- Welche Zahl wird im Term mit der Variablen \(b\) multipliziert? - Achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte. - Überlege, was passiert, wenn du eine positive Zahl mit einer negativen Zahl multiplizierst.

1. Einsetzen von \(b = 0\): \(3 \cdot 0 + 14 = 0 + 14 = 14\) 2. Einsetzen von \(b = 4\): \(3 \cdot 4 + 14 = 12 + 14 = 26\) 3. Einsetzen von \(b = 10\): \(3 \cdot 10 + 14 = 30 + 14 = 44\) 4. Einsetzen von \(b = -3\): \(3 \cdot (-3) + 14 = -9 + 14 = 5\)

Für \(b = 0\) ist der Wert \(14\). Für \(b = 4\) ist der Wert \(26\). Für \(b = 10\) ist der Wert \(44\). Für \(b = -3\) ist der Wert \(5\).

- Welche Zahl soll an die Stelle von \(x\) gesetzt werden? - Welche eine Rechenoperation bleibt nach dem Einsetzen übrig?

1. Für \(x\) wird \(3\) eingesetzt: \(4\cdot3\). 2. Der Termwert ist \(12\).

\(12\)

- Setze den gesamten negativen Wert an die Stelle von \(x\). - Wie kannst du durch Klammern deutlich machen, dass das Minus zur eingesetzten Zahl gehört? - Überlege, welches Vorzeichen das Produkt zweier gleicher negativer Zahlen hat.

1. Der negative Wert wird in Klammern eingesetzt: \((-3)^2\). 2. Der Termwert ist \(9\).

\((-3)^2=9\)

- Was bedeutet der Exponent \(-1\) für eine von null verschiedene Zahl? - Schreibe zuerst nur \(3^{-1}\) als Bruch. - Multipliziere danach mit dem Koeffizienten \(6\).

1. Für \(x=3\) gilt \(x^{-1}=3^{-1}=\frac{1}{3}\). 2. Damit ist \(6x^{-1}=6\cdot\frac{1}{3}=2\).

\(2\)

- Prüfe zuerst, was jeweils die Basis der Potenz ist. - Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz. - In welchem der beiden Terme gehört das Minuszeichen zur Basis?

1. In a) gehört das Minuszeichen zur Basis: \((-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac14\). 2. In b) wird nur die \(2\) potenziert: \(-2^{-2}=-\frac{1}{2^2}=-\frac14\). 3. Die Klammer entscheidet also, ob die negative Zahl selbst die Basis der Potenz ist.

a) \(\frac{1}{4}\), weil bei \((-2)^{-2}\) die negative Zahl selbst die Basis ist. b) \(-\frac{1}{4}\), weil bei \(-2^{-2}\) das führende Minuszeichen nicht zur potenzierten Basis \(2\) gehört.

- Hast du schon versucht, den Buchstaben durch die Zahl zu ersetzen? - Erinnere dich an die Vorrangregeln: Was berechnet man zuerst, die Klammer oder die Potenz? - Achte darauf, dass du das gesamte Ergebnis der Klammer quadrierst.

1. Einsetzen von \(x = 5\) in den Term: \(2 \cdot (5)^2 - (5 - 2)^2\) 2. Berechnung des Quadrats der Klammer: \((5 - 2)^2 = 3^2 = 9\) 3. Berechnung des ersten Glieds: \(2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50\) 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(50 - 9 = 41\)

c) 41

- Ersetze \(x\) jeweils durch die angegebene Streckenlänge. - Berechne zuerst den kilometerabhängigen Anteil. - Addiere danach die feste Grundgebühr.

1. Für \(x=5\) gilt \(3{,}50+1{,}80\cdot5=12{,}50\,\text{€}\). 2. Für \(x=12\) gilt \(3{,}50+1{,}80\cdot12=25{,}10\,\text{€}\). 3. Für \(x=0{,}5\) gilt \(3{,}50+1{,}80\cdot0{,}5=4{,}40\,\text{€}\).

a) \(12{,}50\,\text{€}\) b) \(25{,}10\,\text{€}\) c) \(4{,}40\,\text{€}\)

- Setze für jede Obstsorte die passende Masse in den Term ein. - Wird eine Sorte nicht gekauft, ist die zugehörige Variable \(0\). - Berechne die beiden Produkte vor dem Addieren.

1. Für \(a=2\) und \(b=1\) ergibt sich \(2{,}40\cdot2+3{,}10\cdot1=7{,}90\,\text{€}\). 2. Für \(a=1{,}5\) und \(b=0\) ergibt sich \(2{,}40\cdot1{,}5+3{,}10\cdot0=3{,}60\,\text{€}\). 3. Für \(a=0{,}5\) und \(b=2{,}5\) ergibt sich \(2{,}40\cdot0{,}5+3{,}10\cdot2{,}5=8{,}95\,\text{€}\).

a) \(7{,}90\,\text{€}\) b) \(3{,}60\,\text{€}\) c) \(8{,}95\,\text{€}\)

- Setze für \(x\) jeweils den Wert aus der betreffenden Spalte ein. - Berechne zuerst das Produkt mit \(7\) und ziehe danach \(5\) ab. - Vergleiche deine Ergebnisse mit den bereits ausgefüllten Spalten, um das Rechenmuster zu prüfen.

1. Für \(x=1\) gilt \(7\cdot1-5=2\). 2. Für \(x=5\) gilt \(7\cdot5-5=30\). 3. Für \(x=20\) gilt \(7\cdot20-5=135\).

Die fehlenden Termwerte sind \(2\), \(30\) und \(135\).

- Verwende für jeden vorgegebenen \(x\)-Wert dieselbe Tabellenspalte für beide Terme. - Setze den jeweiligen Wert einmal in \(2x+10\) und einmal in \(4x\) ein. - Suche anschließend nach einer Spalte, in der beide Termwerte übereinstimmen.

1. Für Term A ergeben sich zu \(x=3,4,5,6,7\) die Werte \(16,18,20,22,24\). 2. Für Term B ergeben sich zu \(x=3,4,5,6,7\) die Werte \(12,16,20,24,28\). 3. In der Spalte zu \(x=5\) haben beide Terme den Wert \(20\).

a) <table> <tr><th>\(x\)</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th></tr> <tr><th>Term A</th><td>16</td><td>18</td><td>20</td><td>22</td><td>24</td></tr> <tr><th>Term B</th><td>12</td><td>16</td><td>20</td><td>24</td><td>28</td></tr> </table> b) Für \(x=5\) haben beide Terme den Wert \(20\).

- Setze \(-0{,}75\) in beide Terme ein. - Berechne bei Term A zuerst den Inhalt der Klammer. - Achte bei Term B auf das Vorzeichen des Produkts aus einer negativen Zahl und \(-0{,}75\).

1. Für Term A gilt \(4(-0{,}75+1{,}5)=4\cdot0{,}75=3\). 2. Für Term B gilt \(2-6\cdot(-0{,}75)=2+4{,}5=6{,}5\). 3. Wegen \(6{,}5>3\) ist der Wert von Term B größer.

Term A hat den Wert \(3\), Term B den Wert \(6{,}5\). Der Wert von Term B ist größer.

- Setze den jeweiligen Wert für \(x\) in den gegebenen Term ein. - Kürze Produkte aus Brüchen möglichst vor dem Multiplizieren. - Bringe die beiden Summanden vor der Subtraktion auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Für \(x=3\) gilt \(\frac{2}{3}\cdot3-\frac{1}{2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\). 2. Für \(x=\frac{3}{4}\) gilt \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0\). 3. Für \(x=6\) gilt \(\frac{2}{3}\cdot6-\frac{1}{2}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\). 4. Für \(x=\frac{1}{4}\) gilt \(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{1}{3}\).

a) \(\frac{3}{2}\) b) \(0\) c) \(\frac{7}{2}\) d) \(-\frac{1}{3}\)

- Ersetze \(x\) jeweils durch den vorgegebenen Wert. - Schreibe einen negativen eingesetzten Wert zunächst in Klammern. - Für d) kannst du \(\frac{1}{2}\) als \(0{,}5\) schreiben.

1. Für \(x=8{,}9\) gilt \(-15{,}4+8{,}9=-6{,}5\). 2. Für \(x=-3{,}7\) gilt \(-15{,}4+(-3{,}7)=-19{,}1\). 3. Für \(x=15{,}4\) gilt \(-15{,}4+15{,}4=0\). 4. Für \(x=\frac{1}{2}\) gilt \(-15{,}4+0{,}5=-14{,}9\).

a) \(-6{,}5\) b) \(-19{,}1\) c) \(0\) d) \(-14{,}9\)

- Ersetze den Buchstaben im Term durch die angegebene Zahl und berechne dann das Ergebnis. - Achte beim Einsetzen besonders auf die Vorzeichen, wenn die Zahl selbst negativ ist. - Welche Zahl liegt auf dem Zahlenstrahl weiter rechts?

1. Einsetzen von \( x = 2{,}1 \) in Term \( A \): \( 2{,}1 - 5{,}4 = -3{,}3 \). 2. Einsetzen von \( y = -1{,}8 \) in Term \( B \): \( -3{,}2 - (-1{,}8) \). 3. Vereinfachung und Berechnung von Term \( B \): \( -3{,}2 + 1{,}8 = -1{,}4 \). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \( -1{,}4 > -3{,}3 \), ist der Wert von Term \( B \) größer.

Der Wert von Term \( A \) ist \( -3{,}3 \). Der Wert von Term \( B \) ist \( -1{,}4 \). Somit ist der Wert von Term \( B \) größer.

- Setze für \(a\) und \(b\) die Werte aus der jeweiligen Zeile und Spalte ein. - Beim Subtrahieren einer negativen Zahl wird daraus eine Addition. - Bringe Brüche vor dem Addieren oder Subtrahieren auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Für \(a=-\frac{1}{2}\) und \(b=-\frac{2}{3}\) gilt \(-\frac{1}{2}-(-\frac{2}{3})=\frac{1}{6}\). 2. Für \(a=-\frac{1}{2}\) und \(b=\frac{5}{6}\) gilt \(-\frac{1}{2}-\frac{5}{6}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}\). 3. Für \(a=\frac{3}{4}\) und \(b=-\frac{2}{3}\) gilt \(\frac{3}{4}-(-\frac{2}{3})=\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}\). 4. Für \(a=\frac{3}{4}\) und \(b=\frac{5}{6}\) gilt \(\frac{3}{4}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{12}\).

<table> <tr><td>\(a-b\)</td><td>\(b=-\frac{2}{3}\)</td><td>\(b=\frac{5}{6}\)</td></tr> <tr><td>\(a=-\frac{1}{2}\)</td><td>\(\frac{1}{6}\)</td><td>\(-1\frac{1}{3}\)</td></tr> <tr><td>\(a=\frac{3}{4}\)</td><td>\(1\frac{5}{12}\)</td><td>\(-\frac{1}{12}\)</td></tr> </table>

- Erinnere dich daran, wie man mit negativen Zahlen rechnet. - Was bewirkt ein Betragsstrich bei einer negativen Zahl? - Achte bei Teilaufgabe c) auf das Vorzeichen des Produkts. - Überlege dir bei d), was „hoch 2“ für die Rechnung bedeutet.

1. Einsetzen von \(a = -1{,}2\) und \(b = 0{,}5\) in den ersten Term: \(-1{,}2 + 0{,}5 = -0{,}7\). 2. Einsetzen in den zweiten Term: \(-1{,}2 - 0{,}5 = -1{,}7\). 3. Berechnung des Produkts: \(2 \cdot (-1{,}2) \cdot 0{,}5 = -1{,}2\). 4. Quadrieren von \(b\): \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). 5. Berechnung mit dem Betrag von \(a\): \(|-1{,}2| - 0{,}5 = 1{,}2 - 0{,}5 = 0{,}7\).

a) \(-0{,}7\) b) \(-1{,}7\) c) \(-1{,}2\) d) \(0{,}25\) e) \(0{,}7\)

- Bestimme bei Produkten zunächst die Vorzeichen der einzelnen Faktoren. - Beim Subtrahieren einer negativen Zahl ändert sich das Rechenzeichen. - In d) wird zuerst \(x\) quadriert; überlege danach, welches Vorzeichen die Multiplikation mit \(y\) erhält.

1. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv: \((-5)\cdot(-2)=10\). 2. Die Summe zweier negativer Zahlen ist negativ: \(-5+(-2)=-7\). 3. Es gilt \(-2-(-5)=3\), also ist der Wert positiv. 4. \(x^2\) ist positiv, weil \((-5)^2=25\). Multiplikation mit \(y=-2\) ergibt \(25\cdot(-2)=-50\); der Wert ist negativ.

a) positiv; \(10\) b) negativ; \(-7\) c) positiv; \(3\) d) negativ; \(-50\)

- Setze den jeweiligen Wert für \(a\) in den Term ein. - Führe die Division vor der Subtraktion aus. - Achte bei b) darauf, welches Vorzeichen der Quotient aus einer negativen und einer positiven Zahl hat.

1. Für \(a=\frac{1}{8}\) gilt \(\frac{3}{4}-\frac{1}{8}:\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\). 2. Für \(a=-1{,}5\) gilt \(\frac{3}{4}-(-1{,}5):\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-(-3)=\frac{15}{4}=3{,}75\).

a) \(\frac{1}{2}\) b) \(\frac{15}{4}=3{,}75\)

- Setze \(\frac{3}{4}\) an jeder Stelle für \(x\) ein. - Berechne den Klammerinhalt, bevor du ihn mit \(4\) multiplizierst. - Führe die beiden Termteile erst am Ende durch die Subtraktion zusammen.

1. Einsetzen liefert \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}-(\frac{3}{4}+\frac{1}{2})\cdot4\). 2. Der erste Termteil ist \(\frac{1}{2}\). 3. In der Klammer steht \(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5}{4}\), also ergibt das Produkt \(5\). 4. Damit ist der Termwert \(\frac{1}{2}-5=-\frac{9}{2}\).

\(-\frac{9}{2}\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl einsetzt. - Erinnere dich daran, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist. - Halte die Rechenregel „Punkt vor Strich“ ein. - Bei Dezimalzahlen hilft es, sich die Rechnung wie mit Geld vorzustellen.

1. Für \(x = 8\): - \(2 \cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11\) - \(8^2 + 10 = 64 + 10 = 74\) - \(12 - 3 \cdot 8 = 12 - 24 = -12\) 2. Für \(x = -4\): - \(2 \cdot (-4) - 5 = -8 - 5 = -13\) - \((-4)^2 + 10 = 16 + 10 = 26\) - \(12 - 3 \cdot (-4) = 12 + 12 = 24\) 3. Für \(x = 0{,}5\): - \(2 \cdot 0{,}5 - 5 = 1 - 5 = -4\) - \(0{,}5^2 + 10 = 0{,}25 + 10 = 10{,}25\) - \(12 - 3 \cdot 0{,}5 = 12 - 1{,}5 = 10{,}5\)

Die ausgefüllte Tabelle lautet: <table> <thead> <tr> <th>\(x\)</th> <th>\(2x - 5\)</th> <th>\(x^2 + 10\)</th> <th>\(12 - 3x\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>\(8\)</td> <td>\(11\)</td> <td>\(74\)</td> <td>\(-12\)</td> </tr> <tr> <td>\(-4\)</td> <td>\(-13\)</td> <td>\(26\)</td> <td>\(24\)</td> </tr> <tr> <td>\(0{,}5\)</td> <td>\(-4\)</td> <td>\(10{,}25\)</td> <td>\(10{,}5\)</td> </tr> </tbody> </table>

- Was bedeutet es, eine Zahl für eine Variable einzusetzen? - Achte auf die Rechenregel „Punkt vor Strich“. - Was bewirkt die Klammer in Aufgabenteil b? - Überlege dir zuerst, welche Rechenoperationen nacheinander ausgeführt werden müssen.

1. Einsetzen der Werte für \(z\) in die Terme. 2. Term a): Für \(z = 4\) ergibt sich \(5 \cdot 4 - 9 = 11\). Für \(z = 7\) ergibt sich \(5 \cdot 7 - 9 = 26\). 3. Term b): Für \(z = 4\) ergibt sich \(4 \cdot (4 + 2) = 24\). Für \(z = 7\) ergibt sich \(7 \cdot (7 + 2) = 63\). 4. Term c): Für \(z = 4\) ergibt sich \(30 - 3 \cdot 4 = 18\). Für \(z = 7\) ergibt sich \(30 - 3 \cdot 7 = 9\).

a) Für \(z = 4\) ist der Wert 11. Für \(z = 7\) ist der Wert 26. b) Für \(z = 4\) ist der Wert 24. Für \(z = 7\) ist der Wert 63. c) Für \(z = 4\) ist der Wert 18. Für \(z = 7\) ist der Wert 9.

- Kannst du die Dezimalzahl \(1{,}5\) als Bruch schreiben, falls dir das Rechnen damit leichter fällt? - Achte besonders bei Aufgabenteil b auf die Multiplikation der Dezimalzahl mit sich selbst. - Welche Rechenregel musst du bei Aufgabenteil c zuerst beachten?

1. Einsetzen der Dezimalzahl \(1{,}5\) und der ganzen Zahl \(4\) in die Terme. 2. Term a): \(8 \cdot 1{,}5 + 2 = 12 + 2 = 14\) und \(8 \cdot 4 + 2 = 34\). 3. Term b): \(1{,}5 \cdot 1{,}5 + 10 = 2{,}25 + 10 = 12{,}25\) und \(4 \cdot 4 + 10 = 26\). 4. Term c): \(2 \cdot (10 - 1{,}5) = 2 \cdot 8{,}5 = 17\) und \(2 \cdot (10 - 4) = 12\).

a) Für \(b = 1{,}5\) ist der Wert 14. Für \(b = 4\) ist der Wert 34. b) Für \(b = 1{,}5\) ist der Wert \(12{,}25\). Für \(b = 4\) ist der Wert 26. c) Für \(b = 1{,}5\) ist der Wert 17. Für \(b = 4\) ist der Wert 12.

- Ersetze jeden Buchstaben durch den vorgegebenen Zahlenwert. - In b) ist der Divisor die feste Zahl \(2\). - Berechne in c) zuerst beide Klammern und danach ihr Produkt.

1. In a) ergibt sich \(6\cdot2+6=18\). 2. In b) gilt \(\frac{6}{2}+5\cdot2=3+10=13\). 3. In c) gilt \((6-2)(6+2)=4\cdot8=32\).

a) \(18\) b) \(13\) c) \(32\)

- Setze den jeweiligen Wert für \(a\) in den Term ein. - Berechne die Multiplikation mit \(4\) vor der Subtraktion. - Schreibe bei d) den negativen eingesetzten Wert in Klammern.

1. Für \(a=0\) gilt \(25-4\cdot0=25\). 2. Für \(a=5\) gilt \(25-4\cdot5=5\). 3. Für \(a=7\) gilt \(25-4\cdot7=-3\). 4. Für \(a=-2\) gilt \(25-4\cdot(-2)=33\).

a) \(25\) b) \(5\) c) \(-3\) d) \(33\)

- Setze beide Werte jeweils an der passenden Variablenstelle ein. - Schreibe negative eingesetzte Zahlen in Klammern. - Prüfe besonders das Vorzeichen des Termteils \(-3y\).

1. Für \(x=5\) und \(y=2\) gilt \(2\cdot5-3\cdot2=4\). 2. Für \(x=3\) und \(y=-1\) gilt \(2\cdot3-3\cdot(-1)=9\). 3. Für \(x=-2\) und \(y=-4\) gilt \(2\cdot(-2)-3\cdot(-4)=8\).

a) \(4\) b) \(9\) c) \(8\)

- Was bedeutet die kleine Hochzahl 2 bei der Kantenlänge? - Überlege dir, welche Rechenoperation zuerst ausgeführt wird: Potenzieren oder Multiplizieren? - Achte darauf, die richtige Einheit für die Oberfläche am Ende deiner Rechnung anzugeben.

1. Einsetzen von \(a = 3\,\text{cm}\) in die Formel: \(6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54\). Die Oberfläche beträgt \(54\,\text{cm}^2\). 2. Einsetzen von \(a = 0{,}5\,\text{m}\): \(6 \cdot 0{,}5^2 = 6 \cdot 0{,}25 = 1{,}5\). Die Oberfläche beträgt \(1{,}5\,\text{m}^2\). 3. Einsetzen von \(a = 1{,}2\,\text{dm}\): \(6 \cdot 1{,}2^2 = 6 \cdot 1{,}44 = 8{,}64\). Die Oberfläche beträgt \(8{,}64\,\text{dm}^2\).

a) \(54\,\text{cm}^2\) b) \(1{,}5\,\text{m}^2\) c) \(8{,}64\,\text{dm}^2\)

- Ersetze \(x\) und \(y\) jeweils durch die angegebenen Zahlen. - Berechne zuerst die Potenz \(x^2\). - Führe anschließend die beiden Produkte aus und addiere sie.

1. Für \(x=4\) und \(y=5\) gilt \(3\cdot4^2+2\cdot5=58\). 2. Für \(x=2\) und \(y=12\) gilt \(3\cdot2^2+2\cdot12=36\). 3. Für \(x=0{,}5\) und \(y=2\) gilt \(3\cdot0{,}5^2+2\cdot2=4{,}75\).

a) \(58\) b) \(36\) c) \(4{,}75\)

- Setze dieselbe Gesprächszeit in beide Kostenterme ein. - Vergleiche in b) die beiden berechneten Preise. - Suche in c) die Minutenanzahl, bei der \(0{,}20m\) genau \(5\) ergibt.

1. Für \(m=50\) gilt \(K_F=5+0{,}12\cdot50=11\,\text{€}\) und \(K_M=0{,}20\cdot50=10\,\text{€}\). 2. Für \(m=100\) gilt \(K_F=17\,\text{€}\) und \(K_M=20\,\text{€}\). Funkstern ist günstiger. 3. Gesucht ist ein Wert \(m\), für den \(0{,}20m=5\). Durch Rückwärtsrechnen ergibt sich \(m=25\).

a) Funkstern: \(11{,}00\,\text{€}\); MinutenMobil: \(10{,}00\,\text{€}\) b) Funkstern mit \(17{,}00\,\text{€}\) c) \(25\) Minuten

- Ersetze den Buchstaben in jedem Term durch die angegebene Zahl. - Berechne das Ergebnis für jeden Term einzeln nacheinander. - Denk an die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Bei Termen mit Klammern musst du zuerst den Inhalt der Klammer berechnen.

1. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (1): \(4 \cdot 4 - 5 = 16 - 5 = 11\). Das Ergebnis ist korrekt. 2. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (2): \(4^2 + 3 = 16 + 3 = 19\). Das Ergebnis ist ungleich \(11\). 3. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (3): \(15 - 4 = 11\). Das Ergebnis ist korrekt. 4. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (4): \(2 \cdot (4 + 1) = 2 \cdot 5 = 10\). Das Ergebnis ist ungleich \(11\). Die Terme (1) und (3) erfüllen die Bedingung.

Die Terme (1) und (3) ergeben den Wert \(11\).

- Berechne erst das Ergebnis für den ersten Term und notiere es dir. - Berechne dann das Ergebnis für den zweiten Term. - Was genau ist mit dem Begriff „Differenz“ gemeint? - Subtrahiere abschließend den Wert von \(T_2\) vom Wert von \(T_1\).

1. Berechnung von \(T_1\) für \(x = 2\): \(12 - 2 \cdot 2 = 12 - 4 = 8\). 2. Berechnung von \(T_2\) für \(x = 2\): \(\frac{2 + 10}{3} = \frac{12}{3} = 4\). 3. Berechnung der Differenz \(T_1 - T_2\): \(8 - 4 = 4\).

Die Differenz \(T_1 - T_2\) ist \(4\).

- Setze den jeweiligen Wert für \(x\) in beide Terme ein. - Für b) reicht ein direkter Vergleich der beiden berechneten Werte. - Achte bei Term A darauf, die Multiplikation vor der Subtraktion auszuführen.

1. Für \(x=3\) gilt für Term A \(24-4\cdot3=12\) und für Term B \(2\cdot3+6=12\). 2. Für \(x=5\) hat Term A den Wert \(4\), Term B den Wert \(16\). Emils Aussage ist falsch. 3. Für \(x=10\) hat Term A den Wert \(24-40=-16\).

a) Beide Termwerte sind \(12\). b) Falsch; die Termwerte sind \(4\) und \(16\). c) \(-16\)

- Setze den jeweiligen Wert vollständig für \(x\) ein. - Schreibe einen negativen eingesetzten Wert beim Quadrieren in Klammern. - Beachte die Reihenfolge: Potenz vor Multiplikation vor Addition und Subtraktion.

1. Für \(x=-3\) gilt \((-3)^2-3\cdot(-3)+1=19\). 2. Für \(x=0{,}5\) gilt \(0{,}5^2-3\cdot0{,}5+1=-0{,}25\). 3. Für \(x=2\) gilt \(2^2-3\cdot2+1=-1\).

Für \(x=-3\): \(19\) Für \(x=0{,}5\): \(-0{,}25\) Für \(x=2\): \(-1\)

- Setze den angegebenen Wert jeweils für \(x\) ein. - Schreibe bei b) den negativen Wert in Klammern. - Bei c) kannst du den Bruch vor der Multiplikation mit \(-4\) kürzen.

1. Für \(x=3\) gilt \(-4\cdot3+\frac{1}{2}=-11{,}5\). 2. Für \(x=-1{,}5\) gilt \(-4\cdot(-1{,}5)+\frac{1}{2}=6{,}5\). 3. Für \(x=\frac{3}{8}\) gilt \(-4\cdot\frac{3}{8}+\frac{1}{2}=-1\).

a) \(-11{,}5\) b) \(6{,}5\) c) \(-1\)

- Berechne für jeden Tabellenwert zuerst beide Termwerte vollständig. - Denke daran, dass auch bei negativem \(y\) das Quadrat \(y^2\) nicht negativ ist. - Vergleiche anschließend die beiden Zahlen in jeder Tabellenzeile.

1. Für \(y=-4\) sind die Termwerte \(-5\) und \(12\). 2. Für \(y=-2\) sind die Termwerte \(-4\) und \(0\). 3. Für \(y=0\) sind die Termwerte \(-3\) und \(-4\). 4. Für \(y=2\) sind die Termwerte \(-2\) und \(0\). 5. Für \(y=4\) sind die Termwerte \(-1\) und \(12\). 6. Nur für \(y=0\) ist der Wert von Term A größer.

<table> <tr><th>\(y\)</th><th>Term A</th><th>Term B</th></tr> <tr><td>\(-4\)</td><td>\(-5\)</td><td>\(12\)</td></tr> <tr><td>\(-2\)</td><td>\(-4\)</td><td>\(0\)</td></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(-3\)</td><td>\(-4\)</td></tr> <tr><td>\(2\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td></tr> <tr><td>\(4\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(12\)</td></tr> </table> Nur für \(y=0\) ist der Wert von Term A größer als der von Term B.

- Ersetze jeden Buchstaben sorgfältig durch den zugehörigen Wert. - Berechne zuerst die Potenz und die beiden Produkte. - Fasse erst danach die drei Termteile durch Subtraktion und Addition zusammen.

1. Einsetzen ergibt \(4\cdot2{,}5\cdot6-5\cdot3^2+12\). 2. Der erste Termteil ist \(60\), der zweite \(45\). 3. Damit ist der Termwert \(60-45+12=27\).

Der Termwert ist \(27\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Achte beim Einsetzen darauf, Klammern um negative Zahlen zu setzen. - Überlege dir die Reihenfolge der Rechenoperationen: Was wird zuerst berechnet, die Potenz oder die Multiplikation?

1. Einsetzen von \(x = -3\) in \(3x + 10\): \(3 \cdot (-3) + 10 = -9 + 10 = 1\). 2. Einsetzen von \(x = -3\) in \(x^2 - 5\): \((-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4\). 3. Einsetzen von \(x = -3\) in \(2x^2 + x\): \(2 \cdot (-3)^2 + (-3) = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15\). 4. Einsetzen von \(x = -3\) in \(\frac{1}{3}x^3\): \(\frac{1}{3} \cdot (-3)^3 = \frac{1}{3} \cdot (-27) = -9\).

a) \(1\) b) \(4\) c) \(15\) d) \(-9\)

- Berechne zuerst jeden Term einzeln für den angegebenen Wert. - Erinnere dich an die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Um den Unterschied zu finden, kannst du das kleinere vom größeren Ergebnis subtrahieren.

1. Berechnung für \(y = 3\): \(T_1 = 5 \cdot 3 - 15 = 0\); \(T_2 = 3^2 - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0\). 2. Berechnung für \(y = 6\): \(T_1 = 5 \cdot 6 - 15 = 15\); \(T_2 = 6^2 - 3 \cdot 6 = 36 - 18 = 18\). 3. Vergleich für \(y = 6\): \(T_2\) ist größer als \(T_1\). Die Differenz beträgt \(18 - 15 = 3\).

a) \(T_1 = 0\) und \(T_2 = 0\) b) \(T_1 = 15\) und \(T_2 = 18\) c) \(T_2\) ist um \(3\) größer als \(T_1\).

- Ordne jedem Buchstaben zuerst seine gegebene Zahl zu. - Berechne in \(B+np\) das Produkt \(np\) vor der Addition. - Prüfe abschließend, ob die Einheit Euro zum Ergebnis passt.

1. \(G=450+25\cdot120=3450\,\text{€}\). 2. \(G=520+22\cdot145=3710\,\text{€}\). 3. \(G=380+28\cdot95=3040\,\text{€}\).

1) \(3450\,\text{€}\) 2) \(3710\,\text{€}\) 3) \(3040\,\text{€}\)

- Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine negative Zahl für eine Variable einsetzt? - Erinnere dich an die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Klammere negative Zahlen beim Einsetzen am besten ein, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Einsetzen der Werte \(a = 8\) und \(b = 12\): \(T = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 12\). Multiplikationen: \(40 - 24\). Subtraktion: \(16\). 2. Einsetzen der Werte \(a = -4\) und \(b = 5\): \(T = 5 \cdot (-4) - 2 \cdot 5\). Multiplikationen: \(-20 - 10\). Subtraktion: \(-30\). 3. Einsetzen der Werte \(a = 2{,}5\) und \(b = -3\): \(T = 5 \cdot 2{,}5 - 2 \cdot (-3)\). Multiplikationen: \(12{,}5 - (-6)\). Umwandeln der Subtraktion einer negativen Zahl in eine Addition: \(12{,}5 + 6 = 18{,}5\).

1) \(16\) 2) \(-30\) 3) \(18{,}5\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl für eine Variable einsetzt, vor der bereits ein Minuszeichen steht? - Gibt es eine Regel für das Auflösen von Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht? - Überlege dir, in welcher Reihenfolge die Rechenoperationen durchgeführt werden müssen.

1. Einsetzen der Werte für Belegung 1: \(A = 10 - (-4) + 2 = 14 + 2 = 16\). Für \(B\) ergibt sich durch die Klammerrechnung \(B = 10 - ((-4) + 2) = 10 - (-2) = 12\). Vergleich: \(A > B\), denn \(16 > 12\). 2. Einsetzen der Werte für Belegung 2: \(A = -3{,}5 - 1{,}5 + (-5) = -5{,}0 - 5 = -10\). Für \(B\) ergibt sich \(B = -3{,}5 - (1{,}5 + (-5)) = -3{,}5 - (-3{,}5) = 0\). Vergleich: \(A < B\), denn \(-10 < 0\).

1. \(A = 16\), \(B = 12\); somit gilt \(A > B\). 2. \(A = -10\), \(B = 0\); somit gilt \(A < B\).

- Was bedeutet das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Termen? - Setze die Zahlen nacheinander für die Buchstaben ein. - Achte beim Berechnen der rechten Seite besonders auf die Vorzeichen und die Rechenregeln (Punkt-vor-Strich-Rechnung). - Vergleiche am Ende, ob bei beiden Seiten derselbe Zahlenwert herauskommt.

1. Berechnung für Fall 1 (\(x=6, y=5\)): Linke Seite \((6+4) \cdot (5-3) = 10 \cdot 2 = 20\). Rechte Seite \(6 \cdot 5 - 3 \cdot 6 + 4 \cdot 5 - 12 = 30 - 18 + 20 - 12 = 20\). Die Ergebnisse sind identisch. 2. Berechnung für Fall 2 (\(x=2, y=3\)): Linke Seite \((2+4) \cdot (3-3) = 6 \cdot 0 = 0\). Rechte Seite \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 12 = 6 - 6 + 12 - 12 = 0\). Die Ergebnisse sind identisch. 3. Berechnung für Fall 3 (\(x=0, y=10\)): Linke Seite \((0+4) \cdot (10-3) = 4 \cdot 7 = 28\). Rechte Seite \(0 \cdot 10 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 10 - 12 = 40 - 12 = 28\). Die Ergebnisse sind identisch.

Die Gleichung ist für alle drei Fälle gültig, da die Berechnungen der linken und rechten Seite jeweils denselben Wert ergeben (Fall 1: \(20\), Fall 2: \(0\), Fall 3: \(28\)).

- Berechne zuerst den Inhalt der Klammern, bevor du multiplizierst. - Erinnere dich daran, was eine Quadratzahl wie \(a^2\) bedeutet. - Gehe bei Dezimalzahlen besonders sorgfältig vor. - Was passiert in der Klammer, wenn beide Zahlen gleich groß sind?

1. Berechnung für Teil a: Linke Seite \((7+3) \cdot (7-3) = 10 \cdot 4 = 40\). Rechte Seite \(7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40\). Gleichheit gilt. 2. Berechnung für Teil b: Linke Seite \((1{,}5+0{,}5) \cdot (1{,}5-0{,}5) = 2 \cdot 1 = 2\). Rechte Seite \(1{,}5^2 - 0{,}5^2 = 2{,}25 - 0{,}25 = 2\). Gleichheit gilt. 3. Berechnung für Teil c: Linke Seite \((12+12) \cdot (12-12) = 24 \cdot 0 = 0\). Rechte Seite \(12^2 - 12^2 = 144 - 144 = 0\). Gleichheit gilt.

In allen drei Fällen ist die Gleichung korrekt: a) \(40 = 40\) b) \(2 = 2\) c) \(0 = 0\)

- Setze die beiden Prozentwerte an den richtigen Stellen in den Term ein. - Berechne den Zähler vollständig, bevor du durch \(5\) teilst. - Der Nenner ist hier fest, weil die Gesamtmenge immer \(5\,\text{L}\) beträgt.

1. Einsetzen ergibt \(G=\frac{3\cdot100+2\cdot40}{5}\). 2. Der Zähler ist \(300+80=380\). 3. Daher gilt \(G=380:5=76\).

\(76\,\%\)

- Ordne jeder Geschwindigkeit die passende feste Zeitspanne zu. - Berechne zuerst den Zähler des Terms. - Der Nenner \(2\) ist hier die fest vorgegebene Gesamtfahrzeit.

1. Einsetzen ergibt \(v_{\text{ges}}=\frac{1{,}5\cdot22+0{,}5\cdot14}{2}\). 2. Im Zähler entstehen \(33+7=40\). 3. Daher ist \(v_{\text{ges}}=40:2=20\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\).

\(20\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\)

- Setze für \(s\) jeweils die gegebene Strecke ein. - Berechne zuerst den kilometerabhängigen Anteil. - Addiere danach die feste Tagesgebühr.

1. Für \(s=80\) gilt \(K=42+0{,}15\cdot80=54\,\text{€}\). 2. Für \(s=240\) gilt \(K=42+0{,}15\cdot240=78\,\text{€}\).

1) \(54\,\text{€}\) 2) \(78\,\text{€}\)

- Ersetze jeden Buchstaben im Term durch die Zahl, die für ihn vorgegeben ist. - Denk an die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Berechne zuerst die Ausdrücke innerhalb der Klammern. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse der einzelnen Rechenschritte auf.

1. Einsetzen von \( x = 5 \) in den ersten Term: \( 4 \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 + 12 \). Berechnung der Potenz: \( 4 \cdot 25 - 15 + 12 \). Nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \( 100 - 15 + 12 = 97 \). 2. Einsetzen von \( a = 3 \) in den zweiten Term: \( 2 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3 - 8 \). Berechnung der Potenz: \( 2 \cdot 27 + 15 - 8 \). Punktrechnung: \( 54 + 15 - 8 \). Endergebnis: \( 61 \). 3. Einsetzen von \( y = 6 \) in den dritten Term: \( (6 + 4) \cdot (2 \cdot 6 - 1) \). Berechnung der Klammern: \( 10 \cdot (12 - 1) = 10 \cdot 11 \). Endergebnis: \( 110 \).

a) \( 97 \) b) \( 61 \) c) \( 110 \)

- Setze den jeweiligen Wert für \(n\) an jeder Stelle des Terms ein. - Berechne zuerst \(n^3\), danach die Multiplikationen. - Bei c) gilt \(0{,}5^3=0{,}125\); führe die Addition erst am Ende aus.

1. Für \(n=10\) gilt \(6\cdot10^3+4\cdot10+7=6047\). 2. Für \(n=2\) gilt \(6\cdot2^3+4\cdot2+7=63\). 3. Für \(n=0{,}5\) gilt \(6\cdot0{,}5^3+4\cdot0{,}5+7=9{,}75\).

a) \(6047\) b) \(63\) c) \(9{,}75\)

- Was bedeutet die Zahl ohne Variable in den Termen für die Kosten, wenn man gar nicht telefoniert? - Setze die Werte für \(m\) nacheinander in beide Formeln ein. - Vergleiche die Ergebnisse in jeder Spalte der Tabelle. Welcher Wert ist kleiner?

1. Berechnung der Werte für Tarif A durch Einsetzen von \(m\): - \(m = 0 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 0 = 10{,}00\,\text{€}\) - \(m = 50 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 50 = 12{,}50\,\text{€}\) - \(m = 100 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 100 = 15{,}00\,\text{€}\) - \(m = 150 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 150 = 17{,}50\,\text{€}\) 2. Berechnung der Werte für Tarif B durch Einsetzen von \(m\): - \(m = 0 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 0 = 5{,}00\,\text{€}\) - \(m = 50 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 50 = 10{,}00\,\text{€}\) - \(m = 100 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 100 = 15{,}00\,\text{€}\) - \(m = 150 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 150 = 20{,}00\,\text{€}\) 3. Vergleich der Tarife: - Bei \(100\) Minuten kosten beide Tarife gleich viel (\(15{,}00\,\text{€}\)). - Bei \(150\) Minuten ist Tarif A (\(17{,}50\,\text{€}\)) günstiger als Tarif B (\(20{,}00\,\text{€}\)).

a) Tabelle: Tarif A: \(10{,}00\); \(12{,}50\); \(15{,}00\); \(17{,}50\) Tarif B: \(5{,}00\); \(10{,}00\); \(15{,}00\); \(20{,}00\) b) Unter den berechneten Minutenanzahlen ist Tarif A bei \(150\) Minuten günstiger, da \(17{,}50\,\text{€} < 20{,}00\,\text{€}\). Bei \(100\) Minuten sind beide Tarife gleich teuer.

- Vergleiche zuerst die Anzahl der benötigten Termwerte in beiden Fällen. - In welchem Fall wiederholt sich dieselbe Rechenregel besonders oft? - Welchen Vorteil bietet ein Werkzeug, das eine Formel auf viele Tabellenzeilen übertragen kann?

1. In Fall A sind nur zwei Einsetzungen nötig; diese lassen sich schnell direkt berechnen. 2. In Fall B müssen sehr viele Werte nach derselben Rechenregel erzeugt werden. 3. Eine Tabellenkalkulation ist deshalb in Fall B sinnvoll, weil die Formel einmal eingegeben und anschließend für viele Zeilen übernommen werden kann.

Fall B. Bei sehr vielen gleichartigen Einsetzungen spart eine Tabellenkalkulation wiederholte Handarbeit; für zwei Werte in Fall A ist sie nicht nötig.

- Die Formel in B2 soll den Inhalt von A2 verwenden, nicht die Zahl \(0\) fest eintragen. - Überlege, welcher relative Zellbezug beim Kopieren eine Zeile nach unten mitwandert. - Die mathematische Rechenregel bleibt in jeder Zeile gleich; nur die verwendete Tabellenzeile ändert sich.

1. In B2 wird die Rechenregel mit dem Zellbezug A2 umgesetzt: „=3*A2+1“. 2. Beim Herunterkopieren wird der relative Zellbezug angepasst: B3 verwendet A3, B4 verwendet A4 und B5 verwendet A5. 3. Für die Werte \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) entstehen die Termwerte \(1\), \(4\), \(7\), \(10\). 4. Bei vielen Eingabewerten muss die Rechenregel nur einmal als Formel erfasst werden; die Tabellenkalkulation übernimmt die angepassten Berechnungen für die weiteren Zeilen.

a) „=3*A2+1“ b) B3 bezieht sich auf A3, B4 auf A4 und B5 auf A5. c) \(1;\ 4;\ 7;\ 10\) d) Die Formel wird einmal eingegeben und kann mit angepassten relativen Zellbezügen auf viele Zeilen übertragen werden.

- Schreibe \(x^{-2}\) als \(\frac{1}{x^2}\). - Berechne zuerst \(x^2\) und danach den ganzen Term. - Vergleiche in der fertigen Tabelle die Spalten zu \(x\) und \(-x\).

1. Für \(x=-2\) ist \(x^{-2}=\frac{1}{4}\). Der Termwert ist daher \(-\frac{1}{2}\). 2. Für \(x=-1\) ist \(x^{-2}=1\). Der Termwert ist \(1\). 3. Für \(x=1\) ist der Termwert ebenfalls \(1\). 4. Für \(x=2\) ist der Termwert ebenfalls \(-\frac{1}{2}\). 5. Es gilt \(x^{-2}=\frac{1}{x^2}\). Da \(x^2=(-x)^2\), liefern entgegengesetzte Werte von \(x\) denselben Termwert.

<table><tr><th>\(x\)</th><th>\(-2\)</th><th>\(-1\)</th><th>\(1\)</th><th>\(2\)</th></tr><tr><th>Termwert</th><td>\(-\frac{1}{2}\)</td><td>\(1\)</td><td>\(1\)</td><td>\(-\frac{1}{2}\)</td></tr></table> Für entgegengesetzte Werte von \(x\) sind die Termwerte gleich.

- Schreibe den negativen Exponenten als Kehrwert. - Du musst keine Gleichung lösen; berechne die vier möglichen Termwerte. - Ordne die vier Ergebnisse im Vergleich zur Zahl \(3\) ein.

1. Es gilt \(12x^{-1}=\frac{12}{x}\). 2. Für \(x=2,4,6,12\) ergeben sich die Werte \(6,3,2,1\). 3. Daher ist der Term nur für \(x=4\) gleich \(3\). 4. Für \(x=2\) ist er größer als \(3\); für \(x=6\) und \(x=12\) ist er kleiner.

a) \(x=4\) b) Größer als \(3\): \(x=2\). Kleiner als \(3\): \(x=6\) und \(x=12\).

- Schreibe \(x^{-1}\) vor dem Einsetzen als Bruch. - Achte beim Einsetzen negativer Werte auf die Vorzeichen. - Prüfe bei \(x=0\), was im Nenner stehen würde.

1. Für \(x=2\) ist \(T=\frac{1}{2}+2=2{,}5\). 2. Für \(x=-4\) ist \(T=-\frac{1}{4}+2=1{,}75\). 3. Für \(x=\frac{1}{2}\) ist \(T=2+2=4\). 4. Für \(x=0\) würde \(\frac{1}{0}\) entstehen. Division durch \(0\) ist nicht definiert. Deshalb ist \(x=0\) ausgeschlossen. 5. Erlaubt sind alle rationalen Werte außer \(0\).

a) \(2{,}5\), \(1{,}75\), \(4\) b) Nein, weil \(\frac{1}{0}\) nicht definiert ist. c) Alle rationalen Zahlen außer \(0\), also \(x\ne0\)

- Setze bei a), b) und d) die angegebenen Werte direkt in \(4x-6\) ein. - Rechne in c) die beiden Rechenschritte des Terms in umgekehrter Reihenfolge rückwärts. - Vergleiche in d) die beiden Termwerte und die Zahl vor \(x\).

1. Für \(x=-1{,}5\) gilt \(4\cdot(-1{,}5)-6=-12\). 2. Für \(x=\frac{3}{4}\) gilt \(4\cdot\frac{3}{4}-6=-3\). 3. Damit nach dem Abziehen von \(6\) der Wert \(0\) entsteht, muss vorher \(6\) stehen. Also muss \(4x=6\) gelten. Durch \(4\) teilen liefert \(x=1{,}5\). 4. Für \(x=2\) ist der Termwert \(2\), für \(x=3\) ist er \(6\). Die Erhöhung beträgt \(4\).

a) \(-12\) b) \(-3\) c) \(x=1{,}5\) d) Für \(x=2\) ist der Termwert \(2\), für \(x=3\) ist er \(6\); der Termwert steigt um \(4\).

- Setze in a) denselben Wert jeweils in beide Terme ein. - Betrachte in b) getrennt, was mit \(2k\) und mit \(-3k\) geschieht, wenn \(k\) um \(1\) wächst. - Nutze in c) die Ergebnisse aus a), um sinnvolle Werte zwischen \(2\) und \(10\) zu testen.

1. Für \(k=2\) hat Term A den Wert \(14\), Term B den Wert \(34\). 2. Für \(k=10\) hat Term A den Wert \(30\), Term B den Wert \(10\). 3. Wird \(k\) um \(1\) erhöht, wächst \(2k\) um \(2\); Term A steigt daher jeweils um \(2\). Gleichzeitig wächst \(3k\) um \(3\), das von \(40\) abgezogen wird; Term B sinkt daher jeweils um \(3\). 4. Beim Probieren ergibt \(k=5\) die Werte \(20\) und \(25\). Für \(k=6\) haben beide Terme den Wert \(22\).

a) Für \(k=2\): Term A \(=14\), Term B \(=34\). Für \(k=10\): Term A \(=30\), Term B \(=10\). b) Term A steigt bei jeder Erhöhung von \(k\) um \(1\) um \(2\); Term B sinkt dabei um \(3\). c) Für \(k=6\) haben beide Terme den Wert \(22\).

- Überlege zuerst, welche Zahl im Kästchen stehen muss, damit die erste Rechnung stimmt. - Nutze die erste Einsetzung, um den unbekannten Summanden zu bestimmen. - Wenn du die fehlende Zahl gefunden hast, kannst du sie für den zweiten Teil der Aufgabe verwenden. - Ersetze im zweiten Schritt das \(x\) durch die neue Zahl.

1. Bestimmung des Platzhalters: Setze \(x = 6\) in den Term ein: \(2 \cdot 6 + \square = 20\). 2. Berechnung des Platzhalters: \(12 + \square = 20\), daraus folgt \(\square = 8\). 3. Anwendung des vollständigen Terms: Der Term lautet nun \(2x + 8\). 4. Einsetzen von \(x = 10\): \(2 \cdot 10 + 8 = 20 + 8 = 28\).

Das Ergebnis ist \(28\).

- Schau dir die Struktur des Terms genau an: Was passiert als Erstes (in der Klammer) und was als Zweites? - Für Teilaufgabe b) ersetze einfach den Buchstaben durch die angegebene Zahl. - Wann wird ein Produkt aus zwei Zahlen eigentlich Null?

1. Beschreibung in Worten: „Das Vierfache der Differenz aus einer Zahl \(x\) und \(2{,}5\)“ (oder ähnlich). 2. Einsetzen von \(x = 5{,}5\) in den Term: \(4 \cdot (5{,}5 - 2{,}5)\) 3. Berechnung der Klammer: \(5{,}5 - 2{,}5 = 3{,}0\) 4. Multiplikation: \(4 \cdot 3{,}0 = 12\) 5. Analyse für den Wert \(0\): Ein Produkt ist \(0\), wenn einer der Faktoren \(0\) ist. Da \(4\) nicht \(0\) ist, muss die Klammer \((x - 2{,}5) = 0\) sein. 6. Lösung der Gleichung \(x - 2{,}5 = 0\): \(x = 2{,}5\).

a) Das Vierfache der Differenz aus einer Zahl \(x\) und \(2{,}5\). b) Der Wert ist \(12\). c) \(x\) muss \(2{,}5\) sein, da der Klammerinhalt null sein muss (\(2{,}5 - 2{,}5 = 0\)) und \(4 \cdot 0 = 0\) ist.

- Erstelle eine Tabelle mit drei Spalten für \(x\), Term \(A\) und Term \(B\). - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen auf die Vorzeichenregeln. - Vereinfache Term \(B\) durch Auflösen der Klammer und Zusammenfassen, um dein Ergebnis zu prüfen.

1. Einsetzen von \(x = -2\): \(A = 5 \cdot (-2) + 3 = -7\); \(B = 2 \cdot (-2 + 4) + 3 \cdot (-2) - 5 = 2 \cdot 2 - 6 - 5 = -7\). 2. Einsetzen von \(x = -1\): \(A = 5 \cdot (-1) + 3 = -2\); \(B = 2 \cdot (-1 + 4) + 3 \cdot (-1) - 5 = 2 \cdot 3 - 3 - 5 = -2\). 3. Einsetzen von \(x = 0\): \(A = 5 \cdot 0 + 3 = 3\); \(B = 2 \cdot (0 + 4) + 3 \cdot 0 - 5 = 8 - 5 = 3\). 4. Einsetzen von \(x = 1\): \(A = 5 \cdot 1 + 3 = 8\); \(B = 2 \cdot (1 + 4) + 3 \cdot 1 - 5 = 10 + 3 - 5 = 8\). 5. Einsetzen von \(x = 2\): \(A = 5 \cdot 2 + 3 = 13\); \(B = 2 \cdot (2 + 4) + 3 \cdot 2 - 5 = 12 + 6 - 5 = 13\). 6. Vergleich: Da die Ergebnisse für alle gewählten Werte identisch sind, liegt die Vermutung nahe, dass die Terme äquivalent sind. Durch Vereinfachen von \(B = 2x + 8 + 3x - 5 = 5x + 3\) bestätigt sich dies.

Die berechneten Werte sind: <table> <tr><th>\(x\)</th><th>Term \(A\)</th><th>Term \(B\)</th></tr> <tr><td>\(-2\)</td><td>\(-7\)</td><td>\(-7\)</td></tr> <tr><td>\(-1\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(-2\)</td></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td><td>\(3\)</td></tr> <tr><td>\(1\)</td><td>\(8\)</td><td>\(8\)</td></tr> <tr><td>\(2\)</td><td>\(13\)</td><td>\(13\)</td></tr> </table> Die Tabelle legt die Vermutung nahe, dass die Terme äquivalent sind. Diese Vermutung wird durch \(B = 2x + 8 + 3x - 5 = 5x + 3 = A\) bestätigt.

- Setze in jedem Teil alle angegebenen Werte an den passenden Variablenstellen ein. - Beachte bei 1) die Reihenfolge Potenz, Klammer, Multiplikation und anschließend Addition oder Subtraktion. - Berechne bei 2) zuerst die Summe in der Klammer und führe danach die Division durch den konstanten Bruch aus.

1. Einsetzen ergibt \(2\cdot0{,}5^2-3(0{,}5-1{,}5)=0{,}5+3=3{,}5\). 2. Zuerst ist \(x+y=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\). Dann gilt \(\frac{3}{4}:\frac{1}{8}=6\).

1) \(3{,}5\) 2) \(6\)

- Setze zuerst alle angegebenen Zahlen für die Variablen ein. - Beachte die Reihenfolge: Potenz und Klammer vor Multiplikation und Division, danach Addition oder Subtraktion. - Bei der Division durch \(0{,}2\) kannst du beide beteiligten Zahlen mit \(10\) multiplizieren.

1. Einsetzen ergibt \(4(0{,}5^2-0{,}5)+2:4\). Damit ist der Termwert \(4\cdot(-0{,}25)+0{,}5=-0{,}5\). 2. Einsetzen ergibt \(6\cdot1{,}5:3-0{,}04:0{,}2\). Die beiden Quotienten sind \(3\) und \(0{,}2\), also ist der Termwert \(2{,}8\).

1) \(-0{,}5\) 2) \(2{,}8\)

- Setze den jeweiligen Wert vollständig in den betreffenden Term ein. - Berechne bei a) zuerst \(y^2+1\) und teile erst anschließend durch \(3\). - Beachte bei b), dass Potenzen vor der Multiplikation und der anschließenden Addition oder Subtraktion berechnet werden.

1. Für \(y=4\) gilt \((4^2+1):3=\frac{17}{3}\). 2. Für \(y=\frac{1}{2}\) gilt \(((\frac{1}{2})^2+1):3=\frac{5}{12}\). 3. Für \(n=3\) gilt \(3^3-2\cdot3^2+5=14\). 4. Für \(n=10\) gilt \(10^3-2\cdot10^2+5=805\).

a) Für \(y=4\): \(\frac{17}{3}\); für \(y=\frac{1}{2}\): \(\frac{5}{12}\). b) Für \(n=3\): \(14\); für \(n=10\): \(805\).

- Setze die Werte für \(x\) nacheinander in den Ausdruck ein und achte auf die Klammern bei negativen Zahlen. - Beim Subtrahieren einer negativen Zahl addierst du ihre Gegenzahl. - Vergleiche die drei Ergebnisse aus Aufgabenteil a). Werden sie größer oder kleiner? - Was bedeutet es für eine Differenz, wenn die Zahl, die abgezogen wird, immer kleiner wird?

1. Einsetzen von \(x = 2\): \(-4{,}5 - 2 = -6{,}5\) 2. Einsetzen von \(x = -2\): \(-4{,}5 - (-2) = -4{,}5 + 2 = -2{,}5\) 3. Einsetzen von \(x = -4{,}5\): \(-4{,}5 - (-4{,}5) = -4{,}5 + 4{,}5 = 0\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(2 > -2 > -4{,}5\), wird \(x\) kleiner; die Ergebnisse \(-6{,}5 < -2{,}5 < 0\) zeigen, dass der Wert des Ausdrucks dabei größer wird. 5. Begründung: Wird \(x\) kleiner, wird seine Gegenzahl \(-x\) größer. Deshalb wird auch der Wert von \(-4{,}5 - x\) größer.

a) Für \(x = 2\) ist das Ergebnis \(-6{,}5\); für \(x = -2\) ist es \(-2{,}5\); für \(x = -4{,}5\) ist es \(0\). b) Das Ergebnis wird größer, wenn \(x\) kleiner wird, weil dann die Gegenzahl \(-x\) größer wird.

- Ersetze jeden Buchstaben durch den angegebenen Wert und setze negative Werte in Klammern. - Berechne zuerst die Klammern und Produkte. - Achte in 2) beim abschließenden Quotienten auf die Vorzeichen beider Zahlen.

1. Einsetzen ergibt \(4(-7+3)-(2-5)\cdot(-3)=-16-9=-25\). 2. Einsetzen ergibt \(((-4)\cdot3+8):(-6)=(-4):(-6)=\frac{2}{3}\).

1) \(-25\) 2) \(\frac{2}{3}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn zwei negative Zahlen multipliziert werden? - Achte auf den Unterschied zwischen dem Rechenzeichen (Minus) und dem Vorzeichen einer Zahl. - Arbeite dich bei verschachtelten Klammern von innen nach außen vor. - Kannst du den Term in Teilschritte zerlegen?

1. Substitution von \(m = -8\) und \(n = -4\): \(-8 - [(-8 - (-4)) : (-2)] \cdot (-6)\). Innere Klammer auflösen: \(-8 - [-4 : (-2)] \cdot (-6)\). Division in der eckigen Klammer: \(-8 - [2] \cdot (-6)\). Multiplikation: \(-8 - (-12)\). Addition: \(-8 + 12 = 4\). 2. Substitution von \(p = -5\) und \(q = 4\): \((-5 - 2) \cdot [-5 - (-4) \cdot (-4)] + (-5 + 4) \cdot (-3)\). Berechnung der runden Klammern und des Produkts in der eckigen Klammer: \((-7) \cdot [-5 - 16] + (-1) \cdot (-3)\). Auswerten der eckigen Klammer: \((-7) \cdot (-21) + 3\). Multiplikation: \(147 + 3 = 150\).

1) \(4\) 2) \(150\)

- Wie gehst du vor, wenn du Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren möchtest? - Achte besonders auf das Vorzeichen von \(x\) im Term \(T = -x - \dots\), wenn \(x\) selbst negativ ist. - Wandle gemischte Zahlen und Dezimalzahlen am besten in Brüche um, um besser rechnen zu können.

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Einsetzen der Werte führt zu \(T = -\frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\right)\). Berechnung der Klammer mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt \(-\frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\). Der Gesamtwert ist \(T = -\frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = 0\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Umwandeln in Brüche ergibt \(x = -\frac{9}{4}\), \(y = \frac{11}{8}\) und \(z = -\frac{4}{8}\). Einsetzen in den Term: \(T = -\left(-\frac{9}{4}\right) - \left(\frac{11}{8} - \left(-\frac{4}{8}\right)\right)\). Die Klammer ergibt \(\frac{15}{8}\). Mit dem Hauptnenner \(8\) folgt \(T = \frac{18}{8} - \frac{15}{8} = \frac{3}{8}\).

a) \(0\) b) \(\frac{3}{8}\)

- Setze negative Werte in Potenzen in Klammern. - Berechne in 2) zuerst den Zählerausdruck \(2a+b\) und teile danach durch die feste Zahl. - Beachte bei allen drei Termen die übliche Reihenfolge der Rechenoperationen.

1. Es gilt \(2\cdot(-3)^2-3\cdot\frac{1}{2}=16{,}5\). 2. Es gilt \((2\cdot(-0{,}4)+0{,}6):(-0{,}5)=(-0{,}2):(-0{,}5)=0{,}4\). 3. Es gilt \((-2)^3+2\cdot(-2)^2-5=-5\).

1) \(16{,}5\) 2) \(0{,}4\) 3) \(-5\)

- Berechne in 1) zuerst die Klammer und dann das Quadrat. - Bestimme in 2) zuerst \(x^2-1\) und führe danach die Division durch den konstanten Bruch aus. - Schreibe negative eingesetzte Werte beim Potenzieren in Klammern.

1. Es gilt \(4(-1{,}5-0{,}5)^2=16\). 2. Es gilt \(((-\frac{1}{3})^2-1):\frac{2}{3}=(-\frac{8}{9}):\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}\). 3. Es gilt \(0{,}5\cdot2^2\cdot(-3)-2\cdot(-3)^2=-24\).

1) \(16\) 2) \(-\frac{4}{3}\) 3) \(-24\)

- Setze \(s\) und \(h\) an die passenden Stellen der Formel ein. - Berechne für den Vergleich beide Wege getrennt. - Vergleiche erst die fertigen Zeitwerte.

1. \(t=\frac{10}{4}+\frac{600}{500}=2{,}5+1{,}2=3{,}7\,\text{h}\). 2. Für Weg A gilt \(t_A=\frac{12}{4}+\frac{400}{500}=3{,}8\,\text{h}\). 3. Für Weg B gilt \(t_B=\frac{8}{4}+\frac{950}{500}=3{,}9\,\text{h}\). 4. Weg A ist nach der vereinfachten Übungsformel um \(0{,}1\,\text{h}\) kürzer.

1) \(3{,}7\,\text{h}\) 2) Weg A: \(3{,}8\,\text{h}\); Weg B: \(3{,}9\,\text{h}\). Weg A ist kürzer.

- Berechne jeweils zuerst die Potenzen, bevor du addierst oder subtrahierst. - Bei einer negativen Basis muss das Minuszeichen mit in der Klammer stehen. - Achte darauf, wie gerade und ungerade Exponenten das Vorzeichen einer negativen Basis beeinflussen.

1. \(\left(-\frac{2}{3}\right)^3=-\frac{8}{27}\). 2. \(0{,}2^2=0{,}04\) und \((-0{,}1)^3=-0{,}001\). Daher ist der Wert \(0{,}041\). 3. \((-1)^7=-1\) und \(\left(\frac12\right)^2=\frac14\). Damit ergibt sich \(-\frac14+0{,}75=0{,}5\). 4. Einsetzen liefert \((-2)^4-(-2)^3=16-(-8)=24\).

1) \(-\frac{8}{27}\) 2) \(0{,}041\) 3) \(0{,}5\) oder \(\frac12\) 4) \(24\)

- Berechne nach dem Einsetzen zuerst die Potenzen. - Setze negative Werte in Klammern, bevor du sie potenzierst. - Potenziere bei Brüchen Zähler und Nenner getrennt.

1. Für \(x=-1\) ergibt sich \(5\cdot(-1)^4-3\cdot(-1)^3+2\cdot(-1)^2-(-1)+4=5+3+2+1+4=15\). 2. Für \(x=-\frac{1}{2}\) ergibt sich \(8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3+4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+1=-1+1+1+1=2\).

a) \(15\) b) \(2\)

- Erinnere dich daran, dass eine positive Zahl immer größer ist als eine negative Zahl. - Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus (kleiner als 1, größer als 1), um eine allgemeine Aussage zu prüfen. - Wie verhält sich das Ergebnis einer Multiplikation, wenn man mit einer Zahl zwischen 0 und 1 multipliziert?

1. Für \(x = -3\): \(x^2 = (-3)^2 = 9\) und \(x^3 = (-3)^3 = -27\). 2. Vergleich für negative \(x\): Da \(x\) negativ ist, ist \(x^2\) (negativ \(\cdot\) negativ) immer positiv. \(x^3\) (negativ \(\cdot\) negativ \(\cdot\) negativ) ist immer negativ. Da jede positive Zahl größer als jede negative Zahl ist, gilt für negative \(x\): \(x^2 > x^3\). 3. Überprüfung für positive \(x\): Für \(x = 0{,}5\): \(x^2 = 0{,}25\) und \(x^3 = 0{,}125\). Hier ist \(x^2 > x^3\). Für \(x = 2\): \(x^2 = 4\) und \(x^3 = 8\). Hier ist \(x^3 > x^2\). 4. Schlussfolgerung: Die Beobachtung gilt nicht für alle positiven Zahlen. Wenn \(x > 1\), ist \(x^3\) größer als \(x^2\).

a) \(x^2 = 9\); \(x^3 = -27\) b) Für negative \(x\) ist \(x^2\) immer größer, weil \(x^2\) positiv und \(x^3\) negativ ist. c) Nein. Für \(x = 0{,}5\) gilt \(0{,}25 > 0{,}125\), für \(x = 2\) dagegen \(8 > 4\), also \(x^3 > x^2\).