Kostenlose Arbeitsblätter

- Was gibt die Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion physikalisch an? - Ändert sich die Position des Autos, wenn die Zeit vergeht? - Setze die konstanten Werte in die Definition der Ableitung ein. - Überlege, was ein Zähler von Null für den gesamten Bruch bedeutet, bevor du den Grenzwert betrachtest.

1. Berechnung des Differenzenquotienten an der Stelle \(t = 10\): \(\frac{s(10+h) - s(10)}{h} = \frac{15 - 15}{h} = 0\). Der Grenzwert der momentanen Änderungsrate ist \(s'(10) = \lim_{h \to 0} 0 = 0\). 2. Die Ableitung der Zeit-Ort-Funktion entspricht der Momentangeschwindigkeit \(v(t)\). Das Ergebnis \(s'(10) = 0\) bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \(t = 10\) genau \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) beträgt, was konsistent mit der Beschreibung eines geparkten (stillstehenden) Fahrzeugs ist.

1. \(s'(10) = 0\) 2. Die Momentangeschwindigkeit ist \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), das Fahrzeug steht still.

- Welche Steigung hat eine lineare Funktion der Form \(mx+b\)? - Ändert sich die Steigung einer linearen Funktion von Stelle zu Stelle? - Die Tangente an eine Gerade ist die Gerade selbst.

1. Die Funktion \(f(x) = 0{,}8x - 5\) ist linear. 2. Eine lineare Funktion \(f(x) = mx + b\) hat überall dieselbe Steigung \(m\). 3. Hier ist \(m = 0{,}8\). Deshalb ist die Tangentensteigung sowohl bei \(x = 4\) als auch bei \(x = a\) gleich \(0{,}8\).

a) \(0{,}8\) b) \(0{,}8\)

- Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. - Wähle Punkte auf der roten Linie, die leicht abzulesen sind.

1. Wähle zwei Punkte auf der Tangente aus, zum Beispiel \(A(1 \mid 3)\) und \(B(3 \mid 1)\). 2. Die Differenz in \(y\)-Richtung ist \(1 - 3 = -2\), die Differenz in \(x\)-Richtung ist \(3 - 1 = 2\). 3. Die Steigung ist \(m = \frac{-2}{2} = -1\). Die momentane Änderungsrate im Punkt \(P\) ist \(-1\).

Die momentane Änderungsrate beträgt \(-1\).

- Der Ableitungswert entspricht der Steigung der Tangente im markierten Punkt. - Welche Steigung besitzt eine waagerechte Gerade?

1. Die Tangente \(t\) im Punkt \(P\) ist waagerecht. Ihre Steigung beträgt daher \(0\). 2. Somit gilt \(h'(3)=0\,\text{cm/min}\). 3. Das bedeutet: Genau nach \(3\,\text{min}\) steigt oder fällt der Wasserstand momentan nicht.

\(h'(3)=0\,\text{cm/min}\). Nach \(3\,\text{min}\) ändert sich der Wasserstand momentan nicht.

- Wie ist der Differenzialquotient definiert? - Was passiert mit den konstanten Gliedern im Zähler, wenn du den Term vereinfachst? - Welche Form hat der Graph einer linearen Funktion? - Was gibt die Ableitung anschaulich an einem Graphen an? - Unterscheidet sich die Steigung einer Geraden an verschiedenen Stellen?

1. Berechnung von \(f'(-2)\): Der Differenzialquotient \(\lim_{h \to 0} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}\) führt über \(\lim_{h \to 0} \frac{-1{,}5(-2+h) + 3 - (-1{,}5 \cdot (-2) + 3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3 - 1{,}5h + 3 - 6}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1{,}5h}{h}\) zum Ergebnis \(-1{,}5\). 2. Berechnung von \(f'(4)\): Analog ergibt sich \(\lim_{h \to 0} \frac{-1{,}5(4+h) + 3 - (-1{,}5 \cdot 4 + 3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-6 - 1{,}5h + 3 - (-3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1{,}5h}{h} = -1{,}5\). 3. Geometrische Interpretation: Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Ableitung an einer Stelle gibt die Steigung der Tangente an. Da eine Gerade in jedem Punkt die gleiche konstante Steigung \(m = -1{,}5\) besitzt, ist die Tangente in jedem Punkt mit der Geraden identisch. Daher ist der Wert der Ableitung an jeder Stelle gleich der Steigung der Geraden.

1. \(f'(-2) = -1{,}5\) und \(f'(4) = -1{,}5\). 2. Geometrisch entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente. Da der Graph eine Gerade mit der konstanten Steigung \(m = -1{,}5\) ist, ist die Ableitung an jeder Stelle identisch mit dieser Steigung.

- Was gibt die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle geometrisch an? - Wie kannst du die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) für diese Funktion bestimmen? - Was passiert, wenn du den Wert für \(x_0\) in die Ableitungsfunktion einsetzt? - Welche Bedeutung hat das Vorzeichen des Ergebnisses für die Steigung der Tangente?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) mit der Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = x - 4\) 2. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_0 = 3\): \(f'(3) = 3 - 4 = -1\) 3. Da der Wert der Ableitung negativ ist (\(f'(3) < 0\)), besitzt die Tangente eine negative Steigung.

Die Tangente besitzt eine negative Steigung, da der Wert der Ableitung an der Stelle \(x_0 = 3\) gleich \(-1\) ist.

- Überlege dir, wofür die Notation \(f(x)\) und \(f'(x)\) jeweils steht. - Welche Begriffe wie „Steigung“, „Änderungsrate“ oder „Funktionswert“ gehören zu welcher Notation? - Achte genau darauf, welche Zahl die Stelle (der \(x\)-Wert) und welche Zahl das Ergebnis (der \(y\)-Wert oder die Steigung) ist. - Ein Punkt auf dem Graphen hat immer die Form \((\text{Stelle} | \text{Funktionswert})\).

Die Aussagen lassen sich basierend auf ihrem mathematischen Gehalt in zwei Gruppen ordnen, während zwei Aussagen einzeln stehen bleiben: 1. Gruppe (Funktionswert an der Stelle 5): Die Aussagen A (\(f(5) = 2\)), D (sprachliche Beschreibung von \(f(5)=2\)) und F (Punktform \((x|f(x))\)) beschreiben alle, dass der Graph der Funktion an der Stelle \(x=5\) den \(y\)-Wert 2 besitzt. 2. Gruppe (Ableitung an der Stelle 2): Die Aussagen B (\(f'(2) = 5\)), C (geometrische Deutung der Ableitung als Tangentensteigung) und E (physikalisch-inhaltliche Deutung der Ableitung als momentane Änderungsrate) beschreiben alle, dass die Ableitung der Funktion an der Stelle \(x=2\) den Wert 5 hat. Die Aussagen G (\(f'(5) = 2\)) und H (\(f(2) = 5\)) beschreiben andere Sachverhalte (vertauschte Rollen von Stelle, Wert und Ableitung) und passen zu keiner der Gruppen.

Gruppe 1: A, D, F Gruppe 2: B, C, E Einzelstehend: G, H

- Überlege dir, welche Einheit das Ergebnis jeweils haben muss. - Was ist der Unterschied zwischen einem Zeitraum und einem Zeitpunkt? - Erinnere dich daran, dass die erste Ableitung eine Steigung bzw. Geschwindigkeit darstellt.

1. Der Funktionswert \(A(10) = 50\) bedeutet, dass die Algenfläche 10 Tage nach der ersten Messung genau \(50\,\text{m}^2\) beträgt. 2. Der Differenzenquotient \(\frac{A(10) - A(0)}{10} = 4\) gibt die mittlere Änderungsrate an: In den ersten 10 Tagen ist die Algenfläche im Durchschnitt um \(4\,\text{m}^2\) pro Tag gewachsen. 3. Die erste Ableitung \(A'(10) = 6\) beschreibt die momentane Änderungsrate: Am 10. Tag beträgt die momentane Wachstumsrate der Fläche \(6\,\text{m}^2\) pro Tag.

a) Nach 10 Tagen sind \(50\,\text{m}^2\) des Sees bedeckt. b) Die Fläche wuchs in den ersten 10 Tagen durchschnittlich um \(4\,\text{m}^2\) pro Tag. c) Am 10. Tag beträgt die momentane Wachstumsrate \(6\,\text{m}^2\) pro Tag.

- Wie hängen Weg und Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Achte auf den Unterschied zwischen dem Durchschnittswert über ein Intervall und dem Wert zu einem exakten Zeitpunkt. - Welche physikalische Größe erhält man, wenn man die Änderung des Weges pro Zeit betrachtet?

1. Der Wert \(s(4) = 40\) gibt die zurückgelegte Strecke an: Nach 4 Sekunden hat das Fahrzeug eine Strecke von \(40\,\text{m}\) zurückgelegt. 2. Der Ausdruck \(\frac{s(10) - s(0)}{10} = 25\) ist die Durchschnittsgeschwindigkeit über das Intervall \([0; 10]\): In den ersten 10 Sekunden betrug die mittlere Geschwindigkeit \(25\,\text{m/s}\). 3. Die Ableitung \(s'(10) = 45\) entspricht der Momentangeschwindigkeit: Zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{s}\) fährt das Fahrzeug mit \(45\,\text{m/s}\).

a) Nach 4 Sekunden ist das Auto \(40\,\text{m}\) weit gefahren. b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit in den ersten 10 Sekunden beträgt \(25\,\text{m/s}\). c) Die Momentangeschwindigkeit nach 10 Sekunden beträgt \(45\,\text{m/s}\).

- Was versteht man mathematisch unter der lokalen Änderungsrate an einer bestimmten Stelle? - Gibt es eine Funktion, die die Steigung an jeder beliebigen Stelle angibt? - Wie gehst du vor, wenn du die Steigung an einem ganz konkreten Punkt berechnen möchtest?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion mittels Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12\). 2. Einsetzen der Stelle \(x_0 = 2\) in die Ableitungsfunktion zur Berechnung der lokalen Änderungsrate: \(f'(2) = 6 \cdot 2^2 - 18 \cdot 2 + 12\). 3. Berechnung des Funktionswertes: \(f'(2) = 24 - 36 + 12 = 0\).

Die lokale Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(0\).

- Was ist der Unterschied zwischen einer durchschnittlichen Änderung über eine Zeitspanne und der Änderung zu einem exakten Zeitpunkt? - Welche mathematische Größe entspricht der Steigung einer Sekante durch zwei Punkte eines Graphen? - Wie hängen die Ableitung einer Funktion und die momentane Steigung an einer Stelle zusammen? - Kannst du die Ableitungsfunktion für den gegebenen quadratischen Term aufstellen?

1. Zur Berechnung der mittleren Änderungsrate im Intervall \([0; 2]\) werden die Funktionswerte an den Intervallgrenzen bestimmt: \(T(0) = 0{,}5 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 25 = 25\) und \(T(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 25 = 2 - 12 + 25 = 15\). 2. Der Differenzenquotient ergibt sich zu \(\frac{T(2) - T(0)}{2 - 0} = \frac{15 - 25}{2} = -5\). Die mittlere Änderungsrate beträgt somit \(-5\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 3. Für die momentane Änderungsrate wird die erste Ableitung der Funktion gebildet: \(T'(t) = t - 6\). 4. Die Bedingung \(T'(t) = -4{,}5\) führt zur Gleichung \(t - 6 = -4{,}5\). 5. Durch Umformen ergibt sich \(t = 1{,}5\). Der gesuchte Zeitpunkt ist also \(1{,}5\,\text{Stunden}\) nach Beginn der Messung.

a) Die mittlere Änderungsrate beträgt \(-5\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{h}}\). b) Der Zeitpunkt ist \(t = 1{,}5\,\text{h}\).

- Welche beiden Volumenwerte brauchst du für die mittlere Zuflussrate? - Welche Ableitung von \(V\) beschreibt die momentane Zuflussrate? - Achte darauf, dass mittlere und momentane Rate zwar dieselbe Einheit, aber unterschiedliche zeitliche Bedeutungen haben.

1. Es gilt \(V(2)=0{,}5\cdot2^2+2\cdot2=6\,\text{L}\) und \(V(5)=0{,}5\cdot5^2+2\cdot5=22{,}5\,\text{L}\). 2. Die mittlere Zuflussrate ist \(\frac{V(5)-V(2)}{5-2}=\frac{22{,}5-6}{3}=5{,}5\,\text{L/s}\). 3. Die momentane Zuflussrate wird durch die erste Ableitung \(V'(t)=t+2\) beschrieben. 4. Damit ist \(V'(4)=6\,\text{L/s}\). 5. Die mittlere Rate beschreibt den durchschnittlichen Volumenzuwachs pro Sekunde im gesamten Intervall \([2;5]\), die momentane Rate dagegen den Volumenzuwachs genau bei \(t=4\,\text{s}\).

a) \(5{,}5\,\text{L/s}\) b) \(6\,\text{L/s}\) c) Die mittlere Rate ist ein Durchschnittswert über ein Zeitintervall; die momentane Rate beschreibt die Änderung zu einem einzelnen Zeitpunkt.

- Was gibt die Steigung einer Weg-Zeit-Kurve in einem bestimmten Punkt an? - Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Überlege, welche Einheit das Ergebnis der Ableitung haben muss, wenn \(s\) in Metern und \(t\) in Sekunden gemessen wird.

1. Die Momentangeschwindigkeit \(v(t)\) entspricht der ersten Ableitung der Weg-Zeit-Funktion \(s(t)\) nach der Zeit. 2. Ableitung bilden: \(s'(t) = 0{,}8t + 3\). 3. Berechnung für \(t = 5\): \(v(5) = s'(5) = 0{,}8 \cdot 5 + 3 = 4 + 3 = 7\). Die Geschwindigkeit beträgt \(7\,\text{m/s}\). 4. Die erste Ableitung \(s'(t)\) gibt die momentane Änderungsrate des Weges an, was physikalisch der Geschwindigkeit des Objekts zu einem exakten Zeitpunkt entspricht.

a) Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{s}\) beträgt \(7\,\text{m/s}\). b) Die erste Ableitung \(s'(t)\) beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \(t\).

- Was ist der Unterschied zwischen einer durchschnittlichen Änderung über einen Zeitraum und der Änderung in einem ganz bestimmten Moment? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten zu berechnen? - Wie hängen die Ableitung einer Funktion und die momentane Änderungsrate zusammen?

1. Berechnung der Bestände zu den Zeitpunkten \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 4\): \(B(2) = 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 + 100 = 122\) \(B(4) = 3 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 + 100 = 168\) 2. Berechnung der mittleren Wachstumsrate über den Differenzenquotienten: \(\frac{B(4) - B(2)}{4 - 2} = \frac{168 - 122}{2} = \frac{46}{2} = 23\) Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde. 3. Bestimmung der momentanen Wachstumsrate durch die erste Ableitung: \(B'(t) = 6t + 5\) 4. Berechnung für \(t = 3\): \(B'(3) = 6 \cdot 3 + 5 = 23\) Die momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t = 3\) beträgt \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde.

a) Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde. b) Die momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t = 3\) beträgt \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde.

- Erinnerst du dich an die Formel für die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte? - Wie hängen die erste Ableitung einer Funktion und die Steigung der Tangente zusammen? - Was genau gibt der Differenzenquotient in einem Intervall an?

1. Bestimmung der Funktionswerte an den Stellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\): \(f(-2) = \frac{1}{2}(-2)^2 + (-2) = 0\) und \(f(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 2 = 4\). 2. Berechnung der Sekantensteigung mittels Differenzenquotient: \(m_s = \frac{f(2) - f(-2)}{2 - (-2)} = \frac{4 - 0}{4} = 1\). 3. Bildung der ersten Ableitung der Funktion: \(f'(x) = x + 1\). 4. Berechnung der Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = 0\): \(f'(0) = 0 + 1 = 1\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da sowohl die Sekantensteigung als auch die Tangentensteigung den Wert \(1\) ergeben, ist die Behauptung bewiesen.

1. Die Steigung der Sekante beträgt \(1\). 2. Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 0\) ist \(f'(0) = 1\). Somit sind beide Steigungen identisch.

- Überlege, wie man die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt nennt. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung an einer Stelle \(x\) zu berechnen? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen oder nutze den Grenzwert des Differenzenquotienten.

1. Bildung der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) mithilfe der Potenzregel oder des Differentialquotienten: \(f'(x) = -2x\). 2. Einsetzen der Stelle \(x_1 = 2\) in die Ableitungsfunktion: \(f'(2) = -2 \cdot 2 = -4\). 3. Einsetzen der Stelle \(x_2 = -1\) in die Ableitungsfunktion: \(f'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_1 = 2\) beträgt \(-4\) und an der Stelle \(x_2 = -1\) beträgt sie \(2\).

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle grafisch an? - Welche Gleichung kannst du aufstellen, wenn der Wert der Steigung an einer Stelle bekannt ist? - Kannst du die Ableitungsregeln für einfache Polynomfunktionen anwenden?

1. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion mittels Potenz- und Summenregel: \(f'(x) = 4x - 7\). 2. Gleichsetzen der Ableitungsfunktion mit der vorgegebenen Steigung an der Stelle \(a\): \(4a - 7 = 5\). 3. Auflösen der resultierenden linearen Gleichung: \(4a = 12 \Rightarrow a = 3\).

\(a = 3\)

- Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle \(x_0\) und welchen an der Stelle \(x_0 + h\)? - Was passiert im Zähler des Differenzenquotienten, wenn die Funktionswerte identisch sind? - Wie sieht der Graph einer Funktion aus, deren Funktionswerte sich nie ändern? - Was sagt die Ableitung über die Steigung einer Geraden aus?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\). Da \(f(x) = -8\) für alle \(x\) gilt, folgt \(\frac{-8 - (-8)}{h} = \frac{0}{h} = 0\) für \(h \neq 0\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ergibt \(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} 0 = 0\). 2. Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse. Da diese Gerade überall die Steigung \(0\) besitzt (Steigungswinkel \(0^\circ\)), muss die Ableitung, welche die lokale Steigung repräsentiert, überall den Wert \(0\) annehmen.

1. \(f'(x_0) = 0\) 2. Da der Graph eine Parallele zur \(x\)-Achse ist, ist die Steigung überall gleich null.

- Überlege dir zuerst, welche physikalische Größe auf der y-Achse und welche auf der x-Achse abgetragen ist. - Was bedeutet es anschaulich, wenn man die Differenz zweier y-Werte bildet? - Welche Bedeutung hat das Teilen einer Differenz durch die zugehörige Zeitspanne? - Erinnere dich daran, wie die erste Ableitung mit der momentanen Änderungsrate zusammenhängt.

1. \(h(t+7) - h(t)\): Dieser Ausdruck beschreibt den absoluten Höhenzuwachs der Sonnenblume innerhalb einer Woche (7 Tage), ausgehend vom Zeitpunkt \(t\). Die Einheit ist \(\text{cm}\). 2. \(\frac{h(t+\Delta t) - h(t)}{\Delta t}\): Dies ist der Differenzenquotient, der die durchschnittliche Wachstumsrate der Pflanze im Zeitintervall von \(t\) bis \(t+\Delta t\) angibt. Die Einheit ist \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\). 3. \(h'(t)\): Die erste Ableitung an der Stelle \(t\) entspricht der momentanen Wachstumsrate der Pflanze zum Zeitpunkt \(t\). Die Einheit ist \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\).

a) Höhenzuwachs innerhalb einer Woche in \(\text{cm}\). b) Durchschnittliche Wachstumsrate im Zeitraum \(\Delta t\) in \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\). c) Momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t\) in \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\).

- Stell dir vor, du fährst mit einem Auto: Was liest du auf dem Tacho ab und was berechnest du, wenn du die Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit teilst? - Welche mathematischen Werkzeuge nutzt du für Durchschnittswerte und welche für Momentanwerte?

1. \(\frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}\): Dieser Differenzenquotient stellt die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs im Zeitintervall zwischen \(t_1\) und \(t_2\) dar. 2. \(s'(t)\): Die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion gibt die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt \(t\) an.

a) Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall \([t_1; t_2]\). b) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\).

- Überlege dir, welche Einheiten die Zähler und Nenner der Brüche haben. - Was ist der Unterschied zwischen einem Zeitraum und einem exakten Zeitpunkt? - Erinnere dich an die physikalischen Begriffe für die Änderung des Ortes und die momentane Geschwindigkeit.

1. \(h(t) - h(t_0)\) beschreibt die Höhenänderung des Ballons zwischen den Zeitpunkten \(t_0\) und \(t\) in Metern. 2. \(\frac{h(t) - h(t_0)}{t - t_0}\) stellt den Differenzenquotienten dar und gibt die mittlere Steiggeschwindigkeit des Ballons im Zeitintervall \([t_0; t]\) in der Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\) an. 3. \(h'(t_0)\) ist die erste Ableitung an der Stelle \(t_0\) und gibt die momentane Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\) an.

a) Höhenänderung im Intervall \([t_0; t]\) in \(\text{m}\). b) Mittlere Steiggeschwindigkeit im Intervall \([t_0; t]\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\). c) Momentane Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\).

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen. - Was gibt die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle über das Verhalten der Funktion in der unmittelbaren Umgebung dieser Stelle aus? - Wie hängen „Grenzrate“ und „momentane Änderungsrate“ zusammen?

1. Ableitung der Steuerfunktion: Zur Bestimmung des Grenzsteuersatzes wird die erste Ableitung von \(S(x)\) gebildet. Es gilt \(S'(x) = 0{,}000004x + 0{,}15\). 2. Berechnung an der Stelle \(30\,000\): Einsetzen des Wertes ergibt \(S'(30\,000) = 0{,}000004 \cdot 30\,000 + 0{,}15 = 0{,}12 + 0{,}15 = 0{,}27\). Dies entspricht einem Steuersatz von \(27\,\%\) in diesem Modell. 3. Interpretation: Der Wert \(S'(30\,000) = 0{,}27\) gibt die momentane Änderungsrate der Steuerlast an der Stelle \(x = 30\,000\) an. Er beschreibt näherungsweise, um wie viel Euro die Steuer steigt, wenn das Einkommen um einen weiteren Euro (den \(30\,001\). Euro) erhöht wird. In diesem Modell würde die Steuerlast für diesen zusätzlichen Euro theoretisch um \(0{,}27\,\text{€}\) steigen.

1. \(S'(x) = 0{,}000004x + 0{,}15\) 2. \(S'(30\,000) = 0{,}27\) (bzw. \(27\,\%\)) 3. Der Wert gibt an, dass bei einem Einkommen von \(30\,000\,\text{€}\) die Steuerlast für den nächsten hinzuverdienten Euro näherungsweise um \(0{,}27\,\text{€}\) ansteigt.

- Setze die Ausdrücke \((100+h)\) und \(100\) sorgfältig in die Funktionsgleichung ein. - Achte beim Vereinfachen darauf, dass alle konstanten Terme im Zähler (die kein \(h\) enthalten) wegfallen müssen. - Der Grenzwert der Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. - Was sagt uns die Steigung darüber aus, wie stark die Kosten steigen, wenn wir \(x\) um eine kleine Einheit erhöhen?

1. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{K(100+h) - K(100)}{h}\). Einsetzen ergibt: \(\frac{0{,}05(100+h)^2 + 10(100+h) + 500 - (0{,}05 \cdot 100^2 + 10 \cdot 100 + 500)}{h}\). Vereinfachung des Zählers: \(0{,}05(10\,000 + 200h + h^2) + 1000 + 10h + 500 - (500 + 1000 + 500) = 500 + 10h + 0{,}05h^2 + 1000 + 10h + 500 - 2000 = 20h + 0{,}05h^2\). Division durch \(h\) ergibt den vereinfachten Differenzenquotienten: \(20 + 0{,}05h\). 2. Für den Grenzübergang \(h \to 0\) betrachten wir den Grenzwert von \(20 + 0{,}05h\). Es ergibt sich \(K'(100) = \lim_{h \to 0} (20 + 0{,}05h) = 20\). 3. Die Grenzkosten an der Stelle \(x = 100\) geben die momentane Steigungsrate der Kostenkurve an. Im Sachkontext bedeutet dies, dass die Produktion einer weiteren Einheit (des 101. Stücks) näherungsweise \(20\,\text{€}\) an zusätzlichen Kosten verursacht.

1. Differenzenquotient: \(20 + 0{,}05h\) in \(\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 2. Grenzkosten \(K'(100) = 20\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 3. Das 101. Stück verursacht näherungsweise \(20\,\text{€}\) zusätzliche Kosten.

- Denke daran, was die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist. - Wie hängen die Ableitung an einer Stelle und die Steigung der Tangente in dem entsprechenden Punkt zusammen? - Bestimme die Steigung der Tangente aus zwei gut ablesbaren Punkten mit \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\). - Welche Steigung hat eine waagerechte Gerade?

1. Der Wert der Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x_0\) entspricht der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen in diesem Punkt. Die Steigung \(m\) einer Geraden kann mit \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\) aus zwei gut ablesbaren Punkten bestimmt werden. 2. Für Graph A (Funktion \(f\)): Die Tangente \(t_f\) verläuft durch den Berührpunkt \(P(2 \mid 2)\) und den Ursprung \((0 \mid 0)\). Die Steigung beträgt somit: \(f'(2) = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1\). 3. Für Graph B (Funktion \(g\)): Die Tangente \(t_g\) verläuft horizontal durch den Berührpunkt \(Q(2 \mid 3)\). Die Steigung einer horizontalen Geraden ist \(0\). Somit gilt: \(g'(2) = 0\). 4. Für Graph C (Funktion \(h\)): Die Tangente \(t_h\) verläuft durch den Berührpunkt \(R(2 \mid 1)\) und den Punkt \((1 \mid 3)\). Die Steigung beträgt somit: \(h'(2) = \frac{1 - 3}{2 - 1} = -2\).

a) \(f'(2) = 1\); b) \(g'(2) = 0\); c) \(h'(2) = -2\).

- Erinnere dich daran, dass der Ableitungswert einer Funktion an einer Stelle der Steigung der Tangente an dieser Stelle entspricht. - Wie kannst du die Steigung einer Geraden bestimmen, wenn du zwei Punkte auf ihr kennst? - Nutze die markierten Kreuze auf den Tangenten, um die Koordinaten zweier Punkte abzulesen. - Teile den Höhenunterschied (Änderung in \(y\)-Richtung) durch den Breitenunterschied (Änderung in \(x\)-Richtung).

Um die Ableitungswerte grafisch zu bestimmen, liest man die Steigung der jeweiligen Tangente ab: 1. **Ableitung an der Stelle \(x = -2\):** Die orangefarbene Tangente berührt den Graphen bei \(x = -2\). Wir können zwei markierte Punkte auf dieser Geraden ablesen, zum Beispiel \((-3 \mid 1)\) und \((-1 \mid 3)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{3 - 1}{-1 - (-3)} = \frac{2}{2} = 1\) Somit gilt: \(f'(-2) = 1\). 2. **Ableitung an der Stelle \(x = 0\):** Die grüne Tangente berührt den Graphen bei \(x = 0\). Wir wählen die markierten Punkte \((-1 \mid 2)\) und \((1 \mid -2)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{-2 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2\) Somit gilt: \(f'(0) = -2\). 3. **Ableitung an der Stelle \(x = 2\):** Die lila Tangente berührt den Graphen bei \(x = 2\). Wir wählen die markierten Punkte \((1 \mid -3)\) und \((3 \mid -1)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{-1 - (-3)}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1\) Somit gilt: \(f'(2) = 1\).

a) \(f'(-2) = 1\); b) \(f'(0) = -2\); c) \(f'(2) = 1\).

- Wie hängen die Steigung eines Graphen in einem Punkt und die Steigung der Tangente in diesem Punkt zusammen? - Welche Formel hilft dir, die Steigung einer Geraden zu berechnen, wenn du zwei Punkte auf ihr kennst? - Suche auf den orangefarbenen Tangenten jeweils nach zwei Punkten, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen. - Achte beim Ablesen der Koordinaten genau auf die Skalierung der Achsen (insbesondere der \(y\)-Achse in Teil c).

1. Bestimmung der Steigung der Tangente an Graph a): Zwei ablesbare Punkte auf der Tangente: \(P(2 \mid 0)\) und \(A(3 \mid 2)\). Berechnung des Differenzenquotienten: \(m_a = \frac{2 - 0}{3 - 2} = 2\). Die momentane Änderungsrate in \(P\) beträgt \(2\). 2. Bestimmung der Steigung der Tangente an Graph b): Zwei ablesbare Punkte auf der Tangente: \(P(2 \mid 1)\) und \(B(3 \mid 0)\). Berechnung des Differenzenquotienten: \(m_b = \frac{0 - 1}{3 - 2} = -1\). Die momentane Änderungsrate in \(P\) beträgt \(-1\). 3. Bestimmung der Steigung der Tangente an Graph c): Zwei ablesbare Punkte auf der Tangente: \(P(1 \mid 1)\) und \(C(3 \mid 2)\). Berechnung des Differenzenquotienten: \(m_c = \frac{2 - 1}{3 - 1} = 0{,}5\). Die momentane Änderungsrate in \(P\) beträgt \(0{,}5\).

a) \(2\); b) \(-1\); c) \(0{,}5\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle und der Steigung der dortigen Tangente. - Suche auf der Tangente zwei Punkte, deren Koordinaten du exakt im Gitter ablesen kannst. - Berechne die Steigung der Tangente mit \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

1. Die Ableitung \(f'(1)\) entspricht der Steigung der Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) an der Stelle \(x_0 = 1\). 2. Um die Steigung der Tangente zu bestimmen, wählen wir zwei Punkte auf der Tangente aus, die sich leicht vom Gitter ablesen lassen. Aus der Abbildung können wir beispielsweise den Berührpunkt \(P(1 \mid -1)\) und den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse \(Q(2 \mid 0)\) ablesen. 3. Mit diesen Punkten berechnen wir die Steigung \(m\) der Tangente: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-1)}{2 - 1} = 1\) 4. Die Ableitung der Funktion an der Stelle \(x_0 = 1\) ist somit \(f'(1) = 1\).

\(f'(1) = 1\)

- Wie hängen der Verlauf des Graphen (steigend oder fallend) und das Vorzeichen der Steigung zusammen? - Stelle dir an jedem Punkt eine Tangente (eine berührende Gerade) vor. Verläuft diese von links nach rechts nach oben oder nach unten? - Wenn eine Kurve sehr steil nach unten verläuft, ist ihre Steigung besonders stark negativ (also sehr klein). - Vergleiche die Steigungen in den Punkten, an denen der Graph steigt: Welcher Punkt befindet sich in einem steileren Bereich?

1. Bestimmung der Vorzeichen der Steigungen: - Ein fallender Kurvenverlauf entspricht einer negativen Steigung, ein steigender Verlauf einer positiven Steigung. - Am Punkt \(A(-1 \mid -1{,}25)\) fällt der Graph (die Steigung ist negativ, ca. \(-0{,}65\)). - Am Punkt \(B(0 \mid -1)\) steigt der Graph (die Steigung ist positiv, ca. \(1{,}0\)). - Am Punkt \(C(2 \mid 2{,}2)\) steigt der Graph (die Steigung ist positiv, ca. \(1{,}6\)). - Am Punkt \(D(5 \mid 0{,}25)\) fällt der Graph steil ab (die Steigung ist negativ, ca. \(-4{,}25\)). - Somit ist die Steigung in den Punkten \(A\) und \(D\) negativ. 2. Ordnung der Steigungen von klein nach groß: - Die Steigungen an den Punkten betragen: \(f'(D) \approx -4{,}25\), \(f'(A) \approx -0{,}65\), \(f'(B) \approx 1{,}0\) und \(f'(C) \approx 1{,}6\). - Durch Vergleichen der Werte ergibt sich: \(-4{,}25 < -0{,}65 < 1{,}0 < 1{,}6\). - Die richtige Reihenfolge von der kleinsten (am stärksten negativen) zur größten Steigung lautet somit: \(D\), \(A\), \(B\), \(C\).

a) In den Punkten \(A\) und \(D\) ist die Steigung negativ. b) Von der kleinsten zur größten Steigung: \(D\), \(A\), \(B\), \(C\).

- Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht der Steigung der Tangente an dieser Stelle. - Bestimme die Steigung einer Tangente aus zwei gut ablesbaren Punkten. - Eine waagerechte Tangente hat die Steigung \(0\). - Das Vorzeichen der Ableitung zeigt, ob der Graph steigt oder fällt.

1. **Teilaufgabe a):** - Die Tangente bei \(x = 0\) verläuft durch \((0 \mid -1)\) und \((1 \mid -3)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{-3-(-1)}{1-0} = -2\). - Bei \(x = 2\) liegt der Tiefpunkt \((2 \mid -3)\). Die Tangente ist waagerecht, also gilt \(f'(2) = 0\). - Die Tangente bei \(x = 4\) verläuft durch \((4 \mid -1)\) und \((5 \mid 1)\). Daher ist \(f'(4) = \frac{1-(-1)}{5-4} = 2\). 2. **Teilaufgabe b):** - Bei \(x = -1\) fällt der Graph, daher ist \(f'(-1) < 0\). - Bei \(x = 1\) fällt der Graph, daher ist \(f'(1) < 0\). - Bei \(x = 5\) steigt der Graph, daher ist \(f'(5) > 0\).

a) \(f'(0) = -2\), \(f'(2) = 0\), \(f'(4) = 2\); b) \(f'(-1) < 0\), \(f'(1) < 0\) und \(f'(5) > 0\).

- Denke daran, dass die Ableitung an einer Stelle der Steigung des Graphen in diesem Punkt entspricht. - Betrachte den lokalen Verlauf des Graphen an der Stelle \(x = 1\). - Ist der Graph an der Stelle fallend, steigend oder hat er dort einen Extrempunkt? - Vergleiche anschließend, ob der Anstieg beziehungsweise Abfall eher moderat oder steil ist.

Um den Wert der Ableitung \(f'(1)\) an einem Graphen abzulesen, betrachtet man die Steigung des Graphen im Punkt \(P(1 \mid f(1))\). 1. Graph \(A\): Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \(x = 0\). Bei \(x = 1\) steigt der Graph steil an; dazu passt die Steigung \(2\). Also gehört (2) zu \(A\). 2. Graph \(B\): Der Graph hat bei \(x = 1\) seinen höchsten Punkt. Die Tangente verläuft dort waagerecht, ihre Steigung ist \(0\). Also gehört (1) zu \(B\). 3. Graph \(C\): Der Graph steigt bei \(x = 1\) moderat an; dazu passt die Steigung \(1\). Also gehört (4) zu \(C\). 4. Graph \(D\): Der Graph fällt bei \(x = 1\) steil ab; dazu passt die Steigung \(-2\). Also gehört (3) zu \(D\).

\(A \rightarrow (2)\), \(B \rightarrow (1)\), \(C \rightarrow (4)\), \(D \rightarrow (3)\).

- Die Ableitung an einer Stelle \(x\) entspricht genau der Steigung der Tangente in diesem Punkt. - Lies auf den eingezeichneten Geraden zwei gut erkennbare Punkte ab und berechne \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\). - Wenn der Graph an einer Stelle steigt, ist die Ableitung dort positiv; fällt er, ist sie negativ. - An lokalen Extrempunkten (Hoch- oder Tiefpunkten) ist die Steigung der Tangente immer null.

1. Zur Bestimmung von \(f'(-1)\) liest man die Steigung der Tangente im Punkt \(x = -1\) aus zwei gut erkennbaren Punkten ab: Geht man \(1\) Einheit nach rechts, geht man \(1\) Einheit nach oben. Somit ist \(f'(-1) = 1\). 2. Für \(f'(2)\) nutzt man die zweite Tangente: Geht man \(1\) Einheit nach rechts, geht man \(2\) Einheiten nach unten. Somit ist \(f'(2) = -2\). 3. Das Vorzeichen der Ableitung entspricht der Steigung des Graphen: Bei \(x = 0\) hat der Graph einen Hochpunkt, die Tangente wäre waagerecht, also \(f'(0) = 0\). Bei \(x = 3\) fällt der Graph, also ist \(f'(3) < 0\). Bei \(x = -2\) steigt der Graph, also ist \(f'(-2) > 0\). 4. Um \(f'(1)\) zu schätzen, betrachtet man den lokalen Verlauf bei \(x = 1\). Der Graph fällt dort; ein kleiner Schritt nach rechts führt zu einem etwa gleich großen Schritt nach unten, daher liegt der Wert bei etwa \(-1\).

a) \(f'(-1) = 1\) und \(f'(2) = -2\); b) \(f'(0) = 0\), \(f'(3) < 0\), \(f'(-2) > 0\); c) \(f'(1) \approx -1\).

- Die Steigung einer Tangente in einem Punkt ist der Wert der Ableitung der Funktion an dieser Stelle. - Suche dir auf den eingezeichneten Tangenten zwei Punkte, die genau auf Gitterkreuzungen liegen, um die Steigung zu berechnen. - Betrachte bei Teil b), wie der Graph in der unmittelbaren Umgebung der markierten Punkte verläuft.

1. Für \(f'(1)\) betrachten wir die Tangente im Punkt \((1 \mid -1{,}5)\). Sie verläuft auch durch den Punkt \((2{,}5 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - (-1{,}5)}{2{,}5 - 1} = 1\). Somit ist \(f'(1) = 1\). 2. Für \(f'(-2)\) nutzen wir die Tangente im Punkt \((-2 \mid 0)\). Sie verläuft durch \((-1 \mid -2)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-2 - 0}{-1 - (-2)} = -2\). Somit ist \(f'(-2) = -2\). 3. Im Punkt \(A(2 \mid 0)\) steigt der Graph steil. Bei einem Schritt nach rechts verläuft der Graph lokal etwa zwei Einheiten nach oben. Daher gilt näherungsweise \(f'(2) \approx 2\). 4. Im Punkt \(B(0 \mid -2)\) liegt der Tiefpunkt der Parabel. Die Tangente ist hier waagerecht. Daher ist \(f'(0) = 0\).

a) \(f'(1) = 1\) und \(f'(-2) = -2\); b) in \(A(2 \mid 0)\) gilt näherungsweise \(f'(2) \approx 2\), in \(B(0 \mid -2)\) gilt \(f'(0) = 0\).

- Erinnere dich daran, was die Ableitung an einer Stelle grafisch bedeutet. - Berechne die Steigung einer Tangente mithilfe zweier gut ablesbarer Punkte auf der Geraden. - Was ist das Besondere an der Steigung einer waagerechten Geraden?

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. 1. An der Stelle \(x_1 = 0\) hat der Punkt die Koordinaten \((0 \mid 1)\). Die Tangente verläuft zudem durch \((1 \mid 3)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2\). Somit ist \(f'(0) = 2\). 2. An der Stelle \(x_2 = 2\) liegt der Hochpunkt \((2 \mid 3)\). Die Tangente ist eine waagerechte Gerade mit der Steigung \(0\). Somit ist \(f'(2) = 0\). 3. An der Stelle \(x_3 = 4\) hat der Punkt die Koordinaten \((4 \mid 1)\). Die Tangente verläuft zudem durch \((5 \mid -1)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{-1 - 1}{5 - 4} = -2\). Somit ist \(f'(4) = -2\).

\(f'(0) = 2\), \(f'(2) = 0\), \(f'(4) = -2\)

- Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente im jeweiligen Berührpunkt. - Betrachte die Steigung der Tangente in \(A\) und \(C\). Welche besondere Lage haben diese Geraden? - Lies für die Tangente in \(B\) zwei gut erkennbare Punkte ab und berechne ihre Steigung.

Die Werte der Ableitung lassen sich durch Ablesen der Tangentensteigungen ermitteln: 1. Im Punkt \(A(-2 \mid 4)\) ist die Tangente waagerecht. Eine waagerechte Gerade hat die Steigung \(0\). Daraus folgt \(g'(-2) = 0\). 2. Im Punkt \(B(0 \mid 0)\) verläuft die Tangente durch den Ursprung und zum Beispiel durch den Punkt \((1 \mid -3)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-3 - 0}{1 - 0} = -3\). Daraus folgt \(g'(0) = -3\). 3. Im Punkt \(C(2 \mid -4)\) ist die Tangente ebenfalls waagerecht. Somit ist die Steigung \(0\) und es gilt \(g'(2) = 0\).

\(g'(-2) = 0\), \(g'(0) = -3\), \(g'(2) = 0\)

- Lies den Schnittpunkt der Tangente mit der \(y\)-Achse und den Punkt \(P\) ab. - Wie viele Einheiten musst du nach rechts gehen, um eine Einheit nach oben zu steigen?

1. Zwei Punkte auf der Tangente sind \(A(0 \mid 1)\) und \(P(4 \mid 2)\). 2. Es gilt \(\Delta y = 2 - 1 = 1\) und \(\Delta x = 4 - 0 = 4\). 3. Daher ist \(m = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

Die Steigung beträgt \(0{,}25\).

- Lass dich nicht von den großen Zahlen an den Achsen verunsichern, das Prinzip bleibt gleich. - Achte darauf, dass ein Kästchen in x-Richtung denselben Wert darstellt wie ein Kästchen in y-Richtung.

1. Wähle auf der Tangente die Punkte \(A(25 \mid 0)\) und \(B(75 \mid 50)\). 2. Es gilt \(\Delta y = 50-0 = 50\) und \(\Delta x = 75-25 = 50\). 3. Daher ist \(m = \frac{50}{50} = 1\). Trotz der großen Achsenwerte beträgt die Steigung \(1\).

Die Steigung beträgt \(1\).

- Überlege dir für jeden markierten Punkt, wie eine Tangente dort verlaufen würde. - Wie hängen „steigend“, „fallend“ oder „waagerecht“ mit dem Vorzeichen der Steigung zusammen? - Welcher Typ von Zahl (negativ, null, positiv) ist grundsätzlich der kleinste?

1. Der Wert der Ableitung \(g'(x)\) an einer Stelle \(x\) entspricht der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen in diesem Punkt. 2. Im Punkt \(A\) fällt der Graph; die Tangente hat dort eine negative Steigung (\(g'(x_A) < 0\)). 3. Im Punkt \(B\) liegt ein lokales Minimum vor; die Tangente ist waagerecht, die Steigung ist also Null (\(g'(x_B) = 0\)). 4. Im Punkt \(C\) steigt der Graph; die Tangente hat dort eine positive Steigung (\(g'(x_C) > 0\)). 5. Da ein negativer Wert kleiner als Null und kleiner als ein positiver Wert ist, ist der Ableitungswert im Punkt \(A\) am kleinsten.

Im Punkt \(A\) ist der Wert der Ableitung am kleinsten. Dort fällt der Graph, sodass die Tangente eine negative Steigung hat. In \(B\) ist die Steigung Null und in \(C\) ist sie positiv.

- Wenn die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft, ist die Berechnung der Steigung besonders einfach. - Ist die Tangente eine steigende oder eine fallende Gerade? Das Vorzeichen der Ableitung muss dazu passen.

1. Die Ableitung \(f'(0)\) entspricht der Steigung der Tangente im Ursprung. 2. Ablesen von Punkten auf der Tangente: Die Gerade verläuft durch \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid -1)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{-1 - 0}{1 - 0} = -1\). 4. Ergebnis: \(f'(0) = -1\).

\(f'(0) = -1\)

- Die Begriffe „Ableitung“ und „momentane Änderungsrate“ bezeichnen an einer Stelle \(x_0\) denselben mathematischen Wert. - Achte auf die Skalierung der Achsen, um die Koordinaten der Punkte richtig abzulesen.

1. Die momentane Änderungsrate ist der Wert der Ableitung \(f'(x_0)\), also die Steigung der Tangente. 2. Auf der Tangente liegen z. B. die Punkte \((2 \mid 1)\) und \((4 \mid 0)\). 3. Bestimmung des Steigungsdreiecks: Geht man \(2\) Einheiten nach rechts (\(\Delta x = 2\)), sinkt der \(y\)-Wert um \(1\) Einheit (\(\Delta y = -1\)). 4. Berechnung: \(m = \frac{-1}{2} = -0{,}5\). 5. Ergebnis: \(f'(2) = -0{,}5\).

\(f'(2) = -0{,}5\)

- Auch bei Kurven, die keine Parabeln sind, hilft die Tangente, die Steigung in einem einzigen Punkt exakt zu bestimmen. - Wähle Punkte auf der Geraden, die möglichst weit auseinander liegen, um Ablesefehler zu minimieren, sofern sie auf Gitterpunkten liegen.

1. Die Ableitung ist die Steigung der Tangente. 2. Ablesen von Punkten auf der Tangente: \(P_1(1 \mid 2)\) und \(P_2(2 \mid 3)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{3 - 2}{2 - 1} = 1\). 4. Ergebnis: \(f'(1) = 1\).

\(f'(x_0) = 1\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du Punkte im negativen Bereich der \(x\)-Achse abliest. - Eine Gerade, die von links oben nach rechts unten verläuft, hat immer eine negative Steigung.

1. Die Ableitung \(f'(-2)\) ist die Steigung der Tangente im Punkt \((-2 \mid 0)\). 2. Ablesen zweier Punkte auf der Tangente: \(A(-2 \mid 0)\) und \(B(-3 \mid 2)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{2 - 0}{-3 - (-2)} = \frac{2}{-1} = -2\). 4. Ergebnis: \(f'(-2) = -2\).

\(f'(-2) = -2\)

- Nutze das Gitter, um zwei Punkte auf der orangen Geraden zu finden, deren Koordinaten ganzzahlig sind. - Überprüfe dein Ergebnis: Da die Tangente fällt, muss der Wert der Ableitung negativ sein.

1. Die Ableitung \(f'(1)\) ist die Steigung der Tangente im Punkt \((1 \mid 2)\). 2. Ablesen zweier Punkte auf der Tangente: \(P_1(1 \mid 2)\) und \(P_2(2 \mid 0)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{0 - 2}{2 - 1} = -2\). 4. Ergebnis: \(f'(1) = -2\).

\(f'(1) = -2\)

- Überlege dir, welche Punkte auf dem Graphen zu den gesuchten Zeitpunkten gehören. - Der Differenzenquotient entspricht grafisch der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. Wie nennt man diese Gerade? - Was sagt eine Steigung über die Änderung einer Größe aus, wenn die Zeit auf der waagerechten Achse steht? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab und berechne daraus ihre Steigung.

1. Aus dem Graphen lassen sich die Funktionswerte direkt ablesen: \(T(0) = 4\) und \(T(6) = 7{,}6\). Die Temperaturen betragen also \(4\,{^\circ}\text{C}\) (um 6:00 Uhr) und \(7{,}6\,{^\circ}\text{C}\) (um 12:00 Uhr). 2. Einsetzen der Werte in den Differenzenquotienten: \(\frac{7{,}6 - 4}{6 - 0} = \frac{3{,}6}{6} = 0{,}6\). 3. Das Ergebnis \(0{,}6\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\) gibt die mittlere (durchschnittliche) Temperaturänderung pro Stunde im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 12:00 Uhr an. 4. Die Tangente verläuft beispielsweise durch die Punkte \((2 \mid 6)\) und \((7 \mid 10)\). Ihre Steigung beträgt \(\frac{10 - 6}{7 - 2} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). Somit liegt die momentane Erwärmungsrate bei etwa \(0{,}8\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\).

1. \(T(0) = 4\,{^\circ}\text{C}\) und \(T(6) = 7{,}6\,{^\circ}\text{C}\); 2. \(0{,}6\); 3. mittlere Erwärmungsrate von \(0{,}6\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\) zwischen 6:00 Uhr und 12:00 Uhr; 4. \(T'(2) \approx 0{,}8\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\).

- Lies auf jeder gestrichelten Tangente zwei gut erkennbare Gitterpunkte ab und berechne daraus die Steigung. - Wenn eine Kurve ihren höchsten Punkt erreicht, wie groß ist dann dort ihre Steigung? - Überlege, wie man die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit nennt. - Achte auf das Vorzeichen der Steigung beim Bremsvorgang.

1. Die momentane Änderungsrate entspricht der Tangentensteigung. Die Tangente bei \(t = 0\,\text{s}\) verläuft beispielsweise durch \((0 \mid 0)\) und \((4 \mid 4)\). Daher beträgt ihre Steigung \(\frac{4 - 0}{4 - 0} = 1\,\text{m/s}^2\). 2. Die Tangente bei \(t = 20\,\text{s}\) verläuft beispielsweise durch \((16 \mid 4)\) und \((20 \mid 0)\). Daher beträgt ihre Steigung \(\frac{0 - 4}{20 - 16} = -1\,\text{m/s}^2\). 3. Die Änderungsrate ist null, wenn die Tangente waagerecht verläuft. Dies ist am Scheitelpunkt der Parabel bei \(t = 10\,\text{s}\) der Fall. Hier ist die Geschwindigkeit mit \(5\,\text{m/s}\) maximal. 4. In der Physik wird die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit als Beschleunigung bezeichnet.

a) Bei \(t = 0\,\text{s}\) beträgt die Änderungsrate \(1\,\text{m/s}^2\), bei \(t = 20\,\text{s}\) beträgt sie \(-1\,\text{m/s}^2\). b) Bei \(t = 10\,\text{s}\) ist die Änderungsrate null; dort ist die Geschwindigkeit mit \(5\,\text{m/s}\) maximal. c) Die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit heißt Beschleunigung.

- Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der eingezeichneten Tangente. - Welche zwei gut ablesbaren Punkte liegen auf der Tangente? - Achte bei der Interpretation auf die Einheit Höhe pro Zeit.

1. Auf der Tangente lassen sich zum Beispiel die Punkte \((0\mid20)\) und \((10\mid45)\) ablesen. 2. Ihre Steigung ist \(\frac{45-20}{10-0}=2{,}5\). 3. Daher gilt \(h'(10)\approx2{,}5\,\text{m/s}\). Zum Zeitpunkt \(10\,\text{s}\) nimmt die Höhe der Drohne momentan um etwa \(2{,}5\,\text{m}\) pro Sekunde zu.

Die momentane Steiggeschwindigkeit beträgt etwa \(2{,}5\,\text{m/s}\); bei \(t=10\,\text{s}\) gewinnt die Drohne momentan etwa \(2{,}5\,\text{m}\) Höhe pro Sekunde.

- Überlege dir, in welcher Beziehung die Steigung einer Tangente zum Wert der Ableitung an dieser Stelle steht. - Lies zwei Punkte auf der Tangente ab, die genau auf Gitterkreuzen liegen. - Berechne aus diesen Punkten den Höhenunterschied und den waagerechten Abstand.

1. Identifikation des Berührpunkts: \(P(2 \mid 4)\). 2. Die Tangente verläuft durch die gut ablesbaren Gitterpunkte \((1 \mid 3)\) und \((2 \mid 4)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{4 - 3}{2 - 1} = 1\). 4. Da die Steigung der Tangente im Punkt \(x = 2\) dem Wert der Ableitung entspricht, gilt \(f'(2) = 1\).

\(f'(2) = 1\)

- Lies die zweite Spalte von oben nach unten und achte auf die Entwicklung der Werte. - Die momentane Änderungsrate entsteht als Grenzwert von Sekantensteigungen für immer kleinere Intervalle. - Suche die Zahl, der die Tabellenwerte immer näher kommen.

1. Je kleiner \(h\) wird, desto näher liegen die Sekantensteigungen bei \(4\): \(4{,}5\), \(4{,}25\), \(4{,}05\), \(4{,}005\). 2. Die Werte nähern sich von oben der Zahl \(4\). 3. Daher ist die momentane Änderungsrate bei \(x=3\) näherungsweise \(4\); tatsächlich gilt \(f'(3)=4\).

\(f'(3)\approx4\). Die Sekantensteigungen nähern sich für kleiner werdendes \(h\) der Zahl \(4\).

- Bestimme zuerst die y-Koordinaten der vier Punkte mit \(f(x)=x^2\). - Berechne jede Sekantensteigung mit demselben festen Punkt \(P\). - Betrachte anschließend, wohin sich die Steigungswerte entwickeln, wenn der zweite Punkt näher an \(P\) rückt.

1. Es gilt \(P(1\mid1)\), \(A(3\mid9)\), \(B(2\mid4)\), \(C(1{,}5\mid2{,}25)\) und \(D(1{,}25\mid1{,}5625)\). 2. Die Sekantensteigungen sind \(\frac{9-1}{3-1}=4\), \(\frac{4-1}{2-1}=3\), \(\frac{2{,}25-1}{1{,}5-1}=2{,}5\) und \(\frac{1{,}5625-1}{1{,}25-1}=2{,}25\). 3. Je näher der zweite Punkt an \(P\) rückt, desto näher kommt die Sekantensteigung der Zahl \(2\). Daher schätzt man \(f'(1)\approx2\).

Sekantensteigungen: \(4\), \(3\), \(2{,}5\), \(2{,}25\). Daraus folgt \(f'(1)\approx2\).

- Welche Formel für den Differenzenquotienten kennst du? - Setze den gegebenen Wert für \(x_0\) in die Definition ein. - Versuche, den Term im Zähler so weit wie möglich zu vereinfachen, bis du \(h\) ausklammern kannst. - Was passiert mit dem Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Bestimmung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = -2\): \(f(-2) = -0{,}5 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = -2 - 8 = -10\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten für ein beliebiges \(h\): \(\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \frac{-0{,}5(-2+h)^2 + 4(-2+h) - (-10)}{h}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(-0{,}5(4 - 4h + h^2) - 8 + 4h + 10 = -2 + 2h - 0{,}5h^2 - 8 + 4h + 10 = 6h - 0{,}5h^2\). 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(\frac{6h - 0{,}5h^2}{h} = 6 - 0{,}5h\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(h \to 0\): \(f'(-2) = \lim_{h \to 0} (6 - 0{,}5h) = 6\).

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = -2\) beträgt \(f'(-2) = 6\).

- Erinnere dich daran, dass die momentane Änderungsrate der Ableitung an dieser Stelle entspricht. - Kannst du den Differenzenquotienten aufstellen und vereinfachen? - Achte beim Quadrieren von Klammern auf die binomischen Formeln. - Überlege, welcher Wert übrig bleibt, wenn der variable Teil des Terms gegen Null geht.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 3\): \(f(3) = 2 \cdot 3^2 - 4 \cdot 3 + 1 = 18 - 12 + 1 = 7\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{2(3+h)^2 - 4(3+h) + 1 - 7}{h}\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen des Zählers: \(2(9 + 6h + h^2) - 12 - 4h - 6 = 18 + 12h + 2h^2 - 12 - 4h - 6 = 8h + 2h^2\). 4. Division durch \(h\): \(\frac{8h + 2h^2}{h} = 8 + 2h\). 5. Bestimmung des Grenzwerts (Differenzialquotient): \(f'(3) = \lim_{h \to 0} (8 + 2h) = 8\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 3\) beträgt \(8\).

- Überlege dir zuerst, welchen Wert die Funktion an der vorgegebenen Stelle annimmt. - Setze den Term \(x_0 + h\) in die Funktionsgleichung ein und achte beim Ausmultiplizieren besonders auf die Vorzeichen und Klammern. - Versuche den Zähler des Differenzenquotienten so weit zu vereinfachen, dass du \(h\) ausklammern und kürzen kannst. - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 2\) berechnen: \(f(2) = 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 1 = 8 - 10 + 1 = -1\). 2. Differenzenquotienten für ein beliebiges \(h \neq 0\) aufstellen: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{2(2+h)^2 - 5(2+h) + 1 - (-1)}{h}\). 3. Zähler durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen vereinfachen: \(\frac{2(4 + 4h + h^2) - 10 - 5h + 2}{h} = \frac{8 + 8h + 2h^2 - 10 - 5h + 2}{h} = \frac{2h^2 + 3h}{h}\). 4. Den Bruch durch \(h\) kürzen: \(2h + 3\). 5. Grenzwert für \(h \to 0\) bilden: \(\lim_{h \to 0} (2h + 3) = 3\). Somit ist \(f'(2) = 3\).

Die Ableitung an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(f'(2) = 3\).

- Die momentane Änderungsrate entspricht genau der Ableitung der Funktion an dieser Stelle. - Nutze die binomischen Formeln, um den Ausdruck im Zähler korrekt auszumultiplizieren. - Vergiss nicht, den Funktionswert \(g(4)\) im Zähler abzuziehen. - Nach dem Kürzen von \(h\) kannst du den Wert bestimmen, dem sich der Ausdruck annähert, wenn \(h\) gegen Null läuft.

1. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 4\) bestimmen: \(g(4) = -0{,}5 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 = -8 + 12 = 4\). 2. Differenzenquotienten aufstellen: \(\frac{g(4+h) - g(4)}{h} = \frac{-0{,}5(4+h)^2 + 3(4+h) - 4}{h}\). 3. Zählerterm vereinfachen: \(\frac{-0{,}5(16 + 8h + h^2) + 12 + 3h - 4}{h} = \frac{-8 - 4h - 0{,}5h^2 + 12 + 3h - 4}{h} = \frac{-0{,}5h^2 - h}{h}\). 4. Durch \(h\) kürzen: \(-0{,}5h - 1\). 5. Grenzwertbetrachtung durchführen: \(\lim_{h \to 0} (-0{,}5h - 1) = -1\). Die momentane Änderungsrate ist somit \(-1\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 4\) beträgt \(-1\).

- Überlege dir zuerst, in welcher Einheit die Ausgangsgröße gemessen wird. - Die momentane Änderungsrate beschreibt, wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn sich die Eingangsgröße (z. B. die Zeit oder eine Menge) minimal ändert. - Die Einheit der Änderungsrate ergibt sich immer aus dem Quotienten der Einheit der abhängigen Größe und der Einheit der unabhängigen Größe. - Welcher Fachbegriff beschreibt in der Physik oder Wirtschaft die Änderung der jeweiligen Größe?

Die Zuordnung erfolgt durch die logische Verknüpfung der Dimensionen und der physikalisch-ökonomischen Zusammenhänge: 1. Energie \(E(t)\): Einheit \(\text{J}\). Die zeitliche Änderung der Energie ist die Leistung (\(r\)), gemessen in Watt (\(\text{W}\)) bzw. \(\frac{\text{J}}{\text{s}}\). 2. Füllhöhe \(h(t)\): Einheit \(\text{cm}\). Die zeitliche Änderung der Höhe beschreibt die Steiggeschwindigkeit (\(r\)), gemessen in \(\frac{\text{cm}}{\text{min}}\). 3. Masse \(m(s)\): Einheit \(\text{kg}\). Da die Masse hier von der Länge \(s\) abhängt, ist die Änderungsrate die lineare Massendichte (\(r\)), gemessen in \(\frac{\text{kg}}{\text{m}}\). 4. Gewinn \(G(x)\): Einheit \(\text{€}\). Die Änderung des Gewinns in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl \(x\) ist der Grenzgewinn (\(r\)), gemessen in \(\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\).

- Energie \(E(t)\): \(\text{J}\) \(\rightarrow\) Leistung \(\rightarrow\) \(\text{W}\) (bzw. \(\frac{\text{J}}{\text{s}}\)) - Füllhöhe \(h(t)\): \(\text{cm}\) \(\rightarrow\) Steiggeschwindigkeit \(\rightarrow\) \(\frac{\text{cm}}{\text{min}}\) - Masse \(m(s)\): \(\text{kg}\) \(\rightarrow\) lineare Massendichte \(\rightarrow\) \(\frac{\text{kg}}{\text{m}}\) - Gewinn \(G(x)\): \(\text{€}\) \(\rightarrow\) Grenzgewinn \(\rightarrow\) \(\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\)

- Wie berechnet man allgemein die Steigung einer Tangente an einem Punkt? - Was gibt die Änderung des Ortes pro Zeitspanne physikalisch an? - Erinnere dich an die Regel für das Ableiten von Potenzfunktionen. - Welche Einheiten kennst du für Geschwindigkeiten?

1. Die Einheit der Ableitung \(s'(t)\) ist allgemein \(\frac{\text{Einheit von } s(t)}{\text{Einheit von } t}\). Hier ist \(s\) in \(\text{m}\) und \(t\) in \(\text{s}\) gegeben, woraus die Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\) folgt. 2. Die erste Ableitung des Weges nach der Zeit entspricht der momentanen Änderungsrate des Weges, also der Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt \(t\). 3. Die Ableitungsfunktion lautet \(s'(t) = t + 2\). Einsetzen von \(t = 4\) ergibt \(s'(4) = 4 + 2 = 6\). Unter Berücksichtigung der Einheit beträgt die Momentangeschwindigkeit \(6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

1. Die Einheit von \(s'(t)\) ist \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. \(s'(t)\) stellt die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt \(t\) dar. 3. \(s'(4) = 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Welcher mathematische Begriff ist gleichbedeutend mit der „momentanen Änderungsrate“? - Bestimme zuerst die allgemeine Ableitungsfunktion \(g'(x)\). - Setze die gegebene Stelle \(x_0\) in deine Ableitungsfunktion ein. - Achte bei der Berechnung auf die Reihenfolge der Rechenoperationen (Potenz vor Multiplikation).

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(g'(x)\) zur Ermittlung der momentanen Änderungsrate: \(g'(x) = 6x^2 - 18x\) 2. Berechnung des Werts der Ableitung an der Stelle \(x_0 = 4\): \(g'(4) = 6 \cdot 4^2 - 18 \cdot 4 = 96 - 72 = 24\) 3. Da \(24 > 0\) gilt, ist das Vorzeichen der momentanen Änderungsrate positiv.

Das Vorzeichen der momentanen Änderungsrate ist positiv, da \(g'(4) = 24\) ist.

- Was bedeutet das „Strich-Symbol“ in \(f'(x)\) im Gegensatz zu \(f(x)\)? - Erinnere dich an die verschiedenen Namen für die Ableitung an einer Stelle. - Wie hängen die Steigung einer Tangente und die Ableitungsfunktion zusammen? - Wann sind zwei Geraden parallel zueinander? Schau dir die Steigung der Geraden in Aussage 5 an.

1. Schritt: Identifikation der Bedeutung von \(f'(4) = -1\). Die Gleichung besagt, dass die erste Ableitung (Steigung) an der Stelle \(x=4\) den Wert \(-1\) hat. 2. Schritt: Prüfung der Aussagen. - Aussage 1 ist die direkte fachsprachliche Benennung der Notation. (Korrekt) - Aussage 2 beschreibt einen Funktionswert \(f(4)=-1\), nicht die Ableitung. (Falsch) - Aussage 3 nutzt die geometrische Interpretation der Ableitung als Steigung der Tangente. (Korrekt) - Aussage 4 verwendet den Fachbegriff Differentialquotient als Synonym für die momentane Änderungsrate bzw. Ableitung an einer Stelle. (Korrekt) - Aussage 5: Die Gerade \(y = -x + 10\) hat die Steigung \(m = -1\). Da parallele Geraden die gleiche Steigung besitzen, entspricht dies der Bedingung \(f'(4) = -1\). (Korrekt) - Aussage 6 beschreibt einen Punkt auf dem Graphen, wobei zudem \(x\)- und \(y\)-Werte vertauscht wurden. (Falsch)

Die Aussagen 1, 3, 4 und 5 sind äquivalent zu \(f'(4) = -1\).

- Überlege, wie man die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten berechnet. - Was passiert mit der Sekante, wenn die zwei Punkte immer näher zusammenrücken? - Welche mathematische Operation hilft dir, den Wert eines Ausdrucks zu bestimmen, wenn eine Variable gegen Null geht? - Erinnerst du dich an den Unterschied zwischen einer mittleren und einer punktuellen Änderung?

1. Berechnung der Wegstrecken zu den Zeitpunkten \(t = 1\) und \(t = 3\): \(s(1) = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 7\,\text{m}\) und \(s(3) = 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 33\,\text{m}\). 2. Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit als Differenzenquotient: \(\bar{v} = \frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{33 - 7}{2} = 13\,\text{m/s}\). 3. Aufstellen des Differenzenquotienten für die Momentangeschwindigkeit an der Stelle \(t = 1\): \(\frac{s(1+h) - s(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 + 5(1+h) - 7}{h} = \frac{2(1 + 2h + h^2) + 5 + 5h - 7}{h} = \frac{9h + 2h^2}{h} = 9 + 2h\). 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(v(1) = \lim_{h \to 0} (9 + 2h) = 9\,\text{m/s}\).

Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(13\,\text{m/s}\). Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 1\) beträgt \(9\,\text{m/s}\).

- Setze den Ausdruck \((x_0 + h)\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Nutze die binomischen Formeln, um Klammern im Zähler aufzulösen. - Achte beim Vereinfachen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor der Klammer steht. - Nach dem Vereinfachen sollte sich \(h\) im Nenner wegkürzen lassen.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = -(2)^2 + 6 \cdot 2 = -4 + 12 = 8\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{-(2+h)^2 + 6(2+h) - 8}{h}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(-(4 + 4h + h^2) + 12 + 6h - 8 = -4 - 4h - h^2 + 12 + 6h - 8 = 2h - h^2\). 4. Kürzen durch \(h\): \(\frac{2h - h^2}{h} = 2 - h\). 5. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(2) = \lim_{h \to 0} (2 - h) = 2\).

a) Der vereinfachte Differenzenquotient lautet \(2 - h\). b) Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(2\).

- Setze den Term für \(3+h\) in die Funktionsgleichung ein und verwende die binomische Formel. - Was passiert mit dem Term, wenn \(h\) gegen null geht? - Überlege dir, wie man von einer Sekante zu einer Tangente gelangt.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{s(3+h) - s(3)}{h} = \frac{0{,}8(3+h)^2 - 0{,}8 \cdot 3^2}{h}\). Vereinfachung: \(\frac{0{,}8(9 + 6h + h^2) - 7{,}2}{h} = \frac{7{,}2 + 4{,}8h + 0{,}8h^2 - 7{,}2}{h} = \frac{4{,}8h + 0{,}8h^2}{h} = 4{,}8 + 0{,}8h\). 2. Grenzwertbildung: \(\lim_{h \to 0} (4{,}8 + 0{,}8h) = 4{,}8\). Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(4{,}8\,\text{m/s}\). 3. Die lokale Änderungsrate (Ableitung) an einer Stelle \(t_0\) ist definiert als der Grenzwert der mittleren Änderungsrate (Differenzenquotient) über einem Intervall \([t_0; t_0+h]\), wenn die Intervallbreite \(h\) gegen Null geht.

1. Der vereinfachte Differenzenquotient lautet \(4{,}8 + 0{,}8h\). 2. Die lokale Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 3\) beträgt \(4{,}8\,\text{m/s}\). 3. Die lokale Änderungsrate ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate für eine gegen Null gehende Intervallbreite.

- Überlege dir, welche physikalische Größe durch die Änderung des Weges pro Zeit beschrieben wird. - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt zu bestimmen? - Beachte, dass der Ausdruck mit dem Winkel für ein festes \(\beta\) lediglich ein konstanter Vorfaktor ist. - Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das richtige Winkelmaß (Gradmaß) eingestellt ist.

1. Die lokale Änderungsrate \(s'(t)\) beschreibt im Sachzusammenhang die Momentangeschwindigkeit des Schlittens zum Zeitpunkt \(t\) in der Einheit \(\text{m/s}\). 2. Bildung der ersten Ableitung nach der Zeit \(t\) unter Anwendung der Potenzregel, wobei \(4{,}9 \cdot \cos(\beta)\) als konstanter Faktor behandelt wird: \(s'(t) = 9{,}8 \cdot \cos(\beta) \cdot t\). 3. Berechnung für \(\beta = 30^\circ\) bei \(t = 2\,\text{s}\): \(s'(2) = 9{,}8 \cdot \cos(30^\circ) \cdot 2 \approx 16{,}97\,\text{m/s}\). 4. Berechnung für \(\beta = 50^\circ\) bei \(t = 2\,\text{s}\): \(s'(2) = 9{,}8 \cdot \cos(50^\circ) \cdot 2 \approx 12{,}60\,\text{m/s}\).

Die lokale Änderungsrate entspricht der Momentangeschwindigkeit des Schlittens in \(\text{m/s}\). Für \(\beta = 30^\circ\) beträgt die Geschwindigkeit nach \(2\,\text{s}\) etwa \(16{,}97\,\text{m/s}\). Für \(\beta = 50^\circ\) beträgt sie etwa \(12{,}60\,\text{m/s}\).

- Was sagt dir die Ableitung einer Flächenfunktion über die Geschwindigkeit aus, mit der die Fläche größer wird? - Welche Variable ist hier die Zeit, nach der abgeleitet werden muss? - Überlege, wie du mit dem Term \(\sqrt{v}\) beim Ableiten umgehst, wenn \(v\) ein fester Parameter ist. - Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die korrekte zusammengesetzte Einheit aus Fläche und Zeit.

1. Die lokale Änderungsrate \(A'(t)\) gibt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Fläche des Ölflecks zum Zeitpunkt \(t\) an. Die Einheit ist \(\text{m}^2/\text{h}\). 2. Ableitung der Funktion \(A\) nach \(t\) mit der Potenzregel: \(A'(t) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot \sqrt{v} \cdot t^1 = \sqrt{v} \cdot t\). 3. Einsetzen der Werte für \(v = 10\) und \(t = 3\): \(A'(3) = \sqrt{10} \cdot 3 \approx 9{,}49\,\text{m}^2/\text{h}\). 4. Einsetzen der Werte für \(v = 25\) und \(t = 3\): \(A'(3) = \sqrt{25} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15\,\text{m}^2/\text{h}\).

Die lokale Änderungsrate beschreibt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Fläche in \(\text{m}^2/\text{h}\). Bei \(v = 10\,\text{km/h}\) beträgt sie nach \(3\,\text{h}\) etwa \(9{,}49\,\text{m}^2/\text{h}\). Bei \(v = 25\,\text{km/h}\) beträgt sie zum selben Zeitpunkt genau \(15\,\text{m}^2/\text{h}\).

- Was ist der Unterschied zwischen der mittleren Änderung über einen Zeitraum und der Änderung zu einem exakten Zeitpunkt? - Erinnere dich an die Definition des Differenzenquotienten für die Durchschnittsgeschwindigkeit. - Wie interpretierst du positive und negative Werte bei einer vertikalen Bewegung?

1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Differenzenquotient: \(\bar{v} = \frac{s(2) - s(0)}{2 - 0}\). Mit \(s(2) = -5(2^2) + 10(2) + 4 = 4\) und \(s(0) = 4\) ergibt sich \(\bar{v} = \frac{4 - 4}{2} = 0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Die momentane Geschwindigkeit ist \(v(t) = s'(t) = -10t + 10\). Zum Zeitpunkt \(t = 1{,}5\) gilt \(v(1{,}5) = -10(1{,}5) + 10 = -5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass sich der Ball nach unten bewegt (er fällt). 3. Setze \(v(t) = 2\): \(-10t + 10 = 2 \implies -10t = -8 \implies t = 0{,}8\,\text{s}\). Da die Geschwindigkeit positiv ist, steigt der Ball zu diesem Zeitpunkt.

a) \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(v(1{,}5) = -5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das negative Vorzeichen zeigt an, dass der Ball fällt. c) Zum Zeitpunkt \(t = 0{,}8\,\text{s}\); der Ball steigt, da die Geschwindigkeit positiv ist.

- Überlege, wie man von einer Weg-Zeit-Funktion zur Funktion der Geschwindigkeit gelangt. - Was bedeutet die Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen physikalisch? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Änderungsrate zu einem exakten Zeitpunkt zu bestimmen? - Wie kannst du eine Gleichung nutzen, um einen gesuchten Wert für die unabhängige Variable zu finden?

1. Berechnung der Position zum Zeitpunkt \(t = 2{,}5\): Einsetzen des Wertes in die Funktionsgleichung ergibt \(s(2{,}5) = 0{,}4 \cdot 2{,}5^3 = 6{,}25\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion für die Geschwindigkeit: \(v(t) = s'(t) = 1{,}2t^2\). 3. Berechnung der Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 2{,}5\): Einsetzen in die Ableitungsfunktion ergibt \(v(2{,}5) = 1{,}2 \cdot 2{,}5^2 = 7{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts für eine vorgegebene Geschwindigkeit: Gleichung \(v(t) = 30\) aufstellen, also \(1{,}2t^2 = 30\). 5. Lösen der Gleichung: \(t^2 = 25\), woraus sich für den relevanten Zeitbereich \(t = 5\,\text{s}\) ergibt.

a) Die Position beträgt \(6{,}25\,\text{m}\) und die Momentangeschwindigkeit \(7{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Die Geschwindigkeit beträgt nach genau \(5\,\text{s}\) den Wert \(30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Was gibt der Funktionswert an einer bestimmten Stelle im Sachkontext an? - Welcher mathematische Begriff beschreibt die momentane Änderungsrate einer Größe? - Wie berechnet man die Ableitung einer Potenzfunktion? - Wenn eine Rate gegeben ist und die Zeit gesucht wird, welche Art von Gleichung musst du dann lösen?

1. Berechnung der Fläche nach \(4\,\text{Stunden}\): Einsetzen von \(t = 4\) in \(A(t)\) ergibt \(A(4) = 0{,}5 \cdot 4^3 + 10 = 42\,\text{mm}^2\). 2. Ermittlung der Ableitungsfunktion für die Wachstumsrate: \(A'(t) = 1{,}5t^2\). 3. Berechnung der Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t = 4\): Einsetzen in die Ableitungsfunktion ergibt \(A'(4) = 1{,}5 \cdot 4^2 = 24\,\frac{\text{mm}^2}{\text{h}}\). 4. Berechnung des gesuchten Zeitpunkts: Ansatz \(A'(t) = 54\), was zu \(1{,}5t^2 = 54\) führt. 5. Auflösen der Gleichung: Division durch \(1{,}5\) ergibt \(t^2 = 36\). Da \(t \ge 0\) sein muss, folgt \(t = 6\,\text{h}\).

a) Die Fläche beträgt \(42\,\text{mm}^2\) und die Wachstumsrate \(24\,\frac{\text{mm}^2}{\text{h}}\). b) Die Wachstumsrate erreicht nach \(6\,\text{Stunden}\) den Wert \(54\,\frac{\text{mm}^2}{\text{h}}\).

- Was berechnen die Formeln \(x^2\) und \(x^3\) in der Geometrie? - Welche Ableitungsregel hilft dir bei Potenzfunktionen? - Berechne die exakten Differenzen \((x+\Delta x)^2-x^2\) und \((x+\Delta x)^3-x^3\). - Welche Terme bleiben nach dem Teilen durch \(\Delta x\) im Grenzübergang \(\Delta x\to 0\) übrig?

1. Die Ableitungsfunktionen lauten \(A'(x) = 2x\) und \(V'(x) = 3x^2\). 2. \(A(x)\) beschreibt den Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge \(x\). Für eine Vergrößerung um \(\Delta x\) gilt exakt \(\Delta A = (x+\Delta x)^2-x^2 = 2x\Delta x+(\Delta x)^2\). Daher ist \(\frac{\Delta A}{\Delta x}=2x+\Delta x\), und für \(\Delta x\to 0\) nähert sich dieser Quotient \(2x\). Geometrisch bilden zwei schmale Seitenstreifen den Term erster Ordnung \(2x\Delta x\); das kleine Eckquadrat \((\Delta x)^2\) ist ein Term höherer Ordnung. 3. \(V(x)\) beschreibt das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge \(x\). Für eine Vergrößerung um \(\Delta x\) gilt exakt \(\Delta V=(x+\Delta x)^3-x^3=3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3\). Daher ist \(\frac{\Delta V}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2\), und für \(\Delta x\to 0\) nähert sich dieser Quotient \(3x^2\). Die drei dünnen Schichten an den Seitenflächen liefern den Term erster Ordnung \(3x^2\Delta x\); Beiträge an Kanten und Ecke sind Terme höherer Ordnung.

1. \(A'(x)=2x\) und \(V'(x)=3x^2\). 2. \(A(x)\) ist der Flächeninhalt eines Quadrats. \(A'(x)=2x\) ist die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts; die beiden Seitenstreifen liefern für sehr kleine \(\Delta x\) den führenden Zuwachs \(2x\Delta x\). \(V(x)\) ist das Volumen eines Würfels. \(V'(x)=3x^2\) ist die momentane Änderungsrate des Volumens; die drei dünnen Schichten an den Seitenflächen liefern den führenden Zuwachs \(3x^2\Delta x\).

- Welche Buchstaben sind hier Variablen und welche sind Konstanten? - Erkennst du die Formel \(2\pi r\) aus der Kreisgeometrie wieder? - Wie verändert sich die Mantelfläche eines Zylinders, wenn man ihn einfach „höher“ macht? - Was passiert mit der Oberfläche einer Kugel, wenn man sie wie eine Zwiebel um eine extrem dünne Schicht vergrößert?

1. Für \(M(h) = 2\pi rh\) lautet die Ableitung nach \(h\): \(M'(h) = 2\pi r\). Geometrisch stellt \(M(h)\) die Mantelfläche des Zylinders dar. Die Ableitung \(2\pi r\) entspricht dem Umfang der Grundfläche des Zylinders. Sie gibt an, um wie viel die Mantelfläche wächst, wenn die Höhe um eine Einheit zunimmt. 2. Für \(O(r) = 4\pi r^2\) lautet die Ableitung nach \(r\): \(O'(r) = 8\pi r\). Geometrisch stellt \(O(r)\) die Oberfläche der Kugel dar. Die Ableitung \(8\pi r\) ist die momentane Änderungsrate des Oberflächeninhalts bezüglich des Radius (entspricht dem Vierfachen des Umfangs eines Großkreises).

a) \(M'(h) = 2\pi r\); Bedeutung: Umfang der Grundfläche des Zylinders. b) \(O'(r) = 8\pi r\); Bedeutung: Momentane Änderungsrate des Oberflächeninhalts der Kugel bei Radiusänderung.

- Überlege, wie man die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte auf einem Graphen berechnet. - Welcher mathematische Begriff beschreibt die Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen. - Wenn eine Wachstumsgeschwindigkeit gesucht ist, musst du eine Gleichung für die Ableitungsfunktion lösen.

1. Berechnung der mittleren Änderungsrate im Intervall \([0; 5]\) über den Differenzenquotienten: \(\frac{h(5) - h(0)}{5 - 0} = \frac{17{,}5 - 5}{5} = \frac{12{,}5}{5} = 2{,}5\). Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(2{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). 2. Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion für die momentane Rate: \(h'(t) = -0{,}06t^2 + 1{,}2t\). 3. Berechnung der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit für \(t = 10\): \(h'(10) = -0{,}06 \cdot 100 + 1{,}2 \cdot 10 = -6 + 12 = 6\). Die Geschwindigkeit beträgt \(6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). 4. Ansatz für Teilaufgabe c) durch Gleichsetzen der Ableitung mit dem Zielwert: \(-0{,}06t^2 + 1{,}2t = 4{,}5\). 5. Umformung zur quadratischen Gleichung \(t^2 - 20t + 75 = 0\) und Lösung mittels \(pq\)-Formel oder Faktorisierung \((t-5)(t-15)=0\) ergibt die Zeitpunkte \(t_1 = 5\) und \(t_2 = 15\).

a) Die mittlere Wachstumsrate beträgt \(2{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). b) Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit beträgt \(6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). c) Die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt nach \(5\) Tagen und nach \(15\) Tagen genau \(4{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\).

- Wie wirkt sich der Parameter beim Ableiten aus? - Kannst du eine allgemeine Formel für die Steigung in Abhängigkeit von \(k\) aufstellen? - Welche Gleichung ergibt sich, wenn du die Information über die Änderungsrate an der Stelle 3 nutzt?

1. Ableiten der Funktionsschar \(h_k\) nach \(x\), wobei \(k\) als Konstante behandelt wird: \(h_k'(x) = 3x^2 - 2kx\). 2. Aufstellen der Bedingungsgleichung für die lokale Änderungsrate an der Stelle \(x = 3\): \(h_k'(3) = 15\). 3. Einsetzen der Stelle in die Ableitung: \(3 \cdot 3^2 - 2k \cdot 3 = 15\), was zu \(27 - 6k = 15\) führt. 4. Lösen der linearen Gleichung nach \(k\): \(-6k = -12\), woraus \(k = 2\) folgt.

Der Parameterwert ist \(k = 2\).

- Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei festen Punkten auf einer Kurve? - Welcher mathematische Begriff beschreibt die Geschwindigkeit in einem ganz bestimmten Augenblick? - Erinnerst du dich an die Potenzregel, um die Steigungsfunktion (Ableitung) zu finden? - Wie gehst du vor, wenn du einen Funktionswert der Ableitung kennst und das zugehörige \(t\) suchst?

1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der mittleren Änderungsrate im Intervall \([1; 4]\). Es werden die Funktionswerte \(s(1) = 1^2 + 5 \cdot 1 = 6\) und \(s(4) = 4^2 + 5 \cdot 4 = 16 + 20 = 36\) berechnet. 2. Die mittlere Änderungsrate ist \(\frac{s(4) - s(1)}{4 - 1} = \frac{36 - 6}{3} = 10\). Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Die Momentangeschwindigkeit ist die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: \(s'(t) = 2t + 5\). 4. Um den Zeitpunkt für eine Geschwindigkeit von \(12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) zu finden, wird die Gleichung \(s'(t) = 12\) aufgestellt: \(2t + 5 = 12\). 5. Lösen der Gleichung: \(2t = 7 \implies t = 3{,}5\). Der Zeitpunkt ist \(3{,}5\,\text{s}\).

a) Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Der Zeitpunkt ist \(t = 3{,}5\,\text{s}\).

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Ausdrücke im Zähler zu vereinfachen. - Überlege, was passiert, wenn man in einem Bruch den Nenner Null werden lässt. - Wie unterscheiden sich die beiden Intervalle in ihrer Beschreibung der Annäherung an den Punkt? - Achte darauf, den Faktor 2 bei der Quadrierung korrekt zu berücksichtigen.

1. Der Differenzenquotient nach der \(h\)-Methode lautet: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 - 2 \cdot 1^2}{h} = \frac{2(1 + 2h + h^2) - 2}{h} = \frac{2 + 4h + 2h^2 - 2}{h} = \frac{4h + 2h^2}{h} = 4 + 2h\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ergibt \(f'(1) = 4\). 2. Der Differenzenquotient für \(x \to 1\) lautet: \(\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{2x^2 - 2}{x - 1} = \frac{2(x^2 - 1)}{x - 1}\). Durch Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt sich \(\frac{2(x-1)(x+1)}{x-1} = 2(x+1)\). Der Grenzwert für \(x \to 1\) ergibt \(2(1+1) = 4\). 3. Beide Ansätze führen zum selben Ergebnis \(f'(1) = 4\). Ohne die Grenzwertbetrachtung würde man bei direktem Einsetzen von \(h = 0\) oder \(x = 1\) einen mathematisch nicht definierten Ausdruck der Form \(\frac{0}{0}\) erhalten, da eine Division durch Null nicht zulässig ist. Der Grenzwert erlaubt es, das Verhalten der Steigung „unendlich nahe“ an der Stelle zu untersuchen, ohne tatsächlich durch Null zu teilen.

1. \(f'(1) = \lim_{h \to 0} (4 + 2h) = 4\) 2. \(f'(1) = \lim_{x \to 1} 2(x+1) = 4\) 3. Ein direktes Einsetzen von \(h=0\) oder \(x=1\) führt zur Division durch Null (\(\frac{0}{0}\)), was mathematisch nicht definiert ist.

- Wie berechnet man die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle? - Was bedeutet eine positive oder negative Steigung für den Verlauf der Temperatur? - Wenn eine Größe weder zunimmt noch abnimmt, welchen Wert muss ihre Änderungsrate dann haben?

1. Die momentane Änderungsrate wird durch die erste Ableitung \(T'(t)\) bestimmt. 2. Ableitungsfunktion bilden: \(T'(t) = -2t + 12\). 3. Werte berechnen: \(T'(2) = -2 \cdot 2 + 12 = 8\) und \(T'(8) = -2 \cdot 8 + 12 = -4\). 4. Interpretation: Da \(T'(2) > 0\), steigt die Temperatur zum Zeitpunkt \(t=2\) an (Erwärmung). Da \(T'(8) < 0\), sinkt die Temperatur zum Zeitpunkt \(t=8\) (Abkühlung). 5. Zeitpunkt ohne momentane Temperaturänderung bestimmen: Setze \(T'(t) = 0\). Daraus folgt \(-2t + 12 = 0\), also \(2t = 12\) und somit \(t = 6\). Nach 6 Minuten ändert sich die Temperatur momentan nicht.

a) Die Änderungsrate beträgt \(8\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) bei \(t=2\) und \(-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) bei \(t=8\). b) Ein positiver Wert bedeutet, dass die Temperatur steigt; ein negativer Wert bedeutet, dass sie sinkt. c) Zum Zeitpunkt \(t = 6\,\text{min}\) ändert sich die Temperatur momentan nicht.

- Wie hängen Ort und Geschwindigkeit in der Differentialrechnung zusammen? - Was sagt das Vorzeichen der Geschwindigkeit über die Bewegungsrichtung aus? - Welche Bedingung muss für die Geschwindigkeit gelten, damit ein Objekt als „stillstehend“ betrachtet werden kann?

1. Die Geschwindigkeit \(v(t)\) ist die erste Ableitung der Ortsfunktion \(s(t)\): \(v(t) = s'(t) = t^2 - 8t + 12\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit für \(t = 3\): \(v(3) = 3^2 - 8 \cdot 3 + 12 = 9 - 24 + 12 = -3\). Die Geschwindigkeit beträgt \(-3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das negative Vorzeichen gibt an, dass sich das Fahrzeug in Richtung des Startpunkts (rückwärts) bewegt. 3. Stillstand tritt ein, wenn die Geschwindigkeit null ist: \(v(t) = 0 \Rightarrow t^2 - 8t + 12 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der pq-Formel): \(t_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm 2\). Die Zeitpunkte sind \(t_1 = 2\,\text{s}\) und \(t_2 = 6\,\text{s}\).

a) Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(-3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das Fahrzeug bewegt sich rückwärts (bzw. entgegen der positiven Koordinatenrichtung). b) Das Fahrzeug steht nach \(2\,\text{Sekunden}\) und nach \(6\,\text{Sekunden}\) jeweils kurzzeitig still.

- Wie kannst du \(V(4+h)\) aus der gegebenen Funktionsgleichung bestimmen? - Welche Terme bleiben nach dem Kürzen noch von \(h\) abhängig? - Welche Einheit hat eine Volumenänderung pro Minute?

1. Es gilt \(V(4)=40\) und \(V(4+h)=0{,}5(4+h)^3+2(4+h)=40+26h+6h^2+0{,}5h^3\). 2. Damit ist \(\frac{V(4+h)-V(4)}{h}=\frac{26h+6h^2+0{,}5h^3}{h}=26+6h+0{,}5h^2\). 3. Für \(h\to0\) folgt \(\lim_{h\to0}(26+6h+0{,}5h^2)=26\). Die momentane Zuflussrate beträgt \(26\,\text{L/min}\). 4. Der Wert gibt an, wie schnell das Wasservolumen genau nach 4 Minuten zunimmt. Geometrisch ist er die Tangentensteigung am Graphen von \(V\) bei \(t=4\).

a) \(26+6h+0{,}5h^2\) b) \(26\,\text{L/min}\) c) Das Wasservolumen nimmt zum Zeitpunkt \(t=4\,\text{min}\) momentan mit \(26\,\text{L}\) pro Minute zu.

- Kannst du eine allgemeine Gleichung für die Steigung zwischen zwei Punkten aufstellen, wenn noch eine Unbekannte \(a\) enthalten ist? - Was ist mit dem Begriff „lokale Änderungsrate“ gemeint? - Wie gehst du vor, wenn eine Steigung vorgegeben ist und du die passende Stelle auf dem Graphen suchst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten in Abhängigkeit von \(a\): \(m_s = \frac{f_a(3) - f_a(1)}{3 - 1} = \frac{a \cdot 3^2 - a \cdot 1^2}{2} = \frac{9a - a}{2} = 4a\). 2. Gleichsetzen mit der gegebenen Steigung: \(4a = 4\) führt zu \(a = 1\). 3. Ableitung der Funktion \(f_1(x) = x^2\) bilden: \(f_1'(x) = 2x\). 4. Bestimmung der Stelle \(x\) für die lokale Änderungsrate (Tangentensteigung) \(4\): \(2x = 4\) ergibt \(x = 2\).

1. Der Parameter ist \(a = 1\). 2. Die lokale Änderungsrate hat an der Stelle \(x = 2\) den Wert \(4\).

- Wie hängt die Tangentensteigung mit der Ableitung der Funktion zusammen? - Es kann hilfreich sein, den Funktionsterm zuerst mithilfe der binomischen Formeln umzuformen. - Was musst du tun, um die Steigung an einer ganz konkreten Stelle zu finden?

1. Umformen der Funktionsgleichung durch Auflösen der Klammer (1. Binomische Formel): \(g(x) = x^2 + 2x + 1\). 2. Bestimmen der Ableitungsfunktion \(g'(x)\): \(g'(x) = 2x + 2\). 3. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_1 = 1\): \(g'(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4\). 4. Berechnung der Steigung an der Stelle \(x_2 = -3\): \(g'(-3) = 2 \cdot (-3) + 2 = -4\).

Die Steigung der Tangente beträgt an der Stelle \(x_1 = 1\) genau \(4\) und an der Stelle \(x_2 = -3\) genau \(-4\).

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Kannst du den Zähler im Bruch so zerlegen, dass du mit dem Nenner kürzen kannst? - Denk an die dritte binomische Formel, um höhere Potenzen schrittweise zu zerlegen. - Welchen Wert erhältst du, wenn du für \(x\) die Zahl \(2\) in den vereinfachten Term einsetzt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für die Stelle \(x_0 = 2\): \(\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{x^4 - 2^4}{x - 2} = \frac{x^4 - 16}{x - 2}\) 2. Faktorisieren des Zählers mithilfe der binomischen Formeln: \(x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\) 3. Kürzen des Faktors \((x - 2)\) im Bruch: \((x + 2)(x^2 + 4)\) 4. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to 2\): \(\lim_{x \to 2} (x + 2)(x^2 + 4) = (2 + 2) \cdot (2^2 + 4) = 4 \cdot 8 = 32\)

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x = 2\) beträgt \(32\).

- Was genau gibt der Differenzenquotient an, wenn \(h\) immer kleiner wird? - Setze den Term \(1+h\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Denke beim Auflösen von \((1+h)^2\) an die binomischen Formeln. - Wie kannst du den Bruch so vereinfachen, dass du \(h\) im Nenner kürzen kannst? - Was passiert mit dem Term, in dem noch ein \(h\) vorkommt, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = 2 \cdot 1^2 - 1 = 1\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 - (1+h) - 1}{h}\). 3. Vereinfachen des Zählers: \(2(1 + 2h + h^2) - 1 - h - 1 = 2 + 4h + 2h^2 - 2 - h = 3h + 2h^2\). 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(\frac{3h + 2h^2}{h} = 3 + 2h\). 5. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (3 + 2h) = 3\).

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 1\) beträgt \(3\).

- Kannst du den Term \((2+h)^3\) schrittweise ausmultiplizieren, zum Beispiel als \((2+h)^2 \cdot (2+h)\)? - Achte darauf, den Faktor \(\frac{1}{2}\) auf alle Teile des ausmultiplizierten Terms anzuwenden. - Nach dem Subtrahieren von \(f(2)\) sollten im Zähler nur noch Terme stehen, die ein \(h\) enthalten. - Was bedeutet es für die Steigung, wenn die restlichen \(h\)-Terme verschwinden?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 + 1 = 5\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{0{,}5(2+h)^3 + 1 - 5}{h}\). 3. Ausmultiplizieren des Terms \((2+h)^3\): \((2+h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3\). 4. Vereinfachen des Zählers: \(0{,}5(8 + 12h + 6h^2 + h^3) - 4 = 4 + 6h + 3h^2 + 0{,}5h^3 - 4 = 6h + 3h^2 + 0{,}5h^3\). 5. Kürzen durch \(h\): \(\frac{6h + 3h^2 + 0{,}5h^3}{h} = 6 + 3h + 0{,}5h^2\). 6. Grenzwertbetrachtung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (6 + 3h + 0{,}5h^2) = 6\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(6\).

- Schreibe den Betrag getrennt für positive und negative Werte von \(x\) um. - Welche linearen Terme entstehen in den beiden Fällen? - Die Steigung einer linearen Funktion liest du am Faktor vor \(x\) ab.

1. Für \(x > 0\) gilt \(|x| = x\). Dann ist \(g(x) = x + 2x = 3x\), also \(g'(x) = 3\). 2. Für \(x < 0\) gilt \(|x| = -x\). Dann ist \(g(x) = -x + 2x = x\), also \(g'(x) = 1\). 3. Daher beträgt die Tangentensteigung für \(a > 0\) den Wert \(3\) und für \(a < 0\) den Wert \(1\).

a) Für \(a > 0\): \(3\) b) Für \(a < 0\): \(1\)

- Überlege zuerst, wie man die Durchschnittsgeschwindigkeit über einen kleinen Zeitraum berechnet. - Was passiert mit diesem Zeitraum, wenn man die Geschwindigkeit genau in einem Moment wissen möchte? - Setze die Funktionsvorschrift in die Formel für die Steigung einer Sekante ein. - Kannst du den Ausdruck so umformen, dass du den Zeitunterschied im Nenner kürzen kannst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für das Intervall \([4; 4+h]\): \(\frac{s(4+h) - s(4)}{h}\). 2. Einsetzen der Funktionswerte: \(s(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 = 8\) und \(s(4+h) = 0{,}5 \cdot (4+h)^2 = 0{,}5 \cdot (16 + 8h + h^2) = 8 + 4h + 0{,}5h^2\). 3. Vereinfachen des Quotienten: \(\frac{8 + 4h + 0{,}5h^2 - 8}{h} = \frac{4h + 0{,}5h^2}{h} = 4 + 0{,}5h\). 4. Definition der Momentangeschwindigkeit als Grenzwert (Differentialquotient): \(v(4) = \lim_{h \to 0} (4 + 0{,}5h)\). 5. Berechnung des Grenzwerts: \(v(4) = 4\). Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(4\,\text{m/s}\).

Die Momentangeschwindigkeit wird als Grenzwert des Differenzenquotienten für \(h \to 0\) definiert: \(v(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t_0+h) - s(t_0)}{h}\). Für \(t_0 = 4\) ergibt sich ein Wert von \(4\,\text{m/s}\).

- Welche Bedeutung hat eine Volumenänderung geteilt durch die zugehörige Zeitänderung? - Vereinfache \(V(5+h)-V(5)\), bevor du durch \(h\) kürzt. - Welche Terme verschwinden beim Grenzübergang \(h\to0\)?

1. Der Differenzenquotient \(\frac{V(5+h)-V(5)}{h}\) beschreibt die mittlere Volumenänderung pro Minute im Intervall \([5;5+h]\). 2. Es gilt \(V(5)=45\) und \(V(5+h)=45+8h-0{,}2h^2\). 3. Damit vereinfacht sich der Differenzenquotient zu \(\frac{8h-0{,}2h^2}{h}=8-0{,}2h\). 4. Für \(h\to0\) folgt \(\lim_{h\to0}(8-0{,}2h)=8\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(8\,\text{L/min}\).

Der Differenzenquotient \(\frac{V(5+h)-V(5)}{h}\) beschreibt die mittlere Volumenänderung pro Minute im Intervall \([5;5+h]\). Die momentane Änderungsrate bei \(t=5\,\text{min}\) beträgt \(8\,\text{L/min}\).

- Überlege dir, was der Differenzenquotient geometrisch an einer Kurve darstellt. - Wie verändert sich der Wert des Quotienten, wenn du das Zeitintervall immer kleiner wählst? - Stell dir den Flug des Balles bildlich vor: Wann bewegt er sich nach oben, wann nach unten? - Was passiert mit der Geschwindigkeit genau in dem Moment, in dem der Ball aufhört zu steigen und anfängt zu fallen?

1. Berechnung der näherungsweisen Momentangeschwindigkeiten mit dem vorwärts gerichteten Differenzenquotienten für \(\Delta t = 0{,}001\): Für \(t = 1\): \(\frac{h(1{,}001) - h(1)}{0{,}001} \approx 9{,}995\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). Für \(t = 2\): \(\frac{h(2{,}001) - h(2)}{0{,}001} \approx -0{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). Für \(t = 3\): \(\frac{h(3{,}001) - h(3)}{0{,}001} \approx -10{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(-10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). 2. Interpretation der Vorzeichen: Der positive Näherungswert bei \(t = 1\) bedeutet, dass der Ball steigt. Bei \(t = 3\) ist der Wert negativ, also fällt der Ball. Der kleine negative Näherungswert bei \(t = 2\) entsteht, weil der vorwärts gerichtete Differenzenquotient das Intervall unmittelbar nach dem höchsten Punkt verwendet; die exakte Momentangeschwindigkeit ist dort \(0\). 3. Bestimmung des Umkehrpunktes: Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung \(h'(t) = -10t + 20\). Setze \(h'(t) = 0 \implies -10t + 20 = 0 \implies t = 2\,\text{s}\). Die maximale Höhe bei \(t = 2\) beträgt \(h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1 = -20 + 40 + 1 = 21\,\text{m}\).

a) \(v(1) \approx 9{,}995\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), \(v(2) \approx -0{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), \(v(3) \approx -10{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Positiv: Der Ball steigt. Negativ: Der Ball fällt. Der kleine negative Näherungswert bei \(t=2\) stammt vom vorwärts gerichteten Differenzenquotienten; exakt ist die Geschwindigkeit am höchsten Punkt null. c) Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\), maximale Höhe \(h = 21\,\text{m}\).

- Was bedeutet eine Differenz von Funktionswerten im Hinblick auf die Kosten? - Ein Bruch aus Kostenänderung und Mengenänderung gibt Kosten pro Mengeneinheit an. Welches Wort beschreibt diesen Durchschnitt? - In der Wirtschaftswissenschaft nennt man die Ableitung der Kostenfunktion oft „Grenzkosten“. Was sagt dieser Wert aus?

1. \(K(x) - K(x_0)\) gibt die Änderung der Kosten in \(\text{€}\) an, wenn sich die gereinigte Schadstoffmenge von \(x_0\) auf \(x\) ändert. Für \(x > x_0\) sind dies die zusätzlichen Kosten. 2. \(\frac{K(x) - K(x_0)}{x - x_0}\) beschreibt die durchschnittliche Kostenänderung pro Kilogramm Schadstoff zwischen \(x_0\) und \(x\) in der Einheit \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\). 3. \(K'(x_0)\) bezeichnet die Grenzkosten an der Stelle \(x_0\). Sie geben näherungsweise an, wie viel die Reinigung eines weiteren Kilogramms Schadstoff kostet, wenn bereits \(x_0\,\text{kg}\) gereinigt wurden. Die Einheit ist \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\).

a) Kostenänderung bei einer Änderung der Reinigungsmenge von \(x_0\) auf \(x\) in \(\text{€}\). b) Durchschnittliche Kostenänderung pro Kilogramm im Intervall \([x_0; x]\) in \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\). c) Grenzkosten bei einer Menge von \(x_0\); sie geben die momentane Änderungsrate der Kosten in \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\) an.

- Wie berechnet man die durchschnittliche Steigung einer Funktion in einem Intervall? - Was ist der Unterschied zwischen einer Durchschnittsrate und einer Momentanrate? - Welche physikalische Größe erhält man, wenn man die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit betrachtet? - Überlege, wie Geschwindigkeit und Ort zusammenhängen und was passiert, wenn man diesen Zusammenhang noch einen Schritt weiterführt.

1. Berechnung der mittleren Beschleunigung \(\bar{a}\) als Differenzenquotient der Geschwindigkeit: \(v(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) und \(v(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = 16\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Damit ergibt sich \(\bar{a} = \frac{v(4) - v(2)}{4 - 2} = \frac{16 - 6}{2} = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 2. Bestimmung der Momentanbeschleunigung \(a(t)\) als Ableitung \(v'(t)\): \(v'(t) = t + 2\). Einsetzen von \(t_0 = 2\) liefert \(a(2) = 2 + 2 = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 3. Die Beschleunigung \(a(t)\) ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit \(v(t)\). Da die Geschwindigkeit wiederum die Ableitung der Weg-Zeit-Funktion \(s(t)\) ist (\(v(t) = s'(t)\)), entspricht die Beschleunigung der zweiten Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: \(a(t) = s''(t)\).

1. Die mittlere Beschleunigung beträgt \(5\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 2. Die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt \(t_0 = 2\,\text{s}\) beträgt \(4\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 3. Die Beschleunigungsfunktion \(a\) ist die zweite Ableitung der Weg-Zeit-Funktion \(s\), also \(a(t) = s''(t)\).

- Welche zwei Funktionswerte brauchst du für die mittlere Änderungsrate? - Wie verändert sich die Sekante, wenn der zweite Zeitpunkt an \(t_0=1\) heranrückt? - Welche geometrischen Geraden gehören zu mittlerer beziehungsweise momentaner Änderungsrate?

1. Es gilt \(V(1)=6\) und \(V(4)=36\). Daher ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{V(4)-V(1)}{4-1}=10\,\text{L/min}\). 2. Für die momentane Änderungsrate gilt \(\lim_{h\to0}\frac{V(1+h)-V(1)}{h}=\lim_{h\to0}(7+h)=7\,\text{L/min}\). 3. Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch \(P(1\mid6)\) und \(Q(4\mid36)\). Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente im Punkt \(P(1\mid6)\).

1. \(10\,\text{L/min}\) 2. \(7\,\text{L/min}\) 3. Die mittlere Änderungsrate ist eine Sekantensteigung, die momentane Änderungsrate eine Tangentensteigung.

- Was bedeutet „Geschwindigkeit“ im Kontext einer Ort-Zeit-Funktion mathematisch gesehen? - Wie berechnet man die Steigung einer Kurve in einem ganz bestimmten Moment? - Stell dir vor, das Zeitintervall wird immer kleiner – was passiert dann mit der Durchschnittsgeschwindigkeit? - In der Physik entspricht die Steigung im \(s\)-\(t\)-Diagramm der Geschwindigkeit.

1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der mittleren Änderungsrate im Intervall \([0; 5]\): \(\frac{s(5) - s(0)}{5 - 0}\). Mit \(s(5) = 30 \cdot 5 - 5^2 = 125\) und \(s(0) = 0\) folgt \(\frac{125 - 0}{5} = 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung \(s'(2)\): \(\lim_{h \to 0} \frac{s(2+h) - s(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{30(2+h) - (2+h)^2 - (30 \cdot 2 - 2^2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{60 + 30h - (4 + 4h + h^2) - 56}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{26h - h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (26 - h) = 26\). Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 2\) beträgt \(26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Die mittlere Änderungsrate gibt die durchschnittliche Veränderung über ein Zeitintervall an. Lässt man die Intervallbreite \(h\) gegen Null gehen, so nähert sich die mittlere Änderungsrate der momentanen Änderungsrate an. Mathematisch gesehen ist die momentane Änderungsrate der Grenzwert des Differenzenquotienten (der Differentialquotient).

1. Durchschnittsgeschwindigkeit: \(25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Momentangeschwindigkeit: \(26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate für ein gegen Null gehendes Zeitintervall.

- Welche Ableitungsregel hilft dir bei Termen der Form \(cr^2\)? - Setze die Höhe \(h=10\,\text{cm}\) in die Mantelflächenformel ein. - Berechne für Teil c) die exakte Differenz \(V(r+\Delta r)-V(r)\) und teile anschließend durch \(\Delta r\). - Welcher Zusatzterm verschwindet für \(\Delta r\to 0\)?

1. Aus \(V(r)=10\pi r^2\) folgt mit der Potenz- und Faktorregel \(V'(r)=20\pi r\). 2. Für \(h=10\,\text{cm}\) ist die Mantelfläche \(M(r)=2\pi rh=2\pi r\cdot 10=20\pi r\). Damit gilt \(V'(r)=M(r)\). 3. Für eine endliche Radiusvergrößerung \(\Delta r\) ist der Volumenzuwachs exakt \(\Delta V=10\pi\bigl((r+\Delta r)^2-r^2\bigr)=20\pi r\Delta r+10\pi(\Delta r)^2\). 4. Nach Division durch \(\Delta r\) erhält man \(\frac{\Delta V}{\Delta r}=20\pi r+10\pi\Delta r\). Für \(\Delta r\to 0\) verschwindet der Term \(10\pi\Delta r\), sodass die momentane Änderungsrate \(20\pi r=M(r)\) ist. Die dünne Mantelschicht liefert den Term erster Ordnung; der zusätzliche äußere Ring ist ein Term höherer Ordnung.

a) \(V'(r)=20\pi r\) b) Für \(h=10\,\text{cm}\) gilt \(M(r)=20\pi r\), also \(V'(r)=M(r)\). c) Exakt ist \(\Delta V=20\pi r\Delta r+10\pi(\Delta r)^2\). Im Grenzübergang \(\Delta r\to 0\) bleibt pro Radiusänderung die Mantelfläche \(20\pi r\) als momentane Änderungsrate übrig.

- Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle im ökonomischen Kontext an? - Wie berechnet man den Anteil der Steuer am Gesamteinkommen? - Vergleiche, wie viel von einem zusätzlich verdienten Euro übrig bleibt im Vergleich zum bisherigen Durchschnitt. - Überlege dir, was passiert, wenn die Ableitung einer Funktion größer ist als der Durchschnittswert der Funktion.

1. Die Ableitung der Steuerfunktion lautet \(T'(x) = 0{,}15 + 0{,}000008x\). Für \(x = 35\,000\) ergibt sich \(T'(35\,000) = 0{,}15 + 0{,}28 = 0{,}43\). Der Grenzsteuersatz beträgt somit \(43\,\%\). 2. Der Durchschnittssteuersatz ist \(s(x) = 0{,}15 + 0{,}000004x\). Für \(x = 35\,000\) ergibt sich \(s(35\,000) = 0{,}15 + 0{,}14 = 0{,}29\), also \(29\,\%\). Der Grenzsteuersatz (\(43\,\%\)) liegt deutlich über dem Durchschnittssteuersatz (\(29\,\%\)). 3. Da der Grenzsteuersatz \(T'(x)\) höher ist als der Durchschnittssteuersatz \(s(x)\), wird jeder zusätzlich verdiente Euro stärker besteuert als der bisherige Durchschnitt. Die momentane Änderungsrate des Nettoeinkommens \(N'(x) = 1 - T'(x)\) ist kleiner als der bisherige Nettoanteil \(\frac{N(x)}{x} = 1 - s(x)\). Da \(0{,}57 < 0{,}71\), wächst das Nettoeinkommen unterproportional zum Bruttoeinkommen.

1. \(T'(x) = 0{,}15 + 0{,}000008x\); \(T'(35\,000) = 0{,}43\). 2. \(s(35\,000) = 0{,}29\). Der Grenzsteuersatz ist höher als der Durchschnittssteuersatz. 3. Da \(T'(x) > s(x)\), wird der Zuwachs stärker besteuert als das bisherige Einkommen, wodurch das Nettoeinkommen prozentual langsamer steigt als das Bruttoeinkommen.

- Lies zuerst die Koordinaten zweier Punkte auf der Tangente \(t\) ab, um die Steigung zu bestimmen. - Berechne den Unterschied in \(y\)-Richtung geteilt durch den Unterschied in \(x\)-Richtung. - Setze für die rechnerische Lösung den Term \(3+h\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und vereinfache den Zähler des Differenzenquotienten. - Kürze den Differenzenquotienten durch \(h\), bevor du den Grenzwert für \(h \to 0\) bestimmst.

1. Grafische Bestimmung: Um die Steigung der Tangente \(t\) grafisch zu bestimmen, wählt man zwei gut ablesbare Punkte auf der Tangente, beispielsweise den Berührpunkt \(A(3 \mid 0)\) und den Punkt \(P(4 \mid 2)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2 - 0}{4 - 3} = 2\) Die grafisch bestimmte momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 3\) beträgt somit \(2\). 2. Rechnerische Bestimmung: Wir stellen den Differenzenquotienten für \(x_0 = 3\) auf: \(\frac{f(3+h) - f(3)}{h}\) Da \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 0\), bestimmen wir zunächst \(f(3+h)\): \(f(3+h) = (3+h)^2 - 4(3+h) + 3 = 9 + 6h + h^2 - 12 - 4h + 3 = h^2 + 2h\) Einsetzen in den Differenzenquotienten liefert: \(\frac{h^2 + 2h - 0}{h} = \frac{h(h + 2)}{h} = h + 2\) (für \(h \neq 0\)) Nun führen wir den Grenzübergang \(h \to 0\) durch: \(f'(3) = \lim_{h \to 0} (h + 2) = 2\) Beide Methoden führen somit übereinstimmend zum Ergebnis \(2\).

a) Die grafisch bestimmte momentane Änderungsrate beträgt \(2\). b) Die rechnerische Bestimmung liefert ebenfalls \(2\).

- Erinnere dich daran, dass die Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x\) der Steigung der Tangente an dieser Stelle entspricht. - Bestimme die Steigung einer eingezeichneten Tangente aus zwei gut ablesbaren Punkten. - Welche zwei Punkte auf der jeweiligen Tangente kannst du besonders leicht im Gitternetz ablesen? - Wenn keine Tangente eingezeichnet ist, schätze die Steigung aus dem Verlauf in der direkten Umgebung des Punktes. - Achte auf die Symmetrie des Graphen. Hilft dir das bei der Bestimmung der Steigung an bestimmten Stellen?

1. Bestimmung von \(f'(-2)\): Die Tangente \(t_1\) berührt den Graphen bei \(x = -2\). Wir wählen zwei gut ablesbare Punkte auf \(t_1\), zum Beispiel \((-4 \mid 0)\) und \((-2 \mid -2)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{-2 - 0}{-2 - (-4)} = \frac{-2}{2} = -1\). Somit ist \(f'(-2) = -1\). 2. Bestimmung von \(f'(0)\): Die Tangente \(t_2\) berührt den Graphen bei \(x = 0\). Wir wählen zwei Punkte auf \(t_2\), zum Beispiel \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 2)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2\). Somit ist \(f'(0) = 2\). 3. Näherungsweise Bestimmung von \(f'(2)\): Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist die Steigung bei \(x = 2\) gleich der Steigung bei \(x = -2\). Somit ist \(f'(2) = -1\). 4. Näherungsweise Bestimmung von \(f'(1)\): Im Punkt \((1 \mid 1{,}75)\) ist der Graph steigend. Aus dem Verlauf in der unmittelbaren Umgebung lässt sich die Steigung auf etwa \(1{,}25\) schätzen; Werte im Bereich von \(1\) bis \(1{,}5\) sind plausibel.

a) \(f'(-2) = -1\) und \(f'(0) = 2\); b) \(f'(2) = -1\) und \(f'(1) \approx 1{,}25\), wobei Werte zwischen \(1\) und \(1{,}5\) als passende Näherungen gelten.

- Wie hängen die Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen und die momentane Änderungsrate zusammen? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab und berechne deren Steigung. - Was ist der Unterschied zwischen der mittleren Änderungsrate (Sekantensteigung) und der momentanen Änderungsrate (Tangentensteigung)? - Wie verändert sich der Verlauf einer Kurve, wenn ihre Steigung immer kleiner wird?

1. Grafische Bestimmung der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit bei \(t = 4\): - Ablesen zweier gut ablesbarer Punkte auf der orangefarbenen Tangente, zum Beispiel \(A(2 \mid 3{,}0)\) und \(B(7 \mid 6{,}0)\). - Berechnung der Steigung: \(m = \frac{6{,}0 - 3{,}0}{7 - 2} = \frac{3}{5} = 0{,}6\). Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit am 4. Tag beträgt somit etwa \(0{,}6\,\text{cm/Tag}\). 2. Berechnung der mittleren Wachstumsgeschwindigkeit im Intervall \([0; 4]\): - Bestimmung der Funktionswerte: \(h(0) = 1\) und \(h(4) = 4{,}2\). - Berechnung des Differenzenquotienten: \(\frac{h(4) - h(0)}{4 - 0} = \frac{4{,}2 - 1}{4} = \frac{3{,}2}{4} = 0{,}8\). Die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 4 Tagen beträgt \(0{,}8\,\text{cm/Tag}\). Sie ist größer als die momentane Wachstumsgeschwindigkeit am 4. Tag von \(0{,}6\,\text{cm/Tag}\). 3. Erkennen der abnehmenden Wachstumsgeschwindigkeit am Graphen: - Der Graph verläuft von links nach rechts immer flacher. - Die Steigung der Tangenten an den Graphen nimmt mit zunehmender Zeit \(t\) kontinuierlich ab.

a) Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit am 4. Tag beträgt etwa \(0{,}6\,\text{cm/Tag}\); aus den Tangentenpunkten \((2 \mid 3)\) und \((7 \mid 6)\) ergibt sich \(m = \frac{6 - 3}{7 - 2} = 0{,}6\). b) Die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in \([0; 4]\) beträgt \(0{,}8\,\text{cm/Tag}\) und ist größer als die momentane am 4. Tag. c) Der Graph wird von links nach rechts immer flacher, daher werden die Tangentensteigungen kleiner.

- Berechne jede Sekantensteigung aus der Änderung der Funktionswerte geteilt durch die Änderung der \(x\)-Werte. - Vergleiche, wie sich die Werte verändern, wenn der zweite Punkt näher an \(P\) rückt. - Eine Vermutung aus endlich vielen Sekantenwerten ist noch kein Beweis; bestätige sie mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten.

1. Für \(P(2\mid2)\) und \(Q(4\mid5)\) ist die Sekantensteigung \(\frac{5-2}{4-2}=1{,}5\). 2. Es gilt \(f(3)=3{,}25\). Daher beträgt die Sekantensteigung durch \(P\) und \(Q_1\) gleich \(\frac{3{,}25-2}{3-2}=1{,}25\). 3. Es gilt \(f(2{,}5)=2{,}5625\). Somit ist die Sekantensteigung durch \(P\) und \(Q_2\) gleich \(\frac{2{,}5625-2}{2{,}5-2}=1{,}125\). 4. Die Werte \(1{,}5\), \(1{,}25\) und \(1{,}125\) stützen die Vermutung, dass die Sekantensteigungen bei Annäherung an \(x=2\) gegen \(1\) gehen. 5. Rechnerisch gilt \(f(2+h)=2+h+0{,}25h^2\). Daher ist \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=1+0{,}25h\) für \(h\ne0\), und somit \(f'(2)=\lim_{h\to0}(1+0{,}25h)=1\).

a) \(1{,}5\) b) \(1{,}25\) c) Die weitere Sekantensteigung beträgt \(1{,}125\). Daraus ist \(f'(2)=1\) eine plausible Vermutung; die \(h\)-Methode bestätigt \(f'(2)=1\).

- Überlege dir, welche physikalische Bedeutung die Steigung einer Kurve hat, wenn auf der vertikalen Achse die Höhe in Metern und auf der horizontalen Achse die Zeit in Stunden aufgetragen ist. - Wie kannst du die Steigung einer Kurve in einem bestimmten Punkt geometrisch veranschaulichen? Welche eingezeichnete Gerade im Punkt \(A\) hilft dir dabei? - Erinnere dich daran, welche Steigung eine waagerechte Gerade besitzt. - Vergleiche für Punkt \(D\) den Verlauf in seiner unmittelbaren Umgebung mit der besonders steilen Abwärtsstelle bei \(C\).

1. **Bedeutung im Sachzusammenhang**: Die momentane Änderungsrate gibt an, wie schnell sich der Wasserstand zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t\) ändert. Sie beschreibt die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit des Wassers. Da die Höhe in Metern und die Zeit in Stunden angegeben sind, lautet die Einheit Meter pro Stunde (\(\text{m/h}\)). 2. **Bestimmung der Änderungsraten**: - Im Punkt \(A(3 \mid 5)\) ist die Tangente bereits eingezeichnet. Aus zwei gut ablesbaren Punkten, beispielsweise näherungsweise bei \(t = 1\) und \(t = 5\), ergibt sich \(\frac{8{,}1 - 1{,}9}{5 - 1} = \frac{6{,}2}{4} \approx 1{,}55\,\text{m/h}\). Die momentane Änderungsrate beträgt somit etwa \(1{,}6\,\text{m/h}\); Werte im Bereich von \(1{,}5\,\text{m/h}\) bis \(1{,}7\,\text{m/h}\) sind plausibel. - Im Punkt \(B(6 \mid 8)\) liegt ein Hochpunkt vor. Hier verläuft die Tangente waagerecht, weshalb die Steigung und damit die momentane Änderungsrate genau \(0\,\text{m/h}\) beträgt. 3. **Beurteilung von Toms Aussage**: - Aus dem Verlauf in der unmittelbaren Umgebung von \(D(10 \mid 3{,}5)\) ergibt sich näherungsweise eine Änderungsrate von \(-1{,}4\,\text{m/h}\). Das Wasser sinkt dort also mit etwa \(1{,}4\,\text{m/h}\). Toms Schätzung von \(2\,\text{m/h}\) ist daher deutlich zu hoch. - Zudem sinkt das Wasser bei \(t = 10\) nicht am schnellsten. Die maximale Sinkgeschwindigkeit wird im Punkt \(C(9 \mid 5)\) erreicht, wo die Änderungsrate etwa \(-1{,}6\,\text{m/h}\) beträgt. Toms Aussage ist daher in beiden Punkten falsch.

a) Die momentane Änderungsrate beschreibt die Steig- oder Sinkgeschwindigkeit des Wassers und hat die Einheit \(\text{m/h}\). b) In \(A\) beträgt sie etwa \(1{,}6\,\text{m/h}\) (plausibel: \(1{,}5\) bis \(1{,}7\,\text{m/h}\)), in \(B\) \(0\,\text{m/h}\). c) Toms Aussage ist falsch: Bei \(D\) beträgt die Sinkrate etwa \(1{,}4\,\text{m/h}\), und am schnellsten sinkt das Wasser bei \(C\) mit etwa \(1{,}6\,\text{m/h}\).

- Welche Geradensteigung beschreibt eine mittlere Änderungsrate über ein Intervall? - Was bedeutet eine waagerechte Tangente für die momentane Änderungsrate? - Nutze in c) zwei gut ablesbare Punkte der eingezeichneten Tangente.

1. Aus dem Graphen liest man \(h(0)=2\), \(h(4)=10\) und \(h(6)=2\). Daher beträgt die mittlere Änderungsrate in \([0;4]\) gleich \(\frac{10-2}{4}=2\,\text{m/h}\). 2. Für \([4;6]\) ergibt sich \(\frac{2-10}{2}=-4\,\text{m/h}\). 3. Bei \(t=4\) ist der Graph lokal waagerecht. Daher ist die momentane Änderungsrate \(0\,\text{m/h}\); der Wasserstand ändert sich in diesem Moment nicht. 4. Die Tangente \(t\) durch \((0\mid0)\) und \(P(2\mid6)\) hat die Steigung \(\frac{6-0}{2-0}=3\,\text{m/h}\). Das ist die momentane Änderungsrate bei \(t=2\,\text{h}\).

a) In \([0;4]\): \(2\,\text{m/h}\); in \([4;6]\): \(-4\,\text{m/h}\) b) \(0\,\text{m/h}\); der Wasserstand ändert sich bei \(t=4\,\text{h}\) momentan nicht. c) Bei \(t=2\,\text{h}\) beträgt die momentane Änderungsrate \(3\,\text{m/h}\).

- Überlege dir zuerst, was die momentane Änderungsrate anschaulich an einem Graphen bedeutet. Wie hängt sie mit der Tangente zusammen? - Vergleiche an jedem markierten Punkt, ob der Graph leicht oder steil steigt beziehungsweise fällt. - Ordne anschließend den passenden positiven oder negativen Wert aus der Liste zu. - Achte auf das Vorzeichen: Fällt der Graph an der Stelle (negative Steigung) oder steigt er (positive Steigung)?

Die momentane Änderungsrate einer Funktion an einer Stelle entspricht geometrisch der Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. 1. An der Stelle \(x_1 = -1\) (Punkt \(P_1(-1 \mid -1)\)) steigt der Graph nur leicht. Von den angebotenen Werten passt daher die kleine positive Steigung \(0{,}5\). Dies entspricht **Wert B**. 2. An der Stelle \(x_2 = 0\) (Punkt \(P_2(0 \mid 1)\)) steigt der Graph besonders steil. Von den angebotenen Werten passt die Steigung \(3\). Dies entspricht **Wert C**. 3. An der Stelle \(x_3 = 2\) (Punkt \(P_3(2 \mid 5)\)) fällt der Graph. Der einzige negative angebotene Wert ist \(-1\). Dies entspricht **Wert A**.

\(x_1\): Wert B, \(x_2\): Wert C, \(x_3\): Wert A

- Die Ableitung \(f'(x)\) gibt die Steigung der Tangente im Punkt \((x \mid f(x))\) an. - Lies auf jeder farblich zugeordneten Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Berechne die Steigung mit \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). - Achte auf das Vorzeichen der Steigung.

1. Bei \(x_1 = -2\) liegt der Scheitelpunkt der Parabel. Die orangefarbene Tangente ist waagerecht, daher ist \(f'(-2) = 0\). 2. Die grüne Tangente bei \(x_2 = 0\) verläuft zum Beispiel durch \((0 \mid 2)\) und \((1 \mid 0)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{0 - 2}{1 - 0} = -2\). 3. Die lilafarbene Tangente bei \(x_3 = 2\) verläuft durch \((2 \mid -4)\) und \((1 \mid 0)\). Daher ist \(f'(2) = \frac{-4 - 0}{2 - 1} = -4\).

\(f'(-2) = 0\), \(f'(0) = -2\), \(f'(2) = -4\).

- Achte auf das Vorzeichen: Wenn eine Gerade von links oben nach rechts unten verläuft, ist ihre Steigung negativ. - Für die Bestimmung der Steigung in den Punkten \(C\) und \(D\) hilft es, sich vorzustellen, wie eine Tangente dort verlaufen würde. - Prüfe deine Ergebnisse auf Plausibilität: Ist der Graph in \(C\) wirklich steiler als in \(D\)?

1. Die Tangente bei \(P(2 \mid 2)\) schneidet die Achsen bei \((4 \mid 0)\) und \((0 \mid 4)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - 4}{4 - 0} = -1\). Somit ist \(f'(2) = -1\). 2. Die Tangente bei \(Q(-2 \mid -2)\) verläuft durch \((0 \mid -4)\) und \((-4 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-4 - 0}{0 - (-4)} = -1\). Somit ist \(f'(-2) = -1\). 3. Im Punkt \(C(1 \mid 4)\) fällt der Graph sehr steil. Eine gedachte Tangente zeigt, dass man für eine Einheit nach rechts etwa vier Einheiten nach unten gehen muss. Daher gilt näherungsweise \(f'(1) \approx -4\). 4. Im Punkt \(D(4 \mid 1)\) fällt der Graph flach. Für vier Einheiten nach rechts geht man etwa eine Einheit nach unten. Daher gilt näherungsweise \(f'(4) \approx -0{,}25\).

a) \(f'(2) = -1\) und \(f'(-2) = -1\); b) in \(C(1 \mid 4)\) gilt näherungsweise \(f'(1) \approx -4\), in \(D(4 \mid 1)\) gilt \(f'(4) \approx -0{,}25\).

- Berechne zuerst den Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 1\). - Setze dann \(1 + h\) in die Funktionsgleichung ein und vereinfache den Term so weit wie möglich. - Bilde den Differenzenquotienten und versuche, das \(h\) im Nenner durch Ausklammern und Kürzen zu eliminieren. - Überlege, welchem Wert sich der verbleibende Ausdruck annähert, wenn \(h\) gegen Null geht.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0 = 1\): \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h}\). 2. Berechnung der benötigten Funktionswerte: \(f(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 = 5\) und \(f(1+h) = (1+h)^2 + 4(1+h) = 1 + 2h + h^2 + 4 + 4h = h^2 + 6h + 5\). 3. Einsetzen und Vereinfachen des Quotienten: \(\frac{(h^2 + 6h + 5) - 5}{h} = \frac{h^2 + 6h}{h} = \frac{h(h + 6)}{h} = h + 6\). 4. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (h + 6) = 6\). 5. Ergebnis: Die Ableitung an der Stelle \(1\) ist \(f'(1) = 6\).

Die Ableitung beträgt \(f'(1) = 6\).

- Die Steigung einer Tangente an einem Punkt entspricht der momentanen Änderungsrate der Funktion in diesem Punkt. - Nutze den Ansatz \(\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\) für die rechnerische Bestimmung. - Achte beim Quadrieren von \((-1 + h)\) auf die korrekte Anwendung der binomischen Formeln.

1. Die Tangentensteigung an einer Stelle \(x_0\) ist gleich dem Wert der Ableitung \(f'(x_0)\). 2. Ansatz mit dem Differenzenquotienten: \(\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}\). 3. Berechnung der Funktionswerte: \(f(-1) = 3(-1)^2 - 2 = 1\). \(f(-1+h) = 3(-1+h)^2 - 2 = 3(1 - 2h + h^2) - 2 = 3 - 6h + 3h^2 - 2 = 3h^2 - 6h + 1\). 4. Einsetzen in den Quotienten und Kürzen: \(\frac{(3h^2 - 6h + 1) - 1}{h} = \frac{3h^2 - 6h}{h} = 3h - 6\). 5. Grenzwert für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (3h - 6) = -6\). 6. Ergebnis: Die Tangentensteigung an der Stelle \(x_0 = -1\) beträgt \(m = -6\).

Die Steigung der Tangente beträgt \(-6\).

- Lies an der gestrichelten Tangente ein geeignetes Steigungsdreieck ab. - Überlege geometrisch, was eine reine Verschiebung nach oben oder unten mit der Neigung eines Graphen macht. - Bei einer horizontalen Verschiebung wandert eine Stelle mit einer bestimmten Graphenform zusammen mit dem Graphen.

1. Die Steigung der eingezeichneten Tangente erhält man aus dem Steigungsdreieck. Bei \(\Delta x=1\) steigt die Tangente um \(\Delta y=1\). Daher ist die momentane Steigung \(f'(3)=\frac{1}{1}=1\). 2. Der Graph von \(g\) ist nur vertikal verschoben. Dadurch ändern sich die Tangentenrichtungen an gleichen \(x\)-Stellen nicht. Deshalb gilt \(g'(3)=f'(3)=1\). 3. Der Graph von \(h\) ist um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Damit wandert auch die Stelle mit derselben Tangentensteigung um \(2\) Einheiten nach rechts: von \(x=3\) zu \(x=5\). Die zweite gestrichelte Tangente bestätigt dies.

1. \(f'(3)=1\) 2. Eine vertikale Verschiebung ändert die Tangentensteigung an derselben \(x\)-Stelle nicht; daher gilt \(g'(3)=1\). 3. Bei \(x=5\).

- Erinnere dich daran, dass die Steigung in einem Hoch- oder Tiefpunkt immer einen ganz bestimmten Wert hat. - Vergleiche die Neigung der Kurve in den verschiedenen Punkten. Wo geht es am steilsten bergauf, wo am steilsten bergab? - Achte auf das Vorzeichen: Ein starkes Gefälle entspricht einer großen negativen Zahl, was mathematisch „kleiner“ ist als eine leichte Steigung.

1. Analyse der Änderungsraten: Die Steigung des Graphen entspricht der momentanen Änderungsrate. - Punkt \(Q\): Hier ist der Anstieg am steilsten (\(m \approx 1{,}6\)). - Punkt \(R\): Hier liegt ein Maximum vor, die Tangente ist waagerecht (\(m \approx 0\)). - Punkt \(P\): Der Graph befindet sich kurz vor einem Minimum, die Steigung ist leicht negativ (\(m \approx -0{,}05\)). - Punkt \(S\): Hier ist das Gefälle am stärksten (\(m \approx -1{,}6\)). 2. Kleinste Änderungsrate: Die kleinste Steigung (stärkster Abfall) liegt im Punkt \(S\) vor. 3. Ordnung nach Größe (absteigend): \(Q (1{,}6) > R (0) > P (-0{,}05) > S (-1{,}6)\). Die Reihenfolge ist \(Q, R, P, S\). 4. Steigung in \(R\): Da \(R\) ein Hochpunkt ist, ist die momentane Änderungsrate dort \(0\).

a) Im Punkt \(S\); b) die Reihenfolge lautet \(Q, R, P, S\); c) die Steigung im Punkt \(R\) ist \(0\), da dort ein lokales Maximum vorliegt.

- Wie hängen die Steigung einer Kurve und die Änderungsrate zusammen? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab. - Betrachte die Form des Graphen: Wird er mit der Zeit steiler oder flacher? - Überlege, was die Steigung einer Tangente in diesem Sachzusammenhang bedeutet.

1. Zur Bestimmung der momentanen Änderungsrate bei \(t = 10\) wird die Steigung der eingezeichneten Tangente bestimmt. 2. Auf der Tangente liegen näherungsweise die gut ablesbaren Punkte \((0 \mid 69)\) und \((20 \mid 25)\). 3. Die Tangentensteigung ist \(m \approx \frac{25 - 69}{20 - 0} = -2{,}2\). 4. Die momentane Temperaturänderungsrate beträgt somit \(T'(10) \approx -2{,}2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). Die Temperatur sinkt also mit einer Abkühlgeschwindigkeit von etwa \(2{,}2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 5. Dass die Abkühlung langsamer wird, erkennt man daran, dass der Graph im Zeitverlauf immer flacher wird. Der Betrag der negativen Tangentensteigung nimmt ab.

a) Die momentane Temperaturänderungsrate nach \(10\,\text{min}\) beträgt etwa \(-2{,}2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\); der Kaffee kühlt somit mit etwa \(2{,}2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) ab. b) Der Graph wird mit zunehmender Zeit immer flacher; der Betrag der negativen Steigung und damit die Abkühlgeschwindigkeit nimmt ab.

- Welche Geradensteigung entspricht der momentanen Zuflussrate? - Nutze zwei gut ablesbare Punkte der Tangente. - Vergleiche die lokale Steilheit des Graphen zu früheren und späteren Zeiten.

1. Die momentane Zuflussrate bei \(t=4\) ist die Steigung der eingezeichneten Tangente. 2. Auf der Tangente liegen die Punkte \((0\mid5)\) und \((12\mid20)\). 3. Daher ist die Steigung \(\frac{20-5}{12-0}=\frac{15}{12}=1{,}25\). Die momentane Zuflussrate beträgt \(1{,}25\,\text{L/min}\). 4. Der Graph wird mit zunehmender Zeit immer flacher. Deshalb werden die lokalen Steigungen und damit die Zuflussraten kleiner.

a) \(1{,}25\,\text{L/min}\) b) Die Zuflussrate nimmt ab, weil der Graph mit der Zeit flacher wird.

- Für die mittlere Änderungsrate benötigst du nur den Start- und Endpunkt des Intervalls. - Schau dir den Verlauf des Graphen bei \(x = 3\) genau an. Gibt es dort eine Besonderheit? - Erinnere dich an die Begriffe Sekante und Tangente. - Wo geht es am steilsten „bergauf“?

1. Ablesen der Punkte: \(g(0) = 3\) und \(g(5) = 5\). Die mittlere Änderungsrate (Sekantensteigung) ist \(m_s = \frac{5 - 3}{5 - 0} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. An der Stelle \(x = 3\) hat der Graph einen lokalen Tiefpunkt. Die Tangente verläuft dort waagerecht, daher ist die momentane Änderungsrate (Ableitung) \(g'(3) = 0\). 3. Der Wert aus (1) ist die Steigung der Sekante durch die Punkte \((0 \mid 3)\) und \((5 \mid 5)\). Der Wert aus (2) ist die Steigung der Tangente an den Graphen an der Stelle \(x = 3\). 4. Die momentane Änderungsrate ist dort am größten, wo der Graph am steilsten ansteigt. Im betrachteten Intervall ist dies am rechten Rand bei \(x = 5\) der Fall.

1. \(0{,}4\); 2. \(0\); 3. (1) ist die Sekantensteigung, (2) ist die Tangentensteigung; 4. bei \(x = 5\), da der Graph dort die größte positive Steigung aufweist.

- Denke daran, dass die Steigung an einem Punkt angibt, wie stark sich der Funktionswert dort ändert. - Überlege zuerst, ob die Steigung positiv (steigend), negativ (fallend) oder null (waagerecht) sein muss. - Vergleiche die Steilheit an den verschiedenen Punkten: Wo fällt der Graph am stärksten? Wo steigt er am stärksten?

Die momentane Änderungsrate an einer Stelle entspricht der Steigung des Graphen in diesem Punkt. Anhand der lokalen Steilheit ergeben sich folgende Näherungswerte: 1. An der Stelle \(t_1 = 0\) (Punkt \(A\)) fällt der Graph. Die Steigung beträgt etwa \(-1{,}0\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Dies entspricht dem Buchstaben **F**. 2. An der Stelle \(t_2 = 2\) (Punkt \(B\)) ist der Graph steiler fallend. Die Steigung beträgt etwa \(-1{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Dies entspricht dem Buchstaben **L**. 3. An der Stelle \(t_3 = 4\) (Punkt \(C\)) ist der Graph fast waagerecht, fällt aber noch leicht. Die Steigung beträgt etwa \(-0{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Dies entspricht dem Buchstaben **U**. 4. An der Stelle \(t_4 = 5\) (Punkt \(D\)) steigt der Graph wieder an. Die Steigung beträgt etwa \(1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Dies entspricht dem Buchstaben **G**. Das Lösungswort lautet: **FLUG**.

Das Lösungswort lautet **FLUG**; \(t_1 = 0 \to -1{,}0\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\) (F), \(t_2 = 2 \to -1{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\) (L), \(t_3 = 4 \to -0{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\) (U), \(t_4 = 5 \to 1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\) (G).

- Nutze die Formel für die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte: Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte. - Achte darauf, dass der Punkt \(P(1 \mid 1{,}1)\) bei jeder Rechnung einer der beiden Punkte ist. - Schau dir die Folge der Ergebnisse für \(m_s\) an. Gibt es einen Trend? - Was passiert mit der Sekante, wenn der Punkt \(Q\) immer näher an \(P\) heranrückt?

1. Berechnung der Sekantensteigungen mit \(m_s = \frac{f(a) - f(1)}{a - 1}\): Für \(a = 2\): \(m_s = \frac{1{,}8 - 1{,}1}{2 - 1} = 0{,}7\) Für \(a = 1{,}5\): \(m_s = \frac{1{,}3375 - 1{,}1}{1{,}5 - 1} = \frac{0{,}2375}{0{,}5} = 0{,}475\) Für \(a = 1{,}1\): \(m_s = \frac{1{,}1331 - 1{,}1}{1{,}1 - 1} = \frac{0{,}0331}{0{,}1} = 0{,}331\) 2. Grenzwertbetrachtung: Je näher \(a\) an die Stelle \(1\) rückt, desto kleiner werden die berechneten Steigungen \(0{,}7 \rightarrow 0{,}475 \rightarrow 0{,}331\). Die Werte nähern sich offensichtlich dem Grenzwert \(0{,}3\) an. 3. Ergebnis: Die vermutete Tangentensteigung im Punkt \(P\) beträgt \(0{,}3\).

a) Die berechneten Sekantensteigungen sind: Für \(a = 2\): \(m_s = 0{,}7\) Für \(a = 1{,}5\): \(m_s = 0{,}475\) Für \(a = 1{,}1\): \(m_s = 0{,}331\) b) Die Steigungen nähern sich dem Wert \(0{,}3\) an. Daher ist zu vermuten, dass die Tangentensteigung im Punkt \(P\) genau \(0{,}3\) beträgt.

- Überlege dir, was die Achsen im Diagramm bedeuten und was eine Steigung in diesem Kontext aussagt. - Du kannst die Steigung einer Geraden bestimmen, indem du zwei Punkte auf der Geraden wählst und den Höhenunterschied durch den horizontalen Abstand teilst. - Denke daran, dass \(1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\) ist, wenn du die Steigung in Prozent berechnest. - Schau dir den Verlauf des Graphen genau an: Wo verläuft er flach, wo steil nach oben oder unten?

1. Die lokale Änderungsrate im Punkt \(P\) entspricht der momentanen Steigung des Geländes an dieser Stelle. Sie gibt an, wie viele Höhenmeter pro Kilometer horizontaler Strecke gewonnen werden. 2. Zur Bestimmung der Steigung \(m\) im Punkt \(P(2 \mid 130)\) werden zwei Punkte auf der Tangente genutzt. Die Tangente schneidet die \(y\)-Achse bei \(10\) und geht durch \(P(2 \mid 130)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{130 - 10}{2 - 0} = \frac{120}{2} = 60\,\frac{\text{m}}{\text{km}}\). 3. Umrechnung in Prozent: Eine Steigung von \(60\,\text{m}\) auf \(1000\,\text{m}\) entspricht \(\frac{60}{1000} = 0{,}06 = 6\,\%\). 4. Am Startpunkt (\(s = 0\)) ist die Tangente waagerecht, die lokale Änderungsrate ist \(0\,\frac{\text{m}}{\text{km}}\). Am höchsten Punkt (\(s = 4\)) ist der Graph ebenfalls waagerecht, die Steigung ist dort \(0\,\frac{\text{m}}{\text{km}}\).

a) Die lokale Änderungsrate beschreibt die momentane Steigung der Radstrecke im Punkt \(P\); b) die Steigung beträgt \(60\,\frac{\text{m}}{\text{km}}\), also \(6\,\%\); c) sowohl am Startpunkt \(s = 0\) als auch am höchsten Punkt \(s = 4\) beträgt die lokale Änderungsrate \(0\,\frac{\text{m}}{\text{km}}\), da der Graph dort waagerecht verläuft.

- Die durchschnittliche Änderungsrate berechnet man aus der Differenz der End- und Anfangswerte geteilt durch die Länge des Zeitintervalls. - Für die momentane Änderungsrate liest du zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab. - Je steiler der Graph nach oben verläuft, desto schneller nimmt das Volumen zu.

1. Durchschnittliche Änderungsrate im Intervall \([0; 20]\): \(m_{\text{mittel}} = \frac{V(20) - V(0)}{20 - 0} = \frac{160 - 0}{20} = 8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). 2. Lokale Änderungsrate bei \(t = 10\): Die eingezeichnete Tangente im Punkt \((10 \mid 100)\) verläuft durch die gut ablesbaren Punkte \((0 \mid 20)\) und \((20 \mid 180)\). Damit ergibt sich \(V'(10) = \frac{180 - 20}{20 - 0} = 8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). 3. Vergleich der Zuflussraten: Bei \(t = 5\) ist der Graph steiler als bei \(t = 25\). Daher ist die momentane Zuflussrate bei \(t = 5\) größer.

a) Die durchschnittliche Zuflussrate beträgt \(8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\); b) die lokale Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{min}\) beträgt \(8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\); c) bei \(t = 5\) fließt das Wasser schneller in den Tank, da der Graph dort eine größere Steigung als bei \(t = 25\) aufweist.

- Überlege dir, wie die Steigung einer gedachten Tangente den lokalen Verlauf des Graphen beschreibt. - Das Maximum findest du dort, wo der Graph seinen höchsten Punkt hat. - Die momentane Änderungsrate ist negativ, wenn der Graph fällt. Wo fällt er besonders steil? - Was passiert mit der Steigung genau am „Gipfel“ des Graphen?

1. Aus dem Graphen lässt sich das Maximum bei \(t = 2\,\text{min}\) mit einer Temperatur von \(45\,{}^\circ\text{C}\) ablesen. 2. Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung einer gedachten Tangente. Aus dem lokalen Verlauf ergibt sich bei \(t = 4\) etwa \(-3\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). Bei \(t = 6\) beträgt die Steigung etwa \(-2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 3. Das schnellste Abkühlen findet dort statt, wo der Graph am steilsten nach unten verläuft. Dies ist bei etwa \(t \approx 3{,}5\,\text{min}\) der Fall. 4. Zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{min}\) ist die Steigung der Tangente null. Das bedeutet, dass die Temperatur in diesem Moment weder steigt noch fällt; dort erreicht sie ihren höchsten Wert.

a) Die maximale Temperatur beträgt \(45\,{}^\circ\text{C}\) nach \(2\,\text{min}\). b) Bei \(t = 4\,\text{min}\) beträgt die Rate etwa \(-3\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\), bei \(t = 6\,\text{min}\) etwa \(-2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). c) Die Substanz kühlt bei etwa \(t \approx 3{,}5\,\text{min}\) am schnellsten ab, weil der Graph dort am steilsten nach unten verläuft. d) Die Änderungsrate ist bei \(t = 2\,\text{min}\) null; die Temperatur erreicht dort ihren höchsten Wert.

- Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab. - Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung einer Tangente. - Überlege dir, was es für den Wasserstand bedeutet, wenn sich die Höhe pro Stunde gerade nicht ändert. - Suche im Graphen nach der Stelle mit dem steilsten Anstieg.

1. Zur Bestimmung der momentanen Änderungsrate bei \(t = 5\,\text{h}\) wird die Steigung der eingezeichneten Tangente ermittelt. Sie verläuft durch die Punkte \((3 \mid 2)\) und \((7 \mid 8)\). Die Steigung berechnet sich zu \(m = \frac{8 - 2}{7 - 3} = \frac{6}{4} = 1{,}5\). Die momentane Änderungsrate beträgt also \(1{,}5\,\text{m/h}\). 2. Die momentane Änderungsrate ist am größten, wenn der Graph am steilsten ansteigt. Das ist bei etwa \(t = 5\,\text{h}\) der Fall. 3. Eine Änderungsrate von \(0\,\text{m/h}\) bedeutet, dass die Füllhöhe momentan konstant bleibt. Dies tritt beim höchsten Wasserstand bei \(t = 10\,\text{h}\) auf, wenn der Wasserstand vom Steigen zum Sinken übergeht.

a) Die momentane Änderungsrate beträgt \(1{,}5\,\text{m/h}\); b) sie ist bei \(t = 5\,\text{h}\) am größten, dem Wendepunkt mit maximaler Steigung; c) \(0\,\text{m/h}\) bedeutet, dass der Wasserstand momentan weder steigt noch fällt.

- Wie hängen die Steigung einer Tangente und die Momentangeschwindigkeit zusammen? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der orangefarbenen Tangente ab und berechne ihre Steigung. - Wie rechnet man Meter pro Sekunde in Kilometer pro Stunde um? - Vergleiche, wie steil der Graph zu verschiedenen Zeitpunkten verläuft.

1. Auf der eingezeichneten Tangente lassen sich beispielsweise die Punkte \((6 \mid 20)\) und \((10 \mid 50)\) ablesen. Ihre Steigung beträgt \(m \approx \frac{50 - 20}{10 - 6} = \frac{30}{4} = 7{,}5\,\text{m/s}\). 2. Umrechnung: \(7{,}5\,\text{m/s} \cdot 3{,}6 = 27\,\text{km/h}\). 3. Der Graph wird mit zunehmender Zeit immer steiler. Deshalb werden auch die Tangentensteigungen und damit die Momentangeschwindigkeiten größer. Die Geschwindigkeit nimmt während der ersten \(10\) Sekunden zu.

1. Die Momentangeschwindigkeit beträgt näherungsweise \(7{,}5\,\text{m/s}\). 2. Das entspricht näherungsweise \(27\,\text{km/h}\). 3. Die Geschwindigkeit nimmt zu, da der Graph immer steiler wird und linksgekrümmt ist.

- Nutze zwei gut ablesbare Punkte auf der gestrichelten Linie, um deren Steigung zu ermitteln. - Überlege, wie sich die Sekante verändert, wenn man den Punkt \(P\) entlang der Kurve immer näher an \(O\) heranrückt. - Der Term im Grenzwert ist genau der Differenzenquotient der Funktion an der Stelle \(0\).

1. Berechnung der Sekantensteigung: \(m_s = \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{1 - 0}{3} = \frac{1}{3}\). 2. Ablesen der Tangentensteigung: Die Tangente verläuft durch den Ursprung und den Punkt \((2 \mid 1)\). Die Steigung ist somit \(m_t = \frac{1 - 0}{2 - 0} = 0{,}5\). 3. Zusammenhang von Sekante und Tangente: Der Differenzenquotient \(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\) entspricht der Steigung einer Sekante durch \(O\) und einen Punkt \(P(x \mid f(x))\). Für \(x \to 0\) nähert sich diese Sekante der Tangente im Ursprung an. Der Grenzwert ist also gleich der Tangentensteigung: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = 0{,}5\).

a) \(m_s = \frac{1}{3}\). b) \(m_t = 0{,}5\). c) Der Grenzwert ist gleich der Tangentensteigung im Ursprung, also \(0{,}5\).

- Berechne für jede Funktion zuerst die mittlere Änderungsrate aus den beiden Intervallendpunkten. - Bestimme die momentane Änderungsrate bei \(x_0=2\) unabhängig davon mit dem Differentialquotienten. - Ein Beispiel mit übereinstimmenden Werten reicht nicht aus, um eine allgemeine Behauptung zu beweisen.

1. Für \(f(x)=x^2\) ist die mittlere Änderungsrate auf \([1;3]\) gleich \(\frac{9-1}{3-1}=4\). Die momentane Änderungsrate bei \(x_0=2\) folgt direkt aus dem Differentialquotienten: \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^2-4}{h}=4+h\). Für \(h\to0\) ergibt sich \(f'(2)=4\). Hier stimmen beide Werte überein. 2. Für \(g(x)=x^3\) ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{27-1}{3-1}=13\). Für die momentane Änderungsrate gilt \(\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=\frac{(2+h)^3-8}{h}=12+6h+h^2\). Für \(h\to0\) ergibt sich \(g'(2)=12\). Hier stimmen die Werte nicht überein. 3. Damit ist Leons allgemeine Behauptung falsch. Die Übereinstimmung beim quadratischen Beispiel ist keine allgemeine Regel.

a) Mittlere Änderungsrate \(4\), außerdem \(f'(2)=4\). b) Mittlere Änderungsrate \(13\), aber \(g'(2)=12\). Leons Behauptung ist allgemein falsch.

- Verwende für jedes Intervall dieselbe Sekantensteigungsformel. - Vergleiche, wie weit die Endpunkte der drei Intervalle jeweils von \(x=1\) entfernt sind. - Beobachte, welcher Zahl sich die drei Steigungen annähern.

1. Auf \([0;2]\) ist die Sekantensteigung \(\frac{8-0}{2-0}=4\). 2. Auf \([0{,}5;1{,}5]\) ist sie \(\frac{3{,}375-0{,}125}{1}=3{,}25\). 3. Auf \([0{,}9;1{,}1]\) ist sie \(\frac{1{,}331-0{,}729}{0{,}2}=3{,}01\). 4. Die dritte Sekante verwendet die Endpunkte, die am nächsten bei \(x=1\) liegen. Sie ist deshalb von den drei Sekanten die beste Näherung an die Tangentensteigung. 5. Die Werte nähern sich \(3\); daher ist \(f'(1)\approx3\).

a) \(4\), \(3{,}25\), \(3{,}01\). b) Die Sekante über \([0{,}9;1{,}1]\), weil ihre Endpunkte am nächsten bei \(x=1\) liegen. c) \(f'(1)\approx3\).

- Wie unterscheidet sich die Berechnung einer Durchschnittsgeschwindigkeit von der einer Momentangeschwindigkeit? - Die Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion gibt die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt an. - Achte beim Lösen der Gleichung in Teil c) auf die korrekte Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen. - Prüfe, ob deine berechneten Zeitpunkte im vorgegebenen Definitionsbereich liegen.

1. Es gilt \(H(2)=\frac{124}{3}\) und \(H(5)=\frac{475}{3}\). 2. Die durchschnittliche Steiggeschwindigkeit ist \(\frac{H(5)-H(2)}{5-2}=39\,\text{m/s}\). 3. Die momentane Steiggeschwindigkeit wird durch die erste Ableitung \(H'(t)=-t^2+12t+10\) beschrieben. 4. Damit ist \(H'(4)=-16+48+10=42\,\text{m/s}\). 5. Für Teil c gilt \(-t^2+12t+10=43\), also \(t^2-12t+33=0\). 6. Die Lösungen sind \(t=6-\sqrt{3}\) und \(t=6+\sqrt{3}\). Beide liegen im vorgegebenen Zeitintervall.

a) \(39\,\text{m/s}\) b) \(42\,\text{m/s}\) c) \(t_1=6-\sqrt{3}\,\text{s}\) und \(t_2=6+\sqrt{3}\,\text{s}\)

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Um Brüche im Zähler zu subtrahieren, musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Achte beim Auflösen der Klammern im Zähler besonders auf das Minuszeichen. - Nach dem Kürzen von \(h\) kannst du den Grenzübergang durchführen.

1. Bestimmen der Funktionswerte an der Stelle \(a=1\) und \(a+h\): \(f(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\) und \(f(1+h) = \frac{1}{1+h+1} = \frac{1}{2+h}\) 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h}\) 3. Vereinfachen des Zählers durch Erweitern auf den Hauptnenner \(2 \cdot (2+h)\): \(\frac{2 - (2+h)}{2 \cdot (2+h)} = \frac{-h}{2 \cdot (2+h)}\) 4. Einsetzen in den gesamten Bruch und Kürzen von \(h\): \(\frac{-h}{2 \cdot (2+h) \cdot h} = \frac{-1}{2 \cdot (2+h)}\) 5. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} \frac{-1}{2 \cdot (2+h)} = \frac{-1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}\) Die Tangentensteigung an der Stelle \(a = 1\) beträgt \(f'(1) = -0{,}25\).

\(f'(1) = -\frac{1}{4} = -0{,}25\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Ausdruck \((t+h)^2\) zu vereinfachen. - Was passiert mit den Termen, die kein \(h\) im Zähler haben? Sie sollten sich idealerweise wegkürzen. - Die momentane Änderungsrate gibt an, wie steil die Tangente an der Temperaturkurve ist. - Was sagt das Vorzeichen der Steigung über das Steigen oder Fallen der Temperatur aus?

1. Aufstellen und Vereinfachen des Differenzenquotienten für \(T(t) = 0{,}2t^2 - 8t + 100\): \(\frac{T(t+h) - T(t)}{h} = \frac{0{,}2(t+h)^2 - 8(t+h) + 100 - (0{,}2t^2 - 8t + 100)}{h}\) \(= \frac{0{,}2(t^2 + 2th + h^2) - 8t - 8h + 100 - 0{,}2t^2 + 8t - 100}{h}\) \(= \frac{0{,}4th + 0{,}2h^2 - 8h}{h} = 0{,}4t + 0{,}2h - 8\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ergibt die Ableitungsfunktion \(T'(t) = 0{,}4t - 8\). 2. Berechnung der Raten für \(t = 5\) und \(t = 15\): \(T'(5) = 0{,}4 \cdot 5 - 8 = 2 - 8 = -6\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}\). \(T'(15) = 0{,}4 \cdot 15 - 8 = 6 - 8 = -2\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 3. Zeitpunkt für eine Rate von \(-2\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}\): Aus der Rechnung in Schritt 2 folgt direkt \(t = 15\,\text{min}\). 4. Interpretation: Die Änderungsrate \(T'(t) = 0{,}4t - 8\) ist für \(0 \le t < 20\) negativ und bei \(t = 20\) gleich null. Das bedeutet, dass die Temperatur bis zum Randpunkt sinkt; am Randpunkt ist die momentane Änderungsrate null.

a) \(T'(5) = -6\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und \(T'(15) = -2\,\frac{{}^\circ\text{C}}{\text{min}}\). b) Nach \(t = 15\,\text{min}\). c) Die negative Rate bedeutet, dass die Temperatur kontinuierlich sinkt (Abkühlung). Da \(T'(t) < 0\) für \(0 \le t < 20\) und \(T'(20)=0\), sinkt die Temperatur bis zum Randpunkt; dort ist die momentane Änderungsrate null.

- Setze die gegebenen Funktionen für das Einkommen und das Preisniveau in die Formel für das reale Einkommen ein. - Versuche den Bruch zu vereinfachen, indem du im Zähler ausklammerst. - Was bedeutet eine negative Steigung für den Verlauf der Kaufkraft über die Zeit? - Beachte, dass das Preisniveau \(P(t)\) im Nenner steht und die Inflation repräsentiert.

1. Einsetzen von \(E(t)\) in \(T(E)\): \(T(E(t)) = 0{,}000002 \cdot [50\,000(1+0{,}02t)]^2 = 0{,}000002 \cdot 2\,500\,000\,000 \cdot (1+0{,}02t)^2 = 5000(1+0{,}02t)^2\). Einsetzen in \(R(t)\): \(R(t) = \frac{50000(1+0{,}02t) - 5000(1+0{,}02t)^2}{1+0{,}02t}\). Kürzen durch \((1+0{,}02t)\) ergibt \(R(t) = 50\,000 - 5000(1+0{,}02t)\). 2. Ableiten nach \(t\): \(R(t) = 50\,000 - 5000 - 100t = 45\,000 - 100t\). Die Ableitung ist \(R'(t) = -100\). 3. Da \(R'(t) = -100 < 0\), sinkt das reale Einkommen kontinuierlich. Obwohl das Bruttoeinkommen die Preissteigerung ausgleicht (\(E(t)/P(t) = \text{konst.}\)), führt die progressive Steuer (quadratischer Term) dazu, dass die Steuerlast überproportional steigt und somit die reale Kaufkraft abnimmt.

1. Durch Einsetzen und Kürzen von \((1+0{,}02t)\) erhält man \(R(t) = 50\,000 - 5000(1+0{,}02t)\). 2. \(R'(t) = -100\). 3. Da \(R'(t) < 0\), nimmt die Kaufkraft trotz Inflationsausgleich beim Bruttoeinkommen ab, da die Steuerlast schneller steigt als das Einkommen.

- Erinnere dich an die Definition der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. - Überlege, was passiert, wenn man zwei Punkte auf einer Kurve immer näher zusammenschiebt. - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der Tangente ab, um ihre Steigung zu bestimmen. - Der Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle entspricht geometrisch der Steigung der Kurve in diesem Punkt.

1. Berechnung der Sekantensteigung über den Differenzenquotienten: \(m_s = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{\sin(x) - \sin(0)}{x - 0} = \frac{\sin(x)}{x}\). 2. Bestimmung der Tangentensteigung durch Ablesen: Die Tangente verläuft durch \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 1)\), woraus die Steigung \(m_t = 1\) folgt. 3. Geometrische Interpretation: Wenn \(x\) gegen \(0\) geht, nähert sich der Punkt \(P\) dem Ursprung \(O\) an. Die Sekante \(s\) geht dabei in die Tangente \(t\) über. Da die Tangentensteigung \(1\) beträgt, konvergieren auch die Sekantensteigungen gegen \(1\), also \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\).

1. \(m_s = \frac{\sin(x)}{x}\). 2. Die Steigung der Tangente beträgt \(1\). 3. Die Sekante nähert sich der Tangente an; daher gilt \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\).