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- Gesucht ist hier der Rabattbetrag, nicht der Preis nach dem Rabatt. - Beziehe die angegebenen \(20\,\%\) auf den ursprünglichen Preis. - Der Rabattbetrag muss kleiner als der ursprüngliche Preis sein.

1. Gesucht sind \(20\,\%\) des ursprünglichen Preises. 2. Der Rabatt beträgt \(60{,}00\,\text{€} \cdot 0{,}2 = 12{,}00\,\text{€}\).

Der Rabatt beträgt \(12{,}00\,\text{€}\).

- Der Nettopreis entspricht \(100\,\%\). - Überlege, welcher Gesamtprozentsatz entsteht, wenn die Mehrwertsteuer hinzukommt. - Der Bruttopreis muss höher als der Nettopreis sein.

1. Der Bruttopreis entspricht \(119\,\%\) des Nettopreises. 2. Damit beträgt er \(50{,}00\,\text{€} \cdot 1{,}19 = 59{,}50\,\text{€}\).

Der Bruttopreis beträgt \(59{,}50\,\text{€}\).

- Überlege, welcher Preis hier die Bezugsgröße \(100\,\%\) ist. - Die Mehrwertsteuer kommt zum Nettopreis hinzu; sie ersetzt keinen Teil davon. - Welcher Dezimalfaktor gehört zu einem Prozentsatz über \(100\,\%\)?

1. Der Nettopreis entspricht \(100\,\%\). 2. Mit \(19\,\%\) Mehrwertsteuer entspricht der Bruttopreis \(100\,\% + 19\,\% = 119\,\%\) des Nettopreises. 3. Zum Prozentsatz \(119\,\%\) gehört der Faktor \(1{,}19\).

Der Bruttopreis entspricht \(119\,\%\) des Nettopreises. Der Faktor ist \(1{,}19\).

- Der Nettopreis ist hier die Bezugsgröße für die Mehrwertsteuer. - Gesucht ist nur der Steuerbetrag, nicht der Bruttopreis. - Überlege, wie du \(7\,\%\) eines Geldbetrags direkt bestimmst.

1. Die Mehrwertsteuer ist \(7\,\%\) des Nettopreises. 2. \(50{,}00\,\text{€} \cdot \frac{7}{100} = 3{,}50\,\text{€}\).

Die Mehrwertsteuer beträgt \(3{,}50\,\text{€}\).

- Was ist der Grundwert, auf den sich die Änderung bezieht? - Wie kannst du einen Bruch in eine Prozentzahl umwandeln? - Überlege, ob das Ergebnis mehr oder weniger als \(100\,\%\) sein muss, wenn der Preis steigt.

1. Berechnung des Verhältnisses von neuem zu altem Preis: \(\frac{5{,}00}{4{,}00} = 1{,}25\). 2. Umrechnung in Prozent: \(1{,}25 \cdot 100\,\% = 125\,\%\). Der neue Preis entspricht \(125\,\%\) des alten Preises. 3. Berechnung der prozentualen Erhöhung: \(125\,\% - 100\,\% = 25\,\%\). Alternativ über den Differenzbetrag: \(\frac{1{,}00}{4{,}00} = 0{,}25 = 25\,\%\).

Der neue Preis beträgt \(125\,\%\) des alten Preises. Die Preiserhöhung beträgt \(25\,\%\).

- Welcher Wert stellt die \(100\,\%\) dar? - Wie viel Geld spart man in Euro? Wie viel ist das im Verhältnis zum Startpreis? - Kannst du den Bruch so erweitern oder kürzen, dass im Nenner 100 steht?

1. Berechnung des Prozentsatzes des neuen Preises vom Grundwert (\(250\,\text{€}\)): \(\frac{215\,\text{€}}{250\,\text{€}} = 0{,}86\). 2. Umwandlung in Prozent: \(0{,}86 \cdot 100\,\% = 86\,\%\). 3. Berechnung des Preisnachlasses: \(100\,\% - 86\,\% = 14\,\%\). Alternativ über die Ersparnis: \(250\,\text{€} - 215\,\text{€} = 35\,\text{€}\); \(\frac{35\,\text{€}}{250\,\text{€}} = 0{,}14 = 14\,\%\).

Es müssen noch \(86\,\%\) des ursprünglichen Preises gezahlt werden. Das Smartphone wurde um \(14\,\%\) reduziert.

- Wie berechnet man den Anteil eines Wertes am Ganzen in Prozent? - Überlege, was jeweils der Grundwert und was der Prozentwert ist. - Kannst du die Brüche so kürzen oder erweitern, dass du sie direkt vergleichen kannst?

1. Berechnung des Prozentsatzes bei Händler A: Der Rabattanteil ist \(\frac{90}{450} = 0{,}2\), was \(20\,\%\) entspricht. 2. Berechnung des Prozentsatzes bei Händler B: Der Rabattanteil ist \(\frac{132}{600} = 0{,}22\), was \(22\,\%\) entspricht. 3. Vergleich der Werte: Da \(22\,\% > 20\,\%\) ist, gewährt Händler B den höheren prozentualen Rabatt.

Händler B gewährt mit \(22\,\%\) einen höheren Rabatt als Händler A mit \(20\,\%\).

- Wie viel Prozent des ursprünglichen Preises muss man noch bezahlen, wenn \(20\,\%\) Rabatt abgezogen werden? - Berechne zuerst, wie viel das Fahrrad ursprünglich gekostet hat. - Die Frage ist nicht nach dem alten Preis, sondern nach dem gesparten Betrag.

1. Bestimmung des Prozentsatzes für den verminderten Grundwert: \(100\,\% - 20\,\% = 80\,\%\). 2. Berechnung des ursprünglichen Preises (Grundwert \(G\)): \(G = 552{,}00\,\text{€} : 0{,}80 = 690{,}00\,\text{€}\). 3. Berechnung der Ersparnis als Differenz zwischen altem und neuem Preis: \(690{,}00\,\text{€} - 552{,}00\,\text{€} = 138{,}00\,\text{€}\).

Ein Kunde spart bei diesem Angebot \(138{,}00\,\text{€}\).

- Entspricht der neue Preis dem Grundwert oder einem veränderten Wert? - Wie viel Prozent sind das Ganze plus die Steigerung? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der der alte Preis die Unbekannte ist?

1. Identifikation des Prozentsatzes für den vermehrten Grundwert: Da der Preis um \(12\,\%\) steigt, entspricht der neue Preis \(112\,\%\) (\(1{,}12\)) des ursprünglichen Preises. 2. Berechnung des ursprünglichen Grundwerts \(G\): \(G = 644\,\text{€} : 1{,}12 = 575\,\text{€}\). 3. Berechnung der Preisdifferenz: \(644\,\text{€} - 575\,\text{€} = 69\,\text{€}\).

a) Das Rad kostete ursprünglich \(575\,\text{€}\). b) Das Rad ist um \(69\,\text{€}\) teurer geworden.

- Welcher Prozentsatz entspricht dem neuen Preis, wenn \(100\,\%\) der alte Preis war? - Ist der gesuchte Wert größer oder kleiner als der aktuelle Preis? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der der ursprüngliche Preis die Unbekannte ist?

1. Bestimmung des Prozentsatzes des reduzierten Preises: \(100\,\% - 15\,\% = 85\,\%\). 2. Berechnung des ursprünglichen Grundwerts \(G\) durch Division des Prozentwerts durch den Prozentsatz: \(G = 680{,}00\,\text{€} : 0{,}85 = 800{,}00\,\text{€}\).

Der Laptop kostete ursprünglich \(800{,}00\,\text{€}\).

- Welcher Prozentsatz des ursprünglichen Preises bleibt nach der Reduzierung übrig? - Schreibe diesen verbleibenden Anteil als Faktor in Abhängigkeit von \(r\). - Setze die Zahlenwerte erst ein, nachdem der allgemeine Term steht.

1. Nach einer Reduzierung um \(r\,\%\) bleiben \(100-r\) Prozent des ursprünglichen Preises. Der neue Preis ist daher \(x\left(1-\frac{r}{100}\right)\). 2. Für \(x=45\) und \(r=20\) gilt \(45\cdot0{,}8=36\,\text{€}\). 3. Für \(x=129\) und \(r=15\) gilt \(129\cdot0{,}85=109{,}65\,\text{€}\).

Term: \(x\left(1-\frac{r}{100}\right)\) 1) \(36\,\text{€}\) 2) \(109{,}65\,\text{€}\)

- Der angegebene Bruttopreis enthält bereits den Nettopreis und die Mehrwertsteuer. - Welche Prozentangabe des Nettopreises entspricht deshalb dem Bruttopreis? - Wenn der Nettopreis feststeht, kannst du den Steuerbetrag als Differenz bestimmen.

1. Der Bruttopreis entspricht \(119\,\%\) des Nettopreises. 2. Der Nettopreis ist \(178{,}50\,\text{€} : 1{,}19 = 150{,}00\,\text{€}\). 3. Der Mehrwertsteuerbetrag ist \(178{,}50\,\text{€} - 150{,}00\,\text{€} = 28{,}50\,\text{€}\).

Der Nettopreis beträgt \(150{,}00\,\text{€}\). Der enthaltene Mehrwertsteuerbetrag beträgt \(28{,}50\,\text{€}\).

- Auf welchen Preis bezieht sich der Mehrwertsteuersatz? - Welche Rollen haben Nettopreis und Mehrwertsteuerbetrag als Ganzes und Teil? - Wie bestimmst du aus einem Teil und dem zugehörigen Ganzen den Prozentsatz?

1. Der Nettopreis ist der Grundwert und der Mehrwertsteuerbetrag der Prozentwert. 2. Der Prozentsatz ist \(p = \frac{45{,}60}{240} = 0{,}19 = 19\,\%\).

Der verwendete Mehrwertsteuersatz beträgt \(19\,\%\).

- Auf welchen Preis bezieht sich der angegebene Mehrwertsteuersatz? - Welchem Prozentsatz des Nettopreises entspricht der Bruttopreis? - Prüfe einen möglichen Nettopreis, indem du die Mehrwertsteuer wieder hinzurechnest.

1. Die \(19\,\%\) Mehrwertsteuer beziehen sich auf den Nettopreis, nicht auf den Bruttopreis. 2. Der Bruttopreis entspricht deshalb \(119\,\%\) des Nettopreises. Der Nettopreis ist \(119{,}00\,\text{€} : 1{,}19 = 100{,}00\,\text{€}\). 3. Leon verwendet den Bruttopreis als falschen Bezugswert für die \(19\,\%\). Daher ist sein Ergebnis kein korrekt zurückgerechneter Nettopreis.

Leons Rechenweg ist falsch, weil sich die \(19\,\%\) Mehrwertsteuer auf den Nettopreis beziehen. Der richtige Nettopreis beträgt \(100{,}00\,\text{€}\).

- Die beiden Positionen haben verschiedene Steuersätze; behandle sie deshalb zunächst getrennt. - Berechne für jede Position den Steuerbetrag aus ihrem eigenen Nettopreis. - Addiere anschließend erst die Steuerbeträge und die Nettopreise zur gesamten Rechnung.

1. Für das Buch beträgt die Mehrwertsteuer \(20{,}00\,\text{€} \cdot \frac{7}{100} = 1{,}40\,\text{€}\). 2. Für die Kopfhörer beträgt sie \(50{,}00\,\text{€} \cdot \frac{19}{100} = 9{,}50\,\text{€}\). 3. Insgesamt fallen \(1{,}40\,\text{€} + 9{,}50\,\text{€} = 10{,}90\,\text{€}\) Mehrwertsteuer an. 4. Die Nettosumme beträgt \(20{,}00\,\text{€} + 50{,}00\,\text{€} = 70{,}00\,\text{€}\). Der Bruttopreis ist daher \(70{,}00\,\text{€} + 10{,}90\,\text{€} = 80{,}90\,\text{€}\).

Der gesamte Mehrwertsteuerbetrag beträgt \(10{,}90\,\text{€}\). Der gesamte Bruttopreis beträgt \(80{,}90\,\text{€}\).

- Berechne die Schritte nacheinander. Was ist der Grundwert für die zweite Rechnung? - Achte darauf, worauf sich die Prozentangaben jeweils beziehen. - Überlege dir, ob \(20\,\%\) von einem großen Betrag dasselbe sind wie \(20\,\%\) von einem kleineren Betrag.

1. Berechnung des reduzierten Preises (Werbewoche): \(20\,\%\) von \(400\,\text{€}\) sind \(400\,\text{€} \cdot 0{,}20 = 80\,\text{€}\). Der Preis sinkt auf \(400\,\text{€} - 80\,\text{€} = 320\,\text{€}\). 2. Berechnung der Erhöhung: Die \(20\,\%\) Erhöhung bezieht sich nun auf den neuen Grundwert von \(320\,\text{€}\). \(320\,\text{€} \cdot 0{,}20 = 64\,\text{€}\). 3. Berechnung des Endpreises: \(320\,\text{€} + 64\,\text{€} = 384\,\text{€}\). 4. Vergleich und Erklärung: Der Endpreis (\(384\,\text{€}\)) ist niedriger als der Startpreis (\(400\,\text{€}\)). Dies liegt daran, dass die \(20\,\%\) Erhöhung auf einer kleineren Basis (\(320\,\text{€}\)) berechnet wurde als die ursprüngliche Senkung (\(400\,\text{€}\)).

a) \(320\,\text{€}\) b) \(384\,\text{€}\) c) Der Endpreis ist mit \(384\,\text{€}\) niedriger als der Startpreis, da die Erhöhung auf Basis des bereits reduzierten Preises berechnet wurde.

- Wenn ein Preis um einen Prozentsatz reduziert wird, wie viel Prozent des alten Preises muss man dann noch bezahlen? - Berechne für Tom zuerst, wie viel Geld er tatsächlich gespart hat. - Vergleiche am Ende nicht die Euro-Beträge, sondern die Prozentwerte der Ersparnis.

1. Berechnung des ursprünglichen Preises (Grundwert) für Laras Rad: Da der Preis um \(20\,\%\) reduziert wurde, entsprechen die \(320\,\text{€}\) noch \(80\,\%\) des Grundwerts. \(G = \frac{320\,\text{€}}{0{,}80} = 400\,\text{€}\). 2. Berechnung der prozentualen Ersparnis für Toms Rad: Der Preisnachlass beträgt \(500\,\text{€} - 375\,\text{€} = 125\,\text{€}\). Der Prozentsatz der Ersparnis ist \(p\,\% = \frac{125\,\text{€}}{500\,\text{€}} = 0{,}25 = 25\,\%\). 3. Vergleich der prozentualen Ersparnisse: Lara sparte \(20\,\%\), Tom sparte \(25\,\%\). Somit hatte Tom die größere prozentuale Ersparnis.

a) Laras Fahrrad kostete ursprünglich \(400\,\text{€}\). b) Tom hat die größere prozentuale Ersparnis erhalten (\(25\,\%\) im Vergleich zu \(20\,\%\) bei Lara).

- Gehe schrittweise vor: Berechne erst den Preis nach dem ersten Rabatt. - Verwende den neuen Preis als Basis für den zweiten Rabatt. - Um die Gesamtersparnis in Prozent zu finden, vergleiche den endgültigen Preisnachlass mit dem allerersten Preis. - Kannst du die Ersparnis auch finden, indem du überlegst, welcher Anteil vom Originalpreis am Ende noch übrig bleibt?

1. Berechnung der ersten Reduzierung: \(25\,\%\) von \(120\,\text{€}\) sind \(30\,\text{€}\). Der Preis nach der ersten Senkung beträgt \(120\,\text{€} - 30\,\text{€} = 90\,\text{€}\). 2. Berechnung der zweiten Reduzierung: Die \(20\,\%\) Rabatt beziehen sich auf \(90\,\text{€}\). \(20\,\%\) von \(90\,\text{€}\) sind \(18\,\text{€}\). 3. Endpreis bestimmen: \(90\,\text{€} - 18\,\text{€} = 72\,\text{€}\). 4. Gesamtersparnis in Euro: \(120\,\text{€} - 72\,\text{€} = 48\,\text{€}\). 5. Gesamtersparnis in Prozent: \(\frac{48\,\text{€}}{120\,\text{€}} = 0{,}4 = 40\,\%\).

a) Nach der zweiten Preissenkung kostet das Auto \(72\,\text{€}\). b) Die Gesamtersparnis beträgt \(40\,\%\).

- Achte darauf, von welchem Wert du die \(20\,\%\) abziehen musst. - Berechne zuerst den Betrag der Erhöhung in Euro. - Überlege dir, warum das Ergebnis so ausfällt, obwohl die Prozentsätze (\(25\,\%\) und \(20\,\%\)) unterschiedlich sind.

1. Preiserhöhung berechnen: \(25\,\%\) von \(120\,\text{€}\) entsprechen \(120\,\text{€} \cdot 0{,}25 = 30\,\text{€}\). Der neue Preis nach der Erhöhung ist \(120\,\text{€} + 30\,\text{€} = 150\,\text{€}\). 2. Preissenkung berechnen: Die Senkung um \(20\,\%\) bezieht sich auf den neuen Preis von \(150\,\text{€}\). Der Rabatt beträgt \(150\,\text{€} \cdot 0{,}20 = 30\,\text{€}\). 3. Endpreis bestimmen: Der Endpreis nach der Senkung ist \(150\,\text{€} - 30\,\text{€} = 120\,\text{€}\). 4. Vergleich: Der Endpreis ist exakt so hoch wie der ursprüngliche Preis.

a) Der Preis nach der Erhöhung beträgt \(150\,\text{€}\). b) Der Endpreis nach der Senkung beträgt \(120\,\text{€}\). c) Der Endpreis ist identisch mit dem Startpreis.

- Bestimme zuerst den Zwischenpreis nach dem ersten Schritt. - Wie viel Geld spart man im zweiten Schritt im Vergleich zum Zwischenpreis? - Setze den gesparten Betrag des zweiten Schritts ins Verhältnis zum Preis, der direkt davor galt.

1. Preis nach der ersten Senkung: \(10\,\%\) von \(80\,\text{€}\) sind \(80 \cdot 0{,}10 = 8\,\text{€}\). Der Preis nach der ersten Reduzierung beträgt \(80\,\text{€} - 8\,\text{€} = 72\,\text{€}\). 2. Absolute zweite Senkung: Die Differenz zwischen dem Preis nach der ersten Senkung (\(72\,\text{€}\)) und dem Endpreis (\(54\,\text{€}\)) beträgt \(72\,\text{€} - 54\,\text{€} = 18\,\text{€}\). 3. Prozentsatz der zweiten Senkung: Es wird berechnet, wie viel Prozent \(18\,\text{€}\) von \(72\,\text{€}\) sind. Rechnung: \(\frac{18}{72} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%\).

a) Der Preis nach der ersten Senkung betrug \(72\,\text{€}\). b) Der Preis wurde beim zweiten Mal um \(18\,\text{€}\) reduziert. c) Die zweite Preissenkung betrug \(25\,\%\).

- Berechne die Endpreise Schritt für Schritt für beide Varianten. - Was passiert mit dem Wert, von dem die Prozent berechnet werden, wenn man zwei Schritte macht? - Vergleiche die beiden Ergebnisse am Ende direkt miteinander.

1. Berechnung Aktion 1: \(20\,\%\) von \(450\,\text{€}\) sind \(0{,}20 \cdot 450\,\text{€} = 90\,\text{€}\). Endpreis: \(450\,\text{€} - 90\,\text{€} = 360\,\text{€}\). 2. Berechnung Aktion 2, Schritt 1: \(10\,\%\) von \(450\,\text{€}\) sind \(45\,\text{€}\). Zwischenpreis: \(450\,\text{€} - 45\,\text{€} = 405\,\text{€}\). 3. Berechnung Aktion 2, Schritt 2: \(10\,\%\) vom Zwischenpreis (\(405\,\text{€}\)) sind \(0{,}10 \cdot 405\,\text{€} = 40{,}50\,\text{€}\). Endpreis: \(405\,\text{€} - 40{,}50\,\text{€} = 364{,}50\,\text{€}\). 4. Vergleich: Aktion 1 ist um \(4{,}50\,\text{€}\) günstiger. 5. Begründung: Bei Aktion 2 wird der zweite Rabatt von einem bereits verringerten Grundwert berechnet, wodurch der abgezogene Betrag kleiner ist als beim ersten Schritt oder bei einem direkten \(20\,\%\)-Rabatt.

Aktion 1 ergibt einen Endpreis von \(360\,\text{€}\). Aktion 2 ergibt einen Endpreis von \(364{,}50\,\text{€}\). Aktion 1 ist somit günstiger. Die Ergebnisse sind unterschiedlich, weil bei Aktion 2 der zweite Rabatt auf einen kleineren Grundwert angewendet wird.

- Welcher Prozentsatz entspricht dem Preis nach der Erhöhung, wenn man vom alten Preis ausgeht? - Überlege dir gut, welcher Wert bei der geplanten Preissenkung der neue Grundwert (Bezugswert) ist. - Ist der Betrag, um den der Preis gestiegen ist, derselbe wie der Betrag, um den er wieder sinken muss?

1. Berechnung des Grundwerts vor der Erhöhung: Der neue Preis entspricht \(115\,\%\). \(2012{,}50\,\text{€} : 1{,}15 = 1750\,\text{€}\). Der ursprüngliche Preis betrug \(1750\,\text{€}\). 2. Berechnung der Preisdifferenz: \(2012{,}50\,\text{€} - 1750\,\text{€} = 262{,}50\,\text{€}\). 3. Berechnung des Prozentsatzes für die Senkung: Der neue Grundwert ist \(2012{,}50\,\text{€}\), der Verminderungsbetrag ist \(262{,}50\,\text{€}\). Prozentsatz \(p = \frac{262{,}50\,\text{€}}{2012{,}50\,\text{€}} \approx 0{,}13043\). Dies entspricht einer Senkung um \(\approx 13{,}04\,\%\).

a) Der ursprüngliche Preis betrug \(1750\,\text{€}\). b) Das E-Bike ist um \(262{,}50\,\text{€}\) teurer geworden. c) Der Preis müsste um \(\approx 13{,}04\,\%\) gesenkt werden.

- Berechne zuerst für beide Shops den tatsächlichen Endpreis. - Wenn gefragt wird, um wie viel Prozent etwas niedriger als ein Vergleichswert ist, dient dieser Vergleichswert als Grundwert (\(100\,\%\)).

1. Berechnung Shop A: \(450\,\text{€} \cdot (1 - 0{,}10) = 450\,\text{€} \cdot 0{,}90 = 405\,\text{€}\). Der Preis beträgt \(405\,\text{€}\). 2. Berechnung Shop B: \(520\,\text{€} \cdot (1 - 0{,}25) = 520\,\text{€} \cdot 0{,}75 = 390\,\text{€}\). Der Preis beträgt \(390\,\text{€}\). Shop B ist günstiger. 3. Vergleich der Endpreise: Differenz \(405\,\text{€} - 390\,\text{€} = 15\,\text{€}\). 4. Prozentualer Unterschied bezogen auf den teureren Preis (Shop A): \(p = \frac{15\,\text{€}}{405\,\text{€}} \approx 0{,}037037\). Das sind ca. \(3{,}7\,\%\).

a) In Shop B ist das Tablet mit \(390\,\text{€}\) günstiger als in Shop A (\(405\,\text{€}\)). b) Der Preis in Shop B ist um ca. \(3{,}7\,\%\) niedriger als der Preis in Shop A.

- Wie viel Prozent der alten Menge stecken in der neuen Menge? - Wie berechnet man den Preis für genau einen Liter, wenn man Gesamtpreis und Menge kennt? - Achte darauf, zuerst die alte Menge zu bestimmen, bevor du die Preise vergleichst.

1. Berechnung der alten Füllmenge (Grundwert bei \(120\,\%\)): \(1{,}5\,\text{l} : 1{,}2 = 1{,}25\,\text{l}\). 2. Berechnung des alten Literpreises: \(2{,}10\,\text{€} : 1{,}25\,\text{l} = 1{,}68\,\text{€/l}\). 3. Berechnung des neuen Literpreises: \(2{,}10\,\text{€} : 1{,}5\,\text{l} = 1{,}40\,\text{€/l}\). 4. Bestimmung der Differenz: \(1{,}68\,\text{€/l} - 1{,}40\,\text{€/l} = 0{,}28\,\text{€/l}\).

a) Die Standardflasche enthielt \(1{,}25\,\text{l}\). b) Der Literpreis der alten Flasche betrug \(1{,}68\,\text{€/l}\), der der neuen Flasche \(1{,}40\,\text{€/l}\). Der Literpreis ist somit um \(0{,}28\,\text{€/l}\) gesunken.

- Für Aufgabenteil a) musst du nur die Kilometerangaben vergleichen. Was ist der Grundwert? - Für Teil b) hilft es, einen Beispielbetrag für die Kosten einzusetzen, zum Beispiel \(100\,\text{€}\). - Berechne den Preis für einen einzelnen Kilometer vor und nach der Änderung. - Vergleiche dann die beiden Preise pro Kilometer miteinander.

1. Teilaufgabe a: Berechnung der Differenz der Kilometer: \(50\,\text{km} - 40\,\text{km} = 10\,\text{km}\). 2. Berechnung des Prozentsatzes der Abnahme bezogen auf den alten Wert: \(\frac{10}{50} = 0{,}2 = 20\,\%\). 3. Teilaufgabe b: Sei \(F\) der Festbetrag. Alter Preis pro km: \(p_1 = \frac{F}{50}\). Neuer Preis pro km: \(p_2 = \frac{F}{40}\). 4. Verhältnis der Preise berechnen: \(\frac{p_2}{p_1} = \frac{F/40}{F/50} = \frac{50}{40} = 1{,}25\). 5. Die effektive Preiserhöhung beträgt \((1{,}25 - 1) \cdot 100\,\% = 25\,\%\).

a) Die Reichweite hat sich um \(20\,\%\) verringert. b) Der Preis pro Kilometer wurde effektiv um \(25\,\%\) erhöht.

- Was bedeutet „ein Viertel“ als Prozentsatz ausgedrückt? - Berechne Schritt für Schritt, wie viel vom ursprünglichen Preis nach jedem Rabatt noch übrig bleibt. - Bezieht sich der zweite Rabatt auf den vollen Preis oder auf das, was nach dem ersten Abzug übrig ist?

1. Berechnung des Restwerts nach dem ersten Rabatt von \(15\,\%\): \(100\,\% - 15\,\% = 85\,\%\) (Faktor \(0{,}85\)). 2. Berechnung des Restwerts nach dem zweiten Rabatt von \(10\,\%\) auf den neuen Preis: \(100\,\% - 10\,\% = 90\,\%\) (Faktor \(0{,}90\)). 3. Multiplikation der Faktoren für den Gesamt-Restwert: \(0{,}85 \cdot 0{,}90 = 0{,}765\). 4. Der Endpreis beträgt somit \(76{,}5\,\%\) des ursprünglichen Preises. 5. Ermittlung des Gesamtrabatts: \(100\,\% - 76{,}5\,\% = 23{,}5\,\%\). 6. Vergleich mit der Behauptung: Ein Viertel entspricht \(25\,\%\). Da \(23{,}5\,\% \neq 25\,\%\), hat der Kunde nicht recht.

Der Kunde hat nicht recht. Der tatsächliche Gesamtrabatt beträgt \(23{,}5\,\%\), was weniger ist als ein Viertel (\(25\,\%\)).

- Kannst du den Preis nach der ersten Senkung als Zwischenschritt betrachten? - Überlege dir, auf welchen Wert sich die zweite Senkung von \(15\,\%\) bezieht. - Hilft es dir, die Preisänderungen Schritt für Schritt rückwärts zu berechnen? - Was passiert, wenn du den ursprünglichen Preis als \(100\,\%\) bezeichnest und dann die Abnahmen nacheinander anwendest?

1. Bestimmung des Preises nach der ersten Senkung durch Division des Endpreises durch den verbleibenden Anteil der zweiten Senkung: \(544{,}00\,\text{€} : 0{,}85 = 640{,}00\,\text{€}\). Der Preis vor der zweiten Senkung betrug \(640{,}00\,\text{€}\). 2. Bestimmung des ursprünglichen Preises durch Division dieses Zwischenwerts durch den verbleibenden Anteil der ersten Senkung: \(640{,}00\,\text{€} : 0{,}80 = 800{,}00\,\text{€}\). 3. Alternativer Weg über eine Gleichung mit dem Startpreis \(x\): \(x \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}85 = 544{,}00\,\text{€}\). Zusammenfassen der Faktoren ergibt \(0{,}68x = 544{,}00\,\text{€}\). 4. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(x = 544{,}00\,\text{€} : 0{,}68 = 800{,}00\,\text{€}\). Der ursprüngliche Preis betrug \(800{,}00\,\text{€}\).

Der ursprüngliche Preis betrug \(800{,}00\,\text{€}\).

- Kannst du zuerst ausrechnen, wie viel das Fahrrad nach der ersten Preisänderung gekostet hat? - Der neue Preis nach dem ersten Jahr ist die Basis (der Grundwert) für die zweite Änderung. - Wie viel Euro kamen im zweiten Jahr zum Preis dazu? - Welchen Anteil macht dieser Betrag vom Preis nach dem ersten Jahr aus?

1. Berechnung des Preises nach der ersten Erhöhung um \(10\,\%\): \(400\,\text{€} \cdot 1{,}10 = 440\,\text{€}\). 2. Ermittlung der Preisdifferenz im zweiten Jahr: \(462\,\text{€} - 440\,\text{€} = 22\,\text{€}\). 3. Berechnung des Prozentsatzes der zweiten Erhöhung bezogen auf den Zwischenpreis von \(440\,\text{€}\): \(\frac{22}{440} = 0{,}05\). 4. Umrechnung in Prozent: \(0{,}05 \cdot 100\,\% = 5\,\%\).

Der Preis ist im zweiten Jahr um \(5\,\%\) gestiegen.

- Welche beiden Maße aus der Abbildung brauchst du für die Rechteckfläche? - Wie hängen Flächeninhalt und Kosten pro Quadratmeter zusammen? - Berechne den Prozentaufschlag erst, nachdem die Nettokosten feststehen.

1. Die Terrasse ist \(7{,}5\,\text{m}\) lang und \(4{,}4\,\text{m}\) breit. Ihre Fläche beträgt \(7{,}5\,\text{m}\cdot4{,}4\,\text{m}=33\,\text{m}^2\). 2. Die Nettokosten betragen \(33\,\text{m}^2\cdot28\,\text{€}:1\,\text{m}^2=924\,\text{€}\). 3. Der Bruttobetrag inklusive \(19\,\%\) Mehrwertsteuer beträgt \(924\,\text{€}\cdot1{,}19=1099{,}56\,\text{€}\).

Flächeninhalt: \(33\,\text{m}^2\) Nettokosten: \(924\,\text{€}\) Gesamtkosten inklusive Mehrwertsteuer: \(1099{,}56\,\text{€}\)

- Welche Formel verwendet Grundseite und zugehörige Höhe eines Parallelogramms? - Bestimme aus der Fläche zunächst die Nettokosten. - Der Prozentaufschlag wird auf die Nettokosten angewendet.

1. Die Rasenfläche beträgt \(A=gh_g=12\,\text{m}\cdot8\,\text{m}=96\,\text{m}^2\). 2. Die Nettokosten betragen \(96\,\text{m}^2\cdot8{,}50\,\text{€}:1\,\text{m}^2=816\,\text{€}\). 3. Inklusive \(7\,\%\) Mehrwertsteuer ergeben sich \(816\,\text{€}\cdot1{,}07=873{,}12\,\text{€}\).

Flächeninhalt: \(96\,\text{m}^2\) Nettokosten: \(816\,\text{€}\) Gesamtkosten inklusive Mehrwertsteuer: \(873{,}12\,\text{€}\)

- Welche drei Längen brauchst du aus der Abbildung für die Trapezfläche? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt und daraus die Nettokosten. - Wende den Mehrwertsteuerfaktor erst auf die Nettokosten an und runde am Ende auf Cent.

1. Die parallelen Seiten sind \(2{,}4\,\text{m}\) und \(3{,}2\,\text{m}\) lang; ihr senkrechter Abstand beträgt \(4\,\text{m}\). 2. Die Fläche beträgt \(A=\frac{1}{2}(2{,}4\,\text{m}+3{,}2\,\text{m})\cdot4\,\text{m}=11{,}2\,\text{m}^2\). 3. Die Nettokosten betragen \(11{,}2\,\text{m}^2\cdot4{,}50\,\text{€}:1\,\text{m}^2=50{,}40\,\text{€}\). 4. Inklusive \(19\,\%\) Mehrwertsteuer ergeben sich \(50{,}40\,\text{€}\cdot1{,}19=59{,}976\,\text{€}\approx59{,}98\,\text{€}\).

Flächeninhalt: \(11{,}2\,\text{m}^2\) Nettokosten: \(50{,}40\,\text{€}\) Gesamtkosten inklusive Mehrwertsteuer: \(59{,}98\,\text{€}\)

- Bei welchem Angebot musst du aus einem Nettopreis erst den zu zahlenden Preis bestimmen? - Bei welchem Angebot wird ein Rabatt von einem bereits angegebenen Bruttopreis abgezogen? - Vergleiche erst dann die beiden endgültig zu zahlenden Beträge.

1. Bei Nordlicht Technik beträgt der zu zahlende Bruttopreis \(80{,}00\,\text{€} \cdot 1{,}19 = 95{,}20\,\text{€}\). 2. Beim Elektrohaus Linden beträgt der Preis nach Rabatt \(99{,}00\,\text{€} \cdot 0{,}95 = 94{,}05\,\text{€}\). 3. Das Elektrohaus Linden ist günstiger. Der Unterschied beträgt \(95{,}20\,\text{€} - 94{,}05\,\text{€} = 1{,}15\,\text{€}\).

Das Elektrohaus Linden ist um \(1{,}15\,\text{€}\) günstiger.

- Kannst du die Aufgabe von hinten nach vorne lösen? - Wenn ein Preis um \(10\,\%\) gesenkt wurde, wie viel Prozent des vorherigen Preises muss man dann noch bezahlen? - Achtung: Die zweite Senkung bezieht sich nicht auf den Startpreis, sondern auf den bereits reduzierten Preis. - Vergleiche den allerersten Preis mit dem Endpreis, um die Gesamtminderung zu finden.

1. Rückrechnung der zweiten Senkung: Der Endpreis von \(324\,\text{€}\) entspricht \(90\,\%\) des Preises nach der ersten Senkung (\(100\,\% - 10\,\% = 90\,\%\)). Preis nach 1. Senkung: \(324\,\text{€} : 0{,}9 = 360\,\text{€}\). 2. Rückrechnung der ersten Senkung: Der Preis von \(360\,\text{€}\) entspricht \(80\,\%\) des Originalpreises (\(100\,\% - 20\,\% = 80\,\%\)). Ursprünglicher Preis: \(360\,\text{€} : 0{,}8 = 450\,\text{€}\). 3. Berechnung der Gesamtersparnis in Euro: \(450\,\text{€} - 324\,\text{€} = 126\,\text{€}\). 4. Berechnung des Gesamtprozentsatzes der Senkung bezogen auf den Grundwert: \(\frac{126}{450} = 0{,}28 = 28\,\%\).

a) Nach der ersten Senkung kostete das Fahrrad \(360\,\text{€}\). b) Der ursprüngliche Preis betrug \(450\,\text{€}\). c) Der Preis wurde insgesamt um \(28\,\%\) reduziert.

- Beziehe die Mengenabnahme auf den ursprünglichen Packungsinhalt. - Vergleiche für die zweite Aussage den Preis derselben Menge vor und nach der Änderung. - Prüfe beide Aussagen getrennt; sie beziehen sich auf unterschiedliche Größen.

1. Die Mengenabnahme beträgt \(600\,\text{g}-500\,\text{g}=100\,\text{g}\). Bezogen auf den alten Inhalt gilt \(\frac{100}{600}=\frac{1}{6}\approx0{,}1667\approx16{,}67\,\%\). Damit ist die Aussage des Herstellers korrekt. 2. Der alte Preis pro \(100\,\text{g}\) ist \(4{,}50\,\text{€}:6=0{,}75\,\text{€}\). 3. Der neue Preis pro \(100\,\text{g}\) ist \(4{,}50\,\text{€}:5=0{,}90\,\text{€}\). 4. Die Erhöhung des Einheitspreises beträgt \(0{,}90\,\text{€}-0{,}75\,\text{€}=0{,}15\,\text{€}\). Bezogen auf den alten Einheitspreis gilt \(\frac{0{,}15}{0{,}75}=0{,}2=20\,\%\). 5. Damit ist auch die Aussage des Verbraucherschützers korrekt.

Beide Aussagen sind korrekt. Die Menge wurde um etwa \(16{,}67\,\%\) reduziert. Der Preis pro \(100\,\text{g}\) stieg von \(0{,}75\,\text{€}\) auf \(0{,}90\,\text{€}\), also um genau \(20\,\%\).