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Das Reisebüro Atlasblick verwendet für diese Aufgabe einen festen Modellkurs von \(1\,\text{€}=4{,}30\,\text{PLN}\). Dazu gehört folgende Tabelle: <table> <tr><th>Euro (€)</th><td>1</td><td>5</td><td>10</td><td>50</td></tr> <tr><th>Złoty (PLN)</th><td>\(4{,}30\)</td><td>\(21{,}50\)</td><td>\(43{,}00\)</td><td>\(215{,}00\)</td></tr> </table> a) Beschreibe mit Worten, welche Zuordnung diese Tabelle darstellt. b) Stelle einen Term auf, mit dem man den Betrag in Złoty für einen beliebigen Euro-Betrag \(x\) berechnen kann. c) Berechne mithilfe deines Terms, wie viele Złoty man für \(22\,\text{€}\) erhält.

Übersetze die folgenden Beschreibungen in mathematische Terme: a) Die Summe aus einer Zahl \(x\) und \(14\). b) Das Produkt der Variablen \(c\) und \(d\). c) Die Differenz aus der Zahl \(20\) und einer Variablen \(y\). d) Das Achtfache einer Zahl \(z\).

Ein Wanderweg ist insgesamt \(w\) Kilometer lang. Eine Familie wandert am ersten Tag \(\frac{1}{5}\) der Strecke und am zweiten Tag \(\frac{2}{5}\) der Strecke. Wie viele Kilometer haben sie nach den zwei Tagen insgesamt zurückgelegt? Gib das Ergebnis in Abhängigkeit von \(w\) an.

Die Variablen \(x\), \(y\) und \(z\) stehen für nichtnegative Maßzahlen. 1. Wie viele Milliliter sind in \(x\) Litern? 2. Wie viele Gramm sind in \(y\) Kilogramm? 3. Wie viele Sekunden sind in \(z\) Minuten?

Stelle für die beschriebenen Zahlen jeweils einen passenden Term auf: 1. Eine Zahl mit \(x\) Hundertern und \(y\) Zehnern. 2. Eine Zahl mit \(a\) Tausendern, \(b\) Hundertern und \(c\) Einern. 3. Das Dreifache einer Zahl, die aus \(n\) Zehnern und \(k\) Einern besteht.

In der Bibliothek der fiktiven Käthe-Stein-Schule stehen zu Beginn eines Monats \(x\) Bücher. Während des Monats werden \(y\) Bücher neu angeschafft und \(z\) beschädigte Bücher aussortiert. a) Stelle einen Term für den Bestand am Monatsende auf. b) Berechne den Bestand für: 1) \(x=1250\), \(y=48\), \(z=15\) 2) \(x=945\), \(y=112\), \(z=37\)

Für den fiktiven Auslandstarif Fernnetz gilt als Übungspreis \(0{,}05\,\text{€}\) pro verbrauchtem Megabyte (\(\text{MB}\)). Berechne die Kosten für: a) \(10\,\text{MB}\) b) \(100\,\text{MB}\) c) \(250\,\text{MB}\) d) \(1{,}5\,\text{GB}\), wobei für diese Aufgabe \(1\,\text{GB}=1000\,\text{MB}\) gilt. e) Stelle einen Term für die Kosten einer beliebigen Datenmenge \(m\,\text{MB}\) auf.

Ein zu Beginn leeres zylindrisches Glas wird unter einen gleichmäßig laufenden Wasserhahn gestellt. Nach \(12\,\text{s}\) beträgt die Füllhöhe im Glas genau \(4{,}2\,\text{cm}\). a) Berechne, wie hoch das Wasser nach insgesamt \(30\,\text{s}\) im Glas steht. b) Stelle einen Term auf, mit dem man die Füllhöhe \(h\) (in \(\text{cm}\)) für eine beliebige Zeit \(t\) (in \(\text{s}\)) berechnen kann. c) Das Glas hat eine Gesamthöhe von \(14\,\text{cm}\). Bestimme, nach welcher Zeit das Wasser den Rand erreicht und überzulaufen beginnt.

Für ein Kochprojekt gilt als vereinfachte Übungsregel: Pro Kilogramm Fleisch werden \(45\) Minuten Garzeit angesetzt; zusätzlich werden insgesamt \(20\) Minuten für Vorheizen und Ruhen eingeplant. a) Stelle einen Term für die Gesamtzeit \(G\) in Minuten auf, wenn das Fleisch \(m\) Kilogramm wiegt. b) Berechne die Gesamtzeit für ein Fleischstück mit einer Masse von \(2{,}5\,\text{kg}\). c) Für die Zubereitung wurden nach dieser Übungsregel insgesamt \(155\) Minuten benötigt. Bestimme mithilfe deiner Formel die Masse des Fleischstücks.

Bei einem Gewitter kann man die Entfernung zum Einschlagsort mit einer Faustregel schätzen: „Zähle die Sekunden zwischen dem Blitz und dem Donner und dividiere diese Zahl durch 3. Das Ergebnis ist die Entfernung in Kilometern.“ a) Stelle einen Term auf, der die Entfernung \(d\) (in \(\text{km}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Sekunden) beschreibt. b) Berechne die Entfernung für die Zeitspannen \(3\,\text{s}\), \(9\,\text{s}\) und \(15\,\text{s}\). c) Ein Beobachter misst eine Zeit von \(4{,}5\,\text{s}\). Wie weit ist das Gewitter entfernt? d) Warum handelt es sich hierbei nur um eine Schätzung? Begründe kurz unter Berücksichtigung der Schallgeschwindigkeit (ca. \(343\,\text{m/s}\)).

In den USA wird die Temperatur in Grad Fahrenheit (\(^\circ\text{F}\)) gemessen. Um einen Temperaturwert in Grad Celsius (\(^\circ\text{C}\)) in Grad Fahrenheit umzurechnen, multipliziert man den Celsiuswert mit \(1{,}8\) und addiert \(32\). a) Stelle einen Term auf, mit dem man die Temperatur in \(^\circ\text{F}\) berechnen kann. Nutze die Variable \(c\) für die Temperatur in Grad Celsius. b) Berechne mithilfe deines Terms die Fahrenheit-Werte für die folgenden Temperaturen: \(20\,^\circ\text{C}\), \(35\,^\circ\text{C}\) und \(-10\,^\circ\text{C}\).

Für einen Online-Einkauf wird ein Gutschein im Wert von \(100\,\text{€}\) eingelöst. In den Warenkorb gelegt werden ein Spiel für \(24{,}99\,\text{€}\) und ein Kopfhörer für \(35{,}50\,\text{€}\). Die Versandkosten betragen \(x\,\text{€}\). a) Stelle einen Term auf, der das restliche Guthaben auf dem Gutschein beschreibt. b) Berechne das restliche Guthaben, wenn die Versandkosten \(x = 5{,}95\) betragen.

Im Kinopalast Linden kostet eine Portion Popcorn \(4{,}50\,\text{€}\) und ein Softdrink \(3{,}20\,\text{€}\). 1) Berechne die Gesamtkosten für 2 Portionen Popcorn und 3 Softdrinks. 2) Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf, wenn man \(p\) Portionen Popcorn und \(d\) Softdrinks kauft. 3) Was berechnet man mit dem Term \(3\cdot4{,}50+3{,}20\)? 4) Amina El-Sayed kauft \(x\) Portionen Popcorn, wobei der Kaufpreis höchstens \(20\,\text{€}\) beträgt, und bezahlt mit einem 20-Euro-Schein. Erstelle einen Term für das Wechselgeld.

Bei einem Spendenlauf sammelt die Klasse 7a einen Betrag von \(x\,\text{€}\). Die Klasse 7b ist besonders erfolgreich und sammelt \(20\,\%\) mehr als die 7a. Die Klasse 7c sammelt \(50\,\text{€}\) weniger als die 7b. 1. Stelle einen Term für den Spendenbetrag der Klasse 7b in Abhängigkeit von \(x\) auf. 2. Stelle einen Term für den Spendenbetrag der Klasse 7c in Abhängigkeit von \(x\) auf. 3. Wie viel Geld haben die drei Klassen insgesamt gesammelt? Gib einen vereinfachten Term in Abhängigkeit von \(x\) an.

Für eine Modellrechnung wird angenommen, dass Äpfel beim Trocknen \(\frac{4}{5}\) ihres ursprünglichen Gewichts verlieren. a) Erstelle einen Term, der das Gewicht der getrockneten Äpfel angibt, wenn man von einer Menge von \(x\,\text{kg}\) frischen Äpfeln ausgeht. b) Berechne mithilfe deines Terms, wie viele Kilogramm getrocknete Äpfel man aus \(15\,\text{kg}\) frischen Äpfeln erhält.

Eine Wanderstrecke besteht aus zwei Abschnitten. Der erste Abschnitt hat eine Länge von \(a\) Kilometern, der zweite Abschnitt eine Länge von \(b\) Kilometern. Stelle einen Term für die Gesamtlänge der Wanderstrecke auf und berechne den Wert des Terms für die folgenden Fälle: 1) \(a = 12\), \(b = 15\) 2) \(a = 4{,}7\), \(b = 3{,}8\) 3) \(a = 5\frac{3}{4}\), \(b = 6\frac{1}{2}\)

Für den Bau eines Modells benötigt Kenji Tanaka 3 Holzleisten der Länge \(x\,\text{cm}\) und 2 Holzleisten der Länge \(y\,\text{cm}\). Stelle einen Term für die Gesamtlänge des benötigten Holzes auf. Berechne die Gesamtlänge für: 1) \(x=5\,\text{cm}\), \(y=4\,\text{cm}\) 2) \(x=2{,}5\,\text{cm}\), \(y=1{,}8\,\text{cm}\) 3) \(x=4\frac{1}{3}\,\text{cm}\), \(y=1\frac{1}{2}\,\text{cm}\)

Der fiktive Kanuverleih Seebrise bietet zwei Tarife an: Tarif A: eine feste Grundgebühr von \(12\,\text{€}\) und zusätzlich \(4\,\text{€}\) pro Stunde. Tarif B: keine Grundgebühr, dafür \(7\,\text{€}\) pro Stunde. a) Stelle für beide Tarife einen Term auf, der die Gesamtkosten für eine Mietdauer von \(t\) Stunden beschreibt. b) Berechne die Kosten für eine Mietdauer von \(2\) Stunden und von \(5\) Stunden. Welcher Tarif ist jeweils günstiger? c) Erkläre die Bedeutung der Zahl \(12\) und der Variable \(t\) im Sachzusammenhang von Tarif A.

An einem Schulkiosk werden Saftschorlen für \(1{,}50\,\text{€}\) und Brezeln für \(2{,}20\,\text{€}\) verkauft. a) Stelle einen Term für die Gesamteinnahmen auf, wenn \(s\) Schorlen und \(b\) Brezeln verkauft werden. b) Berechne die Einnahmen für den Verkauf von \(80\) Schorlen und \(55\) Brezeln. c) Angenommen, die Preise ändern sich: Eine Schorle kostet nun \(x\,\text{€}\) und eine Brezel \(y\,\text{€}\). Wie lautet der Term für die Gesamteinnahmen bei den gleichen Verkaufszahlen aus Aufgabenteil b)?

Ein Wanderweg hat eine Gesamtlänge von \(L\,\text{km}\). Eine Wandergruppe hat vom Anfang des Wanderwegs aus entlang der vorgesehenen Route bereits eine Strecke von \(d\,\text{km}\) zurückgelegt. a) Stelle einen Term auf, mit dem man die noch verbleibende Strecke berechnen kann. b) Berechne die restliche Strecke für \(L = 18{,}5\) und \(d = 7{,}9\). c) Warum darf der Wert von \(d\) in diesem Sachzusammenhang nicht größer als \(L\) sein?

Übersetze die folgenden Beschreibungen in mathematische Terme mit den genannten Variablen: a) Das Produkt aus der Variablen \(x\) und der Summe der Variablen \(y\) und \(z\). b) Die Differenz aus dem Fünffachen einer Zahl \(a\) und der Zahl \(12\). c) Der Quotient, bei dem der Dividend die Differenz von \(p\) und \(q\) ist und der Divisor \(3\) beträgt.

Stelle für die folgenden Rechenanweisungen jeweils einen passenden Term auf: a) Das Fünffache der Differenz aus \(x\) und \(y\). b) Die Summe aus dem Produkt von \(3\) und \(a\) und dem Quotienten aus \(b\) und \(4\). c) Subtrahiere das Doppelte von \(z\) von der Zahl \(50\).

Stelle für jede der folgenden Beschreibungen einen passenden mathematischen Term auf: a) Die Differenz aus dem Doppelten einer Zahl \(x\) und der Zahl \(7\). b) Der Quotient aus der Summe der Zahlen \(a\) und \(b\) und der Zahl \(3\). c) Das Produkt aus einer ganzen Zahl \(y\) und ihrem Nachfolger.

Omar Nasser legt pro Stunde eine Strecke von \(x\) Kilometern zurück. a) Gib jeweils einen Term für die Strecke an, die er in 4 Stunden, in 30 Minuten und in \(t\) Stunden wandert. b) Berechne die Strecke für \(x=4{,}5\) und eine Wanderzeit von 3 Stunden. c) Omar macht eine Pause und halbiert danach sein Tempo. Stelle einen Term für die gesamte Strecke auf, wenn er erst 2 Stunden mit Tempo \(x\) und dann 1 Stunde mit dem halben Tempo wandert.

Die Variablen stehen für nichtnegative Maßzahlen. 1. Wie viele Zentimeter sind in \(a\) Metern und \(b\) Dezimetern insgesamt enthalten? 2. Wie viele Cent sind in einem Betrag von \(e\) Euro und \(c\) Cent enthalten?

In einem Fitnessstudio zahlt man eine einmalige Anmeldegebühr von \(s\,\text{€}\) und einen monatlichen Beitrag von \(m\,\text{€}\). a) Stelle einen Term auf, der die Gesamtkosten für eine Mitgliedschaft von \(x\) Monaten beschreibt. b) Wie hoch sind die Gesamtkosten nach genau einem Jahr (\(x = 12\)), wenn die Anmeldegebühr \(s = 35{,}00\,\text{€}\) beträgt und der monatliche Beitrag bei \(m = 19{,}90\,\text{€}\) liegt?

Gegeben sind die drei Variablen \(x\), \(y\) und \(z\). Stelle für jede Beschreibung den passenden mathematischen Term auf: 1) Das Fünffache der Zahl \(x\). 2) Die Summe aus dem Doppelten von \(y\) und der Zahl \(z\). 3) Das Produkt aus der Zahl \(x\) und der Differenz von \(y\) und \(z\). 4) Der Quotient aus der Summe von \(x\) und \(y\) und der Zahl \(3\).

Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen passenden mathematischen Term auf: 1. Das Dreifache der Summe von \(x\) und \(5\). 2. Die Differenz aus dem Quadrat von \(a\) und dem Doppelten von \(b\). 3. Das Quadrat der Differenz von \(x\) und \(y\). 4. Die Summe aus der Hälfte von \(z\) und der Zahl \(9\).

Übersetze die folgenden mathematischen Beschreibungen in Terme mit Variablen, Zahlen und Rechenzeichen: a) Das Sechsfache der Summe von \(x\) und \(y\). b) Der Quotient aus der Differenz von \(a\) und \(b\) und der Zahl \(5\). c) Addiere das Dreifache von \(m\) zum Vierfachen von \(n\). d) Das Produkt aus der Summe von \(p\) und \(q\) und der Differenz derselben Zahlen.

Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen mathematischen Term auf: 1) Die Summe aus dem Quadrat von \(x\) und dem Vierfachen von \(y\). 2) Das Produkt aus der Differenz der Zahlen \(a\) und \(b\) und der Zahl \(7\). 3) Der Quotient aus der Summe der Zahlen \(p\) und \(q\) und der Zahl \(5\).

Stelle für jeden der folgenden Ausdrücke einen passenden mathematischen Term auf: 1) Die Summe aus dem Dreifachen einer Zahl \(x\) und der Zahl \(7\). 2) Das Dreifache der Summe aus einer Zahl \(x\) und der Zahl \(7\). 3) Das Quadrat der Differenz der Zahlen \(a\) und \(b\). 4) Die Differenz der Quadrate der Zahlen \(a\) und \(b\).

Der Getränkehandel Quellklar liefert Kisten mit Mineralwasser an eine Schule. Jede Kiste enthält \(n\) Reihen mit jeweils \(f\) Flaschen. Insgesamt werden \(k\) Kisten geliefert. a) Stelle einen Term für die Gesamtzahl der gelieferten Flaschen \(G\) auf. b) Berechne \(G\) für die folgenden Werte: <table> <tr><th>\(k\) (Kisten)</th><th>\(n\) (Reihen)</th><th>\(f\) (Flaschen pro Reihe)</th></tr> <tr><td>12</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><td>25</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><td>40</td><td>2</td><td>10</td></tr> </table>

Ein Drahtmodell einer quadratischen Pyramide besteht aus einer quadratischen Grundfläche mit der Seitenlänge \(a\) und vier zu einer Spitze führenden Seitenkanten der Länge \(s\). 1. Stelle einen Term für die Gesamtlänge \(L\) des Drahtes auf, der für den Bau dieses Modells benötigt wird. 2. Wie lautet der vereinfachte Term für die Gesamtlänge \(L\), wenn jede Seitenkante \(s\) genau doppelt so lang ist wie eine Grundkante \(a\)?

Zwei Radfahrer, Lukas und Marie, wohnen in verschiedenen Dörfern, die \(s\,\text{km}\) voneinander entfernt liegen. Sie verabreden sich und fahren gleichzeitig einander entgegen. Lukas fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(v_L\,\text{km/h}\), Marie mit einer Geschwindigkeit von \(v_M\,\text{km/h}\). a) Stelle einen Term auf, der die Entfernung \(e\) zwischen den beiden nach einer Fahrzeit von \(t\) Stunden beschreibt (vorausgesetzt, sie sind sich noch nicht begegnet). b) Berechne die verbleibende Entfernung für die Werte \(s = 38\), \(v_L = 16\), \(v_M = 14\) und \(t = 0{,}5\).

An einem Schulkiosk kostet eine Laugenbrezel \(p\,\text{€}\) und eine Flasche Apfelsaft \(s\,\text{€}\). Für jede Saftflasche muss zusätzlich ein Pfand von \(x\,\text{€}\) bezahlt werden. a) Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf, wenn eine Klasse 12 Brezeln und 10 Flaschen Apfelsaft kauft. b) Vereinfache deinen Term aus Aufgabenteil a) so weit wie möglich. c) Berechne die Gesamtkosten für \(p = 1{,}30\), \(s = 1{,}15\) und \(x = 0{,}25\).

An einer Wetterstation in den Alpen wird die Temperaturänderung über den Tag verfolgt. Am Vormittag steigt die Temperatur um \(x\,^\circ\text{C}\), am Nachmittag sinkt sie um \(y\,^\circ\text{C}\). a) Gib einen Term für die gesamte Temperaturänderung an diesem Tag an. b) Berechne die Gesamtänderung für folgende zwei Tage: 1) Tag 1: \(x = 5{,}4\) und \(y = 3{,}1\) 2) Tag 2: \(x = 2{,}8\) und \(y = 4{,}5\) c) Vergleiche die Ergebnisse. Was sagt das Vorzeichen über die Temperaturentwicklung aus?

Ein Speicherbecken dient zur Regulierung des Wasserstands eines Flusses. Pro Stunde fließen \(z\,\text{m}^3\) Wasser in das Becken hinein und \(a\,\text{m}^3\) Wasser fließen durch die Schleusen ab. a) Stelle einen Term auf, der die Änderung des Wasservolumens im Becken nach einer Stunde beschreibt. b) Interpretiere die Situation für den Fall, dass der berechnete Term den Wert \(0\) ergibt. c) Was bedeutet ein negatives Ergebnis für den Zustand des Speicherbeckens? d) Berechne die Volumenänderung pro Stunde für \(z = 1250\) und \(a = 1310\).

Tim spart auf ein neues Skateboard, das \(85\,\text{€}\) kostet. Er hat bereits einen Betrag von \(y\,\text{€}\) in seinem Sparschwein. a) Stelle einen Term für die vorzeichenbehaftete Differenz „Preis minus Ersparnis“ auf. b) Berechne den Wert des Terms für \(y = 62\) und für \(y = 90\). Erkläre, was das jeweilige Ergebnis für Tim bedeutet.

Ein Bankkonto hat ein aktuelles Guthaben von \(x\,\text{€}\). Es wird eine Rechnung in Höhe von \(y\,\text{€}\) abgebucht. a) Stelle einen Term auf, der den neuen Kontostand berechnet. b) Berechne den Kontostand für \(x = 125\) und \(y = 40\). c) Berechne den Kontostand für \(x = 50\) und \(y = 85\). Erkläre, was ein negatives Ergebnis in diesem Zusammenhang für den Kontoinhaber bedeutet.

Ein Sparguthaben \(K\) wird für ein Jahr mit einem Zinssatz von \(p\,\%\) verzinst. Stelle einen allgemeinen Term auf, um das Guthaben nach einem Jahr zu berechnen. Bestimme das neue Guthaben für die folgenden Werte: 1) \(K = 2500\,\text{€}\); \(p = 2\) 2) \(K = 12\,000\,\text{€}\); \(p = 1{,}4\)

Das fiktive Modehaus Silberfaden reduziert den ursprünglichen Preis \(x\) eines Artikels um \(r\,\%\). Stelle einen Term für den neuen Preis auf und berechne ihn für: 1) \(x=45\,\text{€}\), \(r=20\) 2) \(x=129\,\text{€}\), \(r=15\)

Dario Bianchi legt mit dem Fahrrad eine Strecke von \(s\) Kilometern in \(t\) Stunden zurück. a) Stelle einen Term für die durchschnittliche Geschwindigkeit \(v\) in \(\text{km/h}\) auf. b) Berechne \(v\) für: 1) \(s=52{,}5\,\text{km}\), \(t=2{,}5\,\text{h}\) 2) \(s=18{,}9\,\text{km}\), \(t=1{,}5\,\text{h}\)

Für ein Schulfest werden \(n\) Kästen Limonade gekauft. In jedem Kasten befinden sich \(k\) Flaschen, die jeweils \(v\) Liter Inhalt haben. Es werden nur Werte betrachtet, bei denen die gesamte Limonadenmenge ein Vielfaches von \(0{,}25\,\text{l}\) ist. a) Stelle einen Term für die Gesamtmenge \(L\) der Limonade in Litern auf. b) Aus der Limonade werden Becher mit jeweils \(0{,}25\,\text{l}\) Inhalt vollständig gefüllt. Stelle einen Term für die Anzahl der vollständig gefüllten Becher \(B\) auf. c) Berechne \(L\) und \(B\) für \(n=20\), \(k=12\) und \(v=0{,}7\,\text{l}\).

Ein Vorrat an Saft besteht aus \(x\) Litern. Davon wurden bereits \(y\) Liter getrunken. Der restliche Vorrat soll gleichmäßig auf \(n\) Tage verteilt werden. a) Stelle einen Term auf, mit dem man berechnen kann, wie viele Milliliter Saft pro Tag durchschnittlich getrunken werden können. b) Berechne die tägliche Menge in Millilitern für \(x = 8\), \(y = 2\) und \(n = 25\).

Ein Ausflugsschiff fährt auf einem Fluss von Anlegestelle A zur Anlegestelle B und wieder zurück. Bezeichne die einfache Strecke mit \(s = 36\,\text{km}\), die Eigengeschwindigkeit des Schiffes mit \(v = 15\,\text{km/h}\) und die Fließgeschwindigkeit des Wassers mit \(c = 3\,\text{km/h}\). a) Stelle einen Term für die Fahrzeit von A nach B (mit der Strömung) auf und berechne diese Zeit in Stunden. b) Stelle einen Term für die Fahrzeit von B nach A (gegen die Strömung) auf und berechne diese Zeit in Stunden. c) Wie lange dauert die gesamte Fahrt für den Hin- und Rückweg insgesamt?

Der fiktive Streamingdienst Filmfuchs bietet zwei Tarife: Tarif „Basis“: monatliche Grundgebühr \(G\) Euro und zusätzlich \(k\) Euro pro geliehenem Film. Tarif „Premium“: feste monatliche Grundgebühr \(P\) Euro; alle Filme sind ohne Zusatzkosten enthalten. a) Stelle für „Basis“ einen Term für die Gesamtkosten \(K_B\) bei \(n\) geliehenen Filmen auf. b) Stelle einen Term für die Kostendifferenz \(K_P-K_B\) auf. c) Was bedeutet es, wenn der Term aus b) den Wert \(0\) hat?

Am Obststand Sonnenkorb kauft Ravi Patel 6 Äpfel und bezahlt insgesamt \(4{,}50\,\text{€}\). 1) Berechne den Preis für einen einzelnen Apfel. 2) Stelle einen allgemeinen Term für den Gesamtpreis \(G\) auf, wenn man \(n\) Äpfel zum Stückpreis \(p\) kauft. 3) Berechne mit deinem Term: a) \(n=15\) bei \(p=0{,}60\,\text{€}\) b) \(n=8\) bei \(p=1{,}10\,\text{€}\)

Eine Wandergruppe legt ihren Weg in zwei verschiedenen Abschnitten zurück. 1) Auf dem ersten Abschnitt wandert die Gruppe für \(t_1\) Stunden mit einer Geschwindigkeit von \(v_1\). Auf dem zweiten Abschnitt wandert sie für \(t_2\) Stunden mit einer Geschwindigkeit von \(v_2\). Stelle einen Term für die gesamte Wanderstrecke \(s\) auf. 2) Berechne die gesamte Strecke in Kilometern für: \(t_1 = 2\,\text{h}\) bei \(v_1 = 5\,\text{km/h}\) und \(t_2 = 3\,\text{h}\) bei \(v_2 = 4\,\text{km/h}\). 3) Wie würde sich der Term für die Gesamtstrecke \(s\) verändern, wenn die Wanderer die gesamte Zeit (also \(t_1 + t_2\)) mit einer einzigen, gleichbleibenden Geschwindigkeit \(v\) wandern würden? Notiere den neuen Term.

Für einen Klassenausflug wird ein Bus gemietet. Die Kosten setzen sich aus einer festen Grundgebühr von \(G\) Euro und einem Betrag von \(p\) Euro pro teilnehmender Person zusammen. Es nehmen insgesamt \(n\) Personen am Ausflug teil. a) Stelle einen Term für die Gesamtkosten \(K\) des Busses auf. b) Berechne die Gesamtkosten für folgende Szenarien: 1) \(G = 120{,}00\,\text{€}\), \(p = 14{,}50\,\text{€}\) pro Person, \(n = 24\) 2) \(G = 85{,}00\,\text{€}\), \(p = 18{,}00\,\text{€}\) pro Person, \(n = 28\)

Eine Guthabenkarte für einen Online-Shop hat einen Wert von \(G\) Euro. Es wird ein Spiel für einen Preis von \(p\) Euro gekauft. a) Stelle einen Term für das restliche Guthaben \(R\) auf der Karte auf. b) Berechne den Wert von \(R\), wenn die Karte ursprünglich \(G = 25{,}00\,\text{€}\) wert war und das Spiel \(p = 12{,}99\,\text{€}\) kostet. c) Was bedeutet es für den Käufer, wenn in der Rechnung \(p = G\) gilt? d) Kann der Preis \(p\) größer als das ursprüngliche Guthaben \(G\) sein, wenn der Kauf ausschließlich mit dieser Karte bezahlt werden soll? Begründe deine Antwort kurz.

Ein Fahrradverleih verlangt \(4\,\text{€}\) Grundgebühr und zusätzlich \(3\,\text{€}\) pro ausgeliehener Stunde. Vor dem Laden stehen außerdem \(12\) rote Fahrräder. Wähle selbst eine passende Variable für die Ausleihdauer und stelle einen Term für den Gesamtpreis auf. Erkläre außerdem, welche Angabe du dafür nicht brauchst.

Gegeben ist der Term \(4(x+3)\). Welche Beschreibung passt genau zum Term? A) „Vervierfache die Summe aus einer Zahl und \(3\).“ B) „Vervierfache eine Zahl und addiere anschließend \(3\).“ Begründe deine Wahl und schreibe den Term zur anderen Beschreibung auf.

James baut aus quadratischen Spielsteinen eine Reihe von Figuren (siehe Abbildung). Welcher Term beschreibt die Abhängigkeit der Anzahl von Spielsteinen in einer Figur (\(s\)) von ihrer Nummer (\(n\)) korrekt? a) \(s = n+4\) b) \(s = n^2 + 4n\) c) \(s = 4n+1\) d) \(s = 4n^2 + 1\)

Zwei verschiedene, zu Beginn leere zylindrische Gefäße, Gefäß A und Gefäß B, werden mit dem exakt gleichen, konstanten Wasserstrom gefüllt. Gefäß A ist deutlich breiter als Gefäß B; seine Grundfläche ist genau dreimal so groß wie die von Gefäß B. a) In welchem Gefäß steigt der Wasserspiegel schneller an? Begründe deine Antwort kurz. b) In Gefäß B steigt das Wasser in einer Minute um \(15\,\text{cm}\). Berechne, um wie viele Zentimeter der Wasserspiegel in Gefäß A in derselben Zeit steigt. c) Erstelle für beide Gefäße jeweils einen Term für die Füllhöhe \(h\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten).

Ein Wassertank enthält zu Beginn \(1000\,\text{Liter}\). Durch ein Leck verliert der Tank gleichmäßig \(15\,\text{Liter}\) Wasser pro Stunde. a) Stelle einen Term auf, der die verbleibende Wassermenge im Tank nach \(t\) Stunden beschreibt. b) Berechne mithilfe deines Terms, wie viel Wasser nach \(12\) Stunden noch im Tank ist. c) Nach wie vielen Stunden ist der Tank vollständig leer? Runde dein Ergebnis auf eine Dezimalstelle.

Ein Tag hat \(24\) Stunden. Leandro Silva plant seine Zeit wie folgt: Schlaf (\(8{,}5\,\text{h}\)), Schule (\(6{,}5\,\text{h}\)), Hausaufgaben (\(1{,}5\,\text{h}\)) und Hobbys (\(t_H\,\text{h}\)). Die verbleibende frei verfügbare Zeit wird mit \(F\) bezeichnet. a) Stelle einen Term für \(F\) in Abhängigkeit von \(t_H\) auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. b) Wie verändert sich \(F\), wenn die Schulzeit um eine Stunde verlängert wird (\(7{,}5\,\text{h}\)), Leandro dafür aber eine halbe Stunde weniger schläft (\(8{,}0\,\text{h}\))? Begründe durch Vergleich der Terme.

Für ein Schulfest bestellt die Klasse 7a Getränke bei zwei Lieferdiensten. LimoLogistik Nord berechnet \(15{,}00\,\text{€}\) für die Anlieferung und \(0{,}80\,\text{€}\) pro Flasche Limonade. Sprudelstern verlangt \(5{,}00\,\text{€}\) für die Anlieferung und \(1{,}20\,\text{€}\) pro Flasche Limonade. a) Erstelle für beide Lieferdienste einen Term zur Berechnung der Gesamtkosten bei \(x\) bestellten Flaschen. b) Wie teuer ist eine Bestellung von \(30\) Flaschen bei LimoLogistik Nord und wie teuer bei Sprudelstern? c) Die Parallelklasse 7b bestellt genauso viele Flaschen wie die Klasse 7a; diese Anzahl wird mit \(x\) bezeichnet. Die Klasse 7a bestellt bei LimoLogistik Nord, die Klasse 7b bei Sprudelstern. Nora Haddad behauptet: „Zusammen zahlen wir für beide Bestellungen \(20+2x\) Euro.“ Prüfe durch Zusammenfassen der Terme, ob dieser Term stimmt.

Lukas und Sarah sparen für ein neues Fahrrad. Lukas hat bereits \(60\,\text{€}\) in seiner Sparbüchse und legt jede Woche \(4\,\text{€}\) dazu. Sarah hat erst \(10\,\text{€}\) gespart, legt aber jede Woche \(9\,\text{€}\) dazu. a) Stelle für Lukas und Sarah jeweils einen Term auf, der das Ersparte nach \(w\) Wochen angibt. b) Wie viel Geld haben beide jeweils nach \(5\) Wochen und nach \(12\) Wochen gespart? c) Nach wie vielen Wochen haben beide genau den gleichen Betrag in ihrer Sparbüchse? Begründe deine Antwort durch Einsetzen oder Probieren.

Der Versandhändler Paketwerk Elbe verwendet für seine Waren drei verschiedene Paketgrößen: S, M und L. - Ein Paket vom Typ S wiegt \(x\,\text{kg}\). - Ein Paket vom Typ M wiegt \(3\,\text{kg}\) mehr als ein Paket vom Typ S. - Ein Paket vom Typ L wiegt doppelt so viel wie ein Paket vom Typ M. a) Fülle die Lücken in der folgenden Tabelle mit den passenden Termen aus. <table> <thead> <tr> <th>Pakettyp</th> <th>Gewicht in kg</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>S</td> <td>\(x\)</td> </tr> <tr> <td>M</td> <td></td> </tr> <tr> <td>L</td> <td></td> </tr> </tbody> </table> b) Marek Kowalski bestellt 2 Pakete S, 4 Pakete M und ein Paket L. Stelle einen Term für das Gesamtgewicht \(G\) der Sendung auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. c) Wie schwer ist die gesamte Sendung, wenn ein S-Paket \(4\,\text{kg}\) wiegt?

Ein quadratisches Werbeplakat mit der Seitenlänge \(s\) soll umgestaltet werden. Die neue Form soll ein Rechteck sein. Die Länge des Rechtecks wird gegenüber der ursprünglichen Seitenlänge \(s\) um \(10\,\%\) vergrößert. Die Breite des Rechtecks wird so gewählt, dass sie \(20\,\%\) kürzer ist als die ursprüngliche Seitenlänge \(s\). 1. Stelle Terme für die neue Länge \(l\) und die neue Breite \(b\) des Plakats in Abhängigkeit von \(s\) auf. 2. Ermittle einen vereinfachten Term für den Umfang \(U\) des neuen rechteckigen Plakats. 3. Vergleiche den Umfang des neuen Plakats mit dem Umfang des ursprünglichen Quadrats. Um wie viel Prozent hat sich der Umfang verändert?

Der fiktive Online-Shop Nordlicht Textil verkauft T-Shirts für einen Stückpreis von \(p\,\text{€}\). Bei einer Bestellung von mehr als 10 T-Shirts gewährt Nordlicht Textil einen Rabatt von \(20\,\%\) auf den Warenwert. Zusätzlich fallen pro Bestellung einmalige Versandkosten von \(5{,}90\,\text{€}\) an. Sofia Rossi kauft \(n\) T-Shirts mit \(n>10\). Stelle einen Term für den Gesamtpreis \(G\) auf und vereinfache ihn so weit wie möglich.

In einem Schreibwarengeschäft kostet ein Füller \(f\,\text{€}\). Ein Tintenkiller ist um \(k\,\text{€}\) günstiger als der Füller. a) Gib einen Term für den Preis eines Tintenkillers an. b) Stelle einen Term für den Gesamtpreis auf, wenn man einen Füller und einen Tintenkiller zusammen kauft. Vereinfache den Term so weit wie möglich. c) Berechne diesen Gesamtpreis für \(f = 8{,}50\) und \(k = 5{,}65\). d) Welche Bedeutung hätte es für den Preis des Tintenkillers, wenn \(k\) genauso groß wie \(f\) wäre?

In einer Schulkantine kostet ein Mittagessen für Lehrkräfte \(x\,\text{€}\) und für Schülerinnen und Schüler \(y\,\text{€}\). a) Stelle einen Term auf, der die Gesamteinnahmen der Kantine berechnet, wenn \(15\) Lehrkräfte und \(120\) Schülerinnen und Schüler ein Essen kaufen. b) Die Preise werden für alle Personen um \(0{,}50\,\text{€}\) erhöht. Gib einen neuen Term für die Gesamteinnahmen bei gleichbleibender Personenzahl an. c) Berechne die Gesamteinnahmen nach der Preiserhöhung, wenn ein Lehreressen ursprünglich \(5{,}50\,\text{€}\) und ein Schüleressen \(3{,}50\,\text{€}\) gekostet hat.

In einem Vorratsbehälter befinden sich \(V\) Liter Öl. Jeden Tag werden für den Betrieb einer Maschine gleichmäßig \(12\) Liter entnommen. a) Stelle einen Term auf, der die verbleibende Menge Öl nach \(n\) Tagen beschreibt. b) Bestimme den Wert des Terms für \(V = 500\) und \(n = 10\). c) Was bedeutet es im Sachkontext, wenn der Wert des Terms \(0\) ergibt? d) Wie ändert sich der Term aus Aufgabenteil a), wenn täglich eine unbekannte Menge von \(x\) Litern entnommen wird?

Beim Aufstellen von Termen mit den Variablen \(a\) und \(b\) kommt es oft auf die genaue Reihenfolge der Rechenschritte an. a) Stelle einen Term für „Das Dreifache der Differenz von \(a\) und \(b\)“ auf. b) Stelle einen Term für „Die Differenz aus dem Dreifachen von \(a\) und der Zahl \(b\)“ auf. c) Erkläre kurz den Unterschied in der Struktur der beiden Terme. d) Berechne für beide Terme den Wert, wenn \(a = 12\) und \(b = 4\) eingesetzt werden.

Bearbeite die folgenden Aufgaben zu mathematischen Termen: a) Erstelle einen Term für die Beschreibung: „Subtrahiere die Summe der Zahlen \(x\) und \(y\) vom Doppelten ihres Produkts.“ b) Erkläre den Unterschied zwischen den Beschreibungen „Die Summe aus dem Doppelten von \(a\) und der Zahl \(b\)“ und „Das Doppelte der Summe von \(a\) und \(b\)“. Nutze Terme zur Verdeutlichung. c) Berechne den Wert des Terms aus Teilaufgabe a) für die Belegung \(x = 5\) und \(y = 2\).

Übersetze die folgenden Beschreibungen in mathematische Terme: 1) Das Quadrat der halben Summe der Zahlen \(a\) und \(b\). 2) Die Differenz aus der Summe der Quadrate von \(x\) und \(y\) und dem Quadrat ihrer Summe. 3) Die Hälfte der Summe der Kuben von \(m\) und \(n\).

Übersetze die folgenden Beschreibungen in mathematische Terme: 1) Das Produkt aus der Summe von \(x\) und \(4\) und der Differenz von \(x\) und \(4\). 2) Die Hälfte der Summe aus einer Zahl \(x\) und dem Quadrat einer Zahl \(y\). 3) Das Quadrat der Hälfte der Summe der Zahlen \(x\) und \(y\).

In einem modernen Parkhaus gibt es \(e\) Etagen. Jede Etage ist in zwei Bereiche unterteilt: In Bereich A gibt es \(p\) Parkplätze und in Bereich B gibt es \(q\) Parkplätze. a) Stelle eine Formel auf, mit der man die Gesamtzahl aller Parkplätze \(Z\) im Parkhaus berechnen kann. b) Berechne \(Z\) für \(e = 5\), \(p = 42\) und \(q = 58\). c) Wegen einer Modernisierung fallen in jeder Etage im Bereich B genau 4 Parkplätze weg. Wie lautet die neue Formel \(Z_{\text{neu}}\) für die Gesamtzahl der Plätze? Berechne den Wert für die Angaben aus Teilaufgabe b).

Ayşe Demir gestaltet eine rechteckige Rasenfläche mit der Länge \(a\) und der Breite \(b\). Darin legt sie zwei identische, rechteckige Blumenbeete mit der Länge \(x\) und der Breite \(y\) an. Beide Beete liegen vollständig innerhalb der Rasenfläche und überlappen sich nicht. a) Stelle einen Term für den Flächeninhalt \(A\) der verbliebenen Rasenfläche auf. b) Berechne \(A\) für \(a=25\,\text{m}\), \(b=15\,\text{m}\), \(x=4\,\text{m}\) und \(y=2{,}5\,\text{m}\). c) Wie verändert sich der Term aus a), wenn Ayşe statt zwei eine beliebige Anzahl \(n\) solcher nicht überlappenden Beete anlegt, die vollständig innerhalb der Rasenfläche liegen?

In der Metallwerkstatt Kronenstahl werden aus einer rechteckigen Platte mit Länge \(L\) und Breite \(B\) vier voneinander getrennte Quadrate mit Seitenlänge \(x\) ausgestanzt. Alle vier Quadrate liegen vollständig innerhalb der Platte und überlappen sich nicht. a) Welcher Term beschreibt den Flächeninhalt \(A\) des verbleibenden Metalls korrekt? Begründe kurz. (1) \(A=LB-4x^2\) (2) \(A=(L-2x)(B-2x)\) (3) \(A=LB-x^4\) b) Berechne die Restfläche für \(L=20\,\text{cm}\), \(B=15\,\text{cm}\) und \(x=3\,\text{cm}\). c) Mateo García behauptet: „Wenn wir die Seitenlänge \(x\) der Quadrate verdoppeln, verdoppelt sich auch die gesamte ausgestanzte Fläche.“ Überprüfe diese Aussage.

Ein Regenwasserreservoir enthält zu Beginn einer Trockenperiode \(V\) Kubikmeter Wasser. In der ersten Woche werden \(v\) Kubikmeter für die Bewässerung der Beete entnommen. Der verbleibende Vorrat soll nun so eingeteilt werden, dass er für weitere \(d\) Tage ausreicht. Stelle einen Term auf, der berechnet, wie viele Liter Wasser im Durchschnitt pro Tag für die restliche Zeit verbraucht werden dürfen. (Hinweis: \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\)).

Eine Jugendgruppe hat für ein Zeltlager einen Vorrat von \(k\) Kilogramm Nudeln eingekauft. In den ersten zwei Tagen wurden bereits \(m\) Kilogramm verbraucht. Der restliche Vorrat soll nun gleichmäßig auf die verbleibenden \(n\) Tage verteilt werden. a) Stelle einen Term auf, der die tägliche Nudelmenge in Gramm für die restliche Zeit angibt. b) Wie verändert sich der Wert des Terms, wenn die Anzahl der verbleibenden Tage \(n\) größer wird, während der Restvorrat gleich bleibt? Begründe deine Überlegung kurz.

Die Abbildung zeigt eine U-förmige Figur mit einer rechteckigen Aussparung an der oberen Seite. Stelle jeweils einen Term für den Flächeninhalt \(A\) und den Umfang \(U\) auf. Vereinfache den Term für den Umfang so weit wie möglich.

Vergleiche die beiden abgebildeten Figuren A und B. a) Stelle für beide Figuren einen Term für den Flächeninhalt auf. Was fällt dir auf? b) Stelle für beide Figuren einen Term für den Umfang \(U\) auf. c) Welche Figur hat den größeren Umfang und um welchen Term unterscheiden sich die Umfänge?

Ein quaderförmiges Wasserbecken mit einem maximalen Fassungsvermögen von \(V\) Litern ist zu Beginn mit \(B\) Litern Wasser gefüllt. Über zwei Zuleitungen fließt Wasser in das Becken: Leitung A liefert \(a\) Liter pro Minute und Leitung B liefert \(b\) Liter pro Minute. Gleichzeitig ist ein Abfluss geöffnet, durch den \(c\) Liter Wasser pro Minute aus dem Becken entweichen. a) Stelle einen Term auf, der die Wassermenge \(W\) im Becken nach \(m\) Minuten beschreibt. b) Erkläre im Sachkontext, was der Term \(V - (B + m \cdot (a + b - c))\) berechnet. Betrachte nur Zeiten \(m\ge 0\), für die \(0\le B+m\cdot(a+b-c)\le V\) gilt.

Ein Stromanbieter berechnet eine monatliche Grundgebühr von \(G\,\text{€}\) und zusätzlich einen Preis von \(p\,\text{€}\) pro verbrauchter Kilowattstunde. a) Stelle einen Term für die monatlichen Gesamtkosten bei einem Verbrauch von \(k\) Kilowattstunden auf. b) Der Anbieter ändert seine Tarife: Die Grundgebühr wird um \(5\,\text{€}\) erhöht und der Preis pro Kilowattstunde wird um \(0{,}02\,\text{€}\) gesenkt. Stelle den neuen Term für die monatlichen Gesamtkosten auf.

Zwei Motorboote A und B befinden sich auf einem Fluss mit der Strömungsgeschwindigkeit \(v_s\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Sie sind \(d\,\text{km}\) voneinander entfernt und fahren direkt aufeinander zu. Boot A fährt mit der Strömung und hat die Eigengeschwindigkeit \(v_A\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Boot B fährt gegen die Strömung mit der Eigengeschwindigkeit \(v_B\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\); dabei gilt \(v_B>v_s\). a) Stelle die Terme für die jeweiligen Geschwindigkeiten der Boote gegenüber dem Ufer auf. b) Stelle einen Term für die Annäherungsgeschwindigkeit \(v_{ann}\) der beiden Boote auf und vereinfache diesen so weit wie möglich. c) Welchen Einfluss hat die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses auf die Zeit, die vergeht, bis sich die Boote treffen? Begründe deine Antwort mithilfe deines Ergebnisses aus b).

Zwei Wanderer, Lukas und Marie, sind auf einem geraden Weg in die gleiche Richtung unterwegs. Marie hat einen Vorsprung von \(d\) Metern. Lukas geht mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(v_1\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\) und Marie mit \(v_2\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Lukas ist schneller als Marie, es gilt also \(v_1 > v_2\). a) Stelle einen Term für die Zeit \(t\) (in Minuten) auf, nach der Lukas Marie einholt. b) Berechne die Zeit \(t\) für einen Vorsprung von \(d = 450\,\text{m}\) und die Geschwindigkeiten \(v_1 = 80\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\) sowie \(v_2 = 50\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\).

Zwei Spardosen werden über mehrere Monate hinweg gefüllt. In Spardose A befinden sich zu Beginn \(x\,\text{€}\). Jeden Monat kommen \(a\,\text{€}\) hinzu. Spardose B ist anfangs leer, aber hier werden monatlich \(b\,\text{€}\) eingezahlt. Dabei ist die monatliche Sparrate bei Spardose B höher als bei A (\(b > a\)). a) Stelle einen Term für den Zeitpunkt \(n\) auf, zu dem beide Spardosen gleich viel enthalten. Gib außerdem an, unter welcher Bedingung die Gleichheit genau nach einer ganzen Anzahl von Monaten eintritt. b) Erkläre anhand der Struktur deines Terms, wie sich die Zeit \(n\) verändert, wenn die Sparrate \(b\) größer wird, während \(x\) und \(a\) gleich bleiben.

Ein Streaming-Dienst bietet ein Abonnement an, das eine monatliche Grundgebühr von \(8{,}50\,\text{€}\) kostet. Zusätzlich fallen für jeden geliehenen Film Kosten von \(2{,}50\,\text{€}\) an. a) Stelle einen Term für die monatlichen Gesamtkosten bei \(n\) geliehenen Filmen auf. b) Wie hoch sind die Kosten in einem Monat, in dem \(6\) Filme geliehen wurden? c) Ein Konkurrenzangebot verlangt keine Grundgebühr, aber dafür \(4{,}00\,\text{€}\) pro geliehenem Film. Entscheide durch Rechnung, welches Angebot bei \(5\) Filmen pro Monat günstiger ist.

Ein rechteckiges Beet hat die positiven Seitenlängen \(a\) und \(b\). Für die Umgestaltung gilt \(0<x<b\). 1. Notiere einen Term für den Umfang \(U_{\text{alt}}\) des Beets. 2. Das Beet wird nun umgestaltet: Die Seite \(a\) wird um ein Stück der Länge \(x\) verlängert, während die Seite \(b\) um das gleiche Stück \(x\) verkürzt wird. Stelle einen Term für den neuen Umfang \(U_{\text{neu}}\) auf und vereinfache ihn vollständig. 3. Vergleiche die Terme für \(U_{\text{alt}}\) und \(U_{\text{neu}}\). Was stellst du fest? 4. Berechne zur Kontrolle beide Umfänge für die Werte \(a = 40\,\text{m}\), \(b = 25\,\text{m}\) und \(x = 5\,\text{m}\).

Für \(a>0\), \(b>0\) und \(2b<3a\) hat ein Viereck den Umfang \(U = 10a + 6b\). Über drei Seitenlängen ist bekannt: - Die erste Seite \(s_1\) hat die Länge \(2a + b\). - Die zweite Seite \(s_2\) ist um \(a\) länger als die erste Seite. - Die dritte Seite \(s_3\) ist um \(2b\) kürzer als die zweite Seite. Stelle einen Term für die vierte Seite \(s_4\) auf und vereinfache ihn so weit wie möglich.

Ein Draht der Gesamtlänge \((16y+20)\,\text{cm}\) wird zu einem Viereck gebogen. Dabei wird \(y\) so gewählt, dass alle Seitenlängen positiv sind und ein Viereck bilden. - Die erste Seite ist \((5y+4)\,\text{cm}\) lang. - Die zweite Seite ist genau halb so lang wie die erste Seite. - Die dritte Seite ist \((3y+6)\,\text{cm}\) lang. a) Bestimme den vereinfachten Term für die vierte Seite \(s_4\). b) Überprüfe durch Rechnung, ob die vierte Seite länger als die erste Seite ist, wenn \(y = 10\) gewählt wird.

Ein mathematisches Rätsel beschäftigt sich mit der Differenz der Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. a) Berechne die Differenz der Quadrate für die Paare \( (1, 2) \), \( (4, 5) \) und \( (10, 11) \). Rechne dabei immer „größeres Quadrat minus kleineres Quadrat“. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? b) Sei \( n \) die kleinere der beiden aufeinanderfolgenden Zahlen. Stelle einen Term für die Differenz der Quadrate von \( n \) und ihrem Nachfolger \( n+1 \) auf. c) Vereinfache den Term (multipliziere dazu die Klammern aus) und begründe, warum das Ergebnis immer eine ungerade Zahl sein muss.

Ivo Petrov besitzt ein rechteckiges Gartenbeet, das \(8\,\text{m}\) länger als breit ist. Für eine Neupflanzung verringert er die Länge um \(3\,\text{m}\) und erhöht gleichzeitig die Breite um \(3\,\text{m}\). Berechne, um wie viele Quadratmeter sich der Flächeninhalt des Beets verändert.

Ein rechteckiger Parkplatz ist \(12\,\text{m}\) länger als er breit ist. Ein zweiter Parkplatz ist quadratisch. Seine Seitenlänge entspricht genau dem Mittelwert aus der Länge und der Breite des ersten Parkplatzes. a) Stelle für beide Parkplätze einen Term für den Flächeninhalt auf. Verwende \(b\) für die Breite des rechteckigen Parkplatzes. b) Welcher der beiden Parkplätze hat die größere Fläche? Bestimme den genauen Unterschied in Quadratmetern.

Ein Gartenteich kann durch zwei Schläuche befüllt werden. Schlauch A benötigt allein \(x\) Stunden, Schlauch B allein \(y\) Stunden, wobei \(x>0\) und \(y>0\) gilt. a) Stelle einen Term für den Anteil des Teichs auf, den beide Schläuche zusammen in einer Stunde füllen. b) Stelle einen Term für die gemeinsame Füllzeit auf und vereinfache ihn. c) Berechne die gemeinsame Zeit für \(x=6\) und \(y=3\). d) Vereinfache den Term aus b) für den Fall \(x=y\) und interpretiere das Ergebnis.

Lukas und Simon streichen einen Zaun. Lukas benötigt allein \(t\) Stunden mit \(t>0\). Simon benötigt für dieselbe Arbeit nur halb so viel Zeit. a) Gib Simons Arbeitszeit als Term in Abhängigkeit von \(t\) an. b) Welchen Anteil des Zauns schaffen beide zusammen in einer Stunde? Stelle einen Term auf und vereinfache ihn. c) Ermittle einen Term für die gemeinsame Arbeitszeit. d) Lukas behauptet: „Wenn ich allein \(6\,\text{Stunden}\) brauche, sparen wir \(4\,\text{Stunden}\), wenn wir zusammenarbeiten.“ Überprüfe die Aussage.

Die Geschwister Anna und Lukas gehen gemeinsam eine Strecke von \(s\) Metern. Annas Schrittlänge beträgt \(L\,\text{cm}\), Lukas legt pro Schritt \(5\,\text{cm}\) weniger zurück. Es gilt \(s>0\) und \(L>5\). a) Stelle für beide die Anzahl der Schritte als Term auf. Beachte die unterschiedlichen Einheiten. b) Stelle einen Term für den Unterschied in der Schrittanzahl auf. c) Berechne beide Schrittzahlen und ihren Unterschied für \(s=600\,\text{m}\) und \(L=80\,\text{cm}\).

Zwei Pumpen sollen ein Wasserbecken mit einem Volumen von \(V\) Litern füllen. Pumpe A fördert \(x\) Liter pro Minute, Pumpe B fördert \(x+10\) Liter pro Minute. Es gilt \(V>0\) und \(x>0\). a) Stelle einen Term für den Zeitunterschied \(\Delta t\) auf, den die beiden Pumpen jeweils allein zum Füllen benötigen. b) Untersuche mit deinem Term, wie sich dieser Zeitunterschied verändert, wenn das Becken das doppelte Volumen \(2V\) hat. Begründe.

Ein Kopiergerät druckt \(n\) Seiten in \(m\) Minuten. a) Erstelle einen Term für die Druckgeschwindigkeit \(v\) in Seiten pro Minute. b) Erstelle einen Term für die Zeit \(T\), die benötigt wird, um eine beliebige Anzahl von \(x\) Seiten zu drucken. c) Berechne die Druckgeschwindigkeit \(v\), wenn das Gerät \(n = 180\) Seiten in \(m = 4{,}5\) Minuten druckt. d) Wie lange dauert es bei der unter c) berechneten Geschwindigkeit, einen Auftrag von \(x = 540\) Seiten zu bearbeiten?

Eine Abfüllanlage in einer Molkerei nutzt zwei verschiedene Maschinentypen. Typ A füllt \(x\) Flaschen pro Minute, Typ B füllt \(y\) Flaschen pro Minute. Für einen Auftrag über \(F\) Flaschen werden 4 Maschinen von Typ A und 5 Maschinen von Typ B gleichzeitig eingesetzt. a) Stelle einen Term für die Zeit \(t\) in Minuten auf, die für den Auftrag benötigt wird. b) Berechne die Zeit \(t\) für \(x = 25\), \(y = 20\) und \(F = 4000\).

Ein Team von Landschaftsgärtnern mäht Rasenflächen. Ein Facharbeiter mäht \(f\) Quadratmeter pro Stunde, eine Hilfskraft mäht \(h\) Quadratmeter pro Stunde. Das aktuelle Team besteht aus 2 Facharbeitern und 3 Hilfskräften. Insgesamt soll eine Fläche von \(A\) Quadratmetern gemäht werden. a) Stelle einen Term für die Dauer \(d\) des Einsatzes in Stunden auf. b) Untersuche, wie sich die Gesamtleistung (gemähte Fläche pro Stunde) ändert, wenn ein Facharbeiter durch zwei Hilfskräfte ersetzt wird. Unter welcher Bedingung arbeitet das neue Team schneller als das ursprüngliche? c) Berechne die Dauer \(d\) für das ursprüngliche Team, wenn \(f = 120\), \(h = 80\) und \(A = 1920\).

Zwei Radfahrer, Lukas und Marie, wohnen in zwei \(d\,\text{km}\) voneinander entfernten Orten. Sie fahren gleichzeitig los, um sich auf der Strecke dazwischen zu treffen. Lukas fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(v\,\text{km/h}\). Marie fährt \(4\,\text{km/h}\) schneller als Lukas. a) Stelle einen Term für die Zeit \(t\) (in Stunden) bis zu ihrem Zusammentreffen auf. b) Berechne die Zeit \(t\) für \(d = 48\) und \(v = 10\). c) Wie würde der Term für die Zeit \(t\) lauten, wenn Marie stattdessen nur halb so schnell wie Lukas fahren würde?

Ein Wasserbecken mit einem Fassungsvermögen von \(V\) Litern wird durch zwei Leitungen befüllt. Leitung A leitet \(x\) Liter pro Minute in das Becken. Leitung B leitet pro Minute \(5\) Liter mehr ein als Leitung A. a) Stelle einen Term für die Wassermenge auf, die sich nach \(10\) Minuten im anfangs leeren Becken befindet, wenn beide Leitungen gleichzeitig geöffnet werden. b) Stelle einen Term für die Zeit \(t\) (in Minuten) auf, die benötigt wird, um das gesamte Becken zu füllen. c) Berechne die Füllzeit \(t\) für \(V = 750\) und \(x = 35\).

Ein Expeditionsteam hat einen Wasservorrat, der bei einem geplanten täglichen Verbrauch von \(v\) Litern für genau \(t\) Tage reicht. Um die Expedition sicherheitshalber zu verlängern, wird der tägliche Verbrauch um \(w\) Liter gesenkt. Dabei gilt \(0<w<v\). Stelle einen Term für die zusätzliche Zeit auf (die Differenz zwischen der neuen und der ursprünglichen Dauer) und berechne diese für folgende Werte: \(t=20\) Tage, \(v=60\,\text{Liter}\) und \(w=12\,\text{Liter}\).

Ein Vorratsspeicher für Holzpellets hat eine Kapazität von \(M\,\text{kg}\). Die vollständige Füllung des Speichers kostet insgesamt \(S\,\text{€}\). Die Heizungsanlage verbraucht täglich Pellets im Wert von \(k\,\text{€}\). Betrachte nur Zeiten \(t\), für die der Speicher noch nicht leer ist. a) Stelle einen Term auf, der angibt, wie viele Kilogramm Pellets nach \(t\) Tagen noch im Speicher vorhanden sind. b) Berechne die verbleibende Menge für \(M=3000\,\text{kg}\), \(S=1200\,\text{€}\), \(k=10\,\text{€}\) und \(t=30\).

Ein Logistikunternehmen stapelt Kisten auf Paletten. Eine Palette wird mit \(r\) Reihen zu je \(k\) Kisten beladen. Jede Kiste hat eine Masse von \(m\,\text{kg}\). a) Stelle einen Term für die Masse der Ladung \(G\) in Kilogramm auf. b) Eine leere Holzpalette wiegt zusätzlich \(25\,\text{kg}\). Erstelle einen Term für die Gesamtmasse \(M\) einer beladenen Palette in Tonnen. c) Ein Gabelstapler darf maximal \(1\,\text{t}\) heben. Prüfe rechnerisch, ob er eine Palette mit \(r = 5\), \(k = 8\) und \(m = 22\,\text{kg}\) heben darf.

Ethan Brooks plant, für ein neues Softwareprojekt insgesamt \(a\) Zeilen Code in \(b\) Tagen zu schreiben. Er arbeitet schneller als geplant, schreibt insgesamt \(c\) Zeilen mehr und ist trotzdem \(d\) Tage früher fertig. Dabei gilt \(0<d<b\). Stelle einen Term für den Unterschied der täglichen Arbeitsleistung zwischen tatsächlichem Verlauf und ursprünglicher Planung auf. Berechne den Unterschied für \(a=1500\), \(b=20\), \(c=300\) und \(d=5\).

Eine Jugendgruppe mit 24 Teilnehmern hat für ein 10-tägiges Zeltlager einen Vorrat an Verpflegungspaketen dabei. Jeden Tag verbraucht jeder Teilnehmer genau ein Paket. a) Wie viele Tage länger reicht der Vorrat, wenn 4 Teilnehmer kurzfristig absagen? b) Stelle einen Term für die Gesamtzahl der Tage \(T\) auf, die der Vorrat reicht. Nutze dabei die Variablen \(n\) für die ursprüngliche Teilnehmerzahl, \(t\) für die ursprünglich geplante Dauer in Tagen und \(k\) für die Anzahl der Personen, die weniger teilnehmen. Dabei gilt \(0\le k<n\).

Ein Sportverein plant die Anschaffung neuer Ausrüstung für insgesamt \(K\) Euro. Die Gemeinde unterstützt den Verein mit einem festen Zuschuss von \(Z\) Euro. Die verbleibenden Kosten werden gleichmäßig auf die \(s\) aktiven Mitglieder aufgeteilt. a) Stelle einen Term auf, der angibt, wie viel Euro jedes Mitglied bezahlen muss. b) Berechne den Betrag pro Person für \(K = 540\), \(Z = 120\) und \(s = 15\). c) Wie verändert sich der Betrag für jedes einzelne Mitglied, wenn die Anzahl der Mitglieder \(s\) kleiner wird, die Kosten \(K\) und der Zuschuss \(Z\) aber gleich bleiben? Begründe kurz.

Ein Sportboot soll eine Strecke von \(120\,\text{km}\) hin und wieder zurücklegen. Das Boot hat eine konstante Eigengeschwindigkeit von \(25\,\text{km/h}\). Untersuche, wie sich eine Strömung auf die Gesamtdauer der Fahrt auswirkt: 1. Berechne die Gesamtdauer für den Hin- und Rückweg auf einem stehenden See ohne Strömung. 2. Berechne die Gesamtdauer für den Hin- und Rückweg auf einem Fluss mit einer Fließgeschwindigkeit von \(5\,\text{km/h}\). 3. Vergleiche die beiden Ergebnisse. Wird die Zeit, die man durch die Strömung in die eine Richtung gewinnt, durch den Zeitverlust in die Gegenrichtung genau ausgeglichen?

Ein Reinigungskonzentrat enthält \(20\,\%\) Wirkstoff. Für eine Putzlösung wird \(1\,\text{l}\) dieses Konzentrats mit \(n\,\text{l}\) Wasser gemischt. Vereinfachend addieren sich die Volumina. Sei \(c(n)\) der Wirkstoffanteil der fertigen Mischung in Prozent. a) Zeige, dass \(c(n)=\frac{20}{n+1}\) gilt. b) Berechne \(c(1)\), \(c(2)\) und \(c(3)\). c) Zuri Mensah behauptet: „Wenn man die Wassermenge von \(1\,\text{l}\) auf \(2\,\text{l}\) verdoppelt, halbiert sich der Wirkstoffanteil.“ Überprüfe die Aussage. d) Vergleiche \(c(n)=\frac{20}{n+1}\) mit der Grundform \(f(x)=\frac{20}{x}\). Welche horizontale Verschiebung führt von \(f\) zu \(c\)?

In einer Karaffe mischt Leonie \(x\) Liter Fruchtsaftkonzentrat mit \(y\) Litern Wasser. Das Konzentrat enthält \(s\) Gramm Zucker pro Liter. a) Stelle einen Term für die Gesamtmenge an Zucker in der Karaffe auf. b) Stelle einen Term für den Zuckergehalt (in Gramm pro Liter) der fertigen Mischung auf. c) Berechne den Zuckergehalt der Mischung für \(x = 0{,}4\), \(y = 1{,}6\) und \(s = 150\).

Ein Aquarium mit einem Fassungsvermögen von \(V\) Litern ist zu einem Drittel mit Wasser gefüllt. Darin sind \(k\) Gramm Salz gelöst. a) Gib einen Term für die aktuelle Salzkonzentration (in Gramm pro Liter) dieser Lösung an. b) Das Aquarium wird nun bis zum Rand mit reinem Wasser aufgefüllt. Stelle einen Term für die neue Salzkonzentration auf. c) Unter der Voraussetzung \(m \cdot V \geq k\): Um wie viel Gramm muss die Salzmenge erhöht werden, damit im vollen Aquarium die Konzentration genau \(m\) Gramm pro Liter beträgt? Stelle einen Term für die zusätzliche Salzmenge auf.

Zwei Gruppen von Jugendlichen nehmen an einem Quiz-Wettbewerb teil. In Gruppe A sind \(n\) Personen, die im Durchschnitt \(a\) Punkte erreicht haben. In Gruppe B sind \(m\) Personen, die im Durchschnitt \(b\) Punkte erzielt haben. a) Stelle einen Term für die Gesamtpunktzahl aller Jugendlichen beider Gruppen auf. b) Stelle einen Term für den Punktedurchschnitt aller Teilnehmer auf. c) Vereinfache den Term aus Teil b) für den Fall, dass beide Gruppen gleich viele Mitglieder haben (\(n = m\)). Welchen bekannten Mittelwert erhältst du?

Chloé Martin plant eine zweitägige Radtour. Am ersten Tag fährt sie \(t_1\) Stunden lang mit der konstanten Geschwindigkeit \(v_1\,\text{km/h}\). Am zweiten Tag fährt sie \(t_2\) Stunden lang mit \(v_2\,\text{km/h}\). Stelle einen Term für die Durchschnittsgeschwindigkeit \(v_{\text{ges}}\) der gesamten Tour auf.

Zwei Roboter, Alpha und Beta, bewegen sich auf einer kreisförmigen Bahn mit dem Umfang \(U\). Roboter Alpha hat die Geschwindigkeit \(v_{\alpha}\) und Roboter Beta die Geschwindigkeit \(v_{\beta}\). Es gilt \(v_{\alpha}>v_{\beta}\). a) Beide starten am selben Punkt in entgegengesetzte Richtungen. Stelle einen Term für die Zeit \(t_E\) auf, nach der sie sich nach dem Start zum ersten Mal wieder treffen. b) Nun starten beide am selben Punkt in die gleiche Richtung. Stelle einen Term für die Zeit \(t_G\) auf, nach der Roboter Alpha den Roboter Beta zum ersten Mal überrundet. c) Erkläre kurz, warum sich die Nenner der beiden Terme unterscheiden müssen.

Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen Term mit der Variablen \(k\) auf. Dabei ist \(k\) eine beliebige ganze Zahl. a) Alle Zahlen, die durch 8 teilbar sind. b) Alle Zahlen, die bei der Division durch 8 den Rest 5 lassen. c) Alle ungeraden Zahlen. d) Alle Zahlen, die um 2 kleiner sind als ein Vielfaches von 3.

In einem Wassertank befinden sich zu Beginn \(W\) Liter Wasser. Durch ein Leck fließen pro Stunde gleichmäßig \(k\) Liter ab. a) Stelle einen Term für die verbleibende Wassermenge nach \(h\) Stunden auf. b) Berechne die Restmenge für \(W=500\,\text{l}\), \(k=12\,\text{l}\) pro Stunde und \(h=8\,\text{h}\). c) Nach wie vielen Stunden ist der Tank leer? Gib eine Formel mit \(W\) und \(k\) an. d) Elena Popescu behauptet, man könne für \(h\) jede beliebige Zahl in den Term einsetzen. Erkläre, warum das im Sachkontext nicht sinnvoll ist.

Ein Motorboot fährt auf einem Fluss. Seine Eigengeschwindigkeit (die Geschwindigkeit in stehendem Wasser) wird mit \(v\) bezeichnet, während die Fließgeschwindigkeit des Flusses \(c\) beträgt. 1. Stelle einen Term für den Unterschied (die Differenz) zwischen der Geschwindigkeit des Bootes mit der Strömung und der Geschwindigkeit gegen die Strömung auf. 2. Vereinfache diesen Term so weit wie möglich. Was sagt das Ergebnis über das Verhältnis der Geschwindigkeiten aus? 3. Überprüfe deine Überlegung mit einem Zahlenbeispiel: Wähle eine Eigengeschwindigkeit von \(22\,\text{km/h}\) und eine Fließgeschwindigkeit von \(4\,\text{km/h}\).

Ein Flugzeug fliegt bei Windstille mit einer konstanten Eigengeschwindigkeit \(v\). Wenn Wind mit der Geschwindigkeit \(w\) weht, ändert sich die Geschwindigkeit des Flugzeugs über dem Boden. a) Stelle Terme für die Geschwindigkeit mit Rückenwind (\(v_R\)) und für die Geschwindigkeit mit Gegenwind (\(v_G\)) auf. b) Addiere die beiden Terme \(v_R\) und \(v_G\) und dividiere die Summe durch 2. Welchen Wert erhältst du? Interpretiere dieses Ergebnis. c) Ein Flugzeug erreicht mit Rückenwind eine Geschwindigkeit von \(820\,\text{km/h}\) und mit Gegenwind \(740\,\text{km/h}\). Berechne mithilfe deiner Erkenntnisse aus Aufgabenteil b) die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs und bestimme anschließend die Windgeschwindigkeit.

Ein Team von \(n\) Fachkräften benötigt für die Renovierung einer Halle \(d\) Tage. Alle Fachkräfte arbeiten im vereinfachten Modell mit gleicher, konstanter Leistung. Die Halle soll \(k\) Tage früher fertig werden, wobei \(0<k<d\) gilt. a) Stelle einen Term für die rechnerisch benötigte Gesamtzahl an Fachkräften auf. Falls der Term keinen ganzzahligen Wert ergibt, müsste bei einer realen Planung auf die nächste ganze Person aufgerundet werden. b) Berechne die benötigte Anzahl für \(n=12\), \(d=20\) und \(k=5\). c) Wie viele zusätzliche Fachkräfte werden im Fall aus b) benötigt?

Zwei Pumpen füllen gemeinsam ein Wasserbecken mit dem Gesamtvolumen \(V\). Pumpe A fördert \(x\) Liter pro Minute, Pumpe B fördert \(y\) Liter pro Minute. a) Stelle eine Formel für das Gesamtvolumen \(V\) auf, wenn nach \(t\) Minuten gemeinsamen Betriebs beider Pumpen noch \(R\) Liter bis zur vollständigen Füllung fehlen. b) Berechne \(V\) für die Werte \(x = 15\), \(y = 20\), \(t = 12\) und \(R = 80\). c) Angenommen, das Becken hätte tatsächlich ein Fassungsvermögen von \(630\,\text{Liter}\). Wie viele Minuten müssten beide Pumpen nach den ersten \(12\,\text{Minuten}\) insgesamt noch zusätzlich laufen, um es vollständig zu füllen?

Der fiktive Wanderverein Bergpfad verwendet für seine Tourenplanung folgende vereinfachte Übungsregel: Für je \(4\,\text{km}\) horizontale Strecke wird eine Stunde angesetzt. Für je \(500\,\text{m}\) Aufstieg kommt eine weitere Stunde hinzu. a) Stelle einen Term für die Gesamtzeit \(T\) in Stunden auf. Benutze \(s\) für die Strecke in \(\text{km}\) und \(h\) für die Höhenmeter im Aufstieg. b) Wie lange dauert nach dieser Regel eine Wanderung über \(10\,\text{km}\) Strecke und \(750\,\text{m}\) Aufstieg? c) Eine Wandergruppe behauptet: „Wenn wir die Strecke verdoppeln, aber die Höhenmeter gleich bleiben, verdoppelt sich auch die benötigte Zeit.“ Überprüfe diese Aussage mithilfe deines Terms.

Ein großer Würfel mit der Kantenlänge \(a\) und ein kleinerer Würfel mit der Kantenlänge \(b\) werden zu einem neuen Körper zusammengeklebt. Dabei wird eine Seitenfläche des kleinen Würfels vollständig auf eine Seitenfläche des großen Würfels geklebt. Stelle einen Term für den gesamten Oberflächeninhalt \(O\) dieses neuen zusammengesetzten Körpers auf und vereinfache ihn so weit wie möglich.

Eine Jugendgruppe mit \(n\) Personen plant einen Ausflug. Die Kosten für den Bus betragen insgesamt \(B\) Euro und sollen gleichmäßig auf alle Teilnehmer aufgeteilt werden. Kurz vor der Fahrt melden sich noch \(m\) weitere Jugendliche an. Da nun ein größerer Bus benötigt wird, erhöhen sich die Gesamtkosten um \(s\) Euro. a) Stelle einen Term für die Änderung des Preises pro Person auf, indem du den neuen Preis vom ursprünglichen Preis abziehst. Erkläre, was ein positiver, ein negativer und der Wert \(0\) bedeuten. b) Berechne diese Änderung für \(n=20\), \(B=400\), \(m=5\) und \(s=50\). c) Unter welcher Bedingung ändert sich der Preis pro Person überhaupt nicht? Erkläre den Zusammenhang ohne die beiden Preise vollständig auszurechnen.

Ein Wasserbecken wird mit einer Pumpe gefüllt. Geplant ist eine Fülldauer von \(t\) Stunden bei einer Förderleistung von \(r\) Litern pro Stunde. Die Pumpe wird jedoch optimiert, sodass sie pro Stunde \(s\) Liter zusätzlich fördert. a) Stelle einen Term auf, der die Zeitersparnis in Stunden beschreibt. b) Berechne diese Ersparnis für \(t = 10\), \(r = 1200\) und \(s = 300\). c) Erkläre kurz, was der Teilterm \(\frac{tr}{r + s}\) in diesem Sachzusammenhang angibt.