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- Überlege, welche Rolle die Seite gegenüber dem rechten Winkel beim Satz des Thales spielt. - Welche Lage muss der dritte Eckpunkt relativ zum Kreis haben?

1. Die Strecke \(AB\) muss ein Durchmesser des betrachteten Kreises sein. 2. Der Punkt \(C\) muss auf der Kreislinie liegen. 3. Sind beide Voraussetzungen erfüllt, kann der Satz des Thales angewendet werden.

\(AB\) muss ein Durchmesser des Kreises sein und \(C\) muss auf der Kreislinie liegen.

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel bei \(C\) gegenüber? - Welche Rolle hat diese Seite beim Thaleskreis eines rechtwinkligen Dreiecks?

1. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist \(AB\). 2. Beim Kehrsatz des Satzes von Thales ist diese Seite der Durchmesser des Thaleskreises.

Die Seite \(AB\) ist der Durchmesser des zugehörigen Thaleskreises.

- Welche beiden Punkte sollen später die Endpunkte eines rechten Winkels über einem Halbkreis sein? - Wo liegt der Mittelpunkt eines Kreises, wenn sein Durchmesser bekannt ist?

1. Bei der Tangentenkonstruktion wird der Thaleskreis über der Strecke zwischen Kreismittelpunkt und äußerem Punkt verwendet. 2. Sein Durchmesser ist daher \(MP\). 3. Der Mittelpunkt \(K\) des Hilfskreises ist der Mittelpunkt der Strecke \(MP\).

Der Durchmesser ist \(MP\). Der Punkt \(K\) ist der Mittelpunkt von \(MP\).

- Welche besondere Eigenschaft haben Dreiecke, deren Eckpunkte auf einem Halbkreis liegen? - Wie viel Grad ergeben alle Innenwinkel eines Dreiecks zusammen? - Stelle dir vor, du bewegst die Spitze eines Winkels näher an die Grundseite heran. Was passiert mit der Öffnung des Winkels?

1. Nach dem Satz des Thales ist jeder Winkel in einem Dreieck, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis über dem Durchmesser liegt, ein rechter Winkel. Somit gilt \(\gamma = 90^\circ\). 2. Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). Mit \(\gamma = 90^\circ\) und \(\beta = 38^\circ\) ergibt sich \(\alpha = 180^\circ - 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ\). 3. Wenn der Punkt \(C\) in das Innere des Kreises wandert, vergrößert sich der Winkel \(\gamma\). Er wird somit größer als \(90^\circ\) (stumpfer Winkel).

a) \(\gamma = 90^\circ\); Satz des Thales. b) \(\alpha = 52^\circ\). c) Der Winkel \(\gamma\) wird größer als \(90^\circ\) (er wird stumpf).

- Achte auf die Lage der Punkte \(A\) und \(B\) im Verhältnis zum Kreismittelpunkt. - Welcher besondere mathematische Satz gilt für Punkte auf einer Kreislinie über einem Durchmesser? - Welche Seiten grenzen direkt an den Winkel \(\gamma\) an?

Da die Strecke \(\overline{AB}\) der Durchmesser des Kreises ist und der Punkt \(S\) auf dem Kreisrand liegt, handelt es sich um eine Konstruktion nach dem Satz des Thales. Daher ist der Winkel \(\gamma\) bei \(S\) genau \(90^\circ\). Die Katheten sind die beiden Seiten, die diesen rechten Winkel bilden, also die Strecken \(\overline{AS}\) und \(\overline{BS}\).

Der Winkel \(\gamma\) ist \(90^\circ\) groß. Die Katheten sind die Strecken \(\overline{AS}\) und \(\overline{BS}\).

- Was weißt du über Winkel in einem Dreieck, dessen eine Seite der Kreisdurchmesser ist? - Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck?

1. Nach dem Satz des Thales ist der Winkel \(\angle ACB = 90^\circ\). 2. In jedem Dreieck beträgt die Winkelsumme \(180^\circ\). 3. Berechnung: \(\beta = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ\).

\(\beta = 62^\circ\)

- Welche zwei Voraussetzungen gehören zum Satz des Thales? - Prüfe in jedem Teilbild getrennt die Lage von \(AB\) und die Lage von \(C\). - Eine erfüllte Voraussetzung allein reicht nicht.

1. In Teilbild a) ist \(AB\) ein Durchmesser des Kreises und \(C\) liegt auf der Kreislinie. Daher gilt nach dem Satz des Thales \(\angle ACB=90^\circ\). 2. In Teilbild b) liegen zwar \(A\), \(B\) und \(C\) auf der Kreislinie, aber \(AB\) ist kein Durchmesser. 3. In Teilbild c) ist \(AB\) ein Durchmesser, aber \(C\) liegt nicht auf der Kreislinie.

Nur in Teilbild a) darf der Satz des Thales unmittelbar angewendet werden.

- Welche beiden Punkte bilden den Durchmesser des gestrichelten Hilfskreises? - Welcher Winkel entsteht deshalb bei \(T\)? - Welche Bedingung muss eine Tangente am Berührpunkt erfüllen?

1. Zeichne die Strecke \(PT\). 2. Weil \(T\) auf dem Thaleskreis über \(MP\) liegt, gilt \(\angle MTP=90^\circ\). 3. Die Strecke \(MT\) ist ein Radius des Kreises \(k\). 4. Somit steht \(PT\) im Punkt \(T\) senkrecht auf dem Radius \(MT\). Daher ist \(PT\) eine Tangente an \(k\).

Zeichne \(PT\). Wegen des Satzes des Thales gilt \(MT\perp PT\); deshalb ist \(PT\) Tangente an \(k\) im Punkt \(T\).

- Welche Hilfskonstruktion erzeugt an einem möglichen Berührpunkt einen rechten Winkel über \(MQ\)? - Woran erkennst du anschließend, dass die Verbindung von \(Q\) zum Schnittpunkt wirklich eine Tangente ist? - Welche bekannten Seiten und welcher Winkel lassen sich in den beiden entstehenden Dreiecken vergleichen?

1. Zeichne die Strecke \(MQ\) und konstruiere ihren Mittelpunkt \(K\). 2. Zeichne den Thaleskreis über \(MQ\), also den Kreis mit Mittelpunkt \(K\) und Radius \(KM = KQ = 4\,\text{cm}\). 3. Seine Schnittpunkte mit \(k\) sind \(T_1\) und \(T_2\). Nach dem Satz des Thales gilt \(\angle MT_1Q = \angle MT_2Q = 90^\circ\). Deshalb stehen \(QT_1\) und \(QT_2\) jeweils senkrecht auf dem Radius im Berührpunkt und sind Tangenten. 4. Für die Dreiecke \(MT_1Q\) und \(MT_2Q\) gilt \(MT_1 = MT_2 = 3\,\text{cm}\), \(MQ = MQ\) und beide haben einen rechten Winkel, der der längeren Seite \(MQ\) gegenüberliegt. 5. Die beiden Dreiecke sind daher nach dem gültigen SsW-Fall kongruent. 6. Entsprechende Seiten sind gleich lang, also \(QT_1 = QT_2\).

a) Konstruiere den Mittelpunkt \(K\) von \(MQ\) und den Thaleskreis über \(MQ\). Seine beiden Schnittpunkte mit \(k\) sind \(T_1\) und \(T_2\); die Geraden \(QT_1\) und \(QT_2\) sind die gesuchten Tangenten. b) Die rechtwinkligen Dreiecke \(MT_1Q\) und \(MT_2Q\) sind nach SsW kongruent. Daher gilt \(QT_1 = QT_2\).

- Wo liegt der Mittelpunkt des Thaleskreises über \([AB]\), und wie hängt sein Radius mit \(AB\) zusammen? - Welche zusätzliche Symmetriebedingung muss \(C\) erfüllen, damit \(AC=BC\) gilt? - Auf welchen Geraden liegen alle Punkte mit einem festen senkrechten Abstand von \(AB\)?

1. Der Mittelpunkt \(M\) des Thaleskreises ist der Mittelpunkt von \([AB]\). Da \(AB=6\,\text{cm}\) der Durchmesser ist, hat der Kreis den Radius \(r=3\,\text{cm}\). Konstruiere also zuerst \(M\) und zeichne den Kreis um \(M\) mit diesem Radius. 2. Für ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck muss zusätzlich \(AC=BC\) gelten. Daher liegt \(C\) auf der Mittelsenkrechten von \([AB]\). Ihre beiden Schnittpunkte mit dem Thaleskreis sind die möglichen Lagen von \(C\). Dort beträgt der Abstand zu \(AB\) genau \(3\,\text{cm}\), also \(h_c=3\,\text{cm}\). 3. Punkte mit dem senkrechten Abstand \(2\,\text{cm}\) von der Geraden \(AB\) liegen auf zwei Parallelen zu \(AB\), je einer auf jeder Seite. 4. Jede dieser Parallelen schneidet den Kreis mit Radius \(3\,\text{cm}\) in zwei Punkten. Insgesamt gibt es daher \(4\) mögliche Punkte \(D\).

a) Konstruiere den Mittelpunkt \(M\) von \([AB]\) und zeichne den Kreis um \(M\) mit \(r=3\,\text{cm}\). b) \(C\) liegt an einem Schnittpunkt von Mittelsenkrechter und Thaleskreis; \(h_c=3\,\text{cm}\). c) Es gibt \(4\) Punkte \(D\).

- Welche Ortslinie beschreibt alle möglichen Punkte \(C\), bei denen der Winkel über \([AB]\) rechtwinklig ist? - Wie groß kann der senkrechte Abstand eines Punktes auf einem Kreis von einem Durchmesser höchstens werden? - Welche Größe in der Dreiecksflächenformel wird durch diesen Abstand beschränkt?

1. Zeichne \(AB=8\,\text{cm}\), bestimme den Mittelpunkt \(M\) und zeichne den Thaleskreis um \(M\) mit \(r=4\,\text{cm}\). Trage in \(A\) einen Winkel von \(40^\circ\) an. Der zweite Schnittpunkt des freien Schenkels mit dem Thaleskreis neben \(A\) ist \(C\). 2. Jeder mögliche Punkt \(C\) eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse \([AB]\) liegt auf dem Thaleskreis. Die Höhe \(h_c\) ist der senkrechte Abstand von \(C\) zur Geraden \(AB\). Der größte solche Abstand eines Kreispunktes vom Durchmesser ist der Radius, also \(h_{c,\max}=4\,\text{cm}\). 3. Für den Flächeninhalt gilt \(A=\frac{1}{2}ch_c\). Mit \(c=8\,\text{cm}\) und \(h_{c,\max}=4\,\text{cm}\) ergibt sich \(A_{\max}=\frac{1}{2}\cdot 8\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=16\,\text{cm}^2\). 4. Da \(20\,\text{cm}^2>16\,\text{cm}^2\), ist ein solches Dreieck nicht möglich.

a) Zeichne \([AB]\), konstruiere seinen Mittelpunkt und den Thaleskreis über \([AB]\), trage in \(A\) den Winkel \(40^\circ\) an und wähle den zweiten Schnittpunkt des Strahls mit dem Thaleskreis als \(C\). b) Die Höhe kann höchstens dem Radius des Thaleskreises entsprechen; daher ist \(h_{c,\max}=4\,\text{cm}\). c) Nein. Der maximale Flächeninhalt beträgt \(16\,\text{cm}^2\).

- Was weißt du über den Abstand aller Punkte auf einer Kreislinie zum Mittelpunkt? - Wo genau über der Strecke \([AB]\) muss der Punkt \(C\) liegen, damit ein gleichschenkliges Dreieck entsteht? - Wie hängen Durchmesser und Radius eines Kreises zusammen?

1. Alle Punkte \(C\) mit \(C \ne A,B\), für die \(\angle ACB = 90^\circ\) gilt, liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke \([AB]\), jedoch nicht auf dessen Endpunkten \(A\) und \(B\). Dies ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt \(M\) (Mittelpunkt von \([AB]\)) und dem Radius \(r = 4\,\text{cm}\). 2. In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck liegt die Spitze \(C\) auf der Mittelsenkrechten von \([AB]\) und gleichzeitig auf dem Thaleskreis. Die Höhe \(h_c\) entspricht somit genau dem Radius des Thaleskreises: \(h_c = r = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 3. Da \(C\) auf dem Thaleskreis liegt, ist der Abstand von \(M\) zu \(C\) gleich dem Radius \(r\). Da die Hypotenuse \(c = AB\) der Durchmesser des Kreises ist, gilt \(c = 2r\). Daraus folgt \(MC = r = \frac{1}{2}c\).

a) Die Punkte \(C\) liegen auf dem Thaleskreis über \([AB]\), wobei die Endpunkte \(A\) und \(B\) ausgeschlossen sind. Der Kreis hat den Radius \(r = 4\,\text{cm}\) und seinen Mittelpunkt im Mittelpunkt von \([AB]\). b) \(h_c = 4\,\text{cm}\). c) Da \(C\) auf dem Thaleskreis liegt, ist \([MC]\) ein Radius. Die Hypotenuse \([AB]\) ist der Durchmesser, also doppelt so lang wie der Radius.

- Welche Ortslinie beschreibt alle Punkte \(C\), bei denen \(\angle ACB=90^\circ\) gilt? - Welche zweite Ortslinie folgt aus der Bedingung \(BC=4\,\text{cm}\)? - Wie hängen die beiden möglichen Schnittpunkte bezüglich der Geraden \(AB\) zusammen?

1. Zeichne die Strecke \(AB=7\,\text{cm}\) und bestimme ihren Mittelpunkt \(M\). 2. Zeichne den Thaleskreis über \([AB]\), also den Kreis um \(M\) mit dem Radius \(3{,}5\,\text{cm}\). 3. Da \(a=BC=4\,\text{cm}\) gelten soll, muss \(C\) zugleich auf dem Kreis um \(B\) mit dem Radius \(4\,\text{cm}\) liegen. 4. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten auf verschiedenen Seiten von \(AB\). Beide liefern rechtwinklige Dreiecke mit \(BC=4\,\text{cm}\). 5. Die beiden Dreiecke sind Spiegelbilder an \(AB\) und daher kongruent. Es gibt genau eine nicht kongruente Lösung.

Zeichne \([AB]\), den Thaleskreis über \([AB]\) und den Kreis um \(B\) mit dem Radius \(4\,\text{cm}\). Ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist \(C\). Die zwei möglichen Schnittpunkte liefern kongruente Spiegelbilder, also gibt es eine nicht kongruente Lösung.

- In welchem Verhältnis stehen Radius und Durchmesser eines Kreises zueinander? - Welche Strecke dient bei der Tangentenkonstruktion als Durchmesser für den Hilfskreis? - Überlege dir, wie viele Schnittpunkte der Hilfskreis mit dem ursprünglichen Kreis haben kann, wenn der Punkt zu nah am Mittelpunkt liegt.

1. Berechnung der Strecke \([MA]\): Der Thaleskreis wird über der Strecke zwischen dem Kreismittelpunkt \(M\) und dem äußeren Punkt \(A\) gezeichnet. Die Strecke \([MA]\) entspricht daher dem Durchmesser des Thaleskreises. Bei einem Radius von \(r_T = 5{,}5\,\text{cm}\) ergibt sich \(|MA| = 2 \cdot 5{,}5\,\text{cm} = 11\,\text{cm}\). 2. Bestimmung des Winkels: Der Winkel \(\angle MT_1A\) beträgt \(90^\circ\). Dies wird durch den Satz des Thales begründet, da \(T_1\) auf einem Kreis über der Strecke \([MA]\) liegt. 3. Bedingung für Tangenten: Wenn der Punkt \(A\) innerhalb des gegebenen Kreises liegt, also sein Abstand zu \(M\) kleiner als der Radius dieses Kreises ist, können keine Tangenten an den Kreis gezeichnet werden. Liegt \(A\) auf dem Kreis, gibt es genau eine Tangente.

a) Die Strecke \([MA]\) ist \(11\,\text{cm}\) lang. b) Der Winkel beträgt \(90^\circ\) (Satz des Thales). c) Der Punkt \(A\) müsste innerhalb des gegebenen Kreises liegen; sein Abstand zu \(M\) wäre dann kleiner als der Radius dieses Kreises.

- Welche Strecke ist der Durchmesser des Thaleskreises? - Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? - Stelle dir vor, \(P\) läge sehr weit entfernt: In welche Richtung verlaufen die beiden Tangenten dann nahezu, und wo berühren sie den inneren Kreis?

1. Da \(P\) auf dem äußeren Kreis liegt, gilt \(|MP|=6\,\text{cm}\). 2. Der Thaleskreis hat \([MP]\) als Durchmesser. Sein Radius beträgt daher \(3\,\text{cm}\). 3. Sein Mittelpunkt \(K\) ist der Mittelpunkt von \([MP]\) und hat somit ebenfalls den Abstand \(3\,\text{cm}\) von \(M\). 4. Wandert \(P\) auf demselben Strahl weiter nach außen, werden die Tangentenrichtungen zunehmend parallel. Die Berührpunkte wandern auf dem inneren Kreis von der Geraden \(MP\) weg in Richtung der Endpunkte des zu \(MP\) senkrechten Durchmessers. Sie liegen daher weiter auseinander; der kleinere Bogen zwischen ihnen wird größer und nähert sich einem Halbkreis.

a) \(3\,\text{cm}\). b) \(K\) liegt \(3\,\text{cm}\) von \(M\) entfernt. c) Die Berührpunkte wandern voneinander weg in Richtung der Endpunkte des zu \(MP\) senkrechten Durchmessers; der kleinere Bogen zwischen ihnen wird größer.

- Welche besondere Lage hat die Gerade \(g\) im Koordinatensystem? - Wie stehen der Radius zum Berührpunkt und die Tangente immer zueinander? - Wenn zwei Geraden beide senkrecht auf einer dritten Geraden stehen, wie liegen sie dann zueinander? - Wo müssen die Berührpunkte liegen, wenn die Tangente eine bestimmte Richtung haben soll?

1. Da die Tangenten senkrecht auf der Geraden \(g\) stehen sollen und die Gerade \(g\) selbst durch den Mittelpunkt verläuft (sie ist eine Vertikale mit \(x = 5\)), müssen die Tangenten waagerechte Linien sein. Da eine Tangente immer senkrecht auf dem Radius im Berührpunkt steht, müssen die Berührpunkte auf der Geraden \(g\) liegen, jeweils im Abstand des Radius \(r = 3\) vom Mittelpunkt \(M\) entfernt. 2. Die Berührpunkte liegen auf der Geraden \(g\), also bei \(x = 5\). Man addiert und subtrahiert den Radius zum y-Wert des Mittelpunkts: \(5 + 3 = 8\) und \(5 - 3 = 2\). Die Berührpunkte sind \(B_1(5 \mid 8)\) und \(B_2(5 \mid 2)\).

1. Die Tangenten müssen waagerecht verlaufen. Die Berührpunkte findet man, indem man vom Mittelpunkt \(M\) aus den Radius \(r = 3\,\text{cm}\) entlang der Geraden \(g\) nach oben und nach unten abträgt. 2. Die Berührpunkte sind \(B_1(5 \mid 8)\) und \(B_2(5 \mid 2)\).

- In welchem Winkel steht eine Tangente zum Radius am Berührpunkt? - Wo müssen alle Punkte liegen, die die Eckpunkte eines rechten Winkels über der Strecke \(MP\) bilden? - Überlege dir, wie viele Schnittpunkte der Thaleskreis mit dem ursprünglichen Kreis hat, wenn der Punkt \(P\) (oder \(Q\)) näher an den Kreis rückt.

1. Konstruktion der Tangenten: Zuerst wird die Strecke \(MP\) gezeichnet und deren Mittelpunkt \(Z\) bestimmt. Dann wird der Thaleskreis über der Strecke \(MP\) gezeichnet. Die Schnittpunkte dieses Thaleskreises mit dem ursprünglichen Kreis \(k\) sind die Berührpunkte \(B_1\) und \(B_2\). Die Geraden \(PB_1\) und \(PB_2\) sind die gesuchten Tangenten. 2. Rolle des Satzes des Thales: Eine Tangente steht senkrecht auf dem Berührungsradius (\(MB_1 \perp PB_1\)). Das Dreieck \(MB_1P\) muss also rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei \(B_1\) sein. Der Satz des Thales besagt, dass alle Punkte, die mit \(M\) und \(P\) ein rechtwinkliges Dreieck bilden, auf dem Kreis über dem Durchmesser \(MP\) liegen. 3. Untersuchung der Lage von \(Q\): - Fall 1: \(d > r = 3\,\text{cm}\) (Punkt außerhalb): Es gibt genau \(2\) Tangenten, da der Thaleskreis den Kreis \(k\) in zwei Punkten schneidet. - Fall 2: \(d = r = 3\,\text{cm}\) (Punkt auf dem Kreis): Es gibt genau \(1\) Tangente (die Senkrechte zum Radius in diesem Punkt). - Fall 3: \(d < r = 3\,\text{cm}\) (Punkt innerhalb): Es gibt \(0\) Tangenten, da von einem inneren Punkt keine Gerade den Kreis nur berühren kann (jede Gerade wäre eine Sekante).

a) Mittelpunkt von \(MP\) finden, Thaleskreis zeichnen, Schnittpunkte mit \(k\) sind Berührpunkte. Der Satz des Thales garantiert den \(90^\circ\)-Winkel zwischen Radius und Tangente. b) Für \(d > 3\,\text{cm}\): zwei Tangenten; für \(d = 3\,\text{cm}\): eine Tangente; für \(d < 3\,\text{cm}\): keine Tangente.

- Welchen Winkel bildet ein Punkt auf dem Kreis mit den Endpunkten eines Durchmessers? - Was passiert bei einer Punktspiegelung mit den Abständen zum Spiegelpunkt? - Welche Eigenschaften haben die Diagonalen in verschiedenen Vierecksarten wie Parallelogramm, Raute oder Rechteck?

1. Da \([AB]\) der Durchmesser ist und \(C\) auf dem Kreis liegt, ist \(\angle ACB = 90^\circ\) (Satz des Thales). 2. Über die Innenwinkelsumme berechnet sich der dritte Winkel: \(\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). 3. Durch die Punktspiegelung an \(M\) ist \(M\) der Mittelpunkt beider Diagonalen \([AB]\) und \([CD]\). Da beide Strecken Durchmesser des Kreises sind, sind sie gleich lang (\(7\,\text{cm}\)). 4. Ein Viereck, dessen Diagonalen gleich lang sind und einander halbieren, ist ein Rechteck. Zudem sind nach dem Satz des Thales alle vier Innenwinkel des Vierecks \(90^\circ\), da jede Seite des Vierecks eine Sehne gegenüber einem Durchmesser ist (z. B. \(\angle CAD = 90^\circ\) über Durchmesser \([CD]\)).

a) \(\angle ACB = 90^\circ\) und \(\angle ABC = 30^\circ\). b) Es handelt sich um ein Rechteck. Die Diagonalen \([AB]\) und \([CD]\) sind Durchmesser des Kreises, daher gleich lang und sie halbieren einander im Mittelpunkt \(M\).

- Welche drei Strecken in der Figur sind Radien desselben Kreises? - Welche Winkelgleichheiten folgen daraus in den beiden kleineren Dreiecken? - Wie setzt sich der Winkel bei \(C\) aus den beiden Teilwinkeln zusammen?

1. Die Strecken \(MA\), \(MB\) und \(MC\) sind Radien desselben Kreises. Daher gilt \(MA = MC\) und \(MB = MC\). 2. Das Dreieck \(AMC\) ist gleichschenklig. Deshalb gilt \(\angle MAC = \angle ACM = \alpha\). 3. Das Dreieck \(BMC\) ist ebenfalls gleichschenklig. Deshalb gilt \(\angle CBM = \angle BCM = \beta\). 4. Im großen Dreieck \(ABC\) sind die drei Innenwinkel damit \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\). 5. Aus der Innenwinkelsumme folgt \(\alpha + \beta + \alpha + \beta = 180^\circ\), also \(2(\alpha + \beta) = 180^\circ\). 6. Daher ist \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Da \(\angle ACB = \alpha + \beta\), gilt \(\angle ACB = 90^\circ\).

Weil \(MA = MB = MC\) gilt, entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke. Mit deren Basiswinkeln und der Innenwinkelsumme folgt \(\angle ACB = 90^\circ\).

- Welche Winkelgröße hat der Winkel bei einem Punkt auf dem Thaleskreis über \(AB\)? - Welche zwei Geraden stehen dadurch beziehungsweise durch die Voraussetzung senkrecht auf \(AC\)? - Wie viele Senkrechten zu einer Geraden gibt es durch den festen Punkt \(B\)?

1. Da \(D\) auf dem Thaleskreis über \(AB\) liegt, gilt nach dem Satz des Thales \(\angle ADB=90^\circ\). 2. Weil \(D\) auf dem Strahl \(AC\) liegt, steht \(DB\) senkrecht auf \(AC\). 3. Nach Voraussetzung ist auch \(CB\) senkrecht auf \(AC\). 4. Durch \(B\) gibt es genau eine Senkrechte zu \(AC\). Daher sind die Geraden \(BD\) und \(BC\) identisch. 5. Beide schneiden den Strahl \(AC\) im selben Punkt, also gilt \(D=C\). 6. Da \(D\) auf dem Thaleskreis liegt, liegt auch \(C\) auf diesem Kreis.

Der zweite Schnittpunkt \(D\) muss mit \(C\) zusammenfallen. Daher liegt \(C\) auf dem Thaleskreis über \(AB\).