- Was gibt die Ableitung einer Weg-Zeit-Funktion physikalisch an? - Ändert sich die Position des Autos, wenn die Zeit vergeht? - Setze die konstanten Werte in die Definition der Ableitung ein. - Überlege, was ein Zähler von Null für den gesamten Bruch bedeutet, bevor du den Grenzwert betrachtest.

1. Berechnung des Differenzenquotienten an der Stelle \(t = 10\): \(\frac{s(10+h) - s(10)}{h} = \frac{15 - 15}{h} = 0\). Der Grenzwert der momentanen Änderungsrate ist \(s'(10) = \lim_{h \to 0} 0 = 0\). 2. Die Ableitung der Zeit-Ort-Funktion entspricht der Momentangeschwindigkeit \(v(t)\). Das Ergebnis \(s'(10) = 0\) bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \(t = 10\) genau \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) beträgt, was konsistent mit der Beschreibung eines geparkten (stillstehenden) Fahrzeugs ist.

1. \(s'(10) = 0\) 2. Die Momentangeschwindigkeit ist \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), das Fahrzeug steht still.

- Welche Steigung hat eine lineare Funktion der Form \(mx+b\)? - Ändert sich die Steigung einer linearen Funktion von Stelle zu Stelle? - Die Tangente an eine Gerade ist die Gerade selbst.

1. Die Funktion \(f(x) = 0{,}8x - 5\) ist linear. 2. Eine lineare Funktion \(f(x) = mx + b\) hat überall dieselbe Steigung \(m\). 3. Hier ist \(m = 0{,}8\). Deshalb ist die Tangentensteigung sowohl bei \(x = 4\) als auch bei \(x = a\) gleich \(0{,}8\).

a) \(0{,}8\) b) \(0{,}8\)

- Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. - Wähle Punkte auf der roten Linie, die leicht abzulesen sind.

1. Wähle zwei Punkte auf der Tangente aus, zum Beispiel \(A(1 \mid 3)\) und \(B(3 \mid 1)\). 2. Die Differenz in \(y\)-Richtung ist \(1 - 3 = -2\), die Differenz in \(x\)-Richtung ist \(3 - 1 = 2\). 3. Die Steigung ist \(m = \frac{-2}{2} = -1\). Die momentane Änderungsrate im Punkt \(P\) ist \(-1\).

Die momentane Änderungsrate beträgt \(-1\).

- Der Ableitungswert entspricht der Steigung der Tangente im markierten Punkt. - Welche Steigung besitzt eine waagerechte Gerade?

1. Die Tangente \(t\) im Punkt \(P\) ist waagerecht. Ihre Steigung beträgt daher \(0\). 2. Somit gilt \(h'(3)=0\,\text{cm/min}\). 3. Das bedeutet: Genau nach \(3\,\text{min}\) steigt oder fällt der Wasserstand momentan nicht.

\(h'(3)=0\,\text{cm/min}\). Nach \(3\,\text{min}\) ändert sich der Wasserstand momentan nicht.

- Vergleiche, welcher zweite Punkt am nächsten bei \(P\) liegt. - Beobachte, welche Sekante dadurch der Tangente am ähnlichsten wird. - Denke daran, dass eine momentane Änderungsrate als Grenzwert von mittleren Änderungsraten verstanden wird.

1. \(Q_3\) liegt von den drei Punkten am nächsten bei \(P\). Die Sekante \(s_3\) verläuft daher am ähnlichsten zur Tangente \(t\). 2. Wenn der zweite Punkt gegen \(P\) rückt, nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung an. Dieser Grenzwert beschreibt die momentane Änderungsrate in \(P\).

a) \(s_3\). b) Die Sekantensteigung nähert sich der Tangentensteigung und damit der momentanen Änderungsrate in \(P\).

- Jeder Ableitungswert ist die Steigung der Tangente an derselben \(x\)-Stelle. - Nutze bei jeder Tangente zwei gut ablesbare Gitterpunkte. - Eine waagerechte Tangente hat eine besondere, besonders leicht erkennbare Steigung.

1. Die Tangente bei \(x=-2\) hat die Steigung \(-1\), also ist \(f'(-2)=-1\). 2. Die Tangente bei \(x=0\) ist waagerecht, also ist \(f'(0)=0\). 3. Die Tangente bei \(x=2\) hat die Steigung \(1\), also ist \(f'(2)=1\).

\(f'(-2)=-1\), \(f'(0)=0\), \(f'(2)=1\).

- Stelle an jeder der beiden Stellen den Differenzenquotienten auf. - Welche Terme bleiben nach dem Vereinfachen des Zählers übrig? - Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient. - Was ist an der Steigung einer Geraden unabhängig vom betrachteten Punkt?

1. Für \(x_0=-2\) vereinfacht sich der Differenzenquotient \(\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}\) für \(h\ne0\) zu \(-1{,}5\). Sein Grenzwert für \(h\to0\) ist daher \(f'(-2)=-1{,}5\). 2. Für \(x_0=4\) vereinfacht sich der Differenzenquotient analog zu \(-1{,}5\). Somit ist \(f'(4)=-1{,}5\). 3. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade mit konstanter Steigung. Die Tangente stimmt in jedem Punkt mit dieser Geraden überein; deshalb ist der Ableitungswert überall \(-1{,}5\).

1. \(f'(-2)=-1{,}5\) und \(f'(4)=-1{,}5\) 2. Beide Werte sind gleich, weil die Gerade überall die konstante Steigung \(-1{,}5\) besitzt.

- Die Einheit einer Änderungsrate hat die Form „Einheit des Funktionswerts pro Einheit der Eingangsgröße“. - Schau bei jeder Funktion zuerst auf die beiden gegebenen Einheiten. - Formuliere dann in Worten, was sich pro Sekunde, Minute, Meter oder Stück ändert.

1. Bei \(E(t)\) beschreibt die momentane Änderungsrate die Energieänderung pro Zeit. Die Einheit ist \(\frac{\text{J}}{\text{s}}\). 2. Bei \(h(t)\) beschreibt sie die Änderung der Füllhöhe pro Zeit. Die Einheit ist \(\frac{\text{cm}}{\text{min}}\). 3. Bei \(m(s)\) beschreibt sie die Masse pro Meter Seil. Die Einheit ist \(\frac{\text{kg}}{\text{m}}\). 4. Bei \(G(x)\) beschreibt sie die Gewinnänderung pro zusätzlich produziertem Stück. Die Einheit ist \(\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\).

- \(E(t)\): Energieänderung pro Zeit, \(\frac{\text{J}}{\text{s}}\) - \(h(t)\): Änderung der Füllhöhe pro Zeit, \(\frac{\text{cm}}{\text{min}}\) - \(m(s)\): Masse pro Meter Seil, \(\frac{\text{kg}}{\text{m}}\) - \(G(x)\): Gewinnänderung pro zusätzlich produziertem Stück, \(\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\)

- Aus welchen beiden Einheiten setzt sich die Einheit einer Änderungsrate zusammen? - Welche physikalische Größe beschreibt eine Wegänderung pro Zeit? - Setze für Teil 3 den Zeitpunkt direkt in die gegebene Funktion \(s'\) ein.

1. Da \(s\) in Metern und \(t\) in Sekunden gemessen wird, hat die Änderungsrate die Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. \(s'(t)\) beschreibt die momentane Änderung des zurückgelegten Wegs pro Zeit, also die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt \(t\). 3. Es gilt \(s'(4)=4+2=6\). Die Momentangeschwindigkeit beträgt daher \(6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

1. \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\) 2. \(s'(t)\) ist die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs. 3. \(s'(4)=6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)

- Überlege dir, wofür die Notation \(f(x)\) und \(f'(x)\) jeweils steht. - Welche Begriffe wie „Steigung“, „Änderungsrate“ oder „Funktionswert“ gehören zu welcher Notation? - Achte genau darauf, welche Zahl die Stelle (der \(x\)-Wert) und welche Zahl das Ergebnis (der \(y\)-Wert oder die Steigung) ist. - Ein Punkt auf dem Graphen hat immer die Form \((\text{Stelle} | \text{Funktionswert})\).

Die Aussagen lassen sich basierend auf ihrem mathematischen Gehalt in zwei Gruppen ordnen, während zwei Aussagen einzeln stehen bleiben: 1. Gruppe (Funktionswert an der Stelle 5): Die Aussagen A (\(f(5) = 2\)), D (sprachliche Beschreibung von \(f(5)=2\)) und F (Punktform \((x|f(x))\)) beschreiben alle, dass der Graph der Funktion an der Stelle \(x=5\) den \(y\)-Wert 2 besitzt. 2. Gruppe (Ableitung an der Stelle 2): Die Aussagen B (\(f'(2) = 5\)), C (geometrische Deutung der Ableitung als Tangentensteigung) und E (physikalisch-inhaltliche Deutung der Ableitung als momentane Änderungsrate) beschreiben alle, dass die Ableitung der Funktion an der Stelle \(x=2\) den Wert 5 hat. Die Aussagen G (\(f'(5) = 2\)) und H (\(f(2) = 5\)) beschreiben andere Sachverhalte (vertauschte Rollen von Stelle, Wert und Ableitung) und passen zu keiner der Gruppen.

Gruppe 1: A, D, F Gruppe 2: B, C, E Einzelstehend: G, H

- Überlege dir, welche Einheit das Ergebnis jeweils haben muss. - Was ist der Unterschied zwischen einem Zeitraum und einem Zeitpunkt? - Erinnere dich daran, dass die erste Ableitung eine Steigung bzw. Geschwindigkeit darstellt.

1. Der Funktionswert \(A(10) = 50\) bedeutet, dass die Algenfläche 10 Tage nach der ersten Messung genau \(50\,\text{m}^2\) beträgt. 2. Der Differenzenquotient \(\frac{A(10) - A(0)}{10} = 4\) gibt die mittlere Änderungsrate an: In den ersten 10 Tagen ist die Algenfläche im Durchschnitt um \(4\,\text{m}^2\) pro Tag gewachsen. 3. Die erste Ableitung \(A'(10) = 6\) beschreibt die momentane Änderungsrate: Am 10. Tag beträgt die momentane Wachstumsrate der Fläche \(6\,\text{m}^2\) pro Tag.

a) Nach 10 Tagen sind \(50\,\text{m}^2\) des Sees bedeckt. b) Die Fläche wuchs in den ersten 10 Tagen durchschnittlich um \(4\,\text{m}^2\) pro Tag. c) Am 10. Tag beträgt die momentane Wachstumsrate \(6\,\text{m}^2\) pro Tag.

- Wie hängen Weg und Geschwindigkeit mathematisch zusammen? - Achte auf den Unterschied zwischen dem Durchschnittswert über ein Intervall und dem Wert zu einem exakten Zeitpunkt. - Welche physikalische Größe erhält man, wenn man die Änderung des Weges pro Zeit betrachtet?

1. Der Wert \(s(4) = 40\) gibt die zurückgelegte Strecke an: Nach 4 Sekunden hat das Fahrzeug eine Strecke von \(40\,\text{m}\) zurückgelegt. 2. Der Ausdruck \(\frac{s(10) - s(0)}{10} = 25\) ist die Durchschnittsgeschwindigkeit über das Intervall \([0; 10]\): In den ersten 10 Sekunden betrug die mittlere Geschwindigkeit \(25\,\text{m/s}\). 3. Die Ableitung \(s'(10) = 45\) entspricht der Momentangeschwindigkeit: Zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{s}\) fährt das Fahrzeug mit \(45\,\text{m/s}\).

a) Nach 4 Sekunden ist das Auto \(40\,\text{m}\) weit gefahren. b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit in den ersten 10 Sekunden beträgt \(25\,\text{m/s}\). c) Die Momentangeschwindigkeit nach 10 Sekunden beträgt \(45\,\text{m/s}\).

- Welche beiden Temperaturwerte brauchst du für die mittlere Änderungsrate? - Wie unterscheidet sich eine mittlere Rate über ein Intervall von einer momentanen Rate an einem Zeitpunkt? - Für b) ist die Funktion der momentanen Änderungsrate bereits gegeben; welche Gleichung musst du lösen?

1. Es gilt \(T(0)=25\) und \(T(2)=15\). 2. Die mittlere Änderungsrate auf \([0;2]\) ist \(\frac{15-25}{2}=-5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\). 3. Für b) löst man \(T'(t)=-4{,}5\), also \(t-6=-4{,}5\). 4. Daraus folgt \(t=1{,}5\,\text{h}\).

a) \(-5\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{h}}\) b) \(t=1{,}5\,\text{h}\)

- Für a) brauchst du den Differenzenquotienten der Wegfunktion auf dem angegebenen Intervall. - Für b) liefert \(s'\) die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt. - Welche Gleichung entsteht, wenn die Momentangeschwindigkeit den Wert \(12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) haben soll?

1. Es gilt \(s(1)=6\) und \(s(4)=36\). 2. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist \(\frac{36-6}{4-1}=10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Für b) löst man \(2t+5=12\). 4. Daraus folgt \(t=3{,}5\,\text{s}\).

a) \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(t=3{,}5\,\text{s}\)

- Welche zwei Volumenwerte brauchst du für die mittlere Zuflussrate? - Für b) ist die Funktion der momentanen Zuflussrate bereits gegeben. - Was unterscheidet einen Wert über ein ganzes Intervall von einem Wert zu genau einem Zeitpunkt?

1. Es gilt \(V(2)=6\,\text{L}\) und \(V(5)=22{,}5\,\text{L}\). 2. Die mittlere Zuflussrate ist \(\frac{22{,}5-6}{5-2}=5{,}5\,\frac{\text{L}}{\text{s}}\). 3. Die momentane Zuflussrate ist \(V'(4)=4+2=6\,\frac{\text{L}}{\text{s}}\). 4. Die mittlere Rate beschreibt den durchschnittlichen Volumenzuwachs pro Sekunde über das ganze Intervall, die momentane Rate dagegen den Volumenzuwachs genau bei \(t=4\,\text{s}\).

a) \(5{,}5\,\frac{\text{L}}{\text{s}}\) b) \(6\,\frac{\text{L}}{\text{s}}\) c) Die erste Rate ist ein Durchschnitt über ein Zeitintervall; die zweite beschreibt die Änderung zu einem einzelnen Zeitpunkt.

- Welche physikalische Größe wird durch eine Wegänderung pro Zeit beschrieben? - Setze den gegebenen Zeitpunkt in die Funktion \(s'\) ein. - Welche Einheit folgt aus Metern geteilt durch Sekunden?

1. Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=5\,\text{s}\) ist \(s'(5)=0{,}8\cdot5+3=7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. \(s'(t)\) beschreibt die momentane Änderung des zurückgelegten Wegs pro Zeit und damit die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \(t\).

a) \(7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(s'(t)\) ist die Momentangeschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \(t\).

- Setze die beiden Zeitpunkte in die gegebene Änderungsratenfunktion ein. - Was bedeutet das Vorzeichen einer Temperaturänderungsrate? - Welchen Wert muss die momentane Änderungsrate haben, wenn die Temperatur weder steigt noch fällt?

1. Es gilt \(T'(2)=8\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und \(T'(8)=-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 2. Bei \(t=2\) steigt die Temperatur momentan, bei \(t=8\) sinkt sie momentan. 3. Weder Steigen noch Fallen bedeutet \(T'(t)=0\). Aus \(-2t+12=0\) folgt \(t=6\,\text{min}\).

a) \(T'(2)=8\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) und \(T'(8)=-4\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) b) Positiv bedeutet momentanes Erwärmen, negativ momentanes Abkühlen. c) \(t=6\,\text{min}\)

- Für a) brauchst du die Bestände an den beiden Intervallgrenzen. - Für b) setzt du den Zeitpunkt in die gegebene Funktion \(B'\) ein. - Was sagt die Gleichheit eines Durchschnittswerts und eines einzelnen Momentanwerts über die übrigen Zeitpunkte aus?

1. Es gilt \(B(2)=122\) und \(B(4)=168\), jeweils in Tausend Bakterien. 2. Die mittlere Wachstumsrate ist \(\frac{168-122}{4-2}=23\) Tausend Bakterien pro Stunde. 3. Die momentane Wachstumsrate ist \(B'(3)=6\cdot3+5=23\) Tausend Bakterien pro Stunde. 4. Die Werte stimmen hier überein. Das bedeutet nur, dass die momentane Rate bei \(t=3\) denselben Zahlenwert wie die mittlere Rate auf \([2;4]\) besitzt; daraus folgt nicht, dass die Rate im ganzen Intervall konstant ist.

a) \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde b) \(23\) Tausend Bakterien pro Stunde c) Beide Werte sind hier gleich. Das bedeutet nicht, dass die Wachstumsrate während des gesamten Intervalls konstant ist.

- Welche zwei Funktionswerte brauchst du für die Sekantensteigung? - Stelle für die Tangentensteigung den Differenzenquotienten an \(x_0=0\) auf. - Vereinfache den Quotienten für \(h\ne0\), bevor du den Grenzwert bildest.

1. Es gilt \(f(-2)=0\) und \(f(2)=4\). Die Sekantensteigung ist \(\frac{4-0}{2-(-2)}=1\). 2. Der Differenzenquotient an \(x_0=0\) lautet \(\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\frac{1}{2}h^2+h}{h}=\frac{1}{2}h+1\) für \(h\ne0\). 3. Der Grenzwert ist \(f'(0)=\lim_{h\to0}\left(\frac{1}{2}h+1\right)=1\). 4. Sekante und Tangente haben daher beide die Steigung \(1\).

1. Sekantensteigung: \(1\) 2. Tangentensteigung: \(f'(0)=1\). Beide Steigungen sind gleich.

- Stelle den Differenzenquotienten zunächst an einer allgemeinen Stelle \(x_0\) auf. - Löse die quadratische Klammer auf und fasse den Zähler zusammen. - Kürze erst für \(h\ne0\), bevor du den Grenzwert bildest. - Setze danach die beiden gefragten Stellen in das Ergebnis ein.

1. Für eine beliebige Stelle \(x_0\) ist der Differenzenquotient \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{3-(x_0+h)^2-(3-x_0^2)}{h}\). 2. Für \(h\ne0\) vereinfacht er sich zu \(-2x_0-h\). Der Grenzwert für \(h\to0\) ist daher \(f'(x_0)=-2x_0\). 3. Damit gilt \(f'(2)=-4\) und \(f'(-1)=2\).

\(f'(2)=-4\) und \(f'(-1)=2\)

- Schreibe den Betrag getrennt für positive und negative Werte von \(x\) um. - Welche linearen Terme entstehen in den beiden Fällen? - Die Steigung einer linearen Funktion liest du am Faktor vor \(x\) ab.

1. Für \(x > 0\) gilt \(|x| = x\). Dann ist \(g(x) = x + 2x = 3x\), also \(g'(x) = 3\). 2. Für \(x < 0\) gilt \(|x| = -x\). Dann ist \(g(x) = -x + 2x = x\), also \(g'(x) = 1\). 3. Daher beträgt die Tangentensteigung für \(a > 0\) den Wert \(3\) und für \(a < 0\) den Wert \(1\).

a) Für \(a > 0\): \(3\) b) Für \(a < 0\): \(1\)

- Überlege dir zuerst, welche physikalische Größe auf der y-Achse und welche auf der x-Achse abgetragen ist. - Was bedeutet es anschaulich, wenn man die Differenz zweier y-Werte bildet? - Welche Bedeutung hat das Teilen einer Differenz durch die zugehörige Zeitspanne? - Erinnere dich daran, wie die erste Ableitung mit der momentanen Änderungsrate zusammenhängt.

1. \(h(t+7) - h(t)\): Dieser Ausdruck beschreibt den absoluten Höhenzuwachs der Sonnenblume innerhalb einer Woche (7 Tage), ausgehend vom Zeitpunkt \(t\). Die Einheit ist \(\text{cm}\). 2. \(\frac{h(t+\Delta t) - h(t)}{\Delta t}\): Dies ist der Differenzenquotient, der die durchschnittliche Wachstumsrate der Pflanze im Zeitintervall von \(t\) bis \(t+\Delta t\) angibt. Die Einheit ist \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\). 3. \(h'(t)\): Die erste Ableitung an der Stelle \(t\) entspricht der momentanen Wachstumsrate der Pflanze zum Zeitpunkt \(t\). Die Einheit ist \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\).

a) Höhenzuwachs innerhalb einer Woche in \(\text{cm}\). b) Durchschnittliche Wachstumsrate im Zeitraum \(\Delta t\) in \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\). c) Momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt \(t\) in \(\frac{\text{cm}}{\text{d}}\).

- Stell dir vor, du fährst mit einem Auto: Was liest du auf dem Tacho ab und was berechnest du, wenn du die Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit teilst? - Welche mathematischen Werkzeuge nutzt du für Durchschnittswerte und welche für Momentanwerte?

1. \(\frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}\): Dieser Differenzenquotient stellt die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs im Zeitintervall zwischen \(t_1\) und \(t_2\) dar. 2. \(s'(t)\): Die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion gibt die Momentangeschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt \(t\) an.

a) Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall \([t_1; t_2]\). b) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\).

- Überlege dir, welche Einheiten die Zähler und Nenner der Brüche haben. - Was ist der Unterschied zwischen einem Zeitraum und einem exakten Zeitpunkt? - Erinnere dich an die physikalischen Begriffe für die Änderung des Ortes und die momentane Geschwindigkeit.

1. \(h(t) - h(t_0)\) beschreibt die Höhenänderung des Ballons zwischen den Zeitpunkten \(t_0\) und \(t\) in Metern. 2. \(\frac{h(t) - h(t_0)}{t - t_0}\) stellt den Differenzenquotienten dar und gibt die mittlere Steiggeschwindigkeit des Ballons im Zeitintervall \([t_0; t]\) in der Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\) an. 3. \(h'(t_0)\) ist die erste Ableitung an der Stelle \(t_0\) und gibt die momentane Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\) an.

a) Höhenänderung im Intervall \([t_0; t]\) in \(\text{m}\). b) Mittlere Steiggeschwindigkeit im Intervall \([t_0; t]\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\). c) Momentane Steiggeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\) in \(\frac{\text{m}}{\text{min}}\).

- Setze das Einkommen in die gegebene Funktion \(S'\) ein. - Wie lässt sich der Dezimalwert als Prozentsatz schreiben? - Welche zwei Einheiten werden bei dieser momentanen Änderungsrate ins Verhältnis gesetzt?

1. Es gilt \(S'(30\,000)=0{,}000004\cdot30\,000+0{,}15=0{,}27\), also \(27\,\%\). 2. Der Wert \(0{,}27\) bedeutet: In der unmittelbaren Umgebung von \(30\,000\,\text{€}\) steigt die Steuer bei einer kleinen zusätzlichen Einkommensänderung näherungsweise um \(0{,}27\,\text{€}\) je zusätzlichem Euro Einkommen.

1. \(S'(30\,000)=0{,}27=27\,\%\) 2. Bei etwa \(30\,000\,\text{€}\) Einkommen steigt die Steuer näherungsweise um \(0{,}27\,\text{€}\) pro zusätzlichem Euro Einkommen.

- Setze die Ausdrücke \((100+h)\) und \(100\) sorgfältig in die Funktionsgleichung ein. - Achte beim Vereinfachen darauf, dass alle konstanten Terme im Zähler (die kein \(h\) enthalten) wegfallen müssen. - Der Grenzwert der Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. - Was sagt uns die Steigung darüber aus, wie stark die Kosten steigen, wenn wir \(x\) um eine kleine Einheit erhöhen?

1. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{K(100+h) - K(100)}{h}\). Einsetzen ergibt: \(\frac{0{,}05(100+h)^2 + 10(100+h) + 500 - (0{,}05 \cdot 100^2 + 10 \cdot 100 + 500)}{h}\). Vereinfachung des Zählers: \(0{,}05(10\,000 + 200h + h^2) + 1000 + 10h + 500 - (500 + 1000 + 500) = 500 + 10h + 0{,}05h^2 + 1000 + 10h + 500 - 2000 = 20h + 0{,}05h^2\). Division durch \(h\) ergibt den vereinfachten Differenzenquotienten: \(20 + 0{,}05h\). 2. Für den Grenzübergang \(h \to 0\) betrachten wir den Grenzwert von \(20 + 0{,}05h\). Es ergibt sich \(K'(100) = \lim_{h \to 0} (20 + 0{,}05h) = 20\). 3. Die Grenzkosten an der Stelle \(x = 100\) geben die momentane Steigungsrate der Kostenkurve an. Im Sachkontext bedeutet dies, dass die Produktion einer weiteren Einheit (des 101. Stücks) näherungsweise \(20\,\text{€}\) an zusätzlichen Kosten verursacht.

1. Differenzenquotient: \(20 + 0{,}05h\) in \(\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 2. Grenzkosten \(K'(100) = 20\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 3. Das 101. Stück verursacht näherungsweise \(20\,\text{€}\) zusätzliche Kosten.

- Welcher geometrischen Größe entspricht ein Ableitungswert? - Nutze die Beschriftungen \(t_f\), \(t_g\) und \(t_h\), um die Tangenten eindeutig zuzuordnen. - Welche zwei gut ablesbaren Punkte kannst du auf jeder Tangente verwenden? - Welche Steigung besitzt eine waagerechte Gerade?

1. Der Ableitungswert entspricht jeweils der Steigung der zugehörigen Tangente. 2. \(t_f\) verläuft durch \((0|0)\) und \((2|2)\). Daher ist \(f'(2)=\frac{2-0}{2-0}=1\). 3. \(t_g\) ist waagerecht. Daher ist \(g'(2)=0\). 4. \(t_h\) verläuft beispielsweise durch \((1|3)\) und \((2|1)\). Daher ist \(h'(2)=\frac{1-3}{2-1}=-2\).

a) \(f'(2)=1\) b) \(g'(2)=0\) c) \(h'(2)=-2\)

- Erinnere dich daran, wie man die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte (die Sekante) berechnet. Welche Formel verwendet man für die mittlere Änderungsrate? - Lies die benötigten Funktionswerte für die jeweiligen Intervallgrenzen direkt am Graphen ab. - Was bedeutet die momentane Änderungsrate geometrisch? Wie hängen die Tangenten mit der Ableitung zusammen? - Um die Steigung einer Tangente zu bestimmen, kannst du zwei gut ablesbare Punkte auf der Tangente wählen.

1. Mittlere Änderungsrate im Intervall \([-1; 1]\): Die mittlere Änderungsrate wird über den Differenzenquotienten berechnet: \(m_1 = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)}\) Aus der Abbildung lesen wir die Funktionswerte am Graphen ab: \(f(-1) = 0\) und \(f(1) = 3\). Einsetzen ergibt: \(m_1 = \frac{3 - 0}{1 + 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). 2. Mittlere Änderungsrate im Intervall \([2; 4]\): Analog gilt für das Intervall \([2; 4]\): \(m_2 = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}\) Wir lesen die Funktionswerte ab: \(f(2) = 6\) und \(f(4) = 0\). Einsetzen ergibt: \(m_2 = \frac{0 - 6}{4 - 2} = \frac{-6}{2} = -3\). 3. Momentane Änderungsrate (Ableitung) an den Stellen \(x = 0\) und \(x = 2\): Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der jeweiligen Tangente. - An der Stelle \(x = 0\) ist die orangefarbene Tangente \(t_0\) eingezeichnet. Wir wählen zwei Punkte auf dieser Geraden, z. B. \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 2)\). Die Steigung ist: \(f'(0) = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2\). - An der Stelle \(x = 2\) ist die grün eingezeichnete Tangente \(t_2\) zu sehen. Sie geht durch den Berührpunkt \((2 \mid 6)\) und z. B. \((1 \mid 4)\). Die Steigung ist: \(f'(2) = \frac{6 - 4}{2 - 1} = 2\).

a) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([-1; 1]\) beträgt \(1{,}5\). b) Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([2; 4]\) beträgt \(-3\). c) Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x = 0\) beträgt \(2\) (also \(f'(0) = 2\)) und an der Stelle \(x = 2\) beträgt sie ebenfalls \(2\) (also \(f'(2) = 2\)).

- Erinnere dich daran, dass der Ableitungswert einer Funktion an einer Stelle der Steigung der Tangente an dieser Stelle entspricht. - Wie kannst du die Steigung einer Geraden bestimmen, wenn du zwei Punkte auf ihr kennst? - Nutze die markierten Kreuze auf den Tangenten, um die Koordinaten zweier Punkte abzulesen. - Teile den Höhenunterschied (Änderung in \(y\)-Richtung) durch den Breitenunterschied (Änderung in \(x\)-Richtung).

Um die Ableitungswerte grafisch zu bestimmen, liest man die Steigung der jeweiligen Tangente ab: 1. **Ableitung an der Stelle \(x = -2\):** Die orangefarbene Tangente berührt den Graphen bei \(x = -2\). Wir können zwei markierte Punkte auf dieser Geraden ablesen, zum Beispiel \((-3 \mid 1)\) und \((-1 \mid 3)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{3 - 1}{-1 - (-3)} = \frac{2}{2} = 1\) Somit gilt: \(f'(-2) = 1\). 2. **Ableitung an der Stelle \(x = 0\):** Die grüne Tangente berührt den Graphen bei \(x = 0\). Wir wählen die markierten Punkte \((-1 \mid 2)\) und \((1 \mid -2)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{-2 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2\) Somit gilt: \(f'(0) = -2\). 3. **Ableitung an der Stelle \(x = 2\):** Die lila Tangente berührt den Graphen bei \(x = 2\). Wir wählen die markierten Punkte \((1 \mid -3)\) und \((3 \mid -1)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{-1 - (-3)}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1\) Somit gilt: \(f'(2) = 1\).

a) \(f'(-2) = 1\); b) \(f'(0) = -2\); c) \(f'(2) = 1\).

- Wie hängen die Steigung eines Graphen in einem Punkt und die Steigung der Tangente in diesem Punkt zusammen? - Welche Formel hilft dir, die Steigung einer Geraden zu berechnen, wenn du zwei Punkte auf ihr kennst? - Suche auf den orangefarbenen Tangenten jeweils nach zwei Punkten, die genau auf den Gitterkreuzungen liegen. - Achte beim Ablesen der Koordinaten genau auf die Skalierung der Achsen (insbesondere der \(y\)-Achse in Teil c).

1. Bestimmung der Steigung der Tangente an Graph a): Zwei ablesbare Punkte auf der Tangente: \(P(2 \mid 0)\) und \(A(3 \mid 2)\). Berechnung des Differenzenquotienten: \(m_a = \frac{2 - 0}{3 - 2} = 2\). Die momentane Änderungsrate in \(P\) beträgt \(2\). 2. Bestimmung der Steigung der Tangente an Graph b): Zwei ablesbare Punkte auf der Tangente: \(P(2 \mid 1)\) und \(B(3 \mid 0)\). Berechnung des Differenzenquotienten: \(m_b = \frac{0 - 1}{3 - 2} = -1\). Die momentane Änderungsrate in \(P\) beträgt \(-1\). 3. Bestimmung der Steigung der Tangente an Graph c): Zwei ablesbare Punkte auf der Tangente: \(P(1 \mid 1)\) und \(C(3 \mid 2)\). Berechnung des Differenzenquotienten: \(m_c = \frac{2 - 1}{3 - 1} = 0{,}5\). Die momentane Änderungsrate in \(P\) beträgt \(0{,}5\).

a) \(2\); b) \(-1\); c) \(0{,}5\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle und der Steigung der dortigen Tangente. - Suche auf der Tangente zwei Punkte, deren Koordinaten du exakt im Gitter ablesen kannst. - Berechne die Steigung der Tangente mit \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

1. Die Ableitung \(f'(1)\) entspricht der Steigung der Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) an der Stelle \(x_0 = 1\). 2. Um die Steigung der Tangente zu bestimmen, wählen wir zwei Punkte auf der Tangente aus, die sich leicht vom Gitter ablesen lassen. Aus der Abbildung können wir beispielsweise den Berührpunkt \(P(1 \mid -1)\) und den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse \(Q(2 \mid 0)\) ablesen. 3. Mit diesen Punkten berechnen wir die Steigung \(m\) der Tangente: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-1)}{2 - 1} = 1\) 4. Die Ableitung der Funktion an der Stelle \(x_0 = 1\) ist somit \(f'(1) = 1\).

\(f'(1) = 1\)

- Wie hängen der Verlauf des Graphen (steigend oder fallend) und das Vorzeichen der Steigung zusammen? - Stelle dir an jedem Punkt eine Tangente (eine berührende Gerade) vor. Verläuft diese von links nach rechts nach oben oder nach unten? - Wenn eine Kurve sehr steil nach unten verläuft, ist ihre Steigung besonders stark negativ (also sehr klein). - Vergleiche die Steigungen in den Punkten, an denen der Graph steigt: Welcher Punkt befindet sich in einem steileren Bereich?

1. Bestimmung der Vorzeichen der Steigungen: - Ein fallender Kurvenverlauf entspricht einer negativen Steigung, ein steigender Verlauf einer positiven Steigung. - Am Punkt \(A(-1 \mid -1{,}25)\) fällt der Graph (die Steigung ist negativ, ca. \(-0{,}65\)). - Am Punkt \(B(0 \mid -1)\) steigt der Graph (die Steigung ist positiv, ca. \(1{,}0\)). - Am Punkt \(C(2 \mid 2{,}2)\) steigt der Graph (die Steigung ist positiv, ca. \(1{,}6\)). - Am Punkt \(D(5 \mid 0{,}25)\) fällt der Graph steil ab (die Steigung ist negativ, ca. \(-4{,}25\)). - Somit ist die Steigung in den Punkten \(A\) und \(D\) negativ. 2. Ordnung der Steigungen von klein nach groß: - Die Steigungen an den Punkten betragen: \(f'(D) \approx -4{,}25\), \(f'(A) \approx -0{,}65\), \(f'(B) \approx 1{,}0\) und \(f'(C) \approx 1{,}6\). - Durch Vergleichen der Werte ergibt sich: \(-4{,}25 < -0{,}65 < 1{,}0 < 1{,}6\). - Die richtige Reihenfolge von der kleinsten (am stärksten negativen) zur größten Steigung lautet somit: \(D\), \(A\), \(B\), \(C\).

a) In den Punkten \(A\) und \(D\) ist die Steigung negativ. b) Von der kleinsten zur größten Steigung: \(D\), \(A\), \(B\), \(C\).

- Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht der Steigung der Tangente an dieser Stelle. - Bestimme die Steigung einer Tangente aus zwei gut ablesbaren Punkten. - Eine waagerechte Tangente hat die Steigung \(0\). - Das Vorzeichen der Ableitung zeigt, ob der Graph steigt oder fällt.

1. **Teilaufgabe a):** - Die Tangente bei \(x = 0\) verläuft durch \((0 \mid -1)\) und \((1 \mid -3)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{-3-(-1)}{1-0} = -2\). - Bei \(x = 2\) liegt der Tiefpunkt \((2 \mid -3)\). Die Tangente ist waagerecht, also gilt \(f'(2) = 0\). - Die Tangente bei \(x = 4\) verläuft durch \((4 \mid -1)\) und \((5 \mid 1)\). Daher ist \(f'(4) = \frac{1-(-1)}{5-4} = 2\). 2. **Teilaufgabe b):** - Bei \(x = -1\) fällt der Graph, daher ist \(f'(-1) < 0\). - Bei \(x = 1\) fällt der Graph, daher ist \(f'(1) < 0\). - Bei \(x = 5\) steigt der Graph, daher ist \(f'(5) > 0\).

a) \(f'(0) = -2\), \(f'(2) = 0\), \(f'(4) = 2\); b) \(f'(-1) < 0\), \(f'(1) < 0\) und \(f'(5) > 0\).

- Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente im markierten Punkt. - Wähle auf jeder Tangente zwei Punkte, deren Koordinaten am Raster eindeutig ablesbar sind. - Berechne die jeweilige Geradensteigung als Änderung in \(y\) geteilt durch Änderung in \(x\).

1. Die Tangente \(t_1\) verläuft zum Beispiel durch \((-3|-2)\) und \((1|0)\). Daher ist \(f'(-1)=\frac{0-(-2)}{1-(-3)}=0{,}5\). 2. Die Tangente \(t_2\) verläuft durch \((0|1)\) und \((1|4)\). Daher ist \(f'(0)=\frac{4-1}{1-0}=3\). 3. Die Tangente \(t_3\) verläuft durch \((2|5)\) und \((3|4)\). Daher ist \(f'(2)=\frac{4-5}{3-2}=-1\).

\(f'(-1)=0{,}5\), \(f'(0)=3\), \(f'(2)=-1\)

- Der Ableitungswert an \(x=1\) ist die Steigung der dort eingezeichneten Tangente. - Nutze pro Tangente zwei eindeutig ablesbare Rasterpunkte. - Achte beim Differenzenquotienten der Geraden besonders auf das Vorzeichen der Änderung in \(y\).

1. Graph \(A\): Die Tangente verläuft durch \((0|-4)\) und \((2|0)\). Ihre Steigung ist \(2\). 2. Graph \(B\): Die Tangente ist waagerecht. Ihre Steigung ist \(0\). 3. Graph \(C\): Die Tangente verläuft durch \((-1|-3)\) und \((3|1)\). Ihre Steigung ist \(1\). 4. Graph \(D\): Die Tangente verläuft durch \((1|1)\) und \((2|-1)\). Ihre Steigung ist \(-2\).

\(A: 2\), \(B: 0\), \(C: 1\), \(D: -2\)

- Die Ableitung \(f'(x)\) gibt die Steigung der Tangente im Punkt \((x \mid f(x))\) an. - Lies auf jeder farblich zugeordneten Tangente zwei gut erkennbare Punkte ab. - Berechne die Steigung mit \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). - Achte auf das Vorzeichen der Steigung.

1. Bei \(x_1 = -2\) liegt der Scheitelpunkt der Parabel. Die orangefarbene Tangente ist waagerecht, daher ist \(f'(-2) = 0\). 2. Die grüne Tangente bei \(x_2 = 0\) verläuft zum Beispiel durch \((0 \mid 2)\) und \((1 \mid 0)\). Daher ist \(f'(0) = \frac{0 - 2}{1 - 0} = -2\). 3. Die lilafarbene Tangente bei \(x_3 = 2\) verläuft durch \((2 \mid -4)\) und \((1 \mid 0)\). Daher ist \(f'(2) = \frac{-4 - 0}{2 - 1} = -4\).

\(f'(-2) = 0\), \(f'(0) = -2\), \(f'(2) = -4\).

- Die Ableitung an einer Stelle ist die Steigung der Tangente dort. - Berechne eine Tangentensteigung mit \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\). - Steigt der Graph, ist die Ableitung positiv; fällt er, ist sie negativ. - An einem inneren lokalen Extrempunkt einer differenzierbaren Funktion ist die Tangente waagerecht.

1. Die Tangente bei \(x=-1\) steigt bei \(\Delta x=1\) um \(\Delta y=1\). Daher ist \(f'(-1)=1\). 2. Die Tangente bei \(x=2\) fällt bei \(\Delta x=1\) um \(2\). Daher ist \(f'(2)=-2\). 3. Bei \(x=0\) ist die Tangente waagerecht, also \(f'(0)=0\). Bei \(x=3\) fällt der Graph, also \(f'(3)<0\). Bei \(x=-2\) steigt er, also \(f'(-2)>0\). 4. Bei \(x=1\) fällt der Graph ungefähr mit Steigung \(-1\). Daher ist \(f'(1)\approx-1\).

a) \(f'(-1)=1\) und \(f'(2)=-2\) b) \(f'(0)=0\), \(f'(3)<0\), \(f'(-2)>0\) c) \(f'(1)\approx-1\)

- Die Steigung einer Tangente in einem Punkt ist der Wert der Ableitung der Funktion an dieser Stelle. - Suche dir auf den eingezeichneten Tangenten zwei Punkte, die genau auf Gitterkreuzungen liegen, um die Steigung zu berechnen. - Betrachte bei Teil b), wie der Graph in der unmittelbaren Umgebung der markierten Punkte verläuft.

1. Für \(f'(1)\) betrachten wir die Tangente im Punkt \((1 \mid -1{,}5)\). Sie verläuft auch durch den Punkt \((2{,}5 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - (-1{,}5)}{2{,}5 - 1} = 1\). Somit ist \(f'(1) = 1\). 2. Für \(f'(-2)\) nutzen wir die Tangente im Punkt \((-2 \mid 0)\). Sie verläuft durch \((-1 \mid -2)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-2 - 0}{-1 - (-2)} = -2\). Somit ist \(f'(-2) = -2\). 3. Im Punkt \(A(2 \mid 0)\) steigt der Graph steil. Bei einem Schritt nach rechts verläuft der Graph lokal etwa zwei Einheiten nach oben. Daher gilt näherungsweise \(f'(2) \approx 2\). 4. Im Punkt \(B(0 \mid -2)\) liegt der Tiefpunkt der Parabel. Die Tangente ist hier waagerecht. Daher ist \(f'(0) = 0\).

a) \(f'(1) = 1\) und \(f'(-2) = -2\); b) in \(A(2 \mid 0)\) gilt näherungsweise \(f'(2) \approx 2\), in \(B(0 \mid -2)\) gilt \(f'(0) = 0\).

- Erinnere dich daran, was die Ableitung an einer Stelle grafisch bedeutet. - Berechne die Steigung einer Tangente mithilfe zweier gut ablesbarer Punkte auf der Geraden. - Was ist das Besondere an der Steigung einer waagerechten Geraden?

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt. 1. An der Stelle \(x_1 = 0\) hat der Punkt die Koordinaten \((0 \mid 1)\). Die Tangente verläuft zudem durch \((1 \mid 3)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2\). Somit ist \(f'(0) = 2\). 2. An der Stelle \(x_2 = 2\) liegt der Hochpunkt \((2 \mid 3)\). Die Tangente ist eine waagerechte Gerade mit der Steigung \(0\). Somit ist \(f'(2) = 0\). 3. An der Stelle \(x_3 = 4\) hat der Punkt die Koordinaten \((4 \mid 1)\). Die Tangente verläuft zudem durch \((5 \mid -1)\). Die Steigung beträgt \(m = \frac{-1 - 1}{5 - 4} = -2\). Somit ist \(f'(4) = -2\).

\(f'(0) = 2\), \(f'(2) = 0\), \(f'(4) = -2\)

- Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente im jeweiligen Berührpunkt. - Betrachte die Steigung der Tangente in \(A\) und \(C\). Welche besondere Lage haben diese Geraden? - Lies für die Tangente in \(B\) zwei gut erkennbare Punkte ab und berechne ihre Steigung.

Die Werte der Ableitung lassen sich durch Ablesen der Tangentensteigungen ermitteln: 1. Im Punkt \(A(-2 \mid 4)\) ist die Tangente waagerecht. Eine waagerechte Gerade hat die Steigung \(0\). Daraus folgt \(g'(-2) = 0\). 2. Im Punkt \(B(0 \mid 0)\) verläuft die Tangente durch den Ursprung und zum Beispiel durch den Punkt \((1 \mid -3)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-3 - 0}{1 - 0} = -3\). Daraus folgt \(g'(0) = -3\). 3. Im Punkt \(C(2 \mid -4)\) ist die Tangente ebenfalls waagerecht. Somit ist die Steigung \(0\) und es gilt \(g'(2) = 0\).

\(g'(-2) = 0\), \(g'(0) = -3\), \(g'(2) = 0\)

- Lies den Schnittpunkt der Tangente mit der \(y\)-Achse und den Punkt \(P\) ab. - Wie viele Einheiten musst du nach rechts gehen, um eine Einheit nach oben zu steigen?

1. Zwei Punkte auf der Tangente sind \(A(0 \mid 1)\) und \(P(4 \mid 2)\). 2. Es gilt \(\Delta y = 2 - 1 = 1\) und \(\Delta x = 4 - 0 = 4\). 3. Daher ist \(m = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

Die Steigung beträgt \(0{,}25\).

- Lass dich nicht von den großen Zahlen an den Achsen verunsichern, das Prinzip bleibt gleich. - Achte darauf, dass ein Kästchen in x-Richtung denselben Wert darstellt wie ein Kästchen in y-Richtung.

1. Wähle auf der Tangente die Punkte \(A(25 \mid 0)\) und \(B(75 \mid 50)\). 2. Es gilt \(\Delta y = 50-0 = 50\) und \(\Delta x = 75-25 = 50\). 3. Daher ist \(m = \frac{50}{50} = 1\). Trotz der großen Achsenwerte beträgt die Steigung \(1\).

Die Steigung beträgt \(1\).

- Überlege dir für jeden markierten Punkt, wie eine Tangente dort verlaufen würde. - Wie hängen „steigend“, „fallend“ oder „waagerecht“ mit dem Vorzeichen der Steigung zusammen? - Welcher Typ von Zahl (negativ, null, positiv) ist grundsätzlich der kleinste?

1. Der Wert der Ableitung \(g'(x)\) an einer Stelle \(x\) entspricht der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen in diesem Punkt. 2. Im Punkt \(A\) fällt der Graph; die Tangente hat dort eine negative Steigung (\(g'(x_A) < 0\)). 3. Im Punkt \(B\) liegt ein lokales Minimum vor; die Tangente ist waagerecht, die Steigung ist also Null (\(g'(x_B) = 0\)). 4. Im Punkt \(C\) steigt der Graph; die Tangente hat dort eine positive Steigung (\(g'(x_C) > 0\)). 5. Da ein negativer Wert kleiner als Null und kleiner als ein positiver Wert ist, ist der Ableitungswert im Punkt \(A\) am kleinsten.

Im Punkt \(A\) ist der Wert der Ableitung am kleinsten. Dort fällt der Graph, sodass die Tangente eine negative Steigung hat. In \(B\) ist die Steigung Null und in \(C\) ist sie positiv.

- An einem glatten Hoch- oder Tiefpunkt ist die Tangente waagerecht. - Vergleiche die Neigung der Kurve in den verschiedenen Punkten. Wo geht es am steilsten bergauf, wo am steilsten bergab? - Achte auf das Vorzeichen: Ein starkes Gefälle entspricht einer großen negativen Zahl und ist damit kleiner als eine leichte negative Steigung.

1. Die Steigung des Graphen entspricht der momentanen Änderungsrate. Bei \(Q\) ist der Anstieg am steilsten mit etwa \(1{,}6\); bei \(R\) ist die Tangente waagerecht; bei \(P\) ist die Steigung leicht negativ; bei \(S\) ist das Gefälle am stärksten mit etwa \(-1{,}6\). 2. Die kleinste Änderungsrate liegt daher im Punkt \(S\) vor. 3. Von der größten zur kleinsten Steigung ergibt sich \(Q, R, P, S\). 4. Im Punkt \(R\) liegt ein glatter Hochpunkt. Daher ist die Tangente dort waagerecht und die Steigung ist \(0\).

a) Im Punkt \(S\). b) \(Q, R, P, S\) c) Die Steigung im Punkt \(R\) ist \(0\).

- Wenn die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft, ist die Berechnung der Steigung besonders einfach. - Ist die Tangente eine steigende oder eine fallende Gerade? Das Vorzeichen der Ableitung muss dazu passen.

1. Die Ableitung \(f'(0)\) entspricht der Steigung der Tangente im Ursprung. 2. Ablesen von Punkten auf der Tangente: Die Gerade verläuft durch \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid -1)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{-1 - 0}{1 - 0} = -1\). 4. Ergebnis: \(f'(0) = -1\).

\(f'(0) = -1\)

- Die Begriffe „Ableitung“ und „momentane Änderungsrate“ bezeichnen an einer Stelle \(x_0\) denselben mathematischen Wert. - Achte auf die Skalierung der Achsen, um die Koordinaten der Punkte richtig abzulesen.

1. Die momentane Änderungsrate ist der Wert der Ableitung \(f'(x_0)\), also die Steigung der Tangente. 2. Auf der Tangente liegen z. B. die Punkte \((2 \mid 1)\) und \((4 \mid 0)\). 3. Bestimmung des Steigungsdreiecks: Geht man \(2\) Einheiten nach rechts (\(\Delta x = 2\)), sinkt der \(y\)-Wert um \(1\) Einheit (\(\Delta y = -1\)). 4. Berechnung: \(m = \frac{-1}{2} = -0{,}5\). 5. Ergebnis: \(f'(2) = -0{,}5\).

\(f'(2) = -0{,}5\)

- Auch bei Kurven, die keine Parabeln sind, hilft die Tangente, die Steigung in einem einzigen Punkt exakt zu bestimmen. - Wähle Punkte auf der Geraden, die möglichst weit auseinander liegen, um Ablesefehler zu minimieren, sofern sie auf Gitterpunkten liegen.

1. Die Ableitung ist die Steigung der Tangente. 2. Ablesen von Punkten auf der Tangente: \(P_1(1 \mid 2)\) und \(P_2(2 \mid 3)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{3 - 2}{2 - 1} = 1\). 4. Ergebnis: \(f'(1) = 1\).

\(f'(x_0) = 1\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du Punkte im negativen Bereich der \(x\)-Achse abliest. - Eine Gerade, die von links oben nach rechts unten verläuft, hat immer eine negative Steigung.

1. Die Ableitung \(f'(-2)\) ist die Steigung der Tangente im Punkt \((-2 \mid 0)\). 2. Ablesen zweier Punkte auf der Tangente: \(A(-2 \mid 0)\) und \(B(-3 \mid 2)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{2 - 0}{-3 - (-2)} = \frac{2}{-1} = -2\). 4. Ergebnis: \(f'(-2) = -2\).

\(f'(-2) = -2\)

- Nutze das Gitter, um zwei Punkte auf der orangen Geraden zu finden, deren Koordinaten ganzzahlig sind. - Überprüfe dein Ergebnis: Da die Tangente fällt, muss der Wert der Ableitung negativ sein.

1. Die Ableitung \(f'(1)\) ist die Steigung der Tangente im Punkt \((1 \mid 2)\). 2. Ablesen zweier Punkte auf der Tangente: \(P_1(1 \mid 2)\) und \(P_2(2 \mid 0)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{0 - 2}{2 - 1} = -2\). 4. Ergebnis: \(f'(1) = -2\).

\(f'(1) = -2\)

- Überlege dir, welche Punkte auf dem Graphen zu den gesuchten Zeitpunkten gehören. - Der Differenzenquotient entspricht grafisch der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte. Wie nennt man diese Gerade? - Was sagt eine Steigung über die Änderung einer Größe aus, wenn die Zeit auf der waagerechten Achse steht? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab und berechne daraus ihre Steigung.

1. Aus dem Graphen lassen sich die Funktionswerte direkt ablesen: \(T(0) = 4\) und \(T(6) = 7{,}6\). Die Temperaturen betragen also \(4\,{^\circ}\text{C}\) (um 6:00 Uhr) und \(7{,}6\,{^\circ}\text{C}\) (um 12:00 Uhr). 2. Einsetzen der Werte in den Differenzenquotienten: \(\frac{7{,}6 - 4}{6 - 0} = \frac{3{,}6}{6} = 0{,}6\). 3. Das Ergebnis \(0{,}6\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\) gibt die mittlere (durchschnittliche) Temperaturänderung pro Stunde im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 12:00 Uhr an. 4. Die Tangente verläuft beispielsweise durch die Punkte \((2 \mid 6)\) und \((7 \mid 10)\). Ihre Steigung beträgt \(\frac{10 - 6}{7 - 2} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). Somit liegt die momentane Erwärmungsrate bei etwa \(0{,}8\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\).

1. \(T(0) = 4\,{^\circ}\text{C}\) und \(T(6) = 7{,}6\,{^\circ}\text{C}\); 2. \(0{,}6\); 3. mittlere Erwärmungsrate von \(0{,}6\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\) zwischen 6:00 Uhr und 12:00 Uhr; 4. \(T'(2) \approx 0{,}8\,{^\circ}\text{C}/\text{h}\).

- Bestimme jede lokale Änderungsrate aus der jeweils eingezeichneten Tangente, nicht aus der Form des Funktionsgraphen allein. - Wähle zwei gut ablesbare Punkte auf derselben Tangente und berechne deren Steigung. - Das Vorzeichen einer Steigung beschreibt im Kontext, ob die Höhe gerade ab- oder zunimmt.

1. Bei \(t=1\) kann man die Tangentenpunkte \((0{,}5\mid5)\) und \((1{,}5\mid4)\) verwenden; die Steigung ist \(-1\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 2. Bei \(t=2\) ist die Tangente waagerecht; die Änderungsrate ist \(0\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 3. Bei \(t=3\) kann man die Tangentenpunkte \((2{,}5\mid4)\) und \((3{,}5\mid5)\) verwenden; die Steigung ist \(1\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 4. Bei \(t=4\) verläuft die Tangente durch \((3{,}5\mid5)\) und \((4{,}5\mid7)\); die Steigung ist \(2\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 5. Negative Werte bedeuten Sinken, \(0\) bedeutet in diesem Moment keine Höhenänderung, positive Werte bedeuten Steigen.

a) \(h'(1)=-1\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\), \(h'(2)=0\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\), \(h'(3)=1\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\), \(h'(4)=2\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\) b) Bei \(t=1\) sinkt der Ballon, bei \(t=2\) ändert sich die Höhe momentan nicht, bei \(t=3\) und \(t=4\) steigt er.

- Lies auf jeder gestrichelten Tangente zwei gut erkennbare Gitterpunkte ab und berechne daraus die Steigung. - Wenn eine Kurve ihren höchsten Punkt erreicht, wie groß ist dann dort ihre Steigung? - Überlege, wie man die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit nennt. - Achte auf das Vorzeichen der Steigung beim Bremsvorgang.

1. Die momentane Änderungsrate entspricht der Tangentensteigung. Die Tangente bei \(t = 0\,\text{s}\) verläuft beispielsweise durch \((0 \mid 0)\) und \((4 \mid 4)\). Daher beträgt ihre Steigung \(\frac{4 - 0}{4 - 0} = 1\,\text{m/s}^2\). 2. Die Tangente bei \(t = 20\,\text{s}\) verläuft beispielsweise durch \((16 \mid 4)\) und \((20 \mid 0)\). Daher beträgt ihre Steigung \(\frac{0 - 4}{20 - 16} = -1\,\text{m/s}^2\). 3. Die Änderungsrate ist null, wenn die Tangente waagerecht verläuft. Dies ist am Scheitelpunkt der Parabel bei \(t = 10\,\text{s}\) der Fall. Hier ist die Geschwindigkeit mit \(5\,\text{m/s}\) maximal. 4. In der Physik wird die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit als Beschleunigung bezeichnet.

a) Bei \(t = 0\,\text{s}\) beträgt die Änderungsrate \(1\,\text{m/s}^2\), bei \(t = 20\,\text{s}\) beträgt sie \(-1\,\text{m/s}^2\). b) Bei \(t = 10\,\text{s}\) ist die Änderungsrate null; dort ist die Geschwindigkeit mit \(5\,\text{m/s}\) maximal. c) Die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit heißt Beschleunigung.

- Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der eingezeichneten Tangente. - Welche zwei gut ablesbaren Punkte liegen auf der Tangente? - Achte bei der Interpretation auf die Einheit Höhe pro Zeit.

1. Auf der Tangente lassen sich zum Beispiel die Punkte \((0\mid20)\) und \((10\mid45)\) ablesen. 2. Ihre Steigung ist \(\frac{45-20}{10-0}=2{,}5\). 3. Daher gilt \(h'(10)\approx2{,}5\,\text{m/s}\). Zum Zeitpunkt \(10\,\text{s}\) nimmt die Höhe der Drohne momentan um etwa \(2{,}5\,\text{m}\) pro Sekunde zu.

Die momentane Steiggeschwindigkeit beträgt etwa \(2{,}5\,\text{m/s}\); bei \(t=10\,\text{s}\) gewinnt die Drohne momentan etwa \(2{,}5\,\text{m}\) Höhe pro Sekunde.

- Suche dir zwei Punkte auf der Tangente, um ihre Steigung zu bestimmen. - Wie hängen die Steigung der Tangente und die Ableitung der Funktion zusammen? - Denke an das Verhältnis von „Höhenunterschied“ zu „Horizontalentfernung“.

1. Interpretation: Die Ableitung \(f'(0)\) ist gleich der Steigung der Tangente im Punkt \(P\). 2. Punkte ablesen: Die Tangente verläuft durch den Berührpunkt \(P(0 \mid 2)\) und einen weiteren Punkt auf dem Gitter, zum Beispiel \(Q(4 \mid 3)\). 3. Steigung berechnen: Die Differenz der \(y\)-Werte ist \(\Delta y = 3 - 2 = 1\), die Differenz der \(x\)-Werte ist \(\Delta x = 4 - 0 = 4\). Die Steigung ist \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Ergebnis: Somit gilt \(f'(0) = 0{,}25\).

Die Steigung der Tangente beträgt \(0{,}25\), daher ist \(f'(0) = 0{,}25\).

- Überlege dir, in welcher Beziehung die Steigung einer Tangente zum Wert der Ableitung an dieser Stelle steht. - Lies zwei Punkte auf der Tangente ab, die genau auf Gitterkreuzen liegen. - Berechne aus diesen Punkten den Höhenunterschied und den waagerechten Abstand.

1. Identifikation des Berührpunkts: \(P(2 \mid 4)\). 2. Die Tangente verläuft durch die gut ablesbaren Gitterpunkte \((1 \mid 3)\) und \((2 \mid 4)\). 3. Berechnung der Steigung: \(m = \frac{4 - 3}{2 - 1} = 1\). 4. Da die Steigung der Tangente im Punkt \(x = 2\) dem Wert der Ableitung entspricht, gilt \(f'(2) = 1\).

\(f'(2) = 1\)

- Welche Gerade verbindet die beiden Punkte, die zu den Intervallgrenzen gehören? - Berechne die Steigung aus den Koordinaten von \(A\) und \(B\). - Überlege, welche Gerade nur die Steigung an einem einzigen Berührpunkt beschreibt.

1. Die mittlere Änderungsrate auf \([0;2]\) wird durch die Sekante durch die beiden Intervallendpunkte dargestellt. Das ist die Gerade \(s\). 2. Es gilt \(A(0\mid0)\) und \(B(2\mid2)\). Daher ist die Sekantensteigung \(\frac{2-0}{2-0}=1\). 3. Die Sekantensteigung \(1\) beschreibt die mittlere Änderung über das ganze Intervall. Die Tangentensteigung in \(B\) beschreibt dagegen die momentane Änderungsrate an der einzelnen Stelle \(x=2\); aus dem Graphen ergibt sich dafür die Steigung \(2\).

a) Die Sekante \(s\). b) \(1\). c) \(1\) ist die mittlere Änderungsrate auf \([0;2]\); die Tangentensteigung \(2\) ist die momentane Änderungsrate bei \(x=2\).

- Lies die zweite Spalte von oben nach unten und achte auf die Entwicklung der Werte. - Die momentane Änderungsrate entsteht als Grenzwert von Sekantensteigungen für immer kleinere Intervalle. - Suche die Zahl, der die Tabellenwerte immer näher kommen.

1. Je kleiner \(h\) wird, desto näher liegen die Sekantensteigungen bei \(4\): \(4{,}5\), \(4{,}25\), \(4{,}05\), \(4{,}005\). 2. Die Werte nähern sich von oben der Zahl \(4\). 3. Daher ist die momentane Änderungsrate bei \(x=3\) näherungsweise \(4\); tatsächlich gilt \(f'(3)=4\).

\(f'(3)\approx4\). Die Sekantensteigungen nähern sich für kleiner werdendes \(h\) der Zahl \(4\).

- Bestimme zuerst die y-Koordinaten der vier Punkte mit \(f(x)=x^2\). - Berechne jede Sekantensteigung mit demselben festen Punkt \(P\). - Betrachte anschließend, wohin sich die Steigungswerte entwickeln, wenn der zweite Punkt näher an \(P\) rückt.

1. Es gilt \(P(1\mid1)\), \(A(3\mid9)\), \(B(2\mid4)\), \(C(1{,}5\mid2{,}25)\) und \(D(1{,}25\mid1{,}5625)\). 2. Die Sekantensteigungen sind \(\frac{9-1}{3-1}=4\), \(\frac{4-1}{2-1}=3\), \(\frac{2{,}25-1}{1{,}5-1}=2{,}5\) und \(\frac{1{,}5625-1}{1{,}25-1}=2{,}25\). 3. Je näher der zweite Punkt an \(P\) rückt, desto näher kommt die Sekantensteigung der Zahl \(2\). Daher schätzt man \(f'(1)\approx2\).

Sekantensteigungen: \(4\), \(3\), \(2{,}5\), \(2{,}25\). Daraus folgt \(f'(1)\approx2\).

- Bestimme zuerst den festen Funktionswert \(f(2)\). - Jede Tabellenzeile liefert eine mittlere Änderungsrate zwischen \(2\) und \(2+h\). - Vergleiche die Werte für kleine positive und kleine negative \(h\): Auf welchen gemeinsamen Wert laufen sie zu?

1. Es ist \(f(2)=4\). Für \(h=-1\) ergibt sich \(\frac{1-4}{-1}=3\). 2. Für \(h=-0{,}5\) ergibt sich \(\frac{2{,}25-4}{-0{,}5}=3{,}5\). 3. Für \(h=-0{,}1\) ergibt sich \(\frac{3{,}61-4}{-0{,}1}=3{,}9\). 4. Für \(h=0{,}1\) ergibt sich \(\frac{4{,}41-4}{0{,}1}=4{,}1\); für \(h=0{,}5\) ergibt sich \(\frac{6{,}25-4}{0{,}5}=4{,}5\). 5. Von links und rechts nähern sich die Werte \(4\). Daher gilt \(f'(2)=4\).

a) \(3\), \(3{,}5\), \(3{,}9\), \(4{,}1\), \(4{,}5\). b) Die Differenzenquotienten nähern sich \(4\); also ist \(f'(2)=4\).

- Für die mittlere Geschwindigkeit brauchst du die Wegänderung zwischen den beiden Intervallenden. - Die momentane Geschwindigkeit liest du als Steigung der eingezeichneten Tangente ab. - Vergleiche die beiden Bedeutungen, bevor du die Aussage bewertest.

1. Aus dem Graphen liest man \(s(0)=0\,\text{m}\) und \(s(4)=16\,\text{m}\) ab. Die mittlere Geschwindigkeit ist \(\frac{16-0}{4-0}=4\,\text{m/s}\). 2. Die Tangente verläuft durch die gut ablesbaren Punkte \((2\mid3)\) und \((4\mid15)\). Ihre Steigung ist \(\frac{15-3}{4-2}=6\). Daher beträgt die momentane Geschwindigkeit bei \(t=3\,\text{s}\) \(6\,\text{m/s}\). 3. Die Aussage ist falsch. Eine mittlere Geschwindigkeit über ein Intervall und die momentane Geschwindigkeit an einer einzelnen Stelle können verschieden sein; hier sind es \(4\,\text{m/s}\) und \(6\,\text{m/s}\).

a) \(4\,\text{m/s}\). b) \(6\,\text{m/s}\). c) Die Aussage ist falsch; mittlere und momentane Geschwindigkeit beschreiben unterschiedliche Größen und sind hier nicht gleich.

- Welche Form hat der Differenzenquotient an einer festen Stelle \(x_0\)? - Vereinfache den Zähler so, dass sich der Faktor \(h\) erkennen lässt. - Der Differentialquotient entsteht erst durch den Grenzübergang \(h\to0\).

1. Es gilt \(f(-2)=-10\). 2. Für \(h\ne0\) lautet der Differenzenquotient \(\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{-0{,}5(-2+h)^2+4(-2+h)+10}{h}\). 3. Der Zähler vereinfacht sich zu \(6h-0{,}5h^2\). 4. Damit ist der Differenzenquotient \(6-0{,}5h\). 5. Der Grenzwert dieses Differenzenquotienten ist der Differentialquotient: \(f'(-2)=\lim_{h\to0}(6-0{,}5h)=6\).

Die Tangentensteigung beträgt \(f'(-2)=6\).

- Stelle zuerst den Differenzenquotienten an \(x_0=3\) auf. - Vereinfache den Zähler und kürze erst, wenn ein Faktor \(h\) sichtbar ist. - Welcher Grenzwert des Differenzenquotienten beschreibt die momentane Änderungsrate?

1. Es gilt \(f(3)=7\). 2. Für \(h\ne0\) lautet der Differenzenquotient \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{2(3+h)^2-4(3+h)+1-7}{h}\). 3. Der Zähler vereinfacht sich zu \(8h+2h^2\), also zum Differenzenquotienten \(8+2h\). 4. Durch den Grenzübergang erhält man den Differentialquotienten \(f'(3)=\lim_{h\to0}(8+2h)=8\).

Die momentane Änderungsrate beträgt \(f'(3)=8\).

- Überlege dir zuerst, welchen Wert die Funktion an der vorgegebenen Stelle annimmt. - Setze den Term \(x_0 + h\) in die Funktionsgleichung ein und achte beim Ausmultiplizieren besonders auf die Vorzeichen und Klammern. - Versuche den Zähler des Differenzenquotienten so weit zu vereinfachen, dass du \(h\) ausklammern und kürzen kannst. - Was passiert mit dem verbleibenden Ausdruck, wenn \(h\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 2\) berechnen: \(f(2) = 2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 1 = 8 - 10 + 1 = -1\). 2. Differenzenquotienten für ein beliebiges \(h \neq 0\) aufstellen: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{2(2+h)^2 - 5(2+h) + 1 - (-1)}{h}\). 3. Zähler durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen vereinfachen: \(\frac{2(4 + 4h + h^2) - 10 - 5h + 2}{h} = \frac{8 + 8h + 2h^2 - 10 - 5h + 2}{h} = \frac{2h^2 + 3h}{h}\). 4. Den Bruch durch \(h\) kürzen: \(2h + 3\). 5. Grenzwert für \(h \to 0\) bilden: \(\lim_{h \to 0} (2h + 3) = 3\). Somit ist \(f'(2) = 3\).

Die Ableitung an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(f'(2) = 3\).

- Die momentane Änderungsrate entspricht genau der Ableitung der Funktion an dieser Stelle. - Nutze die binomischen Formeln, um den Ausdruck im Zähler korrekt auszumultiplizieren. - Vergiss nicht, den Funktionswert \(g(4)\) im Zähler abzuziehen. - Nach dem Kürzen von \(h\) kannst du den Wert bestimmen, dem sich der Ausdruck annähert, wenn \(h\) gegen Null läuft.

1. Funktionswert an der Stelle \(x_0 = 4\) bestimmen: \(g(4) = -0{,}5 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 = -8 + 12 = 4\). 2. Differenzenquotienten aufstellen: \(\frac{g(4+h) - g(4)}{h} = \frac{-0{,}5(4+h)^2 + 3(4+h) - 4}{h}\). 3. Zählerterm vereinfachen: \(\frac{-0{,}5(16 + 8h + h^2) + 12 + 3h - 4}{h} = \frac{-8 - 4h - 0{,}5h^2 + 12 + 3h - 4}{h} = \frac{-0{,}5h^2 - h}{h}\). 4. Durch \(h\) kürzen: \(-0{,}5h - 1\). 5. Grenzwertbetrachtung durchführen: \(\lim_{h \to 0} (-0{,}5h - 1) = -1\). Die momentane Änderungsrate ist somit \(-1\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 4\) beträgt \(-1\).

- Was bedeutet \(f'(4)\) im Unterschied zu \(f(4)\)? - Welche geometrische Größe entspricht einem Ableitungswert? - Welcher Begriff bezeichnet den Grenzwert der Differenzenquotienten an einer Stelle? - Welche Bedingung müssen parallele Geraden bezüglich ihrer Steigung erfüllen?

1. Die Bedingung \(f'(4)=-1\) bedeutet, dass die Ableitung und damit die Tangentensteigung bei \(x=4\) den Wert \(-1\) hat. 2. Aussage 1 ist daher direkt äquivalent. 3. Aussage 2 beschreibt den Funktionswert \(f(4)=-1\) und ist nicht äquivalent. 4. Aussage 3 ist wegen der geometrischen Bedeutung der Ableitung äquivalent. 5. Aussage 4 ist äquivalent, weil der Differentialquotient die Ableitung an der Stelle bezeichnet. 6. Aussage 5 ist äquivalent, weil die Gerade \(y=-x+10\) die Steigung \(-1\) besitzt und parallele Geraden dieselbe Steigung haben. 7. Aussage 6 beschreibt den Funktionswert \(f(-1)=4\) und ist nicht äquivalent.

Äquivalent sind 1, 3, 4 und 5: Sie beschreiben jeweils den Ableitungswert beziehungsweise die Tangentensteigung \(-1\) bei \(x=4\). Aussage 5 ist äquivalent, weil die Vergleichsgerade die Steigung \(-1\) hat. Die Aussagen 2 und 6 betreffen dagegen Funktionswerte und nicht die Ableitung.

- Überlege, wie man die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten berechnet. - Was passiert mit der Sekante, wenn die zwei Punkte immer näher zusammenrücken? - Welche mathematische Operation hilft dir, den Wert eines Ausdrucks zu bestimmen, wenn eine Variable gegen Null geht? - Erinnerst du dich an den Unterschied zwischen einer mittleren und einer punktuellen Änderung?

1. Berechnung der Wegstrecken zu den Zeitpunkten \(t = 1\) und \(t = 3\): \(s(1) = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 7\,\text{m}\) und \(s(3) = 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 33\,\text{m}\). 2. Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit als Differenzenquotient: \(\bar{v} = \frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{33 - 7}{2} = 13\,\text{m/s}\). 3. Aufstellen des Differenzenquotienten für die Momentangeschwindigkeit an der Stelle \(t = 1\): \(\frac{s(1+h) - s(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 + 5(1+h) - 7}{h} = \frac{2(1 + 2h + h^2) + 5 + 5h - 7}{h} = \frac{9h + 2h^2}{h} = 9 + 2h\). 4. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(v(1) = \lim_{h \to 0} (9 + 2h) = 9\,\text{m/s}\).

Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(13\,\text{m/s}\). Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 1\) beträgt \(9\,\text{m/s}\).

- Setze den Ausdruck \((x_0 + h)\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Nutze die binomischen Formeln, um Klammern im Zähler aufzulösen. - Achte beim Vereinfachen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor der Klammer steht. - Nach dem Vereinfachen sollte sich \(h\) im Nenner wegkürzen lassen.

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = -(2)^2 + 6 \cdot 2 = -4 + 12 = 8\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{-(2+h)^2 + 6(2+h) - 8}{h}\). 3. Vereinfachung des Zählers: \(-(4 + 4h + h^2) + 12 + 6h - 8 = -4 - 4h - h^2 + 12 + 6h - 8 = 2h - h^2\). 4. Kürzen durch \(h\): \(\frac{2h - h^2}{h} = 2 - h\). 5. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(f'(2) = \lim_{h \to 0} (2 - h) = 2\).

a) Der vereinfachte Differenzenquotient lautet \(2 - h\). b) Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(2\).

- Setze den Term für \(3+h\) in die Funktionsgleichung ein und verwende die binomische Formel. - Was passiert mit dem Term, wenn \(h\) gegen null geht? - Überlege dir, wie man von einer Sekante zu einer Tangente gelangt.

1. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{s(3+h) - s(3)}{h} = \frac{0{,}8(3+h)^2 - 0{,}8 \cdot 3^2}{h}\). Vereinfachung: \(\frac{0{,}8(9 + 6h + h^2) - 7{,}2}{h} = \frac{7{,}2 + 4{,}8h + 0{,}8h^2 - 7{,}2}{h} = \frac{4{,}8h + 0{,}8h^2}{h} = 4{,}8 + 0{,}8h\). 2. Grenzwertbildung: \(\lim_{h \to 0} (4{,}8 + 0{,}8h) = 4{,}8\). Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(4{,}8\,\text{m/s}\). 3. Die lokale Änderungsrate (Ableitung) an einer Stelle \(t_0\) ist definiert als der Grenzwert der mittleren Änderungsrate (Differenzenquotient) über einem Intervall \([t_0; t_0+h]\), wenn die Intervallbreite \(h\) gegen Null geht.

1. Der vereinfachte Differenzenquotient lautet \(4{,}8 + 0{,}8h\). 2. Die lokale Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 3\) beträgt \(4{,}8\,\text{m/s}\). 3. Die lokale Änderungsrate ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate für eine gegen Null gehende Intervallbreite.

- Welche physikalische Größe beschreibt die Änderung des zurückgelegten Wegs pro Zeit? - Welche Einheit muss daher \(s'(t)\) besitzen? - Setze für jede Rechnung den Winkel und \(t=2\) in die gegebene Änderungsratenfunktion ein. - Achte beim Taschenrechner auf das Gradmaß.

1. \(s'(t)\) beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Schlittens zum Zeitpunkt \(t\) in \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Für \(\beta=30^\circ\) und \(t=2\,\text{s}\) gilt \(s'(2)=9{,}8\cos(30^\circ)\cdot2\approx16{,}97\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Für \(\beta=50^\circ\) und \(t=2\,\text{s}\) gilt \(s'(2)=9{,}8\cos(50^\circ)\cdot2\approx12{,}60\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

\(s'(t)\) ist die Momentangeschwindigkeit des Schlittens. Für \(\beta=30^\circ\): \(s'(2)\approx16{,}97\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) Für \(\beta=50^\circ\): \(s'(2)\approx12{,}60\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)

- Welche Größe beschreibt eine Änderung der Fläche pro Zeit? - Welche Einheit folgt aus Quadratmetern geteilt durch Stunden? - Setze die beiden Windgeschwindigkeiten getrennt in die gegebene Funktion \(A'\) ein. - Runde nur das nicht ganzzahlige Ergebnis.

1. \(A'(t)\) beschreibt, wie viele Quadratmeter Fläche der Ölfleck zum Zeitpunkt \(t\) momentan pro Stunde gewinnt. Die Einheit ist \(\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\). 2. Für \(v=10\) und \(t=3\) gilt \(A'(3)=3\sqrt{10}\approx9{,}49\,\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\). 3. Für \(v=25\) und \(t=3\) gilt \(A'(3)=3\sqrt{25}=15\,\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\).

\(A'(t)\) ist die momentane Flächenwachstumsrate in \(\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\). Bei \(v=10\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\): \(A'(3)\approx9{,}49\,\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\) Bei \(v=25\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\): \(A'(3)=15\,\frac{\text{m}^2}{\text{h}}\)

- Für a) brauchst du zwei Höhenwerte und den Differenzenquotienten über das gesamte Intervall. - Für b) liefert die gegebene Funktion \(v\) die momentane Geschwindigkeit direkt. - Was bedeutet das Vorzeichen einer vertikalen Geschwindigkeit? - Löse für c) die Gleichung, in der die gegebene Geschwindigkeitsfunktion den Wert \(2\) annimmt.

1. Es gilt \(s(0)=4\) und \(s(2)=4\). Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist daher \(\frac{s(2)-s(0)}{2-0}=0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Die momentane Geschwindigkeit ist \(v(1{,}5)=-10\cdot1{,}5+10=-5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Das negative Vorzeichen bedeutet Bewegung nach unten. 3. Aus \(-10t+10=2\) folgt \(t=0{,}8\,\text{s}\). Da \(v=2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}>0\) ist, steigt der Ball in diesem Moment.

a) \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(-5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\); der Ball fällt. c) \(t=0{,}8\,\text{s}\); der Ball steigt.

- Für a) vergleichst du zwei Höhenwerte über ein Zeitintervall. - Für b) setzt du den Zeitpunkt direkt in die gegebene Funktion \(h'\) ein. - Für c) suchst du die Stellen, an denen \(h'\) den vorgegebenen Wert annimmt. - Berücksichtige nur Lösungen innerhalb des angegebenen Modellzeitraums.

1. Es gilt \(h(0)=5\) und \(h(5)=17{,}5\). Damit ist die mittlere Wachstumsrate \(\frac{17{,}5-5}{5}=2{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). 2. Für \(t=10\) ist \(h'(10)=-0{,}06\cdot100+1{,}2\cdot10=6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\). 3. Für c) löst man \(-0{,}06t^2+1{,}2t=4{,}5\). Dies ist äquivalent zu \(t^2-20t+75=0\), also \((t-5)(t-15)=0\). 4. Im Modellzeitraum ergeben sich \(t=5\) und \(t=15\).

a) \(2{,}5\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\) b) \(6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\) c) Nach \(5\) Tagen und nach \(15\) Tagen.

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die Ausdrücke im Zähler zu vereinfachen. - Überlege, was passiert, wenn man in einem Bruch den Nenner Null werden lässt. - Wie unterscheiden sich die beiden Intervalle in ihrer Beschreibung der Annäherung an den Punkt? - Achte darauf, den Faktor 2 bei der Quadrierung korrekt zu berücksichtigen.

1. Der Differenzenquotient nach der \(h\)-Methode lautet: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 - 2 \cdot 1^2}{h} = \frac{2(1 + 2h + h^2) - 2}{h} = \frac{2 + 4h + 2h^2 - 2}{h} = \frac{4h + 2h^2}{h} = 4 + 2h\). Der Grenzwert für \(h \to 0\) ergibt \(f'(1) = 4\). 2. Der Differenzenquotient für \(x \to 1\) lautet: \(\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{2x^2 - 2}{x - 1} = \frac{2(x^2 - 1)}{x - 1}\). Durch Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt sich \(\frac{2(x-1)(x+1)}{x-1} = 2(x+1)\). Der Grenzwert für \(x \to 1\) ergibt \(2(1+1) = 4\). 3. Beide Ansätze führen zum selben Ergebnis \(f'(1) = 4\). Ohne die Grenzwertbetrachtung würde man bei direktem Einsetzen von \(h = 0\) oder \(x = 1\) einen mathematisch nicht definierten Ausdruck der Form \(\frac{0}{0}\) erhalten, da eine Division durch Null nicht zulässig ist. Der Grenzwert erlaubt es, das Verhalten der Steigung „unendlich nahe“ an der Stelle zu untersuchen, ohne tatsächlich durch Null zu teilen.

1. \(f'(1) = \lim_{h \to 0} (4 + 2h) = 4\) 2. \(f'(1) = \lim_{x \to 1} 2(x+1) = 4\) 3. Ein direktes Einsetzen von \(h=0\) oder \(x=1\) führt zur Division durch Null (\(\frac{0}{0}\)), was mathematisch nicht definiert ist.

- Wie kannst du \(V(4+h)\) aus der gegebenen Funktionsgleichung bestimmen? - Welche Terme bleiben nach dem Kürzen noch von \(h\) abhängig? - Welche Einheit hat eine Volumenänderung pro Minute?

1. Es gilt \(V(4)=40\) und \(V(4+h)=0{,}5(4+h)^3+2(4+h)=40+26h+6h^2+0{,}5h^3\). 2. Damit ist \(\frac{V(4+h)-V(4)}{h}=\frac{26h+6h^2+0{,}5h^3}{h}=26+6h+0{,}5h^2\). 3. Für \(h\to0\) folgt \(\lim_{h\to0}(26+6h+0{,}5h^2)=26\). Die momentane Zuflussrate beträgt \(26\,\text{L/min}\). 4. Der Wert gibt an, wie schnell das Wasservolumen genau nach 4 Minuten zunimmt. Geometrisch ist er die Tangentensteigung am Graphen von \(V\) bei \(t=4\).

a) \(26+6h+0{,}5h^2\) b) \(26\,\text{L/min}\) c) Das Wasservolumen nimmt zum Zeitpunkt \(t=4\,\text{min}\) momentan mit \(26\,\text{L}\) pro Minute zu.

- Stelle die Sekantensteigung zunächst in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Welche Gleichung entsteht aus der vorgegebenen Sekantensteigung \(4\)? - In Teil 2 suchst du die Stelle, an der die gegebene Änderungsratenfunktion den Wert \(4\) annimmt.

1. Die Sekantensteigung ist \(\frac{f_a(3)-f_a(1)}{3-1}=\frac{9a-a}{2}=4a\). Aus \(4a=4\) folgt \(a=1\). 2. Für \(a=1\) ist \(f_1'(x)=2x\) gegeben. Aus \(2x=4\) folgt \(x=2\).

1. \(a=1\) 2. \(x=2\)

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Kannst du den Zähler im Bruch so zerlegen, dass du mit dem Nenner kürzen kannst? - Denk an die dritte binomische Formel, um höhere Potenzen schrittweise zu zerlegen. - Welchen Wert erhältst du, wenn du für \(x\) die Zahl \(2\) in den vereinfachten Term einsetzt?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für die Stelle \(x_0 = 2\): \(\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{x^4 - 2^4}{x - 2} = \frac{x^4 - 16}{x - 2}\) 2. Faktorisieren des Zählers mithilfe der binomischen Formeln: \(x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\) 3. Kürzen des Faktors \((x - 2)\) im Bruch: \((x + 2)(x^2 + 4)\) 4. Berechnung des Grenzwerts für \(x \to 2\): \(\lim_{x \to 2} (x + 2)(x^2 + 4) = (2 + 2) \cdot (2^2 + 4) = 4 \cdot 8 = 32\)

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x = 2\) beträgt \(32\).

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für den Differenzenquotienten ein. - Um Brüche im Zähler zu subtrahieren, musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Achte beim Auflösen der Klammern im Zähler besonders auf das Minuszeichen. - Nach dem Kürzen von \(h\) kannst du den Grenzübergang durchführen.

1. Bestimmen der Funktionswerte an der Stelle \(a=1\) und \(a+h\): \(f(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\) und \(f(1+h) = \frac{1}{1+h+1} = \frac{1}{2+h}\) 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h}\) 3. Vereinfachen des Zählers durch Erweitern auf den Hauptnenner \(2 \cdot (2+h)\): \(\frac{2 - (2+h)}{2 \cdot (2+h)} = \frac{-h}{2 \cdot (2+h)}\) 4. Einsetzen in den gesamten Bruch und Kürzen von \(h\): \(\frac{-h}{2 \cdot (2+h) \cdot h} = \frac{-1}{2 \cdot (2+h)}\) 5. Grenzwertbildung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} \frac{-1}{2 \cdot (2+h)} = \frac{-1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}\) Die Tangentensteigung an der Stelle \(a = 1\) beträgt \(f'(1) = -0{,}25\).

\(f'(1) = -\frac{1}{4} = -0{,}25\)

- Was genau gibt der Differenzenquotient an, wenn \(h\) immer kleiner wird? - Setze den Term \(1+h\) für jedes \(x\) in die Funktionsgleichung ein. - Denke beim Auflösen von \((1+h)^2\) an die binomischen Formeln. - Wie kannst du den Bruch so vereinfachen, dass du \(h\) im Nenner kürzen kannst? - Was passiert mit dem Term, in dem noch ein \(h\) vorkommt, wenn \(h\) gegen Null geht?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = 2 \cdot 1^2 - 1 = 1\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{2(1+h)^2 - (1+h) - 1}{h}\). 3. Vereinfachen des Zählers: \(2(1 + 2h + h^2) - 1 - h - 1 = 2 + 4h + 2h^2 - 2 - h = 3h + 2h^2\). 4. Kürzen des Bruchs durch \(h\): \(\frac{3h + 2h^2}{h} = 3 + 2h\). 5. Bestimmung des Grenzwerts für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (3 + 2h) = 3\).

Die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 1\) beträgt \(3\).

- Kannst du den Term \((2+h)^3\) schrittweise ausmultiplizieren, zum Beispiel als \((2+h)^2 \cdot (2+h)\)? - Achte darauf, den Faktor \(\frac{1}{2}\) auf alle Teile des ausmultiplizierten Terms anzuwenden. - Nach dem Subtrahieren von \(f(2)\) sollten im Zähler nur noch Terme stehen, die ein \(h\) enthalten. - Was bedeutet es für die Steigung, wenn die restlichen \(h\)-Terme verschwinden?

1. Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \(x_0 = 2\): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 + 1 = 5\). 2. Aufstellen des Differenzenquotienten: \(\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{0{,}5(2+h)^3 + 1 - 5}{h}\). 3. Ausmultiplizieren des Terms \((2+h)^3\): \((2+h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3\). 4. Vereinfachen des Zählers: \(0{,}5(8 + 12h + 6h^2 + h^3) - 4 = 4 + 6h + 3h^2 + 0{,}5h^3 - 4 = 6h + 3h^2 + 0{,}5h^3\). 5. Kürzen durch \(h\): \(\frac{6h + 3h^2 + 0{,}5h^3}{h} = 6 + 3h + 0{,}5h^2\). 6. Grenzwertbetrachtung für \(h \to 0\): \(\lim_{h \to 0} (6 + 3h + 0{,}5h^2) = 6\).

Die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 2\) beträgt \(6\).

- Überlege zuerst, wie man die Durchschnittsgeschwindigkeit über einen kleinen Zeitraum berechnet. - Was passiert mit diesem Zeitraum, wenn man die Geschwindigkeit genau in einem Moment wissen möchte? - Setze die Funktionsvorschrift in die Formel für die Steigung einer Sekante ein. - Kannst du den Ausdruck so umformen, dass du den Zeitunterschied im Nenner kürzen kannst?

1. Aufstellen des Differenzenquotienten für das Intervall \([4; 4+h]\): \(\frac{s(4+h) - s(4)}{h}\). 2. Einsetzen der Funktionswerte: \(s(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 = 8\) und \(s(4+h) = 0{,}5 \cdot (4+h)^2 = 0{,}5 \cdot (16 + 8h + h^2) = 8 + 4h + 0{,}5h^2\). 3. Vereinfachen des Quotienten: \(\frac{8 + 4h + 0{,}5h^2 - 8}{h} = \frac{4h + 0{,}5h^2}{h} = 4 + 0{,}5h\). 4. Definition der Momentangeschwindigkeit als Grenzwert (Differentialquotient): \(v(4) = \lim_{h \to 0} (4 + 0{,}5h)\). 5. Berechnung des Grenzwerts: \(v(4) = 4\). Die Momentangeschwindigkeit beträgt \(4\,\text{m/s}\).

Die Momentangeschwindigkeit wird als Grenzwert des Differenzenquotienten für \(h \to 0\) definiert: \(v(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t_0+h) - s(t_0)}{h}\). Für \(t_0 = 4\) ergibt sich ein Wert von \(4\,\text{m/s}\).

- Welche Bedeutung hat eine Volumenänderung geteilt durch die zugehörige Zeitänderung? - Vereinfache \(V(5+h)-V(5)\), bevor du durch \(h\) kürzt. - Welche Terme verschwinden beim Grenzübergang \(h\to0\)?

1. Der Differenzenquotient \(\frac{V(5+h)-V(5)}{h}\) beschreibt die mittlere Volumenänderung pro Minute im Intervall \([5;5+h]\). 2. Es gilt \(V(5)=45\) und \(V(5+h)=45+8h-0{,}2h^2\). 3. Damit vereinfacht sich der Differenzenquotient zu \(\frac{8h-0{,}2h^2}{h}=8-0{,}2h\). 4. Für \(h\to0\) folgt \(\lim_{h\to0}(8-0{,}2h)=8\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(8\,\text{L/min}\).

Der Differenzenquotient \(\frac{V(5+h)-V(5)}{h}\) beschreibt die mittlere Volumenänderung pro Minute im Intervall \([5;5+h]\). Die momentane Änderungsrate bei \(t=5\,\text{min}\) beträgt \(8\,\text{L/min}\).

- Überlege dir, was der Differenzenquotient geometrisch an einer Kurve darstellt. - Wie verändert sich der Wert des Quotienten, wenn du das Zeitintervall immer kleiner wählst? - Stell dir den Flug des Balles bildlich vor: Wann bewegt er sich nach oben, wann nach unten? - Was passiert mit der Geschwindigkeit genau in dem Moment, in dem der Ball aufhört zu steigen und anfängt zu fallen?

1. Berechnung der näherungsweisen Momentangeschwindigkeiten mit dem vorwärts gerichteten Differenzenquotienten für \(\Delta t = 0{,}001\): Für \(t = 1\): \(\frac{h(1{,}001) - h(1)}{0{,}001} \approx 9{,}995\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). Für \(t = 2\): \(\frac{h(2{,}001) - h(2)}{0{,}001} \approx -0{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). Für \(t = 3\): \(\frac{h(3{,}001) - h(3)}{0{,}001} \approx -10{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) (exakter Grenzwert: \(-10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\)). 2. Interpretation der Vorzeichen: Der positive Näherungswert bei \(t = 1\) bedeutet, dass der Ball steigt. Bei \(t = 3\) ist der Wert negativ, also fällt der Ball. Der kleine negative Näherungswert bei \(t = 2\) entsteht, weil der vorwärts gerichtete Differenzenquotient das Intervall unmittelbar nach dem höchsten Punkt verwendet; die exakte Momentangeschwindigkeit ist dort \(0\). 3. Bestimmung des Umkehrpunktes: Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung \(h'(t) = -10t + 20\). Setze \(h'(t) = 0 \implies -10t + 20 = 0 \implies t = 2\,\text{s}\). Die maximale Höhe bei \(t = 2\) beträgt \(h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1 = -20 + 40 + 1 = 21\,\text{m}\).

a) \(v(1) \approx 9{,}995\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), \(v(2) \approx -0{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\), \(v(3) \approx -10{,}005\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). b) Positiv: Der Ball steigt. Negativ: Der Ball fällt. Der kleine negative Näherungswert bei \(t=2\) stammt vom vorwärts gerichteten Differenzenquotienten; exakt ist die Geschwindigkeit am höchsten Punkt null. c) Zeitpunkt \(t = 2\,\text{s}\), maximale Höhe \(h = 21\,\text{m}\).

- Was bedeutet eine Differenz von Funktionswerten im Hinblick auf die Kosten? - Ein Bruch aus Kostenänderung und Mengenänderung gibt Kosten pro Mengeneinheit an. Welches Wort beschreibt diesen Durchschnitt? - In der Wirtschaftswissenschaft nennt man die Ableitung der Kostenfunktion oft „Grenzkosten“. Was sagt dieser Wert aus?

1. \(K(x) - K(x_0)\) gibt die Änderung der Kosten in \(\text{€}\) an, wenn sich die gereinigte Schadstoffmenge von \(x_0\) auf \(x\) ändert. Für \(x > x_0\) sind dies die zusätzlichen Kosten. 2. \(\frac{K(x) - K(x_0)}{x - x_0}\) beschreibt die durchschnittliche Kostenänderung pro Kilogramm Schadstoff zwischen \(x_0\) und \(x\) in der Einheit \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\). 3. \(K'(x_0)\) bezeichnet die Grenzkosten an der Stelle \(x_0\). Sie geben näherungsweise an, wie viel die Reinigung eines weiteren Kilogramms Schadstoff kostet, wenn bereits \(x_0\,\text{kg}\) gereinigt wurden. Die Einheit ist \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\).

a) Kostenänderung bei einer Änderung der Reinigungsmenge von \(x_0\) auf \(x\) in \(\text{€}\). b) Durchschnittliche Kostenänderung pro Kilogramm im Intervall \([x_0; x]\) in \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\). c) Grenzkosten bei einer Menge von \(x_0\); sie geben die momentane Änderungsrate der Kosten in \(\frac{\text{€}}{\text{kg}}\) an.

- Welche zwei Funktionswerte brauchst du für die mittlere Änderungsrate? - Wie verändert sich die Sekante, wenn der zweite Zeitpunkt an \(t_0=1\) heranrückt? - Welche geometrischen Geraden gehören zu mittlerer beziehungsweise momentaner Änderungsrate?

1. Es gilt \(V(1)=6\) und \(V(4)=36\). Daher ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{V(4)-V(1)}{4-1}=10\,\text{L/min}\). 2. Für die momentane Änderungsrate gilt \(\lim_{h\to0}\frac{V(1+h)-V(1)}{h}=\lim_{h\to0}(7+h)=7\,\text{L/min}\). 3. Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch \(P(1\mid6)\) und \(Q(4\mid36)\). Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente im Punkt \(P(1\mid6)\).

1. \(10\,\text{L/min}\) 2. \(7\,\text{L/min}\) 3. Die mittlere Änderungsrate ist eine Sekantensteigung, die momentane Änderungsrate eine Tangentensteigung.

- Was bedeutet „Geschwindigkeit“ im Kontext einer Ort-Zeit-Funktion mathematisch gesehen? - Wie berechnet man die Steigung einer Kurve in einem ganz bestimmten Moment? - Stell dir vor, das Zeitintervall wird immer kleiner – was passiert dann mit der Durchschnittsgeschwindigkeit? - In der Physik entspricht die Steigung im \(s\)-\(t\)-Diagramm der Geschwindigkeit.

1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der mittleren Änderungsrate im Intervall \([0; 5]\): \(\frac{s(5) - s(0)}{5 - 0}\). Mit \(s(5) = 30 \cdot 5 - 5^2 = 125\) und \(s(0) = 0\) folgt \(\frac{125 - 0}{5} = 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung \(s'(2)\): \(\lim_{h \to 0} \frac{s(2+h) - s(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{30(2+h) - (2+h)^2 - (30 \cdot 2 - 2^2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{60 + 30h - (4 + 4h + h^2) - 56}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{26h - h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (26 - h) = 26\). Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t = 2\) beträgt \(26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Die mittlere Änderungsrate gibt die durchschnittliche Veränderung über ein Zeitintervall an. Lässt man die Intervallbreite \(h\) gegen Null gehen, so nähert sich die mittlere Änderungsrate der momentanen Änderungsrate an. Mathematisch gesehen ist die momentane Änderungsrate der Grenzwert des Differenzenquotienten (der Differentialquotient).

1. Durchschnittsgeschwindigkeit: \(25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Momentangeschwindigkeit: \(26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate für ein gegen Null gehendes Zeitintervall.

- Setze für Teil 1 das Einkommen in die gegebene Funktion \(T'\) ein. - Der Durchschnittssteuersatz vergleicht die gesamte Steuer mit dem gesamten Einkommen. - Wie viel von einem zusätzlichen Euro bleibt bei einem Grenzsteuersatz von \(43\,\%\) übrig? - Vergleiche diesen lokalen Nettoanteil mit dem bisherigen durchschnittlichen Nettoanteil.

1. Es gilt \(T'(35000)=0{,}15+0{,}000008\cdot35000=0{,}43\), also \(43\,\%\). 2. \(T(35000)=0{,}15\cdot35000+0{,}000004\cdot35000^2=10150\,\text{€}\). Daher ist \(s(35000)=\frac{10150}{35000}=0{,}29=29\,\%\). 3. Vom zusätzlichen Einkommen bleiben lokal näherungsweise \(1-0{,}43=0{,}57\), also \(57\,\%\), als zusätzliches Nettoeinkommen übrig. Vom bisherigen Bruttoeinkommen bleiben im Durchschnitt \(1-0{,}29=0{,}71\), also \(71\,\%\), netto. Deshalb wächst das Nettoeinkommen bei einer kleinen Erhöhung prozentual langsamer.

1. \(43\,\%\) 2. Durchschnittssteuersatz: \(29\,\%\); der Grenzsteuersatz ist höher. 3. Lokal bleiben von zusätzlichem Einkommen nur etwa \(57\,\%\) netto, während der bisherige durchschnittliche Nettoanteil \(71\,\%\) beträgt.

- Suche im Zähler nach einem gemeinsamen Faktor, der auch im Nenner vorkommt. - Welche Funktionsart erhältst du nach dem Vereinfachen? - Bei einer linearen Funktion ist die momentane Änderungsrate überall gleich. - Was sagt das Vorzeichen der Änderungsrate über Zu- oder Abnahme aus?

1. Im Zähler kann \(1+0{,}02t\) ausgeklammert werden. Dadurch folgt \(R(t)=50000-5000(1+0{,}02t)=45000-100t\). 2. Eine lineare Funktion mit der Steigung \(-100\) hat überall die momentane Änderungsrate \(R''(t)=-100\). 3. Weil die Änderungsrate negativ ist, nimmt \(R\) mit wachsendem \(t\) gleichmäßig ab.

1. \(R(t)=45000-100t\) 2. \(R''(t)=-100\) 3. \(R\) nimmt gleichmäßig ab.

- Lies zuerst die Koordinaten zweier Punkte auf der Tangente \(t\) ab, um die Steigung zu bestimmen. - Berechne den Unterschied in \(y\)-Richtung geteilt durch den Unterschied in \(x\)-Richtung. - Setze für die rechnerische Lösung den Term \(3+h\) für \(x\) in die Funktionsgleichung ein und vereinfache den Zähler des Differenzenquotienten. - Kürze den Differenzenquotienten durch \(h\), bevor du den Grenzwert für \(h \to 0\) bestimmst.

1. Grafische Bestimmung: Um die Steigung der Tangente \(t\) grafisch zu bestimmen, wählt man zwei gut ablesbare Punkte auf der Tangente, beispielsweise den Berührpunkt \(A(3 \mid 0)\) und den Punkt \(P(4 \mid 2)\). Die Steigung beträgt: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2 - 0}{4 - 3} = 2\) Die grafisch bestimmte momentane Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 3\) beträgt somit \(2\). 2. Rechnerische Bestimmung: Wir stellen den Differenzenquotienten für \(x_0 = 3\) auf: \(\frac{f(3+h) - f(3)}{h}\) Da \(f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 0\), bestimmen wir zunächst \(f(3+h)\): \(f(3+h) = (3+h)^2 - 4(3+h) + 3 = 9 + 6h + h^2 - 12 - 4h + 3 = h^2 + 2h\) Einsetzen in den Differenzenquotienten liefert: \(\frac{h^2 + 2h - 0}{h} = \frac{h(h + 2)}{h} = h + 2\) (für \(h \neq 0\)) Nun führen wir den Grenzübergang \(h \to 0\) durch: \(f'(3) = \lim_{h \to 0} (h + 2) = 2\) Beide Methoden führen somit übereinstimmend zum Ergebnis \(2\).

a) Die grafisch bestimmte momentane Änderungsrate beträgt \(2\). b) Die rechnerische Bestimmung liefert ebenfalls \(2\).

- Ein Ableitungswert ist die Steigung der Tangente an der betreffenden Stelle. - Nutze die Beschriftungen \(t_1\) und \(t_2\), um die eingezeichneten Tangenten eindeutig zuzuordnen. - Wenn keine Tangente eingezeichnet ist, schätze die lokale Steigung aus dem Verlauf in unmittelbarer Umgebung. - Welche Symmetrie des Graphen hilft dir bei \(x=2\)?

1. Auf \(t_1\) liegen zum Beispiel \((-4|0)\) und \((-2|-2)\). Daher ist \(f'(-2)=\frac{-2-0}{-2-(-4)}=-1\). 2. Auf \(t_2\) liegen \((0|0)\) und \((1|2)\). Daher ist \(f'(0)=2\). 3. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung; die lokale Steigung bei \(x=2\) entspricht daher der bei \(x=-2\). Somit ist \(f'(2)=-1\). 4. Bei \(x=1\) ist der Graph steigend. Aus dem lokalen Verlauf ergibt sich näherungsweise \(f'(1)\approx1{,}25\); Werte zwischen \(1\) und \(1{,}5\) sind als Ableseschätzung plausibel.

a) \(f'(-2)=-1\) und \(f'(0)=2\) b) \(f'(2)=-1\) und \(f'(1)\approx1{,}25\); für \(f'(1)\) sind graphisch begründete Näherungen zwischen \(1\) und \(1{,}5\) plausibel.

- Wie hängen die Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen und die momentane Änderungsrate zusammen? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab und berechne deren Steigung. - Was ist der Unterschied zwischen der mittleren Änderungsrate (Sekantensteigung) und der momentanen Änderungsrate (Tangentensteigung)? - Wie verändert sich der Verlauf einer Kurve, wenn ihre Steigung immer kleiner wird?

1. Grafische Bestimmung der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit bei \(t = 4\): - Ablesen zweier gut ablesbarer Punkte auf der orangefarbenen Tangente, zum Beispiel \(A(2 \mid 3{,}0)\) und \(B(7 \mid 6{,}0)\). - Berechnung der Steigung: \(m = \frac{6{,}0 - 3{,}0}{7 - 2} = \frac{3}{5} = 0{,}6\). Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit am 4. Tag beträgt somit etwa \(0{,}6\,\text{cm/Tag}\). 2. Berechnung der mittleren Wachstumsgeschwindigkeit im Intervall \([0; 4]\): - Bestimmung der Funktionswerte: \(h(0) = 1\) und \(h(4) = 4{,}2\). - Berechnung des Differenzenquotienten: \(\frac{h(4) - h(0)}{4 - 0} = \frac{4{,}2 - 1}{4} = \frac{3{,}2}{4} = 0{,}8\). Die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 4 Tagen beträgt \(0{,}8\,\text{cm/Tag}\). Sie ist größer als die momentane Wachstumsgeschwindigkeit am 4. Tag von \(0{,}6\,\text{cm/Tag}\). 3. Erkennen der abnehmenden Wachstumsgeschwindigkeit am Graphen: - Der Graph verläuft von links nach rechts immer flacher. - Die Steigung der Tangenten an den Graphen nimmt mit zunehmender Zeit \(t\) kontinuierlich ab.

a) Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit am 4. Tag beträgt etwa \(0{,}6\,\text{cm/Tag}\); aus den Tangentenpunkten \((2 \mid 3)\) und \((7 \mid 6)\) ergibt sich \(m = \frac{6 - 3}{7 - 2} = 0{,}6\). b) Die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in \([0; 4]\) beträgt \(0{,}8\,\text{cm/Tag}\) und ist größer als die momentane am 4. Tag. c) Der Graph wird von links nach rechts immer flacher, daher werden die Tangentensteigungen kleiner.

- Erinnere dich daran, wie man Funktionswerte für ein gegebenes \(x\) am Graphen abliest: Gehe auf der horizontalen Achse zum Wert und lies den zugehörigen Wert auf der vertikalen Achse ab. - Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall \([a; b]\) ist definiert als der Differenzenquotient \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\). Überlege, welche geometrische Linie zwei Punkte auf einem Graphen verbindet. - Die momentane Änderungsrate an einer Stelle \(x\) entspricht der Ableitung \(f'(x)\). Wie verhält sich eine Linie, die den Graphen in genau einem Punkt berührt und dort die gleiche Steigung hat? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der Tangente ab und berechne daraus ihre Steigung.

1. Ablesen der Funktionswerte: Durch Ablesen am Graphen bei den entsprechenden \(x\)-Werten erhält man: \(f(0) = 1\) \(f(6) = 4\) 2. Berechnung der mittleren Änderungsrate: Die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0; 6]\) wird über den Differenzenquotienten berechnet: \(\frac{f(6) - f(0)}{6 - 0} = \frac{4 - 1}{6 - 0} = \frac{3}{6} = 0{,}5\) Geometrische Bedeutung: Dieser Wert entspricht der Steigung der Sekante durch die beiden Punkte \(A(0 \mid 1)\) und \(B(6 \mid 4)\) auf dem Graphen von \(f\). 3. Bestimmung der momentanen Änderungsrate: Die momentane Änderungsrate \(f'(2)\) an der Stelle \(x = 2\) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt \((2 \mid 4)\). Legt man an dieser Stelle eine Tangente an, so verläuft diese durch die Punkte \((0 \mid 2)\) und \((2 \mid 4)\). Die Steigung beträgt somit: \(f'(2) = \frac{4 - 2}{2 - 0} = 1\) Geometrische Bedeutung: Dieser Wert entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P(2 \mid f(2))\).

a) \(f(0) = 1\) und \(f(6) = 4\). b) Die mittlere Änderungsrate beträgt \(0{,}5\); geometrisch entspricht sie der Steigung der Sekante durch \((0 \mid 1)\) und \((6 \mid 4)\). c) Die momentane Änderungsrate beträgt \(f'(2) = 1\); geometrisch entspricht sie der Steigung der Tangente im Punkt \((2 \mid 4)\).

- Berechne jede Sekantensteigung aus der Änderung der Funktionswerte geteilt durch die Änderung der \(x\)-Werte. - Vergleiche, wie sich die Werte verändern, wenn der zweite Punkt näher an \(P\) rückt. - Eine Vermutung aus endlich vielen Sekantenwerten ist noch kein Beweis; bestätige sie mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten.

1. Für \(P(2\mid2)\) und \(Q(4\mid5)\) ist die Sekantensteigung \(\frac{5-2}{4-2}=1{,}5\). 2. Es gilt \(f(3)=3{,}25\). Daher beträgt die Sekantensteigung durch \(P\) und \(Q_1\) gleich \(\frac{3{,}25-2}{3-2}=1{,}25\). 3. Es gilt \(f(2{,}5)=2{,}5625\). Somit ist die Sekantensteigung durch \(P\) und \(Q_2\) gleich \(\frac{2{,}5625-2}{2{,}5-2}=1{,}125\). 4. Die Werte \(1{,}5\), \(1{,}25\) und \(1{,}125\) stützen die Vermutung, dass die Sekantensteigungen bei Annäherung an \(x=2\) gegen \(1\) gehen. 5. Rechnerisch gilt \(f(2+h)=2+h+0{,}25h^2\). Daher ist \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=1+0{,}25h\) für \(h\ne0\), und somit \(f'(2)=\lim_{h\to0}(1+0{,}25h)=1\).

a) \(1{,}5\) b) \(1{,}25\) c) Die weitere Sekantensteigung beträgt \(1{,}125\). Daraus ist \(f'(2)=1\) eine plausible Vermutung; die \(h\)-Methode bestätigt \(f'(2)=1\).

- Überlege dir, welche physikalische Bedeutung die Steigung einer Kurve hat, wenn auf der vertikalen Achse die Höhe in Metern und auf der horizontalen Achse die Zeit in Stunden aufgetragen ist. - Wie kannst du die Steigung einer Kurve in einem bestimmten Punkt geometrisch veranschaulichen? Welche eingezeichnete Gerade im Punkt \(A\) hilft dir dabei? - Erinnere dich daran, welche Steigung eine waagerechte Gerade besitzt. - Vergleiche für Punkt \(D\) den Verlauf in seiner unmittelbaren Umgebung mit der besonders steilen Abwärtsstelle bei \(C\).

1. **Bedeutung im Sachzusammenhang**: Die momentane Änderungsrate gibt an, wie schnell sich der Wasserstand zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t\) ändert. Sie beschreibt die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit des Wassers. Da die Höhe in Metern und die Zeit in Stunden angegeben sind, lautet die Einheit Meter pro Stunde (\(\text{m/h}\)). 2. **Bestimmung der Änderungsraten**: - Im Punkt \(A(3 \mid 5)\) ist die Tangente bereits eingezeichnet. Aus zwei gut ablesbaren Punkten, beispielsweise näherungsweise bei \(t = 1\) und \(t = 5\), ergibt sich \(\frac{8{,}1 - 1{,}9}{5 - 1} = \frac{6{,}2}{4} \approx 1{,}55\,\text{m/h}\). Die momentane Änderungsrate beträgt somit etwa \(1{,}6\,\text{m/h}\); Werte im Bereich von \(1{,}5\,\text{m/h}\) bis \(1{,}7\,\text{m/h}\) sind plausibel. - Im Punkt \(B(6 \mid 8)\) liegt ein Hochpunkt vor. Hier verläuft die Tangente waagerecht, weshalb die Steigung und damit die momentane Änderungsrate genau \(0\,\text{m/h}\) beträgt. 3. **Beurteilung von Toms Aussage**: - Aus dem Verlauf in der unmittelbaren Umgebung von \(D(10 \mid 3{,}5)\) ergibt sich näherungsweise eine Änderungsrate von \(-1{,}4\,\text{m/h}\). Das Wasser sinkt dort also mit etwa \(1{,}4\,\text{m/h}\). Toms Schätzung von \(2\,\text{m/h}\) ist daher deutlich zu hoch. - Zudem sinkt das Wasser bei \(t = 10\) nicht am schnellsten. Die maximale Sinkgeschwindigkeit wird im Punkt \(C(9 \mid 5)\) erreicht, wo die Änderungsrate etwa \(-1{,}6\,\text{m/h}\) beträgt. Toms Aussage ist daher in beiden Punkten falsch.

a) Die momentane Änderungsrate beschreibt die Steig- oder Sinkgeschwindigkeit des Wassers und hat die Einheit \(\text{m/h}\). b) In \(A\) beträgt sie etwa \(1{,}6\,\text{m/h}\) (plausibel: \(1{,}5\) bis \(1{,}7\,\text{m/h}\)), in \(B\) \(0\,\text{m/h}\). c) Toms Aussage ist falsch: Bei \(D\) beträgt die Sinkrate etwa \(1{,}4\,\text{m/h}\), und am schnellsten sinkt das Wasser bei \(C\) mit etwa \(1{,}6\,\text{m/h}\).

- Welche Geradensteigung beschreibt eine mittlere Änderungsrate über ein Intervall? - Was bedeutet eine waagerechte Tangente für die momentane Änderungsrate? - Nutze in c) zwei gut ablesbare Punkte der eingezeichneten Tangente.

1. Aus dem Graphen liest man \(h(0)=2\), \(h(4)=10\) und \(h(6)=2\). Daher beträgt die mittlere Änderungsrate in \([0;4]\) gleich \(\frac{10-2}{4}=2\,\text{m/h}\). 2. Für \([4;6]\) ergibt sich \(\frac{2-10}{2}=-4\,\text{m/h}\). 3. Bei \(t=4\) ist der Graph lokal waagerecht. Daher ist die momentane Änderungsrate \(0\,\text{m/h}\); der Wasserstand ändert sich in diesem Moment nicht. 4. Die Tangente \(t\) durch \((0\mid0)\) und \(P(2\mid6)\) hat die Steigung \(\frac{6-0}{2-0}=3\,\text{m/h}\). Das ist die momentane Änderungsrate bei \(t=2\,\text{h}\).

a) In \([0;4]\): \(2\,\text{m/h}\); in \([4;6]\): \(-4\,\text{m/h}\) b) \(0\,\text{m/h}\); der Wasserstand ändert sich bei \(t=4\,\text{h}\) momentan nicht. c) Bei \(t=2\,\text{h}\) beträgt die momentane Änderungsrate \(3\,\text{m/h}\).

- Achte auf das Vorzeichen: Wenn eine Gerade von links oben nach rechts unten verläuft, ist ihre Steigung negativ. - Für die Bestimmung der Steigung in den Punkten \(C\) und \(D\) hilft es, sich vorzustellen, wie eine Tangente dort verlaufen würde. - Prüfe deine Ergebnisse auf Plausibilität: Ist der Graph in \(C\) wirklich steiler als in \(D\)?

1. Die Tangente bei \(P(2 \mid 2)\) schneidet die Achsen bei \((4 \mid 0)\) und \((0 \mid 4)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - 4}{4 - 0} = -1\). Somit ist \(f'(2) = -1\). 2. Die Tangente bei \(Q(-2 \mid -2)\) verläuft durch \((0 \mid -4)\) und \((-4 \mid 0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-4 - 0}{0 - (-4)} = -1\). Somit ist \(f'(-2) = -1\). 3. Im Punkt \(C(1 \mid 4)\) fällt der Graph sehr steil. Eine gedachte Tangente zeigt, dass man für eine Einheit nach rechts etwa vier Einheiten nach unten gehen muss. Daher gilt näherungsweise \(f'(1) \approx -4\). 4. Im Punkt \(D(4 \mid 1)\) fällt der Graph flach. Für vier Einheiten nach rechts geht man etwa eine Einheit nach unten. Daher gilt näherungsweise \(f'(4) \approx -0{,}25\).

a) \(f'(2) = -1\) und \(f'(-2) = -1\); b) in \(C(1 \mid 4)\) gilt näherungsweise \(f'(1) \approx -4\), in \(D(4 \mid 1)\) gilt \(f'(4) \approx -0{,}25\).

- Berechne zunächst \(f(1)\) und \(f(1+h)\). - Vereinfache den Zähler des Differenzenquotienten vollständig. - Kürze erst für \(h\ne0\), bevor du den Grenzwert bildest.

1. Der Differenzenquotient an \(x_0=1\) lautet \(\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\). 2. Es gilt \(f(1)=5\) und \(f(1+h)=h^2+6h+5\). 3. Für \(h\ne0\) vereinfacht sich der Differenzenquotient zu \(\frac{h^2+6h}{h}=h+6\). 4. Daher ist \(f'(1)=\lim_{h\to0}(h+6)=6\).

\(f'(1)=6\)

- Stelle den Differenzenquotienten an \(x_0=-1\) auf. - Achte beim Quadrieren von \(-1+h\) auf alle Terme. - Kürze den Quotienten für \(h\ne0\), bevor du den Grenzwert bildest.

1. Der Differenzenquotient lautet \(\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}\). 2. Es gilt \(f(-1)=1\) und \(f(-1+h)=3h^2-6h+1\). 3. Für \(h\ne0\) vereinfacht sich der Quotient zu \(3h-6\). 4. Daher ist \(f'(-1)=\lim_{h\to0}(3h-6)=-6\).

Die Tangentensteigung beträgt \(-6\).

- Lies an der gestrichelten Tangente ein geeignetes Steigungsdreieck ab. - Überlege geometrisch, was eine reine Verschiebung nach oben oder unten mit der Neigung eines Graphen macht. - Bei einer horizontalen Verschiebung wandert eine Stelle mit einer bestimmten Graphenform zusammen mit dem Graphen.

1. Die Steigung der eingezeichneten Tangente erhält man aus dem Steigungsdreieck. Bei \(\Delta x=1\) steigt die Tangente um \(\Delta y=1\). Daher ist die momentane Steigung \(f'(3)=\frac{1}{1}=1\). 2. Der Graph von \(g\) ist nur vertikal verschoben. Dadurch ändern sich die Tangentenrichtungen an gleichen \(x\)-Stellen nicht. Deshalb gilt \(g'(3)=f'(3)=1\). 3. Der Graph von \(h\) ist um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Damit wandert auch die Stelle mit derselben Tangentensteigung um \(2\) Einheiten nach rechts: von \(x=3\) zu \(x=5\). Die zweite gestrichelte Tangente bestätigt dies.

1. \(f'(3)=1\) 2. Eine vertikale Verschiebung ändert die Tangentensteigung an derselben \(x\)-Stelle nicht; daher gilt \(g'(3)=1\). 3. Bei \(x=5\).

- Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente. - Suche zwei gut ablesbare Punkte auf der Tangente. - Achte auf Vorzeichen und Einheit. - Vergleiche, wie steil der Graph am Anfang und später fällt.

1. Die momentane Änderungsrate bei \(t=10\) ist die Steigung der eingezeichneten Tangente. 2. Auf der Tangente liegen zum Beispiel die gut ablesbaren Punkte \((0\mid70)\) und \((20\mid30)\). 3. Damit ist \(m\approx\frac{30-70}{20-0}=-2\). 4. Nach \(10\,\text{min}\) ändert sich die Temperatur also mit etwa \(-2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). Der Kaffee kühlt mit etwa \(2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\) ab. 5. Der Graph wird mit zunehmender Zeit flacher. Der Betrag der negativen Tangentensteigung wird kleiner.

a) Etwa \(-2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\); die Abkühlgeschwindigkeit beträgt etwa \(2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). b) Der Graph wird mit der Zeit flacher; der Betrag der negativen Steigung wird kleiner.

- Welche Geradensteigung entspricht der momentanen Zuflussrate? - Nutze zwei gut ablesbare Punkte der Tangente. - Vergleiche die lokale Steilheit des Graphen zu früheren und späteren Zeiten.

1. Die momentane Zuflussrate bei \(t=4\) ist die Steigung der eingezeichneten Tangente. 2. Auf der Tangente liegen die Punkte \((0\mid5)\) und \((12\mid20)\). 3. Daher ist die Steigung \(\frac{20-5}{12-0}=\frac{15}{12}=1{,}25\). Die momentane Zuflussrate beträgt \(1{,}25\,\text{L/min}\). 4. Der Graph wird mit zunehmender Zeit immer flacher. Deshalb werden die lokalen Steigungen und damit die Zuflussraten kleiner.

a) \(1{,}25\,\text{L/min}\) b) Die Zuflussrate nimmt ab, weil der Graph mit der Zeit flacher wird.

- Für die mittlere Änderungsrate benötigst du nur den Start- und Endpunkt des Intervalls. - Schau dir den Verlauf des Graphen bei \(x = 3\) genau an. Gibt es dort eine Besonderheit? - Erinnere dich an die Begriffe Sekante und Tangente. - Wo geht es am steilsten „bergauf“?

1. Ablesen der Punkte: \(g(0) = 3\) und \(g(5) = 5\). Die mittlere Änderungsrate (Sekantensteigung) ist \(m_s = \frac{5 - 3}{5 - 0} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. An der Stelle \(x = 3\) hat der Graph einen lokalen Tiefpunkt. Die Tangente verläuft dort waagerecht, daher ist die momentane Änderungsrate (Ableitung) \(g'(3) = 0\). 3. Der Wert aus (1) ist die Steigung der Sekante durch die Punkte \((0 \mid 3)\) und \((5 \mid 5)\). Der Wert aus (2) ist die Steigung der Tangente an den Graphen an der Stelle \(x = 3\). 4. Die momentane Änderungsrate ist dort am größten, wo der Graph am steilsten ansteigt. Im betrachteten Intervall ist dies am rechten Rand bei \(x = 5\) der Fall.

1. \(0{,}4\); 2. \(0\); 3. (1) ist die Sekantensteigung, (2) ist die Tangentensteigung; 4. bei \(x = 5\), da der Graph dort die größte positive Steigung aufweist.

- Nutze für jede Sekante die Steigung aus den Koordinaten von \(P\) und \(Q\). - Vergleiche, wie sich die Sekantensteigungen verändern, wenn \(a\) näher an \(1\) rückt. - Unterscheide zwischen einer aus endlich vielen Werten begründeten Vermutung und einem exakt nachgewiesenen Grenzwert.

1. Berechnung der Sekantensteigungen mit \(m_s = \frac{f(a) - f(1)}{a - 1}\): Für \(a = 2\): \(m_s = \frac{1{,}8 - 1{,}1}{2 - 1} = 0{,}7\) Für \(a = 1{,}5\): \(m_s = \frac{1{,}3375 - 1{,}1}{1{,}5 - 1} = \frac{0{,}2375}{0{,}5} = 0{,}475\) Für \(a = 1{,}1\): \(m_s = \frac{1{,}1331 - 1{,}1}{1{,}1 - 1} = \frac{0{,}0331}{0{,}1} = 0{,}331\) 2. Mit kleiner werdendem Abstand zwischen \(a\) und \(1\) fallen die Sekantensteigungen von \(0{,}7\) über \(0{,}475\) auf \(0{,}331\). Die Werte legen deshalb eine Tangentensteigung von ungefähr \(0{,}3\) nahe. 3. Die drei berechneten Sekantensteigungen stützen die Vermutung \(m_t \approx 0{,}3\); einen exakten Nachweis des Grenzwerts liefern sie allein noch nicht.

a) Für \(a = 2\): \(m_s = 0{,}7\) Für \(a = 1{,}5\): \(m_s = 0{,}475\) Für \(a = 1{,}1\): \(m_s = 0{,}331\) b) Die Werte legen als Tangentensteigung \(m_t \approx 0{,}3\) nahe. Aus den drei Sekantensteigungen allein folgt der exakte Grenzwert noch nicht.

- Welche Bedeutung haben die beiden Achsen für die Einheit einer lokalen Änderungsrate? - Welche zwei markierten Punkte liegen auf der Tangente im Punkt \(P\)? - Wie lässt sich eine Steigung in \(\frac{\text{m}}{\text{km}}\) in einen prozentualen Höhenunterschied umrechnen? - Was verraten steigende beziehungsweise waagerechte Graphenabschnitte über das Vorzeichen der Tangentensteigung?

1. Die lokale Änderungsrate im Punkt \(P\) beschreibt die momentane Steigung des Geländes an dieser Stelle, also die Änderung der Höhe pro horizontal zurückgelegtem Kilometer. 2. Auf der Tangente sind \(P(2\mid130)\) und \(Q(4\mid250)\) markiert. Damit ist \(m=\frac{250-130}{4-2}=60\,\frac{\text{m}}{\text{km}}\). 3. Eine Steigung von \(60\,\text{m}\) auf \(1000\,\text{m}\) horizontaler Strecke entspricht \(\frac{60}{1000}=0{,}06=6\,\%\). 4. Bei \(s=1\,\text{km}\) steigt der Graph, daher ist die lokale Änderungsrate positiv. Am höchsten Punkt verläuft die Tangente waagerecht, daher ist die lokale Änderungsrate dort null.

a) Die lokale Änderungsrate beschreibt die momentane Steigung der Radstrecke im Punkt \(P\). b) \(60\,\frac{\text{m}}{\text{km}}\), also \(6\,\%\) c) Bei \(s=1\,\text{km}\) ist die lokale Änderungsrate positiv; am höchsten Punkt ist sie null.

- Die durchschnittliche Änderungsrate berechnet man aus der Differenz der End- und Anfangswerte geteilt durch die Länge des Zeitintervalls. - Für die momentane Änderungsrate liest du zwei gut erkennbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente ab. - Je steiler der Graph nach oben verläuft, desto schneller nimmt das Volumen zu.

1. Durchschnittliche Änderungsrate im Intervall \([0; 20]\): \(m_{\text{mittel}} = \frac{V(20) - V(0)}{20 - 0} = \frac{160 - 0}{20} = 8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). 2. Lokale Änderungsrate bei \(t = 10\): Die eingezeichnete Tangente im Punkt \((10 \mid 100)\) verläuft durch die gut ablesbaren Punkte \((0 \mid 20)\) und \((20 \mid 180)\). Damit ergibt sich \(V'(10) = \frac{180 - 20}{20 - 0} = 8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\). 3. Vergleich der Zuflussraten: Bei \(t = 5\) ist der Graph steiler als bei \(t = 25\). Daher ist die momentane Zuflussrate bei \(t = 5\) größer.

a) Die durchschnittliche Zuflussrate beträgt \(8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\); b) die lokale Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 10\,\text{min}\) beträgt \(8\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\); c) bei \(t = 5\) fließt das Wasser schneller in den Tank, da der Graph dort eine größere Steigung als bei \(t = 25\) aufweist.

- Überlege dir, wie die Steigung einer gedachten Tangente den lokalen Verlauf des Graphen beschreibt. - Das Maximum findest du dort, wo der Graph seinen höchsten Punkt hat. - Die momentane Änderungsrate ist negativ, wenn der Graph fällt. Wo fällt er besonders steil? - Was passiert mit der Steigung genau am „Gipfel“ des Graphen?

1. Aus dem Graphen lässt sich das Maximum bei \(t = 2\,\text{min}\) mit einer Temperatur von \(45\,{}^\circ\text{C}\) ablesen. 2. Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung einer gedachten Tangente. Aus dem lokalen Verlauf ergibt sich bei \(t = 4\) etwa \(-3\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). Bei \(t = 6\) beträgt die Steigung etwa \(-2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). 3. Das schnellste Abkühlen findet dort statt, wo der Graph am steilsten nach unten verläuft. Dies ist bei etwa \(t \approx 3{,}5\,\text{min}\) der Fall. 4. Zum Zeitpunkt \(t = 2\,\text{min}\) ist die Steigung der Tangente null. Das bedeutet, dass die Temperatur in diesem Moment weder steigt noch fällt; dort erreicht sie ihren höchsten Wert.

a) Die maximale Temperatur beträgt \(45\,{}^\circ\text{C}\) nach \(2\,\text{min}\). b) Bei \(t = 4\,\text{min}\) beträgt die Rate etwa \(-3\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\), bei \(t = 6\,\text{min}\) etwa \(-2\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\). c) Die Substanz kühlt bei etwa \(t \approx 3{,}5\,\text{min}\) am schnellsten ab, weil der Graph dort am steilsten nach unten verläuft. d) Die Änderungsrate ist bei \(t = 2\,\text{min}\) null; die Temperatur erreicht dort ihren höchsten Wert.

- Beschleunigung ist hier die Tangentensteigung des Geschwindigkeitsgraphen. - Lies für Teil b zwei Punkte der eingezeichneten Tangente ab. - Suche für Teil c die Stelle mit der größten positiven Steilheit. - Das Vorzeichen der Steigung zeigt, ob die Geschwindigkeit gerade zu- oder abnimmt.

1. Der höchste Punkt des Graphen liegt bei \(t=20\,\text{s}\). Dort beträgt die Geschwindigkeit \(10\,\text{m/s}\). 2. Die Tangente bei \(t=10\,\text{s}\) verläuft zum Beispiel durch \((6\mid2)\) und \((10\mid5)\). Ihre Steigung ist \((5-2):(10-6)=0{,}75\). Die Beschleunigung beträgt daher \(0{,}75\,\text{m/s}^2\). 3. Der Graph steigt bei \(t=10\,\text{s}\) am steilsten. Daher ist dort die positive momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit und damit die Beschleunigung am größten. 4. Bei \(t=5\,\text{s}\) ist die Steigung positiv; der Radfahrer wird schneller. Bei \(t=25\,\text{s}\) ist die Steigung negativ; er wird langsamer.

a) Nach \(20\,\text{s}\) mit \(10\,\text{m/s}\). b) \(0{,}75\,\text{m/s}^2\). c) Bei \(t=10\,\text{s}\). d) Bei \(5\,\text{s}\) nimmt die Geschwindigkeit zu; bei \(25\,\text{s}\) nimmt sie ab.

- Für a) nutze zwei gut ablesbare Punkte auf der eingezeichneten Tangente. - Die Tangente in a) liegt absichtlich nicht an der Stelle der größten Änderungsrate. - Vergleiche für b) die lokale Steilheit des blauen Graphen vor und nach der Mitte des Anstiegs. - Eine momentane Änderungsrate von \(0\) entspricht einer waagerechten Tangente.

1. Die Tangente bei \(t=3\,\text{h}\) verläuft durch \((2|2)\) und \((4|8)\). Daher beträgt ihre Steigung \(\frac{8-2}{4-2}=3\,\text{m/h}\). 2. Die lokalen Tangenten werden bis etwa \(t=6\,\text{h}\) immer steiler und danach wieder flacher. Daher ist die momentane Änderungsrate bei \(t=6\,\text{h}\) am größten. 3. Im Inneren des dargestellten Zeitbereichs ist der Graph bei \(t=12\,\text{h}\) waagerecht. Dort ist die momentane Änderungsrate \(0\,\text{m/h}\); die Füllhöhe ist in diesem Moment maximal und ändert sich momentan nicht.

a) \(3\,\text{m/h}\) b) Bei \(t=6\,\text{h}\); dort ist der Graph lokal am steilsten. c) Bei \(t=12\,\text{h}\); dort ändert sich die Füllhöhe momentan nicht und erreicht einen Höchststand.

- Wie hängen die Steigung einer Tangente und die Momentangeschwindigkeit zusammen? - Lies zwei gut erkennbare Punkte auf der orangefarbenen Tangente ab und berechne ihre Steigung. - Wie rechnet man Meter pro Sekunde in Kilometer pro Stunde um? - Vergleiche, wie steil der Graph zu verschiedenen Zeitpunkten verläuft.

1. Auf der eingezeichneten Tangente lassen sich beispielsweise die Punkte \((6\mid20)\) und \((10\mid50)\) ablesen. Ihre Steigung beträgt \(m\approx\frac{50-20}{10-6}=7{,}5\,\text{m/s}\). 2. Umrechnung: \(7{,}5\,\text{m/s}\cdot3{,}6=27\,\text{km/h}\). 3. Der Weg-Zeit-Graph wird mit zunehmender Zeit immer steiler. Damit werden auch die Tangentensteigungen und somit die Momentangeschwindigkeiten größer. Die Geschwindigkeit nimmt während der ersten \(10\) Sekunden zu.

1. Die Momentangeschwindigkeit beträgt näherungsweise \(7{,}5\,\text{m/s}\). 2. Das entspricht näherungsweise \(27\,\text{km/h}\). 3. Die Geschwindigkeit nimmt zu, weil der Weg-Zeit-Graph mit zunehmender Zeit immer steiler verläuft.

- Berechne für jede Funktion zuerst die mittlere Änderungsrate aus den beiden Intervallendpunkten. - Bestimme die momentane Änderungsrate bei \(x_0=2\) unabhängig davon mit dem Differentialquotienten. - Ein Beispiel mit übereinstimmenden Werten reicht nicht aus, um eine allgemeine Behauptung zu beweisen.

1. Für \(f(x)=x^2\) ist die mittlere Änderungsrate auf \([1;3]\) gleich \(\frac{9-1}{3-1}=4\). Die momentane Änderungsrate bei \(x_0=2\) folgt direkt aus dem Differentialquotienten: \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^2-4}{h}=4+h\). Für \(h\to0\) ergibt sich \(f'(2)=4\). Hier stimmen beide Werte überein. 2. Für \(g(x)=x^3\) ist die mittlere Änderungsrate \(\frac{27-1}{3-1}=13\). Für die momentane Änderungsrate gilt \(\frac{g(2+h)-g(2)}{h}=\frac{(2+h)^3-8}{h}=12+6h+h^2\). Für \(h\to0\) ergibt sich \(g'(2)=12\). Hier stimmen die Werte nicht überein. 3. Damit ist Leons allgemeine Behauptung falsch. Die Übereinstimmung beim quadratischen Beispiel ist keine allgemeine Regel.

a) Mittlere Änderungsrate \(4\), außerdem \(f'(2)=4\). b) Mittlere Änderungsrate \(13\), aber \(g'(2)=12\). Leons Behauptung ist allgemein falsch.

- Verwende für jedes Intervall dieselbe Sekantensteigungsformel. - Vergleiche, wie weit die Endpunkte der drei Intervalle jeweils von \(x=1\) entfernt sind. - Beobachte, welcher Zahl sich die drei Steigungen annähern.

1. Auf \([0;2]\) ist die Sekantensteigung \(\frac{8-0}{2-0}=4\). 2. Auf \([0{,}5;1{,}5]\) ist sie \(\frac{3{,}375-0{,}125}{1}=3{,}25\). 3. Auf \([0{,}9;1{,}1]\) ist sie \(\frac{1{,}331-0{,}729}{0{,}2}=3{,}01\). 4. Die dritte Sekante verwendet die Endpunkte, die am nächsten bei \(x=1\) liegen. Sie ist deshalb von den drei Sekanten die beste Näherung an die Tangentensteigung. 5. Die Werte nähern sich \(3\); daher ist \(f'(1)\approx3\).

a) \(4\), \(3{,}25\), \(3{,}01\). b) Die Sekante über \([0{,}9;1{,}1]\), weil ihre Endpunkte am nächsten bei \(x=1\) liegen. c) \(f'(1)\approx3\).

- Für a) vergleichst du zwei Höhenwerte über ein Zeitintervall. - Für b) setzt du den Zeitpunkt in die gegebene Funktion \(H'\) ein. - Für c) suchst du die Stellen, an denen \(H'\) den vorgegebenen Geschwindigkeitswert annimmt. - Prüfe anschließend, ob beide Lösungen im angegebenen Zeitintervall liegen.

1. Es gilt \(H(2)=\frac{124}{3}\) und \(H(5)=\frac{475}{3}\). 2. Die durchschnittliche Steiggeschwindigkeit ist \(\frac{H(5)-H(2)}{5-2}=39\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 3. Für \(t=4\) gilt \(H'(4)=-16+48+10=42\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 4. Für c) löst man \(-t^2+12t+10=43\), also \(t^2-12t+33=0\). 5. Daraus folgen \(t=6-\sqrt{3}\) und \(t=6+\sqrt{3}\). Beide Werte liegen im Modellintervall.

a) \(39\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) b) \(42\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) c) \(t_1=6-\sqrt{3}\,\text{s}\) und \(t_2=6+\sqrt{3}\,\text{s}\)