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- Berechne zuerst, wie viele Jugendbücher dem Zuwachs von \(8\,\%\) entsprechen. - Addiere anschließend diesen Zuwachs zum ursprünglichen Bestand. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis größer als der ursprüngliche Bestand ist.

1. Der Zuwachs beträgt \(750 \cdot 0{,}08 = 60\) Jugendbücher. 2. Zum ursprünglichen Bestand kommen diese \(60\) Bücher hinzu: \(750 + 60 = 810\).

Danach gehören \(810\) Jugendbücher zum Bestand.

- Bestimme zuerst, welcher Prozentsatz nach der Verringerung noch übrig ist. - Beziehe diesen verbleibenden Anteil auf die ursprünglichen \(800\,\text{l}\). - Das Ergebnis muss kleiner als die Ausgangsmenge sein.

1. Nach dem Verbrauch bleiben \(100\,\% - 15\,\% = 85\,\%\) der ursprünglichen Wassermenge übrig. 2. Die verbleibende Menge ist \(800\,\text{l} \cdot 0{,}85 = 680\,\text{l}\).

Im Behälter bleiben \(680\,\text{l}\) Wasser.

- Welchem Anteil des Grundwerts entspricht der neue Wert laut Aufgabenstellung? - Schreibe diesen Prozentsatz als Dezimalfaktor. - Wende den Faktor auf den gegebenen Grundwert an.

1. \(120\,\%\) entsprechen dem Faktor \(1{,}2\). 2. Der vermehrte Wert ist \(60 \cdot 1{,}2 = 72\).

Der vermehrte Wert ist \(72\).

- Beziehe die Verringerung auf den ursprünglichen Preis als \(100\,\%\). - Überlege, welcher Anteil nach dem Abziehen der Verringerung noch vorhanden ist. - Wie lässt sich dieser verbleibende Prozentsatz als Dezimalfaktor schreiben?

1. Vom ursprünglichen Preis bleiben \(100\,\% - 15\,\% = 85\,\%\) übrig. 2. \(85\,\%\) entsprechen dem Faktor \(0{,}85\).

Es bleiben \(85\,\%\) übrig; der Faktor ist \(0{,}85\).

- Überlege dir zuerst, wie viel Prozent der neue Preis im Vergleich zum alten Preis ausmacht. - Entspricht der aktuelle Preis dem Ganzen oder ist er mehr oder weniger als das Ganze? - Welche Rechenoperation hilft dir dabei, von einem erhöhten Wert zurück auf den Ausgangswert zu kommen?

1. Bestimmung des Prozentsatzes für den neuen Preis: Da der Preis um \(15\,\%\) gestiegen ist, entsprechen \(414\,\text{€}\) genau \(115\,\%\) (\(100\,\% + 15\,\%\)) des Grundwerts. 2. Berechnung des Grundwerts (\(G\)) mit dem Prozentfaktor \(1{,}15\): \(G = \frac{414\,\text{€}}{1{,}15}\). 3. Durchführung der Division: \(414 : 1{,}15 = 41\,400 : 115 = 360\). Der ursprüngliche Preis (Grundwert) betrug \(360\,\text{€}\).

Der Grundwert ist der ursprüngliche Preis des Mountainbikes. Der maßgebliche Prozentsatz ist \(115\,\%\); der zugehörige Prozentfaktor ist \(1{,}15\). Der ursprüngliche Preis betrug \(360\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, welcher Prozentsatz dem aktuellen Wert von 546 entspricht, wenn das Vorjahr die Basis (\(100\,\%\)) ist. - Wie rechnet man von einem erhöhten Wert auf den ursprünglichen Grundwert zurück? - Was ist der Unterschied zwischen dem Prozentsatz und der absoluten Anzahl an Personen?

1. Berechnung des Grundwerts (Mitglieder im Vorjahr): Der aktuelle Wert von \(546\) entspricht \(104\,\%\) des Vorjahreswerts. 2. Division des aktuellen Werts durch den Prozentsatz: \(546 : 1{,}04 = 525\). Im Vorjahr gab es \(525\) Mitglieder. 3. Berechnung der absoluten Zunahme: Differenz zwischen aktuellem Wert und Vorjahreswert bilden: \(546 - 525 = 21\). 4. Ergebnis: Der Verein ist um \(21\) Personen gewachsen.

Im Vorjahr hatte der Verein \(525\) Mitglieder. Er ist um \(21\) Personen gewachsen.

- Welchen Anteil des ursprünglichen Gewichts behält das Brot nach dem Backen? - Kannst du den Endwert als Prozentsatz des Startwerts ausdrücken? - Überlege, ob das Ergebnis größer oder kleiner als das Endgewicht sein muss. - Wie rechnet man von einem Prozentwert zurück auf den Grundwert (\(100\,\%\))?

1. Berechnung des Prozentsatzes des verbleibenden Gewichts: Da der Teig \(15\,\%\) verliert, bleiben \(100\,\% - 15\,\% = 85\,\%\) des ursprünglichen Gewichts übrig. 2. Aufstellen der Gleichung für den Grundwert: Das Gewicht nach dem Backen (\(1020\,\text{g}\)) entspricht dem Prozentwert (\(W\)) und \(85\,\%\) dem Prozentsatz (\(p\,\%\)). Es gilt \(0{,}85G = 1020\,\text{g}\). 3. Berechnung des ursprünglichen Gewichts (\(G\)): \(G = 1020\,\text{g} : 0{,}85 = 1200\,\text{g}\).

Der Bäcker muss \(1200\,\text{g}\) (oder \(1{,}2\,\text{kg}\)) Teig abwiegen.

- In wie viele gleich große Teile ist das Ganze zerlegt? - Betrachte den unmarkierten Teil als den Anteil, der weggefallen ist. - Wie viel Prozent entspricht ein Teil des Balkens?

1. Der Balken ist in \(20\) gleich große Teile zerlegt. Ein Teil entspricht daher \(5\,\%\). 2. \(17\) Teile sind markiert, also bleiben \(85\,\%\) des ursprünglichen Werts übrig. 3. Der verringerte Anteil beträgt \(100\,\% - 85\,\% = 15\,\%\).

Der ursprüngliche Wert wurde um \(15\,\%\) verringert.

- Bestimme zuerst, welcher Prozentanteil nach der Senkung noch übrig ist. - Der angegebene neue Preis gehört zu diesem verbleibenden Anteil, nicht zu \(100\,\%\). - Überlege, wie du von einem bekannten verminderten Wert zum ursprünglichen Grundwert zurückkommst.

1. Nach der Preissenkung entsprechen \(68\,\text{€}\) noch \(85\,\%\) des ursprünglichen Preises. 2. Für den ursprünglichen Preis \(G\) gilt \(0{,}85G = 68\,\text{€}\). 3. Daher ist \(G = 68\,\text{€} : 0{,}85 = 80\,\text{€}\).

Der ursprüngliche Preis betrug \(80\,\text{€}\).

- Hier musst du zwei verschiedene Grundwerte berechnen. - Überlege für jede Klasse einzeln: Welcher Prozentsatz gehört zu dem genannten Geldbetrag? - Wenn eine Klasse mehr als geplant sammelt, ist der Prozentsatz größer als \(100\,\%\). Wenn sie weniger sammelt, ist er kleiner.

1. Berechnung für Klasse 6a: Das Ziel entspricht \(100\,\%\). Da sie \(25\,\%\) mehr gesammelt haben, sind \(250\,\text{€} = 125\,\%\). Grundwert \(G_{6a} = 250\,\text{€} : 1{,}25 = 200\,\text{€}\). 2. Berechnung für Klasse 6b: Das Ziel entspricht \(100\,\%\). Da sie \(10\,\%\) weniger gesammelt haben, sind \(225\,\text{€} = 90\,\%\). Grundwert \(G_{6b} = 225\,\text{€} : 0{,}9 = 2250 : 9 = 250\,\text{€}\). 3. Vergleich: Das Ziel der Klasse 6a war \(200\,\text{€}\), das Ziel der Klasse 6b war \(250\,\text{€}\). Somit hatte Klasse 6b das höhere Spendenziel.

Klasse 6a hatte ein Ziel von \(200\,\text{€}\). Klasse 6b hatte ein Ziel von \(250\,\text{€}\). Somit hatte Klasse 6b das höhere Ziel geplant.

- Worauf bezieht sich die Prozentangabe von \(20\,\%\) in der Aufgabe? - Wenn etwas um \(20\,\%\) billiger wird, wie viel Prozent des alten Preises muss man dann noch bezahlen? - Überlege, ob der Ausgangswert größer oder kleiner als der neue Preis sein muss. - Kann man den Prozentsatz einfach auf den neuen Preis anwenden, um den alten zu finden?

1. Bestimmung des Prozentsatzes für den reduzierten Preis: Da der Preis um \(20\,\%\) gesenkt wurde, entsprechen die \(480\,\text{€}\) genau \(100\,\% - 20\,\% = 80\,\%\) des ursprünglichen Preises (Grundwert). 2. Berechnung des Grundwertes: Um den ursprünglichen Preis \(x\) zu finden, wird der Prozentwert durch den Prozentsatz dividiert: \(x = 480\,\text{€} : 0{,}80 = 600\,\text{€}\). 3. Identifikation des Fehlers: Leons Fehler liegt darin, dass er die \(20\,\%\) auf den bereits reduzierten Preis (den Prozentwert) bezieht. Die Preisreduzierung um \(20\,\%\) bezieht sich hier jedoch auf den ursprünglichen Preis (den Grundwert). Da der Grundwert höher ist als der reduzierte Preis, sind auch \(20\,\%\) vom Grundwert ein größerer Betrag als \(20\,\%\) vom reduzierten Preis.

Der tatsächliche Preis vor der Reduzierung betrug \(600\,\text{€}\). Leons Fehler ist, dass er die \(20\,\%\) vom neuen, niedrigeren Preis berechnet hat, anstatt vom ursprünglichen Grundwert.

- Du musst für beide Familien einzeln ausrechnen, wie hoch die Miete vor der Änderung war. - Beachte, dass bei der einen Familie ein Zuwachs (\(100\,\% + \dots\)) und bei der anderen eine Senkung (\(100\,\% - \dots\)) vorliegt. - Vergleiche am Ende die beiden berechneten Grundwerte.

1. Berechnung der ursprünglichen Miete von Familie Weber: Der neue Wert entspricht \(108\,\%\). \(G_{\text{Weber}} = 918{,}00\,\text{€} : 1{,}08 = 850{,}00\,\text{€}\). 2. Berechnung der ursprünglichen Miete von Familie Schmidt: Der neue Wert entspricht \(90\,\%\). \(G_{\text{Schmidt}} = 837{,}00\,\text{€} : 0{,}90 = 930{,}00\,\text{€}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(930{,}00\,\text{€} > 850{,}00\,\text{€}\), war die Miete von Familie Schmidt ursprünglich höher.

Familie Schmidt hatte vor den Änderungen mit \(930{,}00\,\text{€}\) die höhere Kaltmiete (Familie Weber zahlte ursprünglich \(850{,}00\,\text{€}\)).

- Was ist der Grundwert in dieser Situation? - Wenn etwas an Wert verliert, wie viel Prozent bleiben dann übrig? - Berechne erst den ursprünglichen Preis, bevor du den zweiten Teil der Frage angehst.

1. Bestimmung des Prozentsatzes für den verminderten Grundwert: Ein Verlust von \(24\,\%\) bedeutet, dass noch \(100\,\% - 24\,\% = 76\,\%\) (\(0{,}76\)) des Wertes vorhanden sind. 2. Berechnung des ursprünglichen Kaufpreises: \(418\,\text{€} : 0{,}76 = 550\,\text{€}\). 3. Berechnung des hypothetischen Werts bei \(15\,\%\) Verlust: Der Restwert entspräche \(85\,\%\) (\(0{,}85\)) des Kaufpreises. 4. Berechnung des Ergebnisses: \(550\,\text{€} \cdot 0{,}85 = 467{,}50\,\text{€}\).

a) Der ursprüngliche Kaufpreis betrug \(550\,\text{€}\). b) Bei einem Verlust von \(15\,\%\) wäre das Gerät noch \(467{,}50\,\text{€}\) wert gewesen.

- Welche Gruppe dient hier als Vergleichsbasis für den Prozentwert? - Wenn die Anzahl der Kinder \(100\,\%\) ist, wie viel Prozent entsprechen dann die Erwachsenen? - Wie viel Prozent entspricht die Gesamtzahl der Mitglieder im Vergleich zur Anzahl der Kinder? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Anzahl der Kinder die Unbekannte ist?

1. Festlegen der Bezugsgröße: Die Anzahl der Kinder wird als \(x\) definiert (Grundwert \(100\,\%\)). 2. Bestimmung der Anzahl der Erwachsenen: Da es \(40\,\%\) mehr Erwachsene als Kinder gibt, beträgt deren Anzahl \(x + 0{,}4x = 1{,}4x\). 3. Aufstellen der Gesamtsumme: Die Summe beider Gruppen ergibt die Gleichung \(x + 1{,}4x = 120\), also \(2{,}4x = 120\). 4. Berechnung der Kinderanzahl: \(x = \frac{120}{2{,}4} = 50\). 5. Berechnung der Erwachsenenanzahl: \(120 - 50 = 70\) (oder \(1{,}4 \cdot 50 = 70\)).

Es sind \(50\) Kinder und \(70\) Erwachsene im Verein.

- Wie viel Prozent sind die \(1026\) Anlagen im Vergleich zum Vorjahr? - Wenn du die Anzahl vom Vorjahr kennst, wie findest du dann heraus, wie viele Anlagen dazugekommen sind? - Könntest du den Zuwachs auch direkt berechnen, nachdem du den Ausgangswert gefunden hast?

1. Bestimmung des Prozentsatzes des vermehrten Grundwertes: \(100\,\% + 35\,\% = 135\,\%\) 2. Aufstellen der Gleichung für die ursprüngliche Anzahl \(x\): \(1{,}35x = 1026\) 3. Berechnung des ursprünglichen Werts: \(x = 1026 : 1{,}35 = 760\) 4. Berechnung der Differenz für den Zuwachs: \(1026 - 760 = 266\)

a) Vor dem Anstieg gab es \(760\) Photovoltaikanlagen. b) Es sind im letzten Jahr \(266\) Anlagen neu hinzugekommen.

- Achte bei beiden Preisänderungen darauf, auf welchen Wert sich die \(25\,\%\) jeweils beziehen. - Unterscheide den ursprünglichen Preis vom neuen Preis und vom Ergebnis der beschriebenen Fehlerrechnung. - Vergleiche am Ende nicht nur die Prozentsätze, sondern auch die jeweiligen Bezugswerte der beiden Fälle.

1. Beim Kaufhaus Morgenstern entsprechen \(125\,\text{€}\) einem Anteil von \(125\,\%\). Der alte Preis war \(125\,\text{€} : 1{,}25 = 100\,\text{€}\). 2. Beim Modehaus Winter entsprechen \(150\,\text{€}\) einem Anteil von \(75\,\%\). Der alte Preis war \(150\,\text{€} : 0{,}75 = 200\,\text{€}\). 3. Fehlerrechnung beim Kaufhaus Morgenstern: \(25\,\%\) von \(125\,\text{€}\) sind \(31{,}25\,\text{€}\). Ein Abzug ergäbe \(125\,\text{€} - 31{,}25\,\text{€} = 93{,}75\,\text{€}\). Die Abweichung zum echten Grundwert \(100\,\text{€}\) beträgt \(6{,}25\,\text{€}\). 4. Fehlerrechnung beim Modehaus Winter: \(25\,\%\) von \(150\,\text{€}\) sind \(37{,}50\,\text{€}\). Ein Aufschlag ergäbe \(150\,\text{€} + 37{,}50\,\text{€} = 187{,}50\,\text{€}\). Die Abweichung zum echten Grundwert \(200\,\text{€}\) beträgt \(12{,}50\,\text{€}\). 5. Die Abweichung beim Modehaus Winter ist mit \(12{,}50\,\text{€}\) doppelt so groß wie beim Kaufhaus Morgenstern mit \(6{,}25\,\text{€}\). Sophie hat nicht recht. Der absolute Fehler hängt sowohl vom jeweiligen neuen Preis als auch von der Art der Rückrechnung ab: Eine Erhöhung um \(25\,\%\) wird durch Division durch \(1{,}25\), eine Senkung um \(25\,\%\) durch Division durch \(0{,}75\) rückgängig gemacht.

a) Der Preis vor der Änderung betrug beim Kaufhaus Morgenstern \(100\,\text{€}\) und beim Modehaus Winter \(200\,\text{€}\). b) Sophie hat nicht recht. Beim Kaufhaus Morgenstern beträgt die Abweichung durch den Rechenfehler \(6{,}25\,\text{€}\), beim Modehaus Winter hingegen \(12{,}50\,\text{€}\). Die Abweichungen sind nicht gleich, weil bei Erhöhung und Senkung unterschiedliche Rückrechnungsfaktoren gelten und außerdem unterschiedliche neue Preise zugrunde liegen.

- Achte darauf, dass sich der zweite Prozentsatz auf den bereits veränderten Wert bezieht, nicht auf den Startwert. - Kannst du die Änderungen nacheinander als Multiplikation schreiben? - Überlege dir, ob man die Prozentsätze einfach addieren oder subtrahieren darf und warum das hier nicht funktioniert.

1. Aufstellen der Beziehung für die Bestandsänderung: Sei \(x\) der Anfangsbestand. Nach dem ersten Jahr sind es \(1{,}20x\). Nach dem zweiten Jahr sind es \(1{,}20x \cdot 0{,}85\). 2. Berechnung des kombinierten Faktors: \(1{,}20 \cdot 0{,}85 = 1{,}02\). 3. Berechnung des Anfangsbestands: \(1{,}02x = 1224 \implies x = 1224 : 1{,}02 = 1200\). 4. Bestimmung der prozentualen Gesamtänderung: Der Faktor \(1{,}02\) entspricht \(102\,\%\) des Anfangsbestands, was einer Zunahme von \(2\,\%\) entspricht.

a) Ursprünglich standen \(1200\) Bäume im Park. b) Die Anzahl der Bäume hat sich insgesamt um \(2\,\%\) erhöht.