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- Welche Steigung hat die Tangente am tiefsten Punkt der Parabel? - Beobachte, ob der Graph rechts von \(x=2\) steigt oder fällt.

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=2\) eine waagerechte Tangente. Deshalb gilt \(f'(2)=0\). 2. Für \(x>2\) steigt der Graph von \(f\). Daher sind dort die Tangentensteigungen und damit die Werte von \(f'\) positiv.

1. Der Graph von \(f'\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). 2. Für \(x>2\) gilt \(f'(x)>0\).

- Was sagt der Wert der Ableitung über die Steigung der ursprünglichen Funktion aus? - Erinnere dich daran, welche Steigung eine Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Suche im Graphen nach Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt.

1. Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) entsprechen den Stellen, an denen der Graph der Funktion \(f\) eine waagerechte Tangente besitzt, also die lokale Steigung \(0\) aufweist. 2. Im Graphen von \(f\) erkennt man lokale Extrempunkte (ein Maximum und ein Minimum) bei den Stellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 3. An diesen Stellen ist die Steigung der Funktion null, folglich gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 4. Die gesuchten Nullstellen von \(f'\) liegen somit bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\).

Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) liegen bei \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). An diesen Stellen hat der Graph von \(f\) Extrempunkte und somit eine waagerechte Tangente (Steigung \(0\)).

- Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf des Funktionsgraphen aus? - In welchen Bereichen steigt der Graph von links nach rechts? - Bestimme die Stellen, an denen der Graph seine Richtung von fallend zu steigend oder umgekehrt ändert.

Die Ableitungsfunktion \(g'\) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von \(g\) an. Ein positiver Wert von \(g'(x)\) bedeutet, dass \(g\) an dieser Stelle streng monoton steigt. 1. Für \(-4 < x < -2\) fällt der Graph, also ist \(g'(x) < 0\). 2. Bei \(x = -2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, also gilt \(g'(-2) = 0\). 3. Für \(-2 < x < 0\) steigt der Graph, also ist \(g'(x) > 0\). 4. Bei \(x = 0\) liegt ein lokaler Hochpunkt vor, also gilt \(g'(0) = 0\). 5. Für \(0 < x < 2\) fällt der Graph, also ist \(g'(x) < 0\). 6. Bei \(x = 2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, also gilt \(g'(2) = 0\). 7. Für \(2 < x < 4\) steigt der Graph, also ist \(g'(x) > 0\). Somit gilt im dargestellten Bereich \(g'(x) > 0\) für \(x \in (-2; 0)\) und \(x \in (2; 4)\).

Im dargestellten Bereich nimmt \(g'\) für \(x \in (-2; 0)\) und \(x \in (2; 4)\) positive Werte an, weil \(g\) dort streng monoton steigt.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Steigung einer Kurve und ihrer Ableitung. - Wie sieht die Tangente an einem Punkt aus, wenn die Ableitung dort null ist? - Welche besonderen Punkte eines Graphen haben eine waagerechte Tangente?

1. Geometrische Bedeutung der Ableitung: Der Wert \(f'(x)\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an der Stelle \(x\). 2. Bedingung für eine horizontale Tangente: Die Ableitung ist genau dann null, wenn die Tangente waagerecht verläuft. Dies ist an lokalen Extrempunkten der Fall. 3. Auswertung der Punkte: - Punkt \(A\) ist ein lokaler Tiefpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_A) = 0\). - Punkt \(B\) ist ein lokaler Hochpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_B) = 0\). - Punkt \(C\) liegt in einem fallenden Bereich, also \(f'(x_C) < 0\). - Punkt \(D\) ist ein lokaler Tiefpunkt, die Tangente ist waagerecht, also \(f'(x_D) = 0\). 4. Ergebnis: An den Punkten \(A, B\) und \(D\) gilt \(f'(x) = 0\).

An den Punkten \(A, B\) und \(D\) ist die Ableitung \(f'(x) = 0\), da der Graph dort lokale Extrempunkte (Tief- bzw. Hochpunkte) besitzt und die Tangenten somit waagerecht verlaufen.

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. - Was weißt du über die Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt? - Überlege, ob der Graph bei \(x = 0\) steigt oder fällt.

1. Der Graph von \(f\) besitzt einen Hochpunkt bei \(x = -2\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 2\). 2. An Extremstellen verläuft die Tangente waagerecht. Somit gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 3. Im Bereich um \(x = 0\) ist der Graph streng monoton fallend. Folglich ist die Ableitung dort negativ, also \(f'(0) < 0\).

a) Die Ableitungsfunktion nimmt bei \(x = -2\) und \(x = 2\) den Wert \(0\) an, da der Graph dort Extrempunkte mit waagerechter Tangente hat. b) \(f'(0) < 0\), da der Graph bei \(x = 0\) fällt.

- Ein Ableitungswert ist die Steigung der Tangente an der betreffenden Stelle. - Lies für jede eingezeichnete Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Für die übrigen Stellen genügt die Frage, ob der Graph dort steigt, fällt oder waagerecht verläuft.

1. Auf \(t_1\) liegen zum Beispiel \((-2|0)\) und \(A(0|2)\). Daher ist \(f'(0)=\frac{2-0}{0-(-2)}=1\). 2. Auf \(t_2\) liegen zum Beispiel \(B(4|2)\) und \((6|0)\). Daher ist \(f'(4)=\frac{0-2}{6-4}=-1\). 3. Bei \(x=2\) ist die Tangente waagerecht, also \(f'(2)=0\). 4. Bei \(x=5\) fällt der Graph, also \(f'(5)<0\). 5. Bei \(x=-2\) steigt der Graph, also \(f'(-2)>0\).

a) \(f'(0)=1\) und \(f'(4)=-1\) b) \(f'(2)=0\), \(f'(5)<0\), \(f'(-2)>0\)

- Welche geometrische Bedeutung hat \(f'(x)\)? - Ein Funktionswert und eine Tangentensteigung sind verschiedene Größen. - Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Vergleiche anschließend das Vorzeichen der lokalen Steigung links, zwischen und rechts von diesen Stellen.

1. A ist falsch. Bei \(x=0\) fällt der Graph von \(f\), also ist \(f'(0)<0\). Der Funktionswert selbst sagt nichts über die Tangentensteigung aus. 2. B ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph waagerechte Tangenten, daher ist die Ableitung dort \(0\). 3. C ist wahr. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt der Graph, also ist die lokale Steigung dort negativ. 4. D ist falsch. Außerhalb der beiden Nullstellen ist \(f'\) positiv, dazwischen negativ. Dieses Vorzeichenmuster passt zu einer nach oben geöffneten Parabel.

A) Falsch B) Wahr C) Wahr D) Falsch

- Suche zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente im Funktionsgraphen. - Welche Werte muss \(f'\) dort besitzen? - Prüfe dann, wo der Graph von \(f\) fällt und welches Vorzeichen die Ableitung dort haben muss.

1. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss die Ableitung dort den Wert \(0\) haben. Kandidat c scheidet damit aus. 2. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt der Graph von \(f\), also muss \(f'\) dort negativ sein. 3. Kandidat a liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse, Kandidat b dagegen oberhalb. Daher ist a der Graph von \(f'\).

Kandidat a.

- Suche im Graphen von \(f\) zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Werte muss \(f'\) an diesen Stellen haben? - Prüfe anschließend, wo der Graph von \(f\) fällt und welches Vorzeichen \(f'\) dort haben muss.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Deshalb muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\) gelten. Damit scheiden c und d aus. 2. Zwischen \(x=-1\) und \(x=3\) fällt der Graph von \(f\). Daher muss \(f'(x)<0\) für \(-1<x<3\) gelten. 3. Nur Kandidat a liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse. Daher stellt a die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Kandidat a stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- Suche die Stellen, an denen der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente besitzt. - Wo steigt der Graph von \(f\), und welches Vorzeichen hat \(f'\) dort? - Nutze zwei Punkte der eingezeichneten Tangente, um ihre Steigung zu bestimmen.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher sind dies die Nullstellen von \(f'\). 2. Zwischen \(-1\) und \(1\) steigt der Graph von \(f\). Deshalb gilt dort \(f'(x)>0\). 3. Die Tangente \(t\) verläuft durch \(P(0\mid1)\) und \((1\mid2{,}5)\). Ihre Steigung ist \(\frac{2{,}5-1}{1-0}=1{,}5\). Somit gilt \(f'(0)=1{,}5\).

a) \(x_1=-1\) und \(x_2=1\). b) \(f'(x)>0\) für \(x\in(-1;1)\). c) \(f'(0)=1{,}5\).

- Nutze die gegebene Monotonie nur in der Richtung von \(f\) zu möglichen Vorzeichen von \(f'\). - Was folgt an den beiden Stellen, an denen \(f\) sein Monotonieverhalten wechselt und zugleich differenzierbar ist? - Vergleiche anschließend die Nullstellen und Vorzeichenbereiche der drei Kandidaten.

1. Aus der angegebenen strengen Monotonie folgt als notwendige Bedingung: Für \(x<-1\) und \(x>3\) gilt \(f'(x)\ge 0\), für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)\le 0\). Die Umkehrung „\(f'\ge 0\) bedeutet streng wachsend“ wäre ohne Zusatzbedingungen nicht allgemein richtig. 2. Da \(f\) bei \(x=-1\) von streng wachsend zu streng fallend und bei \(x=3\) wieder zu streng wachsend wechselt und dort differenzierbar ist, gilt \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\). 3. Graph III scheidet aus, weil seine Nullstellen nicht bei \(-1\) und \(3\) liegen. 4. Graph I ist außerhalb des Intervalls \((-1;3)\) nichtnegativ und innerhalb nichtpositiv. Graph II zeigt die umgekehrten Vorzeichen. 5. Daher kann Graph I der Graph von \(f'\) sein.

Graph I kann der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) sein.

- Denke daran, welche geometrische Bedeutung die Ableitung \(f'(x)\) an einer bestimmten Stelle \(x\) für den Graphen von \(f\) hat. - Wo hat der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente? Was bedeutet das für den Wert der Ableitung an dieser Stelle? - Wie hängen die Steigung der Tangente \(t\) und der Wert der Ableitungsfunktion \(f'(0)\) zusammen? - In welchen Bereichen steigt der Graph von \(f\) an, und was bedeutet das für das Vorzeichen der Ableitung?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente. Aus den Extrempunkten \(H(-2 \mid 4)\) und \(T(2 \mid -4)\) folgt: \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Die Tangente bei \(x = 0\) verläuft durch \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid -3)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{-3 - 0}{1 - 0} = -3\). 3. Im dargestellten Bereich steigt \(f\) für \(-5 \le x < -2\) und für \(2 < x \le 5\). Somit gilt \(f'(x) > 0\) für \(x \in [-5; -2)\) und \(x \in (2; 5]\).

a) \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). b) \(f'(0) = -3\). c) Im dargestellten Bereich gilt \(f'(x) > 0\) für \(x \in [-5; -2)\) und \(x \in (2; 5]\).

- Wie hängen die lokalen Extrema einer Funktion mit ihrer Ableitung zusammen? - Welche Steigung hat eine waagerechte Tangente an einem Hoch- oder Tiefpunkt? - Wie ist die Ableitung \(f'(x_0)\) geometrisch definiert? - Lies zwei Punkte der eingezeichneten Tangente \(t\) ab und berechne daraus ihre Steigung. - In welchen Bereichen fällt der Graph der Funktion \(f\), und was bedeutet das für das Vorzeichen der Ableitung?

1. Die Nullstellen von \(f'\) entsprechen den Stellen, an denen der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. Aus dem Hochpunkt bei \(x = -3\) und dem Tiefpunkt bei \(x = 3\) folgen die Nullstellen \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\). 2. Der Wert \(f'(0)\) entspricht der Steigung der Tangente \(t\) im Punkt \((0 \mid 0)\). Die Tangente verläuft außerdem durch \((2 \mid -3)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{-3 - 0}{2 - 0} = -1{,}5\). 3. Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt fällt der Graph von \(f\). An den Randstellen ist die Ableitung gleich null. Daher gilt \(f'(x) < 0\) genau für \(x \in (-3; 3)\).

a) \(x_1 = -3\) und \(x_2 = 3\). b) \(f'(0) = -1{,}5\). c) \(f'(x) < 0\) für \(x \in (-3; 3)\).

- Eine waagerechte Tangente entspricht dem Ableitungswert \(0\). - Schätze \(f'(2)\) über die Steigung einer dort gedachten Tangente. - Entscheide für positive und negative \(x\)-Werte getrennt, ob der Graph von \(f\) steigt oder fällt.

1. Aussage (A) ist wahr. Bei \(x=0\) besitzt der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente, also gilt \(f'(0)=0\). 2. Aussage (B) ist wahr. Bei \(x=2\) fällt eine passende Tangente bei einer waagerechten Änderung um etwa \(2\) Einheiten um etwa \(2\) Einheiten. Daher gilt näherungsweise \(f'(2)\approx-1\). 3. Aussage (C) ist wahr. Für \(x>0\) fällt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)<0\). 4. Aussage (D) ist falsch. Für \(x<0\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)>0\).

(A) wahr (B) wahr (C) wahr (D) falsch

- Welche Steigung hat eine Tangente in einem lokalen Extrempunkt? - In welchen Bereichen steigt die Funktion \(g\) und in welchen fällt sie? Was bedeutet das für das Vorzeichen von \(g'\)? - Kannst du die Steigung der Tangente im Ursprung direkt am Graphen abschätzen? - Wenn eine Funktion eine Kurve dritten Grades ist, welchen Typs muss dann ihre Ableitungsfunktion sein?

1. Aussage (A) ist wahr. Der Graph von \(g\) weist bei \(x=-1\) einen Hochpunkt und bei \(x=1\) einen Tiefpunkt auf. An diesen Stellen ist die Tangente waagerecht, also gilt \(g'(-1)=0\) und \(g'(1)=0\). 2. Aussage (B) ist wahr. Für \(-1<x<1\) fällt der Graph von \(g\). Daher ist die Steigung dort negativ, und der Graph von \(g'\) liegt unterhalb der \(x\)-Achse. An den Randstellen \(x=-1\) und \(x=1\) liegt er dagegen auf der \(x\)-Achse. 3. Aussage (C) ist falsch. Bei \(x=0\) fällt der Graph; die Steigung ist ungefähr \(-1{,}5\). Daher ist \(g'(0)<0\). 4. Aussage (D) ist wahr. Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist eine quadratische Funktion. Da \(g\) für große positive \(x\)-Werte steigt, ist der Leitkoeffizient von \(g'\) positiv; die Parabel ist nach oben geöffnet.

(A) Wahr, da bei \(x=-1\) und \(x=1\) waagerechte Tangenten vorliegen. (B) Wahr, da \(g\) im Intervall \((-1;1)\) fällt und somit \(g'(x)<0\) gilt. (C) Falsch, da \(g'(0)=-1{,}5<0\) gilt. (D) Wahr, da \(g'\) eine quadratische Funktion mit positivem Leitkoeffizienten ist.

- Suche die Stelle, an der der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente besitzt. - Prüfe links und rechts davon, ob der Graph von \(f\) steigt oder fällt. - Welche Art von Funktion entsteht beim Ableiten einer quadratischen Funktion?

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente. Daher gilt \(f'(0)=0\). 2. Für \(x<0\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Für \(x>0\) fällt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)<0\). Da die Ableitung einer quadratischen Funktion linear ist, ist der Graph von \(f'\) eine fallende Gerade durch den Ursprung.

1. Der Graph von \(f'\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=0\). 2. Der Graph von \(f'\) ist eine fallende Gerade; für \(x<0\) gilt \(f'(x)>0\), für \(x>0\) gilt \(f'(x)<0\).

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - In welchem Bereich fällt der Graph von \(f\)? - Welches Vorzeichen hat die Tangentensteigung in einem fallenden Graphenabschnitt?

1. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort die Nullstellen \(x_1=-2\) und \(x_2=2\). 2. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt der Graph von \(f\). Deshalb sind dort die Tangentensteigungen negativ und es gilt \(f'(x)<0\) für \(x\in(-2;2)\).

1. \(x_1=-2\) und \(x_2=2\). 2. \(f'(x)<0\) für \(x\in(-2;2)\).

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts von \(x=0\), ob der Graph steigt oder fällt. - Überlege bei der Symmetrieaussage, wie sich Tangentensteigungen bei Spiegelung an der \(y\)-Achse verhalten.

1. Aussage (1) ist wahr. Bei \(x=0\) besitzt der Graph von \(g\) eine waagerechte Tangente, also gilt \(g'(0)=0\). 2. Aussage (2) ist wahr. Für \(x<0\) steigt der Graph von \(g\); daher ist \(g'(x)>0\). 3. Aussage (3) ist falsch. Im dargestellten Bereich gibt es nur bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente. Somit hat \(g'\) dort genau eine Nullstelle. 4. Aussage (4) ist wahr. Für \(x>0\) fällt der Graph von \(g\); insbesondere gilt \(g'(1)<0\). 5. Aussage (5) ist wahr. Der Graph von \(g\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Die Steigungen an gegenüberliegenden Stellen haben daher entgegengesetzte Vorzeichen und gleichen Betrag, sodass der Graph von \(g'\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Richtig sind (1), (2), (4) und (5). Aussage (3) ist falsch.

- Eine waagerechte Tangente liefert einen Punkt des Ableitungsgraphen auf der \(x\)-Achse. - Bestimme die Steigungen der Tangenten \(r\) und \(s\) aus jeweils zwei Gitterpunkten. - Welche Form hat die Ableitung einer quadratischen Funktion?

1. Bei \(x=2\) besitzt der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher gilt \(f'(2)=0\). 2. Die Tangente \(r\) bei \(x=0\) hat die Steigung \(-2\), also ist \(f'(0)=-2\). 3. Die Tangente \(s\) bei \(x=4\) hat die Steigung \(2\), also ist \(f'(4)=2\). 4. Da \(f\) quadratisch ist, ist \(f'\) linear. Die drei Ableitungswerte liegen auf der Geraden \(f'(x)=x-2\).

Der Graph von \(f'\) ist die Gerade \(f'(x)=x-2\).

- Entscheide zuerst, welches Vorzeichen die Tangentensteigungen überall haben. - Vergleiche die Steilheit des Graphen an mehreren Stellen von links nach rechts. - Beschreibe nur das, was sich aus den Tangentensteigungen des dargestellten Graphen ableiten lässt.

1. Der Graph von \(f\) steigt im gesamten dargestellten Bereich. Seine Tangentensteigungen sind daher positiv, sodass der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt und keine Nullstelle besitzt. 2. Von links nach rechts wird der Graph von \(f\) immer steiler. Entsprechend werden auch die Werte von \(f'\) größer. 3. Weit links wird der Graph von \(f\) immer flacher. Daher nähern sich die positiven Tangentensteigungen dort dem Wert \(0\).

Der Graph von \(f'\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse und besitzt keine Nullstelle. Seine Werte werden von links nach rechts größer; weit links nähern sie sich \(0\).

- Betrachte jeden Ast des Graphen getrennt. - Entscheide jeweils, ob der Graph von links nach rechts steigt oder fällt. - Welches Vorzeichen hat die Steigung einer fallenden Tangente?

1. Für \(x<0\) fällt der Graph von \(f\). Jede Tangente hat dort eine negative Steigung. Daher gilt \(f'(x)<0\). 2. Auch für \(x>0\) fällt der Graph von \(f\). Daher gilt dort ebenfalls \(f'(x)<0\). 3. Somit liegt der Graph von \(f'\) an allen definierten Stellen unterhalb der \(x\)-Achse.

Für \(x<0\) und für \(x>0\) gilt \(f'(x)<0\).

- Die Steigung einer Geraden lässt sich bestimmen, indem man die Differenz der \(y\)-Werte durch die Differenz der \(x\)-Werte zweier Punkte auf der Geraden teilt. - Wo ändert der Graph seine Richtung von „fallend“ zu „steigend“? Was bedeutet das für die Steigung in diesem Punkt? - Eine positive Zahl ist immer größer als eine negative Zahl.

1. Ableitung bei \(x = 0\): Die Tangente verläuft durch \((0 \mid -1)\) und \((1 \mid -2)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-2 - (-1)}{1 - 0} = -1\). Also \(g'(0) = -1\). 2. Ableitung bei \(x = 4\): Die Tangente verläuft durch \((4 \mid -1)\) und \((5 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - (-1)}{5 - 4} = 1\). Also \(g'(4) = 1\). 3. Stelle mit Ableitung \(0\): Am Scheitelpunkt \(S(2 \mid -2)\) ist die Tangente waagerecht. Es gilt \(g'(2) = 0\). Der Fachbegriff für \(S\) ist Scheitelpunkt oder lokales Minimum (Tiefpunkt). 4. Vergleich der Steigungen: Bei \(x = 1\) fällt der Graph (negative Steigung), bei \(x = 3\) steigt der Graph (positive Steigung). Somit ist \(g'(3) > g'(1)\).

a) \(g'(0) = -1\) und \(g'(4) = 1\). b) An der Stelle \(x = 2\) ist \(g'(x) = 0\); \(S\) ist der Scheitelpunkt beziehungsweise Tiefpunkt. c) Die Steigung bei \(x = 3\) ist größer.

- Suche zuerst die Stelle mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts davon, ob \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche die daraus folgenden Vorzeichen mit den beiden Kandidaten.

1. Der Graph von \(f\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einer waagerechten Tangente bei \(x=0\). Daher muss \(f'(0)=0\) gelten. Beide Kandidaten erfüllen diese Bedingung. 2. Für \(x<0\) fällt der Graph von \(f\), deshalb muss \(f'(x)<0\) sein. Für \(x>0\) steigt der Graph von \(f\), deshalb muss \(f'(x)>0\) sein. 3. Nur Graph 1 zeigt diese Vorzeichenverteilung. Daher ist Graph 1 die Ableitungsfunktion.

Graph 1 ist die Ableitungsfunktion \(f'\).

- Lies die Steigungen der orangefarbenen Tangenten mithilfe zweier gut erkennbarer Punkte ab. - Links vom Scheitelpunkt steigt \(f\), rechts davon fällt \(f\). Was bedeutet das für das Vorzeichen von \(f'\)? - Nutze die Symmetrie der Parabel, um die Steigungen an gespiegelten Stellen zu vergleichen.

1. An der Stelle \(x = 0\) ist die orange Tangente waagerecht. Ihre Steigung ist \(0\), also gilt \(f'(0) = 0\). 2. Die Tangente bei \(x = 2\) verläuft beispielsweise durch \((1 \mid 4)\) und \((2 \mid 2)\). Ihre Steigung ist \(m = (2 - 4) : (2 - 1) = -2\), also gilt \(f'(2) = -2\). 3. Die Ableitungsfunktion einer nach unten geöffneten Parabel ist eine fallende Gerade. Sie verläuft durch \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid -2)\), also gilt \(f'(x) = -x\). 4. Der \(x\)-Wert des Scheitelpunkts von \(f\) entspricht der Nullstelle von \(f'\).

Es gilt \(f'(0) = 0\) und \(f'(2) = -2\). Der Graph von \(f'\) ist die fallende Gerade \(f'(x) = -x\); der \(x\)-Wert des Scheitelpunkts von \(f\) ist die Nullstelle von \(f'\).

- Lies für jede Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Übertrage jede Tangentensteigung als \(y\)-Koordinate in einen Punkt des Ableitungsgraphen. - Prüfe anschließend, welches geometrische Muster die drei Punkte bilden.

1. Aus den Tangenten liest man \(m_1=-2\), \(m_2=0\) und \(m_3=2\) ab. 2. Damit liegen auf dem Graphen von \(f'\) die Punkte \(Q_1(-2\mid-2)\), \(Q_2(0\mid0)\) und \(Q_3(2\mid2)\). 3. Die drei Punkte liegen auf einer Geraden. Daher erwartet man für \(f'\) einen linearen Verlauf.

a) \(m_1=-2\), \(m_2=0\), \(m_3=2\). b) \(Q_1(-2\mid-2)\), \(Q_2(0\mid0)\), \(Q_3(2\mid2)\). c) \(f'\) ist linear.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Extrema einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitung. - Wie hängen Monotonie (Steigen/Fallen) und das Vorzeichen der Ableitung zusammen? - Betrachte die Tangentenrichtung an den jeweiligen Stellen, um die Steigungen zu vergleichen.

1. Stellen mit \(g'(x) = 0\): Die Ableitung ist an den Stellen null, an denen der Graph von \(g\) eine waagerechte Tangente hat. Dies ist bei den lokalen Extrema der Fall. Aus dem Graphen liest man das lokale Maximum bei \(x = 0\) und das lokale Minimum bei \(x = 2\) ab. Also gilt \(g'(0) = 0\) und \(g'(2) = 0\). 2. Vorzeichen im Intervall \((0; 2)\): In diesem Bereich fällt der Graph von \(g\) (monoton fallend). Eine fallende Funktion hat eine negative Ableitung, daher ist \(g'(x) < 0\) für alle \(x \in (0; 2)\). 3. Vergleich von \(g'(-1)\) und \(g'(1)\): Bei \(x = -1\) steigt der Graph von \(g\), die Steigung \(g'(-1)\) ist also positiv. Bei \(x = 1\) fällt der Graph von \(g\), die Steigung \(g'(1)\) ist also negativ. Da jeder positive Wert größer als jeder negative Wert ist, gilt \(g'(-1) > g'(1)\).

a) \(g'(x) = 0\) für \(x = 0\) und \(x = 2\). b) \(g'(x) < 0\) für \(0 < x < 2\), da \(g\) dort fällt. c) \(g'(-1) > g'(1)\), da die Steigung bei \(x = -1\) positiv und bei \(x = 1\) negativ ist.

- Überlege dir, was die Ableitung an einer Stelle grafisch bedeutet. - Achte auf die Bereiche, in denen der Graph steigt oder fällt. Was sagt das über das Vorzeichen der Ableitung aus? - Wo hat der Graph waagerechte Tangenten? Was bedeutet das für den Wert der Ableitungsfunktion an diesen Stellen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Extremstellen der Ausgangsfunktion und den Nullstellen der Ableitung.

1. Aussage (1) ist wahr, da die Funktion \(h\) an der Stelle \(x = -2\) ein lokales Maximum besitzt. Dort ist die Tangente waagerecht, also die Steigung \(h'(-2) = 0\). 2. Aussage (2) ist falsch. Im Bereich um \(x = 0\) fällt der Graph von \(h\). Eine fallende Funktion bedeutet eine negative Steigung, also \(h'(0) < 0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Da die Funktion \(h\) im gesamten Intervall \([-2; 2]\) streng monoton fällt, sind die Werte der Ableitungsfunktion \(h'(x)\) in diesem Bereich negativ. Somit verläuft \(G_{h'}\) dort unterhalb der \(x\)-Achse. 4. Aussage (4) ist wahr. Nullstellen der Ableitungsfunktion entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente (lokale Extrema). Der Graph zeigt genau zwei solcher Stellen (ein lokales Maximum bei \(x = -2\) und ein lokales Minimum bei \(x = 2\)).

(1) Wahr, da bei \(x = -2\) ein lokales Extremum vorliegt; (2) falsch, da \(h\) bei \(x = 0\) fällt; (3) wahr, da \(h\) im Intervall \([-1; 1]\) fällt; (4) wahr, da \(h\) genau zwei Stellen mit waagerechter Tangente besitzt.

- Vergleiche für die Funktionswerte die Höhen der markierten Punkte. - Die Steigung an einer Stelle entspricht der Steilheit der Tangente. - Überlege dir bei der Krümmung, in welche Richtung die Kurve gebogen ist. - Achte bei der Steigung auf das Vorzeichen: Eine stark fallende Kurve hat eine sehr kleine, stark negative Steigung.

1. Analyse der Funktionswerte \(f(x)\): Durch Vergleich der Höhen erkennt man, dass die Funktion an den Stellen \(x_1\) und \(x_7\) die höchsten markierten Werte erreicht. Die tiefsten markierten Werte liegen an den lokalen Minima bei \(x_2\) und \(x_6\) vor. 2. Analyse der Steigung \(f'(x)\): Die Steigung ist am größten, wo der Graph am steilsten ansteigt. Dies ist bei \(x_7\) der Fall. Am kleinsten ist die Steigung dort, wo der Graph am steilsten fällt, also bei \(x_1\). 3. Analyse der Krümmung \(f''(x)\): Eine Rechtskrümmung (\(f''(x) < 0\)) liegt im Bereich des lokalen Maximums vor. Von den markierten Stellen trifft dies auf \(x_4\) zu. Die Stellen \(x_3\) und \(x_5\) sind näherungsweise Wendestellen.

a) Am größten ist \(f(x)\) bei \(x_1\) und \(x_7\), am kleinsten bei \(x_2\) und \(x_6\). b) Am größten ist \(f'(x)\) bei \(x_7\), am kleinsten bei \(x_1\). c) Rechtsgekrümmt ist der Graph bei \(x_4\).

- Überlege dir, was der Funktionswert \(f(x)\) grafisch bedeutet: Liegt der Punkt oberhalb, auf oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Was sagt die erste Ableitung \(f'(x)\) über den Verlauf des Graphen aus? - Wie erkennst du das Krümmungsverhalten (Links- oder Rechtskurve) an der zweiten Ableitung \(f''(x)\)? - Betrachte die Steigung der Tangente in jedem der markierten Punkte.

Anhand des Graphen lassen sich die Eigenschaften der Funktion in den Punkten wie folgt bestimmen: 1. Punkt \(A(1 \mid 0)\): Der Punkt liegt auf der x-Achse, also ist \(f(1) = 0\). Die Tangente fällt, daher ist die Steigung \(f'(1) < 0\). Der Graph beschreibt eine Linkskurve, somit ist \(f''(1) > 0\). 2. Punkt \(B(2 \mid -0{,}5)\): Der Punkt liegt unterhalb der x-Achse, also ist \(f(2) < 0\). Die Tangente verläuft waagrecht (Scheitelpunkt), daher ist \(f'(2) = 0\). Da es sich um eine Linkskurve handelt, ist \(f''(2) > 0\). 3. Punkt \(C(3 \mid 0)\): Der Punkt liegt auf der x-Achse, also ist \(f(3) = 0\). Der Graph steigt an dieser Stelle, folglich ist \(f'(3) > 0\). Die Linkskrümmung bleibt erhalten, also ist \(f''(3) > 0\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr><th>Punkt</th><th>\(f(x)\)</th><th>\(f'(x)\)</th><th>\(f''(x)\)</th></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0\)</td><td>\(-\)</td><td>\(+\)</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(-\)</td><td>\(0\)</td><td>\(+\)</td></tr> <tr><td>\(C\)</td><td>\(0\)</td><td>\(+\)</td><td>\(+\)</td></tr> </table>

- Welche Steigung hat die Tangente bei \(x=1\)? - Prüfe getrennt links und rechts der Stelle, ob der Graph von \(h\) steigt oder fällt. - Eine Nullstelle der Ableitung muss nicht mit einem Vorzeichenwechsel verbunden sein.

1. Wegen der waagerechten Tangente gilt \(h'(1)=0\). 2. Links und rechts von \(x=1\) steigt der Graph von \(h\). Daher ist \(h'(x)>0\) auf beiden Seiten der Stelle. 3. Der Graph von \(h'\) berührt bei \(x=1\) die \(x\)-Achse, ohne das Vorzeichen zu wechseln.

\(h'(1)=0\). Links und rechts von \(x=1\) ist \(h'\) positiv; an der Nullstelle findet kein Vorzeichenwechsel statt.

- Suche für \(f'\) nach Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe für \(f''\), ob sich die Krümmungsrichtung innerhalb eines zusammenhängenden Graphenastes ändert. - Eine Definitionslücke ist keine Wendestelle.

1. Der Graph von \(f\) fällt in beiden Teilen seines Definitionsbereichs und besitzt keine waagerechte Tangente. Daher hat \(f'\) keine Nullstelle. 2. In jedem der beiden Äste bleibt die Krümmungsrichtung gleich; es gibt innerhalb des Definitionsbereichs keinen Wendepunkt. Daher hat \(f''\) ebenfalls keine Nullstelle.

\(f'\) hat \(0\) Nullstellen und \(f''\) hat \(0\) Nullstellen.

- Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der eingezeichneten Tangente. - Welche zwei gut ablesbaren Punkte liegen auf der Tangente? - Achte bei der Interpretation auf die Einheit Höhe pro Zeit.

1. Auf der Tangente lassen sich zum Beispiel die Punkte \((0\mid20)\) und \((10\mid45)\) ablesen. 2. Ihre Steigung ist \(\frac{45-20}{10-0}=2{,}5\). 3. Daher gilt \(h'(10)\approx2{,}5\,\text{m/s}\). Zum Zeitpunkt \(10\,\text{s}\) nimmt die Höhe der Drohne momentan um etwa \(2{,}5\,\text{m}\) pro Sekunde zu.

Die momentane Steiggeschwindigkeit beträgt etwa \(2{,}5\,\text{m/s}\); bei \(t=10\,\text{s}\) gewinnt die Drohne momentan etwa \(2{,}5\,\text{m}\) Höhe pro Sekunde.

- Überlege, ob sich die Steigung einer Geraden von Stelle zu Stelle ändert. - Bestimme die Steigung von \(f\) mithilfe der beiden markierten Punkte. - Jeder Ableitungswert ist hier gleich groß; wie sieht ein Graph mit konstantem y-Wert aus?

1. Aus der Abbildung liest man \(A(0\mid-1)\) und \(B(2\mid3)\) ab. 2. Die Gerade hat die konstante Steigung \(\frac{3-(-1)}{2-0}=2\). 3. Daher gilt an jeder Stelle \(f'(x)=2\). Der Graph von \(f'\) ist also die waagerechte Gerade \(y=2\).

\(f'(x)=2\). Zu skizzieren ist die waagerechte Gerade \(y=2\).

- Welche Grundform hat die Ableitung einer quadratischen Funktion? - Wo besitzt der dargestellte Funktionsgraph eine waagerechte Tangente? - Nutze die Funktionsgleichung zur Kontrolle deiner grafischen Überlegungen.

1. Die Funktion ist eine quadratische Funktion; ihre Ableitungsfunktion ist linear. 2. Termweises Ableiten liefert \(f'(x)=x-2\). 3. Damit liegt die Nullstelle bei \(x=2\). Außerdem gilt \(f'(0)=-2\) und \(f'(4)=2\). 4. Die Skizze von \(f'\) ist daher die steigende Gerade \(y=x-2\), die durch \((0\mid-2)\), \((2\mid0)\) und \((4\mid2)\) verläuft.

a) Nullstelle bei \(x=2\). b) \(f'(0)=-2\), \(f'(4)=2\). c) \(f'(x)=x-2\); zu skizzieren ist diese Gerade.

- Überlege, welchen Grad der Ableitungsgraph haben muss. - Waagerechte Tangenten von \(f\) liefern Nullstellen von \(f'\). - Prüfe, wo \(f\) steigt und fällt; das bestimmt das Vorzeichen von \(f'\).

1. Es gilt \(f'(x)=x^2-1\). 2. Die Nullstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\); außerdem ist \(f'(0)=-1\). 3. Für \(x<-1\) und \(x>1\) ist \(f'(x)>0\), für \(-1<x<1\) ist \(f'(x)<0\). 4. Der Graph von \(f'\) ist somit eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel \((0\mid-1)\) und den Nullstellen \(-1\) und \(1\).

\(f'(x)=x^2-1\). Nullstellen: \(x=-1\) und \(x=1\); \(f'(0)=-1\); positiv für \(x<-1\) und \(x>1\), negativ für \(-1<x<1\). Zu skizzieren ist die entsprechende nach oben geöffnete Parabel.

- Auf jedem geraden Abschnitt ist die Steigung konstant. - Bestimme die Steigung jedes Abschnitts getrennt aus zwei Gitterpunkten. - Überlege, was an einer Knickstelle mit der eindeutigen Tangentensteigung passiert.

1. Auf dem linken Geradenstück steigt \(f\) von \((-3\mid-1)\) nach \((-1\mid3)\). Die Steigung ist \(\frac{3-(-1)}{-1-(-3)}=2\). 2. Auf dem mittleren Geradenstück fällt \(f\) von \((-1\mid3)\) nach \((2\mid0)\). Die Steigung ist \(\frac{0-3}{2-(-1)}=-1\). 3. Auf dem rechten Geradenstück steigt \(f\) von \((2\mid0)\) nach \((4\mid2)\). Die Steigung ist \(\frac{2-0}{4-2}=1\). 4. Daher ist \(f'\) auf den drei offenen Intervallen konstant mit den Werten \(2\), \(-1\) und \(1\). An \(x=-1\) und \(x=2\) ist \(f'\) wegen der Knicke nicht definiert.

\(f'(x)=2\) für \(-3<x<-1\), \(f'(x)=-1\) für \(-1<x<2\), \(f'(x)=1\) für \(2<x<4\). Bei \(x=-1\) und \(x=2\) hat der Ableitungsgraph Lücken.

- Suche zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente im linken Graphen. - Welche Werte muss die Ableitung an diesen Stellen besitzen? - Prüfe danach, wo der Funktionsgraph steigt oder fällt und welches Vorzeichen \(f'\) dort haben muss. - Vergleiche diese Bedingungen mit den drei Kandidaten.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=1\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(1)=0\) gelten. Kandidat c scheidet damit aus. 2. Für \(x<-1\) und \(x>1\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Zwischen \(-1\) und \(1\) fällt der Graph, also ist \(f'(x)<0\). 3. Nur Kandidat a besitzt genau dieses Nullstellen- und Vorzeichenverhalten. Daher ist a der Graph von \(f'\).

Kandidat a.

- Prüfe für jede Stelle, ob der Graph von \(f\) steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Die Werte von \(f'\) beschreiben genau diese lokalen Steigungen. - Für Aussage (3) vergleiche, wie sich die Steilheit des fallenden Graphen links und rechts von \(x=0\) verändert.

1. Aussage (1) ist wahr: Im gesamten Intervall \([-1;1]\) fällt der Graph von \(f\), also sind seine lokalen Steigungen negativ. 2. Aussage (2) ist wahr: Bei \(x=-2\) verläuft die Tangente waagerecht, also \(f'(-2)=0\). 3. Aussage (3) ist falsch: Beim Übergang über \(x=0\) wird die fallende Steigung zunächst immer negativer und danach wieder weniger negativ. Daher nimmt \(f'\) dort einen lokalen Tiefpunkt, nicht einen Hochpunkt, an. 4. Aussage (4) ist falsch: Bei \(x=3\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(3)>0\).

(1) Wahr (2) Wahr (3) Falsch (4) Falsch

- Wo besitzt der Graph waagerechte Tangenten? - Lies zwei Punkte auf der eingezeichneten Tangente \(t\) ab. - In welchem Bereich bewegt sich der Graph beim Lesen von links nach rechts nach unten?

1. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph waagerechte Tangenten. Daher gilt \(f'(-2)=0\) und \(f'(2)=0\). 2. Die Tangente \(t\) verläuft durch \(W(0|0)\) und \((1|-3)\). Ihre Steigung ist \(-3\). Somit ist \(f'(0)=-3\). 3. Der Graph fällt für \(-2<x<2\).

a) \(x=-2\) und \(x=2\) b) \(f'(0)=-3\) c) Für \(-2<x<2\)

- Bestimme die Tangentensteigung aus zwei gut ablesbaren Punkten der Geraden \(t\). - Suche im Graphen von \(f\) nach Stellen mit waagerechter Tangente. - Vergleiche außerdem, wo \(f\) steigt oder fällt, mit dem Vorzeichen der drei Kandidatengraphen.

1. Die Tangente \(t\) verläuft durch \(P(2\mid2)\) und zum Beispiel durch \((4\mid0)\). Daher ist ihre Steigung \(m=\frac{0-2}{4-2}=-1\). Somit gilt \(f'(2)=-1\). 2. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x\approx0{,}85\) und \(x\approx3{,}15\) waagerechte Tangenten. Dort muss \(f'\) Nullstellen haben. 3. Nur \(g_1\) besitzt Nullstellen an diesen beiden Stellen. Außerdem liegt \(g_1\) dort oberhalb der \(x\)-Achse, wo \(f\) steigt, und unterhalb der \(x\)-Achse, wo \(f\) fällt. 4. Damit ist \(g_1\) der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\).

a) \(f'(2)=-1\). b) \(g_1\) ist der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\).

- Nullstellen von \(f'\) findest du dort, wo \(f\) waagerechte Tangenten hat. - Prüfe das Vorzeichen von \(f'\) anhand der Frage, ob der Graph von \(f\) steigt oder fällt. - Betrachte für Aussage (4), wie sich die Steilheit des Graphen weit links verändert.

1. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort zwei Nullstellen. Aussage (1) ist wahr. 2. Zwischen \(x=-2\) und \(x=2\) fällt der Graph von \(f\). Deshalb ist \(f'(x)<0\) im Inneren dieses Intervalls. Aussage (2) ist falsch. 3. Bei \(x=0\) fällt der Graph von \(f\). Daher gilt \(f'(0)<0\). Aussage (3) ist wahr. 4. Weit links steigt der Graph von \(f\) nach rechts und wird dabei immer steiler. Die zugehörigen Steigungen sind positiv und wachsen betragsmäßig. Daher gilt \(f'(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\). Aussage (4) ist falsch.

(1) wahr (2) falsch (3) wahr (4) falsch

- Beginne mit den Stellen, an denen der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. - Vergleiche anschließend, wo \(f\) steigt oder fällt, mit dem Vorzeichen der angebotenen Funktionsterme. - Wenn noch mehrere Möglichkeiten übrig sind, vergleiche ihre Steigungen an einer gut ablesbaren Stelle mit der Steilheit des Graphen.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\) gelten. Option D scheidet aus, weil sie andere Nullstellen besitzt. 2. Für \(x<-1\) und \(x>3\) steigt der Graph von \(f\). Dort muss \(f'\) positiv sein. Deshalb scheidet Option B aus. 3. Übrig bleiben A und C. In der Umgebung von \(x=1\) fällt der Graph mit einer Steigung von ungefähr \(-2\). Option A liefert \(f'(1)=-2\), Option C dagegen \(f'(1)=-4\), was deutlich zu steil ist. 4. Damit passt Option A zum dargestellten Graphen.

A: \(f'(x)=0{,}5x^2-x-1{,}5\).

- Entscheide bei jeder Stelle, ob der Graph von \(f\) steigt, fällt oder eine waagerechte Tangente hat. - Das Vorzeichen von \(f'(x)\) beschreibt das Vorzeichen der Tangentensteigung. - Unterscheide sorgfältig zwischen dem Funktionswert \(f(x)\) und dem Ableitungswert \(f'(x)\).

1. Aussage (1) ist wahr. Im Intervall \((0;4)\) steigt der Graph von \(f\), deshalb gilt dort \(f'(x)>0\). 2. Aussage (2) ist falsch. Bei \(x=2\) steigt der Graph deutlich; die Tangentensteigung ist dort nicht \(0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Bei \(x=1\) steigt der Graph von \(f\), daher gilt \(f'(1)>0\). 4. Aussage (4) ist falsch. Bei \(x=0\) besitzt der Graph eine waagerechte Tangente, also gilt \(f'(0)=0\). Der Wert \(-2\) ist \(f(0)\), nicht \(f'(0)\).

(1) wahr (2) falsch (3) wahr (4) falsch

- Suche die Stellen, an denen der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. - Prüfe das Vorzeichen von \(f'\) danach, ob der Graph von \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche für die Symmetrieaussage die Steigungen an gegenüberliegenden Stellen \(x\) und \(-x\).

1. Aussage (1) ist wahr. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort genau drei Nullstellen. 2. Aussage (2) ist falsch. Für \(x>2\) fällt der dargestellte Graph von \(f\), also gilt dort \(f'(x)<0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Bei \(x=0\) besitzt \(f\) eine waagerechte Tangente, daher ist \(f'(0)=0\). 4. Aussage (4) ist falsch. Die Steigungen an den Stellen \(x\) und \(-x\) haben entgegengesetzte Vorzeichen; der Graph von \(f'\) ist daher nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 5. Aussage (5) ist wahr. Bei \(x=1\) steigt der Graph von \(f\), also gilt \(f'(1)>0\).

(1) wahr (2) falsch (3) wahr (4) falsch (5) wahr

- Erinnere dich daran, welche geometrische Bedeutung die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle hat. - Wo befinden sich die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen? Was bedeutet das für die Tangentensteigung an diesen Stellen? - Lies zwei Punkte der eingezeichneten Tangente ab und berechne daraus ihre Steigung. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Krümmungsrichtung und dem Vorzeichen der zweiten Ableitung?

1. Der Hochpunkt liegt bei \(H(-2 \mid 4)\), der Tiefpunkt bei \(T(2 \mid -4)\). Dort sind die Tangenten waagerecht, also gilt \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 2. Im Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\) nimmt der Tangentenwert bei einem Schritt um \(1\) in \(x\)-Richtung um \(3\) ab. Daher beträgt die Steigung \(-3\), also \(f'(0) = -3\). 3. Für \(x < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt und \(f''(x) < 0\). Für \(x > 0\) ist der Graph linksgekrümmt und \(f''(x) > 0\).

a) \(H(-2 \mid 4)\) und \(T(2 \mid -4)\); an beiden Stellen hat \(f'\) eine Nullstelle. b) \(f'(0) = -3\). c) Für \(x < 0\) ist der Graph rechtsgekrümmt und \(f''(x) < 0\); für \(x > 0\) ist er linksgekrümmt und \(f''(x) > 0\).

- Suche zuerst die Stellen, an denen \(f\) waagerechte Tangenten besitzt. - Welche Kandidatengraphen haben dort den Wert \(0\)? - Prüfe danach, welches Vorzeichen die Ableitung in einem Bereich haben muss, in dem der Graph von \(f\) fällt.

1. Bei \(x\approx-0{,}15\) und \(x\approx2{,}15\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(f'\) an diesen beiden Stellen Nullstellen besitzen. Das trifft auf \(g\) und \(h\) zu; \(k\) scheidet aus. 2. Zwischen diesen beiden Stellen fällt der Graph von \(f\). Deshalb muss die Ableitung dort negativ sein. 3. Der Graph \(g\) liegt in diesem Bereich unterhalb der \(x\)-Achse, der Graph \(h\) oberhalb. 4. Daher stellt \(g\) die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Der Graph \(g\) stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

- Betrachte die Tangentenrichtung direkt bei \(x=-1\). - Prüfe getrennt links und rechts der Stelle, ob der Graph von \(f\) steigt oder fällt. - Ein Vorzeichenwechsel von \(f'\) ist nicht automatisch mit jeder Nullstelle verbunden.

1. Ja. Bei \(x=-1\) besitzt der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher gilt \(f'(-1)=0\). 2. Links und rechts von \(x=-1\) steigt der Graph von \(f\). Deshalb ist \(f'(x)\) in der Umgebung von \(-1\) auf beiden Seiten positiv. An \(x=-1\) nimmt \(f'\) den Wert \(0\) an, ohne das Vorzeichen zu wechseln.

1. Ja, \(f'(-1)=0\). 2. \(f'\) wechselt bei \(x=-1\) nicht das Vorzeichen; links und rechts davon ist \(f'\) positiv.

- Zähle alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von \(f\). - Wo ändert sich die Krümmung des Graphen von \(f\)? - Was entspricht einem Wendepunkt von \(f\) im Graphen von \(f'\)?

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente. Der Graph von \(f\) hat Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie einen Hochpunkt bei \(x = 0\). Daher hat \(f'\) die Nullstellen \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. Am dargestellten Graphen von \(f\) erkennt man zwischen \(-2\) und \(0\) sowie zwischen \(0\) und \(2\) jeweils einen Krümmungswechsel. An diesen beiden Wendestellen ist die Tangentensteigung lokal extrem. Daher besitzt \(f'\) mindestens zwei Extremstellen.

1. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. \(f'\) besitzt mindestens zwei Extremstellen, weil \(f\) zwei Wendestellen aufweist.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Wo steigt der Graph im dargestellten Bereich am steilsten? - Vergleiche die Tangentenrichtungen, ohne eine Ableitungsregel für trigonometrische Funktionen zu verwenden.

1. Bei \(x=-\frac{\pi}{2}\) und \(x=\frac{\pi}{2}\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen. 2. Den größten Wert hat \(f'\) dort, wo der Graph von \(f\) am steilsten ansteigt. Im dargestellten Intervall ist das bei \(x=0\) der Fall.

1. \(x=-\frac{\pi}{2}\) und \(x=\frac{\pi}{2}\). 2. Bei \(x=0\).

- Nutze waagerechte Tangenten, um Nullstellen von \(f'\) zu erkennen. - Prüfe das Vorzeichen von \(f'\) danach, ob \(f\) steigt oder fällt. - Verwende für Aussage (4) die im Text angegebene Punktsymmetrie.

1. Aussage (1) ist wahr. Bei \(x=0\) steigt der Graph von \(f\), daher ist \(f'(0)>0\). 2. Aussage (2) ist wahr. Im gezeigten Bereich besitzt \(f\) ungefähr bei \(x\approx-1{,}4\) und \(x\approx1{,}4\) waagerechte Tangenten. Dort hat \(f'\) Nullstellen. 3. Aussage (3) ist wahr. Im Intervall \([1{,}5;3]\) fällt der Graph von \(f\), daher gilt dort \(f'(x)<0\). 4. Aussage (4) ist wahr. Wegen der angegebenen Punktsymmetrie haben die Tangenten an den symmetrisch gelegenen Stellen \(x=2\) und \(x=-2\) dieselbe Steigung. Daher gilt \(f'(2)=f'(-2)\). 5. Aussage (5) ist falsch. Ein Durchgang von \(f'\) durch den Ursprung würde \(f'(0)=0\) bedeuten; bei \(x=0\) steigt \(f\) jedoch.

(1) wahr (2) wahr (3) wahr (4) wahr (5) falsch

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe in jedem Zwischenbereich, ob der Graph von \(f\) steigt oder fällt. - Welche Symmetrie muss die Ableitung einer zur \(y\)-Achse symmetrischen Funktion besitzen?

1. Bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher gilt \(f'(-2)=0\), \(f'(0)=0\) und \(f'(2)=0\). 2. Für \(x<-2\) steigt \(f\), für \(-2<x<0\) fällt \(f\), für \(0<x<2\) steigt \(f\) und für \(x>2\) fällt \(f\). Entsprechend hat \(f'\) der Reihe nach die Vorzeichen positiv, negativ, positiv, negativ. 3. Da \(f\) vierten Grades ist, ist \(f'\) dritten Grades. Weil \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, ist der Graph von \(f'\) punktsymmetrisch zum Ursprung.

a) \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). b) Der Graph von \(f'\) ist eine punktsymmetrische Kurve dritten Grades mit den Nullstellen \(-2\), \(0\) und \(2\). Die Vorzeichenfolge ist \(+,-,+,-\).

- Was folgt aus der waagerechten Tangente für \(f'(1)\)? - Prüfe das Vorzeichen der Steigungen links und rechts von \(x=1\). - Welche Funktionsart ist die Ableitung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades?

1. Wegen der waagerechten Tangente gilt \(f'(1)=0\). 2. Links und rechts von \(x=1\) steigt der Graph von \(f\). Daher ist \(f'(x)>0\) auf beiden Seiten der Stelle. 3. Da \(f\) dritten Grades ist, ist \(f'\) quadratisch. Der Graph von \(f'\) ist daher eine nach oben geöffnete Parabel, die die \(x\)-Achse bei \((1\mid0)\) berührt. 4. Die Nullstelle bei \(x=1\) besitzt keinen Vorzeichenwechsel.

Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einer Nullstelle bei \(x=1\). Dort berührt er die \(x\)-Achse, ohne dass \(f'\) das Vorzeichen wechselt.

- Die erste Ableitung \(f'\) gibt die Steigung an: Steigt der Graph (aufwärts) oder fällt er (abwärts)? - Die zweite Ableitung \(f''\) beschreibt die Krümmung: Macht der Graph eine Linkskurve oder eine Rechtskurve? - Wo im Verlauf einer Kurve ist das Gefälle (die negative Steigung) am stärksten?

1. An der Stelle \(x_A = -1\) steigt der Graph (\(f'(-1) > 0\)) und verläuft in einer Rechtskurve (\(f''(-1) < 0\)). Dies entspricht Beschreibung 2. 2. An der Stelle \(x_B = 1\) befindet sich ein Wendepunkt mit Übergang von Rechts- zu Linkskrümmung. Da der Graph hier am steilsten fällt, ist die Steigung \(f'(x)\) dort minimal. Dies entspricht Beschreibung 3. 3. An der Stelle \(x_C = 2\) fällt der Graph (\(f'(2) < 0\)) und verläuft in einer Linkskurve (\(f''(2) > 0\)). Dies entspricht Beschreibung 1. 4. An der Stelle \(x_D = 4\) steigt der Graph wieder (\(f'(4) > 0\)) und ist linksgekrümmt (\(f''(4) > 0\)).

1. \(x_C = 2\); 2. \(x_A = -1\); 3. \(x_B = 1\)

- Suche am Graphen von \(f\) zuerst Stellen mit waagerechter Tangente. Was muss dort für den Ableitungsgraphen gelten? - In welchen Intervallen steigt bzw. fällt \(f\)? Welche Vorzeichen muss \(f'\) dort haben? - Welche Transformation bewirkt eine Addition außerhalb des Funktionsterms? - Wie wirkt sich \(f(x-c)\) auf die Lage des Graphen aus?

1. Graph II gehört zu \(f\): Er verläuft durch den Ursprung und besitzt die für den gegebenen kubischen Term passenden lokalen Extrempunkte bei \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Am Hochpunkt von Graph II bei \(x=-1\) und am Tiefpunkt bei \(x=1\) sind die Tangenten waagerecht. Der Ableitungsgraph muss daher bei \(x=-1\) und \(x=1\) Nullstellen haben. 3. Graph II steigt für \(x<-1\) und für \(x>1\); dort muss \(f'\) positiv sein. Zwischen \(-1\) und \(1\) fällt Graph II; dort muss \(f'\) negativ sein. Genau dieses Vorzeichenmuster zeigt Graph I. Deshalb ist Graph I der Ableitungsgraph. 4. \(g(x)=f(x)+2\) verschiebt Graph II um \(2\) Einheiten nach oben. Das ist Graph IV. 5. \(h(x)=f(x-2)\) verschiebt Graph II um \(2\) Einheiten nach rechts. Das ist Graph III.

Graph I: \(f'\) Graph II: \(f\) Graph III: \(h(x)=f(x-2)\) Graph IV: \(g(x)=f(x)+2\)

- Beobachte zuerst, ob der rechte Ast steigt oder fällt. - Vergleiche die Steilheit an mehreren zunehmend großen \(x\)-Werten. - Formuliere die Aussage über sehr große \(x\) als qualitative Beobachtung aus dem Graphen.

1. Für \(x>0\) steigt der dargestellte Graph von \(f\). Daher sind die Tangentensteigungen positiv und der Graph von \(f'\) liegt oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Mit wachsendem \(x\) wird der Graph von \(f\) sichtbar immer flacher. Die positiven Tangentensteigungen werden daher kleiner. 3. Aus dem dargestellten Verlauf ergibt sich als qualitative Vermutung, dass sich die Tangentensteigungen für große \(x\)-Werte dem Wert \(0\) von oben annähern.

Für \(x>0\) ist \(f'(x)>0\). Die Werte von \(f'\) werden für größere \(x\) kleiner und nähern sich dem Graphen zufolge \(0\) von oben.

- Beschleunigung ist hier die Tangentensteigung des Geschwindigkeitsgraphen. - Lies für Teil b zwei Punkte der eingezeichneten Tangente ab. - Suche für Teil c die Stelle mit der größten positiven Steilheit. - Das Vorzeichen der Steigung zeigt, ob die Geschwindigkeit gerade zu- oder abnimmt.

1. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(t=20\,\text{s}\). Dort beträgt die Geschwindigkeit \(10\,\text{m/s}\). 2. Die Tangente bei \(t=10\,\text{s}\) verläuft zum Beispiel durch \((6\mid2)\) und \((10\mid5)\). Ihre Steigung ist \((5-2):(10-6)=0{,}75\). Die Beschleunigung beträgt daher \(0{,}75\,\text{m/s}^2\). 3. Der Graph steigt bei \(t=10\,\text{s}\) am steilsten. Daher ist dort die positive momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit und damit die Beschleunigung am größten. 4. Bei \(t=5\,\text{s}\) ist die Steigung positiv; der Radfahrer wird schneller. Bei \(t=25\,\text{s}\) ist die Steigung negativ; er wird langsamer.

a) Nach \(20\,\text{s}\) mit \(10\,\text{m/s}\). b) \(0{,}75\,\text{m/s}^2\). c) Bei \(t=10\,\text{s}\). d) Bei \(5\,\text{s}\) nimmt die Geschwindigkeit zu; bei \(25\,\text{s}\) nimmt sie ab.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente im Graphen von \(g\). - Prüfe, ob der Graph zwischen diesen Stellen steigt oder fällt. - Welcher Kandidat hat in diesem Bereich das passende Vorzeichen?

1. Der Graph von \(g\) besitzt ungefähr bei \(x\approx-1{,}73\) und \(x\approx1{,}73\) waagerechte Tangenten. Daher muss \(g'\) an diesen Stellen Nullstellen besitzen. Beide Kandidaten erfüllen dies. 2. Zwischen diesen beiden Stellen fällt der Graph von \(g\). Deshalb muss \(g'(x)<0\) gelten. 3. Graph 3 liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse, Graph 4 dagegen oberhalb. 4. Somit stellt Graph 3 die Ableitungsfunktion \(g'\) dar.

Graph 3 ist die Ableitungsfunktion \(g'\).

- Suche die Stellen, an denen der Graph waagerechte Tangenten hat. - Überlege dir für verschiedene Abschnitte: Geht es bergauf oder bergab? - Wenn der Graph von \(f\) sehr steil ist, liegt der Wert von \(f'\) betragsmäßig weiter von der \(x\)-Achse entfernt. - Eine Funktion 4. Grades führt beim Ableiten zu einer Funktion 3. Grades.

1. Nullstellen von \(f'\): Diese liegen an den Stellen, an denen \(G_f\) waagerechte Tangenten hat (Extrempunkte). Im Graphen sind Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie ein Hochpunkt bei \(x = 0\) erkennbar. Die Nullstellen von \(f'\) sind also \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Vorzeichen von \(f'\): - Für \(x < -2\) fällt \(G_f\), also ist \(f'(x) < 0\) (Graph unterhalb der \(x\)-Achse). - Für \(-2 < x < 0\) steigt \(G_f\), also ist \(f'(x) > 0\) (Graph oberhalb). - Für \(0 < x < 2\) fällt \(G_f\), also ist \(f'(x) < 0\). - Für \(x > 2\) steigt \(G_f\), also ist \(f'(x) > 0\). 3. Verlauf: Der Graph von \(f'\) ist eine punktsymmetrische Kurve 3. Grades, die durch \((-2 \mid 0)\), \((0 \mid 0)\) und \((2 \mid 0)\) verläuft.

a) Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). b) Der Graph von \(f'\) ist eine punktsymmetrische Kurve 3. Grades; er liegt unterhalb der \(x\)-Achse, wenn \(f\) fällt, und oberhalb, wenn \(f\) steigt.

- Wo ist die Steigung des Graphen von \(f\) am kleinsten? Was bedeutet das für den Graphen von \(f'\)? - Betrachte den Bereich zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt. Ist die Steigung dort positiv oder negativ? - Wie verändert sich die Steigung, wenn du dich dem Ursprung näherst? - Wenn \(f\) eine Funktion 3. Grades ist, welche Form hat dann die Ableitung?

1. Der Graph \(G_f\) hat bei \(x = -2\) einen Hochpunkt und bei \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen: \(f'(-2) = 0\) und \(f'(2) = 0\). 2. Im Ursprung liegt ein Wendepunkt von \(f\), an dem der Graph am steilsten fällt. Die Steigung ist dort am kleinsten. Daher hat \(f'\) bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt. 3. Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x = -2\) und \(x = 2\). Ihr Scheitelpunkt liegt bei \(x = 0\) unterhalb der \(x\)-Achse.

Die Ableitungsfunktion \(f'\) hat bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt; ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(x = -2\) und \(x = 2\).

- Suche die Stelle mit waagerechter Tangente. - Prüfe links und rechts davon, ob der Graph steigt oder fällt. - Beobachte am Rand der Abbildung, wie sich die Steilheit des Graphen verändert.

1. Bei \(x=0\) besitzt der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente. Daher gilt \(f'(0)=0\). 2. Für \(x<0\) steigt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Für \(x>0\) fällt der Graph, also ist \(f'(x)<0\). 3. Für große Beträge von \(x\) wird der dargestellte Graph immer flacher. Entsprechend werden die Tangentensteigungen dem Graphen zufolge betragsmäßig kleiner und nähern sich \(0\).

Der Graph von \(f'\) hat bei \(x=0\) eine Nullstelle, liegt für \(x<0\) oberhalb und für \(x>0\) unterhalb der \(x\)-Achse. Für große Beträge von \(x\) nähern sich die Tangentensteigungen dem dargestellten Verlauf zufolge \(0\).

- Lies die Steigungen der orangefarbenen Tangenten anhand des Gitters ab. - Wo hat die Sinuskurve ihre Hoch- und Tiefpunkte? Was ist dort die Tangentensteigung? - Vergleiche die Folge der Steigungswerte mit bekannten trigonometrischen Funktionen.

1. Steigungen bestimmen: - Bei \(x = 0\) steigt die Tangente pro Einheit nach rechts um eine Einheit. Also gilt \(f'(0) = 1\). - Bei \(x = \frac{\pi}{2}\) ist die Tangente waagerecht. Also gilt \(f'(\frac{\pi}{2}) = 0\). - Bei \(x = \pi\) fällt die Tangente pro Einheit nach rechts um eine Einheit. Also gilt \(f'(\pi) = -1\). - Bei \(x = \frac{3\pi}{2}\) ist die Tangente waagerecht. Also gilt \(f'(\frac{3\pi}{2}) = 0\). - Bei \(x = 2\pi\) steigt die Tangente wieder pro Einheit nach rechts um eine Einheit. Also gilt \(f'(2\pi) = 1\). 2. Der Graph der Ableitungsfunktion verläuft durch \((0 \mid 1)\), \(\left(\frac{\pi}{2} \mid 0\right)\), \((\pi \mid -1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2} \mid 0\right)\) und \((2\pi \mid 1)\). 3. Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion: \(f'(x) = \cos(x)\).

Die Steigungen sind \(f'(0) = 1\), \(f'(\frac{\pi}{2}) = 0\), \(f'(\pi) = -1\), \(f'(\frac{3\pi}{2}) = 0\) und \(f'(2\pi) = 1\); die Ableitungsfunktion ist \(f'(x) = \cos(x)\).

- Prüfe für jede Aussage, ob der Graph von \(f\) an den betreffenden Stellen steigt, fällt oder eine waagerechte Tangente besitzt. - Eine waagerechte Tangente liefert den Ableitungswert \(0\). - Vergleiche bei Aussage (3) nur die Vorzeichen der beiden Steigungen.

1. Aussage (1) ist falsch. Zwischen \(-2\) und \(2\) fällt der Graph von \(f\), daher gilt dort \(f'(x)<0\). 2. Aussage (2) ist wahr. Bei \(x=-2\) und \(x=2\) besitzt der Graph waagerechte Tangenten. Daher gilt \(f'(-2)=f'(2)=0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Bei \(x=0\) fällt der Graph, während er bei \(x=4\) steigt. Somit ist \(f'(0)<0<f'(4)\). 4. Aussage (4) ist wahr. Links von \(x=-2\) steigt der Graph von \(f\), deshalb gilt dort \(f'(x)>0\).

Wahr sind (2), (3) und (4). Aussage (1) ist falsch.

- Prüfe zunächst, wo der Graph steigt, fällt oder waagerecht verläuft. - Für Aussage (3) musst du zwei negative Tangentensteigungen nach ihrer Steilheit vergleichen. - Eine waagerechte Tangente entspricht einer Nullstelle von \(f'\).

1. Aussage (1) ist wahr. Für \(x\leq-1\) und \(x\geq1\) fällt der Graph von \(f\) oder besitzt an den Randstellen eine waagerechte Tangente. Daher ist \(f'(x)\leq0\). 2. Aussage (2) ist falsch. Bei \(x=0\) steigt der Graph deutlich, daher ist \(f'(0)>0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Bei \(x=2\) fällt der Graph steiler als bei \(x=3\). Beide Steigungen sind negativ, die Steigung bei \(x=2\) ist jedoch kleiner. 4. Aussage (4) ist wahr. Bei \(x=1\) besitzt der Graph eine waagerechte Tangente, also gilt \(f'(1)=0\).

Richtig sind (1), (3) und (4). Aussage (2) ist falsch.

- Suche im Temperaturgraphen zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Kandidaten haben an denselben Zeitpunkten den Wert \(0\)? - Prüfe anschließend das Vorzeichen der Änderungsrate in einem Zeitraum, in dem die Temperatur fällt.

1. Bei \(t=3\) und \(t=7\) besitzt der Temperaturgraph waagerechte Tangenten. Die Änderungsrate muss daher bei \(t=3\) und \(t=7\) den Wert \(0\) haben. 2. Kandidat d hat nur eine Nullstelle, Kandidat c die Nullstellen an anderen Stellen. Es bleiben a und b. 3. Zwischen \(t=3\) und \(t=7\) fällt die Temperatur. Die Änderungsrate muss dort negativ sein. 4. Nur Kandidat a liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(t\)-Achse. Daher ist a der gesuchte Graph.

Kandidat a stellt die momentane Änderungsrate der Temperatur dar.

- Erinnere dich an die physikalische Bedeutung der Beschleunigung als Ableitung der Geschwindigkeit. - Wo im Graphen der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung Null? - Schau dir den Bereich von \(t = 2\) bis \(t = 6\) an. Wird das Fahrzeug dort schneller oder langsamer? Was bedeutet das für das Vorzeichen der Beschleunigung? - Vergleiche den Wert der Beschleunigung zum Zeitpunkt \(t = 0\) mit der Steigung des Geschwindigkeitsgraphen an dieser Stelle.

1. Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung: Die Beschleunigung \(a(t)\) entspricht der Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\). 2. Analyse der Extremstellen von \(v\): Die Geschwindigkeit \(v\) erreicht bei \(t = 2\) und \(t = 10\) ein Maximum und bei \(t = 6\) ein Minimum. An diesen Stellen ist die Steigung der Tangente gleich Null, weshalb die Beschleunigung \(a\) dort Nullstellen besitzen muss. 3. Überprüfung der Graphen auf Nullstellen: Graph (c) hat Nullstellen bei \(t = 0\), \(t = 4\), \(t = 8\) und \(t = 12\), was nicht zu den Extremstellen von \(v\) passt. Die Graphen (a) und (b) haben passende Nullstellen bei \(t = 2\), \(t = 6\) und \(t = 10\). 4. Analyse der Steigung (Vorzeichen von \(a\)): Zu Beginn (\(t = 0\)) steigt der Graph von \(v\) an, die Steigung ist also positiv. Folglich muss \(a(0) > 0\) gelten. Graph (a) startet bei einem positiven Wert (\(a(0) \approx 1{,}57\)), während Graph (b) bei einem negativen Wert startet. 5. Ergebnis: Nur Graph (a) erfüllt alle Bedingungen und stellt somit die Beschleunigung dar.

Graph (a) stellt die Beschleunigung dar. Begründung: Die Geschwindigkeit \(v\) hat Extremstellen bei \(t = 2\), \(t = 6\) und \(t = 10\). An diesen Stellen muss die Beschleunigung Nullstellen haben, was auf (a) und (b) zutrifft. Da \(v\) zu Beginn (\(t = 0\)) ansteigt, muss die Beschleunigung dort positiv sein. Dies ist nur bei Graph (a) der Fall.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe für (2) und (3), ob der Graph von \(f\) dort steigt oder fällt. - Überlege für (4), welchen Grad die Ableitung einer Funktion dritten Grades hat und wie ihr Graph rechts verläuft.

1. Aussage (1) ist wahr. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Dort hat \(f'\) Nullstellen. 2. Aussage (2) ist falsch. Zwischen \(-1\) und \(3\) fällt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x)<0\). 3. Aussage (3) ist wahr. Die Stelle \(x=1\) liegt in diesem fallenden Graphenabschnitt, daher gilt \(f'(1)<0\). 4. Aussage (4) ist wahr. Da \(f\) dritten Grades mit positivem führendem Verhalten ist, ist \(f'\) eine nach oben geöffnete quadratische Funktion; für \(x\to\infty\) wachsen ihre Werte unbegrenzt.

Wahr sind (1), (3) und (4). Aussage (2) ist falsch.

- Bestimme zuerst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe, welche angebotenen Terme dort Nullstellen besitzen. - Entscheide anschließend anhand eines Bereichs, in dem der Graph steigt, welches Vorzeichen die Ableitung haben muss.

1. Bei \(x=-1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Die gesuchte Ableitung muss dort Nullstellen besitzen. 2. A und B haben die passenden Nullstellen. C hat nur eine Nullstelle, D andere Nullstellen. 3. Zwischen \(-1\) und \(3\) steigt der Graph von \(f\). Daher muss \(f'\) dort positiv sein. 4. Für A gilt \(f'(0)=0{,}9>0\), für B dagegen \(f'(0)=-0{,}9<0\). Daher ist A der passende Term.

A) \(f'(x)=-0{,}3x^2+0{,}6x+0{,}9\).

- Überlege dir, was der Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle über den Verlauf des Funktionsgraphen aussagt. - Welche besonderen Punkte des Graphen von \(f\) führen zu Nullstellen in der Ableitungsfunktion? - Achte auf die Monotonie: Wo steigt der Graph und wo fällt er? - Eine positive Ableitung bedeutet, dass der Graph der ursprünglichen Funktion steigt.

1. Wahr: Der Graph von \(f\) steigt an der Stelle \(x = -1\), somit ist die Ableitung dort positiv: \(f'(-1) > 0\). 2. Wahr: An der Stelle \(x = 0\) liegt ein lokales Maximum vor. Die Tangente ist dort waagerecht, also gilt \(f'(0) = 0\). 3. Falsch: Bei \(x = 0\) gilt \(f'(0) = 0\); für \(0 < x \le 1{,}5\) fällt der Graph von \(f\), also ist \(f'(x) < 0\). Der Graph von \(f'\) liegt daher nicht im gesamten Intervall \([0; 1{,}5]\) oberhalb der \(x\)-Achse. 4. Wahr: Bei \(x \approx 1{,}73\) befindet sich ein lokaler Tiefpunkt von \(f\). Dort ist die Steigung null, also hat \(f'\) dort eine Nullstelle. 5. Falsch: An der Stelle \(x = 2\) steigt der Graph von \(f\), die Steigung ist also positiv (\(f'(2) > 0\)). 6. Wahr: Der Graph von \(f\) besitzt drei Punkte mit waagerechter Tangente (zwei lokale Tiefpunkte und ein lokales Maximum). Jede dieser Stellen entspricht einer Nullstelle der Ableitungsfunktion \(f'\).

(1) Wahr; (2) Wahr; (3) Falsch; (4) Wahr; (5) Falsch; (6) Wahr

- Zähle die Stellen mit waagerechter Tangente im Graphen von \(g\). Wie viele Nullstellen muss \(g'\) also haben? - Prüfe das Vorzeichen der Steigung: Wo geht es bergauf, wo bergab? - Vergleiche die Lage der Extrema von \(g\) exakt mit den Schnittpunkten der Kandidaten mit der \(x\)-Achse.

1. Analyse von \(g\): Der Graph der Funktion vierten Grades hat drei Extremstellen: zwei Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie einen Hochpunkt bei \(x = 0\). 2. Anforderungen an \(g'\): Die Ableitungsfunktion muss an den Stellen \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) Nullstellen besitzen. 3. Ausschlussverfahren: - Graph (A) hat nur zwei Nullstellen (bei ca. \(\pm 1{,}4\)), passt also nicht. - Graph (C) hat zwar drei Nullstellen, aber sie liegen bei anderen Werten (ca. \(-1{,}7\), \(0\) und \(1{,}7\)) und der Verlauf (erst positiv, dann negativ) widerspricht dem Monotonieverhalten von \(g\) (zuerst fallend, also \(g' < 0\)). - Graph (B) hat Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Für \(x < -2\) fällt \(g\), dort ist der Graph von (B) im negativen Bereich. Zwischen \(-2\) und \(0\) steigt \(g\), dort ist (B) positiv. Dies setzt sich konsistent fort. 4. Ergebnis: Graph (B) ist die Ableitungsfunktion \(g'\).

Der richtige Graph ist (B); (A) hat zu wenige Nullstellen, und (C) hat die Nullstellen an den falschen Stellen sowie das falsche Vorzeichenverhalten.

- Das Maximum findest du am höchsten Punkt des Graphen. - Die Änderungsrate \(g'(x)\) ist die Steigung. Suche die Stelle, an der es am steilsten bergab geht. - Ein Wendepunkt ist der Punkt, an dem sich die Krümmungsrichtung ändert.

1. Maximum von \(g(x)\): Durch Betrachten des Graphen erkennt man den höchsten Punkt bei der Stelle \(x_3\). 2. Kleinste Steigung \(g'(x)\): Die Steigung ist dort am kleinsten, wo der Graph am steilsten abfällt. Vergleicht man die markierten Stellen im fallenden Bereich, so ist der Abfall bei \(x_5\) am steilsten. 3. Wendepunkt \(g''(x) = 0\): Ein Wendepunkt markiert den Übergang zwischen einer Rechts- und einer Linkskrümmung. Der Graph wechselt bei \(x_5\) von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve. Somit ist \(x_5\) die gesuchte Stelle.

a) Das Maximum liegt bei \(x_3\). b) Die Steigung \(g'(x)\) ist bei \(x_5\) am kleinsten. c) Der Wendepunkt liegt bei \(x_5\).

- Ein steigender Graph bedeutet eine positive erste Ableitung. - Eine Rechtskrümmung erkennst du an einer negativen zweiten Ableitung. - Wo genau im Koordinatensystem verläuft die Tangente waagrecht? - Achte darauf, ob der Graph in der Umgebung der Punkte eine „Kurve nach rechts“ oder „Kurve nach links“ beschreibt.

Die Zuordnung erfolgt durch Analyse der Steigung und der Krümmung: 1. Punkt \(A\): Der Graph steigt (\(f'(x) > 0\)) und beschreibt eine Rechtskurve (\(f''(x) < 0\)). Dies entspricht der ersten Beschreibung. 2. Punkt \(B\): Hier liegt der Hochpunkt des Graphen vor. Die Tangente ist waagrecht, also gilt \(f'(x) = 0\). Dies entspricht der zweiten Beschreibung. 3. Punkt \(C\): Der Graph fällt (\(f'(x) < 0\)) und ist weiterhin rechtsgekrümmt (\(f''(x) < 0\)). Dies entspricht der dritten Beschreibung.

Die Zuordnung ist: - Der Graph steigt und ist rechtsgekrümmt: Punkt \(A\) - Der Graph hat eine waagrechte Tangente: Punkt \(B\) - Der Graph fällt und ist rechtsgekrümmt: Punkt \(C\)

- Überlege dir für die erste Ableitung, ob der Graph am jeweiligen Punkt steigt oder fällt. - Für die zweite Ableitung hilft die Unterscheidung zwischen Links- und Rechtskrümmung.

1. Punkt \(A \approx (1 \mid 1{,}29)\): Der Graph steigt an dieser Stelle, also ist \(f'(1) > 0\). Der Graph beschreibt eine Rechtskurve, daher ist \(f''(1) < 0\). 2. Punkt \(B \approx (5 \mid -0{,}70)\): Der Graph fällt an dieser Stelle, also ist \(f'(5) < 0\). Der Graph beschreibt eine Linkskurve, daher ist \(f''(5) > 0\).

Punkt \(A\): \(f'(x) > 0\) und \(f''(x) < 0\); Punkt \(B\): \(f'(x) < 0\) und \(f''(x) > 0\).

- Überlege dir, welche Eigenschaft die Ableitungsfunktion an einer Extremstelle der Originalfunktion haben muss. - Wie unterscheiden sich die Vorzeichenwechsel der Ableitung bei einem Maximum und einem Minimum? - Achte auf die Vorzeichenwechsel der Graphen an den markanten Stellen. - Was bedeutet es für den Graphen von \(f'\), wenn \(f\) in einem Bereich steigt oder fällt?

1. Zusammenhang von Extremstellen und Ableitung: An den Stellen \(x = -2\) und \(x = 2\) muss die Ableitungsfunktion \(f'\) Nullstellen besitzen. Da es sich um ein lokales Minimum beziehungsweise Maximum handelt, muss zudem ein Vorzeichenwechsel vorliegen. 2. Bei einem lokalen Minimum bei \(x = -2\) wechselt die Steigung von negativ nach positiv; bei einem lokalen Maximum bei \(x = 2\) wechselt sie von positiv nach negativ. 3. Graph C hat nur eine Nullstelle bei \(x = 0\) und scheidet daher aus. Graph B hat zwar Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\), zeigt dort aber die umgekehrten Vorzeichenwechsel. Graph A zeigt bei \(x = -2\) den Wechsel von Minus nach Plus und bei \(x = 2\) den Wechsel von Plus nach Minus. 4. Daher stellt Graph A die Ableitungsfunktion \(f'\) dar.

Graph A stellt die Ableitungsfunktion \(f'\) dar, weil er bei \(x = -2\) von Minus nach Plus und bei \(x = 2\) von Plus nach Minus wechselt; Graph B zeigt die umgekehrten Wechsel, und Graph C hat nur eine Nullstelle.

- Suche die Stelle, an der der Nutzergraph am steilsten steigt. - Beobachte, welcher waagerechten Linie sich der Graph zunehmend annähert. - Für \(N'\) musst du die Entwicklung der Tangentensteigungen von links nach rechts beschreiben.

1. Die Nutzerzahl nimmt dort am stärksten zu, wo der Graph von \(N\) am steilsten ansteigt. Das ist bei etwa \(t=5\) Monaten der Fall. 2. Die Gerade \(g\) ist die waagerechte Linie bei \(12\,\text{Millionen}\). Der Nutzergraph nähert sich ihr an; sie beschreibt im Modell die langfristige Sättigungsgrenze. 3. Die Werte von \(N'\) sind positiv. Zunächst werden die Tangentensteigungen größer, bei \(t\approx5\) erreichen sie ihr Maximum, danach werden sie wieder kleiner. Der Graph von \(N'\) beschreibt damit den momentanen Nutzerzuwachs in Millionen Nutzern pro Monat.

a) Nach etwa \(5\) Monaten. b) \(g\) beschreibt die modellierte Sättigungsgrenze von \(12\,\text{Millionen}\) Nutzern. c) \(N'\) ist positiv, erreicht bei etwa \(t=5\) sein Maximum und nimmt danach wieder ab; es beschreibt den momentanen Nutzerzuwachs pro Monat.

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Bestimme die Tangentensteigung bei \(x=0\) aus zwei Gitterpunkten. - Prüfe für Teil 3, in welchen Bereichen der Graph von \(f\) fällt.

1. Bei \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=3\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen. 2. Die Tangente verläuft durch \((0\mid1)\) und \((1\mid2{,}2)\). Ihre Steigung beträgt \((2{,}2-1):(1-0)=1{,}2\). Somit gilt \(f'(0)\approx1{,}2\). 3. Der Graph von \(f\) fällt für \(-2<x<-1\) sowie für \(1<x<3\). Deshalb gilt dort \(f'(x)<0\).

1. \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=3\). 2. \(f'(0)\approx1{,}2\). 3. \(f'(x)<0\) für \(x\in(-2;-1)\) und \(x\in(1;3)\).

- Suche im Graphen von \(k\) die Stellen mit waagerechter Tangente. - Welche Kandidaten besitzen an beiden Stellen eine Nullstelle? - Prüfe danach das Vorzeichen im Bereich zwischen diesen Stellen.

1. Bei \(x=0\) und \(x=2\) besitzt der Graph von \(k\) waagerechte Tangenten. Deshalb muss \(k'\) an beiden Stellen Nullstellen besitzen. Graph d scheidet aus, weil er nur eine Nullstelle hat. 2. Die Graphen b und c besitzen die passenden Nullstellen. 3. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) fällt der Graph von \(k\). Daher muss \(k'(x)<0\) gelten. 4. Nur Graph b liegt zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der \(x\)-Achse. Daher stellt b die Ableitungsfunktion \(k'\) dar.

Graph b stellt die Ableitungsfunktion \(k'\) dar.

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen den Extrempunkten einer Funktion und den Nullstellen ihrer Ableitung besteht. - Wie erkennt man Wendestellen im Graphen der Ausgangsfunktion? Achte auf den Wechsel zwischen Links- und Rechtskurven. - Die erste Ableitung an einer Stelle gibt die Steigung der Tangente an dieser Stelle an. - Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, welche Symmetrie weist dann ihre Ableitungsfunktion auf? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten eines Graphen und dem Vorzeichen der zweiten Ableitung.

1. Nullstellen von \(f'\) entsprechen den lokalen Extrema von \(f\). Der Graph von \(f\) hat einen Tiefpunkt bei \(x = -2\) und einen Hochpunkt bei \(x = 2\). Somit hat \(f'\) genau zwei Nullstellen. Aussage (1) ist wahr. 2. Wendestellen von \(f\) sind Punkte mit Krümmungswechsel. Der Graph wechselt seine Krümmung im Ursprung (\(x = 0\)) sowie jeweils einmal im negativen (\(x \approx -3{,}5\)) und positiven Bereich (\(x \approx 3{,}5\)). Aussage (2) ist wahr. 3. Die Steigung des Graphen von \(f\) im Ursprung ist positiv, da der Graph dort ansteigt. Somit ist \(f'(0) > 0\). Aussage (3) ist wahr. 4. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerade Funktion). Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion, also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Aussage (4) ist falsch. 5. An der Stelle \(x = 1\) ist der Graph von \(f\) rechtsgekrümmt; er liegt dort lokal unterhalb seiner Tangente. Dies entspricht einer negativen zweiten Ableitung (\(f''(1) < 0\)). Aussage (5) ist falsch.

(1) wahr, (2) wahr, (3) wahr, (4) falsch, (5) falsch

- Suche die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe in jedem Abschnitt, ob der Graph von \(f\) steigt oder fällt. - Vergleiche die Vorzeichenfolge mit dem möglichen Verlauf einer quadratischen Ableitungsfunktion.

1. Bei \(x\approx-1{,}4\) und \(x\approx1{,}4\) besitzt der Graph von \(f\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort Nullstellen. 2. Für \(x<-1{,}4\) steigt \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Für \(-1{,}4<x<1{,}4\) fällt \(f\), also ist \(f'(x)<0\). Für \(x>1{,}4\) steigt \(f\), also ist \(f'(x)>0\). 3. Der Verlauf von \(f'\) ist daher parabelförmig und nach oben geöffnet: zwischen den beiden Nullstellen liegt er unterhalb, außerhalb oberhalb der \(x\)-Achse.

1. \(x\approx-1{,}4\) und \(x\approx1{,}4\). 2. Der Graph von \(f'\) ist eine nach oben geöffnete Parabel, die zwischen den Nullstellen unterhalb und außerhalb oberhalb der \(x\)-Achse liegt.

- Wo ist die Steigung der Glockenkurve null? Dort hat \(f'\) eine Nullstelle. - Suche die Bereiche, in denen die Kurve am steilsten steigt beziehungsweise fällt. - Nutze die Symmetrie des Graphen von \(f\).

1. Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat ein Maximum bei \(x = 0\). Daher gilt \(f'(0) = 0\). Für \(x < 0\) steigt \(f\), also ist \(f'(x) > 0\); für \(x > 0\) fällt \(f\), also ist \(f'(x) < 0\). 2. Die Extremstellen von \(f'\) liegen an den Stellen, an denen der Graph von \(f\) am steilsten ist. Dies sind die Wendestellen von \(f\). Im Graphen liegen diese bei etwa \(x \approx -1\) (Maximum von \(f'\)) und \(x \approx 1\) (Minimum von \(f'\)).

1. Der Graph von \(f'\) nähert sich links der \(x\)-Achse von oben, hat bei \(x \approx -1\) ein Maximum, schneidet bei \(x = 0\) die Achse, hat bei \(x \approx 1\) ein Minimum und nähert sich rechts der Achse von unten. 2. Die Extremstellen von \(f'\) liegen bei \(x \approx -1\) und \(x \approx 1\); dies sind die Wendestellen von \(f\).

- Prüfe zuerst, ob der Graph für \(x>0\) steigt oder fällt. - Vergleiche die Steilheit an mehreren zunehmend großen \(x\)-Werten. - Formuliere die Aussage über sehr große \(x\) als qualitative Beobachtung aus der Abbildung.

1. Für \(x>0\) steigt der dargestellte Graph von \(f\). Daher sind die Tangentensteigungen positiv und es gilt \(f'(x)>0\). 2. Mit wachsendem \(x\) wird der Graph immer flacher. Die positiven Tangentensteigungen werden daher kleiner. 3. Dem dargestellten Verlauf zufolge nähern sich die Tangentensteigungen für große \(x\)-Werte dem Wert \(0\) von oben.

Für \(x>0\) gilt \(f'(x)>0\). Die Werte von \(f'\) werden kleiner und nähern sich dem Graphen zufolge für große \(x\)-Werte \(0\) von oben.

- Zähle zunächst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Suche danach die Stellen, an denen die Krümmungsrichtung wechselt. - Unterscheide klar zwischen einer Nullstelle von \(h'\) und einer Nullstelle von \(h''\).

1. Bei \(x=0\) besitzt der Graph eine waagerechte Tangente. Weitere waagerechte Tangenten sind nicht vorhanden. Daher hat \(h'\) genau eine Nullstelle. 2. Der Graph wechselt links und rechts des Hochpunkts jeweils einmal seine Krümmungsrichtung. Daher besitzt \(h''\) genau zwei Nullstellen.

\(h'\) hat \(1\) Nullstelle und \(h''\) hat \(2\) Nullstellen.

- Wo sind die Steigungen des Graphen gleich null? - In welchem Zusammenhang stehen Wendepunkte und die Steigung einer Funktion? - Wo fällt die Kurve im angegebenen Intervall am steilsten? - Überlege dir den Grad und die Symmetrie der Ableitungsfunktion.

1. Nullstellen von \(f'\): Diese liegen an den Stellen der waagerechten Tangenten. Aus dem Graphen liest man \(x \approx -1{,}73\), \(x = 0\) und \(x \approx 1{,}73\) ab. 2. Nullstellen von \(f''\): Diese liegen an den markierten Wendestellen. Es gilt \(x = -1\) und \(x = 1\). 3. Im Intervall von \(x = 0\) bis \(x \approx 1{,}73\) fällt der Graph. Die kleinste Steigung liegt am Wendepunkt \(x = 1\); dort fällt der Graph am steilsten. 4. Da \(f\) vom Grad 4 und achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, ist \(f'\) vom Grad 3 und punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Graph hat Nullstellen bei \(0\) und \(\pm 1{,}73\), bei \(x = -1\) einen Hochpunkt und bei \(x = 1\) einen Tiefpunkt.

a) Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x \approx -1{,}73\), \(x = 0\) und \(x \approx 1{,}73\); die Nullstellen von \(f''\) liegen bei \(x = -1\) und \(x = 1\). b) Bei \(x = 1\) fällt \(f\) am steilsten. c) \(G_{f'}\) ist eine punktsymmetrische Funktion 3. Grades mit den genannten Nullstellen, einem Hochpunkt bei \(x = -1\) und einem Tiefpunkt bei \(x = 1\).

- Wo verläuft der Graph für einen kurzen Moment vollkommen flach? - Achte darauf, ob der Graph an einer flachen Stelle seine Richtung ändert oder danach in dieselbe Richtung weiterläuft. - Ein Punkt, an dem der Graph flach ist, aber seine Steigungsrichtung nicht ändert, heißt Terrassenpunkt.

1. Eine waagerechte Tangente liegt an den Stellen vor, an denen die Steigung der Funktion null ist, also \(g'(x) = 0\). Grafisch erkennt man dies an flachen Stellen wie Extrema oder Sattelpunkten. 2. Bei \(x = -3\) hat der Graph einen Hochpunkt, da er dort von Steigen auf Fallen wechselt. 3. Bei \(x = 0\) ist der Graph ebenfalls flach, setzt seinen fallenden Verlauf danach jedoch fort. Hier liegt ein Terrassenpunkt vor. 4. Bei \(x = 3\) hat der Graph einen Tiefpunkt, da er dort von Fallen auf Steigen wechselt.

\(x = -3\): Hochpunkt; \(x = 0\): Terrassenpunkt; \(x = 3\): Tiefpunkt

- Suche im Funktionsgraphen zuerst nach waagerechten Tangenten. - Ordne jedem Bereich, in dem \(f\) steigt oder fällt, das passende Vorzeichen von \(f'\) zu. - Nutze zusätzlich den Grad der Ausgangsfunktion, um die Grundform von \(f'\) festzulegen.

1. Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x=-2\) und \(x=1\) waagerechte Tangenten. Daher hat \(f'\) dort die Nullstellen \(-2\) und \(1\). 2. Für \(x<-2\) steigt \(f\), also ist \(f'(x)>0\). Für \(-2<x<1\) fällt \(f\), also ist \(f'(x)<0\). Für \(x>1\) steigt \(f\) wieder, also ist \(f'(x)>0\). 3. Da \(f\) eine Funktion dritten Grades mit positivem führenden Verhalten ist, ist \(f'\) eine nach oben geöffnete Parabel. Ihre Nullstellen liegen bei \(-2\) und \(1\); zwischen ihnen verläuft sie unterhalb der x-Achse.

a) Nullstellen von \(f'\): \(x=-2\) und \(x=1\). b) \(f'(x)>0\) für \(x<-2\) und \(x>1\); \(f'(x)<0\) für \(-2<x<1\). c) Zu skizzieren ist eine nach oben geöffnete Parabel mit diesen Nullstellen und Vorzeichenbereichen.

- Vergleiche zuerst den Grad, den die Ableitung haben muss, mit der Form des vorgeschlagenen Graphen. - Bestimme danach \(f'\) algebraisch und vergleiche seine Nullstellen mit denen von \(g\). - Nutze die Symmetrie der richtigen Ableitungsfunktion als zusätzliche Kontrolle für deine Skizze.

1. Die Ableitung einer Funktion 4. Grades muss eine Funktion 3. Grades sein. Der vorgeschlagene Graph \(g\) ist jedoch eine Parabel und damit vom Grad 2. 2. Außerdem lautet die tatsächliche Ableitung \(f'(x)=x^3-2x=x(x^2-2)\). Sie hat drei Nullstellen, nämlich \(x=-\sqrt{2}\), \(x=0\) und \(x=\sqrt{2}\). Der vorgeschlagene Graph besitzt stattdessen nur die Nullstellen \(-1\) und \(1\). 3. Der richtige Ableitungsgraph ist der Graph der kubischen Funktion \(f'(x)=x^3-2x\). Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet die x-Achse an den drei genannten Stellen.

a) \(g\) hat den falschen Grad und die falschen Nullstellen. b) Zu skizzieren ist der Graph von \(f'(x)=x^3-2x\). c) Nullstellen: \(x=-\sqrt{2}\), \(x=0\), \(x=\sqrt{2}\).

- Wie hängen die lokalen Extrema eines Graphen mit den Nullstellen seiner ersten Ableitung zusammen? - Welche geometrische Eigenschaft eines Graphen deutet auf eine Nullstelle der zweiten Ableitung hin? - Achte bei der zweiten Funktion besonders auf die Definitionslücken: Kann ein Krümmungswechsel an einer Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist, ein Wendepunkt sein? - Zähle die Stellen mit waagerechter Tangente, um die Nullstellen der ersten Ableitung zu finden.

1. Untersuchung von \(f\) (Abbildung 1): - Die Nullstellen von \(f'\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente. Der Graph von \(f\) besitzt ein lokales Minimum bei \(x = -1\) und ein lokales Maximum bei \(x = 1\). Somit hat \(f'\) genau \(2\) Nullstellen. - Die Nullstellen von \(f''\) entsprechen den Wendestellen. Der Graph wechselt seine Krümmung dreimal: einmal zwischen \(x = -2\) und \(x = -1\), im Ursprung \((0 \mid 0)\) und einmal zwischen \(x = 1\) und \(x = 2\). Somit hat \(f''\) genau \(3\) Nullstellen. 2. Untersuchung von \(g\) (Abbildung 2): - Der Graph von \(g\) besitzt genau ein lokales Minimum bei \(x = 0\). Somit hat \(g'\) genau \(1\) Nullstelle. - Innerhalb der Definitionsmenge findet kein Krümmungswechsel statt. Die Änderungen an den senkrechten Asymptoten \(x = -1\) und \(x = 1\) sind keine Wendestellen, weil \(g\) dort nicht definiert ist. Somit hat \(g''\) keine Nullstelle.

a) \(f'\) hat \(2\) Nullstellen und \(f''\) hat \(3\) Nullstellen. b) \(g'\) hat \(1\) Nullstelle und \(g''\) hat keine Nullstelle.

- Überlege zuerst, welche geometrische Bedeutung die erste Ableitung einer Funktion an einer Stelle hat. An welchen besonderen Punkten ist diese Steigung genau null? - Achte beim ersten Graphen darauf, wie viele Hoch- oder Tiefpunkte (lokale Extrema) zu sehen sind. - Die zweite Ableitung beschreibt das Krümmungsverhalten des Graphen. Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung (und damit eine Nullstelle) entspricht einem Wendepunkt. - Suche nach Stellen, an denen sich der Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve (oder umgekehrt) biegt. Verfolge den Verlauf von links nach rechts ganz genau.

1. **Abbildung a) (Funktion \(f\))**: - **Erste Ableitung \(f'\)**: Die Nullstellen von \(f'\) entsprechen den Stellen mit waagerechter Tangente (lokale Extrema oder Sattelpunkte). Der Graph \(G_f\) besitzt genau ein lokales Minimum bei \(x = 0\) und keine weiteren Extrema. Daher hat \(f'\) genau **1 Nullstelle**. - **Zweite Ableitung \(f''\)**: Die Nullstellen von \(f''\) entsprechen den Wendepunkten (Stellen mit Krümmungswechsel). Für \(x < -1\) ist der Graph durchgehend rechtsgekrümmt, für \(-1 < x < 1\) linksgekrümmt und für \(x > 1\) rechtsgekrümmt. Innerhalb der stetigen Intervalle des Definitionsbereichs ändert sich das Krümmungsverhalten nie, sodass keine Wendepunkte existieren. Daher hat \(f''\) genau **0 Nullstellen**. 2. **Abbildung b) (Funktion \(g\))**: - **Erste Ableitung \(g'\)**: Der Graph \(G_g\) hat genau zwei lokale Extrema: ein lokales Minimum bei \(x \approx -2{,}45\) und ein lokales Maximum bei \(x \approx 2{,}45\). An diesen beiden Stellen liegt eine waagerechte Tangente vor. Daher hat \(g'\) genau **2 Nullstellen**. - **Zweite Ableitung \(g''\)**: Für \(x < 0\) ändert der Graph seine Krümmung bei \(x \approx -3{,}46\) von einer Rechtskrümmung zu einer Linkskrümmung. Für \(x > 0\) ändert er seine Krümmung bei \(x \approx 3{,}46\) von einer Rechtskrümmung zu einer Linkskrümmung. Es liegen somit genau zwei Wendepunkte vor. Daher hat \(g''\) genau **2 Nullstellen**.

- **Abbildung a) (Funktion \(f\))**: - Nullstellen der ersten Ableitung \(f'\): **1** (da genau ein lokales Minimum vorliegt) - Nullstellen der zweiten Ableitung \(f''\): **0** (da der Graph keine Wendepunkte besitzt) - **Abbildung b) (Funktion \(g\))**: - Nullstellen der ersten Ableitung \(g'\): **2** (da genau zwei lokale Extrema vorliegen) - Nullstellen der zweiten Ableitung \(g''\): **2** (da genau zwei Wendepunkte vorliegen)

- Welche \(x\)-Werte haben eine waagerechte Tangente im Graphen von \(f\)? - Unterscheide zwischen Stellen, an denen die Funktion ihr Steigungsverhalten ändert, und Stellen, an denen sie es beibehält. - Wie wirkt sich dieser Unterschied auf den Verlauf des Graphen von \(f'\) an der \(x\)-Achse aus?

1. Der Graph von \(f\) hat bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 3\) einen Sattelpunkt. An beiden Stellen ist die Tangente waagerecht, also gilt \(f'(0) = 0\) und \(f'(3) = 0\). 2. Für \(x < 0\) fällt \(f\), daher ist \(f'(x) < 0\). Für \(0 < x < 3\) und für \(x > 3\) steigt \(f\), daher ist \(f'(x) > 0\). 3. Bei \(x = 0\) schneidet der Graph von \(f'\) die \(x\)-Achse mit einem Vorzeichenwechsel von negativ nach positiv. Bei \(x = 3\) berührt er die \(x\)-Achse von oben ohne Vorzeichenwechsel.

1. Bei \(x = 0\) liegt ein Tiefpunkt und bei \(x = 3\) ein Sattelpunkt von \(f\); an beiden Stellen gilt \(f'(x) = 0\). 2. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, bei \(x = 3\) bleibt \(f'\) auf beiden Seiten positiv.

- Zähle zunächst die Stellen mit waagerechter Tangente. - Prüfe danach jeden zusammenhängenden Graphenast auf einen Krümmungswechsel. - Eine Polstelle gehört nicht zum Graphen und ist daher keine Wendestelle.

1. Der Graph besitzt zwei Stellen mit waagerechter Tangente, eine im linken und eine im rechten Ast. Daher hat \(p'\) genau zwei Nullstellen. 2. Innerhalb der beiden Äste ändert sich die Krümmungsrichtung nicht. Es gibt daher keinen Wendepunkt im Definitionsbereich und \(p''\) hat keine Nullstelle.

\(p'\) hat \(2\) Nullstellen und \(p''\) hat \(0\) Nullstellen.

- Suche zuerst nach waagerechten Tangenten. - Untersuche anschließend jeden Graphenast auf einen Wechsel der Krümmungsrichtung. - Trenne die Aussagen über \(r'\) und \(r''\) sorgfältig.

1. In keinem Teil des Definitionsbereichs besitzt der Graph eine waagerechte Tangente. Daher hat \(r'\) keine Nullstelle. 2. Im mittleren Ast wechselt der Graph bei \(x=0\) seine Krümmungsrichtung. In den äußeren Ästen tritt kein weiterer Krümmungswechsel auf. Daher hat \(r''\) genau eine Nullstelle.

\(r'\) hat \(0\) Nullstellen und \(r''\) hat \(1\) Nullstelle.

- Bestimme die Stellen mit waagerechter Tangente. - Achte auf die Form der Kurve: Wo ändert sie sich von Rechts- zu Linkskrümmung oder umgekehrt? - Polstellen sind keine Wendepunkte oder Extrempunkte.

1. Untersuchung von Funktion \(h\): Der Graph zeigt einen Tiefpunkt bei \(x = -1\) und einen Hochpunkt bei \(x = 1\). Daher hat \(h'\) zwei Nullstellen. Krümmungswechsel liegen bei \(x \approx -1{,}7\), \(x = 0\) und \(x \approx 1{,}7\) vor. Somit hat \(h''\) drei Nullstellen. 2. Untersuchung von Funktion \(k\): Es ist genau ein lokaler Hochpunkt bei \(x = 2\) erkennbar. Daher hat \(k'\) eine Nullstelle. Bei \(x = 3\) liegt ein Krümmungswechsel vor, also hat \(k''\) eine Nullstelle.

Für \(h\) hat die erste Ableitung 2 Nullstellen und die zweite Ableitung 3 Nullstellen; für \(k\) hat die erste Ableitung 1 Nullstelle und die zweite Ableitung 1 Nullstelle.