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- Welcher Wert ist der Grundwert? - Wie berechnet man \(72\,\%\) von \(45\,\text{km}\)?

Die Reichweite bei Kälte ist der Prozentwert zum Grundwert \(45\,\text{km}\) und zum Prozentsatz \(72\,\%\): \(45\,\text{km} \cdot 0{,}72 = 32{,}4\,\text{km}\).

Die Reichweite bei Kälte beträgt \(32{,}4\,\text{km}\).

- Welche Angabe beschreibt die ganze Klasse? - Welche Angabe beschreibt nur den betrachteten Teil der Klasse? - Welche der drei Angaben steht als Prozentzahl da?

1. Der Grundwert beschreibt die ganze Klasse: \(G = 30\). 2. Der Prozentwert beschreibt den betrachteten Teil der Klasse: \(W = 12\). 3. Der Prozentsatz gibt den Anteil dieses Teils am Ganzen an: \(p = 40\,\%\).

\(G = 30\), \(W = 12\), \(p = 40\,\%\)

- Welche einfache Bruchzahl entspricht \(25\,\%\)? - Kannst du den Grundwert in gleich große Teile zerlegen, die zu diesem Bruch passen? - Prüfe, ob dein Ergebnis zur Größe eines Viertels des Grundwerts passt.

1. \(25\,\%\) entsprechen einem Viertel des Grundwerts. 2. \(80 : 4 = 20\).

\(20\)

- Welcher Bruchteil des Ganzen entspricht \(10\,\%\)? - Nutze die Stellenwertstruktur von \(370\), statt eine lange Rechnung aufzuschreiben. - Prüfe, ob dein Ergebnis ungefähr ein Zehntel von \(370\) ist.

1. \(10\,\%\) sind ein Zehntel des Grundwerts. 2. \(370 : 10 = 37\).

\(10\,\%\) von \(370\) sind \(37\) Mitglieder.

- Überlege dir zuerst, was das „Ganze“ ist, was der „Anteil als Zahl“ und was der „Anteil in Prozent“. - Kannst du die Aufgabe in die Form „\(p\,\%\) von \(G\) ist \(W\)“ bringen? - Bei b) hilft es, den Anteil erst als Bruch zu schreiben und diesen dann auf den Nenner 100 zu erweitern. - Bei c) weißt du, wie viel \(10\,\%\) sind. Wie oft passen \(10\,\%\) in das Ganze (\(100\,\%\))?

1. Teilaufgabe a): Gesucht ist der Prozentwert \(W\). Berechnung: \(W = 400\,\text{m} \cdot 0{,}15 = 60\,\text{m}\). 2. Teilaufgabe b): Gesucht ist der Prozentsatz \(p\,\%\). Berechnung: \(\frac{12}{60} = \frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20\,\%\). 3. Teilaufgabe c): Gesucht ist der Grundwert \(G\). Berechnung: \(5\,\text{€} : 0{,}1 = 50\,\text{€}\).

a) Gesucht: Prozentwert; Ergebnis: \(60\,\text{m}\) b) Gesucht: Prozentsatz; Ergebnis: \(20\,\%\) c) Gesucht: Grundwert; Ergebnis: \(50\,\text{€}\)

- Welche Zahl stellt das Ganze dar und welche den Anteil? - Überlege dir für jede Teilaufgabe, ob du den Anteil als Zahl, den Anteil in Prozent oder die Gesamtzahl suchst. - Es kann helfen, die Prozentangabe zuerst in einen Dezimalbruch umzuwandeln.

1. Berechnung des Prozentsatzes für die Tennisabteilung: \(p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{40}{200} = 0{,}2 = 20\,\%\). 2. Berechnung des Prozentwerts für die Schwimmabteilung: \(W = G \cdot p\,\% = 120 \cdot 0{,}15 = 18\). 3. Berechnung des Grundwerts für den gesamten Verein: \(G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{12}{0{,}05} = 240\).

a) Gesucht ist der Prozentsatz: \(20\,\%\) b) Gesucht ist der Prozentwert: \(18\) Kinder c) Gesucht ist der Grundwert: \(240\) Mitglieder

- Überlege dir zuerst, welche der drei Größen (Grundwert, Prozentsatz oder Prozentwert) jeweils gesucht ist. - Erinnere dich an die Grundformel der Prozentrechnung und wie man sie nach der gesuchten Größe umstellt. - Du kannst den Prozentsatz als Dezimalzahl oder als Bruch schreiben, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung des Prozentwerts: \(W = G \cdot p\,\% = 450\,\text{€} \cdot 12\,\% = 450\,\text{€} \cdot 0{,}12 = 54\,\text{€}\). 2. Berechnung des Prozentsatzes: \(p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{20\,\text{kg}}{80\,\text{kg}} = 0{,}25 = 25\,\%\). 3. Berechnung des Grundwerts: \(G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{15\,\text{m}}{5\,\%} = \frac{15\,\text{m}}{0{,}05} = 300\,\text{m}\).

Die fehlenden Werte sind: 1. \(W = 54\,\text{€}\) 2. \(p\,\% = 25\,\%\) 3. \(G = 300\,\text{m}\)

- Überlege dir zuerst, welche der drei Größen (Grundwert, Prozentsatz oder Prozentwert) jeweils gesucht ist. - Kannst du den Prozentsatz als Bruch oder Dezimalzahl schreiben? - Hilft dir die Vorstellung von Anteilen (z. B. \(25\,\%\) ist ein Viertel)?

1. Berechnung von \(10\,\%\) von \(450\,\text{m}\): \(450\,\text{m} \cdot 0{,}10 = 45\,\text{m}\). 2. Berechnung des Grundwerts bei \(W = 12\,\text{kg}\) und \(p = 25\,\%\): \(G = \frac{12\,\text{kg}}{0{,}25} = 48\,\text{kg}\). 3. Berechnung des Prozentsatzes bei \(W = 20\,\text{€}\) und \(G = 80\,\text{€}\): \(p = \frac{20\,\text{€}}{80\,\text{€}} = 0{,}25 = 25\,\%\). 4. Berechnung des Prozentwerts bei \(p = 150\,\%\) und \(G = 60\): \(W = 60 \cdot 1{,}50 = 90\).

a) \(45\,\text{m}\) b) \(48\,\text{kg}\) c) \(25\,\%\) d) \(90\)

- Überlege dir, wie man einen Anteil von einem Ganzen berechnet. - Wie kann man einen Bruch wie ein Drittel in eine Rechnung mit der Gesamtzahl einbauen? - Was bedeutet das Wort „Prozent“ übersetzt für deine Rechnung? - Vergleiche am Ende die berechneten absoluten Zahlen miteinander.

1. Berechnung der Fußballspieler: \(240 \cdot 0{,}25 = 60\). 2. Berechnung der Anzahl der Jugendlichen, die ein Instrument spielen: \(240 : 3 = 80\). 3. Berechnung der Theater-Interessenten: \(240 \cdot 0{,}15 = 36\). 4. Vergleich der Gruppengrößen: Die Gruppe der Jugendlichen, die ein Instrument spielen, ist mit \(80\) Personen die größte, da \(80 > 60 > 36\).

a) Es sind \(60\) Fußballspieler. b) Es sind \(80\) Schülerinnen und Schüler, die ein Instrument spielen. c) Es sind \(36\) Interessenten für die Theater-AG. d) Die Gruppe der Jugendlichen, die ein Instrument spielen, ist die größte (\(80\) Personen).

- Überlege dir, in welche Darstellung (Bruch, Dezimalzahl oder Prozent) du alle Werte am einfachsten umrechnen kannst, um sie zu vergleichen. - Erinnere dich daran, wie man einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt, indem man den Zähler durch den Nenner teilt. - Wie viel Prozent entspricht eine Dezimalzahl, wenn du das Komma um zwei Stellen nach rechts verschiebst?

1. Umwandlung aller Werte in Dezimalzahlen oder Prozentsätze zum besseren Vergleich: - \(0{,}35 = 35\,\%\) - \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\) - \(36\,\%\) bleibt gleich - \(\frac{1}{3} = 1 : 3 = 0{,}\overline{3} \approx 33{,}3\,\%\) 2. Vergleich der Werte: \(33{,}\overline{3}\,\% < 35\,\% < 36\,\% < 37{,}5\,\%\) 3. Anordnung der ursprünglichen Werte: \(\frac{1}{3} < 0{,}35 < 36\,\% < \frac{3}{8}\)

\(\frac{1}{3} < 0{,}35 < 36\,\% < \frac{3}{8}\)

- Bestimme zuerst den Anteil als Bruch: Anzahl der betreffenden Personen geteilt durch die Gesamtzahl der Klasse. - Überlege dir, wie du den Nenner 25 auf 100 erweitern kannst, um den Prozentsatz direkt abzulesen. - Die Summe aller Teilprozentsätze muss immer \(100\,\%\) ergeben.

1. Teilaufgabe a: Anteil Fußballer ist \(\frac{15}{25}\). Gekürzt mit 5 ergibt das \(\frac{3}{5}\). Umwandlung in Prozent: \(\frac{3}{5} = \frac{60}{100} = 60\,\%\). 2. Teilaufgabe b: Anteil Tennisspieler ist \(\frac{6}{25}\). Umwandlung in Dezimalzahl: \(6 : 25 = 0{,}24\). Umwandlung in Prozent: \(0{,}24 = 24\,\%\). 3. Teilaufgabe c: Anzahl der Jugendlichen ohne Sport: \(25 - 15 - 6 = 4\). Anteil: \(\frac{4}{25} = \frac{16}{100} = 16\,\%\). Alternativ über die Prozentsätze: \(100\,\% - 60\,\% - 24\,\% = 16\,\%\).

a) \(\frac{3}{5}\) bzw. \(60\,\%\) b) \(0{,}24\) bzw. \(24\,\%\) c) \(16\,\%\)

- Ein Prozentsatz lässt sich immer als Bruch mit dem Nenner 100 schreiben. - Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, kannst du Zähler durch Nenner teilen. - Denk beim Kürzen daran, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren.

1. Umwandlung von \(12\,\%\): \(12\,\% = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}\) (gekürzt) \(12\,\% = 0{,}12\) 2. Umwandlung von \(\frac{5}{8}\): \(\frac{5}{8} = 5 : 8 = 0{,}625\) \(0{,}625 = 62{,}5\,\%\) 3. Umwandlung von \(0{,}05\): \(0{,}05 = 5\,\%\) \(5\,\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}\) (gekürzt)

(1) \(\frac{3}{25}\); (2) \(0{,}12\); (3) \(0{,}625\); (4) \(62{,}5\,\%\); (5) \(\frac{1}{20}\); (6) \(5\,\%\)

- Versuche, alle Zahlen in die gleiche Darstellung zu bringen, zum Beispiel alle als Dezimalzahl oder alle als Prozentsatz. - Wie rechnet man einen Bruch in eine Dezimalzahl um? - Was bedeutet das Prozentzeichen übersetzt als Bruch mit dem Nenner 100? - Kannst du Brüche kürzen oder erweitern, um sie besser vergleichen zu können?

1. Umwandlung aller Werte in eine vergleichbare Form (z. B. Dezimalzahlen oder Prozentsätze): - \(\frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%\) - \(0{,}75 = 75\,\%\) - \(7{,}5\,\% = 0{,}075\) - \(75\,\% = 0{,}75\) - \(\frac{75}{10} = 7{,}5 = 750\,\%\) - \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Werte \(\frac{3}{4}\), \(0{,}75\), \(75\,\%\) und \(\frac{6}{8}\) sind alle gleich \(0{,}75\). 3. Die Werte \(7{,}5\,\%\) und \(\frac{75}{10}\) bilden jeweils eine eigene Einzelgruppe.

Die Werte \(\frac{3}{4}\), \(0{,}75\), \(75\,\%\) und \(\frac{6}{8}\) bilden eine Gruppe, da sie alle denselben Anteil beschreiben. \(7{,}5\,\%\) und \(\frac{75}{10}\) bilden jeweils eine eigene Einzelgruppe.

- Überlege dir zuerst, welche der drei Grundformeln der Prozentrechnung du jeweils benötigst. - Wandle den Prozentsatz für die Rechnung in eine Dezimalzahl um. - Kontrolliere dein Ergebnis: Ist der Prozentwert bei einem Prozentsatz unter \(100\,\%\) kleiner als der Grundwert?

1. Berechnung von \(W\) für Teil a): Anwendung der Formel \(W = G \cdot p\,\% = 450 \cdot 0{,}12 = 54\). 2. Berechnung von \(p\,\%\) für Teil b): Anwendung der Formel \(p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{48}{600} = 0{,}08\). Umwandlung in Prozentsatz ergibt \(8\,\%\). 3. Berechnung von \(G\) für Teil c): Anwendung der Formel \(G = \frac{W}{p\,\%} = \frac{10{,}5}{0{,}07} = 150\).

a) \(W = 54\) b) \(p\,\% = 8\,\%\) c) \(G = 150\)

- Wie berechnet man den Grundwert, wenn der Prozentwert und der Prozentsatz bekannt sind? - Berechne zuerst beide Werte getrennt voneinander, bevor du sie vergleichst.

1. Berechnung des Grundwerts für Fall 1: \(G_1 = \frac{W}{p\,\%} = \frac{35}{0{,}14} = 250\). 2. Berechnung des Grundwerts für Fall 2: \(G_2 = \frac{W}{p\,\%} = \frac{60}{0{,}25} = 240\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(250 > 240\), ist der Grundwert in Fall 1 größer.

In Fall 1 ist der Grundwert \(G = 250\). In Fall 2 ist der Grundwert \(G = 240\). Somit ist der Grundwert in Fall 1 größer.

- Ein Prozentsatz beschreibt einen Anteil bezogen auf \(100\). - Bei Brüchen hilft es zu prüfen, ob du auf einen Nenner von \(100\) erweitern kannst oder zuerst eine Dezimalzahl bestimmst. - Bei Dezimalzahlen überlege, wie sich der Wert verändert, wenn du ihn als Hundertstel schreibst.

1. \(\frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 28\,\%\). 2. \(0{,}08 = \frac{8}{100} = 8\,\%\). 3. \(1\frac{3}{4} = 1{,}75 = 175\,\%\). 4. \(\frac{1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5\,\%\). 5. \(0{,}375 = 37{,}5\,\%\).

(1) \(28\,\%\) (2) \(8\,\%\) (3) \(175\,\%\) (4) \(12{,}5\,\%\) (5) \(37{,}5\,\%\)

- Bringe in jeder Zeile beide Angaben in dieselbe Prozentdarstellung. - Bei einem Bruch kannst du auf Hundertstel erweitern oder zuerst die zugehörige Dezimalzahl bestimmen. - Vergleiche erst, nachdem beide Werte dieselbe Darstellungsform haben.

1. a) \(\frac{2}{5} = 40\,\%\). Daher gilt \(40\,\% > 38\,\%\). 2. b) \(\frac{3}{25} = 12\,\%\). Daher sind beide Werte gleich. 3. c) \(\frac{1}{6} = 16{,}666\ldots\,\%\). Daher gilt \(15\,\% < \frac{1}{6}\). 4. d) \(\frac{7}{8} = 87{,}5\,\%\). Daher gilt \(\frac{7}{8} > 87\,\%\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(<\) d) \(>\)

- Eine gemeinsame Prozentdarstellung macht die vier Werte direkt vergleichbar. - Ordne erst, wenn alle vier Angaben in derselben Form vorliegen. - Bei c) wird der Abstand zweier Prozentsätze in Prozentpunkten angegeben.

1. Die Prozentdarstellungen lauten: \(A = 80\,\%\), \(B = 75\,\%\), \(C = 82\,\%\) und \(D = 85\,\%\). 2. Damit gilt \(B < A < C < D\). 3. Der Abstand zwischen größtem und kleinstem Wert beträgt \(85\,\% - 75\,\% = 10\) Prozentpunkte.

a) \(A = 80\,\%\), \(B = 75\,\%\), \(C = 82\,\%\), \(D = 85\,\%\) b) \(B < A < C < D\) c) \(10\) Prozentpunkte

- Wie viele gleich große Kästchen bilden im Bild das Ganze? - Welchem Prozentanteil entspricht dadurch ein einzelnes Kästchen? - Vergleiche den markierten Anteil mit dem Ziel von \(40\,\%\).

1. Das Feld besteht aus \(100\) gleich großen Kästchen. Daher entspricht jedes Kästchen \(1\,\%\). 2. Im Bild sind \(37\) Kästchen markiert, also \(37\,\%\) des Feldes. 3. Bis \(40\,\%\) fehlen \(40 - 37 = 3\) Kästchen.

Es müssen \(3\) weitere Kästchen markiert werden.

- Vergleiche die beiden Prozentsätze miteinander, bevor du rechnest. - Überlege, wie sich der Prozentwert bei gleichbleibendem Grundwert verändert, wenn sich der Prozentsatz vervielfacht. - Du musst den Grundwert nicht kennen, wenn du die beiden Prozentwerte direkt miteinander in Beziehung setzt.

1. Der Grundwert bleibt gleich, während sich der Prozentsatz von \(15\,\%\) auf \(30\,\%\) verdoppelt. 2. Deshalb verdoppelt sich auch der Prozentwert: \(36 \cdot 2 = 72\).

Der Prozentwert beträgt \(72\) Einheiten.

- Bestimme aus der Abbildung, aus wie vielen gleich großen Teilen das Ganze besteht und wie viele davon markiert sind. - Schreibe daraus zuerst einen Bruch für den markierten Anteil. - Überlege, mit welchem Faktor du den Nenner auf \(100\) bringen kannst.

1. Der Balken ist in \(20\) gleich große Teile zerlegt; \(7\) davon sind markiert. 2. Der markierte Anteil ist \(\frac{7}{20}\). 3. Erweitert auf Hundertstel gilt \(\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 35\,\%\).

Der markierte Anteil ist \(\frac{7}{20} = 35\,\%\).

- Beide Prozentsätze gehören zum selben Grundwert. Überlege, was das für die beiden Prozentwerte bedeutet. - Vergleiche zunächst \(75\,\%\) mit \(20\,\%\), ohne den Grundwert auszurechnen. - Berechne den Grundwert erst anschließend als Kontrolle deines ersten Weges.

1. Da sich beide Prozentsätze auf denselben Grundwert beziehen, verhalten sich die Prozentwerte wie die Prozentsätze: \(75 : 20 = 3{,}75\). 2. Der gesuchte Prozentwert ist daher \(48 \cdot 3{,}75 = 180\). 3. Der Grundwert ist \(G = 48 \cdot \frac{100}{20} = 240\). 4. Die Kontrolle ergibt \(240 \cdot \frac{75}{100} = 180\). Das bestätigt das Ergebnis aus a).

a) Der Prozentwert ist \(180\). Bei gleichem Grundwert ist der Prozentwert proportional zum Prozentsatz; \(75\,\%\) sind das \(3{,}75\)-Fache von \(20\,\%\). b) \(G = 240\); die Kontrolle mit \(75\,\%\) ergibt wieder \(180\).

- Schau dir die Zahlen genau an: Wie hängen die Prozentsätze untereinander zusammen? Und wie die Grundwerte? - Rechne die Werte erst aus, nachdem du dir die Verhältnisse der Zahlen angesehen hast. - Was passiert mit einem Produkt, wenn du eine Zahl verdoppelst und die andere halbierst?

1. Berechnung der Werte: A: \(250 \cdot 0{,}12 = 30\) B: \(125 \cdot 0{,}24 = 30\) C: \(500 \cdot 0{,}06 = 30\) 2. Vergleich: Alle drei Werte sind identisch (\(30\)). 3. Erklärung: Der Prozentwert berechnet sich aus \(G \cdot \frac{p}{100}\). Wenn ein Faktor (z. B. der Prozentsatz) verdoppelt und der andere Faktor (der Grundwert) halbiert wird, bleibt das Produkt gleich. Beispiel A zu B: Prozentsatz \(12\,\% \to 24\,\%\) (Verdopplung), Grundwert \(250 \to 125\) (Halbierung).

a) Alle drei Ausdrücke liefern denselben Wert. b) A: \(30\); B: \(30\); C: \(30\). c) Da der Prozentwert das Produkt aus Grundwert und Prozentsatz (als Dezimalzahl) ist, bleibt das Ergebnis gleich, wenn man einen Faktor verdoppelt und den anderen halbiert.

- Was ist hier der Grundwert und was ist der Prozentwert? - Wie berechnet man den Prozentsatz, wenn Teil und Ganzes bekannt sind? - Kannst du erst den Unterschied in Prozent ausrechnen, bevor du die Kapazität berechnest? - Achte auf die Einheiten in deiner Antwort.

1. Bestimmung des Prozentsatzes für \(1125\,\text{mAh}\): \(\frac{1125}{4500} = 0{,}25 = 25\,\%\). 2. Berechnung der Restladung bei \(20\,\%\): \(4500 \cdot 0{,}20 = 900\,\text{mAh}\). 3. Berechnung der Ladungsdifferenz zwischen \(20\,\%\) und \(5\,\%\): Der Ladestand sinkt um \(15\) Prozentpunkte (von \(20\,\%\) auf \(5\,\%\)). Das entspricht \(15\,\%\) der Gesamtkapazität. Berechnung: \(4500 \cdot 0{,}15 = 675\,\text{mAh}\). Alternativ: \(900\,\text{mAh} - (4500 \cdot 0{,}05) = 900\,\text{mAh} - 225\,\text{mAh} = 675\,\text{mAh}\).

a) Dies entspricht \(25\,\%\). b) Es sind noch \(900\,\text{mAh}\) vorhanden. c) Der Ladestand sank um \(15\) Prozentpunkte; das entspricht \(675\,\text{mAh}\).

- Welche Größe ist gesucht, wenn ein Teil und sein Prozentsatz gegeben sind? - Wie ergänzen sich die Anteile aller Baumarten zu einem Ganzen? - Gibt es einen Weg, die Anzahl der Buchen direkt aus der Gesamtzahl und der Anzahl der Eichen zu bestimmen?

1. Berechnung des Grundwerts (Gesamtzahl der Bäume): \(G = \frac{W}{p} = \frac{420}{0{,}35} = 1200\). 2. Bestimmung des Prozentsatzes der Buchen: \(100\,\% - 35\,\% = 65\,\%\). 3. Berechnung der Anzahl der Buchen: \(1200 - 420 = 780\) oder \(1200 \cdot 0{,}65 = 780\).

a) Es wurden insgesamt \(1200\) Bäume gepflanzt. b) Die Buchen machen \(65\,\%\) aus. c) Es wurden \(780\) Buchen gepflanzt.

- Wie rechnet man Prozentangaben in Gradzahlen um, wenn der Bezugswinkel bekannt ist? - Welche Gradzahlen sind für einen rechten und einen gestreckten Winkel festgelegt? - Vergleiche die beiden berechneten Werte am Ende miteinander.

1. Ein gestreckter Winkel beträgt \(180^\circ\). 2. Berechnung von \(\alpha\): \(0{,}35 \cdot 180^\circ = 63^\circ\). 3. Ein rechter Winkel beträgt \(90^\circ\). 4. Berechnung von \(\beta\): \(0{,}75 \cdot 90^\circ = 67{,}5^\circ\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(67{,}5^\circ > 63^\circ\), ist Winkel \(\beta\) größer als Winkel \(\alpha\).

\(\alpha = 63^\circ\) und \(\beta = 67{,}5^\circ\). Somit ist Winkel \(\beta\) größer als Winkel \(\alpha\).

- Rechne den Bruch in eine Dezimalzahl um. Was fällt dir bei der Division auf? - Wie schreibt man eine Dezimalzahl als Prozentsatz? - Vergleiche die beiden Zahlen Stelle für Stelle nach dem Komma.

1. Berechnung des exakten Wertes von \(\frac{1}{6}\) als Dezimalzahl: \(1 : 6 = 0{,}1666\ldots\) bzw. \(0{,}1\overline{6}\). 2. Umwandlung in einen Prozentsatz: \(0{,}1\overline{6} = 16{,}\overline{6}\,\%\). 3. Vergleich mit Tims Behauptung: \(16{,}\overline{6}\,\%\) ist nicht gleich \(16\,\%\). 4. Da \(16{,}\overline{6} > 16\), ist der Anteil \(\frac{1}{6}\) größer als \(16\,\%\). Tims Behauptung ist also falsch, da er den periodischen Teil vernachlässigt hat.

Tims Behauptung ist falsch. \(\frac{1}{6}\) entspricht \(16{,}\overline{6}\,\%\) (oder ca. \(16{,}67\,\%\)), was mehr ist als \(16\,\%\). Somit ist \(\frac{1}{6} > 16\,\%\).

- Achte genau auf Formulierungen wie „um“ oder „auf“. - Wandle Prozentsätze in Dezimalzahlen um, indem du das Komma um zwei Stellen nach links verschiebst. - Wie viel ist ein Drittel als Prozentsatz? Nutze dies für Aussage b). - Rechne bei d) einfach mit den Prozentwerten wie mit normalen Zahlen, wenn es um Anteile von Anteilen geht.

1. Aussage a): \(0{,}2\,\% = \frac{0{,}2}{100} = \frac{2}{1000} = \frac{1}{500}\). Da \(\frac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%\) ist, ist die Aussage falsch. Korrektur: \(0{,}2\,\% = \frac{1}{500}\) oder \(20\,\% = \frac{1}{5}\). 2. Aussage b): \(\frac{2}{3} \approx 0{,}6667 = 66{,}67\,\%\). Da \(66{,}67\,\% < 67\,\%\), ist die Aussage wahr. 3. Aussage c): \(150\,\% = 1{,}5\). Eine Steigerung *auf* \(150\,\%\) wäre das Eineinhalbfache. Eine Steigerung *um* \(150\,\%\) bedeutet \(100\,\% + 150\,\% = 250\,\%\), also das Zweieinhalbfache. Die Aussage ist falsch. Korrektur: Das Zweieinhalbfache des Wertes. 4. Aussage d): \(\frac{1}{4} \cdot 20\,\% = 5\,\%\). Da \(5\,\% \cdot 4 = 20\,\%\), ist die Aussage wahr.

a) Falsch. Korrektur: \(0{,}2\,\% = \frac{1}{500}\) (oder: \(20\,\% = \frac{1}{5}\)). b) Wahr. c) Falsch. Korrektur: Es ist das Zweieinhalbfache (oder: Eine Steigerung *auf* \(150\,\%\) wäre das Eineinhalbfache). d) Wahr.

- Bringe die Einträge einer Zeile jeweils auf dieselbe Bedeutung: Bruch, Dezimalzahl und Prozentsatz sollen denselben Anteil darstellen. - Beim Wechsel zwischen Dezimalzahl und Prozentsatz verändert sich die Stelle des Kommas um zwei Stellen. - Für die Reihenfolge hilft es, alle vier Anteile in derselben Darstellungsform zu vergleichen.

1. \(\frac{1}{400}=0{,}0025=0{,}25\,\%\). 2. \(0{,}4\,\%=0{,}004=\frac{1}{250}\). 3. \(0{,}125=12{,}5\,\%=\frac{1}{8}\). 4. \(\frac{5}{6}=0{,}8\overline{3}=83{,}\overline{3}\,\%\). 5. In Prozentdarstellung gilt \(0{,}25\,\%<0{,}4\,\%<12{,}5\,\%<83{,}\overline{3}\,\%\).

Tabelle: - \(\frac{1}{400}=0{,}0025=0{,}25\,\%\) - \(\frac{1}{250}=0{,}004=0{,}4\,\%\) - \(\frac{1}{8}=0{,}125=12{,}5\,\%\) - \(\frac{5}{6}=0{,}8\overline{3}=83{,}\overline{3}\,\%\) Reihenfolge: \(0{,}25\,\%<0{,}4\,\%<12{,}5\,\%<83{,}\overline{3}\,\%\).

- Kannst du aus der Information über die Instrumentenspieler die Gesamtzahl aller Jugendlichen berechnen? - Wenn du die Gesamtzahl kennst, wie berechnest du dann einen bestimmten Anteil davon? - Was ändert sich an der Rechnung, wenn die Anzahl der Personen steigt, die Gesamtzahl aber gleich bleibt?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Grundwerts \(G\). Gegeben sind der Prozentwert \(W = 162\) und der Prozentsatz \(p = 27\,\%\). 2. Berechnung: \(G = W : p = 162 : 0{,}27 = 600\). Es wurden insgesamt \(600\) Jugendliche befragt. 3. Teilaufgabe b): Berechnung des Prozentwerts für Sportler. \(W = G \cdot p = 600 \cdot 0{,}45 = 270\). Es treiben \(270\) Jugendliche Vereinssport. 4. Teilaufgabe c): Bestimmung der neuen Anzahl der Instrumentenspieler: \(162 + 18 = 180\). 5. Berechnung des neuen Prozentsatzes bezogen auf die Gesamtzahl: \(p = \frac{180}{600} = 0{,}3\). 6. Umrechnung: \(0{,}3 = 30\,\%\). Der neue Anteil beträgt \(30\,\%\).

a) Es wurden insgesamt \(600\) Jugendliche befragt. b) Das sind \(270\) Jugendliche. c) Der neue Anteil beträgt \(30\,\%\).

- Wie berechnet man einen Teilbetrag, wenn der Prozentsatz und der Gesamtbetrag bekannt sind? - Wie viele Grad hat ein ganzer Kreis insgesamt? - Der Mittelpunktswinkel ist proportional zum Prozentsatz: \(100\,\%\) entsprechen \(360^\circ\). - Du kannst erst ausrechnen, wie viel Grad \(1\,\%\) entsprechen, und das dann mit der gesuchten Prozentzahl multiplizieren.

1. Berechnung der Kosten für Musik & Technik: \(20\,\%\) von \(600\,\text{€} = 0{,}20 \cdot 600\,\text{€} = 120\,\text{€}\). 2. Berechnung des Mittelpunktswinkels für Essen & Trinken: Ein voller Kreis hat \(360^\circ\). \(55\,\%\) davon entsprechen \(0{,}55 \cdot 360^\circ = 198^\circ\).

a) Für Musik & Technik sind \(120\,\text{€}\) vorgesehen. b) Der Mittelpunktswinkel für Essen & Trinken beträgt \(198^\circ\).

- Du kennst den Wert für einen Teil (\(15\,\%\)). Wie kommst du von dort auf das Ganze (\(100\,\%\))? - Wenn du die Gesamtzahl kennst, kannst du die anderen Anteile leicht berechnen. - Hilft dir der Dreisatz weiter? \(15\,\%\) entsprechen \(12\) Liedern, wie viel entspricht dann \(1\,\%\)?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Lieder (Grundwert): \(15\,\%\) entsprechen \(12\) Liedern. Der Grundwert berechnet sich durch \(12 : 0{,}15 = 80\). Insgesamt wurden \(80\) Lieder gespielt. 2. Berechnung der Anzahl der Pop-Lieder (Prozentwert): \(40\,\%\) von \(80\) Liedern entsprechen \(0{,}40 \cdot 80 = 32\). Es wurden \(32\) Pop-Lieder gespielt.

a) \(80\) Lieder b) \(32\) Lieder