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- Vergleiche die Bezugszahlen \(1000\) bei Promille und \(100\) bei Prozent. - Überlege, wie viele Promille einem Prozent entsprechen. - Das Ergebnis in Prozent muss bei \(7\,\text{‰}\) kleiner als \(1\,\%\) sein.

1. Ein Prozent entspricht zehn Promille. 2. Daher gilt \(7\,\text{‰} = 0{,}7\,\%\).

\(7\,\text{‰} = 0{,}7\,\%\).

- Bei Promille ist die Bezugsgröße in tausend gleich große Teile eingeteilt. - Beziehe den angegebenen Promilleanteil auf die gesamte Masse der Probe. - Prüfe, ob dein Ergebnis nur ein kleiner Teil von \(2000\,\text{g}\) ist.

1. \(3\,\text{‰}\) bedeutet \(\frac{3}{1000}\) der Gesamtmasse. 2. Die Stoffmasse ist \(2000\,\text{g} \cdot \frac{3}{1000} = 6\,\text{g}\).

In der Probe sind \(6\,\text{g}\) des Stoffes enthalten.

- Lies zuerst ab, bei welchem Promillewert Marker A liegt. - Vergleiche die Position von A mit der Strecke zwischen den beiden beschrifteten Endwerten. - Übertrage denselben Anteil anschließend auf die Prozentdarstellung.

1. Marker A liegt bei \(5\,\text{‰}\). 2. \(10\,\text{‰}\) entsprechen \(1\,\%\). Daher entsprechen \(5\,\text{‰}\) der Hälfte davon, also \(0{,}5\,\%\).

Die zugehörige Prozentangabe ist \(0{,}5\,\%\).

- Bearbeite die angegebenen Zuwachsraten nacheinander nach demselben Muster. - Überlege, welcher Anteil des Waldbestands jeweils neu dazukommt. - Achte darauf, dass ein Zuwachs den Bestand größer macht. - Für die Rate mit Buchstaben kannst du denselben Rechenweg beibehalten und den Buchstaben stehen lassen.

1. Ausgangswert ist \(24\,000\). 2. Zuwachs bei \(2{,}5\,\text{‰}\): \(24\,000 \cdot \frac{2{,}5}{1000} = 60\). Bestand: \(24\,000 + 60 = 24\,060\). 3. Zuwachs bei \(5\,\text{‰}\): \(24\,000 \cdot \frac{5}{1000} = 120\). Bestand: \(24\,000 + 120 = 24\,120\). 4. Zuwachs bei \(7{,}5\,\text{‰}\): \(24\,000 \cdot \frac{7{,}5}{1000} = 180\). Bestand: \(24\,000 + 180 = 24\,180\). 5. Zuwachs bei \(k\,\text{‰}\): \(24\,000 \cdot \frac{k}{1000} = 24k\). Bestand: \(24\,000 + 24k\).

Der neue Baumbestand beträgt: - bei \(2{,}5\,\text{‰}\): \(24\,060\) - bei \(5\,\text{‰}\): \(24\,120\) - bei \(7{,}5\,\text{‰}\): \(24\,180\) - bei \(k\,\text{‰}\): \(24\,000 + 24k\)

- Bearbeite die einzelnen Abnahmeraten getrennt und vergleiche die Ergebnisse. - Überlege, welcher Anteil der Einwohnerzahl verloren geht. - Achte darauf, dass eine Abnahme vom Anfangsbestand weggenommen wird. - Bei der Rate mit Buchstaben bleibt der Rechenweg gleich, nur das Ergebnis enthält noch den Buchstaben.

1. Der Anfangsbestand ist \(45\,000\). Da die Bevölkerung sinkt, wird der berechnete Anteil subtrahiert. 2. Die Formel lautet: \(E_{\text{neu}} = 45\,000 - (45\,000 \cdot \frac{\text{Rate}}{1000})\). 3. Bei einer Abnahme von \(2\,\text{‰}\): Rückgang = \(45\,000 \cdot \frac{2}{1000} = 90\). Neue Zahl = \(45\,000 - 90 = 44\,910\). 4. Bei einer Abnahme von \(5\,\text{‰}\): Rückgang = \(45\,000 \cdot \frac{5}{1000} = 225\). Neue Zahl = \(45\,000 - 225 = 44\,775\). 5. Bei einer Abnahme von \(8\,\text{‰}\): Rückgang = \(45\,000 \cdot \frac{8}{1000} = 360\). Neue Zahl = \(45\,000 - 360 = 44\,640\). 6. Bei einer Abnahme von \(m\,\text{‰}\): Rückgang = \(45\,000 \cdot \frac{m}{1000} = 45m\). Neue Zahl = \(45\,000 - 45m\).

Die Einwohnerzahl nach einem Jahr beträgt: - bei \(2\,\text{‰}\) Abnahme: \(44\,910\) - bei \(5\,\text{‰}\) Abnahme: \(44\,775\) - bei \(8\,\text{‰}\) Abnahme: \(44\,640\) - bei \(m\,\text{‰}\) Abnahme: \(45\,000 - 45m\)

- Wie viele Hundertstel stecken in einem Ganzen, und wie viele Tausendstel? - Überlege dir, wie du ein Komma verschieben musst, um von einer Dezimalzahl zu Prozent oder Promille zu kommen. - Kannst du den Bruch so erweitern, dass im Nenner 100 oder 1000 steht?

1. Berechnung für \(\frac{2}{5}\): Division ergibt \(0{,}4\). Multiplikation mit \(100\) ergibt \(40\,\%\). Multiplikation mit \(1000\) ergibt \(400\,\text{‰}\). 2. Berechnung für \(0{,}08\): Umwandlung in Bruch ergibt \(\frac{8}{100} = \frac{2}{25}\). Multiplikation mit \(100\) ergibt \(8\,\%\). Multiplikation mit \(1000\) ergibt \(80\,\text{‰}\). 3. Berechnung für \(15\,\%\): Division durch \(100\) ergibt \(0{,}15\). Umwandlung in Bruch ergibt \(\frac{15}{100} = \frac{3}{20}\). Multiplikation der Prozentzahl mit \(10\) ergibt \(150\,\text{‰}\). 4. Berechnung für \(4\,\text{‰}\): Division durch \(1000\) ergibt \(0{,}004\). Umwandlung in Bruch ergibt \(\frac{4}{1000} = \frac{1}{250}\). Division des Promillewerts durch \(10\) ergibt \(0{,}4\,\%\).

Zeile 1: \(0{,}4\); \(40\,\%\); \(400\,\text{‰}\) Zeile 2: \(\frac{2}{25}\); \(8\,\%\); \(80\,\text{‰}\) Zeile 3: \(\frac{3}{20}\); \(0{,}15\); \(150\,\text{‰}\) Zeile 4: \(\frac{1}{250}\); \(0{,}004\); \(0{,}4\,\%\)

- Erinnere dich daran, dass „Prozent“ wörtlich „von Hundert“ und „Promille“ „von Tausend“ bedeutet. - Wenn du einen Wert in Prozent hast, wie kommst du dann schnell auf den Wert in Promille? - Bei Anteilen wie „Sieben von Zehn“ hilft es, zuerst einen Bruch aufzuschreiben.

1. Anteil a): \(\frac{1}{8} = 0{,}125\). In Prozent: \(12{,}5\,\%\). In Promille: \(125\,\text{‰}\). 2. Anteil b): \(\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 0{,}15\). In Prozent: \(15\,\%\). In Promille: \(150\,\text{‰}\). 3. Anteil c): \(\frac{7}{10} = \frac{70}{100} = 0{,}7\). In Prozent: \(70\,\%\). In Promille: \(700\,\text{‰}\). 4. Anteil d): \(2 \cdot 1{,}5\,\% = 3\,\%\). In Promille: \(3 \cdot 10 = 30\,\text{‰}\). 5. Anteil e): \(\frac{1}{4} \cdot 100\,\text{‰} = 25\,\text{‰}\). In Prozent: \(25 : 10 = 2{,}5\,\%\).

a) \(12{,}5\,\%\) und \(125\,\text{‰}\) b) \(15\,\%\) und \(150\,\text{‰}\) c) \(70\,\%\) und \(700\,\text{‰}\) d) \(3\,\%\) und \(30\,\text{‰}\) e) \(2{,}5\,\%\) und \(25\,\text{‰}\)

- Um Anteile zu vergleichen, ist es am einfachsten, beide in dieselbe Darstellung zu bringen (z. B. beide als Dezimalzahl oder beide in Prozent). - Achte genau auf die Anzahl der Nullen nach dem Komma. - Was bedeutet das Zeichen \(\text{‰}\) im Vergleich zu \(\,\%\)?

1. Teil a): Umwandlung von \(0{,}3\,\%\) in Promille durch Multiplikation mit \(10\) ergibt \(3\,\text{‰}\). Also gilt: \(0{,}3\,\% = 3\,\text{‰}\). 2. Teil b): Umwandlung von \(\frac{1}{40}\) in einen Dezimalbruch ergibt \(1 : 40 = 0{,}025\). Multiplikation mit \(100\) ergibt \(2{,}5\,\%\). Also gilt: \(\frac{1}{40} = 2{,}5\,\%\). 3. Teil c): Umwandlung von \(12\,\text{‰}\) in eine Dezimalzahl ergibt \(0{,}012\). Da \(0{,}012 > 0{,}01\) ist, gilt: \(12\,\text{‰} > 0{,}01\). 4. Teil d): Umwandlung von \(\frac{4}{5}\) in Prozent ergibt \(\frac{80}{100} = 80\,\%\). Da \(80\,\% < 85\,\%\) ist, gilt: \(\frac{4}{5} < 85\,\%\).

a) \(=\) b) \(=\) c) \(>\) d) \(<\)

- Was bedeutet die Angabe Promille im Vergleich zu Prozent? - Rechne jeden Anteil schrittweise in die Form „pro 1000“ um. - Vergleiche am Ende die drei berechneten Promillewerte miteinander.

1. Umrechnung des Goldanteils: \(\frac{3}{800} \cdot 1000 = 3{,}75\,\text{‰}\) 2. Umrechnung des Silberanteils: \(0{,}35\,\% = 3{,}5\,\text{‰}\) 3. Umrechnung des Platinanteils: \(0{,}004 \cdot 1000 = 4\,\text{‰}\) 4. Vergleich der Werte: \(4\,\text{‰} > 3{,}75\,\text{‰} > 3{,}5\,\text{‰}\) 5. Ergebnis: Da \(4\,\text{‰}\) der größte Wert ist, hat Platin tatsächlich den größten Anteil. Die Aussage des Juweliers ist korrekt.

Die Anteile in Promille sind: Gold \(3{,}75\,\text{‰}\), Silber \(3{,}5\,\text{‰}\) und Platin \(4\,\text{‰}\). Da \(4\,\text{‰} > 3{,}75\,\text{‰} > 3{,}5\,\text{‰}\) ist, stimmt die Aussage des Juweliers: Platin hat den größten Anteil.

- Schreibe jede sprachliche Angabe zuerst als Bruch. - Für Prozent und Promille beziehen sich die Anteile auf unterschiedliche feste Nenner. - Prüfe bei jedem Teil, ob deine Prozent- und Promilleangabe denselben Anteil beschreibt.

1. Schreibe jeden Anteil als Bruch und beziehe ihn einmal auf \(100\) und einmal auf \(1000\). 2. Für a): \(\frac{1}{5} = \frac{20}{100} = \frac{200}{1000} = 20\,\% = 200\,\text{‰}\). 3. Für b): \(\frac{7}{200} = \frac{3{,}5}{100} = \frac{35}{1000} = 3{,}5\,\% = 35\,\text{‰}\). 4. Für c): \(\frac{9}{1000} = \frac{0{,}9}{100} = 0{,}9\,\% = 9\,\text{‰}\). 5. Für d): \(\frac{2}{50} = \frac{4}{100} = \frac{40}{1000} = 4\,\% = 40\,\text{‰}\).

a) \(20\,\% = 200\,\text{‰}\) b) \(3{,}5\,\% = 35\,\text{‰}\) c) \(0{,}9\,\% = 9\,\text{‰}\) d) \(4\,\% = 40\,\text{‰}\)

- Es hilft, alle Angaben in dieselbe Schreibweise umzuwandeln, zum Beispiel in Prozent. - Erinnere dich, dass „Promille“ „von Tausend“ bedeutet. - Kürze Brüche so weit wie möglich, bevor du sie auf den Nenner 100 erweiterst.

1. Umrechnung aller Anteile in Prozent: 2. A: \(\frac{3}{500} = \frac{0{,}6}{100} = 0{,}6\,\%\) 3. B: \(\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 25\,\%\) 4. C: \(\frac{12}{80} = \frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 15\,\%\) 5. D: \(7\,\text{‰} = \frac{7}{1000} = \frac{0{,}7}{100} = 0{,}7\,\%\) 6. Vergleich der Prozentsätze: \(0{,}6\,\% < 0{,}7\,\% < 15\,\% < 25\,\%\). 7. Reihenfolge: A, D, C, B.

A (\(0{,}6\,\%\)) < D (\(0{,}7\,\%\)) < C (\(15\,\%\)) < B (\(25\,\%\))

- Rechne beide Seiten in die gleiche Einheit (Prozent) um, um sie direkt vergleichen zu können. - Überlege dir bei Ausdrücken wie „jeder Zwanzigste“, welcher Bruch damit gemeint ist. - Wie viel Prozent sind eigentlich \(25\,\text{‰}\)?

1. Für a): Jeder Zwanzigste entspricht \(\frac{1}{20} = \frac{5}{100} = 5\,\%\). Da \(5\,\% > 4\,\%\), ist das Zeichen \(>\). 2. Für b): \(15\) von \(1000\) entspricht \(\frac{15}{1000} = \frac{1{,}5}{100} = 1{,}5\,\%\). Da \(1{,}5\,\% = 1{,}5\,\%\), ist das Zeichen \(=\). 3. Für c): Drei von vier entspricht \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75\,\%\). Da \(75\,\% > 70\,\%\), ist das Zeichen \(>\). 4. Für d): \(25\,\text{‰} = \frac{25}{1000} = 2{,}5\,\%\). Jeder Vierzigste ist \(\frac{1}{40} = \frac{2{,}5}{100} = 2{,}5\,\%\). Da \(2{,}5\,\% = 2{,}5\,\%\), ist das Zeichen \(=\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(>\) d) \(=\)

- Schreibe den Anteil zuerst als Bruch auf. - Kannst du den Bruch so kürzen oder erweitern, dass im Nenner 100 oder 1000 steht? - Erinnere dich daran, dass \(1\,\%\) das Gleiche ist wie \(10\,\text{‰}\).

1. Gummibärchen: Anteil \(\frac{12}{40} = \frac{3}{10} = 0{,}3 = 30\,\%\). In Promille: \(300\,\text{‰}\). 2. Umfrage: Anteil \(\frac{1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5\,\%\). In Promille: \(125\,\text{‰}\). 3. Gemeinderat: Anteil \(\frac{15}{2000} = \frac{7{,}5}{1000} = 0{,}75\,\%\). In Promille: \(7{,}5\,\text{‰}\). 4. Speicher: Anteil \(\frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\). In Promille: \(375\,\text{‰}\).

a) \(30\,\%\), \(300\,\text{‰}\) b) \(12{,}5\,\%\), \(125\,\text{‰}\) c) \(0{,}75\,\%\), \(7{,}5\,\text{‰}\) d) \(37{,}5\,\%\), \(375\,\text{‰}\)

- Wie viel Promille ergeben zusammen das Ganze? - Wenn du weißt, wie viel Silber enthalten ist, wie groß ist dann der restliche Teil? - Kannst du den Promillewert in eine Dezimalzahl umwandeln?

1. Bestimmung des Kupferanteils in Promille: Da der Silberanteil \(800\,\text{‰}\) beträgt und der Rest aus Kupfer besteht, liegt der Kupferanteil bei \(1000\,\text{‰} - 800\,\text{‰} = 200\,\text{‰}\). 2. Umrechnung des Promillesatzes in einen Dezimalbruch: \(200\,\text{‰} = \frac{200}{1000} = 0{,}2\). 3. Berechnung der Kupfermasse: Multiplikation der Gesamtmasse mit dem Anteil: \(45\,\text{g} \cdot 0{,}2 = 9\,\text{g}\).

Der Löffel enthält \(9\,\text{g}\) reines Kupfer.

- Welche Größe ist gesucht, wenn ein Promilleanteil und der zugehörige Teil gegeben sind? - Schreibe den Promillesatz so um, dass du damit den Anteil am Ganzen berechnen kannst. - Achte am Ende auf die verlangte Einheit Kilogramm.

1. \(4\,\text{‰}\) entsprechen dem Dezimalfaktor \(0{,}004\). 2. Der Grundwert ist \(G = 8\,\text{g} : 0{,}004 = 2000\,\text{g}\). 3. \(2000\,\text{g} = 2\,\text{kg}\).

Die Gesamtmasse beträgt \(2\,\text{kg}\).

- Überlege zuerst, wie viel \(1\,\text{‰}\) des Gesamtgewichts ist. - Von \(1\,\text{‰}\) kannst du leicht auf \(5\,\text{‰}\) schließen. - Vergleiche die Größenordnung deines Ergebnisses mit der Behauptung.

1. \(1\,\text{‰}\) von \(800\,\text{kg}\) entspricht \(800\,\text{kg} : 1000 = 0{,}8\,\text{kg}\). 2. \(5\,\text{‰}\) entsprechen daher \(5 \cdot 0{,}8\,\text{kg} = 4\,\text{kg}\). 3. \(40\,\text{kg}\) ist zehnmal so groß und deshalb nicht plausibel.

Jonas' Aussage ist nicht plausibel. \(5\,\text{‰}\) von \(800\,\text{kg}\) sind etwa \(4\,\text{kg}\), nicht \(40\,\text{kg}\).

- Berechne zuerst die feste Änderung im ersten Jahr. - Verwende für das zweite Jahr den neuen Einwohnerstand als Grundwert. - Lass den variablen Promillesatz \(p\,\text{‰}\) im zweiten Teil symbolisch stehen.

1. Im ersten Jahr beträgt der Zuwachs \(36\,000\cdot\frac{5}{1000}=180\). Danach hat die Stadt \(36\,180\) Einwohner. 2. Im zweiten Jahr beträgt der Zuwachs \(36\,180\cdot\frac{p}{1000}=36{,}18p\). 3. Nach dem zweiten Jahr beträgt die Einwohnerzahl daher \(36\,180+36{,}18p\).

a) \(36\,180\) Einwohner b) \(36\,180+36{,}18p\) Einwohner

- Versuche, alle Angaben in die Einheit Promille umzurechnen, um sie direkt vergleichen zu können. - Bei Brüchen wie \(\frac{1}{450}\) kannst du den Zähler mit 1000 multiplizieren und dann durch den Nenner teilen. - Achte auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Umrechnen von Dezimalbrüchen.

1. Umrechnung aller Anteile in Promille (\(\text{‰}\)): Probe A: \(0{,}28\,\% \cdot 10 = 2{,}8\,\text{‰}\) Probe B: \(0{,}0022 \cdot 1000 = 2{,}2\,\text{‰}\) Probe C: \(\frac{1}{450} \cdot 1000 = \frac{20}{9} = 2{,}\overline{2}\,\text{‰}\) Probe D: \(\frac{5}{2000} = \frac{2{,}5}{1000} = 2{,}5\,\text{‰}\) 2. Vergleich der Werte: \(2{,}2\,\text{‰} < 2{,}\overline{2}\,\text{‰} < 2{,}5\,\text{‰} < 2{,}8\,\text{‰}\) 3. Reihenfolge: Probe B < Probe C < Probe D < Probe A. Der größte Anteil ist in Probe A enthalten.

Die Konzentrationen in Promille sind: Probe A: \(2{,}8\,\text{‰}\), Probe B: \(2{,}2\,\text{‰}\), Probe C: \(2{,}\overline{2}\,\text{‰}\), Probe D: \(2{,}5\,\text{‰}\). Die Reihenfolge ist: Probe B (\(0{,}0022\)) < Probe C (\(\frac{1}{450}\)) < Probe D (\(\frac{5}{2000}\)) < Probe A (\(0{,}28\,\%\)). Probe A hat den größten Anteil.

- Achte bei a) darauf, zuerst die gesamte Masse der Mischung zu bestimmen. - Bei c) musst du die Einheiten (Milliliter und Liter) angleichen, bevor du den Anteil berechnest. - Ein Maßstab von \(1 : 200\) bedeutet, dass jede Modelllänge \(\frac{1}{200}\) der entsprechenden Originallänge entspricht.

1. Goldanteil: Gesamtmasse berechnen: \(2\,\text{g} + 498\,\text{g} = 500\,\text{g}\). Anteil \(\frac{2}{500} = \frac{4}{1000} = 0{,}4\,\% = 4\,\text{‰}\). 2. Maßstab: Der Anteil einer Modelllänge an der entsprechenden Originallänge ist \(\frac{1}{200} = \frac{5}{1000} = 0{,}5\,\% = 5\,\text{‰}\). 3. Sirup: \(1\,\text{Liter} = 1000\,\text{ml}\). Anteil \(\frac{5\,\text{ml}}{1000\,\text{ml}} = \frac{5}{1000} = 0{,}5\,\% = 5\,\text{‰}\).

a) \(0{,}4\,\%\), \(4\,\text{‰}\) b) \(0{,}5\,\%\), \(5\,\text{‰}\) c) \(0{,}5\,\%\), \(5\,\text{‰}\)

- Berechne für beide Proben getrennt den Promilleanteil der jeweiligen Gesamtmasse. - Achte darauf, dass die beiden untersuchten Wassermengen unterschiedlich groß sind. - Vergleiche erst nach der Berechnung die beiden Salzmassen.

1. In der Ostsee-Probe beträgt die Salzmasse \(15\,\text{kg} \cdot \frac{8}{1000} = 0{,}12\,\text{kg} = 120\,\text{g}\). 2. In der Nordsee-Probe beträgt die Salzmasse \(4\,\text{kg} \cdot \frac{35}{1000} = 0{,}14\,\text{kg} = 140\,\text{g}\). 3. Da \(140\,\text{g} > 120\,\text{g}\), enthält die untersuchte Nordsee-Probe insgesamt mehr Salz.

In der Nordsee-Probe befinden sich \(140\,\text{g}\) Salz, in der Ostsee-Probe \(120\,\text{g}\). Damit enthält die Nordsee-Probe mehr Salz.

- Achte besonders auf die Einheiten: Kilogramm und Milligramm müssen vergleichbar gemacht werden. - Wie viele Milligramm sind ein Kilogramm? - Du kannst entweder den Anteil der Probe in Promille berechnen oder ausrechnen, wie viel Milligramm dem Grenzwert entsprechen würden.

1. Vereinheitlichung der Einheiten: Die Masse der Probe beträgt \(2\,\text{kg} = 2000\,\text{g} = 2\,000\,000\,\text{mg}\). 2. Berechnung des Schadstoffanteils in Promille: \(\frac{120\,\text{mg}}{2000000\,\text{mg}} \cdot 1000 = 0{,}06\,\text{‰}\). Alternativer Weg: Berechnung des Grenzwerts in Milligramm: \(2\,000\,000\,\text{mg} \cdot \frac{0{,}05}{1000} = 100\,\text{mg}\). 3. Vergleich: Da \(0{,}06\,\text{‰} > 0{,}05\,\text{‰}\) (bzw. \(120\,\text{mg} > 100\,\text{mg}\)), ist der Grenzwert überschritten.

Ja, der Grenzwert wurde überschritten. Der gemessene Anteil liegt bei \(0{,}06\,\text{‰}\), was über dem Grenzwert von \(0{,}05\,\text{‰}\) liegt.