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- Von welchem gemeinsamen Punkt gehen die beiden Tangentenstrecken aus? - Welche Längeneigenschaft gilt für zwei Tangentenabschnitte von demselben äußeren Punkt?

1. Tangentenabschnitte, die von demselben äußeren Punkt an einen Kreis führen, sind gleich lang. Daher gilt \(PA=PB\). 2. Aus der Abbildung liest man \(PA=12\,\text{cm}\) ab. 3. Somit gilt \(PB=12\,\text{cm}\).

Von demselben äußeren Punkt aus sind die beiden Tangentenabschnitte gleich lang, also \(PA=PB\). Daher ist \(PB=12\,\text{cm}\).

- Überlege, welche Punktmenge einen festen Abstand von einem festen Punkt beschreibt. - Welche Konstruktion hält beim Zeichnen den Abstand zu \(A\) konstant?

1. Alle gesuchten Punkte haben denselben Abstand \(4\,\text{cm}\) vom festen Punkt \(A\). 2. Diese Punktmenge ist ein Kreis mit Mittelpunkt \(A\) und Radius \(4\,\text{cm}\).

Alle möglichen Punkte \(C\) liegen auf dem Kreis um \(A\) mit Radius \(4\,\text{cm}\).

- Unterscheide zwischen Schneiden, Berühren und Vorbeilaufen. - Was bedeutet das Wort „berühren“ für die Anzahl gemeinsamer Punkte?

1. Eine Tangente berührt einen Kreis in genau einem Punkt. 2. Daher haben Tangente und Kreis genau einen gemeinsamen Punkt.

Eine Tangente und ein Kreis haben genau einen gemeinsamen Punkt.

- Betrachte speziell den Radius, der zum Berührpunkt führt. - Welche besondere Lagebeziehung gehört zur Tangente im Berührpunkt?

1. Der Radius zum Berührpunkt einer Tangente steht senkrecht auf der Tangente. 2. Daher gilt \(MT \perp t\).

Der Radius \(MT\) steht senkrecht auf der Tangente \(t\).

- Stelle sicher, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du sie vergleichst. - Wie viele Schnittpunkte hat eine Gerade mit einem Kreis, wenn ihr Abstand zum Mittelpunkt kleiner, gleich oder größer als der Radius ist? - Erinnere dich an die Definitionen der Begriffe Passante, Tangente und Sekante.

1. Umrechnung aller Maße in die Einheit Zentimeter: \(r = 4{,}5\,\text{cm}\), \(d_1 = 3{,}5\,\text{cm}\), \(d_2 = 4{,}5\,\text{cm}\), \(d_3 = 5{,}0\,\text{cm}\). 2. Vergleich für \(g_1\): Da \(d_1 < r\) (\(3{,}5\,\text{cm} < 4{,}5\,\text{cm}\)), schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten. Es handelt sich um eine Sekante. 3. Vergleich für \(g_2\): Da \(d_2 = r\) (\(4{,}5\,\text{cm} = 4{,}5\,\text{cm}\)), berührt die Gerade den Kreis in genau einem Punkt. Es handelt sich um eine Tangente. 4. Vergleich für \(g_3\): Da \(d_3 > r\) (\(5{,}0\,\text{cm} > 4{,}5\,\text{cm}\)), hat die Gerade keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis. Es handelt sich um eine Passante.

\(g_1\) ist eine Sekante, da \(d_1 < r\). \(g_2\) ist eine Tangente, da \(d_2 = r\). \(g_3\) ist eine Passante, da \(d_3 > r\).

- Wie weit liegen die Punkte \(C\) und \(D\) voneinander entfernt? - Was gilt für die Summe der Radien, wenn sich zwei Kreise von außen berühren? - Stelle dir vor, der zweite Kreis wächst, bis er den ersten gerade berührt.

1. Der Abstand der Mittelpunkte beträgt \(7\,\text{cm} - 1\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 2. Bei äußerer Berührung ist der Mittelpunktabstand gleich der Summe der Radien: \(r_C + r_D = 6\,\text{cm}\). 3. Daher gilt \(r_D = 6\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\).

Der Radius \(r_D\) muss \(3\,\text{cm}\) betragen.

- Welche besondere Lage haben Radius und Tangente im Berührpunkt? - Welchen Winkel kannst du dadurch bei \(B\) bestimmen? - Nutze anschließend die Innenwinkelsumme des Dreiecks \(OBA\).

1. Da \(AB\) eine Tangente im Punkt \(B\) ist, steht der Radius \(OB\) senkrecht auf \(AB\). Somit gilt \(\angle OBA=90^\circ\). 2. Die Innenwinkelsumme im Dreieck \(OBA\) beträgt \(180^\circ\). 3. Daher ist \(\angle AOB=180^\circ-90^\circ-32^\circ=58^\circ\).

\(\angle AOB=58^\circ\)

- Vergleiche in jedem Teilbild nur zwei Größen: den Radius und den senkrechten Abstand der Geraden vom Mittelpunkt. - Welche Lage entsteht bei kleinerem, gleichem beziehungsweise größerem Abstand?

1. a) Der Abstand beträgt \(1\,\text{cm}\). Es gilt \(1\,\text{cm} < 2\,\text{cm}\), also ist die Gerade eine Sekante. 2. b) Der Abstand beträgt \(2\,\text{cm}\). Er ist gleich dem Radius, also ist die Gerade eine Tangente. 3. c) Der Abstand beträgt \(3\,\text{cm}\). Es gilt \(3\,\text{cm} > 2\,\text{cm}\), also ist die Gerade eine Passante.

a) Sekante. b) Tangente. c) Passante.

- Zähle zuerst in jedem Teilbild die gemeinsamen Punkte der Kreislinien. - Bei genau einem gemeinsamen Punkt musst du zusätzlich unterscheiden, ob die Kreise außen oder innen aneinander liegen. - Prüfe bei keinem gemeinsamen Punkt, ob die Kreisflächen getrennt sind oder eine vollständig in der anderen liegt.

1. a) Die Kreise liegen getrennt und haben keinen gemeinsamen Punkt: außerhalb ohne Schnitt. 2. b) Die Kreise berühren sich von außen in genau einem Punkt: Außenberührung. 3. c) Die Kreislinien schneiden sich in zwei Punkten: zwei Schnittpunkte. 4. d) Der kleinere Kreis liegt im größeren und berührt ihn in genau einem Punkt: Innenberührung. 5. e) Der kleinere Kreis liegt vollständig im größeren, ohne ihn zu berühren.

a) zwei Schnittpunkte b) ein Kreis liegt vollständig im anderen ohne Berührung c) Außenberührung d) außerhalb ohne Schnitt e) Innenberührung

- Welche Hilfskonstruktion erzeugt an einem möglichen Berührpunkt einen rechten Winkel über \(MQ\)? - Woran erkennst du anschließend, dass die Verbindung von \(Q\) zum Schnittpunkt wirklich eine Tangente ist? - Welche bekannten Seiten und welcher Winkel lassen sich in den beiden entstehenden Dreiecken vergleichen?

1. Zeichne die Strecke \(MQ\) und konstruiere ihren Mittelpunkt \(K\). 2. Zeichne den Thaleskreis über \(MQ\), also den Kreis mit Mittelpunkt \(K\) und Radius \(KM = KQ = 4\,\text{cm}\). 3. Seine Schnittpunkte mit \(k\) sind \(T_1\) und \(T_2\). Nach dem Satz des Thales gilt \(\angle MT_1Q = \angle MT_2Q = 90^\circ\). Deshalb stehen \(QT_1\) und \(QT_2\) jeweils senkrecht auf dem Radius im Berührpunkt und sind Tangenten. 4. Für die Dreiecke \(MT_1Q\) und \(MT_2Q\) gilt \(MT_1 = MT_2 = 3\,\text{cm}\), \(MQ = MQ\) und beide haben einen rechten Winkel, der der längeren Seite \(MQ\) gegenüberliegt. 5. Die beiden Dreiecke sind daher nach dem gültigen SsW-Fall kongruent. 6. Entsprechende Seiten sind gleich lang, also \(QT_1 = QT_2\).

a) Konstruiere den Mittelpunkt \(K\) von \(MQ\) und den Thaleskreis über \(MQ\). Seine beiden Schnittpunkte mit \(k\) sind \(T_1\) und \(T_2\); die Geraden \(QT_1\) und \(QT_2\) sind die gesuchten Tangenten. b) Die rechtwinkligen Dreiecke \(MT_1Q\) und \(MT_2Q\) sind nach SsW kongruent. Daher gilt \(QT_1 = QT_2\).

- Wenn ein Kreis eine Achse berührt, was sagt das über seinen Radius aus? - Skizziere die Situation in einem Koordinatensystem, um die Lage der Punkte \(P\) und \(Q\) zu sehen. - Welche Koordinate ändert sich, wenn du dich von einem Punkt aus senkrecht nach oben oder unten bewegst?

1. Da der Kreis die \(y\)-Achse (Gerade \(x=0\)) berührt, entspricht der Radius dem horizontalen Abstand von \(M(3|3)\) zur \(y\)-Achse: \(r = |3 - 0| = 3\). Der Berührpunkt liegt auf der \(y\)-Achse auf gleicher Höhe wie \(M\), also \(B(0|3)\). 2. Die Gerade \(w\) verläuft durch \(P(0|0)\) und \(Q(7|0)\), was der \(x\)-Achse (\(y=0\)) entspricht. Der Abstand von \(M(3|3)\) zur \(x\)-Achse ist \(d = |3 - 0| = 3\). Da \(d = r = 3\), ist die Gerade \(w\) eine Tangente. 3. Ein vertikaler Durchmesser verläuft durch \(M(3|3)\) parallel zur \(y\)-Achse (\(x=3\)). Die Endpunkte haben den Abstand \(r=3\) oberhalb und unterhalb von \(M\): \(K(3 | 3+3) = K(3|6)\) und \(L(3 | 3-3) = L(3|0)\).

a) \(r = 3\), \(B(0|3)\). b) Tangente, da der Abstand \(d = 3\) genau dem Radius \(r = 3\) entspricht. c) Zum Beispiel \(K(3|6)\) und \(L(3|0)\).

- Welche besondere Eigenschaft hat der Radius eines Kreises an der Stelle, an der eine Tangente den Kreis berührt? - Was weißt du über die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Skizziere die Situation: Was passiert mit der Form des Dreiecks, wenn eine Seite immer länger wird, während eine andere Seite und ein Winkel fest bleiben?

1. Eine Tangente steht im Berührpunkt \(B\) immer senkrecht auf dem Radius \(MB\). Daher ist der Winkel \(\angle MBA = 90^\circ\) und das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei \(B\). 2. Berechnung des Winkels \(\angle MAB\) über die Innenwinkelsumme im Dreieck: \(180^\circ - 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ\). 3. Wenn \(A\) weiter von \(B\) weg rückt, vergrößert sich die Länge der Strecke \(AB\). Da der Radius \(MB\) und der rechte Winkel bei \(B\) gleich bleiben, muss der Winkel \(\angle BMA\) größer werden. Da die Summe der beiden spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck immer \(90^\circ\) sein muss, wird der Winkel \(\angle MAB\) folglich immer kleiner und nähert sich \(0^\circ\) an.

a) Das Dreieck ist rechtwinklig bei \(B\), da die Tangente senkrecht auf dem Berührungsradius steht. b) \(\angle MAB = 32^\circ\). c) Der Winkel \(\angle MAB\) wird immer kleiner, da bei gleichbleibender Gegenkathete \(MB\) die Ankathete \(AB\) im rechtwinkligen Dreieck länger wird.

- Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck? - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Basiswinkel? - Was macht eine Winkelhalbierende mit einem Winkel? - Überlege, welche Abstände ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden zu den begrenzenden Schenkeln hat.

1. Berechnung der Basiswinkel: Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt \(\alpha = \beta\). Mit der Winkelsumme im Dreieck folgt \(\alpha = \beta = (180^\circ - 50^\circ) : 2 = 65^\circ\). 2. Berechnung des Winkels \(\angle AWB\): In dem Dreieck \(ABW\) sind die Winkel an der Basis die Hälften von \(\alpha\) und \(\beta\), also \(\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2} = 32{,}5^\circ\). Der Winkel \(\angle AWB\) berechnet sich über die Winkelsumme im Dreieck \(ABW\): \(180^\circ - 32{,}5^\circ - 32{,}5^\circ = 115^\circ\). 3. Eigenschaft von \(W\): Da \(W\) der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist, ist er der Inkreismittelpunkt des Dreiecks \(ABC\). Er hat somit zu allen drei Seiten des Dreiecks denselben Abstand.

a) \(\alpha = \beta = 65^\circ\) b) \(\angle AWB = 115^\circ\) c) Der Punkt \(W\) ist der Inkreismittelpunkt und hat zu allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.

- Wie findet man den Mittelpunkt des Kreises, der alle Seiten eines Dreiecks berührt? - Was gibt der Inkreisradius über die Lage des Mittelpunkts an? - Betrachte die Symmetrie des Rechtecks an seinem Mittelpunkt oder die Kongruenz der Teildreiecke.

1. Konstruktion von \(W_1\): Der Punkt \(W_1\) wird als Schnittpunkt von mindestens zwei Winkelhalbierenden des Dreiecks \(ABC\) konstruiert. 2. Berechnung des Abstands zur Seite \(AB\): Der Abstand des Inkreismittelpunkts zu einer Seite entspricht dem Inkreisradius \(r\). Mit \(a = 12\), \(b = 5\) und \(c = 13\) ergibt sich \(r = \frac{12 + 5 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\text{m}\). 3. Abstand zur Diagonale \(AC\): Da beide Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\) kongruent sind (SWS-Satz oder SSS-Satz), sind auch ihre Inkreise identisch groß. Der Abstand jedes Inkreismittelpunkts zu jeder Seite des jeweiligen Dreiecks (einschließlich der gemeinsamen Seite \(AC\)) ist gleich dem Radius \(r\). Somit haben beide Springbrunnen den Abstand \(2\,\text{m}\) von der Diagonale \(AC\).

a) \(W_1\) ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck \(ABC\). b) Der Abstand beträgt \(2\,\text{m}\). c) Beide haben den Abstand \(2\,\text{m}\) von \(AC\), da der Inkreisradius in beiden kongruenten Dreiecken gleich groß ist.

- Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Punkt von einem anderen Punkt „höchstens“ einen bestimmten Abstand hat? - Wie liegen zwei Kreise zueinander, wenn sie genau einen Punkt gemeinsam haben? - Berechne zuerst den jetzigen Abstand der beiden Punkte \(A\) und \(B\). - Überlege, wie groß der Abstand der Mittelpunkte sein muss, damit sich die Ränder der Kreise gerade so berühren.

1. Der aktuelle waagerechte Abstand zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) wird berechnet: \(11\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\). 2. Damit zwei Kreisscheiben genau einen Punkt gemeinsam haben, muss der Abstand ihrer Mittelpunkte genau der Summe ihrer Radien entsprechen: \(r_A + r_B = 4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 3. Die notwendige Verschiebung ergibt sich aus der Differenz zwischen dem aktuellen Abstand und dem Zielabstand: \(9\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\).

Der Punkt \(B\) muss mindestens um \(3\,\text{cm}\) nach links (in negative \(x\)-Richtung) verschoben werden.

- Stelle dir vor, wie die Kreise auf einer Linie liegen. Was passiert mit den Rändern, wenn du die Mittelpunkte näher zusammenrückst? - Überlege dir, wie lang die Strecke vom einen Mittelpunkt zum gegenüberliegenden Rand des eigenen Kreises ist. - Wie hängen die Radien und der Abstand zusammen, wenn sich die Kreise gerade noch berühren?

1. Für eine Berührung von außen muss der Abstand der Mittelpunkte genau der Summe der beiden Radien entsprechen: \(d = r_1 + r_2 = 2\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\). 2. Damit der kleinere Kreis vollständig im größeren liegt, darf der von \(B\) am weitesten entfernte Punkt des kleinen Kreises (in Richtung weg von \(B\)) nicht über den Rand des großen Kreises hinausgehen. Das ist der Fall, wenn der Abstand der Mittelpunkte plus der kleine Radius höchstens so groß ist wie der große Radius: \(d + r_1 \leq r_2\). 3. Einsetzen der Werte ergibt: \(d + 2\,\text{cm} \leq 5\,\text{cm}\), also \(d \leq 3\,\text{cm}\).

a) Der Abstand muss \(d = 7\,\text{cm}\) betragen. b) Der Abstand darf höchstens \(3\,\text{cm}\) betragen, denn \(d + 2\,\text{cm} \leq 5\,\text{cm}\).

- Addiere die beiden Reichweiten und vergleiche sie mit dem Abstand der Türme. - Stelle dir die Verbindungslinie als Zahlenstrahl vor, wobei \(L_1\) bei \(0\) steht. - Wo beginnt der Bereich des zweiten Leuchtturms auf diesem Zahlenstrahl?

1. Die Summe der Reichweiten beträgt \(12\,\text{km} + 15\,\text{km} = 27\,\text{km}\). Da der Abstand der Türme (\(20\,\text{km}\)) kleiner ist als diese Summe, überlappen sich die beleuchteten Kreisflächen. Es gibt also einen gemeinsamen Bereich. 2. Auf der Verbindungslinie reicht das Licht von \(L_1\) von \(0\,\text{km}\) bis \(12\,\text{km}\) (vom Standort \(L_1\) aus gesehen). 3. Das Licht von \(L_2\) reicht von seinem Standort \(20\,\text{km}\) bis zu einer Entfernung von \(15\,\text{km}\) in Richtung \(L_1\), also bis zur Position \(20\,\text{km} - 15\,\text{km} = 5\,\text{km}\) auf der Verbindungslinie. 4. Die gemeinsame Teilstrecke liegt also zwischen Kilometer \(5\) und Kilometer \(12\). 5. Die Länge dieser Strecke berechnet sich zu \(12\,\text{km} - 5\,\text{km} = 7\,\text{km}\).

a) Ja, da \(12\,\text{km} + 15\,\text{km} = 27\,\text{km} > 20\,\text{km}\). b) Gemessen von \(L_1\) reicht die gemeinsame Teilstrecke von Kilometer \(5\) bis Kilometer \(12\); sie ist \(7\,\text{km}\) lang.

- Was bedeutet „höchstens ein bestimmter Abstand“ für die Form der Punktmenge? - Vergleiche die Summe der beiden Abstände mit der direkten Entfernung zwischen \(M\) und \(N\). - Wann fangen zwei Kreisscheiben an, sich zu überschneiden, anstatt sich nur zu berühren?

1. Die Bedingung „höchstens \(4\,\text{cm}\) von \(M\) entfernt“ beschreibt eine Kreisscheibe um \(M\) mit \(r_1 = 4\,\text{cm}\). Analog beschreibt die zweite Bedingung eine Kreisscheibe um \(N\) mit \(r_2 = 2\,\text{cm}\). 2. Der Abstand der Mittelpunkte ist \(d = 6\,\text{cm}\). 3. Da \(r_1 + r_2 = 4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\) genau dem Abstand \(d\) entspricht, berühren sich die beiden Kreisscheiben von außen in genau einem Punkt. 4. Dieser Punkt liegt auf der Verbindungsstrecke \(MN\), genau \(4\,\text{cm}\) von \(M\) und \(2\,\text{cm}\) von \(N\) entfernt. 5. Damit eine gemeinsame Fläche entsteht, müssen sich die Kreisscheiben überschneiden. Das passiert, wenn der Abstand der Mittelpunkte kleiner ist als die Summe der Radien: \(d < r_1 + r_2\). 6. Also muss der Abstand \(d < 6\,\text{cm}\) sein.

a) Es gibt genau einen Punkt. Er liegt auf der Verbindungsstrecke zwischen \(M\) und \(N\). b) Der Abstand zwischen \(M\) und \(N\) müsste kleiner als \(6\,\text{cm}\) sein.

- Welche Winkel entstehen zwischen einem Radius und einer Tangente im Berührpunkt? - Betrachte die vier Punkte \(A\), \(B\), \(M\) und \(C\) als Viereck. - Welche Winkelsumme gilt in diesem Viereck, nachdem du die beiden Winkel an den Berührpunkten bestimmt hast?

1. Die Radien \(MB\) und \(MC\) stehen in den Berührpunkten senkrecht auf den Tangenten. Daher gilt \(\angle MBA=90^\circ\) und \(\angle MCA=90^\circ\). 2. Im Viereck \(ABMC\) beträgt die Innenwinkelsumme \(360^\circ\). 3. Somit gilt \(44^\circ+90^\circ+\angle BMC+90^\circ=360^\circ\). 4. Daraus folgt \(\angle BMC=136^\circ\).

\(\angle BMC=136^\circ\)

- Wie groß ist der Winkel zwischen einer Tangente und dem Radius zum Berührpunkt? - Welche Winkelsumme gilt für das Viereck \(AMBQ\)? - Welche drei Winkel dieses Vierecks kannst du aus Abbildung und Tangenteneigenschaft bestimmen?

1. In dem Viereck \(AMBQ\) stehen die Radien \(MA\) und \(MB\) senkrecht auf den Tangenten \(QA\) und \(QB\). Daher gilt \(\angle MAQ = 90^\circ\) und \(\angle MBQ = 90^\circ\). 2. Die Winkelsumme in jedem Viereck beträgt \(360^\circ\). 3. Für die Winkel im Viereck \(AMBQ\) gilt \(\angle AMB + \angle MAQ + \angle AQB + \angle QBM = 360^\circ\). 4. Einsetzen der bekannten Werte ergibt \(120^\circ + 90^\circ + \alpha + 90^\circ = 360^\circ\). 5. Daher ist \(\alpha = 60^\circ\).

Der Winkel \(\alpha\) beträgt \(60^\circ\).

- Welche Eigenschaft haben die Innenwinkel in einem gleichseitigen Dreieck? - In welchem Winkel treffen ein Radius und eine Tangente im Berührungspunkt aufeinander? - Kannst du ein Viereck in der Zeichnung identifizieren und dessen Winkelsumme nutzen?

1. Da das Dreieck \(ABP\) gleichseitig ist, beträgt jeder seiner Innenwinkel \(60^\circ\). Insbesondere gilt \(\angle APB = 60^\circ\). 2. In den Berührungspunkten \(A\) und \(B\) stehen die Radien senkrecht auf den Tangenten. Somit sind die Winkel \(\angle MAP\) und \(\angle MBP\) jeweils \(90^\circ\) groß. 3. Die Summe der Innenwinkel im Viereck \(AMBP\) beträgt \(360^\circ\). 4. Der gesuchte Mittelpunktswinkel berechnet sich daher zu: \(\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

Der Winkel \(\angle AMB\) beträgt \(120^\circ\).

- Halte den Abstand der Geraden vom Mittelpunkt fest und verändere nur den Radius. - Welche drei Fälle ergeben sich beim Vergleich von \(r\) mit \(4{,}5\,\text{cm}\)? - Überlege für jeden Fall, wie viele gemeinsame Punkte Kreis und Gerade haben.

1. Entscheidend ist der Vergleich des Radius \(r\) mit dem festen Abstand \(d = 4{,}5\,\text{cm}\). 2. a) Ist \(r < 4{,}5\,\text{cm}\), erreicht der Kreis die Gerade nicht. Dann ist \(g\) eine Passante. 3. b) Ist \(r = 4{,}5\,\text{cm}\), erreicht der Kreis die Gerade in genau einem Punkt. Dann ist \(g\) eine Tangente. 4. c) Ist \(r > 4{,}5\,\text{cm}\), schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten. Dann ist \(g\) eine Sekante.

a) Passante für \(0 < r < 4{,}5\,\text{cm}\). b) Tangente für \(r = 4{,}5\,\text{cm}\). c) Sekante für \(r > 4{,}5\,\text{cm}\).

- Prüfe die Lage des Kreises zu \(g\) und zu \(h\) getrennt über Mittelpunktabstand und Radius. - Drücke beide Abstände mit derselben Größe \(d\) aus und kombiniere anschließend die Bedingungen. - Für eine Tangente muss der Abstand vom Mittelpunkt genau dem Radius entsprechen.

1. Für jede Gerade wird ihr Abstand vom Mittelpunkt mit dem Radius \(3\,\text{cm}\) verglichen. 2. a) Beide Geraden müssen Passanten sein. Daher muss \(d>3\,\text{cm}\) und zugleich \(10\,\text{cm}-d>3\,\text{cm}\) gelten. Die zweite Bedingung ist gleichbedeutend mit \(d<7\,\text{cm}\). Somit gilt \(3\,\text{cm}<d<7\,\text{cm}\). 3. b) Damit \(g\) Tangente ist, muss \(d=3\,\text{cm}\) gelten. Dann beträgt der Abstand zu \(h\) \(7\,\text{cm}\), also mehr als der Radius. Daher ist \(h\) eine Passante. 4. c) Für zwei Tangenten müsste gleichzeitig \(d=3\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}-d=3\,\text{cm}\) gelten. Das ist unmöglich. Zwei parallele Tangenten auf gegenüberliegenden Seiten eines Kreises hätten hier nur den Abstand \(2r=6\,\text{cm}\), nicht \(10\,\text{cm}\).

a) \(3\,\text{cm}<d<7\,\text{cm}\). b) \(d=3\,\text{cm}\). c) Nein. Für eine Berührung beider Geraden müssten beide Mittelpunktabstände \(3\,\text{cm}\) betragen; ihr Abstand wäre dann \(6\,\text{cm}\) statt \(10\,\text{cm}\).

- Kann eine Berührung nur auftreten, wenn die Kreise außerhalb voneinander liegen? - Vergleiche die Fälle „Radien addieren“ und „Radien voneinander abziehen“. - Welche Lage der Kreise gehört jeweils zu diesen beiden Rechnungen?

1. Bei einer Außenberührung ist der Mittelpunktabstand die Summe der Radien: \(5\,\text{cm}+2\,\text{cm}=7\,\text{cm}\). 2. Es gibt aber auch eine Innenberührung. Dann ist der Mittelpunktabstand die Differenz der Radien: \(5\,\text{cm}-2\,\text{cm}=3\,\text{cm}\). 3. Die Aussage ist daher nicht immer richtig; bei genau einem Berührpunkt sind hier zwei verschiedene Mittelpunktabstände möglich.

Nein. Bei Außenberührung gilt \(d=7\,\text{cm}\), bei Innenberührung gilt \(d=3\,\text{cm}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen einem Radius und der Tangente im Berührpunkt? - Welche Winkelsumme gilt in jedem Viereck? - Vergleiche die beiden rechtwinkligen Dreiecke \(MSP\) und \(MTP\): Welche Seiten stimmen überein? - Welche Vierecksart entsteht aus zwei Paaren gleich langer Nachbarseiten?

1. In einem Berührpunkt steht der Radius senkrecht auf der Tangente. Daher gilt \(\angle MSP=\angle MTP=90^\circ\). 2. Im Viereck \(MSPT\) ist die Winkelsumme \(360^\circ\). Somit gilt \(124^\circ+90^\circ+\angle SPT+90^\circ=360^\circ\), also \(\angle SPT=56^\circ\). 3. Betrachte die rechtwinkligen Dreiecke \(MSP\) und \(MTP\). Es gilt \(MS=MT\) als Radien, \(MP\) ist gemeinsame Seite und die rechten Winkel bei \(S\) und \(T\) liegen jeweils der längeren gemeinsamen Seite \(MP\) gegenüber. Daher sind die Dreiecke nach SsW kongruent. 4. Aus der Kongruenz folgt \(PS=PT\). Zusammen mit \(MS=MT\) ist \(MSPT\) ein Drachenviereck. 5. Die Diagonale \(MP\), die die beiden Ecken mit den Paaren gleich langer Nachbarseiten verbindet, ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks. Daher gilt \(ST\perp MP\).

a) \(\angle MSP=\angle MTP=90^\circ\). b) \(\angle SPT=56^\circ\). c) \(ST\perp MP\). Zuerst folgt aus der Kongruenz von \(\triangle MSP\) und \(\triangle MTP\), dass \(PS=PT\); damit ist \(MSPT\) ein Drachenviereck, dessen Symmetriediagonale \(MP\) senkrecht auf \(ST\) steht.

- Was weißt du über die Diagonalen in einem Quadrat? - Wie verhalten sich die vier kleinen Dreiecke zueinander, wenn du das große Quadrat drehst? - Welche Symmetrieachsen hat ein Quadrat? - Überlege, was passiert, wenn man eine Figur spiegelt, die selbst symmetrisch zu dieser Achse liegt.

1. Eigenschaften der Teildreiecke: Die Diagonalen eines Quadrats stehen senkrecht aufeinander und sind gleich lang. Daher sind die Dreiecke \(ABS\), \(BCS\), \(CDS\) und \(DAS\) rechtwinklig, weil der Winkel bei \(S\) jeweils \(90^\circ\) beträgt, und gleichschenklig, weil \(AS = BS = CS = DS\) gilt. 2. Form des Vierecks: Aufgrund der Drehsymmetrie des Quadrats um \(90^\circ\) um den Punkt \(S\) werden die vier Teildreiecke und damit auch ihre Inkreismittelpunkte aufeinander abgebildet. Da die Abstände der Mittelpunkte zum Zentrum \(S\) gleich sind und die Verbindungslinien jeweils um \(90^\circ\) gedreht werden, bilden die vier Punkte \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) und \(M_4\) ein Quadrat. 3. Spiegelung: Die Diagonale \(AC\) ist eine Symmetrieachse des Quadrats. Bei einer Spiegelung an \(AC\) wird das Dreieck \(ABS\) auf das Dreieck \(DAS\) abgebildet. Folglich wird sein Inkreismittelpunkt \(M_1\) auf den Inkreismittelpunkt \(M_4\) des Dreiecks \(DAS\) abgebildet.

a) Es sind gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. b) Es entsteht ein Quadrat, da die Anordnung der Inkreismittelpunkte die \(90^\circ\)-Drehsymmetrie des ursprünglichen Quadrats übernimmt. c) \(M_1\) wird auf \(M_4\), den Inkreismittelpunkt des Dreiecks \(DAS\), abgebildet.