- Welcher der beiden Werte ist der Ausgangswert und damit die Bezugsgröße? - Wie groß ist die Zunahme gegenüber dem Ausgangswert \(100\)? - Bei einem Ausgangswert von \(100\) kannst du die Zunahme direkt als Prozentangabe lesen.

1. Die Zunahme beträgt \(115 - 100 = 15\) Fahrgäste. Da der Ausgangswert \(100\) beträgt, entspricht das direkt einer Zunahme um \(15\,\%\).

Die Zahl der Fahrgäste ist um \(15\,\%\) gestiegen.

- Gefragt sind Prozentpunkte, nicht die relative prozentuale Veränderung. - Vergleiche deshalb die beiden angegebenen Prozentwerte direkt miteinander. - Achte in der Antwort auf die Einheit „Prozentpunkte“.

1. Bei Prozentpunkten werden die beiden Prozentangaben direkt verglichen. 2. Die Zunahme beträgt \(47\,\% - 42\,\% = 5\) Prozentpunkte.

Der Anteil ist um \(5\) Prozentpunkte gestiegen.

- Lies zuerst den Ausgangswert und den neuen Wert aus dem Diagramm ab. - Bestimme die absolute Zunahme zwischen den beiden Säulen. - Beziehe diese Zunahme auf den Ausgangswert.

1. Aus dem Diagramm liest man den Ausgangswert \(100\) und den neuen Wert \(120\) ab. 2. Die Zunahme beträgt \(120 - 100 = 20\). 3. Bezogen auf den Ausgangswert \(100\) sind das \(20\,\%\).

Der Wert ist um \(20\,\%\) gestiegen.

- Für die prozentuale Zunahme ist der ursprüngliche Wert die Bezugsgröße. - Vergleiche die Zunahme mit der ursprünglichen Teilnehmerzahl. - Überlege, welchen einfachen Bruch die Zunahme vom Ausgangswert ausmacht.

1. Der ursprüngliche Wert \(80\) ist die Bezugsgröße. 2. Die Zunahme \(8\) ist \(\frac{8}{80} = \frac{1}{10}\) des ursprünglichen Werts. 3. Damit beträgt die Zunahme \(10\,\%\).

Die Teilnehmerzahl ist um \(10\,\%\) gestiegen.

- Überlege dir zuerst, was der Unterschied zwischen einer einfachen Differenz von Prozentangaben und dem relativen Wachstum ist. - Welcher Wert ist die Basis (der Grundwert) für die Berechnung der Zunahme? - Wie rechnet man einen Bruch in eine Prozentzahl um?

1. Berechnung der Differenz in Prozentpunkten: \(30\,\% - 20\,\% = 10\) Prozentpunkte. 2. Berechnung der prozentualen Zunahme bezogen auf den Ausgangswert: \(\frac{\text{Differenz}}{\text{Ausgangswert}} = \frac{10}{20}\). 3. Umwandlung in einen Prozentsatz: \(\frac{10}{20} = 0{,}5 = 50\,\%\).

a) Der Anteil ist um \(10\) Prozentpunkte gestiegen. b) Der Anteil hat um \(50\,\%\) zugenommen.

- Was war der ursprüngliche Wert, bevor die Änderung eintrat? - Wie viel Liter wurden durch die neuen Duschköpfe tatsächlich eingespart? - Setze die Ersparnis ins Verhältnis zum alten Gesamtverbrauch.

1. Bestimmung des Grundwerts: Der ursprüngliche Verbrauch ist \(G = 12\,000\) Liter. 2. Berechnung des Prozentwerts (Ersparnis): \(W = 12\,000\,\text{l} - 10\,500\,\text{l} = 1500\,\text{l}\). 3. Berechnung des Prozentsatzes der Senkung: \(p\,\% = \frac{W}{G} = \frac{1500}{12000}\). 4. Kürzen oder Dividieren: \(\frac{15}{120} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 5. Umwandlung in Prozent: \(0{,}125 = 12{,}5\,\%\).

Der Grundwert beträgt \(12\,000\) Liter, der Prozentwert (die Ersparnis) beträgt \(1500\) Liter. Der Wasserverbrauch ist um \(12{,}5\,\%\) gesunken.

- Beziehe die Zunahme im ersten Jahr auf den ursprünglichen Wert. - Wie erhältst du aus einer Zunahme um \(p\,\%\) den Wachstumsfaktor? - Verwende denselben Faktor auf den Wert zu Beginn des zweiten Jahres.

1. Die absolute Zunahme beträgt \(18\,\text{€}\). Bezogen auf \(1200\,\text{€}\) sind das \(\frac{18}{1200}\cdot100\,\%=1{,}5\,\%\). 2. Der Wachstumsfaktor ist daher \(q=1{,}015\). 3. Nach dem zweiten Jahr gilt \(1218\,\text{€}\cdot1{,}015=1236{,}27\,\text{€}\).

a) Zunahme \(1{,}5\,\%\), Wachstumsfaktor \(1{,}015\) b) \(1236{,}27\,\text{€}\)

- Wie viel Prozent der ursprünglichen Rate bleiben nach einer Verringerung um \(60\,\%\) übrig? - Berechne diesen Anteil von \(0{,}25\,\text{l/min}\).

Eine Verringerung um \(60\,\%\) bedeutet, dass noch \(40\,\%\) der ursprünglichen Verlustrate verbleiben. \(0{,}25\,\text{l/min} \cdot 0{,}40 = 0{,}10\,\text{l/min}\).

Die neue Verlustrate beträgt \(0{,}10\,\text{l/min}\).

- Lies zuerst die beiden Höhen der Balken sorgfältig ab. - Für die relative Veränderung ist der Wert vor der Aktion die Bezugsgröße. - Unterscheide zwischen der absoluten Zunahme und der gesuchten prozentualen Zunahme.

1. Aus der Grafik liest man vor der Aktion \(80\) Fahrräder und nach der Aktion \(100\) Fahrräder ab. 2. Die Zunahme beträgt \(100 - 80 = 20\) Fahrräder. 3. Bezogen auf den Ausgangswert sind das \(\frac{20}{80} = 0{,}25 = 25\,\%\).

Die Zahl der gezählten Fahrräder ist um \(25\,\%\) gestiegen.

- Bestimme für A und B zunächst jeweils die absolute Zunahme. - Für die prozentuale Veränderung ist jeweils der eigene Ausgangswert die Bezugsgröße. - Vergleiche nicht nur die absoluten Differenzen, sondern die Differenzen relativ zu ihren Ausgangswerten.

1. Bei A beträgt die Zunahme \(50 - 40 = 10\). Bezogen auf \(40\) sind das \(\frac{10}{40} = 0{,}25 = 25\,\%\). 2. Bei B beträgt die Zunahme \(96 - 80 = 16\). Bezogen auf \(80\) sind das \(\frac{16}{80} = 0{,}20 = 20\,\%\). 3. Obwohl B absolut stärker zunimmt, ist die prozentuale Zunahme bei A größer.

Bei A ist die prozentuale Zunahme größer: \(25\,\%\) gegenüber \(20\,\%\) bei B.

- Lies beide Säulenwerte an der y-Achse ab und bestimme ihre Differenz. - Für die prozentuale Veränderung ist der Montagswert die Bezugsgröße. - Betrachte anschließend besonders den unteren Wert der y-Achse: Beginnt die Skala bei \(0\)?

1. Aus dem Diagramm liest man für Montag \(80\) und für Dienstag \(84\) ab. 2. Die absolute Zunahme beträgt \(84 - 80 = 4\). 3. Bezogen auf den Montagswert beträgt die Zunahme \(\frac{4}{80} = 0{,}05 = 5\,\%\). 4. Die y-Achse beginnt erst bei \(78\) statt bei \(0\). Dadurch nimmt die Differenz von \(4\) Einheiten einen großen Teil der sichtbaren Achsenhöhe ein und wirkt optisch übertrieben.

Die Besucherzahl ist um \(5\,\%\) gestiegen. Das Diagramm übertreibt den visuellen Unterschied, weil die y-Achse bei \(78\) statt bei \(0\) beginnt.

- Beide Rechnungen verwenden dieselbe absolute Zunahme; sie unterscheiden sich nur in der Bezugsgröße. - Frage dich, welcher Wert vor der Veränderung dem ursprünglichen \(100\,\%\)-Stand entspricht. - Prüfe dann, welcher der beiden Brüche die Zunahme auf diesen Ausgangswert bezieht.

1. Die absolute Zunahme beträgt \(100-80=20\). 2. Bei einer prozentualen Zunahme ist der Ausgangswert die Bezugsgröße für \(100\,\%\). Hier ist das \(80\). 3. Daher gilt \(\frac{20}{80}\cdot100\,\%=25\,\%\). 4. Aylin rechnet richtig. Sami bezieht die Zunahme fälschlich auf den neuen Wert.

Aylin rechnet richtig. Die prozentuale Zunahme beträgt \(25\,\%\), weil die Zunahme von \(20\) auf den Ausgangswert \(80\) bezogen werden muss.

- Auf welchen Wert werden die \(10\,\%\) im zweiten Schritt berechnet? - Welcher Faktor gehört zu einer Zunahme um \(10\,\%\), welcher zu einer Abnahme um \(10\,\%\)? - Für die gesamte Veränderung vergleichst du Startwert und Endwert.

1. Nach der Zunahme um \(10\,\%\) beträgt der Wert \(200\cdot1{,}10=220\). 2. Die Abnahme um \(10\,\%\) bezieht sich auf den neuen Wert \(220\). Daher ergibt sich \(220\cdot0{,}90=198\). 3. Der Endwert liegt um \(200-198=2\) unter dem Startwert. Bezogen auf den Startwert sind das \(\frac{2}{200}=0{,}01=1\,\%\).

a) \(220\) b) \(198\) c) Der Endwert ist insgesamt um \(1\,\%\) kleiner als der Startwert.

- Bestimme aus den beiden Säulen zuerst die absolute Zunahme und beziehe sie auf den Startwert. - Auf welchen Wert beziehen sich die \(25\,\%\) im zweiten Schritt? - Für die gesamte Veränderung vergleichst du den Endwert mit dem Startwert.

1. Aus dem Diagramm liest man den Startwert \(100\) und danach den Wert \(120\) ab. Die erste Zunahme beträgt \(20\) und damit \(\frac{20}{100}=20\,\%\). 2. Nach der zweiten Zunahme beträgt der Wert \(120\cdot1{,}25=150\). 3. Gegenüber dem Startwert ist der Wert um \(150-100=50\) gestiegen. Das entspricht \(50\,\%\) des Startwerts.

a) \(20\,\%\) b) \(150\) c) Insgesamt ist der Wert um \(50\,\%\) gestiegen.

- Darf man die Prozentzahlen einfach zusammenzählen, wenn sie nacheinander auf das jeweilige neue Ergebnis angewendet werden? - Probiere es doch mal mit einer einfachen Startzahl wie 100 aus und rechne die Schritte nacheinander durch. - Wie schreibt man eine Steigerung um einen bestimmten Prozentsatz als Multiplikationsfaktor?

1. Bestimmung der Wachstumsfaktoren für jede Erhöhung: \(1{,}10\) (für \(+10\,\%\)), \(1{,}20\) (für \(+20\,\%\)) und \(1{,}50\) (für \(+50\,\%\)). 2. Multiplikation der Faktoren für die Gesamtwirkung: \(1{,}1 \cdot 1{,}2 \cdot 1{,}5\). 3. Berechnung: \(1{,}1 \cdot 1{,}2 = 1{,}32\); dann \(1{,}32 \cdot 1{,}5 = 1{,}98\). 4. Interpretation des Gesamtfaktors: Ein Faktor von \(1{,}98\) entspricht einer Zunahme von \(98\,\%\).

\(98\,\%\)

- Wie berechnet man einen Teilwert, wenn man das Ganze und den Prozentsatz kennt? - Achte genau auf die Begriffe: Bezieht sich eine Prozentangabe auf den Anteil am Ganzen oder auf die Veränderung einer Gruppe? - Was ist der Unterschied zwischen „Prozent“ und „Prozentpunkten“?

1. Berechnung der Anzahl der Jugendlichen vorher: \(200 \cdot 0{,}15 = 30\). 2. Berechnung der Anzahl der Jugendlichen nachher: \(200 \cdot 0{,}24 = 48\). 3. Berechnung der absoluten Zunahme der Jugendlichen: \(48 - 30 = 18\). 4. Berechnung der prozentualen Zunahme: \(\frac{18}{30} = 0{,}6 = 60\,\%\). 5. Analyse der Aussage: Die Differenz der Anteile beträgt \(24\,\% - 15\,\% = 9\) Prozentpunkte; die Bezeichnung „\(9\,\%\)“ ist hierfür ungenau. Die tatsächliche prozentuale Zunahme der Anzahl beträgt hingegen \(60\,\%\).

a) Vorher waren es \(30\) Jugendliche, nachher \(48\) Jugendliche. b) Die Anzahl der Jugendlichen ist um \(60\,\%\) gestiegen. c) Die Aussage ist ungenau: Die Differenz der Anteile beträgt \(9\) Prozentpunkte, nicht \(9\,\%\). Die tatsächliche Zunahme der Personenzahl beträgt \(60\,\%\).

- Berechne für beide Klassen, wie groß der Zuwachs im Verhältnis zum Startwert war. - Stell dir vor, in jeder Klasse wären 100 Kinder. Wie viele hatten vorher Erfolg, wie viele nachher? - Welche Klasse hat ihren ursprünglichen Erfolg deutlicher übertroffen?

1. Berechnung der relativen Steigerung für Klasse 6a: \(\frac{20 - 10}{10} = \frac{10}{10} = 1 = 100\,\%\). 2. Berechnung der relativen Steigerung für Klasse 6b: \(\frac{50 - 40}{40} = \frac{10}{40} = 0{,}25 = 25\,\%\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(100\,\% > 25\,\%\). Klasse 6a hat ihren Anteil verdoppelt, während Klasse 6b ihn nur um ein Viertel gesteigert hat.

Klasse 6a konnte ihre Erfolgsquote stärker steigern. Während die Steigerung in beiden Fällen \(10\) Prozentpunkte beträgt, entspricht dies bei Klasse 6a einer Zunahme von \(100\,\%\) (Verdopplung), bei Klasse 6b jedoch nur einer Zunahme von \(25\,\%\).

- Vergleiche die beiden gemeldeten Anzahlen zuerst ohne Prozentangabe. - Überlege, auf welchen Ausgangswert sich die Prozentangabe bezieht. - Frage dich danach, welchen Eindruck die absolute Zahl und die Prozentangabe jeweils vermitteln.

1. Die Zahl steigt von \(1\) auf \(2\). Die Zunahme beträgt also \(1\). 2. Bezogen auf den Ausgangswert \(1\) gilt \(\frac{1}{1} = 1 = 100\,\%\). Die Prozentangabe ist rechnerisch richtig. 3. Absolut ist aber nur ein zusätzlicher Fahrraddiebstahl hinzugekommen. Bei einem sehr kleinen Ausgangswert kann deshalb schon eine kleine absolute Änderung zu einer großen prozentualen Änderung führen.

Die Steigerung um \(100\,\%\) ist rechnerisch richtig, weil die Zahl von \(1\) auf \(2\) steigt. Absolut ist jedoch nur ein Fall hinzugekommen. Deshalb kann die große Prozentzahl den Eindruck der Veränderung übertreiben.

- Überlege zuerst, was der Grundwert und was der Prozentwert für die jeweilige Rechnung ist. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats? - Achte darauf, dass du für die Prozentrechnung in Teil c) die neuen Flächeninhalte verwendest.

1. Berechnung der prozentualen Zunahme der Seitenlänge: \(\frac{25\,\text{cm} - 20\,\text{cm}}{20\,\text{cm}} = \frac{5}{20} = 0{,}25 = 25\,\%\). 2. Berechnung der Flächeninhalte: \(A_1 = 20\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 400\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = 25\,\text{cm} \cdot 25\,\text{cm} = 625\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der prozentualen Zunahme des Flächeninhalts: \(\frac{625\,\text{cm}^2 - 400\,\text{cm}^2}{400\,\text{cm}^2} = \frac{225}{400} = 0{,}5625 = 56{,}25\,\%\). 4. Vergleich: Die Fläche wächst mit \(56{,}25\,\%\) deutlich stärker als die Seitenlänge mit \(25\,\%\).

a) Die Seitenlänge ist um \(25\,\%\) größer. b) Die Flächeninhalte betragen \(400\,\text{cm}^2\) und \(625\,\text{cm}^2\). c) Der Flächeninhalt ist um \(56{,}25\,\%\) größer.

- Wie berechnet man \(20\,\%\) von einer Länge? - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Würfels. - Wenn das Volumen von \(1000\) auf \(1728\) steigt, wie groß ist der absolute Unterschied?

1. Berechnung der neuen Kantenlänge: \(10\,\text{cm} \cdot 1{,}20 = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Volumina: \(V_1 = 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 1000\,\text{cm}^3\) und \(V_2 = 12\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 1728\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der prozentualen Zunahme des Volumens: \(\frac{1728\,\text{cm}^3 - 1000\,\text{cm}^3}{1000\,\text{cm}^3} = \frac{728}{1000} = 0{,}728 = 72{,}8\,\%\).

a) Die neue Kantenlänge beträgt \(12\,\text{cm}\). b) Die Volumina sind \(1000\,\text{cm}^3\) und \(1728\,\text{cm}^3\). c) Das Volumen ist um \(72{,}8\,\%\) gestiegen.

- Übersetze jede prozentuale Zunahme zunächst in einen Wachstumsfaktor. - Der Endwert eines Jahres ist der Ausgangswert des nächsten Jahres. - Für die gesamte prozentuale Zunahme brauchst du wieder den ursprünglichen Startwert als Bezugswert.

1. Die Wachstumsfaktoren sind \(1{,}015\), \(1{,}025\) und \(1{,}035\). 2. Nach dem ersten Jahr gilt \(600{,}00\,\text{€}\cdot1{,}015=609{,}00\,\text{€}\). 3. Nach dem zweiten Jahr gilt \(609{,}00\,\text{€}\cdot1{,}025=624{,}225\,\text{€}\approx624{,}23\,\text{€}\). 4. Nach dem dritten Jahr gilt \(624{,}23\,\text{€}\cdot1{,}035=646{,}07805\,\text{€}\approx646{,}08\,\text{€}\). 5. Der gesamte Zuwachs beträgt \(46{,}08\,\text{€}\). Bezogen auf \(600\,\text{€}\) sind das \(\frac{46{,}08}{600}\cdot100\,\%=7{,}68\,\%\).

a) \(1{,}015\), \(1{,}025\), \(1{,}035\) b) \(609{,}00\,\text{€}\), \(624{,}23\,\text{€}\), \(646{,}08\,\text{€}\) c) Insgesamt etwa \(7{,}68\,\%\) Zunahme.

- Reicht es aus, nur die absolute Zahl der neuen Mitglieder zu vergleichen? - Berechne für jeden Verein einzeln, wie viel Prozent der Zuwachs vom jeweiligen Startwert ausmacht. - Vergleiche am Ende die beiden Prozentsätze miteinander.

1. Berechnung des Zuwachses für Verein A: \(224 - 200 = 24\) neue Mitglieder. 2. Berechnung des Prozentsatzes für Verein A: \(\frac{24}{200} = \frac{12}{100} = 12\,\%\). 3. Berechnung des Zuwachses für Verein B: \(555 - 500 = 55\) neue Mitglieder. 4. Berechnung des Prozentsatzes für Verein B: \(\frac{55}{500} = \frac{11}{100} = 11\,\%\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(12\,\% > 11\,\%\). Verein A hat prozentual stärker zugenommen.

Verein A hat mit einem Zuwachs von \(12\,\%\) prozentual stärker zugenommen als Verein B mit \(11\,\%\).

- Berechne zuerst den Zuwachs für das erste Jahr und addiere ihn zum Startwert. - Nutze dieses Ergebnis als neuen Ausgangspunkt für die Berechnung des zweiten Jahres. - Wächst die Stadt in jedem Jahr um die exakt gleiche Anzahl an Menschen?

1. Zunahme im ersten Jahr berechnen: \(2\,\%\) von \(15\,000\) sind \(0{,}02 \cdot 15\,000 = 300\). 2. Einwohnerzahl nach einem Jahr: \(15\,000 + 300 = 15\,300\). 3. Zunahme im zweiten Jahr berechnen: \(2\,\%\) vom neuen Stand (\(15\,300\)) sind \(0{,}02 \cdot 15\,300 = 306\).

a) Nach einem Jahr hat die Stadt \(15\,300\) Einwohner. b) Im zweiten Jahr nimmt die Einwohnerzahl um \(306\) Personen zu.

- Wie viel Wasser ist nach dem ersten Gießen noch übrig? - Die zweite Prozentangabe bezieht sich nur auf diesen Restwert, nicht auf das volle Fass. - Um den Anteil am Anfangswert zu finden, vergleiche die endgültige Restmenge mit dem Startwert von 300 Litern.

1. Berechnung der ersten Entnahme: \(30\,\%\) von \(300\,\text{l}\) sind \(0{,}30 \cdot 300\,\text{l} = 90\,\text{l}\). Die Restmenge beträgt \(300\,\text{l} - 90\,\text{l} = 210\,\text{l}\). 2. Berechnung der zweiten Entnahme vom Rest: \(20\,\%\) von \(210\,\text{l}\) sind \(0{,}20 \cdot 210\,\text{l} = 42\,\text{l}\). 3. Endgültige Restmenge: \(210\,\text{l} - 42\,\text{l} = 168\,\text{l}\). 4. Prozentsatz am ursprünglichen Inhalt: \(\frac{168}{300} = \frac{56}{100} = 56\,\%\).

Es befinden sich noch \(168\) Liter im Fass. Dies entspricht \(56\,\%\) des ursprünglichen Inhalts.

- Unterscheide zwischen dem Anteil am gesamten Tank und der tatsächlichen Menge in Litern. - Was bedeutet der Begriff „Prozentpunkt“ im Vergleich zu einer prozentualen Änderung? - Welche Menge dient als Grundwert, wenn du die Steigerung der Wassermenge berechnest?

1. Berechnung der Prozentpunktdifferenz: Die Differenz beträgt \(35 - 20 = 15\) Prozentpunkte. 2. Berechnung der Wassermengen: Vorher \(20\,\%\) von \(500\,\text{l} = 0{,}2 \cdot 500\,\text{l} = 100\,\text{l}\). Nachher \(35\,\%\) von \(500\,\text{l} = 0{,}35 \cdot 500\,\text{l} = 175\,\text{l}\). 3. Berechnung der Differenz in Litern: \(175\,\text{l} - 100\,\text{l} = 75\,\text{l}\). 4. Berechnung der prozentualen Erhöhung der Wassermenge: \(\frac{75\,\text{l}}{100\,\text{l}} = 0{,}75\). Dies entspricht einer Steigerung von \(75\,\%\).

a) Der Füllstand ist um \(15\) Prozentpunkte gestiegen. b) Es sind \(75\) Liter Wasser hinzugekommen. c) Die Wassermenge hat sich um \(75\,\%\) erhöht.

- Für Prozentpunkte genügt der Abstand zwischen den beiden angezeigten Prozentwerten. - Für eine relative Veränderung brauchst du zusätzlich eine Bezugsgröße. Welche der beiden Anzeigen ist der Ausgangswert? - Achte darauf, dass „Prozentpunkte“ und „Prozent Veränderung“ unterschiedliche Fragen beantworten.

1. Die Änderung in Prozentpunkten beträgt \(75\,\% - 15\,\% = 60\) Prozentpunkte. 2. Für die relative Veränderung ist der Anfangswert \(15\,\%\) die Bezugsgröße. Die Zunahme beträgt \(60\) Prozentpunkte. 3. Relativ zum Anfangswert gilt \(\frac{60}{15} \cdot 100\,\% = 400\,\%\). 4. Prozentpunkte vergleichen zwei Prozentangaben durch Subtraktion. Die relative prozentuale Veränderung vergleicht dagegen die Änderung mit dem ursprünglichen Wert.

a) \(60\) Prozentpunkte b) \(400\,\%\) c) Prozentpunkte geben die Differenz der beiden Prozentangaben an; die relative Veränderung bezieht diese Differenz auf den Anfangswert von \(15\,\%\).

- Überlege zuerst, welche Proteinmenge beim Kochen insgesamt erhalten bleibt. - Beachte, dass die angegebene Masse des gekochten Reises nur ein Näherungswert ist. - Vergleiche für die prozentuale Abnahme den neuen Proteinanteil pro \(100\,\text{g}\) mit dem ursprünglichen Anteil. - Wie wirkt sich eine größere Gesamtmasse bei gleichbleibender Proteinmenge auf die Konzentration aus?

1. Die \(9\,\text{g}\) Protein aus \(100\,\text{g}\) Rohreis befinden sich nach dem Kochen weiterhin in der gesamten, nun etwa \(300\,\text{g}\) schweren Reismenge. 2. Für \(100\,\text{g}\) gekochten Reis ergibt sich daher näherungsweise \(9\,\text{g} : 3 \approx 3\,\text{g}\) Protein. 3. Der Proteinanteil pro \(100\,\text{g}\) sinkt damit näherungsweise von \(9\,\text{g}\) auf \(3\,\text{g}\). Die relative Abnahme beträgt \(\frac{9-3}{9} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\). 4. Die absolute Proteinmenge bleibt gleich, aber durch die Wasseraufnahme steigt die Gesamtmasse. Deshalb verteilt sich dieselbe Proteinmenge auf eine größere Reismasse.

a) In \(100\,\text{g}\) gekochtem Reis sind etwa \(3\,\text{g}\) Protein enthalten. b) Der Proteinanteil pro \(100\,\text{g}\) ist um etwa \(66{,}7\,\%\) gesunken. c) Durch die Wasseraufnahme wird die Reismasse größer, während die Proteinmenge gleich bleibt. Dadurch sinkt der Proteinanteil pro \(100\,\text{g}\).

- Gehe davon aus, dass die \(12\,\text{g}\) Protein aus den rohen Nudeln auch nach dem Kochen noch alle da sind. - Wenn du weißt, wie viel Protein in \(100\,\text{g}\) der fertigen Nudeln ist, wie kannst du dann ausrechnen, welche Masse an gekochten Nudeln die gesamte Proteinmenge enthält? - Achte beim Prozentsatz darauf, ob nach dem Endwert oder nach der Steigerung (dem Unterschied) gefragt ist.

1. Feststellung der Proteinmenge: \(100\,\text{g}\) Rohspaghetti enthalten \(12\,\text{g}\) Protein. Diese Menge bleibt beim Kochen erhalten. 2. Berechnung der Gesamtmasse nach dem Kochen: Wir wissen, dass \(4{,}8\,\text{g}\) Protein in \(100\,\text{g}\) gekochten Spaghetti stecken. Um die Masse \(G\) für \(12\,\text{g}\) Protein zu finden, nutzen wir den Dreisatz oder eine Verhältnisgleichung: \(\frac{G}{12\,\text{g}} = \frac{100\,\text{g}}{4{,}8\,\text{g}}\). 3. Berechnung: \(G = \frac{12}{4{,}8} \cdot 100 = 2{,}5 \cdot 100 = 250\,\text{g}\). 4. Berechnung der prozentualen Massenzunahme: Die Masse steigt von \(100\,\text{g}\) auf \(250\,\text{g}\). Die Zunahme beträgt \(150\,\text{g}\). 5. Prozentsatz bestimmen: \(\frac{150\,\text{g}}{100\,\text{g}} = 1{,}5 = 150\,\%\).

a) Die Portion hat nach dem Kochen eine Masse von \(250\,\text{g}\). b) Die Masse hat um \(150\,\%\) zugenommen.

- Überlege, in welcher gemeinsamen Einheit sich die angegebenen Zeiten am einfachsten vergleichen lassen. - Achte darauf, was bei einer Laufzeit als Verbesserung und was als Verschlechterung gilt. - Kläre für c), welcher der beiden Zeitwerte die Bezugsgröße für die prozentuale Veränderung ist.

1. Umrechnung der Zeiten in Sekunden: Woche 1: \(12 \cdot 60 + 40 = 760\,\text{s}\); Woche 2: \(12 \cdot 60 + 15 = 735\,\text{s}\); Woche 3: \(12 \cdot 60 + 20 = 740\,\text{s}\); Woche 4: \(11 \cdot 60 + 50 = 710\,\text{s}\); Woche 5: \(11 \cdot 60 + 35 = 695\,\text{s}\). 2. Vergleich der wöchentlichen Veränderungen: Woche 1 zu Woche 2: Verbesserung um \(25\,\text{s}\); Woche 2 zu Woche 3: Verschlechterung um \(5\,\text{s}\); Woche 3 zu Woche 4: Verbesserung um \(30\,\text{s}\); Woche 4 zu Woche 5: Verbesserung um \(15\,\text{s}\). Die größte Verbesserung war von Woche 3 zu Woche 4 mit \(30\,\text{s}\). 3. Gesamte Verbesserung: \(760\,\text{s} - 695\,\text{s} = 65\,\text{s}\). 4. Prozentuale Verbesserung: \(\frac{65}{760} \cdot 100 \approx 8{,}552\dots\,\%\). Gerundet auf eine Dezimalstelle ergibt das \(8{,}6\,\%\).

a) Die größte Verbesserung betrug \(30\,\text{s}\) zwischen Woche 3 und Woche 4. b) Die gesamte Verbesserung beträgt \(65\,\text{s}\). c) Die Zeit hat sich um \(\approx 8{,}6\,\%\) verbessert.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats und eines Rechtecks? - Was bedeutet eine Verlängerung oder Verkürzung um einen Prozentsatz für die ursprüngliche Länge? - Vergleiche den neuen Flächeninhalt mit dem alten – ist er größer oder kleiner geworden? - Wie berechnet man das Verhältnis der Änderung zum Grundwert?

1. Berechnung des ursprünglichen Flächeninhalts des Quadrats: \(A_{\text{Quadrat}} = 20\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 400\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der neuen Seitenlängen des Rechtecks: Die verlängerte Seite beträgt \(20\,\text{cm} \cdot 1{,}25 = 25\,\text{cm}\). Die verkürzte Seite beträgt \(20\,\text{cm} \cdot 0{,}75 = 15\,\text{cm}\). 3. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(A_{\text{Rechteck}} = 25\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 375\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der absoluten Abnahme: \(400\,\text{cm}^2 - 375\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der prozentualen Veränderung: \(\frac{25}{400} = 0{,}0625\), was einer Abnahme von \(6{,}25\,\%\) entspricht.

a) Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt \(400\,\text{cm}^2\), der des Rechtecks \(375\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt hat um \(6{,}25\,\%\) abgenommen.

- Wenn du die Seitenlänge kennst, wie hängen Umfang und Flächeninhalt damit zusammen? - Überlege dir zuerst, wie lang eine einzelne Seite sein muss, wenn der Umfang bekannt ist. - Wie wirkt sich eine Änderung der Seitenlänge auf den Umfang aus? Ist das Verhältnis dort anders als beim Flächeninhalt? - Denke daran, dass der Flächeninhalt ein Produkt aus zwei Längen ist.

1. Berechnung der ursprünglichen Seitenlänge: \(a = 48\,\text{cm} : 4 = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung des ursprünglichen Flächeninhalts: \(A_{\text{alt}} = 12\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 144\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der neuen Seitenlänge: \(a_{\text{neu}} = 12\,\text{cm} \cdot 1{,}5 = 18\,\text{cm}\). 4. Berechnung des neuen Umfangs: \(U_{\text{neu}} = 4 \cdot 18\,\text{cm} = 72\,\text{cm}\). 5. Prozentsatz Umfangszunahme: \(\frac{72 - 48}{48} = \frac{24}{48} = 0{,}5\), also \(50\,\%\). 6. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(A_{\text{neu}} = 18\,\text{cm} \cdot 18\,\text{cm} = 324\,\text{cm}^2\). 7. Prozentsatz Flächenzunahme: \(\frac{324 - 144}{144} = \frac{180}{144} = 1{,}25\), also \(125\,\%\).

a) Der Umfang nimmt um \(50\,\%\) zu. b) Der Flächeninhalt nimmt um \(125\,\%\) zu.

- Was ist der Unterschied, wenn man einfach zwei Prozentwerte voneinander abzieht oder wenn man fragt, wie stark ein Wert im Verhältnis zu seinem Startwert gewachsen ist? - Stell dir vor, der Anteil hätte sich verdoppelt (von \(8\,\%\) auf \(16\,\%\)). Wie viele Prozentpunkte wären das, und wie viel Prozent Steigerung? - Beachte bei b), dass der Ausgangswert von \(8\,\%\) der Bezugswert für die Berechnung der Steigerung ist.

1. Teilaufgabe a): Berechnung der Differenz der Prozentsätze: \(14\,\% - 8\,\% = 6\) Prozentpunkte. 2. Teilaufgabe b): Berechnung der relativen Zunahme bezogen auf den Startwert von \(8\,\%\). 3. Anwendung der Formel für die prozentuale Veränderung: \(\frac{\text{Differenz}}{\text{Grundwert}} = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 4. Umrechnung in Prozent: \(0{,}75 \cdot 100 = 75\,\%\). Der Anteil ist um \(75\,\%\) gestiegen. 5. Teilaufgabe c): Prozentpunkte geben die einfache Differenz zwischen zwei Prozentsätzen an. Die prozentuale Zunahme beschreibt das Verhältnis dieser Änderung zum ursprünglichen Wert.

a) Die Zunahme beträgt \(6\) Prozentpunkte. b) Der Anteil ist um \(75\,\%\) gestiegen. c) Prozentpunkte sind die absolute Differenz der Anteile (\(14 - 8\)). Die prozentuale Steigerung bezieht diese Differenz auf den Ausgangswert (\(6\) von \(8\)).

- Beziehe die \(75\,\text{€}\) im ersten Jahr auf den Anfangswert. - Übersetze beide jährlichen Prozentänderungen in Wachstumsfaktoren. - Für die gesamte prozentuale Zunahme bleibt der ursprüngliche Wert von \(3000\,\text{€}\) der Bezugswert.

1. Die Zunahme im ersten Jahr beträgt \(\frac{75}{3000}\cdot100\,\%=2{,}5\,\%\). Daher ist \(q_1=1{,}025\). 2. Nach dem ersten Jahr beträgt der Wert \(3000\,\text{€}\cdot1{,}025=3075\,\text{€}\). 3. Im zweiten Jahr ist \(q_2=1{,}02\). Damit ergibt sich \(3075\,\text{€}\cdot1{,}02=3136{,}50\,\text{€}\). 4. Die gesamte Zunahme beträgt \(136{,}50\,\text{€}\). Bezogen auf \(3000\,\text{€}\) sind das \(\frac{136{,}50}{3000}\cdot100\,\%=4{,}55\,\%\).

a) \(2{,}5\,\%\), \(q_1=1{,}025\) b) \(q_2=1{,}02\), Endwert \(3136{,}50\,\text{€}\) c) Gesamte Zunahme \(4{,}55\,\%\)

- Probier es doch einmal mit einer konkreten Zahl aus, zum Beispiel \(100\) Mitgliedern. - Was passiert, wenn du \(20\,\%\) von einer größeren Zahl abziehst als du vorher hinzugefügt hast? - Berechne den Faktor für die Zunahme und den Faktor für die Abnahme und multipliziere sie.

1. Festlegen eines Startwerts oder Faktors: Sei \(M\) die ursprüngliche Mitgliederzahl. 2. Anwendung des ersten Wachstumsfaktors: Ein Anstieg um \(20\,\%\) entspricht dem Faktor \(1 + 0{,}20 = 1{,}20\). Die Zahl nach dem ersten Jahr ist \(1{,}20M\). 3. Anwendung des zweiten Abnahmefaktors: Eine Abnahme um \(20\,\%\) entspricht dem Faktor \(1 - 0{,}20 = 0{,}80\). 4. Berechnung des Gesamtfaktors: \(1{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96\). 5. Vergleich und Interpretation: Da der Gesamtfaktor \(0{,}96\) kleiner als \(1\) ist, hat sich die Mitgliederzahl verringert. Die Aussage ist falsch. 6. Berechnung des Rückgangs: \(1 - 0{,}96 = 0{,}04\). Dies entspricht einem Rückgang von \(4\,\%\).

Die Aussage ist falsch. Die Mitgliederzahl ist nicht gleich geblieben, sondern insgesamt um \(4\,\%\) gesunken.

- Was passiert mit dem Mietpreis nach der ersten Erhöhung? - Musst du die Prozentwerte einfach addieren oder nacheinander anwenden? - Kannst du die Erhöhungen als Faktoren darstellen?

1. Bestimmung der Änderungsfaktoren für beide Jahre: Erhöhung um \(5\,\%\) entspricht \(1{,}05\); Erhöhung um \(2\,\%\) entspricht \(1{,}02\). 2. Berechnung des kombinierten Änderungsfaktors durch Multiplikation: \(1{,}05 \cdot 1{,}02 = 1{,}071\). 3. Umwandlung des Gesamtfaktors in einen Prozentsatz: \(1{,}071\) entspricht \(107{,}1\,\%\). 4. Ermittlung der Steigerung über den Ausgangswert von \(100\,\%\) hinaus: \(107{,}1\,\% - 100\,\% = 7{,}1\,\%\).

Die Miete ist nach zwei Jahren insgesamt um \(7{,}1\,\%\) gestiegen.

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Umfang eines Quadrats und eines Rechtecks? - Versuche zuerst, die neuen Seitenlängen als Vielfaches von \(s\) auszudrücken. - Was bedeutet eine Verringerung um \(20\,\%\) für den Faktor vor der Variablen? - Vergleiche am Ende den neuen Faktor vor \(s\) mit dem ursprünglichen Faktor beim Quadrat.

1. Bestimmung der neuen Seitenlängen: \(l = 1{,}1s\) und \(b = 0{,}8s\). 2. Aufstellen und Vereinfachen des Umfangsterms: \(U = 2 \cdot (l + b) = 2 \cdot (1{,}1s + 0{,}8s) = 3{,}8s\). 3. Der ursprüngliche Umfang beträgt \(U_{\text{alt}} = 4s\). Die Differenz ist \(4s - 3{,}8s = 0{,}2s\). Damit beträgt die prozentuale Änderung \(\frac{0{,}2s}{4s} = 0{,}05 = 5\,\%\). Der Umfang hat sich um \(5\,\%\) verringert.

1. \(l = 1{,}1s\); \(b = 0{,}8s\) 2. \(U = 3{,}8s\) 3. Der Umfang hat sich um \(5\,\%\) verringert.

- Welcher Wert dient jeweils als Grundwert für die Berechnung der Steigerung? - Wie berechnet man den Unterschied zwischen zwei Werten als Anteil des Startwertes? - Wie erhältst du das Wievielfache des Endwerts im Vergleich zum Anfangswert?

1. Berechnung der prozentualen Zunahme für den ersten Zeitraum: Die Differenz beträgt \(104{,}0\,\text{GWh} - 80{,}0\,\text{GWh} = 24{,}0\,\text{GWh}\). Der Prozentsatz ergibt sich aus \(\frac{24{,}0}{80{,}0} = 0{,}3\), was einer Zunahme von \(30\,\%\) entspricht. 2. Berechnung der prozentualen Zunahme für den zweiten Zeitraum: Die Differenz beträgt \(145{,}6\,\text{GWh} - 104{,}0\,\text{GWh} = 41{,}6\,\text{GWh}\). Der Prozentsatz ergibt sich aus \(\frac{41{,}6}{104{,}0} = 0{,}4\), was einer Zunahme von \(40\,\%\) entspricht. 3. Berechnung des Faktors für den gesamten Zeitraum: Der Quotient aus dem Endwert und dem Anfangswert ist \(\frac{145{,}6}{80{,}0} = 1{,}82\). Die Energieerzeugung beträgt 2022 somit das \(1{,}82\)-Fache des Werts von 2016.

a) Die Zunahme beträgt \(30\,\%\). b) Die Zunahme beträgt \(40\,\%\). c) Die Energieerzeugung beträgt 2022 das \(1{,}82\)-Fache des Werts von 2016.

- Berechne für beide Konten den Kontostand nach jedem Jahr. - Verwende im zweiten Jahr jeweils den Kontostand nach dem ersten Jahr als neuen Grundwert. - Vergleiche anschließend die Produkte der beiden Wachstumsfaktoren.

1. Berechnung für Konto A: - Nach dem 1. Jahr: \(1000\,\text{€} \cdot 1{,}04 = 1040\,\text{€}\). - Nach dem 2. Jahr: \(1040\,\text{€} \cdot 1{,}04 = 1081{,}60\,\text{€}\). 2. Berechnung für Konto B: - Nach dem 1. Jahr: \(1000\,\text{€} \cdot 1{,}02 = 1020\,\text{€}\). - Nach dem 2. Jahr: \(1020\,\text{€} \cdot 1{,}06 = 1081{,}20\,\text{€}\). 3. Vergleich: \(1081{,}60\,\text{€} > 1081{,}20\,\text{€}\). Auf Konto A liegt mehr Geld. 4. Begründung: Aufeinanderfolgende prozentuale Änderungen werden durch Multiplikation der Wachstumsfaktoren verknüpft. Für Konto A gilt \(1{,}04 \cdot 1{,}04 = 1{,}0816\), für Konto B \(1{,}02 \cdot 1{,}06 = 1{,}0812\). Gleiche Summen der Prozentsätze führen daher nicht zwingend zu gleichen Produkten der Wachstumsfaktoren.

Nach zwei Jahren liegt auf Konto A mit \(1081{,}60\,\text{€}\) mehr Geld als auf Konto B mit \(1081{,}20\,\text{€}\). Die Endbeträge unterscheiden sich, weil die Wachstumsfaktoren multipliziert und nicht die Prozentsätze addiert werden.

- Berechne zuerst die Fläche des ursprünglichen Plakats. - Bestimme für beide Varianten die neuen Seitenlängen. - Vergleiche am Ende die beiden neuen Flächeninhalte. - Was passiert mit der Fläche, wenn man zwei Seiten gleichzeitig vergrößert?

1. Ursprüngliche Fläche: \(A_{\text{alt}} = 2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 2. Variante 1: Neue Breite \(2\,\text{m} \cdot 1{,}5 = 3\,\text{m}\). Neue Fläche \(A_1 = 3\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 9\,\text{m}^2\). Zunahme: \(3\,\text{m}^2\), das entspricht \(\frac{3}{6} = 50\,\%\). 3. Variante 2: Neue Breite \(2\,\text{m} \cdot 1{,}25 = 2{,}5\,\text{m}\), neue Höhe \(3\,\text{m} \cdot 1{,}25 = 3{,}75\,\text{m}\). Neue Fläche \(A_2 = 2{,}5\,\text{m} \cdot 3{,}75\,\text{m} = 9{,}375\,\text{m}^2\). Zunahme: \(9{,}375\,\text{m}^2 - 6\,\text{m}^2 = 3{,}375\,\text{m}^2\). 4. Prozentuale Zunahme Variante 2: \(\frac{3{,}375}{6} = 0{,}5625 = 56{,}25\,\%\). 5. Vergleich: \(9{,}375\,\text{m}^2 > 9\,\text{m}^2\). Variante 2 führt zu einer größeren Fläche.

Variante 2 führt zu einer größeren Werbefläche (\(9{,}375\,\text{m}^2\) im Vergleich zu \(9\,\text{m}^2\) bei Variante 1). Die Fläche steigt bei Variante 2 um \(56{,}25\,\%\).

- Welcher Änderungsfaktor gehört zu einer jährlichen Zunahme um \(2{,}5\,\%\)? - Fasse in b) zuerst die ersten beiden Jahre zu einem Zwischenwert zusammen. - Prüfe bei deinem Prozentsatz, ob der Zielwert wirklich erreicht wird; „mindestens“ ist hier wichtig.

1. Bei einer jährlichen Zunahme um \(2{,}5\,\%\) ist der Änderungsfaktor \(q=1{,}025\). 2. Nach drei Jahren gilt \(800\,\text{€}\cdot1{,}025^3=861{,}5125\,\text{€}\approx861{,}51\,\text{€}\). Das Ziel wird erreicht. 3. Im zweiten Modell beträgt der Wert nach zwei Jahren \(800\,\text{€}\cdot1{,}01\cdot1{,}02=824{,}16\,\text{€}\). 4. Der genau benötigte Faktor ist \(q=\frac{860}{824{,}16}\approx1{,}0434867\). Das entspricht einer Zunahme von etwa \(4{,}3487\,\%\). 5. Mit \(4{,}3\,\%\) ergibt sich nur \(824{,}16\,\text{€}\cdot1{,}043\approx859{,}60\,\text{€}\). Mit \(4{,}4\,\%\) ergeben sich \(824{,}16\,\text{€}\cdot1{,}044\approx860{,}42\,\text{€}\). Daher ist \(4{,}4\,\%\) der kleinste Prozentsatz mit einer Dezimalstelle, der das Ziel erreicht.

a) Ja. Nach drei Jahren sind es etwa \(861{,}51\,\text{€}\). b) Mindestens \(4{,}4\,\%\).

- Berechne die Werte Schritt für Schritt für jedes Jahr. - Achte darauf, welcher Wert jeweils die Basis (der Grundwert) für die Prozentrechnung im jeweiligen Jahr ist. - Vergleiche den Endwert von 2022 direkt mit dem Startwert von 2020.

1. Berechnung für 2021: \(5000 \cdot (1 - 0{,}08) = 5000 \cdot 0{,}92 = 4600\). Im Jahr 2021 gab es \(4600\) Neuzulassungen. 2. Berechnung für 2022: \(4600 \cdot (1 + 0{,}12) = 4600 \cdot 1{,}12 = 5152\). Im Jahr 2022 gab es \(5152\) Neuzulassungen. 3. Gesamte prozentuale Veränderung: Differenz \(5152 - 5000 = 152\). Prozentsatz bezogen auf den Startwert von 2020: \(\frac{152}{5000} = 0{,}0304\), also eine Steigerung um \(3{,}04\,\%\). 4. Begründung: Die \(12\,\%\) Steigerung im zweiten Schritt beziehen sich auf den bereits verminderten Wert von 2021 (\(4600\)) und nicht auf den ursprünglichen Grundwert von 2020 (\(5000\)). Da der Bezugswert kleiner geworden ist, fällt auch die absolute Steigerung geringer aus.

a) Im Jahr 2021 gab es \(4600\) und im Jahr 2022 genau \(5152\) Neuzulassungen. b) Die Neuzulassungen stiegen von 2020 bis 2022 insgesamt um \(3{,}04\,\%\). c) Die \(12\,\%\) beziehen sich auf den neuen, niedrigeren Wert aus dem Jahr 2021, nicht auf den Startwert.

- Achte darauf, dass sich der zweite Prozentsatz auf den bereits veränderten Wert bezieht, nicht auf den Startwert. - Kannst du die Änderungen nacheinander als Multiplikation schreiben? - Überlege dir, ob man die Prozentsätze einfach addieren oder subtrahieren darf und warum das hier nicht funktioniert.

1. Aufstellen der Beziehung für die Bestandsänderung: Sei \(x\) der Anfangsbestand. Nach dem ersten Jahr sind es \(1{,}20x\). Nach dem zweiten Jahr sind es \(1{,}20x \cdot 0{,}85\). 2. Berechnung des kombinierten Faktors: \(1{,}20 \cdot 0{,}85 = 1{,}02\). 3. Berechnung des Anfangsbestands: \(1{,}02x = 1224 \implies x = 1224 : 1{,}02 = 1200\). 4. Bestimmung der prozentualen Gesamtänderung: Der Faktor \(1{,}02\) entspricht \(102\,\%\) des Anfangsbestands, was einer Zunahme von \(2\,\%\) entspricht.

a) Ursprünglich standen \(1200\) Bäume im Park. b) Die Anzahl der Bäume hat sich insgesamt um \(2\,\%\) erhöht.

- Bestimme zuerst, welcher Anteil der ursprünglichen Fleischmasse nach dem Trocknen übrig bleibt. - Die Proteinmenge bleibt gleich, während sich die Gesamtmasse verändert. - Vergleiche in c), ob die Gesamtmasse durch Wasserverlust kleiner oder durch Wasseraufnahme größer wird.

1. Nach einem Massenverlust von \(60\,\%\) bleiben von \(100\,\text{g}\) Fleisch \(100\,\text{g}\cdot0{,}4=40\,\text{g}\) Trockenfleisch übrig. 2. Die \(22\,\text{g}\) Protein bleiben erhalten und befinden sich nun in \(40\,\text{g}\) Trockenfleisch. 3. Für \(100\,\text{g}\) Trockenfleisch ergibt sich \(\frac{22\,\text{g}}{40\,\text{g}}\cdot100\,\text{g}=55\,\text{g}\) Protein. 4. \(55\,\text{g}\) sind das \(2{,}5\)-Fache von \(22\,\text{g}\). Die Zunahme beträgt daher \((2{,}5-1)\cdot100\,\%=150\,\%\). 5. Beim Trocknen wird die Gesamtmasse kleiner, die Proteinmenge bleibt aber gleich. Beim Kochen der Nudeln wird die Gesamtmasse durch Wasser größer, während die Proteinmenge gleich bleibt. Deshalb steigt die Proteinmenge pro \(100\,\text{g}\) beim Trocknen und sinkt beim Kochen.

a) \(55\,\text{g}\) b) Die Proteinmenge pro \(100\,\text{g}\) ist um \(150\,\%\) gestiegen. c) Beim Trocknen verteilt sich die gleiche Proteinmenge auf weniger Gesamtmasse. Beim Kochen verteilt sie sich auf mehr Gesamtmasse.

- Übersetze jede prozentuale Zunahme in einen Wachstumsfaktor. - Welche Rechenoperation verbindet aufeinanderfolgende Wachstumsfaktoren? - Überlege für b), welche Rolle die Reihenfolge von Faktoren bei einer Multiplikation spielt. - Vergleiche für c) nicht die Summen, sondern die Produkte der Faktoren.

1. Option 1 verwendet dreimal den Faktor \(1{,}02\). Daher gilt \(4000\,\text{€}\cdot1{,}02^3=4244{,}832\,\text{€}\approx4244{,}83\,\text{€}\). 2. Option 2 verwendet die Faktoren \(1{,}01\), \(1{,}02\) und \(1{,}03\). Daher gilt \(4000\,\text{€}\cdot1{,}01\cdot1{,}02\cdot1{,}03=4244{,}424\,\text{€}\approx4244{,}42\,\text{€}\). 3. Bei einer Multiplikation ändert die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht. Daher bleibt der Endwert von Option 2 bei umgekehrter Reihenfolge gleich. 4. Für aufeinanderfolgende prozentuale Änderungen ist das Produkt der Wachstumsfaktoren entscheidend. Gleiche Summen der Änderungsraten können zu verschiedenen Produkten führen.

a) Option 1: Faktoren \(1{,}02; 1{,}02; 1{,}02\), Endwert etwa \(4244{,}83\,\text{€}\). Option 2: Faktoren \(1{,}01; 1{,}02; 1{,}03\), Endwert etwa \(4244{,}42\,\text{€}\). b) Der Endwert bleibt gleich. c) Entscheidend ist das Produkt der Wachstumsfaktoren, nicht die Summe der Prozentzahlen.

- Bestimme für beide Rechtecke zuerst die neuen Seitenlängen und daraus die neuen Flächeninhalte. - Beziehe die jeweilige Flächenzunahme auf den ursprünglichen Flächeninhalt. - Vergleiche die beiden prozentualen Zunahmen erst nach derselben Rundung.

1. Für Rechteck A sind die neuen Seitenlängen \(12\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\). Daher ist \(A_{A,\text{neu}}=12\,\text{cm}\cdot14\,\text{cm}=168\,\text{cm}^2\). 2. Die prozentuale Zunahme bei A ist \(\frac{168-120}{120}=0{,}4=40\,\%\). 3. Für Rechteck B sind die neuen Seitenlängen \(10\,\text{cm}\) und \(17\,\text{cm}\). Daher ist \(A_{B,\text{neu}}=10\,\text{cm}\cdot17\,\text{cm}=170\,\text{cm}^2\). 4. Die prozentuale Zunahme bei B ist \(\frac{170-120}{120}=\frac{50}{120}\approx0{,}4167\approx41{,}67\,\%\). 5. Die beiden prozentualen Zunahmen sind verschieden.

Nein. Bei Rechteck A beträgt die Zunahme \(40\,\%\), bei Rechteck B etwa \(41{,}67\,\%\).

- Schreibe die Veränderungen als Faktoren (Dezimalzahlen) auf. - Spielt die Reihenfolge bei einer Multiplikation von mehreren Zahlen eine Rolle? - Vergleiche die beiden Gesamtfaktoren direkt miteinander.

1. Analyse von Strategie A: Der Preis wird mit dem Erhöhungsfaktor \(1{,}15\) und anschließend mit dem Senkungsfaktor \(0{,}85\) multipliziert. Gesamtfaktor: \(1{,}15 \cdot 0{,}85 = 0{,}9775\). 2. Analyse von Strategie B: Der Preis wird mit dem Senkungsfaktor \(0{,}85\) und anschließend mit dem Erhöhungsfaktor \(1{,}15\) multipliziert. Gesamtfaktor: \(0{,}85 \cdot 1{,}15 = 0{,}9775\). 3. Vergleich: Da die Multiplikation kommutativ ist (\(a \cdot b = b \cdot a\)), ist das Ergebnis in beiden Fällen identisch. 4. Fazit: Beide Strategien führen zum exakt gleichen Endpreis, der jeweils \(2{,}25\,\%\) unter dem ursprünglichen Preis liegt.

Beide Strategien führen zum gleichen Endpreis. Da \(1{,}15 \cdot 0{,}85\) dasselbe Ergebnis liefert wie \(0{,}85 \cdot 1{,}15\), macht die Reihenfolge für den Endpreis keinen Unterschied. In beiden Fällen ist die Konsole am Ende um \(2{,}25\,\%\) günstiger als zu Beginn.

- Lies zuerst alle Monatswerte aus dem Diagramm ab. - Bei a) geht es um die Veränderung als Anzahl; bei b) um die Veränderung im Verhältnis zum jeweiligen Ausgangswert. - Prüfe, ob der Monat mit der größten absoluten Zunahme auch die größte prozentuale Zunahme haben muss.

1. Aus dem Diagramm liest man ab: Mai \(1000\), Juni \(2000\), Juli \(3500\), August \(5500\), September \(8000\). 2. Die absoluten Zunahmen sind: Juni \(1000\), Juli \(1500\), August \(2000\), September \(2500\). Die größte absolute Zunahme gibt es im September. 3. Die prozentualen Zunahmen sind: Juni \(\frac{1000}{1000} = 100\,\%\), Juli \(\frac{1500}{2000} = 75\,\%\), August \(\frac{2000}{3500} \approx 57{,}1\,\%\), September \(\frac{2500}{5500} \approx 45{,}5\,\%\). 4. Die höchste prozentuale Zunahme gibt es im Juni.

a) September mit \(2500\) zusätzlichen Besuchern b) Juni mit \(100\,\%\)