- Achte darauf, ob aufeinanderfolgende Werte einander näher kommen oder sich exakt wiederholen. - Wie erkennst du an einer Folge von Iterationswerten einen Zyklus? - Welche Größe steht beim Newton-Verfahren im Nenner und wann ist der nächste Schritt nicht definiert?

1. Bei A werden die Änderungen immer kleiner und die letzten angegebenen Werte stimmen bereits überein. Das Protokoll zeigt eine Annäherung an einen Wert. 2. Bei B wiederholen sich abwechselnd die beiden Werte \(0\) und \(1\). Das ist ein Zweierzyklus. 3. Bei C müsste der Newton-Schritt durch \(f'(2)=0\) teilen. Deshalb ist bereits der nächste Schritt nicht definiert und die Iteration nicht fortsetzbar.

A: Annäherung an einen Wert, weil sich die Werte stabilisieren. B: Zweierzyklus, weil sich \(0\) und \(1\) abwechseln. C: nicht fortsetzbar, weil im Newton-Schritt durch \(f'(2)=0\) geteilt werden müsste.

- Prüfe bei Rechnung A, ob sich Werte wiederholen. - Prüfe bei Rechnung B, ob die Änderungen zwischen aufeinanderfolgenden Werten kleiner werden.

1. In Rechnung A wiederholen sich die Werte \(0\) und \(1\). Die Folge gerät in einen Zweierzyklus und nähert sich keinem festen Wert. 2. In Rechnung B werden die Änderungen immer kleiner; die Werte nähern sich ungefähr \(-1{,}7693\). 3. Bei derselben Funktion kann also die Wahl des Startwerts darüber entscheiden, ob das Newton-Verfahren konvergiert oder in einen Zyklus gerät.

Rechnung A konvergiert nicht, sondern wechselt zwischen \(0\) und \(1\). Rechnung B nähert sich ungefähr \(-1{,}77\). Der Startwert kann also das Konvergenzverhalten des Newton-Verfahrens beeinflussen.

- Welche Rolle hat \(d\), wenn \(d=g'\) gilt? - Wann ist der Bruch in der Newton-Formel nicht definiert? - Lies die dazu passenden \(x\)-Werte am Graphen von \(d\) ab.

1. Für einen Newton-Schritt bei \(g\) gilt \(x_1=x_0-\frac{g(x_0)}{d(x_0)}\). 2. Mit \(x_0=3\), \(g(3)=1\) und \(d(3)=9\) folgt \(x_1=3-\frac{1}{9}=\frac{26}{9}\approx2{,}889\). 3. Am Graphen von \(d\) liegen Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=2\). 4. Für diese Startwerte wäre \(d(x_0)=g'(x_0)=0\). Dann steht in der Newton-Formel eine Division durch null; der Schritt ist nicht definiert.

a) \(x_1=\frac{26}{9}\approx2{,}889\) b) \(x_0=0\) und \(x_0=2\); dort gilt \(d(x_0)=g'(x_0)=0\), daher ist der Newton-Schritt nicht definiert.

- Welche x-Koordinaten gehören in jedem Bild zum Berührpunkt und zum Achsenschnittpunkt derselben Tangente? - Wie kannst du einen graphisch abgelesenen Tangentenschritt mit der Newton-Formel prüfen? - Welche Größe zeigt, wie gut der neue Wert die Gleichung \(f(x)=0\) erfüllt?

1. Aus der Abbildung liest man die Startwerte \(x_0=1\) und \(x_0=2\) ab. Die zugehörigen Tangenten schneiden die \(x\)-Achse bei \(x_1=2\) beziehungsweise \(x_1=1{,}75\). 2. Es gilt \(f'(x)=2x\). Für \(x_0=1\) erhält man \(x_1=1-\frac{-2}{2}=2\). 3. Für \(x_0=2\) erhält man \(x_1=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}=1{,}75\). 4. Für den ersten Wert ist \(|f(2)|=1\). Für den zweiten Wert ist \(\left|f\left(\frac{7}{4}\right)\right|=\frac{1}{16}=0{,}0625\). 5. Beim Startwert \(x_0=2\) ist \(|f(x_1)|\) nach einem Schritt kleiner.

a) Linker Berührpunkt: \(x_0=1\), \(x_1=2\); rechter Berührpunkt: \(x_0=2\), \(x_1=1{,}75\) b) Die Rechnung bestätigt \(x_1=2\) beziehungsweise \(x_1=\frac{7}{4}=1{,}75\). c) \(|f(2)|=1\) und \(\left|f\left(\frac{7}{4}\right)\right|=0{,}0625\); der kleinere Wert gehört zu \(x_0=2\).

- Welche Folge beginnt unterhalb und welche oberhalb des vermuteten gemeinsamen Werts? - Werden die Abstände zu diesem Wert im Verlauf kleiner? - Welche Gleichung muss der gemeinsame Wert erfüllen, wenn er ein Fixpunkt ist?

1. Die Startwerte sind \(x_0=0\) für A und \(x_0=6\) für B. 2. Für A gilt \(x_1=0{,}5\cdot0+1=1\). Für B gilt \(x_1=0{,}5\cdot6+1=4\). Die angegebenen ersten Schritte stimmen also mit der Iterationsvorschrift überein. 3. Folge A steigt von unten an, Folge B fällt von oben ab. Die Startwerte führen also zu unterschiedlichen Wegen. 4. Beide Folgen scheinen sich \(2\) zu nähern. Für einen Fixpunkt \(L\) gilt \(L=0{,}5L+1\), also \(L=2\).

a) A: \(x_0=0\) und \(x_1=1\); B: \(x_0=6\) und \(x_1=4\). b) A steigt von unten, B fällt von oben; die Verläufe sind verschieden. c) Beide nähern sich \(2\). Die Fixpunktgleichung \(L=0{,}5L+1\) ergibt \(L=2\).

- Welche der angegebenen Werte machen \(f(x)\) genau oder beinahe null? - Wird der Abstand der Werte aus Rechnung B zu \(1\) kleiner oder größer? - Was sagt ein kleiner Wert von \(|f(x_2)|\) über die Näherung aus?

1. Rechnung A erreicht mit \(x_1=-1\) bereits die Nullstelle \(-1\) und bleibt dort. 2. Die Werte aus Rechnung B liegen nahe bei \(1\) und bewegen sich weiter auf diese Nullstelle zu. 3. Für Rechnung A gilt \(|f(-1)|=0\). 4. Für Rechnung B ist \(|f(1{,}0323)|\approx0{,}0678\). 5. Verschiedene Startwerte können beim Newton-Verfahren zu verschiedenen Nullstellen führen.

a) Rechnung A nähert sich \(x=-1\), Rechnung B \(x=1\). b) Rechnung A: \(0{,}0000\); Rechnung B: \(\approx0{,}0678\) c) Der Startwert kann beeinflussen, zu welcher Nullstelle die Newton-Iteration führt.

- Halte beide Rechnungen vergleichbar: gleiche Methode, gleiche Schrittzahl und keine frühe Rundung. - Welche Größe kann zwei Näherungen vergleichen, ohne dass du die exakte Nullstelle kennen musst?

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=3x^2+8x\). 2. Für \(x_0=1\) ist \(x_1=1-\frac{-5}{11}=\frac{16}{11}\approx1{,}4545\) und \(x_2\approx1{,}3689\). 3. Mit dem ungerundeten zweiten Näherungswert gilt \(|f(x_2)|\approx0{,}0607\). 4. Für \(x_0=2\) ist \(x_1=2-\frac{14}{28}=1{,}5\) und \(x_2=1{,}5-\frac{2{,}375}{18{,}75}\approx1{,}3733\). 5. Mit dem ungerundeten zweiten Näherungswert gilt hier \(|f(x_2)|\approx0{,}1343\). 6. Für \(x_0=1\) ist \(|f(x_2)|\) nach zwei Schritten kleiner.

a) \(x_1\approx1{,}4545\); \(x_2\approx1{,}3689\) b) \(x_1=1{,}5000\); \(x_2\approx1{,}3733\) c) Mit den ungerundeten zweiten Näherungswerten gilt \(|f(x_2)|\approx0{,}0607\) für \(x_0=1\) und \(|f(x_2)|\approx0{,}1343\) für \(x_0=2\). Der kleinere Wert gehört zu \(x_0=1\).

- Welche Vorzeichen haben die Funktionswerte an den beiden Intervallgrenzen? - Welche Werte brauchst du an jedem aktuellen Näherungswert für den nächsten Newton-Schritt? - Vergleiche \(x_0\), \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\): Wiederholt sich ein Muster? - Wie erklären die Tangentenschnittpunkte dieses Muster?

1. Nachweis der Nullstelle: Es gilt \( f(-2) = (-2)^3 - 2 \cdot (-2) + 2 = -8 + 4 + 2 = -2 \) und \( f(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 \). Da ein Vorzeichenwechsel im Intervall \( [-2; -1] \) vorliegt und die Funktion stetig ist, existiert dort mindestens eine Nullstelle. 2. Berechnung der Newton-Schritte mit \( f'(x) = 3x^2 - 2 \): \( x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0 - \frac{2}{-2} = 1 \). \( x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1 - \frac{1^3 - 2 \cdot 1 + 2}{3 \cdot 1^2 - 2} = 1 - \frac{1}{1} = 0 \). \( x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} = 0 - \frac{2}{-2} = 1 \). 3. Beobachtung und Erklärung: Die Werte alternieren zwischen \( 0 \) und \( 1 \). Geometrisch bedeutet dies, dass die Tangente an den Graphen an der Stelle \( x=0 \) die \(x\)-Achse genau bei \( x=1 \) schneidet und die Tangente an der Stelle \( x=1 \) die \(x\)-Achse wiederum genau bei \( x=0 \) schneidet. Das Verfahren gerät in einen Zyklus und konvergiert nicht gegen die tatsächliche Nullstelle bei ca. \( -1{,}769 \).

a) \(f(-2)=-2\) und \(f(-1)=3\). Wegen des Vorzeichenwechsels liegt im Intervall mindestens eine Nullstelle. b) \(x_1=1\), \(x_2=0\), \(x_3=1\) c) Die Werte wechseln zwischen \(0\) und \(1\). Die Tangente bei \(x=0\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(1\), die Tangente bei \(x=1\) wieder bei \(0\). Das Verfahren gerät in einen Zweierzyklus.

- Welche Größe steht im Nenner der Newton-Formel? - Wie groß ist die Ableitung bei \(x_0=2{,}1\), und was sagt das über die Tangentensteigung? - Wo liegt der \(x\)-Achsen-Schnittpunkt einer fast waagrechten Tangente im Vergleich zum Berührpunkt?

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=3x^2-6x\). 2. Für \(x_0=2\) gilt \(f'(2)=0\). Da die Ableitung im Nenner der Newton-Formel steht, ist der Schritt nicht definiert. Geometrisch ist die Tangente dort waagrecht. 3. Für \(x_0=2{,}1\) gilt \(f(2{,}1)=-2{,}969\) und \(f'(2{,}1)=0{,}63\). 4. Damit ist \(x_1=2{,}1-\frac{-2{,}969}{0{,}63}\approx6{,}81\). 5. Der Wert liegt weit von allen drei Nullstellen entfernt. Die Tangente ist nahe \(x=2\) sehr flach; ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt deshalb weit vom Startwert entfernt.

a) \(f'(2)=0\); der Newton-Schritt ist wegen der Division durch null nicht definiert. b) \(x_1\approx6{,}81\) c) \(x_1\) liegt weit von allen Nullstellen entfernt. Eine sehr kleine Tangentensteigung kann zu einem sehr großen Newton-Schritt führen.

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für einen Schritt des Näherungsverfahrens. Welche Funktionswerte benötigst du dafür? - Was bedeutet es geometrisch, wenn wir eine Tangente an den Graphen legen? Wie hängt die Steigung dieser Tangente mit der Ableitung zusammen? - Betrachte den Graphen an der Stelle \(x = 1\). Welche besondere Eigenschaft hat die Kurve dort und was bedeutet das für die Tangente? - Stelle dir die Tangente an der Stelle \(x = 1{,}1\) vor. Wo schneidet diese Tangente die \(x\)-Achse?

1. Ableitung der Funktion bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 3\) 2. Ersten Schritt für \(x_0 = 2\) berechnen: \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 1 = 3\) \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 3 = 9\) \(x_1 = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 - \frac{3}{9} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\) 3. Zweiten Schritt für \(x_1 = \frac{5}{3}\) berechnen: \(f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^3 - 3 \cdot \frac{5}{3} + 1 = \frac{125}{27} - 4 = \frac{17}{27}\) \(f'\left(\frac{5}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 3 = \frac{25}{3} - 3 = \frac{16}{3}\) \(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{f\left(\frac{5}{3}\right)}{f'\left(\frac{5}{3}\right)} = \frac{5}{3} - \frac{\frac{17}{27}}{\frac{16}{3}} = \frac{5}{3} - \frac{17}{144} = \frac{223}{144} \approx 1{,}549\) 4. Begründung für \(x_0 = 1\): Rechnerisch gilt \(f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 0\). Da die Newton-Formel eine Division durch \(f'(x_n)\) verlangt, ist der Schritt für \(f'(x_0) = 0\) nicht definiert. Anschaulich besitzt die Funktion bei \(x = 1\) ein lokales Minimum. Die Tangente an dieser Stelle verläuft waagerecht und schneidet die \(x\)-Achse nicht. 5. Erklärung für \(x_0 = 1{,}1\): Da \(x_0 = 1{,}1\) sehr nahe am Tiefpunkt bei \(x = 1\) liegt, ist die Steigung der Tangente dort sehr klein (\(f'(1{,}1) = 0{,}63\)). Da der Funktionswert negativ ist (\(f(1{,}1) = -0{,}969\)), führt die flache Tangente dazu, dass man entlang dieser Linie sehr weit nach rechts gehen muss, um die \(x\)-Achse zu schneiden (\(x_1 \approx 2{,}64\)).

a) \(x_1 = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\) und \(x_2 = \frac{223}{144} \approx 1{,}549\) b) Rechnerisch ist \(f'(1) = 0\), weshalb eine Division durch null entstehen würde. Anschaulich verläuft die Tangente am Tiefpunkt waagerecht und hat keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. c) Da die Steigung der Tangente nahe am Tiefpunkt sehr klein ist, verläuft sie fast waagerecht. Von einem Punkt unterhalb der \(x\)-Achse aus liegt ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse deshalb weit rechts von der tatsächlichen Nullstelle.

- Welche Größen brauchst du an jedem Start- oder Näherungswert für einen Newton-Schritt? - Was bedeutet es für die Newton-Formel und geometrisch für die Tangente, wenn die Ableitung null ist? - Verwende in Teil c jeden neu berechneten Wert als Startwert des nächsten Schritts. - Vergleiche die drei Näherungswerte anschließend mit der Lage der im Graphen sichtbaren Nullstellen, ohne aus nur einem Schritt auf das Langzeitverhalten zu schließen.

1. Für Teil a gilt \(f(1)=-0{,}1\) und \(f'(x)=0{,}3x^2-1{,}2\), also \(f'(1)=-0{,}9\). Damit ist \(x_1=1-\frac{-0{,}1}{-0{,}9}=\frac{8}{9}\approx0{,}89\). 2. Für Teil b gilt \(f'(2)=0{,}3\cdot2^2-1{,}2=0\). Daher ist der Newton-Schritt nicht definiert. Bei \(x=2\) liegt ein lokales Minimum mit waagerechter Tangente vor. 3. Für Teil c gilt \(f(-1{,}5)=2{,}4625\) und \(f'(-1{,}5)=-0{,}525\). Somit ist \(x_1=-1{,}5-\frac{2{,}4625}{-0{,}525}=\frac{67}{21}\approx3{,}19\). 4. Mit \(x_1=\frac{67}{21}\) ergibt der nächste Newton-Schritt \(x_2\approx2{,}9644\approx2{,}96\). 5. Ein weiterer Schritt liefert \(x_3\approx2{,}9312\approx2{,}93\). 6. Die Werte \(3{,}19\), \(2{,}96\) und \(2{,}93\) nähern sich von rechts der im Graphen erkennbaren rechten Nullstelle bei etwa \(x=2{,}93\). Damit nähern sich die Werte offenbar dieser Nullstelle.

a) \(x_1=\frac{8}{9}\approx0{,}89\) b) Für \(x_0=2\) gilt \(f'(2)=0\); der Newton-Schritt ist nicht definiert und die Tangente ist waagerecht. c) \(x_1=\frac{67}{21}\approx3{,}19\), \(x_2\approx2{,}96\), \(x_3\approx2{,}93\). Die Werte nähern sich von rechts der rechten Nullstelle; diese wird offenbar angenähert.

- Welche Stellen des Graphen kommen als Nullstellen infrage? - Welche zwei Funktionsgrößen brauchst du am jeweiligen Startwert für einen Newton-Schritt? - Wie kannst du zwei Näherungen vergleichen, ohne die genaue Nullstelle zu kennen?

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen ungefähr bei \(x=-2{,}5\), \(x=0{,}5\) und \(x=1{,}9\) ab. 2. Es gilt \(f'(x)=0{,}6x^2-1\). 3. Für \(x_0=2\) ist \(f(2)=0{,}1\) und \(f'(2)=1{,}4\). Daher ist \(x_1=2-\frac{0{,}1}{1{,}4}=\frac{27}{14}\approx1{,}929\). 4. Für diesen Wert gilt exakt \(f\left(\frac{27}{14}\right)=\frac{83}{13720}\), also \(\left|f(x_1)\right|\approx0{,}0060\). 5. Für \(x_0=2{,}5\) ist \(x_1=\frac{23}{11}\approx2{,}0909\). 6. Hier gilt exakt \(f\left(\frac{23}{11}\right)=\frac{3159}{13310}\), also \(\left|f(x_1)\right|\approx0{,}2373\). 7. Der kleinere Wert von \(|f(x_1)|\) gehört zu \(x_0=2\).

a) Ungefähr \(-2{,}5\), \(0{,}5\), \(1{,}9\) b) \(x_1=\frac{27}{14}\approx1{,}929\) c) Für \(x_0=2\): \(|f(x_1)|\approx0{,}0060\). Für \(x_0=2{,}5\): \(x_1\approx2{,}0909\), \(|f(x_1)|\approx0{,}2373\). Der kleinere Wert gehört zu \(x_0=2\).

- Rechne bei der Iteration intern genauer als die zwei Dezimalstellen des Endergebnisses. - Welche Steigung hat der Graph im Ursprung? - Vergleiche die rechnerische Ableitung dort mit der Form des Graphen in der Abbildung.

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-4x\). 2. Aus \(x_0=3\) folgen nacheinander \(x_1\approx2{,}7167\), \(x_2\approx2{,}6234\), \(x_3\approx2{,}6132\) und \(x_4\approx2{,}6131\). 3. Damit ist die größte positive Nullstelle auf zwei Dezimalstellen \(x\approx2{,}61\). 4. Für \(x_0=0\) gilt \(f'(0)=0\). Die Newton-Formel ist daher nicht definiert. 5. In der Abbildung erkennt man bei \(x=0\) eine waagrechte Tangente am lokalen Maximum; sie schneidet die \(x\)-Achse nicht.

a) \(x\approx2{,}61\) b) Bei \(x_0=0\) gilt \(f'(0)=0\); die Tangente ist waagrecht und der Newton-Schritt nicht definiert.

- Welche Ableitung steht im Nenner der Newton-Formel? - An welcher Stelle landet der erste Newton-Schritt? - Welche geometrische Eigenschaft hat der Graph genau an dieser Stelle?

1. Die Ableitung lautet \(h'(x)=2x-4\). 2. Für \(x_0=3\) gilt \(h(3)=2\) und \(h'(3)=2\). Daher ist \(x_1=3-\frac{2}{2}=2\). 3. Für den nächsten Schritt wäre \(h'(2)\) erforderlich; es gilt jedoch \(h'(2)=0\). Deshalb ist der Newton-Schritt nicht definiert. 4. Im Graphen liegt bei \(x=2\) das Minimum der Parabel. Die Tangente ist dort waagrecht und schneidet die \(x\)-Achse nicht. 5. Außerdem liegt das Minimum oberhalb der \(x\)-Achse, sodass \(h\) keine reelle Nullstelle besitzt.

a) \(x_1=2\) b) \(h'(2)=0\); die Formel für \(x_2\) würde durch null teilen. c) Bei \(x=2\) ist die Tangente am Minimum waagrecht; zudem besitzt die Parabel keine reelle Nullstelle.

- Vergleiche die eingezeichnete Tangente mit einer waagrechten Geraden. - Wo würde eine Gerade mit sehr kleiner Steigung die \(x\)-Achse erst schneiden? - Für Teil b brauchst du Funktionswert und Ableitungswert am Startwert.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=x^2-3\). Bei \(x=\sqrt{3}\approx1{,}732\) liegt ein lokales Minimum. 2. In der Nähe von \(x=1{,}7\) ist die Tangentensteigung sehr klein. Die eingezeichnete Tangente verläuft fast waagrecht; ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse liegt deshalb sehr weit vom Startwert entfernt. Ein Newton-Schritt kann dadurch in einen ganz anderen Bereich springen. 3. Für \(x_0=2{,}5\) gilt \(f(2{,}5)=-\frac{31}{24}\approx-1{,}2917\) und \(f'(2{,}5)=3{,}25\). 4. Damit ist \(x_1=2{,}5-\frac{-31/24}{3{,}25}\approx2{,}897\).

a) Nahe \(x=1{,}7\) ist die Tangente fast waagrecht; ihr \(x\)-Achsen-Schnittpunkt liegt daher sehr weit entfernt und kann die Iteration in einen anderen Nullstellenbereich führen. b) \(x_1\approx2{,}897\)

- Welche zusätzliche Größe musst du neben \(x_n\) beobachten, um das Abbruchkriterium zu prüfen? - Wenn zwei gerundete Näherungswerte gleich aussehen, reicht das allein noch nicht für das Abbruchkriterium. - Notiere bei beiden Startwerten, bei welchem Index das Kriterium erstmals erfüllt ist.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=x^3-4x+0{,}5\). 2. Für \(x_0=3\) entstehen nacheinander \(x_1\approx2{,}694\), \(x_2\approx2{,}586\), \(x_3\approx2{,}573\) und \(x_4\approx2{,}573\). 3. Intern gilt \(|x_4-x_3|\approx0{,}000196<0{,}001\). Das Abbruchkriterium ist damit erstmals bei \(x_4\) erfüllt. 4. Für \(x_0=2{,}5\) entstehen \(x_1\approx2{,}579\), \(x_2\approx2{,}573\) und \(x_3\approx2{,}573\). 5. Intern gilt \(|x_3-x_2|\approx0{,}000046<0{,}001\). Hier ist das Abbruchkriterium erstmals bei \(x_3\) erfüllt. 6. Der Startwert \(x_0=2{,}5\) benötigt drei Newton-Schritte, \(x_0=3\) vier. Damit erreicht \(x_0=2{,}5\) das Kriterium schneller.

a) \(x_1\approx2{,}694\), \(x_2\approx2{,}586\), \(x_3\approx2{,}573\), \(x_4\approx2{,}573\); Abbruch bei \(x_4\). b) \(x_1\approx2{,}579\), \(x_2\approx2{,}573\), \(x_3\approx2{,}573\); Abbruch bei \(x_3\). c) \(x_0=2{,}5\) erreicht das Abbruchkriterium mit weniger Newton-Schritten.

- Welche Angaben musst du aus der Abbildung übernehmen, bevor du rechnen kannst? - Halte die beiden Rechnungen vergleichbar: gleiche Methode, gleiche Schrittzahl und keine frühe Rundung. - Wie kannst du beurteilen, welcher neue Wert die Gleichung besser erfüllt, ohne die exakte Nullstelle zu kennen?

1. Zu B gehört \(x_0=1{,}75=\frac{7}{4}\). Es gilt \(f\left(\frac{7}{4}\right)=-\frac{41}{64}\) und \(f'\left(\frac{7}{4}\right)=\frac{83}{16}\). Damit ist \(x_1=\frac{311}{166}\approx1{,}8735\). 2. Für B gilt \(\left|f\left(\frac{311}{166}\right)\right|\approx0{,}0819\). 3. Zu C gehört \(x_0=2\). Es gilt \(f(2)=1\) und \(f'(2)=8\). Damit ist \(x_1=\frac{15}{8}=1{,}8750\). 4. Für C gilt \(\left|f\left(\frac{15}{8}\right)\right|\approx0{,}0918\). 5. B liefert nach einem Schritt den kleineren Wert von \(|f(x_1)|\).

a) B: \(x_0=1{,}75\); C: \(x_0=2\) b) B: \(x_1\approx1{,}8735\), \(|f(x_1)|\approx0{,}0819\). C: \(x_1=1{,}8750\), \(|f(x_1)|\approx0{,}0918\). c) B liefert den kleineren Wert von \(|f(x_1)|\).

- Vergleiche die Menge, die täglich abgebaut wird, mit der Menge, die täglich neu hinzukommt. - Was müsste passieren, damit der Wert im Körper konstant bleibt? - Untersuche, wie sich der Abstand zum vermuteten Grenzwert von einem Schritt zum nächsten verändert.

1. Mit \(A_0=40\) und \(A_{n+1}=0{,}8A_n+5\) gilt: Nach Tag \(1\) sind \(40\cdot0{,}8+5=37\,\text{mg}\) vorhanden. Nach Tag \(2\) sind es \(37\cdot0{,}8+5=34{,}6\,\text{mg}\). 2. Für die Änderung gilt \(A_{n+1}-A_n=5-0{,}2A_n\). Solange \(A_n>25\) ist, ist diese Differenz negativ. 3. Außerdem gilt \(A_{n+1}-25=0{,}8(A_n-25)\). Alle Folgenglieder bleiben damit oberhalb von \(25\) und nähern sich diesem Wert. Die Folge sinkt monoton gegen \(25\,\text{mg}\). 4. Bei einer Abbaurate von \(25\,\%\) erfüllt der Grenzwert \(L=0{,}75L+5\). Somit gilt \(0{,}25L=5\) und \(L=20\,\text{mg}\). Der Grenzwert würde sinken.

a) Nach dem ersten Tag: \(37\,\text{mg}\); nach dem zweiten Tag: \(34{,}6\,\text{mg}\) b) Es gilt \(A_{n+1}-A_n=5-0{,}2A_n\), also ist die Änderung negativ, solange \(A_n>25\). Außerdem gilt \(A_{n+1}-25=0{,}8(A_n-25)\). Daher bleibt die Folge oberhalb von \(25\,\text{mg}\), sinkt monoton und nähert sich \(25\,\text{mg}\). c) Bei einer Abbaurate von \(25\,\%\) würde der Grenzwert auf \(20\,\text{mg}\) sinken.

- Prüfe jede vorgeschlagene Fixpunktgleichung durch algebraisches Rückumformen. - Bei einer Iteration ist nicht nur wichtig, ob eine Gleichung äquivalent ist, sondern wohin ihre wiederholte Anwendung führt. - Vergleiche mehrere aufeinanderfolgende Werte und beobachte, ob sie sich stabilisieren oder in einen anderen Lösungsbereich wandern. - Untersuche die drei Vorschriften für die beiden Startwerte getrennt.

1. Aus \(x^3-5x+1=0\) folgt durch Umstellen jeweils \(x=\frac{x^3+1}{5}\), \(x=\sqrt[3]{5x-1}\) und \(x=\frac{1}{5-x^2}\); alle drei Gleichungen sind daher äquivalent zur Ausgangsgleichung. 2. Für \(x_0=0\) liefert (1) die Werte \(0{,}2\), \(0{,}2016\), \(0{,}20164\), \(0{,}20164\); die Folge nähert sich der Lösung im Intervall \([0;1]\). 3. Für \(x_0=0\) liefert (2) ungefähr \(-1\), \(-1{,}8171\), \(-2{,}1606\), \(-2{,}2768\); diese Iteration führt nicht zur Lösung in \([0;1]\), sondern in Richtung der negativen Lösung. 4. Für \(x_0=0\) liefert (3) ungefähr \(0{,}2\), \(0{,}20161\), \(0{,}20164\), \(0{,}20164\); auch diese Folge nähert sich der Lösung in \([0;1]\). 5. Für \(x_0=2\) führt (1) über \(1{,}8\), \(1{,}3664\), \(0{,}7102\) zur kleinen positiven Lösung; (3) führt über \(1\), \(0{,}25\), \(0{,}2025\) ebenfalls dorthin. 6. Vorschrift (2) liefert für \(x_0=2\) ungefähr \(2{,}0801\), \(2{,}1105\), \(2{,}1218\), \(2{,}1260\) und führt damit zur Lösung im Intervall \([2;3]\), die ungefähr \(2{,}1284\) beträgt.

a) Alle drei Umformungen sind äquivalent zur Ausgangsgleichung. b) (1) \(0{,}2;0{,}2016;0{,}20164;0{,}20164\): Konvergenz zur Lösung in \([0;1]\). (2) \(-1;-1{,}8171;-2{,}1606;-2{,}2768\): keine Konvergenz zur Lösung in \([0;1]\). (3) \(0{,}2;0{,}20161;0{,}20164;0{,}20164\): Konvergenz zur Lösung in \([0;1]\). c) Nur (2) führt von \(x_0=2\) zur Lösung in \([2;3]\), ungefähr \(2{,}1284\).

- Welche besondere Stelle der Funktion liegt zwischen den beiden Startwerten? - Wie unterscheiden sich die Tangentensteigungen links und rechts eines lokalen Minimums? - Wo schneidet eine Newton-Tangente die \(x\)-Achse, wenn ihre Steigung das Vorzeichen wechselt? - Prüfe für \(x_0=1\) den Nenner der Newton-Formel.

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2-3\). 2. Für \(x_0=0{,}9\) gilt \(f(0{,}9)=-0{,}971\) und \(f'(0{,}9)=-0{,}57\). Damit ist \(x_1=0{,}9-\frac{-0{,}971}{-0{,}57}\approx-0{,}8035\). 3. Für \(x_0=1{,}1\) gilt \(f(1{,}1)=-0{,}969\) und \(f'(1{,}1)=0{,}63\). Damit ist \(x_1=1{,}1-\frac{-0{,}969}{0{,}63}\approx2{,}6381\). 4. Bei \(x=1\) liegt ein lokales Minimum. Links davon hat die Tangente negative, rechts davon positive Steigung; ihre Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen deshalb weit auseinander. 5. Für \(x_0=1\) ist \(f'(1)=0\). Die Tangente ist waagrecht, und die Newton-Formel würde durch \(0\) teilen.

a) Für \(x_0=0{,}9\): \(x_1\approx-0{,}8035\); für \(x_0=1{,}1\): \(x_1\approx2{,}6381\) b) Die Startwerte liegen auf verschiedenen Seiten des lokalen Minimums bei \(x=1\); die Tangentensteigungen haben unterschiedliche Vorzeichen und führen zu weit getrennten \(x\)-Achsen-Schnittpunkten. c) Bei \(x_0=1\) gilt \(f'(1)=0\); der Newton-Schritt ist nicht definiert.

- Welche Stellen des Graphen haben eine waagerechte Tangente? - Welche Größe steht im Nenner der Newton-Formel? - Verfolge bei \(x_0=3\) mehrere aufeinanderfolgende Näherungswerte und vergleiche ihre Lage mit den drei Nullstellen im Graphen. - Wie kannst du „näher an \(x=1\)“ als Abstand ausdrücken und vor sowie nach dem Newton-Schritt vergleichen?

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Daher ist \(f'(x)=0\) bei \(x=0\) und \(x=2\). Dort wäre der Nenner der Newton-Formel null; im Graphen sind die Tangenten waagerecht. 2. Für \(x_0=3\) gilt \(f(3)=2\) und \(f'(3)=9\). Damit ist \(x_1=3-\frac{2}{9}=\frac{25}{9}\approx2{,}7778\). 3. Für \(x_1=\frac{25}{9}\) ergibt sich \(x_2=\frac{12917}{4725}\approx2{,}7338\). 4. Weiter erhält man \(x_3\approx2{,}7321\) und \(x_4\approx2{,}7321\). Die Werte nähern sich damit der rechten Nullstelle \(1+\sqrt{3}\). 5. Für \(x_0=1{,}8=\frac{9}{5}\) ergibt sich \(x_1=\frac{7}{135}\). Der Abstand zu \(x=1\) wächst von \(\frac{4}{5}\) auf \(\frac{128}{135}\). 6. Für \(x_0=0{,}2=\frac{1}{5}\) ergibt sich \(x_1=\frac{263}{135}\). Der Abstand zu \(x=1\) wächst ebenfalls von \(\frac{4}{5}\) auf \(\frac{128}{135}\). 7. Damit widerlegen beide Startwerte die Behauptung, dass bereits der erste Newton-Schritt stets näher an die mittlere Nullstelle führt.

a) \(x_0=0\) und \(x_0=2\); dort gilt \(f'(x_0)=0\), die Tangenten sind waagerecht. b) 1. \(x_1=\frac{25}{9}\approx2{,}7778\), \(x_2=\frac{12917}{4725}\approx2{,}7338\). 2. \(x_3\approx2{,}7321\), \(x_4\approx2{,}7321\); die Werte nähern sich offenbar der rechten Nullstelle \(1+\sqrt{3}\). c) Für \(x_0=1{,}8\) gilt \(x_1=\frac{7}{135}\), für \(x_0=0{,}2\) gilt \(x_1=\frac{263}{135}\). In beiden Fällen wächst der Abstand zu \(x=1\) von \(\frac{4}{5}\) auf \(\frac{128}{135}\); die Behauptung ist widerlegt.

- Was fällt dir an den drei Werten \(x_0\), \(x_1\) und \(x_2\) aus Teil a) auf? - Welche beiden Achsenschnittpunkte zeigen die gestrichelten Tangenten nacheinander? - Wie kannst du die Gleichung \(f(x)=0\) lösen, um die positive Nullstelle exakt zu bestimmen? - Welche gemeinsame Prüfgröße eignet sich, um die beiden ersten Newton-Schritte aus Teil c) fair zu vergleichen?

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2-5\). 2. Für \(x_0=1\) ist \(f(1)=-4\) und \(f'(1)=-2\). Daher folgt \(x_1=1-\frac{-4}{-2}=-1\). 3. Für \(x_1=-1\) ist \(f(-1)=4\) und \(f'(-1)=-2\). Daher folgt \(x_2=-1-\frac{4}{-2}=1\). 4. Die Iteration gerät in den Zweierzyklus \(1\leftrightarrow-1\) und konvergiert nicht. 5. Die Tangente bei \(x=1\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(-1\); die Tangente bei \(x=-1\) führt wieder zu \(1\). 6. Aus \(x^3-5x=x(x^2-5)=0\) folgen die Nullstellen \(0\) und \(\pm\sqrt{5}\). Die positive Nullstelle ist \(\sqrt{5}\). 7. Für \(x_0=2\) ist \(x_1=2-\frac{-2}{7}=\frac{16}{7}\approx2{,}2857\) und \(\left|f\left(\frac{16}{7}\right)\right|=\frac{176}{343}\approx0{,}5131\). 8. Für \(x_0=3\) ist \(x_1=3-\frac{12}{22}=\frac{27}{11}\approx2{,}4545\) und \(\left|f\left(\frac{27}{11}\right)\right|=\frac{3348}{1331}\approx2{,}5154\). 9. Nach einem Schritt ist \(|f(x_1)|\) für \(x_0=2\) kleiner.

a) \(x_1=-1\), \(x_2=1\); Zweierzyklus, keine Konvergenz. b) Die beiden gestrichelten Tangenten führen abwechselnd von \(1\) nach \(-1\) und zurück. c) Positive Nullstelle: \(\sqrt{5}\). Für \(x_0=2\): \(x_1\approx2{,}2857\), \(|f(x_1)|\approx0{,}5131\). Für \(x_0=3\): \(x_1\approx2{,}4545\), \(|f(x_1)|\approx2{,}5154\). Der kleinere Wert von \(|f(x_1)|\) gehört zu \(x_0=2\).

- Stelle zuerst den Newton-Ausdruck für \(x_1\) in Abhängigkeit von \(x_0\) auf. - Beachte vor dem Beseitigen des Nenners, welche Startwerte für den Newton-Bruch überhaupt zulässig sind. - Setze anschließend den vorgegebenen Wert für \(x_1\) ein und löse die entstehende Gleichung. - Für die Deutung kannst du die Tangenten zu den gefundenen Startwerten vergleichen.

a) Für \(x_0>0\) gilt \(x_1 = x_0 - \frac{x_0^2-2}{2x_0} = \frac{x_0^2+2}{2x_0}\). Mit \(x_1=\frac{3}{2}\) folgt \(\frac{x_0^2+2}{2x_0}=\frac{3}{2}\), also \(x_0^2-3x_0+2=0\). Daraus ergibt sich \((x_0-1)(x_0-2)=0\), also \(x_0=1\) oder \(x_0=2\). b) Für \(x_0=1\) ist \(x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac{3}{2}\). Für \(x_0=2\) ist \(x_1 = 2 - \frac{2}{4} = \frac{3}{2}\). Beide Startwerte führen somit zum gleichen nächsten Näherungswert. c) Unterschiedliche Startwerte können denselben nächsten Newton-Wert erzeugen. Hier schneiden die Tangenten in den Punkten zu \(x_0=1\) und \(x_0=2\) die \(x\)-Achse an derselben Stelle. Der nächste Näherungswert hängt daher nicht allein davon ab, wie weit der Startwert von der Nullstelle entfernt ist.

a) \(x_0=1\) und \(x_0=2\). b) Für beide Startwerte ergibt die Newton-Formel \(x_1=\frac{3}{2}\). c) Verschiedene Startwerte können denselben nächsten Newton-Wert besitzen; die Entfernung des Startwerts von der Nullstelle bestimmt den nächsten Schritt nicht allein.