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- Gesucht ist eine Konstruktion, bei der der Abstand von einem Punkt auf \(g\) erhalten bleibt. - Welche geometrische Abbildung benutzt \(g\) als feste Achse?

1. Konstruiere den Spiegelpunkt \(B'\) von \(B\) an der Geraden \(g\). 2. Für jeden Punkt \(T\) auf \(g\) gilt dann \(TB = TB'\). Dadurch lässt sich \(AT + TB\) als \(AT + TB'\) betrachten.

Konstruiere den Spiegelpunkt \(B'\) von \(B\) an der Geraden \(g\).

- Das Wort „verdoppelt“ bezieht sich auf die Länge der vorhandenen Strecke \(AM\). - Welche Bedingung muss gelten, damit \(M\) anschließend Mittelpunkt von \(AD\) ist?

1. Verlängere die Gerade durch \(A\) und \(M\) über \(M\) hinaus. 2. Wähle \(D\) auf dieser Verlängerung so, dass \(MD = AM\) gilt. 3. Damit ist \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(AD\).

Der Punkt \(D\) liegt auf der Verlängerung von \(AM\) über \(M\) hinaus und erfüllt \(MD = AM\).

- Welche Hilfslinie sollte die gleich markierten Seiten auf zwei verschiedene Teildreiecke verteilen? - Welche Diagonale wäre anschließend gemeinsame Seite der beiden Teildreiecke?

1. Die Diagonale \(AC\) teilt das Drachenviereck in die Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\). 2. In diesen beiden Dreiecken liegt von jedem markierten Seitenpaar je eine Seite: \(AB=AD\) und \(CB=CD\). Außerdem ist \(AC\) gemeinsame Seite. 3. Damit ist \(AC\) die geeignete Hilfslinie für einen direkten SSS-Vergleich.

Die Diagonale \(AC\) ist die geeignete Hilfslinie.

- Welche zwei Dreiecke entstehen durch die Diagonale \(AC\)? - Welche Seitenpaare sind laut Definition des Drachenvierecks gleich lang? - Welche weitere Seite gehört zu beiden Teildreiecken?

1. Zeichne die Diagonale \(AC\). Sie zerlegt das Drachenviereck in die Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\). 2. Nach Voraussetzung gilt \(AB = AD\) und \(CB = CD\). 3. Außerdem ist \(AC\) gemeinsame Seite beider Dreiecke. 4. Damit sind die Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\) nach SSS kongruent. 5. Entsprechende Winkel kongruenter Dreiecke sind gleich groß. Daher gilt \(\angle ABC = \angle ADC\), also \(\beta = \delta\).

Die Diagonale \(AC\) erzeugt zwei nach SSS kongruente Dreiecke. Deshalb sind die entsprechenden Winkel bei \(B\) und \(D\) gleich groß: \(\beta = \delta\).

- Betrachte die Diagonale \(AC\) als Transversale zu jeweils einem Paar paralleler Seiten. - Welche Wechselwinkel entstehen an \(AB\parallel CD\) und an \(BC\parallel AD\)? - Wo liegt die gemeinsame Seite \(AC\) im Verhältnis zu den beiden gefundenen Winkeln?

1. Wegen \(AB\parallel CD\) gilt \(\angle BAC=\angle DCA\). 2. Wegen \(BC\parallel AD\) gilt \(\angle BCA=\angle DAC\). 3. Die Seite \(AC\) ist in beiden Dreiecken dieselbe Seite. 4. Damit stimmen zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite überein. Die Dreiecke \(ABC\) und \(CDA\) sind nach WSW kongruent.

Zum Beispiel gilt \(\angle BAC=\angle DCA\) und \(\angle BCA=\angle DAC\). Mit der gemeinsamen Seite \(AC\) folgt die Kongruenz nach WSW.

- Überlege, wie die Hilfslinie das ursprüngliche Dreieck in zwei kleinere Dreiecke teilt. - Was weißt du über die Summe der Winkel in einem Dreieck? - Welche Informationen über die Winkel in den beiden Teildreiecken hast du bereits? - Erinnere dich an die Kongruenzsätze (SSS, SWS, WSW, SsW). Welcher könnte hier passen?

1. Zeichne die Winkelhalbierende \(w_{\gamma}\) des Winkels \(\gamma\) (bei Punkt \(C\)) ein, die die Seite \(c\) im Punkt \(D\) schneidet. 2. Betrachte die beiden Teil-Dreiecke \(ADC\) und \(BDC\). 3. Nach Konstruktion der Winkelhalbierenden gilt \(\angle ACD = \angle BCD = \frac{\gamma}{2}\). 4. Die Seite \(CD\) ist eine gemeinsame Seite beider Dreiecke (\(CD = CD\)). 5. Da die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck \(180^\circ\) beträgt, gilt für den Winkel bei \(D\): \(\angle ADC = 180^\circ - \alpha - \frac{\gamma}{2}\) und \(\angle BDC = 180^\circ - \beta - \frac{\gamma}{2}\). 6. Da vorausgesetzt wurde, dass \(\alpha = \beta\), folgt daraus \(\angle ADC = \angle BDC\). 7. Die Dreiecke \(ADC\) und \(BDC\) stimmen somit in einer Seite (\(CD\)) und den beiden anliegenden Winkeln (\(\frac{\gamma}{2}\) und \(\angle ADC\) bzw. \(\angle BDC\)) überein. 8. Nach dem Kongruenzsatz WSW (Winkel-Seite-Winkel) sind die Dreiecke \(ADC\) und \(BDC\) kongruent. 9. In kongruenten Dreiecken sind alle entsprechenden Seiten gleich lang, woraus \(AC = BC\) folgt.

Durch das Einzeichnen der Winkelhalbierenden \(w_{\gamma}\) entstehen zwei Teildreiecke, die nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent sind, da sie in einer Seite (\(CD\)) und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. Da entsprechende Seiten in kongruenten Dreiecken gleich lang sind, muss \(AC = BC\) gelten.

- Welche Eigenschaften haben die Seiten und Winkel in einem Rechteck? - Kannst du eine Skizze zeichnen und die gegebenen Informationen markieren? - Welche drei Merkmale brauchst du, um die Kongruenz zweier Dreiecke nachzuweisen? - Wenn zwei Dreiecke exakt aufeinanderpassen, was bedeutet das für ihre Seitenlängen?

1. In den Dreiecken \(APD\) und \(CQB\) sind die Seiten \(AD\) und \(CB\) gleich lang, da es sich um gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks handelt. 2. Die Winkel \(\angle DAP\) und \(\angle BCQ\) sind beide rechte Winkel (\(90^\circ\)), da sie die Innenwinkel des Rechtecks sind. 3. Laut Aufgabenstellung gilt \(AP = CQ\). 4. Nach dem Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite) sind die Dreiecke \(APD\) und \(CQB\) somit kongruent. 5. Aus der Kongruenz folgt unmittelbar, dass alle entsprechenden Seiten gleich lang sind, also gilt \(PD = QB\).

a) Die Dreiecke sind nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da \(AD = CB\) (Rechteckseite), \(AP = CQ\) (gegeben) und \(\angle DAP = \angle BCQ = 90^\circ\) (Rechteckwinkel) gilt. b) Da die Dreiecke kongruent sind, müssen auch die entsprechenden Seiten \(PD\) und \(QB\) gleich lang sein.

- Was weißt du über den Schnittpunkt der Diagonalen in einem Parallelogramm? - Betrachte das Viereck \(APCQ\) und seine Diagonalen. - Wenn du zeigen kannst, dass sich die Diagonalen eines Vierecks gegenseitig halbieren, was folgt daraus für die Form des Vierecks? - Nutze die Symmetrie des Punktes \(S\) bezüglich der ursprünglichen Diagonalen.

1. In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. Daher ist \(S\) der Mittelpunkt von \(AC\) und \(BD\), es gilt also \(AS = SC\) und \(BS = SD\). 2. Für die Punkte \(P\) und \(Q\) auf der Diagonale \(BD\) gilt: \(SP = BS - BP\) und \(SQ = SD - DQ\). 3. Da \(BS = SD\) und nach Voraussetzung \(BP = DQ\) ist, folgt \(SP = SQ\). Somit ist \(S\) auch der Mittelpunkt der Strecke \(PQ\). 4. Im Viereck \(APCQ\) halbieren sich die Diagonalen \(AC\) und \(PQ\) im gemeinsamen Punkt \(S\). 5. Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren, ist ein Parallelogramm.

Das Viereck \(APCQ\) ist ein Parallelogramm, da sich seine Diagonalen \(AC\) und \(PQ\) im Punkt \(S\) gegenseitig halbieren. Dies ergibt sich daraus, dass \(S\) der Mittelpunkt von \(AC\) ist und durch die Bedingung \(BP = DQ\) auch zum Mittelpunkt von \(PQ\) wird.

- Welche Verbindung zweier Eckpunkte zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke? - Welche Winkelgleichheit liefert die gegebene Parallelität nach dem Einzeichnen der Hilfslinie? - Welche Folgerung aus der Dreieckskongruenz kann die Parallelität des zweiten Seitenpaares zeigen?

1. Aus der Streckenmarkierung folgt \(AB=CD\). 2. Als Hilfslinie eignet sich die Diagonale \(AC\). 3. Wegen \(AB\parallel CD\) gilt \(\angle BAC=\angle ACD\) als Wechselwinkel. 4. Zusammen mit \(AB=CD\) und der gemeinsamen Seite \(AC\) sind die Dreiecke \(ABC\) und \(CDA\) nach SWS kongruent. 5. Daraus folgt \(\angle ACB=\angle CAD\). Diese Winkel sind Wechselwinkel an der Schneidenden \(AC\), also gilt auch \(BC\parallel AD\). 6. Damit sind beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel; \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

Die Streckenmarkierung liefert \(AB=CD\). Als Hilfslinie eignet sich die Diagonale \(AC\). Sie erzeugt zwei nach SWS kongruente Dreiecke. Daraus folgen gleiche Wechselwinkel und damit \(BC\parallel AD\). Zusammen mit \(AB\parallel CD\) ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.

- Welche Parallelität würde Winkel von den Eckpunkten \(A\) und \(B\) an den Punkt \(C\) übertragen? - Welche Winkelbeziehungen kennst du an einer Transversalen zu zwei parallelen Geraden? - Wie lässt sich der Außenwinkel durch einen zusätzlichen Strahl in zwei Teilwinkel zerlegen?

1. Zeichne durch \(C\) eine Gerade \(h\), die parallel zu \(AB\) ist. Wähle auf \(h\) einen Punkt \(E\) so, dass der Strahl \(CE\) im Außenwinkel \(\angle ACD\) liegt. 2. Wegen \(CE\parallel AB\) gilt an der Transversalen \(AC\): \(\angle ACE=\angle CAB\). 3. Weil \(CE\parallel AB\) gilt und \(B\), \(C\), \(D\) auf einer Geraden liegen, ist außerdem \(\angle ECD=\angle ABC\). 4. Der Strahl \(CE\) zerlegt den Außenwinkel in diese beiden Teilwinkel. Daher gilt \(\angle ACD=\angle ACE+\angle ECD=\angle CAB+\angle ABC\).

Zeichne durch \(C\) eine Parallele zu \(AB\). Die dadurch bei \(C\) entstehenden Teilwinkel sind so groß wie die Innenwinkel bei \(A\) und \(B\); ihre Summe ist der Außenwinkel. Daher gilt \(\angle ACD=\angle CAB+\angle ABC\).

- Welche einzelne Strecke würde das Viereck in zwei Dreiecke zerlegen? - Welche Winkelgleichheiten erhältst du an dieser Strecke aus den parallelen Seiten? - Welche Seite hätten die beiden entstehenden Dreiecke gemeinsam?

1. Zeichne als Hilfslinie die Diagonale \(AC\). 2. Wegen \(AB\parallel CD\) gilt \(\angle BAC=\angle DCA\). Wegen \(BC\parallel AD\) gilt \(\angle BCA=\angle DAC\). 3. Die Seite \(AC\) ist in den Dreiecken \(ABC\) und \(CDA\) gemeinsam. 4. Daher sind \(\triangle ABC\) und \(\triangle CDA\) nach WSW kongruent. 5. Entsprechende Seiten sind gleich lang: \(AB=CD\) und \(BC=AD\).

Zeichne die Diagonale \(AC\). Dann folgt aus zwei Wechselwinkelpaaren und der gemeinsamen Seite \(AC\) die Kongruenz nach WSW; daher \(AB=CD\) und \(BC=AD\).

- In welcher Figur könnte \(AB+AC\) als Summe zweier Seiten auftreten? - Welche Gleichheiten liefert die Mittelpunkteigenschaft von \(M\), und wie könnten sie in zwei Dreiecken nutzbar werden? - Suche eine Hilfskonstruktion, bei der an \(M\) ein zweites Dreieck entsteht und ein Scheitelwinkel verwendet werden kann.

1. Verlängere \(AM\) über \(M\) hinaus zu einem Punkt \(D\) so, dass \(MD=AM\) gilt. 2. In den Dreiecken \(BMA\) und \(CMD\) gelten \(BM=CM\), \(AM=DM\) und \(\angle BMA=\angle CMD\) als Scheitelwinkel. Daher sind sie nach SWS kongruent. 3. Somit gilt \(AB=CD\). 4. Im Dreieck \(ACD\) gilt nach der Dreiecksungleichung \(AD<AC+CD\). 5. Wegen \(AD=AM+MD=2AM\) und \(CD=AB\) folgt \(2AM<AC+AB\).

Verlängere \(AM\) um dieselbe Länge bis \(D\). Über SWS erhält man \(CD=AB\); die Dreiecksungleichung in \(ACD\) liefert dann \(2AM<AB+AC\).

- Welche Lage müsste ein geeigneter Hilfspunkt haben, damit die beiden gesuchten Winkel leichter miteinander vergleichbar werden? - Welche geometrischen Eigenschaften müssten bei einer Veränderung der Figur erhalten bleiben, damit dein Schluss für die ursprünglichen Punkte gilt? - Kannst du eine Konstruktion finden, bei der \(A\), \(T\) und ein passend gewählter Hilfspunkt auf einer Geraden liegen?

1. Spiegle \(B\) an der Geraden \(g\) und nenne den Bildpunkt \(B'\). 2. Zeichne die Gerade durch \(A\) und \(B'\). Ihr Schnittpunkt mit \(g\) sei \(T\). 3. Die Strahlen \(TA\) und \(TB'\) sind Gegenstrahlen. Zusammen mit der Geraden \(g\) entstehen bei \(T\) Scheitelwinkel; daher bilden \(AT\) und \(TB'\) mit \(g\) gleich große Winkel. 4. Die Spiegelung an \(g\) lässt \(T\) fest, bildet \(B'\) auf \(B\) ab und erhält Winkelgrößen. Deshalb bildet \(TB\) mit \(g\) denselben Winkel wie \(TB'\). 5. Somit bilden \(AT\) und \(BT\) mit \(g\) gleich große Winkel.

Spiegle \(B\) an \(g\) zu \(B'\) und setze \(T=g\cap AB'\). Wegen der Winkeltreue der Spiegelung sind die Winkel von \(AT\) und \(BT\) mit \(g\) gleich groß.

- Wie könntest du zwei der Innenwinkel an den Punkt \(C\) „übertragen“, ohne ihre Größe zu ändern? - Welche bekannte Beziehung zwischen Geraden erlaubt es, Winkel an verschiedenen Schnittpunkten miteinander zu vergleichen? - Suche anschließend nach drei Winkeln bei \(C\), die gemeinsam einen gestreckten Winkel bilden.

1. Zeichne durch \(C\) eine Gerade \(g\), die parallel zu \(AB\) ist. 2. Der Winkel zwischen \(AC\) und \(g\) ist als Wechselwinkel gleich dem Innenwinkel bei \(A\). 3. Der Winkel zwischen \(g\) und \(BC\) ist als Wechselwinkel gleich dem Innenwinkel bei \(B\). 4. Diese beiden Winkel liegen zusammen mit dem Innenwinkel bei \(C\) an einer gestreckten Linie. 5. Daher gilt \(\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ\).

Zeichne durch \(C\) eine Parallele zu \(AB\). Die beiden entstehenden Wechselwinkel entsprechen den Innenwinkeln bei \(A\) und \(B\); zusammen mit \(\angle C\) bilden sie einen gestreckten Winkel. Also gilt \(\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ\).

- Welche bekannten Strecken \(AD\) und \(BC\) möchtest du in zwei vergleichbaren Teildreiecken unterbringen? - Welche Größe ist für zwei parallele Geraden überall gleich? - Wie könntest du diese gemeinsame Größe als Seitenlänge zweier Teildreiecke sichtbar machen?

1. Fälle von \(D\) und \(C\) die Lote auf \(AB\); die Lotfußpunkte seien \(E\) beziehungsweise \(F\). 2. Weil \(AB\parallel CD\) gilt, sind \(DE\) und \(CF\) beide der Abstand zwischen denselben parallelen Geraden. Daher ist \(DE=CF\). 3. Die Dreiecke \(ADE\) und \(BCF\) sind rechtwinklig. Außerdem gilt \(AD=BC\) nach Voraussetzung und \(DE=CF\). 4. Da \(AD\) und \(BC\) jeweils die dem rechten Winkel gegenüberliegenden längeren Seiten sind, sind die Dreiecke nach SsW kongruent. 5. Entsprechende Winkel sind gleich. Deshalb gilt \(\angle DAB=\angle ABC\).

Fälle von \(D\) und \(C\) Lote auf \(AB\). Die beiden Höhen sind wegen \(AB\parallel CD\) gleich lang. Zusammen mit \(AD=BC\) ergeben sich zwei nach SsW kongruente rechtwinklige Dreiecke; daher gilt \(\angle DAB=\angle ABC\).

- Prüfe bei jeder Hilfskonstruktion getrennt, welche zwei Teildreiecke entstehen und welche Gleichheiten du darin wirklich kennst. - Welche der beiden Ideen erzeugt neben einer gemeinsamen Seite auch unmittelbar eine passende Winkelgleichheit? - Ein Hilfsmittel ist erst dann nützlich, wenn die bekannten Daten einen vollständigen Kongruenzsatz ergeben.

1. Konstruktion I führt unmittelbar zum Ziel. Zeichne die Winkelhalbierende von \(A\); ihr Schnittpunkt mit \(BC\) sei \(D\). 2. Für die Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\) gilt \(AB=AC\), \(AD\) ist gemeinsame Seite und \(\angle BAD=\angle DAC\) durch die Winkelhalbierende. 3. Daher sind \(ABD\) und \(ACD\) nach SWS kongruent. Entsprechende Basiswinkel sind gleich, also \(\angle ABC=\angle BCA\). 4. Bei Konstruktion II sei \(M\) der Mittelpunkt von \(AC\). Für die Dreiecke \(ABM\) und \(CBM\) kennt man zwar \(AM=CM\) und die gemeinsame Seite \(BM\), aber keine passende dritte Seiten- oder Winkelgleichheit. Ein Kongruenzsatz ist damit nicht unmittelbar anwendbar.

Konstruktion I ist geeignet: Die Winkelhalbierende von \(A\) erzeugt zwei Dreiecke, die wegen \(AB=AC\), gemeinsamer Seite und gleichen Halbierungswinkeln nach SWS kongruent sind. Konstruktion II liefert für die entstehenden Dreiecke nur zwei passende Seiteninformationen und schließt keinen Kongruenzsatz.

- Was bedeutet es für die Seitenlängen, wenn ein Dreieck gleichschenklig ist? - Welche Seiten der Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\) kannst du direkt miteinander vergleichen? - Welcher Kongruenzsatz hilft dir weiter, wenn du nur Informationen über Seitenlängen hast? - Wie ist eine Winkelhalbierende definiert?

1. Betrachte die Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\). 2. Da \(\triangle ABC\) gleichschenklig mit Basis \(BC\) ist, gilt \(AB = AC\). 3. Da \(\triangle DBC\) gleichschenklig mit Basis \(BC\) ist, gilt \(DB = DC\). 4. Die Strecke \(AD\) ist eine gemeinsame Seite beider Dreiecke (\(AD = AD\)). 5. Nach dem Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) sind die Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\) kongruent. 6. In kongruenten Dreiecken sind entsprechende Winkel gleich groß, folglich gilt \(\angle BAD = \angle CAD\). 7. Da die Teilwinkel gleich groß sind, ist die Gerade durch \(A\) und \(D\) die Winkelhalbierende von \(\angle BAC\).

Die Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\) sind nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent, da \(AB = AC\), \(DB = DC\) und die Seite \(AD\) gemeinsam ist. Daraus folgt \(\angle BAD = \angle CAD\), was bedeutet, dass die Gerade durch \(A\) und \(D\) den Winkel \(\angle BAC\) halbiert.

- Suche nach zwei Dreiecken, in denen \(BG\) und \(EC\) jeweils eine Seite bilden. - Welche Seitenlängen in diesen Dreiecken sind durch die Quadrate vorgegeben? - Welche \(90^\circ\)-Drehung um \(A\) bildet die Schenkel eines der benötigten Winkel auf die Schenkel des anderen ab? - Welchen Kongruenzsatz kannst du anwenden, wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst?

1. Untersuche die Dreiecke \(ABG\) und \(AEC\). 2. Die Seite \(AB\) im \(\triangle ABG\) ist gleich der Seite \(AE\) im \(\triangle AEC\), da sie beide Seiten des Quadrats \(ABDE\) sind. 3. Die Seite \(AG\) im \(\triangle ABG\) ist gleich der Seite \(AC\) im \(\triangle AEC\), da sie beide Seiten des Quadrats \(ACFG\) sind. 4. Wegen der nach außen konstruierten Quadrate bildet dieselbe Drehung um \(90^\circ\) um den Punkt \(A\) den Strahl \(AE\) auf den Strahl \(AB\) und den Strahl \(AC\) auf den Strahl \(AG\) ab. 5. Drehungen erhalten Winkelgrößen. Daher gilt \(\angle EAC = \angle BAG = \angle GAB\). 6. Nach dem Kongruenzsatz SWS sind die Dreiecke \(ABG\) und \(AEC\) kongruent. 7. Folglich sind die entsprechenden Seiten \(BG\) und \(EC\) gleich lang.

Die Strecken \(BG\) und \(EC\) sind gleich lang. Es gilt \(AB = AE\) und \(AG = AC\). Außerdem bildet eine Drehung um \(90^\circ\) um \(A\) die Schenkel des Winkels \(\angle EAC\) auf die Schenkel des Winkels \(\angle BAG\) ab, sodass diese Winkel gleich groß sind. Daher sind die Dreiecke \(ABG\) und \(AEC\) nach SWS kongruent.

- Welche Seiten und Winkel in den kleinen Teildreiecken sind durch die Konstruktion der Seitenhalbierenden und die Verlängerung identisch? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Scheitelwinkeln. - Die Dreiecksungleichung besagt, dass eine Seite in einem Dreieck immer kürzer ist als die Summe der anderen beiden Seiten. - Wie lässt sich die Gesamtlänge der Strecke \(AD\) durch \(s_a\) ausdrücken?

1. Nach Konstruktion ist \(M\) der Mittelpunkt von \(BC\), also \(BM = MC\). Zudem gilt \(AM = MD\) und die Winkel \(\angle AMB\) und \(\angle DMC\) sind als Scheitelwinkel gleich groß. 2. Nach dem Kongruenzsatz SWS sind die Dreiecke \(ABM\) und \(DCM\) kongruent. Daraus folgt die Gleichheit der entsprechenden Seiten \(CD = AB = c\). 3. Im Dreieck \(ACD\) gilt nach der Dreiecksungleichung für die Seite \(AD\): \(AD < AC + CD\). 4. Da \(AD = AM + MD = 2s_a\) und \(AC = b\) sowie \(CD = c\), ergibt sich durch Einsetzen \(2s_a < b + c\). 5. Division der Ungleichung durch 2 führt zum gesuchten Ergebnis \(s_a < \frac{b + c}{2}\).

a) Die Dreiecke \(ABM\) und \(DCM\) sind nach dem SWS-Satz kongruent (\(BM=MC\), \(AM=MD\), Scheitelwinkel gleich), woraus \(CD = AB = c\) folgt. b) In \(\triangle ACD\) gilt \(AD < AC + CD\). Mit \(AD = 2s_a\), \(AC = b\) und \(CD = c\) folgt \(2s_a < b + c\) und somit \(s_a < \frac{b + c}{2}\).

- Eine Skizze hilft enorm, um die Lage der Punkte \(P\) und \(D\) zu verstehen. - Zerlege die Strecke \(AD\) in die Teilstücke \(AP\) und \(PD\). - Was passiert, wenn du zwei Ungleichungen addierst und auf beiden Seiten derselbe Term (hier \(PD\)) vorkommt? - Überlege, wie du die Logik von \(AP + PB\) auf die anderen Paare von Eckpunkten übertragen kannst.

1. Im Dreieck \(ADC\) gilt nach der Dreiecksungleichung: \(AD < AC + CD\). Da \(AD = AP + PD\), folgt \(AP + PD < AC + CD\). 2. Im Dreieck \(PBD\) gilt nach der Dreiecksungleichung: \(PB < PD + DB\). 3. Durch Addition der beiden Ungleichungen erhält man: \(AP + PD + PB < AC + CD + PD + DB\). 4. Subtraktion von \(PD\) auf beiden Seiten ergibt: \(AP + PB < AC + CD + DB\). Da \(D\) auf der Strecke \(BC\) liegt, ist \(CD + DB = CB\), also \(AP + PB < AC + CB\). 5. Analog lässt sich zeigen: \(PB + PC < BA + AC\) und \(PC + PA < CB + BA\). 6. Addiert man diese drei Ungleichungen, ergibt sich \(2(PA + PB + PC) < 2(AB + BC + CA)\). 7. Division durch 2 liefert die Behauptung \(PA + PB + PC < AB + BC + CA = U\).

a) Aus \(AP + PD < AC + CD\) und \(PB < PD + DB\) folgt durch Addition und Kürzen von \(PD\), dass \(AP + PB < AC + CB\). b) Durch zyklische Anwendung folgt ebenso \(PB + PC < AB + AC\) und \(PC + PA < BC + AB\). Die Summe dieser Ungleichungen ergibt \(2(PA + PB + PC) < 2(a + b + c)\), woraus \(PA + PB + PC < U\) folgt.

- Welche Gleichheit der Diagonalen soll in kongruenten Teildreiecken nutzbar werden? - Welche Hilfskonstruktion könnte die Parallelität der beiden Grundseiten in eine Längengleichheit übersetzen? - Wenn du zunächst zwei kleinere Dreiecke als kongruent nachweist, welche Winkelgleichheit könnte danach einen zweiten Kongruenznachweis ermöglichen?

1. Sei \(ABCD\) ein Trapez mit \(AB\parallel CD\) und \(AC=BD\). 2. Fälle von \(D\) und \(C\) die Lote auf \(AB\); die Fußpunkte seien \(E\) bzw. \(F\). Weil \(AB\parallel CD\), sind \(DE\) und \(CF\) beide gleich dem Abstand der parallelen Geraden, also \(DE=CF\). 3. Die rechtwinkligen Dreiecke \(BDE\) und \(ACF\) besitzen die gleich langen Hypotenusen \(BD=AC\), die gleich langen Katheten \(DE=CF\) und gleiche rechte Winkel. Daher sind sie nach SsW kongruent. 4. Somit gilt \(\angle DBA=\angle CAB\). 5. In den Dreiecken \(ABD\) und \(BAC\) gelten \(BD=AC\), \(AB=BA\) und die eingeschlossenen Winkel \(\angle DBA=\angle CAB\). Nach SWS sind diese Dreiecke kongruent. 6. Daraus folgt \(AD=BC\). Das Trapez ist also gleichschenklig.

Eine geeignete Hilfskonstruktion sind die Lote von \(D\) und \(C\) auf \(AB\). Über zwei Kongruenzschritte folgt daraus \(AD=BC\); damit ist das Trapez gleichschenklig.

- Welche Gerade durch \(S\) könnte die gesamte Höhe in zwei überschaubare Teilhöhen zerlegen? - Welche Symmetrie besitzt ein gleichschenkliges Trapez, und wo liegt der Diagonalenschnittpunkt relativ zu dieser Symmetrie? - Welche besonderen Dreiecke entstehen an \(S\) durch die senkrechten Diagonalen? - Wie kannst du in einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck die Höhe auf die Grundseite mit der halben Grundseite vergleichen?

1. Zeichne durch \(S\) die Senkrechte zu \(AB\). Weil \(AB\parallel CD\) gilt, steht diese Hilfslinie auch senkrecht auf \(CD\). Bezeichne ihre Schnittpunkte mit \(AB\) und \(CD\) mit \(E\) beziehungsweise \(F\). 2. Die Symmetrieachse des gleichschenkligen Trapezes vertauscht die Diagonalen \(AC\) und \(BD\). Ihr Schnittpunkt \(S\) bleibt bei dieser Spiegelung fest und liegt daher auf der Symmetrieachse. Diese steht senkrecht auf den Grundseiten, also ist die Hilfslinie \(E-S-F\) genau diese Symmetrieachse. Somit gilt \(SA=SB\) und \(SC=SD\). 3. Wegen der senkrechten Diagonalen sind \(\triangle ABS\) und \(\triangle CDS\) gleichschenklig-rechtwinklig mit rechtem Winkel bei \(S\). 4. Im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck \(ABS\) ist \(SE\) zugleich Höhe und Symmetrieachse. Dadurch entstehen zwei gleichschenklig-rechtwinklige Teildreiecke, also gilt \(SE=AE=\frac{a}{2}\). 5. Entsprechend gilt im Dreieck \(CDS\): \(SF=CF=\frac{c}{2}\). 6. Die Trapezhöhe ist \(h=SE+SF=\frac{a}{2}+\frac{c}{2}=\frac{a+c}{2}=m\).

Die geeignete Hilfslinie ist die Senkrechte durch \(S\) zu den parallelen Grundseiten. Mit ihren Fußpunkten \(E\) auf \(AB\) und \(F\) auf \(CD\) gilt \(SE=\frac{a}{2}\) und \(SF=\frac{c}{2}\). Daher ist \(h=SE+SF=\frac{a+c}{2}=m\).

- Welche Abstände bleiben bei einer Spiegelung an \(g\) erhalten? - Wie kannst du die gebrochene Strecke über einen Uferpunkt in eine Strecke zu \(B'\) umdeuten? - Welche Verbindung zwischen zwei festen Punkten ist am kürzesten?

1. Spiegele \(B\) an \(g\) zum Punkt \(B'\). 2. Für jeden Punkt \(X\) auf \(g\) gilt wegen der Längentreue der Spiegelung \(XB = XB'\). 3. Daher ist \(AX + XB = AX + XB'\). 4. Die kürzeste Verbindung von \(A\) nach \(B'\) ist die Strecke \(\overline{AB'}\). Ihr Schnittpunkt mit \(g\) ist der gesuchte Punkt \(T\). 5. Für jeden anderen Punkt \(Q\) auf \(g\) gilt nach der Dreiecksungleichung \(AQ + QB' > AB'\). 6. Mit \(QB' = QB\) und \(AB' = AT + TB\) folgt \(AQ + QB > AT + TB\). Damit ist die Lage von \(T\) optimal.

Spiegle \(B\) an \(g\) zu \(B'\). Die Tränke muss im Schnittpunkt \(T\) der Strecke \(\overline{AB'}\) mit dem Bachufer \(g\) liegen.

- Bei einem Kongruenzsatz muss jedes Seitenpaar jeweils eine Seite aus dem einen und eine entsprechende Seite aus dem anderen Dreieck verbinden. - Prüfe Miras zwei angegebenen Gleichheiten: Vergleichen sie tatsächlich die beiden Dreiecke miteinander? - Welche Hilfslinie müsste beide gegebenen Seitenpaare auf zwei verschiedene Teildreiecke verteilen, statt jedes Paar innerhalb desselben Teildreiecks zu lassen?

1. In den Dreiecken \(ABD\) und \(CBD\) ist nur \(BD\) eine gemeinsame Seite. Die Gleichheit \(AB=AD\) vergleicht zwei Seiten innerhalb des ersten Dreiecks, und \(CB=CD\) vergleicht zwei Seiten innerhalb des zweiten Dreiecks. 2. Für SSS zwischen diesen beiden Dreiecken bräuchte man drei Seitenpaare, die jeweils eine Seite aus \(ABD\) mit einer Seite aus \(CBD\) vergleichen. Diese Information liegt nicht vor. 3. Zeichne stattdessen die Diagonale \(AC\). 4. In den Dreiecken \(ABC\) und \(ADC\) gilt \(AB=AD\), \(BC=DC\) und \(AC\) ist gemeinsame Seite. 5. Daher sind die Dreiecke nach SSS kongruent. Die Winkel bei \(B\) und \(D\) sind entsprechende Winkel, also \(\angle ABC=\angle ADC\).

Miras SSS-Ansatz ist ungültig, weil \(AB=AD\) und \(CB=CD\) keine Seitenpaare zwischen den Dreiecken \(ABD\) und \(CBD\) liefern. Die geeignete Hilfslinie ist \(AC\): Dann gilt in \(ABC\) und \(ADC\) dreimal Seitenübereinstimmung, also SSS und damit \(\angle ABC=\angle ADC\).

- Welche Gleichheiten kennst du bereits aus den beiden Mittelpunkteigenschaften, und wie könnten sie in einem Kongruenzbeweis zusammenwirken? - Welche zusätzliche Konstruktion könnte aus der Mittelpunkteigenschaft bei \(N\) eine weitere passende Seitenlängengleichheit erzeugen? - Welche Winkelgleichheit könntest du an \(N\) nutzen, wenn dort durch deine Konstruktion zwei Geraden einander schneiden? - Welche Viereckseigenschaft wäre anschließend besonders nützlich, um Parallelität und eine Längengleichheit zugleich zu erhalten?

1. Spiegle \(M\) am Punkt \(N\) und nenne den Bildpunkt \(P\). Dann liegen \(M,N,P\) auf einer Geraden und es gilt \(MN=NP\). 2. In den Dreiecken \(ANM\) und \(CNP\) gilt \(AN=NC\), \(MN=NP\) und \(\angle ANM=\angle CNP\) als Scheitelwinkel. Daher sind die Dreiecke nach SWS kongruent. 3. Aus der Kongruenz folgt \(AM=CP\) und \(\angle AMN=\angle CPN\). Wegen der gemeinsamen Geraden \(MNP\) folgt daraus \(AM\parallel CP\). 4. Da \(M\) Mittelpunkt von \(AB\) ist, gilt außerdem \(AM=MB\). Somit ist \(MB=CP\); zugleich gilt \(MB\parallel CP\). 5. Das Viereck \(MBCP\) ist daher ein Parallelogramm. Folglich gilt \(MP\parallel BC\) und \(MP=BC\). 6. Weil \(MN=NP\), ist \(MP=2MN\). Zusammen mit \(MP=BC\) folgt \(MN=\frac{1}{2}BC\); aus \(M,N,P\) auf einer Geraden und \(MP\parallel BC\) folgt außerdem \(MN\parallel BC\).

Spiegle \(M\) an \(N\) zu \(P\). Nach SWS sind \(ANM\) und \(CNP\) kongruent; daraus folgen \(AM=CP\) und \(\angle AMN=\angle CPN\). Da \(M,N,P\) auf einer Geraden liegen, ist \(AM\parallel CP\). Mit \(AM=MB\) wird \(MBCP\) zum Parallelogramm. Daher gilt \(MP\parallel BC\) und \(MP=BC\). Wegen \(MP=2MN\) folgt \(MN\parallel BC\) und \(MN=\frac{1}{2}BC\).