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- Welche zwei Dreiecke entstehen durch die Höhe \(h_c\)? - Welche Strecken und welcher Winkel stimmen in diesen beiden Dreiecken überein? - Was folgt aus ihrer Kongruenz für die beiden Abschnitte der Basis?

1. Die Höhe auf die Basis zerlegt das gleichschenklige Dreieck in die rechtwinkligen Dreiecke \(\triangle ADC\) und \(\triangle BDC\). 2. Beide haben die gemeinsame Seite \(\overline{CD}\), gleich lange Hypotenusen \(\overline{AC}=\overline{BC}\) und einen rechten Winkel bei \(D\). Daher sind sie kongruent. 3. Somit halbiert \(D\) die Basis: \(\overline{AD}=\overline{DB}=\frac{14\,\text{cm}}{2}=7\,\text{cm}\).

\(\overline{AD}=\overline{DB}=7\,\text{cm}\).

- Vergleiche die Seitenlängen unabhängig davon, ob eine Seite waagerecht oder senkrecht liegt. - Verändert eine Drehung die Form oder die Größe einer Figur?

1. Beide Rechtecke haben die Seitenlängen \(4\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). 2. Die unterschiedliche Ausrichtung ändert weder Form noch Größe. 3. Durch eine Drehung um \(90^\circ\) kann ein Rechteck auf das andere gelegt werden.

Ja. Die Rechtecke sind kongruent; eine Drehung um \(90^\circ\) kann sie zur Deckung bringen.

- Vergleiche zunächst die Lage von \(A\) und \(P\) im Gitternetz. - Prüfe, ob derselbe Weg auch \(B\) auf \(Q\) und \(C\) auf \(R\) abbildet. - Welche Größen verändert eine reine Verschiebung nicht?

1. Von \(A\) nach \(P\) geht man \(4\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. 2. Dieselbe Verschiebung führt von \(B\) nach \(Q\) und von \(C\) nach \(R\). 3. Eine Verschiebung erhält alle Längen und Winkel. Daher sind die beiden Dreiecke kongruent.

Ja. Verschiebung um \(4\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben; die Dreiecke sind kongruent.

- Vergleiche bei jedem Punkt und seinem Bildpunkt die Lage zur Geraden \(g\). - Welche der drei Abbildungen hat eine feste Spiegelachse zwischen Urbild und Bild?

1. Die Punkte \(A\) und \(A_1\), \(B\) und \(B_1\) sowie \(C\) und \(C_1\) liegen jeweils auf entgegengesetzten Seiten der Geraden \(g\) und haben zu \(g\) den gleichen Abstand. 2. Die Gerade \(g\) ist damit die Mittelsenkrechte jeder Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. 3. Das Dreieck wird durch eine Achsenspiegelung an \(g\) abgebildet.

Achsenspiegelung an der Geraden \(g\).

- Was berechnet man beim Umfang einer Raute? Sagt das etwas über die Winkel aus? - Stell dir ein Modell aus vier Stäben vor, die an den Ecken beweglich verbunden sind. Kannst du die Form verändern, ohne die Stäbe zu kürzen? - Welche Informationen braucht man bei einem Dreieck, um es eindeutig zu zeichnen? Kannst du eine Raute in Dreiecke zerlegen?

1. Der Umfang \(U\) einer Raute berechnet sich durch \(U = 4a\), wobei \(a\) die Seitenlänge ist. Gleicher Umfang bedeutet also nur gleiche Seitenlänge. 2. Eine Raute ist ein spezielles Parallelogramm. Parallelogramme sind nicht starr; bei gleichbleibenden Seitenlängen können sich ihre Innenwinkel und damit ihre Form ändern. 3. Um eine Raute bis auf Kongruenz eindeutig festzulegen, reicht die Seitenlänge allein nicht aus. 4. Es wird zusätzlich ein Innenwinkel oder die Länge einer Diagonale benötigt, um die Form zu fixieren. 5. Sophie hat recht. Ein Gegenbeispiel sind zwei Rauten mit \(a = 5\,\text{cm}\), wobei eine ein Quadrat ist (Winkel \(90^\circ\)) und die andere spitze Winkel von \(30^\circ\) hat.

Sophie hat recht. Der Umfang legt nur die Seitenlänge \(a\) der Raute fest. Da man eine Raute bei gleichbleibenden Seitenlängen verformen kann, verändern sich die Winkel und damit die Form. Erst durch die Angabe eines Innenwinkels oder einer Diagonalen wird die Raute eindeutig bestimmt.

- Was bedeutet es, wenn zwei Figuren kongruent sind? - Stell dir vor, du verbindest Punkte auf gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks. - Überlege, wie sich die Anzahl der Ecken verändert, wenn ein Schnitt durch eine Ecke oder durch eine Seite geht. - Zeichne dir eine Skizze des Rechtecks und probiere verschiedene Linien aus.

1. Für zwei kongruente Dreiecke verläuft der Schnitt entlang einer Diagonale des Rechtecks. 2. Erste Möglichkeit für zwei Rechtecke: Schnitt parallel zur \(10\,\text{cm}\)-Seite durch die Mittelpunkte der \(6\,\text{cm}\)-Seiten. Es entstehen zwei Rechtecke mit \(10\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\). 3. Zweite Möglichkeit: Schnitt parallel zur \(6\,\text{cm}\)-Seite durch die Mittelpunkte der \(10\,\text{cm}\)-Seiten. Es entstehen zwei Rechtecke mit \(5\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\). 4. Ein Dreieck und ein Trapez entstehen, wenn der Schnitt in einem Eckpunkt beginnt und in einem inneren Punkt einer der beiden Seiten endet, die diesen Eckpunkt nicht enthalten.

a) Schnitt entlang einer Diagonale. b) \(10\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) oder \(5\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\), jeweils durch einen Mittelschnitt parallel zu einem Seitenpaar. c) Ja. Der Schnitt verbindet einen Eckpunkt mit einem inneren Punkt einer Seite, die diesen Eckpunkt nicht enthält.

- Was bedeutet es, wenn Figuren deckungsgleich sind? - Überlege, welche Symmetrieachsen ein Quadrat besitzt. - Könnte man das Quadrat nur mit waagerechten oder nur mit senkrechten Schnitten teilen? - Was passiert, wenn man das Quadrat über Eck teilt?

1. Quadrate: Das Quadrat wird durch zwei Mittellinien (Verbindung der Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten) in vier kleinere Quadrate mit der Seitenlänge \(4\,\text{cm}\) zerlegt. 2. Dreiecke: Das Quadrat wird durch die beiden Diagonalen in vier kongruente, gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke zerlegt. 3. Rechtecke: Das Quadrat wird durch drei parallele Linien, die im Abstand von jeweils \(2\,\text{cm}\) parallel zu einer Seite verlaufen, in vier kongruente Streifen (Rechtecke mit \(8\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)) zerlegt.

Mögliche Formen sind: 1. Vier Quadrate (Seitenlänge \(4\,\text{cm}\)) durch zwei Mittellinien. 2. Vier gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke durch die beiden Diagonalen. 3. Vier Rechtecke (\(8\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)) durch drei parallele Linien.

- Welche Seitenlängen im Viereck müssen aufgrund der Kongruenz der Dreiecke gleich sein? - Wie lautet ein bekanntes Kriterium für Parallelogramme bezüglich der Seitenlängen?

1. Aus der Kongruenz \(\triangle ABC \cong \triangle CDA\) folgt, dass die entsprechenden Seiten gleich lang sind: \(AB = CD\) und \(BC = DA\). 2. Ein Viereck, in dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang sind, ist ein Parallelogramm.

Durch die Kongruenz der Dreiecke sind die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks paarweise gleich lang. Dies ist ein hinreichendes Kriterium für ein Parallelogramm.

- Welche Symmetrie besitzt jedes Parallelogramm bezüglich seines Diagonalenschnittpunkts? - Wohin werden \(B\), \(D\) und die Diagonale \(AC\) bei dieser Symmetrie abgebildet? - Welche Längeneigenschaft bleibt bei einer Drehung erhalten?

1. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zu seinem Diagonalenschnittpunkt. Bei der Drehung um \(180^\circ\) wird \(B\) auf \(D\) und die Diagonale \(AC\) auf sich selbst abgebildet. 2. Daher wird das Lot von \(B\) auf \(AC\) auf das Lot von \(D\) auf \(AC\) abgebildet. 3. Eine Drehung erhält Längen. Somit gilt \(DF=BE=4{,}5\,\text{cm}\).

\(DF=4{,}5\,\text{cm}\).

- Welche Symmetrieachse besitzt ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis \(AB\)? - Welche Punkte und Strecken werden bei der Spiegelung an dieser Achse aufeinander abgebildet? - Welche Eigenschaft von Streckenlängen bleibt bei einer Spiegelung erhalten?

1. Das gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten der Basis \(AB\). 2. Bei dieser Spiegelung werden \(A\) und \(B\) aufeinander abgebildet und ebenso die Mittelpunkte der beiden gleich langen Schenkel. 3. Deshalb werden die Seitenhalbierenden \(s_a\) und \(s_b\) aufeinander abgebildet und sind gleich lang. 4. Somit gilt \(s_b=s_a=8\,\text{cm}\).

\(s_b=8\,\text{cm}\).

- Suche zuerst die Seiten mit derselben Anzahl an Strichen. - Welcher Eckpunkt liegt jeweils zwischen der Ein-Strich- und der Zwei-Strich-Seite? - Übertrage danach die beiden übrigen Eckpunkte in derselben Reihenfolge.

1. Die Seite mit einem Strich ist \(AB\) beziehungsweise \(KL\), die Seite mit zwei Strichen ist \(AC\) beziehungsweise \(KM\), und die Seite mit drei Strichen ist \(BC\) beziehungsweise \(LM\). 2. Der gemeinsame Eckpunkt der Ein-Strich- und Zwei-Strich-Seite ist \(A\) beziehungsweise \(K\). Also gilt \(A\leftrightarrow K\). 3. Entsprechend folgt \(B\leftrightarrow L\) und \(C\leftrightarrow M\). 4. Daher entspricht \(BC\) der Seite \(LM\), und \(\angle BAC\) entspricht \(\angle LKM\).

a) \(A\leftrightarrow K\), \(B\leftrightarrow L\), \(C\leftrightarrow M\). b) \(BC\leftrightarrow LM\); \(\angle BAC\leftrightarrow\angle LKM\).

- Was muss bei zwei kongruenten Figuren außer der Form noch übereinstimmen? - Vergleiche eine beschriftete Seite des ersten Dreiecks mit der entsprechenden Seite des zweiten. - Kann eine längentreue Bewegung Strecken unterschiedlicher Länge aufeinander abbilden?

1. In beiden Dreiecken sind alle Seiten innerhalb des jeweiligen Dreiecks gleich lang; beide haben daher dieselbe Form. 2. Für Kongruenz müssen entsprechende Strecken jedoch auch dieselbe Länge besitzen. 3. Die im Bild angegebenen Seitenlängen sind verschieden. Deshalb sind die Dreiecke nicht kongruent.

Nein. Die Dreiecke haben dieselbe Form, aber unterschiedliche Größe; deshalb sind sie nicht kongruent.

- Lies für jedes Rechteck die beiden verschiedenen Seitenlängen aus der Abbildung ab. - Wie berechnest du aus zwei Seitenlängen den Umfang eines Rechtecks? - Welche Seitenlängen müssten bei kongruenten Rechtecken paarweise übereinstimmen?

1. Für das erste Rechteck ist der Umfang \(2(5\,\text{cm}+2\,\text{cm})=14\,\text{cm}\). 2. Für das zweite Rechteck ist der Umfang \(2(4\,\text{cm}+3\,\text{cm})=14\,\text{cm}\). 3. Gleicher Umfang reicht nicht für Kongruenz. Die entsprechenden Seitenlängen stimmen nicht überein.

Beide Umfänge betragen \(14\,\text{cm}\), aber die Rechtecke sind nicht kongruent.

- Vergleiche bei jedem Punktpaar zuerst die x- und y-Koordinaten. - Welche Gerade liegt jeweils genau zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt? - Welche Eigenschaften muss eine längentreue Abbildung bewahren?

1. Bei allen drei Punktpaaren wird nur das Vorzeichen der x-Koordinate geändert; die y-Koordinate bleibt gleich. 2. Das ist eine Spiegelung an der y-Achse, also an der Geraden \(x=0\). 3. Eine Spiegelung erhält insbesondere Streckenlängen und Winkelgrößen. Deshalb sind die beiden Dreiecke kongruent.

Spiegelung an \(x=0\). Erhalten bleiben zum Beispiel Streckenlängen und Winkelgrößen.

- Wie verändert eine Spiegelung an einer senkrechten Geraden die Entfernung eines Punktes von dieser Geraden? - Welche Koordinate verändert sich bei einer Verschiebung nach oben? - Welche geometrischen Größen bleiben bei Spiegelungen und Verschiebungen erhalten?

1. Spiegelung an \(x = 7\): \(A(2|1)\) hat den Abstand \(5\) zur Spiegelachse, also ist \(A'(12|1)\). Entsprechend erhält man \(B'(8|1)\) und \(C'(10|4)\). 2. Bei der Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben bleiben die x-Koordinaten unverändert und zu jeder y-Koordinate werden \(3\) addiert. Daher gilt \(A''(12|4)\), \(B''(8|4)\) und \(C''(10|7)\). 3. Achsenspiegelungen und Verschiebungen erhalten Streckenlängen und Winkelgrößen. Daher bleibt die Form und Größe des Dreiecks unverändert. 4. Somit sind \(ABC\) und \(A''B''C''\) kongruent.

a) \(A''(12|4)\), \(B''(8|4)\), \(C''(10|7)\). b) Das Bilddreieck ist kongruent zu \(ABC\), weil Spiegelung und Verschiebung Längen und Winkel erhalten.

- Welche Längen entstehen unmittelbar dadurch, dass die drei markierten Punkte Seitenmittelpunkte sind? - Welche Winkelgröße hat jeder Innenwinkel des gleichseitigen Ausgangsdreiecks? - Was kannst du über ein gleichschenkliges Dreieck sagen, dessen Scheitelwinkel \(60^\circ\) beträgt?

1. Jeder Seitenmittelpunkt teilt eine \(12\,\text{cm}\) lange Seite in zwei Strecken von \(6\,\text{cm}\). 2. Betrachte eines der drei Eckdreiecke. Es besitzt zwei Seiten der Länge \(6\,\text{cm}\). Der eingeschlossene Winkel ist ein Winkel des gleichseitigen Ausgangsdreiecks und damit \(60^\circ\). 3. Das Eckdreieck ist also gleichschenklig. Seine beiden Basiswinkel sind gleich groß und zusammen \(120^\circ\), also ist jeder von ihnen \(60^\circ\). Damit ist das Eckdreieck gleichseitig und auch seine dritte Seite ist \(6\,\text{cm}\) lang. 4. Dasselbe gilt für die beiden anderen Eckdreiecke. Ihre dritten Seiten bilden die drei Seiten des mittleren Dreiecks. Daher ist auch das mittlere Dreieck gleichseitig mit Seitenlänge \(6\,\text{cm}\). 5. Für ein kleines Dreieck gilt \(U_{\text{klein}} = 3 \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\). Für das große Dreieck gilt \(U_{\text{groß}} = 3 \cdot 12\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\). 6. Somit gilt \(U_{\text{klein}} : U_{\text{groß}} = 18 : 36 = 1 : 2\).

a) Alle vier Teildreiecke sind gleichseitig. b) \(U_{\text{klein}} = 18\,\text{cm}\). c) \(U_{\text{klein}} : U_{\text{groß}} = 1 : 2\).

- Kannst du das Rechteck zuerst in zwei kleinere, gleiche Flächen teilen? - Wie kann man ein Rechteck in zwei deckungsgleiche Dreiecke zerlegen? - Achte darauf, dass am Ende alle vier Dreiecke exakt die gleichen Seitenlängen haben müssen. - Welche Rolle spielen die Seitenmitten der langen Seite?

1. Erste Zerlegung: Man zeichnet die Mittellinie ein, die die längeren Seiten \(a\) halbiert. Dadurch entstehen zwei kongruente Rechtecke mit den Seitenlängen \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). 2. Zweite Zerlegung: In jedem dieser kleineren Rechtecke zeichnet man eine Diagonale ein. 3. Kongruenzprüfung: Die Diagonale teilt ein \(5\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke (nach dem SWS- oder SSS-Satz). Da die beiden kleineren Rechtecke identisch sind, sind alle vier entstandenen Dreiecke kongruent zueinander. 4. Maße der Dreiecke: Die Dreiecke sind rechtwinklig. Die Katheten entsprechen den Seiten der kleinen Rechtecke, also \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\).

Man teilt das Rechteck zuerst durch eine Mittellinie parallel zur kürzeren Seite in zwei \(5\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) große Rechtecke. Dann zeichnet man in jedes dieser Teilrechtecke eine Diagonale ein. Die vier entstehenden kongruenten rechtwinkligen Dreiecke haben Kathetenlängen von \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\).

- Was bedeutet die Kongruenz der beiden kleinen Dreiecke für die Seiten und Winkel des großen Vierecks? - Welche Kriterien für ein Parallelogramm kennst du?

1. Aus der Kongruenz \(\triangle ABM \cong \triangle CDK\) folgt \(AB = CD\) und \(\angle B = \angle D\). 2. Da zudem \(BC = AD\) gegeben ist, sind alle gegenüberliegenden Seiten gleich lang. 3. Ein Viereck mit jeweils zwei gleich langen gegenüberliegenden Seiten ist ein Parallelogramm.

Durch die Kongruenz der Dreiecke ist \(AB = CD\). Da auch \(BC = AD\) gilt, sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang, was \(ABCD\) zu einem Parallelogramm macht.

- Was sagt die Kongruenz über die Teilstrecken der Diagonalen aus? - Erinnere dich an die Eigenschaft der Diagonalen in einem Parallelogramm.

1. Aus der Kongruenz \(\triangle PQM \cong \triangle RSM\) folgt, dass die entsprechenden Seiten gleich lang sind: \(PM = RM\) und \(QM = SM\). 2. Das bedeutet, dass sich die Diagonalen im Punkt \(M\) gegenseitig halbieren. 3. Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren, ist ein Parallelogramm.

Da die Dreiecke kongruent sind, gilt \(PM = RM\) und \(QM = SM\). Die Diagonalen halbieren sich also gegenseitig. Damit ist das Parallelogrammkriterium erfüllt.

- Welche Winkelpaare sind aufgrund der Kongruenz identisch? - Überlege, wie diese Winkel zur Lage der Seiten \(KL\) und \(MN\) stehen.

1. Aus der Kongruenz \(\triangle KLM \cong \triangle MNK\) folgt, dass entsprechende Winkel gleich groß sind, insbesondere \(\angle LKM = \angle NMK\). 2. Diese Winkel sind Wechselwinkel an den Geraden \(KL\) und \(MN\) mit der Transversale \(KM\). 3. Da Wechselwinkel an diesen Geraden gleich groß sind, gilt \(KL \parallel MN\).

Ja, \(KL\) und \(MN\) sind parallel, da aus der Kongruenz der Dreiecke folgt, dass die Wechselwinkel an der Diagonale \(KM\) gleich groß sind.

- Welche beiden Dreiecke enthalten die gesuchte Seite \(BC\) beziehungsweise \(DF\)? - Welche Winkelbeziehungen entstehen durch Scheitelwinkel und die parallelen Grundseiten? - Welche zwischen den beiden Winkeln liegende Seite ist durch die Mittelpunktangabe gleich lang?

1. Betrachte die Dreiecke \(\triangle BCM\) und \(\triangle FDM\). 2. Es gilt \(CM = DM\), da \(M\) der Mittelpunkt von \(CD\) ist. 3. Die Winkel \(\angle BMC\) und \(\angle FMD\) sind Scheitelwinkel und damit gleich groß. 4. Da \(BC \parallel AF\), sind die Winkel \(\angle BCM\) und \(\angle FDM\) Wechselwinkel an Parallelen und somit ebenfalls gleich groß. 5. Nach dem Kongruenzsatz WSW sind die Dreiecke \(\triangle BCM\) und \(\triangle FDM\) kongruent. 6. Daraus folgt unmittelbar \(BC = DF\).

Die Behauptung \(BC = DF\) folgt aus der Kongruenz der Dreiecke \(\triangle BCM\) und \(\triangle FDM\) nach dem WSW-Satz.

- Welche zwei Streckenpaare sind durch die Mittelpunkteigenschaft von \(M\) und die Verlängerung von \(AM\) gleich lang? - Welche Winkel am Schnittpunkt \(M\) sind als Scheitelwinkel gleich groß? - Welche entsprechenden Seiten kannst du nach einem Kongruenznachweis auf die gesuchten Strecken übertragen?

1. In den Dreiecken \(ABM\) und \(DCM\) gilt \(BM=MC\), \(AM=MD\) und \(\angle AMB=\angle DMC\) als Scheitelwinkel. 2. Daher sind \(\triangle ABM\) und \(\triangle DCM\) nach SWS kongruent. Somit gilt \(CD=AB=9\,\text{cm}\). 3. In den Dreiecken \(ACM\) und \(DBM\) gilt ebenso \(CM=MB\), \(AM=MD\) und \(\angle AMC=\angle DMB\). 4. Daher sind auch diese Dreiecke nach SWS kongruent. Somit gilt \(BD=AC=7\,\text{cm}\).

\(BD=7\,\text{cm}\) und \(CD=9\,\text{cm}\).

- Welche Eigenschaften hat ein gleichseitiges Dreieck bezüglich seiner Winkel und Seitenlängen? - Wenn du von gleich langen Strecken jeweils das gleiche Stück abschneidest, was kannst du über die Reststücke sagen? - Schau dir die drei kleinen Dreiecke an den Ecken an. Welche Informationen hast du über ihre Seiten und Winkel? - Welcher Kongruenzsatz hilft dir zu zeigen, dass die Dreiecke deckungsgleich sind?

1. Da das Dreieck \(ABC\) gleichseitig ist, sind alle seine Innenwinkel gleich \(60\,^\circ\) und alle Seiten gleich lang: \(AB = BC = CA\). 2. Es ist gegeben, dass \(AD = BE = CF\). Da die Gesamtlängen der Seiten gleich sind, müssen auch die verbleibenden Teilstrecken gleich lang sein: \(BD = CE = AF\). 3. Betrachte die drei äußeren Dreiecke \(ADF\), \(BED\) und \(CFE\). In jedem dieser Dreiecke sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (\(60\,^\circ\)) identisch: - \(AD = BE = CF\) - \(AF = BD = CE\) - \(\angle FAD = \angle DBE = \angle ECF = 60\,^\circ\) 4. Nach dem Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite) sind die Dreiecke \(ADF\), \(BED\) und \(CFE\) kongruent. 5. Aus der Kongruenz folgt, dass auch die dritten Seiten dieser Dreiecke gleich lang sein müssen: \(DF = ED = FE\). 6. Da alle drei Seiten des Dreiecks \(DEF\) gleich lang sind, ist es ein gleichseitiges Dreieck.

Das Dreieck \(DEF\) ist gleichseitig, da die drei äußeren Dreiecke \(ADF\), \(BED\) und \(CFE\) nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent sind. Daraus folgt, dass ihre entsprechenden Seiten \(DF\), \(ED\) und \(FE\) gleich lang sind.

- Welche Seiten des Parallelogramms sind jeweils parallel zueinander? - Wie wirkt die Punktspiegelung am Diagonalenschnittpunkt \(M\) auf die Seiten und auf die Schnittgerade \(g\)? - Wann kann eine durch einen Schnitt entstehende Teilfigur vier rechte Winkel besitzen?

1. Verläuft \(g\) nicht parallel zu einem Seitenpaar, schneidet sie ein Paar gegenüberliegender Seiten. Jede Teilfigur besitzt dann ein Paar paralleler Seiten und ist ein Trapez. Verläuft \(g\) parallel zu einem Seitenpaar, entstehen zwei Parallelogramme. 2. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zu seinem Diagonalenschnittpunkt \(M\). Die Punktspiegelung an \(M\), also eine Drehung um \(180^\circ\), bildet die eine Teilfigur genau auf die andere ab. Deshalb sind die Teilfiguren kongruent. 3. Damit beide Teilfiguren Rechtecke sind, muss das Ausgangsparallelogramm ein Rechteck sein und \(g\) parallel zu einem Seitenpaar verlaufen.

a) Ist \(g\) nicht parallel zu einem Seitenpaar, entstehen zwei Trapeze. Ist \(g\) parallel zu einem Seitenpaar, entstehen zwei Parallelogramme. b) Die Punktspiegelung am Diagonalenschnittpunkt \(M\) bildet die beiden Teilfiguren aufeinander ab; daher sind sie kongruent. c) Das Ausgangsparallelogramm muss ein Rechteck sein und \(g\) muss parallel zu einem Seitenpaar verlaufen.