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- Was gibt der Exponent (die kleine Hochzahl) bei einer Potenz an? - Achte darauf, ob zwischen den Buchstaben ein Pluszeichen oder ein Malzeichen steht. - Gleiche Zahlen oder Variablen können zu einer Basis zusammengefasst werden. - Wie nennt man die Kurzschreibweise für eine Summe aus gleichen Summanden im Vergleich zu einem Produkt aus gleichen Faktoren?

1. Das Produkt aus sechs gleichen Faktoren \(8\) wird als \(8^6\) geschrieben. 2. Das Produkt aus vier gleichen Faktoren \(z\) wird als \(z^4\) geschrieben. 3. Die Faktoren werden nach Basen gruppiert: Drei Faktoren \(3\) ergeben \(3^3\), zwei Faktoren \(a\) ergeben \(a^2\) und vier Faktoren \(b\) ergeben \(b^4\). Das Ergebnis ist \(3^3 \cdot a^2 \cdot b^4\) (oder \(27 a^2 b^4\)). 4. Der Ausdruck \(x \cdot x \cdot x \cdot x\) ist korrekt, da die Potenzschreibweise eine Kurzform für ein Produkt aus gleichen Faktoren ist. Der Ausdruck \(x + x + x + x\) hingegen beschreibt eine Summe und wird als \(4x\) zusammengefasst.

1) \(8^6\) 2) \(z^4\) 3) \(3^3 a^2 b^4\) 4) \(x \cdot x \cdot x \cdot x\), da Potenzen wiederholte Multiplikation ausdrücken.

- Was gibt der Exponent über die Anzahl gleicher Faktoren an? - Welche Teile eines Produkts haben dieselbe Basis? - Bei einer Potenz einer Klammer ist die gesamte Klammer die Basis.

1. \(6^3=6\cdot6\cdot6\). 2. Vier gleiche Faktoren \(b\) ergeben \(b^4\). 3. Zwei Faktoren \(x\) und drei Faktoren \(y\) ergeben \(3x^2y^3\). 4. Die gesamte Klammer ist die Basis: \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). 5. Zwei Faktoren \(m\) ergeben \(7m^2\).

1) \(6\cdot6\cdot6\) 2) \(b^4\) 3) \(3x^2y^3\) 4) \((a+b)(a+b)\) 5) \(7m^2\)

- Schreibe beide Potenzen gedanklich als wiederholte Produkte. - Wie viele Faktoren \(x\) stehen danach insgesamt im Produkt?

1. \(x^3\) enthält drei Faktoren \(x\), \(x^2\) enthält zwei Faktoren \(x\). 2. Im Produkt stehen insgesamt fünf Faktoren \(x\). 3. Deshalb gilt \(x^3\cdot x^2=x^5\), also A.

A) \(x^5\), weil \(x^3\) drei Faktoren \(x\) und \(x^2\) zwei weitere Faktoren \(x\) enthält; zusammen sind es fünf.

- Kannst du die Zahlen und die Buchstaben getrennt voneinander betrachten? - Wie verändern sich die Exponenten, wenn du Variablen mit der gleichen Basis multiplizierst? - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbare Hochzahl den Exponenten 1 hat.

1. Multiplikation der Koeffizienten: \(2 \cdot 3 = 6\) 2. Zusammenfassen der Potenzen von \(x\) mittels Potenzgesetz \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5\) 3. Zusammenfassen der Potenzen von \(y\): \(y^1 \cdot y^1 = y^{1+1} = y^2\) 4. Gesamtergebnis: \(6x^5y^2\)

d) \(6x^5y^2\)

- Prüfe bei jeder Potenz genau, ob das Minuszeichen zur Basis gehört. - Welche Operation wird zuerst ausgeführt: Potenzieren oder das vorangestellte Minus? - Beachte anschließend die Vorzeichenregel beim Dividieren.

1. In a) gilt \((-3)^2=9\), also \(\frac{9}{-9}=-1\). 2. In b) wird nur die \(3\) quadriert: \(-3^2=-9\). Daher ist \(\frac{-9}{-9}=1\). 3. In c) gilt im Zähler \(-3^2=-9\), also \(-\frac{-9}{9}=1\).

a) \(-1\) b) \(1\) c) \(1\)

- Welches Vorzeichen hat eine ungerade Potenz von \(-1\)? - Was bewirkt das zusätzliche Minuszeichen vor dem Bruch? - Wo liegen positive Zahlen auf der Zahlengeraden relativ zur Null?

1. Da \(101\) ungerade ist, gilt \((-1)^{101}=-1\). 2. Damit ist \(x=-\frac{-1}{5}=\frac{1}{5}\). 3. Weil \(\frac{1}{5}>0\) gilt, liegt der Wert rechts von der Null.

Der Wert liegt rechts von der Null, denn \(x=\frac{1}{5}>0\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen beim Multiplizieren zweier negativer Zahlen? - Welche Rolle spielt eine gerade oder ungerade Anzahl negativer Faktoren? - Du kannst die wiederholte Multiplikation als Potenz schreiben.

1. In der 8. Zeile stehen acht negative Faktoren. Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein positives Produkt. 2. In der 4. Zeile gilt \((-3)^4=81\).

a) Das Vorzeichen ist positiv. b) \(81\)

- Prüfe, ob das Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Potenzbasis steht. - Welche Operation wird bei \(-3^4\) zuerst ausgeführt? - Schreibe die Potenzen als wiederholte Produkte, um die Bedeutung zu kontrollieren.

1. \((-3)^4=(-3)(-3)(-3)(-3)=81\). 2. \(-3^4=-(3\cdot3\cdot3\cdot3)=-81\). 3. \((-10)^3=(-10)(-10)(-10)=-1000\). 4. \(-10^3=-(10\cdot10\cdot10)=-1000\). 5. Da \(100\) gerade ist, gilt \((-1)^{100}=1\). 6. Bei a) gehört das Minuszeichen zur Basis, bei b) steht es außerhalb der Potenz.

a) \(81\) b) \(-81\) c) \(-1000\) d) \(-1000\) e) \(1\) Bei a) wird die negative Zahl \(-3\) potenziert; bei b) wird \(3\) potenziert und das Ergebnis anschließend negiert.

- Schreibe alle Werte als Potenzen zur Basis \(10\). - Was passiert mit den Exponenten beim Multiplizieren oder Dividieren gleicher Basen? - Vergleiche anschließend nur noch die Exponenten.

1. Als Zehnerpotenzen lauten die Werte \(10^4,10^3,10^5,10^5,10^6\). 2. Daher gilt \(10^3<10^4<10^5=10^5<10^6\).

\(1000<10^4<10^2\cdot10^3=\text{Hunderttausend}<10^7:10\)

- Wende die Gesetze für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen an. - Achte bei Term D genau darauf, ob es sich um eine Multiplikation oder eine Addition handelt. - Vergleiche am Ende die Exponenten der Zehnerpotenzen.

1. Vereinfachung der Terme (bei \(C\) für \(x \ne 0\)): \(A = x^5\), \(B = x^8\), \(C = x^7\), \(D = 2x^5\). 2. Einsetzen von \(x = 10\): \(A = 10^5 = 100\,000\), \(B = 10^8 = 100\,000\,000\), \(C = 10^7 = 10\,000\,000\), \(D = 2 \cdot 10^5 = 200\,000\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Der Term \(B\) hat mit \(10^8\) den größten Wert, da der Exponent am höchsten ist.

Der Term \(B = (x^2)^4\) liefert für \(x = 10\) den größten Wert.

- Was bedeutet das Quadrat außerhalb einer Klammer für alle Faktoren innerhalb der Klammer? - Wie multipliziert man Potenzen, die die gleiche Basis haben? - Macht es einen Unterschied, ob ein Minuszeichen mit quadriert wird oder vor der Potenz steht? - Denke an die Bedeutung von Groß- und Kleinschreibung in der Mathematik.

1. Prüfung von a): Nach der Potenzregel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) gilt \((5z)^2 = 5^2 \cdot z^2 = 25z^2\). Die Aussage ist richtig. 2. Prüfung von b): Das Quadrat einer negativen Zahl oder Variable ist positiv, da \((-x) \cdot (-x) = x^2\). Der Ausdruck \(-x^2\) bedeutet jedoch \(-(x^2)\). Die Aussage ist falsch; korrekt ist \((-x)^2 = x^2\). 3. Prüfung von c): Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert: \(a^4 \cdot a^2 = a^{4+2} = a^6\). Die Aussage ist falsch; korrekt ist \(a^4 \cdot a^2 = a^6\). 4. Prüfung von d): Es gilt \((2k)^3 = 2^3 \cdot k^3 = 8k^3\). Die Aussage ist richtig. 5. Prüfung von e): In der Mathematik wird zwischen Groß- und Kleinschreibung unterschieden. \(M\) und \(m\) sind verschiedene Variablen. Die Aussage ist falsch.

a) Richtig. b) Falsch; korrekt ist \((-x)^2 = x^2\). c) Falsch; korrekt ist \(a^4 \cdot a^2 = a^6\). d) Richtig. e) Falsch; \(M\) und \(m\) sind unterschiedliche Variablen.

- Kannst du die Faktoren im dritten Aufgabenteil so umstellen, dass gleiche Variablen nebeneinander stehen? - Erinnere dich an die allgemeine Definition einer Potenz für eine beliebige Anzahl \(n\) von Faktoren. - Überlege bei Teil 2 genau, welche Teile durch ein Pluszeichen getrennt sind und welche Faktoren zusammengehören.

1. Ein Produkt aus neun gleichen Faktoren \(c\) ist definiert als \(c^9\). 2. Der erste Teil des Terms besteht aus zwei Faktoren \(4\) (\(4^2\)) und drei Faktoren \(r\) (\(r^3\)). Der zweite Teil besteht aus fünf Faktoren \(s\) (\(s^5\)). Zusammen ergibt dies \(4^2 r^3 + s^5\) (oder \(16r^3 + s^5\)). 3. Durch Sortieren der Faktoren erhält man \(x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y\). Dies entspricht \(x^3 y^4\). 4. Wenn ein Faktor \(p\) genau \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert wird, schreibt man allgemein \(p^n\).

1) \(c^9\) 2) \(4^2 r^3 + s^5\) 3) \(x^3 y^4\) 4) \(p^n\)

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert wird? - Was bedeutet es, wenn genau der gleiche Baustein mehrmals addiert wird? - Schau dir zuerst einen einzelnen Baustein an und fasse ihn mit einer Hochzahl zusammen. - Zähle dann, wie oft dieser Baustein in der Summe vorkommt.

1. Identifikation der Teilterme: \(x \cdot x \cdot x\) entspricht \(x^3\). Da dieser Teilterm zweimal addiert wird, ergibt sich der Koeffizient \(2\). Ergebnis: \(2x^3\). 2. Identifikation der Teilterme: \(a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b\) entspricht \(a^2 \cdot b^3\). Da dieser Ausdruck dreimal addiert wird, ergibt sich der Koeffizient \(3\). Ergebnis: \(3a^2 b^3\). 3. Identifikation der Teilterme: \((m + n) \cdot (m + n)\) entspricht \((m + n)^2\). Da dieser Ausdruck viermal addiert wird, ergibt sich der Koeffizient \(4\). Ergebnis: \(4 \cdot (m + n)^2\).

1) \(2x^3\) 2) \(3a^2 b^3\) 3) \(4 \cdot (m + n)^2\)

- Gehört das Minuszeichen jeweils zur Basis oder steht es vor der Potenz? - Welche Operation wird bei einem Ausdruck wie \(-4^2\) zuerst ausgeführt? - Bearbeite verschachtelte Vorzeichen von innen nach außen.

1. Bei \(-4^2\) wird nur \(4\) quadriert: \(-4^2=-16\). 2. Bei \((-4)^2\) gehört das Minus zur Basis: \((-4)^2=16\). 3. Ein gerader Exponent liefert \((-1)^{50}=1\). 4. \(\left(-\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\). 5. Zuerst gilt \((-2)^3=-8\), danach \(-(-8)=8\).

1) \(-16\) 2) \(16\) 3) \(1\) 4) \(\frac{1}{16}\) 5) \(8\)

- Überlege dir, welches Vorzeichen eine Quadratzahl (\(x^2\)) immer hat, egal ob \(x\) positiv oder negativ ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Terms, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht? - Kannst du für die Variablen Zahlen finden, sodass der gesamte Klammerinhalt Null wird? - Unterscheide zwischen einer Zahl, die Null sein kann, und einer Zahl, die immer größer als Null sein muss.

1. Analyse von \(x^2 + y^2\): Da \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\), sind \(x^2\) und \(y^2\) beide strikt positiv (\(> 0\)). Die Summe zweier positiver Zahlen ist immer positiv. 2. Analyse von \(-(x^2 + 3)\): Da \(x^2 \ge 0\), ist \(x^2 + 3 \ge 3\). Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen um, sodass der Wert immer \(\le -3\) und damit immer negativ ist. 3. Analyse von \((x - y)^2\): Ein Quadrat ist grundsätzlich nie negativ (\(\ge 0\)). Wenn \(x = y\) gewählt wird (was erlaubt ist, da beide ungleich Null sein können, z. B. \(x=1, y=1\)), ergibt der Term \((1-1)^2 = 0\). Somit kann der Wert Null ergeben. 4. Analyse von \(x^4 + 10\): Da \(x^4 = (x^2)^2\) immer \(\ge 0\) ist, ist \(x^4 + 10\) immer mindestens 10 und somit immer positiv. 5. Analyse von \(-x^2 - y^2\): Da \(x^2 > 0\) und \(y^2 > 0\), ist die Summe \(x^2 + y^2\) positiv. Durch das Minuszeichen vor beiden Quadraten (oder ausgeklammert \(-(x^2 + y^2)\)) ist das Ergebnis immer negativ.

- **Immer positiv**: a) \(x^2 + y^2\), d) \(x^4 + 10\) - **Immer negativ**: b) \(-(x^2 + 3)\), e) \(-x^2 - y^2\) - **Null möglich**: c) \((x - y)^2\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn du sie mit sich selbst multiplizierst? - Erinnere dich an die Regel „Minus mal Minus ergibt Plus“. - Wie oft wird die Basis bei einer zweiten beziehungsweise dritten Potenz als Faktor verwendet? - Untersuche, ob das Vorzeichen bei einer geraden Anzahl an Multiplikationen erhalten bleibt oder sich ändert.

1. Berechnung von \(T_1(4)\): \(3 \cdot 4^2 + 10 = 3 \cdot 16 + 10 = 58\). 2. Berechnung von \(T_1(-4)\): \(3 \cdot (-4)^2 + 10 = 3 \cdot 16 + 10 = 58\). 3. Berechnung von \(T_2(4)\): \(2 \cdot 4^3 = 2 \cdot 64 = 128\). 4. Berechnung von \(T_2(-4)\): \(2 \cdot (-4)^3 = 2 \cdot (-64) = -128\). 5. Vergleich: Bei \(T_1\) bleibt der Wert gleich, da das Quadrieren einer negativen Zahl ein positives Ergebnis liefert (\((-4)^2 = 16\)). Bei \(T_2\) ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses, da die dritte Potenz einer negativen Zahl negativ ist (\((-4)^3 = -64\)).

a) \(T_1(4) = 58\), \(T_1(-4) = 58\); \(T_2(4) = 128\), \(T_2(-4) = -128\). b) Bei \(T_1\) ändert sich der Wert nicht, da die Potenz \(x^2\) für eine Zahl und ihre Gegenzahl stets denselben Wert ergibt.

- Welche Regel kennst du für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis? - Was musst du beachten, wenn eine Variable wie \(y\) keinen sichtbaren Exponenten hat? - Erinnere dich an die Vorzeichenregeln: Was ergibt „Minus mal Minus“?

1. Anwendung des Potenzgesetzes für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis durch Addition der Exponenten: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). 2. Berücksichtigung der Vorzeichenregeln: \((-)\cdot(+) = (-)\) und \((-)\cdot(-) = (+)\). 3. Schrittweise Berechnung: a) \(x^{4+5} = x^9\) b) \(-a^{3+2} = -a^5\) c) \(y^{1+4+2} = y^7\) d) \(m^{2+6} = m^8\) e) \(b^{n+3}\)

a) \(x^9\) b) \(-a^5\) c) \(y^7\) d) \(m^8\) e) \(b^{n+3}\)

- Multipliziere zuerst die Zahlen vor den Variablen. - Wie verändern sich die Hochzahlen, wenn man Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbare Hochzahl (wie \(y\)) eigentlich den Exponenten \(1\) hat.

1. Multiplikation der Koeffizienten \(6 \cdot 4 = 24\) und Addition der Exponenten \(2 + 5 = 7\): \(24x^7\). 2. Multiplikation der Koeffizienten \(-3 \cdot 8 = -24\) und Addition der Exponenten \(4 + 3 = 7\): \(-24a^7\). 3. Multiplikation der Koeffizienten \(0{,}4 \cdot (-5) = -2\) und Addition der Exponenten \(1 + 4 = 5\): \(-2y^5\). 4. Multiplikation der Koeffizienten \(-7 \cdot (-2) = 14\) und Addition der Exponenten \(2 + 2 = 4\): \(14b^4\). 5. Multiplikation der Koeffizienten \(\frac{2}{5} \cdot 10 = 4\) und Addition der Exponenten \(6 + 2 = 8\): \(4z^8\).

a) \(24x^7\) b) \(-24a^7\) c) \(-2y^5\) d) \(14b^4\) e) \(4z^8\)

- Behandle die Zahlenfaktoren und jede Variable zunächst getrennt. - Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. - Achte unabhängig davon auf die Vorzeichen der Zahlenfaktoren.

1. Die Koeffizienten ergeben \(-5 \cdot 4=-20\). Für gleiche Basen werden die Exponenten addiert: \(a^{3+2}=a^5\) und \(b^{1+4}=b^5\). Ergebnis: \(-20a^5b^5\). 2. Die Koeffizienten ergeben \(0{,}8 \cdot (-0{,}5)=-0{,}4\). Außerdem gilt \(x^{2+1}=x^3\) und \(y^{3+1}=y^4\). Ergebnis: \(-0{,}4x^3y^4\). 3. Die Koeffizienten ergeben \((-6)(-3)=18\). Außerdem gilt \(m^{4+2}=m^6\) und \(n^{2+5}=n^7\). Ergebnis: \(18m^6n^7\).

1) \(-20a^5b^5\) 2) \(-0{,}4x^3y^4\) 3) \(18m^6n^7\)

- Multipliziere Zahlenfaktoren und Potenzen gleicher Basis getrennt. - Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. - Behandle einen Exponenten wie \(m-1\) beim Addieren als ganzen Ausdruck.

1. Für a) gilt \(7 \cdot 3=21\) und \(x^n \cdot x^4=x^{n+4}\). Ergebnis: \(21x^{n+4}\). 2. Für b) gilt \((-5)(-2)=10\) und \(a^{k+2} \cdot a^3=a^{k+5}\). Ergebnis: \(10a^{k+5}\). 3. Für c) gilt \(\frac{1}{3} \cdot (-9)=-3\) und \(y^m \cdot y^{m-1}=y^{2m-1}\). Ergebnis: \(-3y^{2m-1}\).

a) \(21x^{n+4}\) b) \(10a^{k+5}\) c) \(-3y^{2m-1}\)

- Welchen Exponenten hat eine Variable, wenn dort keine Zahl steht? - Was geschieht mit den Exponenten bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis? - Achte bei der Multiplikation der Zahlen vor den Variablen besonders auf die Vorzeichen. - Vergleiche Schritt für Schritt Koeffizienten und jede einzelne Variable.

1. Überprüfung der ersten Rechnung: Multiplikation der Koeffizienten \(4 \cdot 3 = 12\). Addition der Exponenten für die Basis \(a\): \(2 + 1 = 3\), für die Basis \(b\): \(1 + 3 = 4\). Das korrekte Ergebnis ist \(12a^3b^4\). Lukas hat vergessen, die Exponenten korrekt zu addieren. 2. Überprüfung der zweiten Rechnung: Multiplikation der Koeffizienten \((-5) \cdot (-2) = 10\). Addition der Exponenten für \(x\): \(3 + 1 = 4\), für \(y\): \(2 + 1 = 3\). Das Ergebnis \(10x^4y^3\) ist richtig. 3. Überprüfung der dritten Rechnung: Multiplikation der Koeffizienten \(\frac{2}{3} \cdot 6 = 4\). Addition der Exponenten für \(m\): \(2 + 3 = 5\), für \(n\): \(4 + 1 = 5\). Das korrekte Ergebnis ist \(4m^5n^5\). Lukas hat die Exponenten falsch verarbeitet.

1) Falsch. Korrektur: \(12a^3b^4\) 2) Richtig. 3) Falsch. Korrektur: \(4m^5n^5\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn die Hochzahl ungerade oder gerade ist? - Wird der Koeffizient (die Zahl vor der Variablen) auch potenziert? - Welche Rechenart wird bei den Exponenten angewendet, wenn eine Potenz potenziert wird?

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte und Potenzen von Potenzen: \(4^2 \cdot (a^5)^2 = 16 \cdot a^{5 \cdot 2} = 16a^{10}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes: \((-3)^3 \cdot (b^2)^3 = -27 \cdot b^{2 \cdot 3} = -27b^6\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes: \((\frac{1}{2})^4 \cdot (x^3)^4 = \frac{1}{16} \cdot x^{3 \cdot 4} = \frac{1}{16}x^{12}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes: \((-1)^2 \cdot (y^4)^2 = 1 \cdot y^{4 \cdot 2} = y^8\).

1. \(16a^{10}\) 2. \(-27b^6\) 3. \(\frac{1}{16}x^{12}\) 4. \(y^8\)

- Potenziere bei einer Klammer sowohl den Zahlenfaktor als auch die Variable. - Achte bei einer negativen Basis auf die Parität des Exponenten. - Beim anschließenden Multiplizieren gleicher Basen werden die Exponenten addiert.

1. Für a) wird zuerst die Potenz des Terms gebildet: \((5a^2)^3=5^3(a^2)^3=125a^6\). Anschließend ergibt \(125a^6 \cdot 2a^5=250a^{11}\). 2. Für b) gilt wegen des geraden Exponenten \((-2x^3)^4=16x^{12}\). Anschließend ergibt \(16x^{12} \cdot (-3x^2)=-48x^{14}\).

a) \(250a^{11}\) b) \(-48x^{14}\)

- Teile bei einem Quotienten einer Summe jedes Glied durch denselben Divisor. - Bei Potenzen gleicher Basis werden bei der Division die Exponenten subtrahiert. - Beachte besonders die Vorzeichen beim Teilen durch einen negativen Term.

1. Jedes Glied wird durch \(2{,}5\) geteilt. Es entsteht \(6b^3-4b^2+2b\). 2. Jedes Glied wird durch \(-4a^2\) geteilt. Für die Koeffizienten ergeben sich \(3,-2,1\), für die Potenzen \(a^2,a,1\). Es entsteht \(3a^2-2a+1\).

1) \(6b^3-4b^2+2b\) 2) \(3a^2-2a+1\), für \(a\neq0\)

- Welche Vorzeichen entstehen bei den drei einzelnen Divisionen? - Welchen Exponenten hat \(a\) im Divisor, wenn keiner geschrieben ist? - Prüfe dein Ergebnis, indem du es wieder mit dem Divisor multiplizierst.

1. Es gilt \(-12a^3:(-6a)=2a^2\). 2. Es gilt \(18a^2:(-6a)=-3a\). 3. Es gilt \(-6a:(-6a)=1\). 4. Damit lautet das Ergebnis \(2a^2-3a+1\).

\(2a^2-3a+1\), für \(a\neq0\)

- Zerlege die Division in drei einzelne Quotienten. - Wie verändern sich Exponenten gleicher Basen bei der Division? - Achte beim letzten Glied auf das negative Vorzeichen.

1. \(12a^3b^2:3ab^2=4a^2\). 2. \(6a^2b^3:3ab^2=2ab\). 3. \(-3ab^4:3ab^2=-b^2\). 4. Insgesamt ergibt sich \(4a^2+2ab-b^2\).

\(4a^2+2ab-b^2\), für \(a\neq0\) und \(b\neq0\)

- Teile jedes Glied einzeln durch denselben Divisor. - Behandle Koeffizienten und Potenzen getrennt. - Bei gleicher Basis werden bei der Division die Exponenten subtrahiert.

1. Jedes Glied des Terms wird durch den Divisor \(-0{,}5p^2\) geteilt. 2. Für die Koeffizienten gilt \(1:(-0{,}5)=-2\), \(-2{,}5:(-0{,}5)=5\) und \(0{,}5:(-0{,}5)=-1\). 3. Für die Potenzen gilt \(p^5:p^2=p^3\), \(p^4:p^2=p^2\) und \(p^3:p^2=p\). 4. Damit ergibt sich \(-2p^3+5p^2-p\). Die Umformung gilt für \(p\neq0\).

\(-2p^3 + 5p^2 - p\) für \(p \neq 0\)

- Teile die Summe in drei einzelne Quotienten auf. - Wie rechnet man beim Dividieren durch einen Bruch mit dem Kehrwert? - Kürze bei den Variablen gleiche Faktoren beziehungsweise subtrahiere die Exponenten.

1. Es gilt \(12a^2b:\frac{6}{5}ab=10a\). 2. Es gilt \(-18ab^2:\frac{6}{5}ab=-15b\). 3. Es gilt \(6ab:\frac{6}{5}ab=5\). 4. Damit ergibt sich \(10a-15b+5\).

\(10a-15b+5\), für \(a\neq0\) und \(b\neq0\)

- Was weißt du über das Vorzeichen des Ergebnisses, wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Überlege, was der kleinste Wert ist, den \(x^2\) annehmen kann. - Was passiert mit diesem kleinsten Wert, wenn du \(1\) addierst?

1. Analyse der Eigenschaft von Quadraten: Für jede rationale Zahl \(x\) gilt \(x^2 \geq 0\), da das Produkt zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen (oder Null) niemals negativ ist. 2. Addition von \(1\): Addiert man \(1\) zu einem Wert, der mindestens \(0\) ist, erhält man eine Summe, die mindestens \(1\) beträgt (\(x^2 + 1 \geq 1\)). 3. Schlussfolgerung: Da \(1\) größer als \(0\) ist, ist die Bedingung \(x^2 + 1 > 0\) für alle rationalen Zahlen \(x\) erfüllt. Die Aussage ist wahr.

Ja, die Aussage ist wahr. Da \(x^2\) niemals negativ ist (\(x^2 \geq 0\)), ist die Summe \(x^2 + 1\) immer mindestens \(1\) und damit stets größer als \(0\).

- Bei gleicher Basis kannst du beim Multiplizieren die Exponenten addieren. - Bei der Division gleicher Basen werden die Exponenten subtrahiert. - In c) ist \(10^5\) ein gemeinsamer Faktor.

1. In a) werden die Exponenten addiert: \(10^4\cdot10^3=10^7\). 2. In b) werden die Exponenten subtrahiert: \(\frac{10^7}{10^2}=10^5\). 3. In c) werden die gleichen Zehnerpotenzen zusammengefasst: \((4+5)\cdot10^5=9\cdot10^5\). 4. In d) gilt \(10^{2+2+2}=10^6\).

a) \(10^7\) b) \(10^5\) c) \(9\cdot10^5\) d) \(10^6\)

- Schreibe wiederholte gleiche Faktoren zuerst als Potenzen. - Welche entstandenen Potenzterme sind wirklich gleichartig? - Fasse dann nur ihre Koeffizienten zusammen.

1. Die Produkte werden als Potenzen geschrieben und drei gleiche \(k^2\)-Glieder ergeben \(3k^2\). 2. Zwei \(x^3\)-Glieder und zwei \(y^2\)-Glieder ergeben \(2x^3+2y^2\). 3. \(a\cdot a=a^2\), daher ergeben drei \(a^2\)-Glieder \(3a^2\). 4. Zwei \(m^3\)-Glieder ergeben \(2m^3\); \(n^2\) bleibt stehen.

1) \(3k^2\) 2) \(2x^3+2y^2\) 3) \(3a^2\) 4) \(2m^3+n^2\)

- Kannst du die Division als Multiplikation mit einem Bruch schreiben? - Denke daran, dass jedes Glied in der Klammer durch den Term hinter dem Geteiltzeichen dividiert werden muss. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du durch eine negative Zahl dividierst. - Was passiert mit den Exponenten der Variablen bei der Division?

1. Dividiere im ersten Teil jeden Summanden der Klammer einzeln durch den Divisor \(4y\): \(12x^2y : 4y = 3x^2\), \(-8xy : 4y = -2x\) und \(4y : 4y = 1\). Das ergibt den Term \(3x^2 - 2x + 1\). 2. Dividiere im zweiten Teil jeden Summanden der Klammer durch \(-5ab\). Beachte dabei die Vorzeichenregeln: \(-15a^3b^2 : (-5ab) = 3a^2b\), \(10a^2b : (-5ab) = -2a\) und \(-5ab : (-5ab) = 1\). Das ergibt den Term \(3a^2b - 2a + 1\).

a) Für \(y \ne 0\): \(3x^2 - 2x + 1\) b) Für \(a \ne 0\) und \(b \ne 0\): \(3a^2b - 2a + 1\)

- Berechne zuerst jeden der drei Werte einzeln. - Achte bei \(B\) darauf, worauf sich der Exponent bezieht. - Vergleiche anschließend die drei rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden.

1. Es gilt \(A=-\frac{1}{2}=-0{,}5\). 2. Es gilt \(B=\frac{-1}{-4}=0{,}25\). 3. Es gilt \(C=-\frac{1}{8}=-0{,}125\). 4. Daher ist \(-0{,}5<-0{,}125<0{,}25\), also \(A<C<B\).

\(A<C<B\)

- Welche Vorzeichen entstehen bei geraden beziehungsweise ungeraden Potenzen negativer Zahlen? - Vergleiche negative Zahlen auf der Zahlengeraden. - Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von der Null.

1. Es gilt \(A=-1000\), \(B=10\,000\) und \(C=-100\,000\). 2. Damit ist \(C\) der kleinste Wert. 3. Nur \(B\) ist positiv. 4. Der Betrag von \(B\) ist \(10\,000\).

a) Term C mit \(-100\,000\) b) Nur Term B c) \(10\,000\)

- Berechne einige frühe Glieder und suche nach einem periodischen Muster. - Welche Werte gehören zu geraden, welche zu ungeraden Positionen? - Nutze die Parität von \(100\), ohne alle Glieder auszurechnen.

1. Die Werte wechseln periodisch zwischen \(-2\) bei ungeradem Index und \(1\) bei geradem Index. 2. Daher ist das 6. Glied positiv und hat den Wert \(1\). 3. Das 7. Glied ist negativ und hat den Wert \(-2\). 4. Das 100. Glied hat wegen des geraden Index den Wert \(1\), also den Betrag \(1\).

a) positiv, \(1\) b) negativ, \(-2\) c) \(1\)

- Welche Vorzeichenfolge entsteht bei Potenzen einer negativen Zahl? - Was unterscheidet gerade und ungerade Exponenten? - In c) wird zuerst die Potenz und erst danach das äußere Minus ausgewertet.

1. Die ersten fünf Werte sind \(-2,4,-8,16,-32\). 2. Bei negativer Basis ergeben ungerade Exponenten negative, gerade Exponenten positive Werte. Daher ist das 15. Glied negativ und das 20. positiv. 3. Zuerst gilt \((-2)^4=16\), danach \(-16\). Der letzte Term ist also negativ.

a) \(-2;4;-8;16;-32\) b) 15. Glied negativ; 20. Glied positiv c) negativ, denn \(-(-2)^4=-16\)

- Schreibe \(4,8,16\) und \(32\) jeweils als Zweierpotenz. - Wie verändert sich der Exponent beim Potenzieren einer Potenz? - Bei gleicher Basis entscheidet der Exponent über die Größe.

1. Umgeschrieben ergeben sich \(2^{12},2^{14},2^{11},2^{12},2^{10}\). 2. Damit gilt \(2^{10}<2^{11}<2^{12}=2^{12}<2^{14}\). 3. Der kleinste Wert ist daher \(32^2\), der größte \(4^7\).

Kleinster Wert: \(32^2\) Größter Wert: \(4^7\)

- Prüfe, worauf sich der Exponent \(2\) in \((3x)^2\) bezieht. - Schreibe die Potenz der Klammer notfalls als Produkt zweier gleicher Klammern. - Behandle danach Zahlenfaktoren und Potenzen von \(x\) getrennt.

1. Im ersten Schritt wurde nur \(x\) quadriert, nicht aber der Zahlenfaktor \(3\). Für ein Produkt in der Klammer gilt \((3x)^2=3^2x^2=9x^2\). 2. Damit ist \(4x^2 \cdot (3x)^2=4x^2 \cdot 9x^2\). 3. Die Koeffizienten ergeben \(4 \cdot 9=36\), und \(x^2 \cdot x^2=x^4\). 4. Das korrekte Endergebnis ist \(36x^4\).

Der Fehler ist, dass die \(3\) nicht quadriert wurde. Das korrekte Ergebnis lautet \(36x^4\).

- Setze den Wert \(a = 3\) ein und achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte. - Was wird zuerst berechnet, wenn eine Klammer vorhanden ist? - Was hat Vorrang: die Multiplikation oder die Potenz?

1. Berechnung für a): \(T_1 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). \(T_2 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 2 \cdot 27 = 54\). 2. Erklärung des Unterschieds: In Term \(T_1\) erzwingt die Klammer, dass zuerst die Multiplikation \(2 \cdot a\) ausgeführt wird. Das Ergebnis dieser Multiplikation wird anschließend potenziert. 3. In Term \(T_2\) gibt es keine Klammer. Nach der Vorrangregel „Potenz vor Punkt“ muss zuerst \(a^3\) berechnet werden. Erst danach wird dieses Ergebnis mit \(2\) multipliziert.

a) \(T_1 = 216\); \(T_2 = 54\). b) In \(T_1\) wird erst multipliziert und dann potenziert (wegen der Klammer). In \(T_2\) wird erst potenziert und dann multipliziert (Regel: Potenz vor Punkt).

- Gibt es einen Unterschied zwischen \((-3)^2\) und \(-3^2\)? Überlege, worauf sich das Quadrat bezieht. - Wenn bei einer Variablen kein Exponent steht, welche Zahl ist dann gemeint? - Was machst du mit den Hochzahlen, wenn die Basis gleich ist und die Zahlen multipliziert werden? - Gilt bei Division dieselbe Regel für die Hochzahlen wie bei der Multiplikation?

1. Zu a): \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). Bei \(-4^2\) bezieht sich das Quadrat nur auf die 4, also \(-(4 \cdot 4) = -16\). \((-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8\). 2. Zu b): Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Beachte, dass \(x = x^1\). Ergebnis: \(x^{2+5+1} = x^8\). 3. Zu c): Für \(y \ne 0\) werden Potenzen mit gleicher Basis dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. \((y^8 : y^3) = y^{8-3} = y^5\). Danach Multiplikation: \(y^5 \cdot y^2 = y^{5+2} = y^7\).

a) \(16\); \(-16\); \(-8\) b) \(x^8\) c) \(y^7\)

- Kannst du Zahlen und Variablen beim Multiplizieren getrennt betrachten? - Achte bei b) auf die Klammer. Was musst du zuerst ausrechnen? - Wann darf man Glieder durch Addition oder Subtraktion zusammenfassen? Schau dir die Variablen und ihre Exponenten genau an.

1. Zu a): Koeffizienten multiplizieren: \(5 \cdot 3 = 15\). Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen: \(a^3 \cdot a^2 = a^5\). Ergebnis: \(15a^5\). 2. Zu b): Für \(b \ne 0\) zuerst den Ausdruck in der Klammer berechnen: \(3b^2 \cdot 2b = 6b^3\). Dann die Division: \(18b^6 : 6b^3\). Koeffizienten dividieren: \(18 : 6 = 3\). Potenzen subtrahieren: \(b^{6-3} = b^3\). Ergebnis: \(3b^3\). 3. Zu c): Da alle Glieder dieselbe Potenz \(z^4\) enthalten, können die Koeffizienten addiert/subtrahiert werden: \((7 - 2 + 1) \cdot z^4 = 6z^4\).

a) \(15a^5\) b) \(3b^3\) c) \(6z^4\)

- Schreibe die Potenzen zunächst als wiederholte Produkte aus. - Achte darauf, ob ein Exponent nur auf eine Variable oder auf eine ganze Klammer wirkt. - Zähle beim Produkt gleicher Variablen, wie oft jede Variable als Faktor vorkommt.

1. Es gilt \(5a^2=5 \cdot a \cdot a\), aber \((5a)^2=(5a)(5a)=25a^2\). Die Ausdrücke sind daher nicht gleich. 2. \(x^2 \cdot x^4\) enthält insgesamt sechs Faktoren \(x\), also \(x^6\). Kenjis Aussage ist falsch; bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. 3. Nach dem Ordnen stehen drei Faktoren \(z\) und drei Faktoren \(w\). Der Term ist daher \(z^3w^3\).

1) Nein, \(5a^2 \neq (5a)^2\). 2) Falsch. Es gilt \(x^2 \cdot x^4=x^6\). 3) \(z^3w^3\)

- Was ist der Unterschied, wenn eine Zahl mit in der Klammer einer Potenz steht oder davor? - Beachte die Rechenregel „Potenz vor Punktrechnung“. - Setze für die Variable die gegebene Zahl ein und berechne erst die Potenz, falls keine Klammern etwas anderes vorschreiben.

1. Der Faktor \((3y)\) wird zweimal mit sich selbst multipliziert, was \((3y)^2\) ergibt. Ohne Klammern berechnet man \(3 \cdot 3 \cdot y \cdot y = 9y^2\). 2. Einsetzen von \(x = 3\): Für \(2 \cdot x^3\) ergibt sich \(2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54\). Für \((2 \cdot x)^3\) ergibt sich \((2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216\). 3. Zusammenfassen der Produkte zu Potenzen: \(m\) wird dreimal multipliziert, \(n\) zweimal. Ergebnis: \(m^3 + n^2\).

1) \((3y)^2 = 9y^2\) 2) \(54\) und \(216\) 3) \(m^3 + n^2\)

- Überlege dir, welche Zahl angibt, wie oft etwas addiert wird. - Überlege dir, welche Zahl angibt, wie oft etwas multipliziert wird. - Versuche, für beide Terme die jeweils andere Schreibweise zu finden. - Was passiert, wenn du für \(x\) eine einfache Zahl einsetzt, zum Beispiel \(x = 2\)? Ergibt das bei beiden Seiten denselben Wert?

1. Umwandlung von \(3x^2\) in die ausführliche Schreibweise: Der positive ganzzahlige Koeffizient \(3\) bedeutet hier eine dreifache Addition, der Exponent \(2\) eine zweifache Multiplikation der Basis. Somit gilt \(3x^2 = x \cdot x + x \cdot x + x \cdot x\). 2. Umwandlung von \(x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot x\) in die Kurzschreibweise: Das Produkt \(x \cdot x \cdot x\) ist \(x^3\). Da es zweimal addiert wird, ergibt sich \(2x^3\). 3. Vergleich und Fehleranalyse: Da \(3x^2 \neq 2x^3\), ist Linas Aussage falsch. Sie hat die Bedeutung von Koeffizient und Exponent vertauscht: Der positive ganzzahlige Koeffizient \(3\) gibt hier die Anzahl gleicher Summanden an, der Exponent \(2\) die Anzahl gleicher Faktoren.

Lina hat nicht recht. Der Term \(3x^2\) ist ausgeschrieben \(x \cdot x + x \cdot x + x \cdot x\). Der Term \(x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot x\) ist kurz geschrieben \(2x^3\). Lina hat den positiven ganzzahligen Koeffizienten \(3\) (hier: Anzahl gleicher Summanden) und den Exponenten \(2\) (Anzahl gleicher Faktoren) miteinander vertauscht.

- Was wird bei \(T_1\) zuerst gerechnet, was bei \(T_2\)? Achte auf die Klammern. - Äquivalent bedeutet, dass die Terme für jede beliebige Zahl, die man einsetzt, das gleiche Ergebnis liefern müssen. - Skizziere dir für den dritten Teil ein Quadrat und beschrifte die Seiten, nachdem sie verlängert wurden. - Wie berechnet man allgemein den Flächeninhalt eines Quadrats, wenn man die Seitenlänge kennt?

1. \(T_1\): Addiere zuerst \(n\) und \(3\) und quadriere anschließend das Ergebnis (Quadrat der Summe). \(T_2\): Quadriere zuerst \(n\) und die Zahl \(3\) getrennt und addiere dann die Ergebnisse (Summe der Quadrate). 2. Für \(n = 2\): \(T_1 = (2 + 3)^2 = 5^2 = 25\); \(T_2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\). Für \(n = 5\): \(T_1 = (5 + 3)^2 = 8^2 = 64\); \(T_2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34\). Da die Ergebnisse für gleiche Einsetzungen unterschiedlich sind, sind die Terme nicht äquivalent. 3. Die neue Seitenlänge des Quadrats beträgt \((n + 3)\). Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich durch \(\text{Seite} \cdot \text{Seite} = \text{Seite}^2\). Somit beschreibt Term \(T_1 = (n + 3)^2\) den neuen Flächeninhalt.

1. \(T_1\): Quadrat der Summe von \(n\) und \(3\); \(T_2\): Summe der Quadrate von \(n\) und \(3\). 2. Für \(n=2\): \(T_1=25;\ T_2=13\). Für \(n=5\): \(T_1=64;\ T_2=34\). Die Terme sind nicht äquivalent. 3. Term \(T_1\); der Flächeninhalt beträgt \((n+3)^2\,\text{cm}^2\), da die neue Seitenlänge als Ganzes quadriert werden muss.

- Welche Vorzeichen entstehen bei geraden und ungeraden Exponenten negativer Zahlen? - Potenziere bei einem Bruch Zähler und Nenner. - Wandle die gemischte Zahl vor dem Potenzieren in einen unechten Bruch um.

1. \((-8)^2=64\). 2. \((-3)^3=-27\). 3. \(\left(-\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}\). 4. \((-0{,}1)^3=-0{,}001\). 5. \(-1\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\), also \(\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}\).

1) \(64\) 2) \(-27\) 3) \(\frac{4}{25}\) 4) \(-0{,}001\) 5) \(2\frac{1}{4}\)

- Achte genau darauf, was genau potenziert wird: Steht das Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Klammer? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Probiere es nacheinander aus: Minus mal Minus, dann das Ergebnis wieder mal Minus und so weiter. - Unterscheide zwischen der Rechenregel „Klammer zuerst“ und „Potenz vor Strichrechnung“.

1. Berechnung für \(n=2\): \(A = (-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25\). \(B = -5^2 = -(5 \cdot 5) = -25\). Die Ergebnisse sind nicht gleich, da \(25 \neq -25\). 2. Berechnung für \(n=3\): \(A = (-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125\). \(B = -5^3 = -(5 \cdot 5 \cdot 5) = -125\). Die Ergebnisse sind gleich. 3. Untersuchung der Exponenten: Bei einem ungeraden Exponenten \(n\) bleibt das negative Vorzeichen in der Klammer erhalten, da eine ungerade Anzahl negativer Faktoren ein negatives Produkt ergibt. Daher gilt \((-x)^n = -x^n\) für alle ungeraden \(n\). Bei geraden \(n\) wird das Ergebnis von \((-x)^n\) positiv (oder Null), während \(-x^n\) negativ (oder Null) bleibt.

a) \(A = 25\), \(B = -25\); sie sind nicht gleich. b) \(A = -125\), \(B = -125\); sie sind gleich. c) Die Gleichung ist für alle ungeraden Exponenten \(n\) wahr.

- Überprüfe bei jedem Teilterm zuerst, ob das Minuszeichen durch den Exponenten verschwindet oder erhalten bleibt. - Erinnere dich an die Potenzgesetze für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis. - Ein Minuszeichen vor einer Potenz kannst du dir wie den Faktor \(-1\) vorstellen. - Wann ist eine Potenz einer negativen Basis positiv, wann ist sie negativ?

1. Teilaufgabe a): Da der Exponent \(2\) gerade ist, gilt \((-a)^2 = a^2\). Der Term wird zu \(a^2 \cdot a^4 = a^{2+4} = a^6\). 2. Teilaufgabe b): Da der Exponent \(3\) ungerade ist, gilt \((-a)^3 = -a^3\). Der Term wird zu \(-a^3 \cdot a^3 = -(a^3 \cdot a^3) = -a^{3+3} = -a^6\). 3. Teilaufgabe c): Da der Exponent \(4\) gerade ist, gilt \((-x)^4 = x^4\). Der Term wird zu \(x^7 : x^4 = x^{7-4} = x^3\). 4. Teilaufgabe d): Hier haben beide Faktoren die gleiche Basis \((-y)\). Die Exponenten werden addiert: \((-y)^{2+3} = (-y)^5\). Da \(5\) ungerade ist, lässt sich dies zu \(-y^5\) vereinfachen. Alternativ: \(y^2 \cdot (-y^3) = -y^5\).

a) \(a^6\) b) \(-a^6\) c) \(x^3\) für \(x\neq0\) d) \(-y^5\)

- Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus: positive Zahlen, negative Zahlen und die Null. - Welchen Einfluss hat ein ungerader Exponent im Vergleich zu einem geraden Exponenten auf das Vorzeichen? - Überlege dir, was der kleinstmögliche Wert ist, den ein Quadrat \(x^2\) annehmen kann. - Kannst du eine Zahl für die Variable finden, die den positiven Teil des Terms „überwiegt“?

1. Term \(a^2 + 5\): Da \(a^2\) für jede rationale Zahl \(\ge 0\) ist, ist \(a^2 + 5\) immer mindestens 5. Ein negatives Ergebnis ist nicht möglich. 2. Term \((a + b)^2\): Ein Term der Form \((\dots)^2\) ist das Quadrat einer rationalen Zahl. Quadrate sind niemals negativ (\(\ge 0\)). Ein negatives Ergebnis ist nicht möglich. 3. Term \(a^3\): Bei ungeraden Exponenten bleibt das Vorzeichen der Basis erhalten. Setzt man für \(a\) eine negative Zahl ein (z. B. \(a = -2\)), so ist \((-2)^3 = -8\). Ein negatives Ergebnis ist möglich. 4. Term \(a^2 - 10\): Wenn \(a^2\) kleiner als 10 ist (z. B. \(a = 0\)), ergibt sich \(0 - 10 = -10\). Ein negatives Ergebnis ist möglich. 5. Term \(-(a - 2)^2 - 1\): Der Teil \((a - 2)^2\) ist immer \(\ge 0\). Durch das Minuszeichen davor wird er \(\le 0\). Wenn man davon noch 1 subtrahiert, ist der Wert immer \(\le -1\). Ein negatives Ergebnis ist also nicht nur möglich, sondern sogar immer gegeben.

a) Nein, das Ergebnis ist immer \(\ge 5\). b) Nein, ein Quadrat ist niemals negativ. c) Ja, z. B. für \(a = -1\) ist \((-1)^3 = -1\). d) Ja, z. B. für \(a = 0\) ist \(0^2 - 10 = -10\). e) Ja, der Term ist für jede Einsetzung negativ (immer \(\le -1\)).

- Vergleiche die Wirkung gerader und ungerader Exponenten auf das Vorzeichen. - Berechne in Teil c) zuerst beide Ausgangswerte. - Was passiert mit der Differenz zweier Zahlen, wenn zu beiden dieselbe Konstante addiert wird?

1. \(A(3)=3^4-5 \cdot 3^2=81-45=36\) und \(A(-3)=(-3)^4-5 \cdot (-3)^2=81-45=36\). 2. \(B(3)=3^3-3=24\) und \(B(-3)=(-3)^3-(-3)=-24\). 3. In \(A\) treten nur gerade Exponenten auf. Daher gilt \(A(-z)=A(z)\). 4. In \(B\) treten nur ungerade Exponenten auf. Deshalb gilt \(B(-z)=-B(z)\); die Werte sind im Allgemeinen Gegenzahlen. 5. \(B(2)=8-2=6\) und \(B(-2)=-8+2=-6\). Addiert man zu beiden Werten dieselbe Konstante \(c\), erhält man \(6+c\) und \(-6+c\). Diese können nicht gleich sein, weil daraus \(6=-6\) folgen würde.

a) \(A(3)=A(-3)=36\); \(B(3)=24\); \(B(-3)=-24\). b) \(A(-z)=A(z)\), weil nur gerade Exponenten vorkommen; \(B(-z)=-B(z)\), weil nur ungerade Exponenten vorkommen. c) \(B(2)=6\) und \(B(-2)=-6\). Durch Addition derselben konstanten Zahl werden die beiden Werte nicht gleich.

- Wie hängen die Exponenten der Faktoren mit dem Exponenten des Ergebnisses zusammen? - Kannst du eine kleine Gleichung für die Exponenten aufstellen? - Achte bei Teilaufgabe c) besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - In Teilaufgabe d) musst du zwei kleine Terme mit der Variablen \(k\) addieren.

1. Anwendung der Regel für die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis: Die Summe der Exponenten der Faktoren muss dem Exponenten des Ergebnisses entsprechen. 2. In a): Aufstellen der Gleichung \(7 + \Box = 12\), woraus \(\Box = 5\) folgt. 3. In b): Vergleich der Exponenten \(n + 4\) und \(n + \Box\), woraus \(\Box = 4\) folgt. 4. In c): Der fehlende Faktor muss den Koeffizienten \(-1\) und die Potenz \(y^5\) enthalten, denn \(1 \cdot (-1) = -1\) und \(3 + 5 = 8\). Daher gilt \(\Box = -y^5\). 5. In d): Addition der Exponententerme \((k+2) + (k-1) = 2k + 1\), also \(\Box = 2k+1\).

a) \(5\) b) \(4\) c) \(-y^5\) d) \(2k+1\)

- Betrachte bei den Lückenaufgaben Zahlenfaktor und Exponent getrennt. - Schreibe eine Potenz notfalls als wiederholtes Produkt, um die Regel zu erkennen. - Prüfe bei Teil d), wie viele Faktoren \(2\) tatsächlich im Produkt vorkommen.

1. In a) muss der Koeffizient \(4\) und die zusätzliche Potenz \(x^5\) sein. Der fehlende Term ist \(4x^5\). 2. In b) ist der fehlende Koeffizient \(-4\), und für die Potenz fehlt ein Faktor \(a\). Der fehlende Term ist \(-4a\). 3. Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. Daher ist \(y^k \cdot y^5=y^{k+5}\). 4. Es gilt \(2^3 \cdot 2^2=2^5=32\), nicht \(2^6=64\). Pauls Regel ist falsch; die Exponenten werden addiert.

a) \(4x^5\) b) \(-4a\) c) \(y^{k+5}\) d) Pauls Aussage ist falsch; bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

- Kürze bei den Bruchkoeffizienten, bevor du sie multiplizierst. - Behandle symbolische natürliche Exponenten nach derselben Regel wie feste Exponenten. - Bei der Lücke hilft die Umkehroperation: Vergleiche Koeffizienten und Exponenten getrennt.

1. Die Zahlenfaktoren ergeben \(-\frac{4}{7} \cdot \frac{14}{8}=-1\). Für die Variablen gilt \(x^{5+2}=x^7\) und \(y^{n+3}\). Ergebnis: \(-x^7y^{n+3}\). 2. Für den fehlenden Faktor gilt \(12:(-3)=-4\), \(a^{5-2}=a^3\) und \(b^{7-4}=b^3\). Der fehlende Term ist \(-4a^3b^3\). 3. Die Zahlenfaktoren ergeben \(-1{,}2\). Für die Variablen gilt \(u^{3+k}=u^{k+3}\) und \(v^{2+1}=v^3\). Ergebnis: \(-1{,}2u^{k+3}v^3\).

1) \(-x^7y^{n+3}\) 2) \(-4a^3b^3\) 3) \(-1{,}2u^{k+3}v^3\)

- Bestimme Zahlenfaktor und Potenzteil getrennt. - Vergleiche beim Exponenten den vorhandenen Ausdruck mit dem Ziel \(n+3\). - Prüfe deinen gefundenen Term durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

1. Für den Koeffizienten gilt \(-10 : 2=-5\). 2. Beim Multiplizieren gleicher Basen werden die Exponenten addiert. Der zusätzliche Exponent muss daher \(3\) sein, weil \(n+3\) erreicht werden soll. 3. Der fehlende Term ist \(-5b^3\).

Der fehlende Term ist \(-5b^3\).

- Beginne mit der Volumenformel für einen Quader. - Ordne beim Multiplizieren Zahlenfaktoren und gleiche Variablen übersichtlich. - Überlege bei b) und c), wie viele unabhängige Kanten jeweils den Faktor \(2\) erhalten.

1. Für das Volumen gilt \(V=a \cdot b \cdot c\). Einsetzen ergibt \((2x^2y)(1{,}5xy^2)(4x^3)\). 2. Die Zahlenfaktoren ergeben \(12\). Für die Potenzen gilt \(x^{2+1+3}=x^6\) und \(y^{1+2}=y^3\). Daher ist \(V=12x^6y^3\). 3. Wird nur \(c\) verdoppelt, erhält das Volumen den Faktor \(2\). Das neue Volumen ist \(24x^6y^3\). 4. Werden alle drei Kanten verdoppelt, erhält das Volumen den Faktor \(2^3=8\). Das neue Volumen ist \(96x^6y^3\).

a) \(V = 12x^6y^3\) b) Das Volumen verdoppelt sich auf \(24x^6y^3\). c) Das Volumen verachtfacht sich auf \(96x^6y^3\).

- Prüfe bei einer potenzierten Klammer, welche Faktoren alle vom Exponenten betroffen sind. - Bei einer Potenz von einer Potenz werden die Exponenten miteinander verknüpft; schreibe notfalls ein Produkt aus gleichen Faktoren. - Kontrolliere bei Brüchen sowohl Zähler als auch Nenner.

1. Bei a) muss auch der Koeffizient potenziert werden: \((2z^4)^3=2^3z^{12}=8z^{12}\). Das angegebene Ergebnis ist falsch. 2. Bei b) gilt \((-5)^2=25\) und \((k^2)^2=k^4\). Das Ergebnis ist richtig. 3. Bei c) werden bei einer Potenz von einer Potenz die Exponenten multipliziert: \((a^3)^2=a^6\). Das angegebene Ergebnis ist falsch. 4. Bei d) werden Zähler, Nenner und Variable quadriert. Das Ergebnis \(\frac{4}{9}m^2\) ist richtig.

a) Falsch; richtig ist \(8z^{12}\). b) Richtig. c) Falsch; richtig ist \(a^6\). d) Richtig.

- Behandle Zahlenfaktoren und jede Basis getrennt. - Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. - Betrachte zusammengesetzte Exponenten wie \(n+1\) oder \(m-1\) beim Addieren als ganze Ausdrücke.

1. Die Koeffizienten ergeben \(1{,}2 \cdot (-5)=-6\). Für die Potenzen gilt \(a^n \cdot a^{n+1}=a^{2n+1}\) und \(b^k \cdot b^{3k}=b^{4k}\). Damit ergibt sich \(-6a^{2n+1}b^{4k}\). 2. Die Koeffizienten ergeben \(-\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{4}=-\frac{3}{2}=-1{,}5\). Für die Potenzen gilt \(x^{m-1} \cdot x^3=x^{m+2}\) und \(y^2 \cdot y^{m+1}=y^{m+3}\). Damit ergibt sich \(-1{,}5x^{m+2}y^{m+3}\).

1) \(-6a^{2n+1}b^{4k}\) 2) \(-1{,}5x^{m+2}y^{m+3}\)

- Vergleiche Koeffizienten und Potenzen jeder Basis getrennt. - Prüfe zuerst, welcher Zahlenfaktor zusammen mit \(4\) den Zielkoeffizienten ergibt. - Vergleiche anschließend nur die Exponenten der Basis \(b\).

1. Für die Koeffizienten gilt \(4 \cdot \Box=-12\). Daher ist \(\Box=-3\). 2. Die \(a\)-Potenzen stimmen bereits, denn \(a^k \cdot a^{k+1}=a^{2k+1}\). 3. Für die \(b\)-Potenzen gilt \(b^2 \cdot b^n=b^{n+2}\). Deshalb muss \(n+2=7\) gelten. 4. Daraus folgt \(n=5\).

\(\Box=-3\) und \(n=5\)

- Bearbeite zuerst die beiden Klammern einzeln, indem du die äußeren Exponenten auf jeden Teil in der Klammer anwendest. - Was passiert mit dem Minuszeichen, wenn die ganze Klammer hoch 4 genommen wird? - Erinnere dich daran, dass eine Variable ohne sichtbaren Exponenten (wie bei \(y\)) eigentlich den Exponenten 1 hat. - Multipliziere am Ende die Zahlenwerte und die gleichen Variablen schrittweise.

1. Potenzieren des ersten Faktors: \((2xy^3)^3 = 2^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = 8x^3y^9\). 2. Potenzieren des zweiten Faktors: Da der Exponent 4 gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg: \((-0{,}5x^2y)^4 = (-0{,}5)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 = 0{,}0625x^8y^4\). 3. Multiplikation der Ergebnisse: Zuerst die Koeffizienten multiplizieren: \(8 \cdot 0{,}0625 = 0{,}5\). 4. Zusammenfassen der Variablen durch Addition der Exponenten: \(x^3 \cdot x^8 = x^{11}\) und \(y^9 \cdot y^4 = y^{13}\). 5. Endergebnis: \(0{,}5x^{11}y^{13}\).

\(0{,}5x^{11}y^{13}\)

- Vergleiche die Endergebnisse aus Teil a) sorgfältig. - Erinnere dich an die Vorzeichenregeln beim Potenzieren von negativen Zahlen. - Welche Art von Zahlen (gerade oder ungerade) führt bei einer negativen Basis zu einem negativen Ergebnis?

1. Vereinfachung von Term \(A\): \((-2)^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{12}\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): \((-4)^2 \cdot (a^6)^2 = 16a^{12}\). Feststellung: Beide Terme sind äquivalent. 3. Begründung für das positive Vorzeichen: Da der äußere Exponent \(4\) eine gerade Zahl ist, ergibt das Potenzieren einer negativen Basis (\(-2\)) ein positives Ergebnis. 4. Anpassung von Term \(A\): Um einen negativen Koeffizienten zu erhalten, muss der äußere Exponent ungerade sein. Wählt man beispielsweise den Exponenten \(3\), lautet der neue Term \(A_{\text{neu}} = (-2a^3)^3\). 5. Berechnung des neuen Ergebnisses: \((-2)^3 \cdot (a^3)^3 = -8a^9\).

a) \(A = 16a^{12}\) und \(B = 16a^{12}\). Die Terme sind äquivalent. b) Da der äußere Exponent \(4\) gerade ist, führt die negative Basis zu einem positiven Koeffizienten. c) Beispiel: \((-2a^3)^3 = -8a^9\) (Jeder ungerade äußere Exponent ist möglich).

- Vereinfache zunächst jede der beiden potenzierten Klammern getrennt. - Achte bei der negativen Basis auf den ungeraden Exponenten. - Multipliziere anschließend gleiche Basen, indem du ihre Exponenten addierst.

1. Für den ersten Faktor gilt \((-3a^k b^2)^3=-27a^{3k}b^6\). 2. Für den zweiten Faktor gilt \((2a^2b^n)^2=4a^4b^{2n}\). 3. Beim Multiplizieren ergibt sich \(-27 \cdot 4=-108\), \(a^{3k} \cdot a^4=a^{3k+4}\) und \(b^6 \cdot b^{2n}=b^{2n+6}\). 4. Das Ergebnis ist \(-108a^{3k+4}b^{2n+6}\).

\(-108a^{3k+4}b^{2n+6}\)

- Arbeite bei beiden Termen von innen nach außen. - Prüfe jeweils zuerst, was ein gerader beziehungsweise ungerader Exponent mit dem Minuszeichen macht. - Vergleiche erst die vollständig vereinfachten Endterme.

1. Für \(T_1\) gilt \((-x)^2=x^2\) und danach \((x^2)^3=x^6\). 2. Für \(T_2\) gilt \((-x)^3=-x^3\) und danach \((-x^3)^2=x^6\). 3. Beide Terme vereinfachen sich zu \(x^6\). Sofias Aussage ist daher für diese beiden Rechenwege korrekt.

Die Aussage ist korrekt, denn \(T_1=T_2=x^6\).

- Teile jeden Summanden einzeln durch denselben Divisor. - Bei Potenzen gleicher Basis werden bei der Division die Exponenten subtrahiert. - Achte beim Dividieren durch Brüche und negative Koeffizienten auf die Vorzeichen.

1. Durch termweises Dividieren entsteht \(-10z^4+15z^2-5\). 2. Durch termweises Dividieren entsteht \(-3x^2+2x-4\).

1) \(-10z^4+15z^2-5\) 2) \(-3x^2+2x-4\)

- Welche Glieder in der Klammer sind gleichartig und können zuerst zusammengefasst werden? - Bestimme bei jedem Quotienten getrennt Vorzeichen, Zahlenfaktor und Variablenpotenz. - Prüfe anschließend, ob alle drei Glieder korrekt durch \(-0{,}2a\) geteilt wurden.

1. Zuerst werden die \(a^2\)-Glieder zusammengefasst: \(0{,}5a^2-1{,}1a^2=-0{,}6a^2\). 2. Damit wird \((-0{,}2a^3-0{,}6a^2+0{,}04a):(-0{,}2a)\) termweise dividiert. 3. Die drei Quotienten sind \(a^2\), \(3a\) und \(-0{,}2\). 4. Das Ergebnis lautet \(a^2+3a-0{,}2\).

\(a^2+3a-0{,}2\), für \(a\neq0\)

- Teile jeden Summanden einzeln durch den gemeinsamen Divisor. - Bei Bruchkoeffizienten hilft die Multiplikation mit dem Kehrwert. - Subtrahiere bei gleicher Basis die Exponenten.

1. Das erste Glied ergibt \(6x^4y^3 : \frac{3}{2}x^2y = 4x^2y^2\). 2. Das zweite Glied ergibt \(-\frac{3}{4}x^3y^2 : \frac{3}{2}x^2y=-\frac{1}{2}xy\). 3. Das dritte Glied ergibt \(\frac{1}{2}x^2y^4 : \frac{3}{2}x^2y=\frac{1}{3}y^3\). 4. Zusammen ergibt sich \(4x^2y^2-\frac{1}{2}xy+\frac{1}{3}y^3\). Die Umformung gilt für \(x\neq0\) und \(y\neq0\).

\(4x^2y^2 - \frac{1}{2}xy + \frac{1}{3}y^3\) für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\)

- Welche gemeinsamen Faktoren besitzen Zähler und Nenner der jeweiligen Quotienten? - Beachte die Definitionsbedingung, bevor du einen Variablenfaktor kürzt. - Vereinfache zuerst den Bruchterm und löse erst danach die entstehende Gleichung.

1. In der ersten Gleichung darf wegen \(x\ne0\) der Quotient \((12x^2):(4x)\) zu \(3x\) gekürzt werden. Aus \(3x=18\) folgt \(x=6\). 2. In der zweiten Gleichung gilt wegen \(y\ne0\): \((40y^3):(8y^2)=5y\). Damit folgt aus \(5y+13=48\) der Wert \(y=7\). 3. In der dritten Gleichung gilt wegen \(z\ne0\): \((18z^2):(6z)=3z\). Damit wird die Gleichung zu \(22z-3z=38\), also \(z=2\). 4. Alle drei Lösungen erfüllen die jeweilige Definitionsbedingung.

a) \(x = 6\) b) \(y = 7\) c) \(z = 2\)

- Welche Faktoren in Zähler und Nenner lassen sich unter der angegebenen Definitionsbedingung kürzen? - Was bedeutet es, dass \(x=6\) eine Lösung der Gleichung sein soll? - Setze den vorgegebenen Wert erst nach dem Vereinfachen ein und behandle \(k\) dann als Unbekannte.

1. Wegen \(x\ne0\) dürfen Koeffizienten und Variablenfaktoren gekürzt werden: \(45:9=5\) und \(x^2:x=x\). Der Bruchterm vereinfacht sich zu \(5x\). 2. Für die vorgegebene Lösung \(x=6\) einsetzen: \(5\cdot6+k\cdot6=84\). 3. Daraus folgt \(30+6k=84\), also \(6k=54\) und \(k=9\).

a) Für \(x \ne 0\) gilt \((45x^2) : (9x) = 5x\). b) \(k = 9\)

- Welche Faktoren enthält jeder Summand im Zähler des Bruchterms? - Beachte die Definitionsbedingung, bevor du einen Variablenfaktor kürzt. - Vereinfache zuerst den Bruchterm und löse danach die verbleibende Gleichung.

1. Wegen \(y\ne0\) darf der Quotient vereinfacht werden: \((18y^2-9y):(9y)=2y-1\). 2. Damit lautet die Gleichung \(14+2y-1=20\), also \(13+2y=20\). 3. Subtraktion von \(13\) ergibt \(2y=7\). 4. Division durch \(2\) liefert \(y=3{,}5\). Dieser Wert erfüllt \(y\ne0\).

\(y = 3{,}5\); die Lösung ist zulässig, da \(y \ne 0\) gilt.

- Vereinfache die beiden Bruchterme zunächst unabhängig voneinander. - Beachte die Definitionsbedingung, bevor du Variablenfaktoren kürzt. - Achte nach dem Kürzen besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Termen. - Löse erst die vereinfachte Gleichung und prüfe anschließend die Definitionsbedingung.

1. Wegen \(x\ne0\) gilt \((15x^2+10x):(5x)=3x+2\). 2. Ebenso gilt \((12x^2-18x):(6x)=2x-3\). 3. Die vereinfachte Gleichung lautet \((3x+2)-(2x-3)=1\). 4. Auflösen der Minusklammer ergibt \(3x+2-2x+3=1\), also \(x+5=1\). 5. Subtraktion von \(5\) führt zu \(x=-4\). Dieser Wert erfüllt die Definitionsbedingung.

\(x = -4\); die Lösung ist zulässig, da \(x \ne 0\) gilt.

- Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus: positive ganze Zahlen, negative Zahlen, die Null und Brüche zwischen \(0\) und \(1\). - Was passiert, wenn man eine Zahl zwischen \(0\) und \(1\) mit sich selbst multipliziert? Wird das Ergebnis größer oder kleiner?

1. Testen von Beispielwerten: Für \(a = 2\) gilt \(2^2 = 4\) und \(4 \geq 2\) (wahr). Für \(a = 0\) gilt \(0^2 = 0\) und \(0 \geq 0\) (wahr). Für \(a = -1\) gilt \((-1)^2 = 1\) und \(1 \geq -1\) (wahr). 2. Untersuchung von Werten zwischen \(0\) und \(1\): Wähle \(a = 0{,}5\). 3. Berechnung: \(0{,}5^2 = 0{,}25\). 4. Prüfung der Ungleichung: \(0{,}25 \geq 0{,}5\) ist eine falsche Aussage. 5. Schlussfolgerung: Da ein Gegenbeispiel existiert, ist die Aussage nicht für alle rationalen Zahlen wahr.

Nein, die Ungleichung gilt nicht für alle rationalen Zahlen. Ein Gegenbeispiel ist \(a = 0{,}5\), da \(0{,}5^2 = 0{,}25\) kleiner ist als \(0{,}5\).

- Erinnere dich an die Potenzgesetze: Wie kann man eine Summe im Exponenten als Produkt von Potenzen schreiben? - Welcher Teil kommt in beiden Summanden identisch vor? - Was bleibt in der Klammer übrig, wenn du diesen gemeinsamen Teil „wegnimmst“?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \(a^{x+y} = a^x \cdot a^y\): Umschreiben des ersten Summanden zu \(y^{n+2} = y^n \cdot y^2\). 2. Identifikation des gemeinsamen Faktors in den Termen \(y^n \cdot y^2\) und \(5 \cdot y^n\): Der gemeinsame Faktor ist \(y^n\). 3. Ausklammern des Faktors \(y^n\): \(y^n \cdot (y^2 + 5)\).

\(y^n \cdot (y^2 + 5)\)

- Macht es einen Unterschied, ob das Minuszeichen mit in der Klammer steht oder davor? - Überlege, welches Vorzeichen das Ergebnis hat, wenn der Exponent gerade oder ungerade ist. - Was bedeutet der Exponent \(2n\) für die Parität (gerade/ungerade) der Zahl? - Gehe schrittweise vor: Berechne zuerst die einzelnen Potenzwerte und verrechne sie dann.

1. Berechnung von \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\) und \(-4^2 = -(4 \cdot 4) = -16\). 2. Da \(101\) ungerade ist, gilt \((-1)^{101} = -1\). Da \(202\) gerade ist, gilt \((-1)^{202} = 1\). 3. Berechnung der Potenzen: \((-2)^5 = -32\) und \((-3)^3 = -27\). Addition der Ergebnisse: \(-32 + (-27) = -59\). 4. Da \(2n\) für jede natürliche Zahl \(n\) eine gerade Zahl ist, gilt \((-1)^{2n} = 1\). Das Vorzeichen davor ergibt \(-(1) = -1\).

1) \(16\) und \(-16\) 2) \(-1\) und \(1\) 3) \(-59\) 4) \(-1\)

- Erinnere dich an die Regel „Potenzen vor Punkt vor Strich“. - Bei Brüchen wird sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert. - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in Terme darauf, Klammern zu setzen. - Wie verändert sich das Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl mit sich selbst multipliziert?

1. Potenzieren des Bruchs: \(\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{(-2)^3}{3^3} = -\frac{8}{27}\). 2. Berechnung der Dezimalzahlen: \(0{,}2^2 = 0{,}04\) und \((-0{,}1)^3 = -0{,}001\). Subtraktion: \(0{,}04 - (-0{,}001) = 0{,}04 + 0{,}001 = 0{,}041\). 3. Berechnung der Potenzen: \((-1)^7 = -1\) und \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0{,}25\). Multiplikation und Addition: \(-1 \cdot 0{,}25 + 0{,}75 = -0{,}25 + 0{,}75 = 0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)). 4. Einsetzen der Werte in den Term: \((-2)^4 - (-2)^3\). Berechnung: \(16 - (-8) = 16 + 8 = 24\).

1) \(-\frac{8}{27}\) 2) \(0{,}041\) 3) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) 4) \(24\)

- Schreibe die ausgeschriebenen Produkte zuerst als Potenzen. - Welche Terme haben danach exakt denselben Variablenanteil? - Bei einem Term ohne sichtbaren Koeffizienten ist der Koeffizient \(1\).

1. Alle Produkte mit \(x\) werden zu \(x^2\); \((4+1-2)x^2=3x^2\). 2. Es gilt \(a\cdot a\cdot b=a^2b\) und \(a\cdot b\cdot b=ab^2\). Daher entsteht \(2a^2b+ab^2\). 3. \(z\cdot z\cdot z=z^3\), also \((3+1-2)z^3=2z^3\). 4. \(p\cdot p=p^2\) und \(q\cdot q\cdot q=q^3\). Daher ergibt sich \(4p^2+2q^3\).

1) \(3x^2\) 2) \(2a^2b+ab^2\) 3) \(2z^3\) 4) \(4p^2+2q^3\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Ein Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. - Wie multipliziert man Potenzen mit der gleichen Basis? Was passiert dabei mit den Exponenten? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl oder Variable ausmultiplizierst. - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbaren Exponenten (wie \(x\)) eigentlich den Exponenten \(1\) hat.

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(4a^n \cdot a^3 - 4a^n \cdot 2a^n\). Anwendung der Potenzregel \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\) ergibt \(4a^{n+3} - 8a^{2n}\). 2. Multiplikation der Faktoren: \(-3x^k \cdot 2x^{k+1} + (-3x^k) \cdot 4x\). Verrechnung der Koeffizienten und Addition der Exponenten führt zu \(-6x^{2k+1} - 12x^{k+1}\). 3. Ausmultiplizieren des Bruchs: \(\frac{1}{3}y^m \cdot 9y^{2m} - \frac{1}{3}y^m \cdot 6y\). Kürzen der Brüche und Addition der Exponenten ergibt \(3y^{3m} - 2y^{m+1}\).

1) \(4a^{n+3} - 8a^{2n}\) 2) \(-6x^{2k+1} - 12x^{k+1}\) 3) \(3y^{3m} - 2y^{m+1}\)

- Wie hängen Division und Multiplikation zusammen? Kannst du die Aufgabe rückwärts rechnen? - Wenn du ein Ergebnis hast und wissen willst, was am Anfang stand, welche Rechenart hilft dir dabei? - Multipliziere jedes Teil des Ergebnisses mit dem Divisor. - Vergleiche dein Zwischenergebnis mit dem bereits bekannten Glied in der Mitte.

1. Nutze die Umkehroperation der Division, die Multiplikation, um die ursprünglichen Glieder zu finden. Multipliziere dazu jedes Glied des Ergebnisses mit dem Divisor \(4xy\). 2. Berechne das erste fehlende Glied: \(2x^2 \cdot 4xy = 8x^3y\). 3. Überprüfe das mittlere Glied zur Kontrolle: \(-3xy \cdot 4xy = -12x^2y^2\). Dies stimmt mit der Angabe überein. 4. Berechne das zweite fehlende Glied am Ende der Klammer: \(5y^2 \cdot 4xy = 20xy^3\). 5. Setze die Terme ein. Die gesuchten Glieder sind \(8x^3y\) und \(20xy^3\).

Für \(x \ne 0\) und \(y \ne 0\) sind die fehlenden Glieder \(8x^3y\) und \(20xy^3\). Die vollständige Gleichung lautet: \((8x^3y - 12x^2y^2 + 20xy^3) : 4xy = 2x^2 - 3xy + 5y^2\)

- Erinnere dich daran, dass eine positive Zahl immer größer ist als eine negative Zahl. - Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus (kleiner als 1, größer als 1), um eine allgemeine Aussage zu prüfen. - Wie verhält sich das Ergebnis einer Multiplikation, wenn man mit einer Zahl zwischen 0 und 1 multipliziert?

1. Für \(x = -3\): \(x^2 = (-3)^2 = 9\) und \(x^3 = (-3)^3 = -27\). 2. Vergleich für negative \(x\): Da \(x\) negativ ist, ist \(x^2\) (negativ \(\cdot\) negativ) immer positiv. \(x^3\) (negativ \(\cdot\) negativ \(\cdot\) negativ) ist immer negativ. Da jede positive Zahl größer als jede negative Zahl ist, gilt für negative \(x\): \(x^2 > x^3\). 3. Überprüfung für positive \(x\): Für \(x = 0{,}5\): \(x^2 = 0{,}25\) und \(x^3 = 0{,}125\). Hier ist \(x^2 > x^3\). Für \(x = 2\): \(x^2 = 4\) und \(x^3 = 8\). Hier ist \(x^3 > x^2\). 4. Schlussfolgerung: Die Beobachtung gilt nicht für alle positiven Zahlen. Wenn \(x > 1\), ist \(x^3\) größer als \(x^2\).

a) \(x^2 = 9\); \(x^3 = -27\) b) Für negative \(x\) ist \(x^2\) immer größer, weil \(x^2\) positiv und \(x^3\) negativ ist. c) Nein. Für \(x = 0{,}5\) gilt \(0{,}25 > 0{,}125\), für \(x = 2\) dagegen \(8 > 4\), also \(x^3 > x^2\).

- Suche nach der kleinsten Potenz einer Variablen, um sie auszuklammern. - Bei Zahlen als Basis (wie der 2) kannst du nach dem Ausklammern oft weiterrechnen. - Betrachte bei Termen mit mehreren Variablen jede Variable einzeln. - Was passiert, wenn du die Klammer wieder auflösen würdest? Kommst du zum Ursprungsterm zurück?

1. Bestimmung des ggT von 15 und 10 (ist 5) sowie der kleinsten Potenz von \(z\) (ist \(z^n\)): \(5z^n \cdot (3z^2+2)\). 2. Anwendung von \(x^{a+b} = x^a \cdot x^b\) und Ausklammern von \(x^a\): \(x^a \cdot (x^b-1)\). 3. Ausklammern der kleinsten Potenz \(2^k\), Berechnung der verbleibenden Differenz in der Klammer: \(2^k \cdot (2^2-1) = 2^k \cdot (4-1) = 3 \cdot 2^k\). 4. Ausklammern des Produkts \(r^n s^n\), da dies in beiden Summanden enthalten ist: \(r^n s^n \cdot (s^n-r^n)\).

1) \(5z^n \cdot (3z^2+2)\) 2) \(x^a \cdot (x^b-1)\) 3) \(3 \cdot 2^k\) 4) \(r^n s^n \cdot (s^n-r^n)\)

- Was passiert mit den Hochzahlen, wenn du eine Potenz ausklammerst? Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen. - Wenn ein ganzer Teil des Terms ausgeklammert wird, bleibt an dieser Stelle eine 1 stehen. - Welche Potenz ist „kleiner“: \(x^n\) oder \(x^{n+2}\)? - Versuche, den Term als Produkt von zwei einfacheren Bausteinen zu sehen.

1. Der kleinste Exponent von \(x\) ist \(n\). Ausklammern von \(x^n\) ergibt \(x^n \cdot (1 + x^{(n+2)-n}) = x^n \cdot (1 + x^2)\). 2. Der GGT der Koeffizienten \(6\) und \(3\) ist \(3\). Die kleinste Potenz von \(y\) ist \(y^k\). Ausklammern von \(3y^k\) ergibt \(3y^k \cdot (2y^{(k+1)-k} - 1) = 3y^k \cdot (2y - 1)\). 3. Da \(a^{2m} = (a^m)^2\) bzw. \(a^{m+m}\), ist \(a^m\) der gemeinsame Faktor. Ausklammern ergibt \(a^m \cdot (a^m - 1)\). 4. Gemeinsame Faktoren sind \(x^n\) und \(y^n\). Ausklammern von \(x^n y^n\) ergibt \(x^n y^n \cdot (y^{(n+1)-n} + x^{(n+1)-n}) = x^n y^n \cdot (y + x)\).

1) \(x^n \cdot (1 + x^2)\) 2) \(3y^k \cdot (2y - 1)\) 3) \(a^m \cdot (a^m - 1)\) 4) \(x^n y^n \cdot (y + x)\)

- Wenn du Exponenten addierst, die selbst aus mehreren Teilen bestehen (wie \(k-1\)), nutze im Kopf Klammern, um Rechenfehler zu vermeiden. - Was passiert mit den Buchstaben im Exponenten, wenn du sie addierst oder subtrahierst? - Überprüfe bei jedem Schritt, ob das Vorzeichen des Ergebnisses korrekt ist (Minus mal Minus ergibt Plus). - Kannst du den Exponenten im Ergebnis noch weiter vereinfachen, indem du gleiche Variablen zusammenfasst?

1. Distributivgesetz anwenden: \(x^{k-1} \cdot x^{k+1} + x^{k-1} \cdot 5x^2\). Exponenten addieren: \((k-1) + (k+1) = 2k\) und \((k-1) + 2 = k+1\). Ergebnis: \(x^{2k} + 5x^{k+1}\). 2. Terme multiplizieren: \(6b^{2n} \cdot \frac{1}{3}b^{1-n} - 6b^{2n} \cdot 2b^n\). Koeffizienten berechnen: \(6 \cdot \frac{1}{3} = 2\) und \(6 \cdot 2 = 12\). Exponenten addieren: \(2n + (1-n) = n+1\) und \(2n + n = 3n\). Ergebnis: \(2b^{n+1} - 12b^{3n}\). 3. Vorzeichen und Exponenten beachten: \(-2z^m \cdot 3z^{p-m} - (-2z^m) \cdot z\). Multiplikation ergibt \(-6z^{m+p-m} + 2z^{m+1}\). Vereinfachung des Exponenten \(m+p-m = p\) führt zu \(-6z^p + 2z^{m+1}\).

1) \(x^{2k} + 5x^{k+1}\) 2) \(2b^{n+1} - 12b^{3n}\) 3) \(-6z^p + 2z^{m+1}\)