- Welche Steigung hat die Tangente am tiefsten Punkt der Parabel? - Beobachte, ob der Graph rechts von \(x=2\) steigt oder fällt.

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=2\) eine waagerechte Tangente. Deshalb gilt \(f'(2)=0\). 2. Für \(x>2\) steigt der Graph von \(f\). Daher sind dort die Tangentensteigungen und damit die Werte von \(f'\) positiv.

1. Der Graph von \(f'\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). 2. Für \(x>2\) gilt \(f'(x)>0\).

- Was sagt der Wert der Ableitung über die Steigung der ursprünglichen Funktion aus? - Erinnere dich daran, welche Steigung eine Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Suche im Graphen nach Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt.

1. Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) entsprechen den Stellen, an denen der Graph der Funktion \(f\) eine waagerechte Tangente besitzt, also die lokale Steigung \(0\) aufweist. 2. Im Graphen von \(f\) erkennt man lokale Extrempunkte (ein Maximum und ein Minimum) bei den Stellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 3. An diesen Stellen ist die Steigung der Funktion null, folglich gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 4. Die gesuchten Nullstellen von \(f'\) liegen somit bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\).

Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). An diesen Stellen hat der Graph von \(f\) Extrempunkte und somit eine waagerechte Tangente (Steigung \(0\)).

- Die \(x\)-Koordinate eines Punktes von \(f'\) ist dieselbe Stelle, an der du die Tangente an \(f\) betrachtest. - Die zugehörige \(y\)-Koordinate im Ableitungsgraphen ist die Tangentensteigung. - Lies jede Tangente unabhängig von den anderen ab.

1. Bei \(x=-2\) hat die Tangente die Steigung \(-2\). Daher gehört \((-2\mid-2)\) zum Graphen von \(f'\). 2. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht. Daher gehört \((0\mid0)\) zum Graphen von \(f'\). 3. Bei \(x=2\) hat die Tangente die Steigung \(2\). Daher gehört \((2\mid2)\) zum Graphen von \(f'\).

\((-2\mid-2)\), \((0\mid0)\), \((2\mid2)\).

- Ein Ableitungswert ist die Steigung der Tangente an der betreffenden Stelle. - Lies für jede eingezeichnete Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Für die übrigen Stellen genügt die Frage, ob der Graph dort steigt, fällt oder waagerecht verläuft.

1. Auf \(t_1\) liegen zum Beispiel \((-2|0)\) und \(A(0|2)\). Daher ist \(f'(0)=\frac{2-0}{0-(-2)}=1\). 2. Auf \(t_2\) liegen zum Beispiel \(B(4|2)\) und \((6|0)\). Daher ist \(f'(4)=\frac{0-2}{6-4}=-1\). 3. Bei \(x=2\) ist die Tangente waagerecht, also \(f'(2)=0\). 4. Bei \(x=5\) fällt der Graph, also \(f'(5)<0\). 5. Bei \(x=-2\) steigt der Graph, also \(f'(-2)>0\).

a) \(f'(0)=1\) und \(f'(4)=-1\) b) \(f'(2)=0\), \(f'(5)<0\), \(f'(-2)>0\)

- Suche die Stellen, an denen der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente besitzt. - Wo steigt der Graph von \(f\), und welches Vorzeichen hat \(f'\) dort? - Nutze zwei Punkte der eingezeichneten Tangente, um ihre Steigung zu bestimmen.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher sind dies die Nullstellen von \(f'\). 2. Zwischen \(-1\) und \(1\) steigt der Graph von \(f\). Deshalb gilt dort \(f'(x)>0\). 3. Die Tangente \(t\) verläuft durch \(P(0\mid1)\) und \((1\mid2{,}5)\). Ihre Steigung ist \(\frac{2{,}5-1}{1-0}=1{,}5\). Somit gilt \(f'(0)=1{,}5\).

a) \(x_1=-1\) und \(x_2=1\). b) \(f'(x)>0\) für \(x\in(-1;1)\). c) \(f'(0)=1{,}5\).

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Lies zwei Gitterpunkte auf der eingezeichneten Tangente ab. - Für das Vorzeichen von \(f'\) genügt die Frage, wo \(f\) steigt.

1. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. Daher sind dies die Nullstellen von \(f'\). 2. Auf \(t\) liegen die gut ablesbaren Punkte \((-1\mid3)\) und \((1\mid-3)\). Daher ist \(f'(0)=\frac{-3-3}{1-(-1)}=-3\). 3. Im dargestellten Bereich steigt \(f\) für \(-5\le x<-2\) und für \(2<x\le5\). Dort gilt \(f'(x)>0\).

a) \(x=-2\), \(x=2\) b) \(f'(0)=-3\) c) \([-5;-2)\) und \((2;5]\)

- Wie hängen die lokalen Extrema einer Funktion mit ihrer Ableitung zusammen? - Welche Steigung hat eine waagerechte Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt? - Wie ist die Ableitung \(f'(x_0)\) geometrisch definiert? - Lies zwei Punkte der eingezeichneten Tangente \(t\) ab und berechne daraus ihre Steigung. - In welchen Bereichen fällt der Graph der Funktion \(f\), und was bedeutet das für das Vorzeichen der Ableitung?

1. Die Nullstellen von \(f'\) entsprechen den Stellen, an denen der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. Aus dem Hochpunkt bei \(x = -3\) und dem Tiefpunkt bei \(x = 3\) folgen die Nullstellen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\). 2. Der Wert \(f'(0)\) entspricht der Steigung der Tangente \(t\) im Punkt \((0 \mid 0)\). Die Tangente verläuft außerdem durch \((2 \mid -3)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{-3 - 0}{2 - 0} = -1{,}5\). 3. Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt fällt der Graph von \(f\). An den Randstellen ist die Ableitung gleich null. Daher gilt \(f'(x) < 0\) genau für \(x \in (-3; 3)\).

a) \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\). b) \(f'(0) = -1{,}5\). c) \(f'(x) < 0\) für \(x \in (-3; 3)\).

- Suche zuerst die waagerechte Tangente. - Prüfe links und rechts davon, ob \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche zusätzlich die Steilheit nahe bei \(0\) mit der Steilheit weiter außen.

1. Bei \(x=0\) besitzt \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher ist \(f'(0)=0\). 2. Für \(x<0\) steigt \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Für \(x>0\) fällt \(f\), also ist \(f'(x)<0\). 3. Je weiter man sich im dargestellten Bereich von \(x=0\) entfernt, desto steiler wird \(f\). Daher wächst der Betrag \(|f'(x)|\) dort.

1. \(f'(0)=0\). 2. Links von \(0\) ist \(f'>0\), rechts von \(0\) ist \(f'<0\); im dargestellten Bereich nimmt \(|f'|\) beim Entfernen von \(0\) zu.

- Eine waagerechte Tangente liefert einen Punkt des Ableitungsgraphen auf der x-Achse. - Bestimme die Steigungen von \(r\) und \(s\) aus Gitterpunkten. - Trage die erhaltenen Punkte gedanklich in ein Koordinatensystem für \(f'\) ein und nutze die gegebene Geradenform.

1. Bei \(x=2\) besitzt \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher ist \(f'(2)=0\). 2. Die Tangente \(r\) bei \(x=0\) hat die Steigung \(-2\), also \(f'(0)=-2\). 3. Die Tangente \(s\) bei \(x=4\) hat die Steigung \(2\), also \(f'(4)=2\). 4. Die drei Punkte \((0\mid-2)\), \((2\mid0)\), \((4\mid2)\) liegen auf der gegebenen Geraden \(f'\). Ihre Gleichung ist \(f'(x)=x-2\).

\(f'(x)=x-2\)

- Was folgt aus der waagerechten Tangente für \(f'(1)\)? - Prüfe getrennt links und rechts von \(x=1\), ob \(f\) steigt oder fällt. - Ein Ableitungswert \(0\) bedeutet nicht automatisch einen Vorzeichenwechsel.

1. Wegen der waagerechten Tangente gilt \(f'(1)=0\). 2. Links und rechts von \(x=1\) steigt \(f\). Deshalb ist \(f'(x)>0\) auf beiden Seiten. 3. Die Nullstelle von \(f'\) bei \(x=1\) ist daher mit keinem Vorzeichenwechsel verbunden.

\(f'(1)=0\). Links und rechts von \(x=1\) ist \(f'(x)>0\); an der Nullstelle findet kein Vorzeichenwechsel statt.

- Entscheide zuerst, welches Vorzeichen die Tangentensteigungen überall haben. - Vergleiche die Steilheit des Graphen an mehreren Stellen von links nach rechts. - Beschreibe nur das, was sich aus den Tangentensteigungen des dargestellten Graphen ableiten lässt.

1. Der Graph von \(f\) steigt im gesamten dargestellten Bereich. Seine Tangentensteigungen sind daher positiv, sodass der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt und keine Nullstelle besitzt. 2. Von links nach rechts wird der Graph von \(f\) immer steiler. Entsprechend werden auch die Werte von \(f'\) größer. 3. Weit links wird der Graph von \(f\) immer flacher. Daher nähern sich die positiven Tangentensteigungen dort dem Wert \(0\).

Der Graph von \(f'\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse und besitzt keine Nullstelle. Seine Werte werden von links nach rechts größer; weit links nähern sie sich \(0\).

- Betrachte die beiden Äste des Graphen getrennt. - Entscheide jeweils, ob \(f\) von links nach rechts steigt oder fällt. - Welches Vorzeichen haben Tangentensteigungen bei einem fallenden Graphen?

1. Für \(x<0\) fällt der Graph von \(f\). Die Tangentensteigungen sind dort negativ. Daher gilt \(f''(x)<0\). 2. Auch für \(x>0\) fällt der Graph von \(f\). Daher gilt dort ebenfalls \(f''(x)<0\). 3. Der Graph der Ableitungsfunktion liegt also an allen definierten Stellen unterhalb der \(x\)-Achse.

Für \(x<0\) und für \(x>0\) gilt \(f''(x)<0\).

- Bestimme Tangentensteigungen aus zwei gut ablesbaren Punkten auf der jeweiligen Geraden. - Suche die Stelle, an der der Graph von fallend zu steigend wechselt, und verbinde das mit einer waagerechten Tangente. - Vergleiche bei \(x=1\) und \(x=3\) die Richtung und Steilheit der lokalen Tangenten.

1. Ableitung bei \(x = 0\): Die Tangente verläuft durch \((0 \mid -1)\) und \((1 \mid -2)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-2 - (-1)}{1 - 0} = -1\). Also \(g'(0) = -1\). 2. Ableitung bei \(x = 4\): Die Tangente verläuft durch \((4 \mid -1)\) und \((5 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - (-1)}{5 - 4} = 1\). Also \(g'(4) = 1\). 3. Stelle mit Ableitung \(0\): Am Scheitelpunkt \(S(2 \mid -2)\) ist die Tangente waagerecht. Es gilt \(g'(2) = 0\). Der Fachbegriff für \(S\) ist Scheitelpunkt oder lokales Minimum (Tiefpunkt). 4. Vergleich der Steigungen: Bei \(x = 1\) fällt der Graph (negative Steigung), bei \(x = 3\) steigt der Graph (positive Steigung). Somit ist \(g'(3) > g'(1)\).

a) \(g'(0) = -1\) und \(g'(4) = 1\). b) An der Stelle \(x = 2\) ist \(g'(x) = 0\); \(S\) ist der Scheitelpunkt beziehungsweise Tiefpunkt. c) Die Steigung bei \(x = 3\) ist größer.

- Lies die Steigungen der beiden eingezeichneten Tangenten ab. - Übertrage die Ableitungswerte als Punkte \((x\mid f'(x))\). - Nutze die gegebene Geradenform, um den Funktionsterm von \(f'\) zu bestimmen. - Welche Tangentensteigung hat \(f\) am Scheitelpunkt?

1. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht, also \(f'(0)=0\). 2. Die Tangente bei \(x=2\) verläuft zum Beispiel durch \((1\mid4)\) und \((2\mid2)\). Ihre Steigung ist \(-2\), also \(f'(2)=-2\). 3. Die gegebene Gerade \(f'\) verläuft somit durch \((0\mid0)\) und \((2\mid-2)\). Daher ist \(f'(x)=-x\). 4. Am Scheitelpunkt von \(f\) ist die Tangente waagerecht. Deshalb ist dessen x-Koordinate eine Nullstelle von \(f'\).

\(f'(0)=0\), \(f'(2)=-2\), \(f'(x)=-x\). Die x-Koordinate des Scheitelpunkts von \(f\) ist eine Nullstelle von \(f'\).

- Lies für jede Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Übertrage jede Tangentensteigung als y-Koordinate in einen Punkt des Ableitungsgraphen. - Prüfe, welches Muster die drei Punkte bilden. - Unterscheide zwischen einer durch die Punkte gestützten Vermutung und einem Beweis für den gesamten Graphen.

1. Aus den Tangenten liest man die Steigungen \(-2,0,2\) ab. 2. Damit erhält man die Punkte \((-2\mid-2)\), \((0\mid0)\) und \((2\mid2)\) auf dem Graphen von \(f'\). 3. Die drei Punkte liegen auf einer Geraden. Sie legen daher einen linearen Verlauf von \(f'\) nahe. 4. Drei einzelne Punkte allein beweisen jedoch nicht, dass der gesamte Graph von \(f'\) eine Gerade ist; dafür wäre zusätzliche Information über weitere Steigungen oder den Funktionstyp nötig.

a) \(-2,0,2\) b) \((-2\mid-2)\), \((0\mid0)\), \((2\mid2)\) c) Die Punkte liegen auf einer Geraden und legen einen linearen Verlauf nahe; aus drei Punkten allein folgt die gesamte Form von \(f'\) noch nicht sicher.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Bestimme die Tangentensteigung bei \(x=0\) aus zwei Gitterpunkten. - Prüfe für Teil 3, in welchen Bereichen der Graph von \(f\) fällt.

1. Bei \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen. 2. Die Tangente verläuft durch \((0\mid1)\) und \((1\mid2{,}2)\). Ihre Steigung beträgt \((2{,}2-1):(1-0)=1{,}2\). Somit gilt \(f'(0)\approx1{,}2\). 3. Der Graph von \(f\) fällt für \(-2<x<-1\) sowie für \(1<x<3\). Deshalb gilt dort \(f'(x)<0\).

1. \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=3\). 2. \(f'(0)\approx1{,}2\). 3. \(f'(x)<0\) für \(x\in(-2;-1)\) und \(x\in(1;3)\).

- Welche Steigung hat die Tangente bei \(x=1\)? - Prüfe getrennt links und rechts der Stelle, ob der Graph von \(h\) steigt oder fällt. - Eine Nullstelle der Ableitung muss nicht mit einem Vorzeichenwechsel verbunden sein.

1. Wegen der waagerechten Tangente gilt \(h'(1)=0\). 2. Links und rechts von \(x=1\) steigt \(h\). Daher ist \(h'(x)>0\) auf beiden Seiten. 3. Somit nimmt \(h'\) bei \(x=1\) den Wert \(0\) an, ohne dass sich das Vorzeichen ändert. Mehr über die genaue Form des Graphen von \(h'\) folgt daraus allein nicht.

\(h'(1)=0\). Links und rechts von \(x=1\) ist \(h'\) positiv; an der Nullstelle findet kein Vorzeichenwechsel statt.

- Überlege, ob sich die Steigung einer Geraden von Stelle zu Stelle ändert. - Bestimme die Steigung von \(f\) mithilfe der beiden markierten Punkte. - Jeder Ableitungswert ist hier gleich groß; wie sieht ein Graph mit konstantem y-Wert aus?

1. Aus der Abbildung liest man \(A(0\mid-1)\) und \(B(2\mid3)\) ab. 2. Die Gerade hat die konstante Steigung \(\frac{3-(-1)}{2-0}=2\). 3. Daher gilt an jeder Stelle \(f'(x)=2\). Der Graph von \(f'\) ist also die waagerechte Gerade \(y=2\).

\(f'(x)=2\). Zu skizzieren ist die waagerechte Gerade \(y=2\).

- Suche zunächst die waagerechte Tangente von \(f\). - Lies die Steigungen von \(t_0\) und \(t_4\) aus je zwei Gitterpunkten ab. - Übertrage die drei Ableitungswerte als Punkte in ein Koordinatensystem. - Nutze anschließend die gegebene Geradenform von \(f'\).

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=2\) eine waagerechte Tangente. Daher ist \(f'(2)=0\). 2. Aus \(t_0\) liest man die Steigung \(-2\), also \(f'(0)=-2\). 3. Aus \(t_4\) liest man die Steigung \(2\), also \(f'(4)=2\). 4. Die gegebene Gerade \(f'\) verläuft durch \((0\mid-2)\), \((2\mid0)\) und \((4\mid2)\). Daher ist \(f'(x)=x-2\).

a) \(x=2\) b) \(f'(0)=-2\), \(f'(4)=2\) c) \(f'(x)=x-2\)

- Waagerechte Tangenten von \(f\) liefern Nullstellen von \(f'\). - Lies \(f'(0)\) aus der eingezeichneten Tangente ab. - Nutze Steigen und Fallen von \(f\) für das Vorzeichen von \(f'\). - Die Skizze soll die sicher bestimmten Eigenschaften zeigen; eine Ableitungsregel ist nicht nötig.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. Daher ist \(f'\) dort null. 2. Die eingezeichnete Tangente bei \(x=0\) hat die Steigung \(-1\). Somit ist \(f'(0)=-1\). 3. Für \(x<-1\) und \(x>1\) steigt der dargestellte Graph von \(f\); dort ist \(f'>0\). 4. Für \(-1<x<1\) fällt \(f\); dort ist \(f'<0\). 5. Eine qualitative Skizze von \(f'\) muss diese Nullstellen, den Punkt \((0\mid-1)\) und die Vorzeichenbereiche erfüllen. Die exakte Kurvenform wird nicht verlangt.

a) \(x=-1\), \(x=1\) b) \(f'(0)=-1\) c) \(f'>0\) für \(x<-1\) und \(x>1\), \(f'<0\) für \(-1<x<1\)

- Auf jedem geraden Abschnitt ist die Steigung konstant. - Bestimme die Steigung jedes Abschnitts getrennt aus zwei Gitterpunkten. - Überlege, was an einer Knickstelle mit der eindeutigen Tangentensteigung passiert.

1. Auf dem linken Geradenstück steigt \(f\) von \((-3\mid-1)\) nach \((-1\mid3)\). Die Steigung ist \(\frac{3-(-1)}{-1-(-3)}=2\). 2. Auf dem mittleren Geradenstück fällt \(f\) von \((-1\mid3)\) nach \((2\mid0)\). Die Steigung ist \(\frac{0-3}{2-(-1)}=-1\). 3. Auf dem rechten Geradenstück steigt \(f\) von \((2\mid0)\) nach \((4\mid2)\). Die Steigung ist \(\frac{2-0}{4-2}=1\). 4. Daher ist \(f'\) auf den drei offenen Intervallen konstant mit den Werten \(2\), \(-1\) und \(1\). An \(x=-1\) und \(x=2\) ist \(f'\) wegen der Knicke nicht definiert.

\(f'(x)=2\) für \(-3<x<-1\), \(f'(x)=-1\) für \(-1<x<2\), \(f'(x)=1\) für \(2<x<4\). Bei \(x=-1\) und \(x=2\) hat der Ableitungsgraph Lücken.

- Das Vorzeichen der Ableitung folgt daraus, ob der Funktionsgraph steigt oder fällt. - Für die Größe des Ableitungswerts ist die lokale Steilheit entscheidend. - Vergleiche die Tangenten, die du dir links und rechts an den Graphen legen würdest.

1. Da \(f\) im gesamten dargestellten Bereich fällt, gilt dort \(f'(x)<0\). 2. Der Graph von \(f\) wird nach rechts flacher. Die negativen Tangentensteigungen nähern sich daher \(0\); die Werte von \(f'\) werden nach rechts größer. 3. Links ist \(f\) deutlich steiler als rechts. Deshalb gilt \(\lvert f'(-2)\rvert>\lvert f'(2)\rvert\). Ein passender Ableitungsgraph liegt vollständig unter der \(x\)-Achse und nähert sich nach rechts der \(x\)-Achse.

a) \(f'(x)<0\) im dargestellten Bereich. b) Die Werte von \(f'\) werden nach rechts größer und nähern sich \(0\). c) \(\lvert f'(-2)\rvert>\lvert f'(2)\rvert\).

- Wo besitzt der Graph waagerechte Tangenten? - Lies zwei Punkte auf der eingezeichneten Tangente \(t\) ab. - In welchem Bereich bewegt sich der Graph beim Lesen von links nach rechts nach unten?

1. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph waagerechte Tangenten. Daher gilt \(f'(-2)=0\) und \(f'(2)=0\). 2. Die Tangente \(t\) verläuft durch \(W(0|0)\) und \((1|-3)\). Ihre Steigung ist \(-3\). Somit ist \(f'(0)=-3\). 3. Der Graph fällt für \(-2<x<2\).

a) \(x=-2\) und \(x=2\) b) \(f'(0)=-3\) c) Für \(-2<x<2\)

- Betrachte die Tangentenrichtung direkt bei \(x=-1\). - Prüfe getrennt links und rechts der Stelle, ob der Graph von \(f\) steigt oder fällt. - Ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) ist nicht automatisch mit jeder Nullstelle verbunden.

1. Ja. Bei \(x=-1\) besitzt der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher gilt \(f'(-1)=0\). 2. Links und rechts von \(x=-1\) steigt der Graph von \(f\). Deshalb ist \(f'(x)\) in der Umgebung von \(-1\) auf beiden Seiten positiv. An \(x=-1\) nimmt \(f'\) den Wert \(0\) an, ohne das Vorzeichen zu wechseln.

1. Ja, \(f'(-1)=0\). 2. \(f'\) wechselt bei \(x=-1\) nicht das Vorzeichen; links und rechts davon ist \(f'\) positiv.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Wo steigt der Graph im dargestellten Bereich am steilsten? - Vergleiche die Tangentenrichtungen, ohne eine Ableitungsregel für trigonometrische Funktionen zu verwenden.

1. Bei \(x=-\frac{\pi}{2}\) und \(x=\frac{\pi}{2}\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen. 2. Den größten Wert hat \(f'\) dort, wo der Graph von \(f\) am steilsten ansteigt. Im dargestellten Intervall ist das bei \(x=0\) der Fall.

1. \(x=-\frac{\pi}{2}\) und \(x=\frac{\pi}{2}\). 2. Bei \(x=0\).

- Suche die waagerechten Tangenten. - Prüfe in jedem Zwischenbereich, ob \(f\) steigt oder fällt. - Übertrage die Achsensymmetrie von \(f\) auf die Tangentensteigungen bei \(x\) und \(-x\).

1. Bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. Daher ist \(f'\) an diesen drei Stellen null. 2. Im dargestellten Bereich steigt \(f\) links von \(-2\), fällt zwischen \(-2\) und \(0\), steigt zwischen \(0\) und \(2\) und fällt rechts von \(2\). Entsprechend hat \(f'\) die Vorzeichenfolge \(+,-,+,-\). 3. Weil der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, haben die lokalen Steigungen an \(x\) und \(-x\) entgegengesetzte Vorzeichen. Ein passender Graph von \(f'\) ist daher punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) \(x=-2,0,2\) b) Ein passender Graph von \(f'\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat im dargestellten Bereich die Vorzeichenfolge \(+,-,+,-\).

- Suche zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe danach, ob der Graph dort von Steigen zu Fallen oder von Fallen zu Steigen wechselt. - Vergleiche für den Ableitungsgraphen die Vorzeichen links und rechts von jeder Nullstelle.

1. Bei \(x=0\) besitzt \(f\) eine lokale Minimalstelle, bei \(x=3\) eine Terrassenstelle. An beiden Stellen gilt \(f'(x)=0\). 2. Für \(x<0\) nimmt \(f\) ab, also ist \(f'(x)<0\). Für \(0<x<3\) und für \(x>3\) nimmt \(f\) zu, also ist \(f'(x)>0\). 3. Bei \(x=0\) muss \(G_{f'}\) die \(x\)-Achse von unten nach oben schneiden. Bei \(x=3\) muss \(G_{f'}\) die \(x\)-Achse von oben berühren, ohne das Vorzeichen zu wechseln.

1. Lokale Minimalstelle bei \(x=0\); Terrassenstelle bei \(x=3\). 2. \(f'<0\) für \(x<0\), \(f'>0\) für \(0<x<3\) und \(x>3\); bei \(x=0\) Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, bei \(x=3\) berührende Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Beobachte zuerst, ob der rechte Ast steigt oder fällt. - Vergleiche die Steilheit an mehreren zunehmend großen \(x\)-Werten. - Formuliere die Aussage über sehr große \(x\) als qualitative Beobachtung aus dem Graphen.

1. Für \(x>0\) steigt der dargestellte Graph von \(f\). Daher sind die Tangentensteigungen positiv und der Graph von \(f'\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Mit wachsendem \(x\) wird der Graph von \(f\) sichtbar immer flacher. Die positiven Tangentensteigungen werden daher kleiner. 3. Aus dem dargestellten Verlauf ergibt sich als qualitative Vermutung, dass sich die Tangentensteigungen für große \(x\)-Werte dem Wert \(0\) von oben annähern.

Für \(x>0\) ist \(f'(x)>0\). Die Werte von \(f'\) werden für größere \(x\) kleiner und nähern sich dem Graphen zufolge \(0\) von oben.

- Suche die waagerechten Tangenten. - Prüfe in jedem Teilbereich, ob \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche die lokalen Steigungen an symmetrischen Stellen \(x\) und \(-x\). - Je steiler \(f\) ist, desto größer ist der Betrag des zugehörigen Ableitungswerts.

1. Waagerechte Tangenten liegen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Daher ist \(f'\) dort null. 2. Im dargestellten Bereich fällt \(f\) für \(x<-2\), steigt für \(-2<x<0\), fällt für \(0<x<2\) und steigt für \(x>2\). Daher hat \(f'\) die Vorzeichenfolge \(-,+,-,+\). 3. Weil \(f\) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, sind die Tangentensteigungen an \(x\) und \(-x\) entgegengesetzt. Ein passender Graph von \(f'\) ist daher punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) \(x=-2,0,2\) b) Im dargestellten Bereich hat \(f'\) die Vorzeichenfolge \(-,+,-,+\) und ein passender Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Suche die Stelle mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts davon, ob der Graph steigt oder fällt. - Beobachte am Rand der Abbildung, wie sich die Steilheit des Graphen verändert.

1. Bei \(x=0\) besitzt der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher gilt \(f'(0)=0\). 2. Für \(x<0\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Für \(x>0\) fällt der Graph, also ist \(f'(x)<0\). 3. Für große Beträge von \(x\) wird der dargestellte Graph immer flacher. Entsprechend werden die Tangentensteigungen dem Graphen zufolge betragsmäßig kleiner und nähern sich \(0\).

Der Graph von \(f'\) hat bei \(x=0\) eine Nullstelle, liegt für \(x<0\) oberhalb und für \(x>0\) unterhalb der \(x\)-Achse. Für große Beträge von \(x\) nähern sich die Tangentensteigungen dem dargestellten Verlauf zufolge \(0\).

- Suche die Stelle mit der größten positiven Steilheit. - Nutze für b) die ausdrücklich angegebene Bedeutung der gestrichelten Geraden im Modell. - Beschreibe für \(N'\), wie sich die Tangentensteigungen von links nach rechts verändern.

1. Der Nutzergraph steigt ungefähr bei \(t=5\) am steilsten. Dort ist die momentane Zuwachsrate am größten. 2. Die Gerade \(g\) liegt bei \(N=12\). Nach der Modellannahme entspricht sie einer Sättigungsgrenze von \(12\) Millionen Nutzern. 3. \(N'\) ist im dargestellten Zeitraum positiv. Die Werte wachsen zunächst, erreichen ungefähr bei \(t=5\) ihr Maximum und nehmen danach wieder ab. \(N'\) beschreibt den momentanen Nutzerzuwachs in Millionen Nutzern pro Monat.

a) Etwa nach \(5\) Monaten. b) \(g\) steht im Modell für eine angenommene Sättigungsgrenze von \(12\) Millionen Nutzern. c) \(N'>0\); die Werte steigen zunächst, sind bei etwa \(t=5\) am größten und fallen danach. \(N'\) gibt den momentanen Nutzerzuwachs pro Monat an.

- Suche die waagerechten Tangenten. - Prüfe in den drei Teilbereichen, ob \(f\) steigt oder fällt. - Unterscheide zwischen den sicher bestimmbaren Vorzeichen und der exakten Form des Ableitungsgraphen.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. Daher ist \(f'\) dort null. 2. Links von \(-1\) steigt \(f\), zwischen \(-1\) und \(1\) fällt \(f\), rechts von \(1\) steigt \(f\). Daher ist \(f'\) außerhalb der beiden Nullstellen positiv und dazwischen negativ. 3. Diese Angaben bestimmen Nullstellen und Vorzeichen des qualitativen Ableitungsgraphen; seine exakte Kurvenform folgt daraus allein nicht.

1. \(x=-1\), \(x=1\) 2. \(f'>0\) links von \(-1\) und rechts von \(1\), \(f'<0\) dazwischen; die exakte Kurvenform ist damit noch nicht festgelegt.

- Prüfe zuerst, ob der Graph für \(x>0\) steigt oder fällt. - Vergleiche die Steilheit an mehreren zunehmend großen \(x\)-Werten. - Formuliere die Aussage über sehr große \(x\) als qualitative Beobachtung aus der Abbildung.

1. Für \(x>0\) steigt der dargestellte Graph von \(f\). Daher sind die Tangentensteigungen positiv und es gilt \(f'(x)>0\). 2. Mit wachsendem \(x\) wird der Graph immer flacher. Die positiven Tangentensteigungen werden daher kleiner. 3. Dem dargestellten Verlauf zufolge nähern sich die Tangentensteigungen für große \(x\)-Werte dem Wert \(0\) von oben.

Für \(x>0\) gilt \(f'(x)>0\). Die Werte von \(f'\) werden kleiner und nähern sich dem Graphen zufolge für große \(x\)-Werte \(0\) von oben.

- Suche zuerst die waagerechten Tangenten. - Ordne jedem steigenden oder fallenden Graphenabschnitt das Vorzeichen von \(f'\) zu. - Vergleiche die Vorzeichen direkt links und rechts jeder Nullstelle. - Die exakte algebraische Form des Ableitungsgraphen ist für die qualitative Skizze nicht nötig.

1. Bei \(x=-2\) und \(x=1\) besitzt \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen. 2. Links von \(-2\) steigt \(f\), zwischen \(-2\) und \(1\) fällt \(f\), rechts von \(1\) steigt \(f\). Daher ist \(f'\) außerhalb positiv und dazwischen negativ. 3. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ; bei \(x=1\) von negativ nach positiv. Die qualitative Skizze muss diese beiden Achsendurchgänge und Vorzeichenbereiche zeigen. Eine exakte Funktionsart wird nicht verlangt.

a) \(x=-2\), \(x=1\) b) \(f'>0\) für \(x<-2\) und \(x>1\); \(f'<0\) für \(-2<x<1\) c) Bei \(-2\): Vorzeichenwechsel \(+\to-\); bei \(1\): \(-\to+\)

- Vergleiche zuerst die waagerechten Tangenten von \(f\) mit den Nullstellen von \(g\). - Prüfe dann Abschnitt für Abschnitt, ob \(f\) steigt oder fällt. - Ein korrekter Ableitungsgraph muss beide Prüfungen gleichzeitig bestehen. - Für die Skizze ist keine Ableitungsregel nötig.

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\) waagerechte Tangenten. Ein Ableitungsgraph muss daher drei Nullstellen an diesen Stellen haben. Jonas Graph hat diese Nullstellen nicht. 2. Zudem fällt \(f\) links von \(-2\), steigt zwischen \(-2\) und \(0\), fällt zwischen \(0\) und \(2\) und steigt rechts von \(2\). Die Ableitung muss daher die Vorzeichenfolge \(-,+,-,+\) besitzen; auch das erfüllt \(g\) nicht. 3. Ein qualitativ passender Ableitungsgraph durchquert die x-Achse bei \(-2,0,2\) und hat in den vier Bereichen die Vorzeichen \(-,+,-,+\).

a) Jonas Graph hat falsche Nullstellen und das falsche Vorzeichenverhalten. b) Qualitative Skizze mit den unten genannten Eigenschaften. c) Nullstellen: \(-2,0,2\); Vorzeichenfolge: \(-,+,-,+\).

- Übertrage jede gemessene Tangentensteigung als \(y\)-Koordinate an dieselbe \(x\)-Stelle in den Ableitungsgraphen. - Suche in den fünf Punkten nach Symmetrie und nach einem kleinsten Wert. - Nutze beim quadratischen Ansatz auch die Symmetrie der fünf Werte und prüfe den gefundenen Term anschließend an allen Stellen.

1. Die Tangentensteigung an der Stelle \(x\) ist der Funktionswert \(f'(x)\). Damit erhält man die Punkte \((-2\mid3)\), \((-1\mid0)\), \((0\mid-1)\), \((1\mid0)\), \((2\mid3)\). 2. Die Werte sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, haben bei \(x=0\) ihren kleinsten Wert und steigen zu beiden Seiten an. Ein glatter nach oben geöffneter Verlauf passt zu den Punkten. 3. Für einen quadratischen Ansatz \(f'(x)=ax^2+bx+c\) liefern die Symmetrie der Werte und \(f'(0)=-1\) zunächst \(b=0\) und \(c=-1\). Mit \(f'(1)=0\) folgt \(a=1\). Daher gilt \(f'(x)=x^2-1\): Für \(x=0\) ist der Wert \(-1\), bei \(x=\pm1\) ist er \(0\), bei \(x=\pm2\) ist er \(3\).

a) \((-2\mid3)\), \((-1\mid0)\), \((0\mid-1)\), \((1\mid0)\), \((2\mid3)\). b) Ein glatter, zur \(y\)-Achse symmetrischer Verlauf mit Tiefpunkt bei \((0\mid-1)\). c) Ein passender quadratischer Term ist \(f'(x)=x^2-1\).

- Beginne mit Stellen, an denen \(f\) eine waagerechte Tangente hat, und vergleiche sie mit den Nullstellen von \(g\). - Ein Knick ist für den Ableitungsgraphen anders zu behandeln als eine gewöhnliche Stelle. - Für die Höhe des Ableitungsgraphen nahe dem Knick musst du die Steilheit der beiden angrenzenden Äste von \(f\) getrennt betrachten.

1. Der Graph von \(f\) hat bei \(x=-2\) eine waagerechte Tangente; die richtige Ableitung muss dort eine Nullstelle haben. Der vorgeschlagene Graph \(g\) hat seine linke Nullstelle dagegen bei \(x=-1\). 2. Bei \(x=0\) hat \(f\) einen Knick. Daher ist \(f'(0)\) nicht definiert. Der Vorschlag \(g\) ist dort jedoch ohne Lücke gezeichnet und besitzt einen Funktionswert. 3. Eine weitere waagerechte Tangente liegt bei \(x=2\). Die richtigen Nullstellen sind also \(x=-2\) und \(x=2\). Es gilt \(f'<0\) auf \((-4;-2)\), \(f'>0\) auf \((-2;0)\) und \((0;2)\), sowie \(f'<0\) auf \((2;4)\). 4. Links vom Knick nähert sich die Steigung dem Wert \(2\), rechts dem Wert \(1\). Ein korrekter Ableitungsgraph hat deshalb bei \(x=0\) keinen Punkt, sondern getrennte offene Enden in den Höhen \(2\) und \(1\).

a) Zum Beispiel: Die linke Nullstelle von \(g\) liegt falsch; außerdem hat \(g\) bei \(x=0\) fälschlich einen Wert, obwohl \(f\) dort einen Knick besitzt. b) Nullstellen: \(x=-2\), \(x=2\). Vorzeichen: negativ auf \((-4;-2)\), positiv auf \((-2;0)\) und \((0;2)\), negativ auf \((2;4)\). c) Linksseitige Steigung \(2\), rechtsseitige Steigung \(1\); \(f'(0)\) ist nicht definiert.