3 = a + 1 \implies a = 2\). Der Funktionsterm lautet somit \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + 1\). 4. Umformung durch Gleichnamigmachen: \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{2 + x - 2}{x - 2} = \frac{x}{x - 2}\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 2\); waagrechte Asymptote: \(y = 1\) b) \(d = 2\), \(c = 1\) und \(a = 2\). Damit ist \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + 1\). c) \(f(x) = \frac{2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{2 + x - 2}{x - 2} = \frac{x}{x - 2}\)

- Die senkrechte Asymptote legt direkt die Nullstelle des linearen Nenners fest. - Eine Nullstelle der Funktion liefert eine Gleichung für die Koeffizienten des Zählers. - Ein weiterer Punkt des Graphen liefert eine zweite unabhängige Gleichung. - Löse die beiden Beziehungen anschließend gemeinsam nach \(a\) und \(b\) auf.

a) Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=1\). Daher ist \(d=1\) und \(f(x)=\frac{ax^2+bx}{x-1}\). b) Wegen der Nullstelle bei \(x=3\) gilt \(9a+3b=0\), also \(b=-3a\). Der Punkt \(P(2\mid-2)\) liefert \(-2=\frac{4a+2b}{1}=4a+2b\). Mit \(b=-3a\) folgt \(-2=4a-6a=-2a\), also \(a=1\). Damit ist \(b=-3\). c) Der Funktionsterm lautet \(f(x)=\frac{x^2-3x}{x-1}\).

a) \(d=1\) b) \(a=1\), \(b=-3\) c) \(f(x)=\frac{x^2-3x}{x-1}\)

- Welche Information liefert die schräge Asymptote über den Anteil des Funktionsterms, der für große \(|x|\) dominiert? - Welche zusätzliche Struktur muss ein Term besitzen, damit bei \(x=2\) eine senkrechte Asymptote entsteht, ohne das Verhalten im Unendlichen zu verändern? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, sobald nur noch ein Parameter unbekannt ist?

1. Aus der schrägen Asymptote \(y=2x-3\) und der senkrechten Asymptote \(x=2\) ergibt sich der Ansatz \(f(x)=2x-3+\frac{k}{x-2}\). 2. Mit \(P(1\mid0)\) folgt \(0=2\cdot1-3+\frac{k}{1-2}=-1-k\). Daher ist \(k=-1\). 3. Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=2x-3-\frac{1}{x-2}\). 4. Als einzelner Bruch lautet derselbe Term \(f(x)=\frac{2x^2-7x+5}{x-2}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=2x-3-\frac{1}{x-2}\), äquivalent \(f(x)=\frac{2x^2-7x+5}{x-2}\).

- Welche Asymptoten kannst du im Graphen erkennen? - Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse und die \(y\)-Achse? - Wie hängen die Asymptoten mit den Leitkoeffizienten und der Nennernullstelle zusammen?

1. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=1\), daher passt ein Nenner \(x-1\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=2\), daher kann man \(f(x)=\frac{2x+b}{x-1}\) ansetzen. 2. Der Graph hat die Nullstelle \(x=-2\). Damit gilt \(2\cdot(-2)+b=0\), also \(b=4\). 3. Zur Kontrolle ist \(f(0)=\frac4{-1}=-4\), passend zum Graphen. 4. Somit ist \(f(x)=\frac{2x+4}{x-1}\).

\(f(x)=\frac{2x+4}{x-1}\)

- Welche Information liefern die symmetrisch liegenden Polstellen über den Nenner? - Welcher leicht ablesbare Punkt auf der \(y\)-Achse bestimmt den verbleibenden Parameter? - Passt das Verhalten für große \(|x|\) zu deinem gefundenen Term?

1. Der Graph besitzt Polstellen bei \(x=-1\) und \(x=1\). Aus \(1^2+b=0\) folgt \(b=-1\). Der Nenner ist also \(x^2-1\). 2. Der Graph verläuft durch \((0\mid-1)\). Damit gilt \(\frac{a}{-1}=-1\), also \(a=1\). 3. Wegen gleicher Leitkoeffizienten nähert sich der Graph für große \(|x|\) der Geraden \(y=1\), wie in der Abbildung. 4. Somit ist \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\).

\(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)

- Schau dir zuerst an, gegen welchen Wert die Funktionswerte für sehr große oder sehr kleine \(x\) streben. Das verrät dir die waagrechte Asymptote. - Wo schneiden die Graphen die \(x\)-Achse? Setze die Zähler der Funktionsterme gleich null, um die Nullstellen zu finden. - Überprüfe, ob ein Graph bei der Annäherung an die senkrechte Asymptote von oben oder von unten kommt. - Ein einzelner Punkt, wie zum Beispiel der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x=0\), kann helfen, eine Vermutung zu bestätigen.

1. Alle drei Funktionen haben eine Polstelle (senkrechte Asymptote) bei \(x = 3\), da dort der Nenner null wird. 2. Die waagrechten Asymptoten ergeben sich aus dem Verhalten für \(x \to \pm \infty\). Für \(f_1\) und \(f_3\) ist dies \(y = 1\), für \(f_2\) ist es \(y = 2\). Graph \(g\) nähert sich für große \(x\)-Werte der Geraden \(y = 2\) an, daher gehört er zu \(f_2(x)\). Die Nullstelle von \(f_2\) liegt bei \(x = 1\) (\(2x - 2 = 0\)), was zum Graphen \(g\) passt. 3. Die Graphen \(f\) und \(h\) haben beide die waagrechte Asymptote \(y = 1\). 4. Die Nullstelle von \(f_1\) liegt bei \(x = 2\) (\(x - 2 = 0\)). Dies entspricht dem Graphen \(f\). Zudem verläuft \(f\) für \(x > 3\) oberhalb der Asymptote \(y = 1\). 5. Die Nullstelle von \(f_3\) liegt bei \(x = 4\) (\(x - 4 = 0\)). Dies entspricht dem Graphen \(h\). Hier nähert sich der Graph für \(x > 3\) von unten an die Asymptote \(y = 1\) an. Ergebnis: Graph \(f\) gehört zu \(f_1\), Graph \(g\) zu \(f_2\) und Graph \(h\) zu \(f_3\).

Graph \(f\) gehört zu \(f_1(x) = \frac{x - 2}{x - 3}\); Graph \(g\) gehört zu \(f_2(x) = \frac{2x - 2}{x - 3}\); Graph \(h\) gehört zu \(f_3(x) = \frac{x - 4}{x - 3}\).

- Wie beeinflussen die Asymptoten die Parameter in der Grundform einer gebrochen-rationalen Funktion? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung und wie man Steigung und Achsenabschnitt bestimmt. - Wenn zwei Graphen sich schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein. Welche Gleichung musst du also aufstellen? - Um eine Gleichung mit einem Bruch aufzulösen, kannst du beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren.

1. Bestimmung von \(f(x)\): Aus dem Graphen lassen sich die Asymptoten \(x = 1\) und \(y = 1\) ablesen. Damit ergibt sich der Ansatz \(f(x) = \frac{a}{x - 1} + 1\). Einsetzen von \(P(3 \mid 3)\) liefert \(3 = \frac{a}{3 - 1} + 1\), woraus \(a = 4\) folgt. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{4}{x - 1} + 1\). 2. Bestimmung von \(g(x)\): Mit den Achsenschnittpunkten \((0 \mid 7)\) und \((7 \mid 0)\) ergibt sich der \(y\)-Achsenabschnitt \(n = 7\) und die Steigung \(m = \frac{0 - 7}{7 - 0} = -1\). Die Gleichung lautet \(g(x) = -x + 7\). 3. Berechnung der Schnittpunkte: Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{4}{x - 1} + 1 = -x + 7 \Rightarrow \frac{4}{x - 1} = -x + 6\). Multiplikation mit \((x - 1)\) führt auf \(4 = (-x + 6)(x - 1) = -x^2 + 7x - 6\). Umformen ergibt die quadratische Gleichung \(x^2 - 7x + 10 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ergeben sich \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 5\). 5. Bestimmung der \(y\)-Koordinaten: \(g(2) = -2 + 7 = 5\) und \(g(5) = -5 + 7 = 2\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid 5)\) und \(S_2(5 \mid 2)\).

a) \(f(x) = \frac{4}{x - 1} + 1\). b) \(g(x) = -x + 7\). c) Die Schnittpunkte sind \(S_1(2 \mid 5)\) und \(S_2(5 \mid 2)\).

- Schau dir an, an welcher Stelle der Graph betragsmäßig unbegrenzt wächst. Das ist deine senkrechte Asymptote. - Eine hebbare Definitionslücke erkennst du an einem kleinen Kreis im Graphen, der anzeigt, dass dort ein einzelner Punkt fehlt. - Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Diese Stelle liefert dir einen Faktor für den Zähler. - Um die Lücke „einzubauen“, muss derselbe Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen.

1. Senkrechte Asymptote: Der Graph wächst bei \(x = 1\) betragsmäßig unbegrenzt. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet \(x = 1\). 2. Hebbare Definitionslücke: Der offene Kreis liegt bei \(P(3 \mid 2)\). Damit liegt bei \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke vor. 3. Nullstelle und waagerechte Asymptote: Die Nullstelle liegt bei \(x = -1\). Für große Beträge von \(x\) nähert sich der Graph der Geraden \(y = 1\). 4. Funktionsterm aufstellen: Ein Term, der die Polstelle \(x = 1\), die Nullstelle \(x = -1\) und die hebbare Definitionslücke bei \(x = 3\) berücksichtigt, ist \(f(x) = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)}\).

a) Senkrechte Asymptote: \(x = 1\); hebbare Definitionslücke bei \(x = 3\) mit dem fehlenden Punkt \(P(3 \mid 2)\). b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)}\).

- Bei welchem \(x\)-Wert wächst der Graph ohne Schranke? - Welchem \(y\)-Wert nähert sich der Graph für große \(|x|\)? - Welcher einfache Ansatz enthält beide Asymptoten bereits? - Wie kannst du einen markierten Punkt nutzen, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen?

1. Der Graph besitzt bei \(x=2\) eine Polstelle. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\), und die senkrechte Asymptote ist \(x=2\). 2. Für \(x\to\pm\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y=2\), ohne diesen Wert zu erreichen. Daher ist die waagrechte Asymptote \(y=2\) und \(W_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 3. Ein passender Ansatz ist \(f(x)=2+\frac{a}{x-2}\). Mit \(A(0\mid1{,}5)\) folgt \(1{,}5=2-\frac{a}{2}\), also \(a=1\). 4. Damit ist \(f(x)=2+\frac{1}{x-2}=\frac{2x-3}{x-2}\). Der Punkt \(B(1{,}5\mid0)\) bestätigt den Term.

a) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); \(W_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) b) Senkrechte Asymptote \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\) c) Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x)=\frac{2x-3}{x-2}\).

- Bei welchen \(x\)-Werten wächst der Graph ohne Schranke? - Welchem \(y\)-Wert nähert sich der Graph für große \(|x|\)? - Wie kannst du die Achsensymmetrie im Aufbau eines einfachen Terms berücksichtigen? - Welcher bekannte Punkt bestimmt den noch fehlenden Parameter?

1. Der Graph besitzt senkrechte Asymptoten bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie die waagrechte Asymptote \(y=2\). Daher ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\). 2. Wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse und der Pole bei \(\pm2\) ist \(g(x)=\frac{2x^2+b}{x^2-4}\) ein einfacher Ansatz. Das Verhältnis der Leitkoeffizienten erzeugt die waagrechte Asymptote \(y=2\). 3. Mit \(S_y(0\mid-0{,}5)\) gilt \(-0{,}5=\frac{b}{-4}\), also \(b=2\). 4. Ein möglicher Funktionsterm lautet \(g(x)=\frac{2x^2+2}{x^2-4}\).

a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\); senkrechte Asymptoten \(x=-2\), \(x=2\); waagrechte Asymptote \(y=2\) b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x)=\frac{2x^2+2}{x^2-4}\).

- Welchen Geraden nähert sich der Graph für große Beträge der Variablen an? Das sind die Asymptoten. - Wie hängen die Polstelle (Nennernullstelle) und die senkrechte Asymptote zusammen? - Wähle einen gut ablesbaren Gitterpunkt des Graphen, um den Zähler des Bruchs zu berechnen.

1. Ablesen der Asymptoten aus der Grafik: Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 3\), die waagrechte Asymptote bei \(y = 1\). 2. Ansatz für den Funktionsterm einer einfach verschobenen Hyperbel: \(f(x) = \frac{a}{x - 3} + 1\). 3. Ablesen eines Punktes vom Graphen zur Bestimmung von \(a\). Der Punkt \(P(4 \mid 3)\) ist gut erkennbar. 4. Einsetzen von \(P(4 \mid 3)\) in den Ansatz: \(3 = \frac{a}{4 - 3} + 1 \Rightarrow 3 = a + 1 \Rightarrow a = 2\). 5. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{2}{x - 3} + 1\).

Die Asymptoten sind \(x = 3\) und \(y = 1\). Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{2}{x - 3} + 1\).

- Betrachte die gestrichelte Linie. Welche Steigung hat sie und wo schneidet sie die Achsen? - Der Graph nähert sich für große Beträge von \(x\) dieser Geraden an. Das ist der lineare Teil deines Funktionsterms. - Wo befindet sich die Definitionslücke der Funktion? - Wie kannst du den verbleibenden Parameter mithilfe eines gut ablesbaren Punktes bestimmen?

1. Die schräge Asymptote verläuft durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) und hat die Steigung \(1\), da sie auch durch \((1 \mid 1)\), \((2 \mid 2)\) usw. geht. Ihre Gleichung ist somit \(y = x\). 2. Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x = 0\). Der Funktionsterm hat also die Form \(f(x) = x + \frac{k}{x}\). 3. Zur Bestimmung von \(k\) wählen wir einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen, zum Beispiel \(P(1 \mid 3)\). 4. Einsetzen des Punktes: \(3 = 1 + \frac{k}{1} \Rightarrow 3 = 1 + k \Rightarrow k = 2\). 5. Der Funktionsterm ist \(f(x) = x + \frac{2}{x}\).

Die schräge Asymptote hat die Gleichung \(y = x\). Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = x + \frac{2}{x}\).

- Die beiden Asymptoten legen die Verschiebung des Grundgraphen \(\frac1x\) fest. - Ein markierter Punkt bestimmt anschließend den noch fehlenden Streckungsfaktor. - Vergleiche für die Monotonie den erhaltenen Graphen mit dem bekannten Grundgraphen der Kehrwertfunktion. - Verschiebungen ändern die Richtung der Monotonie innerhalb der entsprechenden Definitionsintervalle nicht.

a) Die senkrechte Asymptote liegt bei \(x=2\), also ist \(b=2\). Die waagrechte Asymptote liegt bei \(y=1\), also ist \(c=1\). Der Punkt \(P(3\mid2)\) liefert \(2=\frac{a}{3-2}+1\), daher ist \(a=1\). Somit gilt \(f(x)=\frac{1}{x-2}+1\). b) Die maximale Definitionsmenge ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Die senkrechte Asymptote lautet \(x=2\), die waagrechte Asymptote \(y=1\). c) Der Grundgraph von \(r(x)=\frac1x\) ist auf \(]-\infty;0[\) und auf \(]0;\infty[\) jeweils streng monoton fallend. Die Verschiebung um \(2\) nach rechts und \(1\) nach oben ändert dieses Monotonieverhalten nicht. Daher ist \(f\) auf \(]-\infty;2[\) und auf \(]2;\infty[\) jeweils streng monoton fallend.

a) \(f(x)=\frac{1}{x-2}+1\) b) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); Asymptoten \(x=2\) und \(y=1\) c) Streng monoton fallend auf \(]-\infty;2[\) und \(]2;\infty[\)

- Nutze Nullstelle und Asymptoten des Graphen, um einen passenden Term für \(k\) zu finden. - Welche Vorzeichenbedingung muss das Argument eines natürlichen Logarithmus erfüllen? - Teile die Zahlengerade an den Stellen auf, an denen Zähler oder Nenner von \(k\) null werden.

1. Der Graph zeigt eine senkrechte Asymptote bei \(x=2\), eine Nullstelle bei \(x=5\) und eine waagerechte Asymptote bei \(y=1\). Ein passender Funktionsterm ist daher \(k(x)=\frac{x-5}{x-2}\). 2. Für den Logarithmus muss \(k(x)>0\) gelten. Zu lösen ist also \(\frac{x-5}{x-2}>0\). 3. Für \(x<2\) sind Zähler und Nenner beide negativ, also ist der Quotient positiv. Für \(2<x<5\) haben Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen, also ist der Quotient negativ. Für \(x>5\) sind beide positiv. 4. Damit ist \(D_g=]-\infty;2[\cup]5;\infty[\). Das ist genau \(\mathbb{R}\setminus[2;5]\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(k(x)=\frac{x-5}{x-2}\). Es gilt \(D_g=]-\infty;2[\cup]5;\infty[=\mathbb{R}\setminus[2;5]\).

- Wo befindet sich die Definitionslücke der Funktion und was bedeutet das für den Nenner? - Welchem Wert nähert sich die Funktion, wenn die \(x\)-Werte sehr groß oder sehr klein werden? - Kannst du einen Punkt auf der \(y\)-Achse oder einen anderen markanten Punkt auf dem Gitter ablesen?

1. Die vertikale Asymptote liegt bei \(x = 2\). Da dies die Nullstelle des Nenners sein muss, folgt \(2 - c = 0\), also \(c = 2\). 2. Die horizontale Asymptote für \(x \to \pm\infty\) liegt bei \(y = 3\). Da der Grad von Zähler und Nenner gleich ist, entspricht dieser Wert dem Quotienten der Koeffizienten der höchsten Potenzen: \(\frac{a}{1} = 3\), woraus \(a = 3\) folgt. 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(y = 2\). Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung ergibt: \(f(0) = \frac{3 \cdot 0 + b}{0 - 2} = \frac{b}{-2} = 2\). Daraus folgt \(b = -4\). Die Parameter sind \(a = 3\), \(b = -4\) und \(c = 2\).

\(a = 3\), \(b = -4\) und \(c = 2\)

- Welche Parameter lassen sich unmittelbar aus der Lage der beiden Asymptoten erschließen? - Welche Bedingung erfüllt der Zähler an einer Nullstelle der Funktion? - Nutze zum Prüfen einen gut ablesbaren Punkt auf der \(y\)-Achse.

1. Aus dem Graphen lassen sich die Asymptoten \(x=-1\) und \(y=2\) ablesen. Aus \(x=-1\) folgt \(c=1\). Wegen der waagrechten Asymptote und der gleichen Grade von Zähler und Nenner gilt \(a=2\). 2. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Daher gilt \(2a+b=0\). Mit \(a=2\) folgt \(b=-4\). 3. Damit ist \(f(x)=\frac{2x-4}{x+1}\). Zur Kontrolle gilt \(f(0)=-4\), passend zum ablesbaren \(y\)-Achsenabschnitt \((0\mid-4)\).

a) \(a=2\), \(b=-4\), \(c=1\) b) \(f(0)=-4\); der Wert stimmt mit dem \(y\)-Achsenabschnitt des Graphen überein.

- Was sagt dir die Position der senkrechten Asymptote über den Nenner des Funktionsterms? - Wie hängen die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion mit ihrem Zähler zusammen? - Nutze die Quotientenregel, um die Steigungsfunktion zu bestimmen. - Setze die bekannte Steigung an der Stelle \(x = 2\) in deine Ableitung ein, um den fehlenden Parameter zu finden.

1. Die senkrechte Asymptote bei \(x = -2\) bestimmt den Nenner: \(-2 + c = 0 \Rightarrow c = 2\). 2. Da \(x = 2\) eine Nullstelle ist, muss der Zähler dort null werden: \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 = 0 \Rightarrow 4a + 2b = 0 \Rightarrow b = -2a\). Der Term lautet somit \(f(x) = \frac{ax^2 - 2ax}{x + 2}\). 3. Berechnung der Ableitung mit der Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{(2ax - 2a)(x + 2) - (ax^2 - 2ax) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{2ax^2 + 4ax - 2ax - 4a - ax^2 + 2ax}{(x + 2)^2} = \frac{ax^2 + 4ax - 4a}{(x + 2)^2}\). 4. Einsetzen der Steigung an der Stelle \(x = 2\): \(f'(2) = \frac{a \cdot 2^2 + 4a \cdot 2 - 4a}{(2 + 2)^2} = \frac{4a + 8a - 4a}{16} = \frac{8a}{16} = \frac{a}{2}\). Gegeben ist \(f'(2) = 0{,}5\), also \(\frac{a}{2} = 0{,}5 \Rightarrow a = 1\). 5. Damit ergibt sich \(b = -2 \cdot 1 = -2\). Der Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x + 2}\).

Die Parameter sind \(a = 1\), \(b = -2\) und \(c = 2\). Der Funktionsterm lautet \(f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x + 2}\).

- Wenn die waagrechte Asymptote nicht \(y=0\) ist, was sagt das über die Grade von Zähler und Nenner aus? - Wie viele Nullstellen muss der Zähler mindestens haben, wenn die Funktion zwei Nullstellen besitzt? - Wenn es nur eine senkrechte Asymptote gibt, der Nenner aber den gleichen Grad wie der Zähler haben muss, wie könnte die Nullstelle des Nenners beschaffen sein? - Wie verhinderst du, dass eine Nullstelle des Zählers durch eine Nullstelle des Nenners aufgehoben wird?

1. Da die waagrechte Asymptote \(y = -0{,}5\) nicht die \(x\)-Achse ist und die Funktion zwei Nullstellen besitzt, muss der Zählergrad mindestens 2 sein. Für einen einfachen Ansatz wählen wir Zähler und Nenner jeweils vom Grad 2; bei einer waagrechten Asymptote ungleich \(0\) müssen beide Grade übereinstimmen. 2. Für die einzige senkrechte Asymptote bei \(x = 3\) muss der Nenner eine Nullstelle bei 3 haben. Da der Nenner Grad 2 hat, wählen wir eine doppelte Nullstelle: \(D(x) = (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9\). 3. Die waagrechte Asymptote \(y = -0{,}5\) legt das Verhältnis der Leitkoeffizienten fest. Bei einem Nenner-Leitkoeffizienten von 1 muss der Zähler den Leitkoeffizienten \(a = -0{,}5\) haben. 4. Für genau zwei Nullstellen wählen wir zwei beliebige Werte für \(x\), die ungleich 3 sind, zum Beispiel \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\). Der Zähler lautet dann \(N(x) = -0{,}5 \cdot (x-0) \cdot (x-1) = -0{,}5x^2 + 0{,}5x\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(h(x) = \frac{-0{,}5x^2 + 0{,}5x}{x^2 - 6x + 9}\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(h(x) = \frac{-0{,}5x^2 + 0{,}5x}{x^2 - 6x + 9}\).

- Welche Gesamtkosten gelten in den drei durch die Schwellenwerte bestimmten Bereichen? - Durchschnittskosten erhältst du, indem du die Gesamtkosten durch die Gästezahl teilst. - Achte bei einer gefundenen Lösung darauf, ob sie in dem Intervall liegt, für dessen Formel du gerechnet hast. - Wie verändert sich ein positiver Bruch mit festem Zähler, wenn sein Nenner wächst?

1. Die Gesamtkosten sind abschnittsweise \(K(x)=25x+600\) für \(x<80\), \(K(x)=25x+300\) für \(80\le x<100\) und \(K(x)=25x+150\) für \(x\ge100\). Damit ist \(k(x)=\frac{K(x)}{x}\). 2. Es ist \(k(79)=25+\frac{600}{79}\approx32{,}59\,\text{€}\) und \(k(80)=25+\frac{300}{80}=28{,}75\,\text{€}\). Der Unterschied beträgt ungefähr \(3{,}84\,\text{€}\). 3. Im ersten Intervall ergibt \(25+\frac{600}{x}=35\) die Lösung \(x=60\), die mit \(60<80\) zum verwendeten Intervall gehört. 4. Für \(x\ge100\) gilt \(k(x)=25+\frac{150}{x}\). Dieser Ausdruck nimmt mit wachsendem \(x\) ab. Sein größter Wert in diesem Bereich ist daher \(k(100)=26{,}50\,\text{€}<27\,\text{€}\). Somit liegen alle Werte ab \(100\) Gästen unter \(27\,\text{€}\).

a) \(k(x)=25+\frac{600}{x}\) für \(x<80\); \(k(x)=25+\frac{300}{x}\) für \(80\le x<100\); \(k(x)=25+\frac{150}{x}\) für \(x\ge100\) b) Unterschied: ungefähr \(3{,}84\,\text{€}\) pro Person c) \(x=60\) Gäste d) Für \(x\ge100\) ist \(k(x)\le k(100)=26{,}50\,\text{€}<27\,\text{€}\).

- Bestimme zuerst die im Bild erkennbaren senkrechten und waagrechten beziehungsweise schrägen Asymptoten. - Wie kann ein Restterm aussehen, der an einer senkrechten Asymptote unbeschränkt wird, für große \(|x|\) aber gegen null geht? - Welchen markierten Punkt kannst du jeweils einsetzen, um den verbleibenden Parameter zu bestimmen?

1. Für \(f\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=-3\) und die waagrechte Asymptote \(y=2\) ab. Daher ist \(f(x)=2+\frac{k}{x+3}\) ein passender Ansatz. Mit dem markierten Punkt \((-2\mid3)\) folgt \(3=2+k\), also \(k=1\). Somit ist \(f(x)=2+\frac{1}{x+3}=\frac{2x+7}{x+3}\). 2. Für \(g\) liest man die senkrechte Asymptote \(x=4\) und die schräge Asymptote durch \((0\mid1)\) und \((2\mid0)\) ab. Deren Steigung ist \(-0{,}5\), also lautet sie \(y=-0{,}5x+1\). Ein passender Ansatz ist \(g(x)=-0{,}5x+1+\frac{c}{x-4}\). Mit dem markierten Punkt \((5\mid-2)\) folgt \(-2=-1{,}5+c\), also \(c=-0{,}5\). Damit ist \(g(x)=-0{,}5x+1-\frac{0{,}5}{x-4}\).

\(f(x)=2+\frac{1}{x+3}\), äquivalent \(f(x)=\frac{2x+7}{x+3}\) \(g(x)=-0{,}5x+1-\frac{0{,}5}{x-4}\), äquivalent \(g(x)=\frac{-0{,}5x^2+3x-4{,}5}{x-4}\)

- Übersetze die geforderte Definitionsmenge von \(\ln(k(x))\) zuerst in eine Vorzeichenbedingung für \(k\). - Vergleiche bei beiden Graphen, auf welchen Intervallen sie oberhalb der \(x\)-Achse liegen. - Nutze anschließend Nullstelle, Polstelle und einen gut ablesbaren Punkt, um den Faktor vor dem Bruch zu bestimmen.

1. Für \(D_g=]-4;2[\) muss \(k(x)>0\) genau für \(-4<x<2\) gelten. 2. Graph A liegt zwischen seiner Nullstelle bei \(x=-4\) und seiner Polstelle bei \(x=2\) oberhalb der \(x\)-Achse; außerhalb dieses Intervalls ist er negativ. Graph B besitzt nicht dieses Vorzeichenmuster. Daher ist Graph A gesucht. 3. Nullstelle und Polstelle führen zum Ansatz \(k(x)=a\frac{x+4}{2-x}\). Der Graph enthält den Punkt \(P(0\mid2)\). Damit gilt \(2=a\frac{4}{2}=2a\), also \(a=1\). 4. Somit ist \(k(x)=\frac{x+4}{2-x}\). Für diesen Term gilt \(k(x)>0\) genau auf \(]-4;2[\).

Graph A ist korrekt. Ein passender Funktionsterm ist \(k(x)=\frac{x+4}{2-x}\).

- Übersetze Nullstelle, Polstelle und waagrechte Asymptote jeweils in eine Bedingung an Zähler, Nenner oder Leitkoeffizienten. - Prüfe genau, ob in der Aufgabenstellung zusätzliche Nullstellen oder Polstellen ausgeschlossen werden. - Kontrolliere jeden konstruierten Term an allen drei vorgegebenen Eigenschaften und vergleiche anschließend die beiden Terme.

1. Für eine lineare Lösung müssen der Zähler bei \(x=1\) und der Nenner bei \(x=-2\) verschwinden. Ein Ansatz ist daher \(f_1(x)=\frac{k(x-1)}{x+2}\). Damit die waagrechte Asymptote \(y=2\) entsteht, muss das Verhältnis der Leitkoeffizienten \(2\) sein. Also ist \(k=2\) und \(f_1(x)=\frac{2(x-1)}{x+2}\). 2. Für eine quadratische Lösung können zusätzliche, voneinander verschiedene Faktoren gewählt werden, solange die drei geforderten Eigenschaften erhalten bleiben. Zum Beispiel ist \(f_2(x)=\frac{2(x-1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}\). 3. Bei \(f_2\) ist \(x=1\) eine Nullstelle, weil dort nur der Zähler verschwindet. Bei \(x=-2\) verschwindet nur der Nenner, also liegt dort eine Polstelle. Zähler und Nenner haben Grad \(2\), und das Verhältnis ihrer Leitkoeffizienten ist \(2\); daher ist \(y=2\) die waagrechte Asymptote. 4. Die Bedingungen verbieten keine weiteren Nullstellen oder Polstellen. Bei \(f_2\) kommen beispielsweise die Nullstelle \(x=3\) und die Polstelle \(x=4\) hinzu. Deshalb bestimmen die drei Angaben keinen eindeutigen Funktionsterm.

a) Zum Beispiel \(f_1(x)=\frac{2(x-1)}{x+2}\) b) Zum Beispiel \(f_2(x)=\frac{2(x-1)(x-3)}{(x+2)(x-4)}\) c) Die Vorgaben legen nur bestimmte Eigenschaften fest und schließen zusätzliche Nullstellen oder Polstellen nicht aus. Daher sind mehrere verschiedene Funktionsterme möglich.