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- Überlege dir, mit welcher Umkehroperation du \(x\) allein auf eine Seite der Gleichung bringst. - Achte beim Rechnen besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Erinnere dich daran, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist und jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl.

1. Berechnung von a): \(x = 5 - 12 = -7\). Da \(-7\) eine negative ganze Zahl ist, gehört sie zu \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). 2. Berechnung von b): \(x = -18 : 6 = -3\). Da \(-3\) eine negative ganze Zahl ist, gehört sie zu \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). 3. Berechnung von c): \(x = 8 + 3 = 11\). Da \(11\) eine positive ganze Zahl ist, gehört sie zu \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\).

a) \(x = -7\); gehört zu \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). b) \(x = -3\); gehört zu \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). c) \(x = 11\); gehört zu \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\).

- Beginne jeweils beim Ergebnis auf der rechten Seite. - Mache die zuletzt ausgeführte Rechenoperation zuerst rückgängig. - Schreibe die Rückwärtsschritte als konkrete Rechnungen, nicht nur den Endwert.

1. a) Vom Ergebnis 39 zuerst 14 abziehen: \(39-14=25\). Danach durch 5 teilen: \(25:5=5\). 2. b) Aus \(18-2x=10\) folgt für den abgezogenen Betrag \(18-10=8\). Daher \(2x=8\) und \(x=4\). 3. c) Vom Ergebnis 12 zuerst 5 abziehen: \(12-5=7\). Danach mit 3 multiplizieren: \(7\cdot3=21\).

a) \(39-14=25\), \(25:5=5\), also \(x=5\). b) \(18-10=8\), \(8:2=4\), also \(x=4\). c) \(12-5=7\), \(7\cdot3=21\), also \(x=21\).

- Was musst du tun, um die Variable allein auf einer Seite der Gleichung stehen zu haben? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil von Addition? - Was bedeutet es, eine „Probe“ zu machen?

1. Subtraktion von 9 auf beiden Seiten der Gleichung: \(x = 25 - 9\). 2. Berechnung des Wertes für \(x\): \(x = 16\). 3. Durchführung der Probe durch Einsetzen von \(x = 16\) in die ursprüngliche Gleichung: \(16 + 9 = 25\). 4. Da die Aussage \(25 = 25\) wahr ist, ist \(x = 16\) die korrekte Lösung.

Der Wert für \(x\) ist \(16\). Die Probe bestätigt: \(16 + 9 = 25\).

- Was musst du tun, damit die Variable \(x\) allein auf einer Seite der Gleichung steht? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil der Operation, die in der Gleichung steht? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Rechnen mit negativen Zahlen. - Kannst du das Ergebnis überprüfen, indem du dein \(x\) in die ursprüngliche Gleichung einsetzt?

1. Subtraktion von \(11\) auf beiden Seiten: \(x = 4 - 11 = -7\). 2. Addition von \(6\) auf beiden Seiten: \(x = -9 + 6 = -3\). 3. Addition von \(7\) auf beiden Seiten: \(x = -2 + 7 = 5\). 4. Subtraktion von \(20\) auf beiden Seiten: \(14 - 20 = x\), also \(x = -6\). 5. Auflösen der Klammer zu \(x - 5 = -1\) und Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(x = -1 + 5 = 4\).

1) \(x = -7\) 2) \(x = -3\) 3) \(x = 5\) 4) \(x = -6\) 5) \(x = 4\)

- Setze die jeweils angegebene Zahl an jeder Stelle für \(x\) ein. - Berechne die linke und die rechte Seite getrennt. - Eine Zahl ist genau dann eine Lösung, wenn beide Seiten denselben Wert haben. - Beurteile jede Gleichung unabhängig von den anderen.

1. Für \(x=3\) ist \(7x-5=21-5=16\). Die erste Zahl ist eine Lösung. 2. Für \(x=4\) ist \(18-3x=18-12=6\). Die zweite Zahl ist eine Lösung. 3. Für \(x=1\) ist \(2(x+4)=2\cdot5=10\). Die dritte Zahl ist eine Lösung. 4. Für \(x=5\) ist die linke Seite \(21\), die rechte Seite aber \(19\). Die vierte Zahl ist keine Lösung.

1) Ja. 2) Ja. 3) Ja. 4) Nein.

- Vergleiche in der Tabelle jeweils die linke Seite vor und nach der Veränderung. - Eine Äquivalenzumformung muss auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Wirkung haben. - Wende die erkannte Rechenoperation auch auf die rechte Seite des Startschritts an.

1. Von \(x+7\) zu \(x\) wird \(7\) subtrahiert. Damit die Gleichheit erhalten bleibt, wird auf der rechten Seite ebenfalls \(7\) subtrahiert. 2. Aus \(19-7=12\) folgt \(x=12\).

Auf beiden Seiten wurde \(7\) subtrahiert. Die Lösung ist \(x=12\).

- Wähle jeweils dieselbe Operation auf beiden Seiten, um den konstanten Term bei der Variablen zu entfernen. - Achte in b) darauf, dass vor \(x\) ein Minuszeichen steht. - Vereinfache in c) zuerst das doppelte Minus.

1. a) Subtrahiere \(14{,}5\): \(x=-20\). 2. b) Addiere 20: \(-x=55\); multipliziere mit \(-1\): \(x=-55\). 3. c) Vereinfache zu \(x+12=-8\); subtrahiere 12: \(x=-20\). 4. d) Addiere \(4{,}2\): \(x=7\).

a) \(x+14{,}5=-5{,}5\Rightarrow x=-20\). b) \(-20-x=35\Rightarrow -x=55\Rightarrow x=-55\). c) \(x+12=-8\Rightarrow x=-20\). d) \(-4{,}2+x=2{,}8\Rightarrow x=7\).

- Vereinfache zuerst das Doppelvorzeichen in der Ausgangsgleichung. - Prüfe danach, welche Äquivalenzumformung \(x\) freistellt. - Setze den gefundenen Wert zur Kontrolle ein.

1. Annas Aussage ist richtig: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht einer Addition, also \(x - (-15) = x + 15\). 2. Bens Aussage ist ebenfalls richtig. Aus \(x + 15 = 10\) erhält man durch Subtraktion von \(15\) auf beiden Seiten \(x = 10 - 15\). 3. Damit ist \(x = -5\). Die Probe \(-5 - (-15) = 10\) bestätigt die Lösung.

Beide Aussagen sind richtig. Die Lösung ist \(x = -5\).

- Bearbeite zunächst nur die Klammer- und Vorzeichenstruktur auf der linken Seite. - In b) wirkt das Minus vor der Klammer auf beide Terme in der Klammer. - Erst nach dem Vereinfachen isolierst du \(z\).

1. a) Vereinfachen: \(z-25=5\); Addition von 25 ergibt \(z=30\). 2. b) Vereinfachen: \(25-z=15\); Subtraktion von 25 ergibt \(-z=-10\), also \(z=10\). 3. c) Vereinfachen: \(z-8=-20\); Addition von 8 ergibt \(z=-12\).

a) \(z-25=5\Rightarrow z=30\). b) \(25-z=15\Rightarrow -z=-10\Rightarrow z=10\). c) \(z-8=-20\Rightarrow z=-12\).

- Bringe Brüche und Dezimalzahlen bei Bedarf in eine gemeinsame Darstellung. - Führe auf beiden Seiten dieselbe Äquivalenzumformung aus. - Prüfe die Lösung anschließend durch Einsetzen.

1. In a) gilt \(-\frac{3}{4} = -0{,}75\). Die Gleichung wird zu \(x - 0{,}4 = -0{,}75\). Addiere \(0{,}4\) auf beiden Seiten: \(x = -0{,}35\). 2. In b) ist \(-1{,}2 + 0{,}8 = -0{,}4\) und \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). Damit lautet die Gleichung \(x - 0{,}4 = -0{,}4\). Addiere \(0{,}4\) auf beiden Seiten: \(x = 0\).

a) \(x = -0{,}35\) oder \(x = -\frac{7}{20}\) b) \(x = 0\)

- Welche Rechenoperation wird in a) ganz außen auf die Klammer angewendet? - Welche Operation wird in b) ganz außen auf den Zählerterm angewendet? - Arbeite die Rechenoperationen in umgekehrter Reihenfolge zurück.

1. a) Division durch 3 ergibt \(x+1{,}2=5\); Subtraktion von \(1{,}2\) ergibt \(x=3{,}8\). 2. b) Multiplikation mit 4 ergibt \(18{,}6-x=14\); Subtraktion von \(18{,}6\) ergibt \(-x=-4{,}6\), also \(x=4{,}6\).

a) \(3(x+1{,}2)=15\Rightarrow x+1{,}2=5\Rightarrow x=3{,}8\). b) \((18{,}6-x):4=3{,}5\Rightarrow18{,}6-x=14\Rightarrow x=4{,}6\).

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl zur Grundmenge gehört? - Löse die Gleichung zuerst so, als gäbe es keine Einschränkung für die Zahlen. - Prüfe am Ende jedes Ergebnisses: Ist diese Zahl in der Menge \(\{1; 2; 3; \dots\}\) enthalten? - Wenn eine berechnete Zahl nicht in der Grundmenge liegt, gibt es für diese Grundmenge keine Lösung.

1. Gleichung a: \(4x - 7 = 13 \implies 4x = 20 \implies x = 5\). Da \(5\) eine natürliche Zahl ist, gilt \(L = \{5\}\). 2. Gleichung b: \(3x + 12 = 5 \implies 3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3}\). Da \(-\frac{7}{3}\) keine natürliche Zahl ist, gilt \(L = \emptyset\). 3. Gleichung c: \(2x + 1 = 8 \implies 2x = 7 \implies x = 3{,}5\). Da \(3{,}5\) keine natürliche Zahl ist, gilt \(L = \emptyset\). 4. Gleichung d: \(15 - 5x = 10 \implies -5x = -5 \implies x = 1\). Da \(1\) eine natürliche Zahl ist, gilt \(L = \{1\}\).

a) \(L = \{5\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \emptyset\) d) \(L = \{1\}\)

- Kannst du den Faktor vor der Klammer zuerst durch Division beseitigen, anstatt die Klammer auszumultiplizieren? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem Term mit \(x\). - Was musst du tun, wenn das Ergebnis auf der anderen Seite der Gleichung steht? - Denke an die Vorzeichenregeln bei der Division.

In Aufgabe a) wird die Gleichung zuerst durch \(4\) dividiert, was \(x + 2 = 7\) ergibt, und nach Subtraktion von \(2\) erhält man \(x = 5\). In b) subtrahiert man \(21\) von beiden Seiten, was \(-9 = 3x\) ergibt, und dividiert durch \(3\), woraus \(x = -3\) folgt. In c) führt die Subtraktion von \(15\) zu \(-5x = 20\), und die Division durch \(-5\) ergibt das Resultat \(x = -4\).

a) \(x = 5\) b) \(x = -3\) c) \(x = -4\)

- Was musst du tun, um die Variable allein auf einer Seite der Gleichung zu isolieren? - Denke daran, dass du Rechenoperationen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durchführen musst. - Wie gehst du mit einem Minuszeichen vor der Variablen um?

1. Subtraktion von \(12\): \(5x = 25\). Division durch \(5\): \(x = 5\). 2. Subtraktion von \(18\): \(-3y = -12\). Division durch \(-3\): \(y = 4\). 3. Subtraktion von \(z\): \(3z = 12\). Division durch \(3\): \(z = 4\). 4. Subtraktion von \(7\): \(x = -9\).

a) \(x = 5\) b) \(y = 4\) c) \(z = 4\) d) \(x = -9\)

- Entferne zuerst den konstanten Summanden neben dem Variablenterm. - Achte in b) auf das negative Vorzeichen des Variablenterms. - Wähle danach eine Operation, die den Koeffizienten der Variablen auf 1 bringt.

1. a) \(6x+14=50\Rightarrow6x=36\Rightarrow x=6\). 2. b) \(18-4y=2\Rightarrow-4y=-16\Rightarrow y=4\). 3. c) \(0{,}5z-3=4{,}5\Rightarrow0{,}5z=7{,}5\Rightarrow z=15\). 4. d) \(\frac23b+4=10\Rightarrow\frac23b=6\Rightarrow b=9\).

a) \(6x+14=50\Rightarrow6x=36\Rightarrow x=6\). b) \(18-4y=2\Rightarrow-4y=-16\Rightarrow y=4\). c) \(0{,}5z-3=4{,}5\Rightarrow0{,}5z=7{,}5\Rightarrow z=15\). d) \(\frac23b+4=10\Rightarrow\frac23b=6\Rightarrow b=9\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine „Lösung“ einer Gleichung ist? - Ersetze den Buchstaben in der Gleichung durch die gegebene Zahl und berechne den Wert des Terms. - Vergleiche das Ergebnis der linken Seite mit der rechten Seite der Gleichung. - Achte auf die Vorrangregeln (Klammer vor Punkt vor Strich).

1. Teilaufgabe a: Einsetzen von \(x = 5\) ergibt \(4 \cdot 5 - 7 = 20 - 7 = 13\). Da \(13 = 13\), ist \(5\) eine Lösung. 2. Teilaufgabe b: Einsetzen ergibt \(3(5 + 2) = 3 \cdot 7 = 21\). Da \(21 = 21\), ist \(5\) eine Lösung. 3. Teilaufgabe c: Einsetzen ergibt \(10 - 2 \cdot 5 = 10 - 10 = 0\). Da \(0 = 0\), ist \(5\) eine Lösung. 4. Teilaufgabe d: Einsetzen ergibt \(\frac{1}{5} \cdot 5 + 9 = 1 + 9 = 10\). Da \(10 \neq 11\), ist \(5\) keine Lösung.

a) \(4\cdot5-7=13\). Ja, \(5\) ist eine Lösung. b) \(3(5+2)=21\). Ja, \(5\) ist eine Lösung. c) \(10-2\cdot5=0\). Ja, \(5\) ist eine Lösung. d) \(\frac{1}{5}\cdot5+9=10\ne11\). Nein, \(5\) ist keine Lösung.

- Überlege dir zuerst, wie du alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung bringst. - Was musst du tun, um die Zahlen ohne Unbekannte auf die andere Seite zu schieben? - Achte beim Umformen darauf, immer die gegenteilige Rechenart zu verwenden. - Vergiss nicht, am Ende durch die Zahl vor der Unbekannten zu teilen.

1. Gleichung a: Subtraktion von \(5x\) ergibt \(3x + 13 = 31\). Subtraktion von \(13\) führt zu \(3x = 18\). Division durch \(3\) ergibt \(x = 6\). 2. Gleichung b: Addition von \(6y\) ergibt \(14 = 8y - 18\). Addition von \(18\) führt zu \(32 = 8y\). Division durch \(8\) ergibt \(y = 4\). 3. Gleichung c: Subtraktion von \(3z\) ergibt \(8z - 7 = 25\). Addition von \(7\) führt zu \(8z = 32\). Division durch \(8\) ergibt \(z = 4\).

a) \(x = 6\) b) \(y = 4\) c) \(z = 4\)

- Multipliziere zuerst die Zahlen vor den Klammern mit jedem Glied in der Klammer. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer in Teilaufgabe b). - Fasse alle Zahlen ohne Variable auf einer Seite und alle Terme mit Variable auf der anderen Seite zusammen. - Kannst du die Probe machen, indem du dein Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung einsetzt?

a) Klammer auflösen: \(4x - 12 + 7 = 19\). Zusammenfassen: \(4x - 5 = 19\). Addition von 5: \(4x = 24\). Division durch 4: \(x = 6\). b) Klammer auflösen: \(12 - 3y - 6 = 0\). Zusammenfassen: \(6 - 3y = 0\). Subtraktion von 6: \(-3y = -6\). Division durch \(-3\): \(y = 2\). c) Klammer auflösen: \(5z + 2z - 8 = 13\). Zusammenfassen: \(7z - 8 = 13\). Addition von 8: \(7z = 21\). Division durch 7: \(z = 3\).

a) \(x = 6\) b) \(y = 2\) c) \(z = 3\)

- Das Minus vor der Klammer ändert beide Vorzeichen in der Klammer. - Fasse danach die beiden \(x\)-Terme zusammen. - Zeige mindestens einen Schritt, der auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation ausführt.

1. Minusklammer auflösen: \(7x-2x-5=15\), also \(5x-5=15\). 2. Addition von 5 ergibt \(5x=20\). 3. Division durch 5 ergibt \(x=4\).

\(7x-(2x+5)=15\Rightarrow5x-5=15\Rightarrow5x=20\Rightarrow x=4\).

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn eine negative Zahl davorsteht? - Kannst du die linke Seite der Gleichung vereinfachen, bevor du mit den Umformungen beginnst? - Wie isolierst du die Variable \(x\) Schritt für Schritt?

1. Klammer auf der linken Seite ausmultiplizieren: \(5x - 3x - 12 = 4\). 2. Terme mit \(x\) zusammenfassen: \(2x - 12 = 4\). 3. Addition von \(12\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(2x = 16\). 4. Division durch \(2\): \(x = 8\).

\(x = 8\)

- Kannst du auf jeder Seite der Gleichung zuerst alle Glieder mit Variablen und alle Glieder ohne Variablen zusammenzählen? - Wie schaffst du es, dass am Ende alle Variablen auf der einen und alle Zahlen auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens stehen? - Was musst du tun, um eine Zahl vor einer Variablen wegzubekommen?

1. Teilaufgabe a): Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(17x - 5\). Die Gleichung lautet nun \(17x - 5 = 2x + 40\). 2. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten führt zu \(15x - 5 = 40\). 3. Addition von \(5\) ergibt \(15x = 45\). 4. Division durch \(15\) liefert das Ergebnis \(x = 3\). 5. Teilaufgabe b): Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(30 - 4y\). Auf der rechten Seite ergibt sich \(8y - 12\). Die Gleichung lautet \(30 - 4y = 8y - 12\). 6. Addition von \(4y\) auf beiden Seiten führt zu \(30 = 12y - 12\). 7. Addition von \(12\) ergibt \(42 = 12y\). 8. Division durch \(12\) liefert das Ergebnis \(y = 3{,}5\).

a) \(x = 3\) b) \(y = 3{,}5\) (oder \(y = \frac{7}{2}\))

- Prüfe, ob sich die erste Gleichung durch eine zulässige Äquivalenzumformung direkt in die zweite überführen lässt. - Achte bei einer Klammer darauf, dass der Faktor vor der Klammer jeden Summanden in der Klammer betrifft. - Alternativ kannst du beide Gleichungen lösen und ihre Lösungsmengen vergleichen.

1. Für a) kann die erste Gleichung auf beiden Seiten durch \(7\) geteilt werden. Dadurch entsteht \(x-2=3\), also genau die zweite Gleichung. Beide Gleichungen sind äquivalent und haben die Lösung \(x=5\). 2. Für b) ergibt das Distributivgesetz aus \(3(a+4)=15\) die Gleichung \(3a+12=15\). Sie hat die Lösung \(a=1\). Die zweite Gleichung \(3a+4=15\) hat dagegen die Lösung \(a=\frac{11}{3}\). Daher sind die Gleichungen nicht äquivalent.

a) Ja, die Gleichungen sind äquivalent; Division der ersten Gleichung durch \(7\) ergibt die zweite. b) Nein, die Gleichungen sind nicht äquivalent; beim korrekten Auflösen der Klammer entsteht \(3a+12=15\), nicht \(3a+4=15\).

- Löse zuerst die Klammern auf oder dividiere durch den Faktor vor der Klammer. - Isoliere die Variable auf einer Seite der Gleichung. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse für die Variable.

1. Lösung der Gleichung von Max: \(3(a + 4) = 2a + 18\) Klammer auflösen: \(3a + 12 = 2a + 18\) Subtraktion von \(2a\): \(a + 12 = 18\) Subtraktion von \(12\): \(a = 6\) Lösungsmenge \(L_{\text{Max}} = \{6\}\). 2. Lösung der Gleichung von Sophie: \(2(a - 3) = 6\) Division durch \(2\): \(a - 3 = 3\) Addition von \(3\): \(a = 6\) Lösungsmenge \(L_{\text{Sophie}} = \{6\}\). 3. Vergleich: Da beide Gleichungen die Lösung \(6\) ergeben, sind die Lösungsmengen identisch.

Ja, beide Gleichungen besitzen dieselbe Lösungsmenge \(L = \{6\}\).

- Fasse zuerst die gleichartigen Terme auf jeder Seite zusammen. - Bringe danach alle Variablenterme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere. - Welche letzte Umformung isoliert die Variable, sobald nur noch ein Vielfaches von \(x\) übrig ist? - Schreibe den gefundenen Wert anschließend als Lösungsmenge auf.

1. Zusammenfassen auf der linken Seite ergibt \(11x-15=3x+25\). 2. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten ergibt \(8x-15=25\). 3. Addition von \(15\) führt zu \(8x=40\). 4. Division durch \(8\) ergibt \(x=5\). 5. Damit ist \(L=\{5\}\).

\(L=\{5\}\)

- Vereinfache jede Gleichung so weit wie möglich. - Achte darauf, ob die Variable beim Umformen vollständig verschwindet oder eindeutig bestimmt werden kann. - Wenn die Variable verschwindet, entscheide, ob die verbleibende Aussage immer wahr oder immer falsch ist. - Ordne erst danach die passende Kategorie zu.

1. Bei (1) führt das Subtrahieren von \(5x\) auf beiden Seiten zu einer falschen Aussage. Daher hat die Gleichung keine Lösung. 2. Bei (2) ergibt das Auflösen der Klammer auf beiden Seiten denselben Term. Die Gleichung ist für jeden zulässigen Wert von \(x\) wahr und hat unendlich viele Lösungen. 3. Bei (3) lässt sich \(x\) eindeutig bestimmen. Daher hat die Gleichung genau eine Lösung, nämlich \(x=0\).

(1) \(5x+3=5x-2\Rightarrow3=-2\): keine Lösung. (2) \(2(x+4)=2x+8\Rightarrow2x+8=2x+8\): unendlich viele Lösungen. (3) \(3x=0\Rightarrow x=0\): genau eine Lösung.

- Bringe die Terme mit \(x\) auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere. - Achte bei allen Umformungen sorgfältig auf die Dezimalzahlen und Vorzeichen. - Welche Operation isoliert \(x\), wenn am Ende nur noch ein Dezimalfaktor vor der Variablen steht? - Prüfe dein Ergebnis durch Einsetzen.

1. Subtraktion von \(0{,}6x\) auf beiden Seiten ergibt \(4=0{,}5x-3{,}5\). 2. Addition von \(3{,}5\) ergibt \(7{,}5=0{,}5x\). 3. Division durch \(0{,}5\) liefert \(x=15\).

\(x=15\)

- Was musst du tun, um alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen? - Wie kannst du die Zahl ohne \(x\) auf die andere Seite bewegen? - Welche Rechenoperation macht eine Multiplikation rückgängig?

1. Addition von \(1{,}2x\) auf beiden Seiten zur Zusammenfassung der Variablen: \(4x - 4{,}2 = 7{,}8\) 2. Addition von \(4{,}2\) auf beiden Seiten zur Isolierung des Terms mit \(x\): \(4x = 12\) 3. Division durch \(4\) zur Berechnung des Endwertes: \(x = 3\)

\(2{,}8x-4{,}2=-1{,}2x+7{,}8\) \(\Rightarrow4x-4{,}2=7{,}8\) \(\Rightarrow4x=12\) \(\Rightarrow x=3\).

- Kannst du alle Glieder mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung bringen? - Was musst du tun, um die Zahlen ohne \(x\) auf die andere Seite zu bewegen? - Wie isolierst du das \(x\), wenn am Ende noch ein Faktor davor steht?

1. Subtraktion von \(0{,}6x\) auf beiden Seiten: \(1{,}2x - 4{,}2 = 3\) 2. Addition von \(4{,}2\) auf beiden Seiten: \(1{,}2x = 7{,}2\) 3. Division durch \(1{,}2\): \(x = \frac{7{,}2}{1{,}2} = 6\)

\(x = 6\)

- Was ist der erste Schritt, wenn eine Klammer in der Gleichung steht? - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf die Vorzeichen. - Welche Rechenoperation kehrt eine Multiplikation mit \(1{,}5\) um?

1. Auflösen der Klammer auf der linken Seite: \(6x - 15 = 4{,}5x + 6\) 2. Subtraktion von \(4{,}5x\) auf beiden Seiten: \(1{,}5x - 15 = 6\) 3. Addition von \(15\) auf beiden Seiten: \(1{,}5x = 21\) 4. Division durch \(1{,}5\): \(x = \frac{21}{1{,}5} = 14\)

\(x = 14\)

- Was musst du zuerst tun, um die Klammer aufzulösen? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite stehen? - Was ist der letzte Schritt, um \(x\) allein stehen zu haben? - Vergiss nicht, dein Ergebnis für \(x\) in die zweite Formel einzusetzen.

1. Ausmultiplizieren der Klammer auf der rechten Seite: \(0{,}5(x + 6) = 0{,}5x + 3\). 2. Die Gleichung lautet nun: \(1{,}5x - 2 = 0{,}5x + 3\). 3. Subtraktion von \(0{,}5x\) auf beiden Seiten ergibt: \(x - 2 = 3\). 4. Addition von \(2\) auf beiden Seiten liefert den Wert für \(x\): \(x = 5\). 5. Einsetzen von \(x = 5\) in den Ausdruck für \(A\): \(A = 3 \cdot 5 + 5\). 6. Berechnung des Endergebnisses: \(A = 15 + 5 = 20\).

Der Wert für \(x\) ist \(5\). Der Wert für \(A\) ist \(20\).

- Wie gehst du vor, wenn auf beiden Seiten der Gleichung die Variable vorkommt? - Welche Rechenregel hilft dir beim Auflösen von Klammern, besonders wenn ein Minuszeichen davor steht? - Gibt es bei Aufgabe b) einen Weg, die Klammer direkt zu beseitigen, ohne sie auszmultiplizieren? - Kannst du Terme auf einer Seite erst zusammenfassen, bevor du umformst?

1. Gleichung a): Subtraktion von \(2x\) ergibt \(5x - 12 = 13\). Addition von 12 ergibt \(5x = 25\). Division durch 5 führt zu \(x = 5\). 2. Gleichung b): Division der gesamten Gleichung durch 3 ergibt \(x - 4 = 5\). Addition von 4 führt zu \(x = 9\). Alternativ: Klammer auflösen zu \(3x - 12 = 15\), dann \(3x = 27\), also \(x = 9\). 3. Gleichung c): Auflösen der Minusklammer ergibt \(10y - 2y - 4 = 12\). Zusammenfassen der Terme ergibt \(8y - 4 = 12\). Addition von 4 ergibt \(8y = 16\). Division durch 8 führt zu \(y = 2\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 9\) c) \(y = 2\)

- Fasse auf der linken Seite zuerst die \(x\)-Terme und die Zahlen zusammen. - Setze den gefundenen Wert anschließend in die ursprüngliche Gleichung ein, nicht nur in eine vereinfachte Zwischenform. - Eine Probe ist erst vollständig, wenn du die Werte beider Seiten vergleichst.

1. Links zusammenfassen: \(8x-6=4x+18\). 2. Subtraktion von \(4x\) und Addition von 6 ergeben \(4x=24\), also \(x=6\). 3. Probe: Links ergibt \(13\cdot6-8-5\cdot6+2=42\), rechts \(4\cdot6+18=42\).

\(x=6\). Probe: linke Seite \(=42\), rechte Seite \(=42\). Die Probe stimmt.

- Was passiert, wenn du alle Terme mit \(x\) auf die linke Seite bringst? - Wie kannst du die Zahl \(15\) auf die andere Seite der Gleichung bewegen? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil von Multiplikation?

1. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten ergibt \(4x + 15 = -5\). 2. Subtraktion von \(15\) auf beiden Seiten führt zu \(4x = -20\). 3. Division durch \(4\) ergibt den Wert für \(x\). 4. Das Ergebnis ist \(x = -5\).

\(x = -5\)

- Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer. - Vereinfache zunächst beide Seiten so weit wie möglich. - Bringe anschließend alle Variablenterme auf eine Seite und die Zahlen auf die andere Seite.

1. Für die erste Gleichung die Minusklammer auflösen: \(18 - 3x - 6 = 2x - 3\). 2. Die linke Seite zusammenfassen: \(12 - 3x = 2x - 3\). 3. Die Variablenterme und Zahlen ordnen: \(12 + 3 = 2x + 3x\), also \(15 = 5x\). 4. Division durch \(5\) ergibt \(x = 3\). 5. Für die zweite Gleichung die Klammer ausmultiplizieren: \(5x - 5 = 2x + 7\). 6. Die Variablenterme und Zahlen ordnen: \(5x - 2x = 7 + 5\), also \(3x = 12\). 7. Division durch \(3\) ergibt \(x = 4\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 4\)

- Versuche zuerst, den Teil mit der Variablen zu isolieren, indem du die Zahl ohne Variable auf die andere Seite bringst. - Wie kommst du von \(4y\) auf ein einzelnes \(y\)? - Was passiert mit dem Ergebnis der Rechnung, wenn du eine Zahl einsetzt, die nicht die Lösung ist?

1. Lösung der Gleichung: Zuerst wird 3 auf beiden Seiten addiert: \(4y = 20\). 2. Division durch 4 ergibt die Lösung: \(y = 5\). 3. Überprüfung für \(y = 4\): Einsetzen des Wertes in die linke Seite der Gleichung ergibt \(4 \cdot 4 - 3 = 16 - 3 = 13\). 4. Da das Ergebnis \(13\) nicht gleich \(17\) ist, ist \(y = 4\) keine Lösung der Gleichung.

a) Die Lösung ist \(y = 5\). b) \(y = 4\) ist keine Lösung, da das Einsetzen \(4 \cdot 4 - 3 = 13\) ergibt und dies nicht gleich \(17\) ist.

- Gehe schrittweise vor und versuche zuerst den Teil ohne Variable auf die andere Seite zu bringen. - Was musst du tun, um einen Faktor vor der Variablen (wie z. B. \(5\) oder \(1{,}2\)) zu eliminieren? - Denke daran, dass eine Division durch eine negative Zahl das Vorzeichen des Ergebnisses ändert. - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du es für die Variable in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Addition von \(12\) ergibt \(5x = 30\). Division durch \(5\) führt zu \(x = 6\). 2. Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten ergibt \(-2y = 6\). Division durch \(-2\) liefert \(y = -3\). 3. Subtraktion von \(4\) ergibt \(\frac{1}{2}z = -3\). Multiplikation mit \(2\) (bzw. Division durch \(\frac{1}{2}\)) ergibt \(z = -6\). 4. Addition von \(0{,}4\) auf beiden Seiten führt zu \(1{,}2w = 2{,}4\). Division durch \(1{,}2\) ergibt \(w = 2\).

a) \(x = 6\) b) \(y = -3\) c) \(z = -6\) d) \(w = 2\)

- Löse jede Gleichung zunächst unabhängig von den anderen. - Isoliere jeweils zuerst den Term mit \(x\). - Vergleiche erst am Ende die drei gefundenen Werte.

1. Aus \(4x-2{,}8=5{,}2\) folgt \(4x=8\) und damit \(x=2\). 2. Aus \(15-3x=6\) folgt \(-3x=-9\) und damit \(x=3\). 3. Aus \(0{,}5x+1{,}5=2{,}5\) folgt \(0{,}5x=1\) und damit \(x=2\). 4. Die Gleichungen 1) und 3) besitzen dieselbe Lösung.

1) \(x=2\) 2) \(x=3\) 3) \(x=2\) Die Gleichungen 1) und 3) haben dieselbe Lösung.

- Vereinfache bekannte Zahlenterme, bevor du die Variable freistellst. - Führe auf beiden Seiten dieselbe Äquivalenzumformung aus. - Prüfe jede Lösung durch Einsetzen.

1. Addiere \(12\) auf beiden Seiten: \(x = -5 + 12 = 7\). 2. Subtrahiere \(3{,}4\) auf beiden Seiten: \(x = -1{,}2 - 3{,}4 = -4{,}6\). 3. Addiere \(\frac{2}{5}\) auf beiden Seiten: \(x = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{9}{10}\). 4. Fasse zunächst \(7{,}5 - 10 = -2{,}5\) zusammen. Aus \(-2{,}5 + x = 0\) folgt \(x = 2{,}5\).

1) \(x = 7\) 2) \(x = -4{,}6\) 3) \(x = \frac{9}{10}\) oder \(0{,}9\) 4) \(x = 2{,}5\)

- Überlege dir zuerst, wie du den Term ohne \(x\) auf die andere Seite bringst. - Wie wird man einen Vorfaktor vor dem \(x\) durch eine Rechenoperation los? - Denk daran, dass eine Gleichung wie eine Waage im Gleichgewicht bleiben muss – was du links tust, musst du auch rechts tun. - Was bedeutet ein Minuszeichen direkt vor dem \(x\) für den Wert von \(x\)?

1. Subtraktion von \(9\) ergibt \(3x = -9\). Division durch \(3\) führt zu \(x = -3\). 2. Addition von \(4\) ergibt \(-2x = 10\). Division durch \(-2\) führt zu \(x = -5\). 3. Addition von \(5\) ergibt \(20 = 4x\). Division durch \(4\) führt zu \(x = 5\). 4. Subtraktion von \(10\) ergibt \(-x = 3\). Multiplikation mit \(-1\) führt zu \(x = -3\).

1) \(x = -3\) 2) \(x = -5\) 3) \(x = 5\) 4) \(x = -3\)

- Isoliere bei jeder Gleichung zunächst den Term mit der Variablen. - Achte bei der Division durch eine negative Zahl auf das Vorzeichen. - Eine gemischte Zahl kannst du vor dem Rechnen in einen Bruch oder eine Dezimalzahl umwandeln. - Prüfe jede Lösung anschließend durch Einsetzen.

1. Bei 1) ergibt die Subtraktion von \(12\) die Gleichung \(-5x=-30\). Division durch \(-5\) liefert \(x=6\). 2. Bei 2) ergibt die Addition von \(3{,}2\) die Gleichung \(\frac{a}{8}=-1{,}5\). Multiplikation mit \(8\) liefert \(a=-12\). 3. Bei 3) ist \(2\frac{1}{4}=2{,}25\). Nach Subtraktion von \(7\) gilt \(2{,}25y=-4{,}5\), also \(y=-2\).

1) \(x=6\) 2) \(a=-12\) 3) \(y=-2\)

- Kannst du die Gleichung zuerst vereinfachen, indem du die Klammer auflöst? - Welche Rechenoperation macht die Subtraktion von 12 rückgängig? - Wie isoliert man die Variable \(x\), wenn sie mit einer Zahl multipliziert wird? - Überlege dir, welche Zahl in der Klammer stehen müsste, damit die Rechnung am Ende Null ergibt.

1. Aufstellen der Gleichung: \(3(x + 5) - 12 = 0\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Auflösen der Klammer: \(3x + 15 - 12 = 0\). 3. Zusammenfassen der konstanten Glieder auf der linken Seite: \(3x + 3 = 0\). 4. Subtraktion von \(3\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(3x = -3\). 5. Division beider Seiten durch \(3\), um die Variable zu isolieren: \(x = -1\).

Gleichung: \(3(x+5)-12=0\). \(\Rightarrow3x+15-12=0\) \(\Rightarrow3x+3=0\) \(\Rightarrow3x=-3\) \(\Rightarrow x=-1\).

- Kannst du die Glieder mit der Variablen auf einer Seite zusammenfassen? - Was musst du tun, um die Zahl ohne Variable auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen? - Wie isolierst du die Variable am Ende, wenn dort zum Beispiel ein Vielfaches steht?

1. Zusammenfassen der Terme mit \(z\) auf der linken Seite ergibt \(9z - 14 = 4\). 2. Addition von \(14\) auf beiden Seiten führt zu \(9z = 18\). 3. Division durch \(9\) ergibt das Ergebnis \(z = 2\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(w\) auf der linken Seite ergibt \(11w - 5 = 50\). 5. Addition von \(5\) auf beiden Seiten führt zu \(11w = 55\). 6. Division durch \(11\) ergibt das Ergebnis \(w = 5\).

a) \(z = 2\) b) \(w = 5\)

- Achte beim Zusammenfassen in Aufgabenteil b) besonders auf die Vorzeichen vor den Zahlen. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass die Variable am Ende alleine steht? - Hilft es dir, die Gleichung in Teil b) so umzustellen, dass die Variable positiv wird?

1. Zusammenfassen der Dezimalzahlen mit \(k\) ergibt \(5k - 4{,}2 = 15{,}8\). 2. Addition von \(4{,}2\) auf beiden Seiten führt zu \(5k = 20\). 3. Division durch \(5\) ergibt das Ergebnis \(k = 4\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(m\) auf der linken Seite ergibt \(20 - 4m = 8\). 5. Subtraktion von \(20\) auf beiden Seiten führt zu \(-4m = -12\). 6. Division durch \(-4\) ergibt das Ergebnis \(m = 3\). Alternativ kann \(4m\) addiert und \(8\) subtrahiert werden, was zu \(12 = 4m\) führt.

a) \(k = 4\) b) \(m = 3\)

- Kannst du Terme mit der gleichen Variablen auf einer Seite zusammenfassen? - Was musst du tun, um eine Zahl auf die andere Seite der Gleichung zu bringen? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil von Multiplikation? - Versuche, die Gleichung Schritt für Schritt zu vereinfachen, bis die Variable allein steht.

1. Zusammenfassen der Terme mit \(x\) auf der linken Seite: \(9x = 81\). Division durch \(9\) ergibt \(x = 9\). 2. Zusammenfassen der konstanten Zahlen auf der linken Seite: \(3y + 9 = 24\). Subtraktion von \(9\) führt zu \(3y = 15\). Division durch \(3\) ergibt \(y = 5\). 3. Zusammenfassen der Terme mit \(z\): \(7z - 4 = 31\). Addition von \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(7z = 35\). Division durch \(7\) liefert \(z = 5\).

1) \(x = 9\) 2) \(y = 5\) 3) \(z = 5\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Klammer in der Gleichung steht? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer oder einem Faktor steht. - Wenn die Variable auf beiden Seiten vorkommt, wie kannst du sie auf eine Seite bringen? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du es am Ende in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Auflösen der Klammer durch Multiplikation: \(3a + 15 = 27\). Subtraktion von \(15\) ergibt \(3a = 12\). Division durch \(3\) führt zu \(a = 4\). 2. Subtraktion von \(5b\) auf beiden Seiten: \(3b - 12 = 9\). Addition von \(12\) ergibt \(3b = 21\). Division durch \(3\) liefert \(b = 7\). 3. Auflösen der Klammer (Vorsicht beim Minuszeichen): \(14 - 2x + 2 = 6\). Zusammenfassen der Zahlen: \(16 - 2x = 6\). Subtraktion von \(16\) ergibt \(-2x = -10\). Division durch \(-2\) führt zu \(x = 5\).

1) \(a = 4\) 2) \(b = 7\) 3) \(x = 5\)

- Kannst du die Terme mit Variablen und die Zahlen ohne Variablen auf der linken Seite jeweils zusammenfassen? - Was musst du tun, um die Zahl ohne Variable auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen? - Wie kommst du von einem Vielfachen der Variablen (wie zum Beispiel \(10x\)) auf den Wert für genau eine Variable? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du negative Zahlen addierst oder subtrahierst.

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((6x + 4x) + (-14 + 9) = 25 \implies 10x - 5 = 25\). 2. Isolation des Variablenterms durch Addition von 5: \(10x = 30\). 3. Division durch 10 ergibt die Lösung: \(x = 3\). 4. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((-3y - 5y) + (20 - 8) = 36 \implies -8y + 12 = 36\). 5. Isolation des Variablenterms durch Subtraktion von 12: \(-8y = 24\). 6. Division durch \(-8\) ergibt die Lösung: \(y = -3\).

1) \(x = 3\) 2) \(y = -3\)

- Schau dir die linke Seite genau an. Welche Teile gehören zusammen? - Wie gehst du vor, wenn vor einer Zahl oder einer Variablen ein Minuszeichen steht? - Vergiss nicht, dass du bei Dezimalzahlen wie gewohnt addieren kannst, solange die Variable dieselbe ist. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du es für die Variable in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((0{,}4z + 1{,}6z) + (-15 + 7) = -12 \implies 2z - 8 = -12\). 2. Isolation des Variablenterms durch Addition von 8: \(2z = -4\). 3. Division durch 2 ergibt die Lösung: \(z = -2\). 4. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((-5k + 9k - 2k) + (22 - 30) = 14 \implies 2k - 8 = 14\). 5. Isolation des Variablenterms durch Addition von 8: \(2k = 22\). 6. Division durch 2 ergibt die Lösung: \(k = 11\).

1) \(z = -2\) 2) \(k = 11\)

- Kannst du die Terme mit \(x\) auf der linken Seite zuerst zusammenfassen? - Was musst du tun, um die reine Zahl auf die rechte Seite der Gleichung zu bringen? - Ziel ist es, die Variable \(x\) ganz allein auf einer Seite stehen zu haben. - Wie machst du eine Multiplikation mit 11 rückgängig?

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(11x - 6 = 27\) 2. Addition von 6 auf beiden Seiten der Gleichung: \(11x = 33\) 3. Division beider Seiten durch 11: \(x = 3\)

\(x = 3\)

- Vereinfache zuerst die linke Seite der Gleichung so weit wie möglich. - Versuche, alle Terme mit der Variablen \(z\) auf eine Seite und alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite zu bringen. - Welche Rechenoperation hebt ein Minuszeichen vor einem Term auf? - Achte beim Zusammenfassen genau auf die Vorzeichen vor den Zahlen.

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(-5z + 15 = 3 - 2z\) 2. Addition von \(5z\) auf beiden Seiten, um die Variable auf eine Seite zu bringen: \(15 = 3 + 3z\) 3. Subtraktion von 3 auf beiden Seiten: \(12 = 3z\) 4. Division beider Seiten durch 3: \(z = 4\)

\(z = 4\)

- Gibt es einen Weg, die Klammern zuerst aufzulösen oder zu beseitigen? - Wenn die Variable auf beiden Seiten der Gleichung steht, wie kannst du sie auf eine Seite bringen? - Achte darauf, jeden Term in der Klammer mit dem Faktor davor zu multiplizieren. - Welche Rechenoperation kehrt eine Multiplikation oder eine Subtraktion um?

1. Division beider Seiten durch \(5\): \(x - 3 = 5\). Addition von \(3\): \(x = 8\). (Alternativ: Ausmultiplizieren \(5x - 15 = 25 \implies 5x = 40 \implies x = 8\)). 2. Subtraktion von \(4y\): \(8y - 7 = 17\). Addition von \(7\): \(8y = 24\). Division durch \(8\): \(y = 3\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(6a + 12 - 4a = 20\). Zusammenfassen: \(2a + 12 = 20\). Subtraktion von \(12\): \(2a = 8\). Division durch \(2\): \(a = 4\).

1) \(x = 8\) 2) \(y = 3\) 3) \(a = 4\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer beim Auflösen. - Versuche, jede Seite der Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du nach \(x\) umstellst. - Was bedeutet es für zwei Gleichungen, wenn sie „dieselbe Lösungsmenge“ haben?

1. Erste Gleichung: Auflösen der Klammer unter Beachtung des Minuszeichens ergibt \(18 - x - 7 = 5\). Zusammenfassen führt zu \(11 - x = 5\). Subtraktion von \(11\) ergibt \(-x = -6\), also \(x = 6\). 2. Zweite Gleichung: Auflösen der Klammer ergibt \(24 = 35 - x - 5\). Zusammenfassen führt zu \(24 = 30 - x\). Subtraktion von \(30\) ergibt \(-6 = -x\), also \(x = 6\). Beide Gleichungen haben die Lösung \(x = 6\), sie besitzen also dieselbe Lösungsmenge \(L = \{6\}\).

Ja, beide Gleichungen haben dieselbe Lösung \(x = 6\).

- Überlege bei jeder Gleichung, ob du den Faktor vor der Klammer zuerst durch Division beseitigen kannst. - Kehre anschließend Addition oder Subtraktion innerhalb der Klammer um. - Führe jede Umformung auf beiden Seiten der Gleichung aus. - Prüfe die Ergebnisse durch Einsetzen.

1. Division durch \(6\) ergibt \(x+4=8{,}5\); daher ist \(x=4{,}5\). 2. Division durch \(9\) ergibt \(x-12=2\); daher ist \(x=14\). 3. Division durch \(4\) ergibt \(3x+2=14\). Daraus folgen \(3x=12\) und \(x=4\). 4. Division durch \(0{,}4\) ergibt \(x-5=5\); daher ist \(x=10\).

1) \(x=4{,}5\) 2) \(x=14\) 3) \(x=4\) 4) \(x=10\)

- Kannst du die Klammer zuerst beseitigen, indem du jeden Wert darin mit dem Faktor davor multiplizierst? - Schau dir die Zahlen ohne Variable auf der linken Seite an – kannst du sie zu einer Zahl kombinieren? - Wie bekommst du die Zahl ohne \(x\) auf die andere Seite des Gleichheitszeichens? - Was musst du tun, um am Ende das \(x\) ganz allein stehen zu haben?

1. Auflösen der Klammer durch Multiplikation: \(6x - 24 + 8 = 20\). 2. Zusammenfassen der konstanten Terme auf der linken Seite: \(6x - 16 = 20\). 3. Addition von \(16\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(6x = 36\). 4. Division durch \(6\): \(x = 6\).

\(x = 6\)

- Erinnerst du dich an das Distributivgesetz zum Auflösen von Klammern? - Kannst du die Terme mit \(x\) und die reinen Zahlen auf der linken Seite jeweils zusammenrechnen? - Was ist der letzte Schritt, um \(x\) ganz allein auf einer Seite stehen zu haben? - Wie kannst du dein Ergebnis durch Einsetzen in die Ursprungsgleichung überprüfen?

1. Distributivgesetz anwenden, um die Klammern aufzulösen: \(0{,}5x - 0{,}6 + 0{,}4x + 0{,}2 = 0{,}5\) 2. Gleichartige Terme auf der linken Seite zusammenfassen: \(0{,}9x - 0{,}4 = 0{,}5\) 3. Auf beiden Seiten \(0{,}4\) addieren, um den Term mit \(x\) zu isolieren: \(0{,}9x = 0{,}9\) 4. Beide Seiten durch \(0{,}9\) dividieren: \(x = 1\)

\(x = 1\)

- Was musst du beachten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Vereinfache jede Seite zunächst so weit wie möglich. - Bringe danach die Variablenterme auf eine Seite und die Zahlen auf die andere Seite.

1. Für die erste Gleichung die Klammern unter Beachtung der Vorzeichen auflösen: \(15 - 2x - 7 = 4x - x + 2\). 2. Zusammenfassen ergibt \(8 - 2x = 3x + 2\). 3. Äquivalenzumformungen führen zu \(6 = 5x\). 4. Division durch \(5\) ergibt \(x = 1{,}2\). 5. Für die zweite Gleichung das Distributivgesetz anwenden: \(6x - 2 - 4x - 12 = 0\). 6. Zusammenfassen ergibt \(2x - 14 = 0\). 7. Addition von \(14\) und Division durch \(2\) ergeben \(x = 7\).

a) \(x = 1{,}2\) b) \(x = 7\)

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für die Brüche in der Gleichung? - Was passiert mit der rechten Seite der Gleichung, wenn du die gesamte Gleichung mit einer Zahl multiplizierst? - Kannst du die Terme mit \(x\) auf der linken Seite zusammenfassen, nachdem du die Nenner beseitigt hast?

1. Teilaufgabe a): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(20\) führt zu \(8x + 5x = 260\). Zusammenfassen ergibt \(13x = 260\). Division durch \(13\) ergibt \(x = 20\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(6\) führt zu \(7x - 3x = 48\). Zusammenfassen ergibt \(4x = 48\). Division durch \(4\) ergibt \(x = 12\).

a) \(x = 20\) b) \(x = 12\)

- Erinnere dich daran, wie man eine Zahl für eine Variable in einen Rechenausdruck einsetzt. - Wenn ein Term einen bestimmten Wert annehmen soll, kannst du dies als Gleichung schreiben. - Um herauszufinden, wann zwei Ausdrücke gleich sind, kannst du sie mit einem Gleichheitszeichen verbinden. - Nutze Äquivalenzumformungen, um die Variable allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Einsetzen der \(x\)-Werte in \(5x - 7\): - Für \(x = -3\): \(5 \cdot (-3) - 7 = -15 - 7 = -22\). - Für \(x = 0\): \(5 \cdot 0 - 7 = -7\). - Für \(x = 2{,}5\): \(5 \cdot 2{,}5 - 7 = 12{,}5 - 7 = 5{,}5\). 2. Lösen der Gleichung \(5x - 7 = 13\): Addition von \(7\) ergibt \(5x = 20\). Division durch \(5\) ergibt \(x = 4\). 3. Gleichsetzen der Terme: \(5x - 7 = 2x + 8\). Subtraktion von \(2x\) ergibt \(3x - 7 = 8\). Addition von \(7\) ergibt \(3x = 15\). Division durch \(3\) ergibt \(x = 5\).

1) Tabelle: \(-22\); \(-7\); \(5{,}5\). 2) \(x = 4\). 3) \(x = 5\).

- Was passiert, wenn du versuchst, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen? - Überlege dir, was es bedeutet, wenn am Ende eine Aussage wie \(0 = 5\) oder \(3 = 3\) steht. - Achte beim Auflösen der Klammern genau auf die Vorzeichen. - Hat eine Gleichung automatisch keine Lösung, wenn das Ergebnis \(0\) ist?

1. Umformung von \(4(x - 1) = 4x - 1\): Ausmultiplizieren ergibt \(4x - 4 = 4x - 1\). Subtraktion von \(4x\) führt zu \(-4 = -1\). Dies ist eine falsche Aussage, daher gibt es keine Lösung. 2. Umformung von \(2x + 8 = 2(x + 4)\): Ausmultiplizieren ergibt \(2x + 8 = 2x + 8\). Subtraktion von \(2x\) führt zu \(8 = 8\). Dies ist eine wahre Aussage für alle Zahlen, daher gibt es unendlich viele Lösungen. 3. Umformung von \(5 - x = 7 - x\): Addition von \(x\) führt zu \(5 = 7\). Dies ist eine falsche Aussage, daher gibt es keine Lösung. 4. Umformung von \(3x = 0\): Division durch \(3\) ergibt \(x = 0\). Dies ist genau eine Lösung. Die Gleichungen 1 und 3 haben keine Lösung.

1) \(4(x-1)=4x-1\Rightarrow4x-4=4x-1\Rightarrow-4=-1\): keine Lösung. 2) \(2x+8=2(x+4)\Rightarrow2x+8=2x+8\): unendlich viele Lösungen. 3) \(5-x=7-x\Rightarrow5=7\): keine Lösung. 4) \(3x=0\Rightarrow x=0\): genau eine Lösung. Daher haben die Gleichungen 1) und 3) keine Lösung.

- Was bedeutet es, wenn zwei Gleichungen die gleiche Lösungsmenge haben? - Bestimme zuerst den Wert für \(x\) in jeder einzelnen Gleichung. - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Gleichungen eines Paares. - Wenn die Ergebnisse identisch sind, nennt man die Gleichungen äquivalent.

1. Erste Gleichung in a): \(4x - 7 = 13 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5\). 2. Zweite Gleichung in a): \(2x + 5 = 15 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\). 3. Vergleich für a): Da beide Gleichungen die Lösung \(x = 5\) haben, sind sie äquivalent. 4. Erste Gleichung in b): \(3(x - 2) = 12 \Rightarrow x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6\). 5. Zweite Gleichung in b): \(x + 4 = 9 \Rightarrow x = 5\). 6. Vergleich für b): Da die Lösungen \(x = 6\) und \(x = 5\) unterschiedlich sind, sind sie nicht äquivalent.

a) Die Gleichungen sind äquivalent, da beide die Lösung \(x = 5\) haben. b) Die Gleichungen sind nicht äquivalent, da die erste Gleichung die Lösung \(x = 6\) und die zweite die Lösung \(x = 5\) hat.

- Gibt es auf einer der beiden Seiten Terme, die du zuerst zusammenrechnen kannst? - Wie schaffst du es, dass alle Glieder mit \(x\) auf einer Seite und alle Zahlen ohne \(x\) auf der anderen Seite stehen? - Welche Rechenoperation macht eine Subtraktion oder eine Multiplikation rückgängig?

1. Zusammenfassen der gleichartigen Terme auf der linken Seite der Gleichung: \(8x - 14 = 3x + 11\) 2. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten, um alle Terme mit \(x\) nach links zu bringen: \(5x - 14 = 11\) 3. Addition von \(14\) auf beiden Seiten, um die Konstante nach rechts zu bringen: \(5x = 25\) 4. Division beider Seiten durch \(5\), um \(x\) zu isolieren: \(x = 5\)

\(x = 5\)

- Welcher Buchstabe in der Gleichung hat noch keinen zugewiesenen Zahlenwert? - Was passiert mit der Gleichung, wenn du die bekannten Zahlen an die Stellen der entsprechenden Buchstaben setzt? - In welcher Reihenfolge musst du die Rechenoperationen rückgängig machen, um die Unbekannte zu isolieren? - Überlege, wie du eine Multiplikation mit einer Dezimalzahl wie \(0{,}25\) am einfachsten umkehrst.

1. Identifikation der unbekannten Variable: \(x\) 2. Einsetzen der bekannten Werte in die Gleichung: \(3 = 0{,}25(x - 5) + 8\) 3. Subtraktion von \(8\) auf beiden Seiten: \(-5 = 0{,}25(x - 5)\) 4. Division durch \(0{,}25\) (entspricht der Multiplikation mit \(4\)): \(-20 = x - 5\) 5. Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(x = -15\)

Die unbekannte Variable ist \(x\). Ihr Wert ist \(-15\).

- Was bewirkt der Faktor direkt vor der Klammer für die Terme innerhalb der Klammer? - Kannst du die linke Seite der Gleichung vereinfachen, bevor du mit dem Umstellen beginnst? - Wie schaffst du es, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite und alle reinen Zahlen auf der anderen Seite stehen?

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(2x - 4 + 1{,}2x = 4{,}2x - 9\) 2. Zusammenfassen der \(x\)-Glieder links: \(3{,}2x - 4 = 4{,}2x - 9\) 3. Subtraktion von \(3{,}2x\) auf beiden Seiten: \(-4 = x - 9\) 4. Addition von \(9\) auf beiden Seiten: \(x = 5\)

\(x = 5\)

- Samirs Tabelle endet bei 5; welcher ganze Kandidat folgt als Nächstes? - In b) darfst du die Lösung aus a) nicht nur hinschreiben: Zeige, wie die Variable isoliert wird. - Vergleiche in c), welche Information jedes Verfahren vor dem Start benötigt.

1. Samir probiert als Nächstes \(x=6\); dann ist \(3\cdot6+4=22\), also ist \(x=6\) eine Lösung. 2. Äquivalenzumformungen: \(3x+4=22\Rightarrow3x=18\Rightarrow x=6\). 3. Äquivalenzumformungen isolieren die Variable unabhängig von einem vorher festgelegten Suchintervall; systematisches Probieren benötigt dagegen Kandidaten.

a) Für \(x=6\) gilt \(3\cdot6+4=22\); daher \(x=6\). b) \(3x+4=22\Rightarrow3x=18\Rightarrow x=6\). c) Äquivalenzumformungen sind ohne bekannten Suchbereich zielgerichtet, weil sie die Variable schrittweise isolieren; Probieren benötigt ausgewählte Kandidaten.

- Setze jeden Kandidaten getrennt in beide Gleichungen ein. - Entscheidend ist jeweils, ob linke und rechte Seite denselben Wert haben. - Vergleiche anschließend zeilenweise, ob sich durch die Umformung verändert hat, welche Kandidaten die Gleichung erfüllen.

1. Für \(x=2\) gilt links in der ersten Gleichung \(10\neq14\); auch \(4\neq8\). Der Kandidat erfüllt keine der beiden Gleichungen. 2. Für \(x=4\) gilt \(14=14\) und \(8=8\). Der Kandidat erfüllt beide Gleichungen. 3. Für \(x=5\) gilt \(16\neq14\) und \(10\neq8\). Der Kandidat erfüllt keine der beiden Gleichungen. 4. Bei allen getesteten Kandidaten stimmt der Wahrheitswert beider Gleichungen überein. Insbesondere bleibt die Lösung \(x=4\) erhalten. Das veranschaulicht, dass die beidseitige Subtraktion von \(6\) die Lösungsmenge nicht verändert.

\(x=2\): beide Gleichungen falsch. \(x=4\): beide Gleichungen wahr. \(x=5\): beide Gleichungen falsch. Die Äquivalenzumformung erhält die Lösungsmenge; hier ist sie in beiden Fällen \(L=\{4\}\).

- In a) muss die erste neue Zeile das ausmultiplizierte Ergebnis zeigen. - In b) muss die erste neue Zeile aus der Division beider Gleichungsseiten durch 4 entstehen. - Vergleiche die tatsächlich ausgeführten Äquivalenzschritte, nicht nur die gleiche Lösung.

1. Weg a: \(4x+12=28\Rightarrow4x=16\Rightarrow x=4\). 2. Weg b: \(x+3=7\Rightarrow x=4\). 3. Weg b ist kürzer, weil die Division durch 4 den äußeren Faktor sofort beseitigt.

a) \(4x+12=28\Rightarrow4x=16\Rightarrow x=4\). b) \(4(x+3)=28\Rightarrow x+3=7\Rightarrow x=4\). c) Weg b ist kürzer, weil die Division beider Seiten durch 4 den Außenfaktor unmittelbar entfernt.

- Wie kannst du die Klammern in der Gleichung entfernen? - Achte besonders auf das Vorzeichen vor der zweiten Klammer, wenn du sie auflöst. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit dem Buchstaben auf einer Seite stehen?

1. Auflösen der Klammern mit dem Distributivgesetz: \(6b + 9 - 8 - 4b = 5\) 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(2b + 1 = 5\) 3. Subtraktion von 1 auf beiden Seiten: \(2b = 4\) 4. Division durch 2: \(b = 2\)

\(b = 2\)

- Denke an die Vorzeichenregeln: Was passiert, wenn man zwei negative Zahlen multipliziert? - Kannst du die Dezimalzahl \(-1{,}5\) als Bruch schreiben, um mit \(\frac{3}{4}\) leichter zu rechnen? - Gehe schrittweise vor, um \(x\) zu isolieren.

1. Berechnung von a): Division durch \(-1{,}5\) führt zu \(x = 0{,}75 : (-1{,}5) = -0{,}5\). Da \(-0{,}5\) (oder \(-\frac{1}{2}\)) keine ganze Zahl ist, gehört sie nur zu \(\mathbb{Q}\). 2. Berechnung von b): Multiplikation mit \(-0{,}5\) ergibt \(x = (-12) \cdot (-0{,}5) = 6\). Da \(6\) eine positive ganze Zahl ist, gehört sie zu \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). 3. Berechnung von c): Umstellen ergibt \(-x = -1{,}2 + 4{,}8 = 3{,}6\), also \(x = -3{,}6\). Dies ist eine rationale Zahl in \(\mathbb{Q}\).

a) \(x = -0{,}5\) (oder \(-\frac{1}{2}\)); gehört zu \(\mathbb{Q}\). b) \(x = 6\); gehört zu \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). c) \(x = -3{,}6\) (oder \(-\frac{18}{5}\)); gehört zu \(\mathbb{Q}\).

- Setze in a) den gegebenen Wert für \(x\) ein. - Nutze für b) das Distributivgesetz und fasse zusammen. - Welche Umkehroperationen lösen in c) nacheinander \(+5\) und \(\cdot10\) auf?

1. Einsetzen ergibt \(5(2\cdot4{,}3+1{,}4)-2=48\). 2. Vereinfachen liefert \(T(x)=10x+5\). 3. Aus \(R=10x+5\) folgt \(R-5=10x\) und damit \(x=(R-5):10\). 4. Marisols Regel ist deshalb korrekt.

a) \(48\) b) \(10x+5\) c) Die Regel ist korrekt: \(x=(R-5):10\).

- Vereinfache zuerst Doppelvorzeichen und die feste Seite der Gleichung. - Bringe Brüche vor dem Addieren oder Subtrahieren auf einen gemeinsamen Nenner. - Führe anschließend passende Äquivalenzumformungen auf beiden Seiten aus.

1. In a) wird die linke Seite zu \(x + \frac{1}{6}\). Rechts gilt \(-\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{7}{6}\). Subtrahiere \(\frac{1}{6}\) auf beiden Seiten: \(x = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}\). 2. In b) ergibt die rechte Seite \(\frac{1}{8} - \frac{5}{8} = -\frac{1}{2} = -0{,}5\). Damit gilt \(-0{,}75 - x = -0{,}5\). Addiere \(0{,}75\): \(-x = 0{,}25\), also \(x = -0{,}25\).

a) \(x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}\) b) \(x = -0{,}25 = -\frac{1}{4}\)

- Vereinfache zunächst die reinen Zahlenterme, bevor du \(x\) verschiebst. - Achte in a) auf das Minus vor der Klammer. - Bringe in b) die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, um den konstanten Term rechts zusammenzufassen.

1. a) In der Klammer ist \(\frac15-0{,}4=-0{,}2\), also rechts \(-0{,}5-(-0{,}2)=-0{,}3\). Damit \(x+0{,}3=-0{,}3\) und \(x=-0{,}6=-\frac35\). 2. b) Links ist \(\frac23\). Rechts ist \(x-\frac14-\frac5{12}=x-\frac23\). Damit \(\frac23=x-\frac23\), also \(x=\frac43\).

a) \(x+0{,}3=-0{,}3\Rightarrow x=-0{,}6=-\frac35\). b) \(\frac23=x-\frac23\Rightarrow x=\frac43=1\frac13\).

- Überlege dir zuerst, wie man eine solche Tabelle liest. Welcher Wert wird von welchem abgezogen? - Um eine fehlende Zahl in der oberen Zeile oder der linken Spalte zu finden, kannst du eine kleine Gleichung aufstellen. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst.

1. Bestimmung von \(y\): Aus der Zeile mit dem Zeilenkopf \(4{,}5\) folgt \(4{,}5 - y = 7{,}2\). Umstellen ergibt \(y = 4{,}5 - 7{,}2 = -2{,}7\). 2. Bestimmung von \(x\): Aus der Zeile mit dem Zeilenkopf \(x\) folgt \(x - 1{,}2 = -5{,}5\). Umstellen ergibt \(x = -5{,}5 + 1{,}2 = -4{,}3\). 3. Ausfüllen der fehlenden Tabellenwerte: - Zeile \(4{,}5\), Spalte \(-3{,}5\): \(4{,}5 - (-3{,}5) = 4{,}5 + 3{,}5 = 8{,}0\). - Zeile \(-2{,}8\), Spalte \(1{,}2\): \(-2{,}8 - 1{,}2 = -4{,}0\). - Zeile \(x\), Spalte \(y\): \(-4{,}3 - (-2{,}7) = -4{,}3 + 2{,}7 = -1{,}6\).

\(x = -4{,}3\); \(y = -2{,}7\) Vollständige Tabelle: <table> <tr><td>\(-\)</td><td>\(1{,}2\)</td><td>\(-2{,}7\)</td><td>\(-3{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(4{,}5\)</td><td>\(3{,}3\)</td><td>\(7{,}2\)</td><td>\(8{,}0\)</td></tr> <tr><td>\(-2{,}8\)</td><td>\(-4{,}0\)</td><td>\(-0{,}1\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(-4{,}3\)</td><td>\(-5{,}5\)</td><td>\(-1{,}6\)</td><td>\(-0{,}8\)</td></tr> </table>

- Erinnerst du dich an die Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen? - Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du nach \(x\) auflöst? - Überlege dir genau, welche Arten von Zahlen zu den ganzen Zahlen gehören. - Was passiert mit der Lösungsmenge, wenn das Ergebnis keine ganze Zahl ist?

1. Gleichung a: Klammer auflösen oder durch 3 teilen: \(x + 4 = 5 \implies x = 1\). Da \(1 \in \mathbb{Z}\), ist \(L = \{1\}\). 2. Gleichung b: Terme mit \(x\) zusammenfassen: \(3x - 8 = 1 \implies 3x = 9 \implies x = 3\). Da \(3 \in \mathbb{Z}\), ist \(L = \{3\}\). 3. Gleichung c: Subtraktion von 9: \(2x = -7 \implies x = -3{,}5\). Da \(-3{,}5 \notin \mathbb{Z}\), ist \(L = \emptyset\). 4. Gleichung d: Division durch 4: \(x = 2{,}5\). Da \(2{,}5 \notin \mathbb{Z}\), ist \(L = \emptyset\).

a) \(L = \{1\}\) b) \(L = \{3\}\) c) \(L = \emptyset\) d) \(L = \emptyset\)

- Löse die Gleichung zunächst unabhängig von der Grundmenge. - Prüfe danach, ob der gefundene Wert zur jeweils angegebenen Zahlenmenge gehört. - Eine algebraisch gefundene Zahl ist nur dann eine Lösung, wenn sie auch in der Grundmenge liegt. - Vergleiche deshalb die beiden Lösungsmengen erst nach dieser Zugehörigkeitsprüfung.

1. Lösen der Gleichung: \(2x+6=11\) führt zu \(2x=5\) und damit zu \(x=2{,}5\). 2. Für \(G_1=\mathbb{Z}\) ist \(2{,}5\) nicht zugelassen. Daher ist \(L=\emptyset\), und Yusuf hat in dieser Grundmenge recht. 3. Für \(G_2=\mathbb{Q}\) ist \(2{,}5\) zugelassen. Daher ist \(L=\{2{,}5\}\), und Yusuf hat in dieser Grundmenge nicht recht.

1. Für \(G_1=\mathbb{Z}\) gilt \(L=\emptyset\); hier hat Yusuf recht. 2. Für \(G_2=\mathbb{Q}\) gilt \(L=\{2{,}5\}\); hier hat Yusuf nicht recht.

- Wie oft passt \(0{,}5\) in eine Zahl? Das hilft dir bei der Division. - Achte bei Dezimalzahlen genau auf die Kommasetzung. - Wenn eine Gleichung mehrere Schritte erfordert, arbeite dich von außen nach innen zum \(x\) vor. - Vergiss nicht, beim Rückwärtsrechnen die Vorzeichen sorgfältig zu beachten.

In Teilaufgabe a) wird \(4\) addiert, was \(0{,}5x = 5\) ergibt, und durch Division durch \(0{,}5\) (oder Multiplikation mit \(2\)) erhält man \(x = 10\). In b) wird \(7\) subtrahiert, was zu \(-1{,}5x = 6\) führt, und die Division durch \(-1{,}5\) ergibt \(x = -4\). In c) dividiert man zuerst durch \(2\), was \(3x + 4 = -2\) ergibt, subtrahiert dann \(4\) und erhält \(3x = -6\) und dividiert schließlich durch \(3\), um \(x = -2\) zu erhalten.

a) \(x = 10\) b) \(x = -4\) c) \(x = -2\)

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du mit dem Umformen beginnst? - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Gibt es einen Weg, eine Klammer direkt zu beseitigen, ohne sie auszumultiplizieren?

1. Division durch \(2\): \(x - 5 = 7\). Addition von \(5\): \(x = 12\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(4x + 8 = 20\). Subtraktion von \(8\): \(4x = 12\). Division durch \(4\): \(x = 3\). 3. Division durch \(3\): \(5 = y + 2\). Subtraktion von \(2\): \(y = 3\). 4. Auflösen der Minusklammer: \(5 - x + 2 = 10\). Zusammenfassen: \(7 - x = 10\). Subtraktion von \(7\): \(-x = 3\). Multiplikation mit \(-1\): \(x = -3\).

a) \(x = 12\) b) \(x = 3\) c) \(y = 3\) d) \(x = -3\)

- Schreibe in a) wirklich zuerst das Ergebnis des Ausmultiplizierens auf. - In b) muss die Division durch 6 auf beide Seiten der Gleichung wirken. - Vergleiche nicht nur die Zahl der Schritte, sondern auch, welche algebraische Struktur Sarah ausnutzt.

1. Tim: \(6x+12=30\Rightarrow6x=18\Rightarrow x=3\). 2. Sarah: \(x+2=5\Rightarrow x=3\). 3. Sarahs Weg vermeidet das Ausmultiplizieren, weil 30 ohne Rest durch 6 teilbar ist und der Faktor 6 die gesamte linke Seite multipliziert.

a) Tim: \(6x+12=30\Rightarrow6x=18\Rightarrow x=3\). b) Sarah: \(6(x+2)=30\Rightarrow x+2=5\Rightarrow x=3\). c) Sarahs Weg ist hier kürzer, weil der Faktor 6 die gesamte Klammer multipliziert und 30 durch 6 teilbar ist; dadurch verschwindet der Außenfaktor in einem Schritt.

- Multipliziere jeden Klammerinhalt vollständig mit dem Faktor davor. - In b) wirkt das Minuszeichen vor der Klammer auf beide Terme. - Fasse erst nach dem Klammerauflösen gleichartige Terme zusammen.

1. a) \(4x-12=2x+10\Rightarrow2x=22\Rightarrow x=11\). 2. b) \(15-3a-4=5a-21\), also \(11-3a=5a-21\Rightarrow a=4\). 3. c) \(6t+8=5t-10\Rightarrow t=-18\).

a) \(4x-12=2x+10\Rightarrow x=11\). b) \(11-3a=5a-21\Rightarrow a=4\). c) \(6t+8=5t-10\Rightarrow t=-18\).

- Könnte es helfen, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen? - Bei Dezimalzahlen kannst du wie gewohnt rechnen, achte aber auf das Komma. - Wenn ein ganzer Term durch eine Zahl geteilt wird, wie kannst du diesen Bruchstrich auflösen? - Manchmal ist es einfacher, erst die Brüche oder Dezimalzahlen durch geschickte Multiplikation zu entfernen.

1. Gleichung a: Subtraktion von \(\frac{1}{2}x\) (entspricht \(\frac{2}{4}x\)) ergibt \(\frac{1}{4}x - 5 = 2\). Addition von \(5\) ergibt \(\frac{1}{4}x = 7\). Multiplikation mit \(4\) ergibt \(x = 28\). 2. Gleichung b: Ausmultiplizieren ergibt \(2x - 4 = 1{,}5x + 7\). Subtraktion von \(1{,}5x\) ergibt \(0{,}5x - 4 = 7\). Addition von \(4\) ergibt \(0{,}5x = 11\). Division durch \(0{,}5\) (oder Multiplikation mit \(2\)) ergibt \(x = 22\). 3. Gleichung c: Multiplikation der gesamten Gleichung mit \(3\) ergibt \(2x - 4 = 18\). Addition von \(4\) führt zu \(2x = 22\). Division durch \(2\) ergibt \(x = 11\).

a) \(x = 28\) b) \(x = 22\) c) \(x = 11\)

- Löse zuerst alle Klammern sorgfältig auf; beachte besonders ein Minus direkt vor einer Klammer. - Fasse danach auf jeder Seite gleichartige Terme zusammen. - Bringe anschließend die Variablenterme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere. - Prüfe jede gefundene Lösung durch Einsetzen in die jeweilige Ausgangsgleichung.

1. Für a) ergibt Ausmultiplizieren und Zusammenfassen \(x+12=5x-10\). Daraus folgen \(22=4x\) und \(x=5{,}5\). 2. Für b) ergibt das Auflösen der Minusklammer \(3-2a=3a+3\). Daraus folgen \(0=5a\) und \(a=0\). 3. Für c) ergibt Ausmultiplizieren und Zusammenfassen \(2k+2=10\). Daraus folgen \(2k=8\) und \(k=4\).

a) \(x=5{,}5\) b) \(a=0\) c) \(k=4\)

- Vereinfache zunächst jede Seite vollständig, bevor du Variablenterme verschiebst. - Achte in a) auf das Minus vor \((x-2)\). - Prüfe in b), ob nach dem Klammerauflösen auf beiden Seiten gleiche konstante Terme stehen.

1. a) Links \(2x-4+3x=5x-4\), rechts \(8-x\). Also \(5x-4=8-x\Rightarrow6x=12\Rightarrow x=2\). 2. b) Links \(2y+3-5=2y-2\), rechts \(2y-2-y=y-2\). Also \(2y-2=y-2\Rightarrow y=0\). 3. c) Links \(6m+2-4m+8=2m+10\). Also \(2m+10=5m-2\Rightarrow12=3m\Rightarrow m=4\).

a) \(5x-4=8-x\Rightarrow6x=12\Rightarrow x=2\). b) \(2y-2=y-2\Rightarrow y=0\). c) \(2m+10=5m-2\Rightarrow12=3m\Rightarrow m=4\).

- Könnte es helfen, die Brüche zu beseitigen, indem du die gesamte Gleichung mit einer geschickten Zahl multiplizierst? - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches der Nenner \(3\) und \(6\)? - Bringe alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere.

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\), um die Brüche zu eliminieren: \(4y - 24 = y + 6\) 2. Subtraktion von \(y\) auf beiden Seiten: \(3y - 24 = 6\) 3. Addition von \(24\) auf beiden Seiten: \(3y = 30\) 4. Division durch \(3\): \(y = 10\)

\(y = 10\)

- Multipliziere jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor davor. - Achte auf das Minuszeichen vor der rechten Klammer – was ändert sich dadurch? - Versuche, zuerst alle Terme ohne Variable auf eine Seite und alle Terme mit Variable auf die andere Seite zu bringen.

1. Klammer auf der linken Seite ausmultiplizieren: \(6a - 10 + 4\). 2. Minusklammer auf der rechten Seite auflösen: \(10 - a - 2\). 3. Beide Seiten vereinfachen: \(6a - 6 = 8 - a\). 4. Variable \(a\) auf eine Seite bringen durch Addition von \(a\): \(7a - 6 = 8\). 5. Addition von \(6\) auf beiden Seiten: \(7a = 14\). 6. Division durch \(7\): \(a = 2\).

\(a = 2\)

- Multipliziere beide Klammern sorgfältig aus und achte auf die Dezimalzahlen. - Fasse auf jeder Seite gleichartige Terme zusammen, bevor du weiter umformst. - Bringe anschließend die Variablenterme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere. - Prüfe dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.

1. Ausmultiplizieren ergibt links \(6y-3\) und rechts \(3y+6+0{,}5y\). 2. Zusammenfassen der rechten Seite ergibt \(6y-3=3{,}5y+6\). 3. Subtraktion von \(3{,}5y\) auf beiden Seiten führt zu \(2{,}5y-3=6\). 4. Addition von \(3\) ergibt \(2{,}5y=9\). 5. Division durch \(2{,}5\) ergibt \(y=3{,}6\).

\(y=3{,}6\)

- Wie verändert sich der Inhalt einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Denke daran, jedes Glied innerhalb der Klammer mit dem Faktor davor zu multiplizieren. - Welche Rechenregel gilt, wenn eine Klammer mit einer Zahl multipliziert wird?

1. Teilaufgabe a): Anwenden des Distributivgesetzes auf beiden Seiten ergibt \(4x - 20 = 2x + 6\). 2. Subtraktion von \(2x\) liefert \(2x - 20 = 6\). 3. Addition von \(20\) ergibt \(2x = 26\). 4. Division durch \(2\) führt zum Ergebnis \(x = 13\). 5. Teilaufgabe b): Auflösen der Minusklammer links und Anwenden des Distributivgesetzes rechts ergibt \(25 - 3z - 4 = 2z - 4\). 6. Zusammenfassen auf der linken Seite führt zu \(21 - 3z = 2z - 4\). 7. Addition von \(3z\) ergibt \(21 = 5z - 4\). 8. Addition von \(4\) ergibt \(25 = 5z\). 9. Division durch \(5\) führt zum Ergebnis \(z = 5\).

a) \(x = 13\) b) \(z = 5\)

- Wenn du eine Seite einer Gleichung mit einer Zahl multiplizierst, musst du jedes Glied auf dieser Seite mit dieser Zahl multiplizieren. - Achte auf die Vorzeichen, wenn du Terme auf die andere Seite bringst oder mit negativen Zahlen multiplizierst.

1. Analyse von a: Ausgehend von \(12 - 4y = 8\) subtrahiert man auf beiden Seiten \(12\), woraus \(-4y = -4\) folgt. Durch Multiplikation beider Seiten mit \(-1\) erhält man \(4y = 4\). Somit ist die zweite Gleichung durch korrekte Umformungen entstanden. Die Lösung ist \(y = 1\). 2. Analyse von b: Um den Nenner in \(\frac{z}{2} + 5 = 11\) zu eliminieren, muss die gesamte linke Seite mit \(2\) multipliziert werden. Das ergibt \(2 \cdot (\frac{z}{2} + 5) = 2 \cdot 11\), also \(z + 10 = 22\). In der vorgegebenen zweiten Gleichung \(z + 5 = 22\) wurde die \(5\) nicht mit \(2\) multipliziert. Daher ist die Umformung falsch und die Gleichungen sind nicht äquivalent.

a) Ja, die Gleichungen sind äquivalent. b) Nein, die Gleichungen sind nicht äquivalent.

- Was muss man beim Umformen auf beiden Seiten einer Gleichung beachten? - Rechne die Lösung der ersten Gleichung aus und setze sie in die anderen ein. - Überlege dir, welche Rechenoperation Lisa von der ersten zur zweiten Gleichung jeweils durchgeführt hat.

1. Berechnung der Lösung der Ausgangsgleichung: \(5x - 10 = 15 \Rightarrow 5x = 25 \Rightarrow x = 5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{5\}\). 2. Prüfung von a): Durch Addition von \(10\) auf beiden Seiten der Ausgangsgleichung entsteht \(5x = 25\). Dies ist eine Äquivalenzumformung, die Lösungsmenge bleibt gleich (\(x = 5\)). 3. Prüfung von b): Hier wurde auf der linken Seite nur der Term \(5x\), nicht aber der Term \(-10\), durch \(5\) dividiert. Korrekt wäre \((5x - 10) : 5 = x - 2\). Daher ist dies keine Äquivalenzumformung. Die Lösung wäre \(x = 13\), also ungleich. 4. Prüfung von c): Beide Seiten der Ausgangsgleichung wurden durch \(5\) dividiert: \((5x - 10) : 5 = x - 2\) und \(15 : 5 = 3\). Dies ist eine Äquivalenzumformung, die Lösungsmenge bleibt gleich (\(x = 5\)). 5. Prüfung von d): Durch Subtraktion von \(15\) auf beiden Seiten der Ausgangsgleichung entsteht \(5x - 10 - 15 = 0\), also \(5x - 25 = 0\). Dies ist eine Äquivalenzumformung, die Lösungsmenge bleibt gleich (\(x = 5\)).

a) Ja, gleiche Lösungsmenge (Addition von \(10\) auf beiden Seiten). b) Nein, unterschiedliche Lösungsmenge (nur ein Teil der linken Seite wurde dividiert). c) Ja, gleiche Lösungsmenge (Division beider Seiten durch \(5\)). d) Ja, gleiche Lösungsmenge (Subtraktion von \(15\) auf beiden Seiten).

- Denk an das Verteilungsgesetz (Distributivgesetz) beim Auflösen der Klammern. - Achtung: Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche zuerst, jede Seite der Gleichung einzeln zu vereinfachen.

1. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten (beachte das Minuszeichen vor der zweiten Klammer): \(12y - 20 - 2y - 7 = 3y + 3\) 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(10y - 27 = 3y + 3\) 3. Subtraktion von \(3y\) auf beiden Seiten: \(7y - 27 = 3\) 4. Addition von \(27\) auf beiden Seiten: \(7y = 30\) 5. Division durch \(7\): \(y = \frac{30}{7}\) 6. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{\frac{30}{7}\}\)

Eine mögliche schrittweise Umformung ist: \(12y-20-2y-7=3y+3\) \(10y-27=3y+3\) \(7y=30\) \(y=\frac{30}{7}\). Damit ist \(L=\{\frac{30}{7}\}\).

- Löse zuerst alle Klammern auf und fasse beide Seiten vollständig zusammen. - Beobachte, was passiert, wenn auf beiden Seiten derselbe Variablenterm steht. - Entscheide danach, ob die verbleibende Aussage wahr oder falsch ist. - Welche Bedeutung hat eine falsche Aussage ohne Variable für die Lösungsmenge?

1. Ausmultiplizieren ergibt \(6n-12-2n-2=4n+12\). 2. Zusammenfassen führt zu \(4n-14=4n+12\). 3. Subtraktion von \(4n\) auf beiden Seiten ergibt eine falsche Aussage ohne Variable. 4. Damit kann kein Wert von \(n\) die Ausgangsgleichung erfüllen, also ist \(L=\emptyset\).

\(L=\emptyset\)

- Was müsste auf der rechten Seite stehen, damit die Gleichung für jede beliebige Zahl stimmt? - Wie verhinderst du eine Lösung, wenn die Anteile mit \(x\) auf beiden Seiten bereits gleich sind? - Setze für den letzten Teil die geforderte Zahl einfach in den bekannten Teil der Gleichung ein.

1. Teilaufgabe a): Damit eine Gleichung unendlich viele Lösungen hat, müssen beide Seiten identisch sein. Ergänzung: \(4x + 10\). 2. Teilaufgabe b): Damit keine Lösung existiert, muss nach der Vereinfachung ein Widerspruch entstehen (z. B. \(10 = 5\)). Die Variable \(4x\) muss auf beiden Seiten gleich sein, aber die Konstante verschieden. Ergänzung: \(4x + 5\) (oder jede andere Zahl außer 10). 3. Teilaufgabe c): Setze \(x = 5\) in den linken Teil ein: \(4 \cdot 5 + 10 = 20 + 10 = 30\). Damit \(x = 5\) die Lösung ist, muss die rechte Seite den Wert 30 ergeben. Ergänzung: \(30\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(4x + 10 = 4x + 10\) b) \(4x + 10 = 4x + 1\) (oder \(4x + c\) mit \(c \neq 10\)) c) \(4x + 10 = 30\)

- Überlege dir, ob die Zahl Null eine ganz normale Zahl ist, mit der man rechnen kann. - Was passiert, wenn du versuchst, beide Gleichungen Schritt für Schritt zu lösen? - Kannst du eine Zahl finden, die die erste Gleichung erfüllt? Und die zweite?

1. Analyse von \(8x = 0\): Durch Division beider Seiten durch 8 erhält man \(x = 0\). Die Zahl 0 ist eine konkrete Zahl und damit eine gültige Lösung. Die Lösungsmenge ist \(L = \{0\}\). 2. Analyse von \(x + 1 = x\): Subtrahiert man auf beiden Seiten \(x\), erhält man \(1 = 0\). Dies ist ein mathematischer Widerspruch. Es gibt keine Zahl, die man für \(x\) einsetzen kann, um eine wahre Aussage zu erhalten. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\). 3. Bewertung: Jonas hat unrecht. Die Zahl 0 als Lösung ist nicht dasselbe wie „keine Lösung“. Im ersten Fall gibt es genau einen Wert, der die Gleichung löst; im zweiten Fall gibt es gar keinen.

Jonas hat unrecht. Die Zahl 0 ist eine gültige Lösung. Bei \(8x = 0\) ist die Lösung \(x = 0\), also gibt es genau eine Lösung. Bei \(x + 1 = x\) entsteht ein Widerspruch (\(1 = 0\)), weshalb diese Gleichung tatsächlich gar keine Lösung besitzt.

- Bestimme zuerst die Lösung für jede Gleichung einzeln. - Wie gehst du vor, um eine Variable auf eine Seite der Gleichung zu isolieren? - Sind die Ergebnisse für \(y\) in beiden Fällen gleich?

1. Lösen von Gleichung I: \(4y + 8 = 2y - 6 \implies 2y = -14 \implies y = -7\). Die Lösungsmenge ist \(L_1 = \{-7\}\). 2. Lösen von Gleichung II: \(0{,}5y + 10 = 3 \implies 0{,}5y = -7 \implies y = -14\). Die Lösungsmenge ist \(L_2 = \{-14\}\). 3. Vergleich der Lösungsmengen: Da \(L_1 \neq L_2\), sind die Gleichungen nicht äquivalent.

Nein, die Gleichungen sind nicht äquivalent. Die Lösung von Gleichung I ist \(y = -7\), während die Lösung von Gleichung II \(y = -14\) ist.

- Könnte es helfen, die gesamte Gleichung mit einer Zahl zu multiplizieren, um die Divisionen durch 4 und 2 loszuwerden? - Denk daran, beim Auflösen der Klammern jeden Wert im Inneren mit dem Faktor davor zu multiplizieren. - Fasse zuerst alle Terme auf jeder Seite so weit wie möglich zusammen, bevor du umformst.

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(4\), um Divisionen aufzulösen: \(8(y - 1{,}5) - y = 2(3y + 2)\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten: \(8y - 12 - y = 6y + 4\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(7y - 12 = 6y + 4\). 4. Subtraktion von \(6y\) und Addition von \(12\) isoliert die Variable: \(y = 16\).

\(y = 16\)

- Welche Rechenregel hilft dir, wenn eine Zahl direkt vor einer Klammer steht? - Versuche zuerst, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen und alle Zahlen auf die andere. - Wie gehst du vor, um zu kontrollieren, ob dein gefundenes Ergebnis wirklich stimmt?

1. Auflösen der Klammer auf der linken Seite: \(0{,}5 \cdot 4x - 0{,}5 \cdot 8 = 2x - 4\). 2. Aufstellen der vereinfachten Gleichung: \(2x - 4 = 3x + 1\). 3. Sortieren der Terme: Subtraktion von \(2x\) und \(1\) auf beiden Seiten ergibt \(-5 = x\). 4. Probe durch Einsetzen von \(x = -5\) in die Ausgangsgleichung: Links: \(0{,}5 \cdot (4 \cdot (-5) - 8) = 0{,}5 \cdot (-20 - 8) = 0{,}5 \cdot (-28) = -14\). Rechts: \(3 \cdot (-5) + 1 = -15 + 1 = -14\). 5. Da beide Seiten den gleichen Wert ergeben, ist die Lösung korrekt.

Die Lösung der Gleichung ist \(x = -5\). Die Probe bestätigt die Richtigkeit (\(-14 = -14\)).

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor den Klammern. Wie ändern sich die Vorzeichen im Inneren? - Fasse erst alle gleichen Terme auf jeder Seite zusammen, bevor du mit dem Umstellen beginnst. - Kannst du die Gleichung vereinfachen, indem du sie erst einmal ohne Klammern schreibst?

1. Auflösen der Klammern auf beiden Seiten unter Beachtung der Vorzeichen: \(5x - 15 - 2x - 2 = 4 - x + 3\) 2. Zusammenfassen der Terme auf beiden Seiten: \(3x - 17 = 7 - x\) 3. Addition von \(x\) auf beiden Seiten: \(4x - 17 = 7\) 4. Addition von \(17\) auf beiden Seiten: \(4x = 24\) 5. Division durch \(4\): \(x = 6\)

\(5(x-3)-2(x+1)=4-(x-3)\) \(\Rightarrow3x-17=7-x\) \(\Rightarrow4x-17=7\) \(\Rightarrow4x=24\) \(\Rightarrow x=6\).

- Vereinfache bei jeder Gleichung zunächst beide Seiten vollständig. - Beobachte anschließend, ob die Variable verschwindet oder eindeutig bestimmt werden kann. - Wenn die Variable verschwindet, entscheide, ob eine wahre oder eine falsche Aussage übrig bleibt. - Ordne daraus die Anzahl der Lösungen ab.

1. Bei A ergibt die linke Seite \(4x-2x-6=2x-6\); die rechte Seite ist ebenfalls \(2x-6\). Die Gleichung ist für jeden zulässigen Wert von \(x\) wahr und hat unendlich viele Lösungen. 2. Bei B wird die rechte Seite zu \(\frac{2}{3}x+4\). Nach dem Wegfall der gleichen Variablenterme bleibt die falsche Aussage \(5=4\). Daher gibt es keine Lösung. 3. Bei C wird die rechte Seite zu \(4x-3\). Aus \(3x+7=4x-3\) folgt \(x=10\). Daher gibt es genau eine Lösung.

A: unendlich viele Lösungen B: keine Lösung C: genau eine Lösung

- Betrachte \(k\) einfach als eine Platzhalterzahl, die du für jeden Teil der Aufgabe neu einsetzt. - Fasse zuerst alle Terme mit \(x\) auf der rechten Seite zusammen. - Vergleiche dann die Struktur der linken und der rechten Seite.

1. Vereinfachung der rechten Seite der Gleichung: \(3x + 12 + 2x = 5x + 12\). 2. Fall a): Mit \(k = 5\) lautet die Gleichung \(5x + 12 = 5x + 12\). Dies ist eine allgemeingültige Aussage (Identität). Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 3. Fall b): Mit \(k = 4\) lautet die Gleichung \(4x + 12 = 5x + 12\). Durch Subtraktion von \(4x\) und \(12\) erhält man \(x = 0\). Ergebnis: genau eine Lösung. 4. Fall c): Die geänderte Gleichung lautet \(5x + 10 = 5x + 12\). Subtraktion von \(5x\) führt zu \(10 = 12\), was ein Widerspruch ist. Ergebnis: keine Lösung.

a) unendlich viele Lösungen b) genau eine Lösung c) keine Lösung

- Wie kannst du die Klammern auflösen, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche zuerst, beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen. - Sortiere die Gleichung so, dass alle Terme mit der Unbekannten auf einer Seite stehen.

1. Klammern auf beiden Seiten auflösen: \(10x - 20 - 3x = 16 - x - 8\) 2. Terme auf beiden Seiten zusammenfassen: \(7x - 20 = 8 - x\) 3. \(x\) auf die linke Seite bringen (durch Addition von \(x\)): \(8x - 20 = 8\) 4. Die Zahl \(-20\) auf die rechte Seite bringen (durch Addition von \(20\)): \(8x = 28\) 5. Durch den Koeffizienten \(8\) dividieren: \(x = \frac{28}{8} = 3{,}5\)

\(x = 3{,}5\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Terme „denselben Wert“ haben sollen? - Nachdem du die Unbekannte berechnet hast, wie kannst du prüfen, ob dein Ergebnis stimmt? - Könnte eine Skizze oder eine Wertetabelle helfen, den Zusammenhang zu verstehen?

1. Die Terme gleichsetzen: \(0{,}8x + 12 = 1{,}4x - 3\) 2. \(0{,}8x\) von beiden Seiten subtrahieren: \(12 = 0{,}6x - 3\) 3. \(3\) auf beiden Seiten addieren: \(15 = 0{,}6x\) 4. Durch \(0{,}6\) dividieren: \(x = 25\) 5. Den Wert für \(x\) in einen der Terme einsetzen, um den Ergebniswert zu berechnen: \(T_1(25) = 0{,}8 \cdot 25 + 12 = 20 + 12 = 32\) 6. (Optional) Kontrolle mit dem zweiten Term: \(T_2(25) = 1{,}4 \cdot 25 - 3 = 35 - 3 = 32\)

Der gesuchte Wert ist \(x = 25\). Der Ergebniswert beider Terme ist \(32\).

- Stelle zuerst eine Gleichung auf, indem du die beiden Termbeschreibungen gleichsetzt. - Wie kannst du den Bruch \(\frac{1}{2}\) in der Rechnung am einfachsten behandeln? - Wenn \(T_1 = T_2\) gilt, was bedeutet das für die Summe \(T_1 + T_2\) im Zähler von \(S\)? - Überprüfe dein Ergebnis für \(k\), indem du es in beide Terme einsetzt – kommt dasselbe heraus?

1. Gleichsetzen der Terme: \(\frac{1}{2}(k + 12) = 2k - 18\). 2. Ausmultiplizieren der linken Seite: \(0{,}5k + 6 = 2k - 18\). 3. Umformen der Gleichung: Subtraktion von \(0{,}5k\) ergibt \(6 = 1{,}5k - 18\). 4. Addition von \(18\) ergibt \(24 = 1{,}5k\). 5. Division durch \(1{,}5\): \(k = \frac{24}{1{,}5} = 16\). 6. Berechnung der Termwerte bei \(k = 16\): \(T_1 = 0{,}5(16 + 12) = 14\) und \(T_2 = 2 \cdot 16 - 18 = 14\). 7. Einsetzen in den Ausdruck für \(S\): \(S = \frac{14 + 14}{16} = \frac{28}{16}\). 8. Kürzen oder Umwandeln in eine Dezimalzahl: \(S = 1{,}75\).

Der Wert für \(k\) ist \(16\). Der Wert für \(S\) ist \(1{,}75\).

- Löse zuerst die Gleichungen A und B getrennt voneinander auf. - Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn ein bestimmter Wert ihre „Lösung“ ist? - Wenn du die Lösung für \(x\) bereits kennst, wie kannst du sie nutzen, um den fehlenden Wert in Aufgabenteil b) zu finden? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Lösung Gleichung A: Addition von 8 ergibt \(5x = 20\). Division durch 5 ergibt \(x = 4\). 2. Lösung Gleichung B: Division durch 2 ergibt \(x + 1 = 5\). Subtraktion von 1 ergibt \(x = 4\). Die Lösungen beider Gleichungen sind mit \(4\) identisch. 3. Bestimmung der Lücke: Einsetzen der gefundenen Lösung \(x = 4\) in die neue Gleichung ergibt \(4 \cdot 4 + \square = 20\). Dies vereinfacht sich zu \(16 + \square = 20\). Subtraktion von 16 ergibt \(\square = 4\).

a) Die Lösung für beide Gleichungen ist \(x = 4\). b) In die Lücke muss die Zahl \(4\) eingesetzt werden.

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Kästchen am Ende alleine auf einer Seite steht? - Denke an die Vorrangregeln, zum Beispiel bei der Klammeraufgabe oder dem Bruchstrich. - Manchmal ist es einfacher, alles in Dezimalzahlen umzurechnen, bevor man beginnt.

1. Umwandlung und Zusammenfassung: \(\frac{3}{4}\) entspricht \(0{,}75\). Rechnung: \(0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(0{,}5 + \Box = 1\). Subtraktion ergibt \(\Box = 0{,}5\). 2. Division der gesamten Gleichung durch \(2\): \(\Box + 1{,}5 = 3{,}5\). Subtraktion von \(1{,}5\) auf beiden Seiten ergibt \(\Box = 2\). 3. Umstellen der Gleichung nach dem Bruchterm: \(\frac{\Box}{2} = 10 - 8{,}5 = 1{,}5\). Multiplikation beider Seiten mit \(2\) ergibt \(\Box = 3\).

a) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) b) \(2\) c) \(3\)

- Überlege dir zuerst eine einfache Rechenoperation mit der Zahl \(-6\). - Was passiert, wenn du zu \(-6\) eine bestimmte Zahl addierst? Das Ergebnis ist dann die rechte Seite deiner Gleichung. - Für den Aufgabenteil mit \(x\) auf beiden Seiten: Setze für \(x\) die Zahl \(-6\) ein und prüfe, ob beide Seiten denselben Wert ergeben.

1. Einsetzen von \(x = -6\) in den Ansatz \(x + a = b\): Wählt man zum Beispiel \(a = 10\), ergibt sich \(-6 + 10 = 4\). Eine mögliche Gleichung ist \(x + 10 = 4\). 2. Einsetzen von \(x = -6\) in den Ansatz \(cx = d\): Wählt man zum Beispiel \(c = 5\), ergibt sich \(5 \cdot (-6) = -30\). Eine mögliche Gleichung ist \(5x = -30\). 3. Einsetzen von \(x = -6\) in einen Ansatz mit \(x\) auf beiden Seiten: Wählt man links \(2x\) (\(-12\)), muss rechts ebenfalls \(-12\) stehen. Da \(x = -6\), ist \(x - 6 = -12\). Eine mögliche Gleichung ist \(2x = x - 6\).

Mögliche Lösungen sind: 1. \(x + 10 = 4\) 2. \(5x = -30\) 3. \(2x = x - 6\)

- Wenn eine Zahl eine Lösung ist, darfst du sie für \(x\) in die Gleichung einsetzen. - Nach dem Einsetzen von \(x\) erhältst du eine neue Gleichung, in der nur noch \(k\) unbekannt ist. - Löse diese neue Gleichung nach \(k\) auf, genau wie du es sonst mit \(x\) tun würdest.

1. Für a) wird \(x = 4\) eingesetzt: \(7 \cdot 4 - k = 15 \Rightarrow 28 - k = 15\). Durch Umformen erhält man \(k = 28 - 15 = 13\). 2. Für b) wird \(x = 6\) eingesetzt: \(k \cdot (6 + 2) = 24 \Rightarrow k \cdot 8 = 24\). Durch Division erhält man \(k = 24 : 8 = 3\). 3. Für c) wird \(x = 10\) eingesetzt: \(10 + k = 2 \cdot 10 - 5 \Rightarrow 10 + k = 20 - 5 \Rightarrow 10 + k = 15\). Durch Subtraktion erhält man \(k = 15 - 10 = 5\).

a) \(k = 13\) b) \(k = 3\) c) \(k = 5\)

- Multipliziere zuerst die Klammer aus und fasse dann die \(x\)-Terme zusammen. - Für die Probe setzt du \(x=5\) in die ursprüngliche linke Seite ein. - Vergleiche das Ergebnis der Einsetzung mit der rechten Seite 18.

1. Ausmultiplizieren und zusammenfassen: \(6x-10-0{,}4x=18\), also \(5{,}6x-10=18\). 2. Daraus folgt \(5{,}6x=28\), also \(x=5\). 3. Probe: \(5(1{,}2\cdot5-2)-0{,}4\cdot5=5(6-2)-2=18\).

\(x=5\). Probe: Die linke Seite ergibt für \(x=5\) den Wert 18 und stimmt damit mit der rechten Seite überein.

- Vereinfache beide Seiten getrennt, bevor du \(x\) isolierst. - Achte darauf, dass der Faktor \(\frac34\) die ganze erste Klammer multipliziert. - Für die Kontrolle setzt du den Wert in die ursprüngliche Gleichung ein.

1. Links ergibt sich \(6x-9-2x=4x-9\), rechts \(5x-20+1=5x-19\). 2. Damit \(4x-9=5x-19\), also \(x=10\). 3. Probe: Links \(=\frac34(80-12)-20=51-20=31\). Rechts \(=5(10-4)+1=31\).

\(x=10\). Probe: linke Seite \(=31\), rechte Seite \(=31\). Die Lösung ist bestätigt.

- Kannst du die Klammern zuerst auflösen? - Gibt es auf einer Seite der Gleichung Terme, die du zusammenfassen kannst, bevor du umformst? - Versuche, alle \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen ohne \(x\) auf die andere Seite zu sortieren.

1. Auflösen der Klammern durch Anwendung des Distributivgesetzes: \(8x - 6 = 5x + 10 + 2\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der rechten Seite: \(8x - 6 = 5x + 12\). 3. Subtraktion von \(5x\) auf beiden Seiten: \(3x - 6 = 12\). 4. Addition von \(6\) auf beiden Seiten: \(3x = 18\). 5. Division durch \(3\) ergibt das Endergebnis \(x = 6\).

\(x = 6\)

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Welche Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner \(3\) und \(4\)? - Achte darauf, jeden Term der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren.

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\), um die Brüche zu eliminieren: \(9x + 6 = 4x - 12\). 2. Subtraktion von \(4x\) auf beiden Seiten, um die Variable auf eine Seite zu bringen: \(5x + 6 = -12\). 3. Subtraktion von \(6\) auf beiden Seiten: \(5x = -18\). 4. Division durch \(5\), um \(x\) zu isolieren: \(x = -\frac{18}{5}\) bzw. \(x = -3{,}6\).

\(x = -3{,}6\) (oder \(x = -\frac{18}{5}\))

- Hilft es dir, zuerst die Klammer aufzulösen oder direkt die gesamte Gleichung mit einem geeigneten Nenner zu multiplizieren? - Was musst du beim Multiplizieren eines Terms mit einer Klammer beachten? - Versuche, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(10\), um die Brüche aufzulösen: \(4(x + 3) = 5x - 1\). 2. Ausmultiplizieren der Klammer auf der linken Seite: \(4x + 12 = 5x - 1\). 3. Subtraktion von \(4x\) auf beiden Seiten: \(12 = x - 1\). 4. Addition von \(1\) auf beiden Seiten, um nach \(x\) aufzulösen: \(x = 13\).

\(x = 13\)

- Was passiert mit den Vorzeichen im Zähler des zweiten Bruchs, wenn du den Bruchstrich durch eine Klammer ersetzt? - Überlege, mit welcher Zahl du die gesamte Gleichung multiplizieren kannst, damit alle Nenner verschwinden. - Prüfe nach dem Auflösen der Klammern sorgfältig, ob alle Vorzeichen korrekt sind.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\): \(2(2x - 1) - (x + 3) = 3\). 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(4x - 2 - x - 3 = 3\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(3x - 5 = 3\). 4. Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(3x = 8\). 5. Division durch \(3\): \(x = \frac{8}{3}\).

\(x = \frac{8}{3}\) (oder \(x = 2\frac{2}{3}\))

- Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn am Ende eine falsche Aussage wie \(0 = 5\) steht? - Kannst du einen Wert für \(x\) finden, für den die Gleichung stimmt? - Überprüfe deine Umformungen Schritt für Schritt.

1. Klammer auf der linken Seite auflösen: \(6x - 2x - 4 = 4(x + 1)\) 2. Linke Seite zusammenfassen: \(4x - 4 = 4(x + 1)\) 3. Rechte Seite ausmultiplizieren: \(4x - 4 = 4x + 4\) 4. \(4x\) auf beiden Seiten subtrahieren: \(-4 = 4\) 5. Da dies eine falsche Aussage ist, gibt es keine Lösung für \(x\). Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\)

\(L = \emptyset\)

- Vereinfache zuerst die linke Seite. Was fällt dir im Vergleich zur rechten Seite auf? - Wenn eine Gleichung für jeden beliebigen Wert von \(x\) wahr ist, wie hängt die Lösungsmenge dann von der Grundmenge ab? - Denke daran, dass die Lösungsmenge nur Elemente enthalten kann, die auch in der Grundmenge \(G\) liegen.

1. Linke Seite der Gleichung ausmultiplizieren: \(0{,}5 \cdot 8x - 0{,}5 \cdot 4 = 4x - 2\) 2. Vereinfachen: \(4x - 2 = 4x - 2\) 3. Man erkennt, dass beide Seiten identisch sind. Dies ist eine allgemeingültige Aussage (Identität), die für jedes \(x\) wahr ist. 4. Für Fall a gilt: Da die Gleichung für alle rationalen Zahlen wahr ist, entspricht die Lösungsmenge der Grundmenge: \(L = \mathbb{Q}\). 5. Für Fall b gilt: Da die Gleichung für alle Elemente der Grundmenge wahr ist, sind alle drei Zahlen Lösungen: \(L = \{0; 1; 2\}\).

a) \(L = \mathbb{Q}\) b) \(L = \{0; 1; 2\}\)

- Überlege dir zuerst, ob du lieber mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen rechnen möchtest. - Wie multipliziert man eine Zahl in eine Klammer hinein? - Was ist der nächste Schritt, wenn du auf beiden Seiten Terme mit \(x\) hast?

1. Auflösen der Klammer auf der linken Seite: \(\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}x + 1{,}5\). 2. Umwandeln der Brüche in Dezimalzahlen oder umgekehrt: \(0{,}75x - 1{,}5 = 0{,}5x + 1{,}5\). 3. Subtraktion von \(0{,}5x\) auf beiden Seiten: \(0{,}25x - 1{,}5 = 1{,}5\). 4. Addition von \(1{,}5\) auf beiden Seiten: \(0{,}25x = 3\). 5. Division durch \(0{,}25\) (entspricht der Multiplikation mit \(4\)): \(x = 12\).

\(x = 12\)

- Welche bekannten Produkt- oder binomischen Formeln helfen beim Auflösen der beiden Ausdrücke? - Achte besonders auf das Minus vor dem zweiten Produkt. - Fasse nach dem Ausmultiplizieren gleichartige Terme zusammen und beobachte, welche Potenzen von \(x\) übrig bleiben. - Prüfe am Ende, ob die gefundene Zahl zur angegebenen Grundmenge gehört.

1. Aus \((x-6)^2\) wird \(x^2-12x+36\), und \((x+2)(x-2)\) ergibt \(x^2-4\). 2. Einsetzen liefert \((x^2-12x+36)-(x^2-4)=20\). 3. Nach dem Auflösen der Klammer und Zusammenfassen heben sich die quadratischen Terme auf: \(-12x+40=20\). 4. Subtraktion von \(40\) ergibt \(-12x=-20\). 5. Division durch \(-12\) liefert \(x=\frac{5}{3}\). 6. Da \(\frac{5}{3}\in\mathbb{Q}\), ist \(L=\left\{\frac{5}{3}\right\}\).

\(L=\left\{\frac{5}{3}\right\}\)

- Überlege dir, welche Rechenoperation die Zahl mit der Variablen verknüpft und wie du das Gegenteil davon anwendest. - Achte besonders auf das Rechnen mit negativen Zahlen. - Bringe Brüche vor dem Addieren oder Subtrahieren auf einen gemeinsamen Nenner. - Wenn ein Minuszeichen vor der Variablen steht, kannst du die gesamte Gleichung am Ende mit \(-1\) multiplizieren.

1. Subtraktion von \(8{,}5\) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt \(x = 3{,}2 - 8{,}5 = -5{,}3\). 2. Addition von \(\frac{5}{6}\) auf beiden Seiten führt zu \(y = \frac{1}{3} + \frac{5}{6}\). Mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt sich \(y = \frac{2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}\). 3. Subtraktion von \(12\) ergibt \(-z = 3{,}5\). Durch Multiplikation mit \(-1\) erhält man \(z = -3{,}5\). 4. Umwandlung von \(2\frac{1}{4}\) in \(\frac{9}{4}\) und Subtraktion ergibt \(a = \frac{3}{8} - \frac{9}{4}\). Erweitern auf den Nenner \(8\) liefert \(a = \frac{3}{8} - \frac{18}{8} = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8}\).

a) \(x = -5{,}3\) b) \(y = 1\frac{1}{6}\) c) \(z = -3{,}5\) d) \(a = -1\frac{7}{8}\)

- Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. - Für die Probe setzt du den gefundenen Bruchwert in die ursprüngliche linke Seite ein. - Bringe die beiden Summanden der Probe auf einen gemeinsamen Nenner.

1. \(2\frac16=\frac{13}{6}\) und \(\frac12=\frac36\). 2. Subtraktion von \(\frac12\) ergibt \(\frac23x=\frac53\). 3. Multiplikation mit \(\frac32\) ergibt \(x=\frac52=2{,}5\). 4. Probe: \(\frac23\cdot\frac52+\frac12=\frac53+\frac12=\frac{10}{6}+\frac36=\frac{13}{6}=2\frac16\).

\(x=\frac52=2{,}5\). Probe: \(\frac23\cdot\frac52+\frac12=\frac{13}{6}=2\frac16\). Die Probe stimmt.

- In a) muss dein erster neuer Term die ausmultiplizierte Klammer zeigen. - In b) muss die erste neue Gleichung aus der Division beider Seiten durch 4 entstehen. - Vergleiche die tatsächlich ausgeführten Schritte, nicht nur das gleiche Endergebnis.

1. Weg a: \(4x-6=10\Rightarrow4x=16\Rightarrow x=4\). 2. Weg b: \(x-1{,}5=2{,}5\Rightarrow x=4\). 3. Beide Wege sind zulässige Äquivalenzumformungen; b ist hier kürzer, weil der Außenfaktor sofort beseitigt wird.

a) \(4x-6=10\Rightarrow4x=16\Rightarrow x=4\). b) \(4(x-1{,}5)=10\Rightarrow x-1{,}5=2{,}5\Rightarrow x=4\). c) Beide Wege erhalten die Lösungsmenge; Weg b ist hier kürzer.

- Vereinfache den Term zunächst durch Auflösen der Klammer. - Setze für den ersten Teil den verlangten Termwert ein und löse die entstehende Gleichung. - Betrachte für den zweiten Teil das Vorzeichen des Koeffizienten vor \(x\). - Welche Auswirkung hat ein größeres \(x\) auf einen Term mit negativem \(x\)-Koeffizienten?

1. Aus \(5-2(x+1)=-1\) wird nach dem Auflösen der Klammer \(3-2x=-1\). 2. Daraus folgen \(-2x=-4\) und \(x=2\). 3. Der vereinfachte Term lautet \(3-2x\). Wird \(x\) größer, wird wegen des negativen Koeffizienten der Termwert kleiner. 4. Da \(10>2\) gilt, ist der Termwert für \(x=10\) kleiner als \(-1\).

1) \(x=2\) 2) Der Termwert ist kleiner als \(-1\), weil \(3-2x\) bei größerem \(x\) kleiner wird.

- Welche Terme beschreiben die beiden Guthaben nach \(n\) Monaten? - Was muss für diese beiden Terme gelten, wenn beide Spardosen gleich viel enthalten? - Versuche, den Faktor mit \(n\) nach dem Umformen auszuklammern. - Untersuche anschließend, wie sich ein Bruch verändert, wenn sein positiver Nenner größer wird und der Zähler fest bleibt.

1. Die Guthaben nach \(n\) Monaten lauten \(x + an\) und \(bn\). 2. Für gleich große Guthaben gilt \(x + an = bn\). 3. Subtraktion von \(an\) ergibt \(x = bn - an\). 4. Ausklammern von \(n\) ergibt \(x = n(b-a)\), also \(n = \frac{x}{b-a}\). 5. Wenn \(b\) bei festem \(x\) und \(a\) größer wird, wird \(b-a\) größer und damit \(n\) kleiner. 6. Eine Gleichheit genau nach ganzen Monaten tritt ein, wenn \(\frac{x}{b-a}\) eine nichtnegative ganze Zahl ist.

a) \(n=\frac{x}{b-a}\); für eine Gleichheit nach ganzen Monaten muss \(\frac{x}{b-a}\in\mathbb{N}_0\) gelten. b) Wenn \(b\) größer wird, vergrößert sich der Nenner \(b-a\); dadurch wird \(n\) kleiner.

- Welche vollständige Teilausdruck steht auf beiden Seiten der Gleichung identisch? - Ersetze diesen gemeinsamen Ausdruck gedanklich durch einen Platzhalter. - Welche Äquivalenzumformung kannst du nun durchführen, ohne die Klammern aufzulösen? - Übersetze das Ergebnis anschließend wieder auf den ursprünglichen Klammerausdruck.

1. Beide Seiten enthalten denselben Klammerausdruck. Setze dafür vorübergehend \(A=x-7\). Dann lautet die Gleichung \(10A=5A\). 2. Subtraktion von \(5A\) ergibt \(5A=0\). Daher muss \(A=0\) gelten. 3. Damit ist \(x-7=0\) und folglich \(x=7\). 4. Als Kontrolle führt auch das Ausmultiplizieren zu \(10x-70=5x-35\) und damit zu \(x=7\).

\(x=7\). Man kann den gemeinsamen Klammerausdruck als eine Einheit betrachten und die unterschiedlichen Faktoren vergleichen.

- Was musst du beachten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Kannst du die Terme auf der linken Seite zuerst vereinfachen, bevor du die Gleichung umformst? - Was passiert mit Termen wie \(y^2\), wenn sie in beiden Klammern mit demselben Koeffizienten vorkommen? - Achte darauf, alle Zahlen ohne Variable und alle Terme mit der gleichen Variable getrennt zusammenzufassen.

1. Gleichung a: Klammern auflösen ergibt \(6x - 11 + 4x + 5 = 24\). Zusammenfassen führt zu \(10x - 6 = 24\). Addition von \(6\) ergibt \(10x = 30\). Division durch \(10\) liefert \(x = 3\). 2. Gleichung b: Klammern auflösen unter Beachtung des Minuszeichens ergibt \(2y^2 + 9y - 15 - 2y^2 + y - 5 = 60\). Die Terme mit \(y^2\) heben sich auf (\(2y^2 - 2y^2 = 0\)). Zusammenfassen der restlichen Terme ergibt \(10y - 20 = 60\). Addition von \(20\) ergibt \(10y = 80\). Division durch \(10\) liefert \(y = 8\). 3. Gleichung c: Klammern auflösen ergibt \(25 - 8z + 3 + 3z - 2 = 1\). Zusammenfassen der konstanten Terme (\(25 + 3 - 2 = 26\)) und der \(z\)-Terme (\(-8z + 3z = -5z\)) ergibt \(-5z + 26 = 1\). Subtraktion von \(26\) ergibt \(-5z = -25\). Division durch \(-5\) liefert \(z = 5\).

a) \(x = 3\) b) \(y = 8\) c) \(z = 5\)

- Hilft es dir, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt? - Erinnerst du dich, wie man eine Zahl vor einer Klammer mit jedem Term in der Klammer multipliziert? - Überprüfe nach dem Auflösen der Klammern, ob du alle Terme mit der Variable zusammengefasst hast. - Kannst du das Ergebnis durch Einsetzen in die Ursprungsgleichung überprüfen?

1. Gleichung a: Umwandeln von \(\frac{1}{5}\) in \(0{,}2\). Klammern auflösen ergibt \(0{,}6t + 0{,}2t - 1{,}2 = 2\). Zusammenfassen ergibt \(0{,}8t - 1{,}2 = 2\). Addition von \(1{,}2\) ergibt \(0{,}8t = 3{,}2\). Division durch \(0{,}8\) liefert \(t = 4\). 2. Gleichung b: Umwandeln von \(1\frac{1}{2}\) in \(1{,}5\). Klammern auflösen ergibt \(1{,}5w - 0{,}5w - 4 = 6\). Zusammenfassen ergibt \(w - 4 = 6\). Addition von \(4\) liefert \(w = 10\). 3. Gleichung c: Anwenden des Distributivgesetzes auf die Klammer ergibt \(\frac{2}{3} \cdot 6x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 0{,}5x = 7{,}5\), was zu \(4x - 6 + 0{,}5x = 7{,}5\) vereinfacht wird. Zusammenfassen ergibt \(4{,}5x - 6 = 7{,}5\). Addition von \(6\) ergibt \(4{,}5x = 13{,}5\). Division durch \(4{,}5\) liefert \(x = 3\).

a) \(0{,}6t+0{,}2t-1{,}2=2\Rightarrow0{,}8t=3{,}2\Rightarrow t=4\). b) \(1{,}5w-0{,}5w-4=6\Rightarrow w-4=6\Rightarrow w=10\). c) \(4x-6+0{,}5x=7{,}5\Rightarrow4{,}5x=13{,}5\Rightarrow x=3\).

- Löse zunächst die Klammer auf und fasse die Terme mit dem Parameter zusammen. - Behandle \(a\) beim Auflösen nach \(x\) wie eine feste Größe. - Wenn \(x\) isoliert ist, kannst du die zusätzliche Bedingung für \(x\) einsetzen.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(3x-6a+5a=14a\). 2. Zusammenfassen führt zu \(3x-a=14a\). 3. Addition von \(a\) ergibt \(3x=15a\). 4. Division durch \(3\) liefert \(x=5a\). 5. Für \(x=15\) gilt daher \(15=5a\), also \(a=3\).

Die aufgelöste Formel lautet \(x=5a\). Für \(x=15\) gilt \(a=3\).

- Stell dir vor, es geht um drei verschiedene Mengen oder Personen. Was könnte \(x\) sein? - Was bedeutet es im echten Leben, wenn von einer Menge 2 abgezogen werden oder eine Menge verdreifacht wird? - Versuche zuerst, alle \(x\) auf der linken Seite der Gleichung zusammenzuzählen, bevor du mit dem Rechnen beginnst. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob deine drei Ergebnisse zusammen wirklich 43 ergeben.

1. Beispielhafte Sachsituation: In drei Kisten liegen insgesamt 43 Äpfel. In der ersten Kiste sind \(x\) Äpfel, in der zweiten Kiste sind 2 Äpfel weniger als in der ersten (\(x - 2\)) und in der dritten Kiste liegen dreimal so viele Äpfel wie in der ersten (\(3x\)). 2. Zusammenfassen der Gleichung: \(x + x - 2 + 3x = 43\) ergibt \(5x - 2 = 43\). 3. Lösen der Gleichung: Addition von 2 ergibt \(5x = 45\). Division durch 5 liefert \(x = 9\). 4. Berechnung der Teilwerte: Der erste Wert ist \(x = 9\), der zweite Wert ist \(9 - 2 = 7\) und der dritte Wert ist \(3 \cdot 9 = 27\). 5. Überprüfung: \(9 + 7 + 27 = 43\).

a) Individuelle Lösung (z. B. drei Kisten mit \(x\), \(x - 2\) und \(3x\) Äpfeln, die zusammen 43 Äpfel enthalten). b) \(x = 9\). Die drei Werte sind 9, 7 und 27.

- Löse zuerst beide Minusklammern sorgfältig auf. - Setze für die Probe \(x=19\) wieder in die ursprüngliche, nicht nur in die vereinfachte Gleichung ein. - Eine vollständige Probe vergleicht beide Seitenwerte.

1. Klammern auflösen: \(57-3x=19-x\). 2. Daraus folgt \(38=2x\), also \(x=19\). 3. Probe: Links \(45-(57-12)=0\). Rechts \(15-(19-4)=0\).

\(x=19\). Probe: linke Seite \(=0\), rechte Seite \(=0\). Die Probe stimmt.

- Löse zuerst alle Klammern sorgfältig auf. - Bringe anschließend alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere. - Achte besonders auf Dezimalzahlen und Vorzeichen. - Prüfe jede Lösung in der jeweiligen Ausgangsgleichung.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(3x+12=4x-2\). Daraus folgt \(x=14\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(5x-6=3x+6\). Daraus folgen \(2x=12\) und \(x=6\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(3x-5=2x+7\). Daraus folgt \(x=12\).

1) \(x=14\) 2) \(x=6\) 3) \(x=12\)

- Multipliziere beide Klammern zuerst vollständig aus. - Setze für die Probe den gefundenen Wert in beide ursprünglichen Seiten ein. - Vergleiche die beiden Zahlenwerte ausdrücklich.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(6x-12=2x+8\). 2. Daraus folgt \(4x=20\), also \(x=5\). 3. Probe: Links \(3(10-4)=18\), rechts \(2(5+5)-2=18\).

\(x=5\). Probe: linke Seite \(=18\), rechte Seite \(=18\). Die Probe stimmt.

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer beim Ausmultiplizieren. - Fasse zuerst alle Terme mit \(x\) und alle Zahlen ohne \(x\) auf der linken Seite zusammen, bevor du die Gleichung umformst. - Wie gehst du vor, wenn vor einer Klammer ein Minus steht?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \(12x - 18 - 12x - 15 + 8x - 4 = 9\) 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((12 - 12 + 8)x + (-18 - 15 - 4) = 8x - 37\) 3. Gleichung nach der Zusammenfassung: \(8x - 37 = 9\) 4. Addition von \(37\) auf beiden Seiten: \(8x = 46\) 5. Division durch \(8\): \(x = 5{,}75\)

\(x = 5{,}75\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Terme „den gleichen Wert annehmen“? - Vereinfache beide Seiten der Gleichung unabhängig voneinander so weit wie möglich, bevor du mit den Äquivalenzumformungen beginnst. - Kontrolliere dein Ergebnis, indem du den gefundenen Wert für \(y\) in beide ursprünglichen Terme einsetzt.

1. Gleichsetzen der beiden Terme: \(5(3y - 4) - 2(7y - 8) = 4(y + 2) - 3(2y - 1)\) 2. Auflösen der Klammern auf der linken Seite: \(15y - 20 - 14y + 16 = y - 4\) 3. Auflösen der Klammern auf der rechten Seite: \(4y + 8 - 6y + 3 = -2y + 11\) 4. Vereinfachte Gleichung: \(y - 4 = -2y + 11\) 5. Addition von \(2y\) auf beiden Seiten: \(3y - 4 = 11\) 6. Addition von \(4\) auf beiden Seiten: \(3y = 15\) 7. Division durch \(3\): \(y = 5\)

\(y = 5\)

- Achte beim Auflösen der zweiten Klammer besonders auf das Minuszeichen davor. - Fasse nach dem Ausmultiplizieren die Terme mit \(x\) und die konstanten Terme jeweils getrennt zusammen. - Isoliere anschließend den Variablenterm mit Äquivalenzumformungen. - Prüfe die gefundene Lösung durch Einsetzen.

1. Klammern auflösen: \(0{,}8x+1{,}6-0{,}6x+1{,}2+0{,}5x=4{,}2\). 2. Zusammenfassen ergibt \(0{,}7x+2{,}8=4{,}2\). 3. Subtraktion von \(2{,}8\) ergibt \(0{,}7x=1{,}4\). 4. Division durch \(0{,}7\) liefert \(x=2\).

\(x=2\)

- Arbeite dich bei verschachtelten Klammern immer von innen nach außen vor. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Versuche, erst jede Seite der Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du Zahlen oder Variablen auf die andere Seite bringst.

1. Auflösen der inneren runden Klammer innerhalb der eckigen Klammer (Minusklammer-Regel): \(x - 2x + 5 = -x + 5\) 2. Einsetzen in die eckige Klammer: \(20 - 3[-x + 5] = 2x + 1\) 3. Ausmultiplizieren der eckigen Klammer mit dem Faktor \(-3\): \(20 + 3x - 15 = 2x + 1\) 4. Zusammenfassen der Zahlenwerte auf der linken Seite: \(3x + 5 = 2x + 1\) 5. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten: \(x + 5 = 1\) 6. Subtraktion von \(5\) auf beiden Seiten ergibt den Wert für \(x\): \(x = -4\)

\(x = -4\)

- Vereinfache zunächst beide Produktterme auf der linken Seite. - Prüfe danach, welche gleichartigen Glieder sich gegenseitig aufheben. - Löse erst die übrig gebliebene lineare Gleichung.

1. Mit der dritten binomischen Formel ist \((x-2)(x+2)=x^2-4\), also \(5(x^2-4)=5x^2-20\). 2. Der zweite Produktterm ist \(-5x(x-1)=-5x^2+5x\). 3. Zusammen ergibt die linke Seite \(5x^2-20-5x^2+5x=5x-20\). Mateo hat also recht: Die quadratischen Glieder heben sich auf. 4. Die verbleibende Gleichung lautet \(5x-20=10\). 5. Addieren von \(20\) und anschließendes Teilen durch \(5\) ergibt \(x=6\).

Mateo hat recht: \(5(x-2)(x+2)-5x(x-1)\) \(=5(x^2-4)-5x^2+5x\) \(=5x-20\). Damit lautet die lineare Gleichung \(5x-20=10\), also \(5x=30\) und \(x=6\).

- Welche gemeinsamen Faktoren besitzen Zähler und Nenner der jeweiligen Quotienten? - Beachte die Definitionsbedingung, bevor du einen Variablenfaktor kürzt. - Vereinfache zuerst den Bruchterm und löse erst danach die entstehende Gleichung.

1. In der ersten Gleichung darf wegen \(x\ne0\) der Quotient \((12x^2):(4x)\) zu \(3x\) gekürzt werden. Aus \(3x=18\) folgt \(x=6\). 2. In der zweiten Gleichung gilt wegen \(y\ne0\): \((40y^3):(8y^2)=5y\). Damit folgt aus \(5y+13=48\) der Wert \(y=7\). 3. In der dritten Gleichung gilt wegen \(z\ne0\): \((18z^2):(6z)=3z\). Damit wird die Gleichung zu \(22z-3z=38\), also \(z=2\). 4. Alle drei Lösungen erfüllen die jeweilige Definitionsbedingung.

a) \(x = 6\) b) \(y = 7\) c) \(z = 2\)

- Welche Faktoren in Zähler und Nenner lassen sich unter der angegebenen Definitionsbedingung kürzen? - Was bedeutet es, dass \(x=6\) eine Lösung der Gleichung sein soll? - Setze den vorgegebenen Wert erst nach dem Vereinfachen ein und behandle \(k\) dann als Unbekannte.

1. Wegen \(x\ne0\) dürfen Koeffizienten und Variablenfaktoren gekürzt werden: \(45:9=5\) und \(x^2:x=x\). Der Bruchterm vereinfacht sich zu \(5x\). 2. Für die vorgegebene Lösung \(x=6\) einsetzen: \(5\cdot6+k\cdot6=84\). 3. Daraus folgt \(30+6k=84\), also \(6k=54\) und \(k=9\).

a) Für \(x \ne 0\) gilt \((45x^2) : (9x) = 5x\). b) \(k = 9\)

- Welche Faktoren enthält jeder Summand im Zähler des Bruchterms? - Beachte die Definitionsbedingung, bevor du einen Variablenfaktor kürzt. - Vereinfache zuerst den Bruchterm und löse danach die verbleibende Gleichung.

1. Wegen \(y\ne0\) darf der Quotient vereinfacht werden: \((18y^2-9y):(9y)=2y-1\). 2. Damit lautet die Gleichung \(14+2y-1=20\), also \(13+2y=20\). 3. Subtraktion von \(13\) ergibt \(2y=7\). 4. Division durch \(2\) liefert \(y=3{,}5\). Dieser Wert erfüllt \(y\ne0\).

\(y = 3{,}5\); die Lösung ist zulässig, da \(y \ne 0\) gilt.

- Vereinfache die beiden Bruchterme zunächst unabhängig voneinander. - Beachte die Definitionsbedingung, bevor du Variablenfaktoren kürzt. - Achte nach dem Kürzen besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Termen. - Löse erst die vereinfachte Gleichung und prüfe anschließend die Definitionsbedingung.

1. Wegen \(x\ne0\) gilt \((15x^2+10x):(5x)=3x+2\). 2. Ebenso gilt \((12x^2-18x):(6x)=2x-3\). 3. Die vereinfachte Gleichung lautet \((3x+2)-(2x-3)=1\). 4. Auflösen der Minusklammer ergibt \(3x+2-2x+3=1\), also \(x+5=1\). 5. Subtraktion von \(5\) führt zu \(x=-4\). Dieser Wert erfüllt die Definitionsbedingung.

\(x = -4\); die Lösung ist zulässig, da \(x \ne 0\) gilt.

- Was passiert mit den Vorzeichen im Zähler, wenn ein Minuszeichen vor dem gesamten Bruch steht? - Hilft es dir, Klammern um die Zähler zu setzen, bevor du die Brüche entfernst? - Wie verhinderst du, dass du beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner die rechte Seite der Gleichung vergisst?

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt \(3(x + 5) - 2(2x - 4) = 24\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer ergibt \(3x + 15 - 4x + 8 = 24\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite führt zu \(-x + 23 = 24\). 4. Subtraktion von \(23\) ergibt \(-x = 1\). 5. Multiplikation mit \(-1\) ergibt die Lösung \(x = -1\). 6. Erklärung: Das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch wirkt wie ein Minuszeichen vor einer Klammer. Beim Auflösen müssen sich daher alle Vorzeichen im Zähler des zweiten Bruchs umkehren.

\(x = -1\). Beim Multiplizieren der Gleichung mit \(6\) wird der zweite Zähler mit \(-2\) multipliziert: Aus \(2x\) wird \(-4x\) und aus \(-4\) wird \(+8\).

- Wie kannst du die Brüche aus der Gleichung entfernen? - Welche Zahl eignet sich als gemeinsamer Nenner für alle Brüche in der Gleichung? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor einem Bruch, wenn du die Klammern auflöst. - Was musst du tun, nachdem die Brüche verschwunden sind, um die Variable zu isolieren?

1. Gleichung a) mit dem Hauptnenner \(4\) multiplizieren: \(3x - 1 + 2(x + 2) = 20\). Klammern auflösen und zusammenfassen ergibt \(5x + 3 = 20\). Subtraktion von \(3\) und Division durch \(5\) führt zu \(x = \frac{17}{5}\) bzw. \(x = 3{,}4\). 2. Gleichung b) mit dem Hauptnenner \(6\) multiplizieren: \(2(2y + 5) - (y - 1) = 12\). Klammern auflösen (Vorzeichen beachten!) und zusammenfassen ergibt \(4y + 10 - y + 1 = 12\), also \(3y + 11 = 12\). Subtraktion von \(11\) und Division durch \(3\) führt zu \(y = \frac{1}{3}\).

a) \(x = \frac{17}{5}\) (oder \(3{,}4\)) b) \(y = \frac{1}{3}\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Denke daran, dass das Multiplizieren mit dem Hauptnenner jeden Term der Gleichung betrifft, auch die ohne Bruch. - Worauf musst du beim Auflösen von Klammern achten, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Wie gehst du vor, wenn die Variable auf beiden Seiten der Gleichung steht?

1. Gleichung a) mit dem Hauptnenner \(10\) multiplizieren: \(2(4z - 7) - (2z + 1) = 5z\). Ausmultiplizieren ergibt \(8z - 14 - 2z - 1 = 5z\). Zusammenfassen führt zu \(6z - 15 = 5z\). Subtraktion von \(5z\) und Addition von \(15\) ergibt \(z = 15\). 2. Gleichung b) mit dem Hauptnenner \(12\) multiplizieren: \(12x - 3(2x - 3) = 2(5x + 1)\). Ausmultiplizieren ergibt \(12x - 6x + 9 = 10x + 2\). Zusammenfassen führt zu \(6x + 9 = 10x + 2\). Sortieren der Terme ergibt \(4x = 7\), woraus \(x = \frac{7}{4}\) bzw. \(x = 1{,}75\) folgt.

a) \(z = 15\) b) \(x = \frac{7}{4}\) (oder \(1{,}75\))

- Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für alle Brüche in der Gleichung? - Denk daran, jeden Term auf beiden Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn vor einem Bruch ein Minus steht. - Vergiss nicht, beim Auflösen der Klammern das Distributivgesetz anzuwenden.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner 6: \(2(2x - 5) + 3(x + 1) = 24\). Ausmultiplizieren: \(4x - 10 + 3x + 3 = 24\). Zusammenfassen: \(7x - 7 = 24\). Addition von 7 auf beiden Seiten: \(7x = 31\). Division durch 7: \(x = \frac{31}{7}\). 2. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner 12: \(3(3z - 1) - 2(5 - z) = 24\). Ausmultiplizieren: \(9z - 3 - 10 + 2z = 24\). Zusammenfassen: \(11z - 13 = 24\). Addition von 13 auf beiden Seiten: \(11z = 37\). Division durch 11: \(z = \frac{37}{11}\).

1. \(x = \frac{31}{7}\) 2. \(z = \frac{37}{11}\)

- Ein gemeinsames Vielfaches der Nenner kann die Brüche beim Lösen beseitigen. - Für die Probe verwendest du wieder die ursprünglichen Brüche. - Rechne beide Bruchwerte nach dem Einsetzen vollständig aus.

1. Multiplikation mit 6 ergibt \(3(x+4)-2(x-2)=24\). 2. Ausmultiplizieren: \(3x+12-2x+4=24\), also \(x+16=24\) und \(x=8\). 3. Probe: \(\frac{8+4}{2}-\frac{8-2}{3}=6-2=4\).

\(x=8\). Probe: \(\frac{8+4}{2}-\frac{8-2}{3}=6-2=4\). Die Probe stimmt.

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner \(3\) und \(4\)? - Vergiss nicht, auch das einzelne \(x\) mit dem Hauptnenner zu multiplizieren. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Bringe alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung und alle Zahlen auf die andere.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\) ergibt \(12x - 4(2x+1) = 3(x+2)\). 2. Auflösen der Klammern durch Anwendung des Distributivgesetzes führt zu \(12x - 8x - 4 = 3x + 6\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(4x - 4 = 3x + 6\). 4. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten liefert \(x - 4 = 6\). 5. Addition von \(4\) auf beiden Seiten ergibt die Lösung \(x = 10\).

\(x = 10\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine „Lösung“ einer Gleichung ist? - Beachte beim Auflösen von Klammern die Vorzeichenregeln. - Wie gehst du vor, wenn die Variable auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt? - Kannst du eine Gleichung schrittweise vereinfachen, bevor du nach der Unbekannten auflöst?

1. Einsetzen von \(x = 2\) in beide Ausdrücke: - \(A = 3 \cdot (2 + 4) = 3 \cdot 6 = 18\). - \(B = 10 - 2 = 8\). - Da \(18 \neq 8\), ist \(x = 2\) keine Lösung. 2. Lösen der Gleichung \(3(x + 4) = 0\): Da das Produkt Null ist, muss der Klammerausdruck Null sein: \(x + 4 = 0\). Daraus folgt \(x = -4\). 3. Gleichsetzen und Lösen: \(3(x + 4) = 10 - x\). Klammer auflösen: \(3x + 12 = 10 - x\). Addition von \(x\): \(4x + 12 = 10\). Subtraktion von \(12\): \(4x = -2\). Division durch \(4\): \(x = -0{,}5\).

1) Nein, \(x = 2\) ist keine Lösung, da \(18 \neq 8\). 2) \(x = -4\). 3) \(x = -0{,}5\).

- Subtrahiere in beiden Beispielen denselben Variablenterm auf beiden Seiten. - Welche Aussage ohne Variable bleibt jeweils übrig? - Entscheide, ob diese Aussage immer wahr oder unmöglich ist. - Vergleiche danach die beiden Fälle mit der ursprünglichen Behauptung.

1. Bei Beispiel A führt die Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten zu \(4=9\). Diese Aussage ist falsch, daher gibt es keine Lösung. 2. Bei Beispiel B führt dieselbe Umformung zu \(4=4\). Diese Aussage ist immer wahr, daher sind alle zulässigen Werte von \(x\) Lösungen. 3. Hanas Behauptung ist somit falsch. Gleiche Variablenterme auf beiden Seiten können je nach konstanten Termen zu keiner oder zu unendlich vielen Lösungen führen.

Hana hat unrecht. Beispiel A hat keine Lösung, Beispiel B hat unendlich viele Lösungen. Entscheidend ist, welche Aussage nach dem Wegfall der gleichen Variablenterme übrig bleibt.

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl die Lösung einer Gleichung ist? - Könntest du mit einer sehr einfachen Gleichung wie \(x = -4\) starten und diese dann schrittweise verändern? - Welche Rechenoperationen kannst du auf beiden Seiten einer Gleichung durchführen, ohne die Lösung zu ändern? - Probiere für die zweite Aufgabe, zuerst einen Term für die linke Seite zu erfinden und dann das Ergebnis für die rechte Seite passend zu machen.

1. Für die erste Gleichung wird ein Term mit Klammern gewählt, zum Beispiel \(a(x + b) = c\). Setzt man \(b = 6\) und \(a = 3\), ergibt sich für \(x = -4\) der Wert \(3 \cdot (-4 + 6) = 3 \cdot 2 = 6\). Eine mögliche Gleichung ist \(3(x + 6) = 6\). 2. Für die zweite Gleichung wird ein Ansatz der Form \(ax + b = cx + d\) gewählt. Wählt man \(a = 2\) und \(c = 1\), muss für \(x = -4\) gelten: \(2 \cdot (-4) + b = 1 \cdot (-4) + d\), also \(-8 + b = -4 + d\). Mit \(b = 10\) folgt \(2 = -4 + d\), also \(d = 6\). Eine mögliche Gleichung ist \(2x + 10 = x + 6\).

Beispiele für mögliche Gleichungen: 1. \(3(x + 6) = 6\) 2. \(2x + 10 = x + 6\)

- Wie kannst du die Information nutzen, dass \(x = 2\) eine Lösung sein soll? - Was passiert mit einer Gleichung, wenn du einen Platzhalter durch eine bekannte Zahl ersetzt? - In Teil b ist \(k\) bekannt und \(x\) gesucht – wie gehst du normalerweise beim Lösen von Gleichungen vor? - Achte beim Auflösen der Klammern auf die Vorzeichen.

1. Teil a: Der Wert \(x = 2\) wird in die Gleichung eingesetzt: \(5 \cdot 2 - k = 3 \cdot (2 + 4)\). 2. Vereinfachung der Terme führt zu \(10 - k = 3 \cdot 6\), also \(10 - k = 18\). 3. Durch Subtraktion von \(10\) erhält man \(-k = 8\), woraus \(k = -8\) folgt. 4. Teil b: Der Wert \(k = 2\) wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt: \(5x - 2 = 3(x + 4)\). 5. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite ergibt \(5x - 2 = 3x + 12\). 6. Durch Äquivalenzumformungen (\(-3x\) und \(+2\)) erhält man \(2x = 14\). 7. Division durch \(2\) liefert die Lösung \(x = 7\).

a) \(k = -8\) b) \(x = 7\)

- Kannst du die Klammer zuerst beseitigen? Welches Rechengesetz hilft dir dabei? - Achte beim Multiplizieren des Bruchs mit den Werten in der Klammer auf das Kürzen. - Was ist der nächste Schritt, wenn auf beiden Seiten der Gleichung ein \(x\) steht? - Wie isolierst du die Variable am Ende?

1. Auflösen der Klammer auf der linken Seite mithilfe des Distributivgesetzes: \(\frac{3}{4} \cdot 8x - \frac{3}{4} \cdot 12 = 2x + 5\), was zu \(6x - 9 = 2x + 5\) führt 2. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(4x - 9 = 5\) 3. Addition von \(9\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(4x = 14\) 4. Division beider Seiten durch \(4\): \(x = \frac{14}{4} = 3{,}5\)

\(x = 3{,}5\)

- Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. - Überlege, ob du durch eine zulässige Rechenoperation (wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division auf beiden Seiten) von der ersten zur zweiten Gleichung gelangst. - Achte besonders darauf, ob eine Operation auf wirklich alle Teile einer Seite angewendet wurde. - Was passiert mit dem Ergebnis auf der rechten Seite, wenn du die linke Seite veränderst?

1. Prüfung von \(x - 4 = 12\) und \(x = 16\): Addition von 4 auf beiden Seiten der ersten Gleichung führt zur zweiten Gleichung. Ergebnis: äquivalent. 2. Prüfung von \(6x = 24\) und \(2x = 8\): Division beider Seiten der ersten Gleichung durch 3 führt zur zweiten Gleichung. Ergebnis: äquivalent. 3. Prüfung von \(x + 5 = 10\) und \(x + 10 = 20\): Addition von 5 auf der linken Seite ergibt \(x + 10\), auf der rechten Seite jedoch \(10 + 5 = 15\). Da die Zielgleichung \(x + 10 = 20\) lautet: nicht äquivalent. 4. Prüfung von \(\frac{x}{2} + 3 = 7\) und \(x + 6 = 14\): Multiplikation der gesamten ersten Gleichung mit 2 (unter Beachtung des Distributivgesetzes) ergibt \(2 \cdot \frac{x}{2} + 2 \cdot 3 = 2 \cdot 7\), also \(x + 6 = 14\). Ergebnis: äquivalent.

1) Äquivalent: Addition von \(4\) auf beiden Seiten führt von \(x-4=12\) zu \(x=16\). 2) Äquivalent: Division beider Seiten durch \(3\) führt von \(6x=24\) zu \(2x=8\). 3) Nicht äquivalent: Addition von \(5\) auf beiden Seiten von \(x+5=10\) ergäbe \(x+10=15\), nicht \(x+10=20\). 4) Äquivalent: Multiplikation der gesamten ersten Gleichung mit \(2\) ergibt \(x+6=14\).

- Wie gehst du vor, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Kannst du die Terme auf der linken Seite erst vereinfachen, bevor du die Gleichung umformst? - Überlege, wie du alle Glieder mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringst. - Was musst du beim Rechnen mit Dezimalzahlen beachten?

1. Auflösen der Klammern unter Berücksichtigung der Vorzeichen: \(6x - 3 - 4x - 8 + 0{,}5x = 6{,}5\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((6x - 4x + 0{,}5x) + (-3 - 8) = 2{,}5x - 11\). 3. Gleichung mit dem zusammengefassten Term schreiben: \(2{,}5x - 11 = 6{,}5\). 4. Addition von \(11\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(2{,}5x = 17{,}5\). 5. Division durch \(2{,}5\), um \(x\) zu isolieren: \(x = 7\).

\(x = 7\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine „Lösung“ einer Gleichung ist? - Ersetze den Platzhalter \(x\) durch den bekannten Wert, um die Gleichung zu vereinfachen. - Wie kannst du die Gleichung danach umformen, um den gesuchten Wert von \(k\) zu berechnen? - Kannst du erst die linke und die rechte Seite getrennt ausrechnen, soweit es möglich ist?

1. Einsetzen des Wertes \(x = 6\) in die Gleichung: \(5 \cdot (6 - 2) + k = 2 \cdot (6 + 1)\). 2. Berechnen der Ausdrücke innerhalb der Klammern: \(5 \cdot 4 + k = 2 \cdot 7\). 3. Ausrechnen der Produkte auf beiden Seiten: \(20 + k = 14\). 4. Isolieren von \(k\) durch Subtraktion von \(20\) auf beiden Seiten: \(k = 14 - 20 = -6\).

\(k = -6\)

- Wie gehst du vor, wenn zwei Klammern miteinander multipliziert werden? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammergruppe. - Was passiert mit den quadratischen Termen beim Vereinfachen? - Versuche, alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Ausmultiplizieren der ersten beiden Klammern: \((x + 3) \cdot (x - 4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12\) 2. Ausmultiplizieren der hinteren beiden Klammern: \((x - 5) \cdot (x + 2) = x^2 + 2x - 5x - 10 = x^2 - 3x - 10\) 3. Einsetzen in die Gleichung unter Berücksichtigung des Minuszeichens: \(x^2 - x - 12 - (x^2 - 3x - 10) = 2\) 4. Auflösen der Minusklammer: \(x^2 - x - 12 - x^2 + 3x + 10 = 2\) 5. Zusammenfassen der Terme: \(2x - 2 = 2\) 6. Addition von \(2\) auf beiden Seiten: \(2x = 4\) 7. Division durch \(2\): \(x = 2\)

\(x = 2\)

- Löse zuerst beide Klammern korrekt auf. - Fasse danach auf jeder Seite gleichartige Terme zusammen. - Bringe die Variablenterme auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere. - Prüfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.

1. Auflösen der Klammern ergibt \(3x-2+0{,}2x=2{,}4x+12\). 2. Zusammenfassen links führt zu \(3{,}2x-2=2{,}4x+12\). 3. Subtraktion von \(2{,}4x\) ergibt \(0{,}8x-2=12\). 4. Addition von \(2\) führt zu \(0{,}8x=14\). 5. Division durch \(0{,}8\) ergibt \(x=17{,}5\).

\(x=17{,}5\)

- Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn am Ende eine wahre Aussage wie \(0 = 0\) steht? - Was bedeutet es, wenn du eine falsche Aussage wie \(0 = 5\) erhältst? - Wie kannst du einen Bruch in einer Gleichung „beseitigen“?

1. Ausmultiplizieren: \(3x + 3 = 3x + 3\). Da beide Seiten identisch sind, ist die Gleichung für alle \(x \in \mathbb{Q}\) erfüllt. Die Lösungsmenge ist \(L = \mathbb{Q}\). 2. Subtraktion von \(2x\): \(5 = -1\). Da dies ein Widerspruch ist, gibt es keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\). 3. Ausmultiplizieren: \(4x - 10 = 2x + 2\). Subtraktion von \(2x\): \(2x - 10 = 2\). Addition von \(10\): \(2x = 12\). Division durch \(2\): \(x = 6\). Damit ist \(L = \{6\}\). 4. Subtraktion von \(2\): \(\frac{x}{4} = 3\). Multiplikation mit \(4\): \(x = 12\). Damit ist \(L = \{12\}\).

a) \(3x+3=3x+3\); die Aussage ist für jedes \(x\in\mathbb{Q}\) wahr. Daher \(L=\mathbb{Q}\). b) Nach Subtraktion von \(2x\) bleibt \(5=-1\); das ist ein Widerspruch. Daher \(L=\varnothing\). c) \(L=\{6\}\). d) \(L=\{12\}\).

- Wann verschwindet die Variable \(x\) komplett aus der Gleichung, wenn du versuchst, sie auf eine Seite zu bringen? - Was muss für die Zahlen links und rechts gelten, damit eine „wahre Aussage“ (wie \(0=0\)) oder eine „falsche Aussage“ (wie \(0=1\)) entsteht? - Setze für die letzte Teilaufgabe die Zahl \(5\) einfach an die Stelle von \(x\) und überlege dir passende Werte für \(a\) und \(b\).

1. Teilaufgabe a): Damit unendlich viele Lösungen existieren, müssen beide Seiten der Gleichung identisch sein. Es muss also \(a = 4\) und \(b = 12\) gelten. 2. Teilaufgabe b): Damit keine Lösung existiert, müssen die Koeffizienten von \(x\) gleich sein, aber die konstanten Glieder verschieden. Es muss \(a = 4\) und \(b \neq 12\) gelten. Beispiel: \(a = 4, b = 10\). 3. Teilaufgabe c): Damit \(x = 5\) eine Lösung ist, muss die Gleichung für diesen Wert wahr sein: \(4 \cdot 5 + 12 = a \cdot 5 + b\), also \(32 = 5a + b\). Wählt man zum Beispiel \(a = 2\), ergibt sich \(32 = 10 + b\), also \(b = 22\). Da \(a \neq 4\), ist dies die einzige Lösung. Beispiel: \(a = 2, b = 22\).

Mögliche Lösungen: a) \(a = 4, b = 12\) b) \(a = 4, b = 10\) (oder jede andere Zahl außer 12) c) \(a = 2, b = 22\) (oder jedes andere Paar, das \(5a + b = 32\) mit \(a \neq 4\) erfüllt)

- Behandle \(k\) beim Umformen wie eine feste, aber unbekannte Zahl. - Welche Terme müssen auf welcher Seite stehen, damit \(z\) isoliert werden kann? - Führe dieselbe zulässige Umformung immer auf beiden Seiten der Gleichung aus.

1. Subtraktion von \(4k\) auf beiden Seiten ergibt \(0{,}8z=8k-1{,}6\). 2. Division beider Seiten durch \(0{,}8\) ergibt \(z=\frac{8k-1{,}6}{0{,}8}\). 3. Vereinfachen liefert \(z=10k-2\).

\(z=10k-2\)

- Schau dir genau an, wie Max die Klammer in Schritt 1 aufgelöst hat. Wurde jedes Element in der Klammer berücksichtigt? - Rechne die Aufgabe selbst Schritt für Schritt durch und vergleiche deine Zwischenschritte mit denen von Max. - Was bedeutet es eigentlich, eine Klammer mit einem Faktor davor „auszumultiplizieren“?

1. Fehleranalyse: In Schritt 1 hat Max das Distributivgesetz falsch angewendet. Er hat nur das \(x\) mit der \(2\) multipliziert, aber vergessen, auch die \(4\) mit der \(2\) zu multiplizieren. Korrekt wäre \(2x + 8\). 2. Korrekte Rechnung: \(2(x + 4) - 3 = 15 - x\) wird zu \(2x + 8 - 3 = 15 - x\). 3. Zusammenfassen der linken Seite ergibt \(2x + 5 = 15 - x\). 4. Addition von \(x\) auf beiden Seiten führt zu \(3x + 5 = 15\). 5. Subtraktion von \(5\) ergibt \(3x = 10\). 6. Division durch \(3\) liefert das korrekte Ergebnis \(x = \frac{10}{3}\).

Fehler: Max hat beim Auflösen der Klammer nur die Variable \(x\), aber nicht die Zahl \(4\) mit \(2\) multipliziert (Fehler beim Distributivgesetz). Korrekte Lösung: \(x = \frac{10}{3}\) (oder \(x = 3\frac{1}{3}\))

- Multipliziere zuerst die Klammer auf der rechten Seite aus. - Wann steht links genau dasselbe wie rechts? - Was passiert mit dem \(x\), wenn auf beiden Seiten die gleiche Anzahl an \(x\) steht? - Überlege dir, was passieren muss, damit am Ende eine falsche Aussage wie \(0 = 1\) entsteht.

1. Teil a: Damit die Gleichung für alle \(x\) wahr ist, müssen beide Seiten identisch sein. Ausmultiplizieren der rechten Seite ergibt \(4 \cdot 2x + 4 \cdot \square = 8x + 4\square\). Vergleich mit der linken Seite \(8x + 20\) liefert \(4\square = 20\), also \(\square = 5\). 2. Teil b: Eine lineare Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Koeffizienten von \(x\) auf beiden Seiten unterschiedlich sind. Beispiel: Ändere \(8x\) in \(7x\). Die Gleichung lautet \(7x + 20 = 4(2x + 5) \Rightarrow 7x + 20 = 8x + 20\). Subtraktion von \(20\) und \(7x\) ergibt \(0 = x\). Die Lösung ist \(x = 0\). 3. Teil c: Keine Lösung tritt auf, wenn die Terme mit \(x\) wegfallen, aber eine falsche Aussage wie \(20 = 21\) übrig bleibt. Die Koeffizienten von \(x\) müssen also gleich sein (\(8x\)), aber die konstanten Glieder unterschiedlich. Beispiel: \(8x + 20 = 8x + 21\) (entspricht \(4(2x + 5{,}25)\)).

a) Die Zahl im Kästchen muss \(5\) sein. b) Individuelle Lösung, z. B.: Ersetzt man \(8\) durch \(7\), ergibt sich \(7x + 20 = 8x + 20\), woraus \(x = 0\) folgt. Jede Zahl ungleich \(8\) ist möglich. c) Beispiel: \(8x + 20 = 8x + 21\) (oder jede andere Zahl statt \(20\) auf der rechten Seite nach dem Ausmultiplizieren).

- Was musst du tun, um alle Glieder mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen? - Wie gehst du mit Klammern um, vor denen ein Faktor steht? - Kannst du einen der Terme mithilfe einer binomischen Formel vereinfachen? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn am Ende eine falsche Aussage wie \(0 = 5\) steht?

1. Teilaufgabe a): Subtraktion von \(2x\) und \(7\) auf beiden Seiten führt zur Gleichung \(3x = -15\). Division durch \(3\) ergibt das Ergebnis \(x = -5\). Damit ist \(L = \{-5\}\). 2. Teilaufgabe b): Ausmultiplizieren der linken Seite ergibt \(6x + 12 = 6x - 1\). Die Subtraktion von \(6x\) führt zur falschen Aussage \(12 = -1\). Da dies ein Widerspruch ist, gilt \(L = \emptyset\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung der dritten binomischen Formel auf der rechten Seite vereinfacht den Term zu \(x^2 + 4x = x^2 - 4 + 20\). Nach Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten verbleibt \(4x = 16\). Division durch \(4\) ergibt \(x = 4\). Damit ist \(L = \{4\}\).

a) \(L = \{-5\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \{4\}\)

- Wie kannst du die Brüche in der Gleichung loswerden? Welcher gemeinsame Nenner hilft dir dabei? - Achte beim Auflösen der Brüche besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch – es wirkt wie ein Minuszeichen vor einer Klammer. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Ausdrücke wie \((x+3)^2\) umzuformen.

1. Teilaufgabe a): Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\) eliminiert die Brüche: \(3(3x - 1) - 4(x + 2) = -12\). Ausmultiplizieren ergibt \(9x - 3 - 4x - 8 = -12\). Zusammenfassen der Terme führt zu \(5x - 11 = -12\). Addition von \(11\) ergibt \(5x = -1\), woraus \(x = -0{,}2\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((x + 3)^2\) und Ausmultiplizieren des zweiten Terms ergibt \(x^2 + 6x + 9 - (x^2 + 4x) = 17\). Auflösen der Klammer liefert \(x^2 + 6x + 9 - x^2 - 4x = 17\). Die quadratischen Terme heben sich auf, es bleibt \(2x + 9 = 17\). Subtraktion von \(9\) ergibt \(2x = 8\), also \(x = 4\).

a) \(\frac{3x-1}{4}-\frac{x+2}{3}=-1\) \(\Rightarrow3(3x-1)-4(x+2)=-12\) \(\Rightarrow5x-11=-12\) \(\Rightarrow5x=-1\) \(\Rightarrow x=-\frac{1}{5}=-0{,}2\). b) \((x+3)^2-x(x+4)=17\) \(\Rightarrow x^2+6x+9-x^2-4x=17\) \(\Rightarrow2x+9=17\) \(\Rightarrow2x=8\) \(\Rightarrow x=4\).

- Löse jede Gleichung zunächst nach \(x\) auf und behandle \(k\) dabei wie einen Parameter. - Was muss für die beiden Ausdrücke gelten, wenn sie dieselbe Lösung für \(x\) liefern sollen? - Vergleiche die beiden erhaltenen Terme erst nach dem vollständigen Auflösen.

1. Aus (1) folgt nach dem Ausmultiplizieren \(4x+8k=20k\), also \(4x=12k\) und damit \(x=3k\). 2. Aus (2) folgt durch Addition von \(5k\) die Gleichung \(2x=16k\), also \(x=8k\). 3. Für eine gleiche Lösung müssen die beiden Ausdrücke übereinstimmen: \(3k=8k\). 4. Daraus folgt \(5k=0\) und somit \(k=0\).

a) Für (1) gilt \(x=3k\), für (2) gilt \(x=8k\). b) Beide Gleichungen haben für \(k=0\) dieselbe Lösung.

- Multipliziere zuerst alle Klammern auf beiden Seiten der Gleichung aus, bevor du versuchst, nach \(x\) umzustellen. - Gibt es Terme, die auf beiden Seiten identisch sind und beim Subtrahieren wegfallen? - Wie kannst du am Ende ganz sicher sein, dass dein berechneter Wert für \(x\) wirklich die Gleichung löst? - Achte beim Ausmultiplizieren auf die Vorzeichenregeln.

1. Vereinfachung der linken Seite: \(4x^2 + 12x - 2x - 6 = 4x^2 + 10x - 6\) 2. Vereinfachung der rechten Seite: \(4x^2 - 2x + 2x - 1 + 15 = 4x^2 + 14\) 3. Aufstellen der vereinfachten Gleichung: \(4x^2 + 10x - 6 = 4x^2 + 14\) 4. Subtraktion von \(4x^2\) auf beiden Seiten: \(10x - 6 = 14\) 5. Lösen der linearen Gleichung: \(10x = 20 \Rightarrow x = 2\) 6. Durchführung der Probe: Linke Seite \((4 \cdot 2 - 2) \cdot (2 + 3) = 6 \cdot 5 = 30\); Rechte Seite \((2 \cdot 2 + 1) \cdot (2 \cdot 2 - 1) + 15 = 5 \cdot 3 + 15 = 30\). Da \(30 = 30\) eine wahre Aussage ist, ist die Lösung korrekt.

a) \(4x^2 + 10x - 6 = 4x^2 + 14\) b) \(x = 2\) c) Probe: \(30 = 30\) (wahr)

- Siehst du einen gemeinsamen Faktor in beiden Teilen der linken Seite der Gleichung? - Du kannst die Klammern direkt ausmultiplizieren oder versuchen, durch Ausklammern eines gemeinsamen Terms Rechenzeit zu sparen. - Wenn du ausmultiplizierst, achte gut auf die Vorzeichenverteilung nach dem Minuszeichen. - Welche Methode erscheint dir hier einfacher oder weniger fehleranfällig?

Es gibt zwei Lösungswege: Weg A (Ausklammern): 1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((x-3)\): \((x-3) \cdot [4 \cdot (x+5) - (4x+2)] = 36\) 2. Vereinfachen des Terms in der eckigen Klammer: \(4x + 20 - 4x - 2 = 18\) 3. Aufstellen der vereinfachten Gleichung: \((x-3) \cdot 18 = 36\) 4. Division durch \(18\): \(x - 3 = 2\) 5. Addition von \(3\): \(x = 5\) Weg B (Ausmultiplizieren): 1. Ausmultiplizieren: \((4x^2 + 8x - 60) - (4x^2 - 10x - 6) = 36\) 2. Zusammenfassen und Auflösen der Minusklammer: \(18x - 54 = 36\) 3. Addition von \(54\): \(18x = 90\) 4. Division durch \(18\): \(x = 5\)

\(x = 5\)

- Bei verschachtelten Klammern: Welche Klammer kannst du zuerst sinnvoll vereinfachen? - Bei Brüchen kann eine Multiplikation der gesamten Gleichung mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nenner helfen. - Achte bei einem Minuszeichen vor einem geklammerten oder gebrochenen Ausdruck besonders auf die Vorzeichen. - Prüfe am Ende, ob dein Wert die ursprüngliche Gleichung erfüllt.

1. Für die erste Gleichung die innere Klammer auflösen: \(5x - [3x - 2x + 10] = 2x + 8\). 2. In der eckigen Klammer zusammenfassen: \(5x - [x + 10] = 2x + 8\). 3. Die äußere Klammer auflösen: \(5x - x - 10 = 2x + 8\), also \(4x - 10 = 2x + 8\). 4. Umformen ergibt \(2x = 18\) und damit \(x = 9\). 5. Für die zweite Gleichung die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\) multiplizieren: \(4(2x - 5) - 3(3x - 7) = 2\). 6. Klammern auflösen: \(8x - 20 - 9x + 21 = 2\). 7. Zusammenfassen ergibt \(-x + 1 = 2\). 8. Nach \(x\) auflösen: \(-x = 1\), also \(x = -1\).

a) \(5x-[3x-2(x-5)]=2(x+4)\) \(\Rightarrow5x-[x+10]=2x+8\) \(\Rightarrow4x-10=2x+8\) \(\Rightarrow2x=18\) \(\Rightarrow x=9\). b) \(\frac{2x-5}{3}-\frac{3x-7}{4}=\frac{1}{6}\) \(\Rightarrow4(2x-5)-3(3x-7)=2\) \(\Rightarrow-x+1=2\) \(\Rightarrow x=-1\).

- Multipliziere zuerst die Quadrate in den Klammern aus, bevor du den Faktor davor berücksichtigst. - Denk daran, dass ein Minus vor der Klammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt. - Siehst du, wie sich die Terme mit \(x^2\) gegenseitig aufheben? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Auflösen der Klammern: \(2(x^2 + 6x + 9) - (2x^2 + 14x) = 10\). Distributivgesetz anwenden: \(2x^2 + 12x + 18 - 2x^2 - 14x = 10\). Zusammenfassen der \(x^2\)- und \(x\)-Terme: \(-2x + 18 = 10\). Subtraktion von \(18\): \(-2x = -8\). Division durch \(-2\): \(x = 4\). 2. Anwendung der binomischen Formeln: \((4x^2 + 20x + 25) - (4x^2 - 9) = 74\). Auflösen der Minusklammer: \(4x^2 + 20x + 25 - 4x^2 + 9 = 74\). Zusammenfassen: \(20x + 34 = 74\). Subtraktion von \(34\): \(20x = 40\). Division durch \(20\): \(x = 2\).

1) \(x = 4\) 2) \(x = 2\)

- Prüfe bei jeder Zeile, ob auf beiden Seiten wirklich dieselbe Operation durchgeführt wurde. - Beim Beseitigen von Nennern muss jeder Term der Gleichung berücksichtigt werden. - Achte beim Ausmultiplizieren besonders auf ein negatives Vorzeichen vor einer Klammer. - Löse erst nach der Fehleranalyse die korrigierte Gleichung vollständig.

1. In der ersten Zeile wurde beim Multiplizieren der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\) die rechte Seite nicht mit \(6\) multipliziert. Korrekt lautet die Gleichung \(3(x+4)-2(2x-3)=6\). 2. Zusätzlich ist in der zweiten Zeile ein Vorzeichenfehler enthalten: Beim Auflösen von \(-2(2x-3)\) entsteht \(-4x+6\), nicht \(-4x-6\). 3. Mit beiden Korrekturen ergibt sich \(3x+12-4x+6=6\). 4. Zusammenfassen liefert \(-x+18=6\). 5. Subtraktion von \(18\) ergibt \(-x=-12\), also \(x=12\).

a) Lukas hat die rechte Seite beim Beseitigen der Nenner nicht mit \(6\) multipliziert und beim Auflösen von \(-2(2x-3)\) das Vorzeichen des konstanten Terms falsch behandelt. b) Die korrekte Lösung ist \(x=12\).

- Drücke zunächst die größere Zahl mithilfe der kleineren Zahl und des Verhältnisses aus. - Nutze anschließend die bekannte Differenz der beiden Zahlen. - Welche Größe soll am Ende allein stehen? - Beachte, warum die Bedingung \(n>1\) den Nenner ungleich null hält.

1. Sei \(x\) die kleinere Zahl. Wegen des Verhältnisses \(1:n\) ist die größere Zahl \(nx\). 2. Die gegebene Differenz führt zur Gleichung \(nx-x=d\). 3. Ausklammern ergibt \(x(n-1)=d\). 4. Auflösen nach \(x\) liefert \(x=\frac{d}{n-1}\). 5. Die größere Zahl ist daher \(n\cdot\frac{d}{n-1}=\frac{nd}{n-1}\).

Die kleinere Zahl ist \(\frac{d}{n-1}\), die größere Zahl ist \(\frac{nd}{n-1}\).

- Wie viele Umdrehungen macht ein Rad, wenn Strecke und Umfang bekannt sind? - Drücke die Umdrehungszahlen beider Räder mit \(s\) und \(u\) aus. - Die Differenz der Umdrehungszahlen ist vorgegeben; nutze daraus eine Gleichung. - Löse diese Gleichung anschließend nach \(s\) auf.

1. Rad A macht auf der Strecke \(s\) genau \(\frac{s}{u}\) Umdrehungen, Rad B genau \(\frac{s}{1{,}25u}\). 2. Die geforderte Differenz führt zu \(\frac{s}{u}-\frac{s}{1{,}25u}=n\). 3. Da \(\frac{1}{1{,}25}=0{,}8\) gilt, wird die linke Seite zu \(\frac{s}{u}-0{,}8\frac{s}{u}=0{,}2\frac{s}{u}\). 4. Damit gilt \(0{,}2\frac{s}{u}=n\). 5. Auflösen nach \(s\) ergibt \(s=5nu\).

\(s=5nu\)

- Welche absolute Menge an Frucht bleibt beim Verdünnen mit Wasser unverändert? - Wie groß ist das neue Gesamtvolumen nach Zugabe von \(w\) Litern Wasser? - Setze Fruchtmenge und Gesamtvolumen so ins Verhältnis, dass der Zielprozentsatz entsteht. - Löse die entstehende Formel nach \(w\) auf.

1. Die reine Fruchtmenge beträgt \(V\frac{p}{100}\). 2. Nach Zugabe von \(w\) Litern Wasser beträgt das Gesamtvolumen \(V+w\). 3. Für die Zielkonzentration gilt \(\frac{V\frac{p}{100}}{V+w}=\frac{q}{100}\). 4. Umformen ergibt \(Vp=q(V+w)\). 5. Daraus folgen \(Vp=qV+qw\), \(qw=V(p-q)\) und schließlich \(w=\frac{V(p-q)}{q}\).

\(w=\frac{V(p-q)}{q}\)

- Wie verändern sich Gesamtmasse und Salzmasse, wenn reines Salz hinzugefügt wird? - Stelle beide neuen Massen mit \(z\) dar. - Welches Verhältnis muss dem Zielprozentsatz entsprechen? - Löse die daraus entstehende Formel nach \(z\) auf.

1. Die ursprüngliche Salzmasse beträgt \(m\frac{s}{100}\). 2. Nach Zugabe von \(z\) Gramm Salz beträgt die Gesamtmasse \(m+z\) und die Salzmasse \(m\frac{s}{100}+z\). 3. Für die Zielkonzentration gilt \(\frac{m\frac{s}{100}+z}{m+z}=\frac{k}{100}\). 4. Multiplikation mit \(100(m+z)\) ergibt \(ms+100z=k(m+z)\). 5. Umformen führt zu \(z(100-k)=m(k-s)\). 6. Daher ist \(z=\frac{m(k-s)}{100-k}\).

\(z=\frac{m(k-s)}{100-k}\)