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- Welche Zahl wird im Term mit der Variablen \(b\) multipliziert? - Achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte. - Überlege, was passiert, wenn du eine positive Zahl mit einer negativen Zahl multiplizierst.

1. Einsetzen von \(b = 0\): \(3 \cdot 0 + 14 = 0 + 14 = 14\) 2. Einsetzen von \(b = 4\): \(3 \cdot 4 + 14 = 12 + 14 = 26\) 3. Einsetzen von \(b = 10\): \(3 \cdot 10 + 14 = 30 + 14 = 44\) 4. Einsetzen von \(b = -3\): \(3 \cdot (-3) + 14 = -9 + 14 = 5\)

Für \(b = 0\) ist der Wert \(14\). Für \(b = 4\) ist der Wert \(26\). Für \(b = 10\) ist der Wert \(44\). Für \(b = -3\) ist der Wert \(5\).

- Welche Zahl soll an die Stelle von \(x\) gesetzt werden? - Welche eine Rechenoperation bleibt danach übrig?

1. Für \(x\) wird \(3\) eingesetzt: \(T(3)=4\cdot3\). 2. Damit ist \(T(3)=12\).

\(12\)

- Setze den gesamten negativen Wert an die Stelle von \(x\). - Wie kannst du in der Schreibweise deutlich machen, dass das Minus zur eingesetzten Zahl gehört? - Welche Zahl entsteht beim Quadrieren einer negativen Zahl?

1. Der negative Wert wird in Klammern eingesetzt: \(T(-3)=(-3)^2\). 2. Damit gilt \(T(-3)=9\).

\(T(-3)=(-3)^2=9\)

- Hast du schon versucht, den Buchstaben durch die Zahl zu ersetzen? - Erinnere dich an die Vorrangregeln: Was berechnet man zuerst, die Klammer oder die Potenz? - Achte darauf, dass du das gesamte Ergebnis der Klammer quadrierst.

1. Einsetzen von \(x = 5\) in den Term: \(2 \cdot (5)^2 - (5 - 2)^2\) 2. Berechnung des Quadrats der Klammer: \((5 - 2)^2 = 3^2 = 9\) 3. Berechnung des ersten Glieds: \(2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50\) 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(50 - 9 = 41\)

c) 41

- Ersetze \(x\) jeweils durch die gegebene Streckenlänge. - Die Grundgebühr bleibt bei jeder Strecke gleich. - Berechne zuerst den kilometerabhängigen Anteil und addiere danach die Grundgebühr.

1. \(T(5)=3{,}50+1{,}80\cdot5=12{,}50\,\text{€}\). 2. \(T(12)=3{,}50+1{,}80\cdot12=25{,}10\,\text{€}\). 3. \(T(0{,}5)=3{,}50+1{,}80\cdot0{,}5=4{,}40\,\text{€}\).

a) \(12{,}50\,\text{€}\) b) \(25{,}10\,\text{€}\) c) \(4{,}40\,\text{€}\)

- Setze für jede Obstsorte die passende Masse in den Term ein. - Wenn eine Sorte nicht gekauft wird, ist ihre Masse \(0\). - Berechne die beiden Produkte vor dem Addieren.

1. Für \(a=2\) und \(b=1\) gilt \(P=2{,}40\cdot2+3{,}10\cdot1=7{,}90\,\text{€}\). 2. Für \(a=1{,}5\) und \(b=0\) gilt \(P=2{,}40\cdot1{,}5=3{,}60\,\text{€}\). 3. Für \(a=0{,}5\) und \(b=2{,}5\) gilt \(P=2{,}40\cdot0{,}5+3{,}10\cdot2{,}5=8{,}95\,\text{€}\).

a) \(7{,}90\,\text{€}\) b) \(3{,}60\,\text{€}\) c) \(8{,}95\,\text{€}\)

- Setze die gegebenen Zahlen für die Variable in den Term ein. - Achte auf die Reihenfolge der Rechenoperationen (Punkt-vor-Strich-Rechnung). - Überprüfe dein Ergebnis, indem du schaust, ob die berechneten Werte logisch zu den bereits gegebenen Werten passen.

1. Berechnung für \(x = 1\): \(T(1) = 7 \cdot 1 - 5 = 2\). 2. Berechnung für \(x = 5\): \(T(5) = 7 \cdot 5 - 5 = 30\). 3. Berechnung für \(x = 20\): \(T(20) = 7 \cdot 20 - 5 = 135\).

Die fehlenden Werte sind \(2\) (für \(x=1\)), \(30\) (für \(x=5\)) und \(135\) (für \(x=20\)).

- Erstelle am besten eine Tabelle mit drei Zeilen: eine für \(x\), eine für die Ergebnisse von Term \(A\) und eine für Term \(B\). - Berechne für jede Spalte nacheinander die Werte für beide Terme. - Suche in deiner fertigen Tabelle nach einer Spalte, in der in den Zeilen für \(A(x)\) und \(B(x)\) dieselbe Zahl steht.

1. Berechnung der Werte für \(A(x)\): \(x=3 \to 16\); \(x=4 \to 18\); \(x=5 \to 20\); \(x=6 \to 22\); \(x=7 \to 24\). 2. Berechnung der Werte für \(B(x)\): \(x=3 \to 12\); \(x=4 \to 16\); \(x=5 \to 20\); \(x=6 \to 24\); \(x=7 \to 28\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Bei \(x = 5\) liefern beide Terme den Wert \(20\).

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th></tr> <tr><th>\(A(x)\)</th><td>16</td><td>18</td><td>20</td><td>22</td><td>24</td></tr> <tr><th>\(B(x)\)</th><td>12</td><td>16</td><td>20</td><td>24</td><td>28</td></tr> </table> b) Für \(x = 5\) haben beide Terme den gleichen Wert \(20\).

- Ersetze die Variable \(x\) durch den gegebenen Wert und beachte dabei die Klammern. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Multiplizieren von \( -6 \) mit einer negativen Zahl. - Berechne zuerst den Inhalt der Klammer, bevor du multiplizierst.

1. Einsetzen von \(x = -0{,}75\) in \(T_1(x)\): \(4 \cdot (-0{,}75 + 1{,}5) = 4 \cdot 0{,}75 = 3\) 2. Einsetzen von \(x = -0{,}75\) in \(T_2(x)\): \(2 - 6 \cdot (-0{,}75) = 2 + 4{,}5 = 6{,}5\) 3. Vergleich der berechneten Termwerte: \(6{,}5 > 3\)

Der Term \(T_2\) liefert für \(x = -0{,}75\) den größeren Wert (\(6{,}5\)).

- Setze den jeweiligen Wert für \(x\) in den Term ein. - Achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte. - Kürze Brüche während der Rechnung, um mit kleineren Zahlen zu arbeiten. - Was passiert, wenn man zwei gleiche Zahlen voneinander subtrahiert?

1. Für \( x = 3 \): \( \frac{2}{3} \cdot 3 - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \). 2. Für \( x = \frac{3}{4} \): \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \). 3. Für \( x = 6 \): \( \frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{1}{2} = 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \). 4. Für \( x = \frac{1}{4} \): \( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{2}{12} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \).

a) \(\frac{3}{2}\) b) \(0\) c) \(\frac{7}{2}\) d) \(-\frac{1}{3}\)

- Was bedeutet es, eine Zahl für eine Variable in einen Term einzusetzen? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen darauf, die Klammern richtig zu setzen. - Könnte es hilfreich sein, den Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln?

1. Einsetzen von \(x = 8{,}9\): \(-15{,}4 + 8{,}9 = -6{,}5\). 2. Einsetzen von \(x = -3{,}7\): \(-15{,}4 + (-3{,}7) = -15{,}4 - 3{,}7 = -19{,}1\). 3. Einsetzen von \(x = 15{,}4\): \(-15{,}4 + 15{,}4 = 0\). 4. Einsetzen von \(x = \frac{1}{2}\): Umwandlung in Dezimalzahl \(0{,}5\), dann \(-15{,}4 + 0{,}5 = -14{,}9\).

a) \(-6{,}5\) b) \(-19{,}1\) c) \(0\) d) \(-14{,}9\)

- Ersetze den Buchstaben im Term durch die angegebene Zahl und berechne dann das Ergebnis. - Achte beim Einsetzen besonders auf die Vorzeichen, wenn die Zahl selbst negativ ist. - Welche Zahl liegt auf dem Zahlenstrahl weiter rechts?

1. Einsetzen von \( x = 2{,}1 \) in Term \( A \): \( 2{,}1 - 5{,}4 = -3{,}3 \). 2. Einsetzen von \( y = -1{,}8 \) in Term \( B \): \( -3{,}2 - (-1{,}8) \). 3. Vereinfachung und Berechnung von Term \( B \): \( -3{,}2 + 1{,}8 = -1{,}4 \). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \( -1{,}4 > -3{,}3 \), ist der Wert von Term \( B \) größer.

Der Wert von Term \( A \) ist \( -3{,}3 \). Der Wert von Term \( B \) ist \( -1{,}4 \). Somit ist der Wert von Term \( B \) größer.

- Erinnere dich daran, wie man Brüche subtrahiert: Zuerst musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl abziehst? - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende so weit wie möglich zu kürzen oder als gemischte Zahl zu schreiben.

1. \(a = -\frac{1}{2}\), \(b = -\frac{2}{3}\): \(-\frac{1}{2} - (-\frac{2}{3}) = -\frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1}{6}\). 2. \(a = -\frac{1}{2}\), \(b = \frac{5}{6}\): \(-\frac{1}{2} - \frac{5}{6} = -\frac{3}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}\). 3. \(a = \frac{3}{4}\), \(b = -\frac{2}{3}\): \(\frac{3}{4} - (-\frac{2}{3}) = \frac{9}{12} + \frac{8}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}\). 4. \(a = \frac{3}{4}\), \(b = \frac{5}{6}\): \(\frac{3}{4} - \frac{5}{6} = \frac{9}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{1}{12}\).

Die berechneten Werte sind: Oben links: \(\frac{1}{6}\) Oben rechts: \(-1\frac{1}{3}\) Unten links: \(1\frac{5}{12}\) Unten rechts: \(-\frac{1}{12}\)

- Erinnere dich daran, wie man mit negativen Zahlen rechnet. - Was bewirkt ein Betragsstrich bei einer negativen Zahl? - Achte bei Teilaufgabe c) auf das Vorzeichen des Produkts. - Überlege dir bei d), was „hoch 2“ für die Rechnung bedeutet.

1. Einsetzen von \(a = -1{,}2\) und \(b = 0{,}5\) in den ersten Term: \(-1{,}2 + 0{,}5 = -0{,}7\). 2. Einsetzen in den zweiten Term: \(-1{,}2 - 0{,}5 = -1{,}7\). 3. Berechnung des Produkts: \(2 \cdot (-1{,}2) \cdot 0{,}5 = -1{,}2\). 4. Quadrieren von \(b\): \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). 5. Berechnung mit dem Betrag von \(a\): \(|-1{,}2| - 0{,}5 = 1{,}2 - 0{,}5 = 0{,}7\).

a) \(-0{,}7\) b) \(-1{,}7\) c) \(-1{,}2\) d) \(0{,}25\) e) \(0{,}7\)

- Überlege dir die Vorzeichenregeln für Multiplikation und Division. - Wenn du zwei Schuldenbeträge addierst, ist das Ergebnis dann positiv oder negativ? - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn man eine negative Zahl subtrahiert?

1. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv: \((-5) \cdot (-2) = 10\). 2. Die Summe zweier negativer Zahlen ist negativ: \(-5 + (-2) = -7\). 3. Da \(x\) kleiner ist als \(y\), ergibt die Differenz \(y - x\) einen positiven Wert: \(-2 - (-5) = -2 + 5 = 3\). 4. Der Quotient zweier negativer Zahlen ist positiv: \(\frac{-5}{-2} = 2{,}5\).

a) positiv; Wert: \(10\) b) negativ; Wert: \(-7\) c) positiv; Wert: \(3\) d) positiv; Wert: \(2{,}5\)

- Setze den jeweiligen Wert für \(a\) in den Term ein. - Welche Rechenoperation muss innerhalb des zweiten Terms zuerst ausgeführt werden? - Achte beim negativen Wert besonders auf das Vorzeichen nach der Division.

1. Für \(a=\frac{1}{8}\) ergibt sich \(\frac{3}{4}-\frac{1}{8}:\frac{1}{2}\). 2. Es gilt \(\frac{1}{8}:\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\), also ist der Termwert \(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\). 3. Für \(a=-1{,}5\) ergibt sich \(\frac{3}{4}-(-1{,}5):\frac{1}{2}\). 4. Es gilt \((-1{,}5):0{,}5=-3\), also ist der Termwert \(\frac{3}{4}-(-3)=\frac{15}{4}=3{,}75\).

a) \(\frac{1}{2}=0{,}5\) b) \(\frac{15}{4}=3{,}75\)

- Setze den angegebenen Wert für \(x\) in den Term ein. - Achte darauf, den gesamten Ausdruck in der Klammer zuerst zu berechnen oder das Distributivgesetz anzuwenden. - Können Brüche vor dem Multiplizieren gekürzt werden? - Überprüfe am Ende das Vorzeichen deines Ergebnisses.

1. Einsetzen von \( x = \frac{3}{4} \) in den Term: \( T\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \right) \cdot 4 \). 2. Erster Teil: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). 3. Klammerinhalt: \( \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} \). 4. Multiplikation der Klammer mit \( 4 \): \( \frac{5}{4} \cdot 4 = 5 \). 5. Subtraktion: \( \frac{1}{2} - 5 = 0{,}5 - 5 = -4{,}5 \) bzw. \( -\frac{9}{2} \).

\( -4{,}5 \) (oder \( -\frac{9}{2} \))

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl einsetzt. - Erinnere dich daran, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist. - Halte die Rechenregel „Punkt vor Strich“ ein. - Bei Dezimalzahlen hilft es, sich die Rechnung wie mit Geld vorzustellen.

1. Für \(x = 8\): - \(2 \cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11\) - \(8^2 + 10 = 64 + 10 = 74\) - \(12 - 3 \cdot 8 = 12 - 24 = -12\) 2. Für \(x = -4\): - \(2 \cdot (-4) - 5 = -8 - 5 = -13\) - \((-4)^2 + 10 = 16 + 10 = 26\) - \(12 - 3 \cdot (-4) = 12 + 12 = 24\) 3. Für \(x = 0{,}5\): - \(2 \cdot 0{,}5 - 5 = 1 - 5 = -4\) - \(0{,}5^2 + 10 = 0{,}25 + 10 = 10{,}25\) - \(12 - 3 \cdot 0{,}5 = 12 - 1{,}5 = 10{,}5\)

Die ausgefüllte Tabelle lautet: <table> <thead> <tr> <th>\(x\)</th> <th>\(2x - 5\)</th> <th>\(x^2 + 10\)</th> <th>\(12 - 3x\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>\(8\)</td> <td>\(11\)</td> <td>\(74\)</td> <td>\(-12\)</td> </tr> <tr> <td>\(-4\)</td> <td>\(-13\)</td> <td>\(26\)</td> <td>\(24\)</td> </tr> <tr> <td>\(0{,}5\)</td> <td>\(-4\)</td> <td>\(10{,}25\)</td> <td>\(10{,}5\)</td> </tr> </tbody> </table>

- Was bedeutet es, eine Zahl für eine Variable einzusetzen? - Achte auf die Rechenregel „Punkt vor Strich“. - Was bewirkt die Klammer in Aufgabenteil b? - Überlege dir zuerst, welche Rechenoperationen nacheinander ausgeführt werden müssen.

1. Einsetzen der Werte für \(z\) in die Terme. 2. Term a): Für \(z = 4\) ergibt sich \(5 \cdot 4 - 9 = 11\). Für \(z = 7\) ergibt sich \(5 \cdot 7 - 9 = 26\). 3. Term b): Für \(z = 4\) ergibt sich \(4 \cdot (4 + 2) = 24\). Für \(z = 7\) ergibt sich \(7 \cdot (7 + 2) = 63\). 4. Term c): Für \(z = 4\) ergibt sich \(30 - 3 \cdot 4 = 18\). Für \(z = 7\) ergibt sich \(30 - 3 \cdot 7 = 9\).

a) Für \(z = 4\) ist der Wert 11. Für \(z = 7\) ist der Wert 26. b) Für \(z = 4\) ist der Wert 24. Für \(z = 7\) ist der Wert 63. c) Für \(z = 4\) ist der Wert 18. Für \(z = 7\) ist der Wert 9.

- Kannst du die Dezimalzahl \(1{,}5\) als Bruch schreiben, falls dir das Rechnen damit leichter fällt? - Achte besonders bei Aufgabenteil b auf die Multiplikation der Dezimalzahl mit sich selbst. - Welche Rechenregel musst du bei Aufgabenteil c zuerst beachten?

1. Einsetzen der Dezimalzahl \(1{,}5\) und der ganzen Zahl \(4\) in die Terme. 2. Term a): \(8 \cdot 1{,}5 + 2 = 12 + 2 = 14\) und \(8 \cdot 4 + 2 = 34\). 3. Term b): \(1{,}5 \cdot 1{,}5 + 10 = 2{,}25 + 10 = 12{,}25\) und \(4 \cdot 4 + 10 = 26\). 4. Term c): \(2 \cdot (10 - 1{,}5) = 2 \cdot 8{,}5 = 17\) und \(2 \cdot (10 - 4) = 12\).

a) Für \(b = 1{,}5\) ist der Wert 14. Für \(b = 4\) ist der Wert 34. b) Für \(b = 1{,}5\) ist der Wert \(12{,}25\). Für \(b = 4\) ist der Wert 26. c) Für \(b = 1{,}5\) ist der Wert 17. Für \(b = 4\) ist der Wert 12.

- Ersetze jeden Buchstaben im Term durch die zugehörige Zahl. - Gibt es einen Unterschied, ob du erst addierst oder erst multiplizierst? - Schau dir die Klammern in c genau an – was berechnest du zuerst?

1. Einsetzen der Variablenwerte \(x = 6\) und \(y = 2\) in die Ausdrücke. 2. Term a): \(6 \cdot 2 + 6 = 12 + 6 = 18\). 3. Term b): \(6 : 2 + 5 \cdot 2 = 3 + 10 = 13\). 4. Term c): \((6 - 2) \cdot (6 + 2) = 4 \cdot 8 = 32\).

a) Der Wert ist 18. b) Der Wert ist 13. c) Der Wert ist 32.

- Denk an die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Kann ein Termwert auch negativ sein?

1. Für \(a = 0\): \(25 - 4 \cdot 0 = 25 - 0 = 25\) 2. Für \(a = 5\): \(25 - 4 \cdot 5 = 25 - 20 = 5\) 3. Für \(a = 7\): \(25 - 4 \cdot 7 = 25 - 28 = -3\) 4. Für \(a = -2\): \(25 - 4 \cdot (-2) = 25 - (-8) = 25 + 8 = 33\)

a) \(25\) b) \(5\) c) \(-3\) d) \(33\)

- Setze für beide Variablen jeweils die angegebenen Werte ein. - Schreibe negative eingesetzte Zahlen in Klammern. - Prüfe besonders das Vorzeichen im zweiten Termteil \(-3y\).

1. Für \(x=5\) und \(y=2\) ergibt sich \(2\cdot5-3\cdot2=10-6=4\). 2. Für \(x=3\) und \(y=-1\) ergibt sich \(2\cdot3-3\cdot(-1)=6+3=9\). 3. Für \(x=-2\) und \(y=-4\) ergibt sich \(2\cdot(-2)-3\cdot(-4)=-4+12=8\).

a) \(4\) b) \(9\) c) \(8\)

- Was bedeutet die kleine Hochzahl 2 bei der Kantenlänge? - Überlege dir, welche Rechenoperation zuerst ausgeführt wird: Potenzieren oder Multiplizieren? - Achte darauf, die richtige Einheit für die Oberfläche am Ende deiner Rechnung anzugeben.

1. Einsetzen von \(a = 3\,\text{cm}\) in die Formel: \(6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54\). Die Oberfläche beträgt \(54\,\text{cm}^2\). 2. Einsetzen von \(a = 0{,}5\,\text{m}\): \(6 \cdot 0{,}5^2 = 6 \cdot 0{,}25 = 1{,}5\). Die Oberfläche beträgt \(1{,}5\,\text{m}^2\). 3. Einsetzen von \(a = 1{,}2\,\text{dm}\): \(6 \cdot 1{,}2^2 = 6 \cdot 1{,}44 = 8{,}64\). Die Oberfläche beträgt \(8{,}64\,\text{dm}^2\).

a) \(54\,\text{cm}^2\) b) \(1{,}5\,\text{m}^2\) c) \(8{,}64\,\text{dm}^2\)

- Ersetze die Buchstaben im Term durch die gegebenen Zahlen. - Denk daran, dass zwischen einer Zahl und einer Variablen ein unsichtbares Malzeichen steht. - Welche Rechenoperation führst du bei einem Term wie \(3x^2\) zuerst aus?

1. Für \(x = 4\) und \(y = 5\): \(3 \cdot 4^2 + 2 \cdot 5 = 3 \cdot 16 + 10 = 48 + 10 = 58\). 2. Für \(x = 2\) und \(y = 12\): \(3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 12 = 3 \cdot 4 + 24 = 12 + 24 = 36\). 3. Für \(x = 0{,}5\) und \(y = 2\): \(3 \cdot 0{,}5^2 + 2 \cdot 2 = 3 \cdot 0{,}25 + 4 = 0{,}75 + 4 = 4{,}75\).

a) \(58\) b) \(36\) c) \(4{,}75\)

- Setze dieselbe Gesprächszeit in beide Kostenterme ein. - Vergleiche in b) die beiden berechneten Preise. - Suche in c) die Minutenanzahl, bei der \(0{,}20m\) genau \(5\) ergibt.

1. Für \(m=50\) gilt \(K_F=5+0{,}12\cdot50=11\,\text{€}\) und \(K_M=0{,}20\cdot50=10\,\text{€}\). 2. Für \(m=100\) gilt \(K_F=17\,\text{€}\) und \(K_M=20\,\text{€}\). Funkstern ist günstiger. 3. Gesucht ist ein Wert \(m\), für den \(0{,}20m=5\). Durch Rückwärtsrechnen ergibt sich \(m=25\).

a) Funkstern: \(11{,}00\,\text{€}\); MinutenMobil: \(10{,}00\,\text{€}\) b) Funkstern mit \(17{,}00\,\text{€}\) c) \(25\) Minuten

- Ersetze den Buchstaben in jedem Term durch die angegebene Zahl. - Berechne das Ergebnis für jeden Term einzeln nacheinander. - Denk an die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Bei Termen mit Klammern musst du zuerst den Inhalt der Klammer berechnen.

1. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (1): \(4 \cdot 4 - 5 = 16 - 5 = 11\). Das Ergebnis ist korrekt. 2. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (2): \(4^2 + 3 = 16 + 3 = 19\). Das Ergebnis ist ungleich \(11\). 3. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (3): \(15 - 4 = 11\). Das Ergebnis ist korrekt. 4. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (4): \(2 \cdot (4 + 1) = 2 \cdot 5 = 10\). Das Ergebnis ist ungleich \(11\). Die Terme (1) und (3) erfüllen die Bedingung.

Die Terme (1) und (3) ergeben den Wert \(11\).

- Berechne erst das Ergebnis für den ersten Term und notiere es dir. - Berechne dann das Ergebnis für den zweiten Term. - Was genau ist mit dem Begriff „Differenz“ gemeint? - Subtrahiere abschließend den Wert von \(T_2\) vom Wert von \(T_1\).

1. Berechnung von \(T_1\) für \(x = 2\): \(12 - 2 \cdot 2 = 12 - 4 = 8\). 2. Berechnung von \(T_2\) für \(x = 2\): \(\frac{2 + 10}{3} = \frac{12}{3} = 4\). 3. Berechnung der Differenz \(T_1 - T_2\): \(8 - 4 = 4\).

Die Differenz \(T_1 - T_2\) ist \(4\).

- Ersetze \(x\) jeweils vollständig durch den gegebenen Wert. - Berechne Multiplikationen vor Additionen oder Subtraktionen. - Für b) müssen beide Termwerte wirklich denselben Zahlenwert haben.

1. \(T_1(3)=24-4\cdot3=12\) und \(T_2(3)=2\cdot3+6=12\). 2. \(T_1(5)=4\), aber \(T_2(5)=16\). Emils Aussage ist falsch. 3. \(T_1(10)=24-40=-16\).

a) \(T_1(3)=12\), \(T_2(3)=12\) b) Falsch, denn \(4\neq16\). c) \(T_1(10)=-16\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Achte beim Einsetzen darauf, Klammern um negative Werte zu setzen. - Kannst du die Rechenschritte nacheinander ausführen, indem du erst die Potenzen, dann Punktrechnung und zuletzt Strichrechnung beachtest?

1. Einsetzen von \(x = -3\) in den Term: \(T(-3) = (-3)^2 - 3 \cdot (-3) + 1 = 9 + 9 + 1 = 19\). 2. Einsetzen von \(x = 0{,}5\) in den Term: \(T(0{,}5) = (0{,}5)^2 - 3 \cdot (0{,}5) + 1 = 0{,}25 - 1{,}5 + 1 = -0{,}25\). 3. Einsetzen von \(x = 2\) in den Term: \(T(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1\).

Die berechneten Werte sind: \(T(-3) = 19\) \(T(0{,}5) = -0{,}25\) \(T(2) = -1\)

- Was ist der erste Schritt, um den Durchschnitt von Termwerten zu finden? - Wie berechnet man den Wert eines Terms für ein bestimmtes \(x\)? - Hast du alle berechneten Werte addiert? - Durch welche Zahl musst du am Ende teilen?

1. Berechnung der einzelnen Termwerte: \(T(1) = 1^2 + 5 = 6\), \(T(2) = 2^2 + 5 = 9\), \(T(3) = 3^2 + 5 = 14\), \(T(4) = 4^2 + 5 = 21\), \(T(5) = 5^2 + 5 = 30\). 2. Addition der fünf Termwerte: \(6 + 9 + 14 + 21 + 30 = 80\). 3. Division der Summe durch die Anzahl der Werte (\(5\)): \(80 : 5 = 16\).

Das arithmetische Mittel der Termwerte ist \(16\).

- Setze den angegebenen Wert für \(x\) in den Term ein. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl für \(x\) einsetzt. - Du kannst die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln oder umgekehrt, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Für \(x = 3\): Einsetzen ergibt \(T(3) = -4 \cdot 3 + 0{,}5 = -12 + 0{,}5 = -11{,}5\). 2. Für \(x = -1{,}5\): Einsetzen ergibt \(T(-1{,}5) = -4 \cdot (-1{,}5) + 0{,}5\). Die Multiplikation zweier negativer Zahlen ergibt ein positives Resultat: \(6 + 0{,}5 = 6{,}5\). 3. Für \(x = \frac{3}{8}\): Einsetzen ergibt \(T\left(\frac{3}{8}\right) = -4 \cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\). Multiplikation: \(-\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} = -1{,}5\). Addition: \(-1{,}5 + 0{,}5 = -1\).

a) \(-11{,}5\) b) \(6{,}5\) c) \(-1\)

- Denk daran, dass eine negative Zahl im Quadrat ein positives Ergebnis liefert. - Vergleiche am Ende die Zahlenpaare in jeder Zeile deiner Tabelle. - Welche Zahl liegt auf dem Zahlenstrahl weiter rechts? Das ist die größere Zahl.

1. Berechnung für \(y = -4\): \(T_1 = 0{,}5 \cdot (-4) - 3 = -5\); \(T_2 = (-4)^2 - 4 = 16 - 4 = 12\). 2. Berechnung für \(y = -2\): \(T_1 = 0{,}5 \cdot (-2) - 3 = -4\); \(T_2 = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0\). 3. Berechnung für \(y = 0\): \(T_1 = 0{,}5 \cdot 0 - 3 = -3\); \(T_2 = 0^2 - 4 = -4\). 4. Berechnung für \(y = 2\): \(T_1 = 0{,}5 \cdot 2 - 3 = -2\); \(T_2 = 2^2 - 4 = 0\). 5. Berechnung für \(y = 4\): \(T_1 = 0{,}5 \cdot 4 - 3 = -1\); \(T_2 = 4^2 - 4 = 12\). 6. Vergleich der Werte: Nur bei \(y = 0\) ist \(-3 > -4\). In allen anderen Fällen ist \(T_1(y) < T_2(y)\).

Die Termwerte lauten: <table> <tr><th>\(y\)</th><th>\(T_1(y)\)</th><th>\(T_2(y)\)</th></tr> <tr><td>\(-4\)</td><td>\(-5\)</td><td>\(12\)</td></tr> <tr><td>\(-2\)</td><td>\(-4\)</td><td>\(0\)</td></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(-3\)</td><td>\(-4\)</td></tr> <tr><td>\(2\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td></tr> <tr><td>\(4\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(12\)</td></tr> </table> Nur für \(y = 0\) ist der Wert von \(T_1(y)\) mit \(-3\) größer als der Wert von \(T_2(y)\) mit \(-4\).

- Auf welche Gesamtmenge beziehen sich beide Bruchteile? - Bringe die beiden Brüche vor dem Subtrahieren auf einen gemeinsamen Nenner. - Berechne anschließend den gefundenen Bruchteil von \(80\,\text{l}\).

1. Vom gesamten Fassungsvermögen bleiben \(\frac{4}{5}-\frac{1}{4}=\frac{16}{20}-\frac{5}{20}=\frac{11}{20}\) übrig. 2. Die verbleibende Wassermenge beträgt \(80\cdot\frac{11}{20}=44\,\text{l}\).

a) \(\frac{11}{20}\) b) \(44\,\text{l}\)

- Achte auf die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Ersetze jeden Buchstaben sorgfältig durch die zugehörige Zahl. - Berechne zuerst die einzelnen Teile des Terms, bevor du sie addierst oder subtrahierst.

1. Einsetzen der gegebenen Werte in den Term: \(4 \cdot 2{,}5 \cdot 6 - 5 \cdot 3^2 + 12\). 2. Berechnung des ersten Produkts: \(4 \cdot 2{,}5 = 10\) und \(10 \cdot 6 = 60\). 3. Berechnung der Potenz: \(3^2 = 9\). 4. Berechnung des zweiten Produkts: \(5 \cdot 9 = 45\). 5. Zusammenfassen der Ergebnisse durch Subtraktion und Addition: \(60 - 45 + 12 = 15 + 12 = 27\).

Der Wert des Terms ist \(27\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Achte beim Einsetzen darauf, Klammern um negative Zahlen zu setzen. - Überlege dir die Reihenfolge der Rechenoperationen: Was wird zuerst berechnet, die Potenz oder die Multiplikation?

1. Einsetzen von \(x = -3\) in \(3x + 10\): \(3 \cdot (-3) + 10 = -9 + 10 = 1\). 2. Einsetzen von \(x = -3\) in \(x^2 - 5\): \((-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4\). 3. Einsetzen von \(x = -3\) in \(2x^2 + x\): \(2 \cdot (-3)^2 + (-3) = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15\). 4. Einsetzen von \(x = -3\) in \(\frac{1}{3}x^3\): \(\frac{1}{3} \cdot (-3)^3 = \frac{1}{3} \cdot (-27) = -9\).

a) \(1\) b) \(4\) c) \(15\) d) \(-9\)

- Berechne zuerst jeden Term einzeln für den angegebenen Wert. - Erinnere dich an die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Um den Unterschied zu finden, kannst du das kleinere vom größeren Ergebnis subtrahieren.

1. Berechnung für \(y = 3\): \(T_1 = 5 \cdot 3 - 15 = 0\); \(T_2 = 3^2 - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0\). 2. Berechnung für \(y = 6\): \(T_1 = 5 \cdot 6 - 15 = 15\); \(T_2 = 6^2 - 3 \cdot 6 = 36 - 18 = 18\). 3. Vergleich für \(y = 6\): \(T_2\) ist größer als \(T_1\). Die Differenz beträgt \(18 - 15 = 3\).

a) \(T_1 = 0\) und \(T_2 = 0\) b) \(T_1 = 15\) und \(T_2 = 18\) c) \(T_2\) ist um \(3\) größer als \(T_1\).

- Ordne jedem Buchstaben zuerst seine gegebene Zahl zu. - Berechne in \(B+np\) das Produkt \(np\) vor der Addition. - Prüfe abschließend, ob die Einheit Euro zum Ergebnis passt.

1. \(G=450+25\cdot120=3450\,\text{€}\). 2. \(G=520+22\cdot145=3710\,\text{€}\). 3. \(G=380+28\cdot95=3040\,\text{€}\).

1) \(3450\,\text{€}\) 2) \(3710\,\text{€}\) 3) \(3040\,\text{€}\)

- Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine negative Zahl für eine Variable einsetzt? - Erinnere dich an die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Klammere negative Zahlen beim Einsetzen am besten ein, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Einsetzen der Werte \(a = 8\) und \(b = 12\): \(T = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 12\). Multiplikationen: \(40 - 24\). Subtraktion: \(16\). 2. Einsetzen der Werte \(a = -4\) und \(b = 5\): \(T = 5 \cdot (-4) - 2 \cdot 5\). Multiplikationen: \(-20 - 10\). Subtraktion: \(-30\). 3. Einsetzen der Werte \(a = 2{,}5\) und \(b = -3\): \(T = 5 \cdot 2{,}5 - 2 \cdot (-3)\). Multiplikationen: \(12{,}5 - (-6)\). Umwandeln der Subtraktion einer negativen Zahl in eine Addition: \(12{,}5 + 6 = 18{,}5\).

1) \(16\) 2) \(-30\) 3) \(18{,}5\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl für eine Variable einsetzt, vor der bereits ein Minuszeichen steht? - Gibt es eine Regel für das Auflösen von Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht? - Überlege dir, in welcher Reihenfolge die Rechenoperationen durchgeführt werden müssen.

1. Einsetzen der Werte für Belegung 1: \(A = 10 - (-4) + 2 = 14 + 2 = 16\). Für \(B\) ergibt sich durch die Klammerrechnung \(B = 10 - ((-4) + 2) = 10 - (-2) = 12\). Vergleich: \(A > B\), denn \(16 > 12\). 2. Einsetzen der Werte für Belegung 2: \(A = -3{,}5 - 1{,}5 + (-5) = -5{,}0 - 5 = -10\). Für \(B\) ergibt sich \(B = -3{,}5 - (1{,}5 + (-5)) = -3{,}5 - (-3{,}5) = 0\). Vergleich: \(A < B\), denn \(-10 < 0\).

1. \(A = 16\), \(B = 12\); somit gilt \(A > B\). 2. \(A = -10\), \(B = 0\); somit gilt \(A < B\).

- Was bedeutet das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Termen? - Setze die Zahlen nacheinander für die Buchstaben ein. - Achte beim Berechnen der rechten Seite besonders auf die Vorzeichen und die Rechenregeln (Punkt-vor-Strich-Rechnung). - Vergleiche am Ende, ob bei beiden Seiten derselbe Zahlenwert herauskommt.

1. Berechnung für Fall 1 (\(x=6, y=5\)): Linke Seite \((6+4) \cdot (5-3) = 10 \cdot 2 = 20\). Rechte Seite \(6 \cdot 5 - 3 \cdot 6 + 4 \cdot 5 - 12 = 30 - 18 + 20 - 12 = 20\). Die Ergebnisse sind identisch. 2. Berechnung für Fall 2 (\(x=2, y=3\)): Linke Seite \((2+4) \cdot (3-3) = 6 \cdot 0 = 0\). Rechte Seite \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 12 = 6 - 6 + 12 - 12 = 0\). Die Ergebnisse sind identisch. 3. Berechnung für Fall 3 (\(x=0, y=10\)): Linke Seite \((0+4) \cdot (10-3) = 4 \cdot 7 = 28\). Rechte Seite \(0 \cdot 10 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 10 - 12 = 40 - 12 = 28\). Die Ergebnisse sind identisch.

Die Gleichung ist für alle drei Fälle gültig, da die Berechnungen der linken und rechten Seite jeweils denselben Wert ergeben (Fall 1: \(20\), Fall 2: \(0\), Fall 3: \(28\)).

- Berechne zuerst den Inhalt der Klammern, bevor du multiplizierst. - Erinnere dich daran, was eine Quadratzahl wie \(a^2\) bedeutet. - Gehe bei Dezimalzahlen besonders sorgfältig vor. - Was passiert in der Klammer, wenn beide Zahlen gleich groß sind?

1. Berechnung für Teil a: Linke Seite \((7+3) \cdot (7-3) = 10 \cdot 4 = 40\). Rechte Seite \(7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40\). Gleichheit gilt. 2. Berechnung für Teil b: Linke Seite \((1{,}5+0{,}5) \cdot (1{,}5-0{,}5) = 2 \cdot 1 = 2\). Rechte Seite \(1{,}5^2 - 0{,}5^2 = 2{,}25 - 0{,}25 = 2\). Gleichheit gilt. 3. Berechnung für Teil c: Linke Seite \((12+12) \cdot (12-12) = 24 \cdot 0 = 0\). Rechte Seite \(12^2 - 12^2 = 144 - 144 = 0\). Gleichheit gilt.

In allen drei Fällen ist die Gleichung korrekt: a) \(40 = 40\) b) \(2 = 2\) c) \(0 = 0\)

- Ordne zuerst jedem Symbol den passenden Wert aus dem Text zu. - Berechne Zähler und Nenner getrennt. - Interpretiere den Quotienten anschließend als prozentualen Fruchtgehalt der Gesamtmischung.

1. Im Zähler ergibt sich \(3\cdot100+2\cdot40=380\). 2. Das Gesamtvolumen ist \(3+2=5\,\text{l}\). 3. Daher gilt \(G=\frac{380}{5}=76\). Der Fruchtgehalt beträgt \(76\,\%\).

\(76\,\%\)

- Ordne jeder Geschwindigkeit die passende Zeitspanne zu. - Der Zähler des Terms beschreibt die gesamte gefahrene Strecke. - Der Nenner beschreibt die gesamte Fahrzeit.

1. Die erste Teilstrecke ist \(22\cdot1{,}5=33\,\text{km}\), die zweite \(14\cdot0{,}5=7\,\text{km}\). 2. Insgesamt fährt Mikael \(40\,\text{km}\) in \(2\,\text{h}\). 3. Daher ist \(v_{\text{ges}}=\frac{40}{2}=20\,\text{km/h}\).

\(20\,\text{km/h}\)

- Setze für \(s\) jeweils die gegebene Strecke ein. - Berechne zuerst den kilometerabhängigen Anteil. - Addiere danach die feste Tagesgebühr.

1. Für \(s=80\) gilt \(K=42+0{,}15\cdot80=54\,\text{€}\). 2. Für \(s=240\) gilt \(K=42+0{,}15\cdot240=78\,\text{€}\).

1) \(54\,\text{€}\) 2) \(78\,\text{€}\)

- Ersetze jeden Buchstaben im Term durch die Zahl, die für ihn vorgegeben ist. - Denk an die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Berechne zuerst die Ausdrücke innerhalb der Klammern. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse der einzelnen Rechenschritte auf.

1. Einsetzen von \( x = 5 \) in den ersten Term: \( 4 \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 + 12 \). Berechnung der Potenz: \( 4 \cdot 25 - 15 + 12 \). Nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \( 100 - 15 + 12 = 97 \). 2. Einsetzen von \( a = 3 \) in den zweiten Term: \( 2 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3 - 8 \). Berechnung der Potenz: \( 2 \cdot 27 + 15 - 8 \). Punktrechnung: \( 54 + 15 - 8 \). Endergebnis: \( 61 \). 3. Einsetzen von \( y = 6 \) in den dritten Term: \( (6 + 4) \cdot (2 \cdot 6 - 1) \). Berechnung der Klammern: \( 10 \cdot (12 - 1) = 10 \cdot 11 \). Endergebnis: \( 110 \).

a) \( 97 \) b) \( 61 \) c) \( 110 \)

- Was passiert mit dem Wert einer Zahl, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird (hoch 3)? - Gehe bei der Rechnung mit Dezimalzahlen besonders sorgfältig vor. - Achte darauf, dass die Potenz nur für die Variable \(n\) gilt, nicht für die \(6\). - Berechne bei \(n = 10\) zuerst die Potenz und führe danach die Multiplikation aus.

1. Für \( n = 10 \): Einsetzen ergibt \( 6 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10 + 7 \). Berechnung der Potenz: \( 6 \cdot 1000 + 40 + 7 = 6000 + 40 + 7 = 6047 \). 2. Für \( n = 2 \): Einsetzen ergibt \( 6 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2 + 7 \). Berechnung der Potenz: \( 6 \cdot 8 + 8 + 7 = 48 + 8 + 7 = 63 \). 3. Für \( n = 0{,}5 \): Einsetzen ergibt \( 6 \cdot 0{,}5^3 + 4 \cdot 0{,}5 + 7 \). Berechnung der Potenz: \( 6 \cdot 0{,}125 + 2 + 7 \). Multiplikation: \( 0{,}75 + 2 + 7 = 9{,}75 \).

a) \( 6047 \) b) \( 63 \) c) \( 9{,}75 \)

- Was bedeutet die Zahl ohne Variable in den Termen für die Kosten, wenn man gar nicht telefoniert? - Setze die Werte für \(m\) nacheinander in beide Formeln ein. - Vergleiche die Ergebnisse in jeder Spalte der Tabelle. Welcher Wert ist kleiner?

1. Berechnung der Werte für Tarif A durch Einsetzen von \(m\): - \(m = 0 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 0 = 10{,}00\,\text{€}\) - \(m = 50 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 50 = 12{,}50\,\text{€}\) - \(m = 100 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 100 = 15{,}00\,\text{€}\) - \(m = 150 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 150 = 17{,}50\,\text{€}\) 2. Berechnung der Werte für Tarif B durch Einsetzen von \(m\): - \(m = 0 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 0 = 5{,}00\,\text{€}\) - \(m = 50 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 50 = 10{,}00\,\text{€}\) - \(m = 100 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 100 = 15{,}00\,\text{€}\) - \(m = 150 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 150 = 20{,}00\,\text{€}\) 3. Vergleich der Tarife: - Bei \(100\) Minuten kosten beide Tarife gleich viel (\(15{,}00\,\text{€}\)). - Bei \(150\) Minuten ist Tarif A (\(17{,}50\,\text{€}\)) günstiger als Tarif B (\(20{,}00\,\text{€}\)).

a) Tabelle: Tarif A: \(10{,}00\); \(12{,}50\); \(15{,}00\); \(17{,}50\) Tarif B: \(5{,}00\); \(10{,}00\); \(15{,}00\); \(20{,}00\) b) Unter den berechneten Minutenanzahlen ist Tarif A bei \(150\) Minuten günstiger, da \(17{,}50\,\text{€} < 20{,}00\,\text{€}\). Bei \(100\) Minuten sind beide Tarife gleich teuer.

- Vergleiche zunächst nur die Anzahl der benötigten Termwerte. - Wo wiederholt sich dieselbe Rechenregel besonders oft? - Welchen Vorteil bietet ein Werkzeug, das eine Formel auf viele Zeilen übertragen kann?

1. In Fall A sind nur zwei Einsetzungen nötig; diese lassen sich schnell direkt berechnen. 2. In Fall B müssen sehr viele Werte nach derselben Regel erzeugt werden. 3. Eine Tabellenkalkulation ist deshalb in Fall B sinnvoll, weil die Formel einmal eingegeben und anschließend für viele Zeilen übernommen werden kann.

Fall B. Bei sehr vielen gleichartigen Einsetzungen spart eine Tabellenkalkulation wiederholte Handarbeit; für zwei Werte in Fall A ist sie nicht nötig.

- Die Formel in B2 soll den Inhalt der Zelle A2 verwenden, nicht die Zahl \(0\) fest in die Formel schreiben. - Überlege, welcher Zellbezug sich beim Kopieren eine Zeile nach unten entsprechend mitverschieben soll. - Die mathematische Rechenregel bleibt in jeder Zeile gleich; nur der verwendete \(x\)-Wert wechselt.

1. In B2 muss die Rechenregel \(3x+1\) mit dem Zellbezug A2 umgesetzt werden. Die Formel lautet „=3*A2+1“. 2. Beim Herunterkopieren wird der relative Zellbezug zeilenweise angepasst: In B3 wird A3, in B4 A4 und in B5 A5 verwendet. 3. Für die Werte \(0,1,2,3\) entstehen die Termwerte \(1,4,7,10\). 4. Bei vielen Eingabewerten muss die Rechenregel nur einmal als Formel erfasst werden; die Tabellenkalkulation übernimmt die angepassten Berechnungen für die weiteren Zeilen.

a) „=3*A2+1“ b) B3 bezieht sich auf A3, B4 auf A4 und B5 auf A5. c) \(1,4,7,10\) d) Die Formel wird einmal eingegeben und kann mit angepassten relativen Zellbezügen auf viele Zeilen übertragen werden.

- Setze die gegebenen Werte für \(x\) ein und beachte die Vorrangregeln. - Bei Teilaufgabe c) kannst du rückwärts rechnen: Was muss vor dem Abzug der 6 herauskommen, damit 0 übrig bleibt? - Schau dir bei d) die Ergebnisse genau an. Siehst du einen Zusammenhang zur Zahl vor dem \(x\)?

1. Einsetzen von \(x = -1{,}5\): \(4 \cdot (-1{,}5) - 6 = -6 - 6 = -12\). 2. Einsetzen von \(x = 0{,}75\): \(4 \cdot 0{,}75 - 6 = 3 - 6 = -3\). 3. Nullstelle finden: \(4x - 6 = 0 \implies 4x = 6 \implies x = 1{,}5\). 4. Vergleich der Werte: \(T(2) = 4 \cdot 2 - 6 = 2\) und \(T(3) = 4 \cdot 3 - 6 = 6\). Die Differenz beträgt \(6 - 2 = 4\). Erhöht man \(x\) um \(1\), steigt der Termwert um \(4\).

a) \(-12\) b) \(-3\) c) \(x = 1{,}5\) d) \(T(2) = 2\); \(T(3) = 6\); der Wert erhöht sich um \(4\).

- Schau dir an, ob das Ergebnis größer oder kleiner wird, wenn du eine größere Zahl für \(k\) einsetzt. - Wenn du einen Wert suchst, bei dem beide Terme gleich sind, probiere Zahlen zwischen \(2\) und \(10\) aus. - Was passiert mit dem Wert des Terms, wenn du etwas abziehst, das immer größer wird?

1. Berechnung für \(k = 2\): - \(T_1(2) = 2 \cdot 2 + 10 = 14\) - \(T_2(2) = 40 - 3 \cdot 2 = 34\) 2. Berechnung für \(k = 10\): - \(T_1(10) = 2 \cdot 10 + 10 = 30\) - \(T_2(10) = 40 - 3 \cdot 10 = 10\) 3. Analyse des Wachstums: - \(T_1\) steigt an (von \(14\) auf \(30\)). - \(T_2\) sinkt (von \(34\) auf \(10\)). 4. Bestimmung des gemeinsamen Werts durch Probieren: - Test \(k = 5\): \(T_1(5) = 20\), \(T_2(5) = 25\) (Differenz wird kleiner) - Test \(k = 6\): \(T_1(6) = 2 \cdot 6 + 10 = 22\); \(T_2(6) = 40 - 3 \cdot 6 = 22\). - Bei \(k = 6\) sind beide Terme gleich.

a) Für \(k = 2\): \(T_1 = 14\), \(T_2 = 34\). Für \(k = 10\): \(T_1 = 30\), \(T_2 = 10\). b) \(T_1\) steigt an, \(T_2\) sinkt. c) Für \(k = 6\) liefern beide Terme das gleiche Ergebnis (\(22\)).

- Überlege zuerst, welche Zahl im Kästchen stehen muss, damit die erste Rechnung stimmt. - Nutze die erste Einsetzung, um den unbekannten Summanden zu bestimmen. - Wenn du die fehlende Zahl gefunden hast, kannst du sie für den zweiten Teil der Aufgabe verwenden. - Ersetze im zweiten Schritt das \(x\) durch die neue Zahl.

1. Bestimmung des Platzhalters: Setze \(x = 6\) in den Term ein: \(2 \cdot 6 + \square = 20\). 2. Berechnung des Platzhalters: \(12 + \square = 20\), daraus folgt \(\square = 8\). 3. Anwendung des vollständigen Terms: Der Term lautet nun \(2x + 8\). 4. Einsetzen von \(x = 10\): \(2 \cdot 10 + 8 = 20 + 8 = 28\).

Das Ergebnis ist \(28\).

- Schau dir die Struktur des Terms genau an: Was passiert als Erstes (in der Klammer) und was als Zweites? - Für Teilaufgabe b) ersetze einfach den Buchstaben durch die angegebene Zahl. - Wann wird ein Produkt aus zwei Zahlen eigentlich Null?

1. Beschreibung in Worten: „Das Vierfache der Differenz aus einer Zahl \(x\) und \(2{,}5\)“ (oder ähnlich). 2. Einsetzen von \(x = 5{,}5\) in den Term: \(4 \cdot (5{,}5 - 2{,}5)\) 3. Berechnung der Klammer: \(5{,}5 - 2{,}5 = 3{,}0\) 4. Multiplikation: \(4 \cdot 3{,}0 = 12\) 5. Analyse für den Wert \(0\): Ein Produkt ist \(0\), wenn einer der Faktoren \(0\) ist. Da \(4\) nicht \(0\) ist, muss die Klammer \((x - 2{,}5) = 0\) sein. 6. Lösung der Gleichung \(x - 2{,}5 = 0\): \(x = 2{,}5\).

a) Das Vierfache der Differenz aus einer Zahl \(x\) und \(2{,}5\). b) Der Wert ist \(12\). c) \(x\) muss \(2{,}5\) sein, da der Klammerinhalt null sein muss (\(2{,}5 - 2{,}5 = 0\)) und \(4 \cdot 0 = 0\) ist.

- Kannst du die Symmetrie des Terms \(x^2\) nutzen, um Rechenzeit zu sparen? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Quadrieren negativer Zahlen. - Wie viele Werte fließen in die Berechnung des Mittels ein?

1. Berechnung der Termwerte für die sechs gegebenen Stellen: \(T(-2) = 1{,}5 \cdot (-2)^2 - 4{,}5 = 6 - 4{,}5 = 1{,}5\) \(T(-1{,}5) = 1{,}5 \cdot (-1{,}5)^2 - 4{,}5 = 1{,}5 \cdot 2{,}25 - 4{,}5 = 3{,}375 - 4{,}5 = -1{,}125\) \(T(-0{,}5) = 1{,}5 \cdot (-0{,}5)^2 - 4{,}5 = 1{,}5 \cdot 0{,}25 - 4{,}5 = 0{,}375 - 4{,}5 = -4{,}125\) \(T(0{,}5) = -4{,}125\) (wegen Symmetrie von \(x^2\)) \(T(1{,}5) = -1{,}125\) \(T(2) = 1{,}5\) 2. Summe der Termwerte bilden: \(1{,}5 + (-1{,}125) + (-4{,}125) + (-4{,}125) + (-1{,}125) + 1{,}5 = -7{,}5\). 3. Arithmetisches Mittel berechnen: \(-7{,}5 : 6 = -1{,}25\).

Das arithmetische Mittel der Termwerte ist \(-1{,}25\).

- Erstelle eine Tabelle mit drei Spalten für \(x\), Term \(A\) und Term \(B\). - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen auf die Vorzeichenregeln. - Vereinfache Term \(B\) durch Auflösen der Klammer und Zusammenfassen, um dein Ergebnis zu prüfen.

1. Einsetzen von \(x = -2\): \(A = 5 \cdot (-2) + 3 = -7\); \(B = 2 \cdot (-2 + 4) + 3 \cdot (-2) - 5 = 2 \cdot 2 - 6 - 5 = -7\). 2. Einsetzen von \(x = -1\): \(A = 5 \cdot (-1) + 3 = -2\); \(B = 2 \cdot (-1 + 4) + 3 \cdot (-1) - 5 = 2 \cdot 3 - 3 - 5 = -2\). 3. Einsetzen von \(x = 0\): \(A = 5 \cdot 0 + 3 = 3\); \(B = 2 \cdot (0 + 4) + 3 \cdot 0 - 5 = 8 - 5 = 3\). 4. Einsetzen von \(x = 1\): \(A = 5 \cdot 1 + 3 = 8\); \(B = 2 \cdot (1 + 4) + 3 \cdot 1 - 5 = 10 + 3 - 5 = 8\). 5. Einsetzen von \(x = 2\): \(A = 5 \cdot 2 + 3 = 13\); \(B = 2 \cdot (2 + 4) + 3 \cdot 2 - 5 = 12 + 6 - 5 = 13\). 6. Vergleich: Da die Ergebnisse für alle gewählten Werte identisch sind, liegt die Vermutung nahe, dass die Terme äquivalent sind. Durch Vereinfachen von \(B = 2x + 8 + 3x - 5 = 5x + 3\) bestätigt sich dies.

Die berechneten Werte sind: <table> <tr><th>\(x\)</th><th>Term \(A\)</th><th>Term \(B\)</th></tr> <tr><td>\(-2\)</td><td>\(-7\)</td><td>\(-7\)</td></tr> <tr><td>\(-1\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(-2\)</td></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td><td>\(3\)</td></tr> <tr><td>\(1\)</td><td>\(8\)</td><td>\(8\)</td></tr> <tr><td>\(2\)</td><td>\(13\)</td><td>\(13\)</td></tr> </table> Die Tabelle legt die Vermutung nahe, dass die Terme äquivalent sind. Diese Vermutung wird durch \(B = 2x + 8 + 3x - 5 = 5x + 3 = A\) bestätigt.

- Achte genau auf die Vorzeichenregeln, besonders wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Denk an die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Bei Brüchen im Bruchstrich hilft es oft, den Zähler und den Nenner zuerst einzeln auszurechnen. - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Einsetzen der Werte \(a = 0{,}5\) und \(b = 1{,}5\) in den ersten Term: \(2 \cdot 0{,}5^2 - 3 \cdot (0{,}5 - 1{,}5)\). Berechnung der Potenz: \(0{,}5^2 = 0{,}25\). Berechnung der Klammer: \(0{,}5 - 1{,}5 = -1\). Multiplikation: \(2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5\) und \(-3 \cdot (-1) = 3\). Addition: \(0{,}5 + 3 = 3{,}5\). 2. Einsetzen der Werte \(x = \frac{1}{2}\) und \(y = \frac{1}{4}\) in den zweiten Term: \(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}}\). Berechnung des Zählers: \(\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Berechnung des Nenners: \(\frac{1}{8}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{3}{4} \cdot 8 = 6\).

1) \(3{,}5\) 2) \(6\)

- Überlege dir zuerst, in welcher Reihenfolge du die Rechenoperationen ausführen musst. - Was passiert mit dem Wert eines Terms, wenn eine Zahl in der Klammer kleiner als Null wird? - Beim Teilen durch eine Dezimalzahl kann es helfen, das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts zu verschieben, bis du durch eine ganze Zahl teilst. - Schreibe dir die Zwischenschritte einzeln auf, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Einsetzen von \(s = 4\) und \(t = 0{,}5\): \(4 \cdot (0{,}5^2 - 0{,}5) + \frac{2}{4}\). Potenz berechnen: \(0{,}5^2 = 0{,}25\). Klammerinhalt: \(0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}25\). Multiplikation: \(4 \cdot (-0{,}25) = -1\). Bruch berechnen: \(\frac{2}{4} = 0{,}5\). Gesamtergebnis: \(-1 + 0{,}5 = -0{,}5\). 2. Einsetzen von \(x = 1{,}5\) und \(y = 0{,}04\): \(\frac{12}{1{,}5} - \frac{0{,}04}{0{,}2}\). Ersten Bruch berechnen: \(12 : 1{,}5 = 8\). Zweiten Bruch berechnen: \(0{,}04 : 0{,}2 = 0{,}2\). Subtraktion: \(8 - 0{,}2 = 7{,}8\).

1) \(-0{,}5\) 2) \(7{,}8\)

- Bei Brüchen berechnest du am besten zuerst den Zähler und den Nenner getrennt. - Denke bei Potenzen daran: \(n^3\) bedeutet \(n \cdot n \cdot n\). - Beachte die Regel „Potenzen vor Punkt vor Strich“.

1. Berechnung für \(T(y)\) bei \(y = 4\): Zähler: \(4^2 + 1 = 16 + 1 = 17\); Nenner: \(4 + 2 = 6\). Ergebnis: \(T(4) = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}\). 2. Berechnung für \(T(y)\) bei \(y = \frac{1}{2} = 0{,}5\): Zähler: \(0{,}5^2 + 1 = 0{,}25 + 1 = 1{,}25\); Nenner: \(0{,}5 + 2 = 2{,}5\). Ergebnis: \(T(0{,}5) = \frac{1{,}25}{2{,}5} = 0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)). 3. Berechnung für \(S(n)\) bei \(n = 3\): \(S(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 5 = 27 - 2 \cdot 9 + 5 = 27 - 18 + 5 = 14\). 4. Berechnung für \(S(n)\) bei \(n = 10\): \(S(10) = 10^3 - 2 \cdot 10^2 + 5 = 1000 - 2 \cdot 100 + 5 = 1000 - 200 + 5 = 805\).

a) \(T(4) = 2\frac{5}{6}\) (oder \(\approx 2{,}83\)); \(T(\frac{1}{2}) = 0{,}5\). b) \(S(3) = 14\); \(S(10) = 805\).

- Achte darauf, zuerst die Werte für die einzelnen Teile des Zählers zu berechnen. - Vergiss nicht, beim Nenner immer \( 1{,}5 \) zum \( x \)-Wert zu addieren, bevor du dividierst. - Runde erst das Endergebnis für \( y \) auf zwei Stellen nach dem Komma.

1. Quadrieren der \( x \)-Werte für die Zeile \( x^2 \): \( 0{,}2^2 = 0{,}04 \); \( 0{,}4^2 = 0{,}16 \); \( 0{,}6^2 = 0{,}36 \); \( 0{,}8^2 = 0{,}64 \); \( 1{,}0^2 = 1{,}00 \); \( 1{,}2^2 = 1{,}44 \). 2. Verdoppeln der \( x \)-Werte für die Zeile \( 2x \): \( 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}4 \); \( 2 \cdot 0{,}4 = 0{,}8 \); \( 2 \cdot 0{,}6 = 1{,}2 \); \( 2 \cdot 0{,}8 = 1{,}6 \); \( 2 \cdot 1{,}0 = 2{,}0 \); \( 2 \cdot 1{,}2 = 2{,}4 \). 3. Berechnen von \( y \) durch Einsetzen in \( \frac{x^2 + 2x}{x + 1{,}5} \) und Runden auf zwei Dezimalstellen: Für \( x=0{,}2 \): \( \frac{0{,}04 + 0{,}4}{0{,}2 + 1{,}5} = \frac{0{,}44}{1{,}7} \approx 0{,}26 \). Für \( x=0{,}4 \): \( \frac{0{,}16 + 0{,}8}{0{,}4 + 1{,}5} = \frac{0{,}96}{1{,}9} \approx 0{,}51 \). Für \( x=0{,}6 \): \( \frac{0{,}36 + 1{,}2}{0{,}6 + 1{,}5} = \frac{1{,}56}{2{,}1} \approx 0{,}74 \). Für \( x=0{,}8 \): \( \frac{0{,}64 + 1{,}6}{0{,}8 + 1{,}5} = \frac{2{,}24}{2{,}3} \approx 0{,}97 \). Für \( x=1{,}0 \): \( \frac{1{,}0 + 2{,}0}{1{,}0 + 1{,}5} = \frac{3{,}0}{2{,}5} = 1{,}20 \). Für \( x=1{,}2 \): \( \frac{1{,}44 + 2{,}4}{1{,}2 + 1{,}5} = \frac{3{,}84}{2{,}7} \approx 1{,}42 \).

<table> <tbody> <tr> <td>\( x \)</td> <td>\(0{,}2\)</td> <td>\(0{,}4\)</td> <td>\(0{,}6\)</td> <td>\(0{,}8\)</td> <td>\(1{,}0\)</td> <td>\(1{,}2\)</td> </tr> <tr> <td>\( x^2 \)</td> <td>\(0{,}04\)</td> <td>\(0{,}16\)</td> <td>\(0{,}36\)</td> <td>\(0{,}64\)</td> <td>\(1{,}00\)</td> <td>\(1{,}44\)</td> </tr> <tr> <td>\( 2x \)</td> <td>\(0{,}4\)</td> <td>\(0{,}8\)</td> <td>\(1{,}2\)</td> <td>\(1{,}6\)</td> <td>\(2{,}0\)</td> <td>\(2{,}4\)</td> </tr> <tr> <td>\( y \)</td> <td>\(0{,}26\)</td> <td>\(0{,}51\)</td> <td>\(0{,}74\)</td> <td>\(0{,}97\)</td> <td>\(1{,}20\)</td> <td>\(1{,}42\)</td> </tr> </tbody> </table>

- Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Rechnen mit negativen Zahlen. - Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Operationen? - Ersetze jeden Buchstaben durch die gegebene Zahl und schreibe den Term neu auf. - Vergiss nicht, Klammern zuerst auszuwerten.

1. Einsetzen von \(a = -7\) und \(b = 2\) in den ersten Term: \(4 \cdot (-7 + 3) - (2 - 5) \cdot (-3)\). Berechnung der Klammern: \(4 \cdot (-4) - (-3) \cdot (-3)\). Multiplikation: \(-16 - 9 = -25\). 2. Einsetzen von \(x = -4\) und \(y = 3\) in den zweiten Term: \([(-4 \cdot 3) + 8] : (-4 - 2)\). Berechnung innerhalb der eckigen Klammer: \([-12 + 8] = -4\). Berechnung des Divisors: \(-4 - 2 = -6\). Division: \(-4 : (-6) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

1) \(-25\) 2) \(\frac{2}{3}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn zwei negative Zahlen multipliziert werden? - Achte auf den Unterschied zwischen dem Rechenzeichen (Minus) und dem Vorzeichen einer Zahl. - Arbeite dich bei verschachtelten Klammern von innen nach außen vor. - Kannst du den Term in Teilschritte zerlegen?

1. Substitution von \(m = -8\) und \(n = -4\): \(-8 - [(-8 - (-4)) : (-2)] \cdot (-6)\). Innere Klammer auflösen: \(-8 - [-4 : (-2)] \cdot (-6)\). Division in der eckigen Klammer: \(-8 - [2] \cdot (-6)\). Multiplikation: \(-8 - (-12)\). Addition: \(-8 + 12 = 4\). 2. Substitution von \(p = -5\) und \(q = 4\): \((-5 - 2) \cdot [-5 - (-4) \cdot (-4)] + (-5 + 4) \cdot (-3)\). Berechnung der runden Klammern und des Produkts in der eckigen Klammer: \((-7) \cdot [-5 - 16] + (-1) \cdot (-3)\). Auswerten der eckigen Klammer: \((-7) \cdot (-21) + 3\). Multiplikation: \(147 + 3 = 150\).

1) \(4\) 2) \(150\)

- Wie gehst du vor, wenn du Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren möchtest? - Achte besonders auf das Vorzeichen von \(x\) im Term \(T = -x - \dots\), wenn \(x\) selbst negativ ist. - Wandle gemischte Zahlen und Dezimalzahlen am besten in Brüche um, um besser rechnen zu können.

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Einsetzen der Werte führt zu \(T = -\frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\right)\). Berechnung der Klammer mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt \(-\frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\). Der Gesamtwert ist \(T = -\frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = 0\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Umwandeln in Brüche ergibt \(x = -\frac{9}{4}\), \(y = \frac{11}{8}\) und \(z = -\frac{4}{8}\). Einsetzen in den Term: \(T = -\left(-\frac{9}{4}\right) - \left(\frac{11}{8} - \left(-\frac{4}{8}\right)\right)\). Die Klammer ergibt \(\frac{15}{8}\). Mit dem Hauptnenner \(8\) folgt \(T = \frac{18}{8} - \frac{15}{8} = \frac{3}{8}\).

a) \(0\) b) \(\frac{3}{8}\)

- Setze negative Zahlen beim Einsetzen in Potenzen in Klammern. - Berechne bei einem Bruch Zähler und Nenner zunächst getrennt. - Beachte die Reihenfolge Potenzen vor Multiplikation und Addition beziehungsweise Subtraktion.

1. Es gilt \(2\cdot(-3)^2-3\cdot\frac{1}{2}=18-1{,}5=16{,}5\). 2. Es gilt \(\frac{-0{,}4+0{,}6}{-0{,}4-0{,}6}=\frac{0{,}2}{-1}=-0{,}2\). 3. Es gilt \((-2)^3+2\cdot(-2)^2-5=-8+8-5=-5\).

1) \(16{,}5\) 2) \(-0{,}2\) 3) \(-5\)

- Berechne bei der ersten Aufgabe zuerst die Klammer und dann das Quadrat. - Bestimme beim Bruch Zähler und Nenner zunächst getrennt. - Setze negative Zahlen in Potenzen in Klammern und beachte die Rechenreihenfolge.

1. Es gilt \(4(-1{,}5-0{,}5)^2=4\cdot(-2)^2=16\). 2. Zähler und Nenner ergeben \(\frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9}\) und \(-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\). Daher ist der Termwert \(-\frac{8}{9}:\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}\). 3. Es gilt \(0{,}5\cdot2^2\cdot(-3)-2\cdot(-3)^2=-6-18=-24\).

1) \(16\) 2) \(-\frac{4}{3}\) 3) \(-24\)

- Setze \(s\) und \(h\) an die passenden Stellen der Formel ein. - Berechne für den Vergleich beide Wege getrennt. - Vergleiche erst die fertigen Zeitwerte.

1. \(t=\frac{10}{4}+\frac{600}{500}=2{,}5+1{,}2=3{,}7\,\text{h}\). 2. Für Weg A gilt \(t_A=\frac{12}{4}+\frac{400}{500}=3{,}8\,\text{h}\). 3. Für Weg B gilt \(t_B=\frac{8}{4}+\frac{950}{500}=3{,}9\,\text{h}\). 4. Weg A ist nach der vereinfachten Übungsformel um \(0{,}1\,\text{h}\) kürzer.

1) \(3{,}7\,\text{h}\) 2) Weg A: \(3{,}8\,\text{h}\); Weg B: \(3{,}9\,\text{h}\). Weg A ist kürzer.

- Berechne nach dem Einsetzen zuerst die Potenzen. - Setze negative Werte in Klammern, bevor du sie potenzierst. - Potenziere bei Brüchen Zähler und Nenner getrennt.

1. Für \(x=-1\) ergibt sich \(5\cdot(-1)^4-3\cdot(-1)^3+2\cdot(-1)^2-(-1)+4=5+3+2+1+4=15\). 2. Für \(x=-\frac{1}{2}\) ergibt sich \(8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3+4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1=-1+1+1+1=2\).

a) \(15\) b) \(2\)