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- Suche zuerst nur den kleinsten und den größten Wert. - Die Reihenfolge der übrigen Werte ist für diese Frage nicht wichtig. - Achte auf die Einheit.

1. Kleinster Wert: \(1{,}8\) Meter. 2. Größter Wert: \(3\) Meter. 3. Spannweite: \(3-1{,}8=1{,}2\) Meter.

Die Spannweite beträgt \(1{,}2\,\text{m}\).

- Überlege, wie Minimum, Maximum und Spannweite zusammenhängen. - Arbeite von der gegebenen Differenz rückwärts. - Kontrolliere das Ergebnis durch Subtraktion.

1. Die Spannweite ist die Differenz aus größtem und kleinstem Wert. 2. Größter Wert: \(7{,}5+12{,}8=20{,}3\).

Der größte Wert ist \(20{,}3\).

- Welche zwei Werte einer Datenreihe bestimmen die Spannweite vollständig? - Prüfe, ob der neue Messwert einen bisherigen Extremwert ersetzt. - Überlege für c), ob ein Wert im Inneren des bisherigen Wertebereichs Minimum oder Maximum verändern kann.

1. Das Minimum ist \(18\,^\circ\text{C}\), das Maximum \(25\,^\circ\text{C}\). Daher ist \(R=25-18=7\,^\circ\text{C}\). 2. Durch den neuen Wert wird \(30\,^\circ\text{C}\) zum Maximum; das Minimum bleibt \(18\,^\circ\text{C}\). Die neue Spannweite ist \(30-18=12\,^\circ\text{C}\). 3. Die Spannweite wächst um \(12-7=5\,^\circ\text{C}\). 4. Für die Spannweite zählen nur Minimum und Maximum. Werte zwischen diesen Extremwerten ändern die Spannweite nicht.

a) \(7\,^\circ\text{C}\) b) Neue Spannweite: \(12\,^\circ\text{C}\); Zunahme: \(5\,^\circ\text{C}\) c) Die Spannweite hängt nur vom kleinsten und größten Wert ab.

- Achte beim Ablesen besonders auf positive und negative Werte. - Welche beiden Extremwerte bestimmen die Spannweite? - Frage dich für c), ob ein Wert zwischen Minimum und Maximum eines dieser beiden Enden verändern kann.

1. Der größte Monatswert ist \(500\,\text{€}\), der kleinste \(-300\,\text{€}\). 2. Die Spannweite beträgt \(500\,\text{€}-(-300\,\text{€})=800\,\text{€}\). 3. Die Spannweite ist ausschließlich als Differenz zwischen Maximum und Minimum definiert. Werte zwischen diesen beiden Extremwerten verändern sie nicht.

a) Maximum: \(500\,\text{€}\); Minimum: \(-300\,\text{€}\) b) \(800\,\text{€}\) c) Die Spannweite hängt nur vom größten und kleinsten Wert ab.

- Ordne die Enden der Antennen, die Boxkanten und den Strich in der Box den fünf Kennwerten zu. - Welches Quartil markiert die Grenze, unter der mindestens drei Viertel der Werte liegen? - Für die Breite der Box brauchst du den Abstand zwischen den beiden Boxkanten.

1. Das linke Ende der Antenne zeigt das Minimum \(15\,\text{min}\). 2. Der Strich innerhalb der Box zeigt den Median \(30\,\text{min}\). 3. Die rechte Boxkante ist \(Q_3=40\,\text{min}\). Mindestens \(75\,\%\) der Lieferzeiten sind daher höchstens \(40\,\text{min}\) lang. 4. Die Box reicht von \(Q_1=20\,\text{min}\) bis \(Q_3=40\,\text{min}\) und ist \(40-20=20\,\text{min}\) breit.

a) \(15\,\text{min}\) b) \(30\,\text{min}\) c) \(40\,\text{min}\) d) \(20\,\text{min}\)

- Bei einem vertikalen Boxplot entsprechen die untere und obere Boxkante den beiden Quartilen. - Die mittleren \(50\,\%\) liegen innerhalb der Box. - Für die Spannweite brauchst du in jeder Klasse Minimum und Maximum.

1. Für Klasse 7A liest man \(Q_1=2\) und \(Q_3=8\) ab. 2. Bei Klasse 7B reicht die Box von \(Q_1=4\) bis \(Q_3=7\). Die mittleren \(50\,\%\) liegen daher zwischen \(4\) und \(7\) gelesenen Büchern. 3. Die Spannweite von 7A ist \(20-0=20\) Bücher, die von 7B \(12-1=11\) Bücher. 7A hat die größere Spannweite; die Differenz beträgt \(20-11=9\) Bücher.

a) \(Q_1=2\), \(Q_3=8\) b) Zwischen \(4\) und \(7\) Büchern c) Klasse 7A; die Differenz der Spannweiten beträgt \(9\) Bücher.

- Welche beiden Quartile bilden die linke und rechte Kante der Box? - Die Breite des gesuchten Bereichs ist der Abstand zwischen diesen beiden Kanten. - Welcher Anteil der Daten liegt ab dem unteren Quartil nach oben?

1. Die Box reicht von \(Q_1=6\,\text{h}\) bis \(Q_3=11\,\text{h}\). Dort liegen die mittleren \(50\,\%\) der beobachteten Laufzeiten. 2. Die Breite dieses Bereichs beträgt \(11\,\text{h}-6\,\text{h}=5\,\text{h}\). 3. Da \(Q_1=6\,\text{h}\) ist, liegen mindestens \(75\,\%\) der Werte bei \(6\,\text{h}\) oder darüber.

a) Zwischen \(6\,\text{h}\) und \(11\,\text{h}\) b) \(5\,\text{h}\) c) Mindestens \(75\,\%\)

- Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten Wert. - Wo befinden sich Minimum und Maximum an den „Antennen“ des Boxplots?

1. Ablesen von Minimum und Maximum aus den Boxplots: - Dienst A: Minimum \(15\), Maximum \(60\). - Dienst B: Minimum \(20\), Maximum \(45\). 2. Berechnung der Spannweite (Maximum minus Minimum): - Dienst A: \(60 - 15 = 45\,\text{Minuten}\). - Dienst B: \(45 - 20 = 25\,\text{Minuten}\). 3. Vergleich: Dienst B hat mit \(25\,\text{Minuten}\) eine deutlich kleinere Spannweite als Dienst A (\(45\,\text{Minuten}\)).

Die Spannweite beträgt für Dienst A \(45\,\text{Minuten}\) und für Dienst B \(25\,\text{Minuten}\). Dienst B liefert innerhalb eines kleineren Zeitfensters aus.

- Lies die beiden Kanten der Box ab. - Die Whisker gehören nicht zur Boxlänge. - Überlege, welcher Anteil zwischen den Quartilen liegt.

1. Linke Boxkante: \(Q_1=15\) Punkte. 2. Rechte Boxkante: \(Q_3=40\) Punkte. 3. Boxlänge: \(40-15=25\) Punkte. 4. Zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) liegen die mittleren \(50\,\%\) der Ergebnisse.

Die Box ist \(25\) Punkte lang und umfasst die mittleren \(50\,\%\) der Ergebnisse.

- Ein Boxplot teilt die geordneten Daten in vier gleich große Bereiche. - Übertrage einen Viertelanteil auf die Gesamtzahl. - Die Zusatzangabe verhindert Mehrdeutigkeiten an den Grenzen.

1. Jede der vier durch Quartile getrennten Gruppen enthält ungefähr ein Viertel der Daten. 2. \(40:4=10\). 3. In jedem der vier genannten Bereiche liegen ungefähr \(10\) Messwerte.

In jedem der vier Bereiche liegen ungefähr \(10\) Messwerte.

- Bestimme in jeder Datenreihe neu den größten Wert. - Der kleinste Wert ändert sich hier nicht. - Vergleiche die beiden Ergebnisse.

1. Mit Ausreißer: \(42-11=31\). 2. Ohne Ausreißer ist \(18\) der größte Wert. 3. Ohne Ausreißer: \(18-11=7\).

Mit Ausreißer beträgt die Spannweite \(31\), ohne Ausreißer \(7\).

- Lies von unten nach oben. - Die Kanten der Box sind die Quartile. - Für die Spannweite verwendest du die beiden Whisker-Endpunkte.

1. Minimum \(4\,\text{cm}\), \(Q_1 = 10\,\text{cm}\), Median \(14\,\text{cm}\), \(Q_3 = 20\,\text{cm}\), Maximum \(26\,\text{cm}\). 2. Spannweite: \(26\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 22\,\text{cm}\).

Minimum \(4\,\text{cm}\), \(Q_1 = 10\,\text{cm}\), Median \(14\,\text{cm}\), \(Q_3 = 20\,\text{cm}\), Maximum \(26\,\text{cm}\); Spannweite \(22\,\text{cm}\).

- Markiere zuerst bei den \(11\) geordneten Werten die mittlere Position. - Welche fünf Werte gehören zur unteren und welche fünf zur oberen Hälfte, wenn der Median weggelassen wird? - Ordne anschließend jeden der fünf Kennwerte einem Bauteil des Boxplots zu.

1. Bei \(11\) Werten ist der sechste Wert der Median, also \(m=9\). 2. Die untere Hälfte ist \(3;5;5;6;8\). Ihr mittlerer Wert ist \(Q_1=5\). 3. Die obere Hälfte ist \(12;14;15;18;20\). Ihr mittlerer Wert ist \(Q_3=15\). 4. Minimum und Maximum sind \(3\) und \(20\). 5. Der Boxplot hat Antennenenden bei \(3\) und \(20\), Boxkanten bei \(5\) und \(15\) sowie die Medianlinie bei \(9\).

a) Minimum \(3\), \(Q_1=5\), \(m=9\), \(Q_3=15\), Maximum \(20\) b) Antennenenden: \(3\) und \(20\); Boxkanten: \(5\) und \(15\); Medianlinie: \(9\)

- Ordne die fünf Kennwerte in ihrer Reihenfolge den beiden Antennenenden, den beiden Boxkanten und der Medianlinie zu. - In B bis F ist jeweils nur eine dieser fünf Positionen verändert; vergleiche jede Position mit den vorgegebenen Kennwerten. - Überlege bei c), welche Informationen ein Boxplot zusammenfasst und welche Einzelhäufigkeiten er nicht zeigt.

1. Beim korrekten Boxplot müssen das linke Antennenende bei \(2\), die linke Boxkante bei \(4\), die Medianlinie bei \(6\), die rechte Boxkante bei \(9\) und das rechte Antennenende bei \(12\) liegen. 2. Boxplot A erfüllt alle fünf Bedingungen. 3. Bei B liegt nur das Minimum falsch bei \(1\). Bei C liegt nur \(Q_1\) falsch bei \(5\). Bei D liegt nur der Median falsch bei \(7\). Bei E liegt nur \(Q_3\) falsch bei \(10\). Bei F liegt nur das Maximum falsch bei \(13\). 4. Ein Boxplot zeigt die fünf Kennwerte, aber nicht die Häufigkeit jedes einzelnen Datenwerts. Deshalb lässt sich nicht bestimmen, wie viele Beobachtungen genau den Wert \(6\) hatten.

a) Boxplot A b) B: Minimum; C: \(Q_1\); D: Median; E: \(Q_3\); F: Maximum c) Nein. Der Boxplot zeigt den Median \(6\), aber nicht die Häufigkeit des Einzelwerts \(6\).

- Lies alle fünf Kennwerte aus dem Boxplot ab, nicht nur den Median. - Prüfe bei jedem Datensatz zuerst Minimum, Maximum und die beiden mittleren Werte. - Vergleiche anschließend die Mitten der unteren und oberen Hälfte mit den Boxkanten.

1. Aus dem Boxplot liest man \(\min=0{,}5\), \(Q_1=2{,}0\), \(m=4{,}0\), \(Q_3=5{,}0\) und \(\max=6{,}0\) ab. 2. Alle vier Datensätze haben als mittlere Werte \(3{,}6\) und \(4{,}4\), also den Median \(4{,}0\). Der Median allein entscheidet daher nicht. 3. Für B ist \(Q_1=(0{,}7+3{,}3):2=2{,}0\) und \(Q_3=(4{,}8+5{,}2):2=5{,}0\); außerdem stimmen Minimum und Maximum. 4. A hat \(Q_1=2{,}1\), C hat \(Q_3=4{,}9\), und D hat falsche Extremwerte. Daher passt nur B.

B

- Ordne die fünf markanten Stellen des Boxplots den fünf Kennwerten zu. - Für die gesamte Spannweite brauchst du die beiden äußeren Enden; für die Breite der Box die beiden Boxkanten. - Überlege, welcher Anteil der Daten ab dem unteren Quartil nach oben liegt.

1. Aus dem Boxplot liest man \(\min=15\,\text{€}\), \(Q_1=25\,\text{€}\), \(m=35\,\text{€}\), \(Q_3=45\,\text{€}\) und \(\max=65\,\text{€}\) ab. 2. Die Spannweite beträgt \(65\,\text{€}-15\,\text{€}=50\,\text{€}\). 3. Die Box reicht von \(25\,\text{€}\) bis \(45\,\text{€}\) und ist daher \(20\,\text{€}\) breit. In diesem Bereich liegen die mittleren \(50\,\%\) der Daten. 4. Da \(Q_1=25\,\text{€}\) ist, liegen mindestens \(75\,\%\) der Werte bei \(25\,\text{€}\) oder höher. Das sind bei \(24\) Personen mindestens \(0{,}75\cdot24=18\) Personen.

a) Minimum: \(15\,\text{€}\), \(Q_1=25\,\text{€}\), Median: \(35\,\text{€}\), \(Q_3=45\,\text{€}\), Maximum: \(65\,\text{€}\) b) Spannweite: \(50\,\text{€}\); Breite der Box: \(20\,\text{€}\) c) Mindestens \(75\,\%\), also mindestens \(18\) Schülerinnen und Schüler

- Lies die höchste und die niedrigste Säulenhöhe einschließlich Vorzeichen ab. - Schreibe die Spannweite als „Maximum minus Minimum“ auf, bevor du einsetzt. - Stelle dir für c) die beiden Extremwerte auf einer Zahlengeraden vor.

1. Die größte Abweichung ist \(4\,^\circ\text{C}\), die kleinste \(-3\,^\circ\text{C}\). 2. Die Spannweite ist \(4\,^\circ\text{C}-(-3\,^\circ\text{C})=7\,^\circ\text{C}\). 3. Die Spannweite misst den Abstand zwischen dem größten und kleinsten Wert auf der Zahlengeraden. Der Abstand von \(-3\) bis \(4\) beträgt \(7\); das Vorzeichen des Minimums gehört daher zum Wert und darf nicht entfernt werden.

a) Maximum: \(4\,^\circ\text{C}\); Minimum: \(-3\,^\circ\text{C}\) b) \(7\,^\circ\text{C}\) c) Das Minimum ist \(-3\,^\circ\text{C}\), nicht \(3\,^\circ\text{C}\); die Spannweite ist der Abstand zwischen \(-3\) und \(4\).

- Welche beiden Werte brauchst du für die Spannweite? - Achte beim Ablesen darauf, dass einige Säulen unterhalb von \(0\) liegen. - Welcher Monatsbalken erreicht den kleinsten Wert?

1. Aus dem Diagramm liest man als Maximum \(3\,\text{m}\) im Juli und als Minimum \(-2{,}5\,\text{m}\) im Mai ab. 2. Die Spannweite ist \(R=3-(-2{,}5)=5{,}5\,\text{m}\). 3. Die stärkste negative Abweichung gehört zum Mai.

Die Spannweite beträgt \(5{,}5\,\text{m}\). Im Mai war der Wasserstand am weitesten unter dem Sollwert.

- Teile bei acht geordneten Werten jede Datenreihe in eine untere und eine obere Hälfte. - Bestimme in jeder Hälfte wieder den mittleren Wert; daraus erhältst du \(Q_1\) und \(Q_3\). - Für b) vergleichst du den Abstand zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) für beide Spieler.

1. Bei Lukas ist die untere Hälfte \(12;14;16;18\), also \(Q_1=(14+16):2=15\). Die obere Hälfte ist \(20;22;28;34\), also \(Q_3=(22+28):2=25\). 2. Bei Tim ist die untere Hälfte \(18;19;20;21\), also \(Q_1=(19+20):2=19{,}5\). Die obere Hälfte ist \(22;23;24;25\), also \(Q_3=(23+24):2=23{,}5\). 3. Bei Lukas beträgt der Abstand \(25-15=10\) Punkte, bei Tim \(23{,}5-19{,}5=4\) Punkte. Bei Tim liegen die mittleren \(50\,\%\) deshalb enger zusammen. 4. Tims Median ist \(21{,}5\). Die vier Werte \(22,23,24,25\) sind mindestens so groß; Tim erreicht die Bedingung in \(4\) Spielen.

a) Lukas: \(Q_1=15\), \(Q_3=25\); Tim: \(Q_1=19{,}5\), \(Q_3=23{,}5\). b) Tim; der Abstand zwischen \(Q_1\) und \(Q_3\) beträgt \(4\) Punkte, bei Lukas \(10\) Punkte. c) \(4\) Spiele

- Welche Linien begrenzen die Box links und rechts (oder oben und unten)? - Welcher Anteil der Daten liegt oberhalb des unteren Quartils \(Q_1\)?

1. Ablesen der Quartile für Klasse 7c: \(Q_1 = 20\), \(Q_3 = 40\). 2. Ablesen der Quartile für Klasse 7d: \(Q_1 = 30\), \(Q_3 = 42\). 3. Damit sich sicher schließen lässt, dass mindestens drei Viertel der Werte bei \(30\) oder darüber liegen, muss das untere Quartil mindestens \(30\) betragen. 4. Bei Klasse 7d liegt \(Q_1\) bei \(30\). Daher haben dort mindestens \(75\,\%\) der Schüler \(30\) Punkte oder mehr erreicht. Bei Klasse 7c liegt \(Q_1\) bei \(20\); aus dem Boxplot lässt sich für die Grenze von \(30\) Punkten kein Anteil von mindestens \(75\,\%\) sicher ablesen.

a) Klasse 7c: \(Q_1 = 20\), \(Q_3 = 40\). Klasse 7d: \(Q_1 = 30\), \(Q_3 = 42\). b) Bei Klasse 7d lässt sich dies sicher schließen, weil das untere Quartil genau bei \(30\) Punkten liegt. Damit haben mindestens \(75\,\%\) der Schüler \(30\) Punkte oder mehr erreicht.

- Minimum, Median und Maximum helfen bei der Zuordnung hier absichtlich nicht weiter. - Teile jede Datenreihe nach dem Median in vier untere und vier obere Werte. - Vergleiche die Mitten dieser beiden Hälften mit den linken und rechten Boxkanten.

1. Beide Teams haben \(\min=12\), \(m=24\) und \(\max=35\). Diese drei Kennwerte können die Boxplots daher nicht unterscheiden. 2. Bei Team Blau ist die untere Hälfte \(12;15;18;20\), also \(Q_1=(15+18):2=16{,}5\). Die obere Hälfte ist \(25;28;30;35\), also \(Q_3=(28+30):2=29\). 3. Bei Team Rot ist die untere Hälfte \(12;22;23;23\), also \(Q_1=(22+23):2=22{,}5\). Die obere Hälfte ist \(25;27;28;35\), also \(Q_3=(27+28):2=27{,}5\). 4. Boxplot 1 hat die Boxkanten \(16{,}5\) und \(29\), also gehört er zu Team Blau. Boxplot 2 gehört zu Team Rot.

Boxplot 1 gehört zu Team Blau; Boxplot 2 gehört zu Team Rot. Entscheidend sind die Quartile: Blau hat \(Q_1=16{,}5\), \(Q_3=29\); Rot hat \(Q_1=22{,}5\), \(Q_3=27{,}5\).

- Die Spannweite ist der Unterschied zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert einer Datenreihe. - Suche zuerst den wärmsten und den kältesten Tag im Diagramm. - Wenn die Spannweite verdoppelt wird, muss sich der Abstand zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert vergrößern. - Da die Temperatur am Sonntag sinkt, wird der Sonntag zum neuen kältesten Wert der Woche.

1. Entnahme der Werte aus dem Diagramm: Mo: \(18\,\text{°C}\), Di: \(20\,\text{°C}\), Mi: \(22\,\text{°C}\), Do: \(19\,\text{°C}\), Fr: \(21\,\text{°C}\), Sa: \(23\,\text{°C}\), So: \(20\,\text{°C}\). 2. Bestimmung von Maximum (\(23\,\text{°C}\)) und Minimum (\(18\,\text{°C}\)). 3. Berechnung der Spannweite: \(23 - 18 = 5\,\text{°C}\). 4. Die neue Spannweite soll doppelt so groß sein: \(2 \cdot 5 = 10\). 5. Da die Temperatur am Sonntag sinkt, wird sie zum neuen Minimum. Die neue Spannweite berechnet sich aus dem bisherigen Maximum minus dem neuen Minimum: \(23 - T_{\text{neu}} = 10\). 6. Auflösen nach dem neuen Wert: \(T_{\text{neu}} = 23 - 10 = 13\).

a) Die Spannweite beträgt \(5\,\text{°C}\). b) Das Thermometer hätte am Sonntag \(13\,\text{°C}\) anzeigen müssen.

- Markiere zuerst die Mitte der gesamten Reihe. - Teile die übrigen Werte in zwei gleich große Hälften. - Für die Spannweite brauchst du nur die beiden Randwerte.

1. Die Reihe ist bereits geordnet; der sechste Wert ist der Median \(12\) Minuten. 2. Untere Hälfte: \(3; 5; 7; 8; 9\); ihr Median ist \(7\) Minuten. 3. Obere Hälfte: \(13; 15; 18; 21; 24\); ihr Median ist \(18\) Minuten. 4. Spannweite: \(24-3=21\) Minuten.

\(Q_1=7\) Minuten, Median \(12\) Minuten, \(Q_3=18\) Minuten, Spannweite \(21\) Minuten.

- Prüfe die vier Kennwerte einzeln. - Bei vier Werten in einer Hälfte liegen zwei Werte in der Mitte. - Die Spannweite ist nicht der größte Wert allein.

1. Median der neun Werte: \(8\). 2. Untere Hälfte \(2; 4; 5; 7\): \(Q_1=(4+5):2=4{,}5\). 3. Obere Hälfte \(10; 12; 13; 16\): \(Q_3=(12+13):2=12{,}5\). 4. Spannweite: \(16-2=14\).

Zusammenfassung A ist richtig.

- Lies alle neun Punkte ab. - Ordne die Werte für den Median. - Ziehe für die Spannweite den kleinsten Wert vom größten Wert ab.

1. Die abgelesenen Werte sind \(18; 22; 20; 27; 19; 24; 21; 23; 26\). 2. Geordnet lauten die Werte \(18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 26; 27\). 3. Der fünfte Wert und damit der Median ist \(22\). 4. Die Spannweite beträgt \(27-18=9\).

Median: \(22\) Fundstücke Spannweite: \(9\) Fundstücke

- Teile die gerade Anzahl in zwei gleich große Hälften. - In jeder Hälfte gibt es wieder zwei mittlere Werte. - Für die Spannweite genügen Minimum und Maximum.

1. Median: \((11+12):2=11{,}5\). 2. Untere Hälfte \(4; 6; 7; 8; 9; 11\): \(Q_1=(7+8):2=7{,}5\). 3. Obere Hälfte \(12; 14; 15; 18; 20; 24\): \(Q_3=(15+18):2=16{,}5\). 4. Spannweite: \(24-4=20\).

\(Q_1=7{,}5\), Median \(11{,}5\), \(Q_3=16{,}5\), Spannweite \(20\).

- Berechne die Kennwerte zunächst unabhängig von der Grafik direkt aus der geordneten Liste. - Welche Werte bleiben übrig, wenn du den Median vor dem Halbieren weglässt? - Vergleiche anschließend jeden der fünf berechneten Kennwerte einzeln mit seiner Position im dargestellten Boxplot.

1. Bei \(9\) Werten ist der 5. Wert der Median, also \(m=8\). 2. Die untere Hälfte ist \(2;4;5;7\). Daher ist \(Q_1=(4+5):2=4{,}5\). 3. Die obere Hälfte ist \(10;12;15;20\). Daher ist \(Q_3=(12+15):2=13{,}5\). 4. Minimum und Maximum sind \(2\) und \(20\). 5. Im dargestellten Programm-Boxplot sind Minimum \(2\), Median \(8\) und Maximum \(20\) korrekt. Die Boxkanten bei \(5\) und \(12\) entsprechen jedoch nicht der vorgegebenen Quartilsregel; sie müssen auf \(4{,}5\) und \(13{,}5\) korrigiert werden.

a) Minimum \(2\), \(Q_1=4{,}5\), \(m=8\), \(Q_3=13{,}5\), Maximum \(20\). b) Korrigiert werden müssen \(Q_1\) von \(5\) auf \(4{,}5\) und \(Q_3\) von \(12\) auf \(13{,}5\). Minimum, Median und Maximum sind richtig.

- An welchen Positionen liegen bei \(11\) geordneten Werten der Median und die beiden Quartile, wenn der Median beim Halbieren weggelassen wird? - Welche Gesamtsumme brauchen \(11\) Werte, damit ihr arithmetisches Mittel \(20\) ist? - Wähle die übrigen Werte so, dass sowohl die Sortierung als auch die geforderte Gesamtsumme erhalten bleiben.

1. Bei \(11\) geordneten Werten ist der 6. Wert der Median, also \(x_6=10\). In den fünf Werten darunter ist der 3. Wert das untere Quartil, also \(x_3=5\). In den fünf Werten darüber ist der mittlere Wert insgesamt \(x_9\), also \(x_9=15\). 2. Für ein arithmetisches Mittel von \(20\) muss die Summe aller \(11\) Werte \(11\cdot 20=220\) betragen. 3. Eine einfache sortierte Belegung der ersten neun Positionen ist \(5,5,5,10,10,10,15,15,15\). Ihre Summe beträgt \(90\). 4. Für die letzten beiden Werte bleiben daher zusammen \(220-90=130\). Mit \(65\) und \(65\) bleibt die Liste sortiert. 5. Die Liste \(5,5,5,10,10,10,15,15,15,65,65\) hat damit \(Q_1=5\), \(m=10\), \(Q_3=15\) und \(\bar{x}=220:11=20\).

Eine mögliche Liste ist \(5,5,5,10,10,10,15,15,15,65,65\). Zur Kontrolle gilt \(\bar{x}=220:11=20\).

- Überlege, welche Position der mittlere Wert bei einer ungeraden Anzahl sortierter Daten einnimmt. - Betrachte für das obere Quartil nur die Werte oberhalb des Medians und achte darauf, dass diese Reihenfolge erhalten bleibt. - Frage dich, wie klein ein Kennwert der oberen Hälfte überhaupt sein kann, wenn der Median bereits \(20\,\text{€}\) beträgt. - Für b) untersuche, unter welcher Bedingung der Kennwert der oberen Hälfte gerade noch denselben Wert wie der Median annimmt.

1. Bei \(25\) sortierten Werten ist der Median der \(13.\) Wert. Daher gilt \(x_{13}=20\,\text{€}\). 2. Für das obere Quartil betrachtet man die obere Hälfte \(x_{14},\ldots,x_{25}\). Sie enthält \(12\) Werte. Ihr Median und damit \(Q_3\) ist \(\frac{x_{19}+x_{20}}{2}\). 3. Da die Liste sortiert ist, gilt \(x_{19}\ge x_{13}=20\) und \(x_{20}\ge x_{13}=20\). Somit kann \(Q_3\) nicht kleiner als \(20\,\text{€}\) sein. Die Behauptung \(Q_3=15\,\text{€}\) ist unmöglich. 4. Damit \(Q_3=20\,\text{€}\) gilt, müssen wegen \(x_{19}\ge20\) und \(x_{20}\ge20\) beide Werte gleich \(20\,\text{€}\) sein. Wegen der Sortierung müssen dann alle Werte von Position 13 bis Position 20 ebenfalls \(20\,\text{€}\) betragen.

a) Die Behauptung ist unmöglich. Der Median ist der \(13.\) Wert und beträgt \(20\,\text{€}\). Die für \(Q_3\) maßgeblichen Werte an den Positionen 19 und 20 können in einer sortierten Liste nicht kleiner als \(20\,\text{€}\) sein. b) Die Werte an den Positionen 13 bis 20 müssen alle \(20\,\text{€}\) betragen. Dann ist der Median \(20\,\text{€}\) und \(Q_3=\frac{20+20}{2}=20\,\text{€}\).

- Lies zuerst alle wichtigen Kennwerte aus dem Boxplot ab. Wie heißen diese Kennwerte und welche Bedeutung haben sie? - Wie viele Werte hat der vollständige Datensatz, wenn die fehlende Person mitgezählt wird? - Überlege dir, an welcher Position in einer sortierten Liste der Median und die Quartile bei dieser Anzahl von Werten liegen. - Versuche, die bereits bekannten Zahlen in eine geordnete Reihenfolge zu bringen und zu prüfen, wo der fehlende Wert liegen müsste. - Stelle eine Gleichung für den Median oder eines der Quartile auf, um den fehlenden Wert zu berechnen.

1. Lies die Kennwerte aus dem Boxplot für den vollständigen Datensatz ab: - \(\text{Minimum} = 3\) - \(\text{Unteres Quartil } (Q_1) = 7\) - \(\text{Median} = 11\) - \(\text{Oberes Quartil } (Q_3) = 17\) - \(\text{Maximum} = 21\) 2. Da der gesuchte Wert \(x\) hinzugefügt wird, hat der vollständige Datensatz \(8\) Werte. 3. Bei \(8\) Werten entspricht der Median dem arithmetischen Mittel des \(4.\) und \(5.\) Wertes der geordneten Liste. Da der Median \(11\) ist, müssen die Werte an diesen Positionen zusammen \(22\) ergeben. Mit den bekannten Werten ist dies für \(10\) und \(12\) möglich; daher muss zunächst \(x \ge 12\) gelten, damit \(10\) und \(12\) an Position \(4\) und \(5\) stehen (\(\frac{10 + 12}{2} = 11\)). 4. Wäre \(x > 19\), läge das obere Quartil bei \(\frac{19 + 21}{2} = 20\) und widerspräche dem Boxplot. Daher gilt \(12 \le x \le 19\), und die geordnete Liste lautet \(3, 5, 9, 10, 12, x, 19, 21\). 5. Das obere Quartil \(Q_3\) bei \(8\) Werten ist das arithmetische Mittel aus dem \(6.\) und \(7.\) Wert. Der \(6.\) Wert ist \(x\) und der \(7.\) Wert ist \(19\). 6. Aus dem Boxplot gilt \(Q_3 = 17\). Setze an: \(\frac{x + 19}{2} = 17\) \(x + 19 = 34\) \(x = 15\) 7. Da \(15\) im angenommenen Intervall liegt, war der Keimling von Jonas \(15\,\text{cm}\) hoch.

Der Sonnenblumenkeimling von Jonas war \(15\,\text{cm}\) hoch.

- Lies zuerst die fünf charakteristischen Werte direkt aus dem Boxplot ab. - Sortiere jeden Datensatz, bevor du Median und Quartile bestimmst. - Teile bei \(12\) Werten die geordnete Liste in zwei Hälften mit je \(6\) Werten und bestimme in jeder Hälfte deren Median. - Schon ein abweichender Kennwert reicht aus, um einen Datensatz auszuschließen.

1. Aus dem Boxplot liest man Minimum \(2\), \(Q_1=5\), \(m=9\), \(Q_3=14\) und Maximum \(18\) ab. 2. Datensatz (1) sortiert lautet \(2;3;4;6;8;9;9;11;13;15;16;18\). Der Median ist \((9+9):2=9\). In der unteren Hälfte \(2;3;4;6;8;9\) ist \(Q_1=(4+6):2=5\), in der oberen Hälfte \(9;11;13;15;16;18\) ist \(Q_3=(13+15):2=14\). Minimum und Maximum sind \(2\) und \(18\). Damit stimmen alle fünf Kennwerte überein. 3. Datensatz (2) sortiert lautet \(2;3;4;6;8;10;12;12;13;15;16;18\). Sein Median ist \((10+12):2=11\) und passt daher nicht. 4. Datensatz (3) sortiert lautet \(2;4;6;8;8;9;9;11;13;15;16;18\). In der unteren Hälfte ist \(Q_1=(6+8):2=7\) und passt daher nicht. 5. Somit gehört Datensatz (1) zum dargestellten Boxplot.

Datensatz (1) passt zum Boxplot. Seine fünf Kennwerte sind Minimum \(2\), \(Q_1=5\), \(m=9\), \(Q_3=14\) und Maximum \(18\).

- Betrachte nur die untere Hälfte der geordneten Reihe. - Dort gibt es eine gerade Anzahl von Werten. - Prüfe nach dem Lösen, ob der Wert zwischen seinen Nachbarn liegt.

1. Der Gesamtmedian \(10\) wird für die Hälften weggelassen. 2. Die untere Hälfte ist \(2; 4; x; 8\). 3. Daher gilt \((4+x):2=5\), also \(4+x=10\). 4. Es folgt \(x=6\), passend zur Reihenfolge.

\(x=6\).

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl der Werte aus den Häufigkeiten. - Markiere gedanklich die beiden mittleren Positionen der gesamten Datenreihe und anschließend die Mitten der beiden Hälften. - Nutze kumulierte Häufigkeiten, um die Werte an diesen Positionen zu finden, statt alle Daten auszuschreiben.

1. Insgesamt gibt es \(2+4+8+6+4=24\) Werte. 2. Die untere Hälfte umfasst die Positionen \(1\) bis \(12\). Deren mittlere Positionen \(6\) und \(7\) haben die Werte \(1\) und \(2\), also ist \(Q_1=(1+2):2=1{,}5\). 3. Für den Gesamtmedian sind die Positionen \(12\) und \(13\) entscheidend. Beide haben den Wert \(2\), also ist \(m=2\). 4. In der oberen Hälfte sind die beiden mittleren Gesamtpositionen \(18\) und \(19\). Beide haben den Wert \(3\), also ist \(Q_3=3\).

\(Q_1=1{,}5\), \(m=2\), \(Q_3=3\)

- Lege zuerst die festen Positionen für Minimum, Median und Maximum fest. - Bei den Quartilen können Mittelwerte aus zwei Nachbarwerten entstehen. - Es gibt mehrere richtige Datenreihen.

1. Position \(1\), \(5\) und \(9\) werden mit \(1\), \(10\) und \(20\) belegt. 2. Für \(Q_1=5\) müssen der zweite und dritte Wert zusammen \(10\) ergeben; möglich sind \(4\) und \(6\). 3. Für \(Q_3=15\) müssen der siebte und achte Wert zusammen \(30\) ergeben; möglich sind \(14\) und \(16\). 4. Eine passende Reihe ist \(1; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 20\).

Eine mögliche Lösung ist \(1; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 20\).

- Berechne die Kennwerte für jeden Datensatz. - Ein Boxplot legt nicht jeden einzelnen Datenwert fest. - Es können mehrere Datensätze denselben Boxplot ergeben.

1. Datensatz A hat \(Q_1=4\) und \(Q_3=14\). 2. Datensatz B hat \(Q_1=5\), Median \(9\), \(Q_3=13\); außerdem \(17-1=16\). 3. Datensatz C hat ebenfalls \(Q_1=5\), Median \(9\), \(Q_3=13\) und die Spannweite \(16\). 4. Damit passen B und C beide zu den genannten Boxplot-Kennwerten.

Die Datensätze B und C passen beide. Ein Boxplot bestimmt den vollständigen Datensatz nicht eindeutig.