- Welche Gerade beschreibt die Symmetrie zwischen den Punkten \(A\) und \(B\)? - Denke an eine Gerade, deren Punkte zu beiden Endpunkten einer Strecke denselben Abstand haben.

1. Gesucht sind Punkte, die von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sind. 2. Genau diese Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\).

Die Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke \(AB\).

- Zerlege das Wort „Mittelsenkrechte“ in zwei Bedingungen. - Welche Gerade trifft \(\overline{AB}\) genau in der Mitte? - Welche der Kandidaten steht dort zugleich senkrecht auf \(AB\)?

1. Eine Mittelsenkrechte muss durch den Mittelpunkt einer Strecke verlaufen. 2. Außerdem muss sie senkrecht auf der Strecke stehen. 3. Nur \(g\) verläuft durch den Mittelpunkt von \(\overline{AB}\) und steht senkrecht auf \(AB\).

\(g\), denn \(g\) verläuft durch den Mittelpunkt von \(\overline{AB}\) und steht senkrecht auf \(AB\). Damit sind beide Bedingungen erfüllt.

- Formuliere zuerst ohne Blick auf die Zahlen, was „Winkelhalbierende“ bedeutet. - Vergleiche danach in jeder Skizze die beiden Teilwinkel. - Entscheidend ist Gleichheit der Winkelgrößen, nicht die Lage des Strahls im Bild.

1. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Teilwinkel. 2. In a) sind die Teilwinkel \(30^\circ\) und \(50^\circ\); sie sind nicht gleich. 3. In b) sind beide Teilwinkel \(40^\circ\); sie sind gleich. Daher ist \(w\) dort Winkelhalbierende. 4. In c) sind die Teilwinkel \(45^\circ\) und \(35^\circ\); sie sind nicht gleich.

Skizze b). Eine Winkelhalbierende erzeugt zwei gleich große Teilwinkel; nur in b) gilt \(40^\circ=40^\circ\).

- Welche Abstandseigenschaft haben alle Punkte auf der Mittelsenkrechten von \(AB\)? - Welche der beiden Entfernungen ist in der Abbildung angegeben?

1. Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat von deren Endpunkten den gleichen Abstand. 2. Weil \(P\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegt, gilt \(PA = PB\). 3. Aus der Abbildung liest man \(PA = 5\,\text{cm}\) ab. Daher ist \(PB = 5\,\text{cm}\).

\(PB = 5\,\text{cm}\), weil für Punkte auf der Mittelsenkrechten \(PA = PB\) gilt.

- Was bedeutet „Lot“ geometrisch? - Welche Markierung zeigt einen rechten Winkel?

1. Ein Lot auf eine Gerade steht senkrecht auf dieser Geraden. 2. Die Rechtwinkligkeitsmarkierung zeigt, dass \(PH\) senkrecht auf \(g\) steht. 3. Daher ist \(PH\) das Lot und \(H\) der Lotfuß.

\(PH\) ist das Lot auf \(g\); \(H\) ist der Lotfuß, weil \(PH\perp g\) gilt.

- Welche Rolle hat die eingezeichnete Strecke vom Mittelpunkt zum Kreis? - Was ist bei allen Radien desselben Kreises gleich?

1. Der Kreis \(k\) hat den Mittelpunkt \(M\). 2. Die eingezeichnete Radiusstrecke zeigt, dass der Radius \(3\,\text{cm}\) beträgt. 3. Nach der Kreisdefinition haben alle Punkte auf \(k\) genau diesen Abstand von \(M\).

Jeder Punkt auf \(k\) hat von \(M\) den Abstand \(3\,\text{cm}\).

- Was bedeutet es für einen Schnittpunkt, auf beiden Kreisen zu liegen? - Vergleiche die Abstände von \(X\) zu \(A\) und \(B\), danach die von \(Y\). - Welche Ortslinie besteht aus allen Punkten mit gleichem Abstand von \(A\) und \(B\)?

1. Weil beide Kreise denselben Radius haben, gilt für den Schnittpunkt \(X\): \(XA=XB\). 2. Ebenso gilt für \(Y\): \(YA=YB\). 3. Jeder Punkt, der von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt ist, liegt auf der Mittelsenkrechten von \(AB\). 4. Da zwei verschiedene Punkte \(X\) und \(Y\) diese Eigenschaft haben, ist die durch sie bestimmte Gerade \(m\) die Mittelsenkrechte von \(AB\).

Es gilt \(XA=XB\) und \(YA=YB\). Daher liegen \(X\) und \(Y\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\); die Gerade \(m=XY\) ist somit diese Mittelsenkrechte.

- Welche Eigenschaft haben Punkte auf einer Winkelhalbierenden? - Was folgt daraus für die Abstände von \(I\) zu den drei Seiten? - Wie hängt der Radius mit dem Abstand des Mittelpunkts von einer berührten Seite zusammen?

1. Die blauen Strahlen halbieren die Winkel bei \(A\) und \(B\) und schneiden sich in \(I\). 2. Ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden hat zu den beiden Schenkeln den gleichen senkrechten Abstand. Deshalb ist \(I\) von \(AB\), \(AC\) und \(BC\) gleich weit entfernt. 3. Ein Kreis mit Mittelpunkt \(I\) und diesem Abstand als Radius berührt alle drei Dreiecksseiten. Deshalb ist \(I\) der Mittelpunkt des Inkreises. 4. Der Radius ist der senkrechte Abstand von \(I\) zu einer Dreiecksseite.

\(I\) liegt auf den Winkelhalbierenden bei \(A\) und \(B\). Deshalb ist \(I\) von allen drei Dreiecksseiten gleich weit entfernt. Ein Kreis mit Mittelpunkt \(I\) und diesem Abstand als Radius berührt alle drei Seiten. Daher ist \(I\) der Mittelpunkt des Inkreises. Der Radius ist der senkrechte Abstand von \(I\) zu einer Dreiecksseite.

- Welche Abstände müssen bei einem Kreis vom Mittelpunkt zu Punkten auf dem Kreis gleich sein? - Welche drei Strecken musst du hier vergleichen? - Was folgt daraus für \(M\)?

1. In der Abbildung gilt \(MA=MB=MC\). 2. Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(MA\) geht deshalb auch durch \(B\) und \(C\). 3. Damit ist \(M\) der Mittelpunkt des Umkreises von \(ABC\).

\(M\) ist der Mittelpunkt des Umkreises, weil \(MA=MB=MC\) gilt.

- Die beiden Kreisbögen müssen sich auf beiden Seiten der Strecke schneiden. Was bedeutet das für die Zirkelöffnung? - Welche Beziehung haben die beiden Kreisschnittpunkte jeweils zu \(A\) und \(B\)? - Welche zwei Eigenschaften stecken bereits im Wort „Mittelsenkrechte“?

1. Wähle eine Zirkelöffnung, die größer als die Hälfte von \(AB\) ist. Schlage mit derselben Öffnung um \(A\) und um \(B\) je Kreisbögen oberhalb und unterhalb der Strecke. 2. Verbinde die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen mit dem Lineal. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte von \(AB\). 3. Die Mittelsenkrechte halbiert \(AB\). Daher ist jede Teilstrecke \(7{,}6\,\text{cm} : 2 = 3{,}8\,\text{cm}\) lang. 4. Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten hat zu \(A\) und \(B\) denselben Abstand.

a) Mit gleicher Zirkelöffnung größer als der halben Streckenlänge um \(A\) und \(B\) Kreisbögen auf beiden Seiten von \(AB\) schlagen; die Gerade durch die beiden Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte. b) Je \(3{,}8\,\text{cm}\) c) Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten ist von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt.

- Was ist die wichtigste Eigenschaft einer Winkelhalbierenden? - Wenn eine Linie einen Winkel halbiert, in welchem Verhältnis stehen dann die beiden kleineren Winkel zueinander? - Wie kannst du aus den beiden Teilwinkeln den gesamten Winkel zusammensetzen?

1. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei exakt gleich große Teilwinkel. 2. Da die Gerade \(w\) die Winkelhalbierende von \(\beta\) ist, ist der Teilwinkel \(\alpha\) zwischen \(w\) und \(h\) genauso groß wie der gegebene Teilwinkel zwischen \(g\) und \(w\). Daher gilt: \(\alpha = 28^\circ\). 3. Der Gesamtwinkel \(\beta\) ist die Summe der beiden Teilwinkel: \(\beta = 28^\circ + \alpha = 28^\circ + 28^\circ = 56^\circ\).

Winkelhalbierende: \(\alpha=28^\circ\). Daher ist der Gesamtwinkel \(\beta=28^\circ+28^\circ=56^\circ\).

- Was sagen „Höhe“ und „Mittelpunkt“ zusammen über die Lage von \(ED\) zu \(AC\)? - Vergleiche danach die Abstände von \(B\) zu \(A\) und \(C\).

1. Weil \(ED\) eine Höhe auf \(AC\) ist, gilt \(ED\perp AC\). 2. Weil \(D\) der Mittelpunkt von \(\overline{AC}\) ist, verläuft \(ED\) durch die Mitte von \(\overline{AC}\). 3. Damit liegt \(ED\) auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{AC}\). 4. Jeder Punkt auf dieser Mittelsenkrechten ist von \(A\) und \(C\) gleich weit entfernt. Da \(B\) auf \(ED\) liegt, gilt \(BA=BC\).

\(ED\) ist die Mittelsenkrechte von \(\overline{AC}\). Da \(B\) auf ihr liegt, ist \(B\) von \(A\) und \(C\) gleich weit entfernt. Also gilt \(BA=BC\).

- Welche zwei Bedingungen zeigen die Strecken- und Winkelmarkierungen bei \(M\)? - Welche besondere Gerade zu \(AB\) ist damit dargestellt? - Welche Abstandseigenschaft hat jeder Punkt auf dieser Geraden zu \(A\) und \(B\)?

1. Die gleichen Strichmarkierungen zeigen \(AM = MB\). Der markierte rechte Winkel zeigt, dass die gestrichelte Gerade durch \(M\) senkrecht auf \(AB\) steht. 2. Damit ist die gestrichelte Gerade die Mittelsenkrechte von \(AB\). Der Punkt \(C\) liegt auf dieser Geraden. 3. Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat zu deren Endpunkten denselben Abstand. Deshalb gilt \(CA = CB\). 4. Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten ist gleichschenklig. Also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

Aus den Markierungen folgt, dass die gestrichelte Gerade die Mittelsenkrechte von \(AB\) ist und \(C\) auf ihr liegt. Daher gilt \(CA = CB\). Somit ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

- Welche Abstandseigenschaft haben alle Punkte einer Mittelsenkrechten? - Welche zwei Abstandsgleichheiten erhältst du aus den ersten beiden Mittelsenkrechten? - Welche dieser Gleichheiten zeigt anschließend die Lage auf der dritten Mittelsenkrechten?

1. Konstruiere die Mittelsenkrechten von \(AB\) und \(BC\). Ihr Schnittpunkt ist \(M\). 2. Weil \(M\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegt, gilt \(MA=MB\). Weil \(M\) zugleich auf der Mittelsenkrechten von \(BC\) liegt, gilt \(MB=MC\). 3. Damit ist \(MA=MB=MC\). Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(MA\) verläuft deshalb durch \(A\), \(B\) und \(C\); er ist der Umkreis. 4. Aus \(MA=MC\) folgt, dass \(M\) auch auf der Mittelsenkrechten von \(AC\) liegt.

a) Konstruiere die Mittelsenkrechten von \(AB\) und \(BC\); ihr Schnittpunkt ist \(M\). b) Es gilt \(MA=MB=MC\). Der Kreis um \(M\) mit Radius \(MA\) ist daher der Umkreis. c) Wegen \(MA=MC\) liegt \(M\) auch auf der Mittelsenkrechten von \(AC\).

- Welche Abstandseigenschaft muss jeder Punkt der Mittelsenkrechten erfüllen? - Vergleiche in der Abbildung die beiden Abstände von \(X\) zu den Endpunkten \(A\) und \(B\). - Prüfe die Konstruktion anhand der Definition, nicht nur daran, dass sich zwei Kreise schneiden.

1. Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) muss von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sein. 2. Aus der Abbildung liest man für den Schnittpunkt \(X\) die Abstände \(XA = 3\,\text{cm}\) und \(XB = 4\,\text{cm}\) ab. 3. Damit ist \(X\) nicht gleich weit von \(A\) und \(B\) entfernt und kann nicht auf der Mittelsenkrechten liegen. Dasselbe gilt für \(Y\). 4. Also ist \(XY\) nicht die Mittelsenkrechte von \(AB\). Bei der üblichen Konstruktion müssen die Kreisbögen um \(A\) und \(B\) mit derselben Zirkelöffnung geschlagen werden.

Nein. Die Abbildung zeigt unterschiedliche Radien, also gilt für die Kreisschnittpunkte nicht \(XA = XB\) beziehungsweise \(YA = YB\). Daher ist \(XY\) nicht die Mittelsenkrechte von \(AB\).

- Welche Eigenschaft haben Punkte, die von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sind? - Welche Aussage ist hier gegeben und welche sollst du daraus folgern? - Formuliere deine Folgerung als Lageaussage über \(Q\).

1. Für die Mittelsenkrechte gilt auch die Umkehrung der Abstandseigenschaft. 2. Ist ein Punkt von den Endpunkten \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt, dann liegt er auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{AB}\). 3. Aus \(QA=QB\) folgt deshalb, dass \(Q\) auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{AB}\) liegt.

Aus \(QA=QB\) folgt nach dem Kehrsatz zur Mittelsenkrechten: \(Q\) liegt auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{AB}\).

- Welche Punkte müssen vorhanden sein, bevor du von ihnen aus weitere Kreisbögen zeichnen kannst? - Die letzte Gerade muss durch den Scheitel \(S\) und einen erst später entstehenden Hilfspunkt verlaufen. - Prüfe bei deiner Reihenfolge, ob jeder Schritt nur bereits konstruierte Punkte verwendet.

1. Zuerst muss ein Kreisbogen um \(S\) beide Schenkel treffen: Schritt B. 2. Danach werden diese beiden Schnittpunkte markiert: Schritt D. 3. Von ihnen aus zeichnet man mit gleichem Radius zwei sich schneidende Kreisbögen: Schritt C. 4. Schließlich verbindet man deren Schnittpunkt mit \(S\): Schritt A. Diese Gerade ist die Winkelhalbierende.

B – D – C – A

- Welche Gleichheitsbedingung definiert eine Winkelhalbierende? - Lies die beiden Teilwinkel aus der Abbildung ab und vergleiche sie. - „Fast gleich“ genügt bei einer geometrischen Definition nicht.

1. Eine Winkelhalbierende muss den gegebenen Winkel in zwei gleich große Teilwinkel zerlegen. 2. Im Bild sind die beiden Teilwinkel mit \(32^\circ\) und \(31^\circ\) markiert. 3. Da \(32^\circ \ne 31^\circ\), sind die Teilwinkel nicht gleich groß. 4. Somit ist \(w\) keine Winkelhalbierende.

Nein. \(w\) ist keine Winkelhalbierende, weil die beiden markierten Teilwinkel verschieden groß sind.

- Wie kannst du auf \(g\) zwei Punkte erzeugen, die von \(P\) gleich weit entfernt sind? - Welche bekannte Konstruktion liefert eine Gerade, die senkrecht auf der Verbindungsstrecke zweier Punkte steht? - Überlege, warum diese konstruierte Gerade durch \(P\) gehen muss.

1. Zeichne um \(P\) einen Kreis mit so großem Radius, dass er die Gerade \(g\) in zwei Punkten \(A\) und \(B\) schneidet. 2. Dann gilt \(PA = PB\), also liegt \(P\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\). 3. Konstruiere die Mittelsenkrechte von \(AB\), zum Beispiel mit gleich großen Kreisbögen um \(A\) und \(B\). 4. Diese Mittelsenkrechte verläuft durch \(P\) und steht senkrecht auf \(g\). 5. Ihr Schnittpunkt mit \(g\) ist der Lotfußpunkt \(F\).

Zeichne einen Kreis um \(P\), der \(g\) in \(A\) und \(B\) schneidet. Konstruiere dann die Mittelsenkrechte von \(AB\). Sie verläuft durch \(P\) und steht senkrecht auf \(g\); ihr Schnittpunkt mit \(g\) ist der Lotfußpunkt \(F\).

- Wie ist der Abstand eines Punkts von einer Geraden definiert? - Welche Strecke ist durch die Rechtwinkligkeitsmarkierung ausgezeichnet? - Welche Längenangabe gehört genau zu dieser Strecke?

1. Der Abstand eines Punkts von einer Geraden wird entlang des Lots gemessen. 2. Die Rechtwinkligkeitsmarkierung zeigt \(PH\perp g\). Daher ist \(PH\) die Lotstrecke von \(P\) auf \(g\). 3. Aus der Abbildung liest man \(PH=4{,}2\,\text{m}\) ab. 4. Die Strecke \(PQ\) trifft \(g\) schräg und ist deshalb keine Lotstrecke; ihre Länge ist nicht der Abstand von \(P\) zu \(g\).

Der Abstand beträgt \(4{,}2\,\text{m}\). Er wird durch die Lotstrecke \(PH\) angegeben; \(PQ\) steht nicht senkrecht auf \(g\).

- Welche Ortslinie beschreibt „gleich weit von \(A\) und \(B\) entfernt“? - Welche Ortslinie beschreibt einen festen Abstand von \(A\)? - Gesucht sind Punkte, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Die Gerade \(m\) steht senkrecht auf \(AB\) und halbiert \(AB\). Sie ist daher die Mittelsenkrechte; alle ihre Punkte sind von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt. 2. Der Kreis \(k\) hat Mittelpunkt \(A\) und den in der Abbildung angegebenen Radius \(3\,\text{km}\). Alle Punkte auf \(k\) haben diesen Abstand von \(A\). 3. Gesucht sind Punkte, die auf beiden Ortslinien liegen. 4. Genau \(X_1\) und \(X_2\) sind Schnittpunkte von \(m\) und \(k\). \(Y\) liegt nur auf \(k\), \(Z\) nur auf \(m\).

\(X_1\) und \(X_2\). Sie liegen sowohl auf der Mittelsenkrechten \(m\) von \(AB\) als auch auf dem Kreis \(k\) um \(A\) mit Radius \(3\,\text{km}\).

- Was weißt du über die Abstände eines Punktes auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{AB}\)? - Was muss für die Abstände zu \(A\), \(B\) und \(C\) gelten, wenn \(M\) der Umkreismittelpunkt ist? - Wie kannst du eine weitere Dreiecksseite nutzen, um die Lage von \(M\) festzulegen?

1. Auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{AB}\) gilt nur sicher \(MA=MB\). 2. Daraus folgt noch nicht \(MA=MC\). 3. Man konstruiert zusätzlich die Mittelsenkrechte einer zweiten Dreiecksseite, zum Beispiel von \(\overline{AC}\). 4. Ihr Schnittpunkt mit der ersten Mittelsenkrechten ist von \(A\), \(B\) und \(C\) gleich weit entfernt und damit der Umkreismittelpunkt.

Nein. Eine Mittelsenkrechte reicht nicht. Man braucht eine zweite Mittelsenkrechte; ihr Schnittpunkt mit der ersten ist der Umkreismittelpunkt. Erst dann zeichnet man den Kreis durch einen Eckpunkt.

- Vergleiche die Strecke zu einem Eckpunkt mit einer Strecke, die an einer Seite endet. - Welcher Abstand ist für einen Kreis wichtig, der eine Gerade berührt? - Welche Konstruktion liefert den Abstand eines Punktes zu einer Geraden?

1. Der Inkreis soll die drei Seiten des Dreiecks berühren, nicht durch die Eckpunkte gehen. 2. Sein Radius ist deshalb der senkrechte Abstand des Mittelpunktes \(I\) zu einer Dreiecksseite. 3. Omar muss von \(I\) ein Lot auf eine Seite fällen. 4. Die Lotstrecke vom Punkt \(I\) zum Lotfuß ist der Radius des Inkreises.

Die Strecke von \(I\) zu einem Eckpunkt ist nicht der Inkreisradius. Omar muss von \(I\) ein Lot auf eine Dreiecksseite konstruieren und die Lotstrecke als Radius verwenden.

- Bei der Zirkelkonstruktion müssen zunächst zwei Punkte auf den Schenkeln in gleichem Abstand vom Scheitel entstehen. - Welche Eigenschaft hat der Schnittpunkt zweier Kreisbögen mit gleicher Zirkelöffnung zu diesen beiden Punkten? - Für c) zählt, wie oft der Ausgangswinkel nacheinander halbiert wird.

1. Schlage für \(w_1\) um den Scheitelpunkt einen Kreisbogen, der beide Schenkel schneidet. Schlage von diesen beiden Schnittpunkten mit gleicher Zirkelöffnung zwei Kreisbögen, die sich im Winkelinneren schneiden. Die Halbgerade vom Scheitelpunkt durch diesen Schnittpunkt ist \(w_1\). 2. Durch \(w_1\) entstehen zwei Winkel mit jeweils \(74^\circ : 2 = 37^\circ\). 3. Führe dieselbe Zirkelkonstruktion an einem dieser \(37^\circ\)-Winkel aus. Die dadurch entstehende Halbgerade ist \(w_2\). 4. Der kleinste Winkel ist \(37^\circ : 2 = 18{,}5^\circ\) groß.

a) Von einem Kreisbogen um den Scheitel aus zwei gleich weit entfernte Punkte auf den Schenkeln erzeugen; von diesen Punkten Kreisbögen mit gleicher Öffnung schlagen und den Scheitel mit deren innerem Schnittpunkt verbinden. b) Dasselbe Verfahren auf einen der beiden von \(w_1\) erzeugten Teilwinkel anwenden. c) \(18{,}5^\circ\)

- Jede Winkelhalbierung teilt die aktuelle Winkelgröße durch \(2\). - Verfolge für c) die Winkelgrößen nach jeder weiteren Halbierung und prüfe jeweils die Grenze von \(10^\circ\). - Entscheidend ist der erste Halbierungsschritt, nach dem die Grenze tatsächlich unterschritten wird.

1. Konstruiere die Winkelhalbierende des rechten Winkels. Sie teilt \(90^\circ\) in zwei Winkel von \(45^\circ\). 2. Halbiere einen dieser \(45^\circ\)-Winkel erneut mit derselben Winkelhalbierenden-Konstruktion. Es entsteht ein Winkel von \(22{,}5^\circ\). 3. Nach einer dritten Halbierung erhält man \(22{,}5^\circ : 2 = 11{,}25^\circ\). Dieser Winkel ist noch nicht kleiner als \(10^\circ\). 4. Nach einer vierten Halbierung erhält man \(11{,}25^\circ : 2 = 5{,}625^\circ\). Dieser Winkel ist erstmals kleiner als \(10^\circ\).

a) Konstruiere die Winkelhalbierende des rechten Winkels; einer der beiden Teilwinkel ist \(45^\circ\) groß. b) Halbiere einen der \(45^\circ\)-Winkel erneut; der entstehende Teilwinkel ist \(22{,}5^\circ\) groß. c) Nach insgesamt vier Halbierungen; der Winkel ist \(5{,}625^\circ\) groß.

- Welche Bedingung beschreibt die Mittelsenkrechte einer Strecke? - Was folgt aus den gleichen Strecken und gleichen Winkeln bei \(D\)? - Welche Rolle spielt die Gerade durch \(B\) und \(D\)?

1. Die Streckenmarkierungen zeigen \(AD=CD\). 2. Die Winkelmarkierungen zeigen \(\angle ADB=\angle BDC\). Die Gerade \(BD\) teilt also die beiden Strahlen \(DA\) und \(DC\) symmetrisch. 3. Weil außerdem \(A\) und \(C\) denselben Abstand von \(D\) haben, sind \(A\) und \(C\) Spiegelpunkte an der Geraden \(BD\). 4. Eine Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte der Verbindung von Punkt und Bildpunkt. Daher ist \(BD\) die Mittelsenkrechte von \(\overline{AC}\). 5. Da \(B\) auf \(BD\) liegt, liegt \(B\) auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{AC}\).

Aus \(AD=CD\) und den gleich markierten Winkeln bei \(D\) folgt, dass \(A\) und \(C\) an \(BD\) spiegelbildlich liegen. Deshalb ist \(BD\) die Mittelsenkrechte von \(\overline{AC}\). Also liegt \(B\) auf dieser Mittelsenkrechten.

- Welche Punkte sind sicher gleich weit von \(A\) und \(C\) entfernt? - Was lässt sich aus zwei solchen Punkten über die Gerade durch sie schließen? - Welche Folge hat es, dass \(B\) auf derselben Geraden liegt?

1. Die Streckenmarkierungen zeigen \(AE=CE\). Damit ist \(E\) von \(A\) und \(C\) gleich weit entfernt und liegt auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{AC}\). 2. Weil \(D\) der Mittelpunkt von \(\overline{AC}\) ist, gilt \(DA=DC\). Also liegt auch \(D\) auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{AC}\). 3. Die Gerade durch die beiden Punkte \(D\) und \(E\) ist daher diese Mittelsenkrechte. 4. \(B\) liegt auf derselben Geraden. Jeder Punkt der Mittelsenkrechten ist von \(A\) und \(C\) gleich weit entfernt. Deshalb gilt \(BA=BC\). 5. Damit ist \(ABC\) gleichschenklig.

Aus \(AE=CE\) folgt, dass \(E\) auf der Mittelsenkrechten von \(\overline{AC}\) liegt. Auch \(D\) liegt dort, weil \(DA=DC\). Somit ist \(DE\) die Mittelsenkrechte. Da \(B\) auf \(DE\) liegt, gilt \(BA=BC\); also ist \(ABC\) gleichschenklig.

- Welche Abstandseigenschaft besitzt ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden zu deren beiden Schenkeln? - Wie kannst du die Abstandsgleichheiten aus zwei Winkelhalbierenden miteinander verknüpfen? - Wann berührt ein Kreis eine Gerade?

1. Konstruiere die Winkelhalbierenden bei \(A\) und \(B\). Ihr Schnittpunkt ist \(I\). 2. Weil \(I\) auf der Winkelhalbierenden bei \(A\) liegt, sind seine senkrechten Abstände zu \(AB\) und \(AC\) gleich. Wegen der Winkelhalbierenden bei \(B\) sind ebenso die Abstände zu \(BA\) und \(BC\) gleich. 3. Damit hat \(I\) zu allen drei Dreiecksseiten denselben senkrechten Abstand. 4. Fälle von \(I\) aus das Lot auf \(AB\) und nenne den Fußpunkt \(F\). Der Kreis um \(I\) mit Radius \(IF\) hat zu jeder Dreiecksseite genau den Radiusabstand und berührt daher alle drei Seiten. 5. Weil \(I\) zu \(CA\) und \(CB\) denselben Abstand hat, liegt \(I\) auch auf der Winkelhalbierenden bei \(C\).

a) Konstruiere die Winkelhalbierenden bei \(A\) und \(B\); ihr Schnittpunkt ist \(I\). b) Bestimme den Lotfuß \(F\) von \(I\) auf \(AB\). Der Kreis um \(I\) mit Radius \(IF\) ist der Inkreis. c) \(I\) hat zu allen drei Seiten denselben senkrechten Abstand; deshalb berührt der Kreis alle drei Seiten und \(I\) liegt auch auf der Winkelhalbierenden bei \(C\).

- Übersetze „gleich weit von \(A\) und \(B\) entfernt“ in eine bekannte Ortslinie. - Prüfe nicht die ganzen Geraden, sondern nur die tatsächlich eingezeichneten Straßenabschnitte. - Zähle die Schnittpunkte dieser Ortslinie mit \(r\) und \(s\). - Überlege für Teil b), welche Einflüsse eine geometrische Zeichnung auf reale Fahrten nicht abbildet.

1. Alle Punkte, die von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten von \(AB\). 2. Man konstruiert daher gedanklich die Mittelsenkrechte von \(AB\). 3. Der Straßenabschnitt \(r\) schneidet diese Mittelsenkrechte genau einmal; der Straßenabschnitt \(s\) erreicht sie nicht. 4. Es gibt deshalb genau einen möglichen Standort, und er liegt auf \(r\). 5. Das Modell vergleicht geometrische Entfernungen in der Zeichnung. Für einen realen Rettungsstandort können beispielsweise Fahrzeiten, Straßenverlauf, Verkehr oder Hindernisse zusätzlich wichtig sein.

a) Genau ein Standort ist möglich: der Schnittpunkt von \(r\) mit der Mittelsenkrechten von \(AB\). Auf \(s\) gibt es keinen passenden Standort. b) Eine mögliche Modellgrenze: Gleiche geometrische Entfernung bedeutet nicht automatisch gleiche Fahrzeit; Straßennetz, Verkehr oder Hindernisse werden im Modell nicht berücksichtigt.

- Wie stellst du alle Punkte dar, die einen festen Abstand von \(A\) haben? - Zeichne dieselbe Abstandsvorgabe gedanklich auch für \(B\). - Vergleiche den Radius mit der halben Entfernung zwischen \(A\) und \(B\), um die Zahl der Schnittpunkte zu beurteilen. - Warum liegen gemeinsame Punkte zweier gleich großer Kreise um \(A\) und \(B\) auf der Mittelsenkrechten?

1. Alle Punkte im Abstand \(5\,\text{km}\) von \(A\) liegen auf einem Kreis um \(A\) mit Radius \(5\,\text{km}\); entsprechend gilt das für \(B\). 2. Der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) ist von \(A\) und \(B\) jeweils \(3\,\text{km}\) entfernt. 3. Weil der Radius \(5\,\text{km}\) größer als \(3\,\text{km}\) ist, schneiden sich die beiden gleich großen Kreise in zwei Punkten. 4. Beide Schnittpunkte sind von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt und liegen deshalb auf der Mittelsenkrechten von \(AB\). 5. Somit gibt es genau zwei mögliche Standorte.

Es gibt genau zwei mögliche Standorte: die beiden Schnittpunkte der Kreise mit Radius \(5\,\text{km}\) um \(A\) und \(B\). Beide liegen auf der Mittelsenkrechten von \(AB\).

- Welche zwei Teilwinkel erzeugt die Winkelhalbierende \(w\)? - Überlege, welcher der beiden Winkelschenkel bei einer Spiegelung an \(w\) auf den anderen fällt. - Übertrage diese Aussage anschließend vom ganzen Schenkel auf den Punkt \(P\).

1. Weil \(w\) die Winkelhalbierende ist, sind die beiden Winkel zwischen \(w\) und den Schenkeln \(SA\) beziehungsweise \(SB\) gleich groß. 2. Bei einer Spiegelung an \(w\) wird der Strahl \(SA\) deshalb auf den Strahl \(SB\) abgebildet. 3. Da \(P\) auf \(SA\) liegt, muss sein Bildpunkt \(P'\) auf \(SB\) liegen.

Die Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(w\) bildet den Schenkel \(SA\) auf den Schenkel \(SB\) ab. Da \(P\) auf \(SA\) liegt, muss sein Bildpunkt \(P'\) auf \(SB\) liegen.

- Welche Ortslinie besteht aus Punkten mit gleichem Abstand von den beiden Schenkeln eines Winkels? - Wofür steht der Kreis mit Mittelpunkt \(S\)? - Betrachte nur den Teil der passenden Ortslinie, der im Innenwinkel liegt. - Welche Eigenschaften realer Wände lässt eine geometrische Linie weg?

1. Punkte im Innenwinkel, die von beiden Schenkeln gleich weit entfernt sind, liegen auf der inneren Winkelhalbierenden. 2. Der Kreis \(k\) beschreibt alle Punkte mit dem festgelegten Abstand \(5\,\text{m}\) von \(S\). 3. Die innere Winkelhalbierende ist ein Strahl von \(S\) aus. Sie schneidet den Kreis im Innenwinkel genau einmal. Daher gibt es im Modell genau eine mögliche Sensorposition. 4. Das Modell idealisiert die Wände als exakt gerade, unendlich dünne Linien beziehungsweise Strahlen. Reale Wandstärke, Unebenheiten oder Hindernisse werden beispielsweise nicht berücksichtigt.

Zusätzlich braucht man die innere Winkelhalbierende. Ihr Schnitt mit dem Kreis \(k\) liefert im Innenwinkel genau eine mögliche Position. Eine Modellgrenze ist zum Beispiel, dass reale Wände nicht als unendlich dünne, exakt gerade Linien verlaufen.