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- Welche Seitenlängen stimmen in einem Rechteck paarweise überein? - Welche Winkelgröße haben alle Innenwinkel eines Rechtecks? - Welche zusätzliche gemeinsame Seite liefert die Diagonale \(AC\)?

1. In einem Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang: \(AB=CD\) und \(BC=DA\). 2. Die eingeschlossenen Winkel bei \(B\) und \(D\) sind rechte Winkel und damit gleich groß. 3. Daher sind die Dreiecke nach SWS kongruent. Alternativ gilt wegen der gemeinsamen Diagonale \(AC\) auch SSS.

SWS; alternativ ist auch SSS möglich.

- Zähle, wie viele Seitenlängen bei beiden Dreiecken übereinstimmen. - Welcher Kongruenzsatz benötigt ausschließlich Seitenangaben?

1. Bei beiden Dreiecken stimmen alle drei entsprechenden Seitenlängen überein. 2. Daher gilt der Kongruenzsatz SSS.

Der passende Kongruenzsatz ist SSS.

- Vergleiche nicht nur die Winkel, sondern auch die Größe der beiden Dreiecke. - Welche Information über eine Länge fehlt vollständig?

1. In beiden Dreiecken stimmen die drei Winkelgrößen überein. 2. Trotzdem sind die Dreiecke unterschiedlich groß, wie die gemeinsame Skalierung der Teilbilder zeigt. 3. Drei Winkel legen nur die Form, nicht aber die Größe eines Dreiecks fest. WWW ist daher kein Kongruenzsatz.

Nein. Drei übereinstimmende Winkel reichen nicht für Kongruenz; WWW ist kein Kongruenzsatz.

- Überlege dir, wo genau die gegebenen Winkel im Verhältnis zur gegebenen Seite liegen. - Welche Bezeichnungen im Dreieck \(ABC\) entsprechen welchen Bezeichnungen im Dreieck \(DEF\)? - Schau dir die Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SsW an. Welcher passt hier?

1. Analyse der gegebenen Größen im Dreieck \(ABC\): Die Seite \(c\) liegt zwischen den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\). 2. Analyse der gegebenen Größen im Dreieck \(DEF\): Die Seite \(f\) liegt zwischen den Winkeln \(\delta\) und \(\epsilon\). 3. Vergleich der entsprechenden Stücke: \(c = f = 5{,}4\,\text{cm}\), \(\alpha = \delta = 42^\circ\) und \(\beta = \epsilon = 76^\circ\). 4. Da beide Dreiecke in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind sie nach dem Kongruenzsatz WSW (Winkel-Seite-Winkel) kongruent.

Die Dreiecke sind kongruent nach dem Kongruenzsatz WSW.

- Kannst du zwei Dreiecke mit denselben Winkelgrößen, aber unterschiedlichen Seitenlängen zeichnen? - Welche zusätzliche Art von Angabe würde die Größe eines Dreiecks festlegen? - Prüfe Pauls Behauptung an einem besonders einfachen Dreieckstyp.

1. Pauls Aussage ist falsch. 2. Drei übereinstimmende Winkel legen die Winkelanordnung eines Dreiecks fest, aber keine Seitenlänge. 3. Als Gegenbeispiel können zwei gleichseitige Dreiecke dienen: Beide haben die Winkel \(60^\circ, 60^\circ, 60^\circ\), aber eines kann die Seitenlänge \(2\,\text{cm}\) und das andere \(5\,\text{cm}\) haben. 4. Diese Dreiecke sind unterschiedlich groß und daher nicht kongruent. 5. Deshalb gibt es keinen Kongruenzsatz „WWW“.

Paul hat nicht recht. Gleiche drei Winkel garantieren keine Kongruenz, weil die Größe des Dreiecks nicht festgelegt ist. Zwei gleichseitige Dreiecke mit verschiedenen Seitenlängen sind ein Gegenbeispiel.

- Was berechnet man beim Umfang einer Raute? Sagt das etwas über die Winkel aus? - Stell dir ein Modell aus vier Stäben vor, die an den Ecken beweglich verbunden sind. Kannst du die Form verändern, ohne die Stäbe zu kürzen? - Welche Informationen braucht man bei einem Dreieck, um es eindeutig zu zeichnen? Kannst du eine Raute in Dreiecke zerlegen?

1. Der Umfang \(U\) einer Raute berechnet sich durch \(U = 4a\), wobei \(a\) die Seitenlänge ist. Gleicher Umfang bedeutet also nur gleiche Seitenlänge. 2. Eine Raute ist ein spezielles Parallelogramm. Parallelogramme sind nicht starr; bei gleichbleibenden Seitenlängen können sich ihre Innenwinkel und damit ihre Form ändern. 3. Um eine Raute bis auf Kongruenz eindeutig festzulegen, reicht die Seitenlänge allein nicht aus. 4. Es wird zusätzlich ein Innenwinkel oder die Länge einer Diagonale benötigt, um die Form zu fixieren. 5. Sophie hat recht. Ein Gegenbeispiel sind zwei Rauten mit \(a = 5\,\text{cm}\), wobei eine ein Quadrat ist (Winkel \(90^\circ\)) und die andere spitze Winkel von \(30^\circ\) hat.

Sophie hat recht. Der Umfang legt nur die Seitenlänge \(a\) der Raute fest. Da man eine Raute bei gleichbleibenden Seitenlängen verformen kann, verändern sich die Winkel und damit die Form. Erst durch die Angabe eines Innenwinkels oder einer Diagonalen wird die Raute eindeutig bestimmt.

- Schau dir die Namen der Dreiecke genau an. Welche Buchstaben kommen in beiden vor? - Welche Informationen über die Längen der Schenkel und Diagonalen sind gegeben? - Welcher Kongruenzsatz vergleicht nur die Längen der drei Seiten?

1. Identifikation der gemeinsamen Seite: Beide Dreiecke \(ADC\) und \(BCD\) besitzen die Seite \(CD\). 2. Vergleich der Seitenlängen: In \(\triangle ADC\) sind die Seiten \(AD = 5\,\text{cm}\), \(AC = 7\,\text{cm}\) und die Basis \(CD\). In \(\triangle BCD\) sind die Seiten \(BC = 5\,\text{cm}\), \(BD = 7\,\text{cm}\) und die Basis \(CD\). 3. Da \(AD = BC\) und \(AC = BD\) sowie die Seite \(CD\) identisch ist, stimmen die Dreiecke in allen drei Seitenlängen überein. 4. Nach dem SSS-Satz (Seite-Seite-Seite) sind die Dreiecke \(ADC\) und \(BCD\) kongruent.

a) Die gemeinsame Seite ist \(CD\). b) Da \(AD = BC = 5\,\text{cm}\), \(AC = BD = 7\,\text{cm}\) und die Seite \(CD\) gemeinsam ist, sind die Dreiecke nach dem SSS-Satz kongruent.

- Wie berechnet man die Länge der dritten Seite, wenn der Umfang und zwei Seiten bekannt sind? - Welche Information über die Seiten eines Dreiecks reicht aus, um seine Form und Größe eindeutig festzulegen? - Erinnere dich an die vier grundlegenden Kongruenzsätze für Dreiecke.

1. Berechnung der fehlenden dritten Seite \(c\): Da der Umfang \(U = a + b + c\) ist, gilt \(c = 20\,\text{cm} - 6\,\text{cm} - 9\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). 2. Vergleich der Dreiecke: Beide Dreiecke besitzen somit die Seitenlängen \(5\,\text{cm}\), \(6\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\). 3. Anwendung des Kongruenzsatzes: Da die Dreiecke in allen drei Seitenlängen übereinstimmen, sind sie nach dem Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) zueinander kongruent.

Ja, die Dreiecke sind kongruent. Da der Umfang und zwei Seiten feststehen, muss auch die dritte Seite bei beiden Dreiecken gleich lang sein (\(5\,\text{cm}\)). Nach dem Kongruenzsatz SSS sind Dreiecke mit identischen Seitenlängen immer kongruent.

- Welches gegebene Stück eignet sich als erster Konstruktionsschritt? - An welchen Endpunkten dieser Strecke müssen die beiden gegebenen Winkel angetragen werden? - Welche Lage hat die bekannte Seite relativ zu den beiden bekannten Winkeln?

1. Zeichne die Strecke \(AB=c=7{,}5\,\text{cm}\). 2. Trage in \(A\) auf einer Seite von \(AB\) den Winkel \(\alpha=40^\circ\) und in \(B\) auf derselben Seite den Winkel \(\beta=65^\circ\) ab. 3. Der Schnittpunkt der beiden freien Winkelschenkel ist \(C\). Damit ist das Dreieck festgelegt. 4. Die gegebene Seite \(AB\) liegt zwischen den beiden gegebenen Winkeln. Daher ist das Dreieck nach WSW bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

a) Zeichne \(AB=7{,}5\,\text{cm}\), trage bei \(A\) den Winkel \(40^\circ\) und bei \(B\) den Winkel \(65^\circ\) auf derselben Seite von \(AB\) ab; der Schnittpunkt der freien Schenkel ist \(C\). b) Die Seite \(AB\) liegt zwischen den beiden gegebenen Winkeln. Deshalb ist das Dreieck nach WSW eindeutig bis auf Spiegelung bestimmt.

- Schau dir die Winkel in den beiden Zeichnungen genau an. Sind sie gleich? - Stell dir vor, die Seiten wären Stäbe, die an den Ecken mit Gelenken verbunden sind. Kannst du die Form verändern, ohne die Stäbe zu kürzen? - Welche zusätzliche Strecke zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke? - Welcher Kongruenzsatz ist anwendbar, wenn in beiden Teildreiecken alle drei Seiten bekannt sind?

1. Ein Vergleich der beiden Vierecke zeigt, dass trotz identischer Seitenlängen unterschiedliche Formen möglich sind, weil sich die Innenwinkel verändern können. 2. Im Gegensatz zu Dreiecken sind Vierecke mit vier gegebenen Seiten nicht starr; sie lassen sich wie ein Gelenkmodell verformen. 3. Als zusätzliches Bestimmungsstück kann beispielsweise die Länge der Diagonale \(AC\) angegeben werden. 4. Dann entstehen die Dreiecke \(ABC\) und \(ACD\). Beide sind durch ihre jeweils drei Seiten nach SSS eindeutig bestimmt. Für ein konvexes Viereck liegen die beiden Dreiecke auf entgegengesetzten Seiten von \(AC\). Damit ist das Viereck bis auf Spiegelung eindeutig festgelegt.

Vier Seitenlängen allein bestimmen ein Viereck nicht eindeutig. Gibt man zusätzlich beispielsweise die Länge der Diagonale \(AC\) an und fordert ein konvexes Viereck, so sind die beiden Teildreiecke nach SSS und damit das Viereck bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

- Prüfe bei jedem Dreieck, welche markierte Seite zwischen welchen markierten Winkeln liegt. - Drehen oder Spiegeln verändert die Kongruenz nicht. - Welcher Kongruenzsatz verwendet zwei Winkel und die dazwischenliegende Seite?

1. In Dreieck (1) sind die Seite \(5{,}0\,\text{cm}\) und ihre beiden anliegenden Winkel \(40^\circ\) und \(30^\circ\) gegeben. 2. Dreieck (2) besitzt ebenfalls eine Seite der Länge \(5{,}0\,\text{cm}\) zwischen den Winkeln \(30^\circ\) und \(40^\circ\). 3. In Dreieck (4) liegen dieselben beiden Winkel \(40^\circ\) und \(30^\circ\) an der markierten Seite \(5{,}0\,\text{cm}\), nur in gedrehter Lage. 4. Daher sind die Dreiecke (1), (2) und (4) nach WSW kongruent. 5. Dreieck (3) ist dagegen durch zwei Seiten \(5{,}0\,\text{cm}\), \(3{,}5\,\text{cm}\) und den eingeschlossenen Winkel \(40^\circ\) beschrieben und gehört nicht zu dieser WSW-Gruppe.

Die Dreiecke (1), (2) und (4) sind kongruent. Der Nachweis erfolgt mit WSW.

- Vergleiche die gegebenen Maße der Dreiecke. - Wenn alle drei Seitenlängen übereinstimmen, welcher Kongruenzsatz gilt dann? - Achte darauf, ob die Winkel an der gleichen relativen Position zur Seite liegen und ob die Werte exakt übereinstimmen.

1. Dreieck (1) und Dreieck (3) haben jeweils die drei Seitenlängen \(3\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\). Daher sind sie nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent. 2. Dreieck (2) und Dreieck (4) haben zwar jeweils eine Seite von \(4{,}5\,\text{cm}\) und einen Winkel von \(35\,^\circ\), aber der zweite angegebene Winkel ist in Dreieck (2) \(105\,^\circ\) und in Dreieck (4) \(100\,^\circ\). Deshalb sind sie nicht kongruent. 3. Dreieck (2) und Dreieck (4) können auch nicht zu Dreieck (1) oder Dreieck (3) kongruent sein, da ihre angegebene Seite \(4{,}5\,\text{cm}\) nicht zu den Seitenlängen \(3\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\) passt. Somit ist (1) und (3) das einzige kongruente Paar.

Nur die Dreiecke (1) und (3) sind kongruent; der zugehörige Kongruenzsatz ist SSS. Alle anderen Paare sind nicht kongruent.

- Welche Bedeutung haben gleich viele Tickmarken an zwei Strecken? - Welche Bedeutung haben die gleich dargestellten Winkelbögen bei \(K\)? - Welche Seite gehört zu beiden Dreiecken, auch wenn sie keine Tickmarkierung trägt?

1. Die gleich markierten Seiten liefern \(KN=KL\). 2. Die gleich markierten Winkel bei \(K\) liefern \(\angle NKM=\angle LKM\). 3. Die Seite \(KM\) ist gemeinsame Seite beider Dreiecke. 4. Der gleiche Winkel liegt jeweils zwischen den beiden verwendeten Seiten. Daher gilt der Kongruenzsatz SWS.

SWS: \(KN=KL\), \(KM=KM\) und \(\angle NKM=\angle LKM\).

- Welche Winkelgleichheit folgt allein daraus, dass sich zwei Geraden in \(Z\) schneiden? - Ordne die gegebene Seite \(KZ=MZ\) den beiden Dreiecken zu. - Liegt diese Seite zwischen den beiden verwendeten Winkeln?

1. Die Winkel \(\angle KZL\) und \(\angle MZN\) sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. 2. Gegeben sind außerdem \(\angle LKZ=\angle NMZ\) und \(KZ=MZ\). 3. Damit stimmen eine Seite und ihre beiden anliegenden Winkel überein. Die Dreiecke sind nach WSW kongruent.

\(\triangle KLZ \cong \triangle MNZ\) nach WSW.

- Welche beiden Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks sind gleich lang? - Welche Winkelgleichheit liefert die Winkelhalbierende \(PS\)? - Welche Seite gehört zu beiden Teildreiecken?

1. Gegeben ist \(PQ=PR\). 2. Weil \(PS\) den Winkel bei \(P\) halbiert, gilt \(\angle QPS=\angle RPS\). 3. Die Seite \(PS\) ist gemeinsame Seite. 4. Damit sind die Dreiecke nach SWS kongruent.

\(\triangle PQS \cong \triangle PRS\) nach SWS.

- Was bedeutet „Mittelpunkt“ für die Längen \(AM\) und \(BM\)? - Welche Winkelgleichheit ist ausdrücklich gegeben? - Welche Seite gehört zu beiden Dreiecken?

1. Aus der Mittelpunkteigenschaft folgt \(AM=BM\). 2. Gegeben sind die gleichen rechten Winkel \(\angle CMA=\angle CMB=90^\circ\). 3. Die Seite \(MC\) ist gemeinsame Seite. 4. Somit sind die Dreiecke nach SWS kongruent.

SWS.

- Welche Seite ist Bestandteil beider Dreiecke? - Welche beiden gegebenen Winkelpaare gehören zu den Endpunkten dieser Seite? - Welcher Kongruenzsatz verwendet eine Seite und ihre beiden anliegenden Winkel?

1. Beide Dreiecke enthalten die Seite \(AB\). 2. An dieser Seite liegen in \(\triangle ABD\) die Winkel \(\angle DAB\) und \(\angle DBA\), in \(\triangle BAC\) die Winkel \(\angle CBA\) und \(\angle CAB\). 3. Beide Winkelpaare sind laut Angabe gleich. Daher sind die Dreiecke nach WSW kongruent.

\(\triangle ABD \cong \triangle BAC\) nach WSW.

- Überlege dir, welche Seiten in den beiden Dreiecken jeweils gleich lang sind. - Erinnere dich an die vier Kongruenzsätze für Dreiecke (SSS, SWS, WSW, SsW). Welcher passt hier? - Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, sind sie deckungsgleich. Stell dir vor, du würdest ein Dreieck ausschneiden und passgenau auf das andere legen. Welche Ecken und Winkel würden aufeinanderliegen?

1. Identifikation der gegebenen Seitenlängen: Im Viereck \(ABCD\) sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang (\(AB = CD = 5\,\text{cm}\) und \(BC = DA = 3\,\text{cm}\)). 2. Betrachtung der Dreiecke: Die Diagonale \(AC\) ist eine gemeinsame Seite beider Dreiecke (\(AC = AC = 6\,\text{cm}\)). 3. Anwendung des Kongruenzsatzes: Da alle drei Seitenpaare übereinstimmen, sind die Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) kongruent. 4. Bestimmung der entsprechenden Winkel: Aufgrund der Kongruenz liegen gleichen Seiten gleiche Winkel gegenüber. Der Seite \(BC\) im ersten Dreieck entspricht die Seite \(DA\) im zweiten Dreieck. Somit ist \(\angle BAC = \angle ACD\) und \(\angle BCA = \angle DAC\).

a) Die Dreiecke sind nach dem SSS-Satz kongruent, da sie in allen drei Seitenlängen übereinstimmen (\(5\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\)). b) Es gilt \(\angle BAC = \angle ACD\) und \(\angle BCA = \angle DAC\).

- Vergleiche die drei Seiten des oberen Dreiecks mit den drei Seiten des unteren Dreiecks. - Eine der Seiten wird von beiden Dreiecken gemeinsam genutzt. Was bedeutet das für den Vergleich? - Welchen Kongruenzsatz kannst du anwenden, wenn du Informationen über alle drei Seitenpaare hast? - Wenn zwei Dreiecke kongruent (deckungsgleich) sind, was lässt sich dann über ihre jeweiligen Winkel sagen?

1. Betrachte die Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\). 2. Aus der Definition des Drachenvierecks ist bekannt, dass \(AB = AD\) und \(CB = CD\) gilt. 3. Die Diagonale \(AC\) ist eine gemeinsame Seite beider Dreiecke, also ist ihre Länge in beiden Dreiecken identisch (\(AC = AC\)). 4. Die Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\) stimmen somit in allen drei Seitenlängen überein. 5. Nach dem Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) sind die Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\) kongruent. 6. Da in kongruenten Dreiecken entsprechende Winkel gleich groß sind, folgt daraus \(\angle BAC = \angle DAC\). Dies zeigt, dass die Diagonale \(AC\) den Winkel \(\alpha\) bei \(A\) exakt halbiert.

Die Dreiecke \(ABC\) und \(ADC\) sind nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent, da sie in allen drei Seiten übereinstimmen (\(AB=AD\), \(CB=CD\) und die gemeinsame Seite \(AC\)). In kongruenten Dreiecken sind entsprechende Winkel gleich groß, daher gilt \(\angle BAC = \angle DAC\), was beweist, dass der Winkel \(\alpha\) halbiert wird.

- Welche Winkelsumme gilt in jedem Dreieck? - Welche Information über die Größe eines Dreiecks fehlt, wenn nur Winkel gegeben sind? - Könnten zwei unterschiedlich große Zeichnungen dieselben drei Winkel besitzen?

1. Für Dreieck 1 gilt \(\gamma_1 = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ\). 2. Für Dreieck 2 gilt \(\beta_2 = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ\). 3. Beide Dreiecke haben damit die Winkel \(45^\circ\), \(60^\circ\) und \(75^\circ\). Ihre Winkelanordnung stimmt überein. 4. Aus den Winkelgrößen allein folgt jedoch keine feste Seitenlänge. Ein Dreieck mit diesen Winkeln kann vergrößert oder verkleinert werden. 5. Deshalb sind die beiden Dreiecke nicht zwingend kongruent.

a) \(\gamma_1 = 60^\circ\) und \(\beta_2 = 75^\circ\). b) Die Winkelanordnung und damit die Form stimmen überein. c) Nein. Ohne eine Seitenlänge ist die Größe nicht festgelegt; gleiche Winkel allein garantieren keine Kongruenz.

- Es sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben. Welcher Kongruenzsatz könnte hier passen? - Liegt der Winkel zwischen den Seiten oder einer Seite gegenüber? - Achte bei diesem speziellen Kongruenzsatz darauf, welche der beiden Seiten die längere ist.

1. Identifikation der gegebenen Stücke: In beiden Dreiecken sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben. 2. Prüfung der Lage des Winkels: Der Winkel \(\alpha\) liegt der Seite \(a\) gegenüber. Der Winkel \(\delta\) liegt der Seite \(d\) gegenüber. 3. Prüfung der Bedingung für den SsW-Satz: Der gegebene Winkel muss der längeren der beiden Seiten gegenüberliegen. Im Dreieck \(ABC\) ist \(a = 7\,\text{cm}\) und \(b = 4\,\text{cm}\), also ist \(a > b\). Da \(\alpha\) gegenüber von \(a\) liegt, ist die Bedingung erfüllt. Das Gleiche gilt für Dreieck \(DEF\) mit \(d > e\). 4. Da beide Dreiecke in zwei Seiten (\(7\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\)) und dem Gegenwinkel der längeren Seite (\(100^\circ\)) übereinstimmen, sind sie nach dem Kongruenzsatz SsW kongruent.

Die Dreiecke sind kongruent nach dem Kongruenzsatz SsW.

- Erinnere dich an die Winkelsumme im Dreieck. Wie groß muss der dritte Winkel jeweils sein? - Achte genau darauf, welche Seite zwischen welchen Winkeln liegt oder welchem Winkel sie gegenüberliegt. - Welcher Kongruenzsatz befasst sich mit einer Seite und zwei Winkeln? - Damit zwei Dreiecke kongruent sind, müssen die gegebenen Stücke in der gleichen Anordnung zueinander stehen.

1. Analyse von Lukas' Dreieck: Gegeben sind eine Seite (\(c = 6\,\text{cm}\)) und die beiden anliegenden Winkel (\(50^\circ\) und \(70^\circ\)). Dies entspricht der Konfiguration für den WSW-Satz. Der dritte Winkel beträgt \(180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ\). 2. Analyse von Sophies Dreieck: Gegeben sind die Seite \(f = 6\,\text{cm}\) und die anliegenden Winkel \(\delta = 50^\circ\) und \(\epsilon = 70^\circ\). Die Maße stimmen exakt mit Lukas' Dreieck überein (Seite zwischen denselben Winkeln). Nach dem WSW-Satz sind Lukas' und Sophies Dreiecke kongruent. 3. Analyse von Jonas' Dreieck: Gegeben sind die Winkel \(\gamma = 50^\circ\) und \(\eta = 70^\circ\). Der dritte Winkel \(\iota\) ist \(60^\circ\). Die Seite \(g = 6\,\text{cm}\) liegt dem Winkel \(\gamma = 50^\circ\) gegenüber. In Lukas' Dreieck liegt die \(6\,\text{cm}\) lange Seite jedoch dem Winkel \(60^\circ\) gegenüber. 4. Da die Seite gleicher Länge in Jonas' Dreieck einem anderen Winkel gegenüberliegt als in den anderen beiden Dreiecken, ist sein Dreieck nicht kongruent zu denen von Lukas und Sophie.

Das Dreieck von Lukas und das Dreieck von Sophie sind zueinander kongruent (nach dem WSW-Satz). Das Dreieck von Jonas ist zu diesen beiden nicht kongruent.

- Achte zuerst auf die Einheiten der Seitenlängen. - Berechne in beiden Dreiecken den jeweils dritten Winkel mithilfe der Innenwinkelsumme. - Prüfe, welche Winkel der gegebenen Seite jeweils anliegen.

1. Einheiten angleichen: In \(\triangle GHI\) ist \(g = 4{,}2\,\text{cm} = 42\,\text{mm}\). Damit haben beide Dreiecke eine Seite der Länge \(42\,\text{mm}\). 2. Winkelsumme in \(\triangle ABC\): Der fehlende Winkel \(\alpha\) berechnet sich zu \(180^{\circ} - 100^{\circ} - 35^{\circ} = 45^{\circ}\). Die Winkel in \(\triangle ABC\) sind also \(45^{\circ}, 100^{\circ}\) und \(35^{\circ}\). Die Seite \(a = 42\,\text{mm}\) liegt dem Winkel \(\alpha = 45^{\circ}\) gegenüber. 3. Winkelsumme in \(\triangle GHI\): Der fehlende Winkel \(\angle I\) berechnet sich zu \(180^{\circ} - 100^{\circ} - 45^{\circ} = 35^{\circ}\). Die Winkel in \(\triangle GHI\) sind also \(45^{\circ}, 100^{\circ}\) und \(35^{\circ}\). Die Seite \(g = 42\,\text{mm}\) liegt dem Winkel \(\angle G = 45^{\circ}\) gegenüber. 4. Vergleich: Beide Dreiecke haben die gleichen Winkelmaße. In beiden Dreiecken liegt die Seite der Länge \(42\,\text{mm}\) jeweils dem Winkel mit \(45^{\circ}\) gegenüber (und grenzt an \(100^{\circ}\) und \(35^{\circ}\) an). 5. Damit sind die Dreiecke nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent.

Ja, die Dreiecke sind kongruent. Nach Berechnung der fehlenden Winkel (\(\alpha = 45^{\circ}\) und \(\angle I = 35^{\circ}\)) sieht man, dass beide Dreiecke in allen Winkeln und der entsprechenden Seitenlänge (\(42\,\text{mm}\) gegenüber dem \(45^{\circ}\)-Winkel) übereinstimmen.

- Welche Eigenschaften haben die Seiten und Winkel in einem Rechteck? - Kannst du eine Skizze zeichnen und die gegebenen Informationen markieren? - Welche drei Merkmale brauchst du, um die Kongruenz zweier Dreiecke nachzuweisen? - Wenn zwei Dreiecke exakt aufeinanderpassen, was bedeutet das für ihre Seitenlängen?

1. In den Dreiecken \(APD\) und \(CQB\) sind die Seiten \(AD\) und \(CB\) gleich lang, da es sich um gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks handelt. 2. Die Winkel \(\angle DAP\) und \(\angle BCQ\) sind beide rechte Winkel (\(90^\circ\)), da sie die Innenwinkel des Rechtecks sind. 3. Laut Aufgabenstellung gilt \(AP = CQ\). 4. Nach dem Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite) sind die Dreiecke \(APD\) und \(CQB\) somit kongruent. 5. Aus der Kongruenz folgt unmittelbar, dass alle entsprechenden Seiten gleich lang sind, also gilt \(PD = QB\).

a) Die Dreiecke sind nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da \(AD = CB\) (Rechteckseite), \(AP = CQ\) (gegeben) und \(\angle DAP = \angle BCQ = 90^\circ\) (Rechteckwinkel) gilt. b) Da die Dreiecke kongruent sind, müssen auch die entsprechenden Seiten \(PD\) und \(QB\) gleich lang sein.

- Erinnere dich an die Bedingung, wann drei Längen überhaupt ein Dreieck bilden können. - Was passiert, wenn die Summe zweier Seiten genau so groß ist wie die dritte Seite? - Wie würdest du vorgehen, wenn du nur einen Zirkel und ein Lineal hast? - Welche Rolle spielt die Diagonale bei der Zerlegung des Vierecks?

1. Prüfung für \(\triangle ABC\): Die Seiten sind \(7\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) und \(e = 10\,\text{cm}\). Die Dreiecksungleichung verlangt \(7 + 5 > 10\). Da \(12 > 10\), ist dieses Dreieck möglich. 2. Prüfung für \(\triangle ADC\): Die Seiten sind \(4\,\text{cm}\), \(6\,\text{cm}\) und \(e = 10\,\text{cm}\). Die Dreiecksungleichung verlangt \(4 + 6 > 10\). Da \(10 = 10\), liegen die Punkte \(A\), \(D\) und \(C\) auf einer Geraden; es entsteht kein echtes Dreieck (entarteter Fall). Somit ist die Diagonale \(e = 10\,\text{cm}\) für ein echtes Viereck nicht möglich. 3. Konstruktionsplan für \(e = 8\,\text{cm}\): Zeichne die Seite \(a = AB\). Konstruiere Punkt \(C\) durch den Schnittpunkt zweier Kreise um \(B\) (Radius \(b=5\)) und um \(A\) (Radius \(e=8\)). Wähle für \(C\) einen der beiden möglichen Kreisschnittpunkte. Konstruiere Punkt \(D\) auf der gegenüberliegenden Seite von \(AC\) durch den Schnittpunkt zweier Kreise um \(A\) (Radius \(d=6\)) und um \(C\) (Radius \(c=4\)). 4. Kongruenzsatz: Da jeweils drei Seiten der Teildreiecke gegeben sind, wird der Kongruenzsatz SSS verwendet.

a) Nein, \(e = 10\,\text{cm}\) ist nicht möglich, da im Teildreieck \(\triangle ADC\) die Summe der Seiten \(c+d\) nicht größer als \(e\) ist (\(4+6=10\)), wodurch die Punkte auf einer Linie liegen würden. b) Konstruktion über zwei Teildreiecke mit dem Zirkel, wobei \(B\) und \(D\) auf gegenüberliegenden Seiten von \(AC\) liegen; der entscheidende Kongruenzsatz ist SSS.

- Welche drei Seitenlängen gehören jeweils zu \(\triangle ABC\) und zu \(\triangle ADC\)? - Was sagt SSS über ein Dreieck aus, wenn seine drei Seiten feststehen? - Warum kann ein nach SSS bestimmtes Dreieck an einer bereits festen Seite auf zwei Seiten angelegt werden?

1. Für \(\triangle ABC\) sind die drei Seiten \(AB=6\,\text{cm}\), \(BC=5\,\text{cm}\) und \(AC=7\,\text{cm}\) gegeben. Daher ist dieses Dreieck nach SSS bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt. 2. Für \(\triangle ADC\) sind die drei Seiten \(AD=3\,\text{cm}\), \(DC=5\,\text{cm}\) und \(AC=7\,\text{cm}\) gegeben. Auch dieses Dreieck ist nach SSS bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt. 3. Konstruiere zuerst \(\triangle ABC\). Für \(D\) zeichne einen Kreis um \(A\) mit Radius \(3\,\text{cm}\) und einen Kreis um \(C\) mit Radius \(5\,\text{cm}\). 4. Weil \(2\,\text{cm}<7\,\text{cm}<8\,\text{cm}\) gilt, haben die Kreise zwei Schnittpunkte auf verschiedenen Seiten von \(AC\). Diese beiden Punkte sind die beiden spiegelbildlichen SSS-Lagen von \(\triangle ADC\) an der gemeinsamen Seite \(AC\). 5. Liegt \(D\) auf der anderen Seite von \(AC\) als \(B\), entsteht ein konvexes Viereck. Liegt \(D\) auf derselben Seite wie \(B\), entsteht ein nicht-konvexes Viereck.

1. \(\triangle ABC\) ist durch \(6\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\), \(7\,\text{cm}\) nach SSS eindeutig bestimmt; \(\triangle ADC\) ist durch \(3\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\), \(7\,\text{cm}\) ebenfalls nach SSS eindeutig bestimmt, jeweils bis auf Spiegelung. 2. Konstruiere zuerst \(\triangle ABC\). Die möglichen Punkte \(D\) sind die Schnittpunkte der Kreise um \(A\) mit Radius \(3\,\text{cm}\) und um \(C\) mit Radius \(5\,\text{cm}\). 3. Die beiden SSS-Lagen von \(\triangle ADC\) liegen auf verschiedenen Seiten von \(AC\). Eine ergibt ein konvexes, die andere ein nicht-konvexes Viereck.

- Welche Teildreiecke kannst du nacheinander konstruieren? - Wenn ein Dreieck durch einen Kongruenzsatz eindeutig ist, bedeutet das auch, dass seine Lage in der Ebene beziehungsweise im Viereck fest ist? - Wie viele Schnittpunkte können zwei Kreise haben? Was bedeutet das für die möglichen Lagen des Punktes \(C\)?

1. Mit den Seiten \(a\), \(d\) und dem eingeschlossenen Winkel \(\alpha\) lässt sich das Teildreieck \(\triangle ABD\) nach dem Kongruenzsatz SWS eindeutig konstruieren. Damit sind die Punkte \(A\), \(B\) und \(D\) sowie die Länge der Diagonale \(f=BD\) fest vorgegeben. 2. Nun muss der Punkt \(C\) mit den verbleibenden Seiten \(b\) und \(c\) gefunden werden. Dazu zeichnet man einen Kreis um \(B\) mit Radius \(b\) und einen Kreis um \(D\) mit Radius \(c\). 3. Je nach den Längen können diese Kreise keinen, einen tangentialen oder zwei Schnittpunkte besitzen. Ein einzelner tangentialer Schnittpunkt liegt mit \(B\) und \(D\) auf einer Geraden und ergibt nur ein entartetes Viereck. Bei zwei Schnittpunkten kann das durch SSS bestimmte Dreieck \(BCD\) auf zwei verschiedenen Seiten der Diagonale \(BD\) liegen. 4. Die fünf Angaben legen daher nicht immer genau ein Viereck fest: Je nach Maßen kann es keine oder zwei nicht entartete mögliche Lagen für \(C\) geben; der tangentiale Ein-Schnittpunkt-Fall zählt nicht als Viereck. Insbesondere liefern geeignete Maße zwei verschiedene Vierecke. Lukas' Aussage ist somit falsch.

Die Aussage ist falsch. Das Dreieck \(ABD\) ist durch SWS eindeutig bestimmt. Für \(C\) können die Kreise um \(B\) und \(D\) keinen, einen tangentialen oder zwei Schnittpunkte haben. Der tangentiale Ein-Schnittpunkt-Fall ist entartet, weil \(B,C,D\) auf einer Geraden liegen; bei zwei Schnittpunkten entstehen zwei verschiedene nicht entartete Vierecke.

- Überlege dir, welche Eigenschaften ein Parallelogramm bezüglich seiner Seiten und Winkel hat. - Wann ist ein Dreieck eindeutig konstruierbar? Nutze die Kongruenzsätze für Dreiecke. - Hilft dir die Information über den Umfang, um die Neigung der Seiten (die Winkel) zu bestimmen? - Denke daran, dass ein Parallelogramm immer eine bestimmte Grundform (konvex) hat.

1. Bedingung a): Der Umfang ist bereits durch die Seitenlängen festgelegt: \(U=2(a+b)=2(5+3)=16\,\text{cm}\). Die Angabe liefert keine zusätzliche Information über die Winkel und reicht nicht aus. 2. Bedingung b): Mit den beiden Seiten und dem eingeschlossenen Winkel ist ein Teildreieck nach SWS eindeutig bestimmt. Damit ist auch das Parallelogramm eindeutig bestimmt. 3. Bedingung c): Die Diagonale \(f=BD\) bildet mit \(AB=5\,\text{cm}\) und \(AD=3\,\text{cm}\) das Dreieck \(ABD\). Da \(5+3>7\) gilt, ist dieses Dreieck nach SSS eindeutig konstruierbar. Damit ist auch das Parallelogramm bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

a) Nicht ausreichend, weil der Umfang bereits aus \(a\) und \(b\) folgt. b) Ausreichend: eindeutige Bestimmung über SWS. c) Ausreichend: Die Diagonale \(f=BD\) bestimmt mit den Seiten \(5\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\) ein eindeutiges Dreieck nach SSS.

- Welche besondere Beziehung besteht zwischen den Diagonalen einer Raute? - Wo genau schneiden sich die Diagonalen? - Wie kannst du eine Linie zeichnen, die genau in der Mitte einer anderen steht und einen rechten Winkel bildet? - Wenn du den Schnittpunkt der Diagonalen hast, wie weit sind die Eckpunkte von diesem Punkt entfernt?

1. In einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig im Mittelpunkt \(M\). 2. Durch die Vorgabe der Längen \(e\) und \(f\) ist die Lage der vier Eckpunkte relativ zum Mittelpunkt \(M\) fest vorgegeben. 3. Konstruktionsschritte: - Zeichne die Diagonale \(e = AC = 10\,\text{cm}\). - Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke \(AC\), um den Mittelpunkt \(M\) und die Richtung der zweiten Diagonale zu finden. - Trage vom Mittelpunkt \(M\) aus auf der Mittelsenkrechten jeweils die halbe Länge der Diagonale \(f\) (\(3\,\text{cm}\)) nach beiden Seiten ab, um die Eckpunkte \(B\) und \(D\) zu erhalten. - Verbinde die Punkte \(A, B, C\) und \(D\) nacheinander zur Raute.

a) Die Diagonalen einer Raute halbieren sich gegenseitig und stehen senkrecht aufeinander. Da ihre Längen feststehen, sind die Positionen der Eckpunkte relativ zum Schnittpunkt eindeutig bestimmt. b) 1. Diagonale \(e = 10\,\text{cm}\) zeichnen. 2. Mittelsenkrechte konstruieren. 3. Von der Mitte aus jeweils \(3\,\text{cm}\) (\(\frac{1}{2} f\)) auf der Mittelsenkrechten abtragen. 4. Eckpunkte verbinden.

- Welche zwei Seiten und welcher dazwischenliegende Winkel sind im Dreieck \(ABD\) gegeben? - Welcher Kongruenzsatz passt genau zu dieser Anordnung der drei Angaben? - Auf welcher Geraden muss \(C\) wegen \(AB\parallel CD\) liegen? - Welche Ortslinie beschreibt die Bedingung \(AC=8\,\text{cm}\)?

1. Im Teildreieck \(\triangle ABD\) sind \(AB=7{,}5\,\text{cm}\), \(AD=4{,}5\,\text{cm}\) und der eingeschlossene Winkel \(\angle BAD=60^\circ\) gegeben. Daher ist \(\triangle ABD\) nach SWS bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt; insbesondere ist damit die Lage von \(D\) relativ zu \(AB\) festgelegt. 2. Durch \(D\) verläuft wegen \(AB\parallel CD\) die Gerade, auf der \(C\) liegen muss. 3. Wegen \(AC=8\,\text{cm}\) muss \(C\) zugleich auf dem Kreis um \(A\) mit Radius \(8\,\text{cm}\) liegen. 4. Die Parallele durch \(D\) und der Kreis liefern die möglichen Lagen von \(C\). Genau der Schnittpunkt, bei dem die Punktfolge \(A-B-C-D\) ein konvexes Trapez bildet, erfüllt die Zusatzbedingung.

1. \(AB\), \(AD\) und der eingeschlossene Winkel \(\angle BAD\) bestimmen \(\triangle ABD\) nach SWS bis auf Spiegelung eindeutig; damit ist \(D\) festgelegt. 2. Zeichne durch \(D\) die Parallele zu \(AB\) und schneide sie mit dem Kreis um \(A\) mit Radius \(8\,\text{cm}\). Der Schnittpunkt, der die konvexe Reihenfolge \(A-B-C-D\) ergibt, ist \(C\).

- Welche Seitenpaare sind in einem Drachenviereck bezüglich seiner Symmetrieachse gleich lang? - Welche zwei gleichschenkligen Dreiecke entstehen an der gemeinsamen Basis \(BD\)? - Wie groß sind die beiden Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks mit Spitzenwinkel \(70^\circ\)?

1. Weil \(AC\) die Symmetrieachse ist, gilt \(AB=AD=4\,\text{cm}\). 2. Konstruiere auf der Basis \(BD=5\,\text{cm}\) das gleichschenklige Dreieck \(ABD\) mit \(AB=AD=4\,\text{cm}\). 3. Im ebenfalls gleichschenkligen Dreieck \(BCD\) gilt \(BC=CD\). Aus \(\angle BCD=70^\circ\) folgen die Basiswinkel \(\angle CBD=\angle CDB=(180^\circ-70^\circ):2=55^\circ\). 4. Trage bei \(B\) und \(D\) auf der dem Punkt \(A\) gegenüberliegenden Seite von \(BD\) jeweils \(55^\circ\) ab. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist \(C\). 5. Die Punkte \(A\) und \(C\) liegen damit beide auf der Mittelsenkrechten von \(BD\); die Gerade \(AC\) ist die Symmetrieachse des Drachenvierecks.

Konstruiere zuerst das gleichschenklige Dreieck \(ABD\) mit den Seiten \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\) und der Basis \(5\,\text{cm}\). Für \(BCD\) ergeben sich aus dem Spitzenwinkel \(70^\circ\) die beiden Basiswinkel \(55^\circ\). Ihr Schnittpunkt auf der gegenüberliegenden Seite von \(BD\) bestimmt \(C\). Dann ist \(AC\) die Symmetrieachse.

- Welche Eigenschaften haben gegenüberliegende Seiten und Winkel in einem Parallelogramm? - Wie groß ist die Summe von zwei nebeneinanderliegenden Winkeln in einem Parallelogramm? - Welche Stücke eines Dreiecks müssen übereinstimmen, damit man den SWS-Satz anwenden kann?

1. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Winkel gleich groß, daher gilt \(\gamma = \alpha = 60^\circ\). 2. Die gegenüberliegenden Seiten sind ebenfalls gleich lang: \(AB = CD = 5\,\text{cm}\) und \(BC = DA = 3\,\text{cm}\). 3. Im Dreieck \(ABC\) betrachten wir die Seiten \(AB\) und \(BC\) sowie den eingeschlossenen Winkel \(\beta\). Da benachbarte Winkel sich zu \(180^\circ\) ergänzen, ist \(\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Analog ist \(\delta = 120^\circ\). 4. Vergleich der Dreiecke \(ABC\) und \(CDA\): \(AB = CD = 5\,\text{cm}\), \(BC = DA = 3\,\text{cm}\) und der jeweils eingeschlossene Winkel \(\beta = \delta = 120^\circ\). 5. Nach dem SWS-Satz sind die Dreiecke \(ABC\) und \(CDA\) somit kongruent.

a) Der Winkel \(\gamma\) beträgt \(60^\circ\). b) In den Dreiecken \(ABC\) und \(CDA\) gilt: \(AB = CD = 5\,\text{cm}\), \(BC = DA = 3\,\text{cm}\) und der eingeschlossene Winkel \(\beta = \delta = 120^\circ\). Damit sind sie nach dem SWS-Satz kongruent.

- Denke an die Namen der Kongruenzsätze. Was bedeuten die Buchstabenfolgen für die Anordnung der Teile? - Spielt es eine Rolle, ob eine Seite zwischen zwei Winkeln liegt oder einem der Winkel gegenüberliegt? - Versuche, zwei Dreiecke zu skizzieren, die zwar die gleichen Winkel und eine gleich lange Seite haben, aber trotzdem unterschiedlich groß aussehen.

1. Aus zwei gegebenen Winkeln lässt sich der dritte Winkel berechnen. Zusammen mit einer entsprechend zugeordneten Seite kann anschließend der Kongruenzsatz WSW angewendet werden. 2. Damit die Dreiecke wirklich deckungsgleich sind, muss die gleich lange Seite in beiden Dreiecken die gleiche relative Lage zu den Winkeln haben. 3. Gegenbeispiel: Wenn in Dreieck 1 die Seite \(s\) zwischen den Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\) liegt, in Dreieck 2 die gleich lange Seite \(s'\) aber dem Winkel \(\alpha\) gegenüberliegt, sind die Dreiecke im Allgemeinen nicht kongruent. 4. Fazit: Lukas hat unrecht, da die bloße Übereinstimmung der Werte ohne Beachtung der Zuordnung nicht ausreicht.

Lukas hat nicht recht. Zwei Winkel und eine Seitenlänge reichen nur dann aus, wenn die gleich lange Seite in beiden Dreiecken gleich zugeordnet ist, also beispielsweise in beiden zwischen denselben Winkeln liegt oder in beiden demselben Winkel gegenüberliegt. Nach Berechnung des dritten Winkels kann dann der WSW-Satz angewendet werden.

- Wie groß muss der dritte Winkel in jedem dieser Dreiecke sein? - Überlege dir, wo die Seite mit \(6\,\text{cm}\) überall liegen könnte. Muss sie zwingend zwischen den beiden gegebenen Winkeln liegen? - Wann sind zwei Dreiecke mit den gleichen Winkeln wirklich deckungsgleich?

1. Berechnung des dritten Winkels: Da die Winkelsumme im Dreieck immer \(180^\circ\) beträgt, ist der dritte Winkel \(180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ\). 2. Analyse der Seitenlage: Die Seite der Länge \(6\,\text{cm}\) kann gegenüber jedem der drei Winkel liegen. 3. Möglichkeit 1: Die \(6\,\text{cm}\) lange Seite liegt gegenüber dem \(60^\circ\)-Winkel (sie liegt also zwischen \(45^\circ\) und \(75^\circ\)). 4. Möglichkeit 2: Die \(6\,\text{cm}\) lange Seite liegt gegenüber dem \(75^\circ\)-Winkel (sie liegt also zwischen \(45^\circ\) und \(60^\circ\)). 5. Möglichkeit 3: Die \(6\,\text{cm}\) lange Seite liegt gegenüber dem \(45^\circ\)-Winkel (sie liegt also zwischen \(75^\circ\) und \(60^\circ\)). 6. Ergebnis: Da die Seite jeweils einem anderen Winkel gegenüberliegt, sind die drei resultierenden Dreiecke nicht kongruent zueinander. Lukas hat recht.

Lukas hat recht. Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, da die \(6\,\text{cm}\) lange Seite entweder dem \(45^\circ\)-, dem \(60^\circ\)- oder dem \(75^\circ\)-Winkel gegenüberliegen kann. In jedem dieser Fälle entsteht ein anderes, zu den beiden übrigen nicht kongruentes Dreieck.

- Prüfe bei drei Seiten zuerst, ob überhaupt ein Dreieck entstehen kann. - Frage dich bei reinen Winkelangaben, ob dadurch eine bestimmte Seitenlänge feststeht. - Bei welcher Lage muss der gegebene Winkel für SWS zu den beiden gegebenen Seiten stehen?

1. a) Es gilt \(5\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 8\,\text{cm} < 9\,\text{cm}\). Die Dreiecksungleichung ist verletzt; ein solches Dreieck existiert nicht. 2. b) Drei Winkel legen keine Seitenlänge fest. Es können daher unterschiedlich große Dreiecke mit denselben drei Winkelgrößen gezeichnet werden; die Angaben bestimmen kein eindeutiges Dreieck. 3. c) Die Seiten \(a\) und \(c\) schließen den Winkel \(\beta\) ein. Damit ist das Dreieck nach SWS eindeutig bestimmt.

a) Nicht möglich, weil die Dreiecksungleichung verletzt ist. b) Nicht eindeutig, weil drei Winkel keine Größe festlegen. c) Eindeutig konstruierbar nach SWS.

- Welche beiden Seitenlängen und welcher Winkel sind in der Zeichnung markiert? - Welcher der bekannten Seiten liegt der markierte Winkel gegenüber? - Vergleiche die beiden bekannten Seitenlängen, bevor du SsW beurteilst.

1. Aus der Zeichnung liest man \(AB=8\,\text{km}\), \(BC_1=BC_2=5\,\text{km}\) und \(\angle BAC_1=\angle BAC_2=30^\circ\) ab. 2. Beim Kongruenzsatz SsW müssen zwei Seiten und der Gegenwinkel der längeren der beiden gegebenen Seiten übereinstimmen. 3. Hier ist \(AB=8\,\text{km}\) länger als \(BC=5\,\text{km}\), der gegebene Winkel bei \(A\) liegt aber der kürzeren Seite \(BC\) gegenüber. 4. Daher ist der SsW-Fall mehrdeutig. Die beiden Schnittpunkte des Weges mit dem Kreis um \(B\) führen zu zwei nicht kongruenten Dreiecken.

a) \(AB=8\,\text{km}\), \(BC_1=BC_2=5\,\text{km}\) und \(\angle BAC_1=\angle BAC_2=30^\circ\). b) Der gegebene Winkel liegt der kürzeren der beiden bekannten Seiten gegenüber. Deshalb ist SsW hier nicht eindeutig; es entstehen zwei nicht kongruente Dreiecke.

- Welche Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke? - Welche drei Längen bestimmen das erste dieser Dreiecke eindeutig? - Welche zwei weiteren Längen reichen zusammen mit der gemeinsamen Diagonale für das zweite Dreieck? - Warum muss der vierte Punkt für ein konvexes Viereck auf der gegenüberliegenden Seite der Diagonale liegen?

1. Eine mögliche Auswahl ist \(a,b,c,d,e\). 2. Konstruiere \(\triangle ABC\) aus \(a,b,e\). Dieses Dreieck ist nach SSS bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt. 3. Konstruiere anschließend auf der zu \(B\) entgegengesetzten Seite von \(AC\) das Dreieck \(ADC\) aus \(c,d,e\). Auch dieses Dreieck ist nach SSS eindeutig bestimmt. 4. Damit ist das konvexe Viereck \(ABCD\) bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

a) Zum Beispiel \(a,b,c,d,e\). b) Konstruiere zuerst \(\triangle ABC\) aus \(a,b,e\) und danach \(\triangle ADC\) aus \(c,d,e\) auf der gegenüberliegenden Seite der Diagonale \(AC\). c) Beide Teildreiecke sind jeweils nach SSS eindeutig bestimmt; deshalb ist auch das konvexe Viereck bis auf Spiegelung eindeutig bestimmt.

- Welche beiden Streckenpaare sind in der Zeichnung gleich markiert? - Welche Winkelgleichheit entsteht automatisch am Schnittpunkt \(K\)? - Welche entsprechenden Winkel erhältst du nach dem geforderten SWS-Nachweis?

1. Aus den Markierungen folgt \(AK=KC\) und \(BK=KD\). 2. Die Winkel \(\angle AKB\) und \(\angle CKD\) sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. 3. Damit sind die Dreiecke \(AKB\) und \(CKD\) nach SWS kongruent. 4. Folglich gilt für entsprechende Winkel \(\angle KAB=\angle KCD\). 5. Diese Winkel sind Wechselwinkel an der Schneidenden \(AC\). Deshalb gilt \(AB\parallel CD\).

Aus den Markierungen und den Scheitelwinkeln folgt \(\triangle AKB\cong\triangle CKD\) nach SWS. Daher sind die Wechselwinkel \(\angle KAB\) und \(\angle KCD\) gleich, also gilt \(AB\parallel CD\).

- Welche Seiten- und Winkelgleichheiten kannst du direkt aus den Markierungen ablesen? - Welcher Winkel gehört gleichzeitig zu beiden kleinen Dreiecken? - Welche weitere Winkelgleichheit brauchst du, damit WSW anwendbar wird?

1. Aus den Streckenmarkierungen folgt \(AB=BC\). Die Winkelmarkierungen zeigen \(\angle ADB=\angle CEB=90^\circ\). 2. Außerdem ist \(\angle ABD=\angle CBE\), da beide mit dem Winkel bei \(B\) übereinstimmen. 3. Aus der Winkelsumme in den beiden rechtwinkligen Dreiecken folgt \(\angle BAD=\angle BCE\). 4. Damit stimmen die Dreiecke \(ABD\) und \(CBE\) in zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite \(AB=BC\) überein. Sie sind nach WSW kongruent. 5. Entsprechende Seiten kongruenter Dreiecke sind gleich lang, also gilt \(AD=CE\).

Die Markierungen liefern \(AB=BC\) sowie zwei rechte Winkel. Zusammen mit dem gemeinsamen Winkel bei \(B\) folgen gleiche dritte Winkel. Daher sind \(\triangle ABD\) und \(\triangle CBE\) nach WSW kongruent und somit \(AD=CE\).

- Welche Verbindung zweier Eckpunkte zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke? - Welche Winkelgleichheit liefert die gegebene Parallelität nach dem Einzeichnen der Hilfslinie? - Welche Folgerung aus der Dreieckskongruenz kann die Parallelität des zweiten Seitenpaares zeigen?

1. Aus der Streckenmarkierung folgt \(AB=CD\). 2. Als Hilfslinie eignet sich die Diagonale \(AC\). 3. Wegen \(AB\parallel CD\) gilt \(\angle BAC=\angle ACD\) als Wechselwinkel. 4. Zusammen mit \(AB=CD\) und der gemeinsamen Seite \(AC\) sind die Dreiecke \(ABC\) und \(CDA\) nach SWS kongruent. 5. Daraus folgt \(\angle ACB=\angle CAD\). Diese Winkel sind Wechselwinkel an der Schneidenden \(AC\), also gilt auch \(BC\parallel AD\). 6. Damit sind beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel; \(ABCD\) ist ein Parallelogramm.

Die Streckenmarkierung liefert \(AB=CD\). Als Hilfslinie eignet sich die Diagonale \(AC\). Sie erzeugt zwei nach SWS kongruente Dreiecke. Daraus folgen gleiche Wechselwinkel und damit \(BC\parallel AD\). Zusammen mit \(AB\parallel CD\) ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.

- Welche Winkel entstehen am Fußpunkt einer Höhe? - Welche Seiten sind im ursprünglichen gleichschenkligen Dreieck gleich lang? - Welche Seite gehört zu beiden Teildreiecken?

1. Die Seite \(CD\) ist gemeinsam. 2. Weil \(CD\) eine Höhe ist, sind \(\angle CDA\) und \(\angle CDB\) rechte Winkel. 3. Gegeben ist \(AC=BC\). Diese gleich langen Seiten sind die Hypotenusen der beiden rechtwinkligen Teildreiecke. 4. Damit sind \(\triangle ADC\) und \(\triangle BDC\) nach SsW kongruent. Folglich gilt \(AD=BD\).

\(\triangle ADC \cong \triangle BDC\) nach SsW; daher \(AD=BD\).

- Welche Winkelgleichheiten entstehen, wenn die Diagonale zwei Paare paralleler Seiten schneidet? - Welche Seite ist für beide Dreiecke identisch? - Liegt diese Seite jeweils zwischen den beiden verwendeten Winkeln?

1. Wegen \(AB \parallel CD\) gilt an der Diagonale \(AC\): \(\angle BAC=\angle DCA\). 2. Wegen \(BC \parallel AD\) gilt außerdem \(\angle BCA=\angle DAC\). 3. Die Diagonale \(AC\) ist gemeinsame Seite und liegt jeweils zwischen diesen beiden Winkeln. 4. Daher sind \(\triangle ABC\) und \(\triangle CDA\) nach WSW kongruent.

\(\triangle ABC \cong \triangle CDA\) nach WSW.

- Welche gleich lange Gesamtstrecke erhältst du, wenn du zu \(AD\) und \(BF\) jeweils \(DB\) addierst? - Welche zweite Seitenpaarung ist gegeben? - Wo liegen die gegebenen gleichen Winkel relativ zu diesen Seiten?

1. Aus \(AD=BF\) folgt nach Addition derselben Strecke \(DB\): \(AD+DB=BF+DB\). Damit ist \(AB=FD\). 2. Außerdem sind \(AC=FE\) und \(\angle BAC=\angle DFE\) gegeben. 3. Die gleichen Winkel liegen jeweils zwischen den beiden verglichenen Seiten. Daher gilt SWS.

\(\triangle ABC \cong \triangle FDE\) nach SWS.

- Welche Winkel sind in einem gleichschenkligen Dreieck an der Basis immer gleich? - Welche Seite nutzen beide Dreiecke gemeinsam? - Welche Seitenlängen sind als gleich vorgegeben?

1. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich: \(\angle CAB = \angle CBA\). 2. Die Seite \(AB\) ist beiden Dreiecken gemeinsam. 3. Es ist gegeben, dass \(AD = BE\). 4. Nach dem SWS-Satz sind die Dreiecke \(ABE\) (mit Seiten \(AB, BE\) und Winkel \(\angle ABE\)) und \(BAD\) (mit Seiten \(AB, AD\) und Winkel \(\angle BAD\)) kongruent.

Die Dreiecke sind nach dem SWS-Satz kongruent.

- Welche gleich langen Seiten des ursprünglichen Dreiecks gehören zu den beiden Teildreiecken? - Welchen Winkel bei \(C\) verwenden beide Teildreiecke? - Welche weitere Winkelgleichheit ist gegeben?

1. Gegeben ist \(AC=BC\). 2. Der Winkel bei \(C\) ist in beiden Dreiecken derselbe Winkel zwischen den Schenkeln \(CA\) und \(CB\). 3. Außerdem gilt \(\angle CAE=\angle CBD\). 4. Damit stimmen eine Seite und ihre beiden anliegenden Winkel überein. Also gilt \(\triangle ACE\cong\triangle BCD\) nach WSW.

\(\triangle ACE \cong \triangle BCD\) nach WSW.

- Welche beiden Seitenpaare zeigen die unterschiedlichen Tickklassen? - Welche Beziehung besteht jeweils zwischen einem markierten Außenwinkel und dem benachbarten Innenwinkel? - Welcher Kongruenzsatz verwendet zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen?

1. Aus den Tickmarkierungen folgt \(FK=PE\) und \(KH=EH\). 2. Die markierten Außenwinkel bei \(K\) und \(E\) sind gleich groß. Ihre jeweiligen Nebenwinkel \(\angle FKH\) und \(\angle PEH\) sind deshalb ebenfalls gleich groß. 3. Damit stimmen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel überein. Also sind \(\triangle FKH\) und \(\triangle PEH\) nach SWS kongruent.

Aus den Markierungen folgt \(FK=PE\), \(KH=EH\) und \(\angle FKH=\angle PEH\). Daher gilt \(\triangle FKH\cong\triangle PEH\) nach SWS.

- Welche zwei Dreiecke enthalten die Winkelhalbierende \(BD\)? - Welche zwei Seiteninformationen stehen dort zur Verfügung? - Welche Winkelgleichheit liefert die Winkelhalbierende?

1. Betrachte \(\triangle ABD\) und \(\triangle CBD\). 2. Es gilt \(AD=CD\), die Seite \(BD\) ist gemeinsam und wegen der Winkelhalbierenden ist \(\angle ADB=\angle CDB\). 3. Damit sind die beiden Dreiecke nach SWS kongruent. 4. Entsprechende Seiten sind gleich lang, also \(AB=CB\). Daher ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

Aus SWS folgt \(\triangle ABD\cong\triangle CBD\) und damit \(AB=CB\). Also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

- Welche zwei Winkelpaare sind gegeben? - Was folgt daraus mithilfe der Innenwinkelsumme für das dritte Winkelpaar? - Welche gemeinsame Seite liegt zwischen zwei passenden Winkeln?

1. Die Seite \(BD\) ist gemeinsam. 2. Gegeben sind \(\angle ADB=\angle CDB\) und \(\angle DAB=\angle DCB\). 3. Wegen der Innenwinkelsumme sind dann auch die jeweils dritten Winkel \(\angle ABD\) und \(\angle CBD\) gleich groß. 4. Mit \(BD\) zwischen den gleichen Winkeln bei \(B\) und \(D\) folgt WSW: \(\triangle ABD\cong\triangle CBD\). 5. Daher ist \(AB=CB\), also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

\(\triangle ABC\) ist gleichschenklig mit \(AB=CB\).

- Welche Winkelgleichheit liefert die Winkelhalbierende \(BE\)? - Welche zweite Winkelgleichheit ist gegeben? - Was folgt daraus für die jeweils dritten Winkel der beiden Teildreiecke?

1. Weil \(BE\) auf der Winkelhalbierenden bei \(B\) liegt, gilt \(\angle ABE=\angle CBE\). 2. Gegeben ist \(\angle BAE=\angle BCE\). 3. Mit der Innenwinkelsumme folgt für die dritten Winkel \(\angle AEB=\angle BEC\). 4. Die Seite \(BE\) liegt in beiden Dreiecken zwischen den gleichen Winkeln bei \(B\) und \(E\). Daher sind \(\triangle ABE\) und \(\triangle CBE\) nach WSW kongruent. 5. Entsprechende Seiten sind gleich lang: \(AB=CB\). Somit ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

\(AB=CB\); daher ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

- Was folgt für \(BD\) aus der Aussage, dass \(B\) auf der Höhe \(ED\) liegt? - Welche Längengleichheit liefert die Mittelpunkteigenschaft von \(D\)? - Welche Seite haben die Dreiecke \(ABD\) und \(CBD\) gemeinsam?

1. Da \(B,D,E\) auf der Höhe liegen, gilt \(BD\perp AC\). Somit sind \(\angle ADB\) und \(\angle CDB\) rechte Winkel. 2. Weil \(D\) Mittelpunkt von \(AC\) ist, gilt \(AD=CD\). Außerdem ist \(BD\) gemeinsame Seite. 3. Daher sind \(\triangle ABD\) und \(\triangle CBD\) nach SWS kongruent. 4. Es folgt \(AB=CB\); also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

\(AB=CB\), also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

- Welche drei Stücke (Seiten oder Winkel) stimmen in beiden Dreiecken überein? - Achte darauf, dass es sich um rechtwinklige Dreiecke handelt. Gibt es dafür einen speziellen Satz? - Die Seite \(\overline{AD}\) ist in beiden Dreiecken die längste Seite. Hilft dir das bei der Wahl des Kongruenzsatzes?

1. Beide Dreiecke sind rechtwinklig: \(\angle ABD = \angle ACD = 90\,^\circ\). 2. Die Hypotenuse \(\overline{AD}\) ist eine gemeinsame Seite. 3. Außerdem gilt \(\overline{AB} = \overline{CD}\). 4. Der rechte Winkel liegt jeweils der gemeinsamen Hypotenuse und damit der längeren der beiden bekannten Seiten gegenüber. Deshalb sind die Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SsW kongruent.

Die Dreiecke \(ABD\) und \(DCA\) sind nach dem Kongruenzsatz SsW kongruent.

- Welche beiden Dreiecke enthalten die gesuchte Seite \(BC\) beziehungsweise \(DF\)? - Welche Winkelbeziehungen entstehen durch Scheitelwinkel und die parallelen Grundseiten? - Welche zwischen den beiden Winkeln liegende Seite ist durch die Mittelpunktangabe gleich lang?

1. Betrachte die Dreiecke \(\triangle BCM\) und \(\triangle FDM\). 2. Es gilt \(CM = DM\), da \(M\) der Mittelpunkt von \(CD\) ist. 3. Die Winkel \(\angle BMC\) und \(\angle FMD\) sind Scheitelwinkel und damit gleich groß. 4. Da \(BC \parallel AF\), sind die Winkel \(\angle BCM\) und \(\angle FDM\) Wechselwinkel an Parallelen und somit ebenfalls gleich groß. 5. Nach dem Kongruenzsatz WSW sind die Dreiecke \(\triangle BCM\) und \(\triangle FDM\) kongruent. 6. Daraus folgt unmittelbar \(BC = DF\).

Die Behauptung \(BC = DF\) folgt aus der Kongruenz der Dreiecke \(\triangle BCM\) und \(\triangle FDM\) nach dem WSW-Satz.

- Welche beiden Seitenpaare sind mit gleichen Tickmarken versehen? - Welche Winkelgleichheit entsteht am Schnittpunkt \(Z\)? - Welche entsprechenden Größen kannst du nach dem Kongruenznachweis aus der Zeichnung übertragen?

1. Aus den Tickmarkierungen folgt \(AZ=DZ\) und \(BZ=CZ\). 2. Die Winkel \(\angle AZB\) und \(\angle DZC\) sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. 3. Damit sind die Dreiecke \(ABZ\) und \(DCZ\) nach SWS kongruent. 4. Entsprechende Winkel sind gleich, also gilt \(\alpha=\angle ZDC=\angle ZAB=35^\circ\). 5. Entsprechende Seiten sind gleich, also gilt \(CD=AB=4\,\text{cm}\).

a) \(\alpha=35^\circ\) b) \(CD=4\,\text{cm}\) c) SWS

- Welche zwei Streckenpaare sind durch die Mittelpunkteigenschaft von \(M\) und die Verlängerung von \(AM\) gleich lang? - Welche Winkel am Schnittpunkt \(M\) sind als Scheitelwinkel gleich groß? - Welche entsprechenden Seiten kannst du nach einem Kongruenznachweis auf die gesuchten Strecken übertragen?

1. In den Dreiecken \(ABM\) und \(DCM\) gilt \(BM=MC\), \(AM=MD\) und \(\angle AMB=\angle DMC\) als Scheitelwinkel. 2. Daher sind \(\triangle ABM\) und \(\triangle DCM\) nach SWS kongruent. Somit gilt \(CD=AB=9\,\text{cm}\). 3. In den Dreiecken \(ACM\) und \(DBM\) gilt ebenso \(CM=MB\), \(AM=MD\) und \(\angle AMC=\angle DMB\). 4. Daher sind auch diese Dreiecke nach SWS kongruent. Somit gilt \(BD=AC=7\,\text{cm}\).

\(BD=7\,\text{cm}\) und \(CD=9\,\text{cm}\).

- Welche Eigenschaften hat ein gleichseitiges Dreieck bezüglich seiner Winkel und Seitenlängen? - Wenn du von gleich langen Strecken jeweils das gleiche Stück abschneidest, was kannst du über die Reststücke sagen? - Schau dir die drei kleinen Dreiecke an den Ecken an. Welche Informationen hast du über ihre Seiten und Winkel? - Welcher Kongruenzsatz hilft dir zu zeigen, dass die Dreiecke deckungsgleich sind?

1. Da das Dreieck \(ABC\) gleichseitig ist, sind alle seine Innenwinkel gleich \(60\,^\circ\) und alle Seiten gleich lang: \(AB = BC = CA\). 2. Es ist gegeben, dass \(AD = BE = CF\). Da die Gesamtlängen der Seiten gleich sind, müssen auch die verbleibenden Teilstrecken gleich lang sein: \(BD = CE = AF\). 3. Betrachte die drei äußeren Dreiecke \(ADF\), \(BED\) und \(CFE\). In jedem dieser Dreiecke sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (\(60\,^\circ\)) identisch: - \(AD = BE = CF\) - \(AF = BD = CE\) - \(\angle FAD = \angle DBE = \angle ECF = 60\,^\circ\) 4. Nach dem Kongruenzsatz SWS (Seite-Winkel-Seite) sind die Dreiecke \(ADF\), \(BED\) und \(CFE\) kongruent. 5. Aus der Kongruenz folgt, dass auch die dritten Seiten dieser Dreiecke gleich lang sein müssen: \(DF = ED = FE\). 6. Da alle drei Seiten des Dreiecks \(DEF\) gleich lang sind, ist es ein gleichseitiges Dreieck.

Das Dreieck \(DEF\) ist gleichseitig, da die drei äußeren Dreiecke \(ADF\), \(BED\) und \(CFE\) nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent sind. Daraus folgt, dass ihre entsprechenden Seiten \(DF\), \(ED\) und \(FE\) gleich lang sind.

- Welche Seiten in einem Parallelogramm haben immer dieselbe Länge? - Erinnere dich an die Winkelbeziehungen an parallelen Geraden, die von einer dritten Geraden (hier die Diagonalen) geschnitten werden. - Suche nach einer „Z-Figur“, um gleiche Winkel zu finden. - Welcher Kongruenzsatz hilft dir weiter, wenn du eine Seite und zwei Winkel als gleich erkannt hast?

1. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang, also gilt \(AB = CD\). 2. Da die Seiten \(AB\) und \(CD\) parallel sind, sind die Wechselwinkel (auch Z-Winkel genannt) an den Parallelen gleich groß. Es gilt daher \(\angle BAS = \angle DCS\) und \(\angle ABS = \angle CDS\). 3. Die Dreiecke \(ABS\) und \(CDS\) stimmen somit in der Länge einer Seite (\(AB = CD\)) und den beiden anliegenden Winkeln überein. 4. Nach dem Kongruenzsatz WSW (Winkel-Seite-Winkel) sind die Dreiecke \(ABS\) und \(CDS\) somit kongruent.

Die Dreiecke \(ABS\) und \(CDS\) sind nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent. Als Begründung nutzt man, dass gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm gleich lang sind (\(AB = CD\)) und dass Wechselwinkel an parallelen Geraden gleich groß sind (\(\angle BAS = \angle DCS\) und \(\angle ABS = \angle CDS\)).

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem Dreieck? Berechne zuerst alle Winkel. - Vergleiche dann, welche Seite in Dreieck \(ABC\) der Seite in Dreieck \(DEF\) entspricht. - Schau genau hin: Liegt die Seite \(6{,}5\,\text{cm}\) in beiden Dreiecken gegenüber dem gleichen Winkel?

1. Berechnung des fehlenden Winkels \(\beta\) im Dreieck \(ABC\): \(\beta = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ\). 2. Berechnung des fehlenden Winkels \(\epsilon\) im Dreieck \(DEF\): \(\epsilon = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ\). 3. Vergleich der Winkel: Beide Dreiecke haben die Winkel \(50^\circ, 60^\circ\) und \(70^\circ\). 4. Vergleich der Seitenlagen: Im Dreieck \(ABC\) ist die Seite \(b = 6{,}5\,\text{cm}\) die Seite, die dem Winkel \(\beta = 60^\circ\) gegenüberliegt. Im Dreieck \(DEF\) ist die Seite \(e = 6{,}5\,\text{cm}\) die Seite, die dem Winkel \(\epsilon = 50^\circ\) gegenüberliegt. 5. Da die gleich langen Seiten in den Dreiecken nicht den gleichen Winkeln gegenüberliegen (bzw. nicht zwischen den gleichen Winkeln liegen), sind die Dreiecke nicht kongruent.

Die Dreiecke sind nicht kongruent.

- Vergleiche die Längen der gegebenen Seiten. - Welche Seite liegt dem jeweils gegebenen Winkel gegenüber? - Welche Bedingung muss für den \(SsW\)-Satz erfüllt sein, damit ein Dreieck eindeutig ist?

1. Analyse Fall 1: Gegeben sind \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 8\,\text{cm}\) und \(\beta = 50^\circ\). Der Winkel \(\beta\) liegt der Seite \(b\) gegenüber. Da \(b > a\) gilt, liegt der Winkel der längeren Seite gegenüber. Nach dem Kongruenzsatz \(SsW\) ist das Dreieck eindeutig bestimmt. 2. Analyse Fall 2: Gegeben sind \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 8\,\text{cm}\) und \(\alpha = 50^\circ\). Der Winkel \(\alpha\) liegt der kürzeren Seite \(a\) gegenüber. Der Kongruenzsatz \(SsW\) ist daher nicht anwendbar. 3. Zur Prüfung zeichnet man \(AC=b=8\,\text{cm}\), trägt in \(A\) den Winkel \(\alpha=50^\circ\) an und zeichnet um \(C\) einen Kreis mit Radius \(a=6\,\text{cm}\). Der Kreis schneidet den freien Winkelschenkel nicht. Daher existiert in Fall 2 kein Dreieck.

Fall 1: Das Dreieck ist nach dem Kongruenzsatz \(SsW\) eindeutig konstruierbar, weil \(\beta\) der längeren Seite \(b\) gegenüberliegt. Fall 2: Es ist kein Dreieck konstruierbar; bei der Konstruktion schneidet der Kreis mit Radius \(a=6\,\text{cm}\) den freien Schenkel des Winkels \(\alpha=50^\circ\) nicht.

- Welche Bedingungen kennst du für die Eindeutigkeit von Dreieckskonstruktionen? - Muss ein stumpfer Winkel immer eingeschlossen sein, oder gibt es andere Sätze? - Was passiert mit den anderen Winkeln, wenn ein Winkel bereits \(100^\circ\) groß ist?

1. Gegeben sind die Seiten \(b=9\,\text{cm}\) und \(c=5\,\text{cm}\) sowie der Winkel \(\beta=100^\circ\), der der Seite \(b\) gegenüberliegt. 2. Da \(b>c\) gilt, liegt der gegebene Winkel der längeren der beiden Seiten gegenüber. Damit ist der Kongruenzsatz \(SsW\) anwendbar. 3. Auch die Existenz ist gesichert: Zeichnet man \(AB=c=5\,\text{cm}\) und trägt in \(B\) den Winkel \(\beta=100^\circ\) an, liegt \(B\) innerhalb des Kreises um \(A\) mit Radius \(b=9\,\text{cm}\). Der freie Winkelschenkel schneidet diesen Kreis daher genau einmal. 4. Lara hat recht. Toms Behauptung, ein stumpfer Winkel müsse zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen, ist falsch.

Lara hat recht. Das Dreieck ist nach dem Kongruenzsatz \(SsW\) eindeutig konstruierbar, weil der Winkel \(\beta=100^\circ\) der längeren Seite \(b=9\,\text{cm}\) gegenüberliegt. Toms Einwand zum SWS-Satz trifft nicht zu.

- Was bedeutet es für die Seitenlängen, wenn ein Dreieck gleichschenklig ist? - Welche Seiten der Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\) kannst du direkt miteinander vergleichen? - Welcher Kongruenzsatz hilft dir weiter, wenn du nur Informationen über Seitenlängen hast? - Wie ist eine Winkelhalbierende definiert?

1. Betrachte die Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\). 2. Da \(\triangle ABC\) gleichschenklig mit Basis \(BC\) ist, gilt \(AB = AC\). 3. Da \(\triangle DBC\) gleichschenklig mit Basis \(BC\) ist, gilt \(DB = DC\). 4. Die Strecke \(AD\) ist eine gemeinsame Seite beider Dreiecke (\(AD = AD\)). 5. Nach dem Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) sind die Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\) kongruent. 6. In kongruenten Dreiecken sind entsprechende Winkel gleich groß, folglich gilt \(\angle BAD = \angle CAD\). 7. Da die Teilwinkel gleich groß sind, ist die Gerade durch \(A\) und \(D\) die Winkelhalbierende von \(\angle BAC\).

Die Dreiecke \(ABD\) und \(ACD\) sind nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent, da \(AB = AC\), \(DB = DC\) und die Seite \(AD\) gemeinsam ist. Daraus folgt \(\angle BAD = \angle CAD\), was bedeutet, dass die Gerade durch \(A\) und \(D\) den Winkel \(\angle BAC\) halbiert.

- Suche nach zwei Dreiecken, in denen \(BG\) und \(EC\) jeweils eine Seite bilden. - Welche Seitenlängen in diesen Dreiecken sind durch die Quadrate vorgegeben? - Welche \(90^\circ\)-Drehung um \(A\) bildet die Schenkel eines der benötigten Winkel auf die Schenkel des anderen ab? - Welchen Kongruenzsatz kannst du anwenden, wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst?

1. Untersuche die Dreiecke \(ABG\) und \(AEC\). 2. Die Seite \(AB\) im \(\triangle ABG\) ist gleich der Seite \(AE\) im \(\triangle AEC\), da sie beide Seiten des Quadrats \(ABDE\) sind. 3. Die Seite \(AG\) im \(\triangle ABG\) ist gleich der Seite \(AC\) im \(\triangle AEC\), da sie beide Seiten des Quadrats \(ACFG\) sind. 4. Wegen der nach außen konstruierten Quadrate bildet dieselbe Drehung um \(90^\circ\) um den Punkt \(A\) den Strahl \(AE\) auf den Strahl \(AB\) und den Strahl \(AC\) auf den Strahl \(AG\) ab. 5. Drehungen erhalten Winkelgrößen. Daher gilt \(\angle EAC = \angle BAG = \angle GAB\). 6. Nach dem Kongruenzsatz SWS sind die Dreiecke \(ABG\) und \(AEC\) kongruent. 7. Folglich sind die entsprechenden Seiten \(BG\) und \(EC\) gleich lang.

Die Strecken \(BG\) und \(EC\) sind gleich lang. Es gilt \(AB = AE\) und \(AG = AC\). Außerdem bildet eine Drehung um \(90^\circ\) um \(A\) die Schenkel des Winkels \(\angle EAC\) auf die Schenkel des Winkels \(\angle BAG\) ab, sodass diese Winkel gleich groß sind. Daher sind die Dreiecke \(ABG\) und \(AEC\) nach SWS kongruent.

- Denk an eine Figur, die du „zusammenschieben“ kannst, ohne die Seitenlängen zu ändern. - Was unterscheidet eine Raute von einem Quadrat? - Wenn du ein Viereck zeichnen willst, wie viele Informationen musst du mindestens im Heft stehen haben, damit jeder in der Klasse exakt dasselbe Bild zeichnet? - Zerlege das Viereck gedanklich in zwei Dreiecke. Wie viele Informationen braucht das erste, wie viele danach noch das zweite?

1. Gegenbeispiel SSSS: Ein Quadrat mit Seitenlänge \(5\,\text{cm}\) hat vier gleiche Seiten und vier rechte Winkel. Eine Raute kann ebenfalls vier Seiten der Länge \(5\,\text{cm}\) haben, aber spitze und stumpfe Winkel besitzen. Da beide Vierecke dieselben Seitenlängen haben, aber nicht deckungsgleich (kongruent) sind, legen vier Seiten ein Viereck nicht eindeutig fest. 2. Anzahl der Bestimmungsstücke: Ein beliebiges Viereck benötigt im Allgemeinen fünf geeignete Bestimmungsstücke. 3. Begründung: Ein Viereck lässt sich durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegen. Das erste Dreieck benötigt drei geeignete Angaben (z. B. zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel), um festzustehen. Dadurch ist auch die Diagonale bekannt. Für das zweite Dreieck fehlen dann noch 2 weitere Angaben (da die Diagonale bereits als Seite des zweiten Dreiecks fungiert), um es zu vervollständigen. Insgesamt: \(3 + 2 = 5\).

a) Es gibt keinen SSSS-Satz, da z. B. ein Quadrat und eine Raute die gleichen Seitenlängen haben können, aber unterschiedliche Winkel besitzen. b) Man benötigt im Allgemeinen fünf geeignete Bestimmungsstücke. Begründung: Zerlegung in zwei Dreiecke; das erste benötigt 3 Angaben, das zweite dann noch 2 weitere, da eine Seite (die Diagonale) bereits durch das erste Dreieck gegeben ist.

- Welche zwei Ortsbedingungen muss der Punkt \(D\) gleichzeitig erfüllen? - Welcher der beiden bekannten Seiten liegt der Winkel \(\alpha\) gegenüber, und ist diese Seite die längere? - Wie viele spiegelbildliche Lagen hat ein durch SSS bestimmtes Dreieck an einer bereits gezeichneten Seite?

1. Zeichne \(AB=8\,\text{cm}\) und trage bei \(A\) den Winkel \(30^\circ\) ab. Die möglichen Punkte \(D\) liegen zugleich auf diesem Winkelschenkel und auf dem Kreis um \(B\) mit Radius \(5\,\text{cm}\). 2. Der Abstand von \(B\) zum Winkelschenkel beträgt \(8\sin 30^\circ=4\,\text{cm}\) und ist kleiner als der Kreisradius. Der Kreis schneidet den vorwärts gerichteten Schenkel daher in zwei Punkten. Das passt zum mehrdeutigen SsW-Fall: Der gegebene Winkel liegt der kürzeren der beiden bekannten Seiten \(5\,\text{cm}\) und \(8\,\text{cm}\) gegenüber. 3. Für jede der beiden Lagen von \(D\) ist \(\triangle BCD\) durch \(BC=4\,\text{cm}\), \(CD=5\,\text{cm}\) und \(BD=5\,\text{cm}\) nach SSS festgelegt. 4. Dieses Dreieck kann auf jeder der beiden Seiten von \(BD\) angefügt werden. Daher entstehen \(2\cdot2=4\) Vierecke.

1. Der Kreis um \(B\) mit Radius \(5\,\text{cm}\) schneidet den \(30^\circ\)-Schenkel in zwei möglichen Punkten \(D\); der SsW-Fall ist nicht eindeutig. 2. Zu jeder Lage von \(D\) gibt es zwei SSS-Lagen von \(C\) an der Diagonale \(BD\). Insgesamt entstehen \(4\) Vierecke.

- Versuche, die Konstruktion im Kopf oder als Skizze Punkt für Punkt durchzugehen. - Woher weißt du bei jedem Schritt genau, wo der nächste Punkt liegen muss? - Vergleiche: Was ist der Unterschied, ob du einen Punkt durch einen Winkel und eine Länge suchst oder durch zwei Längen (Kreise)?

1. Konstruktionsbeschreibung: - Zeichne die Strecke \(AB\) mit der gegebenen Länge. - Trage im Punkt \(B\) den Winkel \(\beta\) an. - Zeichne auf dem freien Schenkel von \(\beta\) die Strecke \(BC\) ab. Damit ist Punkt \(C\) fest. - Trage im Punkt \(C\) den Winkel \(\gamma\) so an, dass der freie Schenkel auf derselben Seite der Geraden \(BC\) wie der Punkt \(A\) liegt. - Zeichne auf dem freien Schenkel von \(\gamma\) die Strecke \(CD\) ab. Damit ist Punkt \(D\) fest. - Verbinde \(D\) mit \(A\). 2. Begründung der Eindeutigkeit: Bei festgelegter konvexer Orientierung wird jeder neue Punkt durch eine eindeutige Richtung (Winkel) und eine eindeutige Entfernung (Seitenlänge) vom vorherigen Punkt bestimmt. Im Gegensatz zur Konstruktion mit Kreisschnitten (wie bei vier Seiten und einem Winkel), bei der zwei Kreise sich in zwei Punkten schneiden können, liefert das Abtragen einer Strecke auf einem Strahl immer genau einen Endpunkt.

a) Man zeichnet \(AB\), trägt in \(B\) den Winkel \(\beta\) an, markiert \(C\) im gegebenen Abstand, trägt in \(C\) den Winkel \(\gamma\) an und markiert \(D\) im gegebenen Abstand. b) Bei festgelegter konvexer Orientierung ist die Konstruktion eindeutig, da jeder Punkt nacheinander durch eine Richtung und eine feste Länge festgelegt wird. Es entstehen keine Wahlmöglichkeiten durch Kreisschnitte.

- Beginne mit der längsten gegebenen Seite als Basis. - Wie kannst du den Punkt \(D\) finden, wenn du den Winkel bei \(A\) und die Länge \(AD\) kennst? - Was weißt du über die Lage der Seite \(CD\) im Verhältnis zur Basis \(AB\)? - Stell dir vor, du verschiebst die Seite \(BC\) so weit nach links, dass sie durch \(D\) geht. Welche Maße hat das übrig bleibende Dreieck links?

1. Konstruktionsbeschreibung: - Zeichne die Seite \(AB = 7\,\text{cm}\). - Trage im Punkt \(A\) den Winkel \(\alpha = 70^\circ\) an. - Zeichne auf dem freien Schenkel von \(\alpha\) die Strecke \(AD = 4\,\text{cm}\) ab, um Punkt \(D\) zu erhalten. - Zeichne eine Parallele zur Strecke \(AB\) durch den Punkt \(D\). - Trage auf dieser Parallelen von \(D\) aus die Strecke \(DC = 3\,\text{cm}\) ab (in die gleiche Richtung wie \(AB\)), um Punkt \(C\) zu finden. - Verbinde \(B\) mit \(C\). 2. Zerlegung: Durch die Parallele zu \(BC\) entsteht ein Parallelogramm \(EBCD\), wobei \(EB = CD = 3\,\text{cm}\) gilt. 3. Für den Punkt \(E\) auf \(AB\) gilt dann: \(AE = AB - EB = 7\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 4. Im Dreieck \(AED\) sind somit bekannt: \(AE = 4\,\text{cm}\), \(AD = 4\,\text{cm}\) und der eingeschlossene Winkel \(\alpha = 70^\circ\). 5. Das Dreieck ist nach dem Kongruenzsatz SWS (Seiten-Winkel-Seite) eindeutig bestimmt.

a) 1. \(AB = 7\,\text{cm}\) zeichnen. 2. \(\alpha = 70^\circ\) bei \(A\) antragen. 3. \(AD = 4\,\text{cm}\) auf dem Schenkel abtragen (\(D\) markieren). 4. Parallele zu \(AB\) durch \(D\) ziehen. 5. \(DC = 3\,\text{cm}\) auf der Parallelen abtragen (\(C\) markieren). 6. \(BC\) verbinden. b) Der Kongruenzsatz SWS (Seiten-Winkel-Seite). Das Teildreieck \(AED\) hat die Seiten \(AD = 4\,\text{cm}\) und \(AE = AB - CD = 4\,\text{cm}\) sowie den eingeschlossenen Winkel \(\alpha = 70^\circ\).

- Welche besondere Eigenschaft haben die Winkel in einem Rechteck? - Welche Seite muss in einem rechtwinkligen Dreieck immer die längste sein? - Überlege für den zweiten Teil, wie viele Informationen man braucht, um ein Dreieck eindeutig zu zeichnen. - Wie hängen die restlichen Punkte eines Parallelogramms von einem fertigen Teildreieck ab?

1. Zu Teil a): In einem Rechteck \(ABCD\) ist der Winkel bei \(B\) ein rechter Winkel (\(90^\circ\)). 2. In einem rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (die Hypotenuse), immer die längste Seite des Dreiecks. 3. Im Dreieck \(ABC\) ist \(AC = e = 5\,\text{cm}\) die dem Winkel \(B\) gegenüberliegende Seite. 4. Da die Seite \(AB = a = 6\,\text{cm}\) jedoch länger ist als \(AC = 5\,\text{cm}\), kann \(AC\) nicht die Hypotenuse sein und der Winkel bei \(B\) somit kein rechter Winkel. Folglich ist das Viereck kein Rechteck. 5. Zu Teil b): Ja, die Konstruktion ist eindeutig. Durch die drei gegebenen Längen \(a\), \(b\) und \(e\) ist das Teildreieck \(ABC\) nach dem Kongruenzsatz SSS eindeutig bestimmt. 6. Da sich die Diagonalen eines Parallelogramms gegenseitig halbieren, ist \(D\) eindeutig als Punktspiegelung von \(B\) am Mittelpunkt der Diagonale \(AC\) festgelegt.

a) Es kann kein Rechteck sein, da in einem rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) die Diagonale \(AC\) die längste Seite sein müsste. Hier ist jedoch die Seite \(a = 6\,\text{cm}\) länger als die Diagonale \(e = 5\,\text{cm}\). b) Ja, die Konstruktion ist eindeutig, da das Teildreieck \(ABC\) durch SSS feststeht und der Punkt \(D\) als Punktspiegelung von \(B\) am Mittelpunkt von \(AC\) fest vorgegeben ist.

- Welche Höhe folgt aus Grundseite und Flächeninhalt? - Auf welcher Ortslinie muss die dritte Ecke liegen, wenn die Höhe feststeht? - Welche zweite Ortsbedingung entsteht aus der Seitenlänge \(4\,\text{cm}\), und wie viele Schnittpunkte kann sie mit der Höhenparallelen haben?

1. Mit \(A=\frac{1}{2}gh\) ergibt sich zur Grundseite \(b=10\,\text{cm}\) die Höhe \(h_b=\frac{2\cdot10\,\text{cm}^2}{10\,\text{cm}}=2\,\text{cm}\). 2. Die gegenüberliegende Ecke \(C\) muss daher auf einer Parallelen zu \(b\) im Abstand \(2\,\text{cm}\) liegen. 3. Gleichzeitig muss wegen \(a=4\,\text{cm}\) der Abstand von \(C\) zu einem Endpunkt der Grundseite \(4\,\text{cm}\) betragen. Der entsprechende Kreis schneidet die Parallele in zwei möglichen Punkten \(C_1\) und \(C_2\). 4. Die beiden Schnittpunkte liegen bezüglich der Senkrechten durch diesen Endpunkt auf verschiedenen Seiten. Ihre Abstände zum anderen Endpunkt der \(10\,\text{cm}\) langen Grundseite sind deshalb verschieden. Damit können die dritten Seiten verschieden lang sein. 5. Also müssen die beiden Dreiecke trotz gleicher Seiten \(a\), \(b\) und gleichen Flächeninhalts nicht kongruent sein.

Nein. Zur Grundseite \(10\,\text{cm}\) gehört bei einem Flächeninhalt von \(10\,\text{cm}^2\) die Höhe \(2\,\text{cm}\). Eine Ecke im Abstand \(4\,\text{cm}\) vom einen Endpunkt kann auf dieser Höhenparallelen zwei verschiedene Lagen haben; dabei entstehen unterschiedliche Längen der dritten Seite. Daher ist Kongruenz nicht zwingend.

- Schau dir den Kongruenzsatz SsW genau an. Gibt es eine Bedingung dafür, welcher Seite der Winkel gegenüberliegen muss? - Versuche, eine kleine Skizze für beide Fälle zu machen. - Was passiert bei der Konstruktion in Fall 2, wenn du den Kreis um den Punkt schlägst, der nicht am Winkel liegt?

1. Fall 1: Hier ist die Seite \(a\) mit \(8\,\text{cm}\) länger als die Seite \(b\) mit \(5\,\text{cm}\). Der gegebene Winkel \(\alpha\) liegt der längeren Seite \(a\) gegenüber. Gemäß dem Kongruenzsatz SsW (Seite-Seite-Winkel) ist das Dreieck eindeutig bestimmt. 2. Fall 2: Hier ist die Seite \(a\) mit \(5\,\text{cm}\) kürzer als die Seite \(b\) mit \(8\,\text{cm}\). Der Winkel \(\alpha\) liegt der kürzeren Seite gegenüber. 3. In diesem Fall ist der Kongruenzsatz SsW nicht erfüllt, da der Winkel der größeren Seite gegenüberliegen muss. 4. Eine Konstruktion (oder Rechnung) zeigt, dass zwei verschiedene Dreiecke möglich sind, da der Kreis um den Punkt \(C\) mit Radius \(a\) den freien Schenkel des Winkels \(\alpha\) an zwei verschiedenen Stellen schneiden kann. Das Dreieck ist also nicht eindeutig bestimmt.

Fall 1 ist eindeutig bestimmt, da der Winkel \(\alpha\) der längeren Seite gegenüberliegt (Kongruenzsatz SsW). Fall 2 ist nicht eindeutig bestimmt, da der Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt; hier sind zwei verschiedene Dreiecke möglich.

- Lies die Maße des Vergleichsdreiecks direkt aus der Abbildung ab. - Prüfe bei jedem Datensatz, wo der gegebene Winkel im Verhältnis zu den gegebenen Seiten liegt. - Beim SsW-Fall ist entscheidend, welcher der beiden gegebenen Seiten der Winkel gegenüberliegt. - Ordne die vier Datensätze den bekannten Kongruenzsätzen oder einem Mehrdeutigkeitsfall zu.

1. a) Die Seite \(a\) liegt zwischen den gegebenen Winkeln \(\beta\) und \(\gamma\). Nach WSW ist das Dreieck eindeutig bestimmt. 2. b) Gegeben sind die Seiten \(a\) und \(c\) sowie der Winkel \(\alpha\), der der kürzeren gegebenen Seite \(a\) gegenüberliegt. Der gültige SsW-Fall liegt daher nicht vor. Tatsächlich sind zwei verschiedene Dreiecke möglich: Neben \(\gamma = 120^\circ\) ist auch \(\gamma = 60^\circ\) mit denselben Angaben möglich. 3. c) Die Seiten \(b\) und \(c\) schließen den Winkel \(\alpha\) ein. Nach SWS ist das Dreieck eindeutig bestimmt. 4. d) Alle drei Seiten sind gegeben. Nach SSS ist das Dreieck eindeutig bestimmt.

a) Ja, nach WSW. b) Nein. Die Angaben bilden einen mehrdeutigen SsW-Fall. c) Ja, nach SWS. d) Ja, nach SSS.

- Welche Seite haben beide Teildreiecke gemeinsam, und welche beiden Schenkel sind im Ausgangsdreieck gleich lang? - Welcher Seite liegt der gleiche Basiswinkel in jedem Teildreieck gegenüber? - Vergleiche die Strecke von \(P\) zu einem inneren Basispunkt mit den Schenkeln \(PQ\) und \(PR\). - Welche zusätzliche Seitenungleichheit folgt daraus, dass \(S\) nicht der Mittelpunkt von \(QR\) ist?

1. Es gilt \(PQ=PR\), da \(PQR\) gleichschenklig ist. Außerdem ist \(PS\) eine gemeinsame Seite. Die Basiswinkel sind gleich groß, also gilt \(\angle PQS=\angle PRS\). 2. Der jeweils gleiche Winkel liegt der gemeinsamen Seite \(PS\) gegenüber. 3. Weil \(S\) im Inneren von \(QR\) liegt, ist \(PS<PQ\) und ebenso \(PS<PR\). Der gleiche Winkel liegt also der kürzeren der beiden bekannten Seiten gegenüber. Damit ist die Eindeutigkeitsbedingung des SsW-Satzes nicht erfüllt. 4. Tatsächlich gilt wegen der Voraussetzung, dass \(S\) nicht der Mittelpunkt von \(QR\) ist, \(QS\ne RS\). Diese Seiten würden einander bei einer Kongruenz entsprechen. Die beiden Teildreiecke sind daher nicht kongruent.

a) Es gilt \(PQ=PR\), \(PS=PS\) und \(\angle PQS=\angle PRS\). b) Der gleiche Winkel liegt der Seite \(PS\) gegenüber, und wegen der inneren Lage von \(S\) gilt \(PS<PQ=PR\). Er liegt somit der kürzeren bekannten Seite gegenüber; der SsW-Satz sichert keine Kongruenz. Außerdem ist \(QS\ne RS\).

- Wie hängt der vierte Innenwinkel eines Vierecks von den drei anderen ab? - Sind alle fünf genannten Angaben wirklich voneinander unabhängig? - Kannst du die Form bei festgehaltenen Winkelrichtungen verändern, indem du eine gegenüberliegende Seite verschiebst?

1. In jedem Viereck beträgt die Summe der Innenwinkel \(360^\circ\). Sobald drei Winkel feststehen, ist der vierte durch \(\delta = 360^\circ-(\alpha+\beta+\gamma)\) bestimmt. 2. Die vier Winkel liefern daher nicht vier voneinander unabhängige Informationen. 3. Bei fester Seite \(a\) und festen Innenwinkeln können die übrigen Seitenlängen verändert werden: Die gegenüberliegende Seite kann parallel zu ihrer bisherigen Lage verschoben werden, während die vorgegebenen Winkel erhalten bleiben. 4. Dadurch entstehen verschiedene, nicht kongruente Vierecke mit denselben angegebenen Winkeln und derselben Seite \(a\). 5. Das Viereck ist deshalb nicht eindeutig bestimmt.

Lukas hat nicht recht. Der vierte Innenwinkel ist wegen der Winkelsumme \(360^\circ\) bereits durch die drei anderen bestimmt. Außerdem lassen sich bei gleicher Seite \(a\) und gleichen Winkeln verschieden große Vierecke erzeugen. Die fünf angegebenen Maße bestimmen das Viereck daher nicht eindeutig.

- Welche beiden Streckengleichheiten liest du aus den unterschiedlichen Tickmarkierungen ab? - Welche Winkelgleichheit folgt zunächst aus dem inneren gleichschenkligen Dreieck? - Welche beiden äußeren Dreiecke kannst du anschließend mit SWS vergleichen?

1. Aus den Markierungen liest man \(AD=AE\) und \(BD=CE\) ab. 2. Wegen \(AD=AE\) ist \(\triangle ADE\) gleichschenklig. Daher gilt \(\angle ADE=\angle AED\). 3. Die Nebenwinkel dazu sind ebenfalls gleich groß: \(\angle ADB=180^\circ-\angle ADE\) und \(\angle AEC=180^\circ-\angle AED\). Also gilt \(\angle ADB=\angle AEC\). 4. In den Dreiecken \(ABD\) und \(ACE\) stimmen damit \(AD=AE\), \(BD=CE\) und die eingeschlossenen Winkel \(\angle ADB=\angle AEC\) überein. 5. Nach SWS sind \(\triangle ABD\) und \(\triangle ACE\) kongruent. Daher ist \(AB=AC\), also ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.

Aus den Markierungen folgt \(AD=AE\) und \(BD=CE\). Das gleichschenklige Dreieck \(ADE\) liefert gleiche Basiswinkel und damit gleiche Nebenwinkel \(\angle ADB=\angle AEC\). Nach SWS sind \(\triangle ABD\) und \(\triangle ACE\) kongruent, also gilt \(AB=AC\).

- Welche Streckengleichheit folgt aus der Angabe „gleichschenklig mit Spitze \(R\)“, und welche liest du aus den Tickmarkierungen ab? - Welche beiden Dreiecke an der gemeinsamen Basis \(PQ\) enthalten die markierten Teilstrecken? - Welche entsprechenden Winkel dieser kongruenten Dreiecke werden zu den Basiswinkeln von \(\triangle PQX\)?

1. Aus \(PR=QR\) folgt für die Basiswinkel \(\angle QPR=\angle PQR\). 2. Betrachte \(\triangle PQS\) und \(\triangle QPT\). Die Seite \(PQ\) ist gemeinsam, \(PS=QT\) ist gegeben und wegen \(S\in PR\), \(T\in QR\) gilt \(\angle QPS=\angle PQT\). 3. Daher sind \(\triangle PQS\) und \(\triangle QPT\) nach SWS kongruent. 4. Somit ist \(\angle PQS=\angle QPT\). Wegen \(X\in QS\) und \(X\in PT\) sind dies die Basiswinkel \(\angle PQX\) und \(\angle QPX\) des Dreiecks \(PQX\). 5. Gleiche Basiswinkel bedeuten \(PX=QX\). Also ist \(\triangle PQX\) gleichschenklig.

\(PX=QX\); daher ist \(\triangle PQX\) gleichschenklig.

- Welche beiden Streckengleichheiten liest du aus den Tickmarkierungen ab? - Welche weiteren gleich langen Teilstrecken erhältst du durch Subtraktion auf gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms? - Welche Eckdreiecke lassen sich danach paarweise mit SWS vergleichen?

1. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang: \(KP = HT\) und \(PH = TK\). 2. Da \(PB = TD\) gegeben ist, folgt für die verbleibenden Abschnitte auf diesen Seiten: \(BK = KP - PB = HT - TD = HD\). Also \(BK = HD\). 3. Da \(CH = AK\) gegeben ist, folgt für die anderen Abschnitte: \(PC = PH - CH = TK - AK = AT\). Also \(PC = AT\). 4. Die Winkel an den Ecken des Parallelogramms \(KPHT\) sind paarweise gleich: \(\angle K = \angle H\) und \(\angle P = \angle T\). 5. Damit sind die Dreiecke \(\triangle ABK \cong \triangle CDH\) (nach SWS, da \(AK=CH, \angle K=\angle H, BK=HD\)) und \(\triangle BCP \cong \triangle DAT\) (nach SWS, da \(PB=TD, \angle P=\angle T, PC=AT\)). 6. Aus der Kongruenz folgt \(AB = CD\) und \(BC = DA\). 7. Ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer gegenüberliegender Seiten ist ein Parallelogramm.

Durch die gegebenen Bedingungen \(PB = TD\) und \(CH = AK\) sowie die Eigenschaften des Parallelogramms \(KPHT\) sind die Dreiecke an den gegenüberliegenden Ecken kongruent (\(\triangle ABK \cong \triangle CDH\) und \(\triangle BCP \cong \triangle DAT\)). Daraus folgt \(AB = CD\) und \(BC = DA\), womit \(ABCD\) ein Parallelogramm ist.

- Welche Seiten des inneren Quadrats sind Hypotenusen der Eckdreiecke? - Wie ergänzen sich die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks? - Wie hängen die Winkel an einem Berührpunkt des inneren Quadrats mit dem rechten Winkel des kleinen Quadrats zusammen?

1. Alle Seiten des inneren Quadrats sind gleich lang. Sie sind die Hypotenusen der vier Eckdreiecke. 2. Die vier Eckdreiecke sind rechtwinklig, weil die Innenwinkel des äußeren Quadrats \(90^\circ\) groß sind. 3. Setze \(\alpha = \angle APS\). Da \(A,P,B\) auf einer Geraden liegen und \(\angle SPQ = 90^\circ\) gilt, ist \(\angle QPB = 90^\circ-\alpha\). 4. Im rechtwinkligen Dreieck \(BQP\) folgt \(\angle BQP = \alpha\). Im rechtwinkligen Dreieck \(APS\) gilt \(\angle ASP = 90^\circ-\alpha\). 5. Damit stimmen die Dreiecke \(APS\) und \(BQP\) in den beiden Winkeln an ihrer Hypotenuse und in der Hypotenusenlänge \(SP = PQ\) überein. Sie sind nach WSW kongruent. 6. Dieselbe Argumentation gilt nacheinander an den Punkten \(Q\), \(R\) und \(S\). Somit sind alle vier Eckdreiecke zueinander kongruent.

Die vier Eckdreiecke sind nach WSW kongruent: Ihre Hypotenusen sind Seiten des inneren Quadrats und daher gleich lang; außerdem stimmen jeweils die beiden anliegenden spitzen Winkel überein.

- Welche Seite liegt dem Winkel \(\gamma\) im Dreieck \(BCD\) gegenüber? - Vergleiche die Längen der beiden gegebenen Seiten im Dreieck \(BCD\). Was muss für die Eindeutigkeit beim SsW-Satz gelten? - Wie viele Informationen sind nötig, um das Dreieck \(ABD\) festzulegen, wenn alle drei Seiten bekannt sind?

1. Untersuchung von \(\triangle BCD\): Gegeben sind die Seiten \(b = 4\,\text{cm}\), \(f = 6\,\text{cm}\) und der Winkel \(\gamma = 40^\circ\). Der Winkel \(\gamma\) liegt der Seite \(f\) gegenüber. 2. Anwendung des Kongruenzsatzes SsW: Ein Dreieck ist eindeutig bestimmt, wenn zwei Seiten und der Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, gegeben sind. Da \(f = 6\,\text{cm} > b = 4\,\text{cm}\) gilt, ist die Bedingung erfüllt und \(\triangle BCD\) ist eindeutig konstruierbar. 3. Untersuchung von \(\triangle ABD\): Gegeben sind die Seiten \(a = 5\,\text{cm}\), \(d = 3\,\text{cm}\) und die Diagonale \(f = 6\,\text{cm}\). Die Dreiecksungleichungen sind erfüllt (\(5+3 > 6\), \(5+6 > 3\), \(3+6 > 5\)). Nach dem Kongruenzsatz SSS ist \(\triangle ABD\) eindeutig bestimmt. 4. Die beiden Teildreiecke sind jeweils bis auf Spiegelung an \(BD\) eindeutig. Sie können jedoch auf derselben oder auf verschiedenen Seiten der Diagonale \(BD\) angeordnet werden. Ohne eine zusätzliche Bedingung, etwa dass das Viereck konvex sein soll, ist das Viereck \(ABCD\) daher im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.

Das Teildreieck \(BCD\) ist nach dem Kongruenzsatz SsW eindeutig bestimmt, da der gegebene Winkel \(\gamma\) der längeren Seite \(f = 6\,\text{cm} > b = 4\,\text{cm}\) gegenüberliegt. Das Teildreieck \(ABD\) ist nach dem Kongruenzsatz SSS eindeutig bestimmt. Das Viereck selbst ist ohne eine zusätzliche Angabe zur Lage der Teildreiecke nicht eindeutig, weil diese auf derselben oder auf verschiedenen Seiten von \(BD\) liegen können.

- Suche in den beiden genannten Dreiecken die zwei Seitenpaare, deren Gleichheit bereits feststeht. - Welcher eingeschlossene Winkel gehört jeweils zu diesen beiden Seiten? - Welche entsprechenden Winkel darfst du erst nach dem Kongruenznachweis gleichsetzen? - Wie ergänzen sich die beiden dadurch entstehenden Winkel im Dreieck \(APC\)?

1. Weil \(ABC\) gleichseitig ist, gilt \(AB=CA\) und \(\angle ABN=\angle CAM=60^\circ\). Zusammen mit \(BN=AM\) sind \(\triangle ABN\) und \(\triangle CAM\) nach SWS kongruent. 2. Aus der Kongruenz folgt für entsprechende Winkel \(\angle BAN=\angle ACM\). Bezeichne ihre gemeinsame Größe mit \(\alpha\). 3. Dann gilt im Dreieck \(APC\): \(\angle PAC=60^\circ-\alpha\) und \(\angle PCA=\alpha\). 4. Mit der Winkelsumme folgt \(\angle APC=180^\circ-(60^\circ-\alpha)-\alpha=120^\circ\).

1. \(\triangle ABN\cong\triangle CAM\) nach SWS, denn \(AB=CA\), \(BN=AM\) und \(\angle ABN=\angle CAM=60^\circ\). 2. \(\angle APC=120^\circ\).

- Welche Innenwinkel des Dreiecks \(APQ\) ergänzen die gegebenen Winkel jeweils zu \(180^\circ\)? - Was folgt für \(AP\) und \(AQ\), wenn diese beiden Innenwinkel gleich groß sind? - Welche drei passenden Stücke hast du danach in \(\triangle ABP\) und \(\triangle ACQ\)?

1. Da \(B,P,Q,C\) auf einer Geraden liegen, sind \(\angle APB\) und \(\angle APQ\) Nebenwinkel. Ebenso sind \(\angle AQC\) und \(\angle AQP\) Nebenwinkel. 2. Aus \(\angle APB=\angle AQC\) folgt deshalb \(\angle APQ=\angle AQP\). Somit ist \(\triangle APQ\) gleichschenklig und \(AP=AQ\). 3. In \(\triangle ABP\) und \(\triangle ACQ\) gelten nun \(BP=CQ\), \(AP=AQ\) und \(\angle APB=\angle AQC\). 4. Nach SWS sind die beiden Dreiecke kongruent. Daher folgt \(AB=AC\).

\(AB=AC\).

- Welche beiden Streckengleichheiten liest du aus den beiden Tickklassen ab? - Welche zwei Dreiecke oberhalb von \(A\) und \(C\) lassen sich mit einem Kongruenzsatz vergleichen? - Welche Winkelgleichheit aus diesem Kongruenznachweis hilft dir bei den Basiswinkeln von \(\triangle ABC\)?

1. Da \(\triangle ADC\) mit \(AD = CD\) gleichschenklig ist, gilt \(\angle DAC = \angle DCA\). 2. Betrachte die Dreiecke \(ADF\) und \(CDE\). 3. Es gilt \(AD = CD\). Außerdem ist der Winkel bei \(D\) in beiden Dreiecken derselbe. 4. Wegen \(AE = CF\) folgt \(DF = CD - CF = AD - AE = DE\). 5. Daher sind \(\triangle ADF\) und \(\triangle CDE\) nach SWS kongruent. 6. Somit gilt \(\angle DAF = \angle DCE\). 7. Da \(B\) auf \(AF\) und \(CE\) liegt, folgt \(\angle BAC = \angle DAC - \angle DAF = \angle DCA - \angle DCE = \angle BCA\). 8. Das Dreieck \(ABC\) hat zwei gleich große Basiswinkel und ist daher gleichschenklig: \(AB = CB\).

Durch die Kongruenz von \(\triangle ADF\) und \(\triangle CDE\) (SWS) folgt \(\angle DAF = \angle DCE\). Da die Gesamtwinkel bei \(A\) und \(C\) im großen Dreieck gleich sind, müssen auch die verbleibenden Winkel \(\angle BAC\) und \(\angle BCA\) gleich groß sein. Somit ist \(\triangle ABC\) gleichschenklig.