- Vergleiche die Seitenlängen unabhängig davon, ob eine Seite waagerecht oder senkrecht liegt. - Verändert eine Drehung die Form oder die Größe einer Figur?

1. Beide Rechtecke haben die Seitenlängen \(4\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). 2. Die unterschiedliche Ausrichtung ändert weder Form noch Größe. 3. Durch eine Drehung um \(90^\circ\) kann ein Rechteck auf das andere gelegt werden.

Ja. Die Rechtecke sind kongruent; eine Drehung um \(90^\circ\) kann sie zur Deckung bringen.

- Vergleiche zunächst die Lage von \(A\) und \(P\) im Gitternetz. - Prüfe, ob derselbe Weg auch \(B\) auf \(Q\) und \(C\) auf \(R\) abbildet. - Welche Größen verändert eine reine Verschiebung nicht?

1. Von \(A\) nach \(P\) geht man \(4\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. 2. Dieselbe Verschiebung führt von \(B\) nach \(Q\) und von \(C\) nach \(R\). 3. Eine Verschiebung erhält alle Längen und Winkel. Daher sind die beiden Dreiecke kongruent.

Ja. Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben; die Dreiecke sind kongruent.

- Vergleiche bei jedem Punkt und seinem Bildpunkt die Lage zur Geraden \(g\). - Welche der drei Abbildungen hat eine feste Spiegelachse zwischen Urbild und Bild?

1. Die Punkte \(A\) und \(A_1\), \(B\) und \(B_1\) sowie \(C\) und \(C_1\) liegen jeweils auf entgegengesetzten Seiten der Geraden \(g\) und haben zu \(g\) den gleichen Abstand. 2. Die Gerade \(g\) ist damit die Mittelsenkrechte jeder Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 3. Das Dreieck wird durch eine Achsenspiegelung an \(g\) abgebildet.

Achsenspiegelung an der Geraden \(g\).

- Was berechnet man beim Umfang einer Raute? Sagt das etwas über die Winkel aus? - Stell dir ein Modell aus vier Stäben vor, die an den Ecken beweglich verbunden sind. Kannst du die Form verändern, ohne die Stäbe zu kürzen? - Welche Informationen braucht man bei einem Dreieck, um es eindeutig zu zeichnen? Kannst du eine Raute in Dreiecke zerlegen?

1. Der Umfang \(U\) einer Raute berechnet sich durch \(U = 4a\), wobei \(a\) die Seitenlänge ist. Gleicher Umfang bedeutet also nur gleiche Seitenlänge. 2. Eine Raute ist ein spezielles Parallelogramm. Parallelogramme sind nicht starr; bei gleichbleibenden Seitenlängen können sich ihre Innenwinkel und damit ihre Form ändern. 3. Um eine Raute bis auf Kongruenz eindeutig festzulegen, reicht die Seitenlänge allein nicht aus. 4. Es wird zusätzlich ein Innenwinkel oder die Länge einer Diagonale benötigt, um die Form zu fixieren. 5. Sophie hat recht. Ein Gegenbeispiel sind zwei Rauten mit \(a = 5\,\text{cm}\), wobei eine ein Quadrat ist (Winkel \(90^\circ\)) und die andere spitze Winkel von \(30^\circ\) hat.

Sophie hat recht. Der Umfang legt nur die Seitenlänge \(a\) der Raute fest. Da man eine Raute bei gleichbleibenden Seitenlängen verformen kann, verändern sich die Winkel und damit die Form. Erst durch die Angabe eines Innenwinkels oder einer Diagonalen wird die Raute eindeutig bestimmt.

- Wann sind zwei Figuren kongruent? - Welche Schnitte teilen das Rechteck in zwei gleich große spiegel- oder drehsymmetrische Teile? - Welche besondere Rolle spielt der Mittelpunkt des Rechtecks bei einer Drehung um \(180^\circ\)?

1. Für zwei kongruente Dreiecke verläuft der Schnitt entlang einer Diagonale des Rechtecks. 2. Schneidet man parallel zur \(10\,\text{cm}\)-Seite durch die Mitte, entstehen zwei Rechtecke mit \(10\,\text{cm}\times 3\,\text{cm}\). Schneidet man parallel zur \(6\,\text{cm}\)-Seite durch die Mitte, entstehen zwei Rechtecke mit \(5\,\text{cm}\times 6\,\text{cm}\). 3. Für zwei kongruente Trapeze wählt man einen geraden Schnitt durch den Mittelpunkt des Rechtecks, der weder parallel zu einer Seite verläuft noch durch einen Eckpunkt geht. Eine Drehung um \(180^\circ\) um den Mittelpunkt bildet die beiden Teilfiguren aufeinander ab. Deshalb sind sie kongruent.

a) Der Schnitt verläuft entlang einer Diagonale. b) Möglich sind \(10\,\text{cm}\times 3\,\text{cm}\) oder \(5\,\text{cm}\times 6\,\text{cm}\), jeweils durch einen Mittelschnitt parallel zu einem Seitenpaar. c) Ein schräger Schnitt durch den Mittelpunkt, der keinen Eckpunkt trifft, erzeugt zwei kongruente Trapeze. Die beiden Teile gehen durch eine Drehung um \(180^\circ\) ineinander über.

- Was bedeutet es, wenn Figuren deckungsgleich sind? - Überlege, welche Symmetrieachsen ein Quadrat besitzt. - Könnte man das Quadrat nur mit waagerechten oder nur mit senkrechten Schnitten teilen? - Was passiert, wenn man das Quadrat über Eck teilt?

1. Quadrate: Das Quadrat wird durch zwei Mittellinien (Verbindung der Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten) in vier kleinere Quadrate mit der Seitenlänge \(4\,\text{cm}\) zerlegt. 2. Dreiecke: Das Quadrat wird durch die beiden Diagonalen in vier kongruente, gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke zerlegt. 3. Rechtecke: Das Quadrat wird durch drei parallele Linien, die im Abstand von jeweils \(2\,\text{cm}\) parallel zu einer Seite verlaufen, in vier kongruente Streifen (Rechtecke mit \(8\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)) zerlegt.

Mögliche Formen sind: 1. Vier Quadrate (Seitenlänge \(4\,\text{cm}\)) durch zwei Mittellinien. 2. Vier gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke durch die beiden Diagonalen. 3. Vier Rechtecke (\(8\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)) durch drei parallele Linien.

- Was sagen die Strichmarkierungen über die Seitenlängen aus? - Vergleiche nun entsprechende Innenwinkel der beiden Figuren. - Könnten die Figuren durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung gebracht werden?

1. Die Strichmarkierungen zeigen, dass die vier entsprechenden Seiten in beiden Vierecken gleich lang sind. 2. Die Vierecke haben trotzdem unterschiedliche Formen. Insbesondere sind entsprechende Innenwinkel nicht gleich groß. 3. Deshalb lassen sich die beiden Figuren nicht durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung bringen. 4. Leons Aussage ist falsch: Bei allgemeinen Vierecken reichen vier entsprechende Seitenlängen allein nicht aus, um Kongruenz zu sichern.

Leon hat nicht recht. Obwohl alle vier entsprechenden Seiten gleich lang sind, unterscheiden sich entsprechende Innenwinkel. Die Vierecke sind daher nicht kongruent.

- Welche Winkelgrößen haben alle Innenwinkel eines Rechtecks? - Was zeigt die gleiche Strichmarkierung an den unteren Seiten? - Vergleiche die andere Seitenlänge in beiden Figuren.

1. Beide Figuren sind Rechtecke. Deshalb sind alle vier Innenwinkel jeweils \(90^\circ\) groß. 2. Die markierten unteren Seiten sind gleich lang. 3. Die anderen Seiten sind in den beiden Rechtecken aber unterschiedlich lang. Das ist in der gemeinsamen Skalierung der Abbildung zu erkennen. 4. Deshalb sind die Rechtecke nicht kongruent. Gleiche Winkel und nur eine gleich lange entsprechende Seite reichen bei allgemeinen Vierecken nicht aus.

Leon hat nicht recht. Beide Rechtecke haben vier rechte Winkel und eine gleich lange entsprechende Seite, aber die anderen Seitenlängen unterscheiden sich. Daher sind die Rechtecke nicht kongruent.

- Welche Seitenlängen im Viereck müssen aufgrund der Kongruenz der Dreiecke gleich sein? - Wie lautet ein bekanntes Kriterium für Parallelogramme bezüglich der Seitenlängen?

1. Aus der Kongruenz \(\triangle ABC \cong \triangle CDA\) folgt, dass die entsprechenden Seiten gleich lang sind: \(AB = CD\) und \(BC = DA\). 2. Ein Viereck, in dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang sind, ist ein Parallelogramm.

Durch die Kongruenz der Dreiecke sind die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks paarweise gleich lang. Dies ist ein hinreichendes Kriterium für ein Parallelogramm.

- Welche Symmetrie besitzt jedes Parallelogramm bezüglich seines Diagonalenschnittpunkts? - Wohin werden \(B\), \(D\) und die Diagonale \(AC\) bei dieser Symmetrie abgebildet? - Welche Längeneigenschaft bleibt bei einer Drehung erhalten?

1. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zu seinem Diagonalenschnittpunkt. Bei der Drehung um \(180^\circ\) wird \(B\) auf \(D\) und die Diagonale \(AC\) auf sich selbst abgebildet. 2. Daher wird das Lot von \(B\) auf \(AC\) auf das Lot von \(D\) auf \(AC\) abgebildet. 3. Eine Drehung erhält Längen. Somit gilt \(DF=BE=4{,}5\,\text{cm}\).

\(DF=4{,}5\,\text{cm}\).

- Welche Symmetrieachse besitzt ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis \(AB\)? - Welche Punkte und Strecken werden bei der Spiegelung an dieser Achse aufeinander abgebildet? - Welche Eigenschaft von Streckenlängen bleibt bei einer Spiegelung erhalten?

1. Das gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten der Basis \(AB\). 2. Bei dieser Spiegelung werden \(A\) und \(B\) aufeinander abgebildet und ebenso die Mittelpunkte der beiden gleich langen Schenkel. 3. Deshalb werden die Seitenhalbierenden \(s_a\) und \(s_b\) aufeinander abgebildet und sind gleich lang. 4. Somit gilt \(s_b=s_a=8\,\text{cm}\).

\(s_b=8\,\text{cm}\).

- Suche zuerst die Seiten mit derselben Anzahl an Strichen. - Welcher Eckpunkt liegt jeweils zwischen der Ein-Strich- und der Zwei-Strich-Seite? - Übertrage danach die beiden übrigen Eckpunkte in derselben Reihenfolge.

1. Die Seite mit einem Strich ist \(AB\) beziehungsweise \(KL\), die Seite mit zwei Strichen ist \(AC\) beziehungsweise \(KM\), und die Seite mit drei Strichen ist \(BC\) beziehungsweise \(LM\). 2. Der gemeinsame Eckpunkt der Ein-Strich- und Zwei-Strich-Seite ist \(A\) beziehungsweise \(K\). Also gilt \(A\leftrightarrow K\). 3. Entsprechend folgt \(B\leftrightarrow L\) und \(C\leftrightarrow M\). 4. Daher entspricht \(BC\) der Seite \(LM\), und \(\angle BAC\) entspricht \(\angle LKM\).

a) \(A\leftrightarrow K\), \(B\leftrightarrow L\), \(C\leftrightarrow M\). b) \(BC\leftrightarrow LM\); \(\angle BAC\leftrightarrow\angle LKM\).

- Was muss bei zwei kongruenten Figuren außer der Form noch übereinstimmen? - Vergleiche eine beschriftete Seite des ersten Dreiecks mit der entsprechenden Seite des zweiten. - Kann eine Bewegung ohne Größenänderung eine \(3\,\text{cm}\) lange Strecke auf eine \(4\,\text{cm}\) lange Strecke abbilden?

1. Beide Dreiecke sind gleichseitig und haben deshalb dieselbe Form. 2. Für Kongruenz müssen entsprechende Strecken aber auch gleich lang sein. 3. Die angegebenen Seitenlängen sind verschieden. Deshalb sind die Dreiecke nicht kongruent.

Nein. Die Dreiecke haben dieselbe Form, aber unterschiedliche Größe. Deshalb sind sie nicht kongruent.

- Lies für jedes Rechteck die beiden verschiedenen Seitenlängen aus der Abbildung ab. - Wie berechnest du aus zwei Seitenlängen den Umfang eines Rechtecks? - Welche Seitenlängen müssten bei kongruenten Rechtecken paarweise übereinstimmen?

1. Für das erste Rechteck ist der Umfang \(2(5\,\text{cm}+2\,\text{cm})=14\,\text{cm}\). 2. Für das zweite Rechteck ist der Umfang \(2(4\,\text{cm}+3\,\text{cm})=14\,\text{cm}\). 3. Gleicher Umfang reicht nicht für Kongruenz. Die entsprechenden Seitenlängen stimmen nicht überein.

Beide Umfänge betragen \(14\,\text{cm}\), aber die Rechtecke sind nicht kongruent.

- Vergleiche die Lage jedes Punktes mit seinem Bildpunkt zur \(y\)-Achse. - Welche Gerade liegt genau zwischen \(A\) und \(P\) sowie zwischen \(B\) und \(Q\)? - Was geschieht bei einer Spiegelung mit Streckenlängen und Winkelgrößen?

1. Aus der Abbildung liest man \(A(-2\mid 1)\), \(B(-2\mid 4)\), \(C(0\mid 1)\), \(P(2\mid 1)\), \(Q(2\mid 4)\) und \(R(0\mid 1)\) ab. 2. Bei jedem zugeordneten Punktpaar wechselt die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen, während die \(y\)-Koordinate gleich bleibt. 3. Das ist eine Spiegelung an der \(y\)-Achse, also an der Geraden \(x=0\). 4. Eine Spiegelung erhält zum Beispiel Streckenlängen und Winkelgrößen. Deshalb sind die beiden Dreiecke kongruent.

Es ist eine Spiegelung an der \(y\)-Achse. Erhalten bleiben zum Beispiel Streckenlängen und Winkelgrößen.

- Lies zuerst die Koordinaten der Eckpunkte und die Lage der Spiegelachse ab. - Vergleiche bei der Spiegelung den waagerechten Abstand jedes Punktes von \(g\). - Welche Koordinate ändert sich bei einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben? - Was geschieht bei Spiegelung und Verschiebung mit Längen und Winkeln?

1. Aus der Abbildung liest man \(A(2\mid 1)\), \(B(6\mid 1)\), \(C(4\mid 4)\) und die Spiegelachse \(x=7\) ab. 2. Durch die Spiegelung an \(x=7\) entstehen \(A'(12\mid 1)\), \(B'(8\mid 1)\) und \(C'(10\mid 4)\). 3. Die Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben ergibt \(A''(12\mid 4)\), \(B''(8\mid 4)\) und \(C''(10\mid 7)\). 4. Spiegelung und Verschiebung ändern weder Streckenlängen noch Winkelgrößen. Deshalb bleiben Form und Größe erhalten und \(A''B''C''\cong ABC\).

a) \(A''(12\mid 4)\), \(B''(8\mid 4)\), \(C''(10\mid 7)\) b) Das Bilddreieck ist zu \(ABC\) kongruent, weil Spiegelung und Verschiebung Längen und Winkelgrößen erhalten.

- Welche einfache erste Teilung könnte zwei deckungsgleiche Teilrechtecke erzeugen? - Wie kannst du jedes Teilrechteck mit einer einzigen Linie in zwei kongruente Dreiecke zerlegen? - Welche Seitenlängen haben die Teilrechtecke bei deiner Zerlegung?

1. Teile das Rechteck durch eine Mittellinie parallel zur kürzeren Seite in zwei deckungsgleiche Rechtecke mit den Seitenlängen \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). 2. Zeichne in jedes der beiden kleinen Rechtecke eine Diagonale. 3. Die Diagonale teilt jedes kleine Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Eine Drehung um \(180^\circ\) um den Mittelpunkt des kleinen Rechtecks bringt die beiden Dreiecke zur Deckung. 4. Da auch die beiden kleinen Rechtecke deckungsgleich sind, sind alle vier Dreiecke kongruent. Ihre Katheten sind \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) lang.

Eine mögliche Lösung: Teile das Rechteck zunächst in zwei \(5\,\text{cm}\times 4\,\text{cm}\) große Rechtecke und zeichne in jedes Teilrechteck eine Diagonale. Die vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecke haben Kathetenlängen von \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\).

- Welche Seitenlängengleichheit folgt aus der Kongruenz der beiden kleinen Dreiecke? - Welche zweite Seitenlängengleichheit ist bereits gegeben? - Welches Parallelogramm-Kriterium kannst du damit anwenden?

1. Aus \(\triangle ABM\cong\triangle CDK\) folgt \(AB=CD\). 2. Außerdem ist \(BC=AD\) gegeben. Damit sind in \(ABCD\) beide Paare gegenüberliegender Seiten gleich lang. 3. Ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer gegenüberliegender Seiten ist ein Parallelogramm. Deshalb ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.

Aus der Kongruenz folgt \(AB=CD\). Zusammen mit \(BC=AD\) sind beide Paare gegenüberliegender Seiten gleich lang. Daher ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.

- Was sagt die Kongruenz über die Teilstrecken der Diagonalen aus? - Erinnere dich an die Eigenschaft der Diagonalen in einem Parallelogramm.

1. Aus der Kongruenz \(\triangle PQM \cong \triangle RSM\) folgt, dass die entsprechenden Seiten gleich lang sind: \(PM = RM\) und \(QM = SM\). 2. Das bedeutet, dass sich die Diagonalen im Punkt \(M\) gegenseitig halbieren. 3. Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren, ist ein Parallelogramm.

Da die Dreiecke kongruent sind, gilt \(PM = RM\) und \(QM = SM\). Die Diagonalen halbieren sich also gegenseitig. Damit ist das Parallelogrammkriterium erfüllt.

- Welche Winkelpaare sind aufgrund der Kongruenz identisch? - Überlege, wie diese Winkel zur Lage der Seiten \(KL\) und \(MN\) stehen.

1. Aus der Kongruenz \(\triangle KLM \cong \triangle MNK\) folgt, dass entsprechende Winkel gleich groß sind, insbesondere \(\angle LKM = \angle NMK\). 2. Diese Winkel sind Wechselwinkel an den Geraden \(KL\) und \(MN\) mit der Transversale \(KM\). 3. Da Wechselwinkel an diesen Geraden gleich groß sind, gilt \(KL \parallel MN\).

Ja, \(KL\) und \(MN\) sind parallel, da aus der Kongruenz der Dreiecke folgt, dass die Wechselwinkel an der Diagonale \(KM\) gleich groß sind.

- Welche Seiten des Parallelogramms sind parallel? - Was geschieht bei einer Punktspiegelung am Diagonalenschnittpunkt \(M\) mit den Seiten und mit \(g\)? - Wann kann eine der Teilfiguren vier rechte Winkel haben?

1. Ist \(g\) zu keinem Seitenpaar parallel, schneidet sie ein Paar gegenüberliegender Seiten. Es entstehen zwei Trapeze. Ist \(g\) zu einem Seitenpaar parallel, entstehen zwei Parallelogramme. 2. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zu seinem Diagonalenschnittpunkt \(M\). Die Punktspiegelung an \(M\), also eine Drehung um \(180^\circ\), bildet die eine Teilfigur auf die andere ab. Deshalb sind die beiden Teilfiguren kongruent. 3. Kongruente Rechtecke entstehen genau dann, wenn das Ausgangsparallelogramm ein Rechteck ist und \(g\) parallel zu einem Seitenpaar verläuft.

a) Ohne Parallelität zu einem Seitenpaar entstehen zwei Trapeze; bei Parallelität zu einem Seitenpaar entstehen zwei Parallelogramme. b) Die Punktspiegelung an \(M\) bildet die beiden Teilfiguren aufeinander ab. Daher sind sie kongruent. c) Das Ausgangsparallelogramm muss ein Rechteck sein und \(g\) muss parallel zu einem Seitenpaar verlaufen.