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- Welche der drei Seiten ist die längste? - Welche Summe musst du mit dieser längsten Seite vergleichen?

1. Die längste Seite ist \(10\,\text{cm}\). 2. Für die beiden kürzeren Seiten gilt \(4\,\text{cm}+7\,\text{cm}=11\,\text{cm}\). 3. Da \(11\,\text{cm}>10\,\text{cm}\), ist die Dreiecksungleichung erfüllt. 4. Ein solches Dreieck existiert.

Ja. Entscheidend ist \(4\,\text{cm}+7\,\text{cm}>10\,\text{cm}\).

- Überlege, welche Punktmenge einen festen Abstand von einem festen Punkt beschreibt. - Welche Konstruktion hält beim Zeichnen den Abstand zu \(A\) konstant?

1. Alle gesuchten Punkte haben denselben Abstand \(4\,\text{cm}\) vom festen Punkt \(A\). 2. Diese Punktmenge ist ein Kreis mit Mittelpunkt \(A\) und Radius \(4\,\text{cm}\).

Alle möglichen Punkte \(C\) liegen auf dem Kreis um \(A\) mit Radius \(4\,\text{cm}\).

- Welche Gerade beschreibt die Symmetrie zwischen den Punkten \(A\) und \(B\)? - Denke an eine Gerade, deren Punkte zu beiden Endpunkten einer Strecke denselben Abstand haben.

1. Gesucht sind Punkte, die von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sind. 2. Genau diese Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\).

Die Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\).

- Was bedeutet die Angabe \(AC=4\,\text{cm}\) für den möglichen Ort von \(C\)? - Welche entsprechende Ortslinie folgt aus \(BC=5\,\text{cm}\)?

1. Der Punkt \(C\) soll von \(A\) den Abstand \(4\,\text{cm}\) haben. Daher liegt \(C\) auf einem Kreis um \(A\) mit Radius \(4\,\text{cm}\). 2. Zugleich soll \(C\) von \(B\) den Abstand \(5\,\text{cm}\) haben. Daher liegt \(C\) auf einem Kreis um \(B\) mit Radius \(5\,\text{cm}\). 3. Ein Schnittpunkt dieser beiden Kreise liefert die Lage von \(C\).

Zeichne einen Kreis um \(A\) mit Radius \(4\,\text{cm}\) und einen Kreis um \(B\) mit Radius \(5\,\text{cm}\).

- Welche gegebene Strecke kannst du sofort in ihrer vollständigen Länge zeichnen? - An welchen Endpunkten dieser Strecke liegen die beiden übrigen Angaben?

1. Die Strecke \(AB\) ist vollständig durch ihre Länge festgelegt. 2. An den beiden Endpunkten von \(AB\) liegen die beiden gegebenen Winkel. 3. Nach dem Zeichnen von \(AB\) können deshalb die beiden Winkelschenkel konstruiert werden; ihr Schnittpunkt ist \(C\).

Die Strecke \(AB\) ist eine geeignete Startstrecke.

- Welcher Seite liegt in der üblichen Dreiecksbezeichnung der Punkt \(C\) gegenüber? - An welchem Eckpunkt liegt der Winkel \(\beta\)? - Welche gegebene Strecke eignet sich als erster Konstruktionsschritt? - Welche Lage hat der gegebene Winkel relativ zu den beiden gegebenen Seiten?

1. In der Planfigur gilt \(c=AB\), \(a=BC\) und \(\beta=\angle ABC\). Der Winkel \(\beta\) liegt damit zwischen den beiden gegebenen Seiten. 2. Zeichne \(AB=6\,\text{cm}\). Trage in \(B\) einen Winkel von \(40^\circ\) an. Bestimme auf dem freien Winkelschenkel den Punkt \(C\) mit \(BC=4{,}5\,\text{cm}\). Verbinde \(C\) mit \(A\). 3. Zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel sind gegeben. Daher ist das Dreieck nach SWS bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

1. \(c=AB\), \(a=BC\), \(\beta=\angle ABC\). 2. Zeichne \(AB=6\,\text{cm}\), trage in \(B\) den Winkel \(40^\circ\) an, bestimme darauf \(C\) mit \(BC=4{,}5\,\text{cm}\) und verbinde \(A\) mit \(C\). 3. SWS.

- Wie müssen die Längen der zwei kürzeren Seiten im Vergleich zur längsten Seite sein? - Stell dir vor, du versuchst die Enden der zwei kürzeren Stäbe zusammenzuführen, während sie an den Enden des langen Stabes befestigt sind.

1. Prüfung der Dreiecksungleichung (\(a + b > c\) für die zwei kürzeren Seiten): a) \(3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\). Da \(7\,\text{cm} > 5\,\text{cm}\), ist ein Dreieck möglich. b) \(2{,}5\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 5{,}5\,\text{cm}\). Da \(5{,}5\,\text{cm} < 6\,\text{cm}\), ist kein Dreieck möglich. c) \(5\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\). Da \(10\,\text{cm}\) nicht größer als \(10\,\text{cm}\) ist, liegen die Punkte auf einer Geraden (entartetes Dreieck). Ein echtes Dreieck ist nicht möglich.

a) Ja, da \(3 + 4 > 5\). b) Nein, da \(2{,}5 + 3 < 6\). c) Nein, da \(5 + 5 = 10\) (die Punkte liegen auf einer Linie).

- Überlege, welche Dreiecke durch eine Diagonale im Parallelogramm entstehen. - Erinnere dich daran, welche Bedingung drei Seitenlängen erfüllen müssen, damit ein Dreieck existieren kann. - Prüfe, ob die drei gegebenen Längen diese Bedingung gemeinsam erfüllen.

1. Ein Parallelogramm \(ABCD\) besteht aus den zwei Teildreiecken \(ABC\) und \(ADC\). 2. Im Dreieck \(ABC\) sind die Seitenlängen \(AB = a = 7\,\text{cm}\), \(BC = b = 4\,\text{cm}\) und \(AC = e = 12\,\text{cm}\) gegeben. 3. Nach der Dreiecksungleichung muss in jedem Dreieck die Summe zweier Seitenlängen stets größer als die dritte Seitenlänge sein. 4. Prüfung für das Dreieck \(ABC\): \(a + b = 7\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 11\,\text{cm}\). 5. Da \(11\,\text{cm} < 12\,\text{cm}\) gilt, ist die Bedingung \(a + b > e\) nicht erfüllt. 6. Das Dreieck \(ABC\) und damit das gesamte Parallelogramm kann nicht konstruiert werden.

Das Parallelogramm kann nicht existieren, da im Teildreieck \(ABC\) die Dreiecksungleichung verletzt wird: Die Summe der Seiten \(a\) und \(b\) (\(11\,\text{cm}\)) ist kleiner als die Länge der Diagonale \(e\) (\(12\,\text{cm}\)).

- Wie kannst du zwei Punkte auf einer Geraden so wählen, dass \(C\) genau ihr Mittelpunkt ist? - Welche bekannte Grundkonstruktion erzeugt durch den Mittelpunkt einer Strecke eine Senkrechte? - Auf welcher Geraden muss der Punkt \(B\) liegen, damit der Winkel bei \(C\) recht ist?

1. Zeichne \(AC=b=5\,\text{cm}\) und verlängere die Gerade \(AC\) über \(C\) hinaus. 2. Markiere mit dem Zirkel auf dieser Geraden zwei Punkte, die denselben Abstand von \(C\) haben und auf verschiedenen Seiten von \(C\) liegen. 3. Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen diesen beiden Punkten. Sie verläuft durch \(C\) und steht senkrecht auf \(AC\). 4. Trage auf dieser Senkrechten von \(C\) aus \(BC=a=3\,\text{cm}\) ab und erhalte \(B\). 5. Verbinde \(A\) mit \(B\). Damit ist \(\angle ACB=90^\circ\).

Zeichne zuerst \(AC=5\,\text{cm}\). Konstruiere durch \(C\) mithilfe einer Mittelsenkrechten eine Senkrechte zu \(AC\). Trage darauf \(BC=3\,\text{cm}\) ab und verbinde \(A\) mit \(B\).

- Schau dir die Winkel in den beiden Zeichnungen genau an. Sind sie gleich? - Stell dir vor, die Seiten wären Stäbe, die an den Ecken mit Gelenken verbunden sind. Kannst du die Form verändern, ohne die Stäbe zu kürzen? - Welche zusätzliche Strecke zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke? - Welcher Kongruenzsatz ist anwendbar, wenn in beiden Teildreiecken alle drei Seiten bekannt sind?

1. Ein Vergleich der beiden Vierecke zeigt, dass trotz identischer Seitenlängen unterschiedliche Formen möglich sind, weil sich die Innenwinkel verändern können. 2. Im Gegensatz zu Dreiecken sind Vierecke mit vier gegebenen Seiten nicht starr; sie lassen sich wie ein Gelenkmodell verformen. 3. Als zusätzliches Bestimmungsstück kann beispielsweise die Länge der Diagonale \(AC\) angegeben werden. 4. Dann entstehen die Dreiecke \(ABC\) und \(ACD\). Beide sind durch ihre jeweils drei Seiten nach SSS eindeutig bestimmt. Für ein konvexes Viereck liegen die beiden Dreiecke auf entgegengesetzten Seiten von \(AC\). Damit ist das Viereck bis auf Spiegelung eindeutig festgelegt.

Vier Seitenlängen allein bestimmen ein Viereck nicht eindeutig. Gibt man zusätzlich beispielsweise die Länge der Diagonale \(AC\) an und fordert ein konvexes Viereck, so sind die beiden Teildreiecke nach SSS und damit das Viereck bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

- Nutze die Dreiecksungleichung für jede der drei Seiten. - Formuliere daraus eine untere und eine obere Schranke für \(x\).

1. Untere Grenze: \(x > 10\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 2. Obere Grenze: \(x < 10\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 3. Zusammen gilt: \(4\,\text{cm} < x < 16\,\text{cm}\).

Die dritte Seite muss die Bedingung \(4\,\text{cm} < x < 16\,\text{cm}\) erfüllen.

- Welche Abstandseigenschaft haben alle Punkte einer Mittelsenkrechten? - Welche zwei Abstandsgleichheiten erhältst du aus den ersten beiden Mittelsenkrechten? - Welche dieser Gleichheiten zeigt anschließend die Lage auf der dritten Mittelsenkrechten?

1. Konstruiere die Mittelsenkrechten von \(AB\) und \(BC\). Ihr Schnittpunkt ist \(M\). 2. Weil \(M\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegt, gilt \(MA=MB\). Weil \(M\) zugleich auf der Mittelsenkrechten von \(BC\) liegt, gilt \(MB=MC\). 3. Damit ist \(MA=MB=MC\). Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(MA\) verläuft deshalb durch \(A\), \(B\) und \(C\); er ist der Umkreis. 4. Aus \(MA=MC\) folgt, dass \(M\) auch auf der Mittelsenkrechten von \(AC\) liegt.

a) Konstruiere die Mittelsenkrechten von \(AB\) und \(BC\); ihr Schnittpunkt ist \(M\). b) Es gilt \(MA=MB=MC\). Der Kreis um \(M\) mit Radius \(MA\) ist daher der Umkreis. c) Wegen \(MA=MC\) liegt \(M\) auch auf der Mittelsenkrechten von \(AC\).

- Welche Lagebedingung für \(C\) steckt direkt im Winkel \(\alpha\)? - Wie sieht die Ortslinie aller Punkte mit festem Abstand von einer Geraden aus? - Welche zwei Ortslinien müssen sich schneiden, damit \(C\) festliegt?

1. In der Planfigur liegt \(C\) auf einem Schenkel des in \(A\) angetragenen Winkels \(\alpha=55^\circ\). 2. Die Bedingung \(h_c=4\,\text{cm}\) bedeutet, dass \(C\) den senkrechten Abstand \(4\,\text{cm}\) von der Geraden \(AB\) hat. Auf der gewählten Seite von \(AB\) liegt \(C\) daher auf einer Parallelen zu \(AB\) im Abstand \(4\,\text{cm}\). 3. Zeichne \(AB=7\,\text{cm}\), trage in \(A\) den Winkel \(55^\circ\) an und konstruiere auf derselben Seite die Parallele zu \(AB\) im Abstand \(4\,\text{cm}\). 4. Der Schnittpunkt des Winkelschenkels mit dieser Parallelen ist \(C\). Verbinde \(C\) mit \(B\). Die spiegelbildliche Konstruktion auf der anderen Seite von \(AB\) ist kongruent.

a) \(C\) liegt auf dem \(55^\circ\)-Strahl durch \(A\) und auf einer Parallelen zu \(AB\) im Abstand \(4\,\text{cm}\). b) Zeichne \(AB\), den \(55^\circ\)-Strahl und die Abstandsparallele; ihr Schnittpunkt ist \(C\).

- Was misst die Höhe \(h_c\) geometrisch: eine schräge Strecke oder einen senkrechten Abstand? - Welche Ortslinie haben alle Punkte mit demselben senkrechten Abstand von einer festen Geraden? - Gibt es diese Ortslinie nur auf einer Seite der Grundgeraden?

1. Die Höhe \(h_c\) ist der senkrechte Abstand des Punktes \(C\) von der Geraden \(AB\). 2. Soll dieser Abstand gleich bleiben, muss \(C\) auf einer Geraden liegen, die zu \(AB\) parallel ist und genau diesen Abstand besitzt. 3. Es gibt zwei solche Ortslinien: eine Parallele auf jeder Seite der Geraden \(AB\).

\(C\) kann auf zwei zu \(AB\) parallelen Geraden liegen, jeweils im Abstand \(h_c\) von \(AB\), eine auf jeder Seite von \(AB\).

- Welche drei Dreiecksungleichungen müssen für die Seiten \(3\), \(5\) und \(c\) erfüllt sein? - Welche Ortslinie beschreibt alle Punkte im Abstand \(5\,\text{cm}\) von \(A\)? - Welche zweite Ortslinie legt den Abstand \(3\,\text{cm}\) von \(B\) fest?

1. Nach der Dreiecksungleichung muss die Summe zweier Seitenlängen immer größer als die dritte Seitenlänge sein. Aus \(3+5>c\) folgt \(c<8\,\text{cm}\), und aus \(3+c>5\) folgt \(c>2\,\text{cm}\). Die dritte Ungleichung \(5+c>3\) ist für positive \(c\) automatisch erfüllt. Damit gilt \(2\,\text{cm}<c<8\,\text{cm}\). 2. Für \(c=7\,\text{cm}\) zeichne zuerst \(AB=7\,\text{cm}\). Zeichne einen Kreis um \(A\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) und einen Kreis um \(B\) mit Radius \(3\,\text{cm}\). Ein Schnittpunkt der Kreise ist \(C\); verbinde \(C\) mit \(A\) und \(B\). Die spiegelbildliche Lage des anderen Schnittpunkts ergibt ein kongruentes Dreieck.

1. \(2\,\text{cm}<c<8\,\text{cm}\). 2. Zeichne \(AB=7\,\text{cm}\), dann die Kreise um \(A\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) und um \(B\) mit Radius \(3\,\text{cm}\). Ein Kreisschnittpunkt bestimmt \(C\); anschließend verbindest du \(C\) mit \(A\) und \(B\).

- Welche feste Summe haben die Innenwinkel jedes Dreiecks? - Wie erhältst du den dritten Winkel aus zwei bekannten Winkeln? - Welche bekannte Seite liegt zwischen den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\)?

1. Es gilt \(\alpha+\gamma=75^\circ+115^\circ=190^\circ\). Da die Innenwinkelsumme eines Dreiecks \(180^\circ\) beträgt, existiert ein solches Dreieck nicht. 2. Für \(\gamma=60^\circ\) gilt \(\beta=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ\). 3. Zeichne \(AB=c=5\,\text{cm}\). Trage in \(A\) den Winkel \(\alpha=75^\circ\) und in \(B\) auf derselben Seite von \(AB\) den Winkel \(\beta=45^\circ\) ab. Der Schnittpunkt der freien Schenkel ist \(C\). Die Seite \(AB\) liegt zwischen den beiden verwendeten Winkeln, daher gilt WSW.

1. \(190^\circ\); das überschreitet die Innenwinkelsumme \(180^\circ\). 2. \(\beta=45^\circ\). 3. Zeichne \(AB=5\,\text{cm}\), trage bei \(A\) \(75^\circ\) und bei \(B\) \(45^\circ\) ab; ihr Schnittpunkt bestimmt \(C\). Kongruenzsatz: WSW.

- Gibt es eine minimale Länge, die \(c\) haben muss, damit die anderen beiden Seiten sich überhaupt treffen können? - Gibt es eine maximale Länge, ab der die anderen beiden Seiten zu kurz sind, um die Lücke zu schließen? - Was passiert, wenn die Summe zweier Seiten genau so groß ist wie die dritte Seite?

1. Anwendung der Dreiecksungleichungen: \(c < a + b\) und \(c > |a - b|\). 2. Berechnung der Grenzen: \(c < 8 + 12 = 20\) und \(c > 12 - 8 = 4\). 3. Für ganzzahlige Werte folgt: \(4 < c < 20\). 4. Kleinstmöglicher Wert: \(5\,\text{cm}\). 5. Größtmöglicher Wert: \(19\,\text{cm}\). 6. Begründung für \(c = 20\,\text{cm}\): Da \(8 + 12 = 20\), ist die Summe der zwei kürzeren Seiten gleich der längsten Seite. Die Punkte liegen auf einer Geraden, wodurch kein Dreieck entsteht.

1. Die kleinstmögliche ganzzahlige Länge ist \(5\,\text{cm}\), die größtmögliche ist \(19\,\text{cm}\). 2. Bei \(20\,\text{cm}\) wäre \(8 + 12 = 20\), was die Dreiecksungleichung verletzt (die Punkte wären kollinear).

- An welchem Eckpunkt treffen sich die Seiten \(a\) und \(b\)? - Welche Schranken für eine dritte Seite folgen aus der Dreiecksungleichung? - Vergleiche bei c) die Seite, der \(\alpha\) gegenüberliegt, mit der anderen gegebenen Seite. - Überlege konstruktiv, wie oft ein Kreis einen passenden Winkelschenkel schneiden kann.

1. Die Seiten \(a=BC\) und \(b=AC\) treffen sich bei \(C\). Für SWS muss daher der eingeschlossene Winkel \(\gamma=\angle ACB\) bekannt sein. 2. Für drei Seiten gilt die Dreiecksungleichung \(|b-a|<c<a+b\). Damit erhält man \(2\,\text{cm}<c<10\,\text{cm}\). 3. Beim Datum \(a=4\,\text{cm}\), \(b=6\,\text{cm}\), \(\alpha=30^\circ\) liegt der gegebene Winkel der kürzeren der beiden bekannten Seiten gegenüber. Der SsW-Eindeutigkeitsfall greift daher nicht. 4. Konstruktiv schneidet der Kreis um \(C\) mit Radius \(a=4\,\text{cm}\) den freien Schenkel der zu \(b\) gehörenden Winkelkonstruktion in zwei möglichen Lagen. Es entstehen zwei nicht kongruente Dreiecke.

a) \(\gamma\). b) \(2\,\text{cm}<c<10\,\text{cm}\). c) Es gibt zwei nicht kongruente Dreiecke.

- Erinnere dich an die Summe aller Winkel in einem Dreieck. - Was passiert mit den Linien, die man von den Enden der Seite \(c\) zeichnet, wenn die Winkel zu groß werden? - Wenn du zwei Winkel kennst, kannst du dann den dritten ausrechnen?

1. Für den Kongruenzsatz WSW wird die Seite \(c\) und die beiden anliegenden Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) benötigt. Damit ein Dreieck entsteht, muss die Innenwinkelsumme \(180^\circ\) betragen. Also muss \(\alpha + \beta < 180^\circ\) gelten. Da \(\alpha = 45^\circ\), muss \(\beta < 135^\circ\) sein. Ein Beispiel wäre \(\beta = 60^\circ\). 2. Wenn \(\beta \ge 135^\circ\), dann ist die Summe \(\alpha + \beta \ge 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ\). Da die Summe aller drei Winkel im Dreieck genau \(180^\circ\) betragen muss, bliebe für den dritten Winkel \(\gamma\) kein Raum mehr (\(\gamma \le 0^\circ\)). Geometrisch bedeutet dies, dass die freien Schenkel der Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) parallel sind oder auseinanderlaufen und sich somit nicht schneiden, um den Punkt C zu bilden. 3. Ja, man kann das Dreieck eindeutig konstruieren. Über den Satz der Innenwinkelsumme lässt sich der fehlende Winkel \(\beta\) berechnen: \(\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\). Damit sind wieder eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bekannt, was dem Kongruenzsatz WSW entspricht.

a) Zum Beispiel \(\beta = 60^\circ\). (Jeder Wert \(0^\circ < \beta < 135^\circ\) ist korrekt). b) Bei \(\beta \ge 135^\circ\) wäre die Summe \(\alpha + \beta \ge 180^\circ\). Da die Winkelsumme im Dreieck genau \(180^\circ\) beträgt, könnten sich die Schenkel nicht in einem dritten Punkt treffen. c) Ja, da man über die Winkelsumme (\(180^\circ\)) den Winkel \(\beta\) berechnen kann. Dann sind eine Seite und zwei Winkel bekannt (Satz WSW).

- Welche Dreiecksungleichung ist besonders kritisch, wenn eine Seite deutlich länger als die beiden anderen ist? - Welche Ortslinien beschreiben Punkte mit festem Abstand zu \(A\) beziehungsweise \(B\)? - Welcher Kongruenzsatz passt, wenn alle drei Seitenlängen vorgegeben sind?

1. Für a) gilt \(a+b=2{,}5\,\text{cm}+3\,\text{cm}=5{,}5\,\text{cm}<6\,\text{cm}=c\). Die Dreiecksungleichung ist verletzt; ein solches Dreieck existiert nicht. 2. Für b) gilt \(4+5>7\), \(4+7>5\) und \(5+7>4\). Alle Dreiecksungleichungen sind erfüllt. 3. Zeichne für b) zuerst \(AB=c=7\,\text{cm}\). Zeichne um \(A\) einen Kreis mit Radius \(b=5\,\text{cm}\) und um \(B\) einen Kreis mit Radius \(a=4\,\text{cm}\). Ein Schnittpunkt ist \(C\); verbinde ihn mit \(A\) und \(B\). 4. Da alle drei Seitenlängen gegeben sind, ist das Dreieck nach SSS bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

a) Nicht konstruierbar, weil \(2{,}5\,\text{cm}+3\,\text{cm}<6\,\text{cm}\). b) Konstruierbar. Verwende \(AB=7\,\text{cm}\) als Grundseite und die Kreise um \(A\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) sowie um \(B\) mit Radius \(4\,\text{cm}\). Kongruenzsatz: SSS.

- Schau dir genau an, wo der gegebene Winkel im Verhältnis zu den gegebenen Seiten liegt. Liegt er dazwischen oder gegenüber einer Seite? - Es gibt eine wichtige Regel für den Fall, dass ein Winkel einer Seite gegenüberliegt. Welche Seite muss dann die längere sein? - Skizziere dir die Lage der Seiten und Winkel grob vorab.

1. Analyse Lukas: Gegeben sind zwei Seiten \(a, c\) und der eingeschlossene Winkel \(\beta\). Dies entspricht dem Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite). 2. Analyse Mia: Gegeben sind zwei Seiten \(a, b\) und ein Winkel \(\alpha\). Der Winkel \(\alpha\) liegt der Seite \(a\) gegenüber. 3. Prüfung der Bedingung für Mia: Damit der Kongruenzsatz SsW (Seite-Seite-Winkel) gilt, muss der gegebene Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüberliegen. Hier ist \(a = 7\,\text{cm}\) und \(b = 4{,}5\,\text{cm}\). Da \(a > b\), liegt der Winkel \(\alpha = 55^{\circ}\) der längeren Seite gegenüber. 4. Schlussfolgerung: Mias Dreieck ist nach dem Kongruenzsatz SsW eindeutig konstruierbar.

Lukas nutzt den Kongruenzsatz SWS. Mia nutzt den Kongruenzsatz SsW. Mias Dreieck ist eindeutig konstruierbar, weil der gegebene Winkel \(\alpha\) der längeren Seite \(a\) gegenüberliegt (\(7\,\text{cm} > 4{,}5\,\text{cm}\)).

- An welchem Punkt der Seite \(c\) endet die Seitenhalbierende \(s_c\)? - Welche Ortslinie beschreibt alle möglichen Punkte \(C\) mit \(BC=6\,\text{cm}\)? - Welche zweite Ortslinie folgt aus \(CM_c=5\,\text{cm}\)?

1. Zeichne \(AB=c=8\,\text{cm}\) und bestimme den Mittelpunkt \(M_c\) von \(AB\). 2. Wegen \(a=BC=6\,\text{cm}\) muss \(C\) auf dem Kreis um \(B\) mit Radius \(6\,\text{cm}\) liegen. 3. Wegen \(s_c=CM_c=5\,\text{cm}\) muss \(C\) zugleich auf dem Kreis um \(M_c\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) liegen. 4. Die beiden Kreisschnittpunkte liefern zwei spiegelbildliche und daher kongruente Lagen für \(C\). Verbinde einen davon mit \(A\) und \(B\).

Zeichne \(AB=8\,\text{cm}\) und bestimme seinen Mittelpunkt \(M_c\). Der Punkt \(C\) ist ein Schnittpunkt des Kreises um \(B\) mit Radius \(6\,\text{cm}\) und des Kreises um \(M_c\) mit Radius \(5\,\text{cm}\). Die beiden Schnittpunkte ergeben spiegelbildliche kongruente Dreiecke.

- Welche Ortslinien haben alle Punkte mit festem Abstand \(3\,\text{cm}\) von der Geraden \(AB\)? - Welche zusätzliche Ortslinie folgt aus \(BC=5\,\text{cm}\)? - Welche der entstehenden Lagen gehen durch Spiegelung an \(AB\) ineinander über?

1. Zeichne \(AB=c=7{,}5\,\text{cm}\). 2. Wegen \(h_c=3\,\text{cm}\) muss \(C\) auf einer der beiden Parallelen zu \(AB\) im Abstand \(3\,\text{cm}\) liegen. 3. Wegen \(a=BC=5\,\text{cm}\) muss \(C\) zugleich auf dem Kreis um \(B\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) liegen. 4. Jede der beiden Parallelen schneidet den Kreis in zwei Punkten. Damit gibt es vier mögliche Lagen von \(C\). 5. Je zwei Lagen auf gegenüberliegenden Parallelen sind Spiegelbilder an \(AB\) und daher kongruent. Die beiden Schnittlagen auf derselben Seite von \(AB\) sind nicht kongruent zueinander. 6. Somit entstehen genau zwei nicht kongruente Dreiecke.

Zeichne zu \(AB\) die beiden Parallelen im Abstand \(3\,\text{cm}\) und den Kreis um \(B\) mit Radius \(5\,\text{cm}\). Die vier Schnittpunkte liefern wegen der Spiegelung an \(AB\) genau zwei nicht kongruente Dreiecke.

- Betrachte eines der beiden Dreiecke, in die das Viereck durch die Diagonale geteilt wird. - Erinnere dich an die Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss immer länger sein als die dritte Seite. - Was passiert mit dem Dreieck, wenn die Diagonale fast so lang wie die Summe der anderen beiden Seiten ist? - Was passiert, wenn die Diagonale sehr kurz ist?

1. Die Diagonale \(e\) teilt das Drachenviereck in zwei kongruente Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\). 2. Für die Existenz des Dreiecks \(ABC\) mit den Seiten \(a = 5\,\text{cm}\), \(b = 9\,\text{cm}\) und \(e\) muss die Dreiecksungleichung erfüllt sein. 3. Bedingung 1 (Dreiecksungleichung \(a + e > b\)): \(a + e > b \Rightarrow 5 + e > 9 \Rightarrow e > 4\,\text{cm}\). 4. Bedingung 2 (Summe der anderen Seiten): \(a + b > e \Rightarrow 5 + 9 > e \Rightarrow 14\,\text{cm} > e\). 5. Zusammenfassend muss für die Länge der Diagonale gelten: \(4\,\text{cm} < e < 14\,\text{cm}\). 6. Bei den Grenzwerten \(4\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\) würden die Punkte auf einer Geraden liegen (entartetes Dreieck), daher sind diese auszuschließen.

Die Länge der Diagonale \(e\) muss zwischen \(4\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\) liegen (\(4\,\text{cm} < e < 14\,\text{cm}\)), damit das Drachenviereck existiert.

- Welche Winkelgröße erhältst du direkt aus der Beziehung \(\gamma=2\alpha\)? - Welche feste Summe haben die drei Innenwinkel? - Welche Seite liegt zwischen den beiden Winkeln, die du für die Konstruktion an den Endpunkten antragen kannst?

1. Es gilt \(\gamma=2\cdot42^\circ=84^\circ\). Mit der Innenwinkelsumme folgt \(\beta=180^\circ-42^\circ-84^\circ=54^\circ\). 2. Zeichne \(AB=c=7{,}2\,\text{cm}\). Trage in \(A\) den Winkel \(\alpha=42^\circ\) und in \(B\) auf derselben Seite von \(AB\) den Winkel \(\beta=54^\circ\) ab. Der Schnittpunkt der freien Schenkel ist \(C\). 3. Die bekannte Seite \(AB\) liegt zwischen den beiden verwendeten Winkeln. Daher ist das Dreieck nach WSW bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

1. \(\gamma=84^\circ\), \(\beta=54^\circ\). 2. Zeichne \(AB=7{,}2\,\text{cm}\) und trage bei \(A\) \(42^\circ\), bei \(B\) \(54^\circ\) ab; der Schnittpunkt der Schenkel ist \(C\). 3. WSW.

- An welchem Eckpunkt treffen die Seiten \(b\) und \(c\) zusammen? - Welcher der drei gegebenen Werte kann nach der Grundseite als Nächstes festgelegt werden? - Welche Lage hat der Winkel \(\alpha\) relativ zu den beiden gegebenen Seiten?

1. Zeichne \(AB=c=4{,}0\,\text{cm}\). 2. Trage in \(A\) den Winkel \(\alpha=105^\circ\) ab. 3. Bestimme auf dem freien Winkelschenkel den Punkt \(C\) mit \(AC=b=5{,}5\,\text{cm}\). 4. Verbinde \(C\) mit \(B\). 5. Die beiden gegebenen Seiten \(b\) und \(c\) schließen den Winkel \(\alpha\) ein. Daher ist das Dreieck nach SWS bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

Zeichne \(AB=4{,}0\,\text{cm}\), trage bei \(A\) den Winkel \(105^\circ\) ab und markiere auf seinem freien Schenkel \(C\) mit \(AC=5{,}5\,\text{cm}\). Verbinde \(B\) und \(C\). Kongruenzsatz: SWS.

- Wie hängen Umfang, Basis und Schenkel in der Formel zusammen? - Was passiert mit den anderen Seiten, wenn eine Seite bei gleichbleibendem Umfang länger wird? - Erinnerst du dich an die Dreiecksungleichung? Welche Bedingung müssen drei Längen erfüllen, damit sie ein Dreieck bilden können?

1. Berechnung zu a): Der Umfang ist \(u = a + b + c\). Da \(a = b\), gilt \(20 = 2a + 4\). Daraus folgt \(2a = 16\), also \(a = b = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung zu b): Es gilt \(20 = 2a + 8\). Daraus folgt \(2a = 12\), also \(a = b = 6\,\text{cm}\). Die Schenkel verkürzen sich jeweils um \(2\,\text{cm}\). 3. Überprüfung zu c): Wäre \(c = 12\,\text{cm}\), dann wäre die Summe der Schenkel \(a + b = 20 - 12 = 8\,\text{cm}\). Nach der Dreiecksungleichung muss die Summe zweier Seiten immer größer als die dritte Seite sein, also insbesondere \(a + b > c\). Da \(8 < 12\), lässt sich mit diesen Maßen kein Dreieck konstruieren.

a) Die Schenkel sind jeweils \(8\,\text{cm}\) lang. b) Die Schenkel werden kürzer und sind dann jeweils \(6\,\text{cm}\) lang. c) Die Behauptung ist falsch, da die Summe der Schenkel (\(8\,\text{cm}\)) kürzer als die Basis (\(12\,\text{cm}\)) wäre, was der Dreiecksungleichung widerspricht.

- Welche Symmetrie besitzt ein gleichschenkliges Dreieck bezüglich seiner Basis? - Wo liegt der Fußpunkt der Höhe auf die Basis? - Welche Ortslinie enthält alle Punkte mit gleichem Abstand von \(A\) und \(B\)?

1. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Höhe auf die Basis zugleich Mittelsenkrechte der Basis. Die Spitze \(C\) muss deshalb auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegen. 2. Zeichne \(AB=c=6\,\text{cm}\) und konstruiere die Mittelsenkrechte von \(AB\). Nenne ihren Schnittpunkt mit \(AB\) \(M\). 3. Trage auf der Mittelsenkrechten von \(M\) aus die Strecke \(MC=h_c=4\,\text{cm}\) ab. 4. Verbinde \(C\) mit \(A\) und \(B\). Die Lage auf der anderen Seite von \(AB\) ist das spiegelbildliche kongruente Dreieck.

1. Die Spitze \(C\) liegt auf der Mittelsenkrechten von \(AB\), weil die Höhe zur Basis im gleichschenkligen Dreieck zugleich Mittelsenkrechte ist. 2. Zeichne \(AB=6\,\text{cm}\), konstruiere seine Mittelsenkrechte, trage von ihrem Schnittpunkt mit \(AB\) aus \(4\,\text{cm}\) ab und verbinde den erhaltenen Punkt \(C\) mit \(A\) und \(B\).

- Welche Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke? - Welche drei Längen bestimmen das erste dieser Dreiecke eindeutig? - Welche zwei weiteren Längen reichen zusammen mit der gemeinsamen Diagonale für das zweite Dreieck? - Warum muss der vierte Punkt für ein konvexes Viereck auf der gegenüberliegenden Seite der Diagonale liegen?

1. Eine mögliche Auswahl ist \(a,b,c,d,e\). 2. Konstruiere \(\triangle ABC\) aus \(a,b,e\). Dieses Dreieck ist nach SSS bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt. 3. Konstruiere anschließend auf der zu \(B\) entgegengesetzten Seite von \(AC\) das Dreieck \(ADC\) aus \(c,d,e\). Auch dieses Dreieck ist nach SSS eindeutig bestimmt. 4. Damit ist das konvexe Viereck \(ABCD\) bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

a) Zum Beispiel \(a,b,c,d,e\). b) Konstruiere zuerst \(\triangle ABC\) aus \(a,b,e\) und danach \(\triangle ADC\) aus \(c,d,e\) auf der gegenüberliegenden Seite der Diagonale \(AC\). c) Beide Teildreiecke sind jeweils nach SSS eindeutig bestimmt; deshalb ist auch das konvexe Viereck bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

- Welche Abstandseigenschaft besitzt ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden zu deren beiden Schenkeln? - Wie kannst du die Abstandsgleichheiten aus zwei Winkelhalbierenden miteinander verknüpfen? - Wann berührt ein Kreis eine Gerade?

1. Konstruiere die Winkelhalbierenden bei \(A\) und \(B\). Ihr Schnittpunkt ist \(I\). 2. Weil \(I\) auf der Winkelhalbierenden bei \(A\) liegt, sind seine senkrechten Abstände zu \(AB\) und \(AC\) gleich. Wegen der Winkelhalbierenden bei \(B\) sind ebenso die Abstände zu \(BA\) und \(BC\) gleich. 3. Damit hat \(I\) zu allen drei Dreiecksseiten denselben senkrechten Abstand. 4. Fälle von \(I\) aus das Lot auf \(AB\) und nenne den Fußpunkt \(F\). Der Kreis um \(I\) mit Radius \(IF\) hat zu jeder Dreiecksseite genau den Radiusabstand und berührt daher alle drei Seiten. 5. Weil \(I\) zu \(CA\) und \(CB\) denselben Abstand hat, liegt \(I\) auch auf der Winkelhalbierenden bei \(C\).

a) Konstruiere die Winkelhalbierenden bei \(A\) und \(B\); ihr Schnittpunkt ist \(I\). b) Bestimme den Lotfuß \(F\) von \(I\) auf \(AB\). Der Kreis um \(I\) mit Radius \(IF\) ist der Inkreis. c) \(I\) hat zu allen drei Seiten denselben senkrechten Abstand; deshalb berührt der Kreis alle drei Seiten und \(I\) liegt auch auf der Winkelhalbierenden bei \(C\).

- Welche Ortslinie beschreibt einen festen Abstand von \(M\)? - Welche Ortslinie beschreibt einen festen Abstand von \(B\)? - Wie liegen die beiden Schnittpunkte bezüglich der Geraden \(AB\) zueinander?

1. Aus \(CM=5\,\text{cm}\) folgt: \(C\) liegt auf dem Kreis um \(M\) mit Radius \(5\,\text{cm}\). 2. Aus \(BC=6\,\text{cm}\) folgt: \(C\) liegt auf dem Kreis um \(B\) mit Radius \(6\,\text{cm}\). 3. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten auf verschiedenen Seiten von \(AB\). Diese beiden Dreiecke sind Spiegelbilder an \(AB\) und daher kongruent. 4. Es gibt also genau eine nicht kongruente Lösung.

Zeichne den Kreis um \(M\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) und den Kreis um \(B\) mit Radius \(6\,\text{cm}\). Ihre beiden Schnittpunkte liefern spiegelbildliche, kongruente Dreiecke; es gibt eine nicht kongruente Lösung.

- Welche Länge muss die Strecke \(AB\) im Maßstab des Lageplans haben? - Wie wird aus jeder gemessenen Richtung ein Strahl mit festem Anfangspunkt? - Was bedeutet der Schnittpunkt dieser beiden Strahlen für die gesuchte Position? - Welcher Kongruenzsatz passt zu einer bekannten Seite und den beiden Winkeln an ihren Endpunkten?

1. Zuerst wird die reale Entfernung in die Planlänge umgerechnet: \(800\,\text{m}=80\,000\,\text{cm}\) und \(80\,000\,\text{cm}:10\,000=8\,\text{cm}\). 2. Zeichne auf dem Lageplan die Strecke \(AB\) mit der Länge \(8\,\text{cm}\). 3. Trage bei \(A\) auf der festgelegten Seite von \(AB\) einen Strahl mit \(38^\circ\) zu \(AB\) ab. 4. Trage bei \(B\) auf derselben Seite einen Strahl mit \(62^\circ\) zu \(BA\) ab. 5. Der Schnittpunkt der beiden Strahlen ist die gesuchte Position \(T\). 6. Die Seite \(AB\) und die beiden anliegenden Winkel legen das Dreieck \(ABT\) nach WSW eindeutig fest. Durch die Angabe der Seite von \(AB\) ist auch die spiegelbildliche Lage ausgeschlossen.

Auf dem Lageplan gilt \(AB=8\,\text{cm}\). Zeichne bei \(A\) einen Strahl unter \(38^\circ\) zu \(AB\) und bei \(B\) auf derselben Seite einen Strahl unter \(62^\circ\) zu \(BA\). Ihr Schnittpunkt ist \(T\). Die Lage ist nach WSW eindeutig bestimmt.

- Welche Rollen kann eine Seite in einem gleichschenkligen Dreieck einnehmen? - Wie viele verschiedene Fälle musst du untersuchen? - Denk daran, nach der Berechnung der Seitenlängen immer zu prüfen, ob die Dreiecksungleichung erfüllt ist.

1. Fall 1: Die Seite mit \(4\,\text{cm}\) ist die Basis. Dann sind die beiden Schenkel \(x\) gleich lang. 2. Berechnung für Fall 1: \(2x + 4 = 18 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7\). Die Seiten sind \(7\,\text{cm}\), \(7\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\). 3. Prüfung Fall 1: \(7 + 4 > 7\) ist wahr. Das Dreieck existiert. 4. Fall 2: Die Seite mit \(4\,\text{cm}\) ist einer der Schenkel. Dann ist der zweite Schenkel ebenfalls \(4\,\text{cm}\) lang. Die Basis sei \(y\). 5. Berechnung für Fall 2: \(4 + 4 + y = 18 \Rightarrow 8 + y = 18 \Rightarrow y = 10\). Die Seiten sind \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(10\,\text{cm}\). 6. Prüfung Fall 2: \(4 + 4 = 8\). Da \(8 < 10\), ist die Dreiecksungleichung verletzt. Dieses Dreieck existiert nicht.

Es gibt nur eine Möglichkeit: Die Schenkel sind jeweils \(7\,\text{cm}\) lang und die Basis ist \(4\,\text{cm}\) lang. Der Fall mit Schenkeln von \(4\,\text{cm}\) und einer Basis von \(10\,\text{cm}\) ist unmöglich, da \(4 + 4 < 10\).

- Wie hängt der vierte Innenwinkel eines Vierecks von den drei anderen ab? - Sind alle fünf genannten Angaben wirklich voneinander unabhängig? - Kannst du die Form bei festgehaltenen Winkelrichtungen verändern, indem du eine gegenüberliegende Seite verschiebst?

1. In jedem Viereck beträgt die Summe der Innenwinkel \(360^\circ\). Sobald drei Winkel feststehen, ist der vierte durch \(\delta = 360^\circ-(\alpha+\beta+\gamma)\) bestimmt. 2. Die vier Winkel liefern daher nicht vier voneinander unabhängige Informationen. 3. Bei fester Seite \(a\) und festen Innenwinkeln können die übrigen Seitenlängen verändert werden: Die gegenüberliegende Seite kann parallel zu ihrer bisherigen Lage verschoben werden, während die vorgegebenen Winkel erhalten bleiben. 4. Dadurch entstehen verschiedene, nicht kongruente Vierecke mit denselben angegebenen Winkeln und derselben Seite \(a\). 5. Das Viereck ist deshalb nicht eindeutig bestimmt.

Lukas hat nicht recht. Der vierte Innenwinkel ist wegen der Winkelsumme \(360^\circ\) bereits durch die drei anderen bestimmt. Außerdem lassen sich bei gleicher Seite \(a\) und gleichen Winkeln verschieden große Vierecke erzeugen. Die fünf angegebenen Maße bestimmen das Viereck daher nicht eindeutig.