- Welche Seitenlängen stimmen in einem Rechteck paarweise überein? - Welche Winkelgröße haben alle Innenwinkel eines Rechtecks? - Welche zusätzliche gemeinsame Seite liefert die Diagonale \(AC\)?

1. In einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang: \(AB=CD\) und \(BC=DA\). 2. Die eingeschlossenen Winkel bei \(B\) und \(D\) sind rechte Winkel und damit gleich groß. 3. Daher sind die Dreiecke nach SWS kongruent. Alternativ gilt wegen der gemeinsamen Diagonale \(AC\) auch SSS.

SWS; alternativ ist auch SSS möglich.

- Zähle, wie viele Seitenlängen bei beiden Dreiecken übereinstimmen. - Welcher Kongruenzsatz benötigt ausschließlich Seitenangaben?

1. Bei beiden Dreiecken stimmen alle drei entsprechenden Seitenlängen überein. 2. Daher gilt der Kongruenzsatz SSS.

Der passende Kongruenzsatz ist SSS.

- Vergleiche nicht nur die Winkel, sondern auch die Größe der beiden Dreiecke. - Welche Information über eine Länge fehlt vollständig?

1. In beiden Dreiecken stimmen die drei Winkelgrößen überein. 2. Trotzdem sind die Dreiecke unterschiedlich groß, wie die gemeinsame Skalierung der Teilbilder zeigt. 3. Drei Winkel legen nur die Form, nicht aber die Größe eines Dreiecks fest. WWW ist daher kein Kongruenzsatz.

Nein. Drei übereinstimmende Winkel reichen nicht für Kongruenz; WWW ist kein Kongruenzsatz.

- Vergleiche zuerst die beiden gegebenen Seitenlängen. - Überlege, welche Lage der gegebene Winkel beim Kongruenzsatz SsW zu den beiden bekannten Seiten haben muss. - Ordne jeder Seite den gegenüberliegenden Winkel zu.

1. Von den beiden gegebenen Seiten ist \(c=6\,\text{cm}\) die längere Seite. 2. Beim Kongruenzsatz SsW muss der gegebene Winkel der längeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegen. 3. Der Seite \(c\) liegt der Winkel \(\gamma\) gegenüber. Daher muss \(\gamma\) gegeben sein.

\(\gamma\), weil dieser Winkel der längeren gegebenen Seite \(c\) gegenüberliegt.

- Welche beiden Seitenpaare sind gleich markiert? - Wo liegt der markierte Winkel im Verhältnis zu diesen beiden Seiten?

1. In beiden Dreiecken sind zwei entsprechende Seiten gleich markiert. 2. Der Winkel von \(50^\circ\) liegt jeweils zwischen diesen beiden Seiten. 3. Damit stimmen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel überein. Die Dreiecke sind nach SWS kongruent.

SWS, weil zwei entsprechende Seiten und der jeweils eingeschlossene Winkel übereinstimmen.

- Welche Arten von Bestimmungsstücken sind gegeben: Seiten oder Winkel? - Wo liegt die bekannte Seite im Verhältnis zu den beiden bekannten Winkeln?

1. Es sind jeweils zwei entsprechende Winkel gleich groß. 2. Die bekannte Seite \(AB\) beziehungsweise \(DE\) liegt zwischen diesen beiden Winkeln. 3. Daher gilt der Kongruenzsatz WSW.

WSW, weil zwei entsprechende Winkel und die dazwischenliegende Seite übereinstimmen.

- Wo liegen die beiden gegebenen Winkel jeweils im Verhältnis zur gegebenen Seite? - Welche Größen aus \(ABC\) entsprechen den Größen aus \(DEF\)? - Welcher Kongruenzsatz verwendet eine Seite und ihre beiden anliegenden Winkel?

1. Im Dreieck \(ABC\) liegt die Seite \(c\) zwischen den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\). 2. Im Dreieck \(DEF\) liegt die Seite \(f\) zwischen den Winkeln \(\delta\) und \(\epsilon\). 3. Es gilt \(c=f=5{,}4\,\text{cm}\), \(\alpha=\delta=42^\circ\) und \(\beta=\epsilon=76^\circ\). 4. Damit stimmen jeweils eine Seite und die beiden anliegenden Winkel überein. Die Dreiecke sind nach WSW kongruent.

Die Dreiecke sind kongruent nach dem Kongruenzsatz WSW.

- Kannst du zwei Dreiecke mit denselben Winkelgrößen, aber unterschiedlichen Seitenlängen zeichnen? - Welche zusätzliche Art von Angabe würde die Größe eines Dreiecks festlegen? - Prüfe Pauls Behauptung an einem besonders einfachen Dreieckstyp.

1. Pauls Aussage ist falsch. 2. Drei übereinstimmende Winkel legen die Winkelanordnung eines Dreiecks fest, aber keine Seitenlänge. 3. Als Gegenbeispiel können zwei gleichseitige Dreiecke dienen: Beide haben die Winkel \(60^\circ, 60^\circ, 60^\circ\), aber eines kann die Seitenlänge \(2\,\text{cm}\) und das andere \(5\,\text{cm}\) haben. 4. Diese Dreiecke sind unterschiedlich groß und daher nicht kongruent. 5. Deshalb gibt es keinen Kongruenzsatz „WWW“.

Paul hat nicht recht. Gleiche drei Winkel garantieren keine Kongruenz, weil die Größe des Dreiecks nicht festgelegt ist. Zwei gleichseitige Dreiecke mit verschiedenen Seitenlängen sind ein Gegenbeispiel.

- Überlege, welche Dreiecke durch eine Diagonale im Parallelogramm entstehen. - Erinnere dich daran, welche Bedingung drei Seitenlängen erfüllen müssen, damit ein Dreieck existieren kann. - Prüfe, ob die drei gegebenen Längen diese Bedingung gemeinsam erfüllen.

1. Ein Parallelogramm \(ABCD\) besteht aus den zwei Teildreiecken \(ABC\) und \(ADC\). 2. Im Dreieck \(ABC\) sind die Seitenlängen \(AB = a = 7\,\text{cm}\), \(BC = b = 4\,\text{cm}\) und \(AC = e = 12\,\text{cm}\) gegeben. 3. Nach der Dreiecksungleichung muss in jedem Dreieck die Summe zweier Seitenlängen stets größer als die dritte Seitenlänge sein. 4. Prüfung für das Dreieck \(ABC\): \(a + b = 7\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 11\,\text{cm}\). 5. Da \(11\,\text{cm} < 12\,\text{cm}\) gilt, ist die Bedingung \(a + b > e\) nicht erfüllt. 6. Das Dreieck \(ABC\) und damit das gesamte Parallelogramm kann nicht konstruiert werden.

Das Parallelogramm kann nicht existieren, da im Teildreieck \(ABC\) die Dreiecksungleichung verletzt wird: Die Summe der Seiten \(a\) und \(b\) (\(11\,\text{cm}\)) ist kleiner als die Länge der Diagonale \(e\) (\(12\,\text{cm}\)).

- Welche Seite kommt in beiden Dreiecken vor? - Welche zwei weiteren Seitenpaare haben gleiche Längen? - Welcher Kongruenzsatz verwendet drei Seitenpaare?

1. Beide Dreiecke haben die Seite \(CD\) gemeinsam. 2. Außerdem gilt \(AD=BC=5\,\text{cm}\) und \(AC=BD=7\,\text{cm}\). 3. Damit stimmen die drei entsprechenden Seitenlängen überein. Die Dreiecke \(ADC\) und \(BCD\) sind nach SSS kongruent.

a) Die gemeinsame Seite ist \(CD\). b) \(AD=BC\), \(AC=BD\) und \(CD=CD\). Daher sind \(\triangle ADC\) und \(\triangle BCD\) nach SSS kongruent.

- Wie berechnet man die Länge der dritten Seite, wenn der Umfang und zwei Seiten bekannt sind? - Welche Information über die Seiten eines Dreiecks reicht aus, um seine Form und Größe eindeutig festzulegen? - Erinnere dich an die vier grundlegenden Kongruenzsätze für Dreiecke.

1. Berechnung der fehlenden dritten Seite \(c\): Da der Umfang \(U = a + b + c\) ist, gilt \(c = 20\,\text{cm} - 6\,\text{cm} - 9\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). 2. Vergleich der Dreiecke: Beide Dreiecke besitzen somit die Seitenlängen \(5\,\text{cm}\), \(6\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\). 3. Anwendung des Kongruenzsatzes: Da die Dreiecke in allen drei Seitenlängen übereinstimmen, sind sie nach dem Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) zueinander kongruent.

Ja, die Dreiecke sind kongruent. Da der Umfang und zwei Seiten feststehen, muss auch die dritte Seite bei beiden Dreiecken gleich lang sein (\(5\,\text{cm}\)). Nach dem Kongruenzsatz SSS sind Dreiecke mit identischen Seitenlängen immer kongruent.

- Prüfe bei jedem Dreieck, welche markierte Seite zwischen welchen markierten Winkeln liegt. - Drehen oder Spiegeln verändert die Kongruenz nicht. - Welcher Kongruenzsatz verwendet zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite?

1. In Dreieck (1) sind die Seite \(5{,}0\,\text{cm}\) und ihre beiden anliegenden Winkel \(40^\circ\) und \(30^\circ\) gegeben. 2. Dreieck (2) besitzt ebenfalls eine Seite der Länge \(5{,}0\,\text{cm}\) zwischen den Winkeln \(30^\circ\) und \(40^\circ\). 3. In Dreieck (4) liegen dieselben beiden Winkel \(40^\circ\) und \(30^\circ\) an der markierten Seite \(5{,}0\,\text{cm}\), nur in gedrehter Lage. 4. Daher sind die Dreiecke (1), (2) und (4) nach WSW kongruent. 5. Dreieck (3) ist dagegen durch zwei Seiten \(5{,}0\,\text{cm}\), \(3{,}5\,\text{cm}\) und den eingeschlossenen Winkel \(40^\circ\) beschrieben und gehört nicht zu dieser WSW-Gruppe.

Die Dreiecke (1), (2) und (4) sind kongruent. Der Nachweis erfolgt mit WSW.

- Vergleiche die gegebenen Maße der Dreiecke. - Wenn alle drei Seitenlängen übereinstimmen, welcher Kongruenzsatz gilt dann? - Achte darauf, ob die Winkel an der gleichen relativen Position zur Seite liegen und ob die Werte exakt übereinstimmen.

1. Dreieck (1) und Dreieck (3) haben jeweils die drei Seitenlängen \(3\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\). Daher sind sie nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent. 2. Dreieck (2) und Dreieck (4) haben zwar jeweils eine Seite von \(4{,}5\,\text{cm}\) und einen Winkel von \(35\,^\circ\), aber der zweite angegebene Winkel ist in Dreieck (2) \(105\,^\circ\) und in Dreieck (4) \(100\,^\circ\). Deshalb sind sie nicht kongruent. 3. Dreieck (2) und Dreieck (4) können auch nicht zu Dreieck (1) oder Dreieck (3) kongruent sein, da ihre angegebene Seite \(4{,}5\,\text{cm}\) nicht zu den Seitenlängen \(3\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\) passt. Somit ist (1) und (3) das einzige kongruente Paar.

Nur die Dreiecke (1) und (3) sind kongruent; der zugehörige Kongruenzsatz ist SSS. Alle anderen Paare sind nicht kongruent.

- Welche Bedeutung haben gleich viele Tickmarken an zwei Strecken? - Welche Bedeutung haben die gleich dargestellten Winkelbögen bei \(K\)? - Welche Seite gehört zu beiden Dreiecken, auch wenn sie keine Tickmarkierung trägt?

1. Die gleich markierten Seiten liefern \(KN=KL\). 2. Die gleich markierten Winkel bei \(K\) liefern \(\angle NKM=\angle LKM\). 3. Die Seite \(KM\) ist gemeinsame Seite beider Dreiecke. 4. Der gleiche Winkel liegt jeweils zwischen den beiden verwendeten Seiten. Daher gilt der Kongruenzsatz SWS.

SWS: \(KN=KL\), \(KM=KM\) und \(\angle NKM=\angle LKM\).

- Welche Winkelgleichheit folgt allein daraus, dass sich zwei Geraden in \(Z\) schneiden? - Ordne die gegebene Seite \(KZ=MZ\) den beiden Dreiecken zu. - Liegt diese Seite zwischen den beiden verwendeten Winkeln?

1. Die Winkel \(\angle KZL\) und \(\angle MZN\) sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. 2. Gegeben sind außerdem \(\angle LKZ=\angle NMZ\) und \(KZ=MZ\). 3. Damit stimmen eine Seite und ihre beiden anliegenden Winkel überein. Die Dreiecke sind nach WSW kongruent.

\(\triangle KLZ \cong \triangle MNZ\) nach WSW.

- Welche beiden Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks sind gleich lang? - Welche Winkelgleichheit liefert die Winkelhalbierende \(PS\)? - Welche Seite gehört zu beiden Teildreiecken?

1. Gegeben ist \(PQ=PR\). 2. Weil \(PS\) den Winkel bei \(P\) halbiert, gilt \(\angle QPS=\angle RPS\). 3. Die Seite \(PS\) ist gemeinsame Seite. 4. Damit sind die Dreiecke nach SWS kongruent.

\(\triangle PQS \cong \triangle PRS\) nach SWS.

- Was bedeutet „Mittelpunkt“ für \(AM\) und \(BM\)? - Welche Winkel sind gleich groß? - Welche Seite haben beide Dreiecke gemeinsam?

1. Weil \(M\) der Mittelpunkt von \(AB\) ist, gilt \(AM=BM\). 2. Die Winkel \(\angle CMA\) und \(\angle CMB\) sind beide \(90^\circ\) groß. 3. \(MC\) ist eine gemeinsame Seite. 4. Damit sind die Dreiecke nach SWS kongruent.

SWS.

- Welche Seite ist Bestandteil beider Dreiecke? - Welche beiden Winkelpaare sind durch die gleichen Markierungen verbunden? - Wo liegt die gemeinsame Seite im Verhältnis zu diesen Winkeln?

1. Beide Dreiecke enthalten die Seite \(AB\). 2. Aus den Markierungen liest man \(\angle DAB=\angle CBA\) und \(\angle DBA=\angle CAB\) ab. 3. Die gemeinsame Seite \(AB\) liegt jeweils zwischen den beiden übereinstimmenden Winkeln. Daher gilt \(\triangle ABD\cong\triangle BAC\) nach WSW.

\(\triangle ABD\cong\triangle BAC\) nach WSW.

- Vergleiche die drei Seitenlängen der beiden Dreiecke. - Welcher Kongruenzsatz passt, wenn drei entsprechende Seiten gleich lang sind? - Ordne die Ecken danach zu, welche Seiten an ihnen zusammentreffen.

1. In \(\triangle ABC\) sind die Seiten \(5\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\) lang. In \(\triangle CDA\) haben die entsprechenden Seiten dieselben Längen. 2. Damit sind die Dreiecke nach SSS kongruent. 3. Die Zuordnung der Ecken ist \(A\leftrightarrow C\), \(B\leftrightarrow D\) und \(C\leftrightarrow A\). 4. Daher gilt \(\angle BAC=\angle ACD\) und \(\angle BCA=\angle DAC\).

a) Die Dreiecke sind nach SSS kongruent. b) \(\angle BAC\) entspricht \(\angle ACD\), und \(\angle BCA\) entspricht \(\angle DAC\).

- Welche Seitenpaare sind in der Abbildung gleich markiert? - Welche Seite gehört zu beiden Dreiecken? - Was folgt aus der Kongruenz für die beiden Winkel bei \(A\)?

1. Aus den Streckenmarkierungen folgt \(AB=AD\) und \(CB=CD\). 2. Die Seite \(AC\) gehört zu beiden Dreiecken. 3. Damit stimmen \(\triangle ABC\) und \(\triangle ADC\) in allen drei Seiten überein und sind nach SSS kongruent. 4. Entsprechende Winkel sind gleich groß. Daher gilt \(\angle BAC=\angle DAC\), also halbiert \(AC\) den Winkel bei \(A\).

\(\triangle ABC\cong\triangle ADC\) nach SSS. Deshalb gilt \(\angle BAC=\angle DAC\), also halbiert \(AC\) den Winkel bei \(A\).

- Bestimme in jedem Teilbild, welche der beiden beschrifteten Seiten länger ist. - Achte nicht nur darauf, dass zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind, sondern auch auf ihre Lage zueinander. - Prüfe, welcher Seite der markierte Winkel jeweils gegenüberliegt.

1. In beiden Teilbildern ist die längere der beiden gegebenen Seiten \(6\,\text{cm}\) lang. 2. In Teilbild a) ist der gegebene Winkel der längeren gegebenen Seite gegenüberliegend. Damit erfüllt a) die Bedingung des Kongruenzsatzes SsW. 3. In Teilbild b) liegt der gegebene Winkel der kürzeren gegebenen Seite \(4\,\text{cm}\) gegenüber. Deshalb sichert SsW hier keine eindeutige Bestimmung.

a) Teilbild a). b) In Teilbild b) liegt der gegebene Winkel der kürzeren der beiden gegebenen Seiten gegenüber; daher ist die SsW-Bedingung nicht erfüllt.

- Welche Winkelsumme gilt in jedem Dreieck? - Welche Information über die Größe eines Dreiecks fehlt, wenn nur Winkel bekannt sind? - Können zwei unterschiedlich große Dreiecke dieselben drei Winkel haben?

1. Für Dreieck 1 gilt \(\gamma_1=180^\circ-45^\circ-75^\circ=60^\circ\). 2. Für Dreieck 2 gilt \(\beta_2=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ\). 3. Beide Dreiecke haben damit die Winkel \(45^\circ\), \(60^\circ\) und \(75^\circ\). Sie haben dieselbe Form. 4. Winkel allein legen keine Seitenlänge fest. Ein Dreieck mit diesen Winkeln kann vergrößert oder verkleinert werden. 5. Deshalb müssen die beiden Dreiecke nicht kongruent sein.

a) \(\gamma_1=60^\circ\) und \(\beta_2=75^\circ\) b) Beide Dreiecke haben dieselben drei Winkel und damit dieselbe Form. c) Nein. Ohne eine Seitenlänge ist die Größe nicht festgelegt; gleiche Winkel allein garantieren keine Kongruenz.

- Welcher Seite liegt der Winkel von \(100^\circ\) jeweils gegenüber? - Vergleiche die beiden bekannten Seitenlängen. - Welche Zusatzbedingung muss beim Kongruenzsatz SsW erfüllt sein?

1. In beiden Dreiecken sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben. 2. \(\alpha\) liegt der Seite \(a\) gegenüber, und \(\delta\) liegt der Seite \(d\) gegenüber. 3. In beiden Dreiecken liegt der gegebene Winkel damit der längeren der beiden bekannten Seiten gegenüber: \(7\,\text{cm}>4\,\text{cm}\). 4. Die Dreiecke stimmen also in zwei Seiten und im Gegenwinkel der längeren Seite überein. Sie sind nach SsW kongruent.

Die Dreiecke sind nach SsW kongruent.

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem Dreieck? Berechne zuerst alle Winkel. - Vergleiche dann, welche Seite in Dreieck \(ABC\) der Seite in Dreieck \(DEF\) entspricht. - Schau genau hin: Liegt die Seite \(6{,}5\,\text{cm}\) in beiden Dreiecken gegenüber dem gleichen Winkel?

1. Berechnung des fehlenden Winkels \(\beta\) im Dreieck \(ABC\): \(\beta = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ\). 2. Berechnung des fehlenden Winkels \(\epsilon\) im Dreieck \(DEF\): \(\epsilon = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ\). 3. Vergleich der Winkel: Beide Dreiecke haben die Winkel \(50^\circ, 60^\circ\) und \(70^\circ\). 4. Vergleich der Seitenlagen: Im Dreieck \(ABC\) ist die Seite \(b = 6{,}5\,\text{cm}\) die Seite, die dem Winkel \(\beta = 60^\circ\) gegenüberliegt. Im Dreieck \(DEF\) ist die Seite \(e = 6{,}5\,\text{cm}\) die Seite, die dem Winkel \(\epsilon = 50^\circ\) gegenüberliegt. 5. Da die gleich langen Seiten in den Dreiecken nicht den gleichen Winkeln gegenüberliegen (bzw. nicht zwischen den gleichen Winkeln liegen), sind die Dreiecke nicht kongruent.

Die Dreiecke sind nicht kongruent.

- Erinnere dich an die Winkelsumme im Dreieck. Wie groß muss der dritte Winkel jeweils sein? - Achte genau darauf, welche Seite zwischen welchen Winkeln liegt oder welchem Winkel sie gegenüberliegt. - Welcher Kongruenzsatz befasst sich mit einer Seite und zwei Winkeln? - Damit zwei Dreiecke kongruent sind, müssen die gegebenen Stücke in der gleichen Anordnung zueinander stehen.

1. Analyse von Lukas' Dreieck: Gegeben sind eine Seite (\(c = 6\,\text{cm}\)) und die beiden anliegenden Winkel (\(50^\circ\) und \(70^\circ\)). Dies entspricht der Konfiguration für den WSW-Satz. Der dritte Winkel beträgt \(180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ\). 2. Analyse von Sophies Dreieck: Gegeben sind die Seite \(f = 6\,\text{cm}\) und die anliegenden Winkel \(\delta = 50^\circ\) und \(\epsilon = 70^\circ\). Die Maße stimmen exakt mit Lukas' Dreieck überein (Seite zwischen denselben Winkeln). Nach dem WSW-Satz sind Lukas' und Sophies Dreiecke kongruent. 3. Analyse von Jonas' Dreieck: Gegeben sind die Winkel \(\gamma = 50^\circ\) und \(\eta = 70^\circ\). Der dritte Winkel \(\iota\) ist \(60^\circ\). Die Seite \(g = 6\,\text{cm}\) liegt dem Winkel \(\gamma = 50^\circ\) gegenüber. In Lukas' Dreieck liegt die \(6\,\text{cm}\) lange Seite jedoch dem Winkel \(60^\circ\) gegenüber. 4. Da die Seite gleicher Länge in Jonas' Dreieck einem anderen Winkel gegenüberliegt als in den anderen beiden Dreiecken, ist sein Dreieck nicht kongruent zu denen von Lukas und Sophie.

Das Dreieck von Lukas und das Dreieck von Sophie sind zueinander kongruent (nach dem WSW-Satz). Das Dreieck von Jonas ist zu diesen beiden nicht kongruent.

- Achte zuerst auf die Einheiten der Seitenlängen. - Berechne in beiden Dreiecken den jeweils dritten Winkel mithilfe der Innenwinkelsumme. - Prüfe, welche Winkel der gegebenen Seite jeweils anliegen.

1. Einheiten angleichen: In \(\triangle GHI\) ist \(g = 4{,}2\,\text{cm} = 42\,\text{mm}\). Damit haben beide Dreiecke eine Seite der Länge \(42\,\text{mm}\). 2. Winkelsumme in \(\triangle ABC\): Der fehlende Winkel \(\alpha\) berechnet sich zu \(180^{\circ} - 100^{\circ} - 35^{\circ} = 45^{\circ}\). Die Winkel in \(\triangle ABC\) sind also \(45^{\circ}, 100^{\circ}\) und \(35^{\circ}\). Die Seite \(a = 42\,\text{mm}\) liegt dem Winkel \(\alpha = 45^{\circ}\) gegenüber. 3. Winkelsumme in \(\triangle GHI\): Der fehlende Winkel \(\angle I\) berechnet sich zu \(180^{\circ} - 100^{\circ} - 45^{\circ} = 35^{\circ}\). Die Winkel in \(\triangle GHI\) sind also \(45^{\circ}, 100^{\circ}\) und \(35^{\circ}\). Die Seite \(g = 42\,\text{mm}\) liegt dem Winkel \(\angle G = 45^{\circ}\) gegenüber. 4. Vergleich: Beide Dreiecke haben die gleichen Winkelmaße. In beiden Dreiecken liegt die Seite der Länge \(42\,\text{mm}\) jeweils dem Winkel mit \(45^{\circ}\) gegenüber (und grenzt an \(100^{\circ}\) und \(35^{\circ}\) an). 5. Damit sind die Dreiecke nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent.

Ja, die Dreiecke sind kongruent. Nach Berechnung der fehlenden Winkel (\(\alpha = 45^{\circ}\) und \(\angle I = 35^{\circ}\)) sieht man, dass beide Dreiecke in allen Winkeln und der entsprechenden Seitenlänge (\(42\,\text{mm}\) gegenüber dem \(45^{\circ}\)-Winkel) übereinstimmen.

- Welche Eigenschaften haben die Seiten und Winkel in einem Rechteck? - Kannst du eine Skizze zeichnen und die gegebenen Informationen markieren? - Welche drei Merkmale brauchst du, um die Kongruenz zweier Dreiecke nachzuweisen? - Wenn zwei Dreiecke exakt aufeinanderpassen, was bedeutet das für ihre Seitenlängen?

1. In den Dreiecken \(APD\) und \(CQB\) sind die Seiten \(AD\) und \(CB\) gleich lang, da es sich um gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks handelt. 2. Die Winkel \(\angle DAP\) und \(\angle BCQ\) sind beide rechte Winkel (\(90^\circ\)), da sie die Innenwinkel des Rechtecks sind. 3. Laut Aufgabenstellung gilt \(AP = CQ\). 4. Nach dem Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite) sind die Dreiecke \(APD\) und \(CQB\) somit kongruent. 5. Aus der Kongruenz folgt unmittelbar, dass alle entsprechenden Seiten gleich lang sind, also gilt \(PD = QB\).

a) Die Dreiecke sind nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da \(AD = CB\) (Rechteckseite), \(AP = CQ\) (gegeben) und \(\angle DAP = \angle BCQ = 90^\circ\) (Rechteckwinkel) gilt. b) Da die Dreiecke kongruent sind, müssen auch die entsprechenden Seiten \(PD\) und \(QB\) gleich lang sein.

- Welche zwei Bedingungen muss jeder mögliche Punkt \(D\) erfüllen? - Was zeigen die Schnittpunkte von Kreis und Winkelschenkel? - Zeigt SsW allein, wie viele Lösungen es hier gibt?

1. Der Kreis schneidet den vorwärts gerichteten Winkelschenkel in zwei Punkten. Beide Punkte liegen auf dem Winkelschenkel bei \(A\) und haben den Abstand \(5\,\text{cm}\) von \(B\). Deshalb sind beide mögliche Lagen von \(D\). 2. Der Winkel \(\angle DAB\) liegt der bekannten Seite \(BD=5\,\text{cm}\) gegenüber. Die andere bekannte Seite ist mit \(AB=8\,\text{cm}\) länger. Deshalb kannst du mit SsW hier keine Eindeutigkeit begründen. 3. Daraus allein folgt nur, dass SsW die Eindeutigkeit nicht garantiert. Dass es hier genau zwei Lösungen gibt, folgt erst aus den zwei Schnittpunkten im konkreten Konstruktionsbild.

a) Zwei mögliche Lagen von \(D\). b) Mit SsW kannst du hier keine Eindeutigkeit begründen. Die genaue Zahl zwei folgt erst aus den zwei sichtbaren Schnittpunkten.

- Betrachte eines der beiden Dreiecke, in die das Viereck durch die Diagonale geteilt wird. - Erinnere dich an die Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss immer länger sein als die dritte Seite. - Was passiert mit dem Dreieck, wenn die Diagonale fast so lang wie die Summe der anderen beiden Seiten ist? - Was passiert, wenn die Diagonale sehr kurz ist?

1. Die Diagonale \(e\) teilt das Drachenviereck in zwei kongruente Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\). 2. Für die Existenz des Dreiecks \(ABC\) mit den Seiten \(a = 5\,\text{cm}\), \(b = 9\,\text{cm}\) und \(e\) muss die Dreiecksungleichung erfüllt sein. 3. Bedingung 1 (Dreiecksungleichung \(a + e > b\)): \(a + e > b \Rightarrow 5 + e > 9 \Rightarrow e > 4\,\text{cm}\). 4. Bedingung 2 (Summe der anderen Seiten): \(a + b > e \Rightarrow 5 + 9 > e \Rightarrow 14\,\text{cm} > e\). 5. Zusammenfassend muss für die Länge der Diagonale gelten: \(4\,\text{cm} < e < 14\,\text{cm}\). 6. Bei den Grenzwerten \(4\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\) würden die Punkte auf einer Geraden liegen (entartetes Dreieck), daher sind diese auszuschließen.

Die Länge der Diagonale \(e\) muss zwischen \(4\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\) liegen (\(4\,\text{cm} < e < 14\,\text{cm}\)), damit das Drachenviereck existiert.

- Welche Eigenschaften haben gegenüberliegende Seiten und Winkel in einem Parallelogramm? - Wie groß ist die Summe von zwei nebeneinanderliegenden Winkeln in einem Parallelogramm? - Welche Stücke eines Dreiecks müssen übereinstimmen, damit man den SWS-Satz anwenden kann?

1. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Winkel gleich groß, daher gilt \(\gamma = \alpha = 60^\circ\). 2. Die gegenüberliegenden Seiten sind ebenfalls gleich lang: \(AB = CD = 5\,\text{cm}\) und \(BC = DA = 3\,\text{cm}\). 3. Im Dreieck \(ABC\) betrachten wir die Seiten \(AB\) und \(BC\) sowie den eingeschlossenen Winkel \(\beta\). Da benachbarte Winkel sich zu \(180^\circ\) ergänzen, ist \(\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Analog ist \(\delta = 120^\circ\). 4. Vergleich der Dreiecke \(ABC\) und \(CDA\): \(AB = CD = 5\,\text{cm}\), \(BC = DA = 3\,\text{cm}\) und der jeweils eingeschlossene Winkel \(\beta = \delta = 120^\circ\). 5. Nach dem SWS-Satz sind die Dreiecke \(ABC\) und \(CDA\) somit kongruent.

a) Der Winkel \(\gamma\) beträgt \(60^\circ\). b) In den Dreiecken \(ABC\) und \(CDA\) gilt: \(AB = CD = 5\,\text{cm}\), \(BC = DA = 3\,\text{cm}\) und der eingeschlossene Winkel \(\beta = \delta = 120^\circ\). Damit sind sie nach dem SWS-Satz kongruent.

- Denke an die Namen der Kongruenzsätze. Was bedeuten die Buchstabenfolgen für die Anordnung der Teile? - Spielt es eine Rolle, ob eine Seite zwischen zwei Winkeln liegt oder einem der Winkel gegenüberliegt? - Versuche, zwei Dreiecke zu skizzieren, die zwar die gleichen Winkel und eine gleich lange Seite haben, aber trotzdem unterschiedlich groß aussehen.

1. Aus zwei gegebenen Winkeln lässt sich der dritte Winkel berechnen. Zusammen mit einer entsprechend zugeordneten Seite kann anschließend der Kongruenzsatz WSW angewendet werden. 2. Damit die Dreiecke wirklich deckungsgleich sind, muss die gleich lange Seite in beiden Dreiecken die gleiche relative Lage zu den Winkeln haben. 3. Gegenbeispiel: Wenn in Dreieck 1 die Seite \(s\) zwischen den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\) liegt, in Dreieck 2 die gleich lange Seite \(s'\) aber dem Winkel \(\alpha\) gegenüberliegt, sind die Dreiecke im Allgemeinen nicht kongruent. 4. Fazit: Lukas hat unrecht, da die bloße Übereinstimmung der Werte ohne Beachtung der Zuordnung nicht ausreicht.

Lukas hat nicht recht. Zwei Winkel und eine Seitenlänge reichen nur dann aus, wenn die gleich lange Seite in beiden Dreiecken gleich zugeordnet ist, also beispielsweise in beiden zwischen denselben Winkeln liegt oder in beiden demselben Winkel gegenüberliegt. Nach Berechnung des dritten Winkels kann dann der WSW-Satz angewendet werden.

- Wie groß muss der dritte Winkel in jedem dieser Dreiecke sein? - Überlege dir, wo die Seite mit \(6\,\text{cm}\) überall liegen könnte. Muss sie zwingend zwischen den beiden gegebenen Winkeln liegen? - Wann sind zwei Dreiecke mit den gleichen Winkeln wirklich deckungsgleich?

1. Berechnung des dritten Winkels: Da die Winkelsumme im Dreieck immer \(180^\circ\) beträgt, ist der dritte Winkel \(180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ\). 2. Analyse der Seitenlage: Die Seite der Länge \(6\,\text{cm}\) kann gegenüber jedem der drei Winkel liegen. 3. Möglichkeit 1: Die \(6\,\text{cm}\) lange Seite liegt gegenüber dem \(60^\circ\)-Winkel (sie liegt also zwischen \(45^\circ\) und \(75^\circ\)). 4. Möglichkeit 2: Die \(6\,\text{cm}\) lange Seite liegt gegenüber dem \(75^\circ\)-Winkel (sie liegt also zwischen \(45^\circ\) und \(60^\circ\)). 5. Möglichkeit 3: Die \(6\,\text{cm}\) lange Seite liegt gegenüber dem \(45^\circ\)-Winkel (sie liegt also zwischen \(75^\circ\) und \(60^\circ\)). 6. Ergebnis: Da die Seite jeweils einem anderen Winkel gegenüberliegt, sind die drei resultierenden Dreiecke nicht kongruent zueinander. Lukas hat recht.

Lukas hat recht. Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, da die \(6\,\text{cm}\) lange Seite entweder dem \(45^\circ\)-, dem \(60^\circ\)- oder dem \(75^\circ\)-Winkel gegenüberliegen kann. In jedem dieser Fälle entsteht ein anderes, zu den beiden übrigen nicht kongruentes Dreieck.

- Welcher der beiden bekannten Seiten liegt \(\alpha\) jeweils gegenüber? - Was garantiert SsW nur dann, wenn der gegebene Winkel der längeren bekannten Seite gegenüberliegt? - Wenn dieser Fall nicht vorliegt: Welche Kreis-Schenkel-Konstruktion entscheidet tatsächlich über die Zahl der Lösungen?

1. Fall 1: Der Winkel \(\alpha\) liegt der Seite \(a=8\,\text{cm}\) gegenüber. Diese ist länger als die zweite bekannte Seite \(b=5\,\text{cm}\). Damit liegt der gültige SsW-Eindeutigkeitsfall vor; SsW beweist die eindeutige Bestimmung. 2. Fall 2: Der Winkel \(\alpha\) liegt der Seite \(a=5\,\text{cm}\) gegenüber, die kürzer als \(b=8\,\text{cm}\) ist. Der SsW-Eindeutigkeitsfall ist nicht erfüllt. Daraus folgt nur, dass SsW hier keine Eindeutigkeit beweist. 3. Für die tatsächliche Lösungszahl zeichnet man \(AC=b=8\,\text{cm}\), trägt bei \(A\) den Winkel \(30^\circ\) an und zeichnet um \(C\) einen Kreis mit Radius \(a=5\,\text{cm}\). Erst die Zahl der Kreis-Schenkel-Schnittpunkte entscheidet über die Zahl der möglichen Dreiecke.

Fall 1: SsW beweist Eindeutigkeit, weil \(\alpha\) der längeren gegebenen Seite \(a\) gegenüberliegt. Fall 2: SsW beweist keine Eindeutigkeit, weil \(\alpha\) der kürzeren gegebenen Seite \(a\) gegenüberliegt. Die tatsächliche Lösungszahl muss durch die Konstruktion aus \(AC=8\,\text{cm}\), dem \(30^\circ\)-Schenkel bei \(A\) und dem Kreis um \(C\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) ermittelt werden.

- Prüfe bei drei Seiten zuerst, ob überhaupt ein Dreieck entstehen kann. - Frage dich bei reinen Winkelangaben, ob dadurch eine bestimmte Seitenlänge feststeht. - Bei welcher Lage muss der gegebene Winkel für SWS zu den beiden gegebenen Seiten stehen?

1. a) Es gilt \(5\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 8\,\text{cm} < 9\,\text{cm}\). Die Dreiecksungleichung ist verletzt; ein solches Dreieck existiert nicht. 2. b) Drei Winkel legen keine Seitenlänge fest. Es können daher unterschiedlich große Dreiecke mit denselben drei Winkelgrößen gezeichnet werden; die Angaben bestimmen kein eindeutiges Dreieck. 3. c) Die Seiten \(a\) und \(c\) schließen den Winkel \(\beta\) ein. Damit ist das Dreieck nach SWS eindeutig bestimmt.

a) Nicht möglich, weil die Dreiecksungleichung verletzt ist. b) Nicht eindeutig, weil drei Winkel keine Größe festlegen. c) Eindeutig konstruierbar nach SWS.

- Ordne zuerst jeder Winkelangabe ihre Lage zu den gegebenen Seiten zu. - Bei WSW und SWS ist entscheidend, ob die gegebene Seite beziehungsweise der gegebene Winkel zwischen den beiden anderen Angaben liegt. - Beim SsW-Fall bedeutet das Scheitern der Eindeutigkeitsbedingung nicht automatisch, dass eine bestimmte Zahl von Lösungen existiert. - Welche Konstruktion mit einem Kreis und einem Winkelschenkel könnte b) tatsächlich entscheiden?

1. a) Die Seite \(a\) liegt zwischen den gegebenen Winkeln \(\beta\) und \(\gamma\). Nach WSW ist das Dreieck eindeutig bestimmt. 2. b) Gegeben sind \(a\), \(c\) und \(\alpha\). Der Winkel \(\alpha\) liegt der kürzeren der beiden bekannten Seiten \(a\) gegenüber. Der SsW-Eindeutigkeitsfall ist deshalb nicht erfüllt; aus SsW allein folgt hier keine Eindeutigkeitsaussage. Um die tatsächliche Lösungszahl zu bestimmen, muss die entsprechende Kreis-Schenkel-Konstruktion ausgeführt und die Zahl ihrer Schnittpunkte geprüft werden. 3. c) Die Seiten \(b\) und \(c\) schließen den Winkel \(\alpha\) ein. Nach SWS ist das Dreieck eindeutig bestimmt. 4. d) Alle drei Seiten sind gegeben. Nach SSS ist das Dreieck eindeutig bestimmt.

a) WSW sichert Eindeutigkeit. b) Aus SsW folgt hier keine Eindeutigkeitsaussage; die tatsächliche Lösungszahl muss mit der Kreis-Schenkel-Konstruktion geprüft werden. c) SWS sichert Eindeutigkeit. d) SSS sichert Eindeutigkeit.

- Welche beiden Seitenlängen und welcher Winkel sind in der Zeichnung markiert? - Welcher der bekannten Seiten liegt der markierte Winkel gegenüber? - Vergleiche die beiden bekannten Seitenlängen, bevor du SsW beurteilst.

1. Aus der Zeichnung liest man \(AB=8\,\text{km}\), \(BC_1=BC_2=5\,\text{km}\) und \(\angle BAC_1=\angle BAC_2=30^\circ\) ab. 2. Beim Kongruenzsatz SsW müssen zwei Seiten und der Gegenwinkel der längeren der beiden gegebenen Seiten übereinstimmen. 3. Hier ist \(AB=8\,\text{km}\) länger als \(BC=5\,\text{km}\), der gegebene Winkel bei \(A\) liegt aber der kürzeren Seite \(BC\) gegenüber. 4. Daher ist der SsW-Fall mehrdeutig. Die beiden Schnittpunkte des Weges mit dem Kreis um \(B\) führen zu zwei nicht kongruenten Dreiecken.

a) \(AB=8\,\text{km}\), \(BC_1=BC_2=5\,\text{km}\) und \(\angle BAC_1=\angle BAC_2=30^\circ\). b) Der gegebene Winkel liegt der kürzeren der beiden bekannten Seiten gegenüber. Deshalb ist SsW hier nicht eindeutig; es entstehen zwei nicht kongruente Dreiecke.

- Welche Seite besitzen beide Teildreiecke gemeinsam, und welche Schenkel des Ausgangsdreiecks sind gleich? - Welcher Seite liegt der gleiche Basiswinkel in jedem Teildreieck gegenüber? - Was folgt aus der Mittelpunkteigenschaft von \(S\) für \(QS\) und \(RS\)? - Ein nicht anwendbarer Kongruenzsatz bedeutet nicht automatisch, dass keine Kongruenz vorliegt.

1. Es gilt \(PQ=PR\), \(PS=PS\) und wegen der gleichen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks \(\angle PQS=\angle PRS\). 2. Der jeweils gleiche Winkel liegt der Seite \(PS\) gegenüber. Da \(S\) der Basismittelpunkt ist, ist \(PS\) zugleich die Höhe auf die Basis; in den rechtwinkligen Teildreiecken ist \(PQ\) beziehungsweise \(PR\) die Hypotenuse. Somit gilt \(PS<PQ=PR\). Der gleiche Winkel liegt also der kürzeren der beiden bekannten Seiten gegenüber; der SsW-Eindeutigkeitsfall ist nicht erfüllt. 3. Daraus darf nicht gefolgert werden, dass die Dreiecke nicht kongruent sind. Weil \(S\) Mittelpunkt von \(QR\) ist, gilt zusätzlich \(QS=RS\). Zusammen mit \(PQ=PR\) und \(PS=PS\) folgt nach SSS: \(\triangle PQS\cong\triangle PRS\).

a) \(PQ=PR\), \(PS=PS\) und \(\angle PQS=\angle PRS\). b) SsW greift nicht, weil der gleiche Winkel der kürzeren bekannten Seite \(PS\) gegenüberliegt. Daraus darf man nicht schließen, dass die Dreiecke nicht kongruent sind. c) Sie sind nach SSS kongruent, denn zusätzlich gilt \(QS=RS\).

- Welche beiden Streckenpaare sind in der Zeichnung gleich markiert? - Welche Winkelgleichheit entsteht automatisch am Schnittpunkt \(K\)? - Welche entsprechenden Winkel erhältst du nach dem geforderten SWS-Nachweis?

1. Aus den Markierungen folgt \(AK=KC\) und \(BK=KD\). 2. Die Winkel \(\angle AKB\) und \(\angle CKD\) sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. 3. Damit sind die Dreiecke \(AKB\) und \(CKD\) nach SWS kongruent. 4. Folglich gilt für entsprechende Winkel \(\angle KAB=\angle KCD\). 5. Diese Winkel sind Wechselwinkel an der Schneidenden \(AC\). Deshalb gilt \(AB\parallel CD\).

Aus den Markierungen und den Scheitelwinkeln folgt \(\triangle AKB\cong\triangle CKD\) nach SWS. Daher sind die Wechselwinkel \(\angle KAB\) und \(\angle KCD\) gleich, also gilt \(AB\parallel CD\).

- Welche Seiten- und Winkelgleichheiten kannst du direkt aus den Markierungen ablesen? - Welcher Winkel gehört gleichzeitig zu beiden kleinen Dreiecken? - Welche weitere Winkelgleichheit brauchst du, damit WSW anwendbar wird?

1. Aus den Streckenmarkierungen folgt \(AB=BC\). Die Winkelmarkierungen zeigen \(\angle ADB=\angle CEB=90^\circ\). 2. Außerdem ist \(\angle ABD=\angle CBE\), da beide mit dem Winkel bei \(B\) übereinstimmen. 3. Aus der Winkelsumme in den beiden rechtwinkligen Dreiecken folgt \(\angle BAD=\angle BCE\). 4. Damit stimmen die Dreiecke \(ABD\) und \(CBE\) in zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite \(AB=BC\) überein. Sie sind nach WSW kongruent. 5. Entsprechende Seiten kongruenter Dreiecke sind gleich lang, also gilt \(AD=CE\).

Die Markierungen liefern \(AB=BC\) sowie zwei rechte Winkel. Zusammen mit dem gemeinsamen Winkel bei \(B\) folgen gleiche dritte Winkel. Daher sind \(\triangle ABD\) und \(\triangle CBE\) nach WSW kongruent und somit \(AD=CE\).

- Welche Winkel entstehen am Fußpunkt einer Höhe? - Welche Seiten sind im ursprünglichen gleichschenkligen Dreieck gleich lang? - Welche Seite gehört zu beiden Teildreiecken?

1. Die Seite \(CD\) ist gemeinsam. 2. Weil \(CD\) eine Höhe ist, sind \(\angle CDA\) und \(\angle CDB\) rechte Winkel. 3. Gegeben ist \(AC=BC\). Diese gleich langen Seiten sind die Hypotenusen der beiden rechtwinkligen Teildreiecke. 4. Damit sind \(\triangle ADC\) und \(\triangle BDC\) nach SsW kongruent. Folglich gilt \(AD=BD\).

\(\triangle ADC \cong \triangle BDC\) nach SsW; daher \(AD=BD\).

- Welche Winkelgleichheiten entstehen, wenn die Diagonale zwei Paare paralleler Seiten schneidet? - Welche Seite ist für beide Dreiecke identisch? - Liegt diese Seite jeweils zwischen den beiden verwendeten Winkeln?

1. Wegen \(AB \parallel CD\) gilt an der Diagonale \(AC\): \(\angle BAC=\angle DCA\). 2. Wegen \(BC \parallel AD\) gilt außerdem \(\angle BCA=\angle DAC\). 3. Die Diagonale \(AC\) ist gemeinsame Seite und liegt jeweils zwischen diesen beiden Winkeln. 4. Daher sind \(\triangle ABC\) und \(\triangle CDA\) nach WSW kongruent.

\(\triangle ABC \cong \triangle CDA\) nach WSW.

- Welche zusätzliche Seitenlängengleichheit brauchst du noch für SWS? - Welche Teilstrecken auf der Geraden \(AF\) kannst du dafür vergleichen? - Welche beiden bereits gegebenen Größen brauchst du anschließend noch?

1. Die Markierungen zeigen \(AD=BF\). Addiert man auf beiden Seiten \(DB\), folgt \(AB=FD\). 2. Außerdem zeigen die Markierungen \(AC=FE\), und es gilt \(\angle BAC=\angle DFE\). 3. Die gleichen Winkel liegen jeweils zwischen den beiden verglichenen Seiten. Daher sind die Dreiecke nach SWS kongruent.

\(\triangle ABC\cong\triangle FDE\) nach SWS.

- Welche Eigenschaft des gleichschenkligen Dreiecks liefert dir eine Winkelgleichheit? - Welche weiteren SWS-Bestimmungsstücke findest du in Text und Abbildung?

1. Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß: \(\angle CAB=\angle CBA\). 2. Die Seite \(AB\) gehört zu beiden Dreiecken. 3. Die Streckenmarkierungen zeigen \(AD=BE\). 4. Die gleichen Basiswinkel liegen jeweils zwischen \(AB\) und den gleich langen Seiten \(AD\) bzw. \(BE\). Daher sind die Dreiecke nach SWS kongruent.

Die Dreiecke \(ABE\) und \(BAD\) sind nach SWS kongruent.

- Welche gleich langen Seiten des ursprünglichen Dreiecks gehören zu den beiden Teildreiecken? - Welchen Winkel bei \(C\) verwenden beide Teildreiecke? - Welche weitere Winkelgleichheit ist gegeben?

1. Gegeben ist \(AC=BC\). 2. Der Winkel bei \(C\) ist in beiden Dreiecken derselbe Winkel zwischen den Schenkeln \(CA\) und \(CB\). 3. Außerdem gilt \(\angle CAE=\angle CBD\). 4. Damit stimmen eine Seite und ihre beiden anliegenden Winkel überein. Also gilt \(\triangle ACE\cong\triangle BCD\) nach WSW.

\(\triangle ACE \cong \triangle BCD\) nach WSW.

- Welche beiden Seitenpaare zeigen die unterschiedlichen Tickklassen? - Welche Beziehung besteht jeweils zwischen einem markierten Außenwinkel und dem benachbarten Innenwinkel? - Welcher Kongruenzsatz verwendet zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen?

1. Aus den Tickmarkierungen folgt \(FK=PE\) und \(KH=EH\). 2. Die markierten Außenwinkel bei \(K\) und \(E\) sind gleich groß. Ihre jeweiligen Nebenwinkel \(\angle FKH\) und \(\angle PEH\) sind deshalb ebenfalls gleich groß. 3. Damit stimmen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel überein. Also sind \(\triangle FKH\) und \(\triangle PEH\) nach SWS kongruent.

Aus den Markierungen folgt \(FK=PE\), \(KH=EH\) und \(\angle FKH=\angle PEH\). Daher gilt \(\triangle FKH\cong\triangle PEH\) nach SWS.

- Welche zwei Dreiecke entstehen an der Winkelhalbierenden \(BD\)? - Welche Seitenlängengleichheit zeigt die Abbildung? - Welche Winkelgleichheit folgt aus der Winkelhalbierenden?

1. Vergleiche die Dreiecke \(ABD\) und \(CBD\). 2. Die Streckenmarkierungen zeigen \(AD=CD\). Die Seite \(BD\) ist gemeinsam. 3. Weil \(BD\) den Winkel \(\angle ADC\) halbiert, gilt \(\angle ADB=\angle CDB\). 4. Damit sind die beiden Dreiecke nach SWS kongruent. Deshalb gilt \(AB=CB\), also ist \(ABC\) gleichschenklig.

\(\triangle ABD\cong\triangle CBD\) nach SWS. Daher gilt \(AB=CB\) und \(ABC\) ist gleichschenklig.

- Welche beiden Winkelpaare sind in der Abbildung gleich markiert? - Was folgt aus zwei gleichen Winkelpaaren für die jeweils dritten Winkel der beiden Dreiecke? - Welche gemeinsame Seite liegt zwischen zwei passenden Winkeln?

1. Aus den Markierungen liest man \(\angle ADB=\angle CDB\) und \(\angle DAB=\angle DCB\) ab. 2. Wegen der Innenwinkelsumme sind damit auch die jeweils dritten Winkel gleich: \(\angle ABD=\angle CBD\). 3. Die Seite \(BD\) ist gemeinsam und liegt jeweils zwischen den gleichen Winkeln bei \(B\) und \(D\). Daher gilt nach WSW \(\triangle ABD\cong\triangle CBD\). 4. Entsprechende Seiten sind gleich lang, also \(AB=CB\). Damit ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

\(\triangle ABC\) ist gleichschenklig mit \(AB=CB\).

- Welche Winkelgleichheit zeigen die Markierungen bei \(B\)? - Welche zweite Winkelgleichheit zeigen die Markierungen bei \(A\) und \(C\)? - Was folgt daraus für die jeweils dritten Winkel der beiden Teildreiecke?

1. Aus den blauen Markierungen folgt \(\angle ABE=\angle CBE\); damit liegt \(BE\) auf der Winkelhalbierenden bei \(B\). 2. Aus den orangefarbenen Markierungen folgt \(\angle BAE=\angle BCE\). 3. Mit der Innenwinkelsumme folgt für die dritten Winkel \(\angle AEB=\angle BEC\). 4. Die Seite \(BE\) ist gemeinsam und liegt zwischen den gleichen Winkeln bei \(B\) und \(E\). Daher sind \(\triangle ABE\) und \(\triangle CBE\) nach WSW kongruent. 5. Somit gilt \(AB=CB\), also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

\(AB=CB\); daher ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

- Welche Seite gehört zu beiden Dreiecken? - Welche weitere Seitenlänge und welche Winkelgleichheit zeigen die Markierungen? - Welcher der beiden bekannten Seiten liegt der markierte Winkel jeweils gegenüber?

1. Aus den Winkelmarkierungen folgt \(\angle ABD=\angle DCA=90^\circ\). 2. Die Seite \(AD\) gehört zu beiden Dreiecken und ist jeweils die Hypotenuse. 3. Aus den Streckenmarkierungen folgt \(AB=CD\). 4. Der gleiche Winkel liegt jeweils der längeren der beiden bekannten Seiten gegenüber. Deshalb sind \(\triangle ABD\) und \(\triangle DCA\) nach SsW kongruent.

\(\triangle ABD\cong\triangle DCA\) nach SsW.

- Welche zwei Möglichkeiten gibt es dafür, welche Seiten des gleichschenkligen Dreiecks gleich lang sind? - Welche dieser Möglichkeiten erfüllt die Dreiecksungleichung? - Berechne den Umfang erst für die zulässige Seitenkombination.

1. Es gibt zwei mögliche Seitenkombinationen: \(8\,\text{cm}, 8\,\text{cm}, 4\,\text{cm}\) oder \(4\,\text{cm}, 4\,\text{cm}, 8\,\text{cm}\). 2. Für \(4\,\text{cm}, 4\,\text{cm}, 8\,\text{cm}\) gilt \(4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). Die Summe ist nicht größer als die dritte Seite, also entsteht kein Dreieck. 3. Für \(8\,\text{cm}, 8\,\text{cm}, 4\,\text{cm}\) ist die Dreiecksungleichung erfüllt. 4. Der Umfang beträgt \(8\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\).

Der Umfang des Dreiecks beträgt \(20\,\text{cm}\).

- Welche beiden Dreiecke enthalten die gesuchte Seite \(BC\) beziehungsweise \(DF\)? - Welche Winkelbeziehungen entstehen durch Scheitelwinkel und die parallelen Grundseiten? - Welche zwischen den beiden Winkeln liegende Seite ist durch die Mittelpunktangabe gleich lang?

1. Betrachte die Dreiecke \(\triangle BCM\) und \(\triangle FDM\). 2. Es gilt \(CM = DM\), da \(M\) der Mittelpunkt von \(CD\) ist. 3. Die Winkel \(\angle BMC\) und \(\angle FMD\) sind Scheitelwinkel und damit gleich groß. 4. Da \(BC \parallel AF\), sind die Winkel \(\angle BCM\) und \(\angle FDM\) Wechselwinkel an Parallelen und somit ebenfalls gleich groß. 5. Nach dem Kongruenzsatz WSW sind die Dreiecke \(\triangle BCM\) und \(\triangle FDM\) kongruent. 6. Daraus folgt unmittelbar \(BC = DF\).

Die Behauptung \(BC = DF\) folgt aus der Kongruenz der Dreiecke \(\triangle BCM\) und \(\triangle FDM\) nach dem WSW-Satz.

- Welche beiden Seitenpaare sind mit gleichen Tickmarken versehen? - Welche Winkelgleichheit entsteht am Schnittpunkt \(Z\)? - Welche entsprechenden Größen kannst du nach dem Kongruenznachweis aus der Zeichnung übertragen?

1. Aus den Tickmarkierungen folgt \(AZ=DZ\) und \(BZ=CZ\). 2. Die Winkel \(\angle AZB\) und \(\angle DZC\) sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. 3. Damit sind die Dreiecke \(ABZ\) und \(DCZ\) nach SWS kongruent. 4. Entsprechende Winkel sind gleich, also gilt \(\alpha=\angle ZDC=\angle ZAB=35^\circ\). 5. Entsprechende Seiten sind gleich, also gilt \(CD=AB=4\,\text{cm}\).

a) \(\alpha=35^\circ\) b) \(CD=4\,\text{cm}\) c) SWS

- Welche gleich langen Strecken folgen daraus, dass \(M\) Mittelpunkt ist und \(AM\) um seine eigene Länge verlängert wurde? - Welche Winkel am Punkt \(M\) sind Scheitelwinkel? - Welche gesuchten Seiten entsprechen nach dem Kongruenznachweis den bekannten Seiten \(AB\) und \(AC\)?

1. In den Dreiecken \(ABM\) und \(DCM\) gilt \(BM=MC\), \(AM=MD\) und \(\angle AMB=\angle DMC\) als Scheitelwinkel. 2. Daher sind \(\triangle ABM\) und \(\triangle DCM\) nach SWS kongruent. Somit gilt \(CD=AB=9\,\text{cm}\). 3. In den Dreiecken \(ACM\) und \(DBM\) gilt ebenso \(CM=MB\), \(AM=MD\) und \(\angle AMC=\angle DMB\). 4. Daher sind auch diese Dreiecke nach SWS kongruent. Somit gilt \(BD=AC=7\,\text{cm}\).

\(BD=7\,\text{cm}\) und \(CD=9\,\text{cm}\).

- Welche Seiten- und Winkeleigenschaften hat das äußere gleichseitige Dreieck? - Was zeigen die Streckenmarkierungen in der Abbildung? - Vergleiche die drei Dreiecke an den Ecken des großen Dreiecks. - Was folgt für ihre jeweils dritte Seite, wenn diese Dreiecke kongruent sind?

1. Im gleichseitigen Dreieck \(ABC\) gilt \(AB=BC=CA\), und jeder Innenwinkel ist \(60^\circ\) groß. 2. Aus den Streckenmarkierungen folgt \(AD=BE=CF\). Deshalb sind auch die Reststücke gleich lang: \(BD=CE=AF\). 3. Die Dreiecke \(ADF\), \(BED\) und \(CFE\) stimmen jeweils in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel von \(60^\circ\) überein. 4. Daher sind die drei Dreiecke nach SWS kongruent. 5. Somit sind ihre dritten Seiten gleich lang: \(DF=DE=EF\). Also ist \(\triangle DEF\) gleichseitig.

\(\triangle DEF\) ist gleichseitig. Die drei äußeren Dreiecke sind nach SWS kongruent; daher gilt \(DF=DE=EF\).

- Welche Eigenschaften haben gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms? - Welche gleichen Winkel entstehen, wenn die Diagonalen die parallelen Seiten schneiden? - Welche Seite liegt in beiden Dreiecken zwischen den beiden gefundenen Winkeln?

1. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Daher gilt \(AB=CD\). 2. Außerdem ist \(AB\parallel CD\). Mit den Diagonalen als Transversalen folgt \(\angle BAS=\angle DCS\) und \(\angle ABS=\angle CDS\). 3. Die Dreiecke stimmen damit in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln überein. 4. Deshalb sind \(\triangle ABS\) und \(\triangle CDS\) nach WSW kongruent.

\(\triangle ABS\cong\triangle CDS\) nach WSW. Verwendet werden \(AB=CD\), \(AB\parallel CD\) und die daraus folgenden gleichen Wechselwinkel.

- Welche der beiden gegebenen Seiten ist länger? - Welcher Seite liegt der jeweils gegebene Winkel gegenüber? - Was musst du im zweiten Fall zusätzlich durch eine Konstruktion prüfen?

1. In Fall 1 liegt \(\beta\) der Seite \(b=8\,\text{cm}\) gegenüber. Diese ist länger als \(a=6\,\text{cm}\). Damit ist der SsW-Fall erfüllt und das Dreieck eindeutig bestimmt. 2. In Fall 2 liegt \(\alpha\) der kürzeren Seite \(a=6\,\text{cm}\) gegenüber. SsW garantiert hier keine Eindeutigkeit. 3. Zeichnet man \(AC=8\,\text{cm}\), trägt bei \(A\) den Winkel \(50^\circ\) an und zeichnet um \(C\) einen Kreis mit Radius \(6\,\text{cm}\), schneidet der Kreis den freien Winkelschenkel nicht. Deshalb existiert in Fall 2 kein Dreieck.

Fall 1: Das Dreieck ist nach SsW eindeutig bestimmt, weil \(\beta\) der längeren bekannten Seite gegenüberliegt. Fall 2: Es gibt kein solches Dreieck; bei der Konstruktion entsteht kein Schnittpunkt.

- Welche Bedingungen kennst du für die Eindeutigkeit von Dreieckskonstruktionen? - Muss ein stumpfer Winkel immer eingeschlossen sein, oder gibt es andere Sätze? - Was passiert mit den anderen Winkeln, wenn ein Winkel bereits \(100^\circ\) groß ist?

1. Gegeben sind die Seiten \(b=9\,\text{cm}\) und \(c=5\,\text{cm}\) sowie der Winkel \(\beta=100^\circ\), der der Seite \(b\) gegenüberliegt. 2. Da \(b>c\) gilt, liegt der gegebene Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüber. Damit ist der Kongruenzsatz \(SsW\) anwendbar. 3. Auch die Existenz ist gesichert: Zeichnet man \(AB=c=5\,\text{cm}\) und trägt in \(B\) den Winkel \(\beta=100^\circ\) an, liegt \(B\) innerhalb des Kreises um \(A\) mit Radius \(b=9\,\text{cm}\). Der freie Winkelschenkel schneidet diesen Kreis daher genau einmal. 4. Lara hat recht. Toms Behauptung, ein stumpfer Winkel müsse zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen, ist falsch.

Lara hat recht. Das Dreieck ist nach dem Kongruenzsatz \(SsW\) eindeutig konstruierbar, weil der Winkel \(\beta=100^\circ\) der längeren Seite \(b=9\,\text{cm}\) gegenüberliegt. Toms Einwand zum SWS-Satz trifft nicht zu.

- Was bedeutet es für die Seitenlängen, wenn ein Dreieck gleichschenklig ist? - Welche Seiten der Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\) kannst du direkt miteinander vergleichen? - Welcher Kongruenzsatz hilft dir weiter, wenn du nur Informationen über Seitenlängen hast? - Wie ist eine Winkelhalbierende definiert?

1. Betrachte die Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\). 2. Da \(\triangle ABC\) gleichschenklig mit Basis \(BC\) ist, gilt \(AB = AC\). 3. Da \(\triangle DBC\) gleichschenklig mit Basis \(BC\) ist, gilt \(DB = DC\). 4. Die Strecke \(AD\) ist eine gemeinsame Seite beider Dreiecke (\(AD = AD\)). 5. Nach dem Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) sind die Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\) kongruent. 6. In kongruenten Dreiecken sind entsprechende Winkel gleich groß, folglich gilt \(\angle BAD = \angle CAD\). 7. Da die Teilwinkel gleich groß sind, ist die Gerade durch \(A\) und \(D\) die Winkelhalbierende von \(\angle BAC\).

Die Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\) sind nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent, da \(AB = AC\), \(DB = DC\) und die Seite \(AD\) gemeinsam ist. Daraus folgt \(\angle BAD = \angle CAD\), was bedeutet, dass die Gerade durch \(A\) und \(D\) den Winkel \(\angle BAC\) halbiert.

- Welche zwei Dreiecke enthalten die Strecken \(BG\) und \(EC\)? - Welche Seitenlängen sind durch die beiden Quadrate gleich? - Welche Drehung um \(A\) verbindet die beiden eingeschlossenen Winkel? - Welche drei Angaben brauchst du für SWS?

1. Vergleiche die Dreiecke \(ABG\) und \(AEC\). 2. Im Quadrat \(ABDE\) gilt \(AB=AE\). 3. Im Quadrat \(ACFG\) gilt \(AG=AC\). 4. Eine Drehung um \(90^\circ\) um \(A\) bildet den Strahl \(AE\) auf den Strahl \(AB\) und den Strahl \(AC\) auf den Strahl \(AG\) ab. Drehungen erhalten Winkelgrößen. Daher gilt \(\angle EAC=\angle BAG\). 5. Damit sind \(\triangle ABG\) und \(\triangle AEC\) nach SWS kongruent. 6. Entsprechende Seiten sind gleich lang. Also gilt \(BG=EC\).

\(BG=EC\). Es gilt \(AB=AE\), \(AG=AC\) und \(\angle BAG=\angle EAC\). Deshalb sind \(\triangle ABG\) und \(\triangle AEC\) nach SWS kongruent.

- Welche Höhe folgt aus Grundseite und Flächeninhalt? - Auf welcher Ortslinie muss die dritte Ecke liegen, wenn die Höhe feststeht? - Welche zweite Ortsbedingung entsteht aus der Seitenlänge \(4\,\text{cm}\), und wie viele Schnittpunkte kann sie mit der Höhenparallelen haben?

1. Mit \(A=\frac{1}{2}gh\) ergibt sich zur Grundseite \(b=10\,\text{cm}\) die Höhe \(h_b=\frac{2\cdot10\,\text{cm}^2}{10\,\text{cm}}=2\,\text{cm}\). 2. Die gegenüberliegende Ecke \(C\) muss daher auf einer Parallelen zu \(b\) im Abstand \(2\,\text{cm}\) liegen. 3. Gleichzeitig muss wegen \(a=4\,\text{cm}\) der Abstand von \(C\) zu einem Endpunkt der Grundseite \(4\,\text{cm}\) betragen. Der entsprechende Kreis schneidet die Parallele in zwei möglichen Punkten \(C_1\) und \(C_2\). 4. Die beiden Schnittpunkte liegen bezüglich der Senkrechten durch diesen Endpunkt auf verschiedenen Seiten. Ihre Abstände zum anderen Endpunkt der \(10\,\text{cm}\) langen Grundseite sind deshalb verschieden. Damit können die dritten Seiten verschieden lang sein. 5. Also müssen die beiden Dreiecke trotz gleicher Seiten \(a\), \(b\) und gleichen Flächeninhalts nicht kongruent sein.

Nein. Zur Grundseite \(10\,\text{cm}\) gehört bei einem Flächeninhalt von \(10\,\text{cm}^2\) die Höhe \(2\,\text{cm}\). Eine Ecke im Abstand \(4\,\text{cm}\) vom einen Endpunkt kann auf dieser Höhenparallelen zwei verschiedene Lagen haben; dabei entstehen unterschiedliche Längen der dritten Seite. Daher ist Kongruenz nicht zwingend.

- Welche SWS-Bestimmungsstücke kannst du aus den Markierungen und aus der Form des äußeren Dreiecks gewinnen? - Welche Winkelgleichheit folgt erst aus dem Kongruenznachweis? - Wie hilft dir danach die Winkelsumme im Dreieck \(APC\)?

1. Weil \(ABC\) gleichseitig ist, gilt \(AB=CA\) und \(\angle ABN=\angle CAM=60^\circ\). Zusammen mit \(BN=AM\) sind \(\triangle ABN\) und \(\triangle CAM\) nach SWS kongruent. 2. Aus der Kongruenz folgt für entsprechende Winkel \(\angle BAN=\angle ACM\). Bezeichne ihre gemeinsame Größe mit \(\alpha\). 3. Dann gilt im Dreieck \(APC\): \(\angle PAC=60^\circ-\alpha\) und \(\angle PCA=\alpha\). 4. Mit der Winkelsumme folgt \(\angle APC=180^\circ-(60^\circ-\alpha)-\alpha=120^\circ\).

1. \(\triangle ABN\cong\triangle CAM\) nach SWS, denn \(AB=CA\), \(BN=AM\) und \(\angle ABN=\angle CAM=60^\circ\). 2. \(\angle APC=120^\circ\).

- Welche beiden Streckengleichheiten liest du aus den unterschiedlichen Tickmarkierungen ab? - Welche Winkelgleichheit folgt zunächst aus dem inneren gleichschenkligen Dreieck? - Welche beiden äußeren Dreiecke kannst du anschließend mit SWS vergleichen?

1. Aus den Markierungen liest man \(AD=AE\) und \(BD=CE\) ab. 2. Wegen \(AD=AE\) ist \(\triangle ADE\) gleichschenklig. Daher gilt \(\angle ADE=\angle AED\). 3. Die Nebenwinkel dazu sind ebenfalls gleich groß: \(\angle ADB=180^\circ-\angle ADE\) und \(\angle AEC=180^\circ-\angle AED\). Also gilt \(\angle ADB=\angle AEC\). 4. In den Dreiecken \(ABD\) und \(ACE\) stimmen damit \(AD=AE\), \(BD=CE\) und die eingeschlossenen Winkel \(\angle ADB=\angle AEC\) überein. 5. Nach SWS sind \(\triangle ABD\) und \(\triangle ACE\) kongruent. Daher ist \(AB=AC\), also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

Aus den Markierungen folgt \(AD=AE\) und \(BD=CE\). Das gleichschenklige Dreieck \(ADE\) liefert gleiche Basiswinkel und damit gleiche Nebenwinkel \(\angle ADB=\angle AEC\). Nach SWS sind \(\triangle ABD\) und \(\triangle ACE\) kongruent, also gilt \(AB=AC\).

- Welche Winkelbeziehung folgt daraus, dass \(PQR\) gleichschenklig mit Spitze \(R\) ist? - Welche zwei Dreiecke enthalten die gemeinsame Seite \(PQ\) und das markierte Paar gleich langer Strecken? - Welche entsprechenden Winkel dieser Dreiecke werden nach dem Kongruenznachweis gleich groß sein?

1. Weil \(PQR\) gleichschenklig mit Spitze \(R\) ist, gilt \(\angle QPR=\angle PQR\). 2. Betrachte die Dreiecke \(PQS\) und \(QPT\). Die Seite \(PQ\) ist gemeinsam. Aus den Markierungen folgt \(PS=QT\). Außerdem gilt wegen \(S\in PR\) und \(T\in QR\): \(\angle QPS=\angle PQT\). 3. Daher sind \(\triangle PQS\) und \(\triangle QPT\) nach SWS kongruent. 4. Entsprechende Winkel sind gleich: \(\angle PQS=\angle QPT\). Da \(X\) auf \(QS\) und \(PT\) liegt, gilt damit \(\angle PQX=\angle QPX\). 5. Also sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang: \(PX=QX\). Damit ist \(\triangle PQX\) gleichschenklig.

\(PX=QX\); daher ist \(\triangle PQX\) gleichschenklig.

- Welche beiden Streckengleichheiten liest du aus den Tickmarkierungen ab? - Welche weiteren gleich langen Teilstrecken erhältst du durch Subtraktion auf gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms? - Welche Eckdreiecke lassen sich danach paarweise mit SWS vergleichen?

1. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang: \(KP = HT\) und \(PH = TK\). 2. Da \(PB = TD\) gegeben ist, folgt für die verbleibenden Abschnitte auf diesen Seiten: \(BK = KP - PB = HT - TD = HD\). Also \(BK = HD\). 3. Da \(CH = AK\) gegeben ist, folgt für die anderen Abschnitte: \(PC = PH - CH = TK - AK = AT\). Also \(PC = AT\). 4. Die Winkel an den Ecken des Parallelogramms \(KPHT\) sind paarweise gleich: \(\angle K = \angle H\) und \(\angle P = \angle T\). 5. Damit sind die Dreiecke \(\triangle ABK \cong \triangle CDH\) (nach SWS, da \(AK=CH, \angle K=\angle H, BK=HD\)) und \(\triangle BCP \cong \triangle DAT\) (nach SWS, da \(PB=TD, \angle P=\angle T, PC=AT\)). 6. Aus der Kongruenz folgt \(AB = CD\) und \(BC = DA\). 7. Ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer gegenüberliegender Seiten ist ein Parallelogramm.

Durch die gegebenen Bedingungen \(PB = TD\) und \(CH = AK\) sowie die Eigenschaften des Parallelogramms \(KPHT\) sind die Dreiecke an den gegenüberliegenden Ecken kongruent (\(\triangle ABK \cong \triangle CDH\) und \(\triangle BCP \cong \triangle DAT\)). Daraus folgt \(AB = CD\) und \(BC = DA\), womit \(ABCD\) ein Parallelogramm ist.

- Welche Seiten des inneren Quadrats sind Hypotenusen der Eckdreiecke? - Wie ergänzen sich die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks? - Wie hängen die Winkel an einem Berührpunkt des inneren Quadrats mit dem rechten Winkel des kleinen Quadrats zusammen?

1. Alle Seiten des inneren Quadrats sind gleich lang. Sie sind die Hypotenusen der vier Eckdreiecke. 2. Die vier Eckdreiecke sind rechtwinklig, weil die Innenwinkel des äußeren Quadrats \(90^\circ\) groß sind. 3. Setze \(\alpha = \angle APS\). Da \(A,P,B\) auf einer Geraden liegen und \(\angle SPQ = 90^\circ\) gilt, ist \(\angle QPB = 90^\circ-\alpha\). 4. Im rechtwinkligen Dreieck \(BQP\) folgt \(\angle BQP = \alpha\). Im rechtwinkligen Dreieck \(APS\) gilt \(\angle ASP = 90^\circ-\alpha\). 5. Damit stimmen die Dreiecke \(APS\) und \(BQP\) in den beiden Winkeln an ihrer Hypotenuse und in der Hypotenusenlänge \(SP = PQ\) überein. Sie sind nach WSW kongruent. 6. Dieselbe Argumentation gilt nacheinander an den Punkten \(Q\), \(R\) und \(S\). Somit sind alle vier Eckdreiecke zueinander kongruent.

Die vier Eckdreiecke sind nach WSW kongruent: Ihre Hypotenusen sind Seiten des inneren Quadrats und daher gleich lang; außerdem stimmen jeweils die beiden anliegenden spitzen Winkel überein.

- Nutze zuerst, dass \(B,P,Q,C\) auf einer Geraden liegen. Was folgt aus den gleichen gegebenen Winkeln für die benachbarten Winkel? - Untersuche danach das Dreieck \(APQ\). - Welche zwei größeren Dreiecke enthalten die gesuchten Seiten \(AB\) und \(AC\)?

1. Weil \(B-P-Q-C\) auf einer Geraden liegen, sind \(\angle APB\) und \(\angle APQ\) Nebenwinkel. Ebenso sind \(\angle AQC\) und \(\angle AQP\) Nebenwinkel. 2. Aus \(\angle APB=\angle AQC\) folgt deshalb \(\angle APQ=\angle AQP\). Damit ist \(\triangle APQ\) gleichschenklig und \(AP=AQ\). 3. In den Dreiecken \(ABP\) und \(ACQ\) gilt nun \(BP=CQ\), \(AP=AQ\) und \(\angle APB=\angle AQC\). 4. Nach SWS sind die beiden Dreiecke kongruent. Daher gilt \(AB=AC\).

\(AB=AC\).

- Welche Folgerung hat die markierte Gleichheit \(AD=CD\) für die Winkel des großen Dreiecks? - Welche weitere Streckengleichheit lässt sich aus den Tickmarkierungen und den Teilstrecken auf \(AD\) und \(CD\) ableiten? - Suche zwei Dreiecke, deren Kongruenz dir eine Winkelgleichheit liefert, mit der du anschließend die Basiswinkel von \(ABC\) vergleichen kannst.

1. Da \(\triangle ADC\) mit \(AD=CD\) gleichschenklig ist, gilt \(\angle DAC=\angle DCA\). 2. Betrachte die Dreiecke \(ADF\) und \(CDE\). 3. Es gilt \(AD=CD\). Außerdem ist der Winkel bei \(D\) in beiden Dreiecken derselbe. 4. Wegen \(AE=CF\) folgt \(DF=CD-CF=AD-AE=DE\). 5. Daher sind \(\triangle ADF\) und \(\triangle CDE\) nach SWS kongruent. 6. Somit gilt \(\angle DAF=\angle DCE\). 7. Da \(B\) auf \(AF\) und \(CE\) liegt, folgt \(\angle BAC=\angle DAC-\angle DAF=\angle DCA-\angle DCE=\angle BCA\). 8. Das Dreieck \(ABC\) hat zwei gleich große Basiswinkel und ist daher gleichschenklig: \(AB=CB\).

Aus einem SWS-Kongruenznachweis folgt eine passende Winkelgleichheit. Zusammen mit den gleichen Basiswinkeln des großen gleichschenkligen Dreiecks erhält man \(\angle BAC=\angle BCA\). Daher ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig und \(AB=CB\).