- Was gibt der Exponent (die kleine Hochzahl) bei einer Potenz an? - Achte darauf, ob zwischen den Buchstaben ein Pluszeichen oder ein Malzeichen steht. - Gleiche Zahlen oder Variablen können zu einer Basis zusammengefasst werden. - Wie nennt man die Kurzschreibweise für eine Summe aus gleichen Summanden im Vergleich zu einem Produkt aus gleichen Faktoren?

1. Das Produkt aus sechs gleichen Faktoren \(8\) wird als \(8^6\) geschrieben. 2. Das Produkt aus vier gleichen Faktoren \(z\) wird als \(z^4\) geschrieben. 3. Die Faktoren werden nach Basen gruppiert: Drei Faktoren \(3\) ergeben \(3^3\), zwei Faktoren \(a\) ergeben \(a^2\) und vier Faktoren \(b\) ergeben \(b^4\). Das Ergebnis ist \(3^3 \cdot a^2 \cdot b^4\) (oder \(27 a^2 b^4\)). 4. Der Ausdruck \(x \cdot x \cdot x \cdot x\) ist korrekt, da die Potenzschreibweise eine Kurzform für ein Produkt aus gleichen Faktoren ist. Der Ausdruck \(x + x + x + x\) hingegen beschreibt eine Summe und wird als \(4x\) zusammengefasst.

1) \(8^6\) 2) \(z^4\) 3) \(3^3 a^2 b^4\) 4) \(x \cdot x \cdot x \cdot x\), da Potenzen wiederholte Multiplikation ausdrücken.

- Was gibt der Exponent über die Anzahl gleicher Faktoren an? - Welche Teile eines Produkts haben dieselbe Basis? - Bei einer Potenz einer Klammer ist die gesamte Klammer die Basis.

1. \(6^3=6\cdot6\cdot6\). 2. Vier gleiche Faktoren \(b\) ergeben \(b^4\). 3. Zwei Faktoren \(x\) und drei Faktoren \(y\) ergeben \(3x^2y^3\). 4. Die gesamte Klammer ist die Basis: \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). 5. Zwei Faktoren \(m\) ergeben \(7m^2\).

1) \(6\cdot6\cdot6\) 2) \(b^4\) 3) \(3x^2y^3\) 4) \((a+b)(a+b)\) 5) \(7m^2\)

- Schreibe beide Potenzen gedanklich als wiederholte Produkte. - Wie viele Faktoren \(x\) stehen danach insgesamt im Produkt?

1. \(x^3\) enthält drei Faktoren \(x\), \(x^2\) enthält zwei Faktoren \(x\). 2. Im Produkt stehen insgesamt fünf Faktoren \(x\). 3. Deshalb gilt \(x^3\cdot x^2=x^5\), also A.

A) \(x^5\), weil \(x^3\) drei Faktoren \(x\) und \(x^2\) zwei weitere Faktoren \(x\) enthält; zusammen sind es fünf.

- Vergleiche die Exponenten der beiden Faktoren. - Was erhältst du, wenn du \((xy)^4\) als wiederholtes Produkt ausschreibst? - In jedem der vier Faktoren kommt einmal \(x\) und einmal \(y\) vor.

1. Beide Faktoren haben denselben Exponenten \(4\). 2. Daher gilt \(x^4y^4=(xy)^4\).

\((xy)^4\)

- Schreibe die äußere Potenz zunächst als wiederholtes Produkt. - Wie werden Potenzen mit gleicher Basis multipliziert? - Vergleiche dein Ergebnis mit der Regel \((a^m)^n=a^{mn}\).

1. \((a^3)^2\) bedeutet \(a^3\cdot a^3\). 2. Beim Multiplizieren gleicher Basen werden die Exponenten addiert: \(a^{3+3}=a^6\).

\(a^6\)

- Kannst du die Zahlen und die Buchstaben getrennt voneinander betrachten? - Wie verändern sich die Exponenten, wenn du Variablen mit der gleichen Basis multiplizierst? - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbare Hochzahl den Exponenten 1 hat.

1. Multiplikation der Koeffizienten: \(2 \cdot 3 = 6\) 2. Zusammenfassen der Potenzen von \(x\) mittels Potenzgesetz \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5\) 3. Zusammenfassen der Potenzen von \(y\): \(y^1 \cdot y^1 = y^{1+1} = y^2\) 4. Gesamtergebnis: \(6x^5y^2\)

d) \(6x^5y^2\)

- Schreibe alle Werte als Potenzen zur Basis \(10\). - Was passiert mit den Exponenten beim Multiplizieren oder Dividieren gleicher Basen? - Vergleiche anschließend nur noch die Exponenten.

1. Als Zehnerpotenzen lauten die Werte \(10^4,10^3,10^5,10^5,10^6\). 2. Daher gilt \(10^3<10^4<10^5=10^5<10^6\).

\(1000<10^4<10^2\cdot10^3=\text{Hunderttausend}<10^7:10\)

- Bei Produkten mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert. - Bei einer Potenz einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. - Achte bei \(D\) darauf, dass dort addiert und nicht multipliziert wird.

1. \(A=x^{3+2}=x^5\). 2. \(B=x^{2\cdot4}=x^8\). 3. \(C=x^{4+3}=x^7\). 4. \(D=2x^5\), weil zwei gleichartige Glieder addiert werden. 5. Für \(x=10\) ergeben sich \(10^5\), \(10^8\), \(10^7\) und \(2\cdot10^5\). Damit ist \(B\) am größten.

a) \(A=x^5\), \(B=x^8\), \(C=x^7\), \(D=2x^5\) b) \(B\) hat für \(x=10\) den größten Wert.

- Schreibe eine Potenz probeweise als wiederholte Multiplikation. - Achte bei b) darauf, ob das Minuszeichen mit potenziert wird. - Zähle bei c), wie viele Faktoren \(a\) insgesamt vorkommen.

1. a) Richtig, denn \((5z)^2=(5z)(5z)=25z^2\). 2. b) Falsch. \((-x)^2=(-x)(-x)=x^2\). 3. c) Falsch. \(a^4\cdot a^2=a^{4+2}=a^6\). 4. d) Richtig, denn \((2k)^3=(2k)(2k)(2k)=8k^3\).

a) richtig b) falsch; \((-x)^2=x^2\) c) falsch; \(a^4\cdot a^2=a^6\) d) richtig

- Achte darauf, ob das Minuszeichen Teil der potenzierten Basis ist. - Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. - Bei einer Potenz einer Potenz werden die Exponenten multipliziert.

1. \((-4)^2=16\), während \(-4^2=-(4^2)=-16\). Außerdem ist \((-2)^3=-8\). 2. In b) gilt \(x^2\cdot x^5\cdot x=x^{2+5+1}=x^8\). 3. In c) gilt zuerst \((y^3)^2=y^6\). Danach folgt \(y^6\cdot y=y^{6+1}=y^7\).

a) \(16\); \(-16\); \(-8\) b) \(x^8\) c) \(y^7\)

- Betrachte Zahlenfaktoren und Variablenfaktoren zunächst getrennt. - Wenn du bei den Potenzen unsicher bist, schreibe sie kurz als wiederholte Faktoren auf. - Zähle anschließend, wie oft derselbe Variablenfaktor im Produkt vorkommt.

1. a) \(5\cdot3=15\) und insgesamt kommen fünf Faktoren \(a\) vor. Daher ist das Ergebnis \(15a^5\). 2. b) \(6\cdot\frac{1}{2}=3\) und insgesamt kommen drei Faktoren \(b\) vor. Daher ist das Ergebnis \(3b^3\).

a) \(15a^5\) b) \(3b^3\)

- Kannst du die Faktoren im dritten Aufgabenteil so umstellen, dass gleiche Variablen nebeneinander stehen? - Erinnere dich an die allgemeine Definition einer Potenz für eine beliebige Anzahl \(n\) von Faktoren. - Überlege bei Teil 2 genau, welche Teile durch ein Pluszeichen getrennt sind und welche Faktoren zusammengehören.

1. Ein Produkt aus neun gleichen Faktoren \(c\) ist definiert als \(c^9\). 2. Der erste Teil des Terms besteht aus zwei Faktoren \(4\) (\(4^2\)) und drei Faktoren \(r\) (\(r^3\)). Der zweite Teil besteht aus fünf Faktoren \(s\) (\(s^5\)). Zusammen ergibt dies \(4^2 r^3 + s^5\) (oder \(16r^3 + s^5\)). 3. Durch Sortieren der Faktoren erhält man \(x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y\). Dies entspricht \(x^3 y^4\). 4. Wenn ein Faktor \(p\) genau \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert wird, schreibt man allgemein \(p^n\).

1) \(c^9\) 2) \(4^2 r^3 + s^5\) 3) \(x^3 y^4\) 4) \(p^n\)

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert wird? - Was bedeutet es, wenn genau der gleiche Baustein mehrmals addiert wird? - Schau dir zuerst einen einzelnen Baustein an und fasse ihn mit einer Hochzahl zusammen. - Zähle dann, wie oft dieser Baustein in der Summe vorkommt.

1. Identifikation der Teilterme: \(x \cdot x \cdot x\) entspricht \(x^3\). Da dieser Teilterm zweimal addiert wird, ergibt sich der Koeffizient \(2\). Ergebnis: \(2x^3\). 2. Identifikation der Teilterme: \(a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b\) entspricht \(a^2 \cdot b^3\). Da dieser Ausdruck dreimal addiert wird, ergibt sich der Koeffizient \(3\). Ergebnis: \(3a^2 b^3\). 3. Identifikation der Teilterme: \((m + n) \cdot (m + n)\) entspricht \((m + n)^2\). Da dieser Ausdruck viermal addiert wird, ergibt sich der Koeffizient \(4\). Ergebnis: \(4 \cdot (m + n)^2\).

1) \(2x^3\) 2) \(3a^2 b^3\) 3) \(4 \cdot (m + n)^2\)

- Überlege dir, welches Vorzeichen eine Quadratzahl (\(x^2\)) immer hat, egal ob \(x\) positiv oder negativ ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Terms, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht? - Kannst du für die Variablen Zahlen finden, sodass der gesamte Klammerinhalt Null wird? - Unterscheide zwischen einer Zahl, die Null sein kann, und einer Zahl, die immer größer als Null sein muss.

1. Analyse von \(x^2 + y^2\): Da \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\), sind \(x^2\) und \(y^2\) beide strikt positiv (\(> 0\)). Die Summe zweier positiver Zahlen ist immer positiv. 2. Analyse von \(-(x^2 + 3)\): Da \(x^2 \ge 0\), ist \(x^2 + 3 \ge 3\). Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen um, sodass der Wert immer \(\le -3\) und damit immer negativ ist. 3. Analyse von \((x - y)^2\): Ein Quadrat ist grundsätzlich nie negativ (\(\ge 0\)). Wenn \(x = y\) gewählt wird (was erlaubt ist, da beide ungleich Null sein können, z. B. \(x=1, y=1\)), ergibt der Term \((1-1)^2 = 0\). Somit kann der Wert Null ergeben. 4. Analyse von \(x^4 + 10\): Da \(x^4 = (x^2)^2\) immer \(\ge 0\) ist, ist \(x^4 + 10\) immer mindestens 10 und somit immer positiv. 5. Analyse von \(-x^2 - y^2\): Da \(x^2 > 0\) und \(y^2 > 0\), ist die Summe \(x^2 + y^2\) positiv. Durch das Minuszeichen vor beiden Quadraten (oder ausgeklammert \(-(x^2 + y^2)\)) ist das Ergebnis immer negativ.

- **Immer positiv**: a) \(x^2 + y^2\), d) \(x^4 + 10\) - **Immer negativ**: b) \(-(x^2 + 3)\), e) \(-x^2 - y^2\) - **Null möglich**: c) \((x - y)^2\)

- Setze \(4\) und \(-4\) jeweils sorgfältig in beide Terme ein. - Vergleiche, wie sich eine gerade und eine ungerade Potenz auf das Vorzeichen einer negativen Basis auswirkt. - Die Koeffizienten \(3\) und \(2\) ändern diesen Vorzeicheneffekt nicht.

1. Für \(x=4\) hat \(T_1\) den Wert \(3\cdot4^2+10=58\), für \(x=-4\) ebenfalls \(58\). 2. Für \(x=4\) hat \(T_2\) den Wert \(2\cdot4^3=128\), für \(x=-4\) den Wert \(-128\). 3. Bei \(T_1\) bleibt der Wert gleich, weil eine Zahl und ihre Gegenzahl dasselbe Quadrat haben. 4. Bei \(T_2\) wechselt das Vorzeichen, weil die dritte Potenz einer negativen Zahl negativ ist.

a) \(T_1\): \(58\) für beide Einsetzungen; \(T_2\): \(128\) für \(x=4\) und \(-128\) für \(x=-4\). b) Bei \(T_1\) bleibt der Wert unverändert, weil \(x^2\) für eine Zahl und ihre Gegenzahl denselben Wert hat.

- Welche Regel gilt beim Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis? - Eine Variable ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten \(1\). - Behandle Vorzeichen und Potenzgesetz als zwei getrennte Schritte.

1. Bei Potenzen mit gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. 2. a) \(x^{4+5}=x^9\). 3. b) Das Minuszeichen bleibt erhalten und \(a^{3+2}=a^5\), also \(-a^5\). 4. c) \(y^{1+4+2}=y^7\). 5. d) Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt: \(m^{2+6}=m^8\). 6. e) \(b^{n+3}\).

a) \(x^9\) b) \(-a^5\) c) \(y^7\) d) \(m^8\) e) \(b^{n+3}\)

- Multipliziere zuerst die Zahlen vor den Variablen. - Wie verändern sich die Hochzahlen, wenn man Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbare Hochzahl (wie \(y\)) eigentlich den Exponenten \(1\) hat.

1. Multiplikation der Koeffizienten \(6 \cdot 4 = 24\) und Addition der Exponenten \(2 + 5 = 7\): \(24x^7\). 2. Multiplikation der Koeffizienten \(-3 \cdot 8 = -24\) und Addition der Exponenten \(4 + 3 = 7\): \(-24a^7\). 3. Multiplikation der Koeffizienten \(0{,}4 \cdot (-5) = -2\) und Addition der Exponenten \(1 + 4 = 5\): \(-2y^5\). 4. Multiplikation der Koeffizienten \(-7 \cdot (-2) = 14\) und Addition der Exponenten \(2 + 2 = 4\): \(14b^4\). 5. Multiplikation der Koeffizienten \(\frac{2}{5} \cdot 10 = 4\) und Addition der Exponenten \(6 + 2 = 8\): \(4z^8\).

a) \(24x^7\) b) \(-24a^7\) c) \(-2y^5\) d) \(14b^4\) e) \(4z^8\)

- Behandle die Zahlenfaktoren und jede Variable zunächst getrennt. - Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. - Achte unabhängig davon auf die Vorzeichen der Zahlenfaktoren.

1. Die Koeffizienten ergeben \(-5 \cdot 4=-20\). Für gleiche Basen werden die Exponenten addiert: \(a^{3+2}=a^5\) und \(b^{1+4}=b^5\). Ergebnis: \(-20a^5b^5\). 2. Die Koeffizienten ergeben \(0{,}8 \cdot (-0{,}5)=-0{,}4\). Außerdem gilt \(x^{2+1}=x^3\) und \(y^{3+1}=y^4\). Ergebnis: \(-0{,}4x^3y^4\). 3. Die Koeffizienten ergeben \((-6)(-3)=18\). Außerdem gilt \(m^{4+2}=m^6\) und \(n^{2+5}=n^7\). Ergebnis: \(18m^6n^7\).

1) \(-20a^5b^5\) 2) \(-0{,}4x^3y^4\) 3) \(18m^6n^7\)

- Multipliziere Zahlenfaktoren und Potenzen gleicher Basis getrennt. - Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. - Behandle einen Exponenten wie \(m-1\) beim Addieren als ganzen Ausdruck.

1. Für a) gilt \(7 \cdot 3=21\) und \(x^n \cdot x^4=x^{n+4}\). Ergebnis: \(21x^{n+4}\). 2. Für b) gilt \((-5)(-2)=10\) und \(a^{k+2} \cdot a^3=a^{k+5}\). Ergebnis: \(10a^{k+5}\). 3. Für c) gilt \(\frac{1}{3} \cdot (-9)=-3\) und \(y^m \cdot y^{m-1}=y^{2m-1}\). Ergebnis: \(-3y^{2m-1}\).

a) \(21x^{n+4}\) b) \(10a^{k+5}\) c) \(-3y^{2m-1}\)

- Welchen Exponenten hat eine Variable, wenn dort keine Zahl steht? - Was geschieht mit den Exponenten bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis? - Achte bei der Multiplikation der Zahlen vor den Variablen besonders auf die Vorzeichen. - Vergleiche Schritt für Schritt Koeffizienten und jede einzelne Variable.

1. Überprüfung der ersten Rechnung: Multiplikation der Koeffizienten \(4 \cdot 3 = 12\). Addition der Exponenten für die Basis \(a\): \(2 + 1 = 3\), für die Basis \(b\): \(1 + 3 = 4\). Das korrekte Ergebnis ist \(12a^3b^4\). Lukas hat vergessen, die Exponenten korrekt zu addieren. 2. Überprüfung der zweiten Rechnung: Multiplikation der Koeffizienten \((-5) \cdot (-2) = 10\). Addition der Exponenten für \(x\): \(3 + 1 = 4\), für \(y\): \(2 + 1 = 3\). Das Ergebnis \(10x^4y^3\) ist richtig. 3. Überprüfung der dritten Rechnung: Multiplikation der Koeffizienten \(\frac{2}{3} \cdot 6 = 4\). Addition der Exponenten für \(m\): \(2 + 3 = 5\), für \(n\): \(4 + 1 = 5\). Das korrekte Ergebnis ist \(4m^5n^5\). Lukas hat die Exponenten falsch verarbeitet.

1) Falsch. Korrektur: \(12a^3b^4\) 2) Richtig. 3) Falsch. Korrektur: \(4m^5n^5\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn die Hochzahl ungerade oder gerade ist? - Wird der Koeffizient (die Zahl vor der Variablen) auch potenziert? - Welche Rechenart wird bei den Exponenten angewendet, wenn eine Potenz potenziert wird?

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte und Potenzen von Potenzen: \(4^2 \cdot (a^5)^2 = 16 \cdot a^{5 \cdot 2} = 16a^{10}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes: \((-3)^3 \cdot (b^2)^3 = -27 \cdot b^{2 \cdot 3} = -27b^6\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes: \((\frac{1}{2})^4 \cdot (x^3)^4 = \frac{1}{16} \cdot x^{3 \cdot 4} = \frac{1}{16}x^{12}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes: \((-1)^2 \cdot (y^4)^2 = 1 \cdot y^{4 \cdot 2} = y^8\).

1. \(16a^{10}\) 2. \(-27b^6\) 3. \(\frac{1}{16}x^{12}\) 4. \(y^8\)

- Potenziere bei einer Klammer sowohl den Zahlenfaktor als auch die Variable. - Achte bei einer negativen Basis auf die Parität des Exponenten. - Beim anschließenden Multiplizieren gleicher Basen werden die Exponenten addiert.

1. Für a) wird zuerst die Potenz des Terms gebildet: \((5a^2)^3=5^3(a^2)^3=125a^6\). Anschließend ergibt \(125a^6 \cdot 2a^5=250a^{11}\). 2. Für b) gilt wegen des geraden Exponenten \((-2x^3)^4=16x^{12}\). Anschließend ergibt \(16x^{12} \cdot (-3x^2)=-48x^{14}\).

a) \(250a^{11}\) b) \(-48x^{14}\)

- Was weißt du über das Vorzeichen des Ergebnisses, wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Überlege, was der kleinste Wert ist, den \(x^2\) annehmen kann. - Was passiert mit diesem kleinsten Wert, wenn du \(1\) addierst?

1. Analyse der Eigenschaft von Quadraten: Für jede rationale Zahl \(x\) gilt \(x^2 \geq 0\), da das Produkt zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen (oder Null) niemals negativ ist. 2. Addition von \(1\): Addiert man \(1\) zu einem Wert, der mindestens \(0\) ist, erhält man eine Summe, die mindestens \(1\) beträgt (\(x^2 + 1 \geq 1\)). 3. Schlussfolgerung: Da \(1\) größer als \(0\) ist, ist die Bedingung \(x^2 + 1 > 0\) für alle rationalen Zahlen \(x\) erfüllt. Die Aussage ist wahr.

Ja, die Aussage ist wahr. Da \(x^2\) niemals negativ ist (\(x^2 \geq 0\)), ist die Summe \(x^2 + 1\) immer mindestens \(1\) und damit stets größer als \(0\).

- Bei gleicher Basis kannst du beim Multiplizieren die Exponenten addieren. - Bei der Division gleicher Basen werden die Exponenten subtrahiert. - In c) ist \(10^5\) ein gemeinsamer Faktor.

1. In a) werden die Exponenten addiert: \(10^4\cdot10^3=10^7\). 2. In b) werden die Exponenten subtrahiert: \(\frac{10^7}{10^2}=10^5\). 3. In c) werden die gleichen Zehnerpotenzen zusammengefasst: \((4+5)\cdot10^5=9\cdot10^5\). 4. In d) gilt \(10^{2+2+2}=10^6\).

a) \(10^7\) b) \(10^5\) c) \(9\cdot10^5\) d) \(10^6\)

- Schreibe die dritte Potenz als Produkt aus drei gleichen Faktoren aus. - Betrachte Zahlenfaktor und Variablenfaktor getrennt. - Wie viele Faktoren \(a\) stecken insgesamt in drei Faktoren \(a^2\)?

1. Es ist \((2a^2)^3=(2a^2)(2a^2)(2a^2)\). 2. Die Zahlenfaktoren ergeben \(2\cdot2\cdot2=8\). 3. Die Variablenfaktoren ergeben \(a^2\cdot a^2\cdot a^2=a^6\). 4. Daher ist \((2a^2)^3=8a^6\). Mila hat weder den Koeffizienten noch die Exponenten korrekt potenziert.

\((2a^2)^3=8a^6\). Mila müsste drei Faktoren \(2a^2\) miteinander multiplizieren.

- Schreibe \(4,8,16\) und \(32\) jeweils als Zweierpotenz. - Wie verändert sich der Exponent beim Potenzieren einer Potenz? - Bei gleicher Basis entscheidet der Exponent über die Größe.

1. Umgeschrieben ergeben sich \(2^{12},2^{14},2^{11},2^{12},2^{10}\). 2. Damit gilt \(2^{10}<2^{11}<2^{12}=2^{12}<2^{14}\). 3. Der kleinste Wert ist daher \(32^2\), der größte \(4^7\).

Kleinster Wert: \(32^2\) Größter Wert: \(4^7\)

- Prüfe, worauf sich der Exponent \(2\) in \((3x)^2\) bezieht. - Schreibe die Potenz der Klammer notfalls als Produkt zweier gleicher Klammern. - Behandle danach Zahlenfaktoren und Potenzen von \(x\) getrennt.

1. Im ersten Schritt wurde nur \(x\) quadriert, nicht aber der Zahlenfaktor \(3\). Für ein Produkt in der Klammer gilt \((3x)^2=3^2x^2=9x^2\). 2. Damit ist \(4x^2 \cdot (3x)^2=4x^2 \cdot 9x^2\). 3. Die Koeffizienten ergeben \(4 \cdot 9=36\), und \(x^2 \cdot x^2=x^4\). 4. Das korrekte Endergebnis ist \(36x^4\).

Der Fehler ist, dass die \(3\) nicht quadriert wurde. Das korrekte Ergebnis lautet \(36x^4\).

- Setze den Wert \(a = 3\) ein und achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte. - Was wird zuerst berechnet, wenn eine Klammer vorhanden ist? - Was hat Vorrang: die Multiplikation oder die Potenz?

1. Berechnung für a): \(T_1 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). \(T_2 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 2 \cdot 27 = 54\). 2. Erklärung des Unterschieds: In Term \(T_1\) erzwingt die Klammer, dass zuerst die Multiplikation \(2 \cdot a\) ausgeführt wird. Das Ergebnis dieser Multiplikation wird anschließend potenziert. 3. In Term \(T_2\) gibt es keine Klammer. Nach der Vorrangregel „Potenz vor Punkt“ muss zuerst \(a^3\) berechnet werden. Erst danach wird dieses Ergebnis mit \(2\) multipliziert.

a) \(T_1 = 216\); \(T_2 = 54\). b) In \(T_1\) wird erst multipliziert und dann potenziert (wegen der Klammer). In \(T_2\) wird erst potenziert und dann multipliziert (Regel: Potenz vor Punkt).

- Schreibe die Potenzen zunächst als wiederholte Produkte aus. - Achte darauf, ob ein Exponent nur auf eine Variable oder auf eine ganze Klammer wirkt. - Zähle beim Produkt gleicher Variablen, wie oft jede Variable als Faktor vorkommt.

1. Es gilt \(5a^2=5 \cdot a \cdot a\), aber \((5a)^2=(5a)(5a)=25a^2\). Die Ausdrücke sind daher nicht gleich. 2. \(x^2 \cdot x^4\) enthält insgesamt sechs Faktoren \(x\), also \(x^6\). Kenjis Aussage ist falsch; bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. 3. Nach dem Ordnen stehen drei Faktoren \(z\) und drei Faktoren \(w\). Der Term ist daher \(z^3w^3\).

1) Nein, \(5a^2 \neq (5a)^2\). 2) Falsch. Es gilt \(x^2 \cdot x^4=x^6\). 3) \(z^3w^3\)

- Was ist der Unterschied, wenn eine Zahl mit in der Klammer einer Potenz steht oder davor? - Beachte die Rechenregel „Potenz vor Punktrechnung“. - Setze für die Variable die gegebene Zahl ein und berechne erst die Potenz, falls keine Klammern etwas anderes vorschreiben.

1. Der Faktor \((3y)\) wird zweimal mit sich selbst multipliziert, was \((3y)^2\) ergibt. Ohne Klammern berechnet man \(3 \cdot 3 \cdot y \cdot y = 9y^2\). 2. Einsetzen von \(x = 3\): Für \(2 \cdot x^3\) ergibt sich \(2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54\). Für \((2 \cdot x)^3\) ergibt sich \((2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216\). 3. Zusammenfassen der Produkte zu Potenzen: \(m\) wird dreimal multipliziert, \(n\) zweimal. Ergebnis: \(m^3 + n^2\).

1) \((3y)^2 = 9y^2\) 2) \(54\) und \(216\) 3) \(m^3 + n^2\)

- Überlege dir, welche Zahl angibt, wie oft etwas addiert wird. - Überlege dir, welche Zahl angibt, wie oft etwas multipliziert wird. - Versuche, für beide Terme die jeweils andere Schreibweise zu finden. - Was passiert, wenn du für \(x\) eine einfache Zahl einsetzt, zum Beispiel \(x = 2\)? Ergibt das bei beiden Seiten denselben Wert?

1. Umwandlung von \(3x^2\) in die ausführliche Schreibweise: Der positive ganzzahlige Koeffizient \(3\) bedeutet hier eine dreifache Addition, der Exponent \(2\) eine zweifache Multiplikation der Basis. Somit gilt \(3x^2 = x \cdot x + x \cdot x + x \cdot x\). 2. Umwandlung von \(x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot x\) in die Kurzschreibweise: Das Produkt \(x \cdot x \cdot x\) ist \(x^3\). Da es zweimal addiert wird, ergibt sich \(2x^3\). 3. Vergleich und Fehleranalyse: Da \(3x^2 \neq 2x^3\), ist Linas Aussage falsch. Sie hat die Bedeutung von Koeffizient und Exponent vertauscht: Der positive ganzzahlige Koeffizient \(3\) gibt hier die Anzahl gleicher Summanden an, der Exponent \(2\) die Anzahl gleicher Faktoren.

Lina hat nicht recht. Der Term \(3x^2\) ist ausgeschrieben \(x \cdot x + x \cdot x + x \cdot x\). Der Term \(x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot x\) ist kurz geschrieben \(2x^3\). Lina hat den positiven ganzzahligen Koeffizienten \(3\) (hier: Anzahl gleicher Summanden) und den Exponenten \(2\) (Anzahl gleicher Faktoren) miteinander vertauscht.

- Was wird bei \(T_1\) zuerst gerechnet, was bei \(T_2\)? Achte auf die Klammern. - Äquivalent bedeutet, dass die Terme für jede beliebige Zahl, die man einsetzt, das gleiche Ergebnis liefern müssen. - Skizziere dir für den dritten Teil ein Quadrat und beschrifte die Seiten, nachdem sie verlängert wurden. - Wie berechnet man allgemein den Flächeninhalt eines Quadrats, wenn man die Seitenlänge kennt?

1. \(T_1\): Addiere zuerst \(n\) und \(3\) und quadriere anschließend das Ergebnis (Quadrat der Summe). \(T_2\): Quadriere zuerst \(n\) und die Zahl \(3\) getrennt und addiere dann die Ergebnisse (Summe der Quadrate). 2. Für \(n = 2\): \(T_1 = (2 + 3)^2 = 5^2 = 25\); \(T_2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\). Für \(n = 5\): \(T_1 = (5 + 3)^2 = 8^2 = 64\); \(T_2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34\). Da die Ergebnisse für gleiche Einsetzungen unterschiedlich sind, sind die Terme nicht äquivalent. 3. Die neue Seitenlänge des Quadrats beträgt \((n + 3)\). Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich durch \(\text{Seite} \cdot \text{Seite} = \text{Seite}^2\). Somit beschreibt Term \(T_1 = (n + 3)^2\) den neuen Flächeninhalt.

1. \(T_1\): Quadrat der Summe von \(n\) und \(3\); \(T_2\): Summe der Quadrate von \(n\) und \(3\). 2. Für \(n=2\): \(T_1=25;\ T_2=13\). Für \(n=5\): \(T_1=64;\ T_2=34\). Die Terme sind nicht äquivalent. 3. Term \(T_1\); der Flächeninhalt beträgt \((n+3)^2\,\text{cm}^2\), da die neue Seitenlänge als Ganzes quadriert werden muss.

- Achte genau darauf, was genau potenziert wird: Steht das Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Klammer? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Probiere es nacheinander aus: Minus mal Minus, dann das Ergebnis wieder mal Minus und so weiter. - Unterscheide zwischen der Rechenregel „Klammer zuerst“ und „Potenz vor Strichrechnung“.

1. Berechnung für \(n=2\): \(A = (-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25\). \(B = -5^2 = -(5 \cdot 5) = -25\). Die Ergebnisse sind nicht gleich, da \(25 \neq -25\). 2. Berechnung für \(n=3\): \(A = (-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125\). \(B = -5^3 = -(5 \cdot 5 \cdot 5) = -125\). Die Ergebnisse sind gleich. 3. Untersuchung der Exponenten: Bei einem ungeraden Exponenten \(n\) bleibt das negative Vorzeichen in der Klammer erhalten, da eine ungerade Anzahl negativer Faktoren ein negatives Produkt ergibt. Daher gilt \((-x)^n = -x^n\) für alle ungeraden \(n\). Bei geraden \(n\) wird das Ergebnis von \((-x)^n\) positiv (oder Null), während \(-x^n\) negativ (oder Null) bleibt.

a) \(A = 25\), \(B = -25\); sie sind nicht gleich. b) \(A = -125\), \(B = -125\); sie sind gleich. c) Die Gleichung ist für alle ungeraden Exponenten \(n\) wahr.

- Entscheide zuerst anhand der Parität des Exponenten, ob eine negative Basis ein positives oder negatives Ergebnis liefert. - Multipliziere danach Potenzen mit gleicher Basis durch Addition der Exponenten. - Achte darauf, wann ein Minuszeichen zur Basis gehört.

1. a) \((-a)^2=a^2\), also \(a^2\cdot a^4=a^6\). 2. b) \((-a)^3=-a^3\), also \(-a^3\cdot a^3=-a^6\). 3. c) \((-x)^4=x^4\), also \(x^3\cdot x^4=x^7\). 4. d) \((-y)^2\cdot(-y)^3=(-y)^5=-y^5\).

a) \(a^6\) b) \(-a^6\) c) \(x^7\) d) \(-y^5\)

- Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus: positive Zahlen, negative Zahlen und die Null. - Welchen Einfluss hat ein ungerader Exponent im Vergleich zu einem geraden Exponenten auf das Vorzeichen? - Überlege dir, was der kleinstmögliche Wert ist, den ein Quadrat \(x^2\) annehmen kann. - Kannst du eine Zahl für die Variable finden, die den positiven Teil des Terms „überwiegt“?

1. Term \(a^2 + 5\): Da \(a^2\) für jede rationale Zahl \(\ge 0\) ist, ist \(a^2 + 5\) immer mindestens 5. Ein negatives Ergebnis ist nicht möglich. 2. Term \((a + b)^2\): Ein Term der Form \((\dots)^2\) ist das Quadrat einer rationalen Zahl. Quadrate sind niemals negativ (\(\ge 0\)). Ein negatives Ergebnis ist nicht möglich. 3. Term \(a^3\): Bei ungeraden Exponenten bleibt das Vorzeichen der Basis erhalten. Setzt man für \(a\) eine negative Zahl ein (z. B. \(a = -2\)), so ist \((-2)^3 = -8\). Ein negatives Ergebnis ist möglich. 4. Term \(a^2 - 10\): Wenn \(a^2\) kleiner als 10 ist (z. B. \(a = 0\)), ergibt sich \(0 - 10 = -10\). Ein negatives Ergebnis ist möglich. 5. Term \(-(a - 2)^2 - 1\): Der Teil \((a - 2)^2\) ist immer \(\ge 0\). Durch das Minuszeichen davor wird er \(\le 0\). Wenn man davon noch 1 subtrahiert, ist der Wert immer \(\le -1\). Ein negatives Ergebnis ist also nicht nur möglich, sondern sogar immer gegeben.

a) Nein, das Ergebnis ist immer \(\ge 5\). b) Nein, ein Quadrat ist niemals negativ. c) Ja, z. B. für \(a = -1\) ist \((-1)^3 = -1\). d) Ja, z. B. für \(a = 0\) ist \(0^2 - 10 = -10\). e) Ja, der Term ist für jede Einsetzung negativ (immer \(\le -1\)).

- Vergleiche die Wirkung gerader und ungerader Exponenten auf eine negative Basis. - Berechne in c) zuerst die beiden Ausgangswerte. - Was passiert mit dem Unterschied zweier Zahlen, wenn zu beiden dieselbe Zahl addiert wird?

1. Term \(A\) hat für \(z=3\) und \(z=-3\) jeweils den Wert \(36\). 2. Term \(B\) hat für \(z=3\) den Wert \(24\) und für \(z=-3\) den Wert \(-24\). 3. In \(A\) treten nur gerade Exponenten auf; deshalb ändern sich die Potenzwerte beim Vorzeichenwechsel der Basis nicht. In \(B\) treten nur ungerade Potenzen auf; deshalb wechseln beide Potenzterme ihr Vorzeichen. 4. Für \(z=2\) und \(z=-2\) sind die Werte von \(B\) gleich \(6\) und \(-6\). Addiert man zu beiden dieselbe Konstante, bleibt ihr Unterschied \(12\) unverändert. Sie können dadurch nicht gleich werden.

a) Term \(A\): \(36\) und \(36\); Term \(B\): \(24\) und \(-24\). b) Gerade Exponenten behalten beim Vorzeichenwechsel denselben Potenzwert; ungerade Exponenten wechseln das Vorzeichen. c) Die Werte sind \(6\) und \(-6\). Durch Addition derselben Konstanten werden sie nicht gleich.

- Vergleiche die Exponenten der Faktoren mit dem Exponenten des Produkts. - Frage bei a) und b) direkt, welcher Summand in der Exponentensumme fehlt. - Achte in c) zusätzlich auf das negative Vorzeichen und in d) auf die Addition der beiden Exponententerme.

1. Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert. 2. In a) muss zu \(7\) noch \(5\) hinzukommen, damit der Exponent \(12\) entsteht. 3. In b) ist der zusätzliche Exponent direkt \(4\). 4. In c) fehlt ein negativer Faktor mit der Potenz \(y^5\), denn \(y^3\cdot(-y^5)=-y^8\). 5. In d) werden die Exponenten \(k+2\) und \(k-1\) addiert. Das ergibt \(2k+1\).

a) \(5\) b) \(4\) c) \(-y^5\) d) \(2k+1\)

- Betrachte bei den Lückenaufgaben Zahlenfaktor und Exponent getrennt. - Schreibe eine Potenz notfalls als wiederholtes Produkt, um die Regel zu erkennen. - Prüfe bei Teil d), wie viele Faktoren \(2\) tatsächlich im Produkt vorkommen.

1. In a) muss der Koeffizient \(4\) und die zusätzliche Potenz \(x^5\) sein. Der fehlende Term ist \(4x^5\). 2. In b) ist der fehlende Koeffizient \(-4\), und für die Potenz fehlt ein Faktor \(a\). Der fehlende Term ist \(-4a\). 3. Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. Daher ist \(y^k \cdot y^5=y^{k+5}\). 4. Es gilt \(2^3 \cdot 2^2=2^5=32\), nicht \(2^6=64\). Pauls Regel ist falsch; die Exponenten werden addiert.

a) \(4x^5\) b) \(-4a\) c) \(y^{k+5}\) d) \(2^3\cdot2^2=2^5=32\), nicht \(2^6=64\). Pauls Aussage ist falsch; bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

- Kürze bei den Bruchkoeffizienten, bevor du sie multiplizierst. - Behandle symbolische natürliche Exponenten nach derselben Regel wie feste Exponenten. - Bei der Lücke hilft die Umkehroperation: Vergleiche Koeffizienten und Exponenten getrennt.

1. Die Zahlenfaktoren ergeben \(-\frac{4}{7} \cdot \frac{14}{8}=-1\). Für die Variablen gilt \(x^{5+2}=x^7\) und \(y^{n+3}\). Ergebnis: \(-x^7y^{n+3}\). 2. Für den fehlenden Faktor gilt \(12:(-3)=-4\), \(a^{5-2}=a^3\) und \(b^{7-4}=b^3\). Der fehlende Term ist \(-4a^3b^3\). 3. Die Zahlenfaktoren ergeben \(-1{,}2\). Für die Variablen gilt \(u^{3+k}=u^{k+3}\) und \(v^{2+1}=v^3\). Ergebnis: \(-1{,}2u^{k+3}v^3\).

1) \(-x^7y^{n+3}\) 2) \(-4a^3b^3\) 3) \(-1{,}2u^{k+3}v^3\)

- Bestimme Zahlenfaktor und Potenzteil getrennt. - Vergleiche beim Exponenten den vorhandenen Ausdruck mit dem Ziel \(n+3\). - Prüfe deinen gefundenen Term durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

1. Für den Koeffizienten gilt \(-10 : 2=-5\). 2. Beim Multiplizieren gleicher Basen werden die Exponenten addiert. Der zusätzliche Exponent muss daher \(3\) sein, weil \(n+3\) erreicht werden soll. 3. Der fehlende Term ist \(-5b^3\).

Der fehlende Term ist \(-5b^3\).

- Beginne mit der Volumenformel für einen Quader. - Ordne beim Multiplizieren Zahlenfaktoren und gleiche Variablen übersichtlich. - Überlege bei b) und c), wie viele unabhängige Kanten jeweils den Faktor \(2\) erhalten.

1. Für das Volumen gilt \(V=a \cdot b \cdot c\). Einsetzen ergibt \((2x^2y)(1{,}5xy^2)(4x^3)\). 2. Die Zahlenfaktoren ergeben \(12\). Für die Potenzen gilt \(x^{2+1+3}=x^6\) und \(y^{1+2}=y^3\). Daher ist \(V=12x^6y^3\). 3. Wird nur \(c\) verdoppelt, erhält das Volumen den Faktor \(2\). Das neue Volumen ist \(24x^6y^3\). 4. Werden alle drei Kanten verdoppelt, erhält das Volumen den Faktor \(2^3=8\). Das neue Volumen ist \(96x^6y^3\).

a) \(V = 12x^6y^3\) b) Das Volumen verdoppelt sich auf \(24x^6y^3\). c) Das Volumen verachtfacht sich auf \(96x^6y^3\).

- Prüfe bei einer potenzierten Klammer, welche Faktoren alle vom Exponenten betroffen sind. - Bei einer Potenz von einer Potenz werden die Exponenten miteinander verknüpft; schreibe notfalls ein Produkt aus gleichen Faktoren. - Kontrolliere bei Brüchen sowohl Zähler als auch Nenner.

1. Bei a) muss auch der Koeffizient potenziert werden: \((2z^4)^3=2^3z^{12}=8z^{12}\). Das angegebene Ergebnis ist falsch. 2. Bei b) gilt \((-5)^2=25\) und \((k^2)^2=k^4\). Das Ergebnis ist richtig. 3. Bei c) werden bei einer Potenz von einer Potenz die Exponenten multipliziert: \((a^3)^2=a^6\). Das angegebene Ergebnis ist falsch. 4. Bei d) werden Zähler, Nenner und Variable quadriert. Das Ergebnis \(\frac{4}{9}m^2\) ist richtig.

a) Falsch; richtig ist \(8z^{12}\). b) Richtig. c) Falsch; richtig ist \(a^6\). d) Richtig.

- Behandle Zahlenfaktoren und jede Basis getrennt. - Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. - Betrachte zusammengesetzte Exponenten wie \(n+1\) oder \(m-1\) beim Addieren als ganze Ausdrücke.

1. Die Koeffizienten ergeben \(1{,}2 \cdot (-5)=-6\). Für die Potenzen gilt \(a^n \cdot a^{n+1}=a^{2n+1}\) und \(b^k \cdot b^{3k}=b^{4k}\). Damit ergibt sich \(-6a^{2n+1}b^{4k}\). 2. Die Koeffizienten ergeben \(-\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{4}=-\frac{3}{2}=-1{,}5\). Für die Potenzen gilt \(x^{m-1} \cdot x^3=x^{m+2}\) und \(y^2 \cdot y^{m+1}=y^{m+3}\). Damit ergibt sich \(-1{,}5x^{m+2}y^{m+3}\).

1) \(-6a^{2n+1}b^{4k}\) 2) \(-1{,}5x^{m+2}y^{m+3}\)

- Vergleiche Koeffizienten und Potenzen jeder Basis getrennt. - Prüfe zuerst, welcher Zahlenfaktor zusammen mit \(4\) den Zielkoeffizienten ergibt. - Vergleiche anschließend nur die Exponenten der Basis \(b\).

1. Für die Koeffizienten gilt \(4 \cdot \square=-12\). Daher ist \(\square=-3\). 2. Die \(a\)-Potenzen stimmen bereits, denn \(a^k \cdot a^{k+1}=a^{2k+1}\). 3. Für die \(b\)-Potenzen gilt \(b^2 \cdot b^n=b^{n+2}\). Deshalb muss \(n+2=7\) gelten. 4. Daraus folgt \(n=5\).

\(\square=-3\) und \(n=5\)

- Bearbeite zuerst die beiden Klammern einzeln, indem du die äußeren Exponenten auf jeden Teil in der Klammer anwendest. - Was passiert mit dem Minuszeichen, wenn die ganze Klammer hoch 4 genommen wird? - Erinnere dich daran, dass eine Variable ohne sichtbaren Exponenten (wie bei \(y\)) eigentlich den Exponenten 1 hat. - Multipliziere am Ende die Zahlenwerte und die gleichen Variablen schrittweise.

1. Potenzieren des ersten Faktors: \((2xy^3)^3 = 2^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = 8x^3y^9\). 2. Potenzieren des zweiten Faktors: Da der Exponent 4 gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg: \((-0{,}5x^2y)^4 = (-0{,}5)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 = 0{,}0625x^8y^4\). 3. Multiplikation der Ergebnisse: Zuerst die Koeffizienten multiplizieren: \(8 \cdot 0{,}0625 = 0{,}5\). 4. Zusammenfassen der Variablen durch Addition der Exponenten: \(x^3 \cdot x^8 = x^{11}\) und \(y^9 \cdot y^4 = y^{13}\). 5. Endergebnis: \(0{,}5x^{11}y^{13}\).

\(0{,}5x^{11}y^{13}\)

- Vergleiche die Endergebnisse aus Teil a) sorgfältig. - Erinnere dich an die Vorzeichenregeln beim Potenzieren von negativen Zahlen. - Welche Art von Zahlen (gerade oder ungerade) führt bei einer negativen Basis zu einem negativen Ergebnis?

1. Vereinfachung von Term \(A\): \((-2)^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{12}\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): \((-4)^2 \cdot (a^6)^2 = 16a^{12}\). Feststellung: Beide Terme sind äquivalent. 3. Begründung für das positive Vorzeichen: Da der äußere Exponent \(4\) eine gerade Zahl ist, ergibt das Potenzieren einer negativen Basis (\(-2\)) ein positives Ergebnis. 4. Anpassung von Term \(A\): Um einen negativen Koeffizienten zu erhalten, muss der äußere Exponent ungerade sein. Wählt man beispielsweise den Exponenten \(3\), lautet der neue Term \(A_{\text{neu}} = (-2a^3)^3\). 5. Berechnung des neuen Ergebnisses: \((-2)^3 \cdot (a^3)^3 = -8a^9\).

a) \(A = 16a^{12}\) und \(B = 16a^{12}\). Die Terme sind äquivalent. b) Da der äußere Exponent \(4\) gerade ist, führt die negative Basis zu einem positiven Koeffizienten. c) Beispiel: \((-2a^3)^3 = -8a^9\) (Jeder ungerade äußere Exponent ist möglich).

- Vereinfache zunächst jede der beiden potenzierten Klammern getrennt. - Achte bei der negativen Basis auf den ungeraden Exponenten. - Multipliziere anschließend gleiche Basen, indem du ihre Exponenten addierst.

1. Für den ersten Faktor gilt \((-3a^k b^2)^3=-27a^{3k}b^6\). 2. Für den zweiten Faktor gilt \((2a^2b^n)^2=4a^4b^{2n}\). 3. Beim Multiplizieren ergibt sich \(-27 \cdot 4=-108\), \(a^{3k} \cdot a^4=a^{3k+4}\) und \(b^6 \cdot b^{2n}=b^{2n+6}\). 4. Das Ergebnis ist \(-108a^{3k+4}b^{2n+6}\).

\(-108a^{3k+4}b^{2n+6}\)

- Arbeite bei beiden Termen von innen nach außen. - Prüfe jeweils zuerst, was ein gerader beziehungsweise ungerader Exponent mit dem Minuszeichen macht. - Vergleiche erst die vollständig vereinfachten Endterme.

1. Für \(T_1\) gilt \((-x)^2=x^2\) und danach \((x^2)^3=x^6\). 2. Für \(T_2\) gilt \((-x)^3=-x^3\) und danach \((-x^3)^2=x^6\). 3. Beide Terme vereinfachen sich zu \(x^6\). Sofias Aussage ist daher für diese beiden Rechenwege korrekt.

Die Aussage ist korrekt, denn \(T_1=T_2=x^6\).

- Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus: positive ganze Zahlen, negative Zahlen, die Null und Brüche zwischen \(0\) und \(1\). - Was passiert, wenn man eine Zahl zwischen \(0\) und \(1\) mit sich selbst multipliziert? Wird das Ergebnis größer oder kleiner?

1. Testen von Beispielwerten: Für \(a = 2\) gilt \(2^2 = 4\) und \(4 \geq 2\) (wahr). Für \(a = 0\) gilt \(0^2 = 0\) und \(0 \geq 0\) (wahr). Für \(a = -1\) gilt \((-1)^2 = 1\) und \(1 \geq -1\) (wahr). 2. Untersuchung von Werten zwischen \(0\) und \(1\): Wähle \(a = 0{,}5\). 3. Berechnung: \(0{,}5^2 = 0{,}25\). 4. Prüfung der Ungleichung: \(0{,}25 \geq 0{,}5\) ist eine falsche Aussage. 5. Schlussfolgerung: Da ein Gegenbeispiel existiert, ist die Aussage nicht für alle rationalen Zahlen wahr.

Nein, die Ungleichung gilt nicht für alle rationalen Zahlen. Ein Gegenbeispiel ist \(a = 0{,}5\), da \(0{,}5^2 = 0{,}25\) kleiner ist als \(0{,}5\).

- Macht es einen Unterschied, ob das Minuszeichen mit in der Klammer steht oder davor? - Überlege, welches Vorzeichen das Ergebnis hat, wenn der Exponent gerade oder ungerade ist. - Was bedeutet der Exponent \(2n\) für die Parität (gerade/ungerade) der Zahl? - Gehe schrittweise vor: Berechne zuerst die einzelnen Potenzwerte und verrechne sie dann.

1. Berechnung von \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\) und \(-4^2 = -(4 \cdot 4) = -16\). 2. Da \(101\) ungerade ist, gilt \((-1)^{101} = -1\). Da \(202\) gerade ist, gilt \((-1)^{202} = 1\). 3. Berechnung der Potenzen: \((-2)^5 = -32\) und \((-3)^3 = -27\). Addition der Ergebnisse: \(-32 + (-27) = -59\). 4. Da \(2n\) für jede natürliche Zahl \(n\) eine gerade Zahl ist, gilt \((-1)^{2n} = 1\). Das Vorzeichen davor ergibt \(-(1) = -1\).

1) \(16\) und \(-16\) 2) \(-1\) und \(1\) 3) \(-59\) 4) \(-1\)